高数一些基本知识都忘了

是不是公式备了又忘，一对数计算就发蒙？快叫上你的战友，锁定这个对数函数速破专题！你缺的不是时间，而是直接能用的！三大核心结论，孪生转化结论，瞬间连通指数函数化繁为简拆基数结论，复杂计算三步出答案，告别错误底盘分析法结 结论，单调性讨论，从此一途搞定。如果你还不知道从哪里下手，很简单，跟着节奏走，我会把每一种题型，每一步技巧掰开揉碎，让你一次性掌握。我整理好了，高数必破！对数函数三大核心结论讲解资料下载打印，配合视频练习，效果直接翻倍。 今年我会再带一千名战友实现逆袭，之前跟着学的很多人已经涨了三四十分，下一个上岸的完全可以是。你好，我们今天呢，讲高数学前基础的对数函数啊，所有函数中最重要的函数，为什么他重要的，为什么他考的多，用的多呢？ 那次次考试都会考呢？因为他变化多啊，幼儿发现他的好多变化公式啊，正因为他有这些多变性啊，所以咱们任何考试啊，都会把这个对住。函数啊，考的次数非常的多，频率非常的高啊。来，首先我们了解什么是对数 啊，来 a 的 x 次方，假如等于 n， 没问题吧？嗯，那你看 a 的 x 次方等于 n， 那 现在我问你 什么呢？那 a 的 多少次方等于 n 呢？那怎么表示？我们就写 log 啊，以 a 为底， n 的 对数等于 啊，这是什么意思？ log 以 a 为底， n 的 对数是什么意思？就是 a 的 多少次方等于 n， 我 们就这么写啊，当然这写多少 啊，写我们的这个 x 来，比如这个二的三次方等于八，那我们写 log 以二为底，八的对数呢？就等于三，那就是二的多少次方啊？等于八呢？三次方。 好，再说这个。嗯，来，我们知道这个 log 之后呢，其实还有两种常见的啊，也有我们高数中比较用的比较多的是什么？就是 log 以 e 为底， 这个，嗯， x 对 数吧。好吧，我们都写它写作 line x， 写到 line x， 就是 只要你底数是 e 啊，底数是 e， 我 们就可以把它写成 line x， 底数就直接没了。这写着 l n 读作 line 啊， line， 当时可能，当然，可能，你这个老师有其他读法啊，你会读就行。 嗯，来，还有一个 log 以十为底， x 的 对数，那他读作什么？他读作还是 log 啊？ x， 但是呢，中间这个 o 没了啊，只有 l g 了啊，这也读作 log， 好吧。嗯，来，那我们最普通的读法怎么读呢？我读了好多遍了，它叫做先读 log， 然后谁在下面就读，以谁为底，然后上面的说谁的对数啊？ log 以 a 为底， n 的 对数， 再往下 log 以二为底，八的对数， log 以 e 为底， x 的 对数，明白了吧？就这么读 log 以谁为底？谁的对数。 嗯，来，这个读作 line x， 这个读作 log x， ok， 好， 这就是啊，这个，这个，我们的对数的一个分类，好吧，嗯，来，下面咱们说一些常见的一个性质啊。 哎，第一个啊，我们可以想到啊， log 以 a 为底，一的对数等于多少？那当然，这时候 a 的 这个取值范围我就不多说了，因为咱不考。好吧， 来，那是 a 的 多少次方？ a 是 一个数， a 的 多少次方等于一呢？零次方吧， 对吧？零次方等于一，为什么？你看任何数的零次方都等于一吧，除了零的零次方不存在，对吧？ ok， 这是咱们这个还有一个 log 以 a 为底， a 的 次数呢？等于多少 啊？这个 a 的 多少次数等于自己本身啊，那一次一次方嘛，对吧？所以这是一，嗯，还有一个啊，这个是最常用的啊，也是我们考试不管你极限也好，后边计算题也好啊，都会用到的。 就是 a 的 log 以 a 为底， n 的 对数等于多少？嗯，就是当你啊， 这个底数和这个底数一样的时候啊，并且你是 log 以它为底啊，它的次方的时候，那就直接把这个 n 放下来就行。 好吧，直接把 n 放下来，那就直接等于 n 啊，来，比如我们举个例子，那二的 log 以二为底，七的对数次方啊，右上角是次方的意思啊，那就直接等于七，直接把七挂下来就行了， 明白了吧？啊，这个咱们用到的非常的多啊，非常的多， 嗯， ok 啊，来，那比如啊，咱们再举个例子啊，三倍的 line 七， 对吧？这个有办法写吗？没有办法写，为什么呢？哎，老师，这是三，这是浪，也是什么？ log 以 e 为底，对吧？啊，所以没法写。来，来，那我们再写那 e 的 浪引八，那是不是就等于直接等于八了，对吧？因为为什么呢？ e 的 浪引八等于 e 的 log 以 e 为底，八的对数， 是吧？ ok， 好， 这就用到了我们最常用那个计算来，在这划重点啊，接下来讲的，你会发现在你的高数中特别常用， 就什么呢？当我们比如有一个 a 等于啊， line line b 吧，好吧，朗以 b， 但是呢，因为这个朗以 b 你 不好算，你想把这个朗以去掉，那我们有一个什么呢？啊？有一个什么办法呢？我们叫做取异啊，我就直接写了啊，取异就什么呢？来异， 来二和这个三减一相等的吧，对吧？那 e 的 平方和 e 的 三减一次方是不是也是相等的？ ok， 那 所以对于我们这个题来说，那就是 e 的 a 次方，其实也等于 e 的 line b 次方， 对吧？没问题吧？好，那你在 e 的 line b e 的 a 次方是不是就可以等于 b 了呀？啊，用我们刚刚学到的一个式子， ok， 这就是我们常用的，如果你想去掉浪引，一边的浪引怎么去啊？就这么去，知道了吧，就这么去 啊，就两边取 e。 好， 那既然有两边取 e， 其实还有一个，那，那比如 a 就 等于 e 的 b 次方啊。老师，我看这 e 的 b 次方不好算，我想把这个 e 去掉，怎么样？咱们这个操作叫做取浪引 啊，这叫取 line， 也非常重要。那取 line 的 话，哎，我们还是举个例子，二和什么？ 呃，二等于三减一，那 line 二和 line 啊，三减一一样吗？一样的啊，当然是一样的。所以呢，我们这儿 line a， 那 就可以等于 line e 的 彼此方啊。 line e 的 彼此方， ok， 你 看浪以 e 的 b 次方啊，就相当于什么啊？ log 以二为底，二的四次方等于多少啊， 是吧？你 log 以二为底，二的四次方，这是二的多少次方？是二的四次方，那肯定是四吗？对不对？那这个浪以 e 的 b 次方，那是 log 以 e 为底， e 的 b 次方啊， e 的 多少次方还是 e 的 b 次方啊，对吧？那就等于 b 了吗？对不对？那就是 line a 就 等于 b 了，右边就直接去掉啊，直接把 e 的 b 次方去掉了啊，这一步，嗯，含金量很高，大家把这个过程直接给我记下来， 因为发现你用到的次数很多啊，非常常见的一种操作，好吧， ok 啊，这就是咱们的一个很大的重点。嗯， 来，这个知道之后，那咱们学一下对数的运算性质。嗯，对数的运算性质。来， log 以 a 为底， m 乘以 n， 那 等于什么呢？ log 以为底， m 的 对数加上 log 以 a 为底， n 的 对数。 嗯，来，咱们写一个数啊， log 以二为底，对吧？三乘以七，那就等于什么呢啊？ log 以二为底，七的对数加上 log 以二为底啊，三的对数 啊，对吧？这个三当然你前边啊，可能顺序写的那上当然都一样，你加法吗？三的对数是七的对数。 哦，是一样的。千万不要继承。什么？千万不要继承，我给他写个错误的公式啊。啊，你千万不要继承。这样。 嗯，来 log 啊，以二为底啊，三个对数乘以 log 以二为底，七个对数，那等于什么呢？啊，这个同学就写了，那等于 log 以二为底啊，三加七呗， 对吧？你正好相反了，人家这是成，这是加，你把这又变，你现在把这变成了，成了，你把这变成加了，那可能对吗？肯定不对啊，肯定不对，所以一定要避免这个误区， 考试好多大家都错。那第二个来， log 以 a 为底， n 分 之 m 的 对数，那等于 log 以 a 为底， m 的 对数减去 log 以 a 为底， n 的 对数。来，咱们继续写 log 以二为底啊，这个， 哎，来三分之七吧啊，三分之七的对数，它等于什么？ log 一 二为底，分子减分母啊 log 一 二为底，七的对数减去 log 一 二为底，三的对数。 好吧，但是这个也不要记反了啊，也不要记反了，就是它俩它分之它等于它分之它，那么就不对了啊，这也不要记反了， 就记住这公式就 ok。 好 吧，来，再往后，再往后，咱们不用这个了啊，我给大家这样写， 来，就刚刚咱们这个一样 log 以二为底，二的四次方，那是不是等于啊，二的多少次方？是二的四次方，那肯定是四次方，那不废话吗，对不对？那所以啊，我们就写 log 以 a 为底， a 的 n 次方就等于 n， 对 吧，这个也比较简单吧啊，这个也比较简单啊， 当然这个公式啊，也这也不算公式，就是你要知道快速反应过来就行了啊，不要就看到这个呆了。嗯，来，咱们继续写啊，就和第三个公式有关了。就是呢，你这个四 可以怎么样？你这个四可以放到前面去啊，就是啊， log 以二为底，二的次次方啊，你可以写成四倍的 log 以二为底，二的对数就行了。 那你看一 log 以二为底，二的对数，那肯定得一啊，对吧，那就等于四。嗯，因此我们推出来一个公式是 log 啊，以 a 为底啊， m 的 n 次方，那这个 n 次方呢，就是可以直接放到前面 log 啊，以 a 为底， m 次方就可以了。那咱们再练一个啊，它俩不一样的 查一下来。 log 啊，以三为底啊，七的八次方，那可以写成什么啊？八倍的 log 以三为底啊，七的对数 就 ok 了，就是你的次数可以直接放到前面啊，当倍数来用。好吧， ok， 这个知道之后咱们再来一个。就是啊， log 啊，现在七不带次数了啊，我谁带次数，我下面带次数，三的八次方， 七的对数等于多少啊？这个我就告诉大家，你这个也可以啊，像刚刚这个一样啊，刚这个七的这个次数一样扔到前面，但是你扔到前面不一样，你是变成分母 就是八分之一啊， log 以三为底，七的对数，明白了吧？你要做分母，你不能啊，想作为倍数哎。 log 以七为底，三的对数，然后 十六啊，以以七的三次方为底啊，十六的倍数，那等于什么呢？那就等于你这个三可以扔到前面这三分之一 log 以七为底，十六的倍数， ok 了吧。啊，这就是咱们这个啊，你要把它作为分啊，把它作为一个分母来，那就我们得到公式啊， log 嗯，这个以 a 为底，这个 b 以 a 为底啊，以 a 的 b 次方为底， m 的 对数就等于那 b 分 之一乘以 log 以 a 为底， m 的 对数， ok， 好， 那现在我们再来一个复杂的啊，把这两个综合到一块的 啊，我们写啊 log 以三的平方啊为底啊，然后七的六次方的对数来。这个呢，你看，我们就记， 只要你是这个后边的次数，你就可以扔到前面啊，当倍数来用，只要你是底数的次数，那你就扔到前面啊，当做分母来用， ok， 那 对于这个来说，咱们也可以依旧这样的这个做法，那你看，七的六次方，那就是六倍 的对数，那就等于啊，三倍的 log 以三为底，切对数， ok 啊，这个题就这么做的，知道了吧。嗯，所以我们写个总公式啊， log 以 a 为啊，以 a 的 b 次方为底， m 的 n 次方的对数，就等于这个 b 分 之 n log 以 a 为底， m 的 次数， m 的 对数， ok 啊，这是我们三个非常用的公式。非常常用的公式啊，你看后面呢，还有一个是换底公式。嗯，来最后一个公式了啊，本节课最后一个公式， 就这些公式，非常常用，都要背啊，一个都不能错。过来就是换底公式啊，换底公式， 就是啊，我们写一个啊， log 以三为底七的对数啊，你可以把它写成什么啊？ log 以二为底七的对数，比上 log 以二为底三的对数 啊，对，这个底，这个底是什么意思啊？这换底换的什么底？就是你这是以三为底七的对数，是吧？那我可以把你这个底数我随便改，改成谁都行 啊。但是呢，我要把这个七放到分母的位置，把这个三放到分子的位置啊，这个二是随便改，改成谁都行。所以呢，我们这个可以写成 log 也为底 b 的 对数就等于 log 啊，以 c 为底， b 的 对数比上 log 以 c 为底， a 的 对数 啊，就可以写成这个样子了。这是我们的换底公式啊，这个 c 又写的小一点，以 c 为底， b 的 对数啊，写大，这写大一点， ok 吧？好，这是我们最后一个公式。嗯，所以本节课啊， 你背的公式啊，我给大家把没用的擦掉啊，这些你都用背啊，现在你可以去花你的十几分钟或者五分钟呢，把这公式背一背啊，包括前面这个常用计算方式，你也看一看，然后看完之后，现在咱们练练题，好吧， ok， 来，我们看这个题， e 的 浪引二来 e 的 浪引二我们熟啊， e 的 浪引二相当于 e 的 log 以 e 为底，二的对数，所以这个这两个底数都下边是 e， 然后这个上面底数也是 e， 那 于是呢，这就直接等于二了， 对吧？来，这个的话，你看那底数一样啊，那不就用换底公式吗？对不对？前面这个换底公式吗？对吧？这都是烙以 c 为底啊，换底公式。那我就把你再换回来呗。那就相当于烙个 啊，这个以四为底十六的对数，那等于多少？二吧，对吧？四的平方等于十六， ok， 二加二等于四， ok， 这道题做完了吧，来下一个啊，大家先做再静啊再听。 哎，我们看这个，其实你没有什么思路，对吧？没有什么思路好不要紧。嗯，我们怎么样呢？先啊，找同底数的先找同底数，然后我们看同底数有多少，有谁 烙个以五为底烙个以五为底烙个以五为底，对吧？好，那我们换一下计算顺序，然后等于 啊 log 以五为底，三十五的对数减去 log 以五为底啊五十分之一的对数再减去 log 以五为底十四的对数再加上二倍 log 二分之一为底啊，根号二， 对吧？ ok， 那 你看这都是以五为底，那如果相减的话，相当于怎么它们怎么样 消除，对吧？消除，但是你会发现后边有个十四又减一下 啊又减一下，那我们不妨怎么样啊？当然计算顺序怎么样都可以啊，但是我觉得这样是最简单的。减去括号啊， log 以五为底五十分之一加上啊 log 以五为底十四。嗯，再加上啊，后边这个我就不写了，不带抄了， 那就是咱们上面那东西。 ok， 你 看你俩相加相当于什么？你俩相乘吧，对吧？就是 log 以五为底三十五的对数再减去 log 这个以五为底，相加相乘，那就是五十分之十四吧， 对吧？五十分之十四啊，再加上啊，一个东西，那加上这个东西，你看，这是相减，相当于 除，对吧？那就是 log 啊，以五为底，那三十五啊，咱们这写个括号吧， 除以五十分之十四乘以十四分之五十吧。嗯，然后再啊加上 这个二倍啊 log 以二分之一为底，跟二的对数，来，我们算左边，左边这个三十五乘以十四分之五十，好，算吗？啊，来我们这，这是五乘七，这是二乘 七，对吧？那这两个七是不是没了？这两七没了这个二呢？和这个五十就剩二十五了吧，对吧？二十五 再乘以它的五，那就是最后咱们这得到一百二十五，就是 log 以五为底，一百二十五，再加上来到这呢，其实咱们这后边也该画了那二倍的，你看二分之一，我们可以把它写成啥？ log 二的负一次方，这是二的什么？ 二分之一次方吧，对吧？这是咱们上节课咱们学的知识。 ok， 好， 那这个负一你是不是要作为分母扔进去，那就是再乘以负一分之一，那二分之一呢？作为分子让它乘以二分之一 啊，就是 log 啊，以二为底，二的对数，对吧？好，那这二乘以二分之一啊，这再有个负一，对吧？二乘二分之一，是不是得一啊？那有个负一，就是减去 log 以二为底，二的对数，那就是减去一吧。嗯， 好，那这就是减一，那右边左边呢？那落个以五为底一百二十五的对数，那一百二十五，那是五的几次方啊？五的三次方，对吧？五的三次方， ok， 那 就是三嘛，就得二。 好啊，这就是咱们常见的一些对数公式的应用，知道了吧？嗯，下面开始学我们的对数函数啊，其实前面你公式会用之后，对数函数就非常简单了啊，和我们前面指数函数一样，还是分我们 a 大 一的时候和 这个 a 是 零到一的时候，也就是分数的时候。来，那我们现在啊，举一个例子啊，比如咱们写啊，对数函数啊，对数行的一个形式是 y 等于 log， 以 a 为底， x 对 数 啊，那我们就举个例子，我们为了研究函数，咱就写啊 y 等于啊， log 以 二为底， x 的 对数吧。好吧，那就是大于一的时候， ok， 当这个 a 大 于一了，那我们现在 x 取二分之一啊，一二四的时候啊，那 y 取多少呢？ y 你 看二的多少次方等于二分之一啊， 那是不是负一啊，对吧？二的多少次方等于二呢？是一，那二的多少次方等于四呢？那就是二， 对吧？你看，负一零二随着 x 增大，它还在增大啊，但是有负的，有零有正的，那于是呢，我们这个图像啊，我们可以这么画， 嗯，来，这个点是多少？是一逗号零，它是个定点，为什么定点呢？你看 log 以 a 为底啊， x 对 数，那当咱们的 x 取一的话啊，任何数的零次方都等于一，对不对，那就是也是我们这个常见的，当 x 取一的时候， y 等于零啊，这是每个函数都要经过的， ok 啊，同样的啊，你可以再啊画一下 log 以二分之一为底， x 对 数，那你可以画一下啊，那我们还是可以经过什么二分之一啊，一二四，嗯，那它对应的 y 呢？嗯，二分之一的多少次方啊？等于这个 二分之一多少次方等于二分之一多少次方等于一呢？零次方，然后二分之一多少次方等于二呢？ 负一次方，二分之一多少次方等于四呢？负二次方， ok 啊，所以呢，我们画出来图像是这样的啊，这是单调 d 减的吧，对不对？随着 x 增大而减小啊？ ok， 这么画，那它还是经过定点 e 逗号零，对吧？还是经过 e 逗号零，这就是准单调 d 减的。 好，那现下面咱们研究它的定域啊，你会发现这个定域怎么样？咱们的 x 是 不是只取正的呀？对吧？ 嗯，因为正数了多少次方，它肯定还是正的吧，对吧？所以呢，当我们求定域的时候，我们这个位置那肯定是大于零的吧，肯定是正数肯定大于零的。 ok， 所以 我们定域是零到正无穷值域，你看值域从下往上啊，正的负都有，所以是二，并且过呢，我们的定点，对吧？因为任何数的零次方都等于一。 嗯，当然啊，这个也有两条线，其实它和指数函数非常像，你发现了没有，其实它俩是互为反函数啊，互为反函数，你看这个线画一条 画一条怎么样？那左边的值都是取 x 值都是小于零的，右边 x 值都 是啊，不对，外值都是小于零，对吧？左边的外值取的都是小于零啊，右边的外值取的都是大于零的。嗯，那这个呢，那左边取的外都是大于零，右边都是小于零的 啊，这就是大于一和零到一他俩的一个区别啊，一个增还有个增减性的区别。好，这就是呢，我们对数函数所有的内容啊，本节课所有内容务必掌握啊，包括图像 啊，包括公式的应用都要掌握啊，你前面的极限你会发现啊，如果你不会背，那已经是王炸了，你就不会了，知道吧，你就不会做了啊，再学洛必达你更蒙了啊，后边再学咱们的微分方程，解分方程，你 log 和 e 你 取不回来啊，你都不知道怎么转化 啊，那就完事。好吧，这就是咱们啊这节课所有的东西。嗯，下节课呢啊，要讲函数的其他一些基本知识啊，比如反函数啊等等一些东西啊，还有三角函数啊，也非常重要。好，这节课我们就到这啊，咱们下课。

大一考试挂了咋办？挂了分两种，一种是作弊被抓了，还有一种是没有好好复习的，以为真的期末周奋斗一两天就可以了。我说实话，期末周那个复习两天我不敢说，我反正是极限，三四天能速通，而且那三四天是非常高强度的，一直在学数学那种。 就是第一天的话你会感觉到一点茫，第二天的话你还是会感觉到一脸茫然，第三天的话基本上就开悟了，还有第四天的话甩脸卷，然后就去考试了， 但是如果你没有那么开悟的阶段的话，那你高数是很难及格的。回到正题，咱们挂科了怎么办？首先就了解一下咱们各个学校的补考日期，问一下你们学校的学长学姐。像我们学校的话就是开学第一周的周末要补考，但是吧，我建议大家各位想让自己记点好看一点呢，可以直接选择重修，重修的话他那个记点可以重新刷一遍， 补考的话你考再高都六十分。还有就是补考的话也没有平时分的，你这面分要达到六十分以上才可以，而且补考的题目和你期末考试的题目不一定是一样的，像我们学校就是补考基本上都是大题，就没有什么选择题问题了。嗯，具体就是这样，大家像大一上高速挂科的话，就一定要注意一下大一下高速的学习，因为如果大一下高速再挂的话，过了一个暑假之后再补考，真的估计啥也不记得了。

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