空间几何建系法教学

初中数学七大技术第一术，暴力见习法！这是无数懒学生的最爱，一旦学会，不管是多难的几何压轴，动点问题、最值问题、角度问题、长度问题，都可以暴力间隙计算， 从此几何变代数，正零变强算。原来要画七八条辅助线，现在解个方程救出答案！间隙连接大脑 坐标代替思考考试再也不怕辅助线想不到，妈妈再也不用担心你几何不及格了。首先我们先来说一下间隙法在什么题型能用。我们会遇到特殊使用场景，比如当我们图形中出现正方形、 矩形、直角、三角形圆，或者出现了明确的垂直及平行关系的时候，我们可以想到间隙法。那么往往在求解某些线段的长度或某些角的角度，以及最值问题和动点轨迹的问题的时候，我们会想到间隙法。 那么如果我们想用间隙法，大题能不能用呢？首先我先给你一个结论，大题在合适的情况下可以使用，但是你必须要写清楚， 以谁为圆点，以谁为 x 轴，谁为 y 轴建立平面直角坐标系。你要明确我们 x 轴 y 轴正方向的一个位置，把它在图中标出来， 并且你要标注出。你如果想求某一个值，那么我们这个过程中使用到的所有点坐标必须标出来，以及我们各个目标线段它的距离等等等等，这些都需要标注。而且在关键计算的时候，我们步骤不要跳步， 这个环节我一会会说清楚。再一个，什么时候我们慎用。当拿到一个任意的普通三角形，没有特殊角，没有特殊度数，没有垂直关系，你需要自己构造垂直，自己构造平行，且你不太确定它的位置时候。 再一个就是计算量实在过于庞大的时候，我们就不要再使用间隙法了。那么接下来什么样的同学可以用间隙法，什么样的同学咱们最好不用？ 间隙法本质上是通过你的计算能力去弥补我们在一些特殊题型，我在图形的几何模型或者分析环节的不足。 也就是说老师我的计算能力很强，也许我的几何分析能力也非常强，但是呢，我就是计算能力强，我看到这个题，我觉得间隙比几何的做题固步骤要快的多好。那么二话不说，我直接间隙没有问题，但是它是建立在你的强计算能力之上的，如果你没有这样的计算能力，那 那么我们就不妨还是把几何相关的功底去拿出来，我们用咱们的模型去解决问题啊。换句话说， 在初中数学，间歇法相当于是用你庞大的计算能力去弥补。在部分题目中，部分题型中，我可能对它不够熟悉，对这个几何模型不够熟悉，少知道一些结论，所以我用计算去弥补这个环节，别人把时间花在思考上，我把时间花在计算上， 殊途同归，拿出结果就完事。那接下来咱们来看一下，对于间隙法，我们到底能不能用？刚刚有同学一定会说，老师，我们这说了不能用 好，到底能用不能用？首先如果你所在的地区，老师明确的说，你用一次，我扣你一次分，我就不允许你们使用。好，那我告诉你，你听你们老师的，但是为什么我说可以使用？因为我们是直接从咱们的课表里面拿出了依据。 首先我们先来看一下二零二二年制定的新课标的标准，因为我们二四年新教材，它是基于二二年的新课标标准我们出现的。 那么在这个课程标准里面，你会发现关于平面直角坐标系的一个概数。在第四学段七到九年段里面，你会发现它出现了两次比较明确的表述， 认识平面直角坐标系，并且能够通过平面直角坐标系描述图形的位置与运动，形成推理能力、发展空间观念和几何直观。这个环节就很重要，这是他的一个方向。 另外我们这个图他只是其中的一张，你说老师这说的不够明确，没关系，我把它拿走，咱们再来看这张图啊，看二二年版的课程标准，我们直接拿出来咱们来看，在这里面他怎么说的。 首先关于图形的位置与坐标，在平面直角坐标系章节我们要理解概念，对吧？接下来在实际问题中，这一句很重要，实际问题就是你继续答题的过程中 建立适当的平面直角坐标系。什么叫做适当的？就是在特殊题目明确告诉你有直角出现，有垂直出现的时候，我可以去描述。 另外对给定的正方形，专门在正方形，这里面有强调，会选择合适的平面直角坐标系，写出它的顶点坐标体会可以用坐标表达简单图形在平面上运用方位角刻画物体的相对位置。 所以这是在我们具体的啊，咱们的书上啊，咱们的课程标准里面给到了我们关于平面制表系他的一个使用场景，这也是他的一个很关键的一个信息。另外我们可以看一下在我们教育局出台的相关文件里面，在考试的阅阅阅卷管理制度，这里面明确的有说出什么呀？ 关于我们建立主观性试题，什么是主观性试题？就是我们的大体解答题，一题多频制度、抽查复合制度。在这个环节里面，说白了就是你只要解析方法对，而且是在初中的学习范围内，平面直角坐标系是我们初中学的对吧？又不是让你建立一个空间的 直角坐标系，所以在这个解析过程中，它是属于我们初中的知识，并没有超纲，那么你用这个方法做没有问题。但前提有一个 我们要注意，他在这个的评分依据里面，往往判决人，他会根据我们的答案去进行评分，所以如果答案给出的往往他不会是平面制表系的，这个方法 我们会给步骤分，但是你的平面制表系就会在部分地区有风险，就是我最后看你答案，你平面制表系做对了， ok， 这个整个分给你了。但是如果你的结果错了，判卷老师会不会逐步去找你到底在哪块建立坐标系的过程中做错了，还是设点坐标做错了，还是利用距离公式求线段长，你求错了这一块出题老师会不会去看这个就是一个问号了。 所以如果你选择用平面直角坐标系的方法做，选择填空对吧？你不写步骤，反而最后对了，错了的，你只要 结果算对了，这没有什么问题，但是如果在大题里，你用到平面直角坐标系，一旦你的步骤里面出现了计算错误，导致答案做错了，能不能给你分呢？这就成一个问号了，这就取决于你的运气，看老师愿不愿帮你找分了，大概率不会 啊，也就是你可能就失去了这个题目啊，在每一步拿到分数的过程中，老师去给你找步骤分的环节。那接下来咱们拿一道题目来感受一下，对于平面直角坐标系，我们在 正方形或者在一些标准的几何图形中，咱们解析能给我们带来的是什么？比如说拿到这道题目，这是二零二六西城的一道校级题目，那 那么给到我们一个正方形，他给我们边长的信息了，告诉我们角 b a、 e 等于十五度，让我们连接 c e， 连接 c e 并延长至点 f， 使得 b f 和 bc 长度一样。所以在这个题目中就属于一个什么呀？给我们具体线段长度关系非常明确，且非常多的一道题，那么你想去做这个题就变得比较容易了，对吧？如果这个题我就想建立平面直角坐标系，能做吗？完全没有问题，咱们一块来看一下。 那么在这里间隙的环节，你可以选择很多，比如我喜欢，我就喜欢以 c 点为圆点建立，行吗？行， 我就喜欢以 b 点为圆点建立，行吗？行，或者我选择在 f 点这一块，我往下做垂线去建立也可以，但是在做垂线之前，我们需要稍稍分析一下，你比如说我现在想表示所有点坐标，你把 b 点这个位置，对吧？建立圆点以后， a、 b、 c、 d 这四个点的坐标没问题了，对吧？但是比如说这里面的 f 点、 h 点、 e 点这一块，我们该怎么解决？这就成了一个下一个问题点。所以我们不妨先来看一下题目给的信息。有一个十五度角，这是我们需要格外关注的，这个角是十五度， 它是十五度，说明还有一个角，也就是它一定是十五度，对不对？ a、 c 是 关于 b、 d 上随便的一个点，我们直接对角线截取的一个点嘛， 所以在这儿我们会发现这是十五度，这个角也是十五度。又因为题目中给出我们是延长出去的，所以 b、 f 和 b、 c 这两个边的长度相等，也就意味着这个角一定也是十五度。 图中标注的三个小红角大小一样，看到十五度，你应该想的角度立马应该就是三十度，对不对？所以这刚好还是有这样一个十五度，十五度这样一个等腰三角形。于是我们的辅助线其实做起来非常快，你直接延长我们 c、 b， 哎，没有做上。再来一次，你直接延长我们的 c、 b 延长过来。好，接下来。然后呢，我们过 f 点向下做垂线，我们构造出一个直角三角形， 假设这个点是一个 p 点，好，当我这个垂线做出来以后，你会发现这个角一定是一个三十度的角， 对吧？所以在这个题的做题环节中，你会发现我们正方形的边长是一，我往这带带带，这里是 e， 这里是 e， 这里也是 e， 所以 我们 f、 p 的 长度就应该对应的是一的一半，二分之一，对不对？这是二分之一，这是二分之根号三。 其实在这个题有一个小小的技巧，如果结果是让你求某个线段的长，比如说让你求结果的 a h 的 长度，求线段长度好，那题目给的数你都得用，对吧？但是 如果在这个题求的是一个比例关系，你发现你在计算长度的过程中都出现二分之几、二分之几了，那我们不妨怎么样呢？题目他说边长是一，我边长为二， 对应解出来的 h 点，对于 a h 和 b h 长度关系来说不会有影响吧，对不对？所以在这道题你可以有一个小小的技巧，就是我把边长给它扩个倍，我给它边长为二，反正最后你求的是比例，又不是哪个线段 啊，这个细节我们可以用上，所以在这块我在做的时候，我们会选择一个小小的技巧，因为最后不是求某线段的长，我就把这个比例给它扩个倍，我假设 b c 的 长度为二，我们假设， 也就是说我们假设正方形的边长为二，换句话说，这道题边长为几，对你的结果都不会有影响，因为你求的是一个比例，你想要的只是一个 a h 比 b h 的 固定比 好，那在这我如果假设 bc 是 二的话，那么 ab 的 长度对应也是二，对吧？那么 b 的 长度对应也是二，而且我们现在会发现，此时 f p 的 长度就应该变成了一，这的长度 b p 的 长度就应该变成了 根号三，对吧？那么此时我们把这个平面直角坐标系完整的建立出来，既然我们想建，咱们不妨就在 b 点这一块去建立上啊。如果你说老师我做题我特别不喜欢带着符号做，那你说你这个题就在在哪块去解析呢？ 如果你特别不喜欢带着符号做题，你建立平面这条坐标系，肯定要是在 p 点去做了，对不对？把 p 点当圆点，其他点坐标就都出来了。这个题我觉得完全可以在 b 点去做，因为没有那么复杂，我现在把这个坐标系画出来，好吧，然后这再来一条，它，以 b a 啊，以 b a， 我 再建立一条，好，这就是我们的 y 轴，这就是我们 x 轴，这就是我们的原点，以 b 点为原点。如果这题是一个解答题，你就要说清楚，以 b 为原点，以 bc 为 x 的 正半轴，以 b a 方向为 y 的 正半轴，建立平面直角坐标系啊。然后接下来你这里面要用的的所有点坐标，你就得一个、两个、三个、四个全部给它点出来了，在这你需要用到谁？ 你会发现，我要求 a， h 的 长度，要求 h， b 的 长度，可能 b 点坐标， a 点坐标，你得写出来，对不对？对应着 a 点坐标就应该是零二，对吧？你在具体做题步骤里面，就要给它标注出来，这个 b 点坐标就是零零，而且你还需要谁啊？你需要 h 点坐标， h 点，你现在是要求的， 怎么求呢？你会立马反应过来， c 点坐标，横坐标为二，纵坐标为零，所以就是二零点。而我们的 f 点呢？刚刚已经算出来，这段的长度是根号三，这是一，所以 f 点它是第二项线的点， 横坐标为负，根号三，纵坐标为 e， 直接搞定了。所以 f 点以及 c 点这两个点的坐标，我们现在是知道的情况下，咱们直接在这两点间去连立，我们依次函数表达式就完事了。设 y 等于 k， x 加 b， 然后开始往里去带， 这个点带一次啊，当 y 等于一的时候，此时是负根号三倍的 k 加上 b， 对 吧？还有一个点是二，那就是 y 等于零的时候，此时我们 二 k 加上 b， 由此我们可以去解出谁的值，我们是不是可以去把 b 的 值给它解出来，而你只要能够把 b 的 值解出来，这个题 b 就是 我们这个一函数和 y 轴的交点， 对吧？然后我们剩下这段的长度，这段长度我们直接让他一比就搞定了，所以这道题咱们来算一下。呃，很明显在这个题你先算 k 好 算，对吧？所以我们把 b 消去，我们会发现 k 的 值应该是等于上面和下面做减法，或者下面和上面做减法无所谓，你会发现最后应该是负一 比上啊，二减根号三。 好，然后我们对应的结果分子分母同时乘以二加根号三，你会得到上面是根号三减去二，这就是我们这个式子求出来的最后的一个结果。那接下来咱们想去求出这个式子最终的一个结果的话，怎么去求啊？咱们要 停一下，所以在这块 k 的 值你是负一比上二减去根号三，我们让下式减去上式啊，就凭二加根号三是吧？二加根号三，对对对对， 在这截一下，好，那么连立这个式子，我们可以求出对应的 k 值， k 值可以先求出来二式减去一式，咱们可以求出来是多少？ 呃，负一比上二加根号三，分子分母同时乘以二减根号三。我把这个步骤稍微写一下了啊，二减根号三，一块来算一下，那么这块对应的也是乘以二减根号三。好， 现在此时分母就是数字一了啊，分子就是根号三减去二，这是我们 k 可以 求出来的。 好，当我们把 k 求出来，是等于根号三减二，那么 b 的 值呢？你把 k 代入，就可以去对应解除 b 的 值了， b 应该等于多少？等于负二倍的 k， 所以 b 就 等于 负二倍的根号三减二，也就是我直接写结果了啊，负二倍的根号三加上四。好，这就是我们的 b 的 值，那么 b 的 值知道了， b 的 值对应的就是 h 点的 纵坐标， h 点的横坐标就是零，纵坐标就是四减去二倍高三，或者负二倍高三加四，那么这段的长度现在我们知道了，对不对？我们是不是拿二整个的这个长度不是二吗？减去这一段， 减去这一段，我们是不是就可以求出 a h 了，对不对？所以 b 这段的长度，它就对应的是我们的 b h 这段的长度，然后呢，我们的 a h 就用二减去，它，也就等于二减去，这个式子求出来，结果应该是二倍根号三，再减去二啊，用二减去我们小 b 的 这个值，咱们就可以求出来的。 好，那么所以最后我们要求的 a h 比上 h b， 那 不就是他和他做比值来，我写到这了啊，所以就是二倍根号三减去二，比上 四减二倍根号三。首先在做比值之前，我发现分子分母可以先去给他约去一个数字二，去，那我们把这个二先约一下啊，约一下，约完以后，你会得到这个式子，最终 a h 比上 b h 应该就对应的是 根号三减一，比上二减根号三，分子分母同时乘以二减根号三，那么你会发现分母就成一了，对吧？分子呢？就成了啊，根号三减一乘以二加 根号三，此时分母就已经是四减去三吗？所以最终这个题我们求出来结果，二倍根号三减二加上三，再减根号三 减二加三，有理数部分是一，后面呢，二倍根号三减根号三，结果剩根号三。所以这题最终的结果一加根号三，我们就相当于是强算给他算出来的。 看着柿子裂的很多啊。这个题唯一的难受点就是这出现一个根号三的比例关系，所以你在记计算的时候，给你带来了一丢丢难度。如果这个题数全都是整数的话，其实算起来会非常的快，而且甚至你可以口算，这就是你如果用间歇法是完全可以做的， 对于填空题来说，更无所谓步骤不步骤的事了，对吧？你就直接做，做完以后结果只要写对这个题就没什么问题了。但是如果这个题是个大题，还是要强调步骤，千万要注意这个步骤这个细节。好吧，嗯，这是我们的整个这道题目 连着计算，我也带大家去算了一下，所以还是那句话，平面制要坐标系去解决我们的几何题目，尤其是在初三，解决几何大题行不行呢？可以选择填空，随便用大题。我们第一 先听你们老师，你们所在地区老师的要求，另外就是如果老师没有说过，那这个就是完全可以用的，在课标里面是跟我们说清楚的，但是你用的话，你如果没有强大的计算能力，我也不建议你去使用，用了可能也没有能给你带来对应的收益，反而让你算的很痛苦。 我们不妨还是要把几何的基础以及几何的常见模型学明白，这样你在做题的时候可以用一些固定的结论快速搞定选择填空题，也不一定会比咱们的间隙法慢，但是他可以说是你在 实在没有办法的时候救你最后一命的救命稻草了。这个方法平时还是要适当练一下，强化自己的计算能力， 不然你到考试第一次使用，你一定很难去找到我在哪去间隙我的每一个步骤。这个平时不用，你要考试第一次用的话，第一你会算的非常慢，而且还会总出错，这是我们需要注意的。好的，那本视频咱们到这结束，数学找老钱，进步会很甜。

数学三大进数之间隙法初中数学题，当我们不知道突破口和辅助线没办法了，那我们可以尝试使用暴力间隙法。那什么是间隙法呢？间隙法就是将复杂的几何图形通过坐标系表示出点的 关系来，来转化为代数之间的关系。而间隙法步骤一共就分为三步，第一步，确定圆点和坐标轴。通常将图形中特殊点作为圆点，将相互垂直的线段作为坐标轴。第二步，写出点的坐标，把题目中涉及到的关键点用坐标表示出来。第三步，列方程求解， 需要根据题目的要求选择正确的公式进行计算，这是它的核心工具包，那同学们可以暂停观看。好，那在了解间隙步骤后，我们来看看具体怎么用。以这道题为例，在正方形 a， b， c， d 中边长为四两动点，满足 b， n 等于 d， n， e 为 n， n 的 中点， f 为 d， e 延长线的交点。我们常规的辅助线呢，很复杂，我们常规辅助线大概是这样子的，你想不到怎么办呢？我们直接暴力间隙。第一步，以点 b 为圆点， b， e、 c， b， a 分 别为 s 轴， y 轴间隙。第二步，写出各个点的坐标，这里我们设 b， n 长为 a， 那 么各个点坐标就可以标出来点 e 为 n， n 的 终点。利用我们终点坐标公式也可以求出来。第三步，列方程。大家可以看到点 d 和点 e 的 横纵坐标是一样的，所以呢，它肯定是在一 次函数 y 等于 x 上。当然我们可以设 d 一 的解析式为 y 等于 k， x 加 b， 代入这两个点的坐标，也可以求出函数解析式 d 一 是 y 等于 x。 好 了，那这题我们就解决了 d 次函数 y 等于 x 刚好是角平分线是吧？也就是点 f 刚好是两条对角线的交点。所以呢，在正方形中呢， d f 肯定等于二分之一的 a c。

例题和间隙永远卡在找坐标，投影不会找，平移向量不会用补全图形不会？看这期视频教你一招，方程运算，暴力解除所有点坐标，零空间想象力，看完这个视频，考场无脑算， ok！ 同学们在开始我们正式的例题讲解之前，还是按惯例来给大家讲解一下这个方法的底层逻辑。 首先我们去想一下，我们一般如果要在空间中求一个位置点屁的这个坐标，按常理我们是不是需要去观察图形或者找几何关系，找平行，找投影之类的，利用平行或者垂直等等等等这些位置关系，我们进一步的去判断这 这个 p 的 坐标是什么。但事实上我们去想，我们要去求空间中一个位置点 p， 我 们假设它是 x y、 z， 我 们如果要通过计算去求出 x、 y、 z 这三个坐标，在空间中有哪个公式能够帮助我们去求解呢？是不是两点间距离公式？ 假设 p 到一个定点 m， 我 设这个 m 是 x 一 y 一 z 一， 那这时候我们是不就能写出 pm 两点间的距离公式？哎！同样的一个三元二次方程是不解不出三个圆， 那我们要列几个？是不列三个，所以说我们在这空间中是不只要能找到三个已知定点 m 一 m 二， m 三，再找到 p 到 这三个定点之间的距离，是不就能根据两点间距离公式列出三个三元二次的方程？连立方组是不能直接解出 x 多少 y 多少 z， 那 这个方法的本质我们是不是就直接用计算去代偿了观察的这个环节？在例几何这类大题中，我发现大多数同学遇到的问题其实并不是带坐标计算， 其实就是我的观察力有一点弱，我的注意力也没有办法集中，总是没有办法及时的去观察出它们平行或者垂直，或者是其他的位置关系。 那么在这里这个方法实际上是什么？是把几何问题代数化了，就是我们不用去找什么平行投影，也不用去动脑子去观察， 只要他的条件给够了，这几个边长是不是我们就一定能够算出来？好，那除了这种求点坐标的方法以外，还有一个不一定算暴力但一定好用的方法。我先说做法，这是 a， 这是 b， 这是 c， b 点难求，因为你不知道他到底是在哪里，比如他可以中点，他也可以三等分点，反正 b 就 在这个 a c 上，无论在哪一块， a 坐标你是知道的， c 坐标你也是知道的。那这个时候我们直接令 ab 等于那么大倍的 a c， 你 如果设 b 是 x、 y、 z， 我 随便给 a 赋值， a 可能是一多少零多少一， c 是 一个二，刚好二零。这个时候呢，有一个什么 x 减一多少 y， z 减一等于 lambada 背的 x 减二，一， 根号二负一没问题。那好，那你这是不是有一个什么 x 减一等于 lambada， y 等于根号二，背 lambada， z 等于负 lambada 加一。那事实上我们通过向量之间的关系，是不是能够把三个圆转化为拉姆达？一个圆，我们是不是能够用拉姆达一个位置量去表示这个 b 坐标？ 进一步的，我们再通过垂直或者平行的关系去求解出这个 b 的 坐标，那具体是什么意思呢？我们先来看看这道例题，这道例题没给大家去题目，我们就来看一下这些难找的点到底是怎么找到的。 同样呢，我相信大家哦，间隙肯定是会的嘛， a、 b， c、 o 这几个点也非常的好找，你是不是通过具体的边长线段就很轻易的能够得到这四个点的坐标？ 哎，好了，现在我们的问题是什么？是不是要去求剩下这几个 f、 e， d， p 这几个点？那好，我们由题目是不知道 d 和 e 是 不是都中点， 那既然 ab 坐标知道了 d， e 是 中点，我们是不只需要知道这个点， p 坐标 d 和 e 就 自然而然的就出来了。根据我刚才教大家的方法，直接去射 p， x、 y、 z， 那 我们现在是什么？从题目中找有哪些边长是和 p 有 关的吗？ p， b， p、 c 是 不都是刚好？六， 那好，有两个 p b 和 p c 的 边长。那除此以外我们还能表示什么关于 p 的 线段呢？ p， a 是 不是短时间内看出来？好，我刚说什么？是不是只要找到一个方程，它是用 x、 y、 z 和已知量表示的，就可以知道 p， 知道 b 是 零零零， d， 是 不就知道 二分之 x， 二分之 y， 二分之 z， 那 有没有和 d 相关的边长是不？当然是有的， a， d 二分之刚好三十。好，那就这三个边长呗，你去列一下他们的两点间距离公式。那好，那我们对着上面这些坐标一一点点写呗，是不已经写出来了， 然后呢，是不是分别两边平方？你别看这个式子虽然长得复杂，但你自己写一遍，你会发现他有很多东西能消掉，你比如说我就按这个式子来说，这两个式子来说， 第一个式子 x 方加 y 方加 z 方等于六，第二个式子 x 方加外减二倍，杠二的平方加 z 方等于六，这俩玩意是不是相等 好？它俩相等， x 方 x 方 z 方 z 方是不是消掉了？那你就知道什么外方是不是等于外减二倍根号二的平方，外方等于外减二倍根号二的平方， 你能想到啥？是不刚好是相反数，那你直接 y 等于二倍，杠二减 y， y 多少是不刚好二，那是不是就很快就能解出来我们这个具体的 x， y 的 z 的 值？那我们最终这个 p 坐标是不也就出来了？ p 出来了， d 出来， e 是 不也出来了？剩下的是不就是我们这个 f 坐标了？ f 坐标怎么去求呢？是不就是我们刚才讲的第二个 三点都共线了？而且 a 和 c 的 坐标是不是你都知道呀？那你直接有 a， f 向量是等于那么大倍的 a， c， 你 如果去射 f， 我 这里射还是 x、 y、 z。 但同学们一定要注意，在考场上 一定不要用三个相同的位置量去表示两个坐标，你可以设它是 m、 n， s。 好 吧，如果 f 是 x， y， z， a， f 是 多少？ a 是 二零零，是不是 x 减二多少， y 多少？ z， a， c 呢？负二二倍，根号二零，它等于拉姆大倍的。 既然有这个式子，你分别对应的去书写嘛，它就变成什么 x 减二等于负二倍的拉姆大 y 等于二倍，根号二倍的，朗的 z 等于零，这是能解出来 f 是 多少？二减二朗的二倍，根号二朗的零。那好，这里你完成了一个什么样的操作？是不是把这个三个未知量 变成了同一个位置量？然后呢，我们再回到题中去进一步求解，解出这个 number 是 不是就解出了 f 坐标？这里一定会给你一个呃条件的，比如说垂直，比如说平行，你是不是都能再列一个另外一个方程？比如这道题啊？ 他第二问，实际上让你去证的是 a o 垂直于平面 b f， 那 你通过这个条件是不能得到 a o 垂直于 b f。 既然 a o 垂直于 b f， 那 你写完这个 f 坐标，是不是还有一个什么 a o 坐标，点击 b f 等于零，那这个那么大，是不是就很容易能解出来， 对吧？你再列一个方程再去解嘛？ ok， 那 同学们，我们再来速练一道题，这是二零一七年浙江的考题，还是一样的间隙给到大家。哎，这里有同学突然就问说，哎，他没有给我一个边长呀？没有跟我说，比如说 ab 是 一， bc 是 二，这样的边长关系，他只给我了 是比例关系。那我这里怎么去表示他们坐标呢？你傻呀，你直接设不就行了？ 这里主播直接设 p c 等于二，剩下的就交给同学们据补全过程了。目标求批点坐标，主播将在评论区造后大家的作业。这期视频到这里就结束了，我们下期再见。

例题，几何题不会做，多半是坐标系没建对。今天我们要解决的核心问题就是如何在一个复杂的立体图形中快速准确地建立空间直角坐标系， 让向量计算变得像代数一样简单。间隙的第一步，也是最重要的一步，就是寻找两两垂直的三条直线。在正方体或长方体中，这很容易，因为从一个顶点出发的三条棱天然互相垂直。 但在其他图形中，比如三棱锥，我们需要敏锐地捕捉那些隐藏的垂直关系，比如线面垂直带来的线线垂直。记住，只有找到了这三条互相垂直的线，我们才能把它们定义为 x、 y、 c 轴。找到垂直线后， 第二步是确定原点。原点的选择直观重要，它决定了后续坐标计算的反减。通常我们选择多条垂直线的焦点作为原点。 比如在这个正四棱锥中，顶点 p 在 底面的投影 o 正好是底面正方形的中心，因为 p、 o 垂直于底面，而底面的两条对角线 a、 c 和 b、 d 又互相垂直且交于 o， 所以 o 点就是最完美的圆点。这样 x 轴、 y 轴可以沿着对角线方向， z 轴沿着高 p、 o 的 方向。第三步也是最容易出错的一步，是写出关键点的坐标。一旦原点和轴向确定，我们就需要根据几何尺寸来计算坐标。假设底面正方形边长为二， 那么对角线的一半就是根号二。因为 a 的 坐标是括号，根号二，逗号 零逗号零括号同里。 b 点在外轴正半轴，坐标是括号零逗号，根号二，逗号零括号。顶点 p 在 c 轴上高度为 h， 所以 坐标是括号零逗号零逗号零逗号零逗号 h 括号。你看，只要圆点选得好， 这些坐标往往带有大量的零，这会极大地简化后续的向量运算。有了坐标，向量法就真正开始了。比如，我们要计算侧棱 p a 和 p b 的 夹角， 或者证明它们是否垂直。首先用中点坐标减去起点坐标，得到向量 p a 等于 括号根号二逗号零逗号负 h 括号向量 p b 等于括号零逗号根号二逗号，负 h 括号。接下来利用数量积公式对应坐标相乘再相加，你会发现，由于很多坐标使零计算变得非常清爽， 最后得到 h 的 平方。如果题目给出具体数值代入即可，这就是间隙带来的威力，将几何关系转化为纯粹的代数运算。总结一下立体几何向量法间隙的精髓就这三步， 第一，找垂直，这是间隙的基石。第二，定圆点，好的圆点能让坐标充满零，简化计算。 第三，写坐标，细心计算，避免符号错误。无论图形多么复杂，只要抓住垂直这个核心，你就能建立起属于自己的坐标系。把空间难题变成简单的算术题。点赞收藏这套间隙口诀，考前复习随时看！

间隙不会写坐标总错，今天教你两招，三分钟搞定间隙和写坐标。首先来看间隙，本质就是找或者是造墙角，也就是去找 三条两两垂直的线啊。那这个墙角的话呢，就分两种情况啊，第一种的话呢，就是有线缠的墙角，那我们直接用就可以了，那就是直接用，比如说这种，他们是两两垂直的，那我们直接去间隙啊， 以它为 x 轴，以它为 y 轴，以它为 z 轴。那第二种情况就是没有现成墙角，那这个时候我们就要人为的去造出来垂直关系，然后再去建立坐标系哦。接下来我们来看一下写点坐标，那它的步骤是，第一步写坐标原点的坐标，第二步写出坐标轴上的点的坐标 上点坐标。那第三步就是写其他了。接下来我们就用两道高考真题来实操一下。来看第一题，先看这个图啊，它的墙角好像就是在这个点 d 这块儿， 那接下来我们来证明一下，看它的这个墙角的三条线是否两两垂直啊？往这看，直死棱柱啊，那所以它满足 d、 d 一 是不是就垂直于 a d， 那 d、 d 一 是不是也垂直于 d、 c？ 那 接下来我们只需要去证明出来， a、 d 垂直于 d、 c 的 话呢？那么它这个墙角是不是就成立了？继续往后看啊，那他说 a、 b 平行于 c， d， a b 垂直于 a、 d， 那 不就是 a、 d 就 垂直于 d、 c 了吗？那所以这个是不是也满足也就是这个墙角成立啊？我们直接去间隙，以 d、 a 所在的直线为 x 轴， c 所在的直线为 y 轴， d、 d 一 所在的直线为 z 轴，建立坐标系啊。接下来我们来写一下点坐标啊，先去写坐标原点，点 d 的 坐标，那就是零零零看。接下来看一下点 a， 它是在 x 轴上啊，看横坐标，那就是 d、 a 的 长，所以是三。那纵坐标跟竖坐标都是零看。点 c， 它在 y 轴上， 所以横坐标是零，竖坐标就是 d、 c 的 长。四、竖坐标也是零。看 d 一 在 z 轴上，所以横纵坐标都是零，竖坐标就是 d、 d、 c 的 长。四、接下来去写点 b 的 坐标， 点 b 的 横坐标是不是和点 a 的 横坐标是一样的？是三，那它的纵坐标呢？是不是就是 ab 的 长，也就是二，由于它在底面上，所以所对应的竖坐标就是零。看一下 a 一 的坐标，那 a 一 跟点 a 的 横坐标是一样的，纵坐标也一样，只不过它多了一个高度啊，也就是多了一个竖坐标。竖坐标那就是 d、 d 一 的长。 四看 b 一， 那 b 一 和点 b 的 横纵坐标都一样，再去给它加上高度， 那所有点的坐标我们就完成了。这就是第一题啊，有现成的墙角，我们直接去写点坐标就可以了。接下来我们看一下上一期讲的这道题，那它的墙角呢？好像是在点 a 这啊。那根据题设条件，我们知道 p a 是 垂直于 a、 c 的， p a 也垂直于 ab， 但是这个 ab 和这个 a c 不 垂直啊，为什么呢？因为上一期的视频我们已经知道了， ab 跟 bc 是 垂直的，也就这个角是直角，那所以这个肯定是不垂直的， 也就是这个不是一个现成的墙角，那不是现成的怎么办呢？我们自己造呗。怎么造呢？那就是从点 a 这出发，做一条垂直于 a、 c 的 直线，那你看，以它为 x 轴， 那你看 p、 a 是 不是垂直于这个 x 轴？那刚才那这个 x 轴它是不是垂直于 a、 c， 那 p a 也垂直于 a、 c， 那 是不是两两垂直了？所以这个墙角我们就造出来了啊，以它为 x 轴， 那以 a、 c 所在的直线为 y 轴， p a 所在的直线为 z 轴，建立坐标系啊。接下来我们写一下点坐标来坐标原点零零零点 c 的 坐标，那这个是一，这个是一，那 a、 c 是 不是就根号二，所以横坐标是零，纵坐标就是根号二，竖坐标是零啊？点 p 的 坐标，横纵坐标都是零， 竖坐标是一。最后我们来写一下点 b 啊，那由于这个点 b 它没有在坐标轴上边，所以我们写坐标的时候，需要去算出来它到每个坐标轴上的距离。那先来看一下它的横坐标，也是从点 b 往 x 轴做一个垂线啊。 那假如垂足是 d， 那 接下来咱们看一下在这个 r、 t 三角形 a、 d、 b 中，我们都知道哪些量呢？那 ab 是 已知的是一，那 ab 是 一， bc 是 一，所以这是个直接， 所以这个 a、 b、 c 它是一个等腰直角三角形，所以这个角是不是四十五度，那它是四十五度，那这个角 d、 a、 b 是 不是也是四十五度？从而我们就能算出来， a、 d 就 等于 d， b 等于二分之根号二，所以点 b 的 横坐标就是 二分之根号二，纵坐标也是二分之根号二，竖坐标就是零，这就是这道题。那掌握好间隙和坐标的书写呢，就拿下了例题及和大题的关键第一步啊！好，今天的课呢，我们就分享到这，最后请同学们查收一下本期作业和下期预告。

同学们，发现了没，最近这个间隙法在互联网上那真的是热火朝天，那有的同学就会问到，老师，这个间隙法我要掌握哪些知识点好？没问题，今天我们来通过这个视频来告诉你啊，你要想彻底的运用间隙法，你需要知道哪些公式好？第一个 题目，这是一个正方形，然后告诉我们，这里为二，这里也为二。好，他干嘛呢？他让我们求 m n 的 长度，那我们知道，对于这种题，我们肯定就是一个间隙对不对？我们已经做了很多了，这就是一个间隙，我们是这是坐标原点，假如这里是零零， 那我可以知道 e 点的坐标对不对？ e 点的坐标零啊， c 点的坐标六，零间系法的第一步肯定就是找坐标对不对？然后呢， f 点的坐标，这是多少？ f 点的坐标，朋友们啊，六，没问题吧？好，那 n 点的坐标， m 点的坐标，我们要利用什么终点坐标公式？待会老师会讲，我们先把这个题啊思路给大家理一理好不好？那这道题它的终点坐标是多少呢？老师直接写三一， 他的呢？他的重点坐标是多少？哦，一三好，然后通过两点之间的距离公式，我就可以把它算出来了，对不对？好，那因此我们来复习一下，如果在一个暴力间隙法中，我们要想利用 这个方法来解决这个题，那我们需要掌握哪些公式呢？这是第一个公式。第一个公式是什么？两点之间距离公式，两点之间的距 离公式好，我们随便找到两个点，我们设 a 点的是 x 一 y 一 它的坐标， b 点的坐标是 x 二 y 二，如果要求 ab 两点之间距离，那我们 ab 两点之间的距离等于啥呢？根号下， x 一 减 x 二的平方，加上 y 一 减去 y 二的平方。 那你说老师我能不能 x 二减 x 一， y 二减 y 一？ 可以的，但是你记得一在前，一在后都没问题，但是你要保证统一，你的一在前，我的一就在前。你的一在后，我的一就在后。好，这是第一个公式，两点之间的距离公式。第二个公式叫做钟点公式，钟点公式也是我们经常用到的 钟点公式。那随便找两个点， x 一 y 一 x 二 y 二。好，那假如这也是好，我们都不用写， 我们直接用，还是用这两个点可不要。那他们 a b 的 终点公式是什么呢？就是二分之 x 一 加 x r， 动上二分之 y 一 加上 y r， 当然它的坐标我们可以加个括号，这是终点公式，也是我们需要牢记的。那第三个 也就是依次函数的依次函数的关系式。依次函数的关系式，为什么呢？因为这个我们会经常用到的。 虽然说这道题没有用到，但是我们以后，哎，如果这个焦点我不知道怎么求，但是我知道它是两条直线。假如说这道题我变了，我让你求这个是 q， 我 让你求 n q 的 距离， 那你说老师这怎么求呀？哎，没问题呀，我可以把 q 点的坐标给它求出来。那 q 点是什么坐标呢？是两个一次函数的焦点呀，我们只要连立两个函数给它解出来就行了。那因此我一定会用的到什么一次函数的关系式的求法。 依次函数关系式的求法最基础的是两点之间的代入，代入两点，哎，这个朋友们都会算，但是我跟你说，大家都会的，他考试反而不怎么考，或者说他的计算量很大，我们可以利用什么呢？斜率式来算，我们可以利用斜率式。 什么是斜率式？ y 等于 k， x 加 b， 这样的话，只要我能够求出这个斜率，然后找到一个点，我就可以求出 b 值，整个函数关系就求出来，这是我们经常用到。为什么呢？因为我们在九年级学三角函数的时候，学一个贪婪，它也是关于一个 k 的 求法好， 因此 k 是 比较重要的，所以第引入第三个公式，也就是我们的 k 的 求法。那 k 等于什么呢？ k 等于 好，我们再找两点 a， b， k 就 等于啥呢？ y 一 减去 y 二比上 x 一 减去 x， 横比 y 二减 y 一， x 二减 x 一 也可以。所以说基本上你要学了这三个公式。呃， 我们可以解决百分之九十九的用接替法来做的题。当然有没有其他的公式呢？有，比如说点到直线的距离公式，两条平行线之间的距离公式，这里也有，但是他用的毕竟很少，我们可以通过其他的方法给他解出来，不需要去专门再学一个公式。那这三个公式就是我们必须要掌握的公式。

一个视频带你搞定立体几何的线面角问题，五种方法一网打尽，尤其是高一的宝子们，你们还没有学空间向量，不能无脑间隙，那你一定要看完这个视频，详细讲解基本原理，教你怎样做辅助线，怎么写证明过程。 看完这个视频，你就是掌管线面角的神。好了，点击全屏观看，开始你的成神之路，来吧！先来研究一下定义，那什么叫做线面角呢？平面上的一条斜线。什么叫斜线啊？这个线与这个平面斜交，它不垂直，这条斜线和它在平面上的适应 当形成的这个角呢，就叫做线面角了。所以说我想把线面角做出来，必须干啥？是不必须做一条线面垂直啊，做一条腿线，好，这样我才能得到垂足啊。 垂足与斜足之间的这个线段长度就叫做射影。我们看一看这个直线与平面所成角的个曲折范围， 它是大于等于零度，小于等于九十度的，注意它和意面直线所成角这个范围的区别。好，那我们就应用这一个线面角的定义，来看看这一个最简单的入门级别的题目啊。先热热身，大家先看看这个题目，一个正方体当中， 这个直线 a、 b 与 a、 b、 c、 d 所形成角的大小是多少？那我先要找到这个角是谁。好， a、 b 在 这里， a、 b、 c、 d 是 这个底面，那我会发现，哎，这条线和这个面是不是有一个交点啊？但这个交点是什么？ 通过定义，我们会发现，这个焦点是不是就是斜阻？那我在 a、 e、 b 这条线上我又找到一个点，干啥玩意做这一个面？ a、 b、 c、 d 的 垂线，那么这不太简单了吗？当然是过 a、 e 点做这个 a、 b、 c、 d 的 垂线啊，它就是谁？ a、 e、 a 是 不是这条侧棱啊？好把它给找到了，那 a 是 不是就是垂足啊？ b 是 斜足，那说所以说摄影就是谁？ ab， 那 么 a、 e、 b 是 斜线，摄影是 ab， 那 么它们的夹角 a、 b、 a、 e 是 不是我们要找的角啊？那这个角 a、 b、 a、 e 是 多大小啊？ 我一下就发现了，那是不是应该是一个四十五度啊？来，快点看一看这第二个题目，先找到这个角是谁，然后再去确定它的大小。 a、 e、 b 和谁的夹角啊？和 a、 b、 c、 d、 e 的 夹角同样呢，是有一个交点，是谁呢？是不 b 点？ b 点？是不所谓的斜足啊？ 那我要在 a、 e、 b 上找一个点是不？干啥垂直于这一个面儿， a、 b、 c、 d、 e 这个是正方体， 它每一个面都是正方形，那正方形的对角线是什么样的？是不是互相垂直的？也就是说你能不能得到这个 a、 e、 o？ 它就是垂直于这个面 a、 b、 c、 d 的 垂足，就是 o 啊， b、 o 就是 矢量呢？斜线是 a、 e、 b， 那 么它假角应该是哪一个角？ 是不是这一个角 a、 e、 b、 o 啊？那我们具体看看怎么操作，我带大家具体写一下步骤好不好？就是怎么能发现用定义法的呢？这个东西是不大家非常关心的事啊，你怎么就知道我要做哪条线呢？辅助线咋做呢？好处啊，对吧？我们直接给他搞。第二问，他说这个 c、 e、 g 与这个平面 bc， c、 e、 b、 e 所形成的这个角的正弦值是多少？求这个正弦值。 好了，我们先要把这个角给做出来呗。你怎么知道该用定义法了呢？我们对于这种题啊，用定义法就一定有什么出现前提啊？大家把这个东西做做笔记好不好？如果不知道什么时候他就该用定义法，什么时候用等体积，什么时候用垂面。哎呀，这些东西我都会提前告诉大家我是怎么做到的， 那是不是成功就可以复制了？我能做出来，你们也肯定能做出来，那它有一个什么前提呢？我们先找这个平面啊，哪条线和哪一个平面的左乘角，先找平面，找到这个平面，那我一定要有一个平面，有一个平面 或者是一条线和这一个所求平面 和所求平面儿。对于这个题来说，所求平面儿就是谁呀？这不就是 b c c e b 呀，和这个所求平面儿要干什么呢？垂直，也就是说我要么有面面垂直，要么有线面垂直， 能懂不？如果你找不到已知啊，你是从已知当中，或者是从隐藏条件当中去找，而不是你做辅助线做出来的，听听明白没？这一个是已知条件给我们的，是已知条件给我们的，不是我们做辅助线做出来的。 当我发现有这么一个玩意出现，那么它大概率就可以用定义法。这个概率多大呢？百分之九十，所以几乎考试的时候你发现这种情况就可以直接想定义法了。那我这个定义法该怎么去用呢？该怎么去用？ 那一二三步咱开始啊，一看一二三步，第一步干什么呢？找焦点，找这一个斜线 与这一个所求平面儿。焦点 找这个焦点是干啥玩意儿？这个焦点是不就是斜足啊？对吧？对于这个题来说，焦点就是谁？ c e g 和这个面儿 b c c e b e， 你 就不看这个题，你是不是也能马上找到它就是 c e， 对 不对？ c e 就是 斜足， 那我们有很大的可能性就是过另外一个端点，这条斜线上的另外一个端点是点 g， 过这个点 g 做面的垂线呀，我们根据定义法是不要在这条斜线上找一个点垂直于这个面啊， 对不对？好，那么我们就有很大的概率是过另外一个端点，过这个斜线 另一端点的话，它也得是某一个特殊点，就比如说等分点， 为啥呢？因为我们把它给做出来，并不是说我只得到这个角就行了，我才要把这个角的余弦之后某一个三角函数直接给求出来，所以我就要能求这种边，对吧？那做出来的边没法求，那是我没有用啊。所以我一定是过这个斜线 它的另外一个端点，或者是说这个端点上的这条线段上的中点，或者是某一个等分点。什么过它去做面的垂线，过这个斜线的另外一个端点呢？做面的垂线， 但是呢，我们肯定要坐在这个面，这个面是不是用可，可能是用三角形去表示的，可能用细边形去表示的，那我这个面我坐在面上肯定好难受啊，我做不了啊，那我想干什么？垂直于某一条边就能得到线面，垂直行不行？ 好，就比如说这个面儿，它是不是用这个四边形去表示的？是这个面儿表示的是 b c c b， 是 不是一个四边形去表示的？那我想的是什么呢？我过这个特殊点做的这条垂线是不垂直于我，这条垂线是垂直于 b、 c、 c 一 b 一 的某一条边，从哪实现线面垂直的呢？这不一定是往它某一条边做垂线得到线面垂直，这就是这一个前提的重要性了。 因为我们有一个面或者有一条线垂直于这一个平面的，这不就可以先得到一个什么了？从这一个面面垂直或者线面垂直也好，我们最终的目的是不是得到线线垂直？ 大家说是不是这样？以这样这么一个线圈垂直，我再给它干出，另外我是不是做出另外一个线圈垂直？那你说我垂不垂于面啊？我能不能得到线面垂直了呢？对不对？ 好，这就是前提的重要性啊，为什么要有这个前提好，一定是垂直于某一条边啊？垂直于这个面上，因为这个面肯定用三角形或者四边形去表示的，我去垂直于这一个图形的某一条边，从而实现了线面垂直，从而实现线面垂直。 那么我们就可以直接去得到这个线面角是哪一个，明白不？就是用这种操作啊，得到线面角是哪一个？那我们看看这个题该咋整吧，好不好？ 现在读读题啊，他说是一个剩三楞柱来了，剩三楞柱提供了什么？提供了这个侧面是不与剩下两个底面是垂直关系？有没有线面垂直啊？朋友们， 这个出三棱柱是不是又隐藏了一个向量垂直给我们？然后他说所有棱长都是二 e、 f、 g， 分 别是这三条棱的中点，是谁的中点？我们直接看图就行了，这就不用读题了，那么直接看第二问， 现在我们找到了它的这个焦点，也就是说斜足是 c 一， 那么我们要过 g 点另外一个端点，是不是所谓的 g 点？我是不是要过 g 点做 b c c 一 b 一， 它某一条边，是吧？它总四条边，我从哪条边的垂线就可以实现线面垂直呢？ 大家看你坐哪一条边儿？我当然是坐 b、 c 这条边儿了，对不对？ b c 这条边儿，因为我要看这点在哪一个面儿上是不？这点可以是在 a、 b、 c 上，也可以是在 a e a b b 一 上，对不对？ 好，那很明显，它这一个 j 或这点想做 b b、 e 垂线是不是很难啊？ 是不是有点扯淡了？所以说我们就直接干什么过 g 点做 b、 c 的 垂线，好直接实现第二条啊，第二条是什么呢？过这个 g 点做这一个 g h 吧， g h 垂直于 b c， 好 吧， g h 垂直于 b c， 咱把它给画出来啊， j h 垂直于 bc， 然后我们马上的连接这一个 c、 e、 h， 好， 连起来，大家看看啊，我就想请问大家，这个 j、 h 是 不是垂直于这个面？ b c c e b e 的 是不是这个样子？它就是吧，一定是，为什么呢？因为是不是有一个线面垂直啦， 对吧？我面面垂直啊，我们得到这个面面垂直，那这个面面垂直，我也给大家记一个顺口溜好不好？就是我上学那会啊，因为我比较笨嘛，我就想了一些办法，怎么能弥补我和学霸之间的差距呢？我就记一些结论呢， 这就是一个什么比方呢？就比如说我们去加工一堆零件，哎呦，这一堆零件我要组合组成一个什么样的玩具， 是吧？就和我们拼乐高一样，我把它拼成一个什么样的玩具，那我如果从单一零件开始去拼，是不是很复杂，很难？但是如果我们把它拼成某一个一个又一个的小单元，我再去组装的时候是不是就会快的多？ 那我们现在去记这种结论，或者是记这个方法的过程当中是干了一件什么事，是不是提前做一个半成品出来？那我以后看见这一这一个结构，我就可以拿这个半成品出来用，是不是他就会很快，那我和学霸之间的差距就会越来越少，甚至他还没有我做的快。 那这就实现了，我打败了他。好，来吧，那咱看一看，该咋证明呢？朋友们，该咋证明？是不？我们再从已知条件当中搞一个线面垂直出来是不就可以了， 对不对？来了吗？顺口溜啊，大家记一记。顺口溜，对于垂直来说的，对于垂直来说好用啊。有面面， 有面面，有面面是啥意思啊？有面面的意思啊，就是面面垂直，有面面找交线做垂值得线面， 那有线得到这个线面，我有时候就到这就停，还有些时候干什么呢？我要从这个线面是个得线线。 好，这就是我们经常会用到的一个东西，你如果遇到面面垂直有很大的可能性，你就得用这句话，对吧？好，现在我们就看了它有一个什么事， 刚才有没有发现？好，我们看它从已知条件这个正三棱柱，我们得到了这一个 a、 b、 c 和这一个侧面 b、 e、 b、 c、 c、 e 是 不是互相垂直的？互相垂直，它们两个交线是不是 b、 c？ 那么这个 c、 e、 c 或者是 b、 e、 b 是 不都是垂直于这个 bc 的？ 都是垂直于交界的？所以我这个 c、 e、 c 是 不是垂直于底面 a、 b、 c 的？ 那垂直于这个底面 a、 b、 c， 我 们会得到什么有用的东西？ 会得到什么有用的东西？是不是这个 c、 e、 c 就是 垂直于 g、 h 的？ 当然有同学会说，老师，你这不，你你，你这么做，这不费劲吗？对对对对，是费劲，但是我想要给大家稍微解释一下啊，稍微解释一下 是费劲的啊，那，那我们如果直接用的话会是什么样？那我现在是不是干出一件什么事来了？我做了一个线线垂直，是吧？ 我做了一个线线垂直，就是做了 j、 h 垂直于 b、 c。 刚才不也说了吗？那算了，我写下来好不好？我写下来啊，把这个过程给大家写一写，那我从这一个正三楞柱 是不是垂直于这个面 b、 c、 c 一 b 的 呢？对吧？是垂直的，那这个线面垂直，我们刚说了有面面，呃，有面面垂直，有面面找胶线，那么它们的胶线是谁呢？我们发现它的胶线是不是 b、 c 啊？那我又干什么做垂线？做这一个胶线的垂线，我现在做没做，我做的这一次是不是垂直于 b、 c？ 那也就是说我们有了这一个谁呢？垂直于交线，那我这个 j h 垂直于 bc， 那 我们能不能得到一个什么东西啊？这个 j h 就是 干啥玩意的？就是垂直于这个面 bc、 cb 的， 有没有毛病？是不是可以给它搞定啊？对不对？是不是很开心的就解决到这个问题了？那我是不是得到线面垂直了？这一个面是不是所求的面是我们要求的这个面， 对不对？线面垂直有了，那你还不知道是哪个角吗？ h 是 不是就是垂足？ c e 是 斜足，那么顺呢？就是 c h， 它有这个斜线 c e j 的 夹角，那我这一个角 j c e h 是 不是我们要找的斜面角啊？ 是不是就搞定了？好，斜面角就搞定了，现在他想干什么？求做之前值做这个 c 角 j c e h 想去求它，是不就老鼻子简单了？为什么说陷面角比较简单呢？因为我做出这个陷面角来，必定伴随这一个直角三角形。那直角三角形的正弦怎么去求？ 是不？它太简单了，我都不用什么余弦定力啊，什么正弦定力？这这一坨东西是不直接出动知识搞定，那它就什么 g h 比上谁？ c e g c e g 就 斜边啊，斜线就是斜边。好吧，那我现在干啥玩意就行了，把 g h 给出出来，再把 c e g 给搞定，是不就完事大吉了？ 好，那么朋友们啊，这一个 jh 是 不太简单了，它说了是一个正三棱柱，那底面 a b c 就是 一个什么图形，咱把它给画一画呗。大家看一看啊， a b c 就是 什么玩意呢？是不是一个等边三角形啊？ a b c， 那 这个 j 是 不是它的终点啊？我做了这么一条垂线，大家看，这个 h 就 应该是什么是 b c 的， 什么，是不是四等分点啊？朋友们，如果你直接看不出来，我再给你画一条线，你能不能看出来呢？ 这一个 k 吧，这一个 k 是 不是 b c 的 终点？有没有毛病？没问题吧？那么现在你垂直，你也垂直，你说我这个 h 是 不是 b k 的 终点？是不是就是 b c 的 四等分点？那么这个小玩意简不简单呢？ 是吧？这就很简单。我为什么一定要强调 h 是 什么呢？因为我想还得把 c h 给求出来啊。为什么要求 c h？ 因为我要求 c j c e j c e j， 我 必须要勾股才能勾股出来，明白不？所以这么一环套一环啊， 很快的，我们就会得到一个比较好的事情了。这个 g h 你 能不能直接搞定啊？这个 a k， 因为它的边上都是二二， 所以 a k 是 个根三，那么 g h 是 不是二分之根三？中位线嘛，很容易搞定了。 c h 就是 什么？我们说 h 是 靠近 b 点的四分点，所以说 c h 就是 什么二分之三嘛，对不对？这不很快嘛？ 好，我们还知道测棱是啥呢，它每条棱长都是二啊，那也就是说这个测棱长 c e c 是 不也是二啊？你说 c e c 也知道了， c h 也知道了，我想求啥呀？我当然是想去去求 c e h 了，对不对？ c e h， 咱一勾股，咱勾股不了吗？ 它是斜边，对吧？那我这个二分之三，这个二就是多少，这个二是二分之四啊，那你说这个 c e h 就是 多少，是不是二分之五？你建勾股，你千万不要硬上，一定不要平方，不要直接平方，你要看看它们几个数之间有没有满足勾股数啊， 尤其是这种一个是整数，一个是分数的，你敢不敢把它通分一下，把整数变成分数，你看一看分子满不满足勾股数呢，对不对？做题不要硬上你，要不然你为什么做题慢呢？人一歪眼，能做出来的又快又对，你还在平方开平方 干啥呢？这是对不对？好，那么 c e h 有 了，我们再去整什么？这个 g h 也有了，那 c e g 我 还勾股不了是咋地，对不对？好， c e g 再给他勾股一下吧。 好，用。这一个数和这个数现在就完蛋了吗？是不是他一个根三，一个一个五，我是不是用不了了？完犊子了，用不了了，那这个 c e g 就 老老实实的平方去求吧，是吧，他应该是什么呢？根号下二分之根三的平方，然后再加上这个二分之五的平方等于几啊？ 这小数还挺好的嘞，什么根七啊？好了，那咱把它给搞上吧。它就应该等于什么？二分之根三比上根七应该等于什么？ 哎呀，不是什么好玩意啊，十四分之刚好二十一，搞定了没？这一题。唰，这个流程就出出现了，我们第一个题讲的慢，是为了给大家试用条件，什么时候用定义法，我定义法怎么做，然后具体一步一步，然后我带大家做了，做这个 怎么去求值啊？通过这个流程，我希望能带给大家的是什么呢？希望能带给大家的是做题的通法，解题，通法。那我们用这个通去做一做第二题，看看它好不好用。那我再做后面题目，我就不给大家详细求了好不好？我们就做辅助线，咔咔，做几个辅助线就行了，好不好？看看这个通数能不能用啊。 来，我撕掉了啊，需要截图就截图吧。好，不需要截图，那我们就继续搞了。好吧，搞第二个题啦。第二个题，刚才说什么呢？已知这个三角形 a、 b、 c 与这一个三角形 d、 b、 c 所在的这个平面呢？互相垂直，来吧， 面面垂直有没有啊？朋友们？面面垂直是我们想要的，我想要，然后再有了什么呢？ a、 b 等于 b、 c 等 b、 d。 哎呦，标一标 a、 b 等于 b、 c 等于 b、 d。 哦，这三条边相等，然后呢？这一个 说这个 a、 b。 呃，角儿 c、 b、 a、 c、 b、 a 是 这个小角儿啊，然后 d、 b、 c、 d， b、 c 是 这个角儿啊，都是六十度。哎呀，他整的这么费劲，我看见这两个条件，他是不是就想跟我们说，这个三角形 a、 b、 c 呀，和这一个三角形 b、 c、 d 啊，它是全等的， 两个正三角形是不就这么个意思，整了半天整了，这么玩意儿？好，第一问，咱也是不做，直接搞。第二问啊， a、 d 与这个 b、 c、 d 所成角的大小。那第一步干什么来着？第一步， 找焦点对不对？找焦点，这焦点是谁啊？ a、 d 和 b、 c、 d 的 焦点是不点 d？ 好， 第一步，找到点 d 了，它就是什么斜足， 你怕我痛苦不好用啊。然后第二步干啥？是，不过 a 点做什么？做 b、 c、 d 的 垂线，我现在 b、 c、 d 有 没有一个面和它垂直是不？有啊，有，怎么整？找胶线是不就行了？那紧胶线直接做胶线的垂线是不就线要垂直了？朋友们， 所以第二步干什么？有线有面面垂直的太香了。这种题就是送分的，直接连点都不要了，直接就送给我们分是吧？有面面找交线，交线是谁？咔就找到了。 bc 是 交线对吧？那我现在干什么？不就是过 a 点做 b、 c、 d 的 垂线，那我直接过 a 点做 bc 的 垂线不就行了吗？对不对？ 那我做 a、 e 垂直于 b、 c 是 不就行了？那我当然，我这个 e 点就是什么玩意啊？我这个 e 点是不就是 b、 c 的 终点？为啥？因为它是一个正三角形啊。 a、 b、 c 是 不是正三角形？我要利用三线合一嘛，有条件我不用，我大傻子对不对啊？这个 e 点 它就垂直的吧，我取 b、 c 的 中点，直接连接 a、 e 是 不就行了？你做辅助线有很多种描述方式，你爱咋描述咋描述，你自己用起来爽就行了好不好。 嗯，当然了，你一点是终点，你也得用三线合一，是不是正垂直？你这个垂直，你是不是反过来也得正？这个一点是终点，你反正你都得用，你怎么去做弧线，爱咋咋地呗。那我通过这一个线线垂直，那我得到了什么呢？我说就得到了，你这个 a、 e 是 垂直于这个面 b、 c、 d 的， 我为什么同垂直于交线就垂直于面？是不必须有面面垂直在里头啊？我没有面面垂直，我直接得什么？一得一个错啊，是不是啊？我得到这一个垂直了，那这不就完事了吗？干啥玩意，一点是不就是垂足了对不对？一不就垂足吗？ 那我这个二面角，我呸，我这个线面角就是谁，我们把这一个 d、 e 给连起来吧。我都没画虚线啊，大家在做图的时候要画虚线好不好？我在店铺上我画虚线不好画啊，画出来歪歪扭扭的，比这个扭的更重，我怕大家看不清楚啊，所以没画虚线， 原谅我啊。啊，那我们现在就会得到了，摄影就是谁啊？斜线 a d 的 夹角是不就是我们要找的线面角？所以第三步直接得线面角就是谁交 a d e 就是线面角啊，你再去求的话，那我们去求这种，不管是你看，尤其是他让我们去求所乘角的大小，这个题是不是有点过分了？比较简单是吧？所乘角大小几角求百分之一万，他是个特殊角对吧？你一万你怎么整？ 你是求它角，我能画它，我能求出它是多少度来吗？是不一定是个特殊角，所以你不管是求它的成弦值也好，余弦值也好，是不都行，或者甚至正切值是不也行？你这个题我甚至都不用求，为啥呢？它两个是全等的正三角形，你说这个 d e 和 a e 这两条勾 是吧？因为一点是终点吗？是不是它是分别是这两个正三角形的高，那你说这两条高相不相等？全等了，它对应高能不相等吗？是不是 a e 等于 d e 等于直角三角形？你说多少度？我还算。算个屁，是不是直接四十五度搞定了 对不对？开心不是很简单啊，好用啊，随便找题啊，随便找题，通通好用。好这个第三个啊，再看这第三个，第三个巴拉巴拉，说这么多咱不做了，留给你们了啊，自己去看一看我说的好不好用。好吧，这一个题他倒是没给你啥，没给你面面垂直还是给你啥了？ 谢面垂直对不对？是不给我们谢面垂直了？那我再去做的话，哦，这个题我稍微说一说啊。稍微说一说， 大家可能从这个题当中得到什么隐藏条件？请问大家，请问一下大家，我有一个线面垂直，我这个 p a 是 垂直于底面的 a、 b， c 的， 而且我这个 a b， c 是 一个直角三角形，那你能得到啥玩意儿？朋友们， 通过这两条件啊？我划线的这两个条件，大家能得到什么有用的信息，好心里有数了吗？那我给大家说，如果你想的跟我想的不一样，那你做笔记以后，碰见这种东西，你就可以直接得这个结论，肯定好用，明白不好，我们就会得到这一个，是不是？它是一个三棱锥啊， 对不对？这一个三棱锥，三棱锥总共几个面？是不是四个面？好，太好了，四个面全是 二 t 三角形，那这对这个题来说非常有用啊，我全是二 t 三角形，那么你去求边长的时候也好，求你得到其他的线面垂直，也很简单，明白不好，那我们通过这个条件进一步的结论，还可以得到新的 线面垂直，不止一个，明白不？不止一个， 好，就是这些隐藏条件啊，那么第三题大家就能做了，尝试一下好不好？尝试一下啊，留给大家当练习去用了啊，练习好，我们翻页再继续看，要不要再做几个呀？ 这种要不要再做了？我感觉做两个差不多吧，再做一个好，第四个排着来了啊，第四个，看看它是个什么活， 一次能追 a 杠， b， c， d， e， 它又有一个面面垂直来，你看面 a， b， c 垂直于面上， b， c， d， e 啊， 现在又知道了这一个 c， d， e， 找到它， c， d， e 九十度，然后 b， e， d 九十度，哦，这是一个直角梯形对不对？这个底面 b， c， d， e 是 不是个直角梯形啊？ 现在知道了， a、 b 等于 c， d， a， b 等于 c， d 很 重要啊，等于二好， d e 这一个 d， e 等于 b， e 都等于一标上它 a、 c 呢？等于根二。好了，我们现在第一问也是不做了，直接做第二问，求这一个直线 a、 d 与这一个 a、 b、 c 所成角的正弦值。 好，来吧，第一步怎么办？第一步是找公共点，对不对？找公共点？哪个点？公共点 是吧？ a 点，那 a 就是 斜足了呗。第一步是不搞定了，那么第二步是我过要过 e 点做什么？做 a、 b、 c 的 垂线，我是不是要利用面面垂直啊？我怎么利用面面垂直？有面面找交线，交线是谁？ b、 c， 那 我赶快的过一点，做 b、 c 的 垂线是不是就搞定了？我说哎呦，这个玩意是不是又把 c、 d 去延长一下？这个破东西 还整的这么花花，对吧？把它给延长一下是，不过 e 点做这个 e、 f 吧，做 e、 f 啊，哎呦，写不好了， e、 f 垂直于这个 b、 c 是 不就行了？找到角线，我马上的过另外一个端点是不？ e、 f 垂直于 b、 c 与点 f 是 不就搞定了， 对不对？这不就完事了吗？垂直，那这个 e、 f 就 百分之一万是干啥呢？这个 e f， 我 这个 e、 f 是 不就肯定是垂直于这个面 a、 b、 c 的？ 为啥？是不又是通过这个面面垂直得到的？面面垂直，我又垂直于交线了，那你说我这个 e、 f 垂不垂直于这个 a、 b、 c 这个面啊， 对吧？垂直，现在垂直有了，那么现在干啥就行了。那我就需要把谁给连接起来了？朋友们是不把这个 a、 f 给连接起来就行了，对不对？ a f 给连接起来来了，快速的连接一下，那么我们知道这个 f 是 个啥玩意儿？是不是垂足 好，现在矢尾就是谁了？矢尾就是 a f， 那 斜线是 a e， 所以 我这个角是哪一个角找到了，是角 e， a f 就是 现在角 找到了。再求值是不就简单了？不，无非就是求三条边儿，当然不用非得求三条边儿，是不求，求出这个 e f， 求出 a e 来就行了。用个求值哦，正切值。天呐，嘴瓢啦，说得不对啊，正切值呢，就是 tangent 角 e a f， 它应该是谁呢？当然就是 e f 比上谁了，比上 af 了。那你把 ef 给求出来，把 af 给求出来是不就行了？那我怎么去求线的长度呢？之前是大家光看我操作了，那我怎么去求线段长度？给大家说一说啊？你不要用立体几何的思维，听见没？我去求线段长度，把它放在平面图形当中。 所以说大家要有一个非常重要的想法啊，我要把线所求的这条线放在平面中， 那哪个平面它运行起来简单，我放在哪个平面当中？我最好的平面是不就有直角的平面，对不对？我可以勾股定力啊，实在不行是不？我再去用什么余弦定力再去求，对吧？所以它想做出来是不也蛮简单的对不对？ 好，大家就可以自己求一求了好不好？自己求一求吧啊，还是比较简单的 好。呃，第五题，再做一个，再练，再练一个，看看通法好不好用啊？说，我从来就没用多余的东西啊，有没有用多余的东西？你有时候会质疑说，老师，你这个题是你找的，你肯定要找对你有利的呀。 我真没有啊，我这是瞎找的，来再看一看吧。啊，这一个第五个啊，那说如图，等腰直角三角形 a、 b、 d 这一个角 b、 a、 d 呢？是一个九十度哦，它是一个等腰直角三角形，这一个角 b、 a、 d 九十度。并且呢，这个等腰直角三角形 a、 b、 d 和这一底面底面，这个 c、 b、 d 是 吧？它还是一个等边三角形啊，互相垂直来，又有面面垂直了有没有？那我想去求界面角，我该不该直接用定义法就搞定了呢？这不肯定行啊， 好，这个 e 点说是 b、 c 的 中点，然后 a、 e 与面 b、 c、 d 做成角大小，来看看 a、 e 与 b、 c、 d 它们的这个假角。呸，它们公共，它们的公共点是哪个点？这不一下就找到了，是点 e， 是 不是这个 e 点，它是不是就是斜足了？ 那我赶快的干什么？什么？过 a 点做 b、 c、 d 的 垂线，我过 a 点做 b、 c、 d 的 垂线，我要干啥啊？朋友们？我是不是？你好有面面垂直，我照交线。交线是谁呀？ b、 d 呀，你做 b、 d 的 垂线，能不能很迅速啊？ 你过 a 点做 b 的 垂线，我这个直接找 b、 d 的 中点就行了，我们让它点 f 吧。那我直接连接 a、 f， 这里垂不垂直是不？百分之百垂直啊，对不对？我直接过 a 点做这个 a、 f 垂直于 b、 d 什么就会得到什么呢？就会得到这个 a、 f 是 垂直于这个面 b、 c、 d 的 线面垂直。搞定了，那么 f 是 不是垂足啊？ 咱赶快的把 e、 f 给连接起来，那么我们就会得到了。把 e、 f 给连接起来，那么 e 点斜足， f 点垂足是不摄影啊，就是 e f 啊，摄影与斜线 a e 的 夹角角， a e f 是 斜面角。 不知道你们有没有笑话，我就说老师你为什么每一次还得再判断一下你为什么这么慢。其实我能一眼看出来， 但是我真怕错，因为以前犯错真的就是挨揍的，你们现在肯定没有这个体验，是不是？这么痛并快乐的体验已经失去了我们那时候，哎，你找不对你会做，做不对那等着挨对上讲台挨揍啊。 现在能有这个想法不？你们肯定经历不经历不着，你可以问问自己比自己大多少岁的一些哥哥姐姐们啊，或者是自己的父母，看看有没有这种痛并快乐的体验。所以说现在你们的生活还缺少一点乐趣啊，是吧。 啊，这个线面角我找到了，找到了再去做的话是不又就去求这些长度啊，是不很简单呐？去求线的长度是不一定要把它放在面当中，各个面当中再去做才能简单起来对不对 啊？画辅助线是不是很容易理解很好做，所以数学很难吗？找到方法而已啊，是不？你现在缺少的是什么？一个人给你把这个方法给你总结下来，那我再去做题，我是不是瞪眼？瞪大眼珠子瞅就能瞅出来这就是所谓的学霸用瞪眼法，学渣跑断腿啊是不是？ 那我们怎么能成为学霸。复制我呀对不对？复制黏贴还不行吗？ 你再不记也能考过这个分啊。我说实话我我当时高考考一百四十多分，但是现在再让我去考现在的新高考我不行，我真不行，考一百四我也考不上。说实话我也考不上，除非他不考新定义了。除非他不考新定义，那我还有可能考上一百四。那我要不然就一百三十多分吧。 那对你们来说够不够？差不多够了是吧？那你复制我完全可以啊，我跟你说，我也是个大傻子呀， 我为什么后来也能可可能考这么好，甚至我现在都能当老师，我也可以把这个方法都给教给你们。你看我的思路好不好，是不是也很好啊？你们也可以的，千万不要否定自己啊，我们都很厉害。来，后边的题不做了，我们看下一种方法好不好？等体积 来吧。够等体积了。那等体积？他为啥我这个定义法这么好用？我不全都用定义法呢？他也有解决不了的问题啊，就比如说这个前提条件他实现不了，那我怎么用？你说呢？对不对？前提条件都用不？都没有，都满足不了，那我咋用？ 我神了，我用不了对不对？所以说它就衍生出了等体积。那我们说一说等体积法什么时候用？呃，这个前提满足不了了就是什么呢？你也是找这个面， a e f 这个面对吧？ a e f 有 没有一个面或者是有一条线垂直于 a e f 呢？ 就是从已知条件当中找啊，你找有没有吗？包括隐藏条件啊。已知条件包括隐藏条件，有没有能找到任何一条线或者一个面垂直于 a e f 能，是不是找不到？找不到怎么办？等体积，明白不？等体积就是为了弥补定义法而存在的。其实我说到这呢，有同学就会研究了，老师你你要讲五种方法呢？我们铁了这一个间隙还有两种缝缝呢， 你丁一凡和等体积都可以把这些事全都干完了。那你后面两种方法是干啥用的？当然是为了我们做题快了对不对？你方法有的是啊，我这两种方法虽然可以解决所有问题，但是 限定有局限性，他就慢呗。那我做选择填空，或者是说有一个题，哎，他给我了一些奇奇怪怪的一些结论，比如说角度问题，给了我很多角度。那我去求线段长度的时候很费劲。那你说我为什么要费劲巴拉的再去求线段长度？我干嘛不用三余弦 对不对？这就是三余弦它的价值。那除了三余弦之外还有一个纯面法，纯面法是对等体积的补充， 对等体积的补充一会说好不好，大家慢慢期待一下啊。哎呀，我这个人比较坏是吧，我讲着讲着就会把后边的一些东西跟大家说一说，是干啥呢？大家别走神啊，你上这么一节课，你不跟在学校里一样啊，你在学校里刷就交那么点学费就学了，你上我这你得不得交钱呀？ 你花这个钱你别花，冤枉了我们，花完这个钱我要学到东西啊，我马上。哎，这节课我收获挺多的。那这才是开心加愉快的事对不对？ 所以我希望大家每一堂课都有收获，所以别走神好不好？有疑问可以提出来啊，好不好？来， 我们还是拿第一个题打个样好不好？我就把它的步骤写一写，思路写一写，思路是啥呢？我们一定是干什么呢？前提条件不满足了，也就是说找不到一条线或一个面 为值于这个面， a、 e、 f 这个面 a、 e、 f 哪来的？是不就是问题啊？就让我们去求的这个面，求证的这个面。好，它就是求证的这个面我找不到，那马上先想等体积， 那什么时候如果你逮着一个等体积，你就会做，那么我们再把垂面法给搞定， 题目就会越做越简单。那这个题是不？我们通过刚才很容易就发现了，没有任何一条线或者是面与 a、 e、 f 垂直，那咋整呢？你说前面的过程也都是一样啊，我们第一步也是找焦点， 找焦点，焦点就是 b、 c 与这个面的焦点。完了没有啊？没有焦点怎么办？平移就是不平行。现在我们遇见了第一个大问题了，我天呐，它没有焦点怎么办？给它搞一个焦点出来，没焦点 做平行啊，做谁的平行啊？当然是做 b、 c 的 平行，接了看看 b、 c 平行于谁，马上地发现它平行于 a、 d， 对 不对？看看四边形， a、 b、 c、 d 是 个正方形嘛，对不对？对边平行， b、 c 平行于 a、 d。 现在告诉我有没有焦点了， a 是 不就是焦点？是不？马上找到了焦点就是 a 啦， a 是 不就是斜足啦？第一步搞定了，那么第二步干啥玩意？第二步是不？这一条斜线上面还有另外一点点 d？ 什么？我过点地做这个面 a、 e、 f 的 垂线？完犊子，为啥呢？因为这个地点，什么做这个 a、 e、 f 每一条边我都垂直不了，是不是就是因为它第一个条件满足不了？那所以说我一做，我能把这个垂足给搞到，但是我就不知道它具体位置在哪，你说呢？什么垂足的具体位置？我不知道在哪， 我就过这个点，这一做 a、 e、 f 的 垂线，是吧？那么我这一个点 d 做 a、 e、 f 的 垂线实际上是什么？是不是地点到 a、 e、 f 的 距离？也就是说我们现在既然， 既然我们找不到这一个线面垂直，是吧？我们要做这个线面垂直，我找不到垂足是不？我们现在面临第二个问题啦，我过地点做这一个 a、 e、 f 做这个面 a e、 f 的 垂线， 回族确定不了在哪儿， 不跟我们做线线垂直一样，我们能直接做出垂足来，那我做这一个过一个点，做一个面的垂线，完了，是不？我们具体画不出来啊，我又不是个机器，对不对？我不是个机器啊，我画不出具体位置啊，我确定不了具体位置，那我就转明白吧，就是第二步，我们就来一个转化， 来个转化，怎么转化？是我们就把这一个垂线就是谁呢？我们就转化成地点到面 a、 e、 f 的 距离。 所以说这第二步就是射距离，我们就是射这一个点 d 到 a、 e、 f 的 距离是啥玩意？是 h 好 不好？我们射它为 h 啊， 这就是第二步，射它的距离为 h。 那 么现在朋友们，我们得没得到一个 三棱锥，注意，我说的是三棱锥，一定是三棱锥，如果这一个面，就比如说 a、 e、 f 这个面，现在它是用三角形去表示的，万一它是用四边形去表示呢？我当然要取四边形的某一部分呢？取三个点是吧？取。正在举手是什么意思？有问题吗？是 你有问题就开麦问啊，反正也没多少个人，好吧。啊，我先继续说啊，我继续说，我把这个东西给补充完整啊，把它说完， 那我们现在一定要注意啊，我要得到一个三棱锥，一定要得到一个三棱锥啊，第三步是我们一定要得到的是一个三棱锥。为啥要得到的是三棱锥？因为它可以用等体积啊，三棱锥是个四面，我任何一个面都可以作为底面出现，对不对？你可以用等体积法去做， 所以这个 h 就 一定能求啊，你说呢？好，我们这个三菱锥啊，而且啊，而且我发现一个特点，朋友们，我发现一个特点不是很准确，不是很准确啊，但是这个特点大部分的题目都有， 如果你是用等体积，如果他是想让你用等体积去求，那么最终求的一定是一个减值，大家看这么减值 那就有见多少，你去求线面角的正弦值就有很大概率超过百分之五十了，也就是说概率是百分之六十多，百分之六十五到七十左右。我没有具体统计啊，我不可能每一个题我都研究研究，因为我现在已经过了这个阶段了哈，就是我，我重点大部分的用等体积法的题，他一定是 用一定不对啊，是大部分用求这个线面角的正弦值啊，我有点打乱同学们的思路了啊，不好意思啊， 呃，我们这个三棱锥一定是搞到一个三棱锥，对吧？就像我刚才说的，哎，我现在如果这个底面或者是所正的这个面 aef 它是一个四连线的面，干什么？我是取三个点啊，是不也要给它强行的搞出一个什么来？搞出一个三角形面来，明白不？那我就可以给它搞出一个三棱锥来了。那这三棱锥就是什么？ 闭眼看就行了，什么过地点，做这个 aef 的 垂线肯定是哪一个三棱锥地方。 aef 是不是 d 杠 a e f d 杠 a、 e、 f？ 那 么我们用等体积的目的是干什么？什么？求 h？ 求 h？ 所以 说等体积是不是现在变成了求体积问题？求这一个三棱锥 d 杠 a、 e、 f 体积问题， 把它变成体积问题了吧。来呗，我们肯定得用到的是哪一个呢？用到它的体积啊，是不是换一个颜色啊？那我肯定要求 v， 哎呦，没换成好，肯定 v， 第一个 a、 e、 f， 我 要给它换一个底面是比较好求的。这个底面那就是谁啦？朋友们，谁你换成谁？它简单。 f 杠什么玩意？ a， d、 e 对 不对？ f 杠 a、 d、 e 是 不就行了？好， f 杠 a、 d、 e。 现在我们就来求 h 了，求 h， 那 么表示一下，它是一个三棱锥对不对？我的公式能不能带？所以它就是三分之一这一个 a、 e、 f 的 面积，对吧？乘上什么？乘上 h 等于啥玩意？三分之一这一个三角形 a、 d、 e 的 面积乘上谁？这笔高是谁？朋友们，高是不是 ab 啊？ 这个等体积咱就不讲了吧。这不，我之前的课已经讲过了，咱就不讲了哈，它就是 ab， 那 么 ab 的 长度是多少？是不是二啊？把它拉掉了换成二。现在我们是不是就求三角形 a、 e、 f 的 面积和三角形 a、 d、 e 的 面积啊？来吧，求一。求 a、 d、 e 的 面积，该咋求呢？哎呦，这个 a、 d、 e 简不简单，好不好求啊？是不比较好求啊？哎呦，我天呐，真是开心啊！三角形 a d e 的 面积，因为它是什么？它是不是一个直角三角形啊？它是直角三角形，那它就应该是什么？ 这个三角形面积 a d e， 大家有没有发现 a d 是 多少？底面是不是一个正方形啊？也就是 a d 是 不是二啊？ 哦， e d 是 不是二啊？所以它的面积二分之一乘二乘二，对不对？等于二。好，这一个我把拉掉了，也是二，那么现在就换成了求这个三角形 a e f 的 面积了，它就难求了。 a e f 是 不是挺坏的？这个角，这个三角形，是吧？这个三角形挺坏的，再把它求一求吧。 那我们去求的话，哎呀，还还好吧，是不可以直接先得到 a e 是 多少？勾股是二根二， 我们是不是还可以得到这一个 a f 多少？勾股，对不对？当然了，我们用勾股的时候，是不是这个 f b 就是 一啊，这里是二，那么 a f 等于多少？是不是根五？好了，那么我们还会得到什么呢？ e f 啊，是不还缺个 e f 了？ e f 咋求呢？ e f， 大家看 e f 的 球，哼，它是不是一个直角三角形？朋友们，是不是，是不是一个直角三角形啊？ 呃，前面应该会用到啊，前面应该会用到，那我直接给大家这一个是一个直角三角形啊，那这个 e f 应该是什么？ 不是不是，呸，我说说的不对啊，不是说它是一个直角三角形，我们要得到的是谁呢？那你去去得，我，我给大家画一画啊。我的问题，我给大家画啊，那我现在把这个 b d 给连接起来好不好？ b d 啊，给连接起来。来吧，会有这么一个图形出现啊。 这一个，这个点是谁呢？ e， 这个点是 d， 这是 b， 这是 f。 来，现在有谱了没有？有没有谱？它是不是二？它是二，它是不是一？你去求它，能不能求？朋友们，能不能啊？不不不，它不是，它不是二，它是 b， d 是 不是应该是二跟二啊？ 啊？能不能求啊？朋友们，你看这个 e、 f， 我 往上做这么一条线，你看我们在求线段长度的时候，我是不是都是附着于平，把它给搞到平面里头了？ 我啥也去搞别的东西了吗？是吧？别的东西我没搞啊，我都是想去求线段长度，我去给他找平面，我最好找的就是有直角，对不对？找有直角的，因为某一条线他可能属于很多平面， 那这是我允许的吗？我当然不想了，对吧？我要给他找他所在的某一个平面，哎，这一个平面的图形是一个什么样？它就是图形，它里面有垂直风气，你因为直接有垂直，你要么三线合一有垂直，你要么菱形对角线会像垂直。说你。总而言之，你不直接告诉我，你也得间接告诉我， 对不对？好，这就是我们能得到的，它应该是多少？它是不是就二分二？二的根，二这一块长度是不是就一？所以你能不能勾股一下根号？下啥玩意？二根二平方加上一的平方。哎呀，太好了，这不得 里面是九啊，什么开根号？就是三， e、 f 也有了。那你看啊，我因为我们发现这个 a、 e、 f， 它不是特殊三角形的，它不是特殊三角形。那怎么办？你不是特殊三角形，你怎么去求面积？ 这用不用到我们前面学的解三角形的题，解三角形的思维，四条边都有了，朋友们，怎么去求面积？我当然先用余弦定力，将余弦值给求出来，再把余弦值换成正弦值。我可不可以用公式了？这不就可以了， 现在苦哈哈的又上线了，什么要求口算用余弦定力啊，这是我最不爱干的事。代数运算，我不行啊，我水平不够啊。 a e 的 平方加上 e f 的 平方，减去 a f 的 平方，比上啥玩意二倍的 a e 乘上 e f 吧，代数呗，好不好，代数我代数总该比我快吧， 八加九减五，对吧，比上什么呢？二乘二跟二再乘三，那么它应该等于多少？呦，这个数还挺好嘞哈，二分之二，哎呀，太好了，那我们就可以得到这个 c 音了，是吧？ c 音减 e f 就是 多少也是二分之二啊，速度嘛，人家对不对？好， 太开心了，我们搞到了，那它的面积能求了不？这一个面积是不就可以求了？二分之一的这一个 a e 呀，乘上 e f 啊，再乘上乘音加 a， e f 啊， 代数呗，它应该是多少？二分之一，哎呀，二分之一乘上二根二，再乘三，再乘谁呢？再乘这一个，二分之根二等于多少？算一算， 咔咔约掉了，然后二二约掉了，剩下个三了，对吧？面积是三，那现在代数吧，把它咔搞里头，它是三，那么现在能不能得 h 啊，通过这一个 h 是 不是就显身了？ h 等于多少啊？朋友们？ 嗯，三分之一，三分之一，咱先约角啊， h 是 不就三分之四？太好了， h 三分之四，那么现在比较劲爆的东西就来了啊，那求且值是谁？我这上面这个角就是 c 塔，我是这个角是 c 塔，那这一个色音 c 塔就应该等于什么呢？等不等于这个 h？ 这个 hr 比谁啊？比斜线，比这条斜线，斜线是谁？是不是 a d 啊？朋友们，是不是 a d？ 现在我们是不是只要知道 a d 是 多少，这活完成了好，是不是？知道的，一定要记住这个这个东西啊， 是不是你只要能把这个这个垂线给做出来，你说我这一个线段角的正弦值是不是 h？ 比斜线对不对？呸，我这个余弦值是不是点比斜线？ 我今天晚上嘴老不好用啊，大家听见错误帮我改一改啊。好什么，就这么一个玩意，代数率算得三分之四等于什么？二等于十三分之二，搞定， 学会呢，好了，整理一下啊，看这第二个啊，第二个题啊，还有这还是全国假卷的，呃，四棱锥 p 杠， a， b， c， d， 呃，趁这个话头啊，跟大家稍微说一说啊，我们这个立体几何，你甭管平常做的多么费劲，多么难，高考， 反正 b 题几何高考题没出现一次难题。哦，也不能这么说，都见过两三次啊，很难的题目出现过两三次，其他的题目都是很平常的题目，就和解三角形一样，它是一个常规题， 都是怎么做呢？很容易得分，第一问肯定正平行或者垂直，第二问干什么呢？去求角度三大角问题。但是一面直线所成角一般不求，一般是斜面角或者是二面角，考二面角角的角的可能性更大，或者是已知二面角是多少度。去求斜面角的这种题目，或者是出现动点的这种题目， 他可能考察的是这个样式，那但是这种题呢，你现在用几何法可能做起来费劲，但是我们慢慢的，如果有学到空间向量的朋友们呢，就会觉着，哎呀，不就是代数运算吗？ 所以说我们假期里讲的这个空间向量就是非常好的一个工具了。那高考的第二问，第三问可能都是间隙去做， 所以说大家现在几何法先好好学一学，我们把这种通法给学到，那么有一些比较复杂的题目，比如说重点问题，轨迹问题，我们就可以用空间向量去做了，所以大家不要害怕。好吧，不要害怕，我们高考肯定考的是常规题 你，当然你现在学的是立体几何，他当然会有很难的题目给我们做了，肯定会有很难的题目。 那这些东西我实在学不会怎么办？先放弃也不丢人嘛，那我们到后来学了更好的方法，再去回过头来再解决这个题，是不也行啊？反正能解决掉就可以，不要在乎是哪一个阶段我能学会。好吧，眼光放长远一点， 那我们就开始喽。这个第二问啊，全国假卷这个第二问啊，呃，四棱锥 p 杠 a b c d， p d 是 垂直于这个底面 a b c d 的， 然后有了一个什么玩意呢？ c d 是 平行于 ab， ab 等于 dc 等于 cd 等于一。哎呦，这是个啥玩意？朋友们，这是个什么东西啊？ ad 等于 cd 等于 cd， 然后它和 bc 是 这么一个关系。那我请问你们看我画波浪线的这个东西讲到的是什么？ 朋友们想到的是什么东西？等腰梯形，而且它们的上底线和腰之间的关系，满足一比一比二，那么它就是一个什么东西呢？百分之百会出现垂直关系， 这个东西百分之百会出现垂直，这就是我们的垂直模型里面有的东西，对不对？垂直模型有的，如果你看见这个已知条件，马上想不到这个事，那你做做起题来就费劲了。 那这一个东西呢？垂直模型可能有有新同学没没上过我的课，或者是说有些他没领过这个资料的，你可以看一看这一个，这个等腰梯形，它满足一个什么关系呢？你看 它们之间的关系，等腰梯形的话，它满足一比一比一比二，那我就一定会得到这一个玩意儿。 b d 是 垂直于 c b 的 是不是？为什么？自己去挣，能不能挣出来， 对吧？自己去挣一挣啊。好，如果你得不到这个东西，说明你这些常见的一些模型你心里做不到，心中有数，那咋办？你做题还能很快吗？隐藏条件你都找不到，你还做个屁，对不对？所以你就要干什么？停下来，反过头来去干，干这些线线垂直的常 见的，那么其他的都是用什么干呢？其他的在这里面没有的就是相似，他有些题目可以用相似去做。 好，你再回过来了啊。所以说大家看见这种条件一定马上想是什么样的结论啊？马上想结论，好吧，马上要想结论呐，来吧，再继续看啊，它让我们去求什么呢？这个 d p 和这个 p a b 所形成这个角的正弦值，来吧， 焊几个标志，一个标志是正弦是不？有可能是等体积。再有就是这一个 p a b 这个面有任何一个面和它垂直吗？有没有有线或者是面能与它垂直 的是不？不行啊，对不对？找不到已知条件当中有这种隐藏条件，找不到，那怎么办？ 等体积喽，对不对？等体积了啊？等体积，那我们第一步怎么搞？是不？找到谁焦点？什么焦点？就是 p 点， p 点就是斜足了呗。 好，第二步干啥？是不过地点做这个面的垂线，我当然就是设了，是吧？设这个 d 到 p a b 这个面啊，我没写面面 p a b 的 距离 是什么玩意儿？为 h 是 吧？下面儿第三步就是干什么了？等体积就上呗，那我肯定会得到。那从第二步就会得到 g 到这个面儿距离当然是哪一个面积啦， 哪一个的体积啦？ d 杠 p a b， 是 吧？然后等体积法就上，干啥玩意是不？我给它换呀，我看底面用谁比较合适？这不就很简单吗？观察一下就发现了， p 点是零点，底面是谁？ a b d？ 喏，完事了，朋友们，搞定了，是不是很简单？ 来吧，第三个题，第三个题目，看一看，他说这一个四棱锥 p 杠 a d c d a d c d 这个矩形呢？ p a 是 垂直于这个底面的。来又有啥了？ 看这两个条件，你得到的隐藏条件是什么？这一个某一条线垂直于了底面，我们之前在前面的时候说过，是吧？定义法的时候说过，一个线和一个面垂直，我这个面是个直角三角形，那我会得到的面，所有的面都是什么？都是直角三角形，那么对于这个来说，它底面是个矩形。哦， 那我得到的结论还能出现很多不一样，呵呵呵，是不？不会啊，它是不？我四个侧面全都是直角三角形对不对？四个侧面是不全都是直角三角形？ 好，这个条件就是什么呢？我通过那个定义法，那个第三题是吧？隐身出来的是不？它的这个四棱锥，它的四个侧面 均为二 t 三角形，那当然了，它也有很多线面垂直喽，对不对？ 然后 e 点是中点，他叭叭的说了这么多东西啊， e 点是中点，然后已知这个 ab 等于二，写上 ab 等于二， a d 等于二，根二 pa 也等于二。让我们去求这个线 a， e 和这个面 p c、 d 所成角的大小。我们看 p、 c、 d 有 哪一条线和 p c、 d 是 垂直的吗？没有吧，或者是面是不是也没有？有没有？有面有没有面？好像是有的哈，面是有的 哦，这个题还可以用别的方法去做，但是我们这题我们用等体积吧，好不好？我假设我没，没瞅见，我没发现，好吧，我是眼有点瘸，我，我有点没发现，那我就用等体积去做啊。那现在第一步干啥玩意儿？是不找焦点？焦点是谁？ a e 和这个 p c、 d 当然是一点喽，一点是不就斜足 下一步干啥？说过点 a， 设这个 a 到这一个 p c、 d 的 距离 v h， 对 吧？然后第三步，然后就是第三步喽，第三步干啥玩意儿啊？ 我现在，哎呀我天呐，我去找这一个面儿，那我跟这个是不？我要看这个第二步啊，你不用去干啥？不要去，你非得跟跟 e 扯上关系，不要这么头铁好不好， 不要非得这么刚啊，对吧？所以我们找的是谁啊？是不是这一个 a 杠 p c、 d 是 不是他一定要出现，那么要给他转换？那 a 杠 p、 c、 d， 那 你转换的话，你该不该连接 ac 啊？对不对？好，连接 ac， 那 就会出现啥玩意呢？朋友们， 好，就会出现了啊？屁，是顶点，那么底边就是 a、 c、 d， 简单了不就搞定了？有没有疑问说你这个对 e 都没有关系了，咋为啥跟 e 点都没有关系呢？你要看嘛，你这个 e 在 哪个面上啊？这不 p、 c、 d 面上你 a 到 p、 c、 d 的 距离， 你或者是说你 a 到 p、 c、 d 的 距离和 a 到 t、 e、 d 的 距离不是一回事吗？啊？过一个点到某一个面的距离还会出现两个？不可能吧？所以你干嘛要难为自己呢？你为什么要非得用上 e 点呢？对不对？我不用啊，那我就不能求了，也能搞定对不对？ 好，也能搞定啊，当然了，你最后要去求它正弦值的时候，你是不是又用到要去求 a 一 啊？是不是？你这时候再用一点就行了对不对？好，学会等体接吗？学没学会，朋友们，学会了我们再继续进行下一种方法了啊。 后面的题目我们就不做了，这些题目我留给大家自己做做研究一下吧，好不好？有题可做。老师，你这个方法到底同不通用呢？你是不是研究一下啊？ 说你老师你讲这标东西你都不好不通用，你给我讲它干啥？他不会的啊，我一定会让它通用的，所以大家试一试好吗？然后下一个就是垂面法了，朋友们，垂面法。但是垂面法是什么意思呢？ 这个垂面法我们之前我刚才说了，就是之前说过这个垂面法是个啥玩意？是不是对这一个等体积法的一个补充？我们为什么忘了等体积法？是不是尽是因为这个垂足我不知道在什么位置？那如果我知道垂足在什么位置了，一幕是不是又变得简单起来？ ok， 好， 那我们就看一看怎么去找垂足在什么位置。这就是所谓的垂面法了啊。找垂足在什么位置？来读读这个题啊，读一读这个题，当然了啊， 能以垂面法的全部可以用等体积，明白不？也就说垂面法要死活学不会，那你不用会，我用等体积能做好不好？它不是说多么漂亮的方法。对对，你就这个方法多牛，它不是， 那你学不会无所谓。好吧，等体积能学会就行，但是我建议大家尽量能学会这个垂面法，因为等体积运算量可能是有点大，对吧？ 所以呢，我们才衍生出了锤面法，就是有一些学霸，他说成了一个事，你这个方法太笨了，我有一个更好的方法，所以就出现了锤面法，这就是什么？原来没有路是吧？走着走着是不就有了？这就是后人走出来的路。锤面法， 你有没有发现有很多的方法，你在学校里没有学，没有听，其实并不一定是你老师不会，而是他觉着不用讲也行，他觉着不用所有人都会。 我，我觉着我不用把话说的特别明白，大家也能知道是这种什么状态，对吧？好，咱详细的把这个题做一做，那这个第一题我们也是当做例题去讲了好不好？ 四棱锥 p 杠 a b c d， 这个 p d 是 垂直于底面的， c d 和 a b 平行，然后又有这么一个东西呢？ 等腰梯形是吧？满足这么一个比例关系，而它和前面这题是不一样的，对不对？是一样的。好，那这个题用回面法该怎么做呢？ p d 我 们就不用等体积了，我直接用回面法是什么意思呢？我们垂足法是什么意思呢？我做出一面和 p a、 d 垂直。 好，我们就是过 p d 的 面儿，我们要做啊，肯定没有，是我们要做一个过 p d 的 面儿， 它同时垂直于 p a、 b， 我 要实现这么一步操作，就叫做垂面儿了，也就是说我要做所求至这个面儿的垂面儿， 能懂不？那我怎么去做这个水面呢？我当然得利用已知条件这个线面垂直了，对不对？我要借助线面垂直啊，也就是已知条件，他一定得给我线面垂直，他不给我线面垂直，我做不了啊， 能懂不？好？也就是说我以前我们研究的是面，现在我们研究的是线，这条线， b d 这条线啊， p d 这条线是垂直于哪个面了？是不是？它肯定得垂直于某一面？那我再去做线面垂直， 那么我去通过这个线上垂直，我去做这一个面面垂直，得到一个垂面。好，具体操作过程啊，我们现在过地点做 a、 b 的 垂线， 我来了哦，过地点做 a、 b 的 垂线，让它是点 h 好 不好？这一个就是垂直的啊，好，具体写一写过程，要不然大家到后来忘了怎么办呢？是吧？因为这一个方法在学校里可能很多的地方都不讲的， 我们做了这个 d h 垂直 ab， 我 就其他的字我就不写了，巴巴的叫 ab 与点 h， 这种话就不写了。好吧，那第一步操作为什么要这样操作呢？因为这个 p、 d 是 不垂直于这个面儿 a、 b、 c、 d 的。 大家这个过程写一写啊，因为你在网上找这个方法，你就用作业帮用所有的搜题软件，你搜出来的都不可能是这种方法，明白不？所以说大家这个题要上点心啊，你用搜题软件搜不到啊，其他的我们强调的可能能搜到 啊，可能因为它大部分可能也是用的间隙的方法去做的，所以说你一搜搜出来的是间隙是非常有可能的。那我给你们的方法步骤就很重要，对吧？ 你在网上搜不到啊，我这个 p、 d 垂直这个面 a、 b、 c、 d， 那 我能得到什么呢？这个 a、 b 是 不是属属于这一个 a、 b、 c、 d 这个面啊，对不对？所以我们能从通过它得到什么？是不是得到这个 dp？ 哎呦，写 dp， dp 垂直于 a、 b 啊， 对不对？所以说你看看嘛，我们做了一个线线推直啊，我们又得到了一个线线推直是不？从线面得线线，那我两个线线，我能通过这两个东西得到啥玩意呢？我能不能得到这一个 ab 是垂直于这个面谁的？我把这个 ph 给连起来啊？朋友们，连起来，那我们就会得到这个 a、 b 呢？是不是垂直于这个面 p、 d、 h 的 呢？是不是？朋友们，是吧？ 那我们还会发现一个事情，还会发现一个事情，是什么呢？这个 a、 b 呢？是属于这个面贴 a、 b 的，是吧？我们现在这么些垂直。哦呦，是不有这么多垂直？现在我能不能得到通过这个线面垂直我再得到， 得到啥呢？能不能得到这个面 p、 a、 b 是 垂直于这个面 p、 d、 h 的 呢？什么通过线面垂直直接得面面垂直？因为面什么？ a、 b 这个 p a、 b， 过这个面，过这条线，过 a、 b 这条线，对不对？ 是不是这样？那我得到我想要的垂面了，得没得到。所以说大家看，我们一定要有的条件是哪一个？做这种垂面法一定一定要有的条件是哪一个？是这个绿色的，这个绿色的条件 g、 d 垂直于这个面 a、 b、 c。 是不是？我通过线面垂直是不可以得到线线垂直两个线线是不得线面得线面是不通过线面得面面。搞定了，我想要的东西就有了。那你说我费劲巴拉的搞出这么一个东西是为了啥呀？我为啥就一定要做一个面面垂直呢？就是因为下边这句话啊。 下面这句话注意，那我用一个黑色，黑色的字体去写吧。哈，那就是什么？我，我现在写这个斜足，是不是点 p？ 我 该干什么？过这个地点，是不是做垂线，做这一个 p a、 b 的 垂线？所以说我过这一个地点做这一个面儿 p a、 b 的 垂线。 维族在这一个面儿 p a、 b， 我 就写的详细一点儿了啊。面儿 p a、 p a、 b 与这一个面儿 p d、 h 的 交线上，对不对？这是一个什么？是不是基本值对不对？你看我过地点做 p a、 b 的 垂线，过地点做 p a、 b 的 垂线，这个垂足 回路是不是既在 p a、 b 这个面上，也在 p d、 h 这个面上，对不对？是不是一定得是这样？那么它既然一定是这样的话，那它是不是在这两个面的交线上呢？朋友们， 是不是？所以说你就要记住了，如我为什么要做这个线面垂呃，面面垂直，是不是？我再去做垂线的话，我就知道垂足在什么地方了，对不对？垂足在什么地方？那我们这个垂足我让它是谁呢？是点 j 好 不好？ 我这 g 没有用啊，我这举重没有用，我就给大家演示一下。好吧，那我们既然知道它在 p h 上，我随便点一个点就是 h， 你 说我这 h 点它在哪？影响我线面角是谁吗？影不影响我线面角是谁？ 是不是影不影响我这个 g 点？你在 p h 上的哪个位置影响我的线面角是谁吗？是不永远不影响，因为我的线面角就是谁啊？ 就是这个 d p g 是 吧？ d p g 也就是谁呀？ d p h 是 不是就是角？ d p h 它和这个垂足有关系吗？是，我们就找到这条交线就行了呀， 是不是我做界面垂直，面面垂直想要找的是谁交线？那我这一个夹角就是谁呢？这个交线与斜线的夹角 对不对？交线与斜线也不能说是假角交啊，就是假角。交线与斜线的假角是不是交线与这个斜线的假角是不就是这一个线面角了？好，就是谁呢？交线与斜线 线面角 好，这种做法就一定会比什么快，就一定会比等面积等等体积法要快，对不对？就一定要快。为啥呢？你现在是不是直接求什么这个角的正弦值？那我写 步骤补充完整了啊？步骤补充完整了，那我先要看看我求的是谁？是我用正弦，对吧？他要求正弦值嘛？求求正弦值，正弦 c 角 dph 就 应该等于谁？就等于 p， 不 对不对。什么 d h， d h 比上 ph 是 不是？那我是不是只要把 d h 给求出来， ph 给求出来就行了， 对不对？那我看已知条件吧，从已知条件当中找 d p 是 不是等于根三？我知道了，那么 d h 呢？ d h 又是多少？朋友们具体看看应该等于多少？ 我很快就可以求出来。 d p 等于根三，这个 d h 我 简单算一下啊，它是二分之根三，那这个 p h 我 们用勾股定律就会得到，它应该是二分之多少？二分之九，然后应该是二分之根号十五啊， 得到了这些东西呢，要往里代数就行了，你看是不会比等体积要算的快一点。二分之根三比上二分之根号十五，那它就应该等于多少了呢？五分之根号五是吧。 你就用这种做法，比间隙做的也要快的，比间隙法做的也要快，懂了没？垂面法有没有看懂？有没有看懂啊朋友们， 看懂了不好，那我们再做一个吧。垂面法再做一个好不好？来，我们把。要截图吗？截图就往上截啊。 那我们看下边这个东西，下边这个东西呢？挺好的。这个题我为什么非常想讲一讲呢？因为我们在做立体几何的题目当中，是吧会遇到这种折叠问题啊，一个平面图形哎，我经过折叠 会得到哦，就做他不太好啊。这二面角咱还没讲哈。二面角还没讲，那这个题咱先保留着吧，好不好？先保留着啊，先保留着，等我们 呃，学完二面角大家再回来过头来用这个纯面法再做做好不好？但是这种题非常好啊，这种题真的非常好，折叠问题非常好，因为折叠问题我们一定要找不变量，对吧？一定要找不变量，在折叠的过程当中它永恒不变， 对不对？或者是说我们折完了之后还用折到哪个点？在折叠过程当中变成了哪个点呢？对不对？哪个点进行变化了？要知道，那这一个平面图形当中的平行关系， 呃，不能这么说，垂直关系会不会发生改变？它某两条线的垂直关系会不会发生改变呢？ 是吧？不会啊，不会发生改变啊。好，后边的题目咱就不做了，吹面法就讲这么一个就行了。讲的太完了， 大家把这个吹面法的过程步骤给整理了吗？整理了啊，如果，如果实在没有听明白吹面法是怎么个东西，那你就用等体积法去做就行了好不好？别难为自己啊，没有必要是不是， 它又不是多么优秀的个方法。三与弦，三与弦，这个方法我建议大家听一听行吗？我建议大家一定要听一听啊， 三与弦，三与弦定律呢？为方便我们去做题，它会提供很多帮助的啊。这个三与弦定律指的是一个什么事呢？我现在是吧，做了一个线面垂直得到了一个摄影，然后呢？我这个摄影所在这个面阿尔法还有这么一条线， 他过了这个斜足是吧？过了这个斜足和射影形成一个假角，那我们就会得到三种角了。第一种角是什么呢？线面角 o、 a、 b 这个线面角。那第二种角是谁呢？第二种角是这一个射影与射影所在平面 当中的某一条线形成的夹角，最后一个角是这条斜线与阿尔法平面当中这个线所形成的夹角，那么他们三个存在这么一个关系，我刚才叭叭这么说你有没有人敢说？哎呀，老师，这个东西真难记啊，我天呐，哪个角是哪个角，好乱呀， 那我给大家来一个节奏好不好？那我们以线定角，然后用这一个结构呢？去记公式，那我这个结构是什么呢？第一条线先写线啊，三条线定三个角，三条线分别是斜线， 就是说平面的这条斜线，这条斜线是不是对于这个图来说就是 o a 啊？对于这个图来说就是 o a， 那 这条斜线，然后嘞？第二条就是射影， 我写上啊， o a， 那 射影是不是就是 a b 啊？第三条线就是和射影在同一个平面并且过斜线的这条线 就是这条线，就是奇奇怪怪的一条线，我也不知道给他起个什么名。好吧，你自己用语言描述一下吧。啊？就是什么呢？和这个摄影所在的平面是同一个面，是不？然后呢？ 当然了，就是在哪个平面内，是不在阿尔法这个平面内啊，并且他过斜线。呃，过斜竹，过斜竹啊，过斜竹是不是与摄影形成夹角的这个这条线 啊？这条线对我们来说就是 a c， 对 吧？三条线写出来了，那么我们就可以斜角了啊，给大家画这两个之间的夹角就是 theta 一， 这个两个之间的夹角就是 theta 二，这两个之间的夹角就是 theta。 看像不像一个笑脸啊？它笑了吗？有没有笑？ 不光笑了，还吐舌头了呢，对吧？有画画天赋，还行，哈哈，能弄不用三条线定三个角，斜线是这样，然后阿尔法平面内的另外一条线， 那要过斜线，要过这个斜足啊，过斜足。那这 c 叉一就是什么？记住了，我这个 c 叉一呢？就是斜面角啊。 c 叉一就是斜面角，记住这个东西就行了。 陷面角，当然你不记也无所谓，这个斜线与射影的夹角你能不知道是陷面角吗？是吧？是我有问题还是你有问题？ 你肯定会知道的，对吧？所以肯定是我有问题了。那我们肯定是什么呢？这个最跨度最长的这一个 cosine theta 等于什么呢？等于这两个小人相乘， cosine theta 一， 乘上 cosine theta 二。看出这个结构了吗？通过这一个图，是不是这个结构我就出现了。看懂了，不？ 看懂了，那我们做这个第一个题啊。第一个题，我不让你用别的方法，就用三鱼弦啊，他用别的方法也能做，不是不能做，而且也挺快的，但是我就我就挺坏的，我非得让你用三鱼弦，我们尝试一下好不好？那么遇见题目不要慌什么，先写三条线，第一条线是什么？斜线着斜线说 ab， a， b， 然后找射影是吧？现在是一个这样四面体，他是不是已经帮我们把回族嘿，是不是已经帮我们把这个线面垂直给搞定了，对吧？线面垂直已经给搞定了，是吧？ ah， 垂直好，也就是说什么呢？我们知道了第二条线射影是什么？是不是 b h， b h， 然后第三条线就是和 b h 过斜轴，有，有这种角的这种， 那么我们用谁用谁都行啊。用 b c， b d 是 不都行啊？我用 b c 吧，好不好？随便啊，是随便，你用 b、 c 和 b、 d 都行，只要他给我协助和这个摄影是在同一条线上，满足这点条件就行，不用纠结是谁，懂不？不用纠结是谁，好，现在画笑脸了。 他两个之间是我要求的 c 塔一，他两个之间是 c 塔二，他两个之间是不 c 塔。然后我们去标这些角度好不好？ 但他既然想让我们去求线面角，我肯定肯定得不到 c 叉一了，对吧？然后我们看 c 叉二是多少？ c 叉二是 b、 h 与 bc 的 夹角。来吧，它是一个正四面体。 朋友们，什么叫做正四面体？什么所有长均相等的三棱锥，所有长均相等的三棱锥，对不对？就是正四面体，所以底面这个 b、 c、 d 是 不是等边三角形啊？那这个 b、 h 通过这个三线合一，咱可以得到。那这个角 c、 b、 d 是 多少度啊？ 说三十度啊，搞定一个。说他三十度，那我再看 c， 他 再看 c， 他 就是谁呢？ a、 b 与 b、 c 的 夹角对不对？ a、 b 与 b、 c 的 夹角，你说这个角是多少？那么 a、 b、 c 当然也是同边三角形了， 那你说 c， 它是多少？六十啊，对吧？那现在用公式，口塞音六十度等于口塞音 c 塔一，是不？这是我们要求的，再乘上口塞音三十度，你说口塞音 c 塔一能不能求？然后反过来求塞音 c 塔一，能不能得了？简不简单？ 当然了，你用定义法是不是也很简单呀，对吧？也很简单，没毛病吧，是不是？用啊，用这一个用定义法是不是也很简单？但是我，我不说了吗？我比较坏，我非得让你们用三鱼弦吗？那三鱼弦学会了没有？ 明白了吗？然后我们做一个浙江卷，好吧，浙江卷比较难啊，比较难。那我们看一看，也是看第二本啊， 这么一个三棱台，我要把它擦掉了啊，要截图的，赶快截好不好？要截图赶快截啊，我要干第二。问了第二题了啊，这个第二题我想给大家补充结论，所以必须你看大家，我必须要把它擦掉，因为地方不够，我要给大家记结论了啊 啊，朋友们，搞定了吗？好，擦掉啦，我们看第二个。呃，第二个题目在这个三棱台 a、 b、 c 杠 d， e、 f 当中，这个平面儿呢？呃， a， c， f d， a， c， f， d 是 垂直于底面 a、 b、 c 的， 然后告诉我，四十五度，四十五度谁呢？ a、 c、 d 标一标吧。 a， c、 d 是 这个角，四十五度，还有哪个角呢？ a， c、 d 这个角， 这个角也是四十五度。好，这两角看到了吗？我用点啦，我点点是不？这两个点点就是都是四十五度的啊。 d， c 等于二倍的 bc， d， c 等于二倍的 bc 啊， bc 呀，等于二倍的 bc。 注意看这个结论，这个条件有什么用啊？ bc， 划错，天呐，我这个眼珠子不好用呢，为什么呢？ d、 c 等于二倍的 bc 有 什么用？咱借助它第一问吧，好不好？咱第一问，它不正了啊，借助它的第一问 d， 呃，这个 e、 f 垂直于 d， b 垂直于 d， b， 那 么，那么 e、 f， 因为它是一个三棱台，对吧？那这个 e、 f 是 不是平行于 bc 的？ 那我们能不能得到这一个 bc 是 垂直于 db 的？ 那我再结合这一个条件，我能不能得到这一个三角形是一个什么样的直角三角形？ dbc， 这里是不是垂直的？是不是？它是二，它是一，它是不是跟三？这只是关系啊，并不是说它具体的值啊，只是说它的关系是不是这样的。多少度？有没有谱？ 六十度，三十度，这不有这么一个结论好。然后这个题不知道大家看见了这两四十五度的想法是什么？ 我不知道大家的想法是什么？看见了这一个 a、 c、 b 和 a、 c、 d 都是四十五度，哎，从一个点分出来的三条线对吧？ c、 d， c， a、 c、 b 两两就是相邻两个的，呸，也不能这么说，就是 a、 c 和 c、 d 的 夹角四十五度， a、 c 和 b、 c 的 夹角也是四十五度。你通过这个蓝色的东西，你能想到的结论是什么？你在心里有没有一个什么样的结论？如果没有，回去弄你的数学老师啊， 他不给你们记是不行的啊。我们有这么一个结论啊，点在平面内摄影的常见结论是什么？ 第一个自己看一看啊，我们用到的是第二个，第一个自己看不是说他没有用啊，你需要看好。那我们用到的结论是什么呢？经过一个角的顶点，引这个角在平面的斜线，如果这个斜线与这个角的两边 假角都相等，那么该斜线在平面内的射影是这一个角角平分线所在直线。你看看我们这个题满不满足这一条线 斜线与这个角两边的夹角相等，有没有？ a、 c 和这个 d c 四十五度， a， c 和 b c 四十五度。那我 a、 c 上有一点，我在 b、 c、 d 上的投影应不应该在这个角 b、 c、 d 的 角平分线上？应不应该， 是不是就应该了？那这一条好不好用？你在学校里老师给记了吗？ 那这会我为什么一定要问？你看见这种这两个等角，那 a、 c、 b， a、 c、 d？ 那 a、 c 什么？ a、 c 什么， 是吧？一定问你这个东西的原因，你如果知道这条，那这个题有很多缝线，如果你不知道，你老老实实地用定义法去用，用，用间隙法去做吧。间隙没有，我这个方法要简单啊， 啊，几何一般，比极限还要简单，一般只是说一般啊，那我们现在它不就是 d、 f 和这一个 d、 b、 c 所成的角吗？ d、 f 我 平不平行于 a、 c 啊？那我们看啊，这个 d、 f 这个标东西是不是平行于这个 a、 c 的？ 我强调这事干啥？我想做辅助线啦，朋友们，我现在咔过这个 d 点做，这个 d、 o 垂直于 a、 c 是 吧？它垂直于 a、 c， 哇，我现在做了这么一条线，那你说我这个 d、 f 与这一个面所形成的角等，不等于这个 c、 o 与这一个面形成的角呢？也就是说啊，我们实现了一步转化啊，是什么样的转化？这个 d、 f 与平面 d、 b、 c 所成角，就等于这个 c、 o 与这一个平面 d、 b、 c 缩成角，是吧？因为它平行。那么现在我们可不可以用这个第二条这个结论呢？那我这个 o 点，我 o 点在这个 d、 b、 c 这个面儿上的 垂线，呸，它的射影是谁呢？是谁在什么位置？ 是不？我们就一定会有这么一个东西出现啊，我们就一定会得到这一个点 o 在 面 d、 b、 c 在 这个面 d、 b、 c 的 摄影，呃，这个摄影，我们说是点 g 吧，好不好？摄影 g 就 一定在这一个角 d、 c、 b 的 角平分线上 就得到它了，明白不？就一定在这个角平分线上？ 好了，那在角平分线上咱把它画出来呗，是吧？搞出来，把角平线给做出来，那这个 g 点就一定在哪啊？ 随便给它来一个位置吧。好吧，我们就假设在这吧。现在，那我们能不能得到这个 o、 g 就是 垂直于这个面儿啊，是不是？我们是不是就可以得到了？噢， o g 呀，你这个标东西就是垂直于这个面儿 b、 c、 d 的， 对不对？好，我写成这个破玩意来，是为了干啥？是为了干啥呢？朋友们，三鱼弦再用一用呗，好不好？三鱼弦用一用啊，来 用线得角，第一条线是什么？斜线？斜线是谁？ c、 o？ 第二条线是谁？摄影啊，摄影是谁？斜足垂足是 j， 斜足是 c， 所以 说它是 c、 g。 第三条线是和过这一个过，这在这个 b、 c、 d 当中找一条线是，不过这个斜足啊，那当然可以是 b， c 是 不也可以是 d、 c 啊？那我们要它是谁，你爱是谁是谁，我就 d c 吧，好不好？ d、 c。 现在来找角，找角第一个是不？这就是线面角，我要求的我动不了，然后这个 c 它是不也能找？来吧，挨着找 c， 它二、 c、 t、 c、 g 和 dc 的 夹角 c、 g 和 dc 的 夹角。来吧，这个 dc， 这个 c、 g 是 什么？是不是减分线？这个角 d、 c、 b 是 多少度？注意看这里 d、 c、 b 多少度？六十度，它的减分线说明它是多少度？三十度， 对吧？好，然后再看 c、 t、 a， 也就是 co 和这个 dc 的 夹角 c、 o 和 dc 的 夹角，是不是？ c 和 dc 的 夹角多少度？四十五度， 能不能做了？简单不？你这个题，你说你用别的方法，你用什么方法能比这个快？我真不信。不服啊。 我是不服的。那我直接代数了。口塞音四十五度等于这个口塞音 c 塔一，乘上口塞音三十度，能不能得口塞音 c 塔一了？能不能得？能得口塞音 c 塔一？它现在要求正弦值塞音 c 塔一搞定了没？ 完事了朋友们，简单不？当然你会说，老师，我用等体积，我能不能做？我能做。我知道你能做不快呀，是吧。

朋友们，这是一道中考真题啊，当年出错率很高呀，好多同学被这道题给吓到了呀，那看老师做的这一个图，大家马上要明白这道题我们应该用什么？用暴力间隙法呀，对不对？那有些同学说，老师用相似做辅助线也可以没问题啊，但是有些同学相似辅助线，他想不到呀， 这个暴力间隙法大家都可以想的到呀，可以又快又准的算出答案呀，对不对？好，我们来看这道题， ab 等于四， bc 等于九 b， e 等于三角一，这个信息很关键，同学们，角 e、 f 等于四十五度，给了我们这个信息，我们要想得到做垂直对不对？特殊角一定要想的做垂直，构造一个等腰直角三角形，对不对？ 好，我们来看，我们以 b 点为圆心，建立一个坐标系，那因此点 c 的 坐标是不是就是九零啊？ 这里是不是就是九四呀？要想求 d f， 我 只需要知道 f、 c 的 长度就可以了，也就说只要知道 f 点的坐标，那这道题是不是就能够解决掉了？好，我们根据题目的提示，我们要先做一个垂直， 这里是垂直的，假如说交点为点 q， q 点向下做一个垂直，交点为点 g， 这里都没问题的吧？勾股定律啊，三四五，这个边等于五，我们做的是一个垂直，这两个三角形是明显的全等的关系，对不对？明显的全等，这个边和这个边是相等的， 对不对？同学们，所以说，这里应该是多少？这是四啊，这是三呀，对不对？同学们，所以说这里应该是多少？点 q 的 坐标就求出来了呀，它是七三呀， 那点 f 坐标很难吗？不难了呀，点 f 的 横坐标是已知啊。九，有人说，老师我可以求出这条线段的函数关系式，我们来来代入求解。可以啊，但是比较麻烦呀，我们也可以用什么？也可以用斜率啊，对不对？这条直线它的斜率是相等的呀，也就是说什么？ 我们要明白斜率公式， k 等于 y， 一 减去 y， 二比上 x， 一 减去 x 二，这是我们的斜率公式，对不对？那代入这道题中，三减四 比上七减零，是不是等于假如？这个是 x 啊？同学们， x 减三比上九减七啊，对不对？这里是多少？负的七分之一 等于多少，这里是多少？九减七，二分之 x 减三呀。交叉相乘，同学们，七 x 减二十一 是不是等于负二，那七 x 等于多少？七 x 是 不是等于二十一减二七 x 是 不是等于十九？所以说 x 是 不是等于七分之十九？同学们，这个坐标是七分之十九。 那题目让我们求 d f 的 长度就变成了什么，四减去七分之十九， 四减去七分之十九啊！同学们，七分之二十八减去七分之十九，还有多少等于七分之九啊？同学们，暴力间隙法，哎呀，暴力间隙法是不是挺好用的，要学会这种方法，同学们。

今天把立体几何三类角一次讲透。线线角线面角面面角，别靠想象硬转图真正快的方法是先把角翻译成能计算的线、距离和结面。今天就用三道题把这套执行程序完整跑一遍， 你会发现立体几何不是天赋题，而是步骤题。只要入口选对，很多空间图都能几何算完。我们这次不堆口诀，直接把口诀落到题里， 先记总框架。线线角平移到同一起点。所谓平移，不是真的把图搬来搬去，而是抓两条线的方向，方向一样，角就一样，所以向量法最稳。线面角不要硬找角，先转成点到面的距离， 因为线面角的正弦本质就是点面距处以线段长，面面角就找一条垂直交线的结面，把空间角压成平面角，这一步叫结面降为图，一旦降下来，余弦就很好算。后面三道题分别对应这三句话，每道题都先读题，再定角，再算量。 你跟着这顺序走，画面不会乱，计算也不会散。第一题，线线角，题目给三棱柱 a、 b、 c 到 a、 b、 c 一 这类题一看到三棱柱，先分清底面和侧棱。底面 a、 b、 c 是 正三角形，侧棱垂直底面，所以这棱柱不是斜着倒的，而是直立起来的。 a、 b 等于四， a、 e 等于二倍根号三 e、 f 分 别是 a、 e、 c、 e、 b、 c 的 中点，要求一面直线 e、 f 与 c、 c 一 所成角的余弦值。注意，他问的是 e、 f 和 c、 c。 一 不是 e、 f 和图里某条斜边 e 面直线求角，第一反应不是盯着原图看，要把两条线平移到同一起点，或者直接写方向项链。这题的好处是棱柱是直的，上下底面完全平行，所以我们只要把关键点坐标写出来， 角就自己出来。这里 c、 c 一 是竖直方向，所以它只看高度分量。把底面正三角形放进坐标系，可以设 a 是 零点， b 在 横轴上， c 在 上方。因为边长是四，所以 c 的 水平坐标是二，纵向高度是二倍根号三，这二和二倍根号三就是正三角形，底边一半和高。这里把底面的高写清楚，后面向量长度就不会错， 上底面整体向上抬二倍，根号三。也就是说 a、 e b e、 c e 之士在原来的点上多了一个高度，于是 e 是 a， e、 c， e 的 中点， f 是 b， c 的 中点，中点坐标不用展开太多，只记住横向取平均，高度也取平均。 e 在 上底面的斜边中间， f 在 底面的 b、 c 中间。算出来从 e 到 f 的 方向就是水平二，数值向下二倍，根号三。也就是说 e、 f 一 边往右走，二，一边从上底面落到底面。这方向一旦确定，原图里一面不一面就不重要了。所以 e、 f 的 长度是根号下四加十二等于四。 c、 c 一 的长度是二倍根号三。两条方向的点乘只剩数值，分量相乘，绝对值是十二。这里取绝对值是因为题目要的是直线所乘的锐角余弦等于十二除以四乘二倍。根号三化简，就是根号三除以二。 所以第一题选 d。 如果你用纯几何，也是在做同一件事，把 e、 f 平移出一个函数值方向的直角三角形。这一题的核心不是图多复杂，而是把异面角翻译成方向向量。第二题面说 s 是 三角形， a、 b、 c 所在平面外一点， a、 b 等于 b、 c 等于二角 a、 b、 c 等于一百二十度，并且 c 垂直平面 a、 b、 c、 c 等于三。 要求 c 与平面 c、 b、 c 的 夹角。这句很关键，线是 c， a 面是 c、 b、 c， 它们已经在 s 点相交，所以角的顶点其实就在 s 附近。 线面角如果直接找投影，很容易在图里绕晕。这一题用点边距离转化更快。你只要记住线段的一端在平面上，另一端到这平面的距离刚好控制正弦设置夹角为西塔线段 c 与平面 c、 b、 c 相交于 i， 所以 看 a 到平面 c、 b、 c 的 距离。你可以想象，从 a 往平面 c、 b、 c 打一条垂线， 距离除以四， a 就是 这角的正弦值，这是线面角最常用的降为公式，也就是正弦斜等于 d 除以三。现在问题变成，求 a 到平面 s、 b、 c 的 距离 d 用体积来求点面具最稳 三棱锥 s 到平面 a、 b、 c 的 高就是 c， a 等于三。底面三角形 a、 b、 c 的 面积是二分之一乘二乘二乘正弦一百二十度，正弦一百二十度等于根号三除以二，所以底面积等于根号三，体积就是三分之一乘根号三乘三等于根号三。 这体积不管你选哪一个面，当底都是同一个三棱锥。再把底面换成三角形 c、 b、 c。 这一步就是把未知距离 d 变成新的高。通过边长或者向量面积可以得到 s、 b、 c 的 面积是二倍根号三。如果你想验算向量 s、 b 和 s、 c 做差乘魔长是四倍根号三。三角形面积取一半，所以就是二倍根号三。 同一个体积也等于三分之一乘二，被根号三乘 d， 于是 d 等于三除以二。得到 d 以后，千万别把它直接当角，它只是 a 到平面的垂直距离，还要除以原线段。四 a， 所以 正弦西塔等于三除以二，再除以三。也就是正弦西塔等于二分之一 线面角取锐角，所以西塔等于派除以六。第二，选 c。 如果你看到选项是角度或者弧度，就一定要回到角本身。这类题的关键是把线面角转成点面具，再用体积吃掉。第三题，面面角。题目给正三棱柱 a、 b、 c 到 a， b、 c 一 棱长都相等，要求二面角 a b c a 的 余弦值 记号 a e、 b c a 告诉你棱是 bc， 两边的面分别经过 a、 e 和 a。 这题不能在立体图里硬亮角面。面角的标准动作是找交线，然后做垂直交线的结面，这比在整个棱柱里找角安全的多。两个面的交线是 bc， 因为两个面分别是 a、 e、 b、 c 和 abc， 它们公共的一条边就是 bc。 在 底面正三角形里取 bc 的 中点 m 取中点，不是随便取，是为了利用正三角形的中线连 m。 因为正三角形的中线也是高，所以 a m 垂直， bc 再连。由于 a、 a 垂直，底面 a、 e、 m 也垂直 b、 c， 你 可以把 a、 e、 m 看成一条斜着上去的结面线。现在 a、 m 和 a、 e、 m 都垂直交线 b、 c， 这就是二面角的定义结面，于是角 a e、 m a 就是 这二面角的平面角。到这里，空间题已经变成一个普通直角三角形。 为方便计算射棱长为二，因为题目指问角的余弦整体放大缩小，不会改变答案。底面正三角形里 a m 等于根号三，数值等于 a， 一 等于二，所以 a e m 等于根号下三加四等于根号七。这一步其实就是在直角三角形 a e m 里用勾股。 现在看角 a m， a 的 余弦里面是 a m， 斜边是 a m， 所以 余弦等于根号三除以根号七。有理化以后就是根号二十一除以七，第三选 b。 很多同学会错选根号七除以七，就是因为没把结面三角形找准。这油体的核心是用三垂线思想 把二面角变成结面里的一个普通角，最后收一下立体几何角。不要硬看空间图线，线角先平移，或者直接上方向向量线面角优先想点到面的距离 面面角抓住胶线做垂直界面。遇到题先别急着算，先问自己这角到底是哪一类，分类对了，工具自然就出来了。这三句话能跑通大部分角度题就能稳住。

辅助线划到吐血，面对原综合压轴，今天教你一招间隙实现降维打击！其实这题复杂的连线就是个障眼法，视频最后带你复盘底层逻辑，做到举一反三。 题目说四边形 a、 b、 c、 d 中 a、 d 平行于 bc， 并且 a、 b、 d、 c 都是圆 o 的 切线， 切线和直线平行同时出现，必须立刻想到垂直传递。因为 a、 d 是 切线，并且平行于 bc， 所以 依据切线性质和垂径定律，连心线 o、 a 不 仅垂直于 a、 d， 还会垂直平分底下的弦 bc。 同时别忘了点 d 是 圆外一点，根据切线长定律，天然得出切线断 d、 a 等于 d、 c。 解题分为两步，第一步，搞定特殊直径相似。第二步，再连立方程决战。既然圆形 o 在 线段 b、 d 上，那线段 b、 e 显然就是贯穿圆的直径， 因为直径所对的圆周角必定是直角，所以角 b、 c、 e 就是 九十度。结合 a、 d 平行于 b、 c， 利用垂直的传递性，三角形 d、 f、 c 也是直角三角形。 那么这两个直角三角形为什么会相似呢？注意看连结 o、 c。 因为 d、 c 是 切线，所以 o、 c 垂直于 d、 c， 也就是角 d、 c、 f 加上角 o、 c、 e 等于九十度。而在直角三角形 b、 c、 e 中，角 c、 b、 e 加上角 b、 e、 c 也是九十度。 因为 o、 c、 e 等于角 b、 e、 c 等量代换一下，角 d、 c、 f 就 等于角 c、 e 一组直角相等，一组锐角相等，这两个直角三角形完美相似。题目要求面积比，如果硬算底和高太麻烦了。但观察一下斜边 b、 e 刚好是直径， d、 c 又是切线，把面积比转化为斜边比肯定更容易解题。 那么相似三角形的面积比为什么恰好等于斜边比的平方呢？推导其实非常简单，直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半，所以它们的面积之比化简后就是两组直角边比值的乘积。因为三角形相似，对应的直角边之比统统都等于斜边比， 所以面积比天然就是斜边比的平方。这下逻辑彻底闭环了吧，我们只要专心去找 d、 c 和 b、 e 就 可以了。那怎么求呢？刚才连接了 o、 c， 因为 o、 b 等于 o、 c， 所以 角 o、 b、 c 等于角 o、 c、 b。 又因为 a、 d 平行于 b、 c 内错角相等，角 o、 b、 c 也就等于角 o、 d、 c。 根据外角定律，角 d、 o、 c 就 等于两倍的角 o、 d、 c。 而在直角三角形 o、 c、 d 中，两个锐角之和为九十度，也就是三倍的角 o、 d、 c 等于九十度，瞬间秒杀。角 o、 d、 c， 也就是角 b、 d、 c 正好就是三十度， 所以直角边 d、 c 等于根号三倍的半径，而斜边 b、 e 是 两倍半径，比值恰好就是 cosine 三十度代入面积比公式，比值就是四分之三，全程根本不用间隙。 第一问纯几何是不是很爽，但到了第二问，条件变了，我们要看图二，原来那些特殊的三十度角全都不存在了。既然纯几何走进了死胡同，果断间隙。我们以圆心 o 为圆点 o、 a 所在的直线为 y 轴。 这里要引入一个新概念，弦心距射圆心 o 到弦 b、 c 的 距离为 h， 因为 b、 c 长为六，左右对称，所以点 b 的 坐标就是负三逗号负 h， 点 c 就是 三逗号负 h。 同时，在直角三角形 o、 b、 c 中，根据勾股定律，半径二的平方等于 h 的 平方加上三的平方，这个暗藏的等式后面有大用处。 接下来看上半部分。题目说 c、 f 等于 cd， 而第一问推导过 cd 等于 d a。 如果设点 d 的 横坐标为 x d， 那 么 d a 就 等于 x d， 因为 c、 f 也等于 x d， 并且 f 也在高度为二的水平直线 a、 d 上。 这就意味着三角形 c、 f、 d 是 一个以 c 为顶点的等幺三角形。因为底边 f、 d 是 一条水平线，所以等幺三角形的对称轴必定是一条数值的线，并且穿过顶点 c。 刚才算过 c 的 横坐标是三，也就是说这条数值对称轴就是 x 等于三。根据对称性，左边线段的长度等于右边线段的长度，在横坐标上也就是三，减去 x， f 等于 x， d 减去三。 一项化简一下，立刻推导出 f 的 横坐标等于六，减去 x、 d， 完全不需要死记硬背。终点公式图里的坐标都标全了，唯一能把所有线串起来的枢纽就是交点 e， 因为交点 e 既在直线 b、 d 上，也在直线 f、 c 上。我们利用斜率公式列出两条直线的方程，注意看分子的 y、 e 加 h 完全一样。我们将两式相除，不仅消去了 y、 e， 连 r 和 h 都一起消掉了， 剩下的等式交叉相乘，左右两边的一次项完美抵消，直接得出 e 的 横坐标，恰好是非常简洁的 x。 第分之九。 最精妙的一步来了，把 x e 带回斜率公式，得出 y e， 因为 e 在 圆上带入圆的方程， x 平方加 y 平方等于二。平方展开后看似很复杂， 但别忘了第一问证明过 c d 等于 d a。 列出两点间距离公式，会发现长长的一大串刚好等于六倍的 x d。 我 们把六倍的 x d 整体代换进去二次项瞬间降为成了一次项。结合一开始的勾股定律，得出半径二完美等于四倍的弦心距 h。 最后把二等于四 h 带回第一步的勾股定律等式算出 h 的 平方等于十五分之九， 再乘回四倍算的最终半径为五分之四倍的根号十五直接秒杀。回顾这道题，如果没有坐标系，你可能还要画五六条辅助线去找相似。 遇到复杂的相交与切线，与其在纯几何的迷宫里打转，不如利用天然对称轴果断间隙将几何问题代数化压轴。原题图太乱，间隙坐标来结算。看懂这一步的在弹幕打个一点赞，关注带你看懂数学！

立体几何最值问题，间隙算不清楚的宝子有救了！无论是线段最值问题，还是线段和差最值，又或是各种角度问题，但凡你用的是几何法，基本没有什么计算量，还等什么，快点开始学习吧， 同学们好啊，本期视频我们来讲解一下立体几何中的最值问题。很多同学在遇到立体几何的最值问题，他的第一个想法就是来间隙，间隙的确是一个比较好的思路，但是他的计算量往往会非常大，所以能不能用几何的方法来处理立体几何的最值问题呢？ 答案当然是可以的了，我们这期视频将会教大家如何用几何法来处理立体几何的最值问题。 先来看考试考的比较多的叫做线段的最值问题，这里给出一个直三楞柱，这是一个直三楞柱角， a、 c、 b 等于九十度，把九十度给标出来，那么还给了一些线段的长度啊，给了 a， c 等于 bc 等于 a 一， 这些线段的长度都是二啊， 并且还告诉你了 p 点是中点啊， e 点是 a 一， p 上的动点 f 是 c， c 一 上动点。问运动过程中这个线段 e、 f 长的最小值为多少？那么遇到这种最值问题啊，呃，当然这个题目可以间隙，它的标答也是用间隙的方法的， 但是呢，我们如果想要用几何方法，你就需要研究一下这两个动点的轨迹是什么呢？一个呢？是不是啊，这个这个线段，一个是这个线段，这两个线段啊，它所在的直线是处于一个什么样的位置关系呢？你会发现它是处于意面直线的位置关系， 那么意面直线位置关系，你可以画一个草图来研究下何时这两个意面直线上面的点之间的距离是最短的，来跟着我一起来找。首先啊，做下面这根线的平行线，跟上面这根线相交， 哎，这个蓝线画出来，然后再做上面这个线平行线跟下面这个线相交，那么一组相交的直线，那他可以确定一个唯一的平面，所以这里确定了一个红色的平面， 然后底下确定了一个紫色的平面，这两平面是什么样的位置关系呢？他们是相互平行的，为什么相互平行呢？因为他平行于他啊，然后呢他就平行于这个面，同理啊，这个蓝色线也平行于这个面， 那么一组相交线啊，分别平行于这个面，那么这组相交线所形成这个面就会有面面平行，那么面面平行跟我们要求的这两个意面直线之间的 两个点之间距离的最小值有什么样关系呢？来我们一起回到最初啊，最初的是两根绿色的意面直线，那我在这里任取两个点啊，比方说 我这里取个点，这里取个点来，你们有没有发现这个点一定在红色的这个面上，这个点一定在这个紫色面上，那么这两点之间的距离一定是大于这两个面之间的距离的， 那什么时候啊，我取一些这个意面直线的点，能够使得这两点之间的距离等于这两个面之间的距离呢？你自己感受一下啊， 这是一个绿色的线，这个这是另外一个绿色线，那么这个绿色线有一个点在上面不断的运动，是不是总有一刻时刻啊？比方说在这个时刻，这个时刻这个点恰好在这个绿色线的正上方，所以只要我取的是这个点和这个点， 那么这两点之间的距离，其实就是两面之间距离，也是这个一面直线的两点之间距离的最小值。 所以这样我们就可以把线段 e、 f 的 长度转化成了什么两面之间的距离。两面之间距离由于是平行关系啊，所以我完全可以选择什么，选择上面的任意一个点到这个面的距离。比方说红色这个面到紫色这个面的距离，我可以把它看成是什么， 看成是这个绿色线上的任意一点到这个紫色面的距离，我求出这个距离就结束了。具体到这道题目怎么样来做呢？啊？跟着我一起来第一步啊，我们先标出 之前对应的这个意面直线啊，是不是这两个意面直线 e、 f 分 别在这两个线段上面动吧。好，接下来怎么办呢？接下来我们把这个紫色的面给画出来。怎么画呢？是不是做了上面这个绿色的一个平行线呢？所以我这边也是一样的， 我做 p q 平行于 c c e 这个点是 q 点，然后连接 a e q。 好，那么这个面啊，其实就是这个紫色的面，看得出来吧，此时他跟他是平行的，对应的是他跟这个紫色面是平行的。好，我现在想要求， 呃，这上面任意一点啊，到紫色这个面的距离，我就可以选上绿色线上面的任意一个点，我可以选 c， 我 可以选 c， 所以 这个 ef 长的最小值最终就可以转化成什么呢？转化成比方说，我可以求 c 一 到面 a e q p 的 距离，变成了一个这样的问题， 那我怎么样来求这里的 c 一 到这个面的距离呢？最简单的方法是不是做垂呀？我过这个 c 一 这个点啊，做 a e q 的 垂线垂足为 m 来，你看它垂直于它， 然后呢，它垂直于上底面吧，然后这里做的是平行，所以它也垂直于上底面，所以它垂直于 cm， 所以 cm 既垂直于它，也垂直于这个面，所以 cm 其实就是 c e 这个点到 a e p q 这个面的距离。好，接下来我们专注求 c e p q 这个面的距 离。好，接下来我们专注求 c e p q 这个面的距离。好，接下来我们专注求 cm 就 行了。我从上往下看啊，画一个俯视图， 这是个俯视图啊，好注意啊， a e c e q 由于 c e q 的 长度啊，是这个长度是整个的一半啊，整个是二嘛，所以说它的长度是一， 这里的 a e c e， 它跟它的长度是一样的啊，那它的长度等于二，所以它等于二，并且呢，这个是垂直的啊，所以上面也是垂直的， 这是垂直的，那不就是求一个直角三角形斜边上的高吗？用等面积法就能求吧，可以算出斜边长度。勾定，你算出来是根号五， 所以二分之一的这个底乘这个高。等于二分之一的这个底乘这个高，那么算出来这个 c m 就 等于二乘一，除以根号五，等于五分之二倍的根号五。这题答案就是它。 接下来我们一起看一道双动点加上线段和的对折问题啊，这里给出了一个长方体，然后给出了长方高的有关信息啊，还告诉你，这个一点是中点 f 在 这个上面动啊， p 点在体对角先动，问这个 p 一 加上 p f， 它的最小值为多少？ 那么遇到这种线段和或者线段差的问题啊，我建议是把它放在同样一个平面中进行分析，如果它本身不在同一样一个平面内，我们还可以进行一个翻折的操作， 我们来分析一下。首先 p 点在这个线上动， f 在 这个线上动，这两个线构成的平面是哪个平面呢？ 是不是这个这个对角面呢？这个对角面经不经过一点呢？你会发现他恰好经过一点，所以你所关心的 p 点、 e 点、 f 点都在这样一个平面内，我们把这个平面给标注出来，并且把它画出来。显然啊，这个平面啊，他肯定是一个矩形，然后长宽高相关的信息啊，我们需要从这里开始出发。题目告诉我这个长度是根号二，这个长度是根号二， 所以自然这个长度就是二吧。然后还告诉我 ab 的 长度是二，所以它跟它还相等。一组邻边相等的矩形肯定是正方形，这足够特殊了。我们把这个正方形给画出来， 这是 a 点， b 点 c 和多一。呃，一点是中点 p 点啊，在这根线上动， f 在 这根线上动，哦，这又变成了一个双动点问题，双动点问题怎么样来处理呢？虽然 p 点和 f 都在动，但是我可以先让 p 点固定下来，我先让 f 动一动来，我要想 p 加 p， f 最小 f 应该怎么样？ 你想想，这是定点啊，这是定点，然后只让 f 动起来，是不是应该是垂直的时候才能使得 p 一 加 p， f 尽可能的小？ 所以我这个 f 它应该始终运动到跟 p 点啊相连的，这个连线垂直于 c 一 多一的时候才有可能使得它最小。 那么现在我再让 p 点动起来，那么 p 点动怎么怎么动呢？你看这两个线段合了，出现线段合，我是不是应该要把它转换到 异侧，而且正方形它是存在天然的对称性的，所以我在这个地方应该是取它的中点啊，这里有个中点 a， b 的 中点 m， 这样我就可以把 pe 这条线转化到 pm， 这个时候它和它就处于 b 多的异侧了。 来，我多画几个 p 啊，比方说 p 点在这里， p 点在这里啊，这样做个垂直在这里啊，在这里这样做个垂直。我问你何时最短的？是不是我直接 过 m 做这个边的垂线，这应该对应的是 f 最小值，此时对应的 p 的 最小值吧。比方说我们对比一下， 刚才有一个这样的折线和这样一个直线啊，你觉得哪个的线段更短？肯定是我直接这样做垂对你的线段最短，所以这题已经做完了， 最短的这个距离之合，其实就是这个的长度。这个长度是什么？是这个正方形的边长，刚才已经研究了这个正方形的边长，它就等于二吧，所以这题最小值就是二。 接下来我们一起看一道角度的最值问题啊，这里给出了底面是菱形的一个四棱锥， a、 b、 c 多为菱形，还给了 abc， 这个角度是六十度吧，所以遇到菱形加六十度，你会联想到什么呢？一个菱形，这个角是六十度， 这两个相等，这不是等边三角形吗？这边也是等边三角形吗？所以你会想到两个等边三角形。题目这里给了个 p， a 等于 a， c 等于 a， 把它标在图上，这是 a， a， c 等于 a， 这不就是那个刚才那个等边三角形的其中一个边长为 a 吗？所以这也是 a， 这也是 a， 那 另外的 这些都是 a 吧？还给了 p， b 是 根号二倍的 a， p 多是根号二倍的 a。 那 写到这里有没有什么想法？你看到 a， a 根号二一倍的 a， 没什么想法吗？ 它的平方加它的平方等于它的平方，它的平方加它的平方等于它的平方。立马能反映出来，这个 pa 就 垂直于 a 多，它也垂直于 ab， 所以 垂直于一个面内的两个相交直线，这根线它其实就垂直于整个底面吧。我们写在旁边， pa 垂直于面 a， b、 c 多好，再往下读啊，这里说点一在 p 多上啊，并且 p 一 比一，多是二比一啊，所以这是个靠近多点的三等分点。 f 是 棱 p c 上的动点啊， f 在 这里动啊，在这里动。问的是什么？问的是直线 b f 与面 p a、 c 所成角的正切的最大值。首先我们先一起回顾一下线面角的求法。这里有一个平面， 然后呢，有一个斜线啊，斜线，这是 p 点，这是 a 点。好，我过 p 点做这个面的垂线 p o， 然后连接这里的 a o， 那 么 a o 和 pa 所呈的这个角啊，其实就是这根斜线 pa 跟皮面 alpha 所呈的线面角。那我也就是要经过什么？经过 f 在 这里， b 点在这里，我要经过 b f 上面的一点啊，做什么？做这个 p a c 的 一个垂线，那我怎么样来做的？ 我肯定是过 b 点，对不对啊？肯定不是过 f 点， f 就 在这个面上过 b 点做这个面的垂线。是不是刚才得出了 pa 垂直于这个底面， 所以我是不是只需要过 b 点做 a c 的 一个垂线，或者我直接把 b 多一连，因为菱形的对角线是相互垂直的，那么连完之后呢，交这个对角线啊，于 o 点， 你就会发现 b o 垂直于 a c。 刚才说了 pa 垂直于底面，所以 pa 是 不是也垂直于这个 bo 啊？ bo 既垂直于 a c， 又又垂直于 pa， 所以 bo 是 不是就垂直于这个面？那么这样我就做出了那个垂线， 那么线面角在哪里呢？把这个 o f 一 零， o f 一 零，这个角就是线面角，这是斜线。然后呢，做垂线的时候呢，把它投影下来啊，这个是摄影，这个是摄影，这两个所呈的这个角就是线面角，那么 我们刚才说了，它垂直于这个面，所以垂直于自然会垂直 o f， 所以 这是垂足，那么这就是一个直角三角形。我要求 tanning， 这个角不就是 bo 比上 off 吗？也就是说我们要求的目标 tanning alpha 是 等于 bo 比上 off， 我 要求它的最大值， bo 是 不是固定的？ bo 是 不是固定的？是的吧，是这个的一半，这是一个一百二十度的等腰三角形啊，一百二十度，所以一比一比根号三，这是根号三倍的 a， 这是二分之根号三倍的 a， 二分之根号三倍的 a， 除以 o f， 我 要求它正切的最大值是不是 o f 要尽可能的小， o f 是 随着 f 的 运动，它在不断的变化的，那么无论怎么样 移动啊，它都是在这个 p a c 这个平面内的，所以我们把 p a c 这个平面给画出来。 好 p a c， 这是垂直的，这是 a 啊，这好像是 a 吧，是 a， a c 的 长度是 a， 所以 它应该是一个等腰直角三角形，过什么？过它的终点， 这点 o 点，然后呢，这是 f o f 长度在不断发生变化。那什么时候 o f 最短呢？是不是我做垂直的时候最短呢？ 过 o 点，做这个垂线垂直的时候最短。那我会发现 o f 的 最小值， 它实际上就等于什么？等于这个长度是二分之 a， 这是四十五度吧，所以二分之 a 除以根号二，也就是 a 除以二倍根号二。直接把这两者一比， tanning 的 最大值 等于它比上它，把 a 约掉了之后，得到就是二分之根号三，除以二倍根号二分之一，再把二约掉，把根号二翻上去，结果就是根号六，所以正切值最大就为根号六。 最后我们再来看一道立体几何的综合性问题，这道题目难度是比较大的，先跟着我一起读一下题目，给出一个正方题啊，一点是棱的一个中点啊，这是中点。 动点 m 是 从 a 一 开始啊，顺着这里啊，不断地走，一直走到这个一点。问，下列三个结论中，哪些是正确的，哪些是错误的？好，先来看圈一啊，不存在点 m， 使得 b 一 多垂垂直于面 m a c b 一 多是一个固定的。然后呢， mac 这个面是随着 m 的 点不断运动而不断发生改变，它们不存在这样的点 m 使得这一面有个线面垂直，那么这底就是考你的基本功了。 你知不知道正方体中 b 多垂直于哪个面啊？ b 多垂直于哪个面啊？答案是，这个体对角线垂直于这个面，还有一个面也垂直于这三个点形成的面。这里我们要用的就是 a 多、 e、 c 这个面呢？来，跟着我一起来啊。首先 c 多一垂直于 c 多啊，因为这个叫做正方形的对角线是相互垂直的。另外还有什么呢？还有你看啊，这个 b、 e、 c， 它是垂直于后面这个面的，所以 b、 e、 c 垂直于什么？垂直于 c 多一，所以 c 多一，他既垂直于他，又垂直于这个一连，那么他就垂直于这个面。你有没有发现这个面是包含那个什么紫色的线的，所以紫色的线跟这个红色的线是垂直的。 同理啊，这个紫色线跟这个红色的线他也是垂直的，为什么？因为他垂直于他，然后这个线又垂直于这个线啊？因为有个线面垂直，所以他就垂直于这个面，就垂直于紫色这个线。 所以紫色这个线既垂直于这个红色面，红色线啊，又垂这个红色线，那么它就垂直于整个红色的面。来，你观察一下，既然现在有一个已知的 跟这个线是垂直，那么我在在这个基础上面往前偏一点点，你看看 m 在 哪里？ m， 你 感受一下，它们是共享了一个公共边，但是呢，这个多一啊，从这个地方往这个地方移了，移到外侧了，所以它肯定不是原来那个面。 那么无论你 m 在 怎么样一个运动啊，它都不可能跟这个什么 a c 多一啊，这个红色面重合，那么也就说不存在这样的 m 使得它成立，那么结论一自然就是正确的。考你的基本功，正方题里面常见的线面垂直。 再来看第二个，第二个给出一个四面体啊， b e m a c 的 体积是逐渐增大的， b e m a c 啊，涉及到这四个点，这四个点中有三个是定的吧，看得出来吧， a 点是定的， c 点是定的， b 是 定的。那么我为什么不能把这三个点当成一个底面，所以它底面的面积就保持不变了。那么高是什么呢？高是 m 到这个面的距离，那么这个问题就变成了， m 到面， a c， b e 是 否 越来越圆？因为你越来越圆，它的高就越来越大，而底面的面积又是恒定的，它对应的这个，呃，四面体的体积自然是在增大。好来分析一下啊， m 到哪个面的距离呢？ 是不是 m 到 a c， b e 的 距离？我们把它连一下啊，这个一连，这个一连， 你只管感受一下啊，就 m 从这里运动一下，往这个方向运动，是不是越来越远了啊？你感觉像，好像是越来越远，但是呢，不太严谨你的感觉， 所以我们可以找一个临界的情况，就是我比方说啊，按照某一个方向运动之后呢，发现，发现啊，这个距离不变， 那，那不就是平行吗？线面平行吗？自然会想到我们把 a e c e 一 连来， 他跟他是平行的，他是不是就平行这个子面？然后呢，这个 a 一 啊，也就是 m 运动的方向是不是往上翘一点点？简单来说是这样一个情况啊，我跟你画一个面， 这是刚才研究的那个固定的平面，然后这是 a 一 c 一。 好，如果说你是沿着这个 a 一 c 一 运动的话呢， 这个体积是保持不变的，但是呢，你偏偏是啊，你偏偏是看到没，这个地方离他更远了，这根线离这个会更远一些，那么就是从 a 一 这个地方往上一点点， 那么随着 m 点的运动啊，这是 a 一 一 m 点的运动， m 从这里到这里，他到他的距离就会越来越远，那么对应的这个体积就会越来越大，所以全二也是对的。 那圈三呢？圈三研究的是 b c e 与 a m 所成角， b c e 在 哪里？ b c e 在 这里吧？ a m 在 哪里？ a m 在 这里吧？来，这两个意面，直线所成角，我，我不能把 b c e 直接挪到 a 多 e 吗？这个时候他们就公共了一个顶点吧。所以其实就是在问， m 在 运动过程中，这个角多 e a m 啊，这个角是在怎么样发生一个变化？ 这个角是由固定的一个边 a 多 e 以及随着 m 在 不断运动而发生变化的一个 a m 这两个边共同所决定的。但是你 a a e e 无论怎么样运动，是不是都在 a a e e 这个面上进行运动？ 好，我给你抽象出来，到底是什么样一个情况啊？这是一个面，然后呢？呃，这是 a 点啊，这是 a 点，这是多 e？ a。 好， m 在 这个面上的一根线上面进行运动，比方说就这根线吧。好，他现在想问， m 运动过程中 啊，运动到哪里？这个角，这个角啊，这个角是在怎么样发生一个变化？ m 顺着这个方向运动 来，你有没有什么感觉啊？因为感觉就是当 m 啊运动到这个位置时候，也就是他投影下来，恰好经过他的投影，经过 m 的 时候，这个角度应该是最小的。为什么这个红色角是最小角呢？可以带你稍加证明一下啊， 不就是这样一个平面吗？然后这里有个斜线，这个斜线啊，我做这个面的垂线得到的这个红色的角，我想证明他比这个面上其他一根线， 然后呢，所形成的这个绿色的角要比他更小吗？不就是要证明这样一件事情，我只需要过这个点，做这根线的垂足，然后呢，再把 这个一列好，就正完了。怎么正的？你看啊，首先他垂直于这个面，就垂直于他， 然后我刚才做的，他和他垂直，所以他和这个面就垂直，那么他自然就垂直于他，所以这个角他也是垂直的， 也是垂直来看啊，我要算 sin 这个角， sin 这个角是不等于它比它，它比它。然后呢， sin 这个绿色的角是不等于它比它， 它比它，然后它们的分母是相同的分子，红色角对应分子是这个长度，绿色这个角对应的分子是红色，这个长度明显它比它长吧 啊，因为这个是点到面的距离，它是最短的，所以红色的这个角对应的 side 值是最小的， side 值是最小的，那么它对应的这个角度就最小。 那么也就是说你 m 在 运动过程中，你可能是大小变成一个小角，然后再变成一个大角，先变小，再变大，那么就思考一下。呃，如果把这个 a 多一啊， 往这个上面投，说白了就是过多一做 a 一 一的一个垂线，这个是垂足，那么所形成的这个角应该是什么角呢？应该是最小角。 哎，我们只需要分析一下过多一做 a 一 一的垂线，这个垂足是不是在 a 一 一这个线段上，而不在它的延长线上？你发现是的，所以 从 a 一 一直到这个垂足的时候呢，对应的这个角是在逐渐减小，一旦过了这个垂足又逐渐增大，所以你不能说他逐渐减小，你只能说先减小后增大。全三是错的， 这题的正确答案就是 b 选项。本期的内容啊，相对来说难度比较高，但是呢， 如果你能掌握我们今天所讲的一些几何方面处理技巧，而不是单纯的去圈系啊，在那里设设点的坐标算半天，那你就能够大幅的提高你的做题速度。希望本期视频对大家有所帮助。

还有不到一个月就要中考，问你一个问题，当你在考场里面不会画辅助线，忘记了老师讲的几何模型，做题完全没有思路，又想把这道题拿下的时候，你想怎么办？今天向大家分享一下数学三大金属尺间隙法。 对于此题，求 d、 f 与 a、 c 之间的关系。我们不妨以 b 为坐标原点，以 b c、 a b 所在的直线为 a 轴和外收构造平面直角坐标系。由于 b、 m 等于 d、 n， 我 们不妨让它们都等于 a。 根据 abcd 为正方形，我们可轻松表示出以上这些点的坐标，而点 e 为 m、 n 的 中点。根据中点坐标公式，我们可表示出点 e 坐标。 这个时候我们会发现点 e 横纵坐标完全一样。那么也就是说，点 e 在 直线 y 等于 x 上面，或者说点 e， 点 d， 点 f， 点 b， 次点共线。我们知道 y 等于 x 是 一三象限角平行线，它与 a 轴、 y 轴的夹角 为四十五度。而对于此题，点 e、 点 f 恰好在正方形的对角线 b、 d 上面，而 b、 d 又等于 a c， 所以最终我们可以猜到 d、 f 等于二分之一 a z 搞定收工 so easy， 你 学废了吗？

当你的同学还在苦思冥想之时，你早就已经。

每天一分钟学会压轴题，给出一个边长为二倍，根号二的正方形， e、 f、 g、 h 分 别是线段的中点，求 g、 h 的 长度。当遇到正方形和中点这两个条件的时候，同学们如果一时想不出辅助线该怎么做，那不妨试一试间系法，你会发现这道题就会变得非常简单。 我们以 b 点为圆点，分别以 b、 c 和 ab 建立直角坐标系。你让我求 g、 h 的 长度，我只需求出这两点的坐标，再利用两点间距离公式即可。 此时点 b 坐标为零到零，因为正方形边长已知，所以 a、 c、 d 三点坐标可求。又因为图中这四个点是线段中点，这时我们就要用到中点坐标公式了。什么是中点坐标公式呢？给出一条线段， a、 b 两点坐标，已知中点 c 的 横坐标就是 a、 b 两点横坐标相加除以二。同理，纵坐标就是 a、 b 两点纵坐标相加除以二。 回到题中， e、 f 两点因为在坐标轴上，所以轻松可得。 e、 f 坐标 g 是 线段 e、 c 的 终点，根据终点坐标公式可求得 g 点坐标。同理， h 是 d、 f 终点，轻松求得 h 点坐标，两点坐标已知。在根据两点间距离公式， g、 h 的 长度不就算出来了吗？同学们，你学会了吗？

在八年级乃至初三的学生，这道题能做出来的全班可能不到五个人，更不用说如何去秒杀他。那么今天邵老师 教你们一个暴力间隙的方法，一分钟之内把他秒杀。老规矩，先读题，矩形 a， b， c， d， a， b 是 四， a， d 是 九， b， e 是 三，然后这里有一个四十五度，要求 d、 f 的 长，可以暂停视频挑战一下。 ok， 咱们暴力间隙的第一步，先确定原点，画一个漂亮的坐标，轴， x 轴， y 轴，那么 a 点的坐标就是零斗四， c 点的坐标就是九斗零， d 点的坐标就是九斗四， 还有 e 点，那就是三斗零。 ok， 因为这里有个四十五度，咱们构造一个三垂直， 为什么要构造这三个词呢？这里咱们用到的就是函数思想里面的化协为值，交于这个点，叫它 q， 那 么 q 点往下做个垂线，这里有一个点 p， 因为四十五度等腰值，所以这两条边是相等的，所以这个三垂直就得到了两个全等的三角形。这段是三，所以 p q 等于三，这段是四，所以躺着的这个 e p 也等于四。 ok， 那 么 q 点的坐标就是七三， 那么直线 a， q 就是 y 等于三减四，比上七减零乘以 x 减零加四。 我们用点斜式很容易就把它写出来，等于负的七分之一， x 加四，就是当直线的 x 等于九的时候，它的重坐标 y， f 就 等于负的七分之一，乘以九加四。 那评论区告诉邵老师 d、 f 的 长是多少呢？我是数学邵老师，每天带来数学干货技巧，点点关注，谢谢大家！