安徽单招平面解析几何角

他会单招数学纯狗分技巧，这个系列至少能让你的数学成绩在最后几天时间提升二十分，哪怕你现在啥也不会，公式也不会背，却连题目也看不懂。学会这个技巧，直接秒出答案，绝对是你花大几千也买不到内容，我了个洞， ok， 兄弟们，那咱们再看第一题，以后遇到这种横过定点的题目，咱们 把 a 的 头上给它变成零。什么？ a 的 零次方等于多少？ a 的 零次方等于一吗？是不是选方选 a 直接秒杀了来第二题也是一样的， 把它把这个 a 头上这一块给它变成零，是不是 x 减一等于零， x 不 等于一吗？是不是那零 a 的 零次方不等于一吗？一加二等于三吗？还一三？什么是 c 秒了？ 第三题也是一样的吧，把 a 头上这一块给它变成零， x 减二等于零是不是 x 不 等于二吗？是不是 a 的 零次方不等于一吗？三乘以一加五等于多少？等于八呀？什么二八选什么十七啊，直接秒了直接给我做，先看最后一次 o 的， 什么 y 等于 logo 什么？这个图像对数函数吗？对数函数，图像经过哪一个点不经过一零吗？选什么？选 c 啊，秒杀呀！只有做下 学会了没有？老铁们，跟上竹包的节奏，最后七天直接带你逆袭单交秀贤！竹包还为大家准备了免费的复习资料，助力每一位小漫步向岸！

众所周知，空间向量与立体几何一直是单招数学考试中的拉分点，很多同学一碰到这种题目直接就 oh my god 了，不用担心，今天于学长用一期视频教会你面对这种题型的两种方法。 首先我们来看到江淮学校第八次联考的第四十九题，如图所示，在正四棱柱中， a、 b 等于二，底下这个边等于二，然后 a、 a 一 等于三。 让我们求平面第一 b 与平啊，直线第一 b 与平面 a、 b、 c、 d 所成角的余弦值，那不就这个角的余弦值吗？ 让我们求这个角的余弦值。我们先连接它的底边，也就是 d、 b， 构成一个直角三角形 啊，也就是三角形 d、 e、 d、 b， 我 们求出它的三边，然后将零边比上斜边，是不是就可以求出这道题的答案了？ 我们先表示底边，底边的话就是 d、 b， 然后他告诉我们了这里是二，所以 d、 b 的 值就是二的平方加二的平方等于二倍根号二开根号， 然后直角边已经告诉我们了就是三，所以我们现在就去求这个第一 b， 也就是他的斜边，他的斜边就等于二倍根号二的平方加三的平方口算一下，等于根号一十七， 此时我们知道这个三角形的三边，然后让我们求这个直线与底下平面所成的余弦值，就这个角扩三引是用邻边比上斜边， 邻边的话是 d、 b 就是 二倍根号二，然后斜边是根号一十七， 然后底下开个平方，然后上面一约油理化一下，就可以求出这道题的最后答案了。我们来看到二五年的二十七题，这题的话就要用到第二种方法，也就是空间坐标系。 在长方体中， e 为 b， e、 c 的 中点，然后底面是个正方形， ab 等于四， a， a 一 等于二，则 a、 e 与 cd 所成角的正切值为正切值。不就是 tan 进二方吗？啊， tan 进 c 塔，然后 tan 进 c 塔，就等于它的正弦值比上它的余弦值， 所以我们要求出这两者的任意一个，然后再根据 sine 二法的平方啊， sine theta 的 平方加上 cosine theta 平方 等于一，去求出这两个的任意一个值，另外一个值，然后再将这两者一比，就可以求出 tangent theta 了。 现在我们再来看一下题目 a， e 和 c、 d 他 俩在图形中是不是异面直线，所以我们要求出他的空间向量。此时我们先建一下系，以这个 a、 d 为 x 轴，然后 c、 d 为外轴， d， e、 d 为 z 轴 这三个轴，再根据题目给的条件， ab 等于四和 a， a 一 等于二，去具体表达出 a、 e、 c、 d 这四个点的具体空间坐标，然后再根据扩散， e、 c、 t 等于 a 的 向量乘以 b 的 向量，这里的 a、 b 就 等于 a、 e 和 c、 d 啊，然后比上 a 向量的模，乘以 b 向量的模， 求出 cosine c 塔，然后再带进我们刚刚的公式，一步一步来就可以求出最后的值了。行了，思路已经告诉你们，光说不练假把式，大家可以尝试看看，看看自己能不能做对，拜拜！

好，今天我们来看同角的三角函数的基本关系啊，我们看第一节，若 alpha 为第二象限角，且 alpha 等于三分之一，让我们求 tan 的 alpha。 好， 因为 alpha 第二象限角啊，我们考 tan 的 alpha， 它一定是个负的，对不对？所以 tan 的 alpha 呢，它一定是从 b 和 d 里面去选。 好，我们可以用同角的平方和等于一啊，也就是三引二八的平方加上口三引二八的平方等于一，所以我们口三引二八的平方就等于多少呀，哎，九分之八，那我们开根号可以得到口三二八，它是等于什么呀？哎，正负三分之二倍，根号二，那很明显我口三二八怎么样？ 哎，是一个负的三分之二，所以可以得到口三二八，就等于负的三分之二二。好，我们又知道贪心的二八等于什么呀？ 是不是等于三一二法比上什么扣三一二法好，把值带进去。所以我们的 tangent 的 二法呢，就等于三分之一，比上负的三分之二倍根号二。答案是不是就等于负的二倍根号二分之一，答案呢？就选我们的四 d 啊，就可以了。 我们看下一题，就是二法是 d 相减，第二相减，减的二法等于负二法，我们用 tan 二法，知道 tan 二法就等于什么负二倍的扣三一二， 对不对？好，由这个关系式再又加上我们什么，哎，三一二八的平方加上口三二八的平方等于一，我们就可以求出来对应的值了。好，我们带进去可以得到 四倍口三一二八平方，加上口三一二八的平方等于一，所以五倍口三一二八的平方等于一，所以口三一二八 平方等于五分之一，对不对？好，我们开个根号考三幺二八，应该等于正负五分之根号，因为 alpha 第二项线，所以我考三幺二八，他一定是个负的，对不对？所以答案选我们的 a， 负的五分之根号就可以了。 好，最后一题啊，他说，若，哎，这个分式等于二分之一，让我们求弹性的二，那你看这个分式啊，分子分母都有三根，口三根啊，我们有个方法，就是分子分母同时除以口三根，哎，我们就可以把弹性求出来了。来看一下，分子分母同时除以口三根二八呢？那这里是不是变成了弹性的二八 减二，对不对？比上三倍的弹性的二八加一等于二分之一。好，我们交叉相乘，再相等，就可以。等于三倍的弹性的二八 加一等于两倍的 tan angle， 再减四，然后移过来。 tan angle 呢？这个再移过去啊，是不是等于负五呀？所以答案呢，就选我们的 a。

来到第八期象限角求值问题，散引的二阿尔法是不是二倍角公式就等于二散引的阿尔法，扩散引的阿尔法，那这样的话，你看在第二象限角对不对？第二象限角全是 天才一样的摆在边上，散引的，扩散引的，碳引的都是正的，这里面碳引的是正的， 好吧，他第二项引角那只有三引的是真的，那 cos 引的是不是负的，知不知道？那 cos 引的是不是负的？好，那 cos 引的 r 法怎么求？就等于负的根号下一 减三引的 r 法方。看好了，就说 cos 的 r 法方加 cos 引的 r 法方等于一，就是同角公式，那就等于负的根号下，对啊，一减五分之四的方 就等于多少，等于五分之三，负的五分之三。好，那二三以内法 cosine 法就是二乘以 多少五分之四，再乘以负的五分之三，这样就等于负的二十五分之二四的八三八二十四，负的二十五分之二十四，对不对？选 a， 二零一七年真题。好，我们先来分析这个题目，这题考了二十三角形 函数的诱导公式 cosine 的， 这里面看第二项弦角还是一样的把它摆在边上，全是天才大家摆在边上，那他的第二项弦角 cosine 的是正的， cosine 的 是不是还是负的？所以说 cosine 的是小于零的，是负的，那 cosine 的 阿尔法 方加 cosine 的 阿尔法方等于一，这个公式还是摆在边上，这样就能推出来 cosine 的 阿尔法，知道吧？好，那 cosine 阿尔法是负的，好吧，那这个 cosine 的 二分之派减阿尔法是等于，对吧？ 等于 sine 的 二分之派 cosine 的 阿尔法减 sine 的 阿尔法， cosine 的 二分之派，这样的话是就等于什么？等于 cosine 的 阿尔法的知道吧？这样的话是等于扩散引的阿尔法。那我们这一题把这个扩散引的阿尔法给它取出来不就完事了吗？对不对？看根据这个上面对吧。那扩散引的阿尔法是怎么求？扩散引的阿尔法是等于正负根号下一减三引的阿尔法。方 又因为他题目中给了三引的阿尔法是五分之三，那就等于多少？ 这开出来是不是就等于五分之四？你把五分之三代引成五分之三，代引正负五分之四，又因为什么 cosine 的 阿尔法是小于零的，所以说 cosine 的 阿尔法只能等于什么负的五分之四？知道。好，这下选 d。 五十五题啊， sine 的 和 tan 的 小于零，然后这样的话是 天才对不对？全撒 in 的 cosine 的， tenin 的 正的正的正的正的，正的就是是正的， tenin 的 正的，然后这个是 cosine 的 正的。好，它要使得它俩都小于零。小于零，那意思说它俩是一号，要么 signin 的是负的，要么 tenin 的是负的，对不对？好，那 tenin 的是负的， 那这个里面散引的是正的，对吧？探引是负的。好，第二项链可以取到，二项链可以取到，因为它俩相乘是不是小于零？好吧， 那还有一个小于零，第二项链可能取到，那再看这个里面散引的是不是就是负的了？那第三项链是不也能取到？那是不就二三项链？选 c， 一 八年整体探引的这个等于多少？是不是探引的阿尔法加四分之 pi 是 等于一减探引的 多少？一减碳尼的阿尔法，碳尼的阿尔法去加一，这个一是碳尼的 四分之派，知道他的原是啥。碳尼的阿尔法加贝塔是等于碳尼的阿尔法加碳尼的 贝塔，一减碳尼的阿尔法。好吧，是这个公式，大家记住好，加不有了吗？三有了不就带进去啊。三加一，一减三，这样就等于负，二，接着就选 a。 零一九年的题，同样的还是把这个全是天才给摆上。碰到这种题目，大家跟我一样的，把全是天才给摆上。好，全散的扣散的看见的真的真的真的散的，真的 看见了，真的才真的好。大于零大于零，要么全都是正的，要么全都是负的，对不对？全正那一项线肯定能取到 c d 排除好，那好， 要么就是全负，那这个里面就看见了正的，那散的是负的，扩散的是负的，负的除以负的是不是正的？所以说是在第一项线和第三项线。选 a， 好， 四十六题啊。二零一六年四十六题选 a 好， 我们看这个五十四题也是这种类型的题目。往下看，把这看成一个整体 c 塔，这也看成一个整体 c 塔，那这样的话不就是散的 c 塔，扩散的 这个贝塔减 cosine 的 c 塔， sine 的 贝塔吗？这个不就是和差角公式吗？加相减的话，那这样的话不就是等于 sine 的， 对吧？ sine 的 这个 c 塔去多少？去减贝塔，对不对？好，三弦贝塔去减贝塔，那这样的话我们看。哦，这样的话看啊， sin 的 c 塔和这个，那我们把这个这样的好，是不是把这个换掉，换成多少？ sin 的 阿尔法加贝塔，对吧？整体再换回来就减贝塔好，这不就没了吗？不就等于 sin 的 阿尔法了吗？选 a， 二零二零年整体十三题看好了，就这个好，应该正常。试卷上这一题是是四十三题，大家就记住。好吧，告诉大家第一个方法就是 cosine 的 四分之派去乘上 tan 的 四分之派，把它直起着不就完事吗？不就等于二分之根号二乘以一就等于二分之根号二。好，第二个方法，它俩扩散的四分之派去乘上一个散的四分之派去除以扩散的四分之派， 加这个跟这个一约不就没了吗？不就等于三的四分之派吗？三的四分之派不就等于二分之根号二吗？两种方法选 c 二一年真题好，我们先来判断他的角是正的还是负的，知道还是一样的，全是 天才先给他摆上，大家要清楚，扩散的正的，散的正的好，这里面 s 就是 真的扩散的是真的，太近的也是真的知道好， 阿尔法是第二弦角，那就在这里。在这个里面的话，那 cosine 的是负的，没毛病。那看见的也是负的，负的话 cd 先排除掉。你看这里面 cosine 的是负的，看见的也是负的，知道吧，只有三的是正的好， 负的对不对？好，我们来算二的阿尔法方是等于一减， cosine 的 阿尔法方就等于一减。负的五分之四方就等于一减 二十五分之十六就等于二十五分之九。知道好，加散引的阿尔法就等于根号下 二十五分之九就等于五分之三。那 tan 一 样的 tan 呢？是阿尔法就等于散引的阿尔法。去除以扩散的阿尔法就等于五分之三，去除以负的五分之四是不是就等于五五一约啊？就是等于负的四分之三。选 b 二零二二年真题散引的是不是这个后散引的余弦的二角的话就是等于一减二，散引的阿尔法方就等于一减二乘以五分之三方，这没什么好讲的，就等于 二十五分之七。选 a 二三年真题这一题的话，还是根据诱导公式，诱导过来就是等于负的散引的阿尔法，而这个诱导过来，知道吧？就是等于 cosine 的 阿尔法，知道吧？大家诱导公式不懂可以看我那个速通，速通公式里面有讲，详细的讲解诱导公式，你直接拉到那一块就好了。好，那这样是不是变过来了？是不是叫负的 sine 的 阿尔法除以 cosine 阿尔法，这个是不是等于负的 tan 的 阿尔法是不是就等于负三？所以说选 c 四年正题这个前面是不是算的是一减二三引的阿尔法方，对吧？这个还能换成什么？换成二扩三引的阿尔法方减一。这两个公式都要去记，大家带进去就等于二乘以五分之三方减一就等于二乘以 二十五分之九，这样的话减，再去减一减一的话不就二十五分之二十五吗？对不对？这样的话就等于二十五分之十八， 二十五分之十八，去减二十分之二十五，对吧？那加号是不是等于负的二十五分之七，负的二十五分之七。选 c 二零二五年真题三十九题，你看的话就是上引的 六分之派就等于二分之一，扩散引的六分之派等于二分之根号三。好，那扩散引的方六分之派，对吧？扩散引的六分之派方减散引的六分之派方就等于二分之根号三方减二分之一方就等于四分之 多。少四分之三减四分之一就等于四分之二，四分之二的话不就等于二分之一吗？选 a。 好 吧，有题也是这一类的，题目中间经过 x y x y， 大家 r 的 话看好了， r 的 话就是等于根号下 x 方加外方。这个公式大家记，记住按的 alpha 啊，给大家记就是 sine 的 alpha 是 等于 r 分 之 y， cosine 的 alpha 就 等于 x 分 r 分 之 x， tan 的 alpha 就 等于 sine 的 alpha 除以 cosine 的 alpha 不 就等于 r 分 之 y 除以 r 分 之 x 吗？这个公式大家记住好，加 r 等于这个根号下 x y 就是 负五分之三方带进去，加五分之四方带进去，那 r 减出来的话就等于一嘛，对不对？好，它去求扩散的，那我们就把这个 x 和 r 带进去，不就等于负五分之三除以一就等于负五分之三？选 a。

好，我们来到第九期，什么圆柱圆锥啊，球啊，什么一些那些面积体积公式的一些类型的题目。好，我们看这个 二零一六年的卷子，第五十题考察的是球的表面积，对吧？比大小。好，那我们就先把这个小球写出来，小球就等于四 派尔方，知道吧？小球是四派尔方。好，大球大球我们就是等于四派 二耳方两倍，这样的话就等于四派，乘以四耳方等于十四十六派尔方。 那这样的话一比不就出来了吗？ a 小 比 a 大， 就是求知道吧，十六派尔方，四派尔方，一比不就等于四吗？对不对？选 b。 一 七年真体，对吧？正方体中能长为一，求三棱锥的体积。 好，三根锥是啥？ b， c， d 给它先画出来吧。 b， c， d， a， e， b， c， d 就是 这个呗。那它的高是啥？高的话不就是 a、 a 一 吗？对不对？就是棱长，这个是高，就是一，它的高的话是一。好，我们写在边上。 h 等于一 好底面，底面面积怎么算？ s， 三角形 b， c、 d 就 等于 b， c 乘上一个 c， d， 再乘上一个二分之一，对不对？这样就等于一乘一。乘二分之一，不就等于二分之一吗？对不对？好， 那体积三轮锥的体积公式是，三分之一就是三分之一 s， h， 知道吧？ s， d， h。 好， 这样， v， a， e， b， c， d， 它的体积是等于三分之一 s， 三角形 b， c， d 乘以 a， a 一， 这样的话就等于三分之一，乘以多少乘以二分之一，再乘以一，这样不就等于六分之一吗？好，这下选 c。 一 八年真体球的半径为二，那球的体积，球的体积问大家记 v 等于三分之四 pi 二三方就等于三分之四 pi 乘以二，三方啊，就等于三分之四 pi 乘以八四八，三十二，三分之三十二 pi 选 d。 一 九年整体球的表面是十二 pi， 那 球的半径怎么算？球的半径的话就是 s， 球 表面积是等于四 pi， r 方等于十二 pi， 那 这样 r 可以 给他解出来，就除以四 pi 一 除不就等于多少？等于三，那 r 方等于三，对吧？那 r 的 话是不是等于根号三选 b？ 幺零年真体旋转体的是 旋转体的话，这一题都不简单吗？为旋转体三是吧？二是吧？不选 c 吗？对吧？ 你 a 一 和四能旋转吗？不能。好，我们看这个第二十七题，二十七题也是这种类型的题目。正方体中体积为一好，体积为一，它边长的话，那就是一好点。 m n 分 别为对吧？它体积 a 三方等于一， 那推出来 a 的 话也等于一好，那体积为多少？求 m a n c 对 吧？ a n c 在 这 求这个 m a n c， 它的体积多少好，然后这样的话， a n 对 吧？ a n 是 中点，那也就说 a n 是 等于二分之一的。 ab 等于一，因为它的高是多少？高的话是不是一，它是高， a a 一， 这个高是一好，所以说体积还是一样的。 v 等于三分之一，因为是轮锥，三轮锥知道吧？三分之一 s 底乘高好，三分之一好，把底面积先算出来。底面积 s 底 怎么算是等于，你看他这个底面积 a n 是 不是二分之一？那好，本来就是底面积的话，就是二分之一，底乘高还是底面积的底乘高三分就二分之一，再乘上一个 a n， 再乘上一个 bc， 对 不对？好，是等于二分之一乘以二分之一，再乘以一，这样的话就等于四分之一，知道吧？好，再乘以这个底是四分之一，乘四分之一，再乘以高，这样的话就等于三四以上，是二分之一， 对不对？所以说这条选 d， 一 样加一年真体圆柱的底面半径为一，体积为六，派。好，圆柱我们先给他画出来，先下来， 大家好，我们稍微画个草图一点，大家看清楚这是圆柱就好了。好，他说他的底面半径上顶点下点，这 o 他 半径的话是为一， 对不对？好，那体积是 v 等于 pi r 方 h 好， 它半径为一代径不就是等于 pi h 了吗？好， pi h 的 话是等于体积六， pi pi 跟 pi 一 约，那高 不就有了吗？高差不就六吗？选 d。 这第五十题，扇形的半径为二，圆心角为二分之派，则扇形的弧长为多少？弧长公式，大家记住， l 等于 r 这个 c 档， 这 l 啊是弧长半径，这个是圆形角，以弧度为单位。知道。好，那 r 的 话是等于二，圆心角是二分之派。 好，那 l 等于 r c， 它是不是等于二？乘以二分之 pi 约，约就等于 pi。 选 b， 二点真体还是一样的，正方体能长为一， e f 为分别为中点，对不对？ e、 f 分 别为中点，那它的体积为多少？好，这个 b b 撇 e 到 c， c 撇 f 是 以直角三角形 b， b 撇 e 和直角三角形 c c 撇 f 为底面的，是吗？ 直三楞柱对不对？好，直三楞柱，因为这个正方体啊的楞长是一，这个 e、 f 分 别是这两个的中点，那也就是说这个 b 撇 e 是 不是等于二分之一的 b 撇 a 撇就等于二分之一的好吧， 因为 b 撇 a 撇是等于一的好，将 s 三角形 b， b 撇 e 是 不是就等于二分之一的？ b， b 撇乘上一个 b 撇 e 等于四分之一，知道吧？好，那这样的话它的高还是一样的？高的话是 h 等于 b， b 撇是等于一的好吧。所以说这个三棱柱，三棱柱的体积，三棱柱的体积是啥？ v 等于多少？ v 等于一，乘以四分之一就等于四分之一选 c， 这里大家要分清楚，这是三棱柱，知道吧？ 这里是三楞柱，大家都知道圆锥是圆柱的三分之一，那三楞锥他前面的话要乘上一个三分之一了，知不知道前面乘一个三分之一为柱，知道吧？好， 所以说大家分清楚这里为什么不乘三分之一。二三点真体，将一个旋转一周得到的球体图二体积体，我们就可以把这个怎么拆给它？拆成啥？拆成一半，一个是这个半球的体积， 还有个啥？还有个是这个圆柱的体积，体积跟表面积不同，表面积你要是能表面能看到的这里面的话，就不用算表面积。大家提醒大家一下，好，因为他的体积，他的 r 这个半，这个圆柱底面半径，圆柱啊，就是微柱，微柱底面 r 柱，他底面半径是一，他高的话是多少？题目中给了是二。好，这个球球我们就是 r 球呗， 球的话是也是一，好吧。那 v 等于 v 半球对不对？ v 半球加 v 圆柱没毛病。好，那球是多少？ 我们先把球算出来呗。半球就二分之一， v 球就等于二分之一乘以体积，大家知道三分之四派尔三方好，那 v 柱 v 圆柱 的话就是等于多少 pi 二方 h 啊。这样的话，先把这个先乘出来，二分之一乘以三分之四乘以 pi 乘以一的平三方，这个就是等于什么？ pi 乘以一的方乘乘以二。 好，这样下面的话，乘出来是等于三分之二 pi 三分之二 pi 这个是等于二。 pi 二派的话又等于啥？三分之六派，三分六派加三分之二派，对吧？三分之二派加三分之六派，是不是就等于三分之八派，对不对？好，三分之八派的话就要选 c。 二零二四年这题。 哦，为什么说往年卷子拿出来讲是非常有必要的？你看二零二四年就是完全照抄二零二三年的那种类型，知道吧？ 他容积，容积就是体积，知道吧？还是一样的，先把圆锥这个体积算出来，再把这个圆柱体算出来，这不就完全照抄二零二三年的真题吗？对不对？所以说往年的真题是很有必要去写的。这话，那 v 是 不是等于多少 v 柱去加 v 锥好，那不就等于 pi r 方 h 加三分之一 pi r 方 h， 对 不对？好，那它底面 圆柱的底面半径是？底，直径是四，直径 d 是 等于八，那推出来 r 的 话是不是就四了？好，大家四的平方 pi 乘以四的平方，再乘以高，高多少？高？图中标了，高是四，加上三分之一 派乘派好，方啊，方，这个啊，多少？他他的高？知道，这下面是四，那点 p b 与底面的直径 ab 所乘四十五度角，四十五度角的话，那看好了，他四十五度角，那也就是说 他这个点和这个点线他两个线是相等的，这时候是四，这不也是四吗？好，他的半径的话是不是也乘以四方，对吧？再乘以一个高是多少？他高是多少？ 他这个半径是四方，四方没毛病，他高的话是多少？高的话是等于这个四的，也是四，知道吧？所以说高的话再乘一个四不就完事了吗？这样的话不就等于十六派乘以四，再加上三分之一乘以十六派，再乘一次。好，这样的话不就等于多少？ 一加这一块自己加三分之二百五十六派，知道吧？好，选 a。 大家需要往年真题的话可以进我主页公开群直接找我要就完事了。 二零二五年他这一题直接给你考个体积公式就选 d 就 完事了。三分之四派 r。 三方大家也去记，你看这题，如果大家记住了，不就是四分拿到手了吗？ 这题也放里面一块弧长，弧长单位圆中弧长一百二十度圆形角，那就是说用一百二十度去乘上一个多少？乘上一个一百八十分之派，然一月一月二三，三分之二派。选 b。

好，今天我们来看三角函数的同角运算。好，我们看第一条，已知三 a c t 加口三 a c t 等于十三分之七 c t 呢，是第一第二项线的角，让我们求三 a c t 乘以口三 a c t。 好， 今后我们在做题的过程中遇到，哎，前面是同角的两个三角函数，用加法或者减法连的时候啊，相连的时候再让我们去求哎同角的什么两个三角函数的乘积，那我们只需要把前面这个式子给它怎么样？平方一下就可以了。好，我们平方一下可以得到 sin 平方 c， 它加上两倍的 sin c， 它 cos sin c， 它再加上 cos sin 平方 c， 它等于多少？一百六十九分之四十九。啊，后面这个值平方，不要忘了啊， 平方出来之后呢？哎，我们可以得到这个，这个是什么呀？是不是同角的三角函数？平方和角呀，那我们知道它等于几？等于一，那一加上两倍的 sin c， 它 靠三 in c， 它等于多少？一百六十九分之四十九。好，我们把这个移移过来，就可以得到两倍的三 in c， 它靠三 in c， 它等于负的一百六十九分之一百二十。好，我们要求的这个乘积是不是出现在这里？量，好，我们在指数除以二就可以得到答案了，所以答案呢，就是多少负的一百六十九分之 六十，对不对啊？所以答案呢，就是多少负的一百六十九分之六十，对不对啊？所以记住，看到这个乘以二， 那我们知道 tangent 的 二法是等于什么，是不是三引二法比上我们的什么？靠三引二法对不对？好，那我们看这个式子啊， 我们把它看成一个数，那这个式子可以写成什么？一分之三引二法，靠三引二法等于二。为什么要写这个一啊？因为一等于什么呀？哎，一它就等于我们三引平方二法加上靠三引平方二分之什么？三引二法， h 三一二法。哎，这样一改，知不知道接下来干嘛？哎，分子分同时除以 cosine 平方二法好，同时除以之后呢，上面呢就变成了 tangent 的 二法，下面变成了什么？ tangent 的 二法？ tangent 的 平方二法再加一等于多少？ 二分之一？哎，我们叫求的这个式子啊，应该通分影响。是不是变成了贪婪的平方阿尔法加一再比上贪婪的阿尔法，哎，是不是就是我这里怎么倒数呀？那答案也很明显，就等于几，是不是等于二？哎。

二六年单招数学必考题型，抛物线的纯狗分技巧，哪怕你现在什么都不会，公式也不会背，甚至连题目都看不懂，主播今天教你的学习技巧，只教你秒出答案，绝对是你花大几千也买不到内容！ ok， 咱们直接抛物线的焦点坐标直接除以一个四。前面这么多废话直接不用给他看，来 四 s， 那 就是 x 九 x 零四除以四等多少看一，所以一一选 a 直接秒了 来第二题，抛物线 s 平方等于负八来解，给他划掉来负八 y， 那 就在 y 角零 y 负八，直接求一个四等于二等于负二，呃，零负二选 b 解秒了。第二题来第三题， y 等于四分之一 x 平方的焦点坐标来，把这个四分之一给他划剪掉。同处时除以一个四，同时乘以一个四，变成什么 四 y 等于 x 的 平方来四 y， 那 就在 y 轴上嘛，零 y 同除一个四等于多少？四除一，四等于什么？零一选 b， 即秒杀来第四题，准线方程式，那就是除以一个负四 除以一个负四来在外角你看前面就不用看在四 y， 那 就是 y 等于什么？ y 等于四，再除以负四除以多等于负一， y 等于负一，选 d， 直接秒杀来第四。第五题， y 等于负三， y 的 平方，先把这个三给它消掉，同时乘以负的三分之一等于二，就等于负的三分之一等于负三分之 s 等于 y 的 平方来剪线方程式也是，同时除以同时以多少，同时以负四， 同时一负四，这个是 s 轴，那就是 s 等于什么？同时一负四负四，负四等于十二分之一选 b 直接秒了，学会了没有？老铁们，书包后续还会更新更多斜修技巧，助力每一位小漫步向岸！

嗯，诱导公式我在这里我不讲诱导公式，就是从第一开始开始讲，你不会呢，你就去看视频，那个视频也就四十多分钟，一开始我就发了，而且我说了你不懂就来问我， 那你不会，我只能说你活该啊，你没完成任务你不会，那我也没招啊，我在这不解释，因为诱导公式解释一下几十分钟。好啊，我们接下来来讲，什么时候知道他考的是诱导公式 啊？就在那个视频里面我也讲了，在这里我再讲一遍啊，嗯 啊啊啊， ok， 好， 叫诱导公式的标志哎， 就是说，就说我一看到它这个题目就跟昨天我们学的那个一样，对吧？给你三样法， cosine 法， cosine 法之间互求，你一看到那个题目你就知道怎么做了，画质要算行，对不对？那这里也是同理哈，我怎么知道一眼看到这个题目就知道它考的是诱导公式呢？ 就是二分之 k 派，常见的比如说 k 等于一， k 等于二约约派， k 等于三， k 等于四 约约。觉得我讲的快的，你可以说哈，当然，我们今天今年是这个二零二六年，对吧？我们可以搞一个幺零二三派，他其实也是一样哈，幺零二三派可以给他写成幺零二三派除以一，然后再给他写成同乘以二， 哈哈，二零二六派，对吧？他也可以这样啊，就是你记记住，就是二分之 k 派是二分之派的倍数，哎，就考诱导公式就这么简单， 比如说二分之派的五倍就是二分之五派。看到这个诱导公式，但是一般来说哈，我说实话，一般来说同学们安徽单招的话基本上就前四个，其实就已经差不多了 啊，撑死的话可能会某一年，对吧？跳出这个范围内，但是他也是很明显的二分之 kpi 啊，你看多了就明白了，就看到这个东西，我想的有点故事，能不能听懂啊？就像我这，我在视频里面举的例子一样，就像我小时候我贪吃，我那那那，我们那个时候呀，那那个喜欢吃辣条，你一闻到辣条你就流口水，你就要做到这种 啊，那种应激反应，当我一看到诱导啊，诱导公式没了，没了。诱导公式，我一看到这种东西，派，二派诱导公式对不对？我再看，再看再看再看，派诱导公式对不对？再看，再看，再看，再看看有没有二分之派诱导公式 对不对？四分之派才是诱导，你别激动啊，二分之派派才是诱导，四分之派不是 啊，二分之派诱导，二分之派诱导，二分之派诱导，对，肯定就靠我诱导啊，没了啊，确实没了，懂了吗？对吧？你首先你要能看出来这个题目它到底考我什么，对吧？你看一眼，你看出来它是诱导公式，对吧？咱就用诱导公式就没了，好来用诱导公式啊， 哎，我，我再讲一遍，废话，你诱导公式啊，哎，我，我再讲一遍，你课后不努力的 好，来，你总公式。好，先忍着听吧。这是不是藕对不对？你，你不懂，客户来找我哈。这是藕对不对？它是二分之二派，它是二，二分派，前面的系数是藕，二藕怎么办？藕就不用变呀。 第二步，俯卧撑线我怎么教的？我是不是说这个这个这个这个这个这个这个咋说这个词的嘞？这个这个小技巧就是先找到这个位置拍。 这总会了吧。零二分之派派加法加，我看首先怎么说。加法就是个吧，逆时针转一点点，把这个阿尔法给我。想成什么东西呢？想一勾勾，一勾勾，咱们，咱们都是安徽人，应该能听懂一勾勾什么意思吧。一点点 毛毛雨，想成一度都行，你想成零点零一度就行。就是你稍微从这个 pi 啊，你逆时针转一点点就行了。转一点点，嗯，转一点点完之后对吧。第几项？第三项线，第三项看。原来三 a 三 a 三，看谁看 y， y 是 负的，所以加符号就好了。好，结束，听懂了吧。 好，再来看下一题，二派诱导，诱导也是偶哈，因为我可以写成 cosine 二，把二派写成二分之四派 也是偶，偶不变，对吧？四，这是四，二分之二，前面 c 是 四，四是偶，偶不变。 符号看相线。二派在哪里啊？转了一圈叫二派，二派加二法就就加，就是逆时针旋转，转，一点点转，一勾勾， 哈，转到第一项线好了。第一项线看谁啊？ cosine， cosine 看 x， 正的加正号，所以这个题目就变什么负的 cosine alpha 比上 cosine alpha。 哎，我怎么感觉跟我昨天讲的这题好像不一样呢， 没写错吧。好，有同学要是对公式熟悉，这题他也看出来了。这是啥？ 这不是贪心算法吗？那你没背公式，那没招了，今天晚上听写公式啊，这有个负二，一会跟同学们说那个公式听写哪里啊？加负二啊，记住，贪心算法等于三。那负的贪心算法呢？负三呗， 对不对。就是说本来是让我准备求这个式子的，我通过自己不断地努力，不断地化解，化解成了负平方。就像题目告诉我，贪心阿巴等于三，现在让我求负的贪心阿巴，那等于负三呀。哎，结束完美完美 好，完美 好。但是你只学到这种程度，不行。如果有同学听话，对吧？乖宝宝，你听了第三节课，你在这里呢？你还能更牛。我们知道，如果你听了第三节课，你就知道三一阿尔法和 cosine 阿尔法，它们的周期是二派， 然后你还会听一句话叫做加减周期值不变。 如果你没听也没关系，你直接记也行。有什么意思呢？就说我本来是，比如说本来是三 a 三十度， 我如果给他加上一个二 pi， 就 二乘一百八，就三百六哈，如果我给他加上一个三百六，他俩还是相等的啊他俩还是相等的。你别说加一个三百六了，你加十个三百六，他俩还是相等， 我们叫加减周期值不变，它可以帮助我们解决问题。解决什么问题？比如说同学让现在让你求个三百九，你不会，没关系啊，三百九有点大，你给它加，不是说加减周期值不变吗？你给它减一个周期， 加减周期值不变，所以减一个三百六，减它俩还相等，它俩还相等。等于三三十度。你看这你不就会了吗？ 记住，懂了吧？我们叫加减周期值不变。所以讲，我本来是 call 三一阿尔法，我如果给它加上一个周期，加上一个二派，值会不会发生改变？不会发生改变，它俩还是相等的， 懂了吧？所以你看这这什么 call 三一二派加二派，如果我给它减去一个，减去一个二派，我值不会发生改变，它俩还相等，但是二派减二派没了， 就是 cos 二吧，所以就是这个东西我可以直接利用周期性，对吧？加减周期值不变的性质直接就等于 cos 二吧。 好了，你就不用再用诱导了，对吧？下次如果说同同学们，下次如果说咱们碰到了什么，四派加法，咱们也要加法，咱们也要反应过来它等于什么。我直接干嘛？我直接减俩周期，你值不变， 一个周期是二派俩周期。四派咱还是相等啊，咱俩还是相等。我没改题目没改题目咱俩还是相等。因为我们用的是加减除以不变四派四派消就等于三二。好了，我这不是改题目哈，我这这用的是有原理的哈。 来，没听懂就开麦 停停。我希望你们是真聪明哈，你来，没听懂就开麦停停。我希望你们是谁啊？ 下课给我来一句，没听懂回来看看。回放就上课就给我搞懂了。哎，咱们继续看吧。你看这题就好玩啦。 看到 pi 想到什么？哎，想到诱导公式，那就变成二分之二 pi 减二吧，它是偶，偶就不用变 符号。看相线派画出来对我说，把这个二分之 k 派找出来。减阿尔法干嘛呀？顺时针转减就是顺时针转一勾勾第二相线第二线看谁？三看三 a， 三看 y， y 是 正的，所以它就正的。 你看题目就变成了我们昨天教的，他们三个之间互相去玩，给了你 call。 三阿尔法让你求三阿尔法怎么办？画直线三角形， 邻边比斜边对边就是四三四五嘛。现在要求三也阿尔法 对边比斜边对边是四，斜边是五，再看一眼阿尔法为锐角，说白了，阿尔法为锐角啥意思？阿尔法为锐角就是第一项线段哈，就等于第一项线段， 因为锐角是零到九十度的角，懂了吧？那阿尔法，如果下次人家说阿尔法是钝角呢？那就什么九十度到一百八十度为钝角就意味着第二项线，懂了吧？ 好，来，同学们思考一下，我去搞杯水喝，我不，不行了，我要喝口水，你们看，赶紧思考一下， 听懂了吗？ 啊，我们继续了啊， 亲爱的同学们，你们听不懂一定要说啊，求你们了，你总不能让我跪下来求你吧，继续啊， 看到二分之派想到诱导公式，所以就是 g， g 就 会发生改变。符号看象限，二分之派在这里减。阿尔法是顺时针转转一勾勾第一象限，第一象限看原来的三 a， 三 a 是 看 y， y 是 正的，所以它是正的。 有同学要是那个课没听好，他听这里是跟念经一样。三一，阿尔法给了我三一，阿尔法让我去靠，三，阿尔法，你，你是 这说啥？给了你三 r 法让你去 call 三 r， 你 说这说啥，这不就是昨天教的吗，对吧？你看这一环套一环 对边比斜边三四五，你看小技巧应用 call 三 r 法，啥零边比斜边四比五，再偷偷的，对吧，看一下符号哈，昨天就有同学忘看符号，现在还不看 第二项线 call 三看 x 负的， 记住， ok ok ok， 好， 没了，懂了吗？这就是月老公式对吧？就你只要会用，然后再配合搞一下就结就结束了，兄弟们就结束了啊，好 啊，咱们再讲一题啊，再讲一题，一会两题连着一块搞哈，连着一块搞好，咱们来开始，我们还会碰到一个题目，来，下面开始讲题型，还会碰到一个题目，叫做什么题目呢？叫做角度求值问题， 比较常见的，对吧？二零二六年出的可能性应该不会很高，二零二六年出的可能性应该不会很高，就像这种角度求值问题，看到吗？它二点二五度， 就像这什么他印二零二五度，三印二零二五度，他靠三印三百九十度，他印这个四百 啊，四四四，四百零五度，对不对？这就是角度求之问题，懂了吗？或者是什么他印，对吧？这是角度，我也可以画成弧度啊，比如说什么六分之十、十十三派对不对？什么靠三印， 嗯，三分之五派对不对？这都叫角度求值问题，懂了吧？就是去求这个三角函数的值，说白了就求这三角函数的值。那碰到这种角度求值问题，我们该怎么解决？ 同学，一共就三，目前哈，我，咱们先教第一种，一共就三步走哈，咱们考试也主考， 也不能叫三步走了啊，三个思路啊，咱们先讲第一种，哎，如果里面角度比较大，干嘛呢？哎，利用啊，先讲最主要的去。呸，最主要的思想还没讲呢， 最主要的四样什么东西呢？就是你们，我们啊，咱们，咱们，咱，不歧视哈，我写个咱们行了吧？嗯，不能说你们是， 呃，咱们，咱们只会四十三十度，四十五度，六十度、六分之拍， 四分之派和三分之派，我说的很清楚啊，咱们，我们回来让你们背，也是背这些，就是你们，你们，我们，咱们只会这三个角。如果题目对吧，给我出了一个什么 ten， 两千零二十五度怎么办？ 如果题目给我一个 cosine 三百九十怎么办？不会呀不会呀，那不会怎么办？如果碰到这种里面角度比较大的超过了我们这什么三十度四十五度六十怎么办？我们就一句话， 我给它变小一点，你看啊，这不是三百九吗？我给你减一个周期一个周期，对吧？ cosine 和 cosine 周期 来一会肯定会有同学掉这个坑哈。我不，我这里我说一下，反正一会我就看谁掉这坑里面去哈，幸运儿哈赛格。 cosine 的 周期是二派哈， tan 的 周期是派，嘿嘿，好来。所以干嘛角度有点大，干嘛减一个周期？你二派不就三百六吗？ 你看就会了呀，靠山，三十度二分靠山。这个别问我为啥哈，这个回来要背的，别问我为啥，你们自然你们也可以去抖音搜一下这个记忆的这个小技巧哈。我，我不会 啊，我就死记硬背的行了吧。你们去想去听的话，抖音搜一下小技巧听一下就行了哈。啊，继续，比如说他二零二五度怎么搞？ 也可以搞呀，这角度有点大，不干嘛减周期哈，这里我说一下哈， tan 的 周期是派， tan 的 周期是一百八不是三百六。不是三百六，所以我直接给他干嘛？我直接给他减，减十一个周期 直接给他减十一个周期，等下我拿，我拿计算器捣鼓捣鼓，二零二五减去十一个一百八哇，哎，减十一个周期我直不会发生改变，咱俩还相等 四十五度， 哎呀哎，就好了，减，减十一个周期结束角度比较大，对吧？加减周期咱值不变啊，就酷酷的减就好了。那角度如果有负值呢？ 有时候我我我写题的时候，我可能会碰到什么三 a 负二法是 cos 三 a 负二法， 贪心犯法怎么办？哦，我们在那个第三节课任务课里面，我们讲过三 a 是 奇函数，它这个负二可以提前面去，就你没听也没关系啊，你没听，对吧？你可以记嘛？考三是偶函数，负二直接消失，贪心是奇函数，直接提前面去，有什么意思啊？就什么意思。 哎，利用奇偶 变为正，我为啥呀？同学，你问为啥我们只会正的三十度，正的四十五度，正的六十度，你问我负的，我不会啊，我不会 啊。那比如说三音负三十度，你看一眼这公式啊，三里面如果有符号，我可以提到前面去，提到前面去， 对吧？三十三度二分之一，那 cos 里面有，如果有负二呢？哦，看这公式消失消失 它也负三十度，负四十五度它也看，一样，跟三一样看提前面去 好了没了，对吧？四十五度是一前面个负一掉了，只有利用奇偶性可以给它变回正。嗯，好，结束。就我刚才脑子里面我想讲啥，我给忘记了， 算了，继续讲吧，我确实给忘记了，然后这个这个这个这个这个，如果求不出来呢？这个很重要哈，这个很重要，同学们，我们会用的。 如果求不出来，就比如说同学们，如果我们碰到三 a 一 百二十度，你会吗？ cos 一 百五十度，你会吗？ 对我说，咱们不是只会三十度，四十五度、六度吗？这些怎么办呢？不要记哈，不要记我们利用的原理。什么利用原理？用用用，诱导公式哈。 什么？即便我变符号看腰线，这是诱导公式哈，这诱导公式，哎。哎呦喂，怎么给他加符号去了？ 然后你自己心里再搞一遍，即便我变佛看腰线，呵呵，我就不给你们搞了啊。这也是同理，即便我变佛看腰线啊，我们只会用我，你要实在不行的，咱们会用也行啊，你会用也行啊， 我回个电话哈，这有人给我打了两遍电话，我回一下，我看是什么东西。 好，我们继续，就，我们只要会用就好了，我们，我们来观察一下哈。你，你看这两个角度有什么关系？ 你们瞪你们的小眼睛看一看，好大眼睛，大眼睛看这两个角度有什么关系？一个角度是叫派件阿尔法，一个角度是阿尔法，这两个角度有什么关系呢？我们发现如果把两个角度相加 就是派，所以我总结出来规律了，有什么意思呢？就说如果两个角度相加等于派，对于三来说，你看这个图，看这个相等，如果两个角度相加等于派。对于 cos 来说，有个符号 加符号，对他来说，如果两个角度相加等于 pi 有 个符号啊，解释一下啊，解释一下，解释一下啊，解释一下。比如说三，一百二十度，我不会，但是你可以利用这个式子。对于三来说，如果两个角度相加等于 pi， 那 他俩相等， 就说两个角度相等等于一百八， pad 就 一百八吗？对吧？一百二十度和六十度相加等于一百八，所以它也相等二分之高三结束。再比如说 cos 一 百五十度， cos 一 百二十度，我不会哎，根据这个怎么来？对 cos 来说，如果两个角度相加等于一百八，咱俩只是相反的， 要加负二就加负二的关系哈。把。三十度跟一百五相加等于一百八加负二的关系，对于碳来说，对吧？也是一样看这个加个符号的关系哈。 碳一百三十五度跟碳四十五度相加等于一百八。对，碳一百三十五度，所以你就加负二对吧，它俩跟这个相反 复一。 ok， 结束好完美来，有没有没听懂的同学们，结束了， 有没有没听懂的。都听懂了，都听懂了，现在赶紧截图哈，快点截图，一会要用了。 好，行，咱们来开始。好，这题刚才讲过了对吧？角度有点大，他的周期是 pi， 所以 我直接 枯嗤，直接给他减一个，直接给他减十一个周期，哎，正好变成贪婪四十五度结束这么简单。好，再来好，再来。哎， cosine 角度里面有符号 cosine 来说角度里面有符号直接消失 seven percent。 哎，有同学他是这样子的。有有同学他说，他说，老师，我之前我碰到过这样的题目， 三分之五拍，老师我怎么办你，你看你看，他教的都是度数度数度数度数，你突然给我考三分之五拍，我不会啊。那同学你你脑袋瓜转一下嘛。你给他这是弧度值，你给他变成角度值不就好了，约约六十考三五六三百， 对吧，然后加减周期，之后变他角度有点大，你给他减去一个周期，减去一个三百六。 cos 负六十度看不就跟这一样吗，对吧。你看，你说老师这弧度值，我不会怎么办，你变成角度不就好了 你可变成角度不就好了，当然你要会更好啊。都一样的道理都一样道理哈，就弧度值跟角度值而已，无所谓 对吧？就是 cos 负六十度，对于 cos 来说，里面有负二，干嘛直接消失， 你说啊，听懂没有？如果这里面是弧度制，你如果真不会，咱就把它变成角度，昨天讲过了吧？好，没人说话，我就过哈。对三来说，如果里面有符号，干嘛直接踢前面去 啊？三六分之派，二分之一结束，你看库哧库哧的算，这一年更简单，考三四分之派，二分之根号二，他也四分之派一二分之高二乘以一 c 哄小孩嘛。这不是这题，看就就看，就这一题对吧。有同学不会了，不会没关系啊，同学，你把这个派给它变成一百八不就好啦。你说老师弧度值我不会，那你给它变成角度不就好啦。 角度有点大减一个周期， 对于 cosine 来说，如果里面有符号，直接消失， 完美。角度有点大减周期。 说啥呀？角度有点大减周期。 你你你，别跟我说加减法，你不会啊， 记住，你别问我考三四十五，考三三十五等于几哈，你看第一节课你都明白了。角度有点大减周期。 玩啥呀？没了，玩完了啊，那这太简单了啊，再讲，再讲一个题型， 咱们再来。好，同学们开始给你们强化了，咱们，咱们要进化了，咱们这个，咱们这个经验已经攒满了， 咱们要提升一下，进化一下。有点卡啊，昨天我们说了，哎，三眼阿尔法， cos 眼阿尔法， 贪眼阿尔法，对不对？我知道其中一个， 这怎么卡？知道其中一个，那么全部都出来，这个思想一定要学会啊。 那我昨天我也说了对吧？我怎么说？我说同学，你这种，你是利用铜角去搞的，对吧？你只能两个角一样才能去搞，对吧？这阿尔法，你要求的也只能是阿尔法， 那那那那那那那，对吧？那我是不是说这角不一样，你是不是搞不了， 对吧？这是阿尔法，这是阿尔法，你搞不了。那这时候怎么办？怎么那么卡， 那这时候怎么办？哎，其实同学你背了这个二背角你就明白了哈，他，他能搞能搞呢？是你背了二背角就能明白了。妈的，我真服了，这写一个字卡，卡半天 对吧？人家，嗯，三一二二吧，他一二二吧， ok， 等于二倍的三幺二八乘以 cosine 等于，对吧？这，这是二倍角公式，同学们，亲爱的同学们，这是二倍角公式啊，是需要同学们要去背的， 早知道我给它直接粘贴过来就好了， 说明老师很，很很勤快。好， ok， 继续。最后一个， 好，完美。 我们现在把这个思想给你提升一下，上节课我们学的是知道其中一个可以求全部，可以求三二八， cosine， 二 tan 二八。现在思想再给你提升一下，知道其中一个，我不仅可以把这个三个全都求出来，我还能把 cosine 二八， cosine 二八， tan 二八也能求。 解释一下为啥啊？解释一下为啥？比如说我现在啊，假设，同学们，我假设给了我一个三眼阿尔法，给了我一个三眼阿尔法啊，等于 五分之三，对边三，斜边五，邻边四，那你这个时候看看，看看三对边法时候给求出来， 零边比斜边，那你贪二法是不可以求出来，对边比零边三二法也可以出来，对吧？你看， 哎呦哎呦哎呦啊，三比五， ok， ok， 完美完美。这个时候你看三二二法怎么出来的呢？就往里面带就好了，你看它就出来了， 看明白了吗？往里面带就好了。这个的话，这个 cosine r r 法有三个公式，你选一个就好了，比如我选这个，我喜欢这个啊，他选哪个？看题目啊。二乘以 cosine r r 法，那就这个平方 好了，它以 r r 法也可以带啊，你看，二乘以四分之三一减去四分之三的平方，我不给你算啊，我不给你算，我主要讲思想。 说白了，同学们现在明玩明白了吗？给了我其中一个，我可以去求他们的一倍角， 然后再根据二倍角公式可以求出他们的二倍角，对吧？所以你现在你的思想就就进化了。同学，你进化了你，你给了你其中一个，对吧？三三幺二八靠三八，他二八全出来，然后三幺二八靠三二八，他二八也全出来了。所以你现在再来看这些题目，你会觉得，哇， 真简单啊，真简单。你看你看你看你看，给了你其中一个意味。什么？意味着 sin 二八， cosine 二八， tanine 二八， tanine 二八， cosine 二八， tanine 二八全出来。 那 cosine 二八怎么求呢？你这这投射，这这题都不需要用我们那个思想，你投公式就好了， 哼，这题太简单了， 每个人的平方，我的平方二十五，三秒九，把二乘上去十八，通分二一，把一通分成二二十五分之二十五，对不对？减去二十五分之十八， ok， ok， 有 没有听不懂的呀？这套公式啊，我说这这这题太简单了，都用不到我们那个思想哈，套公式就结束了。 呃呃呃，哎，对题不是。这怎么都搞那么简单的题目呀，又是一个逃空式是吧？给给了你其中一个，这三个全都知道，怎么知道呢？逃空。这这就逃空式呗， 跟他这个跟哄小孩似的。每个人的比方三个比方变成九。呃，一个比方变成一投分。 你记住 我网卡了。 不是我网卡吗？啊哈哈。 ok， 不是 你，你现在提前说是不是为了一会儿找你回答问题做准备啊， 呵呵。啊，一般我打王者，一般打王者是不是进去都会说一句我网网络不好为一会自己坑做准备。 嗯，开玩笑的啊开玩笑的。我看到了看到了，开玩笑的，你看，哎，这题终于终于终于到我施展才华的时候了。给了三亚阿尔法意味着这个 cosine 阿尔法。 cosine 阿尔法 cosine 阿尔法也都知道， 但是这里再给同学们加一个小小的思想哈，我们去研究的时候我们去研究三角函数的时候一定要去研究同角， 这个这个道理很明显就就这个道理很简单。就什么意思呢？如果，嗯，咱们这个因为咱们安徽啊，是普高和中职生是分开考的 啊，咱们校考是分开分开录取的，如果这个普高生和中职生是在一起录取的，考同一个校考，那你那肯定就会有人出来骂了， 就跟这个今年广东一样，广东呢，他本来他也是一样的。也是就是中职生这个考试只有中职生能参加，普高生呢走的是另外一个考试，难度略高一点点， 但是呢有一部分普高生呢，他就把自己的学籍转为了中职的学籍，然后就参加这个考试，就导致挤掉了这个中职生的名额，懂了吧？然后就考一个好的大专， 那么那放在三角函数里面也是一样道理，我们要玩呢，大家都要在同一个起点去玩，就是说大家都要是同一个角，懂吧？我是阿尔法，那我们都要变成阿尔法，你不能在这里 特立独行，你不能是阿尔法，所以我就需要用二倍角公式把它变成这个样子，把它都变成阿尔法，这时候才能去研究这个题目， 所以这时候你会发现，哎呀，老师，我想要求这个式子，现在就变成求这个式子，求这个式子，那不就求 cos 三二八吗？求 cos 三八怎么求？现在三二八告诉我了。 cos 三二八， 对斜零零比斜第二项线加个符号往里面一带，结束 好了。五乘五，二十五，二乘四，十二十八八，三八二十四， 就就就没了。说白了哈，同学你玩到最后你就发现就是公式啊，说白了就是公式。三一二二法对吧？等于什么？等于二倍的三二八。 cosine 二法，那我发现，哎，我不知道 cosine 二法，那不知道 cosine 二法怎么求呢？题目告诉我三二八，哎，告诉我三二八，我可以通过画这个三角形把 cosine 二法求出来， cosine 二法求出来，它也可以求，对不对？然后我每个代数结束了， 下次人家题目对吧？下次人家题目也可以问你贪意阿尔法，那贪意阿尔法怎么求呢？也是一样道理啊，三意阿尔法你都知道了，那你三意三意阿尔法你都知道，那你对吧？你可以求贪意阿尔法，贪意阿尔法等于对边比邻边第二项键加个负二 对吧。加个负二加个负二之后贪意阿尔法等于什么？化成桶角对吧。化成二倍的贪意阿尔法一减去贪意平方阿尔法。然后你代入不就好了吗。结束 好结束。没了没了没了。好好，现在咱们开始。有没有来先问一句哈有没有有问题的同学有没有听不懂的同学。有线就赶紧说哈别一会抽到你了 三 一零。好，咱们开始咱们紧张刺激的环节。几个人啊。八个人。这不又少来一个吗。是不是没睡醒啊。 那这个班我觉得还能再加一个呀 哈哈我觉得这个班还能再加一个呀这天天都就就。嗯， 还能再多挣点钱 啊。不对点错了啊。那咱们那么多题。 呃呃这是诱导公式诱导公式搞一个这题那再再来一题吧 这个这个这题太简单了我去这题难这题难 这这题是真难这题来一题。哎刚才讲了啥刚哦刚才讲了一个诱导公式还讲了一个角度求值问题。哦还讲了一个角度求值问题 啊。角角度求值问题在哪里啊？ 角哦哦刚才已经搞过了角度求值问题的话刚才已经搞过了再搞一题再搞一题 角度求值问题。 这太简单了 啊还有个啊还有个二倍角那算角度求值问题？就是我直接手动出吧。还有二倍角呢 二倍角公式。哎这这个这个算这个有点垃圾这个太简单了啊这太简单了啊这也太简单了。哎 哎这一题我喜欢这一题肯定能坑一个同学再来一题再来一题。嗯嗯算了再来一题这一题吧。 哎哎那哎，直接来这两题吧。这两题也能坑一个。我猜肯定会有同学考虑那个啥好，来截个图 来。有没有其他同学也卡的。卡的话你切流量呀。 截图了吗截图了吗 朋友们。截图了吗？没人说话是吧没人说话。那开搞吧开搞，给你们五分钟时间哈。到这个到这个到这个到这个五十的时候。 那那那你自己想想办法。那我也没招你。要我帮你交话费吗。你这你是交不了话费吗？是不是需要我给你交啊。 好来来 啊，我知道谁没来了。昨天那个梦没来，我说今天找他多回答两个问题的啊我记忆力真好。那个那个咱们到这来三叶军。 嗯，老师我是我是倒着写的。我这题我还没算到。没事啊，你直接说也行啊。嗯，那 cosy 派减 alpha 就 等于负， cosy alpha 就 等于二分负二分之一。 哎呀你可以啊，这是诱导公式把看到派想到诱导公式，所以它是偶，偶就不用变，然后接下来符号看象限派在这里派派减二八就顺时针转那第二象限，第二象限看原来的考三看 x 负的， 然后然后的话我们一般对吧。你一般？你见过谁说负靠三二八等于几？三二八等于几？所以我给它两边同时乘一负一， 这边乘一负一负二消掉，这边乘一负一负二分离。哎，这样对吧就舒服了啊。继续说。嗯，然后等， 然后把那个公式是行了 把等一下我算一下 前面啊 哎。 嗯， 对题选 a 吗？你继续说。就是我知道 cosine 二法，我就把 cosine 二法求出来。怎么求？嗯嗯，它的 就是它的斜边等于二，对边等于杠三，然后零边等于一 对这个是零边比斜边零边是一这个边是二。昨天讲了一个一比根号三比二。那你们用勾股定律也是一样的效果啊。刚好三三啥法呢？对边刚好三，斜边二好了吗？ 正负我我不知我不知道啊，正负怎么判断呢？这个 cosine alpha 呀，它是一个负的，意味着这个角呢对吧。意味着 x 是 负的，意味着二三相斜 然后人家这里又跟你说 tan alpha 也是负的，哎那意味着它在二四象限总结在一起它就是第二象限懂了吗？哦第二象限三就为正来，其他同学有没有问题其他同学听懂了吗？你这个基础可以啊。 你你你这个是怎么一开始直接判断出来它是负的？考残奥法的。你刚才讲的公式呀哈哈。啊行行行没没毛病没毛病哈哈。行，那下一个同学 有没有人不会的啊不会我就过了。行下一个乐。 呃这个是。嗯我把那个六分之十七化成了那个负三派加六派 啊化成负三派加六派啊，据说然后根据那个运道公式直接把那个三派然后画没有了就直接等于团天六派。嗯好你你这个方法没问题，但是但是我不建议用这种啊。 啊也行，那这样吧这样吧，我都给你们讲一讲哈。他用的是诱导公式。那他没有没有任何问题啊。没有任何问题，但是我们可以可以这样搞哈。首先咱们看到这个有里面有符号，咱们先给他变出去， 把利用积函数给他变出去，然后再再干嘛呢？再用我们说的 角度有点大给他减周期，但这个六分之十七派我我我不喜欢这个弧度值哈。我把它变成角度值给它变成十七乘以幺八零，这个也并不难算哈啊。除以六余完之后三十对吧。 哎好，也就等于这个三七二一呃。二一一三五。那就是这个 for 的 time 五百一十度对吧？然后看到角度比较大，对吧。加减周期不变。我给他，我直接给他。 哦这题还很麻烦啊。哦我讲错了啊。这个周期是周期，周期是派，那直接给他减三个派得了对吧？周期是派，直接就给他减三个派减三个幺八零。 来到这一步有没有不懂的。那就等于负的 ten 减三个幺八零就减三个五四零，那就是负的三十度。看到符号又可以提到前面去了。 ok 结束。 然后这个同学用的什么方法呢？他给他凑诱导公诱导公式去了他给他去凑诱导公式去了。他用诱导公式去了，对吧？他给他凑成这种 他把这个给他化简了，化简成这个负的三分之十七倍。这个有个小技巧就是你看这个角度呀跟哪个诱导公式比较接近。那不建议同学们用，因为角度一般，如果你这样用的话这个里面的这个角度一般比较大。 那你还不如先干嘛呢你还不如先给它利用加减周期制复变给它变小一点，你变着变着就比如说像这一题一样你你变着变着我就发现诱导公式也不用用就很简单的加减加减法它就结束了。你诱导公用诱导公式，因为你还要判断正负号还有可能会出错， 哎，如果你非要用诱导公式呢？这里有个小技巧，就是看它跟诱导公式的哪个特点比较接近， 哎，说白了就是你去看这个六分之十七派，嗯，他跟他和诱导公式，对吧？是跟二分之派接近呀， 当然这就考验你这个数学能力了。还是跟派接近呀？还是跟二派接二分之三派接近，还是跟二派接近？这个同学，对吧？他看出来了，他，他是跟什么跟三派接近？ 跟诱导公式的三派接近，所以他用六凑角，就是用凑成一个诱导公式就不能改题目哈。我现在写了一个三派，但是我这个题目负三派，我又要跟这个负的六分之十七派要一样，对吧？再加一个六分之派，就意思什么意思？就是凑脚，凑出来之后你不能改题目， 你凑本来是六六分之负的六分十七派，然后加这个同学，他用了诱导公式，对吧？ g 变 o 变 o 把偶偶就不变，然后再找否项线，然后你还要再找负三派，对 吧？那就顺时针转了，到这里转一圈，负二派，再转半圈到这里负三派，对吧？然后加上六分之派，那就加上一个锐角啊，加上一个锐角加法，它逆时针转，对吧？第三项也为正加乘号，哎，等于三分之杠三 啊。我个人是不建议这样写的，你就导公式符号判断，你可会出问题。这里的凑脚，对吧？可能你这个数学计算没啥问题，对吧？也没你，你要是硬要这样搞，我也不会拦着啊。但我更希望同学们，对吧？用我们讲的那三个步骤， 对吧？就很简单就可以出来了。那加减周期之后验对吧？你利用一些减法，利用一下基友信的提符号对吧，就就可以出来了哈。嗯嗯，但是我也不会强求哈。嗯，你咱们喜欢用哪个就用哪个，你能听懂能作对就用哪个啊。没问题啊同学非常棒啊。下一个 啊红红。他是卡来 mate。 快 来改个英文名了。 这题我没算。没算，现在算。嗯，那这个符号啥意思啊？那个什么二 pi 加这个符号重要吗？这是这是 c 个吧。就就就是二吧，就角度，懂了吗？啊，就角度。嗯，说吧，那就是 一点五不变，就是 cosine 等于。嗯， cosine 七变五变你你咋不说符号。看消息。嗯 嗯否格式的公式是三 a 括号 r 平方加 r 法，它就等于 q 三 a r 法呀， 你背的公式啊啊，你不用诱导啊，你公式那么多，公式你全背了？我背了一部分。 行那那行。哎呀，同学别学他，你们就老老实实那诱导公式一共就两句话，你会用？你你你你所有公式都不用背了，那诱导公式那一大片那所有东西都不用背了。下次如果考试的时候要是考他考个三派加 c 塔，就像上一题一样，三派加 c 塔我都不信他，你会吗？ 这个你会吗？你背了吗？这个我是用那个直接除以三个周期。不是我现在我问你如果考试的时候给你搞一个什么三派加 c 塔，你怎么搞 这个就不知道啊。哎。你你干的那种想法也没问题，你给他先给他减周期，减小了，然后你再用你背的公式就行了哈。但是我不建议同学背公式哈，你直接你背两句话，即便我变佛看星星，你花个二十分钟把我们的视频看懂了，你这里直接用就行了哈。 这是鸡鸡就变 cos 四打 four 看小线二分之派加四打。那二分之派在哪里？在这里加四打。怎么逆时针转一点点第二小线，第二小线三看外是正的啊，它是正的，没毛病。好，继续，然后再判断后面的， 后面的是偶函数是不变，就是还偶函数，跟偶函数有啥关系啊？继续说， 我们讲这个偶函数是它里面有符号，可以直接消除掉。这里都没有符号，你研研究啥偶函数 啊？这里这这题考的啥，知道吗？ 还是诱导啊？你看我不是说了吗，你这是什么？这是诱导公式的特点，看到它就想诱导，懂了吗？啊？所以再用诱导 咋了？诱导公式不会用是吧？ 是不是 看一看吧，因为我好像不会。回去抓紧给我把第二节课诱导公式给我解决了哈。 这是偶偶就不用变 符号看象限。这咋今天不知道为啥那么卡 pi 加二 c 它，我说了后面这个角度呀，不管是多大，你都给我想象成锐角，想象成一度加法就是逆时针转一点点。第三项写原来是 cosine， cosine 看 x 负的加个负二， 就是说题目本来让我求的是 call 三呀。二，不是题目本来让我求的是它，现在我变成了它了。也就是说现在把就把题目改成什么东西？就是说告诉我 call 三 c 它等于二分之一了，让我求负的 call 三二 c 它，那怎么求？哎，我们先把 call 三二 c 它求出来。 这好求啊， call 三二 c 它好，求 就等于什么，对吧。给了你 call 三 c 它让你求 call 三二 c， 它是不是直接套公式吗？ 哎，这这是这是，真烦人啊，那卡的我难受得慌。 减一直接套公式对吧？给了你 cosine theta， 如果求 cosine 二 theta 套公式就好了，对吧？就等于二乘以二分之一的平方， 对吧？减一就等于二乘以四分之一，二乘以四分之一消掉一下还是二分之一啊这是。二乘以四分之一消掉了一个二，你看这写的我都烦得慌。 消掉一个二对吧，还是二分之一？二分之一减一对吧，就等于二分之一减二分之二就等于负二分之一 就等于负二分之一，它等于负二分之一之后。但是我们要求的不是 cos， 它是负的 cos 它，所以就等于负的 负二分之一好了。哎，就等于二分之一游戏结束。哎，那个同学，你这题不会的原因是哪里？是诱导公式不会用还是怎么回事？ 说快点啊，看那同学呢，我在我在我在。你是诱导公式不会用还是怎么回事？ 还是说就是诱导公式会，但是就单纯的 g t 不 会单纯的 g t 不 会写 g t 不 会写。行，好啊，一会再再一会，一会再给他们出个坑的毛蛋。十四题 等一下，我这一天没看。嗯，现在看。同学你好好听哈，回答不出来也没啥，你们都好好听，你们别以为我问答十四题你们就抓紧准备下面这几题。没必要啊，我可以给你时间思考， 你们有想法， 而我不会。我不是说了吗，化成铜角啊，同学。化成铜角，化成铜角，这是阿尔法这是阿尔法，所以我会干嘛？我先会利用二倍角公式，对吧？它，它两个不是一个级别的，研究不了啊，对吧，就说高中生跟这个种植生，普高生跟种植生，你们怎么能一起考啊 啊，所以先用二倍角公式。哎呀，我是真的烦，怎么回事啊， 完了，这马上这又要卡死了。 贪印二阿尔法对吧？你看人家给他贪印二阿尔法等于四分之三，是吧 对吧？然后问你，贪印阿尔法啊，然后先换成桶角啊，这是阿尔法，这是阿尔法，研究不了，所以干嘛利用二倍角公式先给他换成桶角。 同学，你现在你看不出来，我变一下你就能看出来哈。我把这个摊位 r 把我看成 x， 你 就明白了。就相当于现在告诉我二 x 一 减 x 平方等于四分之三，让我求 x。 这什么？这解方程看懂了吗？交叉相乘， 懂了吧？交叉方程，这是八 x 三减三 x 平方解方程移过去三 x 平方加八 x 减三等于零就好了。三 x 十字方程法哈， 这个不会，没关系哈，没关系，真没关系，不会的话你干嘛呢？你来找我，我给你发一些解方程的视频看，但是你也可以用这个对吧？万能公式 啊，给你发一节解解放的视频，看你下课能解决哈，没关系，同学啊，来负正，这个负一正三交叉相乘，九 x 负 x， 求和验算哈，等于八 x 没问题，所以横向书写，三 x 减一 x 加三，所以三 x 减等于零，分别为零，三 x 减一等于零。 好了， x 谁呀？ x 就是 贪婪阿尔法呀。 嗯，好了，就就就就这么简单，所以你就可以求出来了啊，吓我一跳， 哎啊，就是负三和三分之一，听懂了吗？就就就是一个解方程啊。就是一个解方程 有没有听不懂的。 继续继续去去去去去。下一问下一问。简单 啊。有点坑啊。不坑不坑咱们下一问。来找一个这个江雨江雨来吧快点吧。 嗯因为直到三十二发然后今天花这幺三零取出来靠三十二发去。靠三十二发干嘛。 然后用二倍角公式一换算就出来了。哪个二倍角公式啊。考考三 a 二二十法等于考三 a 二十法放减三 a 二十法放。那那你都用这个公式你为啥不直接用这个二倍角公式 啊。一减二倍的三对三 r 了哈你直接套这个公式不就好了啊啊啊行那我我现在。嗯来这题太简单了哈给你拔高一下难度你看你能不能接受 好了吧其他同学也可以准备准备这一题哈他可能会掉进坑里面。 三二十法等于二分之一三二二。呃咱不搞二分之二二分之一也有点啊搞个五分之四吧五分之三吧。 那求三二十法的话就是先把得先把 cosine 求出来。对因为对因为它是这个所以把 cosine 求出来。 cosine 求出来等于多少。 等于零比写四四分之四。嗯零比写。呃四分之五五分之四五分之四继续说 然后就直接代入三 a 二百二十八都取出来了好了吗确定吗。 应该只确定来。 有没有同学有不一样的一块钱。 不是你们都是这个答案吗昨天白教了 不是没人会啊你们没有不一样答案吗。大家都觉得是这个是吧 三叶君你答案也是这个吗。嗯我我再问一遍有没有人不一样答案的 说说错了没关系哈。有没有人大胆来说一下子。 昨天我说了，如果这个角度没有给限制呢这里就要加一个正负所以就两种可能所以你这里代进计算的时候就正的也可能，负的也有可能懂了吗？所以你最终答案应该是正负 来你们听懂了吗？听懂了 再说一遍。如果这题没有给限制意味着他的答案可能是正负包括意味着你底下要算这个贪婪阿尔法等于三比四也是要加个正负 你带进去算的时候也是要分两种情况第一种正的对吧把正的三分把正的带进去算对吧第二种负的把负的带进去算算出来两个答案啊来结束 在最后一题。白云江宇好像没找过白云好像这俩同学没找白云。快点，昨天就是你 老师。等一下等一下我再看一下哥。嘿嘿看吧 好了给了啊。括号里面有个二分之派和派所以对于这两个 这两个之间它 cos 是 负的啊第二项线是吧啊第二然后还有一个 cos 三是负的啊继续说啊， cos 三 k 嗯 所以 cos 阿尔法就等于 我的根号下一减。哎呀我都说了别用这公式你昨天你都没好好听我说如果看到三二八求 cosine 二八怎么办。画这个三角形 对边比斜先找他的对边对，然后呢？邻边去就四啊那 cosine 二八等于几。 嗯，二八等于。 咳，邻边比斜边 好了吗。啊四比哦我我冷死了。这个要背一下公式哈然后加个符号因为它第二小节加符号好了吗。好了啊然后呢？快快快，一会再讲一个题咱们下课吃饭去了， 然后呢？然后我就讲不出来了。日，你都讲到这一步了，你这这套公式不就好了。不知道怎么讲了。 哎呀，我这这卡的我都不想写。这就是这二倍的三十二法 cos 三十二法，然后把它往里面带，懂？嗯，你真懂。不太懂。 哎呦，我的哥哎，三亚阿法往北带呗。三亚阿法五分之四， cos 阿法负的五。哎哎哎，讲错了，这里讲错了，怎么还没人提醒我，你们都在干嘛呢？ 这对边是四，离边是三，所以这是五分之三，负的五分之三。你们怎么没一个人说？都睡觉了， 懂了吗？白云，现在懂了吗？就套公式就好了。嗯啊，二倍角公式吧。 ok， 好， 嗯，好，我们继续。我看看啊，咱们再选一个题型，咱们下课结束 啊。只有这一个题型了，求周期。哎哎，不行，求周期。那下午讲吧。求周期就只余晚上讲啊。今天晚上挺轻松的呀。咱们接下来讲一个，讲一个这个， 有没有同学看出来这是什么考我什么呀？你们要是对公式熟悉的话就能看出来了，这是考察，和差，这是和差。对对你，你们看啊，来，带你们看一眼这公式。 好，来看。嗯嗯， 你看，就这合唱，那像合唱，哪个公式呢？你看看 sin cosin cosin cosin cosin。 看 cosin cosin 啊，这是减法，减法，你看 cosin cosin cosin cosin。 你 看，不就是考这个公式吗？ 对不对？只不过人家把这个原本你看，如果你看不明白的话，你看啊同学，我给你变，我给你变一下你就看明白了。 你看你看， cos y x y， 所以 x 减 y， 对 吧？所以？所以？什么？ x 减 y， 所以 x 是 谁啊？ x 是 这个整体 r 加贝塔减去 y 减去后面这个整体贝塔约约就等于三 r 法结束，听懂了吗？ 你要能看出来他考你的是合唱，懂了吧？啊？再来再来看啊再来看，包括这也是一样道理。看 这是啥？不就这个吗？不就这个吗？ 三也二 x， 然后 cos 七分之派，对吧？然后七分之派 cos 二 x， 七分之派等于三也二 x 加七分之派结束，对不对？ 好了，你看前面，前面还还有一题，我记有一题很难， 你再看。哎，那题呢？啊？这题看这什么啊？这题很难，一会咱们再写两题，咱们记住。 看出来没有合叉呀，但是有同学会发现问题，这个合叉会有问题啊？ 什么问题呢？你看我们和差公式只有两个角，发现了吗？只有一个阿巴和一个贝塔，看吗？阿巴贝塔阿巴贝塔阿巴贝塔阿阿阿阿巴贝塔。但对于这题来说，你可以看到它有三个角，有时候你甚至能碰见四个角， 怎么办？所以你用不了和叉用不了和叉，我怎么想呢？我想着要不然把这个十度呀，变成这个一百七十度，对不对？这样的话我如果能把十度变成一百七十度，哎，我就两个角度就用和叉了，或者是干嘛呢？或者把这个一百七十度变十度。一般同学们哈，一般我们变后面这个 啊，不要问我为啥，我就这样跟你说变后面这个很多题目方便一些啊，当然你变前面这个也不一样，你解题啊，两个都一样，那怎么变呢？其实就用我们刚才讲的原理，对于 cos 来说，对于 cos 来说，如果两个角相加等于一百八，那它的值相等， 所以我就直接把一百七变成十度，对吧？刚才讲的那个，对于三来说，如果两个角相加等于一百八，它俩相等，所以你看这个题目就变成这样子了， 三 e 二十度 cos 三 e 十度 cos 三 e 二十度三十度，这又是和差来又是这第一个，就等于 cos 十度加二十度，然后二十度加十度，无所谓，对吧？就等于 cos 三 e 三十度结束好了好了， 轻轻松松啊，我们再看一下下一题哈，这一题，这一题，同学们要记一下这个公式回来要用的，对吧？同学们天天背的公式都什么东西？三一二 x， 对 吧？等于二分之一二，等于二倍的 三 x cos x。 但是我们考试其实频繁的考到的是这个三 x 乘以 cos， 没有这个二怎么办？两边同时除以二，这边除以二，这边也除以二，这边除以二，消掉了， 这样写有点丑陋，就短，就比如二分之 x， 我 不喜欢这样，我喜欢写成二分之一乘以 x， 它俩是一个东西哈，你把 x 乘上去一样的， 所以这个我就会写成什么东西呢？所以同学们，这个公式交背了， sin theta cos theta， 就 等于二分之一，就等于二分之一 sin 二 theta， 明白了吧？ 二分之一三二 c 的 这公式直接背啊，当然你不背，你考试的时候你把你把我们正常的公式背了，有些同学他也能反应过来，他反应过来，老师这是考我二倍角，所以他就退一下，也能退出来哈。但是我更建议同学们把这个公式也给他背了，下次考试我们直接用就多一个公式嘛，我又不是说让你们多十个公式。 ok， 结束好了。 嗯，其他好像就没有什么东西了哈，只剩最后那个函数的平移跟那个啥了，让我们今天晚上去解决它。 然后这里呢？给同学们啊讲一下，讲一个问题哈，讲一个问题，先把这个问题给他们讲了， 第三节课，如果想要跟跟好，今天晚上课就能听懂能掌握，一定要把我们三角函数第三节课给他看了，并且看明白。看懂 啊，不懂来问我，如果你看不明白，我可以说你今天晚上课百分百听不懂，或者说百分百你学不明白， 那到时候就跟我没有关系了哈。我已经说的很清楚了，把我们的第三节课第三节课那个叫做就第十八节课就讲错了，不定的，就十八节课，就是三角函数的图像与性质这一节课给我听明白。你今你今天晚上就能听明白了，而且今天晚上这个很重要，每年必考 啊，其他的题目我都没有这样说，我只说考的频率比较高。我没有说每年必考，但是今天晚上这节课绝对是每年必考，五分到十分， 你要不要？随便你哈，就你第第三节课，你就十八节课哈，就三点二成语兴致，你听明白你来找我啊，我给你答疑。就一定要在今天这白天的时候给它解决掉 啊，就看五分，十八分，你十分你要不要？你不要，我只能说，大气啊，大气。好，接下来我再给你们讲几题啊，再给你们讲几题，咱们结束 二倍角公式就不讲了，咱们讲几题。这个和和差吧，和差练得比较少啊。 嗯和差练得比较少。 嗯稍等一下啊我我找找一题难的 嗯哇这题巨难这这两题都巨难啊再来这一题吧。 好我们我直接讲了啊这题同学们要能看出来这考的哪个公式啊。 call 三 call 三三三它相同的相同的你看就考的就这公式看到吗 call 三 call 三三三对不对。你看我我我把它换一下位置哈我把这个 call 三放前面你就看得更更清楚了 一会找人回答一个问题哈 看明白了吗对吧不就是这个公式吗对吧你你如果实在看不明白你把它当成 r 八把它当成 beta r 八 beta 加加上三二八三倍它就等于 call 三 r 八减倍它 对不对。说白了就 cos 括号打好哈。 r 是 谁啊。 x 加 y 减倍的括号打好 x 减 y cos 加 y 减 x 加 y 对消消拆括号拆括号哈。把这个负一乘进去负一乘以 x 负一乘以负 y 啊就 call 三 a 二 y 结束。好但是这个时候呢我我再讲一题哈我再讲一题再讲一个啊啊我想问一下同学们 这个 来这个等于什么 来有没有自告奋勇的这个没钱自告奋勇的来讲一下这个等于什么。 不是你们是没听懂还是咋回事啊。今天怎么回事。今天怎么没激情了。我也累了。有没有人来回答一下这个等于什么。 江宇呃云间的喝茶故事报答说 高高三以二百呃七十七乘以二二七十秒 一百五十四度上一边去哼你一百五十四打出来的你还给他乘了个二什么鬼啊。 来小宋客栈公式不回不会套小宋。嗯在。嗯是那个考赛十七度减七十七度吗？ 对啊，那个江宇啊，你要看一看这个公式嘛，看这个公式嘛，那不，你，你怎么变成二倍角去了？你看这公式， cosine 二八 cosine， 二八 cosine。 但是同学们，我现在有个问题哈，这肯定也会有同学有这样的想法， 他会想，你看，就说这，这里面这是 r 发减贝塔，就说谁是 r 发，谁是贝塔很重要。有同学会发现，老师，这个一般放在前面的是 r 发，对不对？放在前面是 r 发，但是你们看这一题，这个前面的是十七度，这个前面是七十七度，到底是十七度还是七十七度是 r 发， 对不对？你们看，对吧？这里是 r 发减贝塔，所以这个很谁是 r 发，谁是贝塔重要呀， 所以谁是阿尔法，谁是贝塔呀？在这一题，你看谁是阿尔法，谁是贝塔？ 好，对于考三来说无所谓哈，对于考三来说无所谓，对考三来说无所谓。就是你不管是你把十七度当成阿尔法，把七十七度当成贝塔，还是把七十七度当成阿尔法，把十七度当成贝塔也行，为啥呢？因为你看这个得到的是考三负六十度， 根据考三是基函数，偶函数的性质，负二直接消失掉，就是考三六十度，这个还是考三六十度，所以答案不会产生影响，懂了吗？所以你不要有这样疑虑，能不能明白对在考三里面来说的话，谁知阿尔法谁是备胎，无所谓，懂了吗？但是对于三来说不行，三来说， 对于三来说不行啊，对于三来说，咱们要看这个了啊，谁是阿尔法呢？对吧？你就看前面这个是三阿尔法啊，前面这是三阿尔法，所以我就就知道谁是阿尔法了。举个例子啊，举个例子，你们看就明白了。 以这一题来举例子，这一题三 a 靠三 a 靠三三 a， 谁是阿尔法？哎，就前面这个三 a， 它就是阿尔法，三十七度。 明白了，就看前面这个式子，谁是三眼？就前面这个式子是三眼阿尔法。你们，你们自己看看前面这个式子是不是都是三眼阿尔法， 对不对？所以他就是三眼阿尔法，所以阿尔法我就知道是谁了，看他的位置。好，继续这一题，这一题是他的二倍角，不是和差，你们，你们要就就是公式，你们要看明白。看到了吗？看到了吗？是不是一模一样？ 对，贪心阿尔法加贪心贝塔除以一减贪心阿尔法，贪心贝塔，这不一模一样吗？对吧？就等于就等于贪心阿尔法加贝塔，这不就等于贪心十四度加十六度吗？等于贪心三十度吗？ 等于三分之三吗？二十 t 也是刚，不是让你背了吗？三一阿尔法 cos 阿尔法等于二分之一，背的三一二阿尔法，对不对？所以它不就等于二分之一，这是阿尔法，这是阿尔法，这是二分之一。阿尔法， 这是负八分，这是负八分，所以这是三一二乘以负八分之八，对不对？这是二八，这是二二二八负八分，负八分负二，对吧？二和八约四，等于二分之一乘以三负四分之八里面有，对于三来说，里面有负二，怎么办？提到最前面去， 三一四分半，二分之二， 对吧？二乘以二得四，一乘以杠二杠二分子乘分子，分母乘分母。结束好了，来继续下一题。 我说了核杀公式只有两个角，现在这里有三个角，怎么办？把后面的这个幺五七啊，变成二十三。幺五七怎么变成二十三呢？根据我们刚刚讲的，对于三来说，如果两个角相加等于一百八，那它们俩相等就直接等于二十三好了。 这是什么？这是三 e 的 公式，看到没有？看到了吗？看到吗？三 e l 吧。 cosine， 对 吧？相加，哎，那所以就什么三十七度加二十三度，三六十度，三六十度，二分之杠三结束。 这题也是一样道理，你看一下，你看这 cosine， cosine 对 吧，两个一样的，不 cosine 吗？就这个公式吗？ 考三二八，考三被打，三二八三被打等于考三 a， 二八减被打，我说了，谁知二八谁是被打，对于考三来说不重要，考三考三三三，对吧？就等于考三相减，对吧？这是加法，这是相减，记住括号，给我打好 a， 加六十度 减去 a 啊， a， a 消相减消了，考三六十度，二分之一 b 结束来，有没有问题？ 朋友们，有没有问题？ 哎，行，我刚才我已经说了哈，今天晚上必须要把那个第三节课给他看了， 就是第十八节课，三角兽突然有兴趣给他看了，如果你不看的话，今天晚上真的搞不了，真的搞不了，同学们一定要看明白，不懂的来问我哈。啊，其他就没了，来，你们还有没有其他要说的，我就撤了。

今天呢，继续给大家分享的是我们函数的基五新这一模块的内容。三月八号就考试了，所以最近呢，老师一直给同学们在分享我们十年真题的讲解。通过真题呢，我们能够发现啊，考试的一些规律，比如说一些高频的考点啊，固定的公式，以及我们做题的方法。 ok， 我 们一起来看一下二五年的这道题目，告诉我们呢，偶函数的是哪一个？那 a 记这个呢？ 在什么定义上它属于奇函数，那这个呢，和 d 选项叫什么呀？都是叫做非奇非偶函数对不对？只有 c， 它是一个偶函数。 那两种判断方式，第一种呢，我们用定义来判断 f x 等于 f x 叫做偶函数的形式，那有平方，那偶函数肯定是正确的，对不对？那么另外一种呢，我们可以通过图形，图形去判断它的一个走势是什么样子。 ok， 这第一个， 这个二十四年的这个题目啊，告诉我们，又是积函数，它小于零，图像是这个样子，那告诉我们 说，假设 a 乘以 fa 大 于零，问 a 的 取值范围是什么？那这个呢？代表的含义啊，考过很多次了哈，考过很多次这个含义，那表示的是同号为正，指的是 a 和 fa 是 同号， 要么都大于零，要么都小于零，是这个意思，那这里有小于零对不对？假如说 a 小 于零，那对应的 f a 是 不是就等于 a 平方加上四 a， 它也需要怎么样？需要小与零同号吗？ 是不是为正？那所以就是说 a 平方加上四 a 小 于零，解出来 a 的 值怎么样？ a 是 大于负四小于零，那 a 和 c 可能是正确， b 和 d 就 不对了， 是不是道理呀？那我们这个按什么呢？积函数的图像就有什么性质？关于圆点对称，哎，关于的是圆点对称的 一个图像，是不是到了 x 小 于零，它在这个范围，那 x 大 于零呢？是不是相反的啊？注意哈， 圆点对称不就相反吗？ a 如果是大于零，那对应的 fa 就 怎么样，它的范围也需要怎么样？大于零的时候，所以的范围是什么样的，是不是就是 a 就是 大于零？小于四的范围才能够保证是什么，属于相反的一个内容，对不对？ 所以这道题选择的是选 c， 那 如果同学们呢，能够通过画图得出来更好，哎，更简单对不对？开口向上， 零是这样的区间，那这个呢？代表的是负四，那零到负四之间，负四到零之间吗？ ok， 这个是 x 小 于零的图像，那 x 大 于零图像呢？因为它是奇函数。关于原点对称，我们把对称的图形给画出来就可以了。那在这个区间内，是不是同号为 为正，一毫为负啊，就可以了。来第二三年的题目告诉你是偶函数，偶函数说过哈，能不能有长数项，偶函数切记不能加长数项对不对？偶函数不能加一次项，基函数不能加尾巴。刚有点 说的有点问题哈，来告诉你，这个能不能有啊？偶函数可以加尾巴，但不能够有一次项，他不能够有，所以怎么样等于零，那就是 a 要等于零，那 a 等于零， x 函数表达式就写成 x x 平方，加上一就可以了，对不对？那这是一个什么函数？二次函数 一直强调的话，二次函数是必考的一个函数，知道吧？一定要重视它的两个性质。第二个呢，它的最值，那么这题考的呢？就是最值， 它的对称轴是什么东西？负的二， a 分 之 b 等于几等于零，能不能取到零？能取到零是一，它是什么值？它就是最值。开口，向上有最小值，选二 b， 再说一遍哈，开口 a 等于二大于零，向上有最小值，最小值就是几，最小值就是 f， 零等于一就可以了。 所以我们只要判断这个零的取值在不在负三到二之间，能取到，那就是 f 零取不到，那再根据增减性去判断 来二三年的这道题。还有个就是最后一道题是函数，告诉你又是积函数，它大于零是这个样子，对不对？那小于零是什么样子？不知道，那告诉我们，假设 f 二 a 加上 f a 减二大于零，问 a 的 取值范围，那这个呢？是根据函数的图像或者增减性来进行判断的，知道吧？增减性，那我们看后面这个 f r x 减一，什么函数啊？ 它是增还是减？那底数是二怎么样？它是单调递增的，那 x 如果是小于零，函数也怎么样啊？单调递增的，为什么它是？哦，它是奇函数。关于原点对称，原点对称是不是？它是还是一个增函数？ ok， 那 我们知道的是 x 属于二的时候对不对？对应的 f x 都是什么函数？都是一个增函数，那我们现在告诉我们，是它两个相加 怎么样？ i 大 于零，所以怎么样？我们要去改写一下， r a 要大于负的 f a 减二，再根据 g 函数的 性质， f 负 x 等于负的 f x， 那 负的 f x 是 不是等于它呀？就等于什么 f 负 x， 负 x 变成里面相反的二减去 a， 那 就变成是 f 二 a 大 于它了，是不是道理？ 那 f 二 a 大 于 f a 减二，是不是它是增的，那就是二 a 大 于二减 a， 那 算出来的 a 的 值大于三分之二即可。选择的是二 b 选项。 来二三年这个题目哈，都是考察的是函数的一些基本的性质啊，图像的性质， g 函数的性质，那区间是 一到二，最值呢？是三到四，那这个呢？很简单，那我们写一下啊， g 函数，关于圆点对称，一定要注意这定义，域的取之范围，那对应的是直域的取之范围，不就明白了吗？是不是道理呀？直的取之范围是三到四， 那现在怎么样？相反了啊，写成是负二到负一，它是关于圆点对称， 圆点对称，红坐标相反，纵坐标也怎么样也都是相反的哈，负四负三，那你说最值是什么东西？最小值是负四，最大值是负三，是不是所以选择的是二 b 选项即可。 那么这个我们是根据函数图像的一些性质。什么性质？关于原点对称，那所有的点是不是也关于原点对称呢？是的，我们直接代入就可以了。 来二一年直接判断什么是非基非偶函数。加尾巴的基函数一定记得不能加长数哈，加长数就错了，所以它就是一个非基非偶，选二 b 选项即可。 a 呢？和 c 都是什么函数？叫做偶函数对不对？而 d 它是常见的一个基函数 啊，下面继续看偶函数的是哪一个？刚说过这是什么函数？这个是奇函数，偶函数，你看二一年考，二二年考的内容是不是都是一样的，重复的对不对选项都有一样的道理啊，所以这就是真题。 这题当中啊，所以涉及到内容还是比较的简单的，因为都是重复的，出现重复的考察我们 g 函数，那告诉你 g 函数能不能加尾巴？ g 函数不能加尾巴，加尾巴的一定不是 g 函数，确定吧？这个是偶函数哈，这个是偶函数，加尾巴的一定加一个长数的，加一个长数的 一定怎么样？不是 g 函数，你明白了对不对？所以这个不是选择的是二 b 选项，两个 g 函数，加 g 函数等于 g 函数， ok， 那 一八年这个题目啊，告诉你是奇函数，奇函数怎么样？不能有常数项，所以这个 a 减一一定要等于零， a 等于一，所以算出了 f， x 就 等于二倍的 x， 那 f 负一等于什么呢？直接代入负二选四 d 即可。 来一七年这个题目也很简单，这是个什么函数，同学们一眼能不能看得出来，它就是一个简单的奇函数对不对啊？那 f 负二是不是就等于什么？ 他这个奇函数等于什么？等于负的 f 二等于几？负四负四啊，等于四选 b 结束搞定啊。来，再看最后一个一六年的道题，就是增函数，又是奇函数啊，就是增的又是奇函数的，是哪一个？ 那 c 是 什么函数？常见的偶函数，那 d 呢？它是奇函数哎， b 和 d 都是奇函数 对不对？都是奇函数啊， c 是 偶函数， c 是 偶函数啊， ok， 那 到底这个呢？非奇非偶，不对。那到底是哪一个呢？我们要看到什么？还在是增函数？ 最容易说错的就是 b 选项，很多同学写错了哈，很多选项不能够写，是奇函数，它应该怎么是增函数？应该怎么办？它必须要指定什么？指定所在的象限，是不是道理啊？它是增的，那这个是什么？这是在在一三象限。它是什么函数啊？ 在一三象限，在一三象限是减函数对不对？ 它是一个减函数，一定要确定什么确定象限才对。所以这道题的答案呢？选择的是四 d 选项来选择是四 d 选项。

看这个题目，这是一个余弦定律的公式，为什么边角不对应用于弦给的是角 c， 所以 用 c 平方等于 a 方加 b 方减去二倍的 ab 乘以口算 c 来直接代入哈。十九等于九加上 b 不知道？减去二乘三 乘 b， 再乘以二分之一化解一下。 b 平方减去的是三 b， 对 吧？减去十等于零。四个字代入验证，把三代入三平方，减三乘三，减十不等于零。咔，错了，三不对。 把四代入四平方，减三乘四，咔，怎么样？也错了， c 代入五平方，减三乘五，再减十，它等于零。正确选 c， 结束搞定。

好，今天我们来看三角函数的同角运算。好，我们看第一条，已知三 a c t 加口三 a c t 等于十三分之七 c t 呢，是第一第二项线的角，让我们求三 a c t 乘以口三 a c t。 好， 今后我们在做题的过程中遇到，哎，前面是同角的两个三角函数，用加法或者减法连的时候啊，相连的时候再让我们去求哎同角的什么两个三角函数的乘积，那我们只需要把前面这个式子给它怎么样？平方一下就可以了。好，我们平方一下可以得到 sin 平方 c， 它加上两倍的 sin c， 它 cos sin c， 它再加上 cos sin 平方 c， 它等于多少？一百六十九分之四十九。啊，后面这个值平方，不要忘了啊， 平方出来之后呢？哎，我们可以得到这个，这个是什么呀？是不是同角的三角函数？平方和角呀，那我们知道它等于几？等于一，那一加上两倍的 sin c， 它 靠三 in c， 它等于多少？一百六十九分之四十九。好，我们把这个移移过来，就可以得到两倍的三 in c， 它靠三 in c， 它等于负的一百六十九分之一百二十。好，我们要求的这个乘积是不是出现在这里？量，好，我们在指数除以二就可以得到答案了，所以答案呢，就是多少负的一百六十九分之 六十，对不对啊？所以答案呢，就是多少负的一百六十九分之六十，对不对啊？所以记住，看到这个乘以二， 那我们知道 tangent 的 二法是等于什么，是不是三引二法比上我们的什么？靠三引二法对不对？好，那我们看这个式子啊， 我们把它看成一个数，那这个式子可以写是什么？一分之三引二法，靠三引二等于二。为什么要写这个一啊？因为一等于什么呀？哎，一它就等于我们三引平方二法加上靠三引平方二分之。什么？三引二法， h 三一二法。哎，这样一改，知不知道接下来干嘛？哎，分子分同时除以 cosine 平方二法。好，同时除以之后呢，上面呢就变成了 tangent 的 二法，下面变成了什么？ tangent 的 二法？ tangent 的 平方二法再加一等于多少？ 二分之一？哎，我们叫求的这个式子啊，应该通分影响。是不是变成了贪婪的平方阿尔法加一，再比上贪婪的阿尔法，哎，是不是就是我这里怎么倒数呀？那答案也很明显，就等于几，是不是等于二？哎。

安徽单招数学纯狗分技巧，这个系列至少能让你数学成绩提升二十分，哪怕你现在啥也不会，公式也不会背，甚至连题目都看不懂！学会这个技巧，直接秒出答案，绝对是你花大几千也买不到的！ ok， 兄弟们，咱们继续看第一题。第一题遇到这种题型，把这个三给他画掉， 画掉变成什么？贪的值变什么二二考三，给他画掉，变成一一。这道题什么二加一比上什么 二减一等于多少就等于三吗？直接给我坐下，直接秒了来！第二题也是一样的，把这个三给他画掉，变成吗？变成贪的值变成二二扣三，变成什么一 一什么三乘以二减二乘以一比上什么？比上三乘以二加上什么？二乘以一等于八分之四，等于二分之一，直接秒了，直接给我坐下来！第三题也是一样的，遇到这种三， 把这个三给他画掉，变成什么？变成叉 n 的 值就是一一靠三也是一样的，给他画掉扣三就是一，一 来二乘以一加一比上什么一加一嘛？等于什么？等于二分之五直接秒了直接给我坐下！铁子跟上竹包的节奏，最后七天直接带你逆袭单挑秀贤！竹包还为大家准备了免费的复习资料，助力每一位小漫步向爱！

诱导公式，前面的不变，后面的要变个形。 cosine 一 百零五度等于负的 cosine 七十五度，那 sine 一 百六十五度呢？它就等于 sine 十五度。所以把原来这个式子呀化解一下，就变成是 sine 七十五度乘以 cosine 十五度， 减去 q 三七十五度乘以三的十五度。这就是和差角公式。是不是等于三七十五度减去十五度嘛？等于三六十度，等于二分之根号三选择的是二 b 选项。

很多同学在走带道的时候不知道有哪几个坑，接下来学长总结了五个坑，大家可以耐心观看一下。第一坑，严重误判了考试结构，复习严重偏科。第二坑，完全不了解路体规则。第三坑，轻视分界点 和流程细节。第四坑，盲目跟风，资源情报不合理。第五坑，忽视了反方政策与信息。接下来，学长用一条视频带大家完全了解 里面的呃整体的结构。二零二六年安徽单招避坑指南五大落榜教训，务必警惕适用对象准备参加二零二六年安徽省职院校分类 考试单招的考生核心提示，政策每年都在微调，请务必以安徽省教育招生考试院及目标院校官方发布的最新信息为准。第一坑，严重误判考试结构，复习严重偏科。很多同学还抱着语数应定生死的老黄历不放，这是导致落榜的最主要原因。 在安徽单招中，文化素质测试语数英通常只划定合格线，他是一块敲门砖，只要过线即可，并不直接进入最终录取的总分排名。 核心决定你能否被录取，能上什么专业的核心是职业技能测试或职业适应性测试，这部分成绩占据了录取权重的绝大部分。避坑策略，千万不要只刷语数英，必须拿出百分之八十的精力去准备目标专业的职业技能，每适应性测试务必对照目标院校发布的最新考试大纲进行 精准复习，拒绝盲目刷题。第二坑，完全不了解录取双轨制与规则，为什么有人分数不高却被录取了， 而高分却落榜？因为你没搞懂安徽特有的录取逻辑。双轨制安徽单招分为分类考试，面向普高、中职和对口招生，主要面向中职两个赛道。考试内容和录取规则完全不同，千万别高混。规则差异，不同院校的录取规则不同，有的是分数优先，按总分从高到低路 走的是专业优先，按专业志愿顺序录。不了解规则，填报志愿就是盲人摸象。避坑策略，在报考前务必仔 细研读目标院校的招生章程，弄清楚它是按总分排序录取还是按专业志愿优先录取。第三坑，轻视关键时间节点和流程细节。细节决定成败，很多低级错误会直接导致一年的努力付诸东流。关键节点，务必紧盯 安徽省教育招生考试院发布的官方时间表。例如，二零二六年的报名在一月二十六号，文化课考试院校校考志愿填报通常在三月中旬，录 取确认通常在四月中旬等，错过任何一个环节都无法补救录取确认，被预录取后，必须在规定时间内登录指定网站进行录取确认，未按时确认将被视为自动放弃。体检不合格或未参加将被直接取消录取资格。避坑策略，将所有官 关键时间点报名缴费、考试查分确认、录取标记在日历上，并设置多重提醒。第四坑，盲目跟风 志愿填报不合理。不要只盯着所谓的热门院校和专业扎堆报考，大家都觉得好的学校报考人数必然激增，竞争惨烈，录取分数线自然水涨船高。定位不准，没有结合自己的实际水平，特别是职业技能的优势去选择学校。避坑策略，采取冲、稳、保相结合的策略，选择己所欲、 自己实力匹配的稳妥院校，再搭配一所稍好的冲刺院校，同时一定要有一所保底院校，确保有学可上。第五坑，闭目 色听，完全忽视官方政策与信息，只顾着低头刷题，却忘了抬头看路，对于招生政策、考试大纲的变化一无所知，最后复习全白费。志愿填错位，信息闭塞，听别人说怎么考，什么时候报名，结果错过了官方发布的正式通知，直接 失去资格。不研读简章每个学校的招生简章通常在二到三月发布，是录取的唯一法律依据，里面明确规定了考什么内容，有没有特殊要求，如身高、视力、录取规则。避坑策略养成定期查看安徽省教育招生考试院官网和目标院校招生网美官威的习惯。不要相信群里 小道消息，一切以官方发布的红头文件为准。政策搞懂了，你的努力才不会跑偏。最后叮嘱，单招是升学的重要途径，但机会只有一次，请务必端正态度，既要认真备考，也要做足功课。祝二零二六年的考生们都能顺利上岸，金榜题名！

下面结论正确的是 d 等于二， pi 除以 omega， omega 等于几？二 pi 除以二等于 pi， 所以 咔错了。最小值是几？应该是负三，因为 a 等于三，是不是应该是负三？下面这个平移左加右减减是什么样子？三乘以二倍的 x， x 括号减去多少的面的三分之 pi 应该是六分之 pi。 因为你要前面乘以二呀，所以它也错了。最后是答案选 d。

安徽单招校考的常识题都有哪些？来看一下往年的几道真题。请问桃花潭位于哪里？安徽人都知道，位于宣城市的金县，请问安徽扬子鳄国家级自然保护区位于哪里？也是位于宣城，他不是位于扬子，更不是位于芜湖。 六安职业问，你安徽哪里的酥梨最好吃？当然是砀山的酥梨。这个题其实好几个学校都考到了。国防科技问你巢湖、洞庭湖、芜湖和花亭湖哪一个不是湖？很明显是芜湖。芜湖呢，是个地名，而不是湖名。 滁州城市问，你滁州的市花是什么？这个题可能有点难，但滁州的考生应该都知道是雏菊。 亳州之夜的题目是天柱山、黄山、花溪楼，哪一个是亳州的景区？你实在不知道的话，可用排除法也能回答上，把黄山、天柱山排除之后，也能选出政策的这个答案。 所以说大部分题目还是很简单的。所以大家在报考某些学校的时候，你要对所报考的学校当地的一些基本知识要有所了解，他们比较喜欢考当地的特产， 也喜欢考当地的人文。比如说安徽各个地方的茶叶，各个地方的山，各个地方的酒，各个市的市花，甚至是各个地方的美食等等。 还有一些诗词是描写安徽景色的，比如说桃花潭水深千尺，不及汪伦送我情，写的是宣城泾县的这个桃花潭， 相看两不厌，只有敬亭山，写的就是宣城的这个敬亭山那再比如说黄山的五绝、奇松怪石、云海温泉、冬雪、文芳四宝的紫笔墨砚等等，都有可能考到。 还有两个显著的特征就是位于旅游城市，他都喜欢考礼仪与旅游常识，比如黄山职业与瓷器职业、 医学、医药卫生类的学校都喜欢考医学与生理常识，比如说安庆医药卫生健康、安徽阿姨等等。所以说准备报考类似学校的考生，在校考准备上要做好这类知识的收集与学习。 那有的考生会问，这么容易，大家不都好考吗？那你就大错特错了，你好考，别人也好考。是不错，但是拉开差距的题目也有很多，比如说数理类、职业道德类、计算机应用类、自然类，很多题你可能见都没有见过。 还有一个问题就是往年的题今年还会考吗？不用担心，每个学校都有一个题目，翻来覆去也就这么多，今年你家考，明年我家考，所以我们复习就不能只看一个学校的真题。 总结来说，对于这类安徽本地的一些常识题，一方面在于自己日常多积累，另一方面在考试的时候，每个学校还是比较侧重考核学校与当地的一些情况。关注我，带你考上更好的大学！