通达信acos函数

今天这期视频咱们讲诱导公式啊，那么讲诱导公式之前，我们先要了解一下诱导公式它指的什么意思啊？ 我们以这两个诱导公式为例，我们说有一个任意角 off 角啊，那么它呢，如果说进行了某类运算之后，会得到一个新的角， 这个新的角跟原来这个角呢，它们的三角函数之间会有一个等量关系啊。例二也是如此啊， alpha 角进行这样的运算之后，跟原来这个角它们的余弦之间啊，会有这样的一个互为相反数的等量关系 啊。诱导公式所有的大体都是这样的一个逻辑。好吧，那我们先举个例子去具象化的理解一下这个例一，这个诱导公式，它为什么一直都会是这样的关系呢？我们现在画一个 平面直角坐标系，再画一个单位圆啊，那么现在假如说啊，来这里呢，是一个 alpha 角，假如说 alpha 角在第一象限，那么 pi 加 alpha 应该是什么？ 是不应该是在 alpha 的 基础上逆时针转了 pi， 那 么 pi 加 alpha 的 中间就应该是跟它是一个反向延长的关系对不对？那这个角就是 pi 加 alpha， 那 在这里你明显能够看出来，我 alpha 角的一个正弦值， 跟这个派加 alpha 的 正弦值应该是互为相反数的关系，这是当 alpha 角为第一象限的时候，符合这个诱导公式对不对？好，那么你如果说这个 alpha 角呢？现在它如果说是一个第二象限角， 这是个 alpha 角啊，那么在 alpha 的 基础上，我再给它加个 pi， 其实就应该是再逆时针转到这对不对？好，那其实就应该中边落在了这里，中边落在了这里的话，来我们的这个 pi 加 alpha 就是 这个中边嘛，对吧？它的一个正弦值应该是 a 撇 t 撇原来的正弦值， a t 正弦值还是互为相反数的关系啊？依次类推啊。你如果说让这个 alpha 角作为一个第三象限角出现的话， 那么我的这个 pi 加 alpha 是 不是应该也是反向延长？它们的正弦还是互为相反数的关系？同样的，如果说 alpha 在 第四象限角，我还是给他反向延长，就是 pi 加 alpha， 对 不对？它们的正弦值还是互为相反数的关系 啊？那通过这个具象化我们就能理解了啊。诱导公式其实就是我任意的取一个角，那么在这个角的基础上加个派，跟原来这个角他们的正弦值是互为相反数的一个等量关系，这个是我们通过科学研究得到的最后的一个结论公式，可以理解吧。哎，那么我们 例二也是如此啊，假如说有这样的一个 alpha 角出现，假如说它是第一象限角啊，然后派减 alpha， 我 们的派减 alpha 跟 alpha 角，其实它是一个相加等于派的一个互补关系，对不对？那互补关系的话，那现在我们的这个 哎，画一个这个蓝的这个是不是就应该是派减 alpha 角？我们得使使边落在 x 轴上，对不对？那你看是不是能看出它俩互补？首先我们先画一个，它和这个红的是关于 y 轴对称， 关于 y 轴对称，为什么就互补呢？你看这个小角，我令它为 alpha， 那 这边是不是这个角大概应该跟这个 alpha 一 样大，对不对？那这个 alpha 加上这个派减 alpha， 那 你看是不是加一块是一个一百八十度？好吧，那所以说我们的派减 alpha 的 中边跟 alpha 的 中边应该是关于 y 轴对称，那么不难看出来， 我们这时候看的要是 o a， 一个是 o a 撇他们的方向相反，大小相等于弦值，就应该是互为相反数的关系 好吧，哎，这是 offer 在 第一项线角的时候是成立的，那如果说啊，我们的 offer 在 第二项线角，这个你自己去研究一下啊，我的 offer 如果说在第二项线角的话啊，然后我们的派减 offer 其实跟它怎么样？余弦值也是互为相反数的 啊，第三象限角也是如此。往后我就不过多赘述了啊，就是说我们的诱导公式其实就是根据啊，我们的无论这个阿尔法为任意一个角的情况下呢，它都满足这样的一个关系。那现在啊，我们知道了诱导公式的意思，现在最重要的就是怎么把这一系列诱导公式给它记住， 那记忆的口诀来了啊，重中之重就是即变偶不变符号看象限对不对？我们会发现来它其实诱导公式指的是 每个原来的角的三角函数值，跟原来这个角的基础上怎么样做，怎样的运算得到那个角的三角函数值有等量关系。所以说我们现在诱导公式所有的后面的这个等号对应的角都是单独的，原来的这个 off 角 能理解吧？而前面呢，是在 offer 的 基础上进行怎样的运算？那现在我们要看啊，以第一个例子为例，你前面出现了一个 set 派减 offer 啊，那么后面的这个角一定是个 offer， 我 们先确定下来，那么这个 offer 前面这个到底是正弦啊还是余弦啊？我们要看什么？要看口诀的第一句叫即变偶不变 基友指的是谁？来，在这里记住啊，指的是我们前面的这一坨 off， 前面的这个东西看他是二分之派的多少倍啊？那这个明显派是二分之派的一个二倍，对不对？哎，那其实就是二分之派的一个偶数倍， 那么偶对应的是什么？偶对应的是不变。如果前面这个东西它是二分之派的偶数倍，那么后面这个 alpha 对 应的三角函数值跟前面的这个是不变的，所以说这个地方也是塞 啊。然后下一句符号看象限，符号指的是什么呢？就是说前面这个到底是正是负啊，那么这个符号到底是正是负呢？看的是什么？看的是前面的这坨东西的一个象限 啊。那有同学问了老师啊，那这个 alpha 角不是任意角吗？它都不没定下来是第几象限呢？我怎么能判断它的象限呢？哎，这个时候我们还有一个特殊的处理，就是我们在记公式的时候要把这个 alpha 呢当做一个锐角 啊，也就是第一象限角，那么第一象限角假如说 alpha 在 这 alpha 加上 pi 是 不应该 第三象限角，第三象限角的正弦为负。好吧好来，你看，全看的都是前面的这一坨东西，而且看的是正弦， 第三象限角的正弦为负，那么这个时候来这个符号就写在这，又的公式就写完了啊。那我们记住啊，符号看象限看的是谁的象限啊？我们可以把它说成是符号看前线啊，上前线了， 对不对？哎，怎么样去理解啊？好，那我们按照这个逻辑再去看下一个，下一个的话呢？ cosine 二分之 pi 啊， pi 减去 alpha， 那 那后边的话，首先一定是个 alpha 自己，对不对？那好，那既然是这里应该是赛还是个 cosine 的 话，我们现在拿不准我们要看什么，即变偶不变，对不对？ 这里是一个 alpha， 放在这，那前面这个 pi 是 二分之 pi 的 一个二倍，是偶数倍，所以说不变不变的话呢，前面是 pi， 后面就也是 pi， 符号看象限，那这个地方到底是正是负呢？我们要看来前面的这个东西的一个象限啊，前面这个东西，我还是要把这个 offer 当做第一象限角来处理， offer 在 这，那么负 offer 就 应该在这负 offer 再加个 pi， 其实呢，落在第二象限，第二象限的余弦为负，所以说这个地方就是负， 好吧，那我们再看第三个，第三个的话，它是什么来二分之派是不是减去一个 alpha， 后面一定是 alpha， 那 这个时候我就要看来既变偶不变，对不对？好，那么这是二分之派的一倍，那就应该变了，所以说 cosine 就 要变成是对应跟它对应的那个正弦， 哎，变了吧。好，变了之后我们再看啊，符号看象限还是看前面的符号看前线吗？这是 alpha， 这是负 alpha 负 alpha 再加上一个二分之派，加上一个九十度 啊，那还落在第一象限，第一象限的余弦为正，那这个地方就应该是一个正的，正的， 好吧，好，那这个诱导公式就成了啊，那我们利用了这三个例子，大体的去理解了一下我们的基变不变符号看象线的一个规律啊。好，那我现在带大家去把所有的诱导公式按照这个逻辑去梳理一遍。首先诱导公式一，它最简单，它指的是在原来这个角的基础上，我转了整数圈， 其实就是中边位置没有变化，对不对？那如果说中边位置没变化，那其实我们 来这是阿尔法，然后转了整数圈，中边位置没有变化，那其实还是这个中边，那还是这个中边的话呢？正弦没有变化，余弦没有变化，正切也没有变化， 对不对？那么我们如果按照基变偶不变的逻辑呢？其实也可以这样去理解，就是这个二 k 派呢，其实就应该是二分之派的一个四 k 倍，四 k 一定是个偶数，二分之派的偶数倍，那这个怎么样来？跟前面有没有变化？同样这个也没有变化 符号看前面的象限，你把它当做一个锐角，锐角加整数圈，还是第一象限的锐角，对不对？第一象限的正弦为正，那这个地方就是正。第一象的余弦为正，那这个地方也是正，这里正切啊，第一象限为正，这里也是正啊。拿记忆口诀也能够去理解诱导公式一 啊，那我们再看一下诱导公式二啊，我们挨个去给它添一下。好，后边一定是 alpha 啊，那前面的话呢？怎么样看啊？前面的话是二分之 pi 的 一个二倍，是偶数倍，所以说即便偶不变， 对不对？符号看前线符号的话，那现在看来，前面的这个应该是把 alpha 当做第一象限角，或者当做锐角的情况下，再加个 pi 派加 alpha 应该是第三象限角，第三象限角的正弦为负，所以说这个填负号啊，那这个的话，因为不变嘛，后面就应该是 cosine alpha， 那 么来，第三象限角的余弦是不是也为负，所以这个地方也是负 啊？那这个来应该是贪进的 alpha， 那 第三象限的正切，我们是不是负的？比负的应该是为正，对不对？那所以说前面的正切为正，这个地方也是正， 好吧。诱导公式三，哎，这里看一下，最后肯定是 alpha 啊，但是这个地方我们要注意看啊，它的话可以写成一个 零倍的二分之派，然后再减去一个 alpha 零，二分之派的零倍，其实就应该是零，也是偶数吧。 哎，好，那么也就是偶数倍的意思，偶数倍的话，那就应该怎么样？应该不变，对不对？那这里不变，这里也不变， 这里也不变啊。符号，看前线，那我们还是把 alpha 当做锐角啊。那 alpha 在 这，我的负 alpha 呢？就应该是在这，对不对？负 alpha 的 正弦为负， 负 alpha 的 余弦为正，负， alpha 的 正切为负。好的，这三个月的公式搞定了。 右导公式四， alpha 放在这，既变，偶不变，这个是二分之派的一个偶数倍，对不对？那肯定是不变，那这里就不变，这里就不变，这里就同样的也不变啊。好，符号，看前线，那我们看一下， alpha 如果还是当做锐角， 这是 alpha， 那 么这个应该是负 alpha， 对 不对？负 alpha 再加上一个 pi， 那 就变成了一个第二象限的一个角，第二象限的角的正弦为正，那这就是正，余弦为负，这就是负，正切为负，那这就是负。诱导公式第四组，搞定。 诱导公式第五组，后边还一定都是阿尔法。好，那这个时候我们看是不是二分之派的一倍，对不对？好，那基数倍的话，那这里就要变，那这里变余弦，这里呢变正弦啊，那这个也要变，变成什么？来，我先给大家写上，这个叫口弹琴啊，其实呢，我们说啊，来，这个叫什么名？ 这个是不是叫正弦？他叫什么？什么弦，对不对？来这个叫什么名？这个叫余弦， 它也叫弦，它俩是相互对应的啊，那么这个弹进它叫正切啊，然后呢？口弹进它叫余切，它俩都叫切，这两个切相互对应，相互转换，那其实这个余切跟正切啊，是这样的关系，我们随便画一个直角三角形吧啊？ abc， 我 们的这个 a 角的一个正切应该是 bc 比上 ab， 对 不对？对比邻， 我们的这个 a 角的余切的话啊，那其实就应该是 a b 比上个 bc 就是 我的邻比。对，其实它俩正好是个互为倒数的关系好不好？所以说如果说一个 alpha 角的一个余切，它应该就等于是 alpha 角的正切分之一 啊，我们就先讲到这啊，让你知道一个正切的对应是余切就好了，好不好？那么现在来我们看这， 呃，我们还是把这个 alpha 角当做第一象限角来看，如果 alpha 角是第一象限角啊，负 alpha 角就应该是在这，然后在负 alpha 的 基础上加一个九十度 啊，加一个二分之派，那么二分之派减啊，其实应该是第一象限的一个角，第一象限的角来符号看前线，第一象限的角的正弦应该为正，这里就是正，第一象限的这个余弦应该是正，那这里就是正啊，那么第一象限的这个正切也是正，那这里就是正， 好吧。当然这个你也可以把它理解成什么呢？就是 alpha 跟二分之派减 alpha， 它俩的固定关系就是相加，等于二分之派就是互余的关系，对不对？那既然互余的关系，你可以把它理解为在一个直角三角形当中，这是 alpha， 然后这个就应该是二分之派减 alpha， 对 不对？你的正弦，我的余弦，我的余弦就是你的正弦， 对吧？你的正切啊，就是刚才所说的你的正切，那就是我的余切喽，对不对？哎，这个诱导公式五可以这样去记忆和理解，我们再看诱导公式六啊，诱导公式六后面一定是 alpha， 然后看一下，这是二分之派的一倍，也就是基数倍，所以说要变， 要变，那这个也是要变的，变成 q 弹金的，对不对？或者是变成一个弹金的 alpha 分 之一变成这个样子啊？好，那我们再看符号，看前线，我们还是把 alpha 当做第一象限角 alpha 在 这再加一个二分之派 第二象限了吧。第二象限的正弦为正，那这就是正，但是第二象限的余弦为负，这就是负。 第二项线的正切为负，这就是负啊，所以说它等于负的 q 贪心的算法，或者等于负的贪心的算法分之一， 那这是我们的诱导公式六啊，那我们再看一下广义的诱导公式啊，那他也可以按照我们的这个基变不变符号看象限来记忆啊，就是比方说第一个那扣塞二分之三派加上算法后边的话，一定是算法 啊，那么二分之三派是把二分之派的一个三倍叫基数倍，所以说基变，那这里就要变符号，看前线前面，那你就直接看前面，把它当锐角。阿尔法在这加上二分之三派，是不是加上了一个半圈，又加上以九十度， 那现在中边落第四象限，第四象限于弦为正，那这个地方就是正，有的公式直接写出来了， 对不对？当然了，你要是说非要是用前几个常见的诱导公式去推导他们之间的关系，也不是不可以，你可以让它啊，来 cosine， 把它写成一个 pi， 加上二分之 pi 加上 r， 对 不对？好，那你可以把它先暂且看做一个整体啊，那根据诱导公式， cosine pi 加上一个 a， 应该就等于来我们的什么？是不是基变不变，那就应该是等于 cosine a， 把它看作第三象限角， 对不对？ a 的 话，第一象限加个 pi， 第三象限角余弦为负，这个地方就为负吧，对吧？你可以先去利用这样的一个诱导公式，那么就会得到它就应该等于是负的一个 cosine 二分之 pi 加 alpha， 啊，这是第一步。然后我们再怎么样来，在这我们是不是又可以把它利用一个诱导公式，它就应该是 sine alpha， 那 并且是不是负的，对吧？ 负 sine alpha 吧。啊，然后前面又加一个符号，负，负得正，那就最后就变成了一个什么呢？变成了一个正的 sine alpha， 哎，跟这个结果是不一样，但是你会发现怎么样？我如果用这两步的话，没有这个这么快， 对不对？哎，这就是广义的又有公式，那广义的又有公式，我们也可以看一下这个。下面这个啊，如果说出现了 sine 二分之九 pi 加上一个 alpha， 后边一定是 alpha， 这是不是基数倍？所以说要变那符号，看前面的象限，把它当做一个锐角，当做一个锐角的话，这是一个 alpha， 在 alpha 的 基础上，二分之九派有点太大了，你可以把它看成是二分之八派加上一个二分之派，对不对？这是就四派，四派就两圈， 那在 alpha 的 基础上先转两圈，中边肯定又落在了原位置上，对不对？然后再加个二分之派，那中边就正完事，对吧？ 好，那么诱导公式搞清楚了，我们看利用诱导公式啊，去解决一些个这个，给一个这样的大角去求具体的值。六分之三十一派看起来太大了，对不对？哎，那就应该让它等于一个来看这里啊，五六三十，对不对？那就应该是五右六分之一派，那就这样写 cosine 五派加上个六分之派，这样写行不行啊？然后你再看啊，那既然说你可以用两种方式去做 啊，它五派的话，你依然可以把它写成一个 cosine 四派加上个派，再加上个六分之派，可不可以？那这个四派的话，多转了两圈，它就等于 cosine 派加上个六分之派，这个是用的就是诱导公式，一，对不对？在这个角的基础上多转了两圈，我们的余弦值 是一样的。好吧，那到这个步骤，那现在我们就可以看，这是一个单独的 pi， 你 可以把这个当做一个 alpha 角，我们现在利用的就应该是 cosine pi 加上 alpha， 应该就等于一个 cosine alpha 是 不变，然后看前线，这不第三象限角吗？第三象限角余弦为负，那这个就是负， 对不对？那所以说这个位置就应该是等于负的一个 cosine 六分之派。 cosine 六分之派等于多少啊？是不是 cosine 三十度啊？那是不是就应该是二分之二三，这就是负二分之根号三了，对不对？好的，那么这是我们的第一个做法。第二个做法是什么呢？就是我们直接你看啊，来，这不五派吗？ 对不对？你扣赛。五派加上一个六分之派，他就应该是一个二分之派的一个十倍，是不？偶数倍，对不对？偶数倍的话，他最后一定是什么函数名是不变，不变的话，那在五派的基础上，那我就把这个直接六分之派写在这了， 对不对？那么符号看前线，这个时候你要注意啊。来，如果说你现在对标的诱导公式就应该是 cosine 五派加上一个 alpha， 你 要把这个 alpha 当做第一象限角来去看这边这个位置的一个正负， 对吧？那第一象限角我们简单划一下，那在这啊，然后加了五派，其实就是说加了四派，又加了一个派，对不对？加了四派，中间落在这，又加了一个变，又加了一个派，是不是就在了这个啊？他的对面的这个位置上，对不对？第三象限，第三象限与弦为负，所以说这个地方就为负， 好吧，好的，那这个地方就是负呗，那 cosine 六分之 pi， cosine 三度就是负的二分之二三，这两种方法都可以的，好不好？好，我们再看一下题型二叫利用诱导公式啊，求解，给值，求值，问题就是他给了你一坨的值，然后又让你求这样的一坨的值。 好，这里注意看一下啊，就是我的前面的这个角呢是十二分之 pi， 后面这个角呢是十二分之七 pi 加上一个变量 x， 它们之间有一个什么关系呢？想要找到它们之间的固定关系，我们就可以采取一个来，明显它要大一些，对不对？采取一个运算方式，让它把变量消掉，那相减十二分之七派，减去十二分之一派等于十二分之六派，也就是相减等于二分之派的关系，对不对？ 好，那么现在我 x 加上一个十二分之派，应该就等于是二分之派加上一个 x 加上十二分之派。 啊，那这个角就等于来这不是有一个二分之派，那它就跟诱导公式有点关系了是不是？好，那么现在我们要求的这个东西 就会变成是 cosine 二分之派 加上一个括号 x 加上一个十二分之派。扩回，那现在你想要去用诱导公式，是不是就应该对标到 cosine 二分之派加上 alpha， 它应该是等于什么？是不应该是等于 cosine alpha？ 然后这里看是不是第二象限角余弦为负 对标的这个右的公式，所以说它应该就等于来把这个角就对标成这个角呗，那它就应该等于负的塞沿 x 加上十二分之派，是不这样子啊？好，那么来塞沿这一坨不有吗？三分之一，所以说最后就应该是负三分之一。 嗯啊，那我们再看一下下一个，下一个的话呢，看这是不是 alpha 加上六分之派，这个是 alpha 减去三分之派，他俩有个什么固定关系呢？是不是相减才能找到固定关系？他大他小 他减，他发现六分之派减去负的等于加上正的加三分之派，就是加上六分之二派，等于六分之三派，其实就是相减等于二分之派的关系， 对吧？那现在在这呢啊，我们其实要求的呢是这个角，对不对？我为了简写，我们其实可以在这进行一首换元，我之前讲过，换元不就是为了写起来简单吗？要不这一坨这一坨的总来写很烦的，对不对？ 那所以说我的 off 加上六分之派，这个角就等于二分之派，加上一个 t， 行不行啊？那么现在来这个角等于二分之派加 t， 那 已知我就可以把它写成一个 cosine 二分之派加 t 了啊，那好，那这个诱导公式我们就应该等于是是负的 sine t， 对 不对？好，那你看，要求的是 sine t， 那 现在负 sine t 等于负三分之一了，我的 sine t 不 就等于三分之一吗？那要求这个东西就三分之一，你看画圆之后写起来是不是舒服一些啊？ 啊，我们再来一个，再来一个，这是三分之派减 x， 这个是 x 加上个六分之七派，你会发现它俩是一个什么固定关系？是相加应该等于来，这是六分之二，六分之七，是不是相加等于六分之九，六分之九就是二分之三派，对不对？相加等于二分之三派， 那这个时候我们看啊，要求的是它，我们就不妨呢来，为了好写，我就令它等于个 t， 好吧，那令它得 t 的 话，那么已知的这个东西，三分之 pi 减去 x 就 等于二分之三 pi 减去一个 t， 那 么现在我的 sin 啊，括号把它写成二分之三 pi 减去个 t， 根据诱导公式来，这是不是积？所以说要变， 对不对？然后符号看象限，符号的话来把它 t 当做第一象限啊。第一象限的话，那负 t 在 这负 t 加上个二分之三排，加半圈，再加一个直角，那就第三象限，第三象限的正弦为负，这个地方就是负的。 好吧？好，那确定了诱导公式了，那就应该是这个应该就等于负的五分之三 搞定啊。好，那么整个这堂课我们的诱导公式的包括诱导公式的常见题型就讲到这里了。

拍放每日学一个小知识，今日学习 cos 函数。 cos 函数的作用是计算一个角度以弧度为单位的余弦值。 使用语法固定写法，先导入 math 模块，再写 math cos x。 参数 x 为任意数字类型，整数、浮点数、负数均可代表弧度值。注意要点是，一、使用前必须导入 math 模块，直接调用会报错。二、 参数是弧度而非角度，虚角度转弧度可配合 math radiance。 三、船飞数值类型，如字符串会触发 type error。 下面将十秒案例展示，稍后提问。 提问， math cos math 拍二的运行结果是多少？知道答案的小伙伴把答案打在评论区。

大家好，我是明在路上，今天说一下红程序中的角度魔术师。反正弦函数、反于弦函数、反正弦函数和反于弦函数在数控编程中的核心作用是将零件的几何尺寸关系自动转换为机床可执行的角度指令，是实现参数化编程、 自适应加工和复杂曲面处理的关键数学工具，让数控程序从固定指令级升级为智能计算系统，主要是用于通用红模块中的间接计算。在数控红程序中， 三角函数是角与边的关系，同理，反三角函数也是角与边的关系。三角函数中角度的单位是度，同样，反三角函数得到的角度单位也同样是度。三角函数是角度的对应边的比值，反三角函数就是对应边的比值的角度。 反正弦函数的定义以这个直角三角形为例，三角形中角度大 a 所对应的对边与斜边的为 a 比 c， 这个值的范围是大于等于负一，小于等于正一。反正弦 a 比 c 是 正弦，为 a， 比 c 的 比值所对应的角度大 a 的 值， 这个角度大 a 的 范围是负九十度到九十度之间。反于弦函数的定义，同样，以这个直角三角形为例，直角三角形中角度大 a 所对应的邻边与斜边的比值为 b， 比 c， 这个值的范围是大于等于负一小于弦 b 比 c 的 比值所对应的角度值， 这个角度大 a 的 范围是零度到一百八十度之间。反正弦函数和反余弦函数和是三角函数 sin 和 cosine 的 逆运算。简单说，反正弦函数是已知比例求角度，反余弦函数也是已知比例求角度， 但两者处理的是三角形的不同边比关系。掌握反正弦函数和反余弦函数，你的红程序能力将大幅提升，从简单斜面到复杂曲面角度计算从此不再是难题。 如果这个视频对你有帮助，请点赞、收藏、转发给你的同事朋友，关注我，后续我会分享更多实用的数控编程技巧。

今天给大家分享一个简单易懂的技术指标，信号一目了然。指标名叫终极超牛波段，实践多次没有败绩。在这个指标的辅助之下，我们一眼即可识别行情趋势走向。指标使用技巧如下， 一、当出现黑马大胆搏这个字样时，是最佳的抄底时机，代表可以建仓。二、当出现逃顶这个字样时，是最佳的抄底时机，代表可以清仓。三、指标不含未来函数，不漂移之后也无密码。感兴趣可分享！

这种复杂函数式对应的函数图像是怎么生成的？今天给大家推荐一个工具，只需要在左侧输入函数式，就可以自动生成对应的函数图像。给大家简单展示几个，第一个函数式， 第二个函数式，第四个函数式，是不是很简单？工具名称，建评论区。

大家好，我是小东老师，今天我们来学习三角函数的第二位余弦函数 cosine。 首先看 cosine 的 定义， cosine theta 等于邻边除以斜边。同样是在直角三角形中，邻边就是 seat 角旁边的那条直角边， 斜边还是最长的那条直角对面的边。 cosine theta 在 锐角范围取值也是零到一，但注意角度越大， cosine 值反而越小。记口诀，余弦余弦零比斜边零着角走除以最长边。 接下来看特殊角的 cosine 值，和 sine 互补记忆效果更好。 cosine 零度等于一， cosine 三十度等于根号三除以二， cosine 四十五度等于根号二除以二， cosine 六十度等于二分之一， cosine 九十度等于零。来看看 cosine 的 图像长什么样， y 等于 cosine， x 的 图像也是一条平滑的波浪线， cosine 值也在负一到一之间，但 cosine 是 从最高点一开始往下走的。来做一道实战例题，在直角三角形 a、 b， c 中角 c 等于九十度， ac 等于四， ab 等于零点八，找对邻边和斜边是关键。 最后来总结一下， cosine theta 等于邻边除以斜边， sine 和 cosine 有 互余关系。 cosine theta 等于 sine， 括号九十度减 theta。 记住口诀，鱼弦临弦临边比斜边。好了，今天 cosine 的 内容就到这里，觉得有用的话， 动动你发财的小手，点个赞，加个关注，你的支持是我更新的动力，咱们下期再见了，拜拜！

二六体育单招考生刷题没透彻，答案看不懂，都现在了怎么办啊老师直接开始全新系列啊，第一视角带你刷题，直达你的痛点。 ok， 咱们新系列开始点赞评论领取福利，直接开刷吧。今天咱们来讲一下这个第四套啊，第四套的话整体难度比上前面这个啊简单不少，咱们来看一下自己能考多少分吧。首先第一题是一道经典的题，就尽量快点啊，就是同类型的啊， 很简单啊。呃，首先他告诉你二 x 的 范围了，那咱们怎么把这个二去掉啊？双方同时除个二不就行了吗？然后大概你会算到他的范围在这个，你要是看不懂你就直接算出来啊，二分之五不就是二点五吗？二点五小于 x 小 于这个啊，四点 啊，那他跟第一个里面大概交了几个数啊？你首先他有三对吧，然后有四没了三四笔对吧？同学们啊，就这么写就行了啊，如果你实在看不出来你就写出来啊，那下一道题是这个分段函数啊。 ok， 新的题型咱们前几张应该是没有见到啊，没有见到的话我就大概讲一讲， 像这种题型啊。哦，我想起来讲过啊，从内往外算，首先两个 f， 意思带两遍，第一个先从里面带 f 负二， 然后去选他到底满足哪个啊？负二的话他是哪个方程里面啊，是第一个还是第二个？肯定是第一个啊，因为第一个他不小于一吗？小于等于一，那负二当然小于等于一了，那带进去之后 负的负二就等于正二行，当你算完内部的之后啊，这里面已经可以用谁代替了？用正二代替了。为什么呢？因为你 f 二算出来不就是咱们的正二吗？那直接就可以把里面这个换成正二哦，那里面没了，现在再算一下 f 二啊， f 二带哪个呀？肯定是带大于一的，对不对？ 那就简单了，带进去就是二加一减五啊，三减五等于负二选 a 带走好了，这非常简单啊， 复旦函数啊，来下一个哦，非常好的一道题啊，是咱们的，这叫，呃复合函数，求增减区间啊。这种题型咱们啊做起来只有四个字啊，就是同增异减。 同增异减，什么叫同啊？因为它是复合的嘛，你看它本来是一个 log 的 函数啊，就是 log e， 巴拉巴拉，对吧？它本来是一个对数函数，但是它把原来 x 的 部分换成了二次函数啊，像这种两种函数复合在一起的就叫做复合函数啊。那做这种题求增减性。什么叫同增异减啊？就是两个增减性相同，它整体就是增。两个增减性相异， 它整体就是减，那这道题它要的减去减，那咱们就得让它俩的增减性不同，对吧？那怎么不同呢？首先你得看看谁固定啊， 如果是二次的话，它是有增有减，如果是 long 的 话，它是固定的啊，对吧？所以说外面这层它一定是个增的。有同学说，这怎么区分 log 函数嘛？你不看 a 嘛，如果你是零到一之间，那你就是这样的图，如果你是大于一的话啊， 咱们就是这个往上涂。那 e 的 话，绕的话是绕个 e 的 缩写啊， e 是 二点七对吧？就是约等于二点七了，所以说他是增的啊。行了，外面增的话，咱如果让整体要保持减的话，那 这个复合的部分呢？你得减啊，因为同增 e 减嘛，就外面是增，你里面的是减，他才 e 啊。哦，那就算一下上面的减区间吧，太简单了啊，那它的减区间呢？ 开口冲杀，先算对称轴，负二又分之 b 等于负的二乘一乘以负二等于一啊，那不就是对称轴的左边吗？就是负无穷到一对吧。负无穷到一就可以了啊。 但是这道题啊啊没有那么简单。为什么呢？因为咱们还得考虑定义域啊，富无穷到一你不能干什么呀？你不能这个富无穷随便取。为什么呢？你还得保证右门干什么呀？就是右上角得干什么呀？得大于零啊。因为它是啊对数啊，对数的话所以说你还得算一下这个部分啊， 幺幺幺三负的给他，也就是说他的单调。这个叫什么大于零的部分是负一跟这个三啊，那就是负无穷到负一，还有这个三到正无穷哦。哎，你会发现那就是第几个 啊，那就是这个第一个对吧，就说选 a 就 行了啊，这个咱不能要啊，因为咱两个都得考量一下啊。取交集那只能选个 a 了。好吧， 来下一题，下一题的话求夹角，然后给模了啊。见模干什么呀？开平方。有人说为什么开开平方呀？首先你求余弦值，你是不得算 q 算 c 的， q 算 c 的， 是不是就是 a 模 b 模 a 乘 b 啊，那 a 模有了啊， b 模有了，没有 a 乘 b， 那 a 乘 b 怎么求啊？哎，或者是 a 乘 b 还还从条件里面怎么求啊，是不是还生个他没用啊，他的话咱们说了啊， 魔长的平方就是你向量的平方，所以说咱们可以给它整体开平方啊，这也是非常常见的一种做法啊，方加上四 a b， 再加上四 b 方等于十。然后咱们不又说了吗，你的魔长的平方就等于向量平方，所以说你可以把它平方之后再带进来啊， 有的人说，这不用加这个棍了吗？不用加这个磨床了吗？不用啊，因为你还是这个定律啊，来回用，来回反复套完啊，你这个平方就等于你向量的平方，所以说咱们可以不用了啊，直接把它当圆的开就行了，然后你在平方之后带回来，这就是四加上四乘 a 乘 b 再加上四啊，等于一等于十， 因为说中间为什么不算啊？因为咱们可没学过两个不同的相乘等于这个吧，对吧，咱们只有相同的平方啊，才能往里带，所以说他不知道，因为说，那怎么办呢？咱求的就是这个不知道的呀，对吧，你算这个假角不就差了这个 a 乘 b 了，所以说四， ab 等于 二， ab 等于二分之一，那就有了呀，这道题上面是二分之一，底下是二，二分之一除以二等于二分之一乘以二分之一等于四分之一，那么这道题还是选 a 好 吧， 行了啊，呃，不是很难啊，同学们自己分析一下吸收就可以了啊，那下一道题是一个椭圆啊，椭圆的话两个焦点，咱们大概画一下啊，椭圆的话两个焦点，然后告诉你，这个 b 是 一啊，不知道 a， 然后说这个随便一个点为 p 啊，这个 周长是四。哎呀，那么这不就给了吗？铁铁们啊，这是什么？这是咱们的定力啊，就是椭圆上随便一个点啊，随便一个点，随便啊，椭圆上随便一个点到两个交点的距离之和 是几啊？是二 a， 也就说这两段是二 a， 他 说周长呢，那不就是二 a 再加多少，再加底下这个二 c 吗？所以说啊，咱们的这个交点三角形的周长也可以说是二 a 加二 c 啊，他告诉你，这等于四啊， 好了，这个等于四，然后你又知道 b 是 e， 然后你还知道，对吧？是现在两个，这个三个未知数，两个式子不能解，还差一个什么呢？那当然就是咱们的 a 方等于 b 方加 c 方了， 出来之后你会发现啊，好像要出来了，但是有同学还是不会算，为什么呢？啊？有同学说，哦，我现在把 b 带进去就行了，但是 b 的 话，你需要平方之后才能用那个 a 方等于 b 方加 c 方，对吧？哎，但是有同学啊，把它平方之后发现算不出来，为啥呢？因为你平方，这是个完全平方，对吧？ 有的说，为什么不能塌方？塌方，塌方，你想想啊，一加二等于三，你自己看着，对吗？ 不对了吧。所以说啊，你要平方的话，得整体平方啊，左边平方加等于右边平方啊，那用它 a 平方，它就不会了啊，或者是它就算不出来了，为什么呢？因为你看，你现在 a 加 c 等于二，一平方之后，这是 a 方加上二 a， c 加 c 方等于二。哎，你会发现出来一个莫名其妙的东西啊，那所以说，咱就 啊，灵活一点，你把这个 c 啊移过去，然后再平方，牛顿说，这不一样吗？哎，这还真不一样啊，你自己看， 哎，这就好多了，为什么呢？因为咱们的 c 方正好你看它这边是个数就不是个未知数了，它单独啊，就可以把它，哎，等会儿这没有平方它就可以干什么呀，把它啊，把这个 c 啊求出来了啊。那怎么求呢？你把这个 a 方啊换成咱们的 b 方加 c 方哦然后这不就出来了吗 b 是 一啊，你整个式子里只有咱们的 c 了啊，来化解一下啊，九九没了，然后这个一等于四减四 c 啊移过去啊，算了你把它移过来把它移过去吧，那就是四 c 等于三， c 等于咱们的四分之三哦 c 如果等于四分之三那 a 呢那不就是二减四分之三吗等于四分之八减去四分之三等于四分之五啊。 哎，没有那么简单吧，但是他又不是很难啊，只需要咱们对这个运算啊稍微啊加加油啊自己灵活一点就可以了啊。如果你硬算的话就是啊没把那个移过去直接开平方算能不能算呢？其实也能算啊，你总的来说啊 合理即可啊或者是啊再交给同学们如果你真的算不出来怎么办？你试啊，一个个试啊，对吧，你试试哪个啊。就是 abc 求出来之后他这一组可以把它的周长算出来啊，或者是再把这个 a 方等于 b 方加 c 方，你自己慢慢试，千万不要放弃啊，不能蒙啊， 好，下一个哦。这道题啊这种题很套路了啊，咱们平时求这个增区间，减区间怎么求啊 啊咱们是不是导数啊啊但是这道题好像不太用导数咱们来看一下怎么写啊。首先第一个它是一个二次函数啊，二次函数的话咱们讨论一下啊，讨论一下，如果啊，你这个 a 是 零，你看可不一样，对吧？它底下那么多零啊， a 要是零的话，整个二次函数你看变成什么了 啊？就变成 x 了，哎，你看满不满足，他在一到中和无穷递增啊？ 满足，所以说 a 可以 是零，如果 a 可以 是零的话，就可以排出很多来啊，对吧？戳戳啊，有的时候为什么要讨论啊？我不懂啊。记住啊，只要 你的这个图像定不下来的时候，对吧？因为你根本不知道 a 是 开口冲上还是冲下，对吧？或者是有没有这种情况啊？多种情况的时候都要讨论啊。那常见的不就是把把这三种情况写出来吗？一共就三种吗？行啊， a 等于零的时候咱们是可以的啊。那咱们看一下 a 大 于零，可不可以 先看 a 小 于零吧。 a 小 于零的话啊，整个题也没有啊，整个题也没有小于零。咱们大概看一看啊， a 小 于零的话，它图像永远是看下这个向下的，那就不可能这种情况。你看一到政务区递增， 对吧？无论你再左再右，它都不行啊，你看要么是递减的，要么是又增又减的，所以说小于零这种情况肯定不存在啊。所以说那只能 a 大 于零啊。来，如果 a 大 于零，那就是一个开口正常冲上的， 对吧？那咱们换这种情况啊，无非就是冲上吗？咱们只不过不知道左右，对吧？哎，那左右的话，你看哪种情况合适？哎，好像只有第三种肯定不行，因为他要这个以后。哎呦， 就这个一点以后啊，全都增，那你看这两个啊，这个肯定不行，为什么呢？因为这个又减又增了，所以说第三种先排除，也就是说只要咱们啊，这个对称轴啊，在一的左边， 或者是在他身上都可以，所以说咱们得把他对乘轴算出来，让他小于等于一就可以了啊，那他对乘轴就是负的二，乘 a 分 之一等于负二 a 分 之一，咱们让他 小于等于一即可。那咱们算一下啊，呃，首先整体先变个符号吧，那就是二 a 分 之一大于等于负一，再等整体乘个二 a 一 大于等于负的二 a， 为什么可以乘二 a 啊？因为咱们说了 a 大 于零啊，不改变符号啊，所以说你就可以乘啊，然后你再除个负二啊，这就回来了啊， 咱们现在这个小于等于一，再除个负二，就是 a 大 于等于二分之一。 ok， 那 就等于说好像没有这个选项啊，哎，你别急啊，你现在得到两个啊，第一个 a 得大于等于二分之一，然后呢， 这个 a 得等于零，还得 a 得大于零啊，哎，也就是说这俩可以结合啊，也就说你现在得到两个，第一个 a 得大于等于零，第二个 a 得大于等于二分之一啊，那咱们要哪个呢？零在这里，二分之一在这里。 哎，两个都可以的话，那咱们当然要 第一个。有同学说不对啊，这个我记得是啊，大大取大啊，那个是啊，限制问题，但是这个呀，就是两个都可以要啊，他是你都得考虑啊，所以说你只要比零大都可以啊， 所以说这个选哪个呀？就选四 d 了。好吧，用脚函数的问题啊，这个题咱们见过很多遍了啊，首先问结论啊，周期看谁啊？看 w w 等于二 t 等于二派除以二啊 a 绝对没问题啊。 然后第二个，关于谁对称，咱们说了啊，关于谁对称，就是把这个点带进去看看，等不等于最大最小值啊，来，带进去啊，三啊，二乘以六分之七派加上六分之派来，那这个就是啊，咱先不乘了，直接乘上面等于十四， 再加上六分之派啊，等于六分之十五派嘛，对吧？那六分之十五派是多少度啊？咱们算一下啊， 六分之十五派就是咱们的乘一百八，一约三十三十，乘上面去三五十五，四百五，四百五十度，能减个三百六，减个三百六，那就是剩多少啊，剩个九十嘛， 对吧？那九十三九十度到底等不等于最大值，最小值呢？哎，九十度在哪啊？零二分之派，哎，这不就是咱们的最大最小值吗？所以说啊 b 没问题啊，来，下一个，在某某递减啊，这个咱先没讲啊，咱先看四 d 对 不对啊？首先关于哪个点对称，就是你把这个点带进去啊，他等于零，或者是他通啊，就是他通顺零等于三也 二十四，然后十三派乘以二加上六分之派，他说带什么呀，就是一个 x 呀，你函数可不是带 x 吗？一曰， 那就是，哎，算了，也不约了，就乘乘去二十四分之二十六派，加上给这个通分二十四分之四派，等于二十四分之三十派啊， 二十四分之三十派啊，能约个六啊，五六三十四分之五派啊，然后你会发现啊，他是多少四分之五派 啊，你去算吧，他应该不是咱们的零吧，因为咱们散，如果等于零的话，他得等于多少？ 要么就是零，要么就是这个派啊，你看他是四分之五派多一点点啊，所以说他肯定不是对称轴啊，你要是对称轴的话，哎，不对称中心的话，你带进去得等于零啊，所以说这个 d 就 差差了啊。 啊，那就选 d 啊，那比如说 c 怎么判断呢？ c 的 话，咱们你可以先算一下标准型的这个增减区间，然后再看一下符不符合啊。那咱们都讲到这了，当然得给同学们讲一下啊， 标准型的咱叫增区间啊，他要减区间，咱们就得先背出来原始的，原始的递减区间，哎， 就是从二分之派到二分之三派啊，那咱们写上啊，二分之派加上二 k 派到二分之三派加上二 k 派。小于等于小于等于。中间把这个写上，把 x 解出来啊，就是它的减去减啊，那怎么解呢？首先减个六分之派嘛， 那这边就是六分之三啊，就是三分之派小于等于二 x 小 于等于啊，这是六分之九，六分之五派 啊，不对，六分之九，六分之八派啊，六分之八派，行了啊。 然后啊，再乘个二分之一啊，那就是六分之派小于等于 x 小 于等于，呃，六分之四，三分之二，哎，是不是一模一样啊，对吧？减去减就是它啊，那没毛病啊，所以说选四 d 啊，好吧， 来最后一个啊，最后一个概率啊，这是白给的题。首先三男参加，两个人，至少有一个女的入选，两种情况啊，一出现至少就得讨论了。至少有一个人入选，那就有可能一女一男 或者是两女，那这种情况就是 c 四一乘以 c 三一，两女呢，就是光在女的里面选，就是 c 四二，两种情况不同方法，咱们用加法，那就是十二加上三四，十二，十二除以二六等于十八。 好吧，整个选择题倒是不难啊，比上一套这个简单一点点啊，但是有那么两道，如果同学不会算呢，还是挺难的。你比如说第五题，第六题啊，这个讨论的问题咱们头一次见，好吧，这就是咱们所有的选择题啊，那接下来咱们看一下填空题， ok， 首先填空题第一个是一个解不等式，非常简单啊，咱们直接给了分，这个绝对值不等式，大于大的，小于负的。然后是 x 大 于五， x 小 于负的一啊，直接写上即可， 如果你要写那个剪辑的，就是负无穷到负一并上五到中无穷，而且都是圆括号，对吧？都可以啊。呃，然后第二道题啊，第二道题的话，这好像白给了呀，赛扣扣赛。我靠，这么白给，赛扣扣赛，那就是赛的能合上三十七加二十三 等于三六十，等于二分之二十三，这太白费了啊，就练一下这个公式啊，下一个二项式定律，二项式定律的题，你得先展开啊，而且这个我给同学们个建议啊，你最好是 纯度展开。什么叫纯度呢？就是你把它每个部分都表示的干干净净的，你比如说啊，它是 c 五 k 或者是二，都一样啊，按理来说是这个啊，这是中间这个 a， 然后负负二 x， 对 吧？符号你得表示，哎，我喜欢，怎么做呢？首先第一个啊，我喜欢把每一个部分都单独啊 表示出来啊， x， 咱们就用 x 表示，对吧？这个分之一不就是负一次方吗？然后外面还有这个，然后这个呢？负二跟这个 x 分 开好吧，而且这个符号最好给给数啊，不要给这个 x， 然后这个能合上就是负五 加 k。 ok， 这道题问 x 的 系数啊， x 的 系数不就是右上角为一吗？那这个里面四部分 x 只能从这个和这个里面出，所以说先把它俩合并，因为这个都是乘法，当然可以合并了啊，指数相乘右，这个左下角不变，右上角相加。 哎，那你说咱们的如果想要一的话，那这个 k 得去几啊？这得去六吧，那就是 k 得去三啊，结束了啊，他要系数就是不要这个部分，把这些都不不管了。 哎， k 去三直接算 c 五三乘以负二的三次方，那就是 c 五三，其实就是 c 五二啊，五乘四除十啊，就是十，这个呢，就是负八负八十。 好吧，非常经典的一道二项式的题啊，咱们得多做做， ok， 最后一个就是经典画图问题了啊，像这个有同学不会画的，或者是不知道怎么做的，大家记住老师的一句话啊，找返利啊，只要你能按照它的画出来，然后啊验证它不对即可。首先第一个 a 平行于耳法。 呃， b 属于耳法。哎，直接错了， 我这么不解可以吗？那你看 a 平行于 b 吗？不平行啊，所以说一解错啊，找反例对吧，这不就找出来了吗？那他说的有同学就可能画成这样，就觉得他对了，你找反例啊，对吧，他又没说非得是横着放啊，这里面是 b， 是 a， 所以 说你只要找到反例就行了啊，来，下一个， a 平行于二法， b 平行于被它， b 平行于被它，然后这个 a 平行于 b 啊，那它就相互垂直，那可以吗？哎，有同学说，真真，这个真可以了啊，你比如说这样， 哎，那我这么话，你觉得合不合理啊？我这个 b 里的，我 a 在 b 里， b 在 a 里，你看，这不就闹了吗？你看，咱们的 b 确实平行于底下这个 b， 但是呢，它俩相互怎么样啊？ 啊，不对不对，还不能这样啊，你这样 啊，这是这个 a， 然后呢，底下这个咱们横着划啊，咱们横着划，底下这个是这个 b， 对 吧？我 b 确实没毛病，平行于你上面这个 b 面，对吧？ 但是我 ab 呢，你看， a 也平行于底下这个 a 面，这也没问题啊。有同学说，这也平行吗？没问题啊，这也平行，你只要找到线里的一，这个面里的一根线跟外面这个平行，它就平行啊，但是你看它俩呢，一竖一横，这不又不对了吗？所以说二也不对，那下一个， 呃， a 属于面里， b 也属于面里， 然后啊，假如告诉你这个 a 平行于 b， 那 当然不对了呀，为什么不对啊？同学们，首先，第一种，你可以怎么画呀？你可以这么画， 我也可以是垂直的呀，这是 a， 这是 b， 对 吧？ ab 平行，他一定非得横着吗？这个面不对吧，这不，这不就错了吗？对吧？这是阿尔法，这是贝塔，你看他俩还可以垂直呢， 对吧？所以说啊，呃，咱们画图只要找反的就行啊，四 d 的 话是对的啊，咱们选四就行。 来，接下来是大题环节啊，我最喜欢带同学们写大题了啊，因为这个数学啊，考得高不高啊，多半看的就是谁啊，多半看的就是大题，为什么呢？因为选择题你再不会你也得蒙啊，对吧。 第一道啊，是一个明显的导数问题啊，然后第一问也是相当的经典，第二问也是更加经典啊。第一个问这个切线方程，切线方程就是咱们的直线方程啊。那缺的不就是 k 与一个点吗？那点的话你都切线了？什么叫切线啊？就是函数图像上某一点的切线。 那你说你这个直线是不是只过这个切点啊，对吧？那这个图像我是先画的啊。那无所谓啊，首先第一个 a 等于零啊，你先把这个函数抄下来， a 等于零就没有底下了 啊。求在一逗 f 一 处的切线啊。还是那句话，缺 k 缺点点的话，他都告诉你 x 等于一了，那你的 y 怎么求啊？ 当然是带入了零啊。哦，那点有了，就是咱们的一到零。那现在叉 k 怎么求 k？ 我 说过了啊，导数就是求 k 的 啊， 你把这个函数导了，求哪点的 k 就 把哪个点的 x 带进去。我再说一遍，求哪个点的 k， 他 让你求哪个点的 k 就 把哪个点的 x 带入到导函数啊。先导 底下的平方上倒，这是个除法的倒啊，上倒的话是哎，我先写再详细吧。上倒，下面不倒，减去，上面不倒，下面倒，对吧？那就是上倒的话就是负一，那就是负 x 方 减去啊，上面不倒，下面倒的话就是二 x 啊，就是二 x 乘以一减 x。 别人说啊，好麻烦啊，好麻烦啊。无所谓啊，你也不用再整理了。为什么呢？因为你只需要把负一带进去啊，你只需要算数就行了啊，是一是吧，那就是底下是一负一减去二零？ 对啊，一减一零了，那上面就是个负一啊，就是个负一啊，那有了 k 等于负一点是一，都是零，那怎么办？点斜式求直线不就结束了吗？ y 减零等于 k 倍的 x 减一， k 就是 一啊，那就是 y 等于 x 减一。 太简单了啊，这道题就结束了，如果你想写成一般式，那就是 x 减 y 减一等于零 啊，结束了啊，啊，不对不对，这是个负的，负的负的啊，忘了忘了忘了， k 是 负一， k 是 负一啊，做激动，那就是五 x 加一，那最后答案就可以写成 x 加 y 减一等于零啊，这就对了，没问题啊。 ok， 第一问就这么平平无奇结束了啊， 然后第二问的话，咱就不能这么写了，为什么呢？因为他没有告诉你 a。 这好熟悉啊，这是不是第一张卷子也做过一毛一样的套路啊，我就直接写了啊，他说在这个点取到极值 啊，什么意思？咱们平时算极值，怎么算？是不是令导数等于零，得到那两个 x 一 x 二点？也就是他现在告诉你一个了，什么思路？就是你把极值点带回导函数，让导函数就可以整体等于零啊， 来，依旧先导，但是这回啊，咱们不知道这个 a 的 大小啊， ok 啊，上导就是负一下，不导 减去，上面不倒，下面倒。什么套路？你把负一带到倒函数啊，整体就等于零，为什么有这个思路啊？还是那句话，我给同学们来个例子啊，你比如说假如啊，我现在算个这个东西， 我想算它的极值，你怎么算啊？你平时是不是先导，然后另导出等于零，然后啊，你把它等于零，它就是三， x 加二，一个零，一个是， 呃，三分之二负的，对吧？那现在他相当于是告诉你这个了，你看你带回来他等不等于零啊？他当然等于零啊，你带对吧？你带回哪个都等于零，所以说啊，他给的就是你解出来的这个点啊。 ok， 那 你把负一带去来底下的话，多半就是这个一加 a 的 平方， 然后上面的话是负的一加 a 的 平方，然后上面的话是负的一加 a 的 平方，然后上面的话是负的一加 a 的 平方，然后上面的话是负的一加 a 的 平方， 正二，对吧？行，那你想让整体等于零，咱们说了，分母不能为零，你只能上面为零啊，上面为零的话，你看啊，里面就是负一减 a 加四等于零， 那就是负 a 加三等于零，那 a 只能等于咱们的三了，对不对啊？所以说 啊，这样 a 等于三就补出来了啊，然后 a 有 了整个方程，你又有了，让你求单调区间。那天呐，太简单了， 你只需要导完之后，令他大于等于零，求的就是增去减，令他小于等于零，求的就是减去减，对不对？那咱们再算一下吧啊，好人做到底啊，我先导完之后啊，咱们直接给吧啊，导完之后就是底下是 x 方加三整体的平方， 然后是 x 方减二 x 减三的平方，对吧？然后还是那句话啊，你大于零小于零，咱们底线是一个永远的正数，不影响整个增减性了啊。呃，也可以这么理解啊，你先让它等于零， 你导数等于零，解出来的数啊，还是那句话，分母不能为零，也就说你只需要算上面就行了啊，记住，这是一个小知识点啊，如果你以后导完的函数，它的分母啊，永远大于零，就是带个平方，你就可以直接不看它啊，或者是你导完之后两部分，这部分永远大于零，你就可以不看它，因为啊， 或者是不等于零啊，咱就不看它了啊。行了， 那解出来呗，一个就是咱们的负一，一个就是三啊，大于去两边，负无穷到负一并上，三到正无穷增区间， 哎呦，减区间，负一到三，对吧，直接带走了啊。行吧，这道题没有任何难度啊，十八分直接拿到啊。第二题好像比较有意思啊， ok 啊，解三角形。首先啊，这道题啊，会劝退很多同学啊，可能害怕啊，不知道怎么写，但是你别忘了啊， 他无非就是那么来回变变，挣钱定律，余钱定律，什么变化角，角化边，就这些东西啊。第一问，求 c 来看题目中给什么了吧。首先 cosine 二 a 好 像用不上啊，然后你知道了这个有关于 c 的 对吧，而且你直接角化边，变换角，直接把它转化成 c 等于二分之三， a 结束， a 等于四， c 等于二分之三乘四等于六结束啊，直接这个，呃，六七分带走了啊啊。第二问就可能比较难了啊，可能会劝退同学了啊，他问你面积啊，既然是面积的话，那你肯定离不了那个公式啊，就是二分之一，二分之一，二分之一某某 啊，然后加一个角对吧，那咱们具体用到哪个角？首先你这道题 a 都有了， c 也有了，你是不是最好用到二分之一 a c 什么呀？ 三 b 这个东西对吧？就可能啊，咱们就预测的啊，或者是呢，你要是能求出来这个 b 的 话，你可以用这个 bc， 三 a 呀，都可以啊，那咱们看看这道题第二问有什么条件啊？呃，你好像没能用到的只有这个了， 等于八分之一，那这个扣三二 a， 你 直接就想到它有几个公式构成啊，三个扣方减三方，对吧？都是一倍角的，然后是二扣方减一，都是一倍角的，一减二三方， 哎，你好像能算出来扣三 a 和三 a。 好， 那这道题多半就用了二分之一的。 呃， bc 在 a 了，为啥呢？因为你看啊，一减二在 a 方等于八分之一，对吧？那这不出来了吗？啊，把这个移过去，把这个挪过来啊，八分之七等于二倍的，在 a 方 乘二分之一过去啊，十六分之七等于塞 a 方啊，那塞 a 就是 四分之根号七，这不有了，对吧？那四分之根号七有了，那扣塞 a 能不能算 啊，顺手的事啊？啊，你也可以就带到刚才那公式啊，这一模一样的算法啊，那咱们就用这个啊，根号下一减他吧。啊，就是根号下一减，这十六分之六，减去十六分之七，等于十六分之九，等于四分之三，看根号对吧。 行了行了，很多东西了啊， a 牛，有了 c， 你 也有了 c 是 几来着？ c 是 六啊，来，首先咱们就可以用这个公式 直接把咱们的 b 求出来啊，来，带一下啊，十六等于 b 方，加上三十六，减去二，乘以立，呃，乘以 b， 再乘以六，再乘以扣三，就等于四分之三，那大概算一下啊，他是一个啊，叫什么 二次方程对吧？你最后算出来应该是 b 方减九， b 加二十等于零啊，四五吧，负负的啊，你会得到一个是四，一个是五啊，这是 b 的 两个答案，那要哪个呢？他给你答案了啊， b 得大于 a 啊， a 是 四，那 b 就 得是五 哦， b 等于五， c 等于六三， a 也有了啊，二分之一， b 乘 c 乘，哎，这了啊，四分之二括号七啊，那答案就是约，约啊，约不了啊，这，这个能约三 四分之十五倍根号起啊。结束好了，这道题你看，其实很简单啊，就是化简一下，非常非常非常 easy 啊。好了，那只剩咱们的最后一道题圆锥曲线了啊，圆锥曲线的话，看样子很好欺负啊，就非常非常简单啊。 哦，这里有一个非常好的考点，咱们得啊，看一下第一个，哎，它是个双曲线啊，双曲线，右焦点， 记住啊，只要是双曲线，只要是告诉你焦点到他的渐近线的距离，咱们直接用公式，他就是 b， 不要问为什么他就是 b 啊，要推的话稍微有点麻烦，但是咱们不用啊，不用了解，只要是你画出来是这个东西，他一定是 b 啊， ok 啊，那有推说 这个 ok 啊，那咱们继续，那相当于是知道 b 了啊，又知道右顶点，右顶点是什么，右面这个顶点那不就是 a 吗？ 那第一问，这不是直接给的吗？一 x 方减去三外放，等于一结束啊，第一问，又是白给的题啊，你们发现现在白给题越来越多了啊，当然了，咱们做这张卷子比较 easy 啊，哈哈哈， ok 啊，来，咱们下面看一下第二问啊，第二问的话，他讲的是一个 啊，已知过这个点的直线又是圆锥曲线，大题又是过这个点了，那咱们先干嘛？先设啊， y 减三等于 k 倍的 x 减二， k 减二， k 加三， 呃，减二 k 加三啊， ok， 这又是咱们最经典的啊，设直线，然后呢，连力的问题吧， 然后咱们还是老方法啊，先把它乘个三，对吧，那就是三 x 方减去 y 方减三等于零。 ok， 然后我看看啊，他怎么咱们的这个思路就是连立完之后求这个伟大定律，对吧？那看一下这个具体啊，这个解析思路呢？ 我靠，我靠，只有一个交点，那就是什么直接反映到某个知识点，怎么算交点得儿它等于零 哇，连立出来嘚的等于零，这道题就已经结束了，那咱们算一下啊。呃，带进来啊，带进来的话不太好带啊，试一下吧， 三 x 方减去来 y 的 话是这一堆的平方啊， k x 减去二 k 加三的平方，再减三等于零。来，来整理啊。啊，这个咱们之前做过啊，都有思路了，都有这个经验了啊，首先啊，你把这整体看成 b， 你 先不要动它啊， 但是他有个符号啊，为了防止意外啊，咱们把这个符号给他弄进去。 好吧，咱们这样的话就防止意外了。来，那咱们开始啊，里面的平方的话，就是前方加上收尾乘积二倍，对吧？ 再加上后面的平方啊，后面的平方是一个负二 k 加三的完全平方，最后再减三等于零啊，来里边的话是 k i k 方 x 方加上，还记得吧，咱们做过这道题啊，就是你 光把二 k 弄进去就行了啊，因为咱们这不是 b 吗？呃，负四 k 方加六 k， 对 吧？这就是做题啊，这就是经验之谈啊， 然后好了，那后面咱们来大概打开一下吧啊，四 k 方减去十二 k 加九减三等于零， 然后前面还差个这个三 x 方啊，哦，这是个减啊，同学们，这个减的话容易暴毙啊，咱们啊，那这个还不能先打开啊，这是一坨的对吧？ 啊，你中间是个减的话，那你符号全都要变啊，哎，全都要变的话，那就是 三 x 方减去 k 方， x 方减去负四 k 方加六 k， 对 吧？因为有括号，所以咱不怕啊，来，中间全变啊，就是减 四 k 方加十二 k 减九减三等于零啊。好了，那最后咱们整理出来啊， a 的 话就是提个 x 方啊，三减 k 方 x 方减去 啊，这一堆是 b 啊，咱不写了啊，这一堆是 c 啊， ok， 然后啊，这道题要的是 b 方减 c， a， c 等于零啊，那就是 b 方来找 负四 k 方加六 k， 比方减去四乘以 a， a 的 话是三减 k 方，对吧？ c 的 话就是后面这一堆啊，咱们大概合体一下，它是一个，这是十二啊，就是 负的四 k 方加上十二 k 减十二。哎，你只要让这一堆等于零，那就可以算出来啊，来，还是那句话啊，老师不会跑的啊，帮同学们一块算一算啊，这个我考了啊，还是又考了个计算，咱们试一下啊。首先前面肯定要打开了啊， 前面打开的话就是十六 k 四，中间是个加法吧，中间是个减法啊 啊，中间中间是个加法，中间是个加法。呃，然后呢？减去二乘以八啊，不是二乘以这个四乘以四六二十四，然后就是四十八啊， 加上四十八啊，然后中间的话就是减去四六二十四，然后乘二，就是四十八 k 三，加上三十六 k 方，然后这边的话比较好算啊，咱们先乘进去吧，先乘进去，那就是负的十二加上四 k 方， 然后啊，还得乘后面这一堆呢啊？后面这一堆， 呃，五个啊，他他他他他来算一下啊，第一个 就是减，第一个就是加上四十八 k 方，然后呢？减幺四四 k 加幺四四， 然后减去十六 k 四，加上四十八 k 三， 减去四十八 k 方，行了，这就是啊，哎，老师写的太邪了啊，这就是整理出来的式子啊，让它等于零就行了。那咱们看有什么能消的啊？是绝对能消的，别怕啊，首先第一个十六 k 四 k 四， 然后这个四十八 k 三啊，然后我记得后面咱们也有个四十八 k 三没了，没了三十六 k 方啊，三十六 k 方没了，咱看看 k 方还有哪里啊？这有 k 方，这有 k 方啊，四十八 k 方， 这就没了啊。哦，那最后就剩了一个三十六 k 方， 减去幺四四 k 加幺四四等于零， 来四六二十四三四十二啊，整体除个三十六 k 方，减四 k 加四等于零，嘿嘿，结束了啊， 二二负二负二，答案只有一个，那 k 就是 咱们的正二啊。那接下来直接补到咱们的点斜式里， y 减三等于 二， x 减二， y 等于二， x 减四，再加三， y 等于二， x 减一，这就是咱们的答案， ok 吗？同学们？

高质高考选择题加题他来了，三角函数最小正周期直接用二派除以 x 前面这个数，二派除以二等于派。选择二 b， 下一个 m 向量加 n 向量，横坐标加横坐标，纵坐标加纵坐标，来他加他等于一来负一加二也等于一，所以选 a 好。第三个考我们的是重要条件的问题，来 x 等于二，是前面的来 x 平方等于四，所以 x 等于正，负二好， x 等于二能推正负二， x 等于正，负二不能推，哎，这个 x 等于二，所以说前能推后那叫充分，后不能推前叫不必要。所以选 a ok， 结束 好下一个。甲啊丁勿己三个人说选两个人当副组长啊，你直接想一共几个人？三个人选择几个选两个当副组长。 c 三二等于 c 三一直接等于三选二 b ok， 拿捏好最后一个题， 给了一个点，给了一个斜率，用什么式点斜式？点斜式的方程。 y 减 y 零等于 k 倍的 x 减 x 零，把对应的代入进去来， y 减负三，就是 y 加三， k 是 负一来， x 减一好，等于 右边的是负 x 加一，把负三放到这边来，所以就是 y 等于负 x 减一个二，所以选择二 b， 你 学会了吗？

大家好，我是超级学长的吴老师，今天我来带大家一起推导一下这个角的和的公式。那首先我们来看一下，这是一个矩形，其中内嵌的一个直角三角形，斜边为一，那我们现在知道的是两个锐角，分别为 r 的 贝塔。那我们现在要做的是什么呢？就是把所有的边都推导出来， 那我们的核心公式是什么？我们先来看一下这个 sign 值， cosine 值以及 tangent 的 值的一个定义，它们的定义同学们还记得是什么吗？首先 cosine 它等于什么？对于某个直角三角形来说， 它的 cosine 它是等于什么呢？是等于我们的 cosine 值是等于 hypotenuse。 最后 cosine 值 我们也可以直接用中文去巧记按，一只是对底斜或三只是零点斜，三只的是是对零。 ok， 那 我们有了这个公式，我们来看一下，我们隐身一下，它是等于对底斜， 那我们发现这个式子我们将乘过去，那么对边应该是斜边的基础上乘上一个三角形。 同学们对于这个式子一定要牢牢掌握，不仅在 p 三，我们在 m 一 上也经常会用到这个结论。接下来我们再开始在这个三角形当中，斜边为一的话，我们利用这个结论，对边直接是斜边乘上一个三位置，所以直接是斜边的方式， 那我们现在就打开了，不仅找到了中间这个直角三角形的三条边，我们还打开了另外两个直角三角形。我分别知道了下面这个直角三角形的斜边和上面这个直角三角形的斜边。那我们继续利用这个斜字，对边是斜边的基础上乘上一个发音值。 今天是我们来看一下这个直角三角形，好像目前没有角是已知的，那怎么办呢？我们来细心同学应该已经发现这里有两个直角三角形， 并且他们所中间的这个角也是直角，那我把这个记为叉， beta 加上叉是九十度，那这个角加上叉也是九十度，它正好也是 beta 的 大小。那我们就可以继续去求这两条直角边了，分别是萨尔法，萨尔贝塔，萨尔法萨尔， ok， 我 现在好像已经全部解决了，那我们来看一下，那是那个叫我同学们知道是多大吗？能看出来的，这个地方我们要借助一个平行线之间的内错角，所以他正好等于阿尔法架。哎，那我们来看一下 萨尔塔加贝塔等于什么呢？我们说萨尔指是位与斜位，是不是这一条边，那顶上斜边为一，那这一条边直接就是这两个数字加在一起，萨尔法和萨尔贝塔加上， 我们还由此推导出了 cosine r 加 vita， 那 它的边长度应该是这一条，我们采用下减上 cosine r 加 vita， 减去 cosine r 加 vita， 同学们学会了吗？

今天给大家分享一个极少人知道的高胜率技术指标，指标名叫抄底逃顶，实践多次没有败绩，在这个指标的辅助之下，我们一眼即可识别行情趋势走向， 将利润空间实现最大化。指标使用技巧如下，一、当出现抄底反弹信号时，是最佳的进场时机，代表可以加仓。 二、当出现预警麦信号时，此时为最佳的逃顶时机，代表可以捡仓。三、指标不含未来函数，不漂移之后也无密码。感兴趣可分享！

哈喽，大家好，我是韩晨大招张老师。今天我们通过三道题来学习一下三引扣三和 tan 的 这三个公式。首先我们来看第一题， 第一题说是角 a， 然后经过点五，逗号十二，让我们求三引 f， 三引 f 是 y 比 r 对 不对？那 y 是 我们的十二，也就是十二比上 r， 在 这里面我们看 abcd 四个选项， 分子为十二的只有 c， 是 不是？所以我们直接选 c 就 行了。那如果我们要想求 r 的 话，应该怎么求？ x 平方加外方等于 r 方，也就是五的平方加十二的平方应该等于十三的平方，所以我们选 c 选项。 好，接下来看第二题。第二题的话是点 p 是 三，多块负四，让我们求的是 cosine， cosine 应该是 x 比上 r， 也就是我们的三比上 r 啊，那分子带三的应该是 a 和 b 的 选项啊， c 和 d 的 分子都是四，对不对？所以我们应该是 a 和 b， 在 a 和 b 里面，我们的 r 永远要为正数，所以我们的选是二号 b 选项，那依然是 r， 怎么求？应该是三的平方加上负四的平方等于五的平方，所以 r 是 五啊，所以我们选是二号 b 选项。好，那接下来看第三题，第三题里面他说 r， f 是 在第三项线，让我们求碳 r f， 碳在第一项线和第三项线都为正，这个大家要知道，所以首先它的结果一定为正，所以 c 和 d 不 对，在 a 和 b 里面选。 然后 cosine 是 x 比上 r， tan 是 y 比上 x， 所以 我们知道 x 应该是等于三，是不是？所以应该是分为三，三分之 y， 在 这里面分母为三的有 a 选项是正确的，所以我们选的是 a。

开口向上， a 为正。开口向下， a 为负。开口越大， a 越小。开口越小， a 越大， ab 一 号轴在右， ab 同号轴在左，左加右减 b 来变上加下减 c 出现， 逼着孩子练完这些二级公式。别的孩子还在冥思苦想的时候，他已经快速做出正确答案。就是这套晨读晚记五分钟，他里面把高中三年二百一十个抓分常考的公式及考点都 按照时间线表格化整理在了这个手掌大小的书里了。例如五年十四考的解三角形，五年八考的等式变换，五年十六考的三角函数， 这些五年考了十几次的重点考点，他都用思维导图搭配漫画图解的形式给孩子整理好了，重点部分多以彩色标注，考试考什么，他就重点教孩子什么， 真正教会孩子解析方法和答题技巧。一页纸就等于书面上的一大章节，非常的极简易懂，当孩子遇到不会的题，就可以及时的查漏补缺了。无论你家孩子是高一高二打基础，还是高三总复习，都很合适，一套包含了高中三年所有的重点、难点、易错点，买一本高中三年都能用，赶紧给你家孩子准备起来吧！

这本呢是给大家讲的通达信公式编写的书，而且写了实战两个字，是人民邮电出版社给大家出的，是一种小版本，看起来会比较轻松。他呢细致的说了一下通达信筛选的流程和应用场景， 以及公式的语法和函数。说现在呢也可以用人工智能写，但是你了解一点基础，比如说那你在应用的时候，排查 bug 的 时候，包含筛选的基本逻辑，通过基本面去筛选，指标去筛选，通过形态去筛选，通过 通达信进行排序，功能筛选以及如何综合去筛选它，包含它的进阶篇，可以说是非常务实而实战的一本书，大家可以看，而且是一种彩页的形式印刷的，还有这种 图形的讲解，而且给大家写了不少的事例，真诚的很专业的一本书，喜欢的兄弟可以带回家研究。