张宇27第八章哪块可以不看

章鱼基础三十讲超详细攻略！这期视频我将带大家梳理一遍章鱼基础的重点难点，还有一些可以舍弃的部分。现在我们看看第八章。 首先前面的很长一段都是基础，这些是必须看的，必须要熟悉理解 这一段很多的证明，这以下很多的证明，证明过程不用看，只用记结论就可以了。想考一百三十分以上的同学，呃，其实所有的证明还是建议看，建议理解这个证明过程， 但是目标分数呢？不到一百二十分或者一百二十分左右的同学呢，只要记结论就行了。证明，证明过程不考以下这个第二段，他有一段很长的证明，一直到这里这里，这这么长一段证明，我建议 目标分数一百二十分左右的同学，不用看，直接跳过，直接跳过，呃，但是呢，如果你分数要求高，可以看看，但是我看完更感觉没有太大用，几乎 几乎没用。建议还是建议大家不用看，不用在这上面花费时间。这道题非常的经典，这道题是也是基础知识点的应用，大家可以重点看一下。 同样的证明过程咱们可以不看。反常积分是每年必考题，每年都会有一个反常积分的选择题，嗯，所以这一张还是大家还是要好好学，好好看。这里这里，以下的内容都要看，这个就没用了，这个就是闲闲聊不看。 还有这个，这个收敛准则判定，让我们看看第九讲，第九讲也是非常非常重点，这个讲这一章，这一讲占的分子很大， 首先就是个积分的内容，积分前面没什么好说的，前面都是基础，基础必须要判，包括这些换元、三角换元、根式换元、倒带换，这些是积分的基本技巧，这里大家重点，一定一定要重点看。 个人感觉这一款有个小的技巧，但是我个人感觉这里不太实用，大家我还是建议大家不用看，可以跳过 这个，这个这个技巧其实我觉得是比较实用的，我建议大家看。现在记一下，这里还是比较实用的，包括这个，这个也很实用，这个是重点看，这里的点火，这里的很多很多公式，这里 这里给大家总结了一些，呃，求不定积分时的一些方法和技巧，这里必须看，必须必须看，这里非常的重要。 编码函数在考试中几乎用不到，我做了很多的往年题，没有用到过编码函数，可以直接跳过，包括这个题直接跳过。 第九章整体来看都很重要，建议大家能做的都做。刚刚给大家标了一些可以不做的地方，除了那些都必须要重点看。第九章非常非常重要，它占比非常非常大，所以都建议大家都看一下。 现在我们看到第十讲，第十讲也非常非常重要，基本上每年都会考一个大题，前面的都是一些基础内容。到这里这里这里讲了一个东西，我觉得这个不实用，这个没考过，大家可以直接跳过 这公式，也不用记，这个公式你没也没考过，一直到这一段都是可以跳过的。然后这个地方，这个地方就挺很重要，这个地方经常考这个结论，就记住，记个结论就行了，然后就套公式就可以了， 这个地方，这个地方就有点偏了，偏难了，这个有点偏，几乎从来没考过，考研从来没考过，所以这个地方 这个不用看。然后我们看到第十一讲，第十一讲就特别特别难，他是他是处于压轴题的，他一般出都是出压轴题，一般证明题。然后我的建议是 还是一样的，一百三十分以上同学，你就，你就必须看，但是目标分数不到一百二十分的同学可以简单看， 嗯，遇到太难的，不会的可以跳过，不用勉强自己。首先第一个，第一个公式还建议大家都看一下，这个是最基础的。嗯，这个题建议大家看，这个题大家重点看一下，因为这个是最基础的题，这个题太偏了，不用看了， 包括这个，这个，这个题你在考场上你要能做出来，你可以考一百四十分。所以大家可以建议大家目标分数不高的同学跳过这个题，包括这个也是这个太难了。这些，这几我给大家标的这几个题都是属于有点偏、难怪的题。 呃，不，并不是说他一定不考，但是他考的概率很低，大家可以适当的跳过。然后我们看到十二讲，十二讲首先它的内容就比较少， 而且，呃，但是每年呢，都会考一点奢，但是每年都会考到奢奖的内容，对，这个在这个物理和经济方面的应用，所以这个这一讲基本上都要看，基本上很多知识点都会得，都得看，因为内容比较少。 这个，这个应该是章鱼老师自己加的哺乳金第一定律，我建议大家别看，建议大家不用看，因为这个只是一种新的方法，你用，你用以前的方法呢，也能算这些，这个东西我说实话，我在做 往年题以及模拟题的时候没有遇到过这种东西，这么长一段，建议大家可以不看啊，这个就数三的同学，数三同学这一块，这一块你就必须要做的第十三讲。第十三讲一般是作为大题在出，每年都会出大题， 这一讲呢，基本上每一个知识点都很重要，因为每一个知识点他都会考，没有什么，没有什么说什么是不会考的。 这个地方就用到了之前，之前第九讲给大家，让大家记得那个公式，然后这个微分微分的，呃，可谓的定义，这个必须看这个图，这个图毋庸置疑啊，必须必须必须理解，必须会的。 还有这个可谓的判定，这个多元微分呢，就不得不说了。多元微分就不多说了，肯定是必考题。这里有这个拉格尔的定义，这个证明过程还是一样的，不用看，可以跳过。这个也是的，这个肯定是记结论就行了，就记这个结论就可以了。以下这些呢， 不作为重点看，但是大家有时间可以看，这些考的很少，甚至可能，呃，大概率不考，所以大家可以稍微看一看，但是如果看不懂的， 看不懂的同学不要太为难自己，可以直接跳过，然后十四讲，十四讲的二重积分也是大题，也是 每年都会出的大题，前面的基础必须看到这一题，这一题我觉得大家可以不看这一题，太，这一题肯定几乎不考，几乎不会考。转换对称性是二重积分非常非常重要的一部分，计算的内容就不说不多说了，计算的技巧方法啊，这些肯定是要看的。 这里有一段，有一小段讲这个图形的，这个图形这里不用看，这里不考试不考， 这里只帮助你理解，而且这个没有用，这里有个股股五经第二定律，这里这里，这里可以不看，这里没有用，这里是章鱼老师自己加的，从这个以上，这不用看。嗯，这图就是随便看看就行了， 没必要深究。然后我们来到第十五讲，第十五讲也是每年必出一大题，十五讲的微分。前面呢 就不说了，前面都是很基础的，都是必须要看这个地方，这一段都特别重要，特别重要， 这是做题的基础，必须看，包括这里和这里啊。从这里，这有个微分算子算的，这里有个微分算子，微分算子的那种不用看，不用，微分算子只是给你提供了另外一种方法， 你考试的时候可以直接用原来的方法，不需要用这种方法，所以你只要把全面学会就行。这个几何的应用，几何的应用也特别特别难。嗯，所以我还是建议 目标分数在一百二十分左右的同学可以不看，可以直接跳过，但是你一百三十加的同学呢？嗯，可以稍微看一点，我觉得自己的内容呢，基本不会考。

章鱼基础三十讲超详细攻略，这期视频我将带大家梳理一遍章鱼基础的重点难点，还有一些可以舍弃的部分。 首先我们看到第一讲，第一讲前面的部分都是一些函数的基本的概念和知识点，这些都是必须要看的。然后我们直接看到函数的定义，函数的函数，极限的概念，这里这个极限的定义， 呃，大家可以理解就行了，不需要太深究，看不懂的可以可以略过。然后这一大块直接跳过就行了，这里这里肯定不卡，这个超时速，超时是最没用的，直接跳过不用看，试着运算，这里这是基础的内容，这是必须要看的， 这个很重要，性质，性质咱们就记结论就行了。这个推导过程咱们都不用看， 所以说这个第一个唯一性，局部有界性，还有这个局部保护性，就是理解他的意思就可以了。推导过程不用看这些定义，呃，他说的很严谨，但是呢，考试基本都不会考，所以大家都是做一个了解就行了 啊。但是无穷小的接触，这个是，这是一个重点，这个考试也经常考，所以大家在这个地方还是要好好看的。还有这个第八个 无穷大的定义，跟刚刚说的一样，可以作为一个了解啊。计算肯定是最重要的，你考试就是考计算，计算必须要看 诺必达，诺必达是非常重要的，就必须看必考点这个以下的内容就直接跳过就行了。 这里没有用他的公式，他的公式不毋庸置疑的，必须必须看这里这一小块，他这个第五个，这里没有什么用，就是直接跳过就可以了。 嗯，这些都是计算，计算的一些技巧，这些大家都必须要看，就必须要理解。关于这个定义，定义他说了很多，一大堆，自己，呃，读一遍就好，不需要看，甚至可以直接跳过。 然后这些其实这些都是必考点，这些都是基础内容，这些必须要看。我们看到第二讲，第二讲这个定，这个极限定义这里他有时候会出这个 呃，证明题大家，但这个一般都是都很难。然后这一块有讲了一些放书的技巧，这一块我我建议 目标分数在一百三十以上的同学可以看一下，但是目标分数不到一百三的同学这里直接跳过就可以了。这一块，嗯，很难，就是很难，所以目标分数很不高的同学直接跳过，没有必要，没有必要在这上面浪费时间。 还有就还有就这里，嗯，这个第七个也是一个很重很重要的都要看。然后我们看到第三讲，第三讲这里这里有一个很很长的一个推导过程，这个过程我建议大家 可以不看，就是一样的一百三十以上的同学你可以看，嗯，目标分数没有那么高，同学可以直接跳过，因为这些很难，真的你即使看了也不一定看懂。这个高级导数基本经常考，基本每年都考一个，但是这个，这个这个地方挺难的， 建议大家还是好好学一下。然后第四讲，第四讲就是特别特别重要，因为他考，他是讲的计算，本来数学考的就是计算，很多很多的计算方法还有技巧。第四章是非常是重中之重， 前面这一很，前面很多都是很基础的内容，这些都是必须要看的，没有说没有，每一个都很重要，没有不重要，每一个都必须看。高阶导数很难，这个考的题会很难，嗯，但是他经常考， 所以这一块建议大家多看看，多花点时间看，这个是他的展开的公式。这这这一页是必须要记的，这一页是最基础的内容。第四讲，第四讲，第四讲基本上是都要看，因为第四讲非常重要，这一讲建议大家就是 把速度放慢一点，多熟悉，多做，多做一点题，把这一讲的知识彻底弄懂。然后我们看到第五讲，第五讲的几何应用题，相对来说考的分数没有那么多， 经常考的点就是这个凹凸性，凹凸性是，嗯，必须要看，也需要大家花一点时间去理解。 这里有可导点的必要条件和三个充分条件，我这个第三个充分条件大家可以接跳过，不用看了， 这个不考第一和第二，第一个和第二个大家可以熟悉一下，但是老师肯定也不考，只是帮助你理解这个必要条件，必要条件非常重要，这个也很简单，其实这个第五个是一个结论性的东西，大家只要记住这个结论， 这个结论就行了。嗯，推导过程不需要知道监禁线，监禁线是必考的，每年必考题， 这个取对半径。只有数一和数二的同学学，数三同学不学这个也只需要记结论就可以记结论直接用 第六讲，基本上是属于压轴题的，所以的证明题。第六讲，第六讲，我觉得目标分数在一百三十分以上的同学就要好好看了， 因为这就是你拿分的点，但是目标分数不到一百二同学没必要被纠结这个，但是你要看，但是就如果，如果 做不出来的题，可以适当的跳过，因为这个是属于压轴题的内容。前面这很多的定力大家还是要还是要了解的，这个拉拉格量中的定力那是必须看的，这个是整个证明题的基础中的基础，必须要理解。 微分短视这一块期可以不用做重点，不用重点看大家就是大家可以作为一个了解，特别是对于目标分数不到一百二十分的同学，可以简单看看， 包括这个微分不等式，因为这一张都是很难很难的证明题的内容，所以，呃，很难理解，所以大家简单看看就行了。 第七讲，第七讲主要是主要针对数三的同学，数三的同学在学的内容比较多，但数一数的内容就比较少， 我们看一下前面，前面是前面，这里他是必考的，这个是整一讲的基础，这个这个是必须要会的，然后基本上数一数的同学就看到这一下就数三同学的内容，数三同学的内容也是， 哎，这这里建议都看一看，都要学，因为他都会考，第七讲的内容也不多，所以都呃，所以建议大家都学，因为这个是基本上每年的必考题，出一个题，但可能分值也不多。

第二题，极限 n 去无穷 n 的 立方分之一乘以小于 n 分 之一，加上四乘一个小于 n 分 之二，一直加加，加到 n 减一的平方，乘一个小于 n 分 之 n 减一，对吧？我们看一下这个中间的括号，这一项，这一整个式子，它是有多少项啊？ 它是不是有？你看一二一直到 n 减一，是不是就是 n 减一项的求和， n 减一项和，对吧？好，整个四值呢？我就把这个 n 减一项，这个和的这个四值呢？把它写成规律，找一下它的规律，就极限 n 圈无穷 n 的 立方分之一，然后乘以， 对吧？然后你看下这是不是一二，然后一个 n 减一，前面的系数是不是也在波动，是不是一的平方，二的平方移到 n 减一的平方？所以说我这里位这个位是不是就可以写成一个求和符号？ n 减是不是就可以写成一个求和符号？ 求和符号 i 从一开始一直加到 n 减一，然后呢？这个位置不就是一个 i 的 平方，前面这个系数是 i 的 平方吗？然后再乘一个伦 n 分 之 i， 对 吧？ 好，我们这个位置呢，这个极数对，它是对 a i 起作用的，并不是对 n 起作用的。那么这个位置呢，我就可以把 n 的 三次方分解为 n 乘一个 n 的 平方，这个 n 的 平方和这个 a 的 平方，把它凑到一起， 是不是就可以写成极限 n 区间无穷，然后一个 n 从一开始，一个到 n 减一，然后一个 n 分 之 a， 对 吧？ 好，那么写的这一项呢？我们是不是想到什么往定积分的第一定义上面去凑，我们最常用的是不零到一上面，一个 f x， 一个 d x 啊，它是等于多少的？它写成极限 n， 曲线也无穷，对不对？然后呢？ i 从一开始，然后一直加到 n 项，然后呢？这里面 是不是写成一个 n f n 分 之 i 再乘一个什么？再乘个 n 分 之一吗？这个 f n 分 之 i 就 什么呢？就是这个矩形的一个长，然后呢？这个就是矩形那个宽，把一乘起来就完了。 好，我们这个位置就往上面套啊，这个东西往上面套，然后你想想，这个位置从 i 等于一，一加到 n 减一项，这个位置呢？是从一加到 n 项，那么这位置不需要补一项吗？它是不是等于极限 n 圈无穷 n 分 之一，然后乘以一个 i 从一到 n 吗？是不是前 n 项和然后 n 分 之 i 的 一个平方乘一个论 n 分 之 i， 然后你这个位置前 n 项和 这个位置。题目给的是是前 n 减一项的和，你这个位置无缘无故多了一个 d n 项的和 d n 项的一个式子，那是不要把它减掉。也说当 i 等于 n 的 时候，是不是就 n 分 之 n 的 一个括号的平方乘一个，论 n 分 之 n。 好，那么你算一下这个四他等于多少？是不是就等于一乘一个论一啊？这位置不就是零吗？他后面这个值不就是零吗？所以他加的减去他是没用的。也就说这个位置你可以加到 n 减一项的和，也可以加到 n 项的和，因为第 n 项的四子他是为零。好， 我们继续往后面做，继续往后面做。是不是就极限 n 圈无穷 n 分 之一，然后一个 a 从一开始到 n 一个二 啊？啊？整个式是什么？ n 分 之 i 的 一个平方乘一个洛 n 分 之 i， 对 吧？好，到这一步之后呢，我们需要怎么去把它的定积分的式子把它写出来呢？对吧？ 这里你需要你看一下，你关注一下，这是 n 分 之 i， n 分 之 i， 对 吧？ n 分 之 i 这个东西不就是取的是什么呢？ 它不就取得这个位置 f n 分 之 i 吗？也就是说这个中间这个四指是不就可以把它写成什么？是不就可以写成 f n 分 之 i 是 不就等于什么 n 分 之 i 的 一个平方乘一个 n， n 分 之 i 啊，它不就等于多少呢？我把写成 x 的 话，不就是把 n 分 之 i 看成 x 吗？ 不就等于 x 平方乘一个平方 x 有 没有问题？好，那么这个位置表示什么意思？你这个位置将 n 分 之 i， 把它看成 x， 它就是取的。你看你当 i 等于一的时候， 当 i 等于一的时候呢？ n 分 之 i 不 就等于什么 n 分 之一吗？当 i 等于二的时候呢？它是不是等于 n 分 之二？ 这个 n 分 之一也首先是不是在零到一这个区间上面，或说你看不出来零到一，对吧？那我就把写到最后一项，当 i 等于 n 的 时候呢，他是不是就 n 分 之 n 是 不就等于一的呀？那么你这个位置给他进行取极限， 这个是第一项吗？第一项，那么你给他取极限的话，他不就是零吗？这个位置是零的话，也说这个位置 i 等于一的时候，他就是零，那么这个积分下限就写成个零。然后呢，当 i 等于 n 的 时候，它的这个位置的这个极限呢？是等于一，那么这位就写成零到一，把它分成 n 份，将零到一，把它分成 n 份，对吧？是不是零到 n 分 之一？那么你这里面，这里面的每一个东西取的是什么呢？是又取的，取的就是这个小区间的右端点，作为 这个矩形的它所对应的函数值所，也就是说取的这个右端点，它的函数值所对应的矩形的长宽就是 n 分 之一也没问题。 那么中间是不是就可以写成 x 的 平方乘一个圆 x 啊？然后呢，这个 n 分 之一不就是 d x 吗？ 因为你想想，你看，哎，第二项和到第二第一项之间，他俩是不是只差一个 n 分 之一？不就是什么这个矩形的一个宽吗？这个 n 分 之一不在这里吗？不就写成个 d x 就 完事了吗？由上面这个东西，上面这个式子呢，它是等于下面这个 定积分的，这一点要把它明白好，那么这个位置是不就是背积函数是一个 x 的 平方乘一个洛 x 啊？是不是一个是密函数，一个是对数函数啊？是不是用分布积分就行了呀？然后把这个 x 平方往后面一凑微不就可以凑成什么？ 零到一上面一个洛 x， 对 吧？ d 三分之一 x 三次方，乘以一分布积分乘以一个洛 x， 零到一，减去一个零到一上面 三分之一 x 三次方 d 诺 x， 对 吧？然后你把值带去这个位置，把一带去，它是多少？是不就是零呢？因为这个诺一不就是零了吗？你把零带去呢？它是多少？给它求极限。零带去的话，这是不是因为 密函数趋向于零的速度远远快于这个诺 x 趋向于负无穷的速度，也就是说这个零和这个负无穷相乘，对不对？ 这个零的趋向于速度非常快，这个趋向于负强的速度是非常慢的，他说说整个式子，或者你可以给他进行求极限也是可以的， 但是这位置需要记住 x， 也就说你看极限 x 趋于零，对吧？ x 三次方，一个洛 x， 它是不是就是一个什么零乘以无穷形的？零乘无穷形怎么办？是不是就可以把它进行翻译一下？就极限 x 趋于零，是不是就是一个洛 x， 下面是不是一个 x 的 三次方分之一？ 把，这个好，我们再给它进行用诺比达一诺就完了呀。诺比达诺出来是多少零？正零正上面是不是 x 分 之一，下面是多少？是不是 x 三次方它是不是就等于多少？它是不是就等于 x 的 负三次方？是不是就等于负三乘？以 x 的 负四次方 有没有问题？ x 的 负四次方乘上去的话是多少？是不是就 x 四次方？ x 四次方和它的约的话不就 x 三次方吗？所以这个四是不就等于零？好，前面这一项是零减去零，右边呢？后面这个东西它是多少呢？后面这东西是零到一一个三分之一 x 三次方乘一个 x 分 之一一个 d x。 好，我们继续算，它是 x 三次方和 x 分 之一吧。预约的话是不就 x 平方，是不就等于负三分之一？乘零到一的 x 平方一个 d x， 那 么最后答案不就等于负三分之一乘以一个三分之一吗？就等于负的九分之一， 因为它的原函数是三分之一 x 三次方嘛，然后零到一上面把一代去，不就三分之一，所以最后答案它是等于负的九分之一的。

章鱼三十讲的难点分析及其解决方法，在之前的视频，我只给大家讲了三十讲有哪些难点，哪些需要学，哪些不需要学，但是没没有给大家相应的解决方法。今天这个视频就给大家讲解一下，然后我就直接从第十三讲开始讲了，如果大家听完需要的话，我就把前面一到十二讲的给补上。首先第十三讲 哪块是难点，就是他的基本概念，基本概念就考你连续偏导数和可微这种题，在考场上他是比较有难度的，是有区分度的题，一般是出在我们高数选择中的最后一道，那么这块如果模糊的话怎么去解决啊？我建议大家把六六零里面的 这部分题目给刷一下，尤其是二五版的二五版六六零里面的二百三十二这道题，大家好好把它研究一下， 然后二七版的对应哪哪道题我又不太清楚了，没有去翻。大家把二五版六六零这个二百三十二题好好去研究一下，如果你把这道选择题，然后这里面的四个选项都搞明白了，那么你读英文函数概念这块就完全没有问题了。 然后还有一个需要提醒的就是二百三十二这道题他是适合那些一百三十加的人去看的，一百三十加的人去好好研究的，因为这道题他确实非常难啊，我当时学的时候是一直要反反复复的去看。 然后如果你目标分在一百三十加以下的话，你就把前面的那些概念题搞明白就可以了，然后就没必要钻研这道题了。然后我们第二个难点就是这个二元函数的拉格朗重置率，这块一般他是考证明题的，而且比较难啊，考研当中基本上没考过，所以大家就不需要花时间去记了，就直接放掉就好。然后 我们第十四讲二重积分，二重积分这块第一个难点，第一个难点就是换元法，就是他的换元法，在这换元法，如果你是数一数三的同学啊，那就要把二重积分这个还原法好好学一下，因为在概率论当中，在我们概率论当中啊， 多元啊，多维随机变量及其分布，这一张结需要大量的用到牙科比行列式，一个叫牙科比行列式的， 这个行业是用它来进行换元，其实就是卷积公式啊，这个就是卷积公式，但是它的适用范围比卷积公式更广，更普遍，所以大家要把这个换元法好好学一下。然后我们第二个难点，第二个难点就是集坐标了，第二个难点就集坐标了， 大家可能会想，集坐标有什么难的？我们大多数情况下啊，都是先积 r 再积 c 他， 对吧？先积 r 再积他，但是啊，有可能考场上会让我们先积 c 他， 再积 r， 这种情况下，大家可能第一眼看可能就蒙了，怎么去解决啊？二六版的六六零啊，二六版的六六零，一百一十三题搞明白就可以了，只做一道题你基本上就会了，只做一道题你就会了，把它写搞明白就可以了。然后第三个难点，难点三啊，给大家讲一下，非常重要。难点三是什么？画图？ 可能很多同学啊，不知道怎么把二中积分的图画出来，就遇到那些没见过的函数，你不知道怎么去画图，怎么去解决。第一种多去做题啊，第一种就是多去做题，你多遇见一些题目，多见一些图形，你自然而然就会了。另外第二个方法很重要的方法 是什么？五点画图法。张宇应该在第一讲中就讲过，五点画图法非常重要，五点画图法就是最基础的话必须掌握，这个方法就是万金油啊，如果遇到你没有见过的函数，就可以通过五点画图法把它给画出来。 ok， 这是第十四讲内容，然后我们第十五讲。第十五讲 难点一啊，难点一就是微分算子法。微分算子法这里面没有写微分算子法，微分算子法的话， 这个只推荐大家去记忆有关三角函数的，只去记有关三角函数的就可以了，其他的就不要去记了。只有三角函数的算法算起来是比待定系数法更方便的，其他你就用正常的待定系数法去解决掉就可以了，不需要再去记这么多公式， 全都是我当年考研总结出来的经验，大家直接去记三角函数就 ok 了。然后如果你呃实在想用一下微分乘法的话，你全记也是没问题的，你多记一点肯定是有好处的。然后第二个难点就是物理应用题了，就是物理应用题的，就这块这个难点， 物理应用题他只有一个解决方法，就是多做题，只有多做题，只有多做题，这个没有其他方法，但是大家不用在这一块花太多时间啊，因为考的频率比较低，大家做几道题就可以了。

二七款的朋友你们好！根据苦瓜学长近三万人的大调查，也有一小部分同学结束了张宇的高速基础阶段，那和红开差不多的思路，问的最多的问题就是啊，到底是刷六六零还是刷八二零？在二刷的时候， 考虑到你们跟张宇同学和红开还是有点不太一样的，因为你们相较于跟着武忠祥的同学，你们基础阶段就做的题足够多了。所以说二刷的时候，咪咪哥还是建议二刷基础三十讲搭配你一千 a 的 错题二刷就行了。 因为与此同时，秘密哥还更建议你同时进入现代，双开高速和现代时间占比五五开。当然，如果你的学习时长还是三个小时，那秘密哥还是不太建议你进入现代，如果你要进入现代，你的学习时长怎么着也得上升了。而且我也说过无数遍，在现代基础期间，最重要的是高速， 不要捡了芝麻丢了西瓜。所以说新的高速的洗地车，我建议在三上三上讲的时候去做，因为你们跟着我的规划走，二上完三上讲之后， 绝对是有实力去做八八零基础的，可能六零在你眼前就不太够用了。当然也存在一部分同学一千一刷的时候，他的正确率就非常高，也可以考虑在不耽误现代推进的基础上啊，去加一本六零或者说八八零的基础。 但是对于绝大多数同学，一刷一千的正确率还是没有那么高的，所以说就听我的即可，不用加新的习地册。三刷三讲的时候，咱们搭配我说的那个八八零拼好卷的策略无疑是最好的选择，那六零如果大家已经买的，也不是说直接就浪费了啊，可以和我上期视频讲的一样，采取一个现实训练的模式啊，去给他做了， 或者说你完全不需要做这本六六零，反正也没有多少米。而且说句心里话，我觉得能不需要做还是不建议你做的，因为八八零这本习题册所需要花费的时间非常多，不是说你一刷完就完事了，八八零这本习题册还是值得，尤其是错题啊，至少两遍起步是非常值得的。 所以咱们跟张宇同学，我希望你们就啊以解决两本习题册就行了，不要老想着做太多习题册啊，没啥意义，因为八八零需要花费的时间太长了，而且一千题的难度也不低。还是那句话，我要带领关注我同学们，干碎那些不关注我的同学们。

三十讲，不是每一页都值得你死磕，这句话可能跟你听到的不太一样，但这就是我考完数一一百四十三之后最大的体会。高数部分那么厚，章鱼老师自己也说了，很多人已经拿到手了，高数部分比较厚，因为我把所有的笔记都写在上面了， 内容确实全，但全部等于每一讲对你同等重要。今天这篇，学姐就把八到十五讲这个大家公认最容易卡住的区间给你拆开讲，哪些讲必着演艺的，学完哪些讲可以先喘口气， 不讲虚的，直接上干货。但在聊具体章节之前，我想先解决一个更底层的问题，你刷了那么多题，到底有没有用？我一站一零八分的时候，每天也在刷题，但心里一直发虚，做对了，不知道是真会了还是蒙的，做错了，也不知道是偶然失误还是压根没搞懂，这种没有反馈的状态特别消耗人。 后来我才意识到，为什么大家学的这么痛苦，是因为大家根本没有一个进度条，也就是说，根本不知道学了这么多，到底还有多少是没学的。面对真题里这些琐碎难懂的冷门考点，这种效率低下的复习模式让我非常痛苦。加上后面我会重点说说智能型是如何帮助我复习的。 下面我就说说我二战是如何从一零八年逆袭到一百四十三的。考研数学没有那么难，他主要是量大，知识点多，但题型相对高考来说比较固定，难的不是某一道题有多变态，而是你需要在三个小时里把十几个知识点的计算全部做对， 这对基本功的要求极高。那怎么打基本功？传统做法大家都知道，听课、做课后题、刷习题册，章鱼老师讲的很清楚，学习方法分三步走，预习、听课、做题，每一讲后面都有习题，大家一定要按部就班的去落实这个大方向。没问题，问题出在做题这一步。 你拿着一千题从头刷到尾做了几百道，但你知道这几百道里面哪些考点已经过了，哪些还在漏吗？你自己是说不清的。 一个学姐的总结让我很受触动，他说，假如我告诉你这样的一个事实，考研数学所有的东西，他一共就六百个考点，虽然听起来很多，但假如他就六百个，弄懂了，就没有新的了，你还会畏惧吗？只要像打游戏一样，把六百个属性都练满，让进度条往上涨，是不是练起来就会很笃定 知能行，做的就是这件事。他对三十年的真题以及大纲知识点都进行了非常详细的拆解，把每个知识点从各个角度切片，然后根据你的实际水平，专门出你不会的题。他不让你做已经会的题，系统会自己检测你哪有漏洞，然后就盯着那出题，再加上按考评牌优先级，你的时间自然就花对了地方。 还有个每日综测，自动帮你安排复习，不用自己记哪个知识点该回顾了，说白了就是省心。这个逻辑搞清楚了，我们再来看具体章节怎么安排。在这之前，真的建议你去用智能型测试一下，三十讲，第八到十五讲，包含了积分、多元函数二重积分、微分方程这些大头重点内容，重点考，这个是绝不回避的， 下面主讲说第八讲。积分是被吐槽最多的章节，因为概念密集，元函数存在定力，定积分存在定力，变现积分、反常积分、连散性一系列概念在短时间内集中出现，且彼此关联性强，方法也多。凑微分、换元、分布、拆项这些东西没什么好说的，就是得恋到手熟。 积分能跳吗？肯定不能跳，积分在真题中占据举足轻重的分值，跳过核心章节无异于自断一币。积分这块概念。部分选择题可能考，但大头不在这真正要命的是计算填空题，大题都躲不掉。有同学想找巧办法，真没有你积分算不利索，后面二重积分，微分方程全得卡，到时候哭都来不及。 传统练法是抱着习题册从头到尾刷，但你可能凑微分已经很熟了，还在重复练，而某类换元一直错，却没有针对性的题给你。智能型把积分拆成了积分一和积分二两个专题，前者训练基础组合，后者聚焦三角函数基友对称和反常积分， 系统能抓出来，你到底哪不行？有个学姐说，四天打通积分看一千题，眉清目秀，我自己题感也差不多。旋转体体积是重点，常作为大题中的疑问。平面图形必须掌握形心坐标和旋转区面测面积考得比较少，时间仅可以放放核心就一个字，建模， 能把几何问题准确的翻译成积分式子，这一讲就算过了。多元函数微分学基本概念如极限、连续、可微偏导的关系是选择题高频易错点， 很多同学觉得自己搞清楚了，一出变稀题就翻车。计算与多元函数极值是大题核心，拉格朗日法的证明考的极少时间仅可以先放 智能行李。多元微分概念和多元微分计算两个专题配合着练，效果很明显。二重积分的计算是数二考生必考的十二分大题，对所有考生都是重点，直角坐标和极坐标的选择交换积分次序准确定线都是拿分的基本功。今年专题也印证了常规题目多易算不易对，看起来熟悉，里面又藏了不少东西在里头。 智能型的重积分专题从区域划分定线开始练，专治图画不对，上下线写反微分方程每年都考，每年都送分，没有理由丢分。一阶的，二阶的，可降阶的，看到方程三秒内反映出类型，然后开算，这是目标。这一讲没什么花活，就是练到条件反射。物理应用考频低，后期看需要再回顾就行。 看完必看的再来说哪些可以降低投入，注意，是降低投入，不是不看。积分证明这块说实话挺劝退的。拉格朗日终止定律、泰勒公式的应用思路得有，但如果你目标就是幺二零以下，这部分属于高难度章节，可针对性降低投入。把讲义理、经典例题看懂就够了，不用钻研过难的题型。 在智能型的导数证明专题里，积分不等式和导数不等式是放在一起训练的，因为核心都是选定理，根据真体统计和智能型算法分析，这块可以先排后面。数一的物理应用部分考的不多，但别完全忽略。去年数二考了，细致感，对支点的引力大小，这是连续考的，属于兼顾全面类的命题 书。一同学把公式背熟练练，把文字题翻译成积分式子的能力就行，不用死磕中直定理。复杂证明和 excellent n 蠢证明。这两类技巧性强，难度大，但真题中分值有限。如果目标幺幺零左右，先保基础题型的分数更划算。张宇老师也说过，前期基础不牢固，后期刷题突破举步维艰。与其肯压轴证明题肯到怀疑人生，不如先把计算分全拿到手。 特别说一下智能型的跳过逻辑，他跳过的永远是对你当前目标和水平而言性价比最低的题目，而不是整个知识模块。等你水平上去了，之前跳过的内容会重新纳入训练。这个设计很科学，你不是在逃避，而是在排忧。先集， 最后聊聊节奏。基础打的有多牢固，决定我们网上盖楼的高度和稳定程度，这是章鱼老师反复强调的，没有任何人能绕过这个规律。但很多同学的问题不是不努力，而是方向不够精准。很多同学以为数学只要靠思路，我只要想明白就行了。其实并不是这样， 计算量大，这又是一个突出的特点了。考场上思路是有的，你让他算到底算不完，所以计算训练是贯穿始终的主线。一遍过的知识不多，基本上大家要通过两到三遍的学习才能彻底学会。三十讲，跟着课认真过，课后题踏实做，再用智能型做针对性的计算突破，这就是我二战的节奏。传统方法扎实搞定，八到十五讲，一般需要一个半到两个月， 配合智能型做精准训练，大概三十天就能达到比较熟练的水平。每天四小时左右，相当于一千题一刷，正确率百分之八十至九十的程度，后面再去刷六六零八八零，速度会快很多。这个过程虽然辛苦，但当你看着系统里的进度条不断上涨，你会发现，数学复习其实也可以像通关游戏一样有成就感。 不要总是盯着那几道解不出的偏题怪题，要把精力放在高频考点和基础计算上。章鱼老师也说过，要把基础知识内化为自己的能力，而不是简单的记忆， 三十天就能达到比较熟练的水平。数学是一门只要付出就有回报的学科，前提是你得找对方法，不再盲目的在题海里打转。一百四十三不是天花板，方向对了，时间花在刀刃上，你也可以。希望这些经验能帮到正在迷茫的你，加油，未来的研究生们，我们在彼岸等你们！

先说结论，我去年属于一百四十三，但备考前期也被三十讲折磨的够呛，那时候每天跟着宇哥的课，笔记记了一本又一本，感觉知识点都听懂了，结果一上手做题一千题，基础篇十道只能对四道，脑子里一片空白。我当时真的很崩溃，甚至怀疑自己是不是不适合考研。 后来才明白，这不是我的问题，是三十讲本身的维度太高了，那种炫技般的拓展内容，比如二阶常数变异法、分段估值问题，那些繁杂永长的公式花样摆出的图形，一股脑全塞给你的二级结论，看的时候觉得，哇好厉害，做题的时候全还给宇哥了。 但我最后还是考到了一百四十三，靠的不是死磕那些高难度内容，而是找到了一套真正可行的方法。今天这篇文章我就把我踩过的坑和后来的破局思路一次性讲清楚。 好消息是，今年还有一个县城的降维方案，二七版三十讲相比二六版做了大幅精简，那些让人头秃的拓展内容要么删了，要么移到选学部分。如果说去年三十讲的吃透难度是九分，今年以直线降为五至六分，学习时长也缩短了不少， 核心知识点一个没少，但学习门槛实实在在降下来了。针对这些三十讲中提到的复杂公式和二阶常数变异法等高危难点，我开始通过智能型来寻找更高效的突破口。加上后面我会重点说说智能型是如何帮助我复习的。 有人问我，那我是跟二七版还是用去年二六版的讲义？二七版删的主要是难题和超纲内容，核心考点都还在。我对比了一下，新旧版本改动主要有这几方面，去年凡是非考研重点的边角知识点，该删减的都删减了。 这些内容说实话，考研真题里出现的频率本来就不高，删掉反而减少了记忆负担。另外， g 二五的小白鼠实验失败后推倒重来，今年新版类似于二四的风格，框架精炼，内容集中，我自己翻了几张，能明显感觉到对考研重点的针对性比去年强了几个档。 那为什么要删？因为去年很多人说三十讲啃不动，暑假复习不完了。网上舆论很大，大多数人并不是拔高不行，而是基础就不行。去年那个版本信息量太大，很多人过了一遍，但没有巩固，知识点没留下来。 所以如果你问我选哪个版本，我的建议是，基础一班的同学直接用新版，内容精简，重点突出，不会让你陷入看不完的焦虑。如果你是二战，手里有去年的版本，也完全能用。 但是请一定要对照今年删减过的专题，把那些钻研性价比极低的内容去掉后再去自学。去掉之后，相当于今年版本的加强版，例题更多，深度更高。但不管用哪个版本，有一个坑，你一定要避开。我当时就是过于纠结版本选择，结果在这上面浪费了好几天。后来发现真正的问题不是版本，而是我学完之后根本做不出题。 记得当时我刚看完三十讲的极限部分，感觉七大未定时，等价无穷小。这些都懂了，但当我开始在智能型上刷对应专题时，系统推了一道需要用泰勒展开处理菱菱形的题目，哎，直接卡住了。我当时还挺纳闷，心想这不就是个常规题吗，肯定是计算哪里出错了。结果系统紧接着又推了几道类似的，便是题，我连着做错了三道。 那一刻我才意识到，我对于什么时候用泰勒展开到第几节这个判断标准完全是模糊的。书上的例题我都看懂了，但那是因为宇哥已经帮我选好了方法，我只是在跟着走。那种感觉就像是被精准的戳中了软肋，系统根本不管我看没看完书，只看我能不能做对题。后来我跟着他的引导，把这个细分的知识点死磕了三天。 他推的题是循序渐进的，先是最简单的直接展开，然后是带参数的，最后是复合函数嵌套的。等我把这个专题刷通，再回去翻书上的例题，才明白宇哥讲课时跳过的那些步骤，原来是这个意思。如果你也在纠结版本选择，不妨先测一测自己的实际水平，可能问题根本不在版本上。 这是一个很普遍的陷阱，看老师解析轻松，自己做题就没思路，听完课正确率还在百分之五十以下。我当时的情况是，三十讲，跟着宇哥过了一遍，课后题也做了，感觉知识点都理解了，结果一刷一千题，基础篇正确率只有百分之四十左右。但后来我想明白了一件事，不是听完课就进入强化阶段了。 强化阶段最重要的事是什么？提高解题能力。三是讲，确实覆盖了基础加强化的所有知识点。但问题是，强化阶段的真正目标不是听完课，而是会做题。那为什么听完课还是不会做题？我觉得核心原因有两个，第一，知识点没有真正内化， 看视频的时候觉得都懂，但过段时间就忘了做题，想不起来。这是因为光输入没有输出知识点，只是在脑子里过了一遍，没有形成肌肉记忆。第二，缺乏针对性训练习题测是按章节编排的，但你不知道自己哪个知识点薄弱， 可能你花了很多时间做已经会的题，但真正不会的点一直没被发现。我后来的做法是先搞清楚自己到底哪里不会，再针对性的练。 这个方法帮我从百分之四十的正确率一路提升到最后考场上的一百四十三。这里我想详细说说我是怎么发现自己薄弱点的。当时我以为自己导数学得还行，毕竟求导公式、练式法则这些都很熟。但有一次我在智能型上做综测，遇到一道引函数求二阶导的题，我算了半天，答案就是不对。 我当时想着可能是这道题比较特殊，就跳过了，结果第二天系统又推了一道类似的题，还是引函数求导，但换了个形式，我又做错了。紧接着第三道、第四道全是引函数相关的，便是我 这才慌了，原来我对引函数求导这个点根本就没掌握，只是之前做的题恰好没考到这个类型。那几天系统一直在推引函数的题给我，从最基础的一阶导开始，到二阶导，再到代参数的情况 我记得特别清楚，大概到第三天的时候，突然就开窍了。之前总是搞混的地方，比如什么时候要用乘法法则，什么时候要把 dy dx 当成整体，一下子就理顺了。 那种感觉就是综测给一道新题，忽然能把会的知识点用上了，能自己做出来了。还有一个困扰我很久的问题，学后面，望前面。以前我做习题测，今天做完极限，明天做导数，等到做积分的时候，前面极限的解析技巧就忘得差不多了， 反反复复的忘了捡起来，忘了捡起来，那种拉扯感特别消耗人。但我在智能型上刷题的时候发现一个规律，今天做对的题，过几天它会再推一遍，而且刚好是我快要忘的时候。一开始我还觉得烦，怎么又是这道题，后来才明白，这是在帮我巩固。这样反复几次之后，那些题就真的刻进脑子里了，不会出现隔两周全忘了的情况。 所以有没有效果，关键要看留下来多少，一轮一轮过，没留下来的都造成了时间上的浪费，这也是我最后能考一百四十三的关键。不是我天赋多好，而是知识点真的留下来了。 基础阶段的目标要清晰，不是看完课，而是打牢基础。我的标准是一千题基础篇一刷，正确率能到百分之八十以上， 达不到这个标准，说明基础还有漏洞，后面强化会很吃力。关于看课，我的建议是，跟课的一定要做好提前预习，趁听课前一晚翻五至八页的讲义，不需要你预习的多深入，只要清楚大概题型与没读懂的纯文字性概念，第二天再带着目的去听课，效率比你全程被动接受知识输出高的多。 关于做题，这里有个很重要的点，不要光学学到的，要巩固下来。刷题可以巩固知识点，自己做出来的题巩固效果最好。但问题是市面上的习题测题量都很大，一千题八八零、六六零，每本都有上千道题，全做根本做不完。 后来我发现，智能型上 ai 猜你会不会功能，可以预测习题测上的题我会不会做。我试了一下，发现有些我以为很难的题，系统显示我大概率能做对，反而有些看着简单的题，系统预测我可能会错， 我就按这个来筛选。预测能做对的题我就扫一眼，有思路就跳过预测，可能做错的我就认真做一遍，这样对照着来写习题策省了大概百分之八十的时间。 去年专题考了一些冷门知识点，比如二四数一纲考过的复历元，二五数一还考了博松定律，网上说四十年没考，很多人说这些是老师没重点讲的，所以觉得考试不会出。但其实这些点我在智能型大约覆盖百分之八十五知识点，但真题是可能考到任何知识点的， 所以那些看着冷门的内容，该练还是得练，这也是我能拿一百四十三的原因之一，没有明显的知识盲区。最后总结一下我的建议，关于版本选择，新版三十讲删减的主要是边角料和难题，核心知识点都在关于学习方法。记住，不是听强化课就进入强化阶段了。 强化阶段的目标是会做题，不是看完课行动起来最重要。我能从基础篇百分之四十正确率到最后考场上的一百四十三，靠的不是选了什么版本，而是真正把薄弱点一个个攻克了。 真正决定你分数的是你学到的东西有没有留下来，先提自己做出来，这才是我们追求的目标。加油，你一定可以的。二期考研冲。

数二，一百二十三，跟的就是章鱼体系。但我想说，光跟章鱼不够。这句话可能让你意外，但请你先别划走。我考研的时候，全程跟的章鱼老师，基础三十讲翻了三遍，一千题刷了两轮，六百六十和八百八十也都写完了。 章鱼老师的课讲得好不好？当然好，但为什么那么多人跟完章鱼，全程依然考不到一百三十？问题不在章鱼老师身上，问题在跟这个字上。很多同学的跟学是这样的，听课觉得听懂了，做题发现不会，怀疑自己再听一遍还是不太会做一遍过的知识不多，基本上大家要通过两到三遍的学习才能彻底学会。 章鱼老师自己都这么说了，可大多数同学把时间花在反复听课上，而不是花在真正建立自己的解析能力上。所以，这篇文章，学姐不是简单告诉你，去听三十讲，去刷一千题，这些你早就知道了。学姐要讲的是怎么在跟章鱼体系的过程中，真正把每一步走扎实，少走弯路，把分数实打实拿到手。 为什么很多人刷一千题感觉吃力？很多同学有这样的感受，明明每天都在学，但就是建立不起方法体系来。 你以为自己已经站在第十层楼了，但实际上可能才在第三杠四层。这就像爬楼梯，如果习题测的难度相当于十五层楼，你需要从第一层开始，循序渐进地往上爬。第一杠三层是基本概念和简单应用，第四杠七层是单一知识点的标准应用，第八杠十层是多知识点的简单组合。第十一杠十五层是综合性强的难题。 张宇，一千题，假设你已经站在第十层左右，但实际上很多同学可能才在第三杠四层。面对一千题带来的难度断层感，正是复习中最头疼的。加上后面我会重点说说智能型是如何帮助我复习的。那零到一百分这个过程靠什么来补？ 听课补不了，张宇老师的课再好，他也没办法在课上帮你一个知识点，一个知识点的查漏补缺，因为每个人的薄弱点都不同。这也是为什么张宇老师在课上反复强调要做课后习题，要总结复盘。他很清楚，光听课是远远不够的。 传统习题策能解决吗？坦白讲，只能解决一部分六百六十题，概念题不错，但仅靠它应对选填题是不够的。八百八十题，主流知识点的综合性较好，但二十四被爆了冷门。一千题综合性强，但知识点覆盖面不如八百八十。 这些习题策能帮你从一百到一百三十，但无法帮你从零分到一百分。说白了，如果你基础不到位，刷什么题都是在硬啃，正确率低，效率低，信心也低。 学姐自己一站的时候就吃了这个亏，高数一百零八，不是因为不努力，是因为很多基础的小知识点有漏洞，自己根本意识不到。二站的时候，学姐用了智能型考研数学，才真正理解了什么叫系统训练。 智能型做的事情很简单，把考研数学拆解成大约六百个考点，对三十年的真题以及大纲知识点都进行了非常详细的拆解。每个考点配专门的题库，从基础概念到综合应用，一层一层往上练，你不用猜自己哪里薄弱， ai 教练会帮你精准定位，然后针对训练，不仅告诉你怎么做，更告诉你为什么这么做 真能行！给你一个真实的能力进度条，你能清楚地看到自己掌握了多少，还差多少，这种看得见终点的感觉和盲目刷题完全不一样。等级三，刷满之后，拿一千题来检验，一刷正确率都在百分之八十至九十以上。学姐亲测，这不是吹的。 回到正题来说说章鱼老师的体系具体怎么跟基础阶段。一般来说，从现在开始到明年的五月份左右，明年放暑假之前这段时间的核心任务就是把数学基础打牢，不追求速度，只看重质量，真正做到吃透知识点。 章鱼老师说的很直接，你们二十六考研的学长学姐很多都是在这里吃了亏。前期基础不牢固，后期刷题突破举步维艰，这化学姐深有体会，一站的时候就是基础没打好，后面怎么刷都上不去。 章鱼体系的核心教材就是基础三十讲，高数部分比较厚，因为章鱼老师把所有的笔记都写在上面了，加上现代概率，再配上零基础通关讲义和核心计算。通关讲义一共五本书， 有些同学拿到三十讲，翻了两页，感觉看不懂就慌了。别慌，刚开始有些同学基础忘得比较多，看不明白，预习的效果就不大。这样的话就可以从零基础通关讲义开始学起。那本小册子虽然薄，但很重要，从最开始最基本的逻辑说起，给大家讲解稀式方程、不等式函数，重要的函数、数列问题， 这些中学知识，很多人确实忘了，补回来再进入三十讲，体验完全不一样。章鱼老师的课，学姐建议至少听两遍。 很多同学觉得我听懂了，但一做题或者换个角度问又没搞懂。这就是很多同学问听完课为什么不会做题的根源所在。大家不用焦虑，一遍听不明白很正常，数学的课程本身有一定的难度，门槛很高，所以重复听一遍这是很正常的事情。 第一遍相当于预习，第二遍才是真正把概念吃透。听完课，大家紧跟着要去做课后习题基础三十讲的每一讲后面都有习题，这是检验你到底学没学会的唯一标准。 做完题之后的复盘才是精华。章鱼老师的方法，学姐觉得特别好，每一讲学完之后，回到最开始的基础知识结构上来，那一页纸两面把书油薄变厚，再油厚变薄，你能不能把学过的概念、公式、典型题，自己的薄弱环节都总结到那一两张纸上， 这就体现了非常精彩的总结能力。但学姐要补充一点，复盘的时候，你怎么知道自己哪里薄弱？做错的题当然知道，但那些似是而非的知识点呢？你以为自己会了，考试的时候才发现不会？这就是学姐为什么一直在用智能型的原因，她的综合测试会从各个角度检验你的薄弱点，一直巩固到考试前。 你跟着章鱼老师的节奏，学完一讲，再去智能行刷对应专题，效果是一加一大于二的。很多同学在等二十七版一千题，学姐来帮你们分析一下，二十七版一千题在二十六考完一个月后才出。章鱼老师的意思是更贴近二十六真题的风格， 但二十六真题本身比较常规，以前的真题基本都覆盖了。所以二十七版一千题有一些二十六真题的改编，但不多。基础篇的难度下调，但风格上没有二十四。二十五考完的普遍，和二十六版没有本质差异。 章鱼老师提到了两个重点变化，冷门知识点增加了。章鱼老师认为会再考一次冷门知识点，所以二十七版加了知识点。这几年的命题趋势很明显，冷门考点越来越多，这是命题组反押题的一部分。 举几个例子你就明白了。二十五年数一的引力知能行同学说做过好多次了，数二的引力也是连续考，章鱼老师在八套卷里又出了一遍。 再往前看，二十四年数一又考了复历业，二十三、二十四、二十五连考三年，还有二十四数二的区律员，所有习题测，包括一千题都没有覆盖。现在一千题里的区律员是二十四考完之后才加上去的。冷门考点之所以让人翻车，不是因为它有多难，而是因为你在复习过程中根本没练到。 这恰恰是智能型的优势所在， ai 教练不会替你划重点，他只认一件事，你会不会不会就练，练到会为止。所以每一年的冷门考点，智能型基本都抓到了。 章鱼老师提到的第二点是二十七版计算量大。其实这不是新变化，一千题向来计算量就大，二十六真题也是这样。很多同学以为数学只要靠思路，我只要想明白就行了，其实并不是这样， 章鱼老师说的很到位，计算能力如果不强，平时不自己好好的去计算，遇到计算题就交给答案，让答案帮你去做。这个过程你练不出自己的计算能力，这个在考试的时候要出大问题的。 但问题是计算能力怎么练？很多人以为就是多算，其实不是。所谓的计算错误，百分之九十的时候是小知识点没掌握不会用，或者根本理解错了。比如你求极限的时候，不知道什么时候该用等价代换，什么时候该用泰勒，选错方法就会绕远路算半天算不出来。 智能型的训练逻辑就是这样的，等级一会补齐知识点，把你缺失的冷门知识点一点一点喂给你。等级二是应用知识点提升计算能力，等你刷到等级三，计算已经不是问题了， 学姐的建议是，不要拿一千题当学习材料，要拿它当检验工具。先在智能行上把对应专题刷到等级三，再去做一千题的对应章节。智能型等级三满一千八百八十、六百六十一刷正确率都在百分之八十至九十以上。 这不是学姐一个人的数据跟踪分析了，使用 ai 猜反馈正确率且等级三在百分之九十以上的五千名同学，其中百分之八十三的同学习题测的一刷正确率在百分之八十五以上。 而且二十七版一千题的 ai 猜功能会在习题册发布后更新，到时候每道题都会告诉你知能行的哪些专题需要练到什么等级，这道题就能自己做对了。等级三满后，可以只写 ai 猜你不会的题，一星期可以过完。 最后学姐把跟章鱼体系的完整时间线梳理一下，结合知能行的使用节奏，你可以直接照着走。现在到暑假前，基础阶段核心任务就一个，把数学基础打牢，不追求速度，只看重质量。 章鱼老师的五本书，三十讲加现代加概率，加两本通关讲义，老老实实跟完每一讲，做到预习、听课、做题、复盘，同时主攻之能行。这时不用太纠结基础和强化的界限，不同专题的进度可以有快有慢，重点是九月前要达到真题一百二十分的水平。 基础特别薄弱的同学，可以先跳过难度大的证明题专题，比如中职定理、导数证明，先把计算类专题拿下。暑假到九月强化阶段，这个阶段只能行一个专题，到等级三后期综合测试会减少，说明这个专题你已经基本掌握了。这时候配合 ai 猜，开始刷六百六十、八百八十、一千题的对应专题， 这时你已经有一定的解析水平，一刷习题，测正确率在百分之八十至九十以上。章鱼老师说的重点内容，反复锤炼。 九月到考前冲刺阶段，智能型已经等级三满格，每天一般练半小时，保持手感。重点转向模拟卷和真题，近五年的超越卷，数一、数二、数三的题都可以练习，这就是章鱼老师说的共题现象，数学一、数学二、数学三，互相借鉴，互相用对方的考题，所以不要局限于自己的卷种， 这个阶段特别要练现实做题。考研数学考试时间紧张，需要训练自己在有限时间内高效答题的能力。最后学姐想说，章鱼老师的体系是经过验证的好体系，但再好的体系也需要你自己去练。数学学习是一个渐进的过程，不要期望一蹴而就， 即使今天只理解了一个小知识点，也是向着目标迈进了一步。智能行帮你解决的事。练这个环节，精准定位薄弱点，系统训练，用进度条让你看到自己每天的成长。只要像打游戏一样，把六百个属性都练满，把进度条涨上去，练起来就会很笃定你也可以，加油。二十七，考研人。

再来一个啊，十十数 x y 满足这样一个条件，求二 x 加 y 的 最大值分析。呃，你像这种题啊，我跟大家说啊，你要到了这个多用韦恩学啊，我们高中数学下册我们都可能大家可能会用到什么条件最值？问题，这可能用拉格朗日乘法的， 还带拉丁朗诵的，带进去很麻烦的啊。其实有的时候呢，你会发现经常有同学这个另辟蹊径啊，因为什么他这个基本数学的这个能力比较强。 我就说了啊，这个量和量之间的关系啊，你找一找，看能不能找到这里面的什么关系。当然找关系呢，呃，前提是你的不等式的方向当大概是对的啊，大概是对的，这里面有个什么？这是它加它等于六，是吧？ 大家啊，那你求二 x 加 y 的 最大值 啊。二 x 加 y 最大值，那你现在就说这是带平方的，这是带 x 的， 那么它们有这种关系式吗？有没有就说 a 在 不等式里面啊，你找最值嘛，是吧？你不等式里面是不是有 a 跟 a 方的关系？ 当然了，不只有 a 啊，这里还有 b 跟 b 方的关系，是吧？ a 方加 b 方 a b， 哎，有这种不等式吗？有，哎，我，我写一个啊，这我们讲过了啊，就三章里专门讲了一个，就是关于 a b 和 a 方 b 方的一个重要的式子是什么？ 柯西不等式，对吧，就是 a 一 b 一 加上 a 二 b 二的平方是不是小于等于 a 一 方加 a 二方乘上 b 一 方加上 b 二方， 对吧？这著名的柯西不等式，这个 这个不等式啊。呃，怎么说呢，二零二四年那个代数题啊， 他考了一个科一不等式，在这个信息代数里的基本式。哎呀，当时把学生考的呀，就呵呵，考一次就跑了，就不考了，但是呢，这个式子一直在的，我简单解释一下啊，学过这个吗？ 都没理我。学过吧啊，学过肯定学，中学是肯定有的啊。那中学不讲科一不等式，这个不可能没讲是你忘了 一定是讲过的。怎么怎么回事，我们大学数学里呢。这个这个很好解释啊，我我不用那种代数，简简单的代数证明。呃，你用几何就可以很容易说他是吧， 代数与几何是吧，这两个是息息相关的，是不是啊，很多代数是在几何上都非常明确的背景的。呃，我写一下吧，我写一下这个，你比如说我有一个项链， 这个叫做 a 一 b 一， 另外一个项链叫做 a 二 b 二，这个大家认识吧？项链认识啊，是吧。啊，假如从原点出发的就是这两个项链嘛，是吧，那么大家知道 a 一 方加一二方是什么，是不是 哦， a， 哦哦， a a 一 a 二啊，那我要这样写的话，那就是 a 一 a 二了啊， b 一 b 二 啊， b 一 b 二啊，这没关系啊，这字母上这个没关系。好，你看啊，我这是 a a 二，那么 a 一 方加二方这是什么大家知道是不是这个点到这个点的距离的平方啊？啊，也就这个项链的长度吧， 哎，是不是就像长度这个点到点的距离大家会算了吧，因为这个是零零点嘛，就是 a 一 减零的平方加 a 二减零的平方，是不是就这东西啊，那当然就距离的平方了，因为开根号才是距离嘛，对吧。啊，好，那么于是呢，这个东西开个根号叫做 a 一 方加上 a 二方， 这个呢，相当于是这个 alpha 向量的模，一般模我们写俩竖杠啊，也区别于那个行列式，同理，这个是什么？是不是这个 beta 的 长度啊？ beta 的 长度呢？是等于根号下 b 一 方加 b 二方， 对不对？好，那么大家看 a b 一 加 a b 二是什么啊？这个实际上是这两个向量的内积，是吧？ 啊，内积啊，点击啊，数量积啊，它代它代表什么呢？代表的是这个就是 alpha 逗号， beta 加一括号，这个代表它俩的内积， 这个你要你不着急啊，大家听到代数那，那一讲你就会有了啊，我开头零基础就讲了这个了，它等于什么呢？它就等于 alpha 的 这个点乘贝特嘛，是吧？就是 alpha 的 膜乘以贝特的膜，就是 alpha 长度乘贝特长度，再乘以甲角的余弦， 记得这个吧？这，这也是中学知识啊，是吧，你平面几何体几何里应该学过这个，对不对？应该是学过这个东西，是吧？啊，那么就是说我觉得 alpha 的 长度乘 beta 的 长度，再乘上它们夹角 c 塔的余弦， 对了吧，所以大家现在看出什么来了？这个内积现在是多少？是不是叫做对应相乘再相加 a 一 乘 b， 加上 a 二乘 b 二， 看到没有，这就是他的结果，是不是这个东西不带平方的，是不是这个东西啊？所以大家现在看关系找到没有？找到了吧，这个是不是就这个，这个是不是就这个？但这是不是有个小一点一的量， 对吧？你 c 它不管怎么取考场 c 它小一点一的啊，所以我们说可以得到什么？所以你马上可以得到一个结论，我写到这了，那就是 a 一 b 一， 加上 a 二 b 二， 大家看就这个量是不是等于他们三个乘啊？是不是他就小于点？谁他俩乘吧，因为他带着 q 三 c， 听到没有，他这里面带着一个这个 c 啊， q 三 c 呢？带这个余弦啊，余弦小点一的，所以小一点一倍的，它乘它吧，它乘它就是刚才这两个什么根号一下 a 一 方加 a 二方，根号一下 b 一 方加 b 二方， 看懂了吗？然后两边平方，听懂没有？咱们一起平方是不是得到这个了 啊？就这个啊，我给你介绍一下，这个大家就不需要用代数证明，你一定要把这张图给我记住了啊，我们现行代数里会 几乎到了向量空间里面，向量组里面是经常用到它的啊，你的实密度正交化也离不开它 啊。我说这现在是讲基础啊。呃，有些大家没学到东西呢，不着急啊，我介绍性质啊，你像现在你记不记都没有关系，我只解释一下，咱们到课里面还会详细去讲啊。详细去说，你去去，先说个不等式就能记住吧。这可以哈，好，可以不等式啊。 嗯，好，我们说到这个呢，那你就为什么我要想到他呢？你就这个起点高啊，你又可以不等式，你这个起点就高了，你看我数的不等式没有多少个啊，各位，不等式你五个手指头数的过来 的是吧？所以这个没什么负担啊，这个压力不大的，你像这个不等式呢，我实际上也要学会去拆了，是吧？要学会去拆了，那么你显然是小于等于你看到这个不等号方向，你找他的最大值，各位，是不是这个东西往里扔啊， 对吧？应该是他的平方小一点。谁啊？你不找最大值吗？对吧？能听懂意思吧？而且呢，你会看到这边是有 a 一， 这边有 a 方吗？那么就这有 x 就 有 x 方啊，对不对？应该是这个方向啊，所以我这个思路呢，大概就这样写下了。所以说二 x 加上 y 的 平方， 他就小或等于。我现在先写一下，对吧？我先写他是谁，你得把 a 一 b 一 a 二 b 二写出来，你再小于等于是这意思吧。那你要写出来，那你还得往这看，人家给的这个 三 x 方加二 y 方，这个肯定得是后面的这一项或者这一项，对吧？这确定的得是二，所以这个凑起来就容易了。那你想三 x 方写成，假如说写成 b 一 方的话，那么 b 一 是几？就是根号三 x 吧。 哎，你咋不理我，对吧，他肯定是根号三 x 啊，你这样平方是不是才是三 x 方？你的 b 二呢？得是什么？根号二 y 这平方，对吧？ 能听懂，是吧？所以这个就是 b 一， 这个就是 b 二了，你只要 b 一 b 二找到了，那么 a 二不就出来了吗？对吧？所以看着这个二 x， 那 么如果二 x 要分成根号三 x， 再乘上个谁，这不就出来了吗？已经，对吧？所以二 x 写成谁 就是根号三分之二 x 啊。根号三分之二乘上根号三 x， 不理我，对吧？这就是 a 一 啊，这是 a， 这个是 b 一 啊， a 一 b 一 嘛，你乘起来是根号三 x 嘛，对不对啊？好，再加上有了啊，下面是根号二 y， 这前面写几啊？ 根号二分之一了，是这个吧？根号二分之一，看懂了吗？你对着啊， a 一 b 一 加上 a 二 b 二的平方小于等于念，这不有了吧，这个 a 一 方是谁？三分之四加上二分之一，很好 出来了吧，那这样的话呢，他就等于这个是多少？六分之八加三十一是吧？是不是六分之一啊？然后再乘以几，这是几六吧，看到没有啊？刚好是六，等于几十一，最大值十一， 哎，对，刚好十一，对吧？这带平方啊，所以的话呢，我们可以得到这个最大值 二 x 加上 y 啊，他的最大值是等于根号十一的，还是那句话，得验证一下吧。啊，你要验证一下这个验证的话呢，要验证什么？就这个等号成立，等号成立的前提是什么？你看刚才我们是不是在那个几何上已经说了， 我那张纸找不到了，我再画一下啊，哎，对吧，是不是这个假角是谁？他，对吧？那你这样说我的这个阿尔卑特， 你要内积要等于阿法的摩，乘上贝特的摩，那不就意味着这个考三 c 它等于一吗？对吧？ 考三加等于一，那么显然就是 c 它等于零了，那么 c 它等于零，这时候呢，这两条线平行的，对吧？平行的话呢，就是 a 一 比 b 一 等于 a 二比 b 二啊，就是对应坐标成比例了，那就用这个就行，对吧？ 可以了啊，这样呢，我们要验证一下啊，这个验证一下，你就验证一下是谁。 a 一 比 b 一， 二比上根号三比上 b 一， 就它吧，根号三 x 要等于 a 二，根号二分之一比上根号二 y， 是 吧？大家 a 一 比 b 一， 等于 a 二比 b 二，那么这样的话呢，就可以算出来这个结果啊，这个大家可以自己算一下啊， 因为不光有这个式子，大家注意这个式，还有这个式子吧，两个方程，看到没有可以把 x 解出来的，我，我试了一下啊，我算一下，这个是有两个解啊，一个呢是 x 等于根号十一分之四， y 等于根号十一分之三， 还有呢就是 x y 一 了 x 二，还有一个就是负的根号十一分之四， y 二等于负的根号十一分之三，这个逻辑是什么呢？就是验证等号只要成立就行，对吧？哦，对了，你这个负值是不能在里面， 对吧？你最大值嘛？你最大值两个正的是吧？那最大值点就是这个，这个负值呢是要舍去的， 对不对？而且呢这个题目他没有求最大值点啊，他只求最大值的啊，求最大值的，我们这我写了个字啊，叫验证是吧？啊？他只是个验证过程，就是能不能取到这个等号 是吧？大家假如说他不能取到这个等号，那你小于某数，他就没有最大值了，对吧？看这听懂意思没有，他就没有最大值了啊，所以验证就验证这个了啊。

章鱼三十讲的难点分析及其解决方法，在之前的视频我只给大家讲了三十讲有哪些难点，哪些需要学，哪些不需要学，但是没没有给大家相应的解决方法，今天这个视频就给大家讲解，然后下面我们看第十六讲级数这一块，第一个难点就是我之前讲的连散性， 连散性这个是难点，这是一个大难点啊，关于级数的相关概念和性质，大家一定要搞清楚，学习过程中大家一定要把这个，一定要把竖列， 一定要把数列和急数把它区分开啊，这两个大家很容易搞混，刚开始学的时候很容易搞混，大家一定要把这两个概念给区分开，然后怎么去解决呢？ 第一个好好做三十讲里面的例题啊，把三十讲里面的例题好好去做一下，三十讲里面例题好好去做一下，然后这一张的例题也是比较难的，但这些例题都比较重要啊，基本就是能直接在考场上用的结论。 然后第二个难点就是求收敛欲了，这块求收敛欲了，求收敛欲，收敛欲的话，这边一般就是考这个填空题，然后或者是大题的第一问，大题的第一小问或者是大题的第一问，然后大家要把这个阿贝尔定律好好理解一下， 阿贝的定力你要好好理解一下，你要明白收敛区间到底是往左移还是往右移，然后这块大家不会的话怎么去写？就是去八八零里面 写八八零里面的综合，综合题就行了，综合题就行了，然后因为六六零里面没有没有这个定力，他的基础课里面那个基础题里面是没有没有这块题目的，所以大家去做八八零。难点三就是复列级数了，复列级数这块说实话 大家觉得难，就是因为他公式太多太长了，大家记不住，所以觉得难。但其实你只要把公式背会啊，只要把公式背会到考场上就能拿到分啊，他就是公式的一个问题，就是公式太多了，记住就好了。然后我们第十期讲，第十期讲第一个难点 就是平面方程和直线方程的求解，平面方程和直线方程的求解。平面方程可能大家高中没有学过，所以多去做一些题目来帮助我们理解。然后第二个难点就是对于各种曲面图形的判别，给你一个空间方程，你要知道它表示什么曲面， 然后我们怎么去解决这个方法呢？就只有一个字，就是背啊，背公式，背公式，背图形。 然后第十七讲啊，他的难点比较少，主要是考大家的这个计算能力和各种公式啊，因为他第十七讲主要是为了辅助第十八讲吗？所以就没有太多的难点。然后第十八讲的话， 第一个难点三冲积分，纯计算的东西，三冲积分，这个先一后二和先二后一法大家都要掌握。其次就是这个 球面坐标系和还原法，这些都比较重要啊。然后三种积分啊，和二种积分一个道理啊，就是要多去做题，就是要多去做题，这个就没有其他那个啥，就是要多去做题啊。然后 难点二，难点二是什么？这全部，这全部可以归结为一类啊，可以归结为一种，这全部都是难点。 第十八讲怎么讲啊？可以说全是难点啊，大家第一遍学的时候，可能百分之九十同学都学不懂，因为内容太多了，然后你可能题做起来也蒙蒙的。 这个大家不要担心啊，我们基础阶段能理解多少就理解多少，等到强化阶段，把八八零里面的综合综合部分题目刷完，哦，还有一千题，一千题、八八零和一千题，这里面的综合篇里面的题目， 把它刷完，你基本上这些讲就没问题了。为什么？因为虽然这些讲很难，但是在真题当中啊，在试卷当中他考的却比较常规，他考的却不是那么难，考的比较常规，他套路就那几个。所以你把这些题做完之后，基本上十八讲就没问题了。就那几个东西， 什么格林公式、高斯公式啊，还有一个斯托克斯同公式啊，没找到在哪。这几个就是基本上考的就是这些东西， 还有个加面、补面啊，这样，所以大家还是一样的多做题啊，你像数学的话，像很多东西都是需要我们通过做大量的题来学明白的，所以大家的题量一定要达标啊。

今天是我写章鱼一千题的第一天，是零基础篇考察的一共十六题，全部都是高中的知识和高中的方法。呃，第一题是求关于充分和必要条件问题。先从左边推右边发现三亿平方 alpha 是 等于一减三亿平方分之 beta。 然后三眼阿尔法有两种不同的取值，那么他不可能两种都符合第二种式子，所以左推右不成立。从右推左刚好可以换成扩散平方贝塔加三眼平方贝塔等于一，没问题。 第二题证明二的 n 次方加二大于 n 的 平方，我们把二的 n 次方加二作为一个竖列，把 n 的 平方作为一个竖列叫 y n， 然后发现这个第一个竖列的呃，手相要大于 y 竖列的手相。同时呢，两个竖列的差值又是 x 要大于 y 这个竖列，所以说二的 n 次方加二要永远大于 n 的 平方。 然后第三题看到 x n 等于 x n 减一分之一加 a。 题目说要证明对于任意 n 有 x n 大 于一，也就是要正 x n 的 下限，所以说由它的表达式可以得知，我们要算 x n 减一的上限，我们就知道它小于谁，我们才能知道 x n 大 于谁。 然后我们变形可以得知 x n 等于 x n 减一分之一加 a， 它是小于一加 a 的， 所以说它的上限是一加 a， 我 们代入就可以知道它大于一加 a 分 之一加 a， 它就大于一。 第四题就是直接把它展开算一算就好了。第五题就是先提取公因子 number， 然后用除法就可以算出来。第六题我们看到这个形式就猜测应该跟 f x 加 f x 分 之一有关，果然一算就是一个常数一。 第七题就是算一个呃函数的在一定区域内的一个范围的问题。所以说我们就分两种情况讨论。第一个就是假如 a 和 b 之间的距离就小于等于二分之一，当然成立。第二种情况就是 a 和 b 的 距离大于二分之一的时候，不妨设 a 小 于 b， 然后把 f a 减 f， b 一减，可以凑出一个减 f 零加 f 一。 因为题目说了 f 零等于 f 一， 因为凑出来一个这样的东西呢？因为 a 和 b 的 距离大于二分之一，所以 a 和 b 啊，距离这个呃零到一的两端肯定是非常近的。所以我们做了这样一个放缩之后，他就可以继续小于等于 a， 加上一个一减， b 刚好小于二分之一。 第八题是一个不等式问题，他要求函数最小值，想到均值不等式，发现确定条件符合。第九题也是一个不等式问题，给的是二次项，所以说要求一次项的最大值，那我就想到科西。 第十题我想到的就是呃题目上的 x 一 和 x 是 两个零点，然后这个刚好可以提取一个公因式 x， 剩下来的刚好是二次函数的伟大定律。 呃。第十一题第十一题要求 f x 的 表达式，但是题目给的是带函数的呃函数的一个等式， 我们就想到把 f x 和 f x 分 之一，想成两个未知数，然后构建两个方程组去解出这两个未知数就行了。所以我们就令 x 等于 x 分 之一，构建出了一个新的方程，与原来的方程组成一个 两个方程组，刚好可以解出两个未知数， f x 等于 a 方减一，乘以 x 分 之 a 方， x 方减 a。 然后第十二题可以想到三，以阿尔法等于扩散，以九十度减阿尔法。 第十三题就是也是一个绝对值不等式问题，绝对值不等式问题就是用绝对值的放松， x 一 减 x， 二等于 x 一 减三，减掉一个 x 二减三，然后进一步放松就可以了。 然后第二题 f x 一 减 f x 二，我们先把 f x 的 x 的 表达式带进去，然后一提取公因式就可以得出结论。第十四题，这是一个多项问题，要它是一个等差数列，我们先求出 a n 加 a， n 加一等于四， n 加一，得出它的公差是二， 然后我们再根据 a 一 加 a 二等于四，算出它的首项是一，我们就可以得出它的通项公式。然后第二题的话，就是通过呃 二分之一倍的数列和两个相减就可以得出结论。第十五题一定要注意，像这种图像问题，先去考察基数性。第二个就是把特殊点带进去，算出它的函数值是大于零还是小于零，验证它的一个数列数值是在什么位置。 最后一题的话，它是一个呃坐标方程问题，呃直接代入求解。然后第二题是一个伸缩变换，我们要把把变换后的 x 撇它的函数方程先算出来，最后要用一个 参数方程去表达，用三和扩散去代替 x y， 这样子的话，求最小值的时候就可以直接用辅助角公式特别好算，就是负二。 这就是今天的我写的十六题，希望明天可以继续。

大家好呀，作为刚上岸的学姐，今天给二期考研的学弟学妹们梳理一下章宇蓝开体系的全套用法和时间规划，帮大家少走弯路。高校备考先说说蓝开体系的核心逻辑基础，三十讲是地基强化，三十六讲是拔高关键。一千题是配套练习， 三十讲内容其实已经覆盖了基础加强化，所以不用赶进度，慢慢学透概念就好。三十六讲则侧重解析方法，按技巧的精炼是冲高分的核心。一千题分 a、 b、 c 三组，分别对应三十讲、三十六讲和综合拔高。大家可以按需选择， 做题时别死磕卡壳的题，先标记跳过，保证整体节奏。当天的错题一定要写下错音，每周集中回顾，把错题毛定到三十六讲的知识点上， 目标不是幺三零加的同学。一千题 c 组可以暂时不做，把时间留给错题，复盘更划算。听课前一定要先预习章节内容，试着做例题，哪怕只思考十分钟，带着问题听课，效率会翻倍。听课后必须亲手做一遍例题 and 课后题，每学完一讲，花半天时间复盘整理，把知识点串成线， 强化阶段。用法和三十讲类似，先自己做例题再听课，最后整理出自己的解析框架 and 思维导图。在面对一千题庞大的题量和复杂的解析方法时，我开始反思复习效率，并偶然发现了智能型这款能精准定位薄弱环节的利器。后面我会重点说说他是如何帮助我复习的， 在他的帮助下，为我的考研之路省了很多时间，也不过于依赖答案与网课，培养了自己的学习思维， 核心任务是啃完基础。三十讲搭配一千题 a 组打牢基础。听课前一定要先预习章节内容，试着做例题，哪怕只思考十分钟，带着问题听课，效率会翻倍。听课后必须亲手做一遍例题和课后题，每学完一讲，花半天时间复盘整理，把知识点串成线。 三十讲内容其实已经覆盖了基础，加强化，所以不用赶进度，慢慢学透概念就好。做题时别死磕卡壳的题，先标记跳过，保证整体节奏。当天的错题一定要记下错音，每周集中回顾，把错题毛定到三十六讲的知识点上。 如果一千题正确率太高，找不到薄弱点，可以搭配李咏乐六六零题练思维，难度会更虐一点，帮你精准发现问题。跟着强化三十六讲精进解析技巧，主攻一千题 b 组， 用法和三十讲类似，先自己做例题再听课，最后整理出自己的解析框架和思维导图，重点复盘错题的思路，把错音对应到知识点上。如果一千题正确率太高，找不到薄弱点，可以搭配李咏乐六六零题练思维，难度会更虐一点，帮你精准发现问题。 当天的错题一定要写下错音，每周集中回顾，把错题铆定到三十六讲的知识点上，目标不是幺三零加的同学。一千题 c 组可以暂时不做，把时间留给错题，复盘更划算。真正高效刷数学题，是要把每一道数学题都拆分成小知识点，抓住自己不会的知识点，完全搞懂，彻底击破以后 再刷下一道题。真题阶段，十至十一月全力刷近二十年真题，查漏补缺，这时候要把之前的错题本拿出来，对照真题考点，针对性弥补薄弱环节，不用再盲目刷新题。冲刺阶段，十二月用模拟预测卷，比如张八套练手感，模拟考场节奏，同时回归基础知识点，保持做题状态即可。 有很多人在刷完汤一千八百题以后，做综合题目还是没有思路，做了很多本练习册，刷了好几千道题，最后也只是感动自己而已。之前我依旧是没思路，计算乱错。真正高校刷数学题，是要把每一道数学题都拆分成小知识点，抓住自己不会的知识点，完全搞懂，彻底击破以后 再刷下一道题。去年有一阵子，我被六六零题虐的心态崩了，就在那时候偶然试了之能行，最让我印象深刻的是它不让你随便看答案，刚用的时候，每道题都得自己想办法，第一步怎么下手只能硬想，说实话挺痛苦的， 但正是这种想不出来也得想的状态，帮我戒掉了答案依赖症，慢慢的看到题目自己能摸出思路来了。那段时间我才真正明白，有时候逼自己一把，确实能往前走一大截， 不会就直接看答案，绝对不行。一开始找突破口时不让看答案，当时真的难受的一批。但当你通过训练以后，逐层向上依次击破，你再反过来去重新做综合题目，就会发现问题迎刃解了真正高效的方法拆分，然后发现智能型的拆分知识点功能简直就是神奇。 我一开始对高数题目的理解就是没有框架性，而且看到一个题以后，根本不知道这个题都考察了哪些基础的知识点，而智能型就能把一道题拆分的很清晰，把一道综合性很强的题目拆分成多个基础知识点，让你逐一排查，直到找到这道题中你的知识盲区，再对该知识点进行更细致的训练。 智能型给我出了一道题，不会他就开始出简单题，抓你的知识点漏洞，各种难受。等到你练习完了该题目下的所有知识点，再去看这道题目。哎，这题我会了，没错，就是这么神奇， 本身自己的水平看到一道题能把它定位到某一章都不错了，还拆知识点，过于高估自己的水平了。所以回头看，智能型竟然可以帮你拆分加训练，不得不感叹当代人工智能算法的伟大。在他的帮助下，为我的考研之路省了很多时间，也不过于依赖答案与网课培养了自己的学习思维。 如果我有一道题做错了，智能型会带我训练这个题目下面的小知识点，将知识点一次拆分至逐一攻破。当然，如果有一个知识点做错次数较多，智能型就会变换多样的题目形式，全方位帮我复习巩固该知识点。 题目形式并不仅限于我做错的题目，智能型会防止我为了做对而去专门记答案，变换 n 种同类型题目，让我没办法偷懒。 然后我再去写六六零，正确率完全不一样了，提高了好几倍。我还作死的去试了试其他没有使用过智能型的章节，依旧是没思路，计算乱错，真的特别神奇。当我完成了该专题的第一次测试以后，智能型会为我定义该专题的等级， 等级一至四并不代表着我做题的量的多少，而是代表着我上考场上那天的做题水平。智能型考研数学每个专题是没有固定的题目数量的，每个等级的题目数量也是不固定的哦，都是因人而异， 独家定制。因为你刷题量的多少并不代表着你上考场时候的考试水平。如果你是高数大佬，你可能会发现，完成第一次测试以后，可能会直接就跳到了等级二块满格。如果你的数学基础并没有那么牢固，可能会直接就跳到了等级二块满格。如果也不用灰心，只要每天完成综测， 按照智能型给你安排的时间认真进行专题训练，你的等级就会提升的很快。当然，我对于数学的自信心也就这样慢慢培养起来了，每次刷着刷着就上瘾了， 回一下私信我的考研一二。智能型从来没有 app， 没有 app！ 没有 app， 所以 你搜不到 app 是 对的，智能型只有网站。真正高效刷数学题，是要把每一道数学题都拆分成小知识点，抓住自己不会的知识点，完全搞懂，彻底击破以后， 那谁又会这么有空去一道题一道题拆呢？而且本身自己的水平看到一道题能把它定位到某一章都不错了，还拆。知识点与知能行走过的这一年，让我终身受益，我对于数学的自信心也就这样慢慢培养起来了，每次刷着刷着就上瘾了，希望学弟学妹们可以抓住，成为这位只对你好的老师，努力前进吧！

哈喽，学弟学妹们，二十七考研用章宇一千题的一定要看过来了，没有刷题计划和指南，简直就是一盘散沙，刷完会很混乱。 上岸学长帮大家整理了时间表加号使用指南，一定能帮到你们。二十七、一千题三阶段使用时间表第一阶段，基础篇 a 组题 使用目标，完成。书中的基础部分含盖高等数学、现行代数、概率论与数理统计的核心基础题目。建议完成时间，二零二六年五月底之前 去年有一阵子，我被章宇一千题虐得心态崩了，面对一千题中复杂的真题逻辑和效率低下的困境，我偶然间发现了知能行。后面我会重点说说知能行是如何帮助我复习的。 最让我印象深刻的是，他不让你随便看答案，刚用的时候，每道题都得自己想办法，第一步怎么下手只能硬想，说实话挺痛苦的。 第二阶段强化篇 b 组题使用目标与三十六讲高数，十八讲现代，九讲概率论，九讲课程配套的强化习题，进行知识巩固与能力提升。建议完成时间，二零二六年八月底之前 第三阶段综合篇 c 组题使用目标完成。完全按照考研大纲命制的四套综合模拟试卷，用于在强化过程中进行阶段性模考。建议完成时间，二零二六年九月份。建议在该月内完成这四套试卷的练习与总结。 但正是这种想不出来也得想的状态，帮我戒掉了答案依赖症，慢慢的看到题目自己能摸出思路来了。那段时间我才真正明白，有时候逼自己一把，确实能往前走一大截，一开始找突破口时不让看答案，当时真的难受的一批。 真正高效的方法拆分，然后发现智能型的拆分知识点功能简直就是神奇。我一开始对高数题目的理解就是没有框架性，而且看到一个题以后，根本不知道这个题都考察了哪些基础的知识点， 而知能行就能把一道题拆分的很清晰。把一道综合性很强的题目拆分成多个基础知识点，让你逐一排查，直到找到这道题中你的知识盲区，再对该知识点进行更细致的训练。 当你通过训练以后，逐层向上依次击破，你再反过来去重新做综合题目，就会发现问题迎刃而解了。 经常就出现这种情况，智能型给我出了一道题，不会他就开始出简单题，抓你的知识点漏洞，各种难受。等到你练习完了该题目下的所有知识点，再去看这道题目。哎，这题我会了，没错， 就是这么神奇！然后我再去写六六零，正确率完全不一样了，提高了好几倍。我还作死的去试了试其他没有使用过智能型的章节，依旧是没思路，计算乱错，真的特别神奇 h h h h 感觉又生气又好笑。 彻底搞懂每个知识点真正高效刷数学题，是要把每一道数学题都拆分成小知识点，抓住自己不会的知识点，完全搞懂，彻底击破以后，再刷下一道题。 那谁又会这么有空去一道题一道题拆呢？而且本身自己的水平看到一道题能把它定位到某一张都不错了。所以回头看，知能行竟然可以帮你拆分加训练， 不得不感叹当代人工智能算法的伟大。在他的帮助下，为我的考研之路省了很多时间，也不过于依赖答案与网课，培养了自己的学习思维。 如果我有一道题做错了，智能型会带我训练这个题目下面的小知识点，将知识点一次拆分制，逐一攻破。当然，如果有一个知识点做错次数较多，智能型就会变换多样的题目形式，全方位帮我复习巩固该知识点。 题目形式并不仅限于我做错的题目，智能型会防止我为了做对而去专门记答，变换 n 种同类型题目，让我没办法偷懒。 当我完成了该专题的第一次测试以后，智能型会为我定义该专题的等级。等级一至四并不代表着我做题的量的多少，而是代表着我上考场上那天的做题水平。 智能型考研数学每个专题是没有固定的题目数量的，每个等级的题目数量也是不固定的，都是因人而异， 独家定制。因为你刷题量的多少，并不代表着你上考场时候的考试水平。有很多人在刷完汤一千八百题以后，做综合题目还是没有思路，做了很多本练习册，刷了好几千道题，最后也只是感动自己而已。 如果你是高数大佬，你可能会发现，完成第一次测试以后，可能会直接就跳到了等级二快满格。如果你的数学基础并没有那么牢固，可能第一次训练完就会从等级一开始慢慢练习，不过也不多灰心，只要每天完成综测， 按照智能型给你安排的时间，认真进行专题训练，你的等级就会提升的很快。当然，我对于数学的自信心也就这样慢慢培养起来了，每次刷着刷着就上瘾了。

跟张宇的同学是不是学到第六章忠实定律，感觉越学越崩溃？是不是感觉不把他弄懂，心里又特别不踏实？我非常不建议大家花太多时间在第六章忠实定律上，如果你目标不是一百三十五分的话，这一章千万不要去深究他。可能很多人刚学基础就想着把每道题目都给他弄懂，这一点完全没错， 但是努力也是有方向的。你就像我去年花了很多时间在第六章中的地理上，我当时就想去弄明白，想知道怎么各种构造，各种解析。我不仅花时间把例题弄明白，然后我还把一些题都给做了， 前前后后花了我不下至少两周时间吧。但当我后期遇到那些心灵的题目，证明题还是一样没有思路，一样不会做，上了考场还是不会做。还有一点就是，大部分人上了考场，证明题基本上都是只能做出第一问的，很少有人能做出第二问， 除非是特别简单那种。考场上你也不会留很多时间去思考证明题，基本上就是看一眼有没有思路，没有就跳过。 所以至于大部分人前期学的时候，就可以完全放掉一些，把更多时间留给能够拿到的分数你。比如说像数一的话，你可以花更多时间在专项部分、无穷极数还有曲线曲面积分上，那部分虽然难，但是只要你多花时间就能够学会，你题目就能够拿分。 当然，一些定律的公式和简单的证明还是要记住的，但这就足够了，这也花不了多少时间。记住，你复习一定要把有限的时间留给收益最大的部分，所有科目都是这样的。