鲁科版五年级下册圆的公式

呢，请你说，我们是用面积单位来测量长方形的面积的，这个长方形有多少个这样的面积单位，它的面积就是几。哎，用面积单位去测量，这是个好办法。现在呀， 老师也把这个圆画在了每格表示一平方米这样的方格纸当中，为了让大家看得清楚呢，我们把它稍微的放大一点，现在咱们也尝试着用这样的方法去数一数他有多少个这样的面积单位吧。 怎么啦？你来说？呃，圆的面积不能正好对上每一个面积单位。哎，你觉得有点问题是吧？那怎么办？不能数了， 如果不能准确的数的话，我们估一估怎么样？可不可以借助面积单位来估一估？好，请你试试。 我觉得这个圆的面积是在三平方米到四平方米之间哦，这是他的想法， 三平方米和四平方米出现了两个数据，能不能跟大家说清楚？三平方米的三是从哪来的？怎样确定这个数字？四又是怎样确定的呢？ 四平方米是因为啊，它的面积，它这个圆的面积覆盖了四个格，四个格就是四平方米，是这意思不？咱慢慢，咱一起来数数，看看是不是看看老师读没读懂。你啊，这是一平方米对吗？嗯， 两平方米，咱们同学可以一起数，三平平方米，四平方米。哦，我懂了，四平方米，这个三怎么来的？ 呃，三平方米，看他每一个小格中啊，他原占的都是超过了每格的一半，所以是三平方米多，是你的估测对吗？对，哎，在数学课堂当中，可能我们还需要的是更多的一点严谨。 三，我没看出来，但我一定看出了四，对啊，它的面积肯定不到四平方米。瞧，这有一条蓝色的线，对于一个面积单位来说，它是一个面积单位的 边长，那对于圆来说是什么？如果我用字母 r 来表示它的长度，一个面积单位我们还可以表示成 r 方，大声说 r 方， r 方，那么四个面积单位就应该是四方。看来，按照同学们用数面积单位的方法，我们一定能够确定圆的面积不会超过四方，很好， 这不就是一个圆面积的上限吗？对不对？有上限，我们一定能够找到他的下线。下线，那是不是像刚才同学所说的这样，是三倍的 还是几倍呢？看来我们还是要找找到点依据，对吗？嗯，我们刚才在确定原面积上限的时候，是在外面数面积单位，你觉得如果我们想确定原面积的下线，在外面找还可以吗？ 那到哪去找面积单位啊？经理说，我觉得可以在圆的里面，在圆的里面画出一个最大的正方形就是， 嗯，每半就是一个正方形的一半，到前面去，你比划比划，看看同学们能不能读懂你来怎么画这个正方形。是这样的哦，这样的，老师帮你实现这样的， 跟大家继续说说你的想法吧。所以我觉得这个圆面积的最小值应该是二，应该是二， 二，二，这是上面，这是多少？上面，这上面是一，下面也是一，所以一共是二啊，上面是一倍的二方，下边合起来就是二二方，同学们听懂了吗？ 哎，他在这个圆里边通过连线的方式确定了两个面积单位，也就是二倍的，这不就是圆面积的一个下限吗？ 看来圆的面积一定会在这二倍的 r 方和四倍的 r 方点，到底会不会是三倍？刚刚同学们所说的还有待于我们继续去探讨，对吧？ 嗯，说到面积的研究，我们一定还对平行四边形面积的研究印象深刻，想想那个时候我们是怎样对平行四边形的面积进行研究的呢？来，你说说。 我们是把平行四边形沿高剪开，分成两个我们已经学过的图形，再把一个图形平移到另一个图形，这样我们就得到了一个长方形，长方形的 长就是平行四边形的底，长方形的宽就是平行四边形的高。因为长方形的面积等于底成成宽，所以平行四边形的面积等于底成高。说的真好，应该送给他点掌声。 他不仅回忆了平行四边形研究的方法，还把公式推导的过程进行了一个整体的回忆。真不错，那其实老师懂了， 也就是说面对一个新的问题的时候，我们是把图形进行了转化。转化对吧？那我们今天要研究的这个圆可不可以转化成以前我们学过的其他图形呢？ 可以，嗯，老师为每一名同学都准备了这样的学具，要不然这样咱们呢，今天就来研究研究，看看圆究竟能否转化成以前学过的图形，如果能会转化成什么样呢？ 在学习的过程当中，如果有困难可以向老师求助，也可以同桌之间互相商量着来，听明白了吗？好，开始吧， 再给它折一下是吧？折吧，折完之后再自己再操作啊，越简单越好。 对，就可以直接有想法了就可以操作啊，把这个粘到呈现在这粘上去。 可以可以，可以，试一试，没关系的啊，可以剪开试试看看， 直接往这里粘就行啊。可以试试吧，看看行不行。剪刀头，我给它剪碎了， 给它粘到这张纸上，一会咱们好展示了啊，又胶了。嗯， 剪了之后就可以把它粘上。啊。 啊，有想法了，好，真棒。没事，挺好的， 快加快点速度啊， 加快速度， 好脚气，加快速度啊，没事没事，可以尝试着来，没关系啊。嗯， 往上粘，直接往上粘啊，好，孩子们，稍稍的快一点啊，稍稍快一点点 解开 好勤快，粘吧，别粘来不及了， 孩子们，稍稍的加快一点速度啊，粘上吧，粘上看一看， 好，很多同学已经完成了哈。 好嘞， 孩子们，由于时间的关系啊，咱们就先研究到这，这样把你们的学习板举起来让老师看一看。 哦，还有个别同学没有完成，没关系啊，咱们一会再来研究。好手放下， 这样在大家学习的过程当中呢，老师发现同学们研究的非常非常的深入。那刚刚在巡视的过程当中，老师想先请几名同学到前面来分享一下你们的想法。好，请你到前面来， 请你到前面来，咱们就先让这几位同学展示一下他们的学习成果，好吧， 哦，好，来，孩子，把这放到这， 跟大家说说你是怎么想的，又是怎样做的？我想把这个圆儿转换成一个正方形，但是我发现它的两边 他他的四个边都会多出来四个多余的图案，于是我就把他们折进去了，就变成了一个正方形。哎，同学们看看啊，老师偷偷的把这个作品给他还原一下，他是这样的， 原来是个圆，他在转化的过程当中发现多了一部分，就把他折回去了， 怎么样？有人在点头，有什么问题吗？没关系，咱们再来看一下，看看这个小朋友的作品。 来，你来跟大家说说你的想法。我想把这个圆转化成平行四边形，但是我发现他 转化完会多出一部分，所以我把它们折了回去。哎，现在呀，同学们可以看一看这两个作品，无论是想转化成正方形还是平行四边形，都把其中的一部分给折了回去。 那老师就想请问了，在实现图形转化的过程当中，是保留它一部分进行转化就可以，还是要把它整个的面积都要实现转化 啊？整个的面积都实现转化是吗？他们做到了吗？看来有一点点问题对不对？但是我们总会在这样失败的经验当中总结点什么。 他们两个不约而同的，包括刚刚这个小朋友来展示给大家看一看， 他呢是转化的过程当中，把需要的部分剪了下来，然后发现有多余的部分又给我粘到这了。孩子说说， 我是先把那个他转化成了一个平行四边形，也是发现有多余的部分，然后我就给他剪下来了，然后我就剪下来的这四个小边围成了一个圆。 这四部分多出来了，没有实现面积的转化对吗？对吗？对哎， 他们几个呀，都把目光的焦点聚焦在多出来的这部分上了，如果我们转化的过程当中，要是没有这多出来的部分，不就不用剪了吗？他们两个也不就不用折了吗？ 有没有哪些同学在实现图形转化的过程当中没有多出来这部分，或者说多出来部分非常非常的少小有没有？好，你们几个先回去看看其他同学的想法啊，捡起来好，谁你到前面来 展现下你的作品啊。看看 我这个剪的时候，我把它中间两边都切分了，然后平均分成几分？平均分成了 八份，嗯，然后我发现这个酷似一个平行四边形，然后酷似 酷似就是很接近了，是吗？嗯，然后呢？然后我觉得他如果再减一半的话，会不会更加的像？哎，四边形由自己的研究成果又产生了猜想，不过刚才他信自信满满的说，他多出来的部分可比那几位小朋友 想对不对？光说不行，要不然咱实践着验证着，看看怎么样？咱们这样。老师今天带来了小剪刀哎工具，我们把它其中多余的部分裁剪下来，和刚刚那个小朋友的同学做一个比较。咱们看看啊，来帮老师来实践一下， 把多出来的部分咱给它裁剪下来啊，它平均分成了一二三四五六七八八份，我裁下来几个多余的部分跟它那个平均分成四份比比较合适呢。 两个是吧？好，那咱们就拆下来两个啊，两个多出来的部分拆掉了，这样咱们和它这个做一个比较，看看是不是真的多出来的部分少了一些。孩子帮帮忙。 我们把它展开 两个多出来的部分和他一个多出来的部分作比较，请观察。少没少，少没少，真的少了是吧？说说怎么实现比他多出来部分少的。 你平均分成的是八份哦他平均分成的是。 嗯四份。那如果这样想下去的话还有没有平均分的份数更多多出来部分更少的呢？有。好请你到前面来来来，快 没粘完。没关系来咱们帮你到前面来。来啊你请回去谢谢。你 跟大家说说你这被平均分成了多少份。这个圆 啊我把这个圆平均分成了十六份。嗯然后呢。嗯之后我觉得这样会比平均分成八份多出来的部分更小更小。这是平均分成四份的 这是平均分成八份了这是平均分成十六份了。随着多出来的部分越来越少转化后的图形就 啊越来越小越来越越啊越来越接近越来越接近平行四边形是这样吗同学们你们感受到了吗？都有感受。那如果现在我们想象着平均分成的份数变多 变成三十二分会怎么样一说就越来越像平行四边形了。那如果在拼成的范数更多更多更多呢 我觉得如果拼出来的分数更多的话就会无限的去接近平行四边形。说的真好无限的接近平行四边形真的会是那样吗我们还要用眼睛去看到它的发生。 这是平均分成十六份的很接近了吧。平均分成三十二份的怎么样？更接近了平均分成六十四份的 哦。平均分成一百二十八份的怎么样 平均分成二百五十六份的。跟我们想的一样吗？ 啊一样吗？一样有人摇头。不一样在哪。你想说 原来的是原来的都是变成平行四边形但这变成了几乎是长方形几乎是长方形那你们有没有人知道长方形和平平四边形的关系你说。 呃平长方形包平行四边形包含了长方形长方形是特殊的平行四边形其实这和我们刚刚的研究和想法是一致的对吧 看来同学们我们如果进行了上港操作原形就能转化成一个近似的平行四边形只要我们能够找到这两个图形之间的那种关系也像在学习平行四边形的面积的时候建构起联系 是不是就能研究出圆面积的计算方法了呢。嗯那现在把时间交给你们请同学们拿出老师给同学们准备的学具单 在信封里先自己尝试着观察研究如果有了想法可以和小组间的同学交流一下好了开始吧。 对呀那你实现了转化嘛是不好自己想想吧按照这个思路我们想开看看 这个点这是什么的一半中写上 是抽查吗这个底是整个抽查。 对的非常好啊底相当于正常的一半是吧他那高相当于半径然后尝试着把自己的想法写一下啊。好 这是什么底是吧对 这是纸巾吗。对呀看看是不是有想法了哈。好的 这啥这是什么。正常的正常的一半就行正常的一半。 嗯对的真好好把想法可以和同学交流一下哈。啊这这这 这是什么这是啥。周长想想问题出现在哪。这是周长的。对呀你看看有想法了吧。嗯 对补充完整啊把想法也可以和同桌交流交流啊。好有想法可以和同桌交流交流好吗。对的他用字母咋表示。 周长的一半是周长是二拍 r 对 不对？那一半不是拍 r 吗？是吧？那拍 r 乘 r 不是 拍 r 吗？和小组间同学研究一下哈。周长是二拍 r， 然后呢？对，好了， 有想法了，和同桌可以交流交流啊。 周长，这不周长的一半吗？嗯，非常好。 嗯，那你想想啊，周长是多少啊？二 pi r 一 半呢？就是 pi r 呗，是不？嗯， 对，整理一下啊。嗯，这是周长吗？他是周长吗？但是他是周长吗？不是，吃完一半周长到一半再想 好了，孩子们可以了吗？可以了可以了，如果你完成了，请用坐姿向老师展示。好， 哪个小组同学愿意和大家分享一下你们的学习成果。好，请你来吧，麦克，嗯，一个拿着一个说， 放在这，你指着说啊，来吧宝， 我们认为将圆转化成近四近四的平行四边形，平行四边形的底相当于圆周长一半。 平行四边形的高相当于圆的半径啊。因为平行四边形的面积等于底乘高，所以我觉得圆的面积等于周长的一半乘以半径 啊，所以用字母表示 s 等于 pi r 乘 r， 最后等于 pi r 的 平方。好了，孩子们，这是他们小组的学习成果，你们觉得和你们的学习成果 一致吗？一致吗？都是这样想的，都建构起了这样一种关系吗？好，非常好，请回去给他们点掌声，谢谢你们！ 的确如同学们所说的那样，平行四边形这条底 就是圆周长的二。哎，平行四边形的高呢？ 圆的半径，平行四边形的面积等于，所以圆的面积就等于中长的一半是半径。真好，如果用字母表示就应该是 派二乘二等于派二乘二，等于派二方，派二方。好，刚刚啊，有一些同学在进行思考的过程当中，个别同学出现了问题，请你跟大家说一说，你刚才的问题出现在哪？ 我刚才把圆的面积等于周长， 周长啊，好，老师看清楚了啊，向大家展示一下。刚刚他在探索的过程当中出现了问题，主要就是他认为平行四边形的底是整个圆的周长。孩子，仔细看看，是整个圆的周长吗？ 是，是周长的一半。对，只有我们准确的建构起这样的联系，才能够推导出原面积的计算公式。非常好，请回去，现在你听清楚了吗？ 好，那现在老师给同学们三十秒钟的时间来完善现在你整个学具单上的学习过程，还有哪些需要补充或调整的，请尽快开始吧。这还没写好的啊，赶快调整一下 完成，同学请坐好。 好了，孩子们，现在我们清楚了圆的面积究竟应该怎样计算了吗？ 嗯，好，清楚了。那么同学们，我们都知道，在计算的过程当中， 派近似的被取成三点一四，那么这个三点一是是不是正好在二倍的 r 方和四倍的 r 方之间呢？是， 哎，这和我们刚刚前面的研究是一致的，也跟刚刚那一位同学课前那种猜想得到了验证。的确，现在如果我们知道一个圆的 半径能不能快速的计算出它的面积能没问题，是吧？好，课前三只小羊都想知道自己能吃到草的 范围有多大？来，咱们分组进行，你们来算，第一只小羊，半径为两米的，你们计算半径为一米的，你们计算半径为四米的羊能吃到草的面积？请同学们快速开始吧， 大点写，拿马克笔啊，大点写好写吧， 写好之后举起来让老师看一看。你算了吗？半截为两米的，这个快写啊！ 嗯，好的，要是把单位写上就更好了啊。注意，我们在计算的过程当中，除了要计算清楚结果，还要写清楚它的单位哟！好，记清楚结果就举起来，老师看一看， 快写完没 按这边两米的，你们这边是啊？嗯，好好，稍微快一点啊。 对，单位写上，快，举起来，举起来，不用瞄，宝贝老师都能看得见，举起来就行。快快快快，你算他们组的了。行，好，我们一起来看一看。第一小组 a， 好 少一名同学，说说你们的结果是多少？ 我们的结果是十二点五六平方米。很好，有一名同学在计算的过程当中出现了计算错误，一会你改正一下好吗？那么老师还要请同学们注意， 我们计算面积的时候使用的单位是，哎，面积单位？哪些同学的单位写错了，赶快调整一下好吗？好，第一小组顺利完成任务，第二小组，请展示。好的， 来说说你们的结果是多少？说，三点一四平方米，三点一四平方米。好的，你们小组呢？展示 说吧！我们小组的结果是五十点二四平方米。看来三只小羊都顺利的知道了自己吃到草的范围有多大。中间这只小羊心想，太不公平了， 我吃到草的面积太小了，仅仅三点一四平方米。于是啊，主人给他换了个位置，他心想，太好了，我终于又能吃到三点一四平方米的草了。瞧，主人把它拴在了这， 实现它的愿望了吗？没有。怎么没有？快说说，快说说。你说。 哦。因为他有一面是墙，他只能吃到半半个圆的 面积，那么三点一四的一半就应该是一点。看来羊能吃到草的范围还由他的位置决定呢。现在他仅仅能吃到的是半径为一米的圆面积的一半。那如果绳子的长度变成两米， 他能吃到草的面积是说，那就是用二分之一乘以三点一四，再乘以一的平方半径为两米的圆面积的一半，对吧？那如果绳子的长度变成四米，一起说 半径为四米的圆面积的一半，那如果绳长变成十米呢？半径为十米的一半， 真的会是那样吗？好，同学们，这个问题我们把它带到家里去解决。孩子们，时间呐，已经接近尾声了，那么通过这节课的学习，你学会了什么呢？又是怎样学会的呢？你来说。 呃，我学会了如何计算圆的面积。嗯。

工人叔叔正在为一个圆形草坪铺草，圆形草坪所占地的大小就是圆形草坪的占地面积，也就是说，圆所占平面的大小叫做圆的面积。 拿出一个五角硬币和一个一元硬币比较一下，发现一元硬币的面积比较大。 用圆规分别画一个半径为一厘米和半径为一点五厘米的圆，发现半径为一点五厘米的圆的面积更大，这说明圆的面积的大小与圆的半径的长短有关。那要如何计算一个圆的面积呢？ 可以利用转化法计算。把一个圆平均分成四份拼成的图形是这样的，平均分成八份拼成的图形是这样的， 平均分成十六份拼成的图形近似于平行四边形。平均分成三十二份，拼成的图形更接近于平行四边形。 平均分成六十四份拼成的图形就接近长方形了。看来，只要把圆平均分的份数越多，曲线就越接近线段，拼得的图形就越接近长方形。 当把圆拼成近四长方形时，圆的面积就等于近四长方形的面积。此时，长方形的长就等于圆的周长的一半，长方形的宽就是圆的半径。 由此，我们可以推导出圆的面积等于长方形的面积，等于长乘宽等于二分之 c 乘 r 等于 pi r 乘 r 等于 pi r 的 平方。 我们看，虽然圆的面积与长方形的面积相等，但长方形的周长比圆的周长要多两条半径。当然，把圆转化成三角形或者梯形，也可以推导出圆的面积公式。 除了转化法，我们还可以利用割圆数来推导圆的面积公式。随着圆内接正多边形的边数增多，内接正多边形的面积就越接近圆的面积，每份小三角形的面积也就更接近于小扇形的面积。 那我们只要用小三角形的面积乘它的个数，就能得到圆的面积。假设小三角形的个数为 n， 则它底边的长为 n 分 之一，乘 c， 它的高就是圆的半径，则可以得到 圆的面积等于三角形的面积。乘个数等于 n 分 之一乘 c 乘 r 等于 c， 乘二除以二等于二。派二乘二除以二等于派二的平方， 这样也能推导出圆的面积公式。现在我们来看一道题，一个圆形蓄水池的周长是二十五点一二米，它的占地面积是多少平方米呢？ 根据圆的面积公式 s 等于 pi， r 的 平方可知，我们要先求出这个圆形蓄水池的半径。 r 等于 c 除以 pi 除以二等于二十五点一二除以三点一四除以二等于四米，则 s 等于 pi， r 的 平方等于三点一四乘四的平方等于五十点二四平方米。 所以这个圆形蓄水池的占地面积为五十点二四平方米。最后总结一下，圆所占平面的大小叫做圆的面积， 圆的面积大小与其半径、直径的长短有关，我们可以通过转化法或割圆数推导出圆的面积。公式， s 等于 pi， r 的 平方怎么样，你都学会了吗？

五年级下册数学必备公式全汇总！寒假每天十分钟开学轻松拿高分！各位五年级的家长们，寒假预习别再让孩子盲目刷题了！五年级下册数学知识点汇总，把全册的几何公式、单位换算因数、倍数、应用题模型全都整理成了一页页的重点清单。孩子不用再翻厚厚的课本，每天花十分钟就能把核心考点背的滚瓜烂熟。 开学后老师一讲，孩子马上就能跟上，做题又快又准，自信心直接拉满，寒假悄悄逆袭，新学期数学成绩一路飙升！

五年级下册数学迎来了最难的阶段，这些公式都得熟练掌握。推荐这本学霸速记，他把难懂的因数、倍数、质数和数、长方体和正方体的表面积，还有最大公因数、最小公倍数、分数加减法等重点知识详细总结。 这本书，把繁琐的知识点变得简单，孩子有不懂的随时拿来查阅。想在五年级不落后，一定提前给孩子背起来。

什么是物体的体积？物体占空间的大小叫做物体的体积。长方形的体积公式，长乘宽乘高。正方体的体积公式，棱长成棱长成棱长。长方形和正方体体积公式都可以用底面积乘高来表示。体积的单位都有哪些？立方米、立方厘米、立方分米等， 体积单位之间是怎样转换的？一平方米等于一千立方分米等于一百万立方厘米。下面我们复习一下长度单位和面积单位好，长度单位都有哪些？米、分米、厘米等，它们之间是怎样转换的？一米等于十分米等于一百厘米。面积单位都有哪些？ 平方米、平方分米、平方厘米等，它们之间是怎样转换的？一平方米等于一百平方分米等于一万平方厘米。长度相邻两个单位之间的距离是多少？十、面积相邻两个单位之间的距离是多少？一百。体积相邻两个单位之间的距离是多少？一千？

今天我们学习了半圆的周长计算公式，那就是派二加 d， 大家还记得我们是怎样进行推导的吗？现在让我们一起来回顾一下。 说到半圆的周长，我们先来想一想圆的周长该如何进行计算呢？非常棒，圆的周长等于派 d 或者是二派二，也就是无论知道这个圆的直径还是半径，我们都能够快速求出它的周长。 圆的周长我们解决了，半圆的周长到底该如何进行计算呢？很多同学都说，老师这个半圆的周长是不是一个完整的圆的周长的一半呢？那到底半圆的周长是不是完整圆周长的一半呢？我们带着这个疑问一起再来研究一下。 那首先啊，我们来看到这是一个直径为四的圆，它的周长我们可以直接利用公式派递直接进行计算出来，那么我们想要知道半圆的周长是否是圆周长的一半，我们可以把这个完整的圆的周长呀平均分成两份，我们试着来看一下。 那现在老师把这个完整的圆的周长平均分成了两份，一份是用黄色曲线来表示，一份是用红色曲线来表示，为了大家看的更直观，老师把它们移动下来分开。那大家来看一下黄色曲线，它代表的就是圆周长的一半， 红色曲线代表的也是圆周长的一半。那同学们，我们来看这个黄色曲线组成的是不是一个图形半圆呢？很多同学摇头了，对，它不是半圆，为什么呀？我们来看这个直径为 d 的 半圆 啊，很明显它的大小肯定就是这个完整圆的面积的一半，那我们来看这个半圆啊，它除了什么呀？圆周长的一半还有什么呀？ 还有一条直径，所以啊，我们得到了圆周长的一半，他并不是半圆这个图形，那圆周长的一半我们怎样进行计算呢？我们来看一下哈， 圆周长的一半，肯定是用完整的圆的周长，把它平均分成两份，也就是圆周长的计算公式是二派二，我们用二派二除以二，那把这个二我们是不是就可以消掉了？消掉以后我们剩下的就是派二， 所以啊，如果让你求圆周长的一半，我们可以直接用公式派二来进行计算。那半圆的周长我们该如何计算呢？刚才我们已经分析到了，这个半圆的周长，除了这个圆周长的一半，还有一条直径，把它围成了一个封闭图形。 所以啊，这个半圆的周长啊，它就等于什么呀？圆周长的一半，再加上直径。刚才我们通过计算，我们已经得到圆周长的一半等于派二，加上直径就是加上 d， 所以 我们就得到了半圆的周长，计算公式是派二加 d， 大家记清楚了吗？那借着半圆的周长，我们给大家留一个问题，下节课我们要学习圆的面积， 现在老师要问一下，半圆的面积是不是一个完整圆面积的一半呢？可以把你的答案写在评论区，记得给老师点亮小红心。

今天啊，我们学习了圆的面积计算公式，大家还记得我们是怎样进行推导的吗？下面就让我们一起来回顾一下。 首先呢，说到圆的面积啊，我们已经学过其他图形的面积，比如长方形的面积等于长乘宽，正方形的面积等于边长长边长。那我们在学习平行 四边形面积的时候，大家还记得我们是怎样推导的吗？把平行四边形转换成了我们学过的长方形来进行计算呢， 也就是沿着平行四边形过顶点的一条高，剪下一个直角三角形和一个直角梯形，通过平移拼成了长方形， 得到了我们长方形的长就是原来平行四边形的底，长方形的宽就是原来平行四边形的高。所以啊，我们得到了平行四边形面积的计算公式。那我们的圆形 它是一个曲线围成的封闭图形，我们如何进行剪拼呢？好，我们能够看到，现在啊，老师将这个圆啊平均分成了八个等份， 然后呢，老师通过拼一拼的方式拼成了一个类似于长方形的图形，那同学们一定要记清楚啊，这是类似于并不等于。 那如果老师平均分的个数越来越多的话，我们拼成的图形是不是就越接近于长方形呢？所以啊，老师可以把它再平均分成十六份， 三十二份，六十四份，一百二十八份，二百五十六份，甚至更多更多份。当我们平均分的分数越来越多的时候，我们拼成的图形它就越来越接近于一个长方形了， 同学们一定要注意，这是接近于那同学们，接下来我们看下面这组图形，我们将这个圆平均分成很多份以后，我们拼成的这个图形，它就比较接近于一个长方形了。那我们能够观察到底下这个长方形的长， 我们发现他是这个圆周长的什么呀？一半，上面的这个长也是圆周长的一半，而且我们还观察到长方形的这个宽呀，他正好就是我们这个圆的半径， 所以啊，通过这种方式，我们就得到了原来我们圆的面积，我们还可以这样求，首先啊，我们已经知道了，原来我们圆的面积等于什么呀？长乘宽， 那我们按照对应的方式，我们圆的面积 s 就 等于什么呀？二分之一 c 代表的就是这个长方形的长 乘二代表的就是这个长方形的宽。那接下来我们把这个公式进行化简，那就变成了二分之一乘 c 等于二乘二，然后再去乘我们的半径，然后呢我们进行化减，二分之一和二进行约分，没有了，只剩下了派二乘二， 那这个派二乘二，二乘二就是二的平方，所以我们就得到了圆的面积计算公式，等于派二的平方。那同学们，你们看明白我们的推导过程了吗？而且啊，只要我们知道了一个圆的半径， 我们就能求出它的面积，或者给你圆的直径，我们也能求出圆的面积，那同学们你学会了吗？大家记得点亮小红心哦！

今天我们利用滚圆法和绕乘法学会并理解了圆周长公式的推导过程，接下来让我们一起来回顾一下。 那首先在学习圆的周长公式之前呢，我们先了解了其他平面图形的周长应该怎样计算，比如长方形，正方形，我们都发现它们的周长和它们的边有关系， 比如长方形和长宽有关，正方形和边长有关，那同学们，我们圆的周长和谁有关呢？哎，是它的直径还是它的半径呢？ 接下来我们就通过滚圆法再来理解一次。首先我们取了一个直径为一厘米的圆，然后呢让他在一个刻度尺上进行滚动，我们能够发现这个刻度尺每相邻两个数字之间的距离啊，也是一厘米。 那接下来我们就在这个圆上的里边做一个标记，哦，是做了一个粉色的标记。接下来滚动这个圆 滚动一周之后呢，在这里停止了，那么我们就得到这一条长度就是我们这个圆的周长，那我们能够发现直径是一厘米，这里是三厘米多一些。 我们就发现了什么呀，这个圆的周长呀，比直径的三倍多一些。为了保证准确呢，我们又使用绕绳法也进行了测试，发现每个圆的周长都是比它的直径的三倍多一些。 其实在古代周率算精明，就有周三进一的说法，意思就是圆的周长是它直径的三倍。 经过长时间的研究呢，人们发现圆的周长和它的直径的比值是一个固定的数，而这个固定的数啊，我们就把它叫做圆周率。那圆周率呢？大家都听过，我们取的是 pi， 那 pi 呢？等于三点一四，一五九二六五七，后面还有很多很多的数， 那它是一个无限小数，那如果我们要使用它直接进行计算圆的周长太麻烦了。所以啊，为了计算方便，圆呢，就取了 pi 的 径值为三点一四。这样呢，我们就可以使用什么呀？直径去乘三点一四，得到我们圆的周长了。 同学们，如果我们说圆的周长是直径的太倍，那是完全正确的，如果说圆的周长是直径的三点一四倍，那就出错了，为什么呀？因为三点一四是我们取得一个近视值，大家一定要记清楚了。 那接下来我们就知道了，圆的周长比它的直径三倍多一些，也就是直径的圆周率倍，也就是直径的派倍啦。所以说啊，我们这个圆的周长 c， 我 们就得到它的公式就是派 d 啊，用我们的派 直接去乘我们的直径就能得到圆的周长了。那因为直径呢，等于两条半径的和，所以啊，我们又总结了另一个公式呢， 是二派二，所以啊，当我们知道半径或者知道直径时，都可以求出我们圆的周长了。那同学们，这就是我们今天学习的关于圆的周长的知识，你学会了吗？给老师点亮小红心吧！

五年级下册数学常考公式就这八页吃透，开学轻松逆袭！关于五下数学常考公式汇总，老师已经整理出来了。首先是常用的单位换算，单位混淆是常错点，掌握换算，避免粗心丢分。第二类是常用数据背熟，节省计算时间，提高答题速度。 接下来是运算定律和数量关系以及几何图形。几何题型占比高，一定要牢固掌握。因数和倍数是分数、约分、通分的基础，知透，确保计算。第七类是常见数学模型，属于解析套路的汇总，有完整章可印出来。

这个视频我们来预习一下长方体和正方体的体积，那怎样来计算长方体的体积呢？第一种方法，求长方体的体积，实际上就是看长方体有多少个体级单位，你看也就是把这个长方体平均分成若干个单位体积的小正方体，就可以知道长方体的体积了。 物体所含体积单位的数量就是物体的体积。那下面来做一个实验，用十二个体积为一立方厘米的小正方体，摆成不同的长方，并把不同的摆法我们把它出示在这里了，来分析一下。 首先这十二个小正方体横着摆成一排的话，我们可以发现它的长，这一个长就是十二厘米，它的宽也就是一厘米，它的高同样也是一厘米。 我们来看我这样摆过来，它有多少个小正方体呢？一共有十二个，有十二个小正方，说明就有十二个体积单位，那这个长方体的体积就是十二。再来看第二种摆法，把它摆成了两层， 这时这个长方体的长就变成了六厘米，它的宽同样还是一厘米，它的高就变成了两厘米了，还是用了十二个 小正方体，同样的那这个长方体的体积就是十二立方厘米。再来看第三种摆法，这时这个长方体的长就变成了四厘米，宽就变成了三厘米，高还是一厘米， 他同样用到了十二个小正方体，那这个长方体的体积也是十二立方厘米。同样再来看第四个，他摆成了两层三列两排的长方体，这时他的长是三厘米，宽是两厘米，高同样也是两厘米， 他同样用到了十二个小正方体，那这个长方体的体积也是十二立方厘米。那通过我们刚才这个分析可以发现，每行小正方体，也就是每一排这个小正方体的个数，其实他就相当于长方体的长。这一排是十二个， 长是十二厘米，这一排是六个，长是六厘米，这一排是四个，长是四厘米，这一排是三个，长是三厘米。那一共的行数也就是咱刚才说的排数。一排、两排，三排也就一行、两行，三行那行数。你看，这是一行长方形的宽是一厘米，这是一行 长方形的宽是一厘米，这是三行长方形的宽是三厘米，这是两行长方形的宽是两厘米，所以行数也就相当于长方体的宽。 那层数。你看，这是一层高是一厘米，这是两层高是两厘米，这是一层高是一厘米，这是两层，高，是两厘米，那层数也就相当于是长方体的高。十二乘一乘一，也就等于十二。 六乘一乘二等于十二。四乘三乘一等于十二，三乘二乘二也等于十二。长方体所含的小正方体的数量正好等于长乘宽乘高的积。 小正方体的个数就是每行的个数、乘行数、乘乘数。那一对照下来，每行的个数就相当于是长方的长行数相当于是长方的宽层数相当于长方的高，那长方体积也就等于长乘宽乘高。 那体积用字母大写字母 v 来表示。常用小写字母 a， 宽用小写字母 b， 高用小写字母 h， 那 用字母就可以表示为 v， 等于 abh。 再来看第二个知识点，求正方体的体积计算公式。 我们之前学了，正方体是长宽高都相等的长方体，长方体的体积等于长乘宽乘高。在正方体里面，长宽高都相等，都用楞长来表示，那正方体的体积也就等于楞长乘楞长乘楞长， 那体积用大写字母 v 来表示。棱长用小写字母 a 来表示， v 就 等于 a 乘 a， 再乘 a， 也就等于 a 的 立方， a 的 立方读作 a 的 立方，表示是三个 a 相乘。 长方体和正方体有一定的联系，可以用一个通用的公式来表示他们的体积。长方体和正方体，我不管是怎么去放的，都会有一个面是朝下的，你看他就有一个下面那个面，那这个面我们通常都把它叫做地面。 那长方体也好，正方体也好，它底面的这个面积就把它叫做底面积。它的底面积你看是不是长乘宽，是不是棱长乘棱长。接着再来找体积公式之前找了长方体积，公式是长乘宽乘高，那已知长乘宽，也就是底面积。 同样的正方体里，棱长乘棱长乘棱长，那已知正方体的底面积是棱长乘棱长，也就是棱长乘棱长，同样可以给它替换成是底面积。那剩下的这个棱长，我们把它看作是这个正方体的高， 我们可以把它们俩推导成一个通用的公式，也就是底面积乘高。底面积乘高，那长方体或正方体的体积也就等于底面积乘高。如果底面积用 s 大 写的 s 来表示的话，上面这个公式就可以写成 v 等于 s h。