张宇26考研押到哪个题了

今日话题，张宇今年发挥也太深了，蚌埠祝了家人们！今年考研最强的原来是章鱼老头呀！这两天好多人都在说章鱼押中了英语作文，给小白看的一脸懵，研究了一下才发现原来是老头考前发的视频，标题赫然写着这二六考研人的家书， 合着这老头是在搞英语作文押题呀！众所周知，昨天英语作文考的就是家书。这位网友说，宇哥明年考研英语跟定你了！ 另一位网友说，张宇不愧是著名的考研英语老师，谁懂？真的太好笑了。那话又说回来，张宇今年在考研数学上的表现如何呢？首先，考研数学刚结束，张宇押题这个话题就冲上了热搜，可见张宇今年表现确实非凡。这位网友说，现代大题几乎全是张宇原题，其他也有很多在三十讲里见过， 英语作文加书也押对了，还得是你啊宇哥！另一位网友说，二十二届高考人这不终于复仇了，属于是感觉好多都在张吧里做过，写的太顺了，还好没听朋友的去跟武忠祥。当然还有这些这些大家都在说命题，命题都是张宇三十讲里的原题， 看来大家数学都考的不错，真是恭喜大家了。最后考研数学得二十七，考研指条明路，跟住张宇就对了。当前至六月属于基础阶段， 主要任务是学知识点，直接用章宇三十讲搭配章宇一千题组题来夯实基础。七月和八月属于强化阶段，主要任务是学做题方法，直接用章宇三十六讲搭配一千题必组题来提升实战锦鲤能力。 九月和十月属于真题阶段，近十年真题至少做两遍，重点把握命题规律。十一月和十二月属于冲刺阶段，主要任务是刷模拟卷，必刷的模拟卷有章宇八套卷、章宇四套卷和功大超越卷等。最后留下你期望的考研初试分数，你一定能上岸！

张宇的一千题我是做了两遍的，简单评价一下，一千题确实挺有难度，但是如果你配上一个，有一个好的讲解，其实也不怎么难。我是看了这上面的千宇的视频讲解课，感觉他讲的还蛮简单的。 我是属于那种脑子特别笨的那种，所以我在网上找的视频讲解必须得那种通俗易懂，讲的很简单。我当时就找了他的视频课，感觉听着还不错。先提 b 主题，我听完之后感觉其实也没那么难，所以当时做 b 主题的时候速度，看了他讲解之后速度也提升了不少，做题用处帮助也很大。

从形式上来说呢，大家知道现在的考题是比较巧妙的啊，包装是比较巧妙的，这个包装他把一个大白话，他给你包装成一个很新颖的题目， 那么他考的还是最基本的东西，你一看答案呢，就是我学的东西，但是他说法上来说，他会告诉你，那他就把这个化，他就改了啊， a 的 三次幂减去 a 的 二次幂啊，他能相似对角化跟 a 可以 相似，对角化是什么条件，什么关系啊？是充分还是必要还是冲要 你看这种包装呢，他本质上来讲，你要知道抓的根本的东西是对角，像是对角画的问题，你要抓住对角画的问题，那么你就能够撕开这个包装。所以大家练解题啊，我一直在说你要把三个方向要把握住，第一，他考的是哪里？ 三个方向一个考的是哪里，你连他考的是哪里你都不知道，这个题目没法做的啊，考提前定义哦，就顺利考研成功啊，高分上岸。

这个点好久没出题了，给大家提示一下吧，那大题小题都能出，这 f x 是 零到一上的正值连续函数，给你证明第一个存在唯一的中值可 c 属于零到一的开区间，使得这个式子零到可 c f t， d t 等于可得一到一 f t 分 之一。第二一个对正给的自然数 n 存在唯一的 x n 属于零到一，那么使得我们的这个 n 分 之一到 x n f t e d t 等于 x n 到一 f t 分 之一，并且这个唯一的这个 x n 呢，它的极限是存在的，就是第一问当中的这个 cos。 这回给大家看这个例子呢啊，主要是说在终止定力问题当中，你说大家首先要把握住最基本的解决问题的基本工具， 包括连续函数在 b 区间上的基本结论，比如说零点定力啊，介值定力啊等等，然后包括我们的微分终止定力和积分终止定力，这些基本的首先把握住。 然后第二个呢，这是一个很久没有考的这种类型的问题了，如果我给一个函数列或者叫方程列，那么它就涉及到一个是对 x 的， 就是对你这个 f 括号里面的 x n， 它首先这个对这个 x， 我 这个有单调性，还有对这个 n 有 单调性，它是两个单调性的问题，所以这种问题呢，就提醒大家一下，如果出现这个呢，那么就是两种单调性，你需要把它去问一下，我接下来会详细的讲了啊，两种单调性的问题，这个要搞清楚，那么这种问题就能解，我们下面来解一下这个问题， 首先第一个，第一个比较简单了，我们命首先第一步呢，你要把这个可 c 改成 x， 改写回 x， 改写回 x 之后的话呢？然后一项是等式，一边等式一边得零，一边为零，另一边命为辅助函数， 这个就是最基本的东西啊，我强调越是到最后了，那么越需要大家对这个最基本的东西把它要啊复习到位，是吧？那么这样的话呢，我们这个辅助函数就是命大 f x， 它就等于，那你把这一项挪过来，等式一边得零，另外一边就是这个大 f， 大 f x 等于零到 x f t d t 减去 x 到一 f t 分 之一 d t， 然后他说存在唯一的可写在零到一里头， 使得这个式的成立。那么你现在可以看一下小 f， 它讲的是零到一上是正值连续函数，那么这样的话，是不是在 b 区间上有相应的这个定理？是不是我们来看一下，则 f 零，那就等于零到零的，那就等于零了，那这个呢，就是负的积分零到一 f t 分 之一 d t， 那么显然由于小 f 是 正值啊大于零的，所以根据积分的保号性这块是大零的，那么添个括号，这个就小零，就用到积分的保号性了，是吧？然后 f 一， 它就等于零到一 f t d t， 那 么减去一到一，一到一，这个就是等于零了，那么同样根据积分保号性，这个是大于零的，所以这个积分是大于零的。 好，果然这可以用什么连续函数，因为这样大 f x 是 连续函数，那么由大 f 的 这个在零到一上的零点定义，我们就可以用由大 f x 啊，作为连续函数 的零点定律，我们就可以知道存在和 c 属于零到一的开区间，使得那么大 f 和 c 是 等于零的，也就是得到了积分，零到和 c f t 就 等于积分和 c 到一啊， f t 分 之一，那么我们写完这个，这个是这样作为我们整个这个题目的一个最基础的东西了，那么第二个呢，是这个整个题目的一个核心， 但是为什么要低问呢？你低问的最终的归结交道的这个结果上啊，你得是可 c 的 啊，是极限，是等于可 c 的， 就算收敛到可 c， 所以 你首先必须指明这里的可 c 是 哪一个可 c， 这低问呢，是要给出这样一个， 那么到此呢，我们可以得到这个可 c 的 存在性，但是呢，考试的时候呢，提醒大家注意一下，什么啊，就是你解析要仔细啊，他就提到了一个词叫做唯一啊，这个唯一性是具有严谨性的，你必须得有这个唯一性，那么唯一性怎么正啊？这个很简单了，但是很多同学会忘记这个事情 啊，那这个丢分呢，就可惜了，是吧？那我们来把这个维形，把它建一下，那么就是右求倒了，对吧？由于小 f 是 连续函数，所以大 f 不 仅连续，而且还是什么，还是可倒的啊，所以呢，我们就求倒大 f 一 撇 x， 它是等于，那么这个变积分求倒小 f x， 那么大家知道这个变积分的是变下变求导，所以呢，他让他求导把 x 带进之后呢，是负的负负得正，加上 f x 之一，这个小 f 是 大于零，看到没有啊，所以这一步呢，就怕大家漏掉那唯一性，不要忘记了，那么可知呢？由此我们可以知道，我们这个大 f x 在 零到一上是这个单调递增的 啊，严格单增的，因此我们才把第一问呢，把它完整的解决了。这是我们说的第一问，打下了一个基础啊，大家，基础 下面第二个第二个来说的话呢，就是让你证明存在唯一的 x n x n 呢，在零到一的开区间，使得这件事情成立，并且这个 x n， 它的极限是可 c。 呃，首先第一步呢，呃，你是你需要做这么一个工作，就是我们现在这个里头的，对比一下，你就可以看得出来，我们这里头呢是零到一，是吧？零到一，我这个里头现在的问题是，这个是零，这个不是零， 这个是什么时候？只有 n 趋向于无穷大的时候，是吧？这个这个位置是趋向于零的，所以我现在的这个辅助函数呢，我需要重新去写一个。第二问， m 大 f， 那 么这时候的大 f 呢？我当然就不是原来那个 f x 了，因为我给它加一个下标， n f n x， 呃，我写一下，你看啊，那么依然是这样，把这里面的这个这个 x n 啊，我改写回 x， 把它移向过来，然后我就写成了积分 n 分 之一到 x f t t 减去积分 x 到一 f t 分 之一。大家看一下啊，这里头的这个我的意思就很清楚了， 什么叫做两种单调性啊？就是刚才我提到的就注意两种单调性。这里的第一种单调性呢，就是涉及到 n 的 问题了，因为这个表达式呢，如果你不看 x 啊，就是固定 x， 你把 x 固定成 x 零，那么它是 n 的 函数，随着 n 的 变化，那么这个表达式的值是在变化，那么所以它首先它是 n 的 函数，那么还有一个固定 n， 要是 n 等于 n 零， n 是 不动的，那么它这 x 可以 变，然后所以它还是 x 的 函数，所以这个呢，就涉及到这两种三角形了。那么于是呢，我们接下来要这个详细去讨论这个问题了。 首先第一个我们依然可以用这样的两个值，一个是 n 分 之一，一个是一来决定它的这个是不是有根的问题了，什么意思呢？大家知道啊，显然 f n， 如果我让这个 x 取 n 分 之一， n 分 之一，那么大家就知道这个 n 分 之一到 n 分 之一就是零了，就跟刚才这个是类似的，因为你这个是取这个当着 x 的 时候呢，就 x 取零嘛，取零的话就是零到零，这块没有了啊，有这块， 然后你取 x 等于一，那么这一到一就是零，所以就变成零到一，你就要把其中一项把它消失掉啊，让它消失掉，要让上下线相同，那么这样呢，这一项就消失了，它等于负的积分，那么 x 取的是 n 分 之一到一 f t 分 之一 d t， 然后大家知道这里面有一小 f 是 连续函数，那么在它在零到一里是连续函数，是正值函数，那么所以它的 n 分 之一到一，它知道 n 分 之一到一是零到一的次区间，那么 f 依然是连续，依然是正值函数， 所以这个显然根据积分饱和性，这个是大于零的，添个括号是小于零的。虽然这个判断起来比刚才第一问要难一些，但确确实实它是这个确定无疑可以判断出来的。然后接下来 f n， 那 我这取一了它就等于剩下这一项 n 分 之一 到一 f t d 这一项，那就只剩这一项了，因为这一项一到一就没有了，所以这个还是大于零，所以我们可以找到什么呢？固，我们一定可以找到存在 x n 属于 n 分 之一到一，请大家注意啊，我这里要提到一条了，你这里面的 x n 是 指 n 固定以后，只要 n 确定了，这个 x n 就 就是固定在这个 n 分 之一到一这样一个确定的区间里面的 x n， 那 么这个是这个问题啊， 哎，它是跟 n 的 变化的， n 要变了，这 x n 也在变，而不存在，它属于包含于零到一的开区间，使得那么我的这个大 f n x n 是 等于零的。大家这样看得到，这里面是涉及的什么？是不是涉及到这个方程的这个根呢？是吧？哎，方程就是 f n x 以 n 下标来研究它的话，那么它的 x n 是 它的根啊，就这个 x n 是 它的根，又可以求导，又 f 一 撇，对 x 求导，我们这样一撇的话， 不做说明，是对这个括号里面的变量求导的，那么它这样是等于，那这很简单了，还是 f x 加上 f x 分 之一， 这个就不啰嗦了啊。那么你这样的话呢，由于它都是大于零的，在这个曲线里面，那么导是大于零，导是大于零的话呢，那么于是我们可以知道这里面的单调性是关于谁的，大家看好这个啊，这个是关于谁的，就是注意两种单调性，一种单调性，我们现在在确定要把它说清楚了，那么是关于 x， 对 吧？于是 f n x， 那 么关于 x 在 零到一是单调递增的，所以这个固呢？我们说这个 x n 是 唯一的，这里的一个确定性的，就是关于 x 在 零到一上是单调递增的，这就是我们说的第一种单调性啊，这是第一个单调性 好，就是这段，这段还不算难，因为大家如果看得到这呢，你实际上会发现一条，就是我屏幕上写的东西啊，跟我们第一问的这个答案里面的内容基本上是差不多的。接下来的这困难在于什么呢？我现在要研究在固定 x 的 情况下， 我说到你这一个单调性是不够的，为什么？因为你现在最终的目的你是要研究这个 x n 的 极限存在， x n 的 极限存在，你要找到 x n 的 什么？你要找到 x n 的 单调性。 x n 单调是不是确定有单调性？现在 x n 有 一点是可以确定的， x n 是 有界的，这个上下界都有，所以你现在关掉，证明 x n 它是有没有单调性， 所以根据大 f 关于 x 的 单调性，是得不到关于 x n 的 单调性的，是不是？所以现在就要研究关于 x n 的 单调性。那这关于 x n 的 单调性呢？我想大家这个也比较容易去理解的一件事，就是又由于那么你比较他这个的话呢？那你就是固定 x 了，来比较在 n 不 同的情况下 做差，你看看这个是不是能接受，对吧？什么叫做第二个单调性啊？这不就是第二个单调性，那我看看跟原来这 n 那么它做叉之后是什么关系，是大零还是小零？好，那我们看一下 f n 加一，大家知道 f n 加一呢，那么就下面就写成了 n 加一分之一到 x， 减去 x 到一，对吧？减去 f n， f n 就是 n 分 之一到 x， 再加上 x 到一，这两个答案就约掉了，所以用它减去它，大家看剩什么？我跟你说过啊，我们在技术上讲的时候，我就提到过，像这种啊，你画个图就行了，是吧？哎，你画个图，比如说这是 n 加一分之一 到 x， 你 减掉 n 分 之一， n 分 之一和 n 加一分之谁大呀？那大家知道这个 n 分 之一，这个显然是分母比它小啊，所以这个倒过来，这个大，是吧？所以这不就是 n 分 之一到 x 吗？是吧？那就是大的这个面积，把这小的面积把它减掉了，所以你剩下的是什么？剩下的是 n 加一分之一， n 加一分之一到 n 分 之一，就剩下这块面积吗？对不对？这是大于零的呀，所以呢，它就等于积分， n 加一分之一到 n 分 之一 f t d t， 这个显然是大一点的，所以第二个单调性就被我们研究清楚了。这个，这很关键，就在这啊，关键在这。好，那么这样的话，大家就看得出来哦，你 x 不 动的情况下， n 增加了，是不是意味着这个函数是在变大？说明什么？说明 f n x 关于 n 是 单调递增的，那所以这呢，我们就可以可知，我的 f n x 关于 n 是 单调递增的，所以于是我们才会有下面这样一个重要的比较的式子。那大家想想看啊，这个式子是什么？我们综合刚才说到的这个， 我们的根在这啊，你一定要去寻找啊，这个 f， 这个 x n 和 x n 加一之间的关系，是吧？所以你要把这个有用的东西都拿过来，于是大家知道我的 f n x n 加一， x n 加一是等于零的，由于这两个是已知的啊， 这个我不用解释了啊，你对 n 来说， x n 是 它的方程的根，你对 n 加一来讲， x n 加一是它方程的根，你现在比它的大小，是吧？是不比它的大小？比它的大小，你就知道 f n x 关于 n 是 带来递增的，所以你这个写起来就很容易啦， 它俩是不是都等零啊？都等零，那就意味着它就等于 f n 加一， x n 加一，然后，哎，对了，你再用一下这个，你再用一下这个 f n 加一，你看 f n x n， 它是等于零的，它也等于零，所以它是不是等于它，它等于它。那么 f n 加一是不是大于谁？大于 f n x n 加一， 也就是你固定 x， 固定 x n 加一之后，是不是这个数字乘以，你看懂意思吗？这个单调性，这是第二个单调性了，我想这大家可能看出来，看懂了啊， 这个对应着这个是看得懂的，是吧？所以呢，这个就不要写了，因为这个我写，写进去了，这个等于号就在这啊，它也等于零。但是呢，由于 f n 加一，固定 x 是 大于 f n 固定 x， 于是呢，我们就可以知道 f n x n 是 大于 f n x n 加 e 的， 看出来没啊？那么再用好第一个单调性。大家知道，如果 n 固定了，关于 x 是 单调，什么是单调增加的？再用上第一个单调性，那么 f n s 在 固定 n 的 时候呢？那么你自变量越大，函数值越大，函数值越大，自变量越大，所以在固定 n 之后呢，由于 f n x n 是 大于 f n x n 加一的，所以 x n 大 于 x n 加一，所以由这可以得到 x n 是 大于 x n 加一。这题，这个，呃真正难点就在这个地方，呃，这个点好久没出题了啊，给大家提示一下吧。啊，提示一下这个这个位置，大题小题都能出啊，这个都能出的。 好了，这样的话，单调性就有了，即我这个 x n 呢，是单调减少的。单调减少有什么键？有下界 很好啊，就下界，对吧。 go 极限存在，于是它的极限是存在的。 limit n 趋无穷大， x n 极限存在， 我们把它记为 a， 记为 a 以后，那么接下来就可以直接在这个两边取极限了，于是 就有积分。那么大家知道，当我要取极限的时候的话呢，我这个 n 分 之一，它就等于积分，这个圆就是 a 到一 f t 分 之一，那就按照这个来取了，对吧？按照这个来取之后呢，就是根据这个 f n x n 等于零，你就找一个 f n x n x n 等于零，你就取这个极限了，那么这样的话，就是它减去，它就等于零，然后呢，把这个给它挪过来，那就它等于它， 它等于它之后呢，那么根据极限的保号线，比如极限保号，我这个 a 呢，由于 a 是 在零到一里的，它是大于等于零小于一的，对吧？但是呢，当 a 等于零，或者是 a 等于一时，这个等式是不成立 的，是不成立的，对吧？大家，这个 a 点零的话，就这边等于零了，那么这边就大于零，那么当 a 点一的时候的话呢，就这边就大于零，这边就等于零了，它是不成立的，所以呢， a 呢，是大于零小于一的。 好了，那么由此我们就可以知道，你对于我们的这个式子呢，我们前面已经证明过了，凡是有这样的表达式，那么他只要成立，他在这个科 c 啊，就是这里的 a 啊，那么必然是在零到一内的唯一的值啊，所以根据一有一只， 我这里 a 呢，就等于科 c， 那 么这个题目呢，就讲完了。这道题目呢，应该是有一定难度的啊，是给大家做这么一个详细的讲解。呃，希望对同学们有所启发。

啊，我就说一些指标，今天参加考试的人数，参加人数大概有 二点七万加啊，就是统计考考试参加人数二点七万加，这个样本是很大的啊，那么一般考试中心给的这个数量的话呢，也就是两三千，大概就是这个数据的十分之一。我们改的试卷呢 批改试卷的这个分数呢，是改了两千份，两千份啊，呃，改了两千份，呃，这个最高分数 是满分啊，那一百五十分是有的。呃，数学一的数，数学一的平均分， 数一的均分是九十点六七分，这是数一的均分，数二的平均分 是八十四点五五分，数学三的平均分是八十五点二九分 啊，这个是最终统计的这个数据啊，那么大家对照一下这个平均分数啊，那么我们应该能够因为这个样本数是足够多的，因为有这个一到两千分的样本，那么这个平均分数呢？可以供大家参考 啊，可以供大家参考。在选择题里头，你比如说这个得分率最低的这个第八题， 这个得分率最低的第八题，这个得分率只有百分之二十一啊，那么数学三在这个位置的这个平均分选择题啊，第八题是二十八，百分之二十八，那么这个题目我看了一下第八道题目，其实，呃，从某种角度上来讲，这个第八题啊， 这个就是我们二零二五年的最后一题， 这个这个最后一题是个大题了，我把它改了一下，我对二零二五年的试卷呢啊，我觉得是大家一个非常要重视的一个卷子啊，尤其是这样说，就是同学们接下来要做这个参考啊， 我觉得你一定要重视的是二零二一到二零二五年的这个试卷分题啊，试卷分题这个其中体现了啊，其中体现了，呃，我们这个新大纲之后啊， 新大纲后的命题方向，这个是跟前面的是不一样的啊，就是一九八七年到二零二零年，那么这些卷子呢，当然也有参考价值， 也有参考价值，但是，呃，真正集中体现了新大纲命题趋势的是这五份卷子 啊，二一二二二三二四二十五，这五份卷子，你会发现他明显有这个风格，是不完全和以前一样的，那么只不过是因为什么呢？因为我们四十年的卷子，呃，只有五份试卷是新大纲之后的，那么还有三十几分卷子呢，是新大纲之前的，所以从比例上来说， 呃，这个卷子的多和少，这个比例上来说呢，你可能会觉得啊，你做的哪些题目你感觉到像真题，但事实上真正像真题的要看这五年试卷才你才能看出它是不是像真题 啊。那么我们在八套卷里面的话呢，八套和四套卷啊，我集中体现了一个，集中给大家这个消化 啊，集中来消化呃和生化，我们对于这个五份试卷有五份试卷的思考，这一点呢，我希望大家要明确说这个是今年八套卷和四套卷的想法。