冀教版八下数学平面几何知识点

一张图搞定全部知识点下集！大家好，我是吴老师，今天我们继续来聊两个知识点。首先看点到坐标轴的距离与点的坐标之间的关系， 找到点 a， 点 a， 坐标四，三，点 a 到 x 轴的距离就是线段 a、 m 的长，我们数一下，格是三，那么看一下的坐标，点 a 的纵坐标是三。嗯，我们再来看点 c， 点 c 的坐标负四负三，它到 x 轴的距离是三，那么是它重坐标的绝对值。我们来看点 h， 点 h 到 x 的距离是线段 o， h 的长度是三，也是他众坐标的绝对值。那么对于任意一点 p， m、 n， 那么他到 s 的距离就等于他众坐标的绝对值。 我们来研究点到 y 轴的距离，找到点 d， 点 d 到 y 轴的距离就是线段 d、 n 的长，我们数一下，格是四个， 那么它的横坐标是负四，很显然是它横坐标的绝对值。来找到点 m， d， m 到 y 轴的距离是四，它的横坐标是四， 所以对于任意点 p 到 y 轴的距离就等于它横坐标的绝对值。 那么对于一点到圆点的距离呢？我们来研究一下啊。点 c 到圆点的距离 c、 o 的长， 我们需要构成一个直角三角形啊。有点 c 向 y 轴做垂线，与 y 轴一起构成一个 r、 t 三角形， 那么 c、 h 的长，也就是点 c 到 y 轴的距离是等于它横坐标的绝对值，也是等于四。 那么 o， h 的长是跟 c q 的长是相等的，也就是点 c 到 x 的距离 等于它纵坐标的绝对值等于三。利用勾股定理，我们可以知道 c、 o 的长呢，是等于五的， 那么对于任意一点 p 到远点的距离，它就等于横根号下横坐标的平方加上纵坐标的平方。 我们来看第二个知识点，坐标系中任意两点之间的距离。我们先来研究一下特殊的。 首先我们看平行于 s 轴或者在 s 轴上的线段长，跟坐标有什么关系？找到 d a， 那么线段 d a， 它是平行于 s 轴的，来看一下它的长度， 我们数格数一下它是等于八的。来看一下跟两点坐标有什么关系呢？点 d 的横坐标负四点一的横坐标是四，很显然是横坐标差的绝对值。 找到 q m 线段 q m 是在 x 轴上，那么它们的距离 是等于八的，也就是线段长 q m 是等于八，很显然也是它横坐标差的绝对值。 所以呢，对于平行于 s 轴或在 s 轴上的线段长啊，等于两端点横坐标差的绝对值，我们来研 就平行于 y 轴或在 y 轴上的线段的长。找到 a b， 那么线段 a b 它是平行于 y 轴的，那么它们的长度数格数一下是等于六，看一下和它坐标的有什么关系，很显然是它们纵坐标差的绝对值。 找到 n h 线段 n h 是在 y 轴上的，那么它的长度我们数格数一下是六，那么跟它坐标的关系来看一下，很显然是重坐标差的绝对值。 所以平行于 y 轴或在 y 轴上的线段的长，等于两端点纵 坐标叉的绝对值。 那么对于 a c 这样的啊，既不平行于 i 轴，也不平行于 y 轴，那么它的长度怎么长呢？啊？刚才在上一个知识点中我们已经介绍了过，我们要 让它呢构成了 r t 三角形，利用勾股定理来找到来看一下 点 c 到点 b 的距离啊，就是 c， b 的长是等于横坐标的绝对值，是等于八， a， b 的长呢是等于六。根据购定理可以知道 a， c 的长呢是等于十。 那么 a e， c 的长跟它的坐标点 a 和点 c 的坐标有什么关系呢？ 来看一下 c b c b 场 是等于它横坐标的差的绝对值， a， b 的长是等于它正坐标差的绝对值。所以啊， a c 的长就等于根号下 a， b 的平方加上 b， c 的平方 来看这对任意亮点 a b， 那么 a， b 的长就等于根号下横坐标长 差的平方加上纵坐标差的平方。那有同学说了，你刚才不说绝对值吗？怎么变成括号了呢？啊，他们的结果是一样的啊，这样会更方便一些。 到现在为止呢，关于平面直角坐标系的知识点呢，就介绍到这里，接下来呢，我们会进行平面直角坐标系应用的讲解，请大家持续关注哦。

对于轴对称图形我们已经很熟悉了，那么在平面直角坐标系中，分别以 x 轴和外轴为对称轴时，对称点的坐标之间有着怎样的联系呢？我们一起来探究探究。 点 a、 b、 c。 在平面直角坐标系中，且他们的坐标如表所示，请先求出他们关于 x 轴和外轴对称的点的坐标，再找找每对对称点之间的规律。 先做点 a。 关于 x 轴对称的点 a 一。看图可知，点 a 一的横坐标为一，纵坐标为负二，即点 a 一的坐标为一，负二，再做点 a。 关于外轴对称的点 a 二，点 a 二的横坐标为负一，纵坐标为 二，即点 a 二的坐标为负一、二，接着坐点 b。 关于 x 轴对称的点 b 一。点 b 一的横坐标为负二，纵坐标为负三，即点 b。 一的坐标为负二、负三，再做点 b。 关于外轴对称的点 b 二、 点 b， 二的横坐标为二，纵坐标为三，即点 b 二的坐标为二、三， 然后做点 c。 关于 x 轴对称的点 c 一、点 c 一的横坐标为负三，纵坐标为一，即点 c 一的坐标为负三一， 再做点 c。 关于外轴对称的点 c 二，点 c 二的横坐标为三，纵坐标为负一，即点 c 二的坐标为三。负一对称点的坐标 已经求出来了，把它们填入表中。先比较关于 x 轴对称的坐标，与已知点的坐标相比，不难发现，他们与已知点的横坐标都相等，与已知点的纵坐标都互为相反数。 再来看看关于外轴对称的坐标，与已知点的坐标相比，他们与已知点的横坐标都互为相反数，与已知点的纵坐标都相等。 由此可知，在平面直角坐标系中，已支点关于 x 轴对称对称点的横坐标相等，纵坐标互为相反数。 已知点关于外轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相等，用点表示为已知点 p 的坐标为 x、 y， 它关于 x 轴对称对称点的坐标为 p 一 x 负 y， 它关于 y 轴对称对称点的坐标为 p 二负 x、 y。 知道了这么重要的知识点，赶紧来做道题练习练习吧！ 三角形 a、 b、 c 的三个顶点的坐标分别为， a 负二四 b 负四、一 c 负一一， 分别画出三角形 a、 b、 c。 关于 x 轴和外轴对称的图形，关于 x 轴对称对称点的横坐标相等，纵坐标互为相反数。根据这个规律，先求出点 a、 b、 c。 关于 x 轴对称的点 a 一、 b 一、 c 一的坐标， 即 a 一负二负四， b 一负四负一， c 一负一负一。接 者在坐标轴上描点，然后连线三角形 a 一、 b 一、 c 一，就是三角形 a、 b、 c。 关于 x 轴对称的图形， 关于外轴对称对称点的横坐标互为相反数，纵坐标相等。先分别求出点 a、 b、 c。 关于外轴对称的点 a 二、 b 二、 c 二的坐标， 然后秒点连线三角形 a 二、 b 二、 c 二，就是三角形 a、 b、 c。 关于外轴对称的图形。搞定， 最后来总结一下吧！在平面直角坐标系中，已知点关于 x 轴对称对称点的横坐标相等，纵坐标互为相反数。已知点关于外轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相等，用点表示为 已知点 p 的坐标为 x y。 关于 x 轴对称对称点的坐标为 p 一、 x 负 y 关于 y 轴对称对称点的坐标为 p 二负 x y 画已知图形。关于 x 轴和外轴对称的图形时，先根据点的坐标求出对称点的坐标，然后秒点连线就能求出对称图形了。喜欢就点个关注吧！

大家好，我是吴老师，一张图搞定全部知识点，上级，这是一个平面直角坐标系，它是由有公共圆点且互相垂直的两条竖轴构成的。 今天我们完成两个知识点，首先找点的坐标来看点 a， 那么如何找呢？他的方法是这样的， 从点 a 分别向 x 轴和 y 轴做垂线，垂足，在 x 轴上对应点表示的数四就是他的横坐标。 垂竹在 y 轴上对应点表示的数三就是他的重坐标，所以点一的坐标是数三。 再来看一个点膝，跟我一块来叙述一下。从点膝分别向 s 轴， y 轴做垂线， 垂足，在 x 轴上对应点表示的数负四就是它的横坐标。 垂如在 y 轴上对应点表示的数负三就是它的纵坐标，所以典型的坐标就是负四负三。 我们来看一下这些垂足的坐标。来看 d m， d m 就在 x 轴上，它表示的数呢是四，所以它的横坐标就是四，那么纵坐标呢？来看向 y 轴做垂线， 那么大家知道 s 和 y 轴是互相垂直的，那么垂直就是点 o 啊，它的坐标呢，对应的数呢是零，所以点 m 的坐标就是特和。还看点 n， 他在 y 轴上，那么像 x 轴做垂线垂足，对应的点是点 o， 对应的数呢是零，所以他的横坐标是零，纵坐标就是三零三点 q 的，你知道了吗？ 对啦，这个坐标就是负四，零点 h 的呢？零负三。很好，我们来看第二知识点，给坐标描点，在坐标系当中描出点 b 和点。 我们来看一下点 b 的坐标是四负三，四是横坐标，所以我们找到 x 轴上的四，这一点，向 x 轴做垂线， 负三是纵坐标，我们在 y 轴上找到负三向 y 轴做垂线，两垂线的焦点就是写地来点地，你会找了吗？我们来看一下 它的坐标是负四三，那么负四是横坐标，我们到哪里去找啊？对了，到 x 轴上去找负四向 x 轴做垂线，三是纵坐 表，我们到 y 轴上去找三向 y 轴做垂线，两垂线的交点就是点地，你会了吗？

大家好，我是吴老师，今天我们来聊用坐标表示物体的位置，教你两种方法哟， 他是已知帅和马的位置，让你求兵的位置。首先呢，我们把已知点的坐标呢标在图上，我们来看。方法一，平移， 我们找到离冰近的帅，我们从帅这移到呢冰处，看看怎么移呢？我们可以先向左移动 两个单位长度，再向上移动三个单位长度到达冰处，那么冰的 横坐标就由帅的横坐标负一，向左移动两个单位长度，那就是减二等于负三， 兵的纵坐标由帅的纵坐标负二向上移动三个单位长度就是加三等于一，所以兵的位置位于负三一， 我看方法二，还原坐标系，我们还是以帅为例来说，只要你会数数，我们就能够还原坐标系，来看一下到底怎么来还原。 帅的横坐标是负一，我们往零上去数。横坐标负一，往零上去 倍数，那么我是由帅的位置向右移动一个单位长度得到呢？ x 等于零，那么 x 等于零呢？这一点它是在 y 轴上，所以我们做图 y 轴 来再看帅的纵坐标负二还是往零上数，我们往哪个方向数呢？ 他是纵坐标是负二，我们要到 y 等于零的上，所以呢，我们是向上数两格，负一，零在这里，这是 y 等于零， 那么这一点在 x 轴上，所以我们把 x 轴画出来，它们的焦点就是圆点 o， 这样坐标系就还原了， 我们找到冰的位置，很容易就找到它的坐标是负三一，这两种方法你喜欢哪一种呢？

大家好，我是吴老师，今天我们来聊平面直角坐标系的应用。象限与不等式。已知点 p 在第二象限内，求 a 的取值范围，并在竖轴上表示 已知条件呢？是点 p 在第二象限。我们知道第二象限内，点坐标的特点是横坐标是负的，纵坐标是正的，所以我们可以列出不等式， 横坐标 a 减一小于零，纵坐标二 a 加二大于零，解除不等式组解得 a 大于负一小于一， 要求在竖轴上进行表示。我们画出竖轴，这里大家一定要注意哦，竖轴的三要素不要丢了，一定要注意，单位长度一定要统一，要一般长啊。 好，我们接下来把点在竖轴上描一下，涉及到的是负一和一， 没有等于，所以我们用空虚圈把它们画出来， a 在负一和一之间我们划一下，这就是正确答案了，感谢大家的聆听，下次见。

初二的家长是不是在为孩子的几何在头疼呢？接下来几期我讲讲初中几何的底层逻辑。如果我们把初中平面几何比喻成社会，那么我们研究这个社会从哪里入手？应该从基本单位入手吧， 研究各个家庭，家庭成员，家庭与家庭之间的关系。初中平面几何包括三角形、圆等，他们独立存在，但又紧密联系。 在这三大图形当中，三角形它处于核心和基石的位置。我们研究三角形，其实就是研究三角形组成因素，点、线、角以及三角形与三角形之间的关系，也就是初二几何当中的全等三角形。 反过来，点、线、角只有在以上三个图形中表现，他才能表现出他特有的性质。我们研究三角形与三角形之间的关系，就是研究两个三角形之间线角点等关系。你们懂了吗？ 我会把初中几何的底层思维逻辑做成一个系列，大家喜欢的话可以点赞、收藏或者关注我，谢谢！

以上五点结论是我关于这个图形的一些研究，希望对大家的学习有帮助。 大家好，今天我跟大家分享一下我关于这个图形的一些发现。这是一个锐角三角形，其中角 a 等于六十度 点， o 是 它的外星点， i 是 它的内星点 h 是 它的垂星，外星就是外结圆的圆星。三条角，三条边的中垂线的焦点， 内星就是三条角平分线的焦点，垂星就是三条高的焦点。 有这样一些的性质，首先连接外星和垂星， 假设这是 d 点，这是 e 点。 第一条性质，三角形 a、 d、 e 为等边三角形， 证明只需要证明一个角是六十度就行了。首先我们要发现一下，角 b、 o、 c。 角 b、 o、 c 是 圆周角，圆形角角 b、 a、 c 是 圆周角，是六十度，所以角 b、 o、 c 等于一百二十度。 再连接角 b、 i、 c 和角 b、 h、 c。 首先角 b、 h、 c。 由于垂心的张角定力， 这是一个三角形的垂心。我在以前的视频里面讲过，这个角它是等于一百八十减凹法，因为它这个对顶角，对顶角相等，然后这个对角互补都是九十度，所以这两个互补，所以这两个互补。 在这里 alpha 等于六十度，所以说角 b、 h、 c 等于一百二十度，所以说 b、 o、 h、 c 四点是共圆的。因为角 b、 o、 c 等于角 b、 h、 c。 而因为 b、 o 等于 b、 o、 c。 点 o 是 圆心，所以 b、 o 等于 o， c 等于 r。 顶角是一百二十度，所以说这个角是三十度。由于 b、 o、 h、 c 四点共圆，所以说这个角是三十度，这个角 b、 h、 o 等于三十度，因为它是等于角 b、 c、 o。 这个是同弧所对圆周角， 然后再延长 b、 h。 由于点 h 是 垂心，所以说 b、 h 是 它的高线，所以这里垂直。这个是三十度。这个角 b、 h、 o 是 三十度，所以对顶角，这个也是三十度。 假设这个点是 f 角 e、 h f 等于三十度。对顶角， 所以说这个角 d、 e、 f d e、 f， 它是等于六十度。九十度减三十度等于六十度。所以说三角形 a、 d、 e 为等边三角形，因为有两个角是六十度， 这是第一个结论。第二个结论， a、 i 为 d、 e 的 中垂线， 连接 a i 并延长。 因为三角形 a、 d、 e 是 等边三角形，而 i 是 三角形 a、 b、 c 的 内心，所以说这是角平分线，这两个角相等。由于三线合一，可以知道 a、 i 垂直于 d e， 且 a、 i 平分 d、 e， 所以 说 a、 i 是 d、 e 的 中垂线。 第三点， d、 o 等于 e、 h， 也就是说这条线段等于这条线段。我们连接这两个， 如果能证明这个角等于这个角，这两个角相等，那么就可以证明这两个三角形是全等的，也就可以证明 d、 o 等于 e、 h。 假设这个角是 l 法，因为 a、 o 等于 b o， 这是外星。 a、 o 等于 b o 都等于 r， 所以 这个也是 l 法。 在三角形 a、 o、 b 中，这个角就是一百八十减二 l 法。因为角 a、 o、 b 是 角 a、 c、 b 的 两倍，它是圆周角和圆心角，所以角 a、 c、 b 等于二分之一一百八十度减二分之 l 法。 一百二十减二 l 法。这是九十度减 l 法。 然后再延长 a、 h。 因为 h 点是垂心，所以说 a、 h 垂直于 b、 c 的 这个角 a、 c、 b 等于九十度减二 l 法，九十度减 l 法。在这个直角三角形中，这个角就是 l 法。因为这两个是互余的，所以说这两个角的确相等， 于是就可以用边角边角判定。三角形 a， d、 o 全等于三角形 a、 e、 h 这两个角相等，这两条边相等 a， d 等于 a， e。 然后角 a， d， e 等于角 a， e， d 等于六十度，所以说这两个三角形全等 d， o 就 等于 e、 h。 第四个结论， b、 o， i、 h、 c 共圆，五点共圆。我们已经证明了 b、 o、 h、 c 四点共圆。 角 b， i、 c。 由于点 i 是 它的内心，所以说角 b， i、 c。 在 这里画个三角形 作它三条角平分线，这两个是 alpha， 这两个是 beta， 这两个是 c theta， 则这个角跟这个角的关系。 由于三角形内角和为一百八，所以说二 alpha 加二， beta 加二 c， theta 等于一百八， alpha 加 beta 等于加 c， theta 等于九十度。 而左边这个角角一和角二角一是等于 alpha 加 beta， 角二是等于 alpha 加 ceta， 所以 说角一加角二是等于 alpha。 二 alpha 加 beta 加 ceta。 提出一个 alpha 加 beta 加 c 等于 alpha， 加上九十度，所以这一个角这个长角是等于九十度加它的一半的。因为 alpha 是 这个 l 二 alpha 的 一半， 所以在这里面点 a 是 内心。角 b， i， c 等于九十度，加二分之一被的角 a， 角 a 是 六十度，就是九十度，加三十度等于一百二十度，所以这个角也是一百二十度。 角 bo， c 等于角 b， i， c 等于角 b， h， c 等于一百二十度，这三个角都是一百二十度，所以说这五点是共圆的。 第五个结论就是连接 o i 和 h i， o， i 等于 h i。 第四问已经证明了这五个点是共圆的，所以说 b o， i、 h 这四个点是共圆的。先不考虑这个 c 点， 要证明 o i 等于 h i， 那 就是要证明这个弧 o i 等于弧 h i 也就要证明这个角一等于角二。 而因为 b i 是 角平分线，角 a b c 的 角平分线，所以说就是要证明这个角等于这个角都等于 alpha。 因为如果可以证明这是 alpha 的 话，那么 alpha 加角一就等于 alpha 加角二，所以角一就等于角二，就可以证明这两个相等。 要证明这个是 l 法，那倒个角就行了。我们已经证明这个是 l 法，而这个是垂直，这也是垂直，所以说这两个角相等，这个是 l 法，这个是九十度减 l 法，这个对顶过来也是九十度减 l 法， 所以这个就是 l 法，跟它互余这两个角相等，然后这两个角又相等，所以说角一等于角二。第五点就证明了 以上五点。以上五点结论是我关于这个图形的一些研究，希望对大家的学习有帮助。

大家好，我是吴老师，今天我们聊的内容是平面直角坐标系与直角三角形。 具体的题目是这样的，一艘轮船从港口欧出发，以十五海里美食的速度沿北偏东六十度的方向航行，四小时后到达 a 处，此时观测到其正西方向五十海里处有一座小岛壁， 若以港口 o 为坐标原点，正东方向为 s 轴的正方向，正北方向为 y 轴的正方向， 一海里为一个单位长度，建立平面直角坐标系。如图，则小岛币所在位置的坐标是。我们把小岛币啊当成是点币 来进行处理，我们把相关信息在图上标一下，北偏东六十度方向，从点 o 到达点 a， 用时四小时，速度是十五，所以 o a 的长就是十五乘以四，等于六十。 小倒 b 是在点 a 的正 c 方向，我们把正 c 方向划一下，我们设这个正 c 方向与正北方向的焦点是 m， 他们时间是互相垂直的，所要求的是小倒 b 所在的位置的坐标。 那么要想找到点 b 的坐标，就必须知道点 b 到 x 轴和 y 轴的距离。我们来看图，我们只知道 a b 是等 等于五十，只能确定它是在射线 a m 上，至于它是在第一相线还是在第二相线，我们不确定，所以我们一定要找到线段 a m 的长。 目光放到图上来，在 r t 三角形 o a m 中，这角是等于六十度，所以角 a 呢，是等于三十度。 利用直角三角形的性质，三十度角所对的直角边等于斜边的一半，所以 o m 就等于三十。利用勾股定理可以求出 a m 是等于三十倍的杠号三， 那么点 b 到底是在线段 a m 上，还是在线段 a m 的延长线上？ 那我们就需要比较一下 a m 和 a b 的大小了，也就是要比着三十倍的根二三与五十的大小 比较，他们两个呢，我们利用平方就可以了，三十倍的根号三的完全平方是等于两千七，五十的平方是等于两千五，很显然，三十倍的根号三要大于五十，也就是 am 的长大于 a b 的长，所以我们确定点 b 是在线段 a m 上， 我设点 b 啊的位置在这里。接下来呢，我们就找点 b 到 x 轴和 y 轴的距离。点 b 到 x 轴的距离很显然是等于 o m 的长等于三十，那么 它到 y 轴的距离很显然就是线段 b m 的长，也就是 a m 减去 a b 的长，结果是三十倍的杠二三减去五十， 确定了点 b 到 x 轴和 y 轴距离。根据他在第一象限，横纵坐标都是正的，那么他的坐标就出来了， 点臂的横坐标就是点臂倒歪轴的距离。 三十倍的根号三减五十，那么点 b 的纵坐标是点 b 到 x 的距离就是三十，所以答案就是 a， 你明白了吗？