中考几何题大全

二零二五中考十道最难的压轴题，天津，填空压轴。浙江，二次函数与几何综合。福建圆的综合，武汉几何综合。 北京，新定义综合。陕西几何和函数综合，广东函数和几何综合，重庆几何综合，哈尔滨几何综合，长沙，二次函数综合。

中考数学一共有二十五道题，答题时间是一百二十分钟，平均算下来每五分钟就要做的一道题，其中几何题更是费时间，如果每道题都要现场想思路破解，考试很难做的完。建议孩子从初一开始学着六十八个初中几何模型，大体有思路，小题套模型， 提高解析效率。它包含初中几何全部解析模型，你看三角形风筝模型、 a 字相似模型、动点将军硬马 在码点旋转，每个模型结论是什么，怎么画辅助线，怎么证明，讲解都很详细，有不懂的你就扫码看视频讲解。掌握了这些解题模型后，就基本摸透出题的规律了，做题就真的像抄答案一样简单，抓紧练习起来吧！

中考数学最难的经典几何题，全部吃透，稳进班级前三！中考数学五十道经典几何题， 第一题、第四题、第六题、第十题、十四题，完整版可分享！

中考数学最难的五大压轴题全部吃透！开学逆袭前三！中考数学五类集合最值压轴题！一、将军引马二、动点辅助圆三四点共圆， 刮到圆里完整版！

初衷间的各种几何模型有它的适用性，你每学一个模型，你一定要认真的掌握它适合的哪种情景。当然了，整个一个几何的解体过程，你肯定有你不断试错的过程，对吧？你肯定到最后要少走弯路，当然了，你也有很多种办法，肯定有 几种方法是走的通的，但是千万不要钻牛角尖。那我们看这道题目，初一看我们这道题目很容易走入个误区，是什么？两个线段相等对吗？ 然后又是一个等腰直角三角形，那我们第一个感觉会不会去旋转啊，去平移啊之类的。那如果你走了这条路，我不能说是错，那肯定绕了个圈子，或者是走不通这条路。其实这 他是明明确确的是一个是三，边长是三，个个边长都是一，他的比例关系是一比三，所以说他告诉你长度一个三跟告诉你比例关系一比三是不一样的，你的理解就是要从另外一层去理解，所以这个就是标准的一个八字模型。 那我说的八字模型，同学们可以暂停一下，自己尝试一下有没有办法搞定，如果你搞不定，那接下来看我做的辅助线，对吗？ 我们说过笔点做平行线，跟 a c 平行，然后延长 a f 交 h， 那 这个线做完了，那我们看啊，整个这个过程中变成了一个八字，对吗？大大的八字，那我们说这跟一比二，所以这是三，整个 b h， 他就等于六，对吗？快点，这个就等于六了啊，这等于六了。嗯，那我们接下来看在这个八字里边， 对吧？那我们说这是一对吗？那整个对面是六，所以 b d 比上 e d 就是 六比一，对吧？那我们只要把 b、 e 求出来，那我们 b、 d 自然是他的七分之六倍的 比，对吧？这个同学们，我建议同学们好好熟练掌握一下八字模型，包括平行线几里边的几个模型的他们整个这个比例关系，然后这个是多少？是占他的百分之比。那你看我这里边举个简单的例子啊， 这个其实在初中里边有一个代数完全可以去证明的啊。来，在这里你看， 我说它的比例关系是 a b b， 对 吧？这一段比，这一段是 a b b， 那 整个这个长度如果是 l 的 话，那我这一段它就应该是 a 加 b 分 之 a 乘以 a， 当然了，下面一段应该是 a 加 b 分 之 b 乘以 a， 这个同学们要熟练掌握啊。 好，有了这个以后，那我们求 b b， 你 有各种办法，有好多种办法，但是肯定要用最快的方法，那这里是二，这里是三，整个 b e 不 就是根号是三吗？对吗？ 你不要再走弯路了，不要去证明什么，权当什么乱七八糟的，这个是最简单的了，对吧？那 b、 d 那 就等于七分之六更好，失算好了，问题解决，那同学们看看你能从中受到什么启发。当然了，这个平行线 绝对不是唯一的，我给大家们提个醒，你看过 a 点做 b、 c 的 平行线，这边交过去也行，还有呢？ 还有什么？还有我这个是我已经画出来了，在这个样子，同学们可以截图一下。还有什么，你看我做过 c 点做他的平行，你看这边平行过来，这边交过去，对吧？这样也能搞定啊。所以说有很多种办法，但是同学们看了以后你要有 不分门禁的进步，一定要一道题目精雕细琢，你要把这三种方法不断的去想，不断的去完善，你也可以去想想用其他的方法有没有可能性，一道题目够你花四五个小时。

中考数学五类几何最值压轴题，全部吃透，稳进班级前三！中考数学五类几何最值压轴题，将军印码最值问题 动点辅助圆类最值！四点共圆瓜豆原理类最值！

初中数学几何模型就这几类寒假都吃透，中考不丢分！中考常见的几何模型，背长中线模型，基本型中点型中点加平行线型，截长补短模型，借长补短 全等模型，半角模型，手拉手模型等腰等边对角互补模型以及相似模型，这是互补的相似九十度角一线三等角全等的模型，锐角的一线三等角， k 型图钝角的一线三等角 角平分线的重要模型以及全等型。这个包含的话轴对称的模型，垂两边的以及垂中间的 这只罗形将军印马这只模型。胡不归阿世元完整版分享一二三。

这道二五年的中考填空压轴题，当地考生正确率不足百分之一。很多同学啊，看到这么简单的条件，这么简单的图，心里暗自偷笑，却发现读完题只剩了干瞪眼，没有方法， 不管你在草稿纸上怎么摆弄，都无从下手。其实啊，命题人这个题啊，考察的是几何变化，平移对称综合，求最值，别着急，老师，今天啊，就一道题，带你彻底学懂几何变换，求最值，考场遇到直接秒杀！我们来看题， 这个题呢，给的很巧妙哈，它这里说的是 a c 加 cd 是 五啊，就是这一段加这一段是五，然后呢，又给了这一段加这一段是八，然后现在呢？这两个点实际说白了啊，都是动的对吧，求的是 a e 和 b d 相加这两条中间这两条线什么时候有最小值？我天呐，这个题怎么办呀，来跟大家分享一下啊！实际上，大家在初二学全等的时候，我们在学截长补短，大家就应该能意识到啊，我遇到这样的一个条件， a c c d， 你 看 a c c d 这样相加是五， 你要把这个五给他表示出来，必须要干嘛？给他把这一段是给他展开变到这里地撇，对吧？这样的话， a c 加 cd 是 不就很舒服了？能理解，这其实上就是一种什么呀，轴对称思想哎，把它这个三角形对称过来， ok， 同样的道理上面也是一样的啊，就是你现在要求的是这段加这段，我把它对称下去，是变成了这段，就变成了这里，是不是它加它等于八，对吧，而且这里是九十度，就非常好看， ok， 所以 说呢，首先这个题啊，我们第一步要通过对称的思想， 把这个五和八给他表示一下， ok， 来，我画一下啊，把这个三角形呢，给他对称下去，对称到这个地方， e 一 撇。 ok， 那 所以说现在的我们的 b c 加 c， e 就 变成了 b c 加 c e 撇，当然是八，可以吧？就这样一条线啊，当然是八， ok， 与此同时呢，我要把这个造型给它对称过去，是吧？然后呢，这里是 d 一 撇，那我们来标一下啊，就是说原来的 a c 加 cd 就 变成了 a c 加 cd， 撇，当然是五。 各位，现在我们来看到是这样一个图形，这样一根线是五，这样的一根线是八。与此同时呢，你刚才要求的来，各位，你求的是这根线，我现在已经到这里了，对吧？他加上这根线 是他对称过来了，是，他现在求的是他加他什么时候有最小值，能理解了吗？好，这到了我说的第三步，跟大家分享的点，因为图越复杂，很多孩子在考场是越慌越乱的，对不对？所以说呢，我们需要给他抽丝剥茧来，他是我们的 a d 撇， 好吧，然后这个地方呢，是我们的 b 一 撇， ok， 现在求谁啊？求的是各位啊，它加它的最小值，能理解吧？这里是垂直的。好，这个题怎么做到这一步了？ 接下来干什么事情呢？继续给他通过几何变换来做一个操作呀？因为已知这个是八，这个是五，而且这里有个垂直。大家想到了什么呀？我是不是可以把这个五和八给他放在一个直角三角形中，通过再次平移 的思路来，我把五给他平移下来，连接他，大家告诉我这是个什么图形？ a 一 撇， f 一 撇是个什么图形？平四边形。所以说你要求的这个线段就挪到了这里， 能理解吧？然后本来是这个线段加他的最小值，变成了他加他的最小值，你想想，这里可是五，这里是不是也是五， 对吧？这里是垂直，你平移是不是这里平行也是垂直？ ok？ 然后现在变成了啥？各位抽丝剥茧了哈，变成了，已知他是八，他是五，这两个点是什么的？因为你是这个线段平移下来的，这个点是固定的，求这里的最什么值？最小值怎么办？两点之间线段最短， 对吧？因为这里只告诉你五，说白了，其实这个点它是动的，可以吗？所以说八五来根号，求一下啊，八八六十四加上二十五，这答案是根号八十九，因此这些答案是根号八十九， 可以理解吗？好，再来给大家分享一个邪修的方法啊，这个方法呢，需要你对于一定的数感和几何图形有有一些感知啊，他告诉你，他加他是几是八，对不对？大家想想啊， 相当于你扯了两根绳，一根绿绳，一根黄绳，长度是固定的，对吧？现在呢，大家去琢磨，他求的是 a 点到这个绳的距离最小，且 b 点到这个绳的距离绳子，对吧？这个距离最小。那怎么办呢？有没有种可能性啊？是我让这个 e 点往上走一走， a 点呢？往回走一走，这根线变短，或者 d 点往外走一走， b 点往下走一走，什么意思啊？来给大家感受一下。其实很多不等式最值的题都是这样的，就是说他俩是一根绳子，刚好取整的时候就说 a 点和 d 点重合， c 点在这 总共是五，我把这个点和他拉在一起，蹬在一起，这里是几？是二分之五。能理解，然后一样的方法啊，你把这根绳和这根绳给他蹬在一起。好，这根绳子这里是几呢？总共是八，那这里是不就是四，对吧？就相当于是 b 点和 e 点重合了， 可以吧？然后你再看你求啥？你求的是 a， e 就是 a 点和 e 点一拉，加上什么， b 点和 d 点也一拉，是不？这根线算两次，这里是直角。来求一下，两倍的根号下它的平方是四分之二十五，加上它的平方是十六，十六的话就是四分之六十四。 答案是两倍的根号下这里是几二，呃，这里出来是两倍的四，出来是二，这里是八十九。看到了没？答案也是八十九。好，这个是谐修的方法，但是这个是实实在在的几何变换。各位，这个题一题多解，你学会了吗？评论区告诉我。

将军印马模型、将军六马模型、刮斗原理模型、费马点模型、四点共线最短，胡不归模型、垂线段最短 阿，是圆模型，做对应的相似三角形线段最短。就建议孩子是要从初一开始就把这六十八个几何模型，初一到初三常考的各种模型全都学起来，那这里面全都包含了做， 做到大体有思路，小题套模板。你像我们的八字模型啊， a 字模型，备战中线啊，包括我们的手拉手啊，雨伞模型等等，每个模型对应的结论，证明的方法全给你理的清清楚楚。 他每个模型都会有对应的练习题，去巩固你所学的知识。那你不明白的还可以扫码专门看他的视频讲解，掌握了这些解析的模型，就摸清楚他的出题规律了，几何就没有那么难了，所以抓紧时间带走一套回去，赶紧练起来。

几何里面最最最最容易踩的一个坑，不知道同学们踩过没有？有些同学有可能落概念以后，对中考的某一道题目就有可能踩了一个刻骨铭心的痛。我们说在初中阶段， 在做几何的一个辅助线的时候，往往会有一个矛盾的点，我们看这道题目， 看完题目，我们有没有的孩子会这么去做辅助线啊？说过 a 点做 a e 的 垂线，然后呢？使得 f a f 等于 a e， 那 么这么说的 做 a f 垂直于 a e， 使得 a f 等于 a e， 然后自说自话，这根线一画， f 点就在这个 d 一 上，然后你看看，超级简单了，对吗？然后所有的这两个三角形全等，对吗？因为这个跟这个这个，然后角 脚跟脚相等，对吗？然后两个三角形全等，所以我们要求的这个值就是 e f 值，他如果这是大题目的话，你做完五分钟得分零，对吗？为什么？因为我说你做垂直跟 d e 相交没问题， 相交使得焦点是 f， 那 是没问题的，但是你不能说又要相交，又要 a f 等于 a e， 还要垂直，你无法做到。同时当然了，你也可以说我在这个 不垂直，我找一个，在 d e e 上找一个点，使得 a f 等于 a e， 那 也没问题。同学们不知道能不能在逻辑上面搞明白这个问题，对吗？好了，那我们现在所有的这道题目的 贞洁就在我又要使这个 f 点落在这个上面，又要垂直，又要 a f 等于 a e， 那 实际当然是的确是刚好这个几个条件都能满足的。那我们到底应该怎么做呢？ 这个其实就用到了我们在初中阶段最最最最不愿意去用，但是有的时候逼不得已用的一种方法， 三点共线。那我们来看这道题目，我的做法是这个样子的，你看啊，这样的话有没有漏洞？同学们可以一起一起讨论一下啊？如图， 我说我做 a f 垂直于 a e， 使得 a f 等于 a e， 但是这个 f 点不一定在 d e 这条直线上，我是没说这个 f 点在 d e 这条直线上，对吗？那这样的话有没有问题啊？你看我这样弄完以后整个连 连接 d、 f， 对 吗？那显然这个三角形 a、 f、 d 全等于三角形 a、 b、 b， 看看同学们这个有没有问题，因为什么我做的这个是这个跟这个相等，然后呢？当然了，这个是直角对吗？所以这个角跟这个角又相等，所以边 角边对吧？这个边角边他们两个全等是一点问题都没有啊？一点问题都没有好证明好以后，全等以后，那显然因为这个角等于一百三十五度，对吗？那这个 a、 f、 d 也是一百三十五度。 有了 a f、 d 等于一百三十五度以后，我们又说整个这个我做的这个过程中， a 做的这个过程中， a、 e、 f 它是一个等腰且直角的三角形，对吗？所以 a、 f、 e 是 四十五度的。 有了这个以后，我们再说能证明 d、 f、 e 三点共线， 三点共线有好几种办法，对吗？在几何里边，在解析几何里面可以用两两的斜率一样，或者是用两个，有好多的办法啊，比如说我还有一个，就是两个边加起来等于第三个边 也是三点共线，我用到的是这三个点，我这个角加起来是一百八，也能证明他是三点共线。有了三点共线以后，那我们就说 f 点其实就在 d 一 上面，那所以我们要求的 这个东西， d e 减 b e， 那 自然而然，那它就是我们要求的 e f， 那 e f， 当然啦，它就是 a e 的 根号二倍，因为它是等腰直角三角形嘛，那 a e 等于四，那 e f 就 出来了。所以同学们看看整个这道题目，我真要证明有没有瑕疵， 如果有瑕疵，你认为有瑕疵，可以在评论区里跟我跟我跟我讨论。当然了，看看这道题目能不能跳过用三点贡献证明，用其他的办法，大家可以充分发挥自己的想象力，聪明才智，一起在评论区我们讨论一下。

初中几何是不是让你特别头疼？看到复杂图形就发蒙？那你真可以看看这本初中几何模型，大钱他把初中几何那些难题，嘿嘿，全都给你总结成了八十一个经典模型， 什么八字模型，飞镖模型，手拉手模型，每个都有图解，有证明，还有配套视频讲解， 简单题直接套模型，秒杀复杂题，教你一步步拆解，转化成熟悉的模型。我翻了一下，它从基础到综合全都有题型，覆盖特别全。几何要是能吃透这些模型，真的能轻松不少。

一分钟学会一道几何压轴求线段 e f 的 长度，这是一道填空题，我们可以用一二三四五模型啊， 快速的出答案。那我们先来介绍一下一二三四五模型，如果他按二法等于二分之一，他按贝塔等于三分之一，那么二法加贝塔就等于四十五度。哎，这就是经典的一二三四五模型，这个角在这个位置啊，不太好处理，我们给他移动一下， 我们可以过点 a 去做 e f 的 平行线，那两直线平行内错角相等，所以呢，这个角就等于四十五度。那因为这条线平行于这条线，这条线平行这条线，所以这是一个 平行四边形，那平行四边形对边相等啊，所以 e f 就 等于 a g， 那 要想求 e f 的 长，其实就把 a g 的 长度给求出来就可以了，我们把没用的线都去掉。如果这个角是二法，这个角是贝塔，那么二法加贝塔应该等于九十度，减去四十五度等于四十五度，满足这个条件。 在这个直角三角形中，碳二法等于对边比上邻边，那它的对边呢？就是这个正方形边长了一半，也就是三， 那 ab 的 长度呢？是六，所以探二法等于三比六，也就是二分之一，那很显然满足这个条件，那剩下的这个条件也是满足的，那就说明探贝塔等于三分之一。在这个直角三角形中，探贝塔等于这条边比上六， 那么我们就可以求出 d g， 这条边的长度就是二。那在这个直角三角形中，我们通过勾股定律就可以把 a g 求出来， a g 的 长度就是 e f 的 长度。

假期提升计划之第三天，来告诉我，是不是一遇到这类带系数的 pa 加 k pb 最小值的问题，总是傻傻分不清楚， 什么时候用葫芦龟，什么时候用阿士圆，做一次错一次，今天我用三分钟带你彻底搞明白它们的区别。首先来看第一个 pa 加 pb， 此时 k 等于 e， p 在 直线还运动，这是非常典型的将军已满的问题。我们只需要做定点 a 或 b 关于直线 m 的 多线点 b 撇，同时利用两点之间线段最短连接 a b 撇， 当前仅当 a p b 撇三点共线式取最小值。 接下来看第二，此时 k 等于二分之一，不等于一动点 p 在 直线上运动，这就是典型的弧不规的问题。 我们需要在 bc 下方以 b 为顶点构造一个角，使这个角的正弦值恰好等于二分之一。也就是我们只需要在 bc 下方做一个三十度的角， 同时过点 p 做 b d 的 垂线。根据三十度角所对直角边等于斜边的一半，此时我们可以得到 p e 等于二分之一。 p b 问题，即转化为 p a 加 p e 的 最小值。当解，仅当 a、 p e 三点共线时取得最小值 计算的时候，我们只需要在红色三角形 a b e 中利用特殊三角函数值可求的 a e 长为三倍。根号赛 来看第三种情况，此时 k 等于二分之一，不等于一，但是点 p 在 圆弧上运动，那么它就不是琥珀规问题，而是 r 是 圆问题。 根据题目告诉数据，我们需要在 c b 上取一点 d， 使得 c d 等于一。接下来连接 p d， 根据两边对应成比例且夹角相得，我们可证出两个四点形相似且相似。比为一比二，也就是 p d 比 b， p 为一比二，那么 p d 就是 二分之一。 p b 问题即转化为 p a 加 p d 的 最小值，当前仅当 a、 p d 三点共线时取最小值，这个最小值就是线段 a、 d 的 长度，我们只需要在三角形 a、 c、 d 中利用固定进行求结即可。 笔上就是这三类模型的区别，需要注意的是，在解决这三类问题的时候，我们需要用到的竖斜思想为画折为直两个原理，垂线段最短，两点之间线段最短。 不论模型如何变化，我们一定要注意思维的发散性、拓展性，同时还要深入思考，将所学知识灵活运用，举一反三，搞定收工， so easy！

一秒看懂园内最直 初中几何，一旦掌握了模型，就像打通了任督二脉，数学拿满分都有可能。 就用一本的几何模型，他把初中三年必考的四十二个几何模型都总结好了，像阿史源模型、将军印马模型、 垂美四边形费马点模型等等，每个模型的结论是什么，证明过程怎么写，怎么套用到真题里，全部整理的清清楚楚，让孩子把它吃透。遇到选择填空题，就能直接套用结论写出答案，看不懂也没关系，扫码还有视频讲解， 学完再做对应练习，有学有练才能更快掌握。配套的还有一本函数和应用题，让孩子把它们都吃透，初中三年的数学都不用愁。

一道难度非常大且趣味性非常强的一道好题目。我们说在初中阶段几何里边，你如果有看到一道题目，想了很多办法，一直想不出来的话， 你千万要记着留的最后一招就是隐形员，我也讲过隐形员的好多题目，但是这道题目我觉得是一个非常有难度的 隐形元的问题，不告诉你，你根本想不到是一个隐形元，那我们来看这道题目。其实看完这道题目，我有类似的一道题目，就是中间 a、 m、 n 是 一个直角三角形， 在这那道题目里面，我也是用隐形元的方式去做的，因为什么？因为它是个直角，特别让人一看就能想得到是一个直径的一个圆，那在这里一百二十度， 他这道题目就出的非常巧妙了，对吗？当然了，我们说那个直角的话，我们可以用代数的方法，也可以去解决，但是这道题目我去尝试过用代数，那在这里边，嗯，就要用到高中的这种三角和差公式比较麻烦， 那用几何的方法引擎元，那就非常好玩。那我们首先读完题目来仔细看一下，首先说告诉你这个三角形的三条边， 这里边一条边，忘了告诉你，对吧？在这里边我记得好像是 a c， 我 记得 a c 好 像等于四，对吗？当然这个无所谓啊，随随便等于几对吧，只要有个参照物，在在在，在物理里边就说只要有个参照物，那整个图形全部都搞定了，在这里边有个直角，有个三十度，有个一百二十度，题目非常简单， 对吧？你这条就非常简单，就这么点，那你能想到是用什么办法做的吗？ 我们说整个这道题目里面有个一百二十度啊，那我们一直所说的共圆问题，共圆问题其实是指三个以上的点共圆，那任意一个不在一条直线的三个点，它都能够成一个圆。所以这个一定要同学们有一个 非常强烈的认识啊。我们说的共圆啊，一般是指四个点， 四点及以上啊，那三个点他自然而然，如果这个三个点不在一条直线上的话，他用随便你哪个三个点，他都是共圆的，对吗？所以说我们在这里，其实 a、 n、 n， 他 就形成了一个圆，他形成了这个圆的圆心，如果在这里的话啊，他的这个圆心角啊， 你觉得是几度？我们说正常这个一百二十度的话，他的圆心要是对着这个，他这个是两百四十度，对吧？所以对应的他的圆对这个圆周角，对的，这个是不叫对的啊，就正对着这个四边形的话，他这个刚好也是一百二十度。 那我们看接下来看这个图，我画画好的这个图，对吗？这个是一个比较一般性的，你看这个圆 o， 对 吗？他整个这里面到了这个 r 是 在变化的，对吧？你在这里， 在这里，我们说整个这个是一百二十度，对吗？那又因为它是两条边相等的，那所以这个就是三十度，又告诉你这个是六十度，对吗？所以这个 o 啊，它的轨迹其实是在和 b、 c 平行的这条线上的， 当然了，你这个 o 可以 跑到这边来，对吗？那这边来的话，它的半径有可能这样半径就大了，对吗？它也能形成一个一百二十度的这个角， 同学们不知道能不能理解？好，有了这个以后，我们就说整个这个 a o 啊，它其实 a o， 其实它就是半径，然后这个也是半径，对吗？那我们说要 a 零 最小，对吧？ a 零最小，那其实对于这个三角形来说，我们来仔细看一下啊，仔细看一下，对于你看这个三角形来说， a o m 来说，你看它的三角形啊，这个三十度是定的，那所以我要求 a n 最小的话，其实就是求的是这个半径最小，对吧？那我们这里边有个转换过程， a n 求最小，我们通过这个三角形，我们知道这个角度是不变的， 然后它是个等腰三角形，要求 a n 最小，其实我就只要求 a o 最小就行了，对吧？这个转变一定会。有了这个转变以后，那我们就要去想了，怎么样才能让 a o 最小呢？又要满足这个，又要落到这个 b c 上点，那我们来看一下整个这个动画， 看完动画我们就知道整个这个圆啊，跟 b c 的 关系就两种，一种是相交，一种就是相切，当然相切的时候，显然 看图相切的时候，这个圆的半径就是最小的，那我们在这里如果按照这个最小，如果能够搞明白的话，那我们就知道这个三十度没问题了，对吗？那整个 这个半径，你看这个半径跟这个半径如果相切的话，那这一段这个整个这四，这就是二，所以半径就等于二，对吗？ 半径等于二以后，那我们接下来求 a 零好办了吗？好办了啊，来做这个垂线，这个三十度的，这是二，那这个是等于多少？刚好三嘛？所以整个 a 零 的最小值就等于二根号三。整个这道题目非常简单，如果你运用到了隐形元的技巧的话，这道题目计算量几乎很小，对吗？ 所以说你脑子里永远要留着几个百宝箱，百宝箱里面藏了好多东西，其中隐形元就是一个。 你一定要在逼不得已没有其他办法的时候，你到这个箱子里去找找，看有没有你的好办法藏在里面没掉出来。好了，这道题目就讲到这里。

朋友们好，我是老李，这里是老李的初中数学课堂理数说题，你现在看到的是与老李的原创作品初中数学一盘棋配套的视频课程，视频课程目前已经升级到了九百多级， 与视频课程对应的课间一共有十二个，大家可以截屏了解一下，建议大家听课前下载好对应的课间，对照课间听老师讲课。 现在我们一起学习初中数学一盘棋第十二个作品，剑走偏锋的第三十七集，我们用旋转手拉手模型口诀点睛秒杀一道几何题。 结合图形看题目，四边形 a、 b、 c、 d 中连接两条对角线 a、 c 和 b、 d 说三角形 a、 b、 c 是 一个等边三角形， 角 a、 d、 c 等于三， b、 d 等于五， 让我们求三 d 的 差动，遇到等边三角形，结合这里，他让我们求三 d 的 差动，所以我们锁定这里的三点看一下，在三点处出现了共顶点的等线段三 i 等于三 b， 并且角 a、 三 b 等于六十度。跟着老师一起学下来的话，马上应该想到在共端点的端点处找到第三条线段 三 d， 然后加三 d 顺时针或者逆时针旋转六十度。我们结合题目中的另外两个条件看一下， a、 d 的 长度是一致的， b、 d 的 长度也是一致的，所以我们选择加三 d 绕着三点顺时针旋转到这个 位置，旋转到三 k 的 位置，使得角 d、 三 k 等于六十度。这个时候我们看一下，我们相当于把三 b、 三 b 旋转到了三 a 的 位置，然后三 d 旋转到了三开的位置，整体来看就是相当于把三角形三 b、 d 绕着三点顺时针旋转到了三 i、 k 的 位置，所以自然想到连接这里的三 k， 那 么因为角 b i 三等于六十度，角 d i、 k 也等于 六十度，用这两个六十度的角都加上这里的角 i、 c、 d， 这就是老师的课程中经常讲到和用到的所谓的等角套套。等角，看一下这里的这个角 i、 c、 d 和角 i、 c、 k 这两个角相等，不好意思，秃噜嘴了，应该是角 b、 c、 d。 角 b、 c、 d 和角 i、 c、 k 都等于六十度，加上角 i、 c、 d。 等角套套，等角说的就是这件事情，然后以套出来的一段新的等角为线数，我们自然找到了三角形 i、 c、 d， i、 c、 d 和三角形 i、 c、 k。 等角套套。等角，顺藤摸瓜找全等找相似， 这个时候回头看，让每一个已知条件充分的发挥它的作用。 b、 d 的 长度为五，全等三角形对应边相等，所以 b、 d 等于 i k 等于五， i k 等于五，而这里的三 d 等于三 k， 并且 d 三 k 是 一个六十度的角，所以我们自然想到连接这里的 d、 k 得到一个等边三角形，看一下等边三角形 d、 k 三，这个时候我们看一下 id 三，这个角 三十度，然后这个角三 d、 k 等于六十度，所以六十度加三十度，得到这里的这个角 i、 d、 k 九十度，并且 i、 d 的 长度为三， i、 k 的 长度为四，有固定力，所以 d、 k 的 长度等于五。 三角形三 d、 k 是 一个等边三角形 d、 k 的 长度为五，所以 d 三的长度也是一个五，我们要求的线段三 d 的 长度就是五。 下面我们结合思维导图解析的课间复盘一下解析的思路，在学习与旋转手拉手模型相关的题目的时候，一定要想清楚，弄明白。要想快速的找到解析的思路，我们有两个角度， 第一个角度我们要求这里的第三，结论里边要求第三，而这里的 b、 d 等于五是已知的， 然后结合等边，三角形 c、 b 等于 三 a， 所以 我们可以锁定三角形三 b、 d 加三角形三 b、 d 绕着三点 顺时针旋转六十度，展开你的想象力，加三角形三 b、 d 绕着三点旋转六十度，这样的话三 b 旋转到了三 a 的 位置，三 b 和三 a 是 旋转前后的对应边，而这里的三 d 根据旋转的性质也应该旋转六十度，顺时针旋转六十度得到了 c、 e， 也就是说 c、 b 与 c、 i 是 对应边， c、 d 与 c、 e 是 对应边，所以三角形 c、 b、 d 绕着三点顺时针旋转六十度以后，就得到了三角形 c、 i、 e。 从这个角度想问题，找思路，我们叫做整体旋转，换一个角度，就是我们通过总结发现，只要出现了这样的定角 定比，定角定比的两条共端点的线段，看一下三 a 和三 b 定比，两条线段的比值一比一， 并且共端点定角角 a、 三 b 是 一个定角，那么我们就可以在共端点的端点三点处找到第三条线段， 三 d、 三 d 和三 a、 三 b 就 成一个所谓的鸡爪图，然后把三 d 绕着三点，同样顺时针旋转六十度，得到三 e， 然后共叠两个等角，等角套套等角，顺藤 摸瓜找到三角形三 b、 d 和三角形三 a、 e 是 一段缺等的三角形，两个角度可以说殊途同归，构造出来的都是所谓的手拉手的缺等。更进一步，如果三 b 和 三 a 的 比值不是一比一的话，比如说三 b 比上一个三 a， 二比三，那么我们就将 三 d 绕着三点旋转到三 e 的 位置，并且使得三 d 比上一个三 e 也等于二比三，这样我们就得到一段 相似比为二比三的相似三角形旋转手拉手的全等旋转手拉手的相似。 经过这样的操作，结合其他的已知条件，我们自然想到这里的这个角六十度，加上一个三十度等于 九十度直角三角形。然后 i d 等于三， i e 等于已知条件中的 b、 d 全等三角形对应边相等。根据勾股定律就可以求出 d e 的 长度为四，也就是 d 三的长度为四。最后回过头去看一下，就是 一段等别三角形共顶点的等别三角形构成的所谓的手拉手模型。课后对照这里的思维导图解析，课间认真的去反思和 复盘，搞清楚，弄明白如何从两个角度看旋转。现在我们假设 b、 d 和 i e 的 这个焦点为 k 点的话， b、 d 和 i e 的 焦点为 k 点，我们连接这里的三 k， 并把它 严查。请大家想一下，你能否证明在太点处出现的这六个角都是六十度？六个角六十度六六三百六十度组成一个周角。 看一下这里的六个角都是六十度。我们留为课后的思考题。好了，下课再见！

中考考来考去就是这八大模型，铅笔头模型考了十八次，八字模型考了二十次，手拉手模型考了二十五次，雨伞模型考了十五次，燕尾模型考了十四次，将军营马考了二十三次，照爽闲途考了十二次。中考六十八个模型， 一本书全搞定，一题多解，多题一解，由简到难，带视频讲解，不用担心孩子学不会！

同学们好，今天我们来看一个早年的中考真题。本题考察了全等三角形和勾股定律，对于圆的知识也有所涉及。 如图，三角形 abc 是 一个等边三角形 a、 m 边上的中线动点， d 是 在射线 a、 m 上面，并且和 a 点呢不重合，以 c、 d 为边，在 c、 d 的 下方做等边三角形 c、 d、 e 就是 这个三角形， 然后连接 b、 e。 第一个问，求角 c、 b、 e 就是 这个角的度数，以及 a、 d 这段线段和 b、 e 这段线段的比值。 由于三角形 abc 是 等边三角形， c、 d、 e 这个三角形也是等边三角形，所以我们就有 a、 c 是 等于 bc 的， 而且 c、 d 是 等于 c、 e 的 设角 a、 c、 d 这个角为角一角 b、 c、 d 这个角为角二，那么 b、 c、 e 这个角，它肯定也是角一，因为角一加上角二等于六十度，也就是角 a、 c、 d 是 等于角 b、 c、 e 那 当然就有三角形 a、 c、 d 它是全等于三角形 bc、 e 所以 我们要求的角 c、 b、 e 的 度数，它是等于角 c、 a、 d 也就是这个角。由于 a、 m 是 b、 c 这条边上的中线 三角形 a、 b、 c 是 等边三角形，所以 c、 a、 d 这个角，那它肯定是等于三十度，而且 a、 d 是 等于 b、 e。 那 么当然 a、 d 和 b、 e 这两条线段的比值，它就等于一。 第二个问， ab 的 长度为八，以点 c 为圆心，五为半径做一个圆，那这个半径肯定是小于三角形 abc 的 边长的。然后它与直线 b、 e 交于 p 点和 q 点，让我们求 p、 q 这段线段它的长度， 画出圆 c， 并且找到 p、 q 这段线段的长度，目前看来还缺乏条件，所以接下来我们还需要做辅助线 连接 c p 和 c q， 由于它们都是圆 c 的 半径，所以 c p 是 等于五， c q 也是等于五，我们现在要求的是这个等腰三角形的底边的长， 要想求等腰三角形的底边，我们已经知道腰的长度，还需要知道的就是底边上的高，所以我们过 c 做 b e 这条直线的垂线垂足为 n， 现在需要知道的是 c n， 它的长度是多少。 接下来我们观察 b c n 这个三角形，它是一个直角三角形，并且 bc 的 长度和 ab 的 长度相等，它是等于八。在第一个问当中，我们已经求到了 c b， n 就 这个角，它是三十度，所以我们就可以得到 c n 的 长度为四， 那在三角形 c n、 q 当中，它也是一个直角三角形，并且 c， n 作为一条直角，边的长度为四。我们已经求到了 c， q 是 这个圆的，半径为五， 它作为三角形的斜边。我们也知道了，那么 n q 的 长度就是三，那么同样的道理， p n 的 长度也是三，那么所以 p q 的 长度，那很显然就是这两段加起来，它就是等于六行。有借思无借，这里是无借数学，我是彭老师，我们下期再见。