高一数学第二册 异面图形该怎么做

三分钟速同一面直线及解决方法在同一个平面中，两直线分为互相平行以及相交。相交又分为互相垂直以及不垂直，这些统称为共面直线。 而在立体几何中，这两条直线出现在两个平面内，它们既不平行也不相交，我们称它们为一面直线， 尤其注意任何这两个字。也就是说，即使两条直线出现在两个平面中，也有可能共面。 假设这条直线和对角线平行，那么这两条实线就互相平行， 他们重新构成了一个新的平面，所以这不是意面直线。同样的两条直线，如果有交点，他也会构成一个新的平面，这也不叫意面直线。综合刚刚讲的两种情况， 判断意面的关键就是看他是否平行相交。只要出现平行或相交的情况，就一定不意面。把刚刚所有的重点整理成一个表格， 额外补充一点，一面直线是也有可能相互垂直的，例如正方体重的这条是垂直于底边，它就垂直于底边。所有的直线，它们只要不平行不相交，就是一面的，它可以垂直。 第一个选项很明显， g h 平行于 m n， 它们一定是共面的。 c 选项中连接 g m 和 h n， 虽然 g h 和 m n 不 直接平行，但是这两个线平行，因为它们俩都平行于这条棱，所以这四个点在同一个平面内，它们是共面直线。 同样方法，我们做题就可以秒出答案。第一个选项中照样的做 q r 的 平行线连接对角线。 ps， 因为是中点，所以 ps 就 平行于这条对角线， 那么 a 选项一定是共面的， b 选项连接这条虚线，也可以判断互相平行， c 选项以后面的这条能长为桥梁。最后一个选项中四个点不共面，因为你没有办法找到图形中有任何平行线，也找不到 ps 或 r q， 可以 相交。 通过 b 选项的另一种方法，我们来学一学洁面，先把这几个点连接起来，如果我们把 p q 直接连接起来，那么会发现左侧它是空出了一部分。 这里的洁面需要我们把补充完整，所以我们从最简单的平行线先思考。 r q 的 平行线是连接，这边是中点 找到 ps 的 平行线以及 sr 的 平行线，所以正方体的截面是一个正六边形。那么今天问题来了，这个多选题你能选出正确的答案 吗？评论区告诉老师，今天内容就到这里，我们下一期再见！

意面直线上两点距离， a、 c 和 b， d 是意面直线，夹角是 c 塔，这个 c 塔角肯定是锐角或直角， 已知一个 a、 c 长度是 m， b， d 长度是 n。 弓垂线段的长度呢？是 d， 要求 c、 d 两点距离。我们先说方法，再说结论。过弓垂线段的一端， b 点去做 ac 的平行线，取 b， e 长度和 ac 长度相等，都是 m， 也就是说其实就是 c 点在底面阿法上的投影就变成了 e 了。连接异地， 那么我们在三角形 b、 d、 e 上就可以根据两边及夹角算对边。这是利用鱼先定理，也就是第一的平方是 m 方加 n 方，减去二倍的 mn 扩散引 c 塔。算了这个再加上 d 方， a 就是我们的 cd 方开方就是答案了。那这里为什么还有个加号 后呢？因为万一我们的地点跑到了这一侧，那我们的 dbe 就是派件 c 塔了，化解下去自然就变成家了。这么一个小结论，你做题当中用到了吗？

高一下学期来学这本教材，其中的第三个章节，也就是类体几何，是我们下学期的重头戏，也是大家开学来之后拿分的分水岭。 那这个章节核心抓什么？我们这节课给大家全部梳理一遍，你寒假预科是有方向的，不会走弯路，你才能够节约时间，高效率，行不行？行，我们一节一节给大家去说，你拿笔记下来。首先第八章立体几何，我写到这啊， 第一节叫八点一，八点一是基本立体图形，这里主要大家需要掌握的叫什么？什么叫做多面体 对吧？什么叫做旋转体，了解概念即可，不用做深度的，这个停流行不行？行，然后开始看八点二，八点二叫做直观图， 这里考你什么呢？只要考你一个东西，你会就可以了。就是高考考的也比较少，主要是在我们的月考期中考，考一道小题，明白没有？明白这个小题考什么？ 考邪二策画法主要考这个， 第一个就是你得会用斜二侧画法去画他的直观图，然后第二个就是画完之后你得知道，哎，完了，那个图形和没之前的原图之间的周长面积的关系就欧了，掌握到这个程度就结束了，所以寒假不需要浪费太多的时间， 真正要命的立体几何是从我们的八点三开始的，叫做简单几何体的什么体积？对了，与表面积，高考热点题型考试必考， 所以这里要求大家要死抓一个核心，你不仅要会算算，对公式得背对，你还不能出错，很多人丢分丢在不会计算上，或者说计算容易出错上， 粗心上，所以要刻意去训练行不行？行，现在高考已经不考，这种老掉牙的三十图都还原了，以前是还原完之后让你求体积表面积，现在不还原了。所以大家如果在其他的教辅上有看到，哎呀，一个三十图让你还原回去，让你去搞体积表面积这种题，直接划掉跳过，不要浪费太多时间好不好？好， 你要抓的是教材背后的拓展模型，这里主要拓展什么呢？来，拿笔给我记下来。第一个叫什么问题？叫做球的问题，球里面分为第一个结面， 高考考过很多次了。第二个跟球有关的外接球，外接球模型以及内切球模型，比如说外接球里面 哪些方法，哪些模型，一个一个给我去攻克啊。第一个叫什么模型？长方体模型， 简单的直接考你难一点的就是给你隐藏，最后发现，哦，原来如此，是个长方体，高考考过，考过很多回了。第二个叫圆柱模型，还有圆锥模型， 还有扇子模型，基本能力考九十分以上，这些是必须得会的，要冲到一百二一百三，把高问题来了，尤其是最后两个双半径单交线， 还有下一个双距离，对吧？单交线 拔高的，经常出现在亚洲体的位置。有模型的模型研究透，直接拿结果 ok 不 ok？ 然后内切球里面，比如说我们主要是一些 注体啊，常见的注体锥体都怎么去切的，需要大家喊着去好好去研究一下，也是高考的重点行不行？行，强调一下，除了球的问题之外，这里跟他有关的一些二级结论还有什么？比如说正四面体， 正四面体一些体积呀，表面积呀，高啊，必须要去做总结。你看，这就是为什么很多孩子把教材我都看了，为什么做题不会做，我提不了分。就是因为教材只给你底层的公式，或者只给你推导，他不给你模型。 你寒假如果能把这些模型直接练透，那你的能力跟别人就能够直接拉开差距了，明白没有？明白了好，再来说下一个叫做八点四， 呃，叫八点四点线面的位置关系。这个主要考什么？ 主要就是以概念定律为主，最多考试考一个辨析题，我们在高考当中考的直接考他也很少，所以大家的核心一定是放到哪里？放到接下来的八点五 以及八点六。一个是平行，一个是垂直，这两个才是立体几何里面的灵魂，因为你看到的所有立体几何的问题都是垂直的问题， 你包括体积、表面积里面的一些分析全都用到垂直。所以如果你的垂直学不好，你类地结合的第一问你，第二问，很多就没有办法去做的，不是吓唬大家的，所以你得知道你类地结合的核心重点是在哪里。 嗯，很多孩子这本题苦啊，不知道辅助线为什么这么做呀，这么画呀。所以说大家一定要去听胡老师一句劝， 类地结合不要一上来就去给我看答案。你要做的一定是根据我这些模型，先去总结模型，然后拿模型去刻意训练，能理解不？可以？你比如说平行垂直里面常见的什么矩形模型， 对吧？还有很多正形模型，这都是经典的勾股模型。三垂线模型， 先把这些模型吃透，然后后面你去做题辅助线，一眼就能够看出来他怎么画了。 最后胡老师必须要提醒大家一个点，就是你在教材里面，你翻过来，哎，八点六之后没有了，目录里面根本就没有写加角问题，但是加角这个问题出现在教材皱纹里面，有出现加角的定义，藏着的 夹角问题，这才是核心。写到这啊，夹角不要只单看目录， 线线角，线面角二面角，高大考必考题，而且还考你大题，教材没给大家方法，考试要考呀！所以大家必须掌握，比如说线线角 三大方法，比如说线面角四大方法，面面角对吧？五大方法，几何法怎么做，甚至直接过渡到空间向量里面怎么去做，寒假把它搞透。大家不要只去看教材表面 开学如果你只看表面，你开学发现教材背的滚瓜烂熟，题不会做，一个都不会做。这就是为什么很多孩子预习了发现没效果， 因为高中就是基础都在课本，但是模型都在数外，你缺的是实战演练，实战的模型。胡老师把教材背后的考点教材深挖，全给大家浓缩成了立体几何里面大家必会的三十二大模型满分攻略， 别在教辅书里面各种盲目去刷题了，就把这三十二大题型满分攻略给他练透，顶你盲目刷三百道题， 你只要寒假想拿下立体结合这个大的块，高考里面起码占二十五分左右了，对吧？你就留立体结合三十二大模型，胡老师把这些都给大家安排的明明白白的好不好？好好下课！

尊敬的各位同学们，大家好，我是你们的数学张老师，今天张老师呢，给大家分享一道立体几何的题目，他说已知 l 一 l 二是平面内的两条相交直线，对吧？ 然后呢，并且告诉你 m 不 属于在阿尔法这个面内，则就说这条直线 m 和直线 l e 平行，是直线 m 和 l r e 面的什么条件？你看这道题的话，就考了我们高一上学期的逻辑部分对不对， 以及我们立体几何部分相结合的一个题目。首先我们来画一下图，这是平面阿尔法，然后呢，他说了 l e 和 l r 是 不是这两条这个平面内的两条相交直线，直线 m 是 不属于这个阿尔法内。比如我告诉你，来，我们先看他，他说直线 m 和 l e 是 平行的吧，那好，那就大概画一个直线 m 和这个 l e 平行啊，他说 m 和 l r 意面，那我们知道了，如果是两条直线意面的话，他们是既不平行也不相交。来，我们看一下这个直线 m 和 l r 什么关系啊？是不是既不平行也不相交，所以是可以干嘛 推出来的，对不对？那再看他说了，如果说这条直线 m 和这个 l r 是 什么？是意面的，然后能不能推出直线 m 和 l e 是 平行啊？ 不一定吧，也可能是直线 m 和 l e 也是意面的吧，是不是推不出来，所以它就是什么充分，不必要调节这道题选 a 这道题的关键点，一定要理解意面。 好吧，如果有不清楚的同学可以回书本上看一下，是意面的概念。好，那今天老师的分享就到此结束，我们下期再见。

哈喽，同学们大家好，来到了 b q 二第八章立体几何初步八点六点三，平面与平面垂直。好，来到了我们的本章的最后的一节课哈，也是我们的这个垂直的最后的一节课哈，面面垂直的关系 好，我们通过呢。跟之前一样，我们说除了线面垂直是一个特例，他得单独定义之外，别的都是先定义角。我们这里看一下哈，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。同学们说，哎，没看懂什么意思？ 从一条直线出发两个半平面，什么叫半平面？我这个地方这条直线截了这一边，你就不要去延伸了，平面是往四周 无限延伸的，对吧？那这边不要延伸了，往这边延伸一半的平面叫半平面，这个东西哈，半平面和平面不要觉得它很复杂，我们只需要去类比半平面是什么射线， 那么平面呢？就是直线好不好？那么我们的这个另外一个呢？你看这边被塔这个整体所形成的图形，它就叫做二面角， 那么平面呢，会有两个角，也跟我们的直线是一样的，直线我们会有什么？平面角？它实质上是两条什么两条射线组成的角，它是有 零度到一百八十度的，对吧？那么另外一个呢？我们两边延伸，它又变成了什么？变成了直线，它的范围就是零到九十度，这个叫直线与直线所成角。所以其实我们的直线也有两个，我们就可以完全类比。 说很多时候哈，我们在画图的时候，我们都可以这样画啊，这个是非常重要的一个技巧好吧，比如说我们画这个角度的一个侧面，他就是什么，如果是平面，我们就画成什么，画成直线，如果是二面角就是半平面，我们就画成这个射线啊，就这样子。 好，这个叫二面角，那么这条直线呢？叫做二面角的棱，那两个半平面呢？叫做二面角的面哈，整体的整个东西叫做二面角。好，棱为 a、 b， 面，分别为阿法和贝塔。棱是什么？ a 和 b， 记作什么呢？记作阿法 a， b， b， 就是 说 我用这边的一个面，然后呢这个 a、 b 这条棱再加上另外一个面来做命名啊，这是一个命名的规则。那么有时为了方便，也可以在阿法和贝塔里面 棱以外的半平面的部分分别取点 p 和 q， 然后将这个二面角记作二面角 p， a， b， q， 那 同学们说为了方便它不方便呢？我，原来阿法 a、 b 那 个贝塔不挺好的，我还得找两个点，找两个点之后，这两个东西有啥区别吗？对吧？那么这里问题来了哈， 我们为什么要这么做呢？我们要有背景的，比方说我们看一下我们的正方体，那么比方说我们要去形容这个二面角，绿色的两个组成的一个二面角，好吧，那假如我们要使用平面的方式，我们就要写成这样子，对吧？ a， e， d， e， d， a， 一 杠 a， d， c， d， 然后呢，我们如果取点的话呢，就 a， e， a， d， b。 所以我们会发现什么问题啊？我们是要看上下文的，刚才我们要找这个点 p、 q， 我 们当然不去找了，对吧？对吧？而且刚才呢，我们有个面，这个阿法、贝塔现在没有嘛， 所以呢，当我们有这个点，然后这个面也没有做一个命名阿法、贝塔干嘛的时候，我们使用这样的方式是会方便简洁很多的，这个呢就是关于二面角的这个命名的法则的问题，对吧？ ok， 接着呢，我们来看刚才我们是定义了什么东西是二面角，我们还没有讲这个二面角多大，接下来我们看生活当中我们常说把门 开大一点，那这个是什么大呢？我们会知道哈，刚才定义了之后，会知道这个门跟我们的这个平面可以形成一个，比如说这里截住半平面，那这个就能形成什么？门面和墙面的一半就能形成一个二面角，那么这个二面角多大呢？就会涉及到这里的问题。我们来看一下 在二面角阿法 l 贝塔当中的棱上面任取一点，又哪任取一点，哪个都不重要， o 以点 o 为垂足，在半平面阿法和贝塔内分别做垂直于棱 l 的 这个射线 o a、 o b 好 垂直于这个垂直哈，不是 o a 跟 o b 垂直啊，这个不一定，我是 o a 和这个 l 垂直， o b 和这个 l 垂直啊，对吧？那么则射线 o a 和 o b 构成的这个角 a、 o b 就 叫做二面角的平面角，这个东西是不是就 跟我们的什么跟我们的这个平面角很像，呃，一样的，对吧？这样子二面角的大小呢？可以用它的平面角来做度量，好吧，所以呢，我们的这个平面角就是来量这个二面角的 二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。平面角是直角的二面角，叫做直二面角，你看我们先花很长的时间来定义什么是面面所成角，然后呢九十度就是 直二面角呗，就这样子，二面角的平面角的取直范围是零到一百八十度，零可以取，就是他们闭起来啊，像嘴巴闭起来这样子，一百八十度像，像我说的，其实就跟我们的这个平面角一样的，如果我们从侧面图去看，就是一样的东西啊，对吧？好， 接着我们说平面与平面所成角，这个呢，课本在我们的下一本书选 b 一 那里才定义呢？很多同这很多老师，包括很多教材编辑教材的人都表示不理解，那我其实我就直接在这个地方讲了，因为其实关联度很大，我觉得没必要 平面阿法和贝塔相交，我们刚才是干嘛？半平面就这里是没有的，这里是没有的，那现在我们形成了四个二面角，如果是平面的就形成了四个二面角，我们把这四个二面角当中不大于九十度的二面角 称为平面阿法和平面贝塔的夹角，所以我们说干嘛用直线去类比就可以了，一模一样。那么这个地方呢，我就先做一个我们现在所接触到的所有所成角的定义， 因为呢，我们并不需要通过背这个角度的定义来记住以下五种，其实一共是六种，但是呢，我们的六种在我们的选 b 一 那里呢，我们做一个定义，因为还缺了一个。好吧，那么这个地方为什么在这个地方我们先讲一次，后面又总结一次呢？因为就真的太多同学在记这个东西了，这个鬼东西了， 永远选举所成角当中的叫小指，我今天提一个点哈，就无论你们学数学也好，学英语也好，你一定要相信别人是有规则的， 对吧？不要认为数学家闲着没事干，是不是他是正常人，而且科学家最喜欢偷懒啊。数学，科学，学科。直线与直线所成角范围是零到九十度，为什么呀？因为我们说一条直线，一条直线 会形成一个角，两个角，那我肯定是不要这个大的角，我贪麻烦吗？是吧？所以我要所成的角是小的，所以是零到九十度，这个不用记。 接着，如果，如果是向量与向量呢？向量是有这个点的，就是不是两边延伸的，他们的定义是拖到同一个起点，那此时是不是也可以这样子，所以他是可以零到一百八十度，那同样的，其实他也有一个大于一百八十度的，肯定不要大的，就这样子。 然后呢？直线与平面直线与平面，我们怎么定义的？我们的上一节课直线，我们的有一个摄影，对吧？投影，然后接着呢，这次也形成两个度，那我为什么，对吧？又是小的那个角度吗？简单的那个，然后就到了我们的这节课的半平面，对吧？半平面，我们说什么呢？我们就通过我们的平面角来做理解，对吧？ 射线，射线啊，这个是 o 啊，这个射线是一样的，这个就是半平面，而我们的平平面的整一个平面呢，就是直线啊，两个是可以完全对照的啊，这个地方呢，也是一个小的角，一个大的角， 平面一个小的角，一个大的角，所以这个东西呢，我从来一个都不可能背的哈，但我看到有些同学背的很辛苦啊，这个锁上角，这个锁上角背完之后呢，还会错啊，太夸张了，这个东西背来干什么呢？对吧？不，不要浪费这么多时间在这些东西上面所找到它的规律 啊，对吧？就是你们一定要知道，找不到规律是一定是你的问题。就像以前我们工作的时候就是在大公司，你如果觉得大公司的流程全都是很麻烦，很繁琐，都是有问题的，那一定是你的问题， 对吧？你一定要有这样的精神。很多同学看我的课，像我说的，如果我的课一百个人里面有五十个，有六十个没看懂，那么一定是我的问题。但如果有九十九个没看懂，有一个没看懂，那你就要知道，那一定是你的问题啊，对吧？这个是一个很简单的一个东西，我们一定要去理解对方啊，不要去这样死背， 所以这些东西节省很多的一些功夫，不要浪费时间在这些上面，这样子， ok， 我 们看一下利益。下列命题当中是真命题的，有两个相交平面组成的图形叫二面角呢，这个当然是错的， 一面直线 a、 b 分 别和一个二面角的两个半平面垂直，你看我们怎么画？这样的问题，我们要处理的时候怎么画两个半平面，还要去画平面，太难画了，对吧？太耗费时间了，用射线来表明就是这样子的，对吧？这个阿法， 这个贝塔，那我们会换另外一个颜色的笔，或者说画粗一点来表达，然后一面直线 a、 b 呢？分别跟它们垂直，这个是，哎，这个画细一点，对吧？这个是 b 啊，这个是直线，好吧，这个就清晰了，这个垂直，这个垂直则 a b 所成的角与这个二面角的平面角相等或者互补， 我们来看一下是不是的他们相等的相乘的角是这样子，这个，那这个是什么关系？互补，那有没有可能是那个什么？有没有可能是相等啊？有，比方说这个情况下小的，对吧？那这个时候，这个这个， 那这个时候呢？这个角和这个角就是相等的关系，所以我们怎么找他关系？怎么画，这样用剪图来画就可以了，明白吗？然后呢？所以这个是对的，这个是错的。 二面角的平面角呢？是从棱上的一点出发，分别在两个半平面内做射线所成角的 啊？半平面内所做射线，刚说做射线所成角的最小的角啊，那当然不是啊，这棱上出发干嘛要垂直，对吧？不是所成角的最小角是一定是垂直，那个是确定的，对不对？垂直，所以这个是错错的。二面角的大小与其平面角的顶点 在棱上的位置没有关系啊，这个是对的，对吧？我们说这个顶点是可以任意取的，哪里都可以，所以这题选二和四。然后接着呢，就是我们面面垂直的判定，那其实这个就是我们说的，我们定义了二面角，我们只要是九十度就可以了。那我们这个地方说一下有些什么样的情景呢？比方说 教室里面的墙面，墙面所在的这个平面与地面所在的平面相交，他们所成的这个二面角是直二面角，我们常说墙面直立于地面上，那么一般的两个平面相交，如果他们所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直 啊，记作 r 法垂直于北塔，对吧？那么这个地方同学们说啊，半平面，半平面已经不重要了，因为它如果是垂直的状态呢，形成的两个半平面它都是九十度，对吧？那么画两个互相垂直的平面的时候呢？通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直。我们来看一下 什么意思啊？画两个互相垂直的平面的时候，这个就会比较有立体感，对吧？这个是我们的画法。 ok， 然后接着我们看建筑工人呢，在砌墙的时候，常用铅锤来检测锁器的墙面与地面是否垂直，如果系有铅锤的系绳紧贴墙面，什么意思啊？就说如果我们的这个，呃，木工师傅，我们要检测这个墙面 是否垂直于地面，他怎么做的？他垂下来一个这样子的，如果我们说右边的这个面，如果这条红色的绳子贴紧了这个墙， 那么我们就能认为这个墙面是什么是垂直的哈，这个方法我们说明了什么样的问题？因为我们刚才说我们定义了二面角，是啊，那个垂直是二面角，当二面角为九十度的时候，但是如果我每个场景都要去计算二面角等于九十度，就太麻烦了，所以我们有一个特别的判定方式， 那么这种方法告诉我们，如果墙面经过地面的垂线，因为铅垂下来，这一个红色的线一定是垂线， 那么如果墙面经过他的垂线，如果他紧贴的时候，就说明他经过，那么墙面就可以判定与地面垂直，这个是这样子的一个应用，类似的结论呢，在长方体当中可以发现，比方说在右图的长方体当中， 我们的平面 a d、 d e、 a e 啊，也就是说我们左手边紫色的这个经过了平面下面的这个绿色的垂线 a a、 e， 对 吧？这个 a a、 e 是 底面的垂线，而左边的这个面经过了它，我们就已经可以判定它垂直啊这样子的东西。所以 一般的我们有下面判定两个平面互相垂直的定律，如果一个平面过另外一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 符号语言表示为，对吧？这个就比较简单直接写出来。好，我们看。第二，在正方体当中求证 我们的平面 a 撇 b d a 撇 b d， 紫色的这个和平面绿色框的这个是垂直的关系，所以我们要很灵敏的看到哪些直线，我们是最好找的，应该能看到什么 b d， 我 们只需要去证明 b、 d 是垂直于什么？垂直于我的这个面 a c c 撇 a 撇的，而我的 b、 d 是 在这个平面 a 撇 b d 上的，那么这两个条件就足以让我去证明这两个平面是垂直的关系，所以这里其实只有两个，两个条件就能推反，而这个地方要五个，对吧？ 它垂直于两条相交的，而这个垂直这个 a a 一 撇呢？又垂直于它， a a 一 撇垂直于它呢？又要多一个步骤，我们要说明， a a 一 撇垂直于底面，它是底面的一圆，对吧？然后呢？这两条相交于点 a， 然后都属于这个平面，对吧？好，那这个地方在正方体当中， 然后呢，所以这个在正方体的对角线的关系， a、 c、 b、 d， 又因为 a、 a 撇和这个 a、 c 相交于 a， 而这两个呢，都在这个平面上五个条件，所以 b、 d 垂直于这个绿色的这个平面，而又因为又因 b、 d， 它在这个面 a 撇， b、 d 上面，所以这两个平面 垂直。看一下我们的表述哈，基本上这个表述是没有问题的，那么这个表述的语言它是精简的，怎么样去减少我们的书写？这个很关键，不要密密麻麻写一堆文章，然后还有一些点去是遗漏的，没有用的哈，数学不要嫌字多，一定要去精准、严谨、简洁就 ok 了，好吧， 然后看第三，如图，已知 p、 d 垂直于正方形 a、 b、 c、 d 所在的这个平面连接这些啊， p、 d 是 垂直的，它是一个 则一定垂互相垂直的平面。有几对？这里面就很考察我们有没有掌握到我们刚才的这个定律，我们怎么去找，我们怎么去找？我们一定要去有这个条理的去找。怎么样有条理去找呢？我们通过什么？因为 b、 d 垂直于这个里面，我们先通过线面，你看，我们通过线垂直于面， 然后呢，我们去找所有过 p、 d 的 平面来垂直于这个面， a、 b、 c、 d， 这样子我们就能做到不重不漏，对吧？过 p d 有 什么？有 p a， d， 有 p b d， 有 p c、 d， 所以 这个地方呢，我们找到了三个面的垂直关系，接着我们来看，同理 我们的 c、 d 和 ab， 它都会垂直于 p a、 d， 所以 那我们的 c、 d 和 a b， c、 d 和 a b 啊，这两条对吧？是平行的，它都会垂直于旁边的这个 p a、 d， 那 这里具体我们就不做证明了，对吧？这个也比较简单的证明，这个是直角，这个是直角，那么这个呢，我们就通过这组作为第二组 来找经过 c d 和 a、 b 的 都行，有什么有 p a、 b c， 有 a b、 c、 d 重复的，我们最后再排除掉它，我们最后再排除掉它。 第三组我们的什么呢？ a d 和 b c 啊， a d 和 b c 平行的两，这两个它会垂直于这个 p d、 c 的 这个面，那么这个时候呢，我们又找过 a d 和 b c 的 面，有三个，最后呢我们看 a c 垂直于 p d， b 啊，这个是很多同学可能会遗漏掉的啊，这个 p d、 b 和这个 a c， 那 么这个时候呢，过 a、 c 的 面会有两个，对吧？底面以及 p a c， 那 么所以这个地方怎么一共七对呢？三三三二，一共十一，那我们看一下重复的 p a， 这里出现了一个重复， 是吧？然后接着呢，这里出现了这三个都是重复的，然后我们来看一下还有什么啊？ pdc 啊，这个 pdc 和 a p d， 那 么和这个 p c、 d 这两个是重复的，所以 一二三四是重复的，所以十一减四等于七，我们就找出重复的部分就可以了。 所以这道题呢，关键要看我们是怎么样去把它分成四组的。如果我们要做穷举，我之前我说穷举也是有技巧的，同学们穷举也是有技巧的，所以我们要知道这个东西，我们在选 b 三就会特地的去讲这个点啊。 ok， 我 们的例四继续是课本的立体，如图， a b 呢是我们圆 o 的 直径， pa 呢？垂直于圆 o 所在的这个平面 啊？ pa 又是一个 pa， 是 垂直的 c 呢？是圆圆周上不同于 a b 的 任意一个点哈，随便的一个点，没有规则求证。我们的平面就是绿色的这个平面， 垂直于平面， b c p b c 啊，红色的这个平面，我们来想，当然，我们很容易能想到一定是跟什么相关，既然它任意，一定是跟我们初中所学的，我们直径所对的圆周角是九十度， 这个是相关的，对吧？那接着呢，肯定又跟 pa 平行于这个平面，那我们可以干嘛啊？ p 垂直于 pa， 垂直于这个平面，它就会垂直于 bc， 所以呢，我们就会知道这个是垂直的，就 bc， 它会垂直于 ac， 而 bc 呢，也会垂直于 pa， 那 这个地方呢？要去单独说明啊，在这个这个地方要有个证明，在这个地方，对吧？然后我们这两个相交 于点 a， 对 吧？然后这个和 pa 都在我们的 p a， c 上， 对吧？所有的这些，我们就能推动五个条件哈，这里两个哈，我们就能推出来 b c 垂直于这个面， p a c， 然后再加多一个什么，再加多一个 p c， 它包含于这个平面 p b c， 所以 得到 p a c， p b c。 平行 整个思维的脉络。你看，先这里拿整个思维导图，先从这里推出我们的这个这个结合这四个条件，我们得到了平行于平面，平行平面，再加多一个 b c， 得到了最终的，你看这个层级要很清晰，好吧，所以是这样子的一个东西，我们看一下， 直径所对圆珠角为直角，所以又因为，然后相交于 a， 所以 b c 垂直，平行垂直于这个平面 b b a c 又因为 p c 包含于这个面， p b c， 所以 这个很清晰很简洁的这个表达的过程，对吧？ 面面垂直的性质定律，面面垂直，我们来看它有什么样的性质定律。我们有以下平面与平面垂直的性质定律。第一， 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另外一个平面垂直，两个平面是垂直的关系。如果有一条直线 l 它垂直于谁？垂直于交线， 那么这条线呢，就会跟另外一个平面垂直。好吧，符号语言表达为这四个条件啊，同学们啊，再次提醒，不要被这些会发现，好多好多，是吧？我们说理解就可以了， ok， 面面垂直呢，还有以下的这个性质定律，我们去拓通一下。第一个呢，垂直于同一个直线的两个平面平行， 如果一条直线垂直于一个平面，那么其所有平行线也都垂直于这个平面。我们来看一下模型。首先我们来看一下第二个结论，如果一条直线垂直于个平面啊，这个是跟这个平面是垂直的关系，其所有的平行线，所有的平行线都垂直于这个平面， 好吧。第二个呢，是垂直于同一条直线的两个平面垂直于同一条直线，这个或者这个都一样，两个平面是平行的， 那么所以这两个结论呢，告诉我们很重要很重要的一个东西就是什么呢？这些性质，我们会发现一个一些一件事， 相对比线和面的平行关系，我这样也行，这样也行，这样也行，对吧？我的课桌我拿着一支笔，这样子也是平行，这样子也行，这样转都可以，所以没有办法，去干嘛呢？去锁定 啊，用了一个很通俗的词语，虽然一个平面的平行线和垂直线两者都是无数条的，但是垂直线的方向是确定的， 这个很多时候像我们玩的套圈圈，对，套圈圈啊，或者那些积木啊，对吧？一根棍子，然后套进去，我这根棍子我可以放在这里，可以放在这里，可以放在其他地方，但是只要是这样放它上面套的圈圈的这个方向就是 固定的，所以这个呢，我们有锁定的意义。这个给到后续我们解决平面的问题提供了重要的思路， 就是我们在后续的呃，那个选 b 一 的第一章，我们就会知道怎么去做平面的问题呢？我们要用法向量，就是不是用它平行的向量，而是用一条法向量，到时候就会讲这个问题，所以这些呢，都是我们一些理论的基础，好吧， 接着我们看例五，如图，已知平面 alpha 垂直于平面 beta， 直线 a 呢，也会垂直于 beta， 那 这个 a 呢，是不在平面 alpha 上的，判断 a 与 alpha 的 位置关系，当然我们从感官上面来说，从空间感来说，就知道它是平行的关系，那么我们怎么证明呢？我们来看一下，设 ar 加贝塔等于 m 啊，我们这个地方，因为在题目当中上面没有讲在阿法当中呢，做直线 b 垂直于 m 啊，我们做一个 b 垂直于 m， 那 此时因为阿法垂直于贝塔，而且呢 b 包含于阿法，我们哪里的结论就是前面我们说一个平面内垂直于它们相交的棱 的这条直线啊，它会垂直于另外一个平面呢？前提是两个平面垂直，所以我们就会得到 b 会跟 beta 垂直，而我们知道 a 跟 beta 也垂直。那前面又有结论，垂直于同一平面的两条直线相互平行， a 平行于 b， 然后接着我们就知道了 b 在 阿法里面，然后呢， a 不 在阿法里面，是吧？那么我们就能得到 a 会平行于阿法，简单的一个证明，对吧？我们会知道这个结论，然后是我们的例六，如图，已知 p a 呢，垂直于平面 abc， 底面 平面 a p a b， 就 绿色的这个面垂直于平面 p b c。 求证 b， c 垂直于平面 p a b。 当然我们这个条件，两个条件，这个条件应该一眼就知道 p a 垂直于 b， c 是 这样去使用这个条件的，那这个呢？我们要想一想。 那么从感官上来讲，我们是很希望能找到 a b 和 bc 垂直的，我们非常希望找这个，对吧？但事实上，我们没有条件能做到这样子的事情，我们就要用什么样的心智。我们就要过 a 做一条垂线， 那么这条垂线就会垂直于这个，能，这个时候我们就能运用这个条件，那么比方说这个是 d， 那 么 a， d 就 会垂直于这个平面 p b c， 那么进而 a d 就 会垂直于 bc， 那 么我们 bc 用哪两条直线来证明这个垂直的关系？用 a d 和 ap 啊，这两个相交的直线，对吧？我们要搞清楚。所以呢，过点 a 做 a， d 垂直于 p b， 垂足为 d 啊，这应该要加多一个垂足为 d， 对 吧？因为平面 p a b 加平面 p b c 等于 pp 啊，这是它们相交的一条能，然后呢？ a d 呢？又在这个平面 p a b 上面，所以 a d 呢？呃，会 垂直于我们的 p a p b c， p b c 啊，那接着呢？我们的 b c 在 这个里面，所以 ad 会垂直于它， 好吧，那这个就很好使用了。 pa 和 pc 的 关系，所以这里一个条件，两个条件，加多三个条件，三个条件，四个条件，五个条件，一共五个条件，我们就能证明，对吧？这个 b c 和这个平面的垂直关系。 好，这个就是我们的这节课，我们做一个总结，我们前面说了，我们的线线垂直，线面垂直，对吧？然后呢？面面垂直，两个平面所成角为直，二面角， 然后呢，如果一个平面过另外一个平面的垂线，这个是判定的方式，对吧？我们通过线面垂直来判定面面垂直，这本身 特殊，这本身也是一个判定方式，我们可以通过求得他们所称的角是指二面角，但这个东西呢，它更麻烦，比起这个要麻烦的多啊，对吧？所以我们一般用这个， 然后它的性质会有什么呢？线面垂直，两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，就他们的能，那么这条直线与另外一个平面垂直，我们会得到这个性质是关于什么？线面垂直，所以这是不是又有一个路径？ 我们想要知道线面垂直的时候不一定要通过线线垂直，我们这个路径他也走得通，对吧？像我们之前的立体，所以这个网络也是要慢慢去搭建，去搭建起来哈，这个就是我们的这节课，也是结束了我们的第八章的一个学习啊，我们下节课再见，同学们，拜拜。

本期视频来搞定立体几何证明。第二部分，线线垂直四大核心第一，特殊图形的直角常见有矩形、菱形、直角、三角形和我们的直角梯形。 图中所示的是我们常考到的会用于作为底面或者侧面的一些特殊图形。还需记住部分引直角，例如矩形中的十字架结构。这里需要用到我们的相似三角形辅助证明。 半圆或直径所对的圆周角是直角，最后圆的直径垂直于过切点半径的所在直线。 第二，本腰等边三角形三线合一，即角平分线、垂线中线三线合一。 第三，三角形边角定力、勾股定力力和直角所对正于学。第四，线面垂直的性质，记住两个口诀，线垂直，面则垂面类所有直线。第二，面面垂直找交线垂直于面。 以上就是线线垂直证明的所有内容，希望各位同学结合上期内容建立知识体系，接下来老师会带着你把立体几何变成自己的东西，高考拿下满分！

立体几何？在各位同学第一次听到这个概念的时候，会不会感到莫名其妙？尤其是当你看到这么一堆乱七八糟的毫无美感的线条的时候。 这是一个平面试卷啊，试卷上还堂而皇之的画了一个立体图形， 这就是诈骗。但是，高考毕竟不是大学的期末报佛教此时此刻就有搞懂的必要。所以，今天咱们用九分钟时间，让大家对二 d 试卷上的三 d 几何体的感受，不再是面对一堆错综复杂线条的和一位，而是真的能够一下子感知到几何体的真实模样。 首先呀，是这样一个经典的不能再经典的立方体。呃，这难道不是一个六边形吗？ 第一次接触立体几何，你要是不这样想才不正常。但是嘞，我们也不能总是这样想，而想要打破这样一个认知局限，其实也是相当之不太难的。 看到二 d 试卷上画着个三 d 几何体，首先不要生气，咱们把它从试卷里拿出来 观察观察，再观察。哦，原来是这么个样子哎，您不妨思考一下， 这条棱和这条棱，谁和屏幕前的你挨得更近呀？转体运动， 这一条和这一条，谁和屏幕里面的我隔得更近嘞？我想，聪明的你一定有了答案，给他放回试卷中。 哎，我又不太明白了，这虚线是个啥玩意？辅助线吗？准确来讲，这是透视线， 我们平时看到的都是实心物体，那人家立方体要闭月羞花，把那几条棱往屁股后面一藏，说，我就不给你看，有啥子办法嘞？ 哎，你不给我看，咱们可以强行透视一下。你看呀，这条在实心情况下来讲，无法被看到的棱其实一直都是真实存在的。 再切回试卷平面，所以立体几何中的虚线是确实存在，但是藏在里边我们看不到的，而且绝非个例。当我们拿出未来出境频率极高的正四面体，还是同样的道理， 观察观察，再观察！好，扫描完毕。 您认为这第一条棱和这第二条棱在你的视角应该把谁当做虚线呀？没错，聪明的你一定晓得了得，是第二条藏在后边， 接着难度再升一级，这是一个叫做棱台的玩意。老规矩，观察观察再观察， 左瞄右瞟，上瞅下看。此时此刻，请回答，这条棱 和这条呢？应该把谁当做虚线呀？答案是这一条，而这条更加靠近你的红色实线，肉眼可以直接看见，所以不用虚线。 再回到人类视角，你可以猜一猜他和他的几何关系。不过重点还是这条，这条，还有这条，他们各自是实线还是虚线呀？ 没错，都是藏在后面，需要透视才能看得到的虚线。好的，此时此刻，相信你已经是信心满满。我们再稍微变难一点， 这个玩意叫做正六棱柱，请仔细观察人类视角，并记在脑海中。试卷通常是不把我们当人的。 好的，亲爱的同学，请选择红色的 a、 橙色的 b、 黄色的 c、 绿色的 d， 哪些是虚线呀？ 紫 e、 粉 f、 褐色、记清河、灰暗梅花钩。这里面还有没有虚线呢？ 大家可以简单的验证一下，和您的想象是完美对应，或者有所出入，还是相互独立呢？ 但不管怎么样，能够看到这里，你已经很棒很棒了。而且啊，所有高考试卷上的立体几何全部都是开了天眼的上帝视角。对了，高中生偶尔也可以是上帝。就比如这样一个三棱锥 虚线，是一条真实存在的棱，藏在屁股后面。二四年的四棱锥红色虚线，从不是辅助线，而是切实存在却藏在几何体的内部或者后背的东西。 二五年的全国二卷大的圆柱桶，里边放了两个小球，并且容器顶上还封了盖 虚线呀，他比较害羞，咱们肉眼一下子看不见，但是呀，当你愿意一层一层的剥开他的心，你会发现他永远在这里默默等着你。好的，接着我们来看一下具体的考场应用， 说在正方体 a b c d 杠 a e b e c e d e 中角 a e d e c 的 大小为。 首先，我真求你了，不要一上来就认为他是一个钝角，我们闭上眼睛认真感受立体几何的美，感受他的真实建模。你看，是这样的，转导，转导，再转导， 这了吗？是一个直角。所以在我们最开始学习立体几何的时候，一定要培养这种能够在大脑中把物体旋转的能力， 而这个能力的培养只有一条路径，就是反复的看，反复的看这个几何体的转动过程。 接着我们来进一步研究刚刚说到的正四面体，也就是有且仅有的四个面都是正三角形的集合体。等边等边还等边。 棱 a c 的 中点为 q， 他 问角 a q b 切换为人类视角 几何体边转动，大家可以边思考这条棱和这条棱之间有什么关系？当然呢，重点还是丁方角 a q b 转动，转动，再转动。 当我们俯身从正四面体的头顶观望这个底板的等边三角形的时候， b q 这妥妥的垂直平分线呢。那么角 a q b， 它就是九十度？没错，这个看似不直，挺有点像钝角的 a q b， 它刚好就是九十度大小。 接着看更难的第二个问题，要判断角 p q b 和六十度之间的大小关系。黄色的角 p q b 好 说，这六十度上哪找嘞？ 哦，等边三角形的任意一个角都是六十度，咱们取这个还是那句话，用心感受。 当我们把点 q 看成一个 a c 棱上的动点的时候，这个点 q 他 越是接近 a， 这俩角度大小就越接近。那么你认为点 q 向点 a 靠近的过程中， 咱们感受一下黄色角度是不是越来越锋利，越来越尖锐，但是大小也越来越小呀？ 没错，无论向谁靠近，都要付出相应的代价，靠的越近，代价越大。所以由黄到紫，由大变小。黄色大角 p q b 大 于六十度，紫色小角 p a b。 好的，接着我们再来看难度更大的第三题，要比较三角形 p q b 和三角形 p c b 的 面积大小。既然红蓝俩三角形都是等腰三角形，那预示不决，咱们先设个腰， 哎，这又是面积又是邻边的，直接把夹角设出来。 那么这红色三角形面积，咱们是不是就可以借助前面解三角形才学的等于二分之一倍？第一方 sizeit 蓝色更简单， 并且咱们老早就晓得了，角 a q b 等于九十度。点 q 在 a c 上，越是向 c 靠近，红色的腰第一就越长，逐渐变大，向第二靠近。 但刚刚第二问也说了，越向 c 靠近，黄色 c 塔越锋利，角度越发的小，所以 c 塔是在逐渐变小，向六十度趋近的。 呃，一个变大，一个变小，折拐了，比不了大小了 欸。等会儿，红蓝两三角形都是等腰，而且还有共同的底， p b 底边取中点标记 n 等腰三角三线合一， n q n c 两条高线重见无缝，最简单的最高效二分之一底层高， 底边相同，都是 p b， 那 么就只用比较 h 一 和 h 二两条高线就能够间接的得到面积的大小关系了。还是那句话，请用心感受。 在转动的过程中，大家可以认真思考怎么比较两条蓝色线段的长度，是最好最简洁高效的办法。哎，我发现了，这个角度就是破局的关键， 它也是个垂直啊！谁曾想呢，角 n q c 居然也是个九十度角，把 n q c 彻底放平，斜边长于直角边大小比较也就完美搞定了。 在视频的最后，给大家留一道二四年的北京卷高考真题，希望你可以用心感受。我是佳树，希望本期视频能够对你有所帮助。

哈喽，同学们大家好，来到了必修二第八章立体几何初步八点六点一，直线与直线垂直，好，那么来到了我们的垂直，首先呢是第一个我们的线线垂直，线线垂直，最简单的一个，那么说到垂直呢，我们来看一下已知两条意面直线 l m。 首先呢，我们要知道就是垂直的问题，其实在很多情况下，它并不需要特别的去定义，因为只要角度， 我们两条直线所成的角度，他是九十度的时候，就是什么就是垂直了。但问题来了，我们这里的角度是两条异面直线的角度， 那么在平面当中他们能形成一个平面角，对吧？那么在空间当中他碰不了，怎么处理呢？那么这个处理思路跟我们的前两张我们刚刚学完的这个向量是一样的， 我们向量是怎么去做啊？因为向量本身它是干嘛？向量是自由的，它可以随意的平移，所以呢，用什么样的方式，我们用平行的方式来移动它到同一个起点， 那么相同的，我们经过空间的任意的一点 o 来干嘛呢？来做平行线，那么就相当于做平移了，对吧？相当于我们做了一个平移，那么此时这个角就是我们非常熟悉的在平面当中两条直线所成的角，那么我们用这个角来代表意面直线所成的角， 对吧？就这样子，所以我们此时把平行过去的两条直线，它所成的这个平面角叫做原来意面直线 l m 所成的角，好吧，就这样子， 好，那么我们要知道就是直线与直线相交呢，会形成两个不同度数的角，我们会知道，对吧？我们讲回来就是如果我们的直线线相交会形成第一个角， 第二个角，那么其中度数较低的，它就是直线与直线所成的角，其他 所有的所乘的角，包括平面与平面、平面与直线、直线与直线、向量与向量全都一样，所以呢，这个东西我会在后续跟大家总结两次， 在后面的两节课，我会在呃，后面两节课会总结一次，然后会在选 b 一 也会总结一次。就是很多同学在背角度的时候很痛苦，但是我们说是不需要背的，任何的角度都不需要背，只要我们清楚每一个概念的定义就可以了，它会形成角一和角二，它一定是取小的那个 他，他一定会取小的那个，所以我们通过道理就会知道他就是零到九十度啊，对吧？就这样子。那么如果两个异面直线，我们刚才讲我们只要定义了什么是异面直线所成角，那么他们的九十度，那么就是两条异面直线的垂直状态，对吧？那么垂直呢？同样用这个符号， 后面也都会使用这个符号，在空间当中我们的平行符号、垂直符号都没有改变，都没有改变好。然后呢，我们看另一 课本的一道立体，如图，已知正方体。这个当中第一个问题是哪一些能所在的直线和直线 a， a 一 撇垂直，我们会知道哪些能会垂直啊？ 第一个，两个、三个、四个，对吧？就是这里面平行的全部都垂直，所以我们在这里呢，我们是按组去找的啊，这里是第一组， 因为我们找到了第一个，所有的跟它平行的都会跟它垂直，那这样会更快，那么当然第二个我们快到 a、 d， 那 么看到第二组的时候呢？ a d 这一组所有跟 a、 d 平行的 四个都是这个为第二组，所以我们要知道通过平行的方式来寻找角度，所以这里一共有八条能，那第二个呢？就是求直线 b a 一 撇， b a 一 撇，这条直线与 c、 c 撇 它所成角的大小，怎么办呢？我们可以通过平移，对吧？那么其实就是看怎么平移更方便的，比方说我可以把 b a 一 撇平移到 c d 一 撇，可以吗？ 可以。但是无论是我们要去解释还是说呢，我们要去做起来比较麻烦，当然我们在县城当中，我们就会有一个 b b 一 撇直接它平行于 c c 一 撇，并不需要做辅助线，所以我们就可以直接就知道它四十五度啊，对吧？ 然后看到第三题，第三题呢，就是求 b a 一 撇与 a、 c 所成角的大小，那么这个呢，我们同样的有两种的平移的方式，我们可以把 b a 一 撇平移过去 c d 一 撇，是吧？ 那么这个我们要这样做，可以，或者说我们 a、 c 平移上来也都行啊，两个都可以， 比方说我们这么做，我们很快就能看得到它的三条边都是这个正方体其中的一个面，一个正方形的对角线，所以它们都是相等的，是等边三角形，所以是六十度啊，对吧？所以我们看把 ac 进行平移，那这个时候呢，我们连起来， 我们会就就会得到一个什么，得到一个等边三角形，那么就会得到它的这个角度是六十度，好吧，然后我们看第二继续是课本的中心，如图，在正方体当中， o 呢，是这个底面的中心。 好，我们顺便复习一下哈，我们前几节课讲这个底面，它不一定是底，上下的都叫底面，对吧？我们来求证， a、 o、 e 垂直于 b、 d， 我 们两个方向，是吧？那第一个呢，就是我们平移 a、 o、 e， 如果往下平移啊，这样过去出去了，对吧？那么我们 就只能这样子，出去就很麻烦。这个呢是中点，然后把中点给连起来，那这个时候呢，我们做了多少条辅助线？ 三条辅助线，然后我们当然能想到这个对角线的一半，对角线的一半，要证明它们是干嘛？要证明它们是平行且相等，这个就很麻烦，所以我们看一下，如果 b、 d 呢？ b、 d 当然一眼就能看到它平移到 b、 e、 d、 e 这个位置， 那这个角，那么我们就会发现这个东西当然要简单很多，是吧？我们要证明这两条要平行也很简单，在正方体当中，我们就会平行于 d、 d、 e 且相等，那么这个就是平行四边形，那么就能证明它们 上面的 b、 b， 呃， b、 b 一 和 d 一 和 b、 d 是 这个平行的关系，就能平行上去，那此时这个三角形 a、 d、 e、 b、 e 当中，它是个等腰三角形，我们初中就很熟悉了，等腰相三角形底边的这个中点，对吧？连线，这个是一个垂直的状态，是吧？连接， 那么在正方体当中， b、 d、 e 会等于 b、 d、 e 啊，所以呢，我们会知道它是一个平行四边形，等于且平行，对吧？一组对边相等且平行，然后所以我们就会知道这两条是平行的，就可以 认为 b b e， b e d e 和 a o e 所成的角就能代表一面直线， a o e 和 b d 所成的角，对吧？那此时这个就很容易能够证明它是等腰三角形，然后这个地方是垂直的，对吧？就这样子。 所以呢，我们最关键的一个核心就是平移来看。什么平移来看角度，而垂直呢？ 在空间当中并没有什么特别的结论。大家有没有发现，其实我们定义了角度就完了，我们的垂直只不过是一个特例，并没有说围绕着垂直有特别的东西出来，所以这节课的内容也是过得比较快， 比较简单的。好吧，同学们最关键要知道这个东西它的底层逻辑跟向量的平移是一样的。好，就这样子。那么这个就是我们的这节课，下节课再见，同学们，拜拜。

本期视频来看高一数学立体几何求平行六面体中一面直线夹角的问题。已知平行六面体里面呢是正方形，变成为二侧棱都是四，然后有两个角都是六十度。 现在我求异面直线 a c 和 d c 一， 也就是这两条蓝色虚线的夹角。首先求异面直线的夹角，想到平移给它变成平面角去求夹角，对吧？呃，好，我现在做哪条线的平行线最简单呢？我连接 ab 一， 那这个 a b 一 自然就是平行于 dc 一 的，对吧？所以那这个要求的 a c 与 dc 的 夹角就转化为了求 b e a 和 这个 a c 的 夹角，也就是求角 b e a c 啊，这个夹角的正弦值，看看怎么求呢？这两个六十度要用上，对吧？因为这个角 a e a d 等于六十度， 所以哪个角六十度呢？角 b 一 bc 是 六十度，对吧？因为角 a 一 ab 是 六十度，所以它的同旁内角 abb 一 是一百二十度啊， 那我要用两次余弦定理。首先在三角形 abb 一 中运用余弦定理，那这个 cosine 这个钝角角 b 一 b a 应该等于 ab 方加 b b 一 方减 ab 一 方，再除以二倍的 ab 乘 ab 一 带入已知。刚才说了角 b 一 b a 就是 一百八，减六十是一百二。 然后还有两条已知的边， ab 是 二， b b 一 就是 a， a 一 就是四。带进去以后可以得到一个只含有 ab 一 的一个方程，解出来 ab 一 的长是二倍，根号七。 然后下面再次运用余弦定律。这回在三角形 c b b 一 右侧面这个三角形中运用余弦定律。 刚才已经求出来角 b b c 是 六十度嘛，所以那 cosine 角 b b c 就 等于 b c 方加 b， b 一 方减 c， b 一 方除以二倍的 b， c 乘 b b 一 带入已知 b b、 c 六十度，再带入 b， c 等于二， b b 一 等于四， 得到一个关于 c b 一 的方程，解出 c b 一 是二倍根号三。现在咱们求出了 a b 一 和 c b 一， 最终要求的是角 b e、 a、 c 的 正弦值，对吧？那我想到先求余弦，再次运用余弦定理。这回在三角形 a c、 b e 中运用余弦定理 ac 比较简单，就是正方形对角线就是 cosine 角 b e， a， c 就 等于 a c 方加 a b 一 方减 c， b 一 方除以二倍的 a c 乘 a b 一 代入 a c 等于二倍根号二。 a b 一 等于二倍根号七。刚才都求出来了是吧？ c b 一 等于二倍根号三，得到 cosine 角 b e， a， c 等于这个根号是四分之三， 因为要求的是正弦。我没有画到最减啊，正弦就是一减， cosine 方再开个号，答案就是十。四分之根号七十。这道题就做完了。这道题一共运用了三次余弦定理才求得答案，大家理解了吗？

今天给高一的同学们讲一个学立体几何的方法，高一的同学现在应该都学到这个立体几何这章节了， 很多同学这个空间想象力比较差一些，有些题目怎么做特，特别是怎么做辅助线，经常这个想象不出来，那怎么办呢？我教大家的方法就是大家可以把这个立体的东西 把它转化为一个一个的平面的图形，就比如说我们要求某个结面的某一个角，那么我们就把这个这个结面，比如说结面是一个三角形吧，那我们就把它拿出来画成平面图形， 也就说在旁边画一个三角形，把它的每条边，每个对应的角都标上，把已知的角都标上，这样就看着更直观了。 把它转换成一个个的平面图形，它就转换成初初初中的平面几何知识了，这是我亲身验证。呃，挺好用的一个方法，大家可以试试。

方法，用对，效率翻倍！立体几何意面直线夹角到底怎么求？很多同学一碰到就间隙算向量，能做，但太耗时间，而且高一还没有学习空间，向量根本用不了。 别慌，今天教你平移法，两步搞定。记住，找平行线的两大武器，一是构造平行四边形， 二是三角形中位线，这是平移的底层逻辑。就拿这道刚好整体来说，正方体中 p 是 d 一 d 的 中点，求这两条意面直线所成的角。第一步，找平行线， 可以平移一条，也可以两条一起平移，只要线段端点都是几何体的顶点，优先构造平行四边形。连接 c 以 b 看四边形， a、 b、 c 以 d， a、 b 和 c 以 d 显然平行且相等，直接说明它是平行四边形。 所以这两条红色的线平行，那么两条意念直线的夹角就转化成 p、 b 与 b、 c 这两条相交直线的夹角。注意，不少同学找平行线全凭感觉，不用平行四边形验证，很容易找错角，答案自然出错，一定要先确认平行关系，再往下计算。第二步， 构造三角形求边长。设正方体的棱长都是二，那么对角线是二倍，根号二一半就是根号二。勾股定律可求 p、 d 等于根号六。 三边长显然满足勾股定律，那么这个角的余弦值就是二分之，根号三直接得出假角为三十度。这种平移法比间隙求向量快很多， 烤翅省时省力。关注我，下个视频教你构造三角形中线找平行。

好，同学们，咱们今天继续来看一下如何去求意面直线所成的角。就这个题而言，它给我们给了一个三楞柱，而且告诉我们高和每条底边的棱都是一样长， 然后并没有给我们给出来具体的长度，然后告诉我们了 d 和 e 是 两个中点，让我们求 b、 d 和 a、 e 的 所成角的余弦值。那么我们正常做这个题的思路其实就应该是在 ab 中点 取个点，在 a、 e 中点取个点，然后再在这这个边的中点再取个点，就相当于说我要把这个 b、 d 给他移过来，但是这样做法我们会导致这个图的辅助线非常多，那所以我们依然采用向量法，他告诉我们是个正三楞柱，哎，那我们上下底面都是正三角形，又告诉我们高和 边是一样长，所以我们首先只需要表示的就是 a、 e 向量，可以表示为 a、 c 向量加 c， e 向量，再表示 b、 d 向量是我们的 b， b、 e 向量加 b、 e、 d 向量，我们只需要表示为这两个向量，以后 把它们乘起来， a、 e 乘以 b、 d， 把这地方化简以后，我们就可以得到它。其实是因为因为 a、 c 乘以 b、 b 一， 这个 a、 c 向量和 b、 b 一 向量肯定是垂直的，随之是零， a、 c 乘以 b、 e、 d， a、 c 向量乘以 b、 e、 d 向量，我们可以把 b、 e、 d 向量平移到这个位置，所以发现 a、 c 向量和 b、 e、 d 向量，它们所夹角是三分之二排，那么我们写一下，它就应该是 a、 c 的 模， b、 e、 d 的 模， 再乘以三分之二半的余弦值，然后就是 c、 e 和 bb 一， c、 e 和 bb 一 是平行的，而且同向，那么直接写，再加上 c e 的 模， 乘以 bb 一 的模考三零，那就是一就不写了。最后一个 c e 和 bb e d， c e 和 bb e d 依然是垂直，所以我们就不用考虑。 到这一步以后我们发现，哎，所有的东西都是边长了，我们就直接设边长为 a 了，设边长为 a， 那 么这个式就会变成负的四分之 a 方，再加 二分之 a 方，那最后答案就是四分之 a 方，也就是说这两个向量的数量积是四分之 a 方。然后让我们求的是夹角的余弦值，那么我们就要算两个东西， b d 的 模和 a e 的 模，那么 b d 是 边的中点， a e 依然是边的终点，它俩肯定相等，他们应该勾股定，理解一下，就应该都是二分之根号五 a， 原因是我们随便看一个，这 b d 是 二分之一 a， 然后 b b 一 是 a， 一 比二比根号五，所以 b d 啊，所以 b d 是 二分之根号五 a， 那 么我们要求的这个烤三角， 它就变成了数量积，除以模之积。最后答案五分之一。

今天我们就主要来研究多面体，大家来给多面体能否下一个定义？好，有没有同学来说一下？杨丽涵 有许多个平面拼凑在一起组成的一个几何，许多个平面拼凑在一起组成的几何体。好，请坐。他的这个说法我们把它再完善一下，应该是由 若干个平面多边形围成的几何体，就把它叫做多面体，那么多面体的各个部分也有对应的名称，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面， 相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点就把它叫做多面体的顶点。那接下来我们就来研究几类特殊的多面体。首先来看一下棱柱，那请大家来观察一下下面一些几何体，哪些是棱柱呢？一 一二三二。好，那观察一下你选出的这些棱柱，你能归纳一下棱柱的结构特征吗？ 主要从哪些角度去描述棱柱的结构特征呢？请大家思考一下，小组讨论一下。好，有没有同学来跟我们分享一下你发现的棱柱的结构特征。周身头顶面和底面是平行，各个面都是平行，四边形 侧棱都相等。好，请坐。那还有同学补充吗？补充，一侧公平面，间侧面公共边，他都是平行， 很好，侧面公共边都是平行的。好，那么我们来思考一下，如果要描述棱柱的结构特征的话，其实我们应该从哪些角度去进行描述会比较准确一些？棱柱是多面体，组成多面体的是 这个面是吧？那从面的形状和面与面之间的关系进行描述， 我们首先可以发现棱柱的里面是平行的，有两个面互相平行，并且其他的各个面都是什么形状，都是四边形。嗯，好，在者 这些相邻的四边形，他们的公共边互相平行。大家注意，这里两个边指的是棱柱的底面，这里四边形做的强调，它其实指的是同一对象都是棱柱的侧面。好，那这样我们就给出了棱柱的定义， 一般的有两个面互相平行，其余个面都是 四边形，并且相邻两四边形，它的公共边互相平行。好，我们把满足这三个条件的东边体把它叫做楞柱，楞柱的各个部分也有对应的名称， 这两个面叫做棱柱的底面，对底面，这个叫棱侧。清楚，侧面，侧面，侧面，这个是棱对，统一称为棱，那这个就是侧棱， 这个点叫做棱柱的底点。好，棱柱的各个部分的名称我们知道了，接下来我们来分析一下，我们在对棱柱下定义的时候， 这几个方面主要是从棱柱的哪些部分去下的。定好，第一个两个面互相平行，指的是他的底面对住的底面， 其余各面都是四边形，指的是侧面相邻两四边形，公共边是这个棱柱的侧棱是侧棱，那么我们在表示棱柱的时候，使用的是它的两个底面进行表示，中间用一个杠号做连接。 那接下来请大家来动手做一下以下的说法是否正确，如果不正确，请同学们在导学案上画出觉得的反例。 好，小组之间可以互相讨论一下，分享一下你们的结果啊。好，请两个代表来分享一下你们的结果。第一题用同学来说一下 李金星，第一个可以是轮胎，你先说是对的还是错的？错的，反立式轮胎非常好，请坐。轮胎确实是满足两个面孔相平行，其余都是四边形，但显然不是棱柱，是吧？那第二个大家觉得对还是错啊？错， 有没有同学来分享一下？我把一个棱柱折一下，大家能想象到这个惊心吗？能想到请坐 这么一个几何体是吧？好好，大家来看一下，他，这显然不是棱柱。那我们从另一个角度去分析一下，这里有两个四边形的面，他们的公共边是 这条边，这里又有两个四边形，它公共边是这条边，这两条边不平行，对或不平行，所以它不是棱柱。那如果我要使它成为一个棱柱，那就要对它做一个什么处理呢？就是一个折了一下的棱柱，是不是只要把它掰直就可以了？好， 那大家来思考一下，现在要对棱柱进行分类，可以从哪些角度去分类？看一下这三个棱柱，它的底面 多边形的形状是不同的，所以我们首先可以按照底面的边数进行分类，分为 四棱柱和五棱柱等等。对于四棱柱来说，如果底面是一个平行四边形的四棱柱，我们又把它叫做平行六面体，其中长方体和正方体都是平行六面体。 那么除此之外，大家想一想，还可以从什么角度对棱柱进行分类呢？这里这三个图还有什么区别没有 斜的，还有直的，所以我们可以按照侧棱与底面的位置关系去分类。如果侧棱他不垂直于底面，我们就把这个棱柱叫做 什么？楞柱？斜楞柱？对，如果垂直底面，那就叫做直楞柱，直楞柱当中如果底面是正多边形的话，我们又叫做正楞柱，如果不是，那就叫其他直楞柱。 很好，好，下面我们来研究第二类特殊的多面体轮锥。现在老师手上有一个轮锥的模型，我想请一个同学上来用这个模型向大家去介绍一下，你发现的轮锥的结构特征是什么？有没有同学来 描述一下？刘文哲，他是底面为多边形，其余个面对三角形且共顶点的那个体。什么体？多面体是吧？好， 大家觉得他的描述怎么样？还有没有什么要补充的？有没有同学把他的描述可以再改进一下？好，他 描述的很好，请坐。他。其实刚才讲到了一个，我们可以类比前面棱柱的描述，我们是从棱柱描述的时候，是从面的形状和面与面之间的关系去做描述的。他当时他在描述棱柱的时候，他也讲到了 里面是一个多边形，侧面都是三角形，这是从面的形状上来分析的。那面与面的关系，这些三角形有个什么特点呀？这些三角形有一个公共点，是不是？所以我们对棱锥的描述，第一 要求棱锥有一个面是多边形，第二要求其余个面是有一个公共顶点的三角形。我们把满足这样的条件的多面体叫做棱锥。好，这样我们就给出棱锥的定义，有一个面是 多边形，其余个面是有一个公共顶点的三角形，那能追的各个部分也有对应的名称，这个面把它叫做能追的什么面面， 这个是轮锥的侧面，这个是他的侧呢？这个点是轮锥的对顶点好，在表达轮锥的时候，我们用顶点和底面进行表达，中间用一个杠号连接 好。接下来请同学们来做一下这道题，以下说法是否正确？如果不正确，大家还是在导学案上将对应的反例发出来，导致这里有两种模型，有没有同学 也用这两种模型来试着拼接一下，看能不能找到反例？还有其他同学自己动手画 好，可以和同桌身边的同学去分享一下。好，我们请两组同学来跟大家展示一下。好，第一个，哪一组同学愿意好一个一。先跟大家说一说对不对？法令是什么？这个不对，不对，你找到法令吗？ 反义是这样子的，这个个面都是有一个面都是，那反正这个满不满足第一位的条件，这样子，这样子，这是一个一个面是一个面是多边形，一个面都是三角形。 这个几何体大家发现没有，他是有一个面是，这个面是多边形，其余各面都是三角形，但显然不是轮锥，他不满足什么？他不满足第二个侧面的三角形有一个公共的顶点，其实你刚才做的那个也是第一问的一个反例， 大家看一下这个，显然他也不是一个轮锥，是不？他也满足有一个面是多边形，这里我们三角形面是不是也是属于多边形？他也是第一问的法力啊，很好，第二问，有没有同学来说一下来就 张天赐， ok， 首先啊，让我们看这个形状，这个是一个面，他是一个三角形， 这里也是，这里一个面是三角形，这里一个面也是三角形，这里也是，这个也是，这两个也是三角形，数一下，他总共有六个三角形。好， 这个其实就是我们刚才那个例子。哎，对，他也是满足各个面都是三角形好，请他也是满足各个面，但是不是轮锥是吧？对，好，下面请大家来看一下这两个几何体是否是轮锥。第一个是的， 他是一个几轮转转好，第二个是不是不是他们满足他们满足三角形交于侧面都是三角形，且交于同一点转。好，接下来我们对轮锥进行分类，可以类比前面轮珠的分类方式。首先我们可以从哪些 方面对轮锥做分类？轮锥的里面的多边形边数是不同的，是吧？所以首先我们可以根据里面多边形边的个数分为， 这是三轮锥、四轮锥和五轮锥。其中三轮锥是面数最少的轮锥，它一共有几个面？四个面，我们又把它叫做四面体。好， 那么除此之外还有没有其他的角度对准对准等嘞？我们首先看到是底面多边形边，那底面有没有特殊的形状呢？ 正多边是正多边形，对，如果底面是正多边形，并且它满足顶点到底面中心的连线 垂直于底面，这样的轮锥就把它叫做正的锥。好，接下来我们来看第三类特殊的多面体轮胎， 请大家来观看一下这个轮胎的形成过程，然后用文字语言把它描述出来。好，我们有没有同学来说一下你刚才看到的这个过程？陈奇涛，用一个 平行于底面的一个平面聚集平行于轮锥的底面的平面聚集轮锥，得到 下面那个东西就是轮胎，它这个说的是比较准确，非常好清楚，那我们可以把它变得更加的规范，我们来看这个过程应该是一个怎样的平面， 平行于平面的平面去截轮锥，截得的 一共有两个部分，我们取的是下面的部分，那描述就是用前面与里面之间的那部分叫做轮胎，那这其实说明轮胎它是由轮锥进行一个什么做 切割，更准确的描述应该是截取得到的。好，那下面我们就来看看轮胎各部分的名称， 这两个面，这个面是轮胎的什么？上底面，这个是他的下底面，哎，这个是侧侧面， 这条边侧轮，这个点是点点好表示轮胎，我们就用上底面和下底面进行表示，中间用杠号做连接。 好，下面请大家来思考一下下列的几何体是否为棱台，在你们的导学案上去做一下，可以跟同学们去讨论一下。好，我还是请两个同学来分享一下你的结果没有？同学来说一下。刘向北，你可以上来 大家来讲解一下。轮胎他是由轮锥结起来成的，所以他的侧轮延长之后应该会交于一个顶点，但是这一个他是没有交于一个同一个点的， 所以他不是轮胎。那其实说明我们轮胎的侧轮他需要交一点，延长之后要交一点，这样才能是由一个轮锥进去得到的。好 啊，第二个领军，因为轮胎是由一个平行于平面的平面截取而成的，但是可以很清楚看出上平面，上平面和下平面他是不平行的，所以他不是轮胎，你们点一下看，但是 他的侧轮先交还是一个平面，但是还是不是一个轮胎？说的好不好？好，他这里为什么不是轮胎？是因为他虽然是由轮锥结得的，但是不是一个平行于底面的平面结出来的。好 啊，根据这个题目和我们前面对轮胎的定义，大家来分析一下轮胎应该是具有哪些特殊的性质，同学来说一下吧， 你觉得轮胎有哪些性质？我们一条一条来补充。欧阳志奇，上底面和下底面是平行的，下底面是平行的，还有什么特点没有？上下底面除了平行之外两个相似，对，上下底面是平行且相似的多边形。很好，请坐，还有没有吭声？ 侧轮延长后交汇点。对，刚才那道题，我们看到侧轮延长后交汇点，那么侧面都是梯形。好，非常好，请坐。 那，其实我们可以发现我们轮盘的性质也是从里面侧面和侧轮去进行分析的，跟我们轮住的定义是不是不谋合？好， 那么我们还是来对轮胎做一个分类。那大家来想一想，可以从哪些角度对轮胎做分类？可以跟同学们去 讨论一下。好来看一下轮胎的分类。首先我们从什么角度去分底面？对，跟前面是一样的是吧？根据底面多边形边的数目分为 三轮台、四轮台和五轮台。那除此之外还有什么角度没有？对，我听到有人说底面的什么特殊 形状，如果底面是正多边形，也就意味着这个轮胎是由正能锥截取得到，那像这样的轮胎就把它叫做正轮胎。

今天我们用三 d 动画分析一下二零二一年新高考二卷第二十题，我们直接看第二问三百六十度观察一下图形。首先我们找到点溢在平面 b、 c、 d 的 摄影点一一。 因为平面 a、 b、 d 垂直于平面 b、 c、 d， 所以 过意做 b、 d 的 垂线垂足为一一一，即示意在平面 b、 c、 d 的 摄影。 接着过点一做 b、 c 的 垂线垂足为一二。根据摄影定律，角一一二一一及二面角平面角。所以我们得到一一一，长度等于一，一一二的长度等于三分之二三，棱锥高度为一，体积即可得。关注逐梦动画数学，带你轻松学习高中数学！