函数顶点的概念是什么

二次函数顶点式正确理解顶点坐标， 好同学们，今天的话我们来讲一下二四函数这一块啊，他的一般是和顶点式的一个转化，并且呢根据顶点式能够准确的读出来这一个图像的 顶点坐标。那么我发现其实有的同学啊，在背顶点式的时候啊，他会被 y 等于 a 倍的 x 减 h， 欢迎大家评论加 k， 但是实际上在给一个顶点式的时候，你再问他顶点坐标的时候，他会把 x 的也就是横坐标 他的符号给搞错，那么今天我们就来解决这一个问题，那我们先来看一下 y 等于二 x 的平方， 这是一个很标准的，一般是，当然是没有一次像和长树像的，一般是，那他的图像我们都知道长什么样啊，应该是一个过圆点的，一个过圆点的 这一个抛物线，并且顶引呢就在原点上，所以说他的顶引坐标就应该是零零。那好，如果我们把他的图像往上平移一个单位啊，先往上平移一个单位， 那得到的解析是新的解析是应该是啊 y 等于二 x 平方加一，哎，有的同学会说上架下减哎，长处下左加右减次变量，我们就可以去套那对应的它的顶点坐标，此 是就应该变成一一啊抛物线，其他的部分都是不变的，以免坐标是不是往上拼的一个啊，右边啊零一啊，跟老师口误，应该是零一， 那如果我们把他的图像再往左平移一个单位，看着啊往左平移一个单位，那得到的解释应该是 上加下减长度加，左加右减自变量，左加右减自变量，所以 y 就应该等于二倍的 x 加一括起来的平方再加一。那现在我先不给大家画图像，那么我们根据这一个顶点式，你能读出来他的顶点坐标是什么吗？到底是一一 还是负一一呢？那我们来画一下他的图像啊，他的图像应该是根据第二个往左平移一个单位，那么我们发现他的顶顶坐标就应该是先把零一往左平一个单位，应该变成啊 负一一了吧。那其他的部分仍然是普遍的啊，仍然是普遍的，那这个的庭选坐标应该是什么呀？应该对应的是负一 一啊，应该是负一一，那么这是一种根据平离的话来理解，这个顶点是他的一个顶点坐标的读取方法啊。这个我们可以这样来理解，这是一种方法， 那我可以看到是这个顶点是 y 等于二倍的 x 加一，未来平方加一，他就由最原始的 y 等于 二 x 平方先往上平一个，再往左平一个，那顶点坐标零零，就是先往上平一一个单位，再往左平一个单位，所以变成了负一一。那这一个如果我们根据最值这个角度可以怎么理解啊？ y 等于二倍的 x 加一，和起来的平方再加一， 那我们说他的顶点是不是肯定是函数值最值的取得的那个点啊？那这样的话，我们发现如果像这个函数值，他最 直的啊，取得一个最直的话，应该是有一个最大值还是最小值啊？这个歪，那么很明显他有一个最小值，对吧？因为他是开口往上的，或者说 我们说 y 应该等于二倍的 x 加一括起来的平方，也就是这是一个什么呀？非负数，非负数，这是加上一 啊，一个非负数加一，他肯定有一个最小值吧，那他无限大就可以，是吧？最小值就是几啊？就是一， 那当什么时候他可以取得碎小值呢？是不是当这个整体部分等于零的时候，这个函数值才等于一，就这个碎小值，那什么时候这个整体等于零呢？ 是不是只要令 x 加一，这里边的这个 x 加一等于零是不是就可以了？那么此时我们发现 x 是不是应该等于负一啊？这个 x 是不是就代表了顶点的横坐标？所以说顶 零点的横坐标应该是另这一个部分等于零的时候 f 四的值。这一块需要我们去注意一下，这一块很多同学会呃，搞不清，一般是转化成顶点式的一个。嗯，顶点左标的读取方法啊，这一个 我们就可以帮助同学们去理解一下地面坐标到底应该如何读取。

我们来看这道题，若抛物线的顶点为 a， 且经过点 b， 让我们求抛物线的解析式。抛物线 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 长竖向均为未知数，我们来求长竖向顶点，已知顶点和其中一个其中一个抛物线上的一个点。 我们知道抛物线的顶点横坐标是对称轴，也就是 x 等于负二， a 分之 b， 那么负二， a 分之 b 就等于二，我们可以得出 b 就等于负四 a， 我们将这个 x 等于负二， a 分之 b 带入到抛物线中，我们可以得出顶点坐标的纵坐标为四， a 分之 四， a， c 减去闭方 纵坐标就等于一点点纵坐标等于一。那么我们来化解一下，四 a， c 减去 b 方就等于四 a， 我们刚刚化减到 b 等于负四 a， 我们将 b 方给它替换掉左边就是四 a， c 减去十六 a 方 就等于四 a 等式，左右两边我们可以同时给它除以四 a， 左边就变成 c 减去四， a 等于一。好，我们得出这两个关系是， b 等于负四， a， c 减四， a 等于一。我们来看抛物线还过点 b， 我们将点 b 带到抛，带到抛物线中可以得到， a 加 b 加 c 等于零， b 等于负四， a， b 替换掉 a 减四， a 加 c 就等于零，那么我们的 c 就等于三 a， b 等于负四， a， c 等于三 a， c 减四， a 又等于一，我们将 c 等于三 a 带入到这个中，那么我们的 a 就可以解出来等于负一， a 等于负一，那么我们的 b 等于负四， a 就等于四， c 等于三， a， c 就等于负三。那么我们抛物线解析式就是， y 等于 负 x 方加四， x 减三。

这个题考材式将二次函数的一般式转化为顶点式， y 等于 x 平方减八 x， 这时候呢，我们要加上八的一半的平方，八的一半是四的平方，加了之后再接， 然后这里就是一个完全平方公式， x 减四的平方减十六，减九，也就等于 x 减四的平方减二十五。

上个视频你已经学过了二次函数的顶点式以及如何画他的图像，那现在要让你画，一般是 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c 的图像，你就可以通过代数变形把它变成顶点式即可。这个视频咱就来看看怎么从二次函数的一般式变成顶点式。 要把它变成顶点式，其实就是要把含 x 的项都放到这个平方里，和之前学的一元二次方程的配方有点类似，现在要是直接处理这个全是字母的式子，那肯定就晕了。咱先用 y 等于二， x 方加八， x 加五，这样都是数的练练级。 把它画成顶点式，前面是 a 倍 x 减 h 的平方，那 a 就是二字样，系数肯定是二。咱先把二提出来，就是 y 等于二倍， x 方加四， x 再加五，只用提前两项，后面的常数项不用管好。现在括号里要变成平方，只需要加上 x 系数一半的平方，这里 x 前系数是四，他的一半是二，平方一下就是加四，现在括号里就是完全平方式了，而这里加了四，那要保持横等变形，后面是不是减四就可以了？ 嗯，添了东西要减去，这个意识很好，但要注意，你加的四前面还有个倍数二呢，因此后面不是减四，而是减二。乘四就是减八， 现在加了多少都减掉了，只剩最后的化减。括号里就是 x 加二的平方，而括号外减八加五，就是减三，外就等于两倍 x 加二的平方减三，这就是顶点式了， 都是数字的。搞定了，现在咱就来挑字母那个 boss 吧。还是刚才的思路，先把前两项里提一个 a 出来，这时括号里 x 向前的系数就是 a 分之 b， 那把括号里配成平方，还是加上他一半的平方，就是加四 a 方分之 b 方。 加了这一项，后面要减去，千万别忘了前面的系数 a， 那就要减 a 乘四 a 方分之 b 方，也就是减四 a 分之 b 方。最后化减一下，括号里是 x 加二 a 分之 b 的平方，后面通分一下，就是加四 a 分之四 ac 减 b 方，这就是从一般式变成顶点式的结果了。 对比一下， h 就等于负二 a 分之 b， 而 k 等于四 a 分之四 ac 减 b 方，那对线轴就是 x 等于负二 a 分之 b。 顶点坐标 hk 就是负二 a 分之 b， 四 a 分之四 ac 减 b 方。 怎么样，你觉得很难记，告诉你，这个式子和顶点坐标都可以不记，你只要掌握了方法就行。但是对线轴 x 等于负二 a 分之 b， 这个要记住，在后面学习中大大的有用。好总结一下方法。把一般式变成顶点式，你就先把 a 从前两项中提出来，然后把它配成平方，就是在提 写完之后的括号中加上 x 前系数一半的平方，加完项要减掉，特别注意别忘成前面的倍数，最后化减就是零点式。另外对称轴是 x 等于负二 a 分之 b， 一定要记牢，讲完了都刷题去吧！

亲爱的同学们，大家晚上好，今天我们所学习的内容是八年级下册数学第二十三章第一小节第一部分，一次函数的概念。我们在前面的二十二章中学习到了函数的概念，函数的解析式和函数的图像。那我们在这一部分先来学习一下，整个初中阶段 第一次涉及到有关函数的概念，也是我们八年级下册的重点单元。那接着我们首先来根据一道例题，某登山队大本营所在地的气温为五摄氏度，海拔每上升一千米，气温就下降六摄氏度。 登山队员由大本营向上登高 x 千米时，他们所在的位置的气温是 y 摄氏度，请用函数解析式来表示出 y 与 x 的 关系。那在这里我们不难发现，假设如果登山队员由大本营向上登高一千米， 那我们的温度此时是不是由原本的五摄氏度？每升高一千米是不是下降六摄氏度？那是不是就减去六乘一？ 这个时候是不是向上登高一千米所在的气温？那假设如果向上登高三千米，那我们此时在三千米所在的位置的气温是不是由原本大本营 所在的温度减去一千米？下降六摄氏度，那三千米是不是下降六乘三 摄氏度？能理解吧？因此通过这个关系我们就不难发现，当大本营向上登高 x 千米的时候，那我们此时的气温 y 是 不是就等于原本所在地，也就是大本营所在地的五摄氏度？减去 灯高一千米，下降六摄氏度，那灯高 x 千米是不是下降六 x 摄氏度？所以我们就可以利用 y 等于五减六 x， 或者我们也可以写成负六， x 加五都是可以的，表示出 y 与 x 的 关系，能接受吧？好， 那我们接着在通过这道例题中，我们再来分析一下下面的这三道例题。他说在下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？那如果是，请写出函数解析式，那这些函数解析式有哪些共同特征？我们来先描述一下，看一看我们此时我们这三道题目中的关系。 题目中讲的是在二十摄氏度和二十五摄氏度时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数。 c 与温度 t 有 关，即 c 的 值约是 t 的 五倍， t 的 七倍与三十五的差，那我们就可以发现 c 的 值约是 t 的 七倍七， t 与三十五的差是不减三十五。 第二个，一种计算成高成年人标准体重记忆的方法是以厘米为单位的量量出身高值 h 再减去值长数一百零五所得的差即为 g 的 值。那么得到 g 的 值是不就是身高 h 减去长数一百零五。 三个某城市的室内电话的月收费额， y 包括月租费二十二元和拨打电话费 x 分 钟的计时费，每分钟按零点一元。那我们就知道我们此时的月收费额，它包含两部分，一个是电打电话的计时费，一个是月租费， 一分钟收零点一元，那 x 分 钟收费是不是零点一乘 x？ 不要忘记还有一个我们月租的费用二十二，可以吧？那通过这里我们就不难发现，我们以上一道我们也给他写在这 y 等于负六， x 加五。 还有这里我写到的这三个式子中，第一个 c 等于七， t 减三十五， g 等于 h 减一百零五，还有 y 等于零点一， x 加上二十二。那在这个式中，我们不难发现我们此时自变量 x 与函数 y 之间所存在的关系。它们的解析式一般你看是不分为两部分， 这一部分是不是自变量与某个系数的乘积？而后面的这一部分中，这一部分我们是不可以看作它是不是就是一个常数的式子？ 通过刚刚以上四个式子，我们就得到了一次函数的定义。若两个变量 x 和 y 之间所存在的对应关系，可以表示为 y 等于 k， x 加 b， 那 其中 k b 为常数且 k 不 等于零的形式，那我们就称之为 y 是 x 的 一次函数。也就是说，我们接下来如果要判断一个函数是否是一次函数，那我们通过就是 y 等于 k， x 加 b。 如果函数解析式我们可以 写成这样的形式，那就称之为他是一次函数。那我们来看一下这道例题，这道例题指的是下列函数中，哪些是一次函数，哪些又是正比例函数，那我们后面这个正比例是我们接下来要学的一节课，我们只看哪些是一次函数， 那我们观察。首先第一个 y 等于负二， x 的 平方，我们要求的是不是 k x， x 的 系数为一，这里哦， x 的 指数为一，但是这里 x 的 指数是不为二，所以它不能称之为是一次函数。 而在第二个式子中，我们可以给它写成二分之一， x 加上二分之一，那其中它是不是可以看作是一次函数？ k 为二分之一， b 也为二分之一二个。在这个式子中，需要大家稍微注意点的是，三 x 平方减去它，那我们先对它进行 化解，我们是不是可以得到最终它的结果应该是， y 等于二 x， 那 y 等于二 x 中我们一般情况下，一次函数解析式是 y 等于 k， x 加 b， 而 k b 为常数，且 k 不 等于零， 那既然 k 不 等于零，那就意味着从定义上来说，我们的 b 可以 为零，所以第三个它也是一个一次函数。 至于第四个，这里涉及到的有 x 的 平方，那就知知道我们的一次函数中，未知变量 x 要求的它的指数必须是一，这里是二，不是。 而在第五个中，这里 x 做分母，那同样也不是，所以这里面只有第二个和第三个它满足是我们的一次函数。好，我们来总结一下判断函数是否是一次函数的方法。那首先先看函数式是否是整式的形式， 那什么叫做整式？什么叫做分式？我们八年级上册已经进行学习过了，也就意味着我们的自变量 x， 它只要不做分母就行。 再将函数式进行恒等变形，看它是否符合一次函数式，也就是 y 等于 k， x 加 b 的 结构特征。需要大家注意的是，这里的 k b 均为常数，要求的是 k 不 等于零，也就是自变量 x 前面的系数不能等于零，但是对 b 没有要求，它可以等于零，它也可以不等于零， 那除此之外，我们需要注意的就是，第一个开不等于零，自变量 x 前面的系数不能等于零，第二个自变量 x 的 次数为一。其实这也就是他为什么叫做一次函数的 一，我们在后续的学习过程中，我们将会学习到二次函数，我们指的自变量 x 的 指数是二。好。第三个常数像 b 可以 为任意数，那就是可正可负可为零，他为什么数都是可以的？ 好，这一部分内容学习完之后，那大家来看一下这里的第一道例题，这里问下列函数中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？不提正比例函数，观察， ok， 满足。 第二个 x 做分母，它是一个分式，不可以。第三个 x 的 次数为二，不可以。这里是第四。第四个 y 等于负，零点五， x 减一，那在这里面 k， x 加 b， k 等于负， 这是 k 等于负零点五， b 等于负一满足。那接着第二道例题就留给大家来做，大家来看一下，在下列函数中， y 是 x 的 一次函数式，我们选择的应该是 abcd 的 哪一个？那我们在这里一次函数的概念就讲到这里结束了，我们明天再见。

上个视频咱学了 y 等于 x 方的图像，他是这样的，那现在你来画一下 y 等于 x 方加一和 y 等于 x 加一的平方的图像。 先看第一个 y 等于 x 方加一列个表，当 x 分别是负二、负一、零一和二十，算一下外对应的值就分别是五、二、一、二、五， 把这些点在坐标系中标出来，连起来就是这条曲线。不难发现，这条曲线上每个点都比外等于 x 方的图像上相应的每个点动作标多一，那他其实也可以由外等于 x 方的图像向上平移一个单位得到，所以他的对选轴就还是外轴，而顶点是零一，非常简单。 好，再看外等 x 加一的平方，列个表，当 x 分别取负三、负二、负一、零和一时，算出来外对应的值分别是四一、零一和四，把这 这些点在坐标系中标出来，连起来就是这条曲线和外等于 x 方。比较一下发现没，这条曲线就是由外等于 x 方向左平移一个单位得到的，而他的对称轴就是 x 等于负一，顶点就是负一零。 那类似的，要是 y 等于 s 减一的平方图像，就是 y 等于 x 方向右平移一个单位，对线轴就是 x 等于一，顶点是一零。 好，现在咱有了他的图像，那我要让你画出 y 等于 s 减一的平方加一的图像，你会吗？根据之前的经验， y 等于 s 减一的平方加一，就是把抛物线外等于 s 减一的平方向上平移一个单位得到，因此他的对线轴就还是 s 等于一，而顶点则一到了一一。 现在结合之前的第一次平移，你就知道了， y 等于 x 减一的平方加一的图像可以由最简单的 y 等于 x 方的图像平移得到。 那一般的 y 等于 a 倍 x 减 h 的平方加 k 的图像就可以由 y 等于 ax 方的图像平移得到。通过这个式子，你可以直接得到对线轴是 x 减 h 等于零的时候，就是 x 等于 h， 而顶点在对线轴上送坐标就是后面加的 k， 所以顶点坐标就是 hk。 由于通过这个式子可以立刻看出顶点坐标，因此他就叫二次函数的顶点式，后续你还会对他进行深入的学习。好，那现在咱巩固一下。画出外等于负二分之一倍 x 加五的平方减三的大致图像， 他的图像与外等于负二分之一 x 方的图像形状相同，就是这样。而外等于负二分之一呗。 x 加五的平方减三，算一下，对线轴是 x 加五等于零，也就是 x 等于负五，而式子后面是减三，那顶点就是负五负三。现在把这条抛物线用顶点带 平移过去，这就 ok 了。内容都讲完了，总结一下，形如 y 等于 ax 减 h 的平方加 k， 这样的式子就叫抛物线的顶点式，它的图像可以由 y 等于 ax 方平移得到， 而通过式子你立刻就可以得到他的对线轴是 s 等于 h， 顶点坐标是 hk。 怎么样？是不是很容易？赶紧去秒杀题目吧。