2026安徽数学单招立体几何知识点

大家好，今天呢，咱们继续来讲高一寒假同步公益课的第五讲，内容就跟立体几何有关的平行定律。当然在讲平行定律还有垂直定律之前，我们必须先了解立体几何集合的语言。 首先立体几何里头有点线面吧，比如说点 a 在 直线 l 上，咱们大概画一个图，这就是点 a 在 直线 l 上的意思。那如果说点 b 不 在直线 l 上，又怎么说呢？有专门的符号语言， 点 a 在 直线 l 上，咱们就借助这样的属于符号，那如果不在，哎，如果点 b 不 在直线 l 上的话，咱们就借助不属于的符号就可以了，所以它是集合的语言啊。 好点的话是作为立体几何里头点线面最基础的元素的，所以用属于符号。那么继续来看第二个，还有什么 点在平面内一样的吗？点动成线，线动成面，那么点也是最基础的元素。那此时咱们画一个图吧， 比如还是看最下边这个图，点 a， 它呢是在平面 alpha 里头的，但是点 b 不 在 alpha 里头，这个时候借助什么？还是这样的属于符号？点 a 在 平面 alpha 里头，点 b 不 在平面 alpha 里头，这个还是很轻松的。那么继续来看第三点，点完了之后，继续来看线， 直线 l， 如果在平面内，我先画一个图，平面的话，直观图通常都是用四十五度的角的这样一个平行四边形做的啊，当然别的角度也行，这个不是特别严格来，比如说直线 l， 直线 l 在平面 r f 内吧，但是你要注意，这个 l 是 点的集合， r f 也可以认为是点无数个点组成的集合，那所以说点，所以说这个直线 l 在 平面 r f 内，咱们就不要用属于符号了，因为都是点的集合嘛。集合之间咱们应该用什么？用类似的子集符号 好写上它。那么大家现在可能就有一个问题了，老师啊，我们集合跟集合之间，呃，高一学习的时候，高一上学期学习的时候，明明是用的是什么？比如说 m 集合， 是 n 集合的什么这样一个子集，那比如说还有什么集合呢啊？ q 集合，它是 n 集合的什么？哦， 榛子极，这两个符号还是有区别的。榛子极就 m， n 可以 相等，但就紫极符号吧。 m， n 可以 相等，但是榛子极符号的话，这个 q 比 n 的 范围始终是要小一些的。 那这个时候为什么直线 l 和谁啊？为什么直线 l 作为点的集合，平面 r 也作为点的集合，它不区分这样一个榛子极或者说紫极符号呢？原因很简单，原因很简单，知道为什么吗？好说，好说 什么呀？因为线面之间的关系永远只有真子极啊，对吧？线的范围始终比面的范围要小，他不可能。既然不用做区分的话，咱们就不需要再写什么真子极或者子极符号作为区分了，直接写躺着的 u 就 行，懂了吧？好，这个就读作什么 l 在 这样 r 分 内， 那当然了，如果直线 l 不 在 f 内的话，分两种情况吧。哪两种情况？看第四种啊。好，这个还是平面 f 有 可能是平行的，也有可能是怎么样的呢？我再画一个不同的颜色吧。 比如说 m 这条直线，它跟点 a 呢？跟这样一个 m， 这条直线跟 f 呢？交于点 a 吧，那这种情况呢？咱们 m 也是不在 f 里头的， l 也是不在 f 里头的， 所以一定要注意，只要直线上存在不在平面 f 里头的点，也就是平行或者说相交的关系，那我们都记作这样一个这样一个符号，懂了吧？这个怎么读呀？画圈部分读作直线 l 不 在 f 平面内。 那继续来看第五种情况，第五种情况的话，就是你看直线 l 和 m 是 有可能相交的，如果相交的话，必然会有交点啊， 那比如说这是 m， 这是直线 l， 怎么记？咱们用交集符号不就可以了吗？ m 是 点的集合， l 这条直线也是点的集合，那 m 和 l 取交集符号，它交集不就是点 a 的 意思吗？懂我的意思了吧？通常情况下，咱们是不写这样一个括号的啊， 通常情况下就直接写点 a， 写后边这样一种情况就行了，不写这样一个集合的符号，懂了吧？好，这个注意一下就行。那最后呢，如果两个平面，两个平面相交的话，咱也可以把这个示意图给画出来，比如这个平面是 r f， 然后呢，这个竖着的平面呢？是 beta， 此时 alpha 和 beta 它是有一条交线的，什么交线？就 a 这条交线，那怎么记 alpha 和 beta， 它有一条交线，就是直线 a 就 行了，清楚了吧？好，这就是咱们借助集合的语言 来表示点线面之间的这样一个重复的关系，所以要清楚。那么接下来我们就要先介绍一下三大公里了，关于这样的立体几何，三大公里的话，在高考里头直接考察的非常少，但是它作为定力的基础。公里啊，公里，什么叫公里？ 哦？咱们欧式几何你得先了解这三大功底，功底就是必然成立，才有了这样一个理论，对吧？才有了这样立体几何的内容，那么功底有了之后，才有了各种各样的，比如说平行定力啊，垂直定力等等，所以功底是最基础的，你必须要掌握的啊。那好，第一个， 如果什么？如果一条直线上的两个点对两个点就能确定一条直线吗？所以，哎，这此时这条直线上所有的点都在。其实你可以用另外一种方法看了啊，如果用符号表示的话，咱们看图，点 a 在 直线 l 上，点 b 也在直线 l 上， 那么点 a 在 平面 f 内，点 b 也在平面 f 内，那此时指整个直线 l 都在平面 f 内了，懂我的意思吧？所以一定要注意啊，点和线，点和面，咱们用属于或者不属于的符号， 但如果是直线和平面，一定要用这样的类似的子极。符号清楚了，图的话也画的非常清楚，就不再多说了。那么接下来我想说的是， 如果一条直线跟一个平面有公共点的话，那只有两种情况，一种情况就是公共点只有一个，要么就是公共点有无数个呗。那我们图中画的这种情况就是直线跟 f 有 无数个公共点，因为直线就在 f 内。那另外一种情况，对啊，你画你画一个情况嘛？ 对，这部分用虚线来表示啊，比如说直线 m， 直线 m 跟 f 这个平面相交，比如说交于什么点？哎，交于点 c， 清楚了吧？那这个就可以了呀。那这种情况就直线 m 跟 f 这个平面只有一个交点，好来看公里二， 公里二的话很重要，就是如何确定平面。怎么确定平面呢？来不贡献的三个点，确定一个平面，在空间中不贡献的三个点，确定一个平面，那么两个点行吗？ 两个点肯定不行，原因很简单，就跟你翻书的时候一样，书籍，书籍上知道吧？就书 这个叫书籍，这个知道什么叫书籍吗？这个叫书籍啊，你书籍上，你翻开书之后，比如说右边是这一面， 你翻开书是这一面，懂了吧？如果只有 ab 两个点的话，咱们可以确定无数个平面，这样才导致你翻书翻开以后能翻开一定的角度，懂了吧？所以两个点是不能确定一个平面的，那得几个 a 三个点才能不贡献的三个点才能确定一个平面，那么图像说的很清楚了。 然后符号呢？符号好说呀， abc 三点不共线，所以 abc 可以 确定一个平面，咱们把这个平面记为 f 就 可以了，那么咱们可以根据这样一个公里二呢？其实还有很多推论，也可以当成定力来用。我们来说一下，首先要说的就是 你说直线是几个点，确定一条直线，那肯定啊，不管是平面里头还是空间里头都是两个点，两个点可以确定一条直线，但是平面呢？平面得三个点，所以平面比直线不就多了一个维度吗？对的，那么接下来就是推论了， 这些推论啊，都可以，不管是推论一，推论二、推论三，都可以当成定力直接来用，或者当成这个公理直接来用，你不用说理由的。 那为什么叫推论？首先第一条经过一条直线，都是空间里头经过一条直线和直线 y 的 一点，可以确定一个平面，比如说这个平面是 f， 哎，为什么直线 l 和点 a 可以 确定呢？ 其实跟公里公里二完全一样的吗？ abc， 这不还是不共线的三个点吗？懂了吗？不共线的三个点 abc 确定了平面，所以它本质上还是不共线，三个点确定平面就是公里二。所以第二个推论，你当成公里来用的也可以。怎么回事啊？两条相交直线确定一个平面， 比如说这两条相交直线，一个 m， 一个 n， 哎，那他跟公里二究竟有什么关系？好说， 一个点 a， 一个点 b， 一个点 c a， 不 共线的 abc， 这三个点对不对？不共线的三个点就确定了平面 f 了，所以它其实本质上还是公里二。所以第三个的话，你自己我觉得都会推了什么？平行，两条平行线，空间中两条平行线，比如说 l 一 和 l 二 怎么样？此时是平行的，所以我们说 l 一 和 l 二就可以确定平面 f 可以 唯一的把这个平面确定下来，本质上还是跟谁公里二一样的，你找一个点，再到 l 二上找两个点，这不还是 abc 就是 不贡献的三个点确定一个平面吗？咱们把这个平面记为 r 就 行了，所以记住了公里二跟这几个推论都得知道。那么好，公里三，公里三用的最多的地方是什么呢？用来证明 贡献的时候，这个公里三是用的非常多的。什么贡献啊？就是好几个点证明贡献的时候， 那为什么？一会咱们做一道题，你自然就清楚了哈。咱们先来看如果不共线的两个平面，呃，如果不重合的两个平面啊，有一个公共点，那么这个公共点啊， 怎么样？那么他们就这两个平面，尤其只有一条过这个点的公共直线，那不就是交线吗？这个公共直线叫什么？嗨呀，叫 alpha beta 的 交线，也就是说 alpha beta 有一个公共点了，那公共点必须在交线上，懂我的意思了吗？哦，原来是这么回事啊，所以下边其实也说的很清楚，如果两个平面，你看 r f 和 beta 有 写只有一条公共的直线，那不就是相交的意思吗？相交于直线 a， 然后呢？哎，那怎么说呀？则这两个平面相交，这就是相交的关系， a 就 叫做 r f 和 beta 的 这条交线，懂了吗？ 那么符号语言就图中说的很清楚了，那符号语言怎么来说这个公里三呢？这样来说， alpha 就是 a， 记在 alpha 内，你可以分开来写， 点 a 呢，也在 beta 这个平面内，然后你改，可以改一种方式吗？ 好，则什么？则点 a 一定在这个交线上吗？你完全可以这么来记，用来证明共线的是不是？咱一会来做题你就知道了。 来吧，来说一说共面啊。共面的话好说，你比如说几个点？三个点啊，四个点啊，五个点啊，六个点啊，他只要在同一平面内，我们就说共面。这个太好了，我们来做第一个题，利啊，立方体，正方体，一个图， 它让你证明什么呢？证明图中的 c 一 点， o 点和 m 点， m 点不用多说了，就是面对角线， c 一 点是顶点，然后 o 点的话，它是这样连接体，对角线 a e c 连啊，之后和谁啊？和这个平面交于谁的？交于这个点 o， 它是这么回事，所以我觉得这个题应当是非常简单的，但是我要给你画一个东西， 好了，没问题了吧？这个是一个平面吗？为什么是一个平面？你，你 a a 一 和 c c 一 是平行的，当然是一个平面了。那我们把这个红色的平面，呃，就记。为什么我为了方便讲解啊， 我把这个红色的平面 a a 一 c 一 c， 呃，我就记为平面平面 r 吧，可以吧？然后为了方便的话，我把另外一个要讨论的平面呢？我画一下。这个就应该用虚线了啊，挡住的线，你用虚线来画 好，那这样一个蓝色的面呢？也就是说平面 c 一 d 一 b 啊， d b c 一 吧，他写的 d b c， 那 咱就写 d b c d b c 一， 这个用什么呢？用 b t 来表示吧。 那现在我觉得这个题就非常简单了，那你看嘛，根据题目中的意思看好了。 c e o m 它是不是在平面 f 内啊？是啊，那根据题目中的意思， c e o m， 它是不是也在谁，也在贝特这个平面内呀？既然它既在贝特这个平面内，又在 f 这个平面内，那不就是在 f 和贝特的交线上吗？懂了吧，人家的交线是谁你，你写不写都行啊，你直接写就行了啊。 所以 c e o m 在 什么？在平面 r 和平面杯的交线上， 那两个平面相交的话，它只有一条交线的呀，是唯一的。所以咱们这个时候直接说 c e o m 三点共线就可以了，很简单，一道题，那么第二道题也是立方体的，这个就有一定难度了， 怎么回事呢？就立方点，就 m 点啊，是棱的中点， k、 l、 e 啊， f 啊，反正他呢？其实我想说的是啊，你画出来以后，这东西很特殊，他是个什么？这玩意是个正六边形， 就为什么这个红色部分他是一个正六边形呢？这个，这个跟他这节课内容没有关系啊，你可以自己考虑一下，咱们正一下这六个点，就是 h、 g、 f、 e、 l、 k 这六个点为什么是共面的？就在同一个平面内。 嗯，怎么正呢？来吧来吧，我来说一下啊，我们先先连接图中的 k、 f 于谁啊？于这个 he 吧。嗯，对，都连完了。嗯，那么连完之后的话，我想再连接一个什么呢？我再连接一下这个 b、 d 吧，因为我想根据平行的传递性来做一下呢。那么接下来写过程了啊，首先 e 点和 l 点都是对应的终点，那，那既然说是终点的话，咱们根据中位线的性质，所以 el 是 谁的中位线啊？它实际上是 b、 d 的 中位线。 那好，那继续来啊，又因为在什么里面？又因为在这样一个 矩形 b d， d 一 b e 中啊，在这样一个矩形中，然后这个 k f 和谁？ k f 和 b d 也是平行的关系。哎，也就是说这个图形我我写写的清楚一些吧。 b d， 它 对，它实际上是一个矩形的啊，根据正方体的性质很容易正的。那么接下来根据传递性不就可以得出来 el 和谁？ el 和 kf 是 平行的两条平行直线，是不是可以确定一个平面啊？所以咱们就记这个平面 e、 f、 k、 l。 对 啊，它是继承什么呢？继承一个平面 f 吧，为了方便的话，我给你画一下这个图红色部分啊，就是咱们的平面 f， 这个都很好说啊， 但是图中还有，我再画一个蓝色部分吧，请大家看好了， 能看出来吧？哦，这个地方也就是 k、 l、 e、 h， 它是一个蓝色的平面，它这个它也是同一平面，这个怎么去写呢？你只需要写同理就行了，因为道理确实是一样的，你找中位线，然后根据传递性嘛，同理咱们可以说明这个 k、 l、 e、 h， 然后这四个点呢， 它是确定了一个平面的，然后这个平面也就是图中这个蓝色的平面，咱们记为平面 beta， 这个清楚吧。然后接下来请大家看一下啊，这个平面 alpha 于 beta 里头都有什么？ 都有三个不共，就是三个不共线的点呀。三个点？哪三个点呀？你应该写清楚啊，三个不共线的点 都有 k 点、 l 点和 c 点，哎，三个不共性的点人家唯一确定的。所以我想说的是， alpha 与 beta 这两个面是什么面？是同一个平面，它俩是重合的状态， 理解了吧，既然重合的话，我们可以得出来的结论就是，哎，它的 h 点啊。哦，就红图中这个红色的顶点和蓝色平面的顶点都是都是在同一平面内的 h、 k、 l、 e、 f、 o， 原来它是共面点，咱们把这个面写成平面 f 不 就行了吗？ 那接下来还是同理，有人就要问了，老师，点 g 怎么说？点 g 好 说你大不了再连接一下啊，这个 g l 呗。所以同理咱们可以说明什么呢？点 g 它实际上也是在平面 f 里头的，所以咱们最终就可以说六个点 共面了，都在哪个面里头？都在平面 r 里头呗，就结束了，那么过程你自己来说。那最后咱们总结一下啊，其实你证明共面的话，有以下这两种方法，主要是哪两种呢？首先第一种就是先确定一个平面， 然后证明其他的所有的元素，比如说点啊，线啊都在平面上。然后这道题用的是间接法，先证明这些元素分别在 f 上，又在贝特上，然后再证明 f 和贝特怎么样的，这两个平面是重合的，然后就可以说明这六个点共面了，用的是第二种间接法。 那么接下来咱们就要正式讲平行的定义了，但是讲平行的你之前，你得先知道什么是平行，比如说什么平行线怎么定义的？在空间里头 也是平面内，同一平面内不相交的两条直线，他就是平行线，这是平行线的定义。 那平行公里的话，这个是什么？过直线外一点，有且只有一条直线，跟这个直线平行，这是一定的，这是一定的啊，有且只有一条直线啊，跟他平行没问题。那么还有什么？还有空间中平行线的传递性，也就说 a 平行于 b， b 平行于 c， 不 管在平面几何还是空间几何里头，我们都可以推出来 a 是 平行于直线， c 的 好，这是传递性。那么最后还有一个等角定律，这个在大体里头是可以直接用的啊，我告诉你是可以直接用的。那什么叫等角定律呢？空间中啊， 如果有两个角，它的两组边分别是平行的，那么这两个角互补或相等。但如果你再加一个性质条件， 他一个角的两边和另一另外一个角的两边除了分别平行之外，他这个方向就是射线的方向，他还是相同，那这个时候两个角就不可能互补，就只能相等了。那画个图，大概就是图中这个样子，咱们编成一道题来说一说，就已知啊， 图中 a 撇 c 撇跟 a c 平行了啊。然后还有已知图中这个 a b 撇跟 a b 也平行了。现在问你，哎，图中这个角一和角二，这这俩角平什么？它就是相等的啊。 我觉得有一点，如果在平面里头，应该不用杨老师正了吧，因为在平面里头很好正嘛，你只需要用 r 和这个角。对啊，同位角啊，然后再减去贝特这个角， 所以角一就等于角二了。所以平面几何里头肯定成立，咱们主要是研究空间几何里头。注意啊，这是一个空间几何体，你至少应该把我做完辅助线以后，这这玩意看成什么东西？看成一个三棱柱吧，斜三棱柱对不对？嗯，具体 怎么去正呢？在空间几何里头，我来说一下啊，咱们分别 什么分别？在射线上取 a 撇 e 撇等于 a e， 然后顺便呢，在射线上咱们也取这个 a 撇 d 撇等于 a d。 好 了，也就说图中，哎，这两条线段一样长， 图中这两条线段一样长。我觉得你应该知道了，你只要证明上下这两个红色的三角形，一个是 a e d， 一个是 a 撇 e 撇 d 撇全等，就可以证明角一为啥是等于角二了吧。对，咱们证明三角形全等，那问题就在于， 这玩意他他他凭什么这个 e 撇 d 撇就等于 e d 啊？来吧，好说， 首先根据题目中的要求，我 a 撇一撇不仅是平行的，现在我还我还想等了，是不是出现了一个什么平行四边形？对，这个平行四边形，咱们就写成 a 撇 a， e， e 撇。 那平四边形最大的特征是什么？哎，他的对边是平行的，所以 a a 撇平行于 e、 e 撇。那同理同理我就不说了啊，也是同理，咱们还可以说明什么 a、 a 撇是怎么样的平行于 d、 d 撇的。那么根据平行线的传递性，所以图中的 e 一撇怎么样？其实你除了平行之外，是不是并且相等啊？平行不仅具有传递性，等号更具有传递性了，所以我们直接写图中的一一撇，平行且等于 d、 d 撇。天呐，出现了一个平行四边形， e， e 撇 d 撇 d。 所以 请你告诉我，图中的 e 撇、 d 撇是不是等于一底？是呀，因为平行四边形对边就相等，所以根据 三角形边边边的判定，定离三角形 a 片、 e 片、 d 片是不是全等于三角形 a、 e、 d？ 是 啊，根据的是边边边三组边分别相等，所以是不是剩下的角 b、 a、 c 就 等于角 b 片， a 片、 e 片了？对，用的全等，所以这个题其实也不难。 那么接下来，哎，什么空间中两条直线的位置关系？两条直线位置关系的话，除了刚刚说的平行还有什么？ 还有平行其实是一种共面的关系。为什么呢？因为咱已经说过了呀，公里二的其中一个推论，如果 l 一 平行于什么？平行于 l 二，那此时 l 一 l 二肯定可以把这个平面完全给确定下来，两平行直线确定一个平面，所以就是共面的意思。那其实还有 有可能人家是相交啊，比如说 l 一 l 二怎么地相交于点 b？ 那 好，此时 l 一 l 二两条相交直线也是公理二的推论，也是可以确定唯一的平面 r 的， 这个都叫做公面，是因为它们可以确定唯一的平面。 那意面直线怎么说呢？意面直线，其实我更加推崇的是老教材上定义。以前老教材上是这么来定义的啊，比如说直线 a 和直线 b 啊，为什么是这样一个？ 比如说这个就是直线 a 吧，这个是直线 f， 那 直线 b 的 话，这样来，画好 这个的话，写成点点 m 吧，我就这样来吧。那这样来，那以前的老教材上怎么去定义这样的意面直线呢？意面直线就是既不平行又不相交的直线，就叫意面直线，这是用排除法来定义的。我觉得这定义方法不太好。真正的定义是这样的啊，你不可能找到一个平面， 让 a 和 b 都在同一平面内，哎，这个就叫异面直线。异面就是 a 和 b 永远不可能放到同一个平面内。那老款教材它的定义是这样的， 直线 b 和 r f 交与点 m 是 相交的关系，然后 a 呢，它是在这个平面 r f 里头的， 此时你还得加上一句什么？如果说此时的点 m 他 不在，什么不在直线 a 上，则我们就可以下结论了， a 与 b 这两条直线是意面直线。意面其实也是一种位置关系，你写意面也行，写意面直线也行， 清楚了吧。那好，原来是这么回事，那如何去定义一面直线角？好说，两条一面直线的夹角，不就一面直线角吗？可是一面直线没有相交的位置，怎么定义平移嘛？你比如说非常能经常借助的， 你把它平移到 a 一 b 一 的位置，其中 b 一 和 d 重合了，经常利用的是平行四边形， 对不对？平移过来，此时平移之后的相交了之后，他这个交线，他这个夹角呢？比如说角一，他就是一面直线角或者一面直线角的补角了。 嗯，因为相交之后呢，两条直线相交，它会出现四个角吗？角一角二是锐角，角三角四是钝角，那肯定角一角二才是一面直线角。我们规定它的度数，它的范围是在零到九十度之间，九十度是包含的，那九十度实际上就是垂直的状态啊，没问题。那为什么不是零度？那大家就要想了， 如果是零，如果两条直线他的夹角是零，那两条直线不就是平行，那不又变成共面直线了吗？所以一面直线你肯定是比零大，但是比九十度是小的，可以取得到九十度。注意这个细节就可以。 那么咱们看看，比如说举个例子，在立方体里头， b、 c、 e 这条棱 和 cd 这条棱，它就是永远不可能放到同一平面里头的。那这两条这个 b、 c 一 和 cd 就是 两条异面直线了，它们俩的位置关系就是异面。行了，现在来说一说直线和平面的位置关系。 首先第一种位置关系好说啦，直线就在平面 r 里头。第二种位置关系，直线 和平面 f 交于点 a。 第三种呢，咱们通常画的时候画线和面平行的时候，咱们画平，这个平面当然好画啦，就是平行四边形嘛， 那直线的话，画的跟它其中一条边平行就可以啊。那此时就是 l 平行于平面 f 了，就结束了。这个是直线于平面的这三种位置关系吧，要牢记记住这个图就可以记住这个写法。那么来看第四点， 判定定律。定律当然很重要了，如何判定直线跟平面它是互相平行的呀？文字内容是这样说的，不在同一平面内的一条直线 和平面内的一条直线平行。比如说 l 和 m， 怎么说呢？ l 它不在 r 分 内， m 它是在 f 内的。如果平面外的 l 和平面内的 m 这条直线是平行的，那么我们就可以推出来谁此时平面外的 l 就 平行于 f 了。这个就是 线面平行的这样一个判定，那里它是从低维度线线平行推到高维度线面平行的图像圆，这个画的也很好，你可以把图画上。 那么现在我们就来做题了啊，这个题挺有意思哈，但是他有些线画的太细了啊，这个我给你描粗一点，这个红色部分都是虚线哈。 首先给了你这样一个四面体吧， a、 b、 c、 d。 在 这样一个四面体里头， f 点是中点点这种点呢？中点的话，你肯定先能想到的是谁，先能想到的是中规线，这个肯定能想到啊。 嗯，那么他问什么？两个吧。第一个，如何证明 bc 平行于这个平面？那太简单了， bc 在 平面外吧， 你这样写吗？因为点 g 和点 f 分 别是中点，那根据中位线定律，这 g、 f 不 就平行于 bc 吗？但是你要写全 g、 f， 它是在平面里头的，但是呢，这个 bc 显然是不在平面 e f g 里头的，根据先面平行的判定定律，平面外的 bc 不 就平行于整个平面 e f g 了吗？这就结束了呀，这就第一问，所以第一问的话还是非常非常容易的，咱们现在来看第二问， am 啊，看好了， 他连了一下 amm 点也是终点啊， m 点也是终点。然后他现在怎么说呢？他说，请你说明一下， am 跟刚才 e f g 这个平面为什么是线面平行的？怎么去正？那其实好说，很好说的嘛，你只需要来一条辅助线 连接 m d 可以 吧？比如说跟 g f 交于点 n。 对 啊，所以第二个咱们连接 m d， 然后呢， m d 跟 g f 交于点 n， 你 可以这么写的。那么交完之后的话，根据第一问， 这个 g f 不 仅平行于谁，平行于 bc， 而且这个 g f， 哎，剩下应该不用多说了吧。其实 g f 还是终点吗？那其实就是根据什么呢？根据平行线分析呢？成比例，所以说咱们也可以说明什么，也可以说明点 n 为谁的终点，为 dm 的 终点。 不过现在你就需要看另外一个三角形了，这你要看清楚啊，在空间里头 amd 这样一个三角形。行了啊，在 amd 这个三角形中，咱们顺便连接一下谁，连接一下 这个 e n 吧。好，因为点 e 是 不是也是中点，点 n 是 不是也是中点？ 所以此时 e n 就是 中位线啊，它是谁的中位线？是 am 的 中位线。后边不用说了吧，因为 am 它不在这个平面里头，你自己写清楚。但是呢，这个 e n 它是在这个平面里头的，所以平面外的 am 就 平行于整个平面，这不就是线面平行的判定定律吗？好，写完了，那继续来看性质定律，线面平行的性质定律就是已知线面平行，咱们咱们能够推出什么来？好说？ 已知 l 和 r 和这个平面是互相平行的，那么文字型内容这样说，如果一条直线和一个平面平行，这是前提，那么经过这个直线的平面和这个平面相交好，也就是说贝特是经过 l 的， l 是 在贝特里头的， 此时 r 和贝特有一条交线 m， 所以 啊，线面平行，最后推出来的是线线平行，平均，谁平均交线？ 那怎么去写呢？哎，很好写啊，因为谁？因为 l 在 贝特里，这就是经过贝特这个平面，经过 l 的 意思， l 还平行于 r， 并且 r 跟贝特还交于直线 m， 所以 就可以说了，平行于线面平行 l 就 平行于这个交线 m 就 结束了。那么现在来看，这个立五啊，立五的话挺有意思的， 他说，首先这个 a 和 b 呢？人家是谁？是意面直线，然后我们 连接 a， c 跟平面 f 呢？去什么跟平面 f， 咱们是交于 m 点的，然后连接 b， d 交于点 n。 那么另外你要注意， a 和 b 虽然都是一面直线，但是 a 和 b 跟平面 r 和都是什么状态？都是平行的状态，也就说 a 是 平行于平面的， b 这条直线呢，也是平行于平面的。哦，原来是这么回事，那么接下来怎么办呢？好办， 你只需要连接一下就行了。连接一下谁啊？这个辅助线，说实话啊，有很多还是很难想到的。咱们连接， 我直接写了啊，连接 ad， 然后 ad 跟平面 r 交于点 q， 分 别连接一下 q、 m 和 q n 就 够了。 那么连完之后的话，我觉得咱们先看第一个三角形好不好，也就是 a、 c、 d 这样一个三角形，这个可以吧，根据谁？哎，来吧，写过程了啊。首先 因为 b 和 r 是 平行的，那么啊，还有谁？还有这个，嗯？ b 在 哪个里头啊？ b 在 这个平面 a、 c、 d 里头， 然后这个平面平面 a、 c、 d 和平面 r、 f 是 交于 m、 q 的， 这不就是通过线面平行对不对？线直线 b 和平面 和平面是什么状态啊？直线 b 和这个平面 r 是 线面平行的状态，通过线面平行就推出来线线平行了，也就是直线 b 是 平行于 m、 q 的， 没问题吧？那事实上就相当于图中的 c、 d 平行于 m、 q 了。 那接下来咱们直接写同理就行了啊，同理啊，在另外一个三角形里头，咱们看此时 a、 b 是 不是也平行于这个 r、 f 呀？那肯定也平行于交线了，剩下不用多说了吧，同理咱们也可以说明 a、 b， 它是平行于这个 q、 n 的， 没什么问题。那既然平行的话，我们先看这个红色的三角形呢？根据平行平行线分线的乘比例，根据第一组平行的话，咱们是不是可以得出来 am 比上谁？ am 比上 m c 等于 a q 比上 q、 d 啊？那同样的，根据第二个， 他可以推出谁来？可以推出来这个 b、 n 比上 n、 d， 他 是等于 a、 q 比上 q、 d 的， 那根据圈一圈二等号的传递性，最终就可以说明 am 和 mc 的 比值等于 b n 和 n、 d 的 比值。然后就结束了呀。 那么来看第三个啊，也是最后一条，最难的一条面面平行，那么面面平行，首先咱们得了解两个平面的位置关系吧， 两个平面平行就指的是图中 r 和贝特这两个平面没有公共点，咱们就借助这样的平行的符号。 那么你画两个平行平面的话，一般来说啊，咱们这个平行四边形，咱们对应边分别平行就可以了。好，就这样来表示。那么继续来，也有可能两个平面是相交的，就像图中的贝特这个平面和 f 这个平面，它是相交的，那此时交线是谁？交线是 m 吧。啊，你这改成 m 就 行了。 那么来看，怎么判定两个平面他是怎么样的？是互相平行。如果想判定 r 和 beta， 你 要注意 r 和 beta 平面怎么判定好说，平面怎么确定两条相交直线嘛？所以你的结论是， 你这个定理是，如果一个平面内两条相交直线，那么此时面面平行，比如说图中怎么写？ 你得先说明 a 和 b 相交，比如交于点 a 是 吧？然后你还得说明 a 平行于 beta， b 也平行于 beta， a 是 平面 alpha 里头的点，然后呢？哦， a 是 平面 alpha 里头的直线， b 也是平面 alpha 里头的直线。 那现在你才能说结论什么，哎，两条相交直线五推一啊，然后才两条相交直线分别平行，另外一个平面则两个平面平行，阿尔法平行，贝特就是这样来的。 那么现在我们直接来做题，也是立方体，非常简单的题，怎么来正啊？好说吧，首先看了啊，这两个平面， 你先看这个红色部分是不是一个平行四边形，你直接由正方体的性质不就行了吗？ 根据正方体的性质，图中的 a 一、 d 一 和谁和这个 bc 它是平行且相等的关系啊，所以你会得到一个平行四边形 a 一 d， 那 平行四边形得到什么结论呢？他可以首先说出来， a 一 b， 它是平行于 c 第一的。那么接下来咱们看好了啊，首先 a 一 b， 它不在哪个平面， 它不在 c 一、 b 一、 d 中吧，但是 c 一 它是在平面 c、 b 一、 d 中的。然后呢，咱们就可以说明平面外的 a 一 b 平行于平面 c、 b 一 第一了。那接下来就是同理了啊，大家看这个蓝笔部分吧，同理你 a， 嗯， a 一 d 吧， 它也是平行于平面 c、 b 一 第一的。你得说明你光有平行不行，你还得说明什么？还得说明 a 一 b 和 a 一 交于点 a 一 这是相交哦，三个几推几推一来着， 它是有五推一的呀，你还得继续来。说好了，继续来啊，两条相交直线，嗯，包括这个 a、 e、 b， 然后包括这个 a、 e、 d， 它在哪个平面里头？它在平面 a、 e、 b、 d 里头呗。 一开始的话，你一定要写的详细一些，所以误推一吧。根据一二三、四五，咱们就可以说明这两个平面分别是 a、 e、 b、 d 就 平行于另外一个 平面 c、 b、 e、 d， 然后就结束了。对，一个平面里头，两条相交直线分别平行于另外一个平面，则面面平行。那最后一个就是两个平面它平行的性质定律了。 那怎么说呢？首先是这样的文字内容，如果两个平行平面同时于第三个平面相交，那么他们的交线是平行的，你看阿尔卑特平行吧，但是跟第三个平面分别交于 a 和 b？ 对 啊，因为阿尔卑特没有交线，就是没有交点吧？阿尔卑特 既然是平行的，那么阿尔卑特就不可能有交点，那同时 a 和 b 这两条直线分别在 alpha 和 beta 里头，所以此时 a 和 b 也不会相交，而且是同一个平面内互不相交，同一个平面内永远没有交点。你说这样的两条直线是不是平行线？这就是平行线的定义啊，所以这个还是好说的，通过面面平行推出来最终的两个交线平行，这就是面面平行的性质定律。 那么还是做一道题，这个题应该不用多说吧，跟刚才有一道例题是不是非常像啊，我们只需要过这个点，然后连接 af 吧，比如说交于哪个点呢？嗯，注意啊，咱这个地方得画成这个虚线啊。 对，然后就交于这个 a、 b、 c 的 e、 f， g 吧，连接 b， g， 连接 e， g， 对，这样来不就可以了吗？对，那么现在看了他说的什么， 咱刚才已经证过了， ab 比上 bc， 他 肯定是等于 d， e 比上 ef 的， 因为他们都等于谁都等于 ag 比上 g、 f 啊，是不是都是通过这样的 a， f， beta， gamma 分 别平行吧，所以这些交线啊，比如说好 b， g 这条线和 c、 f 这条线啊，它就是平行线。然后呢，因为 alpha， beta 平行，所以此时的 a、 d 和 g、 e 也平行，你就分别来不就行了吗？根据平行，然后等比例分线段，就得到这样一个结论了。那好， 咱们看数字是多少？六比二等于 e， d 比上三吧，所以咱们很快就算出来了， e、 d 等于几， e、 d 等于九。过程的话请你自己写吧，最后也不难的啊。那么今天我们就讲到这，分享课堂知识，感受数学之美。我是范老师，下节课再见。

今天继续给各位同学预测一下二零二六年高考数学的天空压轴题。我个人认为立体几何，所以各位同学在最后三个月的复习当中，要额外注意立体几何的小题，比如说结面面积问题， 比如说内切球体积的面积，外接球体积的面积问题，再比如说让你判断是否存在某个点，使得什么线面平行，线线平行，线面垂直等等一系列问题。再或者是用非间隙方法解决二、面角问题。线面角问题。 因为在小题当中，如果你间细去做的话，会比较耽误时间，而且有的题间细会非常的麻烦，那你就需要用一些其他方法，比如说三余弦定律、三正弦定律去解决这类小题。我给各位同学单独准备了两讲立体几何小题的拓展的练习题，各位同学如果有需要的话，可以点个关注，加入粉丝群，我会在粉丝群内发送给大家。

好，下面讲一下这个题目，这个题目其实非常有意思啊，我刚刚脑子里面有点混乱，因为我想的那个变量不变量太多了，像这个其实它就是我们有时候要找一个精准的那个 共性和不变量。首先两个容器注入了相同度的液体，直至两个的高度也是一样的。本来是有这么多，所以说 其实它是要求的，就是说这个 h， 首先我们就直接设它为 h 吧，它们的底面积是比为三比四，对不对？首先那么这个它们的体积也是不相同的，它们相同的是这个 h， 怎么把这个 h 表示出来呢？首先看一下两个容器中注入同样多的这个液体， 本来是二十一，加 v 除以三等于四十就是四十，然后再加这个页底，再除以底面积，它的底面积。接下方程吧。把这个 v 先求出来，等于 八十四，加四 v 等于一百二十，加三 v 的 v 等于三十六。 好，那么就是相当于加了三十六升的这个液体，然后他说甲上升了多少嘞？那么三十六除以三等于一十二，不，那相当于他上升了一十二，然后嘞，他本来有七厘米，两者相加，那就是等于一十九厘米啊。选， 这是我的思路，我看一下答案呢，答案它的更简单一些啊，它的这个更简单。嗯，好，再看一下这个题目，这个题目我看一下啊。嗯，把，我们两个花言组最少有多少名男成员？ 这个我猜的， 这个是几何题，几何题的话，几何题的话，我们就在近几年的省考中，他出的越来越多了，我觉得应该要以一重视啊，这个几何题其实非常简单，你看啊啊啊， 对不对？啊啊？好，那么看 o 是 他的内切圆，内切圆，你看到这种圆就一定要想这个中点和其他的那个线的关系，基本上这种就是这个种解析的一个关键点啊。你看 这里，其实我们一看基本上就能看出来，这条线是二，这条线是二，这条线也是二，对不对？好，然后再看这条线下来，你看六十度，三十度， 这里是不是就是一，所以说那这个就是三十度的，这里是六十度吧，因为他们是个等边三角形，所以这里三十度，三，三十度等于二分之一吧，这条线就是一，所以二等于一，所以 pi r 的 平方等于 pi 选 a。 啊，这个题目我是猜的，因为我根本没看懂是什么意思。你看 s 一 三等分在中段向外做正三边形，标记为 s 一， 那么我的想法是我折一下我原本的那个平方，要 就是要加一倍，就是加一个平方比，那比的平方，本来这个原始的比是 a， 那 么这个折一下就是 a 的 平方，那么第三把那就是 a 的 三次方，然后我从里面去带， 那么三肯定比这个一你要更大一些啊，我是这样去想的啊，他们的，而且他们每次增长，每次的这个增长，你看说说的是周长，我猜肯定他就是有一个这种相同的一个比例比较和谐的，这样一步一步的去增长开来的， 所以我看来看去，四分之三，二分之一，三分之九，他们之间存在一个这种某种关系啊，我就直接选他，这个我就猜的，我就猜的，这个，我根本没看懂啊。 嗯，这个题目也是我做了，我做了四分钟，但是呢，我最后面还是觉得这种题目在考试中我还是做不出来，因为它比较耗时间啊，因为我给自己的数量时间只有一十二分钟，所以我觉得这个题目要放弃，我不会做啊，这种题目， 因为它是比较耗时的，这个几何体啊，像这个这个就错的非常不应该了，因为我当时想到了就是我们刚刚说的那个，一旦看到这种圆和切的问题，就首先把它的圆形标出来一个很重要的思维，我觉得是大圆的直径是三波 六，小圆直径是一，所以这里就是个一，对不对？然后再看，你看它的，它的直径是六米，呃，是这个直径是六米，那么它的宽相当于就晓得了，啵，它的宽就是六，啵，这一条线就是六， 而小圆的直径是二，这里就是一啵，你看相当于 我就是要求这条边呢，我这条边怎么求呢？这里我已经知道这是个六了吧？已经知道这里是一个六了，对不对？这里已经是六了，然后我还要求这一，这一点地方，这一点地方好，你看求这一点地方， 这里下来，这里过来，对，我就相当于这里我已，你看这里我已经是已知的，已知的是六，然后这里下来 已知的是一。那么好，其实我们有的时候实在没时间了，在考场的时候就可以去猜，它整的面积肯定是要大于六七四十二的，从里面带你就大概就能够搞出来了。像这个 一十三乘以多少乘以二十六，这个肯定是小的，一十八加六倍根号一十三，一十三等于，呃，四，肯定是小于是四六，二十四啊， 三三得九，三三点几啰，大概是三点几，那就是四吧。四六二十四，那就是二十三十八肯定是要小的，你再看这个数，等于一十二，加上 根号七，根号三等于一点七吧。一点七等于三点五，三点五，三点五加上一十，乘以一十二，那是等于四十了，差不多，差不多四十了，对吧？ 四十二了，再加一十二，这里你看这里有可能有二吗？这一个长度不可能为二吧，因为你看我们说的大于四十二，不，这边是四十二这一块和这一块这两块是四十二， 然后我们算出来的这里他比一十二还要大一十二，四十二还要大一十二。你看这里是一， 那就意味着这一条边是要大于二呀，那肯定不可能大于啊，所以排掉选 a 啊。这考试的时候，如果你实在不想算了， 但是我后面还是算了一遍再看，那么相当于我们就只需要把这个， 把这一条边这个长度给他求出来，不那么好，怎么求？你看这里是六，对不对？把这些条件先标出来三，然后这里是一，好，那你就相当于是四吧。嗯， 其实我们可以做一条线，你看这里，这里，这条线我们大概能够看出来，我们反正你就会发现他们两个是个相似三角形 啊。这里是一的话，这里是三，那么他们的笔就是三比一，不，然后像这个，这个的话，我就有的时候这个肯定是做不出啊。这个不太好，还是按部就班算吧。如果我去猜的话，这条线就是二， 我就直接去猜就是二这条线，然后利用勾固定笔，然后可以把这条边给求出来，嗯， 就相当于四的平方，减去二的平方等于根号多少，等于根号一十二就是这里，然后再减去六，就等于这条线 a， 我 就能求出来。 a， 等于根号一十二减六， 然后再去算一下这个面积，大概就是这个，然后或者说我们还可以认认真真按部就班的去搞。你看这里，本来已经知道的是六啊，这里是三，这里是一，然后 再看一下这条边，这里就是三波，然后这里是一波，其实也能看出来这条线是二，同样勾股定律，这条边也可以求出来，等于四的平方减去二的平方。开根号等于根号也是二，等于二倍根号三。 好，二倍根号三是这里啊，二倍根号三是这里。所以这条线小 a， 嗯，我令它为小 a， 小 a 就 等于二倍根号三减去， 减去一个多少减去个三嘛，因为这里也是三嘛，所以这就好搞了。这个面积就相当于是六乘以，这边也是三吧， 等于六乘以个六，加上二倍根号等于减去三，再加上一。因为这里还有个一嘛， 又乘以又减三啦，又减三等于三，三加一等于四，二倍根号三。 多提个二出去呗。等于一十二倍二加根号三啦。选 a 这个题目我觉得很精。

第二题更牛啊，这把周期性，你看周期为五的偶函数与奇偶性给他俩给鸟到一起了啊。看看等于啥，来看 他的关键词，周期有了。屁等于五，而且是偶函数。偶函数有什么呀？偶函数是直接负号可以去掉的。 f x 是 不是等于 f x 呀，能懂了吧？哎，负的什么就等于正的什么啊？比如说 那 f 负二，它就等于 f 二，能理解吗？这是偶函数的一个特点啊，就是 f 负的什么就横等于 f 正的什么，然后有这俩就够用了。来，我们来看 f 三，我去掉一个周期，周期是五，去掉一个周期是不是变成 f 负二了，能懂了吧？也就三减五嘛，它俩是相等的啊，它俩相等的， f 三是等于 f 负二的。 好，那 f 四我去掉一个周期是等于 f 负一啊。 ok， 它俩相减是等它俩， 又因为他们是偶函数，所以 f 负二是不是等于 f 二啊？哎，所以 f 负二又等于 f 正二，那同理， f 负一是不是也等于 f 一 啊？哎，所以 f 负二是有值的，是等二的，所以等于二。减去 f 一 也有值等于一啊。二减一等于一，所以 f 三减 f 四含等于一啊。

第四题，以 a 为圆心，且经过点 b， 零度一的圆的方程，哎，这个简单啊，这个， 嗯，具体的求圆心呢？我们可以怎么样？可以用正常的方法测出来他的这个 标准方程啊，就是 x， 什么减一扩减平方，加上什么外加一的平方，等于 r 方，能理解吧？然后再把 b 点带进去，把这个 r 求出来就行了，能理解吧。哎，因为这是圆心啊，圆心，这不是圆心，哎，圆心这样用的，能懂吗？圆心符号是相反的啊， 能不理解。那这样把零一往里带啊，零一零往里带和一往里带啊，零减一平方一啊，加二的平方四啊，等于 r 方， r 方等于五，能明白吧？哎， 这只方程就出来了啊，就这是个五啊，这边是五了啊，好，那老师没有选项啊，哎，你给它展开就行了，想起来没，这是咱们的什么式啊？咱们，这是咱们的标准式，咱们把它变成一般式就行了。咋变成一般式，展开不就行了吗？展开就 x 方， 咋展开就是完全平方公式。把 x 方减二 x 加二 x 二 y 了，哎，老习惯了啊，加一， 哎，把五移过来，这边减五等于零，哎，然后调整一下位置， x 方加外方，提到前头，然后减二 x 加二 y 一 一二再减五，二加五，减三等于零。结束啊，看看选哪个选 c 啊，能懂了不？

好，今天我们来看三角函数的同角运算。好，我们看第一条，已知三 a c t 加口三 a c t 等于十三分之七 c t 呢，是第一第二项线的角，让我们求三 a c t 乘以口三 a c t。 好， 今后我们在做题的过程中遇到，哎，前面是同角的两个三角函数，用加法或者减法连的时候啊，相连的时候再让我们去求哎同角的什么两个三角函数的乘积，那我们只需要把前面这个式子给它怎么样？平方一下就可以了。好，我们平方一下可以得到 sin 平方 c， 它加上两倍的 sin c， 它 cos sin c， 它再加上 cos sin 平方 c， 它等于多少？一百六十九分之四十九。啊，后面这个值平方，不要忘了啊， 平方出来之后呢？哎，我们可以得到这个，这个是什么呀？是不是同角的三角函数？平方和角呀，那我们知道它等于几？等于一，那一加上两倍的 sin c， 它 靠三 in c， 它等于多少？一百六十九分之四十九。好，我们把这个移移过来，就可以得到两倍的三 in c， 它靠三 in c， 它等于负的一百六十九分之一百二十。好，我们要求的这个乘积是不是出现在这里？量，好，我们在指数除以二就可以得到答案了，所以答案呢，就是多少负的一百六十九分之 六十，对不对啊？所以答案呢，就是多少负的一百六十九分之六十，对不对啊？所以记住，看到这个乘以二， 那我们知道 tangent 的 二法是等于什么，是不是三引二法比上我们的什么？靠三引二法对不对？好，那我们看这个式子啊， 我们把它看成一个数，那这个式子可以写成什么？一分之三引二法，靠三引二法等于二。为什么要写这个一啊？因为一等于什么呀？哎，一它就等于我们三引平方二法加上靠三引平方二分之什么？三引二法， h 三一二法。哎，这样一改，知不知道接下来干嘛？哎，分子分同时除以 cosine 平方二法好，同时除以之后呢，上面呢就变成了 tangent 的 二法，下面变成了什么？ tangent 的 二法？ tangent 的 平方二法再加一等于多少？ 二分之一？哎，我们叫求的这个式子啊，应该通分影响。是不是变成了贪婪的平方阿尔法加一再比上贪婪的阿尔法，哎，是不是就是我这里怎么倒数呀？那答案也很明显，就等于几，是不是等于二？哎。

三十九题来看这个，看这个东西，那这个是 a 点，这是 b 点，这是 c 点。中线是什么？中线就取中间这个点叫 d， 连接 a d， 那 这个中线是谁了？这个中线就是 a d， 说 a d 的 长度是什么东西？想减就可以了。那中点坐标还没算，它们连着的中间就什么一加五除以二和负六加零除以二，就是它们的中间的位置，在这里写哈三逗号，负三 有长度怎么办？那做边长减零减三括号的平方加上一减三就是一加四括号的平方。来两点间的公式，那化简是不等于三方，加四方等于几？等于五，选择的是二 b， 结束搞定。

好，今天我们来看三角函数的同角运算。好，我们看第一条，已知三 a c t 加口三 a c t 等于十三分之七 c t 呢，是第一第二项线的角，让我们求三 a c t 乘以口三 a c t。 好， 今后我们在做题的过程中遇到，哎，前面是同角的两个三角函数，用加法或者减法连的时候啊，相连的时候再让我们去求哎同角的什么两个三角函数的乘积，那我们只需要把前面这个式子给它怎么样？平方一下就可以了。好，我们平方一下可以得到 sin 平方 c， 它加上两倍的 sin c， 它 cos sin c， 它再加上 cos sin 平方 c， 它等于多少？一百六十九分之四十九。啊，后面这个值平方，不要忘了啊， 平方出来之后呢？哎，我们可以得到这个，这个是什么呀？是不是同角的三角函数？平方和角呀，那我们知道它等于几？等于一，那一加上两倍的 sin c， 它 靠三 in c， 它等于多少？一百六十九分之四十九。好，我们把这个移移过来，就可以得到两倍的三 in c， 它靠三 in c， 它等于负的一百六十九分之一百二十。好，我们要求的这个乘积是不是出现在这里？量，好，我们在指数除以二就可以得到答案了，所以答案呢，就是多少负的一百六十九分之 六十，对不对啊？所以答案呢，就是多少负的一百六十九分之六十，对不对啊？所以记住，看到这个乘以二， 那我们知道 tangent 的 二法是等于什么，是不是三引二法比上我们的什么？靠三引二法对不对？好，那我们看这个式子啊， 我们把它看成一个数，那这个式子可以写是什么？一分之三引二法，靠三引二等于二。为什么要写这个一啊？因为一等于什么呀？哎，一它就等于我们三引平方二法加上靠三引平方二分之。什么？三引二法， h 三一二法。哎，这样一改，知不知道接下来干嘛？哎，分子分同时除以 cosine 平方二法。好，同时除以之后呢，上面呢就变成了 tangent 的 二法，下面变成了什么？ tangent 的 二法？ tangent 的 平方二法再加一等于多少？ 二分之一？哎，我们叫求的这个式子啊，应该通分影响。是不是变成了贪婪的平方阿尔法加一，再比上贪婪的阿尔法，哎，是不是就是我这里怎么倒数呀？那答案也很明显，就等于几，是不是等于二？哎。

好，今天我们来看同角的三角函数的基本关系啊，我们看第一节，若 alpha 为第二象限角，且 alpha 等于三分之一，让我们求 tan 的 alpha 好， 因为 alpha 第二象限角啊，我们考 tan 的 alpha， 它一定是个负的，对不对？所以 tan 的 alpha 呢，它一定是从 b 和 d 里面去选。 好，我们可以用同角的平方和等于一啊，也就是三引二八的平方加上口三引二八的平方等于一，所以我们口三引二八的平方就等于多少呀，哎，九分之八，那我们开根号可以得到口三二八，它是等于什么呀？哎，正负三分之二倍，根号二，那很明显我口三二八怎么样？ 哎，是一个负的三分之二，所以可以得到口三二八，就等于负的三分之二二。好，我们又知道贪心的二八等于什么呀？ 是不是等于三一二法比上什么扣三一二法好，把值带进去。所以我们的 tangent 的 二法呢，就等于三分之一，比上负的三分之二倍根号二。答案是不是就等于负的二倍根号二分之一，答案呢？就选我们的四 d 啊，就可以了。 我们看下一题，就是二法是 d 相减，第二相减，减的二法等于负二法，我们用 tan 二法知道 tan 二法就等于什么负二倍的扣三一二， 对不对？好，由这个关系式，再又加上我们什么三一二八的平方，加上口三二八的平方等于一，我们就可以求出来对应的值了。好，我们带进去可以得到 四倍口三一二八的平方，加上口三一二八的平方等于一，所以五倍口三一二八的平方等于一，所以口三一二八 平方等于五分之一，对不对？好，我们开个根号考三幺二八，应该等于正负五分之根号，因为 alpha 第二项线，所以我考三幺二八，他一定是个负的，对不对？所以答案选我们的 a， 负的五分之根号就可以了。 好，最后一题啊，他说，若，哎，这个分式等于二分之一，让我们求弹性的二，那你看这个分式啊，分子分母都有三根，口三根啊，我们有个方法，就是分子分母同时除以口三根，哎，我们就可以把弹性求出来了。来看一下，分子分母同时除以口三根二八呢？那这里是不是变成了弹性的二八 减二，对不对？比上三倍的弹性的二八加一等于二分之一。好，我们交叉相乘，再相等，就可以。等于三倍的弹性的二八 加一等于两倍的 tan angle， 再减四，然后移过来。 tan angle 呢？这个再移过去啊，是不是等于负五呀？所以答案呢，就选我们的 a。

好，今天我们来看等比数列的前 n 项和公式啊。那么看第一题，他说在等比数列 a n 中， s n 为其前 n 项和 s 三等于三倍的 a 三， 则它的公比 q 的 值为多少？好，那我们知道，在等比数列的前 n 项和中啊，我们有两个公式，第一个就是 q 等于一，是它就等于什么 n 倍的 a n 或者 a 一 a 二 a 三都好，因为它是个什么常数列， 那我们的 q 怎么样不等于一十，那我们就有个公式了，是不是一减 q 分 之 a 一 乘以一减 q 的 什么 n 次方，对不对？那在这里呢，我们就要把 q 这两个值带去试一下啊，当我们 q 等于一时，那很明显 s 三就等于什么三倍的 a 一， 是不是？哎， 根据我们这个公式，那我们知道 a 一 又是和 a 三怎么样相等的，那很明显它成立，所以 q 等于一是可以选，所以这里答案 b 怎么排除了？好，第二个就是，当 q 不 等于一的时候，那我们 s 三是不是等于一减 q 等于 a 一 乘以一减 q 的 什么三次方， 它等于什么呀？它是不是等于我们什么三倍 a 一 乘 q 的 平方呀？好，那我们这里都有 a 一， 怎么样可以约掉？然后呢，把这里的一起 q 移过来，我们移项合并同一项，最终可以得到一加上 q 减去两倍的 q 方等于啊解这个一元二次不等式，最终呢，我们可以解出来 q 是 等于一，或者 q 是 等于什么负二， 因为 q 等于一啊，还不能取用我们前提条件， q 不 等于一，对不对，所以只能取什么 q 等于负二分之一，所以呢，答案也很明显了，选我们的三 c 啊。好，我们看下一节已知各项均为正数的等比数列， a n 的 前 n 加和 s n， 若 s 三等于十四， a 三等于八，让我们求后面这个分式的值为多少？好，我们先看这个分式啊， 既然这里的每一项他都是我们等比竖列中的一项啊，那我们可以直接写了。好，我们看我这么做行不行啊？那 a 七是不是写成 a 五乘以 q 的 平方 a 十一呢？可以写成 a 九乘以 q 的 平方吧，下面是不就是 a 五加上 a 九？好，我们分子提个 q 的 平方出来， 那这里面是不是就是 a 五加上 a 九下面呢？哎， a 五加上 a 九是不是约掉了？最终答案是不是就是 q 的 平方？换句话说，这道题是不是让我去求这个等比数列的公比啊？ 好，那我们由前面两个条件来看一下。好， s 三它是不是等于一减 q 分 之 a 一 乘以一减 q 的 什么三次方？那这么做的话，它这给我们的 a 三是不好用了呀？好，那么换个方法做 s 三是不是等于 a 一 加上 a 二，再加上什么 a 三呀， 对不对？好， a 三五是不是知道？那我用 a 一 a 二都用什么 s 三来表？呃，用 a 三来表示，那你看我这么多行不行啊？ a 一 是不是等于 a 三除以 q 的 平方呀？ a 二是不等于 a 三除以 q 啊？再加上什么 a 三等于十四？好，我们把 a 三等于八这个带进去，最终答案呢，可以得到。这里我们给他擦一下啊， 也就是八除以 q 方加上八除以 q 再加上八等于十四。好，我们现在等式两边同时乘以 q 方可以得到八，加上八 q 再加上八倍的 q 方 等于十四倍，是吧？ q 方好，等式两边再同时除以八，然后我们再引项合并同列项，最终可以得到三倍的 q 方减四。 q 减四等于什么？哎，零的。 好了，知道这个之后呢，我们解这个关于 q 的 一元二次方程，最终可以解的 q 是 等于二，或者 q 等于负的三分之二。那这道题他让我们求的是什么呀？是不是就是 q 方呀？ 那再看啊，我 q 是 不是可以等于正数呢？那首先看我们题目怎么说的，他说已知各项均为正数，对不对？那很明显，这里负三分之二要舍去，所以 q 就是 等于二。刚才我们是不是已经求出来这个分式最终的结果是不是就是 q 方呀？所以答案也很明显了，选我们的 a 就 可以。

好，我们来看一下等差数列的概念及通项公式，他说下列数列中乘等差数列的式，那我们知道等差数列定义怎么说的，就是从第二项开始，后一项和前一项差值为一个常数呀。那很明显，这里三分之一减二分之一是多少？六分之一，四分之一减三分之一呢？ 是不是十二个，那不相等啊，所以 a 排除。好，你看这里是个对数函数，那么说对数函数的减法啊，可以变，为什么整数位的除法，那那个六减那个，是不是那个 五分之六？哎，同理，后面呢，是不是那个六分之七啊？你很明显这里这数不相同，所以也排除。我们看 d， d 是 最简单的，你看三减二是不是一，五减三是不是二，肯定不相同，这答案排除法选出来了，选三 c。 好， 我们下一条等差竖列啊，给你了。第四项， 他是不是给了我们什么呀？哎，前两项，那我们可以把公差 d 算出来啊，然后首项 a 一 是不是二分之一？那第二项呢？是二分之三一减，答案是多少？是不是二分之二是不是等于一啊？公差 d， 我 是不是求出来了？首项我也知道，那我们知道 a 四是不等于 a 一， 加上什么三 d， 那就不等于二分之一加三吗？那是不是二分之几啊？哎，二分之七，所以答案选 b， 那 么下一节等差竖列 a n 中啊， a 二等于一， a 五等于七，则公差 d 等于多少？ 他说了这个 a n 是 等差竖列， a 二等于一， a 五等于七，让我们求 d， 那 我们可以用等差竖列的通项公式的一个推广式，也就是 a 五啊，它是等于 a 二加上 三 d， 那 我们把值带进去啊。七等于一加三 d， 那 很明显 d 值等于三分之六，六等于二。所以答案就选我们的 a 就 可以了。

好，今天我们来看对数的题目啊，对数的概念，我们看第一页，它说使这个对数中这个 a 啊，它有 e 的 取值范围是多少？好，我们看下这个 a 在 这个对数中的哪个地方啊？首先第一个则在我们的底数，所以我们这个 a 呢，它是大于零且怎么样？ a 不 等于一，是不是？ 再看 a 在 哪？ a 又在我们的真数位，那我们知道对数函数或者对数中的真数，它一定怎么样？哎，它一定是大于零的，所以呢，我们从这个式子可以求出来， a 它是小于三分之二的，对不对？好，那你是大于零，你是小于三分之二。哎，你可以画个竖轴， 大于零，我零，我取不到空心点，这里呢，三分之二我也取不到空心点，对不对的话，那我们去交叉五，是不是就这一部分呀？哎，所以它的范围呢，就是零到三分之二的一个开区间，所以答案选 c， 我 们看下一题，哎，又是跟上一题差不多的题啊，又是让我们求 a 的 求范围。 好，我们再看 a 在 我们的底数，所以我们 a 减三啊， a 减三就是我们的底数吧，看这个整体啊，我们这个整体它怎么样？大于零且怎么样？ a 减三不等于一，是不是啊？通过这个呢，可以得到 a， 它是大于三的且怎么样？ a 数不等于四。好，写到这一步啊，大胆的同学，你看下面四个选项，你看发现这里是不是四取不到，那这里能不能取到四，能取到四， b 数被排除了，这里能不能取到四，也能数到四，排除 c 呢？也排除答案，是不是就选 d 啊？ 眼睛尖呢？胆子大也可以直接把答案锁定在 d， 我 们验证一下到底是不是 d， 我 们是不是还有真数没有看啊？把真数看一下，那是不是十减二？ a 怎么样？我得大于零啊，因为它是真数位，所以 a 怎么样？小于五？好，你大于三且不等于四，然后这边呢？ a 小 于五，那很明显答案就是四， d 是 不是？哎，答案就出来了。

好，今天我们来看等差数类的性质啊，那这里的性质呢，主要指的就是我们等差中项以及它的推广叫标法。 那我们看第一题啊，它说已知在等差数类 a n 中啊， a 三和 a 十是这个方程的两个根，让我们求 a 五加 a 六加 a 七加 a 八。 好，我们先用角标法给它化简一下，你看这里，我上面这两项是不是三和十是它的下标呀？所以三加十呢？是不是就是十三？现在看这里，我五加八是不是十三，六加七是不是也是十三？好，既然你们的下标和都相等，那我可以把这个十子给它换成什么呀？哎，两倍的 a 三加上我们的 a 十， 来给他换一下，用我们的什么中等差中项的推广，也就是角标法。好，现在呢，我们要求的这个式子是不是变成了 a 三加 a 十的两倍啊？那我们就知道 a 三和 a 十是这个方程的两个根，那是不就是 x 一 和 x 呀？好，我 x 一 加 x 二，是不是伟大定律啊？是不是等于负的 a 分 之 b 啊？ 好，那么带进去呢？答案呢，是不是就是三？好，二乘三六就写出来了？好，下一题，它在等差数里 a n 中啊， a 三等于六， sn 呢？为前 n 项和，则 s 五等于多少？好，我们 s 五是不等于 a 一 加 a 二加 a 三，一直加到什么 a 五？ 那很明显，我 s， 我 a 二是不是 a 二和 a 四的中间项？我 a 三呢，是不是也是 a 一 和 a 五的中间项呀？那你会发现，一加五等于六，二加四是不是也是等于六呀？所以就两倍的 a 三等于 a 一 加上 a 五， 两倍的 a 三是不是等于 a 二加上 a 四，哎，对不对？好。那我们这个 s 五呢？就可以写出来什么五倍的 a 三，那 a 三等于六带进去答案呢？是不就是三十呀？好。

好，今天我们来看等比数列的前 n 项和公式啊。那么看第一题，他说在等比数列 a n 中， s n 为其前 n 项和 s 三等于三倍的 a 三， 则它的公比 q 的 值为多少？好，那我们知道，在等比数列的前 n 项和中啊，我们有两个公式，第一个就是 q 等于一十，它就等于什么 n 倍的 a n 或者 a 一 a 二 a 三都好，因为它是个什么常数列， 那我们的 q 怎么样不等于一十，那我们就有个公式了，是不是一减 q 分 之 a 一 乘以一减 q 的 什么 n 次方，对不对？那在这里呢，我们就要把 q 这两个值带去试一下啊，当我们 q 等于一时，那很明显 s 三就等于什么三倍的 a 一， 是不是？哎， 根据我们这个公式，那我们知道 a 一 又是和 a 三怎么样相等的，那很明显它成立，所以 q 等于一是可以选，所以这里答案 b 怎么排除了？好，第二个就是，当 q 不 等于一的时候，那我们 s 三是不是等于一减 q 等于 a 一 乘以一减 q 的 什么三次方， 它等于什么呀？它是不是等于我们什么三倍 a 一 乘 q 的 平方呀？好，那我们这里都有 a 一， 怎么样可以约掉？然后呢，把这里的一起 q 移过来，我们移项合并同一项，最终可以得到一加上 q 减去两倍的 q 方等于啊解这个一元二次不等式，最终呢，我们可以解出来 q 是 等于一，或者 q 是 等于什么负二， 因为 q 等于一啊，还不能取用我们前提条件， q 不 等于一，对不对，所以只能取什么 q 等于负二分之一，所以呢，答案也很明显了，选我们的三 c 啊。好，我们看下一节已知各项均为正数的等比数列， a n 的 前 n 加和 s n， 若 s 三等于十四， a 三等于八，让我们求后面这个分式的值为多少？好，我们先看这个分式啊， 既然这里的每一项他都是我们等比竖列中的一项啊，那我们可以直接写了。好，我们看我这么做行不行啊？那 a 七是不是写成 a 五乘以 q 的 平方 a 十一呢？可以写成 a 九乘以 q 的 平方吧，下面是不就是 a 五加上 a 九？好，我们分子提个 q 的 平方出来， 那这里面是不是就是 a 五加上 a 九下面呢？哎， a 五加上 a 九是不是约掉了？最终答案是不是就是 q 的 平方？换句话说，这道题是不是让我去求这个等比数列的公比啊？ 好，那我们由前面两个条件来看一下。好， s 三它是不是等于一减 q 分 之 a 一 乘以一减 q 的 什么三次方？那这么做的话，它这给我们的 a 三是不好用了呀？好，那么换个方法做 s 三是不是等于 a 一 加上 a 二，再加上什么 a 三呀， 对不对？好， a 三五，是不是知道了，那我用 a 一 a 二都用什么 s 三来表？呃，用 a 三来表示，那你看我这么多行不行啊？ a 一 是不是等于 a 三除以 q 的 平方呀？ a 二是不等于 a 三除以 q 啊，再加上什么 a 三等于十四？好，我们把 a 三等于八这个带进去，最终答案呢，可以得到。这里我们给他擦一下啊， 也就是八除以 q 方，加上八除以 q 再加上八等于十四。好，我们现在等式两边同时乘以 q 方可以得到八，加上八 q 再加上八倍的 q 方 等于十四倍，是吧？ q 方好，等式两边再同时除以八，然后我们再引项，合并同列项，最终可以得到三倍的 q 方减四。 q 减四等于什么？哎，零的。 好了，知道这个之后呢，我们解这个关于 q 的 一元二次方程，最终可以解的 q 是 等于二，或者 q 等于负的三分之二。那这道题他让我们求的是什么呀？是不是就是 q 方呀？ 那再看啊，我 q 是 不是可以等于正数呢？那首先看我们题目怎么说的，他说已知各项均为正数，对不对？那很明显，这里负三分之二要舍去，所以 q 就是 等于二。刚才我们是不是已经求出来这个分式最终的结果是不是就是 q 方呀？所以答案也很明显了，选我们的 a 就 可以。

好，今天我们来看同角的三角函数的基本关系啊，我们看第一节，若 alpha 为第二象限角，且 alpha 等于三分之一，让我们求 tan 的 alpha。 好， 因为 alpha 第二象限角啊，我们考 tan 的 alpha， 它一定是个负的，对不对？所以 tan 的 alpha 呢，它一定是从 b 和 d 里面去选。 好，我们可以用同角的平方和等于一啊，也就是三引二八的平方加上口三引二八的平方等于一，所以我们口三引二八的平方就等于多少呀，哎，九分之八，那我们开根号可以得到口三二八，它是等于什么呀？哎，正负三分之二倍，根号二，那很明显我口三二八怎么样？ 哎，是一个负的三分之二，所以可以得到口三二八，就等于负的三分之二二。好，我们又知道贪心的二八等于什么呀？ 是不是等于三一二法比上什么扣三一二法好，把值带进去。所以我们的 tangent 的 二法呢，就等于三分之一，比上负的三分之二倍根号二。答案是不是就等于负的二倍根号二分之一，答案呢？就选我们的四 d 啊，就可以了。 我们看下一题，就是二法是 d 相减，第二相减，减的二法等于负二法，我们用 tan 二法，知道 tan 二法就等于什么负二倍的扣三一二， 对不对？好，由这个关系式再又加上我们什么，哎，三一二八的平方加上口三二八的平方等于一，我们就可以求出来对应的值了。好，我们带进去可以得到 四倍口三一二八平方，加上口三一二八的平方等于一，所以五倍口三一二八的平方等于一，所以口三一二八 平方等于五分之一，对不对？好，我们开个根号考三幺二八，应该等于正负五分之根号，因为 alpha 第二项线，所以我考三幺二八，他一定是个负的，对不对？所以答案选我们的 a， 负的五分之根号就可以了。 好，最后一题啊，他说，若，哎，这个分式等于二分之一，让我们求弹性的二，那你看这个分式啊，分子分母都有三根，口三根啊，我们有个方法，就是分子分母同时除以口三根，哎，我们就可以把弹性求出来了。来看一下，分子分母同时除以口三根二八呢？那这里是不是变成了弹性的二八 减二，对不对？比上三倍的弹性的二八加一等于二分之一。好，我们交叉相乘，再相等，就可以。等于三倍的弹性的二八 加一等于两倍的 tan angle， 再减四，然后移过来。 tan angle 呢？这个再移过去啊，是不是等于负五呀？所以答案呢，就选我们的 a。

好，今天我们来看一次函数的图像的题型啊。好，我们看第一题，它说一次函数啊，哎，给了你这个解体式，说了 m 不 等于负一啊，因为如果 m 等于负一的话，我这个一次项是不是不存在了呀？哎，它也不是一次函数，它如图所示啊，图像如图所示，则 m 的 趋值范围。好，我们看下这个图像，它是从上往下哦，很明显，它是有什么 减函数，对不对？所以我 m 减一，一定要怎么办？小于零，因为我们说一次函数的增减性就是我们的斜率的正负，对吧？我 x 前面的系数为正，那它就是增。 x 前面的系数为负，那它就是减， 所以我们可以得到 m 还是怎么样小于一的。再看某个，这个图像还是要直线呀，它与我们的 y 的 正半轴有交点，换句话说，它在外轴上的截距怎么样？是大于零的，所以就是 m 怎么样大于负一。 好，那我 m 大 于负一， m 小 于一，那答案也很明显啊，就选 a， 负一到一的一个开区间。好，我们看第二节，一次函数 y 等于负四， x 加三个图像经过哪几个象限？好，我们可以简单的把这个图像画出来， 首先看它 x 前面的系数是负四啊，那它一定是以什么减函数啊？从上往下画，再看，我们这里长出来是三，换句话说，我这个直线啊，它一定和我的 y 的 正半轴相交啊，这里是三啊，可以画下来， 大致呢是这个样子，对不对？所以他一定经过哪几个象限呀？哎，是不是第一象限，第二象限和第四象限呀？所以答案选什么呀？选三 c。

不会的，赶紧收藏起来看第一个基础题。记住，见到 sin 加 cos 或者是 sin 减 cos， 无脑平方。看 sin 加 cos 平方完以后就变成了一加 sin 二 alpha， 那 它现在就变成了一加上 sin 二 alpha 这个二分之一的平方呢？是不是就是四分之一了？它现在让你求 sin 二 alpha， 那 它现在这个 sin 二 alpha 是 不是就变成了负的四分之三？看进阶题， 同理，逆向运用。见到它 sin 加 cos， 我 无脑给他平方，平方完以后就等于一加 sin 二 alpha， 它现在这个 sin 二 alpha 呢，等于三分之二，也就是说现在等于一加上三分之二等于多少三分之五了。但是人家现在让咱求的是 sin 加 cos， 那 我现在给人家平方了。我最后是给大家开根号啊，那他现在开个平方出来，分母有理化，上下都成了根号三三分之，根号十五。这个题， 看下边这个正弦定力的边角互化更简单，在三角形 a、 b、 c 中，在三角形中啊，它这个角 a 角 b、 角 c 分 别对应的是小 a、 小 b、 小 c 这个边嘛。那他现在给了你一个条件，让你求这个边 a， 根号二倍的， 看见没？塞 b， 我 直接画成边 b， 塞 a， 我 直接画成边 a， 然后 b 跟 b 消了，这个边 a 现在是不是就等于根号二秒了？看下边这个进阶梯， 现在他现在说在三角形内角 a、 b 分 别，它的边是小 a 小 b， 那 他现在这个二 a 现在让你求角 a 嘛？二 a 背的三以 b 是 等于根号三 b 的， 我现在给他画，把这个 a 呢写成三以 a， 画成 这个 b 呢，我给它画成塞阴 b b， b 消了，然后呢？它现在让你求角 a 吗？角 a 是 不是就等于两边都成二分之一？二分之根号三？因为它是一个三角形，所以说六十度学会了吗？宝贝？