张宇27考研0基础通关讲义电子版

好，下面我们来看四啊，引函数设方程， f x y 等于零，大家注意啊，这个会经常出现在啊，我们后面的数学的题目当中， 我给另一个方程，这个方程里面呢，含着 x、 y 啊，那么如果当 x 在 某个区间内取值的时候，大家注意看了啊，总有满足该方程的唯一的 y 值存在。 同学们想想看，我们前面是不是给大家讲了单值函数跟多值函数的一个区别啊，所以呢，在这里面同学们完全可以理解啊，说，如果一个方程说能够确定一个引函数， 那么显然这个引函数在我们能确定的区间上不能是多值函数， 对不对？大家，你用尾一的外对应，那么肯定他不能是多值函数，所以我们适用于什么？各位，对了，千锤画线法，如果在一个点的领域内啊，你比如说他是这样的曲线， 在这个点你画一个圈，大家注意这领域是吧？然后呢，你用铅垂画线法，你这样一画，你看铅垂画线法，画一条线过来，是不？刚好有两个焦点，那么有两个焦点说明什么？他不满足铅垂画线法，这个位置就是多值函数，他就怎么样不能确定引函数？ 能确定引函数就不能是多值函数，是多值函数就不能确定引函数，对吧？大家，这就是什么呢？这叫基本概念啊，我们先说到这啊，关于引函数存在的 定律，我们后面要专门去讲啊，在这呢，我们先简单提一句，好吧，哎， 你比如说这个表达式等于零，这个方程确定了一个引函数啊，但是呢，这个很好解出来啊，我们可以把它叫做显化啊，你看把 x 和一挪过来，两边一起开三次方根，那么这样的话呢， y 就 可以写成 y x 了 啊，我们就可以显化出来他的这个对应法则，是不是再比如说这个表达式 啊，大家看啊，这里面也是含着 x y 的 一个方程，是吧？哎，但是的话呢，这个引函数是不易显化的，就是你很困难把它写成 y 等于 x， 或者 x 等于 x y 那 不容易显化啊，一般说来啊，这个 大 f x y 等于零啊，一般来讲，写成它的往往都是这种 啊，如果他是一个很容易显化的呢，我们一般就不去写成方程的形式 啊，这个大家是能够理解的啊，在实际问题当中，有时候 x y 的 关系比较复杂啊，我们写成呢，这个方程的形式不容易显化。 大家其实还知道啊，有时候在实际问题当中，我们 x y 的 关系呢，是用参数 t 来表示的，还有一种叫做参数方程，是不是啊，那也是不容易写出啊，这个 y 和 x 的 这个直接的显化关系的 啊，我们基本上都是用啊，这个引函数的形式啊，或者是用这个参数的形式来表达啊。啊，这是我们说的这件事情啊，大家先了解一下引函数。呃，这里面呢，在讲了概念之后啊，我提一句， 怎么去确定引函数的这个这个值啊，这个你如果给我个 x 零啊，我是不是求出 y x 零 啊，这时候你注意啊，不需要显化啊。呃，你不需要显化啊，然后我们直接把 x 零带到这个方程里面去 啊，然后再大家注意啊，等把 x 等于 x 零带到方程里面去，大家想看这是不是变成了只是关于 y 的 一个等式了啊，关于 y 的 一个方程了是吧，大家解这个方程就得到了 y x 零啊，也就是它就等于 y 零了是不是？嗯，这个呢是在考研里头啊，经常会考到的 啊，我的助理给大家写了啊，这个呢是呃，考研当中经常出现的问题啊，你要定这个出师值的啊，这个出师值啊，能求就直接求，如果被求出 y x 零，这用观察法 啊。什么叫观察法，大家注意啊，观察法不是看别人的啊，就是我看别人一眼啊，就观察法，那不是这个意思啊，观察法呢，叫做方程，这个东西啊，叫做解无定法，观察得知 啊，有时候是一个显然啊，我给大家举个例子啊，你比如说，呃，如果是 y 点 x 是 由这个方程所确定的， 那么当 x 等于二时，我来问，你来答， y 等于几啊，也就是说把 x 等于二带进去， y 二等于几是吧，大家注意，本来是两个字母是吧，那你把 x 取成二了，各位看啊，这个位置是不是写成二了， 那这位置是不是也写成二了，那么我们这个实际上就变成了什么关于 y 只只有这一个未知数的一个方程了是吧，是不解这个方程 啊，中学知识啊，那你们可以去用是吧，哎，这个什么解方程的方法呀，等等是吧，但是啊，大家看到啊，我们在这个高等数学里啊，有时候呢，像这种这种表达是你好像是不太好解的是吧，你说我 啊，怎么样把这个歪挪过来，挪过去，然后把树挪到这边去，让它解出来。这个恐怕这样的就都有点困难啊，都有点困难啊， 甚至我告诉你啊，有的时候啊，呃，这个考题呢，他给你带肯肯定能求出来喽啊，让大家知道有的时候超越方程是是求不出这个呃， 解析解的啊，只有数值解啊，这个有同学也知道这个意思啊，但这个后话了啊，我们的数学课呢，很漫长啊，但是呢，大家通过考研数学的学习啊，我想你逐渐的会理解啊，很多重要的解决问题的方法。 好，我们先说这个能解的啊，这个能解啊，但是呢，我觉得你也用的观察法了啊，你写成烙印 y 怎么样？各位，等于，哎，对了，那么且知道这是 y 分 之二减二对吧 啊，你知道我什么意思吗？哎，这个不是普通的解法，嗯，这个烙印 y 这个没办法去啊，用这个简单的分析法去做，你可以看两条曲线的交线是吧， 那么这个时候呢，没有 x 了啊，那么 y 当自变量了是吧，那你可以写成 z 嘛，也就是 z 等于 y 是 吧， 和 z 等于 y 分 之二减二这意思吧，那么就 y 很好画了啊，那就是 z 等于 y 是 这条线是吧，这是 y， 然后的话呢， y 分 之二减二啊，但这 y 分 之二啊，那么当 y 大 于零了是吧，大于零的话呢，它这个双曲线在这， 那么减二呢，往下了，往下走了，只要你这个线到底画在哪呢？我觉得大家看出来了哈，这个 y 取一的时候 z 是 不是得零，所以这个焦点是不是叫一零，大家注意看这个啊，同样这个 y 如果取一这个 z 是 不是也是零 啊，那么这样的话呢，是不是点在这，你看是不是这样画过来的啊？那也就是说呢，他们俩交在这个点 啊，这个焦点就出来了，所以当 x 取二，注意啊， x 取二已经就变成这个了啊，这个里面是没有 x 的 啊，这里面就是 x 已经取了二了，懂吧？这样的话呢，你解这个方程所得出来的 y 是等于一的，那所以我们得到了这个 y 等于一啊，这个这样只能叫显然是吧，你考试的时候你不要再画个图啊，你说我来给你讲一下啊，啊，他 y 等一的时候他是零啊，这个 y 等一的时候他是零， 让他交在这，这个呢，是咱们在草稿纸上做这种细致一点的分析，那虽然观察法我这么说一句，你看啊，你说他等于他，显然 y 取一时，这边是零，这边是零，就结束了。好啊，这个呢，就是观察法，同理， 大家看第二个啊，你看第二个，呃，说又来一个，嗯，大家注意啊，这都是考研整体里面出现过的这种形式啊， 你只要按照我说的方法去练就行了，我再说一遍啊，我所有的东西全部会交给你啊，整个考研的内容我们一个点都不会漏，同时我也告诉大家，这个你要做到的，这个火候啊，你学到哪就够了 啊，命题老师对你的要求啊，就到这了，大家看，你这也可以自己解决了吧啊，很简单，当 x 取二时，把 x 减一次方是不是等于一了？ 这样的话，你把这个挪过来，哎，有了方法，有了经验你就会写了，是不是叫一减去一的 y 减一啊，那个，这个就不用再啰嗦了，你看 有了吧，哎，这条曲线是 y 取一的时候是不是零啊？这条曲线也是 y 取一的时候一的零，是不是一，一减一是零啊，刚好 y 在 这一点的值呢，也是一， 你非要画图，他的图呢，就是这样的了，这是落引 y 是 吧，那么你这个一减去他，那么这个图的话呢，他就是负的。那你你这样看啊，你先看 y， e 的 y 次方是吧， e 的 y 次方是这个样子是吧 啊，减一呢，无非是个平移喽啊，然后呢，天赋号是不下来了啊，再加一上去了，那谁让他这个图呢，要画起来的话呢，就得是这样的图了啊，就这样的图了， 他是这样画过来的是吧？这样画过来的，但这个胶带呢？还胶带这个位置啊，这个位置还是什么？哎，还是 y 取一的时候 z 取零啊， z 取零， 当然呢，这个草图啊，我只画一个局部的位置，你也不必去研究这个点了啊，这个点的话呢，你身上看的很清楚，如果 y 取什么， y 取的是这个零是吧？ y 取零的话，那么这个 e 的 负一次方啊，相当于一分之一啊，一分之一啊，那么 e 是 二点七喽， 那么一分之一呢，肯定小于一，等于一减去二点七分之一，肯定大于零了，那肯定是这样的情况，对吧？这个草图呢，大概这么画一下 好了啊，这个引函数问题呢，先给大家提到这啊，我说了啊，我们后面有引函数存在定律啊，有重要的引函数存在定律以及引函数存在定律所推出来的公式法等等啊，我们到后面再去讲。 好，下面呢，我们来看第五个内容，叫做函数的四种特性啊，这个大家打个星的啊，太重要了啊，一个星不够的 double star， triple star 这部分内容啊，大家中学的时候就学过的是吧，你们在这个高考的时候啊，对于这个有界性啊，呃，周期性啊，极有性啊和单调性啊，这四种特性啊，就已经耳熟能详 啊，那么考研中怎么去使用它呢？大家要注意，我们这个课叫微积分，微积分啊，那么当然是在用极限工具啊，来研究函数以及函数的导数和积分的。呃，四种特性了， 是不是啊，这个情况我们先来看第一个啊，叫做有界性。什么叫有界呢？说如果 f x 的 定域是 d， 那么竖起 i 这个注意看这个符号啊，他是包含有定义域的，也就是说啊，我们讨论有界性的时候呢，首先要给定一个区间 啊，这个区间呢，有可能就是啊，定域的一个子集，如果存在某个正数大 m， 使得对于这个区间里的任何一个 x 都会有这个不等式成立，大家注意啊，这不等式啊，叫做 f x 绝对值小点大 m， 那 么则称 f x 在 r 上是有界的 啊，如果这样大 m 不 存在，那么称它在 r 上是无界的。这里面呢，有几条要告诉大家的，看一下。注，第一个 从几何上来看，这个不等式是什么含义啊，这个大家显然是知道的啊，就说，呃，给定的区间里头函数的这个图像啊，你这样看的很清楚，它这个解打开绝对值呢，是小一点大 m， 大 一等于负大 m， 对 吧？大家从几何关系上来看的话呢，那就是说这个叫做 y 等于 f x 是 吧， 这呢这条线呢，就是 y 等于负大 m， 这条线呢叫 y 等于大 m 是 吧？这是一条直线这是一条直线，这是一条曲线啊，那就是这条曲线呢，被夹在两条直线之间， 看到了没有啊？就是这个函数图形呢，能够被这两条直线完全的给他包起来啊，你比如说这是一条线啊，这是大 m 啊，这是负大 m， 是 吧？然后的话呢，我这条曲线在这里头，对吧？在这里头， 那指定的区间挨上啊，指定区间挨上，他确定啊，在这里头的啊，比如说在这，那这样的话，这个是有借的啊，这就有借的。 从解析上来讲呢，也就是说，如果让你证明哎，这个函数有借，那么是让大家一定要找到某个正数 m 啊，正的这个不等式成立，我们称其为叫有借啊。这一点呢，大家是不是这打个星， 从解析上说这件事呢？我们后面还要好好的跟大家讲一讲啊，我说了啊， 考研数学的学习和做题是一个漫长的过程啊，咱们慢慢学是吧，如果有一天啊，当我们复习到一定的程度的时候，你回过头来看到这个星啊，你有非常深的感悟， 什么感悟呢？哦，我见过什么样的题目，他是如何去证明这个 f x 小 点大 m 的， 用的什么样的不等式，什么样的方法，什么样的过程 啊，你的心中啊，会有啊，非常多的这个内容知识和想法啊，我认为呢，你这个学习啊，就是达到了要求了，所以慢慢来，好吧，先把它画一下啊， 我想啊，在后面，在这一讲的后面，稍后一点，我们就可能会遇到一次啊，如何去证明有借的情况啊？大家稍后就能看到这样的例子。 好，这是我们说的几何上是看图啊，能画的出来图啊，你画图啊，如果画不出来图，在解析上我们就去找正数啊，使它夹在中间啊，这是我们说的第一个方法。第二， 我强调一下啊，有界性必须在指定区间 i， 对 吧？呃，必须有界还是无界？一定要指明区间啊，不谈区间，无法谈有界还是无界。你比方说 y 点 x 分 之一啊，我们知道 这个 y 等于 x 分 之一啊，在二到正无穷，大家注意啊，假如这是二，那么 y 呢？得二分之一了啊，到正无穷啊，大家看的很清楚啊， y 去正无穷， x 去正无穷的时候， y 去零正的，是吧？ y 去零的，所以这个是有效的啊，你就可以用什么，你比如说用啊，这个 y 等于三， 对吧？和 y 等于负三，显然可以把这条线包在里头，对不对啊？那这个是有接头啊，没有问题，但是如果在零到这个 二里头啊，零到二，零到一都无所谓了啊，但看零到二里头，那么这条线呢？当 x 区零正的时候，大家知道零正的倒数区正无穷了，这个是一直走到正无穷了，是不是？走到正无穷，那么你找任何大 m 都不可能把这条线啊，全完全包在里头，是吧？大家因为这条线是走向正无穷的， 那么这个呢，就叫做无界了啊，这就是无界了。呃，这种考题啊，我们在这个呃考实际的这个问题当中啊，我经常会出现啊这种问题，那么，呃，怎么去处理它呢？我们到后面的例题啊，一点 时期啊，会给大家来讲相应的这个问题啊，我们现在啊，先给大家看一个例子啊，先看一个例子，好吧，我们看什么例子呢？我们先来看一下书上的立体一点六啊， 先看一下立体一点六啊，证明这个函数在负无穷上啊，都是有界的哦，就这样的一个问题啊，它的区间啊，是整个的实数轴上啊，分析 证明这个小 f x 等于它在这个的有界啊。哦，这里头啊，我想一个非常清晰的一个办法，是什么呢啊？我们可以用我书上写的这个方法哈，我把书上写的方法呢，先给大家介绍一下， 对了，我说这样写的，当 x 不 对零时，我为什么要有这个呢？同学们知道啊，一旦我说 x 不 得零，那就意味着 x 要到哪去了？各位答的好，他要到分母上去了， 是不是啊？那在分母上什么意思呢？就是大家还记不记得我们在前面的例题里那个 f 什么 x 加 x 分 之一那个题啊，我是不是分子分母同时除以 x 方，是不是 这里不用出 x 方我分子分母呢？我这样写了，大家看啊， f x， 它就等于那么本身是 x 比一加 x 方，对不对？你要证有界，大家注意在解析上来讲，是不是证它的绝对值小一点，谁是不是？ 所以我先加个绝对值，它是不就等于了 x 的 绝对值比上一加上 x 的 平方， 是这样吧，好，分子分母同时除以 x 的 绝对值， 那么这样的话呢，上面就是写的是一，这个就写几很好， x 的 绝对值分之一加上谁？同学们，你注意啊， x 方比上 x 绝对值是多少啊？这里面我要告诉你件事情啊， 啊，大家是不是记在边上呃，很多同学呢，对这些基本的问题呢，可能把握的不够准确啊，我说一下啊， 大家知道 x 平方啊，它本身是非负的，所以 x 平方是等于平方的绝对值的，对不对？这显然成立的，那么这个 x 的 平方呢，可以写的 x 乘 x 的 绝对值，当然就可以写成 x 绝对值乘以 x 绝对值的平方啊，这三者是相等的啊， 很多时候呢，有同学不会用是吧，这个是一样的啊，这整个负无穷的正无穷，它都是成立的啊， 那么三次方呢，那大家注意了啊，三次方的绝对值，绝对值的三次方，那么这三个就跟上面的不一样了啊，他俩是相等的 啊，你注意啊， x 的 三次方的绝对值就是 x 乘 x 乘 x 的 绝对值，懂吧？也就等于 x 的 绝对值，乘 x 绝对值乘 x 绝对值啊，这个相等的啊，但大家注意，这个就不能等了啊， 明白了吧啊，这个你就不能等了啊，因为这个是非负的，这 x 三次方本身可正可负了啊，所以大家把这个呢要把握清楚好吧，哎，好，你现在看这，我觉得你就能理解了，我的 x 方写的什么打得好，是不是 x 方写成这个了哈，这不，写成了 x 的 绝对值的 平方，那么这样的话，你把 x 除掉，这写几个呗， x 的 绝对值，这不要写错啊，这些细节啊，咱们都要把它减回来 啊，我们在实际的这个整个考研复习过程当中啊，而且发现很多同学就在这些细节上容易出错啊，这个就很可惜了啊，很可惜了 好，这个还能变形啊，大家要把它学会的是吧啊把它学会的啊。呃这个工作呢有时候还要把它做好的。好吧做好的。 呃当然还一个办法啊假如说你不这样用啊啊我们讲基础嘛啊从基础开始我想呢啊慢慢讲这都没有关系啊都没有关系。你比如这个 x 绝对值它这还能写成什么？这个以后咱们也常见啊 x 绝对值我还原回去它是不是叫做平方开根号啊是不是这个东西啊。所以的话呢我这样讲 f x 的 绝对值它就写成了实际上这就是根号 x 方 比上一加上 x 方对吧？大家你注意啊这里是没有绝对值了啊，就说如果你想消掉绝对值的影响 那你就写成这个这是完全成立的对吧。那么这样的话呢分子分母都除以谁？各位很好除以根号 x 方懂了吧那这样子一啊这是根号 x 方分之一因为你 x 不 得零对吧？然后呢加上大家看这是什么那很简单了你用 x 方除以根号 x 方是不是得根号 x 方 对吧。那这样的话你也看得出来那不写回来了吗？这是一平方开根号要加绝对值这也可以加上那么这边呢也是 x 绝对值。那当然答案是一样的啊显然是一样的好吧。呃这个呢大家也常用啊这个也常用 好不好。我就先说到这啊我们后面还要这个去处理他啊处理他。比方说啊我简单先说一句啊你看这个东西啊你说我对 f x 求导大家会求导假如 f x 可导那么这个绝对值怎么求导 啊你说我拿绝对值对 x 求导怎么求啊？那很多人不会啊，不会你往这转化就会了啊，你把绝对写成什么？写成 f 方 开根号，对吧？大家，你这个东西就能求到了，是吧？这个东西，这符合求导吗？根号优求导，各位，等于几？二倍的根号 f 方 x， 听懂没有？那根号优求导是二倍，根号 u 分 之一再乘以什么优求导？优求导是二倍的 f x， 再乘以什么 f 一 撇 x， 你 看这不就有了吗？啊，你把二约掉，把这个开掉，它就变成了 f x 的 绝对值，然后乘上 f x， 乘上 f 一 撇 x， 对 吧？那么只要这里 f x 不 得零，这个倒数是它 啊，完全可以的啊，完全可以的啊，这个以后我们再说，好吧，大家，这个以后我们再谈啊。呃呃，就是说这种转化呢啊，大家要学会这最基本的，是不是啊？最基本的一些东西啊， 我在这呢经常给大家提到这最基本的东西，你们记不记得我这个事情在哪还说过呀？ 在前面哪还说过，哎，太好了，太好了，你们还记得那个吗？我们的 f x 等于什么？我随便写了啊， x 加上根号下 x 方加上二， x 加上一， 我忘记原来是什么，二 x 还是三个都没关系，还记得这个吗？这个是什么？哦，这个是根号下 x 加一的平方等于什么？ x 加一的绝对值，对了吧，这个分段函数就出来了， 我们会在很多地方用到这个东西啊，很多地方用到这个东西啊，这就是我们在考研复习的时候，大家注意这个方向啊，注意这些方法啊，注意把握住考试的重点， 很有可能啊，同学，因为在考试当天啊，这个题目里面就有可能就是因为这一点，没有想到整整个这个题目就解决不了了啊，所以呢，我们现在就教给大家先准备这些个原材料啊，先把它准备好 啊，所以呢，呃，多说一些话啊，可能这个讲课的时长会长一些，这个都没有关系啊啊，大家都刚开始打基础的时候呢，实际上是一定要把这些细节啊，把它搞清楚的啊，有一句话讲叫细节决定成败啊，大家可以体会这里面的这个含义，是吧？嗯， 好，先写到这步啊，写到这步之后的话呢，那么我书上写了，那么用这个不等式了，有什么不等式呢？那就是这个算数平均值二分之一加 b 大 于等于几何平均值大于等于根号 a b， 是 吧，大家这里要求呢， ab 大 于零 啊，那么这样的话呢，我们就会有大家注意看这个啊，那么看分母了，分母现在是 a 加 b 了，对吧？ a 加 b 了，那么就是 x 绝对值分之一加上 x 绝对值除以二就大于等于什么？根号下横好， x 绝对分之一乘上 x 的 绝对值， 对吧？啊，那么这样的这个等于一了，因为 x 不 得零啊啊，这是正数，这也是正数，这样倒数关系呢啊，乘且等于一，所以由此呢，你就可以得到呢，就这个分母啊，大家看到这个 x 绝对值分之一加 x 绝对值是不大于等于二了， 对了吧，然后他取什么倒数，所以你就会得到我的 f x 的 绝对值，那么他实际上是这个表达式的什么倒数了啊，他就等于那么 e 比上 x 绝对值分之一加 x 绝对值对吧？大家，这怎么样？小于等于二分之一了。 得了吧，这样的话呢我们就证出来了，看到没有 f x 的 绝对值小于某个正数吧啊，这就符合我们前面讲的是吧这个基本定义了，看到没有啊，小点他， 只不过我这里啊，我是一个具体函数啊，我这个具体函数用不等式呢啊把它解决掉啊把它解决掉啊， 这是我在书上写的啊，当然你讨论完了之后这里的 x 是 可以得零的啊，再加一句如果 x 等于零时，显然呢 f 零是等于零的是吧？大家，那么这零当然是有界的啊，这个没有问题啊，所以综上所述啊，我们这个函数呢在整个的负无穷的正无穷内呢，都是有界的 啊。这个题呢就说到这里了啊，当然呢，就是，呃，这个用好这个不等式啊解决问题。这个在很多场合里面呢，我们都可能会这个用的到的啊都可能会用的到的 啊。呃这个题呢就是其他的办法呢，你也可以再去考虑啊，都可以的好吧，你比如说这个分母可以直接处理的啊，也可以直接处理分母不用上下同时除啊也可以直接处理啊，我简单写一下，好吧，就是这些，呃，写简单写个住吧， 这些思考啊啊大家是不是也要把它弄清楚，根号 ab 啊，几何平均值小于等于算数平均值是吧，小于等于均方根 这个大家都是知道的对吧啊然后当然还有一个啊，这个人还有一个这个调和平均值是吧调和平均值 a 分 之一加上 b 分 之一分之二是吧？调和平均值啊，咱这个关系呢，大家都知道的啊，再说一遍啊，常用的是这个啊，常用的是前面这三个啊， 这算术平均值大一点。几何平均值啊，这边呢还有个调和平均值啊，就这个东西， 你用好这些东西呢啊，处理起来啊，问题呢，就是都是比较方便的啊，你比如说你写成这个一加上 x 方 啊，你处理它就可以了啊，一加 x 方怎么样的啊？它就大于等于什么？你直接看它成 a 和 b， 对 不对？把它看成 a 和 b， 一 加 x 方啊，那除以二也行啊，不除以二它就大于等于这个除以二，是吧？那就大于等于根号下那么一乘以 x 方，对吧？一乘以 x 方， 那么这样的话呢，我们这个这个这个等于什么？这不是 x 绝对值出来了吗？对吧？那么所以就可以得到一加上 x 方就大于等于二倍的 x 的 绝对值， 有了吧，那么这不就出来了吗？所以你可以得到一加上 x 方分之一，那就小于等于二倍的 x 绝对值分之一， 这里面呢， x 不 得零了，我们也给他写个 x 不 得零了，对吧？那么这样呢，我的 f x 出来了，你看 f x 的 绝对值，它就等于 x 绝对值，比上一加 x 方看懂没？那么这样的话，你上面不要动，那整个这个放大，它不就小于等于二倍的 x 绝对值，分成 x 绝对值， 对吧？这个约掉以后呢，也是这个答案，好吧。呃，都可以啊，都可以的。呃，就是要用好啊，用好不等式啊，来证明他的有界限，这是我们常见的方法吧。好，下面第二个单调性， 呃，这个单调性呢？我这有个批注，整个考研数学离不开单调性这个话题， 这个大家也可以理解的，是吧？啊，我们先看一下呢这个单调的定义，因为我们现在啊，要默认一条，就是说我们还没有讲导数是吧？你用导数工具研究函数的单调性，这个以后当然也是一个重点， 但是基本概念上呢，我们首先就要把它搞清楚，是吧？我记得在零基础的前面应该有这个 应该是四十多题，四十五题吧，大概是我讲那个烙印，是吧，我们就是 f x 一 减 f x 二除以 x 一 减 x 二，是吧？哎，那么这个他这个实际上比值应该是大于零的，为为什么用它单调的这个定义不就在这吗？就是 如果 x 一 小于 x 二十， f x 一 小于 f x 二，我们就称单调增啊。基本定义啊，如果 x 一 小于 x 二十呢？反过来了，自变量越大，函数值反而小，那么这个呢，就称为单调减少， 在不带等号的时候呢，我们实际上这个是严格单调的意思了，是吧？你要加上等号，就是说 x 一 小于 x 二十， f x 一 是小于等于 f x 二，那我们就不能说它叫严格单增啊，那么就是可叫单调不减， 对吧？啊，是这样的，好，这个我们现在呢，来看一下这里面的注啊，第一条， 呃，一个上面这个呢是定义法，我认为啊，大家一定不要忘记定义 啊，就是有些知识啊，可能我们越学往后越这个多，但那你就纷繁复杂的各种末端的知识， 就是你推来推推推推，一直推到前面去了，是吧？啊，单调的基本定义，这个还是要非常重视的啊。 好，第二个，那么就是我这底下呢，这一段应该在这个零基础里面，我时间给大家说过了啊，说过了，那就说如果呢，你是这个单调增， 当我们讲单调增呢，就是你要这样来去对比的话呢，我们这个单调增就是指严格单增了，是吧？如果 x 一 减 x 二 乘上 f x 一 减 f x 二是大于零的，那大家知道是吧？他俩是什么？是同号的对吧？那同号的意思呢？那就是说如果 x 一 大于 x 二，立即就会得到 f x 一 大于 f x 二， 是吧？同理，如果 x 一 小于 x 二，那么就 f x 一 小于 f x 二，那么显然这个是单调增的定义，是吧？好，单调减呢，那么就是小于号了，小于零， 这个不再重复了啊，因为用基本定义法就能得到这个，如果说这个等号带着，那我们就说单调不减， 如果这个等号带着，我们就说单调不增，是吧？你用好这个基本概念啊。呃，后面呢，我们这些题目当中呢，呃，就可以解决的比较好了，但是呢，他往往他要综合一些知识，是吧？比如说例题一点七，我们来看一下， 说 f x 在 负无穷的正无穷有定义啊，任给 x 一 x 二 x 一 不等 x 二均有这个结论， 你看这不就来了吗？是吧，那你用这个条件呢？就刚才我们就给他看过了，那么显然呢，他是第一条了，是吧， 那就说明我的 f x 是 严格单增的，但是呢，他不能直接这样考，那你直接问这个结论呢，这个考题就有些，是吧，显得不够综合性，他问的是，那么以下函数一定是单调增加的，是 啊，以下还是一定单子价，那第一个呢，就是 f x 加绝对值啊，第二个呢是自变量加绝对值啊，第三个呢我就自变量填负号啊，第四个呢就是我自变量填负号之后呢，函数值也填负号 这个内容，我们在讲这个负数的时候，我跟大家说过这个负数的事，是吧？负数一啊，就有个图像变换， 我们当时在零基础里面给大家讲了，就是自变量加一个量，记得吧？加 x 零是吧？啊，自变量乘以一个 k 记得吧？然后呢函数值加上一个这个 y 零或者函数值 f 前面乘个 k 啊，我们就分别涉及到了平移和放缩的问题， 是吧？哎，这我不重复了啊，前面已经讲过了，那么接下来呢，我想把这个呃，我们这里面要涉及到的几个呢再给大家说一下， 一个呢是函数值加绝对值，那么他设计的什么呢？这个设计到的是一个，这个我们看一下，我们在书上 因为我这个答案里面给大家具体的写了这个位置了，是吧？啊，答案里具体写就是负六一二的二三和负六一二的五六， 我们来看一下这个，呃，五六先啊，五六先，这个五呢，就是说我现在保留 y 等于 f x 在 x 轴上方的部分 啊，然后把 x 轴下方的部分关于 x 轴对称到 x 轴上方 啊，并且把把原来这个剩原来这个 x 轴下方的给它去掉，那么就可以得到 f x 的 绝对值的这个图像。大家看这个图啊，你看着书也行啊，看着屏幕也行，你本来呢，这底下有是吧？ 那么我现在说上面也有，底下也有，如果你 f x 整个函数加绝对值，那么显然他的意思就是说我的函数值不能取负的，是吧？你如果比如说取了负二这个值，那我一加绝对值呢？他变成正二了，那么显然他是关于 x 轴对称上去就行了，把底下去掉， 懂了吧？所以这样的话呢，我们就可以看到书上这个 a 了，那我图给大家画好了啊，那假如说我这个图呢？原来是这个样子的，这是不是叫严格单证啊？但是如果有正有负的情况下，你这一甲对对值呢？大家就知道这段是不变的是吧？ 但是底下这一段负的各位怎么样？他就是消失了啊，他就关于 x 轴对称上去了，看到没有？然后呢？这一段就消失了，所以大家这明显看出来，这是不是先减后增了，他就不是，呃，单调增加的了， 明白是吧？所以我们就把这个图像变换呢，跟这个单调呢，把它结合起来出的这样的题目。第二个就是 x 的 绝对值，再求 f 就是 自变量加绝对值，这个是我们俘虏里面这个六， 这个六呢，是说如果是自变量加绝对值，首先大家也知道啊，这个自变量加绝对值呢，那就涉及到就是说我现在是 f x 的 绝对值了，是吧？ 哎，你这样，你其实你完全可以理解的是什么呢？这实际上是说这个里面是偶函数了是吧？内偶则偶，记得吧？那这个实际上是个否函数， 哼，对吧？大家这是个否函数，内偶则偶，什么意思啊？你这个 x 键加绝对值了，这个一定是关于 y 轴对称的这个函数， 对吧？内偶则偶，你不管外面是，呃什么极函数，还不是极函数，还不是偶函数？不管他只要里边是偶函数，那么你这样的话，他这个就是偶函数了。偶函数，那你怎么办？那你比如说我这个图就是这样的啊，比如说 我这个在输入里面是这样，你随手一画啊，他这个任意一个图形，他本身他不一定关于什么对称，是吧？但是 啊，如果自变量加绝对值了，我们就要去掉 y 轴左侧的部分，因为什么？因为 x 绝对值之后这个自变量取这个正值和负值，就是说他取一个数跟他的相反数，对于 x 绝对值来讲，他是取的同一个数了， 明白是吧？所以呢，他要把这个负值这块的这个原来这个负值的这块呢，就把它去掉了。 你比如说原来是这样的图，是吧？原来是这样图，你要把 y 轴左侧的全部去掉，然后怎么样？那么关于这个 去掉以后呢？你要关于右侧的剩下这个图呢？关于 y 轴给他对称过去啊，所以你剩下的时候就说先剩下这边是什么，然后呢直接给他对称过去， 这样就实现了。那么自变量 x 跟它的相反数，那么取到相同的自变量的时候，函数值是相同的，听懂了没有？哎，这不就很简单了吗？是吧？这个要掌握啊，要掌握。所以呢， b 的 话呢？我这样画了，呃，你画一般位置吗？是吧？ 他就就原来是这样的，是吧？所以原来这样的话呢，我就把什么这个 y 轴左侧的，我把它要去掉了，去掉以后呢，就只剩下 y 轴右侧的，然后把这个右侧的啊，关于 y 轴给它对称过来，这不是偶函数吗？ 啊，画的不太好啊，这不就我还说是吧，所以他也不一定具有单调性的，懂吧？这是我们说的五和六，那么再看 cd 啊， cd 呢，这个涉及到的是对称变换了，我们再看一下啊，对称变换我就一二三四一起说了啊。 那么首先呢，大家看着这张图，上下的这个对称就是关于 x 轴对称的，实际上是把函数值填负号，是吧？大家就是你原来是 f x， 那 么你填负 f x， 那 显然是上下对称的，是吧？关于 x 轴对称，那么如果自变量呢，那就是 f x 跟 f x， 对 吧？就自变量对称，那么这样呢，就是关于 y 轴对称的， 对吧？好，那么如果这边两填负号，函数值也填负号，大家想想看，是不是相当于是上面这两种对称的一个复合， 是吧？就说你先给 x 填负号，一填负号是不是往右这个这个左右翻过来了，就是关于左左右对称了，是吧？关于 y 轴对称，然后呢，你在填完这个符号之后再填符号，你就在前面再填个符号，是不是上下要对称了，是吧？那么大家想想看，关于 y 轴对称， 然后再把 y 轴这个位置呢往下翻，关于 x 对 称，这样的话就关于圆点对称了，是吧？所以这个三呢，实际上就这个东西啊，关于圆点对称， 对吧？哎，好，那四呢，我再多说一句了，比如我们还有一个关于 y 点 x 对 称，这个我们在零基础已讲过了啊，你但凡关于 y 点 x 对 称，实际上来说的话呢，我就是实际上就是把 x y 字母交换的 是吧？啊，所以呢就会出现什么呢？这个就是他的反函数了啊，这个是反函数的一个基本概念了，当然我们要求他首先得是函数是吧？啊，首先得函数就涉及到我们的水平画线法和铅垂画线法。哎，这个呢就是我们讲的 呃，这个图像变换的相关的问题啊，给大家就做了这个说明了，那伸缩变换呢？也讲过了， 好，那我们来看 c 啊， c 的 话呢，就是说 y f 负 x， 它是关于什么？它是关于 y 轴对称过来的，所以呢，你原来这样的单调增，那就有可能变到，因为你一对称过来是不是它就变成单调减了 是吧？啊，变成这样减了，哎，所以这个是不行的是吧？呃，如果是，呃这个 f 负的 f x 啊，多说一句是吧？如果是负的 f x 呢，那实际上来说就是他关于 x 轴翻过来，你本来是这样的， 对吧？那你关于 x 轴翻过来，他这个也变成单调减了，是不是？这个这个 c 也不行了？好 d d 呢？选项是负的 f 负 x 了，那么你负的 f 负 x， 也就是说它呢关于原点对称啊，关于原点对称，我说了啊，就是关于 x 和关于 y 这两种对称的一个复合是吧，那你先可以先关于 y 轴对称是吧？对称完了之后呢再关于什么？在关于 x 轴对称， 对吧？所以呢，这里啊，这条线跟这条线就是关于原点对称了啊，那么你这个是单调增的，我这个一定也是单调增的 就可以了，所以答案呢选的是 d 是 吧？啊这道题目还是有一些啊，需要我们去个学习的。呃这个地方的啊，这个以后呢，我们就是会发现这些小零件啊啊，经常会用得到好这个题说到这里 下面我们进入三啊，这个可以说是四大特性里面最为重要的哈，叫做极有性的啊，因为极有性的考察啊，虽然是能够呢。呃第一题目好出 啊，第二呢，它具有这个对称美啊，这个在处理呃这个问题的时候呢啊，一般是从定义出发， 如果 f 负 x 等于 f x 乘偶函数啊，这个不用我啰嗦啊，如果 f 负 x 等于负的 f x 乘极函数啊，当然前提是对称区间啊，这必须是定域。是关于原点对称的啊，这一点大家要搞清楚啊， 不是说一定要是整个的区间都成立，但是他必须关于原点是对称的区间啊，这个就可以了啊，那么同样刚才说过了啊，偶函数关于 y 轴对称，极函数关于原点对称这个基本概念啊，这个不难的，好像大家这个都会背的， 怎么做题啊，怎么做题就得看什么样的原材料啊，大家注意啊，我慢慢的会引导你啊，讲如何做题，想要会做题两个因素，第一你得有原材料 啊，什么叫原材料，就是我们现在正在学习的各种各样的数学知识啊。第二个你还得有烹饪的技术啊，你得会炒这个盘菜，这样的话才能够得到最终的那个一个好的啊，这个这个 菜肴是吧，菜肴肴不会写自己写啊，就这到啊，我们可以有这个就是原材料要好，技术要好。哎，你这样炒出来菜才是好吃的是吧，才能达到会做题的这个目的啊，目标。 好，我们看一下。注啊，那我们继续来看原材料前提定义，关于原点对称啊。第二个，我们要熟悉一下些基本类型， 你从定义出发，这个是没有错的，但是你不能只记住定义那个，对于我们准备原材料啊，我不是不是优秀的原材料，对吧？什么基本类型呢？第一，你看啊， 凡是小 f x 加 f x， 只要定义观圆点对称， b 是 偶函数，你看是不？来了，这是谁？各位， e 的 x 次方加上 e 的 负 x 次方，他即使不除以二，是不是也是偶函数 啊？除以二是什么原因呢？因为这是著名的什么悬链线，大家记得啊，你可以不知道他的名字叫双曲鱼弦，这不重要啊，你可以不记他的名字，但是呢，你要知道图像长这个样子啊，这是个函数，我跟大家说过啊，好，再看这个，你看，你看这个， 这看着挺复杂的啊，但实际上是不 f x 加 f 负 x 啊，大家看的很清楚，而且都带平方，说明这类 x 是 正取的啊，它定义域是无穷到正无穷啊，所以定义域关于原点对称没有任何问题。 o 函数 是吧？ o 函数像这些东西大家很熟悉。好，再来，你看这个二，你凡是遇到 f x 减去 f x， 只要关于原点对称，必是极函数。 好，比如说这个表达式，但是很清楚了，二分之一的 x 减一的负一次幺，对不对？这个表达式我们前面讲过了啊，名字不重要，我再说一遍啊，这个不重要啊，这个呢，是双驱正弦是吧？双驱正弦， 呃，他有一个反双驱正弦啊，大家记得烙印 x 加根号 x 方加一对的啊，你们把这个表达式记住就行，好不好？记住 这个啊，给大家解释一下，如果这个也除以二，这是二分之一 loan 一 减 x 分 之一加 x 啊，这个是反双趋正切啊，我说了啊，名字你不需要去记啊，那二分之一也不要他，我就写成这个了， 大家注意看啊，这是什么呢？很好，我们前面讲过，绕引 a 比 b 等于几？很好，绕引 a 减去绕引 b， 大家如果把它拆成这个，就写成了绕引加 x， 是 不是减去绕引一减 x， 显然不也是奇函数吗？看到没有也奇函数，它的图像啊，大致也是这样的， 大致也是这样的，是吧。所以呢，你知道这个是极函数啊，极函数，同学们一定要做好准备啊。就是你，你看考研啊，试卷上从来不会问这个函数叫什么，也从来不会问这个函数叫什么，他不管你叫什么的，但是你要知道他的什么。哎，知道他的性质， 这个是重要的啊，命理老师出题，他一定会挑这些重要的典型函数啊，他不需要你知道名字啊，那个是形式主义是吧，但是他需要知道啊，需要你知道这些函数的性质，他才好出题啊。 好了，接下来这一条呢，呃，我们知道是一个重要的一个结论啊，也可以叫一个定律了。任何一个函数啊，那么如果令 u 等于二分之 f x 加 f x， v 等于二分之 f x 减 f x， 我们知道这个，我刚才说了，就是偶函数了，这个呢，我们知道这是极函数了，而任何 f 呢，都能拆成这一项，加上这一项，对吧？也就是说任何一个函数都可以拆成一个偶函数和一个极函数的和， 所以从这呢，大家也可以看得出来一个这个函数的一个本质的属性啊，任何一个函数都是一个极函数和一个偶函数叠加出来的啊，也就是说，即使他是飞机非有函数，你听好，即使啊，他是飞机，非有函数，它里面也有 关于圆点对称和关于 y 轴对称的。呃，这个内在在里头啊，它的合成起来之后呢，它就没有关于圆点和 y 轴对称了，有可能是这样情况，是吧。所以大家知道啊，任何一个函数都可以写成一个奇函数和一个偶函数之合的这个形式 啊，这个呢，我们在这个概率统计里啊，有时候也会用到一些这个方面的知识，包括最大最小值啊，这个以后呢，我们做恒等变形的时候再说啊。 呃，不喧宾夺主啊，我们这里头主要讨论的是，呃具体函数啊，或者抽象函数的极有性，我们继续来看啊三， 如果是符合函数啊， f 否啊，你看符合函数又有用了啊，我们的总的原则啊，内偶则偶，内积同外。什么意思呢？就说内偶，如果里层是偶函数， 这不用犹豫，不管外面是极函数还是偶函数啊，我们这个都是偶函数，看到没有？然后内偶则偶呢？如果里面是偶函数，外面即使非极非偶， 他这个结构也是偶函数啊，那清楚的就是内偶则整个的是偶函数，懂了吧？这是内偶则偶，内积同外，里面是极函数啊，那么同外，那就是外边是偶函数，他就是偶函数，里面极函数，外面是极函数，他就是极函数 啊，那是这个结构啊，大家把它搞清楚，好吧。啊，这个是我们说的这个情况，比方说三 x 方啊，你只要看 x 方就行了啊，里层是偶函数啊，那么就内偶则偶了啊，说是偶函数了，对吧？你比如说三 x， 然后呢？是可三啊，里层的话，你看的很清楚，这是极函数啊，呃，就是内积同外，那就看外面，他是偶函数，那么整个就是偶函数， 懂吧？就这个意思啊，那就比如说三 x 的 绝对值啊，那这个是极函数了啊，极函数就是内积同外啊，那你看外面这一层，外面这层是绝对值，那这是我函数了，所以呢，这个是我函数啊，这个把这个搞清楚啊，就行了。你比如说这个三什么 x 分 之一， 大家知道这个 x 分 之呀，这是极函数啊，那么极函数呢？就是说内积同外，看外面的三一，三一是极函数，所以这个就是极函数。好吧。啊，就说这么多，你在比如说举个例子， x 绝对值，再取幂幂啊，这个呢是偶函数啊，所以不用犹豫，不管外面是什么，这是偶函数 啊，等等吧，所以这些个方法掌握住了，这些函数是极函数还是偶函数呢？大家可以一眼看出来的， 要很熟练。好吧。第四一个特色看到没有？这个是我们前讲过了，是吧？这是前面刚讲的反双曲这个与这个正弦反双曲正弦函数啊，前面讲过了这个了啊，这个是双曲正弦啊，我们这反双曲正弦 啊，反成正形的图像，你要记住，它是这样子的，它的导数是不是，你看是这个表达，是吧？哎，我能问大家，这是什么函数啊？哎，这是偶函数啊，显然这是偶函数，是吧？哎，哦，它是奇函数，奇函数求导得到是个偶函数， 这是具有普遍规律的还是一个特例呢？答，普遍规律。看着啊，这两个呢，我们现在没法证明。 我先跟你讲啊，我们把它列出来，讲出来，让大家先增长一下见识，后面我们再去讲证明，请听。好啊，一个可导的极函数， 求导之后必是偶函数。哎，如果一个函数是偶函数啊，可导求导必是极函数，极函数再求导必是偶函数。也就是说，我告诉我们， 只要这个函数可导求导一次，极偶性就互换了，能懂吧？他本来是奇函数，求导一次就变函数。 他本来是偶函数，求导一次就变奇函数。这是一个非常有意思的啊，重要的结论啊，我们到第三讲的时候再给大家去讲啊，这个内容啊，到第三讲的时候再给大家去讲啊，他这个内容上， 这个情况，我这里可以简单的用啊，术语型啊，我简单给大家解释一下啊。呃，证明啊，总是枯燥乏味，抽象的，但是呢，树形结合起来，有可能大家就理解上呢，就会很深刻。 好比方说，我们画一个图啊，你比如说我举个例子啊， f x 是 为在一负一到一的一个极函数啊，比如说，这是负一， 这是一，是吧？啊，这是 y， 等于 f x 了啊， y 是 x 的 三次方，对吧？ 那么他的这个图像是什么呢？他的这个导函数啊，大家现在看的很清楚了啊，如果你会求导 y 是 等于什么？三倍的 x 的 平方 y 的 导数，对吧？那显然呢，这是有函数了，是吧？但是呢，我们想理解一下，为什么 啊？他怎么对应的啊？让大家看的很清楚啊？就是说，呃，导函数呢，他的值是函数在相一点处的切线斜率啊，你比方说很简单，这个点在原点处啊，这个切线是水平的， 所以呢导数值呢？就是零，看到没有？然后呢，这边如果说啊，大家看啊，如果这边的切线啊，你比如说在这个位置切线，跟这个位置切线，这样的切线啊，显然是平行的，为什么平行呢？因为它关于圆点对称啊， 所以这点的切线斜率跟这点切线斜率呢，是相同的啊，所以他是相同的啊，都是相同的点， 对吧？然后呢越往中间走，这个越平缓一些啊，这个平缓一些，所以呢那个相应的值呢？就小一些啊，就小一些，对吧？然后呢一直切线，那看着啊，这，我这个，这个，你看像这把刀，是吧？这样切切切，你看这个斜率是不是越来越小，越来越小，看到没有？最后变成零 啊？那这边也是呢，你要从一这个位置看呢，他的切线斜率呢，是越来越小，越来越小，越来越小，你看走到零的时候，哎，他变成零了，是吧？所以呢他从这边过来呢，是从大一直变越来越小，越来越小，是吧？大家，然后这就小，然后这边呢，如果从平的看啊，你要从这看的话呢，他就从平的，然后 越切越大，越切越大，斜率越来越大，对吧？所以这样的话，那就变大了，对吧？那果然也属于这抛物线的这种类型的，所以极函数求导变成什么？各位哦，函数 懂我意思吧啊，所以我们从这个竖形的这个角度上来理解呢，也是可以的啊，这个严格证明，我们到这个立体三点一呢，再给大家去讲 第六个，那么这个呢，大家也记个笔记了啊，我们这个键立体九点，这个二三， 大家看九就知道啊，第九讲啊，所以更远了啊。我就提一句，好吧，就是如果小 f x 是 可极的啊，极函数，那么他的变现积分零下线的变现积分必是偶函数 啊。呃，如果他是偶函数，他零下线的变积分必是极函数啊，这个呢，我们到后面说了，当然，我这里说到这呢，我就提一句哈，为什么要五和六打星呢？因为这门课再说一遍，叫什么叫微积分啊？ 高等数学叫为积分，所以我们不仅要考察大家在中学数学里面的函数的极有性，我们还要考察的是，对了，函数的为分形式， f 一 撇 x 和积分形式，积分 a 到 x， f t d t 啊， 导数形式和积分形式的极有性，这个是我们的任务所在，也就是这门课程他本身就是在研究这些的啊，所以这个内容都非常重要的，也可以这样说，那考研必考的内容啊，必考内容。 好，接下来看七啊，我这个七写的呢，实际上是一个，就是就是例子了， 对任意的 x y， 如果都有 f x 加 y 等于 f x 加 f y， 则 f x b 是 极函数 啊，我们就紧接着来看例题一点八，好，我们来看例题啊，我的意思啊，很清楚，除了前面我们要自己啊，在考前准备好的这些个重要的一些结论啊， 重要的法则啊，怎么判就行的法则啊，重要的法则啊，重要的一些结论啊，重要一些例子啊，等等，有些时候啊，还得现场推，比如说他这种，他给了你一个啊，这个等式，这个横等式了，任给 x y 都成立的， 那么你来证 f x 是 奇函数，那么这个时候的话呢，大家往往用什么啊？这个往往就是用定义法了啊，分析。 然后我们首先一条，是吧，任给 x y 都成立的话呢，我们先取零，对吧？啊，我们取 x 等于 y 等于零，我们立即可以得到呢， f 零加零就等于 f 零，再加上 f 零， 这非常容易就得到 f 零点零了啊，因为奇函数嘛，只要在原点有定义，必然是零啊，这点说清楚了啊，然后再怎么取呢？哎，很好，大家想到了，用定义法里面得有 f x 和 f 负 x 吧啊，所以我们如果令 y 等于负 x 啊，或者 x 等于负 y 都可以，对吧，那么就可以得到呢？这块 f 括号这里面写什么？各位，很好， x 加上负 x 就是 f 零了，它就等于，那么 f x 再加上什么 f 负 x， 对 的， f 零等于零，这刚才已经正过了，所以立即可以得到，这边不要动 f x， 它就等于把它挪过来，是吧？负的 f 负 x 啊，这没完毕，这是啊，得到了，它是极函数啊，极函数 啊，当然大家显然也会明白啊，哦，我这个不可能是单独的考题是吧？他应该是什么？哎，一个题目的第一句话 就是，有了这么一句话，他就怎么样呢？他就是个隐蔽条件，那懂吗？他不会说让你证明是极函数的，于是这个条件呢，就变成了一个隐含的条件了， 就变成个隐含条件是吧我们很多同学是因为什么这看题目不会做呢就是有些隐含条件啊他没有看的一个表达是能够从这推出函数的性质啊，这个也是我们需要训练的 啊，就你不要等着他所有的条件都是显式的告诉你他有时候啊很含蓄的啊犹抱琵琶半遮面啊他不是全都告诉我们的啊这一点呢大家是不是也要注意好下面我们看第四个内容叫做周期性。周期性啊 说 f x 定义是 d 啊，如果存在一个正数 t 呃对于任意一个在这个我的定义域 d 里头那么 x 加减 t 也在 d 里头是吧，且 f x 加 t 等于 f x 啊，称周期函数啊 t 是 为周期啊。呃大家注意啊这个 t 呢没有提最小正周期，但是一般说来啊我们都是呃默认啊一般我们找周期呢是找他的最小正周期是吧这个意思啊 画了个图啊在这是吧哈哈。哎什么意思呢就是他在每一个周期里啊是不是长得一模一样啊就这个意思是吧以前呢我都是手绘是吧那现在呢呃基础上讲呢升级版是吧就给大家把图都画出来了 啊我再手绘一下啊因为手绘出来的话呢他每次两两个人长得不完全一样是吧哈哈哈。啊不完全一样了哈哈哈。啊好吧就这样啊就这意思 我为什么画这个图呢啊我后面会告诉你啊有意思的事情你看啊我们前面说过这个定积分啊就是个面积是吧你看定积分是个面积的话那假如说这一个脸多大，就这块面积，你注意啊，只要 这个 a 到 b， 这个长度不变，你拿着这个往后走，看看这少半个脸，这是不多半个脸，这个面积是不还是那一个脸的面积？ 你不是，你这走到这这三分之一了，这边露三分之二脸，大家看加起来是不还是一个脸的面积哦，我们就知道了啊，对于周期函数来讲啊，他只要这个这个区间长度不变， 他的值永远是不变，你看他不管是怎么动，他夹的面积都是相等的，这就是后面的一个结论啊，所以有时候你看这个数域型啊，看个图形就蛮有用的，是吧，好，看一下注啊，看一下注， 这里头我说一下啊，如果小 f x 以 t 为周期啊，那么 f x 加 b， 这个 b 不 影响是吧？就主要 a 影响，那是以 t 比成 a 的 绝对值为周期的，这里 a 不 得零啊，这个这个大家清楚的，是吧 啊，如果 g x 周期函数，那么符合函数， f g x 也是周期函数啊，比方说 e 的 三 x 啊，这个考试也常考这个啊， 因为三 x 是 周期函数，听好了啊，那么 f g x 就是 e 的 函数方，那么它也是周期函数，对吧？大家看的很清，这个是以谁为周期啊，以二派为周期是吧？ 好，可三 x 方啊，因为可三 x 是 周期函数，那么 u 的 平方，它也是周期函数，对吧？而且大家知道，可三 x 方是等于二分之一加上 cosine 二 x 的， 对吧？那么这个周期是几呢？你又跳到这来看了是吧？那么这样的话呢，我相当是 q 三二 x， 那 么就相当是 a 是 二了，说 t 比二，说他是以派为周期的啊，他是以派为周期的，是吧？这个呢，是以二派为周期的，像这些判断啊，大家应该啊，就很快能判断出来。第三， 你看这个，我也来给你说一个啊，以 t 为周期的求导函数求导之后还以 t 为周期， 你看这个结论多么简单，你把它记住。我们前面讲的啊，可导的奇函数求导变偶函数，可导的偶函数求导变奇函数，是吧？大家，这这里呢？周期函数不是可导的周期函数求导还是周期函数，且周期不变， 他的证明，我们通通要等到第三讲再去给大家讲啊，但是结论呢，大家是把它知道啊。第四一条啊，这个当然也到第九讲，看到没有？到第九讲去了，说，如果函数以 t 为周期连续函数，呃，他的变现积分是不一定以 t 为周期了 啊，只有增加这一条，就是他在一个周期上的积分值等于零时，那么他的变现积分还是他的 e t 为周期的周期函数啊。像这个内容啊，我想还这两条，三和四都要打个星，但是这些内容呢，我们都要留在第三讲和第九讲再去给大家讲啊，这个没有办法， 但是你也注意啊，为什么我记住三角这样写，我是有利于大家整个学完一遍之后的复习，是吧，因为这个不可以割裂开来啊。作为考验来说，命题老师，他脑子里面是四个结论， 你能听懂啊，他有四个结论，拿着四个结论出题。可是呢，如果你的书是拆开的 啊，就一在这，二在这，三和四跑的，三跑第三讲，四跑第九讲去了，你把它割裂开来了，你就难以形成一个，哎，完整的解析思维，明白了吧，所以我把它放在一起呢，是有意义的啊，希望大家整个学完之后呢，一定要稳固之心，要回过头来再去看。 好，我们简单做一个例子啊，例题一点九，设 f x 满足这样的一个关系式，证明 f x 以 t 等于二 pi 为周期 结，这个应该很简单了啊，题目给了一个关系式啊，用好关系式，而他说的，呃，证明他是以二派为周期的，这显然就是一个非常简单的提示了啊，那二派吗？我们就写一下了， f x 加上二派，对吧？大家啊，你要证明他，等等等等等等，最后等于谁等于 f x， 这不就可以了吗？这叫定义法是吧，然后中间怎么样？中间填空就行了是吧？哎，填空会填，老老实实写，不会填，写什么。答的好，谢然啊。哈哈，谢然，等一趟啊， 树也要有保持自己的气势啊。开个玩笑啊，好，我们把它算一下啊，它等于几呢？那你把它带进去了，所有的 x 写成 x 加二派，对不对？大家，那么这样的话，它就等于，那么就是 f， 那 么这里是 x 加二派减派，所以 x 加上派， 再加上三，那就是 x 加上二派，对不对？好，大家注意看啊，对，很简单的意思啊，当我们写到这步的时候呢，这个三本身就以二派为周期，所以他还是谁呢？他还是三 x， 这个不用管他 啊，这一项大家注意啊，当你写成 f x 加派的时候，请注意啊，你这里的 x 是 不是就换成 x 加派继续写下去了啊， 他对这个这个关系式啊，要充分利用啊，当你写一步做不完的时候，做不出来的时候继续写啊， 听好了啊，这里的 x 写成谁 x 加派啊，这样他就等于 f 括号念，这是 x 加派，减派，是不叫 f x 啊，再加上谁，那么撒引，这里的 x 写成什么 x 加上派， 对了吧？啊，那我写到这了，大家明白了，是不是再加上这个三 x， 那 加上这个三 x 是 这意思吧？啊，好，那你看啊，这里面我就知道了，这个三 x 加派啊，既变偶不变符号，看象限，你看的很清楚，这个是谁，是不是负的三 x 有了公式啊？啊，因为这个派加上把看锐角第三项线是负的了，是吧，这样的话呢，他俩是不是约掉了，是不是就等于啊，等于是吧，等于 f x， 懂了吧？啊，这样的话就出来了啊，所以他以二派为周期啊，以二派为周期啊，大家显然也会知道啊，这样的例题呢，他不会是一个 啊，这个这个实际的独立考题啊，这也是什么？各位，很好，就是一个大题的一句话，各位，这只是一个大题的一句话而已，那大家想想看，这个考试是不是不给这个了， 对吧？他就讲小 f x 满足这个关系式是不？你自己推出来，他以二排为周期，你能推得出来这个叫什么呢？这就又成为一个什么隐含条件了， 对吧？大家啊，你不知道拿它能推出一个周期性，那么这个题目你也解不下去了。

好，下面来看看这个第四章一元微分学的计算。第三章呢，咱们学的是这个一元微分学的概念，里面呢，咱们主要学习过这个什么导数定义里面或者判断一点的这个连续啊，可导以及导函数连续性的问题。那么第四章咱们学这个微分计算。 那先这个利用咱们的导图给咱们回忆一下里面大概涉及到的解例题型啊，比如说里面涉及到主要的一个负额函数的求导，出了很多题，当然呢，这个里面出的题难度还好，不算难。然后就是一些特殊函数的求导， 包括什么绝对值函数，分段函数了，反函数，引函数，参数，方程，变现积分，当然变现积分在基础题里面没有，因为咱们没没学这个积分在强化里面会有。然后呢就是高阶导数， 高阶导数的三种方法，做题的三种方法，规范法，莱布林斯公式和泰勒展开。说完这个呢，咱们再来具体的看题目，第一个题，第一个题就考察一个负函数求导就可以了， 所以你把这个 h 给它求导一下，然后呢把里面的对应的这个 g 撇了， h 撇给它带进去，最后算出这个 g 就 可以了， 只要明白公式就可以。这个没有什么太多说的以及注意的，然后在同类型的题呢，有四九十，当然这个第四题它是一样的，就直接套这个负函数求导就可以了，没什么太多说说的。然后九题呢， 九题也是这样子，负函数求导，只不过九题，注意的话就说你求这个 f 撇边以后呢，它不是会出来 f 撇吗？然后再利用这个 f 撇和 f， 它是等于 f 的 平方的这个关系呢？再给他呃替换一下就可以了。 然后第十题和这个第九题其实是一个题，只不过可能给你的这个呃 给所求的点不一样，其他都一样，这几个都一样。 然后负 n 函数求导，一般就这几个题，这个就说完了，哎，对，我应该还忘了一个题， 第六题，第六题这个地方注意的话，就是涉及到这个 len 这种函数啊，比如说 len 里面是比较一大块的， 那你就得先用这个对数计算，给他化解成一些常见的这个简单的这个负函数，再进行求导，这样会简变一些，不然的话你直接算他的这个负函数求导的话会麻烦一点。就这个题我记得还有这个题， 那这个负函数求导就说到这里，然后第二个的话，他求一个 f 撇 e， 是 吧？如果说你看你拿这个地方，你去求你给他，如果说看成这个 n 项成绩的求导的话，用兰博尼斯公式，那很麻烦，但这个题的话，我们怎么去算会好一些呢？ 用导数定义，因为用导数定义的话，它这里面有个特点，这个把 x 等于 e 带带到第一个里面，它等于零，但你带到后面呢，它就不等于零了。那你这个数用导数定义的话，就相当于什么呢？后面的极限它不等于零，你可以先带进去，算出来， 选这个样子，然后再算最后这个极限就可以了，就这个这个题， 然后第三个就是这个绝对值函数以及分段函数求导。绝对值函数求导，关键就是看你怎么把这个绝对值给它去掉，有时候用这个把它化为分段函数去求，有时候不好化的话，就给他进行一个改写去进行求。像这个题的话，他不好的话， 因为什么呢？因为咱们不知道他具体的式子，你分段，那么你这个时候就给他改写成这个根号下 f 的 平方 去进行转为一个负函数求导即可。这个是需要大家积累的，大家刚做的话可能对这个不太清楚，当然这个知识点的话，章鱼三者讲上也是说过的，说过的。 然后这个这个方法实际上就相当于什么呢？它这个 f 是 可导的，那就说明它是连续的，它是连续的话，然后这个 f 零是等于负一的，那就说明存在一个领域呗，它这个零的某个领域它都是负的， 弧化了一点问题，它都是负的，那你这个时候你在求极限的时候呢，它就是一个非常小的一个领域本，那这个时候其实这个绝对值值 f x 减一就可以给它，它就是个负的，那去掉绝对值的话，就可以加一个负号就可以了，就这个。 然后这个呢是反函数车道，这反函数车道就记住一个反函数车道公式就可以了。一阶导的话，它跟它这个原来这个函数 dy 比 d x 呢，它是互为相相反数的，互为倒数的，不是相反数倒数的。 然后第七个参数方程求导，参数方程求导其实其实也也不难，就把握住这个公式给大家进行算就可以了，无非就是这个里面 y 的 这个参数方程呢，它是一个引函数啊，就对这个方程两边同时求导，然后再解出来就可以了，就是 这个。然后第八题，第八题的话，为什么给他标了一个绝对值函数呢？那是因为这个，其实如果说他这个关键问题在处理上，他不在于参数方程，而在于这个绝对值怎么给他去掉，对吧？给他去掉就好算了。 其实这个如果说你给他去掉以后再分段的话，就会写的很多，但是我们发现啊，这个去掉以后， 他好像能给他和和到一个 f x 厘米，这样计算就会少一点，因为你后面要算二阶导的问题嘛，所以说能合成一个 f， 一个 y 和 x 的 这个分段函数会更好计算一点。合成和和到这一步以后，其实后面的计算的话，就和这个咱们前面第三章所学过的这个 题型是一样的。那你就判断这导数存在不存在啊，连续不连续啊，导函数连续不连续这类问题，一接导二接导，这就都好算了，这就没什么太多需要注意的，只要保证这个极限不要算错，然后一开始的这个公式列对就可就可以了。 然后十一和十二，它是呃，十一的话，再考察一个高阶导。高阶导，那高阶导的话也是咱们一个常考题型啊，这个题其实也不算难，就方法呢， 也也就两三种。然后呃类型呢，也不多，比如说咱们看这个，这个给他一个 f x， 它就由一个 x 平方乘一个零一减 x， 然后求什么呢？到 n 大 于等于三十，它再零除的 n 阶导， 那这个题呢？求 n 加到的话，咱们可以考虑用这个泰勒，有时候也可以考虑其他的。但这个题的话，为什么考虑这个泰勒呢？因为我发现我只要把这个零一减 x 给它展开，然后找 x 的 n 次方前面的系数就可以了，我展开它也不难呀， 对吧？然后再一比对系数就可以了。然后这三步的话，就泰勒做的一个标准步骤，第一步就是说任何一个 f x 都可以展开成这个密函数， 然后第二步就是具体的一个函数给它展开，因为它是求这个 n 阶导嘛，所以说找 x n 次方的系数，然后前面又有 x 平方了，所以说我这个地方只需要 x 的 n 减二次方就可以了，这样找出来系数呢，在这个数和这个具体的系数 一一相等，然后就写出这个就可以了。然后再对比一下十七和十八的区别， 然后十七和十八也是一个高阶导，但是呢，它求的不太一样，它求的是一个五阶导，十一阶导，并且求的点是什么呢？它不是零点，它是一和一，两个都是一。你这个时候再选用泰勒公式的话，你就得展展开成什么呢？ x 减一多少次方？ x 减一，二次方， 展开的五次方，找前面系数，但是我发现这个不太好，不太好变成 x 减一啊， 所以说不太好变成的话我就不太考虑这个，太乐了。但我又发现什么呢？又发现我这个 x 平方乘以后面这个，然后这个 x 平方呢？我求给他求两次，他就没了， 他好像我直接用这个兰布尼斯也不麻烦，我就求先先不求他，然后后面求，求这个五次，他不求，然后再他求一次，后面求四次，然后再 c 五二，他求两次，后面求， 呃，三次就可以了，然后再求三次的话，他就变成零，然后直接就可以算出来了。就这个下面这个又又有什么特点呢？下面这个特点 他他是什么呢？你把这个一啊给他带到这个 f x 里面，他得零，对吧？他得零，如果说你前面求到的话，你给他求的是一二一，一次两次，他一直有这个 x 一 减一的多少次方，他始终是零， 所以说我如果想让他不是零的话，那我我就重点把里面关键部分给摘出来就可以了，不被零的摘出来，那就是把这个 x 减一的十次方给他求十次，对吧？后面求一次即可， 如果求十一次的话，它也得零，所以说你不能多，也不能少，刚刚就只能是十，那么就可以算出来这这里写的特点。 然后下面再看这个十三，十三的话，所给的 f， 它也是一个极限定义的函数，那你就先求极限就可以了，然后再求到。其实这这类问题咱们就怎么求 f 咱们就不多说了，并且这个里面呢，它没有这个 错变的情况。然后十四题，十四题也是一个，呃，给他一个 f， 他 是个最大值函数， 那你就把这个给它写成分段函数，然后在这个分段点处呢，用导数定义求各自区间上呢，你就用这个求导公式求就可以了。 然后十五题，呃，这个切线和截距也是，只不过给的是个参数方程，然后你就利用这个参数方程呢，把这个导数给他求出来，然后再求出对应的点就 ok 了。 然后十六题也是个参数方程求导，只不过呢，他求的是个二阶导，那一阶导咱们会求了，二阶导怎么求呢？二阶导是不是就相当于把这个一阶导给他再对 x 求导呢？但是这个一阶导的话，他是代替的，我如果想让他对 x 的 求导， 那我就先让他对 t 进行去导，然后呢再 x 对 t 去导就可以了。这他这个逻辑啊，至于那个公式的话，其实也不需要记，你自己写一下这个就可以了。 然后这一张的题目其实我感觉还是前前这个四张比较好做的，因为这一张纯计算，基本上就只要把握住这个计算方法就可以了。

再看这个第十题啊，给出 f x 分 段函数，那基本上是要考哪里呀？是要考这个分段点它的一些性质。那 a 选项不连续， b 连续不可导， c 可导导函数不连续， d 可导导函数连续。 这种题呢，这个不要从最弱的那个概念入手，就是连续不连续啊，应该直接奔啥？直接奔可导不可导去研究，因为一旦可导了，那肯定是连续了，对不对啊？那我们怎么知道可导不可导？用导出定义，先写零点的诱导数，那就是 f x 的 减 f， 零除以 x， x 的 取零。正 这个时候呢， f x 用哪一个？那关键是要用清楚哪一段是吧？ f x 应该是用大于零的那一段，就是第一段，就是这个三次方乘三 e f 零，那在哪里啊？是不是在零这个点？那不刚好就是零嘛。看第二段就是零了。好了，这样一约分变成平方乘三 e， 那么这个平方乘三一的极限是怎么算？大家看平方在零点是不是叫无穷小，对吧？三一，你别管三一几，三一肯定是有界，正负一之间嘛。所以前面是无穷小，后面是有界，二者相乘呢，肯定是零啊，这是我们的重要性质之无穷小乘有界。别忘 好了，右导算完了再去算什么？如法炮制算它的这个零点的左导啊，那就是 f x 减 f， 零除以 x， x 呢，从零的左边跑过来，那这个时候呢，是关键是要弄清楚这个 f x 用哪一段， 这个 f x 呢，是不要用比零小的，这一段就是第二段 x 的 方了。所以呢， f x 用 x 的 方， f 零还是零除以 x 一 约分即减是零。 那这样的话呢，右导左导都是零，立即回答他干嘛？他是有导数的导数存在啊。所以这个题呢，在零点一定是可导的， 而且导数都算好了，就是这样，就是这个零，那你在零点可导立即推，你在零点必干嘛？那显然，那你在零点必然是连续的，因为可导必连续。那这样的话呢，就既解决了连不连续，又解决了可导不可导，这样比较方便。但是呢，还没有解决这个题， 因为这样的话呢， a 肯定不对了， b 肯定不对了，那 c 可导， d 可导，这都是对的，到底是选 c 还是选 d？ 得再看啥？看逗号后面导函数连不连续，看导函数连不连续， 那么导函数连不连续，这要看什么？要看导函数的极限，所以得干嘛先求出导函数？那你看零这个点的导跟小于零的导来吧。那如果是比零大这个导，那怎么求？ 那比零大的倒是不直接拿这个分段函数第一段来去求，就是这个乘法啊，按照乘法公式，前倒后不动，前不动后求倒，求出这个倒数了， 那再来，如果是比零小，他的导又该怎么求？那大家知道，你比零小的话，这个导拿分段函数第二段 x 的 方求到二 x， 至此就解决了这个分段函数所有点的导，是吧？比零大的导，比零小的导，以及零点本身的导。求完导之后，那看连不连续？ 看连不连续，要看啥？要看极限啊，要看什么呢？要看导函数它的极限，它的什么极限比零大，右极限比零小，左极限是不看两个。先看右极限，导函数的右极限是拿这个比零大的这一段就是这个三倍的减，后面这个极限， 那这个极限怎么算？用四得一算，把它拆开，那减号前来一次极限计算，减号后来一次极限计算，这两个极限都好算，怎么算？这不是无穷小乘上三一有界，这不是无穷小乘上口三有界。所以这个结果大家一算，肯定是几，肯定是零 啊，因为他们都是无穷小，是不是？乘上有界？好了，导函数的右极限算好了，再算什么？是不是再算这个导函数 f 一 排的左极限，拿哪一段？拿比零小的这一段， 那就是谁二 x， 那 显然二 x 这个结果一算是几啊？那这个结果一算显得等于零吗？那这样的话呢，就算好了，这个导函数的极限右极限有，左极限有，都是零，而且呢，它的导数导数值也是几， 导数值也是零，对不对啊？你看导函数的右极限，导函数的左极限，导函数自己算过的都是零，那这样三者相等，那就说明什么？说明被定义，那就说明我们这个导函数它就干嘛了？ 说明这个导函数他在零点就连续了，故，那证明完毕。所以导函数下结论在零点是干嘛的？他在零点是连续的。 所以这个题啊，那就把这个自己连不连续，自己有导没导，以及导函数连不连续全考进来了。特别是什么呀？特别是这个，呃，导函数 f 一 撇连不连续比较糟糕，得干嘛？得？先求出导函数 在干嘛？在分析导函数的极限，右极限，极限，左极限，跟他自己的值作比较。如果像今天三者相等，那就连续，如果三者不全等，那就不连续，就这个意思。好，这是一个比较啰嗦的讨论题。再往下看，第十一题 说 f x 具有一节连续导数，给出 f x 的是 f 乘以零，这个是是 f 在 零点可导这个事的什么条件？ 这个题呢，他研究的是 f 可导不可导，所以呢，我们答案上就是盯着 f 用导数定义做，其实呢，没有必要这样做。大家这样来看，你这个 f 是 怎么构造的？是 f 乘中括号，你想想，我把这个 f 乘进去，我把这个 f 乘进去， 你如果用分配率乘进去，你会发现这个 f 是 f， 然后呢，再加上 f 乘绝对值，那这有什么好处呢？哎，好处就出现了哪里呢？我们已经知道啥了？ 这个题目第一句话是不是已经说了，否是干嘛？否已经可倒了？大家想，那第一项已经可倒了，那所以整个 f 有 倒没倒？整个 f 什么时候有倒没倒，取决于什么？取决于第二项， 因为四德运算嘛，是吧？可倒加可倒就可倒了，可倒加不可倒就是不可倒了， 所以 f 可导不可导，完完全全被谁所决定，被加号后面这一项所决定。所以这样的话呢，你的原题是研究 f 的 导数问题，我就转化成什么这个后边这一块的导数问题。这样的话呢，做起来简洁， 大家得学会啊，一种转化思想对不对啊？要想做这个件事，可以把这件事转化成另外一件事，可能另外一件事要比原先这件事做起来简洁，就这个意思 好了，所以就把研究 f 的 问题转成这个加号后，就是 f 成绝对值。那怎么研究呢？来，这样把这个 f 成绝对值，大笔一挥，写成什么呀？给它写成这个小 g， 那 么就把这个相乘嘛，相乘写成小 g， 那研究小 g 有 倒没倒，研究小 g 什么时候有倒没倒。那怎么研究？用定义来写小 g 的 导出定义， g x 的 减 g x x 的 区域零，那 g x 的 就是这个乘法，这个乘法，那 g 零是几啊？那 g 零肯定是零了， 这 g 零就不用说了，因为他有捞一嘛，捞一一肯定是零了嘛，所以这个 g 零，那这点就是零了。好了，那这样写好之后呢？来分析这个极限。怎么分析？等价吗？捞一一加 x 等价于什么？ x 的 绝对值找超。那么带有绝对值要分啥？分左右？那你想，如果是什么右极限 来给他取零正零正绝对是脱掉约分剩个分，分的极限就是分零。为什么？因为分是可导，因为分是连续也，所以呢，分的极限就是分的值，这个是没有问题的。那如果是零左呢？零左的话，绝对是脱掉填符号那天格符号，那不就是负的分零了吗？ 所以这样的话呢，导导数，导数极限就算好了，那结果就是，呃，右导数右极限是反零，左导数左极限是负的反零。那显然要想导数存在，只有啥时候是不只有这两个相等， 这两个相等极限才存在，导数才存在，是不是这意思？那这两个要想相等，只有一种情况，那非零要想跟负非零相等，当界紧当，什么时候非零等于零？所以我们写一句话，只有什么时候是不只有非零等于零，这个话要想清楚，只有当界紧当充分必要， 只有非零等于零，是不才有极限存在，才有导数存在，是不才有这个？这个十一题成立，对不对啊？ 所以呢？做完了。所以他说 f 零等于零是可导的啥条件？那仅有只有这种话是啥？是充分必要是吧？只有 f 零等于零才有导出存在。 所以呢，这是什么条件？这是充分必要。那不做完了吗？所以这个题呢，应该是选择 a 选项啊，叫充分且必要做完了。 好，这是关于这个讨论充分必要的问题啊。看第十二题，给出 f x 已经在 x 零点可导了，又给出 x n 是 三也加上平方分之一，求这个大大的极限， 像这种已经可导求极限。我们在前面第一道题就说过要对这个极限横等变形，是吧？比如等价，比如展开啊，比如这个，呃，加减乘除，把它凑成什么呀？凑成这个点的导数啊，可能是他的多少倍。 这个题呢，首先把这个 x n 处理一下啊，这个 x n 呢，是三 e 加上平方分之一。我们知道加减法一个有利的手段就是干什么呀？就是做它的展开，所以我们可以把这个三 e 的 地方先用它的展开处理一下。那就是三 e x 吗？就是 x 减六分之一， x 三怎么后面无穷无尽不再展了？ 那么再加上这个后面的平方分之一，这样展好之后，你发现，呃，除了第一项，后面所剩下的都干嘛？次方是不是都超过第一项了 是吧？你看，这是三子方，这后面更高子方，这是二子方，所以可以干什么呢？可以把第一项留下来。后面的这所有项都是什么呀？都是第一项的啊，这个高子方高结无穷小，那这样的话呢，你看就写成什么了？是不是写成只有第一项 n 分 之一，后面都是 n 分 之一的？什么呀？高结无穷小，那这样的话呢？我们知道， 呃，就相当于说这个 x n， 他的泰勒展开手相是 n 分 之一，我们知道泰勒展开手相是谁，就说明跟谁等价，这是由泰勒到等价的一个逻辑。第一章我们就研究过，那既然手相是 n 分 之一，就说明跟谁跟 n 分 之一是等价的。 好了，这就研究好 x n 了，然后呢，开始分析这个极限，那么这个大大的极限怎么处理呢？那第一步容易想到，因为这个分母中有个这样，他有一个叫三 e n 分 之一的这一项，这一项显然可以干什么？做等价，那等价成什么？等价成这个 n 分 之一，等价好了之后，再怎么处理这个新极限 啊？怎么处理呢？那这有个关键的步骤，这个题，包括下一个题，都是这样做，把这个新极限，这有俩 f， 是 吧？ f 大 肚子是不在 f 大 肚子， 那要把这个新极限，这有两个 f， 把它拆开，那拆开做那减号前 f 除分母，减号后 f 再除分母，拆成俩，这是个关键的步骤。为什么能拆呢？ 为什么敢拆呢？因为它已经可导了。记住， f 已经可导的题，在做的过程中啊，基本上放心把极限 拆开做，拆成两个相加，拆成两个相减，往往是这样做。为什么？因为第一个极浅往往能够变成导数，可能是几倍啊，不管几倍吧，二倍，三倍，二分之一倍，那导数已经存在了，所以第一个极浅存在， 第二个极限往往也能变成倒数，往往是多个几倍吗？别管几倍、二倍、三倍啊，总之他是存在的。所以这样的话呢，我们就把上面这个极限给他写成什么，写成下面这个极限，就是这样给他从上就是把上面这个极限 啊，给他写成什么，写成下面这个极限拆开了。因为前面这个极限，包括后面这个极限，待会经过横等变形都能变成倒数的倍数，都是干嘛存在的？ 那怎么变呢？来，把前面这个极限给它减个谁？你看 x 零加 n 分 之一，再减个 x 零，是不是再除 n 分 之一就好了？所以第一个极限给它减一个什么去 f x 零， 那同样第二个极限呢？大家看这是不 f x 零加德塔最好再减个 f x 零，是不？第二个极限也给它减个 f x 零，那老师能这样减吗？人家也没说为零啊， 那不需要说为零，你想一想，这个地方多了一个 f x 零，这个地方呢？又给他补了一个 f x 零，那这样是不是你是负的 f x 零，这是负负取正，正的 f x 零。那你看，你补一个负的，你又添一个正的，这是横等变形啊，对不对啊？ 你你你，你相当于说减一个又加一个，你减一个加一个，那不是横等变形吗？当然是对的了。好了，这样的话呢，前面这个就成啥了？成了这个点的导数，但是后面这个地方还没有成导数。为什么呢？因为后面这个地方，大家仔细看它的增量是谁？它这个上面是负的 x n， 看出来没有？ 你这下面不是负的 x n 呀，你得上下长得一样，像第一个 n 分 之一， n 分 之一上下长得一样才叫导数定义。 你第二个上下长得不一样，不叫导数定义怎么办？变成上下长得一样来，第一个成功了就是谁啊？导数第二个没成功，上面是负 x n 最好，下面也是啥负 x n。 哎，这个太好了，这样的话是不上下就长得一样了，就能变成导数了，但你多个负 x n， 你 得干嘛？再乘个负 x n 是不？乘一个除一个横的变形，然后 n 分 之一找抄，这样的话呢，这个负 x n 就 相当于我们说的德他 x， 那 这样的话再往下走啊，前面这个导数已经出来了，后面这个地方上下长的一样叫德他 x， 那 这样就变成什么了？说变成我们说的这个导数定义的样子了， 那但多个谁呢？是不多个负 x n 除 n 分 之一，这个除法极限是几？回到我们的第一行，我们刚才就有说过了， x n 自己经过展开，经过化解，是不是就是 n 分 之一等价， 但首尾是等价的 x n 跟 n 分 之一等价。所以呢？那这个地方的谁呀？ x n 除 n 分 之一，二者等价相除为一，无非填个符号， 看到没有？所以这这个地方刚才已经埋下伏笔了，他俩是等价的，那他俩等价，他俩相处不是一吗？一前面添个符号，那这个点不就是负一了吗？看到没有，所以呢？导数照抄，所以导数照抄，所以等价相除是一填符号就是负一，一合并就是二倍的导数。 所以这个题啊，也是一个小小的综合，综合到处理 x n 的 能力，它来展开综合处理这个极限的能力，把它拆开四舍一算啊，把它凑倒数，抓好这个谁折腾 x 就 这个事 好，再往下。那下一个呢？啊？这个，呃，当然，这个题呢，还有个细节啊，这个十二题呢，不能这样做啊，不能对原极限直接使用什么？ 不能对原极限使用洛必达法则？这是初学者容易犯的一个错误，说老师他并不像我们这样做，有人直接把原题目上下求导，上下求导洛必达做，做的答案是一样的，但这过程没有分啊。为什么没有分？ 因为这道题他只说 f 在 这个点可导，如果你直接洛必达法则求导，求导洛必达要求在哪里可导？你回去翻翻基础三，只讲洛必达法则。洛必达法则是要啥？是要的， f 在 这个点的去心领域可导， 而题目给的是这个点可导，这显然不是一回事。你这个点可导跟去心领域可导这显然不是一个概念，对不对啊 你，你只给这个点可导，你咋做？应该像我们这样做，凑导出定义做。那如果是给去心领域可导，那你可以考虑啥洛必达法则了，所以要切记，洛必达法则要的是去心领域可导。这个呢，很多初学者没有注意这个事， 回去翻洛必达法则，他的要求要求零比零，无穷比无穷要求去心领域可导啊。是这样要求求导后的极限存在或者无穷大有三个要求，其中那个要求二就是我这个去心领域可导。你这个题只是这个点可导 啊。这个点可导跟区间任意可导不是一回事，所以不能落笔打这种题。好，那么再往下，你看下一个题也是这样，他也是给啥给这个点可导，所以下一个题也是干什么？你下一个题呢？你肯定也是不能落笔打法则，如果你落笔打法则，你做出来是错的，只是这个点可导， 怎么能落笔答嘞？又不是去心零一可导对不对呀？那，那怎么做？跟上一个题一样，用导出定义做啊？来，这是奇函数，我们知道你奇函数 f 零就等于零了，然后怎么办呢？嗯，奇函数这个就用到了奇函数直接推 f， 零等于零，然后怎么处理这个极限？跟刚才一样，把这个极限拆开做， 这不减号前来一次，减号后来一次。那你看减号前是谁？第一个 f 除以 x， 然后是五倍的 f 除以 x， 这个要学会把它拆开做，那就是把左边这一个极限啊， 这个用四的运算把它拆成什么？拆成这两个为什么能拆？因为已经干什么了？因为这个题目跟上个题说过了，已经可倒了。 这种已经可导的题目，那可以放心大胆的把极限写成两个，因为这两个极限通过待会的加工都能变成导数，无非变成多少倍，可能前面这个能变成二倍，三倍，后面这个能变成，是吧？五倍，八倍，总之能变成多少倍就行了。 所以我们认为这两个极限都是干嘛的？这两个极限待会一定都是存在的啊，都是跟导数有关。好了，来，我们试试变一变。第一个极限怎么变？能变成多少导数？哪个点的导数是不是零这个点？所以第一个极限这样变啊， 给他这样写，写着零加 t x 的 减零，是不是再除以 t x， 因为上下得长的一样吗？忘了吗？上下长的一样才叫什么？才叫导出定义吗？所以上面是 t x， 下面也得写什么，也得写这个 t x， 但是呢，你如果写个 t x， 原来只是 x， 你 得多乘个 t， 这里面 t x t x 相当于折腾 x， 后面这个节点更好变，减个 f 零除以 x 就 行了。为什么能减？因为 f 零等于零吗？ 好了，那这样的话呢，那前面这个极限通过横的变形啊，后面这个极限通过横的变形，这都变成啥了？都变成了零点的导数了。来看看第一个是多少？那第一个就是导数乘个梯倍， 第二个就多少，导数乘个五倍，所以导数乘梯倍，导数乘五倍，一合并就是导数乘梯减五倍，做完了，这不就导数定义吗？所以最终就最终成啥了？最终就成了这个导数的样子，无非是多少倍。 好了，作为填空题啊，这个题就做完了。但是这样做有一个小小的弊端，不太严谨。哪里不太严谨呢？大家看 你第二行到第三行，你做了一个事，什么事呢？是不是把这个 t x t x 当增量了？或者说呢，你把 t 干什么放到分母上了？大家都知道 t 放分母上， t 是 干嘛的？不能为零的 说。不能为零啊，你分母不能为零啊？ x 区域零， x 不是 零，这个是没有问题，但这 t 呢？ t 是 啥？这题目也没说 t 是 啥，那把 t 当啥？当一个实数看，当一个常数看 是吧？ t 完全有可能是零这个数，但是 t 也有可能是非零这个数。那如今你这样做，你就是建立在什么时候？你这样做的同学就是建立在这个 t 干什么？是不建立在这个 t， 他 不是这个什么？他不是零这个常数。 所以呢，屏幕上这个做法只是解决了啊，哪些 t 非零的那些 t， 比如提取一，提取二，提取负一，提取负二，那些 t 都能这样去做啊，放到分母上去做， 唯独解决不了谁解决不了提取零的那种情况，因为提取零不能做分母呀。所以呢，为了严谨，我们再干嘛再去单独做个谁？ 单独做个提取零，就这样来去做好，单独去做。提取零的时候，那你想，如果提取零的时候，这个极限就是咱们这个十三题，这个极限成了什么？那提取零第一项就是啥了？第一项就是 f 零了， f 零是零吗？这 不是 f 零是零吗？所以这个时候呢，来，那提取零原极限，那就这就是 f 零了，而 f 零刚才说过了， f 零这一项就没有了，那就直接是零了，那就原极限就成了啥？就成了负五倍的 f x 比上 x 了， 那这个呢？负五倍好做了，负五倍怎么办？把负五提走， f x， 补个 f 零除以 x， 那 这又成啥了？成了倒数。那这个时候呢？是多少？这个时候答案是负五倍的倒数了，不再是什么？不再是 t 减五倍了， 刚才是 t 减五乘倒数，现在是负五乘倒数。所以这个答案呢，应该写两种情况，只是巧了，这两种情况能合并。那你看啊，上面这个答案叫 t 减五乘倒数， t 是 分零的，大家想，如果这个 t 取零刚好是谁？ 你看这个答，就看这个答案啊，那提取零不刚好负五乘倒数吗？所以表面上看，这个答案应该写两种情况， t 不 取零的时候写这个答案，那么如果提取到零的时候，是不写负五倍的这个导数，这个答案 好像是两种情况，但是呢，这两种情况可以统一乘 t 减五乘上导数。你想想， t 不 取零，是 t 减五乘倒数， t 如果取到零，那这不刚好是负五乘倒数了吗？ 所以，看似是两种情况，实则能干嘛？实则能合并成一种情况，就是合并成谁啊，就合并成这个所谓的这个，这个 t 减五倍就行了，对不对啊？ 你 t 不 取零，写 t 减五，你 t 取到零，零减五，那不刚好是这个负五吗？那是完全一样啊，所以就是合并了啊，就是这样一个写法。 好，这是十三题啊，跟十二题道理是一样，要拆开，要学会凑导数。只是这个题呢，要分两种情况，只是最初呢，又把这两种情况合并到一起了，是这个意思啊。 好，再往下看。第十四题给出 f x 是 max， 这是什么分段函数啊？这个表面上是，表面上不是分段函数啊，其实是分段函数。要把这个逗号前二 x 跟逗号后 x 的 方是不分出大小，谁大取谁。 那我怎么知道这两个人谁大谁小？令这两个人相等，来令逗号前跟逗号后相等，在零到四内找到分界点二， x 再跟 x 的 方相等，那在零到四的分界点是谁？分界点不就是这个 x 的 取到谁，是不是 x 的 取到这个二啊， 所以以二为分段来开始。那这样， f x 由这个麦克斯这两个量找一个特殊值，比如 x 的 取一， 你小于二吗？ x 取一就行， x 取一，逗号前是二，那逗号后是一，是不逗号前大，那二到四之间，那取谁谁大是不？ x 取三看，那如果 x 取三，这是六，这是九，是不后面大，那不这意思吗？所以呢，以二为分界 啊，小于二谁大？二， x 的 大，大于二谁大？ x 的 方大。那就写好分段函数了好了。给出分段函数，然后干什么呢？他说这个分段函数在 a 点导出，不存在 问 a 是 谁。那你想想，分段函数要想出问题，比如不连续，比如不可倒是吧，比如不可微，那要想出问题，这个一般在哪出问题？是不？一般就在这个特殊点上，分段点上出问题。所以盲猜这个 a 点应该是哪个点？就是二这个点，那肯定是这样， 分段函数要想出不连续，出不可导，出不可微，往往就是出在哪，出在这个特殊点上，分段点上。所以盲猜就是二做完了， 但是你给验证一下啊，来验证一下，验证一下，的确是二。这个点二的左导数，那就被导出定义， f x 减 f， 二除以 x 减二。呃， x 从二的左边过来，那你看这个时候 f x 用哪一段？ 这个 f x， 那 它有两段嘛？要用是不小于二的这一段，就是二 x 嘛。所以来 f x 用二 x f 二，那就是你看 x 的 取到二，二，二的平方是四嘛？然后除以 x 的 减二，这一月份刚好是二， 所以左导是二，那右导呢？再被那就是右极限了。那这个 f x 应该用哪一个？是不应该用超过二的这个，那就是用这个 x 方这一段了，那用 x 方，那 f 二还是四除以 x 减二，这个一约分，那你看上面做因子分解，这一约分，那不就是四了吗？ 所以这样的话呢，呃，左导是二，右导是四，不相等，说明啥？说明导数的确不存在，那就哪个点？二这个点，所以二这个点的导数是不存在的，那二这个点的导数不存在，所以要找的就是找的就是二这个点。 好了，这是这个题，这个题呢，现在来看比较简单，实际上这个题可以编的复杂一点。怎么复杂呢？这样， 他原题目直接给了 f x， 是 这两个量取老大麦克斯。实际上呢，不需要这么直接给，你这样直接给 降低难度了，可以委婉一点啊，就是可以档次更高一点。这样来处我写了一个注， f x 是 不，题目给的是这两个量取麦克斯。那你这样给，大家都知道，就是这两个谁大取谁， 但是呢，可以把它编难一点。怎么给呢？如下形式给出，用极限。我这样说，我说 f x 是 啥？是 n 取无穷大二 x 的 n 次方跟 x 方的 n 次方开根号取极限。 哎，什么时候零到四， x 零到四吗？大家要知道，这个极限算出来就是谁，这个极限算出来就是这个二 x 跟 x 方这俩人的麦克斯。 这是一回事，只不过这样出就难了。老师，为啥呀？为啥这个极限就是这个麦克斯？为啥？为啥？别忘了三个字，我们在是吧这个基础三之讲啊，树立极限加逼准则就证明过这个结论。 什么结论？ a 取无穷大 a 一 的 n 字方， a 二的 n 字方， am 的 n 字方，开根号算极限等于啥？等于这些 a a a 里面的麦克斯想起来没有，对不对啊？这不就是相当于 a 一 吗？ a 一， 这不就是 a 二吗？ a 二等于啥？等于麦克斯， a 一 a 二等于麦克斯，这两个量这样出档次就高了， 这样出的话，考生得知道这个结论啊，得到这个麦克斯，而不是命题，老师直接给这个麦克斯 听到没有，所以可以把难度加大。这题啊，好，这是这个题目，那么最后再看第十五题，那你看第十五题，就是这种题，他怎么给？他并没有直接说 f 是 谁谁谁谁，而是干嘛用极限给，就像我这个刚才是不用极限给， 编一个巧妙的极限，你把这个极限算出来，就得到这个 f 了啊，你看这个十五题就是这样。 好，他说呢，这个 n 曲无穷大的，这个极限叫 f， 那 第一步，先把这个极限算出来，得到这个 f， 然后再分析 f 的 连续，再分析 f 的 可导。这个是个综合题。这个题啊， 那我怎么去算这个极限？这是对谁算？对 n 算，对 n 算 x 的 当啥？当常数，随便一个常数是吧？那这怎么算呢？大家看，这又考察了， 我们知道 n 取无穷大是正无穷大啊，这个咱们在以前就说过啊， n 取无穷，专指是正无穷大，这个没有负的啊， n 没有负的，那你想 n 是 正无穷， n 自己是正无穷，正无穷乘上 x 的 减一， x 的 减一是个数， x 的 减一是个数。什么数可以是正数，可以是负数，是不可以是零这个数。所以要想到什么了，又想到异得正无穷，则方是正无穷，异得负无穷，则方是零，就喜欢考这个东西。 所以呢，怎么讨论呢？这样讨论好来，如果 x 的 减一，这个数是大于零的，是正数，就是 x 的 超过一了，如果 x 的 超过一的话，大家思考一下，此时上面这个 e 啊跟下面这个 e， 那 就成啥了？这就成 e 的 什么什么什么次方了？缕缕， n 是 啥？刚才说了啊， n 自己是正无穷， n 是 正无穷。 x 的 减一，如果是正的啊，正无穷成正的，那不还是正无穷吗？ 正无穷，那不还是正无穷吗？这个时候这俩 e 是 不都变成 e 的 正无穷了？都干嘛？都很大很大。那你想你俩很大很大，那 a 跟 b 有 用吗？没有用，那五呢？没有用，抓大头这个时候，所以这个时候等于啥？就等于这个很大很大的去 做分子，这个很大很大的去做分子。此乃我们以前说的什么抓大头，就相当于这个五就没有用了。这个 a， 这都没有用了， 这不老大说了算吗？这俩绿的很大很大很大，这些红的微不足道，不要两个老大相处算极限， x 的 方，就这意思。 好，再来，那么再大家再看，如果这个 x 的 减一就是零呢？那就 x 的 取到一了， x 的 取到一的话，大家想这个极限是谁啊？ x 的 取一， x 的 取一， x 的 取一， x 的 取一。往里带刚好是谁？你看， x 的 取一啊， x 的 取一。这啥？这点就是零次方，零次方不是一吗？ 一 x 的 取一，这是 ab 照抄。呃，五照抄零次方，那不是一吗？那不六分之一加一加 b 吗？这个更简单。好，这是 x 的 取到一的时候再来，那如果 x 的 减一小于零，就是 x 的 小于一呢？如果 x 的 小于的话，大家琢磨上面这个 e 啊，跟下面这个 e， 这分别达到几了？这个时候， 这个时候方向就变了，那你想 a 还是啥？正无穷啊，正无穷乘上一个负的，这就变成负无穷了。负无穷是啥？这是零，那 a 是 正无穷乘上一个负的，这就是负无穷了，负无穷就是零了， 所以这个时候这俩 e 就 干嘛了？都趋于零了。那你想这个 e 趋于零，那整个分子呢？就是啥？就是 a x 加 b， 那整个分母呢？就是五了，所以这个时候呢，极限就出来了，怎么出来呢？上面这个 e 趋于零，然后加上常数 ax 加 b 五，照抄这个 e 趋于零，那就这样来写了。那答案就是是吧， ax 的 加 b， 再除个五，就这个结果了。 这样的话呢，就把我们的 f x 它的三段表达式就写出来了，我们这个答案上压根没有这个过程。 我们这个答案解析上是不是直接就给出这三段？啥理由也没说是吧？你像这个答案解析上直接第一步给出 f x， 这三段哪来的？呃，大家看的很蒙圈， 实际上是这样分类讨论下来的，是吧？如果是易得正无穷啊，就是正无穷抓大头，如果是是吧，易得富无穷就是零，那就这样就把它算出来了。 所以这样的话呢，就找清楚了这个三个不同的段啊，大于一等于一，小于一好，找好之后把它罗列出来。哎，终于获得什么了？是不？获得了 f x 屏幕上他的庐山真面貌，这不三段吗？是吧？小于一等于一，大于一。 好了，有了这三段表达式，再往下讨论， a 跟 b 对 他的影响。什么影响？连续的影响？什么影响？可导的影响？先看连续不连续。 那么连续不连续要看啥？要看左极限一左右极限一右跟啥？跟一的值。 f 一 这三个如果相等，那就连续。这三个如果不全等，那就不连续呗。所以来，先看连续不连续了， 来吧。那这个左极限是几？一左一左看第一转就是五分之 a 加 b， a 加 b 啊。呃，一点的值是几一？这个点一一一右是谁啊？看一右，就看这个 x 方，那不是一了吗？一这个点的值就是六分之一加一加 b。 所以呢，左极限右极限跟一的值，这三者相等， 这三个要想相等，解方程只能是什么时候？只能是 a 加 b 等于五的时候，那出来了。所以只有 a 加 b 取到五，才能保证三者相等。既然保证什么？保证这个 f 在 一点是连续的 啊？好了，那这样，一旦一点连续了，大家想分段点连续了，那他就干嘛了？他就处处连续了，因为小于一必然连续，大于一必然连续，一这个点本身又连续，那这样不就全连续了吗？所以你看啊，这个时候我在一点连续 而一之外就是小于一。大于一，天生干嘛？天生连续是吧？分段函数吗？分段点只要连续， 那其他点小于分段点大于分段点必然连续。你看小于一指，谁是长函数？长函数水平线连续， 大一指，谁是抛物线？抛物线连续是吧？所以小于一的时候是长函数连续，大于一是二次函数，抛物线连续，那等于一的时候， 这个时候呢？他又连续了，那这样的话呢？上下位一合并，这说明什么？说明他就处处连续了啊。所以来此时得到什么？此时我们就得到这个 f 是 处处连续这四个大字。当然，这个四个大字的获得是在什么时候，是在 a 加 b 取到五， a 加 b 取到五，能保证这个 f 在 每个点任何点都连续，就是处处连续，这就解决了连续的问题啊。好，再来。 那么解决连续，再解决什么？再解决啥时候他能处处可导？那要想处处可导，也只需要关注啥？一这个点可导， 因为小于一是长函数处处可导，大于一是二次函数抛物线，处处可导，所以只要能让一这个点有导数可导，就跟屏幕上类似，就能处处可导了，是吧？那这怎么研究呢？大家要知道 这个可导。我们知道啊，可导一定是干嘛的？可导一定是连续的，所以呢，不连续肯定干什么？不连续肯定不可导，这是个逆否命题。于是，哎，我们得到一个事，只需要在什么时候做可导不可导， 可导必连续。反过来，不连续肯定不可导。所以呢，我们只用做 a 加 b 等于五的时候，就是啥时候，就是这个连续的时候， a 加 b 等于五，会使得连续，你只有连续了，才有可能可导，那因为如果 a 加 b 不 等于五，你就不连续，那一旦不连续，就直接不可导，就没有必要再做了。 所以呢，只用在 a 加 b 等于五，也就是只用在什么时候？ a 这个 f 在 一点连续，只用，只用做 a 加 b 等于五， f 连续的时候，只有这个时候才有可能是不 f 在 一点可导， 那 a 加 b 不 等于五，你不连续，那直接就不可倒，不用做，那 a 加 b 等于五，你就连续，你才有机会，可倒是这个意思，所以接下来要在 a 加 b 等于五的时候做，他可倒不可倒 好，那 a 加 b 等于五，它到底可导还是不可导呢？那怎么办？用导数定义作再做什么？做一的左导数，那就是 f x 的 减 f 一 除以 x 的 减一， x 从一的左边来，那这个 f x 的 用谁看？这个 f x 子，这是一左的 f x 啊。那一左来回来看一左是哪一 段？这个五分之 a x 加 b， 这是二次函数，是吧？这是斜直线，这是抛物线啊。 好了，那所以一左拿什么啊？拿第一段就是这个一次函数，然后 f 一， 那刚才说过了，就是六分之一加 a 加 b 除以 x 减一算极限，那么这个极限怎么算？注意，千万注意。这个极限是在什么时候算，是在 a 加 b 等于五的时候，是在这个时候算 啊，千万别忘。是的， a 加 b 等于五，我问你， a 加 b 等于五，那你看上面达到几，达到零了，下面也是零了，你看 a 加 b 等于，你看 x， 取下一吧。这是谁啊？这是 a 加 b， a 加 b 达到五，五除五，这是一。 a 加 b 达到五，五加一是六，六除六，一一减一刚好是零， 所以 a 加 b 等于五，使得这个极限是零比零，那零比零落笔打法子，一落就是五分之 a 做完了。所以这样解决什么了？解决我们的左倒 左导，经过导出定义啊，经过洛必达法则，那刚好就是这个啊。五分之 a 好 了，再去做什么？做它的右导，右导就这一的右极限，这个 f i 给他换了，拿什么什么？拿大一的那个二字函数抛物线 f 一 没有变，还是这个结果， 那这个极限也是什么类型？也是零比零，为什么？因为 a 加 b 等于五，那五加一是六，六除六是一，那 x 那 一减一是零啊，所以也是零比零，那零比零也干什么？洛必达法则，那大家一落，结果是几啊？结果这将是一个二啊，那结果是二。 好了，那这样的话呢，就做好什么了？ a 加 b 等于五的时候，用导数定义洛必达法则，用导数定义洛必达法则，分别得到五分之 a 和二。那你想什么时候才有导数？那个时候一 a 加 b 等于五，这大前提二左导右导得相等，就是五分之 a 得等于二， 所以只有这个时候才会有导数，仅当这个时候。这是什么时候？解方程？那就是 a 取谁？ a 取十，那 b 呢？ b 取负五，只有这种时候，导数才存在一，这个点导数存在。那你想一这个点导数存在，而其他点呢？导数本来就存在 小于一大于一天生存在，因为一个是一次函数，一个是二次函数，对不对啊？那一这个点有倒，那小一大一有倒，那就干嘛了？那这个时候呢，就导致它处处有倒数了，这是什么时候？就是这个时候， a 取十， b 取负五，这个时候会引发倒数，处处存在。做完了。 所以这就是一个讨论什么时候连续啊，讨论什么时候可导，跟 a、 b 的 关系， a、 b 的 关系就是这样，只有 a 加 b 等于五才连续，否则不连续。那只有 a 取十， b 取负，五才可导，否则不可导。那就做完了。 所以这个题啊，是一个比较综合的讨论题，涉及到极限计算啊，找 f 涉及到连续的考察，涉及到可导的考察，是吧？涉及到这些方方面面。细节处理好十五题。

好，下面我们说第二个问题，在强化阶段，那么这个时候呢，我们就要谈到这个独立做题的这个事情了，也就是说那么基础阶段，大家知道我们现在是从现在开始，那么到六月底 到六月底，那这是基础阶段，那么强化阶段呢？就是七月份到八月份两个月，对吧？那我把它写完吧。那么第三个阶段也是独立做题， 那就是九月份到十二月下旬，那么这时候就是我们的冲刺啊，冲刺阶段就要做模考了， 对吧？那你想想看，这个时候肯定要独立做题，为什么？你做模考卷啊？比如说真题 啊，模考卷，模考题，那你这个肯定是要这个花时间好好的去做卷子，是吧？你做卷子时候不能翻着答案做卷子，那肯定不行，是吧？那么这个呢，大家能完全理解的这件事情，但是我说到强化阶段啊，这个独立做题是什么意思？ 这个就要涉及到啊，我们现在起在非独立做题呢，我们讲的是基础三十讲，那么独立做题呢？我们是教给大家，用三十六讲教给大家。 然后呢在第三个冲刺阶段独立做题，我们是用真题和模考题来训练大家的这个独立做题的能力啊。那么就这三个阶段啊，那么第一个阶段是非独立做题时间，大家算一下啊，你的这个独立做题的时间有多长时间呢？大概是七月到十二月下旬 啊。呃，这中间呢，你如果不能完全独立做题啊，稍微再看一看也可以，但是总的来说，独立做题的时间是远远超过什么非独立做题时间的， 所以大家放心是吧？你这个刷题要有科学性啊，要高效率啊，要知道该怎么去刷。我重点讲一下这个，这个阶段啊，这个非独立做题，大家是懂的，这个不用我啰嗦， 对吧？啊？非独立做题，刚才解释过了，做模考卷，这个大家肯定也也懂的啊，因为你中学高考啊，啊，中考大家知道你要做模拟卷，这个也不用多啰嗦，你这个肯定是会的，但是在我们这个讲话阶段啊， 今天我就把这个事情给他说清楚啊。那么强化阶段是一个关键的，做题从非独立到独立的这么一个过渡， 这过渡我们怎么把看着答案写题目到不看答案写题目，那么这两个月就是一个训练大家质变的这样一个阶段呢？

好，下面呢，我们就进入这个超时数的这个概念了， 我在这个最开始的基础知识结构时，我就说过一件事情，是吧？我们的经典定义就是上面的这个二十四个二十四种情况表格里面的他就是用 excel 语言或者 excel 语言来描述，是吧？充分靠近， 但事实上大家知道充分靠近这靠近这件事情呢，在经典的定义里面是说不清楚这个充分靠近到底是多少的，所以在经典数学里面是说这个附近的概念啊，你比如说一个点他的附近， 你别说那个德塔是吧？哎，那么你到底是多少？我们在经典数学里讲的是，呃，既说不出来多少，也没必要说出多少啊，因为我们回避了这个问题啊，用一部什么德塔语言可以完美的解决要多少有多小的问题， 是吧？这，但是大家注意啊，这从这个经典意义上来讲，他没有解决，他叫回避了问题， 是吧？我们所说就怎么说，就是不管你给我多么小的一匹龙，是吧？我这个距离总比你给的一匹龙还要小， 这是一个非常完美的定义，这个没有错哎，但是他是回避了当年的牛顿莱布尼兹所说的那个要多小有多小，他是多少啊？ 啊？牛顿来不及没有回答，实际上我们经典数学也没有回答，也就是科西啊，威尔斯特拉斯给的这个极限定律，他也没有回答 啊，所以在现代数学啊，呃，里头呢，回答了这个问题了啊，这个就是超速数的问题， 我再说一遍啊，像这个知识呢，我是建议所有同学都要听一听的啊，供大家参考，因为我会讲的非常的通俗易懂，是吧？我们就是先把他这个梳理逻辑的这些个背景的东西呢，我们就不要去涉及到他， 我也能给你大概讲明白，是吧？啊，这个主要的目的是，第一，补充经典定义的这个遗憾，缺失漏洞啊。第二呢，就是我们可以更好的去理解后面的极限题啊，这个非常重要的啊，非常重要的东西。 那么要说再加上一个作用呢，就是就是说我们这个因为这个超时数理论呢，他将只是几十年前才开始的， 是吧？时间太短，现在还确实进不了课本，未来一定会进课本的啊，这是大多数数学工作者的共识啊，这个一定未来会进课本的，是吧？啊，那你要在未来某个时候再看到他就 就稍微有些漏了，是吧？那我们可以呃，这个先了解一下，那么为什么我讲说这个超时速这个概念重要呢？首先我们来看一下时速系耳中的这个公里， 这个大家非常熟悉啊，就是如果在时速系中，一个时速 x 它的绝对值小于任意自然数的倒数， 那么当然我们讲这个自然数是，就是说，呃，这个从这个它是取要多大有多大的自然数是吧？哎，那么在这种情况下呢，则这个 x 只能是零， 是吧？大家因为这里面是这么一个概念啊，我们这个 n， 他 一旦取到一个自然数，他不管是多大的自然数，但是知道 n 分 之一他还是一个实数， 没错吧？哎，所以呢，这个在实数是公里里面呢，他就告诉我们讲说小于任何 n 分 之一的这个实数只能是零，但我们这带绝对值啊，那么这个 x 只能是零， 是吧？但是你要套到这个经典的，大家对比一下啊，对比一下什么呢？就是我们对比一下这个经典的极限定义， 经典的极限定义，那这个里头他会不会出问题呢？你看这个问题在这了，这个 x 二三就是 x 减零的绝对值，是不是 x 到零的距离啊？那么如果小于 n 分 之一，对于任给的这个自然数， 任给自然数 n， 这个如果都成立的话，那么大家看这个的你是什么意思啊？就是 认给的 n 分 之一是吧？因为自然数充分大，那么 n 分 之一是不是要多少？有多小？就当相当于那个一匹龙啊， 是吧？那么请问大家，你不管你的 n 分 之一有多小， x 到零的距离都比这个 n 分 之一小，按照经典极限定义，这个 x 是 不是应该以零为极限啊？那么这个 x 应该是个无穷小量啊，对吧？它是以零为极限，它趋向零啊， 是吧？而实数系里面他只能是零，你这里说明什么？说明这两个是矛盾的，也说明实数系中没有非零无穷小量， 对吧？看到意思了吧？哎，因为这个实数系的这种实数系中这个功理呢，大家中学就学过了，对吧？哎， 这个就是他只要只要比二分之一小，那么这个 x 只能是零，他没有其他选择，因为实数轴上就是说只能在零啊，只有实数零啊，才能满足这样的式子。 但是在函数极限的经典定义当中，我们却说这个 x 实际上是以零为极限的， 那就只能说明什么？就是这里的 x 就是 我们在经典定义、极限定义里面定义的这个 x， 它不在实数系中，也再换句话说，此 x 非比 x， 这两个是不一样 的，是不同的啊，是不同的啊，所以呢，就引出了这样一个概念了，不在实数系中的这样的量， 我们就把实数系要把它扩大，是吧？我们就引入了一个概念，这个定义啊，这个定义就来了，这是什么呢？这个叫做叫做非零无穷小量， 当然非零无穷小量的道数就是无穷大量啊，这个是很好接受的，所以我主要把这个非零无穷小量我要讲清楚。 好，我们把实数系耳中的这个公里，我们要做一个修改了，这个修改呢，是像是对数域的一个这个扩大啊，实数域就扩大了， 如果对，大家看到这个啊，就是你对比一下，你就解决问题了，因为这两个是有矛盾的，对吧？那么我们需要把数域扩大，他就不会出现矛盾，那就怎么把这个扩大呢？这样说的，如果对任意大的自然数 n 均有 x star 或者 x 肩肩膀上打个星啊，那绝对只小于 n 分 之一， 且 x star 不 等于零。大家，你现在看，就是说这件事情在实数系里是公里啊， 这个大家是承认这是一定对的，是吧？大家，但是如果你写到这的时候，那么这句话其实在实数系里面已经错了，对吧？对不对？大家，已经错了， 为什么？因为当你前面这些都对的时候，应该是则了，则 x 等于零，应该则 x star 等于零，是吧？大家，那我现在接下去，且 x star 不 等于零， 那我就是说不在实数系里了，你只要拿实数器去框，实数器往上一框，这个就错了。 哎，他不能不是零，只能是零，那么现在我说我一旦满足这个，但是我又不是零的话，那么则看好了啊，我们称这样的量为非零，无穷小量， 这个就补充了这样一个时数系里没有的东西，那么他实际上是在经典的极限定义里面确确实实是存在的，但是他在时数系里面是没有的，能懂意思吧？哎，是这样的话呢，大家先看到这，那么他倒过来呢，他这就是无穷大量了 啊，那大家知道无穷小的道数无穷大啊，那就这个有了这样一个概念之后呢，我们就可以啊，这个把超时数引入进来了，说 x 零是任意一个时数啊，那大家知道时数这个东西呢，是要画得出实数轴的，这就是数轴啊，实数轴，这是图一杠二十四，大家看着啊，那不就是我这一点呢？是 x 零， 对吧？ x 零这个就是实数，实数轴上都是实数，没错吧？好，那么则 x 零加上这里的 x 十二， 注意啊，这个 x 是 满足这样一条的，是吧？他在实数系里说没有他，哎，很好，那么这样的话，大家想想看，一个实数加上一个不在实数系里的数，那么他肯定就不在实数系里了， 对不对啊？这个很简单，那你可以用反证法，你说 x 零是实数，那加上 x star， 他 不是实数，如果这个还在实数系里，你比如说让他等于 y 零， 那么你显然就是 x star， 就 等于 y 零减去 x 零，你 y 零假设是实数，那么实数减实数肯定是实数，是不是 x star 就 在实数系里了，那么如果它在实数系里，它没了，这个就错了， 那么能听懂，是吧？啊？那这就当然就是矛盾了，矛盾就说明什么 y 零就不再是实数系了啊，他不再是实数系里的数了，好，这个很好理解啊，那么我们把这个就称之为叫做超时数啊，超时数 这个超时数概念呢？因为你这个 x 零啊，是一个具体的实数，所以我们就称之为叫有限超时数 啊。那么为什么要加这个定语呢？因为大家看这，如果我用一个时数 x 零加上一个什么，哎，这就刚才讲的这个非零无穷小量的倒数，这是无穷大，那么 x 零加上一个无穷大量，这个就叫超时数，叫做无穷超时数 啊，我们也称之为叫做无穷大量啊，这样的话呢，我们就把这个术语啊，就扩大了啊，就扩大了。这个我跟你说，这个应该是在第一讲里会反复的去给大家提出这样一个想法哈， 就是如我们后面也会再次给大家提到的那样，就是我最开始的时候大家提到，是吧？我们比如说我们讲到说， 呃，你提到这个啊，有理数的时候，有理数的时候，你是想不到什么，这个二开根号，二开根号他就是无理数，对吧？所以在有理数的时候呢， 大家知道这个术语如果是有理数的时候呢？你这个二开根号解决不了了，因为二开根号大家找不到有理数跟他对应，是吧？因为他不是有理数，所以这时候呢，我们就出现了无理数，是吧？有了无理数我们就出现了什么实数了， 是吧？所以在有理数的这个大家的认知那个时候呢， 根号二是不存在的。为什么？因为我们这认知当中，如果我们认为的数只有有理数，那你二开根号是不存在的，但能听懂是吧？他就叫不存在。 哎，因为你这这个我们看见的都是有理数，那么你二一开根号，那不在有理数里，不在有理数，那就说明你是不存在这个数。 可是大家一扩展到实数，就发现根号二在实数里，他不是有理数，他是无理数，那么这样的话呢，就相当于把有理数的数扩大扩大到实数去了， 是吧？大家，好，然后你再来呢，就是说你实数里头啊，大家好像就是说实数就是所有的数了啊？那你突然出现一个负一开根号 是吧？你也负一不能开根号是吧？你也负一开根号在实数域内不存在，所以我们当我们的知识这认知在实数域内，我们认为就是已经是所有的数的时候，那负一开根号叫做不存在的数， 对吧？是不可接受的东西，他是不存在的。可是当大家扩展到负数域的时候，你会发现负一开根号是负数，他在负数域里， 是吧？大家，所以就是说我们这个数域的不断的扩大啊，就是人类对于这个客观事物客观规律的认知啊，就实现了这个数域不断扩大。 那么你现在相当于说我们要增加了一个这样一个角度，这个角度就是什么呢？我们现在就是讲到 违背了这个时数域下的这个公里，这个公里就是讲说任意小的量只能是零，不是的，我们现在不是任意小的量，只能是零，我们是要把时数域呢，引入了 x star 和 x star 的 倒数， 那么引入了非零无穷小量和无穷大量，那么就把它扩展成了叫做超时数域。 超时数系一旦出来，这个这个就是有理数系啊，实数系、复数系和超时数系一旦出现了，你把这两个要素加进来了，那么就会实现一个对实数域的进一步的扩大 啊，这个就是超时速域，我们来看一下啊，时速系 r， 然后呢，我们就说再加上一个 x star， 再加上一个 x star 的 道数，那么就构成了个超时速系，一般记着 r star， 对 吧？那么大家刚才我已经说过了，这个有限超时速和无穷超时速，它都不在时速系里 啊，这个就是这个基本的基本概念了啊，那么接下来我们来看一下二，就是怎么去描述超时数啊？你既然是已经提出了这样一个概念了，那你怎么样去这个具体一点的去描述他呢？那么我们在这个 超时数系里呢，我们是这样来进行基本定义的啊，基本定义的，那当然这个概念上来说呢，呃，还是那句话，由于这是一个这个正在发展的啊，非常年轻的一个学科， 那么就说这些基本概念呢，呃，也都是是比较啊，这个，呃，从怎么说呢？就是非常的形象吧。那行行， 我们看一下实数跟超实数的关系啊，我们在实数轴上任取一点 x 零，看他说了啊，大家注意啊，这是实数啊，你这条线划过来，这是实数轴啊，这个实数轴上失去所有的实数， 对吧？所有的实数都在这个数轴上了，但是我们也恰恰刚才说了，是吧？这个 x 加上 x 值，它是以 x 零为这个，这个叫什么？叫核啊？ 啊？就是这个核心的意思啊，核心的意思，我们就称其为核啊，是以 x 零为核的有限超时数啊。那他这他在哪？你不能画在数轴上，对吧？因为你一旦画在数轴上，大家注意啊，你这，你比如这是 x 零，你说这个超时数就在这 啊，所以你看啊，我现在就说经典数学的问题，他是讲 x 趋向于 x 零，是吧？ 你听懂意思没有？为什么大家对这个极限概念觉得抽象或者很多东西你理解不了呢？因为你在这个画的时候，你是不是 x 趋向 x 零， 你本身这个画画的这个就是不对的，为什么？因为这个 x 一 旦是无穷小量，那么他就不在这个数轴上了，所以一般经典数学里画的这个东西呢？在超时数系里是不对的。 因为你要是从数学的功利上来讲，确实如此啊，确实如此，因为你看哈，我主要的意思就在这，如果你讲去零是吧，那你假如说这个是零这一点是吧？假如说我这个和就是零，就是零，你假如说一个 x 趋向于零，那请问这个 x 是 多少时数公里？就告诉你，他没不存在的，那只能是零 啊，因为只有零才能小于任意的这个任意小的正数，明白意思吗？那么你想说 x 曲线零，不管从左边还是右边过来，这样的点是不能画在实数轴上的，他的实数轴上是没有这个东西的 啊，因为什么你的功力在这呢？他不存在这样的点是吧？好，呃，怎么办呢？呃当然你不要改啊，你因为你在在这个经典数学这个里头呢，他这个是一个 制成体系的一个东西，是吧？那你不能说是错的啊，你不能说错的，我们只能说在超时系里面这样画是不对的啊，那么我们这个平时的分析呢还是这样做，这个没什么问题哎，但是你要真正去理解他呢，这个就不能画了。那我们就是看就是说 这个有限超时数啊，实际上是以 x 零为核的，那他在他周围形成的光晕啊，就光环或者叫光晕， 那有的翻译成光晕啊，有的是光环啊，这个都可以的。光环是什么呢？你看就是这样一个一个的，一个一个这样的好，就是这个围绕在周围啊，围绕在周围。那大家想想看一个和 x 零就是一个实数 x 零 它有多少个光晕啊？就是光环啊，无数个。对的。为什么说无数个？因为这个 x star 它是任意一个非零无穷小量。 我马上就说到这个事情了啊，那么由于这个 x 零是任意一个非零无穷小啊，那么实际上来说呢，他就是说，呃，你看得到 x 零加 x star 到 x 零，你这样一减，实际上他俩一减是不就剩下这个无穷小了， 是吧？所以我们说形象来讲的话呢，就是他的每个光环到他之间就差这么一个无穷小量，是吧？大家这个菲林无穷小，一旦这个菲林无穷小是一个任意的菲菲林无穷小，那么显然他的光环就是无数个， 对吧？无穷多个啊，我们待会怎么去辨别这无穷多个呢？那我等会等会说啊，这等会来讲当然要讨论这个问题了，是吧？那么现在为方便起见呢，我们一般是这样记了啊，我们把 x 零加上 x 小 x 十大啊，我就把它记作大 x 十大， 哎，方便后面讨论问题啊。哎，那么这个呢，就是我们讲的超时数啊，张 x 零是一个具体的，呃，就是我们做了 x 零是实数的时候，这个叫有限超时数，那么他就记成什么呢？他是这样记的，是吧？这个 x 零啊，我们就把它叫做超时数。有限超时数， 它的什么呢？它的就是 s t d 啊，的标准部分 啊，这叫标准实数部分，或者就叫做标准部分啊，然后再加上什么呢？加上这个这个 x 零啊，就是这个 就是你给我一个超时数啊，我一旦在前面写上 s t d， 这就相当于一个对应法则了，那么就它作用在这个 x star 上呢，就得到的是 x 零啊，这个得到的是 x 零，再加上东西呢，就是这个非零的无穷小量。这部分呢，就是用什么 x star 减去 s t d 这 standard x star， 那 就是说这款呢，实际上就是说我用超时速减去它的标准时速部分，那么剩下的这一款呢？这款就是非零无穷小量啊，这个是非零无穷小量。 这个记号呢？呃，大家了解就行啊，这个不需要你去掌握它，你要再往深入的学呢，慢慢的你就进入这个，呃，这个 超时速这个真正理论体系里去，这个是没有必要的啊。呃，没有这个必要了，好，我们来看些例子啊，看些例子，这样，因为我有这个记号呢，因为待会我写东西就方便了，是吧？ 好，我们来看一下啊，比如说一旦具体起来，这个就很好理解了，比如讲 x 零等于零，也就是说我在实数轴上呢，我就以零作为一个和，是吧？啊？我们比如说以零作为和啊，那么 x is 的 啊，就是 x， x 大 一啊，比如我取一个非零无穷小，叫做三 x， 大家注意啊，他一定要因为你现在这个体系里面呢，是用经典极限作为基础的啊。我，我说了你，大家听懂我意思啊， 我们现在没有用自成体系的重新规划的梳理逻辑来给出这个讨论的方法，所以你在基础这个，在经典极限基础上来讨论，他 能讨论完全可以。所以呢，我用的符号呢，可能就是以经典极限的也得在啊，所以大家得看到这个啊，以后你要心里有数，我们这个是要搭配起来的啊，你看三 x 在 x 去零时， 看到没有？看到没有？我现在就问你一句，这个东西就是 x 去零时的三 x 是 个什么？ 这个什么？哎，那你在实数系里，你应该说他就是零，没有什么区域零啊，实数系里但凡 x 要多小有多小，只能是零， 对吧？大家，你，你一定要把这个概念就是从这你要搞清楚，就是实数系里就是这件事情，这是公里啊，只要一个量要多小有多小，他就只能是零， 那就是这个意思。所以一旦说 x 去零，你三 x， 你 要认为 x 是 实数，那你不要研究了，他就是零， 对吧？而实际上来讲，经典数学，经典定义，他也不认为这个三 x 就是 零了，你否则什么都不要讲了，对吧？是，其实这个已经是超时数了，所以我们把这个呢称之为叫做超时数 啊，你今后记住了啊，搭个边，他旁边给他搭上这个条件， x 居零，那记住这个三 x 在 x 居零时， 他只要不是零，那么他就不在实数系里，他在超实数系里是个超实数，听懂了吗？好，好，那么这样的话呢？ x 一 是大，那么就记成和加上这个非零超时数啊，非零的无穷小量，那么当然，显然他就等于三 x， x 去零， 所以你现在就理解任何一个超时数，它本身就可以写成零加这个超时数，是吧？零可以作为它的和， 这个理解吧？啊，好了，那么这样的话呢，你就说这一点是零，是吧？然后零加三 x 在 x 去零时，那么这就是个超时数，是吧？这个是零，这个和的一个光环，一个， 再来还取这个 x， 零等于零作为和，那么我们再换一个，再换一个什么呢？比如说我再换一个，那么二 x， 好， 大家现在再来一遍啊，你慢慢就听懂，你就熟悉了。我问你， x 除以零，是不是？ x 要多少有多少？ x 要多少有多少？在实数系里它就是零，是吧？大家，所以二 x 也就是零， 好的超时数器呢，大家已经明白了， x 趋零的时候呢？二 x 它不在实数轴上，它是这个，呃，非零的无穷小量，它是个超时数，是吧？大家，所以这个时候呢，我们用零加上 x， 二十大差三等于二 x， 所以 这个二 x 呢？它也是以零作为和的啊。那么以二 x 作为非零无穷小量的另外一个超时数啊，你可以标在这个，刚才标的这个，我就用红的画，我就画一下啊，这是红的， 然后呢？蓝色的呢？我就是说我只画的这个吧，对吧？画这个，哎，那么这是和零，这个和的另外一个光圈啊，光晕啊，光环都可以，是吧？好，你可以在。呃，这个可以怎么样呢？我们可以这个，其他的一个是。 哎，你比如说 x 零还是零合适的？我取 x 分 之一看好了啊， x 分 之一， x 去零，那么大家现在想我问你， x 去零啊，就是要多小有多小，是吧？那么 x 分 之一呢？ 你这个在实数系里头他也没有，是吧？因为 x 是 实数系里，要多小有多小，他就只能是零， 对吧？你就往里套就没问题，那么他只能是零，那么零的倒数是不存在的， 你想对吧？哎，你你你这个，你一见 x 去零，那就 x 只能是零， x 只能是零，他零的倒数，那就是不存在啊。所以实数系里没有 x 分 之一， 明白了吗？但是我们现在可不是了啊， x 趋零，在超时数系里他是一个非零的无穷小量，他不是零，那只要不是零就能取倒数，那大家想无穷小的倒数是不？我们刚才讲的无穷大量，所以这个呢，实际上是一个无穷大量， 他是超时数，对的，他是超时数，这个超时数呢，以零作为核啊，以 x 分 之一做无穷大量的超时数。你看我画这个虚线过去啊，就意味着他在这个就是离他怎么样啊？这个要多远有多远啊？ 这个是要的离他要多近有多近啊，能听懂意思吧？这个是要多远有多远啊？不就这个意思了吗？ 那同样的，我们还可以再给一个 x 平方分之一，那么这个实际上也是无穷大量，是吧？大家，那么他也是以零为和，以 x 平方分之一为 x 平方，分之一为无穷大量的超时数，那你可以再画到那去了，你再画一个， 哎，那不就是零加上 x 的 平方分之一， x 去零，是吧？哎，这就是离他要多远有多远。好，我给大家表达了这样几个，用这个例子啊，表达了这样几个位置之后呢，我们来说一下 上面啊，这四个，这都是超时数，是吧？啊，也就是说这这个像这些都是超时数了啊，那么这些超时数都是作为一个和他的这些这个光晕，光环，光圈，这都都行啊，哎，那么区别在哪里？ 对吧？你这个三 x 跟二 x， 他 都是无穷小，你这个 x 分 之一， x 平方分之一，他都是无穷大， 那么他们的区别是什么呢？对吧？他们的区别是什么呢？是吧？就是你的本质上来讲这些个光环啊， 他们的本质区别在哪里呢？这个我们到第四个内容就得会回答大家的啊，回答大家的。 好，我们先把这样的这个基本的关系也给大家说了一下，就是你要看的这种图，那大家就非常怎么样直观很形象的你就接受了这个了。好，下面呢，我们来看一下超时速跟极限的关系和运算， 有了基本概念和基本关系，那么我们就要把这个运算啊，就要提到一时日程上来了。那么讲完这个运算呢，我们就可以讲刚才说的你有无数个光环，他们的区别在哪里？本质区别是什么？我们待会就要谈到这些。 好，我们先举个例子啊，这里面就讲到关系和运算了，就超时数，这个我再说一遍啊，这是现代数学的基本问题。极限呢，这个指是经典数学的基本问题，我们要把它怎么样，我们把它结合起来了啊，结合起来， 举个例子先，比如说，呃，这个是我们后面讲的重要极限，三 x b x x 去零时的极限等于一啊，用加倍准呢，就可以解决它。我们在零基础里面给大家已经讲了，是吧？那个不等式是吧？然后呢，你一取极限，自然就有了已经啊， 好假设，这个我们默认啊，就是这个极限呢，这已经知道了啊，这就是我们的重要极限。我们来看看这个经典极限的表达式跟我们的超时数是什么关系啊？第一个， 我们说三 x 比 x 啊，然后再取极限等于一，是吧？那么这个运算呢，我们实际上是分两步走的啊，第一步是先不算极限的，你先做的运算是不是三 x 除以 x， 是 吧？大家我要把它说清楚啊，就是三 x 比上 x， 这个实际上是一个实数运算。 我要说清楚啊，你在 x 没写去零的时候，大家告诉我 x 是 不是个实数，对吧？那么三 x 也是个实数，你只要 x 实数，三 x 也是实数。好，那么一个实数比实数，我们称其为一个实数匀算， 这可以接受吧，这叫实数运算啊，然后开始走这个 x 趋零了啊，一旦走 x 趋零，我们就称之为叫做趋和运算啊，趋向于核心啊，就是趋向于这个点啊，趋和运算， 这个时候的三 x 比 x 就 称为叫做超时数。我再写一遍啊，叫做三 x 比 x， 括号 x 趋向零， 看到没？一定要注意啊，他这个后面带着这个一，这旁边一定要给他搭这么一个基本条件啊，因为我又说，你又要听听明白，就说 x 去零，就是 x 要多小有多小， 在实数系里是没有的，他只能是零，一旦是零，分母是零，这个就不存在了，这根本就没有这个东西， 是吧？你上面是零，底下也是零，上面是零，允许的，底下分母不能为零啊，所以这个东西在超时在实数系里是没有的。 好了，那么这个呢，就是叫做超时数了，是吧？超时数是，呃，这个就是什么呢？他实际上是极限为一啊。而且呢，我再说一遍啊，你现在要默认知道这个结论啊，知道结论我们在讨论关系啊。后面再说计算的事，这是在讲概念啊，这不是在讲计算。 那么你这样的话呢，就是它最终趋向于什么呢？它趋向于的是一看到没有趋向一，就像一，也就是说三 x 比 x 是 x 趋零时，以一作为它的核值的， 看到没？是以一作为它的核值的，是吧？因为你现在你也就可以理解一件事情，就是一这个核啊，它的周围是不是也是有无数个光环啊？ 明白意思吧，他也是无数个光环啊，你比如说，我还可以再给你举个例子，什么例子呢？你比如说我在这个位置再画一个，比如说这个光环啊，他是什么呢？他是这样叫做 x 比上 x。 哎，我这样说你可能更好理解了，说我们现在就说，我问大家， limit， x 趋向于零， x 比上 x， 这个是不是等于一啊？怎么算的 哦，大家注意啊，这个运算一定这样，先做实数运算啊，第一步一定是实数运算，第二步做趋和运算，也就是在大家在经典极限里面就是取极限运算， 是吧？但是第一步的实数运算大家都是一样的，为什么 x 是 实数， x 是 实数？我来问，你来答， x 比 x， 因为你 x 在 分母上说明 x 一定不是零，是吧？大家，那么这样的话， x 比 x 是 不等于一，所以这个实数运算之后呢？这个就是等于一， 然后再做曲和运算。那大家现在问题来了，这个曲和运算做的时候作用在一上，大家知道一是个实数吧？ 啊，那么实数本身 x 曲线零作用在上面是失效的，因为它本身就是一，因为一在实数轴上，所以曲和运曲和的运算是不起作用的，所以极限还是一就是一。常数的极限是常数本身，这个没有问题的， 但是呢，你虽然说是这两个是呃这个不同的函数的极限，但是他取得了相同的函数极限值，是吧？那么你在这个我们的这个呃表达上就是说你在我们的这个 呃超时数系里面，他的概念却是一致了。为什么大家你告诉我 x b x 是 什么？ 哎，实数系列叫什么叫一对，他是个实数超实数系列呢？ 你别忘了，我现在是 x 去零， x 比 x， 极限是一，你要是如果看到这个就是 x 比 x， x 虚线零，同学们，这个可不是实数了，这可不是一啊， 看到没有，它不是一，它怎么会是一呢？因为什么一旦 x 趋零，实数系里就是 x 就是 零，能听懂吗？ x 是 零的话，零不能在分母上， 这个在实数系里是没有的，这是个超时数，它看到没有，它实际上是一这个实数的一个光环之一， 听懂了没有？他是这个光环之一，哎，所以我们这个概念上来说，你只要是把这个能搞懂他了之后呢，你去看问题的时候，你会发现他一一一个新的体系下，你的研究对象，那么这说法上就都变了， 对吧？所以在牛顿和莱布尼兹时期，呃，这个他们所表达的就是分母上有个 x 这件事， 这个他们始终没有说清楚，就是因为他旁边都搭了这么一个条件的 x 趋零， 这个我抬法，不管他是什么，你一旦 x 趋零，在实数体系下 x 就 只能是零。我再说一遍，大家一定要记住这句话啊，在实数体系下的公里告诉我们，要多小有多小的实数只能是零， 所以所以 x 一 旦曲线零，他就意味着 x 只能是零，这样的话，但凡 x 在 分母上这样的表达式都是不存在 的，是吧？所以你这样的话，牛顿他们受到批判的原因也就在这啊，你，你不能去讨论一个不存在的东西 啊。那么确实实数系里是没有这个东西的，所以这种东西在实数系里是没有的，但是在超时数系里他就有了，这就是个超时数，好吧，这样的话，你知道这个这个就行了啊，没有 x 趋零，这个就是老老实实的是个实数，一，但一旦 x 趋零，那么 x 比 x 就是 个超时数， 他只能说是以一作为他的和的，他的极限值是一，明白没有啊？说这个概念是这样好，呃，这样呢，我们就可以把接下来的这个运算啊给大家做一个分析了。 那么在极限运算中啊，我们怎么去把超时速的概念给它用进去，从而啊做好相应的计算呢？这个就需要呢给出相应的运算的顺序。第一步， 呃，这个 f x 啊，我们还是先做实数计算，刚才实际上也是这样做的啊，先做实数计算。 第二步，再做曲和运算啊啊，而且这个和呢是这个和值， a 是 唯一的啊，那么如果当 a 为一的时候呢，我们称曲和运算是存在的，那么这个极限就是我们的经典数学里的极限，就是存在的，否则就称为这个， 这聚合预算不存在，那么这个极限就不存在的啊。你比如说我们再看一个典型的例子了，你比如讲这个 x 减去 x 啊，那当然有些特殊情况，是吧？因为就是说大家知道超时数系啊，是包含时数系的啊， 这一点你要搞清楚，他的这两个不是说你是在做实数系与实数系的这个扩大啊，而不是说另起炉灶在造一个数系，不是这个意思，那么大家知道这个实数系是包含在超时数系 这个里头的啊，这个你要看到就是一些特殊情况是允许的，你比如说这种，我要说 x 减 x， 然后 limit， 那 么 x 趋向于零，那我给大家看一下这个啊， 像这种问题你从概念上理解呢？你要这样的理解，我问大家， x 减 x， 那 么这个括号旁边给搭一条箭， x 趋零，这是个什么 啊？这是个什么你要搞清楚啊，这个呢是一个特殊情况，知道吧？大家知道在实数系里 x 去零， 他就只能是零，是吧？所以零减零还是零，所以这个数是零？没错，是实数啊，但是实数也是超时数， 对不对？但能明白意思吧，实数也是超时数啊，因为你，你一旦是实数，你在实数集合里，你当然也是超时数里的数 啊。所以我们这个答一括号啊，里边写一个趋向条件，你记住，这个一定是个超时数，这个没问题，他只是在某些特殊情况下，他会是一个这个，这个叫做什么？他会是一个这个实数 啊，这个情况是吧？那么这样的话呢？呃，从概念上来说，这个超时数的极限，那你先做什么运算？先做实数运算， x 减 x， 任何实数减实数是不是等于零啊？所以呢，你实际上算的是 limit x 曲线零，那么是零， 请注意啊，那么你这个是实数运算的结果已经是零了，是不是说明他就是数轴上的这个实数零啊？啊？我们说实数的趋和运算 就局限他自己，他当然还是他本身就是零啊，所以是这样来算的。好，那我再说一个例子，那你你看好了啊，看大家理解。那么如果讲 limit x 是 趋向于这个，呃，零啊，你比如说我是给个 x 分 之一减去 x 分 之一 来，你说这个，怎么？这个是多少？我们首先从计算上来讲，这个应该很简单了啊，我先说概念，大家告诉我， x 分 之一减去 x 分 之一，搭一个条件在边上， x 去零。来，大家回答我，这是什么？ 哎，对了，你这个方法也很熟悉了， x 要多少有多少，只要是实数域， x 就是 零， x 一 旦是零，这叫不存在，对吧？没有 x 分 之一这一说，你 x 分 之一都没有，所以 x 分 之一减 x 分 之一，整个这个表达式都是不存在的， 明白了吗？他不存在啊，所以他在哪？这在超时数系列， 明白吧？但你只要实数域里没有的，那肯定在超时时期啊，这个这个原则就是很容易去掌握了啊，所以这个概念是说还有，但是接下来呢，当你做计算的时候就很简单了，我们先算什么？你先做实数运算 啊，那么实数运算里头，那你你，你算的是 x 分 之一的 x 肯定不是零啊，对吧？你讲，你看，你待会要去零，那 x 还不是零，那么就只有超时数系里的非零无穷小啦，对吧？那是满足的你，实数系里这个是没办法算的， 那不存在的吗？对吧？好了，那么先做实数运算，所以大家现在也能理解我这个是没办法算的吗？对吧？好了，那么先做实数运算，所以大家现在也能理解了啊，因为这里面是确实有这么一些，这个 第一遍你可能还没有完全透彻理解的，是吧？就是我实际上说 x 分 之一减 x 分 之一，如果你是 x 去零，那么你要认为这个 x 是 实数的话，这个就是错的， 能明白，是吧？因为一旦 x 去零， x 就是 零，实数里面就是这样的， 对不对？所以这个就没有意义了啊。所以你一定要知道，这里面 x 分 之一， x 分 之一，它都不是实数，哎，但从运算上来讲的话呢，那么我们是这样算的，怎么算呢？先算实数啊，实数运算， 但是你要知道，就是说你要做这个实数运算，它首先它的存在， 是吧？哎，你这意思吧，所以整体来看的话，其实你在实数系是没法做的工作的，你只有在超时数系里，那么你才能做这样的时数运算。我，我说听懂没有，就是你只有在超时数系里才能做这样的时数运算， 实数是包含的超时数系列的啊，就这个就没，不能太讲太深了啊，没必要啊，大家也没必要现在就就就是琢磨这个较这个真啊。呃，概念听懂，主要会算，先算里头你当成实数算， 当然实数算呢，那么这个时候呢？ x 分 之一减 x 分 之一，大家看这是不是等于零了，然后等于零的话呢？你再算极限， limit x 去零。哦，意思我明白了，它实际上还是什么？它实际上是说这个东西呢？是零本身是实数，那么它的趋和运算呢？那么还是零啊，所以这个极限也还是零 啊，这个极限还是零，所以大家知道零的周围啊，那么他，他这个是有这个无数个光圈的啊，因为你看这这些东西算出极限都是零啊，对吧？你刚才这个 x 减 x 算出是零，无穷 x 分 之一减 x 分 之一算出极限也是零，是吧？那么那么再说一个，那这个呢？ 那么你既然知道这个运程顺序了啊，所以大家如果见到这种 x 减去三 x， 然后取极限， 是吧？ x 去零，那大家就看到你这个东西是不是先得算？它就是 x 减三 x， 你 先得做什么？做实数运算是吧？然后再算极限， 所以我这个当然这个例子呢？等还是不等？这个我举的这个例子就过于简单了啊，刚好呢，大家你听课吗？你这就说，你这给我稍微的修改哈。这个当然，这个不是，不是在数量上不等啊，数量上他是等的， 就是他是什么呢？就是概念上，嗯，那是不等的。为什么呢？因为我这样子，你知道我想怎么算啊，就是我不看极限，我就认为把它写成这个了， 这个肯定不等啊，是吧？他是不等他呀，当然不等，因为你这孩子 s 零呢，对吧？你 s 零的话，我们说了曲线零，他就不是零， 是吧？他是一个超时数，他不是零，那么不是零，那么你这个三 x 是 不能等于 x 的，是吧？大家这是很简单的一个基本道理，所以既然他不能这样运算过来，所以一般情况下你做这种极限就不能等了， 从概念上就不等了。听懂没有？这个有点特殊啊，因为你现在这个就是 x 减 x 和 x 减三 x， 这两个超值数都是以零为和的，所以它最终呢？它相等，是因为它这个计算结果确实都是零啊。以这个以零为和的，所以它在计算上啊，它的归数是一样的， 但是呢，他跟他并不是一回事，明白是吧？我再给你举个例子啊，说这个呢，这个例子不是很难啊？啊？这个太简单了，可能体现不出来，你就把这个给我加一个例子啊，比如说，我再换一个例子，比如说什么例子呢？ x 减去三 x 比上 x 的 三次方， limit x 去零。我后面会讲到这个非常重要的极限， 你现在看到他呢，也不会觉得有什么了不得的，是吧？我来问，你来答， x 减三 x， 请问比上 x 的 三次方，这搭一个条件， x 趋零，这是个什么？答的好，超时数， 对吧？再来一遍，脑子里这个印象特别深刻了啊，时数体系下的功底告诉我们， x 要多小有多小， x 只能是零， 故 x 一 在区间里，你只能在，你若只在 r 内讨论的话，实数一讨论的话，那么这个 s 在 分母上这个式子就无定义了，所以必须扩大数系，我们到了这个超时数系里，能懂吗？好，这是个超时数。好，我们现在就说，你先应该算什么，你先应该算的是这个实数与算 明白是吧？然后再去做什么？哎，极限运算，这是这个基本法则啊。但是如果大家做的极限这个时数运算，那有同学问老师，这个时数运算怎么做？这以后告诉你 啊，我们说的除了罗密达法则之外呢，我们后面会讲到泰勒公式，泰勒公式呢，这个三 s 可以 展开的，它展开之后呢，就是一个时数到时数的过程，那么他就可以进行化简化完了之后再取极限，是这个意思。那么我说的这个错误的东西是什么呢？就是你千万不能这样干，你说 把这个 x 减去 x 比上 x 三次方，因为有同学学过极限是吧？大一的时候他说三 x 是 等加 x 的， 对吧？ 就相当于我刚才这个，因为这个例子太简单了啊，所以我想换这个例子，那就什么意思呢？他说三 x 等加 x， 那 我就把三 x 换成 x 了。那么大家看这个是什么？这个极限是，这个极限是什么？ x 趋向于零的话，大家看这个极限是什么？这个极限是零吧。 为什么？请回答，因为这个超时数我不再重复了啊，在 x 趋零时，我们先得做时数运算吧，这个时数运算是 x 减 x， x 减 x 一定是零， 这个没问题啊。于是呢，这个实数运算是零，然后你再算区和运算，那么当然就是零，因为零的和还是零本身， 对吧？但是这个就不等了，这个你回头知道，这个算出来是六分之一啊。我只先告诉你啊， 这个算出来是六分之一，他不是零。所以呢，你看这三 x， 如果你改成 x 了，你看这两个极限就不一样了， 所以我们不能随便改他的原因在于说，我这个时速运算的这个时速运算跟这个时速运算他是不相等的， 不等就不能随便写等号，有的时候等是巧合，明白吗？大家？因为你到这到这不是恒等变形，所以你这个极限他就不一定相等 啊，这不定相等啊，所以你一定要注意啊，是先做时数运算，然后再做极限， 当你的时数运算的部分不相等的时候，你就不能随便下结论说他的极限就是一定相等的，这个是没法做的。所以在运算这个角度上来讲，那个等加无效替换啊，我们就可以非常清晰的把它解决掉了。再看一个， 我想这个例子呢，是整个考研数学里啊，大家一定要经历的一个例子啊，因为所有书上都有他，呃，都要讲他。可是呢，你在这个实数底下啊，在这个经典的数学里的，这个没法讲清楚的啊，说不明白的， 但是超熟悉一点，这个就很清楚了。你比如说我们看到这个啊，这个计算 x 去无穷大时这个极限，是吧？我们这里有个这个预备知识，我现在说一下啊，两个重要极限，其中之一， limit x 无穷大，一加上 x 分 之一的 x 方等于 e， 好 吧，就是我现在已知一件事情，好吧，大家已知一件事情 啊，因为这个得后面再说啊，就这我现在告诉你，就是说这个超时数是以 e 作为和的， 在 x 去无穷大势，行吧，你现在知道这个东西或者是写的什么呢？ limit x 去乘以零，那么就是一加 x 分 之 x 分 之一，这个减是一，这两个是一回事啊，因为做个换元就行了，是吧？好，大家说这个超时数在 x 去零时的，这个超时数是以 e 作为和的， 这就大家假设已知的啊，假设是已知的。好，那么接下来呢，我们看看这个极限，这个极限叫做 limit x 趋向无穷大，那么一加上 x 分 之一，那么他的 x 的 平方次方比上一的 x， 这个等于什么？ 所以首先第一条呢，大家知道啊，这个 x 平方的含义确实是一加 x 分 之一的 x 次方的 x 次方，没错吧？这个前面我们讲过 相应的指数函数运算，但这个是密值函数了，这个，呃，密值函数的基本运算的规律，这个是大家是知道的，是吧？哎，因为这个 x 的 x 值方就是 x 平方，这个没错，大家告诉我，你现在做这个极限是不是在遵守一个东西，叫做先做实数运数啊？ 对了吧，这一步从这到这，既然是横等变形，这个极限一定是等的， 说清楚没？这个是对的啊，所以我一定强调是什么呢？那前面那个就不能等，前面就是说你不能下结论的原因就在于说，你从这到这不是核能变形，你就不能下结论？ 我说清楚没有就不能下结论？他就算等，那他也不是因为这样换过去等的，那他是一种巧合， 明白吧？我现在只能这么说啊，这个巧合。所以只有从这到这啊，你做恒等变形，你的极限才能写等号啊，这是第一步，这个好，接下来你看啊，接下来看什么呢？就是说 我们看到的就是 x 趋无穷大时这块极限是不是这个是 e 啊？是吧？就他以 e 作为他的和， 能不能这样写，那就是说你看好了啊，这块正好是趋向于 e 的，是吧？哎，那我就把它怎么样，把它写到什么呢？把这块的这个 e 给它算出来了， 看到没有，就写成了 limit x 趋无穷大，那么整个这块既然去 e， 它不就是 e 的 x 吗？你底下除以 e 的 x， 呦，这不就是 a 比上 a， 那 它就等于一了，那么一的和趋和运算还是一啊，这不就做完了吗？ 就这是一个经典的问题，那么这个问题这样算对不对呢？啊？那大家其实知道这一步就是什么，这一步就错了，是吧？所以这个极限就不是一，为什么错？大家想想看，你做了个什么工作啊？ 我们刚才讲了极限运算啊，或者说曲和运算，他必须是先做实数的运算， 然后再做极限预算，那这步你就是老老实实的，那你这步是干的什么活？你看，我一挡着你就看懂了啊？我问大家，他这个表达式跟这个表达式他相等吗？ 他肯定不相等，为什么 e 加 x 分 之一的 x 次方，大家注意啊， e 加 x 分 之一的 x 次方是以 e 为和的，是吧？ 那我已经告诉你，这个 e 呢，是实数啊，但是 e 加上 x 分 之一的 x 次方，它只是以 e 作为核的，它是个超时数啊， 是吧？你在实数范围内去做预算，你讲你不看极限，你在实数范围内去做计算，这样一个表达式，它本身不等 e， 它只是以 e 作为极限的，是吧？所以你这个等过去，那肯定是不对的呀， 明白吗？你不能这样写啊，所以他这个既然这个表达是不等， 那么你自然这个极限就不一定等。事实上，这个确实是不等的啊，事实上确实是不等的啊。 所以我想跟大家说的意思，你要是如果从预算极限预算的角度上来说呢，你要知道，第一步对的，第一步对的，因为你只做了极限后面的这个时速预算，但是你到这一步就错了，错在哪呢？你先做极限预算，又做时速预算，这就错了， 明白了吗？哎，那么这样该怎么办呢？那你实际上应该知道，他这个往下写，应该是往这写就对了，他应该等于，那么我这个呢？ u 的 v 次方就写成 e 的 v 浪 u 是 吧？浪引加上 x 分 之一的 x 次方，这个 x 再放到这来， 再比上 e 的 x， 那 么再写 e 的 a 比上 e 的 b 次方，就等于 e 的 x 方。用一加 x 分 之一，是不是减去 x， 看到没？就写到这了， 懂吧？那么你既然往下写，这都是实数运算，那么当然它的极限就跟着下来了， x 趋无穷大， x 趋无穷大，明白了吧？哎，到这一步，我们才能做计算，因为你这时数变形已经到头了，然后你整体算他的极限，这是以后的事情了啊，以后的事情你这个极限算出来呢？那最后结果啊，算出来是不是这个不是趋零的啊？ 啊，他既然不去零，那么他就不是一的零，四方就不是一，这个具体怎么算我们以后再说啊，这是以后的事情，所以他从这呢就到这来，这个是正确的。这就是先做实数运算，听懂没有啊？先做 这个超时数，哎，他的 这这超时数的时数与哎这个子集嘛，那在这个里头的时数运算算完了之后再走极限，再做曲和运算， 千万不能在中途随便先做曲和运算，然后再算这个时速运算，这就乱了，这一乱就完蛋了。好吧，你把握住这个啊，把握住这个 好，接下来一个注，要说就把它说透彻。他啊，那么有同学就问了，那么因为他有同学这个学的比较多一些啊，他后面已经复习到了，或者大学一年级时候学过。等价替换， 你比方说啊，我们知道当 x 去零时，这个一减去 q 三 x 是 等价于二分之一 x 平方的， 这个呢，我也只能说啊，现在这已知，好吧，就是你没学过的，没有关系啊，你听一下已知。行，我可以给你个描述啊。这个因为讲完这段呢，我就下面要讲到这个这个趋和速度的问题了，那么等价是什么意思呢 啊？我待会跟你说的意思就说这是零啊，和我们说零有无数个光环是吧？有一个光环叫二分之一 x 方 啊，他是去核的，你知道这 x 去零是这个是不是去零啊？那么还有一个光滑呢，叫一减 cos x， 那 么 x 去零是 cos x 去一，是吧？一减一是不是去零啊？他也是以零作为核值的，是吧？那么一旦等价呢？ 这后面马上就讲了啊，就说明他俩去向零的这个速度啊，就说明他俩去向零的这个速度的一种范围， 是吧？啊，他同阶的，虽然这是等价的，就他俩，你可以这样通俗理解，就他俩去灵的速度是一样快的啊，一样快，他其实不是说在数量上是一样快，就他在一个阶层上啊，一个阶层上， 因为我们现在学的是微积分啊，微积分里的概念，他往往不是说我是你的多少这个倍的那么简单。你比如说我们，我们谈到说啊，他趋向于零的速度啊，他趋向零的这个速度 跟他去零的速度，他的笔啊，如果等于一，这不就等价吗？是吧？那就说明他这个笔就等于二，我们还是说他速度一致 啊，他是同阶，但是呢，那你如果说一个题，比如说，比如说不是二分之一方， x 方就是 x 方，那么 x 方其实是一箭靠上 x 曲线零速度的，虽然两倍，但大家注意啊，这个两倍还是一个阶层的啊，这我们认为他速度一样 啊，什么时候是不一样呢？就是，哎，就后面讲的那个速度就是低阶和高阶了，所以我们讲趋向速度不同的时候，我们谈到的那个是真正的 阶，整个一个一个什么就是从阶上来讲，你是一个天壤之别，那个时候才是叫做不同阶，哎，速度不一样啊，这个以后再说，好吧，以后再说，我后面会提到这个事情啊， 哎，好，你比如说这个，这个，这个同阶，就这意思，就是他曲线，他的速度跟他曲线的速度是一样的。好吧，你现在通俗这样理解， 好，先默认这样一个啊，默认这样一个，那么接下来我要说的事情你看啊，那有同学讲，老师，那我这样做呢？一键扣三 x 比 x 方， limit x 小 于零，是吧？那么我们做的这个极限运算都是直接做等价替换，那么 limit x 小 于零， 现在你由于这个一键靠上 x 是 等价于二分之一 x 方的，所以我们就把分子上呢换成二分之一 x 方，然后底下是 x 方，这样一算呢，等于二分之一， 对不对呢？啊？这个完全正确，完全正确。那现在这问题就来了，你刚才刚刚讲过是吧？不要做，就说你刚刚讲过，说一定注意极限的，先算时数运算，再做极限，对吧？ 去和预算。那你这个怎么又违背了这个道理了呢？那你请问你把一减 cos x 换成二分之 x 方，一减 cos x 肯定不是二分之 x 方啊，你看肯定不是，他是零的，两个不同的光环啊，是吧？那你现在自己不就给自己找了这个矛盾了吗？ 什么啊？你一键扣三个，你怎么换成二分？那个什么你刚才不让换呢？这里头实际上是我们的时数运算的一种简化写法，我来展示给你看，我没有直接把它换成它， 所以就是等价替换啊，很多同学以为替换就是把它换掉，实际上这个不是这样的，你看一下是什么啊？ 我们说这个过程实际上是在实数运算中 进行的，是吧？就是如果你认为这个东西是实数运算进行的，那这个实际上是不对的 啊，那么这样的话，你就跟刚才说这个三 x 换成 x， 那 跟或者说把这一块说换成 e， 那 这个错误就是一样的了， 那显然他不是这样换的，而是什么呢？是这样的，大家来看啊，我们要算他这个东西，我实际上实数你算啊，注意，先做实数，你算，这是第一步啊，我们是把一键考上 x 比 x 方给他看好了啊，是除上一个量再乘上一个量 非零的，那大家同意同意不？同意？这个是实数与算吧。哎，实数与算好，那么是什么呢？我们把这个 a 写成二分之一 x 方，二分之 x 方啊，好，那就是我分子分母同时除上一个二分之 x 方，乘上一个二分之 x 方，能听懂吗？好，我把这个写完之后，大家请注意啊， 你在实数范围内，实际上二分之 x 方比 x 方是可以把 x 方约掉的，因为你实数运算你可以这样做，是吧？所以我后面写了，事实上这样是可以写 的，是吧？就写成这个可以的，但是呢，我实际上不写它，我可以更好的看出来你的这个契合运算是怎么算的，你不是就拿它过来实际上说一遍啊，它是不是写成实数运算？是这个了， 对吧？是不是？就是，呃，一键扣上 x 比 x 方，是不等于看好了，是这个量乘这个量， 对吧？我是时寸运长，我没有做任何其他的变化，对吧？好，然后再一起取极限，这边取极限就是你要求的极限，这边取极限，这就是我接下来马上要讲的，这是四字运程规则。 两个超时数啊，他的什么呢？两个超时数的乘积的极限，如果这两个超时数他的核值都是存在的啊，他就他都有唯一的一个趋向的核，那么这个乘积的极限是可以写成极限的乘积的。 哎，那么这样的预算呢？你就会发现二分之一 x 方比 x 方，大家注意看啊，这个东西在 x 去零时是不是先算实数，先算实数呢？那就是 x 方比 x 方二分之一啊， x 方比 x 方约掉剩二分之一，所以这个极限值是二分之一， 懂吗？这个极限值二分之一，而这个呢就变成什么了，一减 cos x 比上二分之一 x 平方， 那大家知道这个时候一减 cos x 比上二分之一 x 平方，那么这个是怎么算的呢？这个就是我们刚才利用什么 接着看啊，这就利用了我们刚才说的这个一减口三 x 跟二分之一 x 平方，它是等加无穷小，也就是说它的曲和速度是相同的，我们用曲和运算，这样，这个就是这个框框里头呢，它这个东西是一个整体的 极限为一，用等于一来刻画它的趋和速度相同的，明白了吗？所以这样的话呢，整个这个东西它是等于一的，这个是可以这样算的，所以你才会在这个等价替换时呢，看到这样的情形， 他是因为旁边有一个值和速度为一的这样的情形，他是因为旁边有一个值和速度为一的一样， 明白意思吗？啊？所以呢，他就说好像是把它换掉了，实际上你是成了一个除了一个， 明白，听懂意思没有？然后你把这个一键 cos 跟你除的这个人他俩在一块抵消掉了，因为他趋向一了，因为这是因为他是去核速度是一啊，那么就就用一来刻画他俩相同的速度比是二，那你这个位置上就写成二了， 明白什么？而等价替换呢？恰恰他们都是趋向一的，就是他俩的趋和速度都是一，所以这样你往往看不到这一项了，所以你认为说是把一减 cos x 换成二分之 x 方了，实际上不是这样换的啊，你记住，一减 cos x 在 这呢， 他消失掉了，懂吗？这个二分之 x 方是因为你除了个二分之 x 方补偿在这的， 我说明白了没有啊？千万不是说把他换成他啊，这只是个形式上的问题，从本质上来说，一键 ctrl x 已经消失了， 他不是他，而这个人是把一键 ctrl x 一 起让他同归于尽的那个分母写到分子上去了。 这这这补偿一下吗？是这样过来的好吧，所以呢，你这个问题呢就出来了啊，所以我们现在顺利的就过渡到这个区和速度的问题了。

好，下面我们开始讲三函数极限的概念与性质，那么从这部分开始啊，我们就正式进入了这个高等数学的计算基础，叫做极限。 我们首先得搞清楚极限的概念啊，这是最重要的一件事情啊，概念如果懂了，那么后面的性质是显然的啊，计算就会遵守概念和性质，不会出错。 我们对于极限的概念呢，很多同学是啊，没有完全搞清楚的啊，所以导致后面呢，在极限计算中啊，对于很多的规则啊，很多的法则没有搞清楚啊，这根源在于基本概念，我们首先要把它弄清楚， 先看第一个叫做领域的概念，这个概念呢，主要是在啊，这个描述极限定时必须要有的一个专业术语啊， 但是这个很容易听懂。我们先说一下啊，第一个呢，叫做 delta 领域啊，什么叫 delta 领域呢，就是我们给数轴上一个点， 一个 x 零点啊，大家注意，这是个实数是吧啊，数轴上一个点，然后 delta 是 某一个正数啊，往左开错一个 delta， x 零，减 delta， 往右开错一个 delta x 零，加上 delta。 在我这个手心里头啊，这是中心点对不对啊，往左一个德特距离，往一个德特距离啊，这样一个开区间，我们把称之为叫做点 x 零的德特零啊，这个大家很好去理解的 啊，这个记号在这啊， u x 零德特，然后如果用不等式来表示呢，它的表示法在这， 这个我就不啰嗦了啊， x 到 x 的 距离小于点它，对吧啊，这里面猫着无数个 x， 这里猫着无数个 x， 对 吧？那么这些 x 呢啊，到 x 的 距离是小于点它的啊，所以是开区间，对不对啊？然后呢， 绝对值有有可能等于零呢，对不对？如果它大点零啊，如果等于零，这个没有限制，它不等于零啊，所以它可以取到 x 点，所以整个区间的点都在里头了。 第二个呢，叫做去心 dna。 什么叫去心呢？那就说我把这个点怎么样？很好把它扣掉 啊，整个去键只是不含这个中心点，所以我们叫去中心点的 dna 领域，简称去心领域。 在这个去心领域呢，你的不等式无非就是加上一个大于零了，对吧？大家，你加个大于零啊，因为绝对这么大一点零了，你让他不得零，他显然就大于零，不得零也意味着 x 不 取 x 零啊，所以就是德特领域和去心德特领域 这个呢， u 上面加一个点，画个圈啊，画个这个圈啊，这就是去心淋浴啊三。那这个更简单了啊，就是左边这块呢，我们称之为叫做左淋浴，对吧？右边这块呢，我们称之为叫做右淋浴啊。 呃，从概念上来说，这个就说完了，是吧？呃，淋浴就是区间的一种， 但是我们接下来要说的事情就是他虽然是一个区间，可是这个区间啊，啊，不同于我们在以前啊，大家在中学阶段学到的那些个区间， 这个区间是为了啊这个极限定义啊，才创造的这么一个区间，也就是说我们整个这个屏幕里头，大家注意啊，我们有一个问题是悬而未决的，就是这个德塔，他说是某一个正数， 什么叫某一个正数？已知区间是多少就多少，对不对？你说德塔是一，那就是一，德塔是零点五，就零点五某一个，这个就很别扭 啊，我们在高等数学里呢，基本上课本都是这样写的啊，那什么叫德尔塔领域呢啊？我们称其为在点 x 的 附近 啊，然后这个距离是多少啊？甚至后面我们说到 x 趋向于 x 零，这个距离是多少，我们都没有说明，是不是啊？就叫附近啊，在附近，那么这个附近到底有多近多远？ 我这有句话啊，叫做没有必要说明，大家请注意啊，没有必要说明是有特殊语境的，也就是接下来我们讲的有德国数学家威尔斯特拉斯给出的这个极限定义，是没有必要说明的啊，这个附近有多近多远， 他这什么原因呢？就是因为他是难以说明的，但是这个难以说明是在现有的体系下难以说明，如果你把这个体系再做扩展，我们就可以说明 啊，所以今天的课程啊，就主要希望大家要听懂啊，我们要用扩展我们的数系来研究啊，这个难以说明的东西到底是什么？ 你如果把这个听懂了，那么整个的极限你就不会迷失，在任何这个场合下，你就不会迷失。 这这个困扰了牛顿莱布尼兹一生的啊，在牛顿莱布尼之后啊，两百年之后才出现了这个极限定义啊，但是在这个极限定义下，也没有说明 这个趋向到底是个什么，我们下面来看定义啊，我们带着这个疑问，带着这个问题走进函数极限的定义， 这个定义是这样说的，那么如果给 f x 在 点 x 零的某一个去心领域内有定义这样一个条件啊，那就说的很清楚，我是去心 x 零 往左 x 零减德尔塔往右 x 零加德尔塔，对不对？大家，然后呢？我是这块跟这块都有定义，是不是？哎， 这个实数点左右啊，它的附近 f x 都有定义，对不对啊？那么如果存在常数 a， 对 于任给的 x 零，不管它多小，总存在，大家看这个，这是不是我们上一页刚刚讲过的那个 多少区形领域啊？总存在一个区形领域，使得 f x 到 a 的 距离小于你给我的那个尺度。 epsilon， 这个，你这个相当于是一个尺度，这个尺度是什么呢？它这个是个尺子，它来衡量什么呢？衡量它和它之间的距离，那绝对，这不是距离吗？我们前面说过了， 对不对？对，你给我把尺子那个尺度啊，你不光给我这个尺度，尺子有多小？哎，那我的距离总比你给的尺度还要小， 以此来刻画出 f x 啊，它的极限值是 a 啊，这 x 去 x 零时， f x 极限值是 a 啊，有时候也继承 x 去 x 零时呢， f x 去成 a， 把整个这里头的这些个啊，文字描述啊，我们写成精炼的数学语言，叫 abc 语言，是这样写的，就是 f x x 零的极限值为 a， 那 他的重要条件是？注意，我再念一遍了，又来了啊，任给 abc 大 于零， 我总能找到一个德塔去心领域，对不对？大家，使得，那么我们的距离小于你给的这个尺度。 好，我来给大家画个图，我们来分析一下啊，这个过程是什么？好，比如说我们看一下啊，那么就假如啊，我现在这有一个 这个 x 零点，听好了啊，我的曲线呢，就是这样的一个曲线啊，假如画这样的曲线 啊，你听好啊，然后呢，在 x 零点这个位置啊，我们现在对应的啊，假如说我现在对应在这啊，我这个有个 a 值， 换句话说呢，我可以画一条水平线啊，这条水平直线呢，跟这个曲线交待，这个点，这个点的 y 坐标， y 轴上坐标是 a 好 不好？哎，好，你注意了啊，我现在开始研究这个了，任给一个 a b 乘以大于零， 那么这个大一些，大一些呢，我就是画在这，那就会出现一个什么呢？那就是我们就是画了这么一个 范围，大家注意看啊，那么这个范围呢，是关于这个 a 是 对称的啊，但我画的稍微有点不对称了哈，这，这个叫 a 减去 e b c 弄 e， 这叫 a 加上 e b c 弄 e， 对 吧？大家， 那我问你， f x 是 不是确实是在这样一个范围内啊？可是在这个范围内是不得有，哎，对了，得有一个区间啊，所以任给一个，也不是弄一 啊，这样一个宽度啊，我这条线都在这个宽度里面，但是是这样，确实是存在这样一个什么，你看是不是存在一个 x 型减德尔塔到 x 型加上德尔塔，我们称为叫德尔塔一了， 对吧？我们给了这样一个德塔一的领域，是吧，使得我整个的 f x 到 a 的 距离是不小于 e b c 龙一 啊，这是我说的第一个啊，好，现在我们让 e b c 龙变小，我取个 e b c 龙二打一零，你不是这个任取吗？任给 e b c 龙，这可以的，然后，好，我们就看着啊，我现在呢把它画到这去了， 目前的是这样的，不到变小了，看到没有？变小了，好，这叫做 a 减去一匹生龙二，这叫 a 加上一匹生龙二，对吧？大家，那你现在告诉我，要让 f x 到 a 的 距离小于给的一匹生龙二，是不只能用这一段了？你看啊，这就是存在在这，你看这一段， 是不是这一段，这一条曲线是在这红笔画的框框里面啊？我，所以我确实一定存在一个 x 零，减去得它二 到 x 零，加上德尔塔二，是不是在这个德尔塔陵里面，这中心点啊，这中心点，那么在这个陵里头，哎，去心陵里头是不是有这个曲线，是不是也在这里头啊？要被夹在这个框框里面？ 好，那么大家想想看啊，当我这个一百四十龙啊，一直取下去，越来越小越小，大家想看，就是这个两条线，是不是他们之间的这个宽度是越来越近，越来越近，对不对？ 好，好，你看好了，越来越近，越来越近，越来越近，最终趋向于什么啊？你不管这个距离有多近，我总能找到一个小领域，看到没有，总能找到一个小领域，使得在这个领域里面，除了 x 顶点之外，这个曲线啊，被夹在这个 无限小的宽度的这个这两条线里面，明白了吗？我们以此来称，那么这个 f x 啊， 他在 x 去 x 零时，注意看啊，就是 x 去 x 零时，我这个 f x 啊，是趋向于 a 这个值的啊，就他是趋向于 a 这个值啊，趋向 a 值，趋向这个点的重坐标 y， 坐标是 a， 这个呢，就是我们威尔斯特拉斯给我们的啊，就是目前我们的数学语言，标准的数学语言啊，就是这么定义出来的， 他解决了一个什么呢？他解决了一个这个牛顿和莱布尼兹啊？思索了一辈子就没搞清楚的问题，就是那个无穷小到底是怎么描述的 啊？你看啊，我们现在说了，假如这是 a， 说 f x 无限靠近 a， 那 么这个无限靠近，这不就是趋近吗？无限靠近 a， 那么你是让你看得到啊，在这个时候呢，当你这个一步之龙任意小的时候，我想要，想要想让他这个成立啊，要让这个事情成立，那么这个我身上也趋近于 x 零了，对不对啊？所以他有在 x 去 x 零啊，所以就 x 去 x 零， 所以你现在要这个 d 它，你要想问我这个 d 它到底多少？那我可以这样来说，那当 x 零的时候，其实你这个尺度，这个 d， 它这个 d， 它就是趋零的，因为这样的话，它才能趋向于 x 零啊，对不对？ 所以我们现在集中所有的问题就在这了啊，就是威尔斯特拉斯给的这个界限定义，他就是把所谓的无穷小的这个难以说明的事情呢，用一个斩钉截铁的语言，用一个严格的不等式把它解决了， 解决什么呢？各位？他回避掉了。无穷小到底是什么？你看到没有？这条线 画在这啊，你看是这样啊，这点不管他啊，这点不管他啊，说我的 f x， 这是 x 零点哈，你仔细看他最终这个无限小的时候啊，这宽度无限小的时候，那么所以说 f x 呢？就趋近于这个点的 函数值啊，这不它的 a 值吗？那同时我这个 x 也是趋向 x 零的，这个 x 也是趋向 x 零的， 从这边趋向于从这边趋向，在 x 取进 x 零的时候， f x 取进 a 值，看到了，就是这个意思吗？这不很简单吗？他是趋向于这边量啊，那么函数值就趋向于极限值，就趋向于这个值，对不对？他回避掉了 x 到 x 零，这到底有多远啊？哼， f x 到 a 到底有多远啊？没有讲 我们今天所学习的，大家注意啊，我们今天所学习的，其实就是这么回事啊，比如说我们讲到了，如啊，我随便说一个 limit， 你 听好了啊， x 趋向于零啊，我说 f x 的 极限等于一， 你注意啊，我们把过程用威尔斯特拉斯的严谨的定义给他解决了，所以我们得到的是目标啊，我的问题出来了，就是我现在要就是 f x 在 x 区零时，他的值是多少？ 哎，他无限靠近的那个唯一的结果是什么，我们是找得到的。至于说 f x 到他的唯一的这个目标，这个极限值，他们俩之间的距离，我们是不管的，我们也不描述， 明白了吗？是这个问题啊，所以啊，就会带来一个啊，大家在今后有可能会出现一个，比如说 limit， 我 随便写啊， x 趋向于零啊，我写一个 x 减去三， x 比上 x 的 三次方，我写出这样一个表达式，同学们来看啊，你来告诉我，先不看分母啊，如果没有这个极限符号，这个大家都看得懂，我这个是 x 吗？对吧？你比如说 x 取一，他就是一， x 取一，这三引一是不是一减三一啊？那就是个数吗？啊，这个点， x 取一，一的三次方就是一，这不就很简单吗？对不对啊？这是普通的，我们在实数域范围内就这个东西，现在的来了， x 趋零，那我现在问你， x 这是零哈？那 x 不 论是这边曲线过来，还是这边曲线过来，我问你答， x 趋零， 这个，这个距离是多少？你说 x 无限靠近零，那距离多少？我不知道呀。哎，这是我们不知道的，同学们听好啊，就是不知道，在整个数学分析高等数，直到今天我们也不知道。 你不是说这个是历史局限性，没有，这个没有局限性，我们确实不知道，就是在整个微积分的体系里面，这个是不知道的啊。那我现在问你了，那你看这个啊，那么这个 x 是 什么意思呢？ x， 你 可以让它减零啊，是吧？ x 减零就是 x 到零的距离啊， 那么 x 去零，那意味着 x 到零的距离，你不，你不知道啊？好，减去三 x。 我 问大家，三 x 是 什么？三 x， 三 x 可以 减零啊，对不对？你看好啊，那么三 x 减零是什么？是三 x 到零的距离啊，你也不知道是多少，对吧？那么 x 减 x 什么意思？ 哎，同学们， x 减 x 什么？这是零哈，这是无限靠近他的 x， 是 吧？这时候还有无限靠近他的什么？三 x， 无限靠近他的三 x， 我 们都没有办法画出他的这个点坐标轴上的位置啊，因为他是个无穷小，对不对啊？他这个距离无穷小你都画不出来的 零，旁边还有个 x， 有 个三 x， 那 你告诉我， x 减三 x 是 x 和三 x 之间的距离啊？ 你现在不知道 x 到零的距离，也不知道三 x 到零的距离，那你更不知道 x 到三 x 距离，那这都无从谈起的， 对不对啊？那么现在我告诉你，我们的极限能研究什么啊？那大家知道 x 三次方呢？ x 三次方也是到零的距离啊，对不对？那不减零吗？ x 去零，三个 x 相乘，是不是无穷小乘？无穷小乘无穷小，那么它还是趋零的吗？所以它到零的距离你还是不知道， 所以我们这个极限问题我们要解决，他根本不管过程的，你就是你根本就不能去研究他到零的距离，他研究好把他距离找到，然后呢？再找 x 三次方到零的距离啊，再找个 x 三次方到零的距离，是吧？然后呢？再去比， 你做不到。其实这就是极限啊，就是为什么高等数学啊？这叫高等数学，难以理解的， 大家在平时学的那那个东西都很简单的，是吧？你比如说我这个距离，那中学生，小学生，你随便给他讲说这个，是啊，比如说这样学的，这是一，这是二，这是三， 是吧？然后的话呢，这个二减一，就是二到零的距离，减去一到零的距离，比如说他到零的距离，减去他到零的距离，那不就他俩之间的距离吗？然后除以三到零的距离啊，假如说他是三到零的距离，那么比上三，那就算是得三分之一，我们是非常容易就解决问题了，是不？大家 这就是我们的这个不抽象的数学啊，基本的啊，实数你搞定了？可是今天我们遇到的这个问题，我们哪个都不知道啊，任何一个距离都不知道。可是同学们听好啊， 那你这样说的话，五积分不要学了，什么都不知道。不，我们不知道过程，我们不知道这些点到底在数轴上哪里，但是我们却知道他的结果等于六分之一。 不用，那你听我说啊，其实这个六分之一是个什么呢啊？他是说 x 到三 x， 听好了啊，就是 x 啊，到三 x， 我 随便再画一下吧，它是指 x 到三 x 啊，它的距离 比上 x 三次方啊，比如说 x 的 三次方到零的距离，说这个距离比上这个距离，他的比值是六分之一。 哈哈，你听好了啊，在实数域内，就是我们的知识体系里啊，实数里面你是不可能画出这个东西来的，我只是通俗的在表达一下，明白吗？大家？因为他是无限靠近零的，你在实数中是找不到这样的点的，找不到这样的点的， 但是我们确实在找不到这样点的情况下，我们却能把它的结果算出来啊，我们却能把它结果算出来，这个就是我们的极限啊，大家学微积分的意义了啊，这就大家学微积分的意义了。 那么顺便我说一句啊，那你要是这一段啊，大家现在还是在感受中啊，你们还没有，我还没有正式给你介绍，怎么去表述这个无穷小，但是至少大家已经懂得一个道理了，你看啊， x 减去三 x 比上 x 三次方。假如同学们啊，这个后面我们就很容易把它算出来的啊，只要大家知道它是六分之一， 可是有同学在初学阶段呢，要有的书写了，说三 x 等价于 x 是 吧？大家当 x 趋向零的时候，说它等价于它，有的同学啊，就在这把三 x 换成 x 了， 然后呢，这分子呢， x 减 x 就 变零了啊，所以零比上 x 等于它就算是等零了呢？你知道怎么错的吗？ 我们强行要求学生，就是说加减法时不要替换，就是你学的这个加减法时不要替换。那我就告诉你啊，你想想看， x 是 三 x 吗？ 他不是啊，我们的 x 本身就是谈 x 到零的距离对不对？那么三 x 是 三 x 到零的距离，你怎么能把这样一个他不相同，他们自然距离不会相等，你怎么可以把一个不相等的量带进去呢？ 是不是啊？啊，你懂了，就是很多同学为什么这样乱带呢？因为他不知道，他不知道，他不知道这个东西是不等的，他总以为三 x 等价， x 等价吗？不就把它换掉了吗？不是， 等价的含义只说明三 x 比上 x， 在 x 去零时，他们作为无穷小的这样的一个范围上的一个 比值是等一的，这个一说明什么呢？说明他们俩的这个比值啊，去向零的速度，他那个尺度是一致的，但是绝不代表他俩的长度是一样的，所以这个地方是不能换的。 好，我这个呢，先说这么多啊，下面我们来把这个问题解决掉，来继续。下面我给大家说一下这个无穷小到底怎么描述啊？你这个 x 到零到底怎么办呢？大家回顾一下， 我们最开始学了这个有理数，是吧？可是有理数解决不了一个问题呢？就是二开根号，这个怎么解决？ 我们发现这个有理数理是对应不了二开根号的数的，二开根号他不是个有理数，所以为了研究大家是不是扩展到了实数域， 我们出现了无理数，对不对啊？出现了实数域，可是有了实数域中，你发现呢？又出了一个问题，什么问题呢？这个负一开根号你解决不了了， 实数里面没有谁的平方，等于负一，对不对啊，那实数里面平方是大于点零的，那复数怎么开根号啊？为了研究问题，我们又出现了复数， 又出现了复数域，对不对？所以其实啊，同学们知道这个呃，数学这个， 他的这个魅力就在于啊，我们是不断的遇到问题，然后呢，去用数学去解决问题，当然这中间是要有一些伟大的啊，创造的 那么无穷小在哪里啊？我们刚才说了无穷小这个概念啊，包括无穷大罗，他是不是实数，你没有办法在任数轴上的任何点点出这样一个数，所以呢，我们也可以把实数再做 术语的扩展，我们可以叫做超实数系。 这是啊，应该这么讲啊，就是目前来讲啊，这是最呃 近的啊，离我们最近的数学知识了。当然由于超时速系的建立，他的规则是要在非常深刻的树立逻辑的基础上，所以这个是没有办法啊，做大众化的推广的。 这也就是为什么我们的微积分教材里是不谈这个超实数系的啊，因为他的性质，你既然要谈他的概念，就要谈到他的这个这个实数系的规则 啊。这个，呃，作为实数系啊，大家从中学就学的很清楚了，可是超实数系的这个规则的建立啊，从实数扩展到超实数，这个是相当困难的， 就是他是要有一个非常这个深刻的梳理逻辑的这个基础的，所以我们不讲啊，我们也没有办法在我们这个课程里面啊，或者大家现在的这个学习的阶段去研究和交流这个事情， 但是我可以通过啊，这个超时速器给大家说啊，这么一个比较啊，这个直观的啊，比较能够让大家理解的一个东西， 什么叫超时数系呢？那就是说除了原来的实数啊，这个实数就是 r， 我 们写成 r， 那 么超时数系呢？我们可以写成 r， 是 大 r 星， 那么不是实数的，在超时实实数系里面不是实数的，实际上你想看我们那个无穷小量，它就不是，它就不是实数啊， 我扩展出了超时数系，我就有了，哎，无穷小量，在超时数系里面，我们是有无穷小的概念，还有什么无穷大的概念，这个概念就有了 啊，那么我们给一个这样一个描述啊，我给大家这样说，你们大概啊，听得懂啊，瞧，这个点是 x 零，你听好啊，这个点啊，是实数，注意啊，实数可以叫做和， 虽然呢，在这个实际的翻译当中啊，他不叫核啊，这个叫影子，但是呢叫核或者叫中心，可能更容易被大家所理解， 就这个呢，是核啊，就核心的意思啊，核心，然后啊，他旁边啊，这个 x 零啊，告诉你，任何一个实数就自带光环啊，什么叫自带光环呢？他边上有无数个 以 x 零作为标准时数的超时数，这句话怎么理解？听好了啊，我们记任何一个，这个叫 x 啊，你注意啊，这个叫超时数，它不是时数， 超时数等于什么呢？ x 就 等于啊，你注意，听好了啊，它是等于这个 x 的 实数部分啊，叫做标准实数部分啊，这个 standard s t d 啊，可以写成 s t d， 那 么它是这个 x， 那这个是谁呢啊？就是 x 零啊，就是 x 零，然后就标准的步，再加上一个无穷小量，这个无穷小量就是谁，就他减去，他就是 x， 减去 standard x 这个东西就是无穷小量了。哎，我们就把这个数系啊引入进来了，我给你举个例子啊，比方说你刚才说到的那个这个，比如说厘米特， 随便写一个啊， x 曲线零，同学们知道三 x 比 x 是 不等于一啊？啊，假如你不知道也没关系啊，我现在告诉你好不好，就是我们现在可以解决它啊，三 x 比 x， 极限等于一， 可是我们不知道他们的距离对不对？那么你在超时数系里面就找到他了，你看好了啊，我问大家，这个 x 是 不是这里面就写成什么？写成了，是不是叫三 x 变成 x， 是不？这个他的极限是一。哎，大家懂了哦，那我现在我这个盒啊，是一一啊，自带光环，他旁边这个光晕啊，哎，他旁边这光晕里头有一个人，叫谁呢？打得好，叫做三 x b x 啊，在 x 区零时，在 x 区零时啊，但这个指明趋向在 x 区零时，那么在这个超时数系里面，这个一边上有无数个无限靠近他的，其中有一个人叫 sin x 比 x， 那 么你注意， sin x 变成 x， 它等于什么呢？这个就是超时数了，他不是实数，因为他在 x 区零时，他是无限趋近一的，他不是一个实数轴上的一个确定的数了， 它是无限靠近一，但是永远不到一，是不是？那么它等于什么呢？它等于 standard 的， 就是这个，这个超时数的 标准时数部分啊，就是 standard x 啊，是 standard 的 三 x 啊，比上 x， 大家注意这是几啊？很好，它等于一啊，就这个一啊，就你往谁趋向就是谁啊， 这个是实数，实数加上一个什么，很好，那就是用三 x 比乘 x 减去 standard 三 x 比乘 x 啊，这个就是无穷小量 啊，无穷小量。这无穷小量是什么呢？答得好，它就三 x 比 x 啊，减去它的这个一啊，减去它的标准实数部分， 那么他们之间的距离，这个距离在 x 区零时，大家知道这是无穷小量啊，这无穷小量，那么这无穷小量呢？实际上就代表这个点到这个一的无穷小距离。无穷小距离啊， 这个叫做超时速系啊，我给大家介绍这段啊，我不是指望同学们去研究超时速系啊，我再说一遍啊，这个规则 啊，他的梳理逻辑是需要一个非常深厚的底子的，我们现在很难给大家再讲下去其他的东西了，我只能用这样尽量通俗的语言来告诉同学们，就是事实上这个无穷小量在最开始牛顿和莱布尼兹是把他抛弃掉了 啊，就他们说一个量，无限靠近 x 零，但是永远到不了 x 零，他们就是用这大白话来描述的， 可是由于他们的这种描述没有数学基础啊，所以被很多人批判啊。最后大家是把这个扔掉了，然后有了威尔斯特拉斯的这个极限定 义，极限定义他是定义什么？这回避了这个无穷小到底是什么，而用这个不等式啊，扔给 x 大 零，扔给无穷，不断缩小这个区间，不断缩小情况下总会找到啊，一个区间使得 f x a 的 距离小于你给我的尺度啊， 让他无限逼近这样一个点，对吧？无限逼近那个点，而不谈逼近的这个尺度，这个是不谈的， 但是呢，我们却达到了目标啊，达到目标，今天我们在超时速系当中就看到了，同学们注意，我后面马上要讲一件事情，极限若存在，必有违心， 你理解吗？啊，你可以从啊去这个分析的正面角度去讲，可是那还是抽象的，可是你看到这你就会了 哦，我们实数轴上的每一个实数都是自带光环的，对吧？每一个实数旁边都有无数个无限靠近它的量，对啦， 明白了吗？所以这些个量他的极限都是唯一的，在一种曲线方式下，他就是唯一的这个目标啊，这个目标是我们可以理解的实数， 但是在 x 区零时这个东西已经不是实数了，他叫什么？各位，他叫超时数 好了吧，他这超实数系里面的元素啊，他不是实数系里的啊，这我们让这个一个实数旁边上有无数个人啊，是他的这个以他作为目标的，作为极限的啊，威尔斯特拉斯就是在我们的这个高等数学里面，我们是可以找到这个目标的， 懂了吧？我们可以找到这个目标啊，但是我们把这过程啊，忽略，把它这个回避掉了，不是忽略啊，是回避掉了，因为威尔斯特拉斯也没搞清楚啊，这是在威尔斯特拉斯之后啊，又出现的超时时期的这种拓展啊，这种拓展 啊，到这啊，我想我基本上把这个概念啊，给同学做了一个比较详细的说明了啊，呃，总结一下， 你看啊，我觉得现在大家对有些东西就很好理解了，我后面讲起来啊，我也觉得会轻松很多啊。 数轴上的零，请告诉我是不是个实数啊？很好，任何实数自带光环，是不是啊？他旁边有无数个光晕，无数个光环。好，那大家想想看，是不是有无数个超实数都是以零作为他的目标的，是不是作为他的标准实数部分的， 对不对？你比方说三在 x 趋零时，那你想想看， x 本身是不就是以零作为它的核心的，是吧？对， x 趋零嘛，在 x 趋零的时候，大家知道，那么 sin x 也是趋零的， 那么它逆的 x 是 不是也是去零的？是不是？然后呢，我们说什么 r 三 x 也是去零的， e 的 x 乘以减一也是去零的，对不对？大家，我们有无数个这样去零的量，他们在哪里？各位答的好，他在这个实数零的边上啊，在他边上 怀大家啊，这个簇拥着这个核啊，这是核心啊，这样的，我们所有的量都是唯一的极限值，这就叫极限的唯一性。 好吧，那么在这种情况下呢？呃，我想这个概念呢，我就解释完了啊，我说了，我不惜花费如此大的时间和精力让大家去理解啊，超时数器 啊，你就会明白我们今天讲的函数极限啊，那么这个 f x 一 旦有了 x 去 x 零这个条件，他就不是实数系里的了，他实际上就是超实数系里的元素， 这个数呢，是实数，所以其实 a 就是 f x 超实数系里的超实数。 f x 他的实数部分啊，就他的标准实数部分，这就他的极限值。 懂了，这个我们继续讲下去，我想接下来呢，同学们至少怎么样？哎，我们现在有一个从抽象 概念变到有一定的具体的这样一些感受了，对不对？至少说你看着这张图你就明白了，哦，这些人在这呢，三 x 啊，三 x 啊，什么弹你的 x 啊，哎，是吧，什么烙印加 x 啊？哦，这些人就在零的边上，可是呢，他不是数轴上的， 他是超时数系轴上的啊，靠近零不是零啊，这个是我们说的啊，这样一个概念啊，好，接下来注意。 呃，在树立逻辑当中啊，其实有两个符号特别重要，就是你看，这也是这个，呃，我们常用的啊，一个是认给，一个是存在，是吧？一个是存在。这个认给的符号呢，是英文 arty 啊，把首字母 a 啊，倒着写啊，这是叫认给。 然后存在呢，是英文 exist 啊，他的首字母啊，翻过来写啊，这是这个存在 啊，你从对称性上来讲的话呢，这个 a 啊，就是倒着写是吧，这个相当于是关于 x 轴对称，是吧？ 这个 e 呢？你这个这个翻过来写的，那相当于关于 y 轴对称啊，这个叫做认给，这个叫做存在啊，这个体现了数学的简洁美啊。啊，同学知道啊，数学符号它像是通用符号啊，这个就是这个世界上的通用语言啊，这个数学符号， 这为什么数学大家都看得懂啊？你，你甚至说原版的教材，如果他是专门的学术性的教材，基本上都是公式和符号，你就不他，他和这个文字描述很少啊，你教基本上都能看得懂啊，这个是符号，下面我们看第二个。注， 这个叫做标准的定义啊，标准定义作为啊，函数极限定义呢，好像有二十四个啊，大家不要以为多啊，这个并不多啊，他主要是什么呢？主要是因为趋向方式有六种 啊。呃，自变量趋向方式有四种和四六二十四啊。我们先看第一个，这个是我们刚刚讲过的 啊，刚讲过的这个东西啊，好，我把它再说一遍啊，就如果 x 是 去 x 零的，那你要注意他是 x 零，左边 x 零减去德尔塔，右边 x 加上德尔塔，对不对？大家，那么这样的话呢，这个是左边曲线 啊，这个是右边趋向，他都要包含的，是吧？所以我们给了一个说任意 a 整数大零，总存的大零，使得这个不等式大于零啊，这个绝对是大零小点，它啊，就在这个手心里头扣掉中心点，是不是那么恒有 f x 到距离小于，这个大家就很熟悉了， 我们现在呢，要把它做一个这个呃趋无穷的呢啊，要趋正无穷啊，负无穷呢， 哎，是这样描述的啊，大家注意看啊，中间这个是不变的啊，这个趋向于 a， 是 说 f x 无限靠近 a， 对 不对？大家啊，那么 f x 趋无穷大，那大家知道无穷大量也是什么？哎，很好，超时数系里的元素 非常好啊，他只要不是有限超时数，他就是无穷大量，对不对啊？那就是无穷大量啊，那么无穷大量，谁让他是个超时数了，那么 f x 无限靠近这个无穷大， 那么这个呃这个量，你当然呃，在高等数学里呢，我们是把它叫做一个这个呃广义的数， 那广义的数，那实际上这个无穷大他承担的啊，他也是一个超时数啊，他这个超时数啊，所以如果你把他当做广义的数来看的话呢，他就相当于在数轴上是一个广义的核，对吧？这广义的核呢，在边上也是自带光环，这是 完全可以的啊，有无数个人啊，无数个量会趋向于无穷大的啊，这是可以的啊，完全可以的， 这个就有特殊性啊，他既是超时数啊，也是一个盒。就是啊，这个概念啊，就是要说到这就可以了啊，这个每一个概念里面他都是有这么一些比较特殊的地方的，是吧？哎， 这个特殊地方的，比如前面我们讲过啊，一个绝对值函数，他既是分段函数，那他也是出段函数，是吧？啊，他这有些特殊例啊，特殊例子好，那么趋向无穷大，怎么来描述呢？这么描述任给 m 大 于零 啊，注意啊，任给 m 大 于零，总存在这样一个领域，使得 f x 的 绝对值大于大，你看到没有，他是用这个描述的， 不管给我多么大的正数，我的 f x 都大套绝对值都比你给的正数还要大，以此来刻画 f x 怎么样？哎，他的核是无穷大，无限靠近无穷大。 好，大家换一下描述好不好？好，那么如果正无穷，负无穷，大家知道这无穷大的含义啊，是包括两个啊，是正无穷和负无穷啊。呃，讲无穷大，那你就两个都得写， 那么如果讲正无穷是单次极限，那我们这时候呢，就只谈正无穷了啊，那就说，我这就写个正无穷啊，如果是正无穷的话呢，大家知道，那就是无限靠近正无穷的，就任给大 m， 不 管给我多么大的数，总存在这个领域，使得 f x 大 于这个大 m， 懂了吧，他就往正无穷走了， 那么如果是去父穷的话呢，他是在这边，他有个父穷啊，自带光晕是吧？自带光环，我跟大家再说一遍啊，你这个标的点啊，不，不管是一啊还是负一啊，是吧？零还是正无穷，父穷，我们都把它看做实数系里的数啊，我们说了，无穷大本身是一个广义的数啊， 啊，然后呢，这些个光晕啊，光环，你就注意啊，这个翻译成光晕或者光环，他就不是属实数轴上的啊，不是实数哎，他像是超实数系列的啊，我们要通俗的一个表示而已，通俗的表示 好，那么去负无穷的话呢，他就是无限小了，是吧？大家，哎，所以呢，不管给我多大的正数，那么 f x 都小于负大 m， 是 不是越小啊？ 不管给多么大的 m， f x 都小于负大 m， 那 说明他这个以负无穷为核啊，无限靠近负无穷啊，他是负无穷旁边的超时数啊， 这个大家懂了啊，你懂得这个概念了，于是呢，这不就扩展出来了吗？啊，就是这行，这样扩展，那么竖着扩展，嗯，大家就知道了，我们说 x 去 x 零啊，是去心的，他就知道，就改这个就行了，你看 是不是把绝对值去掉，因为他只看右领域，懂我意思吧，哎，其他的都不改，然后 x 去 x 零负，那只看左领域，去掉绝对值，填负号啊， 明白了吗？啊，好，去向无穷大，继续看啊。那么如果讲去向无穷大， x 无穷大，这跟刚才的说法是一样的，你只要是一个量去无穷大的数，使得这个量的绝对值大于这个大 x， 这个跟函数的曲线的解释是一样的，我就不再重复了，好吧，大家啊，然后无穷大呢，包含这个正无穷和负无穷，如果正无穷就存在大 x 大 于零，使得小 x 大 于大 x， 那 么 x 去负无穷，存在大 x 大 于零，使得小 x 小 于负 x， 明白了吗？就这样的话呢，我们把第一行和第一列把它解决了，你看，随便挑一个中间你就可以解决了。比方说 在 x 趋正无穷时， f x 趋正无穷，那怎么写定义呢？哦，很好，那就是这个，既然是无穷的，那就是任给大 m 大 于零，或者 f x 都大于大 m， 对 不对？在哪里才成立呢？打 x 趋正无穷，那就是存在大 x， 当小 x 大 于大 x， 懂了吧？哎，这个道理就讲明白了，好吧，这个二十四个框框啊啊，请同学们啊，课后好好的给我写一遍啊，你就把这个盖上好不好？你当自己有个表格啊，这表格里只有这一栏，横着横竖着，然后你自己填啊，把它填进去， 做一个比较准确的训练吧，好不好？那么我们对于这个极限的基本定义啊，呃，就先给大家说这里，这个东西呢，还需要通过后面不断的这个学习啊，不断的啊，通过啊其他的场合的理解 啊，再通过做题的理解去把握它啊，去更深刻的把握它。好，我们讲完这个表格啊，我给大家先做个热身， 好吧，因为这个例题一点十四呢，他其实放在这呢，我主要是希望大家呢，就是先有个感受吧。啊，我们这这个是一个热身的一个题目，为什么这样说呢？因为我接下来我们是专门要讲一个超时数的一个啊，这个详细的内容给大家 啊，紧跟着这个例题后面就是，是吧？啊，所以呢，我这个呢就也不做过详细的分析，因为大家听完接下来的内容呢，可以回过头来再看。 第二个呢，他也不在这个这个这个计算题啊，那他计算的我们俩也在后面讲啊，所以呢，这个当做热身啊，大家先感受一下好不好？例题一点十四，那么我这样说啊，已知极限存在， 根据刚才啊，我们对这个表格的描述啊，大家实际上已经也有简单有一点感受了，什么感受呢？就是 f x 比 x 方，他实际上呢，这个是在实数范围内的， 对吧？哎，是不是范围内的，但是呢，一旦 x 去零，就这个这个就变成一个什么，就变成一个超时数了，对吧？那么就是说这个极限如果存在啊，那么显然他就是说在这个时数轴上呢，他有他唯一的一个什么一个归宿，对吧？这是 a 啊，所以呢，接下来的解法上来讲，那么有已知极限存在，我们就可以记啊， limit x 趋向于零， f x 比上 x 平方等于 a， 这是我书上写的这个啊，这句话了，刚开头为什么要这样写？可以这样写？答，就是因为你极限存在，那么就是说超时数它会有个归宿，它归宿就归到 a 上，对吧？这个呢，是 f x b 向 x 方，然后 x 确定这是个超时数， 是吧？哎，哎，你先感受一下啊，先感受一下啊，我接下来还会详细的再跟大家再把这个超时速啊，我们系统性的再讲一讲啊， 好，就是有这个好，有了这个之后呢，那么我们这里得有些预备知识啊，我说了，那这个，呃，有，有些知识咱们还没有学到啊，是吧？好，那么我们设啊，已知 这样几个结论了， limit x 趋向于零， x 减去三 x 比上 x 啊，那么我们假设这个东西，这不叫假设了啊，事实上后面大家会知道这个极限就是零，是吧？ 好，就是假设已知是这个极限是等于零的啊，然后呢，我们又已知 limit x 曲线零，那么这个一减去这个考三 x 比上二分之一 x 的 平方是等于一的， 这个我们在前面也提到过了，是吧？啊，呃，这个在前面提到过，大家或者后面再说吧，就这个呢，就一减考三 x 跟二分之 x 方是等价无穷小， 就是假如说你不知道这两个极限，那我现在告诉你，就是已知他一个零一个一，好不好？然后呢，我们来看看这个极限怎么求 啊，这个极限怎么求？那么在呃，已经这个设 f x 比 x 方的极限等于 a 的 时候，那么实际上大家就发现了啊，我们这里头呢，首先有一个，就是我们可以在这个已知的这个式子两边啊，同时先除以 x 方， 为什么我就制造我们需要的这个表达式啊，是吧，那么两边都除以 x 方，这边呢，就等于 x 减去三 x 比上这几个了，三三次方了，是吧？你本来一个 x， 现在又出个 x 方啊，然后呢，再加上，那么你这个 x 方就被约掉了啊，因为你除以 x 方， x 肯定不是零的啊，那个约掉以后，剩下就是这个 limit x 趋零，是吧？然后呢，就是 f x 比上一减考上 x， 是 这样吧， 好了，那么我们写到这的时候呢，大家实际上已经看出来一个，呃，这个恒等变形的一个机会了，什么机会呢？那么我们我既然跟大家讲了啊，哦，这个还不够啊，我是这个 x 给个三十分吧， 这个三次方呢，这个结果只有六分之一啊，哈哈哈啊，后面慢慢的大家都学都会学到的啊，等于六分之一啊，这个呢就是已知的，好吧，已知的极限， 那么这时候呢，我们先用一下底下这个条件，就是假如你知道他比上他等于一，这时候大家做一个什么要做一个恒等变形呢？就是本来是他除以他，是吧？但是呢，我知道的条件呢，是，这个 我知道，就是一减考上 x 比上二分之 x 方是等一的，所以呢，这样的话呢，我们就考虑在分子分母啊，都给他除以一个这个二分之一 x 方，大家看啊， 除以二分之 x 方，这底下也除以二分之一 x 方，我们这样一除的这个目的啊，这个就有了啊，因为大家知道底下这个呢是曲线一的，是吧？大家看着啊，这个极限就是因为这个极限是去一的，对吧？ 看到没有，那么这个极限去一的呢，他这样子去一的了，这不就没了吗？啊，那我是不是就剩下上面这个 f x b 二分之 x 方了， 对吧？大家，所以那么这样呢，我们就进一步的可以得到这个 f x 比上 x 的 平方，它就等于 x 减去三 x 比上三次方， 然后再加上 limit x 曲线零，看好了啊，就是 f x 比上二分之一 x 方，是吧？大家，那么二分之一我就翻上去了吧，翻上去呢，我就写到外面去了，因为你 x 在 变的时候，这个二倍的二它是不动的，对吧？所以呢，你就是 x 方，写在这 是不是好，当我们写到这时，你看啊，我们已经算这个极限，是，哎，我们就存在了，存在必然有一个归宿啊，唯一的一个归宿啊，那么这样呢，我们就会两边啊，在这个心是两边呢， 我们就就再取下极限，这样的话，我就可以得到 limit x 去零啊。 f x 比乘 x 方，它就等于，那么这边都要取极限了， limit x 曲线零， x 减去三 x 比三次方， 再加上各位，你这个是多少？大家想想看，这个是不是刚才就是 a 啊？对不对啊？就是 a 啊，你现在，你刚才不是说这个是 a 吗？对不对？所以你看得出来我为什么要这样变形？我这样变形是把一减口乘 x 给它转化到 x 方上去了， 看到没有，这就是 a， 所以 它就是二 a， 那 么二 a 是 常数，常数取极限还是这个常数本身， 对吧？啊？他没有变化，你看，这是很巧妙的建立一个方程吗？他等于什么？这个也是 a 呀，这不你假设的这个这个极限把它记成 a 吗？不是假设记成 a 了，是吧？这就做完了吗？所以由这呢就可以推出来，那就是 a 等于这个极限加二 a， 这不就建立了一个方程吗？ 是吧？然后呢，我们把这个 a 解出来， a 就 等于什么？负的 limit x 去零， 然后的话呢， x 减三， x 变成 x 三次方。由于呢，我们提前告诉大家了，说这个极限等于六分之一，所以这个结果呢是负六分之一啊，这就做完了，那么你这个 a 呢？就是谁？ a 就是 这个极限，是吧？就这个极限，所以这个答案呢选 d， 这个极限就是它 啊，做个热身啊，就是大家先这个知道一下是吧？哎，我这个这个什么叫做极限存在啊？因为这个题的关键一点呢，就是你要最终你要建一个方程， 是吧？那么怎么建这个方程？所以第一步这个是最重要的，就是你要先能写出这个来，而要能写出它来呢，那么就需要知道这个超时数的极限是 a， 那 就说他在这个 他是不在实数轴上的，他的极限值是他自己唯一的归宿的，这个归宿呢，在实数轴上是一个确定的数，那么你建起这样的一个条件的话呢，你才能写出这样的，呃，且才能写出这样的具体的方程。 好热身啊，热身结束，我们接下来就要详细的去谈一谈，你一定要搞清楚，其实我整个解析过程当中啊，有很多的计算规则，呃，我们就是一笔带过了，没有详细说，比方说你这个位置怎么就趋向一就没了呢？ 有时候我知道啊，这个极限等于啊，那你这样一写，它极限不等一吗？那我的问题就来了，你让它等一的曲线移了，那上面怎么写啊？ 为什么可以先算底下不算上面呢？这些问题如果大家刨根究底，那都会产生一些问题，那么接下来我们就通过三啊这个这新增的一个内容啊，超时速，我们来详细的讲一讲。

考研数学基础弱，根本不知道从哪里下手，用这套二七考研数学章宇基础三十讲就对了，包你零基础也能学懂！宇哥亲编书课，结合小程序刷题，高效备考， 一书多册，知识点全覆盖，考研上岸不花多余的钱，现在下单还有诸多精美赠品一并送给你，快来看看吧！

那么你让我去做一千题的基础篇，我可能正确率不高，对吧？那么老师我怎么去提高这个正确率啊？有同学问这个问题是吧？然后呢？后续怎么做题？ 刷题到底该怎么刷啊？这个听课跟刷题是什么关系？大家有一系列的这种问题，那么都突出体现了两个字，就是做，做题 啊，就做题。那么我今天呢，就围绕着这件事情啊，跟大家谈一谈 这个做题该怎么做啊？什么时候非独立做题，什么时候独立做题？做题呢？我想分成两种，一种呢叫做非独立做题， 一种呢叫做独立做题。 那么这两个是不一样的啊，就是有明显的这个差别的。什么差别呢？就是在基础阶段啊， 我给大家一个建议。在基础阶段啊，基础阶段，我给大家一个建议，就是这个时候呢，你可以用非独立做题的方法去对待题目， 我讲一个道理给你听啊，如果你仔细去研究的话，你就会发现我们基础三十讲上讲的例题和那里头的这个每章后面的习题精选我们的例题加习题。在基础三十讲上的时候啊，那么是全面的通过例题去讲解的知识点， 是不是？但你做一千题的时候，你发现一千题的基础篇，他这个题目跟我们的教材就基础三十讲里的例题，他的命题的角度，答题的这个角度，就是你的思路啊，他其实并不是完全一样的，甚至有的是迥然不同的。 什么道理？什么原因？那大家想想看，就是我一千题的基础篇，其实他不是在重复教材里的例题， 这不是中小学阶段是吧？就是说你课上讲什么，然后你课后就套一个完全一样的题目啊，只是改改数字啊，是吧？或者稍微这个动一动啊，几乎完全一样的题目啊，这个你再去做一遍，来这个展现，说你是不是把课上的例题听懂了， 大家知道大学数学就就做不做不到这一点，为什么？那太浪费时间了啊？我们需要做的工作是说你技术三十讲上，比如说我学了十个例题，那么我在习题集里面，一阶题的基础篇里面，我要给你新的十个题， 那么这个例题讲的十个题，他的命题方向，答题的思路和题题题里的那么是不一样的，他们实际上是合在一起变成二十道题，那么这二十道题是更加准确的把握住了所有的命题方向。 这个大家也能听懂我的意思吗？啊？就是你十个例题，例题虽然是最好的，最能把知识点讲清楚的，但是毕竟例题是有限的 啊，那么命题角度通过例题是不能完全说完的啊，因为时间关系不可能完全说完，所以大家要做大量的习题，那么这个习题他会补充， 那么你在例题当中没有谈到的命题角度，这样的话会使得同学们啊就更全面的去掌握知识。 所以在这种情况下，我提到这个非独立做题，在基础阶段他就很有意义了，因为你想想看你做的立这个客户的这个，呃，这个教材上的例题啊，他是一种命题角度，你当然你看到一千题的基础篇的时候，你当然会有一些这个， 呃，这个还是不会做题的这种现象产生，这是很正常的，因为你对这个命题的新命题，他的角度并不能完全掌握，因为你并没有去呃，这个全面的把所有的命题角度都搞清楚，那么再去做题，你并没有做到这一点，所以你的正确率是不高的，而且我告诉大家，你不仅正确率不高，你的这个效率很低， 是吧？不知道大家有没有体会啊？就是你这个刷题的时候，那刷不动，对吧？既影响了效率，虽然也影响了自己的这个心情 啊，这个是这个，而而且没有正反馈给自己，对吧？啊？我知道大家学习啊，希望学一段之后呢就有正反馈啊，但是数学的正反馈不是这样简单就得来的啊，你，你不要去这个想这么简单这种事情啊。呃， 非独立做题是希望大家就是说你看一道题，如果你会做，那么你就把它做下来，如果你想了一会没有思路，那么你就看答案，看答案就相当于是学例题了 啊，他就完全变成一个立体的角度了，那就是说你在技术三十讲教材里学了十个立体，那么这二十个立体被你学到了啊，那么二十个立体学完之后，你把方向把握的全面了，那么你可以再做这么四五个题， 大家注意这个比例啊，千万不是说我学了几个题去做几十个题，而是说我学了几十个题去做几个题，这样的检验能够体现出你这个能力 啊，就是说能力是不是真正进步了，因为这个阶段啊，大家实际上是一个这个 input， 就是 这是一个吸收知识的阶段，这个时候不要你这个，你不要硬这个，硬着头皮去刷题啊，你要不会做的题就这跟他死磕，也就是不看答案，然后呢？就自己在那想啊，一道题想了二十分钟，那半个小时还在那想，这个效率太低了。 那，那道理我已经解释清楚了，你并没有学过这个命题角度，那么你看这个题自然就是不会的，那不会的那我就接着学嘛， 是吧？大家这样的话效率提高了，题目刷的也多了。那么这是我们说的这个基础阶段，如果大家听懂我说的意思了，请同学们打一。就是你听明白我在说什么，请大家打一。

好，各位二零二七考研的同学们，大家好，下面我们进入第一讲函数极限与连续， 那么在讲零基础的时候，我已经跟大家说过，我们在每一讲的开篇呢，有一个基础知识结构， 那么这个基础知识结构呢，是我把考研数学大纲中他的知识点，那么我们给他形成了一个体系化的知识结构图 啊，那么在每讲开始呢，我还是要先讲一遍这个基础知识结构，希望同学们每学完一讲，回过头来一定要认真的能够回顾这个知识结构，甚至说啊，你可以完善它，呃，生化它，形成自己的知识结构。 那么在知识结构之前呢，还有一个表格，这个表格就是考研大纲啊，所以大家不需要呃单独去看考试大纲，我已经把考试大纲的这个所有内容呢给大家写在这了，然后把这个大纲内容我们就转换成了这个知识结构， 明白意思吧，就转换成了这个知识结构啊，你比方说函数的有界性、单调性、周期性、有界性 啊，呃，周期性、极有性，那么我就写在了有界性、单调性、极有性、周期性，我给大家写出来啊，所以我们看的这个基础知识结构呢，就相当于看完了我们的这个大纲啊，就这样， 好，我们来详细的看一下，那么这一块呢，一共给大家分成了五大内容，就是五个知识块了啊，五个主干，我前面在零基础的时候我就说过了啊，要有主干，支干甚至支业是吧？ 第一个知识呢，就涉及到的是函数的概念和特性，这里面需要我们掌握住这样一些，一个呢是函数的基本概念， 这个我们在零基础里也有涉及到啊，这里主要需要大家掌握住，就是什么叫函数，函数要对应一个唯一性是吧啊，我们实际上是有判别方法的， 什么叫反函数？怎么判别一个函数有没有反函数啊？还有就是符号函数，这个符号函数呢，是需要大家掌握 f 跟 g 如何进行复合的， 这个就是基本技能，大家啊，基本技能还有一个记一下，就是关于引函数的概念啊，引函数是怎么提出来的啊？那么这个是需要大家把握的，就是函数法函数、佛函数和引函数 啊，这个我们待会详细去讲。然后就是函数的四种特性了，就包括有界、单调、极有周期， 以及他的后面的重要结论啊，所以这部分的重点呢，这个重要结论呢，需要大家把握清楚，这是第一块， 第二块呢就是函数的图像，这个二我就写到这了啊，我不再重复写了。函数的图像问题，这里面涉及到什么呢？呃，我们就涉及到基本出的函数，包括常数函数，然后就是逆函数、对数函数、指数函数、三角函数、反三角函数， 是吧，以及他们这个经过有限次、四次运转和符合啊，就得到的车等函数啊，那么这里就涉及到他的这个图像的问题了，还有呢就是分段函数， 大家知道啊，分段函数是我们在整个这个考研数学里面一个非常重要的研究对象， 因为可能在不同的区间上啊，就是不同的情况下，那么他的函数关系是不一样的，他就无法用一个式子把它表达出来，那么这时候就出现了分段函数，这也是根据实际情况来的， 所以这个都是重点啊，所以就出等函数和分段函数它相应的这个图像问题，这是我们的第二个， 所以呢，你也可以这样讲，叫做什么？叫做树形结合吧，对吧？啊？图像呢的答案就是以形来研究树啊，研究树啊，树形啊，华罗庚先生讲树形结合百般好啊。 呃，这个大家是要要在整个这个学习过程当中啊，要贯彻这个树形结合的这样一个思想，是吧？ 第三块呢，我们讲的就是函数极限了，函数极限实际上总的来说呢，有三块就分成接下来的三四五。第一个首先是概念和性质， 第二个呢就是计算，第三个呢就是应用啊，连续间断。呃，我这里就说一下这个情况哈，大家先看的这三个啊，我简单介绍一下，以后你会知道。呃，在一个知识体系里头呢， 我们今后我就写在这吧，写在这个柱这个底下啊。呃，我写几句话，就是大家知道今后的这个知识呢，往往其实就是一个这样一个知识，他往往涉及到三块，一块呢是本身的他的定义， 那么定义当然就有性质了，是吧？因为性质是从定义出来的，然后呢往往就会涉及到他的计算，还有一个就涉及到他的使用啊，应用，一般这三块呢是一个知识啊，重要知识，不可或缺的三个部分 啊，不可或缺的三个部分，你比如说我们这个极限就是函数极限，首先他有一个概念和性质，就是定义和性质，就是概念和性质啊，再有一个呢就是他的计算啊，就是函数极限的计算 啊，这是个重头戏啊。那么还有就是它的应用，这个应用呢，大家知道函数极限的应用是整个微积分都在用，整个高等数学都在用，但是呢，在第一讲里面，按照考试大纲也好，按照大家的教材也好，他在这只讲一个应用，就是连续和间断的问题 啊，就这么三块是吧？就是把极限函数极限的计算应用到这个连续和间断的判别上去 啊，是这样的啊，是这样的，好，这个是这样，所以我在说完这三条呢，我们再简单把它详细看一下，然后就，呃详细的开始讲概念与性质里头呢，呃，涉及到领域 函数极限的定义，因为领域的概念在极限定义里面有领域的概念，所以你看我这个很细致的啊，哎，你只要涉及到的我都要跟你讲，你这样的话你就不会有这个缺失， 你也不需要去查其他资料了啊，你认真听啊，大家一定要认真听，我对于函数极限给大家讲的方法是非常的细致、仔细和透彻的， 我告诉你超时数及其在极限中的应用，这个超时数的概念呢，一般大家都不讲的，但是为什么我要提到它？ 因为我告诉你，就是现在以最新的啊，这个数理逻辑也好啊，数学研究也好，那么大家知道啊，这个最顶尖的，呃，这个数学，这个机构， 呃，数学家啊，或者一些著作实际上都还在谈超时数啊，这是未来的一个分啊，应该是个非常重要的一个趋势和方向， 虽然他还是一个年轻的学科，但是未来一定会有他的发展，只不过我们不去谈那么多啊，我只是把这样一个趋势或者是观点下的我们能够用得到的知识给大家放进来 啊，这不是说故意增加的知识，而是说这个前沿里头啊，大家实际上都已经在讨论开了啊，已经在用的非常好的这么一个知识了 是吧？呃，我记得，呃，就在最近啊呃出的一本这最新的啊数学哲学讲义里头啊，这是很著名的国际上的呃，大家推荐的一些数学的权威资料里头还在专门谈到这个超时数的概念 是吧？哎，包括陶哲轩你们也知道啊，这是华裔里面了不起的数学家，费尔兹奖得主，那么他专门在呃这个 文章当中啊，和他的这个专注当中也专门在提到这个超时速的概念啊，你听一听啊，这个很有用啊，对大家很有帮助的 啊，有很多同学在往届的同学，一届又一届的学生啊，听完之后实际上他对这个极限的概念就完全是看得见摸得着了。 其实超时数的提出就是为了让你看得见摸得着，这么抽象的概念，把它具体化啊，不抽象化，哎啊，其他我就不念了啊，我们具体内容去讲它，然后计算是个重头戏 啊，这个计算这个重头戏啊，涉及到的方法呢，那么我全都写在这了，包括四指运算规则，罗密达法则，泰勒公式，那这两个之间是最为的重要的是吧啊，然后涉及到无穷小的运算，泰 勒展开原则啊，两个重要极限和加倍准则，那么这个方法呢，罗列的也是非常清晰的啊，包括像泰勒公式，他的展开原则叫三和三一撇，我给大家都写的很清楚 啊，这个逻辑上就非常明确的，你就好好跟着这个我晋祠山讲往下走就行，是吧？啊？因为这是多年下来的一个经验总结笔记的总结， 这个改不了的啊，你动他一下，那都显得这个不合适了，所以这个呢，是一个经典的体系，你就按照这个学啊。然后讲完这些方法之后，我们就归为七种未定时的计算，因为所有的计算计算就只有这七种， 那么你就把这七种规定式啊，给我一个一个拿下，没问题，掌握住这些计算之后呢，你就可以来讨论什么叫连续，什么叫间断，你间断的分类是什么。 好，以上就是这一部分的这个知识结构，我们下面就详细的开始讲这部分内容。

我们看这道题，他是有一定深度的，他有这样一个不等式，这种形式在大学的考试里面非常常见。我们后面的数列极限呢，积分的知识啊，都有这种形式。 那如果你还不熟的话，我们用图像详细解释一下本道题的逻辑关系啊。他说小 f 在 并且零到一上有定义， f 零点 f 一， 且对任意的 x e x 属于零到一，均有 f x 一 减 f x 的 绝对值小，等于 x 一 减 x 的 绝对值。 然后问我们证明这么一个奇怪的结论啊，说 ab 属于零到一时有 f a 减 ab 的 绝对值都小于二分之一。 那要想学会这道题的话，首先我们要明白这个不等式，它限制了这个曲线的陡峭程度。 你看，如果 x 一 不等于 x 二十，因为如果 x 一 等于 x 的 话，这地方就是零了啊。我们在 x 一 不等于 x 二时，把它除过来，它就得到这么一个 f x 一 减 f x 二比上 x 一 减 f x， 这个绝对值小于等于一啊。 那么这不是两点的得外比上两点的得 x 吗？所以它是 x 一 x 两点相连直线的斜率小于等于一， 所以呢，它限制了这个平缓或者是陡峭的程度啊。怎么限制这个程度啊？我们画一个图像啊，这个图像要画的规模比较大，所以我换一页，那么这个是 x 轴啊，从这个零走到这个一，然后这个是 y 轴， 那么这个 f x 零啊，我让他取到大 m， 很多同学画图的时候，他就令 f 零得零， f 一 也得零，你这个画图太不具有一般性了，他不说 f 零等于 f 一 吗？我让 f 零等于 f 一 都等于六六六，是不是你让他变得高一点啊？那我就取大 m 了，因为我这个图像，我这个电脑屏幕也是画图的空间有限， 那么 f 零和 f 一 应该相等的都是这么高，怎么叫陡峭程度，这个 k 的 绝对值小等一呢啊，那我们要在这地方画两个正方形， 往上画一个正方形啊，然后往下也画一个正方形，这样就能限制它这个陡峭程度，上边呢就是 m 加一，下面呢就是 m 减一。 那么这时候大家观察啊，我这个正方形呢，横轴走了一，纵轴走了一，所以它是边长为一的正方形，下面也是的边长为一的正方形，所以这个地方对角线相连呢，就是直线的斜率，一个正一，一个负一，这个对角线相连呢？直线的斜率呢啊，一个正一，一个负一， 那现在我画了啊，这个曲线要满足任意两点相连，这个直线的斜率都就斜对之小等一的话，这个可以长成这个样子，就直接沿着这个折线过去再回来 啊，就是这样折过去，也可以像下面这样啊折过去，这是两个极端的情况啊，当然他也可以光滑圆润的过来，哎，这样的能保证两点相连呢，直线的斜率的绝对之小等一是吧，我故意画的这个 啊，峰值别在中间啊，就是可以在峰值偏往边上偏一点啊，当然呢，他还可以这么折来折去的啊，就这个这个折的，折的这个程度要受限制啊，折来折去的是不是这样回来也可以， 那么当然他平缓的从下面回去也行啊，就平缓的从下面这么回去也行，这我就不都画这么多种情况了啊，咱们就画两种情况就可以了。 那么大家看这些蓝色图像，它都满足任意两点 x e x 相连，它这个直线斜率的绝对值小于等于一的，那么根据这个图像你就会发现一个道理，我这个图像的 max 和 min 啊，就最大值和最小值做差，最多就是二分之一，对不对？你看这个最高和这个最低点做差，是不是这个最高和这个这个最高大概在这，是不是啊？这个这个就绝对值做差，是不是？就是你看他两个做最高和最低做差，是不是？下面这个最高和最低做差是不是都是小数二分之一的呀？ 那么为了不干扰大家这个思想啊，我们干脆就只看上一半吧，不看不看下一半啊，就这么看，你看，你看这个蓝的头像和这个蓝的头像，是不是啊？最大和最小是不是做差是二分之一？你往下弯曲啊，往下折过去，这个原理是类似的， 那么因此呢，你任意两点作差的绝对值小段二分之一是显然成立的。那然后在讲这道题的证明之前啊，咱们先说一下他大学哪里会考呢？哎，我们大学后面的，比如说啊，这个数列的知识，他就可以用这个东西限制他的斜率， 这 k 就是 一个小一的数，那么它限制了斜率，就会导致它变成一个公比小一的等比数列，那么公比小一的等比数列，它就会收敛啊。就这道题呢，是我们强化班的一个例子啊，就是它的配图就是长这样子的，它限定了这个直线的斜率， 那么如果加一个可导性的话，它就变成导数的绝对值相等一了，这个导数的绝对值相等的一也是限制了陡峭程度，那么限制了陡峭程度之后， 就可以得到积分的面积，也就是你看我前面这个图啊，看我前面这道题的图，就是这个图，这个图你看是不是这个面积也是被限定的啊？你陡峭程度被限定了，他这个下方的面积也是限定了，所以结合积分的知识就能考很多不等式， 那么然后本道题它一定是连续的，但是不一定可导啊。这个我们也解释一下，就是你这个不等式不能直接变成导数定义的啊。首先咱们解释连续性，你看这不就是得 x 吗？这个就是两点的得 y 吗？ 如果得 x 趋零，这个趋零是不是得外绝对是小等于零，是不是能推出来得外也趋零啊？这就是连续的一种定义，就资本量的变化量趋于零，阴面的变化量也趋于零，那么这个就推出来小 f， 它一定是连续的，或者你反着想，它能出现条间断吗？ 啊？它能出现可去间断吗？啊？它不行，为啥可去和跳跃都不行啊？因为这种情况你把它一连，这个是不是比紧无穷了？它一连比紧无穷了，你就做不到任意两点相连，那个直线的斜率啊，绝对值相等一，就这个就平缓程度，它就做不到了啊， 所以这种间断肯定不行，那无穷啊，更更不行，是吧？啊？那个，这个震荡也不行啊，震荡这个协律也不保证，对不对？哎，所以我们这些间断都是不行的，那当然我们也证明了啊，它就得它去零，得外去零，它一定是连续的，它不一定可倒 啊。这个就是因为我刚才我已经划过折线了，是不是他可以这么折来折去的，有着各种尖锐点啊，有麻麻赖赖的这种尖锐点，他就不可导了，不光滑了。那么如果本道题加一个光滑可导的条件呢？如果本道题在 b 线上可导的话，这地方就能变成导数第一，也就是因为它 x， 毕竟 x 零时 f x 减 f x 零比上 x 减 x 零，哎，就这个式子的绝对值，是不是小等一啊？就是把它小等一变成它小等一了， x 一 x 零啊，那么于是 f 撇 x 零的绝对值小等一，这个 x 零是任意的一个零到一里面的点， 所以导数的绝对值小等一，那不就变成咱们刚才那个积分不等式吗？啊，这个积分不等式是我们那个专题课里面的一道题啊，就是绝对值小等一，那就有这个面积关系。 所以如果加一个光滑可导的条件的话，它就变成哪个图啊？加一个光滑可导的条件，就变成这个圆润的这个图，是吧，就平缓的过渡过去，平缓的光滑的过渡过去，就变成它啊，每个点的斜率都哎，绝对值小于等于一，哎，就是这个意思。 那好了，这就是跟大学各种章节知识的关联啊。那么咱们现在证明这道题，那么首先啊，想证明这种题，你最好配图，能极大的增加你对这种问题的了解。 第一种情况就是，如果 ab 贴的非常近， ab 贴的非常近，他们距离很短，像两个谈恋爱的，是吧，两个志同道合的人是一样的。所以啊，你直接利用这个不等式就结束了。也就是第一种情况， 咱们直接利用你 f a 减去 f b 的 绝对值，一定是小于等于把这个 x e x 换成 a 减 b 的 绝对值就行了，对不对？就是这个不等式，就题目给的不等式，那么如果 a 减 b 小 于等于二分之一，也就是若我们一开始就是 a 到 b 的 距离 小于等于二分之一， ab 的 距离很短啊，那么 f a 减 ab 的 距离值呢？就小于等于二分之一，这时候就成立了。也就是举个例子啊，比如说 a 等于零点一，是不是 b 呢？就等于零点一一，这不是挨得很近吗？是不是他俩挨得很近的时候，你看图，是不是这个 fa 和 f b 很 明显作差啊？是非常近的，是不是？这就是 ab 距离很近的时候，是显然成立的， 那么这种情况比较简单哎。然后第二种情况真正的难点来了啊，如果 a 到 b 的 距离大于二分之一呢？ 这时候你要对数轴有所了解，它一定是一个比二分之一小，一个比二分之一大，当然也可能 b 比二分之一小，也可能 a 比二分之一大啊，但一定一个是比二分之一小，一个比二分之一大的，这是为什么呢？不符你就画画数轴呗，是不是？你看这是零，这是 一，中间是二分之一。如果 a 到 b 的 距离大于二分之一的话，你想想，那么如果 a 靠近零， b 就 得肯定跑到这才行，这样才能保证 ab 的 距离大于二分之一。哎， 或者呢，如果这个靠近一呢？他就得比二分之一小才行，一定要跨过二分之一，对不对？一定会跨过二分之一，如果都不跨过二分之一的话，你看都在这，那距离肯定是比二分之一小，是不是都在这，那距离肯定是比二分之一小，不可能距离比二分之一大，所以距离比二分之一大的话，零到一里边的点啊，就好比是 你是零点一，我得是零点八才行，是不是他们两个必须是跨过二分之一的，他们俩一旦跨过二分之一，那右边这个图我就重新再画一下啊，画完之后你就明白了，其实这个证明过程是很简单的， 那比如说啊，就是 a 的 零点一，我画的不能太夸张啊，要不然这个距离他不好画啊。然后呢？ b， 比如说这个零点七，零点八，这个样子啊，比如说我画这吧， 这个，其实我现在画这个 ab， 两点呢，距离将将达到二分之一，这个样子，是不是啊？但是我就只能画这样了，要不然这个头像它这个高度不好展示， 那么就假装这个 a 是 零点一了，这个 b 是 零点八了，大概这么一个尺度，是不是这时候你看它的纵坐标，哎，你的纵坐标在这呢，我的纵坐标在这呢啊，我的纵坐标在这呢。那很明显这个距离是很小的，是吧？明显比这个二分之一是要小的。 那么刚才我这地方没标啊，因为初中几何比较简单，这个中点就是 m 加二分之一，对不对啊？中卫线吗？啊？这地方就是 m 加二分之一啊，那么大家看为什么啊？观察这个图啊，冷静一会，是不是啊？可以反思一会，为什么这两个距离小于二分之一啊，是吧？如何证明啊？其实这个原理是这样的， 你这时候 a 点，他会比这个零这一点的还要值高一丢丢，是不是？而这个 b 点啊，它仅仅比一这一点的还要值 高一丢丢，是不是就是我们的零基础海拔那个比较的参照物是零这一点和一点还要值零这一点一点还要值，你这个 a 点还要值比零这一点多一点点，而 b 点还要值比 e 这点多一点点，这样导致你们两个做差，哎，这个是比二分之一小的， 那么你能不能更直观的告诉我啊，这个紫色的距离比谁小呢？他一定比一减 b 小， 比这个横轴走的距离小，而这个距离一定比谁小呢？一定比 a 减零小，就是这个距离一定比 a 减零要小， 这地方应该写成叫做小于 e 减 b 啊，这这个距离呢，应该是小于 a 减零，为什么呀？啊？如果你觉得不好理解，就加一个可导的条件，对不对？因为你们高中最擅长解决这种可导函数， 如果这个是光滑曲线，它是可导函数的话，你看你不是斜率小一吗？斜率绝对是小一，斜率绝对是小一，所以从 m 点走到 a 这一点，从自变量从零走到一点，那么这阴变量肯定从 m 走到啊，不到这个，这个不到 m 加 a 这个距离， 也就是啊，你这个光滑的曲线肯定没有它增加的多，是不是你下面的光滑曲线呢？也肯定没有它增加的多， 就是这个递减的按照斜率于一递减下来的，这是按照斜率为一递增上去的，你按照斜率为一递增递增到这是不是按照斜率为一递减？你，你从这开始啊，从这开始，你看这个距离应该正好是一减 b， 是 不是这个距离应该是 a 减零， 那么或者换言之呢，我们还是要理解这个不等式。这个不等什么意思啊？就是你因变量外走的距离一定没有自变量走的距离长 啊，你自变量走的距离是多少啊？是 a 减零，是不是自变量走的距离是多少啊？是一减 b 啊？那你音变量走的距离呢？肯定比这个一减 b 小 啊，比这个 a 减零小，然后把这两个一减 b 和 a 减零相加就行了呀。一减 b 加 a 减零相，这个化简， 那么把它化简的话，不是就是一减去 b 减 a 吗？ b 减 a 是 不是大于二分之一，那么一减去 b 减 a， 它就是一个小于二分之一的数。 那么好了，哎，把右图这个几何关系表达成代数关系，于是就结束了。也就是 a 减 b 大 于二分之一的时候，我们不妨设。这个不妨设呢， a 小 于 b， 就是 说如果 a 大 于 b 的 时候，这是同理可得的。另外同理可得可以再讨论一遍，但是我就不讨论了啊，所以叫不妨设。 那么然后这个时候我要算 f a 减 f b， 这个绝对值啊，我要给它和零比较，和一比较啊，就等于 f a 减去一个 f 零，加上一个 f 零啊，再减去一个 f b 啊， f 零是不是等于 f 一 啊？ f 零就是 f 一， 所以这地方就直接改了啊，减去个 f 零，加个 f 零，加 f 零就加 f 一， 然后呢啊，就是把它 和它分别结合，那就是根据我们绝对值不等式，是不是 a 加 b 的 整体的绝对值啊？小于等于 a 的 绝对加 b 的 绝对值，那小于等于，这就是 f a 减 f 零的绝对值啊，加上这就是 f 一 减 f b 的 绝对值。 那好了，这就是得的外，这个得的外带入什么呀？得的外小于等于 x， 是 不是把这个得的小的得 x 往下面带啊？就是把上面那个题目给的不等式往里面带。 那么所以啊，根据题目的不等式，小于等于 a 减零啊，加上这个就是一减 b 的 绝对值啊， 这个是正了，什么东西啊？它小于等于它就是这个原理，是不是？然后呢啊，如果是它小于等于它就是这个原理， 也就是你这个沿着这个蓝色曲线走，肯定是比这个黑色曲线走的距离要小，哎， 然后 a 减零和一减 b 这个地方啊，再给它化减就好了。你不是 ab 的 不等式是什么关系啊？就是这是零，这是一，这是 a， 这是 b， 对 不对？这个不等式是能展开的，绝对值是能展开的啊，那么 a 减零就是谁呀？ a 减零就是 a， 然后一减 b 是 谁呀？一减 b 就是 一减 b， 因为 b 肯定是比一小于等于的关系啊， 那么因此就变成 e 减去 b 减 a， 你 这时候 b 减 a 不是 大于二分之一吗？是不是 a 减 b 的 距离大于二二分之一，也就是 b 减 a 是 大于二分之一的。这种情况， b 减 a 大 于二分之一，那么 e 减一个大于二分之一的数，它就小于二分之一，哎，那么它小于二分之一，这一半也挣完了。 那好了，这道题是非常深刻的啊，我们刚才是按照这个光滑的曲线来解释的，是不是那么啊直接按照直线这么折来折去的，这个原理是同理可得的，你可以再画不同的更复杂的图像。哎，来解释一遍，那么这个结果都是这个样子的， 然后基于这个不等式的举一反三的例子啊，就是下面这个例子，大家可以截屏自己做一做，或者看一看我们强化课这个配图去理解一下。还有下面这个不等式的题，是我们一个定积分不等式的这个总结的专题，大家也可以去看一看啊。那好了，大家对数学有任何问题，欢迎多和小老师交流讨论，我们下个视频再见。

同学们，如果你能听到我的声音，看到画面的话，请同学们打一 好。好，我们开始啊，今天呢，我们做一场直播，这个直播呢，我有两个目的，第一个呢是跟大家谈一谈，就是基础阶段如何对待做题这件事情 啊？因为学知识呢，大家没有问题，因为我讲技术三十讲，是一张一张一页一页讲给大家的，对吧？你只要认真去听，那么我觉得听课 哎，听例题，这不是问题。那么什么是个问题呢？就是同学们啊，呃，就感觉到说我这个刷题啊，刷不动是吧？就说我可能，呃，这个学了几个例题，那么你让我去做一千题的基础篇，我可能正确率不高， 是吧？那么老师我怎么去提高这个正确率啊？有同学就问这个问题是吧？然后呢，后续怎么做题？ 刷题到底该怎么刷啊？这个听课跟刷题是什么关系？大家有一系列的这种问题，那么都突出体现了两个字，就是做，做题 啊，就是做题。那么我今天呢，就围绕着这件事情啊，跟大家谈一谈 这个做题该怎么做啊？什么时候非独立做题，什么时候独立做题做题呢？我想分成两种，一种呢叫做非独立做题， 一种呢叫做独立做题。 那么这两个是不一样的啊，就是有明显的这个差别的。什么差别呢？就是在基础阶段啊， 我给大家一个建议，在基础阶段啊，基础阶段， 我给大家一个建议，就是这个时候呢，你可以用非独立做题的方法去对待题目， 我讲一个道理给你听啊，如果你仔细去研究的话，你就会发现我们基础三十讲上讲的例题和那里头的这个每章后面的习题精选 我们的例题加题型。在基础三十讲上的时候啊，那么是全面的通过例题去讲解了知识点，是不是？但你做一千题的时候，你发现一千题的基础篇，他这个题目跟我们的 教材就基础三十讲里的例题，他的命题的角度，答题的这个角度，就是你的思路啊，他其实并不是完全一样的，甚至有的是迥然不同的。 什么道理？什么原因？那大家想想看，就是我一千题的基础篇，其实他不是在重复教材里的例题， 这不是中小学阶段啊，就是说你课上讲什么，然后你课后就套一个完全一样的题目啊，只是改改数字啊，是吧？或者稍微这个动一动啊，几乎完全一样的题目啊，这个你再去做一遍，来这个 展现，说你是不是把课上的例题听懂了，大家知道大学数学就就做不到这一点，为什么？那太浪费时间了啊？我们需要做的工作是说你技术三十讲上，比如说我学了十个例题， 那么我在习题集里面一千题的基础篇里面，我要给你新的十个题， 那么这个例题讲的十个题，他的命题方向，答题的思路和题题集里的，那么是不一样的，他们实际上是合在一起变成二十道题，那么这二十道题是更加准确的把握住了所有的命题方向。 这个大家能听懂我的意思吗？啊？就是你十个例题，例题虽然是最好的，最能把知识点讲清楚的，但是毕竟例题是有限的啊，那么命题角度通过例题是不能完全说完的啊，因为时间关系，不可能完全说完，所以大家要做大量的习题，那么这个习题他会补充， 那么你在例题当中没有谈到的命题角度，这样的话会使得同学们啊就更全面的去掌握知识。 所以在这种情况下，我提到这个非独立做题，在基础阶段他就很有意义了，因为你想想看你做的立这个客户的这个啊，这个教材上的例题啊，他是一种命题角度， 你当然你看到一千题的基础篇的时候，你当然会有一些这个呃，这个还是不会做题的这种现象产生，这是很正常的，因为你对这个命题的新命题，他的角度并不能完全掌握， 因为你并没有去呃这个全面的把所有的媒体角度都搞清楚，那么再去做题，你并没有做到这一点，所以你的正确率是不高的，而且我告诉大家，你不仅正确率不高，你的这个效率也很低， 是吧？不知道大家有没有体会啊？就是你这个刷题的时候，那刷不动，对吧？既影响了效率，虽然也影响了自己的这个心情 啊，这个是这个，而而且没有正反馈给自己，对吧？啊？我知道大家学习啊，希望学一段之后呢就有正反馈啊，但是数学的正反馈不是这样简单就得来的啊，你，你不要去这个想这么简单这种事情啊。呃， 非独立做题是希望大家就是说你看一道题，如果你会做，那么你就把它做下来，如果你想了一会没有思路，那么你就看答案，看答案就相当于是学例题了 啊，他就完全变成一个立体的角度了，那就是说你在技术三十讲教材里学了十个例题，你到习集里也学了十个例题，那么这二十个例题被你学到了啊，那么二十个例题学完之后，你把方向把握的全面了，那么你可以再做这么四五个题， 大家注意这个比例啊，千万不是说我学了几个题，去，去做几十个题，而是说我学了几十个题，去做几个题，这样的检验能够体现出你这个能力 啊，就是说能力是不是真正进步了，因为这个阶段啊，大家实际上是一个这个 input， 就是这是一个吸收知识的阶段，这个时候不要你这个，你不要硬这个，硬着头皮去刷题 啊，你要不会做的题就是跟他死磕，也就是不看答案。然后呢就是自己在那想啊，一道题想了二十分钟，那半个小时他还在那想，这个效率太低了。那道理我已经解释清楚了，你并没有学过这个命题角度，那么你看这个题自然就是不会的， 不会的那我就接着学嘛，是吧，大家这样的话，效率提高了，题目刷的也多了，那么这是我们说的这个基础阶段，如果大家听懂我说的意思了，请同学们打一。就是你听明白我在说什么，请大家打一。 好，下面我们说第二个问题，在强化阶段， 那么这个时候呢，我们就要谈到这个独立做题的这个事情了，也就是说那么基础阶段，大家知道我们现在是从现在开始，那么到六月底 到六月底，那这是基础阶段，那么强化阶段呢？就是七月份到八月份两个月，对吧？那我把它写完吧。那么第三个阶段也是独立做题， 那就是九月份到十二月下旬，那么这时候就是我们的冲刺啊，冲刺阶段就要做模考了， 对吧？那你想想看，这个时候肯定要独立做题，为什么？你做模考卷啊，比如说真题 啊，模考卷，模考题，那你这个肯定是要这个花时间好好的去做卷子，是吧？你做卷子时候不能翻着答案做卷子，那肯定不行啊，那么这个呢，大家能完全理解的这件事情，但是我说的强化阶段啊，这个独立做题是什么意思？ 这个就要涉及到啊，我们现在在非独立做题呢，我们讲的是基础三十讲， 那么独立做题呢，我们是教给大家，用三十六讲教给大家。然后呢，在第三个冲刺阶段的独立做题，我们是用真题和模考题 来训练大家的这个独立做题的能力啊，那么就这三个阶段啊，那么第一个阶段是非独立做题时间，大家算一下啊，你的这个独立做题的时间有多长时间呢？大概是七月到十二月下旬 啊。呃，这中间呢，你如果不能完全独立做题啊，稍微再看一看也可以，但是总的来说，独立做题的时间是远远超过什么非独立做题时间的， 所以大家放心是吧？你这个刷题要有科学性啊，要高效率啊，要知道该怎么去刷。 我重点讲一下这个，这个阶段啊，这个非独立做题，大家是懂的，这个不用我落手， 对吧？啊？非独立作题，刚才解释过了，做模考卷，这个大家肯定也也懂的啊，因为你中学高考啊，啊，中考大家知道你要做模拟卷，这个也不用多啰嗦，你这个肯定是会的，但是在我们这个强化阶段啊， 今天我就把这个事情给他说清楚啊，那么强化阶段是一个关键的做题，从非独立到独立的这么一个过渡，这过渡我们怎么把看着答案写题目到不看答案写题目， 那么这两个月就是一个训练大家质变的这样一个阶段了，那么下面呢，我正好要录一段关于二零二七考研数学三十六讲的使用说明， 这个使用说明就是讲在强化阶段如何做题的问题 啊，那么我这个通过这个呢，详细的跟大家讲一讲，你在六月份之后， 你该怎么样去做题。那么对于大家现在的这个，因为我们现在马上四月份了啊，再有三个月，这三个月你就会对未来啊，你就会有充分的这个憧憬和信心了， 对吧？你知道后面我就我就会讲怎么去做题了啊，怎么去独立做题了，你就不会担心说我现在刷题刷不动，或者刷题别人都在刷题，我还在听课，是不是这个听课不如刷题，其实啊，你听完强化阶段要干什么，你就充满了信心，那么现在好好学 啊，现在好好学，因为这个这个道理，就是说你这个时候就要学会这 output， 你 这时候就产出了，那么这个也是产出 output， 这是产出，那那么产出的过程。好，下面呢，我们来讲一下这个二七的三十六讲使用说明啊。呃，这个直播啊，是有回放的啊，我下面讲的内容， 呃，是如何做题，我也会展示整个这个需要大家做题需要掌握的内容，所以呢，你肯定记不过来的啊，你不要试图去记啊，你不要试图去记，因为我要展示给大家很多的东西，是吧？那么第一个 这个直播有回放，你可以听回放的时候呢？暂停啊，你比如说你现在你直播，你暂停不了，你听这个回放的时候，你可以暂停去看那个界面上我写的是什么，你想记笔记呢？你可以记一记 啊，这毕竟三个月之后要做的事情，是吧？那么如果你不记也没有关系，那就是说三十六讲出来之后，这都是在三十六讲上的详细内容啊，三十六讲上都写了这些内容了啊，你也可以不记啊，就是把这个呢，呃，理解清楚啊，我后面要怎么去做？ 好，我们开始啊，下面我讲一下二零二七考研数学三十六讲的这个使用说明啊，也就是我们要详细的讲一讲考研数学是怎样独立做题的 啊，这个给刚经过基础阶段复习的同学，那么是一个非常科学的引导，所以我需要全面的把这个问题呢把它说一说。 那么三十六讲是回答如何会做题的，这是三十六讲的一个标准的定位， 就是你要做题，你这个三十六讲它本身就是一个题集，但是是优秀的，最优秀的这个考题啊，组成的这样一个，呃，教材， 这个教材里既有例题，也有让你独立做题的题啊，当然我们都是以例题的形式呈现的，因为每道题都要讲到他的解析思路啊，所以在基础，在基础三讲的基础上，那么三十六讲就不再去涉及到太多的知识讲解，我们不去讲知识讲解了，我们就带着大家刷题， 是吧？那么刷题呢，要有讲究的，在学习完记住三十讲之后，那么我们就要尽快的进入做题阶段啊，那么尤其呢，大家要用好七月份到八月份，那么这个两个月的时间 啊，那么三十六讲，就是我这个二七的三十六讲啊，我给他大概这个这个喊了一个口号啊，就是第一个呢，就是教你做题啊，第二个呢带你做题，然后我们就学会做题 啊，这个我们要明确的把这个口号喊出来，我教你做题，那么一定是这个题目是第一他是有足够的优秀的程度， 第二个他有足够的中性，那么我们的讲解的时间，对于一个题目来龙去脉，怎么去命题，怎么去解析，让大家透彻的掌握， 然后接下来还有若干个例题，那么大家就可以在啊，我当然也是讲给你听的，我每道题都会讲给你听，那么大家可以把它当做这个训练的素材，然后自己去呃，啃一啃，这个题，你按我的方法你去做， 对吧？如果实在做不出来呢，那你再去听我的讲解，那就相当于带你去刷题了啊，所以三十六讲呢，我这个定位很清楚，他就是 教你做题，带你刷题，学会做题的一个提及，加上笔记啊，就是关于题目上一些重点的思路，是吧？或者说你容易做错的地方，或者需要总结的地方，那么我都会给你标注笔记 的，是吧？这个笔记的话呢，应该也是非常详细的啊，大家在基础三十讲上看到了我们的这个笔记，是吧？那个是对知识讲解的笔记 啊，那么三十六讲呢，在二零二七版啊，二零二六版还没有。那么二零二七版呢，会给大家把详细的解析笔记啊，把它标注在教材上 啊，这个呢也非常有利于同学们啊，这个提高效率啊，你不需要再记得很多，你就拿一个做题本或者草稿纸，你好好算就行了啊，好好解析啊，至于笔记什么的，我都给你写好了， 那么每一题都有明确的解析的指导和全面的总结。 那么我们现在说一下教你解析这件事情。第一个三十六讲，归纳出了这个高等数学限行代数和概率统计一共，呃，我们是高数三十六个考点， 近代数是十大考点，根据统计呢是九大考点啊，因为一共是五十五个大的考点。 这个呃，需要通过做题熟练掌握所有的考点，那就是说首先你拿到一个题目之后，你要怎么样？你要会定位啊，这个我给大家展示一下高等数学里面我们需要掌握的三十六大考点。 我说了啊，这个呢，你不需要记啊，三十六讲上都有啊，我给大家在最开始我们就把这个列出来了， 你基础阶段习武三讲不是学完了吗？对吧？你通过基础的教材，讲话的教材，你都把它学完了，那我们得有个总结，我到底考哪些东西，是吧？我目标明确的，我一定就只是考这么五十五大考点里头，这一定是在这里头的，不可能出了这个范围， 对吧？高等数学我就给大家展示一下这个 o 呢，这个 object 啊，就是目标对象啊，你的，你的目标是什么啊？就是你的这个考点在在哪，在哪里，我到底是对什么考点进行考察的？就是目标对象， 你拿了一个题目，这个题是不是研究函数的极限的？哎，那你这个好判断啊，研究函数极限，你只要看到有这个，不论是抽象的还是具体的，那你给一个函数，让 limit x 在 某种趋向下，你就知道这是研究 f x 的 极限 的，是吧？然后接下来呢，他就会有指标题啊，如果是七种未定时，那你就判定类型，做好计算， 对吧？这个题一般考五分的填空题，我给大家写的很仔细啊，啊，就是你未来你拿到三十六讲的时候，你看到的就是这样一个非常明确的东西， 他怎么考？第一种考法是这个判断七种未定时，大家回想一下啊，你在七十三十讲里是不是学过这东西了，是吧？啊？然后呢，做好计算，无论是罗必达法则呀，还是泰勒公式，那么接下来就展示， 是吧？啊，但强化阶段呢，我会把后面的知识也这个把它综合进来，所以我们这里还有变现积分的一些问题，那这个可能同学们还这个基础阶段，复习完之后，你就会全面了解了，是吧？这个呢，一般是填空题五分 啊，这个确定的啊，这个确定的啊，一般这种题是填空题五分，然后判定连续和间断。大家知道函数的连续和间断，依然是研究 f x 的 极限， 是吧？比如说跳跃间断点，那就是左极限存在，右极限存在，但是这两个极限左右极限是不相等的，这个就叫跳跃间断点， 那人他就是研究这个极限的，那什么叫连续呢？要左极限存在，右极限存在，且等于函数值， 那么这个呢，就叫连续，在这一点连续，那大家看还是研究什么函数的极限的，所以这个考点呢，又是一个五分的，但这五分呢是选择题了啊，我们这个间断点和连续点一定考的选择题，这个你放心，一定是选择题 是吧？那你可以通过我这个呢去判断一下，如果一道题目，你不论做 ct 级也好啊，或者后面做补考卷，你只要看到连续和间断，你心里有数，命题老师一定会把它出在选择题里，如果出在其他的题型里面，什么填空解答，那是不可能的， 哎，这个你不要考虑，那是不可能的事情，哎，如果出在其他的题型里面，你就拒绝回答是吧？把卷子给他撕落啊， 这都明确的啊，这种位置都是明确的，所以你需要有个目标，把目标要掌握清楚。第三种呢，这个比较难了，这个小欧三，这个比较难了，这个呢是研究 x 在 曲线过程中函数的围观形态， 这个我们在技术生涯奖励是讲过了，也是很全面的，但是到强化阶段要总结哪些围观形态，你要把握好的 啊？这里面其实涉及到一个非常重要的事情，就是保号性，是吧？啊，大家知道这个保号性在这个围观心态里面是最为重要的啊，等等吧，这个我们到时候会详细去讲的，然后这里头的考题要么就是一个困难的选择题， 那挺好啊，这前面选择题前面我加了个定语了，这种题一出就是难题啊，就这是一种，呃，这个困难的选择题或者是解答题的一部分 啊。那么解答题之所以难，那么很多时候这个解答题它是有综合性的。比如说这个大题是十二分，那么他有可能给五分，就给到研究 f x 的 围观形态，你这五分如果得不到，那么可能整个题目就没有解出来， 或者说你侥幸把其他的部分做出来。在这个呃，微观形态，你没有研究出来，他就扣着五分，甚至都没做出来，那就扣掉十二分了， 是吧？我顺便说一下，那么我在讲课的时候呢，或者大家在刷题的时候，你要有一个判断，什么判断呢？就是这两个啊，就这两个是必须掌握的 这个你这个基础题，这不能丢分。各位啊，你分数目标分数即使不高啊，我知道大家对分数这个需求不一样，有的人奔着一百五去的，有的人说考一百二就行，有的同学说九十及格就行， 是吧？那么这个时候你实际上可以有取舍的，有取舍就是说这一部分你可以打个三角，对吧？如果你认为我的目标分数确实不高，那么你在刷题的第一轮刷题的这个时候啊，你可以把这个先去掉 啊，你既可以不听这段例题，你也可以不做这个类型的题，因为这部分内容是很难的啊，出题即难题， 听懂意思了啊，你看你的目标分数啊，你奔着满分，奔着一百二去，那你这个不能少啊，你如果就考九十一百， 那么这种题少了，那么实际上是对应你的需求的啊，我们客观的说啊，客观的讲啊，这个不能回避这种事情啊，有的人他这个比较英语特别好，是吧？啊？政治理论特别好啊，数学那可能是个基础相对薄弱 是吧，所以呢，他对于难题呢，他可能说我不怎不怎么去啊，去攻克他，我不想去攻克他，是吧？啊，有个别的你可以把它筛选出来， 你看我这样的话呢，我这个目标就很明确，我会讲他的题型，那么我会讲他的分值，我们还讲他的难度啊，那么你在难度上，你只要是看到确实超过你目前能力的，你可以先放一放 啊，因为我希望三十六讲，大家要二刷，因为这个像以以他作为提及来讲，刷一遍是肯定不够的啊，我第一遍可以说我带着你刷，因为三十六讲也是书课包， 我每道题我都讲你听的，然后你自己再独立的刷一遍，是吧，那也许第二轮刷的时候呢，你可能对这个知识可能又又学会了啊，那目标分数啊，要要有的， 第二一个就是这个，我这仔细说了一个啊，仔细说了一个，我这个时间有限啊，因为具体内容呢，我们在后面就要展开了啊，就一一条一条的讲，我就不再去重复了啊，那么 这个判断，那么这个上就要讲数列极限了啊，大家知道函数极限主要是研究计算的，而数列极限呢，它主要是研究是否存在的 啊，是否存在的，那么这个呢，一般是选择题五分，这个实际上也是，呃，不容易的啊，这种题目一单出来也是不容易的啊啊，你这个打个三角也无所谓 啊，但同学们现在不要总是打三角，有人说，老师你这样说的话我就都打三角了，我就都不看了啊，那那你的分就没了是吧啊， 可打可不打的，你尽量的还是要去听一下是吧，如果在你理解的范围之内啊，能够听得懂，那说明基础三讲你学会了，那那么这种题呢，你还是要努力去做一下，不要每个都去打这个三角。我会给大家提示啊，就是这个题很难啊，这种方面题确实很难，那么你自己去做一个趋势 啊啊然后就是比如说研究一元函数维文学的概念啊，这个涉及到什么呢？大家知道，就是主要考的是导数定义 是吧。哎，一点的导数，我们是用导数定义来这个求的是不是啊，这是最重要的一个一元函数再一点的导数值啊，光这个考法实际上就是有呃，这个相当多的考题了 是吧，我印象很清楚，在二零二五年啊，二零二五年那一年的考题当中，嗯，可以说数学二出了一道选择题 啊，虽然说他就他这个题目出的好像很简单，但是绝对值，但是那道题可以算是整张试卷里最难的一道题了啊，你大题的难度都没有比上他 啊，都没有比上他啊，这个题目出的非常好，但他考的就是什么一元函数微分学的概念问题 啊。那么自那以后呢，再考一元函数微分学的概念就比较简单了，也不会太难了，所以你照着这个一般的命题的角度去复习没有问题，这个分是得到的啊，他这个出特别怪的或者特别难题呢他只是偶尔一年 啊这个大家还是要认真复习啊。这个不能这个是千万不能动的啊解答题他也可以考一部分是吧哎先让你讨论这一点是否可导啊然后进一步的去讨论导函数在这一点是否连续啊等等 啊那么这个也是一元函数微分学的这个概念问题还有什么呢像计算高阶导数啊啊计算图形的相关几何量啊这个呢就是维分学吗这里涉及到的是信态 啊静态的问题啊啊那么这里面就涉及到就是啊这个极值点拐点 啊最值点是吧然后单调性凹凸性是吧然后渐近线等等吧啊就就是这个是维分学的对于关于研究这个函数曲线的静态的这个问题啊一般这个选择题填空题来出 啊比如说拐点特别爱考啊是吧啊那么选择题出几个拐点啊啊填空题出那拐点是哪是哪里是拐点呢啊。呃解答题有时候也能出解答题出呢就给他五分呗是吧啊那近几年也有出现过啊这到时候我们客人会详细给大家讲的。 好这个这些都是一定要会的用微分中直定律做证明。这个打个三角哈哈是吧这个打三角的为什么难题啊不过我说一条呢大家 啊这个可能会。呃这个一个稍微好一点的消息啊就是二零二六的试卷里头啊数学二和数学三都没有考这部分啊就是没有出证明题 啊高等数学证明题一出肯定就是为分中之定律啊或者带着积分啊的表达式，那也涉及到积分中之定律啊，等等吧， 就是中制定理的证明题，这个一项大家是觉得很难的，是吧，包括从我们讲的费马这个费马定律是吧？啊，然后呢，就是科导函数这一点取极致的必要条件，然后呢，罗尔定律，拉格朗中制定理，科西中制定理啊，泰勒公式是吧，然后就涉及到 连续函数在 b 区间上的四个定理是吧？啊，然后还有就是积分中制定理 啊，那么十个左右的基本依据啊，让大家去做证明题啊，是比较难，但是呢，去年数学二和数学三没有考证明题，数学一考了一个证明题，但数学一的这个考法呢，实际上对中制定理的要求是很低的 啊，对中制定理的要求是很低的，他主要考的是第一问，是定积分的性质问题 啊，这个的，我这个，呃，我在前面有些场合我已经讲过他了啊，后面大家刷题的时候呢，还会刷到的啊，这这种类型的题目，也就是说用中之定律做证明，在二零二六年的试卷上，其实他是没有怎么体现出来的 啊，为什么啊？我说句实话啊，中支定力是不好出题的啊，大家是这个，因为你复习的还是时间比较短，你还不太了解考研出题他是不是随便出的 啊，他不可能从东拼西凑弄一个中知地理的题，纯粹玩技巧的那种，他不会的是吧？那么凡是考研究生的这个数学里面这个卷子上出现一个中知地理题，你会发现这个中知地理实际上是有深刻背景的 啊，他一定是一个啊，有这个扎实的深刻的理论背景啊，那么这样一个答题 同学们可以不关心，你可以不关心啊，什么理论背景啊啊，但是命题老师他是关心的，因为他这张卷子不仅是考你们的，那么全社会大家都要看到，那么大家都要看到，就对题目是有评价的， 你看到这个题是不是很优秀啊？确实很优秀，因为对背景考察非常深刻，这种题就很难出了啊，他不是随便胡编乱造一个题，那个太简单了。那出题太简单了，要想有一个深刻的背景，这个就太难找了啊，能找的基本上也差不多了 是吧，这几年连着考政治定力是吧啊，想考高分的同学你还是要准备的 啊。这个不用说还是要准备的啊，那么你对于这个目标分数不是很高的，你打个三角也没有关系啊，这部分呢，你可以在第一轮的时候呢，你不去看他啊，这个没有关系好，我就详细的说第一了啊，其他的呢，我就不带详细的去说了啊 啊，然后这是我就讲的一二三四五六这六个了是吧啊，六大考点出来了， 然后呢我这第二页上呢，还是六大考点啊，六个考点，你看我写这个东西就就非常具体的啊，求联合的啊，就是连续和的极限啊，求联机的极限就是连续相乘的他的极限。实际上这个就涉及到了定积分定义的问题了，一般就是选择题 啊，一般选择题就把你这个考出来，这个结果啊就可以了。哎，这个也不算难题了啊，这个是这样， 你像小姐物理应用初一初二的答案，初二考啊，主要初二考这个物理应用考什么呢？这个二五年考的是引力 啊，我在模考卷里，在我们的三十六讲里，我都写了啊，引力，哎，他刚好二五年考了引力了，引力公式，你觉得二六年还会不会考呢？ 我这个比较熟悉他们的这个想法啊，出其不意，因为引力公式用维元法来算引力啊，总的引力这个是太偏的知识点了，很多同学是不复习这里的 啊，但这个地方只要复习了这个分就好容易得啊。所以二五年一出，很多人认为二六年就不可能再考了啊，这么偏的知识点，考一次就得了，就不可能再去考了。其实他们有可能，他们经常有这么一个计量，这个计量就是连续考第二次， 就是让你放松警惕了。哎，我刚考过一个难的东西啊，困难东西，你想下一年的卷子上又来一题， 好在我八套卷里又布置了这个题，就是他考两次，我在两次考试之前，我都强调了这个引力的问题，而且我刚好跟他的两个题型是一样的， 这点我这个也很得意的，对吧？啊，有人讲我的模考卷的时候呢，就说张老师这张模考卷出的很好啊，但是唯一一个这个缺点呢，就是又考了引力公式了，是吧，这不可能再考了。 为什么？刚考过吗？怎么可能再考了啊，这个题不可能再考了啊，那实际上大家拿着卷子之后呢，他又考了一次这个啊，你要这个你得长时间的去研究，哈哈哈。啊，这个命题人的心理啊，这实际上是一种博弈， 是吧？大家这种博弈有的东西他考一次是绝对不能再考的，有的东西他考一次还能再考，连续考 啊，这个这个是这样，你要说连续三次这种没有出现过连续两次这种事情，这种现象经常出现。 这个呢是我们在预测的时候给大家再去说啊，这是第三个阶段的内容了啊，我随便拿出来一些我就能去跟大家去分析，但这些分析我们主要还是放到这个， 呃，这个接下来的正式带着大家解析跟刷题的过程当中再去详细说吧。啊啊，这边呢继续啊，就是这是 继续啊，往下的几大考点是吧？然后这是高等数学上册的啊，那么就是我们的，就你这个高等数学上册就这么多，这是六个， 呃，这个是六个，这十二个了，那十三、十四、十五、十六、十七、十八、十九，我高等数学上册给大家呢，就就定了，这么呃，十九个，对吧？数的是十九个是吧？十九个，呃，十九大考点， 那么你高等数学上册，那么你题目就归类，归纳，归类出，那我就十九个他的考点。拿到题目先要定位，对吧？哎，我定位之后我才知道用哪些知识去解决问题， 哎，这个定位是第一步要做的啊，你不能拿到题目就是解啊，所以我告诉大家学会做题，你首先第一步，因为你现在基础阶段，呃，如果大家学完了呢？刚刚很好，如果基础阶段还没有学完，你实际上有一个问题就在你的知识不够全面，你的定位就不一定准确 啊。那么我们的定位是整本书的定位，而不是说局限于哪一张的定位，因为这这个实际考题，他可能是具有综合性的 啊，他可能把某几个点把它综合起来，那你定位的话，你要把它定位到两个或者三个点上去 啊。所以为什么说基础阶段啊？我不建议大家，也不会让大家太在意这个，你是怎么去刷题的？刷题绝对不是硬着头皮就是这么干，刷哪一个题会了我就赶紧写完计算题， 常规题，然后不会呢，抓耳挠腮的就是这样啊，不会呢，看着答案把它这个像应付一样，就把它就刷完了， 你这个就提高不了自己的解题能力啊。你后面你会知道哦，一道题目拿过来，尤其是综合题，我不会做题，我先要定位啊，你不说吗？高等数学先行代数概率统计，一共五十五大考点，那么我定位要定位到这五十五大考点当中的某一个， 定位到这，各位，你的知识就来了，你的知识的准确性就把握住了，你掰着手指头数，你都能数到，数出，用到，用到哪一个知识点，这个是很重要的事情。你比如说你数到定积分的性质了 啊，数到定积分的性质，定积分性质就有积分的可拆性啊，很多人不这个，觉得太简单了，这个二二六年的最难的一道题，那数一个证明题，他这样就用了定积分的可拆性， 你把 a 到 b 上的定积分拆成了 a 到 c 上的定积分，再加上 c 到 b 上的定积分，就如此简单的一个性质，却决定了一道题能不能做对，就把它拆开是吧？一个大面积等于两个小面积的和。 听起来大家道理都懂的，但是呢，你做题的时候你锁定不了他的位置，你定不下来，他考的是定期分性质，你就想不到定期分的可拆性，你只要想不到定期分的可拆性，这个题目就无从谈起。 这个定位是很重要的啊，告诉下册吧，就这些了啊，我就不念了啊，不念了，后面都会详细的去讲啊，这里告诉下册，这也是六个啊，我这样基本上都是六个啊。 数二到此截止，到此结束啊，那数二的因为底下就不不考了啊，数二到这个位置结束，然后数学三同学到这个位置结束，是吧，然后剩下来的是数一的啊，这个数一呢，一直到底的啊，一直到底，这样的话呢，我就是简单给大家总结一下啊，总结一下 就是说我们三十六讲呢，呃，高等数学里就三十六大考点，我就给大家展示一下啊，时间关系呢，代数跟概率我就不展示了啊，后面呢，大家三十六讲上都会看得到我们的。这个，呃，给大家写好的啊，这个考点，这个是你需要好好记一记的 啊，你，你同学们，你一定要清楚，就是我在我在基础阶段啊，跟大家说了，一定要去好好去看那个基础知识，结构 知识千万不能在脑子里一团浆糊。你学完一张，然后你去刷题，刷完之后任务完成了，为了完成任务而完成任务。好，这一张终于听完了啊，这张题终于做完了，你好像在完成任务一样， 那你想想看，对自己负责任吗？是吧，我做完这一张，那做完例题，做完析题，那实际上我要有一个清晰的对于整个知识的一个结构性的把握。 这一章学了什么啊？这个我在技术上讲都给大家说过了，讲过了这种话对不对啊？这一章我们学了哪几个问题？每个问题有没有子问题？每个子问题用的什么样的工具和方法？你这个这一定要很清楚 啊。那么到了强化阶段，那么我们三六讲刷题会更加明确的告诉大家，哪些就是考题，这些东西在脑子里要清清楚楚， 是吧？这个是我说到的这个，呃，第一个三十六讲归纳出第二个呢？这个也就是简单说一句啊，呃，不在这详细去说，三十六讲还给大家归纳出四种解析的思路 啊，那要通过解析啊，我带着你去这个把解析的思路啊，我们也要训练一下啊。有的同学对于解析思路啊，呃，不是很呃，这个熟悉 啊，但我说这个解析思路啊，是专业的解析思路，并不是大家说的每道题的那个解析的具体思路，不是那个意思 啊。哪四种呢？你比如说，呃，第一个是常规思路，常规思路里包括正向思路、 反向思路和双向思路，这个大家就很清楚了，比如说我们中支定律的问题，往往使用的是双向思路， 因为你正向往后推啊， a 推 b， b 推 c， 最后到结果。那么这个正向思路可是正向思路，大家知道他有时候这个你没有结论，你不知道结论在考什么，你往下推就没有方向。 那么第二种呢？反向思路，那就是说你结果告诉我了，那我就问自己这个结果要成立，只要什么成立就可以了，是吧？然后这个要成立，他只要什么成立就可以了， 对吧？那么这样的话呢，一直往前推，那是反向思路，但是我们更多用的是什么？是双向的思路，就是你从条件稍微推一点，是吧？你觉得这个条件常用的，他考的是什么东西？然后呢，你从结论再往前推一推， 这样呢，大家如果凑到中间呃能够接起来，那么这就是呃这个把问题解决了，这个属于常规的思路啊，我们大部分问题做起的常规思路。第二个是反正法，这个反正法在考研数学题里是起了直观重要的作用的 啊，起了直观重要的作用的，很多题的命题就是要你用反正法啊，就是 不论是选择题啊，有时候对于选项正确与否的判定啊，还是填空题里啊，他，他告诉你这个呃怎么去填这个空啊？有的时候反正思想包括解答题更多了，是吧？ 那么反正思想是很重要的，当结果呼之欲出或者显然成立的时候，那我们可以假设他的对立结果成立，然后你推推推推，推出结论和条件是矛盾的 啊，你只要跟条件里面的某个条件是矛盾的，那么就说明你这个呃假设是不成立的，那么结论自然啊，就是结论成立。因为你对立事件的结论不成立，那么你结论就成立 啊，不展开啊，现在不展开，我得说一下这个专业的思路是什么意思。第三个数学规划法，凡是涉及到自然数 n 的 命题啊，这个基本上你数学规划法是一把利剑 啊。那我这句话你觉得有啊？涉及到自然数 n 的 命题，你我相信很多同学是不会考虑到它是不是涉及到自然数 n 的 命题呢 啊，比如说你求 a 的 m 次幂， a 的 m 次幂就涉及到了 m 或者是 a 的 n 次幂吧， a 的 n 次幂呢？ n 就是 什么我们讲的正整数 是吧？那么 a 是 正整数，那你就涉及到了 n 的 这个命题了，那是不是这这个，呃，数学规范法就是一种思路呢？当然就是一种思路 是吧？有的时候你发现书规范也能做出来，也是能做出来的，数学规范法也是一个很强大的工具了，是吧？啊， 然后还有逆否思路，这个逆否思路非常重要，我在这里就不展开了啊，这是很专业的一个。呃，命题的方法，也是大家很专业的答题的方法，有的时候你都看不懂这个题说的是什么，你用逆否命题把它重新说一遍，你就什么都明白了 啊。这个是考研命题的一个技巧啊，注意是命题技巧，那么很多同学看不懂是因为他没有去思考过逆否命题啊，说逆否思路也是重重点的， 主要这四个啊，这四个解析思路呢，大家需要训练一下啊，通过我们的考题，优秀的试题你可以训练一下自己，你会发现很多时候你做不会做这个题，往往有可能是专业思路你不会，或者专业思路你没有去想过。 朋友们想想看你做题，你现在可以回忆一下，你学基础三人讲，或者说你现在基础阶段，你刷题，你有没有去刻意的去思考我这道题目到底是用哪种思路把它解出来的， 你没有去这种训练你不会做的题，我是说不会做的题啊，不会做的题，你有思考他是什么思路吗？你不会从这个方面去总结的，那自然这个方面的提高就没没没有，就是不能无从谈起了， 是吧？而他这个思路往往是很重要的啊，很重要的。然后三十六讲还归纳出这个四种细节的处理啊，简单展示一下细节处理。第一个是常规操作 啊，准确在线条件所表达的数学细节啊，在线就是你要把它的定义、公式、定律，把它展示出来，写出来常规操作，这个比较简单。然后第二个呢，是脱胎换骨，脱胎换骨的意思其实就是一个翻译。第一个涉及到观察研究对象， 大家知道研究对象这个东西呢，题目摆在那是吧？我给你一个 a 矩阵，那么 a 矩阵是什么？我是不会告诉你的啊，比如说 a 是 对称阵，他不会讲的啊，同学们，他绝对不会告诉你，假设实对称矩阵 a 怎么怎么样， 因为 a 给你的表达式里面，你自己去观察它是实对称的。再比如说给你个函数，这个函数是极函数吗？是偶函数吗？他不会告诉你的， 他不是。比如说他说这个假设奇函数 f x 等于什么什么什么，只要是具体的表达式，他不可能告诉你是奇还是偶，或者非奇非偶，你要自己去观察 抽象的函数，那会那一定会告诉你啊，或者用其他的方法啊，隐晦的告诉你，但具体的啊，你就自己去观察等等吧。啊，这个就这样。 呃，这里头要涉及到什么呢？涉及到观察研究对象的时候，就涉及到在研究对象中啊，我们需要找出这些隐含条件，你是奇函数，那么我我就找到这个隐含条件了， f 负 x 就 等于负的 f x， 他不会告诉你的。这种隐含条件还有很多，你比方说隐含条件在区间上，我给你总结一个啊，就是我们后面啊，就是讲解题方法的时候会说到的，如果我题目说，如果我题目讲在某个区间上 f 两撇 x 存在， 你听啊，就是你大量做题，你能不能达到这个效果，这是解析的一个很好的一个总结和检验。那么我看到 f 两撇 x 存在，我这脑子里就没东西啊，两撇存在么就存在喽，换句话说叫做 f x 二节可导 是吧？二节课导，二节课导怎么了？大家注意啊，你接下来就是说你要认真观察这个研究对象，他是二节课导函数，所以我第一个引含的这个就有他的一节导数一定是连续的， 对不对？大家二节课导，那么一节导数一定连续，一节导数一定连续，大家看是不是有个等式出来了，叫导函数的极限值，是等于这一点的导数值的， 对吧？那那么如果我知道了这边导函数的极限值，我就可以把这一点的导数值把它算出来。 那大家知道啊，这个条件是二阶可导可以推出来的这么一个等式，而这个等式很多时候同学们看见他是想不起来这个东西的， 你听听看啊，这是解析思路，解析思路就是你见到一个东西，这个脱胎换骨，它实际上可以表示的是这个意思，那你如果事先不知道，那这个题目你怎么解？ 对不对？那现在你就我心里有数了，我见到函数二节课导，那我马上就有一个一节导函数实验去的 这个隐蔽条件，还有这个几位重要？我打的星啊，这个笔记我都给你写好了啊，这个是二七版的一个呃，修改的时候做的一个非常这个工作做的是，呃蛮繁重的啊，因为每一个题我实际上都有一些这种总结或者表达， 那么这个编辑起来是很辛苦的啊，就包括排版也是很辛苦的给大家写出来了啊，你可以自己写一遍，但最后你看起来是很呃，这个完整的，比如说泰勒公式就出来了，看到没有？一个函数二阶可导，立即泰勒公式写出来。 我脑子里有这个东西啊， triple star 啊，你不要看到二阶科岛你就没想法，你看到二阶科岛，你一想一阶岛就连续能用上吗？不能用好泰勒展开 展开成一阶带拉格朗余象的量子公式啊。你说你那证明题不会做，那往往就是说你这种这个隐蔽的这些条件呢？你没有把它真正的打通 解析吗？解析是需要，所以为什么我是基础阶段刷题一定还是要非独立做题，那个时候你学到的知识还是太少了啊。你这这遇不到所有情况的，你只要少了一种情况，那么你的总结就是不完整的，那不完整的话，你遇到像样的题目，你可能就是不会做的。 而到了强化阶段，三十六讲的任务就是要交给你，我们需要是怎么去把每一个条件把它翻译出来，那翻译出这个东西来，那么再往下解析呢？就顺利多了。再比如说二阶导数大于零， 那我挡住这个啊。实际上大家现在想，二阶导数大于零，你会得到什么？你会得到什么？哎，你在课本上应该能够想得到，如果在一个区间上啊，一个函数的二阶导数值处处是大于零的，这应该是个凹曲线， 是吧？哎，有种人连这个凹曲线都不一定想得到，但是你光想到凹曲线是不够的。一阶导数是不是单调增啊？ 你，你是不是这个问题可以考虑到，因为二阶导下面一定对应着一阶导，是吧？所以二阶导数处处大于零，那就说明一阶导数单调递增，这个单调增是不等式啊，对吧？如果 x 大 于零的话，那么 f 一 撇 x 是 大于 f 一 撇零的， 那这，这不就是用一个转换的这个条件吗？隐蔽的一个条件呢，对吧？还有一个最重要的一个不等式，对吧？二阶导数大于零，那么实际上就有 f x 是 小于等于这个表达式的， 那实际上大家知道这个表达式是什么呢？啊？那实际上你看着 o 曲线的图，你也就完全可以理解了，这个我们后面会详细的再去说， 是吧？再有，一级二阶导数的绝对值小二点一，那你第一个想法，这个余项是可以放松的了，我加绝对值，因为 x 减 x 一定是区间里面的子区间，他一定比区间大，区间是要小的，而 f 两撇加绝对值又小二点一，所以这个拉格拉的余项很容易确定它的取值范围， 你考虑到这个事情，你不就可以放缩了吗？所以你见到二阶导数绝对是小点一，你马上想到余象放缩。 但我这样总结其实已经很多了，但是我就打了这个省略符号，我这省略符号打在这意味着告诉大家，实际上我你还可以再去往里添东西， 你往里填东西是你属于你自己的，是吧？你觉得你见到这些这个表达，你还有什么想法？你可以自己把它填在里面。 这样的总结对大家做题啊，是真真正正有帮助的啊。这是像比如说这个第二个观察研究对象，然后转换等价表述，这个我就不再去念了啊，这个我们到后面详细讲。第三一个划归经典形式 啊，然后第三一条就是移花接木啊，你把第二条的脱胎换骨啊，你把这个条件转换了，把这个条件转换了，那么原题是 a 加 b， 那 么你现在 a 转成 c， b 转成 d， 所以 a 加 b 就 转换成了 c 加 d。 我说一下啊，你比如说原题是 a 加 b， 你 把 a 呢转化成了 c 的 表达，你把 b 呢转化成 d 的 表达，那么原题是这个，你看到的新题是 c 加 d， 这个就很容易了，这是很容易解了，这个是很难的 啊，你转换一下你就知道它怎么去解了啊，就这个这种方法呢，这叫啊，第四一个叫可圈可点 啊，可圈可点是什么意思呢？我这个词啊，是编出来的，你就要四个字吗？啊，就是成语是吧？啊，以展示赵老师这个这个语文啊文化水平啊， 可圈可点呢，就在题目的上或者题目旁勾勾画画，圈圈点点。当然可圈可点的真实的意思并不是这个啊你们语文都学的很好中文学的很好。 我我这个借用这个词啊圈圈点点你也在旁边啊在题目上你画勾画勾画什么呢你基本上就会想到特殊与一般的关系。我做选择题可以把一般条件取特例 是吧哎取特例有可能会排除某些选项这很好的也可以通过取特例呢去理解某些数学问题。还有什么呢就是数字跟图形要数形结合呀。啊你给我一个表达是我是不是可以把这个图画出来啊数形结合那不也是在题目的旁边这个勾勾画画吗。 对称反对称有没有对称性啊有没有反对称性啊啊就从这些客观规律入手呃便是呃一个又一个的好方法就出来了 是吧哎这里面包括是摄取特殊情形啊引入符号树形结合呀还有就善于发现对称等等吧啊那么一共给大家呃规范这个也不多啊这个也不多呃我们一共是四种细节处理的方式 要通过解析学习细节处理的方法努力的提高自己分析问题处理问题的这个能力啊这能力这是教你解析啊啊我要详细的讲给大家听的这些科学的解析的方法 呃一个人的科学训练一定要有科学理论的指导而不能大概其是什么。我们同学太做题太随意了啊作为拿到一道题目他只有一个概念是会还是不会会呢就写出来，不会呢就看答案啊或者是做不出来 啊。那么这样是不行的我们一定要找到根本原因。到底是什么让我这道题不会做啊？又是什么帮助我把这问题真正解决了？ 这是都可以归纳到我们这个，这个三个啊，归纳出来的方向、思路、细节处理啊，一定可以归纳到这里面来，然后帮助你自己提高自己的解题能力 啊，这三十六讲的任务，然后教你解题，下面带你刷题啊，这个我就不去念了啊， 就是我教你答题的同时，呃，手把手继续带你刷题。我刚才已经强调了啊，这个刷题你第一遍跟着我听啊，然后第二遍刷的时候自己独立刷 啊，看看你是不是真正掌握了啊，在刷题中更深刻的体会，并且进一步的掌握考点思路和处理问题的办法 啊。要从而要学会做题啊，学会做题呢，把三十六讲，希望大家刷个两遍， 第一遍听书课包你听我讲，第二遍自己独立做题啊，独立来来解题啊。那么只要大家刷完三十六讲啊，那么配合完成一千题的强化篇和综合题强化题是完全对应着三十六讲的题目的， 这大家听懂了啊，啊，这，这个叫独立做啊，这个叫独立做。你也要用我在三十六讲上讲的方法去分析这些题目，把时间花在分析问题上，同学们把时间花在分析问题上，怎么让自己独立的能啊，会解这种题， 而不要把这个时间和精力都放在这个功利性的上面啊。就拿一个题闷头就去解，我什么也不知道，我就闷头就解，解不出来拉倒心情不好是吧。 这个刷题一定要有方法啊，一定要有方法。综合题实际上是四套卷子， 这四套卷子呢，给大家做一个模考的预演了是吧？因为到了八月底啊，大家到了这个快到冲刺阶段，到九月份了啊，大纲快出来了，这时候呢，我们先做四套卷子啊，给自己一个什么啊，模考前的一个热身，然后你可以开始做卷子去 啊，做到这些，我们一定能够把目标设定为拿下一百二到一百五十分的考研数学题， 至于我说到的一百二到一百五，这是大家全部都要看的啊，你是奔着这个去的，那么如果有同学要舍弃某些 考点是吧，那么我们就是及格以上，九十分以上，这个也是完全可以保证的啊，就是你在删掉某些呃，这个考点之后，是吧，然后达成的这样的目标吧。目标 好，那么关于三十六讲的这个使用说明啊，其实最重要的就是讲如何做题，这件事情我们就给大家呢比较详细的说到这里，这样的话呢，我想对于 基础阶段的同学啊，你完全可以是吧，呃，对强化阶段充满信心， 哎，你说老师我现在听课学知识对不对？我现在少刷一点题目，不是天天闷着头刷题，我要多听一下这个知识，把知识掌握牢固， 对不对？那这个当然是对的，基础阶段的 input， 你 的知识的吸收，这是最重要的 啊，你刚开始就要真刀真枪在战场上跟别人打仗，那是不可能的，你没有招式啊，没有使用兵器的这个武功啊，没有这个成熟的全面的对于战场的了解，你上了战场之后，你实际上就是乱打一通 啊，你花多长时间，你在战场上都是这个乱七八糟败下阵来， 你想想看是不是这个道理，是吧？啊，所以大家基础阶段要好好的去学，你不要着急，不要跟别人去比这个进度啊，你该听的好好听啊，该非独立做题的，你就把它当立体好好学啊，然后到了我们强化阶段啊，就是完整的去做题， 然后接下来到九月份到十二月份，这里还有将近四个月，那么你就可以检验你的成果了啊，我们用真题的试卷，完整的试卷，模考题，完整的模考题，去检验自己的解题能力， 好吧，啊，那么我想呢，我这个今天呢就给大家说到这里，呃，如果同学们听懂我说的意思了，请同学们打一， 如果听得懂啊，我今天的表达，请同学们打一。好，谢谢大家啊，谢谢大家。呃，这个今天这场直播的主要目的呢，我就达到了啊，我希望大家呢现在应该立刻啊，继续好好的去复习 啊，现在是八点四十一分是吧？八点四十一分啊，我们还有这个充足的时间去复习是吧，好好去复习吧，祝同学们复习顺利，考研成功，谢谢大家。

这期视频是专门针对二期考研数学选择蓝开也都是跟张宇的同学的一份双飞冲刺九二的全年备考规划。如果你数学打算全程跟张宇，并且是双飞冲刺九二，不知道该如何具体进行，那你完全可以看这期视频，绝对是详细的保姆级教程。 关注我，我要带你从双飞上九二。本期主要是针对全部选择南开的同学做出了规划，张宇的高数我可以说确实适合大部分人的，但是现代概率就已经两级分化了，好的人呢？说很好，觉得不好的人呢？呃，评价很低啊， 所以说不是很适用于大部分人，这是经过二五二六很多考研人的反馈的。当然如果你觉得后面两部分也很适合你，那你就继续跟就完事了，没毛病。那如果觉得不合适呢？我们还有其他的打法，还有更有解，这些我们后面几期再更新。 选的蓝开也都是跟张宇同学，与选择红开跟武忠祥，跟其他老师同学要走的路是不一样的。 其实目前市面上主流的考研学习方式啊，就可以分为两种，一种就是选择跟张宇的同学，那还有一种就是选择跟其他老师的同学，这是因为张宇的基础三大讲，他是包括传统的基础课加强化课的内容，这是他目前与市面上主流老师最大的不同。那跟张宇就是要重基础， 跟其他老师就是要重强化，一定要搞清楚这一点啊，因为你所选择走的路都是要重强化，一定要搞清楚这一点啊，因为你所选择走的路都是要重强化，一定要搞清楚这一点啊，因为你所选择走的同学去比进度， 那接下来就说下蓝开三月到十二月的一个时间线，那如果你已经在三月之前就开始，那你的进度应该是比这个稍快的，那你就按照自己的进度保持下去就可以了。 那如果刚开始或者还没开始的同学，那就可以以这个做一个参考来进行你的学习计划。三月到五月中这段时间进行高速基础，五月中到六月中进行概率基础。 那么在往期的视频中，我们都说现代概率这些呢，都是要学完基础紧跟着强化的，但是我们前面也提到了章宇的，他的基础已经包括了强化课内容，那所以这几个部分我们都是基础学完就开始下一部分。 然后七月中到九月啊，这里呢要分为两种策略进行了，第一种策略就是目标一百三十五分以上同学，那么这个目标分数一百三十五分以上，我指的是你在其他年份偶数年正常难度的情况下，也要一百三十五分以上，而不是像二六考研这样的难度。 那这样同学你就走第一种策略进行三十六讲强化，那目标一百三十五分以下的同学呢？走第二种策略重刷基础三等奖。然后九月中下到十二月考试，这个阶段就是整体模拟卷的冲刺阶段， 那我们具体来看一下每个时间段我们该做什么事情。首先高速基础学习，三月到五月中教材基础三等奖的这个高速分册 习题呢是一千题，平替就是六六零七百。在上课之前建议先预习讲一下内容，学完一讲课程，理清知识点，弄懂例题，我们再去做这一讲对应的课后习题，之后再做一千题基础篇。 那做完基础篇之后，不懂的我们可以去看一下讲解一千题的讲解，推荐博主处江湖之远考研数学千羽。那如果觉得一千题的基础篇比较难，做不动，而且你的正确率是在百分之三十以下的，那可以换一本六六零七百，个人更倾向于六六零啊，因为章宇课程体系的原因，这一点我们前面已经说了好几次了， 七百题呢，可能又过于简单了，对自己的训练是不到位的，因为我们的基础三十讲里面已包括了强化的内容，我们对自己的训练还是要有一定要求的。 然后就是不要在基础阶段做八八零的高数啊，你做不动一千的话，大概率也做不动八八零。这里提示一下，因为基础三十讲内容比较多，所以理清知识点，弄懂例题这块就显得非常重要，将每一讲中的这个知识点公式都熟练。数学东西呢，其实还是挺多的，还是需要一定的记忆和不断重复的。 接下来现在基础的学习，五月中到六月中，教材是一千题，平替是八八零的现代 学过程，和高速基础知识点一样，预习看课，梳理做题，盯正。做题呢，也是先扣题，再一千题基础篇现代部分的一千题呢？再基础篇就比较有难度啊，如果实在做不动也正常，可以选择去做八八零的现代基础篇。 那这时候有人要问了，为什么不推荐做六六零的现代呢？那这是因为啊，六六零的现代，概率部分的难度比高数部分呢，是低很多的，所以现代部分不推荐做六六零，这和前面不推荐做七百一样。这是因为课程体系的原因，我们对自己的训练应该有一定的这个难度。 然后现在学习时呢，别忘了复习高数啊，可以看讲一知识点和做错题。那有时间呢，还可以做八八零的高数基础啊，那没时间就算了。 概率基础学习，六月到七月中进行，教材是基础，三人讲的概率分册习题是一千题，平替是八八零的概率 学过程和之前一样。那这里就不再重申了，做不动一千题基础篇，那可以选择做八八零的概率啊。不做六零的原因，我们前面已经讲过了，概率学习的时候呢，别忘了复习高数现代，因为这时候你已经学完了前面两部分内容已经很多了，不复习肯定是会遗忘的。 三十讲的基础学习阶段，此处呢，我只是给出一些参考的时间。呃，同学们在学习时，即使进度稍慢也没有关系啊，因为大部分的考研数学内容已经学完了，强化三十六讲的课程不多，而且我们的规划是按照两种策略走的，后面的时间完全足够。接下来七月中到九月两种策略。 第一种策略就是进行强化，教材是章鱼的强化三十六讲习题，一千题的强化篇八八零。那么八八零呢？是你题目不够做，拿来补充的。 学完基础三讲，强化三十六讲的课程内容和知识点已经很少了，他主要是讲解题的里面的立体呢，占了大部分内容啊，你完全可以先自学，等到不懂的地方再去看一看就行，学习完搞懂立体，去做一千题的强化篇在一千题强化篇做完之后，觉得不够呢？或者你觉得还需要再巩固巩固，可以选择做八八零的强化， 按照高速现代概率的顺序进行。注意我们在学习的时候要复习另外两部分就可以了。通过翻看基础三十讲的讲义和做错题，因为我们说了大部分课程内容呢和知识点都在基础三十讲中。 这里话再说明一下，对于数学二同学，因为我们是只用学习高数和现代的，那么你就可以早点进入这个阶段，然后进入这个阶段之后呢，你做这个题目呢，就可以完全把八八零也全部做完，因为你的时间对于我们数一数三的同学来说是比较充足的。 接下来七月到九月中的第二种策略，重刷基础三十讲教材基础三十讲习题一千题的强化篇八八年的强化篇。前面我们已经多次提到基础三十讲，包括基础加强化内容，所以这严格意义上来说啊，学完了基础三十讲，你就已经学完了。市面上所谓的强化课程，对于往年数学来说完全够用。 那在二六考研很多多次重刷基础三十讲，甚至考出一百四、一百五的分数，尤其是数学二， 所以你的目标在一百三十五以下。二刷三刷基础三讲完全没问题。在这个阶段重刷多遍基础三讲，你要彻底搞懂知识点和例题，将知识点熟人于心，甚至能做到背诵默写程度啊。考研数学更多的还是一个熟练度问题，这个问题对于现代来说是更加明显了，题目呢，就做一千题的强化篇， 选择第二种策略，同学更加建议也要做八八零的题目，因为你选择这个策略的话，做题目的时间是会比前一种策略更多的，按照高数现代概率顺序进行，注意学习其中一部分的时候要复习另外个部分。 接下来真题套卷，模拟卷的冲刺卷，九月中下到十二月考试结束前面的学习，那你可以进行一到两周的全面复盘和整理， 开始专题训练。建议从一零年以后的专题开始做起，定时三小时完成，进行批改分，最后进行定阵。在结束所有专题后啊，开始做模拟卷，也是定时完成。这个阶段要注意的就是查漏补缺，发现不会的知识点呢，抓紧巩固，同时要注意知识点的整体性， 从头到尾一遍一遍的滚动式复习，就像记单词一样。那这个前面我们也说过了，十月份呢，其实是一个分界点啊，对于大部分来说，十月之间开专题都是进度比较快的了， 一般十月份开征题也不晚，那当然再晚一点，十月中也还可以接受。像我考研的时候，我是十月份才开始征题的，那我也写完了一一零年以后的征题，而且刷了几十套模拟卷。 那模拟卷的推荐现就来说为时尚早，等到中后期我们再慢慢到来，毕竟目前的规划只是提供一个大框架，后续每个阶段我们还要具体完善补充，根据实际情况来。 那最后再说一下二七考研的各种数学课程资料讲义，你找不到的，你能找到的都在主页粉丝群，可以加入自取。除此之外呢，更有二五二六考研上的优秀学长学姐交流经验，欢迎加入。那好，以上就是这些全部内容，希望对你有所帮助。

不利于任何其他的辅导书和教材的这么一个知识体系，他就是传统的意义上的全程复习的教材 啊。所以刚才，包括刚才，呃，那属医的考，属医的女生说啊，我这个时间上会不会有冲突？我认为你不会有任何冲突，是吧？呃，我这个基础三十讲更新完的这个速度，呃，应该是你在明年春天，你就是说你还有很多同学是明年春天才开始刚开始复习的时候，实际上我们的基础三十讲已经就讲完了。 全部讲完了，那也就是意味着你的传统意义上来说，你的整个考研数学就已经全面复习完了，是吧？而在强化阶段我们讲什么啊？那我就要强调一条，就是我的强化阶段的内容是讲怎么去解析的，我们不会重复再去讲知识，不会重复的再去把这个知识呢再重新再讲一遍。因为基础三讲就已经是全部的知识了 啊，所以从这个角度上来说，那么大家完全可以放心的好好的扎扎实实的去复习基础三十讲啊。你复习完基础三十讲其实就可以上考场，但是为什么不能就上考场呢？因为我们在解析上面还没有足够的经验，所以我们需要强化三十六讲呢，去把解析上面的这个呃给大家再去做这个总结。所以这是这么样一个基本逻辑 好不好啊？是这样的基本逻辑啊。

市面上考研数学试卷册从夯到拉排名上来，第一个就是一千题，一千题我是只想给他一个夯，因为我全程跟的就是章鱼老师，但是他有个小问题，就是如果你跟的不是章鱼老师，听的不是他的课，那么里面可能有些题目你做不出来，就是你得用到他那些二级结论。 所以对那些不跟章鱼老师的同学来讲，你可能做起来稍微有点吃力，然后还有些同学会说他难度比较大，但是这个其实无所谓，因为如果你目标分高的话，就去做这套题吗？如果你目标分不那么高的话，你就做其他题就可以了，所以这个难度其实是 没问题的，所以我给他一个顶级之上行之下吧，只能给个这个。 第二个就是八八零了，八八零我只能说太夯了，八八零是非常夯的一本书啊，不管是基础题、综合题，还有他的拓展篇的题，三个档次的题目都有，很适合大家去做，不管你目标分是多少，都可以去写。所以八八零这本的习题册其实是非常好了， 非常好，大家都可以去做，所以给到夯，然后下面就是六六零了。六六零这本习题册怎么说？你基础阶段去写， 会写的有点吃力，写不动，你强化阶段再去做，你又会发现太简单了。而且还有个很大的问题，就是他的现代和概率部分出的太简单了，不适合考验难度。所以六六零这本其次我只能给他一个 npc 吧，只能给一个 npc 你写他的高数部分，那还可以，其他的话就不要去写了。然后考研数学七百题，这是这两年他才出现一种题目，我当时二五考研，我是没有听过这本习题册的。七百题怎么说？他有个很大的问题，就是题量太大了， 你像他基础七百题是基础阶段去做的，光基础阶段就有七百道题，你要知道一千题里面的强化部分才七百道，所以他有问题，就是题量太大。但是啊，对于那些呃基础比较差的同学，你是基础阶段完全可以去做的，因为他的难度是比六六零和一千题稍微低一点的， 所以你技术比较差，目标分不是那么高的话，你技术阶段完全可以去写这个七百题，但是不建议大家全做啊，因为七百道确实有点太多了，所以这个给个人上人吧，这个给个人上人， 然后下面一个就是咋子哥咋子哥的六百题了。咋子哥六百题，这个怎么说？这个只能给到吭了，这个没办法。为什么就是 他的题全是从这个八八零还有一千题里面搬运过来的，他全是从这些市面上好的喜提册里面搬运过来的，相当于他是在提炼，在提纯，把一些好的题目全部提纯过来了，所以这个只能给到行，这个没办法，他综合了很多好的题目， 然后再下一个就是九百题了。李艳芳老师，我真的特别喜欢他，因为我当时考那个真题的讲解就是一直在听他的课， 但是他的题还有他的模拟卷就不建议大家去写了，实在太难了。百分之九十以上的同学都不适合去做啊，除非你 基础比较好，上来就有一百二、一百三的底子，然后你想去充一百四、一百五，如果你不是这样，你就不要再去写这个九百贴，这这个没办法，只能给他拉完了，太难了，太难了。然后再下一个就是 唐家凤老师，一千八百题啊。一千八百题和这个七百题有个相同的毛病，就是提量太大了，一千八百道题你完全就可以去写两本习册了，就是一千题加八八零了， 第一就是他提量太大，第二就是他的质量不是那么高，就是他的里面题的难度不是特别高啊，没有八八零一千题里面的那些综合部分的难度高， 但是一样的，如果你基础比较差，然后你目标分也不是特别高，你完全也可以去写一千八百题，但是也是相同的话，就是不要全写，你要挑着去做，挑着去做。 所以一千八百题可以给个人上人吗？可以给个人上人。最后一个就是三大计算了，三大计算真是拉完了，拉飞边子了。我当时考验的时候就是听了网上的那些营销号去写了一下三大计算，说你基础阶段要锻炼一下你的计算能力， 你计算能力基础阶段锻炼个毛啊。基础阶段最重要的就是对于知识的理解，你知识理解到位就可以了， 你计算能力是强化阶段需要做的事情，你继续写八八零里面综合片的题目，还有一千题里面强化别人的题目， 里面那些题的计算量，你去写了就知道了，计算量是非常大的，是完全能够把你计算能力锻炼上来了。所以你基础阶段就不要去写这种又简单计算量还大的题目了，就完全是在浪费时间，完全是在浪费时间，所以三大计算只能给个拉完了。

今日话题，张宇三十讲使用指南高树篇。

这是二期考研章宇一千题做题本，一面一题，方便各位喜欢在平板上做题的同学使用。一面一题做题空间大，题目完全是手工录入的，不是那种不清晰的书籍扫描版截图出来的做题本有几点说明呢？我要说一下。 首先呢，我们每年都会做官方授权的主题讲解，每年都是好评无数，播放量很多。今年的主题讲解已经在 b 站开始免费更新了，大家点进我的主页就能够看到我们的讲解呢，不是对着题目去读， 而是认认真真的带你一步一步分析题干，带你一步一步顺着思路把这道题目做出来，重要的内容还会跟你做专题的总结，全部都是免费的。 所以如果你有题目不会做，欢迎来看一看我们的讲解，相信会对你有所帮助。第二，因为我们的题目呢，是纯手打出来的，我们已经努力的经过较对了，但是难免可能会存在少许的错误， 所以大家如果发现了错误呢？呃，欢迎大家在看物文档里面把你们发现的错误呢给填进去，这样也能够方便后面的同学更好的去使用它，大家彼此相互成就。此外呢，数一、数二，数三公共部分的题目基本都是一样的， 如果有一些特殊的部分，比如说数学三，他涉及到经济应用，比如说数一，他可能在某些章节里面，他有他单独的某一个知识点，这些内容呢，我会做单独的去标注，那么如果你不是考这个部分的同学呢，你就可以略去不做好吗？第三呢，我们这个做题本呢，是提供给在平板上做题的同学使用的， 有些同学呢，他可能习惯是在纸质上面做题，是吧？所以我不知道你们需不需要这种，比如说一张 a 四纸上面有三题啊，或者是两题这种打印出来的这种版本啊，如果你们需要的话呢，可以在评论区里面留言，如果需要的同学很多的话，呃，我就把它做出来，然后分享给你们，你们自己去打印可以吗？ 好，最后呢，我们这个是纯免费分享，所以如果你们发现有人盗用我的资料，还去收费的话，你们记得去点点举报， 因为我们说了免费，那就是免费好吗？如果你还没有购买纸质资料的话，可以在我的评论区里面点击我的专属链接去购买，是我的粉丝会优先发货，并且加固打包好，那么我的主页呢，还有更多关于考研规划，不管是考研数学、考研英语、考研政治、考研专业课该如何具体复习的， 各种各样的经验，一定会有某一点能够帮助到你。当然，如果你在复习过程当中有任何的问题，都可以在评论区里面留言，只要是我的粉丝，我都一定会认认真真的回答你们的问题好吗？好，那么这期视频呢，我们就说到这里。