圆柱体积公式应用

同学们好，今天我们接着预习六年级下册的第三单元，求圆柱的体积。在没有求它的体积之前，我们首先要知道圆柱的体积公式是什么？ v 等于 s h， s 代表的是它的底面积，也就是下方的圆的面积。圆的面积公式又可以写成 pi r 的 平方，所以它还等于 pi r 的 平方，乘以 h， h 就 相当于这个圆柱的高。 好，再看这道题目，圆柱的半径给我们了，是二，它的高是十，所以我就可以直接代公式了。 所以 v 等于 pi r 的 平方， h 就 等于三点一四。乘以 r 等于多少是二，所以乘以二的平方，再乘以高，高是十， 所以它就等于四十。乘以三点一四，也就等于一百二十五点六。单位是 厘米，所以说我们要写成立方厘米，因为它是体积单位，所以要带立方。所以像这样的圆柱的体积公式你要记清楚的情况下，下面的就比较好做了。假设给你一条直径的，我们也是先求出它的半 径。假设给你的是圆柱的底面周长，我们依然可以先求出半径，再求出它的面积。所以圆柱的体积你学会了吗？

学透支点，才会举一反三。大家好，我是佳佳老师，今天我们来学习圆柱的体积。首先来回顾一下什么是体积。物体所占空间的大小叫做物体的体积。物体所占的空间越大，它的体积越大。物体所占的空间越小，它的体积越小。 常用的体积单位，立方厘米、立方分米。那什么是容积呢？像太空舱、粮仓、油桶、盒子等 所能容纳物体的体积叫做它们的容积。而计量液体的体积，常用容积单位，升和毫升。 例如一桶油是五升，一盒牛奶是二百五十毫升，它们之间的进率是一千。再来回顾一下长方体和正方体的体积公式。长方体由一个顶点引出的三条棱，分别叫做长、宽和高。 常用字母 a 表示，宽用字母 b 表示，高用字母 h 表示。那长方体的体积就等于长乘宽乘高用字母表示 v 等于 a 乘 b 乘 h。 而正方体每条棱我们都称它为棱。长 用字母 a 表示，那正方体的体积等于棱。长乘棱，长乘棱，长用字母表示 v 等于 a 的 三次方，也就是 a 乘 a 乘 a， 可以 写成 a 的 三次方。那它们还有一个统一的体积公式， 底面积乘高， v 等于 s h， s 指的是底面积， h 指的是高。那我们来推导一下圆柱的体积，它的方法跟当时推导原面积公式的方法是一样的。我们先来回顾一下 当时推导圆的面积时，是把一个圆平均分成若干个小扇形，然后交叉拼起来，拼成一个近似的长方形，分的分数越多，他就越接近于一个长方形。那长方形的长等于圆的哪一部分呢？它等于圆周长的一半， 所以用 pi r 来表示。长方形的宽是圆的半径，用 r 来表示，那圆的面积就等于拼成长方形的面积等于长乘宽，所以得到了圆的面积等于 pi r 乘 r， 也就是 pi r 的 平方是这样推导出来的。那圆柱体积推导的方法跟它一样，将一个圆柱的底面分成许多小扇形，然后将它切开， 拼成一个近似的长方体。分成的扇形越多，拼成的立体图形就越接近于长方体，所以圆柱的体积就等于拼成的长方体的体积。 那我们看一下它们之间有什么关系。长方体的高等于圆柱的高，它们的高是一样的。那长方体的底面积和圆柱的底面积呢？相等吗？ 我们可以观察上面这两个面，这边是一个圆，分成了许多小扇形，这边是一个长方形，让我们联想到了上面的图形。圆的面积和长方形的面积是相等的， 所以圆柱和长方体，他们的底面积也是相等的。那我们知道长方体的体积等于底面积乘高， 它们的高是相等的，底面积也是相等的，体积也相等，所以圆柱的体积就等于底面积乘高。用字母表示 v 等于 s h， 这样就推出了圆柱的体积公式，用底面积乘高。圆柱的底面积是 pi r 的 平方，所以圆柱的体积也等于 pi r 的 平方 h。 我 们刚才推导出了圆柱的体积公式，等于底面积乘高。再根据这个图形来推导一下 拼成的长方体跟圆柱之间的关系。首先他们的高是相等的，底面积是相等的，体积也是相等的，那长方体的长跟圆柱有什么关系？应该等于圆柱底面圆周长的一半，用派 r 来表示， 这是得到了长方体的长与圆柱的关系。再来看长方体的宽等于圆柱底面半径，用 r 来表示， 那长方体的前面呢？跟圆柱什么关系？长方体的前面是蓝色这一部分，那放在圆柱中呢？应该等于圆柱侧面积的一半。 这个知识点我们也要清楚，那他们的体积是相等的，表面积有什么关系呢？也就是长方体的表面积跟圆柱的表面积相比有什么变化？我们来对比一下。 长方体的上面等于圆柱的上底面，长方体的下面等于圆柱的下底面，那长方体的前面呢？刚才说了，它等于圆柱侧面积的一半， 所以长方体的后面也等于圆柱的侧面加长方体的后面。长方体的上下前后。分析完了 这四个面的面积和刚好等于圆柱的表面积，那长方体还有两个面没有分析， 左面和右面，那很明显，拼成长方形的表面积要比圆柱的表面积大多了左右两个面，那左右这两个面是两个长方形，我们看这个长方形面积怎么算？用半径乘高， 所以我们说长方体的表面积比圆柱多了左右两个长方形，所以增加的面积就等于半径乘高再乘二。也就是把一个圆柱拼成近似的长方体，它的表面积会增加，增加了左右这两个面， 那么增加的面积就等于半径乘高再乘二。所以这个图形考察的知识点有很多，我们再来总结一下。首先想一下他们的什么是相等的？体积相等，高相等，底面积相等， 所以圆柱的体积等于长方体的体积等于底面积乘高。再想它们各部分之间的关系，长方体的长等于圆柱底面圆周长的一半。用 pi r 来表示。长方体的宽等于圆柱底面半径，用 r 来表示 高，就是圆柱的高，用 h 来表示，长方体的前面等于圆柱侧面积的一半，那同样，长方体的后面也等于圆柱侧面积的一半。最后就是表面积之间的关系，拼成长方形的表面积要比圆柱的表面积大多了。左右两个面 怎么算呢？用半径乘高，因为多了两个面。怎么算呢？用半径乘高，因为多了二。那今天的内容就讲完了，你学会了吗？

大家好，今天讲人教版六年级数学下册二十五页，我们来看例六，下图中的杯子能不能装下两袋这样的牛奶， 数据呢是从杯子里面测量得到的，我们想要知道这个水杯能不能装下两袋牛奶。首先呢第一步我们得算出来水杯的一个容积， 那么什么是容积呢？就是指的这个容器它所能容纳物体的一个体积，因为我们是从杯子里面测量的，所以里面的这个体积就是它的容积。 第二步我们要算出来两袋牛奶它的体积，然后呢第三步呢，我们要比大小，在比大小的时候，我们要进行一个统一之后才能比大小，那么我们先来第一步，先算这个杯子的容积，我们在计算容积时呢，和体积是一样的， 也是底面积乘高，我们先来看它的直径呢是八厘米，那么它的半径呢，也就是八除以二，所以它底面积就是三点一四乘 半径的平方，通过计算等于五十点二四平方厘米，那么杯子的高是十厘米，所以它的容积呢就是五十点二四，再乘十，通过计算等于五百零二点四。 注意它是立方厘米，但是对于容积来说，我们要用容积单位，我们常用的容积单位呢就是升和毫升，但是液体我们常用升和毫升，固体和气体的时候，我们还是用立方米，立方分米和立方厘米他们之间有一个单位换算， 一升呢等于一立方分米，一毫升呢等于一立方厘米，那么我们可以推出来一升就等于一千立方厘米， 杯子的容积是五百零二点四毫升，我们算出来了，接下来我们再算两袋牛奶，两袋牛奶一袋呢是二百四十毫升，那两袋呢就是二百四十乘二等于四百八十毫升，单位一样都是毫升。我们可以比大小 杯子的容积，五百零二点四大于两袋牛奶四百八十毫升，所以呢可以装下两袋这样的牛奶。 接下来我们通过两道题来练习一下。小明和妈妈出去游玩，带了一个圆柱形的保温壶，从里面量底面直径是八厘米，高是十五厘米。如果两人游玩期间要喝一升水，那么带这壶水够喝吗？ 做题方法还是一样的，第一步，我们算出来保温壶它的容积是多少。第二步，我们和一升水进行比大小就行了。 我们算保温壶的容积时呢，还用底面积乘高，底面积呢是拍乘半径的平方半径呢就是八除以二等于四厘米，那么它的容积呢就是三点一四乘四的平方，乘高十五，通过计算等于七百五十三点六立方厘米， 我们换算一下，单位一升呢是等于一千立方厘米，七百五十三点六小于 小于一千，所以呢不够。第二题，一个圆柱形的水池，从里边量底面的半径是五米，深是三点二米，这个水池能蓄水多少吨？一立方米的水重的是一吨，那我们算出来它的体积是多少立方，那么就是多少吨。 首先我们求它的底面积，底面积呢是三点一四乘半径的平方，也就是三点一四乘五的平方， 然后我们再乘高，他的深就是他的高，所以再乘三点二，通过计算等于二百五十一点二平方米，那么一十平方米的水重一吨，所以二百五十一点二毫米就等于二百五十一点二吨。答，蓄水二百五十一点二吨。

今天我们来讲几道圆柱体积的实际问题，掌握一下做题方法。我们先看例题，下图中的杯子能不能装下两袋这样的牛奶？ 数据是从杯子里面测量得到的，杯口的直径是八厘米，高是十厘米，牛奶一袋是二百四十毫升。那我们首先要清楚这道题是想让我们求什么？问杯子能不能装下两袋这样的牛奶，那我们需要求出杯子的容积， 还需要求出两袋牛奶的体积再进行比较。如果杯子的容积大于两袋牛奶的体积，说明能装下， 那如果杯子的容积小于两袋牛奶的体积，说明不能装下。我们需要分别计算一下。先看杯子的容积，这是一个圆柱，用底面积乘高，也就是 pi r 的 平方 h， 已知直径是八厘米，我们需要先求出半径，用直径除以二。 所以第一步先求半径八除以二等于四厘米，再求杯子的容积 pi r 的 平方 h 三点一四乘四的平方乘十 等于五百零二点四立方厘米，再转化为容积单位毫升等于五百零二点四毫升。接着求两袋牛奶的体积，直接用二百四十乘二 等于四百八十毫升再进行比较。五百零二点四大于四百八十，能装下吗？说明能装下。 最后答一下这道题，关键是要理解我们要求出哪些量来进行比较，我们需要求出杯子的容积，需要求出两袋牛奶的体积再进行比较，剩下的分别计算就可以了。 我们来看两道练习题。第一题，一种内直径是一点二厘米的水龙头，打开后水的流速是二十厘米每秒， 用一个容积为一升的保温壶接水，五十秒能接满吗？想一下这道题需要我们求什么？打开水龙头，水是往外流的，问五十秒流出水的体积， 他用一升的保温壶来接水，如果五十秒流出水的体积大于一升，说明可以接满。那如果五十秒流出水的体积小于一升，说明不能接满。 所以这道题的关键就是求他，那怎么来求呢？给出了水的流速是二十厘米每秒，那我们可以先求出一秒流出水的体积， 再乘五十秒就可以了。那一秒流出水的体积怎么算呢？这个水龙头内直径是一点二厘米，说明水龙头出水的口是一个圆形，那想一下它流出的水近似于什么形状？应该近似于圆柱。 假设这就是他一秒流出的水，速度是每秒二十厘米，也就是这一段长度是二十厘米，实际上就是圆柱的高了，内直径是一点二厘米，那我们能求出一秒流出水的体积吗？ 直接用底面积乘高就可以了，所以求一秒流出水的体积，实际上就是求圆柱的体积。 用 pi r 的 平方 h 先求出半径，用直径一点二除以二等于零点六厘米， 再求出一秒的体积。三点一四乘零点六的平方，乘高度是二十厘米，等于二十二点六零八立方厘米，再乘五十，求出五十秒流出水的体积。 二十二点六零八乘五十，等于一千一百三十点四立方厘米，我们把它转化为升，再进行比较， 一点一三零四升，因为进率是一千，再和一升的保温壶进行比较，一点一三零四大于一升，所以是能接满的。 最后答一下这道题的关键是要理解，水龙头流出的水近似于圆柱，所以算流出水的体积。我们就用圆柱的体积公式 来看第二题，小雨家有六个，从里面量得底面积是三十平方厘米，高是十厘米的圆柱形水杯，沏一壶茶水，正好能倒满四杯。有一天来了六位客人，小雨沏了一壶茶水， 将这壶茶水倒入六个杯中，平均每杯倒多少毫升？那我们从问题入手，倒着来分析，要求平均每杯倒多少毫升，肯定用除法 将这壶茶水倒入六个杯中，那就用这壶茶水的体积除以六就可以了。用一壶茶水的体积除以六，可以求出平均每杯倒多少毫升。那一壶茶水的体积怎么算呢？找题上的信息， 题上说七一壶茶水正好能倒满四杯，所以一壶茶水的体积就等于四杯水的体积。 那我们用一杯水的体积乘四就可以了。那一杯水的体积怎么算呢？我们来看这个水杯，它是圆柱形水杯， 从里面量底面积是三十平方厘米，高是十厘米，那求它的体积，我们直接用底面积乘高， v 等于 s h。 所以 第一步先求出水杯的体积，用底面积乘高，三十乘十等于三百立方厘米。 第二步求一壶茶水的体积，一壶茶水能倒满四杯，三百乘四，一千二百立方厘米。第三步就是最终的问题，要倒入六个杯中，我们用一千二百除以六 等于二百立方厘米，再转化单位等于二百毫升。最后答一下，那今天的内容就讲完了，你学会了吗？

求下面各圆柱的体积。为了考察大家的思路，节约时间，我们要求只列式不计算。那么一提到圆柱的体积，脑子里面马上想，圆柱的体积公式是什么？对 v 等于 s h。 如果知道了底面积和高，就可以求出体积来看。第一小题告诉的是底面半径是三厘米，高是五厘米，你能求出圆柱的体积吗？马上想到底面积，告诉了半径，如何求底面积呢？ 对 s 等于 pi r 的 平方，所以是三点一四乘三的平方，这是底面积。底面积乘高等于体积来看。第二小题有点难，底面周长是二十五点一二分米，高是二分米，你能求出体 积吗？要求体积必须找到底面积和高，可是这里告诉的是底面周长，已知周长， 怎么能求底面积呢？对，周长除以 pi 是 直径，直径除以二是半径， pi 乘半径的平方，底面积再乘高，是不是体积？所以这道题的综合算式就是这样去列，你会了吗？

这几个常见图形的体积，有的会感觉无从下手，有的会出现计算错误，我们今天一块来分析一下。先看第一个图形， 这是一个半圆柱，也可以理解为将一个圆柱沿着直径切开，求其中一半的体积，那它应该等于圆柱的体积除以二。 要求圆柱的体积，我们就想它的体积公式，底面积乘高，然后分析题上给的条件，这里的二十厘米就是圆柱的高， 十厘米是圆柱的底面直径，那求圆柱的体积，我们用 pi r 的 平方 h， 需要先求半径，用直径除以二， 半径是五厘米。接着套公式求圆柱的体积，三点一四乘五的平方乘二十，最后需要除以二，求出图形的体积等于七十八点五乘十，等于七百八十五立方厘米。 来看第二个图形，这个图形上下底面都是圆环，外圆直径是二十厘米，内圆直径是六厘米，高度是两厘米，那求它的体积。我们同样用底面积乘高， 只是这里的底面是一个圆环，所以我们需要求出圆环的面积再乘高，就是这个图形的面积公式 派，大 r 的 平方减小 r 的 平方，需要求出大圆半径与小圆半径，那已知大圆直径是二十厘米，我们先求出大圆半径二十除以二等于十厘米， 小圆直径是六厘米，那小圆的半径用六除以二等于三厘米，再求出底面圆环的面积， 三点一四乘括号，十个平方减三个平方，等于二百八十五点七四平方厘米。最后求图形的体积，用底面积乘高 二百八十五点七四乘高度是两厘米，等于五百七十一点四八立方厘米。那第一个图形关键是要清楚它的体积等于圆柱的体积，除以二， 这里的二十厘米就是圆柱的高，十厘米是底面直径。第二个图形的体积同样是用底面积乘高，只是这里的底面是一个圆环，所以我们用圆环的面积乘高就可以了。 我们来看第三个图形，观察这个图形，它不是一个圆柱，像是把一个圆柱斜着切开了，那如何求它的体积呢？ 我们可以想办法把另一半给他拼上去，将他还原成一个圆柱，这是还原后的圆柱，也就是一和二，这两部分是完全相同的，所以这一段长度是四， 这一段长度是六，那我们只要求出大圆柱的体积，再除以二，就是这个图形的体积。要求圆柱的体积，我们用底面积乘高，已知底面半径是一点五，可以用 pi r 的 平方 h 求圆柱的体积。 那高度呢？四加六的和，所以用三点一四乘一点五的平方乘四加六的和， 这是还原后大圆柱的体积，需要再除以二，求出该物体的体积，所以最后再除以二，等于三点一四乘二，点二五乘十，再除以二等于三十五点三二五。 如果这里的长度单位是厘米，那最后的体积单位应该是立方厘米。以后再看到这种图形求体积，我们就可以把上面再拼一块相同的图形，组成一个大圆柱， 求出大圆柱的体积，再除以二，就是这个图形的体积。接着往下看，这是圆柱的展开图， 要求它的体积。我们要想圆柱的体积公式，底面积乘高用半径表示，就是 pi r 的 平方 h， 我 们需要知道半径和高才能求出圆柱的体积，那看已知条件如何求半径和高，来分析一下它的展开图。 这两个圆是圆柱的两个底面，中间的长方形是圆柱的侧面，那我们要清楚这两个量分别表示什么。 十二点五六厘米是长方形的长，它等于圆柱的底面周长。 四厘米是长方形的宽，它等于圆柱的高，那我们要求的是半径，已知周长，求半径，用周长除以 pi 除以二， 高是四厘米已知，我们可以直接代入求值。所以第一步先求半径，用周长，十二点五六除以三点一四除以二等于两厘米。再套公式求圆柱的体积，三点一四乘二的平方乘四 等于五十点二四立方厘米。再看最后一个长方形，以它的长为轴旋转可以形成圆柱。 这里我们要知道，以谁为轴谁就是高。另一边是底面半径，那既然是以长为轴旋转，所以长六厘米就是圆柱的高， 宽五厘米就是圆柱的底面半径，那求圆柱的体积，我们直接用圆柱的体积公式 pi r 的 平方 h， 底面半径是五厘米，高是六厘米，可以直接代入求值。三点一四乘五的平方乘六 等于四百七十一立方厘米。我们再来总结一下这个图形，关键是要清楚圆柱的展开图，知道十二点五六是圆柱的底面周长，四是圆柱的高， 这样才能求出半径，再求出圆柱的体积。而这个图形我们要清楚，以谁为轴谁就是高。另一边是底面半径，那今天内容就讲完了，你学会了吗？

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第三单元圆柱与圆锥的第四课，是圆柱的体积。首先大家来回忆一下什么叫体积， 对，物体所占空间的大小叫做物体的体积。那大家继续思考，以前我们学习过哪些物体的体积呢？对，学习过长方形的体积， 正方体的体积，它们的体积计算公式是什么？还记得吗？它们的体积是多少，也就是看它包含多少个这样的体积单位。 一排摆了几个，摆了这样的几排，这表示一层摆了多少个，再乘这样的几层，就是它的体积。所以长方形的体积等于长乘宽乘高。那正方体呢？ 长宽高都相等，所以我们把它叫做棱长，所以正方体的体积等于棱长乘棱长乘棱长，长乘宽，求的是长方形的底面 积。棱长乘棱长呢，那也是正方体的底面积。所以呀，长方体和正方体可以用一个统一的公式，那就是底面积乘高。那如果用字母表示就是 v 等于 s h。 那 么大家想一想， 怎样计算圆柱的体积呢？圆柱的体积是不是也等于底面积乘高呢？我们该怎么样推导它的公式呢？那大家看一下圆柱的底面是什么形状？ 对，圆形。那你回忆一下，圆的面积公式我们是怎么推到的，还记得吗？对，把圆等分成若干个小扇形，然后把它们拼在一起，拼成了一个近似的长方形。我们还发现，长方形的长 其实就等于圆的周长的一半，长方形的宽就等于圆的半径。根据长方形的面积等于长乘宽，我们推导出了圆的面积 s 等于 pi r 的 平方，能不能将圆柱转化成学过的立体图形，再计算出它的体积呢？那么就仿照圆的面积推到来看。例五，把圆柱的底面分成许多相等的扇形， 然后把圆柱切开，再像这样拼起来，就得到一个近似的长方形。认真观察， 把它等分成若干份拼在一起。为了更加近似于长方体，我们把这边平移过去， 就拼成了一个近似的长方体，我们现在把它拼成了十六份，这个弧线还比较明显，那如果我们给它等分成更多的分数呢？我们会发现分成的扇形越多，拼成的立体图形就越接近于 长方体。那么能不能根据长方体的体积推导出圆柱的体积呢？好了，接着大家来观察，把长方体与原来的圆柱比较，你能发现什么？ 我们发现长方体的这个底面积是不是就等于圆柱的底面积？长方体的这个高等于圆柱的高。那么在转化的过程中，大家继续思考，什么变了？ 什么没变？对，虽然他们的形状发生了变化，但是他们的体积并没有变化，所以形状变了， 体积不变。这就是我们数学上经常用到的数学思想方法，叫等积变形。 长方体的体积我们已经学过了呀，长方体的体积等于圆柱的体积，长方体的底面积等于圆柱的底面积。 长方体的高等于圆柱的高，所以我们推导出圆柱的体积也等于底面积乘高。那如果用 v 表示圆柱的体积， s 表示底面积， h 表示高，那么圆柱的体积计算公式怎么表示呢？对 v 等于 s h， 那 有的时候不直接告诉你底面积，比如，如果知道圆柱的底面半径 r 和高 h， 你 能写出圆柱的体积计算公式吗？ 对，那这时候要用到 v 等于 pi r 的 平方 h。 圆柱的体积公式推导啊，非常重要。孩子们，请你按下暂停键来说一遍它的推导过程，并且把这两个公式写一遍吧。 知道了圆柱的体积公式，那我们来看这道题。一个圆柱形木料底面积为七十五平方厘米，长为九十厘米，它的体积是多少？ 这个圆柱木料的长，那我们把它立起来，其实它就相当于圆柱的高。知道了底面积和高，能不能求出它的体积呢？根据位等于 s h， 所以 七十五乘九十等于六千七百五十立方厘米。注意 体积单位是立方厘米。答，它的体积是六千七百五十立方厘米。 那如果告诉圆柱的底面半径和高，你能求出圆柱的体积吗？那又该运用哪个公式呢？对 v 等于 pi r 的 平方 h 来计算。 好了，孩子们，我们来总结一下，通过这节课的学习，你有什么收获呢？首先，我们知道了圆柱体积计算公式的推导过程，并且在推导的过程当中，我们用到了一个非常重要的数学思想， 那就是转化的方法非常重要，我们把新知识转化成旧的知识来解决。在转化的过程中呢，我们还要找到图形之间的联系，更加便于进行推力。如果你也有收获，请在评论区打出六六六。

掌握知识点，做题有方向。大家好，我是小鹿老师。今天我们接着来学习圆柱的体积。上课之前，我们先来回忆一下圆柱的体积公式。 当我们知道圆柱的底面积和高之后，就可以用底面积乘高来求，用字母表示就是 v 等于 s h。 如果知道底面半径，我们就可以用 pi r 平方 h 来表示。那如果给了直径呢？ 因为半径等于直径的一半，所以我们把 r 换成二分之 d， 也就是 pi 乘括号里二分之 d 括起来的平方乘 h。 那 如果给了底面周长呢？我们要先把半径给算出来，有周长求半径的时候，应该让周长除以 pi 除以二， 也就是二 pi 分 之 c。 把 r 换成二， pi 分 之 c 后，就变成了 v 等于 pi 乘括号二 pi 分 之 c 括起来的平方 h。 这些公式我们都要会互相转化和应用，只有理解了这些公式怎么来的，做题才不会有负担。好了，我们来看书上的例六，题目中说下图中的杯子能不能装下两袋这样的牛奶？ 想一想，我们要回答这个问题，要先计算出来什么呢？杯子里容纳物体空间的大小就是容积，所以我们要先求出来杯子的容 积。容积的计算方法和体积的计算方法是相同的，二者唯一的区别就是体积是从外面量的，容积是从里面量的。 这道题题目中说明了数据是从杯子里面测量的，所以数据可以直接用杯子给了。底面直径是八厘米， 我们要先求出来底面半径，底面半径是直径的一半，所以就是八除以二等于四厘米。 有了半径之后，我们直接套体积公式 v 等于 pi r 的 平方乘 h， 把数字带入进去之后，就是三点一四乘四的平方乘十， 求出来是五百零二点四毫升。再来看牛奶的体积，牛奶一袋是二百四十毫升，题目中说是否能放两袋，所以我们要先求出来两袋牛奶的体积， 一袋是二百四十，那两袋就是二百四十乘二，求出来是四百八十毫升。 因为杯子的容积五百零二点四，大于牛奶的体积四百八十，所以杯子能装下两袋这样的牛奶。 我们再来找两道题练习一下，先来看书上二十八页练习五的第十二题，题目中说下面是一根钢管，求他所用钢材的体积。 我们先来观察一下这个钢管，这个钢管中间是空心的，所以刚才的体积就是大圆柱的体积减去中空的小圆柱的体积， 大圆柱和小圆柱都给了底面直径，我们可以直接用公式派乘括号里边的二分之 d 括起来的平方乘 h。 先来看大圆柱，大圆柱的直径是十厘米，代入公式之后就是三点一四乘括号里十除以二扩起来的平方乘八十， 求出来是六千二百八十立方厘米。再来看小圆柱，小圆柱的直径是八厘米， 代入公式之后就是三点一四乘括号里的八除以二括起来的平方乘八十，求出来是四千零一十九点二立方厘米。 刚才的体积是这两个圆柱的差，也就是六千二百八十减四千零一十九点二，求出来是两千二百六十点八立方厘米。来看下一道题练习五的第九题 来看题，两个底面积相等的圆柱，一个高为四点五分米，体积为八十一立方分米，另一个高为三分米，它的体积是多少呢？ 这有一个重要信息是两个底面积相等，所以第一个圆柱的底面积求出来之后，第二个圆柱的底面积我们就知道了。 圆柱的体积等于底面积乘高，反过来说，底面积就等于体积除以高， 所以第一个圆柱的底面积就是八十一除以四点五，那第二个圆柱的底面积也是八十一除以四点五， 圆柱的体积是底面积乘高。第二个圆柱我们知道高为三分米，所以它的体积就可以用八十一除以四点五乘三来求出来， 求出来是五十四立方分米。接着我们来看练习五的第十题，题目中说一个装水的圆柱形容器的底面内直径是十厘米， 一个铁块完全浸没在这个容器的水中，将铁块取出后，水面下降了两厘米，问这个铁块的体积是多少？这道题用的方法是排水法， 铁块的体积实际上就是水下降的体积，所以我们把水下降的体积求出来之后，铁块的体积也就求出来了。水下降的体积实际上是一个高为两厘米的圆柱形， 题目中又给了底面直径是十厘米，所以我们直接套公式， v 等于派乘括号里边的二分之 d 括起来的平方乘 h， 也就是三点一四乘括号里十除以二括起来的平方乘二 求出来是一百五十七立方厘米。好了，今天的知识我们就讲到这里，小朋友们你们听懂了吗？

圆柱和圆锥的底面周长之比为二比五，体积之比为三比七。圆柱与圆锥高的比是多少？ 请看知识铺垫。画两个圆，第一个圆为圆一，第二个圆为圆二。半径用 r 一 和 r 二表示， 圆一的周长等于二倍 r 一， 圆二的周长等于二倍 r 二。圆一的周长比圆二的周长等于 r 一 比 r 二。 从而得到下面的结论，圆的周长之比等于半径之比圆一的面积等于 pi r 一 的平方圆二的面积等于 pi r 二的 面积等于 r 一 的平方比 r 二的平方。 因此我们得到如下结论，圆的面积之比等于半径平方之比。 由以上两个结论得到下面的结论，圆一的面积比圆二的面积等于圆一周长的平方比圆二周长的平方。 从而我们得到如下结论，圆的面积之比等于圆周长平方之比。 有了以上知识铺垫，现在来解决这道题。圆柱的体积等于底面积乘高 推出圆柱的高等于圆柱的体积比底面积，圆锥的体积等于三分之一底面积乘高 推出圆锥的高等于三倍的圆锥的体积比圆锥的底面积 圆柱的高比圆锥的高等于圆柱的体积比圆柱的底面积除以三倍的圆锥的体积比圆锥的底面积 颠倒相乘，得到下面的算式。整理后得到下面的算式，圆柱的体积比圆锥的体积等于三比七。 圆锥的底面积比圆柱的底面积等于它们的周长平方之比 五的平方比二的平方。计算得，圆柱的高比圆锥的高等于二十五比二十八。 亲爱的同学，你听明白了吗？如果听明白了，就给李老师点个赞吧！

这是一个圆柱体，它的底面半径是 r， 高是 h。 我 们把圆柱的底面平均分成十六份切开， 将切开的立体图形展开并交错拼合在一起，看，它变成了一个近似的长方体，分得越细越接近长方体。 长方体的底面积等于圆柱的底面积高，等于圆柱的高，所以圆柱的体积等于底面积乘高。

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第三单元圆柱的最后一个立体。例七，计算不规则物体的体积，那如果这个容器它不是圆柱，它是一个不规则物体，我们又该如何求它的体积呢？来看例七， 一个底面内直径是八厘米的瓶子里，水的高度是七厘米，把瓶盖拧紧，把瓶子倒置放平。 无水部分是圆柱形，高度是十八厘米，求这个瓶子的容积是多少？这个瓶子它是一个不规则物体，它的容积能直接计算吗？ 不能直接计算它的容积，那我们能不能把它转化成圆柱进行计算呢？首先我们来看一下瓶子的容积，它包括几部分， 一部分是有水部分的体积，一部分是无水部分的体积。无水部分是个不规则形状， 不能直接求。那我们通过瓶子的倒置把它转化成规则图形，这样瓶子里的水倒置以后，水的体积并没有变化。水的体积加上十八厘米高圆柱的体积是不是瓶子的容积？ 那接下来咱们一起来演示一下。下边是油水部分的体积，它是个圆柱，底面积乘高，可以求上面是个不规则物体怎么办？来我们给他把容器倒置， 这样把不规则的无水部分是不是就转化成了规则图形圆柱，所以瓶子的容积就等于油水部分圆柱的体积加上 无水部分圆柱的体积，那油水部分怎么求呢？底面积乘高，无水部分也是底面积乘高，题中给的是底面直径，直径除以二是半径， pi r 的 平方求的底面积 乘油水的高度就是油水部分圆柱的体积，再用 pi r 的 平方底面积 乘无水部分圆柱的高度，那就等于无水部分的体积，因为他们都有相同的底面积。利用乘法分配率三点一四乘十六乘七加十八的和最后结果等于一千二百五十六立方厘米， 结果问的是毫升，因为一立方厘米等于一毫升，所以等于一千二百五十六毫升。那除了这种把它转化成有水部分的圆柱和无水部分两个圆柱的体积， 你还有别的方法吗？瓶子的容积一部分是有水部分的圆柱，另一部分是无水部分，把它也转化成了规则的圆柱， 如果可以平移，我们把这两个圆柱平移在一起，这样是不是就组成了一个高是七加十八等于二十五厘米的 新圆柱的体积？那我们第二种方法就可以直接求出这个新圆柱的体积就可以了， 它的底面积就是 pi r 的 平方，那么它的高度就是有水部分加无水部分总的高度 就是新圆柱的体积。底面积乘高等于一千二百五十六立方厘米，等于一千二百五十六毫升，这种方法是不是更简单？ 好了，孩子们来回顾反思一下我们今天学习的内容，利用的是体积不变的特性，把不规则图形转化成规则图形来进行计算体积。 其实呢，这样的方法我们并不陌生，在五年级的时候，我们计算土豆的体积时，是不是也用了这种转化的方法？好了，根据上面这道题的经验，我们来小试牛刀，看这道题， 一个饮料瓶内直径是六厘米，里面水的高度是十厘米，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是九厘米。这个瓶子的容积是多少毫升？孩子们，请你按下暂停键，快来试一试吧！ 通过刚才的学习，我们知道瓶子的容积一部分是油水部分圆柱的体积加上无水部分，它是不规则图形，我们通过瓶子倒置转化成了规则的圆柱体， 所以瓶子的容积就包括油水部分的圆柱加上无水部分的圆柱组成的新圆柱的体积。 所以我们先求出新圆柱的高度，十厘米加九厘米等于十九厘米，再用底面积派 r 的 平方乘新圆柱的高度，就等于瓶子的容积五百三十六点九四立方厘米。最后结果问的毫升一立方厘米等于一毫升，所以等于五百三十六点九四毫升。 来，孩子们总结一下，通过这节课的学习，你有什么收获呢？首先我们知道了求不规则物体的体积或者容积，我们利用转化的方法，把不规则物体转化成规则物体，在转化的过程当中 体积不变，并且我们得到了求瓶子容积的模型，把瓶子的容积转化成有水部分和无水部分新圆柱的体积。 心圆柱的高就是有水部分的高度加无水部分圆柱的高度，它的底面积就是这个容器的底面积，所以用底面积乘高就等于心圆柱的体积，也就是瓶子的容积。如果这节课你觉得学的还不错，给自己点个赞吧！

亲爱的同学们，我们继续啊，圆锥体积计算公式的一个应用，那我们看一下这道题啊，工地上有一堆沙子，那它的形状近似一个圆锥这个图形，那这堆沙子的体积大约是多少？ 如果每立方啊米沙子大约重多少吨？这是一道立体， 那这道地理题我也会给带领同学们，咱们去一步一步去拆分啊，去看看他每一步是怎么来出来的。那这里我字多的话，我提前给大家写出来了，这个大约呢？ 是因为沙堆的这个形状近似啊，看作圆锥，所以结果中采用这个大约啊，不是求近似啊，近似数的啊，这个是 重点，那它下面已经给列出来式子，沙堆的底面积，那我们看到这沙堆底面积的时候，我们是不是得要想到它的公式啊，是不得想到公式，能不能想到 s 等于多少呀？ s 等于什么？它告诉我它这里边给我们的一个什么直径了是不是？那我们可以用这个公式二 分之 d 的 平方啊，我们看到沙堆的底面积，我们首先把公式要在脑子里面出现，那下面这个就是这个式子，就是根据这个公式得出来的。然后下面沙堆的体积，那我们沙堆的体积，那一定要想到另外一个知识点把，它的公式是什么呀？ 三分之一 s， h 啊，然后这个就是 s 是 底面积啊， h 是 高啊，记住啊，这块是一个易错的警示啊，千万不要忘记了乘三分之一啊，计算圆锥的体积时，千万不要忘记乘三分之一这个， 这个是重点啊，还有沙堆的重，那沙堆的重量等于什么呀？沙堆重量这块我们要把它的关系式给它找清，那我们就做起来就很容易了。那六点二八应该是什么呀？是不是沙堆的体积 乘上多少呀？乘上多少？这个一点五是什么呀？每平方米沙子的一个重量啊？每平方米 沙子的重量啊，这个柿子就是根据它得出来的。然后最后我们来答一下就可以了。答，然后这堆 三字大约重多少呀？九点四二吨啊，这就可以了。那下次我带领同学们咱们把这个做一做啊，练一下。

今天我们来推导圆柱的体积公式，我们知道物体所占空间的大小叫做物体的体积，那现在这一个圆柱在我的手上，我把它像这样子若干等份的去分开，只要我分的足够细，那么当我把它拼在一起的时候， 它就会非常接近于一个长方体，那这个圆柱变成了这个长方体，它只是形状改变， 但是它的体积不变，因此求圆柱的体积我就可以转化为求长方体的体积。那我们知道长方体的体积公式里面有长乘宽乘高，当然它也有底面积乘高， 那既然长方体的体积它会等于圆柱的体积，那我们来看一下底面积和高，它分别在圆柱当中是什么样的元素。我们看一下这个长方体它的底面积，比如说我们拿上面这个面来看，当我们把它还原回去的时候， 它其实就是我们圆柱当中的底面积，所以长方体的底面积实际就是圆柱的底面积， 而这个高呢？你看一下这个长方体它的高达，我给它拆开来还原回去的时候，它实际是不是相当于圆柱的高， 对吧？好，所以它就是圆柱的高，所以圆柱的体积就等于圆柱底面积。乘圆柱的高，那用字母表示就是 v， 圆柱会等于底面积，用 s 来表示高，用 h 来表示。 那如果题目当中已知的是半径和高，那么圆柱的体积我们先来求它的底面积，要底面积转化成 pi r 的 平方来计算，然后再乘高。那如果题目中已知的是直径和高，要求圆柱的体积，那这个直径我们就给它转化为半径，那就可以是 pi 乘直径除以二，得到半径平方再乘高。

掌握核心，万变不离。大家好，我是小鹿老师，今天我们一起来做几道圆柱的体积练习题。在做题之前，我们先来看几个公式， 第一个 v 等于 s 乘 h， 这个公式是当我们知道底面积和高的时候求体积，我们就代入这个公式。 再来看第二个 pi r 的 平方 h， 这个公式是我们最常用的，它是知道底面半径和高的时候，我们要用这个公式。 第三个派乘括号二分之 d 括起来的平方 h， 这个是当我们知道底面直径和高的时候，最后一个派乘括号二派分之细括起来的平方 h， 这个公式是当我们知道底面周长 和高的时候，我们就代入这个公式好了。我们再看容积和体积有什么区别， 容积和体积它的计算方法是一样的，但是它们的区别是体积是从容器外部测量，而容积是从 容器内部来测量。在这一节课中，有几个常用的单位换算，比如说一立方米等于一千立方分米，一立方分米等于一千立方厘米，一升等于一立方分米，一毫升等于一立方厘米。 在这节课中做题的时候尤其要注意单位的转换。好了，我们来看题。第一种体型直接求圆柱体积，这种题一般都是直接带入公式，我们来看第一题， 一个圆柱底面半径是三厘米，高是五厘米，问体积是多少立方厘米。 这道题中给了底面半径和高让求体积，我们直接代入公式 v 等于 pi r 的 平方 h， 也就是三点一四乘三的平方乘五，求出来是一百四十一点三立方厘米。再来看第二题， 一个圆柱底面直径是六厘米，高是八厘米，体积是多少立方厘米？这道题给了底面直径和高，让求体积，我们可以直接代公式，也可以把半径先求出来， 直接套公式的话是派乘括号二分之 d 括起来的平方 h， 如果要先求半径的话，直径是半径的两倍，所以半径就是六，除以二等于三厘米。 接着代入公式， v 等于 pi r 平方 h， 也就是三点一四乘三的平方乘八，求出来是二百二十六点零八立方厘米。来看体型二求圆柱容积，容积和体积的计算方法是一样的。来看第一题， 一个圆柱形油桶，从里面量底面周长是三十一点四分米，高是四分米，问这个油桶最多能装多少升油？ 这个题其实让求的是圆柱的容积，他给的条件是底面周长和高，当我们知道底面周长的时候，我们可以求出它的半径， 半径就等于底面周长除以 pi 除以二，也就是三十一点四除以三点一四除以二，也就是五分米。 让求容积，我们直接套公式， pi r 的 平方 h， 也就是三点一四乘五的平方乘四，求出来是三百一十四立方分米， 因为问的是多少升油，我们把它转化为升立方分米和升是同级单位，所以等于三百一十四升。再来看第二题，一个无盖圆柱形水桶，从里面量底面直径是二十厘米，高是二十五厘米， 问这个水桶最多能装多少升水，这个也是让球它的容积，这要看它是一个无盖圆柱形水桶，这个无盖如果让球表面积的话，它有用，但是这是球容积或者体积， 求容积或体积的时候，无盖和有盖对体积没有影响。再来看信息，给了底面直径和高，我们要先求出来它的半径， 直径是半径的两倍，所以它的半径是二十除以二等于十厘米。 然后我们直接套公式， pi r 的 平方 h， 也就是三点一四乘十的平方乘二十五， 求出来是七千八百五十立方厘米，问题问的是多少升？水升和立方厘米之间的净率是一千小变大要除，所以是七千八百五十除以一千，也就是七点八五升。 我们来看体型。三，已知体积，反求底面积和高来看第一题，一个圆柱的体积是六百二十八立方厘米，高是十厘米，问 它的底面积是多少平方厘米？因为 v 等于 s h， 所以 s 就 等于 v 除以 h。 这道题直接套公式，也就是六百二十八除以十，求出来是六十二点八平方厘米。再来看第二题， 一个圆柱的体积是一千五百七十立方分米，底面积是七十八点五平方分米，它的高是多少分米？ 因为 v 等于 s， h 反过来说， h 就 等于 v 除以 s， 代入公式，也就是一千五百七十除以七十八点五，求出来是二十分米 来看第四个体型组合与切割来看题，一个长方体木块，长十厘米，宽八厘米，高六厘米， 在这个木块中间从上到下打一个底面直径四厘米，高六厘米的圆柱形通孔，求剩余部分的体积。 做题之前，我们先来画一个草图，我们来看这个圆柱中间是通孔，所以圆柱中间是没有东西的，也就是说剩余部分的体积就是长方形的体积。减去圆柱的体积， 我们一个一个来求，长方体的体积是长乘宽乘高，也就是十乘八乘六，求出来是四百八十立方厘米。 再来看圆柱，圆柱给了直径和高，先求半径，半径是直径的一半，也就是四除以二等于二厘米， 再代入圆柱的体积公式 pi r 的 平方 h， 也就是三点一四乘二的平方乘六，求出来是七十五点三六立方厘米， 剩余部分的面积是两个的差，所以让四百八十减七十五点三六，求出来是四百零四点六四立方厘米。我们来看下一个体型。体型五，排水法求不规则物体的体积来看题， 在一个底面直径十厘米的圆柱形玻璃杯中，水深八厘米，将一个石块完全浸没水中后，水面上升十厘米，这个石块的体积是多少立方厘米？ 我们用排水法求体积的时候，水上升的体积就是浸没物体的体积， 所以这个石块的体积就等于水上升的体积。水上升的形状其实就是一个圆柱形，它的底面和这个玻璃杯的底面是一样的，所以它的底面直径也是十厘米， 而它的高是上升高度从八厘米上升到十厘米，上升了两厘米，也就是十减八等于二厘米。 我们要求它的体积，要知道它的半径，直径是十，半径就是十除以二等于五厘米。接着套圆柱体积的公式 pi r 的 平方 h， 也就是三点一四乘五的平方乘二，求出来是一百五十七立方厘米。 接着我们来看体型六等积转化。一个长方体铁块长九厘米，宽六厘米，高四厘米，把它熔铸成一个底面半径五厘米的圆柱形零件，问这个零件的高是多少厘米？ 体积是物体所占空间的大小，从长方体到圆柱形，它们物体的大小并没有变，只是形状变了， 所以不管是长方体还是圆柱形，它们的体积都相等。我们求出长方体的体积，那圆柱形的体积也就求出来了。 长方体的长宽高都有，所以它的体积就是长乘宽乘高，也就是九乘六乘四，求出来是二百一十六立方厘米。 二百一十六不仅是长方体的体积，也是圆柱形的体积。圆柱形的体积等于 s h， 所以 h 就 等于 v 除以 s。 我 们要想把它的高给求出来，要先求出来它圆柱的底面积。 因为底面半径是五，又是一个圆形，所以它的底面积是 pi r 的 平方，也就是三点一四乘五的平方，求出来是七十八点五平方厘米。 我们刚刚说 h 等于 v 除以 s， 把数字带入进去，也就是二百一十六除以七十八点五，这个数字算不完，我们保留两位小数，也就是约等于二点七五厘米。来看下一个体型。平字倒置问题， 说一个酒瓶正放时，酒高十二厘米，倒置放平后，无水部分高八厘米，已知酒瓶内直径六厘米，求酒瓶的容积是多少毫升。 这个体型是我们在学体积的时候最后一种体型。我们先把视域图给大致画一下。 好，我们来做题。九平的容积就是九的部分，加空气的部分，也就是 v 一 加 v 二，我们先把 v 一 给求出来， v 一 是一个底面直径六厘米，高是十二厘米的圆柱形，所以 v 一 的体积我们直接套公式 pi 乘括号二分之 d 括起来的平方 h， 也就是 三点一四乘括号六除以二括起来的平方乘十二，求出来是三百三十九点一二立方厘米。 v 二是一个底面直径是六厘米， 高八厘米的圆柱形，所以 v 二套入公式就是三点一四乘括号六除以二的平方乘八，求出来是二百二十六点零八立方厘米。 最后再让两个相加，也就是三百三十九点一二加二百二十六点零八，求出来是五百六十五点二立方厘米。 最后问的是毫升，所以我们把立方厘米转化为容积单位，立方厘米和毫升是同级单位，也就是等于五百六十五点二毫升。好了，今天的题我们就讲到这里，小朋友们你们学会了吗？