反比例六年级北师大版第一PPT

同学们好，欢迎大家来到同上一堂课的数学课堂，在这段时间里，我们重点学习了有关正比例和反比例的内容， 大家对于变化的量以及两个变化的量之间的关系可能在理解上还不是很到位。这节课我们就来梳理一下这个单元，希望能对大家的学习有所帮助。 下面我们来观察一种生活现象， 在这个大家几乎天天可以看到的生活现象当中，你找到变化的量了吗？ 杯子里的水在不断增加，所以水的体积是一个变化的量，而杯子上面的空余的部分也在不断减少，所以可以说空余的部分的体积也是一个变化的量。 杯子当中水的体积在发生变化，杯子上方的空余部分的体积也就随之发生变化，这就说明这两个变化的量是紧密相关的。 水的高度也是一个变化的量，因为倒水时水面在不断上升，而且随着水面高度越来越高，水的体积也越来越大，所以水的高度和水的体积这两种变化的量也是有关系的。 下面我们就聚焦一下水的高度和水的体积这两个有关系的变化的量。我们用表格记录下变化过程当中的一些数据， 然后请大家思考这样三个问题，水面高度和体积是如何变化的？这两个变化的量有什么关系？ 如果将这种关系用图来表示，图像是怎样的？ 是不是已经有了一些初步的想法？下面我们来听一听其他同学的分享。 水面高度增加，水的体积也会增加，水面高度减少，水的体积就会减少。 这位同学的描述可以让我们感受到水的高度和水的体积是两种变化的量，而且这两种变化的量是紧密相关的，一个量发生变化，另一个量就随之发生变化。 但是关于他们的变化规律并没有解释出来，我们再来听一听其他同学的想法。 我想表达的是，如果水的高度扩大两倍，水的体积也会扩大两倍。如果水的高度扩大三倍，水的体积也会扩大三倍，它们扩大的倍数是相同的。 我们也可以从缩小的角度来看，如果水的高度变成原来的二分之一，水的体积也会变成原来的三分之一。 这两位同学的描述就可以让我们清晰地感受到水的体积是怎么随着高度的变化而变化的了。 这样的变化规律会让你联想到学过的哪些知识呢？ 我想到了比的基本性质，比的前项和后项同时乘以一个不为零的数，比之不变。 正是因为水的高度和水的体积有这样的变化规律，从而才确保了这两个变化的量，它们的比值是固定不变的。 当比值一定的时候，我们就说水的高度与水的体积这两个变化的量成正比。例， 如果我们用字母 h 来表示高度，用 v 来表示体积，你能用一个式子来表示这两个变化的量之间的关系吗？ 这四种表达式你会选择哪一种呢？ 首先，我不会选择第一种，因为这个式子并没有体现出笔直一定给人的感觉像是三种变化的量。剩下的三种都可以表达出水的高度和水的体积之间的关系，但高和体积的笔直没有实际意义， 所以如果让我选的话，我也不会选第二种，我会从三和四里面挑一种。下面我们就来聚焦一下第三种和第四种表达。 在我们判断体积和高这两个变化的量是否成正比例的时候，第三种表达可以让我们更清楚地看到比值一定。 而要表达体积和高这两个变化的量之间的关系的时候，老师推荐大家采用第四种表达方式， 画图列表写关于事都可以表达正比例关系。前两个问题的解决，让我们对表和事有了进一步的认识，下面我们来看一看有关图的问题。 因为水面高度和水的体积成正比例关系，所以所画的图像是一条过零零点的直线， 不知道大家在学习的过程当中思考过这个问题没有？为什么正比例的图像会是一条直线呢？ 在学习的过程当中，我们一定要善于问为什么，因为这可以让我们的思考走向深入。这个问题呢？我们可以用我们学过的知识进行解释。我们来看， 在我们描点的时候，实际上会形成一个长方形，我们将这个长方形的长和宽同时扩大到原来的二倍， 这是不是就是我们学过的将长方形按二比一的比放大，而按比放大能保证长宽比是不变的，也就是形状不变。 所以这个长方形在放大以后，他的对角线的长度虽然会变成原来的二倍，但对角线的位置没有发生变化，所以零零点和这两个已知点他们是在同一条直线上的， 只要长宽扩大相同的倍数，长和宽的比值就不会发生变化，那么长方形对角线的位置就不会改变，所以这些点肯定都在同一条直线上。 我们再来换一个角度， 这条线的倾斜角度是由我们描点时所画的这两条线来决定的， 也可以认为是由这个直角三角形的两条直角边来决定的。我们来看 这像不像我们在学习笔的时候所接触到的斜坡问题？把斜坡变长变高，怎么才能保证斜坡倾斜的角度不变呢？ 只要两条直角边的比值不变，斜坡的倾斜角度就不会变。 所以在笔直一定的情况下，这些点必定是在同一条直线上， 这两个角度我们都可以从中感受到两个变化的量。笔直一定的这个特点也就决定了正比例的图像是一条直线。 深入理解正比例之后，对于判断两个变化的量成不成正比例关系，其实也就很简单了，我们首先要看是否是两个变化的量， 其次要看这两个变化的量是否有关，是不是一个变化的量发生变化，另一个量也随之发生了变化。最后要看的是这两个变化的量是否比值一定。 前两条是我们判断的重要前提，如果两个量连这两条都没有满足的话，它必定不会成正比离关系。最后一条是我们判断的关键所在， 这样的话，我们就把正比例的内容，从意义、表达方式以及判断方法这三个角度进行了梳理。这样的三个角度同样可以适用于反比例的梳理当中。 在梳理反比例的时候，我们可以先举一个两个变化的量乘反比例关系的例子， 然后针对这个例子，就像我们刚刚对正比例梳理的时候那样，从不同的角度对这个例子展开充分的分析。最后我们可以利用思维导图来呈现梳理的结果。 下面我们就来听一听一个小组他们的梳理分享。 我们小组举的例子是有关速度和时间的，我们假设 a、 b 两地的距离是一千二百公里，当速度是六十公里每小时的时候，时间就是二十小时。而当速度是八十公里每小时的时候，时间就变成了十五小时。 当速度是一百公里每小时的时候，时间变成了十二小时。而当速度为一百二十公里每小时的时候，时间就又缩短了，变成了十小时。 当速度达到两百公里每小时的时候，时间仅仅用六个小时就可以到了，速度越快，所用的时间越短。 在我们举的这个例子中，速度和时间是两种变化的量，速度发生变化，时间也随之发生变化，但它们的乘积始终都是一千二百，所以速度和时间这两种变化的量成反比例关系。 我们发现，当速度乘二，时间相应的就要除以二。速度乘一点二五，时间相应的就要除以一点二五。 速度乘几，时间相应的就要除以几。正因为速度和时间一个乘几，另一个就除以几，所以它们的乘积才不会改变。 我们把速度用字母 v 表示，时间用 t 表示，它们之间的关系可以表示成 v， t 等于一千两百，或者是第二个式子，根据老师刚才说的第一式子可以帮助我们判断两种变量是否成反比例。 在表达两种变量之间的关系时，我们会推荐第二个式子。我们小组也尝试着像正比例那样画一画图，把这些点都描出来， 我们觉得这些点应该连成一条折线，但书上画的反比例图是一条曲线，我们不太清楚为什么是曲线而不是折线呢？ 这个小组结合所举的例子，对反比例的内容进行了比较充分的讨论，相信通过这样的梳理，大家对于正比例和反比例有什么联系和区别也就更清楚了。 判断两个变化的量是否成反比例，它的重要前提与正比例是相同的，不同的是我们要看两个变化的量是否积一定， 只有这两个变化的量积一定的时候，这两个变化的量才会成反比例。 正比例和反比例的内容在中学阶段会进行更为深入的学习，所以大家关于反比例的图像的这个困惑，我们就留待同学们升入中学以后再解决了。 现在呢，我们只要简单的了解就好，这样我们就把整个单元的内容都梳理完了。

这里再来看第二个内容，反比例。首先我们来看两个表格， 表格当中记录的是长方形相邻两边的变化关系，那么表一是记录的面积为二十四平方厘米的相邻两边的边长，表二呢，是周长为二十四厘米的相邻两边的边长。 咱们先来把表一和表二填完整，既然表一是记录的面积为二十四平方厘米，所以长乘宽肯定等于二十四，那当 x 等于六的时候， y 是 四， x 等于八的时候呢？ y 等于三， x 等于十二的时候， y 等于一。 表二记录的是周长为二十四厘米。我们来推理一下，当 x 等于五的时候，你算好了吗？ 对应的 y 应该是七， x 等于六的时候呢？ y 等于六， x 等于七的时候， y 等于四。 填好了表格，咱们来看一看你在表格中有什么发现呢？ 来听一听下面同学的发现吧。我发现表一中的 x 在 逐渐增加，而 y 随着 x 的 增加逐渐减小， 表二中的 x 也是逐渐增加，而 y 呢，也随着 x 的 增加逐渐减小。那是不是可以说明表一和表二中长方形相连，两边之间的变化规律相同呢？ 是不是仅仅就凭现在发现的这一点点规律就能贸然的下结论呢？显然不能操之过急。再来听一听同学们进一步的发现， 虽然看上去这两个表中的 x 都在增加， y 都在减小，但是仔细观察会发现，表音记录的是面积为二十四平方厘米的长方形的长与宽， 所以会有一乘二十四等于二乘十二等于三乘八等于一，直到二十四乘一，相邻两边的积都是二十四。 我同意你对于表一中的进一步发现，而且我还发现在表二中并不是这样了， 周长是二十四厘米的长方形中，一乘十一等于十一，二乘十等于二十。 相邻两边的积不相等，但相邻两边的和相等，一加十一等于二加十，直到八加四和都是十二。 快看一看，经过进一步的观察，果然 x 与 y 它们的变化规律并不完全相同啊！ 电视机前的同学们，你们是不是也能这样深入的来观察数据中的变化规律了？咱们来试一试看。这样的一组数据 记录的是王叔叔要出去游玩的时候，选择不同的交通工具所对应的速度与时间的情况， 观察一下你从表中发现了什么？相信通过刚才的判断，我们应该有了一些自己观察的方法了，来听一听吧。 不同的交通工具行驶的速度不同，所用的时间也随着速度的变化而变化。比如速度从十千米每小时变化到六十千米每小时，所用的时间就由十二小时变化到了两小时。 速度乘六，而相应的时间就除以六。再比如，速度从十千米每小时变化到八十千米每小时，所用的时间就由十二小时变化到了一点五小时。 速度乘八，而相应的时间就除以八。这位同学呢，是横向从左向右观察表格中数据变化的规律的。那还可以怎么观察呢？ 我是从右向左观察的。速度从八十千米每小时变化到十千米每小时，所用的时间就由一点五小时变化到了十二小时。 速度除以八，而相应的时间就成八。再比如，速度从六十千米每小时变化到了十千米每小时， 所用的时间就由两小时变化到了十二小时。速度除以六，而相应的时间就成六。 这两位同学从不同的观察方向都发现了变化中的规律，那么在这些变化中究竟有没有不变的呢？你是否发现了下一位同学有更重要的发现？ 我发现时间的变化与速度的变化相关联，速度乘几，时间就随着除一几，速度除一几，时间就随着乘几。同时我还发现， 十乘十二等于一百二十六，十乘二等于一百二十八，十乘一点五也等于一百二十。速度与相对应的时间的积都是一百二十，也就是路程都是一百二十千米。 好了，把这几位同学的发现我们来小节一下，也就是说，当速度变化的时候，时间也随着变化。不仅如此，速度与时间的积也就是路程一定。 那这个时候啊，我们就可以说速度和时间是成反比例关系的。怎么样？同学们，你是否已经发现成反比例关系的这两个量具备什么样的条件呢？ 那我们赶快看一看刚才的表一和表二，我们发现了两个表中 x 与 y 它们的规律并不完全相同，那在这里边是否有正有反比例关系呢？ 观察表一发现，相邻两边中，不仅当 x 发生变化时，所对应着的 y 也随着变化，而且一乘二十四等于，二乘十二等于三乘八等等， 直到二十四乘一，相邻两边的积都是二十四，积一定，我们就可以说相邻两边成反比例。而表二中，虽然当 x 发生变化时，锁定之 y 也随着变化， 但只是相邻两边的和相等，相邻两边的积却不相等，所以不成反比例关系。 你和这位同学想的一样吗？显然，他已经抓住了成反比例关系的两个量，必须要具备一个重要的前提。 那如果同学们你也发现了这个前提，相信判断反比例关系一定又快又准确了。咱们来再试一个，比如买苹果的总前数一定， 那苹果的单价与数量是不是成反比例关系呢？请仔细想一想。 接下来的几位同学啊，他给出来的不仅有自己的结论，也有自己相应的判断过程，请大家仔细观察。第一位同学是这样想的， 你能看明白他的想法吗？我们来听一听。 从这个表格中可以看出，这位同学先假设总价为六十元，而单价与数量的乘积就等于总价，乘积不变都等于六十。这个判断过程是利用两种相关联的量的乘积是否一定？所以我同意这个判断过程， 你是否也是这样想的？那么第二位同学他也给出了自己的判断过程， 他也认为成反比例。不过呢，是因为苹果的单价高了，自然数量就会少，那如果苹果的单价低了呢？数量就多了？这样的依据我们来听一听，有道理吗？你觉得 这位同学仅仅根据单价和数量的变化是相反的，就判断他们是反比例关系不够严谨。这就像刚才研究长方形周长都是二十四厘米的那个问题，长增加，宽就会随着减少，也是变化相反，但指长与宽的和不变。 长与宽并不是反比例关系，所以这个判断结论虽然是对的，但判断的依据不够充分。 是啊，同学们，我们在分析问题的时候，不是一味的只追求结论，而是更要关注它的推导过程。就像刚才这位同学所说，虽然结论对了，但是依据显然不充分啊。 那究竟判断成不成反比例，它的依据该又是什么呢？我们把刚才的几个例子一起来对比一下，看看同学们是不是有发现了。 也就是说，首先得是两种相关联的量，一总量变化，另一总量呢，也随着变化，比如速度和时间。长方形的长与宽还有单价和数量不仅相关联，而且它们乘积还有一定。 有了这样的前提，我们才能判定它们是成反比例关系的。怎么样理解反比例关系了吗？ 那我们再来看一个这样的问题，相信同学们就能准确做出判断了。比如已读的页数和剩下的页数是这样的情况， 那么已读页数如果是四页口算一下，剩的就是多少了，七十六页，已读五页的时候呢，剩的是七十五页， 显然这又是一个核一定，那已读的页数与剩下的页数显然不成反比例。同样是看书的问题，如果给我们平均每天看的页数和看完的天数 口算一下，这本书一共有十乘十二，一百二十页。咱们来先把表格填出， 一天看十五页，就是八天看完。那一天看二十页呢？六天看完，每天三十页，四天看完，每天四十页，三天看完。 这次同样是看书的情况，平均每天看的页数与所需天数成不成反比例啊？ 相信同学们可以快速判断了。从平均每天看的页数和看完书所需天数这两个量中，可以看出平均每天看的页数变化，看完书所需天数也随着变化。 而且平均每天看的页数与看完书所需天数的积，也就是书的总页数一定都是一百二十页，所以它们成反比例。是的， 判断准了。咱们最后再来看一下反比例关系的图像，会不会也像上节课我们研究的正比例关系那样是一条直线呢？ 我们把数据调整一下，便于记录。请看横轴上记录看的天数，纵轴上记录每天所看的页数。 秒点有三、四十、八、十五、二十四、五、四十三、六十二和一百二十一。如果连接起来这些点请看。 哎呀，显然和正比例关系的图像已经完全不同了，同学们也可以课后去看一看。数学书的五十页也记录了一幅反比例关系的图像。 好了，那么认识了反比例的意义以及它的图像特征，你也试着举一个反比例的例子或提出关于反比例的数学问题吧。

不好，无名之水侵蚀了结界，壁画里的万物都失去了原本的法度，全都变形了。各位补天画师快看， 如果不能把它们的形状拉回来，这传承千年的文明就要毁于一旦，化为乌有了。想要修复壁画，必须先找到凤凰原本的骨像。 我抢救回了这些残影，可里面混进了许多走了样的赝品，真正的画师一眼就能看穿虚妄！第一步，请用你们的眼睛告诉我，这堆乱七八糟的影子里，到底哪几张才是凤凰真正的本相？ 看来你们眼力不错，但要骗过天道，光靠眼睛看不行。真正的相，是因为他们的长和宽之间，藏着一个亘古不变的规矩。 各位画师快动笔算一算，这些不走样的画像，他们的长处以宽，到底藏着什么相同的数字秘密，只有找到它，凤凰的骨架才能立住！ 骨架立住了，现在要为凤凰上色。听着，这涅槃红最难调配，小碗里的浓度到了大顶里，必须分毫不差，颜色才能鲜活。 既然浓度一样，这两个配方就是天生一对。画师们怎么用一个代表平等的符号把这两个比连成一句咒语，你快帮我写出这道定色咒！ 不好，这眼要崩塌了！这四颗零食如果摆放的位置不对，力量失衡，整面墙都会炸裂。 听好了，祖师爷说过，万物讲究阴阳平衡。快算算两头临时的乘积和中间临时的乘积，它们必须相等，才能稳住阵脚。快算出结果告诉我，救命啊！ 这就是修复壁画的终极心法。记住，两头乘积等于中间乘积， a 乘 d 乘 c， 遇到简单的树，用笔直见。遇到复杂的树，用乘积盾灵活切换 成了万象重元。普天。画师们，是你们用精准的比例，让这千年的文明重见天日。 看这画笔多美啊！原来天地间的大美，都离不开比例二字，只要心中有度，万物皆可入画。今日危机虽解，但天下的残卷还有很多，我也该去往下一处补记了。 今天你背包里装进了哪些数学法宝？大声说出来！

哈喽，同学们大家好，今天这节课我们来学习正比例， 我们本节课的学习目标有三个，第一是啊，结合正方形的周长与边长、正方形的面积与边长，路程、时间与速度等情景来认识正比例意义的构建过程。 第二，我们能判断两个相关联的量是不是成正比例。第三，我们要提高归纳概括能力，初步体会啊函数思想。 首先我们先来了解一下什么叫做函数。我们在初中的时候会学到一次函数、二次函数、正比例函数和反比例函数。函数就是有两个量， x 和 y， x 和 y。 x 我 们通常把它叫做自变量，而 y 把它叫做阴变量，也就是啊，这个 y 它会随着 x 的 变化与变化，这就叫做函数。 下面是正方形周长与边长、面积与边长之间的变化情况，把表格填写完整，并说说你分别发现了什么？当边长是一， 正方形的周长为四，边长是二，二乘以四是八，三乘以四十二。当边长是四的时候，周长为十六。 我们再来看面积，当边长为一，面积为一，边长为二，平方就是四。当边长为三，面积再平方就是九。 当边长为四的时候，面积平方是十六。我们可以发现正方形的周长和面积会随着边长的增大而增大。 我们也可以说正方形的面积啊和周长都是随着边长的减少而减少的。 那么周长与边长，面积与边长之间的变化规律相同吗？其实 周长他总是边长的四倍，而面积与边长的倍数关系在不断变化。如果聪明的同学一定会发现，我们用面积比上边长， 你们肯定会发现什么？我们肯定会发现啊，用面积比上边长，它等于边长， 所以啊，我们正方形的面积就是边长乘以边长，我们用面积比上边长，它就是边长。 那么我们在边长和周长里可以看出周长随着边长的变化而变化，而边长与面积这一栏中可以发现，面积啊随着边长的变化而变化， 而我们可以发现边长周长与边长的比值都是等于四，都是不变， 也就是相等。面积随着边长的变化也在变化，它也不是一个定值，都是等于正方形的边长， 所以啊，面积与边长的比值不相等。那么 我们再来看一题，一辆汽车以九十千米每时的速度行驶，行驶的路程如与时间如下，把下表填写完整，你从表中发现了什么？ 我们可以看出这个表有时间和路程，当时间为一时的时候，行驶路程为九十，那么我们用路程 时间一比，同学们肯定会知道，路程比上时间等于速度好，当时间是五十的时候，那么路程五乘以九十四百五十， 时间为六十，路程为五百四十，时间为七十，路程为六百三十，八十就是七百二十。 我们可以发现九十比一，一百八十比二，二百七十比三等等等等都是一个定值，九十路程会随着时间的变化而变化。 把路程与时间的比值一定。我们再来看西红柿的数量与总价，如下表， 当数量为一千克，总价为八元，那么我们就可以算出它的单价，单价等于总价除以数量，我们可以算出它的单价为八元每千克， 我们将总价比上数量也是一个定值，就是单价八。所以啊，总价与数量的比值是一定的，而总价随着数量的变化而变化，有一个定值都为八。 那么观察这些例子，你会有什么新的启发？我们会启发到它们的比值 都是一个定值，那么我们就像这样，路程和时间两个量，时间变化所行驶的路程也随着变化，而且路程与时间的比值一定，也就是速度一定， 我们就说路程与时间成正比例，那么如果我们用字母来给它进行表示，就是如果 y 比上 x 等于 k， 这个 k 一定， 我们就说 x 与 y 成正比例， 这都是一些成正比例的两个量。 接着我们再来看练一练。第一学校科学小组在同一时间同一地点进行观察实验，测得竹竿的高与竿影的长，如下表， 当竹竿的高为一米时，竿眼的长为六点四，高为两米，竿眼的长为六点八，三米一点二，四米一点六，六米二点四，八米三点二。我们会发现一个规律，也就是竿眼的高 和竿眼的长。竿眼的长与竿眼的高 随着杆影的高的变化而变化是竹竿的高。我们也会发现杆影的长比上竹竿的高，都是一个定值，就是零点四，所以我们就说 杆影的长与竹竿的高成正比例，另外都是一个定值，也就是 k 等于零点四。 圆的面积与半径成正比例吗？我们知道圆的面积 s 等于 k， 那 么 x 与 y 成正比例， 我们用面积比上半径，它是什么？如果我们在八年的时候，八年级的时候我们会学过二次根式，我们在这里还没有学，我来给大家说， 我们知道 s 等于 pi r 方，那么 pi r 方等于 s， 如果我们知道 r 方等于 s 比上个 pi， 大家肯定都没有问题。 我们将它进行开，根号， r 就 等于根号下 s 比派，接着我们来给它进行化简， s 比上根号下派分之 s， 这就是啊，化简后的一个比例。我们发现 s 和 r 之间的比例啊，并不是一个定值， 我们如果将它稍微改动一下就可以了。我们如果说圆的面积与半径的平方成正比例，这就对了， 如果我们非要证明的话，我们可以这样， s 比上半径的平方，也就是 s 比上 r 方等于 pi， 因为 pi 它是一定的，所以 s 与半径的平方成正比例。 圆的面积啊，随着半径的变化而变化，而圆的面积与半径的比值不相等，所以不成正比例。 那么圆的面积和什么成正比例？我已经说过了，和半径的平方。再来看一题，乐乐和爸爸的年龄变化情况如下，把表填写完整。 当乐乐的年龄为六岁时，爸爸的年龄为三十二。当乐乐年龄为七岁时，爸爸的年龄为三十三。 那么我们可以算出乐乐的年龄和爸爸的年龄之间相差多少。我们用三十二减去六，结果我们可以算出相差二十六岁。 当乐乐年龄为八十，我们八加上二十六，结果等于三十四，九十三十五，十岁时三十六，十一岁时三十七。 那么他们的年龄成正比例吗？肯定是不成的，因为啊，没有存在一个定值。我们用爸爸的年龄比上乐乐年龄，没有一个定值，他们的差一定，但比值不相同， 所以啊，他们的年龄啊，不成正比例。那么请同学们分别举一个成正比例和不成正比例的例子，与同学交流。举一个成正比例，路程与时间，路程与速度不成正比例， 就是刚刚举的那个例子，年龄都可以，比如我们看他举的圆柱的底面积一定时，体积和高成正比例。 好，接着我们再来看。第二，根据下表中底是六厘米的平行四边形的面积与高相对应的数据，判断它们是不是成正比例，并说明理由。 平行四边形的面积平行四边形的高，我们来观察它是否成正比例。我们知道平行四边形的面积等于底乘以高。 哇，我们将面积比上高，它就会有一个定值六，这个六就是它的底。所以啊，平行四边形的面积和高成正比例。 第三问，判断下列各题中的两个量是否成正比例，并说明理由。第一，每袋大米的质量一定总质量和袋数， 我们用总质量比上袋数，就是每袋大米的质量，因为每袋大米的质量都是一定的，所以啊，两个量，这两个量成正比例 啊。一个人的身高和年龄我们刚刚才看过，他不成正比例。第三个，宽不变，长方形的周长与长。我们知道长方形的周长我们也可以用 c 来表示吧， 等于长加宽乘以二。那么我们如果用长方形的周长比上长， 我们知道长方形的长加上宽等于二分之四，我们用周长比上长，它并没有出现一个定值， 所以长方形的周长和长不成正比例。 第四问，把表填完整，你从中发现了什么？ 当买邮票的数量为一枚时，应付金额零点八，两枚时一点六，三枚时，我们可以算出他一枚邮票是零点八，三枚时二点四，四枚时 三点二，五枚时四六枚时四点八，七枚时五点六，八枚时六点四。 我们可以发现，应付金额比上买邮票的数量都是一个定值，等于零点八。所以啊，我们就说应付金额与所买邮票的数量成正比例。 接着我们再来了解一个历史，据说埃及的金字塔，我们都知道埃及的金字塔， 还有啊石神人面相，都是著名的一个古建筑，它修成了一千多年，没有人能够准确地测出它的高度。人们尝试过很多方法，但都没有成功。 那么曾经有一个古希腊人 talus 用数学方法测量出了金字塔的高度。 泰勒斯站在金字塔前，让别人测量他影子的长度，当他影子的长度与他的身高完全相等时，他立刻在大字塔的大金字塔的投影处做一记号， 就要测量出金字塔影子的长度，这样就得到了金字塔的高度。我们也会知道，我们在九年级的时候也会学习到一个，是啊，相似，我们利用相似就可以测出金字塔的高度。 那么想一想，说一说泰勒斯测量金字塔高度的道理，就是用相似，如果身长与影高，如果身高与影长的比不是一比一，还能测量出金字塔的高度吗？ 这个有待同学们啊，去研究，去发现。 好，那么通过本节课的学习，我们知道了正比例，如果 y 比 x 等于 k， 这个 k 一定，那么 x 与 y 就 成了正比例。好，那么我们今天的这节课就讲到这里，我们下期再见， 记得点赞关注哦！

接下来我们继续上第二堂课，第二单元，比例的第一课，比例的认识。我们在课前做如下的学具准备， 同学们准备好了吗？准备好了，我们就正式进入第二堂课。关于比例大家不陌生，它广泛存在于我们的现实生活当中，同学们，通过预习，你有了哪些问题呢？ 什么是比例？比例里有比字，它和比有什么关系呢？ 比有性质，比例有吗？为什么要学习比例，它有什么用处呢？ 我听说过比例尺，它和比例有关系吗？感谢同学们的分享，现在我们就带着这些与学思考，正式认一认比例，学一学比例，看看究竟什么是比例。 在上学期学习笔的认识的时候，我们已经接触过两张图片像不像的问题，现在请你结合笔的知识再想一想，找一找，哪几张图片比较像呢？ 老师，我觉得 a、 b、 d 这三张图片比较像，大家都同意吗？ 那么你能用笔的知识来说一说，为什么这三张图片比较像，你的判断依据又是什么呢？ 我们现在聚焦图片 a 和 b， 请同学们联系笔的知识，想一想，为什么图片 a 和图片 b 像呢？ a 长与宽的比是六比四，图 b 长与宽的比是三比二。因为六比四等于三比二，所以图 b 与图 a 比较像。 图 a 长与宽的比是六比四，比值是一点五。图 b 长与宽的比是三比二，比值也是一点五，所以六比四等于三比二。 谢谢你们的分享，原来当两张图片的长宽比一样的时候，我们就可以判断出两张图片比较像， 还有没有其他的判断方法呢？我们聚焦一下图片 a 和图片 d， 看一看这位同学是用什么方法来判断的。 图 d 和图 a 相像，是因为它们长与长的比是十二比六，化简后是二比一，宽与宽的比是八比四，化简后也是二比一，十二比六等于八比四，所以 a 和 d 相， 同学们听懂了吗？大家有没有发现，这位同学不仅解释的清楚，还用这种表格的方式，简单明了的把自己的想法表述清楚，我们要向这位同学学习这一点。 回到这个问题，我们还发现，当两张图片的长与长的比等于宽与宽的比的时候，我们就可以判断这两张图片是比较像的。 同学们发现没有，当长与长的比等于宽与宽的比的时候，实际上就是这张图片的长和宽成了相同的倍数。 比如说图片 a 长六，它就成了二，图片 a 的 宽四也是成了二，这时候两张图片的长与长的比和宽与宽的比就一样了。 说到这里，有些同学就会问老师，那到底什么是比例呢？同学们，当我们在研究这些问题的时候，实际上你已经很自然的写出了两个比例， 像十二比六等于八比四，六比四等于三比二，这样表示两个比相等的式子，我们叫做比例。 我们一定要区分清楚比和比例，比是什么呢？比是像十二比六、八比四这样的表示两个量之间的关系。 什么是比例呢？比例是十二比六等于八比四这样的式子，它表示的不是两个量之间的关系，而是两个比相等。现在你能区分出比和比例了吗？ 我们继续认识比例，十二比六等于八比四，这个比例当中，内侧的六和八我们称为内向，外侧的十二和四我们称为外向。 现在同学们请看六比四等于三比二这个比例，请你说一说哪些是内向，哪些是外向？ 你说对了，四和三是内向，六和二是外向。 我们还知道我们可以把笔写成分数的形式，所以十二比六等于八比四，也可以写成分数的形式，可以写成六分之十二等于四分之八。 现在请同学们把六比四等于三比二这个比例也写成分数的形式， 写成分数形式之后，就是四分之六等于二分之三。 同学们在认识比例的时候，我们还要认识这样的分数的形式，并且看分数的形式，我们也要判断出哪些是内向，哪些是外向。好，认识完了比例，我们现在用比例的知识解决这样的问题。 下表是调制蜂蜜水时蜂蜜和水的配比情况。根据比例的意义，你能写出比例吗？请同学们拿出你的笔和纸，写一写你找到的比例。 好，有同学是这么写的，十比二等于十，五比三。请同学们判断一下，这位同学写的式子是比例吗？ 我觉得这位同学写的是一个比例，因为十比二的比值是五，十五比三的比值也是五，他们的比值是相等的。 我们也可以通过化简比进行判断，把十比二化简会变成五比一，把十五比三化简也会得到五比一，所以这两个比是相等，也就组成比例了。 其实我们直接运用比的基本性质就行了，十乘一点五等于十五，二乘一点五等于三，所以这两个比是相等。 感谢同学们总结的这些方法，看来在判断写出的式子是否是比例的时候，我们可以用求笔直的方法，化简笔的方法，直接运用笔的基本性质的方法来算出这两个笔是否一样。 这三个方法之间没有优劣之分，只有适合你的就是最好的方法。现在还有一些同学写下了如下的式子，请同学们判断一下这些式子是否是比例呢？ 我觉得第一个是一个比例，二比十的比值是五分之一，三比十五的比值相等，所以二比十等于三比十五是比例。 第二个比例也是对的，十比十五可以化简为二比三，所以二比三等于十比十五是一个比例。反过来十五比十能化简为三比二，那么三比二等于十五比十就也是个比例。 最后一个是错的，三乘三分之十等于十，二乘二分之十五等于十五，它们长的不是同一个比值，肯定不相等，所以不能用等号连接。同学们说的真好， 看来思考的角度不一样，我们写出来的比例可能也不相同，但是我们一定要保证两个笔相等，我们可以通过求笔直，通过化简笔，通过直接运用笔的基本性质等的方法， 可以准确的写出比例。现在请同学们想一想，比例实际上广泛的存在于我们的现实生活当中， 你还在现实生活中的哪些情景中发现过比例？我们应该怎么写比例呢？ 请看这些同学的分享。我们看一看这个生活场景有比例吗？有的话我们应该怎么写比例呢？ 国旗当中就有比例，操场上悬挂的国旗大，教室里的国旗小，但它们的形状是相同的。操场上国旗的长宽比跟教室里的国旗的长宽比肯定是相等的，这两个比就能写成比例。同学们，和你想的一样吗？ 我们再看这位同学的分享，观察一下在这个生活场景中又有哪些比例呢？我们应该怎么写啊？ 去年我回老家需要坐高铁，于是我查越了高铁的速度，高铁的行驶速度不变的话，高铁的时间比就等于他们行驶的路程之比。同学们，是否跟你想的一样？ 我们再看这样的场景，是不是很熟悉啊？在这里又有什么样的比例呢？请同学们写一写。好，我们现在听一听。这位同学的想法跟你写的是否一样？ 咱们平时购物就会有比例，我妈妈在同一个网店上买了两次口罩，她第一次买了三个口罩，花了六十块钱，第二次买八个口罩，花了一百六十块钱。 因为口罩没有涨价，所以两次买口罩的个数的比和花的钱数的比就能组成一个比例。三比八等于六十比一百六十。同学们，跟你想的一样吗？我们还可以写出什么样的比呢？ 我们知道口罩的单价没有变化，所以在这个情景当中，总价和数量的比也是不变的。所以我们还可以写什么样的比例呀？ 六十比三等于一百六十比八，跟你想的是否一样？好，我们再看最后一个生活场景，在这里又有什么样的比例呢？这位同学写的又是什么样的比例呢？ 我发现配消毒水的过程中就有比例，疫情期间我承担了给家里地板定期消毒的任务，第一次配的时候，我用了二毫升消毒液和三百毫升水，发现配置出的消毒液水也是少， 所以我又加了三毫升消毒液和四百五十毫升水，两次都是按照一比一百五十配的，所以二比三百和三比四百五十肯定组成比例。 看来同学们都有从生活当中发现问题的眼睛。同学们，其实当你用数学的眼光看这个现实生活的时候， 你就会发现，哇，原来我们生活中的这么多的小事物背后存在着这么多的大智慧， 生活其实就是一个大宝藏。当你用数学的眼光观察这个现实生活，用数学的思维去思考你发现的这些问题，在用数学的语言表达你解决问题的过程的时候。

哈喽，同学们大家好，今天这节课我们来学习第四单元，正比例与反比例。第一节变化的量 啊，我们身高在不断长高，我们的岁数也会啊越来越大，体重也会啊越来越重，我们的体重会随着岁数的变化而变化， 而且还有我们的天气也是随着温度的变化而变化， 还有我们的疫情还有治愈率和病死率也是在不断的在变化。 好，接着我们来导入课题，我们来看这三个正方形，这三个正方形的周长是二厘米，那么它的周长就是八厘米， 第二个的周长是十二厘米，第三个的周长是二十厘米。 通过这一个你发现了什么？我们可以发现周长它随着边长的增大而增大，正方形的边长发生变化，周长也发生变化。 还有面积，我们来算一算，第一个的面积是四平方厘米，第二个的面积是九平方厘米，第三个的面积是二十五厘，二十五平方厘米，面积也随着边长的变化而变化。 那么我们本节课的学习目标重点就是啊，描述变量之间的变化关系。难点，通过图表来体会变量之间的变化关系。 淘气啊和笑笑分别用表格和图表示了妙想六岁前的体重变化情况。编查图观察表格和图，想想哪些量在发生变化。 妙想六岁前的体重是如何随年龄增长变化的？我们可以看出 竖着的他是啊，年龄和体重啊，年龄这一排表示的是出生时二岁、四岁和六岁， 年龄越来越大，而他的体重也会啊越来越重，说明 体重年龄它变化，体重也随之变化，也就是体重随着年龄的变化而变化， 那么我们就把年龄和体重叫做两个变化的量。 妙想的体重随着年龄的增长而增加，这是六岁前。妙想什么时间体重增长的最快？ 肯定啊，是从出生时到两岁，他这一部分时间增长的最快。那么我们骆驼被称为沙漠之舟，他的体温随时间的变化而发生较大的变化。 一天中骆驼体温最高是多少？最低是多少？我们可以看出啊，它的横横轴表示的是时间，而纵轴表示的是温度， 那么它的体温最高时，它是四十摄氏度，而最低是三十五摄氏度。 二、一天中什么时间范围内骆驼的体温在上升，什么时间范围内啊？骆驼的体温在下降， 我们可以看一下，他从四十一直到十六时，他都是体温在上升，而且从二十八时到四十时，体也是在上升 啊。骆驼的体温下降，他是零时到四时在下降啊，十六时到二十八时也是在下降，从四十时到四十八时也是在下降。 第二天八时，骆驼的体温与前一天八时的体温有什么关系？我们可以知道， 一天他有二十四个小时，他一个格代表的是四个小时。我们可以算出第二天的八十是指三十二，那么八和三十二之间的体温都是三十七摄氏度， 所以他们的体温是相等的。 那么骆驼的体温随时间的变化呈现出周期性的变化。每天的同一时刻，骆驼的体温总是相同的， 体温随着时间的变化而变化，那么这里面两个变化的量就是体温和时间， 那么一个量随着另一个量的变化而变化，那么这两个量就是相关联的两个量。 接着我们来看一看，我会连正方形的周长， 肯定要，是啊，随着边长的变化而变化，而路程随着行驶时间的变化而变化，总价，它是随着购买数量的变化而变化。 在大自然和日常生活中有很多变化的量，你还能找出一个量随着另一个量变化而变化的例子吗？比如 一天的气温随时间的变化而变化，还有汽车行驶的路程随时间的变化而变化，物品的总价随数量的变化而变化，正方形的周长随边长的变化而变化，这都是变化的量。 接着我们再来看课堂练习。第一，小红看一本书，他把自己每天已看的页数和未看的页数做了一个统计。第一，在小红所统计的表格中，什么与什么是两种相关联的量？ 肯定啊，是啊，已看的页数和未看的页数，是啊，两种相关联的量。什么随着什么的变化而变化？肯定是啊，未看的页数啊随着已看的页数的变化而变化。已看的页数和未看的页数和是多少？因为啊， 他们啊，都是相等的，总页数都是相等的，我们可以算第一个一百七十五加上二十五，是啊，两百，所以和是啊两百亿。 那么通过这节课你收获了什么呢？我们本节课主要是啊，讲解了变化的量， 我们知道了变化的量叫做变量，一个量随着另一个量的变化而变化，这两个量就是相关联的量。两个变量在一定条件下有一定的变化规律。 我们再来看一个题型，当圆柱的底面积等于十平方厘米时，圆柱的体积和高的变化情况， 我们可以看出圆柱的体积随高的增大啊，增大说明高和体积就是两个变化的量， 那么圆柱的体积与高之间的变化关系就是，当圆柱的底面积一定时，圆柱的体积随着高的变化而变化，高变大，体积变大，高减小，体积减小。 好，那么我们今天的这节课就讲到这里，我们下节课会来直接进入课题，叫做正比例， 记得点赞关注哦！

六下数学最难的正反比例，就这几大题型，寒假练完稳进前三，可打印六下数学正比例和反比例易错知识点一、两个变量的四种关系二、正反比例对比正比例反比例相同不同三、常见的正比例反比例在比例尺中形成问题，售价问题， 工作量问题。同一个圆正在正方形中，在长方形中，在三角形中公式在梯形中公式，在圆锥中公式。用比例解应用题专题一，正比例公式专题二，反比例不穿问题。方砖面积乘快速等于教室面积。各项小列以上均有电子版。