武忠祥基础严选题第一章概念

好，学员们，大家好，今天给大家讲一下啊，就是鸿开的呃用书计划，然后学习计划。呃基础阶段呢？我们一般来说就是呃这个高等数学基础篇，然后还有六六零和真题真刷的基础篇，这个是金榜时代推出的呃考研基础三件套。然后我们分开来给大家讲。 首先第一本是呃高等数学基础篇，这本书的话今年新增了一个配套的研试卷，然后我个人认为这个研试卷是非常非常行的 啊，他真的是我觉得真的是一本就非常精髓，然后他也很好的弥补了，就是前几年，嗯，很多，可能我看很多学长学姐他们会说，就是呃做六六零的话做不动，然后演习就很好弥补这一点。然后这个高等数篇的话，我觉得是编的非常棒。然后我们可以看一下他的目录， 嗯，他的话就是每一张里面他都会先讲一下考试内容概要，然后再讲一下常考题型与典型例题，他就是分这两部分讲。然后呢第一部分呢，主要就是他是会集中的介绍一下这张会考什么东西啊？考试的题型，然后呢配合立体来讲， 我们拿呃第四张来举例。第四张呢？第四张他这里有四种，就是不定积分的概念性质。不定积分基本共是三种主要积分法，三类常见可积函数积分。然后他前面就是讲这些，呃，讲这些概念，然后呢配套一些具体来讲， 然后呢？后面呢？他在讲这个长考题型典型问题的时候，他就是比方说这一张他只有一个长考题，就是求不定积分，然后他会配很多，就是这这个部分就几乎全配立体来讲解做这类题的方法。 然后在在这个呃章节的末尾呢，他会配一个就是超链接，就是他会跟六六零联动起来啊，他卷接六六零就是在你刚开始学完这一张时候比较适合做的一些题目。 好，这个是呃高等数学基础篇。然后关于演选题呢，我觉得演选题他非常，他真的是非常非常好，尤其是你刚刚学完这个，刚学完这个高等数学基础篇之后，你去做演选题，你会发现他， 嗯，怎么说能让你错很多吧？可以这样说，就是他对你的基础，对你的概念把握非常好。然后这个选选择题呢，我觉得就是大家刚开始学完错很多是很正常的，因为你看我这里也标了很多，就是在目录这里标了很多我错的题。 就是大家如果一开始错的话，我觉得考研数学就数学，考研数学的学习呢，就是不断的错，然后再不断做错题吗？所以大家错的话，也可以像我一样把错题标在这个，就是目录这里，然后随时就可以回去翻看，也不需要做成错题的，因为那样的话太费费时间精力了。 然后就是这个演选题呢，他也是配有解析的，但是是电子版的解析，然后好像是舞蹈的公众号他也发了。然后 就是这个演选题呢，他题量不是很多，他一张的话，但是也是比较足够的，你可能写一张大概也需要一到两小时，他一张的话，嗯，我算下来就是大概就是看了一下，就是每一张大概是有二十二三十道题这个样子。对，然后都是分为这个选择题、填空题、解答题。 对，我觉得这个演选题真的是他今年呃金宝时代团队做出了一个最好的改编，他这个演选题非常非常棒， 就是他能在你学完知识点的第一个，第一第一时间让你巩固一下这些知识点。而且他对概念的考察非常深刻，我觉得他们就是就跟他们团队做六六零。是，就是风格是一贯，就是他们六六零做的也是很考察那个概念吗？考察你对概念深刻的理解，所以我觉得英语真的是真的非常值得一做。

六六零还有基础篇的严选题，这个怎么配合使用？我们这个严选题里边每一张已经给大家把六六零里边每一张想适应的这个严选题都选出来了， 那么这样的话你就可以按章做，先看第一章内容，先做第一张的严选题，然后就做了第一张严选题后面给你配的那个相应的六六零， 直接这样一遍往过走就行了。六六零里边有些题没有配在这个严选题后面那些题更多的适合强化题的来做。

如果你从今天开始考研数学的学习，并且高数基础跟的是武忠祥老师，参考我这样的调整可以助你更上一层楼。那么首先如果你的基础延缓期正确率高于百分之六十，那么后续的规划主要根据你有没有做六六零。如果你基础阶段已经开始做六六零了，而且正确率不错的话，我推荐你直接开武忠祥强化，开二六的课， 那么开五中央强化之后，直接做八八零的基础和综合，八八零可以先刷综合基础留到学现代的时候刷。如果你的八八零综合刷不动，你可以先刷基础，然后学现代的时候再刷八八零综合高速过完开现代记得一定要复盘高速阶段的错题和讲义。 然后开现代的时候分为两条线，一边高入复习，一边现代学习。高入复习主要是复盘奖励加刷八八零的剩余部分。八八零刷完之后呢，你可以买一本一千题刷，或者完成六六零的剩余部分。那么现代学习可以参考主页的现代满分攻略，也就是主页置顶第一个。 如果你基础阶段没有刷六六零，我建议你直接开现代基础高速复习，就是复习讲义加刷六六零。然后现在学习的话，跟刚才一样，现在学完之后再开五中强的高速强化，直接刷八八零，同时复盘八八零的现代错题。如果八八零现在复盘完了，可以买一本一千题刷一下一千题的现代部分。 然后就是两个同样的后续调整。高数现代全部学完之后呢，初二就完成八八零以及一千题剩余部分后再开真题，数一数三就是一边学概论，一边完成高数现代八八零和一千题的剩余部分。你按照这个规划走的话，你的目标给我定在一百三以上。当然习迪策的正确率仅供参考， 如果你的习迪策正确率低于百分之六十，我建议你直接开高数强化技术，学完之后直接跟吴老强化刷八八零， 后续学习以做图八八零为第一目标。高速强化学完开现代，然后也是分为两条线，高速复习线，复盘讲义加八八零，错题后刷六六零。现在学习线就是选择老师听课加做题，如果你的人选题正确率远低于百分之五十，建 议你先做基础七百题，后续学习的规划可以参考我后面要出的视频。然后就是两条路线的参考时间，仅供参考。下一期视频咱们讲一下如果你基础比较差，该怎么样尽可能的去调整。

第六题，第六题他给了四个极限，然后去找到极限不存在的个数。其实这一题我们还是要去求一下，分别求一下这四个的极限的大小就行了。 第一个他说令面它 x 趋于一的时候， e 的 x 减一分之一分之 x， 它的结果是多少？那他说趋近于一，没有说趋于一正很一负，那我们都要讨论一下。 x 趋于一正的情况下， x 减一分之一，它是趋近于正无穷的，那么 e 的 正无穷分之 x， 那 肯定是等于零的。 x 趋于一负，那么 x 减一分之一，它就趋于负无穷， e 的 负无穷，它趋于零正的零正比上一，它就趋于正无穷的。 这里那个详细详解的那个官方教材中说它趋近负无穷，我觉得是有歧义的，因为这个东西是很大于零的呀，它应该趋近于零，正零正分之一，那应该是趋近于正无穷的。 所以这个第一个它的极限是不存在的，我们要勾上， 我们看一下第二个。第二个阿克丹尼， x 减三 x 分 之一， x 减三 x， 它是等价于 六分之一 x 三次方的。他说 x 乘于零，没有说零正零负。这里还要讨论，那这个一比较就是六分之一 x 三次方分之一等于六倍的 x 三次方分之一。 x 乘于零正的时候，那这个地方是 x 三次方分之一是乘于正无穷的， x 乘于负无穷。 我们已知 algebra 正无穷是等于二分之 pi 的， algebra 负无穷是等于负二分之 pi 的， 所以这题的极限也是不存在的，我们要勾上 第三题。第三题也是阿克泰奇的，它是 x 减去 lo in x， 我 们知道 lo in x， 它的展开是在 x 区域零的时候，展开是 x 减去二分之 x 平方，那么这里它等价于二分之 x 平方， 二分之 x 平方。在 x 趋于零的时候，不管是 x 趋于零正也好还是零负也好，二分之 x 平方都是大于零的，那么也是趋近于零正的。阿根廷 正无穷，它就等于二分之派，所以它的极限是存在的。 第四个，第四个它没有说 x 趋于零正和零负，那我们可以看一下 x 趋近于零的时候，趋于零正的时候， x 分 之一是趋近于正无穷的。阿克贪镜正无穷是二分之一，但是你要看什么？你看前面是个 x 呀， 二分之 pi 乘一个 x， x 乘以零的时候，它还是等于零啊。所以不管是它是二个贪心，零乘以负，无穷 负，二分之 pi 乘 x 在 x 乘以零的时候还是为零啊，所以它的左右极限都为零，那么它的极限也存在为零，这个就相当于什么？相当于一个无穷手 乘有介等于无穷小。最后这一题选 b 选项。

第九题，第九题给了 a、 b、 c 四个命，四个命题，然后是关于什么无界变量呀，它们相加呀，相乘呀？最后的一个情况，这个我们是可以当做一个二次结论去记的， 然后我们在做判断的时候，只能去指出一些反例， a 选项 f、 x 都是 f x， g， x 都是无界变量，但是它们相加， b 为无界变量， f x 等于 x， g x 等于负 x， x 加上负 x 等于零，它还是无界变量吗？不是。所以 a 选项排除掉 b 选项，它说它俩都是无界变量，但是它俩乘积也为无界变量，不一定 f x 等于 x， 这个是有理， x 为有理数， 零 x 为无理， g x 刚好跟它反过来，零 x， x 为无理， x 为有理数， 这样在 x 趋近无穷的时候，它们俩的乘积恒为零。 b 排除掉 c 选项， c 选项说它们都是无界变量，但是它们就不可能是无穷小量。 嗯，没有这种说法。 c 选项 f， x 是 x， x 是 无界变量吧？ g x， 它是 x 平方分之一， 那 x 平方分之一在 x 均匀零处的话，它也是一个无界变量。 f x 乘上 g， x 是 等于 x 分 之一，在 x 均匀无穷的时候， x 分 之一也是均匀零的，所以它是可能是无穷小量。所以我们直接选 t， 选一下 第几项，他说，嗯，他们都是，他们乘积是五阶变量，他们之中至少有一个是五阶变量。好，我们举反例， f x、 g x 都是 有界，都是有界的话，那么根据有界函数的定义， g x 小 于等于绝对值，小于等于 m， 那 它呢？乘积的 f x， g x， 它不就小于 m 的 平方吗？那么 f x， g x 就是 有界喽？ 与题干中的无界变量是矛盾的。 f x g x 无界矛盾， 这说明什么？说明它们俩不可能都是有 z 的， 至少有一个，至少有一个是无 z 变量，所以选 t 选项。

第十一题，下列命题正确的是， beta x 是 有界，若 beta x 是 有界函数，且它们的乘积为零，则 alpha x 也是零 不一定。为什么呢？我们可以举一个反例， alpha x 它是等于 n， x 等于 n 分 之一， 不能等于 n 分 之一的时候，它是零。 beta x 它是 sine， x 分 之一，它是个有限函数。 那么 x 乘以零的时候，因为它 x 乘以零， alpha x 乘上一个 beta x， 它是等于零的。但是 alpha x 是 没有极限的。 f x 无极限， 极限不存在，也就谈不上什么趋近于零了。所以 a 选项排除掉 b 选项， alpha x 是 无穷小量，则它们俩的比 alpha x 比上 beta x 等于 a， 所以 beta x 的 极限是等于无穷大的也不一定啊。我们已经知道 limit beta x， 它是等于 limit alpha x 除上一个 limit alpha x 比上 beta x 的， 这是什么？ c， 这是零比 alpha c 零比 a， 那 还是零啊？那它怎么会是无穷呢？所以排除掉 c 选项，已知 alpha x 是 无穷大量，则它的乘积是等于 a， 则它的一个是零。那我们这个可以得出来 一样的拆分， alpha x 乘上一个 beta x， 再乘上一个 alpha x 分 之一，那我们知道，前面这个东西已经给了，它是等于 a 的， 那就 a 乘零，这个是均匀的无穷大量。无穷大量分之一，它是均匀的，那么它的结果就是零。所以 c 选项是正确的， d 选项 d 选项也可以和 a 选项去同，可以和 a 选项去差不多的反例。 n x 等于 n 分 之一，零 x 不 能等于 n 分 之一，那么被它 x 是 刚好跟它相反。零 x 等于 n 分 之一， x 不 能等于 n 分 之一的时候取 去 n， 那 么 x 乘以零的时候， r 乘上 beta， x 等于零，但是 beta x 的 极限不能等于零，无极限也， 所以我们这一题选，先选一下。

第十题第十题说找到命题中正确的是，我们一个个看 a 选项， f、 x、 g、 x 都是无穷大量，则它们的相加也是无穷大量。这个第九题也一个反例，就是 f x 等于 x， c， x 等于负 x 满足题，但是它们相加负 x 加 x 等于零，不是无穷大量，所以排除掉 b 选项，它说它们俩是无穷大量，它们俩成绩是无穷大量，则它们中至少有个是无穷大量。 嗯， f、 x 等于 x， 一 x 为有理，有理数的时候是 x 本身， x 为无理无理数， g x 等于一 x 为有理数， x x 为无理数， 那 f、 x、 g、 x， 它的乘积就等于 x， 所以 它们是成立的，但是它，但是它们任意拿出来一个，它们是无界的，但不是无穷大呀。 无穷和无穷大还是有区别的，无穷大是所有的部分都是无穷大，无穷是有一部分是无穷大就可以了。所以 a 和 b 排除掉 c 选项， f、 x 是 无穷小量。嗯，如果 f、 x 是 直接横等于零的，那么这个就没有定义了， 也就不存在什么无穷大量了，所以 c 也要排除掉。这里正确答案选 d 好， d 选项，他说 f、 x、 g、 x 都是无穷大量，说它们俩至少有一个是无界变量 一样的，跟第九题的一个反例是一样，就是我们假设 f、 x 和 g、 x 都是有界， 都是有界的话，它们俩的乘积也等于有界。 乘积等于有界，那么它们就不是无穷大量呀。想要它无穷大量的话，就需要其中一个是无界变量，所以选 d 选项。

第十二题， x 趋于零的时候，下列无穷小数最低值是多少？ a 选项，三的 x 三次方减一，我们可以给它写成 e 的 x 三次方，零三减一， x 乘以零的时候， x 的 三次方 lo 三是乘以零的，就可以等价成 e 的 x 次方减 e 等价于 x， 那 么它就等价于 x 的 三次方 lo 三，所以它的指数是三减。 b 选项，根号 x 一 加 x 平方的一加 x 平方开三次方减一，它是用什么呢？它是用那个等加公式，它就直接等于三分之一 x 平方的，那么它解数是二解。 c 选项， x 的 一百次方加上三 x， 那 我们无穷小的加大的三 x 等加于 x， 所以 它是等加于 x 的， 它是一级 d 选项，贪心 x 减去三 x， 贪心 x 展开是 x 加上三分之一 x 三次方，它的展开是 x 减去六分之一 x 三次方，所以它的结果是等价于二分之一 x 三次方，它也是三 阶找最低阶数，那么很明显是 c 选项。

下面呢我们再来看分布积分法，那么分布积分法实际上结论很简单，就 u d v 等于 u v 减 v d u 等。这个分布积分法在用的时候啊，实际上关键是两点，第一点就是何时用啊，就是出现什么样的不定积分，我们应该考虑首先考虑分布， 第二呢就是 u v 如何选举，这实际上是问题的两个关键。 那么在这呢，我们首先来看第一个问题，何时用啊？那么大家想，你看我们大学老师在教我们这个分布基本法的时候，你看他们举的例子，第一个例子不是举这个 x 乘 ex 就是 举谁啊？就是举 x 乘 sin x 啊，反正前两个例子一般都是举这两个啊。再下来呢，比如说什么 ex sin x， 为什么举这些？那么大家注意，他们就是典型的适合分布基本的， 为什么适合呢？你看他们有什么特点呢？你看他们呢都是这是逆函数乘指数，这是逆函数乘三角，这是指数乘三角，就是它们的共同特点，就是两类不同函数相乘，所以何时用呢？那我们说这个分布基本法比较适合于两类不同的函数相乘， 这就是何时用。但实际上我们一想，这个是从哪来的？是从求导数的乘法公式倒过来的啊？这等于 u 一 撇 v 加上 u v 一 撇。 那这句话为什么要用乘法公式？就是因为它是两个不同函数相乘求导数，所以才要用导数乘法公式，那所以积分是一样的，这就是何时用啊，一般用在两类不同函数相乘， 那么这样的一个问题就如何用啊？就是 u v 的 选举啊，那么关于这个 u v 的 选举呢？当然也有的书上总结了什么密什么，三角指数怎么背口诀，那也有的书上总结了什么密什么，三角指数怎么背口诀，那也不用去背那个 u v， 关键就是把谁先凑进去 啊，这个就需要总结一下啊，所以你看我们这地方呢，给大家罗列了八类典型的要用分布计算法来处理的问题，通过它来总结一下，把谁先凑进去，以后做题就方便了。 这个 p n x 是 什么？就是 x 的 一个 n 次多项式啊，就是多项式乘指数，你想你这个 x 乘指数就它的特例，多项式乘三角，多项式乘 cosine， 多项式乘对数，多项式乘反三角，多项式乘反三角，指数乘三角。你看他们都是两类不同函数相乘，这就是我们平时在做不对积分的时候，最常见的要用分布积分法来处理的八类积分。我们通过他们呢总结一下 u v 的 选举，或者讲的更直白一点，就是把谁先凑进去，那这个呢？以后拿到题目立马就可以做了。你说这个多项式乘指数把谁先凑进去呢？ 那肯定是把指数凑进去，指数往里边也好凑，凑了以后一分布，这是不是要求导数求一次就降一次？如果你把多项式凑进去，大多数是就生密了，越做次数越高，越不好做了，那你每次都把指数凑进去做一次，这求一次导数降一次，密降若干次，它降出常数，你是不是就做出来了？ 那这个呢？多项式乘三角，是不是应该把三角凑进，跟他一样啊，做若干次，这个求导数，求成长数，你就做出来了，那么这个呢？也是把三角凑进去这三个总结一下，那就是多项式乘整数，多项式乘三角都是把多项式以外凑进去， 然后下面呢，这三个你想想，这是多项式乘对数，多项式乘反三角，你这个呢？这三个你想想，这是多项式乘对数，多项式乘反三角，你这个呢？这也不好凑啊。 那你这个往里边凑，这个也不好凑啊，那不像前面那个很好凑，但是这个时候你注意，他往里边凑，是做积分不好做，但是他们求导数变得简单。哎，所以这地方是凑谁啊？不是凑，他们是凑多项式， 因为多项式凑进去仍然是多项式，把这三个留下分不计分，一次这三个求导数就简单了，所以这三个正好就是谁啊？跟前面相反，就是碰到这种对数，反三角成多项式，都是把对数和反三角以外的凑进去，把它们留下求导数。好，那这两个凑谁呢 啊？凑一凑三角都行，但是一次都做不出来，要连续凑两次还原就做出来了。 那所以这样呢，我们总结一下，你看以后拿到这八类积分，谁先凑进去，是不就清清楚楚？数学不要去背啊，有的书上给我们写的什么密，什么什么什么背，背个次序。我想你在这上你总结一下，想清楚这个道理， 那这种东西永远在脑子里边记着，如果仅仅是背了那个结论，那背了他为什么有那个结论呢？你又不知道原因，你过两天就忘了。那我想你这样分析一下， 那就是我们都是对每一类做的一个分析，我们知道应该先从谁，这就叫理解的东西永远就记住，背的东西你过两天就忘掉了啊。所以学数学主要是要学懂理解，而不是靠背。好。

第七题第七题，这题的考点是去考察无穷大量和无极的一个区别。 我们来看一下他说竖列的通项 x n 是 等于这个和这个在奇数和偶数的时候有有不同的一个表达。他说 n 趋无穷的时候， x n 是 多少， 那肯定是 n 趋无穷，没有说他趋近于奇数还是偶数呀，所以他有可能我们要分了去讨论。 n 趋无穷的时候， n 分 之二的 n 次方加上根号 n， 它是趋近于无穷大的，趋于正无穷的。 n 接近无穷的时候， n 分 之零， n 它是接近于零的，所以它是有一部分是无穷部分无穷 部分零。那这种情况下我们就知道无界但非无穷大量，因为无穷大量的话是全部无穷， 全部无穷大，那才叫无穷大量。

第八题第八题，它说 e 的 x 分 之一次方乘上一个三 x 分 之一是什么样的一个量？我们先可以把它拆开来看 e 的 x 分 之一， e 的 x 分 之一的话， x 趋于零正的时候，它是趋于正无穷的。 x 趋于零负的时候，它是趋于零的， 那么 sine x 分 之一 sine x 分 之一。当 x 趋于零的时候， x 分 之一是趋于无穷的，那么 sine x 分 之一在负一到一上是正当的， 不会趋近于固定的一个值。 在这样一个情况下，当 x 趋于零正的时候， e 的 x 分 之一乘上一个三 e x 分 之一，那么它就会增大，增大到无穷大。但是， 但什么呢？但是，因为 三引 x 分 之一，它可以取到零，可以等于零等于零，但它就不会一直趋向于无穷， 所以它是 x 趋于零正的时候，它是无界的。好，我们看一下。当 x 趋于零负 趋于零负的时候， e 的 x 分 之一是趋于零的。 sine x 分 之一，它是一个有界变量，因为它在负一到一嘛， 所以零乘一个有界。那么 e 的 x 分 之一乘成三， x 分 之一，它是趋于零的，所以它又是一个 很小的量，就是无穷小量。我们看一下选项， a 说是无穷小量，不对，因为 x 去临证的时候会变得很大很大， 无穷大量也不对，他在去临赋的时候是无穷小，有见，但非无穷小。那也不对啊，我在 x 去临证的时候，可以变得很大很大， 所以 c 排除掉无界但非无穷大量，对不对？对的，因为在 x 群零负的时候会是一个无穷小量，所以选 d 选项。

数学一定是要学懂，不能完全是靠背，懂了你就永远就记住了，理解了就永远记住了。那这呢是两类问题，一类问题就是求一个连续函数在有限区间上的最大最小值，当我们知道连续函数在这个区间上最大最小值一定是存在的， 那它是存在的，那这个时候大家注意它的最大最小值怎么找呢？啊？对一个连续函数来讲， 那他的最大最小值也可能在内部渠道，也可能在断点渠道，但是你想他最大值或者最小值在内部渠道，那一定是极大值或者极小值，但是最大值最小值也可能在断点渠道，但是注意断点这个能不能叫做极值？不能啊，极值是领域， 那这只是个半点，所以端点只可能起到最值，但是端点不可能起到极值。哎，那你的最值要么在内部，要么在端点，但是要在内部起到，那你最大值一定是极大值，最小值一定是极小值， 但你也可能在断点，所以你我只要把谁类部可能取得极值点都找来，然后再把两个端点也找来，那你最大最小值是不是一定在这个范围之内？所以我们第一步求这个类部所有可能取得极值点，那就两种呢？一个是注点，一个就不可到点， 那你如果最值在内部取到，一定在这个范围之内，但是最值也可能在断点，所以我们把类部可能取得极值点上，整个点上函数值 这两个端点值值拿来。我说你最大最小值一定在这个范围之内，然后呢做一个比较，最大最小值就找到了，这就是整求一个连取函数在有限区间上最大最小值的一般方法三步，第一步，求内部可能取得极值点两种点。第二步，把内部可能取得极值点跟两个端点做比较，哎，求出端点的值。第三步，做一个比较 最大最小。知道的，这是理论问题，第二类问题，那就是应用题，但是在这呢要注意，我们把这个结论呢再给大家推广。就是有时候比较是不大方便的，能不能跟断点不比较呢？就有一种情况不需要比较，如果这个连续函数在这个区间内部只有唯一的极值点， 那这也是唯一啊，你这谁这是 b， 这个结论经常会用，并且呢，假如说在这个唯一极值点这点要取的是极大， 那立马就推他是谁啊？就是最大，如果你唯一极致点取的是极小，那他就是最小。这个时候不用跟大家比较，注意是在区间上唯一一个极致点，如果是极大，他就是最大。为什么呢？先让大家看这个学术原理，一定是要学懂，不能完全是靠背，懂了你就永远就记住了，理解了就永远记住了。 为什么唯一的一个极点极大就是最大呢？反正如果他不是最大，那有人还要比他大。但是这个时候你可注意，矛盾就出来了，你看这是极大，他已经下来，他是个连续函数，他要到这去，他是不是从这要这样拐上去，但是你看从这再往上一拐，这个地方是不是又出现极点跟唯一就矛盾了，这就是为什么有这个键呢？ 那这个阶段呢？我们理解了以后，永远就记住了这个，对于唯一极致点，那我们这个时候呢？如果极大就最大，如果极小他就是最小，不用跟断点做比较好，这是理论问题。

第五题第五题给了四个极限，然后去找到其中极限等于 e 的 个数。我们看第一个 limit， x 趋近于零的时候，一加 x 分 之一的 x 次方，那我们给它写成 e 的 形式， e 的 x ln 一 加 x 分 之一，它说 x 趋于零，没有说零正零负，那我们分别看一下， x 趋于零，正的时候， 趋于零，正的时候， x 乘上 ln 一 加 x 分 之一，它是趋近于零的，它是趋近于无穷大的。 但是 x 趋于零的速度是要快于它趋近无穷大的速度的，所以它俩的乘积是等于零的， 也就是 e 的 零次方，那结果是 e， 很 明显，它的极限不可能是 e， 所以 我们不用看零负的情况下，也可以把 e 排除掉。我们看第二个， 第二个 x 群正无穷，正无穷已经给了 e 加 x 的 x 分 之一，我们也可以给它写成 e 的 x 分 之一。 low in， e 加 x 变成了去求一下 x 群正无穷 x 分 之 low in， e 加 x， 很明显，它变化，它趋近于正无穷的速度是要快于它趋近于正无穷的速度的，所以这个结果是零，也是一。那么第二个也排除掉第三个。 第三个我们还是要给他写成一的形式，厘米它 x 均匀无穷，一加上根号加一加 x 平方分之一 x 也就等于厘米，它 x 均匀无穷， e 的 x 被的 lo in 一 加根号三，一加 x 平方分之一。好，我们假设它是均匀正无穷的，均匀正无穷的时候， x 乘上一个 lo in， 一 加上根号三，一加 x 平方分之一， 那这个东西是多少？这个东西这里是趋近于正无穷，那这一部分是趋近于零的，那我们可以用 lo in 的 等加代换 x 乘上一个根号，下一再 x 平方分之一 等于这个之后 x 趋近正无穷的时候，这一步也可以看作成 x， 那 就 x 乘上一个 x 分 之一，那就等于一了， 它等于一，那这个结果刚好是一好，但是正无穷的时候是这样，那负无穷呢？我们也来看一下负无穷 x 圈负无穷的时候， 那这里还是 x， 但是这里就变了，这里是负 x 分 之一，所以等于负一。那 x 趋于正无穷的时候是一，趋近于负无穷的时候是亿分之一，那它极限不存在呀。 所以我们这个排除掉那选择题的固有缺陷，一二三都排除掉了，只能选 a 选项了。我们也来验证一下这个 a 选项。 第四个 limit， x 趋于无穷的时候， e 的 x 被的 low in 加三 in x 分 之一。好，我们看一下 x 趋于正无穷，那 x 乘上一个 low in， 一 加三 in， x 分 之一， 三 x 分 之一趋于零，那我们就可以用等价代换，那就 x 乘上三 x 分 之一，三 x 分 之一，又可以继续代换 x 乘上 x 分 之一等于一，好，趋于正无穷的时候，这个结果是一， 那负无穷呢？负无穷 x 也是一样的，乘上一个 lo， 一 加三 x 分 之一，负无穷的时候，它结果也是， 也是趋近于零啊。那这里还是可以给它写成三。 x 分 之一等于 x 乘上 x 分 之一，也是等于 e， 所以 趋近于正无穷。趋近于负无穷，它的结果都是 e， 也就选 a 选项。

这是用定义来判定可导性，这是重点，这也是难点。我们再来看，比如说像这种问题，在下列函数中啊，在零点不可导的是 就这四个函数，谁在零点不可导，那么大家注意，他们都带有绝对值，要看他的零点可导不可导，那一般都应该使用定义啊。 那么在这呢，我们几个方法都用一下啊，因为是选择题，我们用直接法、排除法，首先我们用直接法，那位同学说，那直接法你怎么看出哪一个一定是在零点不可倒呢？ 但是这个有一个分析过程啊，就是我们一开始呢，一般应该从第一个往后面看，但实际上呢，这个地方大家注意啊，我们说这个， 那些同学说，你怎么知道这个呢？你看按照这个导数的定义，它在零点按导数定义写，是不是应该是这个极限就是 x 去向零，然后呢， f 减 f 零， f 是 谁？ f 是 cosine， 正好 x 绝对值减 f 零， f 零是 cosine， cosine 等于一啊，然后除以谁 x。 那么这个时候我们要熟悉这个键呢，就是 x 去向零的时候，我们知道一减 cosine， x 等于谁？二分之一 x 平方，那么所以这个分子应该等于谁？它是减一，它就等价于 这个负的二分之一，谁根号 x 绝对值的平方，这下除以 x， 那 这个应该等于谁？负的二分之一？ x 趋向于零，下面是 x， 上面是谁？根号 x 绝对值平方，就是 x 绝对值。事实上我们知道这个极限应该是不存在的，为什么？因为它这个极限应该 x 如果趋向零，从大于零的边去里边是正一，那这就是负二分之一， 这样就是诱导数，如果 x 呢？从小于零的边去向零，那这个是负一，那这个就是二分之一，那这说明这个函数在零点左右倒数存在的不相等，当然零点不可倒啊，这是直接说明这个啊是不可倒。

对于基础阶段藏东西这个问题啊，我们有些同学就是会觉得这个基础严选题可能会稍稍做不动吗？ 那么我们怎么解决呢？就是我个人是觉得啊，基础啊，基础阶段这个基础严选题呢，我们不要把它当做一个啊，这个训练的这种题型来做，我们就把它当成这个立体来做就行了。 因为，呃，就是因为吴老他这个教学特点，所以导致他基础阶段不会给你讲那么详细，那么有一些知识点呢，我们需要在严选题中来给他学习到 我们可以在做严选题的时候啊，通过一些啊，就把这个题不会的，因为基础严选题还是比较基础的。如果说你这道题不是因为计算错误，各种各样的错误犯错，而是因为你 不了解这个知识点，那么你完全就不需要去死扣它。你看到这个，看到这个题第一眼你都想不出来你学过这个知识点，但你不需要去死扣它，你直接 啊，对吧？你直接就是啊，看解析对吧？听讲解，把这道题背后的知识点弄懂了，那你知道这个知识点弄懂了，那你这道题自然自然而然就会做了，所以说，嗯，就是应对藏东西这一点，就是我觉得不要把这个延伸题当成这个训练题来做，你当成一个呃立体来做就行了。 然后我给大家推荐一位我自己在看的一个 b 这个严选题的讲解吧，就是 b 站上有位老师叫陈汉老师，然后他讲的这个严选题的也非常啊，他会给你补充很多知识点， 然后让你在听严选题的讲解的同时呢，也能够把背后的知识点啊。吴老可能没有提到知识点，给它全部弄清楚。

作为一名数学底子不算好，大学高数低分飘过的过来人，我想说，考研数学真的不是靠天赋，而是靠方法。很多人一上来就硬杠六六零题，结果翻几页就想合上，觉得自己太差了。我也曾陷入这种自我怀疑，但后来摸索出一套笨办法，靠着伍忠祥高数基础篇和六六零题，最终数亿考到了一百四十三分。 其实，二期考研的同学千万不能直接硬做题，尤其是基础薄弱的。正确的打开方式应该是先找配套的基础课程视频，一边听一边记笔记，把武忠祥高数基础篇上每个知识点对应的概念和公式彻底搞懂。 学完一节，不要马上刷六六零，而是先把教材上的例题和严小题过一遍，确保自己能独立写出来。这一步是打地基，地基不牢，后面的高楼大厦只会轰然倒塌。 等你把基础篇啃透再打开六六零题时，也要讲究策略。前期只做一星和二星的题目，这些题相对简单，主要考概念和基础计算，正好适合基础弱的人。哪怕一天只做十道题，也要求自己完全弄懂， 遇到不会的就回去翻笔记、看讲解，有时一道题琢磨半小时都是正常的。整个基础阶段，不要追求刷完六六零题，而是用它来检验复习效果，确保每个知识点都吃透。进入强化阶段前，一定要把六六零题里标记的错题再做一遍，并且开始尝试一些三星题， 这时候你会明显感觉顺手多了，因为基础概念经过反复练习，已经扎实很多。我的体会是，六六零对基础弱的同学来说，不要和别人比进度，哪怕你到五月份才做完高数部分的一杠二星题，只要真懂了就是胜利。 我一开始也只知道傻傻刷题，错题本记了一大本，却从来不回头看，总感觉往前做新题才是进步，遇到不会的就忍不住瞄答案，结果就是一看就会，一合就忘。基础稀里糊涂，题目稍微变个花样我就傻眼了。后来跟风去听伍忠祥李永乐老师的课，才发现眼睛会了，脑子不会是常态， 听课只是帮你划重点，比逻辑，真正会不会还得笔落到纸上自己算出来才算数。去年有太多时间被我浪费在无效刷题和赶课上了，针对我复习数学刷题低效的痛点，真能行，带我走出困境，加上后面我会重点说他如何帮我，他最狠的一点就是想偷看答案， 没门。刚开始被逼着非要自己想出第一步的时候，那叫一个痛苦。但正是这种强制思考，硬生生把我从答案依赖症里拽了出来，慢慢自己就有了思路。所以有时候逼自己一把，真的有用，不会就直接看答案，绝对不行。一开始找突破口时不让看答案，当时真的难受的一批。 我一开始对高数题目的理解就是没有框架性，而且看到一个题以后，根本不知道这个题都考察了哪些基础的知识点，而知能行就能把一道题拆分的很清晰。当你通过训练以后，逐层向上依次击破，你再反过来去重新做综合题目，就会发现问题迎刃而解了，他就开始出简单题，抓你的知识点漏洞，各种难受。 等到你练习完了该题目下的所有知识点，再去看这道题目，哎，这题我会了没错，然后我再去写一千八百，正确率完全不一样了。我还作死的去试了试其他没有使用过智能型的章节，依旧是没思路，计算乱错， 再刷下一道题。那谁又会这么有空去一道题一道题一道题拆呢？而且本身自己的水平看到一道题能把它定位到某一张都不错了，还拆知识点。 所以回头看，智能型竟然可以帮你拆分加训练。在他的帮助下，为我的考研之路省了很多时间，也不过于依赖答案与网课，培养了自己的学习思维。如果我有一道题做错了，智能型会带我训练这个题目下面的小知识点，将知识点一次拆分至逐一攻破。智 能型会防止我为了做对而去专门记答案，变换 n 种同类型题目，让我没办法偷懒。当我完成了该专题的第一次测试以后，智能型会为我定义该专题的等级。 等级一至四并不代表着我做题的量的多少，而是代表着我上考场上那天的做题水平。智能型考研数学每个专题是没有固定的题目数量的，因为你刷题量的多少，并不代表着你上考场时候的考试水平。 有很多人在刷完汤一千八百题以后，做综合题目还是没有思路，做了很多本练习册，刷了好几千道题，最后也只是感动自己而已。如果你的数学基础并没有那么牢固，可能第一次训练完就会从等级一开始慢慢练习， 只要每天完成综测，按照智能型给你安排的时间，认真进行专题训练，你的等级就会提升的很快。当然，我对于数学的自信心也就这样慢慢培养起来了，每次刷着刷着就上瘾了， 回一下私信我的考研一二。知能行从来没有 app， 没有 app， 没有 app， 知能行只有网站与知能行走过的这一年，让我终身受益。伍忠祥老师在微分和积分上有自己独特的见解，很建议大家都去听一听的。伍忠祥老师的课堂授课方法比较传统，思路清晰，一道题有多种解法，还有一些其他老师不怎么讲的方法。 基础阶段跟着伍老师不怎么讲的方法，盲目海刷网课听完还是会很快忘完， 看到一个大佬提了一嘴之能行，当时也是好奇，看到有好多高分大佬在用这个网站，就抱着试一试的心态点进去了。例如函数极限专题，我当时就是对于类型三的题目掌握的非常不好，所以在类型三的相关题目中花了很多时间。若你的水平较高，测试会慢慢从基础题目提升到较为综合的题目，直到发现你有薄弱的知识点为止。 之前学习数学的时候，我一直以为是我自己学数学没有天赋，后来用了智能型以后，我才发现，其实数学最重要的就是基础框架，在脑子里面形成思维导图。这样做题的时候按照知识点划分，先找到知识点所在的章节，然后结合技巧来做题，也就是所谓的数学思维 智能型。在每一章的专题练习前，都会先让你了解本章的知识框架，所以我建议大家听吴老师的课，配合智能型刷题。吴老师的科学技巧拓展思路。智能型用来查缺漏糠实基础，二者相结合能节约出非常多的时间，不能抱有任何侥幸心理。 考研数学是一门没有捷径的学科，无论基础如何，考研都需要长期付出和坚持努力，每个阶段都无关重要，选择正确的学习方法和路径，可以使学习效率大大提高，避免不必要的努力。如果基础阶段掌握不好，拖延不学，那么在综合阶段只会涉及基础较好的几章。许多同学误以为做了很多综合题就已经进入了综合阶段。 实际上，很多同学在考研之前的知识点掌握程度仅限于基础，而非综合。因此，要精准评估自己的做题能力，不要盲目追求刷题数量，而是注重培养独立思考能力，构建扎实的数学知识体系。 如果能坚持下去并持之以恒，你一定能在考研中取得成功。虽然考研备考过程中会遇到诸多困难和挑战，但只要保持信心和坚持不懈的努力，最终的胜利一定会属于你。 加油，希望我的经验能帮到正在迷茫的你。如果你觉得目前的刷题方式效率不高，不妨试着改变一下，去寻找更适合自己的工具。考研不仅是知识的博弈，更是意志力的比拼，不要被暂时的挫折打败，也不要被他人的进度扰乱心态。 愿每一位努力的考研一二都能在考场上发挥出最好的水平，去到想去的学校。虽然考研备考过程中会遇到诸多困难和挑战，但只要保持信心和坚持不懈的努力，最终的胜利一定会属于你，加油！

第四题第四题给了四个命题，我们分别看一下。第一个 limit x 去零的时候， f x 等于 a， limit x 去零的时候， f x 是 等于零的，但是，但未说明 f x 在 x 等于零处是连续的， 也未说明 f x 在 x 趋于零的时候去心领域， 去心领域内不可为零。 那么会出现什么样的反例呢？ f x 等于 x 不 能等于零的时候，它是 a， s 等于零的时候，它是 b， 这个时候 a 不 等等于 b， 所以 它不连续呀。 f x 等于零，它是横为零， 则 f 负 x 是 等于 f 零是等于 b 的， 它是不等于 a 的。 所以 a 选项我们排除掉。 我，我们把命题一给排除掉。命题二，已知 f x 在 x 等于零处是连续的， 然后黎比特 x 去零的时候，反 x 是 等于零的。那么根据复合函数连续法则， f 在 m 零处连续， 那么 limit x 乘以 x 零的时候，斐 x 是 等于缪零的，则 limit x 乘以 x 零的时候， f 斐 x 是 等于 f 缪零的。 这里的 m 零就是零，所以零幺幺，它 x 去零的时候， f f x， 它也等于 f 零，也就是幺幺二是成立的。 我们再来看一下命题三，命题三讲了什么？他说已知厘米，它 x 乘于零的时候， f x 等于 a， 利物坦 x 乘于零的时候，斐 x 比 x 是 等于一的，则利物坦 x 乘于零的时候，斐 x 是 等于利物坦 x 乘于零。 负 x 除 x 再乘以上一个 x， 它就等于一乘零等于零，且负 x 在 x 趋于零的时候，它的去心领域， 它的去心领域内不可为零。 那么否则 f x 比 x 它的如，如果它很为零的话，那 f x 比 x 的 极限就为零了呀，那和体干是，和已知是矛盾，如果它这里的极限就为零了，与已知矛盾， 那令 m 等于 f x， 则当 x 趋于零的时候， mu 趋近于零，且 mu 不 等于零，那么这个时候 limit x 趋于零的时候， f f x， 它也等于 limit u 趋近于零的时候， mu 是 等于 a 的， 也就是第三个，它是正确的。第四个，第四个他说已知， 他说已知 x 乘以零的时候， f x 等于 a 且 x 乘以零的时候， far x 比 x 是 存在的， 那只能推出利用它。 x 去零的时候， f x 等于零，这个我们是可以推出来的，但未说明 f x 在 x 零处连续， 这是什么后果呢？这就这，这也是未说明 five x 在 x 去零的去心领域内，不恒为零和命题一是一样的情况， 不恒为零。反例也是这样的， a b x 等于不等等于零， x 等于零， a 不 等等于 b， f x 恒为零，那我们去看一下， f f x 就 等于 f 零等于 b 不 等等于 a， 所以 也是矛盾的， 我们可以用这个经典的例子 排除一和四。

六六零这个题是基础题吗？但是为什么我基础课听完以后还做不动呢？正常不正常怎么办啊？大家注意啊， 这个六六零我们叫六，这个基础过关六百六，那为什么叫基础过关六百六呢啊？因为大家注意啊，作为命题的人，一般说来，这个卷子的题目的排序都是从易到难， 那么大家注意，我们第一大题就是选择题，第二大题是填空题，那么既然选择题和填空题放在前面，那从主观上讲，它是作为基础提出的 啊，这就是为什么选择题、选填题，这个六六零都是选择填空题，为什么叫基础过关六六零？就是因为按照命题的这个逻辑关系啊，一般是由易到难。选择题填空题放在第一大题，第二大题，那就是作为基本题出的，所以我们叫基础题。 但是有同学说了，既然是基础题，我们怎么基础阶段课学完以后选六六零，里边有很多题做不出来，正常不正常啊？那到底怎么办？我们说这个基础阶段的课听完以后做六六零，有很多题做不了，很正常， 为什么很正常呢？因为大家注意，六六零是基础公关，六六零是六基础选择填空题最后应该达到的要求，所以这个六六零是选择填空题最后应该达到的要求。所以他里边有很多题目 是有难度的，那么有一部分题适合基础阶段做，而有一部分题是适合强化阶段做。那么所以呢，这个六种人里面，有些题目我们在基础阶段课听完以后做不出来，很正常，因为有些选择填空题，他所要用到的方法 或者知识点，我们在强化阶段才能讲到，那么所以基础阶段呢？有些题做不了很正常，你可以把它留在强化阶段，完了以后再来做，这才是个科学的选择。