培优新方法鲁教版五四制初二数学

初中五四至鲁教版的数学计算专项真的很难找，推荐这本点透的初中计算题，分层集训，与课本完全同步，上下册全，包括包含必会题六百道，易错题一百道，巧解题八十道，还有中考新考法六十道。每一课都按知识点层层推进，有练基础、练方法， 由易到难，攻克每一个薄弱点，一题多变，拓展新思路。还有巧解妙答，带孩子学习解析方法。阶段滚动练，学期综合练，期末真题练，帮助孩子查漏补缺。答案单独成册解析也非常详细。每天十五分钟，让孩子打好计算基础，新学派安排上，给孩子练一练吧！

配方法去解二次性系数不为一的一个二次方程应该怎么写呢？我们先列先给到了两个方程，我们来研究研究， 大家可能看见了，第一个呢，它就是系数为一，二次系数为一，第二个呢，就是二次系数不为一，并且第二个式子呢，是我们课本上的例题啊，课本上的例题，原班原的呢，就是抄过来的，抄过来的好，我们首先看一下第一题 啊，看一下第一题。刘老师，这个呢，呃，可以作为我们上节课的一个复习哈，我们首先呢对它进行什么？移性移向对不对啊？移向及的编号， 然后呢，两边加上一次性系数的一半的平方也是三的平方等于负八加上三呢，我直接写了哈，加上九。这样的话呢，它这里 x 加上三的平方等于一， 然后呢两边平方 x 加上三呢，等于正负一，对不对？然后呢再问它， x 一 等于负三移过来加上一的时候呢？负二 x 二，负三移过来减去一的时候呢？负四， 对不对啊？他有这样一个内容，这就是我们上一课的内容，他系数为一的时候，然后呢我们来看这个他系数不为一的时候怎么办？你说老师系数不为一的时候呢？我想着咱们上节课就说过啊，我们解新的问题，肯定是从旧的问题上往上延伸出来一些内容，或者说把它呢转化为旧的形式， 然后呢就可以用旧知识的方法去解答他就行了，对不对？那么在这里呢，就很明显了，很明显了，我们直接在等号的两边呢，同时除以三， 同时除以三，把它的系数化为一，把它系数化为一，你看这个十字，如果我直接给你的话，你是不是就和前面的这个内容一样，直接去解答就行了，对不对？然后呢把这一项移过来，移成一啊，然后呢两边再加上一次性系数一半的平方， 是不是就和我们前面系数为一的时候呢？一样了啊？此时呢，我们就其实就已经很明白了啊，用配方法解二次性系数不为一的一个二次方程时，怎么办呢？我们就是把二次性的系数化为一就行了，化为一要等式，两边同时除以二次性的系数，它就化为一了， 对不对啊？其实这节课呢，要比上节课更简单一些啊，更简单一些，好，我们看一下这个内容，你看 在这里是不是他首先呢都除以三啊，把这个系数化为一，把系数化为一，然后呢移项，两边呢再加上一次性系数一半的平方，对不对？一半的平方在这里呢就是叫系数化为一，你说老师我到底是先移项呢？先移项 还是说先化为一？都可以？都可以哈，我觉得呢，因为他我们本身学的呢是系数为一的，我们现在要研究不为一的，我们先把 我我个人要是做的话呢，我习惯于先把细二型的系数呢化为一，一个等式，两边先除一下，然后呢再去移项和配方啊和配方， 你看第一步的移项和系数化为一呢，是可以先后交换顺序的，在这里来说强调的是这一步，那老师这一步的时候呢，他就没移项，你看他直接在这里加了一个，呃，一次性系数一半的平方，然后呢加一个，这是不是你增加的？人家这个式子本来没有，你是不是还得减一下？ 你是不是还得剪一下，完了之后呢？把那个原来的长竖向抄上，这样的话呢，你前面三项你组成了这个式子，组成了平方，然后呢，你后面这两个式子进行计算，还是长竖向，此时你就没办法了，是吧？你再往下走的时候，你是不是就要把这个东西移到后面，然后两边开放得到这个式子， 对不对啊？其实你不在前面移，就在后面移啊，你前面移了，后面就不移了，它是一样的啊，一样的 在这里呢，要清楚一下这个啊，清楚一下这个，因为有的题呢，他就有的资料和或者是有的题就会这样去写，有的同学呢，他接受了这种方式之后呢，他觉得比较新奇，他也这样写啊，都可以，方式是多样的。 好，那么我们稍微巩固一下我们稍微只稍微巩固一下。你说老师这个题怎么办？要是这个题呢，我想先移向，为什么呢啊？因为这个 x 在 在这边了哦， x 在 右边了，我要把它 x 都放在左边来，可以，对不对？可以二 x 的 平方减去三， x 加上一等于零， 你说然后呢？你说我都除以二，还是说都？呃，还是说先把这个移过来啊？那么刚才咱们没有移吗？咱们现在看一下，移的这个咱们先移哈，他等于负一，对不对？然后呢？两边都同除以二 啊，这就是二分之三 x 了，等于负的二分之一，对不对啊？然后呢，我们再加上一个 x 的 平方，减去二分之三 x， 他 得再加上一个系数一半，呃，是四分之三的一个平方，这里呢，负二分之一再加上四分之三，它的一个平方， 对不对啊？然后呢，前面的这个式子是不是就能呃凑成一个完全平方公式了？完全平方式，是不是啊？然后呢，后面的这个能够进行计算，我们是不是就可以解答了啊？可以解答了，这就和前面一样了，我就不再往下写了哈。 好，你看一先一项啊，先一项，因为我们上一个题呢，他没有一项，对不对啊？他是先系数化为一的，我只是在这里呢告诉你，就是先一项或者先画系数都是可以的，都是可以的。 四分之三，四分之三的平方，然后得到这样一个，由此可得 x 减去四分之三呢，等于正负四分之一，然后得到 x 一 等于多少， x 二等于多少， 是不是啊？在这里需要强调的还是这个我再说一遍啊，第一步的移项和系数化为一，可以交换先后顺序，不用纠结，不要纠结，都是对的，都是对的。你说老师我就容易乱，容易乱，你就掌握一种，你比如说呢，我就要先移项，然后再化为一。可以啊，你掌握一种啊， 如果你不能熟练的，你不能灵活的去运用这些的时候呢？然后呢，你掌握其中一种啊，老老实实的按照这一种往下走就行了。 这样的话呢，其实我们这个呃借二次性系数不为一的 u r s 方程的。呃，这个内容呢，就可以进行小结了啊，可以进行小结了，因为它本身就是这方法，就是把系数化为一， 他不不是不是移吗？然后呢，我把它化成一就行了，能解答了吗？有上节课的知识对吧？有办法解一二三这一项是需要指什么？在所有的方程当中一项的时候呢，都需要注意变号，千万要注意，一定要注意改变符号啊。这个同学，有的，你比如说咱们现在比较简单，你可能只移一项，对不对啊？ 有的同学会出现什么呢？你比如说移两项，他第一个移的时候我记得啊，这右边移到左边的时候我又不记得了 啊。所以说呢，一定要注意哈，一定要注意一下这个，要不然丢分了，太可惜啊。那么用配方法解一元二次方程的基本步骤就是一项系数化为一，对不对？如果它本身就是一，我们就不用画了。 然后呢，对左边的这个完全平方式呢？配一配啊，把它写成平方的形式，对吧？然后呢，两边开方，求到他的这样一个结果就行了。 在这里呢，我们还需要再一个讨论。这个呢，是我们上节课的呃，这个内容的时候呢，也见过也见过，就说了，我们化成这样的一个形式，我们化成这样的一个形式之后，是不是这到底能不能开方？这边肯定能开方，那 n 能不能开方呢？ 对不对啊？ n 能如何开方？是不是跟这个，呃，跟他的结果也有关系啊？ n 如果是大于零的一个值，是不是他就可以开成正负根号 n， 然后呢， x 一 x 二， x 一 和 x 二不相等 对不对？如果 n 等于零的时候，我们是不是也得到过 x 一 等于 x 二等于负 m 的 这样一个结果，对不对？他也是有两个值，两个值哈，只不过是 x 一 等于 x 二，而上面的呢？ x 一 不等于 x 二啊，也是有两个值。第三，如果 n 小 于零的话 啊，负数没有平衡根，对不对啊？所以说这个方程也就没有实数根，也又没有实数根啊。在这个呢，很好简，很简单，很容易理解，很容易理解。

相似三角就判定条件的啊？探求的进一步思考。刚才说了，如果说啊，两两边对应成比例啊，我们让假角相等了，他是满足的，如果我们不让假角相等，我们让其他角相等。你比如说这个题里面，这是我们课本上的图片啊，课本上的素材，在这样的时候，你看你这样边 是成比例的吧。啊，我这里的角 b 也等于角 b 啊，对吧？ a 撇 b 撇 和这个，呃，不对， a c 呃，和 a 撇 c 撇，是不是它的夹角都是这这两个夹角，然后呢，我不让夹角相等，我让角 b 等于角 b 撇，角 b 等于角 b 撇，你看是不是存在这种情况？那么它一定会相似吗？就不一定了，不一定的东西能作为判定定律吗？当然不能理解了吗？同学们 啊，在这里注意理解一下哈，注意理解一下，所以说呢，它只能是夹角，那我们只是为了说明这个问题，你看，如果在这里提示，如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似。 在这里，此时我们要求相等的角一定是两条对应边的夹角才行，才可以，明白了吧。好，这就是我们这节课的这个定理啊。第二种判定方法，我们学习了之后呢，我们来看一下，练一练，因为我们的大纲不是要求让我们熟练运用判定定理二吗？ 那么在这里呢，我们可以看到 d e 分 别是三角形 a b 上三角形 a b， c 上 a c， b c 上的两个点，然后呢，我得到 a e 等于一点五， a c 呢，它是等于二的，然后呢， bc 呢，它是等于三的，在这里呢，求 d e 啊，求 d e。 在这条，首先我们得到了一组对应边的比值啊， a， d 啊，不能不能说对应边是两条边的这个比值， a d 比上 ab 啊， a d 比上 ab， abd 这边的比上 ab 啊，它是一个四比三的内容。那你说老师，刚才我们所学习的内容呢？必须是两边成比例，这样的话它只有一组边，我们再看看以给到的这些条件里面能不能够有满足条件的， 一看当然会有，是吧？我们 a e 比上 a、 c 就是 满足这样的，那么这是不是一组呃，两边成比例啊？夹角呢？都是角 a， 是 不是这两个三角形上面的三角形 a、 e、 d 和下面的三角形 a、 c、 b 就 已经相似了？ 相似的话我们就可以得到 d e 比上 bc， 它就应该等于对应的比值四分之三，对不对？老师，这是为什么呢？ 三角形相似之后，是不是有三角形的性质了？对应角上的对应边乘比例啊，所以说呢， d e 比上 b， c 也等于它们原先的原先的比值啊，原先的比值。 这样的话呢，我们就能够解出来第一是多少，明白了吗？我们你看我们这这最近讨论的这个呢，都是这样，就是我们先通过我们的判定定律证明了两个三角，判定了两个三角形是相似的，然后呢，再用相似的性质去解答一些角啦，或者是边的这个问题。 解题是要找准对应边啊，找准对应边，你比如说在这里呢，有一个角是固定的，是吧？那么到底 d 和 c 对 应还是 d 和 b 对 应呢？我们就可以看边的长度嘛，长边最长边，短边对短边是不是？好在第一题， 我们看第二题，如图，在三角形 a、 b、 c 当中， cd 是 边， a、 d 上的高，有一组对应边成比例，告诉我们啦， a、 d 比上 c， d 等于 c， d 比上 b， d 等于 c， d 比上 b、 d， 所以 老师，这哪两个三角形？很明显，这个三角形和这个三角形是不是啊？ 然后呢，求证的是三角形 a、 c、 b 等于九十度。其实我们在前面讲课的时候呢，也遇到过直角三角形，是不是？但是他告诉我们这里是直角了，然后呢，去研究其他的内容，在这里呢，是没有告诉我们这个角，让我们去判定这个角等于九十度啊，你看 两两边对应成比，两边成比例啊，还不能说对应了是吧？两边成比例，然后呢，你看他也是短边比成短边等于啊，这个长边比成长边啊，这样的，那么他们中间都有一个夹角，是这个 和这个等于九十度相等，说明这两个三角形就已经相似了，相似之后，三角对应角相等，是吧？对应角相等，那么这个角呢，就等于角 b 是不是？而这个角加上角 b 等于九十度，那么这个角加上它这个 a、 c、 d 是 不是也等于九十度？是不是啊？互余的这样个关系哈，其实很简单很简单，只是刚学习的时候呢，大家要注意，要注意这个新的判定定理的内容的应用和它书写的要求。 好，我们看第三题，如同已知三角形 a、 b、 c 当中， d 为边， a、 c 上一点啊， d 是 a， c 上一点， p 呢为边， a、 b 上一点， p 是 a， b 上一点，没有标，说明这个是一个动点哈，这是个动点， 然后呢， a、 b 等于十二， a b 等于十二， a c 等于八， a d 等于六呢？说明 d、 c 等于二。然后呢？呃，这个求 a、 p 的 长度是多少的时候？它和它相似， 他和他相似。同学们，还记不记得我们在学习第一一课时的内容的时候呢？我就说过啊，易错提醒里面就有说了，如果给了你两个三角形，让他去相似的时候，但是并没有明确的符号， 或者是说他俩怎么怎么样相似，这样固定的啊，确定的表述的时候呢？我们这是不是就可能要分情况去讨论了， 对不对啊？我们是什么时候啊？我们让 a、 d、 p 这个字母的顺序不要动，让后面的这个去动，或者是说你看让后面不要动，让前面去动都是可以的。你比如说我们是不是有这种情况，三角形 a、 d、 p， 它相似于三角形 a、 b、 c 这种对应关系 是不是然后你就能够得到？你看他 a、 d 长度是知道的吗？ ab 长度也是知道的很好。然后呢，问我们 ap， ap 再比乘 acac 的 长度也是知道的，肯定能够求出来一个 ap 的 长， 对不对？那么还有什么情况呢？因为点 a 本身是他们的公共角，公共角，所以说点 a 不 可能发这个位置就不变了啊， adp。 然后呢，我们在这，你看后面的 a 还放在这个位置，那么只能变 cbd 了， 是不是？这样的情况下，你看 a、 d， 它就比上 a、 c， 这是不是编程都知道？ ap 再比上 aab， 变成也知，变成也知道，那么是不是又可以求出来一个新的 ap？ 明白了，同学们，分情况讨论就是这个意思，看看对应关系的对应位置的这个变化才是我们分情况讨论的内容啊。 确实是有两个结果啊，这两个结果同学们在这里可以看一下解析的过程，如果你不明白的话啊，也可以私信或者是给老师发评论。 好在这注意点呢。再提醒一下，题干中未明确给出对应点关系的说明，相似三角形的时候呢，一定要注意分情况去讨论。

好，接下来呢，我们就看一下具体的常考的一些重点内容，重点内容在这里呢，也是帮助大家回忆一下哈，最起码我们学习了知识，我们要知道它的基本用法和常见用法。 那你看第一题呢，就是说了就判定三角形 a、 d、 c 相似于三角形 a c b， 让你自己去准备两个条件啊，让它去相似，我们能够发现角 a 本身就是一个公共角， 对吧？那么从定例一的出发，我让这个角等于这个角，要么让这个小角呢等于这个角，那么它们就相似，是不是？然后呢，再考虑边的对应关系，它的比值相等，那么是不是都可以得到，都可以得到哈，在这里呢，有三个空，那么你满足三个条件就可以了啊，满足三个条件就可以了。 第二题呢，我们来看，在平行四边形的话，你是不是就要联想到平行四边形的性质啊？ 对边平行且相等。是啊，那么点 e 是 在 b c 上的， b e 比上 e c， b e 比上 e c 是 一比二的关系，一比二的关系连接 a e 交 b d 于 f， 那 么三角形 b f e 和三角形 d f a 这两个三角形，它们的面积比，你说老师一说到面积比呢，我就想到了相似当中的一个性质，就是说 相似三角形，它的，嗯，面积比等于相似比的平方，那么根据这个思路和刚学到的知识点的这个情况，那么我们就需要考虑相似三角形了，我们判断一下这两个三角形相似吧，当然相似了，平行 就是说我们常见的八字形的这个平行，是不是啊？那么他肯定相似，然后呢，相似的话，你说老师对应边，其他的不知道，我只能得到 b e 比乘 a d， 对 吧？ b e 比乘 a d， b e 是 一的话，那么 a d 不知道 a d 是 不是等于 bc， b e 比乘 e c， 它等于一比二，那么 b e 比上 bc 是 不是就成了一比三了，对不对？我刚才说 b e 等于一，这个有点有点不，不准确，是吧？不准确啊，它可能，它可能是其他的程度，只不过是比值是一比二，对吧？比值是一比二， 那那么我们在这里能够做一些小题的时候，能简单的把 b e 看成一吗？是可以的，可以的哈， 那么比例相似比有了，那么面积比是不是它的平方也就得到了一比九？一比九 是不是很简单很直接啊？好，第三题，如同那三角形， abc 是 一个等边三角形， abc 呢？是一个等边三角形，等边三角形，等腰三角形，它们在遇到这种情况下的时候，是不是我们往往考虑的一个最常考的就是啊， 他的这个知识点的考察，三线合一对不对？那么再往后， c e 呢？是外角的角平分线， c e 是 外角的哪个角？ acf 嘛？既然你是等边三角形，那么你每个角是不是都是六十度，那么你的这个外角是不是一百二十度，那么你平分的话，就每个角是不是六十度， 对吧？然后求证三角形 abd 和三角形 ced， abd， 你 看 ced 这两个三角形相似，你老师用丁里一吗？这两个对顶角就有了，然后呢，这个等于六十度，那么其中这个角呢？也等于六十度，那么是不是就相似就完成了啊？ 再往后看， ab 等于六， ad 等于二倍的 cd， 你 说老师， abad， cd 都在这。本来第一文里面的这两相似三角形当中的线段，那么我们去看一看， 对吧？它最后呢是求 b、 e 了， b e， 你 看 b， e 呢，也是和 b、 d 和 d e 相关的，而 b、 d 和 d、 e 是 不是也是这两个相似三角形当中的线段？ 那么已经考虑到线段的长度和线段的这个倍倍长度的倍数关系了，那么我们就肯定要用对应线段成比例嘛， ab 等于比上 c、 e， 它就等于 b， d 比上 e， d 等于 a， d 比上 c， d， a， d 比上 c、 d， 那 么有这个我能得到它是二， ab 呢，等于六，那么 c、 e 呢，就只能等于三了，对不对？但是人家要求 b、 d， b、 e 了，是不是还要知道他们两个的，那么在这里呢，不能知道，我只能知道 b、 d 等于二倍的 e、 d， 只能知道这个内容，剩下的不知道， 对不对？同学们，剩下的我不知道啊，剩下的不能知道，剩下的不能知道，那么就说了，我要求出来一个 b、 d 啊，求出来一个 b、 d， 没办法，没办法， 对不对？那么你再看，既然 ab 等于六，它是等边三角形，那么 a， c， a、 c 是 不是也等于六？那么 ad 比上 cd 等于二，那么是不是得到四四， ad 等于四， cd 等于二， 是不是有这样的一个关系？那你说老师，嗯，那从我那我到时候我还算不出来，我也算不出来 b、 d， 我 也算不出来 d 一 啊，这没有办法，那么我们是不是还有一个知识点没有用三线合一，等边三角形，等腰三角形。既然你在这个边上考虑了啊，这个有一些线段的长度我是知道的，那么我就过他去做一个垂直， 做一个垂直，那么这个做过来是不是就平分了？下面这一段也等于三，他等于二呢？这里是不是等于一， 对不对？同志们，这里等于一，然后呢，你看这个等于三，这个等于六，那么你是不是可以算出来中间这条线， 中间这条线知道了，然后呢，这里等于一，那么你是不是可以利用勾股定律算出来 b d b d， 知道的话 b d 等于二倍的 e d， 那 么 e d 也知道，那么 b e 是 不是等于 b d 加上 e d 就 可以求出来了啊，对不对？千万不要忘了我们这些知识点的一些基本考法啊，基本用法好，再往后相似三角形侧高， 这个呢，你看某一时刻一根两米长的竹竿， e f 啊的仰隐藏是 g 一， 你看是不是用太阳光线，对吧？ f g 一 啊，然后呢，此时小红测的一颗被风吹斜的柏树于地面呢，成三十度角，这个就是三十度角，树顶端 b 在地上的影子呢，是点 d， 它与 b 点到 c 到地面垂直的这个落点 c 之间的距离呢？是三点六米，三点六米，那么求数 ab 的 长 三十度，开心不开心？这是垂直的关系，在直角三角形里面， ab 是 不是等于二倍的 bc， 那 么我求出来 bc 就 可以了，对不对？ 那么你看这个三角形都是平行地面的，那么这个是垂直，这个是垂直，那么这个角是不是也等于这个角平行的光光线，对吧？那么两个三角形相似，相似的话对应边乘比例就能求出来 b c， 是不是啊？啊，在这里呢，其实我们在讲课的时候呢，也说过啊，要么利用对应边乘比例，要么你是。其实也可以发现这个物体比上它的影子的程度做一个比例，那么也等于这个物体比上它本身的这个影子，是吧，它俩的比例关系是相等的啊，它俩的比值关系是相等的， 说出来 bc， bc 的 二倍就可以了，明白了吗？啊，很简单很简单哈， 好看下第二题，第二题比较新颖一些啊。星期天小丽和同学们在这个公园游玩，他们来到了冯玉祥 将军的这个纪念碑前啊，哎，不对，冯玉祥为纪念北伐军，北伐军阵亡将士啊，所立的这个纪念碑啊，所立的纪念碑不是将军的纪念碑啊。 然后呢，这个小丽问道，这个纪念碑有多高，那请你利用书中数学知识设计一种方案去测量纪念碑的高度，画出视意图说明理由，让你算了吗？没有让你算 对吧？没有让你算啊，只是让你测测量，设计一种方案，这种方案呢，能够测量出来这个高度，说明这种方案的理由就行了。 那么你看有的同学呢，用太阳光线啊，有的太阳光线，我们刚才是不是第一题已经演示过了啊，那么我们是不是还有标杆和这个，呃，镜子，对吧， 那我们来看看啊，我们采用一种镜子的方法我们先来采用一种镜子的方法啊，你看这只物体的高度，我们进，我们自己站到这，那么中间放一个镜子，要在镜子里面，我从视线眼睛光看下来，我在镜子里面看见这个杯子， 纪念碑的这个顶端，对不对？此时呢就可以了，这两个三角形是相似的，对不对？我可以再测出我的这个高度啊，和这个地面和到镜子的这个长度，然后呢，测量出这个长度是不是？然后你就可以去计算这个了。 有的同学，那，那我利用标杆绳吗？可以的，你看我就这，我一个人站在中间，对吧？另一个人去观察，如果在这个点的时候呢，他们正好是在他们的顶点在一条线上，对不对？然后呢你就可以去测了吗？ 对不对？这个垂直也是相似的，也是可以的，也是可以的啊，也是可以的啊。那么这个题呢，是两问，一个呢是方案，一个呢是理由。你把我们刚才所说的这个方案呢给他， 这个你先画一个图，是吧？画出人家要求你画出来一个示意图，你比如说用这种镜子的这种方式画出来一个图，然后呢，你对这个图呢要进行一个说明，一个方案了吗？是吧？如图，现在 ab 是 纪念碑啊，标明你在图里面，你让谁做纪念碑了？ 地平面上，地面上放一个，放一面镜子， e， 人退后的点地处在镜子当中呢，恰好纪念碑的 a 顶顶点 a 啊，今年被顶 a， 那 么若人眼到地面的距离是 c d 啊，在这里注意，你测的是你的身高吗？ 是或者是这个你的同同学的身高吗？不是，是他的眼睛，因为我们用眼睛去观察了，对吧？所以说你是人眼啊，他的眼睛到地面的距离呢？是 c d， 测出 c d， d e， b， e 的 长就可以算出 ab 的 高了， ab 的 高，好，那么它的理由，它的理由，这是方案啊，前面这一部分是方案啊，那么它这个方案的理由和原因呢？在下面 啊，在下面还是三角形相似，对应边乘比例求出 ab 的 高，明白了吗？这种写法大家要掌握一下哈。写法大家要掌握一下。

五四至六教版初中数学的计算集训专项训练，只有六年级的全一册，在这一本书里边，上下册在一起的可以用一整年啊，这个每一部分都是一个刻刻练， 这些目录可以看一下，这都是新版改版后的目录，六年级的上下册每一课呢，旁边有一个巧解妙答的方法，在做题之前，先来学一下人家教你的方法技巧， 学完这个技巧以后，再带着方法来过来做相应的题型，题型都是由易到难来进展的，先练基础，然后再练方法，刻意的去练习这种方法，再做一题多变，举一反三的题型。那么数学扣分的点往往都是中间这样的，计算出错， 孩子的思维不出错，大题不出错，你看看孩子扣分的点，很多孩子几乎有错的都会出错，在计算上 看起来很小的一个点，但是这个是最容易忽略的地方，所以每天必须要坚持，就像英语的单词默写是一样的，每天雷打不动的坚持十分钟。

大家好啊，我们有些同学对这个计算还是不是特别熟悉啊，一直强调的是这一张就是。嗯，以练习为主，你得这是基础运算能力的 啊，也是一种。嗯，所以呢，还是要多练啊。那我再给大家演示几道题，大家可以这个暂停一下啊，做完之后，嗯，然后呢再看， 我们首先看第一个哈，第一个还是标准的这种乘号分配率啊，乘号分配率，那啊，他呢根号三乘以根号三呢，很明显呢就等于三了。 那根号三乘以根号六呢？那我们在可以在心里想，这个根号六可以变成根号三乘以根号二，那根号三乘以根号三还是三，那这根号二呢？就没什么好变，所以说就是三加上三倍的根号二啊，这第一个， 那第二个呢？就是二倍的根号五加三，嗯，乘以三倍的根号五减二。嗯，这个没有什么好说的，只能是这样。嗯，这个 一个一个乘，那第一个呢？二根五乘以三，根五呢，它是二三得六啊，六根号五乘以五是五，所以呢加起来是三十，然后这个二根五再乘以负二，所以就是减四倍的根号五， 然后呢这个三再乘以啊，这个三倍根号五三得九，那就加上九倍的根号五，那最后呢三乘以负二呢，就是减去六。嗯， 那到这呢，我们看就看有没有同类二次根式有没有可以合并的啊？一看啊，这两个可以合并啊，这个呢和这个可以合并，所以呢三十减去六呢，就是二十四，这个负四根五加上九根五呢，就是加上五倍的啊，根号五 啊，这是这个题，嗯，那下一个呢？嗯，没什么好说的。嗯，它也不太能用什么减二 a b 加 b 方。嗯， 那 a 方呢，那我们已经非常熟悉了啊，它是一个八啊，二倍的根二的平方，因为二倍根二是根号八嘛，这个根号八的平方就是八 八，然后它减去啊，这个二倍二 a b， 那 就是我们在心里想一下啊，就是四倍的根号十二，但是呢，根号十二呢，我们很明显是啊，它等于二二倍的根号三 啊，那所以呢，他就是减去八倍的根号三。 嗯，最后一个呢，就是啊，加上六了啊，加上六，那很明显呢，我们先合并一下，就是十四，减去八倍的根号三。 嗯，这个呢，我们也可以用这个啊， a 方加二 a b 减 b 方的这个啊， a 加 b 的 平方等于 a 方，加二 a b， 然后加 b 方，那这个呢，我们仔细一看，它还可以，其实里边就直接可以合并的 啊，如果说你做的比较熟的话，它其实直接可以等于二分之根号二，再加上根号二的平方， 那我们直接给他平方就可以了啊，直接平方呢啊，得到四分之 三，三得九啊，九乘以二。我为什么不把它写成十八？因为反正我们也后边也要约啊，那他约掉呢，就是二，所以就是二分之九， 二分之九。那我们还是用前面方法来来这个做一下，看一下是不是。 嗯， a 方呢，它是二根号二分之一的平方，那所以呢，乘起来是二分之一，再加上二 a b 啊，两个啊，二，再乘以，其实它呢是二分之根号二 啊，再乘一个根号二，二 a b 啊，再加上二，那这个呢，它和它可以约掉，它乘它起来是二，所以说呢，还是二分之一加二加二，最后还是呢二分之九 啊？大家可以比较一下这两种方法。嗯，另外一个呢，这就是平方差了，还是啊，根号七减去二，根号七乘以加 b 的 平方，就 a 的 平方减去 b 的 平方， 根号七的平方呢，它就等于七，那二的平方呢，它就等于四啊，所以呢就等于三啊，这个呢，嗯， 稍微进行了一下变换，那它其实是，嗯 b 加 a 啊，然后乘以呢 啊， a 减 b， 那 其实我们这个平方差公式我们是用啊，我们是以这个减的这个啊，加的这个，因为可以随便调换嘛，所啊，所以说是我们其实是根据这个减的来判断顺序，那肯定是二倍根号二的平方减去根号六的平方， 那所以呢，给他俩互换一下啊，就是 a 加 b 乘以一减 b 了，所以就是加平方八了，我们已经非常数了，减去六就等于二， 嗯，这个呢，这两个题呢，是其实是一模一样的啊，这其实一模一样，那如果我们非要把它展开的话，那它其实有点麻烦的， 那如果说我们完全平方那一个学的比较好的话啊，那其实这个可以可以秒出答案的。那其实 a 加 b 的 平方，再加上呢，这个 a 减 b 的 平方， 那这是 a 方加上二 a b 减 b 方，那这呢是 a 方减去二 a b 啊加 b 方，那所以呢，这个正二 a b 和负二 a b 其实是没了， 那以 a 方呢啊，就是等于两倍的括号里 a 方加 b 方啊，或者说两倍的 a 方再加上两倍的 b 方啊，其实我们可以直接写的两倍的 a 方呢，就是 a 就是 根号二，根号二就是 a， 根号的平方就是二，两倍的 a 方呢，它其实就是四，那再加上两倍的 b 方呢？啊，这个它 b 等于根号三，所以 b 的 平方就等于三，两 b 的 就等于六，其实呢，它直接可以等于十， 那这个呢，其实也是啊，我们直接等于二 x 加上二 y 就 可以了 啊，你做也是这样啊，你把它展开之后啊，我们如果说因为 a 加 b 和 a 减 b 啊，它的核呢，就等于四， a 加四 b 啊，就等于二 a， 二 a 方加二 b 方啊，二 a 方加二 b 方。那如果说这个地方换成一个减号呢，如果换成一个减号呢？ 它其实啊， a 方 a 加 b 的 平方和 a 减 b 的 平方其实就差一个四 ab， 那 所以呢，它换成减的话，我们也可以看出直接就是四倍的根号六， 那这个呢，如果说换成一个减号的话，它也是啊，等于这个四倍的根号 x y 啊， 嗯，因为 ab 就是 根号 x y 嘛，所以说看到这种平方这种完全一样东西，我们要敏感啊，这两个呢就比较常规了，那这个 七分刚好七分之一，我们就分享出来，就是七分之根号七啊，上下都乘根号七，再加上这个四七二十八，四 k 出来两倍的根号七减去这个呢啊，这是七乘一百一百呢，是十的平方，所以说十倍的根七。嗯，那这个呢，就是，呃， 七分之一跟七七分之一加上二再减十啊，十减九，那其实就是负的十减去这个什么二有七分之一，那所以呢，负的啊，七又七分之六倍的根号七， 嗯，这样写出来是不行的啊，我们只能写上七负的七分之七，七四十九，四十九，九九加六啊， 五十五倍的根号七啊，这样啊，千万不能刚像我刚才写这样，就是说代分数乘代分数，因为 这个代分数这个地方是一个加七，有七分之二的时间是个加，你又你把它放到这也不合适，把它放后边也不太合适啊，所以说我们最后要一定要换成假分数的形式啊。 啊，最后一个，这个啊，这个三十二，是啊，十六乘以二，所以说是四倍的根号二再减去的啊，二分之三倍的根号二，再加上根号二， 那这个就是四减二分之三再加一了。其实四天加上一就五，五减去二分之三，五减去一点五，其实是什么啊？五到二分之十就是二分之七倍的根号号， 写后边也行，写上边也行，我们写上边更加稳妥一些啊，这就是这几个题啊，大家一定要多做啊，然后呢？这个八下的这个，嗯，课程我们就更加稳妥一些啊，这就是这几个题啊，大家一定要多做啊，嗯，然后呢，这个八下的两个单元基本上够用啊。 嗯，这一这一张你就是学会了啊，你每天多做一点这种练习题啊，绝对不亏。

欢迎大家来到鲁教版五四至七下数学的同步精品课堂，我是咱们的课程主讲老师逍遥子。今天呢，咱们一起来学习第七章二元一次方程组的第一节，认识二元一次方程组。关于本节课呢，有如下四个学习目标，咱们一起来看一下。第一个， 掌握二元一次方程的概念哎，会判断一个方程是否是二元一次方程。第二个，掌握二元一次方程组的概念，会判断一个方程组是否是二元一次方程组。 第三个，理解二元一次方程和二元一次方程组的解。前三课呢，是咱们本节课的哎，重点其实也是咱们 常考的一些考点哎。第四个，会列简单的二元一次方程，解决实际问题。对于第四个问题，随着咱们课程学习的深入，还会有专门的章节来学习二元一次方程的实际应用，咱们本节课呢啊，仅要求会列简单的二元一次方程组就可以了。 好的，那么咱们首先来探讨什么是二元一次方程的概念，那么咱们首先来看一下课本上的定义是如何来叙述的， 他是这么说的，含有两个未知数哎，并且含有未知数的项的次数都是一， 这样的方程叫做二元一次方程，那从字面意思来理解，它包含了两个大的限定条件对不对？那么第一个限定条件就是要含有两个未知数哎，这个比较容易理解，是吧？那么第二个大的限制条件是 哎，对含有未知数的项做了限定，那么含有未知数的项他有什么限定条件呢？那么含有未知数的项他的次数都是一，哎，这样两个大的限定条件，满足这样的方程，咱们就叫做二元一次方程，哎，例如下面这四个方程， 哎，大家可以观察一下，咱们不难发现，这四个方程呢，哎，都是含有两个未知数，那第一个条件都非常容易满足，对吧？那么第二个限制条件，含有未知数的项的次数都是一。咱们以最后一个方程，五 x 加三 y 等于三十四为例来介绍一下， 比如五 x 加三 y 等于三十四，哎，这个方程它首先含有两个未知数，是吧？一个是 x， 一个 y， 哎，这是第一个限制条件，没有任何问题，对吧？ 那么第二个限制条件，含有未知数的项，它的次数都是一。那么咱们首先就要找到含有未知数的项，对不对？然后再来看这一项的次数， 那么对这个方程来讲，含有未知数的项一共就是两项，对不对？其中一项是五 x， 另外一项是三 y， 那 么咱们来看五 x 这一项它的次数，那怎么来看呢？那五 x 明显是一个单项式，对不对？那么单项式的次数， 那怎么着啊？所有字母的指数和对不对？那它只有一个字母 x， 而且它的指数是一，所以这一项的次数就是一。那么三 y 也是一个单项式，它的次数也是一，哎，所以它就满足了第二个限制条件， 含有未知数的项，哎，这一项的次数呢，都是一，哎。所以你首先要找到含有未知数的项是哪些项，再来判断这些项的次数是否都是一。好了，同学们，那么通过这个概念，咱们对二元一次方程的定义，哎，有了一个基本的了解， 那么如何通过这个定义来判断一个方程是否是二元一次方程呢？下面咱们再来做进一步的归纳总结，哎，应对考试当中常见的一些考题， 因为考试当中啊，并不像老师刚才介绍的那么简单，哎，那么明了，那么一目了然，对吧？考试的过程中，他会出现各种变化条件，让你来判断一个方程是否是二元一次方程，那咱们一起再来更深的归纳总结一下。 判断一个方程是二元一次方程，化简后呢，必须满足三个条件，哪三个条件呢？咱们一起来看一下。第一个只含有两个未知数，哎， 其实也比较容易理解，但是呢，这里面它有两层含义，那第一层含义它是什么呢？那只含有两个未知数，那就不能含有一个未知数，也不能含有三个和三个以上的未知数，这是它的第一层含义，对吧？ 哎，当你判断一个方程，哎，它里面只含有一个未知数，那它肯定不是二元一次方程。如果它里面含三个和三个以上的未知数，那它肯定也不是二元一次方程，哎，这是它的第一层含义。那它的第二层含义是什么呢？ 那即然只含有两个未知数，那么当你化简以后，哎，就剩下了这两个未知数，那就一定要要求这两个未知数前面的系数不能为零，哎，这是它的第二层含义。 好的，再看第二个限定条件，含有未知数的项，哎，次数都是一，含有未知数的项的次数都是一， 哎，这里需要注意的是，他指的是项的次数，而不是某个未知数的次数。咱咱们举个简单的例子，例如这个方程吧，那么大家来看 他是否是一个二元一次方程呢？咱们先来看前两个条件啊，那只含有两个未知数没有问题，那在这个方程当中，他只含有两个未知数，一个是 x， 一个是 y， 对 不对啊？哎，第一个条件是满足的，那第二个条件是否满足呢？ 含有未知数的项的次数都是一。那么咱们首先要找到含有未知数的项，那含有未知数的项有几项？那明显有两项，其中一项是 x 乘以 y， 另外一项是二 x， 对 不对？那对 x 乘以 y 这一项， 它是一个单项式，那么单项式的次数指的是所有字母的指数和，那么 x 这个字母，它的指数是一， y 这个字母它的指数是一，那所有字母的指数和自然就是二次，对不对？那另外一项就是二 x， 那 么二 x 这一项，它的次数是一，非常容易来判断，对吧？哎，那么到这咱们就忽然发现 这个方程当中含有未知数的项 x y 这一项，它的次数是一，非常容易来判断，对吧？哎，那么到这咱们就忽然发现这个方程当中含有未知数的项 x、 y 这一了，而是二，对不对？哎，你看人家要求的是什么？ 含有未知数的项的次数都是一。就是说但凡含有未知数的项，但凡含有未知数的项，它的次数都必须是一。 而含有 x y 的 这一项，它的次数是二，对不对？它是一个单项四，单项四的次数指的是所有字母的指数和它是二次的。所以对于这个，你乍一看啊，含有两个未知数，哎， x， 这是一， y 这也是一，这个 x 也是一，那它是否是二元一次方程呢？那它明显不是，对吧？因为它不满足含有未知数的项的次数都是一，对吧？也就是下面咱注意当中提到的，哎，注意，是项的次数，而不是指某个未知数的次数，它指的是 项的次数是否都满足是一，对不对？哎，含有未知数的这些项 次数都是一的时候，嗯，那才满足条件，所以这个方程自然不是二元一次方程。好的，这是第二个限定条件。那么第三个限定条件指的是什么呢？其实它隐藏在含有未知数的项的次数都是一这里边， 哎，只不过咱单独把它拿出来做一个介绍，让同学们哎，更明确的用来判断。第三个限定条件是， 方程中的代数式都是整式。也就是说，哎，方程中等号左侧的代数式和等号右侧的代数式都必须是整式，都必须是整式。那咱们在六年级的时候学过整式包括什么？单项式和多项式，对吧？ 那言外之意，哎，就是未知数它不能出现在根号下，也不能出现在指数上，哎， 对不对？比如说，方程当中你出现了 x， 分 之一 i 位置数出现在了分母上。比如说，方程当中出现了根号 x， x 出现在了根号下。再比如说，方程中出现了三的 x 次方， x 出现了指数上，那这些通通都不是二元一次方程。因为咱们要求方程中的代数式都是整式， 但是对于咱们常考的哎，一般是会考这个，哎，是否会出现在分母上？哎，你一旦看到未知数出现在了分母上，那他一定不是二元一次方程。 好的同学们，为了检验大家哎，对二元一次方程这个概念的理解程度，咱们一起来做一道练习，来巩固一下。 好的判断下列方程哪些是二元一次方程，哪些不是？为什么？好，咱们首先来看第一个， x 加三， y 减九等于零， 那这里面含有 x， 含有 y， 那 含有两个未知数，那就满足了第一个限定条件。那第二个限定条件，含有未知数的项的次数都是一，那含有未知数的项一共是两项，一个是 x， 那 这一项的次数是一， 另外一项是三 y， 那 这一项的次数也是一，所以第二个限制条件也满足。那第三个限制条件，方程中的代数式都是等式，那明显的是，哎，左侧是一个多项式，哎，右侧是一个数字零，哎，他是一个单项式，对不对啊？单独的一个数或者字母也是单项式，所以等号左右两侧 都是整数，所以第一个它就是二元一次方程，它满足三个限制条件。那再来看第二个，三 x 方减二， y 加十二等于零，那首先来看第一个限制条件，含有两个未知数，哎，那是否满足呢？ 哎，这有 x， 这有 y， 确实是含有两个未知数，一个 x， 一个 y， 但是再来看第二个条件，含有未知数的项，它的次数是否都是一，那么咱们首先来看它含有哪些项呢？哎，含有未知数的项，那第一个就是三 x 方，那么三 x 方这一项怎么着？ 他的次数就已经是二次了，所以他不满足，对不对啊？哎，二负二 y 这一项啊，他的次数是一不假，但是三 x 方这一项，他的次数是二，所以他就不满足第二个限制条件，就不用再往下看了。那再来看第三个，哎，和第二个其实类似，虽然都含有两个未知数 x 和 y， 但是含有未知数的项， x 立方这一项，哎，他的次数是三次的，所以不满足，哎。要求含有未知数的项，他的次数都是一这个条件，所以三也不是。再来看第四个，哎，那这个就非常明显，老师一再强调过， 方程中的代数式必须是整式，无论是等号左侧的，还是等号右侧的。而言外之意，未知数不能出现在根号下，不能出现在指数上，而这出现在了分母上，所以 他不是正式方程左侧的这个代数不是正式，那自然也不是二元一次方程。好的，再来看第五个， a 等于二分之 b 减一，那咱们把它化简一下，其实就是 a 等于二分之 b 减二分之一，对吧？那到这咱们看， 它含有两个未知数，一个 a， 一个 b， 对 不对啊？啊？含有未知数的项，其中一项是 a， 那 这一项的次数明显是一，另外一项是二分之 b， 这一项的次数也是一，哎，方程中的代数式都是整式，左侧是 a， 哎，是个单项式，左侧二分之 b 减二分之一，是一个多项式，所以左右两侧都是整式，所以它满足二元一次方程的三个条件。再来看第六个， 二， x 加十等于零，哎，那首先他第一个条件都不满足，因为他只含有一个未知数 x， 对 不对？咱们要求他是含有两个未知数，对不对啊？所以六不是。 再来看七， y 等于二， x 加一，那么还有两个未知数，一个 y， 一个 x， 那 么含有未知数的项，其中一项是 y， 另外一项是二 x， 那 么这两项的次数都是一，哎，所以满足第二个条件， 那么等号左右两侧都是整，四也满足第三个条件，所以七没有问题。四，二元一次方程。再来看八 x y 加上 x 加三， y 等于二十。那首先来看第一个限制条件，哎，方程中确实只含有 x y 这两个未知数，对吧？就两个未知数，一个是 x， 一个是 y， 哎，第一个条件满足，那第二个条件是否满足呢？含有未知数的项，它的次数是否都是一呢？ 咱们来看含有未知数的项一共有几项？一共有三项对不对？其中一项是 x y， 另外一项是 x， 哎，最后一项是三 y， 哎，这是含有未知数的三项，对不对？那么这三项当中来看，第一项，哎，第一项是 x 乘以 y， 那 么 这一项的次数是几啊？是二，对不对？他是一个单项四，单项四的次数取决于所有字母的指数和，那明显是二次，那到这你就能判定他不满足第二个限制条件，对不对啊？第二个限制条件说的是含有未知数的项的次数都是一，而这出现了 这一项的次数出现了二次，所以他不是二元一次方程，哎，所以综合以上，咱们就能得到哪些是二元一次方程呢？哎，一五七是二元一次方程，其他的不是，对吧？哎，至于不是的原因，在这咱们一个一个的都进行了分析，对吧？ 好的同学们，那通过这道例题，我相信同学们对二元一次方程的判断已经做到心中有数，应该遇到类似的问题就能轻松的解决掉，对吧？ 好的，那咱们再来探讨另外一个问题，什么问题呢？二元一次方程组的概念，咱们首先还是来看书本上的定义，书本上是怎么说的呢？ 哎，共含有两个未知数的，两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组。那在这里面咱们分析一下它的限制条件或者是关键词对不对？那第一个限制条件就是 共含有两个位置数在这，注意关键字共含有，就是一共含有两个位置数。哎，那怎么着呢？哎，两个一次方程所组成的一组方程 叫做二元一次方程组。那咱们首先来看个小例子，好吧？哎，例如 x 加 y 等于八，哎，是一个方程，然后五 x 加三， y 等于三十四，也是一个方程，这时候在左侧用一个大括号把它们连立起来， 哎，就组成了一个方程组，就组成了一个方程组。咱们首先要知道方程组是什么概念，对吧？哎，你看这是一个方程，下面又是一个方程，左侧用一个大括号把它们连立起来，就组成了一个方程组，对吧？那什么样的方程组它才是二元一次方程组呢？就是刚才 定义中提到的两个条件，共含有两个未知数，这是第一个条件，咱们来看看是不是满足呢？哎，那么这 两个方程当中并不是要求每一个方程都含有两个未知数哈，是要求这两个方程当中一共含有两个未知数就可以了。那么这两个方程当中是不是 一共只含有 x 和 y 这两个未知数啊，哎，这是满足的。那再来看第二个条件，要有两个一次方程，那什么是一次方程呢？哎，在这老师给同学们解释一下，他有两层含义，一层含义是 含有未知数的项的次数都是一，这和咱们二元一次方程里那个限制条件是一样的啊，含有未知数的项的次数都是一，那第二个限制条件是什么？ 而方程中的代数式都是整式，哎，所以与咱二元一次方程当中的第三个限制条件也是一样的，对吧？哎，这就是一次方程它的含义。好的，那通过刚才的介绍，咱们来判断下一个方程组是否是二元一次方程组呢？那咱们一起来看 他是否满足第一个条件，共含有两个未知数。那么来看，第一个方程当中确实含了两个未知数，那第二个方程当中，哎，他就含了一个未知数，但是他 人家要求的是啥啊？共含有两个未知数，他只是要求你这个方程组当中，哎，只要一共含有两个未知数就可以，那明显他满足，对吧？ 哎，虽然下面这个方程它只含有一个未知数，但是上面这个方程它含有两个未知数，这两个综合起来，那它一共还是含有两个未知数，所以它满足第一个限制条件，一共含有两个未知数，哎，那再看一看，它所含的两个方程是否是一次方程呢？ 哎，那么大家来看，含有未知数的项的次数都是一，哎，这一项的次数是一，这一项的次数是一，没有问题。那这一项的次数也是一，也没有问题。满足含有未知数的项的次数都是一 和二元一次方程当中的那个要求是一样的。那第三个方程中的代数式都是整式，那么 x 加二 y 是 一个多项式，那它是整式三， x 是 一个单项式，那也是整式，那数字一和数字四更不用说了，对吧？所以它完全满足二元一次方程组的，哎，这个定义 这里需要提示的大家，它一共含有两个未知数，一共含有就可以了。好的，那么如何利用二元一次方程组的定义来判断一个方程组是否是二元一次方程组呢？咱们再来做进一步的汇总总结，以便同学们考试或者做练习的时候能更好更快的把它解决掉。 咱们一起来归纳一下，判断一个方程组四、二元一次方程组化简后必须满足以下条件，哪些条件呢？哎，那么第一个大的条件刚才咱们已经介绍过了， 共含有两个未知数是吧？那么共含有两个未知数是什么意思呢？哎，它的意思就是组成方程组中的各个方程， 哎，不必都含有两个未知数，只要一共含有两个未知数即可，对吧？就像咱们刚才举到的那道例题是吧，他第一个方程当中含有两个未知数，第二个方程当中只含有三 x 那 一项只含有一个未知数， 但是这个方程组总的来说他仍然是含有两个未知数，对不对啊？所以他要求的是组成方程组的各个方程不必都含有两个未知数即可。哎，这是第一个条件，希望大家能理解。 那么第二个限制条件是只含有两个一次方程，那两个一次方程是什么意思呢？一次方程是什么意思呢？就是含有未知数的项的次数都是一。哎，先看看这些方程当中找出来含有未知数的项，再来看含有未知数的这些项，它的次数是否是一，和咱们二元一次方程当中的 判断方法是一样的。另外一个要求就是方程中的代数式都是整式，哎，这就是第二个限制条件，只含有两个一次方程的意思。所以，哎，如果你只看课本， 你判断二元一次方程组的时候，仍然会有一定的障碍。但是经过这样的归答和总结以后，相信同学们对判断二元一次方程组应该信手拈来，不信的话，咱们做一道练习试一试。 哎，下列方程组是二元一次方程组的是哪一个？哎，那么咱们首先来看 a 共含有两个未知数，没有问题哎， x、 y 两个未知数，对吧？ 那么第二个限制条件，含有未知数的项的次数都是一。那咱来看看。哎，这个方程当中含有未知数的项是 x 乘以 y， 那 么 x 乘以 y， 它的次数是几啊？ 它是一个单项式，那么这一项的次数是二，所以它就不满足，怎么着，含有未知数的项的次数都是一，这个限制条件是不是啊？所以它不是二元一次方程组。 再来看 b 含有两个未知数，哎，第一个限制条件是满足的哎，只含有 x 和 y， 对 吧？第二个限制条件， 含有未知数的项的次数都是一。那么咱们把含有未知数的项通通找出来，第一项二分之 x， 次数是一。第二项负二分之 y， 次数是一。第三项 x 次数是一。第四项 y 次数是一，所以第二个他也满足， 是吧？含有未知数的项的次数都是一。第三个方程当中的代数式都是整式，那没有任何问题。第一个方程左侧是一个多项式，第二个方程左侧也是一个多项式，那右侧都是数字，一也没有问题，所以方程中的所有代数式都是整式，哎！说方程中的代数式，指的是 对每一个方程来讲，哎，等号左侧的代数式，他要是整式，哎，等号右侧的代数式也要是整式，哎，就是这个意思啊，可以减数为方程中的代数式都是整式，所以这三个限制条件 b 都满足，所以他是二元一次方程组。再来看 c， x 加 z 等于一， x 加 y 等于明显出现了 x、 y、 z、 i 三个未知数，那出现了三个未知数，自然不满足第一个条件，是吧？共含有两个未知数，所以它不是二元一次方程，它都含三个未知数了，是吧？再来看 d， 第一个限制条件只含有两个未知数， x、 y 没有毛病，是吧？第二个 怎么着？含有未知数的项的次数都是一，那大家来看第一项 x， 它的次数是一。第二项，哎，这一项它的次数 y， y 这一项也是一。而对 x 分 之一这一项，哎，它的次数是几啊？哎，大家说了， 它根本就不是正数，对不对？哎！首先不满足第三个限制条件，那么正确的答案应该选择 b， 正确的答案应该选择 b。 好的，同学们，那么研究过二元一次方程和二元一次方程组的概念之后，咱们再来探求二元一次方程和二元一次方程组的解，哎，那么有了概念做铺垫以后，对于解来说，那就相当的容易。那什么是二元一次方程的解呢？非常简单， 使一个二元一次方程左右两边的值相等的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解，一个解。 那么读这句话呢，可能有点绕嘴，咱们稍微把它简化一下。怎么来简化呢？哎，是一个二元一次方程左右两边相等的一组未知数的值，哎，这样能简单一点，是吧？把这个 圈一圈，哎，可能有这俩字读着就稍微有点绕嘴，如果把它圈起来，把它略掉，哎， 使一个二元一次方程左右两边相等的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 哎，这里面为什么会出现一组？那大家再想一下，咱们都是二元一次方程了，这里面还有两个未知数，一个 x， 一个 y， 哎，所以，哎，这未知数是成组出现的，是不是成组出现的， 哎， x 等于多少， y 等于多少，他们俩共同决定了这个二元一次方程的解是不是所以是一组未知数的值。那咱们通过一个具体的例子，让大家更好的理解什么是二元一次方程的解， 比如这有一个二元一次方程， x 加 y 等于八，哎，这么一个二元次方程，那么咱们不难发现， x 等于六， y 等于二，带入这个方程的话，那么左侧就等于八，对不对？那右侧人家明确已经给的是八，所以就是 二元一次方程左右两边的值相等了，对不对？所以它就满足了二元一次方程解的定义，哎，使一个二元一次方程左右两边的值相等的一组未知数的值，那这一组未知数的值是不是 x 等于六， y 等于二啊？所以这一组未知数的值， 咱们就记住， x 等于六， y 等于二，左侧用大括号把它连立起来，就叫做二元一次方程的一个解，一个解， 所以这句话是绕嘴，但是相信同学们理解起来都非常容易。那什么是二元一次方程的一个解？那就是 x 要寻找的一个值， y 要寻找的一个值，是不是寻找完以后，能使这个二元一次方程左右两边相等，那这一组 x， y 的 值，那就是二元一次方程的一个解，对不对？那么大家 不难发现， x 等于六， y 等于二，是它的一个解。那老师来问，如果 x 等于一， y 等于七，哎，是不是也是它的一个解一个解啊？那没有问题，对吧？一加七等于八，所以 x 等于一， y 等于七，哎，也是这个二元一次方程的一个解，那有的同学又好说了，那么 x 等于二， y 等于六， 哎，那它也等于八，它也是二元一次方程的一个解，哎，这是四的整数，哎，那，那如果说是 x 等负一， y 等九，是不是也是八呀？哎，那么说一说， x 等于负一， y 等九，他也是二元一次方程的一个解，哎，这都是正整数啊，负整数，那咱们还可以试小数，对不对？比如 x 等于零点一，哎， y 等于七点九，那他是不是加起来也等于八，所以 x 等于零点一， y 等于七点九，也是二元一次方程的一个解。那老师写了这么多，想要表达什么意思呢？那就是下面这句话， 一般情况下，一个二元一次方程，他有无数个解，无数个解，对吧？就像上面的举着的这个例子，老师刚才写的这么多，他通通都是 x， y 等于八这个二元一次方程的解，所以一般情况下，一个二元一次方程，他有无数个解， 那什么时候才有有限个解呢？哎，一般是对未知数的取值附加某些限制条件，那么他才有可能出现有数有数个解。 那么什么时候出现什么样的限制条件呢？那么咱们常见的是，比如让你求 x 加 y 等于八这个二元一次方程的正整数解，哎，正整数解什么意思？那就是说 x 和 y 的 取值都必须是正整数， 哎，那这样是不是就对 x y 的 取值附加了限制条件啊？那就就是这句话的意思，哎，如果让你求 x 加 y 等于八这个二元一次方程的 所有的正整数解，那么它解起来，可能它的解就只有有限个解，有限个解。咱们最常见的限制条件是 x， y 的 取值都是正整数，或者说 x， y 的 取值都是负整数，或者说 x、 y 的 取值都是自然数。这是咱们在考察的题目当中最常见的三种限制条件，最常见的三种条件以第一种正整数，哎，出现的居多，出现的居多。后面咱们会讲到啊，类似的题目， 好的，那咱们现在来利用二元一次方程的解做一道小的练习，咱们一起来看，若 x 等于负二， y 等于三四方程， x 减开 y 等于的解，则开的值为多少？那么非常简单，这道题直接是考察二元一次方程的 解的定义是不是？那么 x 等于负二， y 等于三，是它的解，那么咱们只需要把 x 等于负二， y 等于负三，带入这个方程，那这个方程的左右两边就应该相等，对不对？只需要带入这个方程就可以了，那咱们把它带进去得到什么呢？ x 是 负二， 哎， y 是 三，那自然是减三 k 对 不对？把 y 换成三，把 x 换成负二，负二减三， k 等于一，是不是啊？ 那么咱们就得到了三 k 等于负三，所以 k 等于负一，非常简单的一道题啊，所以 k 的 值为负一。 好，那么接下来有了二元一次方程解的概念，咱们来看二元一次方程组的解是怎么回事？ 咱们来看书本上的定义，二元一次方程组中，哎，各个方程的公共解，那么二元一次方程组中有几个方程啊？那当然就是有两个方程了，他还说各个方程 其实就是二元一次方程组中两个方程的公共解，两个方程的公共解，因为这两个方程对每一个方程来讲，它可能都有无数个解，在这无数个解当中，总有一个解是重合的，总有一个解是重合的，也就是说他们的公共解， 这个公共解呢，就叫做二元一次方程组的解。咱们来看看具体的例子，例如刚才老师讲到的这个例题， x 加 y 等于三十四这个方程组，那么咱们来看 有这么一个解， x 等于五， y 等于三，哎，当 x 等于五， y 等于三，那么代入 x 加 y 等于八，这个方程它是成立的，对不对？那么代入下面这个方程，五 x 加三， y 等于三十四，咱们代一下， 五五二十五，三三得九，一加也是三十四也成立，所以 x 等于五， y 等于三，哎，是这两个方程的公共解，是这两个方程的公共解，那么 x 等于五， y 等于三，就是这个方程组的解，就是这个方程组的解。哎，方程组的解和二元一次方程的解 写法都是一样的，都是用左侧大括号括起来，右侧把 x 和 y 的 值分别写上，分别写上，也就是这种哎表述形式。所以二元一次方程组的解也是理解起来非常容易的，对吧？ 那么关于二元一次方程组的解，他的具体的解的情况是什么样子的？那么咱们一起来看一下。一般情况下，二元一次方程组的解是唯一的，哎，也就是说他们的这个公共解一般情况下是唯一的，但是有的方程组可能有无数个解，也可能无解，咱们 本节课呢？哎，不研究解的具体情况哎，只是让你给出一个解，让你来判断这个解是否是二元一次方程组的解，咱们只研究这种情况，本节课至于如何解这个二元一次方程，解这个二元一次方程，它到底是有 无数个解，还是有唯一的解，还是有还是没有解？那咱们以后讲解的时候再做具体介绍，本节课在这不做介绍啊。 好的，下面咱们来做一道例题，来检验一组数到底是否是二元一次方程组的一个解。那用什么方法呢？自然是用代入法，对吧？ 哎，他给了一组解，咱们就把这组解带进去，看他是否满足二元一次方程组就可以了，对不对？哎，例如 方程组 x 加 y 等于十二， x 加 y 等于十六，它的解是什么？那么咱们一起来看一下 abcd 到底哪一组是它的解啊？ 首先来看 a， x 等于六， y 等于四，咱把它带进去， x 等于六， y 等于四，一带等于十，满足第一个方程，那没有问题。再来看第二个方程是否满足呢？ x 等于六二，六于十二， y 呢？等于四，哎，确实等于十六，那么 a 它就是这个二元一次方程组的解，为什么？因为它是这两个方程的公共解，同时能满足这两个方程，所以 a 就 没有问题了。那么这道题自然选择 a， 哎，剩下的 b， c、 d 就 排除了。那么咱们再用 b 来做一下介绍，为什么他不是，好吧，那么 x 等于五， y 等于六，咱们现在来说 b 啊，那么五加六等于十一，那明显不满足这个方程，因为人家要求的是 x 加 y 等于十，所以 b 自然不是，对吧？ c、 d 都是类似的情况，老师在这不作虚数了，所以正确的答案选择 a 非常简单，用代入法来判断一组数是否是二元一次方程组的解。