3元基本不等式

好的，我们今天来看这道就是一个一个三个变量的一个最值问题， 题目条件给的是 a 方加 b 方等于加 c 方等于一，然后让我们求这里是根号三的 ab 加 bc 等于的最大值和 a 乘上 a 加 b 加 c 的 最大值。我们首先来看第一问，就是我们想要要用它来配一个均值不等式的话，我们这里是从等已知条件入手，记 a 方 加 b 方加 c 方这一项入手，观察一下第一项，我们这里既然待定系数的话，我们就要将 b 拿去拆成两，把 b 拆成两个，比方说我们这里取另一个，随便取一个 nanda 除以零到一，然后将 b 拆成 a 方，加上 number 倍的 b 方，加上一减 number 倍的 b 方，再加上一个 c 方。那既然这样的话，那我这两个我都可以用一个均值不等式得分别得到 a、 b 和一个 bc， 这两边用一个均值不等式就得到二根号 number 倍的 ab 加上这边是二根号，下一减 number 倍的 bc， 最后就得到这个。然后现在观察一下这两个，这两个式子之间的这两个式子之间是不是我只需要令令这两个之间的比值为根号三记， 我只需要令根号 number 比去这个根号下一减 number， 它等于根号三，那是不是这个不等，那是不是这个就是我要的那个？不，这个，这个就是什么我要的那个不等式就出来了。然后我们把这个解一下，两边同平方看一下，就变成 number 比一减 number 等于三 number， 然后这边就是四 number 等于三， number 等于四分之三， 四分之三带进去，然后这里我们就是把 nonda 等于四分之三带进去发现什么？二乘上，这边是根号下的四分之三，也就是二分之根号三 倍的 ab 加上这边是二乘上，这边是一减。 nonda 就 四分之一，二乘上根号四分之一，然后再乘上一个 bc， 最后它就等于就是我要的根号三的 ab 加上一个 bc， 最后我发现它的最大值就是一，然后等号成立，所以根号三倍的 ab 加上这个 bc， 它就小于等于一，然后等号成立。 g 这两个等号，这两个不等式取等条件都成立。那么我们看一下 g， a 等于 n 根号呢？ a 等于根号下 n 的 b， 也就是二分之根号三的 b， 然后这边是 c 等于根号下，根号下一减 n 的 b 呢？最后是二分之一的 b， 二分之一的 b， 然后再把这两项代到 a 方加 b 方加 c 方，又因为 a 方加 b 方加 c 方，这里是一等于它。然后把 a 和 c 替换成 b， 最后得到四分之三的 b 方加上 b 方加上四分之一的 b 方， 最后等于两倍的 b 方，然后 b 方就等于二分之一，最后 b 就 有一个二分之根号二 正负的正或负吧，然后然后剩下的 a 和 b 就 a 和 c 就 根据 b 来取就可以了。取取这个，然后 a 就 等于二分之根号三乘上 b， 然后等于，嗯，四分之根号六， c 等于二分之一， b 等于四分之根号二。 第一问，就这第一问就成立了，就等号成立的条件，我也给他找到了 abc， 然后再看第二问，第二问，我们要看的是 a 乘上 a 加 b 加 c， 那 这一项的话看起来就相对复杂一点，但是我们发现就是公还是公共项就都有 a 的 话，我们就从 a 这一项开始拆， 我们就同样的考虑上面这样的一个等式，然后这里的话我们就把 a 拿去拆，但是这里看一下，就是我们这里 a 的 话，一个 a 要跟一个要一个 a 平方，一个要 a 平方，一个要 ab， 一个要 b c， 一个要 ac， 那么 ab 和 ac 显然就是根据就是 a 方加 b 方凑出来，用 b， a 方加 b 方凑凑出来，然后 ac 用 a 方加 c 方给它凑出来，然后， 然后，然后这里我还要多一个 a 方出来，所以说这里的系数我们可以。然后还有一个就是 a， ab 和 ac 一定得是一比一的，所以说这里的不等式我们就可以这样凑， 它就等于一减去二 number 倍的 a 方加上 number 的 a 方加上 b 方，再加上一个 number 的 a 方加上 c 方，这样凑一下， 这样凑一下，这三项就这一项不变，然后这两项这两项就很显然就可以第二、第三项就可以用基本不等式大于等于，这边是一减二 nonab 的 a 方加上，这边是二根号 nonab 加上二根号 nonab 的 ac， 那既然这样的话，我们剩下的观察一下我们最后要的是什么？ a 方加 ab 加 ac， 那 既然这样的话，那我最后就是我只要让一减二 number 等于这个二根号 number 就 行了。另 一减二 number 等于二根号 number， 然后这里 number 范围我们要注意一下，因为这个一减，因为这个一减二 number 肯定要大大于零，然后 number 也不要大于零，所以说这个 number 的 范围我们可以定一下，它属于零到二分之一。 然后剩下就是我们解这个方程，就是令 t 等于根号 number， 它就变成了一减去二， t 方等于二 t， 那 剩下来的就是二 t 方加二， t 减一等于零， t 等于呃 负二加减根号下四加上 八除以二，最后就二乘二，然后最后就是负一加减根号， 这边是根号十二等于两倍的根号三，然后这个二和二约掉，一加减负，根号三除以二， 那首先就是负，因为我们这里 t 的 话 t 等于根号 number， 它肯定大于零的，大于零的话我可以把小于小于零的那一下舍掉。所以说就是最后解出来 t 等于根号 number， 它就等于这个一减一加上根负一加根号三除以二， 然后有了这一项的话，那剩下就是忙，我们把这个根号 number 给它带进去，根号 number 带进去之后，就是就有什么一减去二两倍的 number 会等于二根号 number， 我 们把这里擦一下， 这里将 number 三减一除以二，然后带进去，最后就得到一个 二根号呢，打呢？就是根号三减一被的 a 方加上 a， b 加上 a c， 然后最后最后首尾相连，我们看到了什么？就是 a 方加 ab 加 ac 出， 最后我们就得到 a 方加上 ab 加上 ac， 它乘以这边是根号三减一，会小于等于一， 然后然后剩下就把他移到左边去，他就小于等于根号三减一分之一，就等于这边根号三加一乘上，这边是三减一，等于根号三加一除以二， 答案就出来了，然后剩下的，然后剩下来就是什么那个不等式乘不等式等号成立取得 abc 的 问题，这个就跟上面是一样的，就考虑这两个不等式的取等条件就可以，这也不再赘述。 好的，那现在为止就是均值不等式加待定系数法来解这个问题，就讲到这里，谢谢。

高考数学中有一类非常好用的解不等式的工具，叫做三角换元，高一的同学呢，是先学的不等式，再学的三角函数。大部分的同学呢，见到这个工具的时候，已经高三了，往往不知道还有一个这么好用的工具。 今天呢，易超老师就通过接下来这五道题，教会你在这一类题目中学会用这个很好的工具。好，我们先来看第一道题哈，第一道题是最经典也最简单的，就是他告诉你一个条件式，对吧？等于一，让你求他的最值。 那这个式子呢？如果我们是高一的孩子，大概率会选择用一般不等式求解。那首先，无论怎么样，我们都得先对他，对他进行配方，对吧？我们配方出来是 x 加二分之一 y 的 平方加四分之十五倍的 y 平方，对吧？等于一，那显然啊，这个条件是还是太复杂了，对吧？一超老师呢，怎么处理他呢？我是不是我可以射 这个为口三 e c t， 这样的好处是什么呢？当我设了这个式子为口三 e c t 的 时候，则我立刻可以得到这个式子，可以用三 e c t 去表达那因为口三 e c t 平方加三 e 平方等于一， 用这个式子就可以得到这个结论，所以易巧老师就把很复杂的条件式转化为了一个相对简单的式子。那 而而由于易巧老师知道了，对吧，这个式子等于口三 a c 塔，这个式子等于三 a c 塔，对吧？他们开根号，那这个求最值的式子原来是 f x y， 对 吧？他就可以被老师表达为 f c 塔的函数。那最后呢，易巧老师跳过过程啊，简单说一下，这个地方表达出来的式子是口三一倍的 c 塔，加上一个根号十五分之三的三 a c 塔， 对吧？那这个式子怎么求？辅助角公式一步秒杀是不等于 a 平方，对吧？根号 a 平方，它是等于根号 a 平方倍的 口算一倍的，对吧？ r 加 f， 然后它小于等于 a， 是 不是就可以直接求出它的最值？这个就是三角函数非常好的应用方式，它的本质是把条件里比较比较复杂的平方式等于常数的这种条件做转化的简洁的表达。 好，我们趁着答题再看一道题啊，原理一样，对吧？你看这道题，他也是一个很复杂的式子，我们就李超老师就跳过过程，直接把配方配方就很熟悉了， x 加二 y， 它的平方加二 x y 的 平方，它等于三十二，那显然我设这个等于根号三十二倍的口算也在它 这个就等于根号三十二倍的三 x 塔，对吧？则也是射他则他，那这个就被我这个约束条件就被我简化成了一个更简单的约束条件好，又显然就是这个式子等于这个，这个式子等于这个，对吧？这就是这个题的约束条件好，这个最值很显然又可以被我转化成一个 f c 塔， 对吧？ f c 塔这道题它是等于四倍根号十四倍的口三 e c 塔加上四倍根号二倍的三 e c 塔， 他又是小于等于 a 倍的扣三，所以他加三，对吧？而且有的题呢，还会涉及到定义域，那我们通过这个定义域也能去求，那没有定义域的话，就直接就小于 a 就 可以，小于 a 就 可以，对吧？好，所以你看这个，这个工具真的很好用啊，同学们，真的很好用。好，我们乘热答题，再看一道题啊，第三题， 第三题，这道题就没有约束条件了，对吧？他直接让你求对值，这个就很常见了，咱们学导数的时候也学到，比如说我们令他为 f x 等于这一坨，那个同学们可能一。第一时间想到的是什么？ 第一时间想到去根号，去根号的方法两种嘛？一种就是求导，对吧？一种是可能构造，比如说 f x 等于他们相加，然后设一个 g， x 等于他们相减，然后相乘。这个是高一老师教的方法，高二呢，可能尝试求导都很难。 那其实这道题藏的一个约束条件是什么？小老师带你们拆解一下，就是这个根号和这个根号里面，它其实是可以隐性的构造出一个条件的。比如说我们假设设这个为根号，根号这个为 a， 哈，这个根号是一个坨，好，假设我们设这个为 b， 好， 同学们，你看是不是 a 的 平方 加上 b 的 平方，哎，不行，但是我 a 的 平方怎么样？乘以二加上 b 的 平方，是不是等于二倍的 x 减一加八减二， x 是 不是等于六了？所以你看，那我们是不是可以射，怎么了？是不是可以射 根号？二， a 等于六倍的口算 a c 塔，那同理 b 是 不是就可以等于六倍的三 a c 塔，对吧？这个 ab 你 们把它带回去，是不是我就成功的做了一个三角，三角换元了。那三角换元以后呢？这个题又被我转换成了 f x 就 等于了 f f c 塔，对吧？它应该等于一个关于 c 塔的一个式子啊，它是等于三倍根号，三倍的 三赢平方 c， 它加六倍的根号，六倍的口三赢 c， 它， 对吧？好，那这道题呢，我们可以把它转换成什么？是不是可以把这里转化成这个口三赢，它变成一个关于口三赢的二次函数， 然后呢，我们再去根据它的这个条件，对吧？我们去找到这个 c， 它的这个定义域，就能把这个根号取出来，或者分类讨论，那就 f c， 它本质上是关于一个这个 s 函数，就能求到它的最值了，看是不是大大简化了我们的工作量。 好，我们再看一道题啊，春夏打铁啊，这道题讲的是满足什么什么什么啊？这个题目一样啊，你看，虽然这个题目里没有一二，但是首先对于这个式子，我们在做学圆锥曲线的时候，尤其是离心力的时候，是不是经常见到这种式子啊？这种式子要怎么处理啊？是不是降次呀？对吧？我们把这个除过去， 所以除过去以后又是一个常数式子了，对吧？一小老师就列过这，这个，最后是五分之五 x 分 之三，加上什么？加上五 y， 分 之一等于一，那你看，又出现了一，那我们可以设什么？设这个为口三引平方 c c 塔，这个为三引平方 c 塔， 然后三 x 加四 y， 一定可以被老师整理为一个 f， 对 吧？ f c， 它这个 f c， 它。最后我们不管是用什么，这道题， f c， 它应该是等于五分，五分之九倍的 time， 它 time， 它 c， 它 加上一个什么？五分之四倍的 time， 它平方 c， 它分之一，再加一个常数，你看到了这里我们有一般不等式就能求解，所以你看也是大大简化我们的工作量。 那包括这个题目里没有写啊。一下老师再给你们补充一道题，比如说有时候我们看到一个式子跟这个式子三很像，我们有隐含的约束条件，比如说我们求一个 f x 啊，它等于什么？ x 平方加二加 x 随便写哈。那这个题你看 这个题乍一看啊，求倒，对吧？乍一看是得求倒，或者构造一些平方式，把这个去掉啊，平，完全平方差公式把它去掉都很复杂。那一笑老师怎么做呢？是不是一笑老师想到什么？一笑老师想到有一个式子非常适合用来换元。什么式子啊？ 是不是根号下的 x 平方加一？首先这个式子为什么很适合呀？因为他一加贪间的平方 x， 我 们在学三角函数的时候是不等于什么？里面是口三一平方，所以它 加三一加那个口三就等于一哈一小时略过了，是不就等于口三音平方 x 根号，对吧？口三音 x， 你 看是不是又可以把它简化了？去根号去根号，就让形式变得简洁，所以这个数字也一样。我可以设什么？我可以设 x 平方， x 平方是等于什么？ x 平方是等于是根号二倍的，对吧？那 x x 就 被老师转化成了 根号二倍的贪见特，对吧？贪见特，贪见特 c， 它 平方加一，然后这个 x 就 等于贪见特 c， 它 f x， 老师整理一下，是不是就等于 f c， 它，对吧？它大概率就是开出来根号嘛，开出来根号就是扣三 e c， 它分之一加，比如说这里贪见特 c， 它分之一， 那他最后又可以整理为，比如说根号二倍的，对吧？根号二倍的口三引塞，他分之一加上呃， 二分之，根号二倍的三引塞他，对吧？然后我们再对这个式子去求解，他就会简单的多好。这个然后我们再看看这个第四题，这个第四题比较难啊，我再给老师指最后一道题，这个第四题呢，这个也是一个非常复杂的条件式，并且很难化解，也不可能直接一步到位做三角化圆。 所以我们也可以对这个这个所求是 x 平方 y 平方，这个直接去处理，这个怎么处理呢？同学们可以看一下这个 x 平方加 y 平方， 对吧？它是一个数，我可以设一个 f x y， 我 也可以用一个数去代表它，对吧？这个数比如说可以是 a， 也可以是 r， 对 吧？那因为它是正数 非负数，所以我也可以用 r 平方，那你看老师这么写，你是不是就有感觉了，对吧？这么写下来，它是个什么？它是个圆嘛？所以 x y 分 别又可以用什么去换圆？单位圆，对吧？ 啊？不是单位圆，是圆，对吧？那这个换完以后，这个式子是不是可以做处理啊？那这道题呢？老师跟你说啊，这道题经过比较复杂的处理以后呢？它会变成一个关于关于 r 和 c 它的等式，比如说这道题，它的等式是 一加 r 的 平方分之四，它等于 sine 四 sine 加口 sine， 你 看 相当于就是已知这个条件，让你求 r 的 取值范围， r 平方的取值范围， r 平方在这里嘛，对吧？它的取值范围是不是由这个 c 它去约束？你把这个 e 约过去，那这个 c 它这个是不是小于某个值啊？它是不是小于等于根号二的？ 那所以这个阿的方向是不是就出来了？所以你看一下，老师在做个总结，所有我们遇到求不等式的式子，比较复杂的，我们都可以考虑这个很好用的工具，比如说条件中出现式子，对吧？有平方， 有平方或者有根号，根号里面有约束，对吧？比如说约束可以是这样的约束这道题，这样的约束 也可以是老师手写的这道题，这种约束，对吧？用探监他这种式子，包括我们三角形诱导公式里，三角函数诱导公式里，学了很多类似的式子，都可以把根号取出来的，总之就是让这个式子变简洁，又包括我们在这个条件式中，结论式中出现这样的信号，都是可以尝试一下的。 ok 啊，最后今天一笑老师把这个方法教给你，也希望大家可以多多练习，把这个方法掌握会，以后再做到什么导数啊？圆锥曲线中求锥子的问题中一定能用得上。好吧，祝你们成绩步步高，拜拜。

hello， 大家好，我是小陈老师，今天呢，我们继续来看一道不等式的相关的一道题目。首先我们先来读一下题干啊， 已知 x y 都是正数，那么第一小问，若二 x 加三 y 等于三，求 x y 的 最大值。那么首先第一小问，因为你告诉我了， x 大 于零， y 大 于零，那么直接就可以使用，哎，基本不等式 是不是大于等于两倍的根号下二 x 乘以三 y， 那 么就等于两倍下的根号下的六 x y， 那 么你又告诉我，二 x 加三 y 是 不是等于三？所以三就大于等于两倍的根号下六 x y。 为了便于计算，我们可以对于这个不等式，左右双方进行一个完全呃，进行一个平方啊，所以九倍是不是就大于等于四乘以六乘以 x y， 对 不对？哎，这是相乘啊，所以这一部分我们就可以写，为什么，所以 x y 就 小于等于八分之三。在这一步，因为我们从 这里开始进行了基本不等式的一个运算，所以我们要写一句，当前紧当你这个等号要成立，所以你必须要满足这个，二 x 等于三 y 十，那么你同样也要满足二 x 加三 y 等于三 y 等于呃，二分之一十去等。 好，第一小问比较简单就做出来了， x y 的 最大值就是八分之三。好，那么接下来我们来看一下第二小问，他说啊，若 x 减 y 分 之一加二， y 分 之一等于二，且 x 大 于 y， 求 x 加 y 的 最小值，那么这一道题也比较的容易， 你先看一下分母，哎，我们先看一下分母啊，分母是不是 x 减 y 加上二 y 是 不是就等于了 x 加 y 啊？哎，这个不就是我们要求的吗？ 那么也就说我 x 加 y 可以 通过 x 减 y 加二 y 来代替。好，那么我们知道这里面又在考我们哎一的代换了，那么 x 减 y 就是 x 加 y， 是 等于 x 减 y 加二 y 的， 对不对？然后我根据这样是不可以去乘一个一，那这个一是谁呢？因为你告诉我， x 减 y 分 之一加上二， y 分 之一等于二，那么除一个二是不就可以了？所以就等于， 呃，等于多少？是 x 减 y 加上二 y 乘以二分之一的 x 减 y 分 之一加上二 y 分 之一，不就好了吗？好，那么接下来我们继续啊。呃，把这个呃二分之一移到前面来， 然后 x 减 y 去乘以这个 x y 是 不是就是一呀？加上 x 减 y， 看作一个整体，乘以这一个是不是二 y 分 之 x 减 y， 再加上二 y 去乘以 x 减 y 分 之一，那是不是就是 x 减 y 分 之二 y， 然后再加上一个一。 好，那么这里面我们就可以算出来二分之一二加上，呃，二 y 分 之 x 减 y 加上 x 减 y 分 之二 y。 好，同学们，这里面你是不是就可以发现，这个继续用基本不等式，那就是 x 减 y 分 之二 y 乘以 x 减 y 分 之二 y， 那 么就等于二， 对不对？好，那么对于整体来讲，是不就大于等于二分之一的二加上二，那就是等于二，所以我们可以求出什么？求出 x 加 y 大 于等于大于等于二。 好，那么这一个就是我们要求的。然后大家千万不要忘记，当且仅当，当且仅当 x 啊。 x x 减 y 分 之，呃，这个除以二 y 啊，等于二 y 除以 x 减 y， 这个不能忘记，那么也就说 g x 等于三， y 等于一十去等。好，那么做到这一步，大家可以看出来， x 加 y 大 于等于二，那么 x 加 y 的 最小值就是二。 那么这道题呢，主要还是通过基本不等式的一个运算啊，来进行求解啊，是一道基础题。好，那么今天我们的题型讲解到结束，感谢大家收听，我们下期再见。

大家好，我是讲数学的大宇老师，每天和您一起进步。在高中的时候，我们学过一个 基本不等式，对于 ab 两个实数，如果 a 大 于零， b 大 于零，那么就有 a 加 b 大 于等于二倍的根号下 ab， 那 这个基本不等式也可以化简一下，也就是 ab 小于等于四分之一， a 加 b 的 平方，这是一个变形。当然还有一种特殊的情况，比如说 a 加上 a 分 之一，就大于等于二，当然 a 是 实数，并且 a 大 于零， 这个式子呢，这种公式也经常用到，那对于这个公式的应用，我们今天先来看一道题目，已知 a 大 于零小于一， 求二比 a 方加一比上一减 a 方的最小值。对于这种求最值的问题，我们会首先想到一个万能 k 法，还有一个 a 大 于零和小于 a 大 于零，并且是小于一，正好是一个三角函数的 一个范围，所以说我们可以想到用三角换圆。下面我们就用这两种方法来解一下这个题。第一个 先用万能 k 法，这个我们讲过了之前，所以这次就略讲，只讲最后关键的一点。然后呢，我们就另 二比上 a 方，加上个一比上一减 a 方等于 k， 然后整理成关于 a 的 一元二次函数， 一定是关于 a 的， 而不是关于 k 的 一元，而是函数。那么经过我们整理之后呢，我们就得到了 k 乘以 a 四减去 k 加一，乘以 a 方加上二等于零，那我们如果再令 a 的 平方等于 t 的 话，那么这个就是一个关于 t 的 一元二次方程。我们看它的单调就是等于 k 方减六， k 加一一定要大于等于零，这个就是保证 a 有 解，保证这个方程有解， a 能取到一个数。然后呢，我们再把 k 的 范围去解出来，那么 k 大 于等于三加二百根，二， 或者是 k 小 于等于三减二百根。到了这同学们一看，哎，这里这有两个结果，我们还是没有办法确定应该选哪一个结果这个时候就要用到题目的 a 大 于零小于一了， 因为 a 大 于零小于一，所以 a 方也是大于零小于一的，并且一减 a 方也是大于零小于一的，所以我们就可以看出了，二比上 a 方大于一， 一比上一减 a 方也是大于一的，所以原式就等于它俩加起来，那肯定是大于 二，比上 a 方是大于二的，是大于三的，原式大于三，所以只能是取这个值，所以 k 只能大于等于三加二倍根二，那么最小值就是三加二倍根二。 这个时候我们可以解出来，这个是当 a 等于根号下，当 a 等于根号下，二减根二的时候， 原式取最小值， 原式取最小值为三加二倍根二，这是万能 k 法，关键就是这一点的，这个判断非常重要这一步的判断，然后这其实是对结果进行了一个筛选。 第二种方法就是三角换元，我们来看一下怎么利用换 三角画圆，那我们根据这个式子很容易想到，就用 a 等于 c， c， 它 c 属于零到二分派，注意两边都是 k 区间，那我们把式子整理一下，原式就等于二比三， c， c 平方 加上一比上 cos 方谁特到了，这又是一个关键的步骤点，我们应该怎么样再往下写， cos 谁特 cos 谁特都在分母上，我们肯定不能给他进行推分。然后我们这样做一下，二 cos 方谁特加二倍的 cos 方谁特，也就是说在二场乘以一个 cos 方谁特加 cos 方谁特，再除以 cos 方谁特，再加上 c 方 c 加 cos 方 c， 再出一个 cos 方 c 证明之后，我们就得到了 cos cos cos cos 就 到了三加上二倍的 cos 方 c 比上 cos 方 c， 再加上 c 一 方 c 特比上 cos 一 方 cos 这个字大家应该就发现了， cos 比 cos 比 cos 这两个是互为倒数，当然还有一个系数， 所以它就大于等于三加上二倍的根号下二，因为这样一相乘的话， cos cos cos cos 都给约掉了，这个时候我们也可以解出来，最后推出来 a 还是等于根号下二减根二。 这个方式也是比较简洁的求解这道题的一个方法，当然我们还有一个第三种方法，当然这个方法是一个错误的方法，大家看一看。 对啊，这个是错误的方法，我给大家看一看。 直接求二比上 a 方加上的一比上一减 a 方大于等于二百的根号下二比上 a 方乘以个一减 a 方，直接用基本不等式。 然后呢，我们要求这个式子的最小值，那我们要求 a 方 乘以一个一减 a 方的最大值，因为如果你这个是值大于等于十，那大于等于二十的话，那肯定是如果大于等于十的话，那取到的值会更小。所以说我们要求 a 方乘以一减 a 方的最大值， 我们要求它的最大值，它的最大值怎么求呢？根据我们上一页推导的这个公式， a 乘以 b 小 于等于四分之一， a 加 b 的 平方，我们可以看一下， a 方乘以个一减， a 方小于等于四分之一， a 加 b 正好是一，那就乘以一的平方等于四分之一，所以 a 方乘以一减， a 方的最大值就是四分之一。所以说括号里面的根号下面的最小值就是 八，所以二比上 a 方加上一比上一减， a 方的最大值就是 四倍根。那这种解法为什么是错误的？要请大家再思考一下。如果有什么想法，可以在评论区进行留言， 如果你觉得大宇老师讲的不错，请关注我，我会持续输出数学知识干货！

同学们大家好，今天老师要跟大家一起来学习函数值域的求法。 首先我们来回忆一下前面所学习的常用的函数的值域求法有哪些呢？那分别是以下六种，它们是观察法、配方法、换元法、分离常数法、判别式法以及基本不等式法。 那今天呢，老师要给大家分享两道关于复合函数值域求法的问题。好，首先我们一起来审题。已知 y 等于 mod 以零点四为底，负 x 平方加三， x 加四。好，这样的对数函数，那我们要求这一个函数的值域， 从这里看到函数的值域呢，它实际上是一个对数函数，而在它的真数部分， 那负 x 平方加三， x 加四啊，那它是一个二次函数，所以说呢，在这里它是一个复合函数，那我们如何来求解这一个复合函数的值域呢？首先我们要求解这个对数函数的值域问题呢， 我们要知道它的真数部分是多少，所以说不妨我们把真数部分呢，把它令为 t。 好， 这样子的话，我们可以得知 t 是 等于负， x 平方加三， x 加上四的， 那这样子用换元法呢？把真数部分看成一个整体 t， 这样子 t 是 一个关于 x 的 二次函数，同学们，我们可以得知，这个二次函数它是开口向下的， 所以说它有最大值。那在哪个地方它取得最大值呢？很明显是在对称轴这个地方，我们这一个 t 它有最大值。 于是呢，我们就当 x 等于负的二 a 分 之 b 的 时候，咱们把它带入进来，就是负的二 a 负二分之三，也就是这个式子是二分之三的时候呢，我们 t 由最大值。 好，那咱们带进来可以得知好 t 的 最大值，也就是负的二分之三的平方，也就是四分之九， 然后再加上三乘以二分之三，也就是二分之九，再加上四。好，咱们合并同类项，可以得知这个函数的最大值呢，是四分之二十五。 好，那这个时候是否 t 的 范围就是小于等于四分之二十五呢？同学们一定要注意啊，在这个地方呢， t 它的身份是真数，而我们的对数函数当中，真数应该是大于零的，因为 t 是 大于零的，所以说我们可以得知 t 的 范围 应该是零到四分之二十五的。 所以第一步我们用换元法解决了这个复合函数当中二次函数的这一个值域问题，由二次函数的值域问题呢，得到了 t， 也就是真数的取值范围。好，下一个问题，从而我们就把这个对数函数转化为 那个以零点四为底好， t 的 对数。当然呢， t 呢，它是在 零到四分之二十五前开后闭这个区间当中的。好，现在我们可以看到这个对数函数，它的底数是零点四，所以说根据对数函数的图像，我们简易的画出它的函数图像。 好，函数值是 y， 那 这个时候自变量我们就应该看作 t 了。这个时候由于 a 是 零点四，它在零到一之间，所以说函数图像从左往右是依次下降的好，那它过的定点呢？是 e 多少零， 那同学们现在可以观察得到这个函数，当 t 在 零到四分之二十五的时候，那零呢？就是左边的部分四分之二十五。我们很容易找到这一点啊， 这个点，假设这个点是四分之二十五的时候，那我们可以计算出它所对应的 y 值，这个时候呢，对应过来函数的 y， 它有最小值，所以说它所对应的函数图像呢，也就是图中好，老师把图像的颜色变成蓝颜色的这一部分。 好，现在呢，我们可以计算出，当 t 等于四分之二十五的时候，好，我的 y 由最小值好带入进来，也就应该是等于以零点四为底，四分之二十五的对数。 好，那同学们，由于这个地方真数部分它是一个分数，所以说呢，我们也可以把零点四化成分数， 也就是诺个五分之二为底。然后呢，同学们可以观察到，四分之二十五实际上是二分之五的平方，那我们就可以把它换成五分之二的负 二次方，是负二，所以说最小值呢，是负二函数，它的值域就应该是负二到正无穷。 好，那么这一道题呢，我们用到了化缘法好，也用到了这一个二次函数求值域，也就是配方法或者是综合法，也用到了这一个用观察法来求这个函数值域的问题，它是一道比较综合性的题目。 好，接下来我们来看一看，如果我们在复合函数当中已知值域反过来，是否同学们可以快速的求出它的参数呢？请看这样的一道题， 若函数 f x 等于 n 个，在这个地方。好，那它呢，是以十为底的这个对数真数部分是 x 平方减二 a， x 加 a， 它的值域为 r。 好， 现在要求 a 的 取值范围。好，那我们怎么来理解它的值域为 r 呢？这个函数呢，也是一个负函数，为了方便同学们理解，我们也可以把真数部分比较复杂的这一部分，把它令为 t 啊，咱们也就是令 t 等于 x 平方减二 a， x 再加上 a， 那 我们要求的这个函数，那就转化成 f， t 的 问题等于 log 以十为底， t 的 对数，它的值域 可以取到 r， 这个问题啊，对不对？好，那由于这个对数函数它的底数是十，所以说我们可以简易地画出它的函数图像。好，函数图像是从左到右呢，依次上升的。好，这个地方 过的定点呢，是一度二零，那它的值域为 r 代表什么含义呢？哦，这个地方我们把它写成 t 啊，它的值域为 r， 就 代表的是，也就是所有的 y， 它都是可以取上的。 那既然所有的 y 都可以取上，说明根据图像我们可以看出，这里的 t 应该可以取到所有的正的实数， 这里的 t 可以 取到所有正的实数。那这个问题呢，就转化为我们的 t 应该取进，也就是在原点右侧的所有的 t 啊，正的 t 正数，它都可以取，取进所有的正数， 这样子呢，我们才能够保证 y， 它的值域呢？是 r。 好， 是这样子的，所以说，那我们把 t 转化为要取进所有的，呃，正数，也就是 转化成这个 t， 二次函数等于 x 平方减二 a x 再加上 a， 它的值域是要取到所有的正数的，也就是这一个函数的值域要把所有的正数都取到。 那现在呢，我们只只能得知这个二次函数，它是开口向上的，但是呢，它的对称轴和与 x 轴交点情况是什么样子我们不知道，所以说现在我们要进行分类讨论。 那么第一种情况，如果它与 x 轴没有交点的时候，那函数图像是这样子的，对吧？好，那这是我们的 x， 这是 t， 那 同学们可以观察到， 这个时候呢，它并不能使 t 取到所有的正数，为什么呢？我们可以看到最大值是在这儿，而这一部分所对应的正数，那 t 呢？它是取不到的。如果函数图像长成这个样子， 所以说德尔塔小于零的时候呢？这种情况是不能够让 t 取得所有的证书的，所以说这种情况呢，要舍去。好，那我们再来看，如果德尔塔等于零的时候，德尔塔等于零的时候，那函数图像就是这个样子的，对不对？好，那同学们可以观察得到。 你看，我们这是 t， 这是 x， 那 这个 t 在 这个地方是不是所有的正数啊？以及 t 也可以取零都可以取得到呀？所以说德尔塔等于零是符合条件的，因为 t 它可以取到所有的正数。 那第三种情况也假如它怎么样与 x 轴有交点的时候是这样子的。好，那大家可以观察得到。你看，那这个时候 t， 那 是不是所有的正数都可以取到呢？请看我们在 x 轴上方的这一部分函数图像， x 处上方这本函数图像，那其实我们可以保证所有的 t 就是 这个 t， 所有的正数都可以取得到，对吧？零这个地方不取啊，好，来，这个地方是不是也是一样的，所有的正数都能取到，所以说我们可以得知， 在这里呢？ t， 呃，德尔塔大于零也是符合条件的，所以说综上所述， t 要取得所有的正数的话，那我们必须要保证德尔塔怎么样呀？大于等于零，那德尔塔，那根据这一个二次函数可以得到，它是 b 的 平方减四 a c， 也就是四， a 的 平方减四乘以一，再乘以 a， 必须要保证它大于等于零。提一个四 a 出来，就应该是 a 减一大于等于零。 好，一个根是零，一个根是一。好，开口向上，我们知道大于取于两边，所以说可以得知 a 的 范围是小于等于零，或者是 a 是 大于 等于一的。好，那这个地方因为我们能取到等号，所以说呢，这个地方实心圆圈，把等号也取上去。好，这呢就是我们这道题 a 的 取值范围。好，今天的内容呢，就讲到这里，再见。

尊敬的各位评委老师，大家好，我是今天一号试讲考生，我试讲题目是基本不等式，下面看我试讲。上课，同学们好，请坐！ 所以我们在学习本节课之前呢，我们先来回一下上节课我们利用赵爽的前途来得到了重要不等式，有没有哪位同学愿意帮大家来回一下重要不等式的内容呢？好意思再问来说重要不等式， a 方加 b 方大约等于二 a b。 好，等号什么时候成立呢？等号成立当且几呢？ a 和 b 相等，很好，请坐。好，我们先来回一下我们上节课学的重要公式，也就是 a 方加 b 方大于等于二两倍的 a b。 等号成立呢，当且几呢？ a 和 b 相等。 好，我们现在如果假设呢， ab 都是大于零的数，那我们用根号 a 和根号 b 分 别替代重要不等式里面的 ab， 我 们能得到什么呢？ 我们一起来看一下。我们来看左边，我们可以很容易得到，这边是 a 加 b 对 吧？左边是 a 加 b， 而右边呢，是不是两倍的根号 a b 啊？右边是两倍的根号 a b， 那等号什么时候乘以呢？等号乘以当且减， a 和 b 相等对吧？以及是等号乘以当且减，这时候 a 是 根号 a 和根号 b 相等，我们两边同时平方一下，也就是 a 和 b 相等。 好，这个呢，就是我们这一个学习的主要内容，基本不等式。 好，我们一起来看一下基本不等式的描述。好，任意两个实数 a、 b 当然是大零的正数。好，任意的 a、 b 大 零 都有 好，二分之 a 加 b 大于等于根号 a b。 任意的两个正数大于零都有二分之一加 b 大 于等于根号 a， b。 好， 等号成立呢，当且仅当 a 和 b 相等。 好，这个呢，就是我们这一课学的主要内容，基本不等式。好，我们刚才呢，我们是利用我们上节课得到重要不等式来推导出来这个基本不等式。 那我们想知道能不能我们能不能利用我们上节课讲不等式性质来证明这个基本不等式呢？ 在解决这个问题之前呢，老师来介绍一下，在数学上呢，我们一般把二分之 a 加 b 呢，称为是算数平均数，而根号 a b 呢，我们称为是几何平均数。好，二分之 a 加 b 算数平均数， 而根号 a b 呢，我们称为是几何平均数。 那这个基本不能是告诉你什么，也就是说算术平均数大于等于几个平均数。好，那我们介绍了这个， 这个是算数题型，几个题型，那我们来回到我们刚才老师提的这个思考题上，我们能不能上节课，我们讲了一些不等式很多的性质，我能不能从不等式的性质入手来证明出来这个基本不等式呢？好，请同学们跟着老师一起来探求一下。 好，我们要证明这个基本不等式。二分之 a 加 b 大 于等于根号 a， b 大于等于根号 a b， 我 们要证明这个这个不等式。那我们是不是只需要证明我们两边同时乘上一个二，也就是 a 加 b 减去两倍的根号 a， b 大 于等于零了， 我两边同时乘上一个正数不等，方向是不变的。然后呢，我们把右边移到左边，我们可以是不是只要证明下面这个式子乘以就可以，大于等于乘以就可以了，对吧？好，让我们仔细观察一下这个式子。 这个狮子呢？啊，老师听到同学说了，这个是玩具平方公式，对吧？这个 a 呢，我可以写成根号 a 的 平方， b 呢，我可以看成根号 b 的 平方，那这是不是就是我们之前讲的玩具平方公式，也是根号 a 减根号 b 的 平方大于等于零，这显然成立了，对不对？在初中我们就学过，任意一个实数的平方一定是大于等零的， 一一个实数的平方等于零，是当前以呢这个实数为零，对吧？好，根 a 减根 b 的 平方呢，大于等零成立的，那我们是不是就沿这个这步成立， 那我们反而推之，进而推之呢？这个基本公式是成立的，对吧？而这种方法呢，在数学上我们称为是分析法，也称为是直播锁音法，我们这种方法在后面会经常用到，请同学们一定要认真体悟这种方法，牢牢掌握，我们称为是分析法。 好，那我们来看什么时候取等号呢？取等号是不是以及是等号成立，是不是 这个为零？这个为零就是根号 a 和根号 b 相等，那我们两边同时平方，也就是 a 和 b 相等，对吧？当解底呢？ a 和 b 相等， 以及等号成立呢？ a 和 b 相等，那这样的话，我们是不是就证明出来了基本不等式，对吧？好，那我们刚才呢，我们利用了 分析法来证明出来，这个基本不懂事，那我们想知道这个基本不懂事有没有什么几何意义呢？如果有，它几何意义是什么呢？ 请同学们来看 ppt 上展示这道思考题，老师给大家两分钟时间，以小组来进行讨论。两分钟后呢，我们请同学来回答一下。 好，时间也差不多了，老师在黑板上画了个草图，我们请同学来说一下这个已知什么吗？这个条件已知什么？好，三个答案来说 啊，它告诉我们，这是一个圆，对吧？ ab 是 直径， o 是 圆心， 然后这个 ef 呢？是和 ab 是 垂直的，对吧？ ef 和 ab 是 垂直的，那它是它已知什么？已知这个 a h 长度呢？也就是说这段长度是 a， 而 b h 长度是 b， 对 吧？ b h 长度为 b。 好， 这是已知条件，它让我们求什么呢？啊？它让我们看这个 o e 和 e h 长度， 对吧？很好，请做好题目，让我比较，让我比较这个 o e 和 e h 长度。 好，我们一起来分析一下。朋友们，如果这个 h 和 o 不 重合的话，那这个 o、 e、 h 是 不是一个直角三角形呀？ 那直角三角形，这个 o e 是 斜边，我们就知道，初中我们就知道斜边一定大于另一条直角边，对吧？ 如果这个 o 和 h 不 重合，这个 o e 是 大于 e h。 还有种情况，如果这个 o 和 h 重合的话，那这要是 o e 是 不是和 h、 o e 和 h e 是 相等的，对吧？ 那经过我们刚才分析，我们可以得到 o e 呢？它一定是长度一定是大于等于 e h， 对 吧？好，我们得到了 o e 的 长度，一定是大于等于 e h。 我 们再来分析一下，我们知道 a h 是 a， b h 是 b， 也说直径是 a 加 b， o e 是 什么？ o e 是 不是圆的半径？半径等于二分之一加 b， 对 吧？好，我们可以很容易求出来， o e 等于二分之一加 b， 好，我们再来看 e h， 这个 e h 我 们能不能求出来呢？那么我们来仔细分析一下这个图形，我们注意看，这时候呢， ab 是 圆的直径，对吧？直径所对的 圆形角，这个角是多少度？这个角是不是九十度啊？九十度的话，我们来看，这是不是有三角形相似呀？ 没问题吧，我们俩同学能看出来哪哪两个三角形相似，好，四个单位来说 啊，三角形 a e a， e h 和三角形 e b h， 对 吧？三角形相似，很好，我们有相似三角形的话，我们是不是可以得到对应边是成比例的，对吧？我们来看，我们来把这个写一下，三角形 a e h 相似于三角形 e b h， 这样跟三角形相似，相似，三角形对应边是成比例的，对不对？好，我们来写一下，就说 a h， a h 比上 e h， 它等于 e h 等于 e h 比上啊 b h， 对 吧？好， a h 我 们知道了， b h， 我 们知道我们代入，我们是不是可以把这个 e h 给求出来，对吧？ e h 我 们经过简单计算，我们可以知道 e h 它是等于根号 ab 的， 对吧？好，我们刚才我们分析，我们得到 o e 是 大于等 e h 的， 那是不是 o e 我 们求出来的， e e h 求出来的，那我们是不是可以得到， 我们把它代入，就是二分之 a 加 b 大 于等于根号 ab， 对 吧？这就是我们刚才的那个基本公式，那什么时候取等号呢？也就是 o e 什么时候 e h 相同， o e 和 e 相等，是不是 o 和 h 是 重合的， o 和 h 重合的话，那这时候这个 a h 是 不是和 b h 是 相等的，对吧？ 内级是，当切抵挡 a 和 b 相等时候取等号，对吧？好，等号乘以呢？当切抵挡 a 和 b 相等时候取等号。 好，咱们来仔细来分析一下，我们刚才得到这个式子，我们现在把这个式子呢，等号两边同时乘上一个二正数不等号，八号，人家是不变的，对吧？然后我们可以得到是 a 加 b 大 于等于等于两倍的根号 a b。 好， 我们来看右边两倍的根号 b 是 不是 e h 的 长度， e 是 不是 e f 的 长度？ e f 是 圆中的弦对不对？而 ab 呢，是圆的直径，那是告诉我们什么呢？比如说圆中任意一条弦的长度一定小一等直径，那在我们初中我们学过圆的知识，这显然的对不对？ 那这个基本不等式的几何意义？就是说圆中这一条弦的长度一定是小于等于直径的，对吧？好，这就是基本不等式的几何意义。 好，请同学们来看 ppt 上展示的这两道思考题，老师给大家两分钟时间，以小三进行讨论一下。两分钟后呢，我们请同学来回答一下。 好，时间也差不多了，我们请好四组答案来回答一下。好，第一题，他让我们求当 s 大 于等于 s， 当 s 大 于零的时候，让我们求 x 加 x 分 之一的最小值，对不对？ 好，我们来看 x 加 x 分 之一，当 x 大 于零的时候， x 是 大于零的， x 分 之一也是大于零的。那这时候呢，我们是不是可以用一下记不等式， x 加 x 分 之一大于 x 加 x 分 之一，是不是大于等于两倍的根号， x 乘以 x 分 之一啊，对吧？那是大于等于二。老师在这里特别要提醒大家，我们在做关于基本公式的时候，一定要验证这个等号能不能取到。 等号什么时候成立呢？比如说当前你呢， x 等于 x 分 之一的时候，我们现在题目中限定 x 大 于零，是不是 x 等于一的时候取到，并且 x 加 x 分 之一是大于等于二，这个二是可以取到的，对吧？很好，请做 好，我们再来看。为了说明这个等号能能否取到的，我们再来看这个第二题。现在呢， x 是 大于一，它让我们求 x 加 x 分 之一的范围 啊。老师听了同学说二到中求包括二，有的同学说包括二，有的同学说不能包括二， 那问题就出现在这个二能不能取到，对不对？好，我们注意看，现在它的范围是 s， 字边上要对字边上要求是 s 大 一，也就是说这个 s 是 不能取到。 如果他要取到等号是不是 x 等于一，那题这个 x 不 等一，也就是说这个等号是不能取到，是不是颜色大一点？那如果说题目中按这个题 x 大 一的话，那 x 加 x 分 之一，那是不是他应该属于二到六无穷呀？ 也就是说他是大于二的对不对？他是不能取到，不能取到二的对不对？这个我们在做不等式的类型题目，一定要注意，等号能不能取到，一定要去验证一下。 好，不知不觉呢，这一课也快结束了，有没有哪位同学愿意帮大家回一下这一课学生们有没有收获呢？ 好，数学再往来说啊！这一课我们是先来回忆一下，我们上一课利用赵爽行动得到重要不等式，然后我们利用重要不等式，特殊情况呢，我们得到基本不等式。我们还介绍一种非常重要的方法，就是分析法， 也称为是值果锁因法。好，这个基本不等式大家一定要牢记啊，比如说任意两个正数，它的算数平均数一定是大于等于几何平均数的等号成立呢，当且比呢， a 和 b 相等。我们又介绍了基本不等式的几和 e。 很好，请坐 好课后作业呢，大家就把练习题一练习题二做了，有预约的同学呢，可以做一下练习题三好，全体下课。各位评委老师，我的思想到此结束，谢谢老师！

今天我们要带来的是求不等式最小值的三种解法，第一种是一的代换，最常见的第二种呢是利用全方和不等式，那么第三种呢，则是利用拼凑法。 那首先我们来从最基础的一的代换这种方法讲起，首先我们注意到这里题干中的条件有，而二 x 加 y 等于一，然后要求 x 加 y 除以 x 乘 y 的 最小值是多少？那这个时候啊，我们看到这样一个形式的分分式啊，我们自然会给它进行一个拆分处理啊， x 加 y 除以 x， y 是 不是就等于 y 分 之一，加上 x 分 之一？呃，这里提一点注意 啊，假如这个分式是 x 乘 y 除以 x 加 y 啊，那么它就不可以像这样直接进行拆分。好，那我们将这个分式拆拆分成为 x 分 之一，加上 y 分 之一。那下一步怎么做？下一步我们就注意到题干中我这个条件二， x 加 y 等于，因此我们就可以把这个一代换成二， x 加 y， 所以 我们就得到这样一个式子， y 分 之二， x 加 y 加上 x 分 之二， x 加 y 啊，然后给它进行一个化简，是不是就等于二 x 除以 y 加一，加上二，再加上 y 除以 x。 那 此时我们将常数放到一边，把两个分式啊，带未知数的分式放在一起， 加上 x 分 之 y 加三。那么看到这样一个形式，我们想到什么？我们是不是想到了基本不等式 x 加 y 啊，大于等于两倍根号 x 乘 y 啊？这里我们我们可以不用 x 和 y 表示，用 ab 表示会好一点，避免跟这边的 x 和 y 搞混，要注意两边的 x y 不是 一个 x y。 好， 那此时我们这里可以用基本不等式，注意二，不要丢掉哈。啊，那么 它是不是大于等于两倍？根号下 x 是 什么？ x 是 不是 a 是 什么？ a 是 不是就是两倍的 y 分 之 x， b 是 什么？ b 是 不是 x 跟住 y， 那 此时消掉，消掉，消掉，消掉，里面是不是就剩下个根号二，那这里是不是就变成了两倍根号二，这时候加个三啊，最小值就求出来了啊。这里如果是需要你写出来题目，你就可以说，注意，当 a 与 b 相等的时候，等式成立啊。好，接下来我们介绍第二种方法，全方和不等式。 那么在进行全方格之前，我们先要对这个分式进行一个处理啊，我们看到这里二 x 加 y 等于一，好，这个条件告诉我们什么？是不是告诉我们 x 和 y 之间的关系，那我们是不是就可以把 y 放在一边，把 x 放在一边，那 y 是 不是等于一减二 x， 那 此时我们再把将一条式子放到圆式中去，那是不是整个 分式就只剩下了含 x 的 式子，就乘乘一个。 好，那么下一步我们要怎么处理呢？那么他啊，很多同学这时候就会直接进行一减 x， 下面就是 x 乘以一减二 x， 但是往往坐到这里，坐到这一步的时候啊，同学们就蒙了，这样一个式子，我要怎么去进行下一步的操作呢？那其实这里啊，我们不用急着点它啊，化掉啊，这里我们可以 对它进行一个拆分，我们把 x 看做一个整体，把一减二 x 看做一个整体，那此时我们会得到什么？是不就是啊，一减二 x 分 之一加上 x 分 之一，那此时我们才到了我们运用乘方和不等式的时候，那此时我们把乘方和不等式先写一边， x 分 之， a 方加 y 分 之立方大于等于 x 加 y， 下面是 a 加 b 的 平方 全方格，它的本质是什么？它就是为了消除掉这些未知数，或是消消除掉参数，那 这里减二 x， 这里是一个单独 x， 我 们是不是就没办法在最后一步通过 x 加 y 把它消成一个常数呢？那有同学就想到这好解决，这里是减二 x， 那 其实我这里只要满足一个正二 x 的 条件，那么它们相加在一起是不是就消掉了？没错，而至于分子部分呢？一是不是可以看作一的平方？一看作一的平方，那么这道题我们就有思路了， 他是不是就等于一减二 x 分 之一加上二 x 分 之二啊？上下两边同时乘个二，那此时我们直接代入平方不等式，他是不是就大于等于下面加在一起，一减二 x 加二 x 上面呢？一看做一的平方， 然后他就加个二呢？二是不是就看做根号二的平方，那么一加根号二的平方，那下面就只剩下的一了，所以整个式子就等于一加根号二的平方，那么我们拆开来，一加二倍根号二，再加二， 那是不是就等于二倍根号二加三，那答案就出来了。好，那么接下来介绍第三种方法，拼凑法。 那么什么是拼凑法呢？拼凑法，也就是配凑法。接啊，我们刚刚将 y 等于一减二 x 代入之后，会得到这么一条式子啊，一减二 x 分 之一加上 啊， x 分 之一啊。拼凑法，其实就是让这个式子再去扯你一个式子，使得它们可以形成能运用基本不等式的情况，它是一个什么样的原理呢？ 啊？比如这样，我有这么一个式子， x 分 之一啊，一减 x 分 之一，那此时我们要求他们两个数相加的最小值，那我就会想到，我是不是能给他们外部再乘个一呢？而这个一是不是就是利用两个分母之合呢？那是不是就可以乘个 x 乘以啊？ x 加上一减 x， 那我们将这个一减 x 看做一个整体，把它当做第一个数，把它当做第二个数，然后这个数与这个数相乘，会剩下一个常数一，而这个数与这个数相乘，就会变成，嗯，一减 x 分 之 x， 同理，这个数与这个数相乘，也会变成一个常数一，而它与 x 分 之一相乘，则会得到这么一个式子， 那此时我们就可以利用基本不等式。但是使用这种配错法有两个前提条件啊，一个是这边必须是得出来的数，必须给他划掉，必须让他乘的是个一啊，如果这里是个二，要怎么处理呢？如果这里是二，那我们之后记得一定要给他除个二，乘多少我们就还回去。明白。 第二个点呢，则是在配错的过程中啊，你要注意分子，分子一般是不含有其他未知数的。好，那我们这个地方就可以接我们刚刚的思路啊，我们能够把它们分母之合给它消掉，那要怎么做呢？是不是同时乘个二，那此时我们就有思路了啊，一减二 x， 大家看对的数，再加上二 x， 当它乘以啊，乘以这个式子，这个式子的答案是不是等于一？乘以这个式子乘个一没问题，那我们对它进行计算啊，是不是就是啊， 这个与这个相乘，等于加上这个与这个相乘，是不是二 x 分 之两倍的一减二 x， 而这个式子与这个式子相乘，则会得到一减二 x 分 之 二 x 与这个式子相乘呢，则会得到二。那注意，我们这里不用急着把这两个二划掉。为什么？因为我们最后要用基本不等式给它消掉，那是不是先把长处放一边？三加上这个式子，我们用基本不等式 x 加 y 大 于等于两边根号 x y， 那是不是就是啊，大于等于两倍根号下二 x 分 之两倍的一减二 x， 再乘以一减二 x 分 之二 x， 此时消掉，消掉，消掉，是不是就剩下个根号二？所以照解答也出来了，三加二倍根号二。当这一题还有其他的解法啊，你能想到多少种？

我们先来复习一下不等式的基本性质。不等式的三条基本性质。 不等式的基本性质一、不等式的两边同时加上或减去同一个代数式不等式仍然成立，用符号语言可以表示成，如果 a 大 于 b， 那 么 a 加减 c 大 于 b 加减 c。 不 等式的基本性质二、不等式的两边同时乘或除以一个正数不等号的方向不变，用符号语言表示乘， a 大 于 b， c 大 于零，那么 a c 大 于 b， c 或者 a 除以 c。 不等式的基本性质三、不等式的两边同时乘或除以同一个负数，也就是 c 小 于零，那么 a c 小 于 b， c 或者是 a 除以 c 小 于 b 除以 c。 好，循完了不等式的基本性质，我们就可以利用不等式的基本性质来解不等式。下面我们以两个例题为例，来规范一下解不等式的步骤。 x 减五大于负。一。第二个不等式是二， x 大 于等于三。既然利用的是不等式的基本性质，我们都要搞清楚利用的是不等式的哪一个基本性质。看第一题， 我们要把 x 减五大于负一化简成最减的形式。那是最减的形式是什么样的形式？最减不等式的形式就是 左边只有 x， 右边是只有一个数的形式， x 大 于 a 或者是 x 小 于 a 的 形式，这叫把不等式解到最底了。好，那以按照这个要求，我们会发现，我们要解这个不等式的话，必须把负五去掉。 那大家想一想，负五也就是减五，减五怎么就去掉了呢？很明显，我们要把减五去掉，是不是要加五呀？也就是在不等式的两边同时加五，一定要记住，不等式的两边同时加 好。写上这句话，你要不根据你要同时加五，保持这个不等式不变，是不是根据不等式的基本性质一，所以刚开始做的时候，大家一定要注意，不要图省事。根据不等式的 基本性质一，两边都加五的， 那这样的话变成了 x 大 于负一加五，即 x 大 于四， 这样就把这个不等式化简成了最简的形式。好，按照这个例子来解第二个不等式。解第二个的不等式就需要把负二去掉。大家想一想，我要把负二去掉，是加减乘除中的哪一个？ 很明显是不是除除以负二？除以负二要应用不等式的基本性之几？要应用不等式的基本性之三。所以 我们是解不等式两边同时除以 负二得。好少肉写了一句话啊，是根据不等式的基本性质三，根据不等式基本性质三， 不等式的两边同时除以负二，得就是 x 大 于。大家想一想，根据不等式的基本性质三，大家可以把不等式的基本性质三的内容再说一遍。 不等式的两边同时乘或除以同一个负数不等号的方向发生变化，那这个是大于等于号就变成了小于等于号， x 小 于等于三，除以负二，即 x 小 于等于负二分之三。 好，那按照不等式的基本性质，我们都把上面的两个不等式化简成了 x 大 于 a 或者 x 小 于 a 的 形式，那对于这道题， 解题不能到此为止。我们在解不等式的时候，往往还有另外一个要求，就是把不等式的解集表示在数轴上。前面我们已经说过， 对于不等式的解析，在数轴上如何来表示？首先我们要准确的画出数轴，画数轴的时候大家记住啊，一定要根据利用直尺铅笔来画出数轴的三要素， 大于四，所有大于四的 x 都符合要求，所以所有的 x 应该在四的右边，大于四那就是在四这画一个空心的圆，不包括四。 然后第二个不等式的解集是 x 小 于等于二，负二分之三。同样的我们需要画一个竖轴， 负二分之三在负一和负二的之间，而且你会发现这个负二分之三单位长度里边没有。在这种情况下，我们首先要把负二分之三这个点找到，然后在下边写上这是负二分之三。 还要看一下我们这个解析包含不包含负二分之三，我们会发现是有等号的，既然有等号就要把它画成实心的圆，然后既然是小于等于，那么就是实心 往左，那这样的话我们就表示出来了，这个不等式的解析，大家学会了吗？

同学们，今天我们来学习基本不等式的证明。首先我们画一个单位圆，圆上有 ab 两点， ab 为直径 点， d 是 直径上的一点，我们能得到 ab 的 直径长度是 a 加 b。 好， 这时候我们做 cd 垂直于 ab， 把 a 和 c、 b 和 c 经相连，我们发现直径所对应的圆周角，这是直角。好， 因为 a、 c 和 bc 相连之后，我们发现这里边有几个三角形，这个三角形呢？好，首先我们来看 他是直角，而他也是直角，他们共用着一个角角 b 啊，也就是说这个和这个是直角啊，角 b 等于角 b， 所以呢，我们能得到角 a 可以 等于角一。 好，又因为角一等于角 a 了，而他俩都是直角，所以呢，我们又可以得到角 b 等于角二，好，我们这可以得到相似三角形 a、 c、 d 相似于三角形 c、 b、 d。 大家一定要注意啊，相同的角一定要相互对应着，比如说角 e 和角 a 相等，那么就 a 和 c 是 对应的啊，角二和角 b 相等，所以呢，啊，角 c 和角 b 对 应着。 因此我们可以得到一个相似的性质 cd， 因为这两个三角形是相似的，可以有 cd 调边比上 a、 d， 它等于 b、 d 这条边，再比上这条这个三角形的 c、 d， 因此得到 c、 d 的 平方等于 a， d 乘以 b， d 等于 ab， 那 c、 d 呢？又可以得到根号下 a 乘 b。 好， 这时候我们连接 a、 o、 o、 c， 它是直径的一半，所以等于二分之 b 加 b。 我 们动态来观察一下 o、 c 与 c、 d 的 长度的关系。 好，斜边是永远大于等于它的另外两条边的，除非它落在同一条直线上。好，通过借移动比对发现 二分之 a 加 b， 也说这个斜边啊，他一直保持大于根号 a 乘比啊，只有一种情况是等于的，就是 他落于同一条边了，也就当前己呢 a 等于 b 式等号成立，所以我们就可以得到这个基本不等式，同学们你们看懂了吗？

好的，欢迎回来，我们继续讲一下这个剑境杯的多选压轴题，也就是整张试卷的第十一道题，这道题目的话是一眼看上去就是一个不等式的一个题目， 或说是比大小吧，那这种题目啊，往往就是被很多人诟病了，对吧？觉得这些题目没有什么实际意义啊。但是这题其实也并不是 这道题呢，一眼看看上去的话就很丑陋，但是我们仔细一定定一看，我们会发现这个 a 选项是不是很熟悉，对吧？ a 选项是很熟悉， a 选项的话，中间这个不就是我们中间高中学的这个基本不能是，还得我相信，嗯， 只要学在就是高中阶段学习到这一章节的时候，虽然说书上只有一个这样一个不等式，但是书，呃做一个呃公式的话，确实只有一个不等式，但是书上拓展的部分以及老师也一定会给你讲另外两个不等式， 这就是我们这题的 a 选项，对吧？所以说这个 a 选项呢，大家一看就知道它是对的，它就是我们非常非常熟悉的基本不等式。串啊，实际上的话，这个叫做什么？叫做 平方平面，这个叫做算数平面，这个叫几何平面，这个叫调和平面，所以就是一个基本的不等式。好的，然后的话，嗯， 所以这道题这个 a 就 没有问题，那这个 b、 c、 d 是 什么意思呢？那我画一张图大家就明白，比如说随便画一个曲线吧，画尽量好看一点，然后我们这里，嗯，稍微连一下吧， 首先最底端的话，应该是咱们的这一个 a 分 之一加 b 分 之一分之二，对不对？然后再朝上一点呢，就是我们的根号 a、 b 了，再朝上一点呢，就是我们这个二分之 a 加 b， 那 最上面呢，就是什么呢？ 二分之 a 的 平方加 b 的 平方，那 b、 c、 d 什么意思啊？我们再画几个线段，比如第一个我们标红， 第二个我们标蓝，第三个我们标绿，大家这个能不能看出来？ 那 b 选项表示这是什么？嗯，我这个二分之一加 b 虽然比根号 ab 大， 对吧？那我们根号 ab 呢，又比这样一个调频率要来得大。 那我比你大的部分呢？是不是比你大的部分要来的大啊？注意理解我这句话，我大的部分，我比你大的部分是不是比你比他大的部分还要大呢？也就是说什么这个蓝色的 和咱们这个绿色相比，到底哪个大，对不对？那个 c 选项是什么呢？ c 选项呢？就是也是一样的嘛？我这个红色的， 呃，有没有你这个蓝色的大？那第一点呢是什么？我这个红色的有没有你这个绿色的大？转换一下写出来， b 是 什么呢？ b 是 我们的蓝要大于等于绿， c、 c 是 我们的话，红要大于等于蓝， d 呢？红大于等于绿啊，不知道大家能不能看出一点东西来， 如果我们这个 b 是 bc 都是对的，那么根据不等式的传递性，那这个 d 是 不是也就是对的，能明白吧？为什么呢？因为红大于等于蓝，蓝又大于等于绿嘛，就是不等式的传递性，所以说红大于等于绿， 那 bc 要是对，那就是 d 就 对，对吧。那这题还能选 a、 b、 c、 d 吗？因为 a 已经是对的， 那我们上一题已经选 a、 b、 c、 d， 这题还能选 a、 b、 c、 d 吗？也是可能，对吧？欢迎命定人，他就是故意这么干。但是如果这题你能反应过来的话，你上一题肯定也会反应过来啊，可能会出 a、 b、 c、 d， 对 不对？ 那所以说应该不至于有两个 a、 b、 c、 d。 所以 说大是大概率的话， b、 c 应该是有一个错，不然这个地形上的话就是一个摆设，就是不能是传递型的，这个就是一点意义都没有，也不说一点意义没有，就是这个太简单。这道题， 这道题目确实也简单。这道题我们这个得分率是多选题中最高的，达到了什么惊人的？这个什么四点三分的一个平均分，这题总分才六分，平均分四点三，那是一个很高的一个概念。 那这道题确实想做出答案是很容易。为什么做出答案很容易？我们先把这个擦掉，这个相信大家一定能够明白。 嗯，凭感觉来说，对吧？这个 a 选项是对 b、 c、 d 能判断，就是可以带特殊值嘛？带特殊值这个这题就结束。嗯，一般的话应该不至于出现，就比如说我一般的话应该会两个东西，两个不同的一个 空间的这样一个局面，也就是说我不至于的话能和你有一堆一堆一堆的焦点，我应该就是在有一定焦点之后啊，他们应该是渐行渐远了。 说大概率的话应该不至于，我们特殊值取了几个发现它是不行的，所以大概率我们取特殊值的话，它却就我们规避掉它俩相等的这个点，呃，其他大的话可能就是真的大， 大概就是这样一个想法，呃，取等的话，应该也是一眼能看出来是 a 等于 b 取等，对吧？ a 等于 b 取等，而且是当天顶当 a 等于 b 取等。 所以说这题我们可以怎么呢？怎么做？为了把答案做出来，我们可以什么取？ a 等于二， b 等于八，为什么取 a 等于二， b 等于八也是有讲究的，那这个时候呢？二分之 a 加 b 是 什么？就是五。那 a 分 之一加 b 分 之一呢？ 分之二就是二，除上一个二分之一加八分之一，就是八分之五，也就是，呃，五分之十六是三点二， 对吧？那我们就算嘛，就结束了。那么二分之一加 b 减掉一个，根号 a， b 等于一嘛？那么根号 a b 减掉一个调和平均， 嗯，就是零点八，由于一大于零点八，所以说这个 b 呢，很可能是对的，对不对？大概率是对。 那么哎呦啊，我们还有一个没算，还有个没算，在这里填一行，那二分之根号 a 的 平方加 b 的 平方是多少？ 就是二分之根号下四加六十四，是根号三十四，对吧？下面的话就是，嗯，二分之根号下 a 的 平方加 b 的 平方减二分之 a 加 b 是 多少？ 等于一个根号三十四减五，那二分之一加 b 是 多少呢？减根号 ab 的 话，刚已经算过了，是一，对不对？那么看这个根号三十四减五 减一呢？它是再减一，它是大于等于零还是小于？是不是大于等于零，对不对？如果它是对的话，那也就是说根号三十四要大于等于六， 那就是说三十四要大于等于三十六，那这个是矛盾的，对吧？所以说 c 的 话应该就有错，你再看这个 d， 那 二分之根号加 a 的 平方，加 b 的 平方，再减掉一个二分之一加 b 是 什么？是根号三十四减五对不对？ 那你后面那个等东西等于什么？后面那个根号 ab 减掉一个 a 分 之一加 b 分 之一分之二，是等于一个四点三点二，是零点八，对不对？所以说我们根号三十四减五是不是大于零点八呢？ 你就说我们家证明这根号三十四大于这个什么五点八就可以了，对不对？平方嘛，三十加大于等于什么？六减零点二的平方就是三十六减掉一个一点二， 一点二的话，二点四再加零点零四，所以说是三十五点六啊，不，三十三点六再加零点零三十三点六四，对不对？三四是不是大于等于三十三点六四？那这个 d 也是对的， 虽说什么 a、 b、 d， 不知道有没有很多同学是这么做的。这么多确实快计算，对不对？这么做的话，确实啊，对于解析来说，就这么做就结束 没什么问题，而且我也心甘情愿就是让你们投机取巧。那即使投机取巧呢？我也要 呃，解释一下这道题的真的内涵，对吧？刚刚已经解释过，那到底有没有这件事情呢？那确实也是有，那么我们下面该怎么证明呢？ 嗯，比较好的方法就是我们假设这个不等式正确嘛，也就是说用书上叫做分析法， 然后对他进行一步的等价变形，看看最后到底能不能推出来我们已知的结论，或者说推出来已知正确或者已知错误的矛盾。呃，如果推不出来呢？那可能就是不正确的，如果推出来，那可能就是正确或者错误的，对吧？推出来的话就一定是正确或者错误。 好的，那我们看这个 b、 b 的 话，其实还是比较简单的，根据我们的一个想法，我们把一样的放在一起，对吧？而且根号的放在一起，我们抽平方的话是比较喜欢的，那我们先把这个调和变频换一下吧，这个调和变频长得实在太丑，调和变频给它换成什么呢？ 对吧？分子分母乘乘一个 a、 b 嘛，那这个时候就没问题。然后我们要乘乘什么呢？ b 的 话其实等于二分之 a 加 b 加 a 加 b， 分 之二 a， b 要大于等于什么？二倍根号 a b， 那 这个是什么？是弦？为什么？为什么是弦？基本不能是，对不对？已经可以看出来它是大于什么。两倍的根号加二分之 a 加 b， 再乘上一个 a 加 b， 一 分之 a b 啊， 那不就是二倍根号 ab 吗？正确的，对吧？ c 选项 c 的 话也是一样，把一样塞在一起， 再加上一个根号 a b， 我 要占它大于等于 a 加 b， 对 不对？这个好像我们就意识到也看不出来什么东西了，那平方嘛，对吧？看不出来就平方，嗯，等于什么东西呢？ 好了，那这个其实是什么？这个东西我们它其实是二分之二 a b 嘛，对不对？你再相加，那不就是 二分之一加 b 的 平方，那这个再给它移过来，对不对？就是很轻松的事情， 好像到这里做没做完呢？其实是做完能看出来吧？依然是基本不等式， 为什么？对里面这个东西用的这个基本不等式，用一个 x y 小 于等于什么？四分之 x y 的 平方，对吧？ 嗯，由于，嗯，根号下二分之 a 的 平方加 b 的 平方乘上一个 a， b 小 于等于什么？ 嗯，二分之里面的两个相加，也就是二分之 a 加 b 的 平方，等于一个四分之 a 加 b 的 平方，嗯，所以说两边再乘个二，对吧？ 所以就是二分之 a 加 b 的 平方，那不能号是不是反了呀？所以说 c 是 错的。 下面来看下这个 d， 这个 d 的 话就不太一样了，这个 d 就 不太好正，那 c 是 错的话，其实是应该的，对不对？要 c 是 对的话，那这个 d 也是对的。那这个实际上是什么意思呢？也就是我们刚刚呢取的一个三个点， 我们 d 想要研究，就是，哎，可惜刚刚呢已经擦掉 四个点。就是说，呃，我这块比你这块大，我这算了，换成还是涂颜色吧。涂色 就是我这个蓝的呢，虽然比你这个绿的大，哎，我这个蓝的还比你这个红的大，相当于的话就是这样的一个有一个提值点的这样一个感觉， 我比你大一点，哎，我又比你大一点，那我们这两个到底哪个大，对吧？我们这两个到底哪个大？那就是这个地形上，那地形难度还是要大一点，因为地形上我们发现他这个没有办法干什么， 能够合并同类象，对不对？那这个就比较完蛋，那怎么办呢？我们也需要通过一定的注意力，我们要把二分之一加 b 和他移到一起，为什么？这也是一个技巧， 他俩移到一起，用平方的话，我们这个分子分母是不是就约掉了，对吧？所以说这个是我们的一个思路，那 d 的 话就增加于什么呢？哎， 就这样，那然后平方呢？平方， 平方的话，其实第一个话就是二分之 a 的 平方加 b 的 平方加 a， b 减掉一个什么？二倍根号下二分之 a 的 平方加 b 的 平方，再乘一个 a b， 感觉这个还是比较熟悉的，它有一个四分之 a 加 b 的 平方， 嗯，再加上一个 a 加 b 的 平方，分之 r a b 的 一个平方，再减掉一个什么？两倍的一个 ab， 对 吧？ 那这个的话，根据我们刚刚已经 c 选项的话，已经知道这个东西是什么？ r 分 之 a 加 b 整体的平方，对不对？ 好，那这个倒有 r a b， 我 们可以提一下，对不对？后面这样有个 r a b 可以 提一下，那提出来应该是什么呢？ r a b， 然后 a 加 b 的 平方，分之 r a、 b， 再减掉一个什么？ a 加 b 的 平方， 那这个是什么呢？这个不就是负的 a 的 平方加 b 的 平方，对不对？所以说的话，这个也给他改一下，所以我这边应该是换成减了，减掉一个 a 加 b 的 平方。 二、 a b 再乘上一个什么 a 的 平方加 b 的 平方，那这个时候我们会发现可以和平同列向，对不对？我们把根号再度转到一边，那等于什么呢？四分之 a 加 b 的 平方， 再加上一个二 a， b 乘上一 a 的 平方加 b 的 平方，再乘上一 a 加 b 的 平方， 要大于等于什么？两倍的根号下二分之 a 的 平方加 b 的 平方，再乘以 a b， 做完了吗？能发现吗？是不是做完了？那这个又是一用一个基本不等式吗？那它实际上是什么？ 由于四分之 a 加 b 的 平方加上一个啊，我甚至想直接复制啊，真的太太长了，大一点。什么两面他俩相成嘛，对不对？ 约分。 那这个不就是我们的这样一个 后面的吗？ 是不做完了 d 是 对的，对吧？我直接分析的话也不难。这个东西直接分析的话也不难， a、 b、 d 就 会这么办。直接分析也是不难。