微积分抓大头方法

咱们今天来学习一下抓大头，同时除以 x， 洛必达都能做。但是咱们今天学一个思想，你记住两件事，一个就是当 x 趋向于零的时候，次数越小头越大， x 趋向于无穷的时候，次数越大头越大。 这开玩笑，头越大是什么东西，是吧？就叫抓大头，什么意思呢？我们来看，当 x 趋向于零的时候， 你想是不叫这是平方，这叫一字方，那他是不是次数高？他是不是次数低？那这两个人比较一下大小， 谁大呢？哎，次数越小头越大，也就是说这个一次方的要更大一些。好，这是一件事。再看这个，那你是平方， 你是一字方，哎，由于你趋向无穷，是不？次数越大头越大，那是这个人大，你已经比较了他们的大小。那么第二个问题， 大多少？这个里面你大一点，你小一点，那你比他大多少呢？我们讲大多了，那可太多了，咱举一个具体的例子，但是也没有那么严格，你说趋向于零，咱也别趋向于零， 咱就小于一就行。零点五的平方和零点五的依次，他俩差多少？这个人叫零点 二五，这个人是零点五，他比他大是不是大一倍？那你想趋向于零是不是比零点零零零零 零零零零五还要再小的多，对吧？什么叫趋向于零？趋向于零比你要小的多得多，无穷少量再平方，那比起本身他自己，零点零零零零零零五 是不要小的多的多。那么我们就可以认为，在 x 趋向于零的时候，这两个人的大小有天壤之别，九牛一毛，微不足道。也就是说有你在的时候，你就相当于忽略不计。所以当你看到 x 趋向于零， 那么有一次方有平方在，那，平方就看不见，平方就看不见，直接就是一次方前的系数笔直答案是负二。同理，趋向于无穷，我们说次数越大头越大，所以呢，无穷的时候， 你和你之间，那当然是前面比后面大多了，对吧？所以你就可以忽略不计，你也可以忽略不计，那么就是平方向前的系数的笔直答案就是三，这就叫抓大头。 再来，如果你学会了这个思路，那你看这个第三题能秒掉第三题，一看就是二，为什么？因为当 x 趋向于无穷的时候，这一项是四次，这是一次不要了，这是平方，这是一次，这是零次不要了， 对吧？直接是 lawn x 四必胜 lawn x 方，对吧？直接是四倍 lawn x 必胜，二倍 lawn x 直接约掉，答案是二， 你不信可以罗比打法则验证一下，你看是不是无穷比无穷罗比打分子分母同时 求导，上面求导是，下面求导是，然后把它通个分。到了这一步，我们就按照之前咱们抓大头的思想，你就给我看分母最高次是谁？是不是四次方乘以一个一次方一共是二倍的 x 五次，剩下都是比五次方小，咱可以忽略不计。 分子上最高次是不叫四 x， 三次乘以 x 方式，四 x 五次，剩下都比五次方小，剩下可以忽略不计。故四 x 五次比上二 x 五次约掉之后，系数是四比二，答案是二，这就是抓大头。再来看第四题， 第四题有同学一看啊，没有看这个趋向，你就容易误判，你会想用等价，会想用格子法，但是这个是趋向于无穷，哎，你落必达，你会发现落必达法子实效，对吧？因为落完之后子子孙孙无穷尽，也顾直接抓大头非常快。请问当 x 趋向无穷的时候， sign 是不是有介函数？他在负一到一里面震荡？他不管怎么样，他脱不开那个负一到一，而 x 是无穷大，那一个无穷大加上一个有借函数是不是相当于有借？这个东西太小了，可以忽略不计，所以这个 sign 也被你干掉了，这个 sign 也被你干掉了。顾答案是负一。在你学会了这个以后， 今天我看有同学问了一道题，题目大概是这个样子，这个分母跟分子看起来太吓人了，但是你告诉我，分母最高次是不叫 x 的十五次乘以八叫 x 的一百二， 分子的最高次是不是让每一项的 x 去相乘，也就是 x 的一加二一直加到十五，你不管怎么加，你是不能给我加明白，这个一加到十五等差狩猎求和等于 x 的 一百二十。 ok， 分字分母都是一百二十次。 good， 答案是一。那有同学问老师，那过程怎么办？评论区你们觉得呢？

极限运算之无穷大比无穷大方法易抓大头。嗨，你好，我们今天来学习一下极限运算中无穷大比无穷大型的规定式的方法。一就是抓大头。什么是抓大头呢？比如 一个分子，他有 x 平方又有 x 又有一，那么其实在这个分子里面， x 平方他在这里面是最大的，因为 x 是趋向无存大的， 那么这个 x 和这个一对 x 平方的影响是非常小的，所以我们只用保留 x 平方就可以了。那么我们再看这个题，当 x 趋向于负无穷大的时候，我们看左边，左边根号里面，我们发现 三 x 的平方他是最大的，所以我们只需要保留根号下三 x 平方就可以了。后面这个呢， x 是最大的，所以我们只需要保留 x， 那么在分母里面呢？根号下 x 平方是最大的，所以我们只需要保留 x 平方。好，我们再化解一下尼米特 x 趋向于负无穷大的时候， 注意啊，这是需要有负五重大，所以我们开根号之后要在前面加一个负号，也就是负的高二三 x 加上 x 分母呢就是负 x， 最后呢化解一下就等于高二三减一，这就是抓大头的方法。

同学们好，我是一分钟老师。今天开始，我将带领大家学习高等数学上的第一部分，极限与连续。首先，我们学习第一课求函数的极限。题目一般只会在这七种类型里考察，但在期末考试中，出现概率最大的就是零比零型。 何为零比零型？就是将 x 去近的数直接带入后边的十字所得出的结果里，分子分母都去近于零， 这就是零比零形求这个零比零形的极限。我们通常采用两种方法，第一种是洛必达法则，当然洛必达法则也可以求无穷比无穷形的极限，这个我们后面会讲。 所谓洛必达法则，就是对分子分母同时求导一减， cos 艾克斯求导等于它，而艾克斯方求导等于它。 然后我们将 x 去近的数带入后边的式子算一算，发现仍为零比零斜，那我们继续使用洛必达法则。 然后我们再次将 x 去近的数带入后边的式子算一算，可以求出结果为四分之一。 当然，你要是遇到题目像这题这样分子分母的导数求起来很麻烦，或者越落越复杂了，一般就要换方法了，你可不要头舔，一直往死里落，别等交卷的极限都没求出来。 接着我们学习求零比零型的极限，常用的第二种方法等叫无穷小，请大家记住，当 x 趋近于零时，三、 i x 四、阿克萨勒克斯贪婪的 x 四、阿克贪婪的 x 四一的 x 方减一 y 一 加 x 都可以等价替换成 x。 为什么呢？我们以萨克斯为例，当 x 趋近于零时，萨克斯除以 x 的 极限等于多少呢？我们用洛必达法则对分子求导是 cos， 萨克斯对分母求导是一。 我们将 x 去近于零，带入后边的式子可以求得结果为 cosine 零比一，也就是一。结果是一，就说明分子 sine x 和分母 x 是 等价的。 同理，当 x 趋近于零时，这些跟 x 也都是等价的，视频时长原因这里就不一一证明了。另外还有两个特殊的需要记住，一减 cos 等价于二分之一 x 方，一加 x 的 阿尔法次方减一等价于阿尔法倍的 x。 其实这些 x 可以 进一步推广，将它们统一换成二 x 或者 x 方等等也成立。 特别注意，等价无穷小有个原则，就是乘除可以用，加减最好不要用，容易出错。 比如说这道零比零型的题目，分子是艾克斯减萨莱克斯，那萨莱克斯可不可以替换成艾克斯？不可以， 因为萨莱克斯替换成艾克斯之后，分子就变成了艾克斯减艾克斯也就是零，零除以任何数等于零，但实际上这个极限根本不等于零。 所有加减的最好不要用等价无穷小，容易出错。虽然在一定的前提下，加减也可以用，但视频时长原因这里就不展开讲了。大家记住，等价无穷小乘除可以用，加减就别用了。 好，我们看一下这道题具体是怎么做的。首先，它是零比零型，所以我们可以使用等价无穷小和洛必达法则来做。我们优先分析它能不能使用等价无穷小，因为等价无穷小可以将复杂的式子等价替换为简单的式子，替换后计算会更简易。 我们刚才分析过，分子代减号不能用等价无穷小，那分母呢？看似是两项相减，实际上可以写成两项相乘 这一项。根据这个关系，可以等价替换为二分之一 x 方。化简一下，分母可以变成二分之一 x 的 三次方。 好，现在这个极限仍为零比零写，但我们已经使用过等价无穷小了。那接下来我们对它使用洛必达法则， 我们对分子、分母同时求导，可以求出这个结果，但我们发现这个极限仍为零比零写，所以仍然使用等价无穷小和洛必达法则来做。我们优先分析它能不能使用等价无穷小， 很明显可以用，因为一减 q 算 x。 根据这个关系，可以等价替换为二分之一 x 方，此时两个 x 方可以约掉，所以极限结果为二分之一，除以二分之三，也就是三分之一。 接着我们学习求无穷比无穷型的极限，求这个无穷比无穷型的极限。我们通常采用两种方法，第一种是洛必达法则，也就是对分子、分母同时求导。 但我们还有更推荐的第二种方法，也就是抓大头。它的意思是指保留增长速度最快的项，忽略其他项后再计算极限。比如这道题，它是无穷比无穷型，我们可以只保留分子中的大头，也就是 x 方。 为什么大头是 x 方，不是 x 也不是 e 呢？我们可以画一下它们的图像，很明显，增长速度最快的是 y， 等于 x 方， 因为它的图像走势最陡峭，能更快的趋近于正无穷。所以 x 方是大头，我们要抓的就是它，其他像忽略即可。我们再看分母，很明显分母的大头是二 x 四方，忽略三 x 四即可。 然后我们再计算极限， x 方可以约掉结果，等于二分之一。当然你用路比达法则做也可以，但大部分题目都不如抓大头发简单便捷。 在考试时，题目往往不会出的这么容易，可能还会出现对数函数和指数函数，我们还是先画出它们的图像。 可以发现，指数函数增长速度最快，密函数次值，对数函数最慢。也就是说，当 x 趋近于正无穷时，指数函数的增长层级大于密函数，大于对数函数。 所以这道题分子值保留增长最快的密函数 x 方，分母值保留增长最快的指数函数一的 x 次方。 然后我们再计算极限，虽然这个极限仍为无穷比无穷型，但 x 趋近于正无穷时，指出函数的增长层级带一密函数，所以极限结果为零。当然，你也可以使用洛必达法则，求出的结果也是零。 接着我们学习求零乘无穷型的极限， 求这个零成无穷型的极限。我们需要转化成零比零型或者无穷比无穷型。比如这道题，我们将 x 去近的数带入后边的式子，会发现它是零成无穷型。 那我们转化一下，将 line x 方加 e 移到分子上，可以发现这个极限转化成了无穷比无穷性。无穷比无穷性可以使用洛必达法则，很容易可以求出极限结果为零。 接着我们学习求无穷减无穷型的极限，求这个无穷减无穷型的极限，我们可以把它转化成零比零型或者无穷比无穷型这样的分式型。 比如这道题，我们将 x 去近的数带入后边的式子，会发现它是无穷减无穷型，那我们需要将其转化为分式型。 如何将两个相减的式子转化成分式呢？一般有三种方法，第一种是有理化，像这种有根号的式子，我们通过乘以它的共格根式，可以将它变为这样，化简一下很容易，可以求得极限，结果为二分之一。 第二种方法是通分，这种方法适用于两个分式的差。比如这道题，我们将两个分式通分，可以变成这样化简一下很容易，可以求得极限结果为负二分之一。 第三种方法是换元，适用于像这道题这样，既有 x 又有 x 分 之一等，此时我们可以令 t 等于 x 分 之一，那么 x 就 等于 t 分 之一。 t 分 之一趋近于正无穷，其实就是 t 趋近于正无穷分之一，也就是 t 趋近于令正 好。幻缘结束后，我们计算一下这个极限。先将狮子通分，可以变成这样，此时极限是零比零险，那我们使用洛必达法则，很容易可以求得结果为零。 接着我们学习求异的无穷次方形的极限，求这种类型的极限，我们只需要记住这个公式即可。 比如这道题，我们将 x 去近的数带入后边的式子，会发现它是零比零的无穷次方。这个底数很奇怪啊，它并不等于一，怎么能符合一的无穷次方形呢？ 其实我们应该这样分析，当 x 趋近于零时，根据等价无穷小 y 逆加 x 可以 替换为 x， x 除以 x 就 等于一。所以极限式子的底数其实就是一 好。判断出极限十一的无穷次方形之后，我们直接套用这个公式，很容易可以得出极限等于它。然后我们化简一下这部分，可以变成这样。 此时这个极限是零比零型的，那我们使用洛必达法则可以得到这个式子，我们再对它进行通分，很容易可以求得最终结果，唯一的负二分之一次方。 最后这是公式的推导过程。 接着我们学习求菱的菱次方形的极限，求这种类型的极限，我们只需要记住这个公式即可。比如这道题，我们将 x 去近的数带入后边的十字，会，发现它是菱的菱次方形， 那我们直接套用这个公式，很容易可以得出极限等于它。然后我们处理一下这部分，把劳恩一减一的负 x 次方移到分字上，可以变成这样。 此时这个极限是无穷比无穷形的，那我们使用洛必达法则可以得到这个式子，化简一下可以变成这样。 此时这个极限是零比零形的，根据等价无穷小，当 x 趋近于零时， e 的 x 四方减一可以替换为 x。 当然我们把 x 换成负 x 也是成立的，而负 x 去尽于零，本质上还是 x 去尽于零，所以 x 去尽于零时，这个替换关系也满足好。既然它可以替换成负 x， 那 么负的它就可以替换成负的负 x， 也就是一减一的负 x 次方可以替换为 x。 好， 我们把这个分母替换成 x， 化简一下，很容易可以求得最终结果为一。最后这是公式的推导过程。 接着我们学习求无穷大的零次方形的极限，求这种类型的极限，我们只需要记住这个公式即可。 比如这道题，我们将 x 去近的数带入后边的式子，会发现它是无穷大的零次方型。那我们直接套用这个公式，很容易可以得出极限等于它。 然后我们处理一下这部分，劳恩一除三 and x 等于劳恩一等于零，所以这个式子可以进一步化简成这样， 此时这个极限是零成无穷型的。那我们转化一下，把这个式子变成分式，这样极限就是无穷比无穷型了。然后我们使用洛必达法则，可以得到这个式子， 化简一下可以变成这样。此时这个极限是零比零形的，根据等价无穷小。当 x 趋近于零正时，三 x 可以 替换为 x， 然后分子分母可以约掉一个 x， 最终得到这个式子。求这个式子的极限就很简单了，我们把 x 去进的数带入后边的式子，很容易可以求得极限结果为零， 所以最终的答案就是一的零次方，也就是一。 同学们好，我是一分钟老师。接下来我们学习极限与连续的第二课，求数列的极限。 大多数题目都会考察两个定律的使用，一个是加 b 定律，另一个是单调有节定律， 看着挺唬人的，但其实并不难。我们先来看加密定律，这个其实很好理解，比如这道题，我们直接求这个数列的极限，不好求。但如果我们找到一个大于等于它的数列，又找到一个小于等于它的数列， 并且恰好这两个竖列的极限结果相同，那么此时所求竖列的极限结果就被加出来了。道理很简单，但难点就在于如何精准的找到上界竖列和下界竖列。 对于这种 n 项和的数列极限，我们可以先把每一项的分母都变成最小的那个，并且分子保持不变。因为只是分母变小了，所以这些分式项其实都变大了，那整体的和也就变大了。 好，上届找到了一样的道理，我们把每一项的分母都变成最大的那个，那整体的核就会变小。好，下届也找到了。然后我们求一下上届和下届的极限， 大家发现没有，这俩树列可以进一步化解，因为上一步我们特意把分母变得相同了，这样就可以进行通分、 分子式等差数列求和。这在高中已经学过，它等于项数乘以首项加末项的和，再除以二 化简一下，可以变成这样。那接下来就轮到求这俩极限了，我们先求它吧，它是无穷比无穷型的，我们可以使用抓大头发很容易可以求得极限结果为二分之一， 这个极限也是一样的，求法结果也为二分之一。好，上界的极限等于下界的极限等于二分之一，那么所求竖列的极限也就等于二分之一。 接着我们学习求 n 次方根形的竖列极限。求这种类型的竖列极限，我们仍然是使用加逼定力，也就是先找到一个大于等于它的竖列，再找到一个小于等于它的竖列。 如果这两个竖列的极限结果相同，那么所求竖列的极限结果就被加出来了。所以核心任务就是精准的找到上节竖列和下节竖列。 对于这种按次方根形的竖列极限，我们需要先确定主导项，所谓主导项就是增长速度最快的项，类似之前课时讲过的抓大头，法力的大头。 在这个根号下的式子里，主导向就是二的按次方，因为它的函数图像走势最陡峭，能更快的接近正无穷。好，找到主导向之后，我们直接把它的按次方根当做下结。 那么上届是什么呢？请大家记住，上届就是项数乘除多项，再开 n 次方根。因为根号下的式子里共有三项，所以上届就是三乘二的 n 次方，再开 n 次方根。 好，上界和下界都找到之后，我们分别求一下它们的极限，都很简单，这里就直接把过程展示给大家吧。好，上界的极限等于下界的极限等于二，那么所求数列的极限也就等于二。 接着我们学习求递推式形的竖列极限，求这种类型的竖列极限。我们一般使用单调有界定律，简单来说就是单调递增有上节，或者单调递减有下节，竖列极限就存在。 好，我们一起来看这道题，先梳理一下解题思路吧。既然让证明极限存在并求极限，不如直接把极限算出来，再反退证明过程。 因为证明过程比较难想，是往单调递增有上界的方向努力，还是往单调递减有下界的方向努力，还有可知难以速结字体。然而直接算极限，却有一套固定模板，可以为我们指明方向。 先设所求极限等于某值，再对地推式等号两边去极限， 然后将锁射条件带入，并求出极限的值。最后在脑海中将极限的值与 v 一 的值进行比较， 极限值更大，那说明数列是从唯一开始单调递增上去的，并在 n 趋近于无穷大时，无限逼近极限值。二 好，知道数列单调递增且有上阶二了，我们来补全前面的证明过程。 首先进行第一步，证明单调型。对于这种递推型的数列，我们通常使用数学归类法，也就是先证明第二项大于第一项，再假设 d k 加一项大于 d k 项，进而退出 d k 加二项，大于 d k 加一项。 由此我们就知道了后一项都是大于前一项的。也就是说，对于所有正整数 n， a， n 加一大于也恒成立，即数列单调递增。这样我们就证实了第一个结论。 接着进行第二步，证明有界限。我们仍然使用数学归类法，也就是先证明第一项小于上界，再假设 d k 向小于上界，进而退出 d k 加一项小于上界。由此我们就知道了每一项都是小于上界的。 也就是说，对于所有正整数 n 略小于二，恒成立，即数略有上。继而这样我们就证实了第二个结论。 接着进行第三步，由单调有阶定律，因为数列单调递增且有上结，所以极限存在。最后就是求极限，这个在开头已经求过了，这里直接把步骤展示给大家。 同学们，好，我是一分钟老师。接下来我们学习极限与连续的第三课，函数的连续性。本科非常简单，题目一般会给出一个分段函数，并让我们证明该函数在分段点处连续。 遇到这种题目，我们只需分别求出函数在分段点处的左极限、右极限和函数值，若它们的值相等，则函数在分段点处连续。 那我们先求一下左极限吧。 x 趋近于零，负代表 x 是 一个非常接近零的负数，负数属于小于等于零的。这种情况，此时 f x 等于三，所以这个 f x 就是 三。 然后我们求一下这个极限，结果是三。接着我们求又极限 x 去近于零，正代表 x 是 一个非常接近零的正数，正数属于大于零的这种情况，此时 f x 等于这个韩老恩的分式， 所以这个 f x 就是 韩老恩的分式。然后我们求一下这个极限，很容易可以求得，结果是三。接着我们求分段点处的函数值，也很容易可以求得，结果是三。 好。因为函数在分段点处的左极限等于右极限等于函数值，所以函数在分段点处连续。 最后如果题干变化一下，改成已知函数在分段点处连续。让我们求函数里的未知数，你还会做吗？ 接着我们学习极限与连续的第四课，间断点。所谓间断，其实就是不连续。 在上节课我们学过，若函数在某点处的左极限等于右极限，等于函数值，则函数在该点处连续。 那么连续呢？就是不满足这套逻辑呗。而不满足这套逻辑又能分成两大类，第一类是左右极限都存在，要么左极限等于右极限，不等于右极限。 第二类是左右极限，至少有一个不存在，要么左右极限至少有一个为无穷的，要么左右极限都不为无穷的，但至少有一个因震荡无法确定具体值。 乍一看，这句话有点难理解，我们举个例子吧，比如这个函数，当 x 趋近于零时， x 分 之一趋近于无穷大，此时函数的极限等于 sine 无穷大 算无穷大等于什么？不确定，但我们知道， x 分 之一趋近于无穷大时，函数仍然是在负一到一之间震荡的，这就是所谓的因震荡导致无法确定具体值。 好，具体是什么样的点才有资格成为间断点呢？一般是分段点或者无定义点。 比如这道题，它不是分段函数，所以没有分段点。那我们看看有哪些无定义点。很明显，分母为零时，函数无定义 很容易可以求得，无定义点为 x 等于零， x 等于一。 然后我们判断一下这两个点的类型。先看这个点，该点处的左极限等于负一，右极限也等于负一， 因为左右极限都存在并且相等，所以 x 等于零是可去间断点。 再看 x 等于一这个点，因为该点处的左极限等于无穷大，所以 x 等于一是无穷间断点。 而这道题问我们第一类间断点的个数，很明显只有 x 等于零这个点符合答案，是一个 go to。 同学们好，我是一分钟老师。接下来我们学习导数与微分的第一课，函数的刻度性。本课非常简单，题目一般会给出一个分段函数，并让我们判断该函数在分段点处是否刻到。 遇到这种题目，我们需要先判断函数在分段点处是否连续，如果不连续，那么一定不可导，如果连续，就继续求左导数和右导数，若它们都存在切值相等，则函数在分段点处可导。 好搞明白了流程，我们先来判断是否连续吧。这个在函数的连续性的课时已经讲过，所以就不细讲了，很容易可以证明出函数是连续的。 好，既然连续，我们就继续执行流程，求出左导数和右导数。先求左导数吧，它等于这个式子。此时有的同学会问了，这个式子怎么来的，我记不住。 其实很简单，这条直线的斜率你会求吧，等于纵坐标的差值，除以横坐标的差值，有没有发现它其实就是这个式子？ 然后我们求一下这个极限，很容易可以求得，结果失灵。 接着我们求右导数，它跟左导数的式子是一样的，并且极限也很好求，很容易可以求得，结果是一 好。左导数等于零，右导数等于一，它俩并不相等，所以函数在分段点处不可导。 本节课我们学习基本求导公式与法则，虽然这节课是高中知识，但由于有些同学已经忘记了如何求导，不如带大家再重新学一遍吧。 先看基本求导公式，一共有三组，第一组是这六个常数的导数等于零，这个大家都知道，就不多说了。 x 的 缪四方的导数也很有规律，它等于把缪拿到最前边，然后指数减一。再看这两个，它们都非常好记，一的 x 四方求导等于它本身，然后 x 求导等于 x 分 之一。 好，记住它俩以后，我们也就顺便记住了这俩公式，无非就是多出来个老 n a 而已。 接着来看第二组，三角函数也是有六个， sine 求导式 cosine 求导式负 sine tangent 求导带 sine tangent 求导带 tangent cosine 求导带 cosine 求导带 cosine。 注意名字读音里带扣的导数有符号。 最后来看第三组反三角函数，只有四个公式，也很好记。求导结果不是等于这个式子，就是等于这个式子，但名字读音里代扣的导数有符号。 接着我们学习基本求导法则，两个函数先相加再求导，等于这俩函数先求导，再相加，相减也一样，就不多说了。 然后是两个函数相乘再求导，它等于前导后不导加，前不导后导。注意，如果是对常数倍的函数求导，就把常数单独拿出来，仅对函数求导即可。 然后是两个函数相除，在求导，它等于分母的平方分之分子导，分母不导减，分子不导分母导读起来像绕口令，但其实并不难记。 最后简单说说复合函数求导。大家都知道 c next 的 导数等于 cosinex， 那 么 sin 二 x 的 导数等于什么呢？很简单，先照着葫芦画瓢，再乘上内层函数的导数。 同理，我们知道 e 的 x 次方的导数等于它本身，那么 e 的 负 x 次方的导数就等于先照着葫芦画瓢，再乘上内层函数的导数。 好，我们加大一点难度， e 的 三、二、二 x 四方的导数等于什么？仍然是先照着葫芦画瓢，再乘上内层函数的导数，而这个内层函数的导数我们刚才算过，也就是它。 接下来我们学习导数与微分的第二课，引函数求导。引函数大家可能听着比较陌生，但显函数应该就很熟悉了。比如 y 等于二， x 加一， y 等于 sin， x 加幂幂， x 加 x 方 等号左边只有 y， 右边只有 x， 俩字母各玩各的，不乱掺和，所以叫显函数。那隐函数呢，就是 x 和 y 掺和到一块了， 比如这个等式等号左边既有 x 又有 y， 由这种等式确定的函数就叫隐函数。 在考试时，题目一般会让我们求引函数的一阶导或导数值。请大家记住，引函数求导的方法就是让这个等式的两边同时对 x 求导。 那我们一项一项的求吧，这一项对 x 求导等于什么？有的同学会说， e 的 y 次方求导等于它本身 错，如果是对 y 求导的话，才是这个结果。可我们是要对 x 求导，并且 y 是 x 的 函数，所以应该把 e 的 y 次方当做复合函数。复合函数求导还要在后边乘上那层函数的导数。 再看第二项，两项相乘的导数等于前导后不导加前不导后导。再看等式右边这项常数的导数等于零。然后我们化简一下，这个等式，很容易可以求出 vip 等于它 好， y p 知道了，我们再求 y p 零。 y p 零等于什么呢？它其实就是当 x 等于零时， y p 的 值，也就是把 x 等于零带入 y p 的 表达式算出来的结果。 这里大家注意了，式子里还有字母 y， 而 y 又是 x 的 函数，当 x 变成零式， y 也应该变成对应的具体值，而不是保持未知数状态。 那么问题来了，如何知道 y 的 具体值呢？非常简单，我们只需将 x 等于零代入题干给的方程，很容易就可以求得 y 的 值是零，所以这个式子里的 y 应该变成零，也就是说，最终结果等于零。 最后，如果题目让我们继续求而解答，你还会做吗？ 接下来我们学习导数与微分的第三课，参数方程。求导题目一般会给出一个大括号，并且告诉我们 x 是 t 的 函数， y 也是 t 的 函数，让我们求 y 对 x 的 导数 非常简单，我们只需求出 y 对 t 的 导数以及 x 对 t 的 导数，二者相处就是 y 对 x 的 导数。 首先根据这个等式，我们很容易可以求出 y 对 t 的 导数，等于它。然后根据这个等式，我们也很容易可以求出 x 对 t 的 导数，等于它。 最后两个结果相除，就是 y 对 x 的 导数。 在考试时，题目有可能让继续求二阶导，这个二阶导其实就是一阶导对 x 的 导数。 还是一样的做法，我们只需求出一阶导对 t 的 导数以及 x 对 t 的 导数，二者相处就是一阶导对 x 的 导数，也就是二阶导。 那么接下来我们就求一下这两个导数吧。其中 x 对 t 的 导数前面已经求过了，那我们只需求一阶导对 t 的 导数就可以了，这个一阶导就是它，所以一阶导对 t 的 导数等于这个式子 化简一下很容易可以求得结果。是的，最后两个结果相处就是二阶导。 接下来我们学习导数与微分的第四课，函数的微分题目一般会给出一个函数的表达式，必让我们求该函数的微分。 这个 dy 我 们看着有点萌，但 dy 除以 dx 大家都很熟悉吧，它不就是 y 对 x 求导吗？ 因为 y 是 这个式子，所以 y 对 x 求导就等于前导后不导加前不导后导，其中它求导等于二 x， 它求导等于二 x 加一分之一，再乘上二 x 加一的导数， 化简一下很容易，可以求的结果是，它好， d y 除以 d x 等于它，那 d y 就 等于它乘上 d x。 接下来我们学习导数与微分的第五课，高阶导数题目一般会给出一个函数的表达式，并让我们求不低于二阶的导数。 非常简单，我们直接开求，因为 y 等于 cosine x， 所以 一阶导等于它，二阶导等于它，三阶导等于它，四阶导等于它，五阶导等于它。停，先别求了， 我们发现五阶岛的结果跟一阶岛相同，说明每次阶是一个周期，而题干让我们求十阶岛，很明显，十阶岛是它。 接着我们提升一点难度来看这道题。对于这种两函数相成的情况，我们通常使用莱布尼茨公式来求高阶导数，它看着挺复杂，其实非常有规律。我们直接以这道题为例，帮助大家记忆一下公式吧。 本题要求十阶导，那就写 c 十零加 c 十一，加 c 十二，加 c 十三，一直加到 c 十十。 然后依次写前面函数的十阶导，九阶导、八阶导、七阶导，一直到零阶导。最后依次写后面函数的零阶导，一阶导，二阶导，三阶导，一直到十阶导。 好，写完了，是不是非常有规律？那接下来我们具体求一下这三行式子吧。先挑好求的部分， x 方的零结导是什么东西？请记住，零结导就是不求导，也就是函数本身。 x 方的一阶导呢，就是 x 方的导数，也就是二 x。 二阶导呢，就是一阶导。再求导一阶导，我们刚才求过，所以这个二阶导等于二 x 的 导数，也就是二。 同理，三阶导呢，等于二阶导的导数，也就是零。因为零，继续求导永远还是零，所以从这项开始，一直到最后一项，每一项都会乘上零，也就是说这些项都等于零。 这也正是把两函数互换位置的原因所在。利用 x 方的高阶导数先归零的特点，把它看作微，可以避免无意义的计算。 好，我们继续求吧。 cosine x 的 十阶导，九阶导，八阶导，我们在上一题求过，这里就不再多说了。 好，我们整理一下，再求这几个 c 某某。其中 c 十例就是从十个里边选零个，只有一种情况。 c 十一就是从十个里边选一个，有十种情况。 c 十二就是从十个里边选两个。有这么些种情况。好，这个式子求完了，化简一下很容易可以求得，结果是他。 大家好，我是一分钟讲数学。接下来我们学习微分钟值定理与导数应用的第一课，天街功法。这套功法可以帮大家迅速记牢三大微分钟值定理的内容。 先来看拉格朗日中值定律，这个非常好记，若函数在 b 区间上连续且在开区间内刻到，则至少存在一点克希，属于这个开区间，使得自等式成立。 这个等式乍一看很陌生，但我们给他改写一下，把 b 减 a， 出到等号左边，就似曾相识了。 这条直线的斜率你会求吧？等于纵坐标的差值，除以横坐标的差值，有没有发现它其实就是这个式子？ 好，那定记住了。接着我们令这个分子等于零，也就是令 f a 等于 f b， 这样就不小心得到了罗尔定律。当然，这个式子还要继续化解 好，鲁尔定律也记住了。 最后我们来看克希终止定律还是从拉丁入手，如果不小心额外引入了另一个函数，还把这个等式的小 f 换成了该函数， 二者相处再化解一下，就能得到克希终止定律。 注意 fp 作为分母不能为零，所以要再加一个条件。 接着我们学习罗尔定律相关的证明题，题目都像这题这样，给出一堆跟罗尔定律相似的套话，让我们证明还有 fp 可 c 的 等式。 遇见这样的题目，我们二话不说，先把罗尔定律的内容抄下来，并把若则分别改成因为，所以同时把 a、 b 改为题杠给的零一。 然后我们再开头设大 f x 等于某个式子，具体是哪个式子还不知道。 我们通过罗尔定律证明的是大 f p k c 等于零，而此题证明的是这个式子等于零。所以我们要想办法让大 f p k c 跟这个式子扯上关系，要么大 f p k c 等于它， 要么大 f p 可 c 等于它。乘上一个不等于零的式子，进而推出待正等式。好，我们先假设大 f p 可 c 等于这个式子吧，那么大 f p x 就 等于它，也就是说谁的导数等于它，谁就是大 f x， 很明显，这个式子的导数等于它，所以这个式子就是大 f x， 这样大 f x 就 射出来了。 接着我们通过大 f x 的 表达式，很容易可以求出大 f 零和大 f 一 的值都等于零，这样题目就正出来了。 最后给大家说一下这类题的最大难点，就是这个大 f x 的 表达式非常难想，比如这道题，我们根本就想不到设大 f x 等于它，这怎么办呢？别慌，还有小妙招。 我们看这个待正等式，它可以变成这样，因为 x 求导等于 e， 所以 大 f x 等于 e 的 x 次方程 f x。 同理，这个带正等式可以变成这样，因为劳恩 x 求倒等于 x 分 之一，所以大 f x 等于一的劳恩 x 次方乘 f x。 嗯，怎么跟它不一样呢？哦，原来一的劳恩 x 次方就等于 x。 接着我们学习拉格朗日中值定律相关的证明题，题目一般像这题这样，给出一堆跟拉格朗日中值定律相似的套话，让我们证明含有函数值的差的等式。 遇见这样的题目，我们二话不说，先把拉格朗日中值定律的内容抄下来，并把弱则分别改成因为，所以同时把 ab 改为题干区间里的数， 因为题干区间里也是 a b， 所以 不用改了。然后我们再开头设大 f x 等于某个式子， 具体是哪个式子呢？我们观察一下拉格朗日中置定律的函数差和本题带证明的函数差。不难发现，如果大 f x 等于 x 倍的小 f x， 那 么大 f b 就 等于它，大 fn 就 等于它， 这样就正好得到了带正名的函数差。接着我们通过大 f x 的 表达式，很容易可以求出大 f p x 等于它， 那么大 f p c 就 等于它，这样就得到了带正名的等式。 接着我们学习用拉格朗日中置定律证明不等式题目，一般像这题这样，让我们证明一个不等式且不等式中含有函数值的差。 遇见这样的题目，我们二话不说，先把拉格朗日中置定律的内容抄下来，并把弱则分别改成因为，所以同时把 a、 b 改为题干区间里的数。 因为题干没有明确给出区间，所以这些 ab 先不改，一会儿再说。然后我们再开头设 f x 等于某个式子，具体是哪个式子呢？我们观察一下拉格朗日中置定律的函数差和不等式的函数差。 不难发现， f 就是 劳恩 b 就是 一加 x， a 就是 一，所以 f， x 就是 劳恩 x， 这些 a 和 b 就是 一和一加 x。 接着我们通过 f x 的 表达，是很容易可以求出 f p， x 等于它， 那么 f 撇可 c 就 等于它。其中这个括号还可以继续化解，结果是 x。 然后我们看可 c 的 去值范围，因为可 c 属于一到一加 x， 所以 可 c 是 大于一小于一加 x 的， 通过它，我们很容易可以推出这个不等式。 而这个不等式中间的部分我们刚才求过，就是它。 最后提醒一下，因为这个劳恩 e 等于零，所以真正的考题一般会去掉这一项，导致我们找不出函数差，也就想不到使用拉格朗日终止定律。但如果实在想不到也没关系，我们下节课讲一种更通用的方法。 大家好，我是一分钟讲数学，接下来我们学习本章的第二课。函数的单调性非常简单，会求导就行。 如果导数大于零，那么函数单调递增。如果导数小于零，那么函数单调递减。 比如这个函数求导之后是这个结果很明显，但 x 大 于零时，这个导数的结果就是大于零的。此时 f x 在 x 大 于零的区间上单调递增。 单调递增说明什么？说明函数图像的走势是上升的，也就是说 x r 大 于 x 一 时， f x r 大 于 f x 一 对应的 x 大 于零时， f x 大 于 f 零， 其中 f x 等于它， f 零等于它。化简一下很容易，可以求出这么一个不等式。 同理，对于这个函数，当 x 大 于零时，它的导数是小于零的， 此时 g x 在 x 大 于零的区间上单调递减，也就是说，当 x 大 于零时， g x 小 于介零， 其中 g x 等于它， g 零等于它。化简一下很容易，可以求出这么一个不等式。 这样我们就学会了利用单调性来证明不等式。那么考试遇到这种题，你应该会做了吧。 接着我们学习记知识点和记值，题目都像这题这样给出一个函数，让我们求记知识点和记值，非常简单。遇见这样的题目，我们按照流程来做就可以了。 首先是第一步确定定义域，很明显， x 可以 取到任意时数，所以定义域是富无穷到正无穷。接着我们求导这个函数的导数很好，求求出来是这个结果。 好，导数都求出来了，极值点还会远吗？可能的极值点其实就两种，我们挨个找找啊。先找不可导点， 因为这个导数结果离的分母不能等于零，它要是等于零，这个分式就没有意义，导数也就不存在了。所以 x 等于零就是不可导点。 好，不可导点找到了，我们再来找注点，注点就是令导数等于零后求出的 x 值， 这个导数我们刚才求过，是这个结果，那我们令它等于零，很容易可以求出 x 等于它俩，这样我们就求出了可能的极值点，也就是它们三个。 最后我们画表，表看着很复杂，其实很简单，也很有规律。比如第一行，它就是根据定义域以及可能的记值点，按从小到大的顺序写出来的。 好，写出第一行了，那第二行也就算出来了。比如 x 等于零时，导数不存在， x 等于它时，导数等于零等等，都是可以通过导数的表达式算出来的。 那第三行呢？也很简单，上节课讲过，如果导数大于零，那么函数单调递增，如果导数小于零，那么函数单调递减。 其中这种先减后增的就是极小值，这种先增后减的就是极大值，其他情况不是极值。 所以我们就知道了，极值点是他俩，极值是他俩。 本节课我们学习最值最值啊！跟上节课讲的极值的做题流程很相似，也是先确定定义域，再求导，然后找可能的极值点，这三步是完全一样的。 好，找到可能的极致点以后，我们要看看那些点是在要求最值的范围里的，在范围里的点需要挨个求出其对应的函数值，不在范围里的点就不用求了。 很明显，负九分之根三、零九分之根三都在负一到一的范围里，所以要挨个求出它们的函数值。好，我们求吧，把负九分之根三代入函数的表达式，可以求出这个结果， 这俩也一样，代入函数的表达式可以求出这俩结果。 最后我们还要求出负一和一这两个端点的函数值。 很明显，在这些结果里，它最大，它最小，所以我们可以写出结论，最大支持它，最小支持它。 本节课我们学习凹凸性与拐点，非常简单，先确定定义域，再求二阶导就可以了。因为这个函数里的 x 可以 取到任意实数，所以定义域是富无穷到正无穷。 接着我们求二阶导，二阶导就是一阶导再求导的意思。那我们先求一下一阶导吧， 这个函数的一阶导很好求，求出来是这个结果。我们对这个结果再求导，就得到了二阶导。 好，二阶导都求出来了，凹凸区间还会远吗？我们令二阶导大于零，就可以求出凹区间，令二阶导小于零，就可以求出凸区间。也就是说，我们解一下这两个不等式，凹凸区间就出来了。 因为指数函数是恒大于零的，所以不等式两边同时除以这个指数函数不用变好，化简一下很容易可以求得。凹区间是它，凸区间是它 好，凹凸区间求出来以后，我们就可以求拐点了，拐点就是凹凸区间的交界点。很明显，凹凸区间的交界点是二，所以拐点就是 x 等于二所对应的点。 我们将 x 等于二代入函数表达时，很容易可以求出 y 的 知识的，这样拐点就求出来了。 本节课我们学习趋律，题目都像这题这样，给出一个曲线方程，让我们求某点处的趋律，非常简单，记住这个公式就可以了。 不难发现，要想用这个公式，必须先把一阶导和二阶导求出来。那我们分别求一下吧。这个函数的一阶导很好求，求出来是这个结果。我们对这个结果再求导就得到了二阶导。 好。一阶导和二阶导都求出来了，这题基本就做完了。因为题目求的是这个点出的趋率，所以我们要求出这个点出的一阶导和二阶导，然后再代入公式中求出趋率 k。 很明显，当点的横坐标取二，也就是 x 等于二十，一阶导等于零，二阶导等于二。我们将这俩结果带入去律的公式中，很容易可以求得去律， k 等于它 在考试时，题目有可能再加一问，让我们求去律半径，请记住，去律半径等于去律分之一。 本节课我们学习渐近线，题目都像这题这样给出一个函数，让我们求渐近线， 非常简单，依次求这三种渐近线就可以了。先看第一种渐直线进线，请记住，求渐直线进线就相当于求无穷间断点， 这个函数的无穷间断点，我们在间断点那一刻求过，是 x 等于一，所以 x 等于一就是先直径进限， 再看第二种水平渐进限。这个更简单，求一下函数在 x 趋近于正无穷和负无穷时的极限就可以了。 求极限是前面学过的知识，这里就直接把过程展示给大家吧，不熟练的同学可以暂停一下，仔细看看 好。因为极限结果是零和负一都不是无穷大，所以 y 等于零和 y 等于负一，都是水平渐近线。 注意，这里有个小技巧，当你求出了两条水平渐近线的时候，你可以直接判定函数没有斜渐近线。但如果你只求出了一条水平渐近线，或者没有水平渐近线，你就要继续验证有没有斜渐近线了。 具体怎么验证，我们下节课再讲，毕竟这道题已经求出最终结果了， 本课我们重点研究水平渐近线和斜渐近线的关系。顾名思义，水平渐近线就是水平的，所以用 y 等于某数来表示。斜渐近线就是倾斜的，所以用 y 等于 a， x 加 b 来表示， 其中 a 代表斜率，它不能等于零，要是等于零，就变成水平渐近线了。 也就是说，这两种渐近线是相互冲突的。展开来说就是，如果我们在 x 趋近于正无穷和 x 趋近于负无穷的方向上都求出了水平渐近线，那么这两个方向上必然没有斜渐近线。 如果我们只在一个方向上求出了水平渐近线，那么该方向上必然没有斜渐近线。而另一个方向上有没有斜渐近线不确定，还需要继续验证。 如果我们在两个方向上都没有求出水平渐近线，那么这两个方向上有没有斜线渐近都不确定，都需要继续验证。 好，我们以这题为例，具体讲一下吧。上节课讲过，要想求水平渐近线，那就求一下函数在 x 趋近于正无穷和负无穷时的极限就可以了。 很明显，当 x 趋近于正无穷时，极限结果等于正无穷，此时没有水平渐近线。当 x 趋近于负无穷时，极限结果等于零，此时 y 等于零，是水平渐近线。 好，我们只在 x 趋近于负无穷这个方向上求出了水平渐近线，那么该方向上必然没有斜渐近线。我们只需验证 x 趋近于正无穷的方向上有没有斜渐近线就可以了。 求斜渐近线，用这套流程来做，其中 x 趋近于负无穷的方向上不用分析了，刚才已经说过，此方向上必然没有斜渐渐线，那我们来分析正无穷的方向， 因为这个极限是无穷比无穷型的，所以我们可以使用洛必达法则，很容易就可以求得极限，结果为正无穷。而这个正无穷并不是常数，所以根本求不出非零常数 a， 那 么 b 也就没法求了，斜线进线也就不可能存在了。 大家好，我是一分钟讲数学，接下来我们学习不定积分。不定积分额其实非常好理解，它本质上就是求导的逆运算， 比如 x 求导等于一，那么一的不定积分就等于 x 再加上常数 c。 再比如 sin x 的 不定积分就等于 sin x 再加上常数 c。 为什么要加常数 c 呢？因为不只是 x 的 导数等于一 x 减一， x 加二， x 加一方等等，它们的导数都等于一，所以我们要在后边加上常数 c 来覆盖所有情况。 同理，不只是 sine x 的 导数等于 cosinex， sine x 加任意常数的导数都等于 cosinex， 所以 我们也要在后边加上常数 c。 总之就一句话，不定积分的结果要加 c。 好，现在你已经掌握了第一种求不定积分的方法，只要能知道谁求倒等于背记函数，那么背记函数的不定积分就等于谁加 c。 其实对于这种非常简单的不定积分，教材已经帮我们整理好了一张基本积分表， 乍一看内容很多很难记，但其实你只要熟练掌握了前面学过的求导公式与法则这些，就不用围外记忆了，因为表中的结果，求导之后都能很容易的得到背记函数 最后不定积分还有两个非常简单的性质需要大家记住。第一个是俩函数先相加，再求不定积分，等于它俩先分别求不定积分，再相加相减也一样，就不多说了。 第二个是当被记函数为非零常数倍的某函数时，该非零常数可以提到前面。 接着我们学习不定积分的第二课。第一类，换元法。当我们遇到的题目不能直接使用上节课的公式时，我们会优先考虑该方法。 比如这道题，虽然我们知道 e 的 x 次方的不定积分公式，但这里给出的是二 x 多了个二，这样就没法直接套这个公式了。 那怎么办呢？很简单，换元位我们设 u 等于二 x， 那 这个被积函数就变成了 e 的 u 次方， 但只变这部分还不够，后边还有个 d x 呢， d x 咋变？ 既然我们知道了 u 等于二 x 四，那么 u 对 x 求导等于什么？很明显，等于二。根据这个式子，我们很容易就可以得出 d x 等于二分之一倍的底油，这样我们就可以用这个结果来替换 d x。 上节课讲过被极寒数理的常数因子可以提到前面。好，现在这个积分你应该会求了吧，直接套公式就可以了。 注意这里的括号要去掉，不去掉就会出现二分之一倍的 c。 这里写二分之一倍的 c 和直接写 c 本质上是一个意思，都表示任意常数，所以不如直接去掉括号，这样省不周。 最后千万不要忘记把 u 再换回二 x 四。 好，这就是第一类换元法的解析流程。是不是挺简单的，我们来总结一下解析技巧啊！要想用第一类换元法，我们要先观察背机函数，看看哪部分让我们比较难受，大概率把这部分设为优就能做出来了。 如果还是做不出来，说明 u 设的不对，或者这道题不能用第一类换原法来做。下节课我们找几道题给大家具体讲讲如何设这个 u 吧。 本课我们研究第一类换元法，如何精准换元。先看这道题，虽然我们知道 cosinex 的 不定积分公式，但这里给出的是二 x， 不是 x， 非常难受，所以我们设 u 等于二 x 四，然后再按照上节课讲的流程做就可以了。 再看这道题，虽然我们知道 x 分 之一的不定积分公式，但这里给出的是三加二 x， 不是 x， 非常难受，所以我们设 e 又等于三加二 x， 然后再按照上节课讲的流程做就可以了。 再看这道题，直接呆住，因为难受的地方太多了，射它为右还是射它为右还是射它为右呢？总不能挨个试一遍吧。 其实这种题目有个小技巧，先把背接函数写成两相相成的形式，然后我们会发现这一项里的内层函数求导之后正好等于非零常数倍的另一项， 这个时候我们就找到 u 了，设 u 等于这个内层函数，然后再按照上节课讲的流程做就可以了。 类似的还有这道题，这道题，这道题它们都符合其中一项里的内层函数，求导之后正好等于非零常数倍的另一项，而这个内层函数也正是我们要设的 u。 最后，这个第一类换元法要想熟练掌握是比较有难度的，很多题目都需要先转化一下，再使用刚才讲的技巧才能做出来。 因为这个转化的过程比较难想，所以大家一定要多刷刷该知识点的课后习题，遇到不会的可以问问豆包呀！ 接着我们学习不定积分的第三课，第二类换元法。这个方法主要针对有根式的情况，当背及函数含有这种类型的根式时，我们可以令替等于这个根式，这样题目就可以做出来了。 比如这道题，我们令 t 等于它，那这个分母就变成了 t， 但只变这部分还不够。式子中还有 x 和 d x 呢，它们怎么变呢？ 非常简单，因为 t 等于三次根号下 x 加二，所以 t 的 三次方就等于 x 加二， x 等于 t 的 三次方减二，那么 x 对 t 求导就等于三 t 方。 根据这个式子，我们很容易就可以得出 d x 等于三 t 方程 d t， 这样 x 和 d x 就 都求出来了。我们用这俩结果来替换这个 x 和 d x 可以 变成这样。 好，现在这个积分你应该会做了吧？ 注意，千万不要忘记把结果里的 t 再换回去。 好，这就是第一种情况，特点是背记函数有根号，其根号下的 x 是 一次方。 本课我们研究是用第二类换元法的第二种情况，当背记函数含有这三种类型的根式时，我们可以使用三角代换，也就是令 x 等于它们。那么问题来了，如何快速记住哪种类型对应哪种三角代换呢？ 非常简单，先画一个锐角为 t 的 直角三角形，然后根据这个根式，再结合勾股定律，我们可以写出一个这样的等式， 很明显，三角形的斜边是 a， 直角边是他们。注意，这里我们要让 x 作为角 t 的 对边。 好，现在通过这个直角三角形，我们可以得出四按 t 等于 a 分 至 x， 进而可以推出 x 等于 a 乘以四按 t， 这样不就记住了吗？ 同理，根据这俩根式，我们也可以写出这俩勾股式，进而画出这俩直角三角形。注意，也是要让 x 作为角 t 的 对边， 然后分别通过贪整题和 cosine t 的 关系式，很容易就可以推出这俩三角代换的式子。 好，我们来做一道具体的题目吧。因为背极函数还有根式，其根式可以写成根号下 x 方减一方，符合这种类型，所以我们令 x 等于一倍的四 cosine t。 当然，这个式子你记不住也没关系，我们可以画直角三角形来推导。通过这个直角三角形，我们可以得出 cosine t 等于它贪婪， t 等于它。 这样我们不仅知道了 x 等于 c 看的题，还顺便知道了根号下 x 方减一等于贪婪的题。 现在带球机分离的 x 和根式都变成关于 t 的 式子了，只剩下这个 d， x， 它怎么变呢？很简单，因为 x 等于它，所以 x 对 t 求导等于这个结果。 根据这个式子，我们很容易就可以得出 d， x 等于它。好，现在这个带球积分我们就分析完了，它可以变成这样化解一下，很容易可以求得结果是 t 加 c， 最后千万不要忘记把 t 再换回去。 好，这就是第二种情况，特点是背记函数有根号，且根号下的 x 十二次方。 本课我们继续研究适用第二类换元法的第三种情况。当背记函数含有两种以上次数不同的根式时，我们可以令 t 等于 k 次根式， 其中 k 是 这些根式次数的最小公倍数。比如这道题，被极函数的分母有两种根式，并且一种是二次的，一种是四次的。 很明显，二和四的最小公倍数是四，所以我们令 t 等于四次根号下 x， 然后再按照前两节课讲的套路做就可以了。 简单来说，就是先把带球积分里关于 x 的 项换成关于 t 的 项，再对背集函数进行化解， 然后使用一些小技巧，将背集函数变成能使用基本积分公式的样子，进而求出结果，最后别忘了把替换回去。 好，这就是第三种情况，特点是背记函数含有两种以上次数不同的根式，但根号里的式子相同，且 x 是 一次方。 接着我们学习不定积分的第四课，分布积分法。当背记函数是两种不同类型的函数相乘时，我们通常使用这个方法，也就是套这个公式。 那么问题来了，如何快速记住这个公式呢？非常简单，俩函数乘积的导数你会求吧？等于前导后不导加前不导后导。 我们对等式两边同时求不定积分，可以得到这个等式。其中这个 u v 先求导再积分，相当于先降级再升级，结果还是它本身， 这样我们就得到了分布积分法的公式。 好，我们来做一下这道题吧。对照一下公式，我们不难发现， x 方和 cosinex 肯定有一个是优，另一个是 vpn， 那 我们选谁当优呢？ 江湖上有个口诀，反对密三指，因为密函数的优先级高于三角函数，所以选择 x 方当优，那么 cos x 就是 微撇了， c x 就是 微了。 好，现在这个公式就可以用了， 其中 x 方的导数等于二 x， 且这个常数二可以提到前面， 那么接下来的任务就是算它了。很明显，这个背积函数也是两种不同类型的函数相乘，所以我们要再次使用分布积分法。 最后给大家留一道练习题吧，相信你已经会做了， 接着我们学习不定积分的第五课，有理函数的积分。有理函数啊，都是像他们这样有分子和分母，且分子分母都是由密函数和常数组成的多项式。 当然这种的也属于有理函数，毕竟你可以强行给分母变成一，但它太简单了，没有研究价值。我们主要研究这种较复杂的有理函数， 比如这道题，它的背及函数就是比较复杂的有理函数。遇见这种题目，我们首先要观察这个有理函数是真分式还是假分式。如果分子的最高次数小于分母的最高次数，就是真分式，其他情况就是假分式。 很明显，分子的最高次数是五，分母的最高次数是三，并不满足这种情况，所以是假分式。 当这个被积函数是假分式时，我们需要把它转化成整式加真分式的形式。如何转化呢？很简单，使用多项式常除法就可以了。 具体步骤是，先把分子拿过来给他盖个场，并把分母放在场外面。然后我们算一下场里的手相。除以场外的手相等于什么？很明显，等于 x 方 算出结果以后，我们再用这个结果乘以它可以得到这个式子。接着我们让上式减下式可以得到这个式子。 然后我们重复上述操作，继续算一下这个手相除以场外的手相等于什么？很明显，等于 x 算出结果以后，我们再用这个结果乘以它可以得到这个式子。 接着我们让上式减下式可以得到这个式子。 然后我们重复上述操作，继续算一下这个手相除以场外的手相等于什么？很明显，等于一算出结果以后，我们再用这个结果乘以它可以得到这个式子。 接着我们让上式减下式可以得到这个式子。 好，现在这个手相的次数终于比他小了，说明真分式已经出来了。原来这个假分式就等于这个手加上于式除以分母， 这样我们就得到真分式了。后续我们继续学习如何将真分式拆分成若干个简单分式，并最终求出不定积分。 本课我们学习如何将真分式拆分成便于积分的简单分式，非常简单，共有两步。第一步是对真分式的分母进行因式分解。比如这个真分式，它的分母可以先提出一个 x， 然后这个 x 方减一，可以继续分解为 x 减一，乘 x 加一，这样分母的英式分解就完成了。注意，英式分解一定要进行到最后一步，不能只到这种程度，要分解到不能再分解为止。 如果有的同学对英式分解掌握的不太熟练，可以到我的主页点开中考数学合集，看一下这两个视频。 好。因子分解完成之后，我们进行第二步拆分。拆分其实很有规律，只需看一看括号外面和括号里面的次数就可以了，那么我们就以这个真分式为例来拆分一下吧。 首先我们看一看分母中每个音是括号外面的次数。第一个音是括号外面的次数是一，那么该音是可以分配出一项。第二个音是括号外面的次数是三，那么该音是可以分配出三项。 第三个音是括号外面的次数是二，那么该音是可以分配出两项。 接着我们看一看每个英式括号里面 x 的 最高次数。很明显，第一个英式括号里面 x 的 最高次数是一，那么该英式所分配象的分子就是某个常数。 第二个音是括号里面 x 的 最高次数也是一，那么该音是所分配象的分子，也是某个常数。第三个音是括号里面 x 的 最高次数是二，那么该音是所分配象的分子，就不能只是某个常数了，还额外加一个常数倍的 x。 好，我们再来拆分一下这个真粉饰吧， 这样正分式就拆分完了。下节课我们继续学习如何求出这些待定系数。 上节课我们学会了如何将这个正分式拆分成若干个含待定系数的简单分式，那么本节课我们就继续学习如何求出这些待定系数。 非常简单，通常做法就是先把等式两边变成一样的格式， 然后让等式两边的系数和长数相对应相等，最后解这个大括号，就可以求出待定系数 abc 了。 看到这里有的同学会说，主包主包，你的方法确实很强，但还是太吃操作了，有没有更加简单又强势的方法？ 有的兄弟有的。对于这种拆分后的分母都是一次式的情况，你想求谁，就在等式两边同时乘以谁的分母。 比如你想求 a， 就 在等式两边同时乘以 a 的 分母，然后再令 a 的 分母等于零，那么这个等式右边就只有 a 了，很容易可以求出 a 等于八。 同理，你想求 b， 就 在等式两边同时乘以 b 的 分母， 然后再令 b 的 分母等于零，那么这个等式右边就只有 b 了，很容易可以求出 b 等于负三。 同理，求词也是这么做，这里就不多说了，直接把过程展示给大家吧。 好， a、 b、 c 都求出来了，那这个积分式就彻底拆分完成了。 回到这题，我们会发现，这个被记函数已经变成了便于积分的样子，那它的不定积分就很好求了。 大家好，我是一分钟讲数学，接下来我们学习定积分。定积分啊，看起来挺眼熟，无非就是比不定积分多了一组上下线而已。 要想求它，我们只需在求出不定积分的结果后去掉 c， 并让这个结果的后面也多出一组上下线就可以了。 这里有的同学会说，为什么要去掉 c 呢？带着 c 行不行？很遗憾，带着 c 没有用，计算之后还是会消掉的，所以定积分就别带 c 了。 好，现在你已经熟练掌握了牛顿莱布尼茨公式，来做道题试试吧。首先把背记函数展开，可以得到这个式子， 然后求出他的不定积分，但不要加 c。 最后，把这个上下线放在后面计算一下，很容易可以求得定积分的结果十六分之七。 接着我们学习定积分的第二课，换元法，求定积分。因为这个换元法我们在不定积分那一章已经学过了，所以本科没有什么要学的，只需记住一句话，换元时同步更换上下限。 比如这道题，看着熟悉吧，它的不定积分我们之前求过，先令 t 等于这个根式，再把式子中的 x 和 d x 都替换成关于 t 的 表达式就可以了。 求定积分也是正做，但要特别记住，在换元时把这个上下线也同步更换。那么问题来了，如何更换上下线呢？很简单，原先未知数是 x 时，上线是负一，下线是负二， 现在未知数变成了 t， 也就是三次根号下 x 加二，那上线就会变成三次根号下负一加二，下线就会变成三次根号下负二加二， 化简一下，结果分别是 e 和零，这样上下线就换好了。 接着我们求一下这个定积分，非常简单，无论是化解还是计算，之前的视频都讲过，这里就直接把过程展示给大家吧。 接着我们学习定积分的第三课，分布积分法，求定积分。这个分布积分法也是在不定积分那一章学过的。公式长这样，到了定积分这里，我们只需给公式补个上下弦就可以了。 好，我们来做道题试试吧。对照一下公式，我们不难发现， cosine x 和 e 的 x 四方肯定有一个是 u， 另一个是微偏。 根据这个口诀，我们可以知道，三角函数的优先级高于指数函数，所以选择 cosine x 当 u， 那 么 e 的 x 四方就是微偏。 根据这俩式子，我们可以推出 u p 等于负， c n x v 等于一的 x 次方。好，现在这个公式就可以用了， 其中这部分可以算出来等于负一 这个符号也可以提到前面，那么接下来的任务就是算它了。很明显，这个背积函数也是两种不同类型的函数相乘，所以我们要再次使用分布积分法。 嗯，老师，我怎么感觉不太对，这个倍积函数也是两种不同类型的函数相乘，难道我们还要继续使用分布积分法吗？ 不用了，因为带求积分等于这个式子减积分本身，所以两倍的带求积分就等于这个式子跨界一下，积分就求出来了。 大家好，我是四分钟讲数学。接下来我们学习定积分的第四课公式与性质。掌握了本节课的内容，我们在计算定积分时，大概率能减少工作量。 比如这道题，被极函数的图像是个半圆弧，且积分上下限时， x 等于零， x 等于一，那么它们与 x 轴所围成的图形，即这个四分之一圆的面积，就是定积分的结果。 嘿嘿，是不是非常痛快？好，我们开始本节课的学习吧！首先，不定积分的这两条性质大家还有印象吧， 到了定积分这里，不会上下限后依然成立。然后大家要记住，定积分的结果跟面积有关，比如这道题大家应该都会做吧，结果是四， 如果我们画一下背机函数的图像， 你会发现，函数图像与 x 轴以及 x 等于上下线所围成的图形，即这个三角形的面积就是定积分的结果。 好，这是围成的图形在 x 轴上方的情况。如果我们把积分上下线改一下，你会发现，围成图形的面积取负号就是定积分的结果。 好，这是围城的图形在 x 轴下方的情况。如果我们再次把积分上下线改一下， 你会发现围城的图形有两部分，并且 x 轴上方的图形面积减去 x 轴下方的图形面积，就是定积分的结果。 好，明白了定积分跟面积的关系，本科的这些公式其实就都记住了。比如第一条，它是说变量从 x 改成 t， 定积分结果不变。我们刚才讲过，这个定积分的结果就是围成的三角形的面积， 现在你把 x 都改成 t， 围城的三角形还是长，这样，面积根本不会变，所以定积分的结果也不会变。第一条成立， 再看第二条，它是说积分上下限相等时，定积分直接等于零。还是这个例子，当上下限相等时，围城的图形就是一条线段， 很明显线段的面积是零，所以定积分的结果就是零。第二条成立， 再看第三条，它是收一段区间的定积分，可以拆分成两段之和，这个也很好理解，因为这块三角形的面积肯定等于两块之和。 再看第四条，积分上下线互换，前面要加个符号， 它本身就非常好记。如果非要推倒的话，可以试试把上个公式里的 c 改成 a， 这样等号左边就是零。根据它，我们很容易就可以推出第四条公式。 好，再看最后两条，也都很好理解记。函数就是关于坐标原点对称的函数， 很明显，这个定积分的结果就是 x 轴上方的图形面积减去 x 轴下方的图形面积，也就是零， 而偶函数呢，就是关于 y 轴对称的函数。很明显，这个定积分的结果是整块图形的面积，这个定积分的结果是半块图形的面积，所以这俩定积分是两倍的关系。 好，本课结束， 上节课我们学习了定积分的公式与性质，那么接下来咱们趁热打铁，做到提炼练手吧！首先，这个定积分可以拆成两个定积分相加， 然后这个常数可以提到前面。接着我们算一下这俩定积分。请记住，如果定积分的上下线互为相反数，我们要优先使用这两条公式。 因为如果被积函数是积函数，定积分就直接等于零。如果被积函数是偶函数，可以先算一半区间上的定积分，再去两倍。 好，我们看看这个背记函数是基函数还是偶函数吧。很明显， x 的 四次方是偶函数。三 i x 是 基函数。 根据高中学过的函数基友系，我们可以知道，基函数乘偶函数就是基函数，所以 x 的 四次方乘三， x 就是 基函数。 好，老师，这个奇偶性我记不住怎么办？别慌，有小妙招，只要把记函数当做复数，有函数当做正数，你会发现贼好记！ 而且你记住了加法和乘法的奇偶性之后，还能顺便记住减法和除法的奇偶性。 好，回到这题，这个定积分符合这种形式，所以结果是零。 那么接下来的任务就是算它了。很明显， cos 阿拉克斯的四次方是有函数符合这种形式，所以计算它时，我们可以先算一半区间上的定积分，再取两倍。 好，现在只要求出这个定积分，本题结果就出来了，他怎么求呢？你有没有发现，这个定积分有点像一个火箭发射基地，这个是期待塔，这个是火箭本质，这个不知道叫什么。 当我们想发射火箭的时候，就从这个数开始倒计时，四三二一点火。 warning nuclear missile launched this is under attack unit lost。 这样这个定积分就求出来了，化解一下，最终结果十二分之三排。 最后给大家认真解释一下这个定积分是怎么求的。我们用的是华丽式公式，外号也叫点火公式。 公式内容不用记，只需要知道，当背记函数是萨莱克斯的按次方或扣萨莱克斯的按次方时，零到二分之派的定积分可以直接写出来。比如这个定积分，它等于从十开始倒计时， 最后的分子失忆就会点火成功，可以发射火箭。再比如这个定积分，它等于从九开始倒计时， 注意后面不能继续倒计时了，否则分子就没发现了。咱这个倒计时不包含零这个数，所以只能到这一项， 因为最后的分子十二没有数到一，所以点火失败，没有发射火箭。好，相信通过这两个例子，你已经学会了点火公式。 接着我们学习定积分的第五课便上线积分。在本章的第一课，我们学习了牛顿莱布尼斯公式。 根据这个公式，我们不难发现，定积分的结果只与积分上下限有关，与积分变量无关，所以这个 x 可以 换成任意字母。 其实这个性质我们前面也讲过，这里正好从不同的角度再次印证了它的正确性。 好，我们正式开始讲解本节课的内容。既然叫变上限积分，说明积分上限是变化的，不再是这种固定的常数。 比如它就是一个变上限积分，因为 x 取不同的知识，上限会跟着变化，并不是一个固定的数，所以得名变上限。 当我们在考试中遇到被上限积分时，题目的突破点往往都是对它求导，因为求导后你会发现最终结果只剩下个小 f x， 这说明积分上限为 x 时，对被上限积分求导，我们能直接得出答案，只需把背记函数里的变量换成上限 x 就 完事了。 比如这道题，看到变上限积分，我们的突破点就是对它求导。 看到求导何求极限，你能想到什么？很明显是洛必达法则，但使用洛必达法则，极限必须得是零比零型或者无穷比无穷型，这个极限满足吗？满足， 因为我们将 x 去近的数带入后边的式子，所得出的结果里，分子、分母都去近于零， 所以极限是零比零形的。那我们就可以使用洛必达法则，对分子求导是它，对分母求导是它， 但现在这个极限仍为零比零型。大家是否还记得求零比零型的极限？我们还有一种更推荐的方法叫等，叫无穷小替换。通过这个方法，我们可以将 sin x 方替换成 x 方， 化简一下很容易可以求得极限结果为三分之一。好，这就是便上线积分的基础提醒，下节课我们继续研究它的推广。提醒， 本课我们研究变上限积分的推广提，现在上节课大家认识了基础的变上限积分，他求导就是先把背记函数超过了，再把积分变量改成上限。 但在考试时，这个上限有可能不是简单的 x， 而是关于 x 的 复杂式子。遇见这种情况，我们还是先把背记函数抄过来，再把积分变量改成上限，但要额外在后面乘以上限的导数。 啊。老师，这个公式怎么来的？上节课讲过，这个公式是通过牛顿莱布尼兹公式、对等式两边求导得来的， 他也一样求导就是了。通过这个方法，我们可以进一步推出变现积分的公式， 这样在考试时，遇见上下线都有 x 的 积分，我们也会做了。比如这道题，让我们求 g p 零，那先求一下 g p x， 再把 x 等于零带进去就可以了。 因为 g x 是 一个变现积分，所以它的导数可以套用这个公式 化解一下很容易，可以求得 g p x 等于它，那么 g p 零就等于它。 好，这就是变上限积分的推广提醒。因为上下线都不是固定的数，所以改名叫变现积分了。下节课我们继续研究变现积分的推广提醒。 上节课我们做了这么一道题，它比较简单，会套这个公式就行，但题目要想出的难一点，往往会在这个背记函数上搞事情，比如加一个 x 方， 这样我们在求导的时候就没法直接套公式了。那怎么办呢？请大家记住，与积分变量无关的字母可以看作常数， 因为它的积分变量是 t， 所以 x 方可以看做常数，而常数可以提到积分外面， 这样我们就可以继续往下做了。其中这个变现积分的导数可以套用这个公式 化解一下很容易，可以求得 g p x 等于它， 那么 g p 零就等于它。 当然，题目要想出的更难一点，还可以把这个 x 方放到括号里，这样就无法将它提到积分外面了。 遇见这种最棘手的情况，我们就要使用秘法化缘，也就是把含有两个字母的式子变成一个字母。 如果我们另 u 等于这个式子，那么 t 就 等于 u 加 x 方， d t 就 等于 d u， 这样原先的 g x 就 会变成积分变量为优的变现积分。在之前的课时，我们强调过，坏人要同步更换上下限。 原先积分变量是 t 十，上限为 cosinex， 下限为 cosinex。 现在积分变量换成了有，也就是 t 减 x 方，那上限就会变成 cosinex 减 x 方，下限就会变成 cosinex 减 x 方， 这样上下线就求出来了。现在这个变现积分的导数你会求了吧？ 化解一下很容易，可以求得 g p x 等于它，那么 g p 零就等于它。 接着我们学习定积分的第六课，反常积分。既然叫反常，说明积分不正常，那到底怎么个不正常法呢？ 具体表现在两处，一个是在上下线的位置出现了正无穷或负无穷， 另一个是表面看起来很正常，但实际上在积分区间内存在某个点，能使背机函数在该点处的极限等于无穷大。 其实遇见这种简单的反常积分，咱直接把它们当做定积分来计算就可以了。 其中这个正无穷往里带是老安，正无穷也就是正无穷一，往里带是老安一，也就是零，所以最终结果是正无穷， 剩下的这些也是一样的做法，就不一一展示了。 这里有两点需要注意，如果瑕点在积分区间内部，就要先从瑕点处将区间拆分，然后再计算。 如果是这种既有瑕点又有无穷线的，就要先在瑕点和无穷之间找一个数，将区间拆分，然后再计算。当然，咱找的这个数最好是一二，这种好算的数不要用那种灌输。 最后，如果反常积分的结果是个确定的值，那么该反常积分就是收敛的。如果结果是震荡不存在或含有无穷大，那么该反常积分就是发散的。 大家好，我是一分钟讲数学，接下来我们学习定积分的应用。要掌握这一张的内容，必须得会画函数图像。比如这道题，你至少要知道 y 等于 x 分 之一是这样画的。 画出函数图像之后，你才能知道它与 x 等于一， x 等于二，以及 x 轴所围成的图形长啥样，进而求出面积。 那这个面积咋求呢？在前面的课时，我们讲过，当围城的图形在 x 轴上方时，图形的面积等于定积分的结果，也就是说，这个面积 s 就 等于这个定积分的结果。 计算一下很容易，可以求得结果是劳恩二。接着我们提升一点难度，让你求这块图形的面积。该怎么做呢？很简单，用这块大的面积减去这块小的面积就行了， 计算一下很容易，可以求得结果是二分之三减劳恩二。 好，相信通过这个例子，你已经对定积分求面积有一定感觉了。由此，我们可以总结出一条公式，围成图形的面积等于上边这条线的定积分，减下边这条线的定积分。 好老师，如果这两条线不是都在 x 轴上方，还可以用这条公式吗？当然可以，我把分析过程写给你看看就明白了。 同理，这种情况公式也是成立的，你只要记住，围城图形的面积等于上边这条线的定积分，减下边这条线的定积分就 ok 了。 当然，围城的图形还有可能是交叉的，那我们分成两块分别计算就可以了。 上节课我们学习了这么一个公式，你会发现，积分变量是 x， 被其函数也是 x 的 表达式，就连上下限也是根据 x 等于啥写出来的。也就是说，这个公式只跟 x 有 关。 那是不是只跟 y 有 关的也会有个公式呢？是的，对于这样的图形，它的面积等于右边这条线的定积分，减左边这条线的定积分。 为什么要额外学这个公式呢？因为有的题 u x 型的公式不好做，比较麻烦。比如这个题围成的图形是它， 那我们先用 x 型的公式做做看吧。围成图形的面积等于上边这条线的定积分，减下边这条线的表达式没问题，它是 y 等于 x 减四。 但上边这条线的表达式就不太对了，它居然是 y 等于正负根号下 r x 四， y 分 正负，说明这部分是 y 等于正的根号 x 二 x 四，这部分是 y 等于负的根号 x 二 x。 也就是说，上面这条线对应两个表达式，这样根本不知道应该把哪个当做 f x 了， 除非你从这些一斗分别计算两块图形的面积，然后再加起来。但这样太麻烦了，我们不如再用 y 型的公式做做看。 围成图形的面积等于右边这条线的定积分，减左边这条线的定积分。 左边这条线的表达式没问题，它是 x 等于二分之 y 方。右边这条线的表达式也没问题，它是 x 等于 y 加四。那我们直接代入就 ok 了， 计算一下很容易，可以求得结果等于十八。最后把这两个公式再展示一下，大家可以对比着看看。 接着我们学习一定积分应用的第二课，求旋转体的体积。本科非常简单，你只要会求面积了，自然就会求体积。 比如这道题，上节课我们已经讲过，围城图形的面积可以写成这个积分。 现在将题干改一下，让你求这个围城的图形绕直线。 y 等于负三。旋转一周所得到的旋转体体积。应该怎么做呢？ 很简单，只需两步。第一步是把这个被积函数改写成积分的形式， 注意改写后的背记函数一定是一，并且因为上下限都是根据 x 等于啥写出来的，所以积分变量是 x。 然后我们进行第二步，把这个一换成二排，乘以距离，这样就得到了带球的体积。其中这个距离指的是围成图形中的任意一点到转轴的距离。 因为转轴是 y 等于负三，所以距离就是点的纵坐标减负三的绝对值，也就是 y 加三。 当然，如果转轴是一般的直线，那就要使用点到直线的距离公式来求距离了。 最后就是计算积分了，对于这种二次积分，我们先算内层的积分就可以了。请大家记住，与积分变量无关的字母可以看作常数， 因为积分变量是 x， 所以 二派乘外加三可以看做常数，而常数可以提到积分外面， 这样我们就可以继续往下做了。

最近有不少同学留言说抓大头在使用的过程当中容易出现错误，所以呢，这次给同学们说一说抓大头的一些细节，咱们先从最简单的题目开始，不着急，慢慢来，屏幕当中这三个错误呢，都会给同学们讲到的。 我们先来看最简单的内容啊，说上计算三个这样子的极限。第一题， n 区军于无穷，这个其实是非常简单的，这种抓大头呢，其实就是看这个分子和父母啊，他谁是导致这个无穷的那个领头羊？ 你看安曲君无穷的时候呢，这个恩方是大头，当然有同学说，这个二人方，这大头是更大呀，差一个倍数的，我们不用管，我们不管系数，就管多少次密这种，所以这恩方是大头，分子 恩方也是大头，所以我们可以说这个题分子分母大头是一样的，然后呢，分子分母同时除以大头，就得到这个式子了，然后会得到分子极限为一，分母极限为二，这样子，这个题的结果就出来了十二分之一， 哎，这其实就是一种抓大头的一种形式。那么第二个题呢，也是类似的， x 趋近于无穷哎，分母的大头是三次方，分子的大头呢是二次方，那这个时候呢，我们也可以分子分母同时除以大头 x， 三次方 除完了之后呢，这个分母啊，它是趋近于一的，而这个分子呢，它是趋近于零的，所以最后的结果呢，就是零，因为它会趋近于一分之零吗？这样子的。那么第三题呢，也是类似的，也是一样，抓大头，分子大头是 x 方，分母大头呢是 x， 那咱们就除以他俩选出 来自一个最大的那个头，也就是除以 x 方。除完了之后我们会发现，咦，分子这里它里会趋近它这里会趋近一，而分母这里它会趋近于零，这就是说它相当于会趋近于零分之一，最后结果是无穷，这没有问题， 这三个题其实是最为简单的抓大头，我们可以把这三个总结成这种形式，分子和分母啊，都是这种多项式的形式，我们其实就比较 领头羊就可以了，看看最高次密的次密怎么去比，如果最高次密啊，出现了这个分子的次密小于分母的次密，直接就拉成零，这就属于第二问这种情况， 如果分子和分母的最高次密的次密相同，那么我们就比系数，比系数就是 a 零，比 b 零，哎，这个题呢，就是第一问，这个题等于二分之一。如果是第三种 情况， m 大于 n 呢，就是分子的最高次密比父母的最高次密还要大，那就直接压到正无穷去了，把它压死了，到无穷了，到这了，哎，所以说这个呢，是一个常见的结果，这个同学们要记住，以后做这种题啊，直接根据这结果出这就可以了。当然有的题呢，比这个利一，它复杂一点，比方说这个利二 立二，瞅一眼会发现 you 什么，这个 love e 的 x 是根号什么的全出来了，还有一个年份，二零二四，你看这年份题说，那这个怎么做呢？这一样是抓大头， 只不过这个大头呢，咱们同学们需要记住，像这种 e x 的指数啊，堆数，还有密纸函数啊，他们区军无穷的速度，这个咱们得知道。哎，那这个如果是知道了之后呢，就可以直接发现分子的最大，最大的它的大头就是它父母的大头呢，这有个 e 的 x， 这个个 根号呢，相当于它这里边有一个根号 x 方 x 又区均正物球，它相当于就是一个 x， 所以这个分子分母啊，它的大头都是这个形式，最后的结果呢，算出来是等于一的，没有问题， 而且这个无穷大的这个比较速度，这个得知道啊，当然了，这里有一个前提啊，是这里边这个 c 是大于一的啊，这个 ab 都是大于零的，同学们可以给他补充一下， 哎，所以这个误乘大的速度的比较啊，只要他俩不是一个量级的，不是一个级别的，你就直接找那个最快的就完了，他这分母最快也是 x， 乘以 ex 最最后结果等于一， 哎，这个操作就是属于一种抓大头，小同学感觉说，哎呦，这抓大头还行，挺好用的，但是挺好用归挺好用，后面就容易出错了，咱们来看看啊，就这个题，哎，就这个屏幕当中那个题说，这个题说，那我们抓大头抓吧， 这不会谁不会呀？分母大头 x 三次方，分子呢，咱们可以怎么做？把它根号在三次方可以写成二分之三次方，没毛病，这一步没毛病。然后呢，我可以把这个四先给他干出来， 哎，因为这个四呢，在开方的三字方啊，这就是四，开方是二二的三字方呢，就八，哎，然后我就变成这个形式了， 那么变成八之后呢，里边这个注意看平方，然后在二分之三次方，他不相当于 x 三次方吗？父母也是 x 三次方，大头都是 x 三次方，这俩比细数是一啊，所以说这里边这个极限是一，前面这还有个八，那所以最后的结果就等于八。 哎，这就感觉挺对的呀，但实际上他是个错结，你看这悄悄的这一改成了他是个错结，他是错的。错在哪了呢？错就 错在呀，这个二分之三次方，他实际上是一个开偶次方，这就好比是根号 x 方，他必须得写成 x 绝对值，如果 x 不知道正负的话，你看这个题， x 他趋近于无穷，他有正无穷，也有负无穷， x 究竟用无穷极限要想存在的话，必须得是正无穷，负无穷极限都存在且相等才可以呢，对不对？你这相当于开偶次根号不行啊，哎，这相当于就是 x 的平方的二分之三次方， 这个不知道 x 正负只能写成 x 绝对值的三次方，或者呢？写成 x 三次方的绝对值，他俩是一样的，写成谁都行，但是必须得有绝对值， 除非我们知道他是正还是负，否则的话就得写绝对值。哎，那咱们这个有正也有负，那你直接你当成没有绝对值的去做了，那肯定就有问题了，他错的 在这。哎，同学都发现了。哦，那明白了，大头不能抓开心了，不能抓，高兴了，你抓激动了，你忽略了别的也不行。 所以说这个呢，咱们还得注意这根号开偶这方要注意啊。所以说咱们用正确方法解一遍。正确方法解一遍，当然是按照区军于正无穷服务就给他分开算了。区军于正无穷，这没毛病。正无穷相当于就是把前面过程重新写了一遍，哎，就是把下面这个呢，区军无穷的正无穷的前面加个正号，最后结果十八，没毛病， 哎，这算的是八，是正无穷，没毛病。负无穷的时候呢？负无穷，我们感觉那是不是得加个负号了呀？哎，这加负号是加负号，但是呢，就如果担心加了负号操作的时候会出错误，我们直接通过一个负数还原， 哎， x 区均无穷的时候呢，令 t 等于负 x 负数还原，这样子呢，在 x 区均于负无穷的时候，相当于就是 t 区均 正无穷，哎呀，换了圆就方便了，你看，咱们先换个圆， x 区军负无穷变成 t 区军正无穷，这里立方变成负的立方，平方吗？有负号的，他俩平方还是相等的，对吧？那这里呢，平方还是写成这，那么到此我们这个 t 是正的了，正的你再开我方随便开， 对不对？哎，那这个时候呢，我们可以把这个负的提前这四呢，开三，开二次方，在三次方就出来个八，所以出来一个负八，那这块能不能调整成他，那么这个极限又是一了， 因为分子和分母都是替的三字方式打头，所以呢，这个极限是一，但是最后这个结果呢，它是负八，所以左极限等于负八，右极限等于八，那这能得出来什么结果呀？那这极限就不存在呀，你看，所以说这个题正确的答案是，这个极限是不存在。哎，你要注意，你不注意的话会出错误。曾经我记得是 很多年前就出现一个，哎，出现过考察 x 区区复古群的那么一个题，哎，很早七年了，好几十年前，哎，同学们要考考古，可以找找那个题，那个题同学们要不注意的话，就会出错误，哎，只不过这个题呢，他不光是考察复古群，他还考察了正物群，考察了左右极限，存在相不相等的问题， 对不对？他考察的更多一点，你一不注意的话，当成政务兄去做了，更迷惑人，哎，要注意这啊，所以就是说抓大头啊，是该抓要抓，哎，你别抓太得意了，尤其是开藕子方的时候，要注意细节。 好，这个完事了啊，这完事了，有同学就记住了，记住了，这个是正的，我这开根号开偶次方，我就得出来他是正的，我就不用考虑负的，要不知道正负我开出来偶次方的时候，我要注意正负。这个总结很对，没毛病。下面这个题，这，下面这个题一看，哎呦，完 完美， x 区间正无穷啊。这，那他赶紧的开放吧，他赶紧开吧，对吧？他开，哎，然后就开这个，他等价成 x， 这个瞅一眼，哎，他也等价成 x， 大家都是正的，这回也不用绝对值什么分正负了，对不对？那这时候 x 减 x， 哎，等于零了。他写完这个，他觉得自己秒了，这题太简单了，对吧？然后一对答案蒙圈了，哎，不对呀， 哎，这不是把题秒了，是被题给秒了，哎，那这个题这么做呢，也是一个错解，哎，你看这错解，那这个错在哪了呢？这个他错在呀，抓大头，他本质上其实是等价无穷大的替换， 哎，你看咱们等价无穷小的替换都得知道你得是整体成绩，对不对？等价无穷大的替换其实也是一样的呀，哎，你琢磨琢磨，等价无穷大跟等价无穷小，其实 你可以认为是一个能推出来一个的关系，因为无穷大的倒数是无穷小，所以我们用等价无穷大的替换呢，本质上就是用等价无穷小去替换，就是这样子的一个含义，你看，我给你写一写，就是这么一个含义啊，假如说 limit alpha， 它的极限是无穷， 哎， limit bet 它的极限也是无穷，然后并且 alpha 比 bet 它俩的极限等于一，那我们就可以说 alpha 和 bet 是等价无穷大，哎，你可以这么去写，那我们在计算别的题的时候， 那比方说阿尔法来比上一个谁，对不对？哎，然后呢，注意，这个是取决于无穷，这个分母也取决于无穷。那这个时候呢，我们就可以把这个阿尔法等价成贝特，就写成贝特比上一个，这什么玩意？ 哎，就是这种形式，这个你就跟等价无穷小的运用方法是一样的，这个它为什么是一模一样的呢？这是因为啊，这个 alpha， 你看啊，这个 alpha 我可以写成谁啊？我可以写成这种形式， 哎，我这个谁在父母我不知道，但是呢，我可以把这个二法我可以写成他呀， 哎，你看成二法分之一，它不就取决于零了吗？这不就相当于这个位置用了一个等价无穷小吗？ 对不对？哎，你就变成无穷小了，他就就可以等价了，对吧？二分等价成杯的，那么二分分之一也就等价成杯的分之一，他俩一定也是等价无穷小，没毛病， 哎，所以你看，所以这个等价无穷大呀，他本质上来说，阿尔法等价成 batt， 其实就是一个等价无穷小的，一个败坏，一个替换，所以同学们琢磨琢磨，等价无穷小，咱们都知道这 整体成绩，那这个等价无穷大，不一样也得满足整体成绩，不是整体成绩，就不要随便的等价无穷大替换，那就容易出错误， 这种错误呢，就跟加减用了等价无穷小似的这种错误一样的。所以你看，这，这是加减的关系，贸然的用等价无穷大，那就是往火坑里跳啊，对吧？你要烧不死你，那只能说运气好，对不对？哎，所以说这个呢，哎，一定要注意加减法，他不能这么去处理， 说，那不能这么处理，那说，那，那，那这个题怎么做呢？这个题正规的方法呢？我们可以用有理化的方法去做， 哎，用尤里画，当然尤里画式子大啊，式子大，哎，乘上一个根号，加根号，乘完了之后呢，我们会发现分子是平方差，平方差就是平方差，算出来之后就是这个式子减这个式子，所以算完之后，分子是二 x， 那这个时候再抓大它， 这就行了，它又趋近于正无穷，对不对？哎，这个分母呢？它的大头呢？就是 x， 对吧？你可以除一个大头，这都行。哎，最后呢，算出来这一部分是趋近于一的，这一部分是趋近于一的，那整个这个分母就趋近于二了，二除以二，最后等于一，就这样再去算。 当然这个题呢，也可以这么算，要把这个式子你提出来一个 x， 提出来一个 x 之后呢，这个根号里边就变成了，一加上 x 分之一，再加上 x 平方分之一，再减去一个根号，下 一减去 x 分之一，再加上一个 x 平方分之一。然后呢，你对这两个式子太了，公式也行，哎，也都是可以的，哎，只不过呢，这俩跟着这玩意呢，稍微写的式子也是大了那么一点，但是也能够比较快的出来，哎，所以说这个你这么去做也可以，我直接用有理化就出来了。本身这个题不难， 那么这是他，哎，这个题我们知道为什么错了，他直接等价乘 x， 他等价乘 xx， 减 x 等于零，这是加减法，不要用等价无穷大，哎，要记着，等价无穷大的使用条件跟等价无穷小是一样的，得是整体成绩。 这例次说完了啊，这是也是一个易错的地方。再来看这个例五，例五也是一个经典的易错题，有同学一看，哎，这个赛，哎呦，赛好啊，周期啊，对吧，而且还有一些特殊的值。然后呢，这个根号四 n 方加上 n， 然后外边再乘以一个派，这个更好吗？这不，这不，这不乘机吗？这不是乘机，我这可以，里边我直接，我等价无穷小啊，等价无穷大呀，对不对？等价，他等价是什么？直接就等价成根号四恩方，四恩方开这个号不就二恩吗，对不对？哎，而且恩趋近于无穷， 我们说过了，考研数学当中，恩趋近于无穷，只有趋近于正无穷，没有趋近于富无穷。所以说他自带正的，正的写上他，写上他之后，又看这二人派，对不对，三人二人派永远都等于零啊，哎，这感觉这题又秒了，那实际上不注意，又中计了， 哎，这真的，这这整家伙熊大，你不注意，这天天中记着。所以呢，你看这题又错了，他这错在哪了？他这错在呀，以为是整体成绩，实际上不是，哎，再跟同学们详细的说明一下，这个整体成绩是什么意思？要想把这个式子 等价成二人，注意啊，他俩是等价无穷大的关系。这个等价无穷大的关系是没错，但是这块不能等价过去，是因为这个根号这个东西，他不是整体乘积， 整体成绩呢，必须能够要把你想等价的这部分提到任何地方，提到任何地方的时候呢？其他的地方这个式子其他的地方保持不变，也就是说你想把这个根号等价了，对不对？等价成二 n 对不对？那这个根号能不能提到三亿前头？能不能提到这个最后头， 而提的时候必须保持别的地方都一点不变，你说能吗？那肯定不能啊，你这三音里边的东西怎么能随便提到三音外头呢？那不行，所以说这个东西他根本就不是整体成绩，不是整体成绩等价无穷大这块了，那又是往火坑里跳啊，对吧？那你就别跳了， 对吧？你的盔甲又不是是防火的吗？你不是防火，那为什么要跳呢？对吧？所以这，这又错了，哎，一定要深刻理解整体乘机这个含义，那这是一个错觉了，这错觉呢，我们讲正确方法吧，正确方法 我们还是可以用有理化去做这个有理化。有同学一看说，这怎么有理化呀？这个，这个，这个，他也不像刚才似的，根号加根号，根号减根号啊，这不，这根号，你这有理化，你怎么怎么？你直接分子分母同时称一个这个根号，那不是那么处理， 我们根据三角函数他的周期性啊，我们可以在这个式子里边呢，给他剪去一个二人派。你琢磨琢磨，同学们，在这里边随便剪一个二人派，是不是一点都不影响这个三音的值啊？横等啊，他周期是二派吗？对吧？那剪去一个二人派，在三音里头都不影响，那么 减去一个二人派之后呢？我把这派提出来，这东西就减去二人了。你看这个东西不就凑成了根号减去一个东西吗？这不就可以有理化了吗？当然，实话讲，这个技巧呢，稍微偏强一点，哎，如果有的同学说，我感觉说我想不到，减去二人派，没关系，后面还有个反二呢。但是呢，咱们继续这个方法啊，这根号 减他，然后再乘以个根号加他父母，也再乘以个他。这个时候有理化完了之后，分子平方差减完了之后就剩下恩了，哎，减完了之后就剩下恩了，所以就得到这个式子，得到这个式子，这个时候这个玩意极限就可以算出来了， 哎，但是这个柿子的极限可以算出来啊，是现在可以算出来了，这个的极限呢，可以口算一下，直接抓大头算，这就可以了。 这算完之后呢，是四分之一，那因为这个呢，它相当于是二 n， 这又有一个二 n 相当于是四 n 了。或者是说呢，这个你直接分组分母，同时除以大头 n 也能算出来，这个部分，它是区别于四分之一的，所以最后结果是三亿四分之派等于二分之根号。这么算。 当然这么算呢，加减一个二人派，这种操作呀，给人感觉是有那么点技巧性不太好想。没关系，我们这个题也可以泰勒公式去做， 泰勒公式呢，就是咱们刚才说说过的，哎，我可以提出来一个，把这个东西变成一变到这，然后呢，我把这个根号啊，用泰勒公式展开，把这个 n 分之一或者是四 n 分之一看作整体运用，咱们必备的这个泰勒公式写到这， 那我们说这个泰罗故事计算极限，那得确定展开接数啊，这个展开接数展开到哪呢？就看前面有一个二 n， 这个二人是不是就相当于，就是他展开展开到一次的时候，就这种感觉对不对？哎，你要这有个平方的话，那你得展开到这个的平方，哎，就就这个，我们要知道， 因为这个二 n 呢，它相当于什么？相当于就是这个含义，哎，相当于就是一除以一个二 n， 你看你不展开到这个同一个 n 的同一个级别的形式吗？ n 的一次方的级别的形式吗？对不对？就是这样一个含义。所以就说我们 用这个泰勒公式展开呀，后面这些都不用了，就展开到这，然后后面再加上一个 o 方框就可以了。哎呀，注意这个方框是谁啊？这方框是他阿尔法等于什么？阿尔法等于二分之一，这不开根号吗？对不对？哎，所以咱们进一步的往下写， 哎，然后就得到了个一加上阿尔法乘以方框，一加上阿尔法，这是方框吗？对不对？然后再来一个 o 方框，方框是四 n 分之一，所以这应该写四 n 分之一，四 n 分之一和 n 分之一的高阶无中小写到这都一样，这把它展开到这，展开到这了之后，前面乘以二 n， 后面乘以派 啊，那么再乘就容易了。同学们，再乘的话，这个这有个二人派吧，对不对？他相乘，他相乘，最后就能得出来这个结果。当然最后有一个细节啊，有一个二人乘以一个 o n 分之一，这个二人， 当然后面还有个派啊，乘以个 o n 分之一，这个会得到什么？哎，这个呢，他其实就会得到一个二派，乘以一个 o 一，你把这 n 乘进去乘过去就可以了吗？这个 o 一是什么？ o 一其实就是一个无穷小， o 一就是一个无穷小，那再乘以个二派呢，也可以直接写成 o 一，所以说最后呢，我这就直接写成 o 一了，写成 o 一之后呢，再算极限，这玩意可以直接去掉啊，对不对？相当于先化解呢，这玩意极限又是零了，又等于三亿四分之派，又等于二分之根号二， 哎，所以说这个题就做出来，所以同学们，你看这题，哎，你要注意这块，他不是整体成绩，要贸然的用等价无穷大去算，这就出错误了，哎，所以说这个利物这块的等价无穷大的运算的，这是使用的是，也是常见的易错的这种细节。当然了，这个利物有同学感觉说，哎， 挺巧妙的，这方法的都没怎么见过，挺新颖，但是学完了之后呢，感觉我自己行了，哎，那如果是天晴了，雨停了，觉得自己行了呢，可以看看后面的举一反三， 哎，举一反三就是这种题，哎，跟那个例物是特别类似的，你看看这个怎么做？这个呢，也可以用泰勒公式也可以呢，我利用这里边加减个几倍的派的形式，这个给同学们提示一下啊，如果用这里边加减派的形式呢？你可以这么去写，我只提示一步啊， n 趋近于无穷，哎，这可以写成 sign 派，根号 n 方加 n， 然后呢，这再减去一个安排，再加上一个安排，可以这样子去做，当然外边还有一个平方啊，那就写到这了，写到这了之后呢，这减去 是一个恩派，注意他俩是用有理化去操作的，这不根号减他吗？对不对？那么这个加上的这个恩派怎么去操作呢？加上这个恩派呢，我们可以用诱导公式给他体现到善意外头来， 哎，体现到三因外头来是什么呢？体现到三因外头来就是再乘以一个负一的 n 次密，注意，这个负一的 n 次密，它是三因外头啊，这是因为我们有一个公式，三因 x， 再加上 n 派， 他呢就等于负一的 n 次密乘以一个三元 x， 哎，用这个去操作，用这个操作的话，你就把那加 n 派呢，就变成负一单次密了，但是由于有平方，那这个负一单次密是不是也没了， 对吧？负一的恩字密的平方，负一的二恩字密都没了，所以就说这个式子呢，你可以直接哎给里边就调换出来一个恩派，跟咱们刚才那个题的方法就一模一样了， 哎，只不过呢，就是需要用到这么一个诱导公式，跟咱们刚才那个题不太一样，所以说这个举一反三呢，题设到这就已经足够了啊。再提示，这题就不是同学们做的，这是我做的了。好，这回呢，咱们就说到这。

三十秒学会专升本数学求极限抓大头，我们下面来看专升本考试必考，求解极限抓大头，同学们经常说抓大头，那么什么是大头？大头就是指多项式当中 x 的最高字密， x 最高字密成为大头。那么三个必备条件，第一个极限过程是无穷，第二个分子分母多相似，第三个大家一定要牢记这个口诀，分子大头是无穷分母大头就是零，旗鼓相当，看笔直。那我们来看，首先第一个式子当中，分子大头 x 方二比一大，那么这个就是无穷分母大头 x 方这个地方上那就是零，旗鼓相当，都是平方，都是平方，看比值前面的比值二比三。好，那我们看下面三个啊，三次方，三次方，旗鼓相当，看比值二比五，三和二分子是大头，是无穷分母大头三，二分母大头就是零。好，这就是我们说的专升本求解极限的抓塔头问题，你学会了吗？

这道题你会不会抓来？老规矩，先看题，这道题我们不拆开，也不带入，我们用公式做变形，我们用到的是这个公式， a 的 x 加 b 次方，等于 a 的 x 次方乘以 a 的 b 次方，宝子用这个公式把我们的原式上下变形，就是这样了。这样之后我们再开抓，上面我们抓三，下面我们抓四，这样宝子是不是就能得出答案了？

不知道为什么，现在转本的学生给我一种很矛盾的感觉，有的学生说他开始的晚，一轮学习没结束，这个我可以理解，但是你得改变策略呀，人家比你早学一年，他们从基础的课程开始学习，那是因为人家有时间想打好基础，但是你现在还有不到六十天的时间，你在那吭哧吭哧学，等到考试你连基础的课程都听不完，更别说得分了。 真心建议时间不够的同学拿下极限求导积分这一块，其他的核心也就是求导公式，把它背下来，然后再按照不同的题型把它进行汇总，参考一下之前的真题他都是怎样考的，能拿到的分数尽量拿到。你最后上一个民办是不难的， 然后这部分搞懂了，再进行下一个相对简单的一个题目，以此类推，比你在那盲目的一直跟进课程效果要好很多。如果自己整理的话，就按照这个思路来，如果没有时间整理呢？徐姐在这里也给大家整理好了，评论六六六可以哪里去看，拿去看！最后呢，预祝大家能考上一个理想的院校！

同学们好，欢迎来到好老师专升本数学课堂，我是大家的党老师，我， 我们这节课要学习的内容呢是函数的极限，以及一个非常简便快捷求极限的方法。抓大头法则， 我们来看一下函数的极限和我们的极限的运算法则。首先我们来看一下第一个函数的极限，在这里函数的极限， 数列的极限是之前给大家讲的内容，他实际上是函数极限的特殊形式，我们讲数列极限是什么？数列极限是雷妹特 n 趋近于无穷， un 等于 a， 这个是我们数列的 极限。好，我们函数极限在这里，雷美特 x 趋近于无穷， fx 等于一个确定的长数 a， 这 这里的确定常数我用大 a 表示了。好，除了这个趋近于无穷以外，相同的以外，我们函数的极限还有一个他特有的 x， 除了趋近于无穷，还可以趋近于某一点， 某一个点 x 零，这个点如果做出来，他最后的结果是一个确定的常数 a， 那这个时候我们就说 a 是这个函数他趋近于无穷的时候的极限，或者他趋近于 x 零时候的极限，在这种情况下，我们说这个 函数他的极限是存在的。好，除了这个以外，如果我们 limat fx 做出来他的极限，哎，求出来最 的结果是无穷或者在一个区间范围内，那这种情况下我们就说他的极限是不存在的。好，什么情况下极限存在，什么情况下极限不存在， 重点一定要掌握好，接着往下下一个，下一个我们来看一下，在这里。哎，我说同学们来，我们来算一下这个极限，我们发现通过我们上一节课的学习，这节课，哎，做极限第一步，先定型，定 完形之后发现在这里定出来是无穷比无穷的类型，无穷比无穷的类型，我们上下同时数以他的最高次，按 按照经验来看，是不是最高次是三，最高次是三，上下同时除以 x 的三次方，分子分母同时除以 x 的三次方，那这样的话，我们就得到他的结果就应该等于 limatx 趋近于无穷 三加上 x 分之四，再加上 x 的三次方分之二，再比上七加上 x 分之五，减去 x 的三次方分之三。 好，我们来看一下，指挥官说 x， 你是无穷，那这里无穷分之四等于零，无穷分之二等于零，无穷分之五和无穷分之三都为零，那 这样的话，三加零加零，比上七加零减零，最终做出来的结果等于七分之三， 这是我们的这道题。接着往下我们再来练习一下，同学们再来做一下这道题，好，通过我们前几道题已经很熟悉了，这个是无穷比无穷的类型，上下同时除以他的最高次，哎，我们发现这里的最高次是三次，这里的最高次是 二次，那除的时候我们除他上下大的那个，那我们上下同时除以 x 三次方。记住做极限题一定要写解原式等于， 那这样的话，我们这道题就变成了 limatx 趋近于无穷。这里我们看一下，除完了之后，这里是三，加上 x 的平方分之二，再减去 x 的三次方分之五。比上这里除完了之后是 x 四分之三减去 x 的平方分之二，再加上 x 的三次方分之三。好，那 x 是趋近于无穷，无穷分之二等于零，无 穷分之五等于零，无穷分之三等于零，无穷分之二等于零，无穷分之三等于零，那这样的话就是三加零减零比上零减 减，零减零。哎，那这个时候我们发现这里变成了零分之三，之前给大家讲的零分之一是等于无穷的，要求大家记住无穷分之一等于 零，零分之一等于无穷。那现在再补一个零分之 k， 那他的结果我是不是应该等于 k 乘以零分之一？我们这里要求 k 不能等于零，那这样的话，这里是无穷，无穷又变成了 k 倍，是不是结果等于无穷，所以零分之 k， 结果等于 无穷，这是我们这道题做出来最后的答案。好，接着往下我们再来做一道题，再来练习一下这个方法。哎，我们来一起看一下，发现 在这里无穷比无穷的类型，我们用上下同时除以它的最高次，这里的最高次是二次，这里的最高次是三次，那我们就上下同时除以三次，同时除以三次的时候，那 接着往下减原式就应该等于除完了之后，你看这里是分界点，那这里变成了 x 分之三，再减去 x 的平方分之二，再加上 x 的三次方分之三，然后再比上三，加上 x 的平方分之二，再减去 x 的三次方分之五， x 是趋近于无穷的，无穷分之三等于零，无穷分之二等于零，无穷分之三等于零，无穷分之二，无穷分之五都为零，那这样的话，我们最后做出来的结果就应该是零比上三。哎， 在这里分母不为零，分子是一个确定的零，那这样的话，最终做出来的结果应该等于零。 好，这是之前我给大家讲的方法。之前给大家讲的什么方法呢？就是马云和王健林要比大小，拿出他的去掉他的最大的那个资产，但是实际上我们有一种方法叫做抓大头法则，抓大头法则可以帮助你秒得答案。来，我们来看一下这个法则。好， 这个法则是什么意思？哎，我现在又要让你去做一个极限题，这个极限题他现在有这么多种啊，有这么多种的时候，这么长的时候，我问你，他最后的答案是多少？哎， 按照我之前给大家讲的，我们是不是上来第一步先去定型，虽然题看起来好复杂呀，数字好多呀，但是我定型之后 发现，他是不是就是无穷比无穷的类型？是不是就是那个马云和王健林的那种类型？对于这种类型的话，他最终得到的结果，如果可以用抓大头法则，他最终得到的结果只有以下三种。 好，我们来一起来慢慢分析一下。这是第一种答案，第二种答案，第三种答案对应的这三种答案对应的是什么？这三种情况对应的三种答案。好，我们会发现这里面实际上出现的数字是什么？ a 零， b 零，然后 后以及 m 和 n。 好，我们在这里找到 m 和 n， 是不是只有在这里出现了 m 和 n， 其余虽然很长，但是实际上我们跟他没有关系。后面的这些我最终答案里面我出都没出来，所以后面虽然长，实际上都是一些 没有用到的东西，没用的都是垃圾，我只看这个最最大的那个。好，然后我来给大家解释一下，这个是不是 x 的 n 次方，叫做这个里面他的最高次，你看后面是不是都要比他小一点？小一点？小一点。这里 xm 次方是不是分母里面的最高次后面是不是都比他要小一点？小一点？小一点？ 所以我们抓大头法则，第一步抓大头，把这个分子里面最高次找到，其余的都不要，把分母里面的最高次找到，其余的都不要。好，找到这个最高次之后，接下来就是最高次之间的竞争。 如果我发现分子的最高次和分母的最高次，他们俩是一样大的， m 是等于 n 的，那这个极限最终做出来的结果是多少？他就应该等于最高次 前面的系数 a 零比上 b 零，结果为 a 零比 b 零。好，再接着往下下一个。哎，如果我发现我找到了最高次 m 和 n 以后，那在这里，哎，我发现这里上面我的这个 n 是小于这个 m 的，也就是说你看这个 n 是上面的，这是下面的，我发现上面和下面这里是下面的，这个 m 大，下面大怎么办？给他归零。 好，再接着往下下一种，哎，我发现这里是上面的，这个大于下面的，这个也就是分子的，恩，是大于分母的，那这个时候上面大才是真的大，结果大到什么地方？一直大到无穷，一直大到无穷。好，我把这个讲完 之后，我来给大家总结一下啊。整体讲完了，我们来梳理一下。首先第一个必须要要求是无穷比无穷的类型才可以用这个方法好，用了这个方法之后，那我用抓大头直找最高字，其余都不一样，都是垃圾。 只找最高次，其余都不要，其余的都是这道题里面来凑数的。我只找那个最高次，找到了之后，我来 最高次之间的竞争，如果最高次相同，他等于最高次前面的细数直比。哎，我发现如果上面大，上面大才是真的大，结果大到无穷。 哎，我发现如果是下面答案的呢？下面答，我就给他归零，答案就是零。好，这个就是我们的抓大头法则。记住啊，只有无穷比无穷的类型，只有无穷比无穷的 类型才可以用这个方法。好，这是我们的抓大头法则。那接着往下记住啊，只有无穷比无穷的类型。我们来看一下，只找他的最高次，其余的都不要，那我们来验证一下这个题。 好，验证的时候我们来看一下这道题是不是我们发现。哎，无穷比无穷的类型可以用抓大头法则直找最高次，那我们看一下，上面的最高次是三，下面的最高次是三，其余的都不要，其余的我看都不看他，跟他没关系了。哎， 我发现上面的最高次和下面的最高次是相同的，那他等于最高次前面的细数之比三比七，所以做出来结果等于七分之三。好，再来验证下一道题。首先一定是无穷比无穷的类型，才可以用这个方法好找最高次。上面是三， 下面是二，上面大还是下面大？是不是上面大，上面大才是真的大，结果大到无穷，那最终的结果为 无穷。好，接着往下再来验证一下第三题，第三题，哎，我发现是无穷比无穷的类型， 最高次，上面是二，其余都不要，下面是三，其余都不要。上面大还是下面大？我们发现是下面大，下面大就给他归零，最终的结果是零。 好，这个就是我们的抓大头法则。我们通过这三道题的练习之后，大家会发现抓大头法则呢，非常的快捷，非常的简单，但是一定要记住，只有是无穷比无穷的类型才可以用抓大头法则。当然我们给大家讲的第一个上下，同时除以最高次，这个方法 也非常的重要，大家课后可以去结合一些我们书上的立体，再做一些巩固，我们这节课的内容就到这里。

一个视频带大家学玩求函数极限。朋友们大家好，我是高硕老师，我们继续来更新求极限九大经典方法里面的第三个方法，抓大头的典型案例啊。点击例题看这个题目， 这题目我们把正无穷带去，我们会发现正无穷加一怎么样趋于正无穷，那正无穷减一呢？也趋于正无穷，那么此时它是一个无穷比无穷的谓语式。那么无穷比无穷谓语式我们可以考虑抓到头分子分母同时除以 x 一 次方，对吧？ x 一 次方就是整个式里面去无穷的最快的嘛。那我们便有一 加 x 分 之一，除以一个一减 x 分 之一，那么这个极限等于几啊？就等于一，为什么无穷分？

天天抓大头，抓到现在你还不会！哈喽，各位宝宝们，我们来看今天这道题。老规矩，先看题， 这道题我们观察到分子和分母都有指数函数的表达式，先记住小马老师给你的公式， a 的 x 加 b 次方，等于 a 的 x 次方乘以 a 的 b 次方，我们的原式就变成了这样，现在我们直接开抓就可以了，这样宝子们能够得出答案了吗？