lz角动量算符是厄米算符吗

看好脚动量，手横啊，我先玩命旋转这个圆盘，使劲旋转它，咱们先做第一个测试，先做第一个测试，现在我双脚离地，下面是一个能运动的一个轴承，我现在先转九十度，哎， 看到没有？我会跟着他一起旋转，当我改变他他的方向的时候，我就会被他带着一起旋转。原理很简单啊， 当我旋转这个圆盘的时候，圆盘自转中心的这个轴会产生一个动量，而当我改变这个圆盘方向的时候，这时候会 施加一个这个方向的力。这个方向的力呢？在旋转物体施加力啊，他会和力本身又成九十度方向。比如现在这个力矩是指向我自己，从各位角度上看，就是指向屏幕的里面，根据平行四边形法则，这个力矩作用在搅动量上的时候，他跟我这个座椅下面的自转轴又没在一起， 随意就带着我转圈。我再拿这个东西演示一下，小时候都玩过吧，我们那时候叫智多星，中间一个旋转的圆盘，还好，现在它是电动的。看好啊，我把它放这里边以后，它就开始电机就带动它旋转，越转越快，越转越快，此时它就具备搅动量。然后我现在将它拿出去看，好啊，放在这个上边， 现在转速快，它几乎是直的，但是随着转速的降低，它会逐渐开始越变越歪，越变越歪，这就是搅动量守恒。

加油加油，加油。

大家好，在结束关于量子算符的讨论之前，我想再聊一个非常重要的算符类型，有算符。这些算符理解起来相当直观， 它们将成为量子力学中描述变化这一概念的基础。话不多说，我们这就开始吧。就像我们当初介绍厄米算符时一样，我们先从两个向量的内基说起。我想知道的是是否存在这样一个算符优， 当我用 u 对 两个向量进行变换后，它们的内积依然保持不变呢？记住，内积是一种广义的点击，所以我们可以借助它来直观的理解并观察点击的另一种计算公式。 这个公式等于向量长度的乘积，再乘以它们夹角的余弦。通过这个替代公式，我们可以直观的看出，我们其实在问是否存在一个算符 u， 在对两个向量进行变换后，它们的长度和它们之间的夹角都保持不变。当我们这样提出问题时，答案就很明确了，一个简单的旋转就能满足这个条件，旋转操作不会改变向量的长度，它们之间的相对角度也保持不变。 旋转只是其中一种能保持内机不变的操作。通常我们将所有能保持内机不变的算符称为有算符，有算符被定义为任何满足以下性质的算符， 它的厄米共厄等于它的逆。现在可能还不清楚这个性质是否意味着内机能够保持不变，所以我们来给大家证明一下。我们先从一个内机开始，然后对这两个向量都作用算符优。 接着我们把右边的算符提出来，如果想把作用在左边向量上的算符移到右边向量上作用。记住，我们只需要使用它的厄米共厄，而厄米共厄又等于逆，所以我们得到 u 乘以它的逆算符。根据定义，这必须等于恒等算符， 因此内机的值和他最初的值是相等的。尽管有算符是一个抽象的概念，但我认为你应该始终保持这样的直觉。 这些算符只是广义的旋转，他们会把向量在空间中移动，但在直觉上，他们总是保持向量的长度以及他们之间的相对角度不变。 在将这个概念与量子力学联系起来之前，我们先来表述有算符的另一个基本性质。假设 omega 是 有算符 u 的 一个归一化的特征向量。 由于奥米加是归一化的，他与自身的内积必须等于一。现在我们让算符 u 作用在奥米加上，然后再次计算他与自身的内积。因为奥米加是特征向量，所以 u 作用在奥米加上，只会简单的返回对应的特征值。 内积的右边对常数是限性的，所以我们可以直接将特征值 lamb 的 提出来，而左边对常数是反限性的，所以我们提出来的是 lamb 的 负根幺， 这个内积最终等于一。并且记住，一个负数乘以它的共幺，等于它的幺的平方。既然 u 保持内积不变，那么我们就知道这个值必须等于未作用幺时的内积，也就是一。 所以我们刚刚推导出了有算符的一个基本性质，有算符的特征值必须满足魔为一，这也被称为单位负数，这也是有这个名称的由来，因为所有的特征值都具有单位长度， 这个性质也应该很容易理解。特征值告诉我们算符对它的特征向量的缩放程度。所以，如果我们把有算符看作广义的旋转，那么从直觉上说，它们不应该改变特征向量的长度，因此 特征值的膜必须为一，这是完全合理的。很好。那么我们在量子粒子学中为什么会关心有算符呢？内基在量子粒子学中又代表什么呢？在百分之九十九的情况下，内基是用来计算概率的。 所以，既然有算符能保持内基不变，那么如果我们对量子空间中的每个向量都作用一个，有算符获得某个特定测量结果的概率也不会改变。 同样的，我们量子态的总概率仍然等于一，所以最重要的结论是，有算符在量子力学中能够保持概率守恒。希望我不用再多费口舌来让你相信保持概率守恒是一件多么重要的事情。想想看， 我们希望对粒子和它所处的系统做些什么，同时又希望总概率保持守恒呢？我们可能想旋转粒子和它的系统， 或者我们可能想把粒子和它的系统移动到别处。再或者也是最重要的一点，我们可能想要研究粒子是如何随时间演化的。 在所有这些过程中，我们都希望总概率始终等于一。因此，你可能会预料到，像旋转算符、平移算符以及时间演化算符都必须是有算符， 因为这些变幻都应该保持概率守恒。在接下来的两期节目中，我们将在推导薛定鳌方程时进一步表述这个想法， 并证明时间演化必须是有的。到目前为止，我们已经包含了所有需要了解的关于有算符的内容，关于有算符还有很多可以讨论的地方，但我们已经掌握了推导薛定鳌方程所需的基础知识，它们是不是相当简单直观呢？ 下一集我们将暂时停一下，利用拉格朗日框架深入探讨经典物理中的生成元概念。在推导薛定谔方程和动量算符时，生成元总是被提及，但我还没见过有人真正花时间来直观的谈论他们在经典物理中的意义。 一旦我们理解了这些，我们最终就会看到生成源和有演化是如何共同汇聚成那个著名的方程的。感谢大家的观看，一如既往，如果你有任何问题，欢迎随时告诉我，期待在后续的系列中再次见到你！

脚动量之后，我终于看懂了职业挥杆。三个月前，我发了一期视频，用滑冰运动员收臂加速来比喻高尔夫挥杆，讲脚动量守恒。评论区很多网友告诉我，物理概念错了。我想了很久， 他们说的对，但比概念对不对更重要的问题是，我想用那个比喻传递的挥杆直觉到底对不对？如果直觉是对的，只是比喻不够精确，那我可以换个说法，把事讲清楚。如果直觉本身就是错的，那我得从头再来。 三个月，我反复看职业球员的挥杆，看业余的挥杆，看自己的挥杆。我试着抛开脚动量这三个字，只问一个问题，那些真正打得好、距离远、挥速快的人， 他们的身体到底在干什么？今天，我想把我看到的分享给你。第一部分，我终于看懂了上杆幅度。以前我看职业球员上杆，总觉得也就那样，幅度还没我大。现在我明白了，我说的幅度，和他们说的幅度根本不是一回事。我说的幅度是手举多高，杆直哪，身体转的多开。他们的幅度， 旋转的纯度，也就是在多大程度上，只有该转的在转，不该转的一动不动。你看迈克罗伊的上杆，从正面看，他的头几乎没有左右横移， 没有上下起伏，他的左膝只是微屈，不是往下坐。他的整个身体像一根插在地上的轴，只有胸椎在绕着这根轴转。这叫小吗？从视觉上看，是的， 但他的胸椎实际旋转了多少度，可能比很多业余都大。区别在哪？业余的大是身体在搬家，往右平移，头晃，膝盖乱动，这些都不是旋转，是位移， 职业的小是身体在拧，轴不动，只有该转的在转。所以我现在懂了，上杆幅度的大小，不看手在哪，看轴稳不稳。第二部分，那些大开大合的挥杆，其实是在用惯性。还有一种挥杆看起来幅度很大，比如巴拿沃森，比如早期的约翰达利，他们也是错的吗？不是。仔细观察， 他们的大开大合和业余的大开大合是两回事。业余的大是用肌肉力量硬拉出来的，每一下都在使劲，每一下都在对抗。职业的大是用惯性甩出来的， 他们让身体的旋转产生离心力，让手臂和球杆被这股力拖着走。看起来幅度大，是因为他们允许这股惯性充分释放，而不是因为他们主动发力。多。区别在哪？ 主动发力，肌肉是紧的，惯性释放，肌肉是松的。你去看那些挥杆大的职业球员，他们的握杆、肩膀、手臂在挥杆过程中反而是放松的， 他们不是在做动作，是在让动作发生。而业余的大往往是绷紧全身，每一块肌肉都在使劲，结果就是看着幅度大，杆头速度上不去。第三部分，下杆的秘密，骨盆先转，然后一直转下去，转到面对目标。但职业球员不是这样的， 他们的骨盆在启动之后，并没有完全打开到极致。什么意思？骨盆的任务是点火，在极短时间内产生高脚速度，把这个旋转能量传递给上半身。一旦完成这个任务，骨盆就开始减速稳定，变成支撑平台，而不是继续狂转。如果骨盆一直转下去，会发生两件事，一、 上身会被拖着转，手来不及落下来，这就是身体强跑。二能量会在骨盆处滞，流，传不到杆头。所以职业的下杆是骨盆启动点火，骨盆减速稳定，能量向上传递，手被甩下来，与躯干同步，通过击球。第四部分， 手到底该干什么？以前我总觉得手要发力，要释放，要打。现在我明白了，手在正确的挥杆里，几乎什么都不用干，他只需要做两件事，一、握紧杆，二、被身体带着走。职业球员击球前那一下，手飞速向下移动，那个飞速不是手在发力， 是被离心力和重力带下去的。骨盆转了，躯干转了，手自然就被甩下来了。甩下来的速度就是杆头速度的来源，如果你用手主动发力，反而会破坏这个节奏。手快了，身体慢了，身体快了，手慢了，两者不同步，能量就在中间断掉了。 我之前有一期视频讲学会等一等治的就是这个。第五部分，所以，角动量还能讲吗？能，但要讲清楚。滑冰运动员收臂加速这个比喻依然有效，它让人直观理解，先转核心，手自然快。 但必须补充两点，第一，高尔夫外力举为零，脚踩地面就有外力，所以不是脚动量守恒，是脚速度的剧烈化传递，在小半径部位宽，产生高脚速度，通过身体链条传递到大半径部位，杆头获得高线速度。第二，高尔夫没有真正的收臂。 滑冰运动员收臂半径缩小一半以上，高尔夫躯干到手的距离变化没那么大。所以加速的主要来源不是半径缩小， 而是多个身体环节依次加速，依次减速，依次传递能量。这个模型在运动生物力学里叫动力链的持续藕合，名字复杂，道理简单。每一个环节的任务， 不是自己赚到最后，而是把能量传给下一个不宽传给胸，胸传给肩，肩传给臂，臂传给杆。传完了，任务就完成了。我的心里话，三个月前，我做了一期视频，用了不精确的概念。三个月后，我重新讲一次，不是因为我要证明自己。对了，是因为这三个月我确实进步了， 看到了以前没看到的东西，理解了以前没理解的事情。而这一切的起点，是那些在评论区告诉我你错了的人。感谢所有认真批评的人，你们是我最严格的老师，也是我进步的原因。 挥杆口诀，上杆看轴不看手，下杆看船不看转轴稳了，幅度自然会小，船对了，手自然会快。高尔夫不是一场物理实验，但它是一场对物理原理的持续靠近。

大家好，在过去的几集里，我们一直在讨论可观测量，也就是那些可以被测量到的物理量，以及它们是如何在向量空间中用向量算符来表示的。 在本集中，我想向大家介绍一个新概念，阿米算符，并解释它们如何与我们物理世界中的可观测量紧密相连。提醒大家，如果你还没看第七章关于可观测量的部分，建议先去看看， 因为我们将用到其中推导出的结果。首先，我想介绍一些新的记号。我们经常会遇到这样的表达式， m 作用在向量 f i 上。因为 m 作用在 f i 上会得到另一个向量，所以我们通常也会这样写， m f i。 这其实只是表示一个向量，即 m 作用在 f i 上所得到的那个向量。 所以当我们遇到像 psi 米 fine 这样的内基表达式时，有时把它写成 psi 米 fine 会更方便。 记住，这只是向量 pci 和向量 mpi 的 内基。有了这些铺垫，我们来建立一个几何直觉。假设我们有这样一个内基表达式 和 p s i m 法 a。 记住，内基本质上就像我们熟悉点击的推广，所以我们可以用点击来建立一些直觉，点击有一个等价的表达式。 所以从几何上看，这个内基基本上是说让 m 作用在向量费上，然后测量新生成的向量和 p s i 向量之间的角度， 并根据它们的长度进行相应的缩放。现在我们想探究的是是否存在一个算符 n， 我 们可以把它作用在 p s i 上，而不是 f i 上却能得到相同的内基。结果呢？从几何上讲，我们问的是 我们能否找到一个算符允许我们改变 p s i。 向量，但最终得到的两个向量之间的角度仍然保持不变，而且这个条件必须对我们选择的任意两个向量 p s 和 p s i 都成立。事实证明，这样的算符确实存在。 这个算符就叫做厄米伴随算符。我们用在操作符前面加上一个匕首符号来表示厄米伴随。比如 m 的 厄米伴随就是 m t。 厄米伴随算符最基本的性质是，对于任意向量 p i f 和 p s i， 它都满足以下等式， p s i m f i 等于 m p s i f i。 现在我想向大家展示恶米伴随算符的几个性质。 这些性质的证明可能不那么直观，但我鼓励大家自己练习迪拉克符号，并尝试证明他们。他们的证明其实相对简单。首先，一个恶米伴随算符的恶米伴随就是它本身，即大等于 m。 其次，两个算符之合的厄米伴随等于他们各自厄米伴随的合，即顶级 a 加 b 顶。 最后，也是最重要的一点，算符乘积的厄米伴随需要先交换他们的顺序，再分别取厄米伴随， 即 d 等于 b， a t。 如果你想尝试证明其中任何一个性质，最后一个是最值得一试的。在将这些概念与量子力学联系起来之前，我想讨论一些你可能会遇到的常见恶米伴随。 首先，假设我们有一个标量，这个标量的厄米伴随是什么呢？我们可以用标量作为算符来设置一个内积。我们想知道如何把这个标量移到内积的另一边。我们可以把标量从内积的右边提出来，因为右边是线圈。 然后我们还需要记住，内积的左边是反限性的，所以我们必须对标量进行负共恶，才能把它移到左边。因此，我们得出结论，一个标量的恶米伴随就是他的负共爱。 这是一个你应该记住的重要事实。其次，一个太矢量的恶米伴随是什么呢？ 这可能听起来有点奇怪，因为我们一直把泰式样看作是项链而不是算符。但请耐心听我解释，与其单独处理泰式样，不如把它放入一个内基中来考虑。一个内基本身就是一个数字，所以他的厄米伴随就是他的福，够爱。 这相当于只是把内基中的两个向量位置颠倒。但是我们也可以通过分解内基，并使用乘积厄米伴随的规则来评估内基的厄米伴随。我们交换位置，然后分别取厄米伴随。 前面我们得到的表达式和这个表达式必须是相等的。由于 free 和 psi 都是完全任意的，这似乎表明一个太矢量的厄米伴随是一个共厄转质矢量，而一个共厄转质矢量的厄米伴随是一个太矢量。 这更像是一种解释，而不是严格的证明，但他确实是正确的。在描述中，我链接了一个 stack strategy 的 帖子，他更深入的解释了我们如何将泰式量看作一个算符来证明这一点。 那么，这些厄米伴随是如何与量子物理学联系起来的呢？我们可以问自己一个可观测量了解的知识。 记住，我们发现物理可观测量是由现行算符表示的，这些算符的本征态代表了确定的物理状态，而本征值则代表了对应的测量结果。可观测量还必须遵循我们的物理直觉。让我们回顾一下第七招中推导出的规则。 首先，本征值必须是实数，因为我们测量的物理量显然是真实的数值。其次，本征态必须能覆盖整个空间，因为每个量子态都必须对可观测量拥有某个具体值。 最后，本征态必须是互相正交的，否则他们就不是确定的状态。这后两条让我们得出结论，可观测量拥有一个正交归一的本征基 建于可观测量的这些性质，我想向大家展示一种非常有用的表达可观测量的方式，它将有助于我们找到其厄米伴随。 首先，让我们考虑可观测量作用在任意量子态上。由于这个算符有一个正交归一的本征机，我们可以在这个本征机中展开量子态。然后将算符模移到求和符号内部。 因为这些是本征态，所以算符 m 作用在它们上面，只会给出对应的本征值。那么系数 c， o， e 呢？ 请记住，我们之前已经推导出这些系数的表达式，所以我们可以代入这个表达式。然后我们可以把内基移到右边。 现在利用迪拉克符号的强大之处，我们可以拆分这个内基。因为 psi 对 于求和的每一项都是相同的，我们可以把它提出来。所以我们发现可观测量作用在任意 psa 上的效果等同于一个算符之合的作用， 换句话说，他们是相等的。因此我们发现可观测量可以写成一个求和的形式，其中包含他们的本征态和实数本征值。如果我们有一个连续的本征基的可观测量，我们可以遵循同样的逻辑推导出类似的表达式。 那么这有什么用呢？我们可以利用这种形式来表示可观测量，从而了解他们的恶米伴随是什么。我们这里以离散情况为例，但请注意，在连续情况下逻辑也是相同的。 首先，我们使用恶米伴随的性质和的恶米伴随是恶米伴随的和。 接下来我们使用乘积的恶米伴随规则，我们交换顺序，然后分配戟首符号。一个共割转制式样的恶米伴随是太式样。一个太式样的恶米伴随是共割转制式量。一个标量的恶米伴随是负共恶。 记住，本征值必须是实数，因为它们代表我们可以测量的结果值，所以这只会给出相同的本征值。我们可以把它移回左边，因为它是一个标量。看，我们得到的正是原先的算符， 所以我们刚刚证明了物理可观测量的厄米伴随就是它本身。我们对那些厄米伴随是它本身的算符有一个专门的名称，我们称它们为厄米算符。 我承认这个名字可能有点令人困惑，但我们就是这样称呼他们的。所以我们发现所有的可观测量都是阿米算符，因此他们都满足以下内基性质， v c i m five 为未 未敲落公接样进入最后可观测量打交道。由于我们在量子力学中总是与可观测量打交道，这个性质非常有用，所以值得记住。 我想退一步回顾一下，我们是如何得出这个结论的。在几乎所有的量子力学教科书中，可观测量都被简单的声明为阿米算符。 根据这一声明，他们通常会利用光谱定律的某些表述得出阿米算符具有实数本征值和正交归一的本征基的结论。这通常会以类似这样的陈述结尾。这些性质恰好可以很好的描述物理可观测量。 我想让大家看到的是，你也可以反过来利用物理直觉得出可观测量必然是阿米算符的结论。我们首先发现可观测量应该由现行算符表示，然后我们推导出如果他们要模拟真实的物理量，他们需要满足三个性质。 最后我们发现这导致了可观测量必须是阿米算符的结论。我个人觉得这种方法更令人满意， 因为我们是利用物理直觉来发展数学框架，而不是反过来。虽然光谱定律非常重要，但我认为向大家展示物理直觉是如何自然的引出可观测量的恶米性的会非常有启发。所以我希望大家能看到 关于量子理论中可观测量是恶米算符这一点背后有着充分的物理直觉。既然我们知道了这个事实， 我们终于可以开始深入研究可观测量的一些有趣性质了。从下一集开始，我们将探讨无处不在的对异子 以及他与臭名昭著的不确定性原理之间的关系。希望在那之后，不确定性原理将不再那么神秘。非常感谢大家的观看，一如既往，如果大家有任何问题，请随时告诉我，期待在后续系列中与大家再见！

今天我们一共会讲三本书，第一本书叫必修三，第二本叫选修一，第三本叫选修二，在必修三这我会重点讲两个题，一个是关于电场的轨迹和场线的关系，第二个是关于电路的，叫做电能的计算。紧接着我们会讲 选修一选修一部分。首先第一个叫动量，各位在动量这个里面有两类题很重要，一类叫做流体动量定律，这个是一个关键结论，选择题直接带入瞬间拿分。第二个叫做碰撞模型，这给大家很熟了，我们今天会重点讲板块中的 碰撞，而且还带弹簧，所以这类题期末考大题的概率是非常高的。紧接着各位我们讲机械振动和机械波，在这块两类题，一类叫波的图像题，这个非常有可能出现在选择题里面。第二个叫波和图像的对比，我既考波的图像，也考震动的图像， 他们两个人在一个题目里，咱们重点来说第三块，我们要说的是关于选择性必修二这个部分我们一共会讲两章，第一章呢是关于磁场，一类叫圆形磁场模型，期末考试有可能考大题。 第二个叫等距螺旋模型选择题，这个也是一个固定结论，大家拿走直接记。最后我们会讲一点电磁感应两个部分，一个叫感声电动式，一个叫做单杆切割模型，这十个题就是咱们今天晚上的重点，大家全程跟上我的节奏和思路。 首先我们先从第一个部分，就是我们今天说的叫做必修三两类题开始。首先第一类题叫做电场，各位电场中有一个最核心的问题，是不是叫电场的诡计问题？ 我们一块来看一下这个题，他说如图，虚线呢，是一个正电和的等式面，中间是一个正点电和，对吧？然后周围的虚线是等式面。现在 p q 两个待见例子，以相同的速率沿不同的方向飞入，各位，从 a 点的地方，这给了啊， a 点的地方飞入，分别沿着不同的轨迹一和二。他问你，下列说法中正确的是哪一个？我问你们啊，一上来你会发现这个例子是不是让你判断 p q 的 正负，你怎么来判断它？ 核心第一件事考的是不是叫曲线的结论。你们记得咱们再讲曲线的时候，是不是有一个粒子在这运动速度是沿着曲线的切线方向，而 曲线的受力是不是指向凹侧，没错吧？所以通过这个题你会发现，各位对于上面这个衣轨迹，它的受力是往这的，对吧？那说明中间是一个正的，它受力是向外的。各位，叫同向相互 排斥，异向相互吸引。所以这个一诡计，它是不是一个正电核具有的？因为正正排斥嘛，它是向外的力， 对吧？而各位，对于二诡计来说，它受的力是不是长这样，你会发现跟中间的正电核是吸引的，所以各位，这个二诡计是不是应该是一个负的，对吧？各位？所以通过这个我就知道 p 应该带的是个正的，而 q 应该带的是一个负的，所以 a 选项 说了，其实本质上这道题考的是什么？是不是叫运动轨迹，对吧？哎，他并不是，跟电场没什么关系，是曲线中的结论。 第二个，各位，人家问屁点的电视能是怎么变的？我问你们，咱们学过，只要问电视能，我脑子里是不是就一件事来。各位，电视能最核心的对应量是不是叫电场力做功？ 那你会发现，对于这个屁来说，他运动的轨迹是不是上面这个运动轨迹，你发现 它从 a 走到 b， a b 是 同一个等式面，如果是同一个等式面，各位，那在这中间过程变化中，你的 e p 是 不是等于 q？ f f a 等于 f b 的 话，说明我 a 和 b 的 电视是不是一样的？那从电视一样，各位，中间变化了，那一样的话，是不是叫先增大后减小？ 或者说你会发现我从这往里走的时候，我的电场线长什么样子？这是一个正电盒，你的电场线是不是向外发散的，对吧？各位？哎，向外发散的那一个正电盒从 a 点往里面走，是不是叫正电盒？逆电场线？如果是一个正电盒，它逆电场线，我电场力做的是不是一个副功， 那负功的话，电势能是不是就应该是增加的，对吧？而我从中间再往外面走的过程中，这个正电和是不是又顺电场线？正的顺电场线，电场力做的是不是应该是一个正功， 所以电势能减小，所以全程电场力是不是叫先做副功，后做正功，所以我的电势能叫先增后减，对吧？所以各位，你会发现，二 b 选项，我既可以用 far 来判断，是不是，也可以用做功来判断，这两个都是 ok 的， 能跟上吧？好，各位，那你看 c 选项，他问 q 的 动能， 我问你们问动能，其实本质上是不是就是在问电场力做功定力啊，对吧？做了多少功，我的动能是不是就变化多少？ 所以那现在他问的是谁？他现在问的是这个 q 对 不对？如果问这个 q， 这是一个正的电场线，来，各位，咱说了 q 带什么电？ q 是 不是对应带一个负电？那你想，对于 q 来说，他从外圆往里圆走，从大圆往小圆走，这个负电他是不是叫逆电场线？他应该做的是一个正功，它的电势能是减小的， 没问题吧？那紧接着各位，他从小圆再往大圆走的过程中是不是叫负的顺电场线？电场里 做负功，电势能是增加的，所以通过这个你会发现，我的做功是先做正功，后做负功，说明我的动能是先增，然后呢，是不是叫后减？所以 c 选项是对的，动能增，各位，就代表着你的速度是不是变大，动能减是不是代表着速度变小？ 它是这个逻辑吧，所以这是我们说的 c 选项，能跟上吧？好，那紧接着各位，四 d 选项，它说 p、 q 两个粒子 经过 b、 c 两点的速率可能是相等的。各位，你看 p、 q 分 别在这运动，对吧？经过 b 和经过 c， 问你速率一样不一样，我怎么判断？非常简单的一个道理，各位，我可以用谁是不是叫 q？ u 等于动能的变化，没问题吧？你看啊，对于 p 来说， 它是不是叫 q u 一 等于二分之一 m v b 方，减二分之一 m v 零方，对吧？对于 q 来说，我是不是叫 q u 二等于二分之一 m v c 方，减二分之一 m v 零方。那么 它们都从 a 点告诉你了，相同的速度出去， v 零 v 零是一样的，问 bc 速度一样不一样， 是不是就问电视差？各位是不是叫 u 一 和 u 二？那么在这里面很明显 a 到 b 和 a 到 c 的 电视差肯定是不一样的，对吧？那根据这个我是不是就会发现，各位，它的 b 和 c 的 速度是不是就不可能是一样， 它是这么来的吧，用的是不是叫 w 等于 q u 能跟上啊？所以有了这个之后，各位这道题我们正确答案是不是选的叫 c 选项？这是非常简单的一道电场题，但是它把电场中比较核心的一些观点 抽奖来，这是我们说的第一个题啊，叫做电场的问题。另外给大家准备了二十七个高频物理的提分模型，同时给大家准备了一对一的提分规划，帮助大家解决不会学以及没有方法的问题。 下面各位第二个，咱们来说电路的动态分析，咱们一块来看这个题，这个题呢，本质上他要考的是电路的动态，对吧？哎，咱们一块来看一下啊。如图所示， r 一 二二为定值电阻， r 三是滑动变阻器， c 是 一个电容器，电表呢是理想电表，各位，人家给了啊，不用考虑那组了，当开关 s b 合，他说滑动变阻器自发的由 a 向 b 端去移动， 问你 v 一 v 二则它 u 一 则它 u 二，电流表则它 u i i。 问你下一说法中正确的是，来咱一块来说一下这个啊，这道题本质上考的叫电路的动态分析对不对？ 所以在这咱们是不是叫串反？并同我们来看华 滑动变阻器是怎么变的？各位，现在滑动变阻器是不是下面这个部分接入到电路里了，你会发现，如果滑片从 a 滑到 b 的 话，我接入到滑动变阻器，各位，就说滑动变阻器的二三是不是在减小它 没问题吧？二三整体是在减的，对不对？如果二三是在减小的话，那此时我们说所有跟二三串联的变化都是相反的，所有跟二三并连的变化都是相同的，这叫串反 并同。在这图里面，首先谁跟二三是串的？各位，是不是叫二一？所以二一对应的电流、电压、功率叫串反，都是增大的，而 二二跟它并列，所以二二两端的电流、电压、功率是不是都是相同的，都是减小的，没错吧？这是第一个。那根据这个，我能不能先判断一下各个表？各位，首先 v 二表并在了二二两端，对不对？二二电压是减小 的， v 表并在了二一两端，二一的电压是增大的，没问题吧？咱刚说了，所以那这个时候 v 一 表的读数是不是应该是增大的？ 通过这个两个表，我判断完了，二 b 选项我优先排除，这是不是很好理解？好，紧接着，电流表，电流表和滑动变阻器什么关系？你看电流从这流完之后转一圈，是不是串上电流表回到负极，所以电流表各位是不是应该是什么？是不是跟它是相 反的？串反，对吧。所以电流表是不是应该变大？所以四 d 选项我也排了，串反并拢。各位， a 选项， a 选项，问你 c 的 电和量， 电容器两端的电和量。各位，你想一想，咱们的公式是不是叫 q 等于 c 乘以 u， 问电和量就是在问啥？是不是就是在问电压，因为你的 c 是 不变的，那你看你现在电容器并在谁两端，我们说电容器并在谁两端，是不是就谁两端？电压，它现在并在了 r 两端， 所以它是二二两端的电压，二两端的电压是减小的，所以电容器两端电压是不是叫减小的？所以叫 u 二二是不是等于 u c， 那 么它减小 c 不 变。各位，电和量是不是叫减小？所以我的电和量减小 a 选项 错，所以到这各位，这题你是不是 c 选项已经能选出来了？那我们来判断一下 c c 这个是不是叫变化值，对吧？叫得它值。那我们来看各位，这个 c， 它说得它 u 二比 比 delta i 的 绝对值是不变的，你看啊各位， delta u 二比 delta i 是 谁？你要知道有人说雅姐我怎么判断 delta u 二比 delta i， 我 们可以来练一下闭合电路欧姆定律，你会发现 对于 r 来说，它是不是叫 u 二等于 e 减去 i 倍的 r 一 加上小 r， 没错吧？各位，对，你看 r 对 于 r 来说是不是这样的？我的路端电压是不是等于电压乘以 r 加小二，那么你看 r 二两端，那也就是说你能通 通过比值发现我得它 u 二比得它 i 的 绝对值对应的是不是叫 r 一 加小 r， r 一 加小 r 变吗？不变定值的对不对？所以这是不是应该是不变？它是这么来的吧？它通过 b 和电路，我们定律是不是直接推导出斜率我就出来了，这题就出来，哎，所以各位，这题是不是应该选的是 c 选项？所以这是我们说的第二题，各位，他是不是叫电路的动态分析这一个题把这块所有常考的都考了， 比如说串反并统考了，对吧？导致它值的变化也考了，以及电容器也考了。这三个类型一般会割到一道选择题出，不会分在多个选择题，所以你就可以直接把它当结论记下来了。 刚刚我们讲的是关于第三种比较常考的，来，下面咱们第二本书了。第二本书叫选择性必修。一，我们先来讲第一块叫做动力 动量，我一共讲两个题，一个叫流体的动量定律，一个叫碰撞模型。咱们先来说第一个叫流体动量定律。各位，这个题考试概率很高，也是这两年高考的热门选手。 划重点了，是不是很多人一看这题感觉我不会，对吧？一看这个公式就好复杂，但是大家不用担心啊，这题特别简单，有结论，我带你们直接出来吧。各位，咱们一块来说啊。来，各位看题。他说，如图所示，清洗车辆时用的高压水枪，假设 水柱以速度 v 垂直喷在车上，水柱的直径为 d， 所有喷到车上的水流中有四分之三向外开键了，对吧？哎。然后他说，键起垂直 速度向外为三分之一 v， 他 问，你剩下的四分之一呢？就会流下去了，则他说，问你水流对车身的平均 攻击力。各位，这问的是一个动量定力的问题，那有人会说，雅姐，这题拿来之后，我怎么来判断他用的是动量？各位，首先你会发现他求的叫做力，对吧？而且他是不是给了你速度，有多少 发声，有多少速度以速度微过来，以三分之一速度向外飞，对吧？各位，所以你会发现他本质上是不是相当于给了出没速度，给了力，给了出没速度，那不就是用动量定力吗？那 这道题考的叫做什么？叫做流体动量定律，对吧？哎，各位，那流体动量你怎么来列式呢？首先大家别着急，我们先来一块把动量定律给它列出来，你会发现现在我用水去撞车对不对？那么现在车对水的力，各位，是不是应该叫 f 乘以 t， 而且是负的？我的水去撞车，反过来车给水是一个负的。各位，我对谁列式？我是不是对这个水 水来列示，没问题吧？我是不是对这水来列示，因为水有速度呀？我后面的速度对应的叫水的速度，那么叫 f 的 f 乘以 t 等于你速度的变化， 是这意思吧？各位，那你看，如果它等于速度的变化的话，那我们是不是就可以来判断一下，它在这里面是谁减谁？各位，你的末速度是不是叫剩四分之一的水流以三 三分之微，然后那剩下的四分之三向外飞溅，所以我是不是包含着两部分，一部分叫四分之一，一部分叫四分之三，对吧？那我来看，首先 四分之三对应的这部分质量，它速度的变化是不是叫负的三分之一微减微，这是不是这部分水流对应的动量？ 还有一部分叫四分之一，四分之一对应的单调 m， 它的速度变化是不是叫零减去 v， 因为它告你这剩下的四分之一，它最后无反弹。各位，无反弹说明打在车上是不是速度就为零了， 对吧？都是以 v 的 速度出来的。所以这道题它之所以很烦人，是不是就因为它把水流一共分成了两个部分，能理解吧？好，那在这里面你就发现说，哎，雅姐，我想求这个 f， 我 缺什么？我质量，不知道我到底喷了多少水？各位，这就是一个关键公式了啊，你的得它 m， 我 飞出去水，各位的质量，它是等于密度乘以体积，那么密度不会变。各位，体积叫什么？体积？是不是叫 你喷水口的横截面积乘以你的速度乘以我的距离，对不对？哎，这叫体积啊，承接面积叫做 s， 我 喷出去的各位是不是叫 v 乘以 dot t， 这块叫 l， s 乘以 l， 这是不是就是我们的体积，能明白吧？好， 那根据这个，各位，我是不是可以把德泰 m 带进去，带完之后你会发现等式两边的时间是不是就约掉了？那我的 f 对 应是不是就求完了？所以算完这道题，答案应该选择叫死地就结束了。 听明白这题了吗？非常简单，这叫做流体动量定律，只要你看到是一个流体，有出没，速度有力，全部都是这一个解题方法，只要把质量对应列出来就结束了。所以这是我们说的这一道题， 这种类型在考试中就属于送分给你的，你拿到这个题你就直接快速反应，我们就做题，速率是不是就特别特别的高？ ok， 各位，这是我们说的关于叫做流体的动量定律。来，下面各位第二个动量中的碰撞模型。这道题既有板块又有弹簧，我们一块来分析一下这个板块和弹簧之间的问题，这种题他有可能把它给你改编成一道大题，就如果你的期末考动量， 问一问有多少同学期末考动量？如果你的期末考动量的话，这题有可能会改成大题来考。他说，如图， 质量，一个两千克的木块静止在光滑水平面上，现在右侧有一个固定的进度系数的弹簧，弹簧属于自然状态，一个质量 m 二为三千克的小物块，以 v 零水平向右 划上左端，对吧？两者共速。各位看到共速了吧？速度叫两米每秒，此时物块未与弹簧接触之后，小物块与木板始终保持相对静止。各位，相对静止是不是叫一直共速？ 然后摩擦因素为缜则，他给了弹簧的公式。各位，我是不是跟你们强调过，我说这个公式高考时给了你就得 用，如果不给这个公式不要用，因为这不是高考的必会公式。这不是你的课本上给的已知公式，明白了吗？他只要不是已知公式，各位，这公式在高考的卷子上可以不用，说明这题不用这个解， 像这道题他给了，给了，就说明他肯定得用这个公式来解了。来，各位，首先 a 选项，他问小物块的出速度，各位问出速度，很明显他们俩共述了，我是不是能列动量守恒，对吧？那首先第一个 a 选项先来列守恒。各位，小物块划上来是不是叫 m 二？乘以 v 零出 使的动量等于 m 一 加 m 二，是不是乘以我的微共？在这道题里是不是就是我们说的 v 一， 对吧？你把 v 一 带进来，质量带进来，我是不是能直接得到你的出速度为零，它叫做三分之十米每秒，所以 a 选项我首先 pass 掉。 能理解啊，各位，这是我们说的 a 选项来，紧接着人家问二 b 选项仔细看啊，二 b 很 重要，他说小屋块与木板之间的摩擦因素 miu 至少是多少？咱们来看二 b， 二 b 怎么分析呢？有人说，肖老师，他在这两个人共述了，各位，我问你们，他们俩是不是一直保持相对静止， 一直相对静止去压缩弹簧，那么物块和木板本质上是不是就相当于是一个什么？一个整体？如果是一个整体，各位，那这个时候非常简单了，是不是列什么 叫能量转化，对吧？是不是直接上能量？如果是能量转化的话，各位，什么能转化？为什么能？最开始它们俩是一个整体的话，是不是就一个东西叫二分之一 m 一 加 m 二乘以 v 一 方， 他们俩共述的动能转化成谁？是不是叫弹性式能二分之一 k 乘以各位，压缩的最大距离，对吧？哎，那其实就是乘以它的压缩最大距离，那我在这是不是就乘以一个 x 方？是这逻辑吧，能跟上，哎，所以各位，那你还会发现那有人会说， 肖老师，那这个小滑块在这，这个系统在这撞弹簧，撞完弹簧之后是不是会在这往复去弹？各位，你告诉我他在这会做一个什么样的运动？给我结论， 各位，告诉我他在这会做一个什么样的运动？你想他们在这动量守恒对不对？各位，地面是光滑的，所以这个系统跟地面之间是没有摩擦的，那我去撞完弹簧，弹簧把我弹回来，我又撞，我又弹回来。各位，这个过程对于里面我做的是不是叫一个艰辛 运动，我在这往复振，对吧？所以你会发现各位，我用这个速度转化为弹性势能，我是不是能求出这个 x？ 这个 x 的 大小是不是就是我在这做减协运动的什么东西？是不是叫振幅？ 因为我的动能全部转化为弹性势能，就是压缩到最短，压缩到最短是不是就是你物体能走的最大位？也是这逻辑吧？各位，如果是最大位移的话。各位，最大位移的话，那不就是振幅吗？我做剪斜呀，对吧？哎，这是一个剪斜运动。各位， 所以那根据这个我是不是就能求出来你 a 的 大小？它被叫做一米。有了这个之后，各位，剪斜运动很明显正负最大的地方。有正负的地方，是不是就相当于叫回复力最大的地方 就是加速度最大的地方？那我的回复力是不是就等于你这两个物体做的最大加速度，对吧？叫 f 回等于 k x 嘛？是这逻辑吧。那么我的正负有了，各位，质量进 系数质量都有，那最大的加速度是不是就能求最大的加速度？被叫做四米每二次方秒。加速度有了各位，是不是就意味着摩擦就有了？因为你在这要满足这个加速度，用谁满足？用摩擦满足，所以叫 mu m 二 g。 各位，这个摩擦是不是要大于等于 m 二乘以加速度，对吗？各位，是不是要大于等于 m 二乘以加速度？所以也就是说我的摩擦必须大于等于我需要的这个什么。各位，是不是大于等于我需要的这个加速度？因为你最小最小，我得需要这么大，需要四厘米二四方秒 的，所以我得让摩擦力满足这个数，我根据这个是不是就能推出我的摩擦因素？所以你代完数会发现 miu 必须要大于等于零点四，那这里面二 b 就是 对的，它至少是零点四， 能理解跟上这个结论了吗？哎，所以这是我们说的关于二 b 里面非常重要的一个关键结论。可以了，你会发现只要有弹簧。有人说，雅姐你考试是怎么想起来的？只要有弹簧，就一定要考虑它是否有剪斜，只要外界没给新的力，各位，我都有可能做剪 斜，因为只要做剪斜，你就能用剪斜的结论。这题就出来的很简单了，理解了吧。哎，所以各位，这是我们说的这个二 b 选项。到底怎么求这 这个选项？这所有人划一个重点，这种关键性知识是很重要的。喵大于等于零点四是怎么得到的？因为你要满足最大加速度，所以我的摩擦力必须要大于等于这个加速度，我才能提供这么大的加速度。然后我两边质量一约，把加速度带进来，喵就是大于等于 零点四了。因为我先要符合题干中要求，我能达到最大加速度，我达到这个加速度，我才能在这做减写。所以人家问的是摩擦因素至少是多少， 我得保证他们俩能一块走呀，如果他俩不能一块走，你这个减弦运动不就不成立了吗？来，各位，那下面我们来看 c 选项，若 miu 等于零点五，问你木板至少为多长，为什么要问木板至少为有多长？因为他们要共速，他不能掉下去， 以及他们与弹簧之间的距离，那我们来算一下啊，如果假设 miu 等于零点五，在共速之前他们那个摩擦就没有升热了，他们就一起运动了。所。 所以那我能列的是不是叫二分之一 m 二 v 零方等于二分之一 m 一 加 m 二乘以 v 一 方加上升热？各位，这是不是我们说动量守恒的那个能量式子？完全非弹性碰撞， 我通过这个是不是能求出来我在供宿之前它们俩产生的总的热量，是这意思吧？那总的热量等于什么？总的热量各位，是不是就相当于是 m 二 g 乘以我的板长，这个板长也就是我最远最远 是不是小物块到达木板的右端刚好不掉下去，我共速了。所以我是不是就能求出来这个木板的最短的位以最短的板长是这逻辑吧？能听懂。所以升完热之后，后面的运动就没有升热了，只要它俩共速就没有升热这么一说了。 所以各位，那 q 有 了，带到这式子里，我的 l 对 应就出来了，所以这 l 算完之后应该是九分之四米， c 选项是错的，听明白了吧？好，那各位，我们来看 c， 他说木板初始位置距离弹簧至少是多少？我问你们，他木板供塑之前，木板在这里面做什么运动？你想一想木块做什么运动？你木块是不是有了个出速度，他受到一个向左的摩擦，反过来给木板是不是一个向右的摩 擦？木板本身是不动的，现在有了一个向右的摩擦之后，木板要干什么了？各位，是不是要开始动了？那动完做什么？木板在这做的是不是叫匀加？他做匀加谁提供的力？ 不是这个摩擦？这个摩擦叫 m 二 g， 是 不是等于 m 一 乘以 a？ 也就是说它俩之间的这个摩擦是不是一二之间的摩擦叫 m 二 g， 对 吧？哎，摩谁给的？是不是 m 二给的？因为二在上面滑动，二的质量提供了这个摩擦力，那根据这个是不是提供了一的加速度？这两个摩擦叫作七点五米，每二次方秒，所以 木板至少是这么大的加速度。然后各位，我问你至少这个距离做什么运动？做匀加，我最终是共速了，最终它俩的速度叫 v 一， 对不对？所以是不是叫 v 一 方减零等于二 a x， 各位，这个 x 是 不是就是木板距离弹簧最初时的距离，所以我把加速度给它带进来之后，各位，共速的速度我是有的，共速速度是二，所以我的距离是不就有了？我们算完这个距离叫十五分之四米，所以四 d 是错的，能跟上吧。这道题正确答案应该选的只有二比。这个题实际上你可以把它做各种改编，变成一道大题， 因为板块模型在里面考了，完全非弹性碰撞的模型在里面考了，所以这种题你会发现它是不是就很简单？所以这是我们说的动量的第二个叫做碰撞模型。 咱们下面一个部分，我们来说机械振动，机械波在振动和波，这我一共会讲两个题，一个 是波的图像，一个是关于震动和波的对比。我们来看这两个题。首先各位，咱们先看机械波的图像问题，他说如图所示，一列沿着 x 轴传播的剪斜横波是点 a 的 平衡位置 x 等于两米。各位， a 点在这了啊，在两米处， b 点是一个平衡位置在六米处 的一个点，他说其中 t 等于零时刻，这个实线图对应的是 t 等于零时刻波形的实物图，而虚线图对应的是 t 等于一秒的。各位，你发现这个 题对应着是不是给了两个时间段的两个波？那么也就是让你问不同时间段我的波的传播特点，这叫做波的多解问题， 因为我现在不知道这波往哪传，对吧？所以叫波的多减。然后咱们一块来看，首先这列波最大的问题， a 选项，他问你波长，这个简单，我从图里直接读就行了，对吧？你看这个点到这个点，各位，叫一个完整的波零到八，所以波长叫八米，对吧？你直接就 pass 掉了啊。然后 b 选项，你会发现这列波，各位，我得来判断，对吧？我怎么知道这列波是往哪传的？你看啊，听着给姐说 b 至点是向上震的。各位，虚线图中 b 往上震，记得咱们那个方法叫什么吗？是不是叫同侧法？ 波的传播方向和振动方向之间是不能加波形的，所以如果 b 点往上震，说明这列波是不是向右传， 对吧？各位，所以二 b 肯定不对，这叫做同侧，自己别忘了啊。来，各位， c 选项，他说 a、 b 的 振动方向始终是相同的。各位，这里面非常重要的一个结论， c 选项它考的是一个概念，被叫做同向质点和反向质点。各位，叫同向质点和反向质，这是一个定义。好多人忘了啊，什么叫同向质点？如果两个质点之间的距离，比如说我们叫得 x， 它是等于波长的整数倍，那这个时候它 它就被叫做同向质点，它们的振动运动完全相同，能明白吧？然后什么叫反向质点？它们平衡位置之间的距离，如果是半波长的基数倍，或者叫波长的基数倍，各位，那这个时候就叫做反向质点，它们的振动就是相反 的，能听明白这意思吧？所以各位，这个 c 选项就是问振动相同还是相反？我们来看一下，它在二，它在六，差的是四米， 四米是半个波长，半个波长对应他俩是不是叫反向支点，所以反向支点震动应该是相反，而不是相同， 所以 c 对 应是错的，能明白吧？什么叫同侧法？我再说一遍啊，波的振动方向，波的传播方向是水平方向，振动是数值方向，他俩之间没有波的形状，你看他往右传，他往上震，波在他俩的外头，这叫做同侧。 d 的 话，人家问的是波的速度大小可能是多少，这是不是就考到了波的多解，你看一下啊各位，很明显在这个图里面，对于这个 实线 t 等于零时候，我的这列波往右传，是不是往下震，那你会发现从 t 等于零到 t 等于一。各位，我从实线震到虚线，是不是只走了四分之一个周期？从零到虚线的零点二出使的这个点，你们看这块对应的是不是叫四分之一个周期， 所以也就是说我震动四分之一周期就能到达虚线，那这个时候我们的公式各位，叫什么？是不是叫得的 t 等于 n 倍的 t， 再加上小 t， 那 这里面你会发现我对应的时间，我会叫做我的一秒是等于 n t 是不是加上四分之一个周期，是这逻辑吧，对吧？四分之一周期是因为我从零到零点二，是不是刚好是四分之一周期，而为什么有 n t 呢？因为我可能走了好多个周期，再加上四分之一周期 没问题，那我根据这个是不是就可以把周期表达出来？各位，你会发现我周期有了之后，我把周期表达出来带进来。周期等于什么？是不等于波长除以速度， 对吧？哎， v 等于 lamb 的 除以 t， t 等于 lamb 的 除以 v。 所以 各位，那这个时候我是不是就有速度了？我就能有速度被答实，然后我再带你的 n 等于零一二三，不拉不拉不拉，你往里面去带，你的速度是不是就出来了？这题就结束了， 所以我们解完之后，各位，这题当 n 等于一的时候，你的速度就是十了，所以四 d 选项这道题是对的，这被叫做拨的多解问题，拨的多解大概率在这被叫做拨的多解大概率，在这被叫做拨的多解问题。八分之三，八分之三，八分之五， 这种是比较多的，能跟上吧？哎，所以这是我们说的叫机械波的图像问题。这种题都属于简单题，在考试时都属于送分给你的，四分之一怎么得到的？这 出使在零一秒之后，在零点二，这不叫四分之一个周期吗？对吧？下面咱们振动和波的对比，我们今天的第六个题叫波和振动的对比图， 各位来看一下这个题，同样给大家五秒钟的时间，自己快速读个题，我们一起来说啊，这题也不难啊，非常简单，大家来快速过一下，我们一起来说，如果期末考试中，你发现你做的选择题，他考的是波和震动对比，各位，就说明这类题相对来说是比较简单的，你可以直接上分的图， 一个沿着 x 轴正方向传播的简斜波 t 等于零时刻的图像图甲呢，是某质点的振动，他问你，下列说法中正确的是？各位，那我们一块来看一下啊。人提干中告诉你了，说图甲中某点是以图的，对吧？各位，他没有告诉你以图是谁的振动图， 左边叫什么图，左边是不是叫波图，右边是不是叫震动图？你会发现图甲是一个波图，图乙是个震动图，说明图乙是甲图中某个点的，它告诉你是 t 等于零时刻。那我们来看一下各位， a、 b 两个点是往哪震的？你会从图 如假中就会发现，对于 a 点来说，根据同测法，往右传， a 点往上震，对于 b 点来说， b 点是不是往下震？那你看以图是往哪震，以图往上震，谁满足？以图在 t 等于零时刻，各位，这是零时刻的对不对？以图在 t 等于零时刻的时候，往哪震？往上震，告诉我，以是谁的 以是不是 a 点的，是这意思吧？我通过 a b 在 t 等于零时刻的震动方向是不是来决定右边这个图到底是 a 置点的还是 b 置点的， 能明白吧？你看这是不是出来了，所以以图应该是 a 的， 所以 a 选项直接选很容易吧。来，各位，那我们来看二 b， 他 说再经过一秒置点 a 将沿 x 轴运动到 x 等于两米处，对吗？我问你们这句话，有人说，雅姐，这题怎么判断？二、 b 啊，我不会算，各位，不用算。我问你们， 所有的质点会往前走吗？这叫机械波对不对？所有的质点是不是叫上下震，不会左右移？它的结论叫不随波迁移， 你们是不是经常听这句话对吧？只要题干中一说质点左右动了，这句话全都是错的，根本不需要判。来，各位， c 选项人家问质点 b 的 位移随时间的变化图 图来问你们，如果问 c 选项，人家问 b 的 对不对？你看， a 点往上震，各位， a 是 一个正弦图， b 点往下震， b 是 一个什么图？各位，它是个余弦图， 所以它是不是应该叫 y 等于 a 倍的 cosine omega 乘 t， 那 下面正负多少？题改中给了叫零点一，我们从这能直接读对吧？ omega， 各位， omega 的 公式是不是叫？二、 pi 除 t 周期 t 在 这对应的是不是叫两秒，所以这对应的是不是叫 pi？ 那 我直接代进来，你的方程 是不是叫 y 等于零点一？ cos 派 t 对 吧？那我们根据这个你会发现有人说那雅解 c 选项对吗？就不对了，不是散， a 点往上震被叫做散指散图像，而 b 选项往下震跟它是反着的，所以它叫 cos 图， 这是不是 sum cosine 中三角函数中学的，所以 c 就 直接 pass 了好。四、 d 波在传播过程中置点 a 在 两秒内的路程是多少？各位，我问你们两秒是多少个周期？两秒是不是叫一个周期？一个周期对应叫四个振幅， 一个振幅叫零点一，所以它对应的是不是叫零点四米，而不是零点八，所以四 d 错，这道题答案是不是直选 a， 理解了吧，这是不是叫波和振动的对比图？这类题怎么做？在波的里面看时间，在振动里面看方向， 记住了啊，在波的里面看时间，几秒的呀，到振动里面去找方向，一找就出来了，这 题就结束了。各位，这种题是最简单的，别管是期末考试，或者说你高考只要遇到这题，你就坐在考场上开心的笑，别人都疯了，他们根本不知道你为什么笑， 对吧？但是这种选择题在高考中就是送分的，别管是出单选还是出多选，各位，单多选你都拿来直接做题，请别挣扎啊，单多选都拿来直接去做题，多选也很简单。 好，这是我们说的关于机械振动和机械波的两类常考题。下面各位，第三个大的部分啊，叫选择性必修二两个， 一个叫磁场，一个叫电磁感应。各位，我们来看磁场中两类，一类叫做圆形磁场，一类叫做等距模旋，对吧？哎，那首先各位，大家跟着我，我们先来看磁场的部分，磁场，我重点讲圆形磁场，因为圆形磁场考的概率是 是最高的。咱们磁场是不是很多种，单边界，双边界，正方形，长方形，对吧？哎，然后我们的梯形，三角形，圆形等等 环形，对吧？都是，来吧，各位，重点看圆形，那这题不难啊，一会来看一下，他说如图所示，一个半径为 r 的 圆形磁场，各位给了他告诉你有垂直于其平面磁感强的为 b 的 匀强磁场，给了 a、 b、 c、 d、 e、 f 六个等边，对吧？我现在一个带正电的例子，从 a 点以不同的速度沿着对准 o 点进入磁场，由圆周上的不同的点射出质量、电和量速度。他问你，如果正好由 b 撇射出磁场，则 a、 b， c、 d。 首先各位， a 选项，他告诉你， a 对着磁场从 b 点飞出，问你什么方向磁场？伸哪只手？左手？我既然能从 a 走向 b， 各位，是不是叫，哎，你看，找圆心，找半径做垂直，圆已经画出来了，各位，怎么找圆心？是不是速度做垂线，速度做垂线， 速度做垂线。交点是不是就是圆心？你发现交点是不是就是圆心，对吧？ 所以，那我的洛伦兹力是不是就指向圆心？那你伸出左手磁感线带正电。哦，人家给了啊，带正电，磁感线穿手心，四指是速度方向，大拇指洛伦兹力。所以各位是不是刚好是穿手心？是这么穿的， 对吧？你看我的笔，各位是不是正好穿我的手心？所以这是个什么场？各位，他是不是是个叉场？叉场的话，那对应的是不是叫垂直指面向里？ a 选项直接选这种是纯送三分给你的。 好来，各位。二 b， 他 说，如果我改变带电粒子的电性，各位，我先是正的，我给它变成负的，对吧？速度变成二倍的为零，则一定有一点射出吗？以及 c 月亮，他说 c、 d 圆弧之间飞出的粒子速度大概是多少？那各位，我们是不是就可以画一下你的 图，咱从 a 到 b， 咱算一算它在这走的半径，以及你改变完之后它能走成一个什么样的半径？因为你速度会变嘛，对吧？ 那咱先算 bc 选项，各位，我先算从 a 到 b 撇这个过程中，这个部分中是不是能算出你的半径来，对吧？咱找圆心啊。各位， a 到 b， 这叫六等分点，所以这个角是不是被叫做多少度？各位，这个角是不是叫做六十度？那你连接圆心圆心， 记得我们在这有一个什么规律吗？只要题干中考圆形磁场，你只干一件事叫连接圆心， 谁跟谁的圆心。各位，是不是叫磁场圆和你轨迹圆？这个题磁场圆是不是叫 o？ 轨迹圆是不是叫 o 撇，我连接他们俩，对吧？各位，连接他们俩之后，我是不是就能在这做三角形了？我出了这么一个三角形，对吧？这个角 叫三十度。各位，这块是不是叫小 r？ 这块是不是叫我的大 r， 我 就能算了，对吧？各位，是不是可以算？所以你会发现在这 小 r 是 不是等于大 r 乘以 tan 它三十度，这是你的磁场的半径，那根据这个，各位，我的半径是不是叫 m v 除以 q b？ 这个比如这个 r 叫 r e 啊，我们叫它 r e。 各位，这个 v 是 不是被叫做 v e 能跟上吧？那在这我是不是就能导出来 v 一 的一个表达式？好，那紧接着二 b 选项，它把速度变成了二倍的 v 零。各位，那你看一下它变成二倍的 v 零，我的公式，我只是变成向下偏了，从一点出去，对不对？那我的公式二，二是不是还是叫 r 乘以？这次 是不是叫 tangent 六十度？因为你 a e， 它对应的这个角一百二一半的话，是不是叫六十？所以那我在这叫 tangent 六十。各位，我是不是等于的叫 m v 二除以 q b？ 那 你根据这两个式子，各位，那一 和二它是不是就有关系？我就能导出来，你的 v 二是不是等于三倍的 v e 对 吗？你的 v 二等于三倍的 v e 是这逻辑吧。所以那各位如果速度是三倍的话，那你告诉我，首先二 b 选项各位，肯定不对，它能从一点出去吗？二倍的速度就不够了，你得是三倍的 c 选项，如果从 c、 d 之间出去，各位，你的四 c、 d 和谁对应？和 d e 这两段是不是对称的？那从 c d 出去，各位是不是就相当于从 d e 出去？我从 e 点出去是三倍的 v 零，那我从 d e 出去是不是得大于三倍的 v 零？所以 c 选项是对的，因为你会发现，我从 d e 出去，我会需要更大的圆弧， 那它的速度是不是就得比到一点的更大？是这意思吧？你看这题是不是很快就出来了？好，那各位，四 d 选项人家问比和对不对，那很简单呀，我就直接用这个式子来求了，我是不是可以直接用这个式子来求？比和比和 q 比 m 比完是不是叫根号三为零 除以 b 啊？你的摊进的值是有的呀，我带进去四 d 选项是不是也有了？这道题四 d 也是对的，所以根据这个，各位， a、 c、 d 是不是都对？听明白了吗？这就叫做圆形磁场。这类题在考试中其实也属于送分给你的，相对来说比较简单。可以啦，基础不牢固，选择就不坚定，你会发现有的时候你结论不知道，对吧？各位，像这道题的结论，圆形磁场唯一最核心的结论就是连接圆心和圆心每 没了，这是最重要的结论。好，所以这是我们说的磁场的第一个来，各位，下面磁场的第二个，这是一个固定结论，我给大家五秒钟，你自己快速看一下这个结论，考试时直接写来吧。各位。第二个，等距螺旋模型， 这也是一个直接写的结论。这题特别容易，它本质上就是一个复合运动，也就是说它是由两个运动组成的。它 说这个学生呢，给了一个什么洛伦兹力的演示仪，对吧？做了一个螺旋运动，他告你在平行空间内， x 轴方向沿平行于 x 轴。各位，就说在这个方向我是有磁场的，对吧？在 x o y 平面内，他告诉你，我有个螺旋的电子轨迹比和给了它为什么能做螺旋？因为它 它同时在做两个运动。我的例子在做两个运动。各位，你发现它是不是叫一边做圆周，一边做匀速？它在水平方向是在往前走的， 发现了吧，它在数值方向是不是在做圆周，长得跟那个弹簧一样，看到了吧？就是因为它是不是有个拉伸感，那这个拉伸感是怎么来的？就是因为我水平在动，数值也在动，混合起来就是这个运动。 所以只要见到等距螺旋的结论是固定的，他 x 轴的方向做的叫做匀速直线。各位，他竖轴的方向做的叫做圆周。各位，也就是说我们说的 y 轴，他做的被叫做圆周，听明白这意思了吗？ 所以那首先你看 a 选项，他说磁场的方向是沿着 x 轴负方向的。各位，想一下，伸出你的左手，你的圆心。各位，我在这绕圆吧， 磁感线穿手心，你的速度。各位，这是整个的速度吧，分到水平是不是叫 v x， 分 到数值是不是叫 y， 对 吧？那你伸出你的左手，速度电子啊，四指跟运动方向相反，那你的磁场得长什么样才能往下动？是不是叫穿手心 s o 什么方向？ 各位， s o 是 不是应该用 s o 的 正方向？看到了吧？我的圆心在这，各位看洛伦兹力往下指对不对？哎，四指和你的运动方向外轴是向上动的，那么四指和运动方向相反，大拇指指向自己。所以磁感线是不是穿的？ 所以磁感线是不是应该 s o 的 正方向是对的？能听明白这个要会判，能跟上吧。所以这是我们说的第一个。各位啊，二 b 问你做轨道的半径是多少？各位，我的半径在哪？ 是不是在数值方向？数值方向的半径叫 m v 除以 q b， 那 我这个 v 是 不是带数值的速度就行了？你看，你分解一下，各位，水平速度是不是叫 v 零乘以 cos sine alpha， 数值速度是不是叫 v 零乘以 sine alpha， 对， 对吗？所以各位，你会发现我在这一带是不是叫 m v 零乘以三， alpha 除以 q b， 所以 二 b 选项可以选啊，直接就出了，简单不简单，对吧？好，你看各位 c 选项，他说如果 alpha 等于九十度，轨迹会是一个圆吗？ alpha 等于九十度，你看，我们就以这个半径为例啊，就以这个半径为例，当你把 alpha 带九十叫散， alpha 等于九十。各位，散 alpha 九十是多少？是 e？ 你 的 r 是 不是叫 m v 除以 q b， 所以 圆吧。 c 选项没问题啊，可以选 四 d， 他 问你水平走的距离。各位，什么叫逻距，是不是叫水平走的距离，对吧？如果我的的 x， 各位是不是叫 v 乘以 t， 这个 t 是不是叫一个周期？因为每个圆跟下一个圆之间运动的时间是不是就是一个周期？它不这个逻辑吗？那么你看各位水平的速度是不是叫 v 零 cos alpha， 我 的周期叫什么？叫二 pi m 除以 q b 啊，往里面一带，各位你看四 d 选项是不是就出来了？ 很明显这不对，不是 cos， 是 cos 为零， cos 是 水平速度，所以四 d 直接选这道题答案 b c 是 不是很简单？各位你发现了吗？它本质上就是一个运动的合成与分解， 其实很简单，没有什么磁场的问题，做了个圆周而已，对吧？这类题在考试中他是不是就属于送分给你的了，可以吗？听懂了吗？听懂了走个六啊，自己把这道题划一个重点，如果你之前对这类题不熟或者没做过的同学们，划一个重点，自己把它做一下。 所以这是我们说的两个磁场的问题啊。各位来最后一个部分我们来看。电磁感应是我们今天讲的五大部分的最后一个板块，电磁感应中一个叫感声电动式，一个叫单杆切割模型。下面咱们来看一下这两个题，来吧，咱先看这个叫感声电动式的问题啊。 感声电动式的本质就一个公式，叫 e 等于 n 倍的 delta five 除以 delta t， 这叫感声电动式。电 电子的方向和速度方向是相反的呀，对吧？你想一下，你不是有水平速度，数值速度吗？数值速度是往上的呀，你四指是跟他反着的呀。感声电动式啊，这是电磁感应中的 这个题非常经典啊，感声电动式，各位，本质上跟动声最大区别是不是叫 b 是 变化的？所以大多数感声的题中，你一定会见到以图叫 b t 图像对不对？来，各位看题。如图甲，一个半径为零点四米，电阻为零点一欧的闭合的同环，静止在粗糙斜面上， c、 d 是 它的对称轴，对吧？他说 c、 d 以下部分的同环处于磁感应强度 b 的 一个区域内， c、 d 往下的部分这块有磁场，他告诉你了，说若 磁场是曲向上为正方向，给了你 b t 图问你，则 a、 b、 c、 d 四个选项，那咱一个一个来看啊。首先，各位先看 a 选项，他说两秒时同环内是没有感应电流的。各位，你看两秒在这对不对？哎，两秒时磁场变不变？ 变吧。各位，两秒时磁场是变的对不对？磁场只要是变的，你是不是就一定会有 fly 的 变化？有 fly 的 变化是不是就一定会有电流？所以 a 直接 pass。 各位来二、 b， 他 说一点五秒时同环中有沿逆时针方向的电流。一点五在哪？一点五，是不是在这个部分你发现磁场是负的，而且是在逐渐减小的？人告你取向上为正，所以在 b 选项中，是不是磁场就是向下的，而 而且这个磁场是不是在减小的？各位，我们的结论叫什么？叫做增反减铜，对吧？哎，叫做增反减铜。磁场向下的而减小，所以我感应的是不是也是向下的？如果磁场向下，各位，你伸出右手，我们叫右手螺旋定，则 磁场向下，伸手一握，这叫什么？时针？这是不是叫顺时针？所以，各位，这二 b 是 不是应该是一个顺时针？二 b 错 好。各位， c， 他 说 t 等于三点五秒时，来，我们来看三点五是不是在这段里面，对吧？三点五秒时，你的 b 首先它是正的，那么就是说 b 的 方向是向上的，而 b 是 在减小的。然后各位，他告诉你说问你受力 以及安培力，那我们首先先来看它受力怎么列示，你的 f n 是 不是叫做 b i l， 这叫做安培力，对吧？那我们要注意的各位，这里面你的 b 不 用管了，我的 l 有 效长度是不是应该是你圆的什么直径，所以这乘的是不是被叫做二 r， 对 吧？那我 b 的 大小在这里面用什么就会有电流？ 磁场题目中是不是可以是变化的？那么我在这里面怎么算电流呢？各位，电流是不是叫 e 除以 r， 而我的电动式叫 n 倍的 d， 它 b 除以得的 t 再乘以 s， 这个部分是不是叫图像的斜率没问题吧？那你看斜率多少？纵轴变化零点二，横轴变化一，所以斜率是不是就零点二？我根据这个是不是能求出 e， e 有 了带进来，电流有了，电流有了带进来，安培力的大小 是不是就有了？听明白了吧？所以 c 选项算完，这个四点八乘以十的负三是对的。安培力的方向，各位，伸左手，咱说了，磁杆线穿手心 四指电流方向，大拇指安培力所方向，所以安培力是不是应该是向下的安培力？ c 选项可以选电流会看吧，因为咱现在磁场是减小的，增 反减铜，你伸右手向上的。各位，什么时针，是不是叫逆时针？我的电流是不是长这样，他是这么流的，然后又因为磁场向上穿手心，他是不就出来了，能明白吧？哎，从这这样转的， 能跟上吗？各位，面积怎么算？面积叫 pi r 方啊，对吧？各位，圆形面积，它叫圆形，是不是叫 pi r 方？但因为只有一半在磁场里，所以是不是要除个二？是这么来的吧？能跟上啊？好，来，各位思弟，他说一到三秒内摩擦力是怎么变的？你们看一到三秒是不是在这一段，这是一， 这是三。各位，他是长这样的，所以你看这是一，这是三。也就是说你会发现一到三的特点是什么？各位，首先， b 的 斜率是不变的，说明电流就是不变的。而磁场在一到二的时候，磁场是减小的， 后来磁场又增加了，磁场是先减后增，那你对应的安培力是不叫先减后增？这个圆环之所以能在这平衡，是不是叫安培力等于摩擦力？安培力先减后增，那你对应着安培力的方向是不是叫先向下 后向上？因为这两段磁场方向不一样，横轴以上，横轴以下，磁场方向变了，对吧？ 所以那此时安培力的方向先向下后向上，那摩擦跟他就是反着的，因为受力是平的，所以摩擦是先向上后向下，没问题吧？而且先向上是减小的，但是向下的部分，各位你就得看他怎么变。所以这四 d 明显不对，所以这道题正确答案只能选的是 c 选项。这是我们说的感声变动式。本质上，第一，各位，就两件事，我用图像来判断斜率的变化，得 b 除以得 t。 其次，第二件事是不是叫用棱次定律各位来判断我的增反减同 来判断电流方向，这个很重要，可以吧？哎，所以这是不是电磁感应中比较典型和底层的一类问题，尤其是感声变动式中特别爱考的一个点？ 好来，各位，那电子感应咱们最后一个啊，最后一个叫单杆切割模型，这里面有个东西叫做电容器，所以如果你之前这个不会的同学们，跟着我把这道题的结论记下来，凡是含着这种电容器的题，你直接带结论就行了。单杆切割模型在考试中非常简单，因为它有十种固定的模板， 我们今儿就说这个，因为这个有可能会出啊，有可能会出，我觉得选择题出的概率很高，因为可以直接带结论来吧。各位，看题来，那咱一块说啊，他前面给了一大堆，没什么用啊各位，从这开始，他说间距 l 等于零点四米的一个光滑长直导轨上有一个电容器，一法拉， 现在给了有一个导体棒，对吧？各位，零点一六之两电阻 m n， 它静止放在导轨上，先给电容器充电，然后他说我让这个电容器是不是给这个杆去放 放电，电容器给杆放电，这时候杆受到了电容器给的电流之后，杆就要干什么了，杆是不是就要动了？他是这个逻辑吧。 所以，那他现在告诉你，我闭合开关，电容器释放储能，产生强大电流，经过 m n 这个棒，他告你了，说我在这个下面向右做加速。则问你一下，说法中正确的是，各位，我们拿到这个题之后，你是不是得先分析这根导体棒在这做什么运动？ 看啊，电容器给他放电，对吧？各位，所以这根导体棒是不是相当于在向右做什么？是不是向右做加速？因为导体棒本身是不动的，现在我给他之后，他是不是就动了？他既然动了，那下面我是不是就开始做受力分析了？他动了之后 是不是就会受到一个向右的一个安培力阻碍它的运动？那回路中的总电流，各位，是不是就会分为两个部分，一个部分是谁的？想一想，一个是不是电容器的， 一个是不是提杆中导体棒？因为导体棒上产生的电动势叫 e， 等于 b、 l、 v 没错吧？ 所以它叫做 u、 c， 减去 b、 l、 v， 是 不是除以你的总电阻，这是回路中的总电流？也就是说回路中是不是包含着两个电源？各位，一个是电容器，一个是 b、 l、 v， 这是它跟不含电容器的题最大区别。 如果它不含电容器，各位，我就一个 b、 r、 v， 现在因为它含了电容器，所以我在这是不是电容器内值就得算进去？电容器的放电过程中的动态变化就得算进去？听明白这意思了吧？所以那根据这个，各位，我们首先先来看 a 选项，他说超级电容器当电源放 放电时，两端电压不变，各位，对吗？肯定不对，因为电容器是变的。各位，电容器在放电过程中，电容器两端电压是不是一直在减小？它是直流电吗？ 它不是对吧？它不是一直对外放电，所以 a 选项肯定不对，它一定是变化的，直接排二 b， 他 说如果开关闭合， m、 n 做的是匀的，为什么我们来看啊，你的安培力是不是叫做 b i l 回路中的总电流叫 u c， 减去 b l v 除以 r， 总乘以 l， 那 现在在这里面，它在运动过程中，各位，你的导体棒的速度是在增的，我的电容器两端电压是在减的，那么 这一段的差值是不是在减小安培力？在减小安培力等于的是不是叫 m a， 所以 加速度在减小？各位，也就是说这个导体棒在这做叫什么运动？叫加速度减小的加速运动。 你的回路中电压变，电流变，所以就不可能是一个匀的匀的，得保证加速度是不变的，得电流不变。听明白这逻辑了吗？各位？所以二 b 我 就直接 pass 掉了，好 c， 他 说 m n 的 最大速度，我问各位什么时候能达到最大？来，咱们一块来算一下，这根导体棒 c 选项什么时候速度最大，它做的叫加速度减小的加速，对吧？各位， 直到你加速度减到零的时候，你的速度是不是能达到最大？是这逻辑吧？如果是这样的话，那是不是就相当于我用谁来算最大速度？是不是用动量来算？咱们说了，你减 所有电磁感应的问题，就三件事，第一叫运动，第二叫动量，第三叫能量，对吧？那动量中是不是叫负的 f n 乘以时间，等 于你最终达到最大速度减零，因为我出速度是零啊，各位，没错吧，我出速度是零啊，那么在这里面你看啊，我左边是不是叫 bil 乘以时间安排力？各位，总的等于 m v 最大， 是这意思吧？是不是叫 mv 最大？是这逻辑吧，那么你会发现左边这我是不是叫 i 乘 t？ 各位，我是不是有电和量？因为题干中告诉你说我总供电容器叫十八库仑，我对外放没错吧？所以那此时我放了多少呢？那 b l 乘以的 i t 各位是不是叫做得它 q 等于 mv 最大？是这意思吧？是不是叫得它 q 等于 mv 最大？这个得它 q 是 谁？这个得它 q 是 不是叫我整个一共有十八库仑？最终我剩的是不是叫 b l v 最大？乘以谁？或 这么说对，我是不是在这变化了一个电和量？那变化的电和量是不是就是我们说的叫做 q 一 撇？这个 q 一 撇是不是就是我在这最终我 b l v 带来的这个电和量？因为你 b l v 剩多少？我电容器把所 所有的电量都给到了导体棒？导体棒剩的是不是就是我用总的减掉谁剩的是不是就是我变化的？变化的提供的是不是就是这个最大速度？它是不是这逻辑能听明白吧？所以那我把 delta q 带进去，我的最大速度是不是就出来了？ 那这个 q 一 撇是谁？ q 一 撇是不是叫 c 乘以电压？ q 一 撇 c 不 变。各位，电压是不是叫 blv 最大？这是不是咱们动声电动室内式子叫 e 等于 blv？ 听明白了吧？能跟上吧？所以各位，你带进来之后，我们是不是就得到了？根据这个你的最大速度是不是就推出来了？ 所以推完之后 c 选项不对，它应该是十八米每秒，所以 c 错，哎，非常好。来。最后四 d， 它说若继续弹射下一架飞机，它需要充多少？各位，你想想我在这算的这个 delta q 是 不是就是我需要充多少？ 所以那我刚才在这是不是已经算过 delta q 了？给它带进来，这不就是我需要充的吗？所以各位，这算完三点六四 d 是 对的，其他都不对，所以这个模型是大家要会的。一 以上部分就是咱们今天讲的关于三本书十个关键的题型和结论。那我们今天内容就到这了啊，咱们下次再见了，各位，拜拜。拜拜。拜拜。

在上一小节当中，我们已经构造了可以有相互作用的相对论性粒子的希尔伯特空间，它是等同于可以自由力自由的任意数量粒子的希尔伯特空间。那么构造了希尔伯特空间之后呢？我们还有两个问题希望解决。第一个问题是技术问题， 就是说在计算当中，我们如果希望始终保持太的全对称性或者全反对称性，这个技术上并不方便啊，能否发展出一个自动的保持太的全对称或者全反对称性的这样的技术手段， 这个是技术问题。然后更加重要的基本问题就是说我们还没有回答完我们的模型三问啊，我们希望考虑一个带相互作用的这样的相对论的量子理论，那么我们刚刚构造出了希尔伯特空间，我们还希望做什么呢？我们还希望 讨论如何构造任何的可观测量，以及如何构造哈密顿量。那么完整的做这件事情呢？我们要放到量子场论里边， 但是在这里首先如何构造任何的可观测量呢？我们有一个必要的步骤，这个必要的步骤就是至少我们希望可以构造如果这个不同的粒子，因为前面我们说这个粒子态呀，它必须是 m 等于 n， 这个内积才是非零的，那么我们有没有可能在中间插入某一个算符， 这样子的话，这个 m 不 等于 n 的 时候，这个插入算符之后，这个算符在这样的 m 的 粒子的态和 n 的 粒子的态这样上边具有非零的矩阵原呢？我们需要构造这样的算符啊，因为只有构造这样的算符，我们构造相互作用的时候， 才会可以有粒子数改变的这样的相互作用。比如说一个粒子摔变成两个，或者说两个粒子碰撞，然后出来三个粒子等等，这样粒子数改变的相互作用。 呃，那么我们呃就有这样的技术问题和基本问题。呃，非常有趣的是，这个技术问题和基本问题呢？引导我们呃同样呃一个解决方案，就是所谓的产生烟灭算符。什么是产生烟灭算符？我们先定义产生算符， 定义产生算符叫 a p diver， 其中 p 就是 动量，就是标记。呃，哪不同的产生算符的啊？ a p diver， 然后这个 diver 就是 某一个算符的厄米共厄，但是历史上呃，它刚好是叫做湮灭算符， a p， 它的厄米共厄。但是我们逻辑上呢，是先定义产生算符比较方便。 产生算符，它是什么呢？就是作用到任何一个钛，无论是真空钛，单粒子太多粒子钛作用到任何一个钛上，它的作用是在右边啊，在在左边多出来一个粒子， 呃，在在哪个地方多出粒子？就是全铜粒子的话，它会啊，对不起费离子的话，它会有这个正负号的差别啊，所以说我们就约定在最左边多出来一个粒子。 那么基于真空态呢，我们就可以通过一系列的作用，一串的产生算符，呃，从真空态写出任何的一个状态。 那么前面我们说既然有产生算符，那呃也有这个它的，再做一次恶米共呃就等于这个 a p 了。那么这个 a p 它的物理意义是什么呢？它的物理意义可以通过产生算符来推导出来啊，它叫做湮灭算符。 为什么阉灭算符的物理意义可以通过产生算符来推导出来呢？这是因为我们考虑，比如说产生算符作用到任何一个钛上，然后再与任何一个其他钛它们之间做聚震元这样的情况，因为产生算符作用到这个钛上，然后再与这个钛作内积， 它等价于就是你把这个产生算符作用到这边呢，你要加一个厄米公厄，所以说等价于这个阉灭算符作用到这个钛上，然后再与这个钛作内积。 那这样子的话呢，我们就通过我们知道产生算符作用到上面是什么？产生算符作用到这个态上，就相当于多加了一个粒子， 然后多加了一个粒子之后呢它和这个 p e 到 p m 做内基，我们前面有内基的约定，所以说我们通过内基的约定又可以证明就是它应该等于什么东西。 这样子的话呢，我们就知道这个这个阉灭算符作用到任何一个太上呢，他和任何一个其他太做内基等于什么？这样我们就知道阉灭算符作用到这个任何一个太上等于什么？ 那等于什么呢？我们可以经用排列组合的一些性质进行计算啊，那么这里我就非常直观的给一个说法，就具体的话，大家要 把这个正负号搞对的话，呃，需要用排列组合的性质进行计算，那么这个直观的一个看法是什么？就相当于那我这个太做内积，但是我真正需要的是什么？我真正需要的是说这个阉灭算符作用到任何一个太上，然后他和任何一个这个太做内积。 但是现在我这多了个 q 啊，多了个 p 啊，我这多了个 p 的 话，我就不是这个态了，怎么办呢？我把这个 p 和其中这个 p 一 到 p m 里边，其中的某一个，他们俩之间，呃呃。其中的某一个 p 他 们俩之间做内机。 比如说在 p 和 p 和 p 他 们俩去 pk， 他 们俩去做内机，他们俩做了内机之后呢？然后你剩下的不就是那个 q 一 到 q n 的 状态了吗？ 然后你他们俩做内积。啥意思？那我就先要把这个 pk 这个东西呢，先要给它交换到这个最前边，然后交换到最前边，如果是费米子的话，它就会出一个负一的 k 减一，然后 pk 和 p 做内积，然后剩下这个东西和 q 一 到 q n 的 这个态做内积。当然这个就是简单的说一下啊，如果要是大家真严密证明的话，可以用排列组合的性质进行证明，然后这样我们就得到了什么？ 得到了是一个阉灭算符作用到任何一个太上，然后他和任何一个太坐内机等于什么东西，然后乘以这个任何一个太坐内机，然后你乘以的这个东西呢？实际上就相当于是阉灭算符的作用结果， 也就是说掩灭算符作用到 p e 到 p m 这个态上，就相当于相当于首先我选出这里边的一个 pk， 然后把这个 pk 给它交换到最前边，然后再用掩灭算符给掩灭掉。呃，也就是说相当于这里边就变成了一个少了一个的状态， 然后多了一个这样的内积，也就是说这个 p 呢？呃 a p 作用到这上边，就是首先我去找，因为这个呃最后的结果只有 p 等于 p k， 它这个 p 和 p k 的 内积是一个的函数嘛，然后再加上一些洛伦兹因 子，就是说我这个湮灭算符作用到一个态上，就首先去找这个态里边有没有动量刚好是 p 的 这样的粒子，如果没有动量刚好是 p 的 粒子的话，那么最后的结果就等于零。然后如果有动量刚好是 p 的 粒子， 那么如果你有多个动量刚好是 p 的 粒子，加一起啊，然后呃就就先你先把这个动量刚好是 p 的 粒子给揪出来，揪出来的意思先给它对应到前边，然后就加一个如果费米子的话，加一个负号，呃就是负号的 k 减一次方，然后你就把这个粒子给淹灭掉， 也就是说简而言之呢， a p 作用到太上，就是太上有 p 粒子就挑出来淹灭掉，太上没有 p 粒子，则作用的结果等于零，这个就是淹灭算符的性质。 那么有了产生算符和湮灭算符的呃他的呃数学性质以及他的物理解释之后呢，我们就可以非常明显的看到啊，如果在一个太上既作用产生算符，又作用湮灭算符， 那么最终的结果是与作用的顺序有关的。这里我举一个作用到单粒子态上的例子，然后一般的情况大家也可以相似的证明，就是说， 比如说我们这个 a q 代沟，就是产生一个呃动量为 q 的 粒子和 a p 湮灭一个动量为 p 的 粒子，如果都作用到 k 上， 那这样的话，如果先先让这个 a p 作用到 k 上，得到的结果是什么呢？这 a p 就 去找说是呃这个里这钛里边有没有动量为 p 的， 就是呃得到这样的一个东西，呃，然后呃剩下的就是真空态，然后呢你再去做这个 q， 然后再去做 q 的 话，就是从真空态上产生出一个动量为 q 的 例子，呃，那么这个是我先做呃 a p， 然后再做 a q dagger， 然后如果反过来先做 a q dagger， 然后再做 a p， 得到什么呢？先做 a q dagger 的 话，那么我就先产生出来一个例子，也就这个态先变成了 q k 这样的态， 然后我再去湮灭。一个例子的话，我就要找两次了，第一次我要找说这个 p 是 不是等于 q， 然后有这个 p 和 q 的 内积， 然后呢我再去找 p 是 不是等于 k， 然后加减取决于费米子，波色子，呃，呃，费米子就有负号，然后是 p 是 不是等于 k， 然呃的内积，然后剩一个 q， 所以 说呢， 就相当于这两个之间差了一个啊，这两个之间差了一个 p 和 q 的 内积这样的相呃，当然这里边我只是作用到一个，这里边我只是作用到一个单粒子态上的， 然后如果呃更加一般的情况作用到任何的状态上呢？大家其实可以证明都有相似的关系，那么也就是说这个关系你作用到任何态上都都有的，那实际上就是这个算符满足的关系。 这个算符满足的是什么关系呢？就是说如果是波色子，也就是说如果这个地方是正号的话，那么你把这两个算符做个叉，把这两个算符做个叉，应该就是 p 和 q 的 内积， 然后如果是费米子，那么把这两个算符做个和，应该是 p 和 q 的 内积，也就是说对波色子 产生烟灭算符具有对应关系， a p 和 a q 代格，而 a p 乘 a q 代格减去 a q 代格， a p 应该等于这样的东西，当然这个东西就是 p 和 q 的 内积啊，然后产生算符和烟灭算符自己都是对应的。 然后对于费米子呢，我们引入反对异子，就是大括号反对异子呃等于普塞一，普塞二，加上普塞二普塞一，前面说我们作和等于内积，所以说呢， a p 和 a q diver， 呃，他们的反对异子对费米子是等于他们的内积，然后其他的反对异子是等于零的。 那么引入了产生压面算符之后，我们就解决了本章开头的两个问题。第一个就是对称化问题，就只要我们去注意这个产生压面算符之间的代数关系，那么我们就呃，就只要有前边的这代数关系啊，我们就自动有了全对称和全反对称的太全对称，全反对称的波函数， 所以说呢，我们就把那个波函数的对称化的问题直接变成了算符的代数问题，这样子的话就更加的方便了。呃，因此啊，就是这个产生因为算符，然后呃去描述多粒子系统，这样的情况呢，我们不光是在相对论、量子场论里边有，在凝聚态里边也有广泛的应用， 这是因为就是凝聚态里边，他不是说你一有相互算，你就必须要研究多粒子，但是如果说我本身就想研究多粒子的系统，在这种情况下呢，我们也可以非常方便的用产生烟煤算符进行研究。第二呢就是我们构造算符的问题就解决了，什么叫解决了呢？ 就是说我们如果考虑一个 p e 到 pm 和 q， e 到 q n， 就是 任何呃两个状态之间的一个算符的矩阵原，就是这个算符在任何两个状态之间的矩阵原呢，比如说这个矩阵原，呃等于这个 c， 然后它是这些 p 和 q 的 函数， 那么呃我如果我们想构造这样的矩阵原等于 c， 我 们只需要引入这样的项就行了， 就是只需要引入这个算符呢，是很多项的加到一起，这加连续的情况就是积分，很多项的积分，其中我们有这样的一项，这个项它的系数是 c， 那 么这样它在这个 p 一 到 pm， q 一 到 q n 上面的矩阵元自动的就是这个，所以说 我们把所有的相都积起来呃，我们就构造出了 a 的 所有的矩阵原，就是呃你这个 a， 它任何的矩阵原我们都能构造出来呢，就相当于我们把这个算符构造出来了，所以说有了产生延变算符之后呢，我们就解决了构造算符的问题。 当然解决构造算符的问题和我们说想构造可观测量的问题呢，是，实际上我们是呃，还没有呃说这个算符是不是可观测量啊？如果说这个算符是可观测量的话，那么 就是首先这个算符应该是恶米的，并且这个算符还要满足微观因果性条件。前面我们说微观因果性条件要满足的话，他应该是一个场算符，真正的满足微观因果性条件呢，这些东西都是量子场论的重要的出发点， 然后产生亚密算符。其实除了我们说的这两个优点，一个是对称化问题的解决，一个是它可以构造任何的算符，呃，它还有一个比 较隐含的优点呢，是容易保证理论的计算分解。这个大家如果感兴趣的话，可以看一下温伯格量子场论卷一的第四点三节，这里边我们就不详细的介绍了，最后做一个总结和展望啊，就是整个第四章， 呃，整个第四章相对论粒子的总结和展望。在这一章当中，我们首先讨论了相对论的自由粒子，然后与非相对论的情况类似，我们仍然可以用三维的动量来标记单粒子态，但是 因为位置算符不是可观测量，这样子的话呢，我们呃就是，呃，首先我们呃有了微观因果性原理，也就是说类空的场算符是对立的， 并且如果我们要讨论非要观测位置的话，会发生什么样的事情，我们就会发现我们必须要引入多粒子态， 然后引入多粒子态，怎么讨论呢？我们可以这个多粒子只要等到时间无穷远的时候，可以用自由粒子进行近似，所以说我们就要构建任何数量的自由粒子，这样的希尔伯特空间就可以了。然后 这个就是我们呃就是构造任何数量的自由粒子的希尔伯特空间的时候，我们最重要的一个技术细节就是要考虑全铜粒子，然后从全铜粒子呢，我们又引出了产生算符和延边算符， 呃，然后接下来就是原则上来讲我们要做什么样的事情？我们希望构造构造这个相对论相对论力多粒子，然后他们可以有相互作用这样的动力学理论 啊。当然如果不怕麻烦的话，我们就可以只使用自由态，然后产生烟雾算符去构造这样的理论，但是有很多的暗示告诉我们可可能可以存在更有效的一个方式去构造相相互作用的多粒子这样的一个相对论性理论。 什么样的暗示呢？就是一个是微观因果性原理，这个是最重要的暗示啊，告诉我们相对论性的可观测量应，相对论性理论里边的可观测量应该是场算符，就是依赖于时空点的那样的算符， 那这样子的话呢？如果我们只用这个产生烟灭算符，就是就是用产生烟灭算符的这个最原始的形式， 他就不太方便了，因为他不是时空点上的算符啊，那怎么办？做个复利变换他就到时空点上了，所以说呢，我们就做复利变换，然后在呃做复利变换之后的那个场算符里边，然后我们再去看如何去符合相对论的微观因果性。 然后还有就是说产生裂变算符，大家看他的代数关系能够联想到什么东西，他是非常像非相对论粒子的斜震子的上升下降算符啊， 并且如果他的多多出来，就因为他有一些的函数，就是他比较讨厌。但是如果大家就是不怕麻烦的话，大家可以把这个场论定义在有限体积的格点上， 然后再取格点的间隙等于零，然后体积小于无穷大这样的极限。然后大家就可以发现，实际上你要是在格点上，那么自由粒子就相当于你在格动量空间的格子上，是你每一点上放一个斜阵子。所以说呢，就是说 这个产生烟灭算符，它实际上本质上它就是非相对论粒子，那斜震子的上升下降算符，那如果是这样的话， 就是你斜震子上升下降算符，它背后的物理原理，物理机制是什么？它是一个量子弹簧。那么我们在相对论粒子的情况下产生烟灭算符，它背后的弹簧在哪里？它背后的弹簧是什么呢？实际上就是那个场的模型，可以看成是一个弹簧床垫。 然后再有就是自然界中本来他就有像电磁场啊，引力场啊这些东西，他们的量子起源是什么？这些问题呢？都引导我们呃，向向，都引导我们向量子场论这样的一个理论，那最后 我也想，最后我也想整个的呃纵览一下，我们，呃已经学到了什么样的东西呢？那纵览一下，就是我们首先是讨论了 s g 实验啊，但是从逻辑上就是，首先我们先建立了量子力学的基本原理，量子力学的呃 限性、限性叠加，然后是腰正演化和测量概率这三条基本原理。然后我们希望把这三条基本原理应用到不同的模型里边呢？我们就是有模型的三问，就是第一问是什么样的希尔伯特空间，第二是都有哪些可观测量，然后第三哈密顿量是什么？ 然后我们分别应用到了像是只有词句向上向下的这样的一个二维希尔伯特空间的系统，然后我们应用到了非相对论粒子，应用到了相对论粒子， 并且在相对论粒子的情况下，我们也看到了一些场论的征兆，这个就是我们非常简短的一个小小的量子力学课。最后非常重要的就是我要做一个致谢，就是我对量子力学，量子场论的很多理解 都得益于和安迪 cohen 教授的讨论。呃，向他请教里边学到的比任何比我从任何一门课程中学到的都多。所以说在本书中如果有一些独创的内容，并且这个独创的内容是正确的话呢，很有可能实际上它是安迪 cohen 教授的原创， 所以在这里感谢安迪扣根教授。当然同样重要的也是感谢在屏幕前的各位，如果大家感觉我的课程还是有一点作用的话呢，可以让大家更好的理解量子立学原理的话呢，也希望大家把这个课程推荐转发给大家认识的朋友们，谢谢大家。

大家好，在过去几集里，我们深入分析了粒子是如何在希尔伯特空间中用右史来表示的，并探讨了一些与这些右史相关的数学知识。在本期节目中，我想进入我们理论框架的后半部分， 我们如何表示物理量？在第一集里，我们就提出过，物理量是由希尔伯特空间上的限性算符来表示的。现在，我们将进一步发展这个想法，并用数学形式化它。首先，我们要稍微改变一下我们的用语。 我们将用可观测物理量这个词来指代任何我们能从粒子中测量到的物理量， 这包括位置动量、能量、角动量或者它们的任意组合，基本上任何我们能从粒子那里测量到并因此观察到的东西。在深入探讨我们如何将这些可观测物理量表示为算符的细节之前， 我想先提醒大家限性算符的正式定义，以确保我们理解一致。你可能还记得，一个限性算符是作用于向量空间上的一个映射，它保持了空间的限性结构。换句话说，一个限性映射满足以下性质， 加法仍然是加法，标量乘法仍然是标量乘法。请注意，一个限性算符是一个抽象的映射， 而矩阵是在特定基底下限性算符的一种表示。我们很快就会看到量子力学并没有一个标准的基底，这就是为什么你几乎总是看到我们直接使用抽象算符本身的原因。回到量子力学，我们之前已经确定了一个猜测 物理的可观测物理量是由我们的右矢空间上的某个限性算符来表示的。现在让我们终于开始深入探讨这个想法。首先，给定一个可观测物理量的算符，我们如何才能知道它可能测量到的所有值呢？ 为了开始解决这个问题，我们以角动量为例。假设我们有一个粒子和一个测量角动量的装置。我们进行一次测量，得知此刻粒子的角动量是一四十一牛米秒。 因此在这一刻，粒子必须有一个特定的量子钛来表示，这个钛对应着测量得到的角动量结果。想想看， 测量结果告诉我们角动量是什么，所以我们不可能处于多个结果的叠加态中，我们的粒子必须处于代表这个结果的态中。如果我们的装置告诉我们粒子具有二四十四牛米秒的角动量， 那么粒子就会处于对应这个结果的量子态中。希望你能明白，对于任何我们可能测量到的角动量情况都是如此，所以我们得到了一系列可能测量到的值以及与这些值相关的诱使。 这些右矢代表了百分之一百确定具有该值的钛。我们把这些特殊的钛称为确定钛。在这些确定钛中，我们的粒子具有一个绝对百分之一百确定的角动量值，没有任何附加条件。那么 我们如何从角动量算符中得到这个列表呢？嗯，我们有一系列确定角动量的右矢以及它们相关的值。我不知道你怎么想，但对我来说，这听起来就像特征值和特征向量， 这正是我们应该探索的方向。大多数教科书只是把这作为一个既定事实来陈述，但希望你现在能理解为什么出现特征向量是极其合理的。那么让我们总结一下这个结论。 每个可观测物理量都由这个向量空间中的某个向量算符来表示。 要找出该可观测物理量的所有可能值，就需要找到它的特征值。要找出哪个钛对应着某个特定的值，就需要找到与该特征值对应的特征向量。这些特征向量被称为本征钛， 他们代表了百分之一百确定具有该可观测物理量值的确定态。这就是我们在量子粒子学中表示可观测物理量的基本框架。 现在，让我们把这与我们目前对量子态的理解联系起来。从本系列开始，我们就一直希望能把我们的粒子表示为所有可能测量结果的叠加态。现在，我们终于有了实现这个目的的框架和语言。 我们现在知道，这些结果态实际上就是可观测物理量的确定态，也就是它的本征态。因此，从数学上讲，处于结果的叠加态就是处于可观测物理量的特征向量的现象组合中。请注意， 我们还没有讨论系数如何与概率相关，或者当我们实际进行测量时会发生什么。别担心，我们将在下一章深入讨论这一点。 在那里，我们将推导出波恩定则。现在，仅仅凭借这些，我们已经可以使用物理学家的直觉推导出可观测物理量应该具备的数学性质。首先，可观测物理量必须具有实数的特征值。 从直觉上讲，一个粒子拥有二加三 a 的 能量是没有意义的，物理量本质上是实数。 接下来，可观测物理量的本征态必须章程整个向量空间。请记住，一组向量的章程是由这些向量所有可能的限性组合所形成的子空间。 所以这个性质表明，可观测物理量的本征态的限性组合覆盖了整个量子向量空间。 换句话说，任何量子态都可以写成本征态的宪性组合。这个性质其实并不难证明。你可以通过思考，如果一个粒子处于本征态章程空间之外，在物理上意味着什么来尝试证明它，你试过了吗？ 关键是要意识到每一个粒子都具有某个可观测物理量的值，这意味着每个粒子在位置、动量、能量等方面都有某个值，例如，没有粒子会有一个无的位置。 基于这个想法，让我们假设能量的特征向量没有章程整个空间，这将意味着存在某种量子态位于这个章程空间之外，因此不能写成能量本征态的叠加。所以这个量子态就没有可能的能量测量结果。 因为请记住，本征态代表了你通过测量可以得到的确定态，而这个量子态无法用任何本征态来表示，但这不可能。 当我们测量能量时，粒子必然会有一个能量值，因此它必须处于能量本征态的某种叠加中。这对于我们可以测量的所有其他可观测物理量也必须如此。因此，可观测物理量的本征态必须章程整个空间。 最后，我们实际上可以得出结论，本征态必须相互正交，也就是相互垂直。 我们可以用箭头的比喻来理解这一点。这里有两个非正交的肽， l 一 和 l 二。由于它们不正交，我们可以将 l 二分解成两个分量，一个沿着 l 二方向的分量，再加上一些正交分量。 请记住，我们定义确定肽是指我们百分之一百确定粒子具有该可观测物理量值的肽。 然而，这里我们看到 l 一 肽包含了 l 二肽的叠加，这意味着如果我们进行测量就有可能得到 l 二。这完全没有道理，也违背了我们对这些确定肽的定义。 因此，来自可观测物理量的本征肽必须相互正交。快速说明一下。你可能已经注意到我们隐含的假设了，分量应该通过正交投影来确定。 在下一章中，我们将为这一说法提供依据。所以，我们发现一个可观测物理量的本征态必须满足两点， 第一，张成整个向量空间。第二，相互正交。我们把一组线性独立且张成整个空间的向量称为什么一个基地， 而且因为每个态都可以皈依化。我们刚刚证明了可观测物理量的本征态必须形成一个正交皈依本征基地。我们之前是这么假设的，但现在你看到了我们是如何用直觉来证明它的。那么我们简单总结一下， 在量子力学中，所有可观测物理量都用现行算符来表示。仅仅凭借物理直觉，我们发现这个算符必须具有一个正交皈依本征基地， 它代表了这个可观测物理量的确定态对应的特征值必须是实数，因为它们代表了我们将在相应的本征态中测量到的数值。如果你以前上过量子理学课程，这些性质通常是通过假设可观测物理量是阿米算符来推导的。 但你有没有想过，我们为什么一开始就假设它们是阿米算符呢？通过这种方法，我们仅凭物理直觉就得到了这些性质。 而在第九章中，我们将展示这些性质实际上是如何推导出可观测物理量是阿米算符的。当然，仍然有许多悬而未决的问题， 最重要的是，我们如何计算测量每个特征值时所对应的概率。我们将在下一集回答这个问题，并推导出波恩定则。在那里，我们将把所有概念联系起来，并详细表述我们量子物理数学模型的完整方案。

好， ok， 接下来我们把动量守恒定律的条件啊，给它全一下， 基础的条件呢，就是这个系统啊，不受外力啊，或者所受外力使量和为零，哎， 这是基础条件， 那么还有拓展条件吗？有啊，啊，我们还有一个近似的守恒条件，就是系统受到外力了，没有？受到了，哎，但是呢， 当系统所受的外力呢，哎，构成这样的条件，远小于啊，内力。 什么叫圆小于啊？高中阶段的物理的学习啊，仍然是非常粗糙的啊，我们用了大量的 理简化的方法去研究这个物理问题，但凡说到这种圆小于啊，那就是意味着小的那个呢，可以忽略不计了，哎，那么这种情况我们叫做近四守恒， 这个应该是可以理解的哈，你咱们运动力学都已经学到这个份上了啊，都已经高中阶段的运动力学基本上都可以算是，哎，做个了结了的。这个阶段咱们应该可以理解哈，远小于，那就是可以忽略不计，哎，好， 那么还有一个手段，哎，在某个方向上， 哎，不受外力，或者所受外力矢量和为零啊，哎，或者呢，哎，在这个方向上面，外力远小于在这个方向上的内力， 好，那么我们，哎，给它起个名就是分方向守恒啊，分方向不同的方向上，在某个方向上啊， 这也能守恒，好，这应该也不难理解。为什么呢？只要前期的基础概念都扎实，都掌握， ok， 都能理解的情况下，在某个方向系统动量守恒， 理解起来是完全没有任何问题的。为什么呢？我们从学相互作用受力分析的时候就强调力重在物体上面是有作用效果的，哎，我们对物体进行受力分析，核心的方法啊，主要的方法就是按照 实际作用效果来分析，哎，分解力，按效果，按实际作用效果方向去分解力，哎，那所以某个方向上那就是有这个方向的作用效果啊，那好，这个方向的作用效果随着时间的积累呢？ 为零啊，那这整个系统在这个方向上面受到的所有的力的作用效果为零啊，随时间的积累为零，那不就是动量守恒吗？那不就是这个系统在这个方向上的动量变化量为零啊，这个理解接受应该是没有问题的 好，那么对于近四守恒啊，包括分方向守恒呢？其实我们也是接触过啊，很多的这种例子了，高中阶段最常见的，比如说外力远小于内力啊， 或者叫内力远大于外力，主打的就是碰撞问题，碰撞的特点就是啊，作用时间极短，内内力远大于外力，对吧？然后包括什么呢？爆炸 对吧？哎，然后有的时候什么反冲是吧？哎，这都是典型的外力远小于内力的啊，这种近似守恒 好，那么分方向守恒的典型的特征呢？哎，是哪些地形，哪些场景啊会用到分方向守恒呢？就是哎， 光滑的斜面体，光滑水平面上面的，哎，斜面体或者凹槽的问题，哎，水平方向上动量守恒，哎，对，你只能说他水平方向动量守恒啊，你不能说他们， 哎，动量守恒，为什么呢？因为数值方向，哎，这个外力水量和不为零，只能说水平方向动量守恒 好， ok， 那 么这些都是我们学习动量守恒定律的必须要掌握的基本基本功啊。那很多同学你说你考试考个三四十分 啊，然后说这样去补课，那样去补课有啥意义啊，对吧？哎，你先问问自己基本概念对吧？有没有整理清晰，有没有理解到位，没有的话，哎，该干啥干啥去。好吧。

好，这个视频呢，咱们简单盘点一下动量定律的应用， 哎，就如同咱们之前一直说过的， a r 哈，大家不要把这些定律定律啊，知识点公式当成是学习压力，它们的本质呢，是客观规律啊，对于我们限阶段的同学来讲， 这些东西是工具啊，帮助我们去解决问题的啊，哎，好，那么所以我们在了解这个工具的基本属性，基本特点之后呢，要干什么事情要去看啊，它能够解决什么问题，对吧？ 啊， ok， 那 么在目前高中阶段啊，动量定率主要就是解决这么两类问题，一个是求速度，哎，冲速度，末速度，那核外力在这段时间内，总的冲量等于物体动量的变化量， 末状态动量减去出状态动量，哎，好，那所以如果你知道核外力，知道时间啊，知道出速度，你可以求末速度，或者知道末速度，可以求出速度，就这么简单，就这么一回事， 哎，那么这个地方想想，如果物体是做一个匀变速直线运动的情况下啊，我们用牛顿第二定律啊，运动力学的方法去求速度， 需要怎么做啊？是不是需要通过牛二求加速度 啊？比如知道了时间啊，知道了，哎，出速度，我求末速度是不是得做一个连力末速度等于加速度乘以时间， 哎，不管怎么说，对吧，它有两个步骤，是不是动用了两个公式，连力求解末速度 啊，好，但是如果在我们动量定力这个地方呢，哎，我一个设置搞定，对吧，哎，就记住啊，我们说的做物理题呢，要有一种降维这个做做题的一个习惯，什么叫降维啊， 我能解一个方程，我不去连力求方程组，我能解一次方程，我不去写二次方程，哎，我能求一次方程组，我不去求二次方程组。能用推论不要用基本公式去连力求解 啊，这是一种降维的思想去做题好吧，对于提升我们的做题效率是非常有帮助的。你平时的练习的效率越高， 那你要是对吧就满意了的话，你多出来时间，你可以发展发展个人的兴趣爱好，对不对？你要如果哎想要追求更高 哎，要精益求精，追求完美的话，那是不是哎，你可以多出来一些时间哎，安排一些其他的哎，更多的练习啊，或者是哎更深一步的一些问题的思考和研究，是不是哎效率为王啊。 好，那么动量定律另外一个非常重要的应用就是去求哎某段时间内平均作用力啊， 一定要记住哈，他求的是这段时间内的平均作用力，如果物体所受的力是便利的话啊，我知道初状态 的速度，知道末状态的速度，我就可以列动量定律去求核外力的总冲量，然后如果已知时间除掉时间，就是这段时间内的平均作用力啊，那如果我要求某一个力的平均作用力，哎，那比如说啊，物体受到两个力哎， f 一 f 二啊，其中 f 二是恒力啊，在时间一致的情况下，初速度末速一致情况下，重量的变化量可以求出来，哎，那么我就可以由此推出来 f 一 的这个便利的重量 啊，那再除以时间，就是 f 一 在这段时间内的平均作用力。这个求解啊思路 其实跟我们前面求便利做工有点像，对不对？那只不过求便利做工那个地方啊，用动能定律求便利做工那个地方我们就求到便利做工就完了，一般不牵扯到求这段位宜上的平均作用力啊。但是呢，动量定律这个地方往往落脚点要落在求平均作用力上面， 哎，这是两，这是一个非常重要的一个应用啊，那么对应的有两类，呃， 题型啊，那肯定高考都是考过的哈，一个是流体类问题，一个是电磁感应问题当中啊，运用动量定律去进行一些综合的，哎，这个运算和推算啊，我们在电磁感应问题当中哎，也会提及与积累量有关的问题当中的动量定律的应用。 好吧，这个地方就不详细展开这个讲解了。动量定律的应用主要就是这两方面，一个是求速度哎，一个是求平均作用力，那么如果这个地方我们可以再去拓展拓展这个建立一些链接的话，那球速度是不是对应的？哎，我们可以把球动能 对吧，也归结到求速度这一类问题当中啊。好，那么剩下的就是需要大家来这个熟练使用啊，通过练习去强化这个思路链接，好吧？