实数和二次根式的思维导图怎么画

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好，咱们一起呢来学习一下二子跟式及其性质啊，这个呢是八年级下学期的第一张， 嗯，第一节呢介绍的是二子跟式的性质啊，那么一共呢有三个知识点啊，咱们看一下这个思维导图，那么主要有三个，一个呢是他的概念， 第二个呢是有意义的条件，第三个呢是他的性质。那么对于概念来说呢，咱们在初中阶段呢，经常遇到这样的定义啊，也就是一般的说，我们把形如，这个形如呢啊，就是形式上 像这个样子的啊，就叫做什么啊，比如说后面咱们还会介绍到一次函数啊等等，那么这个是都是用这种形式，那也就是用形如，那么这里边呢，咱们看到呢，他是把形如 根号 a 啊， a 大 于等于零，这个是一定要注意 a 的 范围，这样的式子呢叫二次根式。 那么对于二次根式来说呢，这里面强调呢是两点啊，是两点，一个呢就是根号 啊，这个根号上面呢是不能有其他数字的啊，比如说后面呢，咱们会看到，比如说三次根号啊，比如说五次根号啊，这样呢都不叫二次根式啊，因为咱这里面强调的是二次根式，所以第一个呢根号上面呢不能有数字， 第二个呢就是这个式子一定要有意义啊，二次根式怎么样才能有意义呢？就是被开方数呢，要大于等于零， 那么这里面数学上的有意义啊，对于根式二次根式来说呢，就是要满足 a 大 于等于零。那在这里面提醒大家呢，就是在数学上，目前这个数学上来说呢， 目前数学上啊，那么有两个方面啊，表示呢有意义的啊，第一个呢就是指根二次根式啊，这里边这个根号下的这个 a 呢，要 a 大 于等于零 啊。第二个呢就是咱们最常见的 a 分 之一啊，就是如果是字母或者是单项式啊，或者是多项式，那么当做分母的时候呢，分母都不能等于零。 那这个呢，在后面做题的时候呢，一定要注意啊，因为咱们现在学到了二次根式，那么很多同学呢，就侧重在 a 大 于等于零，那么在有一些判断里面呢，如果是分母的话啊，比如说二次根式放在分母上，他就不能够为零了啊，这一点呢一定要注意。 那么对于二次根式的性质呢，咱们一共呢有三条啊，三条，第一条呢是双重非复性， 那么所谓的双重非负性呢，就是指二次根式本身是大于等于零的，而且呢，对于二次根式来说呢，还咱们还要求呢，被开方数是非负的，那大于等于零，因此呢，咱们看到了啊，第一个非负数， 第二个呢非负，所以呢叫做双重非负性。嗯，第二个性质呢就是，嗯，先开方再平方，那因为既然是开方二次根式呢，咱们知道 a 是 等于零的 啊，既然他大于等于零啊，所以呢，咱们看到他平方以后，这个 a 呢，肯定是大于等于零的，那这个里面呢，在实际使用这个式子的时候呢，既有正用也有逆用，所谓的正用呢，就是进行化简，二次根式的化简 逆用呢，一般来说呢，就是因式分解啊啊，大家在做题的过程中呢，一定会遇到这样的题。 嗯，第三个性质呢，就是先平方再开放，那在这里面咱们要注意的是什么呢？就是刚才提到的双重非负性， 双重非负性 a 平方呢，肯定是满足了啊。嗯，开出来以后呢，这个 a 啊，这个 a 呢，咱们看到了，因为它有三种情况， a 大 于零， a 等于零和 a 小 于零。 那因此呢，咱们看到应该写成呢，绝对值 a， 也就是说当 a 大 于零的时候呢，开出来的这个就是 a， 如果 a 等于零呢，开出来的就是零啊，但是如果是 a 小 于零的话呢，开出来的是负 a 啊，那这个呢，主要是在化简求值的时候呢来使用， 那这个呢，是咱们呃这一张的这个脉络啊，那么一般来说呢，咱们在呃复习的时候呢，重点的一些知识点啊，咱们来看一下。那么第一个呢，就是 呃，一般的我们把形如啊，刚才咱们已经看到了啊，把形如根号 a， 但这里面要写上 a 大 于等于零 啊，这样的式子呢，叫二次根式啊，这个呢，咱们对于定义来说呢，是反复强调的啊，反复强调的， 那么二次根式中被开方数 a 呢，也可以是一个数啊，当然呢，也可以呢是字母或者式子啊，但是必须注意呢，整体一定要满足呢， a 大 于等于零， 在具体的问题里面呢，如果已经知道啊，他告诉你了啊，这个题告诉你，这是 a 一个二次根式，那么就意味着什么呢？意味着这里边这个 a 呢，一定是大于等于零的 啊，这个是隐含条件了啊，也就是说他告诉你这是一个二次根式了，既然他是一个二次根式，那么这里面呢，一定是大于等于零的，就是有意义。 第二个呢就是二次根式有意义需要满足的条件啊，刚才咱们讲了，第一呢，必须含有二次根号啊，当然二次根号呢，咱们一般在念的时候呢，就念成根号下 啊，根号下啊，就不粘这个二，在书写，包括咱们平时念的时候呢，这个二就不体现出来了。那么被开方数呢，必须是非负的啊，因为它大于零，大于等于零嘛，所以必须是非负数。 第三个呢是二次根式的性质。二次根式性质呢，刚才咱们已经看到了啊，它呢有这样三条啊，第一个呢是根号 a 啊，这个是大于等于零的， a 呢，也大于等于零啊，因此呢，咱们可以看到呢，这是双重非负性， 如果用文字语言来描述的话呢，一个非负数，一个非负数，它的算数平方根啊，它的算数平方根，那这个时候怎么样呢？也是非负的啊，所以这个地方呢，填的是算数 平方根啊。第二个性质呢，是先开方再平方啊，先开方呢，既然是里边有根号 a， 所以 a 呢是大于零的 啊，所以呢，咱们看到了一个呢，嗯，非负数的啊，这个地方因为 a 大 于等于零嘛，所以是非负数 的算数平方根，本身呢啊，平方算数平方根的平方是等于它本身。第三个性质呢，就是根号 a 的 平方等于 a， 就是 先平方再开放， 那这个时候呢， a 如果大于等于零的话，那么这个时候呢，就是等于 a 啊，所以呢，咱们看到呢，嗯，一个非负数的平方， 它的算数平方根呢，就等于它本身啊，就等于它本身， 那么这个性质三呢？咱们也可以给它写成什么呢？写成根号下 a 平方等于绝对值 a， 是 吧？等于绝对值 a， 那 这个呢就分成三种情况了， a 大 于零， a 等于零， a 小 于零。那刚才咱们在分析知识点的时候呢，已经看到了， 所以用文字来描述的话呢，一个数的平方的算数平方根，那就是这个数的。什么？就是这个数的绝对值 啊？这个呢就是关于知识点。

一点数学，秒懂数学，大家好，我是小老师。这个视频我们来看一下有关二次根式的相关概念以及性质。由于我们之前的视频都有点长，所以我把它调了一下，很多人反映说语速太快了，所以一些相关概念我就直接写出来了， 我们挑其中的重点去说一下，那么我们跟之前还是一样的，先来看一下二次根式的相关概念以及性质。那二次根式相关概念这一块， 最基础的概念就是我们二次根数的内容，二次根式的概念呢，就是形容这个的式子就叫做二次根式。我们这里的重点就是 a 必须是大于等于零的，比如说我们的根号 a 可以 是根号二，根号三，根号零点几，根号十分之几，根号几分之几都是可以的，但是根号负几就是错的。 然后这一块呢，我们还有一个最减二次根式，那最减二次根式呢，有两个条件，第一个条件就是被开方数不含分母，比如说我们的根号 a 分 之 b， 这是不是被开方数是 a 分 之 b， a 分 之 b 是 一个 分数，它里面含有分母了，所以它不是最减二次根式。然后第二个条件呢，就是被开方数中不含能开得进方的因式或者因数，那么它是什么意思呢？ 比如说我们的根号九，根号九是不是能开放？能开放那他就不是最减二次根式。还有呢，比如说我们的根号十二，那根号十二是一样的，他是等于根号下四乘 三的三开不出来，但是四是可以开出来的，所以我们这叫里面含有了能开放的一数，那么这个也不是最减二次根式， 接下来呢就是二次根式的性质了。二次根式的性质，它的最重要的一个性质就是我们的双重非复性。双重非复性是什么意思？二次根式本来就是根号 a 对 不对？它是不是有一个被开方数，还有一个它本身，它的被开方数和它本身都是大于等于零的，也就都是啊非复数，这个叫做双重非复性。说简单一点，其实就是我们二次根式是一个非复数， 二次根式里面的这个被开方数也是一个非负数，也就是我们这里的 a 大 于等于零，根号 a 也大于等于零，这是我们的双重非负型。考的最多的就是我们的被开方数 大于等于零，这块一定要注意一下。然后第二个呢，就是根号 a 的 平方，它是等于 a 的， 也就是说一个数先开方再平方，它又等于这个数的本身，然后再对比看我们下面这个第三个。第三个是一个数先平方再开放，然后再对比看我们下面这个是先平方再开放， 他呢有两种结果，一种结果是 a， 一 种结果是负 a， 他 这个就类似于我们 a 的 绝对值，因为这个 a 你 不确定他是正的还是负的，有可能是正，有可能是负，如果是正的话，他开出来就是 他本身，如果是负的的话，那么开出来就是相反数。如果对这一个比较熟悉，那么我们直接去记什么？直接去记根号 a 平方等于 a 的 绝对值就可以了。 第四个和第五个呢，就比较简单，一个是两个数积的开方等于两个数开方的积，一个是两个数商的开方等于两个数开方的商。这里要注意的时候， 大于等于零，大于等于等于等于这一部分是大于零的，为什么？因为我们的 b 做了分母了，分母不能为零，所以它只能大于零。 那么以上就是我们二次根式的相关概念以及性质了，接下来我们来看一下这个题。题说下列各式化成最简二次根式，正确的是 a 选项，根号十分之七等于根号零点七。首先根号零点七的这个形式，它是不是相当于里面还是有分母的？那么这个 a 选项我们应该怎么去画呢？来看一下 根号十分之七。首先我们根据这个式子能得出来根号十分之，根号 七八。现在的重点是不要把分母变成一个有理数，那现在是不是重点要把这个变成一个有理数，那这个要变成一个有理数，是不是只能给它乘一个相同的根号十，那就等于根号十乘以根号十。但是如果只给分母乘根号十的话，我们整个式子是不变了， 那就要给根号七也乘以一个根号十，这个是不是保证我们这个式子是不变的？仍然是根号十分之七，那也就根号七乘以根号十， 那根号十乘以根号十，是不是就是我们的十？根号七乘以根号十，这个是怎么算的？我们根据这个逆运算是不是就能得出来？因为根号 a b 等于根号 a 乘以根号 b， 所以 根号 a 乘以根号 b， 那 就等于根号 ab， 也就是根号七乘以十，那就是根号 七十。那到这里我们是不是只有一个被开方数，就是这个根号七十，而被开方数没有分母八，所以这个就是我们的最简二次根式。然后这里有一个重点，就是我们从这一步到这一步叫做分母有理化的过程， 也就是我们的根号 a 乘以根号 a 乘以根号 b 乘以根号 a， 这一步的目的就是让分母的根号 a 变成一个有理数，那就要给他乘一个相同的根号 a， 这样的话他就能变成 a， 但是又要保证这个数不变。我们要给分子分母同时乘以根号 a， 最终的结果就等于 a 分 之根号 a b， 这是我们分母有理化的过程。 那接下来我们再来看这个 b 选项，那 b 选项的算法是不是就一样了？根号下二十五分之二十四，是不是就等于根号二十五分之。根号二十四，那就等于五分之根号二十四。哎，算到这以后，会发现跟我们 b 选项的后面是一样的， 那这个错在哪里？这就是我们的第二个条件了。还有一个条件是我们的被开方数乘不能含有能开得进方的因数或者因式。 继续往后看，我们是不是就等于五分之二十四，是不是四乘六，也就是说他等于根号下四乘以六，四乘以六， 那根据这个公式，是不是得出来五分之根号四乘以根号六，根号四能能开出来，所以他应该等于五分之二倍的根号六， 这样的话，我们的被开方数就只有一个六吧，开不出来，也没有分母，这就是我们最终的最简二次根式，这才是对的，而我们这个呢，是错的，当然我们 a 选项也是错的， 接下来我们来看 c 选项， c 选项根号下零点一，这是不是跟我们刚才说的那个零点七是一个道理？我们要画成分数，那就是根号十分之一，那就等于根号十分之根号 一吧，跟我们上面的算法是一样的啊，那就等于根号十乘以根号十分之根号一乘以根号十，就等于十分之根号 十，十分之根号十和十分之根号十一样的，所以这个也是对的，那我们的 d 选项肯定也是错的，我们再来验证一下，看这个 d 选项到底是多少。 d 选项他根号下三分之二就等于根号三分之根号二，这是不是跟我们的 a 选项和 b 选项是一样的？也是被开方数里面有分母，那就等于根号三乘以根号三分之根号二乘以根号三，根号三乘以根号三是三吧，那就等于三分之 根号二乘三十，根号六等于三分之根号六，而这里写的是三倍的根号六，所以这个是错的，这个才是对的。所以我们这个题正确选项应该是 c 选项。 这个题考的知识点呢，主要就两部分，一部分就是我们的最简儿子根式，一部分就是我们儿子根式的性质。以上的就是我们这一块的内容，那这个视频呢，我们就讲到这了，拜拜。

好多人看到我听京讲课的时候，拿着一个思维导图在学问我这个思维导图是怎么做的，今天给大家详细演示一下。首先先打开某个教材，我用的是某 office 软件， 然后点击最上面的页面，根据每个章节的页码，比如说第一张，它是从第九页到第四十五页，这里要注意看一下，是下面的页码，不是教材本身的页码， 避免提取错了。然后我们选中任意一个页面，点击右键提取内容，再选择提取页面，输入我们要的页码范围，九到四十五页， 可以自行定义名称和保存的位置，不要选择这个。嗯，提取后删除，然后点击提取，我们就得到了第一张内容，打开这个文件看一下，就是这样的。 下一步打开 ai， 把刚才提取的文件整个发送给他，然后输入指令，基于发送的课件资料，生成该章节的思维导图，保留原书结构，不要删减。然后他很快就能给我们生成一张思维导图的图片， 点击下载，然后打印，打印的时候呢，建议大家放在纸张的左侧，右侧留出空白，这样可以听课的时候做一些笔记。

今天我们来讲一下下一个专题，数的开方与二次根式，那对于这个内容的话，你要知道他包括哪些内容？我们前面是讲过了，对不对 啊？首先你要知道什么叫做二次根式，对吧？形容什么样的叫做二次根式呢？需要理解的， 对吧？就说形如根号 a 这样的形式，他的这个备开方数呢？ a 大于或等于零， 是吗？他可以等于零吗？可以，对吧？就说 a 的话大于或等于零的形式啊，他就是属于二次根式，然后他的一些性质呢，也要掌握。那我们要注意的就是说首先学的呢，是他一个平方根算式，平方根还有立方根，要能够知道怎 怎么去得到他们，对吧？那第二个呢，是对于他的多少一个运算，你要知道啊，运算的话包括哪些呢？说白了不管是小学、初中还是高中，他的运算主要是包括哪些？ 是不是就加减乘除啊，对吧？这是不管是什么数都是涉及到了一个基本的运算，他的符号是不变的吧，也没发现除了加减乘除也没有其也没有其他的了吧， 对不对？嗯，这个呢是四个基本的运算的符号嘛，要能够搞懂了，对吧？那你说复杂一点，不会就对他们进行一个综合的运用喽？有家有简，有称有出，对不对 啊？那五里数当中的话，要能够知道怎么去估算他的值，我给你举个例子，就比如说根号五，他等于多少呢？你能够估算出来不？ 呃，他这样子估算的，就比如说根号五，你看一下他是不是最接近的根号四啊， 对吧？小孩刚好九吧？对，差不多二十多，就是说他的话应该是多少？他是二点二点多，对吧？ 二点多的时候，那这个无理数的，他的一个整数部分就二嘛，对不对？能懂吗？懂。 你其实这个题呢，他是可以这样去估算的啊，那如果说是他的小数部分呢？你要知道，一个数如果说是小里面五里数，是不是一定是包括整数部分小数部分的呀，对不对？ 对，你要知道啊，他呢是一个数的整数部分，这个会考的啊，整数部分加上 上小数部分会等于什么？他是不是就会等于这一整一个五里刷，对吧？ 能够理解吧？答案，这个小数呢，他是无限的啊，对吧？无限不循环的啊，要知道啊，因为无限不循环的小数简称无理顺吗？就比如说零点三四五六，什么什么，对不对？ 再往下走，那不就零整直播就是零吗？这个意思吗？好，这里也是一样，对吧？他应该是二加什么， 然后这个五里数呢？是公号五，对吧？你有没有发现我们将这个五里数就相当是和嘛，对吧？减去他的整数部分，不就可以把他的小数部分给表示出来了吗？能懂吗？对，他的小数部分就应该表示成多少， 是不是可以把它表示成是根号五减去二啊，对不对啊？他可以这样子写啊，有时候会出选择题，你要能够知道怎么去做，好吧。嗯，有没有疑问？ 对，卡住了吗？应该没有吧。好，然后呢？还有什么呢？还有一些呢？是什么呢？是他的一个 常见的，对吧？一些非负数的一些性质啊，这些都很简单。这个呢，比较简，比较简单，我们重点要掌握的最为最为重要的是二次根式的运算和五里数的一个估值， 这个呢是我们本节课的一个重中之重啊。那第二个呢，就是对于谁，就是对于这个什么上色 平方跟，平方跟和立方跟的一个求法，你要知道怎么求，对不对啊？这个意思啊，概念肯定要理解了嘛，要知道他的一个重心在哪里啊？好吧。嗯，好。那么我们呢， 接下来的话应该怎么办？接下来的话我们就要来做一下他的一些相关的一些提醒啊。你看一下， 先从他平方跟上述平方跟和立方跟来进行一个讲解啊 吧。嗯，做一个副食先啊。做一个副食啊，因为之前的话你学过，但是呢，可能并不熟悉，或者说是忘记了啊，那我们呢就可以对他进行一个回顾先，好吧。

话不多说，来到我们的二次根式的化简，为了使我们的讲解更加的形象， 所以，别所以了，快来讲吧。举个例子，根号零点五。首先呢，屏幕前的你是不是早就看零点五不顺眼了，对吧？你这不是废话吗？我一看到小数就害怕，那你告诉我零点五是多少？ 我又不是啥都不会，这还难不倒我，零点五肯定等于二分之一啊，那么它不就是根号二分之一吗？不是，我话还没有说完呢，你就抢答了，那你知道下一步该怎么做吗？啊，好像还真不知道，但我觉得这个二分之一还是很碍眼。 分数乘分数，会吧？那是自然，那剩下的就很简单了，我们从二次根式的意义下手，那它不就是 a 乘 a 等于二分之一吗？你看 我喔，所以 a 等于一， b 等于根号二，对吧？没错，你总算聪明一回了，不像屏幕前的同学早就会了，所以上下同时乘根号二，最后得二分之根号二。屏幕前的同学们应该比这只笨猴子聪明吧。

大家好，今天我们看一个双重二次根式的考题。在三角形 a、 b、 c 中，角 c 等于九十度， b， c 等于一， a， c 等于二加根三。求 a、 b 的 长。我们先画出这三角形， 它是一个直角三角形，角 c 等于九十度， b， c 等于一， a， c 等于二加根三。那我们要求 a、 b， a、 b 的 长，是不是根据勾股定律，所以我们先根据勾股定律。 ab 平方等于 bc 平方加 ac 平方，所以它就等于一加二加根三分的平方。继续求， 它就等于一加四加四倍的根三加三，结果等于八加四倍根三。我们算到这里， ab 的 平方算出来了，那我们 ab 怎么求呢？ ab 它是不是等于根号下八加四倍的根三？我们这个叫什么 倍开方数，底下还有一个根号，这叫双重二次根式。遇到双重二次根式，我们就有首先想到通过完全平方的方法 将它转换，这个底下的数怎么通过完全平方数进行转换呢？我们看完全方数的定义， m 加 n 的 平方等于 m 平方，加二 m， n 加 n 平方，那我们知道中间是一个二 m n， 那 我们中间就是一个四四倍的根三。二 m n， 那 m 平方加 n 平方，是不是就要使它等于八 m 乘以 n 要等于二倍的根三？因为二 m m 中间是二 m m 的 话，除个二就成二二倍根三了，这样的话它就等于个根十二。我们通过这种方式能不能找出来 m 和 n 是 多少？ 是不是可以看出来 m 就是 根六， n 是 根二，一个根六，一个根二，或者一个根二，一个根六，这样的话根根六的平方加根二平方等于八，它们俩乘是根十二。 好，这就是我们一般针对二次双重、二次根式的问题，通过完全平方的方式将它化解， 所以他就继续等于一个根六的平方加二倍的根六乘根二加根二的平方，中间就等于四倍的根三，没问题，我们继续往下算，所以他就等于一个根号下的根六加根二的平方。 话讲完之后，我们注意这里面一定是绝对值，因为我们开根号之后有平方数，我们不确定它是正正的还是负的，必须用绝对值。绝对值之后里面根二加根六大于零，所以它的结果就可以去掉绝对值号原式不变，等于根六加根二。

让我们通过思维导图来快速高效的过关八年级数学下册第十六章二字根式的整张知识。 首先我们用一张标注有二次根式的椭圆做本章的中心图。第一部分的知识是二次根式的定义形式，根号 a。 注意二次根号 条件 a 大于等于零，也就是被开方数是非负数。结果根号 a 大于等于零，也就是根号 a 是非复数，这就是二次根式的双重非复性。第二部分的知识是二次根式的性质，一、 根号 a 的平方等于 a， 条件 a 大于等于零。二、 根号 a 平方等于 a 的绝对值等于 a， 当 a 大于零时等于零，当 a 等于零时等于 a 的相反数，当 a 小于零时。 第三部分的知识是二次根式的乘除乘法，根号 a 乘根号 b 等于根号 ab， a 大于等于零， b 大于等于零。除法，根号 a 除以根号 b 等于根号 b 分之 a， a 大于等于零， b 大于零。第四部分的知识是二次根式的化解法则，根号 ab 等于根号 a， 乘根号 b， a 大于等于零， b 大于等于零。根号 b 分之 a 等于根号 a 除以根号 b， a 大于等于零， b 大于零。 也就是乘除法法则利用最简，而是根式 一、贝克方数不含分母。二、贝克方数不含能开得进方的因数或因式。第五部分的知识是二次根式的加减，先化减， 将所有二次根式化成最简二次根式，再合并，将贝卡方数相同的二次根式合并。 我们这就通过思维导图把二字根式这章的知识都归纳出来了，所有的知识点在图中条理清晰，一目了然，你掌握了吗？

大家好，我是黄老师，那我们呃继续做第十四题，下列多项式在实数范围内进行音式分解，所以这里考察的是八上的音式分解的内容。那我们首先复习下音式分解，音式分解的话，它的步骤，第一步是有公音式，一定要先提公音式， 第二步就是再看看剩下的多项式，如果有满足公式法的话，就再用公式法进行一式分解。公式法就两个，一个是平方差公式进行一式分解，一个是完全平方公式。 一般的话题目都会考的比较浅些，如果是两项的平方相减的话，那我们首首先考虑就是平方差，如果是三项的话，一般是考虑完全平方公式，其实相乘法也会考，但是相对会比较少一点。 那我们现在来看看第一题， x 三次方减五， x， 很 明显，我们首先第一步一定观察有没有共因式，有对不对都含有 x， 所以 x 提出来，第一项剩 x 平方，第二项剩， 所以减五。那这里一个我们还可以逆时针减，所以是 x 乘 x， 平方减五是两项，所以你首先考虑的是平方差。那 x 平方是谁的平方是 x 的 平方五呢？五是根号五的平方。这题很有意思，它是实数范围内，所以写成根号五。 呃，所以这题是 x 加根号五，乘 x 减根号五。第二题的话，二 x 平方减四，根号三， x 加六，那很明显 这个系数都含有二，是吧？所以我们第一步一定要记住提公式，把二提出来，所以第一项是 x 平方减二，根号三， x 加上， 那这三项，所以你首先考虑的是完全平方公式。那我们先看一下 x， 首先 a， 那 就是 x， 那 尾项根号三 三是谁？是根号三的平方，对吧？中间刚好，我们试一下是不是两边乘二乘 x， 乘根号三刚好是不是二根号三 x， 所以 确实是个完全平方公式，所以它就等于二乘 x， 中间是减，所以这边减根号三的平方，同学们你学会了吗？

八年级下学期的数学，咱们今天就把它给安开明白了！一看到下学期的数学，是不是感觉头都大了？放心，你不是一个人， 这学期内容可真不少，咱们就挑几个最容易踩的坑重点说一下好。第一个就是二次增式，这块看着简单，但特别容易出错， 记住一条铁律就行，根号底下绝对不能是负数。可一旦他跑到了分母上，你就要多想一步了，分母可不能是零啊！下一个大头函数，函数其实就是讲两个量之间的关系， 最基本的一次函数画出来就是一条直来直去的线，但你看公式里差一点点图像就跑偏了。细节，细节是魔鬼，还有个看着很简单的概率，但有个小细节，一不留神就错了。关键就一句话，你抽完东西到底放不放回去？ 就因为忘了这一步，总数没变，结果就全错了。那怎么破呢？好问题咱们都看到了，下面就是你的方案，你的学习工具箱。 就这三步，能让你从瞎做题变成真会做，彻底搞懂。想盖高楼地基得打牢，那些定义定律必须先弄的明明白白。然后是第二步错题本，你做错的题那可都是宝贝， 这么一套流程下来，同样的错误你绝对不会再犯第二次。最后一步就是把零散的知识点串起来，形成一张网，画个思维导图，知识结构一目了然，考试的时候脑子里就有谱了。 方法有了，接下来就是实战，怎么把这些方法变成实实在在的分数？去找点期末卷子刷一刷，专门练自己的薄弱韩姐，效果立竿见影。所以说，学数学到最后，我们到底学的是什么？它练的是你的脑子，是那种分析问题、解决问题的逻辑思维能力。 好了，作战计划给你了，现在就看你的了。

二次根式要想满足有意义，必须要满足这里的根号 a 要大于等于零，而且这里的 a 呢，也要大于等于零，对不对？不单纯是 被开方数时非负，而且结果也一定是非负。那我们看下这里第一小题，说根号二十四根是个整数，则满足条件的最小正整数 n 的 值是多少？ 我们都知道这里的根号一是一，对不对？这里的根号四呢等于二，这里的根号九呢等于三，那么根号十六等于 四，那什么意思呢？就是根号下 a 的 平方，它要等于 a 的 绝对值，对不对？那这是一个重点， 也就意味着平方跟开方是一个互逆运算。而且呢，告诉我们这里的满足条件的最小正整数正整数，说明这个里面是一个什么非负数 n 必须满足是大于等于一的，也就确切说是大于等于一的，因为最小的正整数是一嘛，对不对？ 所以要求二十四 n， 它是，它是一个整数，说明怎样？说明根号是可以去掉的，根号去掉里面就必须得是一个什么数啊？平方数。那我们不妨就对这里的二十四 n 怎样呢？进行也是进行拆分，对不对？ 我们这里的二十四呢，我发现等于四乘几啊，四乘以六，那么再乘以这里的 n， 而四是谁的平方？四是二的平方，那这个六要想开除他也得是个平方数，那 n 就 必须得等于几？ n 就 必须得等于六，六乘六吗？才能变成六的平方，那这时才能把它开出来。 所以我们就知道这里最小整数 n 的 值一定是六，对不对？只有当 n 等于六时，这里六乘六呢，变成六的平方，开除是六，那么四呢？开除十二二六以十二，对不对？或者说当 n 等于六，十二，十四乘以六等于一百四十四，刚好是十二的平方， 那也就意味着这里我们通过这个一个相关的运算，平方与开方是一个互逆运算，但是呢，如果出现这种情况，我们要考虑这个 a 的 符号问题对不对？因为 a 的 平方再开方，先平方再开方，这里 a 是 可正可负，因为负出的平方也是正数嘛。 那么如果是先开方，那再平方呢？这就等于 a 本身了，因为这里就约束了 a 一定是什么非负对不对？ a 不 可能是负值，那也意味着这两种情况我们一定要格外的去 稳妥的去把它拿捏好。要确定这里 a 的 一个正负的一个取值问题，你比如说这里 a 可以 等于负三，那么负三的平方再开放呢？结果等于什么？等于正三对不对？ 我们看下面这道讲题，说已知 y 等于这样的一个式子，那么求它的值，那不管求什么样的值，我们首先来看这里设到两个什么二次根式，两个二次根式被开方数呢？必须要满足，其实际也就意味着这里必须要满足 x 的 平方减四幺大于等于零对不对？ 这里 x 的 平方减四要大于等于零，还有这里的四减 x 的 平方呢，也要大于等于零。通过这个我们就很容易可以锁定 x 的 平方只有等于四十，只有这两个二次根式为零的时候，这道题才能满足意义对不对？所以我们就可以锁定了 x 的 平方等于四， 只有 x 的 平方等于四，既能满足第一个式子是非负，也能满足第二个二次根式的备胎方数也是啊，非负，而这两个二次根式此时都等于等于零， 那么他们两个都为零呢？所以这里 y 就 等于二零二二，那往这里代入就可以。 x 的 平方既然是四，那就是四，加上个二零二二，然后减去三，那就等于二零二三。这道题我们就做完了， 非常的简单，那么仍然满足二四根式的实际。我们看第三个小题，说已知 ab 呢，分别为等腰三角形的两条边长，且 ab 满足 b 等于这样的一个式子，则该三角形的周长。 那这里仍然是设到两个二次根式，必须要满足被开方数的是非负，所以这里要有 a 减二，要大于等于零， 这里有二减 a 呢，也要大于等于零。那你看，我们做这么多道了，我们心里应该很清楚啊， a 只有等于，什么时候才能满足题呢？ a 等于二的时候对不对？ a 等于二，那 a 等于二的时候，这两个二次根式都为零，所以 b 就 等于几啊？ b 就 等于四，对不对？ 那我们就得出这个三角形的两条边呢，一条边是二，一条边是四，问三角形的周长，而且告诉我们它是一个什么三角形，等腰三角形， 那我们就要分两种情况来讨论，一种情况就是二二四，就是拿二做幺，但是我们发现二加二呢，怎样等于四？它不大于四，所以它不能构成三角形，所以这种情况我们舍去。 另外一种情况就是二四四，那就是四座幺，那么二四四结果周长刚好是啊，十对不对？四为幺，二为底，那么一个短腰三角形，我们看下一个小题，说实数 ab 在 数上对应的位置如图所示，给出这里的根号下 a 加四，加上个根号加绝对值啊， b 减二等于 b 减二啊， b 为整数， 那他告诉我们这个式子，你看这个式子化减的结果，他就是个 b 减二，那 b 减二，说明这个绝对值的 b 减二，他就等于 b 减二，对不对？如果绝对值这个 b 减二，他等于 b 减二，说明这里的 b 怎样？他要大于等于二，对不对？ 那这里呢，要想能够满足这个化减等式要成立，说明这要前面的根号下 a 加四，就要一定等于几啊，等于零， 要否则这个 a 它舍不掉呢，没办法，等于 b 减二本身对不对？所以这里 a 加四等于零，那这里 a 就 要等于什么呢？ a 就 要等于负四，对不对？所以这里 a 求出来， a 是 负四，那我们来看， b 是 大于等于二的，而且告诉我们这里的 实数 ab 啊，而且 b 呢，还为整数，在这里呢，我们看它在根号六的左侧，那根号六呢，是小于三的，说明 b 呢，又是小于三的， b 是 小于三的，还得是个整数，而且还要大于等于二，那 b 就 只能怎样？ b 就 只能等于二，对不对？那 b 等于二， a 等于负四，负四加二等于负二，那 你看，这就是我们根据二次根式的实际以及绝对值的应用，还有个等式当中的我们这样的一个凑数法，对不对？那么左边有 b 减二的绝对值，右边有 b 减二，就一定是由它本身所化 而得。而我们前面的 a 要想消掉，根号下 a 加四就必须得是零，所以我们可以锁定 a 等于负四， 再根据数轴上 b 的 位置，它是既然小于这里的根号六，而根号六是二点多，它小于二点多，它的整数它就只能为二。所以把 b 由原来的一个范围，我们就锁定了一个具体的数值。

我们这次来看一下关于实数的第二部分，也就是二次根式的计算。那我们首先来了解一下二次根式的概念，什么叫做二次根式？那他给出的概念是这样的啊，他说形如根号 a， 这个 a 呢，大于等于零的这样的代数式就叫做二次根式。那你像是 根号五啊，或者是根号七啊，这样的式子都叫做是二次根式。那我们再看这个也跟前面的跟我们相关的啊，其实也是什么呀？就是 算数平方根吗？对不对？他其实，呃，跟我们的联前面的联系在一起的话，他好像就是一个算数平方根，对不对？那呃，另外的话呢，还有一个延伸的概念是什么呢？就是 n 次根式。什么叫 n 次根式呢？就是形容 n 次根号 a 这样的代数式，你就是开 三次方，对吧？三次根号 a， a 这个东西就是三次根式，那四次根号 a 就是 什么呀？四次根式，当然这个里边，如果这个 n 是 偶数的时候啊，就是偶次方根的时候， 开方数是要大于等于零的，这个我们在后期还会再详细的讲这块的话呢，我们就重点的去理解二次根式就可以了。那在二次根式里边， 我们首先来了解一下二次根式的性质。二次根式的性质第一个是什么呢？就是它的双重非复性。什么叫做双重非复性呢？就是这个根号 a 啊，就是在这个根号 a 这个式子里面，首先我们在前面说过了，被开方数 a 是 不一定是大于等于零的呀，对吧？其次 根号 a 它本质上表示的是什么呀？就是这个 a， 它的算数平方根对不对？表示的它其实是它的算数平方根，所以算数平方根都是非负的吧？都是大于等于零的，所以 a 被开方数大于等于零算出来的这个数呢？根号 a 这个本身也是大于等于零的， a 两个都是大于等于零，所以我们说是什么呢？双重非负性，这是它的第一个性质，这是它的第一个性质。 另外的话呢，我们还有两个性质啊，我们还有两个性质那，呃，其中一个是这样的，就是 根号下 a 乘以 b， 根号下 a 乘以 b， 可以 被拆成什么呀？可以被拆成根号 a 乘以 根号 b。 当然我们要求这个 a 必须得大于等于零， b 也是大于等于零的，他就是这样的一个意思，他是这样的一个意思啊。那我们举个具体的实例，比如说根号下十五对不对？这个十五是不是可以看成是三和五相乘得到的，对吧？所以这个根号十五就可以被拆成根号三乘以 根号五。哎，这个性质啊，这是它的第一个性质。那同样的我们也可以拆谁啊？比如说根号二十，根号二十，根号二十，这个二十是不是可以拆成四乘以五啊？对吧？所以这个根号二十也可以被拆成根号四乘以根号五，可以被拆成根号四乘以根号五。哎，这是这样的一个性质， 这是他的第二个性质啊，第二个性质。然后我们再来看他第三个性质，第三个性质是这样的，根号下 a 分 之 b， 也就说一个分数，对吧？开放一个分数，开放他可以写成什么呢？他可以写成根号 b， 比上根号 a， 他 可以被拆成根号 b 比上根号 a， 比如说什么呢？根号三分之一，对吧？根号三分之一，他就可以被拆成根号三分之一，他就可以被拆成根号三分之一。我们依然要求怎么样呢？这个 a 和 b 要大于零，你看 a 大 于零， b 是 大于等于零的。那说这块说为什么 a 不 能等于零了？上面这个式子还可以，对吧？那你要注意 a 为什么不得等于零？因为在这个式子里面，他跑到分母上了，对吧？分母是不可以等于零的啊。所以在这个式子里面， a 要大于零， a 他 可以被拆成这样。那再举个其他的例子，比如说根号下四分之三， 根号下四分之三，对吧？那这个式子 a 就 可以拆成什么呀？根号四分之，根号是四分之，根号三就是一个两个数相乘， a 怎么样呢？ 开放可以被拆成分别开放，两个数相处开放也可以拆成什么呀？分别相处再开放。这是关于二次根式的性质。那我们后边关于二次根式的很多运算啊，都是在这个性质基础上得到的都是在这个性质基础上得到的。那这个要理解，这个要理解。

书写关键词， 村指乡村。 重点，我们来说一下内容。首先这首诗描写的是农历二月， 诗中描写了哪些春天的景物呢？ 大家可以找到有草儿、黄鹂、 杨柳。 诗中又描写了哪些人物呢？ 对的，是儿童。 儿童做了哪些活动 好？我们来到最后一个分支， 掌手师表达了诗人怎样的情感？

同学们好，今天咱们来聊聊实数与二次根式。先说说正数 n 次方根的特点。正数的偶次方根其实有两个，他们互为相反数，正数的基次方根只有一个正数，负数的基次方根是负数零的任何次方根都是零。 接下来咱们说说二次根式的性质，最基础的就是根号 a 的 平方等于 a 的 绝对值，当 ab 都大于等于零时， 根号下 a 乘以 b 等于根号 a 乘以根号 b。 再说说二次根式的有理化，把分母中的根号化去，就叫分母有理化。那怎么找有理化因式呢？如果两个含二次根式的带式就相乘，结果不含根号， 他们就互为有理化。音式。像根号 a 和根号 a 化解二次根式时，咱们以前学的整式、分式、变形技巧都能用得上，如音式分解用平方、差公式等各种公式，有时候还需要拆，像换元、配方等，就能根据 x 的 范围去掉根号了。 同学们学习完二次根式的经典例题后，要完成后面的同步训练进行巩固。把你的疑问发在评论区，咱们一起讨论啊！

下面我们看一下，就是实数的比较大小的方法，其实这个我们在实数章节已经讲过啊，但是他有有的时候往往会跟二次根式一起考，所以我们把这个知识复习一下，就是实数比较大小的方法。 第一个叫平方法，很好理解吧，就是如果两个数要比两个很有根号的数要比较大小，我们怎么比较呢啊？这边有个概念，如果一个数的平方越大，则这个数的绝对值就会越大。 如果一个数的平方越大， 则这个数的绝对值越大，数的绝对值越大。 好，我们来随机出几个例题啊，给大家感受一下。什么意思？什么叫平方？比如说，例如如果让我们比较二根号三和三根二谁大怎么办啊？首先我们对它进行平方，二根号三的平方等于多少？ 二根号三的平方等于十二，而三根号的平方等于什么？等于十八，那所以这个数的平方越大，那这个数绝对值越大，那是很明显，这个地方填什么符号， 你填小于号，对吧？有人问老师，那万一一个正数一个负数呢？那一个正数一个负数都不用，不用平方了，那正数肯定大呀，对不对？只是说他们同号的时候，我才需要用这个方法，对不对？就是万一同负或者同正的时候，我们要一定要看清楚啊，就比如说再来一个就是负的， 比如说再来一个假如负的二根号三和负的三根二进行比较呢？那很明显，因为我们知道他的 呃，平方越大，则他的绝对值越大啊，你看绝对，对于两个负数而言，绝对值越大的这个数反而小，能不能看明白？所以这个地方就是填，填什么符号就是大于号了，看得懂吗？千万不要问我为万一，一个正一个负怎么办？那一个正一个负你压根不用平方，正的一定大，闭着眼睛写就行了啊。 好，那么第二种方法就是我们说的第一种方法，这个方法其实之前全都讲过啊。第二种方法叫估算法。那么估算法这个方法呢？用的，嗯，其实也挺多的，但是 他必须要你知道有些常见的数值，比如说根号二，你要知道他是约等于一点四一四的，对不对？比如说根号三，你要知道他约等于多少，一点七三二的，比如说根号五，当然有同学记得更多，是不是你至少你要记住常见的根号二三五吗？是吧？二点二三六， 什么根？你要知道这个根号二，根号三，根号五二三五的，这个，呃，大概的约等于值，你才能够好做，是这意思吧？但是这个如果你不记得，那这个估算法你就尽量不要去用就行了， 尽量用别的方法代替，因为平方法基本上可以用百分之八十以上的这些题目啊。好，你比如说根号五减一和根号二加一比较大小啊，太明显了，根号五是二点二三六减一就是一点二三六，一点二三六，那根号二是一点四一四，再加一是二点四一四，那很明显是后面的大呀， 这个简单不啊？就估算法啊，你了解一下就可以，估算法如果说实在记不住就不要去用就可以了。第三种方法叫倒数法，那么首所谓这个倒数法吧，其实我们一会杨老师给大家取一个别的名字啊，比如说我们也来举个例子，例题，嗯， 如果让我们比较二分之根号这个来一个 根号二零二五，减去根号二零二四和根号二零二六， 减去根号二零二五，哎，这两个谁大谁小，有人可能就蒙了，对不对？其实这个题目他用的方法就是我们所谓的倒数法，但是我们今天呢，给大家强调的并不用倒，不用倒数法来做啊，我们换一个名字，那么在讲这个倒数法之前呢？讲这道题之前，我们再说一下另外一种方法，叫分母有理画法， 呃，分母有理化， 分母有理化法，如果你理解了这个方法，你再回头看这上面这个方法，你就可以去理解了啊。比如说我们也举个例子，比如说二减根号三分之一和 根号三减根号二分之一，这个谁大谁小，怎么去处理呢？啊？那对于这个式子，首先它分母是不是都有这个东西？所以我们上来把分母进行油理化哦，分子分母同时乘以根号二加根号三吧，二加根号三是吧？ 上面也是二加根号三，所以化简一下，我们立刻就能够得到，这是个什么东西啊？分母就变成一分子，就是二加根号三，而这个式子呢，分子分母同时乘以二，根号三减去根号二，分子分母同时乘以根号三加上根号二吧， 这也是根号三加上根号二，那此时分母变成一分子，变成了根号三加根号二。那现在这题目问你， 二加根号三和根号三加根号二，谁大谁小？很明显是这个大吗？所以这是个大于号。能不能看明白这意思？当我们理解了这道题的呃，解析的底层逻辑，那上面这道题的解析逻辑呢？其实我们给他取个新的名字，就叫分子有理化。分子有理化，其实大家也很好理解， 什么叫分子有理化呢？你可以把它看成这个数字是分，分母为一，那分母为一好理解吧？ 能不能看懂？如果这个分母为一的话，那前面这个式子我是不是就可以看成了？嗯，来我们可以看成什么？是不是分子就分子分母同时乘以根号二零二五，加上根号二零二四啊？ 二零二五减去根号二零二四，对吧？我分子分同时乘以这个，这个和行不行？根号二零二五加上根号二零二四，能看懂吗？那此时此刻你看分子就变成几 哦，二零二五减二零二四，不就变成一吗？那分母就变成这个东西，所以这十字是什么东西呢？我写在旁边，他是不是变成根号二零二五加根号二零二四分之一一写在这边。 那后面这个式子我是不是也是分子分母给它同时乘以什么？乘以根号二零二六加上根号二零二五啊？上面就变成根号二零二六加上根号二零二五。 根号二零二六减去根号二零二五。造操，这个后面一个是造操，那么分母是不是就是根号 二零二六加上根号二零二五啊？所以此时这个式子分子是不是立刻变成了一啊？而分母变成什么，看清楚是不是根号二零二六加上根号二零二五。那么通过比较我们看一下 这两个分数分子一样，那分母谁大谁小，很明显后面这个分母大，分母大的他反而小，看得懂吗？分母大的他反而小，所以最后的答案是一个大于号， 能看懂吗？所以当你看到这样的一个式子要比较大小的时候是叉的，你不会比较的，是叉不会比较，一定要把它变成和，变成和，我们大家都会比较，是不是？那怎样才能把这个叉变成和呢？这个其实就是我们对于分母油理化的一个深层次理解了啊，你分母可以油理化，那分子我也可以理解一个油理化吧， 好理解这个意思吧啊？当然你如果用倒数法也可以，只不过倒数法你要倒来倒去的倒两次，你先求出他倒数，再把他倒过来。哎，他的倒数谁大谁小，是不是跟这个道理一样的，他的倒数就是他吗？是不是啊？因为其实你有没有发现这个东西和这个东西他其实本质是互为倒数的吗？好理解吧？好， 当然我们这个地方也可以通过观察我们发现他其实还有个小小的规律。什么规律呢？那我写在哪里呢？我把这个往下拉，一拉一点啊，来一个小小的规律，有点空荡。嗯，这么大位置再来一点， 差不多。这么大位置差不多够了，不够我再挪。好，那我们看一下，比如说通过观察，我们还有根号一，就等于一吧，这些我们能记住的啊，你看能记几个就几个，一点四，一四对不对？根号三你也记住，是不是？ 一点七、三二，根号五你也记住了，其实刚才这些数字你最好能记住啊，根号五是二点二三六，还记得吧？根号六是多少呢？ 哎，根号六其实够了，不用写了，那我们通过这个比较。哦，还差一个根号四啊，漏了一个根号四一二三四吗？连续的，你不能说这有点不连续了，根号四它就等于二了，对吧？根号五 二点二三六。他通过观察我们发现，咦，这个东西到这个东西是什么？ 相差零点四一四吧。那这个和到这边相差多少？零点三幺八。继续这个到这个相差多少？零点二六八。来，再看这个到这个相差多少？ 零点二三六。同学们，你发现一个规律没有？他的规律是什么？就越往后他是越密集的，能看懂吗？我把这规律写下来，越往后就是越大越密集 月。哦，密集这个规律你如果发现更好啊， 如果你发现这规律，其实有很多题目，你可以一眼就能看出来了，你不需要用。还有什么倒数法呀，分不清法呀，这都没必要了，对吧？ 哎，都可以。好，第五种方法。第五种方法其实大家都很熟悉啊，就是我们常见的做插法比较大小。不是最常见的就是做插法吗？哎，这个第五种方法我写下来叫做插法， 那比如说，哎，这个做乘法的基本原理是 a 减 b 大 于零，则 a 大 于 b。 这个我们大家都知道，小学就学过啊。好，那我们比如说，我们也举个例子，来一道例题， 比如说二分之根号七减一和一的大小比较啊，那你问看一下它大于还是小于？所以如果我用错差法的话，我怎么办啊？直接做差呗，我只要用二分之根号七减一，再减去一啊，通分一下就是二分之根号七减一，减去二分之二， 二分之二二，所以就能得到是二分之根号七减三。哦，根号七跟三，谁大谁小，很明显根号七肯定比三小。就是根号七是二点几吗？ 三是根号九，对不对？所以很明显这个东西小于零，这个东西小于零，那就由此可见，原来这个式子就得小于一，简单吗？这就是我们常见的一个做插法。

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