江苏初二下四边形基础知识

哇哦，别看这道题的图形非常简单，但是老王敢说很多孩子不一定能做出来。说到八年级下册的四边形证明题，老王是比较偏爱南京的考题的，有时候他就会给这样非常简单的图形，但是呢，给的条件又不是明显的判定定律，往往需要孩子们认真去拆解的， 而并不是将图形本身搞得非常复杂，其实无非也就是一些条件的堆积。而且老王还专门整理了去年书科版四边形证明题，三十题 都选自于江苏期中考试真题，都是去年的真题，想必这个寒假孩子已经预习过了，那么正好可以用这三十道题作为一个检验。这种题型在试卷里应该不算是特别难的题目，是每一个娃都应该立正做对的题。 咱们来看这道题，说四边形， a、 b、 c、 d 满足角， a 等于角， c 大 于九十度，说明这两个角相等，且都是钝角，而且还有 ab 等于 c、 d。 要证明四边形是一个平行四边形。首先，平行四边形一共有四种判定方法，一个呢是它的定义，两组对边分别平行的四边形，我把它叫做平平。 还有就是两组对边分别相等的四边形，我把它叫做等等。还有就是一组对边平行且相等的四边形，我把它叫做平等。还有就是两条对角线互相平分的四边形，我把它剪辑为对分，就是这样八个字。那么咱们来看题，这道题其实已经给出了一组对边 相等，在有了一组对边相等的情况下，通常是两条路，要么去证明另外一组对边也相等，或者证明这组对边本身还平行， 屏幕条件呢，虽然给出了两组相等的要素，但是没有办法直接去证明 a dog 和 b、 c 相等，或者 a、 b 和 c、 d 平行。 比较容易想到的可能是去挣全等，比如说我们把这个 b、 d 连起来，那么对于这样两个三角形而言，看起来像是全等的， 如果他们全等确实可以挣出 a、 d 和 b、 c 相等，从而推正平行四边形。但是仔细一看呢，这一组公共边相等，然后这个角等它构成的是什么呢？构成的是 s、 s、 a 呀，边边角没有办法判定全等，更不可能去连接 a、 c， 这样的话，把相等角破坏以后，更加挣不出全等了。那咋办呢？这个角相等的条件其实也可以转化一下 角等，代表他们的零补角也会相等，比如我做出这两个角的零补角，那么这两个小圈圈角一定也是相等的。这样的话呢，题目条件就变成了这组边等，以及这组角等， 我们能不能依靠这组边和角来构造全等三角形。这时候呢，根据解析经验可知，实际上我们最好去构造直角三角形全等。 于是啊，咱们可以考虑直接过点 b 向 a 道去引垂线啊，垂足为 e。 同样的，咱们过道点去做 b、 c 垂线啊，垂足为 f。 我 们构建出这样两个直角三角形，它们俩其实是全等的，这个比较好正这一组边等啊，这一组角等，以及我们构建出的两个直角，它是角角边啊。所以全等全等以后呢，肯定可以提供出更多的相等要素，比如说 b、 e 和 b、 f 就 相等了，这个 a 一 呢，和 c、 f 也就相等了，可是这一组全等对于我们正平四有什么用呢？别着急嘛，我们一开始可能想用两组对边分别相等来正平四嘛，我们需要得到的是 a dog 和 b c 相等，直接正不出来的话，一旦我们得到这里有全等， 那么它其实增加了更多的帮手。比如现在 a 一 和 c f 相等，其实只要证明 dog 一 和 b f 相等就可以了， 而他们俩的相等是不难证明的，只需要把 b dog 连起来啊。那这时候这两个比较大的三角形肯定是全等的。首先他们都是直角三角形，其次有一条公共的斜边。刚才我们又证明了这两条边相等， 我们用 h l 斜边直角边就可以证明他们全等。全等以后，那这个 dog 一 是不是等于 b f 呢？再扣掉两个相等线段，那么 a dog 一定会等于 bc， 于是对于这个四边形而言，两组对边分别相等，所以它一定是一个平行四边形。 多做这样的好题，才能极大地提升孩子对四边形性质和判定的理解。最后呢，我把自己写的证明过程呈现上来，供参考。

如果您家娃在江苏八年级，您是不是正在寻找这样的题优课，就是这个题优课呢？它要聚焦于校内考试重难点，同时呢又要由浅入深的去讲清楚这些难题背后的底层方法，而且还要提供课后作业，并且每道题都要提供视频讲解， 最好呢每周还能够提供一些压轴题进行额外的打卡，而且每个打卡的压轴题都要提供讲解视频。 如果您也是这么期待提优课程的，那么这个视频老王就跟大家讲一讲我的八年级下册提优是如何构成的。 咱们先看一下苏科版八年级下册的章节安排，前面两张是不需要进行提优的，咱们主要从第八张开始，四边形，四边形呢会安排比较多的刻字，因为它实在是太过重要， 也可以说他是咱们八下唯一的一个超级重难点。然后这个第九章英式分解，包括这个分式啊，各一次提优课就可以了，这个二次根式呢，不会额外的去安排提优。 这整个教材中的八年级下册内容在期中考试之前基本就可以搞定了，那期中之后干什么呢？那就是学习九年级的两章，一个呢是反比例函数呢，我在寒假的时候已经给他们预习过了，开学后直接就是提优。关于这个反比例函数呢，是比较复杂的， 春季也是默认您已经预习过了，春季的话是直接对反比例函数进行提优。那如果您将没有预习反比例也不打紧，因为你只要拍了春季提优， 这个反比例函数的预习录播课是直接赠送给您的，您只要保证在期中考试之前能够学完就可以了。接下来呢，咱们说一说老王的苏科八下提优到底是怎么构成的。 首先呢，就是每周安排两个小时直播授课，期中考试之前呢，把八年级下册教材里面内容讲完，期中之后就学反比例和一元二次方程的题用。最后呢，进行一个期末复习。 对，在这个两小时的直播授课里，咱们讲清楚重难点题型的解题方法，我认为这个非常重要。选择题呢，都是集中在校内考试里的中档和压轴题，基础题的话呢，几乎是没有的，因为寒假已经搞定了呀， 压轴题的比例大致占到六成以上。另外呢，每一次作业啊，这个不在直播课上讲，而是另外录制视频讲解，并且在周中下发，由孩子自行学习，不会占用直播课的授课时间。 到这里还没完，我们还有一个非常关键的东西，就是这个压轴题打卡。每周啊，我们还会给孩子们配备六道压轴题进行打卡，题目是长这个样子的， 都是从往年江苏大考试卷里面去挑的压轴题啊，填空选择压轴题包括解答题，压轴题既提供文档答案，最核心的是，这里每一道题都提供了老王的讲解视频，一共是八十几个讲解视频， 光这些讲解视频其实都已经直回票价。然后在平时的一些考试节点，像期中期末考试之前，我都会下发一些往年的专题试卷供大家练习。以上呢，就是老王整个的八下题优的一个安排， 如果您家娃在江苏八年级基础还可以，想要冲刺校内考试的高分满分，那可以考虑跟着老王一起来提优，新的学期咱们一起加油！

大家好，今天我们要讲的是平行四边形的判定。 首先我们要先回顾一下上次我们讲到关于平行四边形的概念与性质，那么什么叫平行四边形呢？定义当中他讲到两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形啊，两组对边 分别平行的四边形，它叫平行四边形，那么这个是关于它的概念。接下来我们讲到它的性质，首先第一个性质是平行四边形的对边 相等、对角相等，这是第一个性质。然后第二个性质我们讲到了平行四边形，它的对角线互相平分 啊。然后上一个课时当中我们讲到很多东西，有关的一些证明，大部分是运用到了平行四边形的定义，然后再加上呃，全等三角形的证明，我们去得到了一些线段相等、角相等的。那我们今天看到平行四边形的判定。 什么是判定？和我们上节课讲的性质，它的区别在于性质的前提是我已经知道这个东西就是平行四边形，那么它会具有什么特征 啊？然后就像我们之前学过这个直角三角形，我们说如果我知道它是直角三角形，我们会知道它有个角是九十度，然后还会知道它满足勾股定律，直角边平方和等于斜边的平方， 对吧？那么如果说平行四边形的性质，我们就是刚刚复习过的，它具有对边相等、对角相等、对角线互相平分。 你接下来我们要去判定这个四边形是平行四边形的话，有什么办法呢？我们看他说那么他的两组对边分别平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，反过来四边形满足哪些条件？ 那他就一定是平行四边形了呢？我们做了一个小实验，他说用两组等长的细木条做一个四边形小木筐，问他一定是平行四边形吗？ 小男生说，我感觉不管怎么变形，他都是平行四边形。这个就回到了我们上一个课时当中说把一个这个长方形，我把它进行 形状改变，变形的过程当中它的量啊，图形、位置这些关系是否会发生变化，那我们就会发现这个地方啊，我们说，呃，用手在 对的顶点这两个地方，我把它进行位置的移动啊，位置的移动，但是先前先决的条件一定是两组等长的细木条，所以这条边和这条边呢，也一定相等 啊，那么它一定是一个平行四边形。我们的证明要怎么去说？我们来看到下面的八杠八，他说如图，八杠八在四边形 a、 b、 c、 d 中， ab 等于 cd， 等于得 a， 连接 ac 之后，我们可以通过三角形 a、 b、 c 和三角形 c、 d、 a 全等 得到角一角二相等，角三角四相等，从而可以根据内错角相等得到两直线平行，也就可以判定出来我们这个四边形是平行四边形。 于是通过这个实验，我们可以得到平行四边形的第一个判定定律就是如果两组对边相等的四边形啊，如果有两组对边分别相等，那么这个四边形它一定是平行四边形， 一定是平行四边形。我们看到下面这个绿色方框内，而如图，在四边形 a、 b、 c、 d 中，先决条件一定是四边形 a、 b、 c、 d 中 a、 b、 c 等于 c、 d、 b、 c 等于的 a 问，而他说，那么四边形 a、 b、 c、 d 一定是平行四边形啊，一定是平行四边形，这是关于它的第一个判定定律。 好，我们接着往后面看。接下来提出一个问题，说，如果四边形只有一组对边相等，那么能否判定它是平行四边形呢？这个时候我们就想到，我们在这个小学阶段学过一个叫等腰梯形，对吧？ 好，然后我们还学过嗯，很多其他的四边形。那我们就看到小男生说把等长的铅笔这样摆放得到的呢？不是平行四边形，为什么 等长？我只是保证了这条和这条一样，没有保证这个，剩下两个一样，对吧？所以他不是平行四边形。然后小女生说如果平行摆放， 看到了，他不是等长了，他说如果平行摆放，那么这个四边形就是平行四边形。小女生说的话对不对呢？我们来接着往下看说。如图，八、杠九、在四边形 a、 b、 c、 d 当中， ab 平行 c、 d， a、 b 等于 cd。 连接 a、 c 之后，我们可以根据 a、 b 平行 cd 得到内错角角一等于角。二，又因为题目给的 a、 b 等于 cd， 公共边 c、 a 等于 ac， 所以 我们可以证明到三角形 abc 和三角形 c 的 a 是 全等的，于是 我们得到了 a 的 等于 c、 b， 也就正出来了，两组对边分别相等，对吧？那这个四边形它就是平行四边形。所以通过这个实验，我们得到了第二个判定顶点一组对边 平行且相等的四边形是平行四边形。 我们看到绿色方框里，好，如图，在四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 平行 c、 d、 a、 b 等于 c、 d， 那 么这个四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形， 这个是他的第二个判定定律。然后我们看到例三，如图八杠十，在平行四边形 a、 b、 c、 d 当中看好了，给了一个大的平行四边形 a、 b、 c、 d， 然后点 e、 点 f， 分 别在边上满足一个条件， a、 e 等于 c、 f 连接 b、 e 的 f。 要我们求证四边形 b、 f 的 一是平行四边形，你说要证明这个小的是平行四边形，那这个我们要怎么去证明？ 这个我们要怎么证明？首先我们来看到，呃，关于这个平行四边形，关于这个四边形，我们有没有已经知道的条件？比如说我有没有知道边相等，或者有没有知道边平行， 对吧？因为我们两个判定定律当中，一个是两组对边分别相等，一个是一组对边平行且相等，那题目当中给到了一个大的平行四边形 a、 b、 c、 d 还给到了一组边相等，我们就想到如果我要证明 b、 f、 d、 e 是 平行四边形的话，我只要证明 d、 e 和 b、 f 是 相等的就可以，为什么？因为 d、 e 和 b、 f 是平行的，这是怎么来的呢？这是因为大的这个平行四边形 a、 b、 c、 d 可以 得到的，所以我们的证明过程就可以这样写，说因为四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，所以 a、 d 等于 b、 c、 a、 d 平行 b、 c。 接下来题目提供的 a 一 等于 c、 f， 我 们就可以得到大减小啊，大减小得到 a 一 得一等于 b、 f， 所以 这个加上这个我们就可以证明到四边形 b、 f、 d、 e 是 平行四边形，它运用的是判定零点二，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 接下来看讨论将线段 a、 b 平移至得 c 的 位置， 重点平移连接 a 的 b、 c 得到的四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形吗？ 为什么？首先我们来看到这个图形啊， a、 b、 c、 d 四边形满足了，那我通过判定定律一或者判定定律二去判定。我们来看我们是用两组对边分别， 我们是用两组对边分别相等呢？还是用一组对边平行且相等来判定呢？首先我们来看到题目当中给到的 ab 平平移到得 c 的 位置，那说明 ab 和得 c 的 长度是一样的， 对吧？长度是一样的，在接下来平移它还满足什么？平移它满足 两直线原来的位置它是平行的啊，两个线段原先的位置它是平行的，所以我们可以用一组对边平行且相等来判定 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，也就是判定顶点二。 接下来我们看练习。第一个如图，平行四边形 a、 b、 c、 d 的 平分线 分别交对角线于点 m， 点 n， 这个地方我们要读了对应啊， b、 a、 d， 它的这个是对角线，呃，这个对角线和平分线交的是点 m， 所以 我们知道 am 它是一条角平分线，那么同样的 c、 n， 它就是 b、 c、 d 的 角平分线，然后连接 a、 n、 c、 m， 要我们求证 a、 m、 c、 n 是 平行四边形， 这个怎么整？我们来看到，首先我想要证明它是平行四边形的话，我得先找找它有没有边相等，或者说有没有边平行，已经知道的对不对？那目前看来，我们， 嗯，如果说想要找到这个平行的话，我们得正角相等，对吧？如果说我想要找边相等的话，那我们看看是不是要正全等，或者说，呃，通过刚刚那种立三的那种大减小 长边减短边啊？然后我们来看到，首先 abcd 是 平行四边形，那我们就可以知道，比如说 ab 平行得 c a， b 等于得 c， a 的 平行 bc a 的 等于 bc 啊， 同样的，因为它是平行四边形，所以它的对角角 b、 a 的 和角 b、 c 的 应该相等，角 abc 和角 a、 d、 c 也应该相等。接下来我们就要看到题目给出的 条件，平分线啊，那么平分线我们可以得到 b a、 m 等于的 am， 还有角 b、 c， n 等于角，得 c n 啊，那这个就可以结合到我们刚刚 写到的这个 b、 a、 d 等于 b、 c、 d 啊，那如果大角相等，他们的角平分线平分的这个小的角，也就是他的半角应该也是一样的，也就是说我通过它加上我们这个平分线的条件，我可以得到角 b， a、 m 就 等于角， 嗯，得 c n， 对 吧？等于得 c n。 好， 我们接下来再来看，那么如果说我能够证明到这个三角形比 a、 m 和这个三角形得 c、 n 全等的话，我是不是就可以得到 a、 m 和 n c 相等了？也就和我这个小的四边形挂钩了，对不对？那我们来看看条件是否充足呢？首先我们刚刚证明到这个已经有了，那么接下来再来看 a、 b 和 得 c 相等，这个我们刚刚也写了，对吧？那我应该还缺一个，对不对？那我们来看 a、 b 平行得 c， 我 是不是可以得到这个内错角 a、 b、 m 和这个角 c 的 n 是 相等的呀？对吧？所以我们就可以得到 a b 等于得 c， 再加一个角 a、 b、 m 等于角 c 的。 嗯，两个三角形用角边角判定全等全等之后呢， 我就可以得到 a m 等于 c n， a m 等于 c n。 那 么同样的办法，我也可以证明这个三角形 a 的 n 和这个三角形 c、 b、 m 全等全等之后怎么办呢？全等之后我可以证明到 这个 a、 n 和 c m 相等的，所以它俩 结合起来，我就可以两组对边分别相等的四边形是平行四边形，也就是用判定定律一来进行判定。 好，我们接下来来看下一个第二题，分别判断满足下列条件的四边形是否为平行四边形。第一个，两组对角分别相等， 两组对角分别相等。如果说两组对角分别相等，我们先画一个四边形，我不知道这个四边形是不是平行四边形，他说两组对角分别相等，这个角和这个角相等，然后呢，这个角和这个角相等， 这个时候我们要怎么去判定？我们是发现他如果是四边形，他会存在一个内角和三百六十度， 对不对？那这四个角相加等于三百六十度，其中一组这个角一和这个角二相加，它就应该等于一百八，同样的，这个角一和这个角三相加也应该等于一百八，所以我就可以证明出来， 这个和这个平行，左边和右边也平行，那么这个四边形自然也就是平行四边形了， 那么这个四边形自然也就是平行四边形了。我们接下来看第二小问，他说一组对边平行，另一组对边相等， 问这是否是平行四边形？这个我们举一个我们刚刚提到的一个例子，比如说等腰梯形，我就把这个这个 判断出来了，他就是错误的，为什么？因为等腰梯形，他就是有一组对边平行，另一组对边是相等的啊，所以这个是 不行的。一是可以的，我们接下来看抛出来的问题。平行四边形的对角线是互相平分的，这是我们全前面学到的它的性质。反过来他说如果一个四边形的对角线是互相平分的，那么这个四边形会是平行四边形吗？ 我们来看这个我要怎么去解决呢？小男生说用塑料棒和橡皮筋做成对角线互相平分的四边形，我感觉啊，它是平行四边形，小女生说肯定是的，为什么？因为它是中心对称图形， 这个我们在上一个课时当中也提到了这个概念，对吧？那我们来看如图八杠十一、在四边形 a、 b、 c、 d 中，对角线 a、 c、 b、 d 相交于点， o、 o a 等于 o c、 o b 等于 o、 d， 这两个也就是说对角线互相平分啊，也就是说对角线互相平分。那么接下来我们说由 o a 等于 o c， 角 a、 o b 等于角 c、 o d、 o b 等于 o d， 我 们可以证明到 a、 o、 b 和 c、 o、 d 全等，所以 a、 b 就 等于 c、 d 了。同样的道理，我们再证明 a、 o、 d 和 b、 o、 c 全等，我们就可以得到 a、 d 等于 c、 b， 所以 两组对边分别相等的四边形，它当然就是平行四边形了。 那么接下来我们就得到了平行四边形的第三个判定定律，对角线互相平分的四边形是平行四边形。 我们看到绿色部分，如图，在四边形 a、 b、 c、 d 中，对角线 a、 c、 b、 d 相交于 o， 如果 o、 a 等于 o， c、 o、 b 等于 o、 d， 那 么这个四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形 a、 b、 c、 d 中点 e 点 f， 在 对角线 a、 c 上， a 等于 c、 f 连接 b、 e、 e、 d、 d、 f、 f、 b。 要我们证明 e、 b、 f、 d 是 平行四边形， 那我们看到这个例题既然放在了咱们判定定的三之后，那我就要去想，我能否通过对角线互相平分来证明出这个四边形是平行四边形呢？首先， a、 b、 c、 d 是 平行四边形，我如果把对角线连接起来， 把 b、 d 连接起来，和这个 a、 c 相交于点 o， 我 会发现 a、 o 和 c o 是 相等的， b、 o 和 d o 也是相等的。那么对于我这个小的四边形 e、 b、 f、 d 而言，我 b、 o、 d、 o 相等，正好也是它的 一根对角线吧，对吧？所以我这个时候，如果我证明到 e、 o 和 f、 o 是 相等的话，他俩加起来，我是不是就能够证明到我这个 四边形 e、 b、 f、 d 是 平行四边形了？那这个时候我们就会发现 e、 o 的 和 f、 o 他 与我这个 a、 o、 c、 o 之间有什么关系呀？ 出现了一个大减小，对不对？如果 a、 o 减去 a、 e， 它是不是就是 e、 o 了？那么如果 c、 o 减去 f、 o， 它就可以得到 c、 f， 所以 这个大的是相等的，小的也相等的，那剩下来也应该相等啊，也应该相等。那我们看一下后面的证明过程， 他说因为四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，所以 o a 等于 o c， o b 等于 o d， 然后又因为题目给的 a 一 等于 c f， 所以 o a 减去 a 一 就等于 o c 减去 c f， 也就是 o e 等于 o f 了，那也就是说这个条件 o、 e 等于 o f， 加上这个条件 o、 b 等于 o、 d， 我 就可以得出我这个四边形是平行四边形，运用的是判定定律。三、对角线互相平分的四边形是平行四边形。 然后我们来看到下面练习如图，将三角形 a、 b、 o 绕点 o 旋转一百八十度，得到三角形 a 撇 b 撇 o 连接 ab 撇和 a 撇 b。 问，四边形 a、 b、 a 撇、 b 撇是平行四边形吗？我们就来看啦，我们把这个三角形进行绕点旋转，我们就要知道旋转前后对应的边它是相等的，比如说 a、 o 和 a 撇 o， b， o 和 b 撇 o， 那 么这个就很显然能够看到，是我们刚刚讲的判断定零三当中对角线互相平分的四边形是平行四边形的吧。啊，这个就相对而言比较简单一点，对不对？那么证明的过程我们要怎么写呀？就因为旋转，所以 o、 a 等于 o a 撇， o、 b 等于 o、 b 撇，然后所以四边形 a、 b、 a 撇 b 撇是平行四边形，运用的是平行四边形的判定定例。三、接下来我们来看第二题， 如图，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中，对角线 a、 c、 b、 d 相交于点 o、 e、 g 分 别是 o、 a、 o、 c 的 中点， 然后点 f、 点 h 分 别是 o、 b、 o、 d 上靠近点 o 的 三等分点， 连接 e、 f、 f、 g、 g、 h、 h、 e 之后要我们证明 e、 f、 g、 h 这个小的四边形是平行四边形 啊，平行四边形，那么它的对角线已经都连好了，就是大的平行四边形 a、 b、 c、 d 的 对角线连好了，然后小的这个四边形，它的这个对角线的点呢？正好在我大的对角线上，所以我也是往 判定定义三这个方向去考虑。也就是说我要证明到 e o 等于 o g， f， o 等于 h o， 这样我就可以得到我这个四边形是平行四边形了。那我们要怎么去证明呢？首先因为四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，那么 a、 o， 它就等于 c， o， b o， 它就等于的 o， 对 吧？然后接下来他又说点 e， 点 g 是 o a， o c 的 中点， 那说明 o e 就是 o a 的 一半， g 呢？是 o c 的 一半，那也就 o e 等于 o g 了吧，对吧？然后我们接下来再看，他说点 f， 点 h 是 o、 b， o， d 靠上靠近点 o 的 一个三等分点，那也就意味着 o f 等于 o b 的 三分之一， o h 等于 o d 的 三分之一，所以 o b 和 o d 是 相等的情况之下，那么 o f 和 o h 也就相等了吧。那我们是不是就可以得到这个了呀？所以这个四边形，它就是平行四边形。

八年以下寒假预习打卡，打好基础，开学不落后，跟着大 z 老师现在就预习起来。 好，同学们，今天我们讲举行的第二部分，判定定例啊，我们上节课讲的是举行的一个定义，以及举行的性质定例，那么 举行的性质定例和判定定例有什么样的区别？我们之前也讲过啊，那我们今天再稍微提一下咱们性质定例呢，就是我已经知道他是举行，那么他有什么样的一些特性， 那么判定定律是什么意思呢？也就是说我们满足什么样的条件，我能判断出来它是矩形啊，这是两个正好，是什么相反的一个推导过程啊。我们今天看第二部分内容，看他的判定定律，也就是说我们满足什么条件，我们可以判断这样的一个四边形是一个矩形啊。好的，我们先来看第一个判定定律， 第一个判定定律是三个角是直角的四边形，它是一个矩形啊，它是个矩形。好，我们来看一下，首先它应该是一个四边形，对不对？好，然后四边形需要有什么样的条件？它三个角都是直角啊， 那这样子一个四边形，咱们叫做一个矩形啊，就可以判断出来它是矩形，那是怎么判断出来的？我们根据上一节的内容啊，我们知道矩形的定义是什么样子的， 矩形的定义是有一个直角的平行四边形，它是矩形，是不是？好，那么我们来看一下这个判定定律，我们来做个简短的推导啊，我们要知道有这样的判定定律，而且我们要知道为什么它可以判断它是个矩形啊？我们以下面这个四边形 a、 b、 c、 d 为例啊，这样的一个四边形，我们来看，如果说他有三个角都是直角，我们来看看他是不是矩形啊？我们任意取三个角，他是直角啊，他说我们是角 a 是 直角，我们角 b 是 直角，我们角 c 呢？也是直角啊，我们这三个角是直角，那我们来看一下他有什么样的特性啊？ 好，我们看角 a 和角 b， 如果他是直角，那么我们是不是可以判断出来 a、 d 就平行于 b， bc， ad 是 不是平行于 bc？ 为什么啊？因为我们 ad 和 bc， 然后还有这个 ab 这三条线 构成了什么？同旁内角，对吧？我的角 a 和角 b 是 不是同旁内角？而我角 a 和角 b 两个都是直角，它加起来是不是一百八十度？我的同旁内角加起来是一百八十度，那么我们是不是可以得出来 ad 和 bc 就 平行了，对不对？好的，然后我们再看角 b 和角 c， 它们两个也是什么呀？九十度对不对？那么我们同理可以得出来 ab 和 cd 呢？就平行，为什么？因为 ab 和 cd 这两条直线和 bc 都相交，是不是？那么角 b 和角 c 是 不是也是同旁内角啊？同旁内角也是互补的，那么是不是可以得出来 ab 和 cd 它也是平行的？ 那这样我是不是可以得出来 a、 b、 c、 d 是 一个平行四边形？为什么是平行四边形？因为我们在平行四边形那一张里面已经讲了哈，两组对边相互平行的四边，它是平行四边形，是不是？好，所以我得出来 a、 b、 c、 d 它是一个平行四边形，因为两组对边相互平行了， 然后另外里面也有一个角是直角，是不是实际上都是直角啊？平行四边形，然后内角也有个是直角，那么我们是不是可以得出来 a、 b、 c、 d， 它是一个矩形啊？所以这就是为什么啊？三个角是直角，我们可以推导出来这样的四边形，它是一个矩形啊，实际上是什么呢？矩形它里面的四个角都是直角的 啊，这是我们第一个判定定例啊，同学们可以自己去写一下具体的推导过程啊。 我们再来看第二个判定定律，咱们第二个判定定律哈，这是第二，咱们第一个已经讲了啊，咱们看第二个判定定律， 对角线相等的平行四边形，它是矩形，咱们看一下判定定律二和判定定律一是不是有区别？判定定律一说的是四边形对不对？判定定律二，直接告诉我们它是什么平行四边形啊？所以的话条件是稍微有一点不一样， 条件有一点不一样了，那么既然是对角线，那么我们就把对角线连起来啊，好，这个我们把它擦掉啊，我们把对角线连一下啊， 好，我们假设把这个对角线连起来了啊， a、 c 和 b、 d 连起来了，我们的对角线相等，对不对？也就是说我们的 a、 c 等于 b、 d 啊， a、 c 等于 b、 d， 然后我们还知道什么平行四边形，是不是 abcd、 a、 b、 c、 d， 它是一个平行四边形啊，这是咱们判定定力给的条件，那么这样子两个条件，那它是不是矩形呢？那我们来推导一下啊。好，首先我们可以看到 a、 c 和 b、 d 相等，对不对？然后我们还有一条公共边 bc 啊，我们是不是可以构造全等三角形啊？那构造什么样的全等三角形？我们构造的全等三角形是 abc 和 d、 c、 b 这个三角形，这两个三角形是全等的，为什么哈？因为已经有两条边相等了，我是不是再找出一个其他另外一个条件就可以得出来它全等了，对吧？ 有什么样的条件呢？哎，还有一个条件没有用到啊，它是平行四边形对不对？它是平行四边形，那么 abcd 是 平行四边形的对边相等，那哪个相等啊？ ab 和 cd 是 不是就相等，对吧？那么 这两个三角形是不是三条边都是分别相等了？那我们是不是就有三角形 abc 全等于三角形 dcb， 对不对？那么有这个三角形相等，我们是不是可以得出来什么来？我们就得出来其他条件的角就相等了，是不是？哪个角？这个角我们现在还不知道它是不是直角，对不对？那我们就看角 dcb 是 不是和角 abc 就 相等， 对吧？好，这两个角相等，那能得出来它们是九十度吗？哎，我们再看哈，又，因为 a、 b、 c、 d 呢？它是平行四边形，那么平行四边形的话， ab 和 cd 就 应该是什么啊？ a、 b 和 c、 d 它应该是平行的呀，那平行的这个角和这个角是不是同旁内角，对吧？他们是同旁内角。同旁内角的和是多少？是一百八十度对不对？好，它们两个又相等，而且加起来是一百八十度，那么我们是不是可以推导出来 他们就是九十度了？角 a、 b、 c 和角 d、 c、 b 相等，然后呢？加起来等于一百八十度，那么他们是不是每个都是九十度？好，既然我们证明出来其中一个是九十度了啊，那么我们可以就得出来， a、 b、 c、 d 就是 什么呀？ 它就是一个矩形的，是不是？因为矩形的定义是什么？只要有一个角是九十度的平行四边形，它就是矩形，是不是？好？因为 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，又有一个角是直角， 那么咱们就得出来 a、 b、 c、 d 是 什么？他是一个矩形了啊，这是咱们的判定定理二啊。所以咱们今天选两个判定定理，第一个判定定理三个角都是直角的四边形，它是矩形，实际上就是四个角都是直角的啊，这比较容易理解啊。判定定理二是什么？首先它是一个平行四边形，然后对角线相等， 那么这样子的一个平行四边形就是一个矩形啊。好的，那为了帮助大家更好的理解啊，咱们再来看一个情况啊，那有同学问我，普通的平行四边形，它不是矩形啊，它的对角线相等吗？我们来画一个啊，我们来画一个。 好，我们看这个平行四边形啊，我们看这个平行四边形，我们来看看它到底是不是对角线相等， 哎，我们直观的看，它就不相等，是不是，对吧？我这个平行四边形，如果说这个夹角哈，这个夹角越小，实际上是什么？这条边它就越倾斜，越倾斜的话它就越长，而这条边的话就会越短，对不对？ 好，所以不是矩形的这种平行四边形啊，它的对角线啊，它的对角线的话，就不相等了啊，不相等了，当这个角慢慢变大，也就是我们把这条边慢慢的把它扶起来，扶到哪个地方，扶正了以后，扶正了以后，它就变成一个矩形了， 变成矩形以后的话，它的对角线呢？哎，就变成相等了啊，所以的话，咱们这个我们就不推导了啊，我们在这个平行四边形里面其实也给大家讲过了啊，也给大家讲过了，平行四边形的它的对角线啊，它应该是互相平分，那么对于特殊的平行四边形，也就是咱们矩形，它不光互相平分， 它还相等啊，所以咱们今天有两个判定定例哈，判定定例一以及判定定例二哈，啊，这两个判定定例啊，所以同学们记住了哈，以后如果说我们要判断一个四边形是不是矩形，我们就可以用这两个判定定例来判断啊，当然我们也可以用矩形的定义来判断啊， 好，这是咱们矩形的判定定例，那么今天我们再给大家讲一个另外一个内容啊，就是平行线之间的距离，因为这个跟矩形呢，也有点相关性。 好，所以我们在这地方看一下平行线之间的距离来。什么是平行线之间距离？我们看一下它的条件，两条平行线，首先它有两条平行线，一条直线上的任意点。好，我们就看任意点啊，假设我们这个地方有两条平行线， l 一 和 l 二 啊，有这两条平行线，一条直线上任意点，那么我们在 l 一 上取一点，假设我们取一点 p 啊，到另一条直线的距离好，或 p 点到这个 l 二的距离是怎么做出来的？ 回想一下哈，一个点到一条直线的距离，是不是过这个点做这条直线的垂线，对不对？它的垂线段 做它的垂线啊，它的垂线段就是它的什么？就是它的距离啊，就是它的距离了啊。好，我假设做的是垂线段这个地方垂直对不对？垂足为 q 点，那么我们 p q 呢？ 就是这个什么两条平行线之间的距离啊？ p q 就是 什么我们刚才讲到的平行线之间距离啊。那有同学说，呃，你这个 p 点如果取在其他地方， 会不会做出来的这个线段长度就不一样？哎，这也是为什么我们把这个放在矩形里面来讲啊，那么我们假设啊，我们再取一点看一下啊，我们取一点 p 一 也是随便取的啊， 我们取一点 p 一， 我们来从 p 一 来看一下到直线 l 的 距离是什么样子的，是不是也是从 p 一这个地方要做一条垂线带下来，然后垂直于他？我假设这个地方是 q 一， 那么 p 一 和 q 一 呢？他也是什么平行线之间距离， 那么这两条就 p q 和这个 p e q 一， 他们两个是什么关系呢？哎，我们知道哈，我们等一会来推导一下啊，他们俩实际上是相等的，也就是你不管在这个直线上取哪一个点，他到另外一条直线的距离都是固定的，这也是为什么我们叫这个两条平行线之间的距离啊。 来，我们怎么证明的？首先 l 一 和 l 二是平行，是不是？那么也就这个和这个就平行了，对不对？ 然后我们又做的是什么？这个地方是九十度，做的垂足下来九十度，那我们是不是可以得出来这也是九十度 啊？平行线，平行线的同旁内角，他是不是互补？那么既然这个角是九十度，那上面这个角是不是也是九十度？那么我们是不是也可以得出来这个是九十度，那么实际上这个四边形 p q q e p e， 这个四边形是不是就是我们所说的矩形了， 对不对？是不是我们所说的矩形？那么既然是矩形的话，那么是不是 p q 和这个 p q 就 相等，那么你不管怎么去取一个点，取任意的点，做出来的都是这样子的， 它的长度不变，因为它构造出来的都是什么呀？都是矩形啊，所以咱们平行线之间距离就是这么定义的，两条平行线之间，两条平行线中啊，在任意一条直线上取任意一点，然后到另外一条直线的距离，咱们那个什么， 咱们就是两条平行线之间的距离了啊，好，所以大家记住这一点，他会一直相等的啊。 好，今天咱们内容就先介绍到这，我们上一节课加上这一节课我们把矩形的定义，性质定律、判定定律，以及咱们还加了一个平行线之间距离都讲了， 那么同学们如果说没有听上一节课的内容，可以翻看我前面的视频啊，咱们举行的定义性质定义，判定定义咱们就讲完了啊，那么下一节课的话，我带大家来做一下咱们相关的一个细题啊，这节课咱们就讲到这，今天打卡的内容先讲到这里，跟着大地老师每天学干货，咱们下节课见，拜拜。

八年级下学期，我们有一个重要的章节叫做四边形。毕老师要提前提醒大家，四边形这个知识点在中考分值占比中非常重，他的方方面面变化也非常多。今天老毕给大家带来一道江苏无锡的 中考专题，说如图啊。哎，我这块是一个平行四边形啊， a、 c 分 别在这两条直线上， a 点在直线 x 等于一上， c 点在直线 x 等于四上， o 点是坐标原点。哦，那接下来问我们对角线 o、 b 长的 最小值。显然一道动点最值问题就出来了。首先，破解这道题的第一种方法，我们要用边的关系，那么两组对边最终的关系叫什么？ 平行且相等。说你这个边和他是平行且相等，那就意味着我再找着遗嘱， 平行且等，咱就能出全等了。那么平行且等的本质意味着啥？意味着你其实是可以 平移的。哦，说我这条边装在一个三角形里，我可以平移过来呀。那怎么装呢？各位，我横着来一刀可以吧？哎，我就装在这个黄色直角三行，那我平移过来是不是跟你这个黄色直角三行，咱们两个是 全等的呀？哦，那大家这个时候你就知道了， o 点作为坐标原点，它是零零啊。你这个 a 点，你在直线 x 的 一上，我这条线横着标得零，你这条线横着标得一。那你告诉我，这横着标差的绝对值啊。哦，你就得一，你得一，我这段就得几，我这段就得一吧， 是这个道理吧。哦，那各位，你本来这条线上横着标就得几， 就得五啊。所以最终 b 点长在哪？长在横坐标等于五的这条竖着的直线上，因为我们只能推出来横坐标，纵坐标呢，它是可以变化的，是这个道理吧。哦，那到这各位答案就出来了， 说我这条线横坐标等于五，它永远都不变。那问， o 点到这条线上，哪一个点距离最短了？所以 b 点刚好长在 x 轴上时， o b 最短，那最短等于几呢？你是零，我是五，横向距离刚好得五，这就是咱们的第一个方法，毕老师说清楚了吧。哎，这才叫教科书上的知识点，咱们能在考题上用上关键的环节就差这什么？ 差在你学的是形式，是死记硬背的定律，还是学了这个东西的内在本质？学过内在本质题就变得很简单。 好，那接下来再教大家第二个简单的方法，说一个中考题，当我们教科书上学透的时候，你想怎么欺负他就怎么欺负他，一起来啊！说平行四边形中，你研究对角线，对角线上有什么定律呢？啊？两条对角线互相平分， 是这个道理吧？那么互相平分就意味着我这 m 既是 ob 中点，又是 ac 中点。哎，毕老师要问大家了 啊，刚刚平行且相等，本质叫平移，那我现在对角线出，互相平分，出了终点了。终点这个家伙在平面直角坐标系中，本质叫什么呀？本质就叫平均数。啥意思？ 说你 m 是 a、 c 的 中点，那么 m 点的横坐标就是 a、 c 这两个点横坐标的平均数， m 点的纵坐标就是 a、 c 这两个点纵坐标的平均数，这叫中点坐标公式。那各位 a 点的横坐标是几啊？你长在 x 的 一上，所以你的横坐标是不是永远都得一啊？哎，我 c 点的横坐标是不是永远都得四啊？ 没问题吧？那么 m 点的横着标就是他们两个横着标，平数一加四除以二，显然 这就是几啊，是不是就是二分之五啊？啊？那有时候老师纵着标怎么办？纵着标他是不是可以动啊？不知道啊，他也可以动啊，也不知道啊，所以这个纵着标我怎么样，我就是动的，但不要紧，因为你不管怎么动，你 m 点 是不是也是 o b 的 中点呢？ o 点的横坐标已经得几了，得零了吧？哦，那 b 点的横坐标呢？哎， 咱们俩的平均数也是这个家伙呀，也就是说，咱们俩平均数也得二分之五，那咱俩加和就得五，咱俩加和得五，你得零了，我这就得得几， 我这就得五。所以，刚刚的结论又出来了，纵坐标可以动，横坐标永远得五，横坐标永远得五，我是不是就在这条线上啊？ o 到这条线上距离最短，那是不是就是垂线段最短呐？所以垂线段刚好得五。这个答案 再次出来，各位家长，你们发现一个事了吗？为什么？教科书上你问孩子，他听明白了没？他说听懂了，课上也都学会了，课后也都练明白了，但是中考压轴题他却解不了呢。记住毕老师这句话，基础知识点见了，本质就变成压轴题了。

哇哦，你家孩子证明题是不是老丢分？很可能是因为一些基础知识在他脑海里不是非常清晰。我们知道苏科版八年级下册呢，有一个非常重要的章节，就是四边形，这里面经常会涉及到四边形的证明题。老王特意从江苏去年 八年级下册期中考试题里面选了三十道关于四边形的证明题，都是真题，难度不是特别大的，应该是每个娃都需要完全掌握，利用时间刷一刷，也检验一下这个寒假的预习成果吧。下面咱们来看这道题，他说如图，在四边形 a、 b、 c、 d 中，已经知道 a、 b 等于 a、 d， c、 b 等于 c、 d， 并且呢，角 a 等于角 c， 要证明这个四边形是一个菱形。要证菱形，首先我们肯定要知道菱形有哪些判定方法吧， 实际上一共是三种方法。首先必然是菱形的定义，叫有一组菱边相等的平行四边形，也就是我们可以先证它是一个平行四边形，然后可以证明里面有一组菱边相等，那么它就是一个菱形。 其次呢，还有一种方法，也是先证一个平行四边形，然后你再证明他的对角线互相垂直，角对角线互相垂直的平行四边形是菱形。还有一种方法呢，是基于四边形去判定菱形的，我们只要能够证明一个四边形四边相等，那么就可以判定他是菱形。 这个题呢，已经给出了两组菱边分别相等了，只要证明 b、 a 和 bc 相等，或者证明里面有一组对边相等，那这四条边其实就都相等了，就可以通过四边相等来证出菱形。 我们首先试试这条路吧，比如我就想证明 b、 a 等于 bc， 那 如果把 ac 连起来的话，需要证明这两个底角相等，这个好证吗？其实还是好证的，连了 ac 以后，根据这一组菱边以及这一组菱边相等，其实对于这两个三角形而言呢，就可以用边边边证明全等， 那以后呢，角一等于角二，角三等于角四，又因为两个大角相等的话呢，那这个角一和角三其实肯定也是相等，所以我们就可以证出 b 等于 bc， 那 么这四条边都相等之后呢，就可以通过四边相等判定出菱形。具体的证明过程我呈现一下。 好，您可以点赞收藏一下给娃看一看。 ok， 那 这个题能不能先证明平行四边形，然后再带上一组菱边相等来证明菱形呢？其实也是可以的，比如刚才我们就不难证明这四个角都是相等的， 那么通过角一等于角四呢，我们就可以说明 a、 b 和 c、 d 是 平行的，同理啊，角二也会等于角三呐，那这个 a、 d 和 b、 c 也是平行的对吧？两组对边分别平行，那这不就是一个平行四边形吗？然后再带上一组菱边相等，所以它就是一个菱形， 所以这两种方法都是可以的。如果想用平四加对角线垂直，我就不太推荐了，比较麻烦，甚至呢，我们还可以去连接 b、 d， 这样呢，我们就得到了上下两个等腰三角形， 又由于它上面的顶角是相等的，我们其实也不难证出啊，下面这些底角都是相等的，从而呢，又可以证明 a、 b 和 c、 d 平行， a、 d 和 b、 c 平行，证出这是一个平行四边形，然后再随便带上一组零边相等，也能推出这是一个菱形。 甚至啊，我们还有方法，比如想证明 b、 a 等于 b、 c， 也未必需要证明这是一个等腰三角形，我们连了 b、 d 以后，如果能证明上下两个三角形全等，那么 b、 a 和 b、 c 作为一组对应边，它也会相等，是吧？那这个全等好证吗？好证的呀，因为刚才我们是可以证明这些小角都是相等的， 对吧？然后我们再带上一组公共的边， b、 d、 a、 s、 a 呢，是可以证明它全等以后，也能得到 b、 a 等于 b、 c， 从而呢，这四条边相等跟这个方法一样，也可以证出菱形。 这个题你还有什么方案吗？所以对于这些证明题啊，老王认为可以充分的去挖掘他的方法，一开始不用去在乎这些方法到底是不是最高效的方法，刻意去训练自己一题多解的能力。那你刷一道题，顶人家刷三道题啊。好，这个题给孩子练一练吧！

好，首先是这个第三题，一个最值问题，这个图应该是好眼熟啊，我们第一节课好像就讲过这种题型了，是不是我说第一次考试，第一次月考和期中考试最喜欢的最值问题就是这道题了，我们来看一下啊。好，这个构造呢是，首先 r t 三角形 有三有四点 p 呢？是不是动点，第一个动点出现了啊？每一次动点出现之后呢，都是以它为领边，做了一个平行四边形，创造出来。另外一个动点，想求的是 p q， 有 没有发现这个 p q 是 对角线，而且是不是双动必须要拉一个定点？个点 是不是找这个点最好了？是不是找这个点，找正中间这个点，因为对角线性质吗？是不是我们找这个点 o 虽然是你的终点，也是我的终点呀， 是不是对不对啊？这连接词用的不太准，是不是啊？既是又是，是不是啊？好，所以这个 p q 我 为什么不能换成两个 o p 呢？ 就有点像刚讲那个中微线的感觉，我是不是也要变单动？关键这个转化的思路到底怎么转化？是不是？所以啊，这个 p q 换成两个 o p， 为什么没有换成两个 o q 呢？因为 q 的 轨迹。不知道呀，我肯定要换 p 啊， p 是 第一个动点，是不是叫主动点啊？ 好，所以 p q 的 最小值就是两倍的 o p o 是 定点，所以垂直的时候是不是打的最小，所以 p 在 这的时候很多的图也画出来，但是不会求的。我说遇到垂直首先想到的是不是勾股，其次你是不是要想到 对面积非常好，你看大家记得很清楚啊，你看你叫方向，想准了你做题就方便了，你一想哦，要用面积了你就知道了。我要选一个三角形，他的面积得知道，而且是不还得让我做一高？那肯定让他做一题最合适了呀。是不是立马锁定找这个三角形， 整个这个大三角形的面积是不是等于六？三四十二出来是不是六？所以这个小三角形面积是不是等于三？然后呢？底等于五，你说这个高你求不出来吗？是不是五分之六？是不是五分之六，对不对？好，所以口算都出来了， o p 的 最小值是五分之六，所以二乘五分之六，五分之十二就出来了，就这么简单。 这个题基本上属于第一次月考和期中考试压轴题了，懂了吧？啊，所以第一题呢？选 b 啊，选 b。

上课时间到了，请同学们自觉成行，轻声走进教室，准备上课。 首先我们已经初步的了解了平行四边形， 认识了生活当中好多的图案是平行四边形的样子，请问什么叫平行四边形？ 根据你积累的知识做一个简单的描述， 说得非常好，两组对边分别平行的四边形 叫做平行四边形， 怎么画呢？我画给大家看。画平行四边形，如果没有特别要求，我先画一组菱边， 那你要想画的像呢？最好用圆规和直尺画平行四边形， 那当然有学生说画平行线，因为两组对边分别平行，那当然你画平行线是可以，你画好了哈，没有事，那我跟大家来教大家怎么画，你看好这个长度 怎么样？ 我用圆规和直角画出这样一个平行四边形， 所以什么道理呢？我们过两天再跟大家分解它为什么是直角四边形。 现在我四个顶点表上字母下面，我们的任务是来表示他，给他用一个相形的符号，平行四边长的是这个样子，对边平行 长的是这个样子，是吧？所以这个符号就表示平行四边形，然后按顺序写出四个顶点的坐标 a。 一 来读一遍，平行四边形 a， b， c， d。 像我们把这个定义用数学的符号来表示， 这个定义是满足两组对边分别平行，那也就是说因为 a、 b 平行 c， d， a， d 平行 bc， 所以 我们将四边形 a， b， c， d 称作。为什么平行四边形是平行四边形， 这以这个定义也是平行四边形的一个判定方法，对不对也是它的一个判定方法。 下面我们要跟大家来研究这个平行四边形，它有什么性质呢？ 因为我们知道一个图形往往是由边和角组成的，我们不妨先研究它的边。有什么兴趣先初步说一下你的认识。嗯，对边相等，对边相等， 那也就是说你认为 a 的是等于 b、 c 的， 对吧？ a、 b 等于 c、 d 的，是吧？为什么呢？呃，有，因为它是平行四边形，然后连接 a、 c、 d。 好，他给我们一个清晰的解决问题的思路。你连接了什么？ a、 c、 a、 c 在 这里扮演的角色叫什么呢？叫对角线， 连接他的一条对角线， 这样就意味着这个四边形转换成两个三角形， 他的思路将四边形 转换成两个三角形。那么三角形它是相对比较熟悉的。这两个三角形是什么关系呢？全等，很快能够识别它是全等。请问全等的依据是什么？ 你做适当的标记 很好啊，那两个脚相等是为什么呢？平行，平行，那还有吗？还有边，那这样的脚还有吗？ 标记一样的叫什么？脚？边脚共共边，就是 他的对应，对吧？请做。不错啊，这两天已经全懂了啊，全懂以后我们就可以得出， 就可以得出 a、 b 等于 c、 d， a、 d 等于 bc。 我 们用文字概括我们发现的结论，我们的第一个结论是，平行四边形 的两组对边分别 相等，对吧？没问题， 边研究完了，那就研究脚了，你发现脚你有什么不认识？ 那首先介绍一个重要的概念，什么是对角？在四面形当中有四个内角，对吧？我们把不相邻的两个角称为对角，也就如图，他跟谁是对角啊？ 跟角 e， 这个角 b、 a、 d， 看谁是对角啊？ e、 c 看这个是对角。那为什么这两组对角也是相等的呢？ 因为全等，这个跟这个全等，我们知道注意它跟它对应角是相等的，那这两个它不是全等的对应角啊？ 哎，他等于他，他等于他和也相等，对吧？去做，做的很好， 所以我们又得到一个重要的结论，平行四边形的对角，它是两组啊，我们也是分别相， 那也就是说我们概括的这个性质，从两个方面来概括的，一个从边来概括得出的性质， 一个是从角得出的性质。那么刚才你描述的是对角对吧？那零角呢？ 也就是说这两个呢？ 什么道理？平行，哎，那它不是属于这个平行四面特有的性质对不对？它是平行线的什么性质？所以我们这里面也就最在后面跟你说一下菱角户。 好，那当然有人说老师对边也什么？ 为什么？你平行四边，对边不平行吗？这是定系对不对？他他呢？我为什么搞错了，他不属于这个平行四边特有的性质，他本身是不是？那这个是平行性的性质呀， 这个是在定义吗？那你放在后面更完整好，这是平行四边形的性质。那么各位接下来呢？ 平行四边还有什么性质呢？比如说它的周长 四条边加起来的，对吧？但是对边相等，所以周长就可以简化为零边之和的二倍二倍面积 公式， b 层高，对吧？这没有问题对不对？好极了，下面 我们来个小问题，来，游戏音乐站起来， 在这个平行四边形当中，这条边是二，这条边是三，请问周长是多少？ 十，十十多少？在这个平行四边，这个角是六十度，边上戴口罩的那个学生， 这个角是六十度，请问另外三个角分别是多少度？这个角 b， 六十度， 角 a， 一 百二 啊，脚踢六十，脚是一百二，对吧？菱角互补，所以他一百二。对角相等，所以他六十，对角相等，所以他一百二。做起来，你也做起来。 好，各位同学，下面我们看这样一个问题，平行四边形 加上一根对角，一根角平分线，平行四边形加上一个角平分线 会产生什么样的东西出来？请看黑板， 平行四边 a、 b、 c、 d 中 b e 平分角， a b c 二， b 等于三， b、 c 等于五。求 得注意，我这是平行四边形加一根角平分线， 等等，这一多少 啊？啊，听懂啊，怎么了是吧？ 这个是三，这个是五，就意味着对边 a、 d 五，要求他，就是求他，对不对？这个是角平分线，这两个小角等 平行线对边平行，对边平行，意味着内错角相等，所以这两个等量代换就等了。等腰三角形性质等角对等边，所以它是三，因此这条边是二。做得很好，请坐 下面继续看黑板，请问的 f 是 多少 的？ f 跑到这块了多少？解释啊，还是可以通过角来解释边的关系，对不对啊？ 这个角等于这个的吧，因为它跟它平行吗？这个角等于它，所以这两个角相等，对吧？因此这条边和这条边相等，这是五，所以它是五，这条边和它相等，它是三，所以它三，因此它二结十。 此题又用到了平行四边。重要性子，平行四边的对边 相等，对边平行还加上一个角，平分线的定义提供了两个角相等，又用了平行线的性质，内角相等，再利用等腰三角形的判定就解决了这个计算是不是好？各位同学， 刚才的问题是，平行四边加一条角平行，请看这里，两条角平行， 平行四边， a、 b、 c， d 中 b、 f 平分角， a， b， c， c， e 平分角， b、 c、 d 两条角平分线。注意，这时也还是平行四边。我第一个小问题， a 一 与 df 相等吗？ 相等吗？相等哈，由刚才的结论，一定是相等，因为这个和这个相等吗？ 那么同理，这个和这个是相等的对不对？这这个和这个相等的对吧？对边相等，因此 a、 f 等于 d， 所以 a 等于 d， f， 那 没问题是吧？ 各位小朋友，现在你要拿本子在边上要算算了。我的小问题是，小朋友鲁土一 f 等于一 四边形， a、 b、 c， d 的 周长等于四十六。求淘宝本上去转转，你就是随便拿的，你把你把脸撕下来在上面也转，也没事， 抓紧时间算里边的话筒，你快速算答案对不对？快速算答案， 小王，小王，怎么刚才是得到了这个 e？ 刚才说的这个 a， e 等于 d， f 对 吧？我现在是 e， f 等于一，这个周长呢？是四十六，你能不能把 d、 c 长求出来？这个题目还是看起来有点有点讨厌这个，因为线比较复杂，对吧？ 做到正常，做到 e、 f 就是 求 p 四， 我们有周长的性质，马上得到零边之隔等于二十三，二十三，对吧？哎，你看小我们，姑娘小我，你们都等到 a、 b、 c 等于二十三，我先把它写到边上啊，得到 啊！ bc 加 ab 等于二分之一乘四十六等于二十三。那这个要求呢？这个也是未知的呀。他也不知道， 感觉不知道可以射，这么一说我就射它等于什么？ x， 那么就要设了以后就就有个关键词，就是表列大于数式，就表示其他的边，其他的线段数字 设了以后就是表啊。那你先刷好了对吧？来，你想想，他已经刷好，谢谢。表好了以后列方程 好了吗？韩妹，我，我们来表一表看看。来，先表 a f， a f 等于 x 对 吧？得一等于 x， 那 a d 就 等于 o x 这个地方有点小难度， 说这个是 x， 这个也是 x， 中间值是一整个 a 的是 x 减一。有了孩子大家都不清楚，我这么一标你就可能看清楚了。看好了，你这个是 x 对 吧？ 你这个这个得一也是 x， 对 吧？那么说明得 f 就是 x 减一吗？那我就清楚了吗？ x 减一， 那就说明 bc 是 对边相等啊。 o x 减一是不是得出一个方程出来了吧，多少好起来，同学们，假如没图呢？ 假如是这样说的，说平行四边 a b c， d 中 b f 是 角， a b c 的 平分线， c， e 是 角得 c， b 的 平分线，说跟这边 a 得和 a 得分别交于 f 和 e 两点， e， f 等于一周长等于四十六。求 b c。 假如没有图呢？会出现什么情况呢？脑子里想一会 会出现什么情况，有没有可能，没有交叉，有没有可能？有可能，这个就叫葱苗， 这有时候就瞬间的事情啊，你解决为什么有时候提供你会错，瞬间你没想到，所以要不断的积累经验，看看孩子是不是这种 眉头，还有这种来提醒大家对不对？好，这个是平行四边形与角平分线派生的问题，下面我们再继续跟大家研究。同学们， 平行四边形被一条对角线分成两个三角形，这两个三角形什么关系呢？全等，请做全等号。 现在看这边，我平行四边形加一条对角线，看好 对角线 b 的 下面又来了，过 a 点做它垂线，过 c 点做它垂线。 a、 e 和 c、 f 是 两个垂线段，请问 a、 e 等于 c、 f 吗？懂不懂？通过什么办法呢？全等我不说了对吧？好，假如我变了，变了啊， a、 e 变成是这个角的平分线， c、 f 变成是这个角的平分线，还有相同的结论吗？ a、 e 平分这个角， c、 f 平分这个角，还有相同的结论吗？ 有没有？有的吧，有的吧。那跟刚才证明全等的依据一样的吗？ 这个全等的依据跟这个全等依据一样的不一样。来简单说一下，这个全等的依据应该是什么？ a s a， 这个 a 是 平行的道的， 这个相等是对角相等，一半相等，对不对啊？对角相等就是今天的性质，对吧？那同学们，如果我现在不再是特殊的， 这个是垂直，这个是平分，我现在平行，所以我这两个先平行，还能得到相等吗？请人来解释。 现在 a、 c 和 c、 f， 不， 这个不算平分了，这个是它跟它平行， a、 c 和 c、 f 还等吗？ 他们是平行，不再是平行，也不再是垂直，是平行，那这两根弦还等吗？那简单解释一下，侧身垂直 a 等于 b、 c， 嗯，他俩平行，这两个交等， a 得平行 bc， 所以 这两个角 a 呢？你看，说的多清楚，旋转角就够了吧，幸亏旋转 e 是 什么？ 九九 b 转向没问题，对吧？哎，好，各位小朋友， 那么现在我们总结一下解决刚才两类问题，都用到了平行四边形的重要性质。把两条性质背一边， 平行对边分别相等，对角分别相等也用到了对边平行，甚至计算角的话，用到了菱角相等，对不对？好，下面 将平行四边形与面积 与面积看这里。 我们知道平行四边的面积公式，背一边呢？小学背的来低层高，对吧？来，小朋友，现在看你们了，我的条件是，已知，如图，平行四边形 a、 b， c， d 中 a b 等于 a， b， 不知道 a、 e 是 高，对吧？ a、 f 也是勾对吧？这两头勾分别是四和六。这个平行四边形 abc 的 周长是四十， 求这个平行四边形的面积， 那么求面积，而是求底和高，现在高已经知道两流两个了，所以底你只要知道 ab 或者啊底，知道 bc 或者知道 c 的 就可以了，对吧？好， bc 和 c 的 都不知道吧，都是未知的， 那你怎么解决个问题？来，快说抄稿板上书，快说算算，打死他去。 面积公式是底层高除以二，底层高，不是除以二就底层高高知道了。如果取 a、 e 为高，那只要求 b、 c， 如果取 i f， i f 和六，那只要求 c、 d， 那 么这两个都不知道，都是两个位置。这样的 条件当中，这是什么？这叫什么？周长，周长的性质，零边制合的奥贝马上得到， 马上由这个条件得到零边之和。 b， c 加 c 的 等于二分之一乘四十等于二十，那也就是说要求它，要求它对不对？然后这两个都是未知的，所以这个相当于二元一次方程 凹一次方程有，通常情况下有无数个解，那你要求求着具体解，肯定还得有一个方程对不对？那么还有个方程在哪里呢？这个就是解。 还有一个关于 b、 c、 c 的 方程在哪呢？影子暗，你有想法好像， 嗯，设设 b、 c 等于 x， c 等于 y， 四 x 等于六 y， 请问这个方程的等量关系是什么？你们知道吗？面积，等面积配采用的是等面积，就是平行四边形的面积， 等面积嘛，等面积嘛，所以它得到了四 b、 c 等于六 c 的， 然后列列方程组，请做这样子，我们就可以求出 b、 c 和 c 的， 求出来以后再去算面积。这题目提供一个重要的想法，就是未知量比较多，关系比较复杂， 那往往有时候会想到设未知数，但设出来是两个未知数，那就意味着可能要得到方程组，不仅仅得到方程组，用方程组解决问题就是这样的问题， 有没有问题？没有是吧？下面把我们的这个打开， 翻到第三十四页， 现在快速完成三十四页的一二三四， i love you。 好，对一下答案。第一个，滴滴滴滴哎。 第一点， a 在 已知条件当中是角 a 和角 c， 所以 我们首先要识别角 a 和角 c 的 位置关系是什么？对角，所以这个地方提醒大家注意， 我们不熟悉的时候，先画四意图，或者借四意图这四意图去确定角或者边角的位置关系， 就识别它是对还是零，是对边还是对角还是零角，就识别它，然后再用性质，对吧。 同样第二要素，角 a， 角 b， 位置关系是，位置关系 是菱角啊，那么平时跟菱角是什么互补的？那说明还有另外一个等式，角 a 加角 b 是 一百八，那么算出角 a 多少度？ 角 a 是 一百一十五，对不对？角 a 一 百一十五，角 c 跟它是对角，所以你画是一图，清楚吗？啊？二十一，第三题算出来是二，第四题来看一遍。 来，你们告诉我，你这个怎么求角的？有人是怎么求角的 啊？ 是啊，你来说了没你的呀。 啊，那你肯定说的太复杂了，说太复杂了，那，但既然你听不出线，那我就不如延长它了， 因为因为平行视频对边平行嘛，那么在这个这个延长就就完整的一个极限出来了，对吧？这个多少度啊？ 一百三十五，有的时候这个不知道，这个一百这个四十五啊，这一百三十五，你看着他就好了。这一百三十五，这个脚印多少的？三十，脚印是三十，对吧？那就一百的这个多少度吧。 一百零五，对吧？一百零五，他跟他互补嘛，他跟他互补就七十五嘛。这个也也是一个思路，对吧？还有其他的思路，对不对？就是关键这个题目关键时候识别出来他是一百三十五是关键， 也就是把我们平行四边形的这个条件转化成平行，利用平行性的性质去问 平行线的一个重要模型，就是两条平行线被第三条直线所截，这条直线它是不完整的，然后你把它实际上他刚才这样做的，也是为了做一个直线嘛，对吧？那我不能这样做啊。 那继续完成六个起， 没有完成的先完成，没有完成的继续完成，没有完成的继续完成， 课后继续， 课后继续。

初二下学期的这个平行四边形已经开始学习，各位新化的初二家长，我来告诉你们一下，就是这一章节并不简单，如果说你还在用小学的什么三角形梯形来说来看待这个八年级的平行四边形， 那我告诉你就是大错特错，这一章节放在初二足以说明他的含金量，如果说这一单元你家学的不好，那么我来告诉你，那么他跟一次函数的综合那些大题，基本上你家就全部那个 弹下来了，所以呢，这个不是危言耸听，各位家长，所以你们一定要注意一下，我来告诉你们，就是他们最大的这个学习困难在哪里？不是图形的识别，这个谁不会呢？他们最大的问题就是这个图形的判定以及这个性质出现混淆，知道吗？ 今天我来拍这个视频呢，就是告诉你们如何把平隐私变形进行一个巧妙区分和掌握。 首先呢，你家总是混淆，不是说他这个不想去好，不是说态度的问题，他是方法问题，我今天就教你一套三步判定口诀，保证你家再也不会用错。 第一步看边。如果题目里面出现两组对边分别平行相等或者一组对边平行且相等，那么他就是最基础的平行四边形，这是所有判定的起点。第二步看角。如果在这个平行四边形的基础上，题目中强调有一个角是直角 或者对角线相等，那么他就直接升级为矩形，记住口诀，有直角或对角线等平四变矩形。 第三步看菱边，如果这个平行四边形的基础上，题目强调有有一组菱边相等或者对角线互相垂直，那么他就直接升级为菱形，所以这时候的口诀就是菱边等或对角线垂平，次变菱形。 那最后再说一下正方形更简单了，他必须同时满足矩形和菱形的条件，口诀是矩形加菱形等于正方形。所以实际解析时就按照这三步流程走。 第一个，先判断它是不是平行四边形，用边的条件可以去判断。第二个，如果是，再看一下有没有直角或者对角线等的特征，如果有，就是矩形。第三步，再看一下有没有邻边相等或者对角线垂直，如果有，这些特征就是矩形。 如果说第二步和第三步的特征同时具备，那么他就是正方形。所以这这套流程就像过滤器一样，能帮你把任何复杂的判定题拆解成简单的选择题。 从现在起，各位家长要提醒孩子呢，心里默念这三步，准确率能提高一倍！各位新化的初中家长，大家可以点赞关注一下，在我这边，你们可以学到真正的数学干货。

把平行四边形的判定和性质带大家复习一下来，我们首先看第一个 平行四边形，其实平行四边形里面还有什么对称性啊，还有它的定义啊，这些我们就不讲了，不复习了，重点是把它的平行四边形的性质和判定给大家复习一下。 平行四边形，首先我们第一个先看他的判定，就是如何要判定一个四边形是平行四边的方法有哪些？第一个叫两组对边分别平行的四边形，两组对边 分别平行的四边形 是平行四边形，这是证明平行四边形的判定的一些定律， 考试的时候他是要用的，如果你对这些定律都不熟悉的话，那你可能在考试的时候特别容易。什么呀？容易出错，所以我们这些定律一定要是烂熟于心。有些同学像我们在考试，在学校里面，有些老师是要求你们抄十遍的，或者说要求默写的， 这个是必须要记住的，那我们课上呢，就是老师一边写一边你们去把它记下来，你们记的时候怎么记啊？不要去抄版书，有人是直接去抄我的版书的，你如果你们再抄，我下次就写省略号了啊，不要抄怎么做？ 我一边听我讲的，然后一边把我讲的东西在你脑子里面回顾，一边回顾一边把这个文字写下来，然后同时你就记住他了，你就不用说老师，我课上去把它记住不就好了吗？是不是 课上怎么记住？就是你要带上你的耳朵和脑子一起来听这个，而不说老师写什么，我把抄一遍，一个字一个字抄下来，那没有用啊，那你记不住的好，第二个判定四边形是平行四边形的第二种方法是 两组对边分别相等的四边形，两组对边分别相等 的四边形是 平行四边形。哦，两组对边分别相等的四边形是平行四边形。这是我们 说的平行四边形的判定的第二个判定方法。那第三个是什么呢？一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 这些判定四边形是平行四边的方法一定要非常熟悉，因为真正在考试的时候，你要把这些熟悉的东西要用起来， 才能够轻轻松松，如果说你都不熟悉，你肯定是用不起来的啊，题目再难了，你更重，用不起来了。好，一组对边平行且相等的四边形 是平行四边形。 那么还有一个第四个呢？第四个是什么？是两组对角分别相等的四边形，这个呢，他考试的时候不能直接用，所以我就补写了。 我现在写的都是考试时候可以直接用的。两组对角分别相等的四边形是平行四边形，我们是需要证明之后才能使用啊，所以这个我就不去写了。还有第四个是什么？第四个是对角线互相平分， 互相平分的四边形是平行四边形。 这是我们平行四边形判定的四种方法，真正可以用的就这四种， 当然其实有很多那种可以真推导出正确的结论，但那些在考试中是不可以直接使用的，所以我们就不在这上面写了啊，我现现在写的都是可以直接使用的。第二个是关于平行四边形的性质，我们也来回顾一下 平行四边形的性质，从三个维度，第一个从边的维度，它有什么性质呢？它的性质是对边平行且相等且相等。 第二个从角的维度，平行四边有什么性质？叫对角相等、菱角互补， 对角相等、菱角互补。那么第三个从对角线，我们它的性质，它对角线有什么性质呢？对于我们平行四边，对角线是什么？对角线互相平分， 对角线互相 平分。以上就是关于我们平行四边形的判定以及平行四边形的一些性质，当然它的性质除了这些之外，它还有什么？还有它的对称心啊，它是中心、对称图形等等，是不是这些我们就不去写了啊？它的对称中心是什么？是对角线的焦点。

八年以下寒假预习打卡，打好基础，开学不落后，跟着大瑞老师现在就预习起来。 好同学们，我们今天讲菱形的第三部分啊。呃，我们在前两节里面讲了菱形的定义以及菱形的性质定律，同时我们也带同学们做了两道细题啊。今天我们来看菱形的下半部分，也就是我们菱形的判定定律， 判定定的意思就是我们根据什么条件来判定他是一个菱形啊，跟我们的性质定律啊，正好不一样，我们性质定律是已知是菱形，它有什么样的一些特性啊？我们回顾一下上节课讲的一些内容啊。菱形的定义是什么？ 我们回顾一下，菱形的定义的话，就是有一组菱边相等的平行四边形。哎，菱形是一种特殊的平行四边形，是不是？它的特殊性在哪？就是相邻的两个边相等， 那么根据平行四边形本身的性质，它是对边相等是不是？那现在菱形的话，菱边又相等，那实际上的话四个边都相等对不对？所以我们也有这个菱形的一个性质定律，性质定律的话里面就有四边相等对不对？同时我们看一下 对角线的情况，平行四边形的对角线的话是互相平分对不对？那么菱形的话，它是特殊的四边形，它除了对角线互相平分以外，它还有一个什么特性？ 哎，咱们要回顾一下啊，他的另外一个特性的话，就是对角线互相垂直，这是咱们菱形的一个性质定律。那么有这样的性质定律，那么我们反推呢？反推的话我们也要看情况啊，有些情况下反推的话是可以的，有些情况下反推不一定成立啊，那我们看一下菱形的判定定点，如果说四边相等，那么这个四边形是不是菱形呢？ 还有咱们对角线如果互相垂直，它是不是菱形呢？还有咱们对角线如果互相垂直，它是不是菱形呢？这个地方讲的四边相等的 四边形，它是一个菱形。好，那同学们，我问一下，这个地方讲的是什么？讲的是一个四边形，是不是？但是这个四边形有个什么条件？它就四个边都相等，那么它的意思就是四个边都相等的四边形，这是菱形，那么我们来推导一下哈，我们 既然有判定定力啊，我们以后可以直接用，但是呢，我们在学的时候呢，还是要去知道它为什么会是这样子啊？好，我们假设我们这个地方有一个四边形， a、 b、 c、 d 这个四边形的话，四边都相等，那么它是不是菱形呢？我们来看一下啊。 好，如果四边都相等，那么我们对边肯定相等，是不是？那么就是 a、 d 等于 bc， 那 么 ab 是 不是也等于 cd， 对 不对？那这肯定是个平行四边形了，对不对？ 好，如果是平行四边形，那现在呢？它四边都相等，那么说明什么呀？说明 a、 d、 a、 d 是 不是也等于 bc， 那 么就是什么呀？ 也就是零边，它也相等，对不对？又是平行四边形，又是零边相等，那么我们根据菱形的这样的一个定义，那就就知道了啊，那咱们就知道了，它是一个菱形，对不对？好，那我们今天证明一下，我们把过程稍微写一下啊，好，咱们就证明哈， 四边相等对不对？ 所以我过程稍微简略一点哈，那么 a、 d 就 等于 b、 c， a、 b 就 等于 c、 d， 所以 四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形， 对不对？好，又，因为邻边相等嘛，邻边它也相等， a、 b 也等于 a、 d， 所以 邻边相等它又是平行四边形，所以 a、 b、 c、 d 是 什么？是菱形是不是？ 好，这个比较简单哈，这个比较简单。好，我们再看一下，下一个啊，下一个我们把这个擦掉啊， 下一个判定定律，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。好，这个跟上面这个判定定律稍微有一点不一样了，首先它应该是什么平行四边形，然后呢，它的对角线呢？互相垂直啊，那有同学问我，对角线互相垂直的四边形 是不是菱形呢？哎，这个我们等一会再来讲啊。我们首先看一下平行四边形，如果它对角线互相垂直，它是不是菱形啊？那么既然有对角线，我们就把这个对角线连接一下啊，我们把对角线连接一下。 好，假设这个对角线 b、 d 和 a、 c 相交于 o 点， 那么根据条件，他告诉我们他是互相垂直的，对不对？那么 a、 b、 c、 d 呢？他也告诉我们是平行四边形，那么既然他已经是平行四边形了，那我是不是只要证明零边相等，他就是菱形了是不是？那么现在关键的就是什么呢？我们要证明 一对零边相等，假设我们要去证明 ab 和 ad 相等，那如果证明出这个的话，我们就知道它是菱形了，那能不能证明呢？哎，其实非常容易证明哈，我们可以看一下 ab 和 ad， 它是在这两个三角形当中，对不对？ 而这两个三角形它是全等的啊？为什么是全等啊？首先这是一个平行四边形，对不对？那么平行四边形有什么样的性质？平行四边形的对角线互相平分，是不是？那么我们是不是就有了 o、 d 等于什么呀？ o、 b 互相平分嘛？然后呢？ o、 a 呢？又是公共边，对不对？然后我们这个角是九十多，这个角是不是也是九十多？那么是不是有边角边，那这三角形就全等了，对不对？如果三角形全等的话，那我们是不是 ab 和 ad 就 相等，那么 ab 和 ad 相等，加上他自己本身是平行四边形，那么他是不是就是个菱形了，对吧？好，所以这个什么也很好证明哈，我们来写一下证明过程哈。证明， 因为 a、 b、 c、 d 是 平行四边形， 所以怎么样？ o、 d 等于 o、 b 对 不对？又因为 a、 c 垂直于 b、 d， 这是条件给我们的嘛，对吧？对，角线互相垂直嘛，条件给我们的，所以角 a、 o、 d 是 不是等于角 a、 o、 b 等于九十度？ 然后又有一个公共边， a、 o 为公共边， 所以三角形 a、 o、 d 和三角形 a、 o、 b， 它是全等关系的，所以我们就有了 ab 等于 ad， 对 不对？好，又因为 abcd， 它是平行四边形嘛， 所以 abcd 是 菱形，这是根据什么呀？根据咱们菱形的定义来的，对不对？ 好，有这个条件和这个条件，我们就得出了它是菱形。好，所以这个判定定理非常容易推倒啊。好，我们要知道有这样的判定定理，然后呢，也要知道这样的判定定理是怎么来的？这个证明过程我就擦掉了哈， 好，我们前面学了菱形的性质定律，今天我们又学到判定定点，那么以后如果我们要证明一个四边形是菱形，我们就可以用这两个判定其中一条就可以了啊， 如果四边相等的四边形，那么它是菱形。如果一个平行四边形，它的对角线互相垂直，那么它是菱形。哎，刚才我们提到一点，有同学可能会问，对角线互相垂直的四边形 是不是菱形？那我们来举一个例子，看看它是不是菱形啊？来，对角线互相垂直，那他有可能平分，有可能不平分，是不是？那如果是平分的话，那肯定就是菱形了。那我们做个特殊的例子，我们反推一下，就是这个。好，我们来举一个反例哈，我们来先构造一个对角线互相垂直的情况， 对角线我们先画一条啊， 假设这个对角线它互相垂直，是不是？ 好，我们把它连接起来， 哎，这看上去像是一个菱形，对不对？好，这是因为我们做的这个什么呀？做的这个对角线不光是垂直，他还什么呀？垂直平分。所以我们什么就是惯性思维，让我们做出了一个这样的菱形。但是呢，我们要举一个反例，就举一个极端的例子来，咱们看个极端的例子哈， 还是构造一个对角线， 这个是不是也垂直？那么我们把这个点连起来。 好，那同学们看一下，这个四边形它还是菱形吗？很显然它不是菱形的，是不是？所以光有对角线互相垂直，它是不够的，它还必须是平行四边形啊，所以只有满足这两个条件，它才是菱形哈，好，这个就是咱们做了一个反例啊， 所以有些时候，同学们，咱们如果说要去判断一个条件充不充分的时候，我们可以举一些反例啊，可以举一些反例啊， 好，这是咱们菱形的判定定律啊，同学，记住了哈，我们以后如果判定这个菱形，如果判断一个四边形是不是菱形，我们用两种方式去判断啊，一个是四边相等，一个是表象互相垂直平行四边形。当然我们菱形的定义本身哈，它也是一个什么判定啊？就是 菱边相等的平行四边，菱边相等的平行四边形，咱们是菱形啊，所以这个是咱们今天讲的内容。好，我们来看一下一道例题。好，这是咱们菱形的一道例题哈，我们来看一下这个题目的条件有哪些？ 矩形， a、 b、 c、 d。 好， 首先我们知道 a、 b、 c、 d 是 矩形的啊，矩形是一种特殊的平行四边形，对不对？它的四个角都等于九十度啊，它的对角线 a、 c、 b、 d 相交于 o 点啊，这个是 o 点，然后呢？有 b、 e 呢？平行 a、 c、 b、 e 平行于 a、 c， 然后呢？ c、 e 呢？平行于 d、 b， 也就是在 b 点和 c 点分别做了它对角线的平行线，然后相交于 e 点啊，就是这个意思，是不是？好，现在我们要求证什么呀？ o、 b、 e、 c 是 一个菱形， 哪个是菱形？就是 o、 b、 e、 c 是 菱形，对不对？好，这个里面有哪些条件了？我们菱形的话有两个判定定律，然后，当然菱形自己的定义，它也是一种判定 啊，菱形的定义是什么？平行四边形，然后呢？菱边相等是不是？那我们判定定律，刚才学的四边相等的四边形，它也是什么呀？平行四边形对不对？好，然后还有一个对角线垂直的平行四边形，它是什么呀？ 它是菱形。好，那我们看一下，首先这个 o b， e c， 我 们是不是很直观的就可以看出来它像是个菱形，对吧？那，但是我们不能说直观的感觉它像，它就是菱形，我们要推导嘛，要证明它那条件有哪些条件？我们可以看到 b e 平行 a c c e 平行于 d b， 对 不对？好，那也就是什么？对边相互平行，是不是有平行四边形的？这个什么呀？ 概念，我们就知道它是一个平行四边形。好，所以我们就知道这个 o b e c o b e c， 它是一个平行四边形了，对不对？那既然知道它是个平行四边形，如果我再能证明什么啊？ 他的这个菱边相等，那么根据菱形的这个概念，是不是就可以知道他是一个菱形了？那么菱边相等，那我要证明哪个呢？我证明这个和这个可以吗？好像有点难度哈，因为什么这个一点是在外面，然后呢？这样连接，我们直接去证明的话是有难度的，那证明 ob 和 o e 呢？ 也是一样有点难度。那么最直接的就是什么啊？ o b 和 oc， 是 不是，对吧？ o b 和 oc， 那 o b 和 oc 是 什么关系呢？哎，我们知道啊， o b 和 oc 是 咱们这个 abcd 的 对角线的一部分，而 abcd 呢，是一个矩形，矩形的对角线有什么性质？咱们前面的内容如果不熟悉同学啊，可以回头看一下我上面的视频啊，就以前的视频啊，矩形的对角线 它是什么相等且互相平分啊，为什么？首先矩形它是什么？平行四边形对不对？所以它对角线互相平分，然后矩形本身呢，它的对角线呢？是相等，所以矩形的对角线互相平分且相等。那么是不是我们可以得出来 o b 等于 o c， 那 又因为它是一个平行四边形，我们是不是可以得出来它就是个菱形了，对吧？所以我们在证明一道题的时候，充分的去看咱们有哪些条件， 咱们学过哪些定律可以直接用的，或者是有哪些定义可以直接用的啊？好，所以这个地方的话就非常简单了，咱们把这个思路理清楚以后，后面证明过程的话，就是简单的去写了啊。来我们写一下这个过程啊， 证明，因为 b 一 平行于 a c， c 一 平行于 d b， 这是已知条件直接告诉我们的对不对？所以四边形 o b e c 是 平行四边形，是不是 好？有了平行四边形的基础，我们再证明 o b 等于 o c 啊，刚才说了 o b 等于 o c， 又因为 abcd 是 矩形，是不是 对吧？所以是什么 a c 等于什么 b d， 是 不是对不对？所以什么 o b 等于它也是平行四边形嘛？ 因为我们刚学这些概念，所以我们写的稍微什么呢详细一点，那么以后大家熟悉了以后，我们直接就可以由 abcd 式矩形得出来 o b 等于 o c 了啊，那么我们今天呢，就写的详细点， a c 等于 b d， 那 么 o b 呢？是不是等于二分之一的 b d， 那 它是不是也等于二分之一的 a c？ 是 不是就等于 o c o c 了？那么四边形 o b e c 是 菱形是不是？ 是不是？好，所以这道题的话还是比较简单的啊，同学们啊，这里面用到的这些判定也好，还有咱们这个性质也好，特别是像咱们举行的这个对角线相等且平分，这些都是我们前面学过的内容啊。如果说对前面学习的内容不清楚，不了解，还不熟悉的，也可以咱们再复习巩固一下，看一看老师之前的视频， 或者是看看咱们手边的课本啊。好，所以咱们今天内容就讲到这里了啊，今天打卡的内容先讲到这里，跟着大地老师每天学干货，咱们下节课见，拜拜！

早上好呀，我们今天要来学习八点二这个章节， 嗯，特殊的平行四边形，前面讲过了平行四边形的性质判定，我们今天讲到的特殊的平行四边形当中一些需要学习的知识点。首先咱们要去梳理什么是矩形 啊？在这边有一个对于他的定义，有一个角是直角的，平行四边形是矩形。注意了，这这里写的是平行四边形啊，不是有一个角是直角的，四边形是矩形。 然后呢就行，在我们小学里面经常接触到他名字名字叫长方形，对吧？所以看到这两个是一样的。然后这里需要注意一个点，咱们前面学那个平行四边形的时候， 平行四边形的时候，呃，可以用这个符号来标记，对吧？但是咱们学矩形的这个地方，他就没有用这个符号来表示的啊，这个一定要注意有有的小宝会写的时候会用这个符号来表示矩形，这个是不可以的啊。然后我们来看 矩形是特殊的平行四边形，那么它除了具有平行四边形的一切性质之外，是否还具有什么特殊性质呢？ 我们来看到如图八杠十六、矩形 abcd 是 平行四边形，角 abc 等于九十度。由平行四边形的性质，我们可以知道这个矩形 abcd 的 其他三个角也都是九十度。 然后他说连接对角线 a、 c、 b、 d， 由 a、 b、 c 等于 d、 c 角 a、 b、 c 等于角， d、 c、 b、 c 等于 c、 b， 我 们可以得到三角形 a、 b、 c 和三角形 d、 c、 b 全等，所以可以证明到它的对角线 a、 c 和 b、 c、 b 全等，所以可以证明到它的对角线是相等的， 那么矩形的对角线除了相等以外，它本身是平行四边形，那么它的对角线就互相平分啊。所以咱们看到矩形的时候就要想到它的对角线，第一个互相平分，第二个相等， 嗯，然后我们来看到后面啊，矩形的性质，四个角都是直角，对角线相等，嗯， 那我们刚刚说了，他是特殊的平行四边形，对吧？所以平行四边形具有的，比如说对边平行、对边相等、对角相等，这些他也都是具有的。 然后我们看到下面如图，如果四边形 a、 b、 c、 d 是 矩形，那么他们他的四个内角都是九十度，他的对角线相等，这个是比较特殊的矩形，他具有的一个，嗯，特殊的一个性质啊。然后我们接下来看，第一， 如图八杠十七矩形 a、 b、 c、 d 的 对角线 a、 c、 b、 d 相交于点 o， 且 ab 等于二分之一 a、 c。 要我们求证三角形 a、 o、 b 是 等边三角形，那看到这个我们要想到我 上一个学期学到关于正等边三角形，我有什么办法，对吧？咱们可以从三个边都相等，或者是从两个角都是六十度，再或者是 有一个内角是六十度的等腰三角形去证明这些都可以，对吧？啊，那我们来看到今天这个要证明 a、 o、 b 是 等边三角形，我们要怎么去写呢？首先它是矩形， 所以它的对角线 a、 c 和 b、 d 相等。然后我们刚刚说了，矩形是特殊的平行，那么它的对角线互相平分， a、 o 等于 a、 c 的 一半， b、 o 等于 b、 d 的 一半也是有的啊。然后题目给出了一个这个 a、 o 是 a、 c 的 一半，所以 ab 可恶， ab 是 a、 c 的 一半，所以 ab、 a、 o、 b、 o 这三个线段都一样啊，那么这个三角形自然也就是等边三角形了。下面我们来思考一下，矩形是特殊的平行四边形，所以它是中心对称图形。 记好了，这个地方，我们在平行四边形里面讲到中心对称图形，平行四边形，它是中心对称图形。那么特殊的平行四边形矩形，包括我们后面学的菱形、正方形，它也都是中心对称图形。接下来他说矩形是轴对称图形吗？ 如果是，他有几条对称轴，那他肯定是轴对称图形。为什么我们轴对称的时候就思考这个图形我能不能把它折叠，折叠之后呢？能够完全重合啊？折叠出来这两块能够完全重合，那很显然我这个矩形可以 这样子，对吧？也可以这样子啊，都是可以的。然后，嗯，对这个方面判断比较薄弱的小朋友，可以多玩一点折纸的这个，拓宽一下你的这个想象啊。然后我们来往下看 练习。一如图，矩形 a、 b、 c、 d 的 对角线， a、 c、 b、 d 相交于点， o 角 a、 o、 d 等于一百二十度， ab 等于四。要我们求对角线的长 啊，也就求 ac 或者求 b、 d 的 长，那么看到这里有一个一百二十度，我们在几何里面说见到特殊的这种度数，一定要去想有没有特殊的图形，看到一百二我就要联想到六十度 啊，连想到六十度，那么这个时候我就会发现角 a、 o、 d 的 一个补角，它是等于六十度的，也就是角 a、 o、 b 等于六十度，然后它是矩形，它的对角线相等，互相平分，所以 o、 a 和 o、 b 也相等，那么三角形 o、 a、 b， 它就是一个等边三角形，所以三条边长应该都等于四啊，也就是我们可以得到 a、 o、 a、 o， 它就等于四，那么 a、 c 应该等于两倍的 a、 o， 也就等于八。 接下来咱们来看一下练习。二、如图，矩形 a、 b、 c、 d 的 对角线 a、 c、 b、 d 相交于点， o、 ec 和 b、 d 平行，交 ab 的 延长线于一。然后要我们证明 a、 c 和 e、 c 相等。首先 这线段相等，咱们可以通过等量代换，或者是说全等，或者是这个咱们现在这个平行四边形啊，矩形啊，这种对边呀，对吧？对应的相等啊。那我们来从这个边的角度去考虑的话，看看矩形 能够给我们知道有什么东西。比如说他说矩形 a、 b、 c、 d， 那 我就知道矩形的对边是平行的，对边是相等的，对角线是相等的，对角线是互相平分的，那这个时候我就可以得出一个这个 a、 b 和 c、 d 啊，它也是平行的，那么我们就可以得到四边形 b、 e、 c、 d， 它是一个平行四边形，对吧？啊，两两组对边分别平行吧，它是一个平行四边形，所以它如果是一个平行四边形，我 对边 b、 d 和 e、 c 是 不是就得相等了呀？啊？然后我们刚刚说了，矩形的对角线也是相等的，所以它这个 b、 d 还会等于 a、 c， 那 么这一步转化一下，我们就可以得到 a、 c 和 e、 c 相等了。 接下来我们看矩形的四个角都是直角，对角线相等，反过来问一个四边形， 注意喽，一个四边形满足哪些条件他一定是矩形呢？问，四个角都是直角的四边形是矩形吗？ 是不是啊？我们看到如果四个角都是直角，都等于九十度，那我们就可以得到什么呀？两个角相加等于一百八，这个时候我们就可以得到对边平行 a、 d、 b、 c、 d 平行同旁内角互补啊。然后 如果角 a 等于九十度的话，那么这个四边形它本身是一个平行四边形的，再加一个角是九十度的话，那他肯定是矩形啊，肯定是矩形，所以我们得到了矩形的判定定律。一、三个角，为什么这里说三个角是直角，而不是说四个角？因为 这个矩形是四边形，那么四边形内角和本身就是三百六， 对吧？如果我能确定有三个都是直角的话，那剩下一个也一定是直角。要注意这个地方他写的是四边形，三个角是直角的四边形是矩形，而不是他没有写这个地方，没有写平行四边形。哦，要注意一下啊。 所以说普通的一个四边形，我要判定他是矩形的话，我需要有三个角是直角， 然后接下来咱们来看，那么对角线相等的平行四边形，它一定是矩形吗？ 我们观察下面这个图可以发现，在对角线相等的时候，平行四边形看上去啊，像是一个矩形，那怎么去证明呢？他说在平行四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 c、 b、 d 相等对角线，然后呢，我们可以由 ab、 c、 d 相等 b、 c 公共边再加一个 a、 c 和 b、 d 相等，运用边边边去证明出来，三角形 abc 和三角形 d、 c、 b 全等，于是我们就可以得到角 abc 等于角 d、 c、 b。 又因为平行四边形对边平行， 所以角 abc 加上角 dcb 是 等于一百八十度的，那两个角相等，又相加等于一百八，所以啊，这两个角应该都等于九十度，那么这个平行四边形，它就一定是矩形。所以这里我们就得到了第二个判定定律， 对角线相等的平行四边形是矩形。这个判定定例一和判定定例二是有一点区别的，我们判定定例一指的是四边形，如果这个四边形有三个角是直角，那么他就是矩形。 然后判定定例二，他是规定了是一个平行四边形，如果一个平行四边形，他的对角线相等，那么他是矩形。这两个地方是需要注意的哦。 接着我们来往下看。例二，如图八杠二十，在三角形 a、 b、 c 中，角 a、 c、 b 等于九十度点， d 是 ab 边的中点， 然后 d、 e、 d、 f 分 别是三角形的角平分线啊，一个是 bdc 的， 那我们就是这个角和这个角相等，换一个颜色，然后就是这个小角和这个小角相等。 好，他说让我们证明四边形 d、 e、 c、 f 是 矩形，因为角 a、 c、 b 等于九十度点， d 是 中点。我刚刚标的过程当中，我就已经把三个相等的线段标出来了 啊，三个线相等的这个线段标出来，它运用到我们上个学期学到的一个这个斜边中线，对吧？然后呢，这个是第一步，又因为 d、 f 平分角 a、 d、 c， d、 f 平分角 a、 d、 c， 所以 d、 f 和 a、 c 垂直，这个是运用的等腰三角形的三线合一，所以角 d、 f、 c， 它就等于九十度， 这里运用到了一个等腰三角形的三线合一啊。然后同样的道理我也可以挣到 d、 e、 c 也等于九十度，那么加上题目给的一个这个 a、 c、 b 九十度，我现在就有三个角是直角， 那么这个矩形他就，呃，这个四边形他就是矩形了，他运用的是判定定例一啊，运用的判定定例一，然后我们看如图八杠二十一， 他说 l 一 平行， l 二 a 和 d 是 l 一 上任意两个点，我过点 a 做 ab 垂直， l 二 dc 垂直 l 二， 问 abdc 相等吗？为什么呢？肯定相等啊，为什么？因为我们来看到 l 一 和 l 二平行，对吧？然后这里一个垂直，这里一个垂直，那平行的话，本身这个同胞内角互补，这个也是 九十度，所以这三个角都是九十度的话，我这个四边形 abcd 它就是一个矩形，那么 ab 和 cd 一定相等，它衍生出来了一个 概念是什么？就是这个两条平行线中，一条直线上任意一个点到另一条直线的距离，距离啊，垂直叫做两条平行线之间的距离。 然后这个咱们不是刚刚挣到了一个这个相等吗？在后面你们学到，嗯，有关的面积，有关这个 上八上，咱们学过那个一次函数里面的那个等面积，还有那个接下来初三可能也会涉及到这种，这个知识点还运用的还蛮多的，放在大体里面调节的话，所以这个也要掌握一下啊。 接下来咱们看到这个练习，如图 a、 b 和直线 l 平行，当点 c 在 l 上移动的时候，问三角形 a、 b、 c 的 面积是否为定值？ 为什么？那我们考虑面积由什么组成？常规的是 二分之一的乘高，对吧？那我们来看 d 固不固定。如果以 ab 为底， ab 是 固定的，那我就要看高高固不固定，对吧？那么看高高应该是从 c 点往 ab 做 垂线段啊。这个 cd 因为 l 和 ab 它是平行的，所以它这一段的距离啊， 无论我 c 移动到这里还是这里，它都是和这个 c、 d 一 样的，那么高也是固定的，所以我这个三角形的面积一定为定值。接着咱们来看到练习啊， 如图，矩形 a、 b、 c、 d 的 对角线 a、 c， b， d 相交于点， o 点 e、 f、 g、 h 分 别在 o、 a、 o， b， o， c， o， d 上， a， e 等于 b， f 等于 c， g 等于 d， h 连接 e， f， f、 g、 h、 h、 e。 要我们证明四边形 e、 f、 g、 h 是 一个矩形。 这个题目大的矩形给的是对角线，并且后面的这个相等等量关系也是在对角线上的，所以啊，我们也是在对角线上去下功夫。首先大的矩形 a、 b、 c、 d， 它的对角线 a、 c 和 b、 d 是 相等的，并且 a、 c 和 b、 d 是 互相平分的，所以 o、 a、 o， b， o， c、 o、 d 这四个线段是相等的。那么再结合这个条件，我们用 o、 a 减掉 a、 e 之后，我是不是可以得到 e、 o， 然后后面的这个 b、 o 减去 b、 f 之后，我可以得到 off， 然后后面一个 og 还有 o、 h， 这四个它也应该相等， 对吧？这四个它也应该相等，那也就从而说明了我这个 e、 g 和 f、 h 它也是相等的，对吧？啊？如果说对角线是互相平分的一个四边形，它是一个平行四边形， 对不对？那如果说对角线还相等的一个平行四边形呢？它就一定是一个矩形了。

哇哦，在江苏家里有八年级娃的家长，这个寒假孩子应该已经预习过四边形了吧。接下来，老王准备更新一些跟四边形相关的证明题，您可以点赞收藏一下，回头给娃听一听， 看看娃预习的效果怎么样。其实四边形的证明题考察的往往不会过于复杂，但很多同学的过程写的是有瑕疵， 老王准备详细的讲一讲该怎么去写过程好，我们来看这样一道题，这个题其实也选自江苏，去年月考真题，他说矩形 a、 b、 c、 d 的 对角线， a， c， b、 d 交于点 o， 这是一个矩形，然后说 b、 e 平行， a、 c。 我 比较喜欢用这样的箭头标记平行，而且呢， c、 e 又平行于 d、 b。 要证明四边形， o， b， e、 c 是 一个菱形。 首先对于菱形的判定方法要非常清晰，其实一共有三种方法。第一种方法永远是定义法，菱形是基于平行四边形下的定义，有一组菱边相等的平行四边形是菱形。我在课上呢，经常跟同学们讲，可以简单的去记忆，就是平四 加上零边相等就可以了。平四加零等还有两条判定定律，其中有一条判定定律呢，是四边相等的四边形是菱形，这是基于四边形去证菱形的方法。四边相等还有一条判定定律，也是基于平行四边形去证明的。 我们只要能够证明这个平行四边形的对角线互相垂直，他肯定是个菱形。课上呢，我喜欢跟娃们剪辑为平四加对垂，对垂指的是对角线互相垂直。梳理一下，有两种方法是基于平四去证明的， 你可以给平四加一组菱边相等，或者加上对角线互相垂直，他就可以判定菱形了。还有一种呢，就是基于四边形，你直接去证明四边相等，那么他也就是菱形了， 就这三种方法。然后咱们来看这个题目，因为题目条件有两组对边分别平行，那么这个四边形本身就是平行四边形，这个是平行四边形的定义，两组对边分别平行，课上呢，我喜欢把它叫做平平。 ok， 证明了这个四边形是平行四边形以后，那我们是不是就有两条路来证明菱形了， 要么能够找到一组零边相等，你要么能够找到对角线垂直，目测连对角线不太现实。那么这个题目结合本身给出的四边形是一个矩形，不难知道 o b 应该等于 o c 吧，所以我们可以找到下一组零边相等，结合它是个平四。 于是呢，我们可以用平四加零等，也就是菱形的定义证出它是菱形。那整个过程该怎么去书写呢？里面有一些细节需要注意，下面我在写的过程中间来说明啊。好，我们证明。第一步咱们可以先证它是一个平行四边形，那因为两组对边分别平行，就是 b、 e 平行， a、 c 平行 的，所以咱们可以证明四边形 o、 b， e、 c 是 平行四边形。接下来呢，咱们来证这样的一组菱边相等，这个是通过矩形来证的， 但是不能因为矩形直接得到，而是应该先通过矩形的性质。矩形的对角线呢，有两点性质，一个呢是互相平分，其次呢是对角线相等，我们要同时用这两个性质才能证出 o b 等于 o、 c， 不 能直接得由对角线互相平分。我们知道 o、 b 是 等于 b 的 一半， o、 c 等于 a、 c 的 一半， 又因为对角线相等比得等于 a、 c， 所以 o、 b 才会等于 o、 c。 一定要这样说，那么还有个地方要注意，我们在说因为的时候啊，不要直接写因为矩形 a、 b、 c、 d， 而是要把它写成因为四边形 a、 b、 c、 d 是 矩形，然后我们来得到它的性质，一个呢 是 o、 b 等于二分之一 b、 d， 其次呢是 o、 c 等于二分之一 a、 c 的， 这叫矩形对角线相等的性质。 同样呢，我们才能知道 o、 b 等于 o、 c 由一组菱边相等，以及四边形是平行四边形，所以咱们马上说四边形 o、 b、 e、 c 是 菱形。好，这个题目可以让娃写一写，题目是不难的，看看娃的过程有没有瑕疵，加油！