长方体圆柱三棱柱圆锥的展开图怎么画

沿着圆柱侧面的高剪开，圆柱的展开图包括上下两个，底面是圆与一个侧面，长方形， 沿着侧面的斜线段剪开，侧面展开图是一个平行四边形，沿着侧面的折线剪开。侧面展开图是一个多边形动画演示，简单明了。

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第三单元第二个章节圆锥的第一课是圆锥的认识，来看一下老师给大家带来的这幅图，认识吗？认真观察上面这些物体的形状，它们有什么共同点呢？ 都有一个圆圆的底面，还有一个尖尖的顶点，像这些物体的形状都是圆锥体， 简称圆锥。那生活中你还见过哪些圆锥形的物体呢？请打在评论区。 今天呢，王老师也给大家带来了一些生活中的圆锥，来看孩子们是不是经常见到这些圆锥，它有什么特点？今天我们对圆锥进一步的认识 好了，孩子们拿出你课前准备的圆锥形物体看一看，摸一摸，它有哪些特征呢？首先它有一个尖尖的点，这个尖尖的点呢叫顶点，它还有一个底面，并且这个底面是个圆形， 所以圆锥的底面是一个圆圆锥的，它的侧面是一个曲面。如果我们沿着圆锥的顶点和底边上的任意点沿直线剪开，我们发现它的侧边展开以后是一个扇形， 所以它的侧面是一个曲面，展开以后是个扇形，就会发现圆锥是由两部分组成，一个底面是圆形，一个侧面是曲面，两部分围成的立体图形。大家继续回忆一下圆柱体，它有高， 并且它有无数条圆锥，它有高吗？什么叫圆锥的高呢？来一起看。 从圆锥的顶点到底面圆心的距离就是圆锥的高，用 h 表示，那圆锥只有一个顶点，所以你们猜圆锥它有多少条高呢？对，圆锥只有一条高，那圆锥的高 摸不着，看不见，又该怎么测量它的高呢？孩子们，你有方法吗？书中告诉我们了， 测量时，圆锥的底面要放水平，需要一幅三角尺。首先要放 如图所示，各放一把三角尺，并使右方的三角尺的零刻度与平板的上边缘对齐。 第二量，圆锥顶点紧挨着直角边，与平板之间的距离就是圆锥的高， 从零刻度到七点五之间，那么所以这个圆锥的高就是七点五厘米。这里需要注意的是，三角尺的零刻度一定要和平板的上边缘对齐，并且这两个三角尺要紧紧地挨在一起。 在学习圆柱的时候，我们知道把木棒粘在长方形的一条边上，然后快速旋转，我们得到一个圆柱。那么圆锥能不能通过平面图形旋转能得到呢？来，请你动手做一做，如下图所示，把一张直角三角形的硬纸 贴在木棒上，快速转动木棒，看看转出来是什么形状。王老师也做了一个这样的三角形木棒，粘在了比较长的这个直角边上 快速旋转，我们会发现形成的是一个圆锥。一起来看，我们发现转起来像一个圆锥。如果我把木棒粘在比较长的这条直角边上， 那形成的这个圆锥都是高高的，那么这条直角边就是圆锥的底面半径，所以就得到一个高高的瘦瘦的圆锥。 如果王老师把木棒粘在直角三角形这条短的直角边上，快速旋转，仍然得到一个圆锥，那也就是以长直角边为轴，它就是圆锥的高。短的直角边就是圆锥的底面半径。 如果以短边为轴，那么它就是形成圆锥的高长的直角边就是形成圆锥的底面半径。孩子们，你也动手做一下实验吧！我们不仅认识了圆锥的表面特征，还要对它进一步的认识来。孩子们， 如图所示，将下面的圆锥切成两部分，切开后的结面分别是什么形状？连一连，请你先想一想，然后动手操作验证一下。王老师给大家带来一根胡萝卜， 如果我从下面切开，它的结面是一个圆形，越往上，我们发现它的结面的圆会越来越小，所以第一幅图 它的结面是一个小圆，如果往下结，它的横结面得到的是一个大圆，所以第一幅图它的结面连小圆，第三幅图它的结面连大圆。那第二幅图是沿着圆锥的顶点切下去，平均分成两份。 我们发现它的横截面是一个等腰三角形，并且它的表面积增加了两个这样的等腰三角形，所以第二幅图的横截面是等腰三角形。孩子们，下课以后，你也像这样动手操作验证一下。 我们认识了圆柱，认识了圆锥，来比较一下圆柱和圆锥它们有什么相同点和不同点。首先来看它们的相同点，圆柱和圆锥的底面都是圆形，侧面都是曲面。它们的不同点呢？圆柱有两个底面，圆锥有一个底面， 圆锥的侧面展开是一个扇形。圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。 这些概念的理解可以帮你进一步认识圆柱和圆锥。好了，孩子们来回忆一下今天这节课的学习，你有了什么收获呢？ 我们认识了圆锥的特征，并且知道了圆柱和圆锥的相同点和不同点，还知道了面动成体。如果这节课你觉得自己有收获，给自己点个赞吧！

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第三单元圆柱与圆锥的第二课时，圆柱的侧面展开图。上一节课我们认识了圆柱，它是由三个面组成的，上下两个底面，还有一个侧面是一个曲面。 大家思考一下，圆珠的侧面，如果我们给它展开，可能会是什么形状呢？你也可以动手试一试。现在我们把罐头盒的商标纸如下图所示，沿高剪开再展开， 这时候你会发现圆珠的侧面展开后得到一个长方形。那么大家继续思考，我们把圆珠的侧面展开后得到长方形吗？ 来看这道题，下面是同一个圆柱的展开图，说一说每个图是怎样展开的。比如第一幅图，它的侧面展开是一个长方形，那我们是怎么样给它展开的呢？对，是沿着侧面上的一条高展开的。 第二幅图是怎么展开的呢？我们是沿着侧面上的一条曲线展开的，所以它得到了一个不规则图形。 第三幅图我们是怎么做的？沿着侧面上的一条斜线展开，这样它的侧面就得到一个平行四边形。那如果现在让你判断一道题，圆柱的侧面展开图一定是长方形， 那很明显这道题是错误的，有可能得到长方形。还有不规则图形或者是平行四边形，只有沿着侧面上的高剪开才能得到长方形。 比如我手中的这个圆柱，如果沿着它的高剪开，展开以后还可能是正方形。但不管是不规则图形还是平行四边形，我们都可以通过割补法，然后通过平移把它转化成一个长方形。 比如平行四边形，把它割补，然后平移，也可以把它转化成一个长方形，包括这个正方形，它也是一个特殊的长方形。 那好，那我们就以长方形为例，来研究一下展开的长方形的长宽与圆柱有什么关系？把这个长方形重新包在圆柱上，你能发现什么呢？ 不管是把这个长方形围在这个圆柱上，还是让圆沿着长方形的长滚动一周，都会发现这个长方形的长就相当于圆柱的底面周长，那么长方形的宽就是 圆柱的高。这个长方形与圆柱之间的关系特别重要。来，孩子们你也跟着读一遍。长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于 圆柱的高。再根据长方形的面积等于长乘宽，所以我们得到圆柱的侧面积就等于圆柱的底面周长乘高。那如果用字母表示 s 测就等于 c h， 那 么 c 又等于二 pi r， 所以 还等于二 pi r h。 看来呀，要求圆柱的侧面积，我们只需要知道圆柱的底面半径，或者底面直径，或者底面周长和高，都可以求出它的侧面积。 那来看这道题，一个圆柱形茶叶桶的侧面贴着商标纸，圆柱的底面半径是五厘米，这张商标纸展开后是一个长方形， 它的长和宽各是多少厘米？那我们看长方形的长就相当于圆柱的底面周长。这里告诉了半径，能不能求出周长呢？ 半径乘二等于直径，直径乘派等于周长，也就是长方形的长。那么长方形的宽就等于圆柱的高，所以它的宽就是二十厘米。答，它的长是三十一点四厘米，宽是二十厘米。来，孩子们总结一下，通过这节课的学习，你有什么收获呢？ 通过刚才的动手操作，我们发现圆柱的侧面沿高展开，得到一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长， 长方形的宽等于圆柱的高。根据长方形的面积等于长乘宽，我们推导出了圆柱的侧面积等于圆柱的底面周长乘高。那如果用字母表示 s 测等于 c h， 还等于二 pi r h。 圆柱的侧面积公式推导非常的重要，这里学好了，后面学习圆柱的表面积，那就轻松太多了，孩子们，你也试着把圆柱的侧面积的公式推导过程说一遍吧！

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第三单元，圆柱与圆锥的第一课是圆柱的认识。来看老师给大家带来了什么？仔细观察这些物品， 你发现上面这些物体的形状有什么共同点？我们把这些图形抽象出它们的几何图形， 像上面这些物体的形状都是圆柱体，简称圆柱。孩子们，在生活中你还见过哪些圆柱形的物体呢？比如这个盒子是圆柱，这个水杯也是圆柱，我的这个遥控器也是圆柱。 看来呀，圆柱在生活中随处可见，那么圆柱它有什么特点呢？接下来我们一起研究。例一， 观察一个圆柱形的物体，看一看它是由哪几部分组成的，有什么特征。孩子们，拿出你手中的圆柱，摸一摸，看一看吧。通过观察，我们发现，圆柱是由三个面围成的， 像这样上下两个面叫做圆柱的底面，周围的这个面叫做圆柱的侧面。拿出你的圆柱，摸一摸底面、底面、侧面。我们还发现圆柱的底面都是圆， 并且大小一样，它的侧面是一个曲面。知道了圆柱的这些特征，那你能判断哪些物体是圆柱吗？一起来看这道题， 下面哪些图形是圆柱？在括号里画对号来看，第一个图形，它是上下两个底面，一个曲面，所以它是圆柱。第二个呢，不是，因为它的上底面不是圆，是个椭圆。第三个图形 倾斜放，但它仍然符合圆柱的特征，所以它仍然是圆柱。第四个图形，两个底面都是圆，但大小不同，所以它不是圆柱。 最后一个图形，就相当于把我手里的遥控器立起来放，它仍然是圆柱。接着看这样的两个圆柱，它们有什么区别呢？我们发现它们的底面相等，一个圆柱高，一个圆柱低。圆柱的高低与什么有关系呢？ 对，与圆柱的高有关系。那什么是圆柱的高呢？连接两个底面的圆心这条线段就叫圆柱的高。你们认为圆柱有几条高呢？ 对，不仅仅是连接圆心的这条线段较高，上下底面的任何一条垂直线段 都叫圆柱的高。所以我们发现圆柱两个底面之间的距离叫做高，圆柱两个底面之间的距离就是两个底面之间的垂直线段的长度就叫做高。那么任何一点到底面的垂直线段都 都叫圆柱的高。所以圆柱有无数条高长度，并且都相等。圆柱它是立体图形，那它和我们的平面图形之间有没有关系呢？来看这个动手操作。 如果把一张长方形的硬纸贴在木棒上，快速转动木棒，看看转出来的是什么形状。孩子们，你也动手做一做吧。那王老师就把这个长方形粘在了木棒上，我如果给他快速旋转起来，你发现能看到什么图形？ 对，我们把这个长方形快速转动起来，转起来就像一个圆柱。如果我把木棒粘在长方形的这条边上，快速转动起来，是不是也像一个圆柱呢？ 这样通过一个平面转动起来，我们就得到一个立体图形，这叫面动成体。我们以前学过，把一个正方形向上平移，就得到一个正方体。那么圆柱能不能通过一个平面图形平移得到呢？ 一个硬币可以看作一个圆形，如果我把更多的硬币落起来，就相当于一个圆，通过平移也可以得到一个圆柱，这都可以称为面动成体。 来，孩子们总结一下，通过这节课的学习，你有了什么收获呢？首先我们知道了圆柱的特征，上下底面是两个大小相等的圆， 侧面是一个曲面。我们还知道了圆柱的高，圆柱的两个底面之间的距离叫做高，他有无数条高，长度 都相等。另外，我们还知道面动成体，以长方形的一条边为轴，快速旋转，就看到一个圆柱。那接下来教材十七页做与做中的两道题一定难不住你。

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第三单元圆柱圆锥的第三课时，圆柱的表面积。首先大家思考一下什么叫表面积？ 物体表面的总面积叫做它的表面积。比如我们以前学习的长方体、正方体，他们都有六个面，那六个面的总面积就叫做他们的表面积。 那圆柱的表面积指的是什么呢？它包括上下两个底面和一个侧面。前面的学习中我们已经知道了，圆柱的长开头包括两个底面，一个侧面，所以圆柱的表面积等于圆柱的侧面积加两个底面的面积。 接着看他的两个底面是大小相等的。圆圆的面积我们以前学了呀， s 等于 pi r 的 平方，圆柱的侧面积又该怎么求呢？把圆柱的侧面沿高剪开展开以后得到一个 长方形，那么圆柱的侧面积其实就是长方形的面积。通过观察我们发现，长方形的长等于圆柱的底面周长， 长方形的宽就是圆柱的高。因为长方形的面积等于长乘宽，所以我们推导出了圆柱的侧面积等于圆柱的底面周长乘高。如果用字母来表示，那就是 s 侧等于 c h 还等于二 pi r h。 看来呀，圆柱的侧面积会求了，圆柱的底面积会求了，那圆柱的表面积是不是就简单了？来看这道题。一个圆柱形罐头的侧面贴着商标纸，圆柱底面半径是五厘米，高是十厘米，这张商标纸的面积是多少？ 要求这个商标纸的面积其实就是求圆柱的侧面积。圆柱的侧面积怎么求呢？ s 侧等于底面周长乘高还等于二 pi r h， 那 这里告诉了底面的半径，你能不能求出它的侧面积呢？ 半径乘二是直径，直径乘派等于底面周长，底面周长乘高等于圆柱的侧面积，那就是这个商标指的面积。答，这个商标指的面积是三百一十四平方厘米， 那圆柱的表面积都包括两个底面和一个侧面吗？那可不一定，我们要根据实际情况具体分析，一起来看。例四，一顶厨师帽近似圆柱形， 高是三十厘米，帽顶直径二十厘米。做这样一顶帽子大约要用多少平方厘米的面料？得数保留整时数，求大约用多少面料，其实就是求什么呢？对这个帽子的表面积，那我们再来思考一下这个帽子的表面积，它包括几个面， 一个是圆柱的侧面积，还有一个是圆柱的底面积。因为下面要戴在头上，所以他只有一个底面， 那我们就得到圆柱的表面积就等于侧面积加一个底面的面积。题中告诉了底面直径，所以圆柱的侧面积直径乘 pi 等于底面周长， 底面周长乘高，得到帽子的侧面积一千八百八十四平方厘米。帽顶的面积也就是底面积等于 pi r 的 平方直径除以二是半径 pi r 的 平方，求出底面积三百一十四平方厘米，那么需要的面料就是侧面积加帽顶的面积。 注意，这里实际使用的面料要比计算的结果多一些，所以我们这类问题往往要用 进一法来取它的进四数，所以等于二千一百九十八平方厘米。注意，进一法约等于二千二百平方厘米。答，做这样一顶帽子大约要用二千二百平方厘米的面料。那大家继续思考，如果让你计算烟囱、水管、通风管的表面积， 就是求他的什么的面积。对，这些的表面积其实只包括一个侧面积，所以只计算他们的侧面积。大家继续思考，怎样计算笔筒、玻璃杯、无盖水桶、水池、 帽子的表面积呢？像这些，他们都包括一个底面的面积加上一个侧面积，所以只计算侧面积加一个底面的面积。 怎样计算茶叶桶、油桶的表面积呢？茶叶桶、油桶我们是要盖盖的，所以呢，它的表面积就包括侧面积和两个底面的面积。 看来呀，我们在计算不同物体的表面积的时候，一定要根据实际情况灵活计算。好了，孩子们通过这节课的学习，你有什么收获呢？ 首先我们知道了圆柱的表面积，包括圆柱的侧面积和圆柱的两个底面的面积，所以圆柱的表面积 s 表等于 s 侧加两个 s 底 侧面积。怎么求呢？ s 侧等于底面周长成高，所以 s 侧等于 c h。 圆柱的底面积就是我们以前学习的圆的面积， s 底等于 pi r 的 平方。我们在解决圆柱表面积的实际问题的时候，并不一定都是包括两个底面积，一个侧面积，有的是侧面积加一个底面积， 有的是只计算侧面积，还有的是侧面积加两个底面的面积，所以我们一定要做到灵活应用于不同的情境，做到灵活选择。

六、下数学最难的圆柱与圆锥，就这五大题型练完，开学稳进前三。可打印圆柱与圆锥。一、圆柱组成表面积形成切面纵切横切体积典型题型。题型一，圆柱的展开图题型二，面动成体，形成圆柱 梯形。三、切拼节削挖圆柱切拼节削挖梯形。四、巧球体积容积球不规则瓶子倒置等阶变形排水板梯形。五、其他常考梯形。以上均有电子版。

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第三单元圆柱的最后一个立体。例七，计算不规则物体的体积，那如果这个容器它不是圆柱，它是一个不规则物体，我们又该如何求它的体积呢？来看例七， 一个底面内直径是八厘米的瓶子里，水的高度是七厘米，把瓶盖拧紧，把瓶子倒置放平。 无水部分是圆柱形，高度是十八厘米，求这个瓶子的容积是多少？这个瓶子它是一个不规则物体，它的容积能直接计算吗？ 不能直接计算它的容积，那我们能不能把它转化成圆柱进行计算呢？首先我们来看一下瓶子的容积，它包括几部分， 一部分是有水部分的体积，一部分是无水部分的体积。无水部分是个不规则形状， 不能直接求。那我们通过瓶子的倒置把它转化成规则图形，这样瓶子里的水倒置以后，水的体积并没有变化。水的体积加上十八厘米高圆柱的体积是不是瓶子的容积？ 那接下来咱们一起来演示一下。下边是油水部分的体积，它是个圆柱，底面积乘高，可以求上面是个不规则物体怎么办？来我们给他把容器倒置， 这样把不规则的无水部分是不是就转化成了规则图形圆柱，所以瓶子的容积就等于油水部分圆柱的体积加上 无水部分圆柱的体积，那油水部分怎么求呢？底面积乘高，无水部分也是底面积乘高，题中给的是底面直径，直径除以二是半径， pi r 的 平方求的底面积 乘油水的高度就是油水部分圆柱的体积，再用 pi r 的 平方底面积 乘无水部分圆柱的高度，那就等于无水部分的体积，因为他们都有相同的底面积。利用乘法分配率三点一四乘十六乘七加十八的和最后结果等于一千二百五十六立方厘米， 结果问的是毫升，因为一立方厘米等于一毫升，所以等于一千二百五十六毫升。那除了这种把它转化成有水部分的圆柱和无水部分两个圆柱的体积， 你还有别的方法吗？瓶子的容积一部分是有水部分的圆柱，另一部分是无水部分，把它也转化成了规则的圆柱， 如果可以平移，我们把这两个圆柱平移在一起，这样是不是就组成了一个高是七加十八等于二十五厘米的 新圆柱的体积？那我们第二种方法就可以直接求出这个新圆柱的体积就可以了， 它的底面积就是 pi r 的 平方，那么它的高度就是有水部分加无水部分总的高度 就是新圆柱的体积。底面积乘高等于一千二百五十六立方厘米，等于一千二百五十六毫升，这种方法是不是更简单？ 好了，孩子们来回顾反思一下我们今天学习的内容，利用的是体积不变的特性，把不规则图形转化成规则图形来进行计算体积。 其实呢，这样的方法我们并不陌生，在五年级的时候，我们计算土豆的体积时，是不是也用了这种转化的方法？好了，根据上面这道题的经验，我们来小试牛刀，看这道题， 一个饮料瓶内直径是六厘米，里面水的高度是十厘米，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是九厘米。这个瓶子的容积是多少毫升？孩子们，请你按下暂停键，快来试一试吧！ 通过刚才的学习，我们知道瓶子的容积一部分是油水部分圆柱的体积加上无水部分，它是不规则图形，我们通过瓶子倒置转化成了规则的圆柱体， 所以瓶子的容积就包括油水部分的圆柱加上无水部分的圆柱组成的新圆柱的体积。 所以我们先求出新圆柱的高度，十厘米加九厘米等于十九厘米，再用底面积派 r 的 平方乘新圆柱的高度，就等于瓶子的容积五百三十六点九四立方厘米。最后结果问的毫升一立方厘米等于一毫升，所以等于五百三十六点九四毫升。 来，孩子们总结一下，通过这节课的学习，你有什么收获呢？首先我们知道了求不规则物体的体积或者容积，我们利用转化的方法，把不规则物体转化成规则物体，在转化的过程当中 体积不变，并且我们得到了求瓶子容积的模型，把瓶子的容积转化成有水部分和无水部分新圆柱的体积。 心圆柱的高就是有水部分的高度加无水部分圆柱的高度，它的底面积就是这个容器的底面积，所以用底面积乘高就等于心圆柱的体积，也就是瓶子的容积。如果这节课你觉得学的还不错，给自己点个赞吧！

前阵呢，咱们学习了圆柱他的各部分的名称，以及圆锥的认识，对吧？然后现在呢，咱们复习一下，现在看第一个图形，第一个图形是什么呀？圆柱，然后看一看这圆柱呢？是用哪几部分来组成的啊？跟大家说一下， 来，睡觉。第一个，嗯，第一部分名称是高，嗯，是圆锥的高，圆锥的高有多少条？有无数条。好，请坐。好，咱们看第二个 王后脖。第二个是侧面，嗯，是圆柱的侧面。圆柱的侧面展开之后是什么？正方形？正方形。再看第三个 底面是底面，圆锥的，这个圆柱的底面它是一个什么形？圆形，那么这个圆柱有几个底面？两个，这两个底面什么关系？相等，相等。 好，咱们看这是圆柱的一些相关部分，那么下面咱们看一下这个圆锥子啊，看圆锥的第一个是什么？ 来，谁能说说？第一个是侧面，嗯，第一个是侧面，圆锥的侧面展开之后是一个扇形，一个扇形好走了啊，好看。第二个 张毅，第二个是圆锥的高，嗯，圆锥的高有几条？有一条，只有一条，是吧？好，请坐看第三张轮。第三个是圆锥的底面，底面是一个什么？圆形是圆形，好，请坐。 那现在呢？通过这样观察之后，圆柱和圆锥各部分的名称都已经清楚了，对吧？而且你清楚各个名称之后，你就可以进行一些相关的计算。 咱们学习了这个圆柱的体积，对吧？那现在考虑一下这个圆柱，它的体积公式用字母表示。圆柱的体积公式用字母表示。 看看可以了。嗯， s 乘 h， s 乘 h， 那 么在这里要注意一下， s 是 什么？ s 呢？ h 呢？高，好，请看，非常不错，那么咱们知道呢，如何来求这个圆柱的体积之后，那么下面咱们就来研究一下圆锥的体积如何来求， 那么现在呢，咱们看这样一个，这是一个铅垂，对吧？见过吗？见过。那么现在你想一个办法怎样能测出这个圆锥的它的体积呢？ 章鱼，嗯，把它放在一杯水里，然后看水面上升多少，再求出上升的体积， 那么也说你说的意思就是说把这个铅球放到什么水里，水里面，然后水面上升那部分的体积就是铅球的什么体积？好，请坐， 那么要看把这铅锤呢，咱们可以放到水里面，水里面呢就升高了，对吧？那你看，跟原来呢他相比较之后，你就发现这个水面上升部分的体积就是圆锥的体积，对吧？但是你想这样的问题， 我是不是拿一个圆圆锥，我要测体积的话，就放出一个，拿一个就测一个，拿一个放一个，多麻烦呢，对吧？那现在呢，想一想，看看有没有办法呢？能像求圆柱的体积的方式，对吧？看一看有没有那种方式来求圆锥的体积， 这是咱们这节课呢所要讲的主要的内容。 那么现在呢，你想这样一个问题啊，圆锥的体积与圆柱的体积之间，你想一想有没有什么关系？好好想一想， 你想圆柱是有两个面，对吧？嗯，圆锥呢是有一个底面，他两个之间能不能找一个关系？如果说他们两个之间要有关系了，咱们就好说了，对吧？那现在你想一想有没有关系？ 嗯，随声呃他们，呃，圆柱和圆锥都有，底面都是圆，底面都是圆，我现在问的是体积有什么关系？ 呃，如果，呃如果圆，呃圆柱和圆锥的底面底面积和高，呃，底面和底面积和高都一样的话。嗯嗯，那圆圆锥一定小于圆柱，圆锥的体积一定小于圆柱的体积，是吧？嗯，这跟他们有一个大小关系 啊，请说他说这意思就是说如果这个圆柱和圆锥属于是等底等高的，对吧？那圆锥的体积一定比这个圆柱的体积要小。那么现在呢，咱们要找他们之间有没有等量关系。 那么现在呢，咱们看一个这样一个图片啊， 现在呢，准备的是两个图形，一个是圆柱，一个是圆锥。那这个圆柱和圆锥我给的前提条件是等底等高。那现在咱考虑一下什么叫等底等高啊？你注意观察这个图片。 那现在呢，你看圆柱的一个面，底面他和圆柱的一个底面完全重合了，对吧？说明这两个圆相等相等，这就是等底，对吧？然后咱们再看看高， 那么圆锥的一条高和圆柱的两个底面圆心之间的连线完全重合了，对吧？对，说明他的高也应该什么关系，这就是 圆柱和圆锥是等底等高的，那现在呢，我们准备呢这样的，呃两个图形，而且下面呢，我让你做，对吧？那现在呢，咱们注意观察， 也就是用倒沙子的方法，你试一试等比等高的圆锥和圆柱体之间到底是什么关系？下面呢，我都准备好了，现在开始做啊， 然后注意观察啊，看了几次就把它倒满了啊。 接电话 看一看，你倒了几次 装满了吗？就是一块一块， 我用这个， 哎呀，小心， 哎呀， 你别走， 哎 呀 哇，哎呦， 干完了吗？上了三分钟是吧？ 加油。 哎，好了，我看基本上这个施工能不能做完啊，咱们先到了啊， 呃，通过刚才的，呃，每个同学做那个实验倒入沙子的方式，然后呢，你就自己呢能够发现一些规律了，对吧？ 现在呢，我看通过观察之后啊，咱们的方法呢，都是一样的。现在呢，我用那个电脑咱们演示一下，看我做的跟你们是不是一样啊？我这是用倒水的方式啊，看一看 这是到几次了？两次，我打三次，到了三次，圆柱满没满满了。那现在呢，咱们可以看我这个圆柱和圆锥它的前提条件是什么？ 等底等高，等底等高的，对吧？然后呢，我把圆锥它里边呢，我装了沙子，装了三次之后，我分别倒进去之后，正好三次就装满了，对吧？说明什么？ 圆锥圆锥，说明什么？通过你刚才你们的实验，刚才我的演示发现什么？ 四连一，嗯，等底和一个圆柱，等底等高的圆锥是那个圆柱体积的三分之一，嗯，就说那个如果这个圆柱和圆锥 它的是等底等高的，那么圆锥的体积是圆柱体积的什么三分之一，那其他组是不是这样的？ 都是呢，把这个圆锥装了三次就可以就可以倒满这圆柱，对吧？所以呢，咱们就做这实验，就很容易的直观的能够发现等底等高的圆柱和圆锥的体积之间有关系了吧？这关系呢，刚才咱们也说了，圆柱的体积是 与他等底等高圆锥体积的三倍，对吧？那反过来说，圆锥的体积是与他等底等高圆柱体积的三倍，这个呢，咱们可以很容易看，那下面你再想一下，刚才要复习了，圆柱的体积怎么求的？ 面积成高，那圆锥体积 三分之一，来，这个说一下。王浩哥，圆锥的体积应该是三分之一倍的底面积乘高。好，就是你看等于等高圆柱体的三分之一，对吧？ 那这样的话，咱们也得到了圆锥体积公式了，对吧？那你说圆锥的体积等于底面积乘高再乘三分之一， 这时呢，咱们又得到了圆锥的体积公式，现在清楚了吗？那你说在这里边呢，由圆柱的体积公式就可以得到呢？圆锥的体积公式， 下面呢，咱们考虑一个问题，如何用字母来表达这个公式？ 如何用字母来表示圆柱的会表示呢？圆锥怎么表示来算上三分之一 x， 嗯，那么在这里呢，它就是 圆锥的体积，用 v 表示，对吧？它等于三分之一底面积，用什么表示？ s， s， 高呢？ h h， 这就是圆锥体积公式，明白了吗？那我先来考第二个， 我现在要求圆锥的体积，你需要知道哪些呢？ 高油，我们需要知道高或者是直径或者是半径，高是地球的结构吗？嗯，高和半径我可以知道什么？高和半径，高和半径 还可以知道直径和半径，还可以知道直径和高和高，还可以知道底面积和高。底面积和高，那个直接知道 s h， 对 吧？嗯，还可以， 还可以吗？好，请坐来，还可以知道底面周长和高。好，请坐，非常不错啊， 还可以知道底面周长和高。那么现在呢，咱们看，我知道底面半径和高了，那直接呢就可以利用什么？ 你看我求这个肯定要求这 s， 对 吧？是底面积，那底面积的三分之一呢？是不变的， 我知道半径怎样来求底面积太长太正常了， r 方， r 方 就是三分之一派 r 方 h， 对 吧？嗯，然后我要知道直径来求圆锥体积的话，也是把直径除以二就行，对吧？那我要知道这个底面积呢？ 三分之一直接带入公式就可以了，对吧？我要知道底面周长如何来求半径来写进去， 这个应该用周长除以。呃，里面那个周长除以三点一四求出那个直径，然后再然后就可以靠着前面那个，然后再用直径除以二，或者说是半径就可以是那个呃， 亥乘三点就可以利用这公式来做了，对吧？好，请做那个知道周长和高来求体积的话，先求半径，对吧？用周长除以三点一四再求什么？ 除以几？三四，三点一四除，不是那个周长除以三点一四再除以谁啊？ 我求的是半径二再除以二就行了，对吧？咱们做过好多这种题了，那现在呢，咱们知道要求圆锥的体积，你可以知道直径，半径，周长和底面积相对的高，必须得知道，对吧？就可以求这个圆锥的体积问题。 那么下面呢，咱们看这样一个例，你的穴位上的有啊，看不清的可以看穴位啊。 对，直接写在穴位上就行了。 来，谁愿意站往哪坐 来站左 hmm。 注意解析的过程和步骤都需要成步骤啊，别忘了那几个步 骤 都做完了吗？做完了，然后再看。张雨桐做黑板做的啊，看他做的，看看有什么问题没有？没有我们给他评价一下啊？ 那你自己来说没答题，没答题自己发现了啊，这个一定要把这个题呢要答上啊， 那你说咱们要注意一下答题过程，要注意一下略式计算，然后答题别忘了这个问题。那现在呢，咱们看一下，在这里面呢，他给的是圆锥形这个零件，他给的什么条件？ 底面积高，底面积和高，然后咱们知道圆锥的体积公式是底面积乘高再乘三分之一，对吧？然后呢你直接代入公式就可以了，那么最后算完之后是七十六 立方厘米，他这个剩下其他还有问题吗？这是最直接的一种类型的，对吧？所以呢是给的条件非常直接满足公式的啊。那下面呢，咱们再看一个， 这跟刚才咱们做实验的沙子有关系的啊， 首先注意观察他给的什么条件，然后呢你再想办法利用这个公式来做。 好了，我看旁边都做完了啊，咱们看黑板看这道题， 嗯，这道题咱们看他给的条件啊，他给的是一个圆锥形的一个沙堆，对吧？然后他给什么条件？ 给他是直径和高，那就说满足了这个条件，对吧？那我现在得考虑一下，我要求这个圆锥的体积的话，我得知道底面积，底面积，对吧？那如何来求底面积？ 半径半径派八方，对吧？那首先你想到我得求出这个半径来，对吧？由直径怎样来求？半径 多少？那你说首先我们来求这个半径，半径应该等于直径是四米，对吧？四除以二等于 两米，对吧？这咱把这个半径求了，那现在谁给我说一下你怎么做的？把你做的过程给我记住， 先求出圆圆锥的底面积，嗯，底面积用三点一四乘四除以二的平方，嗯，等于三点一四乘四等于十二点五六，算出是十二点五六单位乘平方米，嗯，平方米 十二点五六乘高一点二，十二点五六乘高一点二，一点二，再除以三，除以三， 等于十五点零七二除以三。你直接说最后答案等于五点零二，五点零二四，是吧？对，五点零二四，单位呢？立方米，立方米 完成了吗？嗯，没有呢，还怎么等？约等于五点零二立方， 约等于五点零二立方，为什么要约等于啊？因为后边多得数保留两个小数，对，得数保留两个小数，对吧？然后最后答题就行了，是吧？嗯，好，请坐。所以呢，看这道题，咱们要是求圆锥的体积的话，给它直径，首先要求出半径来，对吧？然后带入公式去求， 在这里呢，咱们知道这个题如何来求解的了，这是呢，咱们做这个例证，那么现在呢，咱们往下再看一个模糊的概念来判断，咱们去看这个题目，咱们看第一个， 这里叫嗯，知错，因为因为圆柱体的体积，他应该说大，嗯，登基的高，嗯，他现没说登基的高啊， 嗯，因为，嗯，如果就是他们的大小不相同的起伏，嗯，他说回答是错误的，这没问题，对吧？然后这个你可以给他夸张一个举例子，比如说他说圆柱体的体积一定比圆锥体的大，那么你想圆柱就这么大， 圆锥的好大，对吧？所以呢，你这个比较，咱们看第二个 圆锥的体积等于和它等比等高的圆柱的体积的三分之一。 对对对，就是把那个体积的啊，看第三个 王浩博，第三个是错，为什么错？因为长正方。说长方体，正方体和圆锥的体积都能比面积成高，前两个就贵了，圆锥的体积应该还乘个三分之一。好，请坐。非常不错啊，前两个正方体，长方体，还有咱们以前学的圆柱，对吧？ 他的体积都可以用底面积乘高，但是圆锥不行啊，对吧？还有三分之一啊，好看。最后一个 正义，最后一题是对的。嗯，你是怎么考虑的？因为圆圆锥等你等高的圆锥，呃，跟圆柱 圆锥等于那个圆柱的三分之一，三分之一是吧？跟咱们试验的方式一样，对吧？所以第四个呢是正确的。这个几个概念呢，一定要注意，因为他很容易呢出现问题啊。下面呢，抓紧时间来做这个三道题， 看好了他给的条件，然后呢，往公司里带路。 hmm do。 好，我要翻黑板来睡这来，把你的答案给我一下。把题读一下，然后做答案哦。第一个，圆锥底面，底面半径两厘米，高九厘米，答案是 三十七点六八立方厘米，对不对啊？对啊，看第二题。第一， 圆锥底面，直径六厘米，高三米，我的答案是二十八点二六，对不对啊？嗯，好看。第三个， 圆锥底面，周长六点二八分米，高六分米，我的答案是十二点五六 十二点五，他说的是十二点五六，对不对？对，王浩博，王浩博一天 圆锥底面，周长六点二八分米，高六分米，应该是，他的体积应该是二十五点一二，他的体积二十五点一二，对不对？对对对，你看又给力了。高以彤，圆锥底面 周长是六点二八厘米，高是六点二八，六点二八，你这里面他给的底面周长，对吧？你先求半径，你求半径多少？ 半径是一，半径是一，是吧？然后用三点一四乘一个平方，再乘六， 再怎么呢？再乘三四，算出一堆了，算出的是六点二八。那你说这道题呢，要注意这个给的里面周长要求半径怎么来求，然后带着公式计算呢，要准确一点啊。下面呢，咱们看一个提高一点的。 这道题呢，我先跟你说一下啊，现在这有一个圆柱，这个圆柱呢，要把圆柱裁成一个最大的一个圆锥， 那现在呢，看这个圆柱和裁完之后的圆锥是什么关系？ 等底等高，而现在我没让你求圆锥的体积，对吧？我让你求求求，求消消去部分，对吧？那么现在你可以这样去想一个问题， 圆锥的体积是和它等底等高，圆柱体积的多少？ 三分之一，那那个消积部分是多少三分之一？三分之二，消积部分多少？三分之二。那现在抓紧时间 看好这个对应的量啊， 哈哈， 学习的时候， 哎呀， 好了好了，房子都做完了啊，来张印来说一下你的过程怎么做的？我先用三点一四乘乘六除以二的平方，三点一四乘 六六除以二的平方等于二十八点二六，二十八点二六，这求的什么？这个求的是它的底面积，求的是底面积， 然后再用二十八点二六乘十五乘十五，再乘三分之二乘三分之二，等于二百八十二点六。二百八十二点六。 你在这里要为什么要乘这个三分之二啊？为什么乘这三分之二？ 因为他那个要留下三十一，占他体积三十一的圆锥，剩下的部分就是三十二，剩下三十二，对吧？好，请做。那么他回答的这道题呢，是非常正确的啊，还有什么方法可以做？ 还有何方呢？来重新，你说你的方法就行。 我是最后先求出一个圆柱的，这个先求圆柱的体积是吧？然后再减去圆锥的体积是吧？好，请坐，这就是一个用的，他用的方法就是整体减部分等于剩下的，对吧？所以呢，这道题呢，有两种方法，那么咱们今天这节课呢， 主要是学习的圆锥的体积的求法，那么现在呢，考虑一下你会不会求圆锥的体积了，会，能不能解决一些实际问题？能，那么现在呢，咱们再看求圆锥的体积需要知道哪些量？ 方明辉，圆锥的高，知道圆锥的高就行，一个高就行了。 嗯，知道底面有个高，可以，对吧？还需要还可以知道什么？孙晨曦，底面周长和高也可以，对吧？还可以知道什么？ 孙胜，半径和高哦，半径和高，那里边和直径和高，对吧？那里边要知道 这个对应的每一个量里边，我知道了就可以来求体，对吧？而且你看对应的每一个量里边都需要有 圆锥的，什么高，高都需要高，然后底面里边箱的量，你知道可以知道半径，直径，面积，周长都可以，对吧？所以现在呢，咱们这节课呢的任务呢，基本上完成非常不错，有的表现非常好。 那么现在呢，咱们看这个问题，这道题呢，有课后完成，听懂了吗？好，下课。

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第三单元圆锥的第二课是圆锥的体积。 上一节课我们认识了圆锥，知道圆锥它是由一个底面和一个侧面组成的，还知道它的底面是个圆形，它的侧面是一个曲面，并且它只有一条高。那么圆锥的体积又该怎么计算呢？ 前面我们学习过了圆柱的体积，那么圆锥的体积和圆柱的体积有没有关系呢？ 哎，我们发现呐，圆柱和圆锥的底面它都是圆形，那他们的体积应该有关系，那么究竟有什么样的关系呢？接下来我们通过一组实验来探究圆锥和圆柱体积之间的关系。 那孩子们，请你们准备好沙子或水，还有等底等高的圆柱和圆锥形容器，然后用倒沙子或水的方法 试一试吧。老师也来做一次实验，这是等底等高的圆柱和圆锥，我往圆锥里边装满水，然后倒入圆柱里边，咱看一看，倒几次正好装满。为了让大家看的更清晰，王老师往水里边加了点墨水， 我先倒入第一杯装满，倒到等底等高的圆柱里面，再往圆锥里边倒入第二杯倒满，然后倒到等底等高的圆柱里面，接着倒往圆锥里边装入第三杯，然后倒到等底等高的圆柱里面， 正好倒满。通过这样的实验，我们发现，圆锥的体积就是等底等高圆柱体积的三分之一。当然，也可以把水先装到圆柱里装满，然后倒入等底等高的圆锥里边。 大家猜一猜，应该能够倒几次呢？是的，也是三次。那通过刚才的实验呢，我们发现等底等高的圆柱和圆锥，我们发现圆柱的体积是圆锥体积的三倍，那圆锥的体积等于圆柱体积的三分之一， 前提条件一定是等底等高。在实验的过程当中，我们会发现可能有误差，并且这种实验来推导公式并不严谨， 但是由于我们目前所学的知识有限，我们只能通过实验的方法来探求圆柱、圆锥体积之间的关系。 到了初中以后啊，孩子们，你们学了更多的知识，我们会用更严谨的方法来推导出圆柱和圆锥体积之间的关系。我们知道圆柱的体积等于底面积乘高，那所以圆锥的体积呢，就等于圆柱体积的三分之一，所以用字母表示就是三分之一 s h。 那 要想求圆锥的体积，需要知道什么条件呢？对，我们可以知道底面积和高，然后为圆锥就等于三分之一 s h， 但是有的时候不告诉底面积，比如告诉底面半径和高，怎么求圆锥的体积呢？对，那我们就可以根据底面积等于 pi r 的 平方，所以我们就可以推导出为圆锥等于三分之一 pi r 的 平方 h。 那如果告诉底面直径和高呢？那同样根据直径我们可以求出底面积，所以为圆锥等于三分之一 pi 二分之 d 的 平方乘 h。 那 如果告诉底面周长和高呢？同样先求出底面积，再根据为等于三分之一 s h 求出圆锥的体积。 这些公式呀，孩子们不需要你都去背，你只要记住我们的母题公式，圆锥的体积等于三分之一 s h， 然后把圆的半径、直径、周长、面积它们之间的关系灵活应用就可以了。 知道了怎么计算圆锥的体积，我们来解决一道实际问题。例三，工地上有一堆沙子，其形状近似于一个圆锥，如下图， 这堆沙子的体积大约是多少？如果每平方米沙子大约重一点五吨，这堆沙子大约重多少吨？ 图中告诉了这个圆锥的底面直径和高，你能计算圆锥的体积吗？对，我们就要根据圆锥的体积等于三分之一 s h， 那 告诉的底面直径，我们是不是要先求出圆锥的底面积？ 沙堆的底面积根据 pi r 的 平方直径除以二的平方等于十二点五六平方米，再根据圆锥的体积公式，那么沙堆的体积就等于三分之一，底面积乘高。注意，孩子们在这里计算的时候啊，我们不一定按照从左往右的顺序计算， 只要能约分的，我们都可以先约分再计算，比如说三和一点五有同时除以三 等于零点五，这样计算起来就比较简单。最后结果等于六点二八平方米，因为每立方米重一点五吨，那么六点二八平方米一共重多少吨呢？所以沙堆的重就用六点二八乘一点五等于九点四二吨 啊。这堆沙子的体积大约是六点二八立方米，这堆沙子大约重九点四二吨。好了，孩子们，那我们来总结一下，通过这节课的学习，你有哪些收获呢？ 首先，我们学会了利用公式能够计算圆锥的体积。另外，我们还有知道，根据我们目前所掌握的知识，通过实验的方法来探求问题是一个好办法。 第三，计算圆锥的体积的过程中啊，可以先化简再计算，就是能约分的，我们先约分，使计算变得更加简单。如果这节课你也有很大的收获，请给自己点个赞吧！

孩子们好，今天我们来学习六年级下册圆柱与圆锥的例例，圆柱的容积。首先我们来回忆一下，上一节课我们学习了圆柱的体积， 圆柱的体积公式是怎么推导的？我们把圆柱等分成若干份，拼成了一个近似的长方体，我们在转化的过程当中，我们发现长方体的体积，长方体的底面积等于圆柱的底面积， 长方体的高等于圆柱的高。因为长方体的体积等于底面积乘高，所以推导出了圆柱的体积也等于底面积乘高。用字母表示 v 等于 s h， 或者是 v 等于 pi r 的 平方 h。 那 今天这节课我们学习的是圆柱的容积， 那大家首先回忆一下什么叫容积，还记得吗？对，容器所能容纳物体的体积叫做容积，也就是说它里边能有多大的空间，就叫做它的容积。 我们在五年级已经学习过长方体、正方体的容积，它和体积的计算方法完全一样，所以容积的计算方法与体积的计算方法相同，但是它所用的数据要从容器的里面来测量。 大家还记得我们常用的容积单位有哪些吗？所有的体积单位都可以用做容积单位，比如立方米、立方分米、立方厘米，但是当里边装液体的时候，我们还要用到容积单位，谁呢？升与毫升， 那么这些容积单位之间的净率是一个非常易错的点，我们来一起梳理一下。一平方米等于一千立方分米，一立方分米等于一千立方厘米， 相邻两个体积单位间的净率是一千立方分米呀。当时装液体的时候，它还有另外一个名称，就是升立方厘米，也就是我们所说的毫升。因为立方分米和立方厘米的净率是一千，所以升与毫升的净率 也是一千。不管是做填空题还是解决问题，这些单位的换算特别容易出错，孩子们，请你按下暂停键来记一记吧。 那好，知道了容积的计算方法和体积的计算方法一样，还知道了容积单位之间的戒律。那么今天我们学习的例六就非常简单了，来看例六 下面的杯子能不能装下两袋这样的牛奶，数据是从杯子里面测量得到的。首先我们来看告诉了杯子的内直径是八厘米，还告诉了一袋牛奶的容积是二百四十毫升。 那要解决这个问题，其实也就是计算什么呢？对这个杯子的容积，杯子它是一个圆柱体，那么我们该怎么样求出圆柱的容积呢？容积和体积的计算方法一样，那我们是不是要求出来这个杯子的底面积 乘高，那告诉的是直径，所以杯子底面积三点一四乘直径除以二的平方等于三点一四乘四的平方，最后结果等于五十点二四平方厘米。知道了杯子的底面积，再用底面积乘高等于它的容积。注意这里得到的是五百零二点四立方厘米， 问能不能装下两袋这样的牛奶，我们要给他换算成毫升，因为一立方厘米还有一个名字就是毫升，所以五百零二点四立方厘米就等于五百零二点四毫升。 接着我们求出来两袋牛奶的体积是二百四十乘二，等于四百八十毫升。然后把杯子的容积和两袋牛奶的体积进行比较，五百零二点四大于四百八十。答，杯子能装下两袋这样的牛奶。 通过这道题我们发现，求圆柱的容积是不是和它体积的计算方法一样，只要注意单位的换算。来，孩子们，我们规范总结一下，圆柱容积的计算方法与体积的计算方法相同，只是所用的数据要从容器的里面来测量， 用到的体积公式是一样的， v 等于 s h 或者 v 等于 pi r 的 平方 h。 第二点也是我们计算时最容易出错的一点，要注意单位是否统一。 掌握了方法以后来看这道练习题，我们教材二十五页做一做的。第一题，小明和妈妈出去游玩，带了一个圆柱形保温杯，从里面量底面直径是八厘米，高是十五厘米。 如果两人游玩期间要喝一升水，但这壶水够喝吗？这道题他和例题同一类型，那我就交给你了。王老师把这道题的答案放在评论区，如果你能做对，给自己点个赞吧！

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第三单元圆柱与圆锥的第四课，是圆柱的体积。首先大家来回忆一下什么叫体积， 对，物体所占空间的大小叫做物体的体积。那大家继续思考，以前我们学习过哪些物体的体积呢？对，学习过长方形的体积， 正方体的体积，它们的体积计算公式是什么？还记得吗？它们的体积是多少，也就是看它包含多少个这样的体积单位。 一排摆了几个，摆了这样的几排，这表示一层摆了多少个，再乘这样的几层，就是它的体积。所以长方形的体积等于长乘宽乘高。那正方体呢？ 长宽高都相等，所以我们把它叫做棱长，所以正方体的体积等于棱长乘棱长乘棱长，长乘宽，求的是长方形的底面 积。棱长乘棱长呢，那也是正方体的底面积。所以呀，长方体和正方体可以用一个统一的公式，那就是底面积乘高。那如果用字母表示就是 v 等于 s h。 那 么大家想一想， 怎样计算圆柱的体积呢？圆柱的体积是不是也等于底面积乘高呢？我们该怎么样推导它的公式呢？那大家看一下圆柱的底面是什么形状？ 对，圆形。那你回忆一下，圆的面积公式我们是怎么推到的，还记得吗？对，把圆等分成若干个小扇形，然后把它们拼在一起，拼成了一个近似的长方形。我们还发现，长方形的长 其实就等于圆的周长的一半，长方形的宽就等于圆的半径。根据长方形的面积等于长乘宽，我们推导出了圆的面积 s 等于 pi r 的 平方，能不能将圆柱转化成学过的立体图形，再计算出它的体积呢？那么就仿照圆的面积推到来看。例五，把圆柱的底面分成许多相等的扇形， 然后把圆柱切开，再像这样拼起来，就得到一个近似的长方形。认真观察， 把它等分成若干份拼在一起。为了更加近似于长方体，我们把这边平移过去， 就拼成了一个近似的长方体，我们现在把它拼成了十六份，这个弧线还比较明显，那如果我们给它等分成更多的分数呢？我们会发现分成的扇形越多，拼成的立体图形就越接近于 长方体。那么能不能根据长方体的体积推导出圆柱的体积呢？好了，接着大家来观察，把长方体与原来的圆柱比较，你能发现什么？ 我们发现长方体的这个底面积是不是就等于圆柱的底面积？长方体的这个高等于圆柱的高。那么在转化的过程中，大家继续思考，什么变了？ 什么没变？对，虽然他们的形状发生了变化，但是他们的体积并没有变化，所以形状变了， 体积不变。这就是我们数学上经常用到的数学思想方法，叫等积变形。 长方体的体积我们已经学过了呀，长方体的体积等于圆柱的体积，长方体的底面积等于圆柱的底面积。 长方体的高等于圆柱的高，所以我们推导出圆柱的体积也等于底面积乘高。那如果用 v 表示圆柱的体积， s 表示底面积， h 表示高，那么圆柱的体积计算公式怎么表示呢？对 v 等于 s h， 那 有的时候不直接告诉你底面积，比如，如果知道圆柱的底面半径 r 和高 h， 你 能写出圆柱的体积计算公式吗？ 对，那这时候要用到 v 等于 pi r 的 平方 h。 圆柱的体积公式推导啊，非常重要。孩子们，请你按下暂停键来说一遍它的推导过程，并且把这两个公式写一遍吧。 知道了圆柱的体积公式，那我们来看这道题。一个圆柱形木料底面积为七十五平方厘米，长为九十厘米，它的体积是多少？ 这个圆柱木料的长，那我们把它立起来，其实它就相当于圆柱的高。知道了底面积和高，能不能求出它的体积呢？根据位等于 s h， 所以 七十五乘九十等于六千七百五十立方厘米。注意 体积单位是立方厘米。答，它的体积是六千七百五十立方厘米。 那如果告诉圆柱的底面半径和高，你能求出圆柱的体积吗？那又该运用哪个公式呢？对 v 等于 pi r 的 平方 h 来计算。 好了，孩子们，我们来总结一下，通过这节课的学习，你有什么收获呢？首先，我们知道了圆柱体积计算公式的推导过程，并且在推导的过程当中，我们用到了一个非常重要的数学思想， 那就是转化的方法非常重要，我们把新知识转化成旧的知识来解决。在转化的过程中呢，我们还要找到图形之间的联系，更加便于进行推力。如果你也有收获，请在评论区打出六六六。

我是汤汤，学习时间到，今天我们来巩固一下圆柱与圆锥的内容，那么在前面我们已经把圆柱和圆锥的知识点已经讲完了，好，那今天我们来看一道题，如图，一根高是底面直径的三倍的圆木，高是底面直径三倍的圆木，截去一分米，截去一分米后， 侧面积减少了六点二八。那么这根圆木现在的侧面积是多少？好，注意他的问题啊，求的是现在也就是这个 好，也就是现在这么高的啊，好，它的一个侧面积。那首先我们来回顾一下知识点，那么在前面我们讲的圆柱的侧面积，它的展开图是一个长方形，对吧？那么特殊情况下也有正方形的啊，长方形来说，也就是 pi d 乘 h， 因为这个圆的 底面周长展开正好是长方形的长，所以那么它的长就是派 d 高，就是圆柱的高，要想求这个侧面积的话，就是派 d 乘 h， 也就是派 d h， 那 么这道题要求现在的侧面积，那就要用现在的这个圆柱的底面，呃，底面周长，也就是派 d 乘以这个高。好，这是我们的一个思路。那首先 我们先看一下底面周长怎么来求他告诉你啊，截去一分米后，侧面你减少了六点二八，对吧？因为本身圆柱啊，他有一个上底面，那么截掉之后，他又会漏出来一个上底面，那么对于底面而言，他是不增不减的， 那么测面积是六点二八，也就是我们所说的刚才复习的 pi d 乘以 h， 也就是这个底面周长乘以 h， 要乘以它这个一，它告诉你的是一啊，好，就等于六点二八，那我们想求底面周长的话，也就是 pi d h， 它就等于六点二八， 对吧？求这个底面周长的话， h 不是 一吗？所以我们用六点二八除以一，对吧？长度六点二八分米。好，那已知周长，我们怎么来求它的直径呢？那就是六点二八除以 三点一四。好，派地嘛？ c 等于派地啊。 c 除以派就等于直径等于二分米，对吧？好，那现在我们知道它的直径是二分米，但是他说高是底面直径的三倍，那他原来的高就是二乘以三， 那就是六分米。好，那是六分米的话，这是一分米。所以这就应该是多少呀？是不是五好，那我就可以用这个的底面周长乘以五就好了。那就应该是多少呀？是不是五好，那我就可以用这个的底面周长乘以五就好了。还是六点二八， 六点二八乘以。好，这个五是六减一得来的。三十一点四 d m 平方分米啊。

底面积一样高，也是一样的不变，所以都等于底面积乘高。 推出来了这个体积的公式了，我们能够解决这个模型的体积的吗？能算出来吗？可以，现在请你们动手测量并计算出它的面积。那我的手势是圆形的， 我的，谢谢。 差几啊？ 高速那四零六二。对呀，我们当时是四零二二八三二九二十二十一，二十二三二十二三二四二五 十二十三十四十五十六十七十八十九 幺五六点四五六， 这是因为这个 什么颜色 好都算出来了吗？算了，请同学请来一组来分享一下你们的答案。好，请你来分享一下你的结果。 请大家听我说，因为我们刚才学习到了，圆柱的它的体积就等于 pi 的 二次方再乘以高，所以说我们现在就要先求出它 啊，他的 r 是 多长，然后我们我们量出，测量出他的 r 有 多长，我们量出的是二，然后再把厘米二厘米，我们再把高也量出来，也就是五厘米，我们就可以先算出。呃， 我们这里，我们这里因为怕大家看不懂，就先把呃高的就我们先分布算了。我们先把圆的先把这个圆的面积先求出来，然后再把它乘以这个高。圆的面积三点一四，乘以二的二次方就等于十二点五六嘛， 然后我们这里算出来的就是，呃，我们把圆的面积求出来了，然后再求再乘以它的高，就是十二点五六，乘以五等于六十二点八，谢谢大家， 所以他算出来的答案是六十二点八立方厘米，你们的答案和他一样吗？一样一样一样答案的请举手。嗯，很不错，把手放下， 我们来看一看，测量出半径是两厘米，高是五厘米，再根据公式，圆柱的体积等于底面积乘高算出结果，六十二点八立方厘米。 好了，解决了那个小模型的体积了，我们回到最开始这两位同学，我们班上同学在课间发现的问题，能帮助他解决了吗？ 能帮助的体积你需要知道哪些信息？请你来。我们首先要知道他底面积是多少，嗯，底面积，还有知道他的高是多少还是他的高多少， 那底面积我们能求出来吗？不能能量出来吗？底面积可以可以，我们可以先求半，我们可以先求出它的周长，先求出周长除以三点一四等于直径。 利用周长求出直径，然后再用直径除以二求出半径。嗯，求出半径，再用 pi r 的 二次方求出面积。说的非常好，速度也很清晰。 嗯，我们再看看这两个同学啊，把你们需要的信息已经测量出来了。 通过测量我们知道了圆柱的底面周长是十八点八四分米高，通过测量我们知道了圆柱的底面周长是十八点八四分米，高是五十分米， 周长和高都知道了，现在你们动手吧， 现在我们就自己做自己的好不好，我们不再以小组的形式来讨论了， 然后 八百五十七， 好，我看到大部分同学都已经做完了，而且做的特别好，请这位同学你来展示一下你的计算过程好吗？ 请大家听我说。我们知道了圆的周长是十八点八四分米，就可以求出它的直径， 直径等于周长除以三点一四就是一十八点八四除以三点一四等于六分米。我们知道了直径是六分米，就可以求出它的半径，半径就是用直径除以二就是六，除以二等于三分米。 然后我们再利用求圆柱的体积的公式，就是用 pi r 的 平方乘以高，就是用三点一四乘以三的平方，再乘以五十等于十四点 一十一千四百一十三平方分米立方分米。好，回答正确啊，来，我们把掌声送给他， 我们一起来看一下它的体积的计算过程。 看你们的刚刚那个女生，结果一模一样，一千四百一十三立方分米。答案和他一样的请举手。好，把手放下。我们班的孩子真的太聪明了啊，经过这节课的学习，所有同学都学会了嗯，圆柱的体积，并且能够计算正确。 那这节课的学习你有什么收获呢？好，请你来查一下，我知道了，怎么求圆柱的体积。嗯，圆柱体积等于多少？等于等于迈 尔的二次方乘以 h 等于什么？底面积乘高，还记得他是怎么推断出来的吗？ 好，请你说一下过程，就是把那个呃圆柱，呃呃，把它分成若干份，然后拼插在一， 分成两半，然后分成若干份，拼插在一起，就能变成一个近似的长方形，然后近似的 这次的长方体，然后用长方，然后用用长方体求体积的公式来推导出圆柱的呃体积公式。嗯，说得非常清楚，请坐。 我们这节课学习了这么多的知识，现在请你想象一下一个圆柱，它的圆柱，我们说它的底面是什么图形？一个圆，如果现在我把这个圆慢慢的请想象啊，慢慢的越来越小，越缩越小，变成一个点， 它会变成一个什么图形呢？它会，它会变成一个圆锥，变成一个圆锥。好，请做。王老师也带来了一个视频，请看。 嗯，很神奇的一个字，变形啊，那变成圆锥，它和之前的这个圆柱的体积之间有什么关系？ 请你下课去想一想，猜想一下。这是我们下节课要学习内容，希望大家在生活当中做一个善于观察的孩子，就像刚刚那两位同学一样，能够发现生活。

今天郝老师给大家分享的是二四年的一道关于圆柱和圆锥体积表面积的题，我们一起来看一下。他给了一个圆柱和一个圆锥，他们的底面半径是相等的，侧面积又相等高，都是根号三，求圆锥的体积了。 好，我们知道求圆锥的体积，我们是不是公式是底面积乘高乘三分之一，现在是不是高已经给了，我再求出底面半径是不就可以了？我们说圆柱， 我们先画出来它啊，圆柱，然后这有一个圆锥，他们的底面半径相等，我们都设成是什么呀？是不是 r 里面半径都是 r， 他的等式在哪啊？等式在这侧面积相等，对圆柱来说，他的侧面积是谁？ 我们是不是说这是高 h 侧面，我们展开是不是个长方形，那长方形他的侧面积就等于谁啊？二、 pi r 是 不是乘以根号三，这是圆柱的侧面积，那圆锥的侧面积是什么呀？ 圆锥的侧面积是不是展开是一个扇形，它就等于什么呀？是不是等于 pi r 乘以 l， 那 这个 l 是 谁？ l 是 不是是母线？我们再来列个式子，这个是 h 等于根号三，这个是 l， l 就 等于什么呀？根号下 a 去了平方加上 r 方，我们带进去，现在这两个式子是不是应该是相等的？我们列出来等式二，派 r 乘以根号三等于谁？派 r 乘以根号下， 根号三的平方加上 r 方，对不对？那这样的话，我们解一下，它这个是不是消掉了？两边同时平方这边是十二等于三，加上 r 方，那 r 方是不是等于九？ r 是 不是就等于三？ 好， r 求出来了，那圆锥的体积等于什么呀？三分之一底面积是不是乘以高 就等于三分之一？乘以 pi， 乘以九，乘以根号三等于多少啊？是不是等于三倍根号三 pi， 所以 它最终的答案就是三倍根号三 pi。 这是这道题在高考中涉及到不管是圆柱、圆锥，还有圆台、棱台这类稍微简单一点的几何体的时候。大家写题过程中，首先你要画出来图标，出来每一个量， 第二个要准确的记住公式。第三步你要列出来，找到他们的等量关系，最终你就可以求出你想要的式子了。