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大家好,嗯,今天呢来讲一下这个二零二五年的他的数学中考的压轴题,而且二十三题, 那么这一类题就是,呃,他所谓的这个特殊到一般的这个题,就是他可能前几个给你一个类似的 某某模型或者某某的一个结构,然后后面呢,他会让你去,就是有几个特殊情况,然后让你去思考,就是前几本可以理解为给你一个启发,那后几本呢,就需要你发动自己的思考,结合前面的 这个你的一些做法,嗯,然后去解最后的问题,嗯,他就不会特别难啊,但是也需要你去思考。好,那么来看一下这道题, 人第一问,第一问他就是介绍了个什么呢?他本质上就是说了一个旋转相似吧,因为他说的这里的 a o b 和三角形 a d c, 他 说的是 绕点 a 逆时针旋转了,并且放大,那是不是就是旋转形的相似?低温比较简单,旋转角呢就是四十五度, 然后相似比呢?观察一下,可以找 o a 跟 a d 去比,那么它就是一比根号二的等腰直角形,从这边的这个相似比就是根号二 好,然后看第二个,第二个还是在做这个旋转,然后它也是放大,求 b f 比上 o e, 大家看 b f 这一条, o e 呢,是这一条, 就像这一类的,他的旋转如果是全等的话,就是他除了你旋转的两个三角形全等,那他还会产生另一组的,就是你可能连接相对的点,他还会有一组类似的那个 旋转的全的,那这边改成相似呢,它也是成立的,我们就可以来看一下那 b f 跟 o e 存在三角形是不是?这这这里的三角形 a o e, 它跟三角形 a b f 它也是相似的, 因为这边角度的话,角 a o e 是 九十度,角 a b e a b f 也是九十度,然后这边这里 e a f 是 四十五度, o a b 也是四十五度,减去公共角,那它它们两个小角就相等,所以它们就相似了。那 b f 比上 o e 可以 转换 b f 比 o e 就 转成 ab 比上 o a, 那 他也是根号二倍的,所以第二个答案是根号二。好,那第三问 啊,第三问改成了菱形,然后他的问呢?问的是,我看 b f 比上 o e 这一个比上这个,那其实跟第二个是类似的,一个旋转的相似,那这边证明呢?他就不是两个角的正法,应该,因为他只有这一个旋转的这个角相等,然后他应该是用到了这里的, 嗯, a e 呢?它比上 af, 它是会等于这里的,嗯, o a 再比上 ab 的 都是嗯根号三倍,所以这边其实可以直接得到呢,它这个值就是根号三, 那他跟 alpha 角度呢?是无关的。这边可以先讲一下这个,比如我们画个图形,画一个顶角为一百二十度的一个等腰站的形, 那么我们可以得到它的边的比例关系是一比一的根号三,所以我刚刚说这一题答案,它是根号三。这个证明就比较简单,我们做个垂, 我们假设这个根号三他没有,我们可以倒下来,这两条边是一,所以高是二分之一,我可以用勾股底子算到第三边,这边是二分之根号三,这也是二分之根号三,所以他第三边就是根号三, 所以相对应着这里的三角形呢,就是一比一比根号三 好。那么看到最关键的最后一位,他这个也是用的第三位的图, 这边是给到了角, abc 呢是贝塔,我这里是菱菱形,所以这两个小角呢是二分之一倍的贝塔。 然后让你探讨的是 b a, b e 和 b f 的 关系是数量关系,那数量关系啊,我们就可以先总结一下它前面的几问,考了你什么 他这边呢?是前几问都是在说这个旋转相似对不对?那这种出现关系呢?我们就要思考,那相似的话,是不是你把相似笔写出来,他用 乘积的形式,它是可以去表示这个数量关系的,然后这边的说用含贝塔的式表示呢?嗯,它八成就是用到了这个分解函数,嗯,然后什么 sign, cosine 这些加上贝塔再去表示一些边, 那么可以先把有关于这些线段的,嗯,然后这个相似的这个式子列出来, 那么这边可以怎么写呢?可以写这个 b f 比上 o e, 它是等于呃 b a, 再比上看一下,嗯, 呃 o a 啊,其实其实就是 o b。 那 么这边为什么写成 o b 呢?因为这里我们写这个相似比呢,它这里的两个一个 o e, 一个 o b, 它是跟 b e 呢,没有直接的关系的,他们两个要相加起来才会等于 b e 啊,这边写 o a 的 话就会离得有点远,那写 o b 的 话,那么这是不是就要想,你要把这里的 o e 和 o b 啊,变成 b e 的 话,那是不是只要相加就可以了? 那么这边我们就要思考一下怎样才能把它们这个,嗯,就是把这个 o e 跟 o b 转换成 b e, 那 我们这边就想它们两个直接相乘的话,那肯定是不行的,没啥作用啊,你要写成它们再等于某某的一个形式,对吧?下面呢就是一嘛,它分母是一, 那这个时候你再分别跟这个式子相乘,你就可以写成 b f 等于 o e 乘上这个,然后 b a 等于 o b 乘上这一个,然后让他们两个式子相加,是不是就有了那是 b 一 倍的某某, 那现在的重点呢?就是找到他们这个式子的比是什么? 那我们要来观察一下这个图, b a 比上 o e o o b 啊,那因为它不在一个直角三角形里面,我们不好表示,我们可以做个垂 它这边的等腰三角形呢,它肯定还是存在的,我们可以找我们,我们可以知道这边二分之一的 a b, 它跟 o b 的 比我们是知道的。嗯, 它呢就是 cosine 倍的这个二分之一的 beta, 那 它的两倍就是 a b, 所以 我们其实可以直接写成二倍的 cosine 二分之 beta, 嗯,所以这样就表示出来了,那么这个时候我们就把它乘积写出来, b f 等于 o e 乘以二倍 cosine 二分之倍塔,然后 b a 等于 o b 乘以二倍 cos 二分之倍,它再让一式二式相加, 我们可以得到 b f 呢,加上 b a, 它就等于 这两个相加,然后因为他们这个右边的相等,所以可以直接增加,也就其实也就是 b e, 所以 是 b 乘以二倍的 cosine 二分之倍,它。好,那么这就是第三问。
