2025南京一模九年级二次函数大题

来，中考真题，时间到哈！这是二五年的一道中考真题，我之前还查了一下数据，但是不是官方给的数据哈，他的得分率只有百分之四十，然后这道题得 平均得分应该在这道题满分的一半以下，也就相当于他并不是说多难的题哈，但是他的得分率并没有很理想，所以我们来看看这个题 同学们都是在哪丢分的呢？也是在考场上的时候是没有思路呢还是怎么样呢？我们把这道题来拆解一下啊。如图，在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 是 三倍根号二，标注上 bc 是 五 b， a、 c 是 四十五度。好，这是四十五度的话，我们就要注意了，因为在图形当中啊，四十五度角啊，三十度角啊，六十度角，都是比较特殊的角，是吧？ 动点 p， 从点 a 出发，沿边 a、 c 以每秒一个单位长度的速度向中点 c 匀速运动。当点 p 出发后，以 a、 p 为边做正方形 a、 p、 d、 e。 好， 这是一个正方形， 使点 d 和点 b 始终在边 a、 c 的 同侧，也就是说我只能在这一侧做三角做正方形，设点 p 的 运动时间为 x， 秒正方形 a、 p、 d、 e 与三角形 a、 b、 c 重叠部分，图形的面积为 y。 让我们求的是 a、 c 的 长。 好了，这是一个什么样的函数呀？这是一个什么样函数题型呢？它跟我们之前做的一次函数，二次函数不太一样，是吧？在这里面我们要看的是他让我们求什么呀？来第一问，先看他求的是 a、 c 的 长哦， a、 c 在 哪？ a、 c 在 这个大的三角形里，是吧？那么这个第一问呀，实际上我们可以把它看成什么，是不是就是解 三角形的问题，是吧？那么在这个解三角形的问题里面，已知了什么呀？已知了两条边，已知了一个角，所以啊，我们要从这个角下手啊。怎么下手呢？我们来看，我们想求的是 a、 c， 对 吧？好，我们呀， 做一条垂线，比如说这是 m 的 话，我是不是把这个大三角形分成了两个小三角形？那这两个小三角形什么关？什么样的特殊图形呢？ 这有四十五度，这垂直，所以这个是多少？这是什么呀？这是等腰直角三角形是吧？斜边长至三倍，根号二，那每条直角边的长就是三， 是吧？转头再看，在这个三角形里面，这是五，这是三，那剩的这个边角就是四，所以 a、 c 的 长是多少？九十 七是吧？第一问呢，是我们常见的解直角三角形的问题，那么这个专题呢，之后老师都会持续更新中考真题，我们去分析解三角形的问题是怎么具体求的哈。 好，来，我们接着看这道题得分率很低的。第二问和第三问哈。第二问说求 y 关于 x 的 函数解析式，并写出自变量 x 的 取值范围。 好，首先我们要明确的就是在这里面 y 和 x 分 别表示的是什么？那 y 在 这里说的是什么呀？ y 说的是正方形与三角形重叠部分的面积，那 x 呢？就是运动的时间是吧？ 好，我们先看啊，正方形与三角形 a、 b、 c 重叠的部分，那么很明显在这里面他有一个点 b， 也就说我这个正方形 点 p， 沿着 a、 c 运动的时候，我正方形是逐渐变大的，但到哪到这是吧？所以我们以点 b 为一个分割点来看， 从点 a 到点 b 做垂线的这点，那么这个时候 x 取值范围是多少？是不是就是零到三？因为点 m 做的垂直之后， am 这条边就是三，是吧？所以这个是三。好，那么在这个阶段的时候，我正方形 同样变，我如果假设点 p 到这的话，那么正方形变成什么呀？是不就是这样的正方形？那么我们可以发现三角形 abc 与正方形重叠部分面积始终 是这一小块，那么这个时候我们就知道了吧，所以当 x 大 于零小于三的时候，我 y 关于 x 的 解析是什么，是吧？重叠部分的面积不就是这个吗？那么 ap 看好， ap 是 这儿，它每秒运动一个单位长度，运动时间是 x， 所以 ap 是 多少呀？ 好，我换个颜色比看， ap 写在这儿，所以 ap 是 不就是 x， 那 么 ap 是 x 的 话， pd 呢？是不是 pd 也是 x， 所以 这个时候外观是不是二分之一 x 平方，是吧？ 这一段啊，很好求的。问题，就是下一段，我们看当点 p 运动到这一侧的时候，我们看这个正方形现在是什么样了呀？好，老师把这画出来哈，正方形应该 就是这样，是吧？那么这个时候啊，重叠部分的图形面积是哪块？是不就是这一块了呀？ 对吧？那我们看啊，这一块面积怎么求呀？它明显不是一个规则的图形，是吧？那还记不记得老师前两天也讲过一种不是规则图形怎么办呀？是不是就把它转化为规则图形？那我们看 重叠部分这一块的四边形面积是不是就是这个大的三角形 a b c 减去这个小的三角形面积啊？ 大三角形面积不是问题吧？ ac 已经知道了，高也知道了，那问题是什么？问题就是这个小的三角形面积是吧？所以啊，我们就把问题转化成了，我只需要求这个小的三角形面积是不就可以， 那么这小三角形面积我们该怎么求呢？三角形面积啊，等于底乘高除二是吧？那么这是垂直，明显它是一个直角三角形啊，直角三角形我得知道两条直角边吧， 那么这条直角边我运动到这的时候，点 p 是 不是已经在这了？所以 a p 这一段还是 x 是 不变的，那 p c 这一段呢？是不就是七减 x？ 七是谁啊？七是我们算出来 a c 的 长是吧？那好，这个直角边就解决了，剩的就是什么？剩的就是这条直角边了是吧？哎呀，这条直角边该怎么办呢？别忘了呀，我们第一问算出来了很多有用的条件，是吧？ 角 c 在 这，那么弹进的 c 等于多少呀？ 直角边比直角边是吧？是不就是三比四？那同样的弹进的 c 在 这个直角三角形里面不也是一样的吗？是吧，它还等于什么呀？ 我这个时候把这个点啊设成 n 是 吧？那这个时候弹进的 c 就是 什么呀？就是 p n 比上 n 是 吧？ p n 比啊， p c， p n 是 谁呀？ p n 是 我们要求的 p c 呢？就是奇减 x 是 吧？通过角我们就可以把这条边求出来了，那么我们再代入到面积公式里是吧，分段函数就出来了，所以这个第二问呢， 分段函数大家一定要注意，然后我们写出来的时候，把字典量取值范围写到括号里就可以了，是吧？第二问和第三问，因为都是解答形式的哈，然后老师一会儿同样整理到下面，大家来看就可以。 好，我们看第三问，第三问呀，他说当正方形 apd 的 对称中心与点 b 重合时，直接写出 y 的 值，首先在这里面看，直接写出 y 的 值， y 是 谁？ y 是 我们第二问求来的重叠部分的面积，是吧？所以我们想求 y 的 值，我只要确定此时 x 的 值是多少就行，因为第二段我们已经解出来解析式了，对吧？我有解析式，我想求 y 值，我只需要求 x 就 可以。 那么这道题的关键在于哪呢？首先第一个我们要明确正方形的对称中心。什么叫正方形的对称中心呢？正方形对称中心是谁？是正方形的中心，也就是说对角线的交点， 对吧？这个就是他的对称中心。所以这道题的解析关键就是，第一，我们首先要明确他的对称中心啊，正方形的对称中心与点 b 重合的时候呀，这个地方老师写错了，是吧？这个地方应该是 b 哈，这个是 c 与点 b 重合的时候啊，那也就证明我现在这个正方形中心就应该在这，那证明什么？证明它是对角线的焦点，是吧？那么 ab 是 三倍根号二，对应这个图形里面的这一小段，就应该是三倍根号二，是吧？ 我们要求 x 呀， x 对 应的是谁呀？ x 对 应的是它在这移动的时间，是吧？所以呀，这个图形大致就应该怎么样啊？在这 是吧，大致就应该是这样一个正方形，好了，这是三倍根号二，我们要求谁呀？我们是不是求这一段就可以，因为这一段是正方形边长，也就是点劈运动的时间，是吧？好了，这是三倍根号二， 做个垂直，这是三，是吧？那这一侧就是三。那这个时候 x 应该是多少呀？ x 应该是六，所以我们算出来 x 之后，带入到第二问的函数解析式里， y 是 不就求出来了， 是吧？这个呀，是整个这道题的解析思路。这道题考察的知识点很综合。第一考察了什么？考察了函数，考察了三角，函数，考察了等腰直角三角形，考察了正方形的性质， 是吧？他考察知识点很多，但是呢，这道题他的难度并没有说达到非常高哈。 所以希望通过老师的讲解，如果日后碰到类似的题型的时候，希望大家都可以得分得满分哈。好了，今天就这样，拜拜。

二次函数对折在几何综合题中应用，是一个必考的考点。下面我们来看镇江市二零二五年中考数学第十六题。 这一题目就用到了二次函数的最值问题，下面我们看题。如图，在等腰直角三角形 a， b， c 中角， c 等于九十度， a， c 等于 b， c 等于八， b 是 ab 的 中点， m 是 a， c 上的动点，我们过 d 点做 d， m 垂直于 d m， d， m， d， m 垂直交 b， c， n 延长 m d 到 p， d， p 等于二分之一 m d。 当三角形 p m、 b 面积最大时，求 a m 的 长，那么题目告诉我们 p、 m、 b 的 面积最大时，那么我们就要把这个面积表达出来， 我们想要表达他的面界，所以我们要做他的高。我们这里过 p 点做 b， n 边上的高， p， e 垂直于 b， c 交 a， b， q。 考虑到三角形是等腰直角，三角形的是中点，我们把 c、 d 连起来。 好，下面我们来看。由于 pe 跟 a， c 都跟 b、 c 垂直，所以 pe 就 跟 a、 c 平行， 由于平行，我们可以得到两对相竖三角形，一对就是 d， q， p 跟 d a m， 另一对就是 q e， b 和 a c， b。 好，我们把辅助线写下，我们看第一对相是三角形，我们可以得到对应边乘比例，而这个比例你看 d， p 比 dm 就是 一比二， 好。根据 p， q 比 am 等于一比二，那么我们要求 am 的 长，我们考虑到计算方便，我们就把 am 看成二 x， 那 么 p q 就是 一 x。 好，下面我们继续来看。 q， d 比 a， d 一 比二，但是 a、 d 我 们是可求的。 a， b 等于 a、 c 的 根号二百八，根号二，所以 a、 d 就 等于四 根号二，所以 d， q 就 等于二根号二。好，下面我们再来看 p， q， 我 们表达出来是 x， d， q 二根号，所以 q b 也二根号。我们刚才说 q e， b 跟 a， c， b 三角形相似，我们可以求出 q 一， q 一 也等于二，所以我们得到 p 一 就等于 p， q 加 q 一 等于二加 x， 那么这个 pe 这条线段是一条重要的线段，这个三角形高。下面我们把这个三角形的底边 b， n 表达出来， 那么要表达 b， n， 这里有一个重要的三角形全等，我们要能够看得出来， a， d 等于 c， d， 还有我们注意到这个角和这个角都是四十度，而这两个角跟 m、 d， c 都是互为 一角，所以这两个角相等，所以这两个三角形是全等三角形。 由于三角形全等， c， n 就 等于 a m， a， m 等于二 x， 所以 c， n 就 等于二 x， 那 么 b， n 就 等于八减二 x 值。此，我们看这个三角形的高和三角形的底边都用 x 的 对数式表达出来了，所以第三步这个面积也能够用 x 的 对数式表达。 显然这个化简是关于 x 的 一个二次函数。那么当 x 等于多少时， s 有 最大值，那我们这要配方， 那么 x 等于时，面积最大为九。当 x 等于时， a， m 应该等于二， x 等于二。好，本题就讲到这里，再见。

我是老唐，我们来看一下刚刚今天上午刚刚结束的九上南京鼓楼期末的九年级的啊。第六题，嗯，他说二次函数 y 等于 a， i 平方加 b， i 加 c 的 图像 在坐标器中的一个位置，如图所示。就这个图问， y 等于 c， n 平方加 b， n 加 a， 这样的一个图像可能为哪一个？好，那我们来看一下这个图像，我们知道它开口， 那么开口是向下的，开口向下，我们可以知道 a， 它其实是个小于零的啊，同样的， b 跟你对称轴啊，负二 a 分 之 b 啊，它本身是个负的啊，本身是个负的，既然本身是个负的，是个负的， 那么 a 又是个负的，那可以推出 b， 它其实也是一个负的。三个负得负吗？啊，其实 b 也是小于零的。同样呢，我们看一下 c， c 呢，其实是与 y 轴的交点啊， 呃，就是 c， 那 其实在外轴的下方，它其实也是个小于零的啊。 那 abc 我 们发现都是小于零的，那我们带到 y 等于 c， i 平方加 b， x 加 a 里面来，我们会发现同样的这个，这个 c 符号没有改变啊，开口也是向下的， 那么 c 小 于零， b 小 于零和 a 小 于零，它其实呢，和它这个图像其实并没有本质上的区别。 所以到这里呢，我们就可以发现， a、 b， c， d 当中啊，只有一个 d 是 和它原来这个图像是比较接近的，所以此题答案就是选 d 啊，还是比较简单的一道题目啊。那么今天这道。

同学们大家好，我是本次主题金奖人魏老师，本次讲解的题目来自于一中二零二五级九上消化作业六第二十五题的第三问， 是二零二四级中考改革的重要题型，将二次函数第三问原本的几何图形存在性改成了我们现在的角度问题。改革之后，这个题对题目的拆解分析要求更高了， 不再是原来等幺三角形、菱形等存在性问题那么固定的套路了。现在这个问题需要数形结合，具体问题具体分析。接下来就和老师一起来看看这个题目的处理方法吧。 如下图所示，二次函数 y 等于 a x 平方加 b， x 轴相交于 ab 两点， y 轴相交于 c 点。 那我们首先题目给出了一个一般式，知道了我们的 c， 这第二句已知 a 负一动零，抛物线的对称轴为直线， x 等于一。那么关键性的一句话就出现了， a 是 负一动零是 直线，是抛物线与 x 轴的一个焦点。又知道我们的对称轴，那就根据我们抛物线的对称性能够找到什么呢？哎，很好，找到我们的抛物线与对称轴的 另一个焦点，他们三个点有终点关系对不对？利用我们的终点坐标公式，所以去找到 b 点的横坐标， 那就是一乘以二减去负一，得到我们的横坐标是三，所以 b 点的坐标是什么呢？ 三斗零。那根据我们的待定系数法，一般是只有 ab 不知道那带两个点，那带哪两个点呢？就是我们的 ab 两点。对了，将 a 点 b 点代入我们的解析式，得到什么呢？得到一个关于 a b 的 二元一次方程组对不对？那就是 a 减 b 减三，零等于 九， a 加上三， b 减三，那么解得我们的 a 和 b 就 可以得到我们的抛物线解析式了，复习一下我们的待定系数法，所以我们的抛物线解析是什么呢？ y 等于 x 方减 二， x 减三，那么我们的第一问就解决了。接下来我们一起来看一下我们的第三问。跳过第二问，我们直接来看一下第三问啊。 将抛物线沿射线 c、 b 方向平移二倍根号二个单位，那么这一句话是我们真正处理这个问题之前的一个重点知识，就是我们函数的平移， 我们的平移一般是上下移，左右移，才记得斜方向移是什么原理吗？ 哎，对了，很好啊，沿着我们射线 c、 b 方向，它是一个斜的方向，对不对？那斜的我们要干嘛？要转化为水平和数值的，那根据什么来转化呢？根据我们这个三角形的特征，我们的 b、 o、 c 是 个什么算数？对了，等腰值，那么我们的 沿着 c、 b 方向平移二倍根号二个单位，其实就是沿着什么移呢？对了，很好哈，右移二，上移二对不对？那根据我们这个移动，我们是不是可以找到移动后的抛物线？上加 下减，左加右减是我们的函数平移口诀对不对？根据我们的这个点，得到了我们的新的抛物线， x 减二的平方减去二倍的， x 减二减去三，加上二化简之后得到 x 方减六， x 加七，就得到我们的新抛物线。那得到了我们的新抛物线之后，我们是不是就可以处理下一步了？ 对了，这个时候他说 m 是 平移后抛物线上任意一点，若 mc 等于十五度，那现现在要抓住我们的重点就是 mc 等于十五度， m b c 中 m 是 动的， b 和 c 已经固定了，且 b 是 这个角的什么点顶点，那我们观察下图， c 固定， b 固定，然后 m 是 在我们这个新抛物线上， 那在这个新抛物线上，我们相当于有一个角角度固定，有一边不定，顶点也固定，对不对？那我们接着是不是可以在图中做出来我们这个角等于十五度的情形有哪些，对吧？可以根据我们的图看出来第一种情况是什么？ 对了，是不是这样的一个角， cbm 等于十五度，那这个时候 m 在 哪里呢？对了， m 就 在这条边与我们抛新抛物线的一个交点处，这就是我们的 m 一， 对不对？那还有呢？还有吗？ 对了，还有右边，是不是右边也可能有十五度的情况呀？是不是？那这个时候我们画一个 大致的，那我们这个时候焦点在 m 点在哪里呢？对了，在这个新的边的与我们这个抛物线的交点处，对不对？这就是我们的二。 那通过我们刚才的作图，我们都知道了， m 其实是直线抛物线的交点，对不对？那我们抛线其实已经有了，只要找到什么就可以了。对了，找到 m 一 b 和 m 二 b 的 直线解析式就可以了。那在我们的二次函数里面找直线的解析式，特别是在第三问中，一般直接写出答案的题目中， 找直线的解析，是是不是就不需要写过程了？那现在我们一起来观察一下，我们刚才画了一个十五度，对不对？然后在我们本来图形中 o b、 c 是 不是又有四十五度，那可以知道。对了，我们知道这个角是多少度啊？对了，三十度，那知道这个角是三十度， 我们的第一种情况是不是就可以有了？ y 一 撇等于 x 方减六， x 加七，这个时候我们的 y m b 一 m 一 b 的 解析式就是我们什么三分之根号三， x 减根号三， 那我们的一次函数与我们的抛物线正常算出来是有几个焦点的？对了，因为是解二次方程，肯定是有两个焦点，但是从图中看出来有几个，只有一个，对不对？那我们要注意舍去不符合题意的那一个哦， 是不是右边这个我们需要舍去对不对？那所以说算出来之后解得我们的 第一个 x 一 等于我们的什么呢？我们的 x 一 等于三，加根号三，是不是比三大了？ b 的 右边了，干嘛舍去 x 二等于什么呢？三减三分之二倍根号三，那是不是这个就要，那同时我们算出什么呢？算出我们的 y 二等于负的三分之二，那我们的第一个 m 的 坐标有了吗？ 对了，第一个 m 的 坐标就有了，那我们的第二种情况是什么呢？对了，第二种情况就是我们刚画的另外一边，对不对？这个时候我们的 obm 二这个角是不是也是一个特殊的角？四十五度加上一个十五度，得到了我们的什么呢？六十度。对了，那得到我们的六十度解析式是什么知道吗？ 对了，我一般算的比较快的同学啊，基本上已经知道了，这个时候 k 是 不是变成了我们的根号三？ 根号三 x 减去我们的三倍，根号三就是我们这条直线的解析式，然后解出来也是需要干嘛的？对了，需要舍去一个的，我们的 x 一 舍去之后留下了我们的 x 二，是什么呢？被留下的是我们的 x 二等于二分之六加根号三，减根号十一，那算出我们的 y 等于我们的二分之三减三倍，根号十一。所以说我们的 m 二是不是就出来了？ 那这个题我们就结束了，我们一般只需要写我们的答案即可，不需要把我们的完整过程写下来，但平时练习尽可能 多写一写。好了，同学们都学会了吗？自己再消化消化吧。

同学们好，今天我们来讲解期末考试最后一道二次函数。 第一问，二次函数图像经过 a 点和 b 点，只需要把 a 点和 b 点代入，可求出二次函数表达式， y 等于二分之一， x 方减二。求完之后一定要养成习惯，因为开口向上，所以 a 是 二分之一，而本道题当中与 y 轴交于负半轴，所以负 c 一定是负的，那你算出来的 c 就是 正的。 继续读题， p、 q 是 二次函数图像上的两个动点，横坐标分别为 m 和 n， 那 这样的话我们就可以写出 p 点和 q 点的坐标， p 点的横坐标是 m， 代入二次函数表达式，纵坐标即为二分之一， m 方减二。 同理， q 点的横坐标为 m， 纵坐标为二分之一， m 方减二。第二问， p 点在直线 ab 的 下方，这句话是什么意思？说明 p 点的横坐标 m， 它在 ab 的 下方嘛？那它横坐标 m 就 一定是 在负二到一之间，这个是没。呃，这个只需要判断出来即可。然后过点 p 作 p， c 垂直于 x 轴， p， c 垂直于 x 轴，这是一条竖直的线， 然后让我们证明两个三角形面积相等。遇到三角形面积问题的话，第一个我们就想这两个三角形能不能可以有直接求出来的？因为本道题当中出现了这三个点，一个是 p 点， 一个是 q 点， p 点还有 d 点，这三个点都是不确定的动点，所以这两个三角形面积都不能够直接求出具体的数值。那这时候怎么办呢？那我们的思路其实就是把 这两个三角形面积 用含 m 代数式表示， 那下面我们一个来看，先来看 b、 c、 d 这个三角形， 好，我们先打上阴影，这个三角形是在这里，因为 c、 d 是 一条垂直的线，就是或者简单来说，它是一条竖直的线，所以它的底和高其实非常好找，它的底就是 c、 d， 描粗，它的高就是过 b 做垂直这一段，比如说我称之为 b h， 那 下面我们一个月来思考这两段怎么求。 首先我们刚才已经是设 p 点的坐标， p 点坐标，横坐标是 m， 纵坐标是二分之一， m 方减二， 这样的话， c 点的坐标其实就是 m 零，而 d 点的横坐标 d 点在这里， d 点它的横坐标也是 m， 只是纵坐标。不知道 那 d 点的纵坐标怎么求呢？因为我想表示出 c、 d 这个蓝色的它的底，我就一定要求出 d 点的纵坐标，那 d 点是在 l、 a、 b 上的， l a、 b 可以 设函数 y 等于 k， x 加 b， 它是一次函数，只需要把 a、 b 两个点代入，而 a、 b 两个点是题目给的已知点， a 点 following b 点一，逗号负二分之三， 所以这时候 l、 a、 b 其实是可以求出来的，只需要把两个点代入，所以 前面的过程待会自己写。可以求出 l、 a、 b， 它的函数表达式是 y 等于负二分之一， x 减一。 在考试当中，求完函数表达式一定要记得去检验，要呃图像是下降的，所以 k 算出来一定是负的，它以 y 轴交于负半轴，所以 b 算出来一定也是负的。求出它之后，我们就可以写出 d 点的， 因为它是数值的，所以 d 点函数标为 m 代入，即可以求出它的纵坐标是负二分之一， m 减一，那下面我们就可以表示出 c d 的 长度， c d 的 长度 其实我们在这条数值的，所以我只需要用 c 点的纵坐标减去 d 点的纵坐标，用零减去负二分之一 m 减一，即为二分之一 m 加一，那它的告别去怎么表示呢？告别去 b h 的 话，因为它是一条水平的线，所以我只需要用 b 点的横坐标减去 h 点的横坐标， b 点的横坐标是一， 而 h 点的横坐标其实就是 c 点，就是 d 点，就是 p 点的横坐标 m， 所以 b h 是 一减 m， 所以 此时这个三角形 b c、 d 的 面积就可以表示出来是二分之一，括号 二分之一 m 加一，再乘上一减 m， 我 只需要把它 化成一般式，这样展开这里是什么，乘上什么，最后我们就可以化成一般式，什么 m 方加什么 m 加一个常数， 也就是说我已经完成了一半，我只需要把另外一个三角形的面积同样表示出来，另外一个三角形是 p q d， 那 我同样来打上阴影 是这个三角形，那这个三角形同样我们要找到底和高，底 是这一段我绿色部分打出来的。然后题目并没有说 p q 是 在同一条横着的线上，所以它的高其实是过 q 点做垂直 面。我要求三角形 p q d 的 面积，它的底是 p d， 我 用绿色加粗了，它的高是过 q 做一个垂直。那我们先来看 p d 怎么求。 p d 的 话， 它其实是应该用 d 点的纵坐标减去 p 点的纵坐标。那我们来找一下 d 点的纵坐标。 d 点刚才表示在这里， d 点的纵坐标是负二分之一 m 减一， 减去 p 点的纵坐标 二分之一 m 方减二去括号负二分之一 m 减一，减二分之一 m 方加二，即为负二分之一 m 方 减二分之一 m 加一，就是 p d。 那 它的高怎么表示呢？高是 q 点向右边做垂直，对不对？它们在同一条横着的线上，所以我只需要用它 p 点的横坐标 m 减去 q 点的横坐标 q 点的横坐标是不是 m， 所以 这里的高，如果这边 我来标个字母的话，是 m 吧，那就是 q n， 它应该是 m 减 n。 所以 其实我们这道题它用到目前为止，它用到的思路就是在同一条横着的线上， 在平面直角坐标系上横着的线上，因为横着的线，它们的纵坐标是一样的，所以这个点应该是 x 一， 它的纵坐标是 y， 这个点是 x 二，它的纵坐标是 y， 所以 这段长度是用靠右边那个大的 减去小的，这是横着的。如果是竖着的两个，它们横坐标是一样的，这是 x y 一， 这是 x y 二，横坐标一样的，那我这段长度只需要用 y 一 减去 y 二。回到这里，那下面我们就可以表示它的面积 s 三角形 p q d 的 面积就是二分之一乘上底是这个负二分之一 m 方减二分之 m 加高是 m 减 m。 你 发现这个式子当中 m 减 m 正好是题目给的一， 这一段正好是一，就是已知条件， 那就是二分之一，括号负二分之一 m 方减二分之一 m 加一，再把它展开，你只要比较一下和刚才算出来的是否一样，如果是一样的，那我们就即就能证出这样三角形面积是相等的。 然后我再说一下，如果本道题当中是算出来恰好是 m 减一，是题目给的，这个如果算出来不是怎么办？不是的话也很简单，只需要把 m 减 n 等于一这个条件化成 m 等于 m 减一，看到 m 减一代替。这样的话，我所有的 三角形面积当中都会只含有字母 m， 也就是说如果出现 n 的 全部换成 m， 而本到题当中恰好是 m 减 n， 所以 直接用 e 代替即可。

武汉市各区的元月调考已落下帷幕，其中江安区的这套题已改前两年的传统风格，在部分题型上做了不小的调整，尤为值得关注。 一起来看第九题。 第九题是一个二十函数的小综合， 在武汉市的传统里面，这一题一般出现在第十六题，是一个多项选择，那么变到第九题之后，变成了一道选择题，难度有所降低。好，我们一起来看。 从给定的条件当中，不难得出这个二次函数的对乘轴等于一。 好，这是这道抛物线的对称轴。好，我们先把它画出来 来继续读题。 这个抛物线的图像与 x 轴有两个交点，分别位于 y 轴的两旁，我们再标出来 与 x 焦点不能具体的确定是多少，但是有一点可以肯定，与 x 的 正半值的焦点，也就是我们标的 x 二 一定是大于二的。 理由是什么呢？如果说 x 一 刚好在原点的时候，根据对称性， x 二就落在 x 等于二这个地方，但是现在 x 一 是小于零的，所以 x 二就应该在二的右边。 我们看 a 选项 图像的开口向下，我们图像的开口由谁来决定有二十项的系数，那么也就是说我们现在需要判断 a 的 符号。 那我们进一步的来看这道题， x 一 x 二分布在外族的两旁，也就是说 两根之积是小于零的。根据伟大定律， x 一 乘以 x 二，应该等于 a 分 之 c， 在 我们这题当中就是 a 分 之， a 减三小于零。 这要分类进行讨论。第一， a 减三大于零， a 小 于零， 那么这个得到 a 大 于三， a 小 于零，显然不符合题，舍去 第二种可能， a 减三小于零， a 大 于零， 那么这个解得 a 大 于零，小于三，这个符合题，所以 a 是 大于零的，图像的开口应该向上，所以我们的选项 a 不 对。 我们再来看选项 b， 当 x 大 于零时， y 随 x 的 增大而增大。 由 a 可以 得出，抛物线的开口向上，我们把这个图大概的画出来。 好，这是大概的图，从图上可以看出，当 x 大 于零的时候， 这一部分图像是 y 随 x 的 增大而减小。 在对称轴的右边， y 随 x 增大。也就是说，当 x 大 于零时，部分图像 y 随 x 增大而减小， 部分图像 y 随 x 增大而增大，所以选项 b 是 错误的。再看 c， 函数的最小值小于负三， 我们把这个二次函数进行配方， 我们把这个二次函数配成顶点式。可以发现，当 x 等于一的时候，具有最小值负三， 最小值是等于负三的，不小于负三，所以选项 c 也是错误的啊。看最后一个选项 d， 当 x 等于二的时候， y 小 于零， 当 x 等于二的时候，其对应的函数图像在第四项线 第四项项的点 y 小 于零，这是对的，所以我们最后的结果选 d。

在看第三问之前呢，我们先讲一下第二问当中用到的一个知识点，就是在平面直角坐标系当中，如果有一条横着的水平线， 那这两个点它们的纵坐标是一样的。那假如这个点叫做 a m， 这个点叫做 b m， 因为它们那这段长度 ab， 就 应该用 a 减去 b， 用大的那一个减掉小的那一个。 如果在平面直角坐标系当中有一个竖直的，因为它们是竖直的，所以它们的横坐标是一样的。比如说我把横坐标记作 n， 纵坐标为 c， 这个横坐标记作 n， 纵坐标为 d， 那 c、 d 的 长度就是应该用 c 减去 d， 就是 用高的那个点的纵坐标减去矮的那个点的纵坐标。这就是之前的知识储备。在讲第三文之前，我们再来讲一个知识储备。 已知这两段相等，且它们的夹角是九十度，我们这边能想到的应该叫 k 型全等是三角形， abc 全等于三角形。 它的结论应该是， ab 等于 cd 等于 d、 e。 嗯，当时说为了简单记忆的话，应该是竖着的那个 a、 b 等于含着的 c， d， 含着的 b， c 等于竖着的 d、 e。 那 如果稍微变一下，比如说我现在只有 这里是垂直的，但是这样但不相等怎么办？同样是 k 型， 角三加角五等于九十度，角四加角五等于九十度，可以得到角三等于角四， 因为角一等于角二，它们是九十度，和刚才正数的角三和角四相等，我们可以得到三角形 a、 b、 c 相似于三角形 c、 d、 e， 所以 此时它可以得到的是 a、 b 比上 c， d 等于 b， c 比上底 e， 所以 它其实是 k 形相似， k 形相似的话，它只是竖着的 ab 和横着的是成比例的，就是竖着的 ab 的 比上横着的 c， d 等于横着的 b， c 比上竖着的底 e， 这就是 k 形相似。有了这个作为知识储备之后，我们来看一下第三位， 如图，抛物线的顶点为 m， 那 这个 m 点的话是顶点，它的坐标是零负二 p q 过圆点 o， 然后这个条件是非常有用的一个条件。 好，我们待会再看它怎么用。过点 m， 零 t 做 x 轴的平行线，分别交于 e、 f， 所以我们来关注一下现在这一条我们要粗的线，因为它与 x 轴平行，所以其实它在告诉我们 e 点 还有 f 点，它们的纵坐标都是 t。 那 我怎么样把 e 点和 f 点表示出来呢？ e 点是在 l、 q、 n 的 函数表达式上， f 点是在 l、 p、 n， 而它们都是一次函数，一次函数的话需要两个点可求。以 q、 n 这个函数表达式为例，它过什么？它过 q 点， q 点，它是 横坐标为 m， 纵坐标二分之一 m 方减二。这个 q 点在哪里的？是在这里的呢 啊，就在这里的呢。然后且它还过点 n， 且它还过 n 零负二，所以我以它为例，我们就可以把函数表达式给求出来。 那个我和大家讲一下，我现在只提供思路，所以最后你听懂之后再去重新写它的过程，然后这边需要求的我立刻就求给你看。比如说 设也要 q n， 因为它是过零负二的，所以可以直接设 y 等于 k， x 减二。我们一定要注意的是，在这个表达式当中，我需要求出来的是字母 k， 然后下面我把 q 点代入， 把 q 点代入，看到 x 用 n 代替，所以是 n 乘上， k 减二，等于二分之一， n 方减二。我把 k 标红的目的是为了告诉你们，我下面需要求出来的是 k， 其他的你都可以当成长数左右等号两边的负二约掉，所以 k 就 等于二分之一 n。 也就意味着函数表达式是 y 等于二分之一， n， x 减二，这是 l， q， n 的 函数表达式。因为一点在这个图像上，且刚才分析过了一点的纵坐标为 t， 所以 令 y 等于 t。 第一步移向二分之一， n， x 等于 t 加二。那下面我们可以求得 x 是 等于 m 分 之二， t 加四。所以我们就可以求出 e 点的坐标为横坐标 m， 那 我们可以按仿照这样的方法，同样求出 f 点的坐标，它的步骤在右边，同学们你们可以自己先尝试着计算，如果算不出来再对照。好。下面我把图形简化在这边，我们来看一下，我只需要标出 o 点， e 点和 f 点， 其他东西我都可以不用去画。然后 e 点和 f 点的坐标刚才都已经求出来了，那我用红笔写的是本道题的切入点，切入点是角， e， u， f 是 九十度，在哪里？题目当中说使得它很成立，所以这就是切入点，这个角是九十度， 那在刚才我们已经做过知识储备了，那这个九十度我们怎么去用呢？是 k 型的相似，所以我可以往这 k 型相似。这样的话，自然而然我们就会有三角形 f， d， o 相似于三角形 o， c， e。 利用对应边乘比例，我们边乘比例，我们就会有 f d 比上 o c， 这就是这一个竖着的，比上这个横着的。我先打勾的两个比上啊，等于 o d 比上 c， e， 就是这个横着的，比上这个竖着的。那下面我是不是只需要把它们的长度表示出来？记住，我要表示长度， 是不是就是之前的知识储备？好，我们先来看 f 点，因为 f 点是在第四项弦， 所以 f 的 横坐标其实就是 o d 的 长度 m 分 之二 t 加四， 但是因为它在第四项线，所以 d f 的 长度应该是负 t， 或者你理解成用零减 t 好。 再来看 o c， 因为它在第三项线，所以 o c 的 长度应该是负的 m 分 之二 t 加四。 同理， c e 的 长度应该是负梯，那我把它带入这里，我现在把长度带进去，我们可以得到什么？这一步就是把数据带进去，然后下面我们就可以交叉相乘， 左边负 t 乘负 t 是 t 方，等于负的分母上 m n， 分 子上是二 t 加四的平方。然后我的思路就出来了，要求 t 则需 知道 m n 的 值。那 m n 存在一个什么样的关系呢？我们到现在还有个条件，就是刚才一开始讲的 这个条件， p q 过坐标原点 o， 那 我先打新的这个条件还没有用到它们过坐标原点 o， 那 这个条件怎么用呢？我们再来看，我同样把图分解成，只需要知道 p 和 q， 它一定它过坐标原点 o， 并把 p q 的 点坐标已经写下来了。那这时候可以怎么做呢？法一，我们可以利用三角函数来做，同样过 q 做垂直， 过 p 做垂直。好，我们先来看 o f 的 长度，就是 m， 因为它在第四象限，所以 p f 的 长度应该是负的二分之一 m 方加二。 这个如果用刚刚才知识储备，其实就是用 f 点的纵坐标零减去二分之一 m 方减二，就可以得到它是一个意思 好，同样呢，我们来看 q 点它的，因为它在第二项弦，所以它 e o 的 长度应该是负 m， 纵坐标 就是 q e 的 长度二分之一 m 方减二。所以这时候如果我这边标角一，这边标角二，其实就会有 tangent 角一等于 tangent 角二。 那天进的角一是对边，比上零边，那就是二分之一 m 方减二，比上负 m 等于天进的角二，它的对边负二分之一 m 方加二比上 m， 然后下面我进行交叉相乘， 这里应该是二分之一 m， m 方减二 m 等于这边乘过去负负得正，那是二分之一 m 方 m， 然后减去二 m， 然后我把这一个打波浪的移到等号左边，并且提出二分之一 m m， 这边剩下的是 m 减去 m， 把打三角的一号等号右边，那它就是二 m 减二 m， 然后二分之一 m m， 括号 m 减 m， 二分之一 m， n， 括号 m 减 m 等于负二，括号 m 减 m。 因为本道题当中 p 和 q 点不是同一个点，所以一定会有 m 是 不等于 m 的， 那 这个和这个是可以约掉的，那我们就可以得到 m， n 等于负四。既然得到了 m n 等于负四，我再往刚才的式子里一代， 刚才的式子就会变成 t 方等于负的分母上是负四，这里是二 t 加四的平方，负负得正，它就是 t 方等于四分之括号二 t 加四的平方，我们就能求出 t 等于几了？回过头来，我们再来总结一下本道题的话，我觉得第一个 我们应该想到的是 k 形相似，正是因为你想要从 k 形相似出发，你才会想到我要去表示出 f， d， o， d， c， o， 还有 c， e 这些线段的长度。你要表示出这些线段的长度， 我才会想到我要去表示出 e 点和 f 点的坐标。那怎么表示 e 点和 f 点的坐标？就回到了之前我们如何去求的？然后你能想到 k 形相似，但我们算到 这一步的时候，这也是一个重点。算到这一步的时候，你会发现还缺 m n， 这时候从什么入手？从含有没有用的条件 p q 经过圆点这个条件入手，我们去求出 m n 的 值及。