八下数学163页解题步骤

好，各位家长好，今天给大家讲一个八年级易错的知识点，很重要的，很重要的平行四边形的判定定律有几个，课本上给了四个，我们一切以教材为主，就有的同学可能是真命题，但不能用到判定的。 我们一切以课本为主，但是大家去翻课本，有的同学因为我最近在寒假再给一些同学讲到平行四边形，包括一些学校也会讲到平行四边形了，已经讲到了 老，他会说，老师，课本上四点四新教材只有三个，翻到一百二十五页。这有一个说，一组对边平行起相等的四边形是平行四边形，翻过来说两组对边分别相等的四边形是平， 是平行四边形。再往后面翻，又有一个说，那个对角线互相平分的四边形是平行四边形，老师，只有这三个，再往后面就没有了，是中线了，为什么只有三个？其实还有个在哪？他在四点二这一部分，大家注意他在四点二， 就是平行四边形的性质这一块，他在标题下面有隐藏的有有有，在写着的，可能大家看到的镜像，我给大家念一念，在四点二标题下面。平行四边形及其性质，下面有两，我们 小学时候已经学过。下面说两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形，明白吗？这个就是平行四边形的，顾名思义，平行四边形。平行四边形就是两组对边，上下平行，左右平行它平行四边形，明白吗？课本上只有四个。我再说一个大家容易用的，但是不对的， 他是一个真命题，对角相等的四边形是平行四边形，对吗？这句话是对的，是真命题。对角相等能推出来本来四边形，内角和是一百八三百六十度， 那么就能推出来菱角相加等于一百八十度，也有菱角互补，那么就可以推出来上下平行，左右平行的，知道吗？归根结底还是用两组对边分别平行的。 你不要说因 abc 倒四边形，因为角 a 等于角到角 b 等于角 c， 所以 四边 a b 四是平行四边形，那这句话就是错了，知道吗？少一步明白吧？不要直接用，大家记住这个易错点，课本上没有的就不要直接用。

你想提高数学成绩吗？免费帮你提高成绩，你还在不乐意啊？八年级数学下册小册的第八十页纸上呢，我们看到第六张的平行四边形。 第一题如图，在平行四边形 a、 b、 c 这种角 b、 a、 d 的 平分线，那么跟着我一起列 b、 a、 d 的 平分线，所以大家做记号，这两角相等 好，加 dc 的 延长线。加什么东西？这就看图了，这里第一个叫做平行四边形，这个叫做平分线好，然后呢， ab 等于四， ad 等于六，好把它做记好。求， e、 c， e、 c 在 哪里呢？哦， e、 c， e、 c 在 这啊，求这这这是 e、 c。 好， 先把图形给我看清楚 好，由于平行四边形呢，这个 a、 d 跟 b、 c 是 既平行又相等的，所以那我们看到这个角一啊，是等于角二的，角二呢，是等于角三，等角再等边，所以这边等于四， 这边等于四， b、 c 等于这个等于六，所以这个 e、 c 等于二。那么因此第一题写的 d 啊，跟我一起练习对吧？其实很多东西都很简单的，但是考试有的同学，现在有的同学真的是刷到我的都都都不愿意跟着我来看啊， 那这里要记住啊，角平分线对吧，两角相等，两这平内侧角相等，得到角一等于角三，也就得到 a、 b 等于 b、 e 啊，这是个等幺三的题目啊，这样呢，未来我们经常有这种题目的。 第二题，又是角平分线，你看角 b、 c、 d 的 平分线，你看角一等于角二，角一等于角三， 对吧？意味着平行四边形也是平行线，所以角二等于角三，所以 d、 c 等于 d、 e。 那 么说 a、 b 等于意思， a、 b 等于什么意思？一是吧，那么平行四边形 a、 b 是 等于 c、 e、 d 的， 那么刚才角二等于角三的时候， d、 c 是 等于 d、 e 的， 哎，这三边不就成了相等吗？三边的相等，这个角就是六十度，也就说这个 c、 d、 e 是 等边三角形，等边三角，这个角六十度，那么这个平行四边的菱角互补，所以角 a， 那 就是一百二十度。 好，我们得到等边三就行。好，这两边相等是平行四边的对边相等，这两边相等呢？是角一等于角二，角一等于角三，得到角二等于角三等角对等边，对吧？嗯，那么这 ab 等于 c、 e， 那是已知的，对吧？所以这个 c、 d 等于 ab 等于 c、 e， 这个，这等于这个三边都相等，所以等边三角等边三角呢，这个就得到六十度。而根据，因为始终这是平行四边形，对吧？所以两边平两组啊，这一组对边平行，同的那角互补，所以这个一百二十度角 比三题还是平行四边啊。 a、 d 垂直于 b、 d 角所在的边呢？斜边一半， 那么 b、 d 等于三，所以 a、 b 就 等于六，对吧？ a、 d 我 们通过勾股定律就等于三根号三，我们就不多说了，那平行四边形的面积就可以等于底垂高，把 a、 d 当做底高就是 b、 d， 哎，就是三根号三乘以三，那就等于九根号三， 对吧，所以这个面积就等于九根号三。平行四边形的面积啊，等于底乘以高，三角形的面积是底乘以高，还要乘个二分之一，因为这个平行四边形就是两个三角形的面积。 第四题，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 e 垂直， bc 于 e， f 垂直于 f， 这垂直了 a， e 比 a， f 等于二分，比三分。 呃，这地方我们要根据什么东西呢？平行四边形的面积啊，可以等于这个 b， c 乘以 a， e， 对 吧？底乘以高也等于 c， d 乘以什么呢？ af 啊，这个式子我们叫做等级式，有这个等级式，我们就可以变成 a， e 比 af， 我 们根据外向的积等于内向的积， a， e 乘以 b， c 等于这个 af 呢？乘以 c、 d， 这个在小学也提到了，虽然我们中学要到后面才学，但是简单呢。呃，这些性质也要知道一些啊。 a， e 乘以 b， c 等于这个 a， f 乘以 c， d。 好， 那就是 a， e 比 a， f 等于 c， d 比 c， d 就 等于二分，比三分 好，那么现在我们看到平行四边的周长是五十，零边的和角等于二十五，也就是 ab， 如果我们说这个 ab 等于 cd 等于二 k， 对 吧？ bc 等于 ad 等于三 k， 那 么这样呢？我们就知道，二 k 加三 k， 对吧？零点和的两倍等于五十，对吧？二 k 加三 k， 五 k 等于五十 k 等于五。好， k 等于五的话，那 ab 就 等于二五一十，所以 ab 就 等于十， ab 等于十， cd 等于十， ad 等于 bc 等于一十五。 好，那么这里我设计了用了一个辅助位的时候 k， 这样呢，可以快速的去解答问题啊，就很简单的了，同时也设计了一个辅助位的时候 k， 这样呢，我们看到第五题， 在平行四边形 a、 b、 c、 d 中，对角线交于点， o， a、 c 等于六， b， d 等于十， a， b 等于四。求角 b， a、 c 的 度数。我们看到图形在这里啊， 他刚才说这里是个平行四边形 a、 b、 c、 d， 然后呢？ a、 c 等于六的话， o， a、 o， c 就 等于三， b、 d 等于十， o， b， o， d 就 等于五。由于这个 a、 b 等于四，根据三的平方加四的平方啊，等于九，加一十六等于二十五，刚好等于 o， b 的 平方。根据勾股定律，逆定律，我们得到角， b， a、 c 就是 九十度。 好，第一个，我们得到角， b， a、 c 等于九十度。好，具体的步骤我没有写，我这个口袋儿说了一遍，那么这个第二个呢？这个面积 s 平行。四边形 a、 b、 c、 d 就 等于底乘以高就等于 a， b 乘以什么呢？ a、 c， a、 b 是 几呢？ a、 b 是 四， a、 c 是 六，四六，二十四。好，呃，这都是比较简单一点的呃，练熟了，熟能生巧，考试呢？呃，即使拿不到满分，也可以得到比较高的分数，记得点赞关注哦！

要想数学成绩好，每天练习不可少。八年级数学下册课本一百六十七页纸上的 第五题已知如图，在平行四边形 a b c d 中， a b c d 平行四边形。好，他已经说了第一个已知条件， e f 分 别是 c d 和 ab 边上的点 a e 平行于 a e 在 哪里？ a e 在 这里， a e 平行于这个 c f。 呃，没有了吧？其他这什么教理啊？求证。这个 e g 等于 f h。 哎呀， e g 等于 f h。 咱们能不能得到这中间的这里小的是个平行四边形就可以了 啊？这样的平行四边的这边就行了。我们看到这个平行四边形 abcd 啊，我们是可以得到这个 ab 平行且等于这个 cd 啊。 a b 跟 c d 是 既平行又相等的。如果现在有一个叫做 a e 等于平行， a e 平行于 c f， 我 们看到 a e 平行于 c f， 那 我们就可以得到什么东西呢？就可以得到这个叫做 a f 平行于 c e， 并且这个 c f 平行 a e。 好，我们就可以得到这个 a f 平行于 c e， 并且这个 a e 是 平行于 c e f， 对 吧？好，那么有这两个我们就可以得到平行四边形 a f c e a f c e。 好， a f c e 的 话，那我们就可以得到这个叫做我们就可以得到什么东西呢？刚 才我们说要得到这个叫做我们就可以得到什么东西呢？刚才我们说要得到这是个平行四边，这本来这个平行就证明了。哦， 好，我们再继续来看一下哈。呃，那我们能能不能证明这个跟这个是平行的呢？我这个跟这个平行是刚才这已知的有的，对吧？这个平行里面有的。 呃， a f 呢？ 我们来看到这里啊，这个 b f 跟 d e， 由于这个 a f 是 等于 a o， 那 这里我们得到 a f 等于 c 啊，这个平行四边形，我们得到 a f 等于 c e， a f 等于 c e 的 话，因为刚才的 ab 是 等于 cd 的， 看来我们又可以得到什么东西呢？叫做 ab 减去 ab 等于 cd， 减去 c， 减去 c e， 所以 我们就可以得到这个 b f 叫做 f 字母吧。 b f 平行且等于 d e 好， b f 平行切等于 d e， 那 我们由此类推，我们就可以得到这个平行四边形，叫做 b e d f b e d f 好， 那么这样我们就可以得到这个叫做 f d 平行切等于 b e， 所以 f d 平行且等于是这个等可以不写啊。呃， b e， 当然你需要它的时候你就把它写出来，那么这里我觉得好像不需要吧，我们等会再往后看好这个 d f 平行 b e 好， d f 平行 b e 呢？ g， 这个 g f 平行 h e 啊，这两个平行。那么刚才根据 a e 平行于 c f 就是 g e 平行于 c f， 所以 我们加上这个 g e 平行于这个 f h g e 平，所以我们就可得到平行四边形，叫做 e g f h e g f h 好， 平行四边的对边相呢，所以我们就知道 e g 等于 f h 啊，这题我就说到这为止啊，这题可能有的同学没有听清楚，中间的步骤很长啊，我这里只是把这个推理的过程跟大家说一下，要把它写出来还是有个难度的 啊，有时间大家自己去理。我们的第六题，小明是这样画平行四边形的，如图，将三角尺。 呃， a b c 这个三角板，它的一边 a c， 比如说一个三角板，当然我这里是，呃，三十度的，它是四十五度的三角板啊，贴着这个 a c 往上这个推移，那么这个实际上是平移的做法。 我们得到这一个四平行，叫做 a b b a， 它就是平行四平，为什么呢？因为这个 a b 啊，是平行切的， a e b e 的 叫什么呢？叫做这个平移。呃，前后的对应线段平行且相等啊，或者在同一条直线上啊，经过平移， 对吧？呃，对应线段平行且相等，或在同一条直线上，所以这个 ab 跟 ab， 当然这里呢是平行且相等的，对吧？所以那个，呃，我们得到这个平行四边形，呃，这里又是一组对边 平行且相等的四平行，是平行四平行。有时间我没有写完啊， a b b 一 a 一 是平行四平行。记得点赞关注哦！

为什么很多人中学的数学成绩差呢？ 哎呀，我好心跟你讲，你又不听呢。八年级数学下册课本一百六十三页纸上到。 好，我们看到在笔直的铁轨下，夹在两根铁轨之间的平行的整木是否一样长啊？整木就是这个，是不是一样长？我们说是一样长的。哎，为什么是一样长的呢？因为这里的两个铁轨呢，它是平行的。那当然，我们大家看起来好像 越来越近一样的，这是视觉的错误啊，他们这两个是平行的，那么这两个平，这两个铁轨呢？也平行，那么因为这是个立体的感觉啊， 所以我们看着好像这两不平行一样的啊。那么这两个平行，所以中间得到的是一个平行四边形，所以平行四边的对边相等。所以我们说夹在两根铁轨之间的平行的枕膜是一样长度的啊。理由，根据 平行平行两的对边分别平行的四边是平行四边。如果平行四边的对边相等，那我们看到第一百六十四页纸上的。好，我们先看到这个例题。 呃，直角 a 平行于 b， 如果这里垂直，这里垂直，那么都是九十度同外角相等，两直线平行。这意思说 a、 c 跟 b、 d 也相等 啊，不说错了啊， a、 c 跟 b、 d 是 平行，因为后面要得到相等啊，后面要得到相等，而已知 a 跟 b 是 平行呢，所以我们先得到 a、 c、 d， b 是 平行四边形，那么平行四边形呢？这边是相等的啊，我们这样呢，才得到了 a、 c 等于 b、 d。 我 们把这个 a、 c 和 b、 d 啊， 叫做两条平行线之间的距离。呃，我们学的第一个距离是两点之间的距离 啊，连接两点之间线段的长度啊。第一个距离叫两点的距离，就是两个点连起来线段的长度啊，这是第一个我们说的距离啊。第二个距离呢，叫点到直线的距离。 点到直线的距离，比如说我们在中考跳远的时候，对吧？这一点到这条直线的距离，那么过这点做这条直线的垂线段啊，垂线，这个垂线的长度叫做点到直线的距离。第三个就是我们这说的两条平行线的直线的距离。 好，这是一条直线，这又是一条直线，这两条直线平行，那么其中任意一条直线上的一点到另一条直线的距离， 那么随便您在这里哪做这个距离都是相等的。我们把这个距离啊，叫做两条平行线的距离啊。如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线的距离 啊。这个就是说明这个问题的 a 到 c、 d 的 距离都是 a、 c、 b、 d、 a、 c、 b、 d 相等的。如果您再继续做这个垂直的距离还是一样长度的， 那么刚才根据那个整木箱呢，我们说加在两张平行线间的平行线段呢，是相等的，这句话实际上我们要把它背下来啊，加在两张平行线间的平行线段相等，因为 其实比如说像这他不平行，他不，不想，不，不是垂直的，就是平行的，你看到这那这两个平行，这两个平行的话，那么中间就得到这是一个平行四边形呢，所以这两边仍然是相等的，所以不一定是垂直，但是垂直的时候，我们说这个叫做距离， 不垂直的时候，我们说这两个长度啊，也是相等的。好，这个呢，叫背下来啊。 我们下面看到这个例题，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中， m、 m 现在是 dm 等于 b m， 并且 d、 e、 d、 f 等于 b、 e， 我 们说原来 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，所以这个 b、 c、 e 平行于 a、 d， 也就是这个角一等于这个角二， 对吧？角 a、 d， b 等于角 c、 b、 d。 好， 根据边角边。那我们说三角形 d、 m、 f 是 前等于三角形 b、 m、 e， 对 吧？根据边角边两个三角形切等之后，我们就可以得到这个叫做 m、 f 是 等于 m、 e。 还有啊，这两个角相等，角三等于角四，然后呢，得到角五等于角六 啊，那么前的三角形的角三等于角四，若根据等角的补角线呢？因为角三加角五一百八，角四加角六一百八，那么等角的补角线呢？角五等于角六之后呢，我们又接着得到了 m、 f 是 平行 e、 n 的， 所以我们就得到这个 m、 f、 n、 e 是 平行四边形。好，这个过程我没有写啊，书上例题这有，您自己看一下。当然每个同学的证明方法是不一样的，你还可以有其他的方法来证明， 因为时间的关系就没有多说，这里告诉平行四边角 a、 b、 c 等于七十度，而角 a、 b、 c 的 平行线，于是这里的两个角都是三十五度，平行四边的这一边平行，所以这角也是三十五度。现在这里做什么呢？ b、 e 的 平行线，那么两之间平 同一角，下面这也是三十五度，而根据平行四边的对角，下面角 a、 b、 c 等于角 a、 d、 c， 那 么 这个也是三十五度，这个叫七十度减三十五度还是三十五度，所以角 c、 d、 f 啊，还是三十五度。当然每个同学的这个过程可能就不一定是一样的了，记得点赞关注哦！

我教书四十年，现在免费辅导，你还不赶紧关注点赞呢。我们看到八年级数学课本下册的第一百七十二页纸， 在上一讲当中，我们已经讲了三角形的中位线，呃，我们把三角形 a、 d、 e 对吧？绕着叠异。这个其实你顺时针，逆时针行了一百八十都可以，你看，呃，顺时针这样转，逆时针这样转， a 转到这里了， a 转到 c， 对 吧？ d 呢？转到这里了， d 转，所以把三角形 a、 e、 d 绕着叠异。呃， 逆时针顺时针行呢？都可以啊，但是一百八十度得到这里，这两个三角形就是全等的。呃，当然在这里我们也可以换一种理解啊，咱们怎么理解呢？咱们说这个叫倍长中线 啊，我们可以理解为 b 长中线。呃，我们不从旋转的角度来讲，我们说延长 d， e 到一点， f 是 e， f 等于 d， e 由于已知呢，这个 e 是 a、 c 的 中点，所以 a， e 等于 c， e 好 对，零角下呢？ d、 e、 f 三点共线， a， e、 c 三点共线，所以三角形 a、 d、 e 就 全等于三角形 c、 f、 e 对吧？ s a、 s 根据那么这样我们就有了这个 a、 d 是 等于 c、 f 的 a、 d 的 c、 f， 并且角 a 等于角三，比如我们写个角三角 a 等于角三，那么角 a 等于角三，所以 a、 d 呢？也平行， 这个平行于 c， f， a， d 平行于 c， f 又 d 是 ab 的 中点 abb 三的共线， 对吧？ a、 d 平行于 c， f 就是 b， d 平行于 c， f， a、 d 等于 b d， a、 d 等于 c， f 就是 b， d 等于 c、 f。 那 么这样我们就有了 b、 d 使平行且等于 c、 f， b、 d 平行且等于 c、 f。 那 么根据 e 组这边平行且相等的四边是平行四边，所以我们就得到了这个四边形 b， d、 f、 c， 对 吧？ b， d， f、 c 是 平行四边形，那么这样我们就可以得到这个叫做 d f 平行且等于 b c。 哎，根据平行四边的性质， d f 平行 b、 c， 并且等于 b c。 而 d、 e 刚才我们是等于 d、 f 的 一半，因为刚才这两个相等吗？所以 d、 e 等于 d、 f 的 一半， 那么这样我们就有了 d、 e 平行这个 b、 c， 并且等于二分之一 b， c， d、 e 平行切入二分之 b， c， 我 们可以这样写，我们叫三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，那我们可以把它连起来写 d、 e 平行切入二分之 b， c。 好， 那么这样呢？我们叫做三角形的中位线定里，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。当然书本上已经有了这个具体的证明过程，我刚才嘴巴上跟大家说一下，但是过程可能没有写那么完整。 呃，根据三角形的中文定义，你可以把这个三角形呢分成四个小的三角形切，等，我们再来看一下我们在上一讲讲的这个指令。比如这是 a， 这是 b， 这是 c。 好， 假如说这是 d， 这是 e， 这是 f。 好， 我们看到这个 d， e 应该平行 bc， 并且它是 bc 的 一半， 就是 f 是 bc 的 中点，所以 d、 e 就 应该等于这个 d、 f 的 f、 c。 好， 我们做一个记号。同理呢，这个 d、 f 啊，也是平行 a、 c 切的 a、 c 的 一半，所以这个 d、 f 呢，那就应该等于这个 a、 c 的 一半，当然等于 a， e 也等于 c e。 好， 我们再算 f， e， e 是 a、 c 的 中点 f， e 啊， e， f 那 应该等于 ab 的 一半，也就等于 ad。 呃，也得比例好。大家看到我做这个记号啊，一记号、二记号、三记号一记号、二记号、三记号一记号、二记号、三记号、一记号、二记号三记号。也就是根据边边边三角形 a、 d、 e 和三角形这个 d、 b、 f 和三角形 e、 f、 c 是 切等的，就是三角形 a、 d、 e 前等三角 d， b、 f 前等三 e、 f、 c、 e。 那 么这个下面这个三角形切等应该怎么说呢？ a、 d、 e 应该切等 f、 e、 d 啊，在这个图形上，三角形 a、 d、 e 前等三角形 d、 b、 f。 注意对应了啊，这个我从三一二这样写。三一二，那么前等于三角形 e、 f、 c 下面前等的应该从哪里写起呢？三一二就是 f、 e、 d。 三角形 f、 e、 d， a、 d， 这个就不是什么 df 了，所以这个两个地方呢，它属于是叫做中心对称的，就是 a 与 f 的 对应点， d 与 e 的 对应点啊，这个大姐您亲自去剪一剪，折一折，画一画啊，这样呢，可能就加深理解 好，那么刚才我们这四个三角形呢，是全等的啊，它们这个面积当然也就相等。 我们看到这里的例题，平行四边形，对角线 a、 c 垂直 b、 d， 哦，没说是对角线 a、 c， 我 刚刚念错了啊，加入一点 o， e 是 ab 的 中点， e 是 ab 的 中点啊，这两个相等，他说了平行四边形 呃， e 是 中点啊，这个中点加 a、 d、 b。 哦，这里是直角，这里直角，那么 o， e 等于一， o， e 等于一，那么刚才 o 是 这个 b、 d 的 中点， e 是 ab 的 中点 o 呢？因为平行四边形的对角线互相平分，所以 a、 d 就 等于二。 呃，题目还有 a c 等于六在哪里？ a c 等于六，那这边就应该等于三， o a 等于三，好，那么这样呢？ o d 就 应该等于根号，三三得九，三的平方，九减四等于五， 对吧？ o d 等于五，所以这个 o b 也等于五，所以 b、 d， 那 就等于二，根号对吧？这个 a d 等于二，好，这个呢，就比较简单呃。具体的过程大家自己看一下，书本上的，记得点赞关注哦！

如果你想数学考满分，请坚持跟我一起来做八年级数学课本一百六十页以上的。我们看到这个利益， 在看利益之前呢，我们先看我们上一讲当中讲到平行四边的判定，我们说首先两个字对边，分别平行的四边形是平行四边形，这是第一条判断四边形是平行四边形的方法。 然后我们讲了两组这边分别相等的四平行四平行说一组这边平行，其相等的四平行，四平行，那就是说我们这里已经说了这三条好，我们通过练习来巩固一下 好这里的利益。在平行四平行 a、 b、 c、 d 中， e、 f 是 a、 d 和 b、 c 的 中点， 那么这个终点，那我们就知道 d、 e 是 的 a、 d 的 一半， b、 f 等于 b、 c 的 一半。而已知 a、 b、 c、 d 是 平行四边形的话，那就是 a、 d 跟 b、 c 是 既平行的又相等的，于是 d、 e 跟 b、 f 呢， 是平行的，也是相等的，对吧？ a、 d 平行于 b、 c 就是 d、 e 平行， b、 f、 d 等于 a、 d 的 一半， b、 f 等于 b、 c 的 一半，那么 a、 d 等于 b、 c， 所以 它的一半也相等。好，具体的证明过程，这例题上有，我就没有多说了啊，自己学会就理清楚。那么这里根据的是 e 组这边平行且相等的四边是平行四边形。看括号练习。 呃，这里说这个 a、 d 啊，是 b、 c 平移过来的，那我们根据平移的性质，我们说，呃， 它的这一边呢，是平行且相等的，所以我们就根据 a、 d 和 b、 c 平行且相等得到四平行。 a、 b、 c、 d 是 平行四边，我们就可以根据啊，一组这一边平行且相等的四边是平行四边形。 当然呢，我们也可以换一种说法，比如说我们怎么说呢？我们说啊，这个从 a 到啊，从这 b 到 a， 从这个 c 到 d， 就是 它平行的距离，我们说平行的距离始终是相等的， 就说我们经过平行，对吧？平行的距离是相，所以 a、 b 呢，跟 c、 d 是 相等的，而且这个 a、 d 呢，是 b、 c 平了，它们是相等的，所以我们根据 a、 b 等于 c、 d， a、 d 等于 b、 c， 两者对边分别相等的四边是平行四边。 哎，你喜欢根据哪个？只要有正确的好，我们前面呢？当然呢，您根据两者对边分别平行也是可以的，我们的定点所连的线呢？平行或者在同一条直线上，当然今天这里是平行，所以你你在这一题当中，你可以根据三个方法，哪三个？我再重复一遍啊？ 第一个平行平行，两者对边分别平行的四边是平行四边。第二个相等相等，两者对边分别相等的四边是平行四边。第三个平行又相等一组对边平行就相等，对吧？那么这个四边是平行四平行。我们看到啊，第二个， a、 c 等于 b d， a、 b 等于 c、 d 好， 那么两者对边分别平行相等，这个四边是平行四平行。 然后呢， c、 d 又等于 e、 f 啊，这个 c、 e 呢，又等于 d、 f 好， 这里呢，又是两则对边分别相等的四边是平行四平行，所以这里有两个平行四边。那么如果是根据现在他要找出互相平行的，我们说这样呢， a、 c 是 平行于 b、 d 的， 对吧？那么这个 a、 b 呢，是平行 c、 d 的， 而这个 c、 d 呢，是平行 e、 f 的。 哎，我们可以采取连写的形式，当然这个 c、 e 呢，是平行 d、 f 的， 对吧？所以有这个平行啊，我们啊，有这个相等，得平行，有平行呢啊，得平行四边形，然后我们得到这个对边分别平行， 其实要判那个四边形，平行四边形呢，我们课本上还要继续。还有，我们看到这里，就是如果说这个 o a 等于 o c， o b 等于 o d， 我 们能不能得到这两个平行，这两个平行我们看到啊， a、 o、 d， c、 o、 b 对 菱角相等啊，如果说 o a 等于 o c， o b 等于 o d， 那 么很显然这两个三角就相等，你看这角一就等于角二。 哎，当然呢，这个 a、 d 也等于 bc， 你 可以根据 a、 d 跟 bc 一 组对边平行且相等的四边是平行的。当然呢，有的人说，我再来把 a、 o、 b 和 c、 o、 d 再证明一遍，对吧？ a、 o、 d 等于 c o 角， a o b 等于角， c、 o、 d 等于 o d， 你， 你再来证明，然后你再来证明这个角等于这个角加 b， a、 o 等于角 d c、 o， 然后你说 a、 b 平行是 c d 啊，总之这都可以啊，两的对边分别平行，两的对边分别相等，一的对边平行相等，这样得到的四边形呢，都是平行四边形。但是现在的已知是对角线互相平分，那么对角线互相平分，现在未来我们就不不不用刚才的方法了，咱们直接说对角线互相平分的四边形 是平行四边形。好，我们看到这里的练习，呃， 这说什么呢？说 f、 e、 f 是 对角线上的两点，并且 a、 e 等于 c f。 好， 现在证明这个里面的这个 b、 f、 d， e 啊，是平行四边形， 那我们这里书上的例题已经说了，把 b、 d 连起来，由于本来这个 a、 b、 c、 d 外面的大的是平行四边形，所以我们有 o a 等于 o c e， 有 o b 等于 o d， 现在这个 a， e 呢？等于 c f， 所以 o a 减 a， e 等于 o c 减 c f， 那 么这样我们就有得到了这个 o， e 等于 o f， 再加上刚才的 o b 等于 o d， 对 吧？我们不就可以得到里面的 b、 f、 d， e 是 一个对角线互相平分的吗？这样我们就得到它是一个平行四边形。 好，大家把这个判那个四边是平行四边的这四句话，把它牢牢的背下来，我再读一遍。两者对边分别平行的四边形是平行四边形。两者对边分别相等的四边形是平行四边形。一组对边平行且相等的四边形。平行对角线互相平分的四边形是平行四边形。背熟记得点赞关注哦！

这个视频我们来讲一道八下，同学在学一次函数单元一定会碰到的一个难点题型，是一次函数跟实际应用的结合，像这种题型的话呢，百分之九十五的同学思路都是不清晰的，但其实这种题型只要三步核心思路就可以非常轻松的解出来了， 那这个视频花三分钟来带大家梳理这三步核心思路，像以后这类型的实际应用都能够轻松解出来。好，那还有更多一次函数单元的一个重点题型， 我都整理到了这份一三二四的专项练习里面，可以拿去练习巩固好。我们来看一下这个题目特征哈。题目特征的话呢，首先会给出一些信息 啊，通常来说都会有 ab 两款呢，或者加一两 d 啊之类的这种信息哈。然后的话呢，是给出了一些进价跟售价给出表格的信息，并且设出了这个书包的个数是 x， 并且后面一堆东西好。然后最后的话呢，就问 怎么样才能获得最大利润，然后去求最大利润。如果是像运费那些的话呢，就是最低运费，然后去求最低运费。好，那这种的话，其实相当于是一次函数跟实际应用结合中的最值问题，也就是要用一次函数，然后去结合到实际应用去求最值 好。这边来看一下这个核心解析思路哈，其实解析思路非常的简单，就是三步，第一步的话呢，是要先去求自变量，也就是 x 啊，通常是 x 的 一个取值范围， 然后第二步的话去求函数解析式，第三步去根据自量取值范围去求对值就可以。为什么是这样子哈？我们来看到去掉这个实际应用之外，我们来看到一次函数什么时候是有对值的呀？一次函数，比方说哈，如果是这样子，一个 k 大 于零的一个 函数的话，那它是没有最大最小值的，对吧？因为是一条直线吗？然后是没有最大最小值的，所以如果说要取入这个函数的最值的话，其实这个 x 的 话，它就需要有一个取值范围，比方说这个 x， 这个是 x 一， 这个是 x 二， 是这个取值范围是在 x 一 到 x 二之间，那对应的话，也就是图像就是这段， 那什么时候有最值啊？很明显就是这个点嘛，对吧？也就是 x 等于 x 二的时候是有最值的， ok， 所以 为什么需要有这个 x 的 取值范围？就是为了取到直线变成一个线段，这样子才能够去求最值。那同样的，当这个，呃，一次函数它是 k 小 于零的情况下， 它也是一条直线，所以的话呢，也是需要说，哎，这个有一个曲值范围在这里，它才能变成一个线段， 然后才能有最大值和最小值。所以的话呢，套到实际应用里面，那我们需要找到的元素就是第一个是 x 的 曲值范围。曲值范围的话呢，会根据题意会有实际意义跟题目限定两种。什么是实际意义呢？比方说书包，书包它个数 它是要大于等于零的，对吧？这个就实际意义嘛，然后题目限定是什么意思呢？比方说题目中这里的话，能看到哈，如果勾进这两种书包的总费用不超过 一万八千元，也就是小于等于嘛？这里的话就会出现一个不等式， ok， 那 这里的话就会得出，综合去得出 x 的 一个取值范围 好了。第二个呢，求函数的解析式，那也就是根据题意去得出，我们看到哈要获取最大利润，也就是去找这个最大利润跟这个 x 之间的关系嘛。这边题目已经设了是 w， 哈利润是 w， 那 也就是去找 w 跟 x 之间的函数关系， 那然后再在这个取值范围内去求最值就可以了啊，就是这样子的思路。那我们结合到这道题来讲解好。第一步的话呢，先去求这个数量的取值范围，首先实际意义，实际意义的话就是这个书包的个数是 x， 那 这个 a 是 x 的 话， b， 也就是我们看到哈一共是四百个吗？ b 的 话就是四百减 x 吗？ ok， 实际 e 的 话，也就是 s 代等于零，四百减 s 代等于零，对吧？然后再看到题目限定，题目限定的话，也就是刚才说了购进两种书包的总费用不超过一万八，总费用在哪里啊？也就这一项嘛，就进价嘛，对吧？所以的话就是 a 的 费用加上 b 的 费用 小于等于一万八就可以了。所以第三个不等式，也就是四十七 x 加上三十七乘上书包的，呃，那个 b 书包的个数也四百减 x， 然后是小于等于一万八， 那就可以了。好，那这里的话就可以去列出这个不等式组，然后去解出来，那解出来的 x 是 大于等于零，然后是小于等于三百二十。好，第一步就做完了， 就求这个自变量取这个方面吗？第二步是求这个函数解析式，我们看到哈，最后是要求这个利润最大，所以的话呢，是要去找利润跟 x 之间的关系。题目已经设出来了，利润是 w 了，所以的话，也就是要去求 w 跟 x 的 关系嘛， 总利润，总利润也就是 a 的 利润加上 b 的 利润， a 的 利润是什么呢？也就是 a 的 个数乘上它一个的利润就可以了吗？ a 一个的利润，也就是它售价减去进价六十五减四十七，这是 a 一个的利润，再乘上 a 的 个数，也就是乘上 x 好， 然后再加上 b 的 利润， b 一个的利润是五十，减去三十七，然后再乘上 b 的 个数，也就是四百减 x， 好，那这个就是 b 的 利润， a 利润加 b 的 利润就是总利润，然后化简这个函数。解析式，等于五 x 加五千二， 好，那第三步的话，就是根据这个取值范围，然后去呃求这个最值就可以了吗？来，我们看到这个函数，它的图像大概是怎么样的？大概是这样子一个图像，对吧？所以的话呢， 它 k 是 大于零的，所以是一个，呃，就是倾斜向上的这样子一个图像， k 大 于零的情况下，所以是 w 是 随着 x 的 一个增大而增大了，所以我们看到也就是零到三百二十， 是这一段，对吧？那什么时候 w 最大值啊？很明显，这个 w 最大值就是当这 x 等于三百二十的时候吗？ 所以带进去，带进这个解析式里面去，就可以求出 w 最大值六千八百，那就可以了， 好，同学们可以做好笔记，像这种一函数求最值，问题都是这三步。核心解析思路可以点赞，保存，反复学习，那像这些属于课内的重难点内容以及课外的拓展内容，我都整理到了我的系统视频里面，如果说有需要了解和试听，可以在下方留下这三版本。

要想数学成绩好，每天练习不可少， 八年级数学下册课本一百六十八页纸。我们看到第七题，如图，平行四边形 a、 b、 c、 d 的 对角线 a c b d 加锐角 o， 他 说了这是平行四边形，那么对角线加锐角 o， 我 们就可以根据平行四边形的对角线互相平分，所以 o a 等于 o c， 对 吧？ o b 等于 o d 啊，现在说 e、 f 是 o b， o d 上的两点，叫你添加使这个 a、 e 等于 c f。 呃， a e、 c f 为平行四边形的条件，叫你添加一个条件，然后呢，它就是平行四边形。说明理由很简单的添法，比如说我们添加 b e 等于 d f， 对 吧？我们添加 b e 等于 d f， 我们添加这个条件，那么 b e 的 d f， 那 么 o b 减去 b e 就 等于 o d 减去 d f， 那 么这样 o e 就 等于 o f 了，对吧？ o e 的 o f， o a 的 o c， 所以 四边形 a e、 c f 就是 平行四边形，对吧？这个理由就很简单的去把它给系数完了。呃，当然呢，呃，我们每个人补充的不一样的， 哎，你要补充这个 a、 e 等于 c、 f 的 话，那行不行？如果您补充 a e 等于 c、 f 的 话，那我们看到这个角等于这个角，这个边等于这边，这两边相等是不一定行的。但是如果你补充 a e 平行于 c f 的 话 啊，所以这个如果你补充的是 a e 平行于 c f 的 话啊， a e 平行于 c f 的 话，那么这个内错角相等，外错角这也相等，对吧？ 那么我们就可以证明三角形 a、 b e 与三角 c、 d、 f 两个三角形呢？然后呢，这个 a e 也就等于 c f， 所以 补充这个是可以的， 但是你补充 a、 e 等于 c、 f 就 不行，所以这个要小心一点，不要乱补充啊。所以你要把平行四边的判定定律啊，牢牢的把它搞清楚。我们看到第八题， 为了这一块木板相对的两个边缘是否平行，木板对面的两个边缘平行。木工师傅常有两根曲尺的一边紧靠着木板，所以这里曲尺是指，这里是直角的意思啊，就是木工用的一种尺子，他含有一个直角的这样的一种尺子 啊。再看木板的另一边对应的刻度是否相等，所谓另一边对应的刻度相等，就代表着这两边是相等的。当这两个是直角，我们放在这里是同位角向的两直线平行，那么这样呢？我们就可以得到，嗯，比如说我们加字母吧，这个 a、 b 跟 c、 d 对吧？我们就可以得到 a、 b 是 平行且等于 c、 d 的， 那么这样根据 e 组对边平行且相等，得到这个 e 组对边平行且相等，对吧？那么得到这样的，我们就可以得到这个 a、 b、 d、 c 是 平行四边形， 那么木工师傅就要判的相对的两个人变成平行的，所以我们就可以得到。什么东西呢？叫做 a、 c 是 平行于 b、 d 的 啊，像这的两个边缘是平行，就是对面的这两个边缘 a、 c 是 平行于 b、 d 的 啊。解释，我刚才已经给你把它解释了一遍。 根据七尺，我们得到角，角 a、 b、 e 等于角， c、 d、 f 等于九十度，所以 a、 b 平行于 c、 d。 又因为 a、 b 等于 c、 d， 刻度相等嘛。所以，呃，根据一组对边平行的四边形，所以四边写 a、 b、 d、 c 平行，四边的对边平行。 那我们根据这样的道理，我们看到第九题，在四乘四的方格子纸当中，每个小方格子的边长是一， ab 是 两个格点，现在我们再再找一点 c 一 十三角 a、 b、 c 的 面积为二，三角形 a、 b、 c 的 面积等于二分之一，乘以二，乘以二， 对吧？二分之一乘以二，乘以二就等于二，这个就很简单，所以这里找一点 c 一， 以及这里找一点 c 一， 是很容易的找到。那么现在提问问我们这样的 c 一 有几个， 这样的 c 有 几个呢？好，我们这样找到了 c 之后，我们根据三角形 a、 b、 c 的 面积，我们把 ab 当到底边，二分之一乘以底，这个高二分之一二根号二乘以根号，所以也就说这个点 c 啊，到 ab 的 距离只要等于根号二就可以了，于是我们就说这两直线只要平行就可以了 啊，这样平行，所以我们就看到这里的平行，咦，那就是这一点和这一点以及这里的平行，这一点和这一点好， c 一 c 二， c 三 c 四 c 五， c 六， 对吧？我们就得到这样的，因为这样的六个点， a、 b 的 距离都是等于根号二，所以这样的点有几个呢？有六个啊，这哪六个呢？这里已经都跟你说了， 我们的第十题，求证，两组对角分别相等的四名是平行四边形，这个呢，呃，成文字性的题目呢，我们要自己去重新画个图，我就简单的提一遍，好吧，比如说， 已知如图，在四边形 a、 b、 c、 d 中，角 a 等于角 c， 角 b 等于角 d 啊，求证，四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，就说我们把乘文字系数的啊，通过图形把已知求证写出来，然后再来写证明， 好，下面证明，因为在因为四边形 a、 b、 c、 d 的 四个内角的和等于三百六十度，对吧？角 a 加角 b 加角 c， 加角 d 等于三百六十度啊，又因为已知角 a 等于角 c， 角 b 等于角 d， 所以 角 a 加角 b 就 等于三百六十度的一半。 呃，所以那么这个 a、 d 就 平行 bc 同门内角互补，两直线平行，同理，角 b 加角 c 呢，也是等于三百六十度的一半 啊，所以这个 a、 b 呢，是平行 c、 d 的。 好，这样我们就得到两组对边分别平行，所以四平行 a、 b、 c、 d 是 平行四平行， 也就是说两组对角分别相等的四平行是平行四边，这也是一个定理，这个定理啊，也要背下了，过去的课本呢，是黑底字，要背的，要用的，但是我们这一次改版之后的 你这个白色大版课本呢，没有把它写的黑的字，那就说未来我们只能在填空选择看不见过程的那地方偷偷的去用一下，那么如果在写过程的题目当中，我们是还是不能用它的，你记住了吗？记得点赞关注哦！

认真倾听，真诚分享！欢迎大家来到今天的八年级数学课堂。这道四边形中的最值问题是历年来期末考试中的重点题型，有百分之八十的同学都拿不到满分，家长朋友们一定要讲给孩子听， 下面我们一起来看。如图，在平面直角坐标系中，菱形 o a、 b、 c 的 边长为十， 对角线 o、 b 的 长度为十六， d 是 o a 的 中点点， e、 f 是 o、 b 上的动点，且 e、 f 等于二， 求四边形 a、 d、 e、 f 的 最小值。首先我们来进行分析，四边形 a、 d、 e、 f 的 周长等于四边之合， 有体可知，菱形的边长为十，而 d 点又为 o a 的 中点，所以 a、 d 等于五，而 e、 f 又是定长二，所以那四边形的周长等于七，加 d， e 加 i f。 那 现在问题就明确了，求四边形 a、 d、 e、 f 的 最小值，最终就是求 d e 加 i f 的 最小值。 在图中 d、 e 和 a、 f 是 不相连的，那遇到这种问题，我们立马就要想到定长的平移模型，因为在题目中， e、 f 是 o、 b 上的两个动点，但是 e、 f 为定长二， 所以我们可以将 a、 f 沿着 x 轴向左平移两个单位，此时 f 点刚好和 e 点重合，下面我们来做辅助线。 假设 a、 f 沿 x 轴向左平移两个单位以后， a 点平移到了 a 撇点， 因为 a 撇 e 是 有 af 平移的，所以 a 撇 e 是 等于 af， 那 此时四边形的周长就等于， 所以那我们四边形的最小值就转化为求 d e 加 a 撇 e 的 最小值。将 a、 f 平移到 a 撇 e 之后， d、 e 和 a 撇 e 连接在了一起， 此时 d 和 a 撇是两个定点，而 e 为 x 轴上的动点，要求 d e 加 a 撇 e 的 最小值，那很明显，这就是我们在初中数学中出现最高频的将军迎马模型。 这个模型的做法就是做点 a 平过动点所在的直线，也就是 x 轴的对称点 q， 再连接 d q， d q 与 x 轴的交点，那就是 e 点的最佳位置，那两点之间线段最短，此时 d e 加 a 撇 e 的 最小值为线段 d q 的 长度。下面我们来做辅助线。 分析到这，我们的问题已经非常明确了，那要求 d e 加 a 撇 e 的 长，最终我们就会转化为求 d q 的 长度， 而要求 d q 的 长度，那我们只能计算 d 点的坐标和 q 点的坐标，下面我们一起来解答。 首先我们连接 a c， 因为 o a， b c 是 菱形，所以菱形的对角线是互相垂直且平分的，我们将此点定为 m 点。 因为 o b 的 长度是十六，所以 o m 等于八。 在直角三角形 o a m 中， o a 的 长度是十， o b 的 长度是八，可以算出 a m 的 长度为六。 由此我们可以得出 a 点的坐标是八。六。过点 d 作 x 轴的垂线，与 x 轴相交于 n， 因为 d 为 o a 的 中点，那所以 d n 为三角形 o a m 的 中位线，所以 d n 的 长度也就是 a m 的 一半。三 o n 等于 o m 的 一半，所以 o n 等于四。 由此我们可以得出 d 点的坐标为四。三。 因为 a 撇是 a 点，向左平移了两个单位， a 点的坐标是八和六，那所以 a 撇点的坐标就是六。六， 那 q 点又是 a 撇儿点。关于 x 轴的对称点，所以 q 点的坐标为六负六。 好到这儿，我们最关键的 d 点和 q 点的坐标已经求出来了，要求 d、 q 的 长度，我们可以通过构造直角三角形来完成。 过 d 点做 y 轴的平行线，过 q 点做 x 轴的平行线，此时两条线相交于一点，刚好将 d、 q 置于直角三角形中，下面我们来做辅助线， 两条平行线相交于 h， 此时 h 点的横坐标与 d 点的横坐标相同， h 点的纵坐标与 q 点的纵坐标相同，所以 h 点的坐标为 四。负六， 在直角三角形 d、 h、 c 中， d、 h 的 长度我们可以根据两个点的坐标得出来，是九， h， q 等于二。根据勾股定律，我们可以得出 d、 h 的 长度为根号八十五。 经过前面的分析，我们知道四边形 a、 d， e、 f 周长的最小值等于七加 d q， 所以 四边形 a， d、 e、 f 周长的最小值为七加，根号八十五。 好，这道题就讲到这儿，记得点赞关注哦！

好，第八题看完了吧？哎，这个题呢，是非常标志的一个瓜豆问题啊，哎，非常好的题目，来看一下啊。呃，首先呢，平行四边形点 e 呢，是 a d 边上的一个动点是不是？然后呢， d 等于来标一下啊，三分之根号二， 然后呢， c d 长等于三分之根号五。现在呢，这个里边大家也发现了，做了一个什么呢？哎，等腰直角三角形，是吧？哎，做了一个等腰直角三角形啊，好，然后呢，动点开始出现了， f 点呢，是 c e 边上的一个动点， 然后呢，动点完了之后呢？哎，每一次都在这里做等腰直角三角形就得到了几点，请问在整个运动过程中，这个三角形周长的最小值是多少 条件？看完了是不是？那我们不要害怕压轴题，就是一步一步去解决他就可以了。首先第一步，哎，我这个周长里有没有很感觉上这条边应该是个确定的，是不是？哎，这条边应该是个确定，因为他画的一个等腰直角， 对吧？你这个平行四边形大概应该是很确定一个东西，所以我上来要解决的问题只有一个，这个东西，平行四边形不全。 这个底边我不知道，我只知道这条边，但是我并不知道这条边是多少，是不是？哎，我很需要它啊，好，所以来先把它去计算一波啊，这边有三分之二，这里有四十五度，这么特殊，所以我肯定要考虑不要破坏这个四十五，哎，我们做垂直， 哎，做垂直的好处是上面的可以转化到下面来了，你看这 x 这边是不是也是 x， 对 不对？好，这个三分之根二可以转化到下面来了，是不是？好，所以这一边就是三分之根号二。呃，这个，呃，这个 x 减去三分之根号二，是不是 这个 x 就 擦掉了啊？ x 减去三分之根号二啊？好，那么剪完之后呢，这个三角形我就可以进行勾股定力了，对吧？好，所以 x 方 加上 x 减去三分之根号二，括号的平方等于三分之根号五的平方。那根号的问题大家都学过了，是不是啊？这个东西肯定会算，甚至于很多学校一二次方程都学过了， 所以这个式子呢，一化简变成了六， x 方减去二倍根号二， x 减一等于零，一看呢，就不太好算的样子。所以我们是不是可以用求根公式？求根公式还记得吗？ x 等于啥？哎，对，哎，二 a 分 之对负 b 加减，根号下是 b 方减四 a c， 对 吧？那它的平方是不是等于八减四 a c 里边是不是根号三十二，对不对？那么根号三十二是不是四倍根号二？所以两个根一定是可以解出来的。那听我意思啊，一个是二分之根号二，还有一个根呢，是负数啊，负数呢，就被它舍掉了啊，因为你的长度不可能是负的吧，对不对？哎，不可能是负的啊， ok 了吧。好，所以相当于我这个东西已经解出来了。那我这里是等腰直角三角形，他是二分之根号，这也是二分之根号，所以这条边是不是等于一了？所以这个三角形里面确实有个很确定的东西，这个 b 他 等于一了，所以他又转化成了，想求这个加这个的和最小是多少就可以了。 那么他俩的和最小，我只要找出 g 的 轨迹啊，直接看选项啊。 哦，这哦靠，好像是的啊，看选项是不是也能，但看选项你有没有觉得 d 选项万一对呢？是不是啊， d 也能猜出来一个一的这个过程 啊，一般不可能了是不是？哎，一般来说这道题已经很好蒙了，是不是好来，那么继续来看啊，很需要记的轨迹，不用担心，来动点终于出现，压住题，不要害怕来，你是主动点， 我是从动点，我们绕着一个定点转了九十度，所以在这相当于是摆了一个等腰直角三角形是不叫主从联动， 有定点有定角是标准的。瓜豆出现了，是不是啊，那我你的轨迹是直线，我的轨迹是不是一定是一个直线对吧？哎，一定是一个直线。那我们这道题最简单方法，我找两个特殊的位置是不就可以了，是不是？哎，当我 f 在 这的时候，哎，我发现我的 g 点在什么位置，我这么一连夸一连我就感觉到 是不是，哎，这个考试时间来不及了，我感觉好像这块平行的是不是你画的很标准的时候你是不是就很好做题了，是不是？哎，但是我们来详细推一下啊，所有的瓜豆问题是不是都可以用手拉手来处理？ 那么既然能用手拉手来，你从这个点发出做了一个等腰直角，我是不是还需要再做一个等腰直角， 那么再做一个肯定要做一个确定的，所以从这个点发出确定的边太多了，你可以连这个这个是不是都可以，但但是有同学连连他的话不太好，就这个角毕竟不太确定嘛，是不是？哎，我用这个 b c 也好，或者是我用 b e 也好，是不是都可以？但是 b c 太长了，做出来这个图太大了，所以我就考量之后我选了 b e， 我说了用 bc 一 样的，听懂了啊，来，我们选择用 b 再做一个等腰直角三角形，因为比较巧，它这里正好是有四十五的，所以我做完之后大概是不在这个位置， 是不是啊？那么坐到这之后，相当于两个等腰直角，手拉手套在一起，所以两个三角形是不是就可以全等了，是不是？好，所以咱们这俩三角形它全等了， 全都要转化的东西，要看到我在这个三角形有没有确定的东西在，哎，九十度，很好，我这里有九十度，所以你这里是不是也是九十度？看到是不是有九十？我这里四十五，那相当于这俩都是四十五的意思吗？对不对？好，所以这个 g 的 轨迹非常确定，在这条线上运动 夹角为四十五，这条线上啊，好，那么现在就变成了一个， 这个加这个的和最小，我们是不是做其中一个点的对称点，是不就可以了？是不是？哎，所以我们接下来做其中一个点对称点连接不就可以了吗？我们做 b 点比较合适一点，是不是？哎，加上 b 撇，然后连接 b 撇 e 啊，连接 b 撇 e， 所以 勾股定律是不就出来了？ 所以你看我这个图为什么把它放在中间？因为这图比较大啊，是不是改动过了啊？来，这个是一，这段是不是也是一，这段是不是还是一，是不是？好，所以这个是也是九十度吗？在这个大大的直角三角形中，这是一，这是二，所以这边是不是括号？ 这边是不是根号五，对不对？好，所以这一条边一共根号五，所以答案就是根号五加一就出来了。所以这道题其实他也是一个瓜的问题，不要害怕，知道吧？一看就吓死人了，都要觉得，哎，不要怕啊，对吧？哎，去处理他，对吧？哎，都可以用手拉手去处理啊。

要想数学成绩好，每天练习不可少。 八年级数学下册课本的一百六十八页纸，我们看了第十一题，一张平行四边形的纸片， a、 b、 c、 d， a、 d 大 于 a、 b 就是 平行四边形的邻边，是不相等的一长一短的。第一小题，折叠平行四边形 a、 b、 c、 d 可以 得到角 b、 a、 d 与角 b、 c、 d 的 平行线 啊，把这个 b、 a 啊，把这个翻过来，到这边来，那我们就可以得到这里的两个角相等，角一等于角二， 然后呢，我们可以得到这两个角向呢？角四等于角五，嗯，为什么角三在哪里呢？我把角三写到这里，因为这个原来是平行四边形，所以这个角二等于角三， a、 d 平行于 bc， 那 么当然角五就等于角六，所以角一等于角二等于角三，那我们就可以得到 a、 b 是 等于这个 b、 e 的。 哎，同样的，这个角四等于角五，角五等于角六，角四等于角六，所以这个角 d、 f 等于 d、 c、 e。 而根据平行四边的对边相等，那于是我们就得到 d、 c 跟 ab 呃，相等，那不就是 b、 e 跟 d f 也就相等了吗？那么这样呢，我们就可以得到什么一个结果呢？我们就可以得到这个叫做 a、 f 是 平行且等于 c、 e 的， 因为 a、 d 平行四边的这边是平行且相等的，所以这 a、 f， a、 d 平行于 b， c、 e 就是 a、 f 平行于 c、 e 啊。现在 d、 f 呢？等于 b、 e 的 话，那么所以 a d 减 b， d、 f 等于 b c、 e， 所以 留下了 a、 f 等于 c e 好 e 的 这边平行且相等的，所以这个四边形 a 呃， e， c、 f 就是 平行四边形啊。第一个证明大概这样的。好，我们看到第二题，他说你还有哪些折法？折出一个平行四边，选择其中一种，说明你的正确性，嗯， 比如说咱们这是一个平行四边。形啊，平行四边，比如说这是 a、 b、 c、 d。 好， 咱们也像刚才这样折过一个角。好，咱们就这样折了，折了这个，另外我们就不折了，对吧？好，那么这样折了之后呢，那我们就可以得到好这一个呢？ 啊，刚才这个 d、 e 是 折痕啊， d， e 是 折痕，然后 c 呢，就折到了 c 一 撇这个位置来了。好，所以这个 c、 d， 但是 c 一 撇 d， 刚才我们说这个，呃，什么？这个两个角相等角，这两个角啊，这个角相等，对吧？呃，那我们就可以得到这个 c、 d 等于这个 c、 e 撇 d。 呃，并且呢，我们这个 c、 d 啊，跟这个 c、 c、 e 撇 d 是 平行 c、 e 的， 那我们看到这个角一等于角二，角一等于角三，所以角二等于角三，所以 c、 d 又等于 c、 e， 所以 我们说 c 撇 d 平行且等于 c、 e， 所以 这 e 的 这边平行相等的四边是平行四平行啊，这样我们就得出平行四边形，其实这个平行四边呢，准确的说它是个菱形， 因为它一左邻边相等，而且我们不仅知道这边是个平行四边，我们看到这个 a、 b、 e、 c 一 撇，由于刚才这边等于这边，所以 a、 c 一 撇等于 b、 e 也平行了，所以这边也是个平行四边形。注意啊，这右边是个平行四边形，而且它是个菱形，左边是个平行四边形，是个普通的平行四边形。 当然我们有很多折法，你比如说我们把这个 b、 a， 哎，刚才咱要是说不这样折怎么折呢？要不我画一个吧， 啊，要不我们我们画一个， 好，看到 a、 b、 c、 d， 咱们把这 b、 a 沿着这个对角线 a、 c 折到哪里了呢？ b 折到它的这个 这里了，我们看是吧？啊，沿着这个 bc 啊，折到，折到这里了，那么然后这个 d 呢？沿着这个对角线 a、 c， 我 们折到大概这里了。 c， 这是 b 一 撇，这是 d 一 撇，那么我们来看到这样一个四边形呢， 哎，这个 a、 d 一 撇， c、 b 一 撇，也是不是平行四边形？当然如果说你这是个平行四边形，如果你这样对折，把它的中点给它找出来，对吧？把它的中点给它找出来，你再这样一对折， 啊，这一对折，把这里的中点也给他找出来。好，你再这样一对折好，把这里的中点依次类推，把这样一对折好，把这边的中点 好，那我们把这四边的中点对折找出来之后，我们再这样一对折，这个一对折，我们再这样一对折。 哎，我们中间呢，得到的也是一个平行四边形啊，这个我们根据什么东西呢？ 我们根据看到这里，呃，如果说这里我们用 a、 b、 c、 d 对 吧？这里 e、 f、 g、 h 对 吧？ e、 h 平行切的 b、 d 里边， e、 f 平行切点 a、 c 的 一半， h、 g 平行切点 a、 c 的 一半，所以这个 e、 h 跟 f、 g 是 平行且相等的，那么 e、 f 跟 h、 g 呢？也是平行且相等的。 呃，所以你不管用一组对边平行且相等，或者是两组对边分别平行，或者是两组对边分别相等，都可以得到中间这一个 e、 f、 g、 h 是 平行四边形，当然我们大家还可能有其他的不同的折法，多练练，你的成绩会越来越好，记得点赞关注哦！

要想数学成绩好，每天练习不可少。八年级数学下册课本一百六十九页。我们看到第十二题，你看这里打了个星号，难呐！几何原本中有这样的一道做的题，做一个平行四边形，使它的一个内角等于给定的角， 呃，并且面积呢，等于给定的多边形的面积。如图，已知四边形 a、 b、 c、 d 或角 r、 f。 好， 这里四边形 a， b， c， d 是 给定的角 r， f 是 给定的。 呃，现在教我们做一个叫做 m n g k 是 角 n 等于角阿尔法，角 n 等于角阿尔法，这里一个角阿尔法。现在做一个角 n 等于角阿尔法，怎么做呢？比如说，我们先做个角 n 等于角阿尔法啊，好，做，角 n 等于角阿尔法，怎么做呢？以地灵人形， 以任意差为半径做弧，好，以这里这点为心，以同样的长度为半径做弧，对吧？然后呢，我们再确定这两点之间的长度。确定这两点之间的长度， 好，我们来确定一下这两点之间的长度。好，由于时间的关系，有的做法我就是做给你看，并没有一一的说出来。好，那么过这一点做， 刚才这里是和 n 和这个角都等于角 alpha， 对 吧？这个角 n 等于角 alpha， 我 们就做完了。现在要使这个 m， m， g， k m n g k 的 面积等于四边形的面积。 第一个如何确定四边形的一条边长入这边的高？比如说，我们把这个当做底边吧，叫做 m g， 看这 m， g 在 哪里好，用尺微教我们做出来。哎呀，这题很难啊！我们首先来看这个四边形的面积， 四边形的面积，如果说咱们能够变成一个三角形的面积，二分之一乘以底乘高就可以了，咱们看呢，咱们把这个 a、 c 给它连起来， a、 c 连起来。三角形 a、 b、 c 加 a、 d、 c 的 面积，我们根据两平行线之间的距离相等，所以就是这个 a、 b、 a、 c、 d 的 面积啊，能不能把这个 a、 c、 d 变成一个三角形，跟这 a、 b、 c 是 一个三角形呢？咱们看这个，咱们延长 b、 c 到这里过这里做平行 啊，这样呢，两平行之间的距离，所以我们这里做这个角，等于这里的做这里这个角，我们把这个平行线给它做出来，那么 a、 d、 c 的 面积就等于 a， 比如说 a、 e、 c 的 面积。 好，这个时候怎么做呢？这个时候我们看到过这一点，我们做啊，过这一点，我们做内侧角相等，你看过这里的，哎呀，这个特别小，可能不大好画啊，可能画的不太标准。好，然后过这里 啊，可能大家不知道有没有看清楚，所以过这一点和这一点 好，我们过这里做这个内测角相等，那么这样呢，我们看到这个做 d、 e 平行 a、 c 之后，好，它们之间的距离相等，因为平行线之间的距离相等，所以我们就可以得到。哎呦，画的很不太标的啊，所以 s 三角形 a、 c、 d 就 等于 s 三角形叫做 a、 c、 e、 a、 c、 e， 所以 a、 b、 c、 d 四边形的面积就是三角形 a、 b、 e 的 三角形的面积啊。刚才这个 a、 c、 d、 a、 c、 e 把 a、 c 当的底边高呢？就是 d 到这个和 e 的 这个距离相等，我没有画出来啊。 好，那么第二个三角形 a、 b、 e 的 面积二分之一等于底乘高，所以我们把这个底呢？如果说这个 m g， 我 们就等于底等于底， 底等于底。好，那我们让这个 m g 等于 b e 啊， m g 等于 b e， 然后咱们让这个高啊，等于最高的一半，那么这算二分之一乘以底乘高，那么这个就是底乘高，我们让高作为这个平行平面。你们，所以我们现在把这个 b 变成的高给它做出来。怎么做呢？以点 a 为中心，以它大。好，这个 b 的 长还稍微长一点的长为半径，再分别以这两点为中心。啊，这个做题很难做的。好，我们把这个高给它做出来。 好，做出来了。好，现在我们这里呢？呃，我们这地方我们就也做一个高等于他的这个这高。怎么做呢？咱们先随便做一个地方吧，我任意点个点，把这个垂线给它做出来。好，任意做一个点啊，把这个垂线给它做出来。 你看，这一题是非常复杂的，一般同学是听不懂的，所以您跟着我一边看一边画，也许才可能听懂一些。 好，那么这个车值都做完了，现在我们要把这个高啊，等于这高的一半。好，于是我们要来做这个 a h 的 重叠性，比如说我们加个字母 h， 对 吧？把这高的一半给它做出来，然后以这点为中心，痕迹太多了， 还没做完啊，焦点在哪里呢？好，这里，好，这个焦点在这，这个焦点在这啊，你看清楚了吗？ 好，我们过这里做一条。哎，我画错了吧，怎么是这样的呢？好，我们这里为中心，在这里，在这里 做。哦，这里焦点在这里， 焦点在这里。啊，刚才看错了，你看多了，看错了啊，这也在这。哎呦，哎呀，这个图就做的眼睛老花了啊，在这里，哎呀，刚才点看错了啊，好，那么现在我们在这里以这个一半的长度为 半径。好，那么这个高呢？就等于这个高的 a h 的 一半，再以这六根弦做垂直的。 好，哎呀，这个做垂直的啊，再分别这两点，纹身。好，我画远一点，不然的话怎么又看不清这里点在这里啊，好了，现在这个垂直的在这里了。 好，那么这一点就是 m m n g h g 在， 刚才， g 在 这儿，哎， h 呢，好，这边的角我还没做完，好，把它补充出来，然后我们仍然是看在这里啊，做这个角等于这个角，阿尔法，刚才回到刚才一样的长度。啊， 好，然后呢，我们看到这里了，好，成这里了， 哟，刚才这个一样的，还错，短了一点。 好，这样找到了焦点。好，这点在这儿。好， m n g k m a g k m a g k， 所以 这个四边形 m a g k 就是 所求作的平行四边形。好，有时间就讲这么多，这题非常难啊，所以大家要想骑的成绩好，最好跟我一起练一遍，记得点赞关注哦。

经常考又不容易做对的分式题目，八年级数学下册的第小册，七十六页纸。我们看第八题，先化简，再求值。好，化简我就从原式写起。 呃，这里我们给它通分，括号里面 a 加一分之，这里是 a 加一，对吧？减 a， 呃，那就是 a 加一，再减，那我就直接写这个简单一点， a 加一分之一除以啊，除以我们可以颠倒相乘，由于时间的关系， a 在 分母分子是 a 加一的平方。哎，这约去 a 加一，不就是 a 分 之 a 加一了吗？ 看来不难了。那么，然后他叫我们从负二到二之间找一个整数带进去求值， 那么这里你就要小心，不能随便大啊，你就大于这个负一啊，或者说大于零，请您注意，因为这个 a 加一是不能等于零的。还有，这个除号后面还有什么东西呢？还有这个 a 的 平方加二， a 加一分之 a 也不能等于零，对吧？ 所以那个 a 不 能等于负一，并且 a 还不能等于零，那 a 等于零是怎么行呢？ a 等于负一， a 加一的平方，那么，所以，那么，呃呃，所以从这个负二小于 a 小 于二中 只能写整数，那个叫 a 等于看起了 a 等于一，看负一零一，对吧，只能等于 a 等于一，所以这个式原式， 那就等于一分之一加一等于二。你看，看起来好像很简单，但是呢，我们却没有多少人能够把它做正确，因为有的人随便可能就带入了个零啊，带入了个负一，那都是错误的。好，我们看到第七十八页上的第一题， 下列说法错误的是， x 等于二十，这分是无一对的，对吧？ x 大 于五十，这个是正的。 我们看到当这个分式等于零时，分子 m 的 平方减九等于 m 等于正负三。但是请您注意，一定不要忘记了，分母不能等于零，所以 m 是 不能等于负三的， 也就说本题分式等于零， m 只能等于三，那就是说这个 c 是 错误的，你们小心啊，这个再减公分母的话，三 ab 的 平方，这个是没问题的。好，我们看到第二题 文字性题目，从 a 到 b， 呃，他说是一百六十千米，假车和乙车的平均速度啊，从 a 到 b 是 多少呢？一百六十千米，假车和乙车的平均速度是四比五。呃，两车同时从 a d 到 b d， 哦，假车，所以假车的速度，我们说五 x 千米每时啊，他们的速度， 呃，那就说以车的速度快，两车同时在 a d 到，比例以车到达，以车比假车早三十分钟到。好，他们到的时候呢？好，那么早三十分钟，那就是假车的时，时间，时间 t 等于 v 分 之 s， 对吧？假设的时间四 x 分 之一百六十，已知的时间就是五 x 分 一百六十，那么这个时间比这个时间呢，要早三十分钟。注意，这里叫 千米美食，所以你看到，所以四 x 分 之一百六十减去五 x 分 之六十啊，应该等于二分之一，应该是写的这个啊，这个单位要统一，单位统一。 好，我们看到第三题关于 x 的 分式方程有非正数解，那我们先来把它解一遍，两面同时 x 减一 a 啊，这个同时这 x 减一呢，就是减二了，等于三乘以 x 减一，三， x 减三。 好，那么这个三 x 就 应该等于把负三一的左边了，三就是这个正三，三减一，三减二就是一，就是 a 加一，那就是 x 的 等于三分之 a 加一，他说有非正数就不是正数，那就是负数和零呢？那就小于等于零， 对吧？小于等于零的时候呢，那就是三，不会的，那 a 加一，小， a 小 于等于负一， 好，那么这个我们就选择 c， 对 吧？那么有的人说，老师你在前面讲了不说，这分母不能必须要有意义吗？也就是说我们还得考虑 x 等于三分之 a 加一呀，你，你不能等于一， 对不？这个 a 加一不能等于几呢？不能等于三， a 不 能等于三，减一是二， a 不 能等于二。注意啊，这里已经有范围是 a 小 于等于负一的， a 小 于等于负一，里面哪有二呢？所以这里我们就不需要考虑这个问题。 当然我们再把这个草稿纸上我们写，我们觉得还是要想一想啊，想是要想的，就是草稿纸上要写，但是这个答案当然不要写，你听清楚了吗？ 啊？我刚才说不要写，就是淡淡的不要写，就是我们如果是写过程的题目，还是要把它写出来的，但这里是一个选择题啊，不知您是否听清楚了，记得点赞关注哦！

哎，我体重明明没变，怎么最近看起来壮了不少，到底胖在哪了？很多同学都只关注体重数字，却不知道真正反映身体健康状态的并不是体重，而是体脂率。 小雨，别只盯着体重看，体脂率才是衡量身材的关键。同样的体重，脂肪多显胖，肌肉多反而更紧致。 体脂率，那我们普通人怎么判断自己在不在健康范围呢？体脂率是人体脂肪重量占总体重的百分比，男生健康区间百分之十四到百分之二十，女生健康区间百分之十七到百分之二十四。但是专业体脂仪并不普及， 普通同学很难随时用专业仪器检测。那有没有简单又靠谱的办法自己算出体脂率呢？ 大家不用发愁，今天这节数学活动课，我们就用数学公式一起来算出自己的提值率，看看是否在健康标准范围内。 只需要腰围和体重两个数据，借助数学函数计算公式，就能轻松计算体脂率。让我们走进课堂，用数学解开健康的密码。 体脂率是判断身体健康状态的重要指标，相比单纯的体重，它更能真实的反映身体成分和胖瘦程度，是衡量体型和健康水平的关键依据。

要想数学成绩好，每天练习不可少，八年级数学下册小册八十四也成了。第三题跟我一起做。 如图，平行四边形 a、 b、 c、 d 的 对角线， a、 c、 b、 d 交于一点 o 啊，这里的 a、 b、 c、 d， 它本身是平行四边形 好。然后呢，这个 d、 e 是 平行于 a、 c 的， d， e 平行于 a、 c， 当然 d、 e 也是平行于 o、 c 的 啊。 c、 e 平行于 b， d， c、 e 平行于 b， d、 c、 e， 那 也是平行 o、 d 的。 那么这 这一组对比，这里一组对比，两组对比，分别平行的四平行是平行四平行，所以 o、 c、 e、 d 它就是平行四平行， o、 c、 e、 d 对 吧？根据两组对比，分别平行的四边是平行四平行 好。然后 a、 c 等于三，那就是 a、 c 等于二，那就是 o、 c 等于一， d 等于一，对吧？ b、 d 等于三，就是 o、 b、 o、 d 都等于一点五， 一点五。呃，这里的，因为原来的 a、 b、 c、 d 平行四边的对角线互相平分， o、 c 的 a、 c 的 一半， o、 d 的 一半。刚才平行四边的对边相等，对边相等，所以那么这个周长就很容易知道，一加一点五就是二点五乘以二等于五， 所以这个 o、 c、 e、 d 的 周长等于五。我们看到第四题，第四题是要写过程的题目。 已知图，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中， e、 f 分 别是对角线上的两点，并且 d、 f 在 哪里呢？ d、 f 等于 b、 e 啊啊，已知好有两个平行四边，两个已知条件，现在要求的 a、 e、 c、 f 是 平行四边形。 那么每个同学的正法是各不相同的。下面呢，我这里说两种，一种不做辅的线，一种做辅的线。我们先说不做辅的线的好，不做辅的线呢？因为四边形 a， b， c， d， 对 吧？是平行四边形。先把已知抄一遍，那我们就可以得到这个 d c 跟 a、 b 是 既平行又相等的，平行的，那我们得到角一就等于角二，对吧？所以角一等于角二 好要，因为这个叫做 d f 等于 b e， d f 等于 b e， 所以 我们这个得到三角形 d， c， f 是 前等于三角 d， c f， 那 就是 b a e， 理由是什么呢？叫做 s a s， 对 吧？ d c 等于 b a， 角一等于角二，对吧？这个 d f 等于 b e 呃，所以三角形。两个三角形确定之后，我们就有了 c， f 等于 a e， 所以 c f 等于 a e。 并且还有什么东西呢？角 c f d， 角 c f， d 等于角 a， e b， 对吧？这个这里前等三角对应角相等，前等三角的对应角呢？我们就并成的是，呃，两条直线被第三的直线所截的内错角，所以这个 a、 e 就 平行于 c f 啊，刚才 a e 等于 c f， a e 平行于 c f， 所以 四边形 a， e， c f 是 平行四平行啊，字有的我们写完。呃，如果说我们这一道题啊，我们也可以这样做啊，怎么做呢？咱们看到这，咱们把这个 a c 给它连起来， 好加这个叫做 b d 点 o， 那 我们就知道 o a 是 o c 的， o b 是 o d 的 o b 的 o d 的 啊。根据这个 d f 等于 b e， 所以 我们就可以得到 d， 叫做 b f 等于 d e， 因为这个 b d 减去 d， f 等于 b e 减去 b e， 所以 我们得到这个 d e 啊，等于 b f， 而 o d 等于 o b， 所以 o d 减 d， e 等于 o b 减 b e， 那 么这样呢，我们就可以证明 o e 等于 o f。 好，然后呢，由于这个 o a 是 等于 o c、 e 的， 为什么呢？因为整个四边形 a， b， c， d 是 平行四边形啊，所以这样呢，我们也能够得到这个四边形，叫做 a， e， c， f 是 平行四边形。 好，由于时间，这里的过程我都没有写完了啊，大家自己可以把它理一下。我们通过 d f 等于 b e 啊，得到 b， d 减去 d f 与 b d 减去 b e 相等，所以这个 b f 就 等于 d e， 然后又根据 o d 减去 d， e 等于 o b 减去这个 b f， 所以 o e 等于 o f。 当然这这之前你要先写，因为四边形 a， b， c， d 是 平行四边形，对吧？这个 o a 等于 o c， o b 等于 o d。 当然最开始这个辅助线要给它说出来， 我们看到第五题有时间呢，不能多写啊，多写时间来不及啊，用硬直板拼出一个，减去一个平行四边形 a， b， c， d 对 角线相加入一点 o o。 好， 这里的图形在下面这里了， 再用大的针在 o o 处加一个细目条，直的细目条啊，放置在这个，这个叫 e、 f， 这个细目条绕着这个 o o 任意的去旋转，所以注意您是绕着点 o o 啊，也就是说只要过对角线的这个焦点， 那么这样的直线交它的边呢？如 o e， 如 o f。 第一个 o e， o f 是 不是始终相等的？我们说 o e 跟 o f 呢，始终是相等的，有时间步骤我都不写了，因为我们很显然可以证明，三角形 o a e 前等于三角形 o c， f， o a e。 当然你说 o d， e 跟 o b、 f 两个三圈呢，也是可以的啊，我们看到 o a 是 等于 o c 的， 这个角 o a e 等于角 o c f， 为什么呢？因为 ab 本来是平行四边形，平行四边的对边是平行的，并且这里还有个对顶角上的角 a o e 等于角 c o f， 所以 这里根据 a s a e， 那 么这样的两个三圈呢， o e 就 要等于 o f 了。好，第二个以 a s a e c f 为顶点的四平行，四平行， 我们说肯定是，为什么呢？刚才这个 o a 等于 o c 我 们是知道的，然后我们又证明了 o e 等于 o f， 对 不对？对，角线互相平分的四边就是平行四边，所以这个四边形叫做 a e c f 就是 平行四边形 啊，这个根据对角线互相平分的四边是平行四边。这个这个步骤也不难做，我就说到这里，记得点赞关注哦！

数学也是很容易拿满分的， 我们看到八年级数学下册小册六十页之上呢，我们看到第一题，呃，他说用 t 共用式法应试分解应 t 的 共用式， 我们看到这应 t 的 共用式，这里有 x 减 y 有 个三，那我们分为第一步，找数字的最大的公因子，第二个，找最低次命好，有三，有 x 减 y， 所以 那么这应该就选择 c 三 x 减 y。 第二个，呃，他应该提起的，我们来看呢，先找数字的六和八里面有二公因式，然后找字母，有 a 有 b， a 的 最低次幂是 e， b 好， 然后有 x， 有 一个式子 x 减 y， 最低次幂是二，所以二 a b x 减 y 的 平方。二， a b x 减 y 的 平方，所以第二题我们说它的公因式是 a。 第三题， 第三题，这个英式分解的结果，我们看到有 m， 咱们把 m 提出来，然后呢，有 a 减二，我就提 a 减二吧， m a 加二，还留下个 m， 那 么这里我们来看到 m， 这里 a 二减 a， 咱们理解 a 减二的话，咱们要填个符号，所以如此还留下个负一，所以就是 m a 减一， m 加一，哪里呢？ m a 减二， a 减二， m 减一，那就是选择 c。 第四题，呃，这里写 q 减 p 的 平方， q 减 p 的 地方，那么这个 p 减 q 的 平方，我们也可以理解是 q 减 p 的 平方，所以我们说等于 q 减 p 的 平方的话， 呃，那 q 减 p 的 这样写完了， q 减 p 乘一，所以这里现在这个括号应该是一，然后我们看到这个 q 减 p 的 立方，那提提 q 减 p 的 平方，还有一个 q 减 p， 注意括号 q 减 p， 那 么这个题目这里乘 e， 什么 e 就是 这个，我们去掉括号来填空，那就是 e 减 q 加 p， 所以 我们这应该就写 e 减 q 加 p。 好， 看到第五题 还有时间，我们接着就写等号减元式呢，我就不写了啊，我们看到这 x 减 y 留下来是三 a 减一，很容易。好，第二个，呃，提起 m 减二，留下来是 a m 减二， m 减二呢？那就把 b 改为负 b 了 啊，解元式我都不写了。好，下面这个呢，我们提起 m， 然后提起 m 减 n， 当然你写 m 减 m 也可以啊。呃，由于提起的不一样，所以可能有一些细微的不一样。 m m 减，还留下一个 n， 留下个 n。 好， 这里 m 提完了，注意，这部分呢，我们可以理解是 m 减 n 的 平方的意思。嗯，所以还留下 m 减去括号， m 减 n。 有 这里小括号，我们就得改为中括号了。 好，我们得要慢一拍啊，慢一点还得写 m m 减，嗯，这里就是 m 减负，负的正 r m 减 m， 这怎么好像跟书上的题目是一样的啊？ 我们看到第六题，那第六题我们看到这里有，这怎么做饭呢？周题，这也不行吗？所以我们可以把这两个等，我们可以提供的是 a a 减 b 啊，这个整个都不能提，我们来看，我们分慢一点，所以这里就涉及了我们新学的一种方法，叫做分组分解法 啊，我们这个课本呢，北师大版课本呢，这个没说。有一种音质分解的方法叫分组分解法，就是说我们把这里面的分成两组或者三组啊，然后我们来看看有没有公式，包括后面的公式里面有没有。 好，这里我们看到这两部分呢，我们就可以把它分成的是提出个 c， 然后有 a 减 b。 好 了，这么一处理的话，新的公式就出来了， a 减 b， a 减 b， 然后这里是 a 加 c。 好， 刚才所说的是一种新的方法，叫分组分解法。好，我们看到第七题 第七的第一个，我就接着这写吧。当然 m m 减二， m m 减二，然后这里留下一个四， m m 加二，提完了 m m 加二，这里留下一个三。 好，我们现在看到这里 m 减二提一个，还留下个 m 减三，对吧？减三，然后 m 减三。慢一点啊，好，把中国号给它补上来。 好，慢一点看可能弄不好就会搞错的啊，等于 m m 减二，然后呢？四减三， m 复合的人加六，那就是十减三， m。 好， 现在不能再往下这个了。好，我们把它带进去。 m 呢，是二分之三 乘以， n 减二，就是六减二乘以，然后呢，十减去三乘以六，一十八和二分之三乘以四乘以，这个负八有。这根书上的怎么是一模一样的啊？又分二，二得四，二三得六，六八，四十八，符号负四十八。 好，我们看到第二题，第二题呢？这里 a 减二，咱们提出来第二题啊，原式等于啊，由于时间有的，前面我都没有写 a 减二，那么这里面还留下了一个 a 减二， a 加这个 a 减二，我们要写 a 减二，我们这里就得写加六 啊，所以等于 a 减二乘以。嗯，六减二就加四， a 加四。 好，我们把它带进去，带进去的结果，那就是 a 是 多少呢？ a 是 负二，负二减二，我这里是负二加四，所以等于负四乘以二等于负八。 好，这题比较容易。呃，我们看到这原式等于 a 的 平方， b 加 a， b 上提取 ab， 括号 a 加 b， 然后呢？减去括号 a 加 b。 我 们这里也刚才说的叫分组分解法 啊，英式分解的方法很多种，咱们慢慢的讲。好，这里把 a 加 b 咱们也提出来，留下来是 ab 减一。好，现在才可以带进去。 a 加 b 是 五七减一，等于六五六三十。记得点赞关注哦！

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