数学七年级下册三角形九十度怎么画

将三角形一绕点 o， 顺时针旋转九十度。将三角形二绕点 o， 逆时针旋转九十度。我们挨着看，先看一号图形，他要绕点 o， 顺时针旋转九十度。哎，老师讲了，读了题目之后，标出旋转方向，标出 旋转角度，对，因为有的时候做着做着容易忘了他到底是哪个方向，多少度，对吧？咱们就标出来顺时针，手比划哪个方向， 顺时针，顺着时针，顺着时针转动的方向，对吧？好，打上箭头，顺时针旋转九，那么旋转中心在这点 o 来，咱们咱们怎么画它旋转后的图形呢？ 第一步，我们要干嘛？要确定关键点，那个叫什么？确定关键点，确定，对，确定关键点，齐读这五个字，预备起，确定关键点。第一步，确定关键点，那 那么关键点这里有个 o 点，再来三角形还有哪几个关键点？好？再来，假设这个点叫 a 点，这个点叫 b 点，很好，听得很认真，好， o a b， 好， 然后咱们来旋转，大家想我们怎么旋转呢？怎么画呢？ 把找到这几个点，就旋转后的对应点，对不对？大家记得我们在画平移后的图形，就是把每个点拿来平移，然后再连线，对不对？那其实画旋转也是一样的，确定关键点，然后找对应点， 把对应点给找到了之后再来连线。其实也是这个思路，和画平移后的图形是一样的，这一样，我们来旋转 o， 在 这， 他说顺时针旋转九十度，最好画的是哪个点？这几个点其实都好画，对不对？好。假设我们就先画 o a 吧，他在这，你看，咱们可以把它看作一条线段，关键的线段来比来旋转。老师，这个这个棍子就来当这这一条线段啊。 o a 看， 然后旋转的时候是这样吗？按，按住哪里不动，下面回音老师哪里不动？下面跟老师今天讲细一点，同学们认真听，旋转中心动不动不动，你看音老师就把这压住，压住之后顺时针旋转九十度，我转转转转转转转，到哪结束？你们喊我结束 结束，这结不结束？结束再来一次，你看转的时候旋转中心不动，压住他，把 o a 这条线段转转转转转，顺时针旋转九十度，在这来了，大家看到了吗？好，那么我们现在老师换一个颜色 线段， o a 就 跑到这来了，那么这一个点就是什么？ a 一 撇就是 a 的 对应点，这一步看懂了最少， 哎，你们怎么知道旋转到这就是九十度了，哪里？大家看什么叫旋转角度，最开始在这，结束在这，他们两个的夹角就是旋转角度，没问题吧？好， a 一 撇找到了，接下来找谁？ b 一 撇，那一样，把谁拿来旋转？ o b， 很好， o b 在 这哪里不动？ o， 这样吗？ 往哪个方向旋转？四个转转转转转转，你们喊停停停停停。好，那也就是说同学们在这啊， 那 b 一 撇就在这吗？不是在这个地方吗？太长了，太长了，你们刚刚说了一个词，太什么长了，应该是几格，两格，为什么呢？请问旋转什么不变？ 人家 o b 是 两格，你旋转下来应该是几格，两格，你看这些关键的地方，老师讲的时候，你们知道你做的时候就迷糊了啊。好，这里应该是两格，这一个点就是 b 一 撇，现在 a 一 撇找到了， b 一 撇找到了，这一点就找完了。最后在干嘛？点线。 好，这个图就画完了，清晰了吗？好，这是最简单的一种，就是同学们书上是有的。好，我们来看二号图形，这儿，他说的是逆时针旋转九十度，手笔画逆时针方向一样的，同学们，标出来，你看，一个很好的习惯，标出来，逆时针 就是和时针转动的方向相反。好，九十度标出来，然后把这个二号图形拿来，向这个方向旋转九十度一样的，先确定关键点，标上 a 点， b 点。好，这是旋转中心。接下来你们想先旋转哪条线呀？你为什么先旋转 o b 呢？ o b， 简单，要简单一些。好，我们先旋转 o b， 它恰好就在这个这个直线上，对不对？这个这个格子上嘛？好，这是几格？它的长度四个好，旋转的时候哪边不动？ o o o， 好， 压住，这 开始转了。呦，往哪边转？你看我转转转转转转，不动不动不动。树在这，好，树在这个地方。好，那么这个点应该在这里来了，有没有问题？没有，这个是 o b， 老师把它连起来，这个是 b 一 撇， 接下来找谁？ o a， 把 o a 拿来旋转，找到 a 一 撇， a， o a 在 这怎么转呀？也是往上面转，但是咱们知不知道转多少？知道拿出什么？对呀，拿出指指。刚刚我们知道大家看 o b 转到 o b 一 撇，没有拿直尺，是因为这个直接就是什么直角，很好看，因为这是个正方形，但是这个 o a 转到哪里是直角，咱们看不清楚，就拿出我们的工具，三角尺。好，老师，这也有三角尺，老师，把三角尺拿出来。好，科技成果来，我们要转到哪个地方？ 我应该怎么比划呀？是不是这样啊？这是不是一个直角？大家看啊，这是不是一个直角？哎，回忆，你是不是个直角？把直角比到这，那么 o a 他 应该转到哪里来？ 好，老师，这个应该还要再往下面转一点点，他是不是应该转到这个地方？上面有没有问题？没有。哎，大家看，是不是这是个。老师把这个拿过去，这是不是一个直角？对，然后这里你看，刚刚老师比划了哈， 这是不是一个直角？对，你看嘛， o a 这样转就是绕点 o 逆时针旋转九十度，是到 a 到这个地方来了，所以 a 一 撇在这一个地方，当然我们看长度，有同学说，老师是在那条线上，我们要看长度， 你看这一个的长度。好，老师讲细一点哈，你看这个 o a 的 长度是不是在三格这样，这个长方形里面的斜角，那么你看这一个的长度是不是在这个长方形里面的斜角？长度是不是一样的？一样？好，现在咱们才叫把 a e 撇找到了， a e 撇找到了之后再来干嘛呀？连起来， 那就画完了。好同学们做的时候来回忆，看着黑板有几步，你们做的时候第一步确定关键点，然后找对一点，最后再是连线，就是这几步。其实你们以前画平移， 画平移后的图形，是不是也是确定关键点，把关键点拿来平移，平移之后再连线，那旋转是一样的。好，这个还稍微简单一点，咱们接着来看。

今天我们来看七年级下册考题，我们先来读题，如图，三角形 a、 b、 c 是 等边三角形， p 是 三角形外的一个点， 斜角 b， p c 为一百二十度，让我们证明 p b 加 p c 为 pa。 像初中呢，让我们证明一条线段加另一条线段等于另一条更长的线段时，我们就需要转边，也就是构建辅助线。我们来看证明， 他让我们求这个 p b 加 p c， 那 我我们是不是要么把 p b 挪到 p c 这条线上，要么把 p c 挪到 p b 这条线上？我这里呢，我个人选用的是把 p c 挪到 p b 这条线上，好 在初中呢，我们说辅助线要说的很谨慎，我们来看 p b 加 p c， 我 们说 bp 至点 k， 使 p p c 等于 p k， 然后我们最后再连接 c k， 连接 c k， ok， 我 们来看现在 p c 挪到 p k 上了，那么 p b 加 p c 是 不是就是 b k 这条线段？那么也就是我们证明 b k 等于 pa， 我们那 b k 等于 pa， 那 最好的证明办法是不是就是证明角三角形 a、 p c 和三角形 a、 b、 k、 c 全等。我们先来看图题题目中的一个三角形 a、 b、 c 是 等边三角形，那么我们可以得到什么？ 第一个要用到的是 bc 等于 ac。 我 们再来看 我们再来看这个角 p b， p c 为一百二十度，对不对？一百二，那么这个角 c， p k 是 多少度？是不是就一一百八减一百二六十度？我们再来看我们勾尖辅助线 p c 等于 p k， 哎，这个角三角形还是个等腰三角形，对不对吗？它顶角六十度，哎，那我们就可以刚好发现它的两个底角都是六十度，那这不就是个等边三角形吗？ 那都等边三角形了，那 c、 k 是 不是就等于 p k 啊？对不对啊？那我们就得到第二条结论了呀， c k 等于 p k 最后一个呢？我们来看 最后，最后这个呢？角 bc 啊，有角 bc 了，然后啊，有有 b， 有 bc 这条边了，还有 c k 这条边了， 那么我们是不是就是要证角 b、 c、 k 等于角 a、 c p 啊？那这个该怎么证呢？我们来看还是这个条件，它是等边三角形，那这个角是不是六十度？好？先相信现在已经有人看出来了， 角，要证明角 a、 c p 等于角 b、 c、 k， 那 它一定是全等的，为什么呢？我们来看角 a、 c、 p 是 不是六十度？我写一下，六十度加角 b、 c、 p 就是 为角 a、 c p， 没，没问题吧？ 那角 b、 c、 k 呢？是不是就是个六十度，加个角 b、 c、 p 就是这个角 b、 c、 k 哎，这个时候我们就会惊奇的发现，六十度消了，角 b、 c、 p 都一样，那么我们是不是就可以直接得出来角 a、 c p 等于角 b b、 c、 k 最后一个条件， 角 a、 c p 等于角 b、 c、 k 那 么三角形 a、 c、 p 是 不是就全等于三角 b、 c、 k 它用的是边角边正全等。最后呢，我们再来看，这是个等边三角形 p c 等于 p k， 然后 b b、 c k 和 a c p 这这两个三角形全等，它们全等的话，那 b k 等于 a p， 那 b k 是 不是就是 b p 加 p k p k 等于 p c， 那 么 b p 加 p c 是 不是就等于 a p？ 那 就证明完毕。兄弟们，点赞关注，一起进步！

全等三角形，孩子不会做辅助线？今天就带孩子吃透五大模型，另外把这套成都满分专题给孩子练习，就能轻松搞定全等三角形电子版领取码三三三今天我们来讲解半角模型，我们来读题正方形 abc 搭中点 m、 n 分 别为 b、 c、 c 搭边上的点角 m、 a、 n 等于四十五度，连接 m、 n 连接 b 搭，分别交 a、 m、 a、 n 与点 f， 是证明 m n 等于 b m 加大 n。 通过读题，我们发现直角中有四十五度，这是一个典型的半角模型条件，我们可以添加辅助线构造全等三角形，这里 b、 m 与大 n 不 在一条直线上，我们就可以添加辅助线，把它们转换到一条直线上，使 b t 与大 n 相等，所以我们做 b， t 等于搭 n， 再连接 a t。 在 三角形 a 搭 n 与三角形 a、 b、 t 中， a 搭等于 ab， a 搭 n 等于 a， b， t 等于 九十度搭 n 等于 b t， 所以 我们三角形 a 搭 n 全等于三角形 a、 b、 t 是 由我们边角边得到的。全等之后，我们就可以得到三角形的对应角与 对应边，它们是相等的。我们可以把这四个角分别设成角一、角二、角三角四。由全等的条件我们可以得到角一等于角四， a、 n 等于 a t。 又由题目当中条件角 m， a， n 等于四十五度，所以我们角三是等于角二加角， 那前面是不是有一个角一等于角四，我们就可以把角三把它转换成角二加角一。那在我们三角形 a m、 n 与三角形 a、 m、 t 当中，是不是又有 p a m 这个角等于 m a n 这个角，并且有 a n n 等于 a t， 还有一个公共边 a m， 所以 我们又能得到三角形 a m n， 它是全等于三角形 a m t 的， 是不是也是我们的边角边？我们判定三角形全等之后，我们就可以得到 m n， 它是等于 m t 的， 而我们 m t 是 不是又可以把它写成 mb 加 b t？ 前面是不是做的是 b t 等于 d m 加 d n？ 所以 这个题就是这样子证明的。同学们听懂了吗？关注我，每天带你学数学！

大家好，这里是初中此规作图一本通的配套视频，例二十八，例二十八说以 ab 为一条边啊，目前这是 ab 已经知道了，让 c 落在 x 轴上，然后呢，做一个直角三角形 abc， 那 这一题没有告诉我们哪一个角是直角， 那我们就得分三种情况讨论啊，第一个就是角 a 等于九十度的时候，第二个是角 b 等于九十度，第三个是角 c 等于九十度。好，这三种情况讨论口诀是两垂线一圆 啊，我们先看怎么画哈。最后我们再来总结一下，这个两垂线一元，第一个是角 a 为九十度， c 还落在 x 轴上，那大概是不是就长成这个样子？所以这一题是不是就是过 a 做 ab 的 垂直 啊？如果你现在对这个做过直线上的一点做垂直，不知道怎么做啊？请先把这一块停下来，我们看一看前面有的知识点， 大家打开这一本练习册的最上面啊，这里有啊，第一张基础，这里就有过直线上的一点做垂直啊，当然还有过直线外的一点做垂直之类的啊，具体怎么做啊，这里都有详细的描述。我们现在就直接画了啊，先把 ab 这条线给它延长， 然后呢，以 a 为圆心啊，任意长为半径画弧， 让它产生两个焦点，然后再做这两个焦点呢？垂直平分线， 有了这两个焦点之后，我们用直角给它连接起来，连的时候注意哈，我们既然这一点在 c 上面，所以我们一定让它和 x 轴产生一个焦点哟，这个 x 轴是不是还不太长，也给它延长一下， 也给它延长一下。好，这里延长之后，这边产生焦点了，这就是我们要的 c， 所以 这是垂直，所以 abc 就 变成直角三角形了，然后第二个以 b 为圆心啊，然后呢，也是做一个垂直，所以我们直接画了哈，把 ab 沿，把 ab 延长一下，然后以 b 为半径啊，任意长度为半径画弧， 然后再做这两个焦点呢？垂直平分线， 然后用直尺把它们给连接起来， 然后用直尺把它们给连接起来， 这一连接是不是和 x 轴也产生了一个交点，在这个位置 c， 所以 再把 abc 连起来，这就是三角形， abc 是 直角三角形了啊，这是两垂直，下面一个圆呢，就是以 ab 为直径的一个圆， 怎么以 ab 的 垂直平分线，通过垂直平分线我们能找到它的圆心的位置， 然后垂直平分线画好之后，这边是不是产生一个圆心啊，然后呢，再以这个 o 为圆心 啊， o b 的 长度为半径，这个时候做一个圆，这个圆就是以 ab 为直径的圆，那既然圆好了之后，它和 x 轴是不是产生这边有个交点， 这边是不是也产生一个焦点？哎，这个焦点哎，就是我们要的直角的位置啊，这边也是 好，所以这边是 c 三，哎，这是 c 四，好，这就完成了直角三角形的画法。

三角形逆时针旋转九十度怎么画？我们可以画出它三个三角形，一个分别是锐角、钝角和直角， 我们分别画出我们要以他为基准的那个角旋转的地方，给他标记起来，然后我们来画出逆时针旋转九十度， 我们以一个角为中心，将它每条边旋转九十度， 然后将它连接起来， 这是第一个，然后第二个用同样的方法，以一个角为基础，然后我们逆时针旋转他的每一条边，先确定角度，然后再来确定长度， 然后我们画的是最后一个直角三角形。 像这样我们三个不同的三角形逆时针九十度旋转的方法就完成了。

非常火的无尺作图，第一问难，因为画四十五度，老师讲一下方法如何找到四十五度？ 我们目前学习的时候，关于四十五度考虑的是等腰直角，三角形我们称为等腰直，网格里面去找等腰直，而且题里说在 bc 上， 所以呢，我就要想在 bc 上找等腰值，目前我们试了一下画不出来，但是我们应该想，四十五度出现等腰值 不一定是三角形 b、 a、 g 式等腰值也可以是其中的一部分。比如 我们通过寻找发现三角形 b、 a、 g 画不出来等腰值，所以格局打开，我们画一个 b、 a、 k 的 等腰值，而 a、 k 和 b、 c 交点是 g。 第二文也是难点，画高，我们以往画三角形的高拿格尺就行了，而在网格里使用无刻度之尺，所以用不上。方法是网格构型互锤两线等，网格构全等， 所以勾一个与 a、 c 互垂两线等的三角形网格里面勾阴影部分全等，所以做高的方法是互垂两线等，网格勾全等。 而第三问就非常简单了，勾股定律或面积法。勾股定律比较慢，面积法比较快，所以第三问两招可以选勾股定律或面积法，而本道题 面积法比较快。三角形 a、 b、 c 不是 直角三角形，所以我们用割补法把它补成规则图形。勾股钉里需要用双勾股，计算量比较大。

公主王子提笔，看我，模型学完，不代表结束，真正的考验，现在才开始，媛媛直接上硬菜，这是一道半期期末的高频压轴考题， 这道题呢，是拉开分数的关键，我们把模型思路用透，像这样的压轴题也能稳稳拿分，方便公主王子观看。媛媛呢，先讲一二问， 再讲第三问。那我们先来看第一问，他说这里呢，有一个角， m o n 等于九十度，我们先把这个 m o n 标一下，这个角是九十度，然后 a e 和 b e 呢，分别是 b a o 和 a b o 的 平分线，那说明这两个角， 这个角是阿尔法的话，这个角就是阿尔法，这个角呢是 beta， 这个角也是 beta。 嗯，这不就是我们的模型的第一种内内模型吗？那你还记得内内模型，我们的口诀是 九十度加一半。好，你看这个角不就是九十度吗？那九十度加上九十度的一半，你直接套模型就可以得出答案是一百三十五度。 那第一个问，我们就哪分呢？现在我们再来看第二个问。第二个问说，若 b c 是 abn 的 角平分线，我们再标一下， abn 是 这个角，那这个角是 r 法，这个角也是 r 法，代表这两个角相等。 bc 是 反向延长线，与 oab 的 平分线交于 d， 也就是说明 a d 也是一根角平分线，那我们把这个角标为 b 塔，这个角标为 b 塔。 现在 b a o 是 六十八度， b a o 耶，这个贝塔它是有度数，所以我们可以把它标成三十四度的。三十四度 就是第一个问，现在叫你求角 d 等于多少少。那我们来观察这两个三角形，一个角平分线是不是在这个三角形的内部？ 还有一个角平分线在三角形的外部，这不就是我们用过的学过的模型叫内外模型吗？ 角 p 等于二分之一的角 a， 也就是说这个角是九十度，那么这个角我们口算就能得到四十五度，用的就是内外模型，所以我们角 d 就是 四十五度。 但是如果你没有看出来，你觉得它跟我们的模型有点不太一样怎么办？好，媛媛再带你正一遍。我们先来回忆一下，如果要正，第一步一定是找等量关系，好，我们把它写在这里啊，第一步一定是找等量关系， 第二步最简单解方程。 那我们现在先来列，你看这两这一个三角形 b、 d、 a， 这个是不是它的外角 r 法， 这个角是不是角 d？ 然后这是三十四度，它们的关系是不是一个三角形的外角等于它两个不相邻的内角之和？所以我们的第一个小问可以列出的方程是，角 d 加上三十四度等于 r 法，用的呢是三角形的外角。再观察第二个，在三角形 a、 b、 o 当中，你发现这是九十度，这呢是六十八度，它俩相加是不是等于二 r 法？ 所以第二个方程我们用的也是三角形的外角九十度加上六十八度等于二 r 法。 这第二个不就是个一元一次方程吗？所以我们其实可以通过计算，先把阿尔法求出来，阿尔法等于七十九度， 阿尔法等于七十九度。我们再带回到第一个问，就可以求出角 d 等于七十九度，减去三十四度，最后答案四十五度。 所以这个题你看媛媛用口诀是不是更快？但是如果我们不会用口诀，那你也要用思路把它做出来， 那现在要是我不把这个度数给你怎么办？好，我们现在来看第二个问，随着 a 点、 b 点运动，脚地的大小会变吗？一般你写一个不会变都能得分。我们再来看一下，为什么不会变？现在我把它全部再叉一遍， 这个角和这个角是角平分线，所以这个角是 r 法，这个角也是 r 法，那这角平分线是没变的，所以这个角是贝塔，这个角是贝塔 角 m、 o、 n 等于九十度。是题干当中直接说过，所以这个角就是九十度，那我们再来列一下方程， 刚才我们是用三角形的外角来列的，那这一次也是用外角来列。你看在三角形 a、 b、 d 当中，角 d 加上 beta 等于 r。 第一个角 d 加上 beta 等于 r 法，用的是三角形的外角。第二个，我们看到 a、 b、 o， 这里，这是二倍它，所以九十度。加上二倍，它 也等于两个 r 法，因为这里是两个 r 法。那你看这就是一个二元一次方程，我们来解方程就好了。我们先把式子一扩大两倍，因为这里是两个，这里是一个， 所以两个角 d 加上两个贝塔等于两个 r 法，我们把它叫做式子三，我们再用式子三减去式子二， 两个贝塔，两个贝塔已经被减掉了，那还剩两个角 d 减去九十度等于阿尔法，它们减掉是零，所以最后角 d 等于四十五度。 不管是前面第一个问给过度数，我们求出来是四十五度，还是我们就用字母也算出来是四十五度，所以四十五度就是我们第二个问两个问的答案。那公主王子，你看圆圆还是用的，先找等量关系， 在列方程，在解方程也能做。如果你能掌握模型，那这两个题是不是一分钟就能搞定？如果不会模型我们自己再增一遍也是 ok 的。 那现在我们来看第三问公主王子，现在呢？我们来到了第三问， 那第三问如果只是考模型，是不是太简单了？所以这道题还有一个知识点，就是分类讨论。在源源分类讨论的时候，我们来思考一下内内模型、内外模型和外外模型，到底这道题用的是哪一个？ 我们来读题，他说已知 b、 a、 o 与 o、 a、 g 的 平分线，与 b、 o、 q 的 平分线 都交于延长线，相交于 e、 f， 所以 读完之后我们就知道这两个角是平分的，但是由于它们都不一定相等，所以我们标不同的 字母，这两个是平分线贝塔，而且这还有两个平分线，这个是伽玛。伽玛好，标完之后，人家问的是在三角形 a、 e、 f 中，那我们看三角形 a、 e、 f、 o 就是 这个三角形， 如果有一个角是另一个角的四倍，问 a、 b、 o 的 度数。我们刚才在标的时候，你发现没，这里有两个阿尔法，这里有两个贝塔，它们在一条直线上， 所以我们马上能想到两个 r 法加上两个 beta 等于一百八十度，那一个 r 法加一个 beta 就 等于九十度，也就是 e、 a、 f 为九十度。 我们来想一想，如果一个角是另外一个角的四倍，有没有角能是九十度的四倍？没有对不对？所以我们的九十度是最大的角，这个咱想好之后再来思考。 这个是最大的角，那我们第一种有没有可能角 e 是 这个九十度的四分之一，所以第一个我们想到的是 四个角 e 等于九十度，那第二种有没有可能角 f 也是这四分之一，所以第二种 四倍的角 f 等于九十度。第三种，我这两个角 e 和角 f， 它俩有没有可能是四倍关系？也有可能，所以 四倍的角 e 等于角 f。 那 最后一种是不是四倍的角 f 就 等于角 e？ 四倍的角 e 等于九十度，那么角 e 就 等于二十二点五度。回来看，角 e 不是 这个角吗？这个角是不是 b o q 的 外角的角平分线， 而我们这个是不是 b a o 内角的平分线？那你告诉我一内一外，这个第三个问我们用的是什么 内外模型，对吗？所以你想明白了，原来第三个问我们用的是内外模型，内外模型就是一半， 所以你就可以得到角 e 是 二十二点五度，角 b 就是 它的两倍， 那么角 b 第一个答案等于四十五度。四十五度合理嘛？它小于九十，因为我们九十是最大的，合理，所以这个是对的，严格意义上应该是 a b o。 好。 第二个， 四个角 f 等于九十度，那我角 f 是 不是等于二十二点五度？哎，媛媛，如果是角 f， 我 觉得好难呀，要是是角 e 就 好了， 能求吗？你看你这个是二十二点五度，这不是九十吗？角一能求吗？是不是三角形内角和为一百八，所以我们角一等于一百八，减去这个九十，减去二十二点五，等于六十七点五度， 角 e 等于六十七点五，角 a、 b、 o 不 就是它的两倍倍吗？因为内外模型，所以我们可以得到角 a、 b、 o 等于一百三十五度。 哎，怎么你这角求出来比我们九十度还大，所以这种情况成立吗？不成立。好，那这个把我们把它排除掉。再来看， 如果四个角 e 等于角 f， 那 也就是说角 e 是 一份，角 f 是 四份，一共是五份。五份这个角是九十度，那这五份就是九十度，所以我们可以得到九十除以五等于十八度， 一份是十八度，对吧？角 e 是 一份， 那么这个 a、 b、 o 是 它的两倍，所以我们可以得到角 a、 b、 o 就 等于三十六度。三十六度合理吗？合理，因为它比九十度小，对吧？最后我们可以求出来，角 f 等于十八度，那角 f 等于十八度，角 e 是 不是就等于九十减十八，所以角 e 就等于七十二度，角 e 等于七十二度，角 a、 b、 o 就是 一百四十四度了。 但是这道题我们最大的是九十度呀，所以这种情况也不成立。那么最后我们成立的是这两个答案，一个是四十五度，一个是三十六度。 做到这里呢，这个题就做完了，除了用了我们的内外模型以外，我们还有分类讨论， 你在做这种题的时候，是不是要多去想，到底哪个角和哪个角有四倍的关系？那最后你把模型吃透了，在考场上我们遇到同类型的题型时，希望你能够稳稳拿分。

七年下第二次月考，我们来看一道竖起综合的题。小明利用一根长三米的杆子在这啊来测量路灯 ab 的 高度，那么他的方法呢？如下图，在路灯前选一点 p， 使得 b、 p 这块是等于三的， 然后并且呢，他测得了 a、 p、 b， 就 这个角度是七十度， 然后呢，他把杆子竖起来放到 c、 d， 然后使得这个 c、 d 等于三，这块是三， 并且使得 c、 p、 d 这个角是二十度，然后此时呢，测得 b、 d 整个这个长的是十一点二，请根据这些数据计算出路灯 ab 的 高。这是全等模型里边的一线三垂直， 为什么呢？来看这块是二十度，这块是七十度，那这个角就应该是九十度角， 这是不是一线三垂直啊？一线三垂直马上就能反应过来，这个三角形 a、 b、 p 跟 p、 d、 c 它是全等关系。好，那么既然全等 a、 b 边就等于 d p 边， 那么 d p 就 等于整个的 b d 减去 p d， 也就是十一点二减三就得出来了。那所以主要这道题是要正全等。好，那我们看怎么正全等。 那么首先我们已经有一组边是对应相等的，然后这个九十度，这块也是九十度，这是一组角了。下面我们可以再找一组角，那么这块是二十度，那么跟他的他的余角是不是就是七十度，那这两个角就是相等的，那我们就可以用角边角， 还可以用角角边，这块是九十度，这块是二十度，那这个角是二十度，用角角边都可以。好，所以第一步先证明全等 好了，我们证完全等了以后，就可以得出来，这个 p、 d 就 等于 ab 了，那 ab 就是 我们要求的边， ab 边就等于 p d 边，那么 p d 边就等于 b d 减去 b， p 就 等于十一点二，减去三就等于八点二。好，所以这道题呢，其实考的还是全等模型，一线三垂直。那么至于我们这学期学的几个全等模型，同学们一定要熟练掌握。

旗下数学角度计算模型啊， a 字形，今天呢我们来讲解一下角度计算的另外一个类型啊， a 字形， 如图，在五边形当中去掉一个三十度的角之后，得到一个六边形，让我们求角一加角二的度数是什么？虽然说题干呢是用五边形考出来的啊，但考点呢是我们的三角形里面的一些模型，那哪个模型呢？ a 字型，什么叫 a 字型啊？顾名思义，它像一个 a， 我 们简单画一下啊， 然后呢这边这条线呢，可以横着也可以斜着啊，那这个模型里面呢，我们把角度标下，这个角一，角二，角三，然后还有这两个角，一个角四，一个角五，对于这个类型呢，我们里面有些结论呢，希望大家呢能够理解透彻，同时呢把它记一下。 那第一个呢，就是对于这个小三角形哎，是内角和一百八，我们可以知道角一加角二加角三是一百八十度， 对吧？那角四和角五呢，是这个三角形的两个外角对不对？这个角四 是这个三角形的外角，与它不相邻的两个内角呢，是角一和角三，所以呢角四是等于角一加角三的，那对外角呢，一定要呃重点理解一下啊，它的证明方法呢，其实也很简单，一个是内角和一百八，另外一个我们看角二加角四是不是也是一百八， 就这么简单啊，一个是零补角，另外一个内角和一百八，那由这两个条件我们看看，角二加上角一，加角三是一百八，角二加上角四也是一百八，所以其实就是角四等于角一加角三， 这就是我们三角形的外角怎么推导出来的啊？外角等于与他不相邻的两个内角和，明白吧？哎，那角五等于什么呢？角五也是一个外角，它等于不相邻的角一加角二， 那到这边之后呢？呃，我们这个 a 字形里面比较有用的一个结论就是这个角四加角五等于什么呢？哎，我们把这四部分加一起，角一，加角三，加角一，加角二，然后呢角一，加角二，加角三这一块呢是个一百八十度，对不对？所以它等于角一加一百八十度， 这就是一个比较有用的结论啊。在这个 a 字形里面，如果我们知道角一，那这个角四加角五，这两个外角加起来呢，就等于一百八十度在加这个角一。 哎，所以呢，我们到这个题目当中呢，就是一个非常典型的模式，是不是在这样一个三角形当中，这个角一角二加起来就等于这个 角 a， 再加个一百八十度，证明过程呢跟这个一模一样啊，大家可以思考一下，那最后结果就应该是三十加一百八等于两百一十度啊。

旗下数学角度计算模型一八字形。今天呢，我们来看一道求角度的题目啊，如图，角 a 六十度，角 b 四十度，角 c 三十度，求角 d， 加角 e 是 多少度？那如何把角 d 加角 e 是 多少度求出来呢？这个我们肯定不是去求角 d 是 多少，角 e 是 多少啊， 啊，因为呢，根据条件，我们肯定是想办法直接把他们的和是多少这个整体求出来的，对不对？那怎么把已知条件这三个角跟角 d、 加角 e 联系起来呢？这个呢，我们需要了解一个非常常见的模型啊，也是我们初一阶段必考的一个类型，叫做八字形， 那什么叫八字形呢？就这个图形，嗯，看起来像我们数学上的一个八啊，那我们随便画一个，哎，比方这样就类似于这是一个八，那我们称为八字形，那这个八字形里面有一些呃，比较常用的结论是什么呢？就是这两个角，我们就角一角二啊， 角一加角二一定等于角三加角四，怎么去证明呢？我们看这个八字形上面有个三角形，下面有一个三角形，对吧？三角形的内角和是一百八十度，上面这三个角加起来一百八，下面这三个角加起来也是一百八，然后这边这两个角呢，是个对顶角，我们知道对顶角相等呀， 对不对？所以呢，角一加角二是不应该等于角三加角四了，这就是八字形里面最常见的一个结论啊。那么回到我们这个题目当中呢，我们会发现呢，角地加角一跟这个八字形呢很类似，对吧？ 那我们看看，哎，在这我们是不是需要做一个辅助线，把它补成一个八字形，看看能不能联系上条件，对不对？这个时候去补的时候呢，就要把 bc 连起来了， 那么我们把这两个角标一下，这是角一，这是角二，哎，这就是一个八字型，对不对？这个角 d 加角 e， 就 应该等于下面这个角一加角二，对吧？ 然后呢，我们就可以通过角一加角二去和题干中的角 a、 角 b、 角 c 去联系了，那这边角 a 六十度，角 b 是 四十度，这个角是三十度，怎么求出角 a、 角二呢？还是根据这个 abc 三角形，你看他的内角和是不是应该等于一百八十度， 那它的三个内角是哪三个呢？是角 a 这一块啊，这是一块，这是一块，对不对？对吧？那这一块正好是角一加上四十，这一块呢是角二加三十，我们写一下呢，直接写这六十度，那这一块加上这角 b， 这个四十度， 然后再加上这个角一啊，这一块呢是两块到三十度，加上这个角二等于一百八十度，哎，我们用这个方程呢，就可以解出角一加角二，这是一百三，哎，五十度，对吧？能算出来了啊？

今天我们来看这道题，我们以此为例来复习一下我们的绊脚模型，绊脚模型运用的方式就是旋转三角形， 我们今天就来再复习一遍。首先我们要根据题目的条件来向辅助线 有角 e、 a、 f 等于四十五度，可以判断这是一个半角模型。然后我们就要去想对应的辅助线是什么， 那我们可以非常轻松的得到，我们应该旋转三角形 a、 b、 e 向上旋转九十度。 稍等我把辅助线画一下，把它旋转到这里， 标这个点为 h， 然后我们可以连接 f h， 这个就是半角模型的标准辅助线。 来解释一下为什么这么做，因为这个角是四十五度，旋转之后得到这个角也是四十五度，加上这里的四十五度，就可以形成一个九十度，可以得到一一个直角三角形 d、 f、 h。 同时因为这两个角加起来是四十五度，分别把他们他们打上叉和圈， 因为旋转过来，所以这个角也跟这个叉是相等的。如果放在这个正方形里面看， 叉和圈加起来是九十度，减去角 e、 a、 f 是 四十五度，所以叉和圈加起来就是四十五度，也就是说角 f、 a、 h 是 四十五度， 那么我们就可以得到角 f a、 h 与 f a、 e 是 相等的，因为前面的旋转有边 a e 和 a h 相等，所以就形成了一个 s a s 的 全等三角形， 分别是角 a、 f、 h 和角三角形 a、 f、 e。 然后我们就可以得到 f h 等于 e、 f， 这是半角模型的基本结论。现在我们带入条件，把这些结论得出来， b e 比 e f 等于四比五，那 b e 就 直接设成四 x， e f 就 直接设成五 x。 我 现在换一种颜色， 那么因为 f h 与 e f 相等，所以 f h 也是五 x。 把三角形 a b e 旋转过去， d h 等于 b e 等于四 x， 所以 角 d f 不 对，是线段， d f 的 长度就可以通过勾股定律求得是三 x。 现在我们就把整条斜边 b d 的 长求出来了，是十二 x。 同时我们也可以用这个式子把我们其中一个 bc 表示出来，是六根号二 x， 我们只需要拿 b d 乘上四十五度的正弦值就可以了。但是我们想要的是 c g， c g 应该用怎么样的含有 x 的 式子来表示呢？我们现在根据其他的条件来联想一下辅助线 e 是 a g 的 中点，我们可以联想到两个， 第一个是中位线，这是比较常用的。第二个是三角形，是直角三角形斜边上中线。 在这道题当中，我们可以选择利用中位线，为什么呢？因为正方形的对角线有互相平分的性质，可以增加一个中点，我们把这个焦点标为 m， 然后 em 的 长度我们就可以知道了。首先我们知道它们的对角线是互相平分的，所以呢， em 的 长度我们就可以用 x 的 式子来表示。 既然对角线互相平分，那么 b m 就 应该要是六 x， 所以呢， em 就 可以是 b m 减去 b e 是 二 x， 这里是 em。 那既然 e 是 a g 的 中点， f 是 a c 的 中点，那么 em 就是 三角形 a c g 的 中位线，这就构造出来了， 所以呢， c g 就 要等于二倍， em 是 四 x。 最后我们只需要拿这个四 x 比去六根号二 x 就 能找到我们想要的答案了， 我们算一下，可以算出来它最后的结果是三分之根号二。 所以呢，我们在解释这题的时候，第一个是要注意根据条件去联想辅助线， 还有一个要注意模型的应用，像绊脚模型，手拉手模型，这些都是非常常考的模型，虽然说大题不一定会考，但是呢，在选填当中有出现的概率。今天的讲解就到这里。

将军驿马一定是我们初一下期末考试当中的绝对拉分神器，尤其将军驿马当中的两定两动模型，可以说百分之九十五以上的孩子都拿到分，他的难点之处呢，有两个，第一个很多同学不会构造辅图线， 第二个难点呢，很多同学不会倒角，求角度关系来，同学们，今天薛老师带你用一道题彻底通透将军驿马当中的两定两动的所有构造方法和技巧。好吧，来，我们先来一起读下题。 题目是这样说的，首先告诉 abc， 这个三角形呢，它是一个等腰直角三角形，那这个角呢，是九十度，这个角呢是四十五度对吧？然后 ab 和 ac 呢，两个边也是相等的。好，接下来告诉 d 和 e 分 别为两个定点哎，它是定点， 它呢也是定点好， m 点和 n 点呢，分别是 a， c 和 bc 上的两个双动点。好，题目最后求的是 这四个点所围成的这个四边形，当它周长有最小的时候。那么最后呢，题目求的是角度关系哈，就是 d n m 这个角， 再加上角 e m n 这个角啊，这两个角度之合应该等于多少？徐老师已经把初中阶段将军一马涉及到的所有必考九大经典模型当中，每个模型辅助线的构造方法技巧以及证明过程，同时再结合往年考试经典题型， 优中选优，奖链结合整理成了将军驿马专题电子版，需要的家长我发给你一份。好来，同学们哎，我们一起来分 析一下这道题哈，那么这道题呢，主要考察了我们将军驿马模型当中的两定两动模型。来，朋友们，我们先来简单回顾一下哈，这个模型的构造方法和技巧，好吧，打开第二图哈，那么这个模型呢，是这样做的，首先 a 点和 b 点呢，是两个定点， m 点和 n 点呢，分别是直线 l 一 和 l 二上的两个动点，那么这个模型呢，最后求的是 这两个动点分别在什么地方啊？我们的 ab 加 am， 再加 m， n 再加 nb， 来这四条边之合呢，正好有最小值。那么来，首先呢，我们先去观察一下哈，这四条边里面谁的长度不会有任何变化哎，我们称之为叫做定长线段， 那很明显，这里面就应该是我们的 a b， 对 吧，因为 a 点和 b 点是我们的定点，所以这个长度呢，它是一个定长，那就很很简单了哈，所以接下来我们只用去求这三条动边之河的最小 a b， 我 们就不用看了， 只用把这三个动边之合的最小值求出来，再去加上我们的定长线段 a b， 那 么这个时候呢，我们四条边之合就一定有我们的最小值，对吧？同学们，好，那么如何去求这三个边之合最小呢？ 方法很简单，通过做轴对称，把这三条边呢转移成这样的，我们叫做首尾顺次连接的折线段之合， 对吧？然后根据两点之间线段最短，找到我们的最小值，来，我们一起来转一下哈，那么 方法就是过定点向定直线做对称点来，定点是 a 点， b 点有两个定点，定直线呢，也有两个 l 一 和 l 二，那么问题的关键就是有两个定点，有两条定直线，那我到底应该是谁关于谁做对称点呢 啊，方法其实很简单啊，口诀就是定点连接谁，我们就关于谁做对称点，来，我们看一下啊，比如说定点 a， 它连接的是 m， m 点呢，在 l 一 上，所以 a 点这个定点应该关于直线 l 一 做好 b 点，这个定点呢，连接的是 n 点， n 点正好在我们的 l 二上，所以呢， b 点应该关于 l 二做对称点，听懂了吗？好，来我们来试一下啊。 那么这个时候呢，我先过 a， 关于 l 一 做对称，这个就是我们的细点。好，再过 b 向我们的 l 二 也做对称。好，这个点呢，是我们的 q 点，对吧？好，做了对称以后呢，我们的边就可以转移了，对吧？我们的 am 转移成了我们的 m p， 这两个相等，好，再来，然后呢，我们的 n、 b 就 转移成了我们的 n、 q， 哎，他和他相等，你看，本来是要求中间这三条线段之和最小，转移之后呢，就变成求他加他 加他，哎，这三条首尾顺次连接的折线段之和最小。那最后一步当 p 点， m 点， n 点， q 点，四点共线，哎，应该正好有我们的最小值，所以最后一步两点之间线段最短，我直接，哎连接我们的 c q， 那 么这个点呢，就是我们的 m 点，这个点呢，就是我们的 n 一 点，对吧？那我们这段路径也就出来了哈。 从 a 点来，先到我们的 m 一 点，好，再从 m 一 点呢到我们的 n 一 点，再从 n 一 点回到我们的 b 点，对吧？好，再从 b 点到 a 点，那么这个四边形的周长就一定是最小的。好，有了这个模型作铺垫之后来这个题就非常简单了。 那么题目说的什么？来我们看一下题目，告诉我们 d 点和 e 点分别是两个定点好， m 点在 a、 c 上动， n 点在 b、 c 上动，他说这个四边形的周长 最小的时候啊，对吧？他求的是角度，我们的 d， n， m 这个角加上我们的角 e， m， n 这两个角之和应该等多少，对吧？来，首先这两个点是动的呀， 我要求这两个角度之合，我先把这两个动点先给它固定下来，对吧？先把最小值点给它确定下来，所以呢，我们用将军一马呢，先把最小值给它找到，哎，过定点向定直线作对成点带， 它是定点，它也是定点好，定直线呢，一个是 a c， 一个是 bc， 对 吧？两个定点，两条定直线，到底应该是谁？关于谁做呢？ 定点连接谁就关于谁做。看 d 连接 n， n 在 bc 上，所以呢？ d 关于 bc 作对称，好， e 点连接 m， m 在 我们的 a、 c 上，所以呢， e 点关于 a， c 作对称，对吧？好，来，我们先把对称点给他，找到第一个 d 关于 bc 作 对称，好，这个是我们的 p 点，那么 e 在 关于 a、 c 做对称，看到没有哎，因为这里面它正好是九十度啊，这个角是九十度，西木告诉我们哈，等腰值嘛。那所以呢，我直接延长 e a 就 可以了，我们来延长 e a 啊，到我们的这个是我们的 q 点啊， q 点，哎，使这两个边相同，对吧？它就是对称点啊。好，那接下来呢？哎，连接这两个点，对吧？两点之间线段 注意的完啊。然后焦点来，这个焦点就是我们的 n 一 点，这个焦点呢，就是我们的 m 一 点，看到没有？ p n， m， q 四点共线，哎，我们去把最小值给它找到了，好，找到以后呢，我们再去找我们的角度，这个时候我们的 d n m 应该就是我们的 这个角， d n m 角一啊，这个角好， e m n e m n 这个角来连起来，它应该就是我们的 小二，哎，最后题目呢，求是角一加角二，这两个角之合应该等于多少？那么来接下来回到题目当中已知条件，去找我们角度的条件，画干题目当中角度的条件就只有一个 abc 是 一个等腰值，那么这个角呢？ 四十五度看到没有，只有这个条件哈，所以呢，我要求这两个角是和一定跟这个四十五度呢是有关系的，那么如何来求呢？对吧？首先来观察角一和角二，他是如何产生的角一是因为 d 和 p 关于 bc 对 称 产生了角一，对吧，那么对称以后，你看这里面正好有一组对称相等的角，这个角跟这个角 是不是相等的？我把这两个角呢都设为 x， 可以 吧？啊，你看，就说 x 加 x 加角一正好等于一百八，所以呢，角一我可以用这两个相等的角给他表示出来，同样，那角二呢，也是因为意义。关于 a c 对 称以后，对吧产生的角二，那同样，哎，对称以后呢，我们也有一组对称相等的角，就是这两个角， 这个为 y， 这个呢也是为 y， 对 吧？哎，然后呢，你看，角二同样可以用一百八减去这两个角，得到我们角二，所以接下来我把角一和角二呢先给它表示出来啊，角一就等于一百八， 减去二倍的 x， 好。 角二呢，等于一百八，减去二倍的 y， 好。 题目最后求的是角一加上角二，你看没有？把它们俩相加三百六， 再减去二倍的 x 再加 y， 对 吧？系数都为二啊，提出来，那么接下来你看，一定会用到我们的舍而不求思想，那什么叫舍而不求思想呢？虽然我们这个 x 和 y 给它表示出来了，但是 x 和 y 我 们不用去求， 我们只用把什么这两个相加的整体求出来就可以了啊。这个设而不求思想，那这两个整体之合应该等于多少呢？大家思考一下，接下来难点就是什么转移角了哈，怎么把这两个角去进行个转移啊，能够把它们的之合求出来，大家看一下，这个角为 x 对顶角，这个角呢，也是为 x， 对 吧？同样的这个角为 y 对 顶角呢，这个角也是为 y， 你 看没有？把这两个角转移之后呢，他们正好给它拼凑到了同一个 三角形当中，三角形内角和等于一百八，那这个角呢，我们就知道等于四十五度，你看没有，所以这两个角是合就出来了。 x 加 y 就等于一百八，减去四十五，等于一百三十五度啊，一百三十五度好看，所以这两个角质合出来了，最后往里面带三百六等于二，乘以一百三十五度，就等于三百六， 减去二百七十度，最后答案应该等于九十度，对吧？哎，这道将军一马的两定两动模型的拓展题你听懂了吗？来关注徐老师数学满分，不迷路！

三角形的综合压轴题一定是初一下期末必考题型，过关率不到百分之十，今天微微老师教你一条作弊线，带你轻松实现考前急救。我们先来看题，等边三角形 a、 b、 c 边长为六， 给出了一个边长为六的等边三角形，它的每一个内角都应该是六十度， d e 垂直 a c， d e 和 a c 这条边是垂直的， a、 d 等于 c、 f 给除了 a、 d 和 c、 f 这两条边相等， 求 e、 g 的 长度，也就是这一条线段有多长。薇薇老师结合往年增提，近年中考增提，整理出了初一下将军引马必考题型，配套十二种模型立体解析以及专项练习评论区回复九九九我发您一份。 我们先来观察一下图形我们要求的这条线段 eg， 它是在 a、 c 这条边上的，是 a、 c 的 一部分。那我们是不是应该找出 eg 和 a、 c 之间的数量关系呢？ 我们应该如何找到它们之间的关系？结合题目当中的有效条件，给出了一组相等的边， a、 d 和 c、 f。 我们知道边相等是证明三角形全等的必要条件，但是很明显， a、 d 所在的三角形和 c、 f 所在的三角形它们不全等，这个时候我们就会想到通过辅助线去构造全等三角形。那么如何构造全等三角形呢？ 图中又出现了六十度的角，当我们遇到边相等加六十度的时候，就会想到去构造新的等边三角形来转移边。那么如何构造新的等边三角形呢？我们可以利用已经知道的这个等边三角形 abc 来构造新的等边三角形， 所以我可以选择过地点去做 bc 边上的平行线， 这个时候就有两直线平行同位角相等，这样我们就把这个等边三角形 abc 里边已经知道的六十度转移到了三角形 a、 d、 k 当中， 这个时候 a、 d、 k 就是 一个新的等边三角形，那么 a、 d 这条边就和 d、 k 这条边相等，我们把 a、 d 边转移到了 d、 k 边。接下来同学们观察一下 d、 k 这条边 和 c、 f 它们之间有什么样的关系呢？很显然，这两条边是既相等又平行的。那么在这一组边中间发现了什么？是不是有一组八字形的全等三角形啊？ 因为两直线平行，这两组内错角都是相等的， 同时还有一组相等的对顶角和一组相等的边，这样我们就构造出了全等三角形三角形 d、 k、 g 全等于三角形 f， c、 g 全等过后，那么 k、 g 这条边就和它的对应边 c、 g 相等，我们把这两条相等的边标记为字母 a。 接下来我们回到这个等边三角形 a、 d、 k 当中，因为 d、 e 是 垂直 ak 的， 根据三线合一， d、 e 就 应该平分 ak， 所以 a e 和 k e 这两条线段也应该是相等的，我们把它标记为 b。 接下来我们来观察我们要求的这条线段， eg 和 a、 c 这条边的数量关系是不是就出来了呀？ 我们不难发现呢， eg 是 等于 a 加 b 的， 而 a、 c 呢，等于二， a 加二 b， 所以 eg 应该是 a、 c 的 一半， 而 a、 c 的 长度呢是六，那么 e、 g 的 长度就应该是三。同学们，这道非常难的等边三角形辅助线问题你学会了吗？关注薇薇老师，学习如此简单！

朋友们大家好啊，我们接着讲第三个位，第三个位是 a、 b、 c， 当中 a、 c， b 是 九十度， a、 c 和 b、 c 相等，这是一个等腰直角三角形啊。然后以 c 为顶点，再做一个等腰直角三角， c 得 e， 那 a、 b、 c 本身是一个等腰值，你再做一个 c 得 e， c 点，是不是公共点？所以它会出现一个呃，隐藏的一个手拉手模型，对吧？好，继续。它说 c 得 e 三点有排列顺序啊，按顺时针排列，那当直线得 e 经过它中点 o 的 时候，连接 b 得连接 a e， a， e 等于二， o 得和 o e 之比，一比二十，直接写出 a、 o、 e 的 面积。那我们看这图啊，好了，我们看一下啊，老师画其中一种情况，他说的是 c 得 e， 按照顺时针方向排列啊这三个字母。然后呢，这是一个等腰直角三角形， a、 b、 c 本身也是个等腰直角三角形，所以我们连接辅助线啊， 两个等腰直，我连接 a、 e， 我 这边连接 b 的是可以得到三角形 a、 c、 e 全等于三角形 b、 c 的 啊，这是手拉手模型能推出的这个呃，全等啊，所以这个 以相当于这条件一样啊。然后第二个呢，如果我延长它的话，那这个地方也是直角，所以还能得到 b 的是垂直 a、 e 的 啊， b 的 和 a、 e 垂直呢，这个比较好证，你看刚才你要能证出全等的话，这个红色角和这个红色角相等，然后它俩对顶角，所以第三组角它跟它就可以证明相等了啊。 这是咱们说这手拉手模型得到的两个结论。那对题说呢，题中说 o 的， 说 o 的 比上 o e 等于一，比上二，对吧？所以我们就设啊，设这个长度呢，是 x o e 就是 二 x， 所以 d e 就 也是 x 啊，是这样的，然后现在它是中点，对吧？它是中点，所以我们想到是啥，说将这个中点夹在平行线之间去构造全等模型， 或者用倍长中线法，所以我过 b 点做 a e 的 平行线，交 e o 延长线于 h， 那 因为我做的平行，所以这个地方是不是直角了啊？它也是直角，然后是啊，看这，然后是因为这个边儿 b 的 和 a e 相等，对吧？那我做这个模型你看一眼啊，老师，画粗一点的这个黄色模型其实是我们构造的，跟刚才题当中给的是一样的，那个叫什么？是不是小八字模型，对吧？全等的，那这里边 a e 和 b h 是 不是可以证明相等？所以它应该也是一个蓝色的边啊， 它也是蓝色的边，那它是蓝色边，它也是蓝色边，所以三角形 h b 的 就应该是一个等腰直角三角形，对吧？哎，是这样的， 那它题中说啊，题中说 o 点是 ab 的 中点，那我们通过全等能证明 o 点， o 点也是 h e 的 中点，对吧？那我能证到这啊， o 点也能证明是 h e 中点，所以数就应该有看 o h 应该也是二 x 啊， o h 也是二 x， 所以 现在题中条件看，这啊的 e 是 一份儿， o 的是一份儿， a o 就 应该是啊，不是 a o h o 就是 两份，对吧？那题中条件我们再看一眼啊，题中条件说 a e 长度是二啊，所以蓝色这个边它是二， 它是二，它也是二，所以三角形 h b 的 的面积就应该是二分之一乘以二，再乘以二，它是二，对吧？然后我们看题中求的啊，题中求的是三角形 a、 o、 e 的 面积，我们标记一下啊，用红色标记一下， a、 o、 e 是 这个三角形的面积，那我们这么全等，它和它是一样的，对不对？所以三角形 a、 o、 e 的 面积就应该等于三角形三角形 hbo 的 面积，然后等于 hbo 来看这了啊， hbo 和这个 h b 的 这是边长，是一比二，对吧？所以 h b o 就 占 h b 的 三分之二，所以是三分之二乘以三角形 h b 的， 那它就应该是三分之四。这是第一种情况啊，我们来看第二种情况。第二种情况图老师给你画好了啊，这个时候呢的和 e 是 在 o 点两侧的，那么这种情况跟刚才做法一样，他答案是四，你会做吗？再见。

你知道吗？三角形的内角和不一定等于一百八十度。在地球上画一个三角形，三个角都能是九十度，加起来二百七十度。 从北极走到赤道，拐个九十度直角，再走再拐，走出了一个三角形，每个角都是直角。 为什么飞机航线是弧线？因为地球是球面，直线，不是最短距离。在平面世界，三角形三个角刚好能拼成一条直线，所以是一百八十度。 但在球面上，三个角拼起来会多出一块，所以大于一百八十度。下次吃橙子试试，把橙子皮切成三角形，摊平，它会裂开，因为球面上的角太大了。数学不是死记硬背，换个世界规则就变了。关注我！

全等三角形的综合考察一定是我们初一期末的绝对拉分神器，很多同学之所以不会构造辅助线，那是因为你知道的模型太少。来，同学们，今天薛老师带你用一个视频，彻底通透全等辅助线当中考平最高的绊脚模型的构造方法和技巧。好吧，来，我们先来一起读下题。 题目是这样说的，他说 a、 b、 c、 d 呢？这个四边形是一个正方形，好，告诉我们两个关键角度，第一个 f、 d、 e 呢，等于四十五度，第二个 f、 e、 d 呢，等于八十三度。最后，题目求的是 b、 f、 e 这个角应该等于多少？ 徐老师已经把全等三角形中所有辅助线的构造特点进行规划总结，再结合考试经典例题，优中选优，整理成了全等经典一百题，刷完直接提升几何思维。需要的家长我发你一份。 好，来，同学们，我们一起来分析下这道题。好，那么这道题呢，主要考察了我们全等辅助线当中一个非常重要的模型，叫做半角模型。来，我们先来简单回顾下 半角模型的构造方法和结论。好吧，来，大家看第二个图哈，它是这样说的，在正方形 a、 b、 c、 d 当中呢，哎，我们有一个动角 e、 a、 f， 它始终呢等于四十五度，哎，我可以说把这个四十五度角呢，绕着 a 点进行一个旋转，对吧？好，形成了两个动点，一个是 e 点，一个是我们的 f 点。哎，这种典型的半角模型，你看有一个大角九十度，哎，夹了一个半角四十五度，对吧？典型的大角夹半角就是我们的半角模型。那半角模型它有什么样的结论呢？我们来证明一下哈，大家看一下，虽然这个角是 动角，它是个定值四十五度，那所以呢，旁边这两个角，我把它设为阿尔法和贝塔，那么这两个角呢，很明显也是动角， 但是呢，这两个动角之合呢， r 加贝塔正好等于四十五度，对吧？九十度减去四十五度嘛，所以这两个角之合呢，始终等于四十五度。那么对于半角模型的核心思想呢，就是如何去拼接把这两个动角呢，拼成一个定值，大家看一下哈，这个时候，那么 r 这个角 正好在 a b， e 这个三角形呢，正好在 a、 d、 f 当中，没问题吧？那么这两个三角形都有一个相同的边， a d 等于 ab， 所以呢，我可以把三角形 a、 d， f 绕着 a 点旋转，九十度，为什么转九十度呢？来，因为这个时候 a d 和 a b 往下转九十度，正好可以重合，没问题吧？所以呢，我就可以把这个三角形呢整体旋转下来，就可以把 beta 和 alpha 拼到一起， 没问题吧？好，这是我们旋转思想，那如何去构造辅助线呢？哎，可以利用我们的截长补短，来，我们试一下啊。哎，我可以把 d f 这个边倾到我们的 e b 上来，大家看一下啊，哎，我可以延长 e b 来延长 e b 至 t， 这个时候呢，使 b t 等于 df， 对吧？好，我们再连接这个时候我们的 a t， 哎，我们就可以得到这个三角形跟这个三角形 a， d， f 和 a b t， 它一定是全等的来， a， d 等于 ab 九十度，九十度， b， t 等于 d f 边角边不就全等了吗？对吧？好，全等以后来这个角为贝塔，那这个角呢？也是为贝塔，你看阿尔法和贝塔，我们就拼到一起了，它们俩之合呢，正好是一个定值四十五度，对吧？所以这个角， 哎，他应该是个定值四十五度。好，来，半角模型第一步，我们先去旋转啊，得到一组旋转型的全等啊，用我们的截长补短去体现的。好。第二个来，我们还有一组对称性的全等，哪俩全等呢？ a t e 和 a f e， 那 么它们俩正好是沿着 a e 对 称全等的，可以证明一下啊，看四十五度，四十五度没问题吧？好， a e 等于 a e 公共边。好，我们的 a t 呢？又等于 af， 所以 边角边不就全等了吗？好，全等以后看，我们的 e f 和 e t 对 应边就是相等的，那你看一下，我把这个边设为 a， 那 这个边也是为 a， 这个边呢？设为 b， 那 这个边就是 a 加 b， 对 吧？那这个边和这个边相等，它也是为 a 加 b 来。所以半角模型的第一个结论就出来了， 中间这个长边等于这两个短边相加，哎，第一个就是 b e 加上我们的 df 等于我们的 e f 啊，这第一个结论。好，第二个结论，那什么中间这个三角形来，它的周长等于什么呢？你看这个长边等于这两个短边相加。好，这个三角形的周长呢？我还需要再加这两个边，你会发现，哎，正好等于这个边， 再加这个边，正好是我们正方形的两个边长之合，对吧？来，所以呢，我们三角形 c e f 的 周长等于二倍的 bc 啊，是我们第一个结论哈。好，第二个结论我们再来看，那么这个时候呢，那么， 哎，我可以过 a 点向我们的 e f 做一个垂线，来做一个垂线，我们把这个垂足点， 那么把这个垂足点呢？哎，我们设为我们的 m 点啊，设为 m 点看，哎，这个点设为我们的 m 点垂足点。 好，这个时候你看，哎，我们有一个高，那就是 am， 那 么 am 这个高呢？一定是等于我们正方形的边长 ab 的 好不好？来第二个节目哈，就是 am 等于 ab， 那 如何去证明呢？它们俩是全等的， 对吧？它们俩全等，那所以面积是相等的。好，这两个底边也是相等的，底边对应的高呢，也自然是相等的，对吧？所以这两高 am 始终等于 ab 等于正方形的边长。好，是第二个结论。好，第三个结论。 来第三个结论。那么就是我们这两个角，角一和角二应该是相等的，就是 a e 是 角， b e m 的 角平分线， 很好证明吧？我证明这两个三角形，它们俩是全等就可以了呀。来， ab 等于 a m， a e 等于 a e。 好， 直角等于直角，我们 h l 斜边等于斜边，直角边等于直角边，是不全等啊。所以第三个结论，角一等于角二来，除了角一等于角二，我们还有一组角分线。好，来，这里角三和角四也是相等的，那同样的 a m 等于 a d， 对吧？好，然后呢，我们的 a f 等于 a f， 哎，直角三角形，斜边等于斜边，直角边等于直角边，对吧？ h l 是 不是全等了？那所以这两个对应角也是相等的，角三 等于角四，所以呢， a e 是 角平面线，我们的 a f 呢，也是角平面线。好吧，这就是我们全等当中的半角模型的所有结论。好，有了这个做铺垫之后来这道题就非常简单了， 看一下哈，他就是个典型的绊脚模型，看 a、 b、 c、 d 是 一个正方形，对吧？好，这个角呢，是四十五度，他告诉你的。好，这个角呢是 f、 e、 d 呢？是我们的八十三度。题目求 b、 f、 e 这个角应该为多少度？来，你看一下哈。首先这两个角都在三角形 d、 f、 e 当中，这两个内角知道，所以呢，这个角就出来了，所以得到角 d、 f、 e 来等于几百八， 减去八十三度，再减去四十五度，对吧？等于多少？五十二度来，这个角等于五十二度，先把它算出来来，根据我们半角模型结论， d、 e 和 d、 f 这两个正好是角平分线，对吧？好，那么这个角跟这个角也是相等的，它也是为五十二度。 那最后求这个角，那就好算了呀，用一百八减去这两个五十二数，剩下的就是我们的 b、 f、 e， 对 吧？所以最后一步想， b、 f、 e 就 等于一百八， 减去五十二度，再乘以二，最后答案等于七十六度，所以再提最后答案哈， b、 f、 e 应该等七十六度。这道绊脚模型的综合考察，你听懂了吗？来关注徐老师，数学满分不迷路！

会做这道题的一定是学霸！大直角三角形中的空白部分是一个正方形，求图四部分的面积。我们先将图四部分标上序号，那我们要求的面积就是一部分加上二部分的面 积。通过观察，我们发现图四部分的三角形高和底我们都不知道，只知道他们的斜边长，该怎么求呢？题目告诉我们，空白部分是一个正方形，因此它的边长就是相等的，我们可以尝试旋转。 我们尝试将二部分的三角形绕 o 点顺时针旋转九十度，红色的边长是相等的，因此它们会重合， b 点会旋转到一点，蓝色的边长会重合，因此 o、 e 的 长度就是三十厘米。通过旋转， 二部分就移动到了三角形 a、 e、 o 的 面积。 由于是二部分让 o 点顺时针旋转九十度得到的三角形 o、 e、 f， 因此角 e、 o、 b 和角 e、 o、 a 都是等于九十度， 所以三角形 a、 e、 o 就是 一个直角三角形。它的底是三十厘米，高是五十厘米，所以它的面积就等于三十乘五十除以二等于七百五十平方厘米，所以图四部分的面积就是七百五十平方厘米。 这道题我们利用边长相等的特点进行旋转，将图色部分进行组合，你学会了吗？想要学习更多更好的学习方法，关注芬芬老师，芬芬老师带你充满分！

好，今天我们来看第五十一题。在三角形 a、 b、 c 中，内角 a、 b、 c 都对边，分别为小 a、 小 b、 小 c， 它说若 m 向量 m 向量等为 a 向量， a， m 向量等于 a， b， n 向量等于 c， b 负的根三倍括号 a， 它是起 m 向量乘 n 向量等于零。咱们知道这个就是 m 向量， n 向量和 m 向量，向量的数量级等于，那么就叫我们求角 a， 那 么这点叫我们要用到向量呢？这样写起来几个结子 极简单，那我们来看这样做呢？因为我们都知道，假设 m 向量等于 x， 一 为一， n 向量等于 x， 二为二， m 向量等于 x， 一 为一， n 向量等于 x 二两项量，我们以前学过两项量的 数量级等于对应坐标相乘再相加，就是 x 一 乘 x 二对应到横坐标跟横坐标对应相乘， 纵坐标跟纵坐标对应相乘再相加，因为它们的数量级为零，数量级为零，那么就等于零。那我们这点带进去就可以取了，你看它是因为 m 向量等于多少呢？ a 边 b 边 n 向量是等于 c， b 负根三倍 cos a， 它叫我们求的是向量积等于，那么我们就用公式的 m 向量与 n 向量的向量积点等于左边向量求 a 乘以 c， b 加上 b 乘以负，根三被可乘以 a 等于好，那么我们就得去化解，才能求 a 那 个，那么所以就有所以 a 被乘以 b 减去根三， b 和 c， a 等于好，那么这步到这步嘎，那么我们是用圆弦定力还是正弦定力？那么以后遇着这种就 a， b 没有虚极的平方，而且 a 对 呢是 b， b 对 呢是 a， 那 么我们以后遇着这种题，就用正弦定力就行了嘎。因为 a b， c a 等于 b b， c， b 等于二 r， 就 不用写 c 了，因为这点没涉及到，所以 a 等于二 r， c， a， b 等于二 r c， b。 好， 我们带进去换一下，你说 换掉的话，就可以换成二二 c， a 乘以 c， b 减去根三乘以二二 c b， c b c b ok， c， b 还乘一个 q， c， a 等于，那我们来观察了，能不能画一个二二二二是可以出了， c， b， c， b 可以 消的，但是你们要注意这个，因为 c、 b 是 不会为零的。 为什么呢？ b 在 零到一百八十度之间是不会出现零的，大零小于小于排斥的时候，它是不会出现零的， 会出现的，所以两边同时除以 r 和 c b， c， e， 那 么就是 c 减去根三倍 cos a， b， 那 么以下就是 c a 根三百 c 啊。这里要强调下， c 乘 a， e 不 会为零，为什么呢？如果 c 乘 a， e 为零，右边为零，左边左边左边不可能 c， a， e 要等零，只有零度才会为零，所以 a e 乘 a， e 不 会为零啊。 若 cos 九十度等于零的话，它右边右边乘以九十度也不会零，所以 cos 也不会出现零它，所以它两边同时除以 cos， a 就 乘零点， a 等于根三。 因为角 a 大 于等于多少看，大于零小于二分之八， 所以才两台多少度啊。带小于 pi 就 得行根量下来，所以 a 就 只能等于它两台六十度的根三角三分之 pi 好 一个问就是等于三十 pi 好， 来看第二个问， 第二个问，它解一个要写个解字，你看看我们知道的人啊，是 a 等于十角， a 是 题目中可以求出来的角 a 等于三分之一， 那么它像这道题，那么我们就来看看它教我们求的是三角三角形 a、 b、 c 的 面积的最大值， 那么以后遇着这种求面积的最大者，第一要用到的面积公式，第二要用到余弦这里，第三要用到基本不等式，三个三个，那么这是基本思路了，那么他叫我们求求的是面积，那么所以我们就先把 s 三角形 a， b， c 当 面积公式先算一下，就等于二分之一，那么具体怎样选呢？我们来看看。只要知道角 a， 就 选角 a 的 那个公式，二分之一 b， c， c， 哎，就选这个公式来，我们来乘进去分析一下，也就等于二分之一 b， c 除以三分之二，也就等于啊，除以三分之二分之根三，也就等于四分之根三啊。好了，看四分之根三， b， c 还有个 b、 c， 那 么四分之根三它叫我们求面积的最大值，求实就是求 b 乘以 c， d 最大，求这个整体，再呢乘起来就是最大了呢， 要么就把这个整体算出来，求出它的最大值，那么就是面积的最大值，因为四分之根三是不会变的了。好了，那我们的方向求 b， c， 要么求整体，要么分开。巧，那么就来看要用的余弦的，你看怎样用呢？因为知哪个知道 a 边就用 a 方角 a 啊，你看， 因为 a 方等于 b 方加 c 方减去二 b， c 可得 a， 还有只有 a 等于十了，我再写一下，把 a 等于三百分的上面写了，所以代进去十的平方一百就等于 b 方加 c 方减二 b， c 可得 a 就 可得 a。 给 cosine 六十度的一二分之一，那我们化解下，就等于等于 b 方加 c 方减二 b、 c 二和余量就是 b、 c。 那 到这一步，我们就要构造基本步骤的，是那个这样构造呢？我们都知道 b 方加 c 方式大于等于二 bc 基本不等式的人的重要不等式，但是左边要保证不等式两边一致，那么左边减了个 bc， 右边也要减个 bc 嘎减 bc， 才能保证不等式两边同时加上或减去同一个数不等式方向不发生改变。 所以因为一百是等于这一串的，所以我们就把这一串换成一百，就是一百大于等于二 b， c 减 b， c 就是 b c， 所以 b 乘以 c 小 于等于一百，那其实方向就明确了。那么它它们两个乘起小于等于一百，意思就最大等于一百，但什么时候取得最大呢？当 其简单，这是违心啊，当其简单就是违心。 b 等于 c， 那 么 b 乘 c 要等于最大等于一百，那当其简单， b 等于就等于十十取， 取到等号，那取到等号，所以就得到 b 乘以 c 的 最大值，可以取到一百。 所以你看 s 三角形 a、 b、 c 的 面积就出来了，求它的面积的最大值，其实就求四分之根三乘以 b、 c 的 最大值就是一百，你看嘛，就出来了，你就等于一百和除以到二十五 二十五倍根三。好，那么所以三角形 a、 b、 c 面积的最大值为二十五倍根三，那么就提完了。

我们今天来看一道错误率非常高的题目，这道题非常多的学霸也会做错，我们来看下题，说右图是由边长分别为三厘米和五厘米的正方形组成的 三角形 abc 中与底 ab 对 应的高是多少厘米？好，这一题难，难哪里呢？学生刚接触三角形，在做高的时候容易犯错。 高有两个特点，第一个，他是一条垂线，也就是我这条线和底的夹角必须必须是九十度，这是第一点。第二点，我高的另一端有这个位置，必须过对边的顶点， 如果不过顶点，他不叫做高。这两点是三角形高必须要注意的。那许多孩子为什么出错呢？是因为我们前面学到做平行四边形和梯形的高，那平行四边形，因为这两条是平行线， 你在任何一个位置做垂线，他都是他的高，他有无数条梯形的上底和下底也是 一对一组平行线。注意啊，短的叫做上底，长的叫做下底，与他位置无关，那他们中间也有无数条高，所以学生觉得高是任意去做。但是对于三角形来说，他的高有写，仅有三条，那这个高的位置就很有讲究了。 看，我们这里写的非常关键的两个字叫做顶点，一定要记住。我们来看这个图形，他说小三角形的边长是五， 以 ab 为底，我们就知道 ab 这一段他也等于三。那我这里是底的话，我要去做高，我要去找他对面的顶点，那他的顶点就是 c， 我 要从 c 引垂线去 ab， 你 看我 c 这里如果画垂线过去， 同学就这样一笔画过去了，你看这里，哎，是多少我不知道，那这样画是不对的，我们要怎么画呢？我们必须把 a、 b 去延长，然后画出的垂线正好是这一段。这一段是多少呢？ 我们就要用到几何中的一个关键方法叫做平移了。我把这一段移到这里，他和这里是相等的关系， 既然相等，这个图形又是正方形，我可以得出来他就等于三，所以这个题选 c。 那 这个题难，难什么地方？钝角三角形，你怎么去做？它的高？它的高是在图形之外的，而不是在图形的内部， 与我们刚开始接触教科书上的在内部是不一样的，你要知道他在外部这第一点，第二点。作为期末考试，也非常喜欢考这种，常考易错题，所以孩子一定要知道怎么去走高。这个题你会了吗？