五中初三月考数学几何压轴题

大家好，今天为大家讲解一道旋转类的中考几何压轴题，题目来自于太原市五中的二零二五年十二月月考题。题目告诉我们综合实践课上，数学老师带领学生探索举行的旋转。 第一个是动手操作，如图一，四边形 a， b， c， d 是 一张矩形纸， ab 等于八， ad 等于五。先将矩形 a， b， c， d 对 折，使 bc 与 ad 重合，折痕为 m， n， 然后沿 m， n 剪开，得到两个矩形 矩形 a， m， n， d 不 动，将矩形 m， b， c， n 一 撇，绕着 m 点逆时针旋转， 点 n 的 对点， n 的 对应点为点， n 一 撇， n 一 撇， c 所在直线与 d， n 所在与 d， n 所在直线相交于点记。然后第一个是探求发现，然后第一问，他，是啊，连接了， 连接了这个 m， g， 连接 m， g 啊，然后他说，因为这个角 n 就是 角，就是这里边这两个角就是角， m， n 一 撇， g 和这个角 m， n， g， 它俩都是九十度，然后并且有这个 m， n 一 撇，啊，等于这个 m， n 都是这个两个小的长方形的这个长， 然后并且有 m， g 和啊，等于 m， g， 然后它。我们让我们选，根据下面的 a， b， c， d 哪个选项可以判定三角形 m， n， e， p， g 和三角形 m， n， g 是 全等的，进而证得这个 n， e， p， g 和 n， g 是 相等的。这个判定应该很显然是直角三角形里面有一条斜边相等，然后又有一条直角边相等。所以这个题首肯定，首先判定它的定力应该是 b， 就是 这个 h， l 判定。 然后接下来我们来看这个，看这个第二问，第二问，他说数学老师让让学生动手操作后提出问题，第一问，他说的是勤奋小组，发现如图二，当点当点 n 一 撇 啊，上面这个点应该是个 d， 当这个点 n 一 撇落在这个 当点 n 一 撇落在这个 a d 上 a， d 边上时， 然后 b bc 刚好， bc 刚好经过， bc 刚好经过点 n， 然后他说提出问题，求两个矩形重叠部分的四边形啊，就是四边形 m， n， e 撇 g， n 啊，它的面积就是我们图中这个这个图色区域的这个面积。 然后我们其实你想直接求这个图形区域的面积，其实不太容易求的，即使我们连了这个， 连了这个 mg， 虽然我们知道这个 m， n， e， p a， 它是五，然后 m n 也是五，但是这个 n， e， p， g 和 mg， 它的长度都是不知道，所以我们把它转换成我们用这个四边形，就是矩形 a， m， n， d， 它的面积来减去 这个左左右这两个小的这个直角三角形面积啊。所以我们先看这个左左右这两个小的这个直角三角形面积。 左边这个直角三角形，它的 m， n， 它的长度是四，然后 m n 一 撇，它的长度是五，那么 a， n 一 撇，我们用勾股定也能得到三，所以左边这个长方形，左边这个呃直角三角形的面积就是六，然后我们看右边这个蓝色的面积， 右边这个蓝色的面积，因为 a， n， e， p， h 三，那么我们我们能得到这个 d， n， e， p， h 二，然后我们再看这个角，就是 d， n， e， p， g， 这个我们作为角 alpha， 那么 a， n 一 撇 m 加上这个 d， n 一 撇 g， 也就是 alpha 加 beta， 它是九十度的，然后这个角就是 a m， n 一 撇，加上这个角 beta， 它也是九十度的，那所以这个 a m n 一 撇是等于这个 d n 一 撇 g 的， 而这个 tan 呢？ alpha， 它是等于这个 a n 一 撇啊，比上 am 是等于四分之三的，那所以这个它这个贪镜，它 alpha 也是等于这个 d g 比上 n e p a d 的，是吧？ 就是这个 d g 比上 n e p a d， 所以 这样的话，我们能求出来这个，求出来这个 d g， d g， 它的长度就是四分之三乘以二，是吧？所以 d g 等于二分之三，所以这样的话，我们也就能求出来这个三角形 n e 撇 d， g， 它的面积是二乘以二分之三再除以二，也就是总共的面积是二分之三 啊，所以这样的话，我们能算出来整个这两个左右的面积，它就是六加二分之 啊三，然后再用整个的这个长方形，它的面积是这个应该是二十，就是四五二十，然后减去减去这两个括号，应括号里面六加二分之三， 应该是等于这个十三啊，应该是十二，有二分之一，也就是等于二分之二十五啊。这个第一问，我们就做到这里， 然后接下来我们来看这个第二问，第二问，他说是好学组题提出问题，他说如图，如图三，然后他说当 n 一 撇落在 md 上时候，这个 md 就是 这个矩形 a m， n d 的 这个对角线， 就是 n 一 撇落在了这个 d c 连接了 d c， 还有这个 n n 一 撇 n， 然后他说这个啊，发现这个 n n 一 撇和 d c 是 平行的，然后他让我们证明这个，就是说让我们最终是让我们证明这个 n n 一 撇和 d c 是 平行的，那我们来看我们证明平行最常用的方法，其实就是这个 证明啊，平行最常用的方法，那其实其实就是这个，我们要用内错角相等或者是同位角相等。当然还有特殊一点，就比如说我们垂直于同一条直线的两条线平行这三种方法。 这里边我们先分析一下，因为题里面其实已经有了这个 g n 一 撇和 g n 是 相等的，那所以有图中这两个角 应该都是相等的，我们都叫它 r 法，所以我们要想正这个 n n 一 撇和这个 d c 平行，那所以我们只要正这里边图中标的这两个角任意一个角，它是等于这个 r 法的，那其实那其实就可以了。 那，那所以我们来看啊，看这个就是说这个能放到哪些三角形里边？对，因为我们证明这个三角形全啊证明角相等，一般都是通过把它放在这个放在三角形里面去证明它。 当我们发现这个证明这个角一和角二都等于 r 法并不容易，但实际上我们证明这个角一和角二相等，它反倒是比较容易。因为大家看这两个三角形就是 n 啊， n 一 撇，嗯， c d 啊，我们连一下这个 n c， 就是 我们这个需要做一条简单的辅助线，那我们放在放在这两个三角形就是 n e 撇， n c 啊和这个 n d n e 撇这里面我们看一下这两个三角形啊，这两个三角形，首先它是有这个两个 alpha 角相等的，这是我们在这个第一问里面就挣出来了。 然后这个 n 一 撇 c， 它和这个 n d 是 相等的，然后 n n 一 撇，又是这两两个三角形的一个 公共边，对吧？那所以其实我们是得到了这个三角形 n， c， n 一 撇，它是全等啊，全等于这个啊，三角形 n 一 撇，嗯， n 一 撇 d， n， 是吧？啊？这样的话，其实我们就得到了这个 nc， 它和 n 一 撇 d 是 相等的。然后接下来我们再来放在这个这两个三角形里面看， 就是这个 n 一 撇 c， d 啊，和这个三角形 d， n， c 里面来看这两个三角形。我们刚才证出来这个 n， c 和 n 一 撇 d 它是相等的，然后这个 n 一 撇 c， n 一 撇 c 和 d， n 它也是相等，因为它是两个矩形的，这个宽相当于，然后 dc 又是公共边，所以这一步我们又证得了这个三角形 n 一 撇 c， d， 它是全等于这个三角形 n， d， c 是 吧？所以这样的话，我们其实就证得了这里边的这个角，就是图中这个角一和角二就相等了。 然后我们再看这个对零角，这个两个三角形 n， e， p， g， n 和三角形 d， g， c 里边有个对零角相的，就这里面呢，我们标的这个角三和角四是相等的，那所以很显然这个角一角二也都是等于阿尔法的， 所以有内错角相等，那其实也就证明了这个 d， c 和 n， e， p， c 它是平行的，这个就相当于我们证明了两次的这个， 证明了两次的这个啊，三角形全的一个，就是证明这个三角形 n 一 撇 n， c 和三角三角形 n， d， n 一 撇相的，然后正出来 d， n 一 撇和 n， c 相的。这是用了个边角边，然后用又用了这个边边边就是 边边边，我们正出来三角形 dnc 和这个三角形 n 一 撇 c， d 全等，这个用的是边边边，就是首先 n 一 撇 d 和 n c 相等，然后这个 n 一 撇 c 和 d n 都是这个两个矩形的这个宽，然后 dc 是 公共边，所以最终我们是挣出来这两个角相等， 这两个角相等，然后和三角形 n 一 撇 g， 那 其实就相似了，相当于是因为这两个是对顶角啊，这个是相当于是这个应该是算是第三问了。我们来接着来看这个第四问，第四问他说是当这个点 n 一 撇， 点 n， e 撇，它刚好刚好落在这个啊，就是落在角 a， m， n 的 这个这个角 a， m， n 的 这个对角线上，对角对角线上， 我们来把它画一下啊，就是 d， 这个 n， e 撇刚好落在这个 a， m， n 的 对角线上面， 然后让我们直接写出这个 g n 的 长度。这一边，由于它是落在 g， 呃，这个角 a， m， n 的 对角线上面，那所以这里面其实我们能得到一些，就能得到一些特殊角了。那首先这个 n e 撇 n m， 它就是四十五度， 是吧？那这个角是直角，然后这个角呢也是直角，而且其实我们上面已经正出来这个 g n 一 撇和 g n 而且还是相等。 然后这个角呢，那他其实也是个特别的角，是一百三十五度，因为四边形他的四个内角和是三百六十度的，这两个 n， e， p 和 n 加起来是一百八十度，所以这个角 n， e， p， m， n 加上角 n， e， p， g， n， 那 就是一百三十五度。而且其实这里面有两条边长，我们是已经知道了，就是这个 n e p m 是 五，然后 m n 的 长度是五，然后求 g n， 由于这里边它有特殊的角，所以我们通常都是构造一些直角三角形去做。首先我们就过过这个 n e p， 做一个这个 m m n 的 这个垂线，然后这样的话，我们能求出来就是这个 m h， 它的长度，那就是 m n 一 撇的二分之根号二倍， 所以这个 m n e， p h 就是 二分之五倍的根号二，同样这个 m h， 它也是这个二分之五倍的根号二。然后接下来我们再过 g 点做一个这个，做一个这个 n， e， p h 的 这个垂线， 我们把这个点比如叫做 p 点，那么这样的话，我们就能知道这个， 知道这个 p g 的 长度。 p g 的 长度我们是通过这个它等于 h n， 也就是说 p g， 它是等于 h n， 而 h n 是 等于 m n 减去这个 m h， 也就是五减去二分之五倍的根号二， 对吧？我们现在知道了 p g， 那 p g， 其实这个三角形 n e p a p g， 它也是等腰直角三角形，这个角也是四十五度的，所以这个 n e， p p 也是等于这个五减去二分之五倍的根号二啊。这样的话，其实我们在整个这条线上面就是 n e， p h， 它是二分之五倍根号二。然后 n e p p 是 五减去二分之五倍根号二，那所以 p h 就等于嗯，二分之五倍的根号二减去这个括号五减去二分之五倍的根号二。所以这个 p h 就是， 嗯，就等于这个啊， 五倍的根号二减五。而这个 ph， 那 它其实就是等于这个 g n 的， 因为这个 ph ng 它是长方形，所以最后得到这个 g n 就是 五倍的根号二减五。 但是这个题其实做到这里它还并没有完成，因为它只是说这个 n e p a 这个点，它是落在这个角 a m n 的 这个角平分线上，但是并没有说是这个 n e p a 一定是在这个 啊四边形的这个内部的，所以也就是这个里面这个 n e p a 很 有可能是会转到外面，就转到这个 转到了这个整个的这个矩形 amn 的 这个外边，所以这时候其实它可能这个外面这个距离就比较远了，但是其实做的方法还是类似的，我们可以看一下，当这个 n 一 撇，它转到了这个外部， 那我们把这个图缩小一点，要不然这个屏幕可能都放不下。那这时候其实我们仍然是要去分析一些角度啊， 那既然是角平分线，那这个是四十五度，那这个角 n 一 撇 m n， 那 这就是一百三十五度， 然后当然这个角就是四十五度，然后这里边 m n 一 撇和 m n 它的长度还是五。其实这个做做的方法应该是啊，跟刚才其实是类似的，当然我们这里面就比如说我们过 n 一 撇，啊 啊啊，这个过 n 一 撇，可能我想想过 n 一 撇啊，做一个这个，做一个这个 n g 的 这个垂线，然后我们再过一个这个 m， 再做一个这个 n 一 撇这个的垂线，我们把这两个点设一下啊，就分别叫做 p 和 q， 然后我们来看一下啊，这里边由于这个 m n， 其实它的 m n， 它的长度是 m n 长度是知道的，那所以这个 m q m q 的 长度，那就是 m n 一 撇的二分之根号二倍，所以就是 二分之五倍根号二，对吧？啊？那所以其实跟着这个 n p， 我 们也知道了二分之五倍根号二，然后这个 n e p q， 它也是二分之五倍根号二，那所以整个的这个 n e p p， 那 它其实就是二分之五倍根号二加五， 是吧？那其实我们最终是要求这个，呃，求 p p n， 那 所以我们知道需要求这个 p g， p g， 它是和是等于这个整个的 n e p p 的， 因为这里边它也是个等腰直角三角形， 所以是 p g 是 等于这个 n e p p 是 等于五，加上二分之五倍根号二， 然后那所以这样的话 n p 也知道了， p q 也知道了，那所以整个的这个 n g， 它就等于 np 加上 p g， 所以 是等于五啊，加上五倍根号二啊。所以这个其实是两个答案，就是五倍根号二加减五 啊。这道题就讲到这里，这道题其实他的计算量还是比较大的，这个就是第三问。而且最主要是大家在考场上可能没有这种画，你要发挥自己的想象力，能把这个图首先画出来，对，要多去训练自己画图的能力啊。今天这道题就讲到这里。

几何压轴几何证明的技巧。大家好，今天这个视频是这个系列的第四个视频，我们今天将要分享的是今年南开初三下学期的月考题。在正式讲解之前，我们先来看一个动点问题，这个是比较常规的一个动点问题， p 点是直线 l 上的一个动点， a 点是一个固定点，连接 ap， 将 ap 绕着 p 点顺时针旋转九十度， 就得到了 p q。 问，这个 q 点的轨迹是什么？根据瓜豆原理，主从相似， p 是 主动点，直线，它的轨迹是直线， q 点是从动点，所以往往它的轨迹跟主动点的轨迹是相似的，也是直线，那我们如何去证明呢？ 啊？我们做第三问的时候，如果这个动点问题出现在第三问，我们是不需要证明的，只需要用结论啊，那我们如何去证明 q 点的轨迹是一条确定的直线呢？在这里我们可以这么来思考，我们连接 a q 好， 然后 p 点，在运动的过程当中，我们发现直角三角形 a p q， 它是在绕着 a 点在旋转，并且有缩放，对吧？ 好，那如果说你看到旋转跟缩放，那我们可以去尝试想一想能不能够造手拉手，因为我们在第一个视频当中讲过手拉手，他从图形变换的角度来看，他就是旋转和缩放，对吧？为了构造手拉手，我们需要去确定一个特殊的动点 啊，这个动点 p 点，我们可以确定一个它的特殊的点，比如说我们就找它在这里的时候，这个 p 点 恰好是这个 b 点啊，这个 b 点呢，是过直线 a 做 l 的 一个垂线段的一个垂足。好，那这个时候如果我们把 b a 绕着 b 点顺时针旋转九十度，这个 a 点就跑到了这个地方。 好，我们把它叫做 c 点，我们是不是就有了一个直角三角形 a、 b、 c。 好， 然后你来看一看直角三角形 a、 b、 c 和 a、 p、 q， 它是不是就是相似的，并且是绕着一个公共的点 a 点旋转的啊？所以它是旋转说法 啊，可以构造手拉手，可以构造手拉手，那么我们就能够得到这个三角形 a、 b、 p 和这个三角形 a、 c、 q， 我 们把它涂一下， 它是相似的啊，三角形 a、 b、 p 相似于三角形 a、 c、 q。 好，然后呢，我们就可以得到这个角度是九十度。好，因为 a、 c、 b 是 四十五度， a、 c、 q 又是九十度，所以这个角它自然就是四十五度，并且 c 点是一个确定的点，是一个固定的点 啊。 b、 c 就 等于 ab 吗？ ab 是 固定的，是确定的，所以 c 点是一个确定点啊。 q 点呢？是不是刚好就在 c、 q 这条直线上？ 所以你看，我们就证明了 c q 这条直线，它是过一个固定点的，倾斜角度是四十五度的一条直线，是一条确定的直线，所以 q 点的轨迹就是一条确定的直线，就是 c q 这条直线，我们就证明好了啊。好，那我为什么要讲这一个很简单的模型呢？ 因为我们在这个题当中，我们证明第二问的时候要用的，我们来看一下 好，这道难开的题。直角三角形 a、 b、 c b， a、 c 等于九十度，这个是九十度，我们第一问，我看啊，我们直接看第二问的证明。 好，他说将 a、 c 绕着 a 点顺时针旋转九十度得到。呃，将 a、 c 绕着 c 点，逆时针旋转四十五度，得到 c、 f， 然后和 a、 b 延长线相交于 f， 对 吧？那就意味着这个 a、 c、 f 这样是一个横腰直角三角形。好， b 点呢，是 b 点在这啊，然后把 c、 b 绕着 b 点，逆时针旋转九十度得到 b、 d， 啊，得到 b、 d， 那 这两条线段就是相等的，这个也是九十度。 好，让我们去证明什么呀？二分之根号二倍 c、 e 加上 ab 等于 ac， 我 们来看一下这条线段 啊，很明显 a、 c 和 af 是 相等的，所以呢，我可以把这个 a、 b 一个向移到右边来，用 a、 c 减 ab， 那 首先就是 af 减 ab 等于 f b。 好， 我们就要证明这个 f、 b 等于二分之根号二倍 ce。 现在我们就转化了，我们只需要证明 f、 b 等于二分之根号二倍 ce 就可以了。那我们我们怎么去证明呢？我们来看一下。哎，如果说你换一个角度来看待这个图形的话，你就会豁然开朗。首先 a、 c、 f， 我 们认为它是一个确定的横腰直角三角形 啊，而这个 a、 c、 d， 大家看一下这个角度，它等于 r 法，我们是不是就可以认为其实这个 b 点它是 a、 f 上的一个动点？ 好，然后呢，把 c、 b 绕至 b 点，逆时针旋转九十度，得到了 b、 d， 我 就得到了另一个洞点 b、 d 点是由 b 点来生成的啊，如果你这样子看待的话，这个是不是就变成了一个 洞点？问题，这个 d 点的轨迹肯定是一条确定的直线，但问题是现在我们做的是第二位，不是第三位，我们需要去证明它的轨迹是一条确定的直线，需要证明这么一件事情的，对不对啊？ 好，那我们是不是就要用之前讲的那怎么去证明呢？构造手拉手，对不对？构造手拉手啊，假设我们这个动点 b 点，我就放在一个特殊的点 f 点这个地方，放在 f 点这个地方 啊，好，那么我把这个 c f 绕着 f 点逆时针旋转九十度，是不是会得到这个？我换一下，逆时针旋转九十度，那这样 好，我们叫这一个点呢，是 m。 好， 那你看一下，现在这个 c f m 是 不是等于二直角三角形，然后 c b、 d 呢？我们把它连起来啊， c d 连起来也是等于二直角三角形，是不是就是手拉手的模型了啊？然后很明显我们就可以得到 c f b 和 c m e， 这是相似的，并且相似比是根号二倍，所以这个 f b 就 等于根号根号二倍的 f b， f b 就 等于 dm 啊， dm 就 等于根号二倍的 f b。 而我们要正的是什么呢？我们要正的其实是根号二倍 f b 等于 c e， 你 看这里它是不是可以化成根号二倍 f b 等于 c e， 对 吧？现在根号二 b， f b 等于 dm， 所以 我们要去证明 dm 等于 c e 就 可以了，对不对啊？根据刚才的相似，我们可以得到这个角度和这个角度相等，所以是四十五度啊，而这个角度呢， 是四十五度，所以这个 dm 和 cf 是 平行的啊。好，我们怎么来证明 c e 和 dm 相等啊？因为 c e 和 dm 平行，那是不是很明显了？现在就要证明这两个八字形的三角形是全等的， 这个很好证明啊，因为 c e 和 d m 平行，并且 a 点是 c m 的 中点。好，那所以我们可以证明这两个全等啊，用 a， a， s 就 可以证明他们全等，我就得到了 c， e 就 等于 d， m， 那 这个问题不就中完了吗？对吧？好，我们简单的来写一下， 或 f 或 f m 平行于 c， f， 交 c， a 延长线于 m 连接啊 c， d， e， m。 首先我们根据手拉手，我们去证明三角形 c， f， e 相似于三角形 c， m， d。 啊，好，并且得到相似比是根号二，所以我们可以得到这个 e， m 等于根号二倍 f， b， 对 不好？然后呢，我们还能够证明 c， e 是 平行于 d m 的， 所以呢，那个八字形全等就很容易出来，三角形 a， c， e 就 全等于三角形 a， m， d， 这个可以用 a， e， s 来整好，然后我们就可以得到这个 c， e 就 等于 dm 就 等于根号二倍 f， b 就 等于根号二倍，那 f， b 呢？就是 a c 减 ab。 好， 你把这个根号除过去，你就挣到了最后的结果，这就是这个题的证明。 我们来理一下他是怎么想到这个思路的，他是要就是什么，就是转换一下你看的这个图形的视角，比如说，你把 a， c， f 看成是一个确定的等腰三角形 b 点看成是动点，但 d 点呢，就是另外一个由 b 点生成的动点，把它看成是动点问题， 然后你就想到要构造一个手拉手啊。 ok， 这就是这一道题目，欢迎关注，强哥带你搞定四大金刚初中数学压轴题！

啊， ok， 九十五小课堂又开课了啊，好久没更新了，今天借这个机会更新一下 啊。首先非常抱歉，就是那个卷子又丢了，但是我记那个条件我就是大概说一下吧，就是假设这个三十二到三十二这个点是 a 吧， 那么第一小问，第一小问应该是求这两个点之间的距离，对吧？这两点之间的距离，那不就是 三十二，然后三十二，那这是个直角，这是个等腰直角三角形，然后每个角是四十五度，那这个斜边就等于根号二倍的直角边，那就是 三十二倍的根号二。看这第一问非常简单，来啊， ok， 来看第二问。第二问， 我记得是就是他被分成了无数，可以被分成无数个无限段，无数个整数线段，而且整数那个线段的两个端点吧，就必须横纵坐标必须都是整数。 首先我们知道两点之间直线最短，对吧？两点之间直线最短，那 o 到 a 的 距离最短，肯定是个第一问求的三十二倍根号二，但它不是个整数， 所以我们这道题肯定要用勾股数来求勾股数。第一小问是一根号二， 那么三边之差最小的就是三边大小差距最小的一个勾股数是什么呢？就是三四五。所以这道题我们的思路肯定是要从这个三四五这个勾股数来入手。 然后有一个非常重要的一个点，就是他这个被分成无数个小的线段，他不可能是用这个三四五说就这样这样的，他肯定是不可能的，因为 相当于这条边特别长，所以我们肯定是无数个小的，就比如说三四这样，因为我们斜着来了一个，然后我们竖着肯定也得再来一个，就是三四， 我们可以把这个设为一组，就是这组就是 y， y 是 七， x 也是七，那么就可以用三十二除以七等于多少呢？等于 四于几呢？四七二十八于四，等于四于四， 然后这时候我们就知道了，他肯定是四个，这样组合就是二十八个组合，就是横纵坐标都是二十八，那么现在就相当于只剩一个四乘四的一个小正方形了， 对吧？上一个四乘四的小正方形的话，我们就可以最后再用一遍一个三四五，这是四吗？这是三，然后这是五，然后最后一的话没法用了，就直接直接过去，然后如果这样的话 也是一样的，对吧？这他这个其实无所谓的，抱歉啊，刚才弄错了，应该是 因为他七相当于是有是一组吗？有两个，那就是有四，那就是四乘以二乘以五，加上最后那个五，再加上一，就等于四十六。

期下、期中、月考，期末必考的非常典型的平行四边形求面积的问题，我们一起看一下。给定这样一个图，平行四边形 a、 b、 c、 d 的 面积为一百，三角形 p、 a、 b 的 面积为十九，那么问三角形 p、 c、 d 的 面积为多少？那么这个题其实考察的是一个 非常经典的模型，叫拉窗帘模型，掌握了这个模型的同学，这道题可以直接秒出答案，如果在考试当中让孩子去推导，百分之九十五的孩子是推导不出来的。今天张老师一分钟带大家来了解什么叫拉窗帘模型。 很多同学经常会有卡点，最根本的原因就是知识点学成了碎片，没有办法系统的运用所学的知识，为此我把初中数学三年所有的知识点系统的给大家梳理成了四十八页知识系统思维导图， 有兴趣的家长可以六六六。那我们说什么叫拉窗帘模型，画个图简单的看一下啊。这两条就是平行线，这一个三角形我们说 p、 a、 b， 那 么这个三角形的面积， s 三角形 p、 a、 b 的 面积，它是由底边和底边上的高来决定的，所以我们这个 p 点可以在上面这条平行线 来回的移动，不影响这个三角形的面积，因为它的高始终不变，两条平行线之间的距离它是不变的，所以 s 三角形它是等于 s 三角形 p、 e、 a、 b 的。 那么掌握了这个原理的话，我们就可以来直接解这个题了，那么我们看还是从问题出发，明确目标，目标是让求 s 三角形 p、 c、 d 的 面积就是这个 p、 c、 d 这个三角形的面积，那么给定的条件是平行四边形 a、 b、 c、 d 的 面积，那我们就想如何将要求的目标和这个条件联系起来，假如这个 p 点是在 a、 d 这线上的话，我们其实就可以举个最简单的例子啊。先假设假如 p 点是在这里的话， 那我们是不是可以就将这个平行四边形的面积分成了三部分，第一部分、第二部分，第三部分，那这第一部分已知，第二部分是平行四边形面积的一半，这三角形是它的面积的一半，那是第三部分。总何知道了，其实总的平行面积减去一部分二部分，剩下的就是三部分，那么如何 将这个条件转化到我们说的这个 p 撇点，让它在 a、 d 上来就是利用的就是 p 撇点，那么三角形 p、 a、 b 的 面积是不是等于 s 三角形 p 撇 a、 b 的 面积？底边边长不变，高不变，我们就将条件进行转换了，转换到这个平行四边形里头来，那么第二个这个 s 三角形 p 撇 bc 底边 bc 边乘以高，再乘以二分之一，是不是等于二分之一倍的，这个平行四边形的面积就等于五十， 那么再问 p 撇 c、 d 是 不是就等于一百减五十，再减一十九，等于三十一，那么这个 s 三角形 p 撇 c、 d 是 等于 c、 d 边乘以这个底边的高，它的面积和三角形我们要求的目标面积 p、 c、 d 是 不是相等，那么这就等于 s 三角形 p、 c、 d。 所以我们最后要求的目标其实就是三十一，那么这就是利用我们说的拉窗帘这个模型，将条件进行转移到我们的已知条件里头，把一个陌生的问题转变成一个熟悉的问题，其实就是将平行四边形的面积分成三部分，知道其中的两部分和总的面积。求第三部分小学生都会做的题。好，这个题给大家分享到这里。

即将参加中考的同学，这道几何压轴题建议一定要吃透，很多同学都会栽在这三个十分短板上，是不是一看动点压轴就内心慌乱？辅助线盲目乱画，几何模型无法识别，解析思路彻底卡住考试时间，白白消耗 大题，分值白白丢失。第一问十分短板，懂得运用勾股定理，却不会利用社员构建方程，对应勾股定理方程模型，很多学生可以熟练计算等腰三角形边长，但是遇到动点题型就无从下手，找不到解题切入点， 整体解析逻辑十分清晰，先借助等腰直角三角形固有性质求解固定边长，依照题干线段等量关系合理设圆，将所有动态线段逐一表示， 一托直角三角形特性，结合勾股关系列出方程，结合提意筛选合理答案。基础题型思路简单易懂。 第二问，十分短板，遇见四十五度角结合等腰图形辅助线，无从构思，难以证明。全等关系对应四十五度半角加斜边中线。全等模型也是平时考试最容易卡顿的题型。 大部分学生遇到线段关系探讨题，都会随意会制辅助线，牢记这套破题思维，只要题干出现等腰直角，搭配四十五度特殊角度， 优先选定斜边中点做辅助中线。利用图形性质得到等边等角条件，结合已知条件证明两组三角形全等，进而推导出新的等腰直角结构。依靠角度关系确定点位，即可推导出线段之间的数量关系，避免无效构思辅助线。 第三问十分短板，动点最值题型没有思考方向，面积比值计算过程繁琐，容易出错，对应旋转最值加八字相似模型 压轴。最后一问是拉开学生分值差距的关键题型，也是多数学生容易放弃的难点。整体分为两层思考逻辑，遇到线段和最小值问题，利用旋转构造全等图形将折线线段进行转化，利用三点共线确定最值位置， 根据动点特殊位置推出平行线结构，进而发现八字相似三角形。借助线段比例关系推导结果，不需要复杂繁琐的大面积运算，利用比例关系即可快速求解，简化大题难度。最后给到即将中考的同学总结， 整道题目包含全部中考高频几何核心模型，没有冷门偏门解析方法，全部都是考场实用思维，能够精准识别几何模型，找准题型突破口，几何压轴难题就会变得简单。 考前深度理解这类题型思路，遇到同类行动点几何题都可以举一反三，稳稳把握住大题关键分值。

初中几何最怕什么模型套模型！今天这道题把一线三等角和将军一马两大高频考点揉在一起，学会这道题呢，直接搞定一半的几何综合题。咱们先来复习两个核心的模型，一线三等角 和将军一马。一线三等角呢，就是说一条直线上有三个相等的角， 且 a、 c 和 dc 相等，这个时候我们可以得到三角形 a、 b、 c 和 d， e、 c 是 全等三角形，我们可以简单的来推一下。 首先左边这个角中有角 b 等于角 e， 角一和角二互余，角一又与角三互余，那么角二就能等于角三，然后还有 a、 c 等于 dc， 所以 这两个三角形是全等三角形。 将军一马的核心呢，就是找到端点，找到折点，而折点所运动的这条直线 o a 是 对称轴，我们把端点关于对称轴做它的对称点， p e 用垂线在最短 过 p e 向 o b 做垂线，那这条垂线与 o a 的 交点为 m， 与 o b 的 交点为 n p、 e、 n 就是 我们要求的最小值。在四边形 a、 b、 c、 d 中， e 在 b c 上， a， e 等于 d， 角 a、 b、 e。 角 a、 e， d 等于角 e、 c， d， a、 b 为五， bc 为十二，让我们求 b、 e。 现在我们要证明这两个三角形是全等三角形，那已经有 a， e 等于 d， e， 角 b 呢等于角 c， 我 们再找一个条件相等就可以了。那咱们角一加角二 等于一百八十度，减去角 b， 又因为角四等于角 b， 所以 咱们能得到角二等于角三。因为角 b 和角 c 相等，角二和角三相等， 又有 a、 e 等于 d、 e。 通过角角边，咱们可以得到这两个三角形是全等的，全等三角形的对应边是相等的， a、 b 等于 ec， 所以 这个边是五，那么 b、 e 呢？就是十，二减去五 为七。来看第二问，已知长方形 a、 b、 c、 d 的 周长是三十六， a、 d 的 值为十，这条边是十，那我们可以得到 c， b 是 八点， e 为 a， d 上的一点，且这三个角都是直角，然后 ef 呢， 它又等于 eg。 那 根据我们刚刚讲过的一线三等角的模型，咱们可以知道这两个三角形是全等的，因为有一个直角，直角相等，角一和角二相等，然后且有一条边是相等的。根据全等三角形的 对应边相等 d， f 与 a 相等，我们设它为 a， 那么 f、 c 的 长就是十减 a， g、 b 的 长是十减 b， 然后从 d、 a 这条边我们能得到 a 加 b 等于八。现在结果是让咱们求四边形 b、 c、 f、 g 的 面积，我们能看出来它是一个梯形，梯形的面积公式为 s 等于二分之一乘 g， b 加下底乘以高，对不对？那 代入就是二分之一乘 g， b 再乘 c， b 等于二分之一乘十减 b， 加上十减 a 乘八，咱们整理一下，能得到四乘二，十减去 a 加 b， 刚刚我们算出来 a 加 b 等于 a， d 的 值对不对？也等于 c、 b， 那 它就等于八，我们把八代入进去， 四乘二，十减八，最终求出四边形的面积为四十八。第三题是一道比较难的综合题，就是我们刚刚说到的一线三等角和将军印马模型套模型的一道综合题。这道题呢，也是分三步走，第一步，先 通过一线三等角证明两个三角形是全等的，然后进行导边。第二步呢，是通过将军印码把 b 点 对称过去，然后得到他的 b、 m 加上 m、 n 的 最小值是什么样子。三步是分割多边形，把多边形分割成两部分，我们先来看题，这样三角形 abc 角， c 是 直角， a、 c 为五， bc 的 长是十二， ab 为十三，以 ab 为边，在其左上方呢，做一个正方形 a、 b、 e、 f， 那 正方形的四个边是相等的，所以它的每个边都是十三， f、 d 也是垂直于 c、 d 的 这条直线上呢，有三个直角，通过刚刚我们讲过的一线三等角，咱们能推断出来这两个三角形是全等三角形，两个直角相等，然后角一等于角二， a、 b 呢等于 a、 f 角角边。咱们来证明这两个三角形是全等三角形，全等三角形的对应边相等， bc 等于 ad， ad 也是十二， ac 等于 f、 d， f、 d 也等于五，我们要把计算出来的条件全部再重新给它标注回图上，这样看起来更加的清晰明了。 第二步，当 b、 m 加 m、 n 的 值最小的时候，让我们求这个多边形的面积，我们来看一下图， b、 m 加上 m、 n 的 值什么时候最小呢？我们来分析一下。点 b， 它是一个定点点， m、 n 是 两个动点。我们一般把折点所运动的这条直线叫做对称轴，那我们把端点 b 过 a、 e 做它的对称点，然后恰好这个图形 a、 b、 e、 f， 它是一个正方形，然后标注中已经告诉我们了，正方形它是轴对称图形，对角线也是一条对称轴，那我们过 a、 e 这个对称轴做 b 点 的对称点，它就刚好落在 f 这里，那么现在让求的 b、 m 加上 m、 n 的 最小值也就转变成了 f， m 加上 m、 n 的 最小值，那点到线段的距离最小的时候是垂线段，所以咱们现在需要过 f 点向 b、 c 做垂线，它与 a、 e 相交点叫 m 点， b、 c 相交于 n 点， f、 n 就是 咱们要求的最小值。我们来观察这个四边形， f、 n、 c、 d， 这个图形有三个 直角，那么根据四边形的内角和为三百六，我们可以得到这个角也是直角，那么这个图形它就是一个长方形， 所以这一段的距离是五。 f， n 的 距离， f， n 的 距离等于 d， c， 也就是十七。第三步，咱们是不是要分割这个多边形了？多边形 e、 f、 m、 n、 b， 咱们连接 f、 b， 我 们来看左边这个三角形， b， e、 f， 因为它是一个，因为这个图形它是一个正方形，所以这里是一个直角，那么左边的面积就等于分之一 乘十三乘十三，加上右边的这一部分的面积， b， n 等于十二，减去五，那它是七。 f， n， 我 们刚刚已经得出来， f， n 等于 d、 c， 它为十七，所以右边的面积等于二分之一乘七乘十七，最终得出多边形的面积为一百四十四。

初一能达到一百四的孩子，说实话计算能力肯定是比较 ok 的， 但是呢，初一能够达到一百四，他也不见得最后的压轴题能做出来，而且一百四以上在初中整个阶段来中，初一是最简单的。为什么？初一的压轴题他是很有套路化的， 比如说动觉问题，按照我的过关训练法，基本上能够完成百分之八十的题，就是他再难难不到像初二那种难度。初二到底为什么就直接分数能下降呢？因为很多孩子他真的到初二之后学几何真的非常困难。为什么困难？ 也不是说孩子思维不够了啊，其实就是没有学会问自己问题，整个的思维的流程他没有形成。就比如说拿到一道几何题，你要问自己 图标完了没有，对吧？隐藏条件自己画出来没有对吧？第三个，要挣哪个三角形全等。第四个，缺什么条件？第五个，缺的条件能放在别的三角形里去证明，还是有其他条件可以推倒。第六个，你挣完全等之后， 哎，能不能够同步信息，把你所有的边角关系，包括位置关系去同步掉？第七个，就是你所有的东西挣完之后，到卡住的时候，你去想一下 还有什么条件没用到。所以孩子到初二他下降的原因就是整个的他的思维流程，哎，没有形成啊，我们还没有学会问自己问题。所以你家孩子如果说到初二之后，哎，整个成绩掉的很厉害的话，可以来找林老师聊聊。

初二三月月考五大压轴题型，点赞收藏加关注，跟着数学杨老师每周练， 每次大版八年级下册。三月月考通常涉及两个章节的内容，考试的选择、填空和解答压轴题型。那么归纳为五大压轴题型题型一，手拉手模型。例如 二五年质答解答压轴题二十题二三年才一层解答压轴题第二十一题 题型二三垂直模型。二五年思域填空压轴题十六题以及解答二十三题。二五年五中解答压轴题二十三题背长中线。 二五年五中解答压轴题二十二题。二十年三十七中解答压轴题二十二题星期四角平分线辅助线。二五年三十七中解答压轴题第二十二题星期五 等于幺三二题的分类讨论二三年时钟填空压轴题第十五题关于历年的三月月考考题，如果有需要的同学和家长，欢迎大家私信袁老师免费给大家进行分享。