不管你考几分,现在立刻停下来看亮亮的二次函数最热门八大类常考题型的总结,因为这很有可能是你考前最后一次完整复习我们二次函数题型的机会了。我们今天会从简单的图像性质到平移,以及我们选填压轴图像与系数方程不等式。 当然我们整个中考里面有一类应用题特别喜欢考,就是二次函数轨迹类的应用。那最后呢,我们会有三道压轴题,分别包括我们二次函数的含餐临界值问题,含餐区间问题、含餐定级了问题,以及我们二次函数最值问题和存在性的问题。 最常见的给出一个抛物线,对吧?哎,下的系数正确的是问什么呢?什么顶点呀,焦点呀,最值呀,增减性呀,巴拉巴拉的。那么通过图像,我们知道它是一个开口向上,并且顶点坐标呢?是三负四, 哎,这样的一个二次函数,那我们知道它的对应轴呢?很明显就是 x 等于三,对吧?好,当我们了解这一点之后呢,接下来我们就可以判断了, 好,顶点坐标是负三负四,不对,顶点坐标是三负四,所以 a 不 对。好, b 选项。说什么呢?说与 y 轴的焦点坐标是零负四。哎,我觉得这个比较容易错啊,很多人一看,哎,亮亮,哎,当然你看这后面是负四,对吧?所以肯定是零负四,那是一般式, 这是顶点式,所以你要把这个零,你把它给带进去。那我想问一下你, x 等于零的数, y 等于几呢? 零带进去,零减三,负三平方九乘以二十八,十八减四 十四,对吧?所以也就是你与 y 轴的交点应该是零十四,而不是零负四,因此我们这个 b 选项呢,它是错的。嗯, 当 x 大 于等于三的时候,大于等于三就是在对正轴的右边了, y 数 x 增大而减小。胡说,这不是增大而增大吗?所以 c 也是错的。你会发现 唯独谁呢? d 选项是正确的,最小值负四没有问题。为什么呢?我们这个开口向上的抛物线,所以在顶点处取得最小值,最小值呢,就是顶点纵坐标,也就是负四了,搞定。 那么函数的平移,大家记住八个字,叫做左加右减,上加下减。但是这个加减它是有一定要求的,比方说左加右减,这个加减呢,是在 x 上来进行加减的, 那么上加下减呢?这个加减是在我们表达式上面,你可以理解为整个函数的屁股上面,对吧?哎,在我们这个表达式上面 来进行加减。我们举个例子,比方说现在我们给出一个二次函数啊,就是它如何平移得到我们另外一个二次函数呢?那你会发现它是怎么变的?首先, 嗯,你这里加二了,对吧?左加右减,你只有往左移,你的 x 才会对应的加二。然后你又发现,你本来背平方的是 x 吗? 现在背平方呢,是 x 加二,从这个 x 到 x 加二,它是不是加了两个单位?那既然你加了两个单位,左加,对吧?啊,就是往左移了两个单位,我们对应就加 好。然后加完之后,女伴在屁股上面,在外的这个表达式,屁股上面直接减二,上加下减,所以就是往左移两个单位,并且往下移两个单位,因此选哪个?因此我们选择 a 选项搞定。 其实在我们中考里面,你所遇到的有可能比这个更难,但因为我们之前跟大家讲过了所有的二三数魔鬼序号题的一个合集,所以今天我们就直接拿出一个比较具有代表性的,比方说像他了。 好,我们给出一个二三式外,对于 a x 方加 b x 加 c, 那 图像呢?如图所示。哎,你自己发现它有什么特点?好,下个结论,错误的是哪一个啊?也就是说有三个是对的,我们一个一个的判断啊。 首先第一个东西,那我们知道,嗯,开口向上,因此我们知道 a 大 于零,没有问题吧?好,接下来这个 b 怎么判断呢?那如果你知道左同右异,那就好了, 但如果你说这样的,我根本就不知道,对吧?怎么办?没关系, b 的 判断用什么呢?用对正轴。我们知道负的二 a 分 之比就是对正轴嘛,对,正轴在外轴的左边,对吧?所以也就是小于零了。好,接下来我们左右两边同时乘以二 a, 因为你 a 大 于零, 所以二 a 呢,是正的,对吧?你左边乘一个正数,右边乘一个正数,零乘以正数还是零嘛?乘以正数不变号。所以最终我们知道 b 大 于零, o, b 呢,也是大于零的。那最终 c 怎么判断呢? 看它与外周交点,与外周交于负半周,所以我们知道 c 小 于零,因此你会发现 abc 的 乘积呢?是负的,对不对?完全正确啊, a 选项,这个是成立的,所以我们不选它。好,接下来我们再看。那 b 选项怎么去处理呢?你只要在整个函数里面遇到什么几 a 几 b 加 c 呀,那包括几 a 几 b 加 c 呀? 啊,一般就是把 x 等于某一个数带进去,那带谁呢?带一带二带三,随便猜。不是的,我们其实一般看 b 的 系数就可以了, 你 b 前面系数是不是一,其实它指的就是 x 等于一所对应的函数值,不信你带进去 x, 一 带进去,你不就是 a 吗?一带进去不就是 b 吗?对吧?所以 a 加 b 加 c 就是 一所对应函数值,那一对应的函数值等于二吗? 一对应的函数值,哎哎,真的等于二,对吧?那题目中你告诉你这个点坐标是一二,所以 b 选项完全正确好, c 一 样的,你看 b 前面的系数多少,是不是负一啊?所以其实它就是 x 等于负一所对应函数值,不信把负一你带进去。 好,当 x 等于负一的时候,你等于几?是不是 a, x 等于负一,你不就减 b 吗?后面加 c, 所以 它的确等于什么呢?等于负一所对应的函数值, a 减 b 加 c, 那 负一所对应函数之小于零吗?负一在哪?哦,负一在这,对吧,能不能看到这个是负一吗? 那你这个负一所对的函数值。哒哒哒哒哒哒哒。哎,的确怎么样的哎,他的重做比较小零,所以小零怎么样也是对的啊。注意啊,我这里说的是 b 是 对的, c 是 对的,但这个要选择错误的,对吧?所以你会发现 abc 都是对的,那谁错? d 选项一定错了, 也是,我们选的百分百是 d, 可是问题来了, d 怎么判定呢?哎嘿,你说这个 b 小 一,这咋弄?其实大家有没有这种序号题的时候, 他永远能够蹦出一个让我们摸不着头脑的,对吧?从来没有见过的,对不对?大家注意啊,你要知道,世界上没有无缘无故的爱恨,也没有不明不白的。第二、三小问, 举个例子啊,你要知道,我们知道 bc 是 成立的,对吧?其实很多这种陌生的选项都可以由我们前面的正确选项来推导组合出来。比方说,孬,你想想这个东西等于几?这个东西等于二吗?哦,就是你等于二 成立的。这个东西它怎么样呢?它是小于零的,所以我们知道它是个负数,也没有问题吧?好,接下来你想想, 这里面有 a、 有 b、 有 c、 有 a、 有 b、 有 c, 而你这里面我只需要 b, 说明什么?如果我能够把这两个式子里面的 a、 c 给它消掉, 那是不是九只剩下 b 了,那怎么样消掉呢?挠你。比方把这个式子标做一式,把这个式子标做二式,一和二相减就可以了。你用一减去二,那么它等于什么呀? 它不就是这个式子减去它吗?我的 a 跟你的 a 咔嚓是不是没了?我的 c 跟你的 c 咔嚓是不是没了?剩下你用这个正 b 减去一个负 b, 正 b 减去负 b, 其实就是二 b, 对 吧?好,那问题来了,嗯,那你要知道一是什么?哎,他是二呀,减去你是个什么?你是个负数,对吧?二减去一个负数怎么样? 用二减去负数,他一定是大于二的,没问题吧?所以我们推出 b 大 于一,那你说 b 小 一,那肯定错了。搞定 好第四个二次函数与方程不等式,我们很多选择填空题就喜欢考它,包括我们很多大题里面的某些关键步骤呢,它的核心思路就源自于这里面的一些方法。好,这个题我觉得极其重要。 首先给出一个抛物线,嗯,好。当然 a、 b、 c 的 常数,我告诉你, a 小 于零,就是它是个开口向下的,对吧?好,它经过 a 点、 b 点,那你会发现这两个点的纵坐标小于零, 所以也就是怎么样呢?他是开口向下的,并且怎么样呢?并且与 x 轴交于怎么样?交于二零,负零,哎,就是一个横坐标是二,对吧? 另外与 x 轴的一个焦点呢?横坐标是负四。好,现在下面有四个结论,一二三四,问,其中正确的有几个?那我们就一个一个来看了。首先第一个,他说这个一元二次方程,它的根是 x 一 等于二, x 二等于负四,这个怎么去处理呢?其实这个就是非常具有代表性的 函数与方程之间的联系。我们举个例子啊,比方说,我们随便给出个二次函数,好不好?比方说,哎,就比方开口向上吧,我们画个草图,就是 y 等于 a, x 方加上 b, x 加上 c, 好 吧, 好,现在有这么一个,怎么样呢?啊? x 轴。那现在我想问一下,你如何求一个二次函数与 x 轴,对吧?哎,它的焦点呢?也就这两个焦点,你怎么求? 首先这两个焦点的横坐标你知道吗?你不知道,对吧?但你知道 x 轴上所有点,他的纵坐标一定是零的,所以横坐标是几不知道。纵坐标是零, 横坐标是几呢?不知道,但我们知道纵坐标零,对吧?好,现在有一个问题,既然我知道这两个点的纵坐标都等于零,都等于零,而这两个点还在整个抛物线上吗?也就是我知道抛物线上有两个点的纵坐标是零,那如果求横坐标, 已知纵坐标,求横坐标,所以你只要把这个零带到 y 里面去就可以了,对吧?所以也就是整个东西等于零就行了。那你可以得到什么?你令它等于零,就是 a x 方加上 b, x 加上 c 等于零嘛?哦,你可以得到一个方程,对吧? 你只要把这个方程解出来,那你解出来之后,我们焦点的横坐标不就出来了吗?举个例子,如果你这方求着 x 一 等于二呀, x 二等于五呀,那你会发现,那那二和五就是我们这里的横坐标,你这个就是二,你这个就是五,理解没有, 所以你会发现,喏,那我们这个方程跟你这个二次函数,大家观察一下有没有联系,你会发现二次函数的表达式和方程左边的表达式是完全一样的。也就是说, 如果以后你只要给出一个二次函数,你会发现,如果某个方程的表达式跟它完全一样,那你会发现,喏,这个方程的解就是你这个函数与 x 轴交点的横坐标,交点的横坐标一样的, 你这个函数与 x 轴交点的横坐标反过来就是我们这个方程的解。方程的解,你会发现,与 x 轴交点横坐标二,与 x 轴交点横坐标负四,所以你这个方程的解就是二和负四, 搞定,也就是一呢,它是正确的。好,接下来我们看第二个,也是告诉两点的横坐标啊,说在这个抛物线上啊,让我们判断 y 小 于 y, 其实这个是什么?这个就考察我们二函数的增减性了,只要什么什么 y 大 于 y, 大 于 y 小 于 y 的, 对吧?哎,增减性, 你这个开口向下的抛物线。哦。开口向下的抛物线对不对?对,准轴是几对准轴能告诉我吗? 因为你要知道与 x 轴交点横坐标二,与 x 轴交点横坐标负四,所以把这两个交点横坐标相加除以二。这个我不用说了吧?所以我们知道对称轴是等于负一的,那如果你不知道,你打个草稿好了,对吧? 哎,一个交点横坐标二,一个交点横坐标负四,因为这两个点是关于对称的嘛,所以把这两个交点横坐标相加除以二,明白了没有?哎, 好了,那么接下来呢?我把它画出来。当我们知道对称轴是负一之后,那现在我怎么去判断二的重坐标的大小呢?其实很简单,除了开口,除了对称轴,那接下来我们就要判断距离就行了,你塞点横坐标负五, 负五是不在对称轴左边,距离四个单位,对吧?你要知道,开口向下的抛物线,你离对称轴越远,你的函数值越小,你离对称轴越近,你会发现你的函数值越大。 我在对正轴左边几个单位,你发现是四个单位,对吧?负五到负一是不是四个单位?好,那我们知道派是几啊?派是三点,你可以理解为三点一四,好吧,三点一四很明显在对正轴的右边,而且距对正轴呢?多少个单位? 三点一四减去负一吗?是不是四点一四?这个就是派对不对,横坐标是派, 所以你会发现哪一个?你这个父,我所对的这个高度是 y 一 吗?你这个派所对的这个高度怎么样呢?是 y 二,对吧?所以 y 一 大于 y 二,你说小于,那不对啊,所以我们知道二是错的。好,接下来看我们的第三个啊,其实第三个它跟我们上一个有一点类似啊, 他说对于任意的实数 t, 总有这个东西成立,哎,大家说亮亮这咋弄呀?对吧?乌七八糟的,都没有任何的思路。好,其实你会发现,你只要左右两边同时加上某一个东西就可以了。什么呢?你看到我们刚才遇到解几 b 加 c, 他 往往是把某个数带进去所对应的函数值,对吧?这里也是一样的, 几 a 几 b。 呃,没有 c, 没有 c, 我 就补,比方,我把左边加上一个 c, 它是什么呢?它是 a, t 方加上 b, t 加上 c, 对 吧?右边我也加上 c, 嗯,也就是小于等于 a 减 b 加上 c, 对 吧?你让我去判断这个不等式,我不,我只要判断这个不等式是否乘以就可以了。而这个东西呢,我们上一题讲到了,它是 x 等于负一所对应的函数值,对吧? 而它是什么呢?其实大家有没有发现我们这个式子相对于这个式子它发生了什么变化?它无非就是把你这里的 x 变成了 t 吧,把你的 x 变成了 t 吧,你怎么样去把 x 变成 t 呢?也就是当 x 等于 t 的 时候,把 t 带到横坐标 x 里面去吗? 那你这个式子不就变成它了吗?对吧?所以它就是 x 等于 t 所对应的函数值,你是 x 等于一所对应的函数值。那这个大招怎么比较呢?一般跟我们的顶点会有关系,比方说我们刚才说了,大家记不记得 它是个开口向下,并且对准轴是几呢?那二和负四相加的一半,也就是我们的对准轴是 x, 等于负一,对吧?你想想, 对称轴是负一,所以我们知道顶点的横坐标一定就是负一了,所以你把负一带进去,负一在整个抛物线里面,你所对应的一定是什么呢?这个一定是顶点所对应的纵坐标,明白了没有?哎,你是顶点纵坐标, 那顶点纵坐标怎么样?一定是最大的吧,也是最大值。那 t 呢? t 等于几?任意实数 t 给正的负的就是提取任何数,对吧?也就是你随便带入一些数进去,所对的函数值一定小于等于我们顶点所对的这个纵坐标,对不对? 肯定对呀,我顶点对吧?这是整个函数的最大值吗?你随便代入一个数,要么等于我的最大值,要么小于我的最大值,小于等于完全正确,所以三呢是对的。好,接下来我们再来看第四个,他说对于 a 的 每一个确定值啊,就是 a, 你 可以取正的负的啊,当你 a 确定之后呢? 如果这个一二次方程,哎,此时不等于零,等于屁了。我告诉你,屁是个常数,但是屁大于零啊,像这个方程,我要要求你的根是整数, 那像这样的屁的值只有两个,我们看到脑袋都大了,对吧?哎,什么一个两个,我都不知道怎么去确定它。好,其实我跟大家说一下啊, 我们在迭问里面,大家都应该有这种思维,在我们遇到整个抛线的题型的时候,如果题干中出现了方程,那么往往就是怎么样呢?哎, 涉及到求焦点,你一般函数求焦点,他就会构造方程吗?其实这里也不例外,你看在整个函数的题型中,如果出现了方程,那这个方程是怎么得到的呢?举个例子,你看左边 a x 方加 b x 加 c, 这个不就是一个二次函数吗?没问题吧? 那二三十五如何等于一个具体的数呢?我举个例子,比方说,呐,这是个抛物线好不好?这是 y 等于 a x 方加上 b x 加上 c, 对 吧? 好,现在有这么一条线哎,这条线是 y 等于二,这是一条水平线,上面所有点的纵坐标呢,都等于二。现在我让你求这两个焦点,求这两个焦点怎么求?一样的吧,这两个焦点横坐标是几呢?我不知道,但我知道纵坐标一定是。 横坐标是几呢?我不知道,但我知道纵坐标一定是二,对吧?好,那现在问题来了,我已经知道抛物线上两个点,他的纵坐标呢?是二,我已知纵坐标,如何求横坐标? 把重坐标等于二把它带进去嘛,对吧?所以你会发现,喏,那此时你可以得到 a x 方加上 b x 加上 c 等于几等于重坐标,这个二有没有问题?所以其实你有发现,如果左边是二三数,右边是一个固定的数, 其实就是求二三数和一条水平线的交点一样的。那如果我这个是五呢?那你这个不就变成五吗?这个不就变成五吗?对吧? 你这不也变成五吗?这不也变成五吗?所以一看就知道是一个二三数和一条水平线 y 等于五产生交点,对吧? 现在你这个屁指的是什么?那很明显,那么这个就不是五了,而是怎么样,而是屁嘛,对吧?一样的,这里所有的数字都换成屁,都换成屁,都换成屁是不可以了,所以它表示的是什么?它表示的就是一个二三数,我们重新画一下好不好? 他指的就是一个二三数,干嘛呢?和我们水平线 y 等于 p, 二者的交点,我要求交点,怎么求呢?构造这个方程,所以你这个方程的解就是我们这个焦点的横坐标,对吧?好,你看看这个题,说我方程的解根是整数, 所以我只要保证整个图形相交之后,这个焦点,这个焦点是整数,不就可以了吗?好,那问题来了,我如何保证这些焦点是整数?这个该怎么处理呢?大家不要忘了, 我们整个抛物线,它与 x 轴,它与 x 轴,对吧?焦点是二零和负四零,就这个呢?是横坐标负四零,那这个呢?是怎么样呢?是二零。我突然想起一个问题,我前面是不是画了一个抛物线,我的左边是二,右边是负四, 哎,我去求对中轴,对吧?哈哈,这让人怪不好意思的同学们,哈哈,这其实什么都没有发生,对吧?看这里啊。嗯,对,就是这样的。嗯,好, 那接下来你会发现呢?呃,也就是你会发现,如果我这个直线,对吧?如果我这个直线,直线与抛线,它会产生交点,一个横坐标负四,一个横坐标二。那你想我再往上移,那这里面会产生什么呢?举个例子,我们会产生什么呢? 我横坐标是负三,我横坐标这个解,因为你要知道整个对称轴是负一嘛,对吧?你这个往右边去了一个单位,这个就怎么样呢?哎,就是一了,能不能理解 这两个相加除以二等于整个对称轴负一嘛?好,所以你会发现,哦,那这个屁要求出来吗?其实不需要,对吧?哎,我 y 等于屁,在这里面,你只要知道屁可以取到一个数就可以了。 好,你屁在这里,比方就在这里,你这是不可以负二呀,你这是不可以等于零啊?负二和零这两个交点是不也是 整数?那你整个方程的根不也是整数吗?你再往上行不行?比方我再往上,再往上,你这个负二,再大一个单位负一,零呢?再小一个单位负一。哦,这两个一样, 这两个一样意味着什么?就意味着啊,你的屁在尖尖的,在这里,理解了没有,对吧?我们知道整个顶点的横坐标是负一吗?所以说整个直线呢,经过抛线的顶点啊,产生焦点,这个焦点横坐标负一。 那有时候练了这个不行吧。为啥不行?这个题有没有说这个方程一定得两个不相等实数根,你只要解出来根是整数,我只要相交交点横坐标是整数就可以了。所有几个有这样的一条线,看到没有?哎,我们交点是负三一。 好,所以你这个方程的解呢,就是负三一,还有这样的一条直线,对吧?哎,焦点横坐标负二零,所以我们知道怎么样呢?我们这个根呢,就是负二零,还有这样的第三条直线,喏, 嗯,此时你会发现我们焦点的横坐标呢?负一,所以你这个方程的根怎么描述呢?它是 x 一 等于 x 二等于几等于负一,对吧?是不是也是整数? 所以这里有几条?一条、两条、三条。所以你对应的屁应该有一个、两个,三个不同的屁,对吧?你的屁值怎么只有两个呢?不对,所以整个题目正确的就是一三,也就是有两个了,搞定。 那像我们以前二次函数的应用呢,特别喜欢考我们利润呢,成本呀,它的最值问题。但是我们近几年像这种 诡计类的应用题越来越多了,我们把这个题放大,大概长这个样子。那接下来呢,我们就把这里面的很多话把它清掉,比方说,哎,是一座彩虹门的喷船啊,对吧? 啊,各安装一个喷船就叽里呱啦。为了避免游客被淋湿,设计团队我们把整个题目呢稍微精简一下,它就大概长这个样子。所以你会发现很多难度的假象呢,都是命题人造成的。那我告诉你,如图是一座彩虹门 喷泉景观啊,就是喷出来,对吧?可能用这个光在上面一打,形成一个这个水形的彩虹。嗯,好,然后圈起来收费。喷泉场地宽度呢? ab 等于十六米。呃,就什么意思?整个 ab 是 十六的 啊,就是这段长度,对吧?好,现在 a m 等于 b n 等于零点八米,就是 a m 这个高跟 b n 这个高,对吧?它分别是零点八, 其实就是这一条红边,能看到吗?跟这条红边,它的高度呢?都是零点八。哦,零点八对吧?嗯,比较短。 好,当然我告诉你啊, a m 垂直 ab, 它是垂直底边的,同样 b n 也是垂直 ab 怎么样呢?它也是垂直底边的。嗯, 好,现在这个抛物线的顶点 c 到地面的距离是四点八米, o 就 它是个抛物线,因为 m 点和 n 点它的纵坐标,纵坐标是完全一样的, 抛物线上的两个点,如果纵坐标一样,那么这两个点一定关于抛物线的对称轴对称,因为整个 a b 等于十六,所以我们知道 c 的 横坐标呢,一定就是八。 那纵坐标呢?因为你到地面的距离是四点八,所以我们知道 c 的 纵坐标呢,也就是四点八。好,接下来第一个让我们求这个抛线的表达式,这个太简单,因为我知道顶点我肯定这么设,对吧?也就 y 等于 a 倍的 x 减八的平方,加上四点八。那接下来你随便带入一个数呢? 比方说,我们肯定带这个嘛,你这个 m 点横坐标是零,纵坐标呢?零点八对不对?把这个点带进去, 横坐标是零啊,零减八,负八也是六十四倍的 a 加上四点八,等于几?等于零点八,对吧?哦,等于零点八,所以我们知道六十四。 a 呢,等于负四,所以 a 等于几? a 等于负的 十六分之一。其实我们把 a 求出来,你整个抛线表达式我们就搞定了。嗯,也就是 y 等于负的十六分之一倍的 x 减八的平方,再加上什么呢?加上四点八。 好,接下来第二个,在 a b 上安装六个挡雨伞啊,一二三四五六,干嘛呢?就有人在下面看,那万一这个水溅到身上,那填感就不好了。 伞的顶端离地面的距离是三米啊,就每个伞的顶端对吧?到地面距离就整个高度呢,哎,一致都是三米,并且雨伞的间距相等啊,就每个雨伞呢,你们之间的距离都相等啊,要保证美观了啊。如果最外侧 最外侧两个挡雨伞顶端与水柱间的数值高度是零点三六,最外侧就是这两个伞,对吧?它的顶端 到水柱。水柱是什么?你水柱是怎么样?抛线型的吗?啊?就是到你这个水柱的距离多少?就这个数值高度多少?零点三六啊,就这一段是零点三六,对吧?零点三六。那其实我们知道,因为你整个整个伞的高度级呢?整个伞的高度是 三,对吧?所以你会发现其实这个点他的纵坐标知不知道你伞高是六?你这个伞的顶端到这个抛线的这个数值高度零点三六,所以我们知道这个点的横坐标不知道纵坐标呢?三点三六的是不是一样的?你这个点对吧? 你的横坐标不知道纵坐标是不是也是三点三六呀?嗯,好,问题来了,那现在让我们求相邻两个挡雨伞的间距,求什么呢?也就是求我们,哎哎哎,对吧?他们之间的距离好怎么处理呢?其实你会发现,我知道纵坐标可不可以求横坐标?一定可以。 那我们整个抛线表达式知道了,负十六分之一倍的 x 减八的平方加上四点八等于多少?等于你的纵坐标三点三六,对吧?三点三六,所以也就是接下来它等于什么呢?嗯, 负的十六分之一 x 减八的平方等于挪过来负的一点。 你这么麻烦我们移过去啊,一点四四,对吧?那最终也就是你发现左右两边同时乘以十六吧,左边乘以十六呢? x 减八的平方,对吧?右边这个东西乘以十六,这怎么弄 啊?乘以负十六,对吧?其实我一般我跟大家说下,如果是我,我会怎么算啊?呃,我,我一般会口算,怎么弄的? 就是你把这个负的一点四四,你要知道一点四四是什么?哎,我把我平常这个口算的小技巧跟你们剧透一下,就是你要知道一点四四它是等于多少呢?它是等于一点二的平方,这个大家知道吧?一点二就是怎么样?一点二就是五分之六,对吧?所以你平方一下呢?也就是怎么样呢? 二十五分之三十六,没有问题吧?所以你要知道这个玩意呢,它等于二十五分之三十六,你看看你自己想想一点二的平方,五分之六的平方,脑里面能不能算出来,我觉得没有问题吧,所以也就是它等于二十五分之三十六,你乘以什么呢?左边乘以负十六,右边乘以负十六, 你乘完之后不就符号这个变成正的吗?所以乘以十六,你不要算出来啊。为什么不要算出来呢?此时我们知道 x 减八等于多少,我把它清掉,你的平方等于这么多,那 x 减八等于多少呢?注意啊,正负 分母是二十五,嗯,谁的平方等于二十五呢?五吧,那剩下的谁的平方等于三十六六吧?谁的平方等于十六呢? 四吧,所以也是等于多少?正负五分之二十四,那最终我们可以求出来 x 一 呢等于多少?五分之十六。那么 x 二等于多少呢?五分之六十四啊,就是我们知道一个横坐标呢? 五分之六,对吧?一个横坐标呢?五分之六十四,那你会发现那整个的跨度,我们知不知道用你的横坐标减去他的横坐标嘛,所以也就接下来我们把它清掉了, 那你的横坐标减他的横坐标,用五分之六十四减去五分之十六,你换等于多少?等于五分之四十八,对吧?啊?这有几个距离?六八三一二三四五五个距离嘛,所以用它除以五就可以了啊。所以等于多少? 我都不想写了,我都想直接写我们最终答案,二十五分之四十八,这个就是每两个相邻等于三的距离。搞定 好,接下来来到我们的压住部分。首先我们来讲二次函数含参零减值问题。哎呀,什么叫参数呀?啊的天,我举个例子啊,比方说 x 加上一等于八,你能不能求出这个方程?一定给求出来,对吧?一种 x 等于七,对不对?好,现在如果把其中某个数字变一下,比方我把这个八呢?变成小 m, 好, 那我想问一下, 你还能求出我们这个 x 等于具体的哪个数字吗?你求不出来了,对吧?所以像这种阻碍我们解方程的这种字母呢,我们就把它叫做参数。嗯, 那最终这个,我们把这个方程叫含参方程,那最终呢?我们算出了 x 等于 m 减一,你可以用参数也用字母来表示我们最终的解。那什么叫含参的函数呢?举个例子,比如 y 等于二, x 加上三,这个一次函数呢? 它与 x 轴交点,它的草图你可以完整的画出来,对吧?但如果把后面这个三变一下,比方说加上什么呢?加上小 a, 请问那这个 e 函数,它与 x 轴、 y 轴的具体交点,你还求得出来吗? 扯不出来了,对吧?你阻碍我去画整个一次函数的草图,你阻碍我去研究整个一次函数的怎么样呢?具体的性质,求焦点等等,像这种,我们就把它叫做参数,明白了吧?那对于参数呢,不管是方程呀,还是函数呀,在整个初中阶段,你都把它当做一个 数字来对待,只不过这个数字呢,你暂时不知道,那这里面的参数是谁呢?很明显就是我们的字母 a 了,对吧? 那字母 a 一 旦知道整个抛线与 x 轴的交点, y 轴的交点对准轴位啊,对吧?我们都能求出来,那么这个呢,就属于含餐的二次函数,它所带来了一系列问题呢,我们就把它叫做二次函数的含餐问题,那么其中一种呢,就是我们要今天所讲到的零界值问题。 好,当 a 等于一的时候呢,求这个二三角图像的顶点坐标,这是不是太简单了?你比如把一带进去,所以整个抛物线 y 等于 x 方加上三, x 加上二,对吧?那最终我们可以把它配方下,也就是 x 加上二分之三的平方四分之九减四分之一, 那所以我们知道它的顶点呢?很明显,也就是负二分之三,负四分之一。搞定好,接下来我们看第二个,你不要看它很长,其实超简单啊,是否存在实数 a, 使得对于任意的实数 t, 你 看又来一个参数 t, 对 吧? 当 x 取二加 t 和二减 t 的 时候呢?它对应的函数值始终相等,有吗?如果有,求出 a 的 值,如果没有,请说明理由。我如何保证我的函数值始终相等的?我问大家个问题啊,其实这个题说白了,考察我们的对称性, 你想想,给出一个抛物线啊,我首先想问大家问题,如果做一条水平线,他与这个水平线横坐标,哎,这个焦点呢,一个是三, 一个是七,大家能告诉我对中轴是几?画一条水平线交的横坐标三七,你把这两个交点横坐标相加除以二吗?对吧?所以也是对中轴一定是五,没问题吧? 相加除以二啊。好,再画这个抛物线的草图。我告诉你,二加 t 和二减 t, 他 所对应的函数值相等,函数值相等,那就表明他们的纵坐标一样,就是二加 t 的 时候呢。哎,你的纵坐标在这里, 二减 t 的 时候呢?你的纵坐标也在这里,好不好?因为这两个点的纵坐标是一样的嘛,所以你因此二者的连线一定是水平的吧。水平意味着什么?就意味着这两个点一定关于我们的对称轴对称,对吧?你一个横坐标是二加 t, 另外横坐标呢?二减 t, 哦,我们知道。那这个对称轴怎么表示呢?把这两个点的横坐标相加除以二,你和我相加 t 抵消了吗?二加二等于四,所以我们知道,也就是我只要对称轴等于二就可以了。好,那问题来了,也就是我要使得整个抛线的对称轴等于二,它就成立了。那对称轴呢?我们知道,对称轴等于 x 等于负的二 a 分 之 b, 那 么等于几呢? 负的二 a 呢?那就是二 a, 对 吧?嗯, b 等于多少? b 就 等于二 a 加一了哦,也就是二 a 加上一,那么等于几呢?等于二哦,等于二。好,接下来我们左右两边同时乘以负二 a, 左边乘以负二 a 呢?剩下分子二 a 加一,右边乘以负二 a 呢,也就是负四 a, 所以 我们可以求出来,六 a 等于负的六分之一。 搞定好,接下来我们看第三问,也就是最难的一问,当 x 在 一到二之间的时候, y 大 于 x, 这个结论呢?始终成立,让我们求 a 的 取值范围, 只要是含有参数,并且让我们求参数取值范围的,它都是考我们临界值的问题,在这里我们需要数形结合,那什么意思呢?比方说,我们首先看这个 y 大 于 x, 始终成立, 进去随便取一个点,我的纵坐标一定要比横坐标更大,对吧?那如果我们取一个点,横坐标是 x, 那 纵坐标呢?把这个 s 带到整个抛物线里面,我们可以得到纵坐标是 a x 方加上二, a 加一倍的 x, 再加上二。 好,我们知道这个纵坐标呢,要永远大于我。对,你的横坐标也是,我只要大于 x 就 可以了,说白了也是我只要使的这个不等式始终成立就可以了。好,那接下来我们把这个不等式呢 稍微的化解一下,也就 a x 方,我们加上二, a x 加上 x, 我 们再加上二,我要大于 x, 对 吧? 那你会发现,喏,这两个它可以抵消掉,是吧?也是最终我只要使的 a x 方加上二, a x 加上二大于零就可以了,也就什么, 也就是当一小于 x 小 于二的数,这个不等式它是始终成立的,对吧?啊,在这种情况下,我们求 a 的 趋势范围,那可是问题来了,那这个不等式如何始终成立呢?其实你会发现,你只要遇到像这种类似的形式,你都可以把它当做二次函数的表达式, 它不就是 y 等于 a, x 方加二, a x 加上二,一个抛线的表达式吗?也就是对于这个二次函数,它在一到二这个范围里面,我的纵坐标永远是大于零的,就可以了。 当问题来了,那整个抛物线它的开口朝上还是朝下,你知不知道?你不知道,但我们可以推出来,你会发现前面是 a, 这里是二 a, 也就是我们知道整个抛物线它的对称轴是几呢?哎,我的对称轴一定等于负的二 a 分 之 b, 也就是等于负的二 a 呢,它就是二 a, 对 吧? 它的 b 呢,也是二 a, 对 不对?所以我们求它整个抛线的对中轴呢,一定是负一,好,那么接下来我们开始分类讨论啊。第一种情况,我们考虑 a 大 于零,也就是开口向上,你要在这个范围里面,函数值永远大于零,那我首先把这个范围在我们整个竖轴上画出来,这个呢,是一,这个是二,好不好? 一到这个范围,函数值大于零,你的对等轴是负一,也就是对正轴大概在这个位置,对吧?哎,负一,好,现在呢,你要知道,我们把这个 x 等于负一,这个线画出来,你这开口向上的对应轴负一,所以你把你整个抛线呢,你可以长这个样子,对吧?哎,行不行? 那此时你会发现,一和二所对应函数值大概是这一段, 那他是不是永远是大于零的?没有问题,所以他是满足题的。好,那么接下来如果我把整个抛线变得越来越宽呢?比方说晋国赋一,我整个抛线可以长这个样子呀,对吧?满不满足题也可以长这个样子,对吧? 满不满足题还满足?如果我整个开口箱上我变得更宽一些呢?此时你会发现喏,他还满足题吗?你会发现一到二这一段范围里面就是塌了,对吧?那么此时这一段 我的纵坐标永远大于零吗?就不是的。所以也就是如果窄的话,满足宽宽宽宽宽,它会逐渐的不满足。那请问什么时候会出现我们的 临界情况呢?也就是你整个图像刚好经过我们横坐标一零的时候,对吧?哎,经过我们这个点的时候,此时出现临界情况, 你整个抛物线在蓝色里面呢,可以,在蓝色的外面呢,它就变得不可以了。如果你比外面这个更宽,那就更不可以,它就大概长这个样子了,对吧? 甚至呢,它会把整个二给包进去,是不是它就更不符合提议了?那问题来,我如何去求 a 的 取值范围呢?有两种方法。第一个就是你直接划入我们刚才的临界情况,也就是经过一零的时候,整个抛物线,你把一零直接带进去, 抛物线的 a 一定可以求出来,知道 a 我 们就可以斜取出方位了。还有另外一种怎么样呢?你想想,我如何保证我的纵坐标永远大于零呢?其实很简单,我只要像这个样子不就可以了吗?对吧?也如我这个直线呢, 你不能从一二之间穿过,你也不能从二旁边呢穿过,你只能在一的左边,怎么样呢?你这是一个地面嘛,你能在一的左边,你只要在一的左边这个地面穿过去就可以了,对吧?我如果在一的左边这个穿过去呢,其实很简单, 你只要保证一所对应的函数值怎么样呢?是大于零的,是不就可以了?那么此时你会发现呢?哎,我们在一到二这个范围里面,他永远总坐标呢?哎,是大于零的,所以你只要把一带进去,是不是?把一带进去, 我们可以得到什么?横坐标是一,那么你就是 a, 加上横坐标是一,那么你就可以得到怎么样呢?二, a, 对 吧?再加上二,干嘛一带进去?哎,你可以在一的左边穿过去,在一的右边穿过去。不行,哎,我想问一下,如果我们整个抛线告从一上面穿过去呢? 从这里穿过去,请问符不符合 t 呢?就是一代数,如果等于零的话,那你会发现,喏,一到二之间是不是这一部分呀?这一部分我是不是注意啊,一到二我是取不到一,我取不到二,对吧?也就是喏,这个空心圈,这个空心圈在两个空心圈之间,我的纵坐标是不是永远大于零?是的, 一的纵坐标等于零,但是我这一段我取不到一嘛,所以我的纵坐标永远是正的,符合吗?符合,也就是经过一零的时候也可以,因此我是大于等于零了,对吧?一所对应的函数值可以是正的, 一所对应的函数值可以等于零,所以呢,我们最终求出来三, a 大 于等于负,二,也就 a 呢,大于等于负的三分之二,难道在这种情况下,我们 a 的 取的范围就是它吗?不是,为什么呢?因为我们有个前提条件, a 大 于零, 你在 a 大 于零的时候,你求出来这个取值范围,对吧?你把这两个结合起来,同大,你取大嘛?所以也就是在我们第一种情况下,我们求出来 a 的 取值范围呢? o 是 a 大 于零的。好,那么接下来我们再来考虑第二种情况也是怎么样呢? a 小 于零, 那 a 小 零呢?一样的,你在一到二这个范围里面还怎么样啊?你整个所有的函数值你都得是正的,对吧?而且我们知道对正轴呢,它是固定的负一,好,我们把整个对正轴把它画出来, 也就经过这条直线,并且在一二这一段里面,我的纵坐标永远大于零,你想想我能像这样画吗?这样画你一二一定取到下面的,对吧?那我也就是我需要怎么样?我需要你窄一点行不行?你要是变窄一点, 那更不行了,对吧?那一二取到更下面了,所以你整个抛线要变宽,你宽成这样的,哎,不行,你宽成这样的, 哎,你发现一到二之间,他只有一部分,对吧?他就这一部分是正的,所以你要继续宽,宽到什么程度,你会发现你宽到,哎,经过二的时候是不可以了,你在一二之间不行吗?在二的时候就可以了,你会发现一到二之间,你就是哪一段,就是这一段,对吧?他是不是永远怎么样呢? 哎,大于零的对不对?好一样的,有量量,那二的时候不是等于零吗?注意啊,这个 x 他 取不到一,也取不到二,所以你这一段呢?他这两个端点永远是空心圈,永远是空心圈。理解。没有, 我取不到端点,在这两个空心圈之间,你会发现 y 永远大于零。那如果再宽一点,宽成什么样?我宽成这个样子行不行?那更行了,对吧?因为一二呢?哎,他们每一段对应的全都是 y 大 于零的, 也就怎么样。哎,我们的临界情况是什么呢?临界情况就是你窄了,不行,你得宽,对吧?最起码得宽到什么程度?最起码得宽到经过二零的时候 才可以。那问题呢,我怎么去求这个 a 对 应的曲值范围呢?有两种,第一个就是你把整个抛线呢,令它经过二零,也就是把二零呢直接带进去,你可以求出 a, 进而推出它的曲值范围。第二种,干嘛? 就是你直接去用我们的代数来表示,你想想我如何经过二零,或者把这个二零把它给包进去呢?就像我们刚才所说的,对吧?你像这样的在一到二之间是不行的, 对吧?你经过二零呢?可以吧?因为你会发现一这一段空心圈,二这个空圈中间呢,的确总数比较大一点,或者你把这个二把它给包进去,是不也可以,对吧?那你会发现一二之间呢? 哎,我这个图像有点夸张,对吧?也是满足的。那我直接画一个草图来辅助大家理解,比方大概长这个样子, 也就是你只要使得二所对应的函数值大于等于零就可以了。当二所对应函数值等于零,我就是经过二的,可以,对吧?当二所对应函数值大于零,那我一定是怎么样呢?在二的右边钻下去的,对不对?所以说,你只要把二 带进去,使得我对应的函数值这个点呢,大于等于零就可以了。好,二带进我们可以得到什么呢?把它带到这里面去,也就是四 a 加上把二带到这里面去,依然是四 a 再加上二,我怎么样?我大于等于零就行了。 好,所以我们求出来也就是怎么样八、 a 大 于等于负二也是怎么样? a 大 于等于负的四分之一,难道我们求出来 a 就 等于这么多吗?不是的,因为我们是在 a 小 于零的前提下求出来的,所以我们最终取之范围呢,就是 负四分之一小于等于 a 小 于零。好,这是我们求的第二个方位,所以你可以这么说, a 大 于零,或者呢,负四分之一小于等于 a 小 于零。当然了,你会发现这两个方位你可以稍微合并一下,比方说,我可以把它写成 a 大 于等于负四分之一,且 a 不 等于零,这两个范围其实指的是同一个范围。好,那么接下来我们来搞定二次函数含餐的区间最值问题,以及二次函数含餐的定结论的问题,也如我们预期了,那我们首先来看前两位,他不需要图,所以我把这个图呢给去掉了。 那么首先给出一个抛物线,它与 x 轴只有一个交点,怎么样呢?二零与 y 轴交于点零二。其实这个题特别有意思,因为你不需要这个点的坐标,你单凭这一个条件,你就可以求出抛物线的表达式,但你给到了,那我就直接写了好不好? 因为你告诉我交点是二零,所以也就是 y 等于,我口算一下,二分之一 x 方负二, a 分 之 b, 也就是减二, x 与 y 轴交于零二,对吧?加二就可以了。好,第一问我们就直接快速过了。好,接下来第二问,也就是当 x 在 这个取值范围里面, y 的 最大,这个最小值的差十二,那让我们求 m 的 值该怎么办呢?他给出了某一个范围,也就是在某一个区间里面涉及到我们的最值问题,像这种问题,咱们就把它叫做区间最值问题。对于所有的区间最值问题,我们只需要做一件事,也就是开火车就可以了。比方说呢, 我们整个抛物线的最值跟什么有关?只有两个东西,第一个开口方向,第二个对正轴,然后这里面开口方向向上,对吧?哎,我们知道整个抛物线开口向上,那这个对称轴可以求出来吗?啊?大家口算一下,对称轴呢,我们知道负的二十一分之一,也就对正轴是几, 哎,对正轴我们知道等于二,对吧?我们把整个抛线的轨迹呢,当做过山车的轨道,你把这段曲直范围呢,当做我们的过山车,我们分四种情况,第一种情况,当你这个曲直范围完全在对正轴的左边,比方说呢,就像这样的一段,对吧?哎,曲直范围在这里, 你会发现这个呢就是小 m, 这个呢就是 m 加一,那么此时我们整个方位里面它的最大,这个最小值呢?很明显在这取的最大值,在这取的最小值,对吧?好,一样的,我们这个过山车呢,接着往前走走走。第二种情况,它就会刚经过对正轴, 好,这是我们第二种情况,对吧?刚经过对称轴,你这个横坐标小 m, 这个横坐标呢? m 加一。好,此时你会发现,在哪取得最大值?在这取得最大值,在哪取得最小值呢?千万不要觉得在这啊, 它经过了抛物线的顶点,所以在顶点处取得最小值。好,第三种情况就是我即将离开对称轴,就大概像这个样子,哎,我这个过山车呢? 我这个火车呢,马上离开对正轴了。你这个顶点横坐标小 m, 这个顶点横坐标 m 加一,所以你看在哪取的最大值?在这取的最大值,反过来呢?在这,哎,不对,在这,对吧?在顶点这里取的最小值。好,最后一种情况, 我们怎么样?我们已经脱离对正轴了,就跑到完全跑在对正轴的右边了,对吧?这个呢,就是小 m, 这个呢,就是 m 加上 e, 所以 很明显,在这取的最大值在哪?在这取的最小值,所有的区间最值。问题,你只要分这么四种情况讨论,百分百可以全部都搞定,甚至你会发现 有些特殊类的区间最值,你只需要分三种甚至两种情况就可以搞定了。我们知道整个抛物线的开口向上也就大概长这个样子,那对准轴,我们求出整个抛物线对准轴,也就是 x 等于二。好,接下来我们来求第一种, 那你想想最大值和最小值,它的差是二吗?我们把 m 带进去,我们可以得到它的最大值二分之 m 方减二, m 加上二。好,然后我们再减去什么呢? m 加一,它对应的是最小值,你说减去怎么样呢?哎,我们二分之一 把 m 加一带到 x 里面去。哎,我们可以得到这么多,对吧?我们知道最大值和最小值的差呢?等于二,也就是令他等于二就可以了。那么最终我们求出 m 呢?等于负二分之一,那这个负二分之一可不可以呢?你不要觉得求出来我们就直接拿走。不是的,你需要验证, 也是,当 m 等于负二分之一的时候,你整个的过山车是不是完全在对称轴的左边?你需要验证负二分之一,那你这个呢?就是负的二分之一,对吧? 负二分之一加一呢,也是等于二分之一,那我想问一下,负二分之一到二分之一这个范围,它是不是完全在对称轴 x 等于二的左边完全符合?因此呢?哎,这个 m 求出来是 可以的。好,我们把 m 呢放在这里,接下来我们考虑第二种情况,我们知道整个对中轴呢,依然是 x 等于二,我把它写在下面啊,你是最大值,所以把 m 带进去,也就是二分之一 m 的 平方减二, m 加上二,对吧?最大值我减去谁呢?减去最小值, 最小值在顶点这里取到吗?那顶点的横坐标呢?是二,所以把二带进去,对吧?哎,等于几呢?把二带进去,呃,这个就是我们求出来 二减四加二,哎,你有发现整个纵坐标就是零,对吧?哎,所以我们知道它等于多少,它等于二,那最终我们求出来呢? m 一 等于零, m 二呢?等于四, 那这两个 m 是 不都可以呢?还是说需要舍掉一个一样的,我们需要验证,当 m 等于零或者 m 等于四的时候,你整个取值范围是不是刚经过对正轴的时候,你整个取值是不是在顶点这里取?比方说当 m 等于零呢?你把零带进去,你是零吗? 你这个是几?你这一对吧?我想问一下,零到一,他会穿过我们的对中轴二吗? 你这个在对中轴的左边没有问题,一,他怎么可能跑到对中轴的右边呢?所以行不行?那不行,对吧?哎,是不可以的。那四行不行呢?如果 m 等于四,你会发现,那你这个就是四了, 你这个 m 加一呢,就等于五,你想想,五在二的右边可以,四在二的左边,怎么可能,对吧?如果 m 等于四,我就是四到五之间的,我就应该完全在对称轴的右边吧, 对吧?那我的最大最小值的取法跟这个图就完全不一样了,所以你可反,他也不可以,也就这种情况下呢,他是不成立的。 没有答案的。好,接下来我们再来考虑第三种情况。嗯,一样的啊,我们知道在 m 加一这里取的最大值,把 m 加一带进去,也就是二分之一倍的 m 加上一的平方,减去二倍的 m 加一, 对吧,我们再加上,我们减去最小值呢?在顶点这里取到,也就是把二带进去,当横坐标是二的时候,你带进,我们刚才算出来是零的啊。最大值减最小值,我们求出来等于几呢?喏,告诉你,差是二, 那么最终我们求出来呢? m 一 等于负一, m 二等于三,一样的,我们需要验证这两个 m 可不可以。当 m 等于负一的时候,你把负一带进去,你这个就是负一嘛。把负一带进去,这个是零,你觉得可能吗? 负一到零这个范围会不会经过的对称轴?零,他根本就不在二的右边,对吧?所以不符合 t。 好, 那如果 m 等于三呢?如果 m 等于三,那么你这个东西呢?它就会变成三,你这个东西就会变成四,对吧? 那三可不可能在二的左边,如果我是三到四的这个范围,我会不会经过对称轴?不会,我会跑到这边去,对吧?所以你发现跟这个图形呢, 展示的它是相矛盾的,所以你发现它呢,也不存在 m, 那 么接下来就只剩下我们最后种情况了。一样的,我们知道对称轴呢?哎,是 x 等于二, 最大值是 m 加一,所以把 m 加一呢带进去,也就是我们二分之一的 m 加上一的平方,减去二倍的 m 加一,对吧?我们加上二,我减去什么呢?最小值是 m 所对应的函数值,那你把这个 m 呢,我们把它给带进去, 也就减去二分之一 m 的 平方减二 m 怎么样?加上二,我们知道他们的最大值减最小值等于几?等于二,所以因此呢,等于二。好,我们最终求出符合条件的 m 等于几。 m 等于二分之七, 那我们验证一下, m 等于二分之七,你整个图像长得是不是这个样子呢? m 等于二分之七,就是你这个呢,是二分之七,对吧?你这个呢,等于二分之九啊, 三点五到四点五之间,它是不是在对准轴二的右边呢?哎,是的,完全符合,所以我们最终 m 有 两个,一个就是前面求的负二分之一,一个呢就是我们刚求的二分之七。搞定好,接下来我们看第三问。 好,现在告诉你,抛线的对正轴上有一个点屁二,二分之一,我们知道整个抛线的对正轴,我们第二位已经求出来,也是 x 等于二,对吧?好,上面有个屁点,屁点大概在哪?哎,比方说差不多在这个位置吧,可以吗?哎,放个红色的屁, 哎,臭子。那听半天不关注我的各位同学们好像这个样子。好,那接下来你会发现过点 n 的 直线, n 点在哪? n 点在这,他是什么点?哦?他以 y 轴交于 n 点,零二抛线以外轴的交点就这个点的坐标是固定的,他多少呢?他是零 二,对吧?好,我们继续往后了,过这个零二呢,发现一条线,哎,如果你这个直线外的 k x 加与抛线只有一个交点,哎,不能没有,不能两个,只能一个。好,让我们证明这条直线平分什么?平分角? o n p o n p 就 平分这个角,对吧?我把 n p 连接起来,就说白了,干嘛让我们求证这个角等于这个角,对不对?那你说这个咋证呀?其实首先我们知道啊,因为你这条直线干嘛呢?你这条直线是经过 n 点,经过零二的,对吧?哎,你经过零 二这个点,所以你整个直线相对于 k x 加上二,也就怎么样呢?我们这条直线 跟我们这个抛线,它只有一个焦点,那怎么去求焦点?很明显,我把这个抛线拿出来,也就二分之一 x 平方减二, x 加上二,我等于什么呢? 等于你这个已知数,对吧?表达是 k x 加上二,我把这个 k x 移过来,也就是二分之一 x 的 平方减去二加 k 倍的 x 等于。那你想想, 我们整个直线和抛线干嘛呢?他只有一个焦点,那么也就意味着整个方程里求出来只能有一个数,对吧?哎,你不能有两个,不然就两个焦点。那如果只有一个数呢?很明显 d r t 等于零嘛, 也就是我们的 d r 等于 b 方, b 方不就是你的平方吗?你的平方前面带负号,负号要不要管?因为你前面带负号,负号也得平方嘛,是吧?所以最终 b 方应该等于我们这个也就二加 k 的 平方减去四倍的 a 是 多少呢?我不管为什么,因为 c 等于几, 这里有没有 c, 没 c, 没 c, 它是 c 为零,懂了没有?懂了吧, a 和 c 的 乘积,它就是零嘛?啊?就是减去四乘以 a 二分之一, c 呢?零,其实你会发现,这个东西是不是就直接消失了呀?就像那没减,对吧?我直接去掉好不好? 哎,所以 b 方减 c, c 就 等于这么多,它等于几?它等于零。哎,你等于零, k 能等于几啊?所以你往 k 里面求出来,我就懒得写什么 k 一 等于 k 二等于巴拉巴拉的,对吧?我们觉得 k 它就等于负二, 明白没有?所以也就是你整个直线就是 y 等于负二, x 加上二的理解没有?整个直线的表达是知道了, o 点固定, n 点固定, p 点也固定。那接下来我们求证角平分线是不是要简单一点?那可是问题来了,哎,这个咋求呢?比方说这个是多少?这个是 y 等于负二, x 加上二,对吧?其实你会发现,那我想问一下啊,你平分 o n p o n p, 也就说白了,我们这个红角一定等于这个红角,对吧?没有问题吧?两个红角相等, 但你要知道我们有对称轴,它是平行外周的两只线皮,内错角是不是相等,也说你这个角它是不是又等于这个角呀?对吧?这两个角相等,能理解吗?啊?我标下你这个角呢, 哎,要等于这个角对吧?你这个角呢,还要等于它的内错角,还要等于这个角,其实本质上我们接下来只需要干嘛,我只要证明这两个角相等是不可以了,说白了也如我只要求证什么呢?求证 p n 一, 这怎么样呢?呃,这来一个焦点没有说,对吧? 啊,就是 x 轴交点啊。那你这个,你差点忽悠我,那这个叫 q 点行不行,对吧?哎,我只要求证 p n q 它这个等腰三角形就可以了。说白了,我只要求证 p q 这个线段等于 n p 这个线段是不可以了。 那这个 p 点呢?坐标知道 n 点,坐标知道怎么求?你可以通过两点间的距离公式或者通过怎么样的?哎,勾股定律,我把它放在一个横平竖直的直角三角形中,行吧, 你的横坐标二,你的横坐标零,横坐标相差两个单位。纵坐标二,纵坐标二分之一,纵坐标相差怎么样呢?二分之三个单位,所以你发现你通过勾股定律,对吧?你可以求出 n p 等于几?等于二分之五,也就这条线段呢,是二分之五的,也是怎么样?二点五我写哪比较好?我写这吧。 哎,你这个线段二分组能看到。好,一样道理,你会发现,那现在我要求 p m p q 这个边怎么求 q 点?你可以把 q 点坐标求出来,咱们知道 q 点的横坐标已经是对称轴,对吧?横坐标是二,纵坐标呢?把二带进去, 哎,你会发现纵坐标是负二吧。好,接下来你会发现 p q 也是我们想要的。嗯 啊,你纵坐标二分之一,我的纵坐标负二,二者相减呢,你会发现我们这条线段我们算出来的长度呢,也等于二分之五,对吧?好,所以剩下你会发现,那这个边和这个边相呢?等腰三角形, 所以你这个角就等于我这个角,这个角等于他的内错角,因此你会发现,那这两个小角我们就正出相等了,因此角平分线推的完毕,搞定。 它的图呢,大概长这个样子。那我们首先来看一下它的前两小。问,那我们给出一个抛物线,你会发现这个抛物线呢? a 已经知道了,但是 b 和 c 不知道有几个未知的字母,我们就需要几个坐标,那告诉你呢,经过 a 点,经过 b 点,那 a 点呢,也是这个点的坐标,它是负一零, 还经过 b 点,也就这个点坐标呢,三零。所以你只要把这两个点带到抛物线里面去,那么整个抛物线的表达式我们就会求出来,也是 y 等于负 x 方,加上二, x 加三,好,计算过程我就省略了。好,接下来我们再继续往后啊,好,与 y 轴交于 c 点,那整个抛物线表达式求出来,那其实 c 点坐标呢,也是我后面的 c, 对 吧?也就交零三的 好,现在点 d 和点 c。 关于抛物线的对称轴对称,其实整个抛物线的对称轴,我们也知道啊,整个抛物线的对称轴, 对吧?你可以把这两个点的横坐标呢,把三和这个负一相加除以二。所以我们求出对称轴呢,是 x 等于一, 或者你用这个负二分之 b 呢,也可以求出来,对,正轴呢,是 x 等于一。那既然对称的话,所以我们知道这个地点呢?哎,你到我们的对正轴一个单位,再走一个单位,所以是二纵坐标呢,一样的。嗯, 好,接下来第一问,让我们求直线 a d, 就是 这条直线。那你想想,我知道 a 点坐标,知道 d 点坐标,所以整个 e 函数呢,就是 y 等于 x 加上 e。 那 求解过程省略了,抛物线表达式呢?我们刚才也已经求出来。好,接下来我们看第二问 好,他说在整个直线 a、 d 的 上方有一点 f, 我 要在直线 a d 的 上方,要在整个抛物线上, 所以引入怎么样呢?我只要在这段曲线上怎么样呢?放给 f 就 可以了。那不管 f 在 哪,我永远过 f 点做垂线啊,过 f 点直接做一条垂线垂足呢,是 g 点。好,现在让我们求什么呢?求这条线段 f, g 也就是它的最大值。很多同学都会说,亮亮,哎呀,你这个这样这样的垂线段斜着的我没见过,但你要竖直的我就会了,对吧?但我告诉你啊,像这种垂线段和竖直的线段,它的处理方式是完全一样的,只不过呢,我们稍微做一个转化就可以了。比方说, 那首先我想问大家一个问题,你能告诉我这个角多少度吗?哎,就这个小角。其实我们知道 e 函数的 k, 你 的 k 是 一吗? 只要一个一次函数,它的 k 是 一,那么它与 x 轴夹角一定四十五度。这个结论在我们中考里面可以直接使用。除此之外呢,你还可以求这条一次函数,它与 y 轴的交点,对吧?这个是不是零一啊?所以你会发现这个长度是 这个长度呢,也是一,对吧,所以它是个等腰直角三角形,所以这个角四十五度,因此这个角也是四十五度的。好,那么接下来我想过 f 点往下做一条铅垂线,也是平行于外周, 比方说呢,在这里没有屁,行,那我就在这里我放个屁了,这个焦点呢,就是屁点,对吧?一样的,你这个角四十五度,所以我这个小小小小的等腰直角三角形,因此我这个角跟这个角是不是都等于四十五度,对吧?你这个小小的尖尖角, 哎,跟我这个减减都等于四十五度,所以你会发现,我就是一个等腰直角三角形。等腰直角三角形。我的直角边和斜边什么关系呢?斜边是直角边的根号二倍,所以你整个 f g 一定等于什么呢?等于斜边除以根号,也就是二分之根号二倍的 f, 对 吧?所以接下来我只要求线段 f, 怎么求呢?这个太简单了, f 点,我们知道, 横坐标小 m 好 不好?纵坐标呢?把 m 带进去,也说 f 的 纵坐标是负 m 的 平方加上二 m 再加上三的,对吧?把它带进去, 好,那你这个 p 的 横坐标也是小 m, 纵坐标呢?把 m 带到一次函数里面去,它在一次函数上面吧,所以纵坐标是 m 加上一,因此最终你会发现,喏,我们只需要用二者的纵坐标做差,用你这个纵坐标,对吧?减去我这个纵坐标就可以了,所以也就是等于多少? 等于二分之根号二倍的,你减去它,计算过程呢,我省略就是负 m 的 平方加上 m, 再怎么样,再加上二,对吧?好,那么整个函数的表达式,你会发现, 我最终结果不就是一个关于 m 的 二次函数吗?所以我们化解一下,等于负的二分之根号二,对吧? m 的 平方加上二分之根号二倍的啊 m, 然后呢,我们再 加上根号二,那么最终配方的过程我就省略了,等于负二分之根号二倍的,嗯, m 减 m, 也就是 m 减去二分之一倍的 m, 平方四分之一,八分之一,也就是加上 八分之九倍的根号,所以我们知道,那当 m 等于二分之一的时候,我们能够取得最大值,那么整个 f g, 对 吧?线段的最大值呢?也就是我们这里的八分之九倍的根号搞定。 所以我们知道,当 m 等于二分之一的时候,此时我们整个线段 f g, 它的最大值呢,可以取到八分之九倍的根号。搞定。好,接下来我们看第三位,也就是存在性的问题,现在我告诉你, m 是 整个抛线的顶点, 那其实这个抛物线我们可以写出来,对吧?它等于负的 x 减一的平方,再加上四,所以我们知道顶点坐标呢,也就是一四。好,我们继续往后了。嗯, 屁点是外轴上一点啊,就屁点在整个外轴上动来动去,在哪呢?我不知道,比如我随便放一个点屁点在这,好, q 点是整个坐标平面那一点啊,可以在这在这,在这,任意位置都可以,对吧?好,现在以 a m p q 为顶点的四边形,它是一个以 a m 为边的矩形,说白了四个点围成一个长方形了。让我们求什么?求 q 点的坐标,求哪个点? 求在整个平面内运动这个点的坐标。那该怎么处理呢?其实很多同学说的呢,什么矩形,菱形、正方形,那存在性问题,我觉得好难,对吧?我告诉你,越特殊的四边形,它越好处理。举个例子,比方说四个点, 他想围成一个长方形,哎,就大概长这个样。那请问如果我构成一个长方形,我随便取其中的三个点,他一定给围成什么?比方你取这三个点好不好?他能够围成什么东西? 他一定围成一个直角三角形,对吧?同样的,那如果我取其他的三个点呢?比方我取这个三个点,他会围成什么?是不是也是直角三角形?又或者说我取什么呢?我取其他的,对吧?哎,我取这边的三个点,我取这边三个点,你会发现 no, 是 不是也可以形成一个直角三角形?所以你要注意啊, 矩形的存在性问题,永远把它变成直角三角形的问题来进处理,也就是你随便取三个点,你最起码先得保证是个直角三角形, 你剩下一个点加入进来,对吧?你这个点再加进来,你才有可能形成一个矩形嘛。所以在这里面你要选三个点,那我们选哪三个点呢?首先你要知道,喏, a 点坐标是固定的,我肯定优先考虑它,以及你会发 m 点,坐标也是固定的,我也会考虑它,对吧?所以把这两个点固定下来。固定下来。好,剩下的你会发两个动点, 一个呢?屁是外轴上一点在哪不知道,它相当于是动点,另外一个在整个平面内运动,它也是个动点,我们优先考虑哪个呢?注意啊,优先考虑半动点。 什么叫半动点?就是有一个点,虽然它动来动去,但是它的横坐标或者纵坐标有一个永远不变的,像这种点,它叫半动点,对吧?你会发现屁点呢? 它的横坐标是零吧?纵坐标不知道,所以你就发现它的横坐标是固定的,你是个半动点,所以我们选择 p 点 o, 有 人把 p 点加入进来,说白了,你说我要使的怎么样呢?三角形 a m p 干嘛?它永远是个直角三角形就可以了。 好,那也就是我们把矩形的存在性问题呢?把它变成一个直角三角形的存在性问题。那问题来了,你是个直角三角形,谁是直角边,谁是斜边,你知道吗?不知道,所以因此我们需要做的就是分类讨论,我们把直角顶点当做分类讨论的对象,比方说,我们首先考虑 a 为直角顶点, a 为直角顶点呢?那你怎么样?你直接过 a 点做垂线就好了,对吧?哎,就像这个样子,是不是?所以你这个 p 点大概在哪? p 点大概在这里啊?好,接下来我告诉你,你去求这个 p 点的方式有很多很多,相似一三数,对吧? 包括我们用两点间的距离公式也可以,比如我令 p 点的横坐标呢?哎,我们知道是零纵坐标啊,那就小 m 好 不好?嗯,好,那接下来你会发现你这个直角三角形,我连一下, 哦,你说这个屁点好不好?求,太好求了,对吧?为什么呢?你比方说你用两点间的距离公式,我们之前讲过很多次啊,对吧?横坐标就是,你要知道啊,你的平方能表示出来吗?整个斜边的平方能不能表示横坐标减横坐标,我用 m 减四吧,就是 m 减四的平方,对吧? 加上纵坐标减纵坐标,用一减零吧。啊,就是两个点之间距离呢?一减零就是一, 我跟大家说一下两点间距离公式,两个点,把纵坐标相减平方,再把横坐标相减平方,对吧?如果你开方, 对吧?你加上一个根号,那么它指的就是这条线段。但因为你是直角三角形,我要满足过古定律, a 方加 b 方等于 c 方吧,所以把整个斜边的平方表示出来等于这么多,好,接下来那么这一条直角边的平方表示出来等于这么多,好,接下来那么这一条直角边的平方,对吧?加上 纵坐标减纵坐标 m 的 平方,是不是 m 的 平方?好,你指的是这条线段的平方,我再加上什么呢?加上剩下这条直角边,那一样的横坐标减横坐标呢?相差两个单位 二的平方,加上纵坐标减纵坐标啊,四的平方。所以其实你会发现,那我跟大家说一下,它指的是什么呢?指的是 o a 的 平方,对吧?它指的是 o a 的 平方, 它指的是什么?指的是我们 a m 的 平方。两点间距离公式,在我们整个量的各种视频里面出现的次数太多了。好吧,你直角三角形满足勾股定律吗? 理解了没有,所以剩下我们需要做的就是把整个方程解出来。求解方程,过程呢?哎,交个量量。那最后你会发现,也就是 m 的 平方减去八 m, 加上十六,加上一等于一,加上 m 的 平方,加上加四加十六,我索性加二十,可以吧? 所以你会发现,喏喏,也就是我们知道负八 m 等于多少,等于移过来,等于四 c m 等于几 m, 等于负的二分之一。好,也就是我们求出来这个 p 的 坐标多少?也就是零 负二分之一,对吧?好,有量量。你去构造一个直角三角形,但是我要一个矩形的矩形在哪呢?其实你要知道,你再加上一个 q 点, q 点,它就大概在 这个位置嘛,这个位置嘛,对吧?你三个点围成了一个,呃,直角三角形之后,那 q 点在这,他不就变成一个矩形了吗?这题让我们求什么?求 q 点坐标,对吧?好,那么此时会用到平行四边形的坐标公式,什么意思呢?矩形是不是也是个平行四边形,对吧? 哎,你这个 m 点跟我们这个 p 点是相对的点,你这两个点横坐标相加是零,你这两个点横坐标相加是一,所以这两个点的横坐标相加一定也是一。你的横坐标负一,所以我的横坐标一定是二。一样的, 你这两个相对点,纵坐标,纵坐标相加几四加负二分之一,二分之七,对吧?所以我们这两个点纵坐标相加也等于二分之七,你是零,所以我的纵坐标呢?二分之七,这个就是我们求出的第一个 q 点。好,接下来我们考虑第二种情况,也就是我们的 m 呢,它是个直角顶点, 那 m 是 直角顶点,所以我们知道。注意啊, p 在 外轴上,所以你要过 m 做垂线与外轴相交,对吧?这个焦点就是我们的 p 点,是不是一样的道理? p 点坐标呢?我们还是令它是零小 m, 好 不好?一样的,我们用勾股定律,你连接 ap 嘛, 我是一个直角三角形,是不是?所以你要知道,你的平方加我的平方等于 ap 的 平方。好,那你的平方可以表示出来吗?其实你用勾股定,你也可以求,对吧?好,嗯,我们用两点间距离公式啊,横坐标减横坐标啊,横坐标的平方加上纵坐标减纵坐标 啊,纵坐标的平方,它指的是什么?指的是我们这条线段啊,也是 am 的 平方。好,接下来我再加上你这个 pm 的 平方,一样的横坐标减横坐标 一的平方,再加上怎么样呢?纵坐标啊,减纵坐标。哎,我们就用 m 减四好不好?哎,我们用 m 减四的平方,那么一定等于什么呢?等于整个斜边的平方。喏,横坐标减横坐标相差一个单位, 嗯,以及纵坐标减纵坐标呢?相差 m 个单位。好,这里我就不再写了啊,最终你算出来这个东西等于多少?二十加上一加上 m 平方减八。 m 加上十六等于多少?等于 一加 m 方,对吧?一样道理,你会发现一咔嚓没了, m 方咔嚓没了,对吧?所以也就是我们得到负八 m 二十加十六,三十六移过去负的三十六,所以 m 等于几呢?八分之三十六,也就是 多少?二分之九。哎,我们就说 m 等于二分之九,也就是 p 点的坐标呢,是零 二分之九的。好,那么接下来当我们求出 p 点坐标处,你 q 点在哪?你都是一个直角三角形,所以 q 点只要参与进来,对吧?就大概在这个位置,对不对?我不就是一个大大大大的长方形了吗?好,那问题来怎么求?一样的 矩形也是个平行四边形,只要是平行四边形一定满足我们的坐标公式还有什么意思呢?也就是这两个点的坐标值和你的横坐标零,我的横坐标负一, 横坐标相加等于负一,所以我们横坐标相加也等于负一,你是一嘛?所以我等于几?我等于负二,对吧?哎,我的横坐标负二,那纵坐标呢? 纵坐标相加二分之九,所以我们纵坐标相加也是二分之九,你是四四就二分之八嘛,所以我等于二分之一。哎,这是我们求出来第二个 q 点。 好,接下来我们再考虑。屁为直角顶点,其实这种情况你不需要再讨论的。为什么呢?比方说屁点,呃为直角顶点,差不多在这,对吧?哎,就是你这个角呢,是个直角, 是不是在这里?那你这个 a m p 呢?对,它的确是个直角三角形,屁股直角顶点,但你要知道,此时如果你构造一个矩形,如果你构造一个矩形,对吧? 哎,就你这个 q 点,差不多在哪呢?哎,差不多,我不一定在外轴上啊,我这画了一个草图,可能在外轴左边,对吧?好,那你会发现它是不是一个长方形矩形呢?是的,但这个题目有要求, 就是你的 am 只能作为矩形的边,此时你这个 am 呢,是整个矩形的对角线,对吧?哎,所以你会发现,哎,不需要再考虑了。是不是因此我们这里的 q 点只有两个, 搞定。那顺便说一下,如果违边这个条件,去掉 a m, 可以 作为对角线,怎么处理呢?一样的嘛, 你令它的横坐标零,纵坐标 m, 用两点间距离公式把这个边这个边表示出来,像我们刚才一样构造勾股方程来进行求解就可以了。那么以上就是亮亮今天跟大家讲的八类二次函数的必考题型了。那问题来了,哎,亮亮你去年也讲了二次函数大盘点,跟今天有什么区别呢? 这个去年我们所讲的知识点非常多,也非常全,我们的面积最值问题啊,等腰三角形存在性问题啊,相似存在性问题啊,几何的临界值问题啊。而我们今年呢,会在去年的基础上做了一些补充,比方说呢,我们的图像与系数, 我们的方程与不等式,我们的轨迹应用包括呢?含餐代数临界值问题,包括区间最值定结论啊,包括我们的线段最值问题和我们举行的存在性问题。 另外呢,就是我们今年的内容更加倾向于我们这两年中考的新题型,所以建议大家这两个视频都不要错过了, 如果你的时间非常充分,那这两个一起看当然更好了。如果你说亮亮我时间很紧,我就想快速的突破一下, 冲刺下我们的中考,怎么办呢?那就建议直接看我们最新的这个视频就可以了,亮亮还给大家准备了练习题,配合使用,相信你的二次中考高分跟着亮亮无脑学习。
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我是一次函数,我是二次函数,我是反比的函数。我们是初中数学函数模块三大核心考点,更是考试选择填空大题的高频易混坑点。你能分清我们的区别吗? 我是一次函数,简单说,我就是最基础的现象函数,是函数世界里的比值大道。我的标准解析式是, y 等于 k, x 加 b, k 不 等零,并且 k、 b 为常数。 当 b 等于零时,我就变成了 y 等于 k, x 摇身一变成特殊的、正比的函数。我的图像永远是一条笔直的直线,没有弯曲,没有断点, k 决定我们的倾斜方向。 k 大 于零,直线从左到右上升, k 小 零,直线从左到右下降。 b 决定我和 y 轴的交点。 b 大 于零交 y 轴正半轴, b 小 零交负半轴。如果 b 等于我,就过远点。 中考考察重点,求函数解析式判断图像走势,求与坐标轴的交点,解决实际应用题。 易错点在于,总把我和正比的函数割裂,忘记正比的函数是特殊的一次函数,还容易把 k、 b 的 符号和图像对应错。我是线性变化, x 的 次数永远是一次,这是我最核心的标志,和另外两个兄弟完全区分开。 我是二次函数,我是函数里的抛物线,是中考压轴的常客,难度直接拉满。我的标准解析式为, y 等于 a, x 方加 b, x 加 c, 其中 a 不 等于零, abc 为常数, x 的 次数是二次。这是我独一无二的标签,谁都模仿不了。我的图像是一条抛物线,有开口、方向、对准轴、顶点三大核心要素, a 决定我们的开口方向。当 a 大 于零,开口向上有最小值。当 a 小 于零,开口向下有最大值,对准轴是直线, x 等于负二, a 分 之 b, 顶点就是整个图像的最高点或者最低点,也是我的中心了。中考考察重点画函数图像,求解析式分析函数图像的性质,最值问题,与几何图形结合起来考察各种综合大体。 很多人总把我和 e 函数搞混,记住,我有 x 的 平方向,图像是曲线,不是直线,有最直对称轴。线性变化里没有我的特点。 我和一次函数都是整式函数,取式范围是全体实数,这是我俩的共同点,但性质天差地别。我是反比的函数,我是函数里的双曲线,特立独行,和前两位兄弟完全不一样。我的标准解析式为, y 等于 x, 分 之 k, 其中 k 不 等于零, k 为常数, 我也能写成 y 等于 k 乘以 x 的 负一次方以及 x, y 等于 k 的 形式。我不是整式函数, x 在 分母的位置,这是我最鲜明的特点。我的图像是两条互不相交的双曲线,它关于原点对称,永远不与坐标轴相交。 k 决定我的图像象限。当 k 大 于零,我在一、三象限,当 k 小 于零,我在二四象限,在每个象限内外随 x 的 变化而单调变化,切记是每个象限内,不是全体实数。 中考考察的重点,求 k 值判断图像所在象限,比较函数值大小与一次函数综合焦点问题等等一错点,忽略取值范围。 x 不 等于零, y 不 等于零,跨象限判断增减性,总把我的性质和一次函数记混。我和前两者最大的不同不是整式 图像,是双曲线,有自变量取值限制,没有连续的单调性,可不要认错人哦,跟着亮亮无脑学习。

今天这期视频亮带你系统盘点二次函数压住最全的高频考题啊,这个就是我们初中阶段二次函数能考到的所有压住题的类型了。你像线段最值,面积最值,我们之前讲过了, 像等腰存在性问题,直角存在性,包括我们平行四边形存在性问题,我们之前也讲过了,所以今天我们主要把这个漏洞补上,也就是我们来讲区间最值问题,全国新增的百分之二十多的地区中考考的压轴题都是它,剩下有哪些是大家比较想听的,也可以在我们弹幕里面敲出来,亮亮火速更新。 好,我们拿出一道比较常规的区间最值问题啊。首先告诉你,抛物线的 y 与 x 方加 b, x 加 c, 那 么与 x 轴交于 a 点和 c 点, a 点坐标我告诉你是负一零的啊,与 y 轴交于 b 点,零负三,这个点是零 负三的第一问呢,比较简单,对吧?让我们求抛物线的解析式和 c 点坐标,你只要把这两个点带入,把这两个点带入,我们一定给求出来,也就 y 等于 x 方减二, x 减三。好,所以我们知道 c 点坐标呢,三离。 咱们今天是来学压轴题的,那第二问根本就没资格啊,我们直接来看这个题的最后一问。第三问 好,现在告诉你 x 在 某一个范围里面啊,说了相对每一个数,对吧?因为这里 n, 咱们也不知道告诉你,在这个范围里面呢,我们整个二次函数,它的最大值是 s, 能取到的最小值呢是 t, 当我的最大值减去最小值,也就 s 减 t 等于四的时候,让我们直接写出 n 的 值。 首先你得知道什么叫做区间最值,比方说现在我们给出一个二次函数,在某个范围里面,让求我的最大值,最小值,对吧?像这种问题,我们就把它叫做区间最值问题。那么对于所有的区间最值问题,我们永远是开过山车,就是开火车去对待它就可以了。 比方说你把二次函数的轨迹呢,这一段区间呢?把它当做我们的过山车,所以它总共有四种情况。第一种情况,也就是我们这个过山车呢,刚进入整个轨道里面,也就是 m 在 这里,对吧? 我们的 n 在 这里。那么此时你会发现我们在哪取的最大角值呢?很明显在这里取的最大值,在这里取的最小值。第二种情况呢,就是刚经过我们的对正轴了,就是 m 在 这里, n 在 这里,对吧?最大值呢?依然在这里取到最小值呢?它不再是 n 的, 它在顶点位置取的最小值,对吧?好。第三种情况呢就是,哎,我们即将离开我们的对准轴, m 在 这里, n 在 这里,此时你可发现在这里取的最大值,在顶点处取的最小值,对吧? 还有我们最后一种情况,也是我们这个车呢,即将跑出去了啊,就是我们 m 在 这里, n 在 这里,对吧?所以我们知道很明显在这里取的最大值,在这里取的最小值。我不管你是多么复杂的区间最值问题,我们只要分这四种情况讨论,我们百分百都可以轻松搞定。 当我们知道开过山车,此时这个题就会变得特别简单了。首先你观察这个取值范围,你会发现呐,大家都有 r n, 对 吧? 我是二 n 加一,你是二 n 减一,我比你大几个单位,大两个单位,就是这个曲值范围的长度为二。首先我们知道整个抛物线的对正轴呢,是 x 等于一,那么接下来我们开始开过山车,那么第一种情况呢,就是刚进入轨道,整个车子呢,完全在对正轴的左边。 好,我们知道这个呢,就是二 n 减一。好,那这个呢,就是我们的二 n 加一,在这里取的最大值,在这里取的最小值。那我的最大值怎么求呢?我们只需要把二 n 减一带进去就可以了,也就是二 n 减一的平方减去二倍的,我们的二 n 减一,我们再减三, 那最终我们可以化简。等于四 n 的 平方减四 n, 再加上一,减去四 n, 再加上二,再减去三,最终你会发现,等于四 n 的 平方减八 n, 所以 也就是当 x 等于二 n 减一,我们的 y 一定等于四 n 的 平方减八 n, 那我的最小值呢?我只要把二 n 加一带进去就可以了,也就是二 n 加一的平方减去二倍的二 n 加一,再减三,所以最终我们求出来等于四 n 的 平方加上四 n 加一,再减四, n 减二减三, 所以最终平方等于四 n 的 平方减四。所以我们知道第一种情况,最大值减最小值。题目中告诉你等于四吗?这个是最大,这是最小,所以用上面的减下面的,那我们知道四 n 方减四方没了, 用负八 n 减去它呢,也就是负八 n 加上四高等于你的四,对吧?哦,所以平方我们求出 n 等于几, n 等于零, 那我们求完之后注意啊,我们还需要检验,因为你是把整个火车这个取值范围完全放在对称轴的左边来进行处理的。那你需要验证一下,当 n 等于零的时候,你这个火车是不是真的在对称轴的左边呢?把零带进去,这个是负一, 把零带进去,这个是一对,正轴刚好是一对吧,哦,也就是此时我们这个火车大概长这个样子,对不对?好,请问他满不满足我们的条件呢?一个是负一在这里,一个一呢在这里,很明显,负一在左边的确最大,你这个点移移移移到对正轴上,符不符合? 符合,对吧?虽然它在对正轴上并不是完全在对正轴的左边,但是你会发现,依然在这里取得最大值,依然在我们这里,怎么样呢?取得最小值,对吧?所以它符合题。那么第二种呢,就是我们这个火车刚经过对正轴。好,此时呢,我们左边这个呢,是二 n 减一, 以及这个点的横坐标呢,是我们的二 n 加一,那么此时你会发现在哪取得最大值?很明显,在二 n 减一这取得最大值顶点处取得最小值 x 等于一的时候,取得最小值,对吧?最大值减最小值等于四,最大值二 n 减一 带进去,我们已经表示出来了,所以接下来我们只要表示 x 等于一所对应的 y 值就可以了。好,那么当 x 等于一的时候呢,把这个一带进去,一减二减三,所以我们可以求出来, y 等于负四, 所以我们知道第二种情况,我的最大值呢,是二 n 减一这里取的,所以最大值等于这么多。好,我的最小值呢,在一,这里取的就是最小值,等于这么多,二者相减,等于四, 四 n 的 平方减八 n, 我 减去你加上四,等于你最终的四,对吧?四 n 的 平方减八 n 呢,等于零,我们提个四 n 出来,那也就是怎么样? n 减二等于零,第一个 n 等于零,第二个 n 呢?等于二,其实这个零我们刚才已经检验过了,对吧?可以,所以接下来我们只需要验证二行不行呢? 行不行怎么去描述?就是你要知道,我是刚经过对准轴的,对吧?在左端点取的最大值,在我们顶点取的最小值,你看一下二的时候,是不是像这样的一个取值情况就可以了,你把二带进去,他是不是三呀? 你把二带去,它等于几?是不是五呀?哦,三到五之间的三,会不会在对正轴的左边呢?不会,对吧?不符合 t, 哎,这个舍掉,而这个呢,跟我们刚才一样的重复了,所以我们就不再管它了,也就目前我们求出来的依然是 n 等于零。 好,接下来我们考虑第三种情况,即将离开对等轴,也就是这个端点呢,横坐标是二 n 减一,这个端点的横坐标呢?二 n 加一,很明显,在哪取得最大值?在这里取得最大值,在这里取得最小值,对吧?就是 x 等于一,取得最小值。 好,那么接下来第三种情况,我们去计算,你最大值对应的呢?二 n 加一,把二 n 加一带进去,我们已经求出来,哎,等于这么多,这个就是我们最大值, 最小值呢?一所对应的值等于多少?等于负四,对吧?哦,最大值减去最小值,四 n 的 平方等于四,好,我们验证一下,也就是 n 的 平方呢?等于一,我们求出来, n 等于正负一,对吧? 好,正一负一,我们都去验证。我们先来验证,如果 n 等于一,你把一带进去吗?你这个是三对吧?你这个是一对吧?一到三之间,一不就在这吗?对吧?三差不多就在这里,对吧?这段的取值范围里面,呃,你会发现它就是二 n 减一,对吧?二 n 减一就在这里, 而这个呢,就是我们所谓的二 n 加一,对吧?这一段是不是在二 n 加一取得最大值?是的呀,是不是在顶点处取得最小值?是的,你会发现你只是左端点跟顶点是重合的吗? 那既在顶点,又在左端点取得我们的最小值,所以它是完全符合的。 n 等于可以,那 n 等于负一,可不可以呢?我们验证一下,如果 n 等于负一,你求出来,也就是负三,对吧? n 等于负一,你带进去,你求出来,你会发现它是负一的。负三到负一之间,我的右边都是负一了吧?这里一定在对称轴的左边,所以整个图像大概怎么样呢?长这个样子,我在不在右端点取的最大值呢?不在,我在不在顶点取的最小值呢?也不在,所以这个负一呢,不符合题。 好,接下来我们考虑第四种情况,即将飞出我们的轨道啊,就是在对准轴的右侧了。好,你这个端点呢,就是我们的二 n 减一,以及,你可发现这个端点呢,是我们的二 n 加一,那很明显,在这里取的最大值,在这里取的最小值,对吧?好,我们来计算第四种情况, 最大值等于几呢?把二 n 加一带进去, o 最大值是三方减四,最小值把二 n 减一带进去,那是三方减八 n, 也就是这是最大值,这是最小值。八 n 减四等于四,八 n 等于几呢?等于八牛顿求出来一一跟它是不是完全一样的,这里面求出来零,跟它重合了, 这里面求出来的 a 呢?也跟它重合了。所以我们最终的答案呢?等于零或者一 搞定,通过我们开过山车的方法,可以解决所有的区间最值问题。如果你说亮亮,哎,我也想开车,自己尝试一下,司机自己来解决。像这种题目,亮 亮已经把各种区间最值问题,像我们的动轴定区间呀,定轴动区间呀,动轴动区间等等等等各种练习题都放在我们评论区了,大家可以自行领取,跟着亮亮无脑学习。

假如中考像点菜选择题,第一道呢,我们就求相反数啊,因为我的学生我觉得比较单纯,经不起伤害。第二道考察哪个图形是轴对称图形啊,图形的简单一点啊,稍微复杂点我的学生就容易错。 第三道题我觉得就,呃,考一个那个平行线性质吧,就求什么同位角内收角啊,一眼就能看出来那种,那后面也就大概按照我们这个难度啊,难的我学生拿不了分对吧,他们不开心,我也不开心。 好,填空题第一题呢,我们可以上点难度啊,比方考这种多边形的内角和啊,但是不能太多啊, 四边形的角和就差不多了。第二题的话呢,我们就考一个科学计数法,后面的零呢,给四五个就行了,不要太多啊,太多了我的学生呢容易数错。那第三题呢,我觉得我们可以稍微上一点难度了,比方说考个伟大定义吧,我的学生其实还是有点东西的。 那至于大题的话呢,呃,我觉得第一题我们可以解一个不等式不等式组吧,我觉得他们应该问题不大啊。 好,那么第二题,第二题我觉得可以来到 e s 方程应用题啊,也出于同意,他们可能会更加熟悉一点啊。好,第三题的话,我觉得可以考一个全等三角形的判定与性质啊,但是你把这个条件要全摆上,就不用画辅线那种啊, 不然他就容易把我们卷子呢给整成八爪鱼啊。大体里面什么概率统计啊,数据分析啊,三角函数呀, 我觉得相冲应用题对吧。哎,相冲题目可以稍微多一些啊,当然题目条件不能多啊,多了他们容易乱,不知道怎么用。那几何的压轴题呢?我就觉得考一个圆的基本性质吧,不要搞什么复杂的证明啊。盯着我讲了那么多,他们到现在肯定都不记得了。压轴题呢?我觉得你不要为难别人了。 压轴题我觉得第一问我们就求一个。呃,对相中常规的求二三数解数式能拿一分是一分。行了,我觉得差不多了。哎,玩去吧,跟着亮亮无脑学习。

哈喽,各位同学,各位家长大家好,我是你们的亮亮了,非常开心能够给大家拍摄这么一条新书开箱的视频了。经过我们长时间的精心准备,我出版的第一本产品,也就是我们的巧姐初初数学 是现货上线啦,点击视频下方的链接,就能看到我这本巧姐初中数学的新书啦。那亮亮为什么要出这一套书呢?他是如何帮助我们巧姐初中数学的?它里面包含哪一百一十个高分方法?它跟其他的教辅书有什么区别?哪些学生适合像这样的一套书?今天我用一条视频给大家讲透。 喂喂喂,很多学生跟我反馈,亮亮,哎,我很多几何压轴题不会做,辅助线不会,几何模型不知道怎么处理。你要知道,在我们整个初中阶段,有很多很多各种的啊,一些学校不讲,但考试选考,而我们又不太会的各种几何的综合题型, 他们其实都是在某些模型的基础上,增加条件,减少条件来呈现出来的各种题型。所以亮亮想到,我们要把大家平常不会的几何模型,几何辅助线的构造,我们想要给大家全部梳理清楚。 那当然,你们在整个学习过程里面,你还经常遇到了呃,什么最值问题啊?将军一马对吗?单线段最值呀,圆中最值呀, 翻折变换的最值问题等等。还有呢,我们整个初中的函数像一次函数呀,反比的函数呀,二次函数呀,咱们这本书给大家全部梳理清楚,也就是从我们初一上学期开始, 一直到我们初三的下册,我们六本书里面所有的重点的方法技巧,我们在这本里面全部展示出来,总共一百一十个高分方法。 我们市面上的教辅书很少有单独讲这种几何模型的,那更不要说把我们整个初中三年所有的几何模型汇总在一起,像这种书非常稀缺, 就算你几何模型学会了,你最值问题也未必会你会的最值问题,你可能还单独去找我们函数的技巧。所以呢,把我们整个初中一百一十个高分方法全部放在这里面了。 我们这一百一十个高分方法呢,它包含六十个几何模型,十八个动点最值,包括还有三十二个函数技巧。你千万不要觉得说我们是不是要等到初二才学习几何模型呢?其实不是的啊,那你看我们初一学习这种线段角度的时候呢? 什么双中点模型啦,角度中的双角平分线模型啊,一直到我们平行线里面的铅笔、猪蹄、锯齿、鹰嘴模型等等,我们所有的几何模型是完全按照我们整个初中三年学习顺序来进行梳理的。那比方说,那紧接着在我们三角形中的八字模型、飞镖模型、高分模型、 双角平分线模型,从第十一个背上中线一直到第十五个,截长不短,它是我们全等中的几何模型。 那从第十六个到第十八个呢?那是我们勾股定律中的几何模型,那从第十九个一直到我们第三十二个爪形图模型,前面所有的呢?都是我们四边形中的几何模型了。当然紧接着你会发现这里面是我们圆中的几何模型,甚至你会发现里面有辅助圆, 那后面呢,就是我们的相似呀,乃至我们整个初中阶段额外需要给大家拓展的,可能和三角函数有关的,可能和我们拼接思想有关的逆等线段,包括在我们很多压轴大题里面能够快速得出结论的陀罗密定律,梅涅劳斯以及我们萨瓦定律等等等等。那么紧接着就是大家比较怕的,我们动点最值,给大家罗列了 十八种模型,也就是对应的方法技巧。那么紧接着第三个板块,函数,我们有三十二个专题,从我们的一次函数,一次函数,我们能考到的所有知识点,在这里全部给大家梳理清楚了。紧接着从第八个一直到第二十二个,我们有十几类二次函数中的像二次函数,面积问题啊啊,最值问题啊, 嗯,比例问题啊,临界值啊,存在性的问题啊等等,全部给大家梳理清楚了。后面呢就是我们反比的函数呀,三角函数呀,包括需要给大家拓展了二倍角,半角哎等等等等,全部给大家梳理的清清楚楚,明明白白。 也就是这样,把我们从初一到初三三年六本书里面的所有考试的重点全部梳理在我们这一套书里面了,所以我把它称作我们初中数学的一本通, 你会发现我们整套书呢,他有两本,左边这本呢就是我们主要用来学习的,而右边这本呢,就是我们的答案与解析啊。那么我给大家展示一下,你看我们第一个板块,他是几何模型对吧?咱们几何模型总共有巴拉巴拉,总共有六十个,行,我们随便选一个,比方说我们就选 我们整个四边形中的,嗯,十字架模型吧,我们这里面跟其他书籍设计的,我个人觉得,呃,区别比较大的就是我们会,首先呢会给大家展示我们的方法,比方说 十字架木形总共有四类方法,正方形过顶点型的以及正方形不过顶点型的、矩形过顶点型的以及矩形不过顶点型的,哎,我们会把它处理清楚。大家平常可能会有这种困惑,就是这个方法呢,我学了, 可是在具体题目中呢,我不会用,哪怕我看的出来,下子我可能变一下,我又不会了。而我们这里面做了一个模型,秒杀模型识别的一个板块,你看像这种题型他就满足每一个图形,那他满足我们图形一就是满足这个条件,如果看不出来,你可以对应回去,再看一下对应的图形一, 你就可以知道了。后面呢就是我们在这种例题里面给大家去梳理清楚。之后呢,我们还有对应的模型演练, 你得学会练好。为了方便大家学习呢,我们就有一本答案解析了十字架模型给大家展示一下。那在这里面那第二十七个我们分开了,大家看答案的话呢,可能就更加方便一点。大部分的题型我们会有两种方法,比方说像这种题型,那首先呢我们会有一个怎么样呢?常规的方法 啊,就是通用方法,就是我们一般的标准呢,他会怎么说呢?他会像这样,这样,这样,对吧?好,那我们如果用模型方法,我们怎么去判定呢?啊?就会像这样,你们看非常的短,一样的道理,那我们再来看一下,这是我们的第二题,也是一道序号类的题型啊,在这里, 而你会发现呢,我们用第一个通用方法,你会发现,哎,还比较长,对吧?但是如果我们用模型方法二的话,你会发现我们可以非常快速的判断某些结论,这个就是我们的特征啊,有知识讲解, 有我们的模型识别,而且还有怎么样呢?我们有标准方法和我们的模型方法两种,怎么样呢?对比方法啊,大家可以选择自己喜欢的,学习更多的一些底层逻辑。那么在最直这里呢,亮亮也给大家举个例子,比方说我们就第九个吧, 长方体的爬行锥之问题,好,我们找到它,哎,你会发现我们就有模型解读,就我们在学完对应的方法技巧之后,一样的,我们有模型秒杀,对吧?你比方说你用这个模型,你会发现我们根本就不需要做太多的分类讨论,可以快速得出答案。一样的,我们会有两道例题, 好,那么接下来你就需要自己去模型演练了好吗?翻到答案,那一样的,你比方说在这里面,我们具体的例题呢?第一题,那在这里面我们有常规的方法,就是用常规方法,你应该怎么做,你应该怎么去写。 那如果我们用所谓的模型方法,我们刚才所讲到的,你会发现这个答案呢,它只有一小段,同样的,比方说我们的第二、第三,第四题,对吧?每一个题目呢,它都有通用方法跟我们的模型方法。我们会有两种方法,包括我们的第三题呀, 包括我们的第四题啊,你会发现都是一样的。好,那么第三个板块函数专题,我也给大家举个例子,比方说大家呢比较怕的第十个好不好?二次函数面积之比的问题,就是你要知道在我们整个二次函数里面呢,我们会经常遇到各种面积问题,对吧?哎,让你求面积之比呀,让你求面积之比的最之问题啊。 其实你要知道,在整个函数里面所有的难点,其实本质上还是跟我们的三角形,四边形呀,对吧?等等来进行结合,那面积之比也不例外, 你会发现我们把所有面积之比的场景方法都把它撸裂出来了,那对应呢?我们有这种所谓的模型秒杀方法技巧,对应的题型呢,也给大家分成了四大类,那么在这里就不给大家展示我们的答案了。到这里有些同学可能就会说了,亮亮,那如果我单看这个东西我还是看不懂,或者我想要觉得更加透彻一点怎么办? 哎,我告诉你,整本书一百一十个高分方法,每一个方法都有亮亮亲自为你录制的视频讲解,在我们整个书的这里呢,我们就可以直接进去了啊,进去之后,比方说,哎,随便翻一下,亮亮我这个平行四边形面积模型不会呢,那么在这里面我就给你讲解 那一样的,随便翻一下,那第四十五个模型击在河上飞,我看这回我脑袋都大了,能不能给我稍微的快速的讲解一下,我觉得你的十秒获数非常好用。好,那么在这里呢, 我们就可以直接找到我对应的视频,每个板块都可以听亮亮的亲自讲解,相当于手把手教你学会一百一十个高分方法。那亮亮我有了这套输出,我是不是就可以被各种大招来直接秒杀难题呢? 千万不能有这种想法,你要知道,在我们县级段,我们所有考试的难题都是在某些图形的基础上,增加条件,减少条件,来呈现出千变万化的不同的题型,所以我们需要额外的学习各种几何模型了,辅助线的构造啊,二维结论等等。那么首先你要学会怎么去证明他, 怎么去识别它,怎么去区分它,那最终在我们这个题目里面呢,就应用它,就把它消化吸收了。所以我们整个三年同步的所有的方法技巧,我们全部会跟大家讲到。当然了,我们学习那么多同步的方法技巧,最终目的呢,就是迎战中考了,而这本书我们也能够做到轻松应对。 那么相信大家听完之后,对于我们整本书就有一个大致的了解了,从我们初一上学期开始,一直到我们初三的下册,我们六本书里面所有的重点的方法技巧,我们在这本里面全部展示出来。你想我们初一的学生,如果你买了这本书,恭喜你啊,你可以直接使用三年,对吧? 那你想想,从我们整个初一的哎,我们要学的几何模型呢,都在这里,而且我们初二即将学到的各种几何模型,包括我们的最值问题呢,全部都在这里,而且还有我们未来的函数,我们都可以怎么样的学到对应的方法技巧?那如果你说亮亮我是初二的学生怎么办?你正是学习几何模型的黄金时间, 那么拿到这本书,首先把前面非常重要的,比方说全等常见的这种常规的模型, 我们把它给怎么样读起来。那么剩下我们正在学的你,期末考试极有可能用到了各种四边形的模型呢。啊,我们也同步的学习,那么未来我们整个初三的模型呀,动点对折呀,包括我们接下来的所有的函数呀,他们全部都可以派上用场。 亮亮,我跟他们不一样,我初三了,我马上就要中考了,这本书对我来说啊,可能有点晚了。初三的学生,你可以把它当做一本冲刺书,也根据你当地的一些命题特点来选择我们自己需要的内容。 你想想我们所有的最值问题,乃至我们的几何模型,还有我们各种函数的方法技巧,你只要在中考考场上用上一个,那我们就物超所值了。我们希望能够真正帮助到每一个被数学困扰的人。点击视频下方的链接,就能看到我这本桥姐初中数学的新书啦,跟着亮亮无脑学习!

十秒钟搞定一道压轴题!给出一个固定的二次函数,与坐标轴交于 ab, 两点连接 ab, 产生固定的依次函数。让我们在抛物线上找一点 q, 使得三角形 qab 的面积等于三角形 pab 的面积。 这个利用常规方法比较麻烦,但如果我们知道巧用平行线,那就完全不一样了。那我们不妨在抛物线上找一点 q, 连接 q a 和 q b, 也就是我们要使得这个三角形的面积等于 pab, 也就是这个三角形的面积。 此时你会发现两个三角形有一条公共的底边,也就是 a、 b 是这个三角形的底边,同时也是这个三角形的底边,两个三角形底边公共,所以我只要使得高相等就可以了,也就是 p 点到 a、 b 的距离和 q 点到 a、 b 的距离相等。那我怎么样才能使得距离相等呢?给出一组平行 线,我们知道平行线间的距离处处相等,如果你这个线段是 h, 那我这个线段一定也是 h。 我们要使得 p 点和 q 点到 a、 b 的距离相等,所以我们只要过 p 点做 a、 b 的平行线就可以了,也就是这两条直线平行,那么它与抛物线的焦点就是我们要的 q 点。 那这个 q 点坐标怎么求呢?两直线平行, k 相等,你这个 k 等于负一,所以这条直线的 k 也等于负一,因此我可以写成 y 等于负 x 加几的形式。那后面这个数字是几呢?因为我们经过 p 点,所以可以把坐标二九带进去,横坐标是二,纵坐标是九,所以我们求出来后面数字是十一。 已知二次函数和一次函数的表达式,而 q 点是二者的焦点,所以我们可以拿出他们的表达式去构造方程,最终求出来 x 一等于二, x 二等于三,这个二指的就是 p 点的 横坐标,所以 q 的横坐标是三,而 q 点在这个函数上面,把三带进去,我们可以求出纵坐标等于八。如果你以为这个题就这样结束了,那你就太天真了,我在下方能不能有一点 q, 使得这个三角形的面积等于撇 b 的面积呢?很明显是有的,那像这样的 q 点怎么找呢? 给出一条直线,把它往上平 m 个单位,再把它等距离往下平 m 个单位。因为我们平移的距离是相等的,所以这两条垂线段的距离也相等。这条直线的表达式是负 x 加五,我的表达式是负 x 加十一,二者的关系是向上平移六个单位, 所以我们只要把绿色的 ab 等距离往下平六个单位,向下平六个单位,我们只要在表达式后面对应减六就可以了。所以我的表达式是 y 等于负 x 减一。此时这个直线与抛物线有两个交点,一个在这里 把抛线延长,另一个 q 点在这里已知二次函数和一次函数的表达式,所以我们可以构造方程求出焦点,最终我们求出 x 一等于负一, x 二等于六, 也就是他们的横坐标分别是负一和六。把横坐标带到一次函数中,可求纵坐标分别是零和负七。此时我们就把所有的 q 点全都找出来了。搞定。

一个视频搞定一次函数,整个初中数学所考察的所有考点都在这里,我们今天一次性通关,听完这期一次函数,彻底搞懂,准备好了吗?七个考点,我们现在开讲。 好,那么首先来看一下第一个,也就是图像与系数啊,就是我们给出一个一次函数,那他的图像如图所示。什么叫图像与系数呢?就是你要知道,给出一个一次函数,对吧?他的 k b 啊,对于函数图像有什么影响?嗯,好,现在问题来了,你可以推出 k b 的 正负, 请问另外一个意思是, y 等于 k, x 减 k, 它的图像大致是以下中的哪一个?那首先我们知道,因为图像从左往右是下降的,所以我们知道这个 k 呢,它一定是个负数, 你与 y 轴交于正半轴,因此我们知道呢?哎,你这个 b 一定是正的,但这个题呢?因为你这个 b, 他 根本就不考,他只有什么?只有 k, 对 吧? k 是 一个负数,所以我们知道你前面这个系数呢,一定是负的, 对吧?那你这个 b 是 负 k, 你 不要觉得是 k 啊,这个负 k, 我 们知道啊, k 是 负的嘛,所以这个负 k 呢,它就是正的 o, 也就是你所谓的依次向的系数负的,所以你整个图像,也就是你如果画出来草图,应该长长什么样子? 负的,所以从左往右是下降的,对吧?但你与外周交于正半周,与外周交于正半周,从左往右是下降的,所以你会发现选哪一个? b 不 对吧? c 不 对吧? d, 你 从头往右下降,但是你交于怎么样呢?交于负半轴了,对吧?所以都不对。因此这里面你发现符合选项的只有 a 选项,但这个题你会发现,我个人觉得啊, 他对我们的口点挖掘的并不充分。喏,你比方,如果是我的话,我可能会画一个这个,再画一个什么的, 画一个像这种,对吧?嗯,这个是一,这个呢?哎,这是一,这是二,对吧?你觉得哪个对?好像你用这个正负极判断,好像每个都可以,对吧?但你要知道,其实我们这个一函数,你仔细观察一下,如果你令 y 等于零,也是求它与 x 轴的交点,有办法你移过去呢, 我们可以求出来,对吧?你这个移过来,负 k, x 等于负 k x 等于 x 等于,就这个一次函数,它与 x 轴,对吧?交点的横坐标百分百是一,那这里面标出来了,所以这里我们选的是 a 选项。搞定 好,接下来我们再看第二个啊,就是用待定系数法求我们的一次函数。好,那么首先我们给出一个一次函数,嗯, 当 x 在 一到三之间的时候呢?我们的 y 是 二到六之间,那么请问 m 的 值等于多少?我告诉你,这个题呢,分两类同学。一类同学说,亮亮,你看一到三的时候,我的值是二到六,所以也就是当 x 等于一的时候,对吧? y 一定等于二, 以及当你 x 等于三的时候, y 一定等于六。把这两个点带进去,不就结束了吗?嗯,为什么呢?不能这么想,为什么?因为这里面 m 是 正的,而负的,你知不知道?你不知道,所以它的图像有可能像这个样子,有可能像这个样子,对吧?所以它有两种情况啊。亮亮,我早就知道有两种情况, 两种情况对应着两个一函数,所以你答案就有两个,对吧?所以这个题肯定选 c。 如果你这么想,哎,也是错的,那我们怎么去处理呢?首先分类是对的,因为你这里面不知道 m, 对 吧?我的图像是往上而往下的,所以我们考虑第一种情况,当我们图像呢?嗯, m 大 于零, 你整个图像也就是像这样,对吧?上升的。好,那我们知道你一到三的时候,对应的是二到六,所以我们知道啊,也就是像这个样子,那你这个是一,对吧? 那你这个是三,现在你对应的是二到六,就是一所对应的外值是二三所对应的外值呢?是六。我画了一个草图啊,所以你会发现这个点的坐标呢,也就是一二吧, 这个点的坐标呢,也就是三六,对不对?好,但你会发现,我们整个一函数里面,它只有一个未知的参数 m, 所以 你只需要一个点坐标就可以把 m 求出来。比方说我们把一二带进去, 你把一二带进去,横坐标一,也是 m 减四, m 等于几呢?等于纵坐标二,对吧?等于纵坐标二,所以你求出来 m 等于几,也就是这边呢,是负三 m 负三, m 等于二,所以求出来 m 等于几呢?你这个求出来, m 等于负的三分之二,对吧? 好,接下来你把这个点带进去,按理说你 m 应该也等于负三分之二,对吧?好,接下来你把三带进去, 三 m 减四, m 等于几?等于纵坐标等于六,也就是负 m, 对 吧?等于六,所以我们觉得 m 等于几? o m 等于负六,那就说明什么?说明也就是把这个点带进去呢? m 等于这么多,把这个点带进去呢? m 等于负六,那你说你这个一乘以一 y 等于二,当 x 三 y 等于六,你觉得可能吗? 绝对不可能,对吧?所以第一种情况他是不符合提议的,产生矛盾了,所以接下来我们考虑第二种情况也就怎么样呢? m, 小 林,我们这个图像呢?哎,从左往右下降的好,在一到三的时候,你看看一到三,那很明显,一所对应的就更大了,对吧?你这个三所对应的反而更小一些。 一所对应,你看看,在整个方位里面,我是二到六的,你说明这个点,他的纵坐标是二,以及你这个点的纵坐标呢,是六,对吧? 嗯,所以也就是你发这个点呢,他是一六,而且你这个点呢,是三二,是不是?那么接下来你会发现,喏,把这个点带进去,也就是 m 呢,减去四 m 等于几?等于六,对吧? 你这个等于负三 m 负三 m 等于六,所以我们知道,你求出来, m 等于几? m 等于负二, 那如果你还经过这个点,这个点带进去,你除了 m, 应该也等于负二,对吧?好,你把三二带进去试一下, 三二带进去,也就是三 m 减去了四 m 等于二,你这个求出来,负 m, 负 m 等于二,所以你算出来怎么样? m 也等于负二,对吧?行不行?行,因此我们知道,也就是 m 呢,它只有一个值,也就是负二。所以这个题我们选择 b 选项搞定,要分类,但是我们要排除掉其中的一种。 那么有些同学呢,一直傻傻分不清楚,函数到底该怎么拼啊?其实所有的函数呢,大家只需要记住八个字,叫做左加右减,对吧?以及呢?我们上加下减,但你要注意啊,就是你这个左右加减, 它是在 x 上完成的,而我们这个上加下减呢,它是在我们表达式 上面完成的。好,那么接下来买什么意思呢?举个例子,比方说,我们有一个函数,也就是 y 等于二 x, 你 干嘛?你往右移动两个单位,对吧?我们说左加右减,所以你往右移动,你就应该怎么样呢?减二,我在哪减二呢? 在 x 上面减二,你 x 减二,你这个 x 减二之后, x 就 会变成什么?变成 x 减二, 理解了没有哦,所以整个函数平移之后,它就会变成 y 等于二倍的 x 变成 x 减二了。好,接下来往上移动四个单位,我们说上加下减吧,你往上,所以我们就加,对吧?加式在哪加呢?在表达式上面 往上移动四个单位,所以在表达式上直接加四搞定。那最终你化简可得, y 等于二, x 减四再加四,所以等于几呢?等于二 x, y 等于二 x, 选哪一个啊?因此你会发现,选 a 搞定。 这个题考的就是函数与不等式,它没有任何的计算量,但是你需要去理解,你不理解,你可能都不知道答案怎么来的。好,给出一个一次函数,给出一个一次函数两个。哎,我就把它标一下,好不好?比方说这个一次函数呢,我就把它标成红色的 y 等于 k, x 加 b, 而剩下这一条呢,我就把它标成蓝色的,也就是 y 等于 mx 加上 n, 就 像这种形式。好,就像这样好,其实你会发现,在图形里面,我们可以看出来,二者会有个焦点,而且这个焦点的横坐标呢?是负三。好,请问 那么这个不等式它的解集是什么?那有没有同学说,亮亮,我要把这个,对吧?把这个直线表达式求出来,把这个直线表达式求出来,带进去。哎,我们就构造一个不等式,把这个不等式解出来就可以,如果你这么做就太麻烦,而且很多题目你是求不出表达式了,那该怎么办呢? 其实你有办法, k x 加 b, 不 就我的外值吗,对吧?而我们右边这个 mx 加 n 呢, 它不就是这个蓝色一次函数它的表达式吗?哦,也就是这两个函数,对吧?红色函数小于蓝色函数。大家记住啊,像这种题,你只要记住一句话,叫做焦点左右望,谁大谁在上,你会发现这两个一次函数它会产生一个焦点吧? 哦,焦点的左右就是大家大小的分界点。好,那你会发现红色小于蓝色, 所以红色应该在下面,蓝色图像应该在上方,就在焦点的哪一边,我们整个蓝色在红色图像的上方呢? 哦,你会发现在焦点的左边,你这个蓝色在红色的下方,那不行,在焦点的右边呢。哦,你会发现, 喏,我的蓝色是不是在上,红色是不是在下,蓝色在红色的上方,所以这一边可以,对吧?所以焦点左右望,哪边满足?右边满足,焦点的右边满足。所以呢,我们的取值范围也就是怎么样? x 大 于等于注呀,这里有等于号,对吧?就两个一次函数,它们可以怎么样呢?相等,所以你这个焦点满足的大于等于负三。搞定 好,接下来我们处理一次函数里面的最值问题,那首先给出一个坐标系,有一个菱形, a、 b、 c、 d 菱形,我们知道四边相等,对边平行。好,现在 a、 b 两点呢?它都在 x 轴上面, d 点在外轴上面啊, d 点在这, 嗯,点 c 呢?在第一项键,我们看得出来。好,现在我告诉你 a、 d 的 表达式等于这么多,那想想 一条直线的表达式告诉我们之后,我们可以求什么呢?首先可以求它以 y 轴的焦点,不就是你后面这个东西吗?对吧?所以 d 点坐标我们知道是零四的,那怎么求 a 点坐标呢?其实很简单,你令整个函数,对吧? y 等于零, 解这个方程就可以了,所以我们知道也就是三分之四, x 加上四等于负四,所以我们求着 x 等于几等于负三, 也就是我们知道 a 点坐标呢,一定多少?一定是负三零,对吧?我写这里啊,负三零,其实也就是我们知道你这个边是三了,以及我们知道这个边等于几呢,这个边等于四,对吧?就 d 的 总坐标, 所以通过勾股定律,你可以求出来整个边是不是五呀?哎,我们就写在旁边好不好?哎,我们知道零时的边上这个边是五,可不可以?好,那么接下来我们继续往后了。好, 现在 p 是 b 边上一个洞点, p 点在整个对角线上动来动去的。哎,菱形有什么特点啊?好,现在那么 ap 加 o p, 它的最小值 啊,就是 p 点是个洞点,连接 o 点,连接 a 点,对吧?求这两条线段制合的最小值。好,比方说我把这一条边呢,把它标做红边。好,剩下这个 p o 呢,我就把它标做一条蓝边,比方说你是个蓝边, 也是,接下来我们要干嘛?要使得红边加蓝边,两边之隔最小,那很明显它就是一个将军一马问题嘛,我们要么做 a 关于 b、 d 对 称点,要么做 o 关于 b、 d 对 称点,都可以,但是哪个更简单呢?我们知道 菱形,它是个轴对称图形,对吧? a 关于 b、 d 的 对称点就是 c 点哎,所以你会发现,喏,你是对称的,那么根据对称性,我们知道连接 p、 c, 那 么这两条线段一定相等, 所以也就是我只要舍得这一条红边,加上这个蓝边,两边这个最小就可以。那如何最小呢?其实你要知道,屁是一个动点嘛,他就相对从 c 点出发,走走走走,走到 b 地边上再走走走走走,回到 o 点,对吧? 从 c 点出发到达 o 点,但是你要经过 b、 d, 两点之间线段最短,所以你直接连接 o、 c 是 不就可以了,对吧?你要经过 b、 d 边上的 p 点,那不就顺手的事吗?所以你会发现,最短路径呢,就是线段 o、 c 的 长度。那问题呢, o、 c 怎么求呢? 非常简单,你要注意啊,因为你这个角是直角吗?坐标系哎,你外轴垂直于 ab, 你 这个外轴一定就垂直 dc 了,所以也就是这个角一定是直角啊。那最终你会发现,喏,在 c、 d、 o 这个大大大大的直角三角形中,一个直角边五, 剩下一个直角边呢?这个边其实我们刚才标出来了,它是 d 的 中坐标,也就是四,对吧。所以你会发现,通过勾股定律,你的平方 加上怎么样呢?我的平方在开方吧,所以我们求出来就是我们整个 o、 c 的 长度,对吧?选哪一个?根号四十一所,我们选 a 搞定。 其实我们整个一次函数里面的应用题非常多,但是我拿出非常具有代表性的一个调用问题。好, 现在我们将甲、乙两厂的生产设备运往 ab 两地啊,把甲厂乙厂有些设备呢运到这里,这里,对吧?哎,搞事,现在甲厂有六十台设备,乙厂有四十台。好,写出来。就甲厂呢,总共有六十台,你这个乙厂呢?总共有四十台,对吧?加起来一百台。 那 a、 b 需要多少呢?你会发现我们这个 a、 d 需要七十台。哎呦,我需要七十台哎,你都得给我对吧?好, b、 d 需要三十台。那你想想, a、 d 和 b、 d 总共加在一起,我需要一百台吗? 我们总共有一百台,而你刚好需要的也是一百台,也就意味着假场和遗场所有的设备要一台不剩的全部运出去,对吧?好,现在每台设备的运输费用呢?如表所示,什么意思呢?就是甲运到 a, 每台呢,要七单位,是什么?七百元?甲运到 b 呢啊,每台需要十个单位。乙运到 a 呢,需要十个百元,对吧? 以运一台设备去 b、 d 呢,要十五个百元啊,就这个意思。好,现在是从假场运往 a、 d 的 设备有 x 台, x 为整数,你不说我也知道,对吧?好,就是假运往 a、 d, 你 运了怎么样?运了 x 台对吧?好,那我想问一下,请问其他的我们能表示吗?百分百可以表示出来,你是 x 台吗?我们刚才说了, 我们所有的设备你要一台不留的全部运出去,对吧?我总共六十台,我往 a、 d 用了 x 台,剩下是不是都得用往 b、 d 去啊?用六十减 x 吧,所以你用往 b、 d 的, 甲用往 b 的 一定是六十减 x, 有 这么多台,对吧?所以你会发现哦,甲用往 b、 d 不 就出来吗? 六十减 x 台,好问题呢,你用 a、 d 的 呢?其实这里面我们都会表示,为什么呢?因为 a、 d 需要七十台嘛,你给我送来了 x 台,所以剩下你需要给我补齐多少台? 七十减 x, 嗯,就是这个意思啊,它要七十减 x, 需要这么多台,明白了吧?好,接下来 那么这块怎么表示呢?你有两种方法,第一个 b、 d 总共需要三十,你这个乙需要送多少呢?你用三十减去它,哎,你会把三十减去六十减 x, 我 们求出来等于多少? 等于 x 减三十,这是第一种方法。第二种方法干嘛呢?我乙总共有四十台,我往 a、 d 已经用了这么多,所以我剩下是不都得用往 b、 d 啊?一台不留嘛,所以你用它减去它,你可以试一下。哎,你用四十减去你,对吧? 七十减 x, 你 求出来也是 x 减三十 o, 不 管用哪一种方法,你需要的是怎么样?以往 b 运这么多台,所以你想想,以往 a、 d 运的呢?以往 a、 d 运的也就是七十减 x, 以往 b 运的呢? 以往币运的怎么样?也就是 x 减三十。好,表示完毕之后呢?接下来让我们设计一种调运的运输方案,要使得总运费最低,并求出最低费用是多少。行,我们就利用这个费用呢,我们另他是 y 好 不好?那这个费用怎么表示? 你假用往 a、 d 总共用了 x 台,每台是七个单位,对吧?哎,你就说七个,你说真讨厌。七百元也是怎么样呢?七 x 加上你用往 b d 呢?哎,每台多少?十个百元,总有这么多台,所以用十乘以它,说白了就是加了十倍的 六十减 x, 加十倍的六十减 x, 让我们再加上什么呢?一样的喏, e 往 a 运了这么多台,每台需要这么多钱,我们乘一下就是整个代数式吧,加上十倍的七十减去 x, 那 最后呢? 以往币呢?运了这么多台,每台需要这么多钱,所以乘一下就是这个代数式,所以我们加上什么呢?加上十五倍的呢?也就是 x 减三十。好,所以最终我们需要做的干嘛?就是把整个式子,把它给求出来,我们来试一下啊, 等于七 x 加上六百,减去十倍的 x 加上七百,然后减去十 x, 然后怎么样呢?加上十五 x 再减去四百五,等于这么多。 好,所以最终我们求出来等于多少呢?来,我们算一下啊,七 x 减十 x 负三 x 再减十 x 负十三 x 加十五 x 呢? o 总算是正的二 x, 对 吧?好,接下来 六百加七百,一千三,一千三减去,你呢算你最终求出来等于多少?八百五,对吧?哎,最终答案呢,比较简洁,也就是我们最终的费用是二 x 加上八百五。好,那问题来了, 你要去求它的最大最小值,你是不是得知道 x 取的范围才可以啊,对吧?你不然怎么求费用呢? x 等于一百一万,一千负一负一百你都不知道,对吧?那范围怎么求呢?其实这种钓鱼问题,范围非常好求干嘛?你只要使的夹往 a、 d、 b、 d, 以往 a、 d、 b d 你 调用的这所有的台数的数量大于等于零就可以了,对吧?比方说 x 大 于等于零,哎,你要舍得这个东西, x 大 于等于零, 其次呢,你要保证这个东西大于等于零,对吧?也就是六十减 x 大 于等于零,我们就说 x 呢,小等于六十,其次,你这个东西你调用的不能是负数吧, 你最起码得大于等于零,对不对?你大于等于零,七十减 x 大 于等于零,所以 x 怎么样呢? x 小 等于七十,还有什么你,对吧啊? x 减三十,你得大于等于零, x 呢?得大于等于三十,所以也就是你会发现 no 同大取大,所以取值范围多少?也就是三十。小等于 x 同小取小,所以呢,小于等于六十。好,这个就是我们 x 的 取值范围。那你要知道我们整个 e 函数 k 是 大于零的嘛,所以 y 随着 x 的 增大而增大, 我要费用最低送你 x 越小越好。 x 小 到什么程度呢?嗯,最小三十嘛,对吧?所以也就是当 x 等于三十的时候,对不对?当 x 等于三十也就怎么样呢?他让我们设计方案 这个班我们直接说啊,就夹往 a 里,对吧?你这个是三十 x 三十嘛?你这是三十 x 三十,你这是四十, x 等于三十,你这是零,明白没有?这么去调运,哎,一定是最省钱的。呃,最少的费用多少?把三十带进去, 二乘以三十呢?六十加上八百五,我们求出来等于九百一十,单位怎么样?百元,你是百元,我也答百元啊,好吧。哎,开个玩笑了,就是我们平常这个答题的时候你要写啊,没有这种对吧?哎,九万一千元搞定。 其实像这种题,我个人觉得比较简单,无非就是把我们熟悉的东西呢放在里面。我们首先来看一下前面小问好,我们给出一个一次函数,它的图像呢,分别交 x 轴、 y 轴于 ab 两点啊,交 a 点、 b 点。其实通过这个一次函数,我们可以求出来,就像上一题一样吧, 我们知道 b 点坐标呢,是零三,以及呢?另外等于我们求出 a 点坐标呢,也就是负四零,我们把它标注出来。好,问题来了, 点 c 是 a 点,关于 y 轴的对称点,所以我们知道这个点的坐标呢,也就是四零,好 过 c 点做 y 轴的平行线啊,其实说白就是做 x 轴的垂线,对吧?嗯,交于 d 点,所以我们知道 d 点横坐标也是四,而 d 点在整个直线就是在它上面横坐标四,把四带进去, 你是三再加三的,所以我们知道 d 点坐标是四六的, p 是 整个射线 c d 上一个动点。注意啊, 射线 c d 就 意味着我可以在线段 c d 上,我可以跑到线段 c、 d 的 外面去,对吧?但不能在这啊,在这呢就叫直线 c d 了。好,第一个求地点坐标,我们已经搞定了。 好,接下来我们看第二问啊,就是把整个三角形 a、 d, c 呢?沿着我们 a p 翻一下,对吧?啊?把它翻过去干嘛?使得 c 点 的对应点 c 撇啊?你这个对应点 c 恰好落在直线 a、 b 上,让我们求这个点 p 的 坐标。其实这个题呢,你用等面积法可以,你用勾股定点呢,也可以,比方说,通过我们前面这个图,我们知道整个底边是几, 整个底边是八,对吧?哎,整个底边的长度一定是八,而且我们知道,那通过地点坐标,咱们知道这个边的长度是不一定是六,没问题吧?所以我们知道整个斜边一定是十八六,八十吗?你是把这个三角形,对吧? 哎,你把这个三角形,你把它翻过去,你这个边是八,所以我们知道这个边长度一定也是八,并且你这个角九十度,所以这个角也是直角,说白了他也是个直角三角形。 与此同时,我们知道你整个斜边是十,拿走八个单位,所以这个边是二。好,你让我求 p 点坐标,其实说白了, 它的横坐标几? c 的 横坐标是四嘛?所以整条直线横坐标都是四,所以我们知道 p 的 横坐标一定是四,我只要求纵坐标 c p 就 可以了,对吧?好,那么此时我们大胆引入未知数,比方说另这个边是 x, 你把它翻过去了,你这个边 x, 所以 我这个边也是 x, 你 整条线段长度是六,所以我们知道这个边六减 x。 最终你会发现,在这个直角三角形中,用勾股定律,你的平方, 也就是 x 平方加上你的平方,对吧?一定等于什么?等于它的平方,也就是六减 x 括起来的平方。那最终呢,我们可以求出 x 方加上四等于三十,六减十二, x 加上 x 方,对吧? 好,左右两边我们哐当,哐当也就是十二, x 呢,等于三十二,所以我们求了 x 等于几。除以十二, 也就是除以四,三分之八,哦,也就是 c p 的 长度呢?三分之八,所以我的纵坐标呢,也就是三分之八。 p 点坐标搞定。 好,我们看第三个,如果直线 o p 啊,就是连接 o 点跟 p 点,那 p 点在上面动来动去,比如 p 点,你就在这吧,可不可以?好,你连接一下 o p, 哎,延长,对吧?哎,你会发现二指头会产生一个焦点。好,焦点是我们的 q 点在哪?不知道。 好,当然它呢,不能跟 d 点重合好,是否存在 p 点,它有什么要求呢?你这个 p 点使得 c p q, 哪个 c p q? 哦,干嘛也是我连一下对吧?我把这个擦掉,哎,我连一下 是吧? c p q, 这个三角形面积等于二倍的 d p q 等于这个三角形面积的二倍。有没有这样的 p 呢?如果有,求 q 点坐标,如果没有,请说明理由。好,你其实你想想啊,就是你有发现这个三角形跟这个三角形 它有什么联系呢?它的高是公共的,你过 q 点往这边做垂线好不好?比方这个是 h, 哎,把这个 b 擦掉啊,哎,这个 p 在 这里,明白没有?哎, p 点在这呢,连接 o p, 焦点 q 点。好,你会发现我们这个三角形能看到吗?它的底边是 dp, 它的高是什么呢? h, 而我们这个钝角三角形,一样的底边呢,是 c p, 高呢?是 h, 所以 你有发现这两个三角形它的高是公共的,相等的,重复的,对吧?所以面积比呢,一定等于底边之比,底边之比,我的面积是你的二倍,说白了,也就是我们知道底边一定是你的二倍, 对吧?就是 c p 等于二倍的 d p, 而大家不要忘了啊,所以你发现面积关系,其实我们可以怎么样呢?把它变成我们的, 哎,线段的比例关系,对吧?哎,你刚才屁点在这,大家不要忘了 d 点坐标,它是四六的,四六就意味着整条线段是六,你把它分成二比一的两部分,所以我们知道整个长度一定是四,明白了没有? 哎,也就是你这个屁点坐标呢?横坐标是四,对吧?纵坐标呢?还是四?好,那接下来你让我求 q 点坐标, q 点咋求?所以你看把图形,把图形补全,对吧? q 点差不多在这, 那经过 o 点,经过 p 点,所以它是个正比的函数,对吧?那我想问一下,整个正比的函数大家可以求出来吗? 那四四,所以我们知道它是 y 等于 x, 没问题吧?求正比的函数,你只需要一个点,四四代均没有问题。好,而我们知道这条直线的表达是多少呢? 那 y 等于四分之三, x 加上三,所以我们知道知道 p 点坐标, 求出正比的函数,那求二者的焦点。剩下我觉得简单了吧,就是 x 呢,等于四分之三, x 加上三移过去四分之一, x 呢,等于三,所以 x 等于几? x 等于十二,就是 q 点这个焦点,对吧? 哎, q 点焦点的横坐标是十二,纵坐标呢?你可以把十二带到这里面去,你可以把十二呢带到这里面去。哎,带这个更快,对吧?所以我们求出 q 点坐标呢,十二,十二。好,那接下来问题来了,你要知道 q 点怎么样? 它在整个射线 c、 d 上运动,它除了在这条线段上呢,它可以跑到外面去,对吧?那比方说呢?哎,差不多就长这个样子吧,可不可以好?连接 o p, 对 吧?连接 o p 怎么样?它这个与直线 a、 b 的 交点呢?这是我们的 q 点, q 点在这 好干嘛呢?哎,我们连接一下, c p q 是 哪个? c p q 不 就是这个三角形吗?它的面积等于什么?等于 d p q, d p q 啊,就这个三角形吧,就是我这个大三角形,是你这个小三角形面积的二倍,一样道理呢?你会发现,你过 q 点做垂线,对吧? 你会发现这个三角形,你把它当做底,它的高是不是这条垂线段一样的?你这个三角形呢?你把 d p 当做底,我的高是不是也是这个垂线段?所以整个大三角形的高是这么多, 你这个钝角三角形,这个小三角形高也这么多。两个三角形高是重复的,相等的,完全一样的,所以它们的面积比其实就等于什么呢?就等于它的底边这里,所以就是整个大三角形,它的底边 c p 是你这个小三角形,对吧?哎,它的底边 d p 的 二倍,也就是我是你的二倍。说白了, d 点就是整个 p c 的 中点, d 点坐标,大家不要忘了啊,是四六的好不好?所以你要知道整个是六嘛,所以这个也是六,也就是它的坐标是四十二,那一样道理。 它是一个正比的函数,经过圆点,经过 p 点,所以我们可以非常快速求出来,它是 y 等于三 x, 对 吧?横坐标四带进去,纵坐标是不是十二? 好,接下来呢?和这条直线产生交点,对吧?这个直线我们说的是 y 等于四分之三 x 加上三的,所以接下来 求这个正比的函数和这个一次函数二者的交点。所以构造方程也就三 x 呢,等于四分之三 x 再加上三,所以把这个移过去,嗯,四分之九倍的 x 呢?等于三,所以我们可以求出 x 等于几, x 等于 三分之四。 o, 也就是干嘛?也就是你这个焦点 q 点,对吧?我们求出来焦点,哎,就是我们第二个 q, 它的横坐标呢?是三分之四的,那纵坐标呢?你可以把三分之四带到这里面去,你可以把三分之四带到这里面去,你会发现我们的纵坐标等于四。 搞定,也就是最终我们满足条件的 q 点呢,就这两个。好了,一次函数的核心考点就这些,哪块不熟,倒回去再看一遍。亮亮也给大家准备好了一次函数的练习题,赶紧去领取练习起来吧,跟着亮亮无脑学习。

这道题啊,九五的孩子都做不出来,很多孩子看到题目就放弃了,其实只要掌握一个模型就能秒出答案了。来看一下这个图形的构造,是不是很熟悉?没错,就是费马点,根据费马点的性质,直接套用公式, x 等于 a 加 b 除以二, 它等于根号下一层 b, 所以 这里 x d 值为负一, b d 值为二。那这道题我们就做完了,你学会了吗?关注我,我是可可,教你更多初中数学的高分方法,让你考试多拿分,家长少操心! 嘟嘟一百一十分高分方法,全国通用数学压轴题函数技巧!

每天一分钟学会压轴题,给出一个二次函数和一次函数相交于 a b 两点。问,在外轴上是否存在一点 c 是 三角形, a, b, c 是 等腰三角形。这道题的标准答案是什么样子的呢?是不是脑袋瓜子已经嗡嗡的了?但是如果你会用代数法,那这道题就会变得轻而易举了。 给出任意一个三角形,我们设它三边,分别为 abc, 要使它成为等腰三角形,会出现三种情况,也就是每条边都当做一次底边,另外两条边当做腰,使它们相等,于是能得到这三个式子。其次,两点间坐标公式。我们都知道,为了计算方便,我们将它变形一下,成为这个样子。 此时回到题中,我们首先需要将三角形 abc 三个点表示出来,因为抛物线和一次函数已知轻松可得 ab 两点坐标。由于点 c 是 在外轴上运动,我们设它为零到 m。 根据两点间坐标公式,我们能得到三条线段的表达式,此时只需让他们两两相等,即能求出 m 的 值。最后,不要忘记检验所有坐标,你会发现其中一个坐标点是和点 b 重合并设区。最后答案不就出来了吗?同学们,你学会了吗?

一分钟搞定二次函数线段最值问题,给出一个抛物线点 p 在 线段 b、 d 上运动,点 m 在 抛物线上,且无论怎么运动,始终有 pm 平行于 y 轴,求线段 pm 的 最大值。如果这道题你想到的是当点 m 在 抛物线顶点时取最大,那基本上凉凉。因为题中让求的是绿色线段最大值,并不是点 m 到 x 轴的最大值。 那该如何解决呢?其实非常简单,首先大胆去设未知数,你让我求 pm 的 最大值。这两个点都是动点,但由于 pm 平行于外轴,所以它们的横坐标一定相等。我们设两点,横坐标为 a, 又因为点 m 在 抛物线上,所以它的纵坐标就是将 a 带入到抛物线的解析式中,得到这一串。 同理,点 p 的 纵坐标只需将横坐标 a 带入到直线 b、 d 的 解析式即可。由于抛物线已知,轻松可得, b、 d 的 解析式为这一串。 此时两点坐标已知,横坐标又相等,求 pm 的 距离只需将两点纵坐标相减即可。化简后得到这个式不难发现,这是一个二次函数表达式,且图像开口向下必有最大值。根据顶点坐标可求得 a 等于二分之三,代入这个表达式, pm 的 最大值不就算出来了吗?同学们,你学会了吗?

亮亮的二零二六年初中数学难度天花板压住特训卷他来了!我花了整整三天时间,把我们二零二六年全国重点名校一模真题翻了个底朝天。哎,不是随便找几道题凑数,而是把所有的基础题、送分题、重复题全部提掉, 只留下那种你做错了也不知道自己错在哪,你做对了也说不清楚为什么对一模二模三模将反复出现,中考还在变着花样考的隐形十分题。 啃透这一张试卷,你会发现,以前那些看到就头皮发麻的压轴题,开始变得有迹可循。别人丢分的地方在你这就变成了你得分的地方。从八十五分冲进一百二十五分。也许你就差这么一张试卷了。拿去下载打印吧,跟着亮亮无脑学习!

hello, 大家好,今天呢,讲解一下二次函数过定点问题。首先呢,解释一下什么是定点,找定点呢,就相当于找 x 为几时,能求出 y 的 具体值,即该定点是与参数无关的。具体什么意思呢? 我说,比如二次函数 y 等于 a, x 平方加 b, x 加一,要是定点与参数 ab 无关,是不是我们很容易发现,当 x 等于零的时候,此时 ab 这两项都没了,所以能求出一个具体值, y 等于一, 所以它的定点就是零。一。好了解了什么是定点过后,那我们找定点有哪些方法呢?首先, 特殊值法,其实我们刚才令 x 等于零的时候,它也是一种特殊值法。但假如我再写一个 关于 ab 的 代数式, a 加 b 等于一的时候,让你找它的定点,当然你会发现,当 x 等于零的时候,它也成立,那还有没有呢?其实也不难看出,当 x 等于一的时候,即 y 等于 a 加 b 加一,此时就可以整体代入了,这个等于一,所以就等于二, 所以它还有一个定点为一,二,这就是特殊值法啊,即找到一个特殊值,能让二次函数中所含的参数都消失掉。但是呢,这种方法它有一种弊端,比如给你二 a 加 b 呢, 你思考后可以发现,当 x 为二的时候,你其实也能整体代换,但再给你一个一百 a 加 b 呢?哎,好像有点困难了,那再给你一千 a 加十 b 呢? 糟了,我的分解法好像失灵了,所以我们更常用的一种方法是分离参数法。什么意思呢?解释一下, 这是一,然后第二,我就以 a 加 b 等于一为例,我是不是可以改写一下,即 b 等于一减 a, 然后二次函数是不是就变为了 y 等于 a, x 平方加一,减 a 倍的 x 再加一, 然后整理一下, a, x 平方加 x 减 a, x 加 b。 现在重点来了,什么是分离参数呢?就是将参数给单独提取出来,所以就等于 a 倍的 x 平方减 x, 再加 x, 再加一,然后近点与参数无关,所以我们要让参数所乘的因子为零,是不是就与参数无关了?所以我们可以得到 x 平方减 x 等于零, 即 x 乘以 x 减一等于零,所以 x 等于零, x 等于一。此时也能简单得到 y 等于一, y 等于二,是不是也能找出这两个定点?好,根据我们刚才所讲,我们一起来实操一下, 已知二次函数 y 等于这一坨,横过定点,求出定点的坐标。根据我们刚才所讲,首先我们是不是得简单整理一下式子啊?即 y 等于 k, x 平方加二, k, x 加 x 加二,然后 分离参数,对,即把参数给提取出来,即等于 k 一 倍的 x 平方加二, x 再加 x 再加二。现在关键点就来了,要让定点与参数无关,即让参数所乘的因子为零, 所以 x 平方加二, x 等于零,提个 x, x 乘以 x 加二等于零,所以 x 等于零和 x 等于负二。然后代入呗, x 等于零时, y 等于零加二就等于二, x 等于负二时, y 等于 零喽,完不完美?好,所以定点就为零 二,然后还有一个负二,零。好。以上呢,就是二次函数过定点问题的常用处理办法。 分离参数法呢,是我们一定得掌握的,它的核心要点呢,就是孤立参数,就是把参数单独拎出来,然后令其所成的 自变量因子为零,就可以求出 x 的 具体值,进而求解出这个定点坐标。好,今天的分享就到这里,希望大家有所收获,再见!

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初二数学最难啃的骨头是什么?一次函数绝对排名前三!这马上就要考试了,亮亮我想请你帮我开个窍!没问题,这就来! 我把复杂的一次函数归类成三大核心模型,八种解题技巧。不管是与几何的综合函数的材料探讨,还是解应用题,每种技巧我们都有详细的讲解,加上真题势例, 学校没听懂的,我来教你做,让你彻底告别瞎蒙,告别无从下手!这次考试你一定见机不慌,咱们再也不用羡慕学霸,我们悄悄逆袭,惊艳所有人!拿去下载打印吧!跟着亮亮无脑学习!

你要是想学好初中数学,轻松提分的话,可以先了解我的这本新书巧解初中数学,初一到初三都能用,我带你把初中数学核心知识点学懂学透。大家好,我是亮亮老师,也是这本巧解初中数学的作者。 我研究过市面上很多数学教辅,要说能把初中数学模型讲懂讲透,还能带着你练技巧,举一反三等我的这本书你就千万不要错过了。这本巧解初中数学和市面上的普通教辅真的不一样,我们不堆题,不搞虚的,我们只讲最实用的解题方法,八招。 这也是我耗费多年心血,结合多年实战经验,从数万套中考真题错题中提炼出来的核心内容。那么整本书一共包含一百一十个初中数学的高分大招,那么吸分下来呢?我们有六十个几何模型,十八个动点对称,还有三十二个函数解析方法, 覆盖初中数学全板块。所以不管是孩子最头疼的几何辅助线啦,函数综合题还是难倒一片人的动点对称问题,里面都有对应的专属答题方法。 而且你看每个大招,我都从模型解读到模型演练,全程一步一步给你梳理的明明白白。跟 着节奏走,从理解知识到熟练运用,循序渐进,基础差我们也能跟得上,但你真正的做到,做一道题,会一类题,彻底告别,死记硬算。除此之外,还有我专属手教的详细答案解析,每一步解析思路都给你梳理的明明白白。 而就考虑到基础差的孩子呢,如果文字理解不透彻,也不用担心了,我还会新书配到亲自录制的视频讲解,一招一讲,全面覆盖, 认真跟着学,不用家长费心辅导,自己就能吃透知识点,掌握解密技巧了,就这么简单!新书首发库存紧张,过几天我们就恢复原价了,趁着有活动,抓紧入手一本吧!

上次的中考必刷题,我真的是临时有事,不是不会做,你看,这又来了一道后台小伙伴给我发的,叫什么中考必刷题,难的了你那难的了我吗?一般题目用常规方法非常麻烦,但在亮这里,那就完全不一样了,好,我们一起来看一下啊, 哈哈,我突然想起来,我们家水龙头没关,我们今天先到这里啊,我们下条视频,再见。嘿嘿,开个玩笑嘛。 好,我们首先来看一下这个题的前两问,那么首先告诉你,三角形 abc 呢?内接圆 o, abc 三个点在圆上,圆心在三角形的内部,那圆心在这里面? 好, c、 d 是 圆的直径啊,终于有一个有用的条件了,这是个直径对吧?我们立马想到直径它所对的圆周角九十度,好连接 b, d, 就是 把 b 跟 d 连接起来,在这你可能看不清楚啊,我把它连一下,它这个连了跟没连一样,对吧?哎,中考必刷题, 那我们知道直径所对的圆周角这个角呢,一定是直角。好,我们继续往后了,现在给出这么一个,这啥呀,两角相加还带有系数的角, b c d, 哪个角? b, c d 啊,就是个尖尖角,对吧?加上角二倍的 a b d, a b d, 哦,就是加上这个角的二倍,而等于什么呢?等于九十度。好,第一步,让我们求证, ab 等于 ac, 这个边等于这个边,就是它是个等腰三角形,其实求证两腰相等最常见的,我只要证出这两底角相等不就可以了吗?更何况题目中告诉了角的条件, 告诉的直径啊,也就是九十度,对吧?啊,所以我们很容易想到亮亮,可是这咋证?不知道对吧?我告诉你啊,在你没有思路,找不到突破口的时候,你可以永远大胆引入未知数。比方说, 我们令你这个角啊,是 a r f o k 啊,就这个角是 a r f 没问题吧?好,你要知道这个 a r f 是 什么? a r f 是 这段弧 a d, 对 吧? 哎,你所对的圆周角对不对?那你所对的这个圆周角呢?它是不是也是 a r f 同弧所对圆周角相等啊? 那我们刚说了, c、 d 是 直径,直径所对的圆周角呢?这个角一定是直角。你拿走了 ar 法,所以我们知道剩下的这个角呢,一定是九十度减去 ar 法。好,我只要求出这个角 等于九十度减 a 法就搞定了。咋求呀?那还有一个条件没有用的,角, b c d b c d 加上角二倍的 a b d a b d, 它是 a r 法,对吧?那不就二倍的 a r 法吗?谁加上二倍的 a r 法等于九十度,你把它移过去,所以这个角一定是九十度减去二倍的 a r 法, b c d。 哦,就是这个角一定是九十度减去二倍的 a r 法 b c d 哦,就是这个角,对吧?这个小小小的篮角,它等于九十度 减去二倍的 alpha。 那 么这次你会发现,喏,这个角呢,它是一个单独的九十度减 alpha。 而剩下我们右边这个底角呢,它是个复合角,对吧?它是由九十度减去二倍的 alpha, 由你这个东西再加上你这个东西,两个加起来, 它是不等于多少?它是不等于九十度减去 alpha 呀,搞定了吧?啊,你这个角跟我这个角二者相等,因此呢, a b 等于 a c。 证明完毕,我顺便问一下同学们,我们第一问的结论,在第二问里面可不可以直接使用呢? 可以啊,因为你第一问有没有额外添加条件?没有,对吧?我就举个例子,如果没有第一问的话,哎,你没让我证 我通过题干中的条件,我能不能在这里面独立自己推出来?在这里面独立正出来完全没问题,你什么条件都没添加吗?也就是这两条蓝边一定相等。好,我们看一下 过 a 点做圆的切线,那我们知道有切点必连圆心,对吧?好,我们把它给连接起来,把切点跟圆心连接起来,我们知道这个角一定是直角。 好,我们继续往后了,交 b d 的 延长交于 p 点啊,就是,其实这里面有一条线啊,各位同学们, b d 对 吧?把这个 b d 延长,延长延长,和这个切线呢,交于 p 点。其实我不知道大家想到什么没有,你要知道这个角是直角对吧? 好,问题来了,让我们求准, b c 等于二倍的 pa, 也就整个底边,怎么样呢?等于你这个 a p 的 二倍,那这个怎么证明呢?其实很简单啊,首先第一个,你把 a o 延长,比方说呢,延长,延长,延长,对吧?好,和底下的这个 b c 呢,交于我们的 q 点行不行?嗯,就像这个样子。 好,接下来呢,你有两种证明方式,我们选择我个人觉得比较直观的一种啊,连接 o b。 好, 连接完毕之后你会发现呐,各位同学们, a o 这个边呢?是不是半径呀? o b 这个边呢,是不是红色的半径呀?如果你说亮亮,那剩下怎么办呢?好,我标一下。比方,这个 o c 已经连接起来,但是为了让大家看起来更加的直观好不好,我在上面标注 类似的虚的红线啊,它也是半径,对吧?好,与此同时,你会发现,喏,在 a、 o、 c 这个三角形中有半径,半径底下是蓝边。 在 a、 o、 b 这个三角形中有半径,有半径底下是个蓝边。那我想问一下,请问这个三角形跟这个三角形什么关系?很明显, a、 o、 c 一定全等于 a、 o b, 对 吧?两个三角形全等 全等最终的,那我们知道,也就是这个角一定等于这个角嘛?全等三角形对应角相等,这个没有问题吧?好,那你想想哦,整个大的等腰三角形,我们第一问这了, a、 b 等 a、 c 嘛?一个等腰三角形,你是不是顶角的角平分线啊?是吧?两角相等, 三线合一嘛,顶角的角平分线一定是底边上的高喽,对吧?与此同时,还是底边上的中线,也就这个边等于这个边哦,这两条边,这两条边相等,对吧? 那接下来结束了没有?在 a、 p、 b、 q 这个大大四边形中,一二三三个直角, 所以呢,它一定是个长方形,用个笨方法,我令你是小 m 对 吧?对边,你是不是也是小 m, 两条边向呢?我也是小 m, 所以 整个 bc 呢,等于你的二倍证明完毕。当然,有些同学可能会说,这样他是不是一个正方形呢?我告诉你,百分百不是的,为什么呢?首先你要知道,喏,在这个直角三角形中,半径是斜边吧,所以我们这个直角边 m 呢,是小于半径的,你这个边是小于半 径,看到没有?所以整个边呢,一定是大于半径的吧?这个边大于半径, 这个边小于半径,所以它只是一个长方形,而不是正方形,不要瞎猜。好,我们来看第三问,你看量怎么搞定?它在二的条件下,也就是在这个图形的基础上,告诉你, p d 等于三倍的 b、 d 就是 这个边呢?等于这个边的三倍。 好,那行,我就令你这个边是 x, 我 们知道这个边一定是三 x, 我 们把图二的辅助线在这里把它补起来。另外,大家不要忘了 b d, 它在这里有一条线啊,因为它很接近于这个弧,对吧?所以大家可能看不出来,我把它补起来。那直径所对的圆周角九十度我们已经用过了,那么此时你会发现 o 点,它是圆形,是整个直径 c、 d 的 中点,你过中点往下做垂线,使得这个 o q 它平行于 b d, 对 吧?那根据我们的中位线,我们知道我一定等于你的一半。你是 x 嘛? 所以咱们知道这个边呢,一定多少?一定是哎,零点五 x, 对 吧?它一定是零点五倍的 x, 说白了,二分之 x 等于你的一半吗? 而我们刚才说了,你这个是切线,这个是直角呀,你这个也是直角,对吧?伸直圆,这个角也是直角。你这个边是四 x, 所以 我们知道这个边呢,一定也是四 x 嘛。你拿走零点五 x, 所以 我们知道整个的 o a 也就半径等于多少呢?半径等于二分之七倍的 x, 能不能理解? 半径等于二分之七 x, 那 我们知道整个直径 c d 等于几? c d, 它就等于二倍的半径,等于你的二倍吗?是不等于七 x 呀?好,接下来我想问一下,请问 c d 等于七 x, 我 们又可以推什么?你是个直角三角形对吧? 当我知道斜边是七 x, 知道直角边是 x, 通过勾股定律,你可不可以求出 b c, 对 吧?你的平方减去你的平方,减去你的平方,对吧? 我在开方嘛,等于根号下的四十八 x 平方,所以我们算出来等于多少呢? x 肯定是正的嘛,线段的长度因此等于。我们算一下啊,也就是四倍的根号三 x, 对 吧?也就是我们求出整个 b c 等于四倍根号三 x, 而 q 是 中点。记不记得你这个边等于这个边哎,一分为二的嘛,所以这个边也就是二倍的根号三 x, 因此整个 p a 呢,它也等于二倍的根号三 x。 我 们尽量利用题干中的条件,尽可能多地推出其他的线段。好,现在连接 d a b 延长至一点,把 d a 延长到一点。一点有什么特点呢?我们连接 o e 啊,把 o 跟 e 连接起来, 会和我们的 a c 呢,交于 m 点 m 在 这里。好,我告诉你啊, o e 是 等 ab 的 哪一个?就是 o e 等于 ab, 因为这里面条件比较多啊,所以这个条件没有用,我就把它框起来,大家不要忘了好不好?嗯,打个笑脸啊,笑脸没有清除之前,这个条件大家不要忘,就是这个边等于,哎,这个边对吧? 现在告诉你,既是弧 bc 上一点啊,既点在整个弧 bc 上,有什么特点吗?弧 d g 等于弧 a d, 这是什么意思?弧 d g 是 这段弧吗? 啊?弧 a d 呢?是这段弧对吧?我们知道等弧对等角,你这段弧 d g 所对的圆周角是不是我们这个蓝色的角, 与此同时,你这个弧 a d 呢?这一段弧,它所对的圆周角呢?是我们这个角,对吧?两个蓝角相等,而大家不要忘了,喏, a o c, 你 这个边是半径,你这个边也是半径嘛?那所以我们知道你是蓝角,我也是蓝角,等腰三角形,两底角相等。 好,接下来我们连接 c g, 把 c 跟 g 点连接起来,好在上面取点 n n 在 c g 上面连接 o n 啊,再连接它,它到底想干嘛?好,现在告诉你,角 e o n 等于二倍的 e o n 是 哪个角呢? e o n, 哦,是这个角,对吧?我们把它写出来,角 e o n 等于二倍的角。 e d c e d c 在 哪呢? e d c 在 这里, 你这个顶点在圆上,其实说白了,你就是个圆周角,对吧?它是谁?它是这段弧 a c 所对的圆周角,对不对?那我们知道, 同弧所对的圆心角,一定等于这段弧所对圆周角的二倍,也就是我这个角呢,对吧?哎,我的 a o c, 这个角 是你的二倍,对吧?而我们的 e o n 呢,就是这个角,对吧?也是你的二倍。因此,二指向的也就是我们这个角, e o c 等于角 a o c, 那两这两个角相等有什么用?非常关键,它会产生新的等角。比方说,你这个角 e o n 呢?哎,我把它画成大大的蓝角,行不行,对吧? e o n 在 这里,这是个大的蓝角,多少度不知道。好,现在你会发现,我们这个角 a o c 呢? a o c, 哎,我把它划到这里,对吧?哎,这是一个什么呢?这是 a o c, 一个红角。那我想问一下各位同学们,你会发现,喏,你这个红角,红角,这个角呢, 等于蓝角,这个角也就是两个大大的钝角相等,对吧?你会发现这个角跟这个角两个等角,它重叠了一部分。那我请问我多出来的两个小角相不相等?你会发现我的角 a o e 等不等于角, c o n 呢?等于,对吧? a o e 哪个角?也就是我们这个小角,对吧?它一定等于什么呢?一定等于 c o n c o n 哪个角? 其实这个题就是相当于让你去进行怎么样呢?用圆周角来进行等角转换,推出我们这两个小角相等,仅此而已。正周等角,那又能怎么样呢?那么此时你会发现在这个三角形中有绿角,蓝角以及我加的边呢,是我的半径 o a, 以及在这个三角形中呢,一样的,我有绿角,有蓝角,而且我加的这个边呢,是我们的半径 o c, 也就是三角形 a o m 一定全等于三角形 c o n。 现在你告诉我 c n 是 七, 也就是我们这个边的长度等于七,对吧?我们知道全等三角形对边相等,你是七,所以我知道这个边的长度呢,它一定也等于七。 好,现在告诉你,点 f 是 弧, a c 的 中点, f 是 整个弧的中点。那么对于弧的中点,我们有两种辅助线构造,你要么连接 f c, 对 吧?构造一个等腰三角形,你要么就连接 o f, 那 我们知道 你一定是垂直弦,并且平分弦的这个角呢?直角,那我们就不妨把这个点呢叫做 h 点。好,现在没了 连接 ef, 连接 ef 啊,让我们求这个三角形,也就是这个三角形的面积,怎么办?大家不要忘了我们还有个条件, o e 等于 ab 没有用,对吧?那你这个 ab 能不能表示出来呢?你发现在 a p b 这个大大的直角三角形,一条直角边二倍,根号三 x, 我 把你平方,对吧? 我再加上你整个边呢?四 x, 哎,我把四 x 加起来平方,对吧?你再开方,请问我们可不可以求出整个 a b 的 长度呢?那么求解过程我们就省略了,最终我们求出来等于二倍,根号七 x, 那么因此我们整个 o e 的 长度呢,也等于二倍的。更好奇同时,在 a p d 这个直角三角形中,知道 a p, 知道 p d, 通过勾股定律,我们可以求出这个边的长度等于根号二十一 x。 我 们知道 c d 是 圆的直径,所以它所对的圆周角,也就我们这个角一定是直角。 那么接下来我们过圆心向对边做垂线,根据垂径定力,我们知道这两条边相等,并且等于整个边的一半, 也就是这个边呢,等于二分之,根号二十一 x。 与此同时,你会发现,在 a o 巴拉这个大的直角三角形中,我知道斜边和直角边,通过勾股定律,我可以求出剩下这个直角边呢,等于根号七 x。 此时你会发现,在我们 e o 巴拉这个大大的直角三角形中, 我的直角边是根号七 x, 而整个斜边是二 x, 我 所对的直角边,它是斜边的一半,因此我们可以推出,那这个角呢,它一定是三十度。 在这个直角三角形中,你不管是用勾股定律,还是用特殊直角三角形的三边比例关系,我们都会求出 a e 呢,等于七倍的根号三。 我们知道还有三十度的直角三角形,我的较长直角边一定等于较短直角边的根号三倍,那我们把根号七 x 呢?根号七 x, 我 们乘以根号三,那么一定等于整个较长的直角边,也就是二分之 根号二十一倍的 x, 再加上你这个七倍的根号三,七倍的根号三,所以我们求了左边呢,根号二十一 x 等于二分之根号二十一倍的 x, 加上七倍的根号三, 我们把这一项呢移到左边去,所以它等于二分之根号二十一倍的 x, 等于七倍的根号三,所以最终我们求出 x 呢,等于二倍的根号七, 当我们把这个 x 求出来之后,你会发现我们这一条垂线段,根号七倍的 x, 我 们可以算出来等于多少呢?也就是它是等于十四的, 那么接下来我们这个三角形 a f, 也就是这个三角形的面积怎么求呢?我们把七倍根号三当做底边,也就是它的面积等于二分之一的乘以七倍根号三,再乘以什么呢? 好,我们过 f 点向对边做垂线,那么这个垂线段呢就是高,你把这个垂线段呢等于它,那么自然也等于它也是等于几根号七 x, 我 们求出来等于十四,所以最终我们求出来面积呢,等于四十九倍的根号三。搞定,跟着亮亮无脑学习。

韬定律不仅是华为改写芯片规则的起点,更标志着中国半导体产业从技术追赶迈向路线定义的关键转折点。解释为后摩尔时代全球半导体发展提供中国方案。二、数字经济的核心引擎, 支撑 ai、 云计算、自动驾驶等前沿技术的算力需求,推动国产芯片在高端市场的份额提升,摆脱供应链安全隐患,带动相关产业集群发展,形成万亿级半导体产业生态挑战与引优。一、 技术壁垒的突破难度。逻辑折叠技术对 e、 d、 a 工具设计方法学提出极高要求,需长期技术积累。二、产业链协调的复杂度。四层协调设计涉及多环节技术升级, 国内部分领域仍存在短板。三、国际竞争的不确定性可能引发西方技术封锁升级,需持续强化自主可控能力。