广西八下数学试卷，一次函数B卷

八下数学最难的一次函数必考！二十二题全部吃透，考试稳进前三！八下数学依次函数综合题二十二道第一题答案第二题答案 第三题第四题完整版分享！

一次函数的应用题，是我们八下期末必考的应用题，今天我们来学习它其中内容费用最低的问题， 下面来看一下这个题目啊，这是我们珠海去年的期末考试题，那他说去年有个热播电视剧长安的荔枝啊，你看这个东西就每年都会出现一些与热点的内容相结合的题目啊，这个这题出的挺好的啊，这个珠海， 那么现在看一下，他现在要运荔枝啊，运这个荔枝，现在呢有两种的方式，一种是走水路，一种呢是路路， 那走水路的时候呢，有百分之三的损耗，走路路的时候呢，有百分之五的损耗来，他现在说如果要用五艘船，十辆马车来运输这两百筐的荔枝，中间不改不改变这个运输方式，最终的损耗是八，呃，八筐， 我们看第一问啊，他说问每艘大船是多少筐啊？每辆马车可以运多少筐。那看到这个问题呢，那就是问什么就设什么就可以了啊， x 筐， y 筐啊，我们要设未知数啊，设， 那接下来呢，我们就列方程啊，那有两个未知数就要列什么样呢？两个方程啊，我们要找到两种关系，这种关系呢就是要总共要运两百筐啊，五辆的这个五艘船，那就是五 x， 加上十辆车，十 y， 最终等于两百筐。 第二个呢就是它的损耗，总共损耗了八筐哎，那这个水路呢，损耗百分之三，那就在这个基础上乘以百分之三。 那露露呢，损耗百分之五，那就在这个的框数基础上乘以百分之五，最终刚好等于八框。损耗。好，方程列出来，了解得 最终减出来 x 和 y 分 别等于多少呢？你像这种啊，非常大的时候，我们在运算的时候，我们可以有点小技巧，我们可以怎么样啊？两边同时乘以一百，把它改变一下，里面乘以一百啊，那就是这里剩三三五就是十五， x 加上啊，五乘十就是五十，等于多少呢？等于八百对不对？ 然后我们再同时呃约小一点，同时除以多少乘以五，呃，大家去算一下对吧？ 应该是一百六，对不对？好，那接下来你看这个和这个就可以直接相减相加，对吧？所以这地方我们就过程就不再详细讲啊，最终啊， x 等于二十， y 呢？是等于十的啊，等于十的。 好，那接下来呢，我们来看一下啊，打这个自己去打啊，那就说我们每辆大，每艘大船呢，能够运二十筐，每辆马车呢可以运十筐啊，这我们的第一问，那第二问就是我们今天重点了啊， 他说水路运输啊，每艘大船需要一千两百文，山路运输呢，每辆马车的费用是八百文，为了控制成本， 总的运输费用不能超过一万四。看到这个不能超过，要注意啊，我们给他标注一下啊，不能超过的意思怎么样啊？就是小于等于的意思，小于等于一万四千文，而且大船的数量不超过，你看又有不超过了，这又是一个不等关系啊，就小于等于 吸收啊，那么恰好运完了这两百筐的荔枝啊，而且不考虑损耗的情况下，该如何安排大船和马车的数量才能使得这个费用最低。 那这个时候呢，我们一定要有函数的思维啊，既然有函数，我们就要去，怎么样呢？就要去列关系式了啊，然后列了关系式，要探讨最值的话，那也求范围呀，所以第一步我们先去啊，设未知数啊，列关系式，那设谁呢？既然安排大车大船和马车的数量，我们肯定要设未知数啊， 那么可以设大船，大船是多少呢？因为前面用了 x y 啊，我们用 m 啊，然后这个马车呢？ 马车这个地方要注意啊，因为他这个题稍微的哎，难度增加了一点，他不像以前啊，说这两个相加总共有多少多少收，对吧？多少量，他没有这样子，他什么都没给，只是给了一个， 给了一个怎么样呢？恰好是两百筐，给了一个总的筐数，所以这个地方我们必须得通过这个筐数要再去表示我们马车的数量。这马车数量怎么表达呢？就是我总共两百筐， 我马这个大船呢，有 m 艘，它运了多少筐呢？我们知道大船一艘是二十筐嘛，所以它运了二十 m 筐一剪呢，剩下的就是马车的这个运的筐数，那再用这个总的马车的筐数除以它每一车能运的 啊，运的是多少呢？是十筐。那这个时候呢，我们就可以表示出马车的数量了，我们可以化简一下，它得多少呢？就是二十，减去二 m 啊，我们可以要打上这个小框，哎，这个是量对吧？ 那个是收，那还有一个呢，就是费用啊，说他的费用为多少元呢？费用为 w 元，一般是这样啊，收尾数我们就收完了啊，这个地方相对于他增加的一个难点，我们要注意一下啊， 那接下来呢，我们叫列关系式， w 等于什么样呢？费用分成了两个部分啊，大船的费用和马车的费用。呃，每收呢是一千二，那就是一千二百 m， 这个马车呢，每每一辆是八百八百乘以二十减去二 m。 那 么接下来化简一下啊， 一千二啊，我们这里减去一千六，对不对？负的四百啊，四百 m， 再加上一个一万六 啊，一万六。好，这个关系式出来之后呢，我们探讨他的最大值或者最小值得求范围范围在哪里呢？就是刚刚我们标出来的这两个啊， 那接下来求范围范围的话，有两个，一个是他的费用，费用实际上就是这个啊，负的四百 m 加上一千啊，一万六，要小于等于一万四。还有一个呢，这个大船的数量，大船就是我们的 m 啊， m 要小于等于七。 好，那接下来呢，我们就把这边擦一下啊， 那接下来我们就解得把这个解出来， 解得我们的 m 呢应该在哪里呢？是大于等于五，小于等于七的。好，有了不等关系，接下来我们就要通过函数的性质来求对值啊。接下来我们要这是一个固定的模板，因为怎么样呢？先说一下这个前面的系数， 负的四百是小于零的，所以当我们的 m 等于多少呢？那么要知道啊，在这个一算数里面，我们这个系数小于零的时候，那这个 w， 也就是我们的 y 会随 x 的 增大而减小，对吧？那在这个里面就相当于说是 w 随着 m 的 增大而减小， 你想啊，增大而减小，我 m 取多少的时候他会最小呢？肯定是取的是最大的那个，对吧？在这个范围内最大的那一个，那么就肯定取是七啊，当 m 等于七的时候，这个 w 啊，有怎么样呢？有最大值 啊，最大值，那既然要求最低费用是多少，我们就得为多少呢？那么就需要把这个 m 等于七啊，带到我们这个表达式里面去，那这个求出来的就是负的四百乘以七，哎，再加上我们的一万六，最终是一万三千两百。 好，那接下来我们就要打，对吧？他说怎么运输啊？啊，怎么安排啊？就是当这个大船有多少收嘞啊？为七收 啊，为七收，那我们的马车有多少呢？多少辆啊？相当于是二十，减去二乘七啊，就是六辆，对不对？有六辆是费用呢？最低啊，有最低费用， 有最低的费用，费用多少呢？一万三千二百文啊，这里是文， ok， 所以 这里的话我们要，哎有怎么样呢？依次函数的这种探讨的意识啊，要知道是怎么探讨的，大家反复看一下这个过程和解析的一个思路。

初中阶段一共有三大函数，一次函数，二次函数，反比例函数，而其中我们最早接触的就是一次函数，可以说，一次函数学的好不好，会直接影响另外两个函数的学习，最后直接影响中考分数。 所以啊，一次函数我们一定要学的扎实，明白，那孩子们刚开始接触一次函数的时候呢，碰到的第一个坑就是这种平移的题目了。 很多时候呢，孩子一看到题目里面啊，说图像去进行平移，然后就开始吭哧吭哧的画图了。但是这种题啊，恰不是用画图的方法做的，而是用一个方法大招，哎，今天我会把这个大招教给你，并且带着你把这道题给他搞定。 学完这道题之后，再把林老师给你整理的依次函数的八大题型拿去练习巩固一下。平时做题没有思路，你只要对着老师给你的解析，一步一步按步就把它练习，考试能多拿二十分。好，那我们来看题， 将 y 等于三， x 减二的图像向左平移五个单位，再向下平移三个单位，然后求平移之后的图像解析式是多少。 那这种题呢，千万不要去画图解决，因为我们有方法大招啊，叫做左加右减自变量，上加下减常数项，老师来教你怎么操作。咱们呢，先把这个原式给他写下来， y 等于三， x 减二， 好来第一个左加右减自变量啊，那他这里是左五对不对啊？所以呢，我们要进行一个左五的变形，我们呢，就对自变量向左进行加五 啊，那就是 y 等于三，自变量是谁？自变量就是这个 x， 所以呢，我们给它括个号啊，变成 x 加五，其他照抄啊，其他照抄。这样子呢，我们的左五就变形完毕了， 接下来再来变这个向下移三。哎，那么这个口诀的后半句，上加下减长竖项，我们呢长竖项就是这个，后面这个减二，所以呢，我们只要给它变成一个啊，下三啊，那就是 y 等于三， 其他不变啊， x 加五，然后呢，减二的基础上，我们再来减个三啊，那最后把这个答案给它化简一下就出来了，我们来化简一下啊， 三， x 加上十五，然后呢再减二减三，也就是减五，那加十五减五，最后就变成了加十啊，这个也就从最后的答案 y 等于三， x 加十。好，你学会了吗？

e 三数中考重点题咱们也来看，给出了 e 三数， y 等于 ax 减 a 加一，这里边有 a， 这里边有 a， 那 咱这咱们都知道，给你点了以后，在这个图像上，所以说赶紧想到两个字，咱们是不是涉及到反代啊，对不对？那解题过程咱们也来看一下的解。第一个 把咱们说的这个负的二分之一都是三，带入到这个 y 等于 ax 减去 a 倍的加一中，得到 咱们的负的二分之一， a 减去 a 再加一的话，是不等于三呢，对吧？所以说咱们通过这个解得的话， a 的 话等于负的三分之四。第一问完事，那对于第二问，给出了一个当 x 大 于等于一，小于等于二 来第二问，咱们来看一下，这是两问啊，所以说不能用第一问的啊，因为现在 a 不 等于零，所以说咱们是不是应该分类讨论呢？第一种情况， a 大 于零时，那一定要写成一句话， y 随 x 的 增大而增大， 那此时的话，当 x 等于二十， y 有 什么值啊？ y 有 最大值啊，对吧？最大值，因为为啥会有这种情况？那咱们画一个解析式呗，对不对？ a 大 零是在他的话，那随着增大增大，那最大值肯定是二呗，因为二是不在最最右右边的，对不对？那他图像大概咱们画的过程中，他可能是啊，他可能是这个 a 大 于零，可能是这种情况，那现在一个是负一在这，一个是二在这，那你发现哪个大呀？肯定是咱们说的这个二要大呀，对不对？越往右去越大嘛，对吧？所以说此时的话，那就是当二的最大值，则 二等于一个二， a 减 a 加一的 a 的 话等于一个一的值，这是第一种情况。第二种情况， a 小 于零时，正好的相反呢？ y 所以 增大而 减小，一定要记住，不是减小而减小啊，那就是此时当 a 等于多少啊？负一时， y 有 最什么值啊？ y 有 最大值， y 有 最大值多少啊？你往里边带呗，对吧？那此时的话，同样也是咱们说的这个 二等于一个二，这个该多少啊？等于一的吗？对不对？所以说这样应该等于一个负的 二分之一。那综上咱们 a 有 几种情况来表示了两个种情况啊，对吧？ a 等于一个负的二分之一，或者是咱们说的 a 等于一个一。

一次函数的共乘问题是我们每年期末几乎是必考的题型啊，是必考的一个压轴题，他要求呢，我们对正比例和一次函数的图像要非常的熟练，还要求我们能够清晰的探讨他们这样的关系，特别像这种题目，他给你一个双重 buff， 给你叠加 buff 啊， 那又怎么样呢啊？原本定义当中 y 点 k 加 b， 那 我给你个解释，也有 k 也有 b， 那 这 k 和 b 之间到底是什么关系啊？很多同学就搞不清楚，那今天的话，我们一步一步给大家讲清楚，那在讲之前的话，我们现在回顾一下这个正比例和一次函数的图像， 那总的来说，我们正比例和一次函数呢？总共有六种图像，正比例呢有两个，一次函数呢有四个， 那这里呢？影响他们这个图像不一样的一个因素在哪里呢？就是两个字母，一个是 k， 一个是 b。 我 们先来看一下 k， k 无论是在正比例还是在异次函数，他们影响的东西都是一样的，就是趋势。 什么叫趋势呢？就这么从左往右来看，像这种呢就是上坡啊，上坡，像这种呢就是下坡，下坡，下坡。那这个呢，就 k 来解决啊， k 来决定。那上坡的时候呢， k 统一都是大于零的啊， k 都是大于零的， 下坡的时候呢， k 都是小于零的，这只 k 都是小于零的。好，那这个 b 这个字母决定的是什么东西呢？这个决定的是与 y 轴的交点位置 啊，交点位置，那如果说我这个图像与 y 轴交在这个地方，这是 y 的 正半轴，那你比如说这个也交在正半轴，那 b 也是大于零的， 那像这种呢，它交在这个地方是 y 的 负半轴，那就是 b 小 于零啊，这个呢，也是交在 y 的 负半轴， b 也是小于零的，那你看啊， k 和 b 共同就影响到了我们的六个图形。 哎，那你说，哎，我知道你的 b 去哪里了，那也就说它经过原点，相当于歪着胶带的这个零这个地方，说明此时 b 是 等于零的，所以我们的正比例里面没有这个 b 字母啊，所以我们要弄清楚啊，这两个图形， k 和 b 是 怎么影响的？好，接下来我们回到这个题啊， 来看一看。那要解决这个问题呢，首先我们要弄清楚 k 啊，我们这里我特意用红色来标出来的啊，我们定义当中的 k 是 决定了它的趋势的，定义当中红色的这个 b 决定了它是与 y 轴的交点位置的， 那他现在给出来的这个黑色的 k 呢？哎，也是我们这个 x 前面的，所以这里的红色 k 和这个黑色的 k 是 一样的道理 是等同的啊。但是呢，后面我这个红色的 b 在 这个地方表达式里面对应的应该是负 b， 比如说这个表达式里面，负 b 这个整体决定的与 y 轴的交点位置 啊，好，来到这里，正比例呢，也是这样，我红色的这个 k 啊，就是我们定义当中的 k， 它决定的是趋势，那在这个表达式里面，它等同于负的 k 分 之 b 这个整体，那这个整体决定的趋势好弄明白的这个东西呢，接下来我们要采取两步， 我们就用假设法，哎，我们从 a 答案开始，那假设其中一条，那是正确的，我们可以得到 k 和 b 的 一个取的范围。然后第二步呢，我们就把它带入到另一个函数里面，去验证它是否是正确的。那比如说，我们看从 a 答案出发，我就假设依次函数啊， y 等于 k， x 减去 b， 它是正确的。我们从它的图像上来阅读一下啊。你看，首先看趋势，它是上坡的，说明我这里的 k 是 大于零的。 然后其次看到与 y 轴的交点，哎，很明显交在负半轴。我们说了这里的影响与 y 轴的交点是我们的负 b 啊，所以此时应该是负 b 小 于零， 那么 b 呢？就是怎么样啊？就是大于零的。好，我们知道了 k 大 于零， b 也大于零，那么就验证一下此时我的这个正比例，它的图像对不对？ 那你看啊，啊，我 k 大 于零， b 大 于零，说明 k b 同号，同号为正，再添加一个负号，说明我这个整体是怎么样呢？是小于零的。那小于零的话，那个趋势应该是怎么样？下坡， 那你很明显啊，这个证明就是上坡的，所以怎么样啊？不符合，不能共存，那就是去掉。我们再看一个 b 答案，我们依然假设这个 依次函数，它是正确的。那首先看趋势，从左往右是下坡，说明 k 是 怎么样呢？小于零的交点在正半轴，我们交点是由负 b 决定的，负 b 大 于零，反过来 b 就 怎么样呢？小于零。 好，那么现在来验证这个正比例啊， y 等于负的 k 分 之 b x， 那 你看 k 小 于零啊， k 小 于零， b 也小于零，同号哎，同号为正，再加上一个符号就是负啦，小于零，小于零的话，它应该是下坡，结果它还是上坡，还是不行， 我们再看 c 答案， c 答案呢？我们假设一次函数正确， y 等于 k， x 减 b， 首先看趋势，下坡 k 是 小于零的，看焦点， 焦点负 b 是 怎么样呢？就在正半轴大于零，那 b 就 怎么样呢？小于零。好，那这个时候我们来验证一下这个一次函数啊， y 等于多少呢？负的 k 分 之 b x。 那现在我们知道 b 小 于零， k 也小于零，也就说 k b 同号，同号为正，加上一个负号，整体是小于零的。小于零就意味着我这个正比例啊，应该是下坡的趋势，哎，好，哎，很明显啊，这就是下坡的，你看就符合要求啦， 符合要求说明它是什么呢？能够共存，能够共存，那就正确了。所以这个题选择啊， c 答案，大家自己去验证一下。

八年级家长看过来，孩子学函数是不是总卡壳？上课听懂了做题就错，错题没解析根本不会改，家长想辅导却一头雾水。别愁，这款二十六年教研沉淀的八年级下册数学人教函数专项试卷来了！ 五十三页，全是函数，即表示与图像，核心考点每道题都配详细解析，孩子自己就能搞懂。有电子版，不懂下单找客服，也有打印好直接邮寄的版本。左下方小黄车赶紧拍，部分地区不包邮，早用早提，分别让函数成为孩子的绊脚石。

依次函数的应用题，是我们八下期末必考的应用题啊，今天我们来讲利润最大问题，哎，这一道题也是之前的一个期末考试真题，你看，他也是结合了当年的一个热点啊，冰墩墩，雪融融。哎，上一个我们讲的是 另外一个热点啊，荔枝，那今年大家也要关注一下，今年我们有没有后续有没有一些热点的新闻啊，也有可能结合来考，然后看一下啊，这道题， 他说啊，在三月呢，购进一批冰墩墩，雪绒绒，已知呢，一个冰墩墩啊，进价比一个雪绒绒要多七十块钱啊，这是一个关系。然后购买八个冰墩墩和十五个雪绒绒，金额一样啊，这是一个等量关系。那下面看第一问啊，第一问， 选啊，第一问，他说求冰墩墩和雪融融两种玩具的进价分别是多少？按道理来讲呢，我们可以算 x， y 也是可以的，但这个地方呢，我们实际上用一元方程会更简单，因为他题目当中明确了这个啊，冰墩墩、雪融融之间是有关系的。而且呢，你看啊，这里 说冰墩墩进价比这个什么样啊？雪绒绒多七十块钱，那我们可以选择设其中一个为未知数，而且通常我们设的是后面那个量为 x， 比如这里面我们设的是雪绒绒为 x， 那 这时候我们的冰墩墩呢，就是 x 加上七十。 好，这里是未知数啊，接下来我们就列方程啊，未知数呢，只有一个，我们只需要一个方程就可以解决了，所以这里有一个关系式可以列方程啊，八个冰墩墩，八个冰墩墩，就是八乘以多少呢？ x 加上七十等于十五个，雪绒绒就十五 x， 那这个呢，很好解决啊， x 就 等于八十啊，这是我们的雪绒绒的啊，八十，那所以呢，这个八十加上七十呢，等于一百五啊，这是我们什么样呢？这是我们冰墩墩的钱，对吧？一百五十 啊，答，我们要答啊，冰墩墩一百五十块啊，雪绒绒八十块啊。第二问，我们的最大利润啊，来了， 那依然是啊，我们第一步设未知数，列关系式啊，列不等式，求范围，我们现在设未知数，他说两者完全共四十只，哎，这比上一个题呢，哎，就上上题要简单一些啊，我们就可以设其中一个啊，我们可以设冰墩墩 m o， 许蓉蓉呢，四十减去 m o， 依然要设未知数啊 啊，四十减 m 个，然后还要还要特别要设一个。什么样呢？设它的利润啊，利润，设它的利润为 w 元啊，设利润为 w 元。好，接下来我们就先列这个关系式， 这个总的利润应该等于怎么样呢？两个部分啊，冰墩墩的钱，雪绒绒的钱。冰墩墩，他的进价是多少呢？哎，是一百五，卖多少钱呢？卖两百块，所以他一个的利润就是两百元，一百五就是五十块钱，有 m 个五十 m， 再加上呢雪绒绒，哎，卖呢一百块，进呢八十块，每一个就是二十块钱的利润，四十减去 m， 最终化简一下啊，化简一下应该是三十 m 加上八百，哎，不等这个关系式呢，我们就列出来了啊，接下来我们去找不等式，求 啊，范围不等式哪里呢？你看这里有不超过这个字样？没有哎，不超过就是小于等于的意思，但是够进这个，那就是进价喽啊，总共不能超过三千五， 那么看啊，冰墩墩进价是一百五，那是一百五十， m 加上，哎，雪绒八十块钱的进价有四十，减去 m 个，最终要小于等于三千五，那最终 m 算出来应该是怎么样子的呢？ 小于等于七分之三十，好，有了关系式，有了范围，接下来我们就要通过函数的性质求对值，那么因为 m 什么样呢？ 呃，这个地方啊，因为我们的三十是怎么样呢？大于零的，而且 m 为什么啊？为整数啊，为整数。 那所以呢，我这个当怎么样呢？当 m 等于多少的时候啊，我这个 w 会有最大值啊，它有最大利润嘛，对吧？那么要知道，当这个前面这个系数啊，我们 y 等于 x 加 b 里面啊， 我这个系数大于零的时候， y 随 x 增大而增大吗？那在这个题里面，就是 w 会随会随着 m 的 增大而增大，所以 m 越大，我的利润越大，那所以在这个范围内，我要取到的 m 应该是这个范围内的最大值， 那么呢，先估一下，七分之三十应该是多少呢？应该是四点几，对吧？四点几的话，在这个范围内的最大值应该是谁呢？是四啊，所以当 m 等于四的时候呢，我这个 w 就 什么样呢？有最大值啦 啊，有最大值，那最大值的话，他并没有让我们求这个最大率是多少，所以在这里就可以结束了啊，所以打打这时候我们的 m 是 谁呢？ m 是 冰墩墩啊，等于四个，那雪绒绒呢，一减就到了三十六个的时候 啊，那我们的这个利润就会最大，哎，所以依然是这个格式啊，就先列关系式啊，求范围，然后通过函数的性质来探讨最值。

这种一次函数和几何综合的大题，一定会在我们八下期末出一道压轴题，那这种题目他解析的方法非常固定，今天啊，依依老师就教大家三步法，轻松搞定这类题目的答案。 那有关于一次函数的综合大题啊，我们常见一共有十大类题型，老师都给大家总结出来了，而且每一类题型它的方法都非常固定， 所以我们现在学题不应该是单单的刷题了，而是应该养成题目题型化的思维，逐个突破，你后面在考试当中遇见这类题目，才能举一反三好不好？下面咱们就来一起看看这道题。 说已知函数，它的图像与 y 轴交于 a 点，这是 y 等于 x 加一啊，那 a 点不就是零一了，对不对？这就是零负一了。好了，依次函数 y 等于 k， x 加 b 过点， b 零负一，哦，这是零负一呗。标图 与 x 轴以及 y 等于 x 加一的图像哦，交于 c 和 d 两点。好了，现在说 d 点的坐标告诉你了，是 e， n， 让你求 n 的 值 来看地点，地点是两个函数图像的焦点。第一个问很简单，由于它既在 y 等于 x 加一上，又在 y 等于 k， x 加 b 上，所以我直接把它带入这个已知的解析式去求 n 就 行了。 所以带进去咱们就有 n 等于一加一也就等于二，所以地点的坐标就是一二了，对不对？哎，第一个问白给分的，咱们就求出来了， 求出来之后呢，咱们去看第二个问，让你求 y 等于 k， x 加 b 的 解析式。由于我们想求这个解析式，得知道两点的坐标，咱在这已知了一个地点，在这已知了一个 b 点，所以直接代入，我们就可以求第二个的函数解析式了， 求出 y 等于三， x 减一就是这个函数的解析式了。接下来我们来看第三个问，也是我这个视频要主要讲解的求四边形 a、 o、 c、 d 的 面积。这个四边形是个不规则的四边形，那该怎么求呢？ 所以在这我们要借助一个方法，叫做割补的方法。哎，咱们要把它分成两部分去求面积，那怎么分呢？你会发现啊，在这这一段已知是一对吧？这一段我能求出来，因为它就是这个函数图像与 x 轴的焦点嘛， 所以我得分三角形的时候，分成两个面积已知的三角形，所以在这啊，我就连接 o、 d 这么去分。 所以第三个问啊， s 四边形 a、 o、 c、 d 的 面积就等于三角形 a、 o、 d 的 面积， a、 o、 d 的 面积是啥呀？二分之一以 a、 o 为底，以谁为高啊？ 以地点横坐标的绝对值为高，是一对不对。同样 c、 o、 d 的 面积怎么求呢？二分之一底乘高，我们可以选择 c、 o 为底。 哎，以地点纵坐标的绝对值为高，那 c、 o 的 长度是多少啊？来在这求一下。哎，我们直接令什么 y 等于零，那三 x 减一等于零， x 求出来，不就等于三分之一了吗？ 所以这一段的长度，它就是三分之一，也就是二分之一乘三分之一，再乘以它的高高，不就是二吗？ 所以我们很容易可以求出最终的答案，就是六分之五，它的面积也就求出来了。所以遇到这种题，咱们一定要巧用面积公式，选择合适的方法再来求解。

八年级的一次函数中，已知平行求解析式是期末高频的易错题型，但是呢，刚学一次函数的孩子，他根本就不理解在函数里面平行是什么意思， 他们的脑袋瓜里面在想说，哎，平行不是几何里面的事吗？怎么函数也关他事啊，然后也不懂得带变去求逼，所以呢，经常丢分，十分可惜。 而且我要告诉你，一次函数还只是个开头，后面我们还有二次函数，反比例函数都在等着他们呢， 所以呢，我们一定要开个好头，把基础学好，一点一点的进步。那今天林老师呢，就手把手带着大家把这类题型吃透， 学完之后，再把林老师给大家整理的一次函数八大题型拿去练习巩固一下，期末考可以多拿二十分。好，我们来看题，若一次函数 y 等于 x 加 b 的 图像 与直线 y 等于负二， x 加一平行，而且呢，过这个点三动，问这个一次函数的解析式是多少？ 那么在刚开始学一次函数的时候呢，孩子们对于平行这个几何的概念怎么用在函数里面还是不太熟练的。那么今天呢，我就给你讲清楚它的底层逻辑。 我们知道一次函数的解析式啊，它叫 y 等于 k， x 加 b， 然后呢，你得知道这个 k 和这个 b 分 别代表什么？那么今天呢，就来讲讲这个 k， 它有一个专门的名字，叫做斜率，那么大家可以想象一下，斜率是什么意思， 是不是代表它倾斜的这个程度啊，对不对？那么你想想看，当它跟另外一条直线平行的时候， 平行的时候，那是不是代表着它们的倾斜程度是一样的，对不对？所以呢，我们今天要教的方法，就像如果你看到平行，那就意味着它的斜率相等，也就是 k 相等， 所以呢，我们可以由这个平行条件直接得出它的 k 就 应该是这个负二，所以我们可以这样写， y 等于负二， x 加 v， 你 看我们已经解决了一半的内容啊，已经把这个 k 解决了。 好，那接下来我们再看第二个条件，他说过这个点三斗五，那过点又是什么意思呢？你看有这么一条直线，然后呢，里面过了这个点，这个点呢叫三斗五， 那说明什么呀？是不是说明这个点它得符合这条直线的算法呀？那现在我们知道这条直线它长，这个算法就是 y 等于负二， x 加 b， 所以呢，我们这个三动五是不是也带进去，它也得成立呢，对不对？所以呢，我们就可以啊，把它带进去， 三带进 x， y 带进五啊，那就得到了这个五等于负二乘以三，再来加个 b， 哎，那这个就轻松解的，把这个移过去， v 等于什么？十一，那至此 k 和 b 都被我们解决了，所以这道题的最后答案就是， y 等于负二， x 加上十一，搞定，你学会了吗？

八下数学最难的一次函数压轴题全部吃透，考试直接稳了！八下数学一次函数十五道压轴题，数形结合一，面积问题 二，平行转换三等线段问题 四，全等与一次函数五平行转换与千锤法解决面积问题一， 平行转换与千锤法解决面积问题二，一次函数与全等相结合。完整版分享！

两直线的未知关系啊。这个未知关系我们初中就学了两种，一种是平行，另一种是垂直 啊，到了高中可能学还学那个意面直线啊，初中就学两种，平行和垂直啊。看这个， y 等于二， x 和 y 等于二， x 减四，那他俩肯定平行啊，因为 k 一 样啊， 平行两直线比例系数，比例系数相等啊，这个 k 就 叫比例系数啊，在初中叫比例系数，到了高中叫斜率啊，比例系数，这，这么叫法吧，知道这么个事， 这根直线和这根直线位置关系，这根和它是不是垂直啊？垂直 两直线的比例是之积，他是负二分之一，他是二，那乘起来是负一啊，这结论你记住就行了， k 一 乘 k 二等于负一，平行的时候， k 一 等于 k 二，但是这个地方要注意啊， b 一 不能等于 b 二，如果他俩相等了，就重合了，是吧？特别提醒吗？ 看这例题哈，直线它与直线它平行，那这个 k 绝对值一定等于一，是吧？ k 绝对值等于一， 那就能推出 k 等于正负一，但这个 b 不 能相等啊，所以说只能 k 等于正一 来。例题二，依次函数图像经过点一动复一，若直线它与它平行，那这 k 等于几啊？ 第二题的第一个 k 一定等于三，对吧？那就是 y 等于三， x 加 b， 你 代入谁啊？代入一动复一，因为 因为这个点在直线上， y 等于负一， x 等于一等于三，加 b， 两边减三， b 等于多少？ 负四，那 y 就 等于三， x 减四啊，等于三， x 减四，对吧？嗯，第二个， 它与它垂直，那就 k 乘以二分之一等于负一啊，那 k 就 等于负二， y 等于负二， x 加 b， b 撇吧。你代入正一啊，正一都负一，正一都负一吧，代入它， y 等于负一的时候， x 等于一，就负二 加 b 撇，那 b 撇等于多少？二减一等于一是吧？那 y 等于负二， x 加一是吧？看这几个题，看这几个题，第一个题， 这两根直线没有交点，没有交点，说明什么？说明它俩平行啊， 这是负二，那这个 k 也是负二，那个 b 一定不等于正三是吧？他问你 k 值， k 值是 b 就 行了。第二题，这个一次函数与正比例函数图像平行，那 k 一定等于 负六是吧？ b 一定不等于零，且经过这个点，且经过这个点，那代入吧。 负三， y 等于负三， x 等于一， k 等于负六，负六乘以一就是负六加 b 等于多少？把六挪过去， 负六挪过去是六，六减三是 y 等于负六， x 加三，画一下吧。正撇负捺，这是负的吧，一定是个捺，绝对值越大越贴 y 轴啊，非常数值的感觉。加三上一，三个单位，一二三这样， 大体上是这样，那经过哪里啊？一二四象形是吧？哎，严格按照口诀来，这个就很简单。 第三题，在直角坐标系中，将函数 y 等于 x， y 等于 x， 绕坐标原点， 这 y 等于 x 吧，绕坐标原点，逆时针，逆时针反着表走到方向来旋转九十度，那就 y 等于负 x 吧。 y 等于负 x， 然后呢， 再向上平移一个单位长度，那负 x 加一啊。哎呀，这就很简单， 函数这两个在同一平面坐标系中位置关系二二，那肯定平行啊，因为 b 也不相等是吧。然后下一个，若直线与直线平行 平行，那个二就等于 k 减一，那 k 就 等于多少？两边加一等于三， k 等于三，那 b 没问题吧？这个 b 是 负一，这个 b 是 正二，这个没问题。若直线经过 a 二到三，且与直线它垂直啊，它与它垂直呢？ k 乘以 负三分之一等于负一啊。那 k 就 等于这个乘过去， k 就 等于三，是吧？ y 等于三， x 加 b， 你 代入谁啊？代入二斗三，代入二斗三， y 等于三， x 等于二，二三得六六加 b， 那 b 等于多少？三减六是负三啊，那 y 等于。 嗯，三 x 减三啊，和它垂直。

八级下册数学一次函数单元，反反复复就考这六大板块的培优的压轴题型，基础扎实，想要攻克压轴题，粉丝重点掌握，那我把这些压轴题型都整理到了这份一次函数的压轴题里面，可以用做这个配合练习巩固。 第一是一次函数与线段关系。第二，一次函数与将军印码模型结合。第三，一次函数和铅垂高法求三角形面积。 第四，一次函数和等腰三角形、直角三角形、等腰直角、三角形、全等三角形结合的七大类题型。 第五，一次函数和平形、四边形、矩形、菱形、正方形等几何图形结合的存在性问题。常考期末考的压轴题。第六是一次函数动态问题。 以上内容我都整理到了我的八项系统拓展视频里面都有立体跟练习的配套巩固，帮助同学们解决压轴题不会写的问题。

hello， hello， 今天呢，王老师给大家带来一期特别的视频，什么视频呢？是八下以及中考常考的题型，也是重点，非常重点是一次函数里边的什么一次函数与不等式，还有二元一次方程组的关系。 今天呢，一次性给大家利用数形结合的思想去给它搞明白。记住，以后一考一次函数一定要记得画图。好吧，画了图以后才能够解出答案了。看第一个， 如果图一是直线 y 等于 k s 加 b 的 图像，他说当 x 什么的时候 y 等于零，通过图像看什么时候为零，什么时候 y 为零。我就问你们一次函数是怎么形成的？ 当时你们学长短与变量，以及一次一次学函数图像的时候怎么画出的函数图像，是不是有无数个点去组成的？这些点又怎么确定的？是因为你知道点的坐标了，所以才能才能在平面直角坐标系上画出来， 对不对？那现在 y 为零，老铁， y 为零，所以这条直线上是纵坐标为零，你就找纵坐标为零的点呗，哪个纵坐标为零？ 纵坐标为零在哪家轴上？横轴上纵坐标都为零吗？所以 x 等于几等于一时纵坐标不是为零吗？那他后面又问，当 x 什么的时候纵坐标是大于零的呢？你看 他说找纵坐标大于零吧，那纵坐标大于零说明怎么了？是不是？其他点的坐标咋了？但纵坐标是不是在横轴的上面对不对？这图像上哪些点的坐标 在横轴的上面？是不是从一的这半部分呀？对不对？那这半部分点你看是不是这样子落下来了？这些点 x 有 什么特征呢？ 是不是都比一什么的？横坐标都比，你看都比一，什么都比一小吧，所以小于一什么对不对？所以做这种题你要干嘛？需要描一描，明白了没？那什么时候 y 小 于零呢？重坐标小于零呢？ 在图像上看是在外在 x 的 什么下边吧？沿着这方图像，你看在 x 的 时候，下方的点是这样的，对不对？一是当 x 等于一的时候，在 x 轴上嘛，对不对？那这边你看，你落下来一定要记住，这道题一定要做 x 垂线才能看到横坐标。 发现和坐标都比一什么比一大吗？这个 s 大 于一。十会了没？很简单吧，那再看下一个呢？说当 x 什么的时候， k x 加 b 小 于二。哎呦， k x 加 b 小 于二。老铁， k x 加 b 是 谁？ y 等于 k x 加 b 是 不是 y 啊？ y 小 于二是说明让什么让点的，什么重坐标小于二吧？那点的重坐标小于二，说明比二什么？ 在二的哪？在二的下边吧。那看图里边哪个纵坐标是二？这个点的纵坐标是几？是不是二？那在二的下边是什么？这这半部分下面就都在二的下边呀， 对不对？纵坐标是都比二小，对吧？那说明咋了？它的横坐标有什么特点呢？你看都在零的哪边？都在零的右边吗？是不是 x 大 于零时？那什么时候纵坐标大于二呢？在二的什么上边吗？在二的上边不就完事了吗？ 对不对？纵坐标在二的上边，哪个部分超过二了？是这部分超过二了？这部分的横坐标有什么特点？都在零的哪边左边吗？这不小于零。 所以这种做这种题干嘛？你要先干嘛？分为几步法？你看第一步干嘛呢？要先理解图像，这个图像呢，是什么组成的？是由什么组成的？是由无数个点组成的，对不对？ 那些点又怎么确定的呢？是由点的坐标组成的。那说白了，找图像干嘛？就找点的坐标，这不是转换过来了吗？对不对？那找点的坐标的时候记住 一定要找零界点。你看这种题干嘛？先找到是 y 等于零的时候， y 等于零的时候，什么时候等于零呢？ x 等于一的时候，对不对？然后找大于零是在哪？重坐标大于零吧，就在零的上边，重坐标小于零呢，就在零的下边。会了没？就这种题， 然后再看下面第二问路途二当什么的时候， y 等于 y 二， y 一 和 y 二是什么？是不是两条直线？是两个解析式吧，对不对？那两条直线，老铁什么时候相等？ y 一 和 y 二， y 一 什么时候和 y 二相等？你看呗， y 一 是由是由 y 一 上面所有的点组成的，对吧？ y 二是由 y 二上面所有点组成的吧？那它俩如何相等呢？有共同点呀？有公共点啊。什么是有公共点？公共点两条直线。什么是有公共点？公共点不就叫交点吗？对不对？那上面有交点的时候什么有交点呢？那这不有交点吗？ 此时和坐标为几？此时焦点的和坐标 x 为负一嘛，对不对？负一的时候把一等于二都等于几？都等于二嘛，这不就完事了。 他又说什么时候把一小于外二，你看外一和外二是重坐标，对不对？那说白了， y 一 的中数标比 y 二的中数标咋了？小吧？什么时候开始小的呢？说明找到什么小于等于，先找到什么？先找到等于的一个点， 他俩相等什么时候相等呢？在这时候相等对不对？二的时候等于 y 一 等于 y 二的时候等于二，对吧？都等于二的时候，他俩相等吧。那 y 一 比 y 二小呢？说明咋了？他没超过二在二的下，甚至二的什么下边吗？ 这这半部分你看在二的下边的时候，你看 y 一 都比 y 二，咋了？都比 y 二低吗？比 y 二低对不对？那这半部分你看 s 有 什么特点呢？都在负一的哪边右边把 s 大 于负一时大于等于，现在有等于号吗？对不对？那什么时候 y 大 于 y 大 于 y 呢？ 是不是 y 一 的纵坐标比 y 二高呀？比 y 二大呀？在图像上怎么体现呢？ y 一 比 y 二高，但是还要找到什么？找到它们相等的点，临界点， 所以以后记住，这种比大小的干嘛？先找到相等的点，临界点就好找了。 y 一 比 y 二大，对不对？ y 一 比 y 二高，从这你看 什么时候相等呢？都等于二的时候，说明咋了？ y 一 比 y 二大吗？要比比二大吗？对不对？在二的上边，你看这不从这相等点以后， y 一 在这， y 一 永远比 y 二高呀，对不对？所以 x 这半部分有什么特点呢？你看做垂线都在负一的哪边左边吧，小于负一就这么简单啊， 会了吧，这个下一个，他说直线 y 一 和 y 二，对吧？在同一平面，平面直角坐标系中，让你方程组，方程组，什么叫方程组？是不两个方程的公共解对不对？那两个方程的公共解如果放在一次函数或者是坐标里边呢？是什么？ 是两条图像什么？共同满足的一个解吧？共同满足的解，什么时候共同满足？说这个点的坐标既满足一又满足二，说明咋了？ 不就是和上面一道题相等，和上道题一样吗？是什么？他俩交点的时候呀？公共点公共点的坐标怎么了？既在 l 一 上，也在 l 二上， 对不对？以后？所以找方程组的解，通过数形结合，干嘛？就找他俩的交点的横坐标就行，横中坐标就行了。所以这不交点的横坐标吗？ f 等于几负二， y 等于几三，就这么简单。 然后下一步说，让你说这个 k 二 s 比这个 k 一 s 加 b 大， 对不对？说明咋了？这不是吗？ y 二大于 y 一， 你找两个函数的大比较大小的时候要干嘛？找零界点吧，什么时候相等呢？找到我们相等在这轴线呢，对不对？ y 二比 y 一 大，说明咋了？ y 二永远比 y 一 怎么了？高吧？ y 二比 y 一 高，怎么是哪一个呀？ y 二比 y 一 高，这是临界点，对不对？ y 二比 y 一 高，这不是 y 二，这是 y 一 比它高呀，对不对？对吧 对吧？临界点是三吗？说明他怎么了？都大于三吗？对不对？你要生存到临界点，你们这这个应该能懂吧？在三的上面对不对？肯定要考虑三的下上面，你们千万不要这样，考虑 考虑三的下，如果考虑三的下边的话就错了，如果考虑三的右边的话也不行。你要是大于三吗？大于三的话只能是三的上面，对不对？这半部分是三的上面对不对？这半部分不就完事了吗？那这半部分有什么特点呢？ 哎，不不不，我说错了，考虑三的上面的话，你看怎么找怎么找呢？如果你要是刚才是这样找的话就是错了，为什么说错了呢？这样的话就是什么？就是，嗯，虽然是都在三的上面，但咋了？ 我要找什么？找的是对对对应的吧？就是他们在一个范围里边，这个应该能懂吧？就是刚才一模一样，在一个范围里边应该是什么？在三的上面对不对？在三的上面的一个点在一个范围，什么叫在一个范围里边啊？就是在公共点 公共点的同一侧比较，而我刚才是什么，你看 l 一 和 l 三对不对？ l 一 和 l 二他俩如果都在上面的话，这是什么？在公共点的预测了就不行了，所以干嘛？所以你要找的时候一定要认真思考啊，在三的上面对不对？ 外二肯定是在三，要找外二大于三的对不对？外二大于三这部分外二大于三对不对？在三的上面以后外二大于三的话，你看这不是 l 一 就出来了吗？什么时候呢？在负二的左边吗？这个 s 小 于负二就会了吗？ 对不对？如果要是到底变一变呢？如果这改成小于号呢？小于号的话就是什么？外二小于外一对不对？外二小于外一的话，就说明外二在哪？外二在一的外，外二在三的 下边对不对？而外一呢？在三的上边，这样这样不是好找了吗？你要去理解明白不？然后呢？所以这部分是落在哪呢？负二的右边吗？ 对不对？而现在呢，是问的是 k， 二大于 k 就是 y 二大于 y 一， 对不对？大于对吧？是不是在三的上边呀？找理解点。这三的上边， y 二在三的上边，对不对？ y 一 在三的哪 下边吗？这不是他在外，二在三的上边， y 一 在在三的下边。是这半部分符号吗？会了没？你要去理解。好吧，那么今天就到这里了，谢谢大家。古德拜。

一次函数与不等式是我们期末必考的题型，而上一条视频，我们讲了单条函数的不等关系，这一条视频呢，我们来讲两条函数的不等关系，求范围。今天我们也找了两道去年的期末的真题，特别是第二道题，是一个难点。我们先来看一下第一个题， 哎，他说这里有两条函数，一个是 l 一 啊，一个是 l 二，那么对应的解析式呢，也给到了，现在呢，焦点也给到了，我们是 m 得四，要求这个不等式的一个解析。 那我们首先第一步呢，依然是转换，但这个地方呢，因为有两个 y， 所以 对 y 呢，要进行标号， ok， 标为 y 一 和 y 二，那这里我们就转换成 y 一 小于等于 y 二。 好，然后呢，我们看啊，无论大还是小，我们第一步依然是找到相等的位置啊， y 一 等于 y 二，什么时候 y 一 等于 y 二呢？肯定是两条函数的交点，就是 a 点， 那从 a 点画一条竖线，这是我们的传统。接下来呢，这个竖线把整个图形分成了左边部分和右边部分，接下来我们要去找一找，哎，哪个图像是符合要求的？这里有个口诀，就是谁大， 随着图像就在上方，就随着 y 大， 随着图像就在上方。我们来看一下啊，先从左边这部分开始，左边这个部分呢，图像这里有一条，这是谁的呢？ l 二，也就是 y 二 的图像，很明显， y 二的图像呢，是在 y 一 的上方，那所以 y 二呢，是大于 y 一 的， 那和我们题目要求的 y 二大于 y 一 是一样的，所以左边符合要求。那因为这里等号吗？也可以取上等号啊， 好，知道了图像所在的位置，那接下来我们就要看 x 在 哪个范围啊，依然是从这个 a 这个地方， m 开始往左边走，就是越来越小，所以 x 应该是小于 m 的， 但是这不是我们的答案， m 要求出来，怎么求呢？这个地方就是 a 点啊， 它既在这个，也在这个里面，所以我们可以带进任何一个函数里面，但肯定要带入 y 一 里面，因为它是已知的，所以这地方可以带进去啊，就是看到我们的 y 呢，就变成四，看到 x 呢，就变成 m， m 加上三， 所以我们可以到 m 等于一，那所以这个时候呢，我们就小于等于啊，要等号保持一致，小于等于一。这个题我们就选择怎么样呢？选择 d 答案 好。第二个题呢，就是我们的一个难点了啊，他这个地方难在哪里呢？就是他不像第一个左右两边都是完整的给出来的函数，这个呢，他把它融合在一起了 啊，我们来看一下啊，依然是有两个函数， y 等于负二， x 和 y 等于 k 加四。而当这个地方图形上啊，他并没有标注谁是呃，谁是谁的表达式，但我们可以很清晰的判断啊， 这个呢，很明显是怎么样呢？是这个正比例，所以过远点一定是这一条，我们可以标记一下自己， y 等于 four x， 我 们可以把它标为 y 一， 这是 y 二啊， y 一 好，剩余的这条肯定是 y 二的了啊， k， x 加上四，接下来呢， a 点，我们也标记一下这是 m， 这都三，好。 哎，这个时候呢，我们就要注意了，我们一定要先把它移一下向，把它变成像上面这个题一样，两个左右分别为一个 y 的 形式。那这个地方我们观察可以看到啊，这是 k 加四，这里面呢，也有一个 k 加四是完整的， 那另外一个呢？本来是负二 x， 这是加二 x， 我 们怎么办呢？可以移一下向就可以了，就可以把我们的 二 x 移到右边去，就变成负二 x 啦。你看，此时呢，左边就是我们的 y 二，右边呢就是我们的 y 一， 好，依然是转换之后，我们要去找相等的位置啊，就是 y 二等于 y 一 的时候，在交点这个位置画一条竖线。 好，接下来我们去判断左边部分和右边部分哪个符合要求，左边部分看齐，这一个呢，是 y 一 的，这个呢是 y 二的，那很明显， y 一 在上方，那也就意味着 y 一 是大于 y 二的，那和我们题目要求的 y 二大于 y 一 不符合要求。 我们看右边这一条呢，是 y 二的，这一条呢是 y 一 的啊，很明显 y 二在上方，那所以 y 二大， y 二大于 y 一 啊，因为有等号嘛，我们也保持一致，大于等于。 那所以我们发现啊，右边这个部分符合要求，那么对应的 x 呢，他是从这里的 m 往右边跑的，就是越来越大，那 x 呢，肯定是大于 m 的 啊，求 m 呢，和上面一样可以带入啊，我们带到这里面来啊， 那就是三等于负的二 m， m 等于多少呢？负的二分之三，所以我们这个结论啊，但这要保持一致啊，有等号就要保持一致， x 大 于等于负的二分之三。哎，所以这个结果呢，哈，这个解集我们就写上了。

八下的期末数学想冲高分，只要搞定一次函数，这一张你就稳了很多。孩子呢，一次函数的基础题会做，但是考试一碰到中档题、压轴题就很容易掉链子。那究其原因是什么呢？那是因为中档题和压轴题啊，他根本就不是考单独的一次函数， 而是把一次函数跟其他的考点融合在一起了。我给你举个例子你就知道了，压轴题里面常考一次函数，跟三角形的结合，跟面积的结合， 跟最值的结合，跟动点的结合等等等等，所以孩子就容易掉坑里了。但其实啊，一次函数的综合题根本没你想的那么难， 前提是你得首先知道有哪些常考的考法，而且最好在考试前就先练习过。好消息是，我已经把常考的题型整理出来了，一共八个，从基础到压轴全面覆盖， 每一种题型我都给你配备了解题大招，只要孩子把这些题目彻底吃透，期末考试就能轻松的弯道超车。

一次函数的坐标轴焦点问题是八下数学的必考题型，也是一次函数里面的经典考法，很多孩子呢，一做就错，那是因为他们不懂得利用解析式去求拮据。那今天呢，林老师就用最简单的办法，教你两步解决这类题， 学完之后，再把林老师给你整理了一次函数八大题型，拿去整理巩固一下，只要把里面的题型搞定啊，期末轻松多拿二十分！好，我们来看题，如图， 直线 y 等于 k， x 减二， k 加三， k 小 于零与 x y 轴分别交于 ab 两点哈，分别交于 ab 两点，然后让你求 o a 分 之二加上 o b 分 之三的值。 那这道题的特点就是，它给的一次函数呢，是含参数的，然后最后要你求的是跟截距有关的一个表达式，所以这道题呢，我们要优先把截距给它求出来。那么你想想看，要求这个 o a 和 o b 呢，是不是相当要求 a 的 这个坐标呀？ 对不对啊？它的横坐标就是 o a 的 长度，然后呢， b 的 这个重坐标就是 o b 的 长度，所以这道题就变成了，我们需要去想办法求坐标啊。那么我们观察一下这个 a 点， 它是位于 x 轴上，那么如何求直线和 x 轴的交点呢？非常简单，我们只要令 y 等于零就行了，因为这个点呢，它的纵坐标是零，所以我们令 y 等于零，然后把这个零呢带进去，你就可以得到 零等于 k， x 减去二 k 加三。所以呢，我们一个项就可以得到 x， 是 等于这个二 k 加三移过去变成二 k 减三啊，然后再除以 k， 然后这个 x 呢，其实也就是 o a 的 长度， 对吧？好，同样道理，我们要求这个 b 点啊，这个 o b 的 长度就是去求这个 b 点的纵坐标，那么我们只需要令，因为在 b 点是 x 轴为零，那就是令 x 等于零，我们就可以得到。 此时的这个 y 等于什么呢？把零带进去，那就等于负二 k 加三，然后这个负二 k 加三呢？它其实也就是 o b。 好， 那我们有了 o a 跟 o b 的 表达式之后呢？再带到这里来，你看，我们就可以求了， 所以 o a 分 之二，加上 o b 分 之三，它会等于什么呢？你看 o a 在 这里是这个数，那我们就把它带进去，变成二 k 减三分之二 k， 然后呢，加上 o b 分 之三，那 o b 是 这个 负的二 k 加三分之三。好，那接下来我们只要化简这个式子就是答案了。好，我们来化简一下， 二 k 减三分之二 k， 然后呢，这里是负二 k 加三，我们只要把这个符号提取出来，变成减去 二 k 减三分之三。好，那这个时候分母已经一样了，我们就可以把它进行这个合并，二 k 减三，分子分母一样，所以最后答案是，一搞定，你学会了吗？

最近有不少家长找林老师吐槽，说孩子八下数学学到一次函数之后就突然跟不上了。 原因呢是一次函数的图像变化多端，课本没有讲透，考试的题目却很灵活，孩子呢，是靠死记硬背记知识点的，结果呢，越学越懵。其实啊，这真不过孩子不够努力，而是他用错了方法。 今天这期视频呢，林老师将做一期盘点视频，帮助孩子们把依次函数的各种图像性质做一期盘点，帮助孩子们理解并记住依次函数的每一种图像的由来。只要把这个方法学会了，以后这种题就是送分题。 学完之后，再把林老师给大家整理的一次函数的十大题型拿去巩固练习一下，只要把里面的题型搞定啊，期末轻松多拿二十分。好，我们来看一下这个表格。首先，我们得认识一下，所有的一次函数都可以写成 y 等于 k， x 加 b， 这个叫做标准式。 然后里面的这个 k 和这个 b 呢，它对图像是起到决定性的作用的。首先先来看一下 k 啊， 那么 k 在 一次函数里面呢，又叫做斜率，它决定了这个直线的倾斜程度。 什么意思呢？就是如果当 k 是 大于零的话，它这个图像一定是往右上方走的，也就说，它的变化趋势一定是这样子的一个形状啊，只要 k 大 于零，它就是往上走的。 然后呢，如果这个 k 是 小于零的啊，那它的图像一定是这样子的一个下降的趋势，明白吗？所以呢，你看， k 决定了上升或者是下降，然后呢， k 还决定了它的增减，是什么意思呢？你看我们作为一个平面直角坐标系， 往这边是不是 x 在 变大呀？对不对？然后你发现这个图像它是往上走的，所以越往右你会发现这个 y 它是不是往上走了呀？所以呢，我们这就叫做 y 会随着 x 的 增大而增大，这个就叫做增函数的性质。然后再来看下面这个还是一样，咱们往右看，会发现这个 x 在 变大的时候，这个 y 呢，它在往下掉，对不对？所以这个 y 呢，它会变小， 我们这种情况就叫做 y 随 x 的 增大而减小，所以现在大家有感觉了吧，就是这个 k 呢，它直接决定了它的倾斜的方向，变化的趋势，还有它的增减性。那接下来我们来看一下，这个 b 又决定了什么？ b 呢？在我们的一次函数里面，它有个专门的名字叫做截距，那么截距指的就是这个图像和 y 轴的交点，是什么意思呢？我来给大家讲一讲啊。 就像咱们以这个 k 大 于零，而且 b 大 于零的这个示意图，我们一画你就知道了。首先因为 k 是 大于零的，我们前面讨论过，它是往上走的，而且这个 b 呢，它是跟 y 轴的焦点啊，也就说它 b 大 于零的话，它的焦点一定就在这上面，所以我们就可以画出这种情况的这个大致的示意图， 又要往上走，又要过这个 b 点啊，这就是它的示意图了。好，那么经过什么象限呢？你看一二三，它经过了一二三象限，你看接下来再看这个题， b 是 小于零的，那么它与 y 轴的交点呢？就小于零，也就是它交 y 轴在下面， 我们又要往上走，又要交这里，所以它的图像呢，画出来是大概这样子的，对吧？所以它交一三四象限。好，再来看下面两种情况， k 小 于零，那它就往下走的喽，对不对？然后 b 是 大于零， b 大 于零的话，与 y 轴交点在上方，所以它的图像就会变成这个样子啊。经过一二四象限，再来看最后一种情况， k 小 于零 b a 小 于零，说明，首先你要往下走，而且你的焦点呢，要在下面啊，所以你只能怎么画，你只能这么画 好，那经过二三四象限，所以这就是我们全部的性质，你看，你学会了它的底层逻辑之后，根本就不需要死记硬背。 接下来，为了帮助大家理解，我再拿一道例题出来，请看这道题，若直线 y 等于 k 加 b， 经过了一二四象限，则这个直线是下列的哪个图呢？ 首先呢，咱们来画图解决，它说经过一二四象限，那么一二四它的图是长这样子的，对不对？那么根据我们前面学的性质，我们可以知道它是往下走的，那么 k 就 小于零，没毛病吧？然后呢，焦点在这里，说明这个 b 怎么样？ 是大于零的，是不是？好？再来看我的问题，现在的斜率变成了负 b， 然后呢，这个截距变成了负 k， 那 根据我们这里的 b 大 于零，那你的负 b 就 得干嘛？就得小于零，对不对？说明你的直线是得要 往下走的啊，往下走的，那是不是瞬间排除了这个 b， 它是往上的吗？还有这个 d 它也往上的吗？两个排除了。 再来看这个负 k， 我 们前面已经有了这个 k 是 小于零的，那么负 k 自然就是大于零了，所以负 k 大 于零，说明我们的这个焦点是不得在上面呢， 对不对？你看他这个焦点在下面，那他就不对了啊。所以你看这么一顿分析，答案是不是轻松选出来 a 啊？所以你看，只要有了方法技巧，这种题啊，秒变送分题，你学会了吗？