镇江2024中考数学三角函数题

朋友们大家好，今天我们来看下面这道题，他说 r、 t 三角形 abc 中， ab 等于三， bc 等于四，将三角形 abc 绕点 b 旋转，得到三角形 dbe， 并且点 a 落在 dbe 边上，求三角 abe， 也就是求中间这个小角的一个正弦值。 那怎么来求呢？我们来看一下已知条件，条件当中呢，基本上就只有这么一个旋转的问题，那旋转就是两个三角形全等，那我们看角度，那这个角 a、 c、 b 必然就等于我们的角 a、 e、 b 还因为旋转的关系，而它们两个相等，能得到什么有用的东西呢？我们发现它们都对着 a、 b， 这也就说明 a、 b、 c、 e 四点共圆。既然四点共圆以后，我们发现这个角 a、 c、 e， 他呢就可以等于我们的角 a、 b、 e， 也就是说我们求这个角 a、 c、 e 的 正弦值也是一样的。那还是通过刚才的四点共圆， 我们能够知道，这个角 a、 b、 c 加上角 a、 e、 c， 它应该是等于一百八十度，而角 a、 b、 c， 它呢等于九十度，所以这个角它就是一个直角，也就是角 a、 e、 c 等于九十度，那说明 这个角 a、 c、 e， 它刚好就在一个直角三角形当中，我们求它的正弦值，它正好就等于。我们写一下吧，哎，其实现在我们的这个角 a、 b、 e 的 正弦值就等于 a、 c、 e 的 正弦值，现在就是等于 a、 e 比上 a、 c 的 a、 e 的 值，我们现在不知道，但是 a、 c 很好求，因为它是三四为直角边的一条斜边，所以它呢就是五， 我们只需要把 a、 e 给求出来就可以了。我们又发现呢， a、 e， 它呢在 d、 e 上，我们可以把 a、 d 求出来，然后用 d e 一 减掉 a、 d 就 可以了。那怎么来求 a、 d 呢？ 考虑到那 b、 d 它呢等于 ab 是 等于三的，这是个等腰三角形，所以我们只需要过 b 点做一个 a、 d 它的垂线，把这个三线合一给做出来，就可以解决问题了， 我们只需要求出来他的一半 dm 就 可以了，那 dm 又怎么来求呢？我们可以用这个角的余弦值，他的余弦值那就是五分之三， 那五分之三他应该等于多少呢？这个五分之三他不就等于我们的 dm 比上 b d 吗？也就是比上三，这样我们就能够得到 dm， 他 呢就是五分之九， dm 是 五分之九，那么 ad 就 会是五分之十八， ad 是 五分之十八。 d e 等于五，那我们就能够找到 a、 e 的 值，它呢是五分之七。所以呢，我们所要求的那个 a、 b、 e 的 正弦值，现在呢就很容易求了，它就是五分之七，比上五，那就是二十五分之七。

下雨时，雨往往是斜打的，且都是平行的。某雨天，小明站在如图所示的一把伞的正下方， a、 e 和地面垂直，也就说这里是垂直的伞骨 ab 等于 ac， 这两个相等 伞的直径 b、 c 等于一百， bc 是 一百。假如说焦点是点 o， 那 么 o e 就 应该是五十。伞的边缘 b 到地面的距离 b f 是 六十，这里是一百六十 与线 b g 与地面形成的夹角，这个角度是七十度。此时小明身上被淋湿，那么将伞向下拼多少距离，才能使得身上不被淋湿？那么 小明身上被淋湿的位置应该是从 h 到 d 这个距离 h d， 也就是说你应该往伞把伞往下 移动， h d 这个长度就不会被淋湿，因为点 h 就 会那个雨， h 那 个地方就会淋到 d 那 个位置。所以这个题就是让我去求 h d 的 长度是多少，那么这个题考我三角函数是吧？ 给我七十度的三角函数值了，来我们分析一下啊，告诉了我这个长度是一百六十，那我就能求 f g， 能求 f g 一 百六十是七十度的对边， f g 是 七十度，这个这样三角形的七十度，这个角的邻边，所以我一个 摊正它，摊正它七十度，我就能够求出来它是一百六，比上 f g 是 吧？摊正的七十，我知道是二点七五，所以我就能求出来 f g f g 我 求完之后，我再减掉五十， f d 是 五十，因为这是一个矩形，把这个五十减掉，我就能够求出来 d g 的 长度。 在这个小的 h d j 这个直角三角形当中，再来一个贪婪的七十，就能把 hd 求出来。再来一个 贪婪的七十度，就等于要求的 hd 比上我的 d j， d j 是 刚才求过的，是吧？你自己能解出来，然后再来等于二点七五，所以我的 hd 就 出来了。

我们一起来看一下这一道九年级下册的数学题。在三角形 a、 b、 c 中，若 tan a 减根号三的平方加 tan b 减二分之一的绝对值等于零，求角 c 的 度数。 这道题考察的知识点是由三角函数值求特殊角度好。首先呢，我们知道一个数的平方 是大于等于零的，而 sine b 减二分之一也是大于等于零的，这是平方和绝对值的非负性， 那由于它们两个都大于等于零，而它们两个相加等于零，那就是说它们两个都等于零。所以我们就可以解这道题。解由 t e 的 t m a 减根号三，它是等于零的， 而 sine b 减二分之一也等于零的，所以 tan a 就 等于根号三， sine b 就 等于二分之一，所以角 a 就 等于六十度，角 b 就 等于三十度，所以 角 c 就 等于一百八十度。减角 a 减角 b 就 等于一百八十度。减六十度，减三十度就等于九十度。这就是这道题的答题思路。 首先这一道题他一个解析的关键就是平方和绝对值的恢复性，然后再根据它们都等于零而求出角 a 和角 b 的 度数。这道题就讲到这里，大家听明白了吗？关注小朱老师，我们下期再见！

这个出题人在出题的时候啊，应该尽量的避免这个题目产生一些歧义啊。我们以这道题为例来解释一下，题目本身很简单，我们就不讲题了，他说有个三角形，其中呢角 c 是 等于九十度的， 然后呢，他说当角 a 是 最小的内角时，那这句话呢，就会引起一些歧义。什么意思啊？那三角形里面有一个角是九十度了，那角 a 呢？又是最小的角，那么很显然，这个角 a 必须得大于零度嘛， 那因为它是最小的角，所以它一定要小于四十五度。这个奇异产生在哪里呢？就产生在这个地方能不能等于四十五度？因为如果角 a 是 等于四十五度的话，那很显然这时候角 a 它是等于角 b 是 等于四十五度的。 也就是说，在这种情况下，这个角 a 啊，还叫不叫这个三角形里面最小的？那角， 那这时候就会产生歧义了，不同的人有不同的理解了，对吧？那有一种理解说，只要没有比我小的，那我就叫最小的， 对吧？比方说现在这种情况，这个三角形里面还有没有比角 a 更小的角啊？很显然是没有了，那他说那角 a 就是 最小的角了吧。但是另外一部分意见是说，那我既然是最小的，那你就要突出这个最字，那这个最就代表唯一性，对吧？你是最小的，那就不能 有跟你一样的。你既然是最，就不应该是唯一的吗？那这个时候你角 a 和角 b 是 相等，都等于四十五度，这个角 a 还能不能叫最小的呢？那你说你是最小，但是角 b 也是最小的呀，你就不能叫最小的最，是不是含有唯一性啊？那这个时候呢，就会产生一些歧义了吗？那所以这个题目啊， 在出题的时候，尽可能的避免让不同的人有不同的理解，产生歧义。那 在课堂上，同学们，学生问我，对吧？说老师，那这道题到底应该怎么理解？这里到底能不能有等于号？那我回答孩子们的呢，就是你只能去揣测出题人的意图，就是出题人希不希望你有这个等于号。 那当然，这个时候你去揣测的时候又还是一样的，有不同的意见嘛，对吧？我觉得出题人希望有等于号。另外一个不是说我觉得出题人不希望有等于号，对吧？所以尽量的应该避免这种。当然这个避免其实很简单的嘛，我只需要把这个条件改成什么呀？ 把这句话我改成角 a， 小 于角 b， 那 很显然就没有等于号了，对吧？那这个地方角 a 就是 小于四十五度了。

好看，十五题啊，这个题不是啥难题，但是就是想提醒咱们，应该用最准确的那个数据啊，最直接的那个数据， 嗯，看已知条件给的是这个 a c， 相当于这直角三角形，咱们有斜边，斜边五百，嗯，角度，这角度十八度，还有啊，这还有一个三角函数，这十八度的相应的三角函数都给咱们了。 嗯，问的是垂直高度 ab， 那 相当于已知斜边，求这个角的对边，那咱们找最直接的那个三角形的关系，那应该是对边和斜边的关系，这对比斜应该用的是正弦，用的是三十八度 啊，三十八度，这是最直接的，因为是对和弦之间的，对和弦之间的这个关系啊， 那咱们用三十八度对应的 ab 比 ac， 就是 ab 比上五百等于零点三零九，这样求出 ab 是 五百乘以零点三零九， 约等于一百五十四点五啊，那咱们不要用这些间接的数据啊，像这个，比如说用这个 cosine， 用零比斜，这样求出零点 说，再用勾股定律说，再求这个，呃，对边，那这样就不对了，这数据就不准确了，因为它都是约等的啊，它都是约等啊，你，你间接的话，那步骤一增多，相当于误差就会变大， 所以咱们就用约等的数，用最直接的，咱们算一次就出结果，这个相应的要更准确一些啊。

拿下三角函数必须得搞定他的四大性质，那么今天我们来讲非常关键的，很多同学特别爱踩坑的性质叫做基数性的问题。 你们都知道三 x， 什么函数？奇函数？ cos 也是偶函数，但是考试不这么考，你考试考啥呢？考试考我写下来啊，来换个颜色。第一个为等于三 x， 哎，我们都知道它是奇函数， 回答我， y 等于 a 倍的三 omega x。 什么函数？积函数吗？积函数吧，它是积的，因为这个跟上下伸缩有关吗？对，这个跟左右伸缩有关。可是你不管怎么伸， 取零的时候它永远是零吗？是的，你现在上下伸，左右伸，是不永远关于它对圈的，对，对吧？你左右伸这个点不变吗？你伸吧，你上下伸吧，是不永远都是积函数啊，对吧？它是一个积函数，来了，考啥？ 第三个 y 等于 a 倍的三 omega x 加 y 来，它是奇函数还是偶函数？自己说。嗯，确定吗？ 不一定。为什么不一定，因为有个 f 呀呀，很聪明，因为 f 在 影响你在这考试。考啥人就考你，它什么时候为奇函数，什么时候为偶函数，你告诉我它啥时候为奇函数。保持本性？ sign 的 本性就是 g 嘛，是吧，底层里面的基因是 c， 是 sign， 怎么让它是 sign 呢？怎么让它保持本性是 g 函数呢？二取零啊，倒是可以的，还有呢， 鸡变，偶变。哎，这里考察的题是诱导公式，你只要把它能踢出去，然后踢完之后还是三，你就可以了。就变成这种形式吗？是不是？是啊，那他凭啥被踢出去啊？就是我们学的诱导公式呗。诱导公式说否得是什么 否？踢出去名称不变，鸡变偶不变，它得是个二分之偶数倍的派，是吧？ 你如果是二分之偶数倍的拍，踢出去是偶不变吗？对，踢完就没有他了，就像他了，是不是？是偶数倍的拍就是二 k 乘以拍拍 k 是 z 的 意思，是不是对干没干，没干没剩谁了？ k 拍 考试不用这么写，直接写它，你要很熟悉它，只要是 k 派，踢出去名称不变吗？不就回到它了吗？能理解不能理解，所以你要对既变偶不变是什么要很熟悉的啊。好，那怎么变成偶呢？ 把它踢出去是不得变名称呀？变成 a 倍的 cosine， omega， x 是 不是就是偶函数了？对，那它怎么变呢？二分之 k 派，鸡变得是变的是吧？鸡指的是 派，前面的系数是基数，叫做二 k 加一派。这听不懂，就是诱导公式有问题啊，赶紧去搞一下诱导公式。二分之基数倍的派，踢出去三也变成 cosine， 是 不是变 o 了？ ok， 那 这搞一下是什么？ 嗯嗯， k 派加上二分之派。对了，咱考试的时候一下就说出来，保持本性是 k 派变成 o， 这不三吗？变成那个 o， 对 吧？这变成 o 函数变成 cos， 有 关的就是 k 派加二分之派，会了没？会了会了。确定啊？第四个，跟我说一下， y 等于 a 倍的 cos， 欧米伽 x 加费来， 直接说什么时候保持本性？偶函数偶函数的话，踢出去之后名称不发生改变，偶不变， k 派，偶不便是不？这个是的，发现 f 等于谁 k 派，那如果是奇函数呢？基变 基变是不得是变的是基数倍的派，它是应该是 k 派加二分之派，所以我们总结一下，对于这里加 f 的， 如果踢出去之后，保证他保持原来的撒引的底层的那个鸡的性质，保持本性，发现都是谁偶踢出去保持原本的性质，都是开拍， 发现没有使得他踢出去之后，撒引变成本来的底层是鸡吗？相当于偶变成别人加个二分之拍。 本来你是藕嘛，对不对？ cosine 是 跟藕有关的嘛？你踢出去之后，我希望你能够变成什么性质，跟鸡有关的是不是？是价格二分之拍？明白了没有？明白了，所以总结为，保持本性啊，踢出去得把握底层的基因，是基的是开拍。 然后呢？如果变成别人就是 k 派加二分之派，能理解啊。可以，关键是做题怎么做？通过两道例题来给大家讲透彻好不好？好好，来看我们基有性的经典考法。第一道题目，他说这个函数是一个什么函数？偶函数作 f 等于多少？ five 啊，怎么可跟偶函数有关呢？主要它的旧性受谁的影响。自己说说 five five 是 谁呢？是不是？这个 five 是 不是让它等于变成别人？是不等于 k 派加二分之派，是不是的， 是不是？是啊，是个毛线，此派非彼派。二分之派 是不是？嗯， f x 标准的 a 倍的三 omega s f f 指的是加号后面这一大坨，它叫三分之一 x 加三分之 f 第一步就掉坑里去了， 是不是啊？这才是我们刚刚推导出那一大坨。那个什么否，明白了没有？明白了，简单题，会做才叫你真的会。所以呢，开始令什么三分之否等于谁？ k 派加二分之派变成别人 k 派加二分之派会了没？会了，所以否等于三 k 派加上一个二分之三派？二分之二派的？嗯， k 是 零， k 取零行不行？ k 取零可以啊可以吧。哎，对了，当 k 等于零的时候， f 等于二分之三派，你再取取看有没有别人。人家给了你一个范围吗？是吧，选的是 c。 过了啊，过了细节 下一个函数图像往右平移几个单位换一个单位。我给你移一下行不行？咱先把图像移完哈。好，移完了，图像是 f。 x 等于三， 一的是谁？一的是纯纯的 x， 不是 给二 x 加，是给 x 加啊。左右又是啥？左加右减没问题吧。加个四分之拍 整理一下啊。整理可不，整理也行，先放这来。关于外周啥意思？外周不说人话。对呀，关于外周对称，它就是偶函数的意思，它是偶函数，跟谁有关否？是谁告诉我。 二 x 整理完之后后面加的那一大坨是不是是另谁自己说 five 是 谁？ five 是 二，我一步步写你都看不出来。四分之派减二 five 负的二 five 是 不是重进来？对，加上一个四分之派，是不是 这大坨叫 five 让它本来是 five。 底层基因是基的变成别人的丢占鹊巢的感觉是不是来变成什么 k 派加二分之派，这不就会了吗？会了没？会了，来解一下吧，我在底下带你拿白色粉笔解一下。所以说多少 负二派等于 k 派四分之二，四分之一加上一个四分之派，所以说 f 等于负二分之 k 派加上它除以负二是多少？ 除以负二是负的八分之派吗？那跟上啊，负的八分之派，这是 f 的 所有取值。是的，然后人提让你求 f 的 最小正值。怎么求？那就 k 取个负一， k 能取正值不？ k 如果取正的，这搞的出来全是负值。对，是不是负的？搞负的全是负的嘛。然而你求正值， k 肯定是啥，什么零的 k 肯定取小于零的，取零肯定也不行嘛。取小于零的 k 先取负一行不行？ 当 k 等于负一的时候，外值等于多少？取负一，二分之派减八分之派，八分之四减八分之一，八分之三派来，那 k 能不能取负二呢？ k 取负二的话是是不是变成什么了？八分之七派，那 k 能不能取负三呢？ 越去你发现费的值越来越大了。我要的是最小正值，所以是八分之三。排会了没有？会了。嗯，这就是跟奇偶性有关的入门级的考点了，但是我们在考试中一般怎么考的？ 单调，奇偶，周期对称，四个性质全考。你综合多选题，是不是？这才是你真正拉开差距的时候？咱很多同学都选题漏选了，多选了，少选了， 本质上是你每一个小点掌握的不到位，是不是？是啊，所以包括本质上也是大家训练的不到位就综合系统训练的不到位，是不是？是啊，所以呢，胡老师把整个高大考以来包括所有的模拟题当中性质的综合全给大家梳理出来了， 你把这些题目干完，你的整个性质综合的能力就起来了好不好？好，如果你想训练，你也不知道找什么样的题目，郭老师全给你配好了，你可以跟我留，性质综合我都给安排给你拿走打印直接去用好不好？好好，我们下课。

高中数学最难的三角函数十一大题型全部吃透！逆袭班级前三题型一，图像问题题型二，单调性问题 题型三，对称轴与对称中心问题题型四，值域问题 提醒五，最直问题提醒六，凑脚求直问题完整版分享！

应粉丝要求，今天出一期三角函数，哈喽，朋友们大家好，今天给大家带来的是初中的三角函数部分知识点以及两道中考试题。在正式讲解知识点以及试题之前，我们先来认识一下，在直角三角形中，我们命 这个角为角 a， 这个角为角 b， 这个角为角 c， 而对应的线段则是 abc。 我 们以角 a 为例，角 a 这个是 ab， 就是 斜边，而这个 ac 就是 角 a 的 邻边，与它相邻的这个边 bc 呢，就是角 a 的 对边和它对着这个边。好，我们接下来步入正题，我们要先认识正弦与弦和正些这三个知识点。首先正弦，我们拿角 a 来举例，正弦又叫塞，也就是说塞 a， 它等于对边比斜边，也就是我们这道我们这道题中的 a 比 c， 而鱼弦口塞 a 就是 邻边比斜边，也就是我们这道题中的 b 比 c， 而正切就是弹进的 a， 它是对边比邻边，也就是我们这道题中的 a 比 b。 这个呢就是需要大家背下来。然后我我建议呢，大家是背右边的这个 文字，并不是背字母，因为我们在不同三角形中会看到不同的字母。然后就是我们还有一个重要的知识点，就是特殊角三角函数值，这个非常重要，我们以这个为例，我们就假如说这个角是角 a， 三十度，四十五度、六十度，我们所对应的 size 值、口 size 值和谈价值都在这里，这个需要大家背一下。 大家可能还记得我们之前所学过三十度角、九十度角、六十度角，它的一个比例关系，三十度就是一比二比根号三， 然后还有就是一个四十五度角，四十五度和四十五度还有九十度，一比一比根号二。然后呢，就是一个小支点，就是若角 a 加角 b 等于九十度，则算 a 等于口算 b 或算 b 等于口算 a。 我 们通过观察可以发现，算 a 就是 对边比斜边等于 a 比 c， 而口算 b 呢，是邻边，比斜边就是也是 a 比 c， 我 们可以发现呢， a， 它既是角 b 的 邻边，也是角 a 的 对边，所以我们才能得出这个关系式。 然后呢，就是给大家拓展的两个公式，这样公式呢，我们一般的时候是用不到的，它一般会出现在竞赛题或者是高中的题目中。我们先来读题，菱形 a， b， c， d 角 abc 等于六十度， e 是 c d 中点，则赛角 e b、 c 为 我们。首先呢，先是做辅助线延长 bc， 然后过点 e 做 e h 垂直于 bc 于点 h， 我 们先做出一个直角三角形， 因为我们这个三角函数是要在直角三角形里面才能够运用，所以我们首先就是就是要找一个方法来构造直角三角形。因为四边形 a、 d、 c、 b， 它是一个菱形，所以 bc 等于 cd， a、 d 平行于 bc。 然后呢，它这个对角角 d 还等于角 abc 等于六十度，又因为 a、 d 平行于 bc， 所以 由于两直线平行内错角相等，可以得到角 d 等于角 d， c、 h 这个角就等于六十度。 然后我们可以设设这个菱形的边为 a， 也就是说四个边都等于 a， 所以 这个由于 e 是 中点，所以我们就可以说 c e 等于二分之一 a， 又因为 e h 垂直于 b h， 所以 我们这里就是一个直角三角形， 所以 e h 等于 c， e 乘上三六十度。至于为什么是 c e 乘三六十度，我们可以啊来看一下 三六十度呢，他在这本题中等于 e h 比上 c e， 我 们要求出 e h， 所以 我们一定要在三六十的基础上乘上一个 c e， 才能将 c e 消掉，然后直取 e h。 所以呢，我们这个 e h 就 列出这个关系式，最后等于四分之根号三倍的 a， 然后呢，我们 e h 求出来了。 这道题我们要求的是 side 角 e， b， c e， b c， side 是 对比斜，所以我们现在还差一个斜边，也就是 be， 如果要求 be 的 话，我们直接求不出来，所以 be 可能需要勾股定律来解，那我们就先把 bh 求出来。此时此刻呢，我们可以先求 c h， 根据我刚才讲的， c h 就 可以用口塞六十度乘上一个 c e， 最后等于四分之一 a， 我 们刚刚将边设为 a， 所以 bc， 它也为 a， 所以 b h 就 等于 bc， 加上一个 c h 就 等于四分之五 a， 然后呢，根据勾股定律，在这个大的直角三角形中就可以看出来， b e 等于二分之根号七 a。 最后呢，我们就可以得出角 e， b， c 等于 e h 比 b e 等于呃十四分之根号二十一。 好，我们来看第二题，如图菱形 a， b， c， d 中点 o 是 b， d 的 中点， o 为 b， d 中点 am 垂直 bc， 这里是垂直 a m 交 b， d 于点 n o， m 等于八，求 m n 的 长 om 等于二，也就是说这条线的等于二， b， d 等于八， 这个长的对角线它等于八，我们最后要求的是 m n， 也就是这一个小段的长，然后呢，我们可以看到它是一个菱形，所以我们可以直接想到连接 a、 c， 就 可以构成四个直角三角形，然后呢我们根据这个菱形的性质就可以得到 o， b 等于 o， d 等于四， o， a 等于 oc。 然后我们注意观察这个三角形 a， m、 c， 它是一个直角三角形，然后点 o， 它是 a、 c 中点。根据直角三角形中斜边中线等于斜边一半，可以得出这个 o， c 等于 o， a 等于 o， m 都等于二。还知道这个 o， b 等于四， o， c 等于二， 所以 bc 我 们也可以求出来用。根据勾股定律，最后等于二倍，根号五。弹进的角 o， b， c， 也就是对比邻，就是 o， c， 比上一个 o， b 就 等于二，比四等于二分之一。 我们这个是先留着，我们一会会用到我们可以，因为为什么会用到它呢？我们注意啊，这里有一个小的直角三角形，然后这里还有一个大的直角三角形， 最后要导出的是 m、 n， 就 可以根据函数的值，最后将 m、 n 求出来，它们所对应的这个角都是角 o， b、 c， 我 在这里标注了角一在这，角二在这，角三在这，因为角一加角三等于九十度，角一加角二等于九十度，所以角二等于角三，也就是这两个角相等， 所以这两个角的塞沿值，也就是对边比斜边都相等，所以塞沿角 o， b， c 就 等于 o， c， 比上一个 bc 等于二，比上二倍，根号五，最后等于五分之根号五，所以塞沿角 a， m、 c 也等于五分之，根号五， 所以 m、 c 呢，我们就可以用塞沿角 m， a， c 乘上 a， c， 最后等于五分之根号五乘四等于四，五分之四倍的根号五。 根据这个 mc 的 五分之四倍根号五。而 bc 的 二倍根号，我们可以求出 b m， b， m 呢，就是用 bc 减 mc 最后等于五分之六倍根号五。还记得我们刚刚的弹力的值吗？角弹力的角 o， b， c 等于二分之一， 我们在这个这个小这样三角形中也可以运用这个弹力的值。也就是说弹力的角 o， b， c 等于 m， m n 比上一个 b m， 然后等于二分之一，我们将这两个，我们将 b m 的 值带进去， b， m 是 呃五分之六倍根号五。最后呢，我们就可以求出来， m， n 就 等于它的角 o， b， c 等乘上 b， m 就 等于五分之三倍根号五。所以最后我们求出 m， n 的 值为五分之三倍根号五。所以 此题选 c。

在如图二所示的侧面示意图当中，遮阳棚 ab 的 长度是三点二米与水平面的夹角，这个地方是十八 立柱， ac 的 高是二点二四米，二点二四。当太阳光线 b、 d 与地面的形成的夹角是六十七度的时候，求此时 c、 d 的 长，也就是说让我求这个长度， 那么我们先把题目给到的十八度和六十七度放在直角三角形当中，也就是说我们先去做一个垂线，假如说这里是 e， 然后再过点 a 做 b e 的 垂线，这里是 f， 那 就会出现直角三角形，那么要求 c、 d， 要求 cd。 我 们从十八度的这个三角形开始去入手，我们通过口算十八度能够知道邻边 ac 的 长度能求出来，是吧？斜边知道能够把 af 这个邻边给他求出来， af 知道了，其实我的 c、 e， 我 就知道了。 c e 知道你要去求 cd， 其实也就是说你要去求 ed， 你 要去求 ed 的 话，你得知道 b e 或者知道 b、 d， 你 才能求出来这个六十七度的邻边 e、 d 是 多少。那么怎么求呢？来我们求 b e 啊，求这个长度，怎么求 b e 呢？这么求通过十八度的这个直角三角形，三十八度能够把 b、 f 给它求出来， 是吧？ b f 求出来之后，加上二点二四，这个二点二四，然后加到这边来，是不就能知道 b e 了？然后再在 六十七度的这个三角形当中，要知道了，六十七度的对边要求的是六十七度的邻边，所以摊着它六十七能够把 e、 d 求出来，然后用 af， 也就是说用 ec 整个的 ec 啊，减去我的 e、 d， 就 能够得到我想要的 c、 d， 是 不就可以了？

现在来看一道几何求值的题目，这道题呢，如果是用高中的知识，他很容易就求出来了，放到初中呢，就要稍微麻烦一些已知。交 b 等于四十五度，交 bca 等于三十度， c、 d 是 交 bca 的 角平分线 b、 d 等于四， 求 cd 和 i、 c 的 值。遇到四十五度，我们就想到做垂线，三十度的一半呢，又是十五度，我们想到做垂直平分线， 我们过 d 做 bc 的 垂线，交于 e 做 cd 的 垂直平分线，交 bc 于 f， 连接 d、 f， 因为它是它的垂直平分线，就可以得到 d、 f 等于 c， f 呢，也是等于三十度的，这样我们就可以得到 d， e 等于 b， f 等于 b， d 乘以三十四分之五度，也就是二倍根号二。 d、 f 呢等于 c、 f， 它们是 d、 e 除以三十度，也就等于四倍根号二。 e、 f 等于 d， f 乘以 cosine 三十度， 也就被二倍根号六。这样我们就可以求得 c、 e 等于 e、 f 加上 c、 f， 也就四倍根号二，加上二倍根号六。 由于 d、 f、 c， 它是一个直角三角形啊。 c、 d 的 平方就等于 d、 f 平方，加上 c、 e 的 平方，那我们就可以求得 c、 d。 化简一下，就可以得到 c、 d 的 值是四，加上四倍根号三。我们再来求 i、 c 的 值呢，我们可以利用一相似三角形的方式来求，因为角 a、 b、 c 等于角 d， b、 f 等于四十五度，角 b、 c、 a 呢等于角 b、 f、 d 等于三十度。所以三角形 d、 b、 f 和三角形 a、 b、 c 是 相似三角形， 那我们就可以得到 d、 f 比上 i、 c 等于 b， f 比上 bc， 我 们又分别又可以求得呢？ b、 f 等于二倍根号二，加上二倍根号六， bc 呢？等于根号三，乘以二倍根号二加上根号六，这个比值就是一比根号三的，这样我们就可以求得 i c 等于 根号三倍的 d f， 最终求得 i c 等于四倍根号六。

欢迎来到清风课堂，下面我们来看一道学生问的关于圆的一个中考题，据说这个题是二零二四年武汉中考正题，不知道是不是真的啊？我们来看题，如图，四边形 a、 b、 c、 d 内接于圆 o， 但这个圆心我们不知道在哪里，他说角 abc， 这个角等于多少度？等于六十度，然后是他是什么角 bac 啊？这个角等于角 cad 等于四十五度。 四十五度，那也就说这个角 dab 等于多少度？角 dab 它是不是等于九十度啊？同时你看这个四边形 a、 b、 c、 d， 它是内接于这个圆 o 啊，那也就是说角 d、 a、 b 加角 d、 c、 b， 它是不是等于一百八十度？那怎么样？那这个角 d、 c、 b 是 不是也等于九十度啊？这两个角其实说法就是互补，对吧？等于角 b、 c、 d 啊，对不对？那然后我们再看一下圆，你看有个怎么样连接这个 b、 d 啊， 那怎么样？这个圆周角等于九十度，它对应的弦它就是直径，是不是？那所以怎么样？这个 b、 d 就是 直径， 他问的什么？问的要求半径，说白了就是求这个直径长。另外他告诉我们使用条件呢，他说 ab 加 ad， 就 这条边加这条边等于多少？等于二，求圆的半径，实际上就求 b、 d 的 长度，对吧？ 那这个题啊，怎么样？然后你看这，你看这个 c、 d， 这个弦啊， 这个弦对应着两个圆柱角是不是相等啊？对吧？所以怎么样呢？所以角 c、 b、 d 等于角 d， a、 c 等于四十五度，是不是四十五度？ 那然后我们再看这个，因为这个大的角等于多少？等于六十度啊？是不是又因为角 abc 等于六十度，所以怎么样呢？所以这个小角 d、 b 啊，这个角，所以角 a、 b、 d 就 等于什么六十度减四十五度 等于多少度啊？等于十五度，然后我们再来观察一下啊，这个 a、 d 边加 a、 b 边等于二，同时这个三角形的怎么样？三个内角我们也知道了一个十五度，那这里肯定就等于七十五度呗， 你看两就是两条直角边的和为定值，再然后知道这个三角形，直角三角形的三个角的，嗯，具体值，说白了，这个三角形啊， d、 a、 b 已经是一个确定的三角形啊。 r、 t 三角形 d、 a、 b， 它是一个确定的三角形啊， 那就是我们通过怎么样通过直角边和这个十五度的正弦值，我们就能求出这个 b、 d 的 长。也就是说这个题的考点啊，我认为考点什么？考点就是让学生求什么？求这个三引十五度， 当然有些学生技术比较好的，他怎么样？他学高中的三角函数的，嗯，加减他可以直接求出来，当然对绝招的学生他们没有学过。那怎么样，我们怎么去求三十五度啊？比如说来，我们，我们来画一个直角三角形啊， 也就是这个题的考点啊， 好，这个角等于十五度。 比如说我们不往这个标标一个 d、 a、 b 啊，当然这个三角形啊，和这个圆的三角形的边，它不一对应的啊，我们只是用了一个求这个三十五的值，我们要画一个类似的字母而已啊，比如说我做一个什么角呢？做一个角，嗯， 比如这个标个 e 点啊，做个角 d、 e、 a 等于多少度？等于三十度，那这个十五度，那这个角是不是十五度， 对不对？那比如说我们不妨设 a、 d 边等于一，那这个 a、 e 边等于多少？这就是六十度。通过三角形的，还三角形的，这个是不是等于根号三？设啊？ a、 d 等于一，那么怎么样？ a、 e 就 等于几啊？是不是等于根号三， 怎么样呢？ d 一 边就等于多少，是不是等于二？同时你看这个十五度，这个十五度，它等不等于什么？一、 b 边对不对？那因此怎么样？我们这样子求一下这个 b、 d 边的长度就可以了。所以什么呀？这个 b、 d 边的平方就等于多少呢？ 就等于 a、 d 边平方加上 a、 b 边的平方，是吧？那这个是一的平方加上一个，你看 a、 b 边等于多少？是不等于二？二加根三啊？二加 根三的平方，对不对？那等于几呢？那一加上四加四倍的根三加三就等于多少？等于八加四倍的根三，对不对？那所以这个 b、 d 边就等于多少？ 你看这里提个四出来啊，就是根三加二，那就等于二倍的根号， 根三加二，那这个时候根号里面带根号，那这个是不可以的，那我们说明这个是他要化减，化减的话我们怎么来化减啊？ b、 d 边等于根号， 等于二倍的根号，根三加二，我们扩大两倍啊，分子分同时扩大两倍，那就是二倍的根号，二倍的根三 加二，除以根号二，对吧？那那个二除以根号，那就等于根号二啊，里面啊里面你看二倍的根三 加四，对不对？你看四，我们拆成什么？拆成三加一，那是不是可以根据完全平方式啊？那就等于什么呢？根号二倍的根号 根三加一，括号的平方再加根号，对不对？那等于什么呢？等于根号二倍的根号三加一，是不是就等于这么多， 对吧？那也就说怎么样？也就是说 b、 d 就 等于什么？根号二倍的啊？ 根三加一倍的多少？ a、 d 边，是不是？实际上我们就把这个 a、 d 边求出来就可以了？然后我们再根据这个三角形啊， 因为 a、 d 加 a、 b 等于二，同时你看怎么样？这个 a、 b 等于多少？ a、 b 边是不是就等于什么？二加根三倍 a、 d 啊？对不对？我把这个带里面去呗。 所以这个 a、 d 边就等于多少？它是不是就得二除以三加根号三， 是不是等于这么多？那所以怎么样呢？所以你看这个 b、 d 边啊，这个 b、 d 边，它又等于什么？根号二， 根号二乘以根号三加一倍的 a、 d 边等于这么多，乘以二，根号三加三， 是不是？你看这个尺子可以可以提根号三出来，它等于什么？二倍的二倍的根号二乘以根三加一分母，就提根号三出来啊，就是根号三倍的一加根三， 那这个是不是约掉了，对吧？那实际上这个是等于多少？是不是三分之二倍的根号六啊？ 那你说这个直径 b、 d 等于三分之二倍根号六，那它半径就等于多少，是不是三分之根号六啊？ 所以这个题它的考点啊，它就是就求这个三十五度角，因为这个什么这个求法，这个数学书上它是一个扩展拓展题啊， 所以这个题的如果是真考真题的话，这个题考的比较就是考学生的探求能力怎么样啊？

什么叫零点？零点叫 y 等于零十 x 的 值吧，对吧？零点它不是一个点，它是一个数。那么我们先说它有三个零点，就说明 f x 加 a 等于有几个结？ 三，它有三个结，它有三个结。那我可不可以理解为说把 a 进行一个移项， f x 等于负 a， 是不是有三个结？叫数形结合了吧？那我现在所有的任务其实都在说研究 f x 怎么样，对不对？然后再看 x 一 x 二 x 三之间关系。那咱们来试一下啊。 第一个，我现在是不是要把它进行一个知识点的一个转化，转化成什么了？叫 f x 等于是负 a 吧，没有问题。第二步就是我们一直在强调的一个点，叫做换元换范围很好， t 等于四 x 加四分之派，该用 属于的是值派。到。 我去，现在太快了，我说这怎么打起来太快？四分之九加四分之一，四分之十是二分之五派，对不对？非常棒啊！然后接下来我们要画谁的图像？是不要画三一 t 的 图像，对不对？ 画三一 t 的 图像，我现在既然已经画圆了，用不用进行伸缩平移，是不？就不用，所以我们只要研究的是什么叫做五点法的图像，对吧？ 五点法的图像。哎，那我现在开始啊，它这块是零，这块是 pi， 这块是二 pi， 它是不是就是我们的二分之几 pi， 五 pi， 那 我从四分之 pi 开始到这个位置，对不对？同学们，好，那么我们现在来说啊，如果我现在在这个位置，它是有几个焦点， 两个教练，行还是不行？不行，非常好，我现在这是叫闭穴肩，对不对？我现在这是几个教练，行还是不行？非常棒。那我再往下行还是不行？ 不行，再往下的话看这是两。你说老师为什么左边这块不要？他不符合我的定域啊？所以你再往下不行，那他俩中间行不行？ 可以，特别特别好啊？那也就是说我们现在是浅绿色的，在这个里头它是几条啊？它是几个焦点？是不是三个焦点也可以，对不对？那么我们现在去找的时候一定要找个特殊的位置，你不能说老师我找极限位置，你现在找极限位置你找不到， 所以我们现在是不可以把它当成一个 x 一， 它当成一个 x 二，现在这是不是又是一个 x 三，明白吗？现在问题来了，如果说你能理解的话，你是不是要把它算出来？其实算不出来， 为什么？因为你 x 一 变的时候是不是有高度的变化？你 x 二是不是也变？ x 二变，同时 x 三变不变，是不是也在变？那我们既然找到一个确切具体的值，但是我们可以找什么？找关系，对吧？好，那么我们来看一下他们之间的关系是什么啊？ 咱们来说一下他们现在是不是有相同的一个 y 值，一个高度吧。一个高度的话应该说叫关于对称轴对，对称非常非常好， x 一 和 x 二，关于这个对称轴对称，所以它相加除二是 二分之派，那你就说它俩的和是派，除二是二分之派，它俩和是不是就派？同理来，我们再来说啊， x 二和 x 三之间关系还是 x 一 和 x 三之间关系 二，那你说它俩现在是不是？哎？关于谁对称，这是谁二分之三特别特别好，如果你现在关于二分之三派对称的话，那么我的 x 二和 x 三的和是 三派，三派特别特别棒啊，来，快， x 一 加 x 二，我们现在是等于的是派， x 二加上 x 三，我们等于的是三派。但是你现在就去求的时候，你会发现有一个问题，问题在是什么？ 多个 s 二，多一个 s 二，你咋玩都多，你说老师我要是不多，我还求问是具体的数值了呢，我也不能叫范围啊，对不对？但是哈，孩子们，这块有一个坑，这块有个坑，有个坑，我们现在已经掉到坑里头了， 现在是没看来掉到哪坑里了，但是已经掉到坑里了，一会就知道会掉到哪坑里，但是不影响我们先往下写好不好？ 再往后的话，我现在是不是就知道关系了？之后你现在选一下，要么就是 x 一 x 二在一起， x 三单蹦，对吧？要么就是 x 二 x 三在一起， x 一 单蹦，你选择哪个？ 选择哪两个在一起？一二，不，你要选一二在一起的话，你三在一块算的时候，你没发现它是在二排金属之上咋咋地了吗？不是很划算是不是？所以这个时候我们要把谁担当出来？ 一，那也就说此时此刻我们现在要求的是 x 加几派三派，那你 x 一 的范围是啥？它是不是在某一个范围内玩呢？它在哪上玩？它是不是在这上玩呢？ 这是多少？这是不是最高点？对呢，横坐标是二分派，这是不是就是我们的四分之派？所以说我们是在四分之派到四分之派，行还是不行？ 行，行，这不这条线的时候是行吗？啊？行，二分之派的时候行还是不行？行不行？这不是叉吗？ 所以你们要养成一个良好作息习惯，就是在旁边标注一下，要不考好试做做题就容易忘，这也是个小技巧好吧， ok 啊。然后我们再继续，他说要加上三派，所以说此时此刻他属于的是四分之 十三 pi 到二分之七 pi， 哎， but， 没有一个选项符合， 哎，这玩意真奇了怪了哈，你说咱就对啊，但是这个时候就埋了一个坑。我刚才是不是说我说埋了个坑？我再说一遍，我换人了，所以我画的图像，画的是谁的图像？看见没？ t 是 t， 三元 t， 但是我写一写，变成谁了 x 了就不对劲了，明白吗？所以说，我们现在这个此时此刻这个其实应该是变成了 t 一 t 二 t 三 t t t t t t t t 看没看到？孩子们懂了吗？ 是不都懂了？所以你现在这个里头的范围其实是 t 一 加 t 二加谁特别好？你的 t 一 是多少？孩子们？四前面，前面四 x 一 加四分之派，四 x 二加四分之派，四 x 三加 四分之派。所以我是不是就知道我其实求的是四倍的 x， 一 加 x， 二加 x， 三加多少个了？几个四分之派了？ 三个三个一二三，所以加上四分之三派，哎，我们是不是才属于的是这个范围？ 那我现在哈，我看一下啊，不要去什么？不要去细作啊？我们现在是不是四分之多少十三？减掉四分之三是不是叫四分之十？ 四分之十，你是不是除以四？那是不是乘以四分之一，对吧？那就叫做八分之几，八分之五派我们能取，等其实一下就能算出来是 a 的， 能理解了吧？就是我没有这样空算，其实你应该把那个这个位置带进去进行求解，好吗？ ok， 然后我们来总结一下这道题的关键点哈。第一个你要去了解或者说去理解一下，掌握我们的零点问题，零点问题你要么就去硬算，要么就是用数形结合，而且这道题从头到尾我需要去求我 a 的 范围吗？ 都不需要去求，非常好，你不需要去求 a 的 范围，所以你不要去介意我到底是 a 是 负 a 呀，还是正 a 呀，还是怎么样，无所谓， 它只是起到了一条线，跟我们去求焦点的问题，好吧。第二点就是我们在换元的时候一定要注意到什么换元怎么的那句话， 换范围，它去界定我到从哪开始到从哪结束，对吧？第三个是什么？是不是就是我们的散 t？ 但是你最后求的时候其实都是什么？ t 一 t 二， t 一 t 二的关系， t 二 t 三的关系，你最后最后求的是 x 还是 t 的 x， 所以 得把所有的 t 求完之后给我回到 x 再去求 x， 明白吗？而且为什么选择题我可以快速的判断答案的点在是什么？我们是不是叫左 b 右开，你没有涉及到符号，所以不太涉及到最后的一个对称， 对吧？那我就能知道避开，直接从 a c 当中选，然后我选择了其中一个。哎，我这边就不用算了，明白这意思吗？还是有难度的，高一高二高三都觉得难的理啊。这回咱整理一下，这几个关键词一定要写好，好吧。

含三十度直角尺中的三角函数问题探讨明确它的三边比例关系，如图非等腰直角三角形的直角尺中有几个不同的锐角， 有一个三十度角和一个六十度角，它们的三角函数值各是多少？可记，三十度角角 a 的 对边 b、 c 为一，那么斜边就是二倍， b、 c 等于二，这是三十度角所对直角边是斜边的一半决定的。 在运用勾股定律求得另一条直角边 a、 c 等于根号三，这样直角尺的三边长就都求出来了。 运用锐角的各三角函数定义式可求得，三十度的正弦是二分之一，余弦是二分之根号三，正切是三分之根号三，余切是根号三。六十度的正弦是二分之根号三，余弦是二分之一， 正切是根号三与切是三分之根号三。这里可以明确含三十度角的直角三角形的三边之比是一比，根号三比二。下一个视频将给大家分析等腰直角三角形中的三角函数值，敬请关注！

第四题，已知 tangent 的 alpha 等于二，求下列各式的值啊！看到第一个，这里面呢只出现了 sine 和 cosine 啊，就是没有 tangent 的 alpha， 所以 这时候呢，我们就要想办法去构造了 啊，怎么构造呢？我这个 tangent 的 alpha 不是 等于 sine alpha 除以 cosine alpha 吗？啊， 既然你没有除以这个东西，那么我这里面啊啊，这个式子上下都同时除以这个就好了啊，把上下同时都除以来，那就 sum 减去口三幺法，除以口三幺法，再比上 sum 加口三幺法，加口三幺法 比上口三幺法，这样是不影响这个圆式的啊。等于啊，你们这里和他比的话，那就是他选的符号减去口三幺法比上口三幺法，那就等于一啊， 然后分母这里三幺乘法和口三幺乘法一比，又是单数的乘法，然后呢，口三幺乘法比口三幺乘法，那就加一了，对啊，那就等于把单数的乘法带进来，那就二减一，比上二加一，那就等于三分之一了。那第二个 一，除以这个口算引阿法的平方，减去算引阿法的平方，这里也没有出现这个贪婪的阿法，那么这时候我还是要构造，那么这个怎么构造呢？我们前面那个这个第一个式子，可以看到分子和分母上都出现了 side 和 cosine， 这里分子出现了个一，这时候我就想到这个一呢，可以写成 side 和 alpha 的 平方加 cosine alpha 的 平方，这样子，这个分子一啊，不就变成了出现了这个 side 和 cosine 了吗？ 而且呢，它们都是啊。其次就是 cosine alpha 和 cosine alpha， 它们都是平方的， 那么还是没有出现我们这个贪婪的 alpha， 那 么这时候呢，我还是除一口三英 alpha 可以 吗？那明显不够除啊，你三英 alpha 的 平方除以口三英 alpha， 你 除完之后是不是还剩一个三英 alpha？ 所以这时候呢，我应该跟他一样，除以他的平方，那就上下同除以口三幺八的平方等于三幺八的平方加上口三幺八的平方除以口三幺八的平方，再比上口三幺八的平方减去三幺八的平方除以口三幺八的平方， 那就等于，那这里一笔的话是 c 型 alpha 比上口三 alpha 的 平方了，那就等于 c 型 alpha 除以口三 alpha， 这里平方加上啊，这里一笔是一了。所以 这里面是一减去 c 型 alpha 除以口三 alpha 的 平方。 这两个就出现了我们这个 tangent alpha 了嘛，就等于 tangent alpha 的 平方加一比上一减去 tangent alpha 的 平方就等于二的平方加一 比上一减去这个二的平方，就等于上面是这个四加一就等于五，下面是这个一减去四等于负，三就等于负的三分之五了。第五题，求证。嗯，这个等式呢，是成立的， 那么有以下几个证明方法啊，你要么把这个等式的左边呢变化写成右边的样子，要么把这等式的右边啊变化写成左边的样子。或者呢，你这两个啊式子相减，你能证明它们等于零也是可以的。这里我写一下啊，你左边啊变换成右边的样子啊，证明 左边等于啊。观察一下这个式子，我左边是正于弦，右边是正切 啊，是不是要跟这个第四题一样去构造这个正确啊？那么就要，嗯，看到这个一啊，把这个一呢也写成平方，三以七塔的平方加上口三以七塔的平方，然后呢，这里是减去二，三以七塔乘以口三 以七塔的平方减去三以七塔的平方。嗯，看到这个式子，嗯，这里是平方平方减去两倍的它， 这不就是我们那个 x 的 平方吗？那写成三以 c， 它减去可三以 c 的 平方，除以可三以 c 的 平方减去三以 c 的 平方。 啊，到这里了啊，这里看到这个分母啊，有没有觉得很眼熟？它是不是一个平方差？那我可以写成 cosine 减去 sine sine 乘以 cosine sine 加上 sine sine 啊， 你这里面我得约掉一个吧，是不是？但是我前面是不是写成三 e c 塔减去 q 三 e c 塔啊？你这里面是下面是这个 q 三 e c 塔减去三 e c 塔啊，那么我前面就换一下位置，不影响。你把前面呢写成 q 三 e c 塔减去三 e c 塔的平方啊，这样就可以约了吗？那就 q 三 e c 塔减去三 e c 塔的平方，这是约一个吗？ 啊，约掉一个，那就等于口三以七它减去三以七它，除以口三以七它，加上三以七它。啊，这个不就跟这个上面这个第一小位一样吗？啊，上下同除以口三以七它，啊，写成这样 啊，然后就把这个啊除下来，这边删除成一，减去这边除是等于这个七它了， 这边除是一，然后呢加上 type c 它，哎，这不就是右边的样子吗？等于右边，那么这个证明完毕了。