刘秋龙高一数学基础题练习册

信龙哥无坎坷，前方一路小平坡小平坡，我是龙哥刘琼龙老师， 来吧，我们来看一下今天咱们要讲的这块内容啊，平面向量的线预算啊，当然龙哥在这呢还是要再次强调一下哈，龙哥呢，是被大家称为差生救星的老师，专注于帮助数学不及格，尤其是考三五十分的孩子，零基础的孩子。好吧， 呃，自我介绍呢，咱们就不多说了，龙哥直接炫一个得了，哎，我直接炫一个好不好， 我直接炫一个啊啊呃，但是大家还是要对龙哥稍微有了解啊，就是被大家称为差生救星哎，独创黑马龙体系 哎，因为黑马龙体系呢，上过中央一台，中央三台，北京春晚哎，重基础讲的戏，掰开了揉碎了讲，就差一加一等于二给大家讲起来了，哎，这些东西呢，都要给大家聊一聊，说一说，好吧，各位，反正咱们这个这个呢属于一个 重基础的内容好不好啊，就差一加一等于二讲了啊。来吧，咱们先来看第一 part 内容， 平面向量的一个基本概念的一个变式啊。平面向量呢，在我们高考考卷中，其实主要是考选填小题为主，单独的考一道选填小题为主 啊，然后呢，呃，当然大体里边呢，会有一些和它是相，就不是直接考它，但是会有一个翻译啊，大概是这样的一个情况，但是呢，你平面向量还是要学会的，你平面向量空间向量，那那块内容你就不太 ok 了好吧， 然后大大字来感受一下这一块内容啊。首先说什么叫向量呢 啊，他有大小哎，有方向， ok 吧，就是大家之前学到更多的是，如果你没有接触到项链之前，你学到更多的是。只有大小数吗？数学吗？算数就可以了， 我会算数啊，我会一加一等于二，我会二加三等于几，我会几乘几等于几，几出几， ok， 就 可以了。大小，但是我们学到向量，它是有要有方向的，有大小的，其实一旦有方向之后呢，很多同学就有点有点糟糕了，就感觉有点难了啊，其实也还好，就你只要学进去了都还好。好 吧，来，我们说了，向量呢，可以用线段哎，可以用这样来表示， ab 大 写字母， ab 上面顶根键， 点根键哎，所以呢，这种就可以继承向量 ab 向量 ok 了，我们也可以用小写字母来表示，但是大家要注意啊，人家这是一个黑体印刷版，你认识就可以了，这是认识就可以了。好吧，你手写你不能写成这样， 你手写你，你看啊，你手写应该写在 a 向量上面点个键， b 向量上面点个键， c 向量上面点个键。哎，就是就是，这货和这货是一个意思这货和这个货意思，这货和这个货意思，听懂了吧， 好了吧，就是你手写人家这是你试卷上呀，你的练习册上说人家打印黑体打印可以，你手写我龙哥，我黑体打印你，你不是打印 你手写好了吧。啊，大家再来注意啊，就是我们再来看就是项链 ab 的 大小呢，称为它的长度，我们这个项链呢，可以说它的长度是多少呀？膜长是多少呀？ ok， 大 概这样的，记住， ab 项链的膜长， ab 项链的膜长， a b 项链的摸索，听懂了吧。啊，长度为零的向量呢？我们教程的零向量，哎，记住，黑体印刷，你要写的就写成零向量，你注意啊，大家来来瞅一瞅，你近近观看一下啊，就这个零和这个零是不一样的，你看到了吗？ 这个就是大小长度啊，长度为零，这个你看啊，它是印刷加粗了，所以这个叫零向量，你写的零向量上面有根箭头的 啊，来这呢。还有一个就是大家把这些消化消化，吸收吸收，单位向量还有个概念叫单位向量， 单位向量指的什么呢？就这个考生特别喜欢考，就是长度为一啊，就是人家如果说单位这两个字，单位向量啥意思？它的长度为一的向量，这个一定会翻译啊，这个一定会翻译，你不会翻译这个肯定你就是七十八了， 是不是七十八八了啊？好，再来。 还有一个叫平行项链，也叫贡献项链，大家要注意啊，就这个是一个人两个名，平行项链又叫贡献项链 啊，好好，他后面写了好字，又写了，我给大家说了，平行项链也叫做贡献项链，就贡献项链也叫平行项链，平行项链也叫贡献项链，反正他俩是一个人两个名，哎，大概是这么个意思，你大概得懂 好了吧，这都是一些关键的词啊。但是还有一个你要注意啊，就是我们在平行向量也是贡献向量里边呢，就是大家会容易出现一个嗯，理解上的误区啊， 但你要记住，什么叫平行，什么叫贡献呢？就是方向相同的， ok， 我 们叫平行向量，方向相反的我们也叫，所以，哎，注意，非零向量叫平行向量啊，一定要注意，我们不仅说龙哥我是不是得方向相同的时候才能叫平行向量啊， 哎，共线向量不是方向相同以及相反的，只要不是零向量的都叫平行向量，听懂了吗？平行向量，你可以是，你可以长成这样的，这叫平行向量，你也可以长成这样的，这也叫平行向量？ 注意这些关键词啊，概念的辨析，概念的辨析。好吧，一会给大家拿题来说啊，你先别急，你先把这些东西你先记一记，后期你遇到题了你再回来过一头一看。哇，恍然大悟，恍然大悟了，好吧， 零向量与任何向量啊，与任意向量都是平行的，听懂了吗各位？对于任意向量来说，哎，它俩都是平行的， ok 吧。还有一个概念叫相等向量，我们也稍微给大家留意一下，叫相等向量。 什么叫相等向量呢？我们相等向量要求听清了啊，相等向量要求长度必须是相等的，大小必须相等，方向必须相同，方向必须相同， 懂了吗？长度要求相等，方向必须要求相同，哎， ok 吧，所以，向量 a 向量 b 向量相等，怎么叫做 a 向量等于 b 向量， ok， 起火， ok， 起火好了吧？哎，好，这是我们方向长度相同，方向相等的，还有一个方向相反的相反向量叫什么呢？方向相反的， 方向相反呢，就是指向量呢，长度是相等的相反向量。注意啊，虽然你是相反向量，但是长度要相等，方向相反，你在这里边稍微要注意啊，你要龙哥相反向量，对，就是规定式的，这是龟的屁股蛋子规定式的， 不要问为啥，龙哥为什么规定死，就是规定死了，好吧，叫做 a 向量的相反向量，好吧，零向量的相反向量仍然是零向量。 好，我们把这些概念呢，再来给大家捋一遍啊，别着急，后面马上开始来做题啊，把这些概念再来带大家捋一遍。 龙哥，刚才听了一堆啊，太多了，消化不了了，那这个东西呢，是需要大家慢慢来，慢慢来消化的啊。好吧，认真打起精神来，认真认真，再认真一点。好，我们来看 第一个平面向量叫有大小，有方向的量叫做向量，有大小有方向。好了吧，我们可以用大写字母两个字母 a b 来表示 a b 向量，也可以用小写字母认识印刷字体就可以了，认识它，你实际手写要写成这样。 好吧，我们说了，项链呢，有大小有方向，那么项链的大小，哎，叫做是膜长也可以，长度也可以，哎，我们输写成 ab 项链，你说龙哥这叫绝对值，但是以前你叫绝对值啊，我们现在叫的是膜长， ab 的 膜长。长度的意思， 长度为零的向量叫做零向量， ok 吧，长度为一的向量叫做单位向量，注意，单位向量的长度为一。这个得万万记死，万万记死，这个必须得记的死死当当的。好，老老记死了啊， 好，平行向量，我们说了啊，相方向相同，方向相反，哎，他只要是非零的向量就就是平行向量，平行向量也就共线向量， ok 吧，相等向量，长度相等，方向相同相反，向量长度相等，方向相反， ok， 齐活我们，哎，那么把这些概念呢，先来给大家 捋的一个七七八八的，八八七七的来吧，看题吧，刚才属于把概念给大家归一遍，刚才的概念，你说龙哥我一下没有消化了，很正常，你不可能龙哥我一下就消化了了，天才吗？对吧？慢慢来，我们拿题来说话给他拿题来说话， 来看立体来看立体。 好了吧，他说了，下列让我们找的是假命题的是哪一个？大家可以动手先思考一下。动手思考一下先 好，他说假命题，那就是哪个不对呗。看好了啊，他说向量 ab 向量和 b a 向量。来吧，我们给大家捋一下什么叫 ab 向量，什么叫 b a 向量。假设这个点叫 a 点，假设这个点叫 b 点。 那么各位看好了啊， ab 向量啥意思？ ab 向量就是从 a 点到 b 点，这叫 ab 的 向量，它的方向是朝右边的，长度就是 ab 的 长度，那么这叫 ab 向量。写的细点啊， ab 向量 好，那么什么叫 b a 向量呢？ b a 向量从 b 向来，从 b 开始往 a 搞，搞过来好，那么绿色的这个叫 b a 向量，那我们就能看到它俩色 长度相等吗？当然，长度当然相等，因为就是从 a 点到 b 点的这段距离决定着它俩的长度，所以它俩的长度相等的方向是相反的，所以它是对的，听懂了吧啊， ab 向量与 b a 向量。哎， 它俩都不不只可以说成是说长度相等了，你看啊，我们可以说成相反向量。 相反向量的概念还记得吗？相反向量的要求是长度相等，方向相反， a 向量的相反向量叫负的 a 向量。哎，所以我们说了啊， ab 向量和 b a 向量，它俩长度相等，方向相反也可以教程的是相反向量。听懂了，各位， 相反向量，相反向量就要求长度相等啊，你可以再来啊， ab 向量，其实它就等于负的 b a 向量， 负的 b a 向量，负的 b a 向量就是 ab 向量啊， a b 啊，就这个意思啊， ab 向量等于负 b a 向量，负 b a， 那 么符号变过来，正好方向相反，变成 ab 了， 好了吧。啊，你未来随便一个，你说龙哥负的 b m 向量啥意思？哎，对的， m b 向量，负的 d f 向量等于什么？负的 d f f d 向量，听懂了吧？ 好，这是这一个基本的概念，过去我把基本概念在这给大家过一过啊，大家对于基本概念要比较熟悉一点啊。来，再来看第二个。趴，那第二个选项， 他说如果两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，对，是不对。对，相等的向量。什么叫相等的向量？来回来看， 相等的向量要求长度相等，方向相同，那么相等的向量说长度得相等，方向得相同，你又是起点又是一模一样的。我一个起点，假设是一个 c 点吧， 起点相同，对吧？假设这是 d 点，它要求方向得相同，大小得相等，那么它俩就是一模一样的呀，它的终点一定一样的呀， 对吧？相等向量，长度相等，方向相等。那如果，如果没有说起点相同，因为我们向量，你看我们可以这样， 如果没有要求起点相同的话，那么是不是可以向量可以换成这样？我俩只要长度相等，方向就可以了，但是要求起点相同，那么你起点必须相同，那终点也就一样。好吧。 好，我们来看 c 选项，他说只有零向量的模，长模就是长度的意思，单位向量长度为一，对吧？哎，别的就是零，向量的模长等于零。没毛病，老铁， 单位向量的长度是一，那别的向量它都有对应的长度，所以它的模就是长度的意思，等于零。 好，我们再来看 d 选项。龙哥，那剩下 d 了， d 就 不对了呗。为什么 d 不 对了？来，我们来看 d 选项。他首先给我们说了啊，第一个叫共线的向量，并且是单位向量。 首先大家要知道，单位向量它的长度为一，对不对， 对吗？单位向量长度为一 哈，龙哥，单位向量长度为一，什么叫贡献向量？ 贡献向量，贡献的单位向量。好，一样的啊，来贡献的单位向量只是长度为一的贡献向量。什么叫贡献向量？回来看，贡献向量也叫平行向量，贡献向量也叫平行向量。我们说了啊，贡献向量平行向量方向相同或相反都可以，所以各位 贡献的单位向量就是长度为一的贡献向量。这句话翻译出来就是长度为一的贡献向量。 那贡献向量又叫平行向量，贡献向量又叫平行向量。平行向量方向可以相同，也可以相反， 对不对？好，假设这个项链在这，对吧？哎，他两个假设，你说龙哥我相方向相同的时候， ok， 那 么这两个项链就是相等的， 对吧？但，但是各位，如果你一个方向相等一个项链像这，那么他就知道相反的项链，所以他一定相等吗？不一定，因为方向有可能相反，方向相同的时候， ok， 他 两个项链就是相等的，如果方向相反就不行了， 听懂了吗各位？哎，好吧，所以 d 选项是错的啊，就猜到这了，错在共向量，共向量方向可以是相反的，方向可以相反的。 ok， 这是这一道题过去 啊，这是如果，我再说啊，各位，真正你能把概念了解，你说龙哥，我如果是个初学的学生，那这个题的难度还是非常大的，初学的学生来说，这个题难度非常大，但是如果随着你对于向量的学习了解更多之后，你就感觉这个题非常简单了。 好吧，大家对他有个了解哈。好，我们再来看一下一些。看这些，先把概念给它过一过。看这些，他说的呢， 其中正确的命题的个数是几个？其中正确的命题的个数是几个？ 其中正确的命题的个数是几个？哎，来吧，那这种题来吧，到底，你看你都非常准确无误的。其实这种题比多选题都难， 这种问题正确的选项有几个？比多选题都难。多选题你可以当成单选题，选一个走，你少选了也得分，但这个题你要错判一个都不行，所以这是难度高的。来吧，我们来看一下吧 基本功的要求了。他说 ab 向量和 b a 向量长度相同，来， ab 向量和 b a 向量长度相同，相等，对吧？ ok， 对 了，刚刚说 对不对？这个刚才说了吧。来，我们来看第二个，他说如果有两个起点相同并且相等的向量来，这个题跟刚才题是不是也很像？ 你好，换了一下意思啊，起点相同的两个相等向量，终点相同。对啊，无非他把这句话写前面了，这句话写后面了。换了一下嘛，相等的向量，相等的向量说明大小相同，方向相等，起点相同。 ok， 终点必相同。对了，跟刚才题一模一样。 二，对了吧？ 好，我们来看 c 选项啊，三圈三啊。他说有两个中点相同的向量，他说有两个公共的中点，有两个公共的中点， 中点公共。那能说是共线吗？去你的吧，不一定， 对吧？贡献向量叫什么？贡献向量叫的是方向相同或方向相反，方向相同或相反，你只说的是终点。哎，你只说的是终点。 起点怎么说？不知道啊，那不乱套了吗？那一定是吗？错了吧？ 不一定。好吧，你只做了终点，你起点没有说好再来圈四，并且他用的是一个一定。哎呦，吓人哦，来，看谁来看圈四 好。他说向量 ab 向量和 cd 向量是共向量来，还记得共向量，刚才说了，共向量又叫平行向量，共向量又叫平行向量，对吗？共向量又叫平行向量。方向相同，方向相反，方向相同，方向相反，都 ok。 那么他做了 a、 b 向量和 c、 d 向量，那无非你要不然长这样子，你要不然长这样，对吗？那他说你，比如这是 a 点，这是 b 点，这是 c 点，这是 d 点， 对吧？这 a， 这 b， 这 c， 这 d 啊，无所谓。他一定在同一条直线上吗？必定在同一条直线吗？去你的吧，不一定，我只要平行，对吧？我只要是他俩平行的，是不是我给你画一个平行四边形都 ok 吗？画平行四边形， 画平行四边形，比如这是 a 点，这是 b 点，这是 c 点，这是 d 点，那么平行四边形对边平行且相等，对吧？所以它俩是共线相量。那么它一定在同条直线吗？不一定，所以它错了， 所以三和四错了，一和二对了，所以选择 b 选项有两个对，对了吧？是这逻辑吧，好理解哈，好理解吧，来看下一题。 来看这个啊，说一下啊，这是个多选题啊， 这是个多选题。 来看这些，他说给出了下面四个命题，其中是真命题的是什么？其中是真命题的是什么？就哪个对，哪个对。 来，我们来看， ab 向量加 b， a 向量等于零向量，对吗？对， a b 向量加 b， a 向量等于。对啊，为什么？龙哥刚才有说过你比如说我， b a 向量是不是就可以写成负的 ab 向量啊？当然了呀， 对吧， b a 向量和就等于负的 ab 啊，所以这两个省大小相等，方向相反，加起来刚好等于零了，对吧？你如果写不写不那个啥的话，写的慢一点，就写成这样呗。 a b 向量减 a， b 向量等于零向量，所以它是对的，一定没有问题，但它多选择题啊，你不能选一个就走，你不能选一个走， 是不是？我们来看第二个看，来看 b 选项，他说零向量与任意向量平行，你看零向量与任意向量平行， ok， 原画，原画，那必然对，那所以你要记住呀， 是不是？原话你是必然要记住的。好，我们来看 c 选项， 他说了，你看啊，来，我们先来看啊，充分不必要。什么叫充分？什么不必要啊？先来回忆下这个东西啊。假设这是 p， 假设这是 q， 是 q 的 什么？ p？ 如果能推出 q 来，左边能推出右边来，这叫充分。如果 q 能推出 p 来，这叫必要， 对吧？如果说推不出来叫不充分，推不出来叫不必要。听懂了吧各位啊， p 能推出 q 来，左边能推出右边来，充分， q 能推出 p 来，那叫必要，但是推不出来就不充分，不必要。 那我们来看一下 c 吧，它是它的，来左边，能推右边吗？如果说这两个向量的长度相等，那么就能说明这两个向量相等吗？错， 两个向量相等能推出来长度相等，长度相等不一定能推出来两个向量相等，对吧？ 我们向量除了长度之外还有方向啊。所以 c 选项是错的，他应该改一下，因为你从左边推不出右边来，但是从右边能推出左边来，是不是这个意思？ c 选项说一下啊， a 向量的模等于 b 向量的模，它是推不出来，它是推不出来 a 向量等于 b 向量的，所以这显然是不充分。 而反过来的时候， a 向量等于 b 向量的时候，它是可以推出来两个向量的模，长向量的，所以这叫必要的， 是吧？所以他的答案应该改成色，必要补充色， ok， 改成必要补充色， 好了吧？哎，简单的好 d 选项，那就自然而然了。刚才刚刚干过这么道题吧， 他说向量 ab 向量和向量 cd 向量是共向量，哎，向量 ab 向量和向量 cd 是 共向量，那么他一定在通宵直线上吗？那他一定在通宵直线吗？错了， 所以这一题的正确答案就是选择 ab 选项，哎， ab 选项，那就非常的 easy 了，轻松了，搞定了， 好了吧。哎，这是这一道题，我们就是比较轻飘飘，简简单单拿下来 来看下一个。第二题， 都说下列命题中正确是哪个？这是个单选择题啊，哪个是正确的？如果你看啊，你刚才，咱们为什么刚才要花那么多的时间给大家去把概念性的东西讲解一下啊，把刚才那些题目编辑讲解一下，因为你一旦弄了，这就非常的简单了。看这道题吧。 好， a 选项说，如果说他两个的模长相等，那么说明他两个向量相等。错，刚说过， 对吧？你比如说我这个向量长这样子，这个向量长这样子，那我能说明这俩长度相等的时候，它俩能相等吗？它俩相等？不能啊，方向都不同啊，对吧？ 但是 b 选项这头对了呀，他说如果两个向量是相等的，如果 a 向量等于 b 向量，则 a 向量的模等于 b 向量的模，对不对？对， 如果 a 向量等于 b 向量，如果 a 向量等于 b 向量，则 a 向量的膜等于 b 向量的膜，所以它是对的， 是不是，对吧？我两个向量都是相等的，大小相等，方向相同，所以大小一定相等。那龙哥，为什么 c 选项不对？错 啊？我们的项链你没法比较大小呀。项链无法比较大小，听懂了吗？啊，对吧？写下啊，项链无法比较大小， ok 吧？项链没法比大小，但是项链的膜长可以比大小。只说它长度的时候可以比大小，但是项链没法比大小， ok， 好， 他说了， a 向量如果说模长等于零，那么则 a 向量就等于零向量。你注意啊，这个题特别有意思，他应该是印刷黑体才对啊， a 向量应该等于零向量，对吧？ 知道逻辑吧， 好了吧。啊， a 向量的模长如果等于零，说明它是零向量嘛？但是它没有印刷加粗啊，印刷加粗它没有，它，这是零，它的意思是 a 向量等于零。不对啊，这题太有意思了， 好看，这个， 看下这题，动手先试一下，看看大家，大家感受 ok 不 ok？ 来感受下这题， o 不 o 不 ok 啊！ 好，来看这题，我把哪个出现坑的一个地方给大家先重点标一下啊！ 给出下列命题，正确的是哪个是正确的呀？哪个是正确的呀？哪个是正确的呀？ 来看 a 选项，错的也一塌糊涂了，你看，刚才做了好几道题了，他说如果两个向量的模长相等，则两个向量相等。错， ok， 来看 b 选项，他说，如果 a 向量等于 b 向量， a 向量等于 b 向量，说大小相等，方向相同， b 向量等于 c 向量，大小相等，方向相同，那么 a 向量等于 c 向量对， 因为什么？因为你的大小和他的大小一样，方向一样，你的大小和他的大小，大小和方向，我们向下只看两个维度，一个叫大小，一个叫方向。既然你是大小相等，方向相同，那我也是大小相等，方向相同， ok， 齐五，那不就齐了吗？ 是不是就齐了？ 是这逻辑吧。 哎，所以 a 向量等于 c 向量， ok， 齐活，这就对了， b 选项对了， 来看 c 选项 啊啊， 看好看好， c 选项为什么错了啊？他说， a 向量的模和 b 向量的模，它俩是怎么的？相等的？长度相等， ok， ok， perfect！ 但是你说，龙哥，我又告诉你了呀，如果两个向量平行，各位，你还记得平行向量什么意思吗？这叫 a 向量平行与 b 向量。我们说了平行向量，你还记得它可以翻译成共向量这个号吗？ 平行也叫共线，共线也叫平行，这不就 perfect 了吗？但是你还忘了大明湖畔那个夏雨荷了吗？ 啊， 还忘了吗？有没有忘了？ 有没有忘？ 平行也叫贡献，贡献也叫平行，那么在这里边我们有一个东西叫什么？大家注意啊，它就是方向，你的方向相同也是 ok 的， 你要注意这个字啊，你回来看一下，方向相同或相反的非零向量就叫平行共线向量。那么那么那么那么那么 如果你说我们两个长度相等，哎嗨，但是我们的方向是相反的时候，那你能说他俩是相等向量吗？不能， 所以他俩不一定是相同相等，有可能是相反相等，听懂了吗？当方向相同的时候，当然你是相同相等，当然当你方向相反的时候，他就是一个相反相等了。啊， 好，这个题呢，不仅是 c 选项，你说龙哥我不好判断啊，就 d 选项，其实这个题有难度， d 选项有难度。 d 选项怎么难了呀？来吧，龙哥这个邪魅一笑。 那牛龙哥你看啊，你看，这个题和 b 选项好像啊， a 向量平行于 b 向量， b 向量平行于 c 向量 c， a 向量平行于 c 向量 a 为什么不行？好，你还注意？还真不一定因为什么，因为当 b 向量为零向量的时候，注意啊， d 向量这个特殊一点啊，特殊记忆项啊， 如果说当 b 向量等于零向量的时候，你想一想，零向量和任意向量都是平行的，共线的，你回来看一下这句话来， 零向量与任意向量平行，零向量与任意向量平行，所以各位老铁， a 向量可以是东拐， c 向量可以是这样拐，这是 a 向量，这是 c 向量，那我零向量就可以和你平行，零向量也和你平行，对吧？ 零向量和它平行，零向量和它平行，那么能说明这两向量平行吗？不能不能，不能。好，这是这个题，消化一下，消化消化，吸收吸收。 好我们再来。 好吧，我们来看一下这道题，我们来看下这道题。 他说，我给了你四个命题哦，他说，正确的命题是哪个？ 正确的命题是哪个？哇，你看这种题就会有难度，比刚才那个多选题都难了啊。嗯，来吧。但是呢，我们前面既然学了那么多了，我认为也就简单了， 上来砍叉吧，挨个读题，读完题你就知道对与错，这才是学的比较好的啊。好吧，他说，如果我 a 向量的长度是零，那么 a 向量等于零，错， a 向量等于零向量才对，对吧？它应该是一个零向量。所以各位，你要是印刷，你应该加粗，黑体加粗才对，你要是印刷，你应该印刷成这样，但是我们手写呢，不能写。那应该加个零向量好了吧。 因为这是林志玲，他俩一样了。你看，你，你，你看牛，龙哥，我应该看到什么才对的？你应该看成这个样子，他俩肯定不一样吧，一个黑，一个胖乎乎的黑，一个太瘦了， 那个叫数字零，这个叫向量零，认识即可，强调一下就可以了，好了吧。哎，这是这一个题，我们清晰 好来看。二，他说两个向量相等了，长度相等了，两个向量长度相等，那一定说明这两个向量相等或相反吗？不一定啊， 不一定啊，那龙哥你刚才不是说这个吗？你看他还多了一个得平行啊，平行之后他是相等或相反的，你又没有说他俩平行。 所以你比如举个例子，我这个项链长这样子，我这个项链长这样子我俩长度相等你能说这俩项链相等或者相反吗？不能呀，显然不能呀， 对不对？显然不能，显然老显然了。 好，我们来看三圈三，他说如果两个向量平行平行呢，可以是方向相同，也可以是方向相反，对吧？但是你一定能说他俩长度相等吗？我平行只能说明方向相同或相反我也不能说明这两个长度怎么贴啊， 你比如说我这个 a 向量，这个 b 向量，他两个是不是平行的？是啊，长度相等，不是啊，哼，是不是？ 好，那你至此各位你看啊，一错了，二错了，三错了，那要四也错了，那没选项了，那所以我这时候自然而然选择 a 选项了，没得选了，我没得选呀，对吧？我没得选那么来看一下圈四吧， 它说 a 向量注意加错了，它是零向量，那么负的呢，也是零向量，对啊，零向量啊，好了吧，哎，零向量它的相反的也是零向量， ok， 没有问题。好，这没有问题，对了吧？ 哎，简简单单 easy， 来，我们继续平面向量的斜线计算 今天下了先英语再来，咱们先把这个基本功呢，还是要再来给大家说啊，就是龙哥主打一个，就是被称为差生用心，咱们主打一个掰开了，揉碎了，讲的细，讲的嘎嘎细， 让所有同学呢，咱们都是能够消化吸收搞定欧耶， oh my god 耶耶耶，来吧啊！下面的加法减法 向量的一个加法计算，首先我们看到了三角形法则， 三角形法则呢，我们可以这样做啊，就首尾相连，首尾相连看好了啊， ab 向量加 bc 向量，首尾相连加法的时候，那么就可以约掉这个 b， 它就等于 ac 向量。 我们可以随便再来举几个例子啊，再来举几个例子啊，当然，为什么叫三角形法则？我给大家说，你比如说这是 ab 向量， 这是 bc 向量啊，你看它的首尾是相连的嘛，那么 ab 加 bc， 它就等于 ac 向量，就这个意思，就这个意思。 ab 加 bc 等于 ac 向量。有个为什么规定时的运算法则，我随便给大家举几个例子啊，比如说举例子来说，这叫举例子， 举例啊，龙哥，我是 b m 向量，加上一个 m d 向量，它等于什么？ m m 首尾向量加号，它就等于 b d 向量，对吧？ 那龙哥，我假设我是 f q 啊，我随便写，那我加上 q d 啊， 那么首尾相连，那么就等于 f、 d 项链。 ok， 我 不仅可以两个一起干，我三个、四个一起干，你比如说我是一个 a、 c 项链，加上一个 c， e 项链，加上一个 e、 f 项链吧，怎么弄？ 哎，我就可以这么弄吗？它俩首尾相连加起来 a e 项链， a， e 加 e f e f 约掉 a f 项链，应该搞定了噻， 简简单单，轻飘飘，飘飘，一飘一飘飘。嗯，好吧，这叫三角形法则，手尾相连的连起来啊，大家你们该要整理笔记，整理笔记啊，该整理笔记，整理笔记。好吧， 好，我们再来再来第一 part。 那 么除了三角形法则之外呢？我们还有四边形法则，对吧？ 我们来看平行四边形法则。平行四边形法则怎么说呀？它其实来源这个我给大家画一个平行四边形呗， 这是个平行四边形吗？假设这是 a， 这是 b， 这是 c， 这是 d， 它现在不就说 ab 向量加 ad 向量，你看这叫 ab 向量吗？这叫 ad 向量吗？那 ab 加 ad 怎么搞呀？ ab 加 ad 怎么搞？那不就等于 ac 向量吗？ a， b 加 a、 d， 这就是平行四边形法则啊。平行四边形法则，当然平行四边形法则我们也可以转移到三角形法则，你比如说我们向量是可以任意自由平行移动的啊，你只要你只要把人的方向搞定了，大小搞定就可以了。你看 a、 d 相了，因为它的平行四边形，它的对边平行且相等，对吧？那 a、 d 就 和 bc 是 相等的， a、 d 和 bc 相等，对吧？ 所以呢，我们自此是不就应该知道了，那你 a、 b 加 b c 不 就等于 a、 c 吗？回到它来了，所以平行四边形法则也 ok， 它也 ok。 好 吧，就是给你两个项链，我随便给了啊，你看龙哥，如果它俩的起点相同，我 a、 b 加上它，那怎么办？我做个平行四边形法则，我做成这样， ok 吧？哎，我假设 a、 b、 c、 d， 那 ab 加上 ad， 我 先做平行四边形，做完之后连起来出来了，好了吧？啊， 好，这叫加法，加法比较简单一些啊，加法比较简单一些，加法比较简单一些。我们来看减法，减法真的很关键啊，减法真的很关键，向量的减法一定要会， 就我们很多考试题里边，如果说要出的灵活一点点啊，如果出的要难一点点啊，如果出的比较精彩一点点啊，如果出的比较带劲一点点。减法，减法叫什么呢？这叫共起点指向被减。 什么叫共起点指向被减呢？你看啊，他是 a， 他 是 a， 上过小学的同学应该都知道，那么我们说了啊，被减数，减去减数， 听懂了，各位，比如说五减二，那么五叫做是被减数，所以我指向被减。我指向谁啊？我指向的是前面这一伙， ok 吧，我指向的是前面这一伙，听懂了吗？ 你看你 ab 减 ac， 那 么指向被减数是不是 c b 向量？所以 c b 向量举例子来举俩例子就会了啊， 比如说 b f 向量减上 b， d 向量等于什么？共起点指向北减被减 d f 向量 啊，比如说我是 m n 向量，减去 m c 向量，随便写，共起点指向被减 c， n 向量， ok， 就 长这样，这个一定得会，这个一定得会啊， 好了吧，哎，那就比较简单了啊，好，再来。向量的速乘就像你乘个数呗，对吧？速乘就是乘了个数，你比如说我这是一个 a 向量，那我乘个三倍的 a 向量，那就长这样子呗。扩大两倍的 a 向量，三倍的 a 向量，负一倍的 a 向量，负的相反，方向相反， 对吧？负二倍的负，二乘一倍的都可以。 number 大 于零的时候方向相同， number 小 于零的时候方向相反，就这么个意思啊，好吧啊，以及基于这些运算法则啊，运算率啊，我认为还是比较简单的吧。运算法的运算率比较简单啊 啊，你是先乘个二，再乘个三，或者他俩先乘起来一样，加起来拆开也一样，搞起来一样。好吧， 来吧，来看这题， 这怎么整？这是这是，这是干啥呢？向量的加减法， o a， b c a b o d 我 们说了啊，各位，加法你应该是首尾相连的时候才好算吧。 o a b c， 这不连啊，但是如果我把这两个换一下位置呢？ 我换成 o a 向量加上看好了啊，我把 ab 和 bc 换下位置， ab 向量加上一个 bc 向量，你看换了下位置，其他的别动呗， 你看这不就搞定了吗？我就是把这两个换了下位置啊。那 o a 加 ab， 首尾相连， o b 向量加上 bc 向量，我写的慢一些，你看 b， b 约掉 o， c 向量，减去 o d 向量，哦耶， oc 减去 o， d， 这叫什么？这叫共起点指向被减 d， c 向量。 ok， 搞定 d， c 向量， d c 向量， d， c 向量。选 d 吧。 d c 向量是不是选择 d 啊？ 非常的丝滑，你要非常非常丝滑。 d， c 向量 是吧？ o a 加 ab 加 bc 减 o d， 它三个往起连，你连之后， o c 减 o d， dc 其实可以瞪眼秒杀其实可以瞪眼秒杀，但是呢，如果大家初学呢，如果基础薄弱呢？说如果没有学好，你就可以一步一步来，别着急，都是慢慢弄，慢慢写。 看这个题，会做的同学可以动手操练起来的话，一样的嘛。你看你把他俩换下位置，是不是得劲一点？哎，不对，你把这个往后放一放呢？放到最后呢，是不是可以得劲一点？ 你看，我 m b， b， o 我 我我干出来了是吧？我把它往后放一放，我把它放到最后去啊，你看一下写写啊。 哎呦我去， mb 向量加上 bo 向量加上 o， m 向量减上 b， a 向量 是吧？那你把这一坨搞一搞，你看啊， b 和 b 划拉掉， o 和 o 划拉掉。我写的慢一点，我就写成这样，我一步一步来，它就可以写成 m o 向量加上 o m 向量，减上 b a 向量。 那龙哥 m o 加 o m 等于零向量。你自己得会 m o 加 o m 向量等于零向量，你得会。那龙哥我不会，不会，那我们就再反写一下吧， o m 可以 变成负的 m o， 负的 b a 可以 变成 ab， 我 们注意啊，它俩换一下， ab 向量和 b a 向量方向相反吗？加个负号就可以了。 那么这就出来了，它是零向量加上一个 ab 向量，零向量加 ab 向量，那不就是 ab 向量易得了吧。轻飘飘， 看这个，那就挨个干它吧，那就挨个干啊，就是如果你一旦学会了它，就非常的简单了。 龙哥，这好像整的，这题怎么整啊？大家，大家来看这个题，这题怎么整？ 那龙哥， ab 没有 b 啊，后面没有根 b 啊，那要。 哎呀，这个可以做个减法，倒是这个可以做个减法，对吧？共起点指向被减，但是各位老铁来注意啊，那龙哥说了，我们把它就放一起了， ab 下来，你看啊，注意， 负的 c b 下来是不是可以变成加上 bc 下来啊，这就搞定了吗？ 负的 c b 向量就可以写成 bc 向量啊，好吧，字母换一下，加个符号就可以。 后边这个呢？共切的指向被减，那就等于 c e 向量，那你答案不就出来了吗？前面搞一下 a c， 后面 c e， 所以 它等于 a e 向量。 轻飘飘是不轻飘飘啊， 看这个，哎，那一样了，把这个改一下吧。负的 d b， 那 就加上 b d， 负的 c d， 没有起点的 c 吗？那就加上一个 d c， 这不就出来了吗？你看 ac 向量，所以大家这儿呢，一定是要掌握的足够的灵活之后，你就感觉这种题就像小学生的一加一等于二了， 一旦你灵活掌握之后，就像小学生一加一零二，你看这题划拉掉， 这不就变成了共起点指向被减 d， c 向量了啊，多棒呀，棒吧！ c b 加 a， d 减 a， b c d c b 加 a， d 减 a， b。 来吧，这个题怎么弄？先算后面呢？ 这叫做是共起点指向被减 b， d 向量结束了吗？ c、 b 向量加上共起点指向被减 b， d 向量，那么 b、 b 约掉 c、 d 向量，搞定了 是不？搞定了， 对吧？你就比较简单了吧，就是大家这种题呢，就多练你，多练你，但凡一旦多练之后，你就感觉这种题就是一个 easy， 就 老 easy 了，听懂了吗？就老 easy 了，你怎么一一弄就老 easy 了？好，我们除了这种非常简单这种说，我们向量就是三角形法则呀，哎，我们加减法直接出来之后，我们再来看看这种的呢？ 来看这题，他说结论正确，是哪个？哪个是结论正确的？他首先给我们说了一个，有一个东西叫平行四边形，我们先画一个平行四边行吗？ 这叫 a， 这叫 b， 这叫 c， 这叫 d， 对 吧？平行四边形 abcd 中， abcd 中，他说 o 是 对角线的交点。 大家要知道，我们平行四边形中上过初中同学都知道对角线互相平分且相等，这条这条相等，对吧？这条这条相等， ok 吧？ o 是 终点吗？ o 是 他的终点， o 是 他的终点。来，我们来看这题吧，哪个是正确的？他说 ab 向量和 cd 向量，嗯，这不相等吗？ ab 向量和 cd 向量刚好相反吧？ bc 和 ad， 对 吧？他错了吧， 他错了。那龙哥我不能写 a、 b、 c、 d 吗？那人家四边形挨着写的啊，先写 a， 再写 b， 再写 c， 再写 d， 这一定是顺序的啊。他说 ad 向量在这， o d 向量在这，它等于 o a， ad 加上 o d， 它等于 o a。 龙哥，这结论咋来的？没听说过没听说过，但是你说龙哥我 a d 向量， o d 向量，这怎么能够？ b 选项是不对的吧？ 是不是？为什么？为什么不对？因为龙哥我非要知道一二三四。好，你看一下啊，那如果我说的是 我 o d 向量加上一个 d a 向量，我才等于的是 o a 向量，对吗？ o d 向量加上 d a 向量，我才等于的是 o a 向量，那你是 ad 和 d a 则不一样， ad 和 d a 不 一样。 来看这个 a o 加 o d， 那 它就等于 a d 向量， ac 加 cd， a， d 向量。哎呦，太对了，这个太对了啊，这个太对了， c 选项太对了，这个 c 选项太简单了啊！ 来看 d， 它俩约调，它就等于 a d a， d 向量，它不等于 d a 向量啊， a d 和 d a 它是相反的啊，不等于 d a。 错了，好了吧， 来吧，接下来的更简单了。数乘啊，向量的一个数，乘乘个数，就这么简单。来吧，怎么乘个数？ 三倍的 a 向量打开，加上三倍的 b 向量，加上 b 向量，减上四倍的 a 向量，加上四倍的 b 向量。你只要会小学，你上过小学就 ok。 三 a 四 a 等于负， a 向量，八 b 向量，所以它的答案是 写成八 b， 正的写前面，负的写后面，这不也得劲一点吗？八 b 减一项量搞定了，八 b 减一项量搞定了，一样没有问题啊，小学生了吧？这你动手试一下不就出来了吗？ 来试一下他的， 这不就是一个五倍的 a 向量，减上五倍的 b 向量，减上三乘二六倍的 a 向量，负负为正，加上三倍的 b 向量，对吧？就按照这个算法，你打开，打开，打开，对吧？该编号编号 五倍的 a， 六倍的 b， 那 啊，不，五倍的 a 负 a 向量，这是负五 b， 那 就减二 b 向量，所以它没得写了，那就写成这样吧，都是负的，就写成这样吧， 太简单了吧， 是不是太简单了？加减啊，这叫数乘，你相当于给它乘个数嘛， 乘个数啊，这叫数乘。当然未来我们会学向量和向量之间的点乘两个向量，你比如说我未来说 a 向量点乘 b 向量，这怎么刚才乘个数，我乘个三，乘个四，我加上减，我会搞，但是如果两个向量点成怎么办？我们也会给大家去把这一块呢搞一下。 好吧，先来看他吧，先把这些最基础的，因为咱们这些呢是适合于基础，就是尤其是六十分以下的一百五十分、六十分以下的基础薄的孩子。先把学新知识点的孩子们把这些搞一搞啊。 我们打开它，试一下六倍的 a 向量，减上六倍的 b 向量， 加上六倍的 c 向量，加上四倍的 a 向量，加上八倍的 b 向量，加上四倍的 c 向量，加上腹部为正，加上四倍的 a 向量，加上二倍的 c 向量， ok 吧？你只要动手，动手就拿活，动手就搞定。我们把 a 向量先搞一起来， 所以这叫六倍的 a 向量。减到四倍的 a 向量，加上四倍的 a 向量，对吧？好，把 b 向量再搞一起去，后面没有，那就减六倍的 b 向量，加上八倍的 b 向量，把 c 向量再搞一起去。 试一下他俩约到六倍的 a 向量吧，他俩搞一下二倍的 b 向量吧，他俩搞一下没了，他后面没了，刚好减没了吗？所以答案就是，六倍的 a 向量加两倍的 b 向量，六倍的 a 向量加两倍的 b 向量，自己选择 d 选项就搞定了， 对了吧？好，最后再来看这个题， 一样了，这就纯简单的题了吧。 啊，看这个，打开，四倍的 a 向量减去四倍的 b 向量，减上三倍的 a 向量，加上三倍的 b 向量，减上 b 向量。我们再来看 四倍的 a 减三倍的 a， 那 么 a 向量，这是负四倍的，它 相当于负四负五，那就是减二倍的 b 向量吧，是这逻辑吧，算对了啊，蹬一下， 哎，对了，那么这个 a 向量减二 b 向量， a 向量减二 b 向量，就选 a 向量，这就搞定了，搞定了吧，轻飘飘，简简单单，轻飘飘，简简单单。 好，我们再来总结一下今天的内容，总结一下今天的内容啊，其实我们对于今天的内容来说呢，第一个我们就是对于你说龙哥，什么叫平面的项链， 他的概念是什么，对吧？这概念什么？什么叫项链？ 有大小，有方向，哎，你说如何？你看这第一 part 嘛，向量的概念，那么我们今天第二 part 呢，就是向量的现金预算，简单的现金预算。