湘教版九上数学锐角三角函数思维导图

今天和大家分享速刻版九零零速学下册锐角三角函数的知识清单。锐角三角函数，一个定义，一个应用啊！ 第一，什么叫正切知识清单一啊！在 r、 d 三角形当中，角在九十度，锐角 a 的 边与连边之比叫做角 a。 正切近处它的 a， 它的 a 等于 b 分 之 a。 性质，锐角 a 的 正弦是随着角的增大而增大。 其。答案，正弦与弦。在 r、 t 三角形当中，角 c、 角 a 的 对边与斜边的比，叫做角 a 的 正弦记作三 a 等于角 a 对 边比斜边等于 c 分 之 a 与弦角 a 的 邻边比斜边之比较，角 a 的 与弦记作 cos a。 cos a 等于角 a 的 邻边比斜边等于四分之 b。 性质，三， a 在 零到一， cos a 在 零到一。三， a 随角度增大而增大， cos a 随角度增大而减小。 故一角三角函数关系三， a 九十度，减角 a 等于 cos a 小 于九十度，减角 a 等于三 a。 特殊角的三角函数值是吧？三英三十度二分之一四十五度二分之高。三，六十度二分之高。二，三英六十度等于二分之高三， 扣三英。扣三英三十度二分之高三，扣三英四十五度二分之高二，扣三英六十度二分之一。贪心三十度。三，贪心四十五度。一，贪心六十度。根号三，这叫熟练记熟啊！ 清单四，有三角函数，求锐角啊。三幺二八等于二分之一，二十八就是三十度。三幺二八等于二分之二，二八就是四十五度。 三幺二八是二分之二，三二八等于六十度。这都是锐角三角函数啊。扣三幺二八等于二分之二，二八就是三十度。扣三幺二八等于二分之二二八四十五度。扣三幺二八等于二分之一，二八等于六十度 tan， 二十八等于三分之三，二十八等于三十六 tan， 二十八等于一，二十八等于四十五度 tan， 二十八等于三，二十八等于六十度。 解直角三角形，在二 t 三角形 a b、 c。 中角 c 九度。已知元素边或角，求未知元素的过程。元素关系是吧。两锐角互余 勾股定力三边三 a 等于四分之 a 扣三 a 四分之 b 探点 a 等于 b 分 之 a。 解法，给两只角边勾股定力求斜边，利用探点 a 等于 b 分 之 a 求出角 a 度数，再拿角 b 减去角 a 度数，得到角 b 度数。 已知直角边 a 和斜边 b 用勾固定于求，而且斜边 c 勾固定于求 b 用三 a 等于四分之 a 求出角 a， 然后再求角 b。 已知直角边 a 和锐角 a 可以先求角 b 等于九入角 a， 再利用 tanthan a 来求 b， b 等于 tanthan a 分 之 a， c 等于三 a 分 之 a。 已知斜边和锐角 a 是 吧？ 求变 a， a 等于 c 乘以 a， b 等于 c 乘以 a。 角 b 等于角度减角 a 用锥角三角函数解决问题啊。仰角俯角问题，视线以水平线的夹角向上为仰角，向下为俯角坡比啊 i 等于 tan， angle 等于铅直高度除以水平宽度方位角啊。 解析步骤，画实意图，构造直角三角，选择三角函数，求为质量作答，注意单位和精度。第一个，锐角三角函数定义是吧？没有图呢，我们可以画个图啊。小 c 九十度 a c 十六， 它定 b 等于二，求 b， c 它定 b 等于 a， c 比 b， c 等于二， a， c 是 六， 那 b、 c 是 三，第二啊。 ac 五 a， b 十三，求扣三 a， 扣三 a 十三分之五， a， b 等于 a、 c 等二，三角形，常规弧度线作高，三线合一好，三 a 等于五分之四啊，这是占四份， 这在我们 a、 b 是 十除以八，它是十，它就是八啊，那就是 a， d 就 六， a、 b 就是 啊， 好，错了错了，说错了，给错了啊。 a、 b 是 十， a， b 是 十 啊， a， b 是 十，这是中间三 a， 这是四 x， 这是五 x， 那 这就是三 x， 这是三 x， 是 吧？这个 六 x 等于十， s 等于三分之五，要求 a、 c 等于五 x 三分之二十五。题型二，特殊角，三角函数值啊，等边三角形， 每个角都六十度啊，扣三十六度啊，二分之一，二分之一平方四分之。 这个三角形中括号 a、 b 没有直角，所以要先做垂线二分之二，这是四十五， 这个四十五。 a、 c 是 五，三英是五，四比五，那这就是四，这就是四啊，这个，这就是四点二三， 哎，不对，五五五四三呢？五四三，对不对？好，这个七四十四。 餐厅四十五度一二加二分之一， 这个三十六度二分之一，杠三平方 啊，一减 是吧？一减二分之三等于负二分之一， 这个三英四十五度等于二十五，二分之根号二，所以二十八等于六十度。餐厅六十度等于根号三。 另一个三角形 a、 b、 c 当中 cos 也等于二分之二，三啊， 所以角 a 是 三十度，这个啊，二分之一角 a 六十度，四十五度一百八，一减七十五度， 这个 a、 b 是 根号五， b， c 是 三啊，做垂线 扣三 a、 b 啊，就是 b、 d 等于根号五，乘以五分之二为根号五，所以等于二啊，这等于二， 对吧？乘以五分之二倍，刚好五。对了，这是二，这 b、 d 是 二， b、 d 是 二，那这就是一，这二得四，这也是一勾股定律四十五度， 这个 ab 是 三，这个 b、 d 比 c、 d 一 比二。 求，首先三英， b 是 三分之二，三英对边啊，所以是三分之二十六， 三分之二十六，三分之二十六啊。 然后利用勾固定力求出 b、 c 求出 b、 c、 b、 c 长等于十三平方，减三分之二十六平方，是吧？这里有十三平方 啊，所以给它开出来是三分之啊。化简，看看是多少？化简一下， 这是十三平方，减去十三平方，乘以三分之四 十三平方，一减九分之四，还有九分之五， 也就是十三分之十三倍根号五啊，也就是三分之十三倍 根号五啊。 bc 求出来了，这个按照二比一 啊，然后它占三分之一，那 c、 d 就 出来了，九分之十三倍根号， 再用勾固定里就算出来啊，再用勾固定里，最后九分之十三倍，根号四十一。这一题九十度探点 a， 它的 a 四四分之三，那就是三 x， 四 x 就是 五 x 啊。 这一节不需要 a、 c 长都可以求出来啊。那三 a 五分之三 啊。 q， 三 a 五分之四，这一题是吧？要做两道辅助线 是吧？这是三比四，这是六，三比三比四比六，是吧？那这就是这五分之六， 就是五分之十八，五分之二十四啊。然后这是五分之十八， 这 b、 d 是 五五二十五，五分之四十九，这是 c 的 阳角六十度啊，这是三十度，五分之四十九，根号三。 好，最后等于 a、 g、 d 啊。建筑高度， 这个小建筑物八米，在 b 处测得仰角六十度，在 a 处测得仰角四十五度。求建筑物高度 x， 而 c、 d 要求 c d。 好， 我们这是八，实际上就是求这个 设为 x， 这一段就是 x， 这一段就是 x 啊。嗯， x 等于 啊， x 加八等于根号三 x 求出 x 再加八就出来了啊， 括号三减一，括号 x 等于八，然后 x 等于括号三减一等于八，然后四括号，括号三加一，然后再加八啊，就得到啊， 这个啊， c f 十六米在啊，在 b 在 a 处，一点六米，这是一点六米啊，这也一点六米，所以给它连接并延长， 这样就下边都是长方形。呃， a d 测了仰角三十九度，前进三十米，到 b 处测在仰角五十度 啊，根据这个求出 c f 高度，那这一点六啊，这点好，我们先做辅助线啊，就是要求这是一点六，那就要求出 c h 长度去 啊，要求 c h 这点有一个五十度，这点有一个三十九度，这点有一个三十米 啊，那就是这段不知道，这设为 x， 这设为 y， 一个用二十九度啊。三十九度的探停值，一个四十五度的探停值，也组成方程组就可以了 哇，最后啊， 这两个组成完整组就好解了啊。最后 s y 都解出来，比这更简洁一些。 d 型六方位角问题是吧，这是三十七度，那这点就是三十七度，这是四十五啊，这也是四十五，对吧。 一艘轮船 p 在 北边中，距离灯塔以北海里，这是以北啊， 到达位于登塔 p 啊，向正南行，所以这里都是垂直啊。要求 a b 之间的距离是吧。这用三 三英三十七度。假设这点是 c 等于啊， p c 比一百，那一百 p c 就 等于一百乘以三英三十七度五分之三六十啊，同理，求出这是八十，这是四十五，六十八十加六十一百四， 这个啊，这个二十五度，方位二十五度，这还有一个夹角七十七十度，七十度呢，就是四十五度啊，这就是四十五度， 是吧。要求 ab 等于三千米啊，这是二十五，这是二十五，那这就是五十。要求 a、 c 长，那自然要做垂线， 是吧，这是五十。用三根五十求出 b e， 然后 b e 乘以刚好三得到 啊，根号二得到 c e 进一个呢，再求出 a e 啊，最后两个 a e 加 c e 加减就可以了啊， 两个加减就可以利用三英，求 b d， 利用扣三英求 a d 啊，直接就是 b d 加 a d， 而且这是次序图啊， 下一题啊，下一题，这个路线一个人路线， a d， b a， 这是 北环线，南环线 a， b， c， a 南环线啊， 角度都给了第一，求南环线的长度，南环线的长度，对吧，我们 这是就这一个五千米啊，那就要把这两个求出来，那就要做垂线 啊，做辅助线第一步啊，这是五米是吧？这个做垂线， 这是三十度啊，这就可以接这一只幺三零啊，这是三十度啊，这点四十五度好，这又可以接这一只幺三零，最后把三面加起来就可以了 啊，你看 a b 五， b， c 二分之五啊， a c 啊， bc 是 二分之五加二分之五为刚好三啊，这是 bc 啊，然后 ac 二分之五为刚好六，最后代入约等于十八， 这是第一道路线，第二道路线是吧。这个小 小月扯 d 走，他从 b 走，小黄在这当中发现两个相机落在自己的背包中，于是小黄决定 啊，到 b 点以后，前往地点与小月会合，因为它们速度之比是六比五，那就设一个六 x， 一个五 x， 结果同时到达地点就是时间相等，那就是要求出它们路程，然后跟速度之比就得到它们的 啊关系求北纬线的长木啊。那么这一题啊，做发誓是吧，给一些角度都求好是吧， 这是三十度啊，这角六十度是吧，这个 a、 d， 那我们就这个是二分之 a、 d， a、 f 是 二分之根号三 a、 d 啊， b、 f 这是五，这是二分之根号三 a、 d 减五 是吧，这就出来了。然后这个勾固定于 b、 d 平方都有， 是吧？现在这个你如果能求出啊，刚才说了，速度我们设成一个六 x 五 x 好， 它们路程一个是五加 b、 d， 一个是 a、 d， 一 比就表达出来。 b、 d、 b、 d 用 a、 d 来表示， b、 d 是 五分之 六， a、 d 减五，实际上呢是 a、 d、 x 啊，这里用 a、 d、 x 啊，利用勾股定律求出 a、 d 长啊，非常复杂， 非常复杂， a、 d 有 了， b、 d 就 有了，你看 b、 d 啊，代入求出 b、 d， 最后它们路程之合最后约等于十六点八就结束了，比较繁琐。 这一题啊，这个坡比一比刚好三 b、 c 是 三十，那是十五，那十五倍刚好三， 这是三十啊，三十加十五倍刚好三，那这是三十七度。 用贪停求出，假设这点是一求出 a、 e 再减十五，就得到 a、 b 啊 k 题 i 一 比杠三，那这就是三十度。 a、 b 六十斜边上有个有一个股处 o p 啊，这个侧的阳角六十度，那这也是三十度，这是垂直，那这是六十度。这股数也是垂竖直的，那这也六十，那这是三十度，那这两面相的， 是吧？那个从 b 仰角十五度，所以这条再做垂直斜线就是十五度啊。好，我们可以 要求 o p， 那 实际上就求 a o， 我 们可以设置两段长为 x， 这是十五度，这是三十度，那这就是四十五度，这是三十度，这就四十五度。所以我如果再过这一点做垂线，你看 设这个 v x， 这个 x， 这是二分之一 x， 这是二分之根号三 x， 二分之根号三 x。 最后三段加起来等于六十列方程，就求出古数的上 啊，三段加起来平方等于六十，最后 o p 六十减二十等于多少？三， 这一题。海拔高度一六八零八，按一，直接爬到山顶 八二二，先从山脚下步行八百米，到达 b 处仰角三十度，那就是四维。四维根号三啊，这就加上一，是吧？就在做垂直， 那这点就是四维，这点，这在做垂直，这就是一二八零。 好，下面夹角五十三度啊，这样是吧？ 第一位啊，四倍很简单，是吧？第一位，四倍就出来了啊。第二位啊，我们刚才说了，这个是四倍， 那这也是四零，那上面是一二八零，这是五十三度。用贪停求出 b e， 对 吧？ 用贪停啊，用三音可以求出 b e 啊，就都能求出来。然后我们要走的如果它的路程，那应该求 b c， b c 就 有三，约等于一千六，再拿 a 除以速度，速度是三百六，移除四点四分钟， 这个就用函数值，是吧？这是二分之杠三的平方，这是二分之杠二平方减去根号三乘以三分之杠三。 好，最后化解。这是一啊，加负二加三减二倍杠二减四乘以二分之杠二， 最后化简等于二。这个啊， 二乘二分之杠三减根号三加二分之杠二乘二分之杠二。最后结果。这个一加二乘二分之一加四减一 接一个啊，二分之二，三乘以二，三减去二分之二，平方加上一接一个，刚好三减一加一加二减根号三 对九啊，各点三就行。问 b， c 长勾股定律幺九 b， c 长 三点 b， 你 看这个角点，取这个 c、 m 用直角三角形二分之三，请在方格纸上画一个点三角形，使它与三角 a、 b、 c 以 a 为位次中心 且中心且位次比为二比一。那把它放大，那边没有出方格，值了啊。 下一题，以线段 a、 b 为边画三角形，使点 c 在 各点上，且探听 b 啊，等于四比三，这正好四比三。 第二，以 a、 b 为边画等腰三角形， 以线段 a、 b 为边画等腰三角形。是 d 落在个点上啊， 等腰三角形。那这一题是吧，你就对正过来就行了。这是三四五，这就直接五在这，再这样截一个五就行。这是三四，这斜边是五这样画的啊， 你要在这点画也行，这样一个等号也行。所以这题没说什么样啊，都可以下面再画一个三角形 a、 b、 e 使 e 在 各点上摊平 b， 摊平 b 等于二分之一。那这题的思路啊，摊平 b 等于二分之一。 那就根据刚才这个题啊，判定 b 等于二分之一啊，这个角 b 就是 角 d 就是 像判定 d 等于二分之一啊，这点有中点啊，连接啊。所以这题思路是建立在第二题思路基础上来做的啊， 无刻度的直尺。第一个 在 b、 c 上找一点 d， 连接 a、 d 时，两个面积相等，实际是找中点，直接这是个点，直接连，连接了就行了，这就直接找一点就行了。点一点，在 b、 c 上找一点 e， 使三角形 a， b， e 是 二倍的 a、 c、 e， 实际上就把它三等分。那这个题怎么作呢？啊，就要注意看， 那 思路是什么，是吧？作出来了， 我们要进行证明， a、 b、 e 的 面积是二倍的 a、 c、 e 面积，为什么是吧？ 哎，大家一起研究这题怎么去做， 我们就是要造出 b， e 比 c， e 是 二比一，是吧？ 我们这里边三角形 p， b、 e， 这是 q， 这里应该加两个字母比较好。好，你看我们占这点，这个是二，这是一。 首先一开始先取一个 p 点和 q 点啊，然后一连接，这相似二比一啊，输啊，交于 b， c 于点 e， 再连接 e 啊，速度，这边听下思路啊，大家好好 在这边取一点 p， 在 这边取一点 q 啊， b， p 是 二， c， q 是 一，这一连接，这两三角相似，好就出来了啊，出来下一问啊。 用贪听角， c， b、 p 等于二分之一，那这题怎么做？贪听二分之一，你看这题已经是四了，所以我们这得找一点，这题就是二啊。 c、 b、 f， 那 不就 c、 b、 f 吗？连起来就行了，是吧？ 好，这一点就是 f 就 结束了啊，实际上是先找出的这一点，加上第一点啊。好，这节课就到这里了。

老师最近学到了锐角三角函数，那几个数我真的是经常被你记混，导致我计算题丢八分，导致我解答题丢十分。能不能快快救救我， 必须救，我不仅要救你，我还用两个方法救你。来看黑板，第一，咱们用一个图形的方法，就可以让你快速的记住这九个数。首先大家要知道三引是不是指的是对边比斜边， cosine 是 指的是 临边比斜边，而摊肩的是不是指的对边比临边。当然如果还可以拓展的话，他还有一个括摊肩特，这个呢和摊肩特就几乎一样了，他是摊肩特的倒数就是临边 比对边，这个你只需要记住摊肩特就 ok 了，这个咱们不记都无所谓，听到没有？好，咱们看这个图，如何教你快速的记住那九个数呢？ 先这个图当中有一个咱们八年级特别熟悉的一线三等直角，全等，这里直角，这里直角，这个边等这个边，而这两个直角是两个三角板， 这个三十度，这个六十度，这个四十五度，这个四十五度，然后咱们把它拼接上去，是不是就形成了一个 a、 d、 八、 f 的 矩形？那这个角是不是自然而然可以知道是十五度，而这个角是不是自然而然可以知道是七十五度，这个角是直角，那根据咱们这个三角板的比例， 一比根号三比二，那么这个长度是一，这个长度是等于根号三，这个长度是等于一，这个长度是二。 而根据咱们等腰直角三角形 a、 c、 e， 一 比一比根号二，那二二，这是个二倍根号二，这整个 b 大 是不是一加根号三，那这里是不是 a e 就是 一加根号三， 这里是不是根号三？ ab， 那 这里的 f 大 是不是也是根号三？这里用掉一，那这里是不是根号三减一，那你告诉我这里面哪一个度数你不能求你如果通过这个表格，你不仅能够记到三十度、四十五度和六十度， 你还能够记住十五度和七十五度，这两个没有在咱们学习范围之内的角度，所以说周老师更建议大家记住这幅图，当然你觉得这幅图你还是不喜欢周老师还有第二个方法来，这个表格大家是不是 所需要记住的就是这这么九个数，但是这九个数你经常用结婚，按照周老师的五秒记忆方法，一定可以让你完美的记住。首先第一秒他们全部都有分数线， 无差别记忆。第二秒他们全部都戴帽子，都有根号，无差别记忆。第三秒三引和扩散引， 发现他们的分母是不是都是斜边，所以他们的分母都相同，都是二，而摊肩的的分母不一样， 它是三。好到这里已经用了你四秒钟了。最后一秒跟着周老师一起读，一二三三二一三九二十七， 一二三三二一三九二十七，写上去就 ok 啦，一二三三二一三九二十七。 完成。当然这个方法有一个小小的瑕疵，就是咱们需要化解一下根号一，很轻松化为一，同理这个化为一，这个根号九是大家都知道等于三啊，三分之三，这个数字应该记为一， 根号二十七，三倍根号三，三三，推掉对根号三，你也可以快速的记住这几个数，听懂了吗？祝你考试顺风顺水下课！

大家好，今天由我来讲解二十三题。首先我们知道这个点 b 距离这个 o a 的 距离是九九米，然后我们得到 b 的 y 轴就是九，接下来看 o a， o a 的 一半就是这个对称轴，所以，呃， o a 等于十二，那么一个垂直下来的 x 轴就是六， 所以我们得到第一个坐标 b 是 六九， 当然一个还不够，所以我们再来看的另一个坐标，随便取一个就是，那我取的是点 a， 点 a 的 y 轴为零，所以点 a 是 十二零，得到第二个坐标，那我们代入一下顶点是就是 y 等于 a 倍的 x 减 h 的 平方，然后再加个 b， 把这些带入，最后你能算出那个 y 等于负四分之一 x， 再加 x 的 平方，再加三 x， 这就是第一题。 呃，接着是那个第二题，他说那个什么 c d 距离地面 有五米，所以那个 y 轴就是五。呃，然后我们就可以把那个什么 y 等于五 给带入进我们刚才那个第一问，对吧？也就是五等于那个 负四分之一 x 的 平方，再加那个三 x， 然后最后我帮你们求出来，是 x 一 等于十啊，不对，等于二，然后 x 二等于十， 那所以明显地点就是十到坐标轴，呃，坐标 y 轴的距离就是十， 然后呢，他又说了一句啊，那个什么 o 点 o 到这个点 p， 这里也就是 o p 等于零点六， 那所以什么呢？我们把那个 c 啊，那个什么 c p 垂直下来的那个 x 轴，也就是啊，我设这个点为那个 g 啊，也就是 c g 加那个什么 g d 就是 它的长度 啊，所以就是十加零点六等于十点六，这是第二题的答案。 ok， 接下来就是这个比较复杂的那个第三题，它的意思就是说这个 a 到过屋檐 e 的 这个铅垂线的距离是否满足？ 也就是说这这里就这个地方他不能低于零点五，呃，所以我们，呃在讲这道题之前，我给大家讲一个很好用的知识，就是一个不规则图形，假设，假设什么那个，呃， 那个，我这有一个水潭，对吧？然后我取三个点， 然后这三个点呢？我再给它一连接，是不是一个三角形，然后我用这个三角形，我给它垂下来，就有很多东西就可以用 sine cosine tangent， 就是 对角三角形的知识， 那么以此类推，我们就可以做出这道题。这个你们看到这是不是有个三角形，那我给它抽象出来 这样，呃，然后是这样，等我一下，啊， 这样，然后这样， 这里，我这里，我就是我想给 d 到 c e 的 距离做个垂，那我就设这个点为 m， 然后这个是 d， 这个是 c， 这个是 c， 然后这个是个 e， 呃，然后，然后呢？那个什么？这，这里是个 h， 呃，没错，这里这里，我，我，我说这个地方是个 h， 这个地方是个 h， 然后我们接下来就可以得到很多东西了。 那么首先呢，他是不是说这个 cd 的 夹角是那个什么 e c d， 呃， e， e， c d， 就是 这个，这个是十二，对吧？那我们接下来就可以用一个知识叫做孔三眼蛇毒 cosine 十二度，就是那个零边比上你的那个什么斜边，也就是那个 c m， c m 比上你那个 cd 对 cd， 然后你化简一下，就是能转换为 c m， 是 不是就等于这个 cosine 十二度乘以这个 cd， 你就能，呃，你就能算出来呢？约等于，因为这上面有给你数据啊，这，这有给你数据，所以，所以就是你约等于就是十点三七， ok， 十点三七。 所，呃，所以我们就可以算出 c m 等于十点三七，我给这里标一下十点三七， ok， 然后接下来我们是不是就可以求 dm 就 这个这个三眼的对边啊？也，也就，所以我们就可以用到什么三眼十二度。呃，根据上面的那样啊，一样的 dm 是 不是就等于 那个 c d 乘以你这个你这个 sin 十二度？一样，所以我能求出来它是二点二，二点二零，对，二点二零，二点二零。 然后，呃，接下来我能求助这个二点二零，然后是，呃求 em， 对 吧？ em， 呃， em 的 话是不是到了这个另外一个直角三角形，所以 em 就 等于我们 dm 比上 tangent 三十度， tangent 三十度， 所以，呃，那个什么，所以 em。 最后算出来约等于是三点八一 m e m 这个就是三点八一， 三点八一，三点八一。 ok， 那 你接下来是不是就可以直接算出这个 c e 啊？这个 c e 一 整条就是这个十点三七，加这个三点八一， 你，你就能算出来，呃，等于十四点一八个十四点一八。 然后，呃，接下来是让你看那个 c e 啊，不对，不对， c e 说过了，对，就是十四点一八，然后在这个 r t 三角形的 c e h 中，那个 c c e h 就是 这个整个大的三角形， 然后我们就是不是可以求 c h c h 就是 这条这条 c h， 那 c h 是 不是就等于那个， 呃， c e 乘以那个 cosine 十二度？ cosine 十二度，就跟刚才一样啊，就是我直接给它化简了，然后你最后算出来，约等于 约等于是那个十三点八七左右，对，十三点八七。呃，然后我们是不是就能看到？呃，那个 p q， 对，没错，就 ok， 呃，因为它们两个是垂直下来的，所以 c h 就 等于 p q， 呃，然后我们接下来就是把 p q 减去 a p 的 部分就行了。 呃，所以也就是那个 p q 等于 c h， 呃，也等于十三点八七，然后 ap 是 等于那个， 呃 o p 加 o a 嘛，也就等于十二点六。接下来我们只需要把这个呃减去，就是把这个整个 p p q p q 减去这个 a p， 你 就能算出来是十三点八七，减去十二点六， 呃，等约等于啊，约等于一点三了， 所以呢，一点三完全这个大于这个零点五啊，所以这就符合啊。所以这就是我的演讲，谢谢大家。

同学们好，欢迎来到三角函数的世界。题目中间这个半径唯一的圆就是著名的单位圆。当我们旋转半径时，会形成一个角度，请注意圆上这个移动的点， 这个点的纵坐标也就是这条红色的竖线，就是正弦直， 写作 cosine。

比萨斜塔高五十四点五米。一九七二年地震后，塔顶中心点偏离垂直中心线的距离增加至五点二米。根据上述信息，你能计算出比萨斜塔的倾斜角吗？ 我们不妨将该实心问题抽象为数学问题，问题就转化为已知直角三角形的斜边和一条直角边，求这条直角边对应的锐角的度数。这样的斜边就是米萨斜躺的身高五十四点五米。 那我们看一下这个问题转化成一个什么问题，你知道是什么东西？斜边还椅子的什么直角？一条直，一个锐角所对的直角边要求什么？ 求这个锐角度数？我们前面讲讲过直角三角形的一些性质，我们先来回顾一下直角三角形有些什么性质？角之间有什么关系？ 角尖有什么关系？从直角弯的两个角啊，怎么做？边之间有什么关系？就是两个直角边的平，他们两个各自的平方的和的斜边平方的和， 斜边的平方。勾股定律， a 平方加 b 平方等于 c 的 平方。那我们现在的这个问题是要知道 b、 n 的 关系来求什么角的度数。那么从这节开始，我们就来学习这一个问题。 首先来看一个简单的实际问题，请问把这个问题抽下，我们的数学问题是一个什么样的数学问题？好在 r t 三角形， 在 r t 三角形 a、 b c 中角， c 为九十度角， a 为三十度，已知出水口的高度已知 bc 为三十五度，求 ab 的 时候 bc 为三十五米，求求 ab 的 水管。 ab 的 长很好，那么我们可以把它转化为这样子的一个数学问题，那么请问 ab 的 长等于多少？ ab 的 长等于等于七十。理由， 理由，就是角 a 等于 bc。 理由，我们前面讲的理由，三十度角有什么特征？三十度角 手对的就是他的对边等于斜边的一半，手对的那条直角边等于斜边的一半。好，那么如果我现在把出水口的高度，出水的高度改为五十米，那么水管需要准备多长？应该准备一百米的 那种水管。理由，三十度的再直角，三十度的角对的斜边等于直角边一百。 什么等于一半？直角三十度的角所对的边是斜边的一半，直角边是斜边的一半。好，那所以我们就可以知道我们原先讲的结论，在直角三角形中，如果有一个锐角，这个角是三十度，那么他所对的这条直角边 都是斜边的一半，也就是不管我的这三角形大小如何，他的对边与斜边的比都等于多少 二分之一。那么今天我们就来研究这个对边与斜边的比。那我们来看一下，如果现在我把这个角度改为四十五度，那么请问对边 bc 的 比为多少？ 二分之二，二分之二。理由，因为四十直角三角形中，四十五度角所对的直角边等于 它的斜边等于这条直角直角边的根号 r 边。你说如果这条边是 x， 这条边是 s， 那 这条边应该是多少？根号？ r s 用格子固定， 所以它比它就应该是 x， 比根号 r s 等于二分之根号。啊。好，也就是说，如果我现在把这个锐角的度数改为四十五度，那么不管这个角的扇形大小怎么样，它的对边与斜边的比就等于多少二分之根号啊！ 那如果说我们现在这个角的度数改成是一个其他的一个对角，那么它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？我们先来看一看，看看是否是一个固定值。 比如说我现在这个角 a 是 等于二十度，那么我们看一下现在 bc 对 边比 ab 是 多少？ 零点三四，好，如果我把这一个角角 a 不 变，把这个三角形变大，请观察，笔直变了没有？好，再变大一点 也没有，笔直变了没有？好，把这个三角形变小一点也没有，笔直变了没有。也就说只要这个角为二十度，它的对边与斜边的比就是多少零点三四，好，我把这个角为二十度，它的对边与斜边的比就是多少零点三四，好，我把这个角的度数改一下，如果是改成四十度，来看一下 这个时候改成四十度，请看这个时候 bc 比 ab 是 多少？零点六四，好，把这个三角形变大， 笔直变再变大好，三角形变小也没有。所以说只要这个角为四十度，那么对边与斜边的比就大概是多少零点六四，好。再看一下如果这个角度再变一变，看看这个时候对边与斜边比是多少？ 美女有事，好，三角形变小变大也没有变，所以我们就可以达到一个猜想，只要这个锐角的度数是固定的，那么他的对边与斜边的比 也怎样？固定也是一个固定字。那请问同学们，你能够证明这一个猜想吗？ 能不能证明这个猜想？当内角角 a 的 度数固定的时候，无论三角形的大小如何，对边与斜边的比都是一个固定值，一共一年，用什么来证明？这个猜想也是两个，只要大家觉得它们的直角都相等，他们的有一个角相等，所以这两个可以证明这两个三角形相。 就是我如果画两个三角形，只要使这两个角相等，那么因为角 c 和角 c 次是九十度，所以这两个三角形就会相似丁次，所以 b c 比 ab 等于 b 次 c 次 b 次 b 次 c 次对应边乘比例， 把这个比值转一下，转成什么样子啊？就画一下边，就是 b， c， a， b 等于 b 次 c 次 b 次 b 次。 好，用我们前面的相似转化成我们已经学过的东西来证明。好，那我们现在就得到结论，在直角三角形中，当对角 a 的 度数一定的时候，不管三角形的大小如何，角 a 的 对边与斜边的比都是一个什么值？固定值。 好，刚刚这个证明听懂了，再举下手，好，放下。那我们这个固定值在我们数学上我们就给他一个名称，因为是这个角正对的边与什么的比 斜边，而斜边我们要称为弦，所以我们把这个比值把它叫做正弦。那我们现在 把正弦下面定义什么叫做正弦，什么叫做正弦，前提在什么东直角三角形中，然后角 a 的 对边与斜边的比值叫做这个角的正弦好， 那么正弦值我们记作三引 a， 也就是三引 a 等于角 a 的 对边比上斜边。如图，角 a 的 对边既为 a， 斜边既为 c， 就 等于 a 比 c 好。 同学们把这个概念读两遍， 如图起。如图，在 r t 三角形 a， b， c 中，角 c 等于九十度。我们把对角 a 的 对边与斜边的比叫做角 a 的 对称 记作 sin a， 即 sin a 等于角 a 的 对边比斜边等于 a 与 c 好。第二遍，如图起如图，在二极三角形 a、 b、 c 中，角 c 等于九十度。我们把锐角 a 的 边边平行叫做角 a 的 角 a 等于角 a 的 对边平行边等于 a， b、 c。 好， 我们这一个 正弦的定义，他有一个前提，是在哪里定义的直角三角形中，所以是直角三角形中一个角的什么边对边 与什么边的比，斜边叫做这个角的正弦，所以就是三。 a 等于 a 比 c。 那 么根据我们刚刚讲的，请朋友们来回顾一下我们三以三十度应该等于多少？我不知道，二分之一对吧？对， 因为三以三三十度，角所对的那个直角边是斜边的一半，所以三以三十度是二分之一。好，三以四十五度啊，二分变化啊！三以六十度，好，姐妹们一起把这三个特殊角把它记一遍。 三以三十度等于三以四十五度等于三以六十度等于七。三以三十度等于七，三以三十度等于二分之一。三以四十五度等于二分之根号二。三以六十度等于二分之根号三。 好，下面我们来看一下，下面来求一个角的正弦值。第一题，然后同学来告诉我们，求，再来。我们在平行三角形 a、 b、 c 中，角 c 零九十度。因为角 a、 c 等于四， b、 c 等 于三，所以可以用勾和平底得出 a、 b 等于根号下 b、 a、 c 的 平方加上 b、 c 的 平方， a、 b 就 等于根号下三的平方加四的平方等于五五，好，所以三眼 a 就 等于 b， c 比上 a， d 就 等于三比五。 那就关键三眼 a 就是 找出角 a 的 对边，所以是三比上斜边 a， b 是 几五，所以等于三比五。然后三眼 因为在 r t 三角形 a， b、 c 跟角 c 等于九十度。如果我们也可以知道第一个图的三点 b， 三点 b 就 等于 a， c 比上 a， b 就 四比五， a， c 比上 a、 b， 所以 等于四比五， 好。这是第一幅图五二五二好，那个王力涵。角 c 等于九十度，因为角 c 等于九十度，所以 c 等于更快下 c 三分之三，所以 十三平方减五的平方，五的平方等于十二十二，所以三 a 的 十 a 等于 b， c 比 b， a 等于 b， c 比 b， a 等于五比十三，五比十三。三， 以 b 的 对边，那角 b 的 对边是谁？ a， c， 所以 等于 a， c 比 ab 等于等于十二比十三， 好。那也就是说如果是要求一个三角函数，那关键就是说在直角上行中，要求出这个角所对的对边与什么边斜边好。那如果像这个题， 我们来怎么求三引 b？ 我 来你就想出来了啊，那就叫这样是 a b c 中 a， 呃， ab 等于 ab 等于十二的根 根号加十二的平方，加九的平方等于五五倍根号哦，呃， a， b 等于十五， a， b 等于十五。换引， b 等于 a， c 比 ab 等于十二比十五等于四比三。呃，四比五，四比五，好 啊，这个还是比较简单，对吧？求三引 b， 因为直接就是角 b 的 对边 a， c 比上什么边斜边 ab 对 不好？那现在如果我把这个改一下，我不要求三引 b， 如果我是求三引角 a、 c 的 好几天，呃，就是我可以转换一下，因为呃 a 多是垂直于 a、 b 的 嘛。我们就可以知道角 a 加角 a、 c 得等于九十度，然后又因为角 a 加角 b 等于九十度，所以角 a、 c 得等于角 b， 所以 三 a、 c 得的值也就是三 b 的 值 转化，因为角 a、 c 的 就等于谁角 b， 所以 我就可以把这个三引角 a、 c 的 它就等于谁三引 b 好。 转化的理由是因为角 a、 c 的 加上角 a 等于多少度？九十度，然后哪个加角 a 也九十度，角 b 加角 a 也等于九十度， 所以三角 a、 c 的 就可以得到角 a、 c 的 应该要等于角 b， 角 a、 c 的 等于角 b， 所以 三引的角 a、 c 的 应该也等于三引的角 b。 那 么这个告诉我们什么？告诉我们什么？求一个角的三角函数值， 除了在这个三角形中求，还可以怎么样转化？转化成什么角与它相等的角的三角函数，对吧？对，好。当然除了这种方法，还有没有其他方法？有， 有要求这个角的正弦值，还可以把它变成谁比谁 a 得比上 a、 c 好， 请问怎么求 a 得相似？还有呢？肾经里是不用，肾经里也可以求。好，来记一下，肾经里 a 得等于什么？ a 得的平方等于谁的平方？ a、 c 的 平方等于 a 乘以 a、 b， 是不是也可以把这个 a 的 求出来，转化成它相等的角？所以这个地方注意，就说除了用正弦值，还可以用用定义法直接求之外，还可以转化为和它相等的角的正弦值啊。 下面反过来，如果知道正弦值能不能求边长有没有看到一题三好，我请一个同学来黑板上来做，其他同学底线完成， 装好了就请举手。好，拿起来看一下黑板上的这一个。好，我请一个同学来评价一下黑板，这个写的怎么样？认真看不？亮洁，你觉得写的怎么样？你就少了个单位啊， 写还是写的很好，对吧？他知道这条边比这条边是七比二十五的话，我们就可以用我们前面讲过的比例就是这条为七 s， 这条为二十五 s， 然后 知道这一条边，所以用什么定律？割股定律，而且 s 等于一，他写的很清楚，把什么舍掉，负数舍掉它一点点大，后面有数。好，那我们来看一下这一个七 好，这个是刘伯熙的，刘伯熙，你来讲一下你的想法是什么？因为三 a 是 等于 b， c 等于二十五 x， b， c 等于七 x， 然后用勾五定底，就可以把 ac 表示出来，就是二十四 x， 那 我想问一下，为什么快速得到 ac 是 二十四 s？ 对， 你对勾股数要很熟悉， 勾股数七，二十四就是二十五，所以有一条边为二十五，那么另外一条直角边就应该设上二十四，所以这一条边为二十四 s， 然后就可以，然后又知道 ac 的 长度，所以可以变成这个就是 x 的 一，这个 a 就是 x。 那这个提醒同学们，因为我刚刚看到有同学算了好久的，你常见的几组勾股数要把它怎么样 牢记？常见的勾股数要把它牢记，那我们来看一下，如果说是像我们刚刚这样子的，如果是已知三角函数求边长，一般情况下我们可能需要结合什么去求勾股定律，还要可能要结合什么 方程？像这样子是不是设一个未知数？结合方程需求好。

扎实的过程，必然的结果。大家好，我是大张，讲数学，那么初三的小伙经常跟我说，哎，三角函数的特殊值我老是记不住，考试的时候经常出错，那么今天老师给大家讲一个用图解的方法来如何来记住这个三角函数的特殊值，我们先看下方框里面的这些值啊，如何去记？我把它放在一个图形当中， 那么三 e 是 什么？对比斜靠三 e 是 什么？零比斜，贪婪是什么？对比斜，哎，对比零是不是？那你看三 e 三十度，我把这个放在这个直角三角形当中，我设这个是一，这是二，是不是？那你看对比斜是不是二分之一，对不对？对，三 e 四十五度，再放在这个等幺直角三角形当中， 对对比斜是不是二分之一，也就是二分之二，是不很好记？三 e 六十度呢？直接写了什么二分之根三啊， 对不对？考三 a 三十度呢，是二分之根三，因为是零比七。考三四十五度呢，是二分之根二，对不对？考三 a 六十度呢，是多少？是二分之一？ tan 三十度呢 是什么？对比零是吧？根三分之一，也就是三分之根三，它的四十五度呢，是不是一对吧？零比零是一嘛？它的六十度呢？是根三，考它的三十度是什么？考它的就是什么？零比对知道不？我写一下啊，考它的 a 就是 零，比对知道不？ 我写一下啊，考它的 a 就是 零比对知道不？我写一下啊，考它的 a 就是 零比对知道不？我写一下啊，考它的 a 就是 零边 零边比对边，那也就是在这个三角形当中，就是什么？这是 a， 这是 b 是 吧？那就是什么 b 比 a 刚好是什么贪利的倒数，考贪利 a 是 不是贪利 a 分 之一是不是？对，那我一求一下一解，这个就是根差呀，是吧？ 对，这就是一，这就是什么三分之根三。你看方块里面的这些特殊值，是不是放在这个图形当中，很快就记住了，对不对？那么剩下的这些特殊值你是上了高中之后自然而然懂了啊。当然我在这里也把这个特殊值给大家啊，三零度是零啊，三九十度是一， 考三，零度是零，贪心，零度是零，贪心，九十度是不存在啊，不存在就没有值，知道不？ 那么考开点，零度就是什么不存在啊，考开九十度是什么？是零，大家记住了没有？这个方法简单不？好了，那么老师就给大家讲到这里，拜拜。

每天一个小技巧，零基础也能像考场。今天接着讲三角函数核心思想，一句话总结就是，化繁为简，把复杂化逐步转化为简单化的过程，方向一定是正确的。废话不多说，直接向考题。 我们再来看这道二一年的甲卷，给了你一个式子，让你求贪心塔尔法，该怎么办呀？哎，首先呢，我看到贪心塔尔法，我是不可以想到它的二倍角公式呀，它呢，是不会等于我们的二倍的。 tony 的 算法比上一个一减 tan 的 方算法，哎，但注意了，此刻我把右边补上。在我们的圆式子里面，它是不是有正切余弦和正弦呀？ 但是呢，在我化简完一步这个式子里面，它是不还是正切余弦和正弦呀？我化简了一步之后呢，它还是从三个函数名变为了三个函数名，但是我并没有遵守我们化反微减的规则呀， 如果没有遵守，你再想往下做就比较困难了。哎，那么这事该怎么办呢？你注意了，贪心的阿尔法，他是不不光能用二倍角公式呀，他呢，是不还等于我们的 三引阿尔法。笔考三引阿尔法呀，我们呢，是不成成功通过第一轮化简，把三个函数名变成了两个函数名啊？那，哎，那么他呢，遵循着我们化反位减的规则，那么证明我们的方向是没错的。 现在呢，左边是不都有二倍角呀？是不可以利用我们的二倍公式展开呀？我们一步一步展，对不对？哎，先长分子，分子呢，是不就是二倍的三 e r 法？考三 e r 法比上一个考三 e r 法会等于我们的考三 e r 比上一个 r 减三 e r 法， 哎，是不可以约考三 e r 法，然后考三 e r 法，该怎么画呀？它是有三个公式呀，那用哪个公式最好呢？是不是用我们的 一减去二倍的三亿方算法最好呀？为什么呀？因为你发现没，当你这样用之后呢，整个等式里面是不只有三亿算法这一个函数名了。哎，那么此时你看，一个等式只有一个函数名，我们是不只要另一个函数名为 x， 它是不是这个方程了呀？ 就是我们的二 x 比上一个一减二 x 方会等于二减 x 分 之一，只要把这个方程解出来，就能把三亿算法算出来。嗯，我们来解一下，就是 二 x 倍的二减 x 会等于一减二 x 方，也就是四 x 减二 x 方会等于一减二 x 方，二 x 方一约，所以 x 等于四分之一。所以呢，我们的三 e r 法应该等于四分之一。好，知道了三 e r 法，题目里面呢，让我们求它的 r 法该怎么办呀？ 是不通过我们的必达嘎斯等式呀，是不？因为我们的三 e 方法加考三 e 方法等于一啊，所以我们的考三 e 法是不等于根号下一减三 e 方法呀？题目里面呢，是不是告诉我们了， e 法在第一上线，所以考三 e 法肯定大于零，对不对？ 所以呢，它就会等于我们的根号下一减十六分之一，等于我们的四分之根号十五，对不对？三 e 法，知道了，考三 e 法呢，我也知道了，那么呢，它正它 e 法 是不是就等于三 e r 法比考三 e r 法呀，就会等于我们的四分之一，比上一个四分之根号十五，对不对？那最后呢？是不是就会等于我们的根号十五分之一啊？那就是我们的十五分之根号十五，对不对？所以呢？这个题选 a， 对 吧？