积分凑微分技巧

哈喽哈喽，各位小伙伴，今天呢，想跟大家分享的是如何用凑微分的方法去解我们的不定积分，那要想解不定积分，基本公式当然是核心哈，所以如果不是很清楚的同学呢，建议大家还是去把他们记牢。那么接下来的话呢，我们先来看到第一个试字， 对这个式的话呢，大家会发现，其实他就是在考察咱们的这个基本公式，扩散引的这个不定积分他应该等于多少呀？哎，应该等于三引 x 加上一个大 c， 那么接下来我们来看到第二个式子， 对比第一个式子，我们会发现，原来这里是 x， 这里也是 x， 而在第二个式的时候，这里呢变成二 x， 这里也变成了二 x， 对吧？ 那如果我看这个二 x 不顺眼，我想呢，把它换的简单一点点，我就不妨令这个二 x 等于一个 t， 可以吧，那这个不定积分他就可以写成什么呢？扩散一 t d t 了，那 此时这里是 t， 这里是 t， 它其实本质上跟我这第一个式子诶，应该是一样的，对吧？那我们就应该等于多少呢？对，扩散引不定积分诶，就会变成散引 t 加上一个大 c， 好，但是这个第二个式子的话呢，它的一个核心本质是去对 x 积分，所以我们最后的答案呢，你肯定要写成 x 形式，那也就意味着我还需要把这个 t 啊，再变成 x 的形式就可以了，所以呢，我就可以写成 sounding r x， 再加上一个大 c， 好。那么这两个题给我们的启示是什么呢？我们来看一看啊，当这个部分跟这个部分一样的时候，我们的做法是什么呢？其实就是去套用基本公式， 在套用的时候呢？哎，这里呢，跟前面是对应的，当这里是二 x 的时候，这里也是二 x 的时候，它俩是不是也是相同的时候了呀？那既然相同，我们刚刚的方法其实 是不是也是在套用基本公式？ call 三印不定积分，他就变成了三印。那么值得注意的是，这个地方是二 x 的时候，后面是不是也相应的去变成了我们的二 x 了呀？对吧？ 好，那么在这样的一个启示下，接下来我们来看到下一个题来，如果说这里变成了二 x， 这里变成了 x 了，那么还能直接套公式吗？显然不能，因为这个部分跟这个部分他不一样了，要一样才能套咱们的基本公式，那大家想一想，能不能把它变成一样呢？ 如果要变哪个地方去变呢？那么对于前面这个部分的话呢，它是咱们前面学过的什么函数呢？哎，它是一个符合的，它的外层是 cosine， 内层是二 x， 对吧？那既然是一个符合的一个函数的话呢，我不可能说我把人家给它搞开吧，对吧？这肯定是动不了 小的，所以呢，我们就只能从后边这个部分去入手，那么在入手的时候，大家就要稍微注意一下了，我们呢，先给他写一下， 好，我人为的在这个后面去写一个 d r x， 对吧？这是我人为做的，写完之后呢，你得去回过头来看一看，跟我原来的这个式子是一样还是不一样的。 我们知道 d 二 x 它是什么意思呀？哎，是不是对二 x 进行微分呀，那么最后也就会变成二倍， d x 这里是二倍，而原来是几倍，是不是一倍啊？所以我们就要在最前面补一个多少呢？我补一个二分之一，是不是就跟我最开始的这个式子就一样了？ 好，那么得到这一步之后呢，接下来我们再往下面做二分之一不动来观察一下，此时你就会发现这个内层， 这个内层呢，跟我这个 t 后边这一坨，诶，它是不是就相同了？既然相同，咱们刚刚说核心方法是干什么呢？诶，套用基本公式对 cosine 积分，那么就应该是 science， 别忘了这里是二 x， 所以我后面这里呢，哎，我应该也写二 x， 你要跟人家保持一致才可以。那么在最后呢，我们还要在后面加上一个大 c， 所以其实在这里呢，我们就有了一个错误的一个思想。 好，那么接下来的话呢，哎，我们再往下面进行巩固一下啊，看看还有没有什么其他的变化。首先先来看到序号一，那对于这里的话呢，我们会发现 这是一个符合函数，对吧？那么它的内层在哪里呢？诶，内层是在这个地方是二 x， 而 d 后面是 x 了，那咱们刚刚讲的，我只需要保证什么呢？ 保证内层跟 d 后边是一样的，就可以套用基本公式了。所以呢，我们要做的一个步骤就是从从哪里呢？一般情况下都是去写 d 后边那一部分。 好，那么写完之后呢，别忘记对比一下，这里是不是二 x 呀？我们刚刚知道啊， d 二 x， 它就是二倍的 d x， 而人家原来是不是一倍的 d x， 所以你莫名其妙变成二倍了，你就要给它怎么样呢？哎，你也需要还原， 那么最后我们就会发现，二分之一呢，也就不动，对 e 这个框这部分去积分，他是不是就会变成一的本身呀？所以呢，二 x 仍然不动，再加上打 c 啊，我们一定要保证的是这个部分，这个部分一样套基本公式，在套的时候，这个部分呢，也是要跟前面保持一致的。 好，听到这里的话呢，对于 cosine 二 x 和 e 的二 x 呢，大家都会发现，哎，它是一个符合函数对不对？那么接下来我们来看看序号二，那此时这个倍积函数变成了多少呢？它变成了相应的平方乘上 cosine x 变成了两个函数相乘。那我们先来看一看 三 e x 平方，它是符合的还是非符合的？哎，很明显，它呢是一个符合的，那我们来关注一下它的内层是多少呢？哎，是三 e x， 这个没问题吧？ 好，那接下来的话，来看看这个扩散 x， 他是不是就是咱们学过的这个基本的一个函数了，那在这样的一个情况下，跟原来相比，他好像多了一个部分，对不对？其实呢，原来呢，原来的两个例子呢，我们也可以把它看作是两个部分，怎么样就会变成两个部分呢？我在这个地方， 我给他写个一，给他乘上，是不是两个部分了？我在这儿写个一，再给他乘上，是不是也就变成两个部分了？而这样的一个趋势下，我们就会发现， 这里呢，他是符合的，这里呢是非符合的，你看符合的，非符合的，符合的，非符合的。哎，所以我们的特点其实是不是就可以理解成一个符合的，呈上一个非符合的，对不对？ 好，那么接下来，哎，能不能用凑微分呢？凑的时候又该怎么凑呢？其实呢，哎，我们刚刚通过上面两个例子会发现，我要凑的是不就是这一个部分？ 这个部分跟哪里相同呢？跟内层一样是不就可以了？你看这是不是我去凑的，对吧？这个部分跟内层一样是不就可以了？好，那接下来的话呢，我只需要保证来，这是我们符合的，保证什么呢？保证这个部分跟前面的内层一样， 也就是我先写一个三 e x， 可以吧？好，那么写完之后呢，你就要开始干什么？是不是就要进行对比了？这一部分它等于什么呢？它是不等于括三 e x 啊？好，那原来是多少呢？原来是不是也是括三 x 啊？所以它俩既然相等的话呢，这个前面呢，我们就不需要额外的去凑系数了。 听到这里来，我既然保证了内层跟这一部分一样了，干什么的呀？诶，那就是套用基本公式了，套用基本公式了，那如果对于这一块你看的不是那么的清楚的情况下，咱们可以怎么办呢？诶，我们可以在草稿纸上 我把它换一下嘛。好，我就令什么呢？我令这个三 e x， 我等于一个 t， 可不可以呀？那它是不是就会变成 t 的平方？ d t， 那 t 的平方的不定积分就考察咱们的手， 什么公式呢？就是密函数的不定期分，那么他就会等于 t 的平方加一，平，平方加一，再加个几呢？加个大 c， 化减就是三分之一 t 的三次方加个大 c， 那么别忘记 t 呢，最终是不是要还原回去的呀？所以呢，他最后就应该是等于三分之一三 in x 三次方加上一个大 c 的， 这样子是不是就变得简单了起来啊？是吧？好，这是我们的第二个序号，那么接下来的话呢，我们再来看看第三个序号，他又会有什么样的特点呢？来还是观察一下函数的成分， 这里是 x 分之一，这里是 l x， 那此时还存在符合的函数吗？好像没有了。 x 分之一是一个基本的米函数， l x 也是一个基本的对数函数，那既然没有符合的，是不是就意味着咱们就不能凑微分了呢？哎，我们来观察一下他们两个之间有没有什么关系 呢？哎，我们会发现 low x 它的导数就等于 x 分之一。那在这里的话呢，我们先额外的哎，回顾一下这个知识点， d x 方，咱们刚刚讲到是不是就是微分的一下，那我是不是就会写成二 x d x， 那如果说我现在写成 d 二 x d x 的话呢，它就能写成多少呢？是不是就会写成 d x 的平方？ 哎，它的意思是不就相当于把二 x 这个部分给它丢到滴里边去？丢进去的意思就相当于对它进行不定积分？ 好理解吧，那如果说我现在给他写成的是 e 的 x d x， 那我要把这部分给他丢进去，就应该等于多少呢？ d 对 e x 进行不定积分，那也就是 e x， 那如果说我现在 x 分之一 d x， 我要把这一部分我也给他 丢进去的话，那应该等于多少呢？应该等于 d 的对 x 分之一进行不定积分，也就是 low n x。 好，为什么要讲这一块呢？哎，其实呢，这个理论基础呢，就是我们做序号三的一个核心 啊，当两个函数呢，如果说他没有符合的都是基本的时候呢，并且他们两个存在直接的倒数关系的时候，我们就把倒数的那一部分，也就是 x 分之一给他丢到 d 里边去， 丢进去，丢进去也就意味着对它进行不定积分，那么原来就会剩 l x 不动 d 不动 x 分 x 分之一丢进去，那就会变成 l x， 好，那么我们就会发现这个部分跟这部分是不是一样了。哎，既然一样的情况下，也就意味着又可以干什么，又可以直接套公式了。还是那句话，如果说你稍微做的慢一点，那我们就另 呢我决定罗 x， 它等于一个 t 就会变成 t d t， 这个非常简单吧，二分之一 t 的平方加一个大 c， 好，那么你最后呢，这是咱们在草稿本上去做的对不对？你最后呢，就再把这个 t 啊，还原成我们原本的样子的平方，加上一个大 c 就可以了。 那么以上这几个例题，如果说你听懂了的情况下呢，其实这个呢，大差不差就是我们最基础的能够去用凑微分的形式了。所以接下来的话呢，我们就对这几个形式呢做一个总结来看一下哈。 呃，以上的一个特点的话呢，它一个核心就是我可以把它理解成都是两个函数相乘， f x 乘上 g x， 那么我们大致呢把它分为两类，第一类的话呢，就是有一个是基本的，一个是符合的，比如说咱们刚刚写的一乘一的二 x d x， 或者是咱们刚刚写的相应 x 方，哎，括三一 x d x。 好，那么还有一类呢，就是两个都是基本的一个，比如说像刚刚出现的这一个 x 分之一 low and x， 对吧？哎，这两个就是基本的，那么类型我们判断了， 那能不能用错位分呢？它的一个核心标准是什么呢？哎，对于前边这一类啊，我只需要保存，保证什么呢？保证内层的导数和那个基本的那一部分呢？存在一个倍数关系就可以了。那比如说，我们来验证一下， 对于第一个例子，它的内层是谁呢？啊？我标了个序号，一个例子，它的内层就是二 x， 它的内层的导数，内层是等于二 x， 内层的导数呢？是不是就等于二啊？而我那一个基本是谁呀？哎，基本是等于一 二和一，他是不是就存在一个倍数关系了？既然存在，所以我们就可以凑微分。好，那么对于第二个，我们也一起来看一下，那一层是谁呢？ 内存是等于三引 x 的，那内存的导数是不是就会变成括三引 x， 它是不是就刚好是咱们的那个基本的一个函数呀？哎，所以呢，相等就等于一倍，也就意味着他们也是存在倍数关系的，所以我也可以用错误一分， 明白了吧？那么标准明白之后呢？凑的时候，我能够我怎么样能够保证更快呢？哎，那么在这里的话呢，也给大家总结了一个口诀哈，我们是有步骤的，积分呢，先写下来第一步在这里， 这一步留复合是什么意思呢？我们把符合那一个函数呢，给他留下来啊，大喊一声留下来。那么接下来第二步在这里写内层，什么意思呢？符合的内 是多少，我们这个地方就写多少，写完之后我们知道他可能存在一个倍数关系，是吧？那最后一步呢，你还要把系数给他还原回去，那接下来我们就拿一个题来试一下啊，比如说刚刚写的 一到二 x d x 啊，怎么用来？第一步在这留复合二 x， 那么第二步在这写内层写二 x， 对吧？好，那么咱们刚刚有一个检验标准啊，在哪里呢？不要忘记了，在这里， 在这里哈，来，这里是二倍，这里原来是一倍，所以你是不是多了一个二，多了一个二，那在前面就写个二分之一就可以了啊，在这里写一个二分之一。好，写完之后就开始怎么样呢？套基本公式，所以呢，我们再来补一个第四步吧啊， 套基本公式也就意味着一还原就是多少呢？ a 是它 本身，再加一个大 c 就可以了，是不是也相对就比较简单了呀？好，这是我们的哎，第一类啊，它的标准以及它的方法。好，那么接下来我们来看看第二类。第二类的话呢，其实也很简单啊，刚刚讲了，如果说两个都是基本函数的话呢，并且它的一个判定标准就是 它一定要有明显的倒数关系，比如说 low x 的倒数就是等于 x 分之一的， 那么我们怎么做呢？刚刚讲了，就是把倒数丢进 d 里边，也就意味着积分的意思，对吧？你看 low x 乘开 x 分之一 d x 把它往里边一丢，丢进去之后呢？那说白了又开始基本公式套公式了。 好，那么以上的话呢，就是我们，对啊这两种类型的方呃标准以及方法的一个总结，听懂之后呢，接下来我们就来做几个题练习一下。那么这几个题的话呢，建议大家啊，先截图自己先做一下，再来看看跟我讲的一不一样。

然后呢，今天内容呢，可能比上次内容要稍微难一些，首先我们先看第一个问题啊， e x 加上 e 的 负 x 分 之一的这个不定积分， 这个我们要怎么做呢？首先呢，这个测微分法的话呢，我们应该要选择一些量给它积分回这个 d 后面去，对吧？说白了就是这样这样一个事情，那么我们这个地方呢，好像没有什么量特别好往 d 后面放 啊，对吗？大家能能感觉得出来，对吧？没什么量可以特别好的往 d 后面放，那我们可以这样子做，我们可以上下同乘一个 e x 啊，这个思想很重要，我上下同乘之后呢，我可以，我可以写成这个样子。 哎，那这样的话，分子不就多了个 e x 了吗？那我这个时候再把这个 e x 放到后面去，那不就写成这样子了吗？ 这个时候我再对 e x 做一个 d t 吗？ 这个问题也就搞定了。好，然后呢，这个问题搞定了之后呢，我们看下下面这道题啊，这个题目呢，还是很好观察的，对吧？我们这个地方是让它这个地方有个 x 分 之一啊，是吗？所以呢，我们首先呢，可以先把这个 x 分 之一呢 放到这个就是凑位分，凑到这个 d 后面去，相当于是积分一下啊，积分一下变成了 d 的 任意 x。 好， 然后这边就是任意 x 的 任意的任意 x。 好， 然后在这个情况下，大家先不要急着先，不要急着 接着做，我们可以先让小于 x 等于 t 啊，我特别喜欢先把这个原换了，原换了之后，这个式子看起来比较清楚，我们后面做起来会看着更更流畅啊，我们可以可以变成这个样子了吧，那么在这个情况下，大家发现是不是还有个 t 分 之一这个东西啊？那我是不是可以继续，我可以把 把 t 分 之一再放到后面去？好，所以呢，我们，呃，大家这个时候想想再换一下也可以，不换也可以啊，我就换一下吧，这样可能看得清楚一点， 我们就变成这样子了，那我们是不是这个积分结果就出来了呀？然后大家最后再把这个 u 换成回 t， 再把 t 换回 x 就 可以了。好，然后这个问题搞定了之后，我们再往后我们看这道题， 这个题目呢，应该来说也比较有感觉了，对吧？我们这个地方分支有个三 x 哎，那我看到三 x 它往 d 后面凑，是不是很顺啊？特别特别顺。好，那我这个地方呢，把三 x 积分记回 d 后面去呢？变成了 d 的 三 x 分母就是根号的二，加上 cosine 的 二 x 分 之一。好的，然后呢，嗯，我们现在观察一下，它 d 后面的 cosine 是 以 cosine x 为这个自变量的，如果呢，我能把里面的背机函数全部化成关于 cosine x 的 函数，是不是这个问题我就可以做一个整体的变量换元， 是吗？所以呢，我这时候就不妨想了，我能不能把这个 sin 二 x 换成关于 sin 的 呢？啊，肯定可以啊，对吧？我们有一个二倍角公式啊，那就是二加上一个 啊，加一减去两倍的 sin 平方 x， 这是我们的二倍角，所以这个时候呢，我们这个式就变成了一个根号的 三减去二 t 方分之一的 dt。 啊，这个是不是就是我们上节课的问题啊？就那个积分的，就是那个根号，我们知道根号一减 x 方分之一，它的原函数是 x 向量嘛， 是吧？所以呢，这个东西大家去凑一下，我们在上次凑位分的时候就讲过这个问题了。好，然后呢，这个问题搞定了之后，我们再往后我们看这道题， 这个题目我们怎么做呢？嗯，也很简单，就是大家其实要知道一件事情，就是我分子的次方比分母高，说明你这个式子可以可以被可以除下来啊，什么叫除下来呢？嗯，我们来演示一下啊， x 方呢，大家其实可以把它凑成一个 x 加一的平方，我把下面写成 x 加一吧，大家可能看着顺一点都一样，对吧？它可以写成 x 加一的平方啊，那这样呢，它会多一个二 x 加二，那我就给它剪掉， 哎，是不是又就保持式子不变了？哎，在这个情况下呢，啊，不好意思啊，写错了，减二 x 减一啊，然后在这个情况下呢，我这个平方保持不变之后呢，我这边的减二 x， 我 能给它写成减二倍的 x 加一啊， 可以吗？在这个地方它后面就要写成加一啊，加一的话，它这个呃长数项才会跟上面一样吧， 对吧？好，然后呢，在这个情况下，大家是不是可以把它拆成一个 x 加一减去二，加上一个 x 加一分之一的 d x 啊？看成这样三个部分是不就 非常非常好记？这个就是我说的除下来啊，分子比分母次方高，大家可以试着把它直接除下来，很简单的啊。当然呢，大家肯定会有个问题说，哦，啊，说主播你的这个方法好像还是有点太考验太考验操作了， 是吗？这个地方在测的时候太考验操作了，我们这个地方给一个给一个比较简单的方式，就是大家对于 x 平方除以加 x 这样式子的化解呢？大家可以这样子来化解，我直接令先令一加 x 等于 t 可以 吗？那我这个分母化成 t， 那 么 x 等于 t 减一的话，那我 x 等于 t 减一的平方， 对吗？所以它就是一个 t 分 之 t 方减二， t 加一，大家把它除下来之后，可以把一个 t 减二加上 t 分 之一， 是这样吗？那我这个 t 不是 等于一加 x 吗？大家就把它换回去，一加 x 减二，加上一加 x 分 之一，大家发现这个式子是不是跟我的这个式子 是完全一样的呀？所以呢，我其实也也更加推荐这样去做，就是我们可以先把它化减化减开来，先把它通过 e 加 x 等于 t 先给它化减出来啊，然后呢，我们再积分就可以了， 嗯， ok 吧，好，然后呢，这个问题搞定了之后，我们再来看这个问题啊， cosine 方 x 这个积分我们我们要怎么考虑呢？三角函数的积分，一般来说降密是一个非常主流的方法，就是我们看到三角函数的时候，我们都要想一下 这个问题，能不能降密啊？就是把它的密字下降一下，你看这个地方，它是 cosine 方 x， 那 么很显然它可以用二倍角公式化成一加上 cosine 的 二 x 除以二 啊，所以就是三角函数，大家要一定一定要有降密的私信，好，那么它就是一个积分二分之一加二分之一的 sin 的 二 x 的 减 x， 那 么不管是这个的原函数还是这个的原函数，我相信都难不倒大家了，对吗？ 然后这个问题搞定了之后，我们再往后我们看下面这个天俊他的三次方，这个也是一道，这个是一道一道非常非常经典的问题啊，我们必须得跟大家分享一下。就是呢，积分的 天俊，他的 n 次方 x 的 减 x 呢？就是他的 n， 不 管是什么次方啊，他的 n 只要是大于等于二的， 你都可以用这个方法来做，就是相，相当于是它有一个我们通用的方式来解这个不定积分，我们怎么解呢？很简单就添加它的三次方 x 呢，或者添加它任意一次方 x 呢？大家在做的时候呢，就是给它提出一个平方， 哎，就是我先把三次方先提一个平方出来，然后呢我们知道一件事情，我们知道 tangent 的 平方 x 加一，它等于 second 的 平方，对吗？所以我可以把这个地方的 tangent 的 平方写成一个 second 的 平方 x 减一乘以 tangent x 的 d x 可以 没好，所以我可以把这个积分拆成 second 的 平方 x 乘以 tangent 减去积分的 tangent x 的 d x， 是不是就是这样子两个积分，而且你会发现一件事情，什么事情呢？ second， 它的平方 x， 它往 d 后面放的时候，它是不是刚好就是相当是你把它积分一下 second， 它的 second， 它平方的圆函数不刚好是 tangent 吗？ 现在它又变成了一个 tangent x 的 底的 tangent x 减去一个这个东西啊啊，那么前面这个东西呢，我们直接就出来了，它就是二分之一的 tangent x 平方 x 减去呢，这个 tangent x 呢？我们它它虽然就是 sine x， 除以个 sine x 嘛， 是吗？大家可以把 sine x 凑微分凑到后面去啊，应该很好很好理解。嗯， 对，它就是二分之一的平方加上一个底的 cosine x 分 之 cosine x 分 之一，这个 这个三 x 积分五就是负的 cosine 啊，但是正好负，负得正了嘛，对吧？负，负得正了好。然后呢，所以这个题目出来，它是二分之一天均的平方 x 加上一个 lin 的 cosine x， 绝对值加 c 啊。 大家不妨来观察一下我们这个天均它的三次方 x 呢，我们通过这样子的一个提了个平方，这样子一画 啊，是不是非常巧妙的就把这个问题解决掉了啊？然后呢，我现在想说的是，任何根据它的任何一个次方，只要是 n 大 于等于二的 n 等于一的情况下，我们其实可以直接积嘛，对吧？我们在这个下面已经积出来了 n 大 于等于二的时候呢，它任何一种情况它都可以用这样的方式来积 啊，就是你提个平方出来，然后把这个平方拆掉，它就可以积，大家可以回去试一下。 好，然后呢，这个问题搞定了之后，我们最后来看这个问题啊， cosine 的 四次方， 还记得我们在上一节测微分的时候，我们特地强调的一件事情啊，强调件什么事情呢？我们说在不定级问题，大家看到这个 cosine x 分 之一，或者在就是在其他地方看到这个 cosine x 分 之一，大家在大学里尽量把它写成 second， 为什么呢？因为我们现因为我们现在的很多求导还有一些公式，我们记的都是 second， 我 们记的不是三 x 分 之一 啊，所以呢如果大家把它写成 second 的 话呢，大家的印象会就是看到的时候会感觉会更强烈一点啊，就是我如果把这个地方题目写成一个 second， 它的四次方 x d x， 大家是不是会感觉有一种很强烈的感觉？因为我们知道 second 的 四次方它 里面的一个平方向，它的原函数是 tangent， 是 吗？所以就说我把它写成一个 second， 它的平方 x， 我 可以把其中的一个平方向放到呃，就是积分，积分回这个 d 里面去啊，写成 d 的 tangent x 啊，这个想法是不是就变得很自然了？好了，然后这个时候我的呃这个自变量呢，它是以 tangent x 为整体的， 那我们是不是就在想我能不能把里面的背记函数也换成关于天旋梯 x 的 函数呢？那很那么一旦有了这个想法我们就自然了吧，对吧，它就是天旋梯的平方 x， 加一的 d x， 哎，那些是 看加一的底的天旋梯 x 啊，对吗？所以它它就是积分的 t 方加一的 d t， 这不就出来了。好的， 然后这个问题搞定了之后呢？啊这个这个是我我想放的一个思考题啊，但这个思考题呢我们也直接讲掉了啊。 嗯这个题目呢，它的做法上比较比较玄学哦。啊我没有什么特别好的一个就是引导大家的思路，我们只能告诉大家这个题目应该要怎么做，我们上下同除一个 x 方， 大家觉得想得到吗？哈哈，我剩我剩下，剩下同除以一个 s 方。为什么像剩下同除以一个 s 方，就是大家可以想一下，你 s 方加一这个量，你往这个后面去凑一分 没有用，是吧？大家可以想一下，凑一分没有用。然后呢？这个地方的方法它就很玄学，我上下同除以一个 s 方，得到一个一加上 x 方分之一，下面是一个 x 平方加上 x 平方分之一，它写成这样子的。写成这样子之后，大家可能开始疑惑了，说，哎，这样子看起来好像题目变得更复杂了呀， 对吗？这个问题看起来变得更复杂了，但是其实不然啊，你看我如果把这个量积分凑回到这个 d 里面去，它会变成什么？它是不是刚好变成了一个 d 的 x 减去 x 分 之一 啊？对吗？那么 x 减 x 分 之一的情况下，我是不是可以把分母写成一个 x 减 x 分 之一的平方啊？哎，是吧？你看 x 减 x 分 之一的平方，它刚好是 x 的 平方加 x 的 平方分之一， 然后呢？二 a、 b 那 个量，它正好是减二，所以我，我只要在后面再加一个二，它就可以保证我的这个式子是不变的。在这个情况下，它的式子不就化成了一个 t 方加二分之一的底 t 吗？ 问题是不是就搞定了啊？这个就是我们上上节课题的一加 x 方分之一的就是 akatan x 的 导数，我们去，我们去凑一下去做就可以了。嗯，好的。

这道题长得很吓人，其实都是出题人家的伪装，教你一招撕掉伪装，直接秒解。我们来看这道不定积分的问题，有了上一题的经验呢，我们在面对这样的问题，我们就有了技巧， 怎么做这样的问题呢？我们可以去分析这个背记函数的结构，去看一下这个背记函数里都有哪些因子。那像这个题目当中呢，有口算方，口算方减三 x， 口算 x 以及这一部分，那我们找哪一项呢？我们去找那个较为复杂的那个因子， 初步预判这个较为复杂的因子应该是它。我们去求这个较为复杂因子的导数， e 的 三 x 幂乘以口三 x， 它的导数写出来前导 再乘以个 cosine x， 再乘以它本身的 cosine x， 这变成平方，再减去，加上后面岛是负的 cosine x， 所以 减去减去 cosine x， 乘以 e 的 sine x 自密。我们这里可以提出一个 sine x 自密，就剩下了 cosine 方 x 减去 sine x。 所以我们发现背记函数的分子恰好就是这个复杂因子的导数的一个部分。虽然差了一块儿，差了一块儿，但我们可以把这个导数给它凑出来，通过分子分母同时乘以乘以 e 的 sine x 次幂， 分母也乘 e 的 sine x 次幂。 那么现在我们就可以把分子和这个 d x 凑为分了。 先把分母写上， e 的 sin x 是 me， 乘以 cosine x， e 加上 e， sin x 乘以 cosine x， 分 子和 d x 凑在一起就是 d e sin x 乘以 cosine x。 我们为了方便这个看啊，我们把 e 乘以 e 散 x， 密乘以口散 x。 换元一下，令 t 等于 e 的 散 x， 次密乘以口散 x， 那 这个不定积分就变成了 t 乘以 e 加上 t 分 之一， d， t 又变成了我们较为熟悉的这个结构。 哎，上一道题目我们是凑成了 t 乘以一加 t， 那 这里是一加 t， 一 加 t 也很好处理，对吧？ 你把它写成是 t 分 之一，减去减去一加 t 分 之一，它俩减完之后呢，分子上会出现一个 e， 所以 在外面要乘一个 e 分 之一，然后抵 t。 接下来我们对它进行不定积分，这个是比较好。积分的 第一项应该是 loon t 的 绝对值，再减去 loon e 加 t 的 绝对值，再加上常数 c， 最后一步是要把这个 t 带回来一分之一，这两个 loon 是 可以合在一项的，就是一分之一倍的 loon。 上面是 t， e 的 sine x 乘以 cosine x， 下面应该是 e 加上 e 的 sine x， 再乘以 cosine x 的 绝对值。最后别忘了加上常数 c。 同学们可以去，如果你没有看上一个视频，你可以将上一个视频和这个视频呢？你综合起来看，它其实就是利用了一个我们 哎比较简单的一个不定积分的结构，利用它去把里面的这个 t 啊，把里面 t 换成了一个复杂一点的因子。我们这里是换成了 e 的 塞沿 x 乘以口塞 x， 然后利用这个简单的结构把 t 换成这个样子，去出了这道题目。所以当我们掌握了出题人的这个出题规律的时候，他即使把 t 换成了多么复杂的样子，我们也是能够解决这道问题的。 它的思路是将一个简单的不定积分的结构给它加复杂因子，变成一个复杂的题目，那我们的思路呢？就是在这个不定积分的背记函数里面，把那个最复杂的结构给它找出来，然后去进行求导，把它破解了。

欢迎来到陈老师的高数速成课本课程主要目的是帮助大家在七天之内学完专升本高等数学部分，为那些没有太多时间备考的同学拿下一个基础的分数。本课程适用于黑龙江省， 浙江省以及各种专升本考试考察高等数学的省份。接下来呢，我给大家讲解一下子不定积分当中的基本积分公式都有哪些，并且呢给大家划一下重点，在咱们专升本阶段呢，哪些需要着重的背哪些呢？就是说看看就行。 对于那些想考高分的同学呢，我当然是建议啊，你们底下这些公式呢，全都背下来。对于咱们这些就想考一个稍微基础点的分数的同学来说呢，就按照老师画的这个重点来进行背诵就可以了啊。首先带大家看一下这个第一个公式我们是需要背诵的，就是说 他说的逻辑是什么呢？说对于常数 k 的 记分，他的记分值应该是等于 k x 再加上一个常数 c 的， 这里面要特别注意的是什么呢？特别注意的就是如果说对零进行记分的话， 那他的值应该就等于某一个常数 c， 为什么有这样的说法呢？在上节课我们学过求不定积分，是不是在求谁求倒是积分号里面这个东西，那既然是对零进行积分的话，那谁求到等于零呢？ 在大上堂课，我们是不是讲过对常数 c 的 导数是零，所以说呢，这块呢，大家需要额外的注意啊，其中 k 为常数呢， k 呢不能等于的。是啊， k 呢其实可以等于零， k 如果等于零的话呢，就变成了零加 c， 不就是常数 c 吗？是不是？所以说这个第一个大家需要引起注意啊，并且呢你能做到就是说数倍啊，这个第一个，第二个我们需要背诵，这个第二个呢，我们在上节课的时候已经给大家讲过了，就是加上一个，一取上一个倒数吗？不会的同学呢，可以在后面写上一个 加一取倒数， 加一取倒数， 接下来呢就是这个第三个，这第三个呢，我不要求大家背诵，但是呢，大家一定要啊，要知道根号 x 分 之一和二倍根号 x， 它俩是有关系的啊，我要求大家背诵的是什么东西呢？是根号 x， 它求导等于 二倍根号 x 分 之一。那你想想啊，我对这个式子两边同时乘上一个二，是不是就能得到另外一个式子叫二倍根号 x， 它求到等于 根号 x 分 之一，对不对？那你们只需要把这个式子记住了，那这个不定积分是不是也能记住？因为还是那句话啊，老实再墨迹一遍， 是不是求不定积分就是在求右面的东西，求完倒之后就这个整体啊，求完倒之后谁能等于积分？符号里面的这个东西只要找到一个，然后再加上一个 c， 是 不就是所有的，对吧？这个是我们说的第三个，不太需要背啊。第四个非常非常重要， 就是 x 分 之一，它的记分应该是烙印 x， 并且这块的绝对值大家也要额外的注意一下啊，考试时候不写这个绝对值是要扣零点五分到一分的， 零点五分到一分，所以说呢，凡是遇到烙印的一定要加上绝对值啊。我们再来看一下第五个，第五个呢，其实也不需要背诵，老师要求大家背诵的是什么呢？ 是 x 分 之一，它的导数等于负的 x 平方分之一。那现在啊，我两边同时取一个符号，就是同时乘个负一，是不是负的 x 分 之一求导就等于 x 平方之一？所以说呢，我觉得这个大家也很好背诵啊， 只要把这个求导的这个背下来了就行了啊。接下来就是第六个需要大家背，这些呢，都是比较简单的，我觉得呢，你抽个这个十分二十分的时间就能把这些东西全背会，并且呢，我推荐大家啊，不要拖，因为你想啊，你们离考试的时间也越来越近了，你要是天天拖着的话，这个 拖到最后了，可能临阵突击的话，你的这个印象也不够那么深刻。所以说我推荐大家啊，就是能早背的尽量早把这个东西背下来啊，第七个不用背诵啊，第八个需要背，第九个需要背， 第十个呢也需要背，第十一个不需要背，十二个呢，背一下啊，十三不需要背， 十四呢需要背。其实说白了啊，不定积分这个章节呢，需要你们背的东西呢，你们别看很多，但是它其实就是导数，那个章节的逆运算吗？对不对？你如果说你求导那块背的比较六的话， sine x 求导不就是 sine x 乘减 x， 那弹性的 x 求导呢，是不就等于 c 的 平方 x？ 同理呢啊，三 x 求导是不一定等于 cos x 啊，这块呢，老师讲义上有个错误啊，这应该是 cos x dx 啊，少了一个 x， 这个大家自行补上啊，这个需要被啊，以及 这个需要背，包括这个需要背以及这个需要背，还有这个二十一需要背，其他的呢，都不需要背， 就是说想考个基础分的同学啊，有其他的就不需要再背了，你只需要背老师画的这几个就行了啊，这个讲义呢，大家可以私信老师，老师免费的发放给大家，希望呢，大家能给老师点个免费的关注啊，谢谢大家。我们再来看一下二十四，第二十四个也不需要背啊，那 听到这的同学呢，我建议你暂停一下。为什么建议你暂停一下呢？因为后面的这些例题啊， 都是需要用到前面这个公式的，那我不可能说每次用到这个公式的时候，我都给你往回翻一遍吧，是不是我建议你暂停一下，你先把这几个公式 你先给我背熟了，一共也没有几个，并且呢，他跟求导那个章节的知识挂的是比较紧密的，我们呢，专门给大家出了一门课，是不是叫符合函数求导的，那门课叫三十道题，高中符合函数求导，对吧？我建议大家把那门课搞的明明白白之后再来听这堂课，我觉得呢，效果会更好啊。 接下来我们看一下下面这道例题啊，第一道例题呢，他是说让咱们求这个不定积分，是不是这个不定积分啊，显然他是一个 x 的 负三次方，是不是 d x 为什么要把它转换成 x 的 负三次方呢？因为在基本的积分公式当中，我们只知道这个东西的不定积分就是 x 的 a 次方 d x 它是等于 a 加一分之一 x 的， a 加一次方再加 c 的， 对吧？那你看它现在变成了 x 的 三次方分之一，那我我要想套公式的话，我是不是套不进去啊， 我得转换成一个我比较熟悉的东西，并且里面，并且呢，这个公式里面呢，还得有个这么个东西我往里套嘛，对吧？所以说呢，要把它转换成 x 的 负三次方，负三次方，根据我们 上面给大家口诀，是不是要加上一个一取倒数，对吧？那负三加一呢，是不等于 x 的 负二次方？负二次方的倒数是不是负的二分之一再加上一个差数 c 啊？那如果你愿意呢，它也依旧等于的是 二 x 方分之一有个符号，再加上一个差数 c。 因为啊，这块有一个小知识点，我希望大家能知道啊，就是 x 的 a 次方分之一等于 x 的 负位置，这块用到的是这个知识点啊。接着我们再来看一下例期，例期呢，他说让咱们求这个不定积分啊，求这个不定积分呢，你能发现它是两个 x 相乘的，我们在初中的时候已经学过啊， x 的 a 次幂乘上 x 的 b 次幂，一定是等于 x 的 a 加 b 次幂。这个公式它有个学名，就是老师给你们总结过口诀，应该是叫同 底数相乘， 是底数不变，要指数相加。 嗯，那你看啊，前面这个式子是不可以看成 x， 后面那一个呢，是不就是 x 的 二分之一次方 d x 啊？这会呢，需要用到一个转化的一个公式啊，叫 n 次根号下 x 的 m 次方， 它等于 x 的 n 分 之 x 方。我们在高等数学这科这门课上呢，多数都以是 x 多少次方来写，一般不写这个什么格号 x， 只是说一般啊，在不定积分这块呢，用的这个性质比较多啊，那你看这个是不是相当于是 x 的 一次方，那 x 的 一次方乘上 x 的 二分之三次方，是不是应该等于 x 的 二分之三次方进行积分，对吧？我们之前也学过一个口诀，是不叫加一取倒口，所以它就等于 x 的 二分之三次方，加一是不是二分之三加一变成了二分之五了吧，取一个倒数是不是五分之二？ 不要忘了加上一个常数 c 就是 本道题的最终答案嘛，对不对？我们再来看一下例八，例八这道题呢，你乍一看，可能你也套不上任何的公式，因为在咱们之前学的这些公式里面，没有一个情况说能跟例八对的上。但是啊，这块呢，我们需要用到一个比较好的一个解体手法，叫什么呢？就是暴力给它拆开， 把分子的这个东西给他暴力拆开，因为你知道啊， x 减一的三次方，其实他如果拆开的话，他不是这么写的，对不对？他是不是相当于是三个 x 减一成一起 对吧？那三个 x 减一成在一起，我相信大家是不是在考场上慢慢成的话，是不一定能成开啊，是不一定知道怎么成啊，对吧？那 我这里面呢推荐大家啊，能把这个公式呢，如果能背下来呢，那一定是最好的了啊，如果背不下来的情况下啊，我建议各位同学怎么办呢？就是你考场的时候先把平方乘在一起，乘完了之后呢，你再开这个立方这个项啊， 什么叫把这个平方乘在一起之后再开内方这个项呢啊，我一步一步给大家讲啊， x 减一的三次方呢，其实在老师眼里有三种算法，第一种算法呢，就是分别乘开， 第二种算法呢，就是把它变成 x 减一的平方，再乘上 x 减一。第三种算法就是被公式。 我先把公式给大家写上啊， a 减 b 的 三次方，等于 a 的 三次方减去三， a 方， b 减去加上三 a， b 方减去 b 的 三次方。那你看啊，如果说你要把这个公式背下来的话啊，你要是有这个底子，你之前背过的话，那你看，我这不是直接往里面套公式就行了吗？ 那 x 减一的三次方是不等于？首先你得先识别一下啊，谁是 a 啊？谁是 b 啊？在这道题当中， a 是 不是应该等于 x， b 呢？是不是应该等于一？那你就可以直接往这个公式里面给我套了，对吧？它是不是等于 x 的 三次方减去 三倍的？是不是 a 方乘上一个 b， 就 相当于乘上一个一啊？没成吗？对吧？再加上 三， a 是 不是三？ x 乘上 b 方，那不还是一吗？所以现在还没乘吗？再减去一，那你呢，你是不是很快的就能把这个式子打开？但是呢，因为咱们是专升本的学生，有可能你背这个公式负担比较大，对吧？你负担比较大的情况下呢，你最起码来说， 这个 a 加 b 的 平方这个东西你之前是不背过，他是应该等于 a 方加二， ab 再加上一个 b 方啊，那把他把原来的这个三次方拆成平方向和减一项之后，这个东西是不是就可以套公式了？ 他是不是等于 x 方减二， x 再加一啊，然后再乘上 x 减一啊，对不对？而你这个时候在对应分量相乘再相加是不能比，直接这么算要简单一点呢， 对吗？同学们？嗯，那第一个方法就是分别成开吗？这个分别成开这个方法呢，也没有什么难度吗？你就一项一项成吗？那你也没啥好招，就按小学那个办法你就成呗，对不对？我这里面呢，最推荐是什么呢？ 最推荐的是第三种，其次呢，我很推荐第二种啊，因为第二种呢，对于咱们学生来说负担比较小，所以说第二种呢，我希望大家这这两种啊，就是二三呢，稍微掌握掌握啊，三呢，可以不掌握无所谓。 好，那现在 x 减一的三次方是不已经被我变成了下面这种形式了，那原式是不就等于这个东西的奇数？ x 平方分之 x， 三方减去三， x 平方再加三， x 再减一啊，对吧？同学们，那你要知道啊，我们在中学的时候学过，如果说一个分式是成倒三角的形式的，什么叫倒三角呢？就是这种 a 分 之 c 加 d 的 形式，它是不能拆分成 a 分 之 c 加上 a 分 之 d 的 情况，就是一项式子是不能拆成两项啊，它的原理是什么呢？就是同分母的分式相加，是不是分母不变， 然后对分子进行向下减就行了，对不对？所以说，那我可以把它拆成几项呢？是不是这是一项，这是不是一项，这时候又一项，最后是还有这一项，一共呢能拆成四项，所以说它就等于 x 减去三，再加上 x 分 之三，再减去 x 平方分之一 d， x 分 别套我们上面的那个公式，哪个公式呢？咱这会初学啊，老师就给大家写一下， x 的 a 次幂 d x， 它就等于 a 加一分之一， x 的 a 加 e 次方，所以咱就往那个公式里面套啊，它最后预测出来的结果应该等于 二分之一 x 平方减三 x 加上三倍的零 x 的 绝对值加上 x 分 之一再加 c， 这就是本道题计算不定积分之后出来的结果。像这种题型呢，咱们专升本呢，也比较愿意考，因为呢，它不涉及到那些特别弯弯绕绕的东西， 只需要你老老实实的把这个打开，然后把这个东西呢拆成四项求和，然后每一项分别套公式是不就行了。嗯， 接下来呢，我们再来说一下第九题。第九题呢，那就是每一项分别套公式这块呢，应用到了一个不定积分的性质，包括呢，上面这个例八，其实也用到了不定积分这个性质，就是在上节课我们讲过啊， 老师写到下面吧啊，如果说对 f x 加减 g x 求不定积分的话，它应该等于 f x d x 加减 g x dx， 就是 等于分别拆出来之后这两项呢，单独求不定积分是不是？那你看这一项是不是可以拆出来，这一项是不是也能拆出来？它是不是就等于二的 x 乘以 x 再减去三倍的 sin x dx？ 在 这块上，老师又用到了一个性质，就是我们上节课说过的，如果说 k f x dx 的 话，它应该等于 k 倍的 f x dx， 其中呢，要求这个 k 呢，是不等于是不等于的？那你看 对三倍的三 x dx 积分，这个三是不可以无条件的提出来，这是我们定积分学的性质啊，所以说呢，最终的结果就应该等于二的 x 私密 比上烙印二再加上三倍的 cos x 再加四，这两个啊，都是有公式的，可以翻翻之前啊讲过的那个方法啊。接下来呢， 咱们就会说了，那你看我光背这些基础公式也不行啊，有的题呢，我光靠这些基础公式我学不出来了，就比方说 这个利益，这个利益他也没公式可凑啊，也没公式可靠啊，那我怎么办呢？我怎么处理这种？就是我明显我套公式，我套不上的这种积分呢？这个呢，就叫第一类换元积分法。 什么叫第一类换元积分法呢？他也称之为是凑位分法，在这里面呢，老师给大家总结了几种比较典型的凑位分法的形式，并且呢，我希望大家啊，在学会这个第一类换元积分法，就也就是这个凑位分法的时候啊， 就之前啊，大家需要明白一个概念，什么概念呢？就是整体思想，他很重要。什么叫整体思想很重要呢？拿一个最简单的东西给大家举例子啊，如果说现在你想对这个东西进行积分，哪个东西呢？给你们举个例子啊， 比方说我想对 e 的 三 x 四方进行计算，那同学就会想，那你看，原来我学过的公式，是不是这个公式叫做 e 的 x 四方， d x 它是不是就等于 e x 再加这样老师要教大家的思想叫什么呢？叫整体思想。 那现在一脑瓜子上这个东西是不是三 x， 如果说 d 后面这个东西也是三 x 的 话， 是不是我就能套这个公式了？为什么呢？因为公式说了，一脑袋上的东西和 d 后面东西如果相等的话，那他就等于一脑袋上这个东西。你要学会把不定积分这个东西 当成一个整体来看，就是把不定积分这些公式里面的所有 x。 我 建议啊，你直接当成狗来背。什么叫当成狗来背呢？老师给大家写一下啊，上面这是不是咱们不定积分的一个比较基础的公式啊？那我都给他改成狗， 就是只要这个东西相等，就是这个狗和这个狗的东西相等，那它就等于 e 的 这个整体加 c。 别的积分公式也是一样的啊，老师给大家调回去， 大家看一下，就拿第十个来举例子啊，比方说 second 里面这个 x 你 换成狗， d 后面是不是也得换成狗？ 弹吉他呢？是不是也需要换成孔？所以说这个就是整体的思想，我希望大家在学这个错位分之前啊，一定要掌握，如果说你掌握好了这个整体思想的话，这个错位分法 很慢很好使啊。接下来呢，咱们就看一下这道题啊，这道题呢，是不是 e 的 三 x 点 x， e 的 三 x 点 x， 那 根据我们的积分公式，三 x 得和 d 后面这个东西是很相等，那此时我多么希望 d 后面的东西 是三 x， 但是你想想啊，你凭空的给原式 d 后面的东西是三 x， 但是你想想啊，你凭空的给原式 d 后面的还能相等， 是不是？显然不能相等，那这个时候我怎么补？我补什么东西能让他和原来的式子相等呢？你不妨想想老师上节课说过的一句话，我说呢，第一，后面的东西拿出来是不是要求倒，那这个式子其实本质上来说是不是应该等于 三倍的 e 的 三 x d x， 而原来的式子是谁呢？是不是 e 的 三 x dx？ 那 这个式子要乘几能跟下面这个式子相等，就显然是要乘一个三分之一，那这块是不是也得乘个三分之一？所以说，原来这个式子经过老师这么一变化，它就变成了 三分之一倍的 e 的 三 x， d 三 x， 对 吧？ 我为什么要这么变呢？老师刚才也讲了，我要把 e 脑瓜子上这个东西和 d 后面这个东西凑成一模一样的，进而呢来套上面的这个公式，对吧？那现在这部分是不是已经完美的符合了这个积分公式里面的情形， 所以整个式子就等于三分之一倍的 e 的 三 x c， 再加上一个差数加 z， 这就是我们最后计算的结果。那如果你不信呢，你可以对这个式子加以验证一下。怎么验证呢？就是你把这个东西求导， 你看看求完导之后的结果，等不等于积分符号里面这个东西是不就行了？那咱们验证一下， 三分之一 e 的 三 x 加 c， 它求导，那不正好就是 e 的 三 x 啊，验证成功，是不是这道题你在考场上就能保证你百分之百做对，对吧？ 所以说呢，这是我们举的这么一道例题啊，老师把这道例题呢放边上，咱们讲一下老师给大家敲出来的这个例题到底应该怎么做啊？有了刚才这个例题的这个功底，我相信大家啊， 做这道题的时候就不在话下，为什么说不在话下呢？咱们看一下这道题啊，首先他就是以一个根号下什么三次的这种形式出现的，那我们要把它转换成这个他脑袋上有东西的这种形式啊，他一定能转换成 一减二 x 的 负三分之一次方，是不是 d x 是 吧？ 嗯，那现在怎么样才能保证我能套上这个公式呢？我原来学过的这个基本的积分公式是啥呢？是这个给大家写一下，是不是 x 的 a 四方 d x， 它就等于 a 加一分之一， x 的 a 加一次方再加 c， 是 不是这个 x 得和 d 里面那个 x 是 得一模一样，我才能抛物质。但你看现在这里面是不是一减二 x， 如果我把 d 里面变成 一减二 x 是 不是就好了？但是还是像我说的，你凭空的把 d 后面变成一减二 x， 这样的话和原来的式子还相等是不？显然不相等。那在这里面呢，老师就不给大家证明了，直接就给大家补前面的这个系数，你自己呢？把它求导，就是把 d 后面这个东西求导拿出来，你自己和原来的式子一配，你就能配出来啊，这个系数等于的是负的二。 嗯，那你看现在后面这个式子是不是已经完美的符合了下面这个公式了？那下面这个公式怎么做的呢？那就是加一去倒数嘛，所以它就等于负的二分之一 乘上，你这块是不是留个空？为啥呢？因为你要对脑子上这个东西加一啊，加一，你把它取得数乘到它前头了，对不对？所以你先留个空啊，一减二 x 分 之三分之二正好，因为负三分之一加一不就是三分之二，所以再乘乘二分之三， 再加上一个 c， 稍微对前面这个东西整理整理啊，等于负等四分之三，一减二 x 等于三分之二，再加上一个差差 c， 这是我们说的这种凑边分法的第一道题啊，接下来咱们再看一下凑边分法的第二种题。 错位法的第二种题型呢，就比较显然了。为什么比较显然了呢？这种题型你可以把六次方打开，打成好多好多项，对吧？进而呢每一项单独积分，那你想想，你刚才打三次方的时候都费死劲了，你现在再打六次方， 那你不跟我开玩笑的吗？你等你打开完了之后，人家都交卷了对不对？所以这道题你千万千万不能给我打开，那怎么办呢？还是套上面那个公式，把 d 后面强行的变成什么三加二 x 是 不就可以了？所以它就等于 三加二 x 的 六次方 d 三加二 x 前面补个啥呢？补个二分 d， 最后计算出来的结果应该就是 十四分之一三加二 x 的， 其次再加上 x， 因为加一取道数，对吧？这种加一取道数的题呢，老师已经说过好几道了，所以这道题呢，老师就不再给大家赘述了啊，你们呢，课下的时候千万千万啊，切记， 别的东西可以不背，这些东西老师画的一定一定要重中之重啊，好好背一下，明白吧！ 好，接下来呢，另外一种错位分的形式出现了。什么叫另外一种错位分的形式出现了呢？大家看一下啊，散减 x 的 不定积分是不是就是 cosine？ x 是 负的对吧？差个正负号无所谓，为什么呢？因为我可以通过前面补系数进行配平嘛，对不对？ cosine x 的 积分呢？是不是 cosine x， 对 吧？所以说这道题当中呢，我们要把 cos x 拿到底，后面去让它变成三 x， 这个时候整体思想就更重要了，你要把这个东西整体的看成一个狗吗？对不对？那如果说 这个东西的积分，我想问一下大家应该套哪个公式呢？说显然应该套 x 的 a 次方这个公式，因为你看它俩不一样吗？指数上这个 a 不 就是一吗，对不对？那这个积分呢，应该等于啥呀？是不是等于二分之一 go 的 平方再加 c， 因为之前我们学了不得加一去倒数，那一加一不就是二吗？二取一个倒数不就二分之一是吧，这块老师就过多追溯了啊，所以这个积分呢，就等于二分之一倍的三平方 x， 二分之一三平方 x 再加四，不信呢，你可以验证一下，你说可以对这个东西求导，你看看等不等于上面的东西就完事了是吧？我们说的这是我们说的例三啊，例四呢，其实也是一样的啊，例四呢， 这个东西呢，比较高级了啊，能掌握的同学呢，就稍微掌握一下，如果掌握不了的同学呢？嗯，那也就是那么回事了，也无所谓，因为在专升本呢，考察的概率也不是最高啊。 这块呢，需要用到一个公式，就是二倍的三 x 乘 cos x 等于三二 x， 而三平方 x 它求导就等于 三以二 x， 这里面呢，我可以把它分子变成二倍的 三 x 乘 cos x， 一 加上三以四次方 x d x。 但是老师这么变，变完之后和原来是的相等吗？显然不相等吧，前面是不得补个二分之一， 这么一补充就相等了，我为啥要这么变呢？我是目的是把它变成三以二 x， 对 不对？所以说它就等于二分之一倍的 e 加上三以四次方 x， 分 之三以平方 x 求导 d x， 对 吧？在上节课的时候我也说过，要把 d 后面的东西拿出来，是要求导，要把前面的东西拿到 d 后面去是要积分， 积分和求导呢，能相互抵消，你看我添一个积分符号，他俩是不是能抵消？所以说这一部分整体拿进去，是不就是求导符号里面这个三 e 平方 x？ 如果说这块听不懂的同学呢，稍微暂停多听几遍，我觉得你就能听明白了啊，他就等于二分之一倍的 一加上三 e 平方 x 的 平方分之一 d 三以平方 x。 为什么老师要写成这样呢？还是那个整体思想去凑那个不定积分的那个公式？那个不定积分的公式，如果说你背的不熟练的话，这个凑微分法 你将一点都使用不了。为什么？因为你都没有方向啊，就像你在大海里面，你都没有指南针，你往哪跑啊，对不对？这个东西典型的是这个公式出来的，叫 一加 x 平方分之一 d x 就 等于 arc tangent x 再加一个常数 c， 所以 它就等于二分之一倍的 arc tangent。 是 不是要把里面的 x 都换成这一坨啊，对吧？那么就 arc tangent 三一平方 x， 别忘了括号再加上 x， 这就是我们说的这道题的答案， 立五呢和立六呢，是我们积分公式里面让大家背的，但是立五呢，立六这两个题呢，本来来说呢，考的也不多，所以说呢，立五立六这两个题呢，老师就不给大家讲了啊，我给大家讲一下，立七立七呢，你能发现 x 这个单 x 啊，要想拿进去是不能生你自己，对不对？那你不妨呢，你就把 x 单独的给我拿进去，它是不是变成了 一加 x 平方的平方分之一 d 二分之一 x 的 平方，对不对？那 d 二分之一 x 平方这个二分之一是不可以无条件的提到任意一个位置，他可以提到这块，是不也能提到这块？为啥？因为常数他本来就不参加求导啊， 你先拿出来和后拿出来是不都一样？常数想拿到哪就能拿到哪，所以他就等于二分之一倍的 e 加 x 平方，整体平方分之一 d e 加 x 平方。这里面呢，老师是不是补了一个常数，补了一个常数呢，是无需配平的，为什么呢？因为常数求导等于零，他往出拿呢，是不得对它进行求导， 他求导呢？常数求导是不是等于零了？所以你补一个常数是不无所谓啊，这块呢，也是咱们解不定积分的一个常用技巧啊。那你一旦把一加 x 平方看成了一个整体， 是不是就有狗的平方分之一踢狗了，对吧？根据咱们上面背的那个积分公式，他就等于负的 二倍的一加 x 平方分之一，再加上一个，如果你不信呢，你可以对这个式子进行求导，加以检验，看看等不等于上面这个积分符号里面这个东西， 这个是我们说的例七、例八以及例九呢，嗯，其实这个是咱们积分公式里面的东西吗？对吧？我就在这里面呢，就不给大家讲了，如果有余力的同学呢，可以自己做一做啊，我这里面稍微给大家点提示啊，这个例八呢，可以这么做， 一加上 a 分 之 x 的 平方，二分之一 d a 分 之 x， 前面这个系数呢，你们自己补好吧，这个例九同样的啊，根号 下面这个系数呢，你们自己补啊。接着我们看一下第十题啊，第十题，其实老师刚才也给大家讲过了，第十题，刚才老师讲的是 e 的 三 x 次幂 d x 啊，翻看之前的视频，这道题呢，你一定会做，它最后的结果是负的二分之一，一个负二 x 加一， 再加上一个差数 c， 一定一定，不要忘了，不定积分一定是要加长数 c 的， 因为长数 c 它求导才是零嘛，对不对？好， 这个呢，同理啊， x 呢，能挪进去升一次密码，所以它就变成了 根号下一加 x 平方， d 一 加 x 的 平方，但此时呢，不平，需要配个二分之一，所以最后呢，它算出来的结果呢，是，二分之一乘上 三分之二，一加 x 平方的二分之三次方，再加上一个 c。 稍微越分越分啊，就是三分之一，一加 x 平方的二分之三次方，再加上一个 c。 嗯， 我想着重讲的呢，是例十二这道题啊，例十二这道题呢，你们发没发现，它其实是一个正三角，它拆分不了。什么叫正三角呢？就是分子只有一项， 他就是正三角，他很稳定，他拆不了。那此时怎么办呢？这种题型啊，我告诉大家，多数的是给他转换成倒三角来进行积分，这个手法我希望大家能够学会啊， 其实在求解不定积分这个道路上啊，没有什么万能的方法，他呢有点类似于开车，就是说呢你，你问一个会开车的人啊，你说这个， 哎，朋友这个车是怎么开的呀？他可能形容不出来，他说你开多了可能就知道了，对吧？包括这个不定积分怎么解决。我们呢，确实是有几种常见的手法，比方说错位分法呀， 比方说这个换元积分法呀，或者说是这个直接套公式的这种方法，是吧，不论是哪种方法，它其中蕴涵着下面还有好多小分支，就说你还有别的手法来辅助这种主手法去操作的。所以说不定积分这块的题目呢，我希望大家能多做两道， 来达到一个什么呢？来达到一个熟能生巧的这么一个目的，就是这么一个地步啊。那这个手法呢，也是比较常见的，就是 e x 加二再减二， e x 加二，那是 b x， 它就等于 一减去 e x 加二分之， 你会发现前面这部分是不能积出来，他是 x， 对 吧？而后面这部分呢，你积不出来了。老师讲到这呢，跟大家说一下，不好意思， 这道题不是用这个手法来做的，为什么说要在这道题给大家讲这个手法呢？是希望大家能够记住这个手法，就是往往有些题啊，就是需要用到老师这个题的手法，但是本道题呢，用的不是这个手法，还是直接凑把 e x 凑到后面去，原式就等于 e x 加二分之一， d e x 加二啊，那是不是就变成了 x 分 之一比 x 的 形式啊？对应着我们那个基本积分公式是不应该是 loi e x 加二，这里面 不要忘了，有褶音就一定有值吧，绝对值吧，再加一个差乘 c， 这是我们说的求不定积分。我们再来看一下下面这道题，下面这道题很显然啊，它应该是 x 分 之一，乘褶音平方 x， d， x 应该等于 loine 平方 x， d loine x 应该等于三分之一倍的 loine 三次方再加 c。 说完这几道题呢，我觉得 已经很有必要跟大家讲讲常见的错位分的形式到底有哪些了，这个呢，我希望大家能够记住，就是说 见到什么样的情况，我需要凑什么样的微分呢，对吧？老师，这里面呢，给大家总结了几个非常非常常用的公式，我希望大家呢能多看看这些公式，多看看这些公式之后呢，然后去做题啊。第一个公式就是这个， f a x 加 b， d， x 就 等于 a 分 之一， f a， x 加 b， d， a x 加 b， 这里面需要注意啊， a 不 能等于零。 第二个积分公式就是 f， a， x 的 n 次方加上 b 乘上 x， n 减一次方， d， x 就 等于 na 分 之一 f， a 的 x 的 n 次方加 b， d， a 的 x， n 次方加 b， 这里面呢， a 也不等于。第三种情况呢，就是 f， 这都是积分啊， e x 乘 e x， d， x 就 等于 f e x d e 的 x。 第四种情况呢，就是 f， x 分 之一乘上 x 平方二分之一 d， x， 它就等于负的 f， x 分 之一， d， x 分 之一。还有第五种情况就是最后一种情况了啊， f x 分 之 f 等于 x， d， x 就 等于 f 等于 x， d 等于 x 这几种情况，其实我们在前面的时候，做这些题的时候也都做过，所以说呢，我希望大家能够 多看看这几个公式啊，因为这几种公式能变形出来无数的题啊，一旦变形出来这种题的话，那你不就减分了吗？如果把这些公式都记熟了的话，对吧？嗯， 然后下节课呢，我们给大家讲解一下什么呢？就是第二类还原计算法。什么叫第二类还原计算法呢？就是出现跟号了，这个时候我们应该怎么办啊？这个时候我们下堂课要讲这堂课呢，咱们就先到这里，谢谢大家。

兄弟如何使用错位分？他的精髓就两点挑战，把数学变成大白话的第十九天。第一，看有没有符合函数。第二，凑内层函数的位分。当然，只能凑整数，不能凑变量。例如像这道题，我们可以先把倍减数写为 x 分 之一乘以零 x 分 之一。 由于有符号函数，而且内存是 low x， 所以 我们可以从一个 d low x 也等于 x 分 之一乘 d x， 而积分里面 d x x 分 之一都有，所以它就等于 low x 分 之一再乘 d low x。 而根据结构式，筐分之一乘地框等于 low 框的绝对值再加 c， 所以 也就等于 low low x 的 绝对值再加 c。

凑微分的第一步，你要锁定一下你的目标中间变量是谁，你要统一哪个中间变量，锁定之后，记住一句话，需要有该中间变量的导数做因子，说白了就是你要统一谁，你就得需要在前面出现他的导数。来看题吧， 举了三个倒数的例子，在这不念了，看一下它目标中间变量是谁？ s 平方中间变量吗？需要咱有谁？它的倒数二 s， 那咱就凑出一个二 s， 把它往后放，统一中间变量结束啊，把它往后放的过程就是求把它的原函数往后放啊， 统一变量结束，表里有，直接算出来。第二个，你来看目标中间变量谁？ s 分之一，需要你有它的导数，负的 s 方分之一，那咱就把负的 s 方分之一凑出来，凑完之后把它往后放，表里有直接出结果。这个是上一个视频里的例子，目标中间变量 e 等 s 是蜜啊， 但是你需要有一个 e， s， c 密做因子，它的导数含是它本身吗？但是它有吗？没有，所以你分子分母同乘上 e 的 s， c 密，把这个往后放，统一中间变量结束，你可以做出来。看上一个视频，你也不用管这个系数，你也不用管这个，就是这两个例子，你也不用在乎这么个系数啊，你也可以直接把这个 s 往后放，然后再把二分之一往外提，同理，这个也是把 s 分分之一往后放，再把负一提到外头也可以。

通过这道题，找到凑为分的核心诀窍，顺便拆穿出题人的出题套路，挑战期末不挂科一百题之第十三题，来看这道不定积分的题目。我们这个题目呢，采取的是第一还原法，也就是凑为分法。 大家知道凑为分法有个非常关键的步骤，就是将背记函数将其拆解成一个符合函数乘以这个符合函数内函数导数的样子。 将 f x 拆成这个样子，那么你拆成的这个样子啊，它里面有一对关系，有一个 f x 和 f x 的 导数，就是它会存在一个求求导的一个关系，所以我们在做不定积分的题目。如果你看到了这种明显的 导数关系，比如说举个例子， cosine t 分 之 sine t， 那 我们就可以尝试去使用 d 还原法了。你像这里的 cosine t 的 导数是负的 sine t， 你 可以去给它添一个符号，它就变成 cosine t 分 之 d 口算题，然后就好记了，他就看成是一个 u 分 之一 d u 的 这样一个不定积分，这个是好记的，对吧？但是我们今天要做的这个问题呢，这个题目的背记函数没有明显的一个函数和一个函数导数的关系， 这种问题我们怎么办？大家去观察，去观察你的背及函数里面的这些个结构啊，它的因子都有什么？比如说这里面我观察到肯定有 x 这样一项，嗯，还有 x 乘以 e 的 x 是 m， 还有 x 加一，那你就去找 那个较为复杂的，那这里较为复杂的是谁呢？是 x 乘以 e 的 x 次密。我们去找这个较为复杂因子去求它的导数。它的导数应该等于前导后不倒，加上后导前不倒，你去做一个整理， e 的 x 次密提出来就剩下了一加 x。 所以看这个背记函数当中啊，虽然没有很明显的出现 x 乘以 e 的 x 次幂的导数，那我们是不是看到它的一部分就是一加 x， 那 你可以去给它凑一个它的导数出来，我可以在这个分子和分母上同时乘以个 e 的 x 次幂， 那这样分子这一部分分子就是 x 乘以 e 的 x 私密的导数。这里就出现了明显的一个负 x 和负 x 导数的样子， 把这个分子凑到微分里面去， 就变成了 d x e x。 那 接下来我们为了清楚一点啊，这里令 t 等于 x 乘以 e 的 x 次幂，那么这个不定积分就是 t 乘以一加上 t 分 之一 d t 这个不定积分是一个我们比较熟悉的不定积分，它是怎么做的？把背记函数写成 t 分 之一，减去一加 t 分 之一，拆成两项，拆成两项之后，它就好积了。然后第一项积分应该是 lo n t 的 绝对值减去 lo n， 一 加 t 的 绝对值，再加上一个常数 c。 接下来呢，我们将 替换回来，那就变成了 lo n x 乘以 e 的 x 次幂的绝对值，再减去 lo n。 哎， e 加上 e 加上 x 乘以 e 的 x 次幂的绝对值，再加上一个常数 c。 我 们可以给它做一个整理，把这两个 lo n 合在一起，那就应该是 e 加上 x 乘以 e 的 x 次幂分之 x 乘以 e 的 绝对值，再加上一个常数 c。 所以这类问题啊，做这类问题的诀窍就是你去观察它的背记函数的里面的结构，去找那个较为复杂的因子，把它的导数求出来，然后你再去看这个背记函数的其他部分能不能够向，向哪里靠拢呢？向你找的这个复杂因子以及这个复杂因子的导数去靠拢， 去给它凑出来。那我们这个题目其实也可以观察到出题人的他的出发点实际上是利用 这个我们较为熟悉的不定积分的一个结构去把这个 t 做了一个替换，换成了一个较为复杂的 x 乘以 e 的 x 私密的样子，然后给我们设计了这个题目， 所以我们掌握了出题人的这个小心思啊，有些题目你拿过来之后呢，你一下就能辨别出来他想考你什么。