勾股定理思维导图简单画法

大家晚上好，在直播的最后这个时间里呢，给大家总结一下我们今天讲解的内容。今天讲解的是第十七章勾股定理。在这里面呢我们学习到勾股定理的然后勾股定理的立定理， 带着大家做一下我们课本的练习题。这里由那个古古定理的 a 平方加 b 平方等于 c 平方我们推出来 abc， 他们分别是怎么去求，然后去运算 好。书本讲解完以后呢就到我们思维导图的讲解。在这里面呢主要是我们会学一下我们的定义，还有我们的那个变形他是怎样子，还有立定理，立定理的话呢，这里的话都会有一些比较常用的勾补术，还有他们的 这些用勾股数的话，他们就是数啊，他们分别做那个倍数，倍数以后我们就是把这些啊记记得以后呢到时候做题的话就比较容易上手。 四位导图讲解以后呢，就到我们过关时提的训练。在这里的话我们就是不要说 看到题目就直接写这个答案了，这我们最好把这个图画出来，他看看他有些什么，那个已知条件都把他写上去，然后去做图，这样子的话就是以防万一。他这里的话他有那个陷阱啊，甚至是 是这些图的话就是塑形结合，然后把这个数啊跟那个图形然后一起写出来。我们不不必要就是说把这些图的话，把这个每个是算的那么细的都这些都 可以有那个技巧的好。他这里的话也是我们要快跨图 好像这这这里的话我们要理解一下这里这到底是怎么去做的，这这道题目啊， 就是设未知数，这里的话，我用那个笔的话，就是把那个荡秋千的那个原理的话，从这里的话啊，到到这里， 他就是其实这两个是不变的，那个长，那个绳长的话，然后这里的话我们这个构成一个直角三角形，然后就分别设他为位置数，然后就求解就可以了。好，今天讲解就到这里，谢谢大家。

同学们大家好，今天我们一块来梳理一下八年级下册第十七章勾股定理的思维导图。那么其实本章节我们的知识点是非常的少的，我们只需要掌握两个定理，第一个定理是勾股定理，那么我们一块来看一下关于勾股定理的内容。 如果直角三角形的两条直角边长分别为 ab， 斜边长为 c， 那么 a 方加 b 方等于 c 方。另外一个定理就是勾股定理的逆定理， 如果三角形的三边长 abc 满足了 a 方加 b 方等 c 方，那么这个三角形就是直角三角形。 这两个定理是我们必须要掌握的，包括如何去得到这两个定理的结论，我们也是要会的，特别是这个勾股定理。那么在勾股定理这里的话，我们就想到了一个知识点， 就是关于赵爽娴图，那么古代人的一个智慧哈，也是非常聪明的，特别是叫赵爽的这位，他呢发现了将四个完全相同相同的直角三角形加上一个正方形，小的正方形可以拼出一个大的正方形。 那么我们一块来看一下关于勾股定理的一个推理过程。好，这是一个直角三角形，直角边 a a b， 那么随便尝试 c， 我们来看一看是如何拼出的一个正方形。 好，这就拼出了一个正方形了。哎，但是他为什么是一个正方形呢？首先我们来看一下这个四连形边长是多少，哎，是不是都是由这个 直角三角形的斜边做的边长，那么边长全都是 c， 那另外他的角是多少呢？这四个三角形是全等的好，那么我们来看角一跟角二之和是不是九十度， 那角三跟谁相等？是不是角一，那角二跟角三这横也是九十度，以此类推，这四个角全是九十度，四条边也相等，所以他就是一个大的正方形，那里面这块白色的部分呢？ 他也是个小的正方形，为什么呀？首先我们来看脚，四个脚是不是都是九十度的？脚那边呢？ 边是直角三角形的哎，直角三角形的一个长的直角边， b 键是短的直角边， a 是 b 减 a， 那么四条边都是一样的，所以它是一个小的正方形。 好，我们一块来看一看，关于这个大的正方形面积是多少呀？哎，是不是 c 的平方？那如果我不用这个方式来表示呢？ 还可以怎么表示这个大的正方形？他是由黄色、红色、绿色、蓝色四个直角三角形加一个小的正方形组成的， 那么面积我们是不是就能够用这些来表示出来？他是四倍的二分之一 ab， 再加上 b 减 a 括号的平方，快点得到 a 方加 b 方，那么我们就能得到 a， c 方加 b 方等于 c 方，这就是我们有关于勾股定理的其中一种推理方式。那么关于这个图，同学们我们自己的话也要用三角板来去，哎，自己的话来去这个摆一摆，看一看是不是这样子去拼的，包括我们还 还有其他的一些拼音法，同学们课下也要去尝试一下。好，那么这些是我们关于本章节的一个重点内容。另外的话，我们还学习了一个知识点，就是关于五里数在书桌上的表示。我们在学习实数的时候 知道了树轴上的点与石树是一一对应的，但是像，哎，像根二一啊，根二，根二三，像这样的树在树轴上又该如何去表示呢？之前我们是不知道的，但是 我们学习了勾股定理，那么这个我们就可以用勾股定理来将这些根号二，根号三这样的五里数在数字上表示出来了。好，我们举个例子看一看根号二如何去表示？ 我画一个直角三角形，那么两条直角边全是一，那他的斜边是多少？根据勾股定理得到斜边是根号二。 好，那我再以根号二这条斜边作为直角边，然后再画一个直角三角形，另一条边是一， 那么得到的新的直角三角形的鞋边是多少？是不是根号三？那接着我在这个基础之上，一根号三为直角边，然后以一为另一个直角边，再画一个直角三角形，那么他的鞋边是多少？ 是不是根号四呀？也就是二。那以此类推，我们是不是能够画出来画出根号五等等等等，是不是都可以表示出来了？ 那么这个的话，同学们也可以在课下自己去画一画，也是非常有意思的。好，那么这些的话就是关于我们这张集勾股定理的全部内容了。知识点不多，但是关于这个勾股定理和他的逆钉理，同学们是一定要掌握的。好，那么今天的一个试点的梳理就到此结束了，我们下节课再见。

大家好，我去旅游了几天回来了，今天我在翻我的奥数书时发现了一件事，我发现了那个沟谷地里推倒的过程。相信大家都听说过沟谷地里啊， 我不知道那个科学数学家赵爽，他是不是也是这么推到的。勾股定律，大家来看一下我是怎么发现的。我们先来看这个图，我们先得出一个公式， 和勾股定律差不多，就是这个整个正方形面积 是不是 a 加 b 的 和的二次方，然后再减掉这四个小三角形， 就是 a 乘 b， 然后有四个就来乘四， 是不是就等于中间这个正方形小一点的这个就是 c 的 二次方了？是不是有点类似于勾股定一样的求得出来啊？然后我想把这一部分给它解开， 但是我们可能没学过啊，不知道怎么求这个平方和，我就得知道了一个公式，我给大家讲一下， 就是 a 加 b 的 和的二次方，实际上这是什么呢？大家看这个，这不就是一加二加三加四这几块的面积，一的面积是 a 的 二次方，二的面积呢？是 b 的 二次方， 三和四的面积是不是都是 a 乘 b， 是 不是两个 a 乘 b？ 然后有一个发现啊，我们把这个给它公式给它套进来，这是不是就是 a 加 a 的 二次方，加 b 的 二次方，再加二乘 a 乘 b， 然后再来减这一部分 除以二乘四，是不是就是乘二，然后等于 c 的 二次？哇塞，这里是一个 a 的 二乘 a 乘 b， 这里是一个二乘 a 乘 b， 哇塞塞！然后这加这一减是不是就相当于抵消了？抵消了是不是勾勾点点就出来了？ a 二加 b 二等于 c 二，大家说对不对？ 大家帮我去查一下，是不是那个数学家赵爽是不是也是这么推出来的？我很想知道。

我们来看这道题，现在呢一只蚂蚁从点 a 爬到点 b， 点 a 在 这点 b 呢？点 b 在 这， 从 a 爬到 b， 最短路程是多少？那我们来看一下，像这种求最短路程，我们怎么来求呢？我们是将这个立体图形给它展开，找到这个 a 和 b， 然后连接 a 和 b 线段的长度。 那现在我们来展开一下，我们来画一下，这是点 a， 是 这个台阶的长度，我们先把这一个这个面给它展开，我们看这个面展开的话， 是一个什么形状啊？对了，是个巨型，这个巨型的长就是这个台阶的这个长是五十厘米，宽呢宽是这个台阶的这个高度是二十厘米，我们来画一下， 这是二十二十厘米，然后呢就是这个面， 这个面的长也是五十厘米，宽呢宽就是这个台阶的这个宽是四十，我们画一下， 这是四十。紧接着就是这个面了，把这个面展开，也是一个矩形，它的宽是这个台阶的高是二十厘米。 然后就是最后这个面，这个面也是一个矩形，他的这个宽是这个台阶的宽，是四十厘米。 然后 b 点在哪呢？ b 点在这，我们现在就是连接这个 ab， 这个 ab 这条线段的长就是这个最短路程。从这个图上我们可以看到，现在呢就有一个三角形 abc， 这个三角形 a、 b、 c 是 一个直角三角形，我们要求的这个 ab 这个线段是这个直角三角形的斜边，那这个斜边的长度怎么求呢？根据勾股定律， 我们知道这个斜边长度的这个平方是等于两条直角边的平方和，也就是这个 c 方等于 a 方加 b 方， 这样呢我们就可以求出这个斜边的长度，是这两条直角边的平方和然后开方。那现在我们来求一下，在这个直角三角形 a、 b、 c 中， 因为 a、 c 是 这个阶梯的这个长是五十厘米， b， c 呢？ bc， 我 们从图上可以看到是二十加四十，再加二十，然后再加四十，这样加下来是一百二十厘米，所以这个 ab 它的长度 根据勾股定律就是 ac 的 平方加上 bc 的 平方，然后开方就是一百三十 厘米，这样我们就求出了 ab 的 长度是一百三十厘米，也就求出了这个最短路程，所以说这个最短路程是一百三十厘米。 最后我们来总结一下，那这道题考察的就是这个最短路程问题。这类问题呢，我们就是要把这个立体图形展开，找到 ab 两点连接， ab 求线段 ab 的 长度， 我们画了这个展开图，这里面有直角三角形 abc， 我 们根据勾股定律求出这个斜边的长度。好了，这道题目就讲解到这里，再见。

今天我们预习八年级下册数学第十七章第一节勾股定律。初中阶段最难的几何是什么？你的脑海里是不是已经闪过一堆乱七八糟的图形了？那你有没有想过，这些花里胡哨的图形，其实大部分都是由三角形拼出来的呢？ 三角形天天见，但这种自带固定比例，天生就在公式的三角形你一定没见过。今天这节课咱们就来搞定难倒无数初中生的几何刺客。特殊直角三角形 提起直角三角形，你一定优先想到的是四十五度和三十度，但有没有想过，除了这些，还有几十种别的角度？那为啥我们不想七十五度和八十度，反而想的是四十五和三十度呢？其实这是因为带有这两种角度的三角形三边比有额外的意义。那我们就拿毕达格拉斯的勾股定律来看看 这个含四十五度角的等腰直角三角形的三边笔有什么特殊的意义吧。已知题干为等腰直角三角形，所以我们可以把两腰长设为 a， 再根据勾股定律，可以列出 a 的 平方加 a 的 平方等于二类的平方。 开方后，我们就可以得出斜边为根号二 a。 现在我们就可以把三边比列出来为 a 比 a， 比根号二 a， 再仔细观察，里面都有个 a， 所以 就可以直接变成一比一比根号二。也就是说，含四十五度角的等腰直角三角形的腰长为一分，斜边为根号二分。 根据这个比例，如果已知一边的长度，就能火速算出另外两边的长度来看这道题，已知一个含四十五度的等腰直角三角形，腰长为二， 求另一腰和斜边的长。根据一比一比根号二比例，已知的腰长是一份，另一腰也是一份，所以腰长为二，要求斜边，所以就是根号二份相乘后得到斜边长为两倍根号二。那现在已知腰长求斜边长的学会了，我们再来想想已知斜边怎么求腰长？ 再看这题，已知一个等腰直角三角形，斜边为四倍根号二，求两腰长是多少？根据比例一比一比根号二。现已知斜边为四倍根号二份，所以求一份的长就用四倍根号二，除以根号二等于四， 要求的两腰都是一份，所以腰长都是四。依据以上两道题，我们就可以总结出一个口诀，求有关等腰直角三角形的边时，已知腰长求斜边时就乘根号二。已知斜边求腰长时就除根号二。那我们再来一题试试，提示下，这题可有个大坑，同学们可以好好想想。 已知一个等腰直角三角形，一边长为三倍根号二，求另外两边。如果你只回答出一个答案的话，那就错了，因为此题没有设置前提。 我们不知道三倍根号二是腰长还是斜边，所以就要分类讨论。如果三倍根号二是腰长，那他就是一份，另幺也是三倍根号二，斜边就是三倍根号二，乘根号二为六。如果三倍根号二是斜边，那把它除以根号二，就得到两腰长为三， 所以此题选 c。 看完含四十五度角后的等腰直角三角形后，我们再来看看含三十度的直角三角形，他的三边比又有什么特殊意义呢？ 我们学过在直角三角形中，三十度角所对的直角边为斜边的一半，所以假设三十度所对的直角边为 a， 则斜边为二 a。 根据勾股定律，另一直角边则为根号三 a。 所以 三边比为一比根号三比二。 一定要注意，一份的边是三十度所对的边，根号三的边是六十度，角所对的边二则是斜边。计算时要先算最短的边，再算别的。来到题目，练练，已知一个含有三十度角的直角三角形， 三十度所对的边的长度为三，求另一条直角边和斜边的长度。已知三十度所对边的长度为是一份，要求另一条六十度所对的直角边，也就是根号三份，所以用三乘根号三，就求出另一条直角边为三倍。根号三 要求的斜边就是占两份，那就用一份的三乘二等于六，故斜边为六，另一条直角边为三根号三。最后我们再上点难度来看看这道题目。 根据题目 c、 d 垂直于 ab， 角 a 等于六十度，所以不难看出角 b、 c、 d 也是六十度。那么左右两个直角三角形的三边比例就是一比根号三比二， 求证 b、 d 等于三倍 a、 d。 先看短边 a、 d， 它是一份那么较长的直角边， c、 d 就是 根号三份，所以 c、 d 等于根号三。 a、 d、 c、 d 的 另一个身份是左边这个直角三角形中的最短边，所以再乘根号三等于较长直角边 b、 d。 因此 b、 d 等于根号三。 a、 d 乘根号三， b、 d 等于三倍 a、 d。 看来把较短的直角边乘根号三，就能快速的求出较长直角边， 反过来想求较短边，就是除以根号三。关于特殊直角三角形的三边关系我们就已经全部讲解完毕了，如果还想学习关于特殊三角形的面积问题，大家可以直接去洋葱学员首页搜索张无限领取 vip 即可全部会员内容，我们下期再见了！

朋友们大家好，咱们接下来还是讲勾股定律这个章节里面的一些典型题，今天咱们接着讲的是网格题和一个勾股玄图的一个问题，也是勾股定律这一章里面最常考的两类题。那首先先来看上面这个，这是个网格题，他说了 abc 都是格点小，正方形的边长都是一， 那就是每个格的边长都是一， b、 d 是 a、 c 边的高，所以咱们问的是 b、 d 的 长，那你想想看，你求的是一条边的高，那你求高你肯定会想到面积问题，所以对这题的做法就是用面积法。但是咱们要注意一下，你既然想用面积法，那首先咱这个面积 abc 的 面积， 它就等于二分之一乘以 a、 c 乘以 b、 d， 那 如果咱们需要求 b、 d 的 长，咱就需要把 a、 c 的 长和面积的长都求出来就可以了，对不对和面积的值。然后 a、 c 的 长怎么求呢？看图可以用勾股定力，这条边是二，这条边是三，所以 a、 c 作为斜边，它应该等于根号下二的平方加三个平方等于根号十三。 而三角形 a、 b、 c 的 面积，我可以用整个正方形整个网格的面积来解决，而总面积呢是三乘三， 左上角那个呢是二分之一乘一乘二，右上角那个呢是二分之一乘二乘三，左下角那个是二分之一乘一乘三，这样可以算一下，三三得九，后面是一和三，四九减四十五，五减二分之三是二分之七， 好，那这样来再给他带回去，二分之七等于二分之一乘根号十三乘 b、 d， 二分之一，二分之一消掉了，所以 b、 d 呢，就等于七除根号十三，这样的话答案就选 d 了。这个题也就出来了， 对考察的思想就是勾股定底求边以及网格体里面求三角形面积，或者求其他不规则图形的面积的方法就是拿整体减去剩余，就得中间这一块。这是第一题网格体，第二个呢是勾股弦图。什么是勾股弦图呢？就是下面这种四个直角三角形和一个小正方形围成一个 大正方形的这种图，咱们就称之为勾股弦图。是因为赵爽在正这个勾股定底的时候，经常会用这样的图形来证明，会画无数个，所以咱们就称这种题叫勾 五弦图了。那咱们来看一眼，大正方形的面积是四十九，看图，大正方形的面积，大正方形的边长是不是这个直角边 x 和这个直角边 y 充当直角三角形的两个直角边的时候所得到的斜边，那所以斜边的平方它不就是 x 方加外方吗？ 而斜边的平方就是大正方形边长的平方，所以它就是四十九。而里面的小正方形的边长是全等的，所以它就是四十九。而里面的小正方形的边长是全等的，所以它是 y， 所以小正方形的面长其实就是 x 减 y， 而它的平方应该就是小正方形的面积，就是四。那么这样以来的话，题目中说了 x 大 于 y， 所以 我还可以得到 x 减 y 等于二。那咱们相当于已知这个信息和这个信息。那咱们来看下面四个说法，哪些是正确的？圈一和咱们得的第一个信息是一样的，圈二也是已知的，所以这两个都没有任何问题，关键是三和四， 你想，其实三和四考察的就是咱们八上学的 y 平方公式的一个变形，那咱们来看一眼，第三个，你要求二 x y， 你 要出现 x 成 y， 那 你只能把这个式子进行展开，就是 x 平方加上 y 的 平方减去二 x y 等于四， 而这两个得四十九，所以这样一来，二 x y， 它就得四十五，四十九减四，而四十五加四，正好四十九是没有任何问题的，所以第三个也是对的。而第四个要求 x 加 y， 那 我只能先 x y 的 平方等于 x， 方加 y， 方加二 x y， 而方加方正好是刚刚的四十九。二 x y 刚刚也求到了是四十五，这样一来它得九十四，九十四，那 x y 就是 根号九十四，它肯定不得九，所以第四个是错的，那么咱们这种题的对的就是一二三，那这个题就选二 b 就 可以了。其实说白了就是 代数问题几何化，或者说几何问题代数化就是，只不过这个图呢，就是涉及到勾股定律的东西，所以这类也是常考的。