中职数学第5单元三角函数思维导图

教大家一个口诀，能够快速记住三角函数在四个象限里边的正负值。我们平时说三角函数都是先说三 a， 后说口算， 最后说贪体，那就按照这个顺序来教给大家。另外关于三角函数的专项练习，李姐已经给大家整理好了，如果你三角函数还不会做的话，那你一定要拿去练一练，拿去做一做好。 我们来看在第一象限有一个小横点，咱们经过这一个红点画一条横线，这条红线经过的是第一象限和第二象限，这个叫做横，这是 send 的 正数象限。接着 经过这个小红点，我们给他画一竖，现在这条线经过的是第一象限和第四象限，这个是口算经过的正数象限，这里是数。最后我们经过这个小红点，给他画一个撇，那这个撇就是摊体经过的正数象限，也就是一三象限，所以这里是撇。 同学们怎么记它呢？三口顺和贪体。记住三个字，横竖撇。在第一象限，取一个点画一横，它是三经过的正数象限，就是第一和第二象限。在这个点画一竖，经过的是一四象限，就是 cos 经过的正数象限。在这个点画一撇，经过的是一三象限，这里就是贪体经过的正数象限。好，咱们来做个题，练习一下 这个横竖撇。已知这个点在第三象限。在第三象限的话，说明 x 是 小于零的， y 也是小于零的，所以贪提值小于零， sin 值也是小于零。问你这个角在第几象限？ 我想对于贪体和三 a 来说，它都是小于零的。三 a， 我 们首先想横是不是一二象限是正的，也就是说它小于零肯定是在三四象限，接着竖是 cos， 撇是贪体，贪体值要大于零的话，是撇，是一三象限。如果它要小于零的话，那只能是二四象限。所以三 a 值在三四象限， 贪体值在二四象限，那它只能是在第四象限。这个题选四 d 选项，朋友们，你们学会了吗？学会的同学记得点个关注和收藏，免得下次找不到了。

这个特殊角三角函数这个表这么老多一大堆一二三四五的，再乘一个四一大堆，我是一点都不带背的，绝对不背。那你说老师我如果不背的话，单招和对口考了这个九道题，非常容易考。那我咋做呀？来， 直接上方法，如果是三十度六十度，那大家要知道你三十度也好，六十度也好，他俩是不同时在一个直角三角形里面，你就让这个三角形是最小边是一，最长边是二，另一个边是刚好三， 直接做来三十度。三十度的塞是对边比斜边对不对？来，对边就是一，斜边就是二来直接一比二，二分之一来 cosine 六十度， cosine 六十度， cosine 零比斜来一比二来还是二分之一。摊进的三十度怎么去对边 比邻边一比高三，一比高三等于三分之高，三来扣三，三十度扣三十度，邻比斜，二分之高三来三，六十度来，对边比斜边二分之高三摊进的六十度等于对边比上邻边来根号三， 就这么迅速来，最后三道题，你说咋做？最后三道题如果说涉及到四十五度的，那我们就 想一想他在哪个三角形中，四十五度是不在一个等腰直角三角形啊，我们就让他们其中三边分别为一和一和根号二。 好，那三四十五度就等于多少呢？三四十五度是不是？哎？这个四十五度的对边比斜边啊？来，他的对边就是这个一，他的斜边就是根号二来一比根号二，你约分就是二分之根号二，一化简 cosine 四十五度，来， cosine 四十五度的邻边比斜边，是不是一比根号二还是二分之根号二啊？来又结束两道题，贪婪的四十五度来对边比邻边，一比一就等于一来九道题直接结束。我相信你已经学会了更多技巧，关注中止，小陈老师。

hello， 大家好，今天我们来学习六点三节正弦型函数的图像和性质。 在物理学、电工和工程技术当中，经常会遇到形容 y 等于 a 被 sine， omega， x 加 phi 的 这样的一个函数，那么 a， omega， phi 都是常数，也就是说它的变化变量也仅仅只有我的 x， 对 不对？ 它和我们的二倍角公式都是有什么？以及正弦函数 y 等于三 x 等三角函数知识是有着密切的联系的，我们下面来研究这类函数的作图方法和性质。 匀速旋转的摩天轮的半径为 r， 转动的角速度为 omega， 以摩天轮的中心为坐标原点，建立坐标系，如图所示，若点 p 零，表示作座椅的初始位置角 m o p 零， m o p 零啊，这一个相当于它的旋转角为我的否？问，点 p 的 纵坐标，纵坐标 y 与时间 t 之间有什么样的关系？ 根据我们啊基础模块里面学到的内容，我们知道由正弦函数的定义，我们可以得到 p 点的纵坐标 y 与时间 t 的 函数为， y 等于 r 乘 sign， omega， t 加 f 形，如 y 等于 a 被吸引， omega， x 加 f 的 这样的函数呢，我们都称为正弦型函数。在物理学当中，正弦型函数被用来表示减正运动，正弦是电流的 习惯上我们的 a 称为正负， omega， x 加 f 称为项位， f 称为初项。 哎，这个 t omega 分 之二拍称为周期， f 等于 t 分 之一等于二拍分， omega 称为频率。那为什么周期我要给大家画出来，因为周期经常考哟，同学们， 其他的这几个呢，考察的都很少啊，一般我们数学里面都是考我们周期， 那么当我的 a 等于一， omega 等于一 five 等于零的时候，那此时这个函数就变成我们基础模块学的什么 正弦函数了，对吧？ y 等于三 x， 因此正弦函数是我们正弦型函数的特殊情况。类比做正弦函数 y 等于三 x 的 图像方法呢？我们是不是也可以做出这样正弦型函数的图像，从而研究它的性质？ 那么还记不记得我们以前是怎么作图的？是不是用我们的五点法好？ y 等于三 x， 我 们说 x 要找哪五个点啊？而且是找一个周期内的 y 等于三 x， 周期是多少？二拍嘛？根据我们今天学的啊， t 等于 omega 分 之二拍，我的函数 y 是 等于 a 倍 sine， omega， x 加 five， 所以 你会发现我的 omega 就是 什么 x 前面的系数，我这里 x 前面系数是不是相当于是一， 那就变成 t 等于一分之二拍，是不是还是二拍？我们说在一个周期，在二拍里的三角函数图像，我们找五个点 x 分 别找零、二分之拍拍、二分之三拍，二拍，对吧？ 再把它纵坐标值写出来，写出来以后，横纵坐标都有了，干嘛用平滑的曲线把它连接起来，得到我们的解图，看一看 这个 y 等于三 x， 这个函数图像大家应该要记得哟，对不对？基础模块是有专门一节来讲这个内容的哈。 好，现在我们来看一看我们的第二题。第二题首先还是找周期，它的周期就变成什么二分之二拍，变成拍了， 那你要做的也就是零到拍这个 b 曲线上的剪图，那此时还是五点做图法，这五个点去找哪五个点？依然是去找 利用二分之拍拍二分之三拍二拍，但是就不是 x 等于这五个数了，而是什么二 x。 换一句话说，我们在做正弦型函数的时候， y 等于 a 倍的三，欧米伽 x 加 five。 我 们是把我的项位 欧米伽 x 加 f 看成一个整体，由这个整体来等于我的零，二分之拍拍二分之三拍二拍。你看二 x 等于这几个数字， 那我可不可以算出 x 啊？当然可以了，对不对？可以算出来，那你的纵坐标 y 依然是第一个，你看是不是？ y 等于三引零， y 等于三引二分之拍， y 等于三引拍 y 等于二分之三拍三引，二分之三拍 y 等于三引二拍 j 零一零负一零，这是特殊值，没有变化的，对不对？只不过 x 的 坐标变了，是不是好 看一下啊？我们说，对于函数 f x， 如果存在一个非零的常数 t 时的这个 x 取定义域内任意一个值的时候， 都有 f x 加 t 的 f x， 则这个非零常数 t 称为我们这个函数的周期，这个也是我们基础模块啊。第三单元函数的基本内容，对吧？周期函数的基本内容看一看吧。那么在我这个里面，我的 t 就 变成多少 t 变成拍了，对吧？那下一个题呢？下一个题你看第三小问啊，我们先还是先看一下图啊，先把第二个图看了，你看 零倒排，你看是不是一个波浪，一个图形，对吧？那第三小问，他的 t 应该是多少周期？这个 x 前面的系数依然是二，所以你会发现二三、四， 你看他们 x 前面系数都是二，所以这三个函数的周期 t 都是相同的，我们起来看看第三问， 你看他周期是不是也是拍？那这个时候他说什么？我要做，哎，你看看他要做的是 负八分之拍到八分之七拍这个 b 曲线上的简图。为什么？还是那句话，你把我这个 omega x 加 five 看成一个整体，这个整体依然等于的是这五个数字， 这五个数字等于了之后再去逆推我的 x 的 取值 得到这把，呃，这五个对吧？好，然后我的 sign 啊，也就是我的纵坐标 y 值依然是零一 零负一零，对不对？改变的同样也是我的 x 横坐标。那我们来看一看，同学们， 或者说我们待会一起来看一看，你会发现我这个时候我的起点就不再零这里了，我这个波浪就不再是这样的，你会发现我这个图像有一种像左边平移了的感觉，对吧？平移了的感觉啊。那你来看看第四题的第四题和我的 第三题啊。第四小问和我第三小问有什么区别？区别在于你看一个三引前面有二，一个三引前面其实是一对不对？也就是说它的 a 变了， 对吧？也就我这个 a 变，那它此时会有什么变化呢？首先二 x 加四分之拍依然 啊没有变五个曲值，那相对应的 x 有 没有变化也就没有变化，跟我第三小问题就没有变化，唯一变化的是我的 y， 我 的重坐标，对不对？它相当于在我这一个 本来他来等于 y 的 现在这一个 y 第四小题的纵坐标是我第三小题纵坐标的两倍，对不对？所以变成零二零负二零，是不是好？画出来？ 画出我们图像，你会发现我这个图像和我第三小问，图像横坐标没有变化，但是纵坐标呢？扩大了，对不对？纵坐标扩大，然后他让我们试一试啊，仿照我们的礼仪来说明我这一个函数是如何变化的。 我们现在主要来分析一下我利益这四个啊，四个函数的图像是怎么变化的？首先我从 y 等于三 x 变到 y 等于三二 x 的 时候，纵坐标有没有变化？没有变化。横坐标呢？ 横坐标他有没有平移的感觉？没有平移的感觉，起点都是我的原点，对不对？但是周期变化了，周期从原来到二排变成了现在的排，所以我的第一到第二，我们是干嘛？横坐标 缩小，或者说我们直接说变为，对吧？横坐标变为原来的， 从二拍变到拍，是不是变为原来的二分之一了，对不对啊？变为原来的二分之好。第二个到第三个呢？ 他们的周期没有变化，但是有没有发现我的图像平移了，对吧？平移了，向，向哪边平？向左平啊？图像向左平， 平移了多少？ 平移了八分之八一个单位，对吧？平移了八分之八一个单位，好，第三个到第四个呢？横坐标没有变化，纵坐标变了，纵坐标 变为了原来的 两倍，所以你来看一看，我从一到二，我的函数 图像上缩小了，变为了原来的二分之一，我从我的函数解析式上我的欧米伽从一变成了二，所以你会发现我横坐标的变化是什么？会变为我的欧米伽分之一 啊？图像横坐标会变为原来的 omega 分 之一，对吧？我现在 omega 十二，所以变成了 omega 二分之一，好，然后向平移平移，这个呢，我们有一句口诀啊，叫做左加 右减。什么意思？向左平移？你看这里就是加号，如果是向右平移，这里会变成减号的同学们，而它 明明加的四分之一，为什么我们只说它平移了八分之一？还有一句话叫做所有的变化永远在 x 上面， 所有的变化永远在 x 上面。你看这个加四分之一是在二 x 上面加的四分之一，对不对？那如果要在 x 上面来加的话，你会发现我这个二需要提出来吗？它变成二倍的 x 加八分之一， 对不对？所以你会发现我这个 omega x 加 five 加的这个 five 前面这个 omega 的 系数是要被什么除掉的？所以是左加右减平移多少个单位呢？ omega 分 之 five 单位啊？ omega 分 之 five 单位。然后最后一步，横坐标不变。纵坐标？纵坐标是什么？扩大为原来的？你看这里 a 变成二了，就变成原来的两倍，所以是扩大 a 倍。看一下，所以我们来说一说我们这一个题。你的 y 等于三 x， 我 们首先第一步先去变它的什么周期，对不对？也就先变成 y 等于三，先变欧米伽啊，二分之一 x 此时是干嘛？横坐标 变为原来 的多少？二分之一的导数是不是两倍？而且你想一想，按照我们算周期啊， t 等于 omega 分 之发二二拍， omega 分 之二拍这一个函数，它的 omega 分 之二拍是不是应该等于四拍了？ 你看本来是二排的，变成四排，是不是就扩大了横坐标，变为原来的两倍，对吧？然后再根据我们的第一，现在我是不是可以去搞平移了？好，变成 sine 二分之一 x 减六分之派。好，我们说什么变化一定是和 x 来变化，这个二分之一 x 减六分之派，是不是可以写成把二分之一提出来？我们必须要提哦，变成二分之一倍的 x 减三分之派， 对不对？好，根据我刚刚教大家的口诀，左加右减，我这是不是减哈，所以我们是什么？向右平， 平移多少个单位？同学们，平移三分之拍的单位。 记清楚，变化永远是在 x 上变化的啊，横坐标的变化永远是在 x 上面变化，然后最后一步来变我的重坐标 y 等于什么？变成三倍的三二分之一 x 减六分之八，此时是什么？横坐标不变，重坐标 变为 原来的几倍，从一变成三了，所以是变为原来的三倍。好，看一看有没有问题？哎，这个很重要哦，这个是你今天要学的最重要的东西啊，看一看。 好，这里没有问题。我们来看一下我们书上给我们总结的啊，他给我们总结了一下立一的 一个变化，这个林老师刚刚都讲过了，对不对？林老师已经讲过了，我们现在来看一下一般情况啊。一般情况，一般的将函数 y 等于三 x 图像上的所有点的函数标变为，看是不是变为原来的欧米伽分之一倍， 可以得到的是 y 等于三欧米伽 x， 再将我这一个图像沿 x 向左或者向右，你看向左向右，是不是否大于零就向左，大于零就是加号， 如果是小于零呢？加上一个复数就变成减号，就是梁老师刚刚说的左加右减。平移的是多少个单位？欧米伽分之否的绝对值个单位对吧？ 好，此时你可以得到的是 y 点三 omega， x 加 five， 然后各点横坐标不变，纵坐标变为原来的 a 倍， 得到我们的图形。那么在这里我们 a 大 于零啊， omega 也要大于零。看一看有没有问题？这个是今天哎，比较重要的内容啊，记下来哟，看一看有没有问题。 好，没有问题，我们来看一看啊！那么现在正弦型函数 y 等于 a 倍，三点 omega， x 加 f 的 图像，你可以根据我的五点作图法做出来，那你会发现它也是通过 y 等于三 x 怎么样 伸缩变换平移得到的，对不对？那么根据我正弦函数的一些性质，我是不是可以得到我这个正弦型函数的一些性质呢？ 首先，它的定义域依然是实数级 r， 对 吧？但是它的值域就不再是负一到一了，因为我前面成了一个系数 a， 所以 它的值域会变为负 a 到 a 的 b 区间周期记清楚啊， omega 分 之二 pi， 这个最重要了 好不好？这个最重要，看一看好，没有问题，我们来探求与发现啊！他说，如何将我这一个函数 y 等于 sin x 加四分之拍的图像得到我这个 y 等于二倍的 sin 二 x 加四分之拍的图像呢？这个时候就是什么他已经先平移了？同学们，他已经先平移了，你现在只需要去管谁管 x 就 可以了， 你不要去纠结，你前面成了二，后面也要成二了。同学们，林老师再说一次啊，所有的变化都是在谁上面变化大 都是在 x 上面变化的，都是在 x 上面变化的。然后你前面啊 a 还从一变成二，所以你的重坐标也要乘二，对不对？要重坐标也要乘二啊，注意一下哦， 你想一想，你这个 y 等于四分之拍哦， y 等于三， x 加四分之拍，是不是就是什么左加右减？ 这，这边是负的四分之拍，对不对？这里边是四分之三拍， 这变成四分之七拍，这是我的这样一个图像，对不对？好，你要变成这一个的图像，你实在不会做这种题，同学们，你就用五点作图法去看一下这两个图像有什么区别 好不好？哎，你去看一看他有什么区别就可以了。好吧，嗯，这里首先他的周期肯定是有区别的。对，周期会变缩小了，缩小为原来的二分之一了，是不是？ 那图像整体都缩小成圆的二分之一，那你来看一下，也就是说，你看，本来我是 x 加四分之拍， 等于零二分之拍，拍二分之三拍二拍，对吧？你现在就变成二， x 加四分之拍等于零二分之拍， 拍二分之三拍二拍，对不对？看一看吧，你会发现这个图像它整体都缩小， 但是它的什么动作表示变大，变为了原来的两倍。 哎，我画的不好啊，反正，反正你们自己可以去画一下。好吧， 好，现在我们来看例二，要求这个函数 y 等于根号三倍的 sine 二 x 加 cosine 二 x 的 周期最大值和最小值。 好，这一个在我们学习合角公式的时候，其实有遇到过这种题目，对不对？我们说这前面的数字，你肯定要把它变成特殊的三角函数值，用特殊角的三角函数来表示出来， 那我们这里可以提一个二出去，这个二分之二、三和二分之一都可以看成，是吧？一个看成扣三一六分之二，而且我们这里只学了正弦形 函数，所以说你一定要想办法去凑塞括和括塞的一个关系，对不对啊？这样你才可以写成塞引怎么怎么怎么样。你如果变成括括加塞塞，那就变成括塞引了，那括塞引呢？我们没有学，对不对？其实要学还是比较简单啊， 但是我们书上没有设计嘛，我们就还是就用我们的撒引就可以了，好不好啊？这里啊，这一个步骤是我们六零一节的内容啊，李老师就不说喽，好，得到它， 得到它之后来算周期。 t 等于是什么？欧米伽分之二拍，也就是二拍分值，二分之二拍，也就是拍，对吧？ t 是 拍，要取最大值，最小值 sign 正弦函数啊，无论欧米伽加否怎么变， sign 的 取值始终是负一到一的 b 区间， 前面填了一个二，那就变成负二到二嘛。那在什么时候取到最大值，什么时候取到最小值？同学们，这一个是你基础文科的内容啊？林老师说一次啊，记清楚，当我的 omega x 加 f 等于二分之拍加二 k 拍的时候它取最大。 当我的 omega x 加反等于负的二分之拍加二 k 拍的时候 它取最小。为什么？我可以说它这个时候一定取大，这个时候一定取最小？其实我们基础模块都没有，我们基础模块都需要看前面有没有填负号，对不对？ 但我们现在不用管。为什么？因为我们书上是不是刚刚才说过，他在这里正弦写函数上面他默认 a 大 于零，欧米伽也大于零，对不对？所以你直接把它记住就行了好不好？把这两个东西记住，这两东西记住，你看一看， 这是不是就带数字啊，最大值是多少？最大值是 a， 最小值这样写啊， 我们这里的最大值等于的是 a， 我 们的最小值等于的是负 a， 看一看吧。当然你这里等于了之后你要把我的 x 算出来，别人问的是 x 取何值，对不对？你要用你这个相当于是二 x 就 等于二 k 拍 加二分之拍，减六分之拍，对不对？也就是说二 x 等于二， k 拍加三分之拍。好，算下来，我的 x 是 不是等于 k 拍加六分之拍， k 属于 c， 别忘记了啊，这是我们的例。那么 现在我们来看一下我们的练习题啊。第一个用五点做头发，做出下列函数的一个周期内的剪图。首先，一个周期内剪图，你先去算周期 t 等于是什么？ omega 分 支 二排，然后记清楚，林老师这里不会给大家画的啊，我只是给你们说一下步骤，然后记清楚我们这个函数整体是整体是什么？ y 等于 a 倍的三， omega x 加 five， 对 不对？你记清楚，你的 omega， x 加 five 永远等于零，二分之拍拍二分之三拍二拍。 好，然后你这一个明确了以后，再去算我 x 的 取值，一个两个，三个，四个五个，算出来以后再去写 y， y 应该等于说是多少？本来我的 y 三欧米伽 x 加 f 等于的应该是给你们写下面应该是零一零负一零， 但是我前面如果有系数 a， a 不是 一的话啊 a， 比如说二分之一啊，二啊这种，它就会变成什么零 a 零负 a。 好，那这个时候 y 有 了， x 有 了，横纵坐标都有了，你只需要干嘛？瞄点作图啊，这个图你就自己去做了，我就不写。好吧， 我们来看一下我们的例二啊，主要看一看我们的第二题，说明啊，怎样有我的函数， y 等于三 x 可以 得到下列函数图像。好，首先第一个，你会发现 x 完全没有变化，那横坐标不用变，那只需要干嘛？重坐标，对吧？重坐标 变为原来的 多少？三分之一嘛？然后第二题，我们说左加右减啊，这是减法，所以向右平 移多少？你看这个 x 前面没有系数，或者说 x 前面系数是一啊，那还是一分之三分之拍，也就是三分之拍，对吧？所以是向右平三分之拍的单位。 因为这是第二题。好，第三题，第三题发现 x 动了， y 也动了，我先动 x， 对 吧？ x 是 什么？横坐标？ 它没有左右平移，我们左右平移是后面靠加减来左右平移的，它是前面的系数变了，从原来的一变成了二分之一，周期从原来的二排会，现在变成了四排，所以它的横坐标怎么样变为原来的 两倍，中坐标呢？也是变为原来的两倍。 然后第四题，好，第四题，这一个，林老师就把步骤给你拆分出来说哈，本来是 y 等于三 x， 现在先变成 y 等于三二 x， 此时是什么？横坐标 变为原来的 两倍，还是二分之一变成二分之一？哦，周期在变小，对不对？这是第一步。然后第二步是干嘛？去拼， 对吧？也就是图像 向左加右减，向右平移，平移四分之拍一个单位吗？同学们，我说什么变化永远是在 x 上变化的，所以把这个二记出来，变成二倍的 x， 减二应该是八分之拍， 对不对？所以头像是向右平移八分之拍一个单位。 最后一步变换，我的中坐标 y 等于多少？二倍的三 e 二 x 减四零，这个时候横坐标就不变了，中坐标来变，中坐标 变为原来的 两倍。来看一看啊，这个步骤一定要分清楚好不好？同学们，看一看有没有问题？ 好，没有问题，我们来看第三题啊！求下列函数的周期最大值、最小值以及取最大值时最值时候的和，那最值就有最大和最小，对吧？那我们第一个，第一个，首先周期 t 等于多少？ omega 分 之二拍，也就是二分之二拍，等于拍最大值最小值最大值三分之二，最小值负的三分之二在什么时候取？记清楚了。当二 x 等于 二分之拍，加二 k 拍，也就是我的 x 等于多少四分之拍加 k 拍， k 属于 z。 十。 林老师，这里是减写的同学们，我这写不下，我就减写外取最大值三分之二。当我的二 x 取多少？ 二 x 等于负的二分之拍加二 k 拍， x 等于负的四分之拍，加 k 拍，是 k 属于 z 十 y 取最小值负的三分之二。然后第二题第二题的 t omega 分 之二拍， omega 还是一，所以周期依然是二拍。此时是什么？ x 加三分之拍等于二分之拍加二 k 拍，也就是 x 等于 二分之拍，减三分之拍六分之拍，六分之拍加二 k 拍。 可以数 j 的 时候， y 取最大最大是多少二啊？ x 加三分之拍等于负的二分之拍，加二 k 拍 x 等于多少？负的六分之五拍，加二 k 拍 k 属于 z 的 时候， y 取最小值等于 f。 你 要第三题啊？第三题，第三题，这个时候你们可以自己做了吧。第三小问，第三小问， t 等于是多少？二分之二拍，也就是拍，对不对啊？二 x 减六分之拍 等于二分之拍，加二 k 拍啊， x 等于多少？同学们，你看，二 x 应该等于二分之拍加六分之拍，也就是十二分之八拍，也就是我的 三分之二拍，对吧？三分之二拍，然后加二 k 拍 x， 二 x 等于三分之二拍，加二 k 拍，那就变成三分之拍加 k 拍，对不对？看一看啊， 这个时候 y 取我的一样是最大值，最大值是多少？是三哦，好，二 x 哦， k 属于 z， 别忘了， 二 x 减六分之拍等于负的二分之拍，加二 k 拍 x 等于多少？ 哎，你要是这里好像哎，有没有写错十二啊？没错啊，吓死我，我以为我看错符号了。 你看我这里是把六分之拍挪过去，变成负二分之拍加六分之拍，负二分之拍变成负的六分之三拍，负六分之二拍变成负的六分之二拍，也就是负三分之拍。负三分之拍，你还要除以二吗？变成什么负的六分之拍啊？ x 等于负的六分之一拍，加 k 拍 k 属于 z， 十 y 取最小值，这个时候最小值是多少？负三啊，这个时候是负三， 然后第四题，第四题，这个你是不是要去看一看啊？ y 等于三 x 加 q， 三 x， 我 很明显要提一个数字出来，对吧？提一个数字出来，这个提多少呢？记清楚我们这一种啊， 在我们书上拓展阅读里面有，它说 y 等于 a 倍的三 x 加 b 倍的 q， 三 x 的 时候，它等于的是根号下 a 方加 b 方倍的三 x 加 c。 它那根据我的这里啊， a 是 一， b 也是一，那我要提的数字应该是根号二，其实这个根号二呢，你就可以看出我们后前面就应该是二分之根号二倍的 q 三 x， 对不对？这个 c 塔是没有告诉我是多少的，但是一般这个 c 塔都是我们的特殊奖。那二分之根号二很明显是什么？你看我的 q 三以四十五度，二分之根号二呢？ 我后面的 sine 四十五度是不是也是二分之二？为什么我说了一定要去凑 cos 和 cosine 对 不对？所以这里等于是根号二倍的 sine x 加四十五度 啊，或者你写四分之拍，对吧？因为我这里要用我的弧度值，所以我就把四十五度全部写成四分之拍了啊。同学们， 只是角度制呢，可能同学们记得比较好一点点。 那此时这个题你是不是和我一二三小微一模一样，都是一模一样的，对吧？好，周期。 t 是 多少？一分之二拍二拍。当我的 x 加四分之拍等于二分之拍，加二 k 拍 x 等于多少？四分之拍加二 k 拍 k 属于 z 时， 好 y 取最大值，这个时候的 y 最大值刚好啊。当 x 加四分之拍等于负的二分之拍，加二 k 拍时， x 等于多少？负的四分之三排加二 k 可以 数 y 去最小值，负的更好，看一下有没有问题。 好，没有问题，我们来总结一下吧，我们的正弦函数的定义，什么样的函数是正弦？ y 等于 a 倍的三 omega x 加 five， 它是正弦型函数。正弦型函数的图像呢，是可以根据我们什么正弦函数图像来变换的啊，我们奉行什么左加右减，对不对这句话，而且我的所有变化都是在 x 上变化的，对不对？ 这里啊，我再给大家写一次吧， y 等于 sign， x 要变成我的 y 等于 sign 哦。 mga x 是 干嘛？横坐标 欸，标志写错，横坐标变为 omega 分 之一啊，不是 omega 变成 omega 分 之一啊。然后再来变成 y 等于 sin omega， x 加 y， 对 不对？此时是什么图像？ 平移？平移多少个单位？欧米伽分之 five 个单位。这个平移呢？我们有一句话啊，记清楚了，因为有向左向右嘛，要左加右减， 就是看这个符号，我们书上是用 five 大 于零，小于零来给大家规避的。我觉得左加右减这句符号能记得更清楚一点，这句口诀记得更清楚一点啊。然后再来看，变成最后一步， 完成蜕变，对吧？变成我们的最终体。那这个时候是干嘛？纵坐标来变？ 纵坐标变为原来的 a 倍，这是我们点。然后第三个正弦函数的性质，正弦函数性质定义域是什么？定义域是什么？同学们， r 对 吧？直域呢？ 直域是负 a 到 a 的 b 区间。好周期，周期最重要啊，考察的是最多的周期是多少？欧米伽分子二排看一看有没有问题？有什么 没有问题的话，今天的课我们就上到这里啦，大家拜拜。

今天带大家来学习一下中值数学任意角的三角函数如何运用，也就是说如何来做题，我们一起来看一下啊。 已知我们在之前有学过我的三样， r 等于的是五， y 比上 r， cosine 等于的是 x， 比上 r， 太阳等于的是 y 比上 x， x 不 等于零。那么在这种考题中的第一种情况有可能会出现的是 已知角阿尔法的中边上一点 p 的 坐标如下，让你求正弦，余弦和正弦，也就是说在考题中会告诉你中边明确的一 p 点中边上的一个 p 点 x， 一 p 点逗号嘛。四，四逗号三，也就是 x， 也就是说 x 逗号 y， 那 么在本在本个坐标里面，我们可知道的是 x 等于谁， y 等于谁。那么通过它， r 也就等于根号底下 x 的 方加上我的 y 方，所以说通过它来看的话，也就是我的 r 就等于根号底下四的平方。十六加上九，也就是还出来为五，那么同样我的 sin 阿尔法就等于的是五分之三， cosine 阿尔法就等于的是我的 五分之四，那相应的我的太阳阿尔法就等于它是四分之三，这个能理解吧？那我们紧接着来看第二个，我换个颜色啊， 那我们来看第二个二逗号零，告诉你的坐标是二，逗号零，那么 r 就 等于的是根号底下二的平方四，四加零等于四，开出来 r 等于二。那么在已知里面，三样 r 法等于谁呀？三样 r 等于谁？ y， y 是 零，也就是三样 r 法等于零。扣三样 r 法呢？ cosine 法等于 x， 比上 r 也就二分之二，也就等于。此时 tan 阿尔法等于的是 y， 零分之二，也就是等于 零，他说的是 x 不 等于零，那此时是 y 等于零了，明白吧？所以说 tan 是 存在的，等于零。同样的，第三个 负的十二和五，也就说 r 就 等于根号底下十二的平方一百四十四，加上五的平方二十五，也就是根号底下一百 六十九，也就是开出来是十三，那相应的三样 r 法，我把这算一算啊，相应的三样 r 法就等于的是 等于那是十三，相应三样而法等于谁呀？等于我的 y， y 它为 y 五分之五，比上十三 cosine 就 等于它是负的 十二分。十三 tan 就 等于那是负的十二分之 五。也就是说，在告诉你已知的坐标点的情况下，已知的坐标点的情况下，你通过它来求 r， 再紧跟着求出来相应的 y 比 r 正弦与弦和正弦，也就是说三四五。比较常见的啊，三角函数三个数会同时出的三四五， b 为五，明白吧？然后第二个六八十，如果出现了六八，第三个数斜边 b 为十，第三个 五十二十三，这是比较常用的几个数啊。那我们接着来，往下看，然后紧跟着第二题就学到了。已知我角 r 法中间经过 a 逗号负一猜应等于的是负的二分之一，求 a， 那 么写上几，这是解答题，写上几有题可值 又提一可知。我的 tan 尔法等于负的二分之一又等于什么呀？等于它是我 y 比上我的 x 次是 y 等于谁？次是 y 等于负一， x 等于 a， 也就等于负的 二分之一，算出来我的 a 应该等于的是二。所以说这道题比较简单啊，这是公式往回用这是公式 往回用。在刚才两道题，我们都用的是告诉你坐标 x， 逗号 y， 然后让你求三幺二八，此时是告诉你三幺二八，让你求 x， 逗号 y， 这叫公式往回用啊。那我们接下来往下看第三题。第三题也是一个比较典型的类型的题啊，也就是说，我角 r 法的中边，在我射线 y 等于负三， x 上求你的射线，求你的正弦、余弦和正弦。那么写解 由奇异可知， 也就是说在这条射线上，当你的 x， 他 说了必须要大于等于零嘛？等于零我们不好求吧，我们取它比它大一个数，也就当你的 x 等于一，你的 y 等于的是谁负三。所以说坐标点就应该是一等号 复三，也就意味着我的角 r 法的中间必然要经过的是一逗号复三，通过它可求 r 等于根号底下一的平方，加上三的平方，就也就等于根号 是 x， 有 y， 有 那么相应的正弦值。三样 r 法就等于的是 y 比上 r， r 是 根号，是 y 是 负三。又因为什么根号不能为不崩，根号不能做分母，也就是十分之负的 三倍的方，因为为什么乘以三位乘以根号十，上下同时乘以根号十，根号乘以根号十，就消掉了根号三负三乘根号十等于负的三分之，根号十。第二个扣三等于 x 比上 r， 也就是根号 十分之一，也就等于十分之根号。是最后它要写到这里，它要而法等于它是 y 比上 x， y 是 负三， x 乘以，也就得到的是 负三。这就是整个这种题啊，这叫一类型的题。比如说中边落在射线谁谁谁上面，也就是当你的 x 等于多少，把你的 x 带进去，求出来的是你的 y， 所以 可得到的就是一个坐标点，有了坐标求 r， r 有 了以后，三影空，三影胎影就都有了。 那我们接着来往下看啊，往下看就到了单位元，单位元啊，也就是说，一权证， 二正弦，三正切四余弦，三应阿尔法等于 y， cosine， 阿尔法等于 x， tan， 阿尔法等于 y。 比上 x 这种类型的题怎么做啊？几种题型啊？第一个是判断符号，这种怎么判断？先看括号里面， 先看里面的角度， 这是 cosine， 先看里面的角度。负的三百二十五我们先来看啊，负的三百二十五负角，说明它是顺时针在旋转，顺时针旋转，第一项线为九，第四项线九十一百八、二百七，也就意味着它要转到的是 第一项线。三用在第一项线，它为正的，也就说，所以 说明三影负的三百二十五度要大于零。因为什么 写上？因为负的三百二十五度在第一向前是第一向前减二，那么来看第二个负的六分之五 pi， 六分之五 pi 是 多少度呀？ 一百五，也就是说他在第二象限转到大概率这个位置，因为六分之五判先看角度再看象限啊，六分之五判是第二象限角， 又因为我的 cosine 在 第二项线是小于零的吧，所以说 cosine 六分之五拍小于零。第三个 tan 也是一样的啊， tan， 只不过不一样的在于它的角度多了四百二十五，逆折转的三百六， 三百六十度加九十度等于三百六，加上九十四百五，也就意味着他在第一象限太影在第一象限线上，因为四百二十五度为第一象限角， 所以太影四百二十 五度大于零，明白吧？这叫第一类型的题啊。来，我们来看第二个。第二个，也就是说，已知 cosine a 大 于零，太阳 a 小 于零，是指问你角 a 是 第几项项？那我们来看啊， 也就是说写上几。因为 cosine a 大 于零，所以说我的角 a 勾三幺啊，我们来画出来勾三幺在第底向下一四一四大于零嘛。所以说我的角，哎，要不就为第一向下第一第四， 以及说 x 轴的正反轴。第二个，又因为我的胎影小于零。胎影 a 小 于零，那么说明我的角 a 必须是要 二和四吧，因为一三它为正的嘛，二和第二 第四。 也就是说，既要满足 cos 小 于 a 大 于零，又要满足太阳 a 小 于零，只能相交的是第几啊？第四，所以角 a 是 第四。向下角取的是交集啊， 取的是交集，既要大于它，又要小于它，取的是两者的交集。这是一类型的题啊。我们接着来往下看，这是第三 类型的题啊，这，这道题相对来说要难一点啊。我们来看第一个，求出你角 六分之五派的正弦与弦和正切。在这种解答题啊，这是解答题，如果把它放在解答题的步骤上，就应该写上，在平面直角坐标系中做出角， 我就不写了啊，我就说了啊，角 a o p 六分之五牌一百五吗？在这个位置 o a， 这是 p 的 a o p， 这是六分之五牌 作出与角 a o p 一 百六分之五配合。单位圆，我画上单位圆啊，画的不标准啊。就这样看，这是单位圆负一，这是一，这是单位圆。 单位圆，看清楚了吧？如图所示，写上如图所示。所示什么角？如图所示，可看出来角，这写个往下做一垂线啊。 m 角 p o m 就 等于，那是三十度，那么相应的角 o p m 就 等于六十，他六分之五拍一百五吗？他就是三十度，他就是六十度。 o p 看见没有？ o p 单位圆， o p 为一，又因为什么三十度所对的直角边是你斜边的一半，这是直角边。 pm 的长度就等于的是二分之一，所以 这是 r a t 啊，这是个直角三角形。往下做出一下，这是个直角三角形啊。 r t 三角形 p m o 中角，它等于它等于它，所以你的 pm 就 等于二分之一。所以说 om 的 长度就应该等于的。是谁呀？ 二分等于根号底下一减去四分之一，也就等于二分之根号三，又因为什么在第四相？又因为他在第四相减，所以说我的 o m 就 应该等于的是负的二分之 刚好三，我的 p 点坐标 x， 逗号 y， 它又有另一个，因为放在单位圆里，又有另一个，叫做什么？ p 点叫做 cosine 六分之五排，逗号 sin 六分之五 pi， 所以 说明我的 sin 六分之五 pi 等于 y， 我 的 y 等于谁呀？是吧？二分之 cosine 六分之五 pi 等于 x， x 等于负的二分之根号三。此时 tan 六分之五排就等于，那是我的 y 比上 x， 也就是二分之一，比上负的二分之根号三，乘以它，也就乘以它的倒数嘛，约掉就等于三分之， 负的三分之，刚好三。所以说这一类型的题啊，也就是先说什么，把你的图画的这幅图把它说清楚了，也就是在你是在你平面直角坐标系中 做出角， a、 o， p 为六分之五派和单位圆，单位圆看见没有？ p 点经过它们单位圆，且如图所示，设你的 p 点为 x， 逗号 y 与单位圆与角六分之五派单位圆的交点， 其坐标可以表示为 cos 影六分之五派和三影六分之五派。在 r t， 也就直角三角形中，这是直角三角形中吧。 p， o， m， 它为三十度，它为六十度，三十度所对的直角边是斜边的一半，也就说 p m 为二分之一， o， m 的 长，也就是二分之 根号三。又因为它是丁号相线，所以 o m 就 应该是负的二分之根号三，所以说三影又等于 y， y 是 二分之一。 b 点坐标是不是就有了？是二分之一， y 是谁呀？是二分之负的二分之根号三，逗号二分之一 y， y 等于二分之一， cosine 等于 x， x 等于负的二分之三， tan 等于它。所以说这是在你 直角，这是在你三角函数里面常用的几个考点啊，单位元几个考点，所以说 比较难一点的，也就是说例三前面的都是基础类型的题啊，所以说今天的课程就到这里了，大家再见。

今天带大家来学习一下中值数学第四章三角函数的基础知识点如何快速学习，那我们本 本次的话一共会从以下几个方面来讲解一下三角函数中有可能会出现的基础知识点。第一个就是角的概念，你所要知道什么是任意角， 界线角以及象限角，还有中边相同角。第二个就是我们所学到的弧度至一弧度的角是什么，以及什么是弧度至，以及角度至和弧度至的转化，还有弧长及扇形的面积公式。然后第三个的话就是任意角的三角函数， 第一个是他的定义以及他的特殊值，第二个就是单位元。第三个第四张我们就学到了同角三角函数的基本关系式，正弦函数、 余弦函数平方的关系，以及正弦余弦正切商的关系。还有四点，还有学到的就是诱导公式，以及正弦和余弦函数的图像及其性质。 那我们接着来往下看啊。第一个学到的是角的概念，什么是角？任意角？什么是任意角？是通过旋转得到的角，通过旋转啊，我们之前有学过零到三百六十度吧， 他是不是在这个区间范围里，但是任意角的话，他就会不是这个区间范围里啊，他可以无限大，也可以无限小，那么相当于我如果把它放当成矢边，这是 a 当成矢边，我的中边 可以落在这里，我的中间也可以落在这里，对吧？也就是通过旋转也通过旋转得来的角。第二个什么是正角？正角就是说把它放在了十字坐标系里面啊，十字坐标系里面 逆时针，十字坐标系里面得到的角，逆时针，也就是我的矢边会放在原点，我的顶点放在原点，矢边放在 x 轴的正半轴，那么中边逆时针 得到的角，比如说得到的这个角吧，他就为正角，那么顺时针旋转得到的角，他就为负角，那你的零角是说明他没有旋转，也就给你一条是零 o a 为菱角，能明白吧？一条直线它就为菱角啊，因为它没有经过旋转，叫菱角。第二，然后就学到了什么是象限角。象限角，也就是刚才学的矢边放在了 x 轴的正半轴，顶点放在圆点，那么中边落在几就是第几象限。那同样 中边如果落在一，就是第二象限，中边如果落在三， 就是第三象限。同样中边如果落在四，就是第四象限啊，也就是说他的顶点和他的始边不动，中边落在几就是第几象限。什么是界线角呢？也就是说我的中边落在了哪里？ 界线角啊，也就说明我的中边此时落在始边不动，看见没有，顶点还是在原点， 矢边还是在 x 轴的非负半轴，也就是正半轴，顶点和矢边不变，中边变了，中边落在坐标轴上，你可以落在 y 轴的正半轴， x 轴的负半轴，甚至于说你可以落在 y 轴的负半轴以及 x 轴的正半轴，都可以啊，它叫界限角，然后第四，然后还会学到的是中边相同角。 也就是说，如果说我们按顺逆时针旋转得到的角度为三十度的角，那与他中间相同的角，他是不是转一圈可以得到？这里转一圈是不是在三十度的基础上加了三百六，这是不是转在第一圈？那么你转两圈是不是也可以？是不是加上三百六，还得再加 三百六？也就是说中边相同角是你三百六的整数倍，也就是你 k 是 一圈两圈，三圈四圈就是你 k 的 整数倍啊，也就这叫中边相同角。那么遇到了，如果问你三十度的中边相同角 是多少？如果问你三十度的中边相同角是多少？别的不用动，动谁贝纳不用动，动谁，把你的阿尔法换成三十度，就可以加上你的 k 乘三百六十度，并且 k 幺 属于最，这个能理解吧？这就是角的概念。第一个，正角、负角、负角、菱角、象限角、界限角以及中边相同角比较常考到答案，中边相同角，象限角，正角、负角， 然后接着往下看啊，接着往下看就会学到的是弧度至。什么是弧度至啊？然后这句话第一句话是要记清楚的，我圆心角所对的弧长与半径之比 只和圆心角，只和角的大小有关系。假如说，我给你的这个角 擦一下，给你的这个角 画一个圆，这是圆心角，弧长此时半径为一，弧长也为一，那我再画一个， 半径为二，弧长也为二，那再画一个 半径为五，弧长也为五。也就说明都问你这个圆心角 这个位置啊，角一角一的位置啊，是多少？那么圆心角怎么求？弧长比上半径，那么此时弧长为多少？弧长比上半径，弧长为一，一比一是不还是一弧度？二比二还是一弧度？ 五比五还是一弧度。也就说明我圆心角所对的弧长与半径之比无关，只和谁有关系。 之笔无关，只和我圆心角的大小有关系。第二个要记清楚什么是一弧度的角，一弧度的角就说明了弧长等于半径，看见没有，弧长等于半径，也就是 l 比上 r 等于一所对的圆弧所对的圆心角记作 e r a、 d， 这叫单位 读作一弧度。然后也就是说，什么是弧度制，以弧度为单位来度量角的制度，称为弧度制。正角的弧度数为正数，负角的弧度数为弧负数，菱角的弧度数为。 那么在底下啊，会用到的阿尔法的绝对值，也就是你圆心角的弧度值，也就是你半径。告诉你半径，告诉你弧长长度，半径啊，也就这个图应该是这么画， 这是 l， 这是 r。 然后问你角 r 法的弧度值，也就角 r 法的弧度值等于你弧长，这是弧长。弧长。圆弧所对的圆心角的大小， r 法 r 法就等于你弧长比上你半径，那么你的 l 是 指 弧长，弧长就等于你阿尔法的绝对值乘以你的半径阿尔法要记住啊，它是角度的，角的弧度值必须要是弧度值才能求弧长啊。 同样，你的半径等于的是你 l 比上你阿尔法的绝对值。为什么要带绝对值？因为弧长比半径， 因为弧长比半径得到的均为正的啊，所以说他戴上了绝对值，那么在他里面，这是比较重要的一个公式啊，这个公式是 比较重要的啊，由他得到的一举一反三提，那么在他里面，你还要记住一弧度的角，也就弧长等于半径为一弧度至以弧度为度量啊。 那我们接着来看啊，往下弧度值，弧度换角度，这是一个比较简单的公式，弧度换角度，如果优先出来的派， 弧度值是优先出派啊，比如说二分之派，三分之派优先出来派，那么让你的派做分母， 乘以你的一百八派分之一百八十度，那如果给你的角度是三十度，让你转化为弧度值，就是一百八作分母派作分子，乘以一百八十分之派。在这里要记清楚的啊，弧度值也就是一二 a d r a d 可以 省略，可以写成一，但是角度值一度不能等于一，比如说给你角 r 法等于一，你要知道后面默认省略了 r a d 能明白吧。 相应在它里面，你也要记清楚的是，一百八十度等于 pi， 三百六十度等于二 pi， 那 么一度等于一百八十分之 pi r i d 约等于零点度，那么一弧度就等于 pi 分 之一百八十度，约等于五十七点三，那么相应的，它考的会比较多一点。 它会用的啊，它会用的，同样你弧度换角度也会用的。紧跟着你的扇形面积公式也会用的，比如说问你扇形 面积公式，这是弧长，它为半径，那么相应它的面积就等于二分之一。被 l 比上 r， l 是 弧度，弧长， r 是 半径，这个能明白啊，那我们来接着往下看啊，到这里就学到了，任意角的三角函数，正弦 三样等于谁？等于我的对边比上斜边那么三样而法，这是而法没写啊，写上这是三样而法，那么也就这个图上的而法等于你的对边 比上斜边，此时对边为 y， 斜边为 r， 也就 y 比上 r， 第二个 cosine 就 等于我的邻边， 这是邻边比上我的斜边，也就是 x 比上 r， 相应的 tan， 就 等于你的对边。比上你的邻边 y 比 x， 同样 x 在 分母上，分母要不等于， 那么在这里啊，比如说告诉你一个 p 点， p 点为 三等号四，也就是说角这道题啊，角 r 法的中边经过三等号四，问你 sin 二法 等于多少， cosine 二法等于多少，以及我的 tan 二法等于多少。这时候就会说了啊， p 点是不是有 x？ 都号 y 得来的，那么 x 有 了， y 有 了，那么 r 怎么来？这是不是一个直角三角形？斜边等于我两条直角边的平方相加，也就开出来为三四， b 为五，也就三的平方加上四的平方 等于五的平方，开出来也就是五，也就三样等于我的对边 x， r 等于五， y 是四，五分之四， x 是 三，五分之三，太阳是四，三分之四，这应该能理解了吧，它比较简单一点啊，在任意角的三角函数里面，它比较简单啊，那我们来接着往下看啊， 接着往下看就会学到的是单位圆，你要明白什么是单位圆，单位圆是半径为一，圆点为圆心，也就是这个圆，谁为圆点？圆点 o 为圆心，也就是说圆点 o 到圆上的任意一 点均为半径，这个位置圆， x 轴的焦点， y 轴的焦点均为一。那同样中边角 r 法的中边与我单位圆的焦点 p 是不是可以写成 x？ 逗号 y 同样三引 x 怎么来？上章里面三引 x 是 不是等于我的 y 比上 r 求来的？此时 r 是 不是等于一，也就是一分 之 y， 也就是三引 r 法就等于我的 y， 同样扣三引，也就 r， x 比上 r， r 此时等于一，为什么等于？ 因为这是圆心到圆上的任意一点均为半径，半径为一，称为单位圆。也就等于 x 太硬，就等于 y。 比上 x， x 又不等于零，相应的 y 换成了三 x 三样 r 法， x 换成了 cosine r 法，他能明白吧？同样再来往下看啊，往下看就会学到的是三影。 cosine 和 tan 在 第几项线为正，也就是说在第一项线，三影为正。三影怎么来 看 y 吧？三影是不是看 y， 因为 r b 为大，因为 r 肯定是要换个颜色， r 肯定是要 大于零的吧。那么三影又等于什么？等于我二分之 y， 所以 此时如果我的 y 大 于零，说明我整个三影大于零， y 小 于零，说明我三影小于零，也就是在第一项线， y 取的是正的，所以说三影在第一项线为正。 q 三影不一样的是，我的 x 比上 r， x 如果小于零，我整个 q 三影就要小于零。在第一四项线， x 大 于零，所以 cos 在 一四为正，二三为负。 tan 就 不一样了， tan 看谁？我的 y 比上 x 同号吧， x 大 于零， y 大 于零，整个式子大于零。如果小于零，整个式子小于零。一大一小 小于零啊。也就是说在第一和第三项前，他们同号，二四，他们不同号，也就一二一三大于零，二四小于零。也就是说，可以有一个比较简单的公式是，一全正， 二 正弦，知道是谁吧？三样二法为正，然后三 正切正切是谁？胎影四鱼弦，鱼弦为正，只有第四项线，只有鱼弦是正的，明白吧？一权正，也就在第一项线，三影空，三影胎影均为正，二正弦 二正弦，也就是说 三影为正，三正切胎影为正，四鱼弦扣，三影为正。这也就是说你单位元与你的三角函数，这个能理解吧？那么同样啊， 会学到的是同角三角函数的基本关系，它就来说相对简单一点了啊。第一个就是你平方相加可得一。为什么平方相加可得一？ 如果我把它放在单位圆里面，这是 p 点 x， 逗号 y， 同样它有另一个名字，是我的什么呀？ cosine， 阿尔法以及我的 三样 r 法吧。同样这个位置等于谁？这个位置为 x， 这个为 y， 那 么 r 等于谁？ r 是 不是就等于根号底下 x 的 平方加上 y 方，又因为 x 是 不是等于 q 三样？ x 也就等于 q 三样方法，那么这是 r 是 几吧？ r 次值等于几？ 一，一的平方平方一的平方还是一，也就等于了是 sine 加上 cosine 得一，那么在这里 tan 等于我的 y 比上 x， 是 不是 sine 比上 cosine？ 同样二分之派 加上 k 派，也就是九十度以及二百七十度的中边相同角没有意义，明白吧？以九十度以及二百七十度的中边相同角没有意义，刨开它以后， 整个式子才可以有意义，能理解啊。所以说，只有说你的阿尔法不能等于九十度和二百七十度的中边相同角时，你整个胎影阿尔法才可以等于的是三影比上扣三影，这个能理解吧。那么相应的啊，在它里面会有几个比较常用到的 三角函数值，比较特殊的几个三角函数值啊，那我们一起来看一看啊，也就是零度 弧度为，这是角度啊，我就写在这，这是角度，它为弧度，这是三影。 cosine 太影零度，弧度为零，三影零 度等于零， cosine 零度等于一， tan 零度等于零。第二个就会用到的是三十度， 弧度值为六分之派， sine 为二分之一， cosine 为二分之根号三， tan 为 三分之根号三，然后也就是四十五度，四十五度，四分之二， 四分之二，然后就是二分之二，根号二，口才也是二分之根号二，相应的就是一，那么相应六十度， 六十度等于多少啊？六十度是三分之配，然后紧跟着是二分之根号三，二分之一根号三，然后就是九十度。 九十度是二分之派，零等于一，三样零三样九十度等于一，扣三样九十度等于零，太阳九十度，不存在。我把这边擦一擦啊，写到这边， 那么还会用到的是谁啊？一百八十度，一百八十度， pi 负一 pi 三幺零三幺一百八等于零，勾三幺一百八等于负一，太阳一百八等于零。二百七 二百七十度为二分之 三拍三影为负，一扣三影为零，胎影为不存在。 三百六十度，二拍三影，零扣三影，以胎影为零。那么在它之中还有哪几个会用到啊？还会有一百二十度，一百五十度，还有一百三十五度， 它和三十四十五，六十都会一块用啊，那么下一节我们就会讲到的是诱导公式，所以说这几个是你比较常要记住的啊，因为底下的可以通过诱导公式来推断出来啊，这就是我们本次的课程，大家再见。

今天带大家来学习一下中指数学三角函数的诱导公式。那么在诱导公式这里啊，什么时候会用到它呢？第一个中边相同角什么时候会用到中边相同角啊？比如说 只要你的中边一样就可以用它啊，它用的是同一个三角函数值，比如说这是三十度吧，那我如果再转一圈，我顺时针转一圈，转到这个位置，它是不是就是三百九十度？ 三百九十度和我的三十度是不是用的是同一条中边？所以就说明我的三影三百九十度是不是就可以写成的是我的三影多少呀？三影三百六十度， 加上谁加上我的三十度是不是就等于我的三影三十度？因为三百九十度的话，我们不知道他的正弦值吗？但是我们知道的是三影三十度的正弦值吧， 所以往外拿的中间相同角，往外拿的是整圈啊，看清楚了，是整圈，那同样扣三影也是一样的啊。那么你扣三影 三百九十度是不是就等于 cosine 三百六十度，加上三十度也就等于 cosine 三十度吗？这个能理解吧，然后最后写出它的正弦值啊， sine 三十度等于二分之 一，扣三样三十度等于二分之根号三胎影也是一样的啊，所以要记清楚，在中边相同角里面，往外拿的是整圈三百六十度，或者是二派，因为三百六十度 等于二派，所以要往外拿拿整圈能理解吧？那我们接着来看中边关于我 x 轴对称，同意啊，我把这擦掉啊， 中边关于 x 轴对称，也就是说这是还是三十度，还来看它为三十度，这是逆着转的吧，那相应的底下它为多少度？负的 三十度，但是相应的啊。 sine 负二法，这个没有等于号啊。 三影负而法等于谁呀？因为第一项线吗？三影在第一项线它为正的，第四项线它为负的。现在问你，负的也就是三影负的三十度和我的 要想等于我三影三十度的话，应该怎么办？负的吗？它本身是负的，要想等于正的，在它前面加一个符号，所以也就是说它是一四象限的关系。扣三影也是一样的啊，胎影也是一样的，优先把你的负角换正角。胎影负而法 在你的第一项线第四项加它是不是负的，但第一项加它为正的，所以让它折回去，它就是变负的。扣三影不一样的在于扣三影依次为正，所以说明你扣三影负二法等于你的扣三影二法啊。然后第三个就学到的是中边， 中边相同角啊，他就学到的是中边相同角。我们还来看第四这个题啊，中边相同角， 中边关于我的圆点，中边关于我的圆点对称了，这是二八上的中边关于我的圆点对称了。比如说这是三十度啊，与他圆点对称这个角度是不是在他的基础上他多了多少 拍？这是多少？一百八加三十这个大角啊，换个颜色啊，现在我想要知道这个大角绿色的这个大角它为多少度啊？是不二百 一百八，加三十是不二百一十度，也就说明我的三影二百一十度等于多少？他是不是超过了九十？他是超过了 一百八，但是没有超过三百六吧，也就是说他可以变成的是我的一百八十度，加上 三十，又因为什么？他是不本身第三项线他为负的，第一项线他为正的，所以去掉他以后就变成负的 sin 三十度，明白吧？ cosine 也是一样的啊，因为第一项向它为正的，第三项向它为负的去掉以后还是负的。但是 tan 不 一样的在于它一三它为正，所以会用到它，也就等于它 tan 本身。那我们接着来看一下啊。第四个，中边，关于 中边，关于我的 y 轴对称，也就是说明，如果给你的是我的 side 一 百五十度，这是一百五十度啊，这是一百五十度，那么这个角度就为三十度吧。它如果折过来 和它的中边和三十度的中边是关于我的 y 轴对称了，那相应的，你的 side 一百五十度是不就可以换成的是三影一百八十度减去三十度，因为它的中边关于 y 轴对称了吗？又因为我的三影一二相切它为正的，所以得到的就应该是我的三影三十度。但是抠三影假设说换成抠三影一百五，是不是变成的是抠三影一百八十度减去三十度，但是抠三影第二象限 是负的，它这是正的，所以应该等于它是负的 cosine 三十度。 tan 也是一样的啊，那什么时候会用到它？中边相同角是超过了三百六 角度，超过三百六十度会用到它，并且往外拿整圈出来。第二个，什么时候会用它？负角出现负角的时候 出现负角，可以优先把它换成正的。第三个，什么时候会用到它，也就意味着我的阿尔法大于了多少呀？一百八十度，但是小于了， 大于了一百八十度，但是小于的三百六十度，这个什么时候用？中边惯用 y 轴，也就是说我的阿尔法大于了九十度，但是小于的是 一百八十度，这是四个啊，这是四个诱导公式，什么时候会用？第一个超过三百六，整圈整圈往外拿，也就是整圈整圈往外拿。第二个是负角，出现了负角，优先把它换成正角。第三个中边关于圆点对称，也就意味着我的阿尔法大于一百八，但是他 小于三百六。第四个也就是说他大于了九十，小于了一百八十度啊，让他这么来，因为要把他最后的角度换到零到九十之间，他的函数值是能背下来的啊。那我们接着来往下看， 往下看，就选到了函数周期。这句话的意思是，一般对于函数 f 等 f 括号 x 加 t 等于 f x， 如果存在一个非零的常数 t， 使得当 x 在 定义域内取任意一只时，都有 f x 加 t 等于 f x， 则称为 y 等于我， f x 为周期，函数非零，常数 t 则是它其中的一个周期。这怎么看啊？比如说我们来看星期啊， 星期，也就是说我如果说我的 x 三加七等于 f 三，也就是说一周有几天啊？是不是一周有七天？那第十天 是不是新一周七天？周一周一一直到周日，周日过完了，再周一到周日，再周一到周日，这是不是在循环，也就是说我的 t 是 循环 循环。三加七等于多少？七是不是十七，是不是一个周期一周七天嘛？三加七十，也就是说 f 十，也就意味着我的 f 十是等于 f 三，也就说这道题是什么意思啊？问你第三天，如果说第三天为周三， 一到十天啊，说的是一到十天， 说的是一到十天，并且告诉你，且第三天为 周三。问你第十天是周几， 第十天是周几，那一周几天是不是七天？是不是按七天以轮换轮的，并且告诉你 f 三等于七了吧？ f 三等于三，第三天是周三，那相应的十就可以拆成的是三加七吗？ 三加七是不就等于 f 十？又因为七是循环，所以说明他也等于 f 三，说明第十天也是 周三啊。那么底下的这个说，如果周期函数 y 等于 f x， 存在一个最小的正数 t 零 t 一 啊，我这写的是 t， 那 么这个最小的正数 t 一 就是我 f x 的 最小正周期。我是不是可以在一年之中，我是不是可以七天七天的再轮换？ 一年里我是不是可以七天七天的再轮换？那么一年里我是不是还可以一月一月的再轮换， 对吧？还可以一季度一季度的轮换吧。那么在他们一循环的过程中，是不是都是以周一到周日，再周一到周日最小的是不是就是七天，然后就是一个月一个月的一轮换，或者一季度一季度的这样轮换，一季度一季的轮换。所以七天就是你一年之中的最小 正数 t 零，最小正数 t 零，明白吧？这就是函数周期啊。我们来接着往下看，就学到了正弦函数的图像及其性质。在他这一张里面啊，这是比较重要的几个点，第一个五点，五个特殊的点，第一个是零 零零度零弧度，也就是三影零度，零度，二分之派派，二分之三派以及二派为什么会用到它？因为这五个角度得到的函数值均为整数。 整数啊，均为整数，所以在你的图像上会比较好找到。第一个点，零，逗号零。第二个二分之派，逗号一。第二个派逗号零。第三个二分之三派，逗号负一。第四个二派，逗号零。五个点， 同样定义域，定义域是指 x 吧，三影。什么是三影？ y 等于我的三影 x 啊，把这擦掉。 它应该是这么写的啊， sine y 等于我的 sine x， 并且你的 x 属于的是 r， 也就整个横坐标上面角度都可以用啊，所以定义为 r。 值域是最大值和最小值，一个最大值取一，最小值取负一，所以值域为负一等于。那么当你的最大值 就是 y， 要想取最大值，也就是说当 x 等于多少时， y 取最大值。当 x 等于二分之派，是不是可以用再加二分之派？加上三百六十度是不是也可以用？ 减去三百六十度是不是也可以？也就是说是你二分之派的中边相同角是你的 y 取到的最大值为一。同样的，当你的 x 取到的是负的 二分之派的时候，以及以及与他的中边相同角的时候，他取最小值，赋以同样周期。 这是不是从起点一直走走走到这中了吧，然后又开始起点一直走走走中他是循环的。所以最小的周期为 二排啊，周期一般用正数来说啊。然后同样基有性，它关于谁对称是不是一三向线在这，它关于原点中心对称为基。函数同样单调性啊，单调性就说了，为什么我不往前 哪半个呢？它的单调性这里啊写的，这是负的二分之派到二分之派，这是二分之派到二分之 三派。为什么我要用二分之派，负的二分之派，而不用零到二派之间，它不也是一个周期吗？为什么来看这里是不是上升了，递增了？ 在你二分之派到你二分之三派，是不是整个都是递减了？但是在你二分之派，二分之三派到二派之间是不是又递增了？这是一半增减又一半增。那如果我把他往前拿半个， 拿到这个位置，我不用他了，他是不是也代表的是一个周期？二派只是他整体整体往前挪了半个吗？挪了九十度，能明白吗？所以就说在负的二分之派到二分之派上， 是不是他是全增了？同样在二分之派到二分之三派，他是不全减，所以这个能理解了吧。在正弦里面增减性的地方啊，把他提前往外拿了半个，往前挪了半个啊， 这是增减函数啊，这是正弦函数。那我们接着来往下看看余弦，余弦和它是一样的啊，余弦也是五个特殊的点，不一样的是五个特殊的点取的值不一样， 但是特殊的角度都是一样的。零度，二分之派派，二分之三派以及 二派，这几个角度都是一样，你看零度九十一百八，二百七，三百六嘛，五个点，他得到的整个数啊，然后同样。什么是余弦啊？这个没写上，我把这写上啊。余弦 与显示我的 y 等于我 cosine x x 代表的是角度，所以定义域取的是 x 角度， y 取的是值域最大值和最小值，它总 x 可以 取任意数，但是你的 y 是 不是只取一到负一之间的数？同样当取最大值，是不是当你的 x 等于多少？等于零 以及与零的中边相同角吧。 x 取它的时候， y 取最大值，一同样取最小值，是不是等于 pi 以及 pi 的 中边相同角？是取最小值？负一同样周期也是二。 pi 吗？ 起，他先录起，到这又开始录起，一样啊，所以最小周期都为二派。他是什么函数？偶函数？因为他关于我的 y 轴对称了，单调性里面也是一样。他此时还用不用像刚才的余弦， 像刚才的正弦一样往前打？不用。为什么？因为在他整个零到二派之间，是不是一半增一半减，也就是零？ 零到 pi 它是不是减了？那同样这个位置是不是也是减？也就是零加二 k pi 到你 pi 加二 k pi 为减 pi 加二 k pi 到你二 pi 加二 k pi， 它为 增，这个能理解了吧？所以说啊，在它里面两个图像混着记比较好记啊。两个图像一起记，那么接着来看啊，也就是说在里面还会在考试中有可能会遇到的事啊。你的正弦和你的余弦图像 怎么来的？也就是我的 sine alpha， 黑色的是 sine， 蓝色的是 cosine 啊， cosine alpha 怎么得到我的 cosine alpha？ 来？先看 cosine alpha 是 黑色的制高点， cosine alpha 蓝色的制高点。我先向左移移多少？ 从这个制高点？像这个制高点是不是挪的九十度？是不平移，向左移九十度，也就二分九十度，或者是或者是二分之派个单位是不是挪二分之派？同样他向右， 此时是不是向右，这是制高点，向右是不是挪到这里？挪一个九十够不够？不够两个呢？也不够，要挪三个九十，也就是要向右挪二分之三派，或者挪二百 七十度，这是你的三影，得到你的扣三影，同时你的扣三影如果得到你的三影呢？扣三影的制高点是不是在这？向左挪一个九十，两个九十三个，是不是要挪二分之 三派或者是二百七十度？那同样他向右呢？挪九十是不是就够了， 或者二分之派啊？所以说明三影和扣三影两个是相反的，三影要想得到扣三影，向左移 二分之派，向右移二分之三派或者二百七十度，那么扣三影要想得到三影向左移二分之派，二分之三派，向右移二分之派。单位啊，那在整个今天的课程过程中啊，比较难一点的啊，也就是你的诱导公式， 也就是说你的诱导公式如何来运用诱导公式呢？记住这几个什么时候会用到中边相同超过三百六，什么时候会用到 x 轴出现负角的时候，什么时候会用到圆点 大于一百八，小于三百六，什么时候会用到 y 轴大于九十小于一百八，那紧跟着就是函数的周期，周期 t 是指循环，明白吧？最小的也就是你在你的循环里面以谁为最小？一遍一遍的在轮啊，同样就是正弦和余弦，函数的图像，这都是比较重要的考试内容啊。那么今天的课程就到这里了，大家再见。

今天带大家继续来学习一下解答题，我们一起来看啊！第十九题，已知角 r 法中边上的一点 p 负一逗号根号三，求你角 r 法的正弦、余弦和 正切。在这道题里面，我们要先求谁呀？也就是说，在你三引里面，正弦三引 x 等于的是我的 y 比上 r cosine x 等于的是 x 比上 r tan， x 等于的是 y 比上 x。 那 么已知两种情况嘛？还有另一个 sine 阿尔法。 还有另一种情况就是我的三影阿尔法等于 y 扣三影阿尔法等于 x 什么时候会用前者，什么时候会用后着呢？也就是说，已知告诉你 x 头号 y 一个坐标点是已知的，那么你用三影 cos 影和 tan 影。但是如果告诉你的是我的角 r 法角度是已知的，你用 y 和 x， 那 么我们回过头来看十九题啊。 十九题告诉的是你已知点的坐标，所以你写上解，由题意可知 可知，我的 r 应该等于根号底下 x 的 平方加上我的 y 方， x 等于多少？一 负一的平方还是以一加根号三的平方为三开出来，也就是二，所以已知我的 r 等于二，那么相应的， sine 阿尔法就等于的是我的 y 比上 r， y 为根号三， r 为二。 cosine 阿尔法就等于的是 x 比上 r， 也就是负一分之二，也就等于负的 二分之一。那么第三个就相当于你的胎印阿尔法就等于的是我的 y 比上 x， 也就是 y 刚好三分之比上负一就负的 根号三。这是十九题啊，他相对来说要简单一点啊，因为他已知告诉了你明确的坐标，他就比较简单一点了啊。那我们接着来往下看。第十九、第二十题说了求定一域， 那么解你的第一步应该写上，由题一可知。 可知什么？可知？你一加上我的三 x 不 能等于零，算过来，也就说你的三 x 不 能等于负一，那么在三 x， 也就说我的 x 等于多少度的时候，他不他等于负一啊，是不是等于负的二分 之派的时候，也就问你三 x 如果等于负一，我的 x 等于多少？是不是就等于负的二分之派？他自己吗？不一定吧，整圈是不是也可以二 k 派？那相应的不能等于负一，也就说明我的 x 不 能等于的是负的二分之派， 负的二分之派加上二 k 派，并且你的 k 幺属于 z， 那 么最后写上综上所述， f x 的 定义域为， 为什么我的 x x 不 能等于负的二分之派加上二 k 派， k 幺 除以 z， 这个能理解吧。所以说它是比较简单的啊，求定域里面，它出现在了我的 x， 出现在了分母上，也就说明我的分母要不能等于零，如果出现在了根号底下，我根号底下的数必须要大于 等于零，然后既有分母又有根号的情况下，根号底下的数必然要大于零啊，这是在考你 定义域里面啊出现的几种情况。那我们紧跟着来往下看啊，看第二十一题。二十一题他就比较简单了，写上结， 如果不想抄式子，就写上原式等于什么？第一个，先来看三影二分之派等于多少，也就说明我的三影二分之派应该等 与的是一，那么相当于第二个，是不是出现了 cosine 零度？ cosine 零度等于的是一，这是要背的啊，比较特殊的几个三角函数值。那么第三个就是你 cosine 三分之派，三分之派等于 二分之一。最后一个就是胎影派，胎影派等于零，三影 二分之三排等于负一，那么几个数分别代进去，也就是二乘一，加上我的三乘一，再减去二分之一，减去四乘零，减去五 乘负一，那么在它里面，二乘一得二，加上三乘一，也就是加三减去二分之一乘以减，减去四乘零，也就是意味着减零，负负得正， 加五，也就二三十二三得五，五加五等于十，十减二分之一，也就是二分之 十九。这是我整个式子啊，他是比较简单的，也就是说把你的整个比较特殊的几个函数值写出来，然后分别给他对应的乘进去相加就可以了啊。我们接着来往下看第二十题，看一下啊。 第二题是提说了，因为我的 a 小 于零啊，现在要确定的是我的 a 是 负数， 能明白吧？我的 a 为负数，那么也就说明我的负 a 应该是要大于零的。负 a 大 于零，也就负 a 倍的三影 x 加 b， 整个就换成了 b 减去我 a 倍的三影 x。 那 么在我之前有讲过，减号在前， 减号在前，三影取大， y 取小， y 取大，那么就可写上 结。因为我的 a 小 于零，所以说当你的三影 x 等于一的时候，我整个 y 应该取的是最小值负三。第二个，也就是说，当你的三影 x 等于负一时， 那么我的 y 应该等于七，把它带进去，我的 y 带第一个啊，这是圈一，这是圈二，我写到这儿，圈一 y 就 应该等于的是 a 加 b 等于负三，第二个就是我的 y 等于的是什么呀？负一嘛，负 a 负一乘以 a 等于负 a， 负 a 加 b 等于七，这是二元一次方程组啊，二元一次，那么 a 圈一和圈二 换个颜色啊，也就在这个位置上，圈一加上圈二，是不是因为它为正的，它为负的相加就消掉了？然后 b 加 b 等于 二， b 负三加七等于四，也就说明我的 b 应该等于二， b 等于二，那么 a 就 应该等于的是几啊？ b 等于二， a 就 应该等于的是负， a 等于负，所以这是整个式子啊，代入可得到的整个式子。所以说，在这里啊，你所要考虑清楚的就是 a 此时小于零了，小于零了，说明说我的三影取大， y 取小，三影取小， y 去大，把它分别带进去就可以了，能明白吧？那如果说我的 a 本身只是告诉你 a 如果是大于零的，那么也就是 size 去大， y 去大， size 去小， y 去小啊，是一样的。我接着来往下看啊。二十， 二十三题，二十三题，先把谁算出来啊？先告诉你的是 time 派加 r 法等于三，那么我可得到的就是我的 time， 通过它可得到派加阿尔法等于的是我 tan 阿尔法等于三吧，是不是整个等于三了？那又因为什么？是不是让你求的是整个后面的式子？ 在它的式子里面，如果我要把它变成分数的话，因为我要跟 tan 有 关系嘛，对吧？因为它整个是整式，那么我可以把它变成分数，在底下加一个一。又因为什么？ 又因为什么？我的 e 是 不是比较特殊？ 我的 e 又比较特殊，也就是说整个式子 e 是 不可拆开， e 拆开了以后，也就是说三引方加上我的 cosine 方，此时整个式子是不是就变往上这个我把这擦一擦啊， 也就是你要知道它应该等于那什么的三，所以它整个式子就变成了三引方加上 cos 引方， 然后方出现了以后，我是不是要该加分母了？加谁呀？三影有了，要想变成贪影，是不是要加分母？加 cos 影吧，所以说整个上面就变成了 sin 方，比上我的 cosine 方加上我的三倍 cosine 法， cosine 法比上的是我 cosine 方二法加上我二倍的 cosine 方二法比上 cosine 方二，然后除以谁呀？除以底下三引方二法比上 cosine 方二法加上 cosine 方二法比上 cosine 方二法。那么可以看这里啊，所以说它整个式子是不就可以化成谁呀？化成的是我 tan 方二，他和他约一约，他和他是不是整个也可换成他，是不是整个换成了泰影阿尔法，底下这是不是也是泰影方二法？这是什么？一，他约掉也都等于泰影方，然后他呢？他是不是就等于泰影自己， 他就等于他用自己，他就等于一整个挪过来就变成了我的胎影方，而法加上我三倍的胎影，而法加上二乘一，得二比上的是我谁呀？胎影方，而法加一，整个换进去三三 三的平方加上三乘三，再加二，比上的是三的平方加一，也就是九 加九，再加二比上十十八二，也就约掉等于二，所以整个式子就应该等于的式二， 这个能明白吧？他相对来说啊，在哪里出现了平方给他加整个式子，是个整式，给他加个方母加个一，往进去加个一，然后把它拆开以后再加你的 q 三样方，因为它出现了三样的平方吗？再加 q 三样的平方， 明白吧？整个给它画成了胎印，跟胎印有关系？因为我已知条件只知道胎印等于谁。我们接着往下看啊。第二十四题， 二十四题，把它画过来化简。先看分子吧，写上结，先看分子。 这是整圈往外拿啊，中间相同角也就变成了三英阿尔法自己。那么这里不一样的在哪里？扣三英阿尔法简单，也就是负派加上阿尔法。那如果往外提一符号出来，是不是派 减 r 法，对吧？你五减三和你三减五是不是差不多？这个能理解啊。所以应该减乘的是 cosine r 法，然后又是什么拍减 r 法第二下线吗？应该是减去 胎影阿尔法，这是整个分子，那么分母整圈先往外拿一个，拿个整圈出去，是不是就剩下派加阿尔法？派加阿尔法，三派可以换成的是二派加派嘛？二派可以消掉一个派可以消掉二派，就剩下了派加阿尔法。派加阿尔法， 也就是在第三项键， cosine 在 第三项键位是负的，所以变成的是负的 cosine 阿尔法。 cosine 二派减阿尔法是不是就负的？ 是不就应该是负的？应该是三影负阿尔法又等于负的三影阿尔法，也就等于说减去三影阿尔法，那么相应下边这一个 二派，负的二派加上它，也就是说加上我二派二倍的 cosine， 加上我 拍他拍影阿尔法。我把这里写清楚了啊，我往边上写啊，换个颜色往边上写，也就是说，我第一个 我的三影阿尔法加上二派就应该等于那是我三影阿尔法，因为它是整下自己拿的嘛，对吧？然后第二个 cosine 阿尔法减派就也应该等于那是负的 cosine 阿尔法， 因为派负派挪过来，负派加上它，你就让你负五加二是不等于负三，是不还是一样的？所以说啊，就应该等于负的。那么我接着往下来看啊，往下来看，就知道到了 tan 型，写到这里了， tan 型派加阿尔法绝对应该等于的是负的 tan 型阿尔法，那么你的分子底下扣三影三派加阿尔法，派加三派都等于都一样，也就等于负的 cosine r 法，那么底下三影二派减 r 法也就变成了是三影 二派减 r 法变成的是负的三影 r 法，然后还有二倍的 cosine r 法，减去二倍就等于二倍的 cosine r 法，然后最后一个 tan， 它也就等于 tan 二法，整个就换好了吧。 我们再来看这里啊，它负的正的也就变成了 cosine alpha， 减去 sine alpha 加上 太阳 alpha， 然后整个分子。我是不是可以往外提一符号，因为底下是 cosine 为正嘛，我把符号提出来，那么我的三影本身就变成了正的，就减号就变成了加号，然后加减号就变成了 加号，所以它可以当一整体直接约掉，约掉以后，上下同时一样也变成了负一。要记清楚啊，前提 等于负一的前提啊，它不能分母，不能等于零，这个能明白了吧？说这是整个啊。第四章三角函数的有可能出现的所有考点内容啊，大家可以看一下，今天的课程，就到这里了，大家再见。

今天带大家来学习一下中指数学同角三角函数的基本关系如何运用，也就是说如何用它来做题呢？我们一起来看一下啊。 第一个，也就是说我们所学的两个公式，第一个是 sine 方耳法加上 cosine 方耳法等于一。第二个是，当你的耳法不等于二分之派，加上 k 派，也就是九十度或者二百七十度的中边相同角时，我的太阳耳法就等于 sine 比上 扣三影。那么已知看这道题啊，已知我的三影尔法等于五分之四，且角尔法是第二项线角上的求扣三影和 tan 那 相应的。通过这一个公式，我们可以一换三，可得到三影方尔法 就等于的是你一减去扣三影方尔法。第二个，也就是你扣三影方尔法 就等于一减去我三影方阿尔法，那与此同时，相应的，三影阿尔法自己的话，就等于开根号底下一减去 扣三影方阿尔法。第二个扣三影阿尔法的绝对值也是相应的。一样啊，也就是一减去我三影方阿尔法。为什么要这么写呢？因为我的阿尔法 确定它是第几象限，才能确定我的三影和勾三影是正的还是负的啊。回过头来看这道题，那么这道题就是写上解，由彼可知，由 t 一 可知，可知什么？我的 cosine 耳法绝对值就等于我根号底下一减去三引方耳法，也就算出来是根号底下一减去 二十五分之十六，也就等于根号二十五分之九，算出来就是五分之三。又因为什么耳法是第二项线， 所以你的 cosine 阿尔法为第二象限为负的，也就是负的五分之三，那么 tanine 阿尔法就有了 tanine 阿尔法就等于你的 sine 比上 sine， 比上第 cosine 嘛，用到第二个，也就是说五分之四比上五分之三，负的五分之三， 也就是五分之四乘以负的三分之五约掉，也就等于负的 三分之四。所以说这是一类型的题啊。比如说此时是告诉你这是三样算法等于多少，那么相应的，如果告诉你这是 cosine， 算法等于多少，也是一样的阶梯步骤，只是不一样的用的是 这个。算出来以后，因为他带了绝对值，又因为我角 r 法是第几象限，才能确定我扣三影或者三影是正的还是负的。三影和扣三影都有了以后，你的胎影也就有了。那我们接着来往下看啊。 第二个不一样的是，他此时告诉了你 tan 阿尔法等于多少，那么且阿尔法是第四项向量，问你 sin 和 cosine， 那 么通过他已知我们可得到什么？ u t e， 我 们可以得到的是写上 l u t e， 可知我们可以得到的。第一个是太阳耳法，等于的是你三氧耳法比上 cosine 耳法且等于负的 括号，那么 tan 和 sin 和 cosine 有 关系了，那相应的 sin 和 cosine 有 什么关系？也就是第二个 sin 而法的平方加上你 cosine 而法的平方等于一，它为一，它为二，那么由一可得 可得什么？我的三引二法就等于负的根号五倍的 cosine， 二法双边乘分母把它挪过去，所以三引就剩自己了，这是三。那么第三步就是将三代入二， 将三代入二，也就是说把所有的三影换成 cosine， 也就变成了负的根号五倍的 cosine 二法加上 cosine 方二法等于一，那么平方 分别平方它平方它平方，负的根号五倍的平方也就是五，加上多少呀？ cosine 方二法再加 cosine 方二法， 五个它加上一个，它也就是六倍的扣三样泛二法等于一，那么你的扣三样泛二法就等于六分之一开出来根号也就是扣三样泛二法等于正负正负六分之 根号六。这一步能明白吗？开根号的话，也就是根号 根号六分之一分别往外开嘛。我写到这里啊，也就是根号六分之根号一，根号六分之根号一，还是它上下同时乘以分母嘛。那么已知正负两个嘛，又因为什么 写上？又因为阿尔法是第四项弦， 所以说明你扣三应应该是正的，因为扣三应在第四项线，它为正的，所以说扣三应应该等于六倍的 根号六。扣三应算出来了啊，那么相应你三应怎么来？你扣三应等于六分之六倍的根号六分之根号六，那么三应等于多少？乘以它吧，也就是乘以六分之 根号六约不掉，也就是负的六分之根号五乘根号六 等于多少呀，也就是六分之根号三十，负的六分之根号三十。 那这道题就是这样啊，所以算出来你的 sin 等于它， cosine 为它。 这是一类型的题啊，比如说告诉你 time 等于多少，那么它就会有两种情况，两个关系式方程组， time 等于三样，比上 cosine 三样 放，加上 cosine 方等于一，和前者不一样的在于前者。如果告诉你 cosine r 法或者 cosine r 法等于多少？你只需要用第二个就可以了，但是如果一旦告诉你 time r 法等于多少，你就需要用的是两个， 第一个 type r 等于三样比上 cosine 等于它，第二个就是你的三样放，加上 cosine 放等于它将它带进去，这是带入法案。那我们来看啊，这张考题里面会出现的第三种情况啊。化简题第一个 出现了 cosine 和 tan， 那 么优先把 tan 拆掉，也就是说明我的 cosine 阿尔法乘以的是我的 sine 阿尔法，比上 cosine 阿尔法，约掉 cosine 也就等于 sine 阿尔法 自己。那么第二种情况平方和一同时出现了，也就是拆成拆一，一可以拆成人也就拆成的是我二倍的 一可拆成一是不可拆成的是你三影方加上扣三影方。所以说明二倍的三影二法平方减去的是你三影方二法加上扣三影方二法。 与此同时，底下一也可拆成的是三影方二法加上扣三影方二法 减去二倍的三引方二法，这是方案没有写上，那么与此同时把括号去掉，括号去掉以后，减号就换成了加号，加号就换成了减号，你就整个换成了二倍的 扣三引方二法。减去三引方二法，然后减去扣三引方二法。比上的是三引方 加上 cosine 方二法，减去二倍的三样二法。到这里换个颜色啊，那么在这里二倍的它减去一个，它是不是就剩下了自己也就剩下了 cosine 方二法。减三样方二法是不是没有动，也就是减去三样方 ar 法。那与此同时，下面三引减去二倍的三引是不是就变成了负的三引符号法？但是你的加 cos 符号法是没有动，把它放在前面， 它和它是一整体，整体就约掉，也就等于一。所以说这是一类型的考点啊，也就说遇见了平方和 cos 方，加上 cos 方，那么遇见了 cos 和 tan， 把 tan 拆掉， 能明白吧？那我们紧跟着再往下看啊，看一道啊，看这道题，也就说此时给了你数值，也就说当你的 tan 等于负四的时候，我的三影减去 cosine 耳法比上的是三影，加上 cosine 耳法等于多少？这种题往上加， 加谁？加分母？让你整个的三影和 cosine 去跟你的 tan 有 关系， tan 又等于谁？ 它也是不等于你的三影比上扣三影，所以也就说在你的三影底下加一分母，三影自己加了以后，它用不用加？也用加它是不是也用加它，也用整体加分子和分母整体加啊？那我们来看啊，先整体加一下， 也就变成了你三影 r 法减去你扣三样， r 法比上扣三样法，这是整个大的，然后底下是什么？ sin alpha 加上 cosine alpha 也比上 cosine alpha， 这个能明白吧？那么如果我把它拆开了来看啊，单独一个和一个啊，一个拆一个，也就变成了 sin 尔法比上 cosine 尔法减去 cosine 尔法比上 cosine 尔法和你的 sinine 尔法比上 cosine 尔法加上 cosine 尔法比上 cosine 尔法，两个是不是一样？所以说这种的话，从这里到这里是不是再一步，那你可以直接在它底下加，也就是说把我这一步，把这一步可以直接去掉， 把这一步可以直接去掉，明白吧？直接从它到它，这样不好记吗？到这以后我们就可以说啊，我选到这边到这以后 time 它是不是三样，比上 cosine 就是 time， cosine 就 cosine 就是 减 e 分 母就是三样，比上 cosine 就是 time go 这样 go， 这样就是加一，所以说将它带进去也就是负四减一，比上负四加一，负四减一，负五，负四加一等于负三，负负得正也就是三分。 只有也就是说遇到这种题，在你的三引底下加上 cosine， 那 么相应的其他剩下的三个也必须要加，带出来以后整个就有了。那么在这个地方出现了平方和一上节。上道题是不是说了，平方和一把一拆掉，也就是变成了 cosine， 就 变成了什么？ cosine 加上 也就变成了 sine 方，加上 cosine 方比上的是我 cosine 方减去 sine 方，那如何让它跟 sine 有 关系呢？ sine 等于负四，那么 sine 方 是不是就等于十六？所以说整个在你 sine 的 底下加平方就可以了啊？出现平方加平方，出现自己加自己， cosine 方加上谁呀？加上 cosine 方比上 cosine 方，它加了以后底下是不是也要加？就是 cosine 方比上 cosine 方减去 sine 方比上 cosine 方，在这里它就是一个换一个啊，它就变成的是 tan 方，加上多少？加上一比上的是谁？它是不是就是一减去 ten， 它就变成 ten， 那 么 ten 等于多少？十六加一底下就是一减十六，也就是负的 十五分之十七。所以说啊，在这道题里面， 遇见三引加自己，遇见 q， 三引遇见三引方加平方，遇见自己加自己，遇见平方加平方，然后把它如果告诉你 tan 等于多少，你就把你的三引和 q 三引均换成 投影，怎么换？在三影底下加上 cosine， cosine 也加， cosine 也约掉等于一。所以说这是在三角函数同角关系中比较常考的几个类型题，也就是它的做题步骤，基本上大差不差啊。那么今天的课程就到这里，大家再见。

求导公式也是那本子。

今天带大家来学习一下中指数学第四章三角函数的有关考题内容，我们一起来看一下啊。填空题， 第一个填空题比较大小，那你 cosine 三分之二十六派和我的 cosine 负的三分之十三派谁大谁小？那么我们可以通过诱导公式把我的 cosine 换到零到二派之间， 同时它也可以换到零到二倍之间。那么通过诱导公式第一个 cosine 里面，因为它是分数嘛，你可以看分子里面有几个，分母则是三八二十四，可以也就说明有八个，也就是 cosine 八倍，加上二十四里面还剩下三分 这二排。同样 cosine 这里也是一样的啊，十三十三有几个三呀，有四三四十二有四个，也就是负的四排，然后减去你的 三分之排，三分之一嘛，加起来才是三分之三，所以整个换成了这到这里就是变成了 cosine 三分之二派和谁呀？和我的 cosine 负的三分之派。诱导公式， cosine 负数负角又变正角，也就是说它还是 cosine 三分之派啊。那么通过图像可以看出来， 这个位置是二分之派这个位置，那么二分之派，三分之派肯定在它之前，那么三分之二派就在它之后，也就是说明我的三分之派 要大于我的三分之二排，也就是说在三 cosine 三分之二十六排要小于我的三分之四十三排啊。第二个，圆心角的弧长，弧长公式是我的 l， 等于我圆心角的弧度之乘以你的半径，此时圆心角告诉的你是角度 六十度的弧度值，也就是多少呀，六十度乘以一百八十分之派，约定了以后，也就是三分之派，也就说明了它是三分之派， 乘以半径，半径为二，也就得到的是三分之二呗。 三分之二派啊，弧长为三分之二派厘米。第三个让你求它的等于多少？那么第一个有了 p 点 sign 又等于谁呀？ sin 伽玛就等于我的 r 分 之 y， cosine 伽玛就等于我的 r 分 之 x， 所以 我的 r 就 等于我根号底下一加二的平方等于四，也就是根号五。 r 有 了，那么相应的 你的三引干嘛？就等于根号五分之二，也就是五分之二倍的根号，同样扣三引， 扣三引干嘛？就等于多少呀？五根号五分之负一，也就是五分之负的 根号。相应的他都写出来了以后啊，换个颜色写出来以后，把你的带进去。扣三幺干嘛？就等于负的五分之根号，减去谁呀？减去你三幺干嘛？也就是五分之二倍的 根号，分之多少三幺等于谁？三幺等于五分之二倍的根号，加上 加上。又因为 cos 也为负的，也就是减去我五，五分之根号五。在这里，五分之二倍的根号五，减去它也就等于五分之 根号五这个位置五，负的五分之根号五，减去负的二倍的二，五根号五也就变成了负的 五分之三倍的根号就等于负的五分之三倍的根号，乘以根号五分之五，约定就等于负三在这里啊，分子， 分子和分母均为分数的情况下，让你的分子乘以你分母的倒数，可约分啊。然后第四题， 第四题说，我的 tan 阿尔法等于三，阿尔法为第第三项线角问你三影等于谁？那么通过它 可以来算啊，通过它可以来算什么？第一步我知道的是我的 tan 阿尔法就等于的是我的三影阿尔法比上的是我的 cosine 函数，它等于三。第二个我还知道的是我的 sine 方法加上我的 cosine 方法等于一。把它连着整合一下啊，就可得到我把这边擦一擦啊，要不然写不下 这里擦掉按。 所以说把它整合一下在这个位置啊，这是第四题，写在这个位置，也就是说我的 sine 阿尔法比上我的 cosine 阿尔法等于三。第二个 tan 阿尔法加上我的 cosine 阿尔法等于一，这是圈一圈二，那么由一就可得 可得。什么可得？我的 sine 尔法就等于三倍的 cosine 尔法，把它乘过去嘛。所以说这是三由一可得三，将三带入二， 也就是将你的三带入二，可得到的就是我三倍的 cosine 尔法的平方。把你的 cosine 全部换成 cosine， 加上我 cosine 方耳法等于一。三倍的，也就是九倍的 cosine 方耳法加上 cosine 方耳法等于一，也就是十倍的 cosine 方耳法等于一，那么 cosine 方耳法就等于十分之一。算出来我的 cosine r 法就应该等于十分之。刚好是又因为 r 法为第三象限， cosine 在 第三项线为负的，所以说明我 cosine 而法就为负的 十分之更好使，这个能明白吧？ cosine 写出来以后，那么你的 cosine 最终我们要求的是 cosine 吧， cosine 又等于三倍的 cosine， 也就变成了三乘以负的十分之。 根号十，也就答案为十分之负的十分之三倍的 根号十。这个题能理解吧。所以说在这种题型里面啊，如果给你的胎印告诉你胎印，你要把它拆开，胎印等于三印比上扣三印，然后你的三印放加上你的扣三印放就得一。那我们接着来往下看啊。接着来往下看 来看，第第五题说的是我的 cosine 三分之四 pi， 你 也可以直接背出来，它就等于的是 负的二分之一。你也可以用诱导公式，也就是 cosine 变成的是 pi 加三分之 pi 就 等于负的 cosine 三分 之派，也就等于负的二分之一啊，这是用到的诱导公式。然后第六题说呢，是单调减区间，也就问你扣三用，它的减区间为多少啊？在它里面，它的图像就应该怎么画呀？大概率啊，它的图像就大概长这样。 零二分之派，这是派， 二分之，焦点是二分之三派，这个位置是二派啊，那么单调减去就是它为减，同样它也为减吧，这个地方也为减，也就是说基础之起步为多少呀？零加二 k 派到哪？到派加二 k 派 到你的派加二 k 派逗号，你的 k 要属于 z， 并且你在这个位置，它可以把零去定啊，也就二 k 派到派加二 k 派， k 要属于 z， 能明白吧？然后同样第七题，我们一起来看第七题。第七题假设告诉了你，三 x 为负的二分之根号三 x 又为第四项线段，问你它得多少？ 二分之根号三是多少度呀？如果说我的 sin x 等于的是二分之根号三，也就说明了我的 x 是 不等于六十度，因为它等于负的， 它等于负的啊，它等于负的了情况下，它就有可能是负的六十度和多少？和负的一百二十度吧。 负的六十度和负的一百二十度要，因为我要一百二十度在第三象限吧，然后负的六十度为第四象限，然后一般来说啊，尽量把它画成 正的正角，那么负的六十度又和我的三十度三百度用的是同一条中边，也就是三百度加上我的二乘，也就加上我的 k 乘三百六， k 幺换一个颜色，也就是 也就是说的是我的三百度加上我的 k 乘三百六，并且逗号 k 要除以，再同时你也可以把它换成什么弧度值，弧度值也就换成它是三分， 除以五倍加上二倍倍 k 幺除以 z。 问你第四项链角一般用正角啊，明白吧？一般去用正角来计算啊，这也就是说今天的内容。

哈喽，大家好，今天我们来练习一下三角函数的一些题目，我们是来看到填空题第一题，函数 f s 等于乘乘二 s 减三分之派，它求它的一个最小正周期，那我们就要用到乘整数的一个最小正周期。公式， t 是 等于派比上欧米根，也就是等于 在这里他的敏感是什么呀？是不是二，也就是二分之二？然后我们来看下一题，已知角阿法的中间过点。 ps， 二 s， 其中 s 小 于零，这是一个很重要的点，同学们要记住他求三角法减一个 cosine 法，那在这里呢，我们可以令 s 等于负一，因为之后他的 s 都会消掉的，所以这个是没有关系的，我们可以先求出二， 那么他的一个点 p 就 会等于负一负二，那他的二就是一，加上四根号五，然后我们就可以直接求三眼阿法等于 y 比上二，这里的 y 是 负二，也就是负二分之负二除以根号五。而这里的 cos 眼阿法呢，是等于 s 比上二，会等于一个负的 根号五分之一，然后我们把它写出来，这里 cos 阿法减 cos 阿法，就会得到一个负的根号五分之二，减去 负的根号五分之一，也就是加上它，它最终的结果就是一个根号五分之一是一个负数，我们把它化成负的五分之根号五，要写成这种形式才是正确的。然后我们再来看下一道题目， 函数 f s 等于负一减负的二三元二， s 减四分之派，它求一个最大值，同学们还记得最值的求最值的一个公式是什么吗？我们可以写到这里，他说的是若 f s 得到一个 a 的 三点， 我们改 s 加 f 加 k， 要知道这里的 k 是 一个系数，那这里是不是也有个系数啊？所以我们把这个系数呢放到后面，也就是化成负二三点 二减四分之派，它相当于加上负一，也就是减一嘛，那他的一个最大值呢？就可以直接用公式了，作为等于 a 的 绝对值加 k， 在 这里 a 是 等于负二， k 是 等于负一，那也就是负二的绝对值二减去一，它的最大值就是等于一。那么再做一道题目，他是卖 g 的， 这样子是一个怎样化整的呢？ 那在 tan 五百八十五度，我们知道可以把他先转成二百二十五，加一个三百六十度，我们知道二派的话，他是不是可以直接消掉，也就是 tan 五百八十五度会等于 tan 二百二十五度，那他还可以画成一个四十五度，加上一百八十度， 那我们知道 tangent 的 pi 加上这个角度一，就是等于这个角度的，也就等于 tan 四十五度，那这里就要用我们到的一个公式，也是我们之前要记得一个特殊角的三角函数值，同学们将这些都背起来，那么以后遇到这种问题，我们就可以直接的去做了。 tan 四十五度在这里是不是等于一， 所以这里的 tan 四十五度会等于一，那像这样的尺呢？同学们可以直接去拿获取电池板的，那今天的内容呢，就讲到这里。

今天带大家来学习一下第四张的学业水平测试，也就是有关于第四张的题目啊。然后我们来看第一题，负的一百七十二度在第几象限，也就是说我们优先怎么着呀？画出来图， 找到 y 轴和 x 轴。第一，负的嘛，负的就应该是逆顺时针的旋转吧，然后这是零到，这是负的九十度，这是负的一百 八十度，也就是在负的九十到负的一百八十度之间，也就是第几项线呀？第三项线选的是 c 选项啊，那相应我们接着来往下看啊。第二个，让你的弧度换 弧度换什么弧度换？让你的角度换弧度，角度换弧度乘以多少呀？乘以一百八十分之派，也就是说让你的一百八约掉他们 等于多少呀？先约几，先约五，三十六，再约五的话是二十七，再约三十二， 三九，再约几，再约三，这是四，这是三，四分之三派，因为它本身是负的嘛，所以你还是负的啊。负的四分之三派，也就是选的是 d 选项。然后来看第第三题， 第三题说的是点 p， 落角中边上的一 p 点，坐标为它，那么 cosine 为多少？ cosine 等于谁呀？ 扣三样 r 法等于的是我的 x， 比上我的 r， r 等于谁？ r 等于我根号底下 x 的 平方加上我的 y 方 r， x 则值为一，负一的平方为一，根号三的平方为 三，一加三得四，开出来就是二，所以我 r 应该等于的是二，又是 x 负一，负的二分之一，所以应该选的是 a 选项啊。然后相应我们来看第四题。第四题说项链说法正确的是哪个？大于零小于零，先来看啊， cosine 一百三十度是第几项线？是不是第二项线扣三样？一百三十度第二项线，那相应的扣三样在第二项线是不是为负的，所以它应该是要小于零的吧，所以 a 不 对。那么相应来看三影，先找角度，先找角度，再看象限，按 二百三十度，到这是一百八，到这是二百七，也就是在这个位置，二百三十度大概率在这个位置。那么三影在第 三项线是不是为负的？第一二为正的吗？所以它应该是要小于零，所以 b 不 对。然后紧接着来看第三题， tan 负的三百三十度应该是第四项线吧，那相应的第四项线 tan 应该是负的，所以 c 是 对着的。那相应来看，第四题 d 选项转一圈三百六三百六加九十是多少呀？三百六 加上九十为四百五十度。四百三在第一项线，第一项线应该是要大于零的啊，所以应该选的是 c 选项。那我们接着来看第五题啊， 往下来看第好，那我们来看啊这道题，也就是说第五题里面说在三角形中扣三角 a 如果等于二分之一，是三角 a 等于二分之根号三条件成立的话，那么我们已知在三角形里面，我的 a 必然是要大于零，小于 一百八十度，必须要在这个区间范围里吧。那么相应，如果扣三角 a 等于二分之一的话，那么此时 a 应该等于的是 六十度，那么相应的三影 a 应该等于的是二分之根号三，这是不是可以前者退出后者？那么相应来看，假设说我的三影 a 如果等于二分之根号三，那么我的 a 就 有可能等于的是六十度或者是 一百二十度，因为三影 a 等于二分之根号三，也就说 a 有 可能是六十度，也有可能是一百二十度啊，这可以确定啊。 但是如果说三影 a 等于二分之多少，三 a 等于六十度或者一百二十度，那么当 a 等于六十度的时候，是可以推出来扣三影 a 等于二分之一的。但是他是不是还有另一个选项？是，如果他还有第二个一百二十度等于一百二十度的时候，我的扣三影 a 应该等于负的二分， 这是不是没有办法推出来？也就是说后者不一定能推出前者，前者一定能推出后者叫做充分不必要条件，应该选的是 a 选项，这个能理解了吧？那紧接着接着往下看啊。第六题， 第六题说，若善行，圆心角为四十五度，半径为，它弧长为多少？ 弧长有一个公式是指，我的 l 应该等于的是我圆心角的弧度值乘以我的半径，此时半径有圆心角，给的是角度值，把它优先换成弧度值，也就是四十五度等于多少？ pi 啊，是不是应该乘以的是一百八十分之 pi 等于多少呀？让你的约掉几啊？约掉九五九四十五 五九四十五九二十，再约掉也就等于四分 之一四分之一派，也就是说圆形角的弧度至阿尔法应该等于的是四分之派，乘以半径乘以二，约掉应该等于二分之派，应该选的是 a 选项。那么相应我们来看啊。往下接着看看第几题啊。第七题，扣三用一， 扣三影一等于多少？扣三影一乘以我的三影二乘以我的胎影三， 它的取值结果为什么扣三影一？你能确定的是我扣三影一为一弧度啊，这是一弧度，这为一弧度，明白吗？ 也就是说扣三影一弧度，这为一弧度，明白吗？也就是说扣三影一弧度离一弧度五十七点三度吗？ 三影 a， 三影二二是多少呀？五十七乘以它是一百多了吧，是不是在第二象限？这是也是正的啊。前两个都为正的，但是它有三一百 五十度吧，是不是一百五十度大概率啊，约等于一百五十多嘛。那么也是第二象限，但是第二象限它也在第二象限，就为负的，两正一负，得到的结果应该为负数，选的是二 b， 能理解吗？我们要优先看啊，这个地方给你的 q 三样一 q 三样一，一代表的是弧度一弧度，也就是说一弧度 等于的是约等于啊，五十七点三度，能明白吧？那紧跟着接着往下看啊。第八题，第八题给你的是我的 cosine 等于五分之三，且它在扑派到零之间， 你就零到负派之间嘛。我们先算啊，三赢等于多少呀？有一个公式，三赢阿尔法的平方加上我扣三赢方，阿尔法等于一，此时有了，那么三赢阿尔法 就应该绝对值应该等于的是根号底下一减去我扣三引方二法，也就是根号底下一减去二十五分之九平方吗？五分之三的平方，五分之三的平方是二十五分之九，那么一减去二十五分之九就是二十五分之 十六，开出来就是五分之四。又因为它在哪呀？ 又因为他在哪？五分之四，对吧？又因为我的 r 法， r 法取哪个零？这是零吧， 零到负派到零之间，是不是取的是下半部分？取的是这个地方，但是三影在他地方应该是负的，所以得到的取值应该是四 d 选项负数，因为一二象限为正，三四象限为负，能理解吧？然后紧跟着接着往下看，嗯， 接着往下看。第九题就比较简单了，化减题。也就是说根号开出来和这个公式一样吗？用的是这个公式一样吧，根号开出来应该等于绝对值，三影 一百度，又因为我的一百度，这是零九十度。一百八十度是不是在第二项线？三影在第二项线为正的，所以去掉绝对值应该是等于三影 一百度选的是二倍。第十题，我们来看值域啊。第十题，我们来看值域。 这道题说了，我的 f x 等于的是二减三倍的 cos 影 x， 它的值域为什么？也就是最大值？最小值嘛？我 cos 影如果要取最大值，也就是一，对吧。当 cos 影 x 等于一的时候，我的整个数字就应该是二减。三乘一等于多少呀？ 等于负一。第二种情况就是，当你的 cosine x 等于负一的时候，也就二减去三乘负一，三乘负一，负负得正，加起来也就是五，所以它的取值范围应该是你的负一到 五。在这里要记清楚啊，减号在前，在扣三影之前，三影扣三影取大， y 取小，扣三影取小， y 取大，这个能明白吧？ 好，我们紧跟着来看第十一题啊。第十一题说角阿尔法角负的三分之二派中边相同的最小正角是多少。那么我们可以来看三分之二派负的三分之二派在哪个位置？ 是不是在这个位置？它肯定超过了一半了吗？负的三分之二派，这是负的三分之派，这是整个负派，对吧？负派加上负的三分之派，是不是就负的 三分之四排？又想说是正角，这个位置是不是就是正的三分之四排？所以把它去掉最小正角就应该是三分之四排，能理解吧？因为我们最开始啊，看见没有，他给你的是哪一个？是不是给你的？这是 给你的，这是负的三分之四拍，是不是？到这也就说要找的是这个角，逆时针旋转的这个角，对吧？我们已知这是负的三分之二拍，那么这个角度就应该是负的三分之拍，那么整个上面就是负拍吗？加起来就是三分之四拍，能理解吧？然后紧跟着来看啊。 到这里，第十二题就相当于是一道大题了啊，因为它只告诉了你 time 嘛。那么告诉你 time， 你 要得到的是两个公式，第一个是 time 等于的是 sine， 比上 cosine 应该等于负二。第二个就是你的 sine 方加上你 cosine 方， 等于一挪过去，也就是说你的三影尔法等于负的二倍的扣三影尔法，把它带进去，整个带进去，也就是负的二倍的扣三影尔法的平方加上我扣三影方，尔法等于一平方四倍的 扣三影方，尔法等于一，那么相应的，我的五倍的 cosine 方，而法等于一，那么 cosine 方，而法就等于它是五分之一，那么开出来我的 cosine 而法就应该等于根号底下五分之一，也就是五分之 根号。又因为它是第二项线角， cosine 在 第二项线，它为为什么为负的吧，也就是说等于负的五分之 刚好，又因为我的三影等于二倍的负的二倍的扣三影，也就是说我的三影阿尔法就应该等于负二乘以负的五分之刚好，五负负得正，也就是五分之二 背的根号，这就相当于是一道大题了啊，这也就相当于是一道大题了。那么已知告诉你 tan 等于多少，你要知道的是两个公式， tan 等于谁比谁。 cosine 和 cosine 的 关系，这个能明白了吧？那我们紧跟着接着往下看啊， 我把这都擦掉了啊，看不清楚。 来看第十三题，第十三题用的是什么？第十三题会用到的是诱导公式， 也就是要学到的函数里面的诱导公式啊。先往外拿什么？拿整圈吧。先拿整圈，也就是我的 cosine 负的七百八十度可以换成我 cosine 负的七百二十度减去 六十度，是不是就等于负的七百二十度？那么相应的，也就是说，拿出整卷也就等于扣三影不变负的六十度，又因为负角等同于正角，也就等于的是我扣三影六十度，那么我扣三影六十度就等于的是二分， 这是整个诱导公式，能明白了吧？好，我们紧跟着来往下看啊，下面这道化简题也就类似于一道大题了啊，也就类似于一道大题。在它化简题里面啊，我优先看见了谁 tan 合一了吧，是不是 tan 合一拆谁拆 tan。 那 么我整个的 tan 先把分母乘上啊，减去我的 cos， 那 么分母 tan 就 变成了我的 sine。 比上我的 cosine， 那 么相应减一一也很特殊，那么一是不是可以换成 cosine？ 分 之 cosine， 整个底下就换过来，就变成了什么，也就变成了 cosine 编码分之 cosine 减去 cosine， 这是不是你整个换个颜色，这是不是你整个分母， 它就换成了它吧。那么紧跟着我们来往下看，它已经确定了，又因为上面是它吧，所以说分母为分数乘以分母的倒数，整个式子就换成了我的 sine 减去 cosine 乘以谁？乘以我的 sine 减去 cosine 分 之 cosine， 它带个括号，它带个括号，一个整体约定，所以我整个式子的值就为什么了，是不是就等同于 cosine 自己了？所以说这道题啊，就是说你看见了以后，你看见了三影和 cosine， 还有 tan， 优先把 tan 拆开，拆开以后，一又很特殊，一也可拆成 cosine。 分 之 cosine， 整个分母就变成了它，明白吧？ 这就剪掉了啊，擦掉了，擦掉了，又因为你的分母变为分数，分子乘以你分母的倒数，两者一约分就剩下了，它能明白吧？好，来，我们接着往下看啊， 这是二分之一，这是扣塞自己。那么来看啊， 往下挪一挪，三影如果大于零，那么它的中边一定落在几项线。扣三影大于零的话，它的中边一定落在几项线。三影大于零，在第几项线，一定是一和二，中间一定落在一 和二上。因为三四它为负，所以在这里啊，三影以二为正，这是三影吧， 三引一二为正，那么相应的啊，要记清楚，扣三引是一四为正，那么最后一个泰引就是一三为正，能理解吧？好，来，我们紧跟着来，往下看，下一道题啊， 十六题，十六题说到了什么？十六题说，我的泰引等于二，三引比上扣三引。 遇见这道题之前是不是讲过遇见他让你整个式子和你的胎影有关系？怎么有关系？加分母加谁？加塞加扣三影在谁底下加？加在你三影底下加扣三影，也就整个式子就变成了三倍的三影。加上一个 扣三影，他是不是加了？那相应后边是不是也要加？减去我二倍的扣三影比上这是你整个分子，那么你的分母是不是也必须要加？减去我二倍的扣三影比上 cosine 减去谁？减去五倍的三影比上 cosine。 整个。他是不可换成 tan 影了，他是不可约掉一，同样他也可约，他是不是也可换了？也就换成了什么？三倍的 tan 影减去几啊？他约掉一是不是还有个二，也就减二比上的是谁？一减去我五倍的 投影挪进去以后三乘多少？三乘二再减二比上的是一减五乘二， 二三得六，六减二等于四，二五得十，一减一减十得负九，也就是负的九分之四，能理解吧？也就是负的九分之 四。那我们紧跟着来看下边一道题啊紧跟着来看下边这道题啊。我先把它擦掉了。 他说了什么？他说了已知我的 q 三影，已知我的 x 是 零到二百，也就是在零到三百六之间嘛。并且说我的三影减去 q 三影等于零 也就意味着什么？我的 sin x 要等于的是我的 cosine x 吧，什么情况下会等于它？也就是说我的 sin x 要等于我的 cosine x， 那 么相应的啊，我的 sin 四分之派是不就等于二分之根号二，那相应的 cosine 四分之派是不是也等于二分之根号二？抛开它以后是不是还有一个都是负的，均为负的，也就是我的三影四分之五派 和我的 cosine 四分之五派等于多少呀？都等于负的二分之根号二和负的二分之 根号二吧。所以说我这道题的解就应该是四分之派或四分之派或四分之五派两种情况啊。那么来看，底下 cosine 二 x 等于我的三 a 加五， 又因为什么让你求 a 的 取值范围啊？这道题怎么说呀？因为我的 cosine 它的取值范围等于什么呀？我的 cosine 二 x 是 不是等于 y？ 我 的 y 的 取值范围是不是大于 等于一大于等于负一小于等于一，是不是这两个？那么现在又说了，我的 y 等于谁呀？三 a 加五，也就说明我的三 a 加五小于等于一大于等于负一，算出来，第一个 三 a 就 应该等于的是小于等于负四大于等于多少呀？负六 a 等于负的三分之四除以二，也就是负二，所以它整个取值范围就应该是多少呀？负二到负的三分， 这是这个能明白了吧？那么今天啊，今天的课程就到这里了，那么下面的解答题大家可以看一下啊，那我们下节课再来看，再来讲解解答题啊，得底了啊，大家再见！

今天带大家来学习一下第四张三角函数的有关考题内容，我们一起来看一下啊。第一题，下列命令正确的是， a 选项中边相同的角， 是相等的角吗？我们一起来画个图看一下啊。假设说此时它的角度为 三十度，那么相应在他的基础上，我如果再转一圈，是不是中间还是落在他，那他还是三十度吗？不是，是三百九十度。那说明他俩是同一个角吗？不是啊， a 选项不对，第二个就是你的二 b 选项。锐角是小于九十度的角， 负十度是锐角吗？不是吧，所以说明了对我的锐角是有规定的啊，锐角必须要大于零度，小于九十度。与此同时，钝角也是一样的，它必须要大于九十度，小于一百八十度。 我们来看 c 选项中边落在第二象限的角是钝角吗？第二象限，假如说第二象限在这个位置啊，这不就第二象限的角吗？假如说是这个角，那如果说在他的基础上我再转一整圈，他还是钝角吗？不是吧，因为我的对角有明确的 规定啊，必须是要大于九十，小于一百八，那么在他的基础上转满一整圈还是钝角？不是，所以 c 不 对。第四、四 d 第一象限的角不全是锐角没错，因为它有可能要大于锐角。三百九十度是不是也中边落在了第一象限，它是不是要大于锐角呢？所以应该选的是四 d。 第二个 第二题写的是啊，讲的是弧度换角度，角度换弧度啊，它有一个公式，也就说明你角度如果要换弧度的话， 要乘谁呀？乘以一百八十分之派，但是与此同时，弧度换角度要乘以的是派分之 一百八十度。所以说这两个公式比较好记的在于说，如果优先给你的是角度，让你的一百八做分母。如果优先给你的是弧度，让你的派去做分母啊。所以此时你的负的 二百一十度就应该乘以的是一百八十分之派。约掉它零和零约掉了吗？然后约几？约三三，这得七，这得六，负的六分之七选的是二 b。 然后第三题已知角 r 法的顶点与我的圆点重合，使边与我的非负半轴重合，并且中边 过一，等号负二这个点，那我们先找到一和负二吧，这个点是不是就有了它的中边必过这个点啊？然后又因为什么这是实边吗？所以要找的是角 r， 它的正切值，它的正弦值啊。三角 r 等于谁呀？等于我的 y 比上我的 r， 此时 x 有 y 有 相应，你的 r 就 应该等于根号底下 x 的 平方加上我的 y 方，这是勾股定律。求斜边，这是你的 y x 两条直角边的平方相加，等于斜边的平方啊。开出来也就是根号底下一加四等于 根号，所以我的 r 等于根号五，我的 y 又等于负二，又因为我的分母不能有根号，也就是五分之负的二倍的根号，应该选的是四 d 啊。好，我们接着来往下看。 第四题说了，叫阿尔法为第二项线段， sine 阿尔法等于二分之一，问你 cosine 阿尔法等于多少？在我们学的公式里面有一个叫做 sine 风耳法，加上你 cosine 风耳法 等于一，那与此同时，你的 cosine 方二法就等于一，减去你 cosine 方二法，那么相应的，你 cosine 二法的绝对值就等于根号底下一减去 sine 方二法。为什么要带绝对值？因为我 cosine 的 正负由我角二法的第几象限决定了啊。那我们带进去也就等于根号底下一减去 二分之一的平方等于多少？等于根号底下一减四分之一，也就是根号四分之三开出来是二分之根号三。又因为什么？又因为阿尔法是第二吧， 第二项线角扣三应在第二项线为负的，所以应该选的是四 d 啊。所以在这里要记清楚，第一项线一二为正，三四为负，是你的三影。第二个扣三影是一四为正，二三 为负。胎影不一样的在于对角胎影是，这是负的啊，胎影是一三为正，二四为负，这是胎影。 然后第第五题扣三，一百五十度，这是比较特殊的几个三角函数值啊，也就是你要记清楚，三十，零度三十四，十五，六十九，十 一百二，一百三十五，一百五，明白吧？然后还有一百八， 二百七，三百六，如果说太多了，特殊的三角函数说太多了，必须要记住的是，零三十四十五，六十九，十一，二百七，三百六，一百八，这几个要记住啊。所以说一百五 cosine 一 百五为负的 二分之根号在，因为一百五在第几项线，是不是在第二项线口三样在第二项线为负的啊？然后第六题说了五点法，用你五点法描述你三影的图像，正弦函数的图像比较特殊的五个点，零度二分之派 pi， 二分之三 pi 二 pi， 也就是零度九十度一百八，二百七，三百六嘛， 他的及格啊，因为为什么要用他？因为他得出来的正弦值都是整数啊，都是整数。所以说我们来看底下啊。 b， a 不 对吧，六分之派没有，二分之派有派有，二分之二派也有啊，所以应该选的是 a 选项。我们来接着往下看啊。第七题， 第七题说 f x 等于我三幺二 x， x 属于二，那么在三幺，如果说它等于三幺 x 自己的话，是不是为二派？ 最小正周期吗？这是性质里面啊，最小正周期为二派，那它此时是不是在它的基础上加了二？那么你的周期是不是要除以二，所以它就为 pi？ 为 pi 又因为什么？你的图像，你三幺的图像关于谁对称呀？ 是不是关于原点中心对称为奇函数，所以应该选的是四 d 选项啊。 然后来看第五题，第九题，第八题啊，第八题说了什么？第八题说，下列函数中，既是偶函数，又在零到正无穷上为递减的是第一个依次函数，此是 b 是不是等于零了？ b 等于零，依次函数 b 等于零，它为奇函数，所以 a 不 对，因为人家要找的是偶函数。第二个， cosine 图像， 我们来看 cosine 的 图像啊，谁知说了 cosine 有 关于 y 轴对称了，大概这把话， cosine 有 关于 y 轴对称了，但是它虽然是偶函数了， 可是人家要找的是零代正无穷上都是递减，那扣三样是不是减增减增是波浪线，所以 b 不 对。 c 选项是指数函数啊，指数分数，指数密是你们啊， 下学期吧，基础模块下册要学到的啊，也就是什么指数 指数，此时的指数是大于零并且小于一的，那么它的整个图像 递减吧，是不是递减？ 又因为什么？又因为它是奇函数还是偶函数呀？既不是奇函数也不是偶函数，因为它不关于原点对称，也不关于 y 轴对称啊，所以 c 不 对四 d。 四 d 里面对称轴没有对称轴，负的二分之 b 为零吧，所以它关于它对称，又因为我的 a 小 于零，开口要朝下，说明的在零到正无穷上，它为单调递减吧，所以应该选的是 四 d。 那 我们来看第九题啊，第九题说了，我的 cosine 等于负的二分之刚好二，那 cosine 多少度？等于负的二分之刚好二，是不是一百 三十五度？二分之根号二嘛？一百三十五度。又因为什么？又因为我的 x 属于 pi 大 于 pi， 小 于等于小于二 pi， 那 么一百三十五大于 pi 了吗？没有。那么在它的基础上，如果我要是加上 一百八十度的话，也就等于多少呀？是不是就等于它是三百一十五度？如果把它换成弧度值，也就是四分之 七派， 是不等于四分之七派，但是又因为什么？四分之七派在哪个？在第四象限吧，在第四象限它为什么 为正的？也就是说明了 cosine 四分之七拍应该等于的是二分之刚好二，所以说明四 d 不 对，又因为什么？ cosine？ 我 们来看啊， cosine 多少度呀？ cosine x 如果要等于二分之刚好二的话， 是不是四十五度？是不是四十五度？四十五度在这个位置吧，这是不是四十五度？四十五度在他的基础上加上一个半圈，也就是加上一百八十度等于多少呀？四十五加上一百八十度， 这是五二百二十五度。二百二十五度是不是加负的？在第三项前它是不是就是负的，也就说明了什么？ cosine 二百二十五度是等于负的，二分之根号二的，也就说明了三百一十五不能用，唯独二百二十五是不是在大于小于二倍之间它可以用？如果我要把它换成弧度值的话，也就是变成了一百八十分之 二百二百二十五度乘以一百八十分之派，约掉几啊？ 嗯，约掉五吧，这是四十五约掉五，三十六约掉九， 四约掉九，五九，四十五，四九三十六，也就是四分之五选的是 二 b 啊，那也这也就是说在三角函数中可能出现的有关选择题的考题内容啊。我们下次把填空题讲了啊，今天就到这里了，大家再见。

哈喽，大家好，我们来学习一下三角函数的一些题目。那我们来看到第四题，它只给出了三样， alpha 等于负二分之一，它求一个 alpha 中边角上的坐标。那这里呢，我们要用到一个代入法， 我们把 a、 b、 c、 d 的 距离二，也就是全部算出来，我们可以看在 a 选项中，二是等于 二，是等于一个一一的根号，所以在这里三眼耳法，三眼耳法是等于 y 比上一，也就是二分之根号三比上一，所以 a 选项是错的，那同理我们可以看到 b 选项的二呢，也是一， 然后负二分之根号三比上 e 是 它的一个塞耳法，也不符合选项，所以其实我们在这里只需要找到 y 等于负二分之一的这一个，所以就可以求出它的一个坐标。然后我们再来看到第五题， 他已知角阿法的中边经过点 p 负一根号三，他求三角阿法加上 cos 阿法。那在这里我们只需要把它先要算出一个二，他的二是等于一的平方，加上根号三的平方，看一个根号，也就是根号四，也就是 二，二等于二，那三样阿法是等于根号三分之二，二分之根号三括号三阿法是等于负一比上二，他们相加就是等于一个 b 选项二分之根号三减一。我们再看这一个题目， 那在这里呢，其实和我们上一节学学习的第三题是一样的方式，我们一样也是同除 cosine 啊法，这会一个比较简单，会省步骤一点。同除 cosine 啊法后呢，我们可以把它化简成 二贪转啊法加一，比上三，贪转啊法减一，那这里的贪转啊法就会等于 y 比 s 等于二， 我们带进去二乘二加一，比上三乘二减一，也是五比五，得到一个 b 选项，那今天的内容就讲到这里。

哈喽，大家好，今天我们来学习三角函数的最小正周期。那在看这个核心要点之前呢，我们来理解一下周期函数的定义。 那对于一个函数 y 等于 f s 来说，如果存在一个非零常数 t， 会使得这个 x 取定义域内的任何一个值的时候，都会使得 f s 加 t 等于 s， 它会成立，那么我们就把这个函数叫做周期函数。那很显然我们学习过了这三个函数的图像，我们都知道它就是一个周期函数，那根据它们的图像呢，我们也可以得出它们的一个周期是二派，三也和空三也是二派为一个周期，所以它的最小正周期 t 就 会等于二派比上欧米伽。而对于看成来说呢，它是一个派，就是为一个重复的循环，所以看成的最小正周期 t 就 会等于派比上欧米伽。那我们要知道它的一个核心的三个公式 就是 a sine 欧米伽 s 加 f 加 h 以及 cosine 的 欧米伽 s 加 f 加 h。 那 我们做任何这一种求最小正周期的题目时，它都是要画成一个这样子的形式 才比较好做，比较好求得。那我们现在就来看一下同步训练第一道题，它除函数 f s 等于三眼二 s 加三分之派的一个最小正周期，它已经化成这样子的形式，所以我们就可以直接用公式三眼的最小正周期公式 t 等于二派比上 omega。 要记住这里的要加一个绝对值，是因为这个 omega 它有可能是一个负值，那在这里答案就会得到 pi， 也就是 c 选项。那我们再来看一下第三道题，他说在下列函数中求一个最小周正周期为二分之 pi 的， 那我们一样也是可以带进去，也就是说 他是对于求的都是三也三也是二 pi 除以 omega 等于 t， 也就是二分之 pi， 那 我们就可以转化就会得到 omega， 它是得到四，所以会选到 d 选项。 那如果他不是这样子的形式，我们要怎么做呢？我们来看到第六道题，函数 f s 等于扣三眼三 s， 扣三 s 减去三眼三 s 三 s， 它求这一个函数的最小整周期。那同学们有没有觉得这一个函数有点眼熟呀？是不是用到我们的合角公式，也就是扣三眼的三 s 加 s， 它是一个这样子的函数， 也就是求一个扣三 s 的 最小整周期。那我们直接用公式二派除以四就会等于二分之派，选到一个 a 选项，那今天的内容我们就选到这里了。

哈喽，大家好，今天我们来学习三角函数的单调性，那这个三角函数的单调性呢？我们其实可以看他的一个图像，我们可以看到在科三眼余弦的图像中，我们知道他是在零到 二分之派上呢，是单调递减的，也可以说是零到派上面都是单调递减而撒野呢，它是在一个什么？我们要补充起来，其实就是一个负的二分之派到二分之派上呢，它是一个单调递增的一个区间。那 tan 是 怎么样子的呢？我们要特别的记住， tan 乘 x 呢，它是五 无单调的递减区间，他只有一个递增区间，也就是什么呀？也就是负二分之派加 t 派到二分之派加 t 派，我们可以画出他的一个图像呢，是不是一个这样子的图像， 他是没有一个递减的，一直都是在递增，然后循环一个一个周期，派的周期就会有一个单调的递增区间。那我们简单的了解了他的单调性后呢？我们看一下是如何利用他的单调性做题目的呢？ 我们可以看到第一题中它是正确的，我们可以挨个挨个看，三点二十度小于三点四十五度，我们知道在一个三点函数图像中， 零到二分之派，负二分之派到二分之派都是一个递增的，所以在递增区间内，二十度小四十五度是正确的，我们就可以选到一个 a 选项，那我们再看一下 b 呢？扣三眼的一个单调性， 它是不是反过来的？它在零到二分之派，它是一个递减的，所以它应该是大于行。那我们看一下不同函数是怎么比较的呢？这需要用我们的特殊角，我们知道整数四十五度，它是等于一的，那三点二十度是不是在这一个区间， 三眼九十度才等于一，那三眼二十度是不可能等于一的，所以它是小于，那同理也是，或三眼二十度它也是应该在这一个区间，它是不能得到一的，同样也是小于。 那这种题型呢？我们可以画个图直接做二三题，是类似的，我们就不讲了，我们来看一下第四题是怎么做的呢？他求的是函数 f s 等于三 s 在 区间三分之派到六分之五派上的一个最大值，我们同样还是要把它画出来，画出一个这样的图像。我们知道三分之派，三分之派大概在这里， 那六分之派呢？他是不是过了过了九十度了呀？我们知道二分之派他会小于六分之五派， 那六分之五派在这里，那他们之间的最大值其实就是二分之派。三有二分之派等于多少呢？是不是等于一？所以选到一个 d 选项，那我们今天的内容就学到这里。

其实我热情似火，怪 你把坏人全部讨伐。 今天咱们讲一下三角函数的对称中心和对称轴。 来啊，先说正弦曲线的对称中心啊。首先什么是对称中心？我们说如果说一个中心对称图形啊，他如果说在这个图形上随便找一个点，然后跟对称中心连接，再等量延长。 另外这个点是不是也在这个图形上啊？我任意的找点都满足这样的一个情形，那我就说中间这个点就是这个图形的一个对称中心，能理解吧？所以说我们很明显能够看出来，正弦的对称中心原点算一个， 对不对？然后我想问大家来，这个算不算对称中心？你看它好像是关于 y 轴往右偏了一点，对不对？但是其实呢，我们的正弦曲线啊，它是什么呢？它是往两边无限延展的，左边也是 都是无限的啊。那我们就可以说以这个点为基准点，它的右侧部分是不是正无穷多？它的左侧部分是不是负无穷多？你可以看成它现在以这个点为基准，左右两边可以类似以为是一样多，对不对？ 那么我们这样去看的话，那这个点是不是也可以看成是这个正弦曲线的对称中心？好吧，那同样的，那这个点是不是也是无限多？这个点左侧是不是也是无限多？ 那所以说这个点也是对称中心，那所有的对称中心我全都就可以给它标出来，你会发现这对称中心有多少个？哎？是不是隔了派就一个？隔了派就一个，对不对？对称中心的纵坐标一直是零，然后横坐标隔了派一个，我现在就让它 k 派都零嘛，然后 k 属于整数标。好， 可以这样去写对称中心理解吧。好，然后我们再看对称轴，对称轴的话啊，来看这个是不是可以看成是对称轴？ x 等于二分之派， 可以吧，它虽然往右偏一点。刚才我说了什么？我说了啊，它的两边都是无穷的，那二分之派的右侧正无穷，二分之派的左侧负无穷，你可以看作它两边是一样多的，对吧？那所以说二分之派就可以作为 整个曲线的一个对称轴，对不对？那同样的，我说来，这个能不能作为对称轴？就 x 等于二分之三派，能吗？ 也能，对不对？二分之三派右侧正无穷，左侧负无穷，左右侧一样多呀？我们就可以说这个也可以看成是对称轴，对不对？那所以啊，所以我们就总结 是不是我的这个对称轴，也就是竖线啊，如果卡在了这个极大值，或者说这个峰值就卡在这个峰值这刹那间， 它可以是对称轴，卡在这个低谷值的一刹那间，也可以是对称轴，对不对？然后再一个最高值，再一个低谷值啊， 依次把对称轴画出来，你就会发现它对称轴是不是隔了派一个？隔了派一个，隔了派一个，对不对？那我以这个二分之派这个为最精准的，我让 x 等于二分之派，加上一个。什么是不隔了派一个呀？那就加上个 k 派，同样 k 属于整数，那就可以去刻画整个正弦的所有的对称轴了， 能理解不啊？那我们再看余弦，余弦也是左右两边都是无穷的， 对吧？那所以说对称中心我们就可以看成是什么，是不是也是隔了派一个？隔了派一个，隔了派一个，隔了派一个，对不对？那我现在呢，对称中心的纵坐标都是零，对称中心的横坐标，我们就可以这样的去刻画啊，以二分之派为基准，然后再加上一个 k 派 啊，然后 k 属于一个整数，二分之派加 k 派，你会发现他跟正弦啊对称轴正好这个地方是一样的，对吧？好，然后再看那余弦的对称轴呢？ 也是去找这个峰值啊，低谷值，峰值，低谷值，你发现他也是隔了派一个，隔了派一个，隔了派一个，对不对？好，那就是 x 应该是等于 k 派呗， 是不是啊？ k 属于整数，你会发现我们的对称轴这个 k 派这个值呢？正好跟正弦的对称中心的横坐标也是，哎，一样的形式，他俩是正好换了， 对吧？好，然后我们再看正切，正切的话，对称中心，首先这个一定是个对称中心了，那这个同样也是，这个同样也是，这个同样也是。但是再注意啊，我们在二分之派就这种带虚线的这些正好，他虽然没有定义域，但是我想问一下大家来，这个点是不对称中心？ 一定是为什么？你看啊，我在这随便找个点，我等量延长，是不是在这也能找到对应的一个点？ 所以说你会发现这个这种点啊，虽然没有定义，但他也是对称中心，所以说我们对称中心其实是包含着这些带虚线的点的，然后你会发现我的对称中心其实是隔了二分之派一个，隔了二分之派一个，对不对？对称中心纵坐标为零，那就是二分之 k 派 逗，零 k 属于整数啊，那他有没有对称轴？来啊，我们的正切曲线没有对称轴，不信你找找不到。 好吧，那我们把所有的正弦与弦正切的对称中心对称轴盘点完了。我们现在看啊，所谓的像这种 omega x 加 f 的， 它的对称中心和对称轴应该是如何的 啊？我在之前有平移变换的那个视频，我给大家讲了啊，就形容这种的 sine omega x 加上 f， 它其实是由什么呢？它是由 y 等于 sine x 可以 通过平移和伸缩得到的， 对不对？好，那么现在呢？啊，我去再带着大家去通过平移伸缩去把它画出来啊，我们接着体会一下。 首先我们就先画一个正弦函数图像吧。啊， 红色的是正弦啊，然后我们再先把它这个给它伸缩吧。啊， y 等于塞二 x， 把它伸缩的话，那就是纵坐标不变，横坐标变为原来的二分之一。纵坐标不变，横坐标变为原来的二分之一啊，那其实他就应该是围绕着 我们的 y 轴啊，从右往左是不是缩了，对不对？左边也是同样的道理啊，那我就直接画了，如果说在这不懂的可以去看我的那个视频啊，好，那现在我们现在画的图像是不是 y 等于三二 x， 对 不对？那么 我们下一步就应该是来，这一步是伸缩，这一步应该是平移了，对不对？塞，来，我把二提出来，那针对 x， 我 是不是得加六分之派？ 这就是左加右减，是不是？向左平移六分之派，对不对？好，那向左平移六分之派的话，我就往左平移到这里。 好，那现在这个蓝色的部分就应该是我们最终要的，也就是这个的函数图像了，对不对？好，那么现在其实你就直接能看出来，很直观的看出来，通过平移伸缩的图像，塞二 x 加上三分之派，它也是这种波浪型的 啊，也有波峰和波谷，并且它一定也是中心对称图形，能看出来不？啊？我现在这么样去标啊， 这个是不是也对称中心？这是不是也对称中心？这是不是也对称中心？对不对？来，这是不是也是对称轴？这是不是也对称轴 也是对称轴，对吧？好，那么我们现在想要去找新的这个函数图像的一个，先找对称轴吧， 行不？那对称轴应该怎么样去找呢？我们比方说想要找这个对称轴对应的那个横坐标，我这个横坐标，纵坐标啊，对称轴不用找纵坐标对不对？只需要找 x 等于什么什么？是不是啊？那现在我们先说对称轴， 那对称轴的话，它应该是 x 等于什么什么啊？好，那我们先这样去把它拆解成什么？把这个这个函数图像拆解成里层函数为二 x 加上三分之派一次函数，外层函数为 y， 等于塞应 t， 拆解成这个 啊，那么现在我想问一下大家，你这个对称轴，你是不是得让 x 取得那个值，然后让最终的这个函数值，最终的这个 y 值，你得让取得最大值或者最小值卡在这两个值上面，是不是才能够对应的出对称轴？ 那你想要让对称轴的这个 x 值，你看它等于什么？你是不是应该让这个 t， 你 会发现 sin t 不 就是 sin x， 只不过是自变量发生一个变化吗？那 sin t 的 图像我就可以说成是个红的，对不对？ 哎，好，那是不是我对应的我的这个 t 呢？我得让它等于我们红色的这个图像的 这个最高值和最低值的对应的两个对应的这种横轴标志，是不是？也就是说对应的我得让 t 取谁呢？我是不得让 t 取二分之派加 k 派，我得让 t 取的这个值正好卡在塞隐 x 的 峰值和这个低谷值的这些对称轴上对应的值上，是不是？好，那么现在我这个 t 我 就得让它等于二分之派加上个 k 派 啊。那么心平移之后的这个蓝色的我是不是得取一个什么 x 值？这个 x 值我得让它怎么样？我得让它满足 x 零。如果说啊，它是不是应该是带到这个元函数里边？是先乘二再加三分之派，先取得了一个对应的 t， 然后再把 t 带到了正弦里边，对不对？ 也就是说，我的这个对称轴那个 x 零取得那个值，我得让他满足这个 x 零乘以二，再加上三分之派，就这一坨，也就是 t 啊，取得的那一坨值呢？带到正弦值应该是对应的等的等于我们正弦的取得对称轴的那个二分之派加 k 派，这个值 能理解吧？所以说，我们这样算一下 x 零，它就应该是等于，呃，把这个二分之派拿过来，加上二 k 派，再减去个三分之派，再除以二去。这么算，我们对称轴对应的那个值，你可以进行一个化简和变形啊。我们先讲逻辑好不好？好，那这是对称轴的一个逻辑啊，我们再说对称中心， 那对称中心的话，它肯定是一个纵坐标为零的，对不对？就看它横坐标怎么去表示那横坐标。假如说啊，是个 x 零，那这个 x 零应该是卡在类似这个点啊，这个点啊，就类似这些点，对不对？那么这些点应该有一个什么特点呢？ 这些点是不是应该是？我如果说 x 零带进来乘二再加三分之派的话，就会得到那些对应的 t， 然后再把对应的 t 再取正弦，对不对？也就是说我的二倍 x 零加上个三分之派得到的那个对应的值， 它是不应该在我们的原来的这个 sin p 就是 sin x， 这个红色的图像上，应该正好卡在对称中心的这些个值上，正好卡在这些值上，对不对？所以说我的二 x 零加上三分之派，应该就等于 k 派吧， 是不这样子，哎，好，那所以说我们想要求这个时候的 x 零，应该用 k 派再减去个三分之派，再除一个二啊，这个 x 零就可以写在这，就是我们平移伸缩之后的一个对称中心。 好吧，好，那么我们盘点一下，如果说我们形容这样的一个函数图像，它的对称中心应该怎么去算呢？啊？我们先不看这个 a 啊，先不看这个 a， 先说这个东西的对称中心怎么算？它的话，里层我可以看成是 omega x 加上 five 一 次函数吧，对不对？ 啊？好，那外层的话，也就是 c n t， 那 现在我们想要去求我们这个函数的一个对称中心，肯定应该是 x 零，逗零，对不对？纵坐标为零，那这个横坐标应该满足一个什么事呢？是不是应该把这个横坐标带到这个里边？ 我们一个 x 零加上 f 得到的这一坨不就是一个特殊的 t 零吗？对不对？对应的 t， 那 么这一坨取正弦值应该正好，是不是卡在这些正弦函数的对称中心的位置上？所以说这个值我就应该想办法让它等于对应的这个 kpi 啊，然后 x 零就等于 k pi 减去 f， 然后再比上欧米伽，这就是 x 零要取的值了。 ok 啊，好，那同样的道理，我们的这个 对称中心应该怎么去取呢？还是我把 x 零呢？带到欧米伽 x 加 f 上，那这一坨呢，应该正好卡在我们的 外层的正弦，取对称轴的对应的这些值上，那就是等于二分之派加上个 kpi， 那 么 x 零应该就等于二分之派加上 kpi， 然后再减去个派，再除一个我们一个啊，再化减再算，我就带你算了啊，就是这样去求我们平移伸缩之后的对称中心啊，那我们再去揪一个什么呢？如果说 啊，这个地方我现在有一个 a， 对 称中心和对称轴发生改变不？我想问一下大家啊，其实呢，我们现在如果说啊， 在这个地方加上 a， 不 外乎就是外层，还是说整体在 sin p 这边又成了个 a 嘛，对不对？那其实我们外乘一个 a， 无外乎就是什么，就是把这个 sin x 整体的纵坐标我给它拉伸了或者压缩了，对不对？横坐标是不是都不变 啊？那么对称轴是不是还不变，对称中心是不是也不变？所以说外边乘个 a 不 影响去求对称中心，也就说 a 倍的这一坨的对称中心跟不带 a， 对 称中心和对称轴都一样， 我讲清楚没有啊？然后再往下来那余弦的对称中心也是一样的道理啊，我们现在就应该让我们一个 x 加上 sine 这里边这一坨，我让它等于这个， 哎，然后求出那个 x 零呢？当做对称中心的一个横坐标啊。对称轴也是一样，我让我们一个 x 零加上一个 f， 等于一个 kpi， 然后求出那个 x 零，就应该是 x， 等于什么？什么，哎，对应的一个竖线啊，对应的那种竖线吗？是不对称轴 哎，对应的这些平移伸缩之后的竖线吗？能理解吧？哎，好，我们再看正切，正切的话也一样的道理。我的 omega x 零加上 five， 我 得让它等于二分之 kpi， 然后 x 零就等于二分之 kpi 减去个 five， 再出一个 omega， 这个是在求什么？是在求我们的 a 倍的弹进的 omega x 加 five 的 对称中心的横坐标， 是在求它，对吧？对称轴啊，我们的正切没有对称轴，那么这一坨平行伸缩之后的正切也依然没有对称轴。好吧，都没有， 那我们把这些盘点完了啊。我们看一个题，指出这个函数的对称轴与对称中心，那我就应该让二倍的 x 减去个三分之 pi， 应该等于什么呢？先说对称轴吧。啊，那么对称轴应该对标的是 cosine x 的 对称轴， 对不对？或者是你可以把它里层为这个，然后外层为 cosine t， 对 不对？哎，那 cosine t 你 这边画 t， 这边画 y， 画一个 t y 图像都不影响，对不对？你画一个鱼弦啊。做题的时候你简单一画，你就知道了对称轴其实是什么？ 是不是 y 轴，然后这个派，这个二派对不对？所以说我们就是呃，通过简单一画图像就能知道，其实它的对称中心就是 t 等于什么呢？ t 等于对称轴，就是 t 等于 k 派吗？对不对？那这里就直接就 k 派就行了，那么 x 就 等于是三分之派加上个 k 派，我再整体除个二，这个是不是就对称轴， 对不对？然后再说对称中心，对称中心的话一定是这种点，这种点，这种点啊，那么对称中心我设为 x 零，逗，零纵坐标一定是零，那么想求这个 x 零，它应该是满足二 s 零减去三分之派是正好卡在对称中心的这些点，这是不二分之派 对不对？那就应该是等于二分之派加上什么来，隔了派一个，隔了派一个，对不对？是不是加上 k 派？那所以说 x 零应该就等于二分之派加上 k 派，然后再加上个三分之派，把它挪过来，然后整体再除以二，这一坨放到横坐标的位置，是不是就能求对称中心了？当然，别忘了 k 属于 z， k 属于 z， 明白了吧？好，然后再说这个啊，正切图像的一个对称中心为，首先我要明白一点啊，后面给减了个一，对不对？我们先说啊，这个部分他是不是有正切曲线通过平移伸缩变换得到的， 对吧？好，那么正切曲线平移伸缩变换肯定他的这个对称中心是不是还应该在 x 轴上吧？无论怎么平移，怎么伸缩，是不是都在 s 轴上？但是整体下移一个单位长度，我们的 x 轴上卡的这些点是不是就变成了一个 y 等于负一上，就都在这个上面了吧， 对不对？所以说对称中心一定是重坐标，一定为负一，负一来这个肯定 pass 了，听懂没？好，对称中心一定是负一，那现在我们就要看横坐标，对称中心横坐标哪个对呗？对称中心我们就应该是让这一坨 啊，应该等于谁呢？那我们就要去找正切的对称中心了，是不是记不记得正切对称中心是二分之 kpi 豆零，对不对？当然了啊，你要是具体做题的时候，你要是拿不准，背不住，你就把正切的图像一画啊， 这是不是派，这是不是二派，对不对？哎，对称中心这个，这个也是，这个是不是？这个记着一定也是没有定义的，也是，所以说是不是隔了二分之派就一个，隔了二分之派就一个，对不对？那就是二分之 k 派是对称中心的横坐标啊，那么 x 零呢？就等于 整体再出个二啊。对称中心横坐标就应该是 x x 零到负一，那你说 x 零应该取哪些值呢？我们就可以看 k 不是 整数吗？那 k 取一些特定的值，你看能不能对上号就行了呗。你看一下 k 如果等于个零， 六分之派没有，但如果 k 等于负一， k 等于负二分之一，负二分之一加三分之一， 应该就这是负六分之三，这是负六分之二，那就负六分之一呗，对吧？这都是负六分之派啊。负六分之派，然后再除以二负十二分之派。那这题选 a 单选出来一个啊，其他的你再验证一下，发现都不对。 好吧，再看一下例四啊，换个颜色啊，这笔，那他说这个函数图像，他说关于这个点中心对称了啊，他先告诉你对称中心横坐标了， 那这种东西它一定是由 sine x 经过平移伸缩变换得到的东西，对不对？那么也就是说我们得到的这个对称中心横坐标是那个 x 零， 对吧？那这个 x 零应该满足是二倍的六分之 pi 加上 pi 啊，把它往这个里边去带，这一坨是不是应该就等于正弦的对称中心的横坐标，也就是 k 派， 对吧？啊，那所以说 f 就 应该是等于 k 派减去个三分之派，他说 f 的 绝对值的最小值，那你看啊，我们这个 k 不是 属于整数吗？ k 随便取， k 得零的时候，他的绝对值是三分之派， k 等于一的时候，他派减，那就三分之二派，你会发现，再取一些别的 k， 绝对值就会很大，最小的绝对值其实就是这二 b， ok 啊。然后再来例五，他说这个是偶函数，什么意思？他肯定是由正弦经过平移或伸缩得到的，当然这个没有伸缩，只是平移了而已，对不对啊？那我甭管那么多， 其实说白了就是我们通过平移和伸缩啊，我们原本的正弦，他肯定是这样的，对不对？但是呢，我们平移伸缩之后呢？我们有可能，呃，有可能是这样， 平移之后，对称轴是不是卡在 y 轴上了，是不就偶函数了啊？但是还有可能是这样，就是平移之后，它有可能是这个拨鼓 啊，最低点卡在对称轴上是都有可能啊，那也就是说我们的平移之后的对称轴，只要卡在是 y 轴上，或者说 x 等于零，就是这个平移伸缩之后，这个函数的对称轴，那么新的函数不就是偶函数吗？ 对不对？那所以说我们把 x 等于零，就带到这个 x 加上 f， 这那也就是零，加上个 f 应该就正好卡在了我们的 side 的 对称轴的这些值上，也就是等于二分之派加上 k 派， k 属于整数，那 f 不 就等于这个吗？ 是不是？那 f 可以 取什么值？那你说 k 得零的时候得二分之派，没有？那 k 得负一的时候啊？ k 得负一的时候，那是不是就负二分之派 a 出来了？所以说这题选 a。 那 再看例六，又说奇函数啊，奇函数，其实你会发现啊，我们说对称中心和对称轴，它就容易跟偶函数和奇函数嫁接起来，偶函数就关于 y 轴对称嘛， 对不对啊？那基函数呢？就是关于原点对称，也就是对称中心卡原点上了嘛，对不对？它就愿意跟这个基有性再嫁接起来？其实就是很简单，对称中心问题，它既然是基函数，那这个东西一定是正弦通过平移伸缩变换得到的啊。那么现在平移伸缩变换得到之后，这一坨 啊，它应该是 x， 零带到这一坨里边，是不是应该就正好对标到我正弦的对称中心？横坐标 k 派上， 对不对？好，那这里就等于 kpi 呗。那 x 零就应该是等于 kpi 加上三分之 pi， 呃，然后再减去一个 啊，我说错了， sorry， sorry 啊，其实应该是什么呢？它不是奇函数吗？奇函数的话就是对称中心，应该是零。逗，零，对不对？也就是说我的这个 x 零呢？其实就是这个零， 也就是二乘以个零呢，应该是减去三分之派加上这个派应该就等于 k 派对不对也就得到了。我这个派应该是等于 k 派加上三分之派的，我讲清楚没有。那么派既然等于这一坨，他又说了派之可以取什么？那你说 k 除以整数的时候，你看啊， k 如果等于零，三分之派不行，那 k 如果等于 一， k 等于一的话，那就应该是。呃，是三分之派也不行啊，那 k 得负一， k 的 负一，那就正好负三分之二拍。哎，这回行了是不是？哎，这题就选 c 了，可以是 c 搞定啊。那我们的平移啊，我，我们的对称轴，对称中心啊，这块的所有的这个题就讲到这了啊。