草莓角数学题解题方法

儿子，这个题怎么做呀？来啦，一盒草莓，上午吃了它一半多六个，下午吃了剩下的一半，还剩五个。这个草莓多少个？那么我们把这个草莓用一个方形代替， 上午吃了它的一半，一半多六个，这已经六，再去另一边借六个， 下午吃了它剩下的一半，剩下的一半，那么就是这这样 还剩五个，那这两个是一样的呢？这里就是我，那这里同样也是我五加五加六等于十六， 那么这这里也是一个一万，那这里也是个十六，那就是十六加十六等于三十二，你们学会了吗？

妹妹，我们看一下这个题，妈妈在桌上放了一盘草莓，如果哥哥一个人吃剩七个，如果弟弟一个人吃剩九个，如果两人一起吃，还差六个。这盘草莓有多少个？那这个题我们怎么做？我们来画图。 有一盘草莓，题目里面说，如果哥哥一个人吃剩七个，嗯。那假如哥哥吃了这么多，这都是哥哥吃的， 然后这里剩下七个，嗯。往边上一点，好。然后题目里面又说，如果弟弟一个人吃剩九个，一盘草莓还是没变，还是这么多， 怕一个人吃剩九个，嗯。我们刚才算出来，哥哥是吃了剩七个，九比七大，所以要再往左边画一点，嗯，对，要画长一点。这么多是九个，那这里就是弟弟吃的，嗯。题目里 又说，如果两人一起吃的，嗯。题目里又说，如果两人一起吃的，嗯。题目里又说，如果两人一起吃的，嗯。题目里又说，如果两人一起吃的，嗯。 他俩一起吃，还是差六个，嗯。我给他补上。 然后我们可以把这条虚线延长一点，嗯。往边上粘一点，延长之后可以得到。什么？这里是弟弟吃的，这里跟他一样长，说明这里就是弟弟吃的。对， 那这里是弟弟吃的。这草莓不是他们一起吃的吗？对，那剩下的就是哥哥吃的，那哪些是哥哥吃的？这里是哥哥吃的，嗯。你给他标上。 那我们看看哥哥吃的能不能给他算出来。这里不是九吗？对，给他延长一下，哎，这里跟他一样长，说明这里也是九。 那九加六等于十五。十五个是谁吃的？哥哥吃的，嗯。那这个也是哥哥吃的，这也是哥哥，那，所以这里是十五个，那这下我就知道一排草莓 就是这么多，是二十二个。嗯，那烈柿子怎么炼？烈柿子就是 九加九等于十五， 然后十五加七等于二十二个。

一盒草莓二十四个，吃了的是剩下的一半，少三个，吃了多少个？这道题确实是有点难度哈，难怪学霸也会做错，我们今天就用三种方法来解这道题， 我们采用画图加多去少补的思路，特别好理解。方法一，我们补吃了的 这种方法我们最推荐也是最简单，我们看吃了的是剩下的一半，少三个， 这里的少三个不好算，我们就给吃了的补上三个，这里补的这三个不能拿剩下的去补，而是在总数上去补三个，所以这盒草莓的数量就变成了二十七个。我们画一下图来理解， 我们看吃的这么长，他是剩下的一半，还少三个，我们就把吃的给补上三个，现在吃的就是刚好是剩下的一半，整盒草莓是二十七个，可见吃的是一份， 剩下的是两份，一份就是二十七，除以三等于九个。因为吃的我们给补上了三个才占一份，所以吃的还要去掉这三个，所以吃的就是六个。我们再看一下。方法二， 去剩下的，我们仍然结合画图的方法，这回我们采用把这剩下的这一半多的这三个给去掉，当然这另一半也要去掉三个，那么这剩下的每一半都去三个，就等于去六个，那总数也会减少六个， 总数就是十八个，这十八个刚好就是吃的占一份，剩下的占两份，吃的就是十八，除以三等于六个。 方法三，方程法，我们设剩下的为 x 个，吃了的就是二分之一 x 减三个，总数是二十四个，所以方程就是二分之一 x 减三加 x 等于二十四，我们可以解得 x 等于十八， 所以吃了的就是总数减去剩下的二十四，减十八等于六个。我们看这三种方法，学过方程的我们可以采用方法三，也就是方程法，不善于用方程的我们就用方法一，这种是最简单的方法二，去剩下的， 往往同学们只去掉这一个，一半的三个忘记去掉，往往容易出错。

下，最容易让人晕悟的找规律就在这里了，技术的方法呢有很多，明老师教你一个最清晰，最不容易犯晕的啊。来看两条直线相交于一点的话，问图中共有多少对对顶角？ 这里呢，我们会很清晰地查出这是一对，这是一对，那共有两对对顶角。第一个很简单，但其实它并没有体现出来咱的这个技术规律在哪？我们再来看三条，三条线段交汇点有多少对对顶角，那我们还是先查这是一对，这是一对， 这是一对来，还有吗？弹幕上打出你的答案，容易掉的第一个坑它就来了，不仅是这种单一的小角，它有对顶角，那我们两个小角可不可以组成一个大角？是不是也可以也是有对顶角的，比如说这个黑色的，那这里就是它的对顶角 啊。很多同学就这样两个两个又去查，会发现这就蛮容易查错的啊，我在这查呢，我在这是不是也要画出来？画着画着这图就乱了，那你要是教你一招啊，非常清晰。首先我们来把所有的角分类，第一个就是一个角， 一个小角的，它的对顶角的个数是有多少对？一对，两对三对，怎么来的呢？不要看真的去看角啊，大家看线，因为角它是不是有两条射线所组成图形也就相当于是你看它的一个边呗。看，这，这是 一条射线，从这里出发的一条射线，那从它出发是不会一定就会有一个小角，那这是第二条线，这里呢是第三条线。 接下来计数方法有两种啊，一种呢是说我查到这我就不能再查第四个了啊，因为查第四个的时候他俩就重复了，那你就查三个，这是第一种方法。 第二种方法是我要依旧查啊，我这是五，哎，这是六，然后我查完除以二。那大家看哪种好？从这个清晰的角度呢？我们可以去算六个， 最后除以二，这样更清晰，免得大家查查查。查到这我还得确定一下要不要再往下查，所以咱们就用第二种方法去计数接下来两个角的， 也就是说从这条射线啊，我往右侧有两个小角组成的一个角，你会发现这是一个，这个黑色的是一个，那从二出发，两个小角组成一个角，这个跟刚才一个角是不是完全不会重复？ 两个？然后再从三出发两个，那四个、五个、六个查到这，那你再查第七个，是不就回到了我们一开始的第一个，哎，所以有两个角的依旧也是六 除以二。因为你在查一的时候，查的这个大角和这里的队形角是不是相当于是一个，就跟你查四的那个重复了？那你如果选择查一圈的这种计数方式，就要除以二， 那再接下来有没有三个角组成一个角呢？我发现对于这这种情况就没有了，哎，三个角，这就是一个平角了，就没有了。那最后三条直线相交就有，这是三加三， 三加三，我们想乘法的话就是三乘以二。好，我们把这个式子先放在这，这结果不重要，最后我们要梳理 n 对 的时候，得找到计数方式，再来看四条的，我们依旧这样标一下， 一条直线，两条直线，三条直线，四条直线，那我们如果选择转一圈的话，那肯定就是五六七八了。 好，我们再来看一个角的，那从这个一出发，那这是一个角，那你从二出发呢？只有一个角，从三出发，一个角一直查到从八出发，一个角是不是八个？那你再去查一的话，就跟这重合了 啊。要想不重合的，一个角多少对？八？对，但是要除以二，八除以二。第二种情况两个角的， 那仿照刚才说他肯定也是八除以二。我们再来查一遍啊。从一这条射线出发，我两个角组成了一个大角，从二这条射线出发，两个角组成一个大角，你发现它们是出发的是不同的边，所以这个角肯定是不会查重的。从三出发， 从四出发，当你再从五出发的时候，哎，他其实就跟你从一出发形成了一个大的对顶角，其实就已经重复了啊。那如果你想说，哎，我这样查着清晰，我一直查到八，那最后咱就除以二就可以了。 四条线相交，有没有三个角？发现是有的，从一出发，一 两个，三个看，这里是一个大角，也就是说这里是有三个角喽。那三个角的情况自然也是几个，计数也是八，因为从一出发，二三四一直到八，最后查重复了，再除以二，八除以二， 那有没有四个角？肯定就没有了，四个角就到五折，就成一个平角了。大家这回发现规律了，是不是？那他是四加四加四，也就是四乘上三， 三条的时候是三乘以二，四条的时候是四乘以三，那 n 条的时候就是 n 乘上 n 减一，你学会了吗？

奥数这样讲，孩子能听懂，一盒草莓上午吃了它的一半，多六个，下午吃了剩下的一半，还剩五个，这盒草莓多少个？思考三秒， 一盒草莓，我们用一个正方形表示，上午吃了它的一半，多六个，我们就把一盒草莓从中间分开，取其中一半，再从剩下的一半里划出一部分，表示六个， 这两部分就表示上午吃掉的总数。下午吃了剩下的一半，我们就从中间分赶取其中一半，还剩五个，就是这部分是五个，这时候你一眼看出剩下的一半也等于五个，那这三部分相加六加五加五等于十六个， 同样的这一半也是十六个，这颗草莓的数量就是三十二个。那么用同样的思路做拓展题，评论区告诉我答案。

期末考试啊，就这道题，全班都全军覆没了，因为它很难，难在哪呢？第一个，考一个特别复杂的画图的问题。第二个，又考很复杂的分类讨论。但实际上啊，我今天教大家一个三步法啊，你可以既规避到复杂画图，也可以规避掉复杂分类讨论，具体怎么做呢？我们先来大概看一下三步法到底是什么。 第一步，动角动线问题啊，去列一个位置的时间坐标啊。第二个呢，去把要求的角度划成绝对值关系，规避我们前后值的差值，分类讨论。第三个，我们去解一绝对值方程就可以了。 我们来看一下这道题具体是说的什么，我们怎么来利用这个三步法把它变得简单的啊？首先它给你两个角，第一个呢， a o b 啊，它等于八十度。第二个 c o d 呢，它等于六十度， 两个定角。现在我有一个 c o b 啊，就是这个小角开始动了啊，以每秒五度的速度呢，逆时针去旋转，也就是说这个角的整体，哎，往左边来转，时间的范围呢，给了我们一个限制啊，说，当 a o b 等于 c o d 的 时候 会怎么样？你看啊，它让你去求这个角和这个角最终相等的一个状态下，但是你会发现中间这个角还在动，所以呢， 你这两个角肯定也是要动的，它不是一个固定的值，这我们怎么去画呢？这里边呢，三步法啊，一定要用啊，但是用这三步法之前，先教大家一个化碱的处理的办法。 首先，这里边是一个动角，整个角都在动的问题，我们可以把动角转化成两条动射线，因为你看啊，他说这个角往左转，那实际上呢，我们可以拆出来，先说 o c 这条动线是不是往左转，每一个时间的速度是 五 o b 这条线是不是也是要往左转？哎，每一秒每个时间的速度也是五，拆成两条线再去处理。 那么实际上这道题呢，我们一个重要的复杂的项啊，在于没有给我们零点的位置到底在哪里，对吧？你不知道什么地方是零，或者说不知道它的 起点在哪，所以按照常规意义上啊，你用起点加减数字乘时间去列这个位置时间坐标，哎，不好列，但是呢，我们可以去取相对的值，是不是也行？ 那么我们看一下啊，首先 a o b a o b 让你去求这个，你这个 b 是 个洞的，但是有没有一个确定的数值，它最开始在零时刻的时候是不变的呢？有哎， 给你 a o b 的 起始的大小是八十，所以我们可以去求。哎，你看角 a o b 啊，它等于虽然没有具体绝对位置，但是有相对位置，角 a o b 等于起始的八十度，它这个五度每秒向左运动嘛，越来越小对不对？好，减去五 t， 其实你会发现这它也是一个时间坐标。好，这是一个右边儿， c o d 也是一样的，你会发现这个 c o d 呢，它原来也有一个值是六十，起始值是六十度，然后干嘛？它是不是也要往左转，但是越往左转呢，这个 c o d 的 角会越来越大， 对吧？好，他要怎么着？他要加上五题。现在我会有这样的两种情况来出现，那么这种呢，相当于是我把时间坐标和角度的问题给它结合在一起了，但是你会发现漏了一步啊，因为我们三步法第二步你要通过绝对值来去规避啊，两个 线之间的相遇问题，所以绝对值你必须还得用啊，你不要先写完这个就结束了，这个其实只是第一步的一个事，为什么会有相遇呢？你会发现我们这个 b 线啊，向左 我转的过程当中，是有可能啊去越过这个 a 线的，因为你看他的总的大小是八十，每秒的速度是五，当你的时间特别特别长的时候，其实他会越过这个 a 线，但是呢，由于他这里边有限制十五，那我们算一下 十五乘五得多少？等于七十五，其实是小于八十的啊，所以这一侧他不用加小于十，那么另外一侧你不管怎么转，只要转的不是特别的夸张啊，其实也是不会越过这样的一个限制。 所以呢，绝对值的问题啊，你画也行，不画也行啊，反正最终都大于零，那么我们最终解一方程就可以了，对不对？八十减五 t 等于六十加五 t， 那 么解一下，二十等于十， t， t 等于几 t 等于二，这就结束了我们所有的一个问题。所以你看这个题啊，它其实是我们动角问题的一种复杂问题，简单化，在利用三步法处理之前，有一个数学思维叫做忽略 无关项，因为你看我们求 a o、 b， 你 c 和 d 没关系，所以呢，你虽然是 c o b 是 个动点，但是 c 不 用看。同样呢，你求 c o、 d 的 话呢， b 不 用看，所以忽略无关项以后，再去套用时间坐标考虑绝对值。当然这个题最后我们把它忽略了啊，最后呢，再去解方程 就可以了。所以这题其实最后减起来是非常容易的啊，但核心点还是三步法的核心理念和思维好。那么关于这类问题呢？动点问题啊，我为大家还总结了一些核心题型的训练啊，大家可以关注我并评论区评论六六六就可以领取了。

妈妈带了五十元去买水果，买了三盒蓝莓，花了多少钱？一盒草莓十几元，再买一盒草莓，全部收藏好 啊，同学们读的很齐，刚刚大家读的时候发现老师缺了一些什么呀？关键词，大家看到这些关键词了没啊？除了老师缺了这个关键词，这道题还有几个问号呀？几个问号？两个问号，两个问号，所以我们在写的时候要注意，我们一问一问的去解决。好，来第一个问号很简单，那为什么呀？买了三盒草莓花了多少钱？ 第一个问号，这个问题很好解决，对不对啊？第一个问，第一个问题就是求什么的？先告诉我，他实际上就是求什么的。买了三盒草莓花多少钱？实际上是求什么的？第一问，求什么的呀？第一问，求什么的？三盒蓝莓花了多少钱？就是让我们求什么的。 买一盒蓝莓多少钱？九九九九，就是让我们求什么的。非常棒，就是让我们求三个九是多少？求三个九是三个九，相加是多少？用什么法？ 乘三个？谁乘谁就乘三，就乘三，很好来，九乘三等于多少？三九二十七，二十七，干什么？干？问元好，来第一问，很简单，对不对？第一问，他说买三盒蓝莓多少钱？首先我们知道每盒蓝莓是九元啊，求三个九先加多少？我们就用乘法，九乘三等于二十七元，这是第一问。来第二个，我们再来看，一盒草莓十几元， 在你看老师又圈了个在字啊，再买一盒草莓够用吗？心航坐好啊，够用吗？什么意思？这个在说明了什么？再再买一草莓啊，再买一盒草莓，对吧？说的非常好。来，你站起来说，在什么？来，你举手打， 非常棒。他说的非常好，记住啊，也就是说什么呀？在在买完什么的基础上呀，在买完买完蓝莓的，买完三盒蓝莓的基础上，我再来一盒草莓，问够不够是不是？那你来第二个，其实就是让我们解决哪个问题啊？够吗？够不够的问题对不对？想知道够不够的问题，我们得知道用什么，用多少钱去 买的。再买一盒草莓怎么算？ 拿二十七元去再买一盒草莓吗？不是拿多少钱？拿五十元吗？嗯，那是拿了多少钱？大家来做做问，大家来思考这个问题，他说他说什么呀？一盒草莓十几元啊？他说我再买一盒草莓，钱够用吗？你看这道题信息量，信息量很大，是不是还得问你够用吗？他还有一个在字，说明拿了多少钱去再买一盒草莓啊？ 啊？买五十元啊，他五十元只买了一盒草莓吗？这个二十三是怎么来的？五十点，哎，非常好，就说什么时候去买草莓的？就说我买完蓝莓之后用什么的钱再去买一盒草莓啊？非常好。那所以第一步我们是不是要把买完蓝莓之后剩下的钱怎么了？求出来，是不是啊？这步能不能省略？ 能省略，不能能省略吗？你直接用二十三。去去去算吗？能不能不能来我们怎么算？首先妈妈带了多少钱去买？五十元？五十元买了三盒蓝莓，三盒蓝莓是多少钱？二十三，五，蓝莓二十七元。好，买完蓝莓之后剩了多少钱？我们要用什么法去解决？剪发，剪发用谁剪啊？ 五十减去二十七等于多少？二十三，二十三元。这个题我们在算的时候要列数字啊。好，这是我们什么的钱？买完蓝莓剩下的钱，对，用剩下的钱再去买这个草莓。好，剩下多少钱？二十三，二十三元来，二十三元跟谁去比较？十几 对，二十三元跟十几元去比较，十几元来。二十三和十几，他是二十几。二十三相当于二十几和十几，谁大呀？二十三大。 好，我们要解答对不对？好，那我们在解答的时候，首先这道很重要啊，这道很重要。这道题有几位？先看有几位，两问再解答时候，只答够用行不行？只答够用行不行？不行要怎么去答？首先第一问的是什么？买了三盒蓝莓花了多少钱？那你就答买了 三盒什么？梅草莓吗？蓝莓。买了三盒蓝莓花了多少钱啊？花了二十七元，对，这是第一问，对不对？好，逗号，这第一问答完逗号。然后第二问什么？再买一盒草莓，钱够用吗？那你再答第二问啊，再买一盒 什么草莓？草莓，那你说钱够不够用啊？二十几等于十，所以他肯定是够用，所以答，再买一盒草莓，够用 啊。听好，来，这是我们这种题两问的，这种题的一个答的，一个标准啊，标准的一个形式来做，三。

今天老毕给大家带来一道好题，这道题呢，是咱们新中考改革以后，咱们动点最值中的一个常客。说，我这块啊，已知啊，平面直角坐标系上 o c 这个边长它等于四。 哎，那就说明 c 这个点跟 o 这个点，它俩怎么样固定不变，是这道理吧。好，再来说三角形， a b c 啊，它永远都是一个啊，等腰 直角三角形，那既然你等腰直了，这两边长是不是就相等啊？哦，这个角是不是就等于九度啊？哦，再继续说 a 点啊，在这个 x 轴上呢，运动，然后最后让我们求啥呀？求的是 o b 加上 bc 的 最小值哦， 动点最值问题对吧？那这个动点最值，我们先来分析一下，动中找不动不动的是不是就是 o c 啊？所以我这道题的关键在哪？关键就在于所有的点 b 啊，到底在什么位置啊？说 a 移动的时候，你等腰直，那 b 点是怎么跟着改变的呢？嗯，这就是这个问题的关键了。好，那接下来老师给大家讲一下 b 点该怎么分析。第一个，如果你学过刮豆原理的话，这道题就可以轻松地看出来哦。怎么看出来呢？大家刮豆原理是怎么样的？是说我有一个固定点在这不动 是有道理吧？然后紧接着呢，由他伸出来两条边啊，第一个条件说，我这两边夹角，他永远都不变 啊。第二个条件说，我这两个边长的比他永远是个定值。好嘞，那这个时候他就满足瓜豆原理了，只要你这个点 是在一条线上，那我这个点必然是在一条线上，你这个点是在圆上，我这个点也在一个圆上，这就叫做种瓜得瓜，种豆得豆了。哎，那毕老师来帮大家分析一下啊，咱们的题有没有，嗯，说你 a、 b， c， c 点不动吧？ 哦， a 点在这改变吧， b 点也跟着改变吧。是这道理不好嘞，那么他们到 c 的 这个夹角，由于等腰直，永远都得多少度？ 嗨，这是不是永远都得四十五度啊？这个加五度啊，并且你是等腰值，那你这如果是一倍长的话，我这边永远是多少根号？二倍长吧，所以边长比 也不变。哎，那这个时候你在一条直线上运动，我就必然在另外一条直线上运动，毕老师说清楚吗？所以瓜豆原理一眼就看出来了。那接下来有人就要问了，毕老师，这个 b 点到底在哪个直线上啊？我们还是不知道哎，那你知道直线需要几个点确定吗？ 是不是需要两个点啊，就确定这条直线，所以你给我画两种特殊情况不就完了吗？是不是？大家第一种特殊情况谁？你看，我就让这个 a 点跟 o 点重合，可以吗？那么此时等腰值哦，我这一个点 b 就 在这个位置，它距 o 点的距离就是四，所以它的位置就叫做四零，没问题吧？第二个，哎，我让 a 点长在一个合适的位置，让这个等腰值怎么样啊？ 这么长可以不啊？说这个角得四十五度，那你得九十，你这也得四十五啊，那我三项合一做一下，你这边长为四的正方形，所以这边是不是还得四啊？啊，那我这个点就变成了谁 啊？就变成了横坐标是八，纵坐标是四，所以它就是八四。那过这两个点的那个直线解式，大家能不能写出来， 太能了吧，是吧？啊，一个四零，一个八四，非常好写啊，这样的话，我这条直线就知道了啊。这是第一种方法，但是有同学写到这还是觉着，嗯，挂豆原理有点难，大家 别难，毕老师教你第二种方法，在咱们中考中特别常用，叫做解析法，比这个还快，比这个还好解过程。哎，各位，什么叫解析法呢？你看我现在是不是就想知道所有的动点 b 它在哪？哎，那我就不妨假设它的横坐标是 x， 纵坐标是 y 呗， 是这个道理吧。哦，那接下来我有一个关键已知条件叫啥？是不是我这个 abc 是 一个等腰直角的啊？ 啊，那作为等腰直角三角形，我这两边长是不是相等啊？并且他俩是不是垂直啊？哦，平面直角坐标系，你这还一个九十度吧，那一条直线上已经有俩九十度了，马上干嘛？ 哎，再做一个九十度，形成一线三等角，是这个道理不？那接下来这两个三角形就能够证明是全等的，既然你全等，这边得四，这边还得四，是吧？啊，我这个横坐标是 x， 是 不是意味着整个这一段是 x， 整个这一段是 x， 这小段就是 x 减四吧？哦，你是 x 减四，全等过来，我这小段也是 x 减四。哎，大家来看，这 x 减四刚好应该等于我的 纵坐标吧，于是乎，解析法写出来了， y 就 等于 x 减四。刚刚我们要求那个四零还有八四是不是就在这条线上啊，所以一下子就算出来了，所有的点 b 就 在这条直线上，那这个直线咱们把它划出来，既然我 b 点永远在这条蓝线上运动，然后你现在问我这个边加这个边什么时候最短？大家，这个变成了一个什么问题了？ 是不是典型的将军印码点问题哎，并且是在这直线的同一侧有两个固定点，想求它俩夹合最短，那怎么办？ 是不是叫一个对称，一个连结啊？啊？你先把它对称过来，让这条边永远等于它，对吗？所以你两个夹合最最小，就是我两个夹合最小，我两个夹合什么时候最小？两点之间 线端最短，毕老师说清楚这个道理了吗？ ok 哦，那么接下来我们就把这个线段给求出来就可以了。好，一点一点来第一个 啊说，首先我先求一下 o 点关于直线的对称点， o 撇等于几？其实这个特别简单，因为咱们这题比较特殊，你看我这 y 是 不是等于 x 减四啊？ y 的 x 减四就意味着斜率是一，与 x 的 夹角是 四十五度哦，那这边这个角就是四十五度，又因为你是九十，这也是四十五，所以这个家伙是一个什么等腰值？所以你把一个点关于直线对称过来很难，但是你把一个等腰值关于直线对称过来，那我这边一个等腰值，这边一个等腰值，俩等腰值这么拼在一起，那就是一个什么 正方形吗？对吗？并且这个正方形边长等于几呢？大家，我让 y 等于零， x 明显等于四吧。哦，这小段等于四，那这段也得四哦，正方形都得四，所以 o 撇点坐标就是 横坐标正四，纵坐标负四哦， o 撇点咱也知道了， c 点呢？ c 点这块是零四哦，所以最终两点间距离够固定的，一算就知道了。毕老师说清楚了吗？啊？那最后咱们把它算出来。 嗯，想要这个最小值，横着竖着做一个垂线，显然横着这一段就等于四，竖着这一段你是四，我也是四，加在一起就是八啊，所以四八。那就是四呗。更好，李老师讲清楚了没？

妈妈买草莓买两斤剩十元，买五斤差十一元，问妈妈带了多少钱？这是低年级常考的盈亏问题，怎么做我们树形结合来计算妈妈带了多少钱？我们不知道，我们用这样的一条线段来表示妈妈带的钱。题目说，妈妈带的钱买两斤草莓剩十元，也就是多了十元，好 说这是两斤草莓的钱，那这里就是剩的十元，买五斤的话，差十一元，什么意思呢？意思就是妈妈如果要买五斤草莓，钱不够，还差了十一元，差多少我们给他补上，补上十一元后就可以买五斤草莓了。这里是两斤，那这里就是五减二等于三斤，三斤草莓多少钱呢？十加十一等于二十一元钱， 三斤二十一元，那一斤就是二十一除三等于七元。问妈妈带了多少钱？妈妈带的钱买两斤草莓还剩十元，也就是二乘七加剩的十元等于二十四元。

期末压轴必考的动脚问题啊，我之前有个学生啊，年年考年级第一，然后呢，有一回考试回来拿这道题跟我哭，说我老马失前蹄了。 其实这个题呢，没有想象的那么难啊，只要方法正确，还是可以变得很简单。来，我们今天一起来研究一下这道题难在哪？它有两个动脚，相当于四条线，我都在动， 而且它最后让你修的是角的差，怎么办？先渡题啊，首先给你一个角， a o b 啊，这是一九十度。好，这很容易判断 c o d 呢，哎，这块一个角是六十度， 但是我们会发现 o a 和 o c 它现在都是重叠的，对吧？其实都是咱们这条直线的右半边开始动了啊。 说，如果是 c o d， 哎，以每秒五的速度逆时针方向旋转，相当于是我其中有这个小角呢，开始往左掰，对吧？相当于是 o c 和 o d 同时在往左来旋转。好，我们先给它翻译成人话啊， o c， 哎，往左五度， o d 也要往逆时针方向五度的，这个速度继续 a o b a o b 什么呢？这个直角儿好，开始也往左掰，每秒的速度是二，那么我们还是给它拆解成射线啊，你看， o a， 哎，每秒的速度是二， o b 每秒的速度也是二。开始来提问了，问你什么呢？问你，哎，旋转到 t 秒的时候啊， m o c 和 a o d 的 角的差值。你看这个角又开始乱套了， m 点动没动， 你看这块，我标的所有动里边， m 点根本就没动，对吧？所以你看， m o c 相当于是 m o 是 一个定的线， o c 呢，是一个动的线，所以我们看，首先第一个角是一个跟时间相关的一个角值， 第二个减去 a o d， a， o d 是 什么呢？你看 o a 是 个动的， o d 它也是个动的，这玩意两条线角的两个边都在动，复杂吗？如果你第一眼看到你会觉得这个题你完全摸不到头脑，我可以告诉大家呢，传统意义上的解法呀，画图是吧？ 但是你这个题非常的难画，我就不给大家讲这种方法了，为什么？因为你所有的线都在动，你怎么来画图？非常的复杂，那么我们不妨呢，采用另外一个手段，你图画不明白吧？没关系，我们直接来算数。怎么算啊？首先 先算第一个角， m o c 这个角相对好算一些，因为你这个 o m， 它永远是个固定的玩意， o c 呢？我只有一条边在转。好，这是 o c 啊， 它从 o m 这条重叠的线出发，往左边来钻，每秒是五个角度的单位，所以我就会发现呢，这个角它的大小，哎，角 m o c 的 大小，它永远就是速度乘以时间，对吧？好，五梯度。 这个比较简单啊，我们先确定第一个，第二个 a， o d 到底是怎么回事？首先看第一个边，就是这个 o a 这条边， o a 这条边，它从这地出发往左转啊，它的速度呢，是二，所以我们先画啊，比如说这是 o， 这是 a 往左转，哎，速度是二。 再来看，还有一个边是 o d， 对 吧？ o d 是 这儿，它原来呢，是从这个六十度出发往左转，但是它转的速度啊，相对来说要快一点，是五。所以你会发现一个问题， 在最最开始旋转的时候， o a 在 o d 的 上边儿没问题吧？所以呢，我们先把第一种情况的这样的一个角给它写出来啊。好，首先如果你 o a 和 o d o a 在 上面的话，首先 o a 这个位置在哪？假设我们原来起始的位置，这个是零度的话啊，那么 o a 现在跟原来的位置的夹角多少 啊？速度是二嘛？那么我们看 o a 的 位置是二 t， o d 的 位置多少呢？ d 原来相当于是负六十度，对不对啊？所以应该是起点是负六十度，加上速度五 t。 好， 如果 o a 在 上面，那么现在 啊，第一种情况，角 a o d， 它就应该等于 o a 的 位置减去 o d 的 位置，因为 o a 比 o d 要大，所以我们先写二 t 啊，减去，哎，负六十加上五 t， 这是第一种位置。第二种位置， 你会发现这个 o d 啊，转的比 o a 要快很多，哎，慢慢追啊追啊追，总有一个时间它能超过去，那么超完了以后呢， o d 就 在 o a 的 上边了，对不对？好，那么第二种情况，角 a o d， 那 就应该反过来，就应该是 o d， 再减去 o a， 你 看超过了就变成这样，这是 d， 这是 a 了， 看到没？所以呢，反过来讲啊，就是负六十加上五 t， 这是 o d， 对 吧？再减去 o a， 所以 其实呢，我们这个 a， o d， 这个两个角啊，啊，两种情况啊， 随着 o a 和 o d 它们两个追逐的一个前后关系，我们会有两种表达形式，但是呢，这个 m o c， 哎，我们这个角没有两种表达形式，永远是固定的，所以我们在写这样的一个表达式的时候啊， 其实要分类讨论。第一种情况，在没有追上之前，好，你用上面这个五 t 减去第一个式子，再追上了以后用上面这个五 t 呢，减去第二个式子就可以了。但是这里边，哎，有一个关键的问题， 你在书写这个表达式的时候呢，你要去找到到底是第几秒啊？他完全的追上了，对不对？因为你有这个两个减法式子的变化的临界条件。但是其实这个事呢，是不难算的，因为他们两个最开始的距离啊，是六十度，对吧？ 然后呢，速度的差哎，他比他快三度，所以每一秒追上三，总共差六十，你看六十除以三，是不是 t 等于二十秒的时候，哎，他完全追上了， 对吧？所以说我的两个式子做切换的过程当中，就是 t 等于二十，做一个临界值， t 小 于二十是第一个， t 大 于二十是第二个就可以了。所以这个题呢，他的坑点在于画图 确实是传统且可能一般情况下比较简练的办法，但是这个题你画图非常的难，极有可能画不出来， 我那个全班第一的同学就是画图栽在这了。然后呢，第二个办法就是把图转成竖，叫行转竖，竖行结合，再结合追逐战，是否追上了这样一个临界条件。那么这个题其实很清晰的哎，逻辑很顺畅的就可以解决了。好，这道题你学会了吗？

单招对口数学考前冲刺习题再刷，接下来我将通过十二道题目带大家来学习我们单招对口数学有关集合的考点，如果基础比较差的同学，可以通过我们左下角的视频章节里面跳转至第二部分零基础知识点的讲解， 看完讲解之后再来做相对应的题型，如果技术比较好的同学，我们可以一起来跟着刷题，由于视频时间比较长，建议大家先提前点赞收藏。我们来看具体题目的讲解，我们先来看第一题，他给了一个 g 和 a， 给了一个 g 和 b， 我 们要求 a 交 b 和 a 并 b， 这些呢就是比较基础的题目，我们来做一下练习，大家也可以跟着一起来做一做。那首先呢，我们要看一下 a 交 b， 所谓的交集就是要找到它们相关的，我们交集 看到这个交字，对吧，他们肯定有相关联的，那我们就把他们都有的元素给它找到，这里面呢就是 c 和 d， 那 a 交 b 的 话呢，就是 c， d， 接着就是 a 并 b， 那并集的话呢，就是合并在一起，把它们两个都有的元素合并在一起，去掉一个它们两个都有的元素，那我们把它并在一起的话呢，就是 a， b， c， d， e， f， g， 这里面我们可以看到 c 和 d 呢，它重复了，因为集合的互异性，所以呢我们要去掉一个，只写一个就可以了，这是第一题，接着第二题， 同样的给的也是两个集合，这个呢相对于我们第一题难度就会提升一点，我们同样求的是 a 交 b 和 a 并 b， 这个题相对于我们上一题呢，我们就要先解一下这个给的这个集合，那 x 平方减九等于零的话呢，我们就可以给它， 因此分解一下，就是 x 加三乘以 x 减三，那么就可以得到它有两个减，就是 x 等于三，或者是呢， x 等于负三，那我们这里给集合 a 呢，就可以写成它等于负三三， 再来看 g 和 b 呢，那 x 减三等于零，那 x 呢就等于三，他呢就等于三，这个是比较简单的，那我们再来看 a 交 b， a 交 b 的 话，就找到它们两个都有的元素，也就是单独的一个三， a 并 b 的 话呢，就是我们把它们合并在一起，也就是我们的 g 和 a， 负三和三。所以呢，我们这里就会发现 a 交 b 呢，就等于 g 和 b， a 并 b 的 话呢，就等于 g 和 a， 这是我们的第二题。接着第三题是全集优，哎，我们只要看到有个全集优的话呢，一般就会让你求它的补集，并且呢给了一个集和 a 和集和 b， 我 们要求 a 交 b， a 并 b， a 的 补集和 b 的 补集。这里面什么是补集呢？比如我们要求集和 a 的 补集，我们要看到集和 a 里面的元素相对于我们全集优里面少了哪些，我们给他补充完整就可以了。 同样呢，让你求集合 b 的 话呢，我们就把集合 b 里面的元素相对于全集 u 里面少了哪些，给它补成完整就可以了。那我们先来看 a 交 b， a 交 b 的 话，同样这个就比较简单了，它呢就是单独的一个元素四， 第二个呢就是 a 并 b， 那 我们把它合并在一起就是二三、四、五、六。 接着我们来看补集 a 的 补集，你看到集和 a 里面的元素相对于我们全集优里面少了哪些，你给它补充完整，我们就会发现它里面的少了一三五七八，那我们给他写一下呢，就是一三五七 八，那 b 的 补集的话，你就看到集和 b 相对于全集优少了哪些元素，你就会发现它少了一二六七八。 这是我们的第三题，接着我们来看几个选择题。先来看第五题，大家可以暂停一下，做一下可以给自己答案的评论到评论区里面是 g 和 a 等于这个， g 和 b 呢等于这个，我们要求 a 交 b， 那 么交集的话，就找到他们两个 都有的公共元素，我们就会发现，二他们两个都有，四呢，他们两个也都有，五的话呢也都有，所以呢我们就可以找到他的交集的话呢就是二四五，所以呢答案就选择我们的 c 选项。 接着第六题，大家也可以先暂停一下，可以把自己答案呢评论到评论区里面是全集 u 等于这个集合 a 呢等于三五，我们求 a 的 补集，那我们求 a 的 补集，就看集合 a 里面的元素相对于我们全集 u 里面少了哪些，我们给他补充完整就可以了。 通过观察呢，我们就会发现，哎，他少了二和四答案的话，就选择我们的 b 选项， 这是两个比较基础的题目，我们后面的难度呢就会逐渐上升。我们来看一下第七题，已知集合 a 等于这个集合 b 呢等于这个，我们要求 a 并 b， 像我们在做这种题目的时候，一定要注意他给的是开区间还是 b 区间，那我们通过观察对吧？ 集合 a 呢？集合 b， 他 们两个都是 b 区间，所以呢，你看到这选项里面带开区间的，就直接可以给他排除掉， 那我们正确选项呢，就在 c 和 d 里面进行选择，那我们要求的呢是 a 并 b， 那 我们就取左边这个最小的，右边这个呢是最大的，那就是最小的话就是负三，右边的话呢，最大的就是六，所以大家就选择我们的 c 选项， 也是比较基础的题目。其实这道题呢，你看到这个哎， d 选项呢，他也有一个开取键，这个也是可以排除掉的， 所以这区间的话呢，大家一定要注意。怎么来区分开区间和 b 区间呢？哎，如果是小于或者大于的话呢，我们就用开区间，如果是小于等于或者是大于等于，我们就用 b 区间，这个一定要注意。接着我们来看第八题， 给了一个 g 和 m， 给了一个 g 和 n， 并且呢他给了一个 n 为 m 的 真值， g 让你求 a 的 值为多少，这里面我们出现了一个名词叫真子集，那什么是真子集呢？这个大家一定要知道它的概念，如果集合 a， 它是集合 b 的 子集，并且呢集合 b 里面它至少有一个元素，它是不属于集合 a 的， 我们就称集合 a 的是集合 b 的 真子集，那么这里 n 为 m 的 真子集。首先呢 奇和 n， 它是奇和 m 的 子奇，并且呢奇和 m 里面有一个元素，奇和 n 里面的是没有的。我们在做这样的题的时候，大家最简单的方法就是你把选项里面的每一个给他带入到里面， 比如我们看到 a 选项把负一带入的话呢，这里面就是三一负二，这个里面呢，就是负二和一，那我们就会发现一和负二呢，他们两个都有， 但是呢， g 和 m 里面有一个元素三， g 和 n 里面是没有，哎，这就符合了我们甄子仪的一个概念了，所以呢，刚好就选择我们的 a 选项， 不知道大家做对了没有，如果做对的话呢，可以在评论区里面评论个一。接着第九题 说，集合 a 等于这个，集合 b 呢等于这个，这集合 a 与集合 b 的 关系是什么？大家可以自己先暂停做一下，把答案呢评论到我们弹幕里面。我们先来看 a 选项，集合 a 等于集合 b， 哎，集合 a 等于集合 b 的 话，他们两个的元素呢，都是相同的，我们发现集合 a 呢，它里面是 x 小 于零， 奇和 b 呢，它是 x 小 于一，所以呢， a 选项可以排除掉。接着来看 b 选项，奇和 b 包含于奇和 a， 也就是说奇和 b 呢是奇和 a 的 子集，什么意思呢？如果奇和 b 是 奇和 a 的 子集的话呢，就是奇和 b 里面的元素，奇和 a 里面都有。 首先呢，集合 b 里面我们可以挑一个，比如零，集合 a 里面它是没有的，因为它呢是小于零的，所以呢，我们就可以给它排除掉。接着 c 选项，集合 a 包含于集合 b， 也就是说集合 a 呢是集合 b 的 质基，我们就会发现，集合 a 里面的元素呢，集合 b 里面都有，所以呢，这个答案呢是正确的，正确答案呢，就应该选 c。 最后呢，我们来看一下 d 选项， b 属于 a， 关于这个数的话呢，一定是元素与集合之间的关系，那我们就会发现集合 a 呢，他给的是一个集合，集合 b 呢也是集合，所以呢我们就可以排除掉这个。最后我们来看一下第十题，是集合 a 呢，等于这个集合 b 呢等于这个， 我们要求 a 交 b， 这里面比较难的一个点就是我们的集合 b 里面它有一个绝对值，我们要做的第一步呢，就要把这个绝对值给它去掉，求出来我们这个集合 b， 它真正属于什么带绝对值的函数呢？大家 可能比较头疼，也是对大家来说很大的一个纸老虎，如果我们要把这个绝对值给它去掉的话呢，就是负三小于等于 x 减一小于等于三， 这样的话呢，我们这里同时加上这个一，给这个 x 求出来两边同时加一的话呢，这边就是负二，这边的话呢就是四。哎，我们这里呢就求出来了 g 和 b 呢，它是负二到四，那么求出来之后呢，就可以画一个数 轴，我们在前面学到区间，对吧？你可以通过数轴的方式，那画完之后呢，就可以先把 g 和 a 里面给它标， g 和 a 里面有两个 x 小 于等于负四，我们一定要注意，这是你在画的时候呢，就是一个实心的，它小于等于负四，或者是呢 x 大 于等于二，也就是这个也是实心的。那么再来看 g 和 b， 它是负二到四也都是实心的， 那我们要求的呢就是 a 交 b， 大家可以发现他们两个有交集的地方呢，就是这里也就是我们二到四， 所以呢我们就可以找到正确选项呢，就是第一选项，我们给大家留两个作业，一个是十一题，还有一个呢是十二题，大家做完之后呢，可以给答案发到评论区或者弹幕里面，我会把正确答案发到我们评论区里面，大家可以自己做一做。那我们先来看第一个结合的概念，以及他的表示方法。 我们先来看一下什么是集合，那它的概念是什么呢？我们课本上给到的有某些确定的对象所组成的整体，哎，我们称它为集合，简称的为集。 那首先呢，这里面给大家圈到的第一个呢，就是确定的，对吧？它必须要有确定的，比如说我们有三个数，一二 哎，三，这三个数呢，它就可以成为一个整体，我们就可以称它为一个集合，那它也可以是四五六啊，六七八都是可以的。组成这个集合的对象，我们称它为 这个集合的元素，也说我们这里面，比如一二三啊，一也是他们的元素，二也是，三也是 四，五六里面的四也是，五也是六也是啊，这是集合元素，那他除了用数字来表示之外呢，对吧？他也可以用文字，比如说我们四大名著，对吧？红楼梦、水浒传、西游记、三国演义这些呢，都可以组成四大名著它的一个集合， 那他每一个呢，也都是这个集合里面的元素，比如 像我们学的语文、数学和英语，对吧？这些都是文化课，他也是文化课。这个集合里面的元素， 这是他的概念，我们通常用大写的英文字母 abc 来表示集合，用小写的英文字母小 a、 小 b、 小 c 呢来表示这个集合的元素，这个大家了解一下就可以了， 我们来通过例题来看一看，例题一点一判断下列对象能否组成集合。第一个小于六的所有自然数， 那什么是自然数呢？比如说零，哎，一二三等等，哎，这些都是自然数，那我们第一题问的小于六的所有自然数，那我们就可以写到，它有什么呢？它有零一、二三、 四、五这六个数组成的集合，那我们可以看到这六个数呢，他是确定好的，所以呢，他就可以组成集合，那我们就可以给他打成对号，他是可以组成集合的。我们来看第二个第二题 方程， x 平方加三， x 减四，它的所有实数减，我们现在提到的数呢？哎，都是实数啊，我们在拓展模块下册的时候会学到虚数， 那大家可以等到自己学到的时候再来进行学习。我们这个呢，给的是一个方程，对吧？我们要给它因子分解一下，就可以得到 x 加四乘以，呃， x 减一，对吧？那我们解的这个方程的话呢， 那么就可以得到两个指数减 x， 一 呢就等于负四， x 二呢？哎，就等于一，那那这两个呢也是确定的，所以呢，这个也是可以组成几何的。那么来看第三个所有的平行是边形， 很多同学可能会想到，哎，这所有的那，那么多平行四边形，那它能组成吗？哎，它是可以的，我们所有的平行四边形呢，它都有共同的性质，就是我们两组对边呢，是分别平行的， 所以呢，满足这两组边分别平行，它是确定的，那这一个呢，也是可以组成一个集合。那么来看第四个 某班级中长得帅或者是长得美的同学，因为帅和美，对吧，他都是 没有固定的标准答案的，每个人认为的帅和美的标准也是不一样的，所以呢，这是不确定的，那就不能组成集合。比如我们课本上给的像某个班级中个子高的同学，或者是个子比较低的同学， 他也是不能组成集合的，因为高和低呢，他也是没有统一的标准的， 这是我们立体一点一。接着，如果 u a 呢是集合 a 的 元素，那我们就说 u a 呢是属于这个集合 a 的， 记住呢， a 属于 a， 哎，读作呢，就是这个属于 a， 如果原 a 不是 g 和 a 的 元素，我们就说 a 呢不属于 a， 记住它不属于 i g 的 这个符号，我们读着 a 不 属于 a， 这个属于和不属于呢，它就类似于我们的等于和不等于。 这个竖杠呢，代表的是不属于。那我们来看例题一点二方程 x 平方等于四的所有实数解组成的几何为 a， 则负二，它是怎样 a 的 三呢？它是怎样 a 的？ 用符号属于和不属于来填空， 那我们给的是一个方程，因为我们要解一下这个方程，它呢 x 平方等于四，那我们就可以解得 x 呢，它等于正负二，它可以是正二，也可以是负二， 那我们就可以看到负二呢，它是属于这个 g 和 a 的， 那三呢，它是 不属于，所以呢，这就是我们这一题答案。如果我们这个题目改一下，改成 x 平方等于九，哎，这个时候呢，我们这个三呢，就可以属于这里面的元素了，那它的减呢，就是 x 等于乘负三。 接着我们来看一下集合的分类，含有有限格元素的集合呢，让我们称它为有限集， 比如我们前面立体一点一里面的第一个，对吧？小于六的所有自然数，第二题中的 x 平方加三减四等于零的所有实数减，他们呢都是属于这个有限减。接着 不含任何元素的集合呢，我们称它为空积，来记落一个圆，画一斜杠来记落空积。这里面要注意呢，空积呢，也是属于有限积的， 含有无限个元素的集合呢，我们称它为无限极。比如我们立体一点一中的第三个题，所有的平行四边形，对吧？这里面的平行四边形呢，就可以是无数个，所以呢，它就是无限极。 或者是我们不等式 x 加一大于零，或者是你 x 加二大于零所截组成的集合呢，这些都是无限极， 由数组成的集合呢，哎，我们称它为数集。常用的数集以及表示方法呢，我们课本上给它有个表格， 比如说像自然数，对吧？我们用 n 来表示，什么是自然数呢？比如，哎，零一二三等等，哎，这些都是自然数。 整数题呢，用 z 来表示整数呢，它可以包括正整数和负整数，那我们还有一个单独的就是正整数，它有个 n 正或者是 n 星。接着就是实数题，哎，这个是大家见的比较多的，你主要要给这个记一下，我们 目前所有学到的数呢，都是这个实数。后面我们等到等你们学到拓展模块的时候，拓展模块下着会接触到这个虚数，比如根号负一， 这个现在呢不要求大家掌握啊。接着呢就是有理数，哎，用 q 来表示，你重点要了解的就是这个实数啊， 它可以是有理数，也可以是无理数，哎，比如说像我们派对吧和 e， 它都是属于这个实数的。 接着呢，通过我们上面做的这些例题，我们就可以总结出来，结合呢，它具有三个特性。第一个呢就是确定性， 那所有的集合元素呢，他必须是确定的，比如说，哎，大于三的整数呢，他就可以构成一个集合。而我们前面例题中比较帅或者是比较美，他就没有办法 成为一个集合，因为每个人认为的帅和美，他的标准呢是不一样的。 第二个特性呢，就是互异性，也就是在一个给定的结合中呢，结合中的元素一定是不同的， 哎，比如说我们结合六七七八，这两个就有重复的，那就不符合我们的互异性正确的写法呢，因为这样六七八。 第三个性质呢，就是无序性，也就是说集合中的元素呢，他可以任意的排列，与次序是没有关系的。 那我们见到的多的，比如说像六七八，我们为什么要这样排呢？因为你看着好看一点，那他也可以写成八六七都是可以的， 也就是说他们两个可以视为同一个集合，但是考试的时候为了好看一点，对吧？ 你尽量要按照顺序来写，这个要注意一下。第二个内容呢，就是集合之间的关系，那他一共有三个知识点，一个呢就是子集，还有一个就是真子集，第三个呢就是相等。那我们先来看第一个子集， 如果集合 a 的 每一个元素都是集合 b 的 元素，我们称呢集合 a 是 集合 b 的， 直接记住 a 包含于 b， 或者是呢 b 包含 a， 那怎么读呢？这个呢，你就读作包含于，这个呢，就是读作包含，那我们举几个例子来看一看，比如 g 和 a 呢，它是一二， g 和 b 呢，它是一二三， 对吧？我们集合 a 里面的两个元素，一和二，集合 b 里面它都有，所以呢我们就可以称集合 a 呢是集合 b 的 质积，或者是大家可以看到下面这个集合 c 等于零二四六， 集合 d 呢是零二四六八。那这里面大家可以看到集合 c 里面的四个元素呢，集合 d 里面都有，所以呢我们就称集合 c 呢是集合 d， 它的质基，那么就可以记为 c 呢，包含于 d， d 呢就包含 c， 可能大家看这个符号对吗？这个包含于，其实呢它也就是属于的意思，这个呢就是包含，大家是比较好理解的。第二个呢，如果集合 a， 它不是集合 b 的 字迹， 那我们就记住 a 呢不包含于 b， 或者是呢 b 不 包含 a， 这是它的一个符号， 比如 g 和 c 呢，它是一三五七， g 和 d 呢，它是零二四六八，那 g 和 c 里面呢， 它的元素 g 和 d 里面都没有，所以呢我们就称 g 和 c 呢，它不是 g 和 d 的 质基，也就是 g 和 c 呢，它不包含于 g 和 d， 或者是你可以写为 g 和 d 呢，它不包含 集合 c， 那 我们在学习数学的过程中呢，通常呢会让它塑形结合，让我们更加 直观的了解，比如我们这里通常用平面内封闭曲线的内部来表示集合，我们给这种图形呢称为文图，或者是呢文字图都是可以的， 就我们给两个集合，这个大的蓝色的，那它是集合 d， 这个小的呢，就是集合 c， 那 我们就可以称集合 c 呢，它是包含于集合 d 的， 或者是呢，集合 d， 它是包含集合 c 的， 这里面要注意点呢，就是什么呢？我们空集，对吧？ 空姐他是任何集合的自己，另外呢，任何一个集合都是他本身的自己，也就是集合呢，他是包含于他自己本身的， 那我们这里呢，就可以多看几个例子，比如集合 a 呢，他是一三五。 集合 b 呢，它是二四六。集合 c 呢，它是一三五七。集合 d 呢，它是二四六八。 这些呢，你可以找一下它们之间的关系，那我们就可以看到 g 和 a 呢和 g 和 c， 对 吧？ g 和 a 呢，是包含于 g 和 c 的， 那 g 和 b 和 g 和 a 呢， 它们两个就没有关系，所以呢， g 和 a 就 不包含于 g 和 b， 或者是呢，你可以说 g 和 b 不 包含 g 和 a， 那 我们来看 g 和 b 和 g 和 c 呢，它们两个也是没有关系的，所以呢， 我们就会写集合 b 呢，它是不包含于集合 c 的， 那集合 b 和集合 d 呢？对吧？集合 b 呢，它是包含于集合 d 的， 那集合 c 和集合 d 呢，它们两个也是没有关系的，那集合 c 呢，它是不包含于集合 d， 这是第一个子集的内容， 我们来看第二个真值集，如果奇和 a 是 奇和 b 的 质集，并且奇和 b 中呢，它至少有一个啊，至少有一个元素，它是不属于奇和 a 的， 只称奇和 a 是 奇和 b 的 真质集。 我们记住这个两个符号，那么怎么读呢？这个呢，就是 g 和 a， 真包含于 g 和 b， 那 我们这个呢，就是 g 和 b 呢，真包含 g 和 a。 比如我们举一些例子， g 和 a 呢， 它是一二三， g 和 b 呢，它是一二三四， 哎，我们这里就可以看到，集合 a 呢，它是集合 b 的 子集，但是呢，集合 b 里面有一个元素哎，就是我们这个四呢，集合 a 里面是没有的， 所以呢，我们就可以称为集合 a 呢，是集合 b 的 真子集，我们就可以写成集合 a 呢，它是真包含于集合 b， 或者是呢，你给它反过来，集合 b 呢，真包含 g 和 a 也是可以的啊，那我们再来看下面这个例子， g 和 c 呢，是零二四， g 和 d 呢，它是零二四六，那我们 g 和 d 里面这个元素六呢， 它是不在我们 g 和 c 中的，所以呢，我们就可以称 g 和 c 呢，是 g 和 d 的 真值记，我们就会写成 g 和 d 呢，它真包含 集合 c。 这里面再提醒一下，空集呢，它是任何非空子集的真子集，还有我们空集呢，它是任何非空子集的真子集。这个了解一下。 第三个呢，就是相等，如果集合 a 的 元素以集合 b 的 元素完全相同，我们就称呢集合 b 相等，哎，就是等于的符号。比如集合 a 呢，它是一二三， 集合 b 呢，他也是一二三，所以呢，他们两个就相等啊，这个是比较好理解的。也就是说，当集合 a 的 每一个元素都是集合 b 的 元素的时候， 同时奇和 b 的 每一个元素也是奇和 a 的 元素，以及奇和 a 呢，包含于奇和 b。 并且呢，奇和 b 呢，也包含于奇和 a， 这是 a 等于 b， 我 们用文字图呢，就可以表示为他们两个其实是两个圈啊， 相同，所以呢，就这样的，这是第三个相等，这个还是比较好理解的，你就看到两个集合中的元素是相同的就可以了。 这里面大家要回忆一下我们前面提到的，如果 g 和 a， 他 是一二三对吧？那 g 和 b 是 三二一 对吧，那他们两个呢，也是相同的，对吧？集合中的元素，它与位置是没有关系的，就大家不要忘记哈， 那么来通过具体的例子来看一看例题，一点七用这些符号呢来填空。先来看第一个集合一三七和集合一三五七，那我们就可以认为它是集合 a， 对 吧？它是集合 b， 这里呢，我们就可以看到集合 a 中的元素呢？哎，在集合 b 里面都有，但是呢，我们集合 b 里面有一个元素五，在我们集合 a 里面它是没有的，所以呢，这就是我们真子集， 也就是说我们集合 b 里面至少有一个元素，集合 a 里面是没有的，我们就称集合 a 呢，是集合 b 的 真值集，对吧？那我们填哪一个符号呢？有没有填这个 集合 a 呢？真包含于集合 b？ 第二个 n 和 z 是 什么关系？我们前面提到对吧？ n 呢是自然数集， z 呢是表示整数，几自然数呢，它都是整数，但是呢，我们的整数呢，它可以分为正整数，对吧？它还可以分为什么呢？负整数，那我们自然数里面呢，它是不包含这个负整数的， 所以呢，我们就可以看到整数里面的负整数呢，它是不属于这个自然数集的。那我们再结合前面整数集的概念，我们就可以把自然数集呢，认为它是集合 a， 整数集呢，我们就可以认为它是集合 b， 集合 a 中的元素，集合 b 里面的都有，但是呢，我们集合 b 里面的负整数，集合 a 里面呢，是没有的，所以呢，我们自然数集呢，是整数集的真值集。 第三个小 m 与这个集合 m 之间的关系，那我们就一起回忆到我们前面提到的元素与集合的关系，如果是集合 a 中的元素，那我们就成为什么呢？ a 呢，它是属于集合 a 的， 这里呢？同样我们换个字母也是一样的，这里呢，就填这个属于第四个零和空集，他们两个之间的关系。 我们前面提到空集呢，它是不包含任何元素的契合，所以呢，零呢，它是不属于这个空集的，空集是没有元素的。第五个 这个集合，那我们其为集合 a， 哎，这个呢，我们其为集合 b， 这个集合里面的 a 呢，它是负二小于 x 小 于三，那这里面呢， x 大 于等于负三的，那他们两个是什么关系呢？大家在做这种题的时候呢，可以通过画数轴的方式，我们就可以通过数 轴集合 a 呢，它是负二到三，对吧？负二到三，它是一个空心的二， 我们 g 和 b 呢，它是 x 大 于等于负三，它是一个实心的，所以呢，那它们之间有交集的地方呢？就是到这里， 那我们就可以看到 g 和 b 呢，它是包含着我们 g 和 a 里面的所有元素的，但是呢，我们这个 g 和 b 里面，比如 x 大 于等于负三， 这里面还有负二点九，对吧？负二点五等等，还有很多，这里面它是我们 g 和 a 里面呢没有的元素，所以呢，我们 g 和 a 呢，是 g 和 b 的 真值记，就填一下 第六个，这个集合和这个集合它们什么关系？那么就给它记为集合 a， 这个呢，就集合 b， 大家可以看到集合 b 呢，它给的是一个方程，所以呢，我们要解一下方程， x 平方等于十六呢，那它的减呢，就是 x 就 等于正负四，对吧，一个是正四，一个是负四， 那我们就可以看到奇和 a 和奇和 b， 他 们两个的元素呢是相同的，哎，这就可以填到等于号。第七题，奇和 a， 对 吧，与奇和 b 他 们两个的关系， 我们奇和 a 呢，它是大于零小于三，我们奇和 b 呢，它是一和二，这里面我们就可以看到它可以是一，可以是二，都是没有问题的，那它也可以二点五，对吧？二点六等等。 这里面就可以发现 g 和 b 里面的元素呢， g 和 a 里面都有，但是呢，我们 g 和 a 里面有很多元素呢， g 和 b 呢，它是没有的，所以呢，我们就可以称为 g 和 b 呢，是 g 和 a 的 真值基，那么就可以写为这个符号。第八个， 两个，我们给这个呢，记为奇和 a， 这个呢记为奇和 b。 我 们同样通过数画树楼的方式来给它画出来一二三，我们奇和 a 呢，它是负二到三， 这是它的一个区间，奇和 b 呢，它是零到一到一，哎， 大家可以看到集合 a 呢，它是包含着我们集合 b 里面所有的元素的， 但是呢，我们集合 a 里面像，比如负一，对吧，二这行里面有各种的小数等等，集合 b 里面是没有的，所以呢，我们集合 b 呢，就是集合 a 的 真值基，我们就给它写成这样啊，这样， 这是我们立体一点七，那我们再来看立体一点八，写出其和 m 等于一二三这里面的所有字迹，并指出哪些是它的真字迹， 我们就可以看到 g 和 m 里面的子集有哪些呢？首先第一个就是大家容易忘记的空集，千万不能忘写了啊。然后呢就是一二三，那你再写一二 一三二三，这是他的所有的子集， 那我们要指出来哪些是它的真值集，这里面就可以看到这些呢都是它的真值集，只有这一个不是它的真值集，因为它和集合 m 呢是相同的。好，只是我们立体点八，我们来看第三节集合的运算。 第一个呢就是交集，我们来看一看它的定义，对于给定的集合 a 与集合 b 呢，由既属于集合 a， 又属于集合 b 所有的元素 组成的集合呢，我们称集合 a 与集合 b 的 交集，记住呢就是 a 交 b， 那 我们用描述法来表达呢，就是 a 交 b 呢， x 呢，既属于 a 又属于 b。 比如我们举个例子，甲 乙丙三个人，甲和乙呢是好朋友，乙和丙呢是好朋友，那我们就可以发现乙是丙和甲，它们两个共同的朋友。如果我们用 g 和来表示的话呢， a 里面的元素呢，就是 假和 e， 对 吧？ b 里面的元素呢，就是 e 合并，那我们如果求它的交集的话，那就是 a 交 b， 它呢就等于什么呢？哎，就等于我们这个 e， 也就是说呢， e 是 它们的交集。再比如我们用数字 g 和 a 呢是 一二三，集合 b 呢是二三四，那我们就可以发现他们两个共同的元素是什么呢？就是二和三，对吧？所以呢，如果我们要求 a 交 b， 那 他呢就是二和三。那我们来看下面这三个集合中，集合 c 是 集合 d 与集合 e 的 交集，也就是说集合 d 呢交集合 e， 它就等于集合 c， 那 我们就可以发现集合 d 和集合 e， 它们两个都有的元素什么呢？对吧？就是一三五，集合 e 呢，它也是一三五，所以呢，集合 d 交上，集合 e 呢就是 集合 c， 或者是呢，我们可以看到下面的文字图，那第一个图，集合 a， 它的元素呢是这么多，对吧？那集合 b 呢，它的元素呢是这么多， 那集合 a 加上集合 b 中间的这个部分，就是他们的一个交集，同样呢，我们看第二个，这是集合 a 的 元素，那他们之间的交集呢？哎，就是我们这个集合 a 这个空间。 第三个图呢，就是集合 a 和集合 b 它们两个的元素相同。比如说，哎，我们集合 a 呢是一二三，集合 b 呢，它也是一二三，那它们两个的交集呢也是，对吧？ a 交 b， 它也是一二三。 我们来看第四个图，这边呢是集合 a， 哎，这面呢是集合 b， 我 们就可以发现它们两个没有相交的点， 那我们用文字描述的话呢，集合 a 呢就等于一二，集合 b 的 话呢，就是三四五，对吧？那 a 交 b 呢，他们两个呢，就没有公务员说，所以呢，他们就是空姐， 那我们上面文字描述的，对吧？当两个集合没有公共元素的时候呢，这两个集合的交集呢，就为空集，这个有个印象，那上面这几个图片呢，就是我们用文图来进行表示的，我们来通过具体的例子呢，再来看一下立体一点九， 是集合 a 呢，它的元素呢是二四六。集合 b 呢，它的元素呢是零一二，我们要求 a 交 b， 我 们要求的呢是集合 a 交上集合 b， 也就是说我们要找到集合 a 与集合 b 它们两个共同的元素。集合 a 呢，它是二四六， 我们交上即可。币呢，他是零一二，那他们两个都有的是什么呢？哎，只有一个元素，也就是这个二，所以呢，他们两个的交集呢就是二。 这一题呢是比较简单的，我们来看下一题。例题一点十， g 和 a 呢，给的是一个方程， g 和 b 呢，给的也是一个方程，我们要求 g 和 a 交 g 和 b 这一题呢，它是什么意思呢？ g 和 a 呢，它呢表示的就是 x 减 y 等于一，它的一个解集，那我们 g 和 b， 它表示的呢就是 x 加 y 等于五，它的解集， 我们要求他们两个的交集呢，也就是说我们就是要求这个方程组给它和在一起。 x 减 y 等于一， x 加 y 等于五，它的解集是多少？ 那我们要做的呢，就是解方程组，这个也是比较简单的，对吧？我们把上面这个和下面这个加在一起，就可以解的这个方程组，我们就解这个方程组，对吧？解方程组， x 减 y 等于一， x 加 y 等于五六，我们把他们两个相加之后呢，就是二， x 等于六，所以呢我们就可以求的 x 呢，就等于三，那得到三之后，你把它带入其中一个， 那就可以得到 y 呢，就等于二，所以呢，我们就可以得到它的一个解集呢，就是解的 x 等于三， y 呢，就等于二，那我们就可以得到 a 交 b 呢，也就是我们这个方程组的解集，它是三和二， 这是我们第十题，那我们来看例题一点十一， g 和 a 呢，给的是这样的，那 g 和 b 呢？给的是这个，让我们求得的是 g 和 a 交上 g 和 b。 像我们在遇到这种类型的题目的时候呢，我们通过画数轴的方式可以解答， 那我们可以看到集合 a 呢，它是负二到一，负二到一，注意一，这里呢，因为它是小于等于，对吧？所以呢，它是一个实心的，负二呢，它是小于，所以呢，它是空心的，那我们集合 a 的 区间呢，就是这样， 那集合 b 呢，是负一小于等于 x， 小 于等于三，那我们可以看到负一呢，它是实心的，对吧？三，这里呢，它是空心的， 那我们就可以看到这个区间呢，哎，就是他们两个共同的元素的点，也是他们的一个交集，我们就可以得到它的交集呢，就是负一小于等于 x， 小 于等于一，所以呢，我们就可以得到集合 a， 加上集合 b 呢，它就等于 x 啊，负一小于等于 x， 小 于等于一。我们在做到这种类型的题的时候呢， 考试的时候，一般它是选择题，不会说让你写一个简答题这样写的，所以呢，大家也不要担心，考试的时候呢，一般不会让你画这个图的，但是呢，这些呢，是你在沿朝纸上进行完成的，这个图呢，你一定要能画的出来。 另外呢，大家一定要注意一下，凡是带等于号的，对吧？你在数字上描述的时候呢，你尽量的给他画成实心的，这样的话呢，你防止在写的时候你给他写错，对吧？这个一定要注意一下，好，这是我们第一个交集， 第二个并集，那我们看这个字并集，那我们听到的字比较多的，对吧？就是合并，那它的意思呢，就是把两个集合里面的元素呢合并在一起，我们来看一下它的定义，对于给定的集合 a 与集合 b， 由集合 a 与集合 b 的 所有元素组成的集合呢，我们称为集合 a 与 b 的 并集，我们记住这个开口向上读作呢， a 并 b， 那我们用描述法呢，就是 a 并 b 呢，就是 x 属于或者是 x 属于 b， 哎，一定要注意一下，我们前面的交集呢，是且， 而我们这个并集呢，就是或。那我们来举一个例子，还是以我们前面举的那个例子，加 乙丙三个人，甲和乙呢，他们两个是好朋友，对吧？乙和丙呢，他们两个也是好朋友，但是呢，他们三个人去上学，刚好呢又分到了一个宿舍里面， 那他们里面甲和丙呢，很有可能也会成为好朋友，对吧？所以呢，我们如果用 g 和来表示的话呢， g 和 a 呢，它是甲和乙，对吧？ 集合 b 的 话呢，它是以和并，那我们集合 a 并上集合 b 的 话呢，就是加以并。 如果我们用数字来描述，对吧？集合 a 呢，它是一二三， 集合 b 呢，它是二三四，那我们这里 a 并 b 的 话呢，就是一二 三四。那我们可以看到这里面有一个比较特殊的哎，也就是我们集合 a 和集合 b 里面，它们两个都有的一个元素就是二和三， 这里呢可能有同学就会有疑问，为什么不是一二二三三四呢？我们这里呢就要回顾到我们前面讲集合的时候集合的一个性质，里面互异性， 也就是说呢，它里面有相同的元素呢，只能存在一个我们比较熟悉的一段话，对吧？一山不容二虎，所以呢这里面要去掉一个， 那这里的并集和我们在学加法的时候相加的区别呢？就是我们要把里面相同的元素呢给它去掉一个，哎，这个一定要注意一下，那我们来看下面这个例子，下面呢有三个集合，集合 c， 集合 d， 还有集合 e， 那我们就会发现集合 c 呢，它呢就是集合 d 与集合 e 的 并集，也就是说集合 d 并集合 e 呢，它就是集合 c， 这是并集的概念。那我们来通过下面的例子再来看一看 立体一点。十二，这集合 a 呢，它的元素呢是二四六八。集合 b 呢，它的元素呢是一三五七。我们要求 a 并 b， 那我们前面也提到的 g 和 a 呢，它并成 g 和 b， 也就是把它们两个的相同元素合并在一起，组成一个新的集合，要把它们都有的元素呢给去掉一个。那么 g 和 a 呢，它是二四六八 并上，我们的 g 和 b 呢，他是一三五七。这里面呢我们发现他们两个没有共同的元素，那我们就把他们所有的元素呢加在一起，就组成我们的并集， 一二三四五六七八。接着我们来看下一个立体点。十三是 g 和 a 呢，是这样， g 和 b 呢是这个同样呢，我们看到这些不等式的呢，我们还是通过话数轴来更清晰的表达。 g 和 a 呢是负一到二，那负一的话呢，它就是实心的，因为它是小于等于 a 呢，它就是这样的一个范围。 g 和 b 呢，它是零到三，零到三，所以三这里呢，它是一个实心的。 如果要让我们求 a 交 b 的 话呢，那它这个范围呢，就是 a 交 b， 对 吧？那但是呢，我们要求的是 a 并 b， a 并 b 的 话呢，哎，就是从负一到三这个范围，所以呢， a 并 b 呢，它的一个范围呢，就是 负一小于 x 小 于零三，所以呢，我们解的话呢，就是 a 并 b 等于 x， 负一小于 x 小 于等于三。如果让你写解答题的话呢，这里面大家还可以补一下，就是把 a 和 b 呢，他们俩给它抄一下，抄到下面，也就是说 x 呢是负一小于 x 小 于零二 并上，对吧？我们的 b， x 等于小于 x 小 于等于三，然后再写答案，就是我们这个，这个没有必要，因为这些呢，一般都是填空题或者是选择题， 这些呢都是在研淘纸上完成的，你写的时候呢，只需要写答案就可以了。好，这是我们并集的内容， 接着我们来总结一下，有交集合并集的定义呢，我们就可以得到，对于任意的两个集合， a 和 b 呢，可以有下列这些结论，如果是交集的话呢，对吧？我们这边是交集，这边呢就是并集， a 交 b 呢，它是等于 b 交 a 的， 这个应该是比较好理解的，它就好比我们加法中的交换率，对吧？比如说呢， g 和 a 呢，它是一二三， g 和 b 呢，它是 二三四，那我们可以看到 a 交 b 呢，它们两个呢，就是二三，对吧？同样呢， b 交 a 呢，它也是二三， 那么看右边 a 并 b 的 话呢，对吧？就是一二三四，那 b 并 a 的 话呢，也是一二三四，同样呢，我们来看第二个，对吧？ a 交 a 呢，就等于对吧？两个相同，它们相交的肯定是相同的，对吧？ a 并同样也是的。第三个呢，就是 a 交空集， 它等于空集，交 a 等于空集，这个也是比较好理解的。集合 a 里面的元素呢，是一二三，空集呢，它是没有任何元素，所以呢，它的交集呢，也是空集， 那我们 a 并集的话呢， a 并一个空集的话呢，它也是一个 a， 对 吧？接着第四个集合， a 交集和 b， 它就是集合 a 的 子集，那我们就可以看到 a 交 b 呢， 他就是二三，对吧？我们就会发现 a 交 b 呢，它不但是集合 a 的 质基，它也是呢集合 b 的 质基，所以呢就可以得到这个。 那我们同样看并集 a 并 b 的 话呢，那就是一二三四，那我们就会发现集合 a 呢，它是 a 并 b 的 质基，集合 b 呢，它也是 a 并 b 的 质基，这个是比较好理解的， 这是我们教级和并级他们的一些总结，大家多看一看。第三个补级，我们在看到这个补字的时候，对吧？大家可能会想到，比如说你们在教室里面前面有一些空缺的位置，老师可能会让你们后面的坐到前面来，或者是补到前面来， 那这个补呢？哎，就是大家理解的补充完整。 我们来看一下它的定义，在研究某些集合的时候呢，如果这些集合是一个给定的集合的子集，那么这个给定的集合呢？我们称它为全集，通常呢有字母 u 来表示，也就是我们的全 g u， 在 研究数集的时候呢，通常把实数 r 呢？哎，作为全集， 如果集合 a 是 全集 u 的 一个子集，这由集合 u 中不属于集合 a 的 所有元素组成的集合呢？我们称为集合 a 在 全集 u 中的补集。记住了这个，等下写的时候，你就写成这样就可以了， 那它表达式呢，就是 x 呢，属于全集 u， 并且呢它是不属于 a 的， 比如我们举个例子，我们还是以甲乙丙三个人，对吧？甲 乙丙三个人，这三个人呢，就是一个全集，比如说他们在一个微信群里面，但是呢集和 a 呢，它只有两个人，也就是说它只有甲和丙，没有乙， 而集和 b 呢，它只有乙，那我们就可以把这个呢 记住全 g u， 对 吧？它是假一并。这里我们就可以看到 g 和 a 呢，与全 g u， 它们之间只差一个什么呢？哎，只差一个 e， 我 们如果把 g 和 b 中的 e 给补充到这个 g 和 a 里面呢？是不是就形成了我们这个全 g u， 那 我们就可以记住 c u a 呢，它就等于 b， 也就是说我们这个 g 和 b 呢，对吧？也就是这个里面的 e， 他是集合 a 在 全集优中的布局，那我们还可以用数字，对吧？集全集优呢，他是一二三四五，集合 a 呢，他是一二三，集合 b 呢，他是四五。 如果让你求集合 a 的 补集，或者是集合 b 的 补集，对吧？你就把它们两个补充一下，就可以得到我们的集合 u， 那 么比如说 c u a， 它就等于我们的 b， 或者是呢 c u b， 对 吧？它就等于 a， 也就是说集合 a 呢，它可以是集合 b 在 全集 u 中的补集，或者是我们来看下面这个例子， 如拳击 u 呢是一二三四五六七八， g 和 e 呢是二四六， g 和 p 呢是一三五七八。那我们这个 g 和 e 呢，它就是 g 和 p 在 拳击 u 中的补击。 记住这个，那我们也可以用维恩图来表示，那 g 和 a 在 拳击 u 中的补击呢，我们就可以表示为，那么这个空白的，也就是我们的 g 和 a 在 拳击这个蓝色的区间的一个补击。同样呢，我们可以得到下面这些结论。第一个呢就是 g 和 a 交， g 和 a 的 补集呢，它就是空集。第二个呢就是 g 和 a 并上，我们 g 和 a 的 补集，它就是全集。第三个这个大家可能看的比较复杂，这个它的意思呢就是括号里面 a 的 补集， 我们求出来之后呢，再来求这个括号整体的一个补集，这是补集的一些定友。我们考试的时候呢，相对来说补集呢考的没有那么的多，我们来通过例题来看一看，例题一点十五是全集 u 呢为实数 r， g 和 a 呢是这样的一个范围，我们要求 a 的 补集。同样呢，我们通过数轴来进行描述， g 和 a 呢是负二到一，那负二呢是实心的， e 呢是空心的，这是 g 和 a， 它的一个范围，那我们全 g u 呢属于 r， 那 它就是我们整个数轴上面都是全 g u， 我 们要求的呢是 a 的 补集， 那它的补金呢，就是除了我们 g 和 a 的 生涯的全部，这里呢，大家可以看到负二，这里呢，它呢就要是空心的，而我们这个一这里呢，它就要是实心的， 那我们就可以得到它的一个范围呢，就是 x 小 于负二，或者是呢， x 大 于等于一，这就是它的一个范围，那我们写出来的话呢，就是解的 a 的 补紧呢，就是 x 小 于负二，或者是呢， x 大 于等于一， 这是它的答案。那有的同学呢，可能就会有疑问，哎，为什么之前的是 c u a， 对 吧？那这个呢，是 c a 呢？这里呢，这个全集 u 呢，是可以缩写掉的，所以呢，你在做题的时候，如果看到 c u a， 对 吧？或者是 c a， 它们两个呢，都是那个 求它的补集，这个有个印象就可以了，立体一点十六是全集 u 呢，它是属于 r 的， g 和 a 呢，它是 x 绝对值等于 x。 那 么求 a 的 补集 这一题比较难的点是什么？大家看到了比较讨厌的东西，对吧？这个绝对值函数，我们可以看到 x 绝对值呢，它等于 x， 我 们由这个绝对值的性质可以得到呢，当 x 它大于等于零的时候， 我们的 x 绝对值呢，它就等于我们的 x， 但是呢，当 x 小 于零的时候呢， x 的 绝对值呢，它就是负 x， 所以呢，满足我们这个集合， x 绝对值等于 x， 它的一个取值范围呢，是 x 大 于等于零，那我们知道了这里之后呢，就可以得到集合 a 呢，它其实就变为了什么呢？ x 呢， 它是大于等于零的，那我们要求集合 a 的 补集，那只要 x 它不大等于零，也就是说 x 小 于零，对吧？就是它的一个补集，所以呢我们就可以得到集合 a 的 补集呢，它就是 x， x 小 于零，这是我们普及的内容，这个普及呢，这个 c 呢，就是 complement， 它那个首字母哈，这个有个音响就行，我们考试的时候呢，你看到这个符号，知道它是让你求它的普及就可以了。 恭喜大家学完了我们第一章集合的内容，那我们接着带领大家一起做一下章节的回顾，回顾一下我们第一天学习的内容，我们挑一些我们集合中大家常见的符号来给大家做一下总结。先来看第一个属于和不属于， 我们在谈到属于和不属于的时候呢，一般往往是元素与集合之间的关系，一定要注意它和我们第三个子集之间的关系。什么是属于和不属于呢？比如我们有几个元素，分别是一二三和 abc， 有 两个集合，我们把第一个集合呢称为集合 a， 它呢等于一二三，集合 b 呢，它等于 abc， 那 我们就可以说 一或者是二或者是三呢，它们都是属于集合 a 的。 但是呢，大家可以看到集合 b 里面没有一二三这三个元素，那就是 一和二和三，它们三个呢都不属于集合 b， 同样呢， abc 呢，它们也都不属于集合 b 的， 这是第一个属于和不属于。 第二个大家注意的就是空集的一些概念，考试的时候可能会出现在选项里面 不含任何元素的集合呢，我们称为空集，空集呢，它是任何集合的子集，并且呢它也是任何非空集合的真子集，这个大家一定要注意。第三个就是子集的内容，它分别是包含于、包含不包含于和不包含。 那我们在谈到这个子集的时候，一定是两个集合之间的关系，比如我们集合 a 和集合 b， 大家可以发现集合 a， a 里面的元素呢？集合 b 里面都有，但是呢集合 b 比它多了一个元素，那我们就可以称集合 a 呢，它是集合 b 的 子集， 也就是集合 a 包含于集合 b， 或者是呢，我们可以反过来让它变为集合 b 呢，包含集合 a 这两个符号呢，就相当于大家在学我们大于和小于号的时候，比如三呢是大于二的，那二呢，它肯定要小于三，对吧？ 这是前两个。那接着不包含于和不包含，我们可以看到 g 和 a 呢，它的元素呢是六七 g 和 c 呢，它的元素是三六九。那 g 和 a 呢，它是不包含于 g 和 c 呢？同样反过来也是一样的， 这是第三个。第四个是真子 g， 那 我们读作真包含于和真包含，同样我们可以看到有两个集合，集合 a 呢是六七八，集合 b 呢是六七八九。 它如何和我们前面的子集做区分呢？就是我们真子集里面至少是要有一个，比如我们如果集合 a， 它是真包含于集合 b 的 话呢，那集合 b 里面至少要有一个元素，集合 a 里面是没有的，就比如我们这个九，它是没有的， 这个大家注意一下。第五个就是集合的运算里面我们的交集合，并先来看第一个交集， 同样我们给两个集合，集合 a 呢是一六七，集合 b 呢是六七八。那如果我们要求的是 a 交 b， 就是 交集的话，就找到它们两个都有的元素，也就是六和七。 如果是并集的话呢，那就是把它们两个的元素合并在一起，去掉相同的也就是一六七八。 因为我们的集合呢，它是要有互异性的，所以呢，你不要写两遍六和七，那 a 并 b 的 话呢，就是一六七八，我们缺一个谐音就是你录取吧。同样呢，像我们这些文字也是可以的， 那集合 a 呢，是你点赞，集合 b 呢，我点赞。如果是 a 交 b 的 话呢，那就是点赞，大家可以点一点， 同样集和 a 是 你一定集和 b 呢是能学会，如果是 a 并 b 的 话呢，就是你一定能学会。 最后我们再来看一下第六个就是补集，我们在学习补集的时候，题干中一定会先给你一个全集优，大家可以看到这个符号 c 的 话呢，就是补集的一个首字母， 那我们看他的名字，补集就是补充完整，你看这个全集，比如给他全集 u， 他 是三四五六七八，集合 a 呢是三四五，你就找一下 集合 u 里面的元素，集合 a 里面哪一个没有，比如我们要求他的补集的话呢，就是哪一个没有，你就给他写在里面三四五，他是有的。那 a 的 补集呢，就是六七八，我们去个谐音就是录取八，同样全集优是点赞、收藏关注集和 a 呢是收藏关注。那我们如果求 a 的 补集的话呢，就是 你去掉他们有的没有的，给他补充完整，就是点赞。好，这是我们第一节的全部内容，如果这个视频对大家有帮助的话呢，大家可以多多点赞转发分享一下，点赞量越高呢，我们更新就会越快，希望大家多多支持一下，我们下个视频见，拜拜。

各位高一的同学大家好，期末考试之前，我们来看一个三角函数的小题， 这个题实际上是角的一个覆盖一个面积的最值问题，也就是三角函数的一个最值问题。我们来这里暂停，先看一下题啊 啊，假设暂停已经同结束，同学已经看完甚至做完了，你不妨看郭叔怎么解析这道题的。首先问 ab 的 长，用 alpha 来表示，其实就是含 alpha 的 三角函数来表示啊，它说的是一个意思，你要自己翻译一下。 那一般做法呢？第一问，没有特别多的争议啊，就是说从 a e 做 a， e 垂直于 o p 做 b， d 垂直于 o p， 那 这样 b a e， d 就是 一个矩形， 矩形的时候呢，我就可以，因为 o a e 是 一个直角三角形， b o d 是 一个直角三角形，我就可以用直角的。呃，就用这种三角函数去处理了就比较好办。 首先 b d 等于 a e， 那 么就等于什么？ o a 就是 我的半径，对吧？那就是跟 op 一 样，都是一，一乘以三，以 r 法 就是这个值就算出来。因为它是一嘛，所以呢，一就不用写了。那我得算 o e 啊，我，我要算 o d 的 话，我得算出 o e 减去这个，我要算 d e， 对 吧？所以我，所以我得算 o e 减去 o d。 我 先算 o e 等于什么呀？等于这样， o a 乘以 cosine alpha 就 等于 cosine alpha， 因为 o a 是 一嘛。 那我的 o d 呢？这个注意，它这个时候说了， q o p 是 三分之派，也就是六十度，那么这边的话， o d 是 不是就是用这个 tangent 来算就行了？ o d 等于 b， d 除以 tangent 这个事了，所以就把它做成 tangent 作为分母这么来处理。那么我的贪婪的三分之派带进去是个根号三，那 o d 呢？先写成根号三倍的三 e r 反呢？中间过程啊，你那个不分母流理化不是问题，最后结果要分母流理化，所以这边我就偷懒就写成根号三分之三 e r 反， 这时候 ab 是 不就等于 o e 减 o d 了？ 所以就你就看一下嘛，就等于 cosine 二法减去三分之根号三倍的 cosine 二法。因为我这是要做结果作为一个这个一小问的结果了，所以必须要分母流理化一下， 所以这个 ab 长就等于 cosine 二法减去三分之根号三 cosine 二法。第一问做完第二问呢，两种办法殊途同归。第一种呢，是用正弦面积公式法， 因为人家说了，这题目上说了那个 o p 是 平行于 ab 的， 对吧？这句这句话说的嘛，平行于 ab， 所以 这个角是阿尔法，上面这个角也是阿尔法， 它要的是 o a b 的 面积， o a b 的 这个三角形的面积，那么我就可以两个加边，两边乘以赛耶，再赛耶的这个 alpha 再乘以二分之一， 所以这个面积就等于二分之 a b 乘以 o a 乘以 alpha。 然后我这把这些数带进去，把 alpha 乘进去， 乘到这个 cosine 二法减三分之根号三塞二法里面去，就变成了二分之一乘以 cosine 二法。 cosine 二法减三分之根号三塞方二法。这个 就看出来是什么赛的二倍角公式，对吧？有了，后面是赛方，那么通常情况下呢，两种考虑，一种是说把它当成一个呃，赛方扣赛方等于一，那显然这地方不太合适。还有一种办法是把它当成一个二倍扣赛二倍角公式的一部分，我们一般这个时候采用后者， 那么经过一系列的整理，整理的话，我这步骤比较详细一点啊，学霸们不要见怪，我知道你们一眼能看穿，但是中等或者说不如你们同学他，他还是想看一下过程的。 那么这个过程详细写出来是这样的啊，先把这二分之一放前面，这个二分之一放放外面，然后里面凑这个前面凑塞的二倍角公式， 后面凑 cosine 的 二倍角公式，然后我这个因为有减一了嘛，外面还有个六分之根号三，所以这个因为减减得加，所以后面要减去六分之根号三， 前面的部分凑成了二分之一，还是放外面不要动啊，二分之一的塞二阿尔法和 二倍根号三分之 cosine 二 alpha 减去个六分之根号三，这时候我把这个根号三，这个根号三分之一提出来，提到外面就变成了二 被根号三分之一，然后乘以有什么呢？二分之根号三 sin alpha 加上二分之一 cosine 二 alpha 这个地方我们就可以用和角公式把它处理一下了。然后注意啊，这个负六分之根号三，因为前面还有个二分之一呢，所以把这个拿出来以后变成了十二分之根号三， 把前面这个二倍根号三分之一分母流理化变成了六分之根号三，然后这边的话和角公式用完了以后变成三 e r alpha 加六分之派减去十二分之根号三。这里多说一句啊，在咱们人教版高一 b 修一里面特地强调了 a 赛 omega x 加 five 这个式子，记着这是你可以理解成就是一个模型了，用它来解析比较快。很多时候通过合脚把它化成 size 的 方式去做啊，不太推荐。化成 cosy 没有问题，化成 cos a 倍的 cosy。 呃， omega x 加 five 也没有问题啊。呃， 稍微处理小麻烦一丢丢。那么处理到这以后，我要面积的最大值，因为后面是一个负的呀，所以怎么样要让前面这个赛也取到 一对吧。赛呢？因为赛扣赛都有一个有界性，他最大就是一，最小就是负一，所以呢，我这边就是当他等于一的时候，也就是二分之一六分之派，那个二啊，派加六分之派等于二分之派，所以二派等于六分之派的时候，这个面积取最大取到什么？他等于一， 前面六分之根号三，后面是十二分之根号三，所以就最大值就是十二分之根号三。 那么第二问的它的那个面积和最大值，面积最大值和当时的阿尔法大小都已经算完， 那么有些地方可能说，哎，我不能用这个，我解三角形没交呢。那个高一 b 修一的时候没交这东西，你不能用这个赛政弦面积公式，那怎么办呢？你用传统的面积公式也是完全没问题的。 传统面积公式的话呢，就是前面这个先写上， ab 的 长先写上。因为平行，所以这个角是 alpha， 这个角也是 alpha， 那 我做一个 b d 垂直于 o a 可以 吧？ 那 b d 就是 整个三角形 o a b 的 它这个 a o 边上的高吧。那 b d 是 什么呀？ b d 等于 ab 乘以 c e alpha， 对 吧？那就是后面的话就一样了， 后面就没什么区别了，二分之一 b， e 乘以 o a 等于二分之一 ab 乘以 o a 乘以三乙二法。然后后面的话，这个处理过程刚上一问已经说得挺清楚了啊，刚才那页 ppt 已经说得很清楚了，我们这里来看一下，等于 还是画成个六分之根号三倍的三乙二法加六分之派减十二分之根号三。然后也还是一样啊，当这个塞这个值等于一的时候，我这个三角形面积可以取到最大二十八，等于六分之派。 那么致辞，这道题，两种方法都给大家讲一下，你愿意用哪种？都行，结果都是一样的。也有同学问这个题，我这个 o o a、 b， 我 能不能用一个呃歌补法来做？我，你看啊，他的想法是说，你看我这个阿尔法知道的，这是一个扇形对吧？ 然后我把这个两个东西剪掉，我整个六分之派的一个，呃，就不是三分之派的一个扇形，是好做的。同学你要注意啊，首先这个 这个角是六分之派减，就我们叫它 beta 吧， beta 实际上等于三分之派减。 alpha， 它和这个 alpha， beta 和 alpha 不 一定是等的啊， 有有可能是等的，有可能是不等的，取最值的时候是等的，那么这个角是不是也是这个角的话是什么？就是，呃，是三分之派，但是这个 q b a 它怎么看也不像一个正经的， 他不太像一个正经的扇形，所以上面这个面积是不太好。好，不太好做啊，不推荐用割补法，你实在想做的话也可以试试，但是说实话，郭叔不推荐。呃， ok， 关于这道题就给大家讲到这里，两种方法，谢谢大家观看。呃，我是从考生角度讲课的，郭叔，再见。

博雅的看一下这个题怎么做？这个数加这个数等于十三，这个数减那个数等于一，这个数加这个数等于十九，这个数加这个数也等于十三。 这这道题没有什么规律，所以我们要找公共数，我们发现这两个数相加等于十三，这两个数相加也等于十三，公共数就是这个数，所以这两个数是相等的。我们把这两个数比作三角形， 比作三角形，三角形加一个数等于十九，所以我们把它比作圆圈，三角形加圆圈等于十九， 圆圈减三角形等于一。用打包法把这边打一个包，这边打一个包，合合成一个。算式是三角加圆圈加圆圈减三角等于十九，加一等于二十， 三角是一样的数，所以三角减三角等于零。他们两个没有，就只有两个圆圈。二十除以二等于十，所以圆圈等于十， 圆圈等于十，十加九等于十九。呃，十三减九等于四，这块三角和三角是一样的。

孩子们最喜欢的数学思维小游戏来喽，刷到的朋友呢，我们可以来挑战一下，看看你能不能在这个游戏中战胜我呢？没时间的话，我们先点赞收藏好了解一下游戏规则吧。 我们两个人轮流来取草莓，每人每次和取个或者是相邻的两个，若两个草莓之间有空位置则不算相邻，从中间拿走一个，两边的就不算相邻了，取到最后一个草莓的人就获胜了。好，那这里的十五个草莓有点太多了，如果只有一个草莓呢， 你要选择当然是先取了，对了，先取拿走这一个就赢了。那如果有两个草莓呢？嗯，还是先取？对呀，可以拿走两个的，如果有三个草莓呢？嗯，那这次换我先取怎么样？我先拿，我拿走中间的一颗。 好，那剩下两颗，你拿左边的我就拿右边，是不是赢了？没错，三个草莓的时候也要先取，而且先取的时候有一个巧妙的就是取中间的一颗，那四个草莓要怎么拿呢？ ok， 那 还是我先啊，我先拿走中间的两个，哎，又给左边剩一个，右边剩一个，现在呢，你拿左拿右，嘿嘿，你又输了，所以这次还是要先拿的。那有五个草莓的情况下呢？ 嗯，举一反三，看看你学会了吗？如果我让你先拿，你会拿走哪一个呢？拿走中间的一个没问题，拿走中间的一颗之后呢？左边剩两个，边剩两个，你拿左我拿右，你拿右，我拿左，这样子也就赢了啊。 所以我们发现不管是有几个草莓，我们都是要先拿的，而且拿的时候呢，有技巧，拿走中间的一个给两边剩下一样多的部分，这样子，对手拿左边，你就拿右边，他拿右边你就拿左边。当有五个草莓出现的时候，他拿两个， 那你千万不要拿一个，给他留一个，是不是你也要拿这个，他如果拿走一个呢？你也不要多拿，你也只拿走一个，模仿你的对手，这样子，你们两个剩的永远都是一样的，他拿一半，你拿一半。 好，那现在呢？我们再回到题目中，你是否已经有办法战胜我了呢？第一步，我们要怎么样？要赢就必须是先拿好，先拿走哪一颗呢？拿走， yes， 拉动中间的一颗，从中间先拿，把它分成两边一样多的部分，这样呢，对手拿左边，你就拿右边，好，先拿，制造出相同的两堆，之后呢再模仿对手，如果他拿两个，你就拿两个。 好，他在这边拿一个，你就在左边拿一个，永远都够分的。 ok， 这个游戏的策略你掌握了吗？第一步，要先拿，并且制造出一样多的两部分，就是拿走中间的 好。第二步呢，就是去模仿你的对手，如果你学会了这个策略呢？快去下去尝试一下吧！还想听什么有趣的数学经典题呢？可以在评论区留言告诉我。

好朋友们，今天学习这道题啊，妈妈买草莓买两斤剩十元，买五斤差十一元，妈妈带了多少钱做这道题怎么做呢？首先我们先分析一下，分析一下 好，他买剩剩是什么意思？剩的说明他有盈余，那么买五斤差十一元，那么差的时间说明他有亏损。那么做这道题我们怎样做？首先用画图法看一下啊，画图 我们找一下题目中不变量是什么？咱们看不变量就是妈妈带的钱数不变，我们来画一个线段图，来表示妈妈的钱是不变的，那么钱不变。第一个我们看一下，买两斤差十元，这地方买两斤， 好，这是两斤，这是两斤，那么差多少呢？哎，这地方是十元。那么第二个我们看一下，买五斤，五斤， 好，这就是五斤，五斤，那么五斤是怎么样？差十一元，钱数在这说明这一部分是十一元，我们把它结一下，我们看一下啊，这地方再结 好，这一节是十元，那么大家看这是不是也是十元？ 那么大家观察，那用这个五斤减去这个两斤，是不是就这一节了？我们看一下啊，五减二等于三斤，那么三斤等于多少钱呢？咱们看三斤，五斤减去两斤，是不是就剩这一节，这一节多少钱呢？就是十一加十等于二十一元， 好，那么这三斤是二十一元，那一斤就是二十一，除以三等于七元，好，我们算出一斤是七元，那么一斤七元的话，二乘以七， 再加上这个十，就得到了前数二七十四，十四加十二十四元，好，咱们就算出来，妈妈一共带了二十四元，不要忘记答好，关注张老师学习更多学习！