亮亮教数学二次函数整点个数问题

我是一次函数，我是二次函数，我是反比的函数。我们是初中数学函数模块三大核心考点，更是考试选择填空大题的高频易混坑点。你能分清我们的区别吗？ 我是一次函数，简单说，我就是最基础的现象函数，是函数世界里的比值大道。我的标准解析式是， y 等于 k， x 加 b， k 不 等零，并且 k、 b 为常数。 当 b 等于零时，我就变成了 y 等于 k， x 摇身一变成特殊的、正比的函数。我的图像永远是一条笔直的直线，没有弯曲，没有断点， k 决定我们的倾斜方向。 k 大 于零，直线从左到右上升， k 小 零，直线从左到右下降。 b 决定我和 y 轴的交点。 b 大 于零交 y 轴正半轴， b 小 零交负半轴。如果 b 等于我，就过远点。 中考考察重点，求函数解析式判断图像走势，求与坐标轴的交点，解决实际应用题。 易错点在于，总把我和正比的函数割裂，忘记正比的函数是特殊的一次函数，还容易把 k、 b 的 符号和图像对应错。我是线性变化， x 的 次数永远是一次，这是我最核心的标志，和另外两个兄弟完全区分开。 我是二次函数，我是函数里的抛物线，是中考压轴的常客，难度直接拉满。我的标准解析式为， y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 其中 a 不 等于零， abc 为常数， x 的 次数是二次。这是我独一无二的标签，谁都模仿不了。我的图像是一条抛物线，有开口、方向、对准轴、顶点三大核心要素， a 决定我们的开口方向。当 a 大 于零，开口向上有最小值。当 a 小 于零，开口向下有最大值，对准轴是直线， x 等于负二， a 分 之 b， 顶点就是整个图像的最高点或者最低点，也是我的中心了。中考考察重点画函数图像，求解析式分析函数图像的性质，最值问题，与几何图形结合起来考察各种综合大体。 很多人总把我和 e 函数搞混，记住，我有 x 的 平方向，图像是曲线，不是直线，有最直对称轴。线性变化里没有我的特点。 我和一次函数都是整式函数，取式范围是全体实数，这是我俩的共同点，但性质天差地别。我是反比的函数，我是函数里的双曲线，特立独行，和前两位兄弟完全不一样。我的标准解析式为， y 等于 x， 分 之 k， 其中 k 不 等于零， k 为常数， 我也能写成 y 等于 k 乘以 x 的 负一次方以及 x， y 等于 k 的 形式。我不是整式函数， x 在 分母的位置，这是我最鲜明的特点。我的图像是两条互不相交的双曲线，它关于原点对称，永远不与坐标轴相交。 k 决定我的图像象限。当 k 大 于零，我在一、三象限，当 k 小 于零，我在二四象限，在每个象限内外随 x 的 变化而单调变化，切记是每个象限内，不是全体实数。 中考考察的重点，求 k 值判断图像所在象限，比较函数值大小与一次函数综合焦点问题等等一错点，忽略取值范围。 x 不 等于零， y 不 等于零，跨象限判断增减性，总把我的性质和一次函数记混。我和前两者最大的不同不是整式 图像，是双曲线，有自变量取值限制，没有连续的单调性，可不要认错人哦，跟着亮亮无脑学习。

今天这期视频亮带你系统盘点二次函数压住最全的高频考题啊，这个就是我们初中阶段二次函数能考到的所有压住题的类型了。你像线段最值，面积最值，我们之前讲过了， 像等腰存在性问题，直角存在性，包括我们平行四边形存在性问题，我们之前也讲过了，所以今天我们主要把这个漏洞补上，也就是我们来讲区间最值问题，全国新增的百分之二十多的地区中考考的压轴题都是它，剩下有哪些是大家比较想听的，也可以在我们弹幕里面敲出来，亮亮火速更新。 好，我们拿出一道比较常规的区间最值问题啊。首先告诉你，抛物线的 y 与 x 方加 b， x 加 c， 那 么与 x 轴交于 a 点和 c 点， a 点坐标我告诉你是负一零的啊，与 y 轴交于 b 点，零负三，这个点是零 负三的第一问呢，比较简单，对吧？让我们求抛物线的解析式和 c 点坐标，你只要把这两个点带入，把这两个点带入，我们一定给求出来，也就 y 等于 x 方减二， x 减三。好，所以我们知道 c 点坐标呢，三离。 咱们今天是来学压轴题的，那第二问根本就没资格啊，我们直接来看这个题的最后一问。第三问 好，现在告诉你 x 在 某一个范围里面啊，说了相对每一个数，对吧？因为这里 n， 咱们也不知道告诉你，在这个范围里面呢，我们整个二次函数，它的最大值是 s， 能取到的最小值呢是 t， 当我的最大值减去最小值，也就 s 减 t 等于四的时候，让我们直接写出 n 的 值。 首先你得知道什么叫做区间最值，比方说现在我们给出一个二次函数，在某个范围里面，让求我的最大值，最小值，对吧？像这种问题，我们就把它叫做区间最值问题。那么对于所有的区间最值问题，我们永远是开过山车，就是开火车去对待它就可以了。 比方说你把二次函数的轨迹呢，这一段区间呢？把它当做我们的过山车，所以它总共有四种情况。第一种情况，也就是我们这个过山车呢，刚进入整个轨道里面，也就是 m 在 这里，对吧？ 我们的 n 在 这里。那么此时你会发现我们在哪取的最大角值呢？很明显在这里取的最大值，在这里取的最小值。第二种情况呢，就是刚经过我们的对正轴了，就是 m 在 这里， n 在 这里，对吧？最大值呢？依然在这里取到最小值呢？它不再是 n 的， 它在顶点位置取的最小值，对吧？好。第三种情况呢就是，哎，我们即将离开我们的对准轴， m 在 这里， n 在 这里，此时你可发现在这里取的最大值，在顶点处取的最小值，对吧？ 还有我们最后一种情况，也是我们这个车呢，即将跑出去了啊，就是我们 m 在 这里， n 在 这里，对吧？所以我们知道很明显在这里取的最大值，在这里取的最小值。我不管你是多么复杂的区间最值问题，我们只要分这四种情况讨论，我们百分百都可以轻松搞定。 当我们知道开过山车，此时这个题就会变得特别简单了。首先你观察这个取值范围，你会发现呐，大家都有 r n， 对 吧？ 我是二 n 加一，你是二 n 减一，我比你大几个单位，大两个单位，就是这个曲值范围的长度为二。首先我们知道整个抛物线的对正轴呢，是 x 等于一，那么接下来我们开始开过山车，那么第一种情况呢，就是刚进入轨道，整个车子呢，完全在对正轴的左边。 好，我们知道这个呢，就是二 n 减一。好，那这个呢，就是我们的二 n 加一，在这里取的最大值，在这里取的最小值。那我的最大值怎么求呢？我们只需要把二 n 减一带进去就可以了，也就是二 n 减一的平方减去二倍的，我们的二 n 减一，我们再减三， 那最终我们可以化简。等于四 n 的 平方减四 n， 再加上一，减去四 n， 再加上二，再减去三，最终你会发现，等于四 n 的 平方减八 n， 所以 也就是当 x 等于二 n 减一，我们的 y 一定等于四 n 的 平方减八 n， 那我的最小值呢？我只要把二 n 加一带进去就可以了，也就是二 n 加一的平方减去二倍的二 n 加一，再减三，所以最终我们求出来等于四 n 的 平方加上四 n 加一，再减四， n 减二减三， 所以最终平方等于四 n 的 平方减四。所以我们知道第一种情况，最大值减最小值。题目中告诉你等于四吗？这个是最大，这是最小，所以用上面的减下面的，那我们知道四 n 方减四方没了， 用负八 n 减去它呢，也就是负八 n 加上四高等于你的四，对吧？哦，所以平方我们求出 n 等于几， n 等于零， 那我们求完之后注意啊，我们还需要检验，因为你是把整个火车这个取值范围完全放在对称轴的左边来进行处理的。那你需要验证一下，当 n 等于零的时候，你这个火车是不是真的在对称轴的左边呢？把零带进去，这个是负一， 把零带进去，这个是一对，正轴刚好是一对吧，哦，也就是此时我们这个火车大概长这个样子，对不对？好，请问他满不满足我们的条件呢？一个是负一在这里，一个一呢在这里，很明显，负一在左边的确最大，你这个点移移移移到对正轴上，符不符合？ 符合，对吧？虽然它在对正轴上并不是完全在对正轴的左边，但是你会发现，依然在这里取得最大值，依然在我们这里，怎么样呢？取得最小值，对吧？所以它符合题。那么第二种呢，就是我们这个火车刚经过对正轴。好，此时呢，我们左边这个呢，是二 n 减一， 以及这个点的横坐标呢，是我们的二 n 加一，那么此时你会发现在哪取得最大值？很明显，在二 n 减一这取得最大值顶点处取得最小值 x 等于一的时候，取得最小值，对吧？最大值减最小值等于四，最大值二 n 减一 带进去，我们已经表示出来了，所以接下来我们只要表示 x 等于一所对应的 y 值就可以了。好，那么当 x 等于一的时候呢，把这个一带进去，一减二减三，所以我们可以求出来， y 等于负四， 所以我们知道第二种情况，我的最大值呢，是二 n 减一这里取的，所以最大值等于这么多。好，我的最小值呢，在一，这里取的就是最小值，等于这么多，二者相减，等于四， 四 n 的 平方减八 n， 我 减去你加上四，等于你最终的四，对吧？四 n 的 平方减八 n 呢，等于零，我们提个四 n 出来，那也就是怎么样？ n 减二等于零，第一个 n 等于零，第二个 n 呢？等于二，其实这个零我们刚才已经检验过了，对吧？可以，所以接下来我们只需要验证二行不行呢？ 行不行怎么去描述？就是你要知道，我是刚经过对准轴的，对吧？在左端点取的最大值，在我们顶点取的最小值，你看一下二的时候，是不是像这样的一个取值情况就可以了，你把二带进去，他是不是三呀？ 你把二带去，它等于几？是不是五呀？哦，三到五之间的三，会不会在对正轴的左边呢？不会，对吧？不符合 t， 哎，这个舍掉，而这个呢，跟我们刚才一样的重复了，所以我们就不再管它了，也就目前我们求出来的依然是 n 等于零。 好，接下来我们考虑第三种情况，即将离开对等轴，也就是这个端点呢，横坐标是二 n 减一，这个端点的横坐标呢？二 n 加一，很明显，在哪取得最大值？在这里取得最大值，在这里取得最小值，对吧？就是 x 等于一，取得最小值。 好，那么接下来第三种情况，我们去计算，你最大值对应的呢？二 n 加一，把二 n 加一带进去，我们已经求出来，哎，等于这么多，这个就是我们最大值， 最小值呢？一所对应的值等于多少？等于负四，对吧？哦，最大值减去最小值，四 n 的 平方等于四，好，我们验证一下，也就是 n 的 平方呢？等于一，我们求出来， n 等于正负一，对吧？ 好，正一负一，我们都去验证。我们先来验证，如果 n 等于一，你把一带进去吗？你这个是三对吧？你这个是一对吧？一到三之间，一不就在这吗？对吧？三差不多就在这里，对吧？这段的取值范围里面，呃，你会发现它就是二 n 减一，对吧？二 n 减一就在这里， 而这个呢，就是我们所谓的二 n 加一，对吧？这一段是不是在二 n 加一取得最大值？是的呀，是不是在顶点处取得最小值？是的，你会发现你只是左端点跟顶点是重合的吗？ 那既在顶点，又在左端点取得我们的最小值，所以它是完全符合的。 n 等于可以，那 n 等于负一，可不可以呢？我们验证一下，如果 n 等于负一，你求出来，也就是负三，对吧？ n 等于负一，你带进去，你求出来，你会发现它是负一的。负三到负一之间，我的右边都是负一了吧？这里一定在对称轴的左边，所以整个图像大概怎么样呢？长这个样子，我在不在右端点取的最大值呢？不在，我在不在顶点取的最小值呢？也不在，所以这个负一呢，不符合题。 好，接下来我们考虑第四种情况，即将飞出我们的轨道啊，就是在对准轴的右侧了。好，你这个端点呢，就是我们的二 n 减一，以及，你可发现这个端点呢，是我们的二 n 加一，那很明显，在这里取的最大值，在这里取的最小值，对吧？好，我们来计算第四种情况， 最大值等于几呢？把二 n 加一带进去， o 最大值是三方减四，最小值把二 n 减一带进去，那是三方减八 n， 也就是这是最大值，这是最小值。八 n 减四等于四，八 n 等于几呢？等于八牛顿求出来一一跟它是不是完全一样的，这里面求出来零，跟它重合了， 这里面求出来的 a 呢？也跟它重合了。所以我们最终的答案呢？等于零或者一 搞定，通过我们开过山车的方法，可以解决所有的区间最值问题。如果你说亮亮，哎，我也想开车，自己尝试一下，司机自己来解决。像这种题目，亮 亮已经把各种区间最值问题，像我们的动轴定区间呀，定轴动区间呀，动轴动区间等等等等各种练习题都放在我们评论区了，大家可以自行领取，跟着亮亮无脑学习。

假如中考像点菜选择题，第一道呢，我们就求相反数啊，因为我的学生我觉得比较单纯，经不起伤害。第二道考察哪个图形是轴对称图形啊，图形的简单一点啊，稍微复杂点我的学生就容易错。 第三道题我觉得就，呃，考一个那个平行线性质吧，就求什么同位角内收角啊，一眼就能看出来那种，那后面也就大概按照我们这个难度啊，难的我学生拿不了分对吧，他们不开心，我也不开心。 好，填空题第一题呢，我们可以上点难度啊，比方考这种多边形的内角和啊，但是不能太多啊， 四边形的角和就差不多了。第二题的话呢，我们就考一个科学计数法，后面的零呢，给四五个就行了，不要太多啊，太多了我的学生呢容易数错。那第三题呢，我觉得我们可以稍微上一点难度了，比方说考个伟大定义吧，我的学生其实还是有点东西的。 那至于大题的话呢，呃，我觉得第一题我们可以解一个不等式不等式组吧，我觉得他们应该问题不大啊。 好，那么第二题，第二题我觉得可以来到 e s 方程应用题啊，也出于同意，他们可能会更加熟悉一点啊。好，第三题的话，我觉得可以考一个全等三角形的判定与性质啊，但是你把这个条件要全摆上，就不用画辅线那种啊， 不然他就容易把我们卷子呢给整成八爪鱼啊。大体里面什么概率统计啊，数据分析啊，三角函数呀， 我觉得相冲应用题对吧。哎，相冲题目可以稍微多一些啊，当然题目条件不能多啊，多了他们容易乱，不知道怎么用。那几何的压轴题呢？我就觉得考一个圆的基本性质吧，不要搞什么复杂的证明啊。盯着我讲了那么多，他们到现在肯定都不记得了。压轴题呢？我觉得你不要为难别人了。 压轴题我觉得第一问我们就求一个。呃，对相中常规的求二三数解数式能拿一分是一分。行了，我觉得差不多了。哎，玩去吧，跟着亮亮无脑学习。

哈喽，各位同学，各位家长大家好，我是你们的亮亮了，非常开心能够给大家拍摄这么一条新书开箱的视频了。经过我们长时间的精心准备，我出版的第一本产品，也就是我们的巧姐初初数学 是现货上线啦，点击视频下方的链接，就能看到我这本巧姐初中数学的新书啦。那亮亮为什么要出这一套书呢？他是如何帮助我们巧姐初中数学的？它里面包含哪一百一十个高分方法？它跟其他的教辅书有什么区别？哪些学生适合像这样的一套书？今天我用一条视频给大家讲透。 喂喂喂，很多学生跟我反馈，亮亮，哎，我很多几何压轴题不会做，辅助线不会，几何模型不知道怎么处理。你要知道，在我们整个初中阶段，有很多很多各种的啊，一些学校不讲，但考试选考，而我们又不太会的各种几何的综合题型， 他们其实都是在某些模型的基础上，增加条件，减少条件来呈现出来的各种题型。所以亮亮想到，我们要把大家平常不会的几何模型，几何辅助线的构造，我们想要给大家全部梳理清楚。 那当然，你们在整个学习过程里面，你还经常遇到了呃，什么最值问题啊？将军一马对吗？单线段最值呀，圆中最值呀， 翻折变换的最值问题等等。还有呢，我们整个初中的函数像一次函数呀，反比的函数呀，二次函数呀，咱们这本书给大家全部梳理清楚，也就是从我们初一上学期开始， 一直到我们初三的下册，我们六本书里面所有的重点的方法技巧，我们在这本里面全部展示出来，总共一百一十个高分方法。 我们市面上的教辅书很少有单独讲这种几何模型的，那更不要说把我们整个初中三年所有的几何模型汇总在一起，像这种书非常稀缺， 就算你几何模型学会了，你最值问题也未必会你会的最值问题，你可能还单独去找我们函数的技巧。所以呢，把我们整个初中一百一十个高分方法全部放在这里面了。 我们这一百一十个高分方法呢，它包含六十个几何模型，十八个动点最值，包括还有三十二个函数技巧。你千万不要觉得说我们是不是要等到初二才学习几何模型呢？其实不是的啊，那你看我们初一学习这种线段角度的时候呢？ 什么双中点模型啦，角度中的双角平分线模型啊，一直到我们平行线里面的铅笔、猪蹄、锯齿、鹰嘴模型等等，我们所有的几何模型是完全按照我们整个初中三年学习顺序来进行梳理的。那比方说，那紧接着在我们三角形中的八字模型、飞镖模型、高分模型、 双角平分线模型，从第十一个背上中线一直到第十五个，截长不短，它是我们全等中的几何模型。 那从第十六个到第十八个呢？那是我们勾股定律中的几何模型，那从第十九个一直到我们第三十二个爪形图模型，前面所有的呢？都是我们四边形中的几何模型了。当然紧接着你会发现这里面是我们圆中的几何模型，甚至你会发现里面有辅助圆， 那后面呢，就是我们的相似呀，乃至我们整个初中阶段额外需要给大家拓展的，可能和三角函数有关的，可能和我们拼接思想有关的逆等线段，包括在我们很多压轴大题里面能够快速得出结论的陀罗密定律，梅涅劳斯以及我们萨瓦定律等等等等。那么紧接着就是大家比较怕的，我们动点最值，给大家罗列了 十八种模型，也就是对应的方法技巧。那么紧接着第三个板块，函数，我们有三十二个专题，从我们的一次函数，一次函数，我们能考到的所有知识点，在这里全部给大家梳理清楚了。紧接着从第八个一直到第二十二个，我们有十几类二次函数中的像二次函数，面积问题啊啊，最值问题啊， 嗯，比例问题啊，临界值啊，存在性的问题啊等等，全部给大家梳理清楚了。后面呢就是我们反比的函数呀，三角函数呀，包括需要给大家拓展了二倍角，半角哎等等等等，全部给大家梳理的清清楚楚，明明白白。 也就是这样，把我们从初一到初三三年六本书里面的所有考试的重点全部梳理在我们这一套书里面了，所以我把它称作我们初中数学的一本通， 你会发现我们整套书呢，他有两本，左边这本呢就是我们主要用来学习的，而右边这本呢，就是我们的答案与解析啊。那么我给大家展示一下，你看我们第一个板块，他是几何模型对吧？咱们几何模型总共有巴拉巴拉，总共有六十个，行，我们随便选一个，比方说我们就选 我们整个四边形中的，嗯，十字架模型吧，我们这里面跟其他书籍设计的，我个人觉得，呃，区别比较大的就是我们会，首先呢会给大家展示我们的方法，比方说 十字架木形总共有四类方法，正方形过顶点型的以及正方形不过顶点型的、矩形过顶点型的以及矩形不过顶点型的，哎，我们会把它处理清楚。大家平常可能会有这种困惑，就是这个方法呢，我学了， 可是在具体题目中呢，我不会用，哪怕我看的出来，下子我可能变一下，我又不会了。而我们这里面做了一个模型，秒杀模型识别的一个板块，你看像这种题型他就满足每一个图形，那他满足我们图形一就是满足这个条件，如果看不出来，你可以对应回去，再看一下对应的图形一， 你就可以知道了。后面呢就是我们在这种例题里面给大家去梳理清楚。之后呢，我们还有对应的模型演练， 你得学会练好。为了方便大家学习呢，我们就有一本答案解析了十字架模型给大家展示一下。那在这里面那第二十七个我们分开了，大家看答案的话呢，可能就更加方便一点。大部分的题型我们会有两种方法，比方说像这种题型，那首先呢我们会有一个怎么样呢？常规的方法 啊，就是通用方法，就是我们一般的标准呢，他会怎么说呢？他会像这样，这样，这样，对吧？好，那我们如果用模型方法，我们怎么去判定呢？啊？就会像这样，你们看非常的短，一样的道理，那我们再来看一下，这是我们的第二题，也是一道序号类的题型啊，在这里， 而你会发现呢，我们用第一个通用方法，你会发现，哎，还比较长，对吧？但是如果我们用模型方法二的话，你会发现我们可以非常快速的判断某些结论，这个就是我们的特征啊，有知识讲解， 有我们的模型识别，而且还有怎么样呢？我们有标准方法和我们的模型方法两种，怎么样呢？对比方法啊，大家可以选择自己喜欢的，学习更多的一些底层逻辑。那么在最直这里呢，亮亮也给大家举个例子，比方说我们就第九个吧， 长方体的爬行锥之问题，好，我们找到它，哎，你会发现我们就有模型解读，就我们在学完对应的方法技巧之后，一样的，我们有模型秒杀，对吧？你比方说你用这个模型，你会发现我们根本就不需要做太多的分类讨论，可以快速得出答案。一样的，我们会有两道例题， 好，那么接下来你就需要自己去模型演练了好吗？翻到答案，那一样的，你比方说在这里面，我们具体的例题呢？第一题，那在这里面我们有常规的方法，就是用常规方法，你应该怎么做，你应该怎么去写。 那如果我们用所谓的模型方法，我们刚才所讲到的，你会发现这个答案呢，它只有一小段，同样的，比方说我们的第二、第三，第四题，对吧？每一个题目呢，它都有通用方法跟我们的模型方法。我们会有两种方法，包括我们的第三题呀， 包括我们的第四题啊，你会发现都是一样的。好，那么第三个板块函数专题，我也给大家举个例子，比方说大家呢比较怕的第十个好不好？二次函数面积之比的问题，就是你要知道在我们整个二次函数里面呢，我们会经常遇到各种面积问题，对吧？哎，让你求面积之比呀，让你求面积之比的最之问题啊。 其实你要知道，在整个函数里面所有的难点，其实本质上还是跟我们的三角形，四边形呀，对吧？等等来进行结合，那面积之比也不例外， 你会发现我们把所有面积之比的场景方法都把它撸裂出来了，那对应呢？我们有这种所谓的模型秒杀方法技巧，对应的题型呢，也给大家分成了四大类，那么在这里就不给大家展示我们的答案了。到这里有些同学可能就会说了，亮亮，那如果我单看这个东西我还是看不懂，或者我想要觉得更加透彻一点怎么办？ 哎，我告诉你，整本书一百一十个高分方法，每一个方法都有亮亮亲自为你录制的视频讲解，在我们整个书的这里呢，我们就可以直接进去了啊，进去之后，比方说，哎，随便翻一下，亮亮我这个平行四边形面积模型不会呢，那么在这里面我就给你讲解 那一样的，随便翻一下，那第四十五个模型击在河上飞，我看这回我脑袋都大了，能不能给我稍微的快速的讲解一下，我觉得你的十秒获数非常好用。好，那么在这里呢， 我们就可以直接找到我对应的视频，每个板块都可以听亮亮的亲自讲解，相当于手把手教你学会一百一十个高分方法。那亮亮我有了这套输出，我是不是就可以被各种大招来直接秒杀难题呢？ 千万不能有这种想法，你要知道，在我们县级段，我们所有考试的难题都是在某些图形的基础上，增加条件，减少条件，来呈现出千变万化的不同的题型，所以我们需要额外的学习各种几何模型了，辅助线的构造啊，二维结论等等。那么首先你要学会怎么去证明他， 怎么去识别它，怎么去区分它，那最终在我们这个题目里面呢，就应用它，就把它消化吸收了。所以我们整个三年同步的所有的方法技巧，我们全部会跟大家讲到。当然了，我们学习那么多同步的方法技巧，最终目的呢，就是迎战中考了，而这本书我们也能够做到轻松应对。 那么相信大家听完之后，对于我们整本书就有一个大致的了解了，从我们初一上学期开始，一直到我们初三的下册，我们六本书里面所有的重点的方法技巧，我们在这本里面全部展示出来。你想我们初一的学生，如果你买了这本书，恭喜你啊，你可以直接使用三年，对吧？ 那你想想，从我们整个初一的哎，我们要学的几何模型呢，都在这里，而且我们初二即将学到的各种几何模型，包括我们的最值问题呢，全部都在这里，而且还有我们未来的函数，我们都可以怎么样的学到对应的方法技巧？那如果你说亮亮我是初二的学生怎么办？你正是学习几何模型的黄金时间， 那么拿到这本书，首先把前面非常重要的，比方说全等常见的这种常规的模型， 我们把它给怎么样读起来。那么剩下我们正在学的你，期末考试极有可能用到了各种四边形的模型呢。啊，我们也同步的学习，那么未来我们整个初三的模型呀，动点对折呀，包括我们接下来的所有的函数呀，他们全部都可以派上用场。 亮亮，我跟他们不一样，我初三了，我马上就要中考了，这本书对我来说啊，可能有点晚了。初三的学生，你可以把它当做一本冲刺书，也根据你当地的一些命题特点来选择我们自己需要的内容。 你想想我们所有的最值问题，乃至我们的几何模型，还有我们各种函数的方法技巧，你只要在中考考场上用上一个，那我们就物超所值了。我们希望能够真正帮助到每一个被数学困扰的人。点击视频下方的链接，就能看到我这本桥姐初中数学的新书啦，跟着亮亮无脑学习！

十秒钟搞定一道压轴题！给出一个固定的二次函数，与坐标轴交于 ab， 两点连接 ab， 产生固定的依次函数。让我们在抛物线上找一点 q， 使得三角形 qab 的面积等于三角形 pab 的面积。 这个利用常规方法比较麻烦，但如果我们知道巧用平行线，那就完全不一样了。那我们不妨在抛物线上找一点 q， 连接 q a 和 q b， 也就是我们要使得这个三角形的面积等于 pab， 也就是这个三角形的面积。 此时你会发现两个三角形有一条公共的底边，也就是 a、 b 是这个三角形的底边，同时也是这个三角形的底边，两个三角形底边公共，所以我只要使得高相等就可以了，也就是 p 点到 a、 b 的距离和 q 点到 a、 b 的距离相等。那我怎么样才能使得距离相等呢？给出一组平行 线，我们知道平行线间的距离处处相等，如果你这个线段是 h， 那我这个线段一定也是 h。 我们要使得 p 点和 q 点到 a、 b 的距离相等，所以我们只要过 p 点做 a、 b 的平行线就可以了，也就是这两条直线平行，那么它与抛物线的焦点就是我们要的 q 点。 那这个 q 点坐标怎么求呢？两直线平行， k 相等，你这个 k 等于负一，所以这条直线的 k 也等于负一，因此我可以写成 y 等于负 x 加几的形式。那后面这个数字是几呢？因为我们经过 p 点，所以可以把坐标二九带进去，横坐标是二，纵坐标是九，所以我们求出来后面数字是十一。 已知二次函数和一次函数的表达式，而 q 点是二者的焦点，所以我们可以拿出他们的表达式去构造方程，最终求出来 x 一等于二， x 二等于三，这个二指的就是 p 点的 横坐标，所以 q 的横坐标是三，而 q 点在这个函数上面，把三带进去，我们可以求出纵坐标等于八。如果你以为这个题就这样结束了，那你就太天真了，我在下方能不能有一点 q， 使得这个三角形的面积等于撇 b 的面积呢？很明显是有的，那像这样的 q 点怎么找呢？ 给出一条直线，把它往上平 m 个单位，再把它等距离往下平 m 个单位。因为我们平移的距离是相等的，所以这两条垂线段的距离也相等。这条直线的表达式是负 x 加五，我的表达式是负 x 加十一，二者的关系是向上平移六个单位， 所以我们只要把绿色的 ab 等距离往下平六个单位，向下平六个单位，我们只要在表达式后面对应减六就可以了。所以我的表达式是 y 等于负 x 减一。此时这个直线与抛物线有两个交点，一个在这里 把抛线延长，另一个 q 点在这里已知二次函数和一次函数的表达式，所以我们可以构造方程求出焦点，最终我们求出 x 一等于负一， x 二等于六， 也就是他们的横坐标分别是负一和六。把横坐标带到一次函数中，可求纵坐标分别是零和负七。此时我们就把所有的 q 点全都找出来了。搞定。

一个视频搞定一次函数，整个初中数学所考察的所有考点都在这里，我们今天一次性通关，听完这期一次函数，彻底搞懂，准备好了吗？七个考点，我们现在开讲。 好，那么首先来看一下第一个，也就是图像与系数啊，就是我们给出一个一次函数，那他的图像如图所示。什么叫图像与系数呢？就是你要知道，给出一个一次函数，对吧？他的 k b 啊，对于函数图像有什么影响？嗯，好，现在问题来了，你可以推出 k b 的 正负， 请问另外一个意思是， y 等于 k， x 减 k， 它的图像大致是以下中的哪一个？那首先我们知道，因为图像从左往右是下降的，所以我们知道这个 k 呢，它一定是个负数， 你与 y 轴交于正半轴，因此我们知道呢？哎，你这个 b 一定是正的，但这个题呢？因为你这个 b， 他 根本就不考，他只有什么？只有 k， 对 吧？ k 是 一个负数，所以我们知道你前面这个系数呢，一定是负的， 对吧？那你这个 b 是 负 k， 你 不要觉得是 k 啊，这个负 k， 我 们知道啊， k 是 负的嘛，所以这个负 k 呢，它就是正的 o， 也就是你所谓的依次向的系数负的，所以你整个图像，也就是你如果画出来草图，应该长长什么样子？ 负的，所以从左往右是下降的，对吧？但你与外周交于正半周，与外周交于正半周，从左往右是下降的，所以你会发现选哪一个？ b 不 对吧？ c 不 对吧？ d， 你 从头往右下降，但是你交于怎么样呢？交于负半轴了，对吧？所以都不对。因此这里面你发现符合选项的只有 a 选项，但这个题你会发现，我个人觉得啊， 他对我们的口点挖掘的并不充分。喏，你比方，如果是我的话，我可能会画一个这个，再画一个什么的， 画一个像这种，对吧？嗯，这个是一，这个呢？哎，这是一，这是二，对吧？你觉得哪个对？好像你用这个正负极判断，好像每个都可以，对吧？但你要知道，其实我们这个一函数，你仔细观察一下，如果你令 y 等于零，也是求它与 x 轴的交点，有办法你移过去呢， 我们可以求出来，对吧？你这个移过来，负 k， x 等于负 k x 等于 x 等于，就这个一次函数，它与 x 轴，对吧？交点的横坐标百分百是一，那这里面标出来了，所以这里我们选的是 a 选项。搞定 好，接下来我们再看第二个啊，就是用待定系数法求我们的一次函数。好，那么首先我们给出一个一次函数，嗯， 当 x 在 一到三之间的时候呢？我们的 y 是 二到六之间，那么请问 m 的 值等于多少？我告诉你，这个题呢，分两类同学。一类同学说，亮亮，你看一到三的时候，我的值是二到六，所以也就是当 x 等于一的时候，对吧？ y 一定等于二， 以及当你 x 等于三的时候， y 一定等于六。把这两个点带进去，不就结束了吗？嗯，为什么呢？不能这么想，为什么？因为这里面 m 是 正的，而负的，你知不知道？你不知道，所以它的图像有可能像这个样子，有可能像这个样子，对吧？所以它有两种情况啊。亮亮，我早就知道有两种情况， 两种情况对应着两个一函数，所以你答案就有两个，对吧？所以这个题肯定选 c。 如果你这么想，哎，也是错的，那我们怎么去处理呢？首先分类是对的，因为你这里面不知道 m， 对 吧？我的图像是往上而往下的，所以我们考虑第一种情况，当我们图像呢？嗯， m 大 于零， 你整个图像也就是像这样，对吧？上升的。好，那我们知道你一到三的时候，对应的是二到六，所以我们知道啊，也就是像这个样子，那你这个是一，对吧？ 那你这个是三，现在你对应的是二到六，就是一所对应的外值是二三所对应的外值呢？是六。我画了一个草图啊，所以你会发现这个点的坐标呢，也就是一二吧， 这个点的坐标呢，也就是三六，对不对？好，但你会发现，我们整个一函数里面，它只有一个未知的参数 m， 所以 你只需要一个点坐标就可以把 m 求出来。比方说我们把一二带进去， 你把一二带进去，横坐标一，也是 m 减四， m 等于几呢？等于纵坐标二，对吧？等于纵坐标二，所以你求出来 m 等于几，也就是这边呢，是负三 m 负三， m 等于二，所以求出来 m 等于几呢？你这个求出来， m 等于负的三分之二，对吧？ 好，接下来你把这个点带进去，按理说你 m 应该也等于负三分之二，对吧？好，接下来你把三带进去， 三 m 减四， m 等于几？等于纵坐标等于六，也就是负 m， 对 吧？等于六，所以我们觉得 m 等于几？ o m 等于负六，那就说明什么？说明也就是把这个点带进去呢？ m 等于这么多，把这个点带进去呢？ m 等于负六，那你说你这个一乘以一 y 等于二，当 x 三 y 等于六，你觉得可能吗？ 绝对不可能，对吧？所以第一种情况他是不符合提议的，产生矛盾了，所以接下来我们考虑第二种情况也就怎么样呢？ m， 小 林，我们这个图像呢？哎，从左往右下降的好，在一到三的时候，你看看一到三，那很明显，一所对应的就更大了，对吧？你这个三所对应的反而更小一些。 一所对应，你看看，在整个方位里面，我是二到六的，你说明这个点，他的纵坐标是二，以及你这个点的纵坐标呢，是六，对吧？ 嗯，所以也就是你发这个点呢，他是一六，而且你这个点呢，是三二，是不是？那么接下来你会发现，喏，把这个点带进去，也就是 m 呢，减去四 m 等于几？等于六，对吧？ 你这个等于负三 m 负三 m 等于六，所以我们知道，你求出来， m 等于几？ m 等于负二， 那如果你还经过这个点，这个点带进去，你除了 m， 应该也等于负二，对吧？好，你把三二带进去试一下， 三二带进去，也就是三 m 减去了四 m 等于二，你这个求出来，负 m， 负 m 等于二，所以你算出来怎么样？ m 也等于负二，对吧？行不行？行，因此我们知道，也就是 m 呢，它只有一个值，也就是负二。所以这个题我们选择 b 选项搞定，要分类，但是我们要排除掉其中的一种。 那么有些同学呢，一直傻傻分不清楚，函数到底该怎么拼啊？其实所有的函数呢，大家只需要记住八个字，叫做左加右减，对吧？以及呢？我们上加下减，但你要注意啊，就是你这个左右加减， 它是在 x 上完成的，而我们这个上加下减呢，它是在我们表达式 上面完成的。好，那么接下来买什么意思呢？举个例子，比方说，我们有一个函数，也就是 y 等于二 x， 你 干嘛？你往右移动两个单位，对吧？我们说左加右减，所以你往右移动，你就应该怎么样呢？减二，我在哪减二呢？ 在 x 上面减二，你 x 减二，你这个 x 减二之后， x 就 会变成什么？变成 x 减二， 理解了没有哦，所以整个函数平移之后，它就会变成 y 等于二倍的 x 变成 x 减二了。好，接下来往上移动四个单位，我们说上加下减吧，你往上，所以我们就加，对吧？加式在哪加呢？在表达式上面 往上移动四个单位，所以在表达式上直接加四搞定。那最终你化简可得， y 等于二， x 减四再加四，所以等于几呢？等于二 x， y 等于二 x， 选哪一个啊？因此你会发现，选 a 搞定。 这个题考的就是函数与不等式，它没有任何的计算量，但是你需要去理解，你不理解，你可能都不知道答案怎么来的。好，给出一个一次函数，给出一个一次函数两个。哎，我就把它标一下，好不好？比方说这个一次函数呢，我就把它标成红色的 y 等于 k， x 加 b， 而剩下这一条呢，我就把它标成蓝色的，也就是 y 等于 mx 加上 n， 就 像这种形式。好，就像这样好，其实你会发现，在图形里面，我们可以看出来，二者会有个焦点，而且这个焦点的横坐标呢？是负三。好，请问 那么这个不等式它的解集是什么？那有没有同学说，亮亮，我要把这个，对吧？把这个直线表达式求出来，把这个直线表达式求出来，带进去。哎，我们就构造一个不等式，把这个不等式解出来就可以，如果你这么做就太麻烦，而且很多题目你是求不出表达式了，那该怎么办呢？ 其实你有办法， k x 加 b， 不 就我的外值吗，对吧？而我们右边这个 mx 加 n 呢， 它不就是这个蓝色一次函数它的表达式吗？哦，也就是这两个函数，对吧？红色函数小于蓝色函数。大家记住啊，像这种题，你只要记住一句话，叫做焦点左右望，谁大谁在上，你会发现这两个一次函数它会产生一个焦点吧？ 哦，焦点的左右就是大家大小的分界点。好，那你会发现红色小于蓝色， 所以红色应该在下面，蓝色图像应该在上方，就在焦点的哪一边，我们整个蓝色在红色图像的上方呢？ 哦，你会发现在焦点的左边，你这个蓝色在红色的下方，那不行，在焦点的右边呢。哦，你会发现， 喏，我的蓝色是不是在上，红色是不是在下，蓝色在红色的上方，所以这一边可以，对吧？所以焦点左右望，哪边满足？右边满足，焦点的右边满足。所以呢，我们的取值范围也就是怎么样？ x 大 于等于注呀，这里有等于号，对吧？就两个一次函数，它们可以怎么样呢？相等，所以你这个焦点满足的大于等于负三。搞定 好，接下来我们处理一次函数里面的最值问题，那首先给出一个坐标系，有一个菱形， a、 b、 c、 d 菱形，我们知道四边相等，对边平行。好，现在 a、 b 两点呢？它都在 x 轴上面， d 点在外轴上面啊， d 点在这， 嗯，点 c 呢？在第一项键，我们看得出来。好，现在我告诉你 a、 d 的 表达式等于这么多，那想想 一条直线的表达式告诉我们之后，我们可以求什么呢？首先可以求它以 y 轴的焦点，不就是你后面这个东西吗？对吧？所以 d 点坐标我们知道是零四的，那怎么求 a 点坐标呢？其实很简单，你令整个函数，对吧？ y 等于零， 解这个方程就可以了，所以我们知道也就是三分之四， x 加上四等于负四，所以我们求着 x 等于几等于负三， 也就是我们知道 a 点坐标呢，一定多少？一定是负三零，对吧？我写这里啊，负三零，其实也就是我们知道你这个边是三了，以及我们知道这个边等于几呢，这个边等于四，对吧？就 d 的 总坐标， 所以通过勾股定律，你可以求出来整个边是不是五呀？哎，我们就写在旁边好不好？哎，我们知道零时的边上这个边是五，可不可以？好，那么接下来我们继续往后了。好， 现在 p 是 b 边上一个洞点， p 点在整个对角线上动来动去的。哎，菱形有什么特点啊？好，现在那么 ap 加 o p， 它的最小值 啊，就是 p 点是个洞点，连接 o 点，连接 a 点，对吧？求这两条线段制合的最小值。好，比方说我把这一条边呢，把它标做红边。好，剩下这个 p o 呢，我就把它标做一条蓝边，比方说你是个蓝边， 也是，接下来我们要干嘛？要使得红边加蓝边，两边之隔最小，那很明显它就是一个将军一马问题嘛，我们要么做 a 关于 b、 d 对 称点，要么做 o 关于 b、 d 对 称点，都可以，但是哪个更简单呢？我们知道 菱形，它是个轴对称图形，对吧？ a 关于 b、 d 的 对称点就是 c 点哎，所以你会发现，喏，你是对称的，那么根据对称性，我们知道连接 p、 c， 那 么这两条线段一定相等， 所以也就是我只要舍得这一条红边，加上这个蓝边，两边这个最小就可以。那如何最小呢？其实你要知道，屁是一个动点嘛，他就相对从 c 点出发，走走走走，走到 b 地边上再走走走走走，回到 o 点，对吧？ 从 c 点出发到达 o 点，但是你要经过 b、 d， 两点之间线段最短，所以你直接连接 o、 c 是 不就可以了，对吧？你要经过 b、 d 边上的 p 点，那不就顺手的事吗？所以你会发现，最短路径呢，就是线段 o、 c 的 长度。那问题呢， o、 c 怎么求呢？ 非常简单，你要注意啊，因为你这个角是直角吗？坐标系哎，你外轴垂直于 ab， 你 这个外轴一定就垂直 dc 了，所以也就是这个角一定是直角啊。那最终你会发现，喏，在 c、 d、 o 这个大大大大的直角三角形中，一个直角边五， 剩下一个直角边呢？这个边其实我们刚才标出来了，它是 d 的 中坐标，也就是四，对吧。所以你会发现，通过勾股定律，你的平方 加上怎么样呢？我的平方在开方吧，所以我们求出来就是我们整个 o、 c 的 长度，对吧？选哪一个？根号四十一所，我们选 a 搞定。 其实我们整个一次函数里面的应用题非常多，但是我拿出非常具有代表性的一个调用问题。好， 现在我们将甲、乙两厂的生产设备运往 ab 两地啊，把甲厂乙厂有些设备呢运到这里，这里，对吧？哎，搞事，现在甲厂有六十台设备，乙厂有四十台。好，写出来。就甲厂呢，总共有六十台，你这个乙厂呢？总共有四十台，对吧？加起来一百台。 那 a、 b 需要多少呢？你会发现我们这个 a、 d 需要七十台。哎呦，我需要七十台哎，你都得给我对吧？好， b、 d 需要三十台。那你想想， a、 d 和 b、 d 总共加在一起，我需要一百台吗？ 我们总共有一百台，而你刚好需要的也是一百台，也就意味着假场和遗场所有的设备要一台不剩的全部运出去，对吧？好，现在每台设备的运输费用呢？如表所示，什么意思呢？就是甲运到 a， 每台呢，要七单位，是什么？七百元？甲运到 b 呢啊，每台需要十个单位。乙运到 a 呢，需要十个百元，对吧？ 以运一台设备去 b、 d 呢，要十五个百元啊，就这个意思。好，现在是从假场运往 a、 d 的 设备有 x 台， x 为整数，你不说我也知道，对吧？好，就是假运往 a、 d， 你 运了怎么样？运了 x 台对吧？好，那我想问一下，请问其他的我们能表示吗？百分百可以表示出来，你是 x 台吗？我们刚才说了， 我们所有的设备你要一台不留的全部运出去，对吧？我总共六十台，我往 a、 d 用了 x 台，剩下是不是都得用往 b、 d 去啊？用六十减 x 吧，所以你用往 b、 d 的， 甲用往 b 的 一定是六十减 x， 有 这么多台，对吧？所以你会发现哦，甲用往 b、 d 不 就出来吗？ 六十减 x 台，好问题呢，你用 a、 d 的 呢？其实这里面我们都会表示，为什么呢？因为 a、 d 需要七十台嘛，你给我送来了 x 台，所以剩下你需要给我补齐多少台？ 七十减 x， 嗯，就是这个意思啊，它要七十减 x， 需要这么多台，明白了吧？好，接下来 那么这块怎么表示呢？你有两种方法，第一个 b、 d 总共需要三十，你这个乙需要送多少呢？你用三十减去它，哎，你会把三十减去六十减 x， 我 们求出来等于多少？ 等于 x 减三十，这是第一种方法。第二种方法干嘛呢？我乙总共有四十台，我往 a、 d 已经用了这么多，所以我剩下是不都得用往 b、 d 啊？一台不留嘛，所以你用它减去它，你可以试一下。哎，你用四十减去你，对吧？ 七十减 x， 你 求出来也是 x 减三十 o， 不 管用哪一种方法，你需要的是怎么样？以往 b 运这么多台，所以你想想，以往 a、 d 运的呢？以往 a、 d 运的也就是七十减 x， 以往 b 运的呢？ 以往币运的怎么样？也就是 x 减三十。好，表示完毕之后呢？接下来让我们设计一种调运的运输方案，要使得总运费最低，并求出最低费用是多少。行，我们就利用这个费用呢，我们另他是 y 好 不好？那这个费用怎么表示？ 你假用往 a、 d 总共用了 x 台，每台是七个单位，对吧？哎，你就说七个，你说真讨厌。七百元也是怎么样呢？七 x 加上你用往 b d 呢？哎，每台多少？十个百元，总有这么多台，所以用十乘以它，说白了就是加了十倍的 六十减 x， 加十倍的六十减 x， 让我们再加上什么呢？一样的喏， e 往 a 运了这么多台，每台需要这么多钱，我们乘一下就是整个代数式吧，加上十倍的七十减去 x， 那 最后呢？ 以往币呢？运了这么多台，每台需要这么多钱，所以乘一下就是这个代数式，所以我们加上什么呢？加上十五倍的呢？也就是 x 减三十。好，所以最终我们需要做的干嘛？就是把整个式子，把它给求出来，我们来试一下啊， 等于七 x 加上六百，减去十倍的 x 加上七百，然后减去十 x， 然后怎么样呢？加上十五 x 再减去四百五，等于这么多。 好，所以最终我们求出来等于多少呢？来，我们算一下啊，七 x 减十 x 负三 x 再减十 x 负十三 x 加十五 x 呢？ o 总算是正的二 x， 对 吧？好，接下来 六百加七百，一千三，一千三减去，你呢算你最终求出来等于多少？八百五，对吧？哎，最终答案呢，比较简洁，也就是我们最终的费用是二 x 加上八百五。好，那问题来了， 你要去求它的最大最小值，你是不是得知道 x 取的范围才可以啊，对吧？你不然怎么求费用呢？ x 等于一百一万，一千负一负一百你都不知道，对吧？那范围怎么求呢？其实这种钓鱼问题，范围非常好求干嘛？你只要使的夹往 a、 d、 b、 d， 以往 a、 d、 b d 你 调用的这所有的台数的数量大于等于零就可以了，对吧？比方说 x 大 于等于零，哎，你要舍得这个东西， x 大 于等于零， 其次呢，你要保证这个东西大于等于零，对吧？也就是六十减 x 大 于等于零，我们就说 x 呢，小等于六十，其次，你这个东西你调用的不能是负数吧， 你最起码得大于等于零，对不对？你大于等于零，七十减 x 大 于等于零，所以 x 怎么样呢？ x 小 等于七十，还有什么你，对吧啊？ x 减三十，你得大于等于零， x 呢？得大于等于三十，所以也就是你会发现 no 同大取大，所以取值范围多少？也就是三十。小等于 x 同小取小，所以呢，小于等于六十。好，这个就是我们 x 的 取值范围。那你要知道我们整个 e 函数 k 是 大于零的嘛，所以 y 随着 x 的 增大而增大， 我要费用最低送你 x 越小越好。 x 小 到什么程度呢？嗯，最小三十嘛，对吧？所以也就是当 x 等于三十的时候，对不对？当 x 等于三十也就怎么样呢？他让我们设计方案 这个班我们直接说啊，就夹往 a 里，对吧？你这个是三十 x 三十嘛？你这是三十 x 三十，你这是四十， x 等于三十，你这是零，明白没有？这么去调运，哎，一定是最省钱的。呃，最少的费用多少？把三十带进去， 二乘以三十呢？六十加上八百五，我们求出来等于九百一十，单位怎么样？百元，你是百元，我也答百元啊，好吧。哎，开个玩笑了，就是我们平常这个答题的时候你要写啊，没有这种对吧？哎，九万一千元搞定。 其实像这种题，我个人觉得比较简单，无非就是把我们熟悉的东西呢放在里面。我们首先来看一下前面小问好，我们给出一个一次函数，它的图像呢，分别交 x 轴、 y 轴于 ab 两点啊，交 a 点、 b 点。其实通过这个一次函数，我们可以求出来，就像上一题一样吧， 我们知道 b 点坐标呢，是零三，以及呢？另外等于我们求出 a 点坐标呢，也就是负四零，我们把它标注出来。好，问题来了， 点 c 是 a 点，关于 y 轴的对称点，所以我们知道这个点的坐标呢，也就是四零，好 过 c 点做 y 轴的平行线啊，其实说白就是做 x 轴的垂线，对吧？嗯，交于 d 点，所以我们知道 d 点横坐标也是四，而 d 点在整个直线就是在它上面横坐标四，把四带进去， 你是三再加三的，所以我们知道 d 点坐标是四六的， p 是 整个射线 c d 上一个动点。注意啊， 射线 c d 就 意味着我可以在线段 c d 上，我可以跑到线段 c、 d 的 外面去，对吧？但不能在这啊，在这呢就叫直线 c d 了。好，第一个求地点坐标，我们已经搞定了。 好，接下来我们看第二问啊，就是把整个三角形 a、 d， c 呢？沿着我们 a p 翻一下，对吧？啊？把它翻过去干嘛？使得 c 点 的对应点 c 撇啊？你这个对应点 c 恰好落在直线 a、 b 上，让我们求这个点 p 的 坐标。其实这个题呢，你用等面积法可以，你用勾股定点呢，也可以，比方说，通过我们前面这个图，我们知道整个底边是几， 整个底边是八，对吧？哎，整个底边的长度一定是八，而且我们知道，那通过地点坐标，咱们知道这个边的长度是不一定是六，没问题吧？所以我们知道整个斜边一定是十八六，八十吗？你是把这个三角形，对吧？ 哎，你把这个三角形，你把它翻过去，你这个边是八，所以我们知道这个边长度一定也是八，并且你这个角九十度，所以这个角也是直角，说白了他也是个直角三角形。 与此同时，我们知道你整个斜边是十，拿走八个单位，所以这个边是二。好，你让我求 p 点坐标，其实说白了， 它的横坐标几？ c 的 横坐标是四嘛？所以整条直线横坐标都是四，所以我们知道 p 的 横坐标一定是四，我只要求纵坐标 c p 就 可以了，对吧？好，那么此时我们大胆引入未知数，比方说另这个边是 x， 你把它翻过去了，你这个边 x， 所以 我这个边也是 x， 你 整条线段长度是六，所以我们知道这个边六减 x。 最终你会发现，在这个直角三角形中，用勾股定律，你的平方， 也就是 x 平方加上你的平方，对吧？一定等于什么？等于它的平方，也就是六减 x 括起来的平方。那最终呢，我们可以求出 x 方加上四等于三十，六减十二， x 加上 x 方，对吧？ 好，左右两边我们哐当，哐当也就是十二， x 呢，等于三十二，所以我们求了 x 等于几。除以十二， 也就是除以四，三分之八，哦，也就是 c p 的 长度呢？三分之八，所以我的纵坐标呢，也就是三分之八。 p 点坐标搞定。 好，我们看第三个，如果直线 o p 啊，就是连接 o 点跟 p 点，那 p 点在上面动来动去，比如 p 点，你就在这吧，可不可以？好，你连接一下 o p， 哎，延长，对吧？哎，你会发现二指头会产生一个焦点。好，焦点是我们的 q 点在哪？不知道。 好，当然它呢，不能跟 d 点重合好，是否存在 p 点，它有什么要求呢？你这个 p 点使得 c p q， 哪个 c p q？ 哦，干嘛也是我连一下对吧？我把这个擦掉，哎，我连一下 是吧？ c p q， 这个三角形面积等于二倍的 d p q 等于这个三角形面积的二倍。有没有这样的 p 呢？如果有，求 q 点坐标，如果没有，请说明理由。好，你其实你想想啊，就是你有发现这个三角形跟这个三角形 它有什么联系呢？它的高是公共的，你过 q 点往这边做垂线好不好？比方这个是 h， 哎，把这个 b 擦掉啊，哎，这个 p 在 这里，明白没有？哎， p 点在这呢，连接 o p， 焦点 q 点。好，你会发现我们这个三角形能看到吗？它的底边是 dp， 它的高是什么呢？ h， 而我们这个钝角三角形，一样的底边呢，是 c p， 高呢？是 h， 所以 你有发现这两个三角形它的高是公共的，相等的，重复的，对吧？所以面积比呢，一定等于底边之比，底边之比，我的面积是你的二倍，说白了，也就是我们知道底边一定是你的二倍， 对吧？就是 c p 等于二倍的 d p， 而大家不要忘了啊，所以你发现面积关系，其实我们可以怎么样呢？把它变成我们的， 哎，线段的比例关系，对吧？哎，你刚才屁点在这，大家不要忘了 d 点坐标，它是四六的，四六就意味着整条线段是六，你把它分成二比一的两部分，所以我们知道整个长度一定是四，明白了没有？ 哎，也就是你这个屁点坐标呢？横坐标是四，对吧？纵坐标呢？还是四？好，那接下来你让我求 q 点坐标， q 点咋求？所以你看把图形，把图形补全，对吧？ q 点差不多在这， 那经过 o 点，经过 p 点，所以它是个正比的函数，对吧？那我想问一下，整个正比的函数大家可以求出来吗？ 那四四，所以我们知道它是 y 等于 x， 没问题吧？求正比的函数，你只需要一个点，四四代均没有问题。好，而我们知道这条直线的表达是多少呢？ 那 y 等于四分之三， x 加上三，所以我们知道知道 p 点坐标， 求出正比的函数，那求二者的焦点。剩下我觉得简单了吧，就是 x 呢，等于四分之三， x 加上三移过去四分之一， x 呢，等于三，所以 x 等于几？ x 等于十二，就是 q 点这个焦点，对吧？ 哎， q 点焦点的横坐标是十二，纵坐标呢？你可以把十二带到这里面去，你可以把十二呢带到这里面去。哎，带这个更快，对吧？所以我们求出 q 点坐标呢，十二，十二。好，那接下来问题来了，你要知道 q 点怎么样？ 它在整个射线 c、 d 上运动，它除了在这条线段上呢，它可以跑到外面去，对吧？那比方说呢？哎，差不多就长这个样子吧，可不可以好？连接 o p， 对 吧？连接 o p 怎么样？它这个与直线 a、 b 的 交点呢？这是我们的 q 点， q 点在这 好干嘛呢？哎，我们连接一下， c p q 是 哪个？ c p q 不 就是这个三角形吗？它的面积等于什么？等于 d p q， d p q 啊，就这个三角形吧，就是我这个大三角形，是你这个小三角形面积的二倍，一样道理呢？你会发现，你过 q 点做垂线，对吧？ 你会发现这个三角形，你把它当做底，它的高是不是这条垂线段一样的？你这个三角形呢？你把 d p 当做底，我的高是不是也是这个垂线段？所以整个大三角形的高是这么多， 你这个钝角三角形，这个小三角形高也这么多。两个三角形高是重复的，相等的，完全一样的，所以它们的面积比其实就等于什么呢？就等于它的底边这里，所以就是整个大三角形，它的底边 c p 是你这个小三角形，对吧？哎，它的底边 d p 的 二倍，也就是我是你的二倍。说白了， d 点就是整个 p c 的 中点， d 点坐标，大家不要忘了啊，是四六的好不好？所以你要知道整个是六嘛，所以这个也是六，也就是它的坐标是四十二，那一样道理。 它是一个正比的函数，经过圆点，经过 p 点，所以我们可以非常快速求出来，它是 y 等于三 x， 对 吧？横坐标四带进去，纵坐标是不是十二？ 好，接下来呢？和这条直线产生交点，对吧？这个直线我们说的是 y 等于四分之三 x 加上三的，所以接下来 求这个正比的函数和这个一次函数二者的交点。所以构造方程也就三 x 呢，等于四分之三 x 再加上三，所以把这个移过去，嗯，四分之九倍的 x 呢？等于三，所以我们可以求出 x 等于几， x 等于 三分之四。 o， 也就是干嘛？也就是你这个焦点 q 点，对吧？我们求出来焦点，哎，就是我们第二个 q， 它的横坐标呢？是三分之四的，那纵坐标呢？你可以把三分之四带到这里面去，你可以把三分之四带到这里面去，你会发现我们的纵坐标等于四。 搞定，也就是最终我们满足条件的 q 点呢，就这两个。好了，一次函数的核心考点就这些，哪块不熟，倒回去再看一遍。亮亮也给大家准备好了一次函数的练习题，赶紧去领取练习起来吧，跟着亮亮无脑学习。

这道题啊，九五的孩子都做不出来，很多孩子看到题目就放弃了，其实只要掌握一个模型就能秒出答案了。来看一下这个图形的构造，是不是很熟悉？没错，就是费马点，根据费马点的性质，直接套用公式， x 等于 a 加 b 除以二， 它等于根号下一层 b， 所以 这里 x d 值为负一， b d 值为二。那这道题我们就做完了，你学会了吗？关注我，我是可可，教你更多初中数学的高分方法，让你考试多拿分，家长少操心！ 嘟嘟一百一十分高分方法，全国通用数学压轴题函数技巧！

每天一分钟学会压轴题，给出一个二次函数和一次函数相交于 a b 两点。问，在外轴上是否存在一点 c 是 三角形， a， b， c 是 等腰三角形。这道题的标准答案是什么样子的呢？是不是脑袋瓜子已经嗡嗡的了？但是如果你会用代数法，那这道题就会变得轻而易举了。 给出任意一个三角形，我们设它三边，分别为 abc， 要使它成为等腰三角形，会出现三种情况，也就是每条边都当做一次底边，另外两条边当做腰，使它们相等，于是能得到这三个式子。其次，两点间坐标公式。我们都知道，为了计算方便，我们将它变形一下，成为这个样子。 此时回到题中，我们首先需要将三角形 abc 三个点表示出来，因为抛物线和一次函数已知轻松可得 ab 两点坐标。由于点 c 是 在外轴上运动，我们设它为零到 m。 根据两点间坐标公式，我们能得到三条线段的表达式，此时只需让他们两两相等，即能求出 m 的 值。最后，不要忘记检验所有坐标，你会发现其中一个坐标点是和点 b 重合并设区。最后答案不就出来了吗？同学们，你学会了吗？

一分钟搞定二次函数线段最值问题，给出一个抛物线点 p 在 线段 b、 d 上运动，点 m 在 抛物线上，且无论怎么运动，始终有 pm 平行于 y 轴，求线段 pm 的 最大值。如果这道题你想到的是当点 m 在 抛物线顶点时取最大，那基本上凉凉。因为题中让求的是绿色线段最大值，并不是点 m 到 x 轴的最大值。 那该如何解决呢？其实非常简单，首先大胆去设未知数，你让我求 pm 的 最大值。这两个点都是动点，但由于 pm 平行于外轴，所以它们的横坐标一定相等。我们设两点，横坐标为 a， 又因为点 m 在 抛物线上，所以它的纵坐标就是将 a 带入到抛物线的解析式中，得到这一串。 同理，点 p 的 纵坐标只需将横坐标 a 带入到直线 b、 d 的 解析式即可。由于抛物线已知，轻松可得， b、 d 的 解析式为这一串。 此时两点坐标已知，横坐标又相等，求 pm 的 距离只需将两点纵坐标相减即可。化简后得到这个式不难发现，这是一个二次函数表达式，且图像开口向下必有最大值。根据顶点坐标可求得 a 等于二分之三，代入这个表达式， pm 的 最大值不就算出来了吗？同学们，你学会了吗？

亮亮的二零二六年初中数学难度天花板压住特训卷他来了！我花了整整三天时间，把我们二零二六年全国重点名校一模真题翻了个底朝天。哎，不是随便找几道题凑数，而是把所有的基础题、送分题、重复题全部提掉， 只留下那种你做错了也不知道自己错在哪，你做对了也说不清楚为什么对一模二模三模将反复出现，中考还在变着花样考的隐形十分题。 啃透这一张试卷，你会发现，以前那些看到就头皮发麻的压轴题，开始变得有迹可循。别人丢分的地方在你这就变成了你得分的地方。从八十五分冲进一百二十五分。也许你就差这么一张试卷了。拿去下载打印吧，跟着亮亮无脑学习！

hello， 大家好，今天呢，讲解一下二次函数过定点问题。首先呢，解释一下什么是定点，找定点呢，就相当于找 x 为几时，能求出 y 的 具体值，即该定点是与参数无关的。具体什么意思呢？ 我说，比如二次函数 y 等于 a， x 平方加 b， x 加一，要是定点与参数 ab 无关，是不是我们很容易发现，当 x 等于零的时候，此时 ab 这两项都没了，所以能求出一个具体值， y 等于一， 所以它的定点就是零。一。好了解了什么是定点过后，那我们找定点有哪些方法呢？首先， 特殊值法，其实我们刚才令 x 等于零的时候，它也是一种特殊值法。但假如我再写一个 关于 ab 的 代数式， a 加 b 等于一的时候，让你找它的定点，当然你会发现，当 x 等于零的时候，它也成立，那还有没有呢？其实也不难看出，当 x 等于一的时候，即 y 等于 a 加 b 加一，此时就可以整体代入了，这个等于一，所以就等于二， 所以它还有一个定点为一，二，这就是特殊值法啊，即找到一个特殊值，能让二次函数中所含的参数都消失掉。但是呢，这种方法它有一种弊端，比如给你二 a 加 b 呢， 你思考后可以发现，当 x 为二的时候，你其实也能整体代换，但再给你一个一百 a 加 b 呢？哎，好像有点困难了，那再给你一千 a 加十 b 呢？ 糟了，我的分解法好像失灵了，所以我们更常用的一种方法是分离参数法。什么意思呢？解释一下， 这是一，然后第二，我就以 a 加 b 等于一为例，我是不是可以改写一下，即 b 等于一减 a， 然后二次函数是不是就变为了 y 等于 a， x 平方加一，减 a 倍的 x 再加一， 然后整理一下， a， x 平方加 x 减 a， x 加 b。 现在重点来了，什么是分离参数呢？就是将参数给单独提取出来，所以就等于 a 倍的 x 平方减 x， 再加 x， 再加一，然后近点与参数无关，所以我们要让参数所乘的因子为零，是不是就与参数无关了？所以我们可以得到 x 平方减 x 等于零， 即 x 乘以 x 减一等于零，所以 x 等于零， x 等于一。此时也能简单得到 y 等于一， y 等于二，是不是也能找出这两个定点？好，根据我们刚才所讲，我们一起来实操一下， 已知二次函数 y 等于这一坨，横过定点，求出定点的坐标。根据我们刚才所讲，首先我们是不是得简单整理一下式子啊？即 y 等于 k， x 平方加二， k， x 加 x 加二，然后 分离参数，对，即把参数给提取出来，即等于 k 一 倍的 x 平方加二， x 再加 x 再加二。现在关键点就来了，要让定点与参数无关，即让参数所乘的因子为零， 所以 x 平方加二， x 等于零，提个 x， x 乘以 x 加二等于零，所以 x 等于零和 x 等于负二。然后代入呗， x 等于零时， y 等于零加二就等于二， x 等于负二时， y 等于 零喽，完不完美？好，所以定点就为零 二，然后还有一个负二，零。好。以上呢，就是二次函数过定点问题的常用处理办法。 分离参数法呢，是我们一定得掌握的，它的核心要点呢，就是孤立参数，就是把参数单独拎出来，然后令其所成的 自变量因子为零，就可以求出 x 的 具体值，进而求解出这个定点坐标。好，今天的分享就到这里，希望大家有所收获，再见！

初中数学不好的同学，亮亮老师，这套巧解初中数学一定不要错过，它包含六十几个几何模型，十八个动点，最值三十二个函数技巧，十秒获得答题思路，里面配备有视频讲解，扫码就可以。 初中覆盖的一些模型讲的全部都很清楚，比如说这个洞点最直里面的话将军云马，这个是比较难理解的，那我们这里的话，把将军云马拆分开给大家讲的非常清楚，厚厚的一本，满满都是干货，需要的同学，左下角小黄车赶快入手吧！

初二数学最难啃的骨头是什么？一次函数绝对排名前三！这马上就要考试了，亮亮我想请你帮我开个窍！没问题，这就来！ 我把复杂的一次函数归类成三大核心模型，八种解题技巧。不管是与几何的综合函数的材料探讨，还是解应用题，每种技巧我们都有详细的讲解，加上真题势例， 学校没听懂的，我来教你做，让你彻底告别瞎蒙，告别无从下手！这次考试你一定见机不慌，咱们再也不用羡慕学霸，我们悄悄逆袭，惊艳所有人！拿去下载打印吧！跟着亮亮无脑学习！

你要是想学好初中数学，轻松提分的话，可以先了解我的这本新书巧解初中数学，初一到初三都能用，我带你把初中数学核心知识点学懂学透。大家好，我是亮亮老师，也是这本巧解初中数学的作者。 我研究过市面上很多数学教辅，要说能把初中数学模型讲懂讲透，还能带着你练技巧，举一反三等我的这本书你就千万不要错过了。这本巧解初中数学和市面上的普通教辅真的不一样，我们不堆题，不搞虚的，我们只讲最实用的解题方法，八招。 这也是我耗费多年心血，结合多年实战经验，从数万套中考真题错题中提炼出来的核心内容。那么整本书一共包含一百一十个初中数学的高分大招，那么吸分下来呢？我们有六十个几何模型，十八个动点对称，还有三十二个函数解析方法， 覆盖初中数学全板块。所以不管是孩子最头疼的几何辅助线啦，函数综合题还是难倒一片人的动点对称问题，里面都有对应的专属答题方法。 而且你看每个大招，我都从模型解读到模型演练，全程一步一步给你梳理的明明白白。跟 着节奏走，从理解知识到熟练运用，循序渐进，基础差我们也能跟得上，但你真正的做到，做一道题，会一类题，彻底告别，死记硬算。除此之外，还有我专属手教的详细答案解析，每一步解析思路都给你梳理的明明白白。 而就考虑到基础差的孩子呢，如果文字理解不透彻，也不用担心了，我还会新书配到亲自录制的视频讲解，一招一讲，全面覆盖， 认真跟着学，不用家长费心辅导，自己就能吃透知识点，掌握解密技巧了，就这么简单！新书首发库存紧张，过几天我们就恢复原价了，趁着有活动，抓紧入手一本吧！

上次的中考必刷题，我真的是临时有事，不是不会做，你看，这又来了一道后台小伙伴给我发的，叫什么中考必刷题，难的了你那难的了我吗？一般题目用常规方法非常麻烦，但在亮这里，那就完全不一样了，好，我们一起来看一下啊， 哈哈，我突然想起来，我们家水龙头没关，我们今天先到这里啊，我们下条视频，再见。嘿嘿，开个玩笑嘛。 好，我们首先来看一下这个题的前两问，那么首先告诉你，三角形 abc 呢？内接圆 o， abc 三个点在圆上，圆心在三角形的内部，那圆心在这里面？ 好， c、 d 是 圆的直径啊，终于有一个有用的条件了，这是个直径对吧？我们立马想到直径它所对的圆周角九十度，好连接 b， d， 就是 把 b 跟 d 连接起来，在这你可能看不清楚啊，我把它连一下，它这个连了跟没连一样，对吧？哎，中考必刷题， 那我们知道直径所对的圆周角这个角呢，一定是直角。好，我们继续往后了，现在给出这么一个，这啥呀，两角相加还带有系数的角， b c d， 哪个角？ b， c d 啊，就是个尖尖角，对吧？加上角二倍的 a b d， a b d， 哦，就是加上这个角的二倍，而等于什么呢？等于九十度。好，第一步，让我们求证， ab 等于 ac， 这个边等于这个边，就是它是个等腰三角形，其实求证两腰相等最常见的，我只要证出这两底角相等不就可以了吗？更何况题目中告诉了角的条件， 告诉的直径啊，也就是九十度，对吧？啊，所以我们很容易想到亮亮，可是这咋证？不知道对吧？我告诉你啊，在你没有思路，找不到突破口的时候，你可以永远大胆引入未知数。比方说， 我们令你这个角啊，是 a r f o k 啊，就这个角是 a r f 没问题吧？好，你要知道这个 a r f 是 什么？ a r f 是 这段弧 a d， 对 吧？ 哎，你所对的圆周角对不对？那你所对的这个圆周角呢？它是不是也是 a r f 同弧所对圆周角相等啊？ 那我们刚说了， c、 d 是 直径，直径所对的圆周角呢？这个角一定是直角。你拿走了 ar 法，所以我们知道剩下的这个角呢，一定是九十度减去 ar 法。好，我只要求出这个角 等于九十度减 a 法就搞定了。咋求呀？那还有一个条件没有用的，角， b c d b c d 加上角二倍的 a b d a b d， 它是 a r 法，对吧？那不就二倍的 a r 法吗？谁加上二倍的 a r 法等于九十度，你把它移过去，所以这个角一定是九十度减去二倍的 a r 法， b c d。 哦，就是这个角一定是九十度减去二倍的 a r 法 b c d 哦，就是这个角，对吧？这个小小小的篮角，它等于九十度 减去二倍的 alpha。 那 么这次你会发现，喏，这个角呢，它是一个单独的九十度减 alpha。 而剩下我们右边这个底角呢，它是个复合角，对吧？它是由九十度减去二倍的 alpha， 由你这个东西再加上你这个东西，两个加起来， 它是不等于多少？它是不等于九十度减去 alpha 呀，搞定了吧？啊，你这个角跟我这个角二者相等，因此呢， a b 等于 a c。 证明完毕，我顺便问一下同学们，我们第一问的结论，在第二问里面可不可以直接使用呢？ 可以啊，因为你第一问有没有额外添加条件？没有，对吧？我就举个例子，如果没有第一问的话，哎，你没让我证 我通过题干中的条件，我能不能在这里面独立自己推出来？在这里面独立正出来完全没问题，你什么条件都没添加吗？也就是这两条蓝边一定相等。好，我们看一下 过 a 点做圆的切线，那我们知道有切点必连圆心，对吧？好，我们把它给连接起来，把切点跟圆心连接起来，我们知道这个角一定是直角。 好，我们继续往后了，交 b d 的 延长交于 p 点啊，就是，其实这里面有一条线啊，各位同学们， b d 对 吧？把这个 b d 延长，延长延长，和这个切线呢，交于 p 点。其实我不知道大家想到什么没有，你要知道这个角是直角对吧？ 好，问题来了，让我们求准， b c 等于二倍的 pa， 也就整个底边，怎么样呢？等于你这个 a p 的 二倍，那这个怎么证明呢？其实很简单啊，首先第一个，你把 a o 延长，比方说呢，延长，延长，延长，对吧？好，和底下的这个 b c 呢，交于我们的 q 点行不行？嗯，就像这个样子。 好，接下来呢，你有两种证明方式，我们选择我个人觉得比较直观的一种啊，连接 o b。 好， 连接完毕之后你会发现呐，各位同学们， a o 这个边呢？是不是半径呀？ o b 这个边呢，是不是红色的半径呀？如果你说亮亮，那剩下怎么办呢？好，我标一下。比方，这个 o c 已经连接起来，但是为了让大家看起来更加的直观好不好，我在上面标注 类似的虚的红线啊，它也是半径，对吧？好，与此同时，你会发现，喏，在 a、 o、 c 这个三角形中有半径，半径底下是蓝边。 在 a、 o、 b 这个三角形中有半径，有半径底下是个蓝边。那我想问一下，请问这个三角形跟这个三角形什么关系？很明显， a、 o、 c 一定全等于 a、 o b， 对 吧？两个三角形全等 全等最终的，那我们知道，也就是这个角一定等于这个角嘛？全等三角形对应角相等，这个没有问题吧？好，那你想想哦，整个大的等腰三角形，我们第一问这了， a、 b 等 a、 c 嘛？一个等腰三角形，你是不是顶角的角平分线啊？是吧？两角相等， 三线合一嘛，顶角的角平分线一定是底边上的高喽，对吧？与此同时，还是底边上的中线，也就这个边等于这个边哦，这两条边，这两条边相等，对吧？ 那接下来结束了没有？在 a、 p、 b、 q 这个大大四边形中，一二三三个直角， 所以呢，它一定是个长方形，用个笨方法，我令你是小 m 对 吧？对边，你是不是也是小 m， 两条边向呢？我也是小 m， 所以 整个 bc 呢，等于你的二倍证明完毕。当然，有些同学可能会说，这样他是不是一个正方形呢？我告诉你，百分百不是的，为什么呢？首先你要知道，喏，在这个直角三角形中，半径是斜边吧，所以我们这个直角边 m 呢，是小于半径的，你这个边是小于半 径，看到没有？所以整个边呢，一定是大于半径的吧？这个边大于半径， 这个边小于半径，所以它只是一个长方形，而不是正方形，不要瞎猜。好，我们来看第三问，你看量怎么搞定？它在二的条件下，也就是在这个图形的基础上，告诉你， p d 等于三倍的 b、 d 就是 这个边呢？等于这个边的三倍。 好，那行，我就令你这个边是 x， 我 们知道这个边一定是三 x， 我 们把图二的辅助线在这里把它补起来。另外，大家不要忘了 b d， 它在这里有一条线啊，因为它很接近于这个弧，对吧？所以大家可能看不出来，我把它补起来。那直径所对的圆周角九十度我们已经用过了，那么此时你会发现 o 点，它是圆形，是整个直径 c、 d 的 中点，你过中点往下做垂线，使得这个 o q 它平行于 b d， 对 吧？那根据我们的中位线，我们知道我一定等于你的一半。你是 x 嘛？ 所以咱们知道这个边呢，一定多少？一定是哎，零点五 x， 对 吧？它一定是零点五倍的 x， 说白了，二分之 x 等于你的一半吗？ 而我们刚才说了，你这个是切线，这个是直角呀，你这个也是直角，对吧？伸直圆，这个角也是直角。你这个边是四 x， 所以 我们知道这个边呢，一定也是四 x 嘛。你拿走零点五 x， 所以 我们知道整个的 o a 也就半径等于多少呢？半径等于二分之七倍的 x， 能不能理解？ 半径等于二分之七 x， 那 我们知道整个直径 c d 等于几？ c d， 它就等于二倍的半径，等于你的二倍吗？是不等于七 x 呀？好，接下来我想问一下，请问 c d 等于七 x， 我 们又可以推什么？你是个直角三角形对吧？ 当我知道斜边是七 x， 知道直角边是 x， 通过勾股定律，你可不可以求出 b c， 对 吧？你的平方减去你的平方，减去你的平方，对吧？ 我在开方嘛，等于根号下的四十八 x 平方，所以我们算出来等于多少呢？ x 肯定是正的嘛，线段的长度因此等于。我们算一下啊，也就是四倍的根号三 x， 对 吧？也就是我们求出整个 b c 等于四倍根号三 x， 而 q 是 中点。记不记得你这个边等于这个边哎，一分为二的嘛，所以这个边也就是二倍的根号三 x， 因此整个 p a 呢，它也等于二倍的根号三 x。 我 们尽量利用题干中的条件，尽可能多地推出其他的线段。好，现在连接 d a b 延长至一点，把 d a 延长到一点。一点有什么特点呢？我们连接 o e 啊，把 o 跟 e 连接起来， 会和我们的 a c 呢，交于 m 点 m 在 这里。好，我告诉你啊， o e 是 等 ab 的 哪一个？就是 o e 等于 ab， 因为这里面条件比较多啊，所以这个条件没有用，我就把它框起来，大家不要忘了好不好？嗯，打个笑脸啊，笑脸没有清除之前，这个条件大家不要忘，就是这个边等于，哎，这个边对吧？ 现在告诉你，既是弧 bc 上一点啊，既点在整个弧 bc 上，有什么特点吗？弧 d g 等于弧 a d， 这是什么意思？弧 d g 是 这段弧吗？ 啊？弧 a d 呢？是这段弧对吧？我们知道等弧对等角，你这段弧 d g 所对的圆周角是不是我们这个蓝色的角， 与此同时，你这个弧 a d 呢？这一段弧，它所对的圆周角呢？是我们这个角，对吧？两个蓝角相等，而大家不要忘了，喏， a o c， 你 这个边是半径，你这个边也是半径嘛？那所以我们知道你是蓝角，我也是蓝角，等腰三角形，两底角相等。 好，接下来我们连接 c g， 把 c 跟 g 点连接起来，好在上面取点 n n 在 c g 上面连接 o n 啊，再连接它，它到底想干嘛？好，现在告诉你，角 e o n 等于二倍的 e o n 是 哪个角呢？ e o n， 哦，是这个角，对吧？我们把它写出来，角 e o n 等于二倍的角。 e d c e d c 在 哪呢？ e d c 在 这里， 你这个顶点在圆上，其实说白了，你就是个圆周角，对吧？它是谁？它是这段弧 a c 所对的圆周角，对不对？那我们知道， 同弧所对的圆心角，一定等于这段弧所对圆周角的二倍，也就是我这个角呢，对吧？哎，我的 a o c， 这个角 是你的二倍，对吧？而我们的 e o n 呢，就是这个角，对吧？也是你的二倍。因此，二指向的也就是我们这个角， e o c 等于角 a o c， 那两这两个角相等有什么用？非常关键，它会产生新的等角。比方说，你这个角 e o n 呢？哎，我把它画成大大的蓝角，行不行，对吧？ e o n 在 这里，这是个大的蓝角，多少度不知道。好，现在你会发现，我们这个角 a o c 呢？ a o c， 哎，我把它划到这里，对吧？哎，这是一个什么呢？这是 a o c， 一个红角。那我想问一下各位同学们，你会发现，喏，你这个红角，红角，这个角呢， 等于蓝角，这个角也就是两个大大的钝角相等，对吧？你会发现这个角跟这个角两个等角，它重叠了一部分。那我请问我多出来的两个小角相不相等？你会发现我的角 a o e 等不等于角， c o n 呢？等于，对吧？ a o e 哪个角？也就是我们这个小角，对吧？它一定等于什么呢？一定等于 c o n c o n 哪个角？ 其实这个题就是相当于让你去进行怎么样呢？用圆周角来进行等角转换，推出我们这两个小角相等，仅此而已。正周等角，那又能怎么样呢？那么此时你会发现在这个三角形中有绿角，蓝角以及我加的边呢，是我的半径 o a， 以及在这个三角形中呢，一样的，我有绿角，有蓝角，而且我加的这个边呢，是我们的半径 o c， 也就是三角形 a o m 一定全等于三角形 c o n。 现在你告诉我 c n 是 七， 也就是我们这个边的长度等于七，对吧？我们知道全等三角形对边相等，你是七，所以我知道这个边的长度呢，它一定也等于七。 好，现在告诉你，点 f 是 弧， a c 的 中点， f 是 整个弧的中点。那么对于弧的中点，我们有两种辅助线构造，你要么连接 f c， 对 吧？构造一个等腰三角形，你要么就连接 o f， 那 我们知道 你一定是垂直弦，并且平分弦的这个角呢？直角，那我们就不妨把这个点呢叫做 h 点。好，现在没了 连接 ef， 连接 ef 啊，让我们求这个三角形，也就是这个三角形的面积，怎么办？大家不要忘了我们还有个条件， o e 等于 ab 没有用，对吧？那你这个 ab 能不能表示出来呢？你发现在 a p b 这个大大的直角三角形，一条直角边二倍，根号三 x， 我 把你平方，对吧？ 我再加上你整个边呢？四 x， 哎，我把四 x 加起来平方，对吧？你再开方，请问我们可不可以求出整个 a b 的 长度呢？那么求解过程我们就省略了，最终我们求出来等于二倍，根号七 x， 那么因此我们整个 o e 的 长度呢，也等于二倍的。更好奇同时，在 a p d 这个直角三角形中，知道 a p， 知道 p d， 通过勾股定律，我们可以求出这个边的长度等于根号二十一 x。 我 们知道 c d 是 圆的直径，所以它所对的圆周角，也就我们这个角一定是直角。 那么接下来我们过圆心向对边做垂线，根据垂径定力，我们知道这两条边相等，并且等于整个边的一半， 也就是这个边呢，等于二分之，根号二十一 x。 与此同时，你会发现，在 a o 巴拉这个大的直角三角形中，我知道斜边和直角边，通过勾股定律，我可以求出剩下这个直角边呢，等于根号七 x。 此时你会发现，在我们 e o 巴拉这个大大的直角三角形中， 我的直角边是根号七 x， 而整个斜边是二 x， 我 所对的直角边，它是斜边的一半，因此我们可以推出，那这个角呢，它一定是三十度。 在这个直角三角形中，你不管是用勾股定律，还是用特殊直角三角形的三边比例关系，我们都会求出 a e 呢，等于七倍的根号三。 我们知道还有三十度的直角三角形，我的较长直角边一定等于较短直角边的根号三倍，那我们把根号七 x 呢？根号七 x， 我 们乘以根号三，那么一定等于整个较长的直角边，也就是二分之 根号二十一倍的 x， 再加上你这个七倍的根号三，七倍的根号三，所以我们求了左边呢，根号二十一 x 等于二分之根号二十一倍的 x， 加上七倍的根号三， 我们把这一项呢移到左边去，所以它等于二分之根号二十一倍的 x， 等于七倍的根号三，所以最终我们求出 x 呢，等于二倍的根号七， 当我们把这个 x 求出来之后，你会发现我们这一条垂线段，根号七倍的 x， 我 们可以算出来等于多少呢？也就是它是等于十四的， 那么接下来我们这个三角形 a f， 也就是这个三角形的面积怎么求呢？我们把七倍根号三当做底边，也就是它的面积等于二分之一的乘以七倍根号三，再乘以什么呢？ 好，我们过 f 点向对边做垂线，那么这个垂线段呢就是高，你把这个垂线段呢等于它，那么自然也等于它也是等于几根号七 x， 我 们求出来等于十四，所以最终我们求出来面积呢，等于四十九倍的根号三。搞定，跟着亮亮无脑学习。

韬定律不仅是华为改写芯片规则的起点，更标志着中国半导体产业从技术追赶迈向路线定义的关键转折点。解释为后摩尔时代全球半导体发展提供中国方案。二、数字经济的核心引擎， 支撑 ai、 云计算、自动驾驶等前沿技术的算力需求，推动国产芯片在高端市场的份额提升，摆脱供应链安全隐患，带动相关产业集群发展，形成万亿级半导体产业生态挑战与引优。一、 技术壁垒的突破难度。逻辑折叠技术对 e、 d、 a 工具设计方法学提出极高要求，需长期技术积累。二、产业链协调的复杂度。四层协调设计涉及多环节技术升级， 国内部分领域仍存在短板。三、国际竞争的不确定性可能引发西方技术封锁升级，需持续强化自主可控能力。