狄拉克δ(t)函数筛选性质

保罗迪拉克一九零二年到一九八四年，保罗迪拉克是英国理论物理学家，量子力学的奠基人之一，并对量子电动力学的早期发展做出决定性贡献。他出生于布里斯托尔，在剑桥大学获得博士学位，并长期任教于此。 迪拉克以其深刻的数学洞察力和追求理论美与简洁性的风格著称。一九二八年，他成功的将相对论与量子力学相结合，提出了描述电子的迪拉克方程。这一方程不仅自然解释了电子的自选，更惊人的预言了反物质的存在。他提出 每一个粒子都存在一个质量相同但电和相反的反粒子。一九三二年，正，电子电子的反粒子在宇宙射线中被发现，证实了他的预言。此外，他与费米各自独立提出了费米伊拉克统计，描述了如电子等遵循炮利不相容原理的粒子所组成的系统的统计规律。 他于一九三三年与薛定勒共同获得诺贝尔物理学家。伊拉克的著作量子力学原理是该领域的经典教科书。他性格极度内向，言辞简洁。 其深刻的理论工作以数学严谨和形式优美著称，极大地推动了量子理论的发展，并深刻影响了粒子物理学的未来途经。

大家好，本期视频和大家分享一个使用斐的函数来配合数字调节按钮快速筛选数据的一个应用案例。当我们调节这个按钮的时候，那么他就可以快速的筛选出我们想要的一个数据，当然这里我们还可以通过月份来进行筛选， 那如果我们不选择这个月份，他就会筛选出整年的一个数据，我们选择的月份就只会筛选出对应月份的一个数据，这个数据的来源那么就来源于工作表一， 就是这张表，那我们来看一下这个功能是怎么实现的？我们先把这个数据给清除掉，我们来重新来做一遍，所有的数据都清除掉，然后的话这个按钮我们也把它给删除掉，我们从头来做，那么首先的话我们把这个表头给复制过来，因为这个表头我们是需要的 粘贴，然后我们来插入一个数字调节按钮，在开发工具插入表单空间，这里我们选择数字调节按钮，然后的话我们在对应的位置拖动鼠标来放置一个数字调节按钮，点击这个数字调节按钮， 然后设置空间格式，我们设置一下它的当前值，最小值以及最大值，当前值的话我们是二零二六年，我们设置为二零二六，最小值的话我们就设置为两千吧，最大值 我们设置为三千，也就够用了，也就是说从两千年到三千年。单元格链接，那我们链接到这一个 a 二，这个单元格确定 好，我们把这个单元格居中，然后的话我们调整一下，给他定一下格式，后面加个零， 这样的话我们看起来的话就是二零二六零，这样子的话看起来更加直观一点。然后我们再来设置第二个筛选条件，也就是月份，那我们在这里月份的话，我们采用下拉列表的形式， 我们在数据，然后的话数据验证这里选择训练，然后我们填入一到十二这十二个数字，一二三四五六七八九 十十一，十二，中间的话使用英文的逗号把它给隔开好确定，那么就得到了这个一到十二的一个向量列表，那么同样的我们设置一下它的格式，自定义为 年，然后的话加个月字，那这样的话我们实际上是四，但是它会显示四月 这个值，它还是四，但是的话显示的时候它会显示四月。好，接着我们来编辑公式，把这个公式和我们两个筛选条件关联起来，这里我们用到的是斐函数，一个函数就够了， 等于斐函数第一个参数，那么要筛选的值，那么就是这个公式表一，它的这个数据的区域， 第二参数也就是它的筛选条件，那么它的筛选条件就是这个日期， 它的这个年份要等于我们所选择的这个年份，我们筛选条件当中这个年份 a 二， 当然这个地方我们要使用 e 二函数把这个年份提取出来，那我们前面再加个 e 二， 好，这是第一个条件，那么第二个条件就是月份要等于我们这个筛选条件的月份， 那第一个条件我们使用小括号把它括起来，提高它运程 u 型几，然后的话我们用乘号来连接，第二个条件，用乘号来连接，那么也就是说这两个条件它是雨的关系。 那么第二个条件就是这个日期他的月份要等于我们筛选条件当中一个月份，那当然这个地方我们使用 max 函数把月份给提取出来， 然后要等于我们这个筛选条件他的一个月份。前面这个系统二可以不用，因为我们当前的表格就是系统二， 我们只保留这个 b 二就可以了。那这是第二个筛选条件，同样的我们使用小括号括起来，提高它的运行率。 好，这两个筛选条件写完了，我们再来写第三个参数，如果说我们筛选的数据为空的情况怎么办？为空那我们就让它返回 一个空值就可以了，把括号补齐完成。二零二六年四月，那现在是没有数据的，因为我们这里没有二零二六年的一个数据，我们调节一下这个年份，二零二五年它是有的， 二零幺四年也有，二三也有，二，二也有，我们这个日期这个格式我们还设置一下，我们重新设置一下这一面，我们把它设置为这个日期的一个格式，当然这个我们不用设置，还是把它 恢复到我们之前设置的这个格式，也就是一个年加上一个年，二零二二年四月， 那现在这个公司还有一个问题，也就是说如果说我们这个月份不输的情况下，他是不会筛选出整年的一个数据的，比如说我们把这个月份给删除掉，可以看到他不会筛选出任何的一个数据。 那怎么解决这个问题呢？我们来稍微改动一下这个公式，我们在第二个筛选条件，也就是月份这个筛选条件这里我们再加一个判断 if， 如果说我们的月份的这个筛选条件它不等于空的情况下， 那么我们就使用这个判断条件这个表达式，否则的话就直接让他返回一个处子 或者是一也可以。也就是说如果说这个筛选条件为空的话，那么就让第二个筛选条件永远保持为成立的一个状态，好完成 提示错误，那我们这里少输了一个括号，把括号加上完成，然后的话我们再把这个第二个条件删除了试一下，那可以看到我们不输入月份这个条件的话，他就会返回一整年的一个数据。 那么当然为了这个公式有更好的一个扩展性，我们这个数据选择的这个区域我们可以稍微大一点，因为我们现在的话细腿一这个数据源这里只到了第九十九行，那如果说我们后面再增加数据增加到一百行，或者是增加了两百行， 我们又要重新去改动这个公式就比较麻烦，那这样的话我们不如一次性把这个公式，把它这个区域写大一点，这里的话我们改为一千，那这里也改为一千， 当然这个地方那也要改为前，否则的话因为数组的函数不匹配，那么这个公式就会报错。好，我们完成这个公式，再来看一下，这样的话就没有问题了。好了，本期视频就给大家分享到这里了，喜欢的朋友可以点赞收藏起来。

大家好，这一期给大家来分享一下 paul quarry 如何通过自定义函数来动态筛选不同标准的数据。 好，我们首先把这个数据导入 paul quarry 编辑器啊，直接打右键啊，从表格和区域获取数据，点一下确定好，我们进入到了 paul quarry 编辑器啊， 在这里边呢，我们先做先手工做两个筛选啊，第一个筛选就是客户群体，这里面我们选新客户，给代码占位啊，确定在这个基础之上呢，我们来看一下首选渠道，首选渠道里边呢，我们筛选 app 确定好啊，这个数据筛选完，其实我们一共用了两个筛选条件，一个是客户群体，一个是首选渠道。现在我们在主页里面找到高级编辑器，把它打开啊，打开之后把代码放大一下，然后把窗口放大一下， 这个帕克瑞在界面设计上就是一坨，没办法好往下走啊，先在最上面先输入一对英文的括号啊，不要英文的括号。我们刚才是有两个条件的筛选，所以在这个地方呢，我们设定两个参数，一个参数是首选渠道啊，是客户群体 输入客户群体啊，这是一个参数 as 呃， text， 因为客户群体是文本啊，接下来呢，另外一个参数是首选渠道，首选渠道也是文本啊，也是 as text。 好了啊，这个时候我们只需要再输入一个等号，一个右键头啊，这样我们这个参数就写完之后，我们需要在刚才筛选的占位的这个地方，把它改成上面我们的参数的名称啊，所以这个地方等于新客户，我们就把这个地方删掉啊，改成我们的客户群体 上边的参数啊，客户群体后边首选渠道的 app 啊，这个也给它删掉，改成首选渠道啊，这样一个自定义的函数就写完了。我们有两个函数，里面有两个参数啊，分别替替客户群体和首选渠道啊，作为他们的筛选值啊。点完成， 完成之后呢，我们就得到了这样一个输入参数的一个界面啊，客户群体呢，比如说我们选听课忠诚客户下面这个首选渠道呢，我们来选这个 线下门店，好，我们调用啊，这样我们数据就输出来了啊，这么有两条数据啊，你就不管了啊，这样的数据 我们来关闭并上载制啊，关闭并上载制，为了躲开这个原始的数据表啊，这个原始数据表其实可以隐藏啊， 我们把它放在一个新工作表就可以了啊，点确定好啊，这个就是我们的忠诚客户啊，抽象渠道的摄像结构啊，这个我们可以放大看一下啊，如果我们现在想换条件了啊，想看另外的这个条件啊，再生成新的数据， 我们就在右侧这个链接里边啊，这个表查询链接里边找到这个函数，就 f x 标记啊，有一个 f x 标记，这个函数直接打右键调用啊，调用这个时候我们再输客户群体，比如说是我们看一下客户群体哈，原始数据里边还有什么？还有这种 流失风险客户啊，这里边我们也可以找一个社交媒体啊，流失风险客户，或者这里面找一个什么啊，第三方平台对我们再做一个啊，所以这里面我们打右键调用 勾群，也是流失风险客户啊，这个地方是第三方平台，第三方 平台我们点确定啊，他会回到帕克瑞界面啊，他会自动的回到帕克瑞界面啊，也是两条数据，好，我们关闭并上载至啊，还是这个新工作表确定， 这样我们就有了第二种数据啊，就是有了现在的第二类数据流程风险客户啊，第三个平台，第一个数据表呢，是忠诚客户线下门店啊，我们其实可以再来一个，在这里边直接打右键调用， 我们来去做什么客户群体的时候，新客户，高价值客户首选渠道，我们再看一下啊，不行，这里边老忘首选渠道里边我们第三方平台社交媒体啊， 可以把社交媒体放在这里面，来社交媒体和一下社交媒体的高价值客户啊，这样来定一个啊，调用啊，这个客户群体呢，是高价值客户，下面首选渠道呢，是社交媒体， 社交媒体确定他又会带我们回 party 界面看这个数据，好，是吧？三条数据啊，我们关闭兵上载制啊，还是新工作表啊，确定啊，这样我们其实就可以 啊，随心所欲的根据我们自己的需求，根据我们所设定的筛选条件的标准啊，来把符合不同条件的客户的数据啊，来放到我们不同的工作表里边啊，这样始终保持一个动态的链接和筛选啊，非常好用，强大的一个功能。好啊，这节视频给大家分享到这。

好的，各位同学，刚才这个讲了一个半小时没录上，那么这个啊，这个笔记我也懒得再重新给各位再写一遍了，然后我就这个按照我刚才讲的那个笔记来吧。 好，那么这节课呢，我们主要的是要去学习一下这个希尔伯特空间啊。 我们为什么要去学习这个希尔比特空间呢？因为之前我们学习的那些 e 维的这个物理模型，什么斜阵子啊， e 维斜阵子啊，包括这个啊， e 维有现身方视镜、无限身方视镜 dealt， 视镜 dealt 式的，也就是这一类的吧，这么多物理模型啊，还有各种各样的算符， 我们会发现里面有很多出现。嗯，大普赛乘小普赛的复攻恶，就是像这个样子的这么一个形形式啊，然后呢，里面也有非常多的就是 这个样子的一种形式，那么我们去写这个样子的形式的时候，去写这个 大普赛的波函数，然后这个中间乘一个算符，然后再再做这个类型的运算，再做这种类型运算的时候，那我们都要在前面写一个积分符号，后边再写一个 d x， 然后还要再写一个负公讷，然后这样子的写法 太累了啊，太烦人了，太复杂了，那我们不喜欢这个样子的写法，所以呢，我们要学这个希尔伯特空间里面的数学符号，对于这个样子的写法应该是怎么写的 啊？好，这个是我们学习的第一个目的，为了让我们的手更方便一些，让我们的手不那么累啊。好， 第二个目的，因为希尔伯特空间这个概念十分十分的重要，十万分，一百万分，一千万分，一个亿的重要啊。希尔伯特空间 这个概念在你学会了之后，你会用一种更加简变，更加这个直观的视角去理解量子力学这么一门课程 啊。当你啊用一种更加简变、更加直观的视角去看懂量子力学这门课程之后，你会发现所有类型的题型，其实啊 就是包括什么本征函数啊，包括什么本征史，你用，你用这个视角去看啊，是更加简单的，包括你用，呃，包括咱们之前学的这些什么一维的各种各样的物理模型，你用希尔伯特空间的视角去看他啊，也是更加简单的，而且你也是能看懂他的。 好，这是第二个原因，第三个原因，我们之前所学过的所有的关于这个依维啊，就是关于这个量子力学，我目前学过的都是依维的一些物理模型吗？我们关于那些物理模型所学习到的这个东西啊，其实都是啊，都是 微积分啊，全部都是微积分这么一种代数运算。好，那么在一维空间里面用代数运算，我们勉强 ok， 勉强够用。但是在后面我们会接触三维空间的这个 量子粒子，我们会接触氢原子，我们会接触碳原子，再包括一些碱并和微扰。面对这种复杂情况的时候，我们再去用代数去描述这个 啊，定态确定方程，或者说是去描述这个波函数，那将会是十分麻烦的一件事情。所以呢，我们要简化我们对于量子粒子波函数描述的这么一种语言，所以我们要去学习这个希尔伯的空间。好， 那么关于我们为什么要学希尔伯特空间这么一个东西就讲到这里，那么接下来我们开始正式的对于希尔伯特空间进行一个深入的学习。首先希尔伯特空间是什么东西啊？希尔伯特空间他说到底就是一个限性空间啊，他就是一个限性空间。那什么叫限性空间呢 啊？它的学名啊，它严格上的定义是只要满足加法和乘法和标量，乘法封闭性，并且呢满足加法交换率、加法结合率、加法分配率啊，乘法结合率、乘法分配率， 并包含这些加法单位元与加法单位逆元和乘法元和乘法单位逆元的集合啊，就是一个限性空间。然后呢，我们称组成这些限性空间的元素叫做矢量 啊，我说这么多你，你们是不是都听的不是非常的明白，但是呢，他说白了，说到底它代表了什么含义？ 我们可以用我们之前学过的另外一个限行空间和希尔伯的空间做类比，那我们一比较你就可以明白了，我们之前呢还学过一个限行空间，叫做欧基里的空间，也叫欧式空间啊，欧式空间 好，我们之前学过那些所有的什么，呃，这个立体几何啊，包括咱高考的那个，那个立体几何那个大题啊，我们解这个立体几何大题都是在欧式空间的这么一个条件下去解的， 那么因为欧几里的空间它也属于一种限性空间嘛，那么希尔伯特空间它也属于一种限性空间，所以希尔伯特空间和欧几里的空间，它们这两个空间之间是存在一定的类比性的啊，就是你可以 把这个，目前你就可以把希尔，把希尔伯的空间，你就把它当成是欧吉里的空间去进行比较啊，你就把它当成是欧吉里的空间。好， 那么接下来我们啊，你带着把希尔伯的空间当成欧吉里的空间这么一个思想去听我后面讲的一些内容啊，你会感觉比较这个啊，比较这个，比较这个直观。好， 接下来我们要聊聊这个波函数啊，因为欧吉里的空间里面， 我们描述一个向量，是不是指的是从这个原点啊？从原点指向某一个点，比如说 a 到 b 到 c 指向这个点， 有确定大小和方向的量，叫做向量，或者是说叫矢量。 那么现在请各位开发你们的脑洞，把你们的脑洞开到最大啊。项链，这样子的项链是专门指在 o g 里的空间上的项链，也可以说这样子的项链，它是一种狭义的项链。 那么接下来我们要引入广义的向量这么一个概念，我们把这么一个向量管它叫做这个函数，就是说在某一些限定空间里面，一个函数就可以构成一个向量，一个函数 就可以构成一个向量，那么希尔伯的空间就是这样子的空间。我们把欧几里的空间里面的向量 对应到希尔伯特空间里面去啊，它就是一个函数啊，它就是一个函数，或者说一个函数在希尔伯特空间里面就是一个向量。好，好， 这是我们要更改的对于向量这么一个东西的第一个概念，那么波函数它也是一个函数呀，哎，波函数或者是叫太吧啊，它也是属于向量中的一种矢量， 也是属于希尔伯特空间里面的一个矢量，所以我们也可以管它叫做太矢量，因为波函数描述的是粒子运动的状态嘛，啊，所以呢，也可以管它叫做太矢量，或者你管它叫做波波矢量也可以，也可以， 但是我们习惯上面是管它叫做泰式呀。好，那么在量子力学中呢，我们用迪拉克符号去表示一个泰式。什么是迪拉克符号？这个东西就是迪拉克符号，这个东西也是迪拉克符号 啊，迪拉克符号一共分两个部分，它分为右使和左使。我们先来聊聊右使 啊，因为啊，括号那个单词不是 bracket 嘛，啊， bracket 正好有六个字母，然后，嗯， 中间切一刀，左边的这个 bra 啊，左边的 bra， 它代表的就是左使， 他被他代表就是左使，然后右边的这个 kit 啊，因为他在这个英文单词的右边嘛，所以他就叫右使啊。好，我们现在聊右使，右使，他叫 kit 啊，他呢，写法是写成这个样子的，中间这个表示一个这个， 嗯，那个那个波函数，它表示一个函数，然后右使呢，它又是一个列式量，列式量就是 g 一， g 二， g 三零点 g n 啊，就是跟这个一样的，它呢表示一个列式量， 在这个高中的时候我们去表示一个点，我们是不是横着写一斗二斗三？好，但是呢，到了大学之后，我们学了限行代数之后，我们表示一个矢量啊，我们表示一个点的位置是竖着写的 是一斗二斗三。那么在高中印象里的一斗二斗三表示一个点的位置，对应到大学里面就是竖着写的一二三。好，这两个你要搞清楚高中我们学的这个点的坐标，它长大了啊，它从横着的样子变成了竖着的样子了。 好，那么这个东西它就是类似于 o g 里的空间里面的那个点嘛，点一二三， 点一二三啊，它代表的是一个从零点出发，然后一直指向点一斗二斗三的一个矢量啊，点一斗二斗三的一个矢量， 那么这个矢量我们是不是可以写成，因为这个点它是一斗二斗三，那是不是它是在这个一再乘上 i 方向上的向量，然后再加上二乘上 j 方向上的向量，然后再乘上这个三，再乘上 k 方向上的向量。 所以那一二三这个东西，它又可以写成一，再乘上 i 向量，二乘 z 向量，三乘 k 向量啊。 i j k 呢？就是 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向的单位矢量。那么同样的， 在量子力学里面，我们表示一个列矢量啊，可以表示为这个 g 一 g 二 g 三 g n， 然后后边再分别乘以对应的系数啊，后面乘以对应的系数。我们之前不是学过所有的这个波函数，所有的函数它都是等于 啊 c n， 然后再乘上这个啊 g n 的 吗？ 然后那这这这里面它后面所需要承上的这个系数，它后面所需要承上的这个系数就是 g n， 然后这里面的 g 一 g 二 g 三 g 四，就是 c n， 然后这个 g 就是 这个大 f x。 我不知道这么说各位能不能懂啊？我们或者是直接把这个东西类似成欧几里的空间里面去，因为欧几里的空间，它是一个三维的这么一个空间，所以呢，它我们去描述一个点，只需要用三个数字就可以去描述。 但是在量子理学里面，一个波函数组成它的这个基呃，组，组成它的这个 这个小普塞，我们管它叫做基石或者是这个啊，本征的这么一个东西，就是组成一个大普塞，可以有很多个，可以无限个小普塞组成，那么这无限个小普塞恩， 这无限个小普塞恩，我们就可以把每一个普塞恩当成是一个，当成是一个 这个方向啊，当成是一个方向，当成是一个维度，每一个普塞恩，它就是一个维度。在欧式空间里面，因为维度只有三维啊，所以构成一个点只需要用三个数就可以表示。但是在量子熵学里面， 嗯，你想要描述一个波函数，它是由 n 个波函数，我们需要 n 维的信息才能去描述它， 那么这里面的 g 一 到 g n 表达的是每一个维度所对应的前面的那个系数啊，就是欧式空间里面的一二三， 那么这里面 g 一， g 二， g 三，一直到 g n 后面需要乘上每一个维度的单位向量，那么每一个维度的单位向量是什么呢？是普赛啊，是普赛一啊，普赛二啊，一直到普赛 n 就是 每一个定态包含数。 好，那么同样的左使啊，它表示一个行使量，它也可以表示一个拨函数的状态，或者说某一个函数的这么一个状态。 只不过呢，只不过啊，它一个是列式量，一个是行尺量啊，就是这么一个区别，一个呢是横着写的，一个是竖着写的，那么这里面的左使这个行尺量，它表达的也是这个每一个系数， f 一、 f 二、 f 三啊， 它也表达的是每一个维度前的这么一个系数，那么这个维度的每一个维度单位矢量是什么呢？同样的啊，也是普塞一、普塞二、普塞三，一直到普塞，恩啊，也是这个基矢啊， 好，那么我们在说完这个左矢和右矢这两个概念之后呢，我们就可以去说一说这个内基。因为 把一个行矢量再乘以一个列矢量这个东西，它不就是代表一个内积吗？包括我们在欧式空间里面，把，把一个向量，把一个一二三，把一个向量和另外一个向量 相乘啊，是不是等于这个 a 的 模乘 b 的 模呢？乘以这个 cosine ab 之间的夹角啊，是不是等于这个东西啊？那么同样的，同样的， 在这个迪亚克符号里面，我们去表示把两个向量相乘，是用这个样子去写的啊，是用这个样子去写的，是用左使再乘上一个右使啊，表达的是一个 这个行使量和一个列使量相乘，然后它乘起来，就是跟线段代数里面那个东西一样嘛，一个行使量乘一个列使量，不就是 f 一 g 加， f 二 g 加，一直加到 f n g n， 那么同样的，在 o g 里的空间里面，我们对两个向量进行标量乘法，最后算出来的数肯定是一个标量嘛，肯定是一个标量，那么在内积这里呢？我们在这个迪拉克符号里面，我们同样的做内积，用标量乘法最后乘出来的这么一个东西啊， 它也是标量啊，它也是标量，那么它是不是一个负数呢？它它它它它是一个负数吗？ 啊？还是说它只是一个实数呢？这个标量啊，它是虚数还是负数还是实数啊？这个我们马上就会讨论到，但是目前你只需要知道在这阿克符号里面，我们对左使和右使做内积啊，对两个这个 太使量做内积，最后得出来的肯定是一个标量啊，这一点和 o g 里的空间里面是一样的。那么那么我们 把这个左使，把这个左使和右使作内积，我们给他写成什么样子？就是这个形式，他永远只是代表着一个行使量，再乘以一个列使量嘛。那么对应在我们的量子力学里面，他有没有什么具体的代数 式的这么一个形式啊？有的，有的，就是这个样子，这个式子就等同于啊，左使乘右使，这个就是左使乘右使的定义式啊，这个是它的一个定义式， 那么从它的定义式里面我们就可以看出来，我们就可以看出来这里面的左使 f x f x， 它是一个复共讧的， 然后右使呢，它是一个 g x， 它是不会取负宫格的，这个我们在之前呃算一些题的时候就都已经这个知道了，对吧？所以虽然说左使这个迪拉克符号，这个左使里面这个 f 啊，这个 f， 它是没有带负宫格的， 但是实际上你要是把它展开写来看啊，这个东西它是带负宫格的。 所以说虽然在左使这个里面，在，在这样左使乘右使的符号里面，你是不知道啊，这个负宫格这个符号是在哪里的，但是呢，他确实是有一个负宫格，而且我们定义前面的这个 f 啊，他一定是带负宫格的，他一定是要做一个负宫格变换的。 那么有了这个定义之后，我们就可以知道，如果我们对整个式子再加上一个负公讷的话啊，那他的负公讷就是他本身，那他的负公讷就是这个东西，就是 g 的 负公讷。那么按照左使乘右使的定义 啊，带负公讷的我们都要写在左使里面去，所以这个式子我们就可以写成这个样子啊，那么这个式子它就等于这个式子 好，那么它最后的这么一个结果是什么呢？就是说如果你对左使乘右使这个东西总的再乘上一个负功，额，那么就是让两个啊，两个函数，或者说是两个矢量，它的位置交换，两个矢量的位置交换好， 那么那么啊，一个太始，一个太始在乘以自身的内积，根据我们刚才给出的定义式，不就是这个 f x 的 负公格，再乘上 f x、 d x， 那 么这个式子是不是，是不是就是， 是不是就是这个东西啊？这个东西他不是那个磨平方吗？啊？他不是皈依化的那个式子吗？所以说一个太始与自身的内积啊，他一定是一个有限值。我，我在这里为什么不说他直接等于一呢？ 因为啊，因为一个泰式啊，他最后算出来的肯可可能不为一。包括我们之前在讲归一化的时候也说过了一个函数，他的归一化他不一定是一，但是我们可以通过增加这个归一化系数去让他变为一，那么前提是 那他和他自身的内积一定是一个有限制，我们才可以好去设置这个归一化系数吗？那么， 那么啊，我们在了解了这个一个钛石与自身的内积之后啊，我们就可以知道所有满足这个函数 f x 的 集合啊，它就可以构成一个限性空间，就是所有满足 以钛石与自身的内积为一个有限值的这个集合， 他就可以构成一个线性空间，然后我们叫这个空间叫做平方可极空间，也把这个空间叫做希尔伯特空间。 好，如果说刚才我讲的那么一大堆，你都听的不是很懂，没关系，没关系啊，其实刚才我讲那么一大堆，你，你，其实你，你不用听也，也可以的，也可以的啊， 重点是我刚才讲那么一大堆，你要在脑子里面建立一个明确的概念，希尔伯特空间 就是由波函数组成的空间，因为所有的波函数它都是满足归一化的，它，它和它自身的内积一定是一个有限值啊。这个时候肯定有同学问他，自由粒子那个定态波函数为什么不满足归一化？ 因为我这里所说的波函数啊，大菩萨，是，是啊，是描述这个例子的菩萨，恩啊，是描述这个例子的波函数是定态波函数的限性叠加。 好，那么这个东西他一定是可以归一化的，因为有波包这样的一个物理模型的存在。所以说什么是希尔伯特空间，就是所有由波函数 构成的空间叫做线性空间，因为啊，所有的波函数它都满足这个规划嘛，所以我们要管它叫做平方可积空间。 好，到这里你一定要停下来问问自己，你到底理不理解希尔伯特空间？它是由什么组成的空间 啊？是由波函数组成的空间。那希尔伯特空间里面的矢量是什么？是组成的？组成这个空间的元素就是这个空间的矢量。 那么组成希尔伯特空间的元素是什么？是波函数，所以波函数就是希尔伯特空间里面的矢量， 所以波函数普赛就是希尔伯特空间里面的史量。这就是为什么我在最一开始就说，你可以把这个欧几里的空间就当成是你，你可以把希尔伯特空间就当成是欧几里的空间，只不过只不过 把欧几里的空间里面所有的向量，全部，都把所有的向量全部都当成波函数普赛去理解。你就可以把希尔把 o g 的 空间当成是希尔伯特空间，或者说把把希尔伯的空间就当成是 o g 的 空间，它们两个之间唯一的区别就是你对向量的理解，就是你对向量的理解。 好，那么嗯，我，我说完这么多之后，你再回头，再回过头去看这个左使右使，再回头去看这个左使右使啊，你就会看的非常的明白啊。当然这一部分确实啊，确实非常的抽象，非常的抽象。我也是 啊，听了很多很多课，然后在 b， 在 b 站啊，在抖音上面啊，听这个蓝老师讲，我我我听蓝老师讲，讲完之后我听不懂，然后我上 b 站上面去搜那个限性空间的一些动画演示啊，去搜这个限性代数的动画演示， 然后我也是自己学了很长时间才能懂。所以这节课你不要指望听我一个人讲，听我 讲一遍，或者听我讲两遍，你就能听懂，这个是不可能的事情，你要自己课下去多查资料，你需要自己课下去多自学，你才能把这节课听懂啊。这节课干讲， 我觉得有百分之九十的人是听不懂的，除非那些经过专业数学训练的人知道我这个在胡言乱语一些什么概念，他可能能听得懂我，我所要表达的意思是什么。 但是啊，各位现在还不知道希尔顿空间到底是一个什么东西，所以你直接干听我讲你，你可能只是把各种各样的专有名词给理解到了， 那么理，理解到了，就是你知道有这么一个专有名词之后，你不知道它是什么意思，没有关系，你上这个抖音，上 b 站去搜对应的专有名词它到底是什么意思，或者是说它的一个动图的演示，可以更加的方便你去理解。然后当你知道这些这些这个专有名词的 概念，知道这些重要名词的意义是什么的之后，你再回过头来听我讲，你会有一种豁然开朗的感觉的啊，是会这样的。好了，那么这个 说的已经够多了，然后我在这个接着往下讲。好，如果说，如果说两个函数，或者说两个这个太始，他们的内积为零 啊，他们的内积为零，也就是这个左使乘右使等于零。什么是左使乘右使等于零呢？我们把它写成积分的形式啊，把它写成积分的形式， 就这个玩意，这个玩意等于零啊，那么那么我们就称这个太使和这个太使是正交的。 那么在对应的 o j 里的空间里面我们也学过嘛，就是 a 向量乘 b 向量，就是两个矢量的内积，不就是 a 向量乘 b 向量，再乘以这个啊， a a 的 模乘 b 的 模，然后再乘以这个 a、 b 向量之间的夹角嘛，不就是这个东西嘛， 对吧？那么当它们两个是垂直的时候，当它们两个是垂直的时候，这个 cosine a、 b 之间的夹角是九十度，那么 cosine 九十度就是零嘛， cosine 九十度零，那么两个在 o g 里的空间里面，两个向量内积为零的时候，就是两个向量之间夹角是九十度的时候啊，那么我们管这两个向量不就是正交的吗？ 啊，那么同样的，如果两个向量在欧，在这个线的空间里面，如果两个向量，两个函数它的内积为零，那我们就称这两个泰式也是正交的啊，也是正交的。 那么同样的，同样的啊，如果说这这这两个函数它的内积为一啊，就是这个， 这不就是满足皈依化了吗？满，那那么它我们就称它是这个皈依的，我们就称它是皈依的。好，那么如果说，如果说一组函数，一组函数，它们彼此是正交的，然后呢，它们每一个又都是皈依的， 就比如说这个样子，就是就是，什么意思呢？就是，嗯嗯， 我们把所有的函数都看成了矢量啊，每一个每一组矢量，就是如果有一组矢量，它们之间每一个都互相垂直啊，它每一个都互相垂直，在 o 极里的空间里面就是 x 轴、 z 轴、 y 轴嘛， 那么像希尔伯的空间，它是一个更高维度的空间，所以呢，所以它肯定也会有除去 x、 y、 z， 它可能有第四个维度和它垂直，可能有第五个维度和它垂直，可能有第六个维度和它垂直啊，可能有 n 个维度和它垂直。 那么这每每一个，因为，因为这个这个这个这个线轴的空间，它是一个高维空间，它是一个高维空间，这个确实挺挺抽象的，那么我们就把它简化成只有三个维度，跟欧式空间一样， x、 y、 z， 那 么 z 轴它肯定是和 x 轴和 y 轴都垂直嘛，那那 z 向量肯定就和 y 向量和 x 向量都是正交的， 那么这个就是第一句话的意思。那么第二句话的意思是什么？每一个都是归一化的啊？什么叫每一个都是归一化的？就是 z、 z 轴乘以它自己就是 z 的 单位向量，再乘以它自己的单位向量，不就是 z 的 摩长吗？ z 的 摩长肯定是一啊。所以说啊，第二句话就是这个意思，就是这个意思。 那么给它写成这个希尔伯特空间，或者是这个量子粒子里面的这么一个语言是什么呢？就是 fm 啊和 fn 啊，等于这个，这个是这个克罗纳克记号嘛？等于这个东西成这个 m、 n， 这个克罗纳克记号，我记得我们之前讲过，我们之前讲过，那我们把这个尖尖角给它扩展成这个这个啊，积分的形式， 给它扩展成积分的形式，不就是这个样子吗？那也就是说，也就是说啊， 克罗内克记号是当 m 等于 n 的 时候，当 m 不 等于 n 的 时候为零，当 m 等于 n 的 时候为一，那么当 m 等于 n 的 时候，它正好就是满足规划的那个东西，那么当当 m 不 等于 n 的 时候， 它为零，也就是说啊，它这个 f m 这个矢量和 fn 这个矢量做内积，最后得出来的结果是零。做内积得出来的结果为零是什么意思？就是 f m 这个矢量，它是垂直于 fn 这个矢量的， 它是垂直 f n 这个选项的，也就是说 f m 和 f n 是 正交的啊，是正交的。所以我们又相当于又把这个迪拉克符号又给各位用这个限性代数，或者说用这个限性空间，或者说用这个希尔伯特空间的概念又给各位又重新讲了一遍，那我们就称 这一组函数是正交归一的。那么我们既然已经提到一组函数了，那我们不妨再深入一点啊，我们来聊一聊这个完背性。 什么叫完背性呢？什么叫完背性？就是它的这个学术上的定义啊，就是说，如果说希尔伯特空间里面的任意一个函数 f x 啊，都可以用该空间的一组函数 g n x 叠加表示，那么称这一组函数 g， n x 是 完倍的啊，是什么意思啊？是什么意思？也非常的简单，我们用 o g 里的空间做类比啊，同样的 x 轴， y 轴、 z 轴， 那么在 o g 里的空间里面任意一个函数，呃，因为希尔伯特空间里面的任意一个函数 f x 希尔伯特空间里面的函数就是矢量嘛，那对应在 o g 里的空间里面，就是在 o g 里的空间里面的任意一个函数，任意一个函数，呃，任意一个向量，任意一个向量，比如说这个向量向量 a， 可以用该空间中一组向量叠加表示。什么叫一组向量叠加表示？就比如说这个 a 向量，肯定是，呃，肯定是这个多少倍的 i， 再加上多少倍的 j 向量，然后再再再加上多少倍的 k 向量啊，肯定是这个样子的，这个就是 这个，就是叠加表示啊。因为 a 向量可以由这个 x 方向上的分量，再加上 y 方向上的分量，再加上 z 方向上的这个分量去叠加表示。 那么我们称 x、 y、 z 这三个向量，这三个矢量是满倍的， 那么在 o g 里的空间里面， x 轴、 z 轴， y 轴就是完倍的。什么叫完倍的？就是你通过 x 向量、 y 向量， z 向量这三个向量，可以描述出这个空间里面任意一个，任意一个 这个向量它的大小方向。你可以通过这些最基本的向量描述出这个空间里面任意一个向量，任意一个元素的数值，它的大小，它的方向，你可以把它描述出来，我们就管这一组最基本的向量 是完倍的，我们也管这个，呃，这这么一组向量是完倍的。好，那么同样的对应到这个希尔伯特空间里面来，对应到量子力学里面来啊，如果说，如果说 这个函数大， f x， 它呢？可以由 g n x， 这是一个基矢嘛？ g n x 啊，它可以由这个前面是一个这个系数，那它可以由这么一个东西啊，再乘上 g n x 去表示啊，去叠加表示，那么就说明，就说明 g n x 在 这个空间里面的作用，就跟欧式空间里面的 x 轴， y 轴， z 项链， y 项链， z 项链， i 项链，或者说 i 项链， j 项链， k 项链 啊，跟这三个的作用是一样的啊， g n 的 向量跟啊 g n 这个的作用跟这个 i j k 这三个向量的作用是一样的。然后 f x 在 这个式子里面的意思是什么呢？就是跟 o c 里的空间里面的这个向量， a 到 b 到 c 跟 这个向量的作用是一样的，是一样的。只不过啊，你可以把希尔伯特空间理解成更高维度的欧式空间。 然后呢，只不过这里面的这个啊，竖轴啊，只不过这个 x 轴， y 轴， z 轴啊，在希尔伯的空间里面，他有他是 n 维的空间，他是 n 维的空间啊，所以呢，他需要有 n 个这个东西去叠加表示。好， 我，我不知道到这里各位能能理解多少啊？反正这一节课确实非常的抽象，你你你这个确实需要多上网查找资料，然后把各个这个资料点串起来，你才可以去理解。 好，那么那么我们之前是不是讲过这个 c n c n 它也可以用这个样子去去表示出来？那我们之前也讲过 c n 的 含义，就是当我们去测量一个例子的时候，当我们，当我们去测量一个波函数的时候啊， 假如说这个波函数是由 c 一 普赛一再加上 c 二普赛二就构成的，那么 c n 的 意思呢？就是说你测量这个波函数测得为 普赛一的概率是多少？你测量普呃，这个函数测测量为普赛二的概率为多少？那么这个 c n 它代表的是你测量这个粒子的概率是多少。 那么我们或者换一句话说，换一句话说，就是你测量这个例子里面啊，这个 c n 代表的意思就是说这一个包含数里面有多少个菩萨一啊？这一个包含数里面有多少菩萨二？ 好，那么明白这一点之后，我们来看这个 c n， 它用这个我们现在学的希尔伯特空间的语言表达出来是什么啊？是啊， g n 和 fn 的 内积啊，我们给它用啊，还是同样的，我们用这个 o g 的 空间里面的这个，呃，这么这么一个概念去做类比啊，去做类比 啊， g n 它是一个向量吧， fn 它也是一个向量吧。那么我们之前在那个，在，在高中的时候是不是讲过， 假如说这个是 f， 这个是 g n， 那 么啊， 在 o g 里的空间里面，两个向量作内积，是 a 的 膜，再乘上 b 的 膜，然后再乘上 cosine ab 之间的加角嘛？再乘以 ab 之间的加角啊，再乘以 ab 之间加角，那相当于是这个 b 在 a 上的投影嘛。 那么这里面 f 向量和 g n 向量它们之间的夹角。假如说这个东西，那么 f 再乘以这个 cosine c 大， 因为做内积的话，不就相当于这个 g n 向量的模，再加再乘上这个 f 向量的模，然后再乘上 cosine 这个 g 和 f 之间的夹角嘛？啊， 那么 f 再乘以 cosine c 的， f 乘以 cosine c 的， 相当于是这一片啊， 相当于是这一片就是 f 在 g n 上的投影的多少？ 又因为又因为 g n 它是一个基石啊，它是一个基石，基石的意思是什么呢？就是单位矢量啊，因为 g n， 它又是一个单位矢量，所以说，所以说， 所以说 f 这个东西在呃，乘以 cosine c， 它就相当于是说 f 向量在 g n 这个方向上，它投影的长度，或者是说 f 这个东西在 g n 这个方向上的多少 好，嗯，我，我觉得我我讲到这里各位应该应该已经听迷糊了，但是啊，你这个这个时候就需要你自己去拿出笔，自己去好好的算一算，自己去好好的理解理解好，那么 所以说 c n 它也可以写成这个样子，它它的意思就是说什么呢？是 f 投影在 g n 这个方向上的多少？ 那么包括这个啊，波函数嘛？波函数它是由，嗯，很多个这个这个定态波函数给它叠加而成的啊，给它叠加而成的。那么 那么如果我们用这个这个语言去理解里面的 c 一 的话是什么意思呢？就是说，就是说啊，大普塞投影到小普塞一这个方向上， 它的长度啊，它所占的多少？就是 c e 啊，就是 c e。 好， 我感觉我说到这里这个，哎呀，感觉我我我我已经说力竭了啊，也也不知道有有没有给你们讲懂啊，这个东西确实非常的抽象，这个 如果你们听不懂，一定是我讲的问题，因为我不太擅长把脑海里面抽象的概念用具象化的语言给表达出来，能表达成这个样子已经是我的极限了，所以这节课，呃，我也不打算加倍速啊。各各位，这个需要好好的去理解，好好的去理解 好，那么我们也说完了这个这个力学量算符好，力学量算符又是什么东西呢？ 啊？我们之前是不是学过了一些这个力学量算符啊，包括力学量的期望值啊，他所表达的式子就是这个样子的，就是这个样子的， 那么所有的力力学量的期望值他一定是一个实数啊，这个不用我多说吧，因为我们去这个测量一个物体的 测量一个例子，他的位置坐标啊，测量他的动量大小，测量他的能量，他的能量多少，你不可能测量出来是一个虚数吧？ 啊，他都是有有一个确切的数值的啊，所以力学量的期望值一定是一个实数啊，这个各位肯定都懂，对吧？那么力学量的期望值他又可以写成这个样子吗？他又可以写成这个样子，那么我们用这个迪拉克符号表达出来，就是 就是这个样子啊，就是这个样子，因为算符，它永远只跟它后边的这个函数发生作用，所以呢，我们可以把这个东西给它变成这个样子。好，那么那么 现在精彩的操作就来了啊，因为这个 q 呀，这个 q 它是一个期望值， 而且呢，它还是一个实数，它是历时量的期望值，它还是一个实数，所以历时量期望值的负共额，也就是 q 的 期望值的负共额是等于它自身的实数的期望值肯定等于它自身嘛，所以这个式子就成立了。 那我们刚才是不是已经知道了？知道就是用迪拉克符号，你，你对这个东西加一个复过额，相当于是相当于把这个前后的前后的顺序，前后这个罕罕受的顺序进行一个颠倒呀，进行一个颠倒， 那么那么也就是说这个东西你给他加一个负共讷啊，等于这个东西啊，就等于把这个前面的函数和后面的函数进行了一个颠倒，进行了一个颠倒啊，那么 那么那么那么这个式子啊，自然也就成立了啊，这个式子自然也就成立了， 那么我们会发现，我们会发现这个里面的这个 q 算符呀，啊，这个里面的 q 算符，它呢？它呢？嗯，在结果上来看，在结果上来看，相当于是说把这个 q 算符移到了前面，这个，这个啊，移到左使里面去了， 但是这个 q 算符很惊讶，它居然没有任何的变化啊，它居然没有任何的变化，所以我们管这个样子的就是 q 算符， 这个，这个，这个算符从右使挪到左使，没有任何变化的形，满足这个式子的算符，就把这样的算符叫做 阿米算符啊，这样的算符他就是阿米的，当然这个并不是，他的定义是，只是阿米算符一定满足这样的式子，只是一定满足这样的式子。那阿米算符他更加严格的定义是什么呢？啊？就是说 一个算符啊，他的厄米共厄等于自身。我们之前是不是学过负共厄这么一个东西啊？负共厄是不是这个就是把算符里面所有的矮都变成负矮啊？把所有的负矮都变成矮， 对吧？这个就是负厄。那么厄米共厄是什么东西呢？厄米共厄的符号啊，我给各位写在这里啊， 厄米公厄就是一个 q， 然后上面再再再再加一个，这个，这个负啊，负共厄是 q 上面再加一个星号嘛？那厄米公厄就是啊，算符的右上角加一个短键一样的标志啊， 我们管它叫做 dagger， d i j j e r dagger 啊，形容这个样子的，我们就管它叫做厄米公厄。 那么厄米共厄它的操作步骤是什么？厄米共厄，它就是转质加负共厄，为什么要转质再加一个负共厄呢？因为因为 左边是一个行矢量，右边是一个列矢量，这个是我们定义迪拉克符号的时候就已经知道了的。那么当我们把作用于 这个作用于列矢量的这么一个算符给他移到行矢量上面去，肯定要先加一个转制嘛，因为转制就是把行变列变，把列变行，那么 因为右矢是一个列矢量，我们要把一个列矢量的算符移到行矢量上面去，肯定要先对这个算符加一个转制呀，让它变成一个行矢量的可以作用在行矢量上的算符，我们才能把它和行矢量结合到一块。那么 为什么还要加一个负公讷呢？因为因为左使里面的所有的函数一定是带负公讷的啊，这个也是我们定义出来的，左使里面的函数一定是要带负公讷的，一定是要带负公讷的。所以当我们把右使作用于右使的一个算符， 作用于右矢的一个列向量的算符给他移到左矢里面去。首先我们要先把作用在列矢量算的算符变成一个行矢量，同时我们把这个呃 呃把这个算符变成行矢量，也就转制了。之后我们呢要对他再进行这个复过额，才可以把它放到左矢里面去。那么 我们把一个算符转至加负共厄，或者说把一个算符负共厄再转至的这么一个操作啊，这这两步操作，我们给他这个压缩到一块，就是这个 dagger 符号，也叫厄米共厄。 那么恶米算符的严格定义就是说一个算符他的恶米共恶等于自身，或者说这个算符他转制加负共恶之后，还等于他自身还等于他自身。 好，当然我我我说的这前前提的一切的一切都是说这个算符啊， 都是说这个，这个算符啊，这个算符它是一个，它是一个矩阵啊，它是一个矩阵，包括后后面我们肯定也会知道这个其，其实刚才你们听的时候就就就已经明白了吗？就是，嗯， 和这个行时量，或者说和列时量能够去这个进行作用的，和行时量和列时量能够作用的肯定是一个算符啊。肯，呃，也也不能说肯，就是我整理一下语言啊。嗯， 一个行时量和一个列时量算符一开始肯定都是作用于这个后半部分的，那么当算符作用于一个列时量的时候， 有两种可能，第一，这个算符，这个算符它是一个数，它是一个实数。第二，这个算符它是一个向量啊，它是一个。呃，它也是一个矩阵，它也是一个矩阵的形式。 那么同样的啊，这个实数嘛，我们可以给它写成这个单位矩阵，就是 a a 再乘上单位矩阵 e 嘛。啊，所以呢，我们其实也可以把实数就给它当成是一个单位矩阵。 好，那么为什么？为什么？为什么这个 q？ 为什么这个力学量算符它一定是讹米的呢？因为力学量算符它是一个实数啊， 一个实数它的转制还是实数啊？一个实数它的复共讷还是实数啊？所以一个实数它的转制加复共讷还是实数呀？也就是说这个呃力，因为力学量算符 啊，它它种在这个菩萨上面，它它其实就是相当于是一个这个期望值种在菩萨上面了嘛。啊？所以 你从哪方面理解这个利息上算符？ q q。 一个小帽子这个东西，它也都是一个阿弥陀佛嘛，它也都是一个阿弥陀佛，它都等于它自己啊。 好，那么剩下这两道证明题啊，一道呢是正这个动量算符为厄米算符，这个啊，第一步毕竟有难度，但是后面就就没有难度，所以我打算把各位啊，帮各位把第一步给说一下，把第一步给说一下 啊，我们要去正一个算符，我们要正一个算符，它是一个厄米算符。 那么也就是说，也就是说啊，阿米算符他都满足这样子的式子嘛？都满足这个样子的式子。 那么同样的同样的啊，动量算符，如果我们要证明他是阿米算符的话，动量算符也要满足这样的式子，也要满足这样的式子。那我们把左边这个式子拆开来一些，就是写成这个样子了，就写成这个样子了。然后下一步啊，下一步 啊，各位同学可能有很多这个积分，这个积分就不会积了啊，积，这个我给各位写一下它的一个啊，细节一些的积分吧，就是这个东西 不就可以写成这个样子吗？然后这个 iih 一 八，它是一个，它是一个敞亮，我给它提到积分方外面去， 好，就可以写成这个样子。然后很多同学后半部分这个东西不知道怎么算了，不知道怎么算了，在这里呢，我给提供两种方法，一种是严谨的方法，一种是不严谨的方法。不严谨的方法呢？就是就是 把 p x 和 d x 约掉啊，就直接给约掉，那么整个式子就变成了父爱 he 吧这个东西，然后敌意不菜啊，就变成这个样子，然后你对这个式子接着用分布积分法，然后你，你把这个东西一积，然后最后积出来的那个形式再用，再用那个迪达克符号 再重新写一遍，就能写成这个样子，就可以证明这个等式成立啊。这个是不严谨的方法，就是把这俩东西一约好。那么严谨的方法是什么？严谨的方法就是啊， 在这个符合函数的求导法则里边，我记得宋浩我之前讲过一个，这个叫叫恋式法则。这么一个东西啊，就是说如果我们对一个符合函数去求导，如果说我们对一个符合函数，比如 这个东西，我们对这个东西进行求导，我们要这个就是先要去求它的外层导， 然后再去乘上它里面的这个导，好，那么那么在量子电学里面，这个小普赛小普赛 x， 它也是一个复合函数，你可以把它理解成是包含了位置 x 的 这么一个函数， 那么你用符合函数的求导法则，你对这个式子进行求导啊，你对这个东西进行求导，那是不是先对外层函数求导，那就是啊 def x， 再对内层函数求导，那就是 dx， 对 吧？所以说，所以说啊， 所以说你对这个小普赛 x 求导，就等于这么一坨啊，这么一坨就正好是这个东西， 就就正正好这个东西嘛，正好是这个东西，那你对普赛求导，数学语言表达出来不就是 d 普赛嘛，啊，所以这个东西，这个东西啊，它就等于，等于，这个东西， 就等于这个东西啊，这个是比较严谨的、比较规范的数学思路。但是， 嗯，你直接把这个约掉也不影响，你按照这个想也可以，也没问题，但是省时间的话，你直接把它约掉就可以了。这个是比较严谨的这么一个数学思路。在在考场上做题的时候，你你，你总不能 这玩意再再推一遍吧？对吧？没必要，没必要。好，那么这道题的结果肯定是可以把这个东西给正出来的嘛，因为动量算符他一定是阿米算符。好，那么第二个证明这个东西他是阿米算符吗？同样的，我们还是用这个式子， 我们去证明这个等式成不成立就可以了。然后我们还是从左边开始算，然后从左边开始算的时候啊，算到最后是不成立的，因为他们两边差了一个符号啊，差了一个符号，所以这个玩意啊，他不是阿米算负。 好，那，那提到这里，提到这里，我们之前是不是学过这个升阶算负和这个降阶算负？学过这两个算负， 那么我们这个在上一节课的时候，在上一节课的时候，我们把升阶算符。这个，呃， 我我们有很多次操作，就是把升阶算符，或者说把降阶算符移到前面去吧，移到前面去，我们就直接给它变成降阶算符了，对吧？所以，所以 升阶算符和降阶算符，他也不是恶米算符，但是他们互为恶米共恶啊，他们互为恶米算符，但他和他本身不是恶米算符。那么对于升阶算符和降阶算符，或者说是产产生算符和湮灭算符，我们 有一个名字叫做反厄米公额啊，我们称这个升阶算符是降阶算符的反厄米算符，降阶算符是升阶算符的反厄米算符啊。好，这就是一个这个啊，小的补充的知识点吧， 然后这个这个这个哦，就就就只剩这么一点了。那我们再来聊聊这个这个 本征方程。好，本征方程，什么叫本征方程呢？本征方程啊，就是说啊，我们之前不是说过这个量子物理里面有很多这个菩萨的东西，有很多大菩萨的东西， 有很多大普赛，它是由很多的这个 c 一 位的小普赛，然后 c 二个小普赛二， c 三个小普赛三，有很多这个东西组成的嘛。然后我们去测量这个大普赛的时候，可能会出现普赛一对应的质，可能会出现普赛二对应的质，也可能会出现普赛三对应的质。但是 量子熵学里面有一些特殊情况，就是你测量某一个量，它会对应着一个确定的值，比如说，比如说我们测量定态波函数的能量，我们就可以得到一个确定的能量 啊，这个就是我们之前学过的这个东西嘛，就是哈密多三伏啊， 再乘上这个东西，再乘上这个东西啊，当我们去测量这里面的普赛的时候，我们测量的肯定是一个这个确定的能量啊，这个也是定态波函数那个定态的定义吗？定态的含义不就是说有确定的能量吗？就是你怎么测量它，它肯定都是一个确定的， 那么同样的，那么同样的啊，当我们测量这个能量，它是一个确定的力学量的时候， 也就是说啊，我们测量值和我们这个平均值的方差为零，也就是才才能够确确定这个，这个才能够测得这个确定能量嘛。然后呢， 方差为零的这个式子啊，是是是写成这个样子的，是写成这个样子的，那么方差为零这个式子是成立的，那么这个式子怎么又推导到下一步了呢？嗯， 就是我们把这个 q 的 期望值啊， q 的 期望值变成小 q 了啊，就变成小 q 了，那么这个东西 的期望值不就是大普赛，然后中间一个算符，再成一个小普赛吗？就是求求一个那个利取量的期望值的那个式子吗？所以这一步啊，就可以推导到这一步。 好，那么推导到第二步之后呢？推导到第二步，因为 q 算符，它是厄米算符，然后小 q 呢，它又是一个实数，所以 q 算符，厄米算符，再减去一个实数，这个东西它还是厄米的，那它肯定也是厄米的， 那么也就是说我可以把它这个，因为它是 q 算符，减小 q 的 平方嘛，我们就可以提一个到前面来，提一个到前面来，就变成这个样子吧，就变成这个样子，然后， 然后啊，因为我们要让这个方差为零嘛，或者说我们要证明这个式子，这个式子它的方差为零，下一步该怎么办？我们把它写开啊，我们把它写开 啊，不是啊，是哦，我们已经知道这个方差为零了，我们已经知道这个方差为零了，那么把它写开的话，不就是这个 啊，这个东西再减去 q 普赛，要保证这个式子为零吗？就是保证前面这个东西为零，或者保证后边这个东西为零啊，整个的式子才可以等于零。那么也就是说这个东西他要是等于零的，那这个东西等于零的话，那不就是这个方程了吗？ 然后我们就管这个样子的方程，我们管这个样子的方程叫做本征方程，为什么管它叫做本征方程呢？因为当我们测量这个方程里面的泰函数的时候，测量这个力血量算符的期望值的时候，我们往往只能 只能得到一个值啊，只能得到一个值，所以我们就管它叫做本征，就是最基本的，最有特征的 这么一个值，这么一个方程，我们就把它叫做本征方程。那我们最熟悉的本征方程就是这个样子了嘛，就是哈密顿算符，然后再乘上普赛呢，等于 e 普赛这个东西就是一个最基本最基本的本征方程。然后下面的下面的这三个，这三个 这个公里啊，第三个证明题是不需要证的。然后后面这两个东西后，后面这两个东西的证明非常的简单，然后各位看我写在这里面的证明过程就可以了，先写看看我写的这个证明过程就可以了。 然后这节课各位同学下课之后一定要好好的，好好的去这个理一理，好好的去顺一顺。这节课的抽象程度非常之大，如果你这节课听不懂的话，那后面也听不懂，所以这节课你可以停下来花个三五天啊，上网上找找资料啊， 然后看看这个各种各样的动图演示，都是可以的，都是可以的。好，那么这节课呢，就讲到这里，各位同学一定一定要课后再多去查一查资料，多查找查找各个专有名字的这个含义是什么，你才能把 这节课就先到这里，各位同学这个好好查资料，好好努力。

在这里，你随意地输入，部门就会自动筛选出对应的信息，任意的组合查找都可以。这种多条件联动筛选，这个函数必须排得正号，在单元格输入等于号 field 函数。第一个参数，数组框选全部的数据区域。 第二个参数包含的条件有三个，我们插入一个 countif 函数，条件区域为上面三个条件。 第二个参数，选择全部的部门信息逗号。第三个参数，英文双引号表示，如果查找不到时，显示为空值，补齐括号按回车，什么都没有，因为我们的条件是空的。现在输入条件一，比如行政部，行政部对应的数据就会出现啦。 再输入第二个条件，财务部条件三，比如销售部。任意的组合查找都可以，你学会了吗？记得点点关注哦！

你看到的是筛选，但真正控制整张表的是一和零。左边是数据区域，右边是筛选条件。今天我们不操作结果，我们直接定义规则， 输入 countif 函数。这个函数的逻辑很简单，用上方的三个条件去检查并列每一个商品。如果匹配返回一，不匹配返回零。现在我只写了苹果， 你看所有苹果都显示一了，我再加上香蕉和橙子，只要出现在条件里的，都会变成一。这一列一和零才是真正的筛选核心。因为在 excel 里， e 等于成立，零等于不成立， 它可以作为筛选条件镶嵌到 filter 函数中。 filter 有 两个核心参数，第一个参数数值可以理解为数据来源，所以选择我要返回的区域。 第二个参数包括它等于筛选规则。而我们刚才写的 function 函数正好生成了一列一和零，显示一的行被保留，显示零的行被过滤。如果你想学的是逻辑，而不是零散的小技巧，这个系列可以一直看下去。

巧用高级筛选，大家好，今天是我学习 excel 的 第十二天，然后今天的话我们来查漏补缺一下，学习一下高级筛选。 高级筛选的话，我们平常在表格里面都可以看到这个筛选这个按钮，但是我们其实如果比如说这有四个问题的话，其实我们是可以通过高级筛选来找到的，然后也可以对比一个数据核对的问题。 现在先看一下这个操作，就是同行的话，这个是同行表示，且然后不同行的话就表示货。然后现在先看第一个问题，就是筛选出乙方和张颖的数据，乙方和张颖的话他们是雇员，所以这里要把雇员给复制在这里，雇员乙方和张颖， 李芳和张宇的数据，这个条件暂时不要，我们的条件在这里，然后我们点击这里的高级筛选，高级筛选是在原有区域显显示筛选结果，他的列表区的话就是这里 这一些，因为我们是要看整个表的一个查找整个表吗？所以我们当然要把这个表给扣起来，这个就相当于是一个大概的范围，然后我们的条件的话就是这样， 好，我们点击确定，如果这里复制到其他地方的话，我们可以点击这里，点击这里的话就会复制到，那么它筛选的结果就会显示到这里，但是我们也是一般都会选择在原有区域显示，所以我们现在这里 点确定，这样就出来了，李芳和章鱼的这个两个表示不同表示，或就是它有两个， 就是因为我们雇员要求两个嘛，所以要在不同行显示出来，然后这个里的第二个问题是筛选出里方的数据和张颖的总价高于一百的里方的数据和张颖总价高于一百总价，我们把这个条件选上，高于一百，这里要切换到英文，按 shift 再按大于键大于一百。 好的，然后我们再把这个筛选进去呢，再来一个高级筛选，高级筛选的话还是把这个区域给选上，然后他的常规条件区的话，就是这个条件区要把这个区域给选上，确定大于一百，总价大于一百的 你方或者张盈这个你方，因为他没有说我们的总价要大于一百，所以你看可以看到这里有九十五点七六的， 这是第二个问题。然后这个是第三个问题，筛选出李方和张颖，李方和张颖货总价高于一百，货总价高于一百，那么不同行是表示货的，把这个总价移到下面这个位置。 好的，我们我要把这个筛选给清了，我们点击下这个筛选，然后再选高级筛选，列表区的话是 s 包浆总是默认这个区。 好的，这样选中了，然后他的条件区域就是条件区要给改一下，要改成这个区域。好的，点击确定，这样就筛选出来了。乙方和张莹， 好不好意思，刚刚把问题给弄了，然后我们再来弄一次，把它复制到其他的地方吧，这样我们好筛选出来看一下， 那我们可以看下，我们第三个是查找李芳和张颖，李芳和张颖，李芳和张颖的数，然后再就是一个总价要高于一百的，可以看到这个总价是不是可以选择数字筛选大一百， 那你就买了，可以把这些标一个颜色，这个是我们买我们第二个条件定价高于预料的。然后我们再来选择蟑螂 和李芳，如果这个表全部都被标成红色了，那么的话这个表筛选的就是对的 黄色，可以看到这个都被筛选出了都是黄色的了。然后第四个是找出李芳和张颖销售牛奶的订单，牛奶的话，他因为他是涉及到一个产品，那我我们肯定要把产品复制到这里，好的也是牛奶，我们把这个删除掉， 嗯，不可能也是好好的。我们再点击这个筛选，高级筛选还是复制一下结果，把它的这个列表在这里，然后它的条件区域的话是在这里 覆盖的话放在这里吧，放在电子圈里，这样就可以看到有三条这个数据了，是这样是这样的一个结果，同样的我们可以用这个条就是高级筛选来做一下数据核对。比如说两个人都有交给你表格的话，那么你怎么区分这两个表格中不一样的地方呢？ 因为高级筛选其实就是他有一个条件区域，如果我们这是第一个表，这是第二个表，如果我们把第二个表参照一个条件的话，那是不是就可以求出一里面和二重复的内容？所以我们现在可以先筛选，不好意思，点错了点高级筛选 在原有的区域显示结果，我们的列表区就是这一个区域，然后条件区的话，条件也就是对照组，我们用这个对照组来对照 选择确定，那么这一些显示，我们把它标个颜色，标成一个黄色，这个黄色的话就是二，这个表里面一定会有的，就是一模一样的，同样的我们点击一个筛选了之后， 然后我们再把这个二作为一个范围组，把一作为一个条件组来对比一下。好的，我们点击这个点错了，不好意思， 我们来点击这个高级筛选，然后他的列表区的话就是这一个表区， 然后条件区的话我们要以这个为条件，那这一些的话就是重复的，我们再把它标成黄色， 如何去掉这一些筛选，我们可以这里点击全部显示，这样就出来了，那么可以看到这个牛奶十二十二十立方，这两个区是不一致的， 然后这个番茄酱的话八十七，这个数不一样，谢。这个下面第二个表没有谢。 嗯，大概就是这样的，这样的话就可以发给对应的人，让他们自己去核对，说这几个数为什么不一样，可能在实战中会应用的多一点吧，我目前在工作中没有遇到这样的情况，但是我觉得多掌握一点也可以。好的，今天就是这样了，谢谢大家。

你知道同时满足多条件的筛选方法吗？比如满足班级同时满足总分大于三百八十分，或者有三个或者三个以上的条件。 多条件且筛选，也就是要同时满足多个条件。平时多条件且的筛选也可以直接在标题栏进行一层一层的筛选， 但如果条件多了，标题栏筛选就没有那么方便了。我们来试试 filter 函数吧，跟着我的步骤操作一遍吧，仔细看哦， 想要什么条件自己改也可以自己加条件，是不是很方便啊？

查找函数的天花板 filter， 老板让你整理各部门的人员情况，百分之九十九点九的人用复制粘贴进行统计，麻烦你就点击单元格输入 filter。 一 生匡选需要返回的数据，列二参匡选部门列等于第二行政部将 b 列， a 列用 f 四锁定敲回车，拖动公式一秒搞定，你学会了吗？