2026年数学8年级下册第一课教程

你记住啊，八年级是成绩变化的关键时期，从今天开始我们讲八年级数学下册，北极大版的 下册共六章，我们今天开始讲第一章三角形的证明及其应用。 第一张，三角形的证明及其应用。本学期的时间特别短，所以我们在这里理一些重点的跟大家讲，大家自己做好预习。第一节三角形内角和定力在前面已经学过了这一些， 我们第一个我们就要探索三角形的内角和的它的度数，我们看到这里三角形， 对于这里一个三角形呢？我们怎么探讨他的内角和。 我们在前面已经知道三角形的内角和是等于一百八十度的，那么于是我们就怎么想呢？我们想我们在哪里学过有一百八十度的？比如说我们学过了一个平角是一百八十度，所以我们可以把三个角变成一个平角。 当然我们也学了两直线平行，同旁内角互补，也就是在两直线平行的时候，如果他出现了有同旁内角的话，把三个角变成两个角啊，两个同旁内角平行当中的同旁内角。 那么在这个地方呢，你看到我们这书本上的这个三角形 a 比 c， 我 们可以把这个角 a 啊放在这里了，放在角一的位置把它撕下来。你比如说我现在这里有一张这个三角形的纸片，好，我们把这个纸片撕下来，你们看我们放到这里来， 对吧？当这个内侧角相等的时候，这边和这边就平行了，你看我现在这指这边和这边平行，那么这个角 b 就 等于补充了这里有空缺的这个角， 对吧？那么这样的角 a 加角 b 加角 c， 那 就刚好拼成一个平角。好，我们看到这里的图形，我们可以先做角一，等于角 a， 我 们也可以先做这个平行线，都是可以的。 好，有时间我们直接看到我们这里书本上这个证明过程。呃，书本的证明过程呢，是在这里先做 c， e 平行于 a， b 做 c， e 平行于 b， 则这个角 a 等于角一， 角 b 就 等于这里的角二，也就是做 b c 的 延长线啊，那么角 b 等于角二，由于角 a、 c， b 加角一，加角二呢，刚好是一个平角一百八十度， 于是就是角 a 加角 b， 加角 a， c， b 就 等于一百八十度。那么这样我们就可以证出来三角形的三个内角的和等于一百八十度。 当然我们也可以换一种探讨的方法。好，我们看到这里， 比如说我们过点 a 做 p， q 平行于 b、 c， 那 么则这样角啊，过做 p p， q 平行于 b、 c， 两只线平行，则内侧角相等，所以这个角 p a、 b 等于角 b， 角 q， a， c 等于角 c， 所以 原来的角 a、 b、 c。 现在我们有三个字母啊，就是角 b a、 c 加角 b， 加角 c 就 等于角 b a， c 加角 p a， b 加角 q， a， c 就 等于一百八十度，因为它是个平角， 对吧？角 p a、 q， 平角一百八十度，一个平角等于一百八十度。当然呢，我们不同的同学还有很多不同的方法，因为时间的关系，我们这里只说一些主要的方法， 所以在这里我们首先要学会探讨三角形的内角和的一百八十度。当然这里涉及了有一个叫做辅助线，辅助线是为了证明的需要 啊，这里我呢，这里也手插了一部分的我们的一些笔记啊，我们探讨三菱的内角和辅则线，为了证明你需要在原来的图形上填画的线，叫做辅则线，辅则线呢，用虚线来表示， 好，这里我们用虚线啊，就是这中间呢，就是断断续续的，不是连起来了，那么这个 a、 b， 我 们叫做实线，对吧？中间没有控制空的，那么这个呢，叫做虚线，为了证明的需要，在原来的途径上添花的线叫做辅助线啊，为了证明的需要， 好，辅的线，我们要了解，我们用虚线来表示啊，要记住，那么这样呢，我们说三零的内角和呢，等于一百八十度，要把它背下来啊，背下来之后呢，我们看到这个例题，如果角 b 等于三十八度， 角 c 等于六十二度，我们学会跟我一起啊，学会在图上标出来六十、三十、九十，这就是一百度，三年呢，也获得一百八十度，所以这个角 b、 a、 c， 呃，一百度，那就等于八十度，对吧？而 a、 d 是 角 b、 a、 c 的 平分线， 对吧？那么于是这个角 b、 a、 d 等于角 d， a、 c 啊，那就都等于八十度的一半，等于四十度，大家学我一样在图上标出来，所以这个角 a、 d、 b 等于多少呢？一百八十度，也减去这两个角， 对吧？这个四十，这个三十八就七十八，一百八十减七十八等于一百零二度。好，这个角就等于一百零二度。当然呢，我们通过后面我们所讲的三角的和它不相邻，两个内角的和啊，我们在后面所讲到的， 嗯，也是可以的，因为时间的关系，这里我们就不多说， 对于我们要记住两边两角分别相等，且其中一组等角的对边相等的两个三角形呢，这个呢，原来我们老课本把它叫做一个推论，这里写定力，定力其实也是一个推啊，也就是一个啊，通过证明是真命题 啊，这些都要记住啊，还有前两三年的性质，前两三年的对应边向的，对应角向的。那么当然在这里我们也要把这个八个基本事实要把它记清楚。两点，确定掉这些两点之间线的最短， 同一平面内过一点，尤其只有一条直线与已知直线垂直过直线外一点，尤其只有一条直线与已知直线平行同外角相等。两直线平行两边及其夹角分别相等的两个三角缺等。两角及其加边分别相等的两个三角缺等。三边分别相等的两个三角缺等。 红笔呢，就是有的暂时还没学的啊，两条直线被一组平行所截的对应线的乘比利，这个在九年级去学，刚才我们要记住的 a、 a、 s， 还有熟练的掌握前的三年级的对应边形的对应角相同，记得点赞关注哦！

什么？

今天给八年级学生演示一下开学后第一周速通八年级下册写修版，从三月五日开始，边玩边预习，带你直接冲进班级前三。一、生物会考八十个高频考点，这样考试就稳了。二、英语必备语法固定清单，再看重要考点梳理英语稳上 one hundred thirty plus。 三、语文知识点总结好了，记牢，基础就打好了。再看经典长谈的考点梳理，考试下笔如有神。四、数学全册知识点总结整理好了，试透，怎么考都难不倒再一袭二字根式的陈楚，搭配专项练习，开学领跑全班！以上资料均有电子版，取件码，六零五。

同学们好，欢迎进入我们八年级下册新版教材学习，今天我们要开启的是我们的第一单元二次跟式的系统课程，在正式授课之前，先跟大家明确这门课程的一个三阶学习理念， 让我们更加清楚地知道我们后期的学习节奏和后期方向，学起来更有针对性一些。 第一阶段就是我们现在正在开启的阶段，叫夯实基础，紧扣我们新版课本的核心， 把我们二次根式的概念性质、基础预算知识点足够足够的吃透，做到听懂熟练，把知识基础知识呢根基扎的稳稳的，这是这是我们后续提升的关键。 第二阶段呢，是我们的一个题型拓展与技巧拔高，会针对上例各系各个题型呢，我们有一个分类的梳理，不仅覆盖我们课本上的技术题型，还会补充书本以外的一些常考题型，综合题型，帮助我们去规范答题方法和技巧，突破我们能力的上限。 好，那把 g、 d、 r 阶段过了之后呢？第三阶段就是真题实战检验了，我们聚焦我们的历年真题，通过实战演练帮大家我们去检验我们的学习效果，摸清考试规律和命题方向，精准锁住我们的重点，避开我们的易错区。 这三个学习是环环相扣的，最终是为了让我们把这个整个书呢学懂、学透、学活，不仅能应对我们的课本练习，更加从容的去搞定我们考试中的各类问题。 明确学习规划后，我们要知道我们每次学习开头的时候一定要先预习啊，先过来把那个， 嗯，把那个书本上预习完，把讲义预习完之后呢，然后这时候你再去听课第第一轮，先预习第一节课，然后听第一节的课，第一听第一节的课程，然后呢这时候再 再预习第二个讲义，然后再去听第二个课程，然后接下来呢给自己检验考试一遍，再听第三阶段的课程，这样的话学习效果会更好啊。那我们一起来进入我们二次根式的引入环节，开启我们今天的学习吧。 好，那我们先从我们书本上的一个思考，这个给我们的一个思考空间来让我们呃先去一个课本的引入以及我们之前的知识回顾啊。先来看题， 用含有根号的式子填空啊，长这样含有根号式子填空，看一看写出来结果有什么共同特征？ 第一个，一个长方形的围栏，长是宽的二倍，面积是一百三十米，则它的长和宽为多少米？那这时候看到我们我们数学中有一句话叫得前比后是 x 嘛，肯定大家都听过， 所以现在我们看到这个题的话，第一反应肯定是先设，是不是？假设我设我的宽 为 x 米，则长是二 x 米，是不是面积是十一百三十平方米的话，那我们说长方形的面积是长乘宽吗？ x 乘以 二 x 等于一百三十，那就是得到二 x 方等于一百三十， x 方就是等于六十五，所以 x 等于。注意这时候啊， x 方等于六十五， x 等于正负根号六十五的， 那又因为 x 肯定又是长度肯定是大于零的，所以 x 取到根号六十五米。 第二个一个大长方形的面积是一个边长是 a 的 正方形和一个边长是一的正方形面积之和。好读这句话啊，读题读等式，什么意思呢？你看啊，什么是谁与谁的和，这是不是等式？ 第一句话，大正方形面积我不知道，五个的翻译层条件是 s。 四就是等于号边长为 a 的 正方形的面积是 a 方，与另一个边长为一的正方形面积是一方就是一。所以 s 是 不是等于 a 方加一啊？ 好， a 方加一是我的面积，是不是？所以我的边边长的话，是不是因为应该是我的开方根号下 a 方加一，因为它是正的，所以我们一般就没有填括号。 第三个，一个物体从高处自由落下落到地面的时间， t 与开始落下时离地面的高度 h 之间的关系近似，为 h， 等于五梯方。如果用含有 h 的 四指表示 t， 那么七为多少？什么叫用 h 的 式子表示 t 呢？那就是把 t 写一边了， t 单独写，不带任何计算符号呀，乘呀，加呀什么的，其他全离一边。现在给的是 h 等于五 t 方。那我 t 方是不是首先左右同时除五吧，那就是 h 除以五，是不是？ 那所以说我 t 就 应该等于根号下 h 除以五还是一样的啊，我这几个都是我们的一个。呃，其实都在求我们的一个算数，平方根是个正数，或者说现在求的都是一个物体的长度是个正数，所以说都不存在说负数的情况。 好，那我们观察这三个四指是不都出现了一个根号上面的这个长相啊？是吧？是我们的数学中一个上述问题中出现的这种根号六十五，根号下 a 方加一根号下 h 比五 都表示的是一个正数的算数平方根。一般我们把形如 a 方根号 a 的 四指叫做二次根，四 好，二次根式也叫代数式。这里面有好几个知识点。第一个知识点是我们的一个知识回顾，什么是平方根，什么是算数平方根还大家还记得吗？那我们在初中中之前，之前在说平方根的时候啊， 一般来说，如果说一个数的平方等于这个数叫做，呃，一般来说，如果一个数的平方等于 a， 那 么这个数就叫做 a 的 平方根。在我们书上定义， 如果说让我用一句大白话去理解的话，那就是谁的平方等于我，那谁就是我的平方根。 比如说我说啊，我，我是四，我这个数，我现在是四啊，我四的平方根是谁啊？谁的平方等于四呀？二的平方等于四，是不是？或是负二？负二乘负二是不是也是等于四的？那我说四的平方根就叫二和负二，这是心理学的吗？ 第二个，什么叫算数平方根呀？算数平方根就是指我平方根里面那个正数吧，我们认那个正正的平方根，我们任何任何正数啊，都是有两个平方根的， 而且这两个平方根互为相反数，就我刚说的啊，谁的平方等于我四，呃，四的平方根，二的平方等于四，负二平方等于四。四作为一个正数的话，它是平方根，是正负二的，对不对？ 同理，三的平方根是不是正负根号三呀，互为相反数，零的平方根就是零啊，负数是没有平方根的， 为什么负数没有平方根呀？还是抓紧我的概念对吧？我说谁的平方等于我，你能不能说有两个相同的数的，有两个相同的数相乘结果等于一个负数啊？当然不可能呀，二二得四负，二乘负，二负负也得正了是不是？ 所以啊，这是我们之前一个知识回顾，就是这出现的一个平方根这个概念和算术平方根这概念啊，第二概念叫我们的代数式好。什么是代数式呀？ 代数式这个树上的概念给我们说是用基本的运算符号把数和字母给连到一起的设置或是单独的一个数，单独的一个字母也叫代数式，给详细的进行一个分类。啊， 好，代数式整体呢？我们按我们之前学的啊，有分。第一个我们之前学的叫整式， 嗯，第二个叫分式，今天学了一个新的，叫二次根式 三大类。啊，那我们说整数是什么？整数是指由数字和字母通过加减乘乘方运算组成。代数式是不是比如说举个例子啊？嗯嗯，在整数里面，当时我们说有个叫单项式， 比如说单独一个数，单独的一个字母，数字和字母的层级就叫单项式。好多项式 就是多个单项式相加嘛，二加 a， 负二减三 a， 是 吧？这些都叫多项式了啊。 好，那第二个分式呢？分式就是我们八年级上册学的了，是吧？形容一个长这样的 a 比 b 这种形式的就叫分式啊，这个分式要求分母上分母是含字母的。 第三个就是现有的学的叫二次根式了啊，二次根式的长相是什么？二次根式就是形容根号下根号 a， 其中要求里面要大于等于零，我们把里面这个 a 啊叫做被开方数。 好，外面这个根号呢，我们叫做开二次方 啊。那你有开二次方？我怎么没见那个二次方啊？是吧？我们比如说 a 的 二次，我这个还还它右上角写个 n 呢，因为开二次方在这里面啊，这个二经常会被我们省略，缩写 这个概念，先了解概念之后，回忆我们概念之后，我要知道我这个概念有多少个考题呢？有两类基本考题。第一个考点啊，就是判断二次根式的，在这 判断什么样的二次根式呢？第一个我首先要含有这个根号吧，这是最基本的，是不是你不能说，哎呦，一个二他就叫二次根式，肯定不是要有长相。第二个被开方数要不能是负数啊？你不能说根号负二，因为我们前面这个有个要求嘛， a 大 于等于零嘛，是吧， 但是有一点特别要关注的啊，就是注意初始状态，我关注的只是初始状态，这是什么意思啊？我们以前在学分式的时候说分式的时候，你就我们以前说你是要看化简前还是化简后， 是不是老师说是看化简前的，比如说 x 方减四， x 加四，比上 x 减二，这个整体就要分式。但是其实我化简一下啊， x 方减四， x 加四，因式分解变成 x 减二，括起来平方 除以下面的 x 减二的话，上下约掉变成 x 减二了。哎，单看 x 减二，它又变成了我们多项式，是不是？你说这怎么办？我是分式还是还是我们的整数呀？当然是分式呀， 分式还是也看化简型？那同理啊，我根号这个东西里面，你不管里面能不能用这个根号化开，一定只看出始状态，不用你去计算，这是第一个考点，判断是不是二次根式，那我们这个考点经常考题，比如说我给你出几个啊？比如说根号下 x 方加一， 根号 a， 根号二，根号负 x。 我 说，哎，这里面这四个有谁是根式？有时候有谁不是呀， 第一个根号下 x 方加一，是不是根二是根式呢？啊，它是的，为什么？因为，哎，首先满足它这个第一个条件就含有根号，是不是就我也不用化解啊？每个都不用化解 啊，它有这个，有这个根号。第二个 x 方加一，它本身是不是有非负性？因为平方大于等于零，加一大于等于一嘛，不可能为负，所以它是第二个根号 a， 在 我没有任何说明的情况下，根号 a 不是 二次根四啊，因为 a one is 个负是怎么办？ 那根号二呢？当然是了，二是个正数，是不是第四个根号负 x？ 那 肯定不是呀，我这个 x， 你 别说负 x， 这个不管是负 x 我 都没有给你任何定义要求，是不是？这是它第一个考点。 第二个考点呢？就是判断 a 的 取值范围了，因为我刚说了，我根号下一定我一定是非负的，是不是啊？那我们来看一下，我们有一个引入思考啊， 问 x 满足什么条件？ x 平，哎，根号下 x 方的在实数范围内有意义，然后还有个根号下 x 三次方，那其实就是在对我根号下这个数的一个，嗯，取值范围的一个理解啊。首先我来看这个根号下 x 方， 因为我的 x 方它本身根号下 x 方是个整体，它就是大于等于零的要求，所以 x 你 想一想，你取几我平方是不是都给你 就已经取正？就是，那就是符合定义了，你取负我也可以给你掰过来变成正，是不是？所以啊，我现在如果说像这个话，那就 x 随便取吧。那我们写 x 取全体实数。 好，那如果判断根号写 x 三次方呢？根号 x 三方，我的 x 三次方，你能定正负吗？不能吧，三个正数相乘是正，三个负数相乘，那是负，是不是？ 那 x 三次方我不能判定正负的情况下，我 x 三次方必须要求你大于零我才有意义嘛。我根号下要为正，是不是？那 x 三次方要求大于零的话，我 x 是 不是也要要求大于零 或等于零吧，因为等号也成立啊。少一个。好，这是我们对我们二次根式有意义的理解。 好，我们用书本上的三道练习题来帮我们回。呃，帮我们巩固一下刚刚讲的基础知识点，然后我们来开始进入第二个考点。啊，刚刚是两个考点嘛，一个是非复型，一个是二次函数。二次函数本身长相的定义是不是好？来看这个练习。第一个 要画一个面积是十八厘米的这样长方形，使它的长和宽的比是三比二，则它的长宽应各取多少？看到比值跟我们刚刚看到倍数是一样的啊，多前比后是 x 一 样的。看到比值第一步用它的比来设呗，是不是解 是它的长为三 x 嘛，折它的宽 为二 x 厘米。好，那我们看那，那我们现在就列方程呗。列方程可得 二 x 乘以三 x 等于十八，嗯，那就是六 x 方等于十八， x 方就等于三。解得 x 一 等于根号三， x 二等于负，根号三，因为我们，因为我们这个边长是负的，不可能，是不是边长不能为负，所以直接舍去啊，进而进而得到 三， x 就是 三倍根号三。二， x 等于二倍根号三。答， 它的长取三倍根号三，宽 取二倍根号三。啊，给你给你们写了一个我们的格式啊， 你有些，有些学，有些同学他不会写格式，你要看一下这个该怎么去写。你在我们中考中有好多你特别是一个格式要求，第二个字迹要求，如果说你字迹写的很混乱的情况下，嗯，那个老师看不清，他也会影响你的分数的，所以这点要注意啊。好，来看第二个， 当 a 满足什么条件时，下列个数在实数范围内有意义。好，那我们说根号，根号有意义的条件就是根号下要，嗯，要求是要大于等于零的，是不是？我们来看第一个根号下 a 减一，那就是 a 减一大于等于零， 所以 a 大 于等于一。第二个根号下这个整体啊，你看它整体是什么，你就抄抄什么。根号下五减 a 的 意义的话，五减 a 大 于等于零，那就是得到 a 小 于等于五嘛，是吧。 第三个是根号，这个整体是二， a 方加一要大于等于零，得到 a 方是要大于等于负二分之一的。注意，这个一挪过来，一向变号变成负一啊，最后再除个二负二分之一， 因为负二分之一它是个负的。 a 方是不是横正呀？怎样说的 a 方横正啊，又马上后面要说那个双重非负性，刚好就复习一下逢正的情况，横正的情况下，那我 a 是 不是就取全体实数嘛？ 随便取，我都是成立的啊，因为它本身其实你要是单个给它拎出来，它本身就是个二次根式嘛，不需要任何附加条件，是不是？好。第三个 到 a 等于五十，根号下 a 减一比二的值是几？这个就是纯代入了， 你把这个他说 a 变成五了吧，等于就是变成的意思，是不是？那我就写根号下 a， 我 就写个五减一除以二，五减一是四，根号下四除以二就是根号二，是不是值就是根号二就出来了。 好，这是对我们前面整个，呃，最开始的二次根式概念这一点考点的一个我们书本上对它的一个练习啊。第二个我们来看一下二次根式的性质， 先读一下这个他这个书写，他说我们知道 a 大 于零时，根号 a 表示 a 的 算数平方根，因此根号 a 等于零。好，那这，嗯， 这他整体其实就说了一句话啊，就是根号 a 其实是要大于等于零的，这个里面要里面要大于等于零，这里面是我们的一个硬性要求是不是？ 但里面要求你大于等于零了，外围他就大于等于零了。这其实在考我根号 a 的 一个非负性的理解啊， 我们在写这个根号 a 的 时候，它是 a 的 算数平方根，记住了，记住了啊，再说它的算数平方根而不是平方根，你要说 a 的 平方根是正负根号 a， 但这个正负号也在写到根号的外面，也不是里面是不是 那根号。那，那这个在考非负性的时候，我们呢？我们整个书中现在学的非负型有几个了？第一个，之前学绝对值的时候嘛，任何数绝对值是要大于等于零的，是不是？第二个平方数刚刚碰到了，他是要大于等于零的，现在学的算数平方根，他本身也要大于等于零的啊，三字要求。 嗯，这个这个性质，这个知识点比较少，但是我们喜欢和我们下面这个一起说下面这两个，你看他给的这个啊，可能知识点错的比较远，比较远，到时候你拿讲义的时候好好看一下，因为这个整个集中这有个考点几，先看知识点，然后再去看题， 我们先看这个知识点，我给他总结到一起了。看这我们有根号下 a 的 平方等于 a， 那 你看他说为什么啊？他有个导入，我们看一下来， 我们看一下这个就其实就找规律了。嗯，根号三的平方其实是三，对吧？这我们先学的根号零点五的平方是零点五，根号三分之一的平方是三分之一，根号零的平方是零，是不是？哎，你看你找找规律，是不是只要根号碰上平方它就没有了？ 其实这在告诉我们一个运算。还记得我们说，呃，我举个例子吧，比如说二，这个例子和我们加减符号碰到一起，当一有当有一个随便一个数二，你加了一个一，又减了一个一，他们是不是消失不见了？加减是一个互消的关系，只要你加减的量相等的话，他就没有了。 那同理，我们的乘除也其实是一个互消的关系啊，比如说还是二啊，你乘个三又除一个三，是不是又乘一扩大三倍，又缩小三倍，是不是也消失了？ 所以乘除也是互消。那我们在学这个二次根式之前是不是学了一个，呃，命运算呀？就是任何数，比如说我写个平方，是不是？ 那你平方和谁削？平方是和我的根号削啊，是和我的根号削他们，当他们两个碰撞到一起的情况下，那就是等于我本身了，就跟这个一样， a 二和根号碰一起了， 二和根号碰一起了，二和根号，你看碰一起消了，没了，只剩里面的数了。但是这里面有一个要注意的事情啊，我刚刚在讲的是这个公式，是不是根号下啊？嗯，根号，呃，就是就是我，我这个是，呃，我讲的是这个 上面这个根号 a 扩起来的平方等于 a， 它消了，但是如果我下面啊，你看平方放里面了，哎，你说，哎，跟上面一样啊，我们上面那个是根号 a 扩起来的平方等于 a 啊，它后面没有任何，你看它没有它，它这个有一个 a 大 于等于零嘛，因为只有我要满足它，几何意义嘛，是吧？ a 大 于等于零。 我第二个是根号下 a 的 平方等于 a 平方跑到我这个括号里面，跑到 a 的 旁边了，跑到根号下面了，它有什么区别和不同呢？当然有啊， 当然有这个上面这个 a 呢？是是我，是我旗杆本身的意义要求我下面这个，其实我这个里面这个 a 呢？是，可我，我这个只是我给的范围，我可以，我可以不给，这个加一个其他符号都行。 因为为什么？因为你要说负二扩起来，平方的开方能算吗？当然能算呀，是吧？因为负二的平方是四吗？根号四是二，是不是当然能算你这个 a， 其实这个其实，那其实我们这个题如果说平方放里面的话，它应该是什么？ 它应该是等于 a 的 绝对值的，为什么？因为你这个平方把你这个 a 的 正负性给消了，是不是？你不管是二还是负二，你但凡放平方都破四了， 四在开方啊，四，四十二的平方啊，平方和根号消，又回到我的二了，所以说其实，但是，但是我们又说了啊，根号本身是带有非负性的，你不可能为负，所以说就必须要等于 a 的 绝对值。 所以我们在拓展里面啊，我们最开始的时候书上给的，当 a 大 于零的时候，根号下平方跑里面也没关系，因为我大于零嘛，那就是正。那如果说我 a 如果是个小于零的数，它是等于负 a 的。 举个例子，负二括起来，平方的开方我是等于二的，是不是这个负二和二是不是一个正负关系啊？ 这是 a 小 于零的时候，如果我要放在一起写呢？就是我刚刚写的这种任何数的平方等于它的绝对值啊。 我们说根号下这个平方和根号 a 扩起来的平方的理解就是对于我这来说， a 是 可以为任意实数的， 它是取一还是负一都没关系。我是先平方再开方，这样的话帮我把负二消了。如果看后面呢？我是本身必须有 a 的 限制范围的，叫先开方后平方，我们是有运算顺序的， 那如果你要说他们两个有什么关联呢？当然是我们同为正的时候有关联呀，是吧？我们如果两个 a 都是正数的时候，我们结果是相同的，唯一的不同就是我们为负的时候 啊。有这个公式之后，其实总结一句话啊，刚刚对所有的这个根号运算，那这个知识可能比较多，总结一话就是根号下 a 的 平方等于 a 的 绝对值，根号 a 括起来平方等于 a， 就只是这个小小的公式，记到就行了。那我们来看题， 那从这个计算还是一样的。平方根号消了吗？是吧？因为里面是正数啊，如果这个是先扩起来再平方的，这也平方和根号消了，哎，但是这时候有个二了， 哎，这个二怎么办呢？其实这就跟我们做我们的呃，平方是一样的，你这个平方，你是他， 嗯，长数管长数字母管字母吗？是吧？所以我这个平方的话，扩起来是对二倍根号五，整体平方又成个二倍根号五，所以二和二单独看等于四。根号五乘根号五就是根号五，扩起来平方就是五。四五等于二十的，我们数和数单独看，根号和根号一起看啊， 看这个探求来，根号下二的平方等于二，零点一的平方的开方是零点一，三分之二的平方的开方是三分之二，零的平方的开方是零啊，因为他给的这几个数都是正数，是不是 书本上几个画件根号十六，哎，根号十六，你想一下十六是谁的平方？所以说就是根号四的平方和它消了，是不是就变成四了？ 第二个根号负五的平方的开放啊，哎，我说了啊，平方放里面是不是你就记到就是里面的绝对值就行了，可以不用那么麻烦。负五的绝对值就是五嘛，我们来练计算，练习一下。 根号三的平方就是三，这个的话是三倍。根号二，括起来平方数和数一起看，字母根号和根号一起看，三三得九。根号和根号一起看的话是二，二根号就是根号乘，根号是二，是不是？所以说二九一十八就出来了。 好，第三个，呃，根号零，呃，零点三的平方的开方，那就是零点三的绝对值就是零点三了呗。因为平方在里面啊，就想绝对值，这个也是平方在根号里面想负七分之一的绝对值七分之一， 这个注意啊，这个符号没有任何符号限制我，所以我单写，你先算这个框框里面的负派，平方的开方等于负派角值就是派，但是前面是有因为我这个四字前面有个符号吗？是吧？所以就得负派。 这个第四个就是我们对我们分式那个公式的理解啊。逆算负数运算理解，我们有任何数的负数次方等于它正数次方分之一，记得吧？比如说二的负二次方等于二的二次方分之一，那就是等于四分之一呗。 现在有十的负二次方，我们先算里面吧，十的负二次方就是十的二次方分之一，那就是一百分之一，是不是？那就是根号上一百分之一就是十分之一吧，对吧？ 啊？在这个，嗯，在我们这个根式运算过程中啊，我们补充一个，补充一个在实数运实数范围内的一次分解，补充一个小小的题型。 好，第一个题，比如说我说，呃，我要求你在实数范围内啊，实数范围内就是含根号了，是不是？我说让你把 x 方减七逆式分解，以前的时候我们是 x 方减四等于 x 加二， x 减二 那个两块相乘嘛，是吧？现在 x 方减七，我要变成两个平方了， x 方减根号七，括起来平方等于 x 加根号七， x 减根号七啊，这就因式分解了，或者再换一个 x 方减四， x 加四啊， x 四次方吧，减去四， x 的 平方加四啊。这个的话是按正常先因式分解的话，是 x 方减二扩展平方，是吧？ 嗯，接下来，哎，这个二是根号二扩起来的平方，所以是 x 加根号二， x 减根号二，这个整体的平方平方再落在每个身上。啊， 好，这样就完了。这个数在实数范围内，因式分解之前没有用过。嗯，还有一个就是我们的一个，呃，在实数范围的因式分解是指在原有理数。呃，我们我们要记得一个，呃，有一个利用，就是其实也记了。如果说根号下 a 括起来平方 等于 a， 这个是要求 a 大 于零，但我们喜欢，有时候，有时候喜欢反着用，就比如说我一个数想写成根号，我二想写成根号几呢？是不是就是根号四呀？就是根号下二的平方，比如说 a， 这个 a 为正的情况下啊，可以写成多少呢？根号下 a 的 平方是不是这样反着逆用的也要知道啊。 那接下来我们就看到我们的复习巩固题了，看一下我们这几个对这个十九点一整个的一个知识总结，是什么让我们提前练习，有哪些啊？第一个，我们最开始说的有意义范围有意义，是不是 根号下 a 加二，它的有意义条件是 a 加二要大于等于零，要大于等于负二。第二个三减 a， 根号下这个整体大于等于零，这 a 要小于等于三。第三个五， a 方要大于等于零，哎，平方永远大于等于零，乘个乘数也大于等于零，是吧？所以说 a 取全体实数。 第四个二， a 加一要大于等于零，得到 a 大 于等于负二分之一啊，这是我们有意义的条件啊。第二个，计算，计算，就给我牢记两个公式，根号下 a 括起来平方，平方在外面就直接写 a， 如果平方在里面就给我牢记，绝对值啊。看一下第一个根号五括起来的平方，那就是五。第二个，哎，这个，这个，有一个括，这个括号里面还带个符号呀。嗯， 反正你就牢记，平方能消除我一切符号吗？所以这个符号其实可以当不存在，是不是？然后这个平方的话，那就是零点二。第三个，五分之三，五分，嗯，根号下五分之三括起来平方，那就是五分之三。 第四个啊，这，这，这个就是我们之前说的，如果说一个数乘一个根号的话，数和数单独算嘛。五五二十五，根号五的平方就是五，那二十五乘以五 一百二十五，是不是第五个？嗯，一样的，你先定符号嘛，平方遇上符号了，我肯定符号就没了，是不是？所以只用拐外面。首先七七七四十九，然后乘以七分之二的平，根号下七分之二平方就是七分之二， 七和四十九约掉余个，剩个七二七四四就出来了，是吧？第四个还是一样的啊，我这个平方放里面了，哎，平方放里面就是他，绝对这杯就是十杯是吧？说白了出来都是正啊，出白了只要带根号的出来都是正。 第四个那就是三分之二，第五个，哎，但是这个符号没有人管我是不是他单独在外面的，所以符号要单独写，右边的话是五分之二，他得是正。所以说最后结果，结果反而变成负五分之二了 啊。第三题，用代数式表示面积 s， 面积为 s 的 圆的半径。这个题呢，我们就先设圆的半径 为 r， 那 由圆的面积公式啊，圆的面积公式是 pi， r 的 平方是不是？ 那反过来它。但是说，呃，用面积面积为 s 的 圆的半径，其实就需要写 r 等于几，是不是去最终要求的是看好的半径就最终要求 r 啊。所以 r 需要单独写 r 写一边。 那首先 pi r 方等于 s， 左右同时除个 pi 吗？ s 除以 pi， 但是我有平方啊，怎么去平方？是不是根号去平方？我这写个根号就行了。哎，你看，我其实没有写正负号。为什么？因为都是默认为正啊。默认，因为我们的长度也是默认。其实你要正规写的话应该写正负根号下，但是因为 r 为正，所以我就这样写了。 第二个 s 面积为 s， 且两条相邻边为一比二的长方形，两的两邻边长。那看到比值关系是不是就是我设呀？是吧。设较短的边， 一比二一份可以是较短的边。设较短的边为 a， 则较长的 为二 a 是 不是我们就是 a 乘二， a 等于我的呃，面积 s， 所以 我们的二 a 方等于 s， 那 最终它最终面积。呃，它说要表示是我们的一个边长啊。 所以说我们 a 方等于 s 比二， a 是 等于正负根号下 s 比二的，又因为 a 大 于零，所以 a 等于根号下 s 比二，所以较短的边应该是根号下 s 比二，较长的边应该是二倍的根号下 s 比二啊，这就出来了，代数式表示 第四个利用 a 等于根号下根号 a 扩起来的平方， a 大 于等于，把下列非负数分别写成一个非负数平方的形式， 这个是啥意思呢？其实就这样写的。五五可以怎么写？你就是这个五当成这个 a 嘛，你字母给它换走嘛，那就是根号五 扩起来平方，对吧？那后面就是，呃，你的 a 等于根号 a 扩起来平方，那就根号 a， a 就是 二点五嘛。放走扩起来平方，那就是根号下二分之一扩起来平方。这个写成根号零扩起来平方。是不是其实就是字母代换啊？跟我们上面学的字母代换是一样的。 接下来我们就看综合应用了，几道综合应用和我们的一个嗯，一个探索题啊，先看第五个， 已知一个大圆的面积是两个小圆面积之合，如果大圆半径为 r， 两个小圆的半径分别为三和二，求 r 的 值。这个里面等式关系是谁啊？之前教你们说过是 谁和谁之和，这个不就是等式关系吗？大圆面积的话，大圆面积是我们圆的面积，是不是圆的面积是 pi r 的 平方，圆的周长是二 pi r 啊？我一下，那我们大圆面积 pi r 的 平方 两个，那等四就是等于吗？是吧？两个小圆面积，小圆面积有一个是 pi 乘以二的平方，那就是二得四四 pi， 还有个是派乘以三的平方，三得九九派，所以派二平方等于四，派加九派得到派 r 的 平方等于 十三，派 r 方是不是等于十三？又因为 r 大 于零，所以 r 是 等于根号十三的是不是？好，这 r 字就出来了。第六个三角形 a、 b、 c 的 高是 ab 边长的四倍啊，那就是我们的等式在哪？ 我们的等式是这个四谁谁谁和谁的什么什么倍，是不是？四是等号倍数是乘法是不是？ 所以我们就开始呃，写一下 ab 边上的高，比如说我们说 ab 边上高，我们就写 h 啊，四四就是 ab 边长，这个 ab 这个长的四倍就是四倍关系。 那看到这种题，我靠，它这个我要列式，我的我，我有，我有高和长，我肯定想到我用个面积公式啊，三角形面积公式是不是二分之一乘以底 乘以高呀？所以说我就有倍数关系，肯定设了呀，对吧？我就设它的 ab 的 长为 x， 则它的高 为四 x 啊，这为什么先是长呢？因为得前比后是 x 嘛，得前面这个先说的长，是不是？所以我先设它好写一些啊。然后那我们就是二分之一底边乘以高 是等于面积十二的。嗯，二分之一乘先数和数算字母和字母算二分之一乘四等于二，那就是 x 方就等于六 x， 又因为 x 大 于零，所以 x 就 等于根号六啊，我这个 x 就 出来， x 就是 我设的 a、 b 长嘛，就出来了。第七个， 当 x 满足什么条件时，在下列各式中使出范围内有意义还是靠我们的有意义这个范围是吧？好，先看第一个 x 方加一，你要有意义，是不是根号下要大于等于零 啊？它是不是恒大于等于零的？你都读到现在了，肯定知道，是吧？所以说 x 是 不是取全体实数？ 第二个根号下这个整体它是啥？你就超查 x 减一或者乘以平方，你要大于等于零是不是也是很成立的？平方放外面是不是帮我消负号啊？所以 x 取全体实数 好，第三个就稍微特殊一点了啊，为什么呢？它特殊在加在我们前面的了。我们，我们我们有意义，我们不光只有根号加上，比如说我们以前学分式的时候， x 分 之一这个范围的话，是要分母为零的，是不是 所以它会带进去，比如说按正常来说，根号下下面是什么就抄什么，它大于等于零，但是又因为 x 是 分式， x 是 不是又不能等于零呀？是吧？所以说实际上 x 是 不是只能大于零，不能缺等号好，第四个也是一样的啊，我们正常来说根号我们只看这个根号下面这个整体的话，是 x 加一要大于等于零的，但是我们分是整体一除以这个根号下 x 加一，这个分号下面是不能等于零的。 我们谁的我们根号谁等于零啊？是不是根号零等于零啊？所以说 x 加一是不能等于零的，其实，那我们其实这句话说白了啊，就是如果说你下面这个根号在分子下面的话，直接写 x 加一大于零就行了，因为你本身又不能等于零，所以 x 是 要大于负一的。 好，这是我们第七个，第八个小球从地面 h 单位为米的高度自由下落，落到地面使用的时间为 t， 经过实验发现 h 与 t 方成正比例关系。 什么叫正比例？正比例？这个我们以前小学时候也学过，就是，呃， 在小学中，我们正比例是指两种关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化，它们两个叫比值一定成正比，记得吧？小学我把它写这啊，我们小学以前学的叫比值一定成正比。 好，那以前如果说乘积一定呢？叫乘反比吧。 这点记得啊，我先是笔直，一定，就是，就是说，呃，然后如果我用字母表示啊，就是笔直，一定。嗯， y 比 x， 如果等于一个固定场数 k， k 是 常数， 且 k 不 等于零，我们这叫正比关系啊。 啊，那我们就接着这个题，他说，嗯，实验发现 h 与 t 方成正比关系啊，那我们这时候就该怎么设？是不是就是令 h 等于嗯，正比？我写个 k， 写个 a 都行，我写个 a t 方吧。令 h 等于 a t 方，这就是我们的一个比例关系了。且，呃，而且当 h 等于二时时， t 等于二，是用 h 表示 t， h 等于二十五， h 变成二十倍，是吧？他说等于我就变成，然后 t 等于二，它等于二十时，我这个 t 变成二，二得四，就是二十等于四 a a 这时候是不是就等于五了？ 所以说我的 h 应该是等于五 t 方的，对吧？ h 等于五 t 方，他说，嗯，是用 h 表示 t， 这就出来了，并分别求出 h 等于十和 h 等于二十五时使用的时间。好，所以当 h 等于十时， 我就换进去吗？十就等于五梯方，所以梯方就等于左右同时除个五。除个五的话等于二，是吧？梯方等于二，梯就等于。因为梯大于零，所以梯就等于根号二。这第一个，第二个， 当 h 等于二十五时，二十五等于五， t 方，那得到 t 方是等于五的，那左右同时除个五，所以又因为 t 大 于零，所以 t 是 等于根号五的。啊，这出来了。 好，那我们落地。呃，他所用的落地时间两个最后一个拓拓展的这个探索啊，在这个探索里面倒是挺容易出的。嗯，第九个和第十个，呃，挺容易出。我们那个填空题的，先看第九个来。 他说已知根号下十八减 n 是 整数，先想一想，比如说我说根号一， 你是不是想等一，根号二算不出来呀？根号三算不出来，根号四等于二。哦，根号里面的数如果是个平方数，是不是就能算了？是吧？我们平方数有一， 然后比如说四有九，二、十五，这些都是平方数啊。那他说，嗯，但是你要说，哎呀，平方数好多呀，有一堆， 我有没有范围限制呀？我是无限群吗？当然不是呀。是不是我们根号下是要大零的？所以你任何算根式之前是不是先要看范围？因为 十八减 n 是 要大于等于零的，所以 n 是 不是要小一点？十八，这是我的一个前提限制。是不是 第二个，我既然小于等于十八，我就从十八里面取，而且 n 一 般自然数 n 嘛，自然数是指零一、二、三、四、五，是不是只取这些数？自然数 n 的 取值的话，那我就从零开始取，十八减零，十八减一，十八减二，然后你去试嘛，十八减零，十八肯定不行， 然后十八减一等于十七，根上十七也不是平方数。十八减二等于十六，是不是平方数？所以 n 等于二，然后再试啊？往后一直四，发现十八，如果减九等于九，九是个平方数，然后十八再往后减的话，减十四等于四 也是个平方数，所以说这个 n 取十四的时候也算。那你说我这样感觉一个个往后算有点太麻烦了，是吧？教你一个简单的方法啊，你就是十八减 n， 它反正得是平方数吗？我们平方数比较少啊。一的平方如果说十八减 n 等于一的话， n 十等于 十七的，是不是？所以十七算一个？如果说十八减 n， 当然啊，也可以十八减 n， 万一等于零呢，是不是？那就 n 等于十八，所以说十八也算一个。十八减 n， 你 等于个零，零乘零等于零，一乘一等于一，二二得四嘛。等于四的时候是这个 n 等于十四，是不是 然后十八减 n 等于二的平方，下面三的平方了。十八减 n 等于四的平方， 十八减 n。 如果啊，你看这个，这个都还存在呢。十八减 n 等于九， n 等于九，十八减 n 等于十六， n 等于二， 那如果说十八减 n， 它等于五的平方就不太可能，越往后就越不可能。为什么？因为因为十八减 n 等于二十五，它是里面就负了，我这个又要求为正，是不是？所以你是平方数会好一点啊。 好，第十个啊啊，第二啊，第第九，还有第二文是吧？第二个 已知根号下二十四开。呃，根号下二十四， n 是 整数，求整数 n 的 最小值。你就说你可以。呃，你还是啊，你第一种方法，你从一二三四五可以往上试，总能试到答案的，但是试的时候他有时候我给数据给的不好，那就成本太高了。那还有一种方法教你啊，就是你把里面 二十四给因子分解。什么叫因子分解呢？还记得我们以前学的，呃，什么叫质数吧？ 质数以质数是指只有一和他本身因素只有一，他本身。比如说，呃，三的质数是不是只有一和三但四的？呃，三的因素只有一和三但四的因素有一， 二四是不是多了个二啊？是吧？所以说我们，比如说我想我分成像有一个，比如说像二十四啊，你把它所有的因素给我写出来， 呃，写成这个因素最好每个都是质数啊，比如说二十四里面写二二乘十，二十二又是二乘六，六又是二乘三，是吧？ 好，这时候啊，你看每每我们的，我们再说根号下的时候，你想要开出来一定是平方数，二和二，他们两个其实是平方数。那我下面还这个二单独落单了， 落单了，你是不是单独还要再乘一个出来？这个三也单独落单了，是不是也要乘个出来？这样的话二和二、三和三每两两配对，这样整体是不是就是一个平方数了？所以你乘的这个数啊，应该是最小啊，最小最小应该是二乘三等于六才对。 当然你说我可不可以为其他数五行呢？你往后不断的乘都行，是不是你往后不断的乘都行，但人家说最小值吗？所以 n 就 等于六了啊。 好看。第十个，一个圆柱体的高是使体积为 v， 求它的底面半径 r 用含 v 的 代数式表示。就是 r 等于什么？什么 v 啊？这叫用 v 的 代数式表示。我们先看一下圆柱的体积是什么呀？圆柱的体积是不是底面积乘高？ 底面积是 pi 圆的面积吗？底面半径是 r， 那 就是 pi， r 的 平方高是十，那就是乘以十啊，这就是，这就写出来。但是人家说用 v 的 代数式表示 r 啊，首先把 r 写一边， r 方这种高级音算咱放，最后再再去画， 这有个派，这有个十，所以左右先除个十派， r 方就等于 v 除以十派。这第一个，那所以说又因为 r 为正数的情况下，所以 r 是 等于根号下 v 除以十派，是不是 这样？我是不是就按到其一要求来了？我要求用 v 的 代数式表示了这第一个，第二个，他说分别求 v 等于十派和二十派时，底面半径二的大小。那就是把 v 这个东西换走嘛，换成他给你的数 啊，那就是当 v 等于十派时， r 就 等于根号下十派除以十派。任何两个相同的数都是一啊，那就根号一等于一。当 v 等于二十派时， r 就 等于根号下二十派除以十派，那就是根号二啊，没了根号二，画不出来啊，这就出来了啊。 总结一下我们本节的本小节的重点知识啊，总结一下和本节有关的，当然里面好多题它肯定还是含有，比如说我们的分式，分式的因子分解， 然后还有一些，比如说我们以前小学学的，嗯，质数呀，自然数呀，整，然后包含我们初中学的这种整数、分数，代数式，还有我们学的正比例，反比例，都是一些小的知识点，你要通过题里面去看，是不是 啊？我们这一招，我们这一节啊，二次根式。第一个先求二次根式的形式判断长这样是不是一定是化简前啊？不要化简，不要化简。它 第二个有意义的条件吧，根号下这个长相要大于等于零里面要大于等于是不是？第三个它的运算，运算两个，如果是根号 a 扩起来平方的情况下就直接是 a， 这个默认 a 大 于等于零啊，如果说第 四，如果说是根号下 a 的 平方啊，平方在平方在里里面的情况下，我们是 a 的 绝对值，你就默认它出来是个正数啊，这根号不可能是负，是不是 啊？当然我们既然不可能为负的话，它在后面有一个非负性的一个考题，对吧？它和我们的平方放一起考。

八年级下册数学是初中数学的关键转折器，八下是正式进入了计算、逻辑证明、抽象函数的三重境界。今天我们详细拆解一下八下数学课本。 第一阶段，也就是代数工具的进阶，由数到式对应到第十六章二次根式，它是对七下实数章节的延伸，核心任务是掌握二次根式的性质，乘除于加减运算。 只有熟练掌握了这种带根号的运算，你才能在后面处理勾股定力的计算和函数的坐标运算，它是全书的基础算理工具。 第二阶段，几何逻辑的飞跃，从直角到多边形，对应勾股定力和第十八张平行四边形。核心任务是它建立了边与角的数值观念， 研究平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定性质，这是初中几何逻辑证明的重灾区。第三阶段是抽象思维的建立，也就是函数对应第十九章依次函数，这是全测最难的跨越，它结合前面坐标系和等式，开始研究变量之间的动态关系。 第四阶段，现实数据的处理，对应第二十张数据的分析，这是全数的结尾，回归到现实应用学习。数据的集中趋势，包括平均数、中位数、种数和不同程度，也就是方差。总的来说，和第十九张相比，其他都是小趴才。

没多少用户在，没。

二零二六的下学期，时间紧，任务重啊，一个视频把七阶、八阶和中大考这学期的重点给你理清楚。第一个七阶段的朋友啊，下册要注重的是我们相交线，平行线啊，这个几何的一个应用啊，特别是他要和我们的一个平面几何坐标系进行一个衔接，来考你期中期末的一个压轴题 啊。那其次就是我们的一个计算了，计算在一元一次的基础上，来到了一个一元一次不等式的内容上了，他的一个本质和我们前面学一元一次方程的 这个基本一致，会涉及到一些含参数的呀，包括求这个啊，整数值的呀，这些问题，各位掌握方法，把它训练到位就可以了。重点还是要把我们的一个相交线平行的几何问题啊，给他玩明白了，多练压轴题，多练综合题。那么我们北师的版本的同学旗下要把我们的全等三角形作为重中之重的去学习好。那么八阶段的重点是什么呢？各位， 八阶的重点就是在我们的平行形，矩形、菱形、正方形啊，这四个内容。第一个知识点要有逻辑性的去记忆啊，这个不用多说。第二个只有大量的去训练题目， 掌握方法，高效率的去训练题目是非常之关键的，各位同学不要怕困难，多去挑战压轴题和难题啊，八阶的功底扎实了，功底硬实了，你到九阶段啊，会舒服很多。好，各位，就这一个啊，来九阶段，九阶段，各位同学就要认真的去玩你当地所在的一个真题了， 如果全国各地近三年的一个真题啊，板块的内容你没有练够，那么就继续练，练完以后，最迟我们要到四月底五月初的时候，彻彻底底的全身心的来投入到您当地的一个中大考的真题训练，明白吧？哎，分板块的去训练， 最后可以再拿几套啊，整套的去训练，最重要的就是要把这个同一类型的错题做好整理啊。那么七接八接九接，刘老师强烈建议下册要把我们的错题本给它充分利用起来 啊。同一类型题目归类总结，在一个板块看的时候，能够快速的找到同一类型的你错误的点在哪里，及时的给他进行一个纠正。好了，同学，下册时间紧锣动，大家加油好吧！

先给八年级学生演示一下开学后第一周速通八年级下册从三月一日开始，边玩边预习，黑马直接冲进班级前。三。一、英语抓牢，各单元单词短语句型汇总，背熟会用，考试稳稳拿分。二、数学先看八下全册，知识点基础打牢再变也不脱离，再看常考的二次跟式 搭配，勾股定律，题型归类，做到灵活解析，冲高分。三、物理提前吃透，八下知识点梳理搭配，每日一练基础分，稳稳拿捏。四、语文下册要背诵的古诗文整理好了，按照知识清单的顺序背熟背透，再看经典长谈，考点梳理背熟就能轻松锁死高分。以上资料只有电子版，取件码二、四、六。

八年级下册大改版，难度进一步提升，预习切记不要买课本，课本上光秃秃的，什么都没有。可以看一下这本教材，讲解跟课本完全同步，包含课本原文， 逐字逐句作翻译，课上老师讲的单词和语法都有重难点讲解，这本教材讲解后面还有单词表，并且重难点单词还有批注，用来预习非常好用，快给孩子准备一本吧！ 八年级下册大改版，难度进一步提升，预习切记不要买课本，课本上光秃秃的什么都没有！可以看一下这本教材，讲解跟课本完全同步，包含课本原文， 逐字逐句作翻译，课上老师讲的单词和语法都有重难点讲解，这本教材讲解后面还有单词表，并且重难点单词还有批注。

朋友们好，我们进来看旋转图形的旋转课时一、旋转的定义与性质看第一题。数学来源于生活，下列生活中运动属于旋转的，是看第一个国旗上升的过程，这当然属于平移了， 对不对？然后在笔直的公路上行驶的汽车也同样是平移。工作中的风力发电机叶片，它是绕着那个这个这个风力发电机，这个这个风车的这个中心在旋转，对吧？所以它是个旋转的过程，没问题。输送带运输的东西也属于在输送带上 平移的一个过程啊。来看第二期，打乒乓球作为一项广受欢迎的体育运动，能有效提升一个人的灵活性和反应速度。如图，是一个打乒乓球的图标，该图标通过旋转可以得到的图形， 接下来哪一个？那 a 和这个圆图形来说，他应该是一个镜像的一个对称问题，对不对？ b 的 话，他是不是球的？这个球的位置的发生改变了，他肯定是错的，对吧？换了手 c， 这明显是先镜像旋转，之后再旋转，比如他现 变成一个 a 的 位置，然后 a 再通过旋转变成一个 c， 对 吧？所以它也不对啊，它是平移加旋转，然后四 d 呢啊，这明显是直接绕着它旋转就可以了，所以这个题选四 d 就 可以了。 看第三题，在体育课上，当老师下达口令向左转时，左脚正确的动作应该是什么样的？ 我相信大家都已经军训过，如果你做这道题不会的话，请你站起来自己向左转一下，发发发布一下这样的口令，然后你自己转一下，应该是以左脚跟为旋转中心，然后旋转，对不对？向左转？向 向左转的时候是逆时针转，向右转的时候是顺时针转，对不对？好了，所以左脚的正确动作应该是以脚跟为旋转中心，沿着逆时针的方向旋转一个九十度，是不是可以了， 对吧？好，这你看它跟实际生活接触的是非常紧密的。看第四题，如图，将三角形 a、 b、 c 绕点 a， 顺时针旋转到三角形 a、 d、 e 点 d 恰好落在 a、 c 上，则下列结论不一定成立的，是我们这样。

朋友们好，我们继续来看大招专题四，旋转中的全能模型，其实这块内容呢，就相对来说比较简单一点，原因就是因为手拉手模型呢，其实我们在七年级的全能三大那块已经接触过，所以他对我们来说已经是实战中经常见到的模型，相对来说比较简单， 但是我们还是要总结一下，我们来看一下吧。如图，一是边长，分别为 a 和 b 的 两个等边三角形，只偏 a、 b、 c 和 c 撇， d、 e 叠放在一起， c 和 c 撇重合组成的图形，并且告诉你 a 大 于 b， 那 就大三角形的边长是 a， 小 三角形的边长是 b。 好 了，操作，固定三角形 a、 b、 c 将三角形 c 撇、 d、 e 绕着点， c 按顺时针方向旋转二十度，连接 a、 d、 b、 e。 如图二线段 b、 e 和 a、 d 之间有怎样的数量关系？证明你的结论， 那个 b、 e 和 a、 d 对 吧？ b、 e 和 a、 d 之间的数学关系好， b、 e 在 这， a、 d 在 这，那旋转二十度呢？这个角是二十度，这个角也是二十度，对不对？好了，先我们来看，我们都知道这两个三角形全等，我们简单说一下，就不写这个过程啊，因为三角形 a、 b、 c 和三角形 c、 d、 e 都是等边三角形， 我们知道这个角是等于这个角，对吧？然后因为他这边有个公共角，所以这两个小角是相等，当然你也告诉我是旋转二十度，所以我可以直接得出这两个角是二十度也没有问题。我这个正法呢，主要是想说， 他是不是二十度都都不重要，是不是他选择任意任意度数他都会成立的嘛，对不对？好，再加上 c、 e 是 等于 c、 d 的， bc 是 等于 ac 的， 所以边角边三角形全等，而得出 b、 e 是 等于 a、 d 的， 是不是就可以了？我现在这个过程大家都会写，我就不在这重复啰嗦，浪费大家的时间了，手拉手，边角边的全等。 好吧，好了，那这就是第一小问， b、 e 和 a、 d 肯定是相等的关系，我们看第二小问，若将图一中的三角形 c 撇 d、 e 绕点 c， 按顺时针方向任意旋转一个角度， r 法 连解 a、 d 和 b、 e。 如图三线段 b、 e 和 a、 d 之间是否仍符合 e 中的结论？若是证明，若不是，直接写出 b、 e 和 a、 d 的 生成关系依然是成立的，不管你旋转多少度，它都是成立的。

朋友们好，我们再来看第三课，是中心对称。做题之前，我们首先先说明一下什么是中心对称？绕着某个点旋转一百八十度之后，依然可以和原图形重合，它就叫做中心对称图形，对吧？那说明这两个图形关于某个点 呈中心对称，那那个点叫做对称中心，好吧，一定是旋转一百八十度能和圆图形重合。好，我们来看一下题目，下列四组图形中，左边的图形有，右边的图形呈中心对称的有几组？有几组？ 第一种肯定不是，这明显是一个轴对称图形，对吧？那你不能说，哎，我旋转，我这个东西旋转一百八十度跑到这去了，那明显就变成这个，在下这变成还是他了，对不对？那第二个就是，你看他旋转一百八十度跑到这个位置，他还在这，没错， 他旋转一百八十度跑到这个位置，他在这，没错呀，所以他就是一个中心对称图形，对不对？你你自己要弄明白啊，这个点旋转一百八跑他去了， 所以这个地方还是这样，对吧？那这个开口的位置跑到下面去了，所以他成立的，那同理，第三个是不是也是中心对称图形， 对吧？那第四个呢？是不是呢？是没问题啊，旋转一百八十度，六九变成九，这个我们都常识知道，那如何找他的对称中心呢？那对称中心就是将对应点连线之后，那这些连线的焦点就叫做什么对称中心？刚才我们在前面讲这个， 这个叫叫旋转中心。旋转中心指的是什么呢？对应点连线的垂直平分线的焦点叫做旋转中心，明白了吧？所以二三四都是，所以这个题应该选择 c 选项啊。 我们再来看第二题，如图，三角形 d， e， c 与三角形 a， b， c。 关于点 c 成中心对称，那就说明这两个图形应该是全等的关系，对吧？既然中心对称，所以 d e 等于 a b c， a 等于 c， d， b， c 等于 c e， 这是我们都知道的东西，那也自然也就是一个八字全等啊。现在 a b 等于六。

我，我没有一题看得懂啊，渣男 朋友们好，今天我们来看一下八年级下册的数学北师大版，新版的第一题啊，我们在第一节中学了三角， 三角形，内角和定角讲的是什么啊？就总结为一句话，三角形三个内角的和等于一百八十度啊，内角和定角，顾名思义，那我们来看一下其题一点一的第一题。 好，下面开始读题。在三角形 a、 b、 c 中，已知角 a、 角 b、 角 c 的 度数之比为 四比三比二。让我们求角 a、 角 b、 角 c 的 度数，朋友们思考一下怎么做呢？啊？会不会做我们先先要写一个什么？先要写一个解 啊，关键信息，我们省题的关键信息就是三个角的之比是四三比二，那 就相当于啊，三角，三角形，三角之合总共分了几个呀？分了，四加三加二等于多少？ 四加五等于九份是吧？等于九份。那角 a 等于多少？角 a 是 不是等于三角形的内角和弧是总共一百八十度？角 a 是 九份，中和四份啊，是不是九分之四乘以一百八十 啊？等于多少？二十八十是吧，约等于八十度啊，应该不会了吧，也就说三角形的内角和是一百八十度 啊，就是 abc 三个角相加是一百八十度，那它们占比是四三比二 啊，总共是九份，分了吧？一百八十度分了九份，其中角 a 占了四份，角 b 占了三份啊，角 c 占了两份。 那我们那你能算出来角 b 和角 c 吗？啊，那角 b 是 不是就等于九分之三乘以一百八十度等于多少六十度 啊？九 c 等于九分之二乘以一百八十度等于多少？四十度 对不对？我们看一下四十加六十加八十是不等于？验证一下是不等于一百八十度？好，这道题就是这么简单。 好，今天课就上到这里，关注张老师，张老师持续更新八年级下啊，每节课后面的 c 题，下下节课咱们讲第二题，记得点赞关注哦！

朋友们好，我们继续来刷题生看第一题。下列在平面直角坐标系中会出的图案，既是中心对称图形，又是轴对称图形的事，你先一个个排除啊。 轴对称，这没问题，轴对称，这没问题，轴对称没问题，轴对称没问题。大家都是轴对称，那只要看中心对称就可以了， 他明显不是中心对称，对吧？他不管怎么转，哎，绕着他旋转一百八十度，这个点肯定跑到上面去了，那就可能跑到上面去了，虽然是人，不可能重合，你会发现正极数边形都不可能是中心对称图形。第五，这是五边形呢，他也是一个道理，他旋转一百八，属于跑到下面肯定也不行啊，重合不了， 哎，他又可以。你看，你确定一百八跑这边去了？你确定一百八跑这边去了？你确定一百八跑这了？你照到这，你到这，所以 c 是 完全可以的， c、 d 不 可以确定一百八，小的变大的，大的变小，这肯定不合适，所以不对啊。第二题， 如图，平面直角坐标系中三角形 a、 b、 c 的 顶点 a 在 第一项线点， b、 c 的 坐标呢？分别是二度角一和六度角一。观察看来，纵坐标是相等，所以 b、 c 是 平行 x 轴的， 并告诉你， b、 a、 c 是 一个九十度，而且 a、 b 等于 a、 c， 所以 a、 b、 c 是 一个等腰直角三角形，那意味着 a、 b、 a 点的坐标我们就能求出来了，对吧？它是二都好，一它六都好，一二加六等于八，八除以二等于四，所以 a 点的坐标就是四， 那横坐标是四，那纵坐标呢？因为这些长度是一个六减二的，四，这一长度就是二，这一长度也是二，对吧？它是二，那 b 点的纵坐标是一，所以它就是三四逗号三，就是二加一的问题嘛。所以 a 点坐标我们也穿啊。当然我们要求这个 解一式的话，不一定非得求 a 点坐标，当然我们要求 a 撇点，所以才要求 a 点，明白了吧？好了，他现在告诉我，如果三角形 a b 点 c 点关于点 p 呈中心对称， 那就意味着它们应该是全等的关系，绕着点 p 旋转了一个一百八，对不对？所以我们只需要求出 p 点坐标，然后 a 撇 p 和 a p 应该是相等的关系，也是 p 点是 a a 撇的中点坐标，所以其。

朋友们好，我们就来刷题生看第一题。如图，在平面直角坐标系中，点 a 负一，逗号零与点 b 关于 y 轴对称，那 b 点坐标就是一逗号零。 先将图中的月牙一绕着点 b 顺时针方向旋转一个九十度，得到月牙二，则点 a 的 对应点 a 撇的坐标是多少？ 既然旋转九十度，那绕着点 b 旋转九十度就是 b， a 绕着点 b 旋转九十度到 a 撇的位置就是垂直的位置，而且旋转前后的线段长度相等，所以 a、 b 必然等于 a 撇 b， 这是二，那这个也就是二，所以 a 撇横坐标就是一，纵坐标就是二。所以这个题呢，选择 a 选项就完事了。 看第二题，在三角形 abc 中， ab 长度等于六，将三角形 abc 绕着点 b， 按逆时针的方向旋转三十度，得到三角形 a、 e、 b、 c、 e， 那 意味着这个角是三十度，这个角也是三十度，那图中阴影部分的面积是多少？ 好，我们一看这个阴影部分，它呢，并不是一个规则的图形，对不对？所以我们现在先这样看它。 我们知道旋转前获得两个三角形是全等，所以三角形 a、 b、 c 和三角形 a、 e、 b、 c、 e 应该是全等的关系。也就说，如果这个空白的部分，我把它写成一，这个空白部分写成二，然后这个阴影部分我们给它写成三，这个阴影部分我们给它写成四的话， 根据面积相等，我们知道其实一加上一个二的面积，就是三角形 a、 b、 c 的 面积，然后二加上三的面积，三角形 a、 e、 b、 c、 e 的 面积。所以我们知道了，其实一号的面积是等于三号的面积的， 你让我们求的是阴影部分，也就是四号面积加上三号面积，那说白了，因为一等于三，所以就是一号的面积加上四号的面积，一号面加四四号的面积是不是就是 s 三角形 a， b， a， e 的 面积啊？所以应用部分的面积呢？从不规则图形就转换成了一个规则的三角形的面积。那我们来求这个三角形面积就可以了，它是六，它是六，它是三十度，有特殊角，当然把它放在直角三角形里面，所以我们过点 a 直接做它的垂线一比。

八年级下册大改版，难度进一步提升，预习切记不要买课本，课本上光秃秃的，什么都没有，可以看一下这本教材，讲解跟课本完全同步，包含课本原文， 逐字逐句作翻译，课上老师讲的单词和语法都有重难点讲解，这本教材讲解后面还有单词表，并且重难点单词还有批注，用来预习非常好用，快给孩子准备一本吧！ 八年级下册大改版，难度进一步提升，预习切记不要买课本，课本上光秃秃的什么都没有！可以看一下这本教材，讲解跟课本完全同步，包含课本原文， 逐字逐句做翻译，课上老师讲的单词和语法都有重难点讲解，这本教材讲解后面还有单词表，并且重难点单词还有批注。 啊 啊啊。

今天我们一起来学习八年级下册勾股定律，张杰比较喜欢考察的与两点之间的距离公式。在平面直角坐标系中，已知点 a 坐标是一到负五， b 坐标为负三到七，求这个线段 ab 的 长。我们一起来先画一下图 平面向量坐标，其中找到这两个点， a 点坐标一等，负 b 点坐标负三度计算，就是求这个线段 a、 b 的 长度。其实咱们知道点的坐标反映的都是直接点到 x 轴和外轴的距离，就这个具体的数字都是它们到 x 轴外轴的距离。 这时候想计算 a、 b 这样的长度，我可以去构造一个直角三角形，就横平竖直的构造一个直角三角形，这时候我发现这个直角三角形的直角边是可以通过他们两个点的坐标去反映， 能把这个质点状给画出来。比如说我们做 a， c 平行于 x 轴，做 b， c 平行于 y 轴， a 相交于点 c， 这 时候是不是构造出来一个质点状线， a、 b c。 这我们发现 a、 c 这段的长度其实就是 a 点和 b 点横坐标的差值，从正一到负三，那就是一减去负三，就是 c 竖着的方向的话，是 b 点和 a 点纵坐标的差值，那就是七减去负五，那就是十二。这个勾造出来这个是要找出 a、 b， 它就应该等于根号下十二的时候，加上四个平方，这里面十二能看成三乘四，那就是三平方除以四平方，加上四平方， 把四平方提到外边，由四倍的根号下三方加一，就等于四倍的根号十，哎，这就能计算出 a 几的乘以。其实借此机会的话，我们就可以把它总结成一个公式，叫做两点间距离公式。我们假设 a 点的构造，就直接定义成 x 一 多吗？ y 一， 把 b 点的坐标设为 x 和 y， 如果坐标都是随机的，能不能把它组成这个公式来计算？ a b 其实一样，就是无论它如何随机，我都是能够造出来类似于这样的直角三角形 a c 这条边的话，还是 a 和 b 点横坐标的差值。但是有的同学可能在说怎么发这个位置， b 在 左， 有可能还 b 在 六，那没关系，假的绝对值最小就是他们两个横轴标差值的绝对值，等于竖着的话，到这两边就是纵轴标差值的绝对值，那这个 a b 它说就在等根号下 x 一 加 x 二绝对值符号的平方，那不就还是 x 一 减去 x 二符号的平方了， 再加上 y 减 y 二绝对值的平方，还是 y 一 减去 y 二后的平方，这个公式的话我们就叫做平面，这样做到线的两点间距离公式。那同学们可以记填空题或者选择题，是可以直接应用啊，有什么问题啊，同学们可以在评论区给我留言。