六下北师数学圆柱和圆锥的做法

面的旋转在图形王国中，立体图形是这个王国的贵族，他们个个彬彬有礼，善待他人，整个王国呈现欣欣向荣的景象。 但随着时间的推移，立体图形变得傲慢起来，他们越来越看不起作为平民的点线面。 身为国王的援助，意识到如果这样发展下去，图形王国将会分崩离析，于是他召集所有贵族，决心改变这种局面。身为王国的贵族，你对咱们王国的子民都有哪些了解啊？ 对于那些身份卑微的点线面有什么好了解的？住嘴， 身为王国的贵族，如果连王国的子民都不了解，你的贵族也就当到头了。陛下息怒，我听说在咱们王国中一直流传着一句话， 点动成线，线动成面。但我们一直不是很懂，你为我们解一下惑吧。点是咱们王国的基本元素，点动成线，就是说当点运动起来，他的运动轨迹就形成了线， 这条线可能是直线，也可能是曲线。这就好比一只沾满墨水的蚂蚁在白纸上爬行，蚂蚁就是那个点爬行轨迹就是点移动所形成的线。 原来点和线还有这么密切的联系，这是我从来没有意识到的。理解了点动成线，那线动成灭就不难理解了吧。线是咱们王国的主力军，当线运动起来，它的运动轨迹会形成灭。 比如我们让一支粉笔在黑板上平移，这支粉笔就相当于线，粉笔移动所形成的印记就是面。原来如此，我明白了。 点线灭不仅相互之间关系密切，而且与我们的关系也异常紧密，你们的身上都离不开他们的身影。正方题，你不要觉得自己身为贵族就高高在上，你的身上不就有八个顶点、 十二条棱和六个面吗？陛下，我知错了，你们刚才所说的那句古话并不完整，完整的话是点动成线，线动成面，面动成体。 也就是说，从运动的视角来看，身为贵族和王室的我们也都是由面的运动形成的。陛下，您身为国王，怎么可能也是由面运动形成的呢？让长方形、三角形和圆进来， 长方形，你来给大家跳一段你最擅长的旋转舞蹈吧，这样他们就明白我所说的话了。 大家看看，长方形的长就相当于圆柱的高， 长方形宽就相当于圆柱的底面半径。实际上，不仅长方形旋转会形成我们圆柱，圆通过平移也会形成圆柱。所以我们圆柱的上下底面都是两个完全相同的圆形。 如果将我们圆柱解开，所形成的面会是圆形、 长方形或是椭圆形等等。我们圆锥也是如此，可以将我们视为由一个直角三角形旋转而成。 三角形的高就相当于圆锥的高，三角形的底就相当于圆锥的底面半径。如果将我们圆锥切开，结面可能会是圆形、 三角形或是椭圆形等等。 原来我们立体图形与点线面存在着这么密切的联系呢，我以前真不应该看不起他们，我错了，我们错了，大家能认识到这一点真是太好了，不枉我把大家召集起来。 徒行亡国的贵族们从此改变了对平民的看法与态度，徒行亡国又恢复了以往和谐美好的氛围。

哇，这是一张地图，跟着地图走就能找到更多能量圆柱体吗？我要怎么把地图拿下来随身携带呢？同学们，快来帮我想想办法吧！ 哇，有这么多剪开方式，只有沿高剪开才能得到一个长方形，看来我得沿着高来剪了。 我知道了，沿高展开后，长方形的长等于圆柱的高。 原来如此啊！沿斜直线展开后，平行四边形的底等于圆柱底面周长，平行四边的高等于圆柱的高。对了，同学们，什么情况下圆柱的侧面展开图是一个正方形呢？ 原来当圆柱底面周长等于高的情况下，侧面展开是正方形。太棒了，今天学了好多新知识呢，谢谢大家！ 长方形的纸，横着卷和竖着卷可以卷成不同体积，而且没有底面的圆柱。

六下圆柱圆锥必考！一个高是四厘米的圆柱，沿着直径切成同样的两半，表面积增加了二十四平方厘米。这个圆柱的底面周长是多少厘米？条件说，沿着直径切成同样的两半，那就是沿着圆柱的底面直径咔嚓来一刀，切面是长方形， 此时圆柱被一分为二，表面积相对于之前的圆柱，正好多了两个这样的长方形。条件说表面积增加了二十四平方厘米。 于是就可以求出一个长方形的面积是二十四除以二等于十二平方厘米。观察切面，长方形，它的长就是圆柱的高四厘米，宽就是圆柱的底面直径。所以根据长方形面积是十二，就可以求出底面直径是十二除以四等于三厘米。 最后求的是圆柱底面周长，底面周长等于拍地，所以直接用三点一四乘以底面直径三厘米，就可以求出答案是九点四二厘米。

咱们一起来继续看一下做中学的第二个小手工，说把一张长五厘米，宽四厘米的 长方形纸，一个是什么？横着卷，一个竖着卷，对吧？长五厘米，宽四厘米的长方形纸，一次横着卷，一次竖着卷。好，我们一起来判别一下， 哪个圆柱的体积更大呢？好，我们来先来思考一下，这个是不是横着卷呀？这个是什么？竖着卷，对吧？这个和上一个题不同在哪？ 对，他横着卷的时候，这个长其实相当于圆的什么周长了，对不对？竖着卷的时候，这个宽也就相当于圆的什么周长就相当于它的底面周长了，对不对？好，我们来继续看一下， 那我们就五除以三点一四除以二，求出了什么？是求的半径，对不对？然后半径的平方再乘三点一四，这求的是什么底面积啊？四就是高，对不对？所以就用底面积乘高，就等于咱的体积，没问题吧？ 这里就是四厘米。好，我们再来看一下第二个，你竖着卷的时候，你的底面周长变成了几，变成了四，对不对？你的高就变成了五。好，我们一起来计算一下，用三点一四乘四，除以三 点一四，再除以二，这求的什么？半径，对不对？半径再乘上三点一四，求的是底面积，五就是咱的高。 那地面这层高是不是等于咱的圆柱的体积？一个是七点六九，一个是六点三七，很明显，七。一个是七点九六啊，一个是六点三七，很明显我们的七点九六要大于六点三七，那横着卷的 形成的圆柱的体积就更大。好，这些题都不用死记硬背啊，咱们通过一些计算给的条件就能判断出来谁的体积更大。好，那这个体积变形的问题留给大家，咱们下个视频，再见。

今天题目是按要求计算，如图，圆柱与圆锥的高之比是二比一，求这整个图形的体积。结果保留派要求的是这个图形的体积。我们的脑子里就出现了体积公式， 但是这里有圆柱和圆锥，圆柱的体积公式为底面积乘高，而圆锥的体积公式和圆柱的体积公式不一样，圆锥的体积公式是三分之一，底乘高， 这个图形它的高为九分米。我们知道圆柱与圆锥的高之比为二比一，也就是说这里是两份，怎么这里就有一 份，所以这九分米当中一共有九，除以二加一，也就是有三份，那我就可以算出一份高就为三分米，那现在就要开始算体积了。 由于这两个圆锥与圆柱它们的底面积相等，所以可以先乘上它的底面积。底面积用派乘 半径的平方，直径为八，所以半径就是四四的平方。再乘上高，可以用圆锥、圆柱的高加上圆锥的高。圆柱的高是三份当中的两份， 圆锥的高是三份当中的一份。可是由于圆锥的体积公式中乘了三分之一，而这里的底面积还没有乘三分之一，所以可以在高这里乘上三分之一， 这样算出来的体积就是乘了三分之一的二。三得六，这里的三和约分，这里的三约分，所以这里就是七。而四的平方是十六。 十六乘七等于一百一十二，三点一四就是 pi， 所以 这个立体图形的体积就是一百一十二。 pi。

哇，有这么多剪开方式，只有圆钢剪开才能得到一个长方形。看来我得圆钢剪开了。 我知道了，圆钢展开后长方形的圆柱体周长。 原来如此啊，圆形直径展开后，平行四边形的等于圆柱体周长，平行四边形的刀等于圆锥的刀。为了同学们，什么情况下圆柱的侧面展开不是一个正方形呢？原来当圆柱体面周长等的情况下，侧面展开是正方形。太棒了，今天学了好多新知识呢，谢谢大家。

认真听，你也能学会来看，求圆柱的体积。一个圆柱的高是五厘米，若高增加两厘米，则圆柱的表面积就增加二十五点一二平方厘米。求原来圆柱的体积，我画了一个图啊， 下面代表是原来的圆柱上面增加了两厘米的高度，那表面你增加哪一部分呢？因为这盖住了一个面，上面又多了一个面啊，所以原来这个上底和现在新的上底他就抵消了， 所以新增加的面积一定是上面这个圆柱的侧面。这个圆柱的侧面他是个长方形， 他的表面积又是二十五点一二平方厘米，这个长方形的高就是增加的高度两厘米，所以能求出这个长方形的长，也就是圆柱的底面周长 啊，所以等于二十五点一二除以高，就等于长是十二点五六，底面周长是十二点五六，我们就可以求出底面半径等于底面周长除以二派，所以半径呀，是二厘米，所以把底面就能算出来，等于派二平方就是十二点五六。 最后九个圆柱体的原来的体积就是底面积乘以高十二点五六乘以五，等于六十二点八。这个题如果你学会了，听懂了，可以点一个免费的小心心，顺便转发给身边爱学习的朋友。

六下数学最难的圆柱与圆锥就这几大题型练完，开学稳进前三，可打印六下数学圆柱和圆锥必考重难点，圆柱圆锥的特征形状相同点不同点圆柱侧面积的计算方法圆柱表面积的计算方法圆柱、圆锥体积的计算方法公式圆柱的侧面积 圆柱和圆锥圆柱的认识圆柱的表面积圆锥的认识六年级数学下册圆柱加圆锥应用题专项训练专项练习一、与圆柱表面积有关的实际问题专项练习二、与圆柱体积有关的实际问题专项练习三、与圆柱体积有关的实际问题以上均有电子版。

同学们好，欢迎来到点中点微课堂，下面我们一起来学习。下图是从一个正方体中挖掉一个圆锥，然后从任意方向切开， 可能出现的切面是哪一个？我们逐个来判断。 a 选项能不能出现呢？ 如果平行于上下面去切的话，而且切的位置比较接近上表面， 那么此时这个切面就与 a 是 类似的，也可以做到与 a 大 小形状完全一致，所以 a 是 完全可以的，只要比较接近上表面，平行于上表面合适的位置去切就可以了， 那 b 选项自然也是可以的。此时 b 选项中间这个圆比较小，我们切的时候平行于上下表面， 向下方靠一些就可以了。看是一图，越向下靠中间的圆越小，当到最底下这个面的时候，中间的圆就变成了一个点了， 所以我们从刚才 a 选项的位置向下方合适的位置移动，然后去切，就会得到 b 选项的切面也可以，而 ab 是 可以的。我们再来看 c 选项， c 选项中间出现了这样一个角，这是怎么得到的呀？结合现在的视域图来看，如果我们平行于前后面的方向去切的话， 大家看就会出现这样一个图形，中间这里为什么没有线呢？因为他是在正方体中挖掉了一个圆锥，也就是中间这个圆锥啊，他是个孔洞，是空的，所以这里是没有连起来的。 那现在我们平行于前后面的位置去切的话，自然注意看在一个完整正方形的基础上，缺一部分线呢。然后由于这是圆锥形的孔洞， 所以这里又可以连起来，连好之后，注意观察一下，现在这个切面与 c 就 一致了，所以 c 呢，也可以再来看 d 选项， d 选项和 c 差不多，只不过呢，整体这个图形更加的长了，那该怎么切？ 直观来看的话，注意我们所指示的上表面是正方形，沿着我们所指示的方向连一下对角线，对角线比棱长要更长一些，所以上面一连，下面一连，然后 沿着我们所指示的位置，这不是个长方形吗？更加长的长方形，然后一切就可以了。切完之后啊，得到这个图形呢，与 c 选项类似，但是注意观察，由于这条边比 c 选项的这条边要更长，自然他表现出来的切面与 d 选项就一致了， 所以 d 呢，也是可以的。好，我们再来看 e， e 是 一个正方形，正方形怎么来的呀？一定要注意原有的视域图当中啊，圆锥的底面，这个圆 他并没有把正方形占满，也就是注意看这些位置啊，没有与正方形相接，有空隙，所以我们在这些空隙的位置平行于左右面或者前后面等等，我们去切，比如现在这个位置切完之后，这就是个正方形， 和 e 选项就完全一致，这 e 啊，也可以再来看 f 呢，注意 f 就 不行了，为什么呀？因为注意观察一下原有的示意图， 圆锥，他的上面这个圆是他的底面，并没有与正方体上表面完全接触，是有空隙的，所以切完之后呢，注意不会出现这种情况，而应该是 c 选项类似的这种情况，所以 f 是 肯定不行的。 那再来看 g 呢，类似的我们知道，注意观察，上面这个圆在最上方的时候最大，他并没有与正方体上表面的四条边相接触，有空隙，所以如果平行于上下面去切的话，出现的图形类似于 a 和 b， 不 会出现 g 这种情况， g 呢，也是不对的，所以可能出现的切面 a， b， c， d， e 一 共这五种情况。 最后我们简单总结一下，从不同方向切开，画图观察，确定答案。同时要注意圆锥底面圆与正方体上表面的四条棱没有接触，这也是比较关键的细节，本节课就给大家讲解到这里，同学们再见！

今天我们来预习北师大版六年级下册第一单元，圆锥与圆柱知识点三、圆锥的认识及特点来看，这是一个圆锥的模型，它像不像一个铅锤呢？ 也像不像一个帽子呢？对，这就是生活中的圆锥来看，圆锥有什么特点呢？ 是不是有一个很尖的顶点啊？那么下面有一个底底，是一个圆形， 那么侧面呢？是一个曲面啊，是一个曲面，这就是圆锥的特点。那之前我们学了圆柱有无数条高，那圆锥有几条高呢？ 圆锥的高呀，一定是通过这个顶点给这个底边做垂线，这个线段才是高所，所以啊，圆锥的高只有一条， 那么圆锥的这个底面啊，是一个圆形，那么他就有直径，那我们用 d 来表示圆心，我们用 o 来表示底面的半径，我们用 r 来表示。那么知道这个呀，我们以后再算圆锥的表面积和体积的时候，就要用到 圆锥的高，就是从这个顶点到这个底边做垂线啊，这个高度就是圆锥的高。 那么还有一条和高比较相似的，容易混淆的就是他的母线，那么母线是从圆锥的这个顶点到底面圆周上任意一点的线段就是他的母线啊，比如说连接这个顶点到 圆的底，这个圆上的这条线段就是母线，我们用字母 l 表示。 第三个，我们来看一下他的展开图，那侧面展开图，我们把这个圆锥啊连一条母线给他剪开，再把这个圆呀四周也给他剪下来，他就会变成一个扇形加一个圆形，那这就是圆锥的展开图， 我们通过这个图形来看一下圆锥的高和母线的区别来看，它的高是顶点到底面这个圆的垂直线段，这条虚线就是高。那么由顶点到 这个圆的底面，这个圆周上的这条线段啊，叫做母线来看，母线是比高要长，是吧？ 那第四个我们来看一下圆锥他两种切割情况，第一种，我们把圆锥平行于底面进行切割，切面是完全相同的两个圆，是吧？ 这两个圆呀，比圆锥的底面要小啊，所以说呀，切割之后，上面是一个圆锥，下面是一个圆台啊。那么第二个情况就是把圆锥沿底面直径垂直于底面进行切割啊，就是竖着切割， 那么他这个切面呢？这两个完全相等的等腰三角形底面，圆的直径是三角形的底，这两条母线啊，是三角形的腰。好了，圆锥的认识及特点，如果你学会了，听懂了，可以点一个免费的小心心，顺便转发给身边爱学习的朋友。

大家好，这里是小学数学重难点系列讲解，我是孙老师，方法虽有可观，思路方能致远。 大家好，我们今天接着来讲圆柱、圆锥，那么上一节课呢，我们是讲的是基础知识，对吧？那么这节课呢，我们要讲归类与拓展，剩下还有一个思路总结与发散。 好，那么这节课我们讲的规律与拓展呢？内容比较多，所以我们又分了上下两节一次性讲完，我怕有的孩子坐不住啊，他确实很长，太长了也不太好消化，所以我们分成两节课来把它讲完。 那么他有哪些内容呢？有五个内容，第一个表面积的变化是讨论表面积的第二个，等级变形。第三个，圆圆柱圆锥的内在关系。第四个，大小圆锥的体积关系。第五个， 静默与半静默。就是排水法，也是我们常见的题型了，是吧？分为这个五个类型啊，五块。那么我们今天讲一半， 先来看表面积的变化。表面积的变化呢，我们又从三个方面来讲，首先高的变化引起的侧面积的变化。第二个，横切与平，第三个，竖切与平。先来看第一个高的变化引起的侧面积的变化。 对于一个圆柱来讲，它的高如果发生了变化，影响的是侧面积，对不对？上下两个底会受到影响吗？不会 是不是？不会啊，高的变化，你看这边有个圆柱，旁边是它的侧面展开图，是吧？上下两个底肯定是不会发生变化的，对不对？如果高变低了，那么对于这个旁边的长方形来讲，长不会变，但是它的宽是不是变少了呀？ 对吧？如果高变多了，那么他的宽也会变多，是不是？好，所以高的变化会引起侧面积的变化。 来，我们看这道题，一个圆柱啊，底面周长和高相等，大家注意了，这是个很重要的条件，底面周长和高相等， 我们经常碰到这样的条件，对吧？如果高缩短了两厘米，高缩短两厘米，表面积就会减少了十二点五六平方厘米，大家注意啊，这个表面积的减少是减少在侧面积上，对不对？对于对于这个圆柱来讲，上下两个底是不会发生改变的。 我们在上一节课基础里面已经讲过了一个圆柱，它的表面积包括了侧面积和上下两个底，对吧？好，它的侧面积减少了十二点五六，那么在这个图形里面，其实这是个长方形了，这个两厘米其实是宽， 面积是十二点五六平方厘米，面积除以二，是不是可以求出它的长？这个长是啥呢？这个长就是这个圆柱的底面周长，因为这是侧面展开图嘛，对吧？这个长就是圆柱的底面周长，是不是？好，所以我们这样就可以列算式了。 底面周长是十二点五六除以二，等于六点二八厘米，这是底面周长。哎，大家注意啊， 这个圆柱的底面周长和高相等，所以它的高是不是也应该是六点二八，不要忘记了啊。好，那么我们要求这个圆柱体的表面积。在上节课我们总结了要求它的表面积，我们需要的是两个条件，第一个是底面半径， 第二个高啊，一个半径一个高，我们就可以求了，无论是表面积还是体积都可以求。那么现在咱们是周长，所以我们先要把怎么样半径求出来？半径就是周长除以三点一四，再除以二等于一厘米。好，我再说一下， 我们下面的 pi 全部取三点一四啊，取三点一四。好，六点二八除以三点一四，再除以二等于一厘米，这是半径对吧？所以它的底面积就好求了。三点一四乘半径的平方，因为是两个底，所以乘二等于六点二八底面积。两个底面积求完了之后，还要求还要怎么样把它的侧面积求出来？ 侧面积是什么？怎么样？底面周长乘高对吧？底面周长是六点二八，因为高相等，所以就是六点二八乘六点二八等于三十九点四三八四。最后俩底面积加上侧面积求出来是四十五点七幺八四。 好，这是第一个高的变化引起的侧面积的变化。其实这个题目在长方体正方体里面其实很多，有很多小朋友来讲，他不是个什么新新的题目，来，我们看第二个，其实也不是很新的啊，我们在长方体正方体里面都见识过。横切与平 来看，这是个圆柱啊，这是个圆柱体，我横着切一刀，哎，他会怎么样？多出来两个面是不是啊？横着切一刀，多出来两个面是吧？咱们肯定见过吧，是不是？好，那么接下来我们来看一个问题，一个圆柱体 横切成五段，多了几个面，来暂停思考一下 好了吗？想出来没有，多了几个面，哦，整个思考的过程应该是这样的，首先它切成了五段。 切成五段能够直接看出他又多了几个面吗？不能切成五段是切了几刀呢？切了四次是切了四刀，哎，前面我们说了，切一刀是不是多两个面，是吧？切一刀是不是多了这两个面？哎，切一刀多两面，那么切四次多了几个面？多了八个面 来在这里，当然了，呃，肯定有小朋友是会的啊。我为什么还要再强调一下？是因为我们很多孩子看着看了他切成五段，马上反应出来是多了十个面，不对，具体多了几个面，你得看他切了几次啊，多几个面是跟切的次数有关，跟切的段数他还不是直接关系， 所以，记住了啊。再强调一下，多了几个面，一定要看他切了几次，大家记住了吗？好，来，我们看题目， 把一段长一米，侧面积十八点八四平方米的圆柱体木料沿着和底平行的方向切截成两段，表面积增加了多少？好，来，大家把这道题目做一下 好了。我来讲，首先它是沿着和底平行的方向截成两段， 那么也就是说他多了，多了，怎么样？多了两个底对不对？是不多两个底啊？节省两段吗？切一刀就多出两个面，这两个面都是底面积，对不对 啊？多出来，多出来的是两个底面积，他要求的是表面积增加了多少，那我们就是要求他的底面积是多少，再乘二就完了。那要求底面积我们需要什么呀？ 需要半径是不是？是不是应该这么去思考，对吧？好，要要要半径，要半径。我们来看了，在这里告诉我的是，侧面积是十八点八四 长，一米长嘛，其实就是高了，哎，把一个圆柱把它放倒了，躺下来了，高就不就变成长了吗？对不对？ 所以侧面积除以这个一米，是不是得到了底面周长？侧面积等于底面周长乘高吗？是不是啊？侧面就是不是底面周长乘高啊？这个必须要非常熟练啊，所以我们用十八点八四除以一，得到十八点八四米，是不是就等于他的底面周长， 对不对？底面周长，那咱接下来咱们去求它的半径，底面周长除以三零四除以二吧，等于三米，是不是得到了半径，对吧？好，有了半径之后，那么再求一个面，再乘二，对吧？三零四乘三的平方再乘二，表面积增加了五十六点五二平方米。哎，五十六点五二，大家做对了吗？ 来比较简单的一道题对吧？好，我们继续看第二题。下面各图分别是由大小相同的小圆柱组合而成，哎，看到一个两个，后面是三个，对吧？一个一个的小圆柱啊，这个大小相同的小圆柱组合而成， 那么这个组合的过程我们会发现什么呀？发现随再多的这个小圆柱，把它贴在一起，从底面来讲，就上底和下底中间全给它叠起来了，对不对？叠起来那就不算了呀， 是不是只有上下两个底嘛，对不对？所以它发生变化的是哪里在发生变化？在表面积上面发生变化，哪里发生变化？上下底不变，表面积变的是侧面积，对不对？是侧面积在增加。好嘞，那么家人们看这个题目啊，如果用 m 表示小圆柱的侧面积， 用 s 表示小圆柱的底面积，那么 d n 负图的表面积是多少？来暂停写一下。 好，我刚刚说了啊，上下两个底是不变的，随便你多少多少个往上叠，上下两个底不变，所以就是二 s， s 表示一个底面积嘛，对吧？二 s， 但是侧面积在发生变化， 对吧？一个圆柱的侧面积是 n， 那 么 n 副图不就是 n 个 n 不 就是 n， n 加上上下两个底。二 s 很 简单， 听懂没有？会做不好，我就是用这个，这是我们刚不是切吗？这是拼，对吧？拼下来之后我们会发现，哎，只只留下了上下两个底，对吧？其他的全部拼在里面了。 好，我们再来看竖切啊，竖切是个啥情况？这是一个圆柱，我给他沿着直径竖着切一刀，哎，沿着直径和高啊，沿着直径和高给他竖着切一刀，他就会变成这个样子了，对不对？ 是不是啊？哎。这边的剖面是个什么形状？这个剖面是个什么形状？是个长方形，是吧？沿着直径给他切的啊？这是个长方形，这个长方形这一条边是不是底面的 直径？这条边就是原来圆柱的高，对吧？直径乘高，直径乘高是这个剖面的面积，对吧？对圆柱来讲， 好，记住没有？来，我们看下面的题目把，一根长是三分米，底面直径是一分米的圆柱形，木头沿着底面直径垂直垂直于底面，切成大小完全相同的两半。表面积比原来增加了多少？ 表面积比原来增加了多少？不就增加两个剖面吗？对不对？就那俩什么？就那俩长方形。来，大家做一下很简单的这道题。 好嘞，多少？那一个长方形是不是底面直径乘高也就是一乘三嘛，是不是啊？俩不就再乘二？一共是六平方分米是吧？这里的长三分米是不是就是高啊？ 对不对？躺下来了吗？是吧？所以底面直径乘这个三分米就等于一个铺面的面积，再乘二等于俩铺面增加，俩铺面是六平方分米，大家做对没有？很简单的一道题，来，我们看下面一道题，一根两米长的圆柱形木料， 它的横截面的半径是十厘米，沿着横截面的直径和圆柱的高锯开，得到两个相等啊。相等的两块，每一块的表面积是多少平方分米？ 我们要求的是什么东西啊？啊？锯成两块相等的两块，我要求的是这一块每一块的表面积，那么这块表面积怎么求啊？ 哎，我们会发现上这个，这边的底是一半半个圆，这边的底是半个圆，凑在一起是一个底，刚好，对不对？然后侧面积呢？刚好又是半个侧面积，对不对？再加上一个剖面就可以了。那咱们一个一个来求啊， 他的很，他的横截面的半径是十厘米啊，我们先把这个单位换算一下长二米的这个圆柱形木料，因为最后我们要求的是表面积是多少平方分米，所以我们都把它变成分米，两米就等于二十分米 啊，十厘米，它的半径是十厘米，等于一分米，对吧？所以我们可以先把这两个半圆啊，这边一个半圆，这边一个半圆，加在一起就是一个圆，它的半径是一分米，所以一的平方乘三点一四，这两个凑在一起就是三点一四平方分米 一个圆吗？对吧？好，接下来咱们再把这个测面积求出来，测面积就等于整个测面积的一半，对不对？整个测面积是不是底面周长乘 高，他的高就是二十分米吗？长吗？是吧？底面周长是多少？半径是一，所以一乘二乘三等于四，是不是底面周长再乘这个长是二十，等于整个侧面积，整个侧面积再除以二等于半个侧面积等于六十二点八平方分米，对吧？ 最后咱们把再把这个抛面求出来，抛面最好求了，直径乘高，在这里是乘长，对吧？就是一乘二是直径，再乘它的长是二十，所以等于四十平方分米，把这三个把它加在一起， 等于一百零五点九四。好，这是这道题，大家听懂了没有？也不难，是吧？ 一个一个求就行了。好，我们看第三个，一个圆柱的底面半径是四厘米，如果沿着高将这个圆柱切成大小相等两个部分，切面正好是正方形，那么这个圆柱的表面积是多少平方厘米？来，大家思考一下，很简单的一道题。 好嘞，我来讲要求圆柱的表面积，那么我们需要两个东西，一个是半径，底面半径，还有一个是高是吧？还一个是高是吧？ 呃，从问题出发，找到你所需要的条件是不是啊？然后它的底面半径是四厘米，底面半径是四厘米。哎，底面半径有了，咱们还需要一个高啊？ 他的高，因为他的切面正好是一个正方形，他的剖面是正方形，这个剖面是不是一条边是底面的直径，另外一条边相邻的一条边是不是这个圆柱的高，对吧？那么如果是正方形，说明这个直径和高就是相等的，对不对？ 它的半径是四厘米，那么它的直径就是八厘米，也就意味着高它也是八厘米。好了，到现在这个要求圆柱的表面积所需要的条件我都有了，半径四厘米，高八厘米是不是都有了？好，我们一个个来求， 把俩底求出来。三点一四乘四的平方乘二是两个底，再加上侧面积，侧面积是三点一四乘四乘二，这是什么底？面周长，底面周长乘高是侧面积，这俩加在一起等于三百零一点四四平方厘米，这是它的表面积，大家做对了吗？ 好，我们接下来看下面一道题，依旧是竖切与拼，但这个呢，稍微有点变化啊，稍微有点变化。在讲这个之前啊，我们先不用管上面一大堆的文字，我们先来复习一下。 大家还记得我们在学圆的时候啊，是可以把圆切成啊，这一瓤一瓤的，然后把这些拿出来，可以拼成一个近似的长方形，对不对？这个长方形 它的宽呢，就是原来圆的半径，对吧？它的长呢，是这个圆周长的一半，对吧？圆的周长一半在上面，一半在下面，所以这个长方形的长是周长的一半， 还记得吗？这是圆的里面的，是吧？学圆的时候，是吧？把它拼成个近似的长方形，那么圆的面积也可以通过求这个长方形的面积来求出来，对吧？周长的一半再乘上二， 依旧也等于周长的周长，不是二派二，派二，二派二除以二，是不是等于派二？派二乘二等于派二的平方依旧还是圆的面积，对不对？ 好，但是要注意了，这是个平面图形呀，我们现在学的圆柱圆锥是立体图形，对吧？这个就相当于立体图形的一个底，如果给他再来一个高的话，就会是这个样子了， 是不是这个样子啊？来个高对吧？也给他切成一瓤一瓤的，你给他拼起来就不是个长方形了，就是个什么玩意，就是个长方体，近似的长方体是不是就可以拼成个近似的长方体？来，注意了，这个拼成的近似的长方体 这条边，那这上面还是个近似的长方形，是不是？那么这条边是不是依旧是上面的半径？底面半径是这条边是吧？而这条边呢？这条边这条长呢？这个长底的长呢？就是底面周长的一半， 是不是还是跟前面一样的呀？底面周长的一半，哎，半径是宽，长是底面周长的一半。高跟圆柱的高一样高，跟圆柱的高一样，是不是啊？好，这是我们要了解的啊，我们需要知道它每一块跟前面的联系，那么接下来有个很重要的东西， 这个圆柱的表面积和这个长方形的表面积发生什么变化了吗？ 有没有发现这个长方体的表面积比这个圆柱多了，你们你们能看出来吗？哪里多了呀？左右两个面，左右两个面本来是包在这个圆柱体里面的，对不对？ 哎，如果我们切开再拼的话，就被我们切出来了，是不是就多出来左右两个面？这两个面怎么求的？是半径成高？好，大家记住了， 一个圆柱体给它切成很多瓤，给它拼成一个近似的长方体，表面积变多了，多了，哪里多了？左右两个面，左右两个面怎么求出来的是半径成高，记住了吗？ 这一定要记住啊！好，我们再看上面的题目啊，一个底面直径和高都是四厘米的圆柱，底面直径和高都是四厘米的圆柱把底面平均分成若干份，切开后拼成一个正方形，长方体的长相当于圆柱的什么？ 底面周长的一半对不对？是不是底面周长的一半，对吧？来，下面几个空自己填一下。哎，还是你们自己填啊，来填一下 好了。我来讲，长方体的长相当于这个圆柱底面周长的一半，跟这前面是一样的 宽，相当于圆柱的底面半径，是不是？哎，然后长方体的高等于圆柱的高，这个没有变，对吧？ 这个长方体的底面积是多少？长方体的底面积不就是这个圆柱的底面积发生变化了吗？没有变化是多少？我们求一下。它的底面直径是四，所以半径是二，所以二的平方乘 pi 等于十二点五六二，平方是四四乘三等于四十二点五六平方厘米。 拼成的。这个长方体的表面积比圆柱的表面积增加了多少平方厘米？那么增加的是两边啊，我们刚刚说过了，对吧？两边每个面是半径成高啊，记住了啊，半径成高， 那么半径乘高的话，这个直径和高都是四厘米，那么半径就是二厘米，高是四厘米，二乘四等于八，因为是两个面，所以八乘二是十六平方厘米。好，那么这题讲完了，那么这个类型的题目呢？我们还要做几个练习巩固一下啊。来看第五题， 把圆柱切成底面，是许多相等的扇形，再拼成一个近似的长方体，拼成后的长方体的表面积比原来的圆柱体的表面积增加了十平方厘米，那么也就是说是左右两个面了，是被切出来的，对吧？原来是包在里面的，那每一个面就是五，对吧？ 但他最后要求的是啥？是侧面积？来，大家先做一下。好，我来讲 给的是半径乘高，这个面，要求的是侧面积。侧面积是啥？是底面积乘高是吧？哎，我总觉得这里面有点联系，对吧？我们要找他们之间的关系，一般的做法是什么来着？把他们的代数式给他写出来。 一个是半径乘高，侧面积是啥？是底面周长乘高，二派二乘 h， 我 们会发现这里面是什么关系啊？是不是下用上面的乘二派就可以了，对不对啊？所以 半径乘高是十除以二等于五，一个面是五，就是二乘 h， 然后再乘上二派，是吧？所以二乘三零四乘五等于三十一点四平方厘米，大家做对了吗？ 好，在这里再强调一下，我们后面有很多题目都是这么去讲的啊，我们要找啊两个量之间的关系的一个很简单的办法，就是把他们的代数式给他写出来， 你不写你说我，我就问你啊，这个侧面和侧面肌啊，这个两边，这个面和侧面肌是什么关系，你答的上来吗？我们根本不知道，对吧？但是如果你把代数式给他写出来，是不是就特别容易找对不对？好，大家记住这个方法啊，来，我们看第六题， 把底面直径为四厘米的圆柱啊，切成若干等分，再拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了二十平方厘米。圆柱的表面积是多少？体积是多少？好，这道题目先做一下 啊，我来讲啊。好，我们要求圆柱的表面积以及体积，我们需要的是底面半径和高，不要忘记了啊。好，那么这里面他告诉我 这个直径是四厘米，所以半径就是二厘米，对吧？底面半径有了，然后咱们还缺个啥呢？缺个高， 他说拼成一个径四的长方体后，表面积比原来增加了二十平方厘米，是左右两个面是增加二十平方厘米，所以那么一个面不就是二十除以二等于十平方厘米，对吧？然后这个面呢，是半径乘高，半径是二，所以高也出来了，高就是五厘米。 好，现在我要的半径和高都有了，那么接下来我要求表面积或者体积都好求，是吧？表面积就是 两个底面，上下两个底面加上一个侧面积等于八十七点九二平方分米，体积，体积是底面积乘高六十二点八。好，这道题做对了吗？好，我们看下面一道题。 好，接下来我们是圆锥啊，圆锥的竖切，圆锥的竖切。来，我们看，他说将一个圆锥沿底面直径和高 切成两个完全相同的部分啊，两个部分表面积比原来多了六十平方分米，圆锥的高是五分米，求体积啊。下面的问题我们先不看，我们先来了解一下，圆锥如果竖切会出现的是一个什么形状，在脑子里面想一想，是个什么形状， 是个什么形状，沿着这个直径啊，底面直径和高往下一切 切出来是个什么？是个三角形，是不是个三角形啊？等于三角形，是不是？他说比原来多了六十平方分米，说明一个面，他不是多出两个面吗？那么一个面他的面积啊，就是三十平方分米，对吧？而且他还告诉我，他的高是五分米，高是五分米， 那这样的话，就是不是可以求作为这个三角形的底，也就是说原来这个圆锥的底面直径是不是？这个就是原来圆锥的底面直径，我们用面积乘二除以高，等于底面直径是十二分米，对吧？好，那么接下来就好求了。 直径是十二，半径就是六分米，那么它的体积就是什么？六的平方派至底面积乘高五，再除以三等于体积一百八十八点四立方分米，对吧？然后他说比和他等底等高的圆柱体体积少了多少， 少了多少？等底等高的话，他们比是体积是一比三的关系，是不是？既然是一比三，不就少了两份吗？是不是少了两份，那么圆锥的话是一份，少了两份的话，那么用一份乘二就可以了，对吧？一百八十八点四乘括号三减一，等于三百七十六点八立方分米。 好嘞，这是一个圆锥的剖面，是个三角形啊。好，接下来我们看下这个图， 一根圆柱形的木料，如果按照一所示的方式切成完全相同的四块啊，这么切啊，一二三四四块，是吧？一横一竖切表面积会增加六百平方厘米， 其实是切了两刀啊，是吧？切了两刀，切了两刀的话，如果我们按照直径这么来算的话，其实多了四个面，对不对？那一刀两个面，一刀两个面，是吧？四个面，好，如果按照图二的方式，图二的方式其实是横切，对不对 啊？切成完全相同的三块，表面就会增加三百一十四平方厘米。求这根木料的体积，要求体积，我们需要底面积和高， 是吧？底面积，底面积，我们从这个横切来，他说切了，切成了 三块，也就是切了两刀，切两刀增加几个面，四个面，是吧？切两刀增加四个面，一共多了三百一十四平方厘米， 所以我们用三百一十四除以四，求出一个面是七十八点五，也就是底面积了，是不是咱们还需要一个高，咱们还需要一个高，所以我们先把 这个它的直径求出来啊。七十八点五除以三点一四等于二十五平方厘米，这求的是什么呀？这是半径的平方，是不是啊？这是底面积吗？底面积除以 pi 不 就等于半径的平方吗？是二十五平方厘米，半径的平方是二十五，所以它的 这个半径就应该是五，对吧？直径就是十，直径就是十，也就是这条边在这里，是吧？竖切的时候按照直径来切嘛，对吧？好，然后他告诉我，按照一的方式切呢，是切成了完全相同的四块，表面积会增加六百平方厘米，表面积增加六百， 那么切成四块，其实切了两刀，两刀就增加了四个面，所以每一个面就是六百除以四，是一百五十平方厘米， 对吧？这是一百五，而直径是十，所以他的高不就是 一百五十除以十等于十五厘米。好，现在底面积有了，高也有了，那么求体积就很简单了，七十八点五乘十五，等于一千一百七十七点五立方厘米。好，这是这道题，大家听明白了吗？ 好，我们继续。好，我们已经把表面机的变化咱们讲完了，我们是第一个是高的变化引起的，侧面机的变化大家还记得不？哎？侧面机的变化是由高引起的啊，上下两个底不变，接下来我们讲了横切与竖切， 是吧？横切与竖切，好，这是表面机的变化，那么接下来我们讲第二个，等机变形， 等极变形啊。那么其实在长方题、地方题里面，我们见的题目也很多啊，比方说像榫柱啊，还有像这种题目， 一个圆锥形的骨堆，底面周长是十八点八四米，高是一点六，如果将这些骨子全部倒入底，面积是六点二八平方米的圆柱形骨仓正好装满，问这个骨仓有多高？很简单，大家做一下 好了，我来讲这个往里倒嘛，这股子的体积是不变的呀，甭管你是放在圆锥里面，还是放在圆柱里面，体积是不是不会变，对吧？所以这个属于等级变形， 既然体积不变，它最后要求装到圆柱的骨仓里面的高，那我就用体积除以底面积嘛，底面积已经告诉我是六点二八，是不是啊？所以咱把体积求出来。 体积呢，前面已经告诉我，圆锥的底面周长是十八点八四，高是一点六。咱们先把半径求出来，十八点八四除以三点一四除以二等于三米，然后半径的平方派再乘一点六乘高，再乘三分之一，等于它的体积十五点零七二平方米。然后知道了体积之后，那我们再怎么样 除以圆柱，以圆柱形骨仓的底面积，这样我就可以把它的高求出来了，是二点四米。 好，大家做对了吗？很简单一道题啊，来看第二题，有一个高是十二厘米，底面直径是六厘米的圆锥形钢块，如果把它熔铸成底面直径是八厘米的这个圆柱形钢块，那么 啊，熔铸成的圆柱形钢块的高是多少啊？从圆锥熔铸成圆柱是吧？呃，也很简单，大家做一下吧。 好，我来讲。因为体积不变，所以咱们先把圆锥的体积求出来，也就是熔铸成了圆柱的体积，对吧？ 好，那么直径是六，所以半径是三，然后我们用三的平方 pi 乘高，再乘三分之一，等于它的体积是一百一十三点零四立方厘米，那么这也就是熔铸成钢块的体积， 然后用它除以这个钢块的底面积，圆柱的底面积就等于它的高，是吧？那么它的直径是八厘米，所以除以二半径是四厘米，所以用一百一十三点零四这个体积除以底面积，这是底面积，对吧？就等于它的高是二点二五厘米 啊，很简单一道题来继续。好，这个呢，就比较有代表性了，这是圆锥里面圆柱，圆锥里面比较有代表性的题目啊，我们看一个装满水的瓶子，大家看，这边有个装满水的瓶子， 它的内直径是八厘米啊，注意下面的这直径啊，是八厘米啊，顶面直径，他喝了一些水后，水的高度还有十二厘米， 水的高度还有十二厘米，然后呢，把这个瓶盖拧紧后倒置平放倒过来了，倒过来之后呢，无水的部分，那上面一半，上面一部分是空的呀，没有水的，对吧？高多少呢？高十厘米。问聪聪喝了多少水？ 来，这题我们大家先思考一下。好，我来讲。首先我们要注意这里面有两个体积是不会变的。 那那两个体积啊，第一个是这里面的水啊，正着放的这里面的水的体积和倒着放的水的体积没变吧？他后面又没喝，哎，是不是所以水的体积不会变？第二个是什么呢？空的地方他体积是不是也不会变？ 空的地方是不是啊？空的地方他也不会变，所以他要求匆匆喝了多少多少水，那么本来是装满的呀，也就是说我要去求这空的地方是多少体积？那在前面一个这个瓶子里面求空的，你没法求哎，他是个不规则的图形，是不是你没法求， 但是等他倒过来之后，哎，这个好求了，变成一个规则的圆柱体，对不对？高是十厘米，他这个底面的直径告诉我了，是内直径是八厘米，是吧，所以就很好求了。直径是八，所以除以二半径是四厘米，用底面积乘高三点一四乘四个平方乘十，等于五百零二点四立方厘米。 好，大家注意啊，这个题目要注意的是，你甭管你这个瓶子怎么放啊，正着放，倒着放，躺着放，随便怎么放，它里面的水和它空的这个体积它是不会变的。 但是呢，因为如果你正着放，它有不规则的地方，是吧？所以有的时候它不好求我怎么办呢？我可以把它倒过来，对吧？变成个规则的部分再去求。好，来，我们再来看一道题。 好，接下来我要求这个瓶子的容积啊，我加了一个问题，如果要求这个瓶子的容积怎么办 啊？大家知道怎么求吗？大家想一想，哎，我现在求这瓶子的容积，刚刚我是求的是空的地方，是多少，对吧？现在求瓶子的容积啊，有人说了，求瓶子容积很简单，是不是把空的地方加上这个水的体积，加上水的体积不就求出来了吗？对不对？ 对吧，但是我要在前面求水的体积，加空的地方是不好求的，这个空的地方呢，在后面其实是十厘米高的圆柱，那么是不是也就意味着这个瓶子的容积就是前面十二厘米高的圆锥，加上后面十厘米高的圆锥，水加空的地方等于整个瓶子的容积，对不对？ 是吧？哦，那么就好简单了。呃，那么加在一起不就是二十二厘米的高吗？用底面积乘高就可以了，大家听懂了没有？ 所以，哎，三点一四乘四的平方，这是底面积，再乘括号十加十二，就能把它这个体积求出来了，对吧？是水啊，水加上空的地方，但这空的地方这边不能求，但是在后面好求，是不是好，这是这个题目的特点， 好，这个就是等级变形啊，这个类型少一点啊，来，接下来我们看一个大的类型。第三个， 圆圆柱圆锥的内在关系，那么在今天呢，我们只讲圆圆柱的关系 啊，在下一节课里面，我们再讲圆柱圆锥啊，那么讲到这里已经蛮长时间的了，我们很多孩子可能坐不住了啊，有点累了， 大家加油啊，我们今天把这个今天该讲的讲完。下图呢，是一块长十六点五六分米的长方形铁皮啊，来这里的宽已经告诉我是八分米，对吧？然后呢，刚好能做成一个圆柱形的油桶，问他的体积是多少， 那么要求体积，我们是不是需要底面半径，是吧？底面积，底面半径或者直径还有一个高，对不对？一般来说，我们要求到高和底面的半径，是吧？这是我们核心的要求体积的所要的条件。 那在这里呢，我们会发现啊，在这个长十六点五六分米里面，它包含了一个圆的直径，因为这是上下两个底吗？对不对？这个是什么？ 这是不是侧面积啊？侧面积的长不就是周长吗？对不对？所以这里面是一个直径加上一个周长， 哎，这是这个铁皮的长，对吧？而周长又又是几个直径啊？三点一四个直径，所以整个长十六点五六零五六分明，里面包含了四点一四个直径，大家发现没有？ 好，那么接下来是不是就好做了？十六点五六除以四点一四等于四分米，就是它的直径，那直径求出来，那就好办了，对吧？底面积三点一四乘括号四除以二平方，再乘八，就等于它的体积。 好，这种类型不止这一个图，但是先把这图记住了啊，它是四点一四个直径，大家记住了。好，接下来我们再看第二题， 说有一张长方形的铁皮，如图，剪下阴影部分可制成铁桶，求这个铁桶的容积，大家注意啦，这里面稍微有点变化啦，这个长方形的铁皮上面这个是什么？是侧面肌吧？这边呢是两个底，对吧？那这个很简单， 这个长方形铁皮的长是不是就是底面周长，对吧？底面周长，所以它直接包含了三点一四个直径， 也就是十八点八四，是不是？所以这道题好做，十八点八四除以三点一四，求出直径是六分米，哎，这是直径，是六分米的话，那么上面这部分高不就是四吗？对不对？这不也是六吗？也是直径啊，对不对？是吧？所以十减六等于四分米是它的高啊，那就好办了， 三零四乘六除以二的平方，这是底面积，再乘高等于它的体积，对吧？好，这是这道题，大家记住没有？ 好，那么这种类型还有第三幅图，这是第三幅图，大家看下这三幅图啊，这个第三幅图大家能看懂吗？这个长方形的铁皮这么剪啊，剪完了之后能够拼成一个圆柱，能拼成一个圆柱， 那么这里有一个直径，这里有一个直径，这个是它的侧面积，对吧？所以这个长方形铁皮啊，它的宽是个直径，长，里面包含了几个直径啊？ 来，我们来看一下，这俩中间是三点一四个直径，所以它一共包含了多少？五点一四个直径， 是不是五点一四个直径？记住了。哎，这种类型就这三幅图， 一个是两个圆，在两在一侧，是吧？哎，在在，在旁边，这种图长方形的长，里面包含了四点一四个直径，对吧？这一个直径，这底面周长是三点一四个直径。四点一四个直径， 那么这个图呢？这个长就是底面周长是三点一四个直径，这个图呢，两边各一个直径，中间是三点一四个直径，加在一起是五点一四个直径。这三个图一定要都记住了，肯定会考的啊。 好，你可以暂停下来记一记。好嘞，那么讲到这里，我们今天的课就先讲到这啊，剩下的内容我们下节课再讲。哎，因为这块内容我们分了上下两个部分。好，那么今天就到这里。

今天我们来学习北师大版数学六年级下册第一单元，圆锥的体积。圆锥的体积啊，它是以圆柱的体积为基础啊，它的体积计算公式啊，就是三分之一乘以底，面积乘以高。 那这个公式怎么来的呢？通过实验可以得到，我们准备等底等高的圆柱和圆锥各一个，再准备一些沙子和水，把这个圆锥装满水，然后往这个 等底等高的圆柱里面倒，发现倒三次，刚好可以装满这个圆柱，所以圆锥的体积它就等于与它等底等高的圆柱的体积的三分之一， 就可以得到一个结论，等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的三倍，也可以说是圆锥的体积是圆柱体积的三分之一。 记住，这个前提很重要，一定是二者等底等高，也就是底面积相同，高也相同，才有这样的一个公式。 接下来我们来看一下常考的几个题型啊。第一个，已知圆锥的底面积和高，那么直接用公式三分之一乘以底面积乘以高来计算圆锥的体积就可以。第二个，已知圆锥的体积和底面积，我们可以求出它的高， 记住啊，这个体积要先乘以三，再除以底面积，这个乘三，不要忘记。第三个，已知底面半径和高，可以求出圆锥的体积。我们已知底面半径，就可以用派二平方求出底面积，然后用三分之一乘以底面积乘以高计算体积。 第四种，已知底面直径和高，同样可以求出圆锥的体积，同样用派二平方求出底面积， 这里的 r 就 等于 d 除以二，所以也可以求出圆锥的体积。第五种已知底面周长和高，我们也是通过底面周长求出底面半径，然后用 pi r 平方求出底面积，再用三分之一 s h 求出圆锥的体积。 第六种就是比较难的一种圆柱和圆锥的体积的比较计算，比如把圆锥和圆柱组合起来，或者给圆柱里面挖掉一部分，只剩于一个圆锥，要求圆锥的体积或者二者进行比较。 好了，这就是我们今天学习的圆锥的体积，我们后期会做一些相应的例题来加以巩固。如果你学会了，听懂了，可以点一个免费的小心心，顺便转发给身边爱学习的朋友。

大家好，今天呢，我们继续来学习六年级下册数学第一单元圆柱和圆锥面的旋转的第二课时试一试。那首先呢，我来先带大家做一个总体的复习啊，可能有某些人忘了，这就是我们上学学的 啊，圆柱和圆锥有什么特点？呃，就是圆柱有两个底面，然后有一个侧面，侧面当然就是长方形啊，那聪明的人已经猜出来圆柱的表面怎么算了啊，这个我们下节课再说啊，我们不用管它， 然后还有高，然后呢？圆锥的顶点，侧面，底面，呃，底面半径，底面直径，底面周长和底面积圆心，然后还有高，然后我们简单复习之后就可以来看今天的课程了， 因为今天是跟这个有关的啊，今天我们得看量一下它的高，怎么量的？拿盒尺量，非常合理啊，圆柱呢，有 n 条高，就是无数条高的意思啊，它有很多，然后圆柱只有一条高，这个需要记住，这就完事了。 然后我们来看一下，找一找下面图中的圆柱或圆锥，那我们来说一说，圆柱和圆锥有什么特点呢？啊？圆柱是圆柱，呃，圆锥是圆锥，圆锥它是有一个小小零点的啊， 然后这没啥找的吧？这个我跟你说啊，这个电池是圆柱，然后这个上面是圆柱， ok， 然后这个是圆锥， 这是不规则呀，这玩意，然后这这个啊，这个灯光叫做圆锥， ok， 那 往下看，那下面哪些图形是圆柱或圆锥呢？第一个肯定是哎，第一个他肯定是 圆锥，第二个是圆台啊，圆台，这，这是什么？这肯定不对啊，这个是斜，斜，斜圆柱啊，这个是斜圆柱，初中刚学的这个叫做斜圆柱，但它也是圆柱啊，来看一下这个演示。 好，然后我们来看一下第四题，找一个圆柱形，一个圆锥形的物物体啊，这个我们就跳过了啊，自己找去啊。然后那个，这个题啊， 这个题其实不算难，我跟大家简单说一下吧。其实这种题在第一单元来说有点常见啊，我看一下啊，他说他的圆柱的底面直径就是这个 高，就是高，其实圆柱的高就是这个盒子的高，已经暗示了，然后把二十四罐这种饮料如图放入，然后它的长宽高， 其实这个很简单啊，兄弟们，你好好想一想，那一看，横着一二三四五六六个瓶子，对吧？那就是六个底面直径底数六点五乘六，对吧？那那宽呢？一个，两个，三个，四个，有四个，那就六点五乘四呗，哎，对吧？ 然后这个切开就不说了啊，其实这个切开是初一哈。嗯，但是你死死意想一想，也能发现啊，他确实有这种题，但是他为你增加表面积了。 好，那我们今天呢，就上到这里了，我们学习完了雨薇尔旋转的第二课时，那我们下节课来研究一下圆柱的表面积，那我们下一课再见了啊。

大家好，这里是小学数学重难点系列讲解，我是孙老师，方法虽有可观，思路方能致远。 大家新年好，这条视频呢，是我们新年的第一条视频。首先呢，祝各位小朋友快快乐乐，健康成长，祝家长们平平安安，幸福生活。 那么寒假过半了啊，我们休息之余呢，把六下的两个非常重要的内容，圆柱圆锥和正反比例先预习一遍啊，圆柱圆锥呢，有些小朋友可能学过了啊。呃，再听孙老师讲一讲哪些不一样的体会。 那么圆柱圆锥呢，我们依旧是从三个方面来讲，从基础啊，构造到表面积和体积。 第二个呢，是归类与拓展啊，我们一向都是先讲基础，然后再进行提醒，归类啊，再拓展。那第三个呢？思路总结与发散。 那在我们把所有的类型的题目讲完了以后，在更高的视角，我们再来看一下这些类型，这些题目。呃，我们能总结出哪些思路？这些思路又怎么样能运用到更复杂更难的题目里面？ 这种学习方式呢，也是我们啊小学到初中的一个非常大的跳跃吧。小学呢，我们老师给你总结是吧，到了中学以后啊，需要我们小朋友自己总结。好，首先呢，我们这节课呢，是基础知识， 来，大家来看，这是一个长方体。呃，我在讲长方体正方体的时候就跟大家讲过啊，我说圆柱圆锥跟长方体正方体的题型百分之八十是差不多的，那那么长方体呢，是分成了 上下两个底和它的什么侧面？呃，就是前后左右四个面了，所以一共是六个面。那么也就是说，我要去求它的表面积的时候，是不是上底加下底，以及前后左右四个面， 那求出来，再把它一加，就是它的表面积。当然我们也有第二种求法，就是什么呢？把前后左右，因为它的展开图是一个长方形，我们又称之为侧面积，大家还记得不 是吧？这个前后左右展开是一个长方形，是我们的侧面积，这个侧面积的长是底面周长，是不是底面周长，是不是展开是底面周长啊？长是底面周长，宽的是高，所以侧面积又可以通过底面周长乘高得到， 是吧？底面周长乘高，底面周长就是长加宽的和乘二了，是吧？这个长方形的周长如果是个正方形，就是边长乘四。好，也就是说我们的表面积在长方体上面会有两种求法。好，那么接下来我们看到一个圆柱， 圆柱呢，依旧是分成了上底和下底，但是他没有前后左右啊，是不是我不能够说把前后左右全部求求出来，然后再相加，他没有前后左右，但是 侧面展开呢？依旧还是个长方形，是吧？所以我们可以通过第二种方式，上底加下底，再加上侧面积 把它求出来，可以通过上底下底再加上侧面积求出来，侧面积依旧是底面周长成高啊，那么这个底面周长啊，这个底面周长是啥呀？因为它的底面是一个圆嘛，所以底面周长就是这个圆的周长，圆的周长怎么求，大家还记得吗？ 啊？派乘直径对不对？派地或者呢？二派二，大家还记得吗？底面周长派地或者二派二 啊。我们在学习圆柱圆锥的过程当中啊，有一个很很重要的问题，我们有的小朋友可能前面的圆的知识啊忘记了，如果有忘记了，可以到前面我的视频里面再去复习一遍啊。 好，那么这样我们圆柱的表面积就是上底加上下底再加上侧面积，那底面周长成高，那么上底加下底呢？是怎么求来着？都是是两个圆，对不对？圆的面积是不是 pi r 的 平方，所以两个的话就是二 pi r 的 平方 再加上侧面积，侧面积是底面周长乘高，底面周长是二排二，对吧？二排二乘 h 高，所以这个就是我们的表面积了啊，上底加下底，再加上侧面积。好，接下来我们看一道题目， 一个圆柱的底面直径是两厘米，高是九厘米，它的表面积是多少？来暂停大家做一下。 好，我来讲很简单吧，是吧？底面直径，那我们先把上下两个底求出来，上下两个底吗？底面直径先除以二，求出半径对吧？二，除以二的平方，二平方乘派，对吧这是？呃，一个圆 再乘二，变成上下两个底，再加上侧面积，侧面积是二派二乘啊，这边是派地乘 h 对 吧？派地乘 h， 二乘三点一四是周长，周长乘高是侧面积，最后求下的是六十二点八，大家做对了吗？ 啊，并不麻烦是吧？很简单。好嘞，继续第二题，仓库里有很多的铁皮啊，然后呢，我们需要把这个铁皮啊，你看这是底，这是侧面，哎，看看哪两个可以 并成一组，做成一个无盖的圆柱形水桶，大家看一下。 好，我来讲，那么这是侧面，是不是这是侧面，要跟这个底能搭配的上，其实很简单了，我们只需要看什么这个侧面的长，是不是这个底的什么周长，对不对？底的周长，你看这边是直径是四分米，它的周长应该是多少？ 四派就是十二点五六，所以一和四是可以的，二后面不行，是吧？所以我们选择的是一和四。好， 来，我们看第三个，一个圆柱的侧面展开图，是一个正方形，这个圆柱的底面直径是四分米，这个圆柱的表面积是多少？ 看一下。是个圆柱啊，侧面展开呢，是个正方形，这说明一个问题，说明什么？底面周长和高相等，对吧？底面周长和高相等，这个圆柱的底面直径是四分米，这个圆柱的表面积是多少？来，大家先做一下。 好，我来讲。那么 我们要求它的表面面积需要上底下底加上侧面积，对吧？尤其是这里的底面周长和高又是相等的，所以我只需要把底面周长求出来高也就知道了， 对不对？底面周长很简单，直径告诉我了，是四分米，四派，所以四乘三点一四等于十二点五六，等于十二点五六。在这里啊，我讲的这些题目派都取三点一四啊。 好，四乘三点一四等于十二点五六，是底面周长又是高，所以他的测面积就很简单了，十二点五六乘十二点五六对一百五十七点七五三六啊，这个小点后面比较多啊。 好，那么这个测面积咱们已经求出来了，咱们还需要上下两个底的面积，对吧？他的直径是四分米，所以我们用四除以二，先把半径求出来，是二分米，那这样的话拍二平方 再乘二是吧？三点一四乘二的平方是一个底，十二点五六，十二点五六再乘二，就是两个底，再加上侧面积，一共加出来等于一百八十二点八七三六， 大家做的对吗？啊？有可能计算会出问题，对吧？这个计算麻烦了一点啊，计算要当心啊。 好，这是这道题，我们继续。那么我们前面讲了三道题，尤其第三道题，来，我们稍微总结一下，我们要求圆柱的表面积啊，是通过哎，把这两个求出来，两个上下两个底面积，然后把侧面积求出来，再一加就可以了，对不对？ 好，既然我要求这两个，那我需要啥呢？我求这个底面积就需要什么底面半径二， 侧面积，我们需要什么呢？需要底面半径二和这个高，对吧？所以总结下来，我们要求圆柱的表面积，其实是只需要两个东西，一个是什么二，一个是 h， 一个是底面半径，一个是高，对吧？我为什么给大家总结这个呢？就是我们在做题目的时候，你看到要求什么？首先脑子里面要反映出来我需要的条件是什么，于是你才能知道我从前面的这个描述的条件里面要提取什么样的信息，是吧？要往哪个上面去靠。 好嘞，我们继续。接下来我们分类啊。呃，我们不是求表面积吗？分类啊，把它这个表面积里面的这个内容啊，我们分类把它讲一讲。首先我们先来看侧面积， 呃，第一道题，一个水杯，那水杯上的装饰袋是八厘米，它的面积是多少平方厘米？来看一下，来，先做 好好，来，我们看这个侧面呢，这个装饰带啊，是一个高八厘米的一个侧面积，是不是啊？要求侧面积很简单，底面周长呈高，所以直径是六厘米，那么就是 啊，三点一四乘六，再乘八解决了。那我说了，这里派我们后面讲的题目派读去，三点一四啊，三点一四乘六乘八等于一百五十点七二平方厘米，答对吗？很简单的一道题啊，来继续。 压路机的前轮直径为一点二米，轮宽两米，压路机工作每小时每转动十周，问每分钟压路多少平方米？看这是个压路机的前轮， 它的直径呢？是一点二，轮宽是两米，它压出去是什么呀？它压出去是不是一个长方形，对不对？是吧？是个长方形， 这长方形的宽呢？其实就是两米长方形的长呢，是这个轮子滚动出来的距离， 是滚动出来的距离。滚动出来的距离大家还记得吗？还记不记得这个距离是怎么来着？这里面有个数量关系是什么来着？是圆的周长乘，滚动的圈数等于滚动的距离，大家想一想是不是啊？圆的周长乘，你滚动了几周，就等于你滚出去多少距离， 是不是那么圆的周长在这里直径已经告诉我了，是两，是一点二米吗？对不对？直径是一点二，所以周长就应该是多少？一点二乘三点一四，一点二乘三点一四，那么乘二呢？就得到了什么？就等于它滚动一周，它能滚出多少平方米？ 是不是滚动一周就是一点二乘三点一四，是周长，是周长滚动滚动一周，他往前滚的距离，再乘他的这个，这边的宽是两米，也就说我滚动一周滚出来的面积是七点五三六平方米，对不对？ 是吧？然后呢？然后滚动一周是七点五三六，他说每小时要滚动十周啊，所以我们用七点五三六乘十，对，七十五点三六平方米啊，这是十周，也就是说每一小时我能滚动这么多的面积， 那最后要求的是每分钟压路多少平方米？一小时等于六十分，所以我还得用七十五点三六除以六十等于一点二五六平方米，大家做对了吗？好，这也是一个典型的题目啊，很基础。好。第三个， 有一根长一米，横截面的直径是二十厘米的木头，浮在水面上，正好有一半露出水面，问，这根木头与水面接触的面积是多少啊？这个木头与水面接触的是多少？哎，大家先做一下。 好，我们看啊，它与水面接触是哪个部分？你看这边是一个半圆，对不对？看到没有？这边是个半圆啊，这边也是个半圆，那这两半圆凑在一起变成一个整圆，再加上， 再加上什么？这是半个侧面积，对不对？侧面积的一半。好，好，现在我们知道了，它跟水接触的面积是一个整圆，加上侧面积的一半，对吧？那现在就好求了， 单位换算一下，长一米，因为他最快求平方厘米，所以一米等于一百厘米。那接下来呢？直径是二十厘米，那么他的半径就应该是十厘米，哎，把半径求出来，方便我们去求这个整圆的面积，所以三点一四乘十的平方等于三百一十四，哎，这个两个半圆加在一起就是三百一十四 平方厘米，对吧？接下来我们求测面积，测面积很好求啊。呃，测面积的一半嘛，所以用这个圆的周长乘一米的这个长度，对不对？所以用二十啊，三点一四乘二十，周长再乘一百，是他的长 对吧？是等于他的测面积，然后除以二等于半个测面积三千一百四十，最后把这两个加在一起，三百一十四，加上三千一百四十，等于三千四百五十四平方厘米， 走对了吗？好，继续。好，第二个呢，我们讲组合体的表面积，来来看 好这个呢，我们会发现这个图啊，上面的这个部分就是我们刚刚求的那个啊，一个半个侧面积，然后前后两个半圆加在一起，是一个整圆，跟我们刚刚求的是不是一样，对不对？然后下面这个部分呢，是一个正方体啊，正方体的几个面？ 五个面吧，是不是五个面？好，大家先做一下。好嘞，我们来对一下答案， 二的平方乘三点一四就是什么？前后两个半圆加在一起是一个整圆，对不对？然后呢，四乘三点一，四乘四就是它的侧面积，再除以二是侧面积的一半，是吧？四乘三点一，四不是周长吗？周长乘四对吧？是这个长， 哎，然后呢，这是一个整个的测面积，再除以二得了半个测面积，这个加在一起就等于上面这个部分三十七点六八， 然后下面就很简单了，是五个正方形，是吧？所以是四的，它的边长是四吗？四的平方乘五，再加上上面的三十七点六八，等于一百一十七点六八平方分米，答案对吗？好看，下面一个 在一个棱长为五分米的正方体木块前后上下左右 各个面的中心位置挖去一个底面直径是两分米，高为两分米的圆柱，大家注意啊，啊，这个黑的这个部分进去是个圆柱啊，他会往里面挖啊，他有高的啊， 他的直径是两分米，高是两分米的圆柱，做成一个模型，这个模型的表面积是多少？大家先做一下。 好，我来讲。这个挖出来之后啊，大家会发现， 虽然这个面被挖掉了，但是他到里面去了呀，是不到里面去了，对不对？里面一样也有这个面，我们在求表面积的时候，里面这个面可以移上来，也就是换句话说是什么呢？说明，说明这个 正方的这个面跑到里面去了， 是吧？正方体的表面积没变的同时，他还多出来了什么，因为他往要往里挖，他是有高的，还挖出去一个侧面积圆柱的，这里面有个侧面积，大家能理解不？几个侧面积呢，六个，前后左右上下每个面都有吧？六个侧面积，也就是说 这个模型的表面积是由一个正方体的表面积，一个完整的正方体的表面积加上六个圆柱的侧面积构成的，对不对？大家，大家想对了吗？是吧？所以那接下来我们就好做了。好，我们用 五乘五乘六是整个正方体的表面积，再加上啊侧面积，一个侧面积是三点一，四乘二乘二，是吧？因为它的直径是二，所以三点一，四乘二等于它的周长再乘它的高二就等于它的侧面积里面周长乘高嘛，对吧？一共是六个，再乘六， 哎，这俩加在一起就等于这个模型的表面积是二百二十五点三六，大家做对没有？好，这个也是，其实你看我们讲在这里啊，这些题型跟我们长方体、中方体的这以前求的这个表面积和体积是不是一样？其实这题我们都做过的，是不是啊？ 好，来我们看下面一个，第三个，三个半径是三厘米，两厘米、一厘米高，都是两厘米的圆柱体，连接成如图的立体图形，求它的表面积是多少？好，大家先做一下。 好，我来讲这三个圆柱体啊，它的半径分别是三二一厘米，高呢？都是两厘米。 然后我们会发现一个问题，哎，我们首先你看我们刚刚在求这个表面积啊，组合图形的组合体的表面积的时候啊，大家一定要注意， 我们需要知道我们要求的是哪些部分，那你得把这些部分给他搞清楚，这样我才能有目的的去求，是吧？那我要求的是哪些部分？我们会发现 这个上面，你看这个小的圆柱的这个上面， 再加上这个大圆柱的上面，凑在一起，不就是大圆柱的上面吗？大家能理解不？这三个凑在一起就是什么大圆柱的上底，对不对？是不是？呃，然后再加上这个大圆柱的下底，也就是上下 的这个表面积，就是这个大圆柱的上底加下底，对吧？好，那我只需要考虑什么呢？侧面，侧面，侧面就是大圆柱、中圆柱和小圆柱三个圆柱的侧面， 是不是？所以我们现在把它这个分析好了，我们要求的是大圆柱的上下两个底，以及这三个圆柱的三个侧面， 对不对？好，那么接下来我们就可以求了，首先大圆柱的上下两个底，三点一四乘三的平方乘二，对吧？大圆柱的上下两个底是五十六点五二平方厘米，那么接下来我要求的是这三个圆柱的侧面积， 三点一四乘三，求这个大圆柱的侧面积三点一四证明是半径吗？三吗？所以三点一四乘三乘二，三乘二是直径，对吧？所以派地底面周长再乘高，高是两厘米啊，乘下来等于三十七点六八，这是大圆柱的侧面积。 然后中圆柱的侧面积三点一四乘二乘二，它的半径是二嘛？所以二乘二是直径，三点一四乘直径等于底面周长，底面周长乘高等于侧面积，这是中圆。 哎，上面的这个小圆柱呢？三点一四乘一，乘二，乘二，十二点五六。最后咱们把这些怎么样加在一起等于一百三十一点八八平方厘米，大家做对了吗？ 好，那么接下来我们要讲圆柱的体积，首先我们依旧还是从长方体来往圆柱上面引啊，因为毕竟长方体我们学过嘛， 长方体的体积咱们怎么求来着？是长乘宽乘高，对不对？那么长乘宽又是什么底面积？所以我们又可以用底面积乘高，对吧？然后那么到圆柱上面我们就要注意了呀， 圆柱它有长宽吗？它没有哎，对不对？所以我们只能用底面积乘高，底面积乘高，那么我怎么去理解底面积乘高能求体积这个事呢？ 大家注意我们可以怎么去理解？我们可以把这个圆柱或者这个长方体理解成是有很多个底面积啊，叠在一起的对不对？很多个底面积叠在一起对吧？然后求他们的和，能不能理解 有多少个底面积呢？有高个高就是底面积的个数，能不能理解？ 哎，不知道有没有小朋友能理解哎，我就把一个底面积求出来乘高就表示他有很多的底面积叠在一起，对吧？然后求他们的和，这就变成了一个圆柱体，大家能不能理解再去求他的和。如果你能理解的话，那么恭喜你 这就是微积分这就是微积分啊，你已经迈入了我们大学高数微积分啊，你已经迈入了我们大学高数微积分啊。他的核心思想就是先微分再求和 啊，把你看求体积的时候把它变成很多的体积啊，底面积，然后切分成很多的底面积，再去求他们的核，就变成了体积。 我们在高中的时候啊，学到低分的初步啊，导数和积分的初步，那么主要学微积分的还是到大学，所以如果你能听明白了，那你已经把这个微积分的核心思想掌握了 啊，所以你已经很厉害了。呃，我们钱学森老人家说过啊，说这个十四岁还能不会微积分吗？哈，这个我们当做一个玩笑话，大家觉得他可能太聪明了啊，不了解我们普通人的智商，但实际上 实际上能理解吗？好理解的并没有那么复杂哈，是不是我觉得我在听的小朋友们应该都理解了，对吧？如果当然了。呃，我们是理解了他的核心思想， 如果我们真要去运用微积分的话，当然我们还缺几个这个知识没学过，比方说你需要掌握的是导数 还有极限的思想，对，把这两个掌握了，那么微积分你就能用了啊，如果感兴趣的孩子可以去搜一搜啊，关于这个导数啊，就是微积分方面的这个简单的课程，去看一看 这个比你做多少，这种什么小蓝本，小成本，做多少道这种题目他都来的，对你来说更重要，价值更高。 哎，这才是真正去学习数学啊，讨论数学，研究数学的方向，不是去做那么几道死磕几道的那几道难题就管用了，去学这个，这个对你来说帮助大。好嘞， 来我们来看啊，我们现在已经知道了，这个圆柱的体积是底面积乘高，对吧？那么接下来我们看一看，这边有四个图形哎，哪些图形是可以用底面积乘高来计算的呢？来看一下 哪个二和三，对不对？是不是二和三？为啥？大家注意啊，我们用底面积乘高有一个条件是这个底面积从下到上，无论在哪哪一块，他都必须相等，对不对？这样你才能乘高啊， 是吧？高的意思是几个底面积吗？对不对？你底面积都变化了，那你怎么能称得上是几个相同的底面积呢？不行的，是不是你像这个， 这个就不行了，你直接成高不行，因为下面的底面积明显要大一点，上面小对不对？这是个圆柱，那更不行了是不是？所以能用底面积成高的必须怎么样？哎，他这些面跟下面要垂直是吧，也就是满足什么，就是这个底面积从上到下他不能变， 哎，只要是不能变的，我都可以用底面积乘高的方式来算，能理解不？哎，这道题可以更方便的让大家理解，假如我为什么用底面积乘高，为什么长方你乘方，你能用底面积乘高？圆柱圆锥它也能用底面积乘高。 好，来看第二个，一个圆柱形玻璃杯侧得内直径是八厘米 啊，杯内豆浆的深度是十六厘米，正好占杯内容积的百分之八十，这个杯的容积是多少？在这里我要说一下， 呃，在长方里上正方体里面我们已经讲过了，我们求容积的时候啊，是不考虑这个容器的容积 b 的 厚度的，所以我们一般直接把体积当容积啊，当然这不是精确的算法，那在这里呢，我们只是忽略到那个 b 的 宽度，是吧？的厚度。好，那么大家做一下。 好，我来讲很简单，底面积乘高是体积对吧？在这里也是它的容积。 首先直径是八，所以除以二等于四厘米是半径，那么它的底面积就应该是四的平方乘三点一四， 深度是十六乘十六，体积求出来了，而这个体积又占杯内容积的百分之八十，对应关系相除，是吧？分量除以分率得到单位一，总共的容积是一千零四点八， 一千零四点八，大家做对了没有？哎，单位再换一下是吧？从立方厘米变成了，呃，毫升。 好，继续从圆柱形水桶里面倒出三点一四升的矿泉水，那么水面的高度正好降低了五分之一，已知水桶的底面直径是二十厘米，水桶里原来的水有多少升？好，大家先做一下。 好，我来讲。呃，那么我怎么讲呢？这题目有方法有很多，那么我们呢，讲的方法呢？从问题出发的，先把思路捋一遍，首先他要求的是水桶里面的水有多深，也就是说求高， 那么求高的话，我们是什么体积？除以底面积吧，是不是啊？体积除以底面积，那么也就是说我们需要体积和底面积，需要把这两个求出来，这里面呢， 底面直径是二十厘米，哎，有直径，那么底面积肯定是能求的，对不对？是吧？那关键是呢，体积不知道，他说倒出了三点一四升的矿泉水，水面高度正好降低了五分之一，这里面是什么关系呢？注意， 倒出的三点一四升的矿泉水和总共的体积的关系是什么？哎，他们的关系是什么？他们都是底面积乘高吧，是不是？而高的比是一比五来，水面的高度正好降低了五分之一，这说明倒出了一份，而总共的高度是五份， 是吧？这个很好理解，对吧？那么体积呢？是不是都是用底面积乘高啊？所以倒出的体积是 s， 底乘上高是一，呃，总的体积是 s， 底乘五，那么把底约掉之后，我们会发现，他们的体积的比是不是就是他们高的比一比五啊， 对不对？就是一比五，体积的比是一比五，那么倒出三点一四升的矿泉水不就占了整个体积的五分之一吗？所以整个的体积是不是就是 三零一四除以五分之一等于十五点七升，这是这个整个的体积，总的体积，对吧？然后总的体积有了，再除以底面积，就等于水的水的高度，对吧？好，我们用 三点一四乘二十除以二的平方，这是求的是什么底面积对不对？然后再用呃呃换算一下，换算成这个三点一四平方分米，因为这个前后都是分米嘛，前面是深呀，前面是深呀，所以最后我们用十五点七除以三点一四 等于五分米，原来的水桶里的水深是五分米，大家做对了吗？哎，这里面主要是一个从高的比啊，从高的比去看出他们的体积的比，因为底面积相同，所以高的比他就是体积的比，对不对？ 来接下来我们要看圆锥的表面积，到了第三个部分了，这是个圆锥， 那么圆锥的表面积怎么求呢？在这里啊，我说一下，在小学我们圆锥的表面积，他没有做更多的要求 啊，没有做更多的要求，但是我孙老师呢，会给大家拓展一下，因为他并不难，只要你们能够理解，哎，而且是从小学知识点往上延伸的，我都会给大家进行拓展。那么首先这个圆锥的表面积啊， 他是不是分成了？下面是一个圆，圆锥下面是个圆，对吧？他的侧面展开啊，是个扇形， 对不对？大家再看一下是不是侧面展开，底下面是个圆，侧面展开他是个扇形，是个扇形。那么我们求的时候就就就就就怎么办？就用底面积加上侧面积这个扇形就可以了啊，我们在六年级就是这么求的， 就是怎么求的扇形怎么求啊？扇形是呃，一个整圆的一个部分，对吧？我们需要知道的是这个扇形的这个圆形角是多少，对不对？我们知道了这个度数，哎，我们就知道了，它占整个圆三百六十度的几分之几，我就可以把这个扇形给求出来了，对吧？这个大家应该都会， 那么关键是我需要知道的是什么？这个半径，对，我得把这个半径得得得求出来，知道了半径，知道这个圆心角，我就能求出这个扇形的面积，也就是这个圆锥的侧面积，是不是？好，这是我们小学的求法， 但是到了初中啊，到初三我们就不这么求了，我们初三怎么求呢？大家注意我们在这里的半径，其实就是哪啊？哎，就是这个这条线是圆锥的顶点到底面这个圆的圆周上的距离， 到圆周上任意一点到这个圆锥顶点的距离，叫什么呢？叫母线， 在这里叫半径啊，实际上在圆锥里面这叫母线，叫母线啊，记住啊，这个半径和这个母线是一样长的啊，一样的啊，我们只不过把它，把它，把它圈起来了，对不对？叫母线。好，在这里我们要回忆一个知识点， 这是一个圆，我可以把一个圆切拼成一个什么一个长方形，径四的长方形，对不对？ 所以圆的面积啊，我们就是什么用，因为这个切出来这边宽是半径，大家还记得不？下面是什么呀？是周长的一半，是周长的一半，所以这个圆的面积就是什么周长的一半，成半径，对不对？大家还记得吧，这个知识点。好，我们如果知道了，记住了这个知识点，那么大家注意， 如果一个扇形的一个扇形，是不是也可以把它切开，只不过他拼成了这个长方长方形短了点吗？对不对？是不是？大家能不能理解？他不是扇形有一部分，这个圆的一部分被切掉了，是吧？现在是个扇形，他也可以拼啊，切，拼啊，只不过这个长方形没那么长了吗？对不对？ 是不是？而他依旧是这边是他的半径，而这边呢？这个弧长一半在上面，一半在下面，对不对？对吧？这个弧长其实在我们圆锥里面，是不是就是底面周长啊？大家能理解吗？是不是那底面周长的一半，这是底面周长的一半，所以 这个扇形的面积又可以怎么求呢？底面周长的一半乘半径，而是吧，底面周长的一半乘半径，而这个半径又是什么来着？我们刚刚说的叫什么？叫母线，对不对？所以，哎，所以这个扇形又是母线乘底面周长除以二， 哎，我要是直接说母线乘底面周长除以二，大家可能理解不了，但是我用上面这个图，大家再看一看，再理解一下，你就能理解了，对吧？因为这个知识点咱们学过呀，咱不是学过，整圆可以切片成一个长方形，那么圆的一部分作为一个扇形来讲，当然也可以切喽，对不对？ 来，这就是作为圆锥来讲啊，它的侧面积啊，我们初三的一种求法就是母线乘底面周长除以二，用字母表示的是 pi l pi r l r l 是 母线的意思啊。好嘞，这是给大家拓展了一下。呃，我觉得是能理解的， 能理解的，是吧？哎，我们所有的基础知识我们都具备，所以理解起来也不困难，这是测面积好了，那么圆锥的表面积，我说了啊，呃，小学阶段的不做更多的要求，哎，我该拓展的给大家拓展，大家理解了，那么接下来我们主要来讲圆锥的体积， 这是个圆锥，这是个圆柱，这俩呢，他们的底面积相等，他们的高也相等，那么他们体积的比是一比三啊，也就是说等底等高的圆锥是是与他等底等高圆柱的体积的三分之一。 那我要去求圆锥的话，是不是就是用底面积乘高之后再乘三分之一？那因为底面积乘高是求出来跟他等你等高的一个圆柱的体积再乘三分之一，就等于什么圆锥的体积，大家听明白了吗？ 大家听明白没有啊？就是底面积乘高再乘三分之一啊，或者除以三也行。那么至于体积的比，为什么是一比三呢？我们小的阶段 不做要求，为什么不做要求呢？他需要还是得需要用微积分来进行推导啊？那么我前面说了，可能有小朋友去看了啊，如果你学了，学了微积分之后，你能够把这个一比三的这个笔啊能推导出来， 那我要给你竖大拇指，你可太厉害了哈。呃，不信你去问问你们学校里的老师，看看他能不能给你解释为啥是一比三，你可以解释给他听啊，那你就超级厉害。好了，那么我们现在知道了啊，圆锥的体积是怎么来的？ 接下来我们看题目，一个圆锥的底面半径是五厘米，高是十二厘米，这个圆锥的体积是多少？很简单吗？来做一下 底面积乘高再除以三，对不对？底面积，底面积是五的平方派五的平方乘三点一四，再乘高十二，这求出了等底等高的一个圆柱，而圆锥需要除以三，所以等于三百一十四，大家对吧？很简单，一道题，好，下面一道题， 这边有两，这边是个沙漏啊，是两个完全相同的圆锥形容器沙漏，大家都见过吧，是吧？然后呢，就上面的往下面漏沙，哎，他说这个高呢，是六厘米啊，每个圆锥的高是六厘米，里面装满了细沙， 这个漏口每秒可漏细沙，零点零六立方厘米，漏完全部的细沙，用十五分钟。这个沙漏的底面积是多少？大家先做一下。 好，依旧思路先搞清楚啊。要求沙漏的底面积是不是用体积除以高，是不是体积除以高 哦，这是圆柱，但是要注意的是，这里是圆锥哦，圆追求体积的时候是不是除以三，所以我反过来要求底面积的时候，需要先用体积乘三，再除以高，才等于底面积，这就跟什么一样， 就跟我们当初学三角形一样，三角形要知道了，底要求底边上的高，是不是面积乘二除以底， 为什么？因为我求这个面积的时候是底乘高除以二来的嘛，大家能不能理解这个意思，是吧？好，所以依旧我们还是先把体积求出来。体积，那体积，他说每秒漏细沙零点零六立方厘米，一共用了五分钟，这说明 他的体积就是多少，哎，这相当于是个工程问题，工作效率是每秒零点零六，工作时间是五乘六十三百秒，对吧，所以算出来是十八立方厘米，一共漏了这么多的沙，也就是他的体积啊，能理解吧？ 好，知道了它的体积，我们用体积乘三除以它的高等于底面积，这道题目就做出来了，哎，在这里我要强调的就是一定要注意我们沙漏啊，我们这个圆锥啊，要求底面积或者求高的时候不要忘记了，体积要乘三， 千万不能忘了啊，我们有些小朋友比较粗心的，这个不能忘记啊，提醒自己。 好，我们接下来看，这是我们最后一道题了，一个直角三角形的两条直角边，分别是三厘米，四厘米，斜边是五厘米。哎，三四五啊，勾三股四减五啊，这边这边呢，又也稍微有点超啊， 哎，我们一旦看到是三四五这样的三角形，那么他一定是一个直角三角形啊，为什么呢？他满足勾股定律，三个平方加上四个平方就等于什么五个平方啊，三四五，这个等到了初中以后啊，一看这个知道这是个直角三角形。好嘞， 那么接下来他要做的是分别以三条边所在的直线为轴，把三角形旋转一周，得到一个立体图形啊，那很简单，旋转一周嘛，来， 这是以四厘米作为轴啊，旋转一周之后得到了一个圆锥，得到了一个圆锥，对吧？ 以四厘米为轴，旋转一周不到了个圆锥吗？这个圆锥的，呃，高是四厘米，底面的半径是三厘米，就是这条边，对不对？半径是三厘米哎，它的体积好不好求，很好求吧！ 来，底面积乘高，再乘三分之一或者除以三等于三分之一，乘三点一，四乘三个平方，乘四等于三十七点六八立方厘米，对吧，很好求的。好嘞，那么当然这是这是第一种啊，这是第一种啊，它剩下两边，大家先做一下，比一比，看看谁的体积大。 好嘞，我来讲了啊，我们继续，我们求出来第一个图形了，接下来我们看第二个， 哎，我把它这样放了，我沿着三厘米这条边来来转，以三厘米的为轴，对吧？那么这样转下来的话，就变成这样一个扁扁的圆锥了，是吧？它的高是三厘米，它的底面的半径就变成四厘米了，对不对？变成四厘米了，那么它的体积也好求， 体力就是三分之一乘三零四乘四的平方，乘三等于五十点二十四立方厘米啊，这个不难，那么麻烦的是什么呢？还有一个五厘米，对不对？以五厘米为轴，他转出来会是什么样子的？会是这个样子的， 那会是两个圆锥，上面一个大一点的圆锥，下面一个小一点的圆锥，是吧？这个 这是丙图啊，他的这个半径底面半径，这个底面积是不是上下两个圆锥都一样，对不对？半径是多少呢？半径是多少半径我现在不知道，我得求出来半径其实就是五厘米这条斜边上的高啊，是不是？这个半径是不是五厘米斜边上的高啊？ 对，五厘米斜边上的高，好求了吧，三乘四除以五就可以了，对不对？是吧？五厘米斜边上的高，那么 他的这个上面的这个大的圆锥和下面大小的圆锥的高啊，我们分子也称之为 h 一 和 h 二啊，这边是两个高嘛？大圆锥的高和小圆锥的高，是吧？所以这个丙这个图形的面体积应该怎么求啊？ 是两个圆锥加在一起，对不对？所以我们先把这个半径求出来，三乘四除以五等于二点四厘米，这个大家都会吧，三乘四啊，斜面上的高，然后 接下来我们求大圆锥加小圆锥，三分之一乘三点一，四乘二点四的平方乘 h 一， 这是什么？上面的大圆锥，三分之一乘三点一，四乘二点四的平方乘 h 二，是下面的小圆锥，对吧？这两个加起来大圆锥加小圆锥，哎，那么我们会发现 前面都是三分之一乘三点一，四乘二二点四的平方，那么这个是不是可以提出来了？是不是提出来之后乘剩下的相加 h 一 加 h 二。注意了， h 一 加 h 二是多少？是不是这个五厘米啊？ 是不是斜边啊？所以 h 一 和 h 二这两个高，我们不需要单独把它求出来，直接把它加在一起，变成了三分之一乘上三点一四乘二点四的平方乘五，对吧？ 最后等于三十点一四四立方厘米。好，这个大家会做吗？做下了没有？哎，这是我们今天讲的，稍微麻烦一点题目，今天都是讲的基础啊，哎，大家听的应该是比较轻松的，也不难，对不对？好，最后比较一下谁大呢？ 五十点二十四大于三十七点三十七点六八大于三十点一四四，乙的体积大于丙的体积，大于丙的体积，所以最后奇的体积最大啊，好，今天讲的不难吧， 哎，今天是新年的第一节课啊，没有很困难，讲点基础的，中间呢，我们有体积的推导方式，我们用了这个积分的方式啊，我觉得大家应该是能理解的，对吧？好，那么今天我们就先讲到这里。

乐学数学，乐在其中。咱们在前面的内容已经把圆柱的体积的第一部分咱们已经做了一个完结。哈，那从今天的这个视频开始， 就和老师一起来学习一下关于圆柱的体积第二部分的内容，那还是一样，咱们先做一个复习导入，请同学们根据前面我们所学过的内容和知识，完成我们下面的表格。 好，我们先来一起看一下他给了什么条件。首先给了我们已知的条件，比如说底面积高，底面半径和高，以及底面直径和高，让我们分别求什么？ 求圆柱的体积，对吧？然后以及我们应用的公式，那还是一样，给大家三分钟的时间，大家可以把视频暂停一下，进行一个完成。 好，我相信大家已经完成好了，那就和老师一起来练习一下吧。那第一个是什么？九十六立方厘米，那我们用的公式就是底面积乘高，对吧？好，我们可以把式子写一下，就用十二乘八， 等于九十六立方厘米。注意啊，我已经强调很多遍了，体积单位应该是立方，对吧？好，第二个他给了什么？底面半径和高，那么应该用什么公式呢？是不是咱们的这个公式啊？咱们在上节课是不是讲过？好，我们把它的式子列一下，派取三点一四， 然后半径是六，那就是六的平方，再乘上高，高是几，高是五，最后乘下来等于五百六十五点二立方分米，还是一样，注意单位来，再看最后一个空， 可以回想一下，我们应该用什么公式呢？啊，同学说，我想起来了，是上节课我们做的一个知识总结的最后一个公式。对，好，我们来看一下这个公式 是不是要先给我们的直径除以二求出半径然后再回到这个公式上啊？啊，那好我们一起来列一下，先给直径除以二，那就是八除以二的平方 乘三点一四，哎，是不是乘上了派，然后再乘上我们的高是十，最后等于五百零二点四立方厘米啊，那相信大家就已经完成的很棒了啊。这三个公式比较重要，其实我觉得就是不要死记硬背啊， 不要死记硬背，常听我课的学生或者本身就上我课的学生就知道我在小学阶段我是不支持死记硬背的，因为他东西本来就不难，你就是理解我觉得小学的东西纯理解就行了。 然后就是去记一些就是我们比较死的东西，就比如说什么叫死的东西呢，或者死的知识呢，或者就是他本身就被定义过的啊，我们可以把他叫的好听一点，就是说被定义过的东西 去记忆定义过的东西。什么叫定义过的东西？比如说要求体积用 v 表示对吧？高就是 h 表示，你没法改，你改不了他，我们一直学习的就是这样的对吧？这是被定义过的东西，我们去记这些就行了，像我们这些东西 理解就行啊。好，那这个我就先说到这我就不过多赘述了，咱们继续往后走啊。好，留给大家一个问题， 如果我们往两个圆柱形容器里去注水，哪个容器里装的水多呢？你看这个橘色的 圆柱形容器和一个紫色的圆柱形容器，这个橘色的容器说我比你粗一些，所以我装的水多。但是这个紫色容器说，哎，我，虽然你比我粗，但是我比你高呀，但是我装的水多好，那我怎么办呢？一个是粗矮，一个是 高细，那到底谁装的多呢？那到底谁说的对呢？好，我们一起来看一下，探究心知。好，那还是一样。这个问题可以先留给大家，因为咱们在前面已经学习过了圆柱的体积如何计算。那关于这道题的解答，咱们下个视频，再见。

今天继续给大家分享一道用设数的方法来突破考试重难点的题。来看题，一个圆锥和一个圆柱体积相等，它们的高之比是三比二，圆锥的底面积是十二平方分米， 圆柱的底面积是多少分米？题目告诉我说，圆锥和圆柱的体积相等， 圆锥体积等于圆柱的体积，告诉我们它们高之比是三比二，圆锥的高 比圆柱的高等于三比二。那我们可以用假设的方法，假设圆锥的高为三份，圆柱的高为两份。我们代入公式，我们知道圆锥的体积是等于三分之一，圆锥的底面积 乘圆锥的高，圆柱的体积等于圆柱的底面积乘圆柱的高。 我们知道圆锥的底面积是十二乘十二，圆锥的高我们把它看作三份，乘三 等于圆柱的底面积乘它的高高看作是两份乘二 十二呢，等于两个圆柱的底面积。可以求出来，圆柱的底面积等于六分米。同学们，这道用算术方法答题的方法你学会了吗？

六、下数学最难的圆柱与圆锥，就这五大题型练完，开学稳进前三。可打印圆柱与圆锥。一、圆柱组成表面积形成切面纵切横切体积典型题型。题型一，圆柱的展开图题型二，面动成体，形成圆柱 梯形。三、切拼节削挖圆柱切拼节削挖梯形。四、巧球体积容积球不规则瓶子倒置等阶变形排水板梯形。五、其他常考梯形。以上均有电子版。

六、下 b 错题圆柱与圆锥的底面周长的比是二比三，体积比是八比五，圆柱与圆锥高的比是多少？这道题的突破口就是把比看成具体的量来计算。圆柱和圆锥的底面周长的比是二比三， 于是就可以把圆柱的底面周长看成是二，圆锥的底面周长看成是三，圆柱和圆锥的底面周长公式都是二拍二，于是就可以求出圆柱和圆锥的底面半径比为二除以以拍除以二。比 的前后项都有，除以以拍，除以二同时消去，于是可以得到圆柱和圆锥的底面半径比是二比三。有了底面半径比，就可以求出圆柱和圆锥的底面积之比。 因为圆柱和圆锥的底面积公式都是拍二平方。把圆柱的半径看成是二，圆锥的半径看成是三，所以可以得到圆柱和圆锥的底面积之比等于拍成二的平方比。拍成三的平方 比的前项和后项都约掉派，就等于四比九，得出底面积之比。这道题就简单了，条件说圆柱和圆锥的体积比是八比五， 所以可以把圆柱的体积看成是八，圆锥的体积看成是五。圆柱的体积等于底面积乘以高，圆锥的体积等于三分之一，底面积乘以高，圆柱和圆锥的底面积分别看成是四和九。 所以可以把圆柱和圆锥的高支笔表示出来，就是八除以四比五，除以九除以三分之一。前后化简，得到二比三分之五，这可不是最简整数比前项后项同时乘以三，答案就是六比五。

我们是把首次把曲面转化成平面，那其实在我们以前学过的时候，学，学习的时候有没有用过这种思想？我们把什么东西转化成什么东西？ 来，你来说把什么曲线转化成直线？非常好。我们讨论圆的周长的时候，我们讨论过圆的周长的时候是将曲线化成什么平面？ 那在讨论圆柱体积的时候，我们将圆柱体转化成我们学过的长方体。呃，在讨论圆锥的时候，我们又把圆锥和圆柱联系起来， 那这些过程都在告诉我们，转化的核心就是将未知转化成已知，非常好。我们将未知的东西，未知的问题转化成用我们已学过的知识来解决。 这种思想在我们以后的学习中运用的是非常广泛的。那现在请大家跟我思考这样的一个问题，如果我们现在的教材让我们讨论圆锥的表面积的话，我们 可以怎么办？长什么样？把圆锥的表面积换成一个平面图形。 哦，我可以把圆锥的侧面怎样剪开？非常好。那现在请大家跟彭老师一起想一下，一个圆锥，如果我把沿着它的侧面展开以后，它会是一个什么形状？扇形外带一个圆形，那如果我们知道了扇形的面积怎么求？那我们圆锥的表面可不可以解决？ 可以，那再思考一下，如果我们要解决扇形的面积的话，它会和哪个图形联系起来？圆形非常好，一定是根，它说的是它的直径，而我们要转化为它的半径， 所以应该用三点一四乘以零点四的平方，再乘以它的高一点五分米，同意吗？同意。 这道题告诉我们，我们审题的时候一定要看清他给我们的数据是半径还是直径，下一个 制作一个这样的通风管至少需要多少平方米？