高一下册几何题练习及答案

对于高一的学生来说，下学期最重要的内容之一就是例题几何，今天我们给大家分享一个例题几何解答题。 这个题一共有两问，第一问是证明线与面平行，第二问是求四面起，也就是三能锥的起级。那么首先我们来看第一问，要证明线与面平行，就要证明这条线和这个面上的其中一条线平行，就能得到线与面平行。 但是如何证明两条直线平行，我们得知道最精简的有两个方法，第一个就是三角形中微线平行于底边，第二个就是平行四边形对边平行。那我们先考虑一下中微线的方法， 因为题目说了，这个 n 是 b c 的 中点，然后这个 am 是 等于二倍的 m d， 也就是这一段的二倍，说明这个 m 它是 a d 的 三等分点，而不是一个终点， 那么也就说明 m n 的 连线并不是一个中微线，因为 m 不是 中点，那我们就开始考虑第二个方法，就是平行，四边形对边平行，但是我们得先做出这个平行四边形，如果涉及到中点的题目， 我们要做这个平行四边形，我们可以考虑用中微中微线的方式去做啊，用中微线的方式去做，这也是一个高考热门考点，那么关键是一个中点不行，得再取一个中点连起来才是中微线吧。那么另一个中点在哪里取？ 是在这个平面的三条线上去取，对这个器来说，我们直接在这个 p b 这条线上取一个中点 e， 那 么接下来把这条中微线给它连起来，那么再把最后一条边连起来，我们的目标四边形也就出现了，是 a m n e。 好 了，我们来证明一下这个 p b 的 中点 e 完了之后，我们接下来连接的两条线，首先第一条线就是中微线，那么这个地方是不应该就是一个 n e， 还有一条线就是四边形的最后一条线。 然后接下来我们证明四边形的这个方法是这样的，我们首先根据一组对边平行，再根据平行四边形得到另一组对边平行。 这个思路大家要懂啊，我再给大家说一遍，先根据一组对边平行且相等得到它是一个平行四边形，再得到另一组对边平行。所以我们的思路是这样的，我们先根据这个中微线和它的对边 am 平行且相等得平行四边形。来，我们来正一下，首先从中微线出发，因为这个 e 是 我们取得 p b 中点， 那么接下来这个地方 n 是 其目已知的 p、 c 中点，那么这两个中点的连线就是一条中微线，也就得到了这个 e n 为三角形 p b c 的 中微线。 那么中微线是有两个性质的，第一个性质就是中微线平行于底边，它的底边就是这个 b c。 那 么接下来还有一个性质，中微线等于底边的一半，题目是不是已经已知这个 b c 等于四，所以它的一半就是一个二？好了， 然后我们接下来再看，首先是平行的事， e m 平行于 bc， 而题目又告诉我们，这个 ad 也平行于 bc， 但 ad 是 不就是 am， 它两个是同条线， 所以 am 平行于 bc， 根据平行与同一条直线的两条直线。什么平行？好了，那么既然 n e 和 am 都平行于 bc， 它两个就平行了，那么这个时候对边平行已经证明，再证明对边相等， 那我们现在只需要证明这个 am 是 不是也等于二就行。因为题目是这样说的， am 是 等于二倍的 md， 这是一个三等分点，所以我们就得到了 am 是 不应该就等于三分之二倍的 ad。 那么题目也说了， a d 是 应该是等于三的，所以带进去之后他就等于二，那这样一来，我们是不就得到了这个 am， 他 等于这个 n 一？ 再加上我们刚才又证明了 am 平行于 n， 一 根据一组对边平行线相等得到了它是一个平行四边形，这个地方是 a m n e， 那 么再得到另外一组对边平行，也就是 m n 平行于 a e， 那 么这个 a e 就是 这个平面 p e b 上的一条线。那么根据线与面平行的判定，镜里平面外的一条线和平面上的一条线平行，就能得到线与面平行。 好了，这就是平行四边形对边平行的一个手段。根据一组对边平行且相等得到它是平行四边形，再得到另一组对边平行。当然这个四边形的作图方法，我们是根据构造中微线的方式构造出来的，这也是经典考究。接下来我们看一下第二问， 我们接下来要求的是一个三等锥 n 杠 bcm 的 体积，那么首先我们要算高和底面积，因为我们知道体积是三分之一，底面积乘高， 那么这个 bcm 是 在 a b c d 上的 a b c d， 它确实是一条有一条垂线，但是这条垂线它并不过这个上顶点 n， 那 么要想过上顶点 n， 我 们就得让过 n 点做一条 pa 的 皮筋线，因为这里面有一个原理是这样说的， 说线垂直于面，过这条线的平行线也垂直于这个面啊，就是说线垂直于面，这条线的平行线也能垂直于这个面，那我们就做一个平行线呗。那么假如说这个地方是 f， 好 了，这是第二问，我们现在做一个 n f 平行于 p a， 而且交这个 a c 与 f， 这个没问题吧？那么如果是这个样子的话，然后我们接下来就可以做了。首先 p a 是 垂直于这个面 a b c d 的， 那我们这个 n f 平行于 p a， 那 么线垂直于面，那么过这条线的，也就是这条线的平行线是不是也垂直于这个面？这条线的平行线也能垂直于这个面，这是一个重要性质，那么这个时候我们的高已经出现了，那这个高怎么算？ 这个其实是一个中微线的问题。来，我再把这个说一下，你看为什么他说它是一个中微线的问题，因为题目说了这个 n 是 这个 pc 的 中点， 那么我们又做了一个 n f 平行于 pa， 所以 我们就得到了这个 n f 为这个三角形 p a c 的 中微线。 这个利用的性质其实也很简单，就是在一个三角形中过其中一边的中点， 做另一边的平行线，那么所做的这条线就会是一个中微线。再把这个话说一遍，在一个三角形中，过其中一条边的中点，做另一个边的平行线，所做的这条线就是三角形中微线。那么这个既然是中微线的话，他是不是也就等于底边的一半，也就是二分之一 p a， 那么也就算下来之后， p a 是 四，也就二分之一乘以四等于二，这就是高。那么接下来算一下底面积，底面积，当然要是在底下这个面中去算，来，我把这个面再给大家单独画一下，因为题目说了一些信息， 说 ab 等于 ad 等于 ac 是 不等于三， ab 等于 ac， 说明这个地方首先是一个等腰三角形，我把这个等腰三角形给大家画清楚， 这个地方是 a， 这是 b， 这是 c。 好， 那么这个边是不应该等于三，这个边是不也等于三，这个边是不应该等于四，是不应该是这个样子？那么接下来还有一段是一个 ad， 就 随便画一下吧，这个是一个 ad， 那 么这个地方是一个 m， 那 么接下来我们要的是什么？这个 bcm 这个三角形。 好了，其实你看啊，这里面有一个重要的性质，因为 a d 平行与 b c 两条平行线之间的距离是永远相等， 所以说你现在要求 bcm 的 面积，那么 m 到 bc 的 距离，实际上也就是 a 到 bc 的 距离。 a 到 bc 的 距离，那就简单啊，我们可以做一个三线合一的线，对不对？这个地方假如说是，这也就是说我们现在取一个什么 bc 的 终点，这， 那么接下来就可以连接呗，连接一下这个 ag， 这个 ag 实际上就是两条平行线之间的距离也是 bcm 的 高，那么这个也有好算了，因为它是中点的话，这个占一半。 那么接下来我们先用勾股定律算一下 ag ag 是 不是应该就等于根号下 ab 方减去 b 方， 那也就是一个根号，下三的平方减去二的平方，九减四，是不是等于根号五？好了，那么接下来就可以算这个三角形 bcm 的 面积了，它等于二分之一底乘高， 底 bc 高就是 a j， 也就是二分之一乘以四，再乘以根号五，那么这个算下来之后就是二倍根号五，那么最后我们就可以算起极了 n 杠 bcm 三分之一的体积就是三分之一底面积， b、 c、 m 乘以高，高就是刚才的 n、 f， 也就是三分之一乘以二倍根号五，再乘以二，那就是三分之四倍根号五。好了，这个题整个做完了，你们学会了吗？

立体几何中的角度求解问题？喜欢在选择填空，尤其是填空的第二第三题，这种中档次压轴位置出现在结合大体第二问中必有的角度求解分值占比高，而且足够稳定， 无论大家有没有提前掌握间隙的外挂，今天关于线线角和线面角的通用解法，相信你学完之后会有收获与提升。 这是一条线，这也是一条线，两条线的夹角大小是 theta。 假如我把其中一条直线平移一下，你认为它俩的夹角还是 theta 吗？没错，当然是的， 所以直线的平移不改变夹角大小。哎，那线的伸长缩短改不改变线线夹角啊？是的，同样不改变。那他做的这么短了呢？ 没有关系，咱们给他做条辅助线就回来了。所以啊，平移和伸缩永远不改变线线夹角， 并且平面和空间都是适用的。那只要了解了这样一个点，我们便可以解决几乎所有的立体空间线线夹角问题。就比如呀，在这样一个正方题中， 他说要求红线 a、 d、 e 和黄线 e、 f 所成的角度，我们是不是可以放心的把 b、 d、 e 连接起来呀？ 在蓝色三角形中， ef 是 底边的中位线，那么 ef 也就平行于底边第一 b。 换句话说，第一 b 一定能够由 ef 平移伸缩得到，而平移伸缩完全不改变夹角大小， 所以红线和黄线的夹角就等于红线和蓝线的夹角 共面。直线夹角可以直接标出在黄色三角形中，正方体能长为一，另外两边根二根三，这是一个直角三角形，夹角与弦值等于根号三分之。根号二 化简之后选择 c 选项。正是因为平移和伸缩完全不改变夹角大小， 所以只要题目来一句求红黄两线的夹角，我们就可以在伸缩和平移的范围内，不择一切手段，让红黄两线进入同一个平面直接接触。题目就变成了最基础的求解面内夹角于弦值。 再比如这样一道题，他说要求 am cn 红蓝两线夹角分别记作 l 一、 l 二， 根据原则不择一切手段给他俩平移到直接接触共享平面的位置，这样平移稀奇古怪，不行。 那这样呢？千万注意，这里不是焦点，也不好搞，所以光有平移是不够的，还得伸缩。再次借助中位线神力连接 md 做出 l 三， 在红色三角形 amd 中，黄色的 l 三又是中位线， 红线通过平移伸缩能够得到黄线。那么题目要求蓝线和红线的夹角就是蓝线和黄线的夹角， 咱们把 c、 q 连接起来， c、 n、 q 便是对应的角度大小。剩下的重点便是找出黄色三角形的个边长度了。那题目也说了，空间四边形 a、 b、 c、 d 的四条边以及对角线，也就是 b、 d、 a、 c 长度都是一样的。那你说这 abcd 到底是个啥呀？没错，正四面体。 所以这个绿色侧面 a、 c、 d 是 个等边三角形，中线 c、 n 长度为根号三。 再看这个终结面， amd a、 m 也是根号三， nq， 它又是中位线，长度为底边的一半。 最后看底面 bcd 点， q 是 中点，非常典型的等边三角形， cq 等于根号三。像这样咱们便算出了最后 等会儿点， q 是 m、 d 的 中点 哦，等边三角形中线上的中点，它不是几何中心， 终点，在更加靠上的位置标定长度，再由勾股定律可以算出真正的 c q 大 小等于二分之。根号奇。放回原本的三 d 视角中， 三边长度都有，再想求 c 塔，咱们只看黄色的三角形， 那么现在聪明的你知道应该怎么求了吗？ cosine theta 余弦定里等于三分之二，作为本题答案。 接着进入第二部分，这是一条线，这是一个面，交点为 t， 他 说要求线和面的夹角，线面夹角，咱们引入实物平面， 当我们把组合体视角压缩到合适位置的时候，这个线面夹角特别的直观， 但是具体咋求呢？思考一下，你看呀，在线上随便取个点 n， 向平面引一条垂线，垂足为 r， 那 么在这个黄色直角三角形 ntr 中， 线面夹角 c 塔特别的好求。所以啊，咱们以后尤其是在小题中看到线面夹角的时候，就在线上随便取个点 n 向平面引一条垂线， n r 垂直蓝色平面，也就垂直于蓝色底边，再标记好线面夹角 c 塔， 最后只用在黄色的 ntr 中标定长度，这个 c 叉角就没得问题了。就比如这样一道题，在正方题中要求蓝色平面和黄色直线的夹角，怎么操作嘞？ 没错，在线上随便找个点，比如 a 向平面引一条垂线，垂足是 q， 构成直角三角形，角 a， d， e， q 等于 c， 它正好对应这个线面夹角的大小。咱们聚焦黄色三角形，题目不给长度，咱们就设它的棱长等于二， 那么 a、 q 和 d， e、 q 都不难求。而在这个黄色直角三角形中 c， 它角的正切值便等于根号六分之根号二，三分之根号三。选择 b 选项。 并且呀，这个辅助线的做法不是什么邪修秒杀，就是最最简单纯粹的基本定义。咱们最后看这样一个正四面体 p 杠， a， b、 c、 d 为中点，要求黄线 b、 d 和蓝色平面的夹角。聪明的你一定有了想法，在线上随便取个点，比如 d 向平面引一条垂线 d q 垂直蓝色平面，也就垂直蓝色底边构成直角三角形，线面夹角正是 d b q。 再来聚焦黄色的直角三角形，棱长随便射绿色侧面 b p a 中 b、 d 作为等边三角形的中线，等于根号三。但是要求余弦的话，这个 b、 q 应该咋算呢？我发现呀，点 d 投影到底面是 q， 点 p 投影到底面是 n， 这个 n 呢，他才是正儿八经的几何中心。点 q 是 a n 的 终点，这里要千万注意 n 和 q 的 位置，咱给它铺平， 边长为二， a， n 就是 边长，除以根号三 q， 它又是中点 a q 取一半长度， 这个 b、 a、 q 正好三十度角。所以啊，在这个蓝色三角形 b、 a、 q 中， cosine 三十度，利用余弦定力，等于二分之根号三， b、 q 的 长度，可以很快算出等于根号三分之根号七。 再回到三 d 视角， b q 等于根号三分之根号七。那这个 cosine c 塔，咱们只看黄色的直角三角形 cosine c 塔便是三分之根号七。 那么以上内容便是线面角的求解方法。在视频的最后，咱们就线线角和线面角各选定了一道强化练习，供各位同学巩固提升。这是第一道题，这是第二道。

立体几何外接球，掌握这十一种模型，期末直接得满分！ 立体几何外接球呢？是高一下期末考试以及高考的一个重点考试内容，很多同学到高三都没搞清楚，那么谢老师这里给同学们啊归类一下，那么这里我们掌握几个常见的模型，比如说墙角模型， 那么模型怎么我们怎么去记？我们不是去记他的一个结论，而是记他的原理条件和我们的一个啊，怎么一个解法？比如说 墙角模型有什么特征呢？三条棱，两两垂直，只要看到三条棱有两两垂直的对不对？我们不可以不找球心，直接可以把它补成一个什么长方体， 对吧？这叫补乘法。还有看见这种类型什么呢？比如说对棱相等模型，他也是补成长方体，什么条件呢？三条对棱分别相等，你马上去把它补成长方体，然后根据长方体的一个思路去做就可以了 啊。比如说还有一个重点的模型，就是垂面模型，只要看见一个线垂直，这个面， 对吧？线面垂直球外接球的半径对不对？我们首先在底面标出我们的圆心，然后球心必然是连在一起垂直底面，对吧？然后把它补成一个直径，弄出来，直径和这个顶点连起来，绝对就是我们大圆大球的直径，球的直径 我们就可以用勾股定律来解了，而 o o e p o 呢？就是 pa 的 中位线，是不是可以这样去做，那么可以根据详细的根据一二三这三步去完成就可以了。还有一个比较重点的是什么？如果出现三条侧能相等， 有什么特征呢？有三条侧能相等，这些都是，对吧？那么必有什么呢？圆心、球心和顶点三点共线必然在同一根直线，可以用勾股定力去答题，这就是我们常考的一种方式，对吧？其实后面还有很多很多啊，感兴趣的同学或者是老师 啊，可以进行一个自学啊。那么习老师把这个链接放在下方了啊，可以去了解一下。

来看一下咱们今天这个内容啊，内容呢，相对来说呢，呃，也挑了一些咱们平时不做不常做的一些题啊，然后的话呢，但是这个考点的话呢，也是，呃，有有那个角度去考的啊，所以说咱们今天也先跟上啊，看第一题，第一题的话呢，这个 他说什么？他说这个东西，然后要求什么？求这个 a b c a b c， 它这个面积，面积的话呢，你看前边这个是不是给你 b c 了？那这个里边的话呢？ s 三角形 a b c 的 面积就等于上二分之一的什么 b c 乘上 sin 的 a 呀，对吧？那 sin a 的 话，那我得 怎么去求呢？是不得求出一个角 a 啊，你看下边这个，看下边这个，这个东西像啥呀？ 这个东西像什么？是不是像余弦定律啊？所以说咱们把这余弦定律摆一下啊， cos cosine。 这个 a， 它就等于啥？它就等于 b 方减去加上 c 方，减去 a 方，然后呢？比上啥？比上二 b c 啊？比上二 b c， 然后的话呢，咱们看一下啊，这里边 这个 a 方减 b 方减 c 方。所以说咱们这个里边的话，再怎么样填个符号的话，前面填个符号的话， 那变成啥了？变成 a 方，减去 b 方，再减 c 方，然后再怎么样比上二 b c， 那 前边这个东西等于啥？前边这个 a 方减 b 方，是不是等于负的 b c 啊？负 b c， 然后比上二 b c 啊？ 所以说呢，最后就等于负的二分之一 q 三 a 呢，它就等于负二分之一，那咱们要求啥呀？是不是要求三也 a 呀？求三也 a 的 话，那就怎么样三也 a， 它就等于什么？等于根号下一减去 q 三 a 的 平方啊， q 三 a 的 平方啊，然后的话呢就等于什么？一减去，呃，四分之三开根号，最后呢等于二分之根号三呐， 所以说呢，这二分之一乘是啥呀？ bc 是 等于一的啊，乘一，然后呢再乘什么？二分之根号三，最后呢就等于四分之根号三啊，四分之根号三。所以说选哪个？选第四个？选第四个， 然后看一下这个第二题，第二题的话呢，这里边圆柱与球的一个体积之比啊，圆柱与球的一个体积之比。咱们呢简单的去想象一下啊，这个有一个球啊，有个球， 有一个球啊，这球球上呢有一个。什么？有一个圆锥啊？球上有一个圆锥啊，有圆锥。那我们把这个球和圆锥呢 形成一个正面图，正面图，那我们应该是怎么样？那个图呢？来这样看，这个，这是球啊，这是球，然后圆锥的正面图应该是啥？圆锥的正面图，应该是这玩意啊，应该是这玩意， 他说什么？他说这个顶角是一百二十度的一个三角形，所以说圆锥的顶角是一百二十度啊， 然后的话，他让你求什么呀？求这个圆锥和这个球的一个体积之比，咱们求球的体积之比的话，离不开什么离，是不是离不开半径啊？咱们，咱们再求这个 圆锥的体积之比的话，圆锥啊，圆锥的体积是什么？三分之一 s h， s h， 这 s 的 话呢，有 r， 所以 说咱们要求这个圆锥的话呢，就是求两个东西啊，所以说呢，咱们简单的啊，简单转化一下， 那这个 r 应该是啥呀？ r 应该是这个东西啊，这条线呢？ r 应该是哪条线？应该是这条线呢？这是什么？这是那个， 这是球的半径，这个也是球的半径，对吧？啊？这是球的半径，然后的话呢，我们要还要求哪个？还要求这块的小高啊？这块的高，这块高还求哪块啊？ 是不是还得求一下这个圆锥的底面半径啊？那底面半径应该是哪？ 底面半径是不是这块啊？所以说我要求什么？我要求这个一百二十度，什么一百二十度？三角形的这个 高，还有什么？底面的一半，那这个东西应该怎么求啊？注意看上边这个是一百二十度，对不对？那你这要一半这块，这块应该是多少？这块应该是六十度，那这块应该是多少度？这块应该是三十度 啊？三十度。所以说我们单独把这个东西拿出来啊，单独把这个东西拿出来，这是六十度啊，这圆锥的一半啊，这是圆锥的一半，然后的话这是什么？这是三十度啊？这把单独把这个三角形拿出来啊？ 呃，画黄色的这个部分，黄色这部分单独把这三角形拿出来。那我们来看这里边这个是不是半径啊？啊？这边等于球的半径啊，这是不是也是球的半径啊？所以说呢，这个球的半径呢？我把它设成 r， 那这个角是六十度，这个也是半径，这个也是半径的话，那这个横，这，这个这个位置，我画的这个位置，这是不是也是半径啊？所以说这个是半径啊？这是半径那圆锥的高，圆锥的高是半径是吗？ 是半径一半。那这个底下这个圆锥的什么圆锥的半径啊？圆锥的半径和圆锥的高分别是什么？分别是二分之根号三倍的球的半径。所以说这个时候呢，咱们就出来了啊，咱们出来了，这里边的话呢， 咱们求的这个圆锥的长啊，圆锥的半径是什么？二分之二，那圆锥的底面半径是多少？圆锥的底面半径是二分之根号三二， 对不对？所以说呢，这里边的话呢，咱们就是一个 三十度六十度啊，三十度六十度的一个直角三角形，三十度的直角边等于斜边的一半啊，然后的话呢，这个一比二比刚好三，这样的一个情况，或者是什么？或者你用这个塞音或者口塞音呢啊，或者弹键的呀， 啊，把这个东西求出来都可以啊，都把这个互相表示一下也可以，但是咱们呢就是相信大家都知道啊这个东西。 然后的话呢，看一下这个圆锥的什么圆，圆锥的半高和半径，咱们都用什么？用这个大圆的什么大圆的半径来大球的半径来给表示出来了，所以说那这里边的话圆的半径是多少 啊？圆圆锥的体积是多少？圆锥的体积是 v 啊， v 锥啊，然后的话呢，球的体积啊，比 v 球啊， 它就等于啥呀？等于三分之一的 s h 啊，比成什么三分之四 pi r 的 立方啊，然后的话呢，咱们就把这个东西啊简单写一写， 这个是三分之一 pi， 呃，二分之根号三的 r， 然后平方再乘个什么？再乘个二分之 r 啊，二分之 r 比上这个三分之四 pi r 的 立方， 然后的话呢，应该等于多少啊？应该等于这个上边，应该等于这个二分之 三分之一，你这个平方的话就变成了四分之三了啊，四分之三乘上三分之一， 四分之三乘个三分之一，再乘个二分之一，那最后呢？应该等于八分之一啊，八分之一派二方，然后呢？三分之四派二立方，派二立方，那八分之一比上这个四分之三的话，那应该是八分之一乘上 八分之一乘上四分之三啊，最后等于什么？三十二分之三，三十二分之三，选哪个？选 a 啊？这里边的话呢，最难的一个点是什么？最难的点是我们怎么能够 把这个圆锥的高和它的半径啊？底面，这啊底面的半径用什么来求用这个大圆的半径球的半径来表示出来啊？这样的一个情况，然后看一下这个第三题，第三题的话呢，来看一下这里边的话呢， 他说什么？他说沿着这个 a、 k c 啊， a k c 做一个结面，然后的话形成的结面应该是怎么样呢？我这个 k 点往过延伸的时候，应该跟 a c 是 怎么样呢？跟，应该跟 a c 是 平行的， 应该是跟 a c 是 平行的，所以说呢，这个 a 一 c 一 和 a c 是 平行的，但是你得过 k 点过 k 点跟它平行，所以说你这个里边的话就变成什么是变成中位线了啊？这么一连啊，这么一连，那你这个 呃，应该是设成可以设成 m 啊，无所谓啊，哪个哪个字母都行。咱们要求的是啥呀？要求的是这个四个边，所以说呢，这个里边的话，周长应该是 km， 加上什么？加上 ak 啊，再加上一个 ac 啊， ac， 那 km 等于多少啊？ k m 啊？ k m 这个边长是多少？边长是二啊，边长是二的话呢， k m 应该等于这个对角线的面对角线的一半，所以说那这就是 啊，这是二啊，这二倍根号二，然后再除个二，那就是变成啥？变成根号二了，那再加上一个 a k a k 的 话是多少？ a k 是 一啊，这是二，然后呢，这个斜边是根号五啊，根号五 ac 的 话呢， ac 是 多少？ ac 是 二倍，根号二， 再加上一个 mc， mc 的 话呢？也是啥样？这边是一，这边是二，所以说这也是根号五啊，这是根号五，那这里边的话就变成三倍根号二，加上二倍的根号五， 三百二加二百零五，所以选 a 啊，选 a。 这里边截图的话呢，主要是什么？主要是咱们用的是平行法，跟这个下边 a c 进行一个平行就可以了啊，跟 a c 进行一个平行过 k 点做 a c 的 平行线，那你这个里边切下来的东西呢？就跟这个 a c k 所形成那个界面是一样的啊？ 啊？然后的话看一下这个第四题啊，第四题，第四题的话呢，他说什么？他说这个 a c e 垂直于平面， p b c a c e a c e p b c 啊？ p b p b c， 那 也就是说这个里面那个面平行于右边这个面啊，所以说呢，这里边的话呢，咱们线面面垂直的话，那要想到什么？要想到线面垂直啊，想到线面垂直，线面垂直的话呢，这里边的话应该去怎么去正呢？ 那我用这个 c b 啊，用 c b 去证明我，呃，用 bc 啊，用 bc 去垂直，什么？垂直 a c 或者是垂直于 bc， 再垂直于 p c 啊？ bc 垂直于 p c 就 可以了啊，就可以了 啊，这个好像不对啊， sorry sorry。 这个，这个里边的话呢？ 能不能这么能，能不能这么剪？那肯定不行啊。这个，这个 b c 的 话啊， b c 这条线垂直于面上的两条 相交直线啊，得垂直于面上的两条相交直线，你才能证明线面垂直。但是呢， b c 很 明显是不垂直于 a c 的， 这是垂直于 a c 的 啊，这垂直于 a c 的， 但是呢，其他两个线呢？咱们是求不出来垂直的。那还可以反过来，反过来，我可以正什么？正 a c 垂直于什么？垂直于 b c a c 垂直于啥？是不是 p c 啊？ 那么 ac 就 垂直于谁？ ac 就 垂直于平面 pcb 啊，这是大致的一个思路啊大致一个思路。那怎么去正呢啊？怎么去正呢？ ac 的 话在什么？在 p， 呃， a c e 上啊，所以说 a c 所在的这个面， a c e 就 垂直于那个平面，那这里边的话，咱们怎么去正呢？怎么去正这 a c 啊？注意看这个 p c 是 怎么样的？ p c 是 垂直于底面的，对吧？垂直于底面 abcd 的， 咱们平面就不写了。所以说 pc 就 垂直于面上的什么所有直线，对吧？ p pc 就 垂直于面上所有直线，那你这个 pc 就 垂直什么？垂直？ ac， 这是第一个线垂直啊，第一个线垂直， 然后的话呢，这个 ac 怎么能不能垂直于 cb 啊？来，我们把这个东西拿过来啊， 底下是一个什么？底下是一个梯形啊，底下一个梯形。那我俯视图看一下啊，俯视图看一下，或者是啊，咱们这么画吧， 咱俯视图看一下也行啊。 俯视图看一下 来看一下。这是 a b 啊，然后呢，这是 a a c 这么一连啊， a、 c 这么一连，然后呢，这是 d 啊，俯势图看一下，那这个 a、 a、 d 呢？是等于多少的啊？ a d， a、 d 是 等于二的啊， d、 c 也等于二。然后呢，这是什么直角梯形啊？直角梯形，然后的话呢，这个 ab 是 等于四的， ab 是 等于四的， 那所以说呢，这里边的话呢，咱们做一个什么？做一个 c 啊，往这个 ab 做一个什么？做一个垂线啊，那这个，这个边长啊，这个这个，呃， e 吧，你这个 c、 e 是 怎么样的？是二啊？这个角是什么？这个角是四十五度啊，这个角也是多少度？也是四十五度，因为这是二啊， 这角还是个什么？还是个直角。所以说呢，这里边的话，那你要证明这个角直角的话，那你用什么用？勾股定律啊？勾股定律，这个 a、 c 的 平方， a、 c 的 平方加上 c、 b 的 平方，它等不等于 ab 的 平方啊？ 等不等于，那肯定是相等的呀，对吧？所以说呢，这里边的话呢， 咱们就可以通过什么通过这个东西来简单去验证一下啊，验证一下 a、 c 等于啥？二倍根号二啊，这个 c、 b 等于啥？二倍根号二啊。所以说呢， ab 的 平方就等于什么 c、 b 的 平方加上 ab 的 平方啊，这样的一个情况啊， ac 的 平方啊， 所以说呢，通过这个啊，通过俯视图，然后把这个 a、 b、 c、 d 这个直角梯形咱们展示一下之后，我们会发现一个事，这 a、 c 的 平方呢，加上 c、 b 的 平方，它等于 ab 的 平方，所以说，那么角啊，角 a、 c、 b， 它就有什么直角三角形啊，直角三角形， 然后的话呢， a、 c 就 怎么样垂直于 c b 啊啊？ a c 垂直于 p c， a c 还垂直于 c b a c 还垂直于 c b 啊， b c 吧啊？ b c c b 的 话啊，都行了，无所谓。然后看一下第二个啊，这是第二个，那这个 a， 这个 p c 和 b c 啊， p c 和 b c 还相交于啥啊？还相交于点 c， 所以 说，那么 a c 就 垂直于什么平面？ p c b 啊，然后这个 a c 在 哪个面上？ a c 还属于 p a c 这个面啊？平面 p a c。 所以 说面 p a c 平面 p a c 就 垂直于什么 p c b 啊， p c b 就 得正了啊，得正。这里边的话呢，咱们面面垂直呢？正的就是什么？正的就是这个 线面垂直啊，其实本质上正就是线面垂直。然后看一下这个， 呃，第五题吧。这个，呃，第二题咱们就不看了啊，这是看第五题。第五题的话呢，咱们也是一样的一个道理啊，嗯，他说底面是什么？底面是这个 正方形，然后呢， p d 是 垂直于底面 a b c d 的， 那 p d 是 垂直底面的啊， p d 是 垂直底面的， 跟底面是垂直的，然后的话， e 在 p b 的 棱上啊， e 在 p b 的 棱上，你这个里边的话呢， a a e c 垂直于 p d b a a e c 垂直于什么？ p b d 也就是说这个 三角形，这个面和哪个面和这个这个面，它是怎么样呢？ 相互垂直的啊，相互垂直的 a e 垂直平面 p e d b 啊， a e 垂直哎，这个 a e c 垂直平面 p d b 啊，那这两个面怎么垂直呢？ 来看一下啊，这个 p d 是 垂直于什么呢？垂直于平面 a b c d 的， 对吧？所以说霹雳就垂直于谁啊？霹雳就垂直于底面上所有的线，所以说霹雳就垂直于 a c。 然后的话呢，这个下面还是一个 正方形，正方形的对角线是不是相互垂直啊？所以说这个 d， b 还垂直于谁？ a， c 那 这个 a c 啊，这个再再怎么样 p d 还怎么样交 d b 于点 d， a， c 垂直于面上两条相交直线 a， c 垂直于面上两条相交直线，所以说这里边 a， c 就 垂直 于平面 p d b 啊， a， c 是 垂直于平面 p d， b， 对 吧？所以说 a c 在 哪个面上 a c 属于平面 e a c 啊，所以说啊，所以说这个平面 a， e， c 就 垂直于平面 p d b 啊， p d b ok， 非常好啊，然后，然后大家有什么嗯，没听明白的题啊，然后给我发个私信也行，然后的话呢，这个 希望大家这个也可以点赞关注、收藏啊，也可以，这个明天见啊。

这几节课是高一下期末考试的重难点内容，今天我们一个视频来讲清楚线面平行的所有题型。今天我们从等角定律讲到了判断或者证明线面平行，再由线面平行的性质问题讲到根据线面平行的性质来判断线段比例或者点所在的位置问题。学完这个视频，轻松体验线面平行的各大， 我们来看题型一，等角定律在练习题目之前啊，先给大家讲一下何为等角定律？非常的简单，就是说呢，如果有两个角，它的两条边呢，都是相互平行的，那么我们就可以得到一个什么结论呢？这两个角 alpha 和 beta 之间的关系，要么是 alpha 等于 beta， 要么是 alpha 加 beta 等于太 好。也就是说等角定律说明的是边相互平行，他们的角相等或者互比。我们来看题目是怎么出的， 他说，如同所示，在四面体 a 杠 b、 c、 d 当中， m、 n、 p、 q、 e 分 别是它所在的边的中点。然后问，下列说法正确的是，这是一道多选择题，所以我们一个选项一个选项来看， a 选项说四边形， m n、 p q 是 菱形。好，因为中点呢，大家很容易想到初中的中位线，那中位线的意思就是说，它跟它所在的底应该是相互平行，并且等于底面长度的一半，对吧？ 好，所以大家应该能发现 m n 这条线应该是平行 ac 的， 而且是 ac 的 一半。同样的道理呢， p q 在 它所在的三角形当中，它也是平行 ac， 且等于线段 ac 长的一半的。那也就是说 m n 平行且等于 p q， 这个 m n， p q 一定是一个平四边形。至于到底是不是菱形，我们还需要怎么样？还需要一组菱边相同。首先我们知道 n、 p 呢，是平行且等于二分之一的 b、 d 的， m、 q 呢，也是平行且等于二分之一倍的 b、 d 的， 也就是它们两个之间也是平行且相等的，但是依然只能证明它是一个平行四边形，对吧？ 菱边相等就是这条蓝线跟这条红线是否相等，天然条件当中没有给这样的讯息，所以他说是菱形，这个不一定， a 选项不能选，我们来看 b 选项， b 选项说角 q m e， 我 们找到 q m e 好 和角 d b c， 他 现在说它们两个是相等的关系。那我们来看一下这两个角所对应的边，一条边呢是 m q， 那 它跟另外一个角的 b d 这条 b 是 相互平行的，并且呢， m e 也是平行 bc 的， 根据等角定律，它们相等或者互补，但是这里 b 到底能不能选呢？我们做问题的时候，不仅要根据等角定律的结论，它是一个四面体，对吧？很明显，从题干当中这两个角应该是相等关系，所以 b 选项是对的。 我们来看 c 选项， c 选项说 b c， d 和 m e q 是 相似三角形，那这个很简单，我们说证明相似三角形的时候，应该怎么去证明啊？ 对吧？是不是应该是对应边乘比例就可以了？那我们很明显知道 m e 跟 b c 是 平行且等于一比二的关系的好。同理 m q 和 b d q e 和 d c， 它都是平行且是比例是一比二的关系了，那这两个一定是相似量形。我们看四 d m n p q 是 矩形，那刚刚说了它只是一个平行四边形，你的垂直的关系也是找不到的，对吧？所以这道题正确答案是 b 和 c。 好， 我们来看题型二，判断或证明线面平行。那大家 在这里呢，就要掌握一下咱们线面平行的什么判定定律。课本上是怎么规定判定定律的？如果我们要证明一条线和一个面相互平行，应该怎么证？在这个面内找一条线，使得这条线和原来的这条线相互平行就可以了，对吧？那如果用图形语言，也就是说我们要想证这条线 l 平行于这个平面 alpha， 那 我们就应该在 alpha 这个平面内找一条线，叫做 m， 如果你能证明 l 和 m 平行，那么 l 就 一定平行于 alpha， 这个就是它的判定定例。那后面我们还会讲到性质定例的问题，大家要如何区分判定定例和性质定例呢？就是判定定例是怎么证明 这个事情是成立的，那性质定例是已经知道这个事情成立了，请问怎么去运用它？好，那我们来看题型二怎么去出问题的？ 现在他说有一个四棱锥， e 杠 a、 b、 c、 d 中这个 a、 b、 c、 d 是 正方形，也就是四条边都是相等的， g、 f 分 别是 b、 d 和 e、 c 所在的中点。好，现在让我们去证明 g、 f 这条线呢，要跟底面 a、 b、 e 是 相互平行的，那刚刚我说了，要证明它跟 a、 b、 e 相平行，就要在 a、 b、 e 里面怎么样找到一条线使得这条线呢？跟咱们的 g、 f 相互平行就够了。 好，理论大家都知道，然后很多同学难的点是什么呢？难的点是找不到这条线，其实啊，找不到这条线呢，我有一个万能大法，就大家在做问题的时候，试卷上大家可以拿一个尺， 拿一个尺什么呢？笔画在 g、 f 这个位置，然后把这个尺呢，不要改变它的方向，一直往下平移，平移到 a、 e、 b 这个平面上，你看看它跟哪条线应该是相互平行的，那么你接下来要正的就是这条线跟咱们的 g、 f 平行。 这样一个做法呢，是大家在找复杂的立体几何图形当中的一个万能大法，因为很多同学他的空间感不太好，他其实找不出来这条线哦，如果你掌握了这个方法，很明显你把 g、 f 往下平移，他会跟咱们 a、 b、 e 这个平面的 a、 e 这条线相互平行，怎么去正呢？也很简单，你看，我既然已经这么标出来了， 我把 a、 c 连上，因为咱们的 g 是 d、 b 的 中点嘛，所以它一定也是 a、 c 的 中点。因为这个 a、 b、 c、 d， 它是一个正方形啊，大家应该能观察出来，在这个三角形怎么样？ c a、 e 当中， g 是 a c 的 中点， f 是 c、 e 的 中点，所以 g、 f 平行于什么？ a e？ 那 大家在证明线面平行的时候，我们要根据课本上的知识，我们不仅要说明，因为 g、 f 分 别为 a、 c、 e、 c 中点， 所以 g、 f 平行 a、 e， 我 还得把它的信息补充完全。要说什么呢？又因为 g、 f 不 属于 平面 a b e a e 呢？属于平面 a、 b e， 所以 g、 f 平行，平面 a b e， 也就是方法你要知道。但在证明具体的大题当中，答案过程一定要写完整，因为阅卷老师是按点踩分的，你的过程不够详尽，主体是对的，那扣分也是比较严重的。好，这个是题型二判定力， 那我们来看题型三线段平行的性质定力。我刚刚说了，性质定力就是怎么用，意思就是我知道线和面相互平行了，比如说我现在知道这个 l 跟这个阿尔法呢，是相互平行了，比如说我现在知道这个 l 呢， 再做一个平面，这平面把它称为 beta， 那 这个 beta 跟 alpha 相交了，此时呢有一条交线，这条交线是 m， 那 么这个 l 一定平行于它的交线 m， 这个就是它的性质定义，也就是看到线面平行，要想到过这条线做一个平面，跟已知的这个平面的一个交线是相互平行的。 好，那我们看题目是怎么出的呢？哦，有一个多面体 a， b， c， d， m， n， 现在四边形 a， b， c， d， a， d， m， n 均为矩形。好，然后还告诉我们 dm 呢，是垂直于底面， a， b， c， d 的 b， m 呢，是平行于这个平面。 nad 的。 好，我们把 nad 也表示出来。 好，现在让我们去证明的是这个 e 点是 ab 的 中点。好，那我们还是根据这个线面平行来入手，已经知道了咱们的 b m 平行于 ne 了。好，那我们怎么样去运用它的性质定律呢？这个时候我们来观察一下， 因为我们想证的是 e 是 ab 这条线的中点，然后 ab 和 mb 又构成了一个什么呀？三角形叫做 mb， 那 我们在 mb 当中看一下，我们连接一下 m， 我们观察一下 a， m， b 这个三角形，大家会发现什么呢？会发现我过 m b 做了一个平面 a m b 之后，这个 a m b 和已知的这个平面 ne d， 它的交线是哪里？好， 其中一个焦点一定是 e 点，对吧？因为 e 点，它既在 nad 上，也在这个 amb 上，它是 ab 上的一个点嘛，对吧？那另外一个焦点是不是就是 nd 和 am 的 焦点，也就是这个正方形的中点，我们设它为 o， 对 吧？所以呢，我们都知道这个作的平面和已知的平面的交线应该叫什么？ oe， 对 吧？好，那我们根据线面平行的性质定律，咱们的 mb 是 不是就应该是跟 oe 相互平行的，对吧？ 好，平行。找到了，在这样一个蓝色三角形里，因为 o 是 中点啊，所以根据中位线，如果两个线是相互平行的，其中一个是中点，另外一个必然 e 也是中点，所以这道题得正了，对吧？好，那我们来回顾一下这个问题，总结一下。好，还是要根据线面平行来判断。那也就是说 过 b m 做平面 a m b 设 a m 于 n d 交于点 o 啊，因为呢，咱们的四边形 a d m n 为矩形，所以它的对角线相交的这个 o 点是 am 的 中点。 好，那又因为什么？又因为 b m 是 平行于平面 n d e 的， 而且呢，这个所做的平面 a m b 和已知的这个平面 n d e， 它的交线 就是 o e， 所以 我们知道 o e 平行于 m b， 对 吧？那刚刚我们又知道了，又，因为 o 是 am 中点，所以咱们的 e 就是 什么 ab 中点？ 好，这个就是性质定律的证明。我们再来看最后一个题型，就是根据线段平行的性质，还是刚刚咱们那个定力来判断啊，线段比例或者点所在的位置关系，那我们来看这样一类题型，有一个正四棱台，那我们知道四棱台就是什么，一个四棱锥，然后平行于平面， 这样一个平面截下来了，我们把上面的小四棱锥给扔掉，下半部分就是一个四棱台，对不对？那正四棱锥意思是什么？底面是正方形，然后这个尖点就是原来的这个正四棱锥，它的那个尖点应该在什么？ 应该在这个正方形的正中心的上方，这个叫正四棱台。好，它现在说什么呢？上面的边长是下面边长的一半，然后经过点 c、 b、 e、 d， e 的 平面。好，那我们先把 c、 b、 e、 d e 的 平面给画出来， 也就是这样一个黄色的平面，它说什么呢？与咱们的这个 a a e 要交于点 m， 就是 所在的直线啊，交于点 m， 然后现在问咱们 a m 和 a a e 之间的比例关系，那首先咱们得画出来，对吧？你得知道这个平面跟 a a、 e 交在哪个地方？ 那怎么去看这个问题呢？上下又都是正方形，那这个时候我们想一下，它肯定是要在射线 a a e 的 延长线上相交的点是 m。 好， 那这个时候我们来看一下，我们把 a e 向上延长，那这个时候很多同学说我做不出来，这个平面跟它到底交在哪个地方？那这个时候我们不妨呢把这个平面怎么样？我们来找一条线，找一条线是什么线呢？就是咱们的 b、 e、 d e 的 中点， 我们找一个叫它 o， 那 我们现在呢把这个 c o 给它连上，然后延长 咱们这个 c o， 使得它交咱们的 a、 a e 与一点 m， 此时我们来看 a e m 和 a e 的 关系， 那很多同学说，你说这样相交是 m 就是 m 吗？我们不得证明一下，对吧？首先人家要在同一个平面上才可以，对不对？好，那么首先来看一下我们要找的这条线 c o， 很 明显这个 c o 应该是属于咱们平面 c、 b、 d 的， 为什么要强调这个？因为你最后找出来这个 m 点，不仅要在 a e 上，还得在咱们的 c、 b、 d 上，对吧？好，现在呢，这个 c o 很 明显属于这个平面 c、 b、 d， 因为 c 是 在的， o 是 在 b d 上的，那整个这条线 c o 当然是在这个平面上了，那也就是说这个 m 点呢？ 它又属于什么？又属于这个直线 c o。 好， 那你说这个 m 点做怎么样？属于这个平面 c、 b、 d， 对 不对？那我们此时找出来这个 m 点，它既在 a e 的 延长线上，又在这个平面上，那它当然是这个延长线 和这个平面的焦点，对不对？此时我们才能去证明。好，那接下来我们要证的就是什么？就是想找这个 a e m 和 a e 的 比例关系。好，我们来看，如果你想找比例关系，此时我们应该 回归到这个三角形当中，也就是这个蓝色的三角形 m a c。 为什么要在这个三角形里面？因为大家看啊，在 m a、 c 当中，咱们这个 a、 e、 o 很明显要怎么样平行于 ac？ 那 有同学说，为什么这是一个四棱台的这个性质， 因为它上下面是相互平行的，对吧？而且呢，这个 a e、 o 它也是上面这个面的 a c 对 角线上的线，然后这个 ac 呢，是下面这个底面的 ac， 也就是它也是对角线，那这两肯定是相互平行的关系，那平行我们就会得到怎么样相似啊？相似就会对应线段的比例，因为刚刚人家说了它这个什么 这个正四棱台的上面的边长是下面底边长的一半，那也就是说明说什么？说明这个 a e c e 比上咱们的 a c 也应该是一比二，那因为咱们的 a o 呢，是 a e c e 的 一半，所以就知道了 a e o 和 a c 之间的关系呢，应该是一比四，这是一比四的话，那又因为相似对应线段成比例，咱们的 a e m 比上 am 就是 一比四，那也就说明咱们的 am 比上剩下的那一半部分 a a 一 就应该是什么？就应该是四比三的关系。所以这道题的正确答案是 a。

已知三角形 a、 b、 c 边长为二的一个等边三角形， a、 b 为圆 m 的 一个直径，若点 p 为圆 m 上的一个动点，则 p a 向量乘以 p c 向量的曲值范围为多少？这道题的话， 嗯， p a 向量乘以 p b 向量，它是共起点的。所以说我们这道题的话，会优先考虑极化横的式，然后把图形画出来。图形的时候需要画的稍微准确一点点，因为，呃，先画一个圆心嘛。 ab， 它的中点是 m， 如果有圆规和直尺的话，可以用上初中的尺规作图，此时画出来特别标准。然后以 b 点， 嗯，为圆心， ab 的 长度为半径，画一段弧。以 a 为圆心， ab 的 长度为半径，再画一段弧，所以说有个焦点连接它，这个就是 ab 的 一个中垂线，所以说连接过后的话，这就是一个等边三角形。 那么你 p a 乘以 p c， 我 们随便画个 p 点， p a 向量乘以 p c 向量，那么刚好就等于 p n n 点的话，是我们取的 a c 的 中点。为什么要取中点？因为很简单，因为你的那个边长知道它的一半是知道的，它是等于一的， 这个长度等于一，这个长度也等于一。所以说 pa 向量乘以 pc 向量的话，就等于 p n 的 平方减去 a n 的 平方，而 a n 的 平方刚好是个常数。所以说你要求它的曲子范围就是求 p n 的 曲子范围。而 p 点是圆上的一个动点， 而 n 点是一个定点，所以说一个定点到一个动点的距离，那么这个时候就是一箭穿心。加半径和减半径 n m 的 长度去减半径一，或者是 n m 的 长度加半径一，而 n m n 点很特殊，刚好是在圆上的，因为直角三角形斜边上的中线刚好等于斜边的一半，所以说的话，你的那个中点刚好就在你的圆的上面。 那么这个时候的话，我们就得到你的 p n 的 话，它是属于你的零到二的。嗯， p n 的 平方就是零到四，那 p a 乘以 p a 向量乘以 p c 向量的话， 分别减掉一就等于负一和三，然后结束了。总结一下就是共起点和终点的问题，要想到即划横等式。

好，各位同学来看一下本周的优题，精选一道向量，一道立体几何题。先来看一下第一题，立一已知正三角形 a， b c 边长为一 点 d 满足 b， d 等于两倍的 d， c 好， 也就说点 d 是 靠近 c 的 三等分点。点 p 是 直线 a d 上的动点，同学们，这也关注一下。是直线 a d 上的动点，同学们，这也关注下，是直线，不是线段，它可以出去的 好向量 b a 在 b p 上的投影向量为这坨，则 m 的 垂直范围是多少？那这里有个概念叫投影向量。 好，先来回顾一下什么叫投影向量，比如说 a 向量。在 b 向量上的投影向量怎么表示呢？好，应该是 a 向量的模长 乘以它们角角的余弦值，再除以 b 的 模长，再乘一个 b 的 向量啊。当然，它还有另外一种表示，表示为 a 点乘 b 除以 b 向量的模长 乘以 b 向量啊，这两个都可以。好吧，那么我们本题的话是 b a 在 b p 上的投影向量，那么我们来也来表示一下啊。嗯， m 等一下，我直接先表示啊 b a 向量，模长再乘它们夹角于弦直角。本题是 a b p 好， 除一个 b p 的 模长，再乘一个 b p 啊 b b 向量，那这就是 b a 在 b b 上的同样的向量。那么根据本题对照一下，那么我们就可以看出啊， m 就 等于 b a 向量，再次乘以扩三角 a b p 好。 好，我们 b a， 它本题已经说了，等于一，所以它就等于扩三角 a b p 好，所以也就说 m 的 范围只要求角 a b p 的 范围就可以了。那大家来看一下，当你点 p， 在 运动过程中点 p 落在 a 的 时候，这个角是最小，那么这个角最小的话， 这个扩散值就最大， m 就 达到最大啊，也就是说 p 落在 a 的 时候，那么扩散值最大，也就说 m 的 最大值 就等于一，那就扩散零。好，下面来看一下，那么这个角度什么时候最大，那么对应的扩散值就它会最小呢？我们看一下， 那么肯定是钝角的情况下，刚才是考虑的锐角啊，那什么时候是钝角呢？我们看一下它点 p 是 可以滑出去的。好，我们延长一下。 好，同学们观察一下啊。点 b 在 滑动时候往上好，这两个线呢，也是呈锐角， 那么往下的话，你看一下，慢慢的变大好，会有一个钝角产生，好继续往下滑。那么滑到什么情况下这个角会最大呢？同学们想一下，应该不断地往下滑，它不断地在增大， 直到这个点 p 滑到什么无穷远处的时候，这时候你会发现这个 b p 这条线近似于跟我的 a d， 这条线是平行的啊，近似平行，但达不到，但无限接近啊，我们可以这么理解，所以过点 p， 过点 b， 做一条平行线 好，那么这个绿色的角就是直线，但取不到啊，同学们，那同学们竟然是两边平行，所以上面的角 sit 跟它是有关系的。此刻我们的 m 的 最小值 就得扩散角，应该是派减 c 啊，所以等于负扩散 c， 那 么这个 c 的 话，同学们在三角形 a b， d 当中去解三角形，就可以把它给求解出来 啊，这个应该是不难的，这里我们就不展开去取计算了，算出来的话，它等于负七分之二，根号七好， cosine， 它等于七分之二根号七，那我的 m 值应该是它相反数。好，同学们这里注意一下啊，这个最小值是取不到的， 最大值是一取得到。好，这就是我们对立一的一个讲解，同学们自己做好笔记。 好，下面来看一下。例二，好，一道立体几何体，选自高三的强极联盟。如图，在四轮锥 q e f g h 当中，底面是边长为二根号二的正方体，正方形我们看一下。 然后呢， q e q f q g h 等于四，那它的侧能长等于四 m 为它的中点过 e m 的 结面，将人椎四人椎分成上下两部分，上下两部分的体积分别是 v 一 和 v 二。问，你这个比值的最小是多少？ 好，大家来看一下。那么这个面在滑动过程中，它始终是经过 e m 这条线的 啊，那么我这边的话标出了两个点，一个是 a 点，一个是 b 点，那 a 点是该结面与 q h 的 交点， b 点是与 q f 的 交点。那大家来看一下。当点 a 锁定的时候， 点 b 他 也是确定的啊，他们两个之间是锁定的关系，但这个锁定的关系是怎么去描述呢？我们看一下啊，同学们，像这个四边形的对边啊， e a 和 b m 啊，它们两个的话就是从位置上来看的话，没有平行的啊，它不像一个结面去结正方体表面，对吧？相对的两个面留下的痕迹是什么？是平行的，但这里不是，所以它的难点在于如何去啊，去把这个现象固定的 a b 相互 锁住的这种现象给用代数式给表示出来。好，我们来看一下。那么，呃，在运动过程中， e m 这条线是固定的，那么这条线的话，在我们的 q e g 这个面当中，所以我们从这里开始研究啊，那么这个面的话，我把这个 e g 连起来， 好，它应该是个虚线 好点， q 的 话，作为一个一个关键的点，那它既出现在 q e 句这个面当中，又出现在 q h f 当中，那这两个面的话，有条交线，刚好是一条什么过点 q 做底面的垂线 好，然后呢，与底面交于 o 点啊，这个 o 点的话，一定也是 e 句和我们的 h f 的 交点啊，这个没问题，那同学们来看一下。先来研究 q q e 距这个面好，这个面的话，它是个等腰，然后呢， e m 是 个中线， q 距的中线，而 o q 也是中线，所以它们这中间的一个焦点一定是重心，我标为 c， 对 吧？ 我们这标注一下三角形，就是 c 为三角形， q e 距重心 好，那么通过两条中线得到这个重心。大家来看一下， q e g 和 q h f 这两侧是不是一样的， 这两个图形是一样的啊，只是不同的视角而已，所以这个三角形这个点 c 在 另外一个三角形 q h f 当中也扮演的是重心的角色 啊，这两者是一样的好，大家来看一下。这时候的话，我们再切换到 q h f 这个面当中。哎， a c b 是 贡献的 好，这三者是贡献的，所以同学们，这三者贡献的话， c 点是固定的， a b c 贡献。我们有什么方法可以去调节它们的一个向量法啊，特别好用啊。我们把 这个视角呢换到 q h f 当中，你也可以在旁边画它的什么一个平面图，好，我们看一下。设向量 q a 等于 l n q h q b 等于 m u q f， 向量里面三点共线啊，它有系数的什么对应关系，对吧？好，来看一下， q c 好， q c q b， q a， 它们就有这个系数关系。好，来看，先 q c， 因为在我们的因为 c 是 什么？ c 是 一个重心，所以它等于三分之一的括号 q h 加上 q f， 好，没问题。然后呢，根据我上面设的这个系数，把它给转换一下啊， q h， 把这个扔的给除过去，等于三扔的分之一，然后 q a 加上三 m 分 之一 q b， 是 吧？ 好，同学们观察一下，因为 c a b 共线，所以推出了这两个系数和必然为一，对吧。只扔 的分子一，没有分子一等于三。好，那么先放着下面的话，我们要算这个题记了上下两部分题记分别是 v 一 和 v 二。好，大家看一下上方部分的体积，我呢先给它拆成两部分，第一部分 v q 杠 e m b 好，那么这个部分体积的同学们，它跟 q 杠 e f g 去比较相对一下，因为点 m 是 q g 的 中点啊，然后呢，点 b， 它又就它又有这个 mu 的 关系式，所以它等于二分之一，乘一个 mu， 再乘一个 v 好，经过化简来，同学们再观察一下，这个体积是不是占了整个体积的一半呀，所以转化之后等于四分之零 v 总好，同理， v q 杠 e m a 啊，这个三轮锥等于四分之零的 v 总， 好，那么我们的 v 一 啊，就是把上面的两小部分全部加在一起，等于这两者相加， 刚好是两个系数都一样。四分之一好，这是 v 总，那同学们， v 总，那不就是上下两块体积之和吗？好，那么 这两者的关系就找到了，这里含有 b 和必要。好，你要求比值，我先把它给展开来， 经过化简之后，它应该等于四扔的减去。哎，写错了，四减扔的减去。没有 v 等于 number 加上 mu。 v 二，好，那么 v 二除以一个 v 一 等于四除以一个 mu 加 mu 减一。 好，大家来看一下啊，那他尽管问我的是 v 除以 v 二，但是我这边为什么写 v 二除以 v 一 呢？因为这里会直接出现一个 mu 加 mu， 对 吧？如果你倒过来的话，那可能分子分母的话，还得稍微处理一下。好， 当然都可以。好了，那么这个比值我们是要求它的最大值就可以了，那它要最大，只需要底下扔加没有最小即可。好，前面有这个倒数和，那么求它的求它的最值，那就可以用什么？基本不能是或者角，或者全方和不能是都可以 啊，试一下。三，等于。 好了，那么大于等于大于等于一方，一方一加一的平方。 好，这里可以推出 let me。 好， 大于等于三分之四，所以 v 二 v 就 会小于等于四，除以三分之四减一 等于二，那么我们的 v 一 除以 v 二，就会大等于二分之一。啊。好，所以答案应该选择 a 选项。好，同学们自己再消化一下啊，做好笔记。

力矩几何是高中数学的重要板块之一，今天我们挑战一个视频，讲清楚力矩几何当中垂直的所有题型。我们从线面面垂直证明问题，讲到了用几何法去求线面角，再讲到用几何法去求面面角，学完这个视频，帮你扫清力矩几 何垂直的所有题型盲点。我们来看题型一，线面面面垂直的证明问题。在讲这个题目之前，我们先来复习一下线面面垂直的判定定力和性质定力，其实也非常简单， 我们知道判定力呢，就是说怎么去证明，那我们现在看已知一条直线 l 和 r 法，我们怎么去证明这个 l 和 alpha 是 相互垂直的呢？非常简单，我们在 alpha 这个平面内啊，找两条相交直线 m 和 n， 如果我们能证明 l 垂直 m 且 l 垂直 n， 那 么就可以证明 l 垂直 alpha。 好，那我们来看它的性质定义。性质定义就是说已经知道这个 l 垂直于 alpha 了，我们怎么去用它好？首先 l 垂直于 alpha 了， l 就 垂直于怎么样 alpha 呢？任意一条直线， 并且呢，如果有另外一条直线 ml 和 m 呢，是相互平行的，那么这条直线 m 它也垂直于 alpha， 这是它的性质定义。 接下来我们来看一看面面垂直的判定定律。怎么去证明 alpha 和 beta 这两面相互垂直？非常简单，在咱们 alpha 里面找一条线 m， 如果我能证明 m 垂直于 beta， 那 么 alpha 就 垂直于 beta。 我 们来看最后一个性质定律，已经知道 alpha 和 beta 相互垂直了，怎么去用呢？我们假设 alpha 和 beta 的 交线为 l， 那 在其中一个平面 alpha 内，我找到一条线 m， 如果 m 是 垂直于这个交斜 l 的， 那么我们就可以推出这个 m 是 垂直背他的，这个是他的性质定律。好， 那复习完这四大定律之后，我们接下来来看题型。一，这个问题，他现在说呢，有一个正三个柱，大家理解正三个柱是什么？就底面是正三角形，并且它的棱呢，是垂直于底面的。我们来看他说 d 为 ab 的 中点，然后 a、 e 等于 ab 等于四， b， e 等于三倍的 e b， 那也就是说咱这个 e 应该是一个四的分点呗。好，现在问题问的是让我们去证明 a、 d 垂直平面 c、 d、 e， 也就是这条黄色的线要垂直于蓝色的这个平面，那接下来我们来看一下，如果要想证明一条线垂直一个面，那必然在这个面内要找两条直线来跟这个 a、 d 相垂直，对吧？ 好，那找哪两条线呢？我们一般首选肯定是这个平面所在的这个三条边，对吧？那三条边我们应该选哪两条边呢？一定是怎么样跟 a、 d 相关的？你看这个 c、 e， 它跟咱们的 aed 应该是一个什么平面直线不太好正垂直，但是 aed 和 d、 e 还有咱们的 d、 c， 它都是有公共点的，这样更方便去正垂直，对吧？所以呢，我们初步的想法就是去证明这个 aed 垂直于 c、 d， 再证一个 aed 垂直于 d、 e， 如果这两都能挣出来，那么线面垂直的任务就完成了，对吧？这是初步的思路。那我们接下来来看第一个，如果我要证明 a、 e、 d 垂直于 c、 d， 这应该怎么去挣呢？大家可以发现 a、 e、 d， c、 d 它怎么样在同一个平面 a， e、 d， c 当中，对吧？那在 a、 e、 d、 c 当中，如果我想证明两条线段垂直，直接用勾股定律就好了， 所以呢，接下来我们来标一标它的长度， a、 d 的 长度， a、 d 的 长度，你要想这个 a、 d 呢是二， a， e 呢是四，又因为它是一个什么正三柱啊？刚刚我已经讲它的性质了，那也就是说咱们这个 a、 d 应该是二倍根和五。 好，那我们看 c、 d 底面是一个正三角形嘛，所以这个 c、 d 的 长应该是二倍根号三，我们接下来看 a， e， c， a， e， c 是 不是就在这个 a， a， c， c 一 这个正方形里面，对吧？它应该是四倍根号二。那么接下来要证明的话，我们就看一下，看一下发现二倍根号五的平方加上二倍根号三的平方， 就等于四倍根号二的平方，对吧？那接下来我们就证明了 a、 d 垂直于 c、 d 了，那我们来看第二个 a、 d 要垂直于 d， e， a， d 要垂直于 d、 e， 大家观察一下它就在什么？就在左边这个侧面 a、 b， b， e， a， e 上，对不对？还是它用勾股定律 a、 d 已经知道了，咱这个 d、 e， 第一，它可以在这个 d、 b、 e 这个直角三角形里面，它应该是多少？这是二，这是一，那 d， e 应该是根号五。接下来我们看一下 a， e， a， e 可以 在什么 a， e， b， e， e 这个直角三角形当中，也就是四、三，就应该是五。好，那我们要想证明它相互垂直，还是用勾股定律 二倍根号五的平方加上根号五的平方，发现刚好是五的平方，那第二个线线垂直，我也证出来了，那接下来 a、 e、 d 垂直平面 c、 d、 e 就 得证了，那具体的过程和步骤我就不详细赘述了，主要给大家讲清楚咱们证明的几题思路。我们来看第二题。第二题呢，是在一个正四楞柱 a、 b、 c、 d 杠 a、 b、 e、 c、 e、 d、 e 中，那正四楞柱很明显意思就说底面是正方形，然后它的四条棱长应该垂直于底面，对吧？好， 现在呢，题家当中告诉我们一条线段垂直的讯息，也就是 a、 c 垂直于 b、 e。 我 图中画的这两条绿色的线段相互垂直， 现在呢，他的第二问让我们去证明平面 a、 e、 c、 d 垂直于平面 b、 d、 e。 为了方便大家去看，我已经提前标出来了，就是这个黄色的平面呢，垂直于这个蓝色的所在的平面。那我们根据刚刚复习的内容，我们要证明两个面相互垂直，应该怎么证啊？在其中一个面找一条线，对吧？证明这条线垂直于另外一个面就好了， 因为体验条件当中，它已经有 b、 e 垂直 a、 e、 c 了。那么我们要么去证明 b、 e 垂直蓝色的这个平面，要么去证明 a、 e、 c 垂直黄色的这个平面，那此时我们就看看哪个更方便嘛，对吧？如果是我选的话，我会选 a、 e、 c 垂直黄色这个平面。好，那要想去证明面面垂直， 第一个我要去证明 a、 e、 c 垂直于平面 b、 d、 e。 那 为了完成这个线面垂直，我们刚刚已经知道了 a、 e、 c 它是垂直于 b、 e 的， 我只要再找一条直线是不就行了？我们来看一下 a、 e、 c 除了垂直于 b、 e 还垂直于什么呢？不知道大家能不能很快的观察出来 a e c 呢？ 应该垂直 b d 的， 那有少部分同学肯定会觉得这两条直线怎么相互垂直，应该怎么去正呢？那这里呢，我要给大家普及一下一个知识，就是大家常见的射影定律，或者叫三垂直定律。 好，所谓的摄影定律叫做什么呢？也就是说，如果一条直线它在一个平面内啊，它的投影跟这个平面内的一条直线相互垂直，那么它本身就和这条直线相互垂直。好，我们看我画的这个图啊，大家看一下，这个 o a 是 这个平面外的一条直线嘛？那这个 o a 它在这个平面上投影就是 o a 撇，我们做了一个垂直。好， 那现在呢，如果我们知道这个 o a 撇和直线 m 是 相互垂直的，就一定能得到它的本身 o a 是 和直线 m 相互垂直的，那这个我们来证明一下，其实非常简单啊，首先呢，因为 a a 撇是垂直于这个平面阿尔法的， 所以这个 a a 撇就垂直于这条直线 m， 那 我们观察一下 m 呢，不仅垂直于 a a 撇， m 还垂直于 o a 撇，那么 m 就 垂直于平面 o a a 撇，对不对？好，那么我们就得到什么 m 垂直 o a。 好， 已经证明了。回归到这道题上来说，我们来看一下如何去看出来这个 a e c 是 垂直 b d 的 呢？我们看一看 a e c 投到底面的影子应该是什么？是不是应该是 a c 啊？ 那 a c 垂直于 b d 吗？当然垂直了，它是正方形的两条对角线，肯定相垂直。好，我的影子垂直于 b d， 我 的本身当然垂直于 b d 了，对吧？好，那么我这个条件是不是就证出来了？根据设计定律得到的，对不对？那大家要注意一个点啊，你在正规的考试当中去写这道题的时候， 我们是规定这个设计定律不能直接去使用的，大家还要把我刚刚的这个证明过程简单的摆上，这样的话整个过程才算完整，不扣分的。好，那现在我知道了， a e、 c 垂直于 b e， a， e c 垂直于 b d， 那 a e c 就 垂直平面 b d e 了，对吧？然后 a、 e、 c 呢，又属于这个平面 a e、 c、 d， 那 两个面相互垂直就得正了。 好，那我们来看题型二，用几何法去求线面角。那在讲这个题型之前，带大家去复习一下这个知识点，想求一条线和一个面的夹角，不怎么去做这个线面角非常的简单，比如说现在有一个平面 r 法， 有一条直线 l， 我 们现在要找到 l 跟 r 的 夹角，非常简单，就干嘛呢？在 l 上 找到任意点 b， 我 们过 b 呢，做这个平面的投影， b 撇好，连接一下 ab 撇，那么这个 b a b 撇就是线面夹角。好，那我们回到这道题上来说，题目说这个高 po 啊，为四正四楞锥，那我要给大家说一下，正四楞锥什么呢？就是顶面是正方形， 然后它上面的这个尖点呢，一定要是在这个正方形中心的正上方就可以了。我们现在知道 po 呢是四 ab 的 程度呢，是二。 好，那因为底面是个正方形嘛，所以它四角边都是二点 h 呢为 p c 上的一个动点，则当三角形 h、 b、 d 面积最小的时候，问咱们线面的夹角，那我们先看前半段，现场证明这个三角形 h、 b、 d 的 面积最小。 那我们先来观察一下三角形 h、 b、 d 的 面积如何去表示。首先呢，我们能够知道它应该怎么去表示 s， 三角形 h b d 啊，应该等于二分之一的 b d 乘以 o h， 那 b d 的 长度又不变，其实就是看咱们的什么 o h 什么时候最小，对不对？好，那这个时候有朋友说，你怎么知道它就是以 b d 做底的时候， o h 是 它的高啊，我不知道大家能不能看得出来啊？这个 d h 和 b h 怎么样？ 这两条线应该是相等的，我们根据什么呀？根据这个正弦锥的特征，我们观察出来它们相等之后，那所谓的 o h， 它不就三线合一了吗？所以它就垂直于咱们的 b d 了。好，那么我们就来找一找咱们这个 o h 啊什么时候取得最小值， 我们先找这个 h 呢到底面的投影，那大家想一下，因为咱们这个 pc 它在底面的投影应该就在 o c 上来会滑动，所以呢，我们假设在图中这个 h 的 位置 往这个底面做垂线，那就应该是什么做到 o c 上的一点 e 处了，那也就是说现在呢，我们知道 h e 呢是垂直于 o c， 并且呢它也垂直于这个底面。那根据刚刚我们的特征，我们来找一下咱们这个什么 o h， 它的值什么时候最小？ 好，那么我们要看 o h 的 值最小的话，可以用一个勾股定律，也就是咱们的 o h 呢，它应该等于根号下 o e 的 平方加上 he 的 平方，那我们来设一下假设，当 h 呢？在图中 pc 的 位置的时候，咱们这个 e c 的 长度为 x， 我 们来看一看咱们这个 o h 的 长度怎么用 x 来表示？那么首先根据相似来找到它们每条边的长度， 设，咱们的 c e 的 长度呢？等于 x， 那 因为三角形 c h e 相似于咱们的三角形 c p o 好，那么我们就知道什么，知道咱们的 h e 比上 ec 就 应该等于 po 比上 oc， 也就是四比上根号二，那么我们设的 ec 为 x， 那 大家想一下，咱们这个 h e 就 应该是多少二倍根号二 x 对 不对？ 好，那接下来我们要表示的这个 o h 就 出来了， o e 的 长度就应该等于什么根号二？减 x 和 y 的 平方好， h e h e 是 二倍根号二，括号 y 的 平方，那也就是 八 x 方，那么我们要找到 o h 的 最小值，然后再来看什么 o h 平面 a、 b、 c、 d 所成的夹角，那咱们这样一找，是不是刚好就把它的夹角找出来了？它夹角是哪个？ 是不是就是这个 h o e 啊？对吧？因为我们是过 h 点做顶面的垂线嘛，那这样就找到了线面的夹角。好，那首先还是来求一下，看看 x 取什么值的时候，咱们的 o h 呢？应该是九 x 方，减去二倍根二， x 加二好，什么时候取最小呢？当前仅当 x 等于九分之根号二的时候取最小。好，那我们把它带进去，看看它最后的 o h 取得的值是多少， 那也就取三分之四，这个是 o h 的 最小值。好， o h 的 最小值出来了，我们刚刚说它要证明的是它的余弦值，也就是 cosine c， 它那咱们这个 cosine c， 它就等于什么 o e 比上 o h 的 长度呢？是三分之四，我们来看看 o e 的 长度。 o e 的 长度不知道，但是呢，我们知道 c e 的 长度就是 x x 取九分之根号二。好，那 o e 的 长度是不是就应该是根号二？减去九分之根号二，也就是九分之八倍的根号二， 那么最后求出来应该是三分之二倍根号二。我们来看最后一个题型，题型三，用几何法去求面面角。那在讲这个之前呢，我们还是要来复习一下面面角的做法，其实也非常简单， 如果有两个面，一个平面是 alpha， 一个平面是 beta， 它们的交界呢是 l， 那 么我们要找到面面之间的夹角呢？是过这个 l 在 两个平面内呀，同时做 l 的 垂线，比如说在 l 上找一点 o， 我 做了一个 o a 垂直于 l， 还做了一个 o b 垂直 l， 那 么这个角 a o b， 它就应该是这两个平面的夹角。好，那接下来我们来看一下这道题，他说呢， pa 和 pb 母线相垂直，然后 pa 和 pb 呢，长度是二，告诉我们直线 pa 于底面的夹角， 那我们根据刚刚的线面角的做法，很明显可以得到 p a o 夹角是三十度。然后呢，现在要我们去求这个二面角 p 杠 ab 杠 o 的 大小，其实就是找什么 abp 与 abo 两个平面的夹角，那我们看一下 abp 和 abo， 它的交线呢，应该是 ab， 那 么我们就要过这两个平面，分别做这个 ab 的 垂线，对吧？那么在 ab 上要找一点，找哪一点呢？我们肯定是要找它的中点， 找到一个中点 d， 为什么要这样找呢？因为咱们这个 p、 a、 b 怎么样？ p、 a、 b 是 一个等腰三角形啊，如果它是一个等腰三角形的话，根据三线合一，很容易在这个平面 p、 a、 b 当中做出来，咱们的 p、 d 应该垂直于咱们的交线 ab， 好，那这个就做出来了，我们接下来来看底面 a、 b、 o， 底面这个 a、 b、 o。 我 们要过这个地点做垂线，其实也非常简单，因为很明显底面是一个圆嘛， o、 a 和 o、 b 是 相等的，都是半径，那也就是说我这个 o、 d 一 连 是不是也是三线合一啊？ o、 d 也是垂直 a、 b 的， 所以呢，这个二面角，它的平面角其实就是什么角 p d、 o， 那 么我们也就只需要看一下 p、 d、 o 的 大小就行了，而且这还是一个什么直角三角形好，那么我们来看一看它的长度关系，因为它说这个 a、 p、 b 是 直角，所以呢，咱们这个 a、 b 的 长度啊，应该是二。好，那我们根据这个 a、 b 的 长度呢，应该是一， 那我们再来观察一下 o 的 长度， o 的 长度呢，我们需要在这个 o、 a、 b 这个等腰三角形里面去看，然后 o、 a 的 长度呢，又是根号三， o、 b 的 长度呢，也是根号三。那我们就找一下这个 o、 d 的 长度，很明显在 r、 t 三角形 o、 d、 a 当中，很明显可以得到咱们这个 o、 d 的 长呢，也是一，所以啊，它这个夹角怎么样？应该是四十五度。

立地几何一点都不难，题型非常固定，第一位永远就是平行或垂直，第二位永远就是一个夹角问题。但是立地几何为什么拿不到满分？原因就是里边有一些难的点。像这种结面问题，往往处在选择或填空题的最后一题 作为一个压轴题存在。既然郑老师利用三分的时间带同学们理解一下结面问题该如何去考察。像这种结面问题的话，往往使用的一个方法就是扩展平面。你要像这个题，三角形 a m n， m n 是 这两个边的中点， 在这个正方体中，把这个三角形 a m n 扩出去，然后研究出它的结面。有些同学说这个 a m n 所在的结面不就是 a m n 这个三角形吗？ 其实不是，为啥呢？因为 ama 在 整个这个几何体里边，它画的并不完整，我们需要把这个三角形 ama 往外进行扩展，扩展到与六个侧面，或者六个侧面中的其中几个面有交线。哎，把那些交线都找出来，那所以结面问题的话，一定会牵扯到一个知识点，就是扩展平面问题。 那如何把这个 amn 这个三角形进行一个扩展或延展呢？方法的话，我们常见的就这两个方法。第一种方法的话就是做平行线，我们根据平行线的性质，平行线一定可以确定唯一的平面，所以我们只要过 a 点做 bc 的 平行线，这样做出来。 过 c 点做 ab 的 平行线，这样做一下。过 b 点做 ac 的 平行线，这样做一下。朋友们，看我现在画出来这个大三角形， 是不是就比刚才这个小三角形 abc 更大一些，所以你这个面大了之后扩出去的面大了之后，你和外边哈他的一个延长线，或者说他的交线是不是就出来了和其他面的交线。 所以把三角形 abc 扩展的第一个方法就是过顶点做另一组边的平行线，根据平行线性质，所以他们这些所有的点一定是在一个面里的，这些面还是一个 r 法啊，这是第一种方法， 那第二种方法的话就是什么呢？延长直线找焦点，我们想要把这个面进行延展，哎，我们可以把相应的边进行延展，哎，把 a c 往两边延一延， 那延出来一个，比如说 a 一 延出来一个 c 一， 然后呢，你把该连的连一连，就出来一个大的三角形，这个三角形变大了之后，是不是和其他面可能就会有交线了？那所以第二种方法是延长直线找焦点，而且这个焦点往往是其他一条线的一个延长线上的一个点。 我们结合这个题目，我们看一下这个题的一个做法，这个题的话，我们拿到题之后常见的方法哈，常见的方法是方法二就是做延长线，因为能做平行线的，往往这个题都比较简单，所以这个地方延长谁呢？我们看这三条边，一定记住延长 m a 延长谁呢？这个线一定要在其中的一个面上的这样的线去延长它，不要去延长，延长 am 和 an， 因为 am 和 an 在 这个立方体里边，它是在空中穿过的一条线，像这样的话，你延长直线找焦点，它往往是没有焦点的， 但是 m a 不 一样， m a 这个两点形成的这个线的话，在底面 a， e， b， e， c， e， d， e 中，所以把 m a 进行延长的话，同学们想哈，因为 m a 是 在底面上的，在底面上的，所以它延长过来之后，一定和 a e， d， e 它的延长线是相交的。 你说这地方假设出来一个 p e， 它一定是相交的，因为这两条线，这两条线都在底面上，它们都在底面上，所以这地方肯定会有一个交点。 而且这个焦点的话，同学们仔细观察，他除了在这个 m a 上，他还在 a 一 d 上，换句话说，这个 p e 呢，还在后边那个侧面上，而这个 a 点呢，是不是也在后边那个侧面上？所以导致你把 a 点和这个 p e 点把它连起来， 哎，把它连起来，把它连起来之后， a 和 p e 这两个，这个线是不是在后边那个侧面上的？而 d， e， d 是 不是也是在后边那个侧面上的？所以这个点其中就是一个焦点 啊，这个点就是其中一个焦点，这样的话，这个三角形哈，同学们仔细看哈， a， m p 这个三角形看到没有？是不是相当于把刚才 a， m a 那 个三角形进行往外扩了一部分，就是用的这样一个思想，那这样哈，把它给连起来， 把它连起来，哎，这样的话，右半部分我们的结交线就已经出来了，哎，就这么一个形状的，有没有看出来这么一个形状啊？好，那继续把 m 往左这边去延伸，同样的道理，他延过来之后，是不是应该和 a 一 b 一 的延长线会有一条交点？这个点记住啊， 片吧。哎，这个地方，那这个线的话，同学们仔细观察哈，这个点是不是在底面上的啊？他不平行，必然会相交，就一点，这个点在 a 一 b 的 延长线上，那肯定这个点是在左边这个侧面上的，而这个 a 呢，是不是也在左边这个侧面上，所以把它给连起来， 哎，是不是就可以了？这样的话，这条线和左边侧面上的 b b 一 这个点，这地方是不是有一个线，有个焦点 f 啊？这样的话就出来了，把它连起来好了，同学们，仔细观察，我现在画出来一个什么呢？本来是 a， 本来是 amn， 本来是 a m a， 把 a m n 括出来之后形成的那个三角形，就是这个三角形，就是 a p 一 p 二这个大三角形。我们仔细观察一下哈，那这个大三角形和整个立方体啊，整个正方体和长方体， 大三角形和这个长方体和正方体，它的交线的话，交面结面是不是就已经出来了？就是这个 a f m n、 e 啊？ 那这样的话，得到这个面之后，这样的话，如果说他让你求周长，或者求这个洁面的一个面积的话，那怎么去求呢？我们只要把每个长度是不是研究出来就可以了， 而这个每个长度怎么去研究？同学们，记住，主要问题是要考虑 e 点、 f 点，这几个点是几种分点，那想要求这个 e 是 几种分点，往往我们使用的方法是什么呢？需要摘取一些平面，比如说我们想要研究 e 是 几种分点，我们就得知道这个长度是多长 啊？这个长度是多长，那想要研究这是多长的话，我们把底面这个 a 一 b 一 c 一 d 一 啊，把它给摘出来。所以像这种题啊，往往还会用到一个摘取平面进行一个计算的问题哈，啊，这是 m， 这是 n， 那 所以它沿过来之后，同学们看哈，这个 p 一 点应该在什么位置？假设是个正方体，边长是二，那这样哈，这是二 啊，这个长度是不是一啊？这是一，那这样的话，这个长度应该是多少？你仔细看，这地方是不是有一个什么八字形的一个什么相似或者是全等啊？因为这两边是相等的，所以这条有个八字形的一个什么全等，那全等，这是一，这是不就一啊？ 所以这样的话，我们就找到了第一点，第一点，这个地方哈，这是一，这是二。然后仔细同学们再看这个三角形，看到没有？这个三角形， 看到没有？这个三角形和四个小三角形是不是应该是相似的？那相似比是几比几啊？这是一，这是三，所以相似比，是不是一份比三份，一份比三份，所以这个长度是二的话，这个长度是不是应该是三分之二？所以你们看啊，这个长度并不是一个终点三分之二，根据 这个长度，这个长度，利用勾股这个理，求这个边长，没问题吧？啊，这样的话，就可以把这个长度求出来了。同样道理，像这个长度呀，这个长度啊，或者 f 点是极陡分点。同学们不妨分析一下左边这个侧面，以及分析一下这个 p 二这个点的位置哈， 这个 p 二点的位置，通过 p 二点以及左边这个侧面研究出来，他是一个极陡分点。哎，这样就行了， 这是这一类问题的一个解决办法，所以同学们哈，学会了做洁面之后，有时候我们还会有时候犯一些什么的经验主义错误，或者是想当然那些错误。 比如说像这个一点，哎，做完之后有种对称性感觉，怎么感觉怎么感觉这个一点就是个终点，实际上这个一点是一个什么？是个三个分点， 但是下次这个点有可能就变成一个终点了，因为这个 m n 不 见得就是终点，他说 m n 可能是三等分点之类的。所以像这种问题，洁面问题一定要牵扯到立体几何的摘取平面。

大家好，今天我们看一道有关于点到平面的距离怎么求法，一共有目前接触的有三种，第一种定义法，就我这么讲呢，就直接做他的垂线找摄影是不是？ 那第二种就是等体积法，那今天对于这道题呢，我们可以用等体积法讲一下，还有一个就是平面法，大家可以下去了解一下，直接过一个平面外一点呢，做一个平面的垂线，然后构造一个直角三角形，对吧？来求它的距离，对吧？ 好，我们看一下这个题，点在四棱锥 p a， b， c， d 中， p a 垂直于整个平面， 然后呢，下面是 a， b， c 与 t 型。哦，这画的我画了一点问题，画了个 t 型，然后画了一个什么平行？ a， d 垂直， a， d 平行于 b， c， c， d 垂直于 b， c， 对 吧？ a， d 等于二啊， a， d 等于 a， d 等于 a， d 等于等于二，然后呢， a， b 等于 b， c 等于 b， c 等于三。 m 为 a 的 中点，我们可以得到是这是一，这是一，对不对？ 然后 n 为 p， c 上一点， p c 等于三个 p n， p c 等于三个 p n， 也就说它是 p， n 比这个 n， c 是 一比二，对不对？是一比二。那么第一问呢，求的是 m n 证明 m n 和这个面平行， 这图画的有点问题啊，那么一般这种题，对于第一问来说，你要做直线和平面平行，你要就找 一个这个线和这个平面那条线平行，那么这个直线在平面外，那么另外一条直线是在平面这个平面内，所以这条线和这个面平行，或者你可以构造，比如说对这个题来说，他应该是你要在这里面找一个， 找一个线，对吧？找一个线和这个 m n m 平行，那么首先通过 m n 构造一个平面，对不对？那么一般这个题应该 是啊，大家谁去自下自做一下啊？这个应该是过 n 点做 p b 的 平行，呃，做什么？ 过 n 点做 b c 的 平行线对不对？然后连接这个点和 m 点构成，构造一个平行形，对不对？只要能证明这个点，这直线和 a m 是 平行线相等，那么 n m 就 和 这个线是不是就平行啊？是不是？然后就挣出来，是不是得用大家自己去算做一下啊，好，看一下这个 m 到平面偏的距离，这怎么行呢？好，看一下 m 到 p a n 的 距离，大家看一下，你看 p n 呢？现在是只知道它是 p n， 比上一个 pc 呢，是一比三，然后呢 a n 我 们也不知道对不对？那么对于这种题呢，大家要注意一下转换思维啊， 我们说 m 到 pin 的 距离，是不是？那么你看一下 pin， 我 不知道就可以转化为 m 到 pin c 的 距离，为啥？因为 pin 是 不是在 pin c 这个面内？ 所以 m 到 pin 的 距离是不是就等于 m 到 pin c 的 距离？ 是不是？为啥这群呢？因为在这里面我们知道 a c， 知道 p a， 知道是不是？然后呢？ a p c 是 不是也能算出来，是不是啊？也能算出来， 那我们可以设这个高度为 h， 对 不对？比如说我们做一个，做一个高度，大概做一个高度对不对？然后这就 h， 也就说这个转换思维就是 什么，呃，以 m 为顶点的什么？呃？三能锥的体积就是 m p a c 的 体积， 因为这个高能算出来，对不对？这个也能算出来，对不对？这个人数也能算这个？呃，直接把这个面积算出来， p h 知道是吧？可以算出面积高，我们可设 h。 好， 然后我们看一下这个，再以哪个为定点呢？我们看一下 p a c， 这是 a m 知道， a m 知道，然后 a m 知道， ac 也知道，是吧？ ac 也知道，然后它是直线三角形，这是终点。哦，这个也知道是吧？是不是？所以我们可以转化为以 p 为顶点，因为 p 也知道转化为 p 顶，以 p 为顶点的 a m， c 是不是？那么看一下这个题，咋算呢？就是三分之一底面积，底面积是 p a， c 三角形面积对不对？乘上一个高，我们乘以 h， 等于以 p 为零点的 a， m， c 的 体积， 然后我们看下，就是三分之一 s 三角形， a， m， c 乘上一个高 p a 是 不是 好，三分之三分消掉是吧？ p a c 的 面积，因为 p a 和整个面垂直，所以 p a 是 和 a c 垂直，所以它是不是三分之三消掉？我直接写了，就二分之一的 p a， p a 乘以谁啊？ p a 乘了一个 a c， 再乘以 h， 对 吗？ 这面斜角就是 a m c a m c， 这是直角，是吧？ a m c， 这是直角，然后呢，这个三角形它的高是不是 c d？ 也就是说二分之一 c d 乘以 a m， 再乘以撇啊，撇，撇小点数啊。对啊，就等于上一个 a c， h 就 等于算多少？呃，二分二分四零啊，等于 c d 乘上 a m m， 然后呢？ a c 多少呢？这是三，这是一，这是二二的平方，也就是二，这个是二的平方，加多少？这刚才算多少？算的是根号八，是不是二倍根号二对不对？然后它是 a， c 就是八，就等于一个四十二二倍根号三，是吧？啊？是二倍根号三。 a c 等于二倍根号三。 h 啊？ c， d 多少呢？ c， d 等于。啊，刚才二倍根号二，然后 a、 m 呢？是是它的一半是一，对吧？所以我们 h 等于多少二？还是现在就是根号二除以根号三就等于三分之根号六？ 哎，小朋友合理放就出来了。嗯，大家一定要注意啊，同级技法用的特别多，直接。嗯。

立体几何作为高中数学里头与其他板块知识点明显格格不入的部分，也许各位亲爱的同学的学校的老师会平静的和你说一声，多动脑，多思考。显然这是一句正确的废话。 所以今天咱们借助八个非常经典的立体模型，同时从这本大家熟悉的不能再熟悉，题目质量可以充分放心的高考必刷题中精选四个专题，十分钟时间一并搞定立体几何中的核心计算内容。 当然嘞，任何计算的前提一定得是看得懂几何体是个啥子样子。首先是这样一个正方体，咱们观察一下它的三 d 立体构造，转动、转动再转动， 但是在试卷上只呈现骨架结构，简单对比一下，不难的发现，哎，这红色的虚线是什么玩意？哦，原来是肉眼无法直接看见，但是真实存在的透视虚线。 接着的一个几何体叫做圆锥，相信屏幕前的你并不陌生，那么大家不妨思考一下，红蓝两条线谁更虚呀？显然是藏在圆锥屁股后边的红线。 当然，立方体和圆锥的理解难度并不算大，我们看一下必刷题的固机提升部分，也就是偏基础的，这本套装非常齐全，翻开来从目录中找到我们研究的立体几何专题， 你看，能住、能追，轮胎几乎每一次考试都跑不脱，就比如这个，能追，他可是结结实实有五条侧能在身上的。那么大家边观察边思考， a、 b、 c、 d 五个选项，哪一个是它正确的试卷平面上的画法呀？显然是这个 b 最外沿的黄色一圈， 咱们眼睛一定能看到，一定是实线，边缘一定没有虚线。那这条红色的又是咋回事嘞？ 哦，他是几何体面向我们靠近我们的这一边，可以直接看见的棱也用实线，而除此之外，一定都是透视虚线。并且无论什么时候，这样的结论他是一定成立的。咱们回到书中， 视线左移看，这个棱柱，确实也是长得不是那么美观。五条侧棱五棱柱， 好的， a、 b、 c、 d， 你 认为哪个是对的呀？聪明的你一定想到了操作方法是一模一样的，黄色边缘 b 为实线，肉眼可以直接看见。 而这三条红色的棱呢？在几何体表面靠近我们的这一边，肉眼可以直接看见，剩下的红色虚线就必须要通过透视权线了。 好的，接下来这个会稍微复杂一点，主要是能的条数会稍微多一点。好的，差不多时间请做出选择。这是一道思考题， 基础的讲义部分没啥问题了，我们就可以用对应的练习册来加以巩固。需要注意顺序是固基部分偏基础项的。 简单来说，分成了六十个小专题，写一页就能够掌握一个小型的知识点。在咱们基础题身上的效率方面，性价比是非常高的。翻开看到里头的体积计算 条件，暂不细看，咱们先在脑海中建立三 d 感知，看看这个镶嵌在正方体框架里边的三棱锥是个什么情况，然后再来求体积。 呃，既然要求体积，先得把公式摆上来，任何能追的体积公式都是三分之一底层高，但是这个底面却没有唯一的答案。 你说 b f、 c 一 可以当底面， b 一 c 一， 那也可以， b f 一 貌似也不错。 f 一 c 一 好像还可以。 那究竟哪个好嘞？首先呀，咱们肯定希望他不难算，那怎么才算不难算嘞？ 哦，就是好算，这个 bfc 一 他就挺好算的。为啥嘞？因为呀，他直接干净利索的贴在正方体前表面上了。这里大家注意观察蓝色与紫色平面， 如果突然告诉你这俩平面中间可以直接用等号连接，你是否同意嘞？ 这个的确是对的，它就好像两条直线只要重合就是同一条直线，两个平面只要重合就是同一个平面。咱们看到的蓝色紫色好像面积形状大小都不相同， 为啥呢？像这一切都只是因为我们在画图的时候截取了同一个平面的不同区域，相当于选择性表达，都不是把完整的平面给画了出来。平面本身的面积是无穷大的，就好像我们常说的直线无限长。 好的，回到题目中来，这个紫色三角底边平面面积非常好，求二分之一底乘高，底一高二全知道。 哎，那这个高 h 嘞，也就是能追顶点 e 到这个紫色平面的距离后表面的 e 到前表面的距离 等于零，长等于二，底面和高。都晓得了这一题选择第二项 b， 就 这会看来，好像是刷了几道题目，但是嘞，这套组建绝对不只是单纯的给大家刷题用的， 你看，固机部分给咱们配套了专门的视频课程，七十一节视频精讲，相当于每个不懂的知识点直接送一节网课。而且书中的六百八十四道题主题精讲， 想看视频讲解，但是又懒得问人的，想保持效率，扫个码就完事了。那么用完了固基部分，我们就可以拿对点上分，简单来说就是拔高部分，这个组合键翻开来找到对应的强化辨识， 还是要求这样一个正方体框架中嵌入的棱锥的体积，大致观察一下它的构造， 其中 e 是 棱中点， o 是 底面中心。求黄色棱锥体积。别的先不管，求体积就得摆公式。接着进入选底面环节， 一号、二号、三号、四号，哪个底面不难算呀？ 都不好算，但也都差不多，那都半斤八两。我们就进一步考虑哪一个底面他对应的高更好算，而且高和底一定是线面垂直的吧。 所以这会咱们就认真想一想，能不能在黄色棱锥里边找出一个线面垂直来， 垂直在哪里嘞？思考一下，哎，你看正方体的这个对角，蓝色结面，他是一个矩形，标注好个别数据，然后请重点盯住他。 我发现呀，这个对角矩形面彻底铺平之后，两条黄色线段的紫色夹角好像有点蹊跷，原来呀，他就是九十度角，这个原因不知道你晓不晓得？ 好的，还是盯住他，慢慢放回正方体的对角面位置。根据紫色的九十度符号，两条红线之间是相互垂直的。 但是嘞，我需要的高和底面线面垂直，得有两组线线垂直来加以证明。 a、 d、 e o 和 e o 是 一组， d、 e o 和 c o 会不会是另一组嘞？咱把洁面补全一下。 这个蓝色的洁面三角形，每一条边都是正方体的对角线，所以这是个等边三角形， 中间的红线， d、 e、 o 垂直，底边 c a 也就垂直， c o， 红色、绿色也相互垂直了。 现在就晓得了，红线 d e o 同时垂直于蓝色的 e o 和 c o， e o， c o 都是平面 ceo 中的线段，两条线还互不平行。 当然我们最好不要这样写，只要不平行就一定会有交点，我们写上 e o 交 c o 等于 o， 就 可以完美且标准的代替 e o 和 co 互相不平行这一串花了。 得出红线垂直蓝色底面，那么对于这个黄色三棱锥，红线做高蓝面当底。最后带回公式，三分之一底乘高选择 a 选项， 这本对点上分色，它也是同样的道理。全面配套视频讲解，不会说好像更难更拔高，就敷衍了事，只给一个文字讲解，这个并不会的视频是一节不会少的。 咱们还可以拿出这个巧学速记小本本，这里边就是给大家整理的答题技巧和奇思妙想了。 模块速记这里推荐大家在考前进行快速补充。再就是这个小册子的后半部分，全是重要技巧。比如咱们看这样一道题， 他给到一个四面体， s a， b， c 是 一个棱长都一样的正四面体， 说 e 和 f 分 别是 s、 c 和 ab 的 棱中点，求 e， f 和 s a 的 线线夹角。嘶，这两个， 首先它是一个正四面体，说明很正。其次，既然是求棱和棱的夹角，咱们看正四面体有六条棱，正六，想到啥了不？ 没错，正六面体，这里请认真观察。直接给正四面体塞进这个正六面体中， 凭啥嘞？哦，正四面体的每一条棱，他都是正六面体的每一个面的对角线。 没错，再以后，看到麻烦的正四面体，直接给他塞在正方体框架里边就没得问题了。这时候再看红黄两线的夹角，聪明的你会做了不？ e、 f 分 别是上下底面的对角线交点，所以数值的红线 e、 f 就 平行于任何一条数值的蓝色棱， 比如 st。 现在红蓝互相平行，红线和黄线的夹角就是蓝线和黄线的夹角，显然前边是一个等腰直角三角形 c， 它等于四十五度。 这个就是小册子里边的补习法，能够放在这个小本子里边的技巧还是相当有含金量的。 哎，这还一个小本子，一目了然。核心干货，整个高中三年的核心知识点，它分成十三个大章节，严格按照教科书来的，不管是以前学了容易忘记的三角函数，还是咱才学完但是结论一堆一堆的复述， 再包括我们这会正在学习的立体几何，以及咱以后会碰到的结论重灾区圆锥曲线， 这些浓缩的知识点，说实话太重要了。在视频的最后还是老样子，我们从巧学速记里边取同专题的第二个题目，大家可以思考一下。

嗨，宝子们，今天我们来做一道立体几何里面的一些动点问题，还有锥子问题啊，这道题大家来看呢，嗯，它是在一个正方体里面啊，然后能长为二，然后嗯， q， 它是这个的中点啊，动点 p 在 这个侧面上运动，然后满足 b p 等于 lamba 的 b， c 和 lamba 等于零到一， lamba 等于零到一，然后再把香料里面的一些字放到这里面来了。第一问，当 lamba 和 lamba 的 二分之一的时候，求这个的嗯，四面体 q， 嗯， p b， c 的 体积。那么对于第一问来说的话呢，我们 啊很容易可以知道，因为你的 number 等于 u 等于二分之一的话，那我们的这个 p 就 应该是在 b b， c 上，对吧？呃，对不对啊？所以呢， p 是 这个线段 充电啊，那么我们这个，嗯，体积，这个 v q p b c， 它就等于嗯，三分之一的 s 三角形 p b， c， 对 吧？乘以一个 h h 这个高的话，那么高起来是 q 点这个到这个 p b， c 的 这个距离， q 点到这个面 p e， c 的 距离，对吧？那这个距离的话呢，实际上就是 h， 它就应该是等于我们写的分析过程啊，步骤大家自己去写啊。那么这个 h 就是 等于我们的这个啊， 它这一点到这个对面面的距离相就是这个轮长 h 就是 等于二的，所以这个就等于三分之一啊，乘以一个，乘以一个，这个二分之一的 b， c 是 二， 嗯，再乘以这个高，高是一，再乘以 h， h 是 等于二的，所以等于三分之二。那第一问的话还是比较简单的好，第二问，里面他说是否存在一个点 p 啊，使得这个 p q 它平行这个平面叫 b e a d e 这个三角啊，三角形，这个面 要 p q 平行这个面，那么如果存在的话呢，我们要求出它的这个长度最小是不成，说明理由。那现在我需要找这样的一个把点 b 点 p， 在 这个侧面上找到合适点，让这个 p q 平行这个面，那这里涉及到这个线面平行啊，线面平行，其实我们就有两种思路，第一个我要得到这个线面平行，我就一个是在这个面上找一根线跟 p q 平行， 找根线跟它平行，如果我找到一个面平行的时候，那么另外一个面上任意一条线就跟这个面平行的， 那我们稍微看一下这个图形，我们稍作思考，我们会发现什么呢？发现的话，我实际上是比较容易做出，因为这个 p 点只要在这面就可以了， q 点是定的，我过这个 q 的 话，我在这面找点，很容易做出这个 a、 b、 e 的 平行平面的。为什么这么说？因为 q 点是中点，我只要取怎么样呢？取这个 b、 b、 e 的 中点，假设这个中点是 r， 把这个连起来。 好，那么我们可以知道在这个 d b、 b、 d 上，我的这个 q r 是 平行这个的，所以我的这个 q r 就 平行这个三角面。好。那么接下来的话呢，我要做出一个平行这个面的，那我还要再做一个线，而 a、 d、 e 它是平行 b、 c、 e 的， 对吧？平行 b c、 e， 所以 我只需要再找这个的终点，假设是 s， 我 们连接 q， 连接 s r， 那 么 s r 是 平行于 b、 c、 e 的 这条线呢？而 b c 又平行 a、 d、 e 又平行于 a、 d、 e 的。 好，我们把这个思路啊写一下啊，我们得到 s、 r 是 平行于 a、 d、 e 的， 好，我们把这个 q、 r 它是平行 b、 d 的， 所以我们可以推出，怎么样呢？我们的这个 q、 r 是 平行于这个平面 a、 b、 d 的 啊，过程大家自己去完善啊。然后我们的 s、 r 它是平行于这个 a、 d 的， 对吧？那也一样的，可以推出 s、 r 是 平行平面 a、 b、 d 的， 所以我们有这个啊，联合起来可以推导出我们的平面 s、 q、 r 是 平行平面 a、 b、 d 的， 也是在这里的话，我们这个面，这个面画出来这个面它是平行于这个三角面的，那么我们的这个 q 点，它在这个在这个侧面上，那么 q 点它所存在的位置就应该在 sr 上，那么 q 点在 sr 任意一个地方，对吧？ q 点在这上面任意一个地方，那么我们的这个 这个 p 点呢？ p 点在在这个任意上， p 点说错了，然后这个 q、 p 是 一定是平行这个平面，因为两个平面平行的话，那我一个平面上任意一条线，对吧？任意一条线，那么我们的这个 p、 q， 它平行平面 a、 b、 d， 那 p 点是什么呀？ p 点 p 在 哪个上面？在 s、 r 上，对吧？ p 点就在 s、 r 上了。好，接下来的话，那么对 s、 r， 像他接下来说，我们 p 点是存在的，对吧？存在 p 点，嗯，存在了，好，帮他求出 pr 长度的最小值，这个时候在做立体几何的时候，把这个平面呢？我们可以放出来，对吧？我们把这个平面放出来看一下啊，这个是 q， 这个是我们的 r， 这是 s， 那 我们 p 点在这上面运动，那么他说是求 p q 的 长度，最小的 p q 长度，那就应该是过 q 点了，往这里做垂线，那么这个地方 p 点就应该是最小的。好，我们来研究一下长度。首先这个 q r， 这个 q r 的， 它是等于 b d 的， 等于 b d， 所以 它就等于根号二。 s r s r， 它就等于二分之一的 b 是 一的，所以它就等于根号二。那么这个 q s 怎么做呢？ q s， 你 相当把这里连起来，然后你先算出 d s， 对 吧？这个地方是二，这个地方是一，那么这个地方是根号五，根号五的话，这个地方是一，然后所以勾股，所以它是根号六 啊，你会发现呢？这是根号六，根号二，这个地方是二倍，根号二，我们发现这个角就是直角的，满足勾股数，所以的话，我们的这个啊，当 p 在 哪里？当 p 就 在这个 s 点的时候，在 s， 嗯时，我们的 p q， 它是最小的，最小，对吧？它的最小是等于多少呢？就是我们的这个根号六， 这是第二个第二个题啊，我们把它分析一下，找到了这个啊，动点的这个 p， 它的存在，存在的它的轨迹，像它的轨迹就是这这个线段上的，它的轨迹是在这个 sr 的 这个线段上。好，接下来第三问。第三问说，若这个 number 加 m 等于一啊， number 加 m 等于一，这是我们向量里面的，对吧？那么这个 b p， 它等于这个 b c 加这个 b b， 它的在前面相加，等于，说明什么呢？说明三点共线，对吧？所以的话，我们的 p 点在哪里啊？哎，我们的 p 在 线段 c b 上，对吧？ p 就 在这个线段 c p 上好，也就是 p 在 这个 c b 这个线段上，好，接下来他说求 a p 加 p q 啊， a p 加 p q 的 这样的一个啊最小值，那么相当于在这里的话，我们大家可以看到这个， 我们把这个看起来，这 a b c 是 一个平面， q b e c 也是另外一个平面，然后这样的两个平面上呢，找到一个 p 点，对吧？在这个上面找一个 p 点，然后使得距离最小，那么这是一个这个折叠问题，对不对啊？这是一个折叠展开图问题，所以我们把在这里我们把这个 a b c 和这个 q b c 进行展开，我们去画一个图，嗯， 这个地方是 a， 这个地方是这个 c， 然后这个是 b 一， 这个就是中间的这根线，对吧？ b c p 就 在这上面活动，然后这个是 q 这两面，那么我们要求在这上面这个 p 点 a p 加 p q 最小呢？也就是当它这个地方，是吧？呈直线的时候展开，呈直线的时候那么是最小的，也就是我们将这两个面将平面 a c b 一 a c b 于平面这个 q b c 展开啊，展开展开的话，接下来我们来看一下啊，然后我们要求这个最小值，就是 a q 嘛 a q 的 最小值，那么来看一下已经知道的信息，在这里的话，我们的 q b 一 啊，在这里 q b 一 这个长度我们之前是有求过的， 是等于怎么样呢啊？是等于这个三的，这个是等于三啊，然后还有 q c q c 的 话啊， q c 我 们也是可以求的这个 q c 啊，借助下面的这个直角三角形 q c 我 们是等于根号五的， 然后然后这个 b 一 b 一 c， b 一 c 啊， b c， 那 么很容易得到，它是等于二倍的根号二的。好，接下来我们知道这三边，然后我们要求这个 a q， 这个时候我们的思路啊，大家就要就要开阔一点，因为我们在这里使用这个平面的几何的这样一个问题，像我要求 a q， 那 么我们将这个解三角形的方法放到这里，那么我们在三角形 q， b， e， c 中啊， 我们有可算角 q b， e， c 啊，我们通过这个余弦定律啊， 加比一 c 的 平方减 q， c 的 平方除以二比一 q 乘以一比一 c， 等于我们把它算出来是等于二分之根号二的，所以我们可以推出我们的角 q b， e c 啊， q b c， 这个角是等于四分之派的 四分之派，然后呢这个角是四分之派，而我们的这个 a c， 我 们的 a c， b e 啊， a c， b e， 在 这个里面我们可以很容易知道他们这个三边全部是面的对角线，所以呢，它是一个等边三角形啊，画个圆圈笔啊，没墨了， a b、 c 为等边三角形， 等边三角形，所以的话我们的角 a， b、 e、 q， 它就是等于四分之派，三分之派，对吧？加三分派有这个角我们知道 最小知道我要求 a q 的 话，然后这个边也知道，那我们就这个 ab 也知道，对吧？ ab 一 我们也是知道的，它叫做二嘛，对吧？所以的话我们需要用个余弦定律就可以知道，那么当然我们这个扩散扩散角 a， b， e， q 啊，等于四分之，这个是这个七十五的话，那么是四分之根号减六啊，这个大家可以学记的，然后在 三角形 a b e q 里面我们用余弦定零，对吧？余弦定零我们就可以求出 a q a q 的 平方是等于 b e q 方加 b e a 方减二啊，把余弦定写圆 b e a 再乘以口上 角 a b e q， 对 吧？嗯，所以我们可以得到它是等于十一加六倍的平方三，这样去算一下啊，所以我们的这个 a q 就是 等于根号下十一加六倍的平方三，这个就是它就是等于这个 a p 加 p q， 它的这个最小是什么？ 那这个这个第三位呢？啊，结合了这一个我们的解三角形，对吧？解三角形的这工艺，这道题的话综合性还是比较强的，好，懂了吗宝子们？

哈喽同学们，立体几何不用愁，题型套路全知透，巧筹以盼的计算问题来啦，这个视频我们要学习的是空间中的角度问题，融合平行垂直关系是立体几何综合题的核心考点， 不管是利用传统几何法还是空间向量法，都是高考的高频考点。当然观看视频肯定不够披星的，我为大家准备了配套练习后专题，一个视频带你理清如何利用传统几何法解角度。 接下来让我们开始吧。哈喽同学们，我们来讲一下如何利用几何法去求立体几何当中的角度问题。那在这里呢，首先要知道我们常见的有哪些，常见的，比如说像一面直线所呈角线面角还有二面角，那我们逐一来看一下。首先先来看一面直线所呈角， 那我们说涉及到这种角度问题啊，首先你要先确定它对应的这个取值范围，比如说一面直线所乘角，我们对应的取值范围呢，应该是零到二分之八就零到九十度，但是这里有一个点要去注意，就是它的开 b 区间，我们是怎么去取的？那如果是一面直线所乘角，一定要注意，这里我们是左开右 b， 那 如果说是这个两直线所乘角，那这个时候我们对应的都是 b 区间，为什么这里会有一个区别？这个就涉及到我们一面直线的一个概念， 意面直线的概念，我们说是要满足，既不平行也不相交，所以你会发现啊，我们意面直线不能满足平行，但是如果说你两条意面直线加角为零，那这个时候也就意味着这两条直线是平行的，所以他才是开区间啊，这个地方稍微注意一下，注意一个区分啊就可以了。 那接下来我们来讲一下，一面直线锁成角怎么去求。我们说一面直线锁成角，利用几何法的话，主要就是平移平移至它们两条线在同一个平面上，只不过说我们一般来做的时候，可能大部分情况下都平移至它们相交即可啊，所以这个时候我们一面直线 锁成角，它对应求的方法就是平移至相交，那接下来平移至相交，我们只需要去把 这个两个直线所在的这个三角形啊，在这个三角形当中，我们去解三角形，对应的去解这个角就可以了，可以是利用正弦定米啊，余弦定米啊，都可以把各个边线段给它解出来。好，这是我们一面直线所乘角，然后接下来呢我们再来看线面所乘角， 也就是我们对应的角线面角线面角的话呢，也是一样，要知道它的一个取值范围，它同样也是零到二分之派，但这个时候它就是同时取 b 区间就可以了。因为我们说直线和平面所成角如果是零的话，代表什么呢？直线在平面内，那如果是二分之派，代表直线和平面垂直， 那这个时候我们对应的线面角一定不可能是这个钝角啊，稍微注意一下就可以了。那我们线面角怎么去计算呢？比如说我们现在这里有一个 平面 alpha， 然后呢有一条线，比如说这个是 p， 这个是 a 啊，我们从线上找两个点，那此时我们要算 p a 和底面 alpha 所形成的夹角，那我们说定义法是什么呢？定义就是你过直线上一个点，向平面做垂直过，比如说过 p 做一个垂直下来，垂直为 o 连接 a o， 那 这个时候我们所对应的线面角就是角 p a o 啊，所以这个是我们算线面角的一个办法。那这但是这个方法会有一个限制，就是我们必须是不是得 知道这个三角形 p a o 的 一些条件，比如说你要知道线段长，我才能去算这个加角，对吧？所以这呢就会涉及到我们必须需要去知道 p o 或者 a o 之间的任意一个，然后我们才能去直接去解，那如果说我两个都解不出来，也就是说我这个时候垂足的位置不确定怎么办？那这个地方又涉及到我们之我们在之后距离里面会讲的一个方法，叫利用等体积法去求点到面的距离。 等体积法是一个什么意思？这个我们先简单来说一下，等体积法呢？是我们往往在三轮锥当中啊会用到的一个呃，方法，就是利用三轮锥当中的这个顶点轮换去解点到面的距离。比如说我们现在这里有一个三轮锥， 还是 p 杠 a b c， 那 我们正常来讲，我们说对于三棱锥而言，底面是一个三角形，而你发现它所有的侧面，包括底面都是三角形，那也就意味着我以哪一个面为底面是不是都可以，对吧？也就意味着它顶点也是可以去做轮换的。所以这个时候我想比如说算 a 到面 p b c 的 距离， 我就可以看成是以 a 为顶点， p b c 为底面的三轮锥，它同时这个体积我也可以看成是以 p 为顶点，以底面 a、 b、 c 为底面的一个三。呃，这个三轮锥两个方法，我可以把三轮锥的体积解出来，那这个时候 所有的是所有的这个呃值，你解出来之后，唯一的变量只有 a 到 p、 b、 c 的 距离是不确定的。其也就是说以 a 为顶点的时候，这个对应的高啊 确定，那你一个方程一定是能把高解出来的，所以这也就涉及到啊，这么一个区别，能确定垂足，直接解三角形即可。如果不确定垂足，那我们可以利用等体积法去求线段长度。好，然后接下来最后一个二面角。 二面角的话呢，这个时候也是一样啊，要注意它的一个取值范围， c 塔对应的应该是零到派的 b 区间，那会想为什么二面角的时候，我们想过它的定义，它并不是两个平面所成角， 两平面所成角和它是有区别的啊，两平面所成角它对应的范围就应该是零到二分之派了。 加角这个时候是零到二分之派。为什么会有这么一个区别？是因为二面角我们给的定义是什么？它是两个半平面 所形成的夹角，什么叫做半平面？就是我们正常来讲，面应该是无限延伸的，对不对？但是呢，我们在这里算二面角的时候，我这个面不无限延伸，我只到这个交线为止。比如说像这里，我正常来讲，面应该继续往下，然后呢，这边还有一个面， 它也可以往左往右，但是对二面角而言，到交线为止，到这就没有了啊，所以这个地方稍微去注意一下概念上的一个区分。好，然后接下来我们来讲一下怎么去算这个二面角。那我们说二面角它对应的定义法是在两平面内分别去做交线的垂线，比如说这是 a 面，这是 beta 面， 在两平面内分别去做交线垂线。一个是比如说这个是 a o， 然后呢？这个这边呢是 b 能满足 a o 垂直于交线 l， 然后 b o 垂直于交线 l， 那 这个时候我们就可以说角 a o b 就是 我们要求的二面角，所以第一个方法是做两垂直， 但是做两垂直这个时候我们要尽量去保证看呃满足它的这个垂足是重合的， 如果说你的垂足不重合怎么办？那就转换成了，我可以去呃，相当于算是两个一面直线所成角，所以这个时候若垂足不重合，则去平移，平移至它们重合即可。 好，这个是我们第一个方法做两垂直。那除此之外，我除了做两垂直，我还可以怎么做呢？假如说有一个面内，我就是这个垂直，我就是不好确定，或者说我线段长就是不好解，那我们也有一个办法，你可以去做为单独的一个垂直，也就是我在这个面阿法内找一个垂直 a o， 那 这个时候我就可以给等价去看成变成了 a o 这条线和底面 b 所形成的夹角。所以还有一个方法是只做一个垂直去转换成线面角的问题。 好，这也是一个处理思路啊。好，然后接下来我们对应的呢，还有就是涉及到我们的这个呃三，呃这个三垂线定理的一个应用。三垂线， 这个主主要主的是指，主要指的是什么意思呢？就是假如说我现在这里有一个面，然后呢，我现在过这个面上的任意一个点，向底面阿尔法，呃，向底面贝塔去做一个垂直，假如说这是 p， 我 做一个垂直下来垂足为 o， 那 这个时候我再过 o 向交线做一个垂直 a 点，那么角 p a o 就 一定会是我的二面角，那这个根据是什么原因？这个地方其实会涉及到一个证明，我简单来说一下，就是我们刚才说满足的条件是 p o 垂直于贝塔，然后呢，满足 o a 垂直于交线 l， 那我们现在要去证明的是吗？因为我们说二面角定义应该是在两平面内分别垂直于交线，所以我们接下来要证的应该是 pa 是 垂直于 l 的， 那怎么去证？根据 po 垂直于 beta 面，所以我可以得到 po 垂直于 beta 面上任意一条直线，也就是 po 是 垂直于 oa 的， 同时 oa 又垂直于 l， 所以 我 l 和这个 po 又是有交点的，对吧？ l 和这个，呃，等一下， po 是 垂直于 oa 的 po， 是 啊，对，没问题啊，这个时候我们得到啊，这个时候我们要去给它看成是 p o 垂直于 l 会比较好看啊，给它转换成 l， 好， 那这个时候你就会发现 l 是 不是同时垂直于 o p 也垂直于 o a， 而这两条直线有交点 o 点，所以我就可以转换成 l 是 垂直于面 p o a 的， 那这个时候我们就可以去转换成可以先面垂直性质定理，我就可以得到 l 呢，是垂直于 pa 的， l 垂直于 pa 呢，我就可以满足在两平面内分别有两条垂线垂足于交线，那这两条垂线的夹角就是二面角啊，所以这也是这个性质啊，我们计算方法简单来说一下， 那接下来我们来具体看例题，比如说我们来看一下这个第一道例题，第一道例题是说在一个四轮锥当中，底面为平行边形，没有给图，那这时候我们往往要自己画图哈，然后角 d a、 b 为三分之派，然后给了一些线段比例，好，我们来画一下。 首先呢，这个地方有一个 p d 垂直于底面，所以我们可以先垂呃，先确定 p d 这一点，假如说是 d 点，然后呢，又已知了 p d 是 呃 ab 的 二分之一，所以我们的 ab 和这个 dc 可以 画长一点啊，然后这边是相等，你给它连一下， 就是我们在画图的时候尽量的去保证一点，这个比例看起来比较合理一点啊， 那比如说这个是 a， 这是 b， 这是 c， 好， 然后呢，脚踢 a、 b， 这也是三分之派，然后又已知了线段的比例，线段比例的话，那这里因为是一道小题，所以我们就可以不妨令它分别是一和二，所以我们标一下啊，比如说我们令 p d 等于一， 等于 a， d 等于一，然后呢，这个时候 a、 b 和 c、 d 就 应该是都等于二啊。好，然后接下来我们来看选项，首先 a 选项 p a 垂直于 b、 d， 像这里的话呢，我们可以从验证的角度，或者说你可以从证明的角度都可以，那比如说像这里，如果说我们从验证的角度就是如果 p a 垂直于 b、 d， 那 会发生什么对不对？那你就想 p a 是 垂直于 b、 d 的， 结合提干的条件， p d 垂直于底面，也就线面垂直，其实我们还能再推一个线线垂直，我同样是不是也可以推出来 b、 p、 d 是 垂直于 b、 d 的？ 那如果说这样都要满足，就 a 选项要成立的话，那这两个式子同时发生，我就可以推出来一个条件，就是这个时候我 b、 d 一定会垂直于面 p a、 d， 因为这也是小题，所以我没有严谨的去写这个证明的步骤啊啊，那 b、 d 如果垂直于 p a、 d 又要满足什么呢？这个时候你就会发现，哎，他要满足 b、 d 必须是垂直于 a、 d 的， 那接下来我只需要去变成验证 b、 d 是 不是垂直 a、 d， 我是 不就能确定我这个整个链路上是不是都成立？如果我正出来它确实是垂直，这个链路就是对的，那如果说证明出来它不垂直，那这个链路上的每一项应该都是错的。 所以这个地方我们接下来就验证 b、 d 和 a、 d 是 否垂直，那我怎么去验证呢？我给它放到底面中去解就可以了。比如说像这我们连接 b、 d， 已知这个角是三分之派，又已知两边一和二，那我是不是可以利用弦定力去把第三边解出来？ 或者说像这里，因为他这个边长包括角都比较特别，你会发现，哎，我这边有两倍关系，其中还有个六十度角，如果有九十度，那我就知道另一个角是不一定是三十度，所以你也可以从验证的角度去看，那这个时候如果这个地方是六十度，这个地方是三十度， 那这个时候发现，哎，这边好像确实是垂直的，对吧？正好符合这个关系啊。所以这个时候我们验证出来， b、 d 呢，确实是垂直于 a、 d 的， 所以这个时候呢，确定 b、 d 的 长度是刚好三啊。那这个时候我知道 最终符合这个条件成立，那你往后往前去推，所有的链路应该都是正确，所以 a 选项是正确的。再来看 b 选项 p b 与底面 a、 b、 c、 d 所成角，那这个就涉及到我们说线面角的一个计算方法， 我们说线面角，根据定义法是从直线上找一个点去做底面的一个垂直，然后接下来我们对应的就转换成这个 p a 这条直啊， p b 这条直线与底面我们做出来的那个投影，这两个线之间所形成的夹角。 好，那来看我们过 p 点向底面做垂直，你会发现，哎，这个垂直其实就是 p d， 对 吧？因为题目说了吗， p、 d 是 垂直于底面的，所以这个时候我们对应的这个线面角，其实就是我们的角 p b、 d。 那接下来解角 p b、 d 怎么解呢？那我们就可以给它放到一个三角形当中，对吧？我们可以放到三角形 p b、 d 的。 呃， p b、 d 当中，由于 p d 垂直于底面，所以我能确定 p d 垂直于 b、 d， 所以 它是一个直角三角形啊。在 r、 t 三角形 p b、 d 中， 那长度都是已知的，这是一，这是根号三，这是二，对吧？这都是我们标过的啊，不对，这个二标的是 b、 c、 d 啊，但 p b 你 用勾股定律也是能算的，对吧？那这个时候你对你的角 p b、 d 自然而然也就可以解了，它解出来呢，确实是六分之派啊，所以 b 选项正确。 再来看 c 选项， e 面直线 ab 与 pc 所形成的这个夹角的余弦值，那我们说 e 面直线所成角，我们要怎么做？平移，对吧？平移至相交啊，所以这个地方呢，我们可以去 把这两条线平移到同一个平面内，或者说平移是相交，那我们平移谁比较好呢？那显然你会发现，由于底面是一个平行四边形，所以我肯定是平移平行四边形更好，所以这个时候我们可以把 ab 平移至 cd 的 位置， 所以这个时候我们对应的 p c 与 ab 所形成夹角，就变成了 cd 与 p c 所形成的夹角。那我想算它们俩夹角，我就可以怎么办？我可以放到三角形 p d， c 当中，那也是一样的， p d 垂直于底面，所以 p d 垂直于 c d， 那 这个三角形它也是一个直角三角形。在 r t 三角形 p c， d 当中，已知的线段有 p d 等于一， 然后呢， c d 等于二，所以斜边我也能算，对吧？那这个时候斜边我们解出来的话，应该是 p c 等于根号五，那你接下来要算这个余弦，自然也就可以算了。所以 cosine 角 p c， d 啊，就应该等于二，比上根号五，所以解出来应该是五分之二倍根号五，所以 c 选项错误。再来看 d 选项， d 选项，这二面角呢，相对来说计算会比较复杂，这个其实用空间向量会更简单，放在这里用几何法的话呢，这个推导的步骤可能会比较麻烦，但是 我们这一次稍微讲一下思路，就是我们说二面角用定义法做，应该是在两平面内分别做交线的垂线，对不对？那这里的话，它对应的两平面应该分别是 p a b 和 p b、 c 这两个面， 那我们只需要分别去过 a、 c 两点去做 pp 的 垂足，而垂线，那这个时候你可能解出来，万一垂足不重合， 如果不重合呢？这个时候我们就把其中一个线段去做一个平移，平移之后再解三角形就可以了。那这里呢，我们简单讲一下思路，因为这个计算量可能比较大，这里呢，我把这个步骤提前写下来了，然后呢，你可以自己先尝试去做一下，然后来核对一下，看这个步骤啊是否正确。 好，然后接下来我们再来看第二道例题。第二道例题呢，相对来讲会比较简单一点，因为它这个图是正方体，比较规整，而且给了图唯一可能稍微麻烦一点，就涉及到这个动点问题，但是每个问题我们一样可以来分析。 首先来看正方体棱长为一，然后 e 呢，是这个棱 c、 d 上对应的点。首先 a 选项三轮锥 a 一 杠 ab 一 e 的 这个体积为定值。好，那首先就要回忆一下我们说三轮锥的体积怎么去进行计算，我们说三轮锥的体积公式应该是三分之一底面积再乘以高，对吧？那你会发现啊，如果说这个我们按照以 a 一 为这个顶点的话， 一点一直在运动，所以我会发现 a、 b， e、 e 这个三角形面积在变，同时 a 到这个面的距离是不是也在变？两个变量我并不能确定，对吧？那这里考什么呢？这也就考到涉及到三轮锥，你要注一定要记住一个点，它是可以轮换顶点，轮换顶点也就涉及到等体积， 所以看似让我们去算 a 一 杠 a b e 的 这个体积，我实际上可以去给它转换。转换成什么呢？转换成以 e 为顶点，为什么以 e 为顶点？因为以 e 为顶点，这个时候你的底面是谁？是 a a， 呃，这个 a a 一 b 一， 对吧？那这个时候我能保证它的底面是一个固定的三角形，也就是相当于我把其中一个量定下来了，唯一的变量只是点到面的距离啊，所以这个地方我们去给它转换，转换成 v e 杠 a e a b 一。 那这个时候我可以确定的是 a 一 a b 一， 这个底面积是定值，那接下来我只需要去验证一点到这个面的距离是不是为定值就可以了，那这个我们会发现它显示一个定值，为什么呢？是因为这个时候我能确定 c d 是 平行于面， a a 一 b 一 b 的， 这个的话你可以直接去根据这个呃线面平行的判定定领角去正因为 c、 d 是 平行于 a b e 嘛啊？所以线面平行，线面平行，它就会涉及到一个结论，线上的任意一个点到面上的距离均相等，所以这里我可以确定 点到面的距离为定值，顶面面积也是定值，所以这个三棱锥的体积一定是一个定值，所以这个地方涉及到一个转换，所以 a 选项正确。再来看 b 选项 e b 一 垂直于 a d 一， 那也是一样。我们的处理思路，你可以选择是去呃这个检验它是否正确，或者说你可以考虑我直接怎么去正， 那像这里呢？ e、 b 一 和 a、 d 一 的这个垂直，我们可以把这个线画出来啊，这个是 a、 d 一， 这个是 e、 b 一。 好，那他俩垂直怎么去看呢？那这个时候我们会想，由于 e 是 一个动点，所以我直接观察肯定不好观察，所以这个时候我们要把这个动点去转换成一个定 固定的一个直线或者一个面的问题。那显然 e 是 动点，我没办法找到定直线，但是我可以确定 b、 e、 e 这个线是不是一定会在一个固定的平面内，它一定会在以 b、 e 和 c、 d 这两这三个点构成的平面内，所以也就是 e、 b、 e 在 面 b 一、 c、 d 上。好，那接下来我是不是只要证明 a、 d 一 垂直于这个面，我就能确定 a、 d 一定垂直于面对任意一条直线，显然就一定会垂直于 b 一。 好，那接下来怎么去证明 a、 d 一 垂直于这个面？那我们对应的你可以把这个面做一个延展，对吧？因为这个面我们目前的话画出来应该是这么一个面啊。 b 一 c、 e、 c、 d， 那 这个时候显然这个面我是可以给它补到 a、 e、 b、 e 上，所以这个面和 a、 e、 b、 e、 c、 d 它是同一个面，所以接下来就变成了即 证明 a、 d、 e 垂直面 a、 e、 b、 e、 c、 d， 那 这个好不好证？那它显然就好证了，对不对？哎，这个时候我可以去证明 a、 d、 e 呢，这个时候是垂直于，根据对角线垂直于 a、 e、 d， 那同时我再根据 a、 d 一 是垂直于这个 a、 a 一 b 一 的， 那显然我就可以得到了，对吧？那 a 一， 呃，这个 a d 一 垂直， a 一 b 一 是怎么来的？根据 a b 一 垂直于侧面得来的啊？下面垂直，所以这个地方我们能挣出来，它对应确实满足 a d 一 垂直于这个面，那它垂直面上任意直线，所以 b 选项就成立的。 再来看 c 选项，二面角 e 杠 a 一 b 一 杠 a 的 二面角的这个大小为四分之派，那还是一样的问题，这涉及到一个面的拓展等价面的一个问题。 e 杠 a 一 b 一， 那这个时候其中两个面分别是 a e b e e 和 a e b e a e 好，那这个时候这两个面所形成的这个夹角呢？我们按照之前逻辑，我们是说过两面上分别去做交线的一个垂线，对吧？但这里呢，我们为了方便去判断，所以这个面呢，我们其实是可以去给它 扩展一下的。我们这里看似是 a e b e， 但实际上我是不是可以给它延展成面 这一往下写啊？它对应的可以看成是面 a 一 b 一 c d， 因为 e 是 在 c d 上运动的嘛。那同理， a 一 b 一 a， 我 是不是也可以给它补全它的面？我其实是可以去说成 a 一 b 一 ab， 呃，准确来讲应该是 b a b a 啊，他俩这应该要有顺序，所以接下来是不是就变成解这两面所形成的夹角，那你就会发现这两面他都是一个矩形，那我要做交线，垂线其实就是两个棱，所以他这个时候交线是 a 一 b 一， 那我对应的垂线在哪呢？可以直接找这个 d a 一 和 a a 一， 那也就是这两条都是垂线，那垂线所形成的夹角就是我对应的二面角，那这两条垂线的夹角是多少？显然在正方形内，对角线和我直角边所形成夹啊，和这个正方形的边所形成夹角是四分之派啊，所以 c 选项是正确的。 在这里的最简单的办法就是你把这个面呢给他补全，补全之后你就会相对来说好看很多。再来看 d 选项， 例选项问，存在某个点 e， 使得 a e 与底面所形成夹角为六十度。好，首先我们先不管 e 点到底在哪个位置，我们说对于线面角你要去处理，我们说是过线上一点向底面做垂直，对吧？那这个时候 e 呢？是在底面上， 所以我们选择从 a 一 向底面做垂直，那这个时候我就会发现我过 a 一 向底面做垂直，其实就是 a e a， 所以 我们现在要求的角其实就是哪个角，就是角 a e e a 这个角，所以这个时候啊，它对应的所乘角角 a e e a， 那这个时候由于 e 在 运动，所以你接下来是不是可以去求临界的情况？比如说当 e 点在 d 点的时候，这个时候就变成了我们刚才讲的正方形的对角线和正方形的边数形成夹角，这个时候临界值是四分之派。 然后接下来你就想当我的 e 离它越来越远，也就是越来越靠近 c 的 时候，我们模拟一下这个画画法，或者说你可以多画几个情况来找一下规律，你会发现这个角加角是不是只会越来越小？所以这个时候我们对应的你会发现啊，它在 d 点的时候应该取到加角最大，在 c 点的时候取到加角最小，那在 c 点加角最小是多少呢？我们也可以算一下啊，我把这个给它挪过来一点。 好，那这个时候我们只需要去解线段长就可以了。对于 a c 来讲呢，是根号二，然后这边是一，这边是根号三，所以这个时候这个夹角你就能解了，对吧？这个夹角对应的是正切值的话，应该是 二分之根号二，具体的这个角是不是一个特殊角啊？所以我们不用表示，但我知道这个角是不一定比四分之 pi 小， 而四分之 pi 是 不是显得又比六十度小？我最大都小于六十度，也就意味着我不可能取到六十度，所以 d 选项是错误的，所以这道题答案应该选 abc。 那所以这就是我们借着这两道例题呢，就相当于把我们角度问题一些比较常见的处理，我们都稍微来说一下。但是像做这种题呢，最主要肯定还是要去结合图像，通过大量的练习，你才能去巩固这些方法。

本视频时长三十四分钟，带你搞定立体几何几何法求空间角综合训练，从题目出发，解决各种综合题型，讲透底层逻辑，回复立体几何，领取视频讲义。 二面角是两个半平面所成的角，那往往先要找到他们的什么交线，然后交线上一点，做交线的垂线，两条线垂直于这个点，对吧？准确讲是这样，他们所夹的这个角呢，就是二面角。虽然这是定义， 但是我们真正在去处理这个二面角的时候，咋处理呢？比如说蓝色面与这个黄色的面所成的二面角，我们真正去做出这个二面角的平面角。我们说关注，比如说蓝色面要向胶线去做垂线，首先关注 s 向他去做垂线，看会垂在哪里，对吧？然后黄色面要做，因为 bc 是 对应的交线，那就是过 a 点向他去做，运气好的话，你会发现，哎，一道题会坐在什么同一点，那刚好这个角就是什么 二面角，当然了，这种巧合会比较少，但是也有那运气不好方式还是这个样子，我先过 s 做哎，做出来垂足在这里，然后我过 a 向他去做垂线垂出来在这里。但当你两个面都向胶线去做垂线在实际做的时候，如果没有垂直在同一个位置， 接下来咋操作？所以说做的本质不是过胶线上一点做，而是找到这个面，看一下在这个面胶线在哪里。胶线外的这一个点，一般向他去做垂线，一般向他去做垂线 做，不在一个点，属于正常情况，你知道他的位置，知道他的位置，然后平移，比如说我在过这个点做他的什么平行线就行了，那么平移完之后这个角就是， 所以这是我们一般去找二面角真实的计，合法的找的思路。那么带着这个我们今天要做的综合题，很多都跟二面角有关。 我们先来找一个在九章算数，也就是古代咱们的数学中有四个面都为直角三角形的面，称之，为什么啊？别闹，然后如图 啊，就是首先 p a 是 垂直底面，那 p a b 直角， p a c 是 直角，然后呢，同时这里是垂直底面，是个直角三角形，这里也是垂直啊，就是你把这个长度算完之后，这里也是垂直， 整个呢四个面都是直角三角形。那么在这道题里边，他还告诉我们这是一，这是一，根据所有面都是直角三角形，就得到这根二，这根二，这根三，所以所有棱长都是知道的。最后要求这两个面所成的二面角的大小， 那大家来算算看。实际上我们再去用几何法的时候，把刚才在单拎出来这个图，对吧？刚才带大家看的时候，比如说我们就是单独的图，会说这个怎么去做，那我们回到正正奇里边去做的时候，看每一步实际操作。 比如说这道题要的是这两个面，一个是背面这个面，一个是正面这个面两个面所成的二面角。那二面角的话，咱们用的是今天专注于几何法。首先找到交线，交线就是 pc， 那么盯着第一个面是 a p c， 那 一定是过 a 向它做垂线，对吧？然后第二个是 b p c 肯定是过 p 向它去做垂线，所以做垂线的时候是分别向什么交线去做垂线，做好垂线之后看一下这个垂足在哪， 再看一下这个垂足在哪。在一个地方最完美，最好不在一个地方。那你看他俩相差多少，再去平移。那我一个一个来，我先过点 a， 向他做个垂线，做完之后再 m， 那 做完之后是 m， 你 发现这个直角三角形三边是一根号二，根号三， 你做完这个直角三角形的话，和它相似，你要知道点 m 在 哪里，关键得看 pm 的 长度是多少。那我们发现在这个小的这个三角形中，你设它是 x， 对 应的斜边是一， 在大的三角形中，它是一斜边是根号三，刚好是相似的， x 比一等于一比根三， 所以 x 等于多少？三分之根号三，那么整个这个长度是多少？根号三。那这样我们就知道点 m 作为垂足 在靠近 p 的 三等分点。所以第一步是做垂线，并且确定它的位置，确定它位置就是看它到这个交线一个端点的距离是多少。 ok， 那 这是第一步，第二步 继续，那这回过点 b 来做，哎，也做一个，那我得确定 n 在 哪里，但是你如果细心的话，你就发现这个 n 也是三等分点。为啥？你看啊， 刚才这个直角三角形是一跟二向这里做，这回的话，这个三角形也是一跟二跟三。其实两个三角形是全等的，这边做过去是三等分，那这边做过去肯定是靠近他的三等分点， 只是一个错位放的全等的两个三角形，你要去算的话，算出来也是一样的。所以呢，这两个点不在一个位置上，他俩都在三等分点处，那要找到二面角平移一下，比如说我把他平移到他，那平移到他，你就会发现啊， 这个三等分点相当来说就是这个的什么中点，你这里一平移点 d 呢？其实也是 p b 的 中点，这样的话我们就找到了这个角，这是第一步，就是咱们通过把空间角利用咱们 对这个定义的理解操作，在途中找到它所对应的平面角，那第一次是做垂线，第二个不在一起是做平移。好，接下来计算， 计算的时候呢，就是放在一个三角形当中，那这角两边有了，你把这一连就是直角三角形，哎，一连就是个三角形，连完之后你会发现这里也是垂直的，为啥？因为这是个等腰直角三角形，这是中点，对吧？好，接下来的话，我们 在这个三角形中要去判断啊，首先三个可能长度分别是多少？还有它的形状是什么？ 那么首先判断的话，可能优先还是会去判断一下它的形状，这个形状啊其实还比较好判断，直接就能判断出它是一个什么直角三角形。为什么？因为这里的 a d， 你 发现刚才垂直了这个线，它也垂直 bc 这个线，所以 a d 呢，就会垂直这个面儿， 所以这里的话就是个直角三角形，然后它是直角三角形，你要去算它的角，看长度，这个长度的话，这个或是中位线刚好等于它的一半，然后你要知道这个长度，就得知道这，那你设这是 x， 这就是二分之 x， 然后你得去再看这个长度，这个长度是多少呢？你会发现这个长度和刚才这个长度，我们说过它是同一个全等的三角形，相对边做垂线是相等的，所以这是 x， 那 这个角度就一目了然了。 斜边是他的二倍，所以他对应的是三十度，这里自然就是多少六十度。当然这是计算长度的一个方式，如果说你没有发现他，你就把这每一个长度其实你都能算出来，因为这算过了三分之根三，对吧？你这个 am 也能算出来， 你这个知道，这个也知道，这个 a、 d 呢？都不用算二分之根号二，所以说你如果把三边长度都算出来，你一样能算出来， 只是这个棋里边这个三角形比较特殊，既有垂直关系，又有什么特殊角的关系？所以最终呢，我们说你算出来他就是六十度，所以这道棋用几何法还算是一个怎么样比较复杂的。 作为一个例题，你刚好就是用几何法去感受的话，能把常考的几个点都感受到。我们首先去复盘一下，第一个就是做垂线，对吧？正常你看到二面角向交线做垂线，你要有这个意识，然后做完垂线之后还要 定位置啊，就是垂足的位置，做完之后一定要确定，因为你做的两个在不在一起很关键，然后不在一起怎么样平移，然后平移完之后就是解三角形， 这就是我们用几何法一般去处理一个什么角最复杂不过二面角嘛，就是这样的流程。好了，这个就说完了，接下来我们继续向下看，我们刚才所说的是第一类咱们去找二面角的，就是比如说要这两个面就分别去做垂线， 在一起就有了，不在一起平移就有了，那这是一般情况下，那如果说有些情况下也求这两个面的二面角，但是 他知道了其中一个顶点到另外一个面的什么垂线。假如这个垂足是 o， 在 这个时候我们去找二面角的时候，一般咋做辅助线，哎，对三垂线定力啊，非常好。 三垂线定力其实就是过这个点，你只要向谁啊？那就是过这个垂足，向交线去做个垂线就行了。 你在这里做一个垂直，如果你这里是垂直的，你只要连接一下这个 p， 假如这个点是 q， 这个点是 o， 你 只要连接一下 p q， 这一定是垂直的，为啥呢？就是三垂线定律。三垂线定律的本质是他垂直于这个线，垂直这个线，他垂直这个面吗？他一定会垂直这个线，所以 它就是 c 塔。所以说如果有一个面上的点到这个面上的垂线的时候，做法和咱们刚才过每个面的顶点相交线的做法会有些区别，所以说这是第二个有线垂面的时候的做法啊。好了， 那有了这个意识之后，接下来咱们看真正的这道题，它告诉我们一个三棱锥 p abc， 然后说这个 abc 啊，它是一个边长为三四五直角三角形，而且奇基还告诉我们等于什么啊？四倍根号。二， 说点 p， 正投影在三角形 abc 的 内部，就是它在三角形内部的投影点啊，就 正向，就，就咱们普通的那个垂足就在这个三角形的内部，并且 p 点到 a、 b、 b、 c， a、 c， 就是 它到这三个边的距离是相等的，则二面角 p a、 b、 c 正弦值是多少？这道题其实最大的难点在哪个？就是在这个条件点， p 到这三个的距离相等， 把它翻译成一个直接的实用的条件是什么？比如说那我在这做一个垂线，我在这也做一个垂线， 我在这也做一个垂线，这三个距离是相等的，那说明什么？说明点屁在底面上的投影。点屁在底面上的投影，假设是 o， 这个 o 是 内切圆的，圆心叫内心， 为啥呢？因为你假如屁在底面是 o， 你 连接一下它，对吧？它也根据啊三垂线定律，它也垂直于这个货，然后你连接这里，这也垂直，你连接这里，这也垂直。 这三个三角形肯定是什么全等的吗？因为斜边都相等，然后 p o 是 公共边，所以下边这三个都相，所以它本质上在说 p 在 底面上的投影是这个三角形的内心。 这个点如果明白了，那接下来就简单了，我们要求的是这两个面的什么啊？所成的二面角有了一个点到这个面的距离。我们说二面角咋做呢？就是从这个垂直线先去做个垂线，然后你连接一下这个角，就是二面角了。 所以接下来你要求就看一下这三个长度中你知道哪些，知道点就够求出这个角的三角函数值了。那下边是一个谁啊？ 下边是一个三四五的啊，三四五的这样一个直角三角形，我们说他的内心是多少？根据等面积法， 内切圆的半径等于什么？二倍的面积比上周长吗？二倍面积三乘四周长，三加四加五，这个你熟的话，你就知道它等于一，所以在这里呢，底面的这个内切圆半径是等于一。 好，那么知道一了，还知道啥条件呢？你知道体积，体积咋来的呢？这个四倍根哈二就等于三分之一乘以底面积， 三乘四除以二就是六，再乘以 h， 那 这个一算 h 就 等于二倍根号二。所以也很简单， 高知道了 r， 知道了，我们就知道了这个角的什么，你想知道他的正弦就知道正弦，正弦就正弦，要的啥正弦？那咱就把斜边算出来，勾股定律一，它的平方是八 开根号三，对吧，所以它的正弦值三分之二倍根号二就结束了。所以这道题的话，最关键的就是第一个条件，点 p 到三个底面，三个边的距离相等，本质上是 p o， o 是 它的什么投影， 它是 o 垂直于底面的内心啊，所以把这个条件翻译明白，这个棋一下就好处理了很多。第二个，当你两个面求二面角已经有什么点到面的距离的时候，根据三三垂线定力，这个谁啊？垂足先向 交线做垂线，然后这一点啊，首先找到这个面，找到这个角 r 法，这就是我们找平面角的什么 啊方法。第三个啊，永远解三角形，在这个解三角形中，每个都有自己扮演的角色，内切圆半径，你按照内切圆半径 r 等于 r， s 比 c 去算就 ok 了。比如说这个叫做整个三棱锥的高 等起积法，或者说按照起积公式，总之你可以求出高啊，等起积求 h 就 结束了。这也是咱们在几何法中反复在用的几个性质。 好了，这道题就梳理到这里，那咱们下一个这道题的话，哎，又有一点复杂，他跟咱们的学过三角函数有综合，他跟咱们学过的什么啊？我看一下提到了啊，线面角 啊，两个线面角， s b 与这个面， s c 与这个面所成的线面角，当然了，他还还有其他一些有用的东西，那我帮大家把题梳理一遍吧，一个四棱锥啊， 然后告诉我们底面是个平行四边形，但是这个 s a 这个线呢，和底面是垂直的啊，所以这个线很 重要，垂直于底面了。然后又告诉我们啥呀，说 b d 等于二 ab 这个或等于这个或二倍，那就是设这个是 a 的 话，这个是二 a， 然后他告诉我们这里是三十度，这个直角出现的有点早了啊，动画有点问题， 那我们根据什么正弦定里，我们就会推出这个角的正弦值等于多少，就是 a b 三十 等于二 a 比上三引阿尔法，我们能得到三引阿尔法等于一，所以根据正弦定律就能推出这里是多少九十度。所以说这两个条件合起来再告诉我们这个角是直角啊，我直接给大家划到这了，也就是说 底面这个平行四边形是矩形，有了这个矩形之后呀，说 s c 于底面所成的角 和 s b 于底面所成的角啊，就是阿尔法和贝塔的和的正切值等于负三。 最后要求的是两个长度之比是 s a 比上 s b， 这是整个题目给的条件，就梳理到这里，它首先最关键的前边这些条件咱们梳理完了，就是有一条线垂直的底面，底面是个矩形，对吧？ 底面是个矩形，然后说 s c 于底面所成的角和 s b 于它所成的角，那对咱来说啊，空间角最关键的第一步是干什么？对，找平面角，管他要干啥。我到图里把你画出来，你必须在我的眼睛里，对吧？来，走你。 那我们就看一下线与面嘛，那线与面核心要找什么？垂线？哎，这个题 s a 直接给了，所以 s a 给了。那你想， s c 于底面所成的角不就是这个吗？ s b 于底面所成的角不就是它吗？对吧？关键是线与面所成的角要找垂直于面的线，然后一连，这是投影，这是一个，这两个角找到好了，来，走你，这是阿尔法，这是贝塔。那我把这个条件两个角找到，他告诉我， 阿尔法加贝塔的正切值等于负三，那正切值等于负三，它要求的是谁啊？ s a 比上 ab， 那 我知道这两个肯定要展开，那关键是我要看这两个角的三角函数值，和这 s a 啊 ab 有 啥关系？我一看，嗯，在这个 r t 三角形中， 阿尔法的正切值不就刚好等于 s a 比上 ab 吗？但是贝塔的正切值是等于 s a 比上 c a， 所以 本来你说这个条件如果全部能转化成 s a 比 ab， 然后我不就把它求出来了吗？但是这个贝塔对应的是 s a 等于 ac， 所以 这个 ac 不要， 我就要去找一下 a c 和 a b 或者 s a 的 关系。那我们回到这个图里边，看一下 a c 和咱们的目标线段这两个中谁有关系，是不是和 ab？ 刚刚我们说过， 底面是一个矩形，然后对角线 b d 等于 ab 的 二倍，那对角线是相等的， a c 也是对角线，它也等于 ab 的 二倍，所以把这写成二 ab 就 行了， 所以它等于 s a 比二 ab， 那 简单了来，两角合公是展开，如果你为了清晰起点，也可以换元，你把 s a 比 ab 定成 t， 对 吧？反正咱这 t 也是大于零的，所以就相当于贪定塔阿尔法等于 t， 贪定塔贝塔呢？等于二分之 t， 然后你求 t 的 值展开就行了。贪定塔阿尔法加贪定塔贝塔二分之三， t 比上一减，它两个相乘，它两相乘是二分之三， t 比上一减，它两个相乘是二分之三负三， 所以直接就列出了这样的一个方程。然后这个关于 t 的 二次方程我不解了啊，解出来 t 等于二，或者 t 等于负一，那我们这个 t 是 一个什么长度的比值？他肯定是正的，所以负的一舍去 t 等于二，那他就等于二。结束 整个题目的思路还是比较顺的啊。首先他给你的这些条件，关于底面的，我们要确定就是底面 这个图形，对吧？第一步就是底面图形，你对他要认识清楚，你不能把这种比例关系和角度就标在那里，没有深入去思考，这就相当于一个三角形，给三个条件，他基本上就能判定了，对吧？好。 然后第二步的话，只要先面角，先找角面，空间角你得找到，找到它对应的平面角，那找到它平面角，我们找到之后要求的是线段之比，你就要看这个角的三角函数。所以本质上就是指什么计算角嘛？ 计算角的时候你表示出来，我们把阿尔法用咱们要求的目标表示了，但是贝塔离目标差一点，差一点就要朝我们所求去转化。 你遇到的问题就是 a c 和 ab 之间的关系，回到底面找到二倍关系，剩下的就是非常牵强的和三角函数，两角和的什么啊，结合你只要公式会都没有其他计算的压力啊。 这是这道题，接下来再继续看。这道题就是属于啊，咱们空间角和三角函数，还有一些就是解三角形，包括当然了解方程，对吧？的一些小小综合，就要你每一个细节都特别熟练，每一步去干什么要特别的坚定。那接下来再换一个啊，这道题 可能啊，跟咱们的一些几何最值有关系，它告诉我们两个面的二面角就是 p a b q 两个面的二面角是多少？六分之派，还告诉我们 p q 于 q a b 底面的什么线面角，你看 既有线面角又有二面角，然后告诉我们 p a、 b 的 面积要求的是 q a b 面积的最小值， 那么这道题你会发现他有二面角，也有线面角，所以接下来咱还是要去老老实实把这个面做出来，那么既有线面角又有二面角的时候，我们知道这都是跟这两个面有关，对吧？一个是这个线与底面，一个是这个面与底面，那我们优先做的话，一定要做 哪个线？今天我们讲二面角有两种做法啊，二面角，一个是啊，过两个顶点，分别向交线去做垂线，第二个呢，是过某一个顶点，先向另外一个面去做一个垂线， 那这道题对，是不是先做垂线？因为线面角要做这个垂线，找投影，二面角做垂线也可以，所以两个都有的话，那我们肯定聚焦于先这个点向底面做一个垂线， 那么垂在哪里？因为这两个三角形的形状，也没说，咱肯定不知道，不知道不要紧，你就这么标着，标完之后呢，咱接下来这边一连，哎，这是线，这是他在这个面上的投影，那这个角呢？就是这个四分之派，所以线面角有了。 好了，那么接下来要求这两个面所成的二面角有这个垂线，只需要这个垂线向这个面 交线做什么？垂线？然后接下来这一连，根据咱们所说的三垂线定力也好，根据本质上是这个线垂直了，他又垂直了，他，他一定垂直这个面， 所以你一连肯定是垂直的，对吧？所以这也就找到了这个六分之派，所以这个垂线一做一举两得，两个你要的都找到了。 所以说只要出现线面二面角这种问题，咱要用几何法？第一步必然是去找角，当这道棋里边既有线面又有二面的时候，优先做垂线， 这是这道棋对思路上的选择，你只要看到这些角，你必然就要找他平面角，要找的本质是做辅助线，那对于辅助线的选择就结束了。好了，选择结束了，接下来那这个棋里边没有长度，只有一个面积， 咱们要去证明这些跟角度呀、长度呀面积有关的，你就得从长度出发，咱去设。那在这道题里边，我们觉得去设哪一个线段会比较好呢？你比如说这个三角形，它是一个特殊的 rt 三角形，设一个其他表示出来了， 这个也是设一个其他表示出来，设谁会比较好？你一画你就看到 po 了，对吧？啊？ po 是 公共的，所以设 po 肯定会更好，刚好它还有它的什么意义？叫做 h， 那 我设它是 h， 这个 o q 也是 h， 这里是根三 h， 这里是六十度，这里是六十度，六十度所对应是三十度， 做对应的根三倍啊，虽然图画的不标准，但是他就是三十度，那在这种情况下，我们该标的长度都有了，这个是根三 h， 这个就是多少二 h， 然后接下来再和题目中给的面积建立起联系，题目给的是 p a b 的 面积，那这样的话我们就可以表示出谁了。我们发现我们知道的这个就是 p a b 这个三角形的高，它的高是二 h， 它的 s 是 多少二，那面积等于什么？二分之一乘 ab 乘以二 h， 所以 这样的话我们就可以得到 ab 等于 h 分 之二，那 底面上这个三角形 ab q， 这是咱们目标三角形，我现在知道这个边等于 h 分 之二， 在这个题目中，我知道 o 向它的垂线是根三 h， 然后 o q 又等于 h， 那 我要去求它面积，只有这个边有条件，我肯定坐它上边高，所以 q 再向 a b 做高， 要求面积最小值，就是求 q e 的 最小值，来看一下 q e 的 最小值是多少？画出来相当于你单独看啊。如果变成一个平面问题，大家在平时处理的时候没那么清晰，就相当于在底面 a b q 中， 我现在知道的 ab 是 多少？ h 分 之二，然后这里有个 o 点，使得 o q 是 h， 使得这个线段呢？是根三 h， 然后我现在要求谁啊？ q e 的 最小值， 那啥时候呢？就是这两个线共线的时候，因为它始终小于等于这两个的和，所以 q e 小 于等于根三加一倍的 h， 那 q e 的 最大值也就是根三加一倍的 h 就是 它的最大值，那这个高的最大值知道了底，知道了那面积最大值不就它俩相乘吗？相乘 h e 约，那么就是二分之一乘二，乘以根三加一啊， 所以最后面积的最大值根三加一这道题也就结束了。最后我们拆解分析一下，其实这道题的话 也是和几何最值，主要就是他没有完全把这些长度告诉我们，给我们的很多都是一些比例关系，或者说角的关系。那第一个只要给了二面角线面角，咱们一般情况下在小棋中肯定优先选几何法， 并且这个棋你想去见戏，你也发现这个戏太难见了，根本没有垂直关系，对吧？所以只要走几何法，角必须怎么样？ 找角就是你要把这个平面角找到，找到之后你会发现不管是线面角还是二面角，你在找到的时候大多数都处于垂直关系的这种三角形中。所以第二个 你要去计算也好，你要去运用它也好，就是在 r t 三角形中解边角的关系，然后在这个棋里边如果没有长度，你就设一个，然后把所有的都表示出来。然后第三步其实就很简单了，那你要求这个面积，你已知的这个三角形有关的只有什么啊？ a b 这个边，你就去找他的什么高表示边找高的关系，这个高的关系一看是咱们初中的一个什么几何最值模型，就是一个点到线的距离和折线段和之间的大小关系啊，这都是属于初中的 几何最值模型，你一眼只要能看出这个高的最值，就是这两个折线共线的时候，而他俩的和是根三加一，这个问题就全部解决了啊。 设 ab 的 话，你理论上也可以啊，你设 ab 可能就是计算起来会复杂，因为你设个 ab， 假如你设成 x， 你 同样能表示出它，能表示出它，能表示出它，能表示出它。 其实设哪一个都能把最后的表示出来，没有任何问题的，只是设的时候，在你有这么多直角三角形中，你肯定设一个跟两个直角三角形都有关系的公共量，去表示的时候比较简单，但是你要说这里边有就是咱们用到的这些线段，你设哪一个肯定都可以。 好了，这个也过了啊，下去之后你自己要重做复盘，把这些细节好好的再去想一下。我觉得今天对咱们来说最重要的依然是 看到空间角，你是否能坚定不移的去找角，找到角之后，你是不是能够快速的在一些特殊三角形， 或者说在三角形中建立起长度与角度之间的关系，然后接下来是看他跟啥结合了，有些时候跟不等式，有些时候跟三角函数，有些时候跟几何最值，因为求最值无非就是函数法、几何法基本不等式法嘛， 你看他最后落脚在哪一个，你要用哪一个，这就在于你之前的知识有没有学扎实啊。换一个最直的再带大家感受一下，比如这道题，这道题本来说是有个四边形，其实最后跟这个四边形一点都没有关系， 因为他折了一下，变成了一个三棱锥，那我们就看他折完之后，这个三棱锥是啥啊？折完之后呢，这个三棱锥呢是 a、 b、 c、 d， 然后在这个图中呢， b、 c、 d 是 一个等腰三角形，两腰是二， a、 b、 d 呢，是个等边三角形，三个边都等于多少？二倍？根号三。现在呢说 二面角， a、 b、 d、 c 啊，就是两个面，就是这个面和底面所成的二面角是有范围的，但是它最后要求的是谁啊？ 两个异面直线所成角的余弦值的最大值。所以在告诉我们一个等边三角形和底面为等腰三角形的这样一个楞锥之后，也给了我们二面角的范围，但最后要求的是这个线和这个线所成角余弦值的 范围。那这道题你可以先找第一个他给的二面角，你也可以去找我们要求的这个角，看个人爱好，我呢喜欢从问题出发， 我看到 a、 b 和 c、 d 两个异面直线所成的角，要找到它的平面角，核心操作两个字叫什么？平行过谁座呢？直接过 b 座。那咋不过 a 座呢？那你发现过 a 座出来在哪都不知道， 但是过 b 的 话，它在底面上做出来，大不了放在一个平行四边形当中，所以接下来我过 b 做一个和它平行且相等的， 然后那这个角就是我们要找的什么角，那么这个角和我们要找的角是什么关系？千万不敢说相等，因为咱们找到的这个角，你不知道他是锐角 还是钝角，而线线所成的角必须是小于等于九十度的，所以这个贝塔和我们真正要求的这个角也有可能是他补角，待会得求出来看正负， 对吧？好，那咱继续整。然后这个角找到了，放在三角形中。那放哪个三角形中呢？那这个三角形是唯一确定的呀，它两个边你找到了，那必然要放在谁啊？ a、 f、 b 当中，然后赶快来看一下条件，知道几个？你只知道两个边， 你不知道 a、 f， 当然你也不可能知道，你要知道你会吓到自己，人家让你求最大值，这个三角形三边都知道，你直接求出了它的值，那肯定也错了，对吧？所以现在的问题就聚焦于 那我要把 af 给表示出来，那 af 咋表示？得看条件。这道题你要表示 af， 肯定得用谁，把 af 表示出来，就是要用这个角，要用这个二面角， 你肯定因为题目给了你一个变量，题目给了你一个角的范围，说明你要表示 af， 肯定是用这个二面角，对吧？所以接下来咱要去找二面角，二面角咋找呢？ 这两个面，这咱太熟了，一个等边，一个等腰共底，等腰一定会找到它。垂线一坐一连，这垂直，这垂直，这直接就是二面角了。接下来我们就要把这个 c 塔先给它表示出来，那么这个 c 塔要表示它也要放在一个三角形中，确定的 a、 f、 e， 看一下长度分别是多少。这个等边三角形，这根三之二，这就是一，所以两边是三和一，这个角是 c 塔， 那说明我们能表示出谁啊？ a、 c 这个角是要用的这道题的核心变量，这两个是已知的，所以只能表示出 a、 c， a、 c 的 平方就等于两邻边的平方，三的平方加一的平方减二倍的邻边之积六 cosine sine theta， 这叫啥？于弦定律， 所以咱把 a c 表示出来了。好， a c 表示出来，但是这个 a c 不是 我要的呀，我要的线是谁？我们不是表示的 a f 吗？我们要表示这个角需要 a f， 那 么现在我知道了 a c， 这里又要求的是 a f， 是 不是放这个三角形当中就 ok 了，对吧？然后在这个三角形，这个三角形是个啥？三角形啊？直角啊，为啥呢？因为这条线垂直这个面， c f 和它平行的，它也垂直这个绿色的面，所以这个是个直角。 那 a f 方不就等于它两个的平方相加吗？这个平方十二， a c 方是它，所以 a f 方就是二十二减六 cos 它。 好了，那么接下来咱这 cosine beta 就 表示出来了。但是因为不知道阿尔法和贝塔是什么关系，咱直接给 cosine beta 带个绝对值，相等也好，互补也罢， 你的绝对值肯定和 cosine alpha 是 相等的。然后用余弦定理一表示，就是这个样子了啊。余弦定理的话，零边的平方减对边的平方， 这是对边的平方。另外两个边，一个是等于二倍根号三，一个是等于 b f， 对 吧？等于二我就不写了，三个边都知道了，带进去，写完之后就是它。我们现在呢，要求 cosine 贝塔的最大值， 要求它最大值就要分母的绝对值最大，分母的绝对值最大。你看 cosine c 塔的范围是多少？ c 塔的范围是四分之派到三分之派，那 cosine c 塔的范围就是多少，二分之一到二分之根号二。所以 cosine c 塔取多少的时候，整体有最大值， 取二分之一，还取二分之根二，取二分之一，对吧？因为这个整体肯定是负的了，但是最终带绝对值，你要他绝对值更大，你就要这个正的越小，那取二分之一的时候，负六加三等于多少？负三负三的绝对值等于三，所以他等于八根号，三分之三的绝对值也是八分之根号三结束了， 所以最大值八分之根号三。好了，这道题整个思路就结束了，然后你接下来理一理，讲完了，带大家顺一遍，你也会发现，其实它是虽然有一定的综合度，但是整个思路还是比较丝滑的。首先第一个我们上来之后，起眼就是 空间角线线所成的面面所成的都是我们需要的，所以我们说只要看到空间角，必须去找角，所以你看我们第一步做平行，先找到谁啊？先找到贝塔，所以找角，找到贝塔。我们说第二步 一定要把它放在一个三角形当中，放在哪里啊？放在三角形 a、 b、 f 中去 使用，因为有些时候是条件你要用，有些时候是问题你要解，但是这里你会发现它缺谁呢？它缺 a、 f， 缺 a、 f， 我 们继续去看条件，我们又看到了谁啊？这个角就是这个二面角， 假设我把它设为伽马吧，那么这个伽马你也得找，所以继续找伽马，所以两个面是共底等腰的。找到伽马，伽马是不是也得放在一个三角形？放在谁啊？ a、 f、 c 中， 因为任何一个角在三角形中才有它实际的使用意义，在三角形中通过这个导出了谁啊？ ac， 通过 ac 导出 af， 整个就结束了，所以再用了两次余弦定律，所以这就是思路，你会发现最核心的依然是 找角，放入三角形中去使用，最后这道题就会水到渠成。当然三角形的使用你得对于弦定律熟。这道题用了两次余弦定律。

大家好，我是超越老师，前面我们讲了空间的平行去怎么证明，我们讲一下与它有关的计算啊？后期你做多你就知道，他第一问一般让你挣一个平行啊、垂直啊什么的，第二问就让你求各种东西。 看下这个题。第一个他说正字能追，你读到这个正字的时候一定要圈起来，听到没有？表示底面正方形 能，他说个人这个人很重要，个，他不是说的底啊，全部前面这这一侧能都十三啊？我们看一下，他说 m 为这个，你看他得到这个五比八， 你想这这不是终点了呀？对，终点我们做好多，不是终点不就是考什么，考相似吗？对不对？我们说过如果是相似，你一眼就能看到他相似，他这是五比八，全场是十三，所以这个长度就是五比八，对不对？然后第一问他让你 说这个臂力上是否存在一点 n， 使得这个跟它平行，如果存在让你求这个比例，对，这个怎么去思考？这个是不是很好思考呀？很好思考。我们这个地方你要注意，就这个得当已知条件，懂吧？这和初中的一样，他说是否存在使得这个什么什么成立，那它就是已知条件， 那你现在 m n 已经是平行于这个 p、 b、 c 了，对不对？最好的办法就是什么呀？我去找个交线，你看我连接这个 an， 连接这个 n， 然后跟它相交，相交的也叫做 e， 然后的话你看一下，然后把这个连一下，把这个给他连一下，把这个给他连一下，是不是？这个 a、 e、 p 这个三角形当中 m、 n 是 不是形形？这个因为它是相交线啊，对不对？然后结合这个比例，是不是这个比，他是不无语，也是八比五，看到没？也是八比五，所以这个就是也是八比五，看到没有？为什么？你可以把这个给他画出来，我们说过要画出辅助平面图，不然你找不到位置啊。看这是 a， 然后这是 b， 然后这是 c， 这是 d， 看到没有？对的吧？因为这个和这个是五比八的比例，这两个不是八字形相似吗？所以这个也是，是不是五比八，你看他是谁比谁啊？ b n 比上对到五比八啊， 就做出来了，这第一问，第二问，他让你求这个 m n 的 长，这个你怎么思考？你看你，首先你想想，你要求 m n 是 不是？一般来说我们用购物定例 对不对？用勾股定你或者是用它等于那个线的，或者用相似，对不对？这个里面你想你用 m n 的 话，你这个什么 a e 啊， ap 啊，这 ap 虽然知道 a e 还去算，我是不是最好把它换成 a a e 啊？你想我 a e 知道这个，这个不等于，我看 是不是这样的？这个我们刚说的这个是，这个是八分，这是五分，对不对？这个比例是不应该八比十三呀？想一想啊，就这它是 m n 是 等于十三，乘以这个 p， 看到没有？十三分之八， 对不对？所以我们目标就是求出这个 p e， p e 怎么求？在这啊， p e 怎么求？我们是不是要把 p e 这个三角形给拿出来啊？在这啊，你还要画好几个图，这些图都要知道啊，画的时候你要注意这个长度，算一下啊， 这个和他是不是也是五比八，对不对？五比八，所以这个这个是不是占总长的八分之五？八分之五的话，你想想他大概在哪？是不是终点过一点点啊？是不是？我要求这个线，是不是我要给他做一个垂线下来，给我做一个垂线下来啊？ 是不是这样的？然后比如这条 f， 这个 b 是 占全长的，是八分之五啊，所以这是八分之五乘以这个十三，我要算这个小的 e、 f， 是 不是这个 b、 f 是 不是二分之一倍的十三？对，这两相减啊？这两相减得这个 e、 f、 e、 f 的 话是等于是八分之一乘以十三啊， 然后这个十三不用乘进去啊，这个十三不用乘，等我算勾股钉的时候会简单一点啊，这个长是二分之十，这个长是不是他的根号三倍啊？我们以前讲过，所以这个高 h 是 不是就等于 二分之根号三，然后再来乘以十三，这里算勾股定你这两个都有十三，不用管他，就算这两个就行了。这两个勾股你算这斜边，那就六十四分之一，加上这边算一下是四分之三， 然后同时乘以多少乘以十六，改同样分是不是六十四分之四十八，加一块是不是六十四分之四十九？是不是刚好可以开方啊？所以开出来是四，就是八分之七，再乘以这个十三，这个然后再带到这里面去，对不对？刚好这个八分之十三跟它约掉了，看到没有？最后答案等于七就做出来了啊？

高一下册必修二的数学第一个单元，平面向量及其应用单元，想要在一百二以上以下十三大拓展培优压轴题必须要掌握以下内容，课本上是没有的，但是考试要考，考试占分去到百分之六十左右， 基本上大题都是拓展培优题型。那这个视频结尾给大家整理了这份平面向量及其应用单元的一个培优练习，可以拿去练习巩固。 第一是向量的三角不等式，第二是三点共线定律。第三，定比分点向量公式。第四，平面向量基本定律拓展。第五，平面向量的最值范围问题。第六， 极化很等式。第七，三角形中的四星问题。第八，平面向量与三角函数的综合。第九，三角形角平分线相关问题。第十一，三角形的周长边长相关问题。第十二， 三角形的面积相关问题。第十三，利用正弦定理解三角形。那以上提到的拓展压轴体型我都整理到了这份培优练习里，并有配套答案可以拿去练习巩固。 那如果说没有系统学过这些培优压轴体型，可以借助我们的 b 修二的一个系统的数学拓展视频来学习，学懂解析思路之后再去做题，效率会高很多。

大家好，我是星云，欢迎来到我们的全新系列，五分钟一道例题几何，每天五分钟掌握一个做题技巧，那么十级看下来呢，相信你就不会再怕例题几何了。今天我们先来看中位线段，中位线段是什么意思呢？就是当你在题目中看到他给出中点的时候啊，往往我们会去构造中位线，比如说这道题， 他说在 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于 c d， a、 b 和 c、 d 的 夹角是三十度， e、 f 分 别是 b、 c、 a 的 的中点，你看这里就给了你两个中点，让你求 e、 f 和 ab 所成角的大小， a、 b 是 这一条， e、 f 是 这一条，显然它俩不是共面的，对不对？那像这种 e 面直线的夹角就是大家最近头疼的题，但是啊，它告诉我 e、 f 是 终点哦， f 是 这个终点， e 是 这个的终点，这个时候我们去构建中位线。中位线是啥哟？比如说这里有一个 a、 b、 c 嘛，那我 a、 b 的 中点的 a、 c 的 中点 e， 这个得 e 就是 三角形 a、 b、 c 的 中位线，是吧？所以今天那我们也要再去找一个中点，就可以构建出中位线啦，找谁呢？这个中点我们也不是随便找的，你可以去针对我们今天要求的对象，比如说 a、 b、 a、 b， 你 看到它是在这的 题目给了一个 e 是 b、 c 的 中点，所以如果我在 a、 c 上找一个中点 g， 那 你一连你发现这个 e、 g 是 不是就是 abc 这个三角形的中位线喽？于是 a、 b 就 和 e、 g 平行了，对不对？所以今天我们的中位线就是这么构造的， 取 a、 c 的 终点 g， 带大家一起写一下过程，取 a c 终点 g， 那 我们的中位线就是这个 e g， 我 们把它连起来，所以呢，连 e g， 那 因为 e 为 bc 终点， g 为 a c 终点，所以我们的 e g 是不是就平行且等于 ab 的 二分之一啦？题目本来是让我们求 ab 和 e f 的 夹角的，现在既然 ab 跟 e g 平行了，所以我们就去求 e f 和 e g 的 夹角就行了，对吧？那这个夹角怎么去求呢？大家要学会把角啊放进三角形里去求，哪个三角形呢？那你可以连接 f g 是不是就是 f g e 这个三角形里的一个角哟，所以 f g 我 们也连起来，那你会发现，哎， f 也是一个中点， g 也是一个中点，所以这里的 f g 是 不是就是 c 的 二分之一呀？我们可以补充一下， 连 e g， 而且呢，还要连 f g， 并且呀，我们的 f 为 a 的 中点，所以说 f g 它也是平行且等于二分之一的 c 的 平行。关系出来了，接下来我们要求这个角度怎么求呢？看一下题干还给了一个信息哦，叫做 ab 和 c 的 角是三十度， ab 和 c 的 也是两条异面的直线吧， abc 的， 我们怎么把这个异面直线变成共面呢？就用上刚才写出来的这个平行结论嘛。 大家看到 c 的 是不是跟 f g 平行的，然后 a b 呢，又跟 e g 是 平行的，所以这个 a b 与 c 的 所成的角，我们是不是就转化到了这个平面上？其实就是这个 f g e， 当然了，也有可能这个 f g e 是 一个三十度的补角，一百五十度的，对不对啊？因为它两条线成三十度，那这个角呢，有可能是一百五，有可能是三十，那我们把这个结论也写下来。所以啊，角 e g f， 它可能是和你俩成的夹角一样是三十度，也有可能呢，是你们的补角一百五十度。 而我们想题目想让我们求的 ab 和 e f 的 夹角，现在由于 ab 跟 e g 平行，是不是也转化为了 f e g 的 这个角的补角？那接下来我们的目标就是求出这个 f e g 就 行了，对不对？那接下来我们的目标就是 f e g， 这个角怎么求呢？ 我们要放进 f e g 这个三角形中来。看到这个三角形里啊，这个角我们已经知道了三十度或者一百五。 然后再看题目，还有个条件没用哦， a b 等于 c 的。 刚才我们讲过， e g 是 a b 的 一半， f g 又是 c d 的 一半，那既然因为 a b 等于 c d 的， 那是不是所以我们的 e g 就 会等于 f g 了哟，那到这里其实我们就知道了，你看 e g 等于 f g， 所以 这是一个等腰三角形，看到吗？然后它的顶角呢，是一百五十或者三十。那我们就分类讨论一下，角 e g f 等于三十度时，角我们要求的 f、 e g 是 不是就是二分之一的一百八十减 三十，那就是七十五度。那当它等于一百五十的时候呢？我们这个角就是一百八十减去一百五十，再除以二。题干要我们求的是 ab 和 ef， 那 我们就告诉人家，因为刚才我们已经证明过了， ab 是 平行于 eg 的， 所以你今天想让我求的 ab 与 c 的 夹角就是等于角 f eg 或者其补角的。 那既然这里哎七十五跟十五都是小于九十度的，所以没问题，直接拿过来就行了。所以呢，你让我求的 a、 b 与 c 的 夹角就为七十五度 或者十五度啦。所以这题呢，就是非常经典的看到终点呐，我们就去构造中位线，然后你就可以将这种意面的直线给它放进同一个平面里去求啦，对不对？然后你就可以将这些意面直线的夹角啊，给它移动到同一个平面或者是同一个三角形里去求啦。 如果这个视频有帮到你，可以点赞、收藏和关注哦！还想听什么也可以发在评论区，我是新云，我们一起加油，下期视频见！

高一立体几何怎么学？立体几何？高一下学期要学，高二上学期仍然要学高一下学期的立体几何理可以理解为几何题，而高二的立体几何可以理解为计算题。 高一下学期是通过做辅助线等方法去解决空间中的立体几何问题，而高二上学期是通过建立坐标系，计算坐标去解决空间中的立体几何问题。这两块内容， 如果你的孩子想在高一下学期冲击到一百三十分或者冲击到一百四十分党的话，你要让他提前把高二的立体几何知识提前学完。如果说你的孩子想在高一期末考试达到一百二十分的话，这个学期必须要让他把立体几何的各类基础题型， 各类常考的专题题型，以及各类涉及立体几何空间角的计算问题的几何法内容做详细的掌握。