德州高一联考2026有济南高中吗

好啊，各位朋友大家好，今天给大家来进行分析一下咱们这个高一的这个这次期末考试啊，这次期末考试的难度呢？还是有一定难度的啊，我认为这次考试难度还是比较大的，尤其是咱们的解答题选择填空呢，其实还好 啊，就是这个考法呢，基本上也是二零二五年的这个一个高考的一个思路啊，就是选填题比较简单，解答题呢会把难度提上来一些啊， 今天呢咱们会对这份试卷呢进行一个全面的分析。嗯，然后就是说咱们寒假的话，寒假的话同学们如果是自己预习的话，就是寒假的预习，这个 b u 三的内容呢，它基本上主要预习什么内容？来我简单说一下这个寒假的情况， 寒假的情况呢，就是第一部分就是向量，向量这一部分，就这两大部分，尤其是这一部分向量型这一部分的题目呢，还是有一定难度的。向量部分呢，虽然这个知识点本身有难度，但是他考考察的内容不会很难。 这个地方虽然有难题，但是他是他是属于一个全新的知识啊，这个咱们在高中，在初中或者高一的上学期是没有接触到的， 就这个对于咱们高一的同学来说是学一个新知识，但是难度不大啊。难度不大，那接下来的这个正弦电音和弦电音以及解三角形呢？这个就主要考的是那个三角函数部分， 但是他这个三角函数呢，主要是解答题的部分，这地方呢，虽然和其实和咱们之前学的什么图像啊等等变换啊，就关相关来，没有那么大，但是确实挺难啊， 然后错位的话有时间就是讲一讲复数啥的，复数的话难度不大。嗯，这是咱们寒假的一个大体的情况，好吧，哎，然后呢，我们来看一下今天讲的这个试卷的一个分析。 试卷的分析呢，我来看前面的选择。选择题，你看第一个，这是比较简单，这个你只你只要知道 y 等于 tan x， 它的 周期呢，是派就可以了，直接就把它变成 y 等于，这是一个负的三分之三分之二派，是吧？ 其实它就可以把它写成是它的三分之派，或者是负的它的三分之二派再再做，是吧？所以说第一个题就是 d， 第一个题比较简单，那我来看第二个题，第二个题就是纯粹的套路题，对吧？就是 这是任意的小于它就改成是存在，是那个大于等于，是吧？所以第二个呢，也选的是第四个，那我来看第三个，哎，如果说是这样推，不一定是顿角，对吧？但是顿角呢，就一定能够推出后面这个东西来，所以这个题选的是 b 啊。 第四个来看，第四个也是比较简单的。这个第四题呢，首先来看 ab 都是一点一次方，这是负的一点一次方，那就把它变成零点九的负一次方，那么零点九的负一次方是不是就九分之十啊？ 那么九分之十的话，你算一算，是不是一点一一啊？所以说九分之十的这个一点一次方肯定要大于这个一点一的一点一次方，所以 b 呢，肯定是大于 a 的， 但是他们两个都大于一，这是肯定的，但是我们来看这个 c 选项 line 二 line 呢，它是以 e 为底， e 是 二点七，所以说 c 呢，它是小于一的，所以这题 c 呢，一看就是最小的啊，所以第四个题选 a， 这题也不难啊， 来第五个。第五个呢，考的就是扇形的面积公式，对吧？就是扇形的面积公式应该等于二分之一，阿尔法乘以二的平方，哎，然后你就算一算，往里边一比，它不圆心角之比吗？那就是三比二吗？那么面积之比不就是四比九吗？ 对吧？哎，然后你算一算，我看是一个二分之三，对吧。第五题也选 a 啊，前四道题呢，还是比较简单的来看这个第六题，这第六题，这第六题是高法题改的，高法题，当时改的是好像是二倍的 sin。 什么东西，现在就是 cosine 什么东西？这题考的就是五点读法 啊，这是典型的考五点做图法。五点做图法呢？呃，我在这个周末的课上一再强调过什么叫做五点做图法，那么就是我如何来画勾三零二 x 减三分之 pi 图像，但是呢，你说我老师我不用五点做图法，我要用平移来做，可以吗？也是可以的， 没问题，课本上这个地方讲的就是两个方法，但是呢，我认为这个这个平移还是比较麻烦的，我认为平移还是比较麻烦的，所以五点作法还是比较快的。讲过很多次了，五点作法先取第一个点，就是二， x 减三分之半等于零， 这时候呢， x 等于六分之半，你现在，但是 cosine， 我 们来看 cosine， 它应该起点是在这个地方，大概的大概的是这么个东西， 大概画一下，那我来看左边这个点是多少呢？这个你得稍微想一下，或者让它等于负的二分之派，其实这就这里就是负的六分之派，那么这个地方就是正的六分之派。那么好了，那我来看，我接下来加一个整周期， 因为我来看它是二 x， 所以 说它 t 呢，等于二派，比上二等于派，对吧？所以加一个整周期。那你一开始的起点是六分之派，那么这里就是六分之七派， 但是呢，他现在要到二拍结束，所以说我需要再加一个周期，因为还没有到二拍，我们来看，那么到二拍的时候呢，就变成了六分之十三拍，他比二拍呢要稍微大了一点，所以二拍呢，应该在这个位置， 大概的那么好了。第二个呢，它是 cosine x， cosine x， 我 们来讲它 cosine x 起点这个比较好做，它的就是画一个整周期就可以，但是这个零我们得想一想，我们得考虑一下，当 x 等于零的时候， cosine x 是 等于零，就是 cosine 零啊，就是等于一， 而我们来想一想，这个 cosine 三倍的 cosine 零，减去一个三分之，它等于多少？ 因为 cosine 三分之一， cosine 等于二分之一，所以说它是二分之三啊，那所以说我们这个起点，它这个地方呢，应该是二分之三，那么这个地方它是一对吧？那我来看，我要简单来画一画，它到派派的话，大概在这里是吧？大概划一划就可以了， 对吧？那么这个就是 cosine x 大 致的一个图像，我们来看几个焦点，一个，两个，三个、四个，所以选的是 b。 这个题和高考题基本上就是一样的，高考题只不过是正弦，这个呢是余弦，嗯，对于这个就是我们学过的五点托特法，只有在这一种题上用的比较多。 这是第六道题，然后第七道题呢，这个是一个指数对数的运算啊，你就是把它带入就可以了，你只要会带数就可以。 他说呢， n 从这个东西长到这个东西的时候，他这个时间长增加了二十个小时。那你得得有一个 t 零啊，你 t 零等于 k 倍的什么？ log 二为底，二乘以十的六次方，那么你第二次加了二十，那不就变成了 t 零加二十了吗？那么他就等于 k 倍的 log 二为底，什么二点零四八乘以十的是个九次方。那么第三个他问到增加那个时候，再等于比这个 前面这个加了多少？不就是再加上一个 m 吗？对吧？然后等于 k 倍的什么？ l 二倍底，这是一个八点幺九二乘以十九次方，然后上下一减，就做对手的计算。这个 k 好 像做上来是二， 这 k 好 像是二，就是你自己可以算算。这个题不是很难，所以选的是 c 选项，这个东西考的是对数的计算啊。 然后我们来看第八个，嗯，第八个呢，这个呢，我们会稍微讲一下。讲一下这个，这个题呢，主要是还是画图。第一个我们要画 line x 图像， line x 绝对值的图像呢，这地方我们已经画过很多次了，对吧？简单的画就是这样， 这地方是 e， 这个是很好画的，但是这个 e 的 x 加二次方减 e， 它的图像大概是什么样的？你先比如说我先画出来 e 的 x 方向图像， 我一减一，它是不是向下移动了一个单位，向下移动一个单位，注意加加这个，这个这个间距线啊，这间距线很容易错，然后呢 x 加二向左移动两个单位，是吧？移动到这来，但是我要向上一平移， 那是不是就平移到上面去了？哎，所以说它这个图像是很容易画错的，它这边呢是一个单减的， 这下面应该有一个 e 的 x 加二次方减一等于零，这个 x 应该等于负二，然后这边它就变成一个增函数，因为这边它使用在增， 这个值呢，你得算一算，把它带进去， x 等于零，就是 e 的 平方减 e， 这个地方来看是 e 的 平方减 e， 而他这个小于负二的这个渐近线啊，是 e 啊，小于二的时候的一个主主要的问题。那么我们接下来来看第二步， 然后呢第二个你要一个关键什么？他要说这个东西的有五个零点，有五个什么根，你要看的出来，这个他是能够十字相乘的， 就是负的 m 减一和负一啊，这个你可以看出来十字相乘啊，那么十字相乘之后，我才得到两个根，那么就是 f x 有 一个根已经确定了，就是 e， 另外一个 f x 等于 m 减一。 我们首先来看 f x 等于一，在这个图像当中有几个焦点明显是一个、两个、三个，对吧？所以说这个地方它已经有三个根了， 有三个根，那么所以说那么 f x 等于 m 减一，那么它只要有两个根即可。 那么我们看图，你两个根的话，你肯定是在这个 e 的 平方加 e 的 上方，这个这个也是往前走，它只是缓慢，等的比较缓慢，所以说我们来看，我们的这个 m 减一，它肯定是要大于 e 的， 平方减 e 不 能等，对吧？应该能等吧，我们来考虑一下，这个不能等，是吧？所以说 m 呢，就要大于一方，就是这个，但是你不用你后，后面还有两个，对不对？还有一个就是 m 减 e 的 一样， 这是 m 的 一对吧，所以说他这两个，他这两个，他这个四个，我跟的情况是这么来的，所以这一选是 c 选项，这个题其实也不不是很难，就以画图为主啊。 啊，好，然后我们来看接下来的这个多选择题，多选择题第九个，这个不难，大家套公式也行，代数也行，这个题我不我不说了，简单，你们自己做做就行了，就是 a c d 啊。嗯，然后第十个题呢，也是一个长好的题，什么直域，电域是二是吧？ 就是这个 a 大 于零，开始向上，那就是这样的，对吧？那我来下，如果直遇十二，那他就应该是这样的，这个，这个已经讲过无数次的题了，这属于这就选 b c 啊，这个我们也不讲了 啊，就这个 c d 已经是讲了很多次了。那我来十一题呢，他考了一个新定义啊，十一题，这个题是有一点难度的，因为首先呢，有个公式我们没有学啊， 那么像这种题我们怎么做？先比如他的周，他说他并没有说他的最小正周期是派，对不对？他就说一个周期是派，那其实就是来问你， f x 是 不是可以等于 f x 加派呢？你带入一看，这个 a 肯定是对的， 对不对？这个 a 肯定是对这个，这个很好想啊，这个 a 是 对的，那我来看这个 b 选项，他说 g 二，他都告诉你了，这个 g x 等于 c x 的 平方减去一个 cos x 的 平方，你代入之后，他不就是二倍的二倍的 c x 平方减一吗？ 这个 q 三一方面一减二倍，一减三一方法，那么在零二分之派之间 q 三 x 平方是增的，所以 b 肯定是错的，对吧？这个是很好理解的，那我来看 c 选项， c 选项也比较好做， c 选项它是怎么做的呢？ 再说就是公式，他说这个东西如果是相等的话，其实就是在问你什么，就是在问你 j k x 它是不是等于 j k， 呃，加上公式，别忘了是二分之派减 x 增量这个东西是不是对的， 你代入之后它就是对的，所以四平方有关对应中心的公式。这这套试卷上考了两次，后边还考了一次，就是如果说我们得到了 g x 加上一个 ga 减 x， 如果等于 b 的 话，那么它的对应中心就是二分之 a 和二分之 b 啊，这个呢，只需要大家注意了，这个 d 选项，是这个 d 选项选了这个 d 选项，还是选了这个呢？我觉得是比较容易错的啊，这个不太好想，这个得用一点超方的知识来做，就是我要那个化简一下才行，让这个 三 x 的 这个二 case 方变成这个二 x 方，再变，一变不变。这个题我认为是不好做的啊。这个所以说要求咱们学一点下面的知识。 好，这是多选题，多选题，除了十四十一题最后一个，其他的都还可以，都是考的基础问题，没有特别难。然后来看这个填空题，十十二题比较简单，对吧？直接直接一看就是 这个，这个 a 的 平方等于多少来呢？就是负一啊，那个讨论一下就可以了。这个第十三题呢，也是，哎呀，这个题我们考试时间刚讲了，你既然是 m 函数，说明什么？说明这个 m 的 平方减 m 减 e 等于零， 对吧？你讨论的等于一等于一，所以说 m 有 两个情况，一个是等于二，或者是一个是负一，你看哪一个是递减的，我就发现这个其实负一是递减的，对吧？待会就可以了，就这个题应该是负八，这个我们不讲了。 然后我们来看十四题，十四题刚才又考对信中心了，又考刚才讲咱们的公式，这个公式呢，就是刚才我说的那个公式，就是对信中心的公式， 对应中心的公式。这个题套公式其实不是很好做，其实不是很好做，就是你说，哎，老师你说我就会公式，那就是 f x 加上一个 f a 减 x 等于 b， 那 么它的对应中心就是二分之 a 和二分之 b， 但是我就发现，哎，我这个代入硬算实在是 有点麻烦啊，你代入字做也行，我认为是比较麻烦的。这个题如果想要快速的来做，我们来看，可以考虑从哪个地方来考虑呢？以前的时候这种题优先考虑的是定义域， 但是定义域它不是全对，它是全对实数，所以说它它的对称性看不出来，所以这个呢，你如果想要一眼看出来的话，你得看一看它的值域是什么， 我们来看，你得看一看这个 f x 的 值域。 f x 我 们来看，当 x 特别大的时候，它肯定是要比零要大，但是它小于多少？因为二的 x 方比零大，所以就是零，所以小于二， 那么它的值域是零到二的话，那么说明它的对称中心的这个纵坐标，这个二分之 b 啊，肯定就等于二分之零加二， 所以说这个 b 啊，肯定就等于一啊，肯定就等于一啊。你如果说想要快速做的话，那么就相当于是这个地方，那么我就已经看出来了， f x 加上一个 f a 减 x 等于一， 对不对？然后把 f 零带进去，那么我看一看 f 零加上一个 fa 等于一，这个 a 是 多少？ 这答案结果就是零到一啊。你这个好像我直接看红色标是零的话，好像不太好看，好像是不太好看，或者是从奇函数来讲，但是我认为奇函数不太好做。这个题啊，这我提示一下套公式也行啊，就是这个从直域的角度来考虑，可能会更简单一些。 那我来看第二个他，他说这个，其实第二个他已经提示你这里是二，所以说也是二，对吧？那么这个地方呢？我们来看，我要构造一个函数了，我就令大 f x， 因为它是一个极函数。 呃，这个应该是二，这我写错了，应该是二，因为 b 是 不等于那个，那个，那个对应中心的 这个值域呢？他是零到二，对吧？所以说呢，他这个二分之 b 呢，应该等于二分之这个二，所以 b 等于 b 等于这个地方应该是二，写错了，这是二。那么好了，那么来看我这个地方构造的话，我可以构造 f x， 建议 我为什么这么构造？你看我刚才写的这个对应中心，或是我们已经求出来第一问之后，因为我们第一问算的是 f x 加上一个 f 负 x， 它等于二，所以说你变一下形，就是 f x 减一等于一减去 f x， 那 么我们构造出大 f x 等于它，那么来看它的两个性质，第一个性质它是奇函数， 刚才已经证明一下了。第二个它是单调递增的，为什么呢？因为你 f x 单调递减了， f x 是 单调递减的吧，所以说大 f x 就是 单调递减。那么所以说我根据这个构造之后呢，我把这个原函数呢，就把它变一变，一下形就变成了 f a x 平方。 收到啊，来看，我们来看这个题，我们把它变成 f a x 平方减二减去一大于等于一减去一个 f 二， a x 就 变成这个东西 了，那么来看这个名，写我就可以，我再写上是 f a x 大 f a x 方减二，那么大于等于，这不就是负的大 f 二 a x 吗？ 因为大 x 的是奇函数，它不就是大 f 负的二 a x 吗？对不对？那我们来看，又因为它是单调递减的，所以说呢，我这个 a x 方减二，应该是小于等于这个负二 a x， 我们是这样做的，这样做，那我来看，现在呢，我要来求 a 的 取值范围，那么这个时候呢？ a 取值范围呢？来看，这是 ax 方加上一个二 ax 减去一个二，它要小于等于零方程里，对吧？它是小于等于零方程里，是吧？那这个一下你你肯定是这样的，或者是这样的， 所以说 a 呢，肯定是小于零。这个接下来计算也比较简单，就是负二档点最后的结果 啊，这个应该是必须这样。哇，这是第十四题，十四题呢？第一个第一问我觉得就不太好做了。第二问呢，你还得有一个转化，有一个构造，构造完了之后呢，要看它的两个性质，第一个它是记函数，第二个单元递减才能把这个十四题做出来。十四题还是有一定难度的 啊，我们来看十五题，十五题咱们考试之前已经讲过了，说这个诱导公式和其次是肯定是要考的。这个这个我不讲了，就是负的二分之一，第一个结尾是负的二分之一，第二个结尾是负的五分之十。这道题比较简单， 也不能说比较简单，这就是考试之前能够猜到的题啊。然后来看十六题解答题的部分都比较难啊。现在这个十六题，第一问比较简单，就是， 嗯，他这个 a 呀，你带入之后之后呢，就其实就等于落了二三，然后再往里带一带就行了，这个是三分之八， 这个我也不讲了，这个也比较简单，我来讲一下第二个，这个第二个我觉得确实很难，确实确实有点难，对于咱们高一的同学来说，特别是成绩，就是理解能力一般的同学，这个很难来做。他首先呢，他这个 x 减去 x 分 之一， 因为它是 f， 这个东西和这个东西相等，那么我想你想它它是什么？你看它的原式是二的 x 方减去二的 x 方分之一，那么它这个地方我得把这个 x 写成什么呢？就是二的 log 二 x 减去一个二的 log 二 x， 这有一个对数横等式的变化，我这么变有什么用？那么它不就等于 f log 二 x 吗？ 对吧？所以说要求这两个东西相等呢，其实，那么就变成了 f， 呃，变成 log 二 x 的 平方减去 m 倍的 log 二 x 加上一个一，等于一个 log 二 x， 要求这个方程有解 啊，要求这个方程是有解的。 哎，所以说这个地方呢，我们来看，嗯，要从这个角度来考虑，那我这个有解，这一看就是这个 换元了，对不对？那我来看，我们的 x 是 大于等于四，小于等于十六的话，那么我们这个 log 二 x 就是 大于等于二，小于等于四的范围。所以说我如果让它等于 t， 那么原式就变成 t 的 平方减去一个 m， 加一倍的 t， 加上一个 e， 等于零。要求这个方程在哪里有根呢？它在二到四之间有根。 哎，这时候就变成一个二次函数的问题啊，咱们这个实验当中考到了很多有关二次函数的题啊，那我来看这个时候呢，你到了这个部分，我们就会出现两条思路，第一个思路就是分离参数法 啊，我可以考虑分餐来做。我为什么能够考虑分餐？因为这个 t 是 正的，我是没问题的。那么来看，这个分餐的话，就变成了 m， 应该等于什么呢？应该等于一个上面是一个这个，这个这个 t 方 加上一个一，减去一个 t， 下面除以一个 t， 那 么来看，这时候就变成了 t 加上一个 t 分 之一减一，而 t 的 范围是二到四之间。哎，这是明显的对勾函数， 是吧？这个 t 等于一的时候呢，是它的一个最小值，那么你现在 t 呢，是属于二到四，所以说你代入之后就能把它的值率取出来了，这个范围的话是二分之三到四分之十三 啊，这个是 b 虚点，嗯，这是第一个方法，那我来看第二个方法，如果老师我不分三，我能不能从二次函数的角度来考虑，那就是 t 的 平方减去一个 m， 加一倍的 t， 加一等于零， 要求这个东西这个二次函数在二到四之间有根，那问你这个这个这个它的取值范围，这时候呢会有两种情况。第一种情况呢，这就是你要来分类讨论了，分类讨论是什么情况呢？第一个我只要有一个根，它没有说有两个根，对不对？所以说我们来看，根据零点存在性定律， 假如说这里是二，这里是四，假如它是这个 g x， 就是 g t 啊，要求 g 二乘以一个 g 四应该是小于零的零点三三，零点零，对吧？但是呢，你不要忘了，因为它是二次函数，你还要考虑一件事，那就是有可能是这样， 这里是二，这里是四，而且你还得对应轴呢，在这个二到四之间，这个好像讨论是不用讨论，应该是不用讨论的，所以小一等一下，小一等一下，这个应该是都行。这两个画法，所以说你要来选择的时候，好像是第一个简单 啊，反正这个第一个不需要讨论，第二个你就需要来考虑，考虑两场情况。所以说十六题第二问呢？哎，大家呢一定要考虑清楚这个，尤其是他这个转化，尤其是这一步，我觉得这一步 不太好理解，对于咱们高一的同学，至少得有三分之一的同学可能不太好做啊。这十六题来看，十七题这个题， 这个其实跟刚才咱们讲的单元题第七个很像，就是指出对手的运算，这个你代入一下算算就行了，这个我不讲了， p 等于负的零点五，这是简单的应用题，就是这肯定就是对手的运算， 然后这个 p 等于零点五之后呢，你 p 等于负的零点五之后，你就代入计算。这个地方有一个代入之后呢，就会出现这样的一个算式，就是这个五的这个零点五的零点五， n 减去一个零点五 大于等于三分之二三十二，只要代入计算就可以。那我来看这地方做出来 n 呢，是大于等于二乘以五倍的 log 二比上一个一减去 log 二加一，这些都是计算啊， 然后他啊，他这个地方给 log 二等于零点三了，是吧？那这就太好做了，那我就带入进去算算就可以了，所以 n 呢加等于六，这个具体咱们不讲了，这个题其实实际题还是比较简单的，但是呢，要求的计算能力比较强，他也没有存在求对值是吧？不像咱们以前讲的那些东西，你还有求对值啥的，这不需要求对值。 然后我们来看第十八个啊，十八个这个考试之前咱们也已经说到了啊，这种题考的是非常多的啊，但是这个题第一问还是比较简单的，就是带入 t 等于二倍欧米了，是吧？ 哎，这这种是太简单了，实在是这种就是求周期公式就可以了。那我们来看这个第二问呢，这个其实你只要把 g x 解一式写出来， 就等于二倍的三，你我们来看它是向右移动，对吧？左加右减就是二 x 减去一个六分之派啊，这地方别写错了，六分之派减去一个四分之派， 不是说要是 x 减六分之，减去十二分之一，然后呢？他说变成了原来的 l 分 之一啊，这个地方它是反的，对不对？所以说我们这地方就变成了一个 c， 二倍的 l， x 减去一个十二分之五牌， 哎，然后呢？他说如果说只有一个对称轴，这个地方用的是换元法 啊，这个我们基本上，基本上大部分的三角函数图像题，我们都是用换元法来做， 希望大家对换元法一定要有深刻的理解，否则的话你很多题是做不出来的啊。当然有问题可以再私再单独问我吧。这个我不讲了， 我们来看这个第二位啊，这个这个就所谓的最后一位，这第三位啊，我们把这个题重点讲一下，然后你这个代入之后呢？它这个 g x 加三分之派和这个 c 二 x 加四分之派就是相等的，所以说这地方还是换元，对不对？还是换元，就是你得先想一想，当 x 要大于 负的八分之派，小于八分之五派的时候，那么我要算一算这个二 x 加四分之派的范围，那就是大于一个， 呃，我们来看大于一个就是负，大于一个零，是吧？然后小于一个这个就把它带进去，带进去之后就是一个四分之五，就是二分之三派。那我们来讲 c 这个东西的范围是什么？我画一画图， c 应该从这开始走，对吧？ 这里是二分之三派，这个地方有一个容易错的点，这是开取键，这是开取键。假如说让这个东西换成 t 的 话，那么我们来讲这个小 t， 这个 t 的 范围，你发现它是大于负一，小于等于正一，负一它这个点取不到 啊，负一这个点取不到，这个一定要想清楚了，那么好了，如果这样的话，变完了之后，那么这个题目就变成这样的一道题了，就变成了一个三分之二倍的题方， 我们来看就变成了三分之二 t 方减去三 m， t 减去一个 m 点。二大于零 要求的是有解，那么在哪个范围里有解这个 t 的？ 就像它定义定义是负一到正一的开比区间啊，这地方注意它有一个开区间，我有些同学会做错，那么这个地方是存在啊，有解是不是就是存在？ 它不是横成立，那么它既然不是横成立的话，那么它就应该是它的最什么值大一点，应该是它的最大值大一点啊，应该是它最大值大一点，那么这个地方来看，我要讨论它的最大值，那么我但是你也可以仔细仔细讨论一下，因为这个东西开始是向上的， k 轴是向上的，对吧？它的对称轴啊，你随便做一做，那么它是从负一到正一，那么来看，无论负一到正一，在哪个情况下，如果说负一到正一是这样的，那么这个时候是是要大一点，是不是就是假如说这是 h 是 p x p t， 那么这时候是不是 p 负一你就要大于零？如果你是这样的，那么就是负一到正一，那么这个时候就是 p 一 大于零。如果是你左右两边都有，反正他的最大值要么就是 p， 要么就是负一，要么就是正一大于零，所以这点好像不需要讨论啊。 对对对，这个讨论的问题是一个比较关键的，他是不太需要讨论的，你自己讨论完了之后发现都是这两个，这两个都大于零就行了，不需要讨论。 如果你在这费时讨论的话，可能会浪费一点时间啊。这个最后的结果给大家说一下，就是一个十八分之十一是开区间， 到这个十八分之二，十三是 b 区间。刚才说了，为什么一开一闭啊？因为它的这个还原之后的范围就在这呢， 这个地方属于到这里。嗯，这个的话，这道题我认为十第一问第二问都没问题。像现在的话，像这种题已经属于中档题了，已经属于中档题了，其实也挺难的。其实也挺难的。换元学同学换不明白，这个呢，确实不好想。嗯， 也不是很难，其实换元你会发现我们整个高一的这个上学期换元法是非常， 就基本上所有的解答题的难题都会让你来考虑啊。好吧，这是第十八个，我们来看最后一道题。最后一道题第一题比较简单，第一题的结果，这个结果好像得讨论一下这个结果好像得讨论一下。 这个我看一下结果，这个不算了。第一问的结果，这个比较麻烦，咱讨论讨论。就是说当 a 大 于零选一的时候， 它的值域呢？是负无穷到 log a 二，如果说 a 要大于一了，那么它的这个这个就是大于，就是 log a 二到正无穷。 这个你自己这个应该比较简单，这个没啥，包括第二个。第二个也是比较简单的，这个题就是计算硬算，没有什么好办法，这个 t 等于零做上来，这个题纯粹大家考的是计算， 纯粹考的是计算，就是我直接带入，就是把这些东西都带到这些市里去，我一算就完事啊。但是这计算还是指出对手的计算，当然你说，哎呀，老师我算不大出来， 算不大出来，你可以有没有巧的办法，那你就自己写写，让 x x 等于，那就是 j 二，加上一个 j 等于二倍的 j e， 是 吧？但是这个别往考试卷上写，自己在私下里写写就可以了啊。这是第二个，我们来看第三个。 第三问呢，这个题跟刚才我们讲的第二个解答题有非常类似的，非常类似。那我来看这个题说的是什么意思？ 他说 a 是 大于零，小于一的 t 呢？是大于零的，他说是否存在这个东西，使得这个存在这个东西等于这个二二阿尔法和二倍的，这他有一个转化啊，有一个转化，也就是说呢， 它转化的是什么呢？就是 f x 等于二 x， 要求这个东西有两个根，或者是两个交点， 或者说这个方程有两个根，或者是 f x 等和二 x， 这两个函数图像有两个交点，你这个地方而且是两个，因为你一个的话，你不就光一个短点吗？我去背它也得整上，所以说至少是两个， 至少啊，至少或者总存在两个。这个题考的是这个意思，所以说第一步的转化你能不能想明白？我觉得这是一个所有题目的一个开始的一个想法啊，对吧？然后呢，我在待会计算。那么其实这个题考的就是 log a， 这是一个 a x 减二 t， 哎，我们发现它刚好等于二 x， 其实又出现幻影了的， a 的 x 方减去二 t 等于 a 的 二 x 方，而 a 的 二 x 方其实就是 a 的 x 方的归零的平方。所以这个题其实就是在问你， a 的 x 方的平方减去 a 的 x 方，加上二 t， 要求呢？这个东西有两个根， 对吧？好了，我们来看它，如果说它有两个根的话，我们这个时候呢，要看一看这个取值范围，要看一看这个就是你两个根，你 a 的 x 方是有范围的，对不对？ 那我们来看它这个地方有一个定义域呢，就是 a 的 x 方呢，减去二 t， 它不对数的真数吗？它就大于零啊，所以说 a 的 x 方呢，得大于一个二 t 啊，大于一个二 t， 所以 说呢，这个点我还原完了之后就变成什么呢？我如果令 m 等于 a 的 x 方，则 m 呢要大于二 t， 就是 它的卷面，也就说这个题就变成了 m 方减去一个 m， 加上一个二 t 等于零，再定义是在哪里？当 m 大 于二 t 的 时候，它要求呢有两个根，这个 t 是 大于零的 啊，他这个 t 是 大于零的。那我们来看，我们简单来画一画这个草图，其实他这个图像比较简单，他只能是这个样子的， 对不对？他只能是这个样子。我们来看，因为你，你首先啊，你这个地方你要大于二 t， 二 t 不是 零吗？所以说我们来看我画的这个图，我们来想二 t， 你 是不是得在这里大于零吗？ 这个地方已经是二 t 了，他就已经是正以零了。那么再有一个，你的对称轴负的二十一分之 b， 你 的这个二分之一，你说得比二 t 要大，对吧？我来看我能列出来什么？第一个就嘚儿还大于零 啊，这是最基本的吧。然后呢，我这个二 t 呢，还得小于这个二分之一，我这二 t 得在这个这个对称轴的左边， 这是第二个，对第三个，你还得要求我两根都是正的。所以说这个假如说他是 g 有 了，好像是这是个 g m 的 也是 h m， 那 么这个 h 二 t 我 们来看，你是不是还得是大于零呢？ 至少是这三个，其他的应该 t 大 于零，这个有了。你首先来看，这是大于零对应轴在二 t 的 右边，第三个就是二 t， 这个点是正的，这个时候你就能保证在大于二 t 的 范围里边有两个，你这个代入之后就求范围就可以了，这个做出来 t 大 于零，小于零，小于万分之一 啊，这个是最后的结果，就是零到八分之一。好，我们来看这道题，我们是考虑的二次函数根的分布了啊，这是第一个思路。那么有些同学说，哎呀，老师，这个题咱能不能 直接直接分三也行啊，分三也行啊，那么 t 是 不是就等于负的二分之 m 的 平方减 m 也没问题，对不对？也没问题，但是呢，这个时候你又一个什么呢？我，如果，那么我要求出来这个东西的范围，对不对？我要求出来这个东西，这个东西是个开始先下载的函数，它的顿轴呢，是二分之一， 但是这个时候我们来看，我需要有两个根，但是他的定义域有个问题，他的定义域是大于二 t 的， 所以说你得想想，哎，我这个二 t 是 不得在这二 t， 你 是不是比得二分之一小啊？你如果跑到二 t 这边，你不就不可能这个 t 是 等于 这？是啊，对，应该是这样的，你得有两个焦点，所以说你这时候也是能够做出来二 t 是 小于 二分之一，对吧？然后呢，你这个 t 要小于这个最大值，要大于这个最小值就可以了。这个也可以啊，这两个都行，你不论是分解函数还是直接想根的分布，应该都可以 啊。好吧，我们这个整体来说是个知识点，我们已经分析完了，这个前面的选择填空其实不太难，几道题的话还是有一定难度，尤其是十六题的这个第二本， 刚才我们讲到了这一步，转化可能会难住不少同学。十七题其实没什么难度，十七题就是代入计算，你只要就是初中的那个应用题的做法就剩下，而且人家烙个二等于零点三带进去就可以了，是吧？ 十八题呢？嗯，第一问好过，第二问呢？这一问应该也能做出来了，因为现在。嗯，咱们看各个各个这个学校各个班的情况，应该把这种题应该都讲到了，但是一定要注意是换元法， 有些老师如果不讲换元法的话，最好是按换元法的思路来做，不要使用其他的方法。我的建议是这样。我的建议是这样 啊，然后呢，转换法比较好理解，因为你这个地方还得有换行法，对吧？还是二次函数和分餐的一个情况。十九题的第一问比较简单，第二问也能做，而且第二问有快捷方法， 算的话也挺简单的，对吧？第三问呢，还是考概念分布。所以说这方面难题呢，还是在于，呃，分餐之后呢？到底是分餐还是讲二次函数的？这个这个这个 我是讲分三的还是二次函数根的分布。两个思路其实都行，但是呢肯定有一个简单一点，有一个简变一点，有一个复杂一点，这就看你怎么选择了。考试的时候。 好吧，这个就是咱们对于这个高一的这个期末考试啊，就是难度呢还是有的，但是比上次联考好像简单一点，没有上次联考那么难啊，比他们稍微会简单一点。 然后呢，就是咱们高一的同学就是因为高中的课程还是难度比较大的。嗯，如果大家想要这个，就是如果最好是要预习一下下学期的内容， 而且就是高中的课程越往后就学的越快，所以说呢，提前学一学呢还是比较有好处的。嗯，有兴趣的可以加一下咱这个这个这个微信，这个这个粉丝群啊，就是这个 抖音的粉丝选秀，想要了解这些课程的话可以在私下跟我沟通。好吧，来，就此刻讲到这啊，再见。

啊，各位同学大家好，今天咱们来讲一下咱们这个高二的这个期末考试的这个试卷，这是咱们刚拿到的啊，我们来看一看，首先我们要会全面分析这个试卷，这次试卷难度还是 有一点大吧，有一点大，嗯，然后呢来看这个就是期咱们这个寒假的情况，这个寒假的预习的情况， 咱们对于高二的东西来说，像我这边的话，基本上就是大概就是七四课，寒假的时候，大家要注意啊，像我们自己预习或者啥的时候，就是等差数列和等比数列这个东西呢，相对来说比较简单，就是几个公式，到底 求通项和求和呢，其实也不是很难，就是一些记忆性的东西，其实这些地方都属于记忆性的东西， 就是照本宣科就可以。但是咱们对于导数的问题啊，尤其是导数的单调性，什么极值，什么切线等等等等，这个导数呢是咱们整个这个高中阶段的一个比较难的东西。 嗯，而且呢第一呢导数在高考的时候是考最后一道几压轴题，经常是再有一个导数呢，就是咱们是咱们高等数学的一个基础， 以前的时候其实高中数学是没有这个东西的啊，只是到了大学才有，后来呢为了衔接呢，把导数，曾经的咱们这课本上，在课改之前的时候，还有这个电积分啥的，现在都已经删掉了， 现在只留下了导数这块，所以说这个地方咱们高考也好，后期的考试也好，这个非常重视啊。再有一个就是确实比较难学啊，对于咱们高三的同学来说，做这个东西还是挺费劲的，希望大家能够提前先学一下，但是呢，咱们高二同学有需要这个这个 这个课的情况呢，再跟我再沟通啊。好，我们来看咱们的重点，来说一下咱们这个考试的这个情况。 呃，考试的这套试卷呢，他其实大家感觉难是因为什么呢？可能解答题感觉还是比较难，这还是沿用了和高一的差不多啊，就是二零二五年的高考的一个方向，就是前面的话简单，后面难。呃，前面的话，第一题这种就不说了。第一题选的是 a 啊， 是吧，你只要把它变成 x 方，等于四分之一外就可以了，这地方咱们四分之一外啊，然后代入就可以了。第二个，两点分布，两点分布， 零乘以零点分过，是不是只有零和一啊？ p l 乘以零的时候呢，是三分之二，那么等于一的时候就是三分之一，所以这是第二个，你选的是 b。 第二个这个我们不算了。第三个是这个二是展开式，这个也比较简单，这个做出来应该选的是 c 套公式的题。 第四个呢，就是正态分布，对吧？正态分布就是你把这个中心图画出来，然后它这个喵呢是等于二 而小于四，那就是四等于零点八，所以说大于四的部分呢，就是零点二，那么这个零对偏过来这边也是零点二，所以中间这部分呢，就应该是零点六， 所以第四个题选的是 d。 前四道题其实没有什么难度啊，来看这个第五题和第六题，第五题和第六呢，都考的是排列组合的部分，这个第五题呢，他说，嗯，这个题我觉得 还是相对来说有一点难度的，还是相对来说有一点难度，因为不太好想他。首先他说呢，他说要从这个五个人当中选出四个来去分别从事四项工作。那么这个地方第五题来看，你要来分类啊，先分类第一类就是什么呢？ 因为他说甲和乙只能前从事前两项工作，第一类就是甲和乙全参加，剩下再来两个人， 那我来看，这时候就有一个人不参加，对不对？所以说 c 三幺，你要决定谁不去，完了之后呢，甲乙只能从事前两项工作，那就是 a 二二， 那么剩下的这两个人呢，也只能从事后两项工作，所以说也是 a 二，这是第一类的情况。那么第二类情况呢，就是甲和乙只去一个人，我不知道谁去，或者是甲去，或者是乙去和另外三个人都去，所以说我 c 二幺，我先确定谁是 这个甲和乙谁去，对吧？然后到了那之后，甲从前两下里边他挑一个， c 二幺或者乙从前两下挑一个，然后呢剩下的就是 a 三三啊，所以说这个地方还是先分类，你要考虑你分类分好了就可以了，所以说这个题应该选的是 c 选项。 那我来看第六题，第六题呢，就是涂色问题，其实里边是涂色问题，咱们是不怎么仔细考的 啊，不太重视这个点啊，但是他也考到了，考到了我们就讲一下吧。像涂色问题呢，他也是先分类啊，他说有三个颜色可以选，那么涂到四个区域相邻的不能相，不能够这个这个同一个颜色，所以第一类呢，我就选三个颜色， 就是第一类是什么意思呢？就是我这三个颜色全都参加啊，第一类呢，我就是三个颜色全都参加，那么我们来想，如果说三个颜色全都参，就是这三个颜色全都去这个这个这个 涂的话，这个地方再分两种情况，再分两个步骤。第一个步骤是什么呢？就是我其中有一个颜色就是是重复的，对不对？那么 c 三幺， c 三幺完了之后呢，就等于是我要让这一个颜色涂到两个地方，但是这两个地方你有几个几个可选的，只有 a、 d 或者是 bc 可以 选，所以说 c 二幺， 那么剩下的两个颜色都涂到剩下两个地方，就是 a 二二，对吧？这是三个颜色，那么来看，如果是我只涂两个颜色，我从三个里边我先挑出来两个，对吧？ 那么这个时候来看几种情况，要么就是 ab， 要么就是 cd， 所以 说呢，你得乘以 a 二二，然后呢把这两个加起来就可以了，所以这第六题选的是 b 啊，所以说第五题和第六题就看你分类怎么分，这个是我讲的比较常规的一个分类，你也可以其他的思路。 然后来看这个第七题，第七题这道题我认为就是一道计算题，你就这么算就行，他说了过 f 且斜率为二，是吧？你 f 的 坐标就是二分之屁和零， 你做出来不就是 y 减去零啊， y 减零等于 k 倍的 k， 就是 二倍的 x 减二分之屁吗？ 然后就是一阵带入计算就可以了。就这边就我认为这是一道计算题，这个题选的是 d， 当然呢，你可能也有其他的思路，这个这个，这个正常做一下，嗯，可能算的会稍微慢一点，但是呢，就是相对来说思路比较简单。我们来看这个第八题啊， 最后一道题，他首先呢，他给了这样一个简易式，这样的简易式我们来带绝对值的问题肯定是分类讨论啊，你要明白这种题肯定是分类讨论的， 那我分类讨论的时候，你想想是不只有四种情况，是吧？就是当 x i 零，其实就是四个象限，对不对？你就选四个象限就行了。 如果在第一象限的时候， x i 都是正的，对吧？那么第一象限的时候，它的极值你想想，不就是 x 的 平方加上一个二分之一对 y 幺，它不就是一个椭圆吗？ 同样的一部分吧，对吧？到了第二个选项， x 是 负的，你去个绝对值号，你不得加符号，你不就变成负的 x 方加上二分之一外方等于一吗？这个时候来看，是不是焦点在 y 轴上的一个双极 点，大概就是这样，那么你到了第三个选项，它就没有吗？你这个负 x 方减去二分之一外方等于，怎么可能呢？ 对不对？这是不可能的吧？那么到了第四项线，不就是 x 方减去二分之一 y 方得一，那么焦点是在 x 轴上穿一下，发现它就是这个样子，对吧？大概的图像就是这样。 那我来看我问的问题是什么？问的是这个来看这，这个就是这个加绝对值，对不对？那我来看这个绝对值。大家让大家想起什么来了？ 这是不是想想的是点到直线的距离公式，那么点到直线的距离公式，这个 x y 是 这上面一个点，是这个图像上的一个点，那么这个 d 是 不是等于 这个上面这个点？ x y 到哪个直线的距离？到根号下根号下二倍的 x 加 y 减六等于零的这个距离吧。那我来看这个距离是什么？它 d 的 话，你是不是还得乘一个根号下 根二平方加一除以根号三啊？对不对？我就让这个 d 乘以根号三，不就是这个根号下 x 加 y 减六等于零了距离了吗？对吧？所以这题考的是这个东西，所以第一个呢，你要画出图像来，第二个呢，我要能够理解它求的这个范围是什么。第三个我们来看实际问题， 那么首先呢，来看最大值和最小值，而这个直线是 y 等于负的根二 x 加上一个六，那么我们来看这个直线方程有什么特点啊？这个直线方程有什么特点？这个直线方程我们来看它其实就是这样的一条直线，大概的就这样， 大概的就这么一条直线，那么首先来看最小值，就肯定是这两个双曲线上，你会发现这个 y 等于负二，负的根号二 x 刚好就是这两条双曲线的这个间距线，带进去试一试嘛，对吧？ y 就是 负的零二 x， 这这里的 y 就 等于负的零二 x， 所以 说这个间距线他们是哎，平行的，对不对？既然是平行的，那么它到这个东西的距离零零点到它的距离， 对吧？应该是最大值，但是你是取不到的，所以说你把 x 零等于零， y 等于零，再去就是六，所以说六取不到这个这个这个东西的距离最最大值就是六，但是不可能取到，所以说六是开区间，所以这地方只剩下 a、 c 就 对了。第一个部分， 那么第二个部分我们能看什么？那么来看最小是多少？很明显就是将哎椭圆上的这个点是最小，那么这个情况是什么？是不是切线 就是求切线？就我设来切线方程是 y 等于负的根二， x 加上一个 m 与这个啊， x 方加上二分之一，外方等于一，然后连立方程组算根式等于零， 那么这个时候你求出来的这个最小值就是切线，这这个求出来的切线的这个 m 就是 它最小值，所以这个做上来应该选的是 c 型线啊，所以这个题来看，它是比较复杂的，但是呢，也还行，对不对？它主要是偏向于理解它的计算，其实并不是特别复杂。 好，这是单选题部分的第一个，这种题，第九个咱们做的比较多了，这个题是 abd 啊，希望大家对于这种题应该是正常来做就可以了。第十题是 bc， 十一题是 a c d， 这个咱也不讲了，十一题的话，这种题好像考过，我见过这种题，嗯，就是两个图像的一个结合啊，这种心连意的题，大家按照自己的情况来做就可以，咱们不在这重点讲了。 然后来看十二题，看填空题的部分，填空题的部分也不是很难看，十二题是吧，一组四本，两组各三本，这很明显平均分配了，那就是 c 十四乘以 c 六三，因为后边两组是一样的，你得除以 a 二二，对吧？这种 就是最典型的平均分配二幺零零啊。希望大家对这种题呢，一定要做的足够熟练。 那么来看十三题，十三题，其实这个题你稍微画一画图就能做出来，这个题就是纯粹的一个计算，他说什么呢？过 f 二与 x 的 时候呢，有一个垂线，然后一点，它的渐近线交于 ab 两个点， 嗯，阶梯线交于 a b 两个点，这个是 f 二，然后呢，这里是 f 一， 他说什么呢？ a f 一 f 二呢？是一个六十度，这画的不是很像，这个地方是三分之半，它是六十度，那我来看美女离心率，那么我们来讲这个 a f 二的长度，你是不是能求出来？ 那么来看这个地方，别想成通径啊，容易错的话是想成通径，因为间隙的方向是 y 等于 a 分 之 b x， 那 么点，这个地方的横字边是 c， 所以 说这个长度，它的横字边既然是 c， 那 么纵字边不就是 a 分 之 b c 吗？ 对吧？ a 分 之 b， c 乘以 c， 所以 这个长度不就是 a 分 之 b c 吗？那么 f 一 f 二不就是二 c 吗？所以说它的六十度 是不是刚好等于 a 分 之 b， c 除以一个二， c 等于根二三，哎，对吧，你待会进去做一做就可以了，所以这个地方是根号一下十三。最后来看填空题，也不是很难，对吧？ 来看十四题，十四题呢，这个就是考你填空概率的一个公式，说 p a 杠 b 等于 p b 分 之 p a b， p b 杠 a 等于 p a 分 之 p b， 但是呢，它要求 p a， 那 么来看 p b 是 多少？这个 p b 呢，你得观察一下这个题目，它说 b 是 女生，而且呢，抽的时候就是男生女生各一半，所以说 p b 呢，它就等于二分之一 啊，利用这个代入就可以了。 p b 等于五分之三。哎，这个题比较简单，那我们来看这个第二问呢， 这个也还是也还行，对吧？那我来看他说 pa 呢，如果等于五分之三，他问的是什么呢？这个地方他说是， 呃，求的是啥来着？了解这个 deepsea， 那 么就是就是这个相当于是他相当于是就是 x 服从于 n p， 是 吧？二项分布， n 呢是一个二十， p 呢是一个五分之三，对吧？那么他问你这个 p l 等于可以，这纯粹考的是二项分布的公式吧。 哎，它应该等于什么？它应该等于 c 二十 k 乘以一个五分之三的 k 次方，乘以一个五分之二的二十减 k 次方。 这个地方你稍微化解一下它就会发现它就是五的 k 次方，分之 c 二十 k 乘以三的 k 次方，乘以二的二十减 k 次方， 那么我们来看这个时候他要求屁最大。那我们来讲三的 case 方是一个单调递增的，二的二十减 case 方是单调递减的，但是他两个后面这两个东西他肯定是一个单调递增的一个东西。 而 c 二十 k 呢，他在中间向的时候就一开始是单向递增，但是到后来成单向递减的了，那么他中间向应该是 c 二十十，对吧？那么他再往后就开始减小了，那么但是呢，三的 k 方还在增大，所以说应该是你可以考虑考虑 k 等于十， 什么十一，什么十二，然后一个一个往后试，对吧？这个做出来就是十二，应该是试到十三啊，应该是比一比，他应该是就最大了，所以这个不是很难，你只要想清楚是二项分五个公式写清楚就可以了啊。 这个是选填部分，选填部分其实没有真正的难题，没有特别难的题。嗯，但是呢，出题还是比较灵活的，还是出题还是比较灵活的。 好吧，这个是选填的一部分，来看这个解答题的部分，解答题的部分呢，稍微难度要大一点。第十五题，第十五题，这个 m 等于十六，这个我不算啊，这个咱们老生常谈了相切的问题啊，是包括这个面积，那你还是按正常做对不对？我得到了 ab 两个点， 那么我求面积，那其实这个 d 就是 啥？这个 d 不 就是圆心到直线的距离吗？ ab 不 就是勾股定律吗？对吧？这个做出来 k 等于一或者是负的七分之一啊。没答案的同学其实也有啊，我这个答案说的也不一定全啊。 好，这是十五题啊，十五题比较简单，我们来看十六题。十六题呢，其实就是说其实也不难，他属于也是基础问题，但是呢，这种题和我们平时见的五局三胜制呢，还是有所区别的啊。还是有所区别的， 你比如说第一个吧，他在打了两个球之后比赛结束的条件，那我们来一下，我先分类，我打了两个球就结束，那么是什么情况？ 第一种情况就是甲连赢两场，对吧？那么第二种情况就是乙连赢两场，你只要把概率算出来，代入计算不就可以了？那么这就是 a， 这就是 b 嘛， 对不对？所以这个确实是非常简单，确实非常简单。那我来看第二个呢，其实这个题咱们考试之前做过类似的，他说有两个球甲的新增得分，那么甲的新增得分我们来看， 再打两个曲，就 x 的 曲值就是零一和二，对吧？你 x 等于零的时候，就是前两场都输了呗， 前两场也都输了， x 等于一的时候，注意这时候分两类，第一场输，第二场赢，第二场赢，第一场赢，第二场输。 x 如果等于二，就是一二都赢了，对吧？你分类做着吧就可以了。这个数学期望做出来 x 等于 e， x 等于九分之七啊，这我不讲了，这个题确实比较简，就是常规题啊，但是也没有那么简单，也不是说我简单的五局三胜制，三局两胜制，也不是那个东西， 这种必须得连续领养赢两次。第十七题呢，这个我们不做了，这是常见的题目对不对？间隙求卷的题，第一个是证明这个最后的结果有点难看，等于六十五分之八倍的根号线六十五，这个还是计算，还是有点复杂的。 然后来接下来第十八题，第十八题呢，这个我们这道题还是出的不错的，还是我认为出的还是相当不错的。有些同学认为这道题出的是那个 根据那个二三年的，二三年的高考改的。这个不是啊，这不是马尔科夫列，如果是马尔科夫列，咱还没有学过的这个类似类似，但是不一样，但是不一样，这个不要认为就是马尔科夫列就不做了，这个是能做的。 首先来看他说呢，经过第一段是比较简单，经过两次实验之后呢，手上的球都是黑球，那就是第一次取黑球，第二次取黑球，但是我们来看你第一次取黑球的概率虽然是五分之三， 但是你不要忘了你还得扔骰子了，对不对？还得扔骰子了，所以这这每一次都得分两步，我出现的是基数才能留下，不就是二分之一吗？就是四分之二乘以二分之一， 这地方注意一下，每次概率是发生变化的，这个做起来是四十分之三啊。好，我们来看第二个，第二个呢？第二份呢？这个地方可能有一 有点不好想啊，这个看大家是怎么想的。第一种想法呢，就是说三次实现之后呢，他手上恰好有一个黑球，有一个红球，证明有两次的时候球是留在手里的，有有一次的球就走空了，就等于是没留，对不对？所以说这个时候呢，我们分两种情况来做题。第一种情况呢， 我们直接就是分类，我们分类的时候，我们来看来看，就是有一次是黑的，有一次是红的，有一次是空的，对不对？就这三种，就这三种就是三样的，但是我们发现他三个有有这个顺序， 这个顺序是不一样的，而且你们发现这个顺序是很多的，是 a 三三，哦，他有六种顺序，我写一二三四五六，一二三四五六，我把这六种情况都写出来 啊，然后再再加，你只要计算不错了，是没有问题的，哎，对吧？所以说这个，嗯，这虽然比较笨啊，虽然比较笨，但是方法是没有问题的。那么第二种呢？第二种情况，第二种，第二种方法就是什么呢？我要来按照那个 第三问和第三问的思路就很像，那我来看这个时候他是什么情况。他这个分类啊，我们分的简单一点，就是分的什么呢？就是分的一个红球，有一次是红球，有两次是黑球，也可以是什么呢？一次是黑球，两次是红球， 对吧？我们就只有这三类，但是我们来看，我们在留的时候啊，在留的时候这个红球呢？ 留下了，这个黑球呢？留一个有一个没留，那么黑，这个地方黑球留下了红球有一个没留有一个留。所以说这个地方来看你第二种情况的话，那么这么为什么要这么小？这么小虽然比刚才简单，对吧？但是他用的是五点该行了，他就不用刚才的那个那个 算那种概率的做法了，这个直接用五点该行做就可以。那么来看这个五点该行什么意思？我们首先来看看这个，看这个， 所以说他这个还是五点概念和二项分布的一个一个结合啊？还是一个结合这个。嗯，我们先来看这种，先来看这种，这种的话我们来想啊，我们来想一下，就是 我抽到手的话呢，其实就是一个红的，两个黑的，对不对？一个红的两个黑的，我们来看。哎，我按照古典歌星来讲，我这个分子是什么情况？我这个分母是什么情况，对不对？我来看你想想你的分子的情况就相当于是什么呢？ 你说我是一次抽三个吗？也不是一次抽三个，对不对啊？对，也是一次抽三个，但是有一个你得放回去， 你得一个放回去，所以这个地方我认为还是不太好想的，还是按这个这个上面这一类比较好做，但是上面上面那类计算符的这一类答案上是有的，我认为这个不好想 啊，这个不好想。你如果单纯的按照古典概念来想的，因为他还有一个，有的时候拿出来放回去，有的时候拿出来不放回去，所以这个不是很好想，我认为还是想第一个。 我们来看，我们重点讲一下第三问啊，第三问，第三问呢？这个时候呢？他说有出现 n 的 时候，他说 p n 取最大值的时候是多少？那么我们先算一算 p n， 其实这个 p n 你 想一想能不能算？ 这个 p n 是 什么意思？我来看，如果说我们不管他抽到的是红球还是黑球，因为他这个时候要要暂停，他有一个停止时间，那么停止时间的条件他只有一个，就是所有的球都取没有了。 那我来看这个题，其实不像二点，不像那个马尔科夫列，他更像什么呢？他更像是那个五局三胜制 啊，他更像是五局三胜制。他把这个前到 n 项结束，它分成两部分，第一个是 n 点一项、 前 n 减一项和最后的 d n 项它是这么分的，那我们来它是什么意思啊？它是什么意思？我们来看，那么前 n 减一项当中，其中有四项 肯定是把球抽走了，剩下的那些把球都没有抽走， 不知道大家好不好理解啊？也不知道好理解好不好？好不好理解啊？或者是这么讲，因为因为我这里边一共有五个球，如果这五个球都出没有了，那么这个东西就结束了，对不对？ 那么来看就是说我最后一项，最后第 n 次的时候，他肯定是把最后一个球抽走，对不对？这个时候概率他其实就是二分之一，他没有什么可变的，最后一个就是把球抽走了，那么来看我前 n 减一项当中，我们来一下，这里边是不是有抽四个，有四个球抽走了，有四个球没有抽走， 哎，所以这地方一看就是二项分子了，对吧？那我们来讲这个 p n 呢？我们来讲这个 c n 减一，其中有四项是把球抽走了，所以说就是二分之一的四次方，剩下的那些球都没有抽走，你会发现它也是二分之一的 n 减一，再减四， 那么最后一个，最后一个球必须得出走，所以说把最后一个单独出来，就跟五级三十制一样，你最后一个不能进行排列组合，所以说乘以一个二分之一，那么我这样做下来， p n 呢？就等于一个三减一四，这是一个二分之一的 n n n 次方好像是，对吧？好像是这个东西啊，对，是 n 次方，就是为什么我得到它，然后呢？我再算 p n 加一 是一个道理，那就是 c n 四，然后呢，这里是一个二分之一的 n 加一四方，哎，把所有的 n 变成 n 加一，然后你就算 p n 加一，比上 p n， 它不是最大值吗？ 嗯，它应该是小 a， 是 吧？大一大一等于一，小一等于一吧。啊，能做出来 n 的 值啊，是消除，因为这个地方一看是消除，相减也行，相减也行啊，就是 p n 加一，减去一个 p n， 如果小 a 等于零，或者大一等于，这计算一算也行，这个能做出来等于八。 好，来看这个题，我给大家重点讲啊，就是我这个拼音的通项，就是拼的。这个算式是怎么出来的？这个和马尔科夫列不一样，马尔科夫列不是这个意思，马尔科夫列是 分析 p n 和它的前一项是什么关系，这个不需要，就是第 n 项是什么关系，第 n 项把它分成两类，第一类呢，就是前 n 点一项当中， 前 n 减一次当中必须有四次是抽走了，剩下的没有抽走，那么最后一次必须是抽走了，那么这样的话才能是第 n 次结束，然后代入就可以了。 那么前面呢？你看你看，我这个写的，前 n 减一次当中有四次被抽走，所以说就是三减一，四二分之一，四次方乘以二分之一，再减四次方，然后最后一个是二分之一，这地方容易写成什么 c n 减一五， c n 五是吧？ c n 五就错了。那不就，你如果理解不了，你就想想五极，五极三式是啥意思？ 五局三胜制，如果是我四局比赛就结束，那么第四场必须是那个人赢。所以说我们来看，我们在当时算的时候，比如说我这个五局三胜，前面必须是 c 三幺，对吧？不能是 c c 四二，就这个也不能是 c 四幺吧。 啊，这是第十八题，希望大家能好好理解一下，就这题也不难，就这题我认为出的还是不错的。呃，就是难度上不是很大，但是呢，他就是我们学过的一种形式的变形。 然后我们来看十九题啊，十九题的第一问比较简单，就单数算下去，好像就是外方等于四 x， 这个我们不讲了，这个第二问呢，其实这道题始终也不难，这个题出的水平也挺高的。我认为这个第二问，你如果看解析的是设点，这个题你设直线是能做的， 我算了一下是没问题的，算的话就是结合均值不等式，如果你设点的话，反正是用那个二次函数来做，就是说什么呢？它在这里有一个点，点 p 是 吧？点 p， 然后它又有一个 a 点， 一一做垂线，简单画一画，大概就这个样子。假设呢，这个点是 a， 这个点是 p 啊，然后呢，这个点应该就是 q， 他 说过点 p 呢，向 x 等于负三，做一个 h 啊，其实 h 等于等于四， 这个直线方程呢，是 x 等于负三，这个题是一样做的，你想想他这个点 a 的 坐标，他给啊，点 a 的 坐标啊， 他说点一个纵轴标是四，也就是说他的纵的纵轴标是 a， 那 么 x 是 不是就等于四分之一 a 方？ 我就直接设出来 a p 的 直线方程，那就是外减 a 等于 k 倍，我得设一个斜率了，就是 x 减去一个四分之一 a 方，然后和谁连立呢？和这个外方等于四 x 的 连线方组， 那我这个时候连，这个时候我别去平方。为啥平？我把 x 按进去不就完了吗？那么你不就变成了外减 a 等于 k 倍的 x 变成四分之一外方，减去一个四分之一 a 方了， 对吧？这样做多好做呢？你这样做出来，不就等于 k 乘以外方减去一个四倍的 y， 嗯，然后呢，是加上一个四 a， 好 像后面这个好像不影响计算，随便写写，这好像有 k 了。那我来看你这个时候的 y 一 加 y 二，它是不是刚好等于 k 分 之四？ 那么 y 一 和 y 二是谁啊？是不就是 y a 加上一个 y p 啊，对吧？ y a 加上这个 y p， y a 的 y a 的 纵坐标，我们刚才算了，就是 a， 对 不对？所以说你这个点 p 的 纵坐标，它不就等于 k 分 之四减去一个 a 吗？ 我为什么要求 y p？ 因为 h q 就 等于点 p 的 纵坐标减去点 q 的 纵坐标，那么点 q 的 纵坐标是不是更好求了？就是当 x 等于负三嘛，那么就是 a 减去加上一个 k 乘以写错了， 这个写直线也行，但是你看解析上那个也可以啊，也没问题，就是 k 倍的负三减去一个四分之一 a 方， 那么你看我这时候这个 h q 的 长度，它不就等于 y p 减去 y q 的 绝对值吗？ 对吧？然后你结合这地方有均值不等式，结合一下均值不等式做出来了，这地方注意根式大于零啊，你写一下根式大于零这个东西啊，第二种就完事了。嗯，也比较好做，这个做出来 a 的 范围是零的二， 因为 a， 他 说大于零了，第一项线，对吧？哎，那么好了，这个第三问呢？第三问我认为没有什么，没有什么难度，就纯计算这道题 啊，他说 a 等于二，然后呢，过这个点 b 坐标零一点， b 坐标和他什么交于两个点，然后呢？什么交完了之后呢？ 这个交到一个什么 a n， 我 把这个直线方程设出来，就是 y 等于什么 k v 的 x 加上一个一，对吧，和这个 y 的 平方等于四 x 进行连立，然后呢，我就能得到我们所谓的这个 m 点坐标和 n 点坐标分别是啥，对吧？ 然后呢，你就想 a m 啊， a m 和外周焦点，哎，就做到一个什么 r o 啊，什么就代入就可以了，就是进行一系列的计算，就是维达最后变成维达定律的形式，那么这个计算呢？其实没有什么技巧就没有技巧，没有技巧最可怕，对吧？我就只能是硬算。 嗯，这个地方你说我有没有技巧可言？这道题应该是没有技巧，我想想这个技巧好像也行啊。技巧 number 就是 等于二， number 等于二， 这个所谓的技巧是什么呢？我可以给大家，你们如果胆子大的话可以想一想，如果说，如果说我这个直线是没有斜率的，就是这个过这个点， b 的 直线没有斜率，那么他恰好 就和这个椭圆，就和这个水，这个泡泡线就交到圆点上了，那么交掉交到圆点上之后，这个二和 o 就是 重合的，然后 lamb 的 就等于一，没有也等于。所以说 lamb 的 分之一加 lamb 就 等于二，因为他因为是定值吗？你无论是什么情况下，他应该是都对， 但是呢，这种这种是定性的来判断，你听定性判断也没有用啊，你没有过程的话，你这个计算就不给你接管。好吧，这个就是咱们整体的这个考试的这个情况。 选解答题呢？我认为解答题来看解答题，我说一下，这个第十五题应该是属于基础问题，虽然第二个计算很复杂，但是我们当当时前期讲过，就是所有的圆的切线问题，什么相交线的问题，都是几何法，对吧？第一个就 d 为二嘛， 第二个呢？这个，哎，条件概率对吧？条件概率分类，条件概率加分类。第二个就是也是，是吧？我只要把 x 取出取出来，这个里边分类就只有它有分类 是吧？其他的都没有分类，你只要把这个想明白了就可以了。十七题的话，第一问，第二问啊，这属于上学期学了，这个应该也不是特别难，因为第一问我求心线垂直。那就先找心线垂直呗。我 p e 应该是垂直于 e a p e 就是 这个 a e 和 e f 是 垂直的，然后他这个 p c 等于八，这个太明显了，我一连接他，对不对？明显是勾股定律吧。这个好像咱们之前的模考考的差不多和这道题， 其实这道题和模考题还是有点类似的，但是比那个当时出的要好，要要更加巧妙一些，出的还是相当，我认为出的还是不错的。来看十八题的话，第一问比较简单，对吧？第二问呢， 呃，其实也是一个分类，但是这个分类呢，就有点啰嗦，我认为这个六类还是非常好想的。我认为这个六类是一看也能看出来，但是呢，就稍微有点计算量啊。第二种呢，比较麻烦啊。第二种我觉得不太好，想用这个五点半型做，稍微得需要一点把，特殊情况得考虑一下。 嗯，第三问，这个是属于出了一个新的一个变化，这个还是不错，觉得这第三问出的相当不错，就是虽然是就是新天说旧酒一样，但是思路的核心还是之前的五句三省治。但是你这个你能不能想到， 特别是成绩好的同学，这一看带 n 的 就老是去朝着那个之前学讲过的，就上次讲过的马尔科夫恋来讲，这个你就走偏了。 十九题呢，第一问，第二问其实都是常规题，但是呢，他比常规题的思路形式在变，你会发现这套试卷里最大的问题就是形式在变，但是解析思路都没有变，还是之前老套路， 他虽然解析上可能你看一看他写的确实有变化，但是你看我还是按常规经典思路来做，这样能做出来做的是没问题的，有兴兴趣的同学可以试试，包括第三问，第三问我甚至定性的 我都能看出来 level 加六分之一等于二，这个这个，但是第三问你得有计算，没计算关系结果也不给分，好吧，所以说这套实验呢，我认为他对于大家的基础要求比较高，因为而且呢，不光是基础问题的记忆问题，你还要有一定的理解 在这个理解之上呢，还能把这个试卷做的比较好，好吧，哎，这个就是对咱们高二的这个一个一个大概的一个试卷分析，我的最后的意思就是咱们这个假期班的同学，因为下学期咱们要进行倒数的计算 学习，哎呀，这个每次讲到这都非常头疼，都非常头疼，好吧，哎，好，这此刻讲到这，同学们再见。

好，各位朋友，大家好啊，今天咱们这个德州的高三的同学们应该是已经今上午应该是刚考完了，咱们这个期末考试啊，这是数学，这个试卷我们刚拿到，刚拿到呢，给大家来来整体来分析一下这个试卷的情况 啊。首先呢，我先讲一下思路啊，各个题的一些解析思路，还有一些稍微的难点啊，有问题大家可以再问我。然后到最后呢，咱们再来整体来分析下情况。这个分数的话，就有些同学今天就开始给我发了，说这个题有点难处的，感觉做的不是很好，难度是方面的问题，难度呢，这个大家在看， 因为难度呢，大家只是个人感觉，最后的这个分数呢，分数无论高还是低，你还是要看分数线啊， 要看一看这个咱们整个德州的这个花线题啊，好吧，我们先讲一讲这里边的相关的题目啊。 呃，这套试卷呢，前四道题都是非常简单的，前四道题就是咱们经常说的这四道题你不能丢分的题啊，都是比较简单第一个题就说一下答案吧，一可能有同学们的答案，第一题选 d， 第二题选 a 啊，第三题选的是 b， 第四题选 b， 这第四题我们经常来讲啊，考试之前就讲过你们这个圆台的体积公式，龙台的体积公式，圆锥的体积公式，这个题就考一个公式是吧，这个圆心角 n 等于二比 l 乘以二派，这个东西初中的学生就会做，但是你高端的学生是不是忘了前四道题是比较简单的 这个第五题啊，咱们应该是我忘了一个学校，咱们有同学是做过这道题的，这个第五题啊，他其实就是一个简单的古典格型， 那么这个古典钢琴呢？他五个群里抽三个分母，就是 c 五三随便抽，但是呢，他是摸到三个就是三的倍数，这个三的倍数印象很深啊，当时你好像必须得有三啊，没有三的话好像不能乘以三的倍数，你就数一数就是了， 就是三一二三一六，然后呢？三二四，是吧？ 三啊，三二三不行，是吧？二四呢？是，这我忘写错了，是三一二，然后呢？三一五，然后呢是三二四三二四是可以的，然后就是三四五，对吧？三四五， 嗯，好像没有了，好像没有了，那么这个边就应该是四，应该是四个，是吧？应该是四个，那我来一下，我们算一下，这个 c 五三， c 五三的话就是 c 五二五乘以四除以二就是十位，上面就是四位，所以说就是我们零二，所以说这第五题应该选的是 c 选项 啊，那我来看这是第六题，第六题，这个，这是一个计算题，对吧？但是计算量挺大的，他说这两个东西呢，是它的两根，这明显，假如说它是 x 一， 它是 x 二，明显在团体内答定里就是 x 一 加上 x 二等于 负的 a 分 之 b， 然后 x 一 乘以 x 等于 a 分 之 c 等于负三啊。然后你把这两个东西拆开，因为 tan 的 这个 x 一 就等于 tan 的 六分之 pi， 就是 三分之根三加上一个 tan 的 c 啊，比上一个一减去一个 三分之根三乘以贪的 c 的， 而 x 二再不就是三分之根三减去这个贪的 c 下面就是一加上这个三分之根三乘以贪的 c 的， 然后就待会计算就可以了，这题计算量比较大，得算一下，这个得选 c， 所以 一到六题都不是特别难。 大家呢，如果这些题你如果做错了的话，还是要自己要反省一下，看哪个知识点，大家呢，一定要注意这道题啊。 好，我们来看这前六题，呃，第七题呢，也很简单，第七题呢，就是一个我们常见的指对指数和对数的几个计算，主要是对数计算，对吧？就是一个应用题，你把这个呢，把这个 l 呢，稍微把它变一下形，让你的这些，让这个 l 呢，让它等于 k 倍的， 然后呢是 log df 加上一个 c， 然后呢，我根据他说的这个东西，他说了三个情况，第一个情况就是如果工作频率不变，距离变成一半，那么距离变成一半呢，就是 d 变成原来的二分之一，二分之一了， 就是 log 二分之一，是吧？那么这个时候呢， f 是 不变的，加上一个 c， 他 说呢，这个瞬点值增加了六，那就是 l 加上一个六，上面就是 你剩下一减，就得到第一个乘数，第二个乘数，当 d 等于 f， f 分 之一的时候，然后我们把这个 k 乘以绕 f 分 之一，就是一比上 f 分 之一乘以 f， 然后加上这个 c， 那 么它等于什么？它等于负三十，其实不就是 c 等于负三十吗？ 对吧？第三个再代入就可以了，这个它应该选的是 a 选项，所以这个第七题的计算量呢，反而比第六题还小，是吧？ 嗯，好，这是前期道题，前期道题没有特别难啊，还还行啊。然后我来看这个第八题，这是第八题，这是第八题呢，给大家说一下这个题的问题，这个第八题呢，可能有些同学感觉不是特别好做，第八题，这个地方包括两部分，包括两部分， 我们先说第一步吧，第一步呢，就是这两个东西相等，就是这个 f， 这个这个二倍的 f x， 这个第一步呢，我们来看，你先变一下形啊，把它变成二倍的 f 二， x 一 减四 等于负的一，比上二 f 二倍的 x 二加分之三，他有一个这样的算式，这里面注意他是值域相等，他是值域相等， 它因为你这里是 x 一， 这里是 x 二，对吧？它并不是说两个直线的焦点，这个样你要用的是什么呢？用的是这个 直域的部分，所以所以说这个呢，就和我们平时做的不太一样。为什么呢？因为我们来讲这个 f 二倍的 x 一 或者 f 二倍的 x 二，那么你 c 二倍的 x 一， 它的取值范围是什么？它的取值范围其实就是负一到正一啊。 那么你想前面这个算式，他的取得范围是什么？这是个增函数，如果负一带去，负一带去就是一个负六到负二，这左边的这个这个函数的值域，那么右边这个函数，我们来看，它是一个增函数，还是减，它也是一个增函数，对吧？因为你这个 c 二倍的 x 二，他的取值范围也是从负一到正一，那么他既然他可以把负一带进去，把负一带进去之后就变成了负二，然后呢到多少呢？把这个一就是负的一，好像是二分之五，是吧？那是一个负的五分之三，那我来看，现在要求 存在它们两个能相等，那么你相等完了之后，你会发现它只有一个值相等，就都是这个负二，那么这个前面这个负二是多少，对不对？这个时候我们来看，如果说第一个就是 c 二倍的 x 一， 它什么时候是能够取到，是取到这个负二呢？是不是只有当 c 二倍的 x 一 等于一的时候才能取到负二，而后面这个负二能不能取到呢？就是 c 二倍的 x 二，它等于负一的时候才能取到负二。 这个不知道大家能不能想出来，这个是通过值域来，通过值域存在来推定义域的一个关系，所以说再往后就是 c 二 x， 那 么一个是正一，一个负一之间嘛， 你就想一想，哎，我这个正一和负一之间，这个时候因为是二 x， 所以 说这个周期变成 pad， 那 么它两个就明显是两个最小周期，所以说我这样做出来，这个 m 就 应该等于这个最短距离呢，肯定是等于二分之 pad。 就是 第一步要想明白这件事，那么第二步其实就简单了，对吧？我这个它属于零的二分之面，求最大的时候，这个时候你把 g x， 我 再变成这个 c 三 x， 然后呢加上一个三倍的三 x， 那 么我要来求它的一个最大值，那就求导呗，但是你求导的时候，这个三 x 三 x 我 得化讲，是吧？这个三 x 三 x， 首先啊，这个数学当中好像考过两道这样的题， 这个三 x 三 x 在 这有一节高考题当中出现过，就是这个地方怎么化？应该把它变成三 x 乘以勾三 x， 然后加上一个 cosine x 乘以 cosine x， 这里边他这他这个出的确实有点啥啊，这个好像十四题也考这个东西，或者是说选择吧。好，我们来看就得到得到这个东西了， 得到这个东西之后呢，我可以再再继续进行画线，对吧？因为这个时候我画线是我把这个 cosine 二 x 变了，但是我不知道变啥，但是你这个 cosine 二 x 是 绝对是可以变的， 对吧？你三 x， 我 们来看，这时候它就变成了一个三 x， 乘以我把 cosine 二 x 先代住这里，变成了二倍的 cosine x， 乘以 cosine 幺， 然后呢加上一个三倍的 cosine x， 哎，这个时候我们来看，我可以把 cosine x 都提出去了，就变成了一个 cosine x， 这里边来看变成了什么？ cosine 二 x， 加上一个二倍的后三二 x 方，然后呢加上一个三。哎，这个时候因为前面这个时候其实变啥都行啊，其实是变什么都行，但是我觉得呢，我想我的都和三 x 的 相关是可以的，所以说就变成三 x， 然后这里边变成一，减去一个二倍的三角 加上一个二，减去二倍的三角加上一个三。所以说我进行这样一系列变形呢，就变成了三 x 的 乘以一，就是一个六，减去一个四倍的三 x 的 平方，我这种变形都变成三个比较好造，然后再求倒， 然后呢就就能求出来它的极大极大值，最大值那种东西。嗯，这个做完了之后是选的是这个 c 原样，应该是选的 c 原样，这个有兴趣的可以做一做。这个是我觉得想想要正儿八经做出来的话，好像不是很容易啊，好像不是很，你如果在这直接求到 直接求导函数不是很好做，直接求导函数就是直接求导函数，你也得化简啊。就是我们大概讲一下第八题的思路。呃，第九题呢，比较简单，他通过这个卷呢，你只要求出来那个高，所谓的就是 a 一 的长度，然后先代入计算就可以了 啊。这个，这个题应该选的是 bc 啊，这个 bc， 这个咱们不讲，比较简单，第十题是 a c d， 第十题是 a c d 这个中心的这种图形啊，前段时间好像刚说过一次中心的这种图形，这个时候其实是没有什么好办法的， 你或者是用这个定义来做，或者你观察一下，你看它前面是 x 减一的三次方，后边是一个负 a 倍的，就是前面是一个 x 减一的三次方，它减去这个 a 倍的 x 减一， 那你就想 x 减一的三次方，它肯定是一个中心对称图形， x 减一呢，它也是一个中心对称图形，所以说它就是中心对称图形，或者你想它是不是就相当于把 x 三次方减 x， 把它这个东西向右移动一个单位，因为它是一个基函数嘛，对吧？所以说它就是一零嘛，这个也可以，这都行，都行。第二个必选项是求导求出来的啊，你求完导之后， f x， 你 看等于三倍的 x 减一个平方，减去一个 a， 他 既然是担当呢，他就要大于等于，其实这个时候 a 是 小于等于什么，对吧？如果横乘以的话，这是一个正数三倍的 x 减一个平方，所以 a 呢，应该是小于等于，所以 b 一 看就是错了。 c 的 什么极值啊？就待会选上 f 除以零，然后那个他说极角值呢，是负二，如果负二代就算了，就可以了，然后验证一番就行。这个 a 和 c 我 认为是比较好选的，这个 d 选项呢，可能会稍微麻烦一点，但是你通过 b 选项来看， a 小 于零了，其实 f x 已经是一个单方函数了， f x 已经是一个单方函数， f x 竟然是一个单方函数，那么来看，这是 b 的 绝对值大于 c 的 绝对值，其实就是 b 方大于 c 方，对不对？如果这个东西比他小，这考什么？这考的是同分异减 啊，复合函数同分异减，那么你要来看这个里边这个东西到底是什么函数，就是这个 x 方加一，比上这个二 x 方，等于它是增函数还是减函数，如果增函数这个东西就不成立，而这个减函数这个东西怎么画，对吧？构造一下， 二分之一乘以一个二倍的 x 方加一，加上一个二分之一比上二倍的 x 方，那么它就等于二分之一加上一个一除以二倍的二 x 方加一。哎，这个 x 方当做一个整体，证明是减数，所以这个 d 是 对的。其实 d 呢，就是考了一个不太好想的东西而已 啊，这是第十题，第十一题的选项是 a、 b、 d。 啊，第十一题呢，这个这个 a b 选项我认为是比较好做的。 a、 b 选项，这个这个 a 选项就是什么时候最小，是吧？ 这个这个有关炮线的，你当它垂直的时候，通径的时候，应该是最小的吧，这个比较好理解，为什么？因为你想你，你如果你无限延长，它的面积是非常大的，对吧？只有周建是最小。第二个考的是那个 那个，那个搅拌建公式，对吧？之前讲过的就是之前经常说在这个所有的原始学而结论当中的椭圆的这种搅拌建公式还是非常有用的。 这个什么 a f 的 长度是吧？等于什么？ p 比上一减勾三零 c 的 这个 b， f 的 长度等于 p 比上一加勾三零 c 的， 你再会算一下这个，所以你这 b 肯定也能做出来 c d 还是比较难做的 好。这是多选题，多选题呢，还可以啊，来看填空题，填空题的第十二题 记函数是吧？这直接通式就是 f x 等于负的 f x， 当你做不出来的时候，那你做一做 f 负一等于负的 f 一 都可以。那么你想用 f 零等于零这个题做不出来， 其实上面就已经是零了啊。这个不说了，这个最后的答案我看一下说一下就行了，这个答案是二。第二，这种题一定要不要算错？这种题不要算错。 第十三题，咱们之前反复强调过这个二式定力，还是比较喜欢考的二式定力呢，他的考法，哎，也还行，是吧？你 x 的 系数，你就一算，他不就是 c n 一 乘以 a x 一 次方吗？ 它的系数是一，那证明 c n 一 乘以这个 a 就 等于 a 乘以 n 等于负十，对吧？各项式系数之和，我们刚才怎么讲呢？让里边未知数变成一就是一，加上一个 a 的 n 次方， 它等于负一，这个时候很明显 a， 你 是不是得考虑它等于负二再往上做，对吧？所以说 n 等于五， 这题答案是四十啊，这个就不应该错。嗯，但是呢，嗯，咱们有些同学如果说我是单纯的只背公式，哎，这也有可能做错，就是整体这个试卷呢，就是对于那种只是基础不是那么扎实的同学，可能 考的可能会比较成绩不太好啊。十四题考的是轨迹方程啊，这个第一呢，还是比较简单，只要设出来坐标就可以，这个我也不讲了，是四分之一 x 方 加上一个三分之一的外方，等于这个啊，这个是它的这个方程式。这个第二问，第二问，我给大家说一下第二问，大家我觉得有一个最大的问题就是我会做，但是呢， 你考场上你有没有足够的时间看？什么意思？他说 af 一 呢，等于 af 一 f 二，假如说这是 a 点，这是 f 一， 这是 f 二， 哎，他说 a f 一 f 二是二倍的 a f 二 f 一， 然后让你去面积，对吧？那么这个时候呢，你看我把这个在这划一下， 我假如说是这个地方呢是 c 塔，这个地方呢就是二倍的 c 塔，假如说我这里是 m， 上面就是二， a 减 m 二 a 的 话，在这里就是四，减去 m， 而 f 一 f 二呢，就是二， c 呢，这里就是二。哎，那我就得到这样一个一个题了， 那我来看你，我求面积，其实就是减三角形，那么你减三角形呢？你要来看这个时候有几个未知数，这个三角形有两个位置，一个是 c， 它一个是 m， 那 么很明显，这个时候既有角又有边呢， 我们倾向的还是用正弦，是吧？你想想是不是就是 m 比上这个 c 二 c， 它就应该等于四，减去 m 比上一个 c 二 c， 它， 那么它是不是还应该等于二比上这个 c 本来是派减三分，不就是 c 三 c 它吗？那么你通过这个算式应该能够把 m 等于多少和 c e c 它以及 cosine c 算出来， 然后再加入计算就可以。但是在这个地方的过程当中又出现了三 x 三 k 啊，这个出题的老师对三 x 三 k 的 这个主要还是比较比较什么的，不知道为什么老是出现两个这个问题，所以这个这个出的还是有点问题的。 哦，这个咱不算了，你们有兴趣的思路就是这个思路，剩下就是计算问题，最后的结果是五分之三根七， 但是这个结果你想要蒙的话，确实是蒙不住，对吧？好，这是填空选择，填空选择的话难度呢，不是特别大啊，但是计算量有点大 啊，计算量有点大，嗯，想要做出来这个第八题和第十四题的话，你需要比较长时间，然后来看一下解答题的部分。解答题第十五题 啊，这是考了一个累加法对吧？因为你这个 s n 加一，减去 s n 之后呢，他就得到了一个 a n 加一，减去一个 a n 等于一个二 n 加一， 这是典型的累加了，我下面就往下写就是呗，就是 a n 比上一个 a n 减一，那就应该等于二倍的啊，这里是 n 的 话呢，这里就变成了 n 减一，然后等等等等，然后你就一直往下写就可以了啊， 然后这个做出来结果的是这个 n 的 a n 等于 n 方加一，这个我也不讲了，这也是常见的题。第二个这个 b n 呢， 所以说这一看就是列项了，对吧？它等于一个 n 的 平方加上一个二 n， 但是这个列项大家注意啊，我把它的有一个二分之一，然后是一个 n 分 之一，减去一个 n 加二分之一，应该是这个列项的时候呢，注意，它是隔相相交， 因为他不是连着的，所以说要等下修。这个题其实难度也不是特别，也还行吧，就是常规题大家都见过，但是你见过之后呢？ 对有些技术不太好同学可能有可能做不出来啊，这是第十五个，第十六个这个题出的还是挺有意思的。这个第一问呢啊，考的是条件概率的公式，条件概率和全概率公式，这个就是这两个公式，你来回在这换或者是三个公式。 这个题二概率呢，大家估计是会的，就是 p a 杠 b， 它等于什么？ p b 分 之 p a b 是 吧？这个可能还会，但是呢，有的时候就是我们课上讲过的这个 p a b 加上一个 p a b 的 八，它到底等于啥东西？ 它其实就等于 p a 对 不对？哎，这个东西我估计有这个反正，反正上课的时候我经常给大家，经常给大家讲这个问题，就是能不能记住的问题。好吧，这个 p a 座呢，是九分之四，就直接套公式，这题没有什么可说的。 哎，这个第二问呢，一看，哎，这不是这个独立性检验，独立性检验应该是简单的，对，但是它在这给你，给你变了一下，这个地方你得搞得清，就是来 理解这个直接给的什么 p a 杠 b 啊，什么？这东西是什么意思对不对？这个就不太好吧，你比如说这个 p b 吧， b 呢，指的是男生女生的人数对不对？所以说你 p b 就 指的是这里边一共有多少女生呗？那三分之一乘以四十五，那不就是十五吗？对吧？这里边女生不就十五杠啊，这个就代表这个女生的占比，那么比如说我这个 p b 杠 a 是 什么意思？ 它就是有一个逆向的一个操作啊，逆向的操作，比如说，比如 p a b 吧，或者我随便挑几个，你理解哪一个都行，都能做。我举一个例子， p a b 是 什么意思？ 我来看 p a b 就是 说首先呢喜欢追星，第二个还是女生，这里边既是女生又喜欢追星的这些人，他不就是 p a b 吗？对不对？我既喜欢追星又是女生吗？那不就是这个意思吗？对吧？你比如说这个 p a b 的 八是什么意思？ p a b 的 八， b 的 八， b 是 女生， b 的 八就是男生呗。那么这个就是什么？就是我喜欢追星，男生喜欢追星的人，那不就是 p a b 的 八吗？ 对吧？你这当然十五的时候，这里不就是三十，对吧？哎，然后你就往里算算就可以了，这个好像是五，这里是二十 啊，好吧，哎，然后算出来的最后的结果，这个这个配方是等于四点五，这个数还是比较好的，四点五呢，因为是要大于这个三点八四一的，所以说是相关 是有关的，好吧，哎，这这个题我觉得出的还是比较好的，就是考察的比较灵活，这个比较像现在的高考这个考法，这是一个新鲜的东西，但是呢，难度又不大，这现在的一个高考非常大的一个变化，现在高考，今年这个新的高考，这个这个 风向说的是重轻计算，重重应用，应该是啊。 呃，好，我们来看十七题。十七题的第一问比较简单，第一问就是有一个勾股定律，正垂直就可以。那么这个第二问呢，其实也不难，但是呢，它在用的时候，因为这个 p e d 是 一个等边的角形，对吧？这个地方呢，我 这个我点 p 呢，我在 e d 上取一个中点 o， 那 么 p o 呢，就是垂直于 e d， 但是这个地方你要来证明一下，这个 p o 呢，要垂直于这个底面，你才能再往下间隙，如果你不证明的话，这个地方会扣分啊，有些同学或者说我就找不着，找不着这个间隙的情况了，所以说呢，你得先猜测一下， 如果你不猜测的话，我直接在 e 这里建，那么行吧，也可以，但是你这个时候点 p 的 坐标，你还是得正啊，无论你怎么解析都得正，反正这个地方，好吧，这个最后的结果是可能是，我看看 五分之一，应该是五分之一。这道题其实比咱们这次一中的这个模考还是要简单一些的，尤其是第一问，第一问不应该丢出这道题啊。 然后这是前面三个解答题，前面三个解答题难度不是很大哎，就是除了十六题出的比较灵活之外，十五和第十七呢，都是我们耳熟能详的，就是整天见的一些东西，这种题目大家考虑的时候尽量不要出现错误了，这个出现错误就非常可惜了 啊。然后来看第十八题，这个第十八题呢，我认为出的其实不是特别，不是特别新鲜，就是老题，第一个 a 等于第一个，我不说了，第二个考的是端点验证，哎呀，端点验证这个东西呢，现在已经过时了，我只能是这么说， 这是非常明显的一个端点验证的应用啊，因为有端点验证，你可以秒题，对吧？我可以秒结果， 但是你说我看不出来也行，就单证，你就不考了高考，所以这个出的不是特别。啥单证什么意思？我给大家简单介绍一下，不知道同学一定要听一听。这个就是 f x 加一就变成了 x 加一乘以一个 lo， x 加一 小于等于二分之一 x 的 平方，加上这个 mx。 这个地方来看，有些同学说我分餐行不行啊？分餐的话，我认为不行，因为他 x 大 于等于零，你有 x 等于零，你需要单独讨论，我们前面讲过，一旦 需要讨论的题，一般就不分餐了，一般是不分餐的，然后把它变成这个东西，就是，哎，二分之 x 加上 m， x 减去一个 x 加一等于零， 这个时候呢， x 是 大于等于零的，这个时候什么叫关联炎症呢？我先把这个零带进去，假如说这是 h x， 我 发现这个 h 零啊，你带进去它刚好就是零，所以说呢，你这个 h 一 撇零必须大于等于零， 这个时候得出来的这个结果就是最后的结果。你比如说 h 一 撇零，你就求完了导之后，你却做出来，之后 h 一 撇零，同样就等于 m 减一，那么只要 m 减一大于等于零即可，所以这个结果就是 m 大 于等于一，那么就秒杀就结束了这个题 啊，这个地方你就得到一半的时候，然后再证必要性证明就可以了。这个东西也叫做必要性探索啊，必要性探索呢？这种东西我认为是过时的，没有想到它会考 啊，就是我感觉到模考的时候肯定不说这种事，这是老提了，这种东西已经是啥了，但是你说我不会，不用单恋验证，我直接做出这个东西来，然后呢？分别讨论，讨论就是求而导之后讨论单恋性也可以。这个讨论好像。 呃，我试了一下，应该也不难啊，这个分餐，分餐可能不太好做。分餐我没没没认真做，因为这个题一端一端的连上这题就秒杀了啊。呃，有兴趣同学可以了解一下，也叫做必要性探索。 呃，这东西已经很多年了，存在了非常多的年数了，不是什么新鲜东西，包括这个第三问，这个第三问一看，这叫什么？这叫极致点偏移。 哎呀，这个也是一个，嗯，极致啊，我给大家说一下这东西用什么做？极致点偏移。 这个极致点偏移呢，考的也是非常老啊，就是这个第二份和第三份都可以秒杀，所以说对于那些成绩好的同学，这次估计会有考出来特别高的分。就第十八题，因为他们会在这个地方节省很多时间，因为他不需要来思考， 不需要来考虑思路了，因为这个确实很差。这个节点偏移呢，我给大家再简单介绍一下，每年都讲这个东西，但是我因为这两年不怎么考这东西。 f x 等于 x 乘以 lo and x， 然后呢，你对它进行求一下，导数就变成了一个 lo and x 加上一个一，这个时候我们来看它的单调线，我就写出来了，对吧？ 它是一个，这个导函数是增函数，这个地方呢， x 等于一分之一的时候，应该是它的极值，所以这个东西呢，它是一个心点在增的一个函数，它是一个大概是这样的一个东西，它的这个极点呢，就是 x 等于一分之一的时候，是它的一个极小值， 那么现在它两个相等，那么有边呢是 x 一， 这边呢就是一个 x 二，那么极点偏移什么意思？就是这两个东西有一个中间，中间值，对不对？你现在极点相当于左偏了 啊？这个题就是所谓的奇点所偏，那么正的时候它是正什么呢？其实就变变形了， x 一 加上 x 二要大于这个一分之二， 你再变一下，变一下形，其实就要来正， x 分 之一大于一分之二减去 x 二，就是想让你正这个东西。这时候呢，我们因为你看看 x 一 和 x 二，它两个是不一样的，我就让 x 一 要小于这个一分之一小于 x 二， 那我来看这个一分之二减去 x 二，我经过一系列的变形，一分之二，他就都跑到左边来了，就都跑到这个节点的左边来了，那我想要正它大于它呢？其实我就是要正因为这时候它减函数了， f x 一 呢，要小于这个 f 一 分之二减 x 二， 那我来看，因为它两个相值相等的 f x 一 呢，又等于 f x， 所以 说就消掉了。那么其实就是来让你证 f x 小 于这个 f 一 分之二减去 x 二，而 x 二的范围是大于一分之一的， 那么这个时候再往下做，构造出函数来代入就可以了，其实就是来让你证 x 乘以 x 乘以一个 x 乘以一个 x， 一 点二，对不对？ 剩下就是求导勾导函数就可以了啊，这是我们所谓的节点偏移的一个标准道法。大家啊，就是程度比较好的东西呢，我的建议是你可以学一学啊，也不是应该是什么的好东西应该都会，这个东西他们又不是特别新鲜。 然后来看十九题，十九题的第一问是比较简单的，你只要会间接地线就可以，所以这个第一问的答案是， 呃，是 x 方减去二分之二方的一，这个题还是比较简单的，这个剩下的两问还是有点难度的，为什么呢？因为这个第二问，我简单给大家说一下这个第二问。第二问就是你设的时候不知道该设啥东西。其实这个题我认为出的一般 不太像高考题，不太像二五年的高考题的风格，这种题大家选择性的同学听一听就好了。成绩好，成绩特别好的同学呢，这道题确实跟我平时考的有所区别，对吧？我来看，那么这里就是二，这好像是 n 是 吧？ 这是 a 是 吧？就这样，那第一个呢？他让你求这个 a c 二，这个 c 是 谁呢？ a m 二呢？我们做了一个垂线，对吧？这个地方就是 a c 二，那么 a c 二呢？我要求面积， 这个 a c 二的面积，它肯定是以二分之一，以 a 二为底，这个 a 二的长度我们是知道的， 好像好像就是二，是吧？这么再乘以这个点 c 的 纵坐标，那么其实这个只要求出来点 c 的 纵坐标绝对值就可以了。那么点 c 的 纵坐标是怎么出来的？那我就要来写出来直线 a m 的 方程，再写出来直线 c 二的方程就可以了， 而 a m 的 方程，你不要忘了，它的斜率是刚好是等于，我就让他，他就是 k m， 我 让他就是 k 一 吗？过的是一零零，所以说就是 y 等于 k 一 倍的 x 减一， 哎，这是 am， 而这个 c 二呢，你想它的斜率就是负的 k 一 分之一，而且它过的是三零点，所以说 c 二呢，就是 y 减零等于负的 k 一 分之一，然后这里乘以 x 减三，那么我一连力，你是不是就是减 c 的 动作标就求出来了， 对吧？那同样道理，那个 a n 和这个什么也是综合要求的，然后带入一算就可以了，然后这里边就只剩下 k 一 和 k 二，然后呢，最后经过一系列的话，都变成 k 一 和 k 二的形式。嗯，这是这个题，这个题呢，如果说你如果走错方向的话，可能就不太好做了， 怎么方向觉得反正方向大概是这样的啊？这咱们这个第三个呢？这个我估计坐到这同学可能在第二个浪费的时间比较多了。第三问，他说就是有一个圆和这相，就是在这有一个圆了， 有个圆之后呢，他说过这个圆上的一个点过圆相切线了，做一条切线呢，和它交于 e f 两个点，这里是 e， 这里是 f， 然后 q， 随便找一个 q 是 吧？ 啊啊，对，就是 q 就是 q， 然后它就有向量，有向量的话它就转化了一下，然后呢，这个地方设直线方程呢，直接设了一个 y x y m， 设出来两个值， 那么第一个呢，就是通过相切得到一个 k m 的 值，然后再代入计算就可以。但是这个题计算量挺大的啊。十九题，我认为 这个这个这个是也行吧，最后一道题牛逼对不对？毕竟说的是最后一道题啊。这个这这整个这个试卷上来看，这个前面的选择填空呢？包括还可以 解答题的话，也是常规题，就是十六题出了点新花样，十七题这种不算什么新花样，就是无非就是找这个类轴的问题。十八题，这就是太老了，出的这种题，对于很多如果说准备充分的同学，基本上就是秒杀的一个过程，他很快就能起来啊。 呃，十九题有难度了就开始，但是他这个难度呢？不是很好想，不是很好想，和我们高考的出题思路还是有一定的区别啊。这个就是整体的这个情况 啊，整体的这个选择就是解答题的部分，我希望咱们就是根据不同的成绩段吧，就是你们的。呃，十五题，十六题，十七题 啊，这三道题呢？还是一个得分的一个重点内容，包括十八题的第一问，十九题的第一问，这都是得分的一些重点内容。就是你看一看这个地方，你错了多少，是不是基本公式不会。你比如说十五题这一看， a n 加一减 a n 等于二， n 加一，这明显是累加法。你看到这个东西你能不能反应过来？我看到了这个 n 分 之一减 n 加二分之一，这是格项的向量相消，这个你能不能反应过来？ 十九级的这一看，什么什么？这些 p a 杠 b， p a 杠 b 的 吧，这些有没有，这个能不能反应出来？这都是条条该有的公式，尤其是我写的这个公式，你是不是能反应过来？ 这个还是挺重要的，这个第二个呢，就是一个应用了，只要应用对了套公式就能做了，对吧？十七题，第一问啊，你是不是这种面面垂直找心面垂直是不是找的准？第二个呢，就是我这个间隙是不是能找出来， 这些都属于基础问题。十八题的第一问，缺牵线，这就不用说了，那么说到这呢，就是咱们大部分同学都应该掌握的。十八题的第二问，第三问，如果说我平时成绩能考到一百一十分以上，比如咱们上次考试我考到了九十五分以上，或者一百分以上，同学， 你见到了这种什么端点验证啊，必要性探索啊，什么节点偏移，你是不是能够反应出来啊？我，老师，我没有反应出来必要性探索，但是我直接讨论的也行，但是如果你直接在这里分摊 分三，我没有仔细做啊，分三可能也行，但是分三好像挺麻烦的，这种题一般 一，一般需要讨论的题咱们就尽量不选分三了，在方法选择上，那么第三个，这个知识点偏移，咱们这个平时能考到一百，像上次考试我都考到一百一了，全校前一百名了都考到，那么你这种知识点偏移能不能迅迅速反应出来？这这些对于成绩好的，这属于基础内容啊 啊？十九题的第一问比较简单，第二问呢，这个比较考验同学们啊，就是你看一看，你是不是能够把设置线往这个方向想，这个和咱们平时做的套路确实有所区别。第三问，这个就属于顶尖同学了，估计没有几个同学需要做这种题，很少很少，基本上 两只手能数的过来，应该是啊，好吧，这就是咱们整体的一个分析啊，我刚才说了，就是说很多同学可能比较关心分数线啊，分数线这个不太好说，我认为分数线这次要看咱们参加的学生，就是说如果说对于大部分同学来说呢，你至少要考到六十分以上， 要大于六十分啊，这是一个基本的一个分数，最好是六十到七十之间啊， 我认为这是一个基本的分数，如果你再低的话，哎，那么你就需要再加把劲了啊，就最最少最低要求，这个特招线啥的就不好说了，具体的还得看最后的这个 这个这个成绩，因为因为一旦参加的学校一多呢，这个竞争性波动还是比较大。好吧，就整体我就是讲到这点，大家有什么问题呢？再再有什么个别个性化，咱们再再单独沟通。好吧，这次讲到这啊，再见。

好，各位来，大家好。呃，咱们今天呢来讲一下咱们这个德州的这个高一的这个模拟考试啊，就是咱们上周五好像是考完了这个模拟考试呢 啊，这个还是有点难度的，咱们讲一下这个第十四题啊，对于高一的同学来说，我们来看这个题，首先呢这是一个函数，他说呢等于给了解一式，他说呢， f x 大 于等于零，这个地方大于等于零是横成力啊，我们优先朝着横成力的思路上去考虑， 那我来看，他要求这个算式呢，是大于等于零和成立。我们接下来要想什么呢？我们来观察一下他给的这个解析式啊，看这个解析式他到底有什么特点啊？看这个解析式，这个解析式呢，前面呢是一个二次函数，后面呢是一个对数函数， 这个对数函数的图像我们是能画出来的。我们来想先看这个对数函数图像，对数函数图像呢过的是一零点，它的定义呢， x 是 大于零的，这是对数函数的图像， x 要大于零，那我来看现在 f x 都是正的，那么说明呢， 因为 line x 在 零到一之间是负的，这个 line x 是 小于零，而整体呢，你现在得是大于零，所以说在零到一之间呢，这个 x 方加上这个 a， x 加 b 啊，它也得是小于零的， 而在一到正无穷之间，而 line x 是 个大于零的数，则 x 方加上 a， x 加 b， 它也得是大于零的数， 八一等于零，对吧？所以说这个时候就是这个有个同号的问题，那么既然是同号，说明他俩是什么情况啊？这个这个同号来分析出来，就是说 x 等于一，应该是 x 方 加 a， x 加 b， 它的根，它的其中的有一个根啊，肯定是一，也就是说什么呢？来看它的图像，它的图像在这边必须是这个样子的，那么它两个才能同号，对不对啊？第一个，所以说这样的话得到一个算式，就是把一加上一个 a， 加上 b 等于零， 哎，这个是我们通过第一个分析出来的，那么第二个我们要讨论要考虑什么呢？你别忘了你是二次函数，二次函数你有小于零的部分，你肯定对 u 和 x 的 时候就会有两个焦点， 那么这两个焦点的话来看，你有可能是这样的吗？你这样是不是就不对了？所以说这个 x 二，你必须得是小于或者是等于零的情况才行，就是你这种情况下是可以的， 小于零也可以，但是你不能等于零，那么这个时候我如何来限制要求第二个根呢？是小于等于零，那么这个时候呢，我们就要把 x 等于零带进去， x 等于零带进去的就是这个 b 啊，你得是小于等于零的，那就是和外边的交点，你小于等于零，那么这个时候我们来看我们得到的第一个算式，关于 ab 的 一个等式，第二个关于 b 的 范围，那么这个时候我们来考虑，还考虑单调吗？单调应该不考虑了，对吧？因为你这个 b 小 于等于零，就肯定有两个根了。 好了，那么前两个的分析呢，还是比较重要的，那么来看第三步，第三步呢，我要求 b 方减二分之一 a 方的一个最小值，那么这个时候因为我有 b 的 范围，我把 a 带进去就是二分之一， a 呢就等于一个负一减， b 减去 b 快 起来的平方，那我们算一算，他就是一个 b 的 平方减去一个二分之一，这里边呢是一个 b 方加上一个二， b 的 b 加上一个一，所以说这样做完了之后呢，就是一个二分之一的 b 方减去一个 b， 减去一个二分之一。 哎，这是一个二次函数，这个二次函数的开口是向上的，那么他的对称轴是 b 等于负的二分之 b 就是 负一，就是 b 呢，是等于正一的， 是他的对称轴。那么不要忘了他的范围 b 是 小于等于零，那么在零的左边，对吧？他的最小值很明显就是当 b 等于零的时候，他能取得最小值，那么就算当 b 等于零的时候，那么原式呢，应该等于负的二分之一，所以说最小值呢，就是一个负的二分之一。 好吧，我们来看这道题，这道题其实难度呢还是有一定难度的，毕竟是填空题。最后一道题，这第一个呢，你要来考虑什么呢？就是如果是横成列的话，必须 首先从哪开始的二次函数和反比例和这个对数函数，它两个是同号的，通过同号来分析出来，它两个的根是相等的， 就是 x， 一 是 x 方加上 a， x 加 b 等于零的根，这个第一个要分析出它来，第二个要分析出什么来呢？我必须是一个两个根，那么两个根，第二个根你必须得小于等于零， 那么这样的话，你就分析出来，我们现在要求的这个一个是等式，一个是不等式，然后第三步代入就求二次函数的对值就可以了，这一步就比较简单。好吧？这个就是咱们对第十四题的一个分析。好，这次课讲到这，同学们再见。

德州高二一月份的校级联考划算已经出来了，参加此次联考的有德州一中的两个校区，涝岭一中、临沂一中、平原一中、齐河一中、庆云一中、夏津一中、禹城一中，还有禹城二中， 总共是十所高中，这是期末考试之前最后一次校级联考。下面这张图是每个学校具体的考试人数和考试情况， 他的考试人数总共是二一八八。二名同学参加特招线是四百七十五分，对应的位次是七三四七。一段线是三百七十点五分，对应的位次是一六三三七名，这是负完分之后的分数。各科的具体上下分可以参考下面这两张图， 来大家猜一猜，这十所高中，哪一所高中的上线率最高呢？高二期末考试是八九十三天，距离考试还有半个月的时间，同学们一定要加油了！

德州高二一月份校际联考划线已经出来了，参加此次联考的有德州一中两个校区，涝岭一中、临沂一中、凌城一中、庭院一中、齐河一中、庆云一中、夏井一中、禹城一中共九所高中。这是期末前的最后一次校际联考。 此次联考共有二一八八二名同学参与，特招线是四百七十五分，对应位置是七千三百四十七名，一段线三百七十点五分，这都是复分之后的分数。各科具体上线分数可以参考下面两张图片。 高二期末考试是八九十三天考试，距离考试时间还有十多天，同学们加油！

这是严德英才大连考二零二六年高一期末考试地理试题。第一题，考察地震波的性质，分析纵波与横波的传播速度、介质及特点。第二题，考察地球内部圈层，分析 mg 之间圈层的物质状态及特征。第三题，考察地震预警原理， 分析纵波与横波的速度差，产生预警时间。第四题，考察天体系统层次，判断开普勒二二 b 行星所处的天体系统。 第五题，考察一具待条件，分析开普勒二 b 行星适宜温度的原因。第六题，考察大气分层，分析嫦娥六号返回过程中各层大气的特点。 第七题，考察大气温度变化，分析嫦娥六号从二层到着陆的气温变化规律。第八题，考察山谷风，分析局地山谷风强盛对应的天气状况。第九题，考察绿洲风， 分析绿洲面积扩大对昼夜风向的影响。第十题，考察等压面与等温面，判断绿洲和沙漠在不同时段的热力差异。第十一题，考察卡斯特地貌， 判断等高线图中主要地貌类型。第十二题，考察卡斯特地貌演化，分析风林未来的发展趋势。第十三题，考察卡斯特地貌对人类活动的影响， 分析旅游、农业、用水及交通等方面。第十四题，考察河道形态，分析圈河入海口处的河道特征。第十五题，考察河岸沙丘地貌， 分析沙丘与边滩的成因及特点。第十六题，考察盛行风向，根据沙丘形态预测东半年主导风向。第十七题，考察季雨云与大气分层，分析季雨云内部运动所属圈层及云溪规避时段。第十八题，考察桃源台地地貌与水利工程， 分析冲击晒形成尘基物特征及蓄水原因。第十九题考察渤海与长芦盐场，分析盐度低、结冰纬度低、海冰减少集晒盐季节的原因。

咱们今天看的是二零二六一月山东泰安六校联考的语法填空，这个语法填空是非常难的啊，现在画的红线的这些啊，五十七，五十八，六十六十二，六十三，六十五，都是非常难的。那咱们看一下五十六题。 五十六题，古代的手工 craft 是 主语，两个逗号，属于插入语， is 属于谓语动词，所以 no 是 非谓语动词。然后这些古代的手工和知道之间是被动关系，被了解，被知道，所以是 no 非谓语动词的旦的考察。 然后我这七题，他是一个独特的呃，手工染色技巧，技巧，技术啊，然后这个是个名词，名词后边跟了个句子啊，然后说织物部分被记或者夹住在染色之前啊，所以主谓宾都不缺纸在前面的技术，所以用关系副词维尔 啊。然后五十八题，然后说这个艺术家们第一次用线，还有绳 哎，或者呢，这会又说了工具哎，是不是把他俩得排出去，是其他的工具哎，去做这些事。然后五十九题是 time 是 动词，咱们修饰动词，形容词，想修饰动词，必须得变成副词，必须变副词，那就变成 tightly， 哎，叫紧紧的记载啊。然后六十题，咱们看一下这个，呃，织物被浸在一个染缸里头啊，经常是一个定蓝色的一个色染色， 染色现在是一个名词，是一个这个染缸里的染，染色是定蓝色的染色，所以名词前面用冠词，第一次出现用 a， 然后呢，在染色之后，这些绷带被解开，被解开绷带是主语， anti 是 谓语动词啊，因为 to review 非谓语，所以它是谓语动词，然后 to do 和介词前面这个动词必须变被动啊。 再说一遍，介词和 to do 前面这个动词必须变被动，所以就是这个绷带被打开是 untied。 然后六十二题，你看介词短语括上啊，这个各种各样的紧度啊，紧度啊，然后还有这个不可预测的方式创造了这种自然的影响和有影响的， 包括这个丰富的这个颜色啊，所以这是谓语中词。前面这两个是主语，方法和紧度是两个，名词是主语，所以是并列成分，所以是按的。然后这个，嗯，扎染已经进化成为，哎，进化发展 啊，那这是动词，这是名词，所以中间添介词啊。然后六十四题，它是主语， continuous 是 谓语动词，逗号后面就是非谓语动词，所以去 e 加 i， n g demonstrating。 呃，然后呢？呃，展示了一个完美的一个结合，古代的智慧是名词， and contemporary 是 形容词。呃，智慧和创造力的这样的一个结合， creativity 创造力。

聊城高中期末考试，高一高二是全市联考啊？全市联考，我看家长还不断的问，然后呢？我们高一的话就是五万九千多，高二就是五万四千多。我发现很多家长的话对我们 这个聊城全市中考生和高考生这人数没有概念啊？没有概念，这全市我们八区县。 嗯，然后呢？高三除了聊城一中和聊城第一实验以外的是这个全市联考。好吧，这个人数的话大概再说一下啊。