25年天津中考数学答案及步骤得分

大家好，咱们今天来看第十四套南开区一模。先看第十七题。 好，先看一下条件，在正方形 a， b， c， d 里面， e 点是 a， d 上面的一个 e 点，没说是终点，之后呢，做 e， f 与它垂直，这块是垂直的，之后呢， g 点是 e， f 的 终点，这一段等于这一段， 他说当 cdf 就是 这个角度等于四十五度的时候，让咱们求这个 d， e 的 长，给到的长度 d， g 等于一，那就相当于咱们条件里面给到了 d， e 的 长度等于一，这块呢，等于四十五度。 好，那咱们来求 d， e 的 长度，那看一下，四十五度一定会出直角，因此呢，咱们从点 f 往这边给他做垂线，假设是 m 点， 那根据点是 e， f 的 中点，所以呢，咱们很容易证出来，这个三角形和上面的三角形是一个八字，全等 好，全等完了之后，这个长度就等于一。又因为它是四十五度，所以三角形 d， m， f 是 一个等腰直角三角形，所以呢， m， f 的 长度等于二，所以呢， d 的 长度就等于二。第一个答案出来了， 好，再看第二问，求 b e 的 长度，这块呢，没有多余的条件，还是需要用到咱们这边的三角形， 用的三角形，那看到这个咱们有点像一线三垂直，对吧？这块有一个垂直，这块有个垂直，因此呢，咱们想一下，这个三角形能不能与这个大的三角形给它正相似，对吧？全等是不可能了，咱们看一下能不能相似。 那所以呢，很容易证出来，它的比值就是二比一的关系，因为它是正方形，所以呢，二比一证明这个长度就是它的中点，所以呢，这个长度等于二，这个长度等于四。那我们根据勾股定律，这个答案就出来了，二位的根号五。 好，咱们看第二十四题，先看一下第一问，先看下第一问，给到了 o c 的 长度等于二倍，根号三角 a， o c 等于三十度。求 c 和 b 的 坐标，咱们来看一下， 在这里，这个它是等于三十度， o c 的 长度等于二倍，根号三，所以呢，我这个点往下面给它做垂线，假设这个点是 d 点， 那因为它是二倍，根号三，这块三十度，这块六十度，所以呢，根据三六九，这个长度就等于根号三，这块长度等于三。因此呢，咱们的第一问就是三根号三都有三 条件里面给到了这个 o a 的 长度，这个长度等于九，所以呢，拼音是边形，这个长度也等于九，因此呢，咱们九加三十二，因此呢，可以得到点 b 的 坐标，也是等于根号三到十二。好，这是第二个空， 看一下第二问，它说呢， y 是 y 轴上的一个动点，过点 p 做直线，使得折叠。看一下， 就拿这个图形来说，这块给它折叠，折叠完了之后呢， o p 的 长度等于 t， 用 t 的 式子表示， o 撇 d， 它的长度 o 撇 d 在 这个地方。因此呢，咱们来看一下它折叠完了之后，它的长度分别是多少。 因为 o p 的 长度他给了是等于 t， 所以呢， o 撇 p 的 长度也等于 t， 那 o 撇 o 的 长度就等于二 t， 因为 o a 的 长度是等于九，这块是已知的，所以呢， o 撇 a 的 长度就等于二， t 减九。 好，那有了这个之后呢，在三角形里面，咱们因为是折叠过来，所以呢，可以知道这个角 a o 撇 c 撇，那就等于角 a o c 应该等于三十度， 所以呢，咱们这个三角形是一个三十三十一百二十度的一个三角形，因此呢，我需要从点 d 往这边给它做垂线 df。 好在三角形在 r t 三角形 o 撇 d f 中，咱们根据呃 cosine 三十度 就等于呃 o 撇 f 比上一个 o 撇 d， 而 o 撇 f， 咱们先给它写出来，因为它这块做垂线是正好等于呃 t 减二分之九， 所以 o 撇 d 的 长度就等于 o 撇 f 除上一个 cosine 三十度，那就等于。最后的答案应该是等于三分之二倍的根号三 t 再减去个三倍的根号三。 好，这是咱们的这个题目。再看一下它的取值范围，因为它折叠过来要求的是一个五边形， 那想要是一个五边形，咱们看一下我刚开始折叠的时候，刚开始折叠的时候，它是一个三角形，对吧？在这边一个三角形再往上面走，它是一个四边形。四边形， 那之后呢，必须是 q 点超过了咱们的点 a 的 时候，那这样的话呢，就出现一个五边形，因此呢，咱们的 t 的 范围是大于二分之一的 o a 大 于二分之九，而小于 看一下，那继续往下折叠，那就相当于当 c 撇落在 b 的 时候，那相当于整个图形就出去了，对吧？整个图形图形就出去了，因此呢，这个时候它就是一个四边形，因此呢，它是大于呃二分之九，小于 二分之九，再加三二分之一十五。好，这是咱们的第二问，求它的一个取值范围， 好看一下。第三问是折叠后的重叠部分的面积为 s， t 等于三分之八到四分之三十五的时候，让咱们求 s 的 曲值范围。好，咱们还是同样的方法，需要把三分之八， 四分之三十五给它带进去，给它带进去之后呢，咱们把五边形的面积呢给它算出来， 因为它最大的就是五边形、三角形、四边形，五边形，最大的就是五边形，因此呢，五边形的时候肯定就是咱们的面积的最大值。之后嘞，三分之八和四分之三十五，他两个算出来之后嘞，谁小谁就是咱们的最小值。咱们来看 第一个，当 t 等于三分之八的时候，咱们来看一下它这个总长度，对吧？这个长度是等于三，因此呢，你是三分之八，还没有到 c 点，因此呢，它折叠的时候呢，只是折叠了一个小的三角形， 这块是 p 点，这块是 q 点，那这块是 o 平，现在呢，它折叠的是一个小的三角形，把这个小的三角形算出来就可以了，那所以呢，我的 s 的 面积就等于它这块长度等于三分之八， 再乘一个，它是这块是等于三十度，所以呢，再乘以三分之八，再乘一个三分之根号三，再乘以二分之一，这样呢，就可以把三分之八的时候，把它的面积给它算出来，应该是等于二十七分之三十二倍的根号三， 这是第一种情况。好，再看第二种情况，那当它等于四分的三十五的时候， 也就相当于咱们从呃 o 点到 a 点，它总共的距离是等于呃九九的话呢，那就等于四分之三十六，而现在呢，它是等于四分之三十五，所以呢，我的这个曲值就相当于这个地方的话呢，还剩下一个 四分之一，一个梯形，看一下它在这个地方，在这个地方折叠的话呢，就是这边的一个梯形， 谢谢。那上底的话呢，是四分之一，这块长度是四分之一，而这块呢是四分之一加三，因为它总共比上底的多了三，加上个四分之一，再加三，那再乘一个我的高的话呢，是根号三， 再乘以根号三，再乘以二分之一，那所以呢，就得到了我的面积，这是二分之一，二分之七，二分之七再乘以根号三，再乘以二分之一，那就等于四分之七倍的根号三。 但是呢，大家可以看一下这个长度，这个面积的大小和这面积的大小，那肯定的话呢，它要大一点，因此呢，这个呢也舍去了。好，这就是咱们讲的边界的时候，因此呢，在边界的时候取到了最小值，我取的是二十七分之三十二倍的根号三。 咱们再来看一下最大的时候，当它是一个五边形的时候，看一下怎么来算它的面积的最大值。 那咱们还是一样的大减小，用这个大的面积去减去旁边这个小的面积，这样的话呢，就得到了它这块剩余的这个五边形的面积。 而咱们这块的长度是等于 t， 而上面呢是 t 减三，因此呢，我的大面积 s， 大 面积就等于 t 加上个 t 减三，再乘以根号三，再乘以二分之一，这是大面积，就是这边这个梯形的面积，这是 t， 对 吧？这是 t 减三，这是根号三，是固定的，因此呢，面积就可以写出来， 而咱们的小面积，咱们小面积，刚才的话呢，咱们已经把 o 撇 d 的 长度给它表示出来了， o 撇 a 的 长度嘞，咱们也知道，对吧？所以呢，咱们直接就是二 t 减九，再乘上一个，咱们呢 o 撇 d 的 长度是这个 d f 的 长度的两倍，因此呢，咱们只要取这个它的一半就可以了，再乘以一个三分的根号三 t 再减去个 看一下，乘以一个三分的根号三 t 再减去个二分之三倍的根号三，这样就可以把咱们的 小面积给它求出来。因此呢，我的五边形的面积就等于 s， 大 面积减去 s 小 面积，这样就可以最终的话呢，得到我直接写减一次给它算出来就可以了，变成了 负的三分之根号三倍的 t 减六的平方，再加上一个四分之十五倍的根号三，因此呢， t 等于六的时候，那我的面积的最大值 s 的 话呢，等于四分之十五倍的根号三，这样的话呢，大面积就出来了。 好，这个题吗？还是一样的，咱们在求面积的取值范围的时候，还是带它的两端去求它的最小值，带最多边形的时候，也相当于四边形、五边形，咱们就带五边形的时候，那它的面积取到了最大值。好，这就咱们的第二十四题 看一下第二十五题第一问式， b 等于一的时候， b 等于负一的时候，它又给到了 a 点坐标是二到零，因此呢，咱们把这个 a 点坐标 二到零和 b 等于负一给它带进去。先看顶点坐标吧，负的二， a 分 的 b， 呃，等于 b， 可以 求了， a 应该是等于负的二分之一，因此呢，咱们可以画成负的二分之一的 x 平方减去个 x， 再加 c， 将这个二到零给它带进去，就可以求出来 c 应该是等于四的，因此呢， y 等于负的二分之一的 x 方减去个 x， 再加四，这样求出来咱们的解集四。 而当这个用尾答定也可以用直接解也行。当 y 等于零的时候呢，就可以求出来 b 点的坐标应该是负四到零这块，咱们来给它画一个草图， 根据对称轴，咱们呢是负一交于正四和呃，负四，所以呢，大概的话要这样图形之后呢，这块是 b 点，这块是 a 点，把 b c 连起来， 因为 p 点它是二 b 减二，所以呢，大于负四小于零，也就相当于在咱们的这一块来进行运动，那就相当于随便来找一点， 往这边给它做垂线， p 点做垂线，往下面给它做垂线，交于点 q， 求交于点 m。 咱们画完图形之后呢，来看一下，让咱们求的是根号二的 p n 加 am 的 最大值，因此呢，咱们看一下根号二的 p n 再加上一个 am， 它可以怎么转化 看一下，第一个就是根号二的 p n， 它是带系数的，因此呢，咱们想办法给它转化到三角形里面去，因为这个 o c， o， c 等于 o， b 等于四，所以呢，角 c b o 等于角，这个 b c o 等于四十五度，那所以呢，也能推出来 p q， n 也等于四十五度， 那所以呢，三角形 p q， n 是 等腰值， 因此呢，咱们就能推出来呃 p q 的 长度就等于 p n 的 根号二倍，因此呢，等于根号二倍的 p n， 因此咱们就可以把根号二倍的 p n 给它换成 p q 加上个 a m， 求它的一个对值，这样还是转换成咱们的牵垂线 好。咱们下面的话呢，就正常来解就可以了。咱们设 p 点的坐标是 m 到 负二分之一的 m 的 平方减 m 再加四，之后呢，先求出来，也可以先求出来 y b， c 的 解一次应该是等于 k x 加 b， 把负四到零和零到四带进去，应该是 y 等于 x 加四， 所以呢，咱们可以求出来 q 点的坐标应该是 m 都 m 加四，因此呢，咱们再来看它的长度，就是 p q 的 长度，用上减下 p q 加上个 a， m 就 等于负二分之一的 m 的 平方，减去个 m 加四，再减去个 m， 再减四 之后呢，这是 p q 的 长度，再加上个 am， am 的 话呢，是用右边减左边 a 点，咱们已经知道了是二到零，所以呢，再加一个二减 m， 因此呢，可以得到负二分之一的 m 的 平方，减去个三 m， 再加上个二就可以了。 这样的话呢，就求来了咱们的铅垂线的表达式，那就说在它顶点的时候，那就取到了一个最大值，所以呢，咱们给它画成顶点式，变成负二分之一倍的给它提出来，应该是 m 加三的平方，再加上个二分之四三，所以呢， m 等于负三的时候，就可以求出来 p 点坐标是负三到二分之五。这样的话呢，答案就出来了，这就是看起来是一个带系数的根号二倍的 p n 加上一个 am， 但是呢，咱们最终呢，还是给它转化成了牵对线的形式来处理的 好。看一下第第三问最后一个，当 q 点 点 q 是 这么多之后呢，在抛物线上连接它，当根号二倍的 q m 加 a m 求它的最小值等于四分之三十九的时候呢，求它俩的一个值的大小。那这个的话呢，咱们看一下是互不归原理，还是说先对线的有关系的。 咱们还是根据第一问他的对称轴， x 等于 b， 这个地方可以先求出来负的二 a 分 的 b 等于 b， 还是求出来 a 等于负二分之一，开口向下的这个是不变的， 那 y 等于负的二分之一的 x 平方加 b， x 加 c 之后呢，将点坐标 a 二到零，给它代入 带入来求 b 和 c 的 关系，带进去就可以求出来 c 应该是等于二减二 b， 因此呢，我的解一次就可以写出来， y 等于负的二分之一的 x 方加上个 b， x 加上个二减二 b， 这样解一次就出来了，咱们第一步对吧？还是进行一个削圆， 有了这个信息之后呢，咱们给它画一个草图，这块呢， b 它是小于零的， b 是 小于零的，因此呢，给它大概的画一下图像 这样， a 点在这边， b 点在这边，之后呢， c 点 c 点，现在呢，咱们的 q 点给咱们了， q 点是二 b 减三到 y q， 因此呢，咱们先把 y q 给它算出来，也就相当于把二 b 减三给它带到咱们的减一 c 里面去，可以求出来，这个 y q 应该是等于 b 减二分之五， 把 y q 给它算出来，算出来之后呢，咱们知道 b 是 小于零的，因此呢，我能猜出来，哎，它呢是负的，这块呢，也是负的，因此呢，它应该是在第三项线，相当于在这块给他找一点， 而咱们的 m 点是 x 轴上的一个动点，动点让咱们求 qm， 它的根号二倍，再加上个 am， 它的长度也就相当于说根号二的 qm， 再加上个 am， 它的长度的一个最小值，最小值。 因此呢，咱们还是需要把 qm 根号二倍的 qm 呢，给它进行一个转化，看一下能不想办法给它转化成一个等腰直角三角形。里面去 看一下根号二倍的，那就是一比一比根号二，那我能不能把 qm 给它旋转九十度， 旋转九十度，转到这边来，转到这边来，这样的话呢，假设是点 d， 那 根据它是一个等腰值，对吧？三角形三角形，咱们转一个 d， q， m 是 一个等腰值， 因此呢，就可以转化成了 dm 加上个 am， 求它的一个锥值， 那当谁啊？当 m 点， d 点， m 点， a 点它们三点共线的时候，肯定是达到一个最小值的，那咱们来看一下它的一个动态图， 那根据咱们的动态图的话呢，咱们能看到它是在进行变化的，也就是当 d 点在 x 轴上的时候，它正好是达到最小值的。 因此呢，咱们从 q 点往下面给它做垂线，假设是 h 点，因为知道 m 点，它这块是一个等腰直角三角形， 等腰直角三角形，那因此呢，这个 m 到它的距离就等于这块的距离。因此呢，咱们可以找到 m 和 b 的 关系，也就相当于这个长度等于这个长度。那咱们用 m 减去个 b 点的横坐标应该是二， b 加三就等于这个它的重坐标应该是二分之五，再减去个 b， 这样的话呢，咱们可以求出来 m 等于 b 减去个二分之一。 好，找到了 b 和 m 的 关系之后呢，咱们来看它的长度的减一次，对吧？长度减一次应该怎么表示？ 因为 dm 它是一个等腰直角三角形，这个长度那等于这个长度这个长度，因此呢， dm 的 长度就等于它的长度的两倍，因此呢，咱们直接写这个 dm 的 长度就等于二分之五，减 b 再乘以二，因为它坐标是 b， 减二分之五在第三象限，所以呢，咱们给它反过来写，那再加上个 am， 那 就是 m 应该是二减 m。 好，因为 m 的 话呢，是等于 b 减二分之一，这样的话呢，就给它带进去变成了呃，二分之五，减 b 乘以二，再加上个二， 呃，加上个 b 减二分之一，这样的话呢，就让它等于四分之三十九。咱们就可以求来，咱们小 b 的 值应该等于负的四分之三，所以呢， m 的 值就等于负的四分之五，这样答案就出来了。

大家好，咱们今天来看第十三套核心区的一模。先看一下第十七题， 咱们先看题目，给到了等腰三角形 a、 b、 c 角 a 这块等于九十度之后呢， cd 是 平分角 a、 c、 b 的， 给到了角平分线，这块是直角， 之后 b、 e 也是垂直于 c、 d 的， 这块也是直角， a、 d 等于一 d。 问，让咱们求 ac 的 长度， 那给到了角平分线又有垂直，所以呢，我们先想到了就是角平分线的性质，往 bc 给它做垂线， 所以呢，这个点假设是 f 点，可以求出来 a、 d 的 长度等于 df 的 长度等于一， 所以呢，这块是等一。又根据我的大的三角形是等腰直角三角形，所以呢，这个角度等于四十五度，因此呢，可以求出来 b、 d 的 长度等于根号二， 所以呢， ab 的 长度就等于根号二加一，因此呢， a、 c 的 长度就等于根号二加一。第一问就出来了， 好看。第二问，让咱们求线段 b、 e 的 平方，求它的平方，那这种题目它设计的时候，求平方肯定是 b、 e 的 长度是带根号的，不太好求，所以呢，让咱们求的是平方的形式。 好，咱们先看。呃， b、 e 垂直于 c、 d 这块呢，又是角平分线，那这个 b、 e 给它延长， 与 a、 c 它俩相交，假设这个点是 h 点，咱们可以得到这个三角形，这块是垂直的，这块是有角平分线，所以呢，那有了 h、 c 等于 bc 这个条件，咱们就可以得到 bc 的 长度 是等于根号二加一，它的根号二倍，这样的话呢，就得到二加根号二。 好，有了这个性质，咱们 a、 c 的 长度是等于根号二加一，所以呢，可以求出来 a、 h 的 长度等于一，那这样呢，咱们就能算出来 b、 h 的 长度，它的平方就等于 a、 h 的 平方，再加上一个 ab 的 平方， 咱们是一的平方，再加上一个根号二加一的平方，那就等于一加上一个三加二倍的根号二， 等于四加二倍的根号二。好，有了 b、 h 的 平方，咱们现在想要求 b、 e 的 平方，因此呢，它两个是相等关系，因此我的平方应该是一个四倍关系，所以呢，一加二分之根号二，就是 b、 e 的 平方。 我们来看第二十四题 这块呢，给出来了它的坐标， a 点坐标是六到零， b 点坐标是八， c 点坐标是负二倍，根号五到六，咱们让咱们求 ab 的 长度，在第一个六八十，就直接出来了 bc 的 长度，那咱们从 c 点往这个 y 轴给它做垂线，假设是 e 点， 根据他的坐标是二倍，根号五和四。所以呢，咱们能求出来上面的长度正好是八，分成两块，上面等于四，那又知道 c 点的横坐标是二倍，根号五。所以呢，我得到这个 bc 的 长度 就等于根号下二倍，根号五的平方，再加上一个四的平方，等于根号三十六，所以答案等于六。好看。第二问，第二问是 m 点是从 o、 a， b， o， a、 b 往这边走，它呢速度是一秒钟一个格，而 n 点是从 o、 c、 b、 a 这块走，之后呢，它的速度的话呢，是它的两倍。那让咱们求 第一个，当 t 等于三的时候， s 的 面积，咱们也需要先把 o、 c 的 长度给它求出来，咱们往下面给它做垂线，假设是 f 点，那根据 c 点的坐标，咱们能求出来 o c 的 长度也是等于六，因此呢， t 等于三的时候，那就相当于我正好呢是走到了这个 c 点， 所以呢，第一个 s 它就等于，那这个 m 点，它是走了三个格，走到这个地方，走到三个格，而这块呢，它是走到 c 点， c 点的重坐标等于四，所以呢，就可以求出来，三乘以四，再乘以二分之一就等于六，第一问直接就能出来了， 好看。第二问，当 m 点在 o a 上的时候，再乘以二分之一就等于六，第一问直接就能出来了，好看。第二问，当 m 点在 o a 上的时候，那相当于是它是零到六的一个曲值。 最后呢， n 点在线段 bc 上的时候，在 bc 上的时候，那就相当于它这块呢是六，这块呢，需要三秒钟。所以呢，可以先定位我的 t 的 取值， t 的 话呢，是大于等于三，小于等于六的，在这个范围内， 好让咱们求用 t 的 四则来表示 s， 并且呢，写出 t 的 取的范围， t 的 取的范围已经出来了，咱们看一下怎么来求我的面积。假设 m 点 跑到这里，最后呢， n 点假设跑到这里，现在呢，让咱们求 o m n 它的这个三角形的面积， 那下面呢，底已经知道了，我只要把高给他求出来就可以了。因此呢，我可以把 n 往下面做垂线，或者是往 y 轴呢给他做垂线，假设这个点是 h 点， 咱们可以很容易证出来，这个三角形与大面大的这个三角形相似，根据相似比，咱们把上面这一段求出来，来求下面的这个长度，就可以把高给它求出来了，再来求面积， 好，咱们来看一下 oc 到 n 的 距离，就是它走过的路程应该是二 t， 所以呢，咱们 oc 加 cd， 它总长度是等于十二六加六十二，所以呢，我这个 b n 还剩余的长度应该是十二减二 t 就 可以得到上面这一段长度， 那有了上面这个长度，那咱们又知道这个 b c e， 它的三角形，这个 c e 的 长度是二倍，根号五 b e 的 长度是等于四，所以呢，咱们就可以给它求出来， 或者说用斜边，对吧？用斜边给它比变成了 b n 比上一个 bc， 就 等于 b h 的 长度比上一个 h e， 这样的话呢，咱们把这个十二减二二 t 和这个六去比，十二减二 t 比上个六，就等于个 b h 的 长度比上一个四，这样咱们就可以把 b h 的 长度给它求出来，那它的话呢，是等于八减三分之四 t， 而我的 o b 的 总长度是等于八，所以呢，我可以求出来我的 o e 的 长度，它的高就等于呃，三分之四 t， 那所以呢，有了高之后呢，我的面积 s 表达式就可以出来了，就等于 t 乘一个三分之四 t， 再乘一个二分之一，那就等于三分二 t 方，而 t 的 曲值范围是大于等于三，小于等于六，在这个范围内。 好，这是咱们的圈二有五分之四十八的时候求 t 的 值，那这个呢，咱们就需要分情况进行讨论。那在 o a 的 时候，而 n 点在 o c 的 时候，这样的话呢，咱们给它算一个，也就相当于 t 大于等于零，小于等于三的时候。在这个地方咱们第一问的时候已经算了，他这个当跑到 c 点的时候，在 c 点的时候，那他这个高度是等于四，那这块呢，需要三个格，我的 s 等于三，乘以四，再乘以二分之一是等于六， 这样咱们的六是小于五分之四十八。那所以呢， 咱们在计算的时候呢，这块他就不可能出现一个呃四十八的面积，因此呢，这块呢，他就没有这个取值。 好。第二个，当 t 大 于等于三，小于等于六的时候，我已经算出来了 s 等于三分之二的 t 方，那他呢是等于五分之四十八，这样的话呢，咱们把 t 给它算出来， 就得到了 t 方，就等于五分之四十八，再乘以个二分之三，那就等得到五分之七十二，那之后呢，给它开根号 t 的 话呢，就等于五分之六倍的根号十。这个答案就可以了。好，那咱们继续往下走， 当这个点 n 跑到了 a b 上的时候，当 m 点也是跑到 a b 上的时候，那在这种情况下，它的面积有没有可能等于五分之四十八呢？所以呢，假设在这的时候，这块在这的时候，咱们求这个的面积，让它等于五分之四十八。 好，咱们再来看咱们总长度，总长度是二 t， 相当于从 o 到 c 到 b 到 m， 它这个总长度是等于二 t， 可以 求出来 b m 的 长度，它是等于同时走了二 t， 所以呢，再减去一个十二，之后呢， an 的 长度，它等于总共走了 t， 再减去个 o a 的 长度六，所以呢，咱们求出来 m n 的 长度就等于十，减去个 t 减六，再减去个二 t 减十二，这样的话呢，就得到了 m n 的 长度，它的话呢应该是等于呃二十八 减那个三 t 得到这个，那得到这个之后呢？这是咱们的底，而咱们三角形 o a b s， 三角形 o a b， 咱们可以根据等面积法，咱们求出来 o 点到 ab 的 距离是等于六乘八除以十，等于四点八，或者说等于那个五分之二十四。 好，有了这个之后呢，咱们就可以求出来我的三角形的面积 s 就 等于二十八，乘以二十八减三， t 乘以个五分之二十四，再乘以个二分之一，就等于个五分之四十八，这样的话呢， t 可以 求出来呃八， 好，这是一个，那再往后边，那它这块呢？还可以怎么办呢？当 m 点跑到这边，当 n 点跑到这边， 这样的话呢，它俩相遇之后的这块构成这样一个面积，它应该还有一个地方是等于呃五分之四十八。因此呢，咱们只要把这个二十八减三 t 和三 t 减二十八，它俩换一下，换一下这个符号，再乘以个五分之 二十四，再乘以二分之一，就可以求出来，它等于个五分之四十八。这样的话呢，咱们求出来 t 的 取值是等于三分之三十二，所以呢，咱们总共是有三种情况，在三种情况下，它的面积是能够取到五分之四十八的。 好，这就是咱们讲的第二十四题，来看第二十五题，咱们先看一下第二问， 最后呢，当 b 等于二的时候， ab 等于 pa， 求 p 点的坐标，那当 b 等于二的时候，咱们先写一下 y 等于 x， 平方加二， x 加 c， 先得到这个解一次， 咱们呢可以求出来它的对称轴， x 等于负的二， a 分 的 b 是 等于负一的，咱们先画个草图，当 x 等于负一的时候，那我把 y 呢等于一减二，加 c 等于个呃 c 减一就可以把 p 点的坐标也能先给它求出来。 那 p 点坐标求出来之后呢？咱们看一下，让咱们求的是 ab 的 长度， ab 的 长度等于 ap 的 长度， 是长度有关的长度有关的长度，咱们想到了，就是两点间距离公式直接套，对吧？我只要把 p 点坐标求出来，把 a 点坐标和 b 点坐标求出来，直接套里面就可以了。因此呢，咱们先求 a 点坐标和 b 点坐标， 那这个 x 方加二， x 加 c 等于零，可以求出来， x 一 就等于。 呃，直接套公式变成了 x 加一的平方就等于一减 c， 所以呢， x 一 就等于个负一加上的根号下一减 c， x 二呢，就等于负一减去的根号下一减 c， 因此呢，咱们可以得到 a 点的坐标，就等于负一 减去个根号下一减 c 都零， b 点的坐标等于负一，加上个根号下一减 c 都零，那 a 点坐标， b 点坐标都能求出来之后呢，咱们再来看 ab 的 长度等于 pa 的 长度，所以呢， ab 的 平方就等于 pa 的 平方，咱们直接套两点间的距离公式就可以了。那 ab 的 平方 等于 a 减 b， a 减 b， 就 可以得到它减它二倍的负二倍的呃，根号下一减 c 的 平方，那等于 p， a 的 平方， a 点的坐标有了， p 点的坐标呢？是再给他写一遍，是等于一个负一到 c 减一，那所以呢，它减它就等于个根号下一减 c 的 平方，它的减它再加上一个一减 c 的 平方。 好，得到这个之后呢，咱们就可以把 c 的 值，这样 c 的 值求出来之后呢， c 一个是等于负二， c 的 话呢，是等于一这块给它舍掉，那所以呢， p 点的坐标就可以求出来，是负一到呃负三，答案就出来了。 好，这是咱们通过解坐标，通过两点之间的距离公式直接来求的，相当于说咱们根据勾股定律也是可以的。 那咱们第二种做法就是在三角形这个 a b c 里面，咱们现在知道了 a b 是 等于 a p 的， 并且的话呢，咱们知道它是对称轴，因此呢，这个长度应该是等于这个长度， 又知道他俩相等，所以呢，咱们能推出来这个三角形呢，它其实是一个等边三角形，那等边三角形，所以呢，这块是六十度，我就可以根据三角函数这个长度和这个长，和这个这个长度和这个长度，它的比值就等于根号三比一。 那所以呢，咱们知道了 a 点坐标和 p 点坐标，所以呢，我也可以通过在三角形里面 r t 点坐标，所以呢，我也可以通过在三角形里面 r t 三角形 这个 ap 加它是 d 里面，我天津的六十度就等于个 p， d 比上个 a d， 那 就等于 p 点的坐标的话呢，是它的坐标是 c 减一，所以呢，它的长度是一减 c， 再比上一个呃 a d 的 长度，那就等于负一减去个 a 点的坐标，那就等于呃根号下 一减 c， 那 让它等于根号三，这样的话呢，求出来之后呢， p 点的坐标还是一样的，这是第二种方法。好，这是咱们的第二问， 来看一下第三问，当 c 等于负一的时候， b 小 于等于负二，并且呢，过这个直线， y 等于 x 减一，那做一个 过点， g 点做 y 轴的平行线，咱们假设这边 g 点在这个地方往下面做平行线，这个焦点是 h 点，让咱们求介于的长度最大值等于四的时候求 b 的 值。好，现在呢，咱们先卡一下它的范围，就相当于给了 c 等于负一，咱们的解一次就可以呃，给他写出来 c 等于负一，并且呢， b 是 等于小于等于负二，那变成了 y 等于 x 平方，加上个 b， x 减一，得到这个 之后呢，咱们可以假设 g 点的坐标是 t 到 t， 减一之后呢， h 点的坐标是 t 到呃 t 方，加上个 b， t 再减一， 咱们把 g h 的 长度用铅笔线把它表示出来，上减下，那就等于 t 减一，减去个 t 方减去个 b， t 再加一，这块加一等于一个负的 t 方，再加上一个一减 必备的 t， 得到咱们的呃 g h 它的长度的一个解析式。而可以求出来我的推乘轴 x 等于二分之一减 b， 得到这个信息。 有了这个信息之后呢，咱们现在看我这个二分之一减 b 在 什么位置，因为咱们的 b 是 小于等于负二的，所以呢，二分之一减 b， 它应该大于等于二分之三。 而咱们这个题目里面要求了 x 的 取值，它是在一到三之间，这块在一和三，在这个位置里面求它的最大值是等于四，也就相当于咱们的区间最值。 那具体的咱们的对称轴在这边的时候，孩子对称轴的话呢，是在右边的时候，这块呢，咱们现在不知道，所以呢，这个地方是一到三，咱们需要给他讨论重新画图吧， 给他画一下他的二十函数图像，他是开口向下的，这个图像是开口向下的，他的取值的话呢，是一到三，那之后呢， 二分之一减 b 是 大于等于二分之三，肯定是在这个二分之三的右边，所以呢，咱们第一个讨论对称轴， 二分之一减 b 大 于等于二分之三小于等于三的时候，在这个范围内，那所以呢，我的对乘轴这个点就是我的最大值点，因此呢，当这个 t 等于二分之一减 b， 把它带到咱们的 y 的 减一四里面去，那就是我的最大值， 把它带到这个负的二分之一减 b。 好，这样的话呢，就能呃，让他等于几啊？最大值就等于四，这样就可以求出来我的 b 的 值。第一个他的 b 的 值的话呢，是等于负三， b 等于五，这个呢，就舍掉了。 好，再看第二种情况，就是当我的对称轴， 当这个图像继续往前面进行平移对准轴，假设是大于三的时候，在这边的时候，那所以呢，我的取值在一到三之间，就在这个地方，所以呢，在 t 等于三的时候，就取到了最大值，那所以呢，当 t 等于三的时候，那就得到了，把它带进去 负九加上个一减 b 乘以三等于四，那所以嘞，变成了负九加三减三， b 等于四，这样呢， b 也是等于个负的三分之十， 而呃，咱们这块嘞，是二分之 b 加一大于大于等于三， 那所以呢，咱们这块的要求是我的 b 的 取值 b 是 小于负五的，那所以呢，它是等于三分之十二，这块呢，是舍掉的，因此呢，它第二种情况还是不成立的。因此咱们的答案只有一个， b 等于负三。

解疑答惑来看二五二六天津市滨海新区九上数学期末第二十四题旋转的几何综合来，我们系统地把这三问一块儿梳理。 o 为圆点矩形， a、 b， c， d， a 点的坐标负根号三逗一好， c 点零逗负四， d 点零斗一好，是一个这样的摆放好，以 a 为旋转中心，然后逆时针进行旋转，得到了新的矩形，旋转后的对应点牢固，不再坠树。在这里面呢，有一个细节， 旋转角大于零，小于等于一百八，所以说在后续处置的时候，别按三百六去算了。 好，第一个如图一所示。好，求 b 点的坐标， b 点的坐标，那对应的我们只要把这个长度一个呢？是这个焦点，我们比如说 g 为点， e 好 点， e 好。 第一个，我们把 o e 和 e b 长求解出来即可。 o， e 的 长度就是根号三好，它 e， b 等于 o， c 等于四，又因为在第三象限，所以说第一个空难度不大，大家应该都求解出来了， 那就是负，根号三逗负四好，这是 b 的 坐标好，下一个，当 b 撇落在了 a o 的 延长线上，求 o， b 撇的长度好，求一个线段长，就是用和差的关系去求减，那就是 a b 撇再减去 a o 好， ab 撇等于 ab 的 长度， ab 的 长度是 a e 加上 e， b 是 五，所以说我们第一个五，再减去 a o 的 长度， a o 的 长等于几？我们是不是根据 a 点的坐标即可求结 好？ a， e 的 长是一， o e 的 长是根号三。勾股定律可得，它是二，所以说就是五减二等于三，所以说第一个空的第二个 o， b 撇的长度就是三 好，下一个，如图二所示。求，当 b 撇落在 c、 c 撇上时，交点是点 e， 这个是 ab 与外轴的交点。求 c、 e 的 长度 好，求一个线段长。我们就想第一个思路就是和差，就是 c、 d 减去我们这个 o、 d 的 长，或者我们根据这里面角度的关系，它是在直角三角形 c、 b、 e 当中，我们用勾股定力即可。也行，那我们先读题，标注好。第一个我们 bc 的 长度是根号三 b 撇， c 撇也是根号三， 旋转后对应边 a、 c 等于我们对应的这个边就是 a、 c 撇，这叫旋转后对应边相等，这是一个等腰三角形，又根据垂直三线合一，那它也一定是中线。所以说 c、 b 撇的长度也可以求解出来，它是根号三的一个内容 好， c、 b 撇的长，我们标注出来他是根号三。所以说接下来我们就去想是不是就可以说我把对应的这个边 e、 b 撇求出来， 但是要求他又回到这个问题了，还得要求他，那接下来我们根据他图形的特征是不是就可以分析了？ a、 d 等于 c、 b 撇好，这是一个边相等， 在这里面呢还是有角的关系？我来我把这个擦掉来，我们着重看一下这两个三角形，一个是三角形 a、 d、 e， 还有一个是 c、 b 撇 e 好。这两个三角形都有一个角是九十度，九十度好，对顶角相等，有一个 a、 d 和 c、 b 撇相等，所以说要求它，我们是不是就结合里面边长的关系，构造未知数，然后列方程即可进行求解。 所以说我们的设 c、 e 长为 x， 那 a、 e 长也一定是 x 好， 整个 cd 等于 ab 等于五，那 d e 就是 五减 x， d， e 是 五减 x， a， d 的 长度是根号三， 所以说我们直接在 r、 t 三角形 a、 d、 e 中直接列勾股定律。 好，斜边的平方 x 方等于直角边的平方，根号三的平方三，然后再乘以加上 x 减五的平方。好，接下来我们解这个方程是不就可以了？ 好， x 方等于三，加 x 方减十， x 再加二十五，整理过来，那十 x 等于二十八， x 就 等于五分之十七，所以说第二个空 c、 e 的 长度呢，就求出来了，是五。好，解得。之后呢，来我们再看一下。好，十 x 等于二十八，那解得呢？ x 就 等于五分之十四， 所以说我们这个 c、 e 的 长度就等于五分之十四。好，这是前两问的求结。接下来我们处理第三问，旋转过程中， c 撇的坐标是 a 到 b， c 撇到外周的距离大于等于根号三十，求他的送坐标 b 的 取值范围。好，在这里面我们需要先明确 c 的 对应点， c 撇的轨迹因为是旋转 描述轨迹，大家问题都不大。连接 a、 c， 那 就应该是以 a 为圆心， a、 c 长为半径，因为旋转的角度是大于等于零，小于等于一百八，那就画一个半圆即可。所以说我们呢，先把它的轨迹圆，我们可以直接画出来来， 以 a 为圆心， a、 c 长为半径，我们就画圆来，大致我们就可以是画出到这样的一个情况。 好，这样，因为他转的是一百八十度，所以说我们再把这个对应的细节补充完备好，我就把 c、 a 进行一个延长。 好，这时候我们想一下，要的是半圆，所以说我们把它这个左半块就擦掉，只要右半块进行分析 好，到他的距离大于等于根号三，那应该是外轴的左和右都满足。来，先看左侧 a、 d 的 长度，根据已知他的长就是根号三，对不对？ 好，来，我们标注一下， a、 d 的 长度是根号三，所以说要是大于等于根号三的话，我们先把一个基准线画出来， 那就是 ab 边所在的直线，好在这个直线的左侧都满足大于等于根号三，当然这是重合好，又要在圆上，所以说我们要找的第一段，我可以再这样标注出来，那就是绿色的这段满足条件，好，一会再求他 再来。我们再在右侧也找到这样的一个极准线。好，那这个线就是恰好等于根号三的时候。 好，等于根号三，要大于等于根号三。好，我们只能是在选择我右边涂色的这一块。好，那这两块绿色的是不是就是我们所求的？来，把这两个邻界值求解出来即可。 求它的话，结合这样的一个垂直关系，是不是找铅垂三角形进行计算即可。来，我们先进行右侧的求结 好，第一个延长 a、 d， 所它的垂线垂足是 h。 好， 这个点呢，我们记为 c 一， 这个点记为 c 二。好，我们连接 a c 一， 接下来呢进行标注求结 好 a、 h 的 长度我们可以进行知道了，因为这个 a d 等于 d， h 等于根号三，所以说 a、 h 的 长度就是二倍的根号三。 好， ac 的 长度前面已知了 ab 的 长，它是等于几等于五好，我们标注一下， ab 的 长是五， bc 是 根号三，所以说斜边 ac 的 长度，它就等于根号二十八，也就是二倍的根号积， 所以说这个是二倍的根号七好，这个边是二倍的根号三，那这个直角边我们是不是也可以求出来了？所以说他就是二，再乘以根号四，也就是等于四， 所以说这个 c 一 h 是 四好，这段长是 a 点到 x 轴的距离是一，他是一，所以说我们要求的这一段的长度是三，又因为 c 一 在 第三第四项线，所以说 c 一 的值，它就是横坐标是根号三，送坐标就是负三。 同理上方的话，我们这个长度它也得是几是四好，这个是四，这块是一，那整个长呢？就是五，所以说它的坐标就是根号三到五好。要取得这一段的范围的话，那我们 b 的 值呢？就有了。先写在这里， 大于等于多少？负三小于等于五好，这是这一段下来呢，我们求解这段这个的长度我们就是对应的它的半径，半径是二倍的根号七，再加上这一段的长，所以说这个点的坐标 它就是负二，负根号三，因为是在 a 点这个位置，所以说它的横坐标有的是负，根号三 好，送坐标呢，就是二倍的根号七，加一好，接下来求这个点的送坐标，那我们就可以向 这个轴做一个垂线来，这个垂线求解出来之后，我们会发现，是不是在这里还是有一个全等的关系， 所以说这个长一定是根号三，这个长是二倍的根号七，所以说这段的长他就有了是五好，这段长是一，所以说这个点的坐标就是负二倍的根号三到六好。要的是这样的一段， 那这段范围就 b 大 于等于几了，是不是就是六再小于等于二倍的根号七加一。好，那这样的话我们两个范围就有了， 所以说中间呢再加一个或字两个范围，最终呢就把这个值求出来了，所以说强调的是我们数形结合，并且呢是垂径定律的综合的。处理好这道题你明白了吧？

天津的家长们，初三的孩子们注意了啊，现在百分之八十的孩子刷数学题啊，都是在浪费时间，看着他天天埋头的刷题，卷子堆的比小山还高，结果分数一点都不懂，甚至还会有退步，越刷越迷茫，这是不是你们家孩子现在的一个现状？ 我是专注天津中考数学提分的王老师亲手把三十分的孩子带到一百零六分，为啥说有些孩子刷题他白浪费功夫呢？无非就是有三个通病，只做会的不肯难， 对完答案就扔，不分析错误原因，只记答案，不总结方法。这样就算你刷一百道题，也是白写啥用没有？给你们三个高效刷题的方法，尤其适合初三一轮复习的同 学，点赞、收藏、转发给孩子看！第一，靶向筛题，把题分成基础题、中档题和难题，重点肯占百分之八十分时的基础题和中档题，别瞎刷题。第二个就是错题复盘，每道题标注错误的原因是知识点没会呀？还是计算粗心了，当天就重做， 再找这么三道五道同类型的题查缺补漏。第三就是总结模板，刷完一套题，咱们再提炼一下套路，比如说几何题的辅助线有什么技巧，函数题的解析步骤是什么，咱们直接进行套用。记住了，天津中考数学拼的是刷的精，而不是你刷的多！

各位同学大家好，今天我们开始讲解天津中考选择的第十一题，图形的变换。那么叫它图形的变换呢，就包含了旋转、翻折、平移三大主要的方向，它和这个解答第二十四题是有点像的， 但是呢，这个选择这个题呢，一直啊，最近五年去看，一直是以旋转为主，哎，正好咱二十四题里边啊，是平移和反折交叉的口，哎，这个题呢是旋转为主，这样形成一种呼应。 嗯，所以咱们现在去看的话，中考二一年到二五年的真题全是旋转，然后模拟里边绝大部分都是旋转，但是你说这个十一题考没考过，这个平移考没考过，反直是考过的哈，所以说这个有没有可能到时候又发生了新的变化， 然后他考个平移，考个这个反折，二十四题考了个旋转，这是在变化之内的啊，虽然是大家还是希望这个沿用以前的这个考试方法，不希望他发生变化啊，大家都学习好的，学习差的，其实都一样 啊，也是希望这个不发生变化，但是它是存在潜在的可能性的。所以咱们复习的时候呢，首先先把最大的热点给复习掉，然后会这个翻折呀，平移呀，包括偶尔还考到最值啊，都会给大家复习到。 咱们呢分为三节课，第一节课讲天津的五年中考真题，然后加上嗯，考察第一个热点，考察方向旋转， 然后我们到第二节课的时候呢，会把这里的翻折，平移，还有最直这三个潜在的，虽然考频不高的方向给讲了，那到了第三节课的时候，我们就会把这个过关检测，哎，就是相当于 啥都有啊，但还里边其实的题还是以旋转为主。然后我们讲了一共分为三节课去讲这个第十一题， 那我们现在来看一下天津中考五年真题，这五道题全部是旋转。

天津中考数学二十四题，从这两个角度去分析就可以。呃，很多处于中等或中等偏上的孩子，就大概是九十多分的孩子或一百分左右的孩子啊。嗯，其实你们可以在二十四题上面花点功夫，这道题得满分，其实我觉得相对来说还是比二十五题和十七题要容易的。 如果在我心目中给这三种题型排个排个顺序的话，我会认为二十四题第二问。其次， 其实实际题我认为是比较难的，当然如果你会解析法的话，那实际题相对来说会简单很多。那再说回到二十四题，二十四题的话，其实他只要会两种题型就行。一种是 呃， s 和 t 的 题型，就是给你 s 求 t 和给你 t 求 s， 你 知道解析技巧以后可以很快速就可以 把它给做出来，剩下就是一个计算问题了。那还有一种就是，呃，第三问的话，他会让你去分类讨论，因为今年大概率按规律的话是考折叠嘛，折叠的话他折来折去不就是三角形和四边形吗？那就会让你分类讨论是三角形还是四边形，然后 让去求对应的东西，其实就是一个几何的分类讨论问题。其实就这两种题型，那些考的特别偏的那就不说了，大概率大范围的啊，是考 这两种题型，那你嗯可以跟针对蓝易飞上的折叠问题，那有针对性的去问这两两类题型啊，把它练熟练了，那你考试的时候花点时间，我觉得二十四题得满分还是很划算的。

昨天讲了一道难开一莫的题，然后今天咱们尝试一下和平，然后选的是和平二莫，然后它在水木金卷的一百六十页，或者是一飞冲天的一百一十九页， 他说已知抛物线，他首先告诉我们，开口向下平面为 p 与 x 轴交于 a， b， a 在 左侧，然后对称轴与 x 轴的交点是 q， 然后括号 e 给了我们小 b、 小 c 和 b 点坐标，我们很快就求出来。 首先我们可以写成 a， x 方减二， x 加三，然后再把 b 减坐标代入零，等于 a 减二加三，那么 a 就 应该是负一， 所以就应该是负 x 方减二， x 加三是一个比较基本的一二三 函数，所以点 p 的 坐标也是负一，等于正四，很基本。然后圈二圈二，说 m 为直线 a p， 嗯，简单画个图吧， 直线 a p 个动点，然后过点 m 做 m g 垂直于 x 轴， 然后与 a p 交于点 g， 问你 m g 垂直于哪？那就是一个非常非常简单的前垂。 那我们牵扯一下，需要 m 点和这个指标，那 m 需要抛物线，抛物线已经有了，这也需要 a p 的 解析式。我们这里面 p 点出来了之后，我们 a 点坐标也很快就能求了，它应该是负三零，所以 a p 的 解析式就是 y 等于 二， x 加六，那我们就能很快的写出来了。点 m 的 坐标，我们可写成 t 的 负 t 方 减二， t 加三，然后这点是 t 到二， t 加六，那所以 m 这点线段长，就是用上减下就是负 t 一 方减四， t 减三， 那我们提到最值到顶点就是 t 方加四， t 加四减四，再减三，就是负的 t 减二的平方加一， 那也就是说当 t 等于二十 f 这个最大值，那 m 的 坐标就是二都负二，这边是加，它是负二都正三点 g 的 坐标就是负二都正二，打一下就可以了。 然后我们来看括号二，括号二的话呢，就是我们要抛弃一些括号页的内容啊，我们现在就没有解心事了，只知道它开口向下，然后给了我们一个 a 点坐标和 mb 点坐标，那其实有这两个与 x 轴交点的话，我们可以先简单写一下， 嗯，焦点是它应该是 x 加三 m 和 x 减 m， 然后我们能知道对称轴，它就应该是 x 等于负 m， 然后 它这个 q 点坐标其实就出来了，是负 m 到零，然后给了我们 p a b 是 九十度。我们先拿上面那个图简单来看一眼啊，就是如果把 p a 也连起来的话， 这个 p a b 这个里面，因为点 p 是 顶点，它 p a 和 p b 应该是相等的，这个角 p a b 是 六十度之后就说明这个三角形 p a b， 它应该是一个等边三角形， 然后他说点 e 是 直线 x 等于负三 m， 那 你会发现它跟 a 点的横轴标是相同的，就是说 应该是点，应该是这么一条的，在这条线上的一个点，然后过点 e 做 e f 垂直 a p， 我 们现在只能画一个示意图啊， 那这是 e， 然后这是那个 f， 然后交 p q 一 点 f， 那 我们这个 f 重新画一下， 然后他说 p e 加 e， f 加 fa， 给了一个最小值，问我们小 a 的 值，那我们说这是三条线段相加，求最短，它有两种可能，第一种它是造桥选址，第二种是两次 将军一马。那关键点在于什么？在于它有没有一段定长，那也就是说我们能不能求一下 e f 的 长？ 那我们可以怎么样考虑一下啊？就是我们可以把这个 e f 这条线向下平移，哎，把 f 平到 q 这个位置，我们来看一下啊， 那也就是说现在我画的这个 f 撇一撇，它跟 ef 的 长应该是相等的，也就是说我们看看能不能求这个 e 撇 f 撇的长。 那回忆一下，我们刚刚是不是说过这个 p a b， 它是一个等边三角形，也就是我们知道 这个角 p a b 是 六十度，那这个角 p a e 就 应该是三十度，那我们就说 ef 它跟 a p 是 垂直的，也就知道这个角 a e b， 它应该是六十度， 那我们往下平移，其实我们画的是一条平行线，那这个 a e 撇 f 撇对，应该也是一个六十度，那我们有六十度。我们知道 a 撇 f a 撇 f 撇，就那个 f 撇不就等于 q 吗？那 a q 的 长是几？ a q 的 长是负二 m 对 吗？不对，正二 m， 因为 m 大 于零，那我们其实就能求出来这个 e f 等于一撇 f 撇，它应该是三分之四倍，根号三 m， 那 其实它就是个定长，那定长的话呢？它就应该符合造桥选址， 那造桥选址的话呢？我们说我们现在既然知道 e f 的 长是多少了，那其实我们就变成了求 p e 加 fa 最小， 那我们就需要把 p e 跟 fa 用到一条线上去，那这个里边的话呢？我们用什么做的啊？我们接着用的平行，两次平行就是变成了一个平四， 我们去把这个 p e f p 撇做了一个平四边形，这样我们让这个 p e 的 长等于 p 撇 f 的 长， 那我们就从 p e 加 fa 变成了 p 撇， f 加 fa 也就变成了 a p 撇最短。 那我们求了会 a p 撇的话呢，我们就需要 a 和 p 撇的坐标，那我们这里面需要求一下 p 撇的坐标是什么？那首先的话呢，我们知道这个 e 和 p 之间，它的横坐标的差值应该是那个二 m， 也就是说我的 p 撇的横坐标是在 p 的 横坐标的基础上向右接着平移二 m， 那 它的横坐标变成了 m， 那这么多旁的话，我们刚刚知道了，一撇 f 撇的长是三分之四倍，根号三，那 a 一 撇的长，它应该是三分之二倍，根号三，那也就是说， 那也就是说从 e 到 f， 它的纵坐标的差值就应该是这个三分之二倍，根号三 m， 那 从 p 到 p 撇的纵坐标的差值也应该是三分之二倍，根号三 m， 那 我们就需要求一下 p 的 纵坐标， 那我们又刚刚说过了， p a b， 它是一个等边三角形，这个 a q 的 长是二 m， 那 p f 撇的长就应该是二倍，根号三 m， 那 用二倍根号三减去三分之二倍，根号三 m， 它最后应该是三分之四倍，根号三 m， 那 我们现在就知道了，有 a 点坐标和 p p 撇点坐标了。 那我们刚刚说过，这个 p e 加 ef 加 fa 等于十二，那也就是 p 撇 f 加 fa 加 ef 是 十二，也就是 这个 ap 撇加 ef 是 十二，那 ap 撇的长，哦， ap 撇的长还没有求我们求一下 ap 撇的长 a 点是负三 m 到零， p 撇是 m 到三分之四倍，根号三 m， 那 a p 撇的长就应该是根号下十六 m 方，加上九分之四十八 m 方， 那这个地方可以稍哦不建议约一下，因为九的话你是能开放的。那我们乘一下十六乘九，然后加四十八，然后再开根号，它应该是 三分之八倍根号三 m， 所以 这就是三分之八倍根号三。 m 加上三分之四倍根号三 m 等于十二， 那也就是三分之十二倍根号三 m 等于十二，这俩一约，所以 m 就 应该等于根号三。 那我们 m 的 值出来之后，他这道题问的是小 a 的 值，那我们 m 的 值有了之后，我们其实就知道了， 它的这个 a 点和 b 点坐标就应该是 y 等于 a 倍的 x 加三倍根号三和 x 减根号三，这是我们最开始这设的交点式。然后我们再把 p 点 p 点是 负根号三等于六带进来，那我们就会知道六等于 a 乘以 二倍根号三乘以负二倍根号三，那小 a 就 应该是负的二分之一。

十八题的第二问，它的功能是控制天津的满分数，全天津十三万学生，只有十几个孩子做完，所以不要追求满分。中考数学的满分的性价比太低太低了。 我们做题的顺序呢是二十四题第一问，第二问，二十五题第一问，第二问，二十五的第一问，一定是送分题， 那么第二问，一般情况下，平时考到九十五分上下的学生，这个第二问也都能够做出来。再做二十三题的第三问，二十五题的第三问，把二十四、二十五全部做完之后，再回过头来做十八题的第二问，你一定一定要注意顺序。 呃，有几个中考满分？今年一个中考满分都没有，因为那几个就是做对就做对十八题第二问的他其他题失误了， 太可惜了。所以作为呃，我们这个段的学生，这个假期我们重点供二十四号二十五，但是要刷简单题，保持手感。我们的寒假要根据这个现实训练去训练孩子的做题时间。 这份资料，每一个学科，每一道题，我们用的时间都给大家很清楚的写了，分成了三列，最右侧上面写的两个字，熟练，写的熟练这一列，比如说数学的选填二十分钟，除了十八题的第二位，我全部做对 二十四中以上成绩的学校的要求，那么还有一列正常是我考不错的高中，我的数学的选填，除了十八题第二位是二十五分钟，那么不熟练这一列呢？如果我们的孩子现在是这个水平，一定一定 不行，我们需要向正常和向熟练呢去提升这一份重要的资料，我们呢是每一科每一道题都给大家呢去列出来了，就按照这个去练。

天津中考数学最难网格题居然可以扣分！趁寒假，我们一起来看一看第十八题，网格题的神器，塞瓦定律。简单来说，这个定律就是一个万能的平行线，做法又快又准。具体在网格题中的应用我已经写出来了，大家可以保存。而近几年的中考中啊， 二零二一二三年的网格题都可以用到。由于网格题本身难度比较大，所以只建议平时稳定在一百一十分以上的孩子下来，可以好好研究一下必胜老师总结的网格题技巧讲解，包含七大类问题以及对应的例题。建议中考想冲高分无所的孩子去看一看。领取方式，老样子，点点关注看评论！

各位同学跟家长大家好啊，今天开始给大家介绍一下啊，从二零一四年开始，咱们中考数学二十五题压轴题的一个，考察了一个知识点和题行为从为什么从二零一四年开始介绍呢？因为这一年呢，是课改了一年， 然后首先就是把物理化学变成了一个核常考，然后数学也跟着凑热闹，从二零一三年之前一直是二十六道题 删了一道题，改成现在二十五道题删了哪道题呢？将当时的一个二十一题一函数跟反比函数的结合删掉了。 然后呢，为了补偿一函数，把当时的一个实应用的应用题，就而当时考察二函数式应用变成了一个一函数式应用啊，后续考察方案比较啊，方案设计啊，包括现在咱们常见的行程问题。 但是很奇怪的是呢，咱们的二十五题这一年也做了一个，给一函数，做了一个补偿，考察一函数。然后这也是近几十年来啊，几乎是唯一的一次二十五题给图 啊，向来都没搞就这样的给图，他考察点很基础啊，就是为了呃，待定系数，求直线解数，他考察点很基础啊，利用阶梯子高干一些事。第一问呢， 这些色标都给你了， m 坐标， m 是 ef 中点，然后 ef 坐标得到 o f 跟 a e 的 直线解式，求 p。 第二问呢，就是圈 e 的 坐标没有了，因为什么？因 f 坐标不给你了， f 变成动点了。然后呢，待定一个函数去求 p 坐标。 然后最后一问呢，名义上说了啊，一个 p q 垂直 l 的 一个直线，一个线段，然后呢，提供 o q 等 p q 一个关系， 这个关系来说呢，又需要 p 的 坐标，所以呢，在不知道 m 不知道 f 的 前提下，再去求参数关系 进行坐标等同件事考察三遍，相当于呢，第一次啊，你正常放学回家。第二次呢，因为你们要用考场，需要你把学校里的东西竖向都收拾一下，大包小包提着放学回家。 然后最后一问呢，你提这些东西，路上了，遇上你们家什么姥姥奶奶什么的，买菜回去啊，你扛两颗白菜啊，再扶着你奶奶放学回家。就那么一个东西，其实质点很简单，只不过最后一问，计算量有点大，他最后呢，距离公式内部的化简， 他是一涉及到一个验证环节的一个关系，要选择合适的文件名拆掉，如果选择不好，后续计算量比较大，但质点很简单。 然后二零一五年这一年啊，其实考的也非常容易，就是一个参数的一个问题，什么问题呢 啊？动轴动区间的最值问题，然后从第一问就开始引导，第一问呢，全都给了求过最值，第二问呢 啊，再告诉你顶点的一个参数情况下去求最值。第三问呢，就保留 b 一个参数， 讨论顿轴关于 b 和 b 加三的一个位置，去设定他的一个测试情况，做相应的计算。这种题型咱们从九上接触二的函数的时候，其实就应该熟悉过 啊，都不难，他这道题计算量稍微大一些，但是参数变化几乎没有，就很平平直去的关系， 当时表达是不带图的，但是这个平时咱们的训练来说，最好从图像展示他一些增减性的变化，然后进而选择合适的解释去计算。 这道题来说呢，顶点式跟一般式啊，都可以去使用，然后尤其最后一种情况，顶点取最值的时候，顶点是还有一点优势的，然后注意最值的一个参数取舍啊。这道题是这些年来比较简单的一道题， 然后一六年这道题是有一定难度的啊，他的整体难度来说可以排到近些年的，应该是前三左右 啊。这道题其实做起来不太难，就你很好理会啊，也是含参了，然后第一问还引导你要求顶点坐标，你要想到顶点式应用，然后后续来说，顶点式还真起了一个很大的作用。 然后最后一问来说是求什么呢？他的核心呢，可以让两个思路去引导，一种是什么呢？点，关于一个一函数的对称点，坐标 这个东西非常非常重要。后续来说，咱们这些最短路径问题，经常也是通过对称将运码得到的，所以这种参数的坐标我们需要掌握他的技能，但这个计算量是非常大的。 从这引导来说是两条路，两个方法。一个方法呢，我们通过直线的关系，把它的对称演变成一个终点关系，而终点呢，又是两条直线的焦点， 通过 k 一 乘开尔得负一，我们得到直线，进而去求焦点，再利用焦点去求终点这么一条路，然后呢，再去求最后的要求了， f k 这条直线跟新跑线的连力。 还有一条路来说呢，就要把这个方法简化一下了，因为他有时候时候含餐的坐标，你再用这种双直线去连立，计算量非常大。后续南开区的一模考过一次，这个东西 很难算，所以这时候你可以把它转换成一个几何方法求坐标，这里边坐标呢，去形成一种什么呢？叫阶梯性坐标。 k 和 p 是 有直接关系的，你求出 k 和 p 和它的联系，建立一个相似，而且要相似两次。 我给他起的名叫二重相似法，通过相似转换得到 k 的 坐标，这个计算量会少很多，但是后边直线、 mk 和抛线连累的计算还是非常麻烦的。 然后当时的标答还有后续咱们讲解时候，他有一个第三种方法，或者说第二类方法， 避开 k 的 坐标，直接利用 a 的 坐标去做计算。这个计算来说是有章可循的， 二零一一年跟二零一三年都涉及到这种东西的计算，就一条千锤线和一条距离公式的线，而且他最后最好做一个顶点式的降次换元，一下计算量就几乎不存在。 但是这件事是很难想的，因为古早之后，古早的时候考这个事的时候啊，之前那学生做这个事做的也不是很好啊，偏难。这道题是挺不好写的， 你可能觉得他好理解，但你好理解的话，他的计算量非常大，像 k 的 坐标，二十五分之三十七到二十五分之十六，可能孩子有了心理比较薄弱的话，就不敢往后进行了啊，所以这道题啊，对于很多孩子想冲击高分还是有困难。 然后一七年这块其实跟一六年的那个最后的方法很接近，他也是考察顶点式的相似换元。 然后这一年呢，其实呢，漏题漏的比较厉害，因最后谣传是和平、河西、滨海这三个区建园去协助出数学，然后滨海新区的一模、二模考的都是这个知识点，顶点是降次换元。他最后拿上这个题之后，最后一问 一看，这个计算关系依旧是高四的，要把高四降下来，所以就很明显就会往滨海那个模拟卷那个方向去怀疑。 所以当时如果滨海区那个卷子做的比较完善的话，这道题容易拿下，就你能仿那个方法，这绝对不是死算硬算的，死算硬算求这都求不了啊。他用到其实就是一一年的考点，这个方法，一个高中的方法啊，像之前抛以后的高中抛线方程， 准线基点的关系，他就利用一个，这点事啊，这道题其实真不难， 然后二零一八年的知识跟一六年很像，就是知识点不难，但算起来非常复杂。他呢，也是第一问，让你去引导顶点坐标， 然后这几点坐标呢，从始至终一直贯穿下来，最后呢，他的表达式去带入一个一函数，这里边最后一问，考察什么呢？动点形成四十五度，你去建立一个等腰值， 然后这等值呢，得到一个新的一函数，是通过三垂直全等得到的，然后把那个动点的顶点坐标带到这个一函数，得到相关系，只不过后面计算量很大，而且要算两次，因为你的四十五度是双向的，左边有，右边也有。 但是这个题呢，如果你掌握一个小技能，什么呢？最后在焦点表示的时候，你能想到用伟大令理，后面计算量的负担会减轻很多啊。这是一八年的一个考点， 然后二零一九年，这个东西又是一个划时代的一个内容，从这开始之后，天津中考二十五题几乎考的都是最值计算，而且是反着考最值就已知最值的，结果倒推之前的参数坐标关系，甚至解释 啊，唯一的例外是二零二三年啊，所以这一年是一个划时代，他考察的还是胡不归。就当时胡不归对于天津的考生来说还是比较陌生的， 只是在一些十八题出现那一年，河西跟红桥，河西是一模，红桥是二模，十八题都考察互不归，然后红桥的，呃，那个和平的二模考了一个二十元啊，最后中考竟然在二十五题出来了一个互不归， 而且这个互不归呢，还需要提起系数。最后说到一个什么呢啊，到一条一函数的具体关系， 这个可能有人会选择用高中的方法点到之间距离公式也可以，但是后续啊，由咱们这个最值考察方向是含餐的，你含餐的坐标用这种高中方法 计算上是倍增的，所以不建议用它。其实就一个很简单的，四十五度的前垂线转化，等于考了醒了。两件事啊，说这道题是一个划时代的题目。

天津中考数学第十一题考察的是悬折问题，这道题的解析思路一共分三步，第一步，我们需要把悬折后对应的边和角迅速的标注清楚。 第二步，悬折后呢，会形成两个等腰三角形，我们需要把它相等的顶角、底角以及相等的边都标注清楚。 第三步，我们看看题目当中有没有旋转到一些特殊的位置，从而给我们一些特殊的边和特殊的角。最后呢，我们可以根据一些基础的知识啊，比如说勾股定律啊，这个八字模型啊，去推导出其他的边和角即可。

然后首先跟大家说明两个情况，第一个是我今天忘带耳机了，所以在收音上可能会有一些问题。 第二一个是考虑到下周就要正式开学，包括我们这周的工作安排里面还会有一些全头试听的任务，所以咱们就从之前的日更会变成周更，周更内容的话呢，还是以 前期还是以去年的题型为主，然后等到今年的节课卷子出来之后，可能会转化到今年的卷子的题型上的讲解。然后咱们今天的话呢，讲解的是和平一摸的二十五题， 这个如果是一飞冲天的话，他是七十二页，如果是水木金卷的话，他应该是在一百一十五页， 他说已知抛物线，这个里面告诉我们小 a 是 负一，也就说明他开口向下，然后 c 是 大于一， 告我们顶点与 x 轴交点，然后那给了个交点，我们就给代入，我们就可以知道零等于负一减 b 加 c， 然后我们因为有 c 的 取之范围，所以我们能知道 b 就是 c 减一 而几啊，然后括号一，他说啊，这个若 b 是 二，那我们这解式就出来了，他就应该是负 x 方加二， x 加三，就常规的一二三函数，那顶点 d 就 应该是一到四， 然后圈二，说点 p 是 线段 b d 上一点，然后给了我们 p 等于 pc， 那给了我们线段相等，一般用两点间距离公式就可以了。那我们现在需要求 p e、 c 的 坐标，那这个里面 c 点坐标就是零到三， e 点坐标就是一到零， 主要是表示一下 b p 点，那 p 点是线段 b d 上的一个点，那我需要表示一下线段 b d 的 解析式，那 b d 解析式就是 y 等于负二， x 加六， 那减 p 的 坐标就可以设为 m 的 负二， m 加六，那 p e 等于 p c， 那 就是 p e 方等于 p c 方，那 p e 方就是 m 减一的方，加上负二， m 加六的方等于 p c 方，那就是 m 方，加上负二， m 加三的方，解出来 m 等于 二，所以 p 点坐标就是二逗二。然后我们来看括号二，括号二说若 em 是 根号二， 那我们其实回顾一下题目，我会发现 e 它其实是一个定点，然后 e m 其实一个定长，那其实这个里面含着一个定点定长，所以 我们就会比如说我们知道点 e 的 坐标，然后这有一个，然后有一个， 有一个这样的一个圆，然后点 m 就 在这个圆上，然后还有一个点 b， 然后去旋转，那这个里面的话，我们可以先把点 e 和点 b 的 坐标求一下，我们回忆一下，在这个位置我们是求过 b 和 c 的 关系的， 那这个解析式就是 y 等于负 x 方，加上 c 减一倍的 x 加 c， 然后它就可以写成负的 x 加一，然后乘以 x 减 c， 那 我们其实就可以知道 b 点坐标，它应该是 c 负零，然后 e 点坐标，它应该是二分之 c 减一负零， 然后我们这个里面来接着画啊，我们说随便取一个点 m 吧， 然后他说连接 b m， 然后将线段 b m 绕点 m 逆时针旋转九十度，得到 m n， 然后再连接 b n， 画的这个好直啊，我们去观察一下的话，其实我们会知道这个 m b n， 它应该是一个等腰直角三角形，那其实这个角 m b n 就 应该是一个四十五度， 然后我们就会发现 b m 和 b n 的 比值一定是一比根号二， 所以它现在又是一个形成了一个。什么形成了一个刮痘原理，就是说点 m 在 以点 e 为圆心的一个圆上运动，然后跟它形成四十五度的夹角，有一个点 n， 然后这个点 n 也绕着一个点进行一个 圆的轨迹运动，那我们就要找一下这个 n 点的圆心，对不对？那我们刚刚说过了，这个 b m 和 b n 的 比值是一比根号二，那现在这个 b e 核心的这个 呃点 b 和圆心之间的比值应该也是一个一比根号二。所以我们围绕着 b e 进行，又再做一次，一次那个等腰直角三角形， 然后这个点圆心的话，我们叫它 f 吧。所以点 n 就 在以 f 为圆心的半径上运动， 大概是这样的啊，大概是这个样子的，然后呢这个 n 就 在这个圆上进行一个运动，然后他当时说的是 e n 取最大值，那你 e n 取最大值的话，那这个点 n 是 不是应该通到上边来？ 大概是这个位置才是最大值，然后他说 m 落在抛物线上，那我们肯定要求 m 的 坐标，然后往抛物线里带入，对不对？那我们求 m 的 坐标之前，我们需要先求一下 n 的 坐标。首先我们刚说过，这个 e 的 这个圆，它的半径是根号二，那么 f 这个圆，它的半径应该是二，因为是一比根号二的关系嘛，那也就说 fn 的 长我就知道了。那我现在需要求一下 e n 的 长， e f 的 长，那我们又知道 e f 跟 e b 相等， 那就应该是二分之 c 加一，所以 e n 的 场就应该是二分之 c 加一，然后再加上二，也就是二分之 c 加五，那我们就知道 n 的 坐标就应该是二分之 c 减一。逗，二分之 c 加五， 然后那我们说这个 n 已经有了，那我们现在该求 m 的 坐标了。我们又知道 b m n 在 刚开始的时候说过 b m n， 它是一个等腰直角三角形，所以我们现在要新画的这个也应该是一个等腰直角三角形， 那我们说那个你去画，你直接去画等腰纸，可能没有那么方便，我可以先怎么样？我们可以先画一个大个的等腰纸，但是我现在这个画幅啊，已经有点不太支撑我去画了。大概的意思是这样的， 就是我们这叫 n 撇吧，如果这个 b n b 撇， b n n 撇是一个大个的等腰值的话，那我们做一个中垂线， 那这个位置是不是就是 m 的 坐标了？那我们就需要求 n 和 n 撇，然后去求求终点 m 的 坐标，那我们刚刚 n 已经知道了，对吗？那我们现在需要求一下 n 撇的坐标，那等腰值，等腰值一定是一线三垂直， 然后这个三角形和这个三角形它应该是相等的，我们会知道这段长它就应该是二分之 c 加一，所以这段长它就是二分之 c 加一， 所以点 n 的 纵作点 n 撇的纵坐标就应该是负的二分之 c 加一， 然后这段长就应该是这个二分之 c 加五，所以这段长就是二分之 c 加五，那所以他的横坐标就是 二分之 c 减五，那我们 n 和 n 撇都有了，那我们就可以求一下 m 的 坐标了，那 m 的 坐标就是两个式子相加，然后除以二，那就应该是 二分之 c 减三等于一，那我们 m 的 坐标有了之后，它就可以往刚刚那个解析式里面代入了， 代入之后我们就能算出来 c 它应该等于二倍根号二减一。

大家好，嗯，近期啊。嗯，在上课的过程中，还有一部分家长在聊天的过程中，嗯，很多学生他提到他自己的目标分数是 一百一十三啊，一百一十四，他并不是想考，呃，一百一十八，所以他现在要放弃什么呢？啊？他要放弃的是十八题的第二问，这个二分，还有二十五题， 最后一问这个四分，剩下还有一百一十四。所以他对他来讲，二次函数压轴的分类 核心点不在第三问啊，不是逆等线，不是这个造桥选址，而是第二问考察什么。那么针对这个需求，我们将近五年天津的中考卷以及一百二十多道模拟卷 给他重新汇总，然后放入题库，然后根据第二文的考察点又重新分了类。你说这个分类是以第二文的考察点分类的， 那比如说咱们常考的，呃，铅锤高啊，这个问题啊，有铅锤，铅锤直的线，呃，线段的最值啊，面积的最值。还有这个，呃，简单的，有时候在第二文里边考一个将军印码， 然后还有一些，比如告诉你 pa 等于 pm， 让你求一个参数的取值啊等等啊。我们呢，首先是再强调一遍，这里边提量是一百二十多道，但是每一道都是天津近五年的模拟卷， 然后都是天津真题，然后呢，我们就是拿着它去分类的，比如说有的时候这个二次函数里边还有别的考察方向，天津没考我们，我们并没有给他设计。不是说这种老多什么面向全国的呀， 天津你爱考不考，这个全国真考我就，我就放到里边了。嗯，不是那种，我们的考察方向是针对于天津的，我们的题每道题是来自于天津的。 那大家这个你的中考成绩是冲击一百一十四的同学可以选择这个第二问版本的两问版本的这个函数压轴题。