矩阵三角函数

hello， 大家好，我叫任宅，很高兴给大家一起来介绍一下我们即将上架的三 d 数学基础四元数。那你可能问老师为什么要学习这个呢？因为四元数太重要了，它是用来解决三 d 空间中的一个旋转， 那我们可以衍生把它衍生是什么呢？就是子肌和腹肌进行旋转，空间和空间之间呢？比如说我想要转我当前的这个其中的一个骨骼，然后呢，我希望转动的过程中呢，跟他绑定另外的骨骼也能转动 好，大家可以感觉到这个就是动画，所以呢他在动画领域呢，应用的非常多，就是空间和空间之间的，还有 ik， 当然还有我们的物体接旋转，当然物理引擎中也有很多应用，如果你掌握这一块以后呢，对你去理解这 一些内容是非常有帮助的。在我们入门引擎图形数学的时候呢，是不是有很多老师告诉你，不用深究里面的推导，你只会用就可以了，导致很多人只知道四元素公式，但是不知道他是怎么推出来的。根据我个人经验，你只要明白推导才是最好的。记忆 次元术呢，相比于矩阵呢，更加抽象，更不好记忆。人类往往是通过抽象的概念来描述自然发生的现象，再通过自然发生的现象地推 这个抽象的概念，结果就变得这个概念越来越抽象。所以大家可以看到四元素其实是一个非常抽象的一个概念。本套课程将针对该内容，将抽象的四元素层层拨开，让我们一起领略数学的合理和它的美好。那么我们现在呢，简单的介绍一下我们课程 即将上架的课程里面都有哪些内容，我们呢想要讲四元数，那一定要先讲明白什么是辅数，所以呢我们这边呢还是要讲辅数的，像辅数的一些基础的一些内容，比如说辅数的爱是怎么来的， 还有我们的负平面，对吧？负角还有我们的复数乘法，以及复数和欧拉公式之间的一个关系，这个欧拉公式非常重要，那我们也会去讲这个内容，第二章，第二章就是辅助的进阶了啊，这块内容呢，我们主要是讲解辅数的一个更深的一些内容， 比如说像我们的辅数的欧拉横等式乘法，还有辅数他的横等式的一个几何意义，还有用我们的当前的辅数来旋转的一些思路，我们证明辅数里面的 i 为什么会旋转到九十度，辅数乘法推到我们当前的这个矩阵等等等， 非常非常多。然后第三张呢，我们需要补充一些基础，叫做微积分的一些基础，这个呢是微积分的一个简单的入门。好，那我们来看一下 我们这边主要讲微积分的哪些内容呢？比如说映射，我们得明白 f x 这种形式到底是怎么来的，对吧？为什么我们每次写我们当前的函数的时候，我们会定义 f x 或者 f x y， 然后呢我们还要会学习什么是极限不定积分，微分和导数。 然后呢我们再准备两个案例来方便大家呢加深对微积分这个思维的应用，比如说拿我们的微分和积分的思维，求我们的圆的面积，以及用微分和积分的思维呢？求我们的当前的这个派， 这是我们当前微积分的一个入门，下一张呢就是我们四元数的一个基础了，哎，主要讲的就是我们的复变函数，而复变函数这一块内容也非常多，他是另外一个分支了， 四元数的演变呢，其实就是通过辅数来演变的，什么是超辅数，对吧？四元数其实就是超辅数其中的一个分支，我们并且证明我们的这个四元数的 igk， 它的关系，以及四元数项量和实数的一个 a 的相加的意义， 还有素颜术的一些九角队单位素颜素，素颜素膜加减，素颜素噶斯姆基的推倒，素颜素过于优化素颜素供恶素颜素腻。 那第五章呢，我们开始进行定理的证明了，四元数的定理其实比较多啊，然后我们这里呢会逐条给大家去证明，这里我们归纳了这几个证明，四元数乘法啊，公式一，二，公式二，公式三，还有共二， 还有我们当模，还有我们当前四元数的一些其他的，呃，比如说其他的一些证明，我们还需要理解四元数的乘和除之间的关系，还有单位四元数 的逆公式，然后我们紧接着开始进入我们四元数的进阶了，我们开始证明我们四元数求逆公式推倒，以及四元数的对数求密，还有纯四元数四元数的旋转，对吧？ 然后已知四元素求我们当年角度四元素旋转的一些特殊情况的一些证明，还有四元素的任意轴证明，还有证明四元素旋转微垂直欧拉交换的一个问题等等等等啊，这边内容比较多，然后呢紧接到我们的这个相互转换的这个过程啊，比如说哪些过程呢？ 四元数和矩阵的一个关系，对吧？这是我们第七章这里面推导的话，大家如果自己去推的话，会发现自己推的公式呢，跟书上推的不一样，那这里呢，我们给大家讲为什么不一样？那深入理解我们四元数和我们得当前的举证，以及四元数的一个详细推导，对角线元素的和差， 我们在做这个推导过程中，为什么我们要取 x y z 那个最大那个好。第八章呢？我们开始进入欧拉角与四元数取证的一个关系，比如说我们认识欧拉角的 p 尺加肉为什么会产生万向锁，为什么欧拉旋转要用负角度 h b p 和 p b h 的逆推导矩阵转欧拉的一个推导，我们会证明四元素物体坐标转惯性坐标和惯性坐标转物体坐标欧拉四元素的一个推导，四元转欧拉的一个推导 到了我们当前的四元数差值这里呢，我会讲解四元数密差值的推导，四元数线性差值的推导，以四元数归一化差值的一个小型推导，四元数差值的球面线性差值的推导好，然后到了我们当前的四元数和我们的图形 之间的一个实战环节，我们给大家讲解我们的图形在我们当前的这个目前自己构建的管线里面，他是怎么去运作起来，比如说我们验证欧转四，四转欧，然后欧转矩阵矩阵再转四，哎等等这些验证，并且还验证我们当前的差值还有样条曲线 以上呢，就是我们的这个预告详细的内容呢，我们在我们当前的这个正式预告里面再给大家详细的介绍。

刚才课间有同学问我说，老师，初中的三角函数和高中的三角函数有什么区别啊？来我跟你们说一下啊，我们初中的三角函数简单是放在直角三角形里面，我们研究的角也是研究的锐角。你比如说正弦值，三引阿尔法等于什么？ 对边比斜边， a 比斜边。 但到高中就不这么讲了，因为我们高中的角范围变大了，角可正可负可为零，所以我们在高中的时候，我们研究角，包括三角函数，我们是放到坐标轴里面，你看这个坐标轴啊，这是个单位，圆半径为一， 那我假设角的矢边在 x 正半轴上顶点的坐标原点。接着你看哈，我画中边，当然了，中边有很多种可能，我就画在这个位置， 那这个的坐标，我假设是 x y， 这个时候我们在对比我们初中的三角函数，请看了。哎，我往下引垂线 来看着啊，那三引阿尔法等于什么呢？什么对边比斜边？那对边来相当于 y 比上斜边，斜边是几是一，那这一可以不用写，所以三引阿尔法就等于 y。 同样的道理，你再看这个扣，三引阿尔法呢？ 邻边比斜边，那就 x 比上一，我就写成 x。 但你要注意啊，你说这个和初中有什么区别啊？初中的三角函数值是不都正的呀，高中不是，你这个 y 有 正，负也可能为零， x 也是。 好，明白了这个道理以后，那我再跟你们说一说，咱这个 y 等于三 x， 这个图像是怎么来的？ 其实也很简单，来观察一下啊。首先啊，当这个角为零的时候，这个时候我们来看 y 值， y 值是不是三，一值来， y 值是不是零？所以这个图像是从零开始的，随着角度慢慢变大， y 值也慢慢变大， 到了二分之派的时候，九十度的时候达到了最高是一，所以你看啊，在零到二分之派的时候慢慢变大，高高高，高高高，哎，到最顶点了。接着再往后看， 九十度，往后二分之派到派的时候呢，哎，你往下走，走走走走，你这个哇，也就越来越小了，对不对？所以你体现在图像上呢又，哎，降降降，降到零了， 来，这个再往后看啊，你再往下走， y 值越来越小，而且是负的，所以你的这个图里看这里啊，往下走，走走走走，走到这里， 最后从二分之三派到二派的时候呢，哎， y 值又慢慢的大一点了，于是这个图就长成这个样子了。哎， 那你转完一圈以后，你再往后走，和前面又重复了，是不是你，包括你左侧呀，也是一样的道理，所以 a a， a a 一 直画，这就是正弦函数图像的由来。 哎，那我再问你们一个问题，你们知道余弦函数 y 等于 q 三 x， 这个图像是怎么来的吗？

一口气讲完欧米伽的取之范围，这个题型是每年高考必考题，这期我们用四个题型彻底帮你知根知底。 我们来看到第一个题型哈，固定起点，你是说你起点带进去，它是固定的，已知 f x 等于这么多它的图像，关于这个点对称，好，这是第一个条件，且 f x 在 这一段上单调，这是第二个条件。我们先分别来解一下这两个条件哈。 首先第一个条件嘞，怎么解呢？就是说我这一坨东西啊，在这它是一个对称点，也就是我们不妨去令 t， 它是等于 w x 减三分之派的，然后嘞，这时候把这个六分之派带进去，六分之派 omega 减三分之派。此时来，这个 sign t 的 图像，我们可以画一下哈，它是这个样子的，那么它的对称点到底在哪里取得？是不是零加上 k 派呀？对吧？所以呢，这它就代表的是咱们 sign t 的 对称点，也就是零加 k 派的。 ok， 六分之派，欧米伽等于三分之派加 k 派，左右两边同时把这个六分之派给它消掉哈，就等于多少呢？等于二加上六 k 的 好，我们就得到了第一个条件，就是欧米伽等于二加六 k 的， 然后你再结合说，我的 omega 是 大于零的，此时呢，你就可以得到说，哎，当咱们的 k 等于零时，此时 omega 取的是二，当 k 等于一时，此时 omega 取的是八，就这样写下去哈，这是第一个条件。我们再去看第二个条件，它说 f x 在 这一段上单调， 也就是说什么呢？咱们的 t 呀， t， 它是等于 omega x 减三分之二的，我们去给它整体换元， 换成什么来？就是零带进去，也就是负三分之派，然后来四十八分之五派的进去，也就是四十八分之五派 omega 减三分之派的。好，我们的 y 等于 sign t 啊，它其实在这一段上是单调的，那你就会发现咱们 sign t 的 图像是非常好画出来的。 ok， 我 们来看一下哈，此时来我们的负三分之派在哪里啊？是不是在这取得呀？对吧？这里是个空点，不能取到。然后呢，我往右边走，哎，他说我在这一段上都要单调，那其实就是单调立增嘛， 但是如果超过这一条对称轴，往后边走来，他就是单调立减了，所以我们的右端点他一定是不能超过这一条对称轴的，也就是二分之派的。 所以这种题型就叫做，哎，我的起点固定了，那么我只用去看终点在哪就可以了。而这个起点固定是由谁决定的嘞？就是由这里的零决定的哈，所以你看到零开头的题目，你就知道这是固定起点题。那么此时我的四十八 分之五倍 pi omega 减三分之 pi， 他 就应该干什么呢？他就应该是小于二分之 pi 的， 那这时候他能不能取？等来你就去假设他取，等了取，等了之后，在这他仍然是一个空点呐，对吧？所以说我在这个空点到这个空点上，他仍然是单调递增的，所以呢，他是可以取得的。 此时哈，我左边还要带一下哈，我是大于什么呢？大于咱们的负三分之派的， ok， 它就是大于左端点嘛，但其实它一定是大于左端点，因为咱们的 omega 大 于零，而这一坨东西就大于零，它再减一个负三分之派，那肯定就是大于左端点的哈， 所以呢，由这个条件你去解出来，咱们的 omega 它是小于等于八的，大于零的哈，这个大于零在题目中已经暗示了，那么此时来 omega 小 于等于八，而我们刚才算出来， omega 是 在二加六 k 上走的， 所以呢，我们就只能取二八，八加六等于十四，这些都取不了了，只能取这两个数，所以呢，最后答案是选 c 选项，同学们不要着急记笔记，这几个的讲义和课后预习我全都整理好了，一定要下课后多复盘几次，点击我的主页置顶群聊就可以领取。 我们先来看一下哈，如果他题目问的是说我的 f x 在 a 到 b 上有多少个零点型的题目，他是非常常考的，他其实是有结论的，我给大家推导一遍哈。 首先，如果 f x 在 a 到 b 上有一个零点，那么此时来咱们把 f x 的 图像给画出来了，他是按照 t 就是 多少个周期来区分的， 那么咱们 b 减 a 这个区间长度嘞，它是可以怎么看的？我们先去看，如果说我们从第一个零点出发哈，我们要走多久才会遇到另一个零点嘞？我们其实只要从这个零点 得左边一点点出发，那么我们就会很快的遇到这个零点了，对不对？所以说我左边大于这个数呢，它是非常非常小的，其实只要大于一丢丢，把这个零点给它包括进去就可以了，对吧？所以说它一定是大于零的，那么此时它是小于什么的嘞？就是我从这开始走， 我从这开始走，就是看他最长能拉伸到哪里，对吧？然后你看，哎，通过来，通过来，然后你就会发现，哎，刚好在这有一个零点了，但是左两边这个零点我都是取不到的，因为他是一个开区间吗？ 此时呢，他就是刚好有一个零点的，这就是他能撑到的最大的区间长度。但如果说我继续往这边走，我的终点继续往这边走哈，那么他就把这个零点也取进去了，他就有两个零点就不对了，所以此时哈，他最长就是在 t 这里的，这里呢，是可以取懂的， 因为取懂了，反正两个人都是一个开区间吗？对吧？都是开区间，所以刚好就把中间这个零点给他取到了。 我们再来看，如果说 f x 它在 a 到 b 上有两个零点，那么此时嘞，我们从这开始走哈，从这里开始走，一个两个，哎，从这里开始我就会得到两个零点， 但因为呢，它是开区间哎，我在这哈，我是取不到这两个零点的，所以我必须要稍微的往左右两边延伸一丢丢，非常一点丢丢，它就可以取到这两个零点了哈， 所以左边来，他应该是二分之 t， 但是我取不到等，因为我一定要比二分之 t 稍微大一丢丢，才可以把这两个零点给他包括进去，然后这是 b 减 a 的 长度，然后他是小于多少嘞？我们再来看，从这开始走哈，他是一个空点开始走， 空点开始走，走走，走好两个零点了，两个零点了，这是两个零点。好，我们再撑到这，最多撑到这就不行了， 再往左两边走的话，他就开始可以把这个零点和这个零点也给他包裹进去了哈，所以你看此时的话嘞，他的区间长度一共是多少？ 是不是一共是二分之三 t 啊？对吧？所以他是小于等于二分之三 t 的， 他是可以驱动的。那么我们再来看，如果他有三个零点嘞，三个零点，那其实也是一样的，从第一个点开始，一个两个 ok， 那 么他的区间最短的是不是再往左边走一点，再往右边走一点， 那么此时它的区间长度就是 t 的， 那么我们的 b 减 a 的 绝对值长度一定是要大于 t 的， 取不到，等了哈，然后我右边是一个什么嘞，就是我从这开始走走走走走，这里一个、 两个、三个，三个零点可以取到了，但是我最终的这个终点是不是一定是在这一段上啊？对吧？就是我这个终点最长最长走到这了，因为我再往这边走，再往这边走，它又是可以取到更多零点了，所以此时呢，它的区间长度最多就是二 t 的， 它是可以取到等的哈。 那么大家去观察规律之后就会发现，哎，我好像左边的东西，我左边这个端点，我都可以写成什么二分之 n 减一倍 t， 而我右边都可以写成是二分之 n 加一倍 t 的， 你们看，当我有一个零点时，我左边是不是二分之 n 减一倍 t 啊？对吧？所以 n 等于一带进去，就是二分之二，就是等于 t 的， 而这里呢，就是二分之多少二减一就是二分之一倍 t 的， 而这边是二分之二加一至二分之三倍 t 的， 而在这种情况下，就是二分之 n 减一倍 t， 就是 三减一，就是二分之二嘛，对吧？然后呢，右边就是二分之三加一至二分之四也至二 t 的， 所以左右两边都对上了，然后呢，这里是左边不能取等，右边可以取等的。然后呢，这种情况是为什么呢？是因为题目给的条件它是一个开区间， ok， 所以 我们就记住了说，哎，如果是开区间的话，我们就是在右边取等的。好吧， 那么其实我为什么要发明开区间右边这一个口诀嘞？因为我为了补上另外一个口诀，就是 b 左， 如果是一个 b 区间的话，那么我们就是在左边取到等等。我们来看这样的三种情况， 如果说 f x 它在 a 到 b 上有一个零点，那么此时来哈，你看，我们两个都是 b 区间，都是可以取到这个点的， 那么我直接从零点开始走，在零点结束，可不可以啊？可以的，所以咱们 b 减 a 的 长度，它可以最小是零，那么此时是不是刚好有一个零点了，对不对？ 所以呢，这是左边可以举到动，然后我们继续来看哈，如果我们端点从这开始，哎，走走走走走，你会发现我不仅中间是有一个零点，我左右两边还有两个零点的，那么此时哈，我真正的这个端点呢，他肯定是要往这里面收一点，这里面收一点的， 所以呢，我 b 减 a 的 长度，它绝对是不可能大于 t 的， 如果说我等于 t 了，我等于 t 了之后，它就会出现三个零点，对吧？所以呢，它只可能说我再稍微往上面一丢丢，这样走，我 尽量把它称的很大哈，最多称大到 t 这个程度，但是呢，我不能取等哈，所以此时呢，右边就是不能取等的。我们再来看第二种情况，他在 a 到 b 上有两个零点，哎，有两个零点，他最小是多少来？是不是就是从这走到这就是二分之 t 嘛，对吧？他也是可以取等的， 但是我要去说明一下，就是我有了两个零点哈，我确定了，就是这两个零点， 我们向左右两边延伸，哎，延伸延伸，延伸到这就不行了，我就取不到这个点了，我只能在他稍微往上一丢丢，否则我又多了一个零点，对吧？我这边也是，我再往这边走不行了，我再走到这的时候，我又是马上又会产生一个新零点， 所以咱们右边他是不能取到等的，而是二分之三 t 就 刚好小于他哈。那么如果是三个零点情况下，他最短就是取这三个零点嘛，加在一块就是 t 嘛，他肯定是可以取到 t 的。 而此时嘞，如果是三个零点，我们确定了是这三个零点，好，我们再向左两边分别延伸这么多，分别延伸二分之 t， 但是在这肯定是不能取等的，所以咱们的 b 减 a 嘞，它肯定是要干什么？它是要小于二 t 的。 所以你会发现，其实跟前面这一页我们做的东西上面，我们的左右端点是完全一致的， 都是二分之 n 减一倍 t 和二分之 n 加一倍 t 之间的。但是呢，我们的取等条件是不同的， b 左开右，这里是 b 区间，那我就是左边才能取到等的哈， 所以大家就已经理解了这一个由多少个零点去推他的 omega 的 粗略范围。其实这些题型我都整理在我的逆行北大解析一百招里了，如果你拿到这份资料，你会发现数学真的只是执行程序。点击我的主页置顶群聊就可以领取。 我们来看到第二个类型题哈，就是不固定起点的题目，它就开始变难了，这时候呢，有一个零点，已知 f x 的 图像是由这一个函数，它告诉你解析式了， omega 大 于零的图像向右平移三分之派个单位折到的。 若 f x 在 这一段上仅有一个零点，那大家思考一下哈，如果说咱们最初的图像，它是不是这个样子里，对吧？它是这个样子的， 然后嘞，我向右边平移三分之派个单位， a 得到了这个样子的，然后此时嘞，我的这个函数图像，我在二分之派到派上仅有一个零点， 那么我如果说哈，我去对这一个做平移，我写成是 omega x 左加右减就是减三分之派，再加三分之派，它就会变成什么呀？ 同学们，它是不是就会变得很复杂？它里边打开就是 omega x 减三分之派， omega 再加三分之派，所以你看到前面后边都是会出现 omega 的， 它就会变得很复杂。那你应该怎么做嘞？我给它平移回去啊，对不对？ 我现在给它平移过来，是在二分之派到派上，我的图像其实是没有变的，那我给它平移回去，我就向左边平移三分之派个单位啊，我就又得到了这个函数图像，对不对？ 那么此时咱们的区间二分之派到派上，他向左边平移三分之派个单位，是不是就得到了二分之派减三分之派，然后嘞，这里是派减三分之派就给他平移回来了呀，也就是六分之派到咱们的三分之二派之间的。 那么这道题呢，他真正想说的是，哎，咱们前面这一个函数，我这一个二派之间的。那么这道题呢，他真正想说的是，哎，咱们前面这一个派到三分之二派上只有一个零点， 这时候呢，这道题才会变得稍微简单一丢丢， ok， 他 只有一个零点之后，那么我们就是两步走法则，第一步是干什么呢？就是我们要去确定好我们欧米伽的大致范围， 然后呢，刚刚给大家讲了公式的推导哈，咱们的区间长度，也就是此时的三分之二派减六分之派，它是不是应该大于二分之 n 减一倍 t， 小 于二分之 n 加一倍 t， 然后在哪里驱动嘞？就是由咱们的口诀哈，就是 b 左开右，哎，咱们此时哈是一个 b 区间， b 区间，所以说我们应该是在左边驱动的。好，我们再把这个一给他带进来哈，左边带一就是零的小于等于，然后中间可以给他解出来哈，也 就是六分之四派减六分之派，也就是六分之三派，也是二分之派的。然后呢，他是小于右边的多少嘞，这个一带进来就是二分之二 t， 也就是 t 的 哈， 此时嘞，我们这里肯定是可以取到的，我们看一下右边二分之派小于二派除上 omega 的 绝对值， 而 omega 是 大于零的，所以可以直接去掉绝对值符号解得咱们的 omega 它是小于四的，然后呢，它又是大于零的，我们就得到了 omega 的 初步范围。 那么我们第二步是干什么嘞？我们要试图去确定起点，然后呢，把起点用来分类讨论。 好，我们此时呢哈，把这一坨用起点带进去，起点就是六分之派嘛，对吧？所以起点呢，它就应该等于六分之派， omega 加上三分之派的。只要我们能确定起点在哪一个区间，那么我们就可以对起点的位置进行一个分类讨论。 此时嘞，我们把 omega 的 范围带进去，零到四等，所以它算出来哈，就是零加三分之派，也就是三分之派等，而这个四带进去嘞，就是六分之四派，也就是咱们的三分之二派，再加一个三分之派，哎，也就是派，所以咱们的起点它是在三分之派到派之间的， 而我们这个函数图像是 y 等于根号二倍 sine t d 的 吧，所以呢，我们把它的函数图像给它画出来，哎，也就是这个样子画出来了。然后我们的起点是在哪取得？是不是在咱们这一段和这一段上取得的？ 所以你会发现呐，我在这一整段上取它都是没有穿过零点的，它都是不存在零点的。那么咱们的中点是在哪里嘞？是不是带右端点的三分之二派，也就是三分之二派。然后呢，欧米伽加上三分之派的， 你们可以看一下，我的起点在这哈，然后我穿过去往下面走，这里就出现了一个零点，好，继续往后面走，在这就不行了，我不能在这有零点，只能在这出现一个零点，所以我们的终点应该是在这一段之间的，对吧？ 所以呢，我们把终点给他拿下来，他就应该是大于咱们的，这里是派，这里是二派，他肯定是在派到二派之间的，但是具体哪里可以去等嘞？你就去假设他可以去等， 如果说我前面假是可以取动的哈，而我们的起点是在这一段之间的，我们的起点从这开始，然后呢，走到这一段上，哎，你看，他确实在这停住了，他是在这一段上，他是出现了这一个零点的，有一个零点，对不对？所以呢，前面是可以取动的。 好，我们继续来看，假设说我右边是可以驱动的，所以说我们的起点不妨落在这哈，然后呢，我们的终点是在哪？是在这，所以我们就这样走过来，你会发现不行，这里出现了一个两个两个零点的就不行了，所以这是不可以驱动的， 我们就由这一条哈，假设它可以驱动，就推得最终真正的驱动条件。好，我们自己去解一下哈。 omega 就是 在一到二分之五的左臂右开区间的。 最后嘞，你是要综合这两个条件来得到最后的条件就是咱们的一到二分之五的左比右开，是不是选咱们的 c 选项？ 我们来看到这道题哈，它是不固定起点的两个零点型的题目。若函数 f x 为这么多，它是扩散开头的，在区间上恰有两个零点，那么 step one 就是 由这个有多少个零点去粗略估计咱们的欧米伽的曲值范围，对吧？ 此时来我们的区间长度也就是二分之三派减二分之派等，它是应该要大于咱们的多少呢？二分之 n 减一倍 t， n 呢，是为二的，所以是二分之一倍 t n， 它是小于多少了？二分之 n 加一倍 t， n 加一直是二分之三倍 t 的 这么多，然后在左边还是右边取等来，就由咱们的口诀哈，就是 b 左开右，哎，这是一个开区间，那么就是在右边取到等的， 此时嘞，咱们的 t， 它是等于二派除上 omega 的 绝对值的，而 omega 大 于零，所以呢，就是二派除上 omega， 这里直接打开绝对值符号哈，我们代入上面这个式子去解一下， 你们就可以解出来我们的 omega 的 大致范围嘞，它首先应该是在一到三的左开右闭区间之内的。好，这是我们的第一个粗略范围， 那么得到了这个粗略范围之后，第二步是干什么呢？就是由这个范围去反推咱们起点到底在哪个区间，并根据这个区间进行一个分类讨论。好，此生的话，我们可以去把起点给它写出来。是不是把二分之派给它带进去就是起点了呀？ 也就是咱们的二分之派欧米伽加上五分之派，又因为咱们的欧米伽是在这样一个范围中取得的，所以呢，你给它算出来哈，它是应该在十分之七派到十分之十七派的左开右闭区间上的。 所以呢，我们再去把这幅图给它画出来，这是咱们的 cosine t 这个 t 哈， cosine t 的 图像给它画出来。 好，我们来观察一下，我们的起点呢，是在十分之七百到十分之十七百之间的，十分之七百在哪呢？就是在这边，对吧？就是在这开始的， 这里的对称轴是派的，这里的对称轴是二派的，此时嘞，他就是在这开始，然后往这边走，走到咱们的十分之十七百，他肯定是小于二派的，对吧？他这是在这，所以他应该是在这一段上开始走的， 那么此时你会发现它穿过了 x 轴，所以说它在零点的左边，还是说零点的右边就很关键，这里就是咱们的分类讨论依据，如果说它在左边的话，那肯定我等一会算零点，是不是从它开始？如果说我在右边的话，那我算零点，是不是肯定从这里开始？ 所以我们的分类讨论条件就得到了，此时咱们的起点二分之派 omega 加上五分之派，它是在第一段上，也就是十分之七派到咱们的二分之三派之间的哈，也就是在这一段上， 那么咱们的第二种分类讨论条件哈，就是二分之派 omega 加上五分之派，然后嘞，他应该是在第二段上，他就是大于等于二分之三派，再到最后一段也是十分之十七派之间的哈，所以一共是两种分类讨论条件。我们先去看第一种， 第一种的话嘞，我们的起点都是在这些地方取得的，都是在这些地方取得的，所以说我从这开始走，我要经过两个零点，好，这两个零点一定是要经过的， 那么第三个零点我就肯定不能经过了，所以说我们的终点应该是在这一段之间的，卡死了。先是咱们的二分之五派到二分之七派， 但是此时哈，我们的终点到底是这里可以取等嘞？还是说这里可以取等了？你要去观察一下，如果说我们的终点哈在这可以取等了，又因为咱们的终点他是取不到等的，一个开区间，对吧？ 对呢，我们就是从这开始走，开始走，开始走，开始走，好，走到这的时候， ok， 我 们在这取懂了，你就会发现他只经过了一个零点就不行了，这里就是不能取，懂了，再看这里能不能取懂。好，我们从这里开区间，开区间，走走走，走走， 走到这的时候，哎， ok， 这里也是开区间，所以呢，此时这里这里两个零点刚好的就可以了哈，所以呢，我们再来写一下终点， 终点呢，左边是二分之五派，右边呢是咱们的二分之七派，而左边是不能取等的，右边是可以取等的。终点是哪一个嘞？这是咱们的二分之三派代入这个式子里面来也是二分之三派 omega 加上五分之派的。好，这两个东西我们一起去解出来咱们 omega 的 范围哈。 第一条就是在十五分之二十三小于 omega 小 于等于五分之十一的这第一个情况， 我们再去看第二个情况，咱们的起点从哪里开始了？是从这开始了，而咱们的起点呢，他是一个什么？他是一个开区间，所以呢，他也是这个样子的， 他也是这样，然后我就往右边走走走，走了两个零点之后，哎， ok， 两个零点过了，那么咱们的终点他也是一个空点，对吧？所以呢，我这个空点是不是仍然是在这一段之间取的？二分之七派到二分之九派之间， 那么此时来我左边能不能取档？不能，因为如果他取档，他就是一个空点，在这只有一个零点的，那么我右边这里能不能取档嘞？那肯定就可以了，对不对？因为我在这走过来两个空点，这里还是有两个零点的， 所以此时咱们的中点是在二分之七派到二分之九派之间，而一个是空点，左边是空点，右边是一个可以取档的点。然后呢，咱们的中点是这个样子的 好，此时呢，我们去推出来哈， omega 的 取值范围，它就是在五分之十三到十五分之四十三之间，然后两边儿都是 b 区间的。 然后最后呢，你要去检验这两条它是不是符合一到三之间的，哎，你会发现都刚好符合。那么最后的答案就是，这两个并在一块的是不是选谁啊？是不是选咱们的 c 选项啊？其实当大家哈算出来第一种情况的时候，你就会直接选 c 选项了， 因为这道题它肯定是两个区间并在一块，所以只能选 c d。 而 c 和 d 它的区别不仅在这一坨，它这一坨哈也是有区别的，都是有区别的，所以你只要选出来正确的前面这一坨，后面这一坨，你其实都不用算了，选填题里面做起来会更快哈。 那么同学们，如果这道题哈，我再给大家改一个问的方式，你们看会不会做？他说若阔撒眼，在这个区间上，他是单调递增的，应该咋整啊？同学们， 我说它是单调递增的，应该怎么办？那仍然是两步走，因为第一步应该是干什么？由它给的条件得到 omega 的 大致取值范围，所以此时呢，我们的区间长度也就是二分之三派减二分之派的，它应该是干什么？它应该是 应该是干什么呢？小于一个单调区间长度的，咱们的单调区间长度是不是为二分之 t 呀？对吧？所以它就应该是小于二分之 t 的， 它可以取等哈，因为取等了之后嘞，哎，它还是一个单调区间之内的。 那么此时嘞，我们去解一下，左边就是 pi， 右边嘞就是二分之一乘上二 pi 除上 omega 的 绝对值，又因为 omega 大 于零，所以呢，解到 omega， 它应该是小于等于一的。好，这就是咱们解到的第一条性质， 那么第二条是什么呢？根据这个 omega 的 粗略取值范围，我们要去干什么？我们要去带入起点来观察一下我们的起点是什么嘞？是不是二分之 pi， 欧米伽加上五分之派，它应该是属于多少啊？零先带进去，也就是五分之派。到咱们的一带进去，二分之派加上五分之派，也就是十分之七派的。那么此时我们来画图看一下哈，我们的 cosine t 的 图像是这个样子的。 而此时来我们的起点是在哪里啊？这里是派，这里是二分之派，起点是在五分之派到十分之七派之间。哎，他是在这到这之间，说明咱们刚才提出错了哈，不应该是单调递增， 应该是单调递减，所以你看，我们的起点在这里之间，那么我们的终点来 我们的中点是不是也必须在这一段上单调递减啊？对吧？所以中点你可以去算出来，也就是二分之三派，欧米伽加上五分之派的，它应该是干什么小于等于派的呀？它应该小于等于派， 所以呢，你再由这一条式子去得到欧米伽更精细化的范围，然后你就能得到最终的答案了。 视频的最后，我给大家准备了三份非常重磅的干货，分别是四十页的逆袭北大解题一百招，还有两万字梳理我为什么从五十分进不到一百四十六分的数学底层学习方法？最后来是为前五十名同学赠送一个免费的数学成绩分析和规划， 点击我的主页这个群聊，就可以免费领取。数学想要考年级第一，从来不是天赋，而是执行程序。我是北大堂，我们下期再见！

近十年的高考当中，每一年都会考到 a 倍的三欧米伽 x 加倍加 b 的 形式， 它占了三角函数整个的半壁江山，超高频考点，那么我们这节课把它的所有核心考点八大题型给大家讲透好不好？好好，咱们先来说你要掌握的第一个 题型一，跟他有关的画图问题。你别觉得画图简单啊，高考考了很多回，很多宝子们拿不下，必须得快速学会去高效率画图好不好？好好，这是第一个。那么题型二呢？ 考什么？考性质吗？他也是函数吗？函数共几个性质？常见六大性质吗？对不对？第二个考大家值域问题，值域一般怎么考你？我给你写 儿上的值域，给定区间上的值域以及二次型值域，全是考点，每一个都可以考。你好，还有呢？第三个 考什么？单调性，重中之重，大题小题各种考。你那么单调性考的呀，什么呢？一样的儿上单调性，区间上单调性，给你单调性，请你给我求参数的问题。 还有呢，第四个叫什么？叫奇偶性的题型，奇偶性的题型怎么考？你斐等于谁的时候为基，斐等于谁的时候为偶得清楚好。第五个， 还有什么周期性？有人说胡老师这个周期性没什么可考的啊，简单啊， t 等于二派除以欧米伽是吧？ 哎，那是拉不开差距的，要考你的。第一个叫做变态周期，第二个叫动态周期。什么叫动态？求 omega 范围的问题，难点压轴见过没？第六个，对称性的问题， 对称线这里分为什么你首先得知道轴啊，中心啊，我应该怎么去求的问题，然后反过来我告诉你，你得会去求一些参数的问题，全是考点，你脑海里面得有这个体系行不行？行。第七个叫什么很重要， 看图，我给你一个图，求什么？这不应该都见过吗？求解析式的问题对吧？第八个叫做它跟复合函数、零点各种综合在一块考，你考大家八大题型，脑海里面看着燃不燃？ 有没有体系？有了，哈哈哈。我们先来一个一个去讲好不好？接下来讲第一个题型一，我们先来讲题型一，就是我如何快速的通过不同的路子把它的图画出来 看黑板啊。首先我们先来说这个式子当中，你得知道 a， omega 负 b 代表什么？先说 a， 你 觉得 a 代表什么？我画图，你思考 a 代表啥呀？自己说老外的高低。比如说我画一个图啊，这个图我画到这儿来吧， 我画了一个图，这是 x 轴啊， a 代表的叫振幅。什么叫振幅？就是震动的幅度。 什么叫震动的幅度呢？看到没？最高点到起始位置，最高点是不是在这对，起始位置在这对，你俩之间这一块叫做 a， 明白没？所以说从最高点到最低点是什么？自己打这块是 a， 这块也是 a 吧？震动的幅度吗？他不是对称的吗？往上震了 a 不 就往下震了 a 吗？ 这两个就是关于这个点对称的啊，没问题吧？没有，所以整个最高到最低之间的距离是几个 a， 两个 a。 好， 这幅清楚了 b 代表什么？ 上下平移的那个数据吧。是不是？你看我原本这个图像，你看这不是在这呢，我是往上平移走了，对，是往上移了。对，所以 b 大 于零叫往上平移， b 小 于零叫做往下平移，没问题吧？对，好， 继续。欧米伽代表什么周期？欧米伽跟什么有关？跟周期有关。 t 等于二派除以欧米伽绝对值。欧米伽越大 t 越小，是不是 t 越小？对，欧米伽越小 t 越大。一个周期吗？我们经常说，哎，我研究一个周期啊，是不是要一个周期？从这我给你画一下， 从起始点开始到结束，下一个是不是下一个周期了？你俩之间的距离是不是就一个周期了？是，能，能跟上吧。可以，关键问题在于，在于这个 f， 这个 f 在 物理里面叫什么？出向位，这个 f 是 最难理解的， f 决定着什么？ f 决定着 图像，我写下来与 y 轴 从哪开始交起来。什么意思？来看一下这个 fly 的 理解，我通过不同的简单的题目带大家深深理解一下 fly， 这很重要的啊，不要去死记硬背好吗？好， 比如说，我们举个例子啊，第一个又回到之前的基本概念了，你看一下概念有多么重要， y 等于三 x。 我 们先来看这个函数图像怎么画，然后跟它有关的，搞个 omega， 加个斐，怎么快速去画你都会会学会本质好不好？好，那它的函数图像是怎么产生的？还记得不？ 哎，对，我们在定义里面是不是给大家讲了，他的本质就是单位员转出来的，我先给他画一个单位员啊，我们从这个单位员中去转一下他。对的歪， 这个圆画的有点扯。好，如果在单位员中，我把这个角度的起始边放在这，然后呢？我从这开始转，你看，比如说我有一天，哎呀，把这个角度转到这来了， 这个点叫做 p 点， p 与单位员交出来两个坐标， x 零， y 零是不？给一个角度对应一个 y 零，给一个角度对应一个 y 零啊， 是吧？那其实我们根据三角函数定义 y 零是谁？就是三 x， 就 这个角度的三 a 值就等于 y 零了吗？ 是不是？知道呀？嗯，所以我现在他的图像是啥意思？就是我想把这些不同角度对应的 y 全给他拎出来，我看一下，转一圈，哎，随着角度的不同，我的 y 是 怎么变化的？那个变化趋势吗？能理解不？理解？可以。 那我们把它的图画一下，我给你取几个特殊的角度，咱先研究一下趋势，好吧？好的，那这几个特殊的角度是谁呢？比如说这个是四分之派，好吧？好，那这个是二分之派，行不行？行，我们取以四分之派为一个间隔吧。那这个是多少？ 四分之三派，这个是派派。下一个呢？四分之五派，这个是四分之五派。这个是四分之六派吗？就是二分之三派吗？对吧？还有这边这个是四分之七派，四分之七派，这个是二派。 我们取这些角度看看他的 y 值是怎么变化的。来，一定要去理解这个函数图像啊，你不能只去死背这个函数图像，要知道他的本质是在干什么。开始当角度取零的时候，他的 y 值是不是应该是零？是不是？是。来，我下一个角度取谁？ 四分之派，我把角度选给你，选一秒，下一个呢？二分之派，下一个呢？ 四分之三派，再下一个呢派。还有呢？四分之五派，四分之五派。再下一个二分之三派，四分之六派吧，好不好？好，下一个四分之七派，四分之七派，下一个是二派，二派。 我们看趋势来看图啊，在单位圆中看这里，如果取四分之二的时候， y 值是不是就这么高？对，取四分之二，把它 y 值这么高，移过来就这么高的 y 值吗？我就瞄到这来，没问题吧？没有，来取二分之二，是不是就这么高啊？对，平移过来一。哦，这么高。 那这个呢？是不是两边是一样的高度啊？对，对称的呀？没问题啊，下一个呢？图画的不是很标准， 取派的时候他不是零吗？对，对不对？再取下一个的时候是不是你两个应该是什么？大小相等？大小相等， y 值是负的。嘣嘣嘣，移过来是不是应该在这来？对，来四分之六派的时候呢？负一。 哦，跟这个是不是？你看把刚才走过的路其实就是相反方向，是不再走了一遍，对，来，这边的白纸呢，是不？哎呀，跟上面是不是大小向的方向相反的吗？在这，然后这个是零，这就是随着角度的变化歪的趋势。 那我们研究究的是特殊点啊，人家研究的肯定不是特殊点啊，我们研究所有的点啊，是吧？然后你可以把所有的点你发现全给他搞出来。最后那个函数图像啊，就长这样子，这些就在函数图像上， 你现在知道 y 等于三 x 描述的是什么了吧？就这些长度的那些变化全搞过来了，明白了，不？明白了，明白了，好，当你会了这个之后，然后我给他一，这二，我给你稍微变一点点啊， 大家别觉得前面听起来麻烦，都是跟你后面的地基问题好不好？来，你看，开始看啊， y 等于三欧米伽 x 这个图你会画吗？ 他是我从两个点跟你去讲啊，他也是由单位员转出来的吗？对不对？你看，这是单位员，一样的，当胡老师把起点选在这里的时候，这 x 此时此刻角度是几？角度是零吗？对不对？我们都默认欧米伽是大于零的。好吧，那他对应的函数图像应该怎么去画呢？来看这里， 嗯，一样的吗？ x 取零的时候就是角度起始边就在 x 轴上吗？他的 y 值是不是就是零了？那随着 x 的 增大， 那是不是角度再成个欧米伽一转，那个角度就出来了？有一个角度那是不就对应了一个 y 值了，是吧？那个 y 值的变化跟这边变化是一样的，一模一样的，还是这么变的。 转一圈，只不过你不知道这里是谁，反正就这样转一圈吗？你，你转的过程中，你来你来，转一下，来，角度一点一点越来越大，越 来越大，越来越大，我这变成一了，然后我这越过一，是不？从这边我这开始越来越小，越来越小，越来越小，我这不就变小了吗？是吧？反正你描述这个角度 x， 你 一点一点给他取他他他 y 值的变化跟这边的 y 值变化是一样的吗？是吧？反正你描出这个角度 x， 你 一点一点给他变化是一样的吗？是吧？反正你描述这个角度 x， 你 一点给他变化是一样的吗？是吧？反正你描述这个角度 x 变化是一样的吗？ 是不是？只是不一定说是这里是二分之派的时候到达一，有可能你 x 取个别人跟欧米伽一成啪， y 就 到达一了， 是这意思吧？是的，嗯，反正你起始在这，你在转的过程中，你的 y 值一定会经历这个过程。这，这能理解吧？可以可以，来开始这第二个啊，我们再来说第三个。 那第三个 y 等于三 omega x， 我 给他加个三分之派，我们默认 omega 大 于零。好吧好，哎，那他的图像咋画呢？ 你得会画图啊，平移了。哦，你还知道平移了是吧？我们也是从单位员的定义本质出发。哎呀，这个单位员画的， 你告诉我，如果 x 等于零，他的 y 值是多少？从哪开始的？ x 一 旦取零的话， x 取零啊， x 取零。注意啊，我要取 x 等于零的时候是，是不是找他那个 y 值的变化去设来，对吧？其实变成什么了？ 其实变成三分之派了，从这开始转的那三分之派定的 y 值是不是这么高？移过来我是要瞄他的 y 值吗？这不就在这吗？ 能理解不？然后开始转那 y 值，你跟我说咋转来？从从这开始，随着 x 的 增大，什么 omega 加乘以 x 加三分之派是越来越大了。 对，那你整个角度越大的时候来，整个角度越大看成整体了，是不是给个 x 乘个 omega 加个三分之派？一旦 x 等于零，好， y 值其实在这可是一旦 x 变大的过程中来， y 值怎么走？你告诉我？还是你 角度越来越大，是不是 y 值怎么变化？ y 值是一样的吗？ y 值先到谁？先到一，然后从一开始往下降是吧？对，降降，降到 y 值为零，然后是不是走的姿势跟他一模一样的，把刚才变化那个趋势再走一遍？对，所以他的 y 值这样变化的 能理解？不？能，所以我要为什么要给你讲这个事？你看啊，一旦加了 omega x 进来，一旦加了三分之派进来，其实你的起始位置就变了。 x 等于零的时候， y 值起始从这开始的，从三三分之派开始的，然后从三三分之派开始之后的整个图像的变化趋势和原始里面三分之派之后的变化趋势是一模一样的。再走了一波， 就我看的成 y 值的变化吗？你知道从三分之二之后 y 值是怎么变的？那这里三分之二之后 y 值就先怎么变的吗？一模一样的先到一吗？再到零吗？是这意思吧。所以你绘出来的图像是一样的， 能理解这意思吧？我再考察一下，看你们到底学会了没有。来再给你举个例子啊。第四个，你看好了， y 等于三 欧米伽， x 减去四分之三排，嗯，然后我们默认欧米伽是大于零的，没问题吧？对，来，开始你看他咋画， 这就是你把定义理解的不一样，你跟别人做题那个感觉就不一样，你不要去给我瞄点啊，瞄点也行，但是我希望你能够理解到这个层面上。 开始画吧，随着 x 的 变化，我的 y 值是如何变化的？把图像趋势给我画出来就可以了。 x 等于零的时候，起始位置在哪里？注意起始位置，四分之三派，负四分之三派。哎呀，往过倒吧，是不是在这这样子吧，负四分之三派，对，是不是从这开始起始的？对，负 x 等于零的时候， 对的 y 值是不是你对的 y 值的高度？是的，我这里本来图像表现的就是这个角度对的 y 值吗？是的，是不是它对的 y 值是不是就这么长吗？对，移过来就在这。好嘞，来吧，那随着这一块的增加，这个角度是不是越来越大？就这样转吗？ 看嘛， omega 是 正值， x 越来越大，是不是乘起来它是一个正值吗？随着 x 的 变大， 看这里，欧米伽越来越大， x 越来越大，减个四分之三派是不是就越来越大了？角度是随着角度变大的过程中角度就这么转，变大的过程中你跟我说 y 值怎么变化？ y 值看转这条线吗？往过转吗？角度大呀，大大， y 值咋变化了？看 y， y 值到哪了？ 对啊，你这是不是还没到负一嘞？哎呀，角度先到负一，然后呢？从负一是不是又回回去？他还是负的吗？回到谁？回到零，然后呢？再继续转是吧？从零再到一，再下来，图像的姿势就长这样子， 会了，不会了。对啊，明白了没有？明白了，这就是我是怎么快速大概把这个图像姿势定出来的，就在这的本质上反复去看， ok 吗？然后我们来给大家去讲 二零二四年高考真题，当时考过你的这个本质是怎么考的？来，继续看二四年新高考一卷考过的这道题目。然后呢？他说零到二派之间，然后有两个函数，一个是三 x， 这个我们会画，是吧？然后与另外一个函数，图像焦点的个数问题。 嗯，画呗，画出来几个焦点就是几个焦点呗，行不？我先画三 x 行不行？可以，三 x 图像 大概长这样，这里是派，这里是二派，对称的啊，最高点一，最低点负一，没问题吧？没有，再画他的图，我想把他的图画到旁边，然后最后给他二合一，行不行？可以。好，你看他的图咋画？ 首先，哎，你走一圈用的二派，他他走一圈用了多少？ t 等于二派除以三三三分之二派，是吧？是的。哎呀，那这个图像字是怎么画呢？起始位置，注意，刚想刚才我跟你讲过的，起始位置 x 等于零的时候，它的白值是多少？ 负一，在你心里有一个单位元行不行？行， x 等于零，它的起始位置在哪里？负一嘛？先看这块，我们待会最后再说这个二的问题。 起始位置在单位员的起始位置在哪里？负的六分之派，取零的时候研究的是这个角度，对，那 y 值，所以 y 值就在这对到这负二分之一，是吧？是吧？叫负二分之一嘛。我们先把它画完， 可以不可以？那他的图像姿势怎么画呢？这位置负二分之一，随着这个角度的变大来，角度的变大往正的越来越大来，让角度越来越大，是不是这么转 对不对？ x 越来越大，乘个三减个六分之派，是不是角度越来越大呀？随着这个角度一直在变大的过程中，起始位置在这，它的 y 值怎么变化？ y 值从负二分之一先一直回到零了吧？ 是还是不是？是从二分之一回到零，然后呢？从零到多少？从零上去到一再下来是不是？对，然后从下来再到负二分之一，再往下再走，到负一到哪才转一圈，回回来才到，转了一圈了， 对，是不是？你看嘛，你这到是在这个位置，这个位置是这边对应的图像吗？是不是然后回过来，是不是这是一个周期了，然后再往上走下一圈， 能明白不？可以，所以他此时此刻最高点是一，他的最最低点是负一，没问题吧？没有。然后我们把这两个图二合一嘛，二合一的过程中，只不过给这个图要成个谁二倍，成个二就行了。特殊点成个二。你比如说这个点变成什么了？ 变成负一，变成负一，对负一，然后我这个图像的最高点变成谁了？二变成二，那这个图咋画呢？ 二合一。而且你发现啊，这两字二合一的过程中，你的周期 t 是 不等于三分之二派，他的周期等于二派是不等于他的三倍， 说明我得把你这二派分成三份，三份，我其中一份就走完了一个周期了，你能理解我意思吧？能理解，分成三份，这是一份，这是一份，我在这一份里面是不是要走完这个周期呢？ 把，我这个这个姿势是不是要走一遍呢？对，能理解吗？哎，你的周期是我的三倍吗？人家是我的三倍，就是我走三次，人家走一次，就这意思啊，转一转一次。来，开始这个过程。怎么画？ 难度极大。我开始往上走了啊，照这个位置往上画啊，先嘣嘣嘣，嘣到多少到二到二来上去，然后继续呢？在下降，下降，下降。然后呢？下降到多少？ 下降到负二，然后呢？再上来，是不是一个周期了？到这是这个过程吗？是的哦，我这个图像画的不标准啊，这不是负二，这不正二吗？对不对？对，你知道就可以了啊。来，继续再往上走，是不是把这个过程再重复一遍啊？ 噔噔噔噔噔噔，上去了，是不是？对，噔噔噔噔，经过最低点拐上来，是不是到这个点？对，第二个周期了，没问题吧？没有，来开始，你看再往上走，走走走，走到这到经过负一拐上来，是不是到这了？对，我走了三次，完了， 这个图就画完了。会了，不会了，这个图像其实是以及这个题是咱教材里面的题目哦，教材里面用的是五点画图法，你可以五点画图吗？用五点把两个图一画，你找焦点，你如果你说我就想快，你看，按照图像姿势，这就是能力问题了，就是高手就这么做题的， 明白不明白？来找一下焦点吧。这几个一个，两个，三个，还有呢？四个，四个，五个，五个，六个，所以焦点的个数是六个， 会了没？会了，这就是我为什么煞费苦心前面给你讲了那么多图像的本质。 第一个画图，新高考考了好几次了，我们未来新高考中一定还会再次考到大家对于图像本质的理解的明白没有？你包括画图里面我们现在给大家讲的是什么？讲的是直接画，你后面还会遇到就是跟平移伸缩有关的一些问题，画图的技巧我们这节课讲不完了， 但是呢，这八大题型是大家拿下三角函数你必须要攻克的，而且每一个题型你必须要把它练扎实，练透，从一级别练到九级别。如果你不知道怎么去练，胡老师全给大家准备了八大题型整个的通关秘籍， 你跟着胡老师把这块全部抓紧时间打印下来练好，那么你三角函数妥妥里面拿高分。行，好，我们这节课就下课了，拜拜。嗯。

这是生命线，这是感情线，这是你的三角函数线。看好了，别眨眼，以你的左手为坐标，系四往下竖，零度，零根手指头，三十度，一根手指头， 四十五度，两根手指头，六十度，三根手指头，九十度，四根手指头。扣子往上竖，零度，四根手指头， 三十度，三根手指头，四十五度，两根手指头，六十度，一根手指头，九十度。没有手指头还学不会伸出手？看这张图。

同学们，三角函数的最终点它来了，我们百分之九十的考试题都会围绕正弦型函数给大家出题考察，那么正弦型函数怎么去攻克？大家跟着老师拿开笔记一起上课， ok， 我 们说正弦型函数之前，我们先复习一下正弦函数 y 等于 sine x 啊，这个叫做正弦函数， 那么他是怎么来的呢？他应该是由一个单位员，一个员，一个字典在这转圈，哎，他的纵坐标的记录，大家看纵坐标的记录，上升下降，下降上升，哎，这个正弦函数就会制出来了，对吧？ 那么什么叫正弦型函数呢？大家来跟上。 y 等于 a 倍的 sine omega x 加 f， 哎，这个我们通常给它叫做正弦型函数的一个表达形式，那么这个 a， omega 和 f 是 三个不同的参数，有不同的功能，那么他们究竟怎么去，咱们怎么去理解他们呢？大家跟上老师， 这三个最简单的就是这个 a 啊，这个 a 叫做正负啊，它的考点是最最最简单的，比如说 sine x 长成这样， 那么二倍的三 x 呢？那就是横坐标不要变，纵坐标变成两倍，震动的幅度加强了。大家看，我们学过物理的，大家都知道这个震动啊，大家看有这么震的，也有这么震的，对不对？说震幅的不同大小， 大家只要注意什么呢？大家注意震幅不是 a， 是 a 的 绝对值，是震幅，大家看能明白吧？ a 的 绝对值，也就是说 a 的 a 如果得负二，那么他的这个震动幅度，大家一定要注意啊，比如说 a 得二，是这个长度得二，还是这个长度得二，这个大家一定要注意这个震幅啊， 来，注意是笨了，就是说以这个东西为平衡，哎，这个长度是二，这个长度也是二，正离中间的位置最远是二，最最 下边最远也是二，这个叫做正负。那么通常来说，我们的三角函数正负是多少呢？是一，也就是我们的最大值是一，最小值是负一，这叫正负是一，那么正负是三呢？最大值是三，最小值负三。 ok， 那 么老师给大家画一个图，考察大家一下啊，非常简单，大家来看啊，那么我们来画一个图啊，这个点是负一，这个点是七，请问正负是几？ 比如说老师，那最大的是七呀，正负是七呀，错了，那么很明显一个三角函数被往上平移了，他应该是上下对称的，对不对？那么很明显他现在关于这条线对称了，那么这个总长度是六，那么半拉就是三，正负就是三，来看，能理解吧， 正负是最简单的，老师不多说了，那么这节课的重点我们落在 omega 和 find 上，很多同学对 omega 和 find 是 不理解的，我们把它擦掉， ok， 那 么大家跟上，什么是 omega， 什么是 find 呢？首先我们研究这两件事之前，我们先弄清什么是 x， 大家注意 x， 我 们都要给他灌输一个情景，也也就是说我们很多同学学过物理，我们可以用物理的语言，那么如果没学过物理的同学也能听得明白，非常简单，我们灌输一个情景，一个小点，在这转呐转呐转，那么 x， 我 们可以理解为时间， 就是他转了多久啊，他刚开始在这转了一秒，他跑哪两秒跑哪三秒，跑哪也是横，坐标是一个，其实说白了是 x 轴，我们可以把它理解为时间轴，一秒钟，哪两秒钟，哪三秒钟哪，用这种感觉去想，那么如果 x 大家认为是时间了，大家说欧米克是啥？ 大家注意，我们物理的语言告诉咱们，它叫做角速度啊，大家学过物理圆周运动的都知道它叫角速度就行了。那么我们速度乘时间等于啥呀？ 速度乘时间他不等于长度吗？等于距离啊，对不对？等于他走了多远，大家看能理解吧？那么走了多远是不是我们走的路程啊？那么大家注意翻译叫什么呢？翻译叫做出象位， 哎，这又来了一个词，大家说什么叫象位？很多同学对象位这个词一听就蒙了，什么叫象位啊？大家注意，翻译叫出象位，整体叫做象位。 那么相位说简单点就是单位圆当中的位置，相位就是单位圆当中的位置，那么这个相位就是零， 这个相位就是二分之派，这个相位就是派，这个相位就是二分之三派，那么这个来三十度，这个相位就是六分之派，就是单位圆当中的位置，他的这个点的位置他在哪？那么什么叫出相位？就是他刚开始跑时候在哪啊？刚开始跑他在哪个位置啊？ 叫做出向位，起步的向位，那起步的向位加上他跑了多远呢？的一个长度，是不是等于他最终在哪啊？他随时随着时间的推移，他在哪啊？他的位置在哪啊？向位大家能听懂吗？再说一遍， 他起步在这开始跑，一声枪响跑，跑起来之后，他是不是在随着时间他的位置在变呢？他从这跑的，一会跑到这，跑到这跑，跑到这，对不对？所以说这个叫做位置，这个叫做出位置，这个叫做他跑动的距离来看，能明白吧？速度乘时间 那么好，那么我们理解了这样的一个物理情景之后，我们想如果 omega 大， 那会发生什么现象？那比如说举例，三 x 和三 x 会有什么区别？三 x 长成这样，那么三 x 二 x 呢？大家注意，三 x 是 这么跑的， 三 x 呢？是这么跑的，因为它速度快呀，对不对？所以说它是不是很快，都很短的时间就跑了一圈，所以它图像是不是长这样啊？大家看，很短的时间就跑了一圈，那你同样的时间我能跑两圈，大家看能明白吧？所以说 omega 越大，图像越 密集，这时候很多数学老师讲，纵坐标不变，横坐标缩小啊，欧米扩大二倍，横坐标缩小一半啊，这个道理大家还能明白吧？那么我们再来比较，三 x 和三 x 加六分之派有什么样的一个关系呢？那么三 x 是 这样的啊，老师，简化啊，草图， 那么再加六分之派呢？很多老师讲啊，这叫左加右减，往哪平移啊？可以，这数学的角度，函数的角度可以的，但还可以换一个角度。你从这开始跑，跑一圈，那我从这开始跑啊，六分之派的出将位吗？我跑一圈不回来了吗？所以说六分之派是二分之一吧，所以说我搁这跑啊， 跑到二分之一又回来了，大家看我这个图能理解吗？从零开始跑，时间开始跑，一个周期跑回来了，跑到二分之一这个点了，也从这开始跑来看，上升，下降，下降，上升，再上升一点点回来了， 对不对？所以说从今开始，大家去理解什么叫 omega， 什么叫 five， 一个是起跑点，一个是跑步的速度， ok 吧？跑步速度越大，他用的时间就越少，就越密集。跑步的速度越小， 他跑的就越慢，他就越稀疏，就这个道理。 ok， 老师带大家一起画一个完整的图像，大家看黑板。 ok， 同学们，大家一起来动笔画这个函数的图像，大家可以点个暂停，自己尝试一下。 ok， 老师给大家带着大家去做图，大家一定要学会做图，不会做图做函数等于白给啊。大家来看， 首先我们先用一个单位圆，这个单位圆可太重要了，老师把这个圆画稍微圆一点，哈，有点没画好啊， 这个单位员可太重要了，大家一定不要离开他啊，单位员一切三角函数都是在他身上展开的。 ok， 我 们先看旗袍点，旗袍点在负三分之派，大家找到这个象位， 零负二分之派，负三分之派，是不是在这负三分之派，负六十度这个位置对不对？也就是跟我们的正三百度六分，呃，三分之五派是一个象位对不对？ ok， 那 么这个象位找到了，然后他就开始跑，对不对？ 我们先不用管他啊，这个二是最后去改就行了，我们不用改这个，管这个二，那么从这个点开始跑，我们要画图，大家得跟上。这个点是不是负三分之派对应负二分之根号三呢？我们找到啊，这个是负一， 找到这个负二分之根号三，我们还得找到这个这个，这也是特殊点啊，这也是特殊点，负二分之一的这个点，那么我们从这开始画 往上划，对不对？一个格，两个格上去一个格，两个格上去了，我们把这看成一个格，这看成一个格，对不对？那这有几个格？这是一个，这是一个，这是一个，这是不是三个格啊？对吧？上上上，然后呢？这三个格下来，下下下，然后呢？这三个格下来， 下下下，下到负一了，下到负一了，然后再上一个格，再上一个格。哦， ok， 到这一个周期就画完了，大家看一个周期一共有十二个片段，十二个片段， 我老师故意给大家画细，要不然我直接就是一勾就完事了，但是这一勾大家错过很多细节，大家跟上， 为什么说十二个呢？每一个四分之一就切成三份，每一个四分之一给它切成三份，每个四分之一给它切成三份。大家看，从这开始上上上上下下下下下下上看两个上三个上三个下三个下一个上，大家看能明白吧？这个到负二分之二三，那么我们标注横坐标， 正常来说标注横坐标一个周期，这应该标二派，然后给它切成十二份，除以十二。每个每个段是六分之派。六分之一派，六分之二派。六分之三，六分之五，六分之六六分之七六分之八六分之九，六分之十六分之一，六分之十二二派。但是大家注意这道题，我们的周期还是二派吗？ 不是了，我们的周期应该等于二派，是一个总路程，也是一个圆的总路程，除以我们的速度等于我们走一圈的时间，对不对？ 周期等于二派。表密个这么来的路程除以速度等于时间，那么二派比二也就等于派，也就是他用不了二派就跑一圈，他用派他就跑一圈了，大家看能明白吗？ 派，那么我们把十派拆成十二段，那么这是十二分之一，这是十二分之二派，三，四十二分之 五派，六，七十二分之八派，九，十十二分之十一派，十二派。大家看这个图就完美的画出来了，那么他再问你说，同学让你求六分之派到十二分之十一派上的直域什么什么的，你看图就可以了。 所以说大家这节课一定要学会如何将 omega 和 five 对 应到图像当中。 ok， 下课。

今天分享一道高一期末必考题型，三角函数。已知角 c 塔的顶点为坐标原点，使边与 x 轴的非负半轴重合，中边与单位圆的交点为 p 二分之一 y， 其中 y 是 小于零的，也就是说我们的点 p 是 在第四象限，也就是我们角 c 塔的中边 是在第四象限，而第四象限的角所对应的函数值，它的正弦值为负，余弦值为正。 同时我们根据三角函数的定义，我们知道角的中边与单位圆的焦点所对应的横坐标就是我们的 cosine 值， 动作标就是我们的上一只，这是我们根据题目条件分析得到的结果，对不对？那我们再来看一下。第一问，让我们求的是什么？ 求 sine， cosine 和 tangent。 我 们根据向量函数的定义， cosine theta 就 等于 x， 就 等于二分之一，而 sine theta 我 们等于 y， 值是多少我们不知道对不对？这个时候我们怎么求呢？我们有两种方法，第一种，我们知道 cosine theta 方加 sine set 方是等于一的，所以说我们能够得出来， set 应该是等于正负二分之根号三。但是到底是取正还是取负呢？ 我们这里已经分析过了。第四项线 set 值是负的，所以说我们这里只能要负二分之根号三。那第二种情况呢？我们还可以借助辅助三角形，一比根，三比二， cosine 等于二分之一，那我们的三就是二分之根三，这里知道它是负的，所以前面再加个符号，那第一问我们就求出来了。 接下来我们看第二问，第二问让我们求 cosine pi 加 theta， tangent 的 三 pi 加 theta 比上 cosine pi 减 theta 以及 cosine 二分之 pi 加 theta 的 值。 首先我们看到什么 pi 加 theta 呀，二分之 pi 加 theta 呀，二分之三 pi 加 theta， 是 不是我们首先就能够想到 诱导公式对不对？诱导公式，这里我们有两句口诀叫做积变偶不变，符号看象限，所以说我们就可以知道 cosine pi 加 theta 既变偶不变，这里是二分之二 pi 对 应的是偶数，所以说我们的函数名就不能改变，对不对？所以这里还是 cosine theta， 那 符号看象限呢？ 我们首先 pi 加 theta， 它对应的角是在第三象限，那我们第三象限对应的余弦值是负，所以说这里要加负号，对不对？ 这就是既变偶不变符号看象限的具体用法。第二个是贪镜的三派加上 c 塔，首先我们看到比二派还大的角的时候，我们就可以直接拿掉一个二派， 就是二拍加拍加 theta， 我 们直接把这个二拍拿掉，它就变成了贪镜。拍加 theta， 那 我们又可以用诱导公式了，既变偶不变，二分之二拍对应的还是偶数，所以说函数名不变还是贪镜特 theta， 那符号呢？拍加 c， 它是第三象限，而第三象限对应的正切值是正数，下一个再引拍减 c 它，那这里同样用既变偶不变偶数。函数名不变，拍减 c， 它第二象限角，第二象限我们的正弦值是正数， 再以二分之 pi 加 theta， 最后一个了，既变偶不变，很明显，二分之 pi 对 应的是二分之一 pi， 那 个一是基数，所以说我们的函数名要改变， 那是正还是负呢？二分之派加 theta 是 第二项弦角，第二项弦角我们的正弦值是正，所以说这个结果也是正。那用完诱导公式，我们原式就可以化简为负的 cosine theta 乘以 tan 进 theta， 再比上 sine theta 乘以 cosine theta 约掉了，那 tan 进的 theta 呢？可以变成 sine 比上 cosine 再乘以负的 cosine 分 之一，是不是就变成了负的 cosine theta 分 之一？根据定义问 cosine theta 是 二分之一，所以这个就是负二。那我们再来回顾一下这道题考察了什么知识点呢？首先是我们三角函数的定义， 那我们三角函数是怎么定义的呢？ 给出一个单位圆，给出角 alpha alpha 的 中边与单位圆的交点， p x 零 y 零 x 零就是 cosine alpha， y 零就是 sine alpha， 而 tangent alpha 就 等于 sine 比上 cosine 就 等于 y 比 x， 这是我们三角函数的定义。那第二个考点考察了什么呢？ cosine c 大 方加 cosine 大 方等于一，是我们的同角三角函数之间的关系对不对？ 有两个常见的式子，一个是 cosine theta 方加 cosine theta 方等于一，还有一个就是 tangent theta 等于 sine 比上 cosine。 那 第三个就是我们第二问到的方法了，就是考察我们诱导公式 就是既变偶不变，符号看象限对不对？以上就是我们这道题要给大家讲的内容，你学会了吗？

哈喽，同学们，随着上节课我们讲完正弦函数的图像，那么今天我们利用这个图像来解一道我们广东省的一道高考模拟题，大家一起来跟着老师看题。 f x 等于一减二倍的散 y， x 等于 a， 在 这个范围上有两个实根求 a 的 范围， 那么很明很明显这道题考的是函数与方程，对吧？我们需要画图像，然后找两个根，找找这个纵坐标的取值范围，那么大家可以点个暂停，尝试一下这个图像能不能画对，答案能不能做对。 ok， 老师给大家做详细的讲解，大家做好收藏，大家来看。 首先我们正常来说应该画他的头像，但是我们可以挪一挪呀，对不对？一减二倍三 x 的 a， 他 头像毕竟不好画呀，对吧？我们可以把一给他挪过来。二倍的三 x 等于一减 a， 对 吧？我们还可以把二挪过来呀，三 x 等于二分之一减 a， 也就是说我们只要画正弦图像就行了，然后求他的范围，他的范围倒 a 的 范围，对不对？ ok， 那 么我们画正弦图像在哪上画呢？在这个范围上画。那么画之前老师还是强调一下，应该先有单位圆，大家来看啊，我们新手应该先画 单位圆，随便画一个圆，然后在这起图，哎，这个图老师稍微往右边起一点啊，因为他毕竟有负的这个成分， 往右边起一点啊，这是 y， 这是 x， 我 们正常是以这个点为圆点进行画图，但是单位元辅助我们。那么大家找到负三分之二派的相位在哪点位，单位元当中的点位，我们称之为相位，大家来注意，负三分之二派零， 负九十度，负一百二十度，大家注意，应该在这个位置，大家看能明白吧？负三分之二派，负六分之五派，在这个位置，他们俩是兄弟俩，他的正弦二，负二分之刚好三，余弦负二分之一，他的正弦负二分之一，余弦负二分之刚好三，一定要找到， ok 吧？他们是两个兄弟， 负三分之二派，那么正的呢？六分之五派，大家注意，六分之五派在哪？六分之一，六分之二，六分之三，六分之四，六分之五派应该在这个位置，他跟这个六分之七派，也就是负六分之五派是对应的，六分之五派在这个位置，他的正弦二分之一，余弦负二分之二三，对吧？ 好，那么大家跟着，这是起点，这是终点， ok， 我 们从这个起点，也就是我们的负三分之二，负六分之三，负六分之四，负六分之四对应的是 负二分之根号三，然后大家跟上老师的手下降，负一上升，负二分之二再上升，负二分之一再上升到零，所以说这个东西老师画的可能有点不好看，但是道理是这个道理啊，大家来看，也就是他下降上升，哎，这个点是最低，这是负二分之根号三， 这还有一个负二分之一，这些点都是特殊点，大家回忆老师上节课讲的图像都很重要啊。这些特殊点 大家看， ok， 正的也是一样，六分之一，六分之二，六分之三，六分之四，六分之一到二分之一，六分之二到二分之二，三六分之三到最高到最高嘛。六分之四下降到二分之二，三六分之五下降到二分之一，六分之五，二分之一，这个是二分之根号三， 这个是一，这都是特殊点。六分之五派， ok， 到这为止。整个图像画完了，从负六分之四到六分之五派， ok， 到这为止。整个图像呢？大家注意，都是 b 区间啊，那么它 等于一个纵坐标，有两个实数根，那么这个纵坐标在哪呢？在这，没有，在这一个，在这两个，对不对？所以这个纵坐标应该是属于 最小也得比二分之一大，最大不能比一大，但是可以得二分之一，得二分之一时候是两，但是得一的时候就一个了，对吧？就是二分之一到一，来看能明白吧？我们还得给他并上谁呢？并上并上，老师就在下面写了啊，还有这个吧，对不对？这是一个，这是一个，这是不是两个呀？所以说应该是，这是负一 到负二分之根号三之间。负一到负二分之根号三，负二分之根号三是可以取等的，大家看，这两个是实心负一，是单独的，所以不可以取等。最终的答案应该是这样的一个范围，但是我们还得给他调啊，人家求的是 a 的 范围，对不对？大家跟上老师的节奏，我们一起来范围推导这个范围 给他乘以二，对不对？乘以二，是不是一减 a 的 范围呀？应该属于乘以二，大家跟上。负二到负根号三，左开右闭并上一到二，左闭右开。好，这步应该怎么样？同时减一，那就是负 a 的 范围，同时减一，减一，负三到负一，减根号三。 哎，这个过程还真就有同学会马虎啊，同时减一，零到一，左开右闭，对吧？最后一步，同时乘负一，同时乘负一，大家跟上最小的数变，最大的数变成三，这个数呢？变成一加根号三， 对吧？那么这个零自然往这边开了，这个一变成负一，大家看最大的数变成最小的数，最终的答案是这样的一个答案，也就是负一到零，左 b 右开，并上一加二，三到三左开，哎，等会啊，这个开 b， 老师看，这是 b 的， 这个也得是 b 的， 哎，左 b 右开， 呃，这个没有写错吧？一在最左边是 b 的， 呃，老师检查一下啊，这个二分之二，三，这是 b 的 二分之一一，这块是 b 的， 那么减一，这不应该是 b 吗？这，这个地方，老师这马虎了啊，大家来看，咱们还好检查出来了，没讲错，这个地方应该是 b 的， 减一嘛，对不对？所以零，这是 b 的， 那么给他加一个符号，这应该是 b 的， 大家看这里边应该是 b 的， 而这个一加个符号应该是开的 啊，这个开 b 有 点小瑕疵啊，大家自己做题一定要注意最终答案，负一到零，左开，右开，大家看这道题学会了吗？下课。

三角函数这个考法非常常规的，非常重要的正弦型函数，他肯定会考单调性啊，零点呀，对值点呀，综合在一起考察呗。所以这种题怎么去做呢？整体代换，利用复合函数的单调性，从中易减。只要是在试卷上看到了这句话，你先定性分析 一下，险哥教你做题。小题狂练篇，他说正弦函数他说过零一，我们要学会翻译嘛。过零一的话，不就是 f 零等于一，所以 f 等于个二分之一。 又因为 f 在 这个范围内，所以 f 就 应该等于个三十度，所以我们就能够得到了。我们这个三角函数就应该等于个甚 omega， x， 然后再加上一个 f。 现在呢？他说这个函数在这个区间上具有单调性，他在这个区间上有单调性是什么意思？ 这种题你千万不要画这个函数，这个函数比较难画，我们都是整体代换，换元利用的就是复合函数的单调性。同增异减，这个能听懂吗？同增异减，所以我们换元怎么办呢？你看啊，它就相当于甚右， 它相当于甚右，那么这个右的范围呢？它就转化成了。你看，当 x 等于八分之派的时候，就应该是它再加上一个六分之派。 当 x 等于四分之派的时候，就应该是 omega 乘以四分之派，再加上一个六分之派。听明白我在说什么了吗？在这个区间上具有单调性，那这就说明这个正弦函数在这个区间上，它是有单调性的。首先我们一定要先干什么 啊？不是有个二吗？二不影响单调性，你可以写，也可以不写，漏掉了无所谓啊，因为二不影响单调性，你写上也可以，不写也无所谓。那么这道题首先你一定要学会一个啊，把一个他在一个区间上是单调的，大家思考一下， 他在一个区间上是单调的，这个区间的长度能不能超过半个周期 啊？这个二不影响单调性啊，因为他是个正数，他能不能超过半个周期，这地方很重要哟，他有可能就排出了一个答案哟，听明白我的意思吗？他在这个区间上单调，有可能是这么一个小区间， 他有最大，最大是这么一个区间，如果他超过半个周期了，那当然他就有增有减，就不能单调了。所以我们只要是在试卷上看到了这句话， 或者是单调递增，或者是单调递减，你先定性分析一下，当然他不是一个重要条件啊，什么意思？就是半个周期一定大于等于四分之派，减去个八分之派，也就说等于个八分之派，也就说周期 周期是二派比上 omega， 二派比上 omega， 再乘一个二分之一，二分之一个周期嘛，它就应该是大于等于个八分之派，所以 omega 就 应该小于等于个八， 对吧？小于等于八，这个出题太不给面子了，你没有丢掉，没有舍掉解，但是有很多题它是可以舍解的， 听明白我的意思吗？他一定比半个周期要小，所以半个周期要大一点八分之派，所以 omega 一定是小点八的选项啊，都小点八 好，那么现在呢？他又告诉我，他在这个区间上有单调性。那你说正弦函数的单调区间是什么？是不是说明这个区间一定是在这个区间里边，或者是在这个区间里边。 人家没说增减啊，一定要说的是单调区间。单调区间是多少呢？可以是负的二分之派到二分之派。 你觉得是加 k 派还是加二 k 派？需要分增和减。不是，不是，他所有的单调区间就应该是负的二分之派加 k 派到二分之派加 k 派。 当 k 等于零的时候是增区间，当 k 等于一的时候，是减区间，不能加二 k 派。二 k 派是一定是增区间了。 那么又因为它在这个区间里边是单调的，那很明显是它的一个子极喽。因为这个增区间，这个单调区间有可能是增减区间的一部分啊，所以是它的一个子极。那这就说明， omega 乘以八分之派，再加六分之派加 k 派， 同时 omega 乘以四分之派，再加六分之派，它一定小等于二分之派，再加上一个 k 派。然后呢，做人一定要狂一点，狂算一下就可以了。大于等于一个多少呢？这是负的二分之一减去六分之一，负的六分之三，负的六分之四，负的三分之二， 负的三分之二乘一个八，负的三分之十六，负的三分之十六，然后再加上一个八 k。 同时呢，通过这个式子我们算出来，我们一个小于等于六分之三减六分之一，六分之二，三分之 pi， 三分之 pi 乘以四就三分之四， 三分之四，再加上一个四 k， ok， 算到这一步之后呢，你当然要对它负值了。当 k 点零的时候，显然我们一个因为大于零啊，我们一个大零，所以当 k 点零的时候，我们一个大于零，小于等于三分之四，这是一个区间，然后当 k 点一的时候，这个数是不是 啊？这个数也没超过，也没超过八呀？当 k 等于一的时候， omega 就 应该是大于等于八，减去三分之十六，等于个三分之二十四。三分之八， 所以大于等于个三分之八。然后呢？又当 k 等于一的时候，小于等于多少呢？三分之十六，然后呢？当 k 等于二的时候，二八一十六显然超过八了。所以这是最终所有的欧米哥的范围， 信吗？这绝对是超级重要的考点啊，高考特别喜欢考，你看高一也考啊。所以这道题人家让你求欧米哥的最大值，当然是三分之十六了。 ok， 这是三分之十六就可以了，你想一想能明白了吗？利用了是复合函数的单调性。复合函数单调性，它在这个区间上是单调的，它是一个单调区间的一个子集。为什么不是二 kpi， 二 kpi 的 话，就确定了它是增区间或者是减区间，因为人家这道题说了具有单调性，没有说它是增还是减。明白。

那么利用诱导公式求值是我们这次期末考试的重中之重啊，好多孩子呢，诱导公式的两句话都不会， 鸡变偶不变，符号看象限知道吧？但是呢，这道题看似非常难，其实它是一个纸老虎啊，它非常简单，为什么呢？你只要知道我们这个公式就行了。其实 我们有三个公式是让大家记住的什么呢？ sin 派减 alpha 等于 sin alpha， 那 cosine 派减 alpha 呢？等于负的 cosine alpha tangent 派减 alpha 等于负的 tangent alpha 那 也就是说呢，你看啊，派减 alpha 和 alpha 什么关系呢？这样的一个角加这样的一个角等于 pi， pi 就 对应一百八十度呢， 说明这两个角他们是互补的关系。相加等于一百八十度不就是互补吗？那我们就得到了结论哈，两个角互补，正弦值相等，余弦值互为相反数，正切值呢，也互为相反数。 大家来观察一下我们这道题里面的角哈啊，你看看，七分之派，七分之六派，那么这不就是互补吗？相加等于派吗？ 七分之二派和七分之五派，七分之三派和七分之四派。那所以这道题其实 so easy， 知道吧，我们给它重新组合一下就行了。原式等于 cosine 七分之派加 cosine 七分之六派，加什么呀？ co sin 七分之二派加 co sin 七分之五派，然后再加一个 co sin 七分之三派加 co sin 七分之四派 啊，那么它们这两个角都是互补的，那我们就可以利用诱导公式进行转化。怎么转化呢？那你看 co sin 七分之六派就等于负的 co sin 七分之派 加 cosine 七分之二派，然后它等于负的 cosine 七分之二派。那么 cosine 怎么样了？七分之三派减去 cosine 七分之三派，哎，只要互补，它们的余弦值就互为相反数，那每一个都是零，等于零加零加零，哎，最终结果是不是也是零啊？这三个就是我们哎书上 诱导公式六个公式中的其中一个，哎，你要把这句话既变五不变否看象限给它记住。但是呢，常用的这些公式呢，也要一定给它记得清清楚楚是吧？关注老师，学习更多数学知识！

本期跟你分享诱导公式，五秒一次解决，彻底学会，所以一定要点赞收藏好，免得你后面找不到。我是小罗老师，大学九八五，高中数学没下过一百四十六，今天我们就从最简单的诱导公式来看一看什么才是学好数学你应该具备的思 思维。这一堆公式就是诱导公式，这其实三角函数里最简单的公式了，但竟然还有很多人在高考前都搞不定，这就非常奇葩了。那么问题出在哪呢？因为基本上所有没脑子的人都会用这句话去解决，鸡变，偶不变，符号看象限。好，我现在问你，什么叫鸡？不知道 什么叫变，不知道什么叫偶不知道什么叫不变，你也不知道谁的符号看谁的象限。然后呢？第二象限又怎么样呢？你通通不知道，读起来朗朗上口，但是没什么鸟用。怎么才能在五秒内学会这些所有的诱导公式呢？非常简单，我们换一个口诀 来看我的口诀什么意思？我来给你好好解释一下。派有分母，正弦还是正弦？ 这里派有没有分母？有分母，所以说余弦变成了正弦。这里派有没有分母？有分母，所以说正弦变成了余弦。下面也是一样的，派有没有分母？ 没有分母，所以说正弦变成余弦。派有没有分母？有分母，所以说余弦变成了正弦。判断了变不变之后，我们就要去符号看象限了，谁的符号就是他的正符号，看 谁的象限呢？就是我们前面这个角的象限。我先画个直角坐标系，第一个正弦看 y， 这个正弦它在二象限，而二象限它的 y 是 正的，前面的符号也是正的。第三个正弦它在第四象限，而第四象限 y 是 负的，所以得到这个前面也是负的。第二个余弦看 x， 这个余弦它也在 第二项线，那第二项线 x 是 负的，所以说我们得到这个前面也是负的。那什么叫切一三正呢？正切和余切只有在一三项线才是正的，它在二四项线就是负的。比如说我们看这个正切 判减阿尔法是在二项线的，所以说得到前面就是负的。因为一三正，二四负，这个角也是二项线的，一三正，二四负， 最后一个四象线，一三正，二四负，它们都是负的。所以说这样学诱导公式，你才能学的好。想跟着我们学全套高考数学核心模型，发送你的年级加分数，比如高二加八十，注意，仅限高二高三，白嫖勿扰！

高中数学最难的三角函数公式大全全部吃透！逆袭班级前三。三角函数公式大权同角基本关系诱导公式公式一 两角和与差的三角函数公式背角的正弦与弦的与弦和正切公式三角函数激化和差公式三角函数图完整版可分享！