R2上无限可微函数有泰勒展开

好，姥姥看了山菊花，奶奶看了下面，那又说，我们姥姥看了都会的课堂啊，今天我来讲一下泰勒展开。泰勒展开是什么呢？我们上节课是不是学了两个超越不等式啊？我上节课就说了，两个超越不等式，不仅仅可以通过函数求导 来证明，还可以通过泰勒展开来证明。那什么是泰勒展开呢？一般来说，在高中阶段，我们学习泰勒展开，只需要记住他相应的结论就可以了，但是你大华老师的学生个个都聪明绝顶，所以我今天呢，就带领大家一起来 看一看什么是泰勒展开？泰勒展开是怎么来的？好泰勒展开的形式啊，就是我写的这个 f x 等于 f x 零加上 f x 零的一阶导比一的阶乘，然后再乘上 x 减 x 零的一次方 f x， 哎， f x 零的二阶导比上二的阶乘，再乘上 x x 减 x 零的二二次方，一直加加加，加到多少呢？加到 f x 零的 n 结导比上 n 的 结成，再乘上 x 减去 x 零的 n 子方，最后再加一个误差余项。哎，也什么叫误差余项呢？就是我这个 f x 是 可以用后面这个多项式表示，但是呢，它是有误差的，所以我们为了补齐这个误差，在后面加了一个误差余项 啊，这个你高中阶段知道就可以了。这个误差余象又分为两种，一个是皮亚诺余象，一个是拉格朗日余象。好，但是我们高中阶段对于你这两个余象呃的适用条件是不做说明的啊，也不需要做要求。 好，那我们想想，为什么 f x 可以 等于后面这个多项式呢？我们想一想，如果我想刻画一个 f x， 我 想用 f x， 哎，刻画一个，刻画出一个什么呢？刻画出一个多项式 p x， 那 我这个 f x 啊，数学家们就认为 f x 可以 等于什么呢？可以等于 a 零加上 a 一 乘上 x 减 x 零的 一次方，加上 a 二乘上 x 减 x 零的二次方，一直加加加加加，加到 a n 乘上 x 减 x 零的 n 次方，没有问题吧？那同学们，我问你啊，什么叫做刻画？ 我是不是可以用这个多项式来刻画 f x？ 什么叫刻画？刻画是什么意思？刻画，也就是说 在 x 零处啊， p x 零得等于 f x 零嘛，也就说它们函数值得相等。同时， p x 零的 e 结导是不也得等于 f x 零的 e 结导，也就说它们 e 结导数值也得相同。 一直到什么呢？ p x 零的 n 结导是不是也得等于 f x 零的 n 结导？这才叫一个函数刻画完毕了，没有问题吧？在 x 零处， p x 零和 f x 零， p x 零和 f x 零函数值相等，导数值将导数值相等，对吧？从 e 阶导到 n 阶导，完全相等。好，根据这个理论，我们是不是我们就可以推出泰勒展开？怎么推呢？我用蓝色的笔，我用绿色的笔，来给大家写一下吧，你想一想， 我这个 f x 零应该等于什么？ f 把 x 零往上面一带，是不是后面全部都消掉了呀？对吧？ x 零是不是全部都消掉了？只剩下一个 a 零？ 哎，我这个 a 零不就求出来了吗？我这个 a 零应该是等于 f x 零的，没有问题吧？那这是函数值相等，对吧？如果我这个 f 撇 x 零要等于 p 撇 x 零， 那应该等于什么？是不是应该等于对上面这个式子进行求导呀？对上面这个式子求导的话，它常数项没有了。第一个应该是 呃 a 一 吧。哎， a 一 这个应该是，它是呃，这是一个符合函数求导，对吧？所以它应该是二 a 二 x 减 x 零，然后再加上三 a 三 x 减 x 零的平方，一直加加加加，加到 n a n x 减 x 零的 n 减一次方，这个没有问题吧？然后因为我需要取 x 等于 x 零，所以后面是所有的 x 啊，我都要让它等于 x 零，你会发现什么呢？会发现好多项又没有了，后面的这些项是不是都没有了呀？所以我这个 a 一 啊，不就得出来了吗？ a 一 就是等于 f 撇 x 零的， 这个没有问题吧？你看啊，我这个 a 零是等于 f x 零的， a 一 是等于 f 撇 x 零的，那我再来，我这二阶导，是不是要 x f x 零要等于 p x 零的二阶导呀？ 没有问题， p x 零的二阶导，我对上面再求导，常说下，没有了。这边应该是二乘一 a 二，对吧？加上三乘二 a 三的 x 减 x 零的一次方，一直加加加加加到 n 乘 n 减一， x 减 x 零的 n 减二次方。好，我是不是还是需要利用另，后面这个 x 等于 x 零，我就得到了什么？是不是后面的这些项又没有了，对吧？是不是就是二倍的？ 二倍的 a 二是等于 f 撇 x 零，是不是我这个 a 二就可以等于什么呢？ f 撇撇 x 零的 除以二，没有问题吧？好，为了找到这个式子啊，大家可以一直往后推，推到什么呢？ f 的 n 接到啊，最后你会得发现个什么呢？我这个 f 的 n 结导 x 零比上一个 n 结次方是等于 a n 呢，再把这里面你看啊，再把这里面的 a 零 a 一， 对吧， 还有这个 a 二，还有这个 a n 往回带，是不是就证明出来了？我这个 泰勒展开式，对吧？你看，这是不是 a 零啊？这个是 a 一 吧，一的阶乘，这是 a 二吧，对吧？然后这是是不是 a n 啊？ 没有问题吧？哎，泰勒展开的证明还是比较好证明的好。那我们高中阶段用的是泰勒公式吗？其实不是，泰勒公式是用的是迈克劳伦公式。什么是迈克劳伦公式呢？泰勒展开式令里面所有的 x 零都等于零啊，等于这零 零零零，这些都是零，这是麦麦克劳伦公式。麦克劳伦公式是我们高中常用的公式啊，你想想，呃，那如果我不令这里边所有的 x 零都等于零了，那我 x 应该等于什么？ f x 是 不是应该等于 f 零加上 f 撇零，一阶导 x 的 一次方加上 f 撇撇零，二阶导 x 的 二次方一直加加加加，加到 f f 的 n 结导零 n 次方， x n 次方，再加上一个误差余项呀，是吧？这个不是泰勒啊，这个叫什么？ 这个叫迈克劳伦，知道吧？你们一直叫泰勒，这其实叫错了，人家这个叫迈克劳伦公式好吧。呃， 长这样啊，麦克劳伦，好吧，麦克劳伦公式。好，那通过麦克劳伦公式呢？我们看一看我们高中阶段常用的一些。呃，麦克劳伦公式啊，第一个 ex， ex 应该等于什么？它应该是 f 零， f 零是谁？ f 零就应该是一，对不对， e 的 零次方还是一嘛，对吧对吧？然后是 e， 它不管求多少次啊，是不是都是 e x 本身啊？ e x 求多少次都是 e x 本身，所以第二个应该是什么？ 第二个是一次方，然后，然后上面还是一，然后再乘上一个 x 的 一次方，再把 x 移到上面嘛，对吧？哎，这就是 ex 的 展开，后面这个呢，大家可能不知道，后面这个其实就是拉格朗日， 拉格朗日一项好吧，这些啊，哎，都是拉格朗日一项， 这一部分啊，这一部分都是拉格朗的意向好， long x 加一展开没有问题，三 x 展开考三 x 展开，然后后面呢？这个是什么？这是 n 阶岛的无穷小啊，这是 n 阶岛无穷小，它是平安诺意向。 嗯，同学们也不需要去知道为什么是 n 阶岛的无穷小，因为这个在我们高数里面会证明啊，你就知道这个展开之后是这样的结果， 就没有问题了好吗？好，这些公式在我们高中阶段的应用啊，就一条，你记住了，应用就是使这个 x 的， 绝对只要小于零点一就可以用， 没问题吧？这些公式在高中阶段的运用，因为皮亚诺鱼象和拉格朗日鱼象的运用标准不一样，但是你不需要知道如何去区分，你只要知道，在高中阶段，我只要用了迈克罗伦展开之后，我的这个 x 的 曲值啊，绝对值一定要小于等于零点一， 就没有任何问题了好吗？然后啊，你发现了，我通过这个泰勒公式啊，还会得到一些我们以前比较难证明的不等式， 是不是我们上节课学的 e x 大 于等于一加 x 对 吧？还大于等于这个对吧？这是展开两项吧，这是展开了三项，是不是很简单呀？哎，这是展开两项， 这展开两项，也就说它展开了两项，后边的项不用了。那你这个三 a 肯定是大于等于它的呀，因为你后边还有展开的一些项啊，你把这些项都给扔了的话，那你三 a x 肯定要大于它呀， 没有问题吧？这同样的展开两项，展开两项。一般我们高中阶段学了麦克罗伦，展开的话，只需要展开三项就可以了，最多就是三项啊。啊，一些常用的 常用的泰勒展开式啊，大家自己看一看就可以了。这个我们之前应该都见过啊。第一个 long x long x 小 于等于 x， long x 小 于等于 x 减一，对吧？一减 x 分 之一小于等于 long x。 是 不是我们都是我们上节课学的呀，包括这后面的几个同学们，只要记住就可以了啊，记住就可以了。好，我们来看一看二二年的一个高考真题吧， 说这个 a 是 等于零点一的， e 的 零点一次方， b 是 等于九分之一， c 是 等于负的零点九的。哎，这个怎么展开呢？ 看见没？这个怎么展开的？我们来一起看一下啊。呃，这个如果正常的话，我们是不是需要用构造来做呀？但是现在我们会了麦克劳伦，展开是不是就非常简单呀？你看你这个 e 的 零点一次方，我通过展开，你把这个东西想象成，想象成 x 嘛，它应该是约等于什么的，约等于一加上零点一加上二的结成零点一的 平方呢，对不对？它这个式子应该算出来是一点一零五。好，所以我这个零点 一一的，零点一，它就应该是约等于零点一一零五，对吧？它是小于九分之一的啊。九分之一是多少呢？九分之一是零点一一一，对吧？等于 b， 所以 你这个 a 肯定是小于 b 的。 好，我们再看 c， c 是 什么？ c 是 等于负的平方零点九，对吧？是不是应该等于平方九分之十啊？九分之十是不是就相当于平方括号一加上 九分之一啊？是，我们还可以用麦克风展开啊，它应该是约等于什么？约等于九分之一减去二的阶乘九分之一的平方加上 三乘上九分之一的三次方，应该是等于九分之一，还是九分之一二？是，是一百六十二分之一加上二一八七分之一，应该是约等于九分之一减 零点零零零六的，对吧？他是，这肯定是小于。小于多少的，这还不能算小于呢，这个还是得算一下，他应该是 等于零点一零五。哎，零点一零五，这是小于 a 的， 所以我这个 a 啊，是大于 c 的， 没有问题吧？ a 大 于 c， b 大 于 a， 所以 就是 b 大 于 a 大 于 c， 答案，选什么？选 c 吧。好，这个我们学的泰勒展开或者是麦克劳顿展开的话，大家一定要熟记啊，这些公式大家一定要熟记，包括一些泰勒展开的不等式啊， 你们也需要记住啊，我们最常用的都在这上面啊，就这几种形式都是最常用的。好，今天课就到这里，同学们再见啊。

在高等数学里面，我们计算函数极限或者证明一些不等式，经常要用到一个很重要的工具，就是太乐公式。 但其实啊，有的时候我们还听过另外一个名字，叫做泰勒展开式，那这两个概念到底是不是同一回事呢？这个问题呢，并不是特别好回答，因为我们平时在做题的过程中，其实很少讨论到这两个概念之间的差异， 但其实啊，他们是两个完全不同的概念，弄不清楚二者之间的区别。做一些简单的计算题的时候，可能问题还不大，但是如果做一些比较精细的证明题，那么可能就会变得很麻烦。所以今天啊，给大家来详细的说一下，这两个概念他到底有什么不一样。 首先我们就要回归定义了，来看一下课本上二者是如何定义的。先来看一下泰勒公式哈，若函数 fx 在 s 等于 a 处，直到 n 节可倒，那么我就可以把 fx 写成底下这个样子。当然，这个我写的是带有皮亚诺鱼像的泰勒公式，就是说他一直到 n 像之后，后边是一个小 ox 减 a 的高阶无穷小。 那拍了展开式的定义是什么呢？若函数 fs 在 s 等于 a 处任意接可倒。注意啊，这块就首先有不一样的地方了，他强调的是任意接可倒哈，且下列无穷极数，你看这块其实点出了事情的核心。 泰的展开式的本质其实是一个无穷极术，而且他是一个函数像无穷极术哈，那他长的样子跟这个太子公式是差不多的，只不过他是有无穷多项。然后我们规定，如果这个无穷极术在收敛欲上处处收敛于 fx， 则称这个无穷极术 为 fx 的泰勒展开式。那这个定义里面其实已经体现出二者的差异了。什么差异呢？泰勒攻势哈，它是有现象相加，而泰勒展开式呢，它是无现象相加， 这个就是二者本质的不同。当然你会说了哈，有线跟无线，那有什么区别呢？那区别可就大了，因为你但凡涉及到无线这个东西，那就必须要讨论收敛这个话题，对吧？那为了把这个事情说的更清楚一些哈，我们举一个具体的例子， 比如我就拿我们最熟悉的 e 的 x 次方展开式哈，我们知道 e 的 x 方呢，可以写成一加 x 加二的阶层，分至 x 平方，一直加加加。 如果你是展开到第 n 项 n 的阶层分支， x n 次方就停了，那么后边呢，我就要加上一个小 ox 的 n 次方，这个式子是泰勒公式， 因为他是有现象相加，对吧？但是如果你说我不想写到第 n 项就停，我想无穷无尽的写下去，那么后面呢，我就加上点点点，加点点点的意思就是有无穷多项嘛，这样一来呢，他就构成了一个无穷极术，准确的说叫做函数，像无穷极数哈， 那这样一来，我们就只能称它为叫做泰勒展开式，而不能叫泰勒宫式，这就是二者之间的区别。那有些同学又会说了哈，那这也没有什么了不起的呀，无非就是最后你一个是小欧，一个是点点点， 但是问题的核心就出在这哈，如果你写小欧的话，那么意味着它是有现象相加，有现象相加的话，你不需要考虑任何东西哈， x 代己都可以，那左边一定是等于右边的，但是如果换成点点点的话，它是无现象相加，那无限相相加的话，那问题可就大了。 有两个问题，第一个，这无限多个东西加在一起是否收敛呢？也就是说你这个 x 它是否落在收敛域里面？第二个问题，就算是 x 落在收敛域里面，那么它收敛的结果是否和原来的 fx， 也就是说是否收敛到 e 的 x 次方呢？ 这两个问题讨论起来，其实要下一番功夫的。比如说我们给出的第二个，那我们称后边这个式子是原来的意大利四方的太太展开始，那意味着两点。 第一点就是我们需要写出他的收敛欲，付无穷到正无穷。那收敛欲是付无穷到正无穷。什么意思呢？就意味着当你 x 去任意值的时候，前边这个 把 s 带上这个数之后，就变成了一个数项级数哈，那这个数项级数他一定是收敛的。第二个意思就是他一定还收敛到一的 x 次方。正因为有这两点保证，我们才说第二个数字是他的 态的展开式。如果你 x 带进去不收敛，或者说收敛不到一的 x 次方，那这个就不能叫他的态的展开式。但是第一个式子的态的攻势哈，他就没有这层顾虑了，你 x 带任意值的时候，他都是相等的，为什么？因为他是有现象相加哈，有现象相加，无需考虑是否收敛的问题。 当了这个太乐公式里面，我使用的是皮亚诺鱼象，而皮亚诺鱼象时，又会产生一个新的问题，就是这个小欧，对吧？也就说最后这个函数他不是随随便便的一个函数啊，他一定是 xn 次方的高阶无穷小。什么时候的高阶无穷小呢？是 x 区居于零时的高阶无穷小。 所以说底下这个式子的使用，虽然对于任意的 x 左右两边都是相等的，但是我们如果要想体现出他这个高阶无声角这个意思来，你的 x 要屈居于零才可以。 这样一来呢，其实 x 又增加了一层限制。所以啊，泰勒公式和泰勒展开式实际上是有着非常大的区别的，在做某些精细的证明题的时候，必须把这个区别给他说清楚，才能保证把题目做对。

你真的完全理解了泰勒展开吗？书本中关于这个概念的引入并不自然。你有没有发现，如果把展开式前三项拎出来，和我们中学学过的一个公式很像，从本质上甚至可以这么理解，泰勒展开是关于事物运动的命理学。然而，书本上只是这么介绍的。 一个光滑函数可以被展开为无穷多项密函数相加，然后通过不断求导的方式来确定每一项密函数前的系数。比如，我们可以不断添加密集数来逼近三角函数。这看似是一个巧妙的技巧，但也仅仅停留在技巧层面，他背后关联着一个深刻的物理学思想， 如何用先前得到的数据来预测未来？只有理解到这一层，你才明白为何泰勒展开被广泛应用于物理工程甚至机器学习中。 比如现在，让你来试着预测一下明天的气温会如何。假设今天是二十摄氏度，如果不知道其他信息会预测明天是多少度呢？当然也是二十度， 因为我们没有除今天之外的任何数据，自然没有理由认为温度会发生变化。但是，如果我们知道昨天温度是十六度呢？那么必然会猜想温度具有一个恒定变化率，大小为四摄氏度每天，于是可以预测明天的温度为二十度。 进一步，如果我们还知道前天的温度为十四摄氏度呢？哎，我们可以继续去找规律，十四到十六，温差是二十六到二十，温差是四，发现了吗？相邻两天温差的差值是一个定值，所以我们可以继续预测明天和今天的温差应当是六， 所以明天温度是二十六度。这就是人类探寻规律的基本方法，止谷之道与欲精之有归纳到演绎到实验。所以归根到底，一切的自然科学都只是经验科学，一切目前公认的理论仍然成立， 都只是因为我们的观察还处于适用范围内。如果从基本框架来看，世界就是一个巨大的函数，而泰勒展开的基本思想就是用以观测到的数据尽可能去拟合目标函数。 所以为了预测温度变化，我们的做法也是相当于在寻找温度与时间所遵循的函数关系。那么具体是靠计算什么来拟合这个函数呢？细心的观众可能意识到了，就是去找变化率。 当我们只用今天的温度去累推明天的温度时，这是临界近似。当我们会先计算温差变化，得出变化率，再来做预测时，这是一阶近似。也就是说，如果知道当前的温度和关于温度的一阶变化率，就会得到更为精准的预测。 继续看，当得知前天的温度数据时，我们甚至可以计算温度变化率的变化率，这就意味着，我可以把温度的一阶变化率、二阶变化率 都放在今天来做预测。所以，要让预测的结果更为贴合现实对应的函数，就需要知道关于这个时刻下的更多信息。今天的温度，一界变化率，二界变化率，三界变化率。 知道的信息越多，对未来的你和就越准。所以自然就会问一个问题，如果我知道这一时刻的数值以及关于该数值的所有变化率，是不是就能完整的预测未来呢？这便是泰勒展开， 他对应到物理学就是一个运动学通解的问题。任何一段运动都可以理解为是初驶的速度、加速度、加加速度等一堆变化率均不变的综合运动。那么只需要在 t 等于零时刻知道初驶位置及其全部变化率，就可以完整描述这个运动在未来的路径。做个通俗的比喻， 这就是在给这段运动算命。而我们不断去叠加变化率信息，是为了让最终的你和函数更为精确。所以应该这么理解。泰勒展开的前 n 项，其实是由一个 n 阶导数构成的微分方程的解，比如我们最熟悉的匀加速运动，它的加速度恒定为 a， 所以这个运动的微分方程是未知。关于时间的二阶变化率等于 a 解出来就是如此。其中的两个常数是初始时的位宜和速度，如果计算更高阶的也是一样的效果。 而泰勒展开的意义就相当于直接把通解写出来了，剩下的就是完形填空，只要变化率的项填的足够多，最后得到的函数就会足够接近目标函数。 所以如果从这个角度去理解，泰勒展开，就会感受到事物变化有着强烈的宿命感。在这一瞬间的全体变化率就已然决定了物体未来的运动轨迹，而这就是现代自然科学具有预测性的原因。 观流变之律，就能吸整体之行。从根本上看，泰勒展开皆是了人类认识世界的一种基本范式。 我们永远在有限的观测中提取变化模式并外推至未知。他不是单纯的计算技巧，而是一种通过微分构注整体，通过瞬间理解演化的认识论工具。 在这个意义上，泰勒展开所蕴涵的思想早已渗透进我们对一切连续变化现象的把握与预测之中。从行星轨道到温度变化， 从函数拟合到神经网络的训练，无不呼应着同一主题，局部如何决定大局，当下如何蕴涵未来。

三十秒让你学会用泰勒展开，解决比大小问题， 那咱们今天呢，用泰勒展开解咱们二二年这道高考真题，这道题呢，如果我们用常规方法是需要很长时间来解，但是我们用泰勒展开啊，不到三十秒就把 这道题解出来了，很多同学对泰勒展开还是没懂，或者说从来没听过，那我们今天呢详细的看看，我已经把咱们泰勒展开简化成以下的几个式子啊，我们如果能把这几个式子背下来，那我们在高考上遇到这类比大小的题目，我们是能够快速的解 出来的。这几个式子啊，咱们都跟了几个小尾巴，就像刚刚这道题，我们如果说只顺到前面这个位置的话，会发现它是约等于三十二分之三十一，那 就是跟 a 一 样的大小了。但是我们后面还有一个小尾巴，那这个小尾巴呢？不管它是多大啊，那它加上这个小尾巴都肯定会大于三十二分之三十一的，所以说咱们这道题 b 就是 大于 c 的， 那这个小尾巴呢？我们一定要给他记住啊，我们都把它展开到这个位置，那我们的快乐展开才会更加精准。原式我们应该都见过，是好长好长的一串，我们现在呢只需要把这几个式子背下来， 这种题目就应该没什么问题啦。泰勒火眼金睛，他当时发现这个柿子的时候特别厉害啊，我们今天泰勒就盯在这里，谁不会谁就有问题。那你今天学会了吗？学会的话我们下期再见，拜。

我们都在高中一年级的时候学过以下这种问题，相信各位同学都还记得给我一个三次多项式函数，譬如说我写一个系数，很简单的三次多项式函数， x 三次方减 x， 平方减 x 减一， 求啊，对不起，通常也许我们不说求，我们这个老师出题的时候会叫你估计 fof， 比如说一点九七的函数值，然后准确到， 比如说啦，我们只要准确到百分位，也就是说小数点下两位的准确程度就好了。那各位同学还记得我们怎么做这个问题吗？我们就是要设法把这个多项式函数写成，嗯， x 减二的三次方，加上前面还有一个我还不知道的系数， x 减二的平方加上一个不知道的系数， x 减二，再加上一个常数项，写成这个形式。 然后呢，我们就会知道，如果我把 x 等于一点九七带进去，这个地方有一个负的零点零三，这里有零点零零零九，这里呢就会是负的零点零零零二七， 那我们既然只要准到百分位，所以零点零零零九的这一项就可以不用看他了，零点零零零零二七的这一项当然更不要看他了，所以我们就只要就是这个 pad， 就是 在这里，我就只要把零点负零点零三 乘上这个系数，加上这个长数项，就是我们在高中一年级碰到这种问题的时候的标准答案。 那么怎么样做，怎么样把这个形式的系数算出来呢？我们在高一的时候学了综合除法，那在我做这个综合综合除法以前啊，请各位同学先知道一件事，就是上面写出这个形式的多项式 有一个名称，称为标准式。 那如果要说的更精确的话，我们是从高次写到低次，所以说 我们还会说这个叫做降密的标准式，而写成这个形式呢，也许以前有学或没学到，那我们今天正式再说一次，它是以二为参考点 的泰勒形式。 好，泰勒是一个人的名字啦。嗨，这是一个英国人，他是算是牛顿的最后一个学生 啊，但是并不是泰勒发明了这个式子，就顺便跟大家说，其实牛顿自己就发明了这这种形式的多项式写法。 那么所以我们将来就要说这叫做泰勒形式。一个多项式呢，可以写成标准式的样子，也可以改写成 这个泰勒形式的样子。而泰勒形式呢，其实又可以啊，对不起，有说法。而标准式呢，其实也可以想做，他就是泰勒形式，他就是拿零当做参考点的泰勒形式， 对不对？ x 平方，当然就是挂号 x 减零的平方。好， x 三次方就是 x 减零的三次方，所以标准是其实是他的形式的一个特殊的状态 啊。那现在我们就来做一些计算，把我这边的这个空格算出来，当然，呃， 透过啊除法原理，我们晓得这个 f 为 x， 如果除以 x 减二，会得到一个商，然后余下的一个数。余下的这个数其实我们早就知道它是什么意思，它就是 f 二的意思。 但是怎么做这个除法呢？我们就用综合除法做做看，好像应该是这样写的。那啊，把这个 手相系数抄下来，乘以二，写在这里，然后相加，然后乘以二写到这里再相加，然后 再乘以二，写到这里再相加。那这个数呢？不知道高中老师怎么写啊？这个数就是余数，而经过余数定理，我们知道余数就是 f 二，所以这个地方会是一， 那所以呢， f 为 x， 就 可以写成这个 q 为 x， 也就是 x 平方加 x 加一，乘上刚刚的除四， x 减二， 加上那个余是一，那距离我们想要的泰勒形式就还差一点点，对不对？这个商 x 平方加 x 加一，希望它在我们应该用它 再除以 x 减二啊，如果我除的成功的话，我应该可以把它写成 q 二 of x 乘以 x 减二，然后加上一个余，那个余呢？哦，很抱歉，我刚才呵呵 应该写这个叫 q one of x， 会比较简单一点，所以这个商是我们称它为 q one of x， 那 所以这个余呢？其实就会是 q one of 二，然后乘上 x 减二再加一。 所以如果我做的完这件事的话，我就会得到 q two of x 乘以 x 减二的平方加上刚刚不知道的那个数，现在知道是 q one of two 乘上 x 减二再加一。 好，其实这是大家在高一都学过的，那我们现在就来继续做吧，那个 q one of x 就是 它的系数，就是一一一，降密排列是一一一，然后我们对 x 这个 x 减二再做一次除法，把一降下来乘以二，加起来是三， 然后乘以二加起来是七，这个七呢，就是这个数了。所以我们现在知道了 q two of 二是七，或者这个地方我知道答案是七， 那么接下去我可以把啊这个 q two of x。 现在我又知道了，这个 q two of x 其实就是 x 加三， 如果这个 x 加三再除以 x 减二的话，其实这应该是用心算就知道了，他就是 x 减二再加上五嘛。所以呢，我就会得到 x 减二的三次方，再加上五倍的 x 减二的平方，加上后面的，我们照抄过来 加一。到了这里呢，其实我就等于是已经把原来的标准式的三次多项式函数改写成以二为参考点 的三次多项式函数。写到这里以后，我们大概就要很奇怪的哦，我们立刻就要接上为分的一些观念了。那么 原函数啊，其实这这个这个函数跟这个函数其实是一样的，只是写了一个不同的形式而已 啊。过去呢，我们都习惯用降密排列，但是现在我们晓得有，另外啊，应该过去同学知道有另外一种排列的方式是生密排列来写的话，我们会把最低次的写在前面， 加上 x 减二的三次方。我们都知道有降密跟生密两种排列的方式，今天要跟大家说 什么时候我们要用生密排列，那其实之所以要有生密排列，就是为了要回答刚才我们问的那个问题， 就是 f 一 点九七的函数值估计是多少？如果今天我们再写出一个多项式来，我们是要估计一个函数值， 不需要算的非常准确，只要到小数点下第二位或第三位不需要太准确的时候呢，哪些项是重要的？ 显然根据我们刚才回顾我们在高一做的那个问题呢，第一次项是重要的，因为这时候 x 很 靠近二，比如说一点九七，所以 x 减二是零点零三， 那么零点零三这种小于一的数，对不起负零点零三，总之，那个绝对值小于一的数呢，做了平方以后会更小，做了三次方以后会更更小。 所以当我们要估计一个数的时候，越高的次方是越不重要的。在这个时候，请各位同学不妨想象，一，这是长数项的部分，是一个实数的整数部分， 一次项的部分呢，是一个啊，对不起，这刚刚不说整数是一个小数的整数部分，那一次方向呢？是十分位的部分， 二次方向差不多是百分位的部分，三次方向是千分位的部分。所以当我们把一个多项式写成生密排列的时候，其实它的意思是，几乎就等于是我们要把一个实数写成小数的形式， 这个小数点下可能有很多很多位，但是在实用上，我们可能只需要取前面的两位 是写成生命的意思呢。就像这样，这是百分位，千分位啊，对不起，十分位，百分位、千分位，越高的次数其实是越低的，越小的小数位是不需要注意它的。当我们要求估计值的时候， 既然，那这是一个很重要的转折点了，既然在计算的时候，可以说不管 x 是 零点九七啊，一点九七啦，或者是二点零三啦，呃，就是只要是知道 x 在 二的附近，我们要算函数，在二的附近的函数值的时候，可以忽略高次项不算。 那么函数的图形不也应该是这样吗？函数的图形不就是函数的值，就是 x 和 f 为 x 凑成一个 x， y 的 有序对画在坐标平面上面的结果。 所以既然如此，我们要画 y 等于函数， y 等于 f 或 x 的 函数图形的话，这个函数图形呢？在一的附近啊，对不起，在 x 等于二的附近 啊，这个话说的不对，哈哈，这个函数在 x 等于二附近 的函数图形不就差不多，应该是舍去了高次项不要看的函数图形。而这个函数图形，每个人都知道一条直线，斜率为七的一条直线， 那刚才我们已经偷偷地画了这个函数 y 等于 x， 三次方减 x， 平方减 x 减一的函数图形， 当然黑板上画不会太准确，各位同学不信的话，你可以用电脑再重画一遍。 那我们想要表示的是呢，刚才我们说这个函数，我们可以算一下，它在 x 等于二的地方带进去是八减四减二减一，所以它通过二一这个点。 那根据我们对三次多项式函数图形的概念，我们应该知道，在这个点附近，它应该是弯的，它有点凹向上， 但是呢，就我们刚才说的，如果我们只看 x 等于二附近，假如这个红框框是附近，我们要请摄影机靠近一点 啊。不是看，不用看，我就是看这个函数图形。当我们越来越靠近看这个函数图形的时候，当然我们会觉得你就看不出来，它是凹向上，它是弯的，但是很近很近看的时候，它就是一条直线。 而我们刚才已经知道，这是一条斜率是七的直线，因为在二的附近来看函数图形的时候，他的泰勒形式的平方向，三次方向都不重要，都不要看的时候，剩下来的就是一个一次函数， 一次函数的图形就是一条直线，将来各位同学会学到这一条直线就称为切线，而且将来各位同学会学到函数什么叫做呃，可为呢？什么叫做可以为分呢？ 就是说如果这个函数的图形在一个某一个点为中心的一个很小很小的范围附近，他看起来像一条直线的话，我们就会说函数在这一点是可以为分的， 是可以违分的，而且违分的结果将会让我们知道切线的斜率，切线的斜率。那么 接下来呢，我们就是要既乘胜追击，我们要继续的去了解这么一个观念，从现在开始我们有一个新的看法了， 我们要在一个在某一个点的附近的小范围里面来观察函数图形，这样到到底会观察出来什么有意思的事呢？那我们就下一节再说。

嗯，就像这样的问题，以后你怎么去观察呢？就这样的，你看你分母上是 x 三次方，我们要找分子上所有的 x 三次方的项，那你找 x 三次方的项的话，这里边你把这个弹进 x 这个内层函数看成是一个整体的时候啊，它就相当于这里边的 x， 所以说你，你替换成弹进来 x 之后啊，其实你少了这个，少了 x 三次方，能明白吧？所以说你内层函数你在整看成整体的时候，看成整体的时候，它具体的这个你整个的多少多少次方啊？你要看这个，你整个这个内层函数它相当于 c， 因为你怎么看呢？这个内存还是相当于谁？就是他可以继续展开他这个换成 x 减六分，呃，这个，呃，加上六分之 x 三是吧？加上三分之 x 三是吧？那么他这里边的主导向是不是 x， 所以 他就相当于 x， 所以 说这里面就跟上面的 x 数量是一样的，能明白这意思吧？