立体几何模型全套四年级

立体几何是小学数学的重难点，大部分孩子学不好是因为空间想象力不够。二十一款透明几何体模型，包含了孩子所学的全部几何体，孩子动手折叠展开，轻松学习几何知识。圆柱体展开是这样的，四棱锥是由一个正方形和四个三角形组成的。 这款透明几何能把复杂的立体图形平面化，让孩子更直观的看到图形的组成，帮助孩子理解，培养孩子的空间思维和想象力。 抖 音。

过来人的经验，小学生选正方体学具，一定要选这种六面磁吸的，拿起来也不会掉。孩子们能更直观的观察到摆出的几何体，学起来也更轻松。动手摆一摆，它能立体还原课本中的题型， 能直观的看到各个方位的空间布局，帮助孩子建立空间思维，更容易理解、掌握知识点。一盒有二十个，一到六年级都用。

五年级下册第三单元要用到的几何体演示器，家长提前准备，不然上课老师要求买可就来不及了。翻开新版课本第三单元，需要孩子借助透明几何体演示模型来学习长方体和正方体。你看，把正方体展开成平面图形，可以看到，正方体是由六个面积完全相同的面组成， 所以表面积的计算公式是边长乘边长，再乘以六。体积是边长乘边长乘边长。表面积和体积的计算是五年级下册学习的重难点，孩子借助教具更直观，采用透视原理设计，还是可拆卸的，让孩子清晰看到几何体的内部结构，提升空间想象力。 全套常见的立体几何图形，每个都标有图形名称，孩子容易分辨，自带收纳盒，携带也方便。 五年级下册第三单元要用到的几何体演示器，家长提前准备，不然上课老师要求买可就来不及了。翻开新版课本第三单元，需要孩子借助透明几何体演示模型来学习长方体和正方体，你看，把正方体展开成平面图形，可以看到，正方体是由六个面积完全相同的面组成， 所以表面积的计算公式是边长乘边长，再乘以六。体积是边长乘边长乘边长。表面积和体积的计算是五年级下册学习的重难点。孩子给五六年级的弟弟妹妹们提个醒，开学前一定要提前准备好这个透明几何演示器。 是的，五年级第三单元需要孩子借助透明几何体演示模型来学习长方体和正方体，你看，把正方体展开成平面图形，可以看到正方体是有五年级下册要用的几何教具，一定要提前准备， 不然上课要用的时候来不及买。翻开新版课本第三单元，需要孩子借助透明几何体演示模型来学习长方体和正方体。你看，把正方体给五六年级的弟弟妹妹们提个醒，开学前一定要提前准备好这个透明几何体演示器。 是的，五年级第三单元，需要孩子借助透明几何体演示模型来学习长方体和正方体，你看，把正方体展开成平面。五年级下册要用的几何教具，一定要提前准备， 不然上课要用的时候来不及买。翻开新版课本第三单元，需要孩子借助透明几何体演示模型来学习长方体和正方体。你看，把正方体展开成平面。图形可以看到，正方体是由六个面积完全相同的面组成， 所以表面积的计算公式是边长乘边长乘以六，体积是边长乘边长。表面积和体积的计算是五年级下册学。给五六年级的弟弟妹妹们提个醒， 开学前一定要提前准备好这个透明几何演示器。是的，五年级第三单元，需要孩子借助透明几何体演示模型来学习长方体和正方体。你看，把正方体展开成平面。图形可以看到，正方体是有六个面积完全相同的面组成， 所以表面肌的计算公式是边长乘边长，再乘以六。体积是边长乘边长乘边长。表面肌和体积的计算。五年级下册要用的几何教具一定要提前准备，不然上课要用的时候来不及买。 翻开新版课本第三单元，需要孩子借助透明几何体演示模型来学习长方体和正方体。你看，把正方体展开成平面图形。可以看到，正方体是由六个面积完全相同的面组成，所以表面积的计算公式是边长乘边长，再乘以六。体积是边长乘边长乘边长。表面积和 五年级下册要用的几何教具一定要提前准备，不然上课要用的时候来不及买。翻开新版课本第三单元，需要孩子借助透明几何体演示模型来学习长方体和正方体。你看，把正方体展开成平面图形，可以看到，正方体是由六个面积完全相同的面组成， 所以表面积的计算公式是边长乘边。五年级下册要用的几何教具一定要提前准备，不然上课要用的时候来不及买。 翻开新版课本第三单元，需要孩子借助透明几何体演示模型来学习长方体和正方体。你看，把正方体展开成平面图形，可以看到，正方体是由六个面积完全相同的面组成，所以表面积的计算公式是边长乘边长，再乘以六。给五六年级的弟弟妹妹们提个醒， 开学前一定要提前准备好这个透明几何演示器。是的，五年级第三单元，需要孩子借助透明几何体演示模型来学习长方体和正方体。你看，把正方体展开成平面图。给五六年级的弟弟妹妹们提个醒，开学前一定要提前准备好这个透明几何演示器。 是的，五年级第三单元，需要孩子借助透明几何体演示模型来学习长方体和正方体，你看，把正方体展开成平面图形可以看。

新的学期，新的开始，新的希望，新的梦想。 你的眼泪打湿了枕头， 大步向前走！你是 大步向前走！ 大步向前走！

高考例题，几何证明，难倒很多人，今天教你平行证明四个模型，让证明变得如此简单。这节课我们将来学习空间几何中的平行问题，平行问题和垂直问题啊，一般都是第一项问去考的，对吧？但是很多同学都搞不懂，所以今天把平行的几个模型给大家讲一下。 首先啊，就是最简单的线面平行的判定定律，如果我要你去判定一个线和一个面它是平行的，那么我们只用在面里面找一条直线和我平面外的这条直线去平行，那就可以证明线面平行啊，这第一个，然后 第二个就是性质定律，什么叫性质呢？你看啊，就是如果一条直线与一个平面平行，如果过这条直线的平面与此平面相交，则该直线与交线是平行的。就是我图中的这个阿法和我这个 是平行的啊，这个就线面平行，还有一个就面和面平行，那面和面平行，那怎么判定呢？就是分别找两根，你看我先找他平行，然后再找他平行，一定要记住，这两条线一定要相交，他们不能平行， 好吧，就是就是证明两根线互相平行就可以了，但这两根线一定要记住，他们会有个相交的关系，平行的关系是不行的 好吧，所以然后它里面有个性质定律，就是什么呢？就是如果我有两个面平行，然后用一个面去截这两个面，那么截到的两条交线，一个是 a， 一个是 b， 那 么他们也会平行。好吧，然后模型啊，就这个简单定律就不去讲了，反正你用平行，我们遵循几个模型呢？第一个 优先使用什么方法呢？就是我把图画给你们啊，就是你就缠着这个来就可以了， 就是你可以这么去想象，如果我这里有一排蜡烛，好吧？然后我人站在这边看，那么如果我中间放了一个那个成像的屏幕的话，那蜡烛在屏幕上面看到的样子 应该是什么样子的？是不是应该就是这条样子的？就是我把这两个短点分别和我的人这样连接起来，是不是他就可以相当于，呃，在屏幕上面有两个焦点了， 对吧？这样子，我在屏幕上面看的就是这条小的，但是这条小的和和这辆长的它们会平行吗？ 会吧，因为这个我们可以用相似吗？对吧？所以这种你也可以理解成什么中卫线啊，相似啊，对吧？但是我就用图跟你们说，只要我在线的面的另外一端啊，如果能找到一个点，我就先把它们连接起来，连接起来之后我再去证明我的这个 就是我现在这个蓝颜色的这条线，他们是平行的就可以了，好吧，那他是什么意思呢？你比如说啊，就用这个点， 呃，他说 p 杠 a b c d 中， a b c， d 为平行四边形，看一下 a b， c， d， ok， 就是 前面那个面啊，然后 e 为 pa 的 中点，然后 pc 是 让我们证明 pc 平行于面 b、 d， e， 所以按照刚刚讲的那个模型，对吧？我先把线两个端点先标出来，就是这个蓝颜色的就 p、 c 嘛，所以两个端点就 p 点和 c 点，然后面是哪个面呢？是 b、 d， e 就是 这个面， 就中间这个面。那么我是不是要在线的另外一边，线对面的另外一边去找一个点，刚好这里有个点，那么是不是我要把 a 点和线的两个端点先连起来，然后 ap 这里就连了吗？所以这里就会是两个面里面的交点， 所以就是这个红颜色的线，那么我只用证明这个红颜色，红颜色的线是平行蓝颜色的线就可以了，对吧？那么怎么去证明呢？这个你看中点，那中点肯定是中位线嘛，对吧？你看我怎么去写啊？我就说 连接 a c 与 b d 交于点 f 吧，我来说一下，好吧，然后可 知 a b c d 是 平行四边形，所以 f 点为 a c 的 中点，对不对？因为平行四边形对角线会平分吗？就相当于，对吧？然后又因为 e 是 a p 的 中点， 所以 ef 不 就平行于 pc 了，这个就是中位线吗？然后又因为，呃， ef 是 属于面 bde 的， 然后 pc 它不属于面 bde， 所以， 嗯， pc 不 就平行于这个面了吗？对吧？你写就要写的这样详细一点，对吧？所以这个就是我们讲的第一个模型，所以我们看到这种符合这种模型的题，我们优先使用这个方法就可以了。然后我们再来看一道，比如说，嗯，看到相似的，好吧， 嗯，好，我们来看一下这道题啊，他说有个三楞柱， a b c 杠 a 一 b c 一 中侧面 a b b 一 a 一 是一个菱形，就是我涂出这个底面啊，然后他说角 b a a 一 是等于六十度这个角， 然后 e 是 b b 一 的中点，然后 c a 等于 c b， 然后 f 在 a c 上 af 等于两倍的 f c 就 相当于这是一比二，然后要么证明的就是 c b e 平行面 a e e f ok， 先把线画出来， 在这里，对吧？面在哪里呢？面在这里，所以我要在这个线对面的另外一边去找一个点，那这里只有一个点 a 了，所以我就要把它和两个短点去连接起来， 对吧？连接起来之后，把两个角点找到一下，连接，对吧？先把图一画，就很简单了， 那么怎么去证明呢？这里反正我要证明的话，是不是你看这是一，这是二，那同理是不是这应该是二比一啊？所以我就把这个底面给拿出来呗。因为底面刚好是个菱形，我先画一个形状出来， 里面就相当于是个这样的菱形，这是 a a e b e b， 对 吧？然后我连接的是它，然后这里有个中点， 对吧？这是 e 点嘛？然后把它们这样一连，对吧？其实就是让我们证明这是二比一嘛。那怎么证明呢？这不是一比二嘛？两个三角形相似不就出来了嘛， 对吧？然后你们怎么去写的？就说连接 a b e 与这个 a e e 交于点，比如说是个 g 点，对吧？然后你就说，嗯，可知 三角形，这个，这个就点记啊，就是 e g b e 相似于三角形 a e g a， 对 吧？所以 a g 比上 g， b e 就 会等于 a a e 比上 e， b e 就 会等于二比一， 所以它就等于我题目里面的 a f 比上 c f， 所以 就像我这里就省略了，所以你看不就平行了，所以 f g 就 会平行于 c b e 了， 对吧？然后你们按照刚刚那样去完整的写一下就可以了，所以这个就是模型，对吧？很无脑的，因为你只要能找到线，那我就只用根据相似或者中线的关系去求出来就可以了。 然后第二种题型是什么呢？就是如果我没有办法找到这个点，对吧？就是找不到这个点，那我再用什么方法就是做平行四边形， 好吧，我们所以啊，就按照这个顺序啊，你们如果真的有的题做不出来，你们就按照这个顺序来，比如说，嗯，平行四边形的看啊， 就是四棱锥、 p、 杠、 a、 b、 c、 d 中底面， a、 b、 c、 d 为平行四边形，然后 e、 f 分 别为 a、 d， 然后 p、 b 的 中点，然后要我们证明的就是 e、 f 这条线 平行哪一个面呢？就是平行这个面，所以你看这个题我就没有办法在这个右边去找到一个点，对吧？所以我就用第二种方法就过过在平行四边形，然后你们想啊，我要证明线和一个面 是平行的，那么我去做平行四边形的时候，我应该怎么去做？我是不是要通过这个短点去做，对吧？在这个面里面去找点，然后去做这样的平行四边形，所以 你看我做了之后，所以你看我就可以了嘛？因为我只用证明他的对边平行且相等，是不是就证明他是一个平行四边形了？那么我是不是要过这个两个短点去面里面找一个点去做平行？那怎么去找呢？ 这里现成的有一个，在哪里有一个点 d， 看到没有？所以我是不是就相当于我一条已经有了，是不是我要过这个点，然后再去做一条这样的线，然后要和下面的平行。那么怎么样才能平行呢？首先是不是要 找中点？因为我找中点之后，它就平行于 bc 了， bc 又平行于 d 的， 所以平行它具有传递性嘛，不就可以了？所以我这里就很简单，我就出来了，比如说这个点，我把它设成 g， 我 就说找 pc 的 中点 g， 对 吧？然后连接 嗯， f g， 然后可知 f g 是 平行于 bc 的， 然后 bc 它又平行于 e、 d 的， 所以 f g 是 不是就平行于 e、 d？ 然后因为中位线又会相等，对吧？然后，所以这是不是也是相等的， 对吧？就相当于 e d 是， 呃，也不能这么写，哎，我写的清楚一点嘛，对吧？然后又因为 f g 嗯是等于二分之一 bc 的， 然后 e、 d 是 等于二分之一， a， d 又会等于二分之一 bc 的， 所以你看 f g 和 e d 不 就相等了？所以 f g 就 会等于 e， d 看到没两就是对边平行且相等，所以我是不是就能得到？所以 嗯， e f， g， d 就 为平行面形，所以嗯， e f 不 就平行于 d g 了，对吧？ e f 平行于 d g， 然后再说 d g 是 属于面里面的一条线，然后 e f 它不属于，然后它不就平行了， 对吧？所以这个就是第二种，就是用第一种方法做不出来的，我们就用第二种啊。然后再来看一遍， 嗯，他说直四能做 a b c d 杠 a b c， d 得中，里面是一个梯形，然后 ab 是 平行 c， d 的， 然后 b， ad 是 六十度，然后 cd 等于一，这等于一，然后 a， 嗯， a， d 等于二， ab 等于四，然后点 g 在 ab 上，点 g 在 ab 上，然后这是个一比三的关系，就相当于是，然后 a a 也是等于一的。让我们证明的是哪一条线呢？ d， e， g 就 这一条线 平行哪个面呢？ b b e， c e， 你 看一下 b b e， 就 说就是右边那个面嘛， 对吧？然后这里你看我在面的这边也找不到点嘛，所以就不可能用第一种方法，所以就去构造平四面形。首先这里有了一条现成的线，看到没有，对吧？就是刚刚说了， 我要在面里面，我这样去构造的时候，对吧？我，我要让他是一个平四面形嘛，所以这条线就相当于给了你，我只用找另外一根线啊，另外一根线 你看这里天然有了，我们先去看一下这两根线能不能平行的，对吧？首先肯定能平行，因为 c、 e、 d， e 是 平行于 c、 d 的， 对吧？然后 c、 d 它又平行于 ab 的， 所以我是不就能推出来 c e、 d， e， 它是平行于 e、 g 的， 这是第一个，那么还要有一个，是不是就他们要两个相等？那怎么证明相等呢？首先，呃， b g 是 等于一，然后 c e、 d， e 就 会等于 c， d 也等于看没，所以两个平行且相等了嘛， 对不对？所以你看不就证明了这个 d e、 c、 e、 b、 g 为 平行四面形，对吧？所以这个就是第二种模型，就是第一种用不了，那我就去构造平行四面形，然后就是第三种，就是什么呢？就是构造面面 平行，一定要记住，就是前就按照顺序来做啊，如果前面两种都不行，我们才去用第三种的。然后这里找个题，比如说这个题，嗯，找个经典一点的吧。 ok， 都说直角梯形中 a p、 c p， 然后 a、 p 是 平行于 bc 的， 然后这里是个， 嗯，就像这两张纸加上折起来的，对吧？题目你们就自己看一下啊，然后反正我们只看右边这个四等锥啊，然后他让我们证明的是什么呢？ a p， a p 在 哪里？ a p 在 这里，然后平行 e f g e f g 在 这里， ok， 那 我们先考虑第一种方法，对吧？第一种方法要在面的另外一边找一个点， ok， 有 c 点，但是你会发现，如果我把它 c 点连接起来， 到了这里，对吧？到这里我们没办法做呀，那那怎么办呢？其实有方法，因为我要把这个面给扩大，因为这个红颜色的线和面是没有交点的，那我怎么去扩大呢？那么 e f 在 这里，如果我把 g 点这里也做个平行线，那这个面是不就相对这样扩大了， 对吧？扩大面我们就是找平行，就是找平行线的吗？那么现在我就找到了，就这个点，然后我就要证明什么，我这个红颜色的线去平行这个蓝颜色的线，对吧？那能做吗？能做吗？因为这个比例关系一目了然，你看， 嗯，一点是几等？分点，中点，那么是不是就要证明这个比，这个也是一比一就可以了？ ok， 那 这个把底面去拿出来，都不用拿，你看 这个三角形，就这个三角形和我这个三角形一定会相，就是全等吗？所以不就是一比一了， 对吧？所以你看用法一也是可以的，但是很多东西想不到，那法二有没有可能呢？ 法二好像看着 a p 很 长，对吧？然后做平四面形，可能做不做不太了，所以如果你第一种方法想不到，这样想下来，那你就用第三种方法怎么去做呢？就是要去构造面面平行， 然后怎么去构造呢？就是我要找一个面看啊，我找一个面，因为他要你去证明线和面平行吗？那么我这一条线我证明不了，它里面一条线和它平行的时候，我就怎么办？ 在里面找两条另外的线和它平行，那是不是上面这个面和下面这个面就平行了？那平行之后，那上面这个面里面的任何一条线是不是都和下面这个面平行了？所以就是利用的这么一个原理，然后构造的时候啊， 就是找平行线就可以了。比如说，嗯，我这条线还是 pa， 我 要做一个面去平行 e、 f、 g， 那 是不是就相对我过点 a 或者点 p 去做他们的平行线？这个面里面线的如果过点 a， 那 刚好有个天然的 ab， 因为 ab 是平行于 e f 的， ab 啊，是平行于 e、 f 的， 所以我是不是再把题目这个已知，要么证明就是 pa 也平行于这个面， 对吧？所以我是不是就能反向让你去证明的是什么？就是面 p a、 b 要平行于面 f、 g， 这个是我在草稿纸上进行的，这个叫反推吗？对吧？ 垂直里面我们用反推用的是最多的，平行里面倒是还好了，对吧？所以我下面就证明呗。那怎么去证明呢？首先我可以证明 ab 是 不是平行于 ef 的， 对吧？因为 ab 是 平行 c d， 然后 ef 也平行 c d 的 第一个有了。那么还有一条线是谁呢？就是 p b 是 不是会平行于 eg， 对吧？中位线嘛，因为 e 点也是中点， g 点也是中点，看到没有，所以 e g 是 不是就会平行于 p b， 对 吧？所以我就可以去写了。但是这里面会有一个重要地方就是面面平行，你正面的时候你要书写规范一点， 你前面的倒是没有什么要点，对吧？但是这里有，你就说，呃，你看啊，我就说因为 ab 平行于 cd， 然后 ef 也平行于 cd 的， 所以 ab 就 平行于 ef， 然后又因为 eg 为嗯对应的终点啊， 所以 e g 是 不是就会平行于 p b， 对 吧？然后因为呃，这个 a b 交 p b 等于 b， 你 要把这个相交直线用这个数学语言去写出来，对吧？且 a b， p b 都属于这个面 p a b 的， 对不对？然后就下面还有个面，就是 e f 交 e g 等于 e， 然后且 e f e g 是 属于面 f e g 的， 你这么去写了之后，对吧？所以我就说面 p a b 就 会平行于面 f e g 了，然后又因为呃 p a 是 属于这个面的面这个 p a b 的， 所以 p a 不 就平行于面 e f g 了嘛，对吧？就把一些要点给写出来，因为面面平行的要点就是两条相交的直线啊，好吧，所以你看这个就是构造面和面平行了，对不对？ ok， 然后再看下面这个，这个 p 杠 abc 中 d 是 pa 的 终点，然后 e 也是 cd 的 终点，然后 f 在 p b 上，然后满足一个，这是一，这是一比上三，就相当于是，对吧？然后证明的是谁呢？证明的是这个 ef 平行于 a b c， ok， 平行这个面，那这里就没有办法用第一种方法了，对吧？那有没有可能用第二种方法来构造平行四边形呢？我们先想一下，就是我要过这个点，对吧？去做一个平行线，我看一下啊， 我是不是可以这样子，然后这边也这样子，你看是不是勾折了，对吧？因为它平行于 ad 嘛，然后它也平行于 ad 嘛， 对吧？然后平行就有了，然后这个就这一条边等于 a d 的 一半，然后这一条边等于 pa 的 四分之一，所以也是 a d 的 一半，对吧？对面平行且相等，所以你看也可以。 然后我再看一下，我用这个面面平行行不行？那么我是不是要做过点 f， 做这个底面的一个平行线？ ok， 刚好因为我在这里做一条，然后连接， 我就只用证明这个面和下面这个面去平行就可以了。那么怎么去证明呢？我就说因为刚好 f 点是一个四等分点，那么我找的就是 a d 的 中点嘛， g 点，对吧？所以我就根据相似我就能知道 f g 是 平行于 ab 的， 因为都是一比三嘛，一比三，这也是一比三嘛，对吧？ 对不对？ ok， 然后又因为 g 点和 e 点都是中点，所以又有一个 g， e 是 不是会平行于下面的这个 a c 中位线吗？这个就是 看，不如就证明了两条相交的线就是 e g 交 g f 等于 g 点嘛，然后下面那个就是 a c 加 ab 等于 a 点嘛，看嘛，相交，这个就是相交嘛。然后你写的时候要把这个写出来就可以了，所以方法还是很多，所以你做不出来的时候，就一个方法去试就可以了啊， 好吧，然后熟写就不去写了，反正就按照这个刚刚讲的那么去写就可以了啊，好吧，然后不要嫌麻烦，高考的时候你写的越详细越好， 好吧，记住了，写的越详细越好，好吧，你因为有的时候你写的很详细，它里面有很多拿分点，万一你有哪一步就没写，你可能会扣个一两分啊。好吧，然后第四个模型是什么呢？就是跟垂直有关的，这里就画图啊， 就如果啊，我有两根线，他们都是垂直于这一个 平面，那是不是就有了它平行于它，对吧？这个也很好理解嘛，对吧？然后这里就是我们用题目来讲吧，这个第四种。那我们来看一下这道题啊， 他说三角形 bcd 与 mcd 都是变成为二的正三角形，然后平面 mcd 是 垂直于平面 bcd 的， ok， 然后 ab 又垂直于 bcd 这个面，然后 ab 等于二。 这里我们要证明的是 ab 这么标一下，就这条线要垂，这平行于 mcd， ok， 所以 我们看一下，第一种方法能用吗？面的这边没有点就不能用。那第二种方法构造平行四边形可以吗？这个面不够大也不行。那第三种构造面面平行可以吗？不行，因为构造的面应该是这样子的，它才会平行，对吧？所以我们才会有第四种模型啊， 一般考来考去就是这四种题型。好吧，那怎么办呢？刚刚说了，如果我有两根线，它都垂直于我同一个面， 对吧？那么这两根线就平行嘛，我可以利用这个性质。那么另外一根线在哪里呢？因为我们这里有个面和面垂直，所以看到面垂垂， 等一下啊，垂直于面，我就要想到一个什么样的性质呢？就是如果有，嗯，一个面内有一根线 垂直于他们的交线，那么这根线 就垂直于另外那个面，对吧？ 好吧，所以大家以后看到这个面和面垂直，对吧？反正这个性质是大家一定不能忘的啊。那么这里我们两个面的交线在哪里？在 cd， 那 就要找一根垂直于 cd 的 线在 mcd 里面，那怎么去找呢？不就刚好一个正三角形，我找一个中点不就垂直了吗？就相当于是，对吧？所以我怎么去写呢？我就说找 cd 中点， 假设是 n， 然后连接 m n， 然后就说可知 m n 是 垂直于 cd 的， 然后又因为这个刚刚说了的啊，因为它是个等边三角形嘛。然后又因为面 m c， d 交面 b c d 等于 c d， 且这两个面就是 m c d， 它垂直于面 b， c， d 的， 所以我就说 m n m n， 它就垂直于面 b， c， d 的， 对吧？所以大家一定要记住这个性质啊。然后又因为 ab 是 垂直于面 bcd 的 题目里面有吗？对吧？ ab 这里有吗？所以 m n 就 平行于 ab， 对 吧？然后又因为 ab 属于这个面 mcd 啊，就所以啊， m n 啊， m n， 所以 ab 不 就平行于面 mcd 了吗？对吧？这个就是用那个两个垂直的啊，这个就很简单了，这个， 这是第四种。所以啊，你们以后碰到很难的题目，你们就按照老师一样，自己一个个去套就可以了，因为它本身有很典型的特征嘛， 这个什么时候能用呢？就是我线和面的另外一边，他有个点，对吧？然后这个平行四边形就是我第一种用不了，我就考虑第二种。那第二种用不了呢？就是用构造面，面平行就是通过线段两个短点去做，在面里面也去做两个点，然后形成一个平行四边形，然后第四种，这个就是垂直的， 对吧？一般情况下平行就只用掌握这四种题型，你就可以解决百分之九十九的题了。好吧，然后我们看一道二二年的高考题啊，这题我觉得真的出的非常好，我们来看下题， 他说如图， p o 是 三分之 a， b c 的 高，然后 pa 等于 pb， ok， 标一下， pa 等于 pb， 然后 ab 是 垂直于 ac 的， 反正这个图看着不是特别像。 然后 e 是 p b 的 中点， ok， 这两边相等，然后它让我们证明的就是 o e 平行于平面， p a c， 那 么我们一个个模型来套看，可不可以啊？首先模型 e， 对 吧？就是我把它看作一个面， 然后我这里有一条线，我人站在这里看，对吧？但是这个题会比较特殊啊，你看我连线才会有这条红颜色的线段，我只用这边这条红颜色的线段和蓝颜色的线段，它们平行补角线平行面， 但是这里面是 p a c， 线是 o e， 那 么我是不是要在 p a c 的 这个左边这里找一个点，然后去连接，但是这里有吗？没有。 那没有怎么办呢？那有个特殊情况，就是这个题，所以我就在这边同面去找点，你觉得可以吗？ 他一样的可以啊，所以我就假设这个点是 h， 那 么我这条面里面的这条线就可以了。那么我们只用证明 p h， 它平行于 o e， 那 我这个题目其实就出来了，那怎么去证明呢？首先， 呃， e 点是中点， o 点是中点，那他要平行的话，那么我就能推出来 o e 是 中微线， 这个是他要成立的一个条件，那我们就根据这个条件去证明呗。那他是中微线，那我是不是就是 o 是 b h 的 中点，就是要证明，那他怎么去做呢？我把这个平面你看不清楚，我就把这个平面给拿出来呗， 这是 a 点，这是 c 点，这是 b 点，我拿出来之后， o 点在哪里呢？ o 点是不是一定会在这个 ab 的 垂直平分线上面待在这里，对吧？然后我连接，就这么去连接的 这个点就是 h， 那 么只要证明这个点 o 是 它的终点，那怎么证明呢？你看不是有个直角吗？我连接，那这三条都会相等呢？ 因为直角三角形那个斜边上的中线等于斜边的一半嘛，所以我就能知道 o a 是 等于 o h 等于 o b 的， 不就证明了？那证明了不就反过来就推出来 p h 平行 o e， 那 不就证明了 o e 平行这个面了？所以第一个模型我是可以用的，然后接着我们继续往后面看，看一下第二个模型， 第二个模型我们就是去找啊，做平行四边形，怎么做的呢？ 是不是你只用记住我的模型，我的模型是不是我让你证明他平行这个面，我就过这两个短点，这样看到没做两条平行线，对吧？所以我连接起来之后，只要证明他和他平行且相等，那么他和他不就平行了？所以模型你就是之后我们就以 o 点和 e 点这样去， 对吧？去做呗。那怎么做呢？要平行且相等，那我是不是就相当于我横着这样， ok， 对吧？因为我横着做了之后，我刚刚说了，我如果啊，这是我 ab 的 一个垂直平分线嘛，这个就相当于是 ab 的， 对吧？所以它会等于它，它也等于它，所以你能证明吗？ 能证明吧，对面平行且相等，所以我画的这个，比如这个一样是 h， 这个是一个 g 点，那么是不是 h o e g 我 只用证明它是一个平行面形，那怎么证明呢？刚刚说了 g e 它平行于 ab， 然后 g e 它等于二分之一 ab， 同理， o h 平行于 ab， o h 等于二分之一 ab， 不 就证明了 平行且相等吗？对吧？ ok， 继续。那第三个模型呢？就是找要证明面 线面平行，那我是不是只用我在上面构造一个面，我只用证明我里面的两条交叉线分别和下面的两条交叉线平行，那两个面一平行，那里面上面这个面里面的任何一条线都和下面这个平面去平行了，那怎么找呢？ 一样的，你只要记住模型，我说了我要找两条相交的线分别平行，那么短点是 o e 吗？因为我平面是不是可以有一个三角形，慢慢去扩大，对吧？所以我 o 点去做这个 p a c 里面面里面的一根平行的线，是不是只能这样做， 对吧？因为这是个直角，这也是直角，所以假设这个 h， 那 么 o h 一定会平行 ac， 对 吧？那第二个呢？那我是不是就相当于我只用把它连接起来，我只用证明 e h 它是平行于 pa 的， 是不是就可以了？那 e h 怎么证明呢？还是一样的？那，那要平行的话， h 点一定是中点，就相当于 e h 一定要是中位线，那么我刚刚说了嘛，对吧？它要垂直过 o 点，它要垂直，它一定会是 那个垂直平分线，对不对？所以啊，不就出来了？ 只是你是最证明他是垂直平分线的时候啊，其实你就用那个全等写就可以了，对吧？你这样一连接起来，你就证明这个 p a o 全等于三角形 p b o， 因为我全等之后我就能推出来 a o 等于 b o 嘛， 对吧？那 a o 等于 b o 呢？那 h 一定就为中点了，然后他是中点的话，中位线就有平行，有了平行不就再和两个一起，就能证明这两个就能证明面 平行面，那么这个面里面的一任意一条直线都会平行这个面。好吧，我写就不去写了，思路就是这么个思路，只要你记住了这几个模型， 他其实高考题百分之九十九的题，你用这四个模型去套，绝对都能出来的。好吧，你就不用再每次在盲目的不知道用哪一种方法了，像这道题他三个模型就都可以用。好吧，好的，这个视频我们就讲到这里。

五年级下册一开学就要用的几何教具，千万别等上课老师要求买，可就来不及了！长方体和正方体的面积与体积是五年级下学期的重难点，孩子借助教具更直观，学起来轻松无压力。 他把常见的十五款立体图形都凑齐了，还是透明无惧的设计，更利于孩子全方位的观察图形内部结构。不管是学习物体的表面积、体积，还是培养空间思维都非常有帮助。自带收纳盒，带去学校也方便。寒假快给你家孩子准备起来吧！ 五年级下册一开学就要用的几何教具，千万别等上课老师要求买可就来不及了。长方体和 我这陪伴才是体贴， 这逃避比较容易。

五年级开学就要用到的学具，一定要给孩子提前准备，老师会要求孩子借助教具来还原立体图形的展开图。刚学习表面积和体积的孩子，凭空想象物体的展开图是很难的。因为德国的著名数学家安德里亚斯说过， 几何空间感不是与生俱来的，需要后天通过正确的工具和方法来培养。有了这套透明立体几何模型，它能将复杂的立体几何轻松地转化为平面图形，能让那些抽象且难懂的几何公式都变得更加直观易懂。 你看，正方体的六个面以及十二条棱都是相等的表面积，展开就是六个相同的正方形。用圆锥体装水来填满等高的圆柱体需要三次才能把它装满，这样就能直观看出圆锥的体积是圆柱的三分之一。孩子动手操作一下，可以更直观理解和记忆，通体透明。

立体几何是小学数学的重难点，大部分孩子学不好是因为空间想象力不够。二十一款透明几何体模型，包含了孩子所学的全部几何体，孩子动手折叠展开，轻松学习几何知识。圆柱体展开是这样的，四棱锥是由一个正方形和四个三角形组成的， 这款透明几何能把复杂的立体图形平面化，让孩子更直观的看到图形的组成，帮助孩子理解，培养孩子的空间思维和想象力。立体几何是小学数学的重难点，大部分孩子学不好是因为空间想象力不够。二十一款透明几何体模型，包含了孩子所学的全部几何体， 孩子动手折叠展开，轻松学习几何知识。圆柱体展开是这样的，四棱锥是由一个正方形和四个三角形组成的。这款透明几何能把复杂的立体图形平面化，让孩子更直观的看到图形的组成，帮助孩子理解，培养孩子的空间。

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我不怕你比价，就怕你不比价，接下来宝贝们迎接破天的富贵就这一步，这是福利品，你们就记住了，在亮哥这买东西，你永远不会后悔，我让你买的，放心，不是爆品，我不 上播，不炒底价，我不上播，就这个品，你能嚎就嚎，拍两单我连返场都不返。当然了，如果有任何售后的问题，我第一时间为大家保驾护航，我要比别人贵一分钱，你直接取关我，我的价格就是抖音的尽头。

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这个透明几何体模型一定要给家里的小朋友安排上，小朋友再也不会因为想像立体图形的展开图而发愁了！透明的设计有利于孩子更好的理解立体内部结构，它能够从立体转化为平面展开， 孩子通过展开与折叠的实践操作，能够更直观的感受空间关系，轻松理解并掌握立体图形的学习，整个小学都能用的到哦！ 这个透明几何体模型一定要给家里的小朋友安排上，小朋友再也不会因为想像立体图形的展开 图而发愁了！透明的设计有利于孩子更好的理解立体内部结构，它能够从立体转化为平面展开，孩子通过展开与折叠的实践操作，能够更直观的感受空间关系，轻松理解并掌握立体图形的学习，整个小学都能用的到哦！ 这个透明几何体模型一定要给家里的小朋友安排上，小朋友再也不会因为想像立体图形的展开图而发愁了！透。