镇江2024中考数学三角函数题

快别去背网上的口诀公式了，快来看看这个方法，来记住所有的常用三角函数。那这里呢，首先是一个大的矩形，然后呢在里面摆了一个斜着放置的等腰直角三角形，那么因此呢，左右这两个 直角三角形是全等的，那这两个直角三角形呢，我们使得它的角度刚刚好是三十度、六十度，那这样的话，上面这个三角形当中就包含了十五度和七十五度。 好，接下来呢，我们设这条边的长度为二，那这条边的长度也是二，那这个呢，就是二倍的根号二。 好，接着三十度所对的边是斜边的一半，这个就是一，这个就是根号三，同样的这个就是一，这个就是根号三。因此呢，最长的这条边是一，加上根号三，这条边呢就是根号三减一。 好的，那么因此呢，三十度的三角函数，六十度的三角函数，四十五度的三角函数，以及十五度七十五度的三角函数值就全都知道了吧，赶快收藏这张图，并且把它画在你的笔记本里。

朋友们大家好，今天我们来看下面这道题，他说三角形 abc 中， ab 等于 ac， d 在 边， ac 上 ad 等于三， cd 等于二角， cbd 等于四十五度点， e 在 bc 延长线上连接 d e 若角 c e， d 等于角 abd 让我们求贪心的角 a c b 记 c e 的 值，那这个题他让我们求的是这个角的正切值，还有这条线段 c、 e 的 长度， 那可以从哪里入手呢？我们可以从等腰三角形入手，因为知道 a c 的 长度，它是五 让求的是他的一个底角的正切值，所以我们能想到的第一条辅助线就是三线合一，也就是过 a 点做一个 a f 垂直于 b c， 那 这样的话，我们看看怎么来求这个正切值。突然发现这个 a f 和 b f c f 的 关系我们不太好找，但是现在呢，他有 a d 等于三， c、 d 等于二， 这是一个具体的数值，但是呢，也可以看作是比例关系，那我们就可以想到平行线分线，在成比例定里，既然有 af 了，所以现在我们直接再过地点，再做一个 b c 的 垂线， 由 a d 比上 c d 等于三比二，那这样的话，我们还能够得到这个 f g 比上 c g， 它也是一个三比二，那我们不妨设 c g， 它是日 a， 那 么这个 f g 呢，就将是一个三 a， 那 这样 c f 就是 五 a， 那 同样的 b f， 它也是五 a， 现在求出来 b f 是 五 a， 以后接下来怎么往下走？我们看这个弹性的角 a c b， 哎，其实呢，它还是可以等于 d g 比上 c g 的， c g 是 二 a， 我 们只需要求出来 d g 就 可以了。题目当中告诉我们这个角 c、 b、 d 等于四十五度，那也就是说这个三角形 b、 d、 g 是 一个等腰三角形， 那 b、 g 的 长度很容易求，就是五 a 加三 a 等于八 a， 那 么 d、 g 它也等于八 a， 所以呢，这个正切值就是等于四的， 那我们看 c、 e 的 值怎么来求？现在知道 c、 d 等于二，还知道这个角 d、 c、 b， 它的一个正切值。我们为了用我们刚求出来的这个结论，可以怎么做呢？我们可以延长 d、 c 哎，过 e 点向它做一个垂线，哎，这样的话我们可以把这个正切值 给转化到这个地方，而且呢，这是一个直角，我们就把 c、 e 放在了这个直角三角形 c、 e、 h 当中， 而且现在我们还有一个条件没有用，也就这个角 c、 e、 d 等于角 abd， 我 们还没有用，那我们看看有这两个角相等能得到什么？ cbd， c、 e、 d， 它是这个角 abd 呢？是 这个角，那他们两个相等能得到什么呢？他两个相等，我们就能够得到这个角和这个角相等，为什么呢？因为这个底角和这个底角是相等的， 哎，他是外角，等于他们两个的，和他呢，就是他们两个组成的，所以其实我们就可以得到这个角 c、 d、 e， 哎，他就等于我们的角 c、 b、 d， 他 是等于四十五度的， 那也就是说这个三角形哎， d、 e、 h， 哎，是一个等腰直角三角形， 哎，它是一个等腰直角三角形。那接下来的话就比较简单了，怎么做呢？刚才我们说过这个角的正切值它是四， 所以我们可以设这个 c、 h， 它呢等于 b， c、 h 等于 b， 那 么这个 e、 h 它必然就等于四 b， 那 e h 它是等于 d h 的， d h 是 什么呢？不就是 c d 加上 c h 吗？也就是 b 加上一个 二，它呢等于四 b， 这样的话我们就可以把 b 求出来了。把 b 求出来以后，也就 c h 有 了， e h 也有了，我们在这个三角形 c e h 当中用勾股定律就可以了。

看那个第三题，嗯，求的是最终是 bce 的 正弦啊， bce 在 这求它的正弦， 嗯，像求一个角的算角函数。这种题，嗯，就是两个套路，要不然是把它放在直角三角形里面，要不然是找有没有与它相等的角，是那种好算算角函数的， 因为相等的角三角 h 值是一样的。这个题其实把它放在一个直角三角形里边，直接去算也好算啊。嗯，他没在的话，咱们自己可以做呀，点 e， 从点 e， 这给他做垂直 啊，做垂直让垂足。标为 f 吧啊，标为 f， 那 最终这个正弦，那就是 e f 比上 c 是 吧？ e f 比 c， 哎，好，嗯，现在看已知条件啊， a， c， b， 这是一个直角三角形啊，这是直角 c， d 垂直，这是垂直，然后有折叠，这个是虚线折过来，点 a 对 应点 e， 这 啊，这是折叠。 a， c 是 五 d， e 是 三，嗯，这是已知条件。那好，嗯， a， c 是 五 d， e 是 三，由于是折叠嘛，那 a、 d 这也是三，对吧？然后三五这 cd， 这就是四， cd 是 四，然后 a、 c 是 五的话， d， e 这 c， e， 这对应的也是五啊，这对应边都相等，这也是五， 那其实这个 c、 e 就 出来了啊，现在缺这个 e、 f 啊，缺 e、 f， 那 现在看这里面，这里面有相似三角形啊，有相似这三角形，那三角形 a、 c、 d， 呃，和这整个的大的三角形啊， a， b、 c， 还有和三角形 b， e、 f 这三个三角形其实都是相似啊，都是相似。你说咱们 e、 f 这做的垂直，你看和这垂直和 a、 c 垂直。 e， b， c， 这不平行吗？ 平行不就有 a 字形吗，对吧？有 a 字形，然后这 a、 c、 d 呢？这 a、 c、 d 和整个的三角形 abc 有 公共角角 a 啊，而且这有直角，对吧？两个点相等也是相似 啊，这是这三个三角形都是相似的啊，其实和那个 b、 c、 d 其实也是相似啊。那 就用的上这三个啊，相似，那相似，相似，比都一样呗，对吧？相似比都一样，都相等。那这个咱们设设 ef， 这设 ef， 这为三 x， 那 b e b e， 这就是五 x， 对 吧？你脚 b， 这看他的，呃，这个正弦相当于是三比五，对吧？这个三角形的三边比例就是三比四，比五，这个比例咱就按照这比例测未知数 e f 是 三 x， 那 b e 不 就是五 x 吗？ 那看整个的这个啊，啊，整个的大的三角形 a， b、 c， 那 这是 a c， 那 比上 ab 也应该是三比五，对吧？也应该是三比五，也就是 a c 比上 ab 应该是三比五，它对应等于 ac 是 五，然后 ab 是， 这是六，加上五 x， 哎，六加五 x， 这样就能形成方程了啊。能求出 x 来， x 求出来之后，嗯，对应这个，呃，三 x 再求出来，然后三 x 再比上五，就是这个角的正弦 就可以进行计算了啊。

深挖底层逻辑渗透学思维，今天来一道非常好的中考题，此题难住了，百分之八十以上的孩子，直接哇哇大哭啊，我们看这个题该怎么做出的非常好，我们一起来感受一下。 说已知 a、 b、 c 是 一个等腰三角形角， c 为九十度， a、 c 和 bc 为八点， d 呢，是 ab 的 中点啊，它俩相等。那么这时候 m 是 a、 c 边上一个动点 好， d， n 啊，与这个 md 或者说这个 d p 吧， 这个 d p 比上，这个 m、 d 是 一个一比二的关系啊，这个很重要。那么 y 这个 p n b p n b 面积最大的时候， am 长，那么 m 是 一个动点，所以点 p 也会赶着 m 动而动。 那么很明显，由于 m 动， n、 d 与 m、 d 保持垂直， n 也是个动点，只有 b 是 个定点，什么时候能出现 p、 n、 b 面积最大呢？ 二分之一底乘以高的话，底在变，高也在变，此题蒙圈了。那么此题我们首先怎么解决呢？第一步，我们采用一个刮豆原理， 那么什么叫瓜豆原理啊？首先要有三点，第一点，我们发现有一个定 点，点， d 是 一个定点，而 m 叫主动点，而 p 呢，就叫从动点。 好，那么光度，我们第二步啊，要有一个定比，也就是说主动点到定点，以及从动点到定点之比是定比。很明显，题目告诉我， d p 比上这个 m、 d 是 一个一比二， 定比出现还要有一个定角啊，定角同样主动点啊，到定点，从点到定，那个加角是定角啊，这个角是一百八十度， 好了，就符合刮斗了。定比加定角，那么这时候 m 沿 a、 c 这个直线跑，所以 p 点的运动轨迹肯定也是直线，叫种瓜得瓜，种直线得直线。 那么怎么找到点 p 的， 具体在哪条直线跑呢？那么此方法叫特殊 啊，特殊点位置啊，从而找到点 p 的 运动轨迹。那么当点 m 跑到 a 点的时候啊，这个 m d 与 d p 是 一个二比一关系，换句话说，点 p 就 会跑到 d b 的 终点， 因为 a d 和 b d 相等好。那么第二种情况就是当点 m 跑到 c 点的时候啊，连接 c d 延长，使得 c d 与 d e 吧，啊，是一个二比一关系好，这个点是 f 好，那么连接 e p f 啊，就是点屁所在直线的啊，这个运动轨迹好用点屁在 e f 上跑啊，点屁在 e f 在 直线 啊， e f 上跑。 ok， 那 么找到轨迹之后，下一步该怎么操作好？ 继续走？由于题目告诉我，这个 a d 啊，与这个 d f 是 一个二 b 关系， c d 与 d e 也是二 b 关系，并且对顶角相等，我们可以快速断定三角形 a， d， c 和三角形啊， a， d， c 和三角形 f， d， e 是 一个八字相似，那么相似完之后，通过对角相等，我们快速断定啊，这 a c 啊，其实和 ef 是 保持平行的，那么这个点是 h， 那 么由于这个垂直，所以这边也垂直。那快速断定啊，这个 e h 啊，其实和这个 bc 啊是一个垂直的关系。 好，那么下面我们发现这个三角形 p n b 这个底边上的高 p h， 我 们就找到 n b， 嗯，这个底怎么办？那此题啊，我们采用一个代数法啊，代数法来解决这个面积锥的问题。好了，那下面第三步， 我们发现在 ph 的 线段上，其中这个 f h 是 可以求的，为什么？因为 f h 与 ac 平行，通过 a 字相似， f h 和 ac 值比，就等于 b f 比上 b a 好， 那一份一份两份啊，很明显，一比四啊，一比四，而 ac 是 八，所以 f h 啊，就是二， f h 等于二。 好，下面还缺 p f 和 n b， 那 么我们方法利用这一个啊，代数法啊，通过舍得方法来操作。 那下面还有一个非常经典的套路，叫做对角互补。那么求 m 的 长度，我们直接舍 m 为 x， 那 么这个垂直，这个垂直，那这是个等腰直角三角形，所以这个角为四十五度， 那这个角也为四十五度。那么 a d 呢？和 c d 相等啊，等腰直角三角形 a d， c d 相等。好，继续走这个对勾角和圈圈之和，九十度，圈圈和对勾是九十度，所以于是乎啊，我们通过对角互补 啊，其实可以快速看出来，这个三角形啊， a m d 和三角形 a m d 和 c n d 是 相似的，叫做 a s a 好， 这时候我们发现这个 a m 就 可以快速替换成 c n 等于 x。 哎，这个 n b 呢啊，这个三角形的底，就用这个 b c 八进 x， 那 此题只要把 p f 搞出什么什么 x 来，就搞定了。好，怎么办呢？好了，第四步， 那 p f 与这个 a c 也平行啊，同样利用八次相似，则 p f 比上这个 am 就等于 f d 比上 ad 好， 那么这是一份，这是两份啊，所以是一比二关系，所以这个 p f 就 搞出来了，等于二分之一 x， ok， p f 为二分之一 x， 那 于是乎，我们发现啊，第第四步啊，第五步啊，则三角形这个 p n b 的 面积就等于二分之一底， n b 就是 八减 x 乘以这个高啊，高就是二分之一 x 啊，加上二好，等于四减去二分之一 x， 二分之一 x 加上二好，我们快速整理一下。嗯，四和二分之一是二， x 加上八，减四分之一 x 方，再减去 x， 最终等于负的四分之一 x 方加上 x 加上八。 ok， 很 明显它是一个二次函数形式。那么开口向下负四分之一小于零啊，那么通过这个呃公式吧， x 等于负的二， a 分 之 b 好， 最终啊，等于这个约分啊，等于二啊，等于二。所以 am 为二的时候，则面积会有最大值啊，你也可以通过这个配方法，也可以快速干出来。 道理一样的，开口向下 x 取二的时候，最大值为九。此题打完收工，你学会了吗？

这个出题人在出题的时候啊，应该尽量的避免这个题目产生一些歧义啊。我们以这道题为例来解释一下，题目本身很简单，我们就不讲题了，他说有个三角形，其中呢角 c 是 等于九十度的， 然后呢，他说当角 a 是 最小的内角时，那这句话呢，就会引起一些歧义。什么意思啊？那三角形里面有一个角是九十度了，那角 a 呢？又是最小的角，那么很显然，这个角 a 必须得大于零度嘛， 那因为它是最小的角，所以它一定要小于四十五度。这个奇异产生在哪里呢？就产生在这个地方能不能等于四十五度？因为如果角 a 是 等于四十五度的话，那很显然这时候角 a 它是等于角 b 是 等于四十五度的。 也就是说，在这种情况下，这个角 a 啊，还叫不叫这个三角形里面最小的？那角， 那这时候就会产生歧义了，不同的人有不同的理解了，对吧？那有一种理解说，只要没有比我小的，那我就叫最小的， 对吧？比方说现在这种情况，这个三角形里面还有没有比角 a 更小的角啊？很显然是没有了，那他说那角 a 就是 最小的角了吧。但是另外一部分意见是说，那我既然是最小的，那你就要突出这个最字，那这个最就代表唯一性，对吧？你是最小的，那就不能 有跟你一样的。你既然是最，就不应该是唯一的吗？那这个时候你角 a 和角 b 是 相等，都等于四十五度，这个角 a 还能不能叫最小的呢？那你说你是最小，但是角 b 也是最小的呀，你就不能叫最小的最，是不是含有唯一性啊？那这个时候呢，就会产生一些歧义了吗？那所以这个题目啊， 在出题的时候，尽可能的避免让不同的人有不同的理解，产生歧义。那 在课堂上，同学们，学生问我，对吧？说老师，那这道题到底应该怎么理解？这里到底能不能有等于号？那我回答孩子们的呢，就是你只能去揣测出题人的意图，就是出题人希不希望你有这个等于号。 那当然，这个时候你去揣测的时候又还是一样的，有不同的意见嘛，对吧？我觉得出题人希望有等于号。另外一个不是说我觉得出题人不希望有等于号，对吧？所以尽量的应该避免这种。当然这个避免其实很简单的嘛，我只需要把这个条件改成什么呀？ 把这句话我改成角 a， 小 于角 b， 那 很显然就没有等于号了，对吧？那这个地方角 a 就是 小于四十五度了。

hello， 各位小伙伴们，徐老师今天来和大家分享一下我们二四年的江苏省无锡市的中考压轴题。好，那我们先从第十题开始啊，先从第十题开始 好，它是一个函数的新定义题型，题目是这么说的，如果存在实数 mn， m 小 于 n 啊，当 x 大 于等于 m 小 于等于 n 的 时候，给了一个 x 的 范围， y 的 取值范围是在这个范围内，那其实它的本质是让我们求在这个范围内的 什么呀？对应的函数值的一个取值范围，对不对？当这个取值范围它又和 a， m 和 n 有一个倍数关系的时候，那我们就称这个函数啊，就称为这个函数的 t 级关联范围。例如， 比如他给了我们一个小例子， y 等于二， x， 这是一个正比例函数，二是大于零的，所以这个函数是递增的，对吧？ 当给到每一个范围一到二的时候，那所以说这个函数它的最小值就是在 x 最小的时候取到，所以它的最小值是 把 x 等于一代入就得到二，对吧？那它的最大值 在什么呀？哦， x 取最大的时候取到，所以说 x 等于二的时候，它取最大，那所以它的最大值就是二。乘以二等于四，是不是？所以说在这个区间内， y 的 取值范围是大于等于二，小于等于四，哎，那刚好二是一的两倍，四是二的两倍，那我们就能得出来，这个倍数 t 就 等于二，对不对？ 所以我们就说啊，这个范围是函数 y 等于二 x 的 二级关联范围。所以说第一个本质是让我们求函数值的取值范围，对吧？也就是求它的最大值和最小值，是不是？ 好，那我们接下来来看下面选项中给我们的几个函数啊。首先，第一个函数 x 大 于等于一，小于等于三，是函数。哦，这个函数，这个函数是一个一次函数， k 等于负一，对吧？所以它是一个， 它是一个递减的一个函数，也就是 y 是 随着 x 的 增大而减小的，所以说它的最大值再拿出去的啊。所以说它的最大值，那就是在 x 等于 最小值的时候取到，那就是 x 等于一，再入负一加上四，它就等于三 啊，那它的最大值啊，那它的最小值就是在 x 最大的时候取到。 x 等于三的时候最大，所以是负三加上四，它等于正一，那就说我们的 y 取值范围是大于等于一，小于等于三。 哎，和我们的这个大于等于一，小于等于三有没有倍数关系？哎，有的对不对？所以 t 就是 等于一，所以第一个是对的，第一个是对的。好，那接下来看第二个 y 等于 x 的 平方，它是一个什么函数呢？ 哦，很明显，它是一个二次函数，对不对？那二次函数要看它的增减性，要先看它的对称轴是不是。它的对称轴是谁呀？ 是 y 轴，对吧？那也就是说它开口又是向上的，那 y 轴的左侧 y 随 x 的 增大而 减小，哎，对称轴的右侧 y 随着 x 的 增大而增大，那很明显，题目中给我们的这个范围刚好是在 y 轴的右侧的，对不对？所以说， 这个函数它的最小值是在什么呀？ x 取最小的时候取到，是不是？那就是说，哎，它等于零，那它的最大值呢？ 它的最大值就是 x 取最大的时候，哎， x 最大是二，再进去，所以它的最大值是四，那这个范围 y 就是 大于等于零，小于等于四的，那和我们的给出的范围 存不存在倍数关系呢？哎，很明显它是存在的，对不对？也就是 t 等于二的时候，因为四是二的两倍，对不对？那零也可以是啊，零的两倍，所以 t 等于二，它是存在的啊， 所以说第二个选项是错的，第二个选项是错的。接下来看第三个， y 等于 x 分 之 k 大 于零，总存在三级关联范围，总存在三级关联范围，那所以说 我们想要求这个反比例函数它的一个取值范围，因为我们知道它是在一三象限的， 但是它在一三象限单独的象限内，它是 y 随着 x 的 增大而减小的，对不对？因为 k 大 于零，所以在一和三这个两个象限 内， y 是 随 x 的 增大 而减小的，对不对？那我们 m、 n， 我 们要给它规定一个范围，比如说我们就规定它就是第一项线内的，可以吗？比如说 m 是 小于 n 的， 大于零的， 那这个时候这个函数反比例函数，它的最小值就是在什么呀？ n 处取得，对不对？在 n 处取得，所以说它就等于 n 分 之 k， n 分 之 k， 那 最大值呢？ 最大值就是在 x 最小的时候取到，对不对？那也就是等于 m 分 之 k， 那 我们可以设我们的关联范围是 t， 可以 不？我们先设关联范围是 t， 那所以说我们的最小值 就可以写成我们的什么呀， t 位的什么呀？因为我们的左边的值括号一定是 tm 嘛，是不是？所以说它就等于 tm， 同理，我们右边的这个最大值 m 分 之 k， 它一定是要等于什么呀？ t n 的 对不对？因为要和我们的右边对应起来，所以说，那这个时候我们就可以得到一个式子，哎，你可以看出来我们的 t 就 等于什么呢？ 它俩是一样的，对不对？所以 t 就 等于 k 除以 m n， 而题目告诉我们的 k 是 大于零的， m 和 n 也是大于零的， 那我们能不能找到一个 k 的 取值， mn 的 取值使它等于三呢？ 一定是可以取到的，对不对？一定是可以取到的，所以说它一定是总存在三级关联范围的，这个是没问题的，对吧？所以第三个是对的。好， ok 啊。所以说这道题第一个考的是一次函数的一个 取值范围问题，也就是它的增减性问题。第二题考察的是一个二次函数的一个增减性问题。第三个考察的是一个反比例函数的增减性问题。那接下来看一下第四个啊，依然是一个二次函数的， 哎，这个二次函数不存在四级关联范围，那存不存在？我们先让它存在呗。好，第四个我们写在上面， 第四个写在这里，那我们让它存在四级 关联范围，对不对？那我们让它存在四级关联范围之后，我们就可以把它的什么呀，把它的取值范围给它求出来。那当然依然是要先看这个函数它的一个增减性，那我们就要先看它的对称轴， 对称轴是 x 等于负的二， a 分 之 b 对 不对？负的二乘以负一分之二，那就等于一。所以说对称轴的左侧它是开口向下的， 那对称轴的左侧它是递增的，对称轴的右侧它是递减的，对不对？好，那我们分类讨论，先让第一种情况，先让我们的 m 小 于 n， 小 于我们的对称轴， x 等于一，对吧？小于一，那这个时候我们知道 y 是 随着 x 的 增大而增大的，是不是？所以说，嗯， 那这个时候这个函数它的最小值就是在 x 最小的时候取到，那 x 什么时候最小呢？就是取 m 的 时候，对吧？ 那它就等于把 m 带进去，就是负 m 的 平方加上二， m 加上一，那它的最大值呢？那就是什么呀？ x 等于 n 的 时候取到。 好， ok， 那 所以说，依照我们关联范围关联范围的这个对应关系，那它最小值就要等于， 你看，噢，四级关联范围，那就等于四倍的 m， 那 它就等于下面这个最大值就等于四倍的 n， 是 不是和定义关联起来？哎，那这个式子我们该怎么解呀？ 这个 m， n 我 们该怎么解？你看出来吗？ 那这个 m 和 n 是 不是一个什么呀？咳咳，哦，原来它是负 x 的 平方加上二， x 加上一，等于四， x 的 两个根，对不对？两个根啊？那我们接下来把这个一二三方程整理一下，那就是， 嗯， x 的 负 x 的 平方，把四 x 移过去，就是减二， x 加上一，等于零，那我们继续接下来是 x 的 平方加上二， x 减一等于零。那我们用一下求根公式， 负二加减根号下地方减 c， c b 方四减四，乘以一乘以负一，那就是八，那就是二，根号二， 所以它等于负一加减根号二， a 就是 我们的 m 是 等于， m 是 更小的，它是负一减根号二， n 等于负一，加根号二，对不对？然后接下来你看这两个是不是都是小于一的， 是不是小于一的啊？是，所以说我们是求得到这样的一个啊，一对 m 和 n 符合条件的，所以它是存在的啊， 所以他是存在的，所以第四个是错的，第四个是错的。好， ok， 那 答案就是一三，你们选对了吗？ 所以说这道题的本质考察的其实就是我们函数的增减性对不对？利用增减性来求函数的取值范围。好，那接下来我们看下一道 好，第十八题。第十八题，这道题应该是我们近几年来比较简单的一个第十八题了啊。 好， ok， 我 们先来看一下题，首先它说在一个三角形 a， b， c 中， a c 等于二， a， c 等于二，然后 a b 等于三，然后直线 c， m 是 平行于 a b 的， e 是 b c 边上的一个动点， 它是动的，然后射线 a e 交 c m 于点 d， 在 射线 a e 上取一点 p， 然后 ap 等于两倍的 d e。 啊，这段和这段是有两倍关系的，然后又做了一对平行线， p q 平行于 ab。 所以说这道题里面有三个平行线呗，一条、两条、三条。好，接下来他说 a q 是 x， a q 是 x， p q 是 y， 这个是 y， 让我们求 y 与 x 的 关系式， y 与 x 关系是，先看第一个啊，当 x 等于 y 的 时候，那 x 等于 y 的 时候，也就说我们是可以得到 这个角等于这个角的，对不对？那又因为 p q 和 cd 是 平行的，所以这个角又等于这个角，也就说我们的 cd 它其实就是等于什么呀？ a c 的 对不对？所以说第一个答案很简单，二， 对吧？好，接下来看第二个， 它在点 e， 在 运动的过程中， y x 的 函数表达。是啊，没有其他条件了。所以说，欸，这个题目里面它有三对平行线呀，啊，是有三条平行线，那有平行线的地方， 它就会产生我们的 a 字和八字，对不对？那我们接下来就来找这里面有哪些 a 字，哪些八字来， 这里有一个 a 字， 对不对？那 c、 d 和 a、 b 平行，这里有一个什么？哦，有一个八字， 那找完了之后，我们就有这些线段的比例关系了，对不对？ 好，那首先第一个 a 字，三角形 a， p、 q 相似于三角形 a， d， c， 通过这个 a 字，我们能得到比例关系是什么呀？ a， q 比上我们的 a， c 等于 p， q 比上我们的 c， d 等于 a， p 比上 a， d， 对 不对？好，那接下来是下一个这个八字形，也就是三角形 c， d， e 是 相似于三角形 b， e， a 的， 是不是？所以它的对应关系是 c， d 比上 ab 等于 c， e 比上 b， e 等于 d， e 比上 a， e。 好，关系有了，我们接下来先把已经有的条件或者已经知道的，呃，已经知道的这个数量关系往里面带一下， a， q 是 x， a， c 是 二，然后等于 p， q 是 y 比上 c， d 等于 ap 比上 ad， 那 我们知道 ap 这里它有关系的哦， 这个和这个是有两倍关系的，对不对？那我们干脆设它为 m， 它为二 m 先设嘛，是不是？那 a p 是 二 m 比上 a d， 呃，那也就是三 m 加上一个 pe， 又因为我们等一下肯定是要用这个 a e 的， 对不对？所以说这里的 p e 我 们是不是得要提前先把它求出来啊？可以啊，先把它求出来。好，先求 cd， 因为等一下 cd 也要用 好十字相乘，所以说 c d 就 等于 x 分 之二 y， 对 不对？好，接下来，然后再看这一组比例线段，我们来推一下啊。呃， x 乘以三 m 加上 p e 等于四 m， 所以 三 m 加上 p e 等于 x 四分之四 m， 那 p e 就 等于 x 四分之四 m 减去三 m， 好， ok， 那 p e 求出来了，我们就直接把 a e 给它表示出来啊。那 a e 就 等于二 m 加上 x 分 之四 m 减三 m 等于 x 分 之四 m 减去 m， 对 不对？好， ok， 那 接下来我们再把得到的关系往这个八字形里面带，那 c d 我 们刚已经求出来了，是吧？二 y 比上 x， 然后比上 ab 是 三，等于 c e 和 b e 没有关系，我们就不看了。然后接下来等于 d， e 是 m 比上 a， e 是 四， m 比上 x 减 m， 哎，我们有什么发现？我们这个 m 是 不是可以约掉呀？ 是不是？那我们先处理一下这个式子，上下同时除以 m， 它就等于 m 除以 m 是 一，这边除以 m 是 四，除以 x， 然后再减一个一。 哦，那我们发现了呀，发现啥了？这个式子等于这个式子里面只有 x 和 y 的 关系了，对不对？ 所以说我们马上就要得到答案了啊。接下来就是处理这个式子，好呃，除以三，就是乘以三分之一，我们先处理一下这里，那就除以三 x 就 等于后面的这块底下的，我们先给它通下分 x， 四减 x， 对 吧？然后它其实就是 x 除以四减 x， 我 们先把三 x 乘过来，所以是三 x 的 平方除以四减 x， 然后再除一个二 y 等于应该是三 x 的 平方，八减二 x。 好，我们就得到一个最终的答案了啊，就得到最终一个答案了， 所以 y 就 等于三 x 的 平方除以八减二 x。 好， 那这道题，这道题我们就讲完了啊， 难度不是很大，对不对？相比我们的二三年，相比我们的二五年，这个第十八题已经是比较简单的了，对不对？好， 那我们选填的两道压轴题都讲完了啊，都讲完了，那接下来就是我们解答的最后两道压轴了， ok， 第十七题， 好，先来看一下题，经典的翻折啊，经典的翻折， a、 b、 c、 d 四边形纸片 a、 b、 c、 d， a、 d 是 平行于 b、 c 的， 然后 a、 b、 c 等于九十度， b， c 等于八， a、 b 等于十二，然后 a、 d 等于十三。这一组数据怎么莫名的熟悉啊，好像有五十二十三呢。 然后折叠四边形纸片 abcd， 使 c 的 对应点 c 撇，它要求 c 撇始终要落在 a、 d 上，点 b 的 对应点为 b 撇啊，其他的我们都不用看了啊，折痕与 abcd 相交于 m 和 n， 折痕分别是 m 和 n。 好，接下来看它的要求。第一个，当点 c 撇的，当点 c 撇与点 a 重合的时候，所以说，那这个时候我们的 c 折到我们的 a 这里了，对不对？ 好，它重合。那所以说，我们根据轴对称的性质，也就是反折的性质，对应点的连线被对称轴垂直平分，我们是不是能找到我们的对称轴在哪里呀？ 啊？先连接对应点对吧？ ok， 连一下对应点 好，对应点的连线被对称轴垂直平分。那我们接下来再做 a c 的 垂直平分线就可以了，对不对？ 好， ok， 那 所以说我们就找到我们的 m 和 n 的 m 就 在这里。 n n， n 在 哪里？那 n 这个时候到上面去了，不用管它啊，那就到这里了。好，那接下来我们要求的是 b 撇 m 的 长度。 b 撇，哦，那图没有给我们画，那我们 b 撇的时候自己画喽，先对应点，大概是在这个位置，对不对？哎，大概在这吧，然后把它连起来。 ok， 一 撇就找到了。那接下来这个 b p m 的 长度怎么求呢？ b p m 的 长度啊，所以说啊，经典的翻折和经典的什么结合呀？那和经典的勾股结合对不对？那这个时候我们求 b p m， 那 我们就可以设 它为 x， 那 所以说对应边相等，我们的 b m 也是 x， 对 不对？那还有哪些对应关系呢？我们的 bc 是 不是和我们的 b 撇 a 是一组对应边，所以 b 撇 a 也是八。那又因为我们的 b m 这段是 x， 我 们的 a m 这段是不是可以表示出来了呀？ 那就是十二减 x， 看经典的翻折和经典的勾股，对不对啊？所以说我们就可以在 直角三角形 a b 撇 m 中用勾股定律了，对吧？就是 ab 撇的平方 加上 b 撇 m 的 平方就等于我们 a m 的 平方，所以说，哎，列式子八的平方加上 x 的 平方等于十二减 x 的 平方。好，接下来只要去解一下这个方程就可以了。是不是 那六十四加上 x 的 平方等于一百四十四减二十四 x 加上 x 的 平方。好，它和它约掉了，所以 也就是二十四 x 就 等于差一过去啊，八十 x 就 等于三分之十，就等于三分之十，就求出来了。所以说，第一小问，基本上属于中分，对不对？基本上属于中分，大家都做得出来。 好，接下来看第二问，他说在直线 b 撇 a 呃， b 撇 c 撇，与直线 ab 相交于 f， 它现在变成直线了呀，这个也是直线，这个也是直线了，是不是？ 所以就是说，哎，当你看到直线呀，射线呀这种字眼的时候，也就是说它肯定不止一种情况了，对不对？肯定不止一种情况了啊，当然题目大概率会给你画一种情况啊。那我们就先看题目画的啊。先看题目给我们画的， 说，当这个角 a f c 撇， f 在 哪呢？ f 是 b 撇 c 撇与直线 ab 啊，这里是 f， 这里是 f a f c 撇，也就是这个角等于 a、 d c， 然后等于这个角，求 a、 c 撇的曲值范。呃， a、 c 撇的长，求 a、 c 撇的长。这两个角相等 看起来好像没有关系，我们设这个角为 alpha， 可以 不？这个角也为 alpha， 这俩角相等有什么用呢？ 这边又是直角，有直角，我们大概率要么相似，对不对？要么什么呀？三角函数， 我们来利用这个图一啊，利用这个图一，看一下能不能求出来这个 d 的 三角函数值，角 d 的 三角函数值，我们在这做一个垂线。嗯， 好，就是这里是 m， 因为 a b 是 十二，那这边也是十二喽， 我刚是不是标错条件了哦， a， d 是 a， d 是 十三，没问题啊， a， d 是 十三， 那所以说 a m 这边就是八了，对不对？哦？ m n 这边，那就是，哎，不能用 m 了。 嗯， h 吧，它这边是 h， 所以 我们的 n d h 就是 五了，是不是？哦，原来五十二十三在这呢，那所以说这个 c、 d 就是 十三，我们就能得出来了，是不是？ 哦，所以说我们由这个三边关系可以得到角 d 的 三角函数值，我们把三个三角函数都写出来，那所以说我们刚才令它为 r 吗？我们就用 r 表示好了，也就是说三引 r 等于 对边比上它的斜边，也就是十二比上十三， 对吧？口三减 alpha 等于邻边比上斜边，邻比邻是五，斜是十三。好，参减 alpha 等于对比邻十二比五。哎，也就是说我们角的三角函数值都求出来了，那也就意味着这个角的三角函数值也有了呗。 那所以说非常经典的已知三角函数值可以什么呀？设边了是不是？哎，经典的切记思路，那怎么设呢？ 好，所以说，哎，随便设吧。呃，那这边就是它三边是五比十二比十三的关系，那所以说 a、 f 我 们就设为五 m 吧，可以不？那 a、 c 撇就是十二 m， 那 f、 c 撇就是十三 m， 那 接下来我们就要去找关系了，好，看一下有哪些关系是能求出来的啊？首先第一个 翻折对应边相等，对不对？那我们还是这个 b、 c b、 c 这条边是和 b 撇 c 撇这条边是相等的，对不对？所以说首先能求出来的是 b 撇 f， 还有 b 撇 f 这边是八，那所以说 b 撇 c 撇也是八，那它就等于 b 撇 c 撇减去 f， c 撇就等于八减去十三 m， 对吧？是第一个能求出来的。哎呦，因为它这个角和这个角对顶啊，这个角也是阿法，对不对？那有这个阿法，我们的 b、 p、 m 和 f m 是 不是都可以利用三角函数只求出来呀？ ok， 那 我们一个一个求啊，那 b p m 它等于什么呢？ 和 b 撇 f， 它是这个角的探针值，对不对？所以说求对边应该是用 b 撇 f 乘以探针阿法乘以探针阿法，对吧？它应该等于 呃，五分之十二的八减十三 m， 有 没有问题？ 好了，接下来我们要求的是 m f 了， m f m f 可以 用 alpha 角的什么三角函数值呢？ 我们可以用它的 cosine， 对 不对？因为 cosine alpha 是 等于 b 撇 f 比上 m f 的， 所以说我们的。哎，所以说我们的 m f 应该是 b 撇 f 除以 cosine alpha， 那 b p f 是 八减十三 m 除以口三角法是十三分之五，那它等于五分之十三的八减十三 m， 对吧？那刚才 b m b 撇 m 的 这里对应关系它还可以等于什么呀？对应边相等，应该是等于 b m 的， 对不对？也就是说现在我们已经求出来的，或者已经表示出来的边有哪些？ 这个是知道了，对吧？这个也表示出来了哦，所以说， 那我们用哪个关系呢？哎，我们的 a f 加上我们的 m f 加上我们的 b m， 是 不是等于我们 ab 呀？而 ab 的 长度是 十二已知的，那我们的等量关系式就可以列出来了，对吧？那 a f 五 m 加上 m f m f 在 这里五分之十三的八减十三 m， 然后再加上 b m b m 等于五分之十二的八减十三 m 加起来是等于十二，加起来等于十二。 好， ok， 那 关系式列出来了，接下来我们只需要去解就可以了，对不对？好，计算量可能稍稍有点大啊，大家计算的时候细心一点，细心一点啊。 ok， 首先有分母，我们先去分母呗，两边同时除以啊，乘以一个五，两边同时乘一个五，所以是二十五的 m 加上十三八减十三 m， 不 着急啊，慢慢算，加上十二八减十三 m 等于五乘以十二六十啊，接下来再去括号合并啊， 十三乘以八一百零四十三的平方一百六十九，十二乘以八是九十六，十二乘以十三 一四四，再加一个十三一五六等于六十。 ok， 接下来合并 m m m 它俩合并再加上一个二十五 啊，应该是 后面两个合并是三三二五，对吧？三二五负三二五，再加上一个二十五是负三百， 等于，然后它它它三个合并，可以先把前两个先加一下啊，先加一下是两百，正好等于两百，然后移到右边去，是负两百，所以是负一百四十，对吧？那 m 就 等于 两边同时除以一个二十是十五分之七吧，十五分之七，哎，那所以我们要求的这个 a c 撇的长就出来了， a c 撇是十二 m， 那 就是十二乘以十五分之七，等于两边这边约一个三，这边是五，这边是四， 那就等于五分之二十八，对吧？五分之二十八，好，那我们这种情况就分析出来了，是不是？ 好，那接下来还有没有其他情况呢？哎，就是我们在遇到这种翻折的时候，就是很难想，对不对？翻折旋转什么都很难想。接下来可以来发挥我们的尺子的一个重要性了啊，我们的尺子 好，还是这个图，还是这个图？那接下来，哎，我们的 b c 本来在这儿嘛，是不是 b c， 那 我们知道我们的 c 撇它一定是要落在 a、 d 上的， 哎， c 撇是一定要落在 a、 d 上的，对不对？那我们就哎，把尺子这样挪过来。我们的 c 撇嘛， 我们的 c 撇啊，一开始是这样子，对不对？一开始这样子， b 撇 c 撇在这条线上，那我们接下来就挪一挪这个尺子，来挪动一下，感受一下啊， 你就挪嘛，也就是说他要哪个角，他要你这条线，哎，你这条线和这个夹角是等于角 d 的， 是不是？那你就再挪一下呗， 看一下什么时候与这个角，哎，这边不可能了，对不对？这边怎么都不可能了，然后只能是往上面走了呀， 哎，我们先把 a b 延长吧。 好，哎，其实你可以感受一下，你拿尺子感受一下，这个角跟角的好像也是差不多大的，对不对？ 哦？这个角跟角的也差不多大，哎，那我们就比如说它就在这儿，我们把图画一下， ok， 好 了，它的作用发挥完全了，也就说什么意思呢？哎，我们的 c 撇如果落在这里了， 好，我们的 c 撇落在这里了，然后 bc 落在这条直线上了，也就说 b 大 概在这里， b 撇大概在这里，那这个时候 b 撇 c 撇与直线 b a 相交于的这个点 f a， 也就是说 a f c 撇 a f c 撇这个角， 哦，还是设 a f c 撇啊，我们把这个三角形给它找到在这儿呢， 哎，在这儿， 对吧？那我们还是设这个三角形啊，设这个三角形，所以说我们的 a f， 那 这个时候是设为五 m， 对 吧？然后接下来是这个 a c 撇，设为十二 m， 是不是？然后那接下来我们的这个就是十三 m。 好， 十三 m。 那 接下来我们就可以用我们刚才分析第一种情况它的对应关系了，也就说谁和谁相等，哎，我们的 b 撇 c 撇和我们的 bc 的 长度是相等的，都是八，这边也是八，对不对？那所以说 我们首先得到的一个关系是 b 撇 f， 对 不对？ b 撇 f， 这个时候就变成什么呀？十三 m 减八了，变成十三 m 减八了，是不是？刚才是八减十三 m？ 所以 说由此我们是不是可以得到一些其他的关系了呀？那哪一个能先求出来呢？哪一个能先求出来 哦？一个一个求呗，一个个求，那也就是 m f m f 和我们的 b 撇 f， 也就是这个边，这个边和我们的阿尔法角是一个哦，是一个与弦函数的关系，对不对？所以说我们的 m f 就 等于 我们的 b 撇 f 除以 cosine alpha， 除以 cosine alpha， 它就等于十三 m 减八，除以我们的 cosine alpha。 刚才求过了啊，十五分之啊，十三分之五， 所以它就等于五分之十三的十三 m 减八，对吧？那接下来呢？一个都不能少，对不对？ b 撇 m， 它和我们的 alpha 角和 b 撇 f 是 一个哦，正切函数的关系，求对边，所以说它应该是等于 b 撇 f 乘以 tangent alpha 等于 五分之十二。刚也求过了啊，五分之十二的十三 m 减八，对不对？根据我们翻折的对应关系，那 b p m 又等于什么呀？ b m。 好， 那接下来我们这个十二这个长度，也就是刚才我们是三段相加，对不对？那我们看一下，这里， 这里，那所以说我们就得到了我们的 b m 加上我们的 m f， 然后减去我们的什么呀？ a f 等于多少？哎，等于十二，也就是等于这个 a b 的 长度，对吧？ 好，那接下来把数据带进去啊，那 m f 的 b m， 首先第一个 b m 就是 五分之十二的十三， m 减八， 加上 m f 是 五分之十三的十三， m 减八，然后再呃减去，减去一个 a f 是 五 m， 就等于我们的十二。看着好像和刚才我们的第一种情况，这边这种情况啊，差不多，是不是差不多？那依然是先去分母啊，不着急啊，慢慢算。 同时乘以五 等于六十等于六十，那这边是还是一五六 减去九十六，加上一百六十九 m 减去 一百零四，减二十五 m 等于六十。好，那这个时候整理一下，他他他呃，正三百 m 了， 等于它和它合并，还是负两百？负两百，移到右边去，那变成正两百，那就等于两百六十，那这个时候的 m 就 等于两边同时除以二十十五分之十 三，十五分之十三，对吧？好，所以说，哎，我们的 a c 撇， a c 撇，看一下，还是十二 m， 那 就是十二乘以十五分之十三，就等于同时约一个三，那就是 五分之四乘以十三，五十二，对吧？五分之五十二。所以说我们的两种情况就算出来了啊，两种情况就算出来了， 一个是五分之二十八，还有一个是五分之五十二，五分之五十二啊， ok， 两个答案，五分之二十八或五分之五十二。所以这道题很经典的是一个什么呀？翻折加三角函数，对吧？翻折加三角函数， 所以说只要哎，题目中告诉我们三角函数了，我们要学会设边，对吧？ 要学会设边，设完了之后要去找里边的关系。要去找关系啊？嗯，还好，不是很难啊。不是很难，对吧？ ok。 呃，二十七题我们就讲完了啊？讲完了。

由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形 a， b， c， d 连接 d f 并延长交 b c 于点 i， 若 b i 比上 i c 等于二，则 tanet 角 b a e 的 值为多少？那么这一个题目呢， 它这一个看似给我们的一个环境，好像是一个玄途，是吧？这是玄途吧，但是呢，其实和玄途没有任何关系啊。这道题的话， 这道题主要呢是去构造相似三角形，我们首先看一下 b i 比上 i c 等于二，这给我们的一个信息就是 i 是 一个三等分点啊，也就是说我们的 planet 角 i d， c 是 等于一比三的。 好，然后呢，我们看看还有什么条件吗？好，这里是一个直角，这里是个直角 啊，然后还有就是二是个三等分点，那我们说关于中点和三等分点的一个联想，很多时候是怎样呢？如果是中点就怎样构造中位线，那如果是三等分点呢？也是构造平行线。好，那我们就想到了我们构造一条 这样的一个平行线，这个点呢，记住 m 啊，这里是垂直的。好，那么这时候的话，我们就可以看到一个什么一个情况呢？ m 点也是一个三等分点 啊。然后我们又结合弦图带给我们的一些联想，那弦图它是用来干什么的？用来证明勾股定律啊，那所以我们把如果把两个直角边设为 一个呢？设为 a， 还有一个呢？设为 b 啊，我们这里设 b， e 等于 a， a e 等于 b 啊，那这时候我们的 c f 是 不是也是 a 啊？而 m 是 个三等分点，所以 f m 是 等于三分之二 a。 好，然后我们再看内部这个小正方形的边长是不是两条直角边的叉，所以我们内部小正方形的边长 g f 就 等于 b 减 a。 好，那么这时候我们就可以看到我们 g f 比上 fm， 它其实就等于 g d 比上 i m 啊， g d 呢？是 a， 那 i m 呢？ i m 的 话应该是等于三分之一 b f 也就是三分之一 b 吧。 那么这时候我们由三角形 g d f 可以 得到 g f 比上 f m 等于 g d 比上 i m。 那 这个就是什么呢？ g f 是 b 减 a， f m 是 三分之二 a 等于 g， d 是 a， i m 是 三分之一 b。 好了，然后我们化简一下，三分之二 a 方等于三分之一 b 方减去三分之一的 ab， 两边同时乘三二， a 方加上 ab 减 b 方等于零。然后我们两边同时除以 b 方二， a 除以 b 括号的平方加上 a 除以 b 减一等于零。解得两根等于 两根等于一个是二分之一啊，还有一个，还有一个是，呃，负一， 那负一舍去啊啊，然后这一个我们的 tenet 角 b a e 就 等于 a 比上 b 就 等于二分之一。所以这道题的答案呢，是 b， 大家理解了吗？

如果你初中数学还没考到一百一十分，那么我觉得你应该看看这个视频，本系列视频将用九十天的时间带你零基础系统学习初中数学。今天是第十四天，评论区打卡你的学习天数吧！ 哈喽，同学们大家好，我们今天来讲一下三角函数对应的是锐角三角函数，锐角， 那么我们不会学大于九十度的角的三角函数，我们只讲锐角三角函数。那么首先先带大家了解一下直角三角形，这是一个直角三角形，那么这个角假如说这是 a， 这是 b， 这是 c， 那 么我们角 a， 这是我们的角 a， 它所对应的对过来的这个边角 a 所对应的边对叫做对边，那么与它相邻的边叫做邻边，那么它的直角边叫做斜边，这是直角三角形三个边的名称， 那么我们再来讲一下三角函数。首先我们先讲一下三角函数，它有三个东西，正弦 sin a、 余弦 cosine a 以及正切弹进的 a， 那 么都分别对应什么意思呢？我们先讲第一个正弦， 那么正弦 sin a， 它是等于什么呢？它是等于对边比上斜边，对边比上斜边， 我们假如说这是 a， 这是 b， 这是 c， 那 它就等于角 a 所对应的边对边，那就是 bc， 比上斜边就是 ac， 那 么这是就是 a 的 sin 就是 a 的 正弦。那我们再来讲一下余弦。假如说 cosine a， 它等于什么呢？它等于角 a 所对应的邻边，那就是这个邻边。 比上斜边，那么它就等于角 a 对 应的邻边是这个 a b， 再比上它的斜边 a c， 这就是它的余弦。我们再讲一下正切盘进它 a， 它就等于对边 比上邻边，那就是这两个边，这是它的对边，这是它的邻边，那就是 b c 比上 ab， 这是它的正切弹进的值。那么我们讲完了这三个 三角函数之后，我们来了解一下常见的路数的三角函数，也就是说你平常做题的时候都是遇见了，比如说 sine 多少度或者 cosine 多少度，那我们来讲讲一下常见的几个三角函数的值。 首先在讲常见三角函数值之前，我们再回顾一下我们之前讲过的常见的三角形。首先一个是等腰直角三角形，它是有两个四十五度，然后一个九十度的等腰直角三角形，它的三边长的比例是一比一比二，那我们再来讲一下这个， 这是一个三十度、六十度以及有一个直角的三角形，那么他的三边长的关系是一比根号三比二。等我们回顾完这个之后，我们来讲一下我们常见的几个三角函数的值， 当我们常见的几个度数就是三十度、四十五度以及六十度。我们首先这种三角函数值其实不用特殊背，我们只需要在做之前画出一个草图就可以了。我们画出我们之前学的常见的三角直角三角形， 这个是三十度，这个是直角，那么我们如果看三十度，首先三十度 它是等于对边比上斜边的，那我们看这个图三十度所对应的边是不是这条边啊？ 那么它的斜边是不是这条边，也就是说这条边比上这条边，那我们之前选过特殊三角形，它们三边长比例是一比短号三比二，那么这个 sin 它是不是就等于一比上二？那我们从里 sin 六十度， 它是不是等于六十度所对应的对边比上斜边，那么六十度所对应的边是不是这条边？ 那么它的斜边是这个，那就是根号三比上二，那么这是 side 三十度和六十度，同理投 side 三十度呢，它等于 邻边比上斜边。也就说我们要找这个三十度所对应的邻边是不是这条边，那就是根号三比上二。那我们再看一下 cosine 六十度，它等于 邻边比上斜边，那就是六十度所对应的邻边是不是这条边，那就是一比上二。 那我们可以发现一个规律， sin 三十度和 cosine 六十度它俩是相等，那么这个 sin 六十度和这个 cosine 三十度它俩是相等，那我们可以把这个表就填进去。 sin 三十度它等于二分之一。 sin 六十度它等于二分之刚好三， cosine 三十度它等于二分之刚好三。 cosine 六十度它等于二分之一。 好，我们再来讲一下这个弹进它，我们还是这个三角形三十度 六十度，那么弹进它是什么意思？弹进它就表示对边比上邻边， 那么假如说是弹进的三十度，三十度所对应的边对边是不是这个边？那么他的邻边是不是这条边，那就是一刚好三二。他的对边比上邻边就是一比刚好三，他就是三分之刚好三。 那么盘进它六十度呢？六十度所对应的边是这个根号三，它的邻边是这个一，那就是根号三比一，它就是等于根号三，那么这是三十度六十度的这个直角三角形，我们再来看一下 四十五度、四十五度和九十度的这个直角三角形，那么 sin 四十五度，它就表示 四十五度所对应的边对边，这个对边比上斜边，那么就是一比一比根号二的比例，那就是一比上根号二，那么它就等于二分之根号二， 那么同理 cosine 四十五度， cosine 的 意思是邻边，那也就说这个是它的邻边，那就是一比上刚好二，它也是二分之刚好二，那我再看了一下，弹进它，弹进它是四十五度，是指它的 对边比上邻边，那是不是一比上一，它就等于一，那么这就是常见的几个三角函数的 数值，三十度、四十五度和六十度，大家做的时候不用死记硬背，只要把图画出来，把那两个三角形记住就行。一个是等腰直角三角形， 一个是三十度、六十度的直角三角形，那么我们把图画出来对应的值我们就可以记住了。好，我们本节课就到这里，谢谢大家。

同学们好，咱们现在接着讲解中考数学模拟题的题型。呃，那么今天讲解的是三角函数的实际应用，三角函数题是咱们中考必考的一个知识点。呃，这道题咱们之前在天空选择题里边也讲过。首先做三角函数题，咱们要会数形结合， 首先就是读题，就是读懂题意。读题之后他有一些的线段的长度或者是角度，咱可以给标注出来， 然后构建 rt 三角形，用三角函数就可以解题了。大家在做题过程中会有一些细节问题出现，咱们边做边讲，然后大家看这个细节体现在哪里。首先在读明白题之后，大家看 o 距地面 a c 高度是六十米，那么也就证明， 比如这显示 m 吧，我延长啊，我简单写一下步骤，延长 c， 嗯， c e 交 o f 于点 m， 那比如说这个是 m 的 话，现在咱就知道 c m 是 等于呃，六十米的。有同学说这是哪来的呢？因为他说点 o 到地面 a c 的 高度是六十米，也就是 o 到地面的高度，比如说这是 n 吧， 就是 o， n 是 六十米。那做题的时候可以直接这么写吗？当然不行啊，咱们做题的时候，辅助线做完之后，比如说过点 o 做 o n 垂直于 a c 于点 n， 咱们接下来说由做法可知， 由做法可知，或者是由做法可证。四边形 o n， c m 是 矩形，大家不要忽略这个细节啊，这个细节像我用黑笔给它圈起来， 这是第一个细节，就是说你如果不证明它是矩形，你后边，嗯，这个证明这个四边形 o n， c m 是 矩形啊，如果你这个这个不正出来的话，你直接去用这块这个知识点，他会有一些步骤上的欠缺啊。所以说这是第一个细节问题，要注意下一个。咱们把题读懂之后要会标注，既然这个角度非常明显了，咱可以由题可知，这个角 e f m 等于六十度，然后角呢？ f o e 等于三十度，咱根据外角和内角的关系就可以推出来。角 f e o 也等于三十度， 它等于角 f o e， 那 么等角对等边的，我就可以推出来， f o 和 f e 的 长度是相等的，题中已经说了是二十四米，因为题的已知说了啊， 然后再根据这个角 e f m 等于六十度，咱就可以推出来这个。嗯， em 的 长度 就可以求出 em 的 长度啊。当然，他让你求的是 ab 和 c 的 之间的距离， ab 和 c 的 之间距离不就是 ac 的 长度吗？呃，这个 em 可求可不求啊，但是咱可以求 fm 的 长度，因为 ef 是 二十四米， fm 是 十二米， 咱可以用三十度角所对直角边的斜边一半去求，也可以用三角函数把 fm 等于十二米求出来，因为上边咱们已经证明出它是矩形了，所以说我就可以得到。呃，这个 fm 是 十二米，那么 o m 呢？等于三十六米， 那么因为是矩形呢？所以说 o m 就 等于 n， c 等于三十六米，大家看，也就是说这个第一个点我写到左侧了啊， n c 等于三十六米，咱们解决了。现在你要想求这个 a c 的 长度，咱还学第二步，缺 a n 的 长度。 那 a n 的 长度呢？刚才题中已经知道， o n 是 六十， o n 是 六十，然后这是七十度，咱们可以用六十去比上它的七十， 当然了这个步骤我没想细写啊，就是在 r t r t 三角形 a n 中来解决这个问题。 所以说这样一个简单的三角函数题，它蕴涵了一些知识点的细节，比如说咱们那个读题啊，标角度啊，在 r t 三角形中啊，而且还有那个在做题书写步骤的时候，大家一定要注意，这个辅助线的做法要写出来， 第一个是辅助线交代明确，第二个就证明矩形的过程要说出来，因为你只有证明出是矩形了，咱才可以直接得到 o m 等于 n c， 而且也能直接用 o n 等于 c m， 这是做题的特点。当然第三个知识点要导特殊角度，然后在 r t 三角形里用三角函数去表示一些边的长度，这是咱们基本的知识点。 而且第四一个注意点，第四个注意点还要注意啊，就是他最终要求精确到一米，精确到一米的话，那就要保留到整数，咱们到最后一遍一步再去保留整数，这样会减少误差，也就是不要带着根号，因为他体重已经给了根号三就等于一点七三了。 所以说这些值得注意的这几小点啊，就是咱们讲每一道题的目的，也是不是一定要知道这个题的结果是几，而是要知道我遇到这样题，我如何去分析，我从几个角度去看， 怎么样才能把这个题逐步逐步一步给导出来，这是做题的关键啊。好，这个题就讲解到这里，大家有什么问题可以随时联系我。

离中考又近了一个月啊，那么你的三角函数过关了没？一道题目检测出你的真实水平，好，看一下这道三角函数的一个几何题，如图，大坝的横截面积是 r t 三角形 abc， 坝高 a c 为十六，这段场是十六。 这边呢？这个因防洪需要，因防洪需要将坝腰的土石就这块他的这个土石推至坡底。坡底？那其实看到这句话的时候，很多学生就会想到了，那他的这个 这块的这个面积其实就挪到了这边，所以说变化之后跟变化之前，整个这个图形形状虽然改变，但是面积应该是不变的，对吧？看到这边你要想到这个东西，然后 使得坝面原来的坝面是 a b 这条斜边，对吧？改造成三十六米的折线型坝面， a d 杠 d 一， 原来是一个斜面，那现在变成了什么呢？变成了一个 e d 加上 d a 这样一个折线吧 啊，然后他说 a d 的 请斜角 r 法为三十六点八七度啊，这个角度是三十六点八七度，把面 d e 的 请斜角 b， 它为二十二点六二度，这边请斜角是二十二点六二度， 然后给了几个两个上引的参考值啊。第一个问题，求 d e 的 长， 那 d e 跟目前题干里面的什么数据相结合，目前题干里面是不是有一个这个？他说新形成的一个折线型的把面三十六米， 也就是说是 ed 加上 ad 等于三十六米，对不对？好，那这里问什么？设什么？我们可以先设 ed 的 长为 x， 那 么 ad 的 长是不是就是三十六减 x？ 好， 然后我们做三角函数题，我们当时讲过的 是什么？遇到这个给的角度一般都是先做垂线形成直角三角形，对吧？好，我们现在围绕阿尔法这边，我们把它进行延长好，延长到这边，我们设这个垂点为 f 点 好，然后这边有个角贝塔，角贝塔这边形成的三角形应该是由 d e 这个边所形成的，那这边它 不挨着某一个边对不对？那只能往什么呢？往底边去做了啊？底边去做是不是做这样的一个垂线？好，所以我们可以过地点做底边 e c 的 一个垂线好，垂足，我们给它写做 h 吧。 那么这边做完之后，我们就第一反应过来什么呢？你右边这边就会形成了一个矩形，对不对？然后左边这里有一个直角三角形，右边有一个直角三角形，对吧？把图像进行拆分，拆分成这个特殊图形 好，然后等量关系从哪找呢？对不对？那既然现在图图上的条件我们都标了，我现在要求出这 x 一定要有个等量关系， 那题目中除了这个三十六以外，还给了一个什么呢？是不是还给了个十六，对不对？这是一个条件。那这个十六是 ac 的 长，那 ac 是 由谁组合成的呢？是由 af 加上 fc？ 好， 又，因为刚才说的这是一个矩形吧，好，是一个矩形，所以说 fc 的 长是不是就是 dh 的 长？ 那么我们就知道了吗？那 ac 等于好，第一个我们先写一下等量关系式啊， ac 是 等于谁？等于 af 加上 fc 的 吧。好，又，因为 fc 是 和这个 d h 相等的，那它就等于 af 加上这个 d h 的 啊，是由 a f 加上 d h 的 啊，先把等量关系式找出来啊，接下来就是要把这个 x 跟我的这个十六组合起来了。怎么组合啊？那这个是不是在直角三角形里面的？ 这边 d e h 也在直角三角形里面的吧？好，利用题目中给到的一个上移值是不是？好，我们来写下。首先第一个，我们看这个在 r t 三角形 a、 d、 f 中啊，在这个直角三角形中，它的 sign 值 sign f 等于什么？ 我们说 sign f 等于谁比谁？回忆一下，直角三角形中一个角的 sign 值等于对边比斜边吧，好说，等于 a f 比上 a d 吧好， af 我 们不知道多少，但是我们需要求的对不对？ af 是 不是就等于 a d 乘以三引尔法啊，也就等于三引尔法这边有一个是什么 啊？五分之三吧啊，所以是等于五分之三乘一个 a d， a d 长是多少？刚射过了，是三十六减 x。 好， 那现在 af 是 不是出来了？好，接着我们在下面这个直角三角形在 d e、 h 中啊，我们再来表示一下，在 r t 三角形 d、 e、 h 中，那我们的 d h 的 长度是不是就等于什么？等于一个这个，呃， 啊，我们还是完整的写一下吧啊，刚刚想直接表示的，可能有些孩子反应不过来啊。那么萨尼亚等于对边比斜边对不对？等于 d h 比上斜边，斜边是谁？斜边是不是 ed 啊啊，比上 ed 啊 啊，所以说 d h 是 不是就等于 e d 乘以三倍它，而三倍它？题目中给了是十三分之五，所以就是十三分之五乘以 e d， e d 是 设的 x。 好， 那到这边为止啊，我们的这个 a f 有 了没？ a f 是 不是就这个 e、 d 是 不是就这个好，把这两个分别代入到上面的这个等量关系式里面，我们是不是就形成了一个关于 x 的 一个方程啊？也就说是五分之 a， 等一下啊，换个颜色 好，五分之三的三十六减去 x 加上十三分之五 x 等于 a c 吧，等于这个 这个 ac， 这条边 ac 是 十六啊，所以是等于十六的。那这边我们解出来这里我就不算了啊，解出来 x 是 等于二十六的 啊，也就是说 d e 的 长度是二十六，那这样子我们就知道了这个折线啊，这段折线就被分成了一个二十六，一个是十， 所以我们把图上擦掉重新表示一下。那这里提醒大家，在做题目的时候，尤其是几何体画图一定要用铅笔啊，因为我们在做到后面的时候，经常性要涂涂改改的时候啊，你这个要能修改， 所以这一段长就是二十六，这段长就是十。那所以我们在三角函数里面其实可以知道，当你知道了一个上引值，或者上引值或者通尽的值，那就知道了三边比例关系，再知道其中一边啊，我们就可以求任意一个这个边的长度了。 所以我们在这个直角三角形里面，我们是可以求出 d h 和 e h 的， 我们在这个直角三角形里面，我们是可以求出 a f 和 d f 的 吧？啊，那我们现在在看第二问，求什么啊？第二问要求的是一个 b e 的 长度啊，也就是说下面这一小段，这个该怎么去求，把它放在什么里面去求呢？ 好， e、 b 本身并不在一个特殊的三角形里面，对不对？好，我们可以看到了， e b 是 在哪一条边上的？它是不是在这条边上 啊？那我们刚才说了，这个直角三角形是可以把它的 e h 可以 求出来的吧？ 好，然后这个直角三角形我们是可以把它 d f 求出来的吧？把 d f 如果转化成 h c 这边，那这样子不就把 e c 这个整个长度给求出来了吗？ 我想要求 e b 的 话，我是不是用 e c 的 这个整个长度减掉 b c 就 可以了啊？但是问题来了， b c 该怎么去求， 对吧？ e c 我 们知道了，是可以由 e h， 我 们先写一下吧。好吧。第二问，那么 ec 的 长我们是可以等于 e h 加上 h c 来的，那么 e h 和 h c 都可以有两个直角三角形的三角函数值可以求出来， 那问题就是 bc 该怎么办？因为我们要求的 e b 是 等于 e c 减去 bc， 那 e c 可以 求的，那么 bc 从哪来呢？那这句就要回到我们刚开始在审题的时候了，刚开始说的时候，什么 将这个土石推到了这个坡底，那么推之前跟推之后，它的这个横截面，它的面积是不变的啊。所以问题就回到了这里，我们三角形 abc 的 高是多少呢？高是十六是知道的，那它的面积也就说是应该是 b c 乘以 a c 乘以二分之一而推下去之后所形成的这个图形啊，是一个不规则图形，它是由几个规则图形组成的，来求什么？ a d f 这个 d e h 两个直角三角形和一个矩形，那你看这个不规则图形面积能不能求？是不是可以求的 好，然后利用等积的方法，是不是可以把 b、 c 求出来了？好，所以这里我们把整个思路给回顾一下啊，我们首先要求面积啊，面积用等积法求出 b、 c 的 长，然后再由 ec 的 长减去 bc 的 长，是不是就可以得出 e、 b 的 长？ 好，这里我们写一下过程啊，那所以我们现在要先求谁呢？先求这个啊，直角三角形的各个边啊，刚才构造的这个直角三角形各个边，那我们知道了，第一个，先放第一个三角形里面看啊，放第一个在 r、 t 三角形 a、 d、 f 中。好，因为我们知道了它这个边的比值关系是多少，我们看一下啊，它是 a、 d、 f， 这个是三 f f， 是 啊，这个吧是五分之三的关系，这个边比它是五分之三， 那么根据三四五，那这个边比这个边比这个边，这个是不是三四五的一个关系啊？所以说我们由这边可以知道，这个边比它就是四比五，也就是五分之四。 cosine 就是 cosine 法就是五分之四。好，所以我们可以知道 d f 是 不是就等于，呃，这个用十乘以五分之四啊，十乘以五分之四，那就等于这个八啊， d f 是 等于八的标一下。好，然后我们再在 r t 三角形 d、 e、 h 下面，这个直角三角形里面啊，根据它的这个 sign 值是 五比十二吧。啊，所以这个边比他是五比十二，那么根据勾股定律，五十二啊，不，我五比十三，说错了，这个是五，这是十三，那这个边是不是十二 啊？所以说是这个边比上斜边呢，就是十二比十三，所以说我们可以知道 e、 h 的 长就等于这个二十六乘以十三分之十二，那就等于 二十四吧，就等于二十四，所以我们知道这段长呢是二十四，这段长呢是八，那这个 e c 的 长，这边是不就可以求出来了？就是二十四加上八就等于三十二。好，所以我们把这个标记一下， 这个我们要求的 ec 出来了，现在就差一个谁了，是不就差一个 bc 了？好， bc， 那 bc， 刚说的用面积法对不对？面积法，那 s 三角形 abc， 它是等于 bc 乘以 a， c 乘以二分之一的吧？好，又因为等积法啊，这边我们先写一下吧，那因为 a c 是 知道了是十六，所以说他就是十六乘以二分之一，那就是啊，十六乘以二分之一乘以 bc 就 等于八， bc 吧。好，然后刚说等积法， 那么 s 啊，不规则图形我们就就不写了啊， s 是 等于什么呢？等于 s， 三角形 a， d f 加上你可以说是一个直角三角形加一个梯形啊，直角梯形也可以是两个直角三角形加一个矩形啊，这都可以，随便你看怎么舒服怎么来，那么我们可以用这个，呃呃，都行吧，我们用直角梯形来吧， 加上 s 啊，梯形啊，直角梯形啊，直角梯形 d f c 啊， d f c e 啊， d f c e， 好， 就等于啊，三角形 a， d f 啊，那这边我们还要把这个 a f 求出来，那这里我就不去细算了啊，这边求出来的话，那这边就是， 呃，这边可以自己算一下，一样的，根据三边关系，这边是六，那这边就是十啊，这边就十，那所以说我们可以求出来啊，这边算一下，等于底乘高等于 d， f 乘以高， a f 乘以二分之一吧，啊，加上直角梯形面积，上底加下底的和乘以高除以二，那就是加上这个 d f 加上呃 e c 乘一个高，高是这个 f c 除以二，是不是？好，那这里可以算一下， d f 是 等于八 八乘以 a f 等于六乘以二分之一，再加上这边 d f 八加下底，下底这边是呃三十二，三十二乘以 f c 乘以十，再除以二。好， 这边算出来他的这个总面积的话，二百二十四，然后这边的 面积啊，那么三角形 abc 的 面积也就知道了，是二百二十四啊，所以八倍的 bc 就 刚刚这边求的，对不对？三角形他是等于二百二十四的，那 bc 是 等于多少？ bc 就 等于二十八，那这边我们 bc 就 求出来了，对吧？然后 bc 求出来之后，我们刚刚这边一个关系是知道的， e b 是 等于，这边再写一下啊， e b 是 等于 ec， 哎，也就是说我们看一下图啊， 这段长啊， e b 是 等于 ec 减掉 bc 的 啊，减掉 bc 的是等于 e b ec 减掉 bc 是 等于 bc， 总长是多少？大总长，是啊，三十二等于三十二，减掉 bc 二十八，那就等于啊等于四， 那这里我们就把 bc 给啊求出来了， bc 给求出来了。所以说这道题目不仅考察了一个三角函数构造啊，直角三角形，另外还考察了一个几何吧，啊，它这个几何的一个面积等级 啊，平常我们一般考什么呢？阳角问题，辅角问题，直接构造一个直角三角形，然后相加相减就出来了，那这里面不仅考虑到的这个直角三角形边的相加相减，另外还考察了一个等积的一个思想， 对吧？啊，所以说做三角函数题目的时候一定要多做一些不同类型的，常规的仰角俯角做的已经很多了，我相信很多学员都会了，但是其他一些涉及几何变化的还是要多去尝试一下啊，你也不知道中考到底考什么类型，对不对？好。

体育老师生病了，这节课上数学做题，不讲不上课，在十八度中考确实会考这些非特殊角的三角函数题，我们学过在三十度、四十五度、六十度的三角函数， 但十八度他不是常规特殊角，但他的二倍角三十六度我们还是知道的，我们一起来看一下。第一步，我们告诉一个等角，是为三十六度的等腰三角形，好，那这个角，哎，这里是三十六度，那两个底角就是七十二度， 我们用 b、 c 表示。好，我们做一下角平分线，也就是垂线，那我们发现我们把这个角 a 平均分成了两个十八度，好，那这里我们记住，哦，得，那三十八度应该就是对边比上斜边，那就是三十八度， 就等于对边 b 的 比上斜边 a、 b， 这样核心比例就出来了。我们为了方便计算，我们把 a、 b 这条腰设为是 m 好， 那 b、 c， 那 这里就设为 n 好，那 b 的 那是不是就是二分之 n？ 好， 那所以三十八度，那就等于二 m 分 之 n， 好， 我们只要求出 m 和 n 的 比值关系来，这样子就轻松搞定。好，那我们做一下这个七十二度的角平分线，那我们这里标角一好，那么这里是三十六度， 这里也是三十六度，那么这里就是为七十二度，这一个是不是也是一个等腰三角形？等角对等边，那 b 一 就等于 bc， 等于 n， 而 a 一 也等于 b， 也等于 n， 所以 c 一 是不是就等于 m 减 n？ 那 么关键点来了，这个角 e、 b、 c， 它是为三十六度的等腰三角形，角 c、 a、 b， 它也是为三十六度的等腰三角形，所以这两个三角形相似，两角对应相等， 所以三角形相似。相似三角形嘛，那就是幺比幺等于底比底，那我们把 m 跟 n 直接带进去，那就是 n 比上 m， 那 就等于 m 减 n 比上 n， 核心等式直接列，一步到位化简等式交叉相乘，那就是 n 的 平方就等于 m 的 平方。减去 m， n 两边同时除以 m 的 平方，那就是 n 的 平方。比上 m， 就 等于一减 m 分 之 n， 我们设里设 q 等于 m 分 之 n， 转化为一元二次方程，解除方程，我们取正根，那就等于根号五减一，比上二。这个核心比值我们直接算出最后一步，代入核心比例。三十八度，那就等于二分之 k 乘以二分之一，那就等于根号五减一，比上四。 所以三十八度应该就等于四分之根号五减一。求非常规特殊角的三角函数核心思路，构造特殊三角形加相似模型。所有题全是这个套路！关注我，每天一个数学小妙招，轻松考清北！

同学们大家好，今天呢，我们来看一道我们中招考试的必考类型，就是三角函数的实际应用。首先我们来看一下题目， 如图一呢，是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由力度、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，它的示意图呢？如图二， 经过测量，支架的立柱 ab 与地面 am 垂直，并且给了 ab 的 长度是三点二十四，那这个时候我们给它做一下标记， ab 的 长度是三点二十四米点 a、 c、 m 在 同一水平线上，并且斜杆 bc 与水平线 ac 的 夹角， 我们给它标记一下角 a、 c、 b 是 三十三度，然后支撑杆 d， e 垂直于 bc， 垂足为 e 啊，然后这个时候斜杆 b、 d 与它的夹角是多少呢？是这个角度是六十六度，又测得 c、 e 的 长度是二点八米，给了我们一些参考数据。那第一问呢？让我们求的是截杆 bc 的 长度， 那好，那题目当中给了我们什么呢？那给了我们角 a、 c、 b 这个角的大小三十三度，并且还给了 ab 的 长度，那所以说我们要求 b 系怎么 bc 的 长度怎么求呢？那我们会发现 ab 比上 bc， 那 是不是就是这个角的正弦值啊？那所以我们来写一下第一问。 第一问，在直角三角形 a、 b、 c 中，我们可以得到什么呢？角 b、 a、 c 是 等于九十度的，并且还知道我们的角 a、 c、 b 等于三十三度， 还有 a、 b 的 长度等于三点二四米， 所以我们就可以得到我们的 bc， 就 等于什么呢？ bc 就 等于我们的 ab， 比上我们的三角 acb， 也就约等于三点二四，比上一个三角 acb， 也就是三以三十三度，对不对？三以三十三度是多少呢？零点五四，那所以说这里我们给它写出来是零点五四，我们算一下三点二四除以零点五四的结果应该是 六，对不对？那所以这里 bc 的 长度就是多少呢？这里 bc 的 长度就是六米啊，然后再给它总结一下，所以斜杆， 所以斜杆 bc 的 长为六米。好，接下来我们再来看一下第二问，第二问让我们求斜杆 b d 的 顶端 d 到地面 a m 的 距离，那很明显，那这个时候没有，我们需要给它做辅助线，对不对 啊？那现在我们往过点 d， 这样 a m 做垂线， 哎，因为题目当中没有画啊，没有画，我们要求点 d 到 a m 的 距离，所以说我们需要给它往下做垂线，垂足啊，标为 h， 垂足标为 h， 这个时候我们过点 d 做 d h 垂直于 a m 于点 h。 那 然后呢，我们来看题目当中让我们求 d h 的 长度， 很明显 d h 它并没有在一个直角三角形当中，对不对？所以这个时候呢，我们就需要去给它构造直角三角形，那怎么构造呢？根据题目当中所给的条件呢，我们就可以怎么样过点 b 再去做 d h 的 垂线， 那这里呢，我们再去给它做一条辅助线 啊，比如说这个字母呢，我们给它标为点 g， 我们做完这个垂线之后啊，现在，哎，在这样一个四边形当中，是不是已经有三个角都是直角啦？那所以这个四边形就是一个矩形，对不对？那矩形的话，我们就可以得到 g h 和 b a 的 长度是一样的啊，矩形的话， g h 就 等于 题目当中给的 ab 的 长度等于多少呢？三点二四米，那所以题目当中让我们所求的截干 b d 的 顶端 d 到地面 am 的 距离，就可以给它转化为谁呢？ d g 加上 g h 的 长度对不对？ d g 加上 g h 的 长度， g h 的 长度是三点二四，所以这里呢，我们只需要把 g 的 长给它求出来就可以了。那么来看一下 g 的 长度是怎么样给它求的啊？ 首先题目当中给了我们 c e 这个条件等于二点八米，我们还没有用呢，对不对？并且还给了这个角的角度，所以说我们只要表示出来 b e， 那 我们来看一下 b e 的 长度等于多少？ b e 是 不是就等于我们刚才所求出来的 bc 减去题目当中给的 c e 的 长度呀？也就是六减去二点八对不对？六减二点八等于三点二米，所以 b e 的 长度是三点二米， 那我们再来看有角度有边长，那这个时候我们是不是就可以去求得 b d 的 长度？在直角三角形 b d e 中，角 b e d 等于九十度， b e 等于三点二米，然后角哪个角呢？ 角 d d e 等于六十六度，那所以我们就可以得到得到什么呢？我们的 b d 的 长度， 我们 b e 是 角 d， b e 的 邻边， b d 是 斜边，邻比斜，我们应该用什么呢？我们应该用于弦对不对？邻比弦应该用于弦，哪个角呢？六十六度啊，所以这里我们来求一下 b d， 它就等于 b e， 比上 cos 角 d b e 就 约等于 b e 的 长度是多少？ b e 的 长度是不是三点二？ 然后 cosine 六十六度是零点四一，所以他就约等于三点二，比上一个零点四一，算一下他的结果啊，他的结果是约等于七点八米的，这个是我们算出来 b、 d 的 长度大于是七点八， 那然后啊，再看角 d、 b、 e 是 等于六十六度，哎，既然，既然什么呢？ a、 b、 g、 h 是 一个句型了，对不对？那所以这里的角哪个角呢？角 g、 b、 c 就 等于咱的角 a、 c、 b， 也就是三十三度，对吧？ 那还有题目当中还给了角 d、 b、 e 是 等于六十度，六十六度，我们把这个角 g、 b、 c 减去之后，那是不是就是六十六度减三十三度，结果还是三十三度，对不对？那这个时候求出来的是谁呢？是不是咱的角 d、 b、 g 这个角的度数？ 那所以我们这个角是三十三度，这个边的长度也有，对吧？那所以我们要求的是什么呢？我们要求的是这个角的对边，也就是 d g， 那 d g 就 等于什么呢？在这个直角三角形当中， d g 就等于我们的 b、 d 乘以乘以谁呢？ sin 角 d b g 啊？ sin 角 d b g 乘以 sin 角 d、 b、 g， 算一下它的结果啊， b、 d 是 七点八， sin 角 d、 b、 g， 也就是 三十三度，正弦约等于零点五四，大家在研淘纸上给他算一下啊，七点八乘以零点五四，结果是多少呢？是不是等于 四点二一二米？然后题目当中让我们所求的点 d 到 am 的 距离就是 d g 加上 g h， d g 刚才求的是四点二一二米，然后加上我们的 g h， 我 们的 g h 就 等于我们的 ab 是 三点二四米啊，三点二四米也可以求得是七点四五二，但是 题目当中让我们给他精确到一米啊，给他精确到一米，那约等于七点四五二，那我们要看谁？我们是不是要看小数点后一位，所以这个时候他就约等于七米啊？我们四舍五入他就约等于七米， 所以斜杆 b d 的 顶端 d 到地面 a m 的 距离呢？就是七米。大家课下的时候把第二问的这个过程好好的整理一下啊。

这是二零二五年呢设计最好的一道。呃，江苏的中考中啊，关于二次函数的一个呢，新定义的一个题目。大家好啊，今天跟大家分享的是 二零二五年江苏镇江中考的一个压轴题，那么这个题目呢，是一个基于二次函数的一个新定义的题目，设计的呢是比较好的，计算量不是特别大， 但要求的是呢，孩子能够在头脑中形成一个动态的图形，然后呢，能够把问题啊给解答出来。 那么在今天讲解的过程中呢，我会利用动画让大家呢，可以更直观的去理解这个题目中啊点变化的一个呢规则，我们一起来看一下。 给了一个平面直角坐标系，他说呀，过点 t 坐标是零， t 做 y 轴的垂线，那就是 x 轴的平行线呗。 与二次函数 y 等于二分之一，括号 x 减 h 的 平方加上 k 对 称轴是 h， 那 么它的这个极值点是 h， k， h， k 都是常数，它的图像交于呢 ef 两点，这里明确说明，点 e 呢，在点 f 的 左侧， 点 p 呢，在直线 ef 上，切要满足什么条件呢？ p e 加上 p， f 等于六， 我们称点 p 是 该二次函数的一个 t 六生长点。哎，这都是新定义的一个概念啊，实际上没有太多的意义， 你只需要把这件事搞清楚就行了啊。然后呢，题目中一共呢两个问，第一问呢，又分成两个小问，第一问说呢，给了一个二次函数图像是 y 等于二分之一 x 方 问我们呢，当 t 等于二，二分之九和五的时候，那么这个函数呢，这个 t 六生长点存在的这里哪个值保证它能存在。 第二个呢，就说呢，如果 p 点的坐标是 m n， 那 么呢，该函数的 t 六是这个函数的 t 六生长点啊，让我们猜想 n 的 取之范围，并说明理由。 第三问，说什么呢？说这个二次函数啊， y 等于二分之一， x 减 h 平方加 k， 它的图像呢，经过呢点六一，若点 p 是 它的一个呢生长点，让我们求这个函数的表达式，一共两个大问，三个小问， 那么下边呢，我们一点一点的来分析这个题目啊，这个题目要求咱们的考生需要呢，在我们的纸上能够把动态的内容搞清楚，才能容易去解答， 想象力啊，是要求比较高的。我们先来看这个第一问中的两个小问呢，第一个，我们看 t 的 不同曲值，哪一个呢？会有 t 六成长点， 那么我们注意啊，我们先画出一条线来，大家看一下啊，我们画出这么一条线来啊，把这个事呢给画出来，我们呢在这里头比较形象的看一下， 他说是什么呢？说点 p 在 直线 e f 上却满足 p e 加上 p f 要等于六，而这个 e f 这两点是什么呢？ e f 这两点呢？他恰好是呢，我们这个二次函数与我们这条直线它的对应的两个交点。 那这个时候啊，我们大家首先要想到这一点，大家看如果 e f 的 长度大于六的话，这个 t 六生长点还存在吗？ 很显然它不存在，为啥呢？因为如果 e f 之间的距离大于六的话， p 点在这个直线上的任何位置都不能满足 p e 加 p f 等于六。所以首先我们考虑到的一件事就是什么呢？ e f 两点之间的距离 一定是小于等于六的，那我们找一个这个极限的情况啊，让他等于六等于六的话呢，找到这个位置啊，因为我们这个里头大概是在这个位置啊，大家看在这个位置啊， 那这个位置 n 等于多少啊？大家看 p 点，哎，我们这个里头啊，当这个 e f 等于六的时候，点 p， 只要在线段 e f 上都对，是不是你看 p e 加 p f 等于六啊， 那这个时候，我们看一下这个纵坐标应该是多少啊？ p 点的纵坐标， 哎，那我们就把呢这个等于三带进去就行了呗。 x 等于三，带进去 二分之九，这个呀，就应该是它的最大值，你再往上，你再往上移动，这个值就不可能存在了，你 pe 和 p f 呢，加在一起永远要比六大， 但是再往下行不行呢？大家看再往下行不行呢？很显然也可以啊，这个时候啊，我们点 p 有 两种可能，有可能在 e 点的右侧，它会有两个值， 都是对的，对吧？哎，我们 e f 只要小于六，那么我们这个 p e 加上 p f 等于六，就一定能够满足，所以通过这个啊，我们会发现，这个 n 的 这个取值一定是小于等于二分之九的， 那么能不能小于零呢？或者等于零呢？也不可以，因为这里头有个条件，点 e 一定在点 f 的 左侧， 当你等于零的时候，他也不对。所以啊，这个题的第一问呢，我们大家呢，马上就能写出答案来啊，就是二和二分之九。第二问，这个猜想 n 的 取值范围我们也能知道了，这个 n 呢，应该是大于零，小于等于二分之九， 原理就在于啊，当 n 大 于二分之九时， e f 呢就大于六，这时 p e 加 p， f 就 大于六，所以 n 呢，一定是小于等于二分之九的 才能满足条件啊。所以第一个里面的两个小问虽然比较简单，但是我们得到的这些结论对于我们解决最后一问啊，是非常有帮助的啊。下面我们看最后一问， 最后一问呢，说的是什么呢？说呀，二次函数 y 等于二分之一， x 减 h 的 平方加 k， 它的图像一定经过点六一，我这里的 q 点是点六一啊，注意啊，这张图在原题中没有， 我在里画了这张图啊，主要是便于啊咱们大家呢去理解这个问题啊。然后呢说点 p 坐标是三五，它呢是该函数的一个 t 六生长点，让我们求函数的表达式， 因为这个函数啊，大家看它经过呢我们对应的这个六一这点，它永远要经过六一这点，所以啊，我们就可以这么做，把六和一带进去， 把六和一带进去啊，那么我们就得到了呢 k 的 值了，大家看啊，把六和一带进去呢，我们就可以得到 k 的 值， k 的 值等于多少呢？一减去二分之一，括号六减 h 的 平方，把 k 的 值呢回带到这里头去， 回到在这里去啊，我们就消掉了一个未知数，那么我们将呢得到的这个二次函数的方程进行一次整理，整理出来的结果是什么呢？ y 等于二分之一， x 方减去 h 乘以 x 加上六， h 减十七。 这个时候啊，大家注意，我们呢要呢对应的这个 p 点的坐标是三五，所以我们一定是要研究呢这个点 e 点和 f 点坐标之间的关系，所以我们可以这样 令 y 等于五解一个方程，然后呢把 e 点和 f 点的坐标呢给解出来， 我们呢令 y 等于五回带到这里头去，方程呢，我们就对应的是谁呢？二分之一 x 方减 h， s 加上六， h 再减去二十二，再减去二十二啊，然后呢，我们用一元二次方程的求根公式就可以呢解出来 e 点和 f 点的横坐标，因为 e 点永远在 f 点的左侧啊，所以 e 点的横坐标是 h 给二 a 分 之二乘以，它不没有了吗？分母，然后负 b， 那 就是 h 呗，加减根号加 b 方， h 方减去四 a， c 减去四乘以二分之一等于二，二乘以括号六， h 减十七呗，那就是，呃，减去十二， h 加四十四呗。 所以一点的坐标是 h 减去根号下 h 方减十二， h 加四十四， f 点的坐标呢是 h 加上根号下 h 方减十二， h 加上四十四。好了，那么下边呢，我们刚才都知道了啊，大家都知道 这个 e f 两点间的距离应该小于等于六，那我们分成两种情况去讨论，第一个呢，就是 e f 等于六的时候 是什么样？第二种呢，就是 e f 小 于六的时候是什么样？如果 e f 的 长度等于六，那就是啥呀？ f 点的横坐标减去 e 点的横坐标等于六，那 f 点的横坐标减去 e 点的横坐标就是二十倍的根号下 h 方减十二， h 加四十四等于六， 我们呢将其作为一个方程解出来呢，会有 h 两个值， h 等于五或者 h 等于七。 大家注意啊，这是一个根式方程，也就是一个物理方程，我们在解的时候要做平方，只要你一做平方就会产生虚根，我们要呢进行啊，呃，对应的验证。当 h 等于五的时候， 那么 e 点的坐标，我们把 h 带回去，会解出来呢， e 点的坐标是二， f 点的坐标呢，就是八， 而 p 点的横坐标是多少啊？三，他在二和八中间，也就是 p 点呢，他恰好呢能够在我们这个线段 e f 上，大概是这样一个情况啊，大家看， p 点恰好在线端 e f 上，那这样呢就代表什么呢？我们这个 p e 加 p f 呢，就恰好等于六了，就满足条件，因为这个时候如果 p 点不在线段 e f 上啊，你光 e f 等于六还没有用呢，它跟 p 点的位置还有关。 那么当这个 h 等于七的时候啊，我们会解出来 e 点的坐标是四，大家看这个四就已经比三大了， 那说明啥呀？说明啊，这个时候啊，我们这个 p 点就不在呢，这个线段上，不在线段 e f 上，那这个时候就不满足条件，这个根呢我们就得舍掉。所以呢， 第一种情况下，当 e f 等于六的时候，我们解出来的 e 组解，就是呢 h 呢要等于五，那还有啥呢？ e f 小 于六啊，我们把 e f 小 于六的情况呢，也放到这里头解一下， 那么当这个 e f 小 于六的时候，那也就是说 f 点的横坐标减去 e 点的横坐标，就这个式子，它应该小于六，将这个呢作为一个不等式，我们去解一下，解出来呢， h 的 结果呢是五到七之间， 是五到七之间啊，是这么一个结果，那么这个时候呢，我们大家呢去分析啊， h 在 五到七之间， h 是 啥？是我们这条对称轴， 那么这条对称轴呢，是五到七之间，你看 p 点在对称轴的， 大家注意观察啊， p 点在对称轴的左侧，也就是说什么呢，点 p 不 可能在点 f 的 右侧，点 p 只有在 e 点的左侧，这件事呢，才会成立， 它才会成立啊，因为我们要满足呢我们这个 t 六生长点这个话题嘛，所以这个时候呢，我们就知道了， p f 和 p e 的 值就是我大概现在画这种情况，就是 f 点的横坐标减去 p 点的横坐标，再加上 e 点的横坐标减去 p 点的横坐标， 这个 p 点的横坐标啊，大家都知道了，钱包给了是三，所以呢，我们将其化解一下，就有 s f 加上 s e 等于十二， 那这个 sf 加上 se 等于十二是啥呀？是不是就是我们前边啊给大家呢得到的，当 y 等于五的时候，对应的那个方程的两个实数根是不是？或者你看这也行， sf 加 se 等于多少？二倍的 h， 二倍的 h 啊，所以呢，我们就知道了。呃，二倍的 h 等于十，二解出来呢， h 等于六解出来， h 等于六啊，这个我们呢又解出来一组解，可以综上啊，我们这个里头呢，一共有两组解， 一个是 h 呢等于六，一个是 h 呢等于五。把六和五呢，分别往回带，因为 k 的 值呢，是一减去二分之一，六减 h 的 平方带六的时候啊，它就没有了，所以是二分之一啊， x 减六的平方加一 带入五的时候啊，恰好呢，等于二分之一，就是 y 等于二分之一， x 减五的平方加上二分之一，一共这么两组减， 题目本身计算量并不是特别大，也不会感觉特别复杂，但是这个题呢，他最重要的特点是什么呢？我刚才给大家演示的时候呢，我是给大家做了一个动画，让大家可以看到我们呢这个曲线变化的一个规律。 那么我们的考生在考场答题的时候，在纸面上答题没有动画，那么孩子们呢，需要在脑袋里头把这个东西形成一个动画，然后呢把这件事情想明白，再加上考场呢，他比较紧张，所以这个题啊，还是有一定难度的啊。 ok， 咱们今天分享的内容呢就到这里，大家有什么好的解法，欢迎大家分享到评论区，我们一起来讨论。

ok， 同学们大家好，我是那个华强少老师。然后今天我们主要是来讲的是一题我们上周初三数学基础班讲过的一道有关三角函数的题目，就是我们先要需要去讲一下这种题目的一个整体思路什么，然后我们直接看题， 题目说我们要去测量旗杆顶端到地面的高度，然后在 c、 d 处设置了一个阳 啊，一个侧角，一，他得出了这个角度是等于三十度的，然后其中前进八米到达 e 处，也就是 d、 f 的 长度是等于八米的。答案，在 e、 f 处已安装一个侧角，一测出这个角是四十五度。 ok， 其中 c、 d 和 e、 f 的 长度均是等于一点 二米，一点二米，我们最终要求的是一个 a、 b 的 长度。我们上周在讲课的时候我们就说过，在进行三角函数类型题目的时候，我们一定要去学会去构造，也就是发掘我们的一个直角三角形对不对？ 那有的人就会问了，老师，这种直角三角形它到底怎么去找呢？其实很简单，题目给出三十度，给出四十五度，其实就是在告诉你它这个直角三角形到底是哪个，所以说我们只需要找到它的角，然后在这个三十度的基础上去找一个直角三角形，在这个四十五度基础上找一个直角三角形。 这题目很简单，只需要把 d、 f 进行一个延长，我们延长交 a、 b 于点 h 对 不对？那现在是不是就有两个只要三角形，分别是哪两个？一个是 r、 t 三角形 a、 h、 f， 另一个就是我们的 r t 三角形 a、 d、 h。 ok， 找到这两个只要三角形之后，基本上这题难度就不大了，我们最终需要去求出 ab 的 长度。 ab 的 长度其实也是比较简单的， ab 长度它是可以通过我们最终可以化简成 a h 加 h b， 其中 h b 是 比较简单，题目已经给出了它这个长度是等于 c d 的 圆， e f 等于一点二米的，所以说我们只需要找到 a x 长度，那 a x 的 长度我们究竟怎么求呢？我们说过，在进行解直角三角形的时候啊，我们除了需要知道角度，我们一定还需要知道一条边，就比如说我现在知道这个是三角形里面，其中 角 b 等于三十度，我们还知道 a c 是 等于三米的，这样的话我们才能最终去解出这个呃，三直角三角形，所以说我们三角函数第二步的速度其实很清晰，也就是找到边与角之间的 联系。 ok， 这个题目它并没有给出这个直角三角形的任意一条边，它只给出了一个不完整的，也就是我们的 d f 等于八米，所以说我们思路也是比较清晰的，我们需要去把 d f 跟我们已知的直角三角形进行一个联系，那怎么联系呢？我们找到他们这两个角三角形共同点，他们共同点是什么？有一条公共边 a h， 所以 说我们只需要去设 a h 等于 x， 因为这是一个四十五度的直角三角形，所以它其实一个等腰直角，所以说这个 f h 它也是等于我们的 a h 是 等于 x 的。 ok， 那 同理，在这个 r t 三角形 a d h 中，我们可以知道 a h 和 h d 它的一个比值是乘减的三十度， 那么我们就可以写 a h 比上 h， d 是 等于乘减的三十度的，我们最终要去 表示出这个 h 点，那就等于 a h 除以 tangent 三十度，因为 tangent 三十度，它就等于三分之根号三的，那么 a h x， 也就是我们的 x 除以三分之根号三，最终结果是等于乘以根号三，也最终结果是等于根号三 x 的， ok， 这个最终结果是等于根号三 x， 那 我们现在需要去求得我们的 x， 我 们只要利用它们的联系，联系什么很清楚，是不是也就是 d h 减去我们的 f h， 它最终结果是等于我们的八米的，对不对？也就是 d h， 它是等于根号三 x 的 f h， 它是等于 x 的， 最终结果等于八米，那么最终我们就能够把这个式子给它解出来，是不是也就是根号三减一，除以乘以 x 等于八， 那么 x 就 等于八除以根号三减一。这种分母里面带根号的，我们之前讲过是怎么去化钱的，就是利用那个平方差公式进行化点，上下两边同时乘以一个根号三加一， 那么下面他还剩的是一个根号三的平方，减一的平方也是等于二的，上面是 八倍的一个根号三加一，那么最终结果是等于四倍的根号三加四。 ok， 然后题目有给出这个高三约等于一点七米，我们最终带入进去就能够求出这个 ab 的 长度。 然后这个就是有关三角函数题目的一个做题思路。第一步就是去找到，也就是构造我们 的直角三角形，第二步是找到他们的边与角之间的联系，基本上只要掌握这两步，所有的三角函数应用类型题目基本上都是可以直接解决掉的。 ok， 然后这个就是我们今天要讲的所有内容。

我们来看这个第二十题，按求第一问，求 ab 到 ef 之间的水平距离，又得和减掉，求一个 b、 d 的 长度，看看咱已知什么？已知 bc 呢？是六米，然后由这个 a 处沿斜坡走六米，可以这坡比是三比四，坡比是啥？就是这个坡的高和它的宽的比，也就是说这个 e、 d 比上 c、 d 等于三比四。 再看这个三角形 c、 d、 e 是 不是一个直角三角形，然后又知道坡比了，然后也知道 c、 e 的 长了。我们是不是就可以用勾股定底来算，假设这个 d、 e 它的长度是 三 x， 那 么 c 的 长度就是四 x 是 不是满足这个坡比？然后 列式子用勾股定律，是不是 d 的 平方加上 c 的 平方等于 c 的 平方，那就是九 x 方加十六， x 三等于 c 的 平方是三十六， 然后合并同类项二十五， x 方等于三十六。再看根号，五 x 等于六，所以我们是不是就能把 x 出来？最后 x 就 等于五分之六。现在把 x 求出来了，是不是就可以把这个 c、 d 求出来？ c、 d 是 不是等于 四 x， 那 就等于四，乘以五分之六，那就是五分之二十四。这 c 的 长， 接下来再加上 bc 的 长，是不是等于 b 的 长？所以说 b、 d 等于 bc 加 c， d 等于六，加五分之二十四，等于五分之五十四。所以这是第一问，水平距离是五分之五十四。 我们再来看这个第二问啊，这个第二问，让你求这个松数 e、 f 的 高度， 松树 e、 f 高度怎么求呢？咱是不是能把这个 e、 d 求出来？ e、 d 是 不是就直接是三 x 呀？是不是就是五分之十八？现在 e、 d 知道了，我们是不是只需要再把这个 f d 求出来就对了？用 f d 减去 e d 是 不是减 f？ 那 f d 怎么求呢？前面是不是给你说了，这个如果中心 ab 高十米，又告诉你了，这个俯角是不是 这能成一个直角三角形，然后把这一段假如这个是 m 吧，把 am 的 长求出来，是不是就能把 f d 求出来？ 那这个 a m 怎么求呢？看他给的辅角是二十二点五，二十二点六二度，辅角呢，就是水平距离 和向下看的这么一个加角，这个角是二十二点六二度，然后这两个线呢，肯定是平行的关系，所以说那错角相等，这个角也算二点六二，那我们知道 m f 的 长对不对？现在只需要把 a m 的 长就求出来就可以了， 那 am 怎么求呢？在题目里边也告诉你们，它的二十二点六二是十二分之五，它的二十二点六二，这它的这个角是不是就等于 am 比 m f 呀？这个时候我们是不是可以把 am 求出来了？ 那就直接是 a， 因为它的二十二点六二度等于约等于啊， 是不是等于 am 比上 m f 呀？ m f 是 多少？ m f 前面告诉你是五分之五十四，那就直接替换等于 am 比上五分之五十四， 这个时候我们就可以把 am 做出来， am 算出来应该是 二分之九五。现在我们把 am 求出来呢，这个 f d 就 不能求了， f d 求出来了，是不是就能把这个 f e 求出来？所以说 f e 是 不是就等于 ab 减去 am， 这个时候咱是不是把这个 f d 求出来？ f d 求出来之后，再减掉一个 e d 的 长 数，就等于 f 一 的差，现在只需要把数带进去就可以了。就等于 ab 是 十，减去 am 是 二分之九，减去 e d 是 五分之十八，最后 算出来是十分之十九米。好，这个是我们的第二个答案，是十分之十九米。 继续来看这个第二十一题。第一问，求定点 d 的 坐标，我们来看这个 d 呢？是怎么着？屏幕给的是直线 l 考虑过程，那我们是不是要通过这个弧线 l 它的减去，我们看这个 k， l 是 y 的 四加二减 k， 这有个 k， 这有个 k， 那 我们和它一起啊，是不是 k x 减 k 加二， 这个时候我们是不是可以提供音势把这个 k 取出来？ k 等于 x 减一加二，现在是不是 k 只有一个了？原来有两个变成一个， 而且当 x 等于一的时候，是不是这个地方就等于零了？那 k 是 不是就直接被消掉了，就成一个二？所以说他是不是肯定过一二，这个点 是不是过一二？这个点跟 k 没有任何关系。好，这个是我们第一问，那我们再看第二问， 直线 l 和 ab 有 交点，直线 l 和 ab 有 交点，那我们看 ab 两个点的坐标是不是给你了？那么是不是直接把这个 a 点和 b 点的坐标带到这个直线 l 里边就可以了？是不是能把这个 k 求出来？求出来这两个 k 一 大一小，是不是就是他们的？就是这个 k 的 起飞范围？ 直接带进去就可以了。带 a 的 话，那就是二， k 加二减 k 等于五，最后 k 等于三， 然后如果要过 b 点，过 b 点呢？那就是四， k 加二减 k 等于一，最后 k 等于负的三分之一，所以呢，如果想要让这个直线 l 始终和 ab 有 交点，那就让他满足 k 在 这个区间就可以了， k 大于负三分之一，小于三这个范围就可以了。并且呢，题目也告诉你了， k 不 等于零，这个一定要加上 加个且啊，看第三问，如果直线 l 和线段 a， b 所在的直线角域点 c， c 的 横轴标为 m， 用含 k 的 代数来表示 m， 并且求出当 m 是 正整数的时候，整数 k 的 所有的值，这个时候呢，啊， 跟你说的是直线 l 和线段 ab 所在直线交一点 c， 是 不是就可以把这个线段 ab 所在直线的解析式求出来？直接用待定系数法，那就是设 ab 的 所在直线的解析式， y 等于 k， x 加 b， 再把 ab 两个点带进去， 就有这个二， k 加 b 等于五四， k 加 b 等于一， 然后解这个二元一次方程就可以了。二元一次方程组，最后解出来 k 呢，就等于负二， b 就 等于九，所以说 ab 的 解析式就是 y 等于负二， x 加九，然后直接让这两个式子相等，是不是就是交点 c 啊， 这样他俩相等，求出来一个 x， 是 不是这个角点 c 的 值，角点 c 的 横坐标啊，角点 c 的 横坐标，也就是说这个 m 的 值，所以说 我们就可以直接带，当 x 等于 m 的 时候，两个数字都相等，那就是负二， m 加九等于 k， m 加二减 k， 对 吧？这个没问题，现在我们再 用 k 来表示 m， 就是 单独的把 m 提出来，让 m 等于什么 k 就 可以了。 两边儿这个离象在和平同一象七处化为一，能得出这个 m 就 等于 k 加七，除以 k 加二，它 到这是不是就能表示用 k 来表示 m 了？然后并且求出当 m 是 正整数的时候，测出所有的值。那怎么样才能知道这个 m 当 k 等于啥的时候， m 是 正整数呢？通过这个式子是不是不得看呀？我们是不是只需要让它这个 只存在一个分母含 k 的 式子就可以了？我们这么一化减是不是可以变成 k 加二加五啊？分子分母还是 k 加二，是不是这个地方能消成一？呃， 这边是不是就消了就成一个一了？然后这边还是一个 k 加二分之五，所以说只需要让这个 k 加二和五乘倍数关系就可以了，对吧？ 也就是说让这个五是 k 加二，让这个五成为 k 加二的倍数，我们可以得到这个 k 加二的。 k 加二的值可以是 可以等于五，还可以等于什么？是不还可以等于一啊？然后减这两个 k 就 可以了，一个是负一， 然后这个 k 呢？等于的是三，所以说 k 的 值就是负一和三，这个是我们的第三了。

哈喽大家，我是你们的西西老师，上期视频我们学习了初接三角函数的巧记小口诀，这期视频带大家揭晓锐角三角函数的底层逻辑。 那么很多同学会问，为什么不讲钝角三角函数呢？钝角以及其他的角度马上会在高一与大家见面，所以我们初中只学到锐角三角函数，那么我们开始吧。 回归课本，我们看到书本上对三角函数的定义。以角 a 的 正弦为例，在 r d 三角形 a， b， c 中，角 c 等于九十度，我们把对角 a 的 对边与斜边的比叫做角 a 的 正弦记作 side a。 那 么我们要求一个锐角的正弦值，是不是必须要把这个锐角放在直角三角形中，再用对边与斜边的比去求出它的正弦值呢？也就意味着 我们首先要去构造一个含有锐角 a 的 直角三角形。那么我们知道三角形的内角和为一百八，有一个角为锐角 a 的 度数就必须有一个角等于九十度。那么这样的三角形能构造出几个呢？ 对了，当两角确定的时候，三角形的形状是不是就是唯一且确定的，只能改变大小，不能变形？那么哪怕这样的三角形，我们可以画出无数个，这些三角形的关系都是什么呀？是不是都是相似的呀？那么以其中一种类型为例，我们在这个绿边的两段标上 df， 那很多同学都发现了，这个是不是我们相似里面的 a 字模型啊？那根据相似，我们知道对应边乘比例，我们是不是可以列出 d f 比 bc， 它会等于 a， d 比去 ab 呢？这个是由我们相似里面可以得到的，对不对？那根据相似的这个等式，我们是不是可以交叉生成得到 d f 乘 ab， 它会等于 bc 乘 ab？ 好， 我们这里的 ab 除到左边， ab 除到右边，我们是不是可以列出一个式子，是什么呀？ d f 比 ab， 它是不是就会等于我们这里的 b、 c 比 ab 呢？而这个两组数据是不是都是我们角 a 的 对边与斜边的比值啊？也就是我们所说的萨因 a。 那 么根据我们相似的比例关系推导，我们是不是都可以推出角 a 的 对边与斜边的比值是相等的，也就是唯一的呢？点锐角三角函数值与锐角 a 的 度数有关，与角 a 的 位置无关。 因为我们要求的是将这个锐角放在直角三角形中的时候，角 a 的 对边与斜边的比值。 我们看到下面这道例题，如图 r、 t 三角形 abc 中角 a、 c、 b 等于九十度，在图上给它标上 d 垂直 ab 与点 d， 则 sine a 等于什么？角 a， 它存在于两个直角三角形中，一个是直角三角形 a、 c、 d。 根据我们所说， sine 等于对面的鞋子，等于角 a 的 对边与斜边的比值。在三角形 a、 c、 d 中，是不是就是我们的 cd b 去 a、 c 呢？那他同样也是我们直角三角形 a、 b、 c 中的一个锐角，而我们直角三角形 a、 b、 c 中角 a 的 对边是什么呀？对了，他是不是我们的 b、 c 斜边是谁啊？是不是 ab？ 那 角 a 的 上移值只有这两种？我们都写完了，那我们再继续往下看看，有没有与角 a 相等的角呢？它的上移值是不是与角 a 会相同呢？那我们看到这里角 a 与我们的角 a、 c、 d 是 不是互余啊？角 a 加角 a、 c、 d 等于九十度，而角 a、 c、 d 加角 b、 c、 d 是 不是也等于九十度啊？ 那么同角的与角角 a 和角 b、 c、 d 是 不是就会相等呢？那么我们是不是可以把上影 a 转化到上影的角 b、 c、 d 呢？那我们再看到 b、 c、 d 的 上影值等于什么呀？ b、 c、 d 它是不是在三角形 b、 c、 d 中，它的对边是 b、 d， 斜边是 bc？ 所以 这张图中表示赛引 a 的 是不是有这三组的比例关系都可以呢？那我们再看到选项中第一个 bc 比 ac 可以 吗？ 对了，不行，我们 bc 应该要比去 ab 对 不对？所以 a 选项给它排除掉，那 b 选项等于 ac 比 ab， 这个有在这三个里面吗？没有对不对？也给它排除掉。 c 选项等于 a， d 比 a、 c， 同样也没有排除 d 选项等于 b， d 比 bc 是 不是等于我们的这个最后一个比值呢？对了，所以这道题的正确答案选择 b， 你 听懂了吗？跟着西西老师学，越学越爱越自觉！