张宇24线代基础讲义长啥样

蓝开的同学们，你们在学高数基础或者在二刷讲义的时候，遇到这种几何应用以及物理用的章节，不知道到底该怎么弄？ 首先像微分学的几何应用呢？你如果二刷的时候觉得这一章学的还可以，我建议你可以把习易册和讲义上的题都搞一搞，但是像后面两个这个中之地理微分等式以及微分学的物理用这一块是真的不怎么考，但是像数三的话，需要重视一下这里的经济应用， 微分等式与微分不等式，我建议你们放在强化或者强化之后再去系统的学，这一部分确实比较难。然后像积分学的几何应用呢？ 这个东西其实会考，会考一些旋转体、体积之类的，所以我建议你在二三的时候就尽可能的学好，然后像积分学的物理应用，初二的同学尽量在二三的时候能把这一部分搞的差不多，因为目前这几年每一年的选年都会出一个这样的，但是数一数三他就不怎么考， 像这个积分等式，积分不等式实际上也是放在强化级强化之后。然后今天上午针对于微分方程的几何应用，跟郭伟老师出了一个共创的视频，那个视频就是总结了微分方程几何应用的一些题型， 如果大家在二十号的时候想系统搞一搞是可以的，注意那里面的题都是模拟题，会比较难，如果大家需要那个 pdf 的 话，可以进我粉丝群，那么这个是张宇的，咱们可以看下武忠祥老师的，你像武忠祥老师的基础，他其实讲的东西都是比较重要的，没有什么不重要的东西， 你就算物理用这里他也只有积分的物理用和几何应用。积分的物理用和几何应用其实是会考的，只是说物理用初二考的会比较多，初一初三这几年考的概率不大。 你像微分的物理用，微分方程的几何应用，武忠祥老师的基础是没有太多涉及的，所以大家跟武忠祥老师基础的务必要把讲义上的每个东西都尽可能弄懂。

蓝开麦个全程规划终极版终于出了，因为章宇强化出了，所以可以补全后面的内容，那么前面的内容我就不说了，大家可以看一下，唯一要提的一句就是 你二刷讲义，你不要一直在那二刷，你刷个三四天之后开现代就行了，你不要一直在那二刷，二刷完之后才开现代，这样的话你的进度就停滞不前，比较耽误时间啊。所以我建议你二刷的时候可以放在学现代的时候学二刷 就跟之前一样吗？三比二，三是现代，二是高数，然后咱们进入高数强化，那咱们进入高数强化之前，因为你已经完成了这些工作，那奇异侧的话，你就完成了一千 a， 然后加上六六零或者八八零的基础选填大题的话比较难，所以推荐你做选填啊。 那么除此之外呢，你还二刷了讲义，所以这个情况是非常好的，你基本上强化是可以自己做一做题的。那么我给大家的建议就是咱们强化时候怎么学呢？咱们强化的时候买一本章鱼强化讲义，他那个强化讲义内容还是不错的。强化讲义 然后加上一千币，他那个强化讲义还是不错的。给你们看下二六的，你看二六的，他差不多就是一张 把这个题型分为几类方法，然后方法下面又分成这种小题型让你去做。对于数二来说的话呢，我今年统计了一下，嗯，他大概的这个题量啊， 数二的话呢，差不多二百二十道题，嗯，数一的话是，嗯，大约三百道题吧，数三是二百七十道，应该是我应该没有记错的话，应该是这么多， 他这些题就相当于他是一个习得测，然后把你方法归类了一下，所以我建议你们看一张强化讲义，做一张一千币，这样的话你的强化这一张就算完成了。因为他强化讲义内容也挺多的，而且例题的难度要稍微比一千币难一点，所以你做强化讲义，你不需要去考虑你的 讲义上的例题真实率多少，你只需要考虑你有没有从讲义上学到东西，然后去把一千币完成就行了。一千币很多的题都是对强化讲义的改编，那么这个是咱们的主线， 当然很多人在自学上可能会有一点问题吗？所以咱们的复现是什么？就是你跟张宇强化最好的打法就是选听课，什么课你都选听，张宇强化课你也可以选听，比如说张宇强化讲一场某一章的题你不会，那么你直接去选听张张宇强化对不对？ 张宇强化的课，你就把这一张的这道题搞明白就行了。当然二六的也可以，因为二七的强化讲义没有怎么改。那如果你想听贾老师的，比如说五中央强化课，可不可以也是选听啊？ 也是选听。当然有的人想记住张颖强话完全跟武松强啊，其实我个人是不太推荐的，但因为有太多人这样跟了，那么你们跟就跟吧，到时候我再给你们出一个规划，我还是建议你们无论跟谁都选听，因为我觉得， 嗯，选听效率最高，而且后面能有很多时间做题。然后你想听大野深埋也可以啊，但大野深埋的话呢，有一个基本的要求，就是一千币的正确率也在百分之六十以上啊， 因为大野深埋难度很高啊。好吧，大野深埋也不要全听，大野深埋的时长比五粮强还长。大野深埋的话，要对你加一个要求，就是一千币的正确率在百分之六十以上。那么除此之外还有其他的东西吗？有啊，比如说一些专题课，那之前也出过视频，那么这个就是你高二强化的时间啊，差不多就四十五到六十天， 就是你做完前面的这些工作之后啊，你这个是完全可以这样推进的，就是不要觉得很耗费时间。哎，如果你能力比较强啊， 高数强化放到概率论一起学可不可以？可以，就是你边学概率论，你边高数强化也行，但是这个要求你每天的学习时长在六小时以上，不然的话，你这样你遭不住的，你这个时间分配极其的不合理。呃，高数内容，当然你还要学现代啊，那么这个时间分配怎么弄呢？百分之六十的时间用来学高数，百分之四十时间用来学现代。 学现代的话主要就是扫尾。扫什么尾？嗯，就是讲义强化，讲义复盘， 强化奖，一二复盘，然后加上八八零。现在啊，就把现在，你如果之前做完了八八零，现在你就这个时候把八八零现在的错题搞一下。好吧，如果你要没做现在， 那么你就把剩下的部分全部弄完，综合片弄完，那么当然时间也可以少一点，百分之三十也可以，然后咱们就进入后续的阶段，你像数二的话呢，习特阶段就是三杀三十奖，然后把一千币的错题看一下， 这是高数，那么现在你就围绕着八八零就行了，你有时间再去补一下一千题。我建议你们把一千题和八八零上面的高数部分啊全部弄完，那么你这个弄完有时间呢，你可以再补一下理发全书， 是吧？九百九百题你也看着写吧，当然我不是推荐你们每个人去看，基本上你这个弄完之后啊，你这个一百三肯定是没什么问题了。好吧，然后你看差不多了，你比如说你不想看理发全书，你就做八八零或者一千题的最后一本的时候，你开真题， 如果你想看一下理发全书，那你就在看理发全书的时候做真题，然后真题弄完弄模拟卷就行了。那因为这个规划离现在太远了，所以我建议你们暂时先别着急着后面的规划。 如果你能在暑假结束之前开模拟卷的话，你可以去看一下我之前出的冲刺期早开规划。好吧，那么这个就是初二初一的话，咱们还有个概论， 概论差不多三十天时间吗？然后概论的话呢，咱们主要是一比一呃一的时间去学概论，推荐跟发号基础阶段可以只完成奖一上的题，强化做八八零， 那么另外一个一的内容就是复习现代高数。嗯，现在也是一样的，围绕着八八零和讲一去弄高数的话呢，主要就是三刷三人奖加一千币。为什么没有让你们去做新题？因为你的时间可能不太够，你的时间够的话呢，做个新题呗。然后习一的阶段，咱们就是把八八零和一千 上的题弄的差不多，八八零是全部，一千题是高数，你要有时间可以做一下他的现代和概论，然后后面一样的，你看你有没有时间看一下理发全书。还有个问题就是大家如果想在习特阶段去补六六零，可不可以？也可以，如果你之前没有做过六六零或者六六零没有做完的话，你也可以补六六零， 但是因为你已经做完一千币了呀，他一千币的难度是要远高于六六零的，你这个时候可能价值没有那么高啊，你如果实在想做呢，你就做啊，或者你想做他的重点题，你就根据我昨天发的视频去找一下他的重点题，然后咱们后续也是跟数二一样的。 为什么三刷三十讲放在强化讲义之后呢？因为我个人觉得你二刷完三十讲，如果在高二强化的时候三刷三十讲，我觉得没有什么太大帮助，因为你看完了讲义之后，你没有去做新题，你只是在复习讲义，那就相当于你把书又过了一遍，可能得不到什么新的感悟。所以我建议你在 二刷和三刷之间加一个题目，加一个新的讲义，这样的话你再去三刷收获会比较大。最后 你前面这些事情啊，如果是初二的话呢，尽量在九月底结束，如果是初一的话呢，尽量在十月中旬，那么怎么安排的话，就看你自己规划一下，这样的话你后面才有充足的时间去搞你的冲刺。当然我后面会根据你们的目标给你们出不同分数段的视频。 我本人是自己考研的时候从五月份就开始刷套卷，所以这个我还是非常有说服力的。蓝开的全程规划是更新完了，如果后续有问题的话我再继续调整，那么整体上这条路线是非常完美的， 希望大家可以踏踏实实的落实下去，中间无论遇到什么问题都要相信自己，关注亚瑟，跟上亚瑟的节奏。

凯哥花了一个半小时的时间刷完了章鱼一千题第十四章的二重积分。说实话，这一张真把我做爽了啊。那我这个地方给大家说几个比较重要的题啊，大家勾一下， 第八题很重要，它涉及到 y 等于三 e、 x 的 反函数，然后翻过来之后，第十三题，十四题、十七题都很不错。然后最后这几个题里面呢，十九题，二十题、二十二题也很不错， 最后两个题真的太简单了，最后两个题两三分钟就做完了。那接下来凯哥就会逐题精讲着二十四个二重积分啊，我大概预计一下，应该是在两个小时之内就能讲完，而且每一个题其实都会讲的非常的详细啊， 说实话，我觉得我的表达能力比较强，所以呢，我即使讲的很详细，我也不会讲很久，懂吗？这二十四个题，我争取在两个小时之内全部讲完，而且我保证每一个学生都能听懂。好吧，都能听懂， ok， 那 我们就开始吧。好，我们先来看到前两个题啊，这两个题都是二重积分比较大小，但是刚好是反过来考的。 例题一呢，是积分区域，是一个确定的，那这个时候就是比较背积函数的大小，背积函数越大，积分值就越大。那反过来这个第二题呢，它刚好是背积函数，是一个确定的，那这个时候比较积分的大小就变成了比较积分区域的大小。能听懂我的意思吧， 所以我们先来看第一题，他说积分区域 d 是 由 x 等于零， y 等于零， x 加 y 分 别等于二分之一和一为乘的区域。好，我已经给你画出来了，就是这一个等腰梯形， 然后呢，这三个积分 i 一、 i 二、 i 三都是在这个阴影部分内，积分只是背积函数。第一个是裸引的七次方里面是 x 加 y， i 二呢是 x 加 y 直接七次方，然后 i 三呢，是 side 的 七次方， x 加 y， 那 我刚才也说了，这个积分区域一定的时候，比较积分的大小就变成了比较背积函数的大小。那现在我们发现这个 x 加 y 反复出现，我们就把 x 加 y 看成一个整体吗？ 那 x 加 y 最小最小就是二分之一，最大最大就是一，那我们就令 x 加 y 就 等于 t， 那 t 的 范围是不是就是二分之一到一？而在这个范围内，我们的裸引是不是都是一个负的？因为裸引一才刚好等于零嘛，所以裸引里面的这个 t 一 旦小于一，是不是整个裸引就是负的？那负数的七次方是不是还是一个负的？那就说明 i 这个积分是个负的哟，对吧？也就说这个时候 螺引 t 它都是小于零的，而我们的 t 的 奇次方以及三引 t 的 奇次方，它是不是至少是一个正的嘛？能听懂吧？而我们又知道，当 t 大 于零的时候，这个三引 t 是 小于 t 的， 对不对？所以螺引 t 小 于零，零小于三引 t， 然后呢，再小于一个 t， 对不对？然后左右两边同时七次方，然后再套一个积分符号，那我们就会得到罗隐的积分是不是就是 i 一， 它是最小的，它比零还要小，对吧？然后呢，它是要小于三隐七次方的积分的，那是不是就是 i 三？而三隐的七次方是小于 t 的 七次方的也就是小于 i 二嘛， 所以 i 一 小于 i 三小于 i 二选什么？这个题选 b 选项秒了。好，再来看到第二题，被积函数是确定的，那我们积分区域分别划一下，第一是一个圆心在圆点，半径为 r 的 一个圆，大概就是这样的一个圆的内部，对不对？然后第二呢，是圆心在圆点，半径是多少？半径是根号二乘一个 r， 对不对？那为了方便画这个半径，我们再来看一下第三是什么？第三是 x 的 绝对值小于等于 r， y 的 绝对值也小于等于 r， 说白了就是 x 和 y 都在负 r 到正 r 之间，那是不是刚好就是这个圆的一个外接正方形啊？ 对不对？而这个外接正方形，它的顶点到圆的的距离，根据勾股定律，是不是刚好就是一比一比根号二，也就是根号二倍的 r， 对 吧？也就是说看清楚喽，这个小圆的半径是 r， 对不对？然后呢，这一个对角线的一半长，是不是刚好就是根号二倍的 r？ 那 我们以圆点为圆心，然后以这一个斜着这条边为半径，再做一个圆， 对不对？相当于又做了一个这个正方形的一个外接圆，这个没问题吧？是不是就是我们的第二，对吧？是不是就是我们的第二？而我们注意到我们的这个倍积函数是一个指数函数，指数函数是一个横正的，所以这个积分区域覆盖的指数函数是一个横正的，所以这个积分我们就能看出来， 是不是小圆要小于正方形，然后要小于大圆，对不对？而小圆对应的是什么？是第一这个区域，那就是 i 一， 这个积分要小于正方形，正方形是不是第三，也就是 i 三这个积分，那要小于 i 二，所以 i 一 小于 i 三小于 i 二，选什么？选 c 选项嘛， 对吧？到这能够听懂的发个一好吧。然后第三题是一个纸老虎啊，你别看是一个什么二乘方，这一看就是一个圆的面积， 而我们后面这个二重积分的积分区域，是不是刚好是一个圆形，在圆点半径为小 r 的 一个圆呐？所以如果你能够从这个二重积分里面制造出一个拍 r 平方，那是不是刚好就可以和前面的分母拍 r 平方约掉，对不对？所以我们是不是自然想到积分中指定里？ 那我们要知道定积分的积分中指定里是什么？是 a 到 b， f， d， x 是 不是在 a、 b 之间，对不对？而且呢，这个 b 减 a 是 什么？是不刚好就是 积分区间的上限减下限，当上限大于下限的时候，上限减下限是不是就是区间的长度，对不对？那二重积分的积分中止定律呢？很简单呐，积分区域低上背极函数，如果是 f、 x、 y、 d 四个嘛，那就应该是区域 s、 d 的 面积，再乘以个 f 可赛 e， 它 对不对？那可算一它在哪了？是不是也是在这个积分区域地里面？同样道理，还有三重积分的积分中值定律是一样的，所以我们回到今天的这个题来，你看这个 r 趋向于零的时候，你的分母是 pi r 平方， 对不对？然后呢，你的分子的这个二重积分，你使用积分中值定律之后，是不是应该是这个区域的面积，那是不是也是 pi r 平方？ 那用完了之后是不是还有乘以 f？ f 里面是什么？是不是可赛一？它是不是相当于就是把被极函数里面的 x 换成可赛，把 y 换成一它，那是不是就得到 e 的 可赛平方减一它平方这么多次方，然后 cosine 里面呢？也是可赛加一它，对吧？而我们的可赛一它既然要属于我们的 积分区域 d， 而这个积分区域 d 是 一个半径为小 r 的 一个圆，而这个小 r 又是趋向于零的，那我们大概画一个示意图吗？ 相当于积分区域是半径为小 r 的 一个圆，但是这个小 r 它的这个半径越来越小，越来越小，那是不是就逼迫着我们的这个可赛和 e 它也往圆点再靠近呢？那我们的可赛和 e 它是不是也是趋向于零的？ 也就是说，表面上我们这个极限符号下面写的是 r 趋向于零，但是呢， r 趋向于零会导致可赛和 e 它都趋向于零。 那我们前面拍 r 平方约掉之后，后面这个式子是不是就是 e 的 零次方再乘以 cosine 零呢？而 e 的 零次方是等于一的， cosine 零也是一，一乘以一是不就等于一？那这个题就选 b 秒了吗？好，我们再来看到第四题，也是送分题， 他说假设区域 d 是 由曲线 y 等于 x 平方减一，这是不是一个开口向上的一个抛物线往下平移了一个单位之后的结果，对吧？是不是这一根曲线，这就是 y 等于 x 平方减一嘛？然， 然后呢，与 y 等于根号下一减 x 平方为乘，那你两边平方，再把右边的负 x 平方挪到左边，那左边不就变成了 x 平方加 y 平方吗？那等号右边是一，那这不就是一个单位圆吗？圆形在圆点，半径为一的一个单位圆，但是因为 y 是 等于正的根号，而不是负的根号，所以它是一个单位圆的上半部分 相当于你的这个积分区域，下半部分由抛物线组成，上半部分由圆组成，对不对？那上下不对称嘛？但是不管是抛物线还是圆，它左右都是对称的，这个没问题吧？对不对？然后他说，则区域低上，这个二重积分的正负 到底是等于零呢？还是与 a 有 关，还是说与 b 有 关，还是说与 ab 都有关？那很明显，这个积分区域既然左右是对称的，那我就看这个被积函数是不是关于 x 的 积函数，如果是的话，那积分就等于零，所以有奇偶性， 那所以有积偶性。从加号处拆开，那就是 a 倍的区域， d 上 x y， d x， d y， 再加上 b 倍的区域， d 上 y 平方， d x， d y， 对 不对？那左右对乘被积函数这个地方的个 x， 它是关于 x 的 积函数，那积分积出来是不是就应该等于零啊？相当于加号前面这个积分等于零了，而 a 乘以零，是不是也是零啊？而加号后面就是 b 倍的多少呢？你看 y 平方的积分， 那 y 平方作为一个正的倍积函数，那是不是这个二重积分接出来肯定是一个正的，但是前面还成了一个 b， 那 就说明 b 如果是大于零的，那整个二重积分就是正的。如果 b 小 于零，整个二重积分就是负的，如果 b 等于零，这个二重积分就等于零吗？对不对？所以这个积分的值就完全取决于 b 的 正负对不对？那这个题应该选什么？是不是与 a 无关，但是与 b 有 关，所以选 c 选项秒了。 接下来的第五题和第六题是完全相同的一类题啊，就是必须交换积分次序。因为我们的第五题背记函数是一个跟 y 相关的很复杂的函数，结果一来就对 y 积分，那记不出来。 第六题背记函数是一个关于 x 的 超级复杂的函数，结果你一来就对 x 积分，那也记不出来。所以这两道题都要交换积分次序。 那换序之前一定一定要先画图啊。你看 x 的 范围在零到一 y 的 范围呢？ y 等于零就是 x 轴嘛，而 y 等于根号 x， 那 是不是两边平放一下，那就是 x 等于 y 平方， x 等于 y 平方，是一个开口向右的一个抛物线，对吧？那大概就是长这个样子嘛。那我们的积分区域是不是这样的一个阴影部分呢？那这个曲线标注一下嘛，它是 y 等于根号 x， 或者你可以写成 x 等于 y 平方， 那你看原来的积分次序是先 y 后 x， 那 我们是不是应该是先 x 后 y， 那 后积先定线，那 y 的 范围是不是应该是零到一啊？所以零到一 d y， 那 x 的 范围是不是应该是从左往右穿线，穿入这个阴影部分的时候，就是 x 的 积分下线，穿出这个阴影部分的时候，就是 x 的 积分上限，那这个曲线 x 是 应该等于 y 平方，那 x 应该等于一嘛？那被加函数 e 的 负二分之 y 平方 d x 看清楚了哟，虽然背极函数没变，但是我积分次序变了。我对 x 积分的时候，这个背极函数不管多复杂，它也是一个关于 y 的 函数， 那对 x 积分的时候，所有关于 y 的 函数都看成长数，那长数对 x 积分是不是相当于就等于这个长数乘以积分区间的上限减下限，那就应该等于零到一这个区间， 一减 y 平方，乘以 e 的 负二分之 y 平方，然后呢？ d y 嘛，然后我们从减号处拆开，拆开之后，你稍微有点常识，你就知道，减号前面这个积分你是算不出来的。零到一这个区间， e 的 负二分之 y 平方 d y 这一个积分呢？如果积分区间是零到正无穷的话，那你能够做出来，但是如果是零到一，零到二，零到三，那就算不出来，那算不出来怎么办呢？那就一定要通过另外一个积分使用分布积分和它抵消， 所以减号后面看清楚喽。零到一这个区间， y 平方 e 的 负二分之 y 平方 d y， 那 分布积分的时候，大家注意一下，其实啊，如果你摁着第一个积分不动，对第二个积分使用分布积分，那可以抵消，那如果你摁着第二个积分不动，对第一个积分使用分布积分，其实也能做出来。那一般来说哪个简单，我们就对哪个 分布积分。那比如说，对于减号后面，如果你想分布积分的话，然后再把指数函数凑进去，再分布积分，很麻烦。 但是呢，我对第一个积分使用分布积分的时候，我就直接分布积分，不要犹豫对不对？所以他使用分布积分就是 d 前面的和 d 后面的乘起来，带上下线，那就是 y， e 的 负二分之 y 平方，带上下线零到一， 对吧？然后呢，再减去零到一这个区间交换位置的积分，交换位置之后， y 跑到前面去了，然后呢， e 的 负二分之 y 平方就跑到 d 后面， 那低后面的东西是不是相当于对这个东西求导，对吧？那指数函数求导是不是还是这个指数函数 e 的 负二分之 y 平方次方？但是根据复合函数求导法则，指数部分本身是不还有求导，那负二分之 y 平方求导是不等于负 y 啊？那刚好这个地方是减号，负负就得正，而这个地方本来就有个 y， 所以 y 乘以 y 就是 y 平方 d y， 你 惊讶的发现，你分布积分之后得到的这一个积分是不是刚好就是减号后面的积分，对不对？所以再减去后面 e 的 负二分之 y 平方 d y， 那就说明这一项和这一项直接抵消了，居然就只等于这两个相乘，带上下线下线零带去就是零，上线一带去就等于一倍的 e 的 负二分之一次方。也就说第五题最后的结果就是 e 的 负二分之一次方。搞定嘛， 好，一模一样的思想。我们再来做第六题，先化积分区域 y 的 范围零到一 x 的 范围呢？下限 x 等于零，那不就是 y 轴吗？对吧？ x 等于零是 y 轴， y 等于零是 x 轴，别背反了。 然后上线 x 等于 y 平方，那说明这个图这个曲线跟上面是一样的呀。但是我们要注意，我们这个第六题的积分区域是这个曲线跟 y 轴围成的面积，对吧？ x 等于零，是 y 轴吗？所以是这一个部分，不信的话，我们来看一下 y 的 范围，零到一就是这一段吗？ x 的 范围是从零到 y 平方，对不对？又不是从 y 平方到一，能听懂吗？对不对？所以我们这个阴影部分积分的话，如果要交换积分次序，那它本来是先 x 后 y， 那 我们就要先 y 后 x， 后机先定线。 x 的 范围是就是这个零到这个地方的一，对吧？ x 的 范围是零到一， y 的 范围就是从下往上穿线穿入，就是这一个开口向右的抛物线。本来是 x 等于 y 平方，但是你要解得 y 等于几啊，对吧？ y 是 不是应该等于根号 x， 所以 积分下线是 y 等于根号 x， 积分上限这个地方是不是应该等于一 好？背记函数其实是不变的，只是呢，这个时候我们变成了对 y 进行积分，对 y 积分的时候，这个背记函数再复杂，它也是关于 x 的 函数，它看成长数，那长数积分就等于这个背记函数乘以上线减下线， 而上线减下线刚好就是一减根号 x， 他 刚好就把背记函数的分母一减根号 x 抵消了，抵消了之后就变成零到一这个区间 x e 的 x 方 d x 好 变成这个样子之后，讲道理的话，本来应该是分不几分，但是大家记住一个结论嘛，就是 x 乘以 e 的 x 方，这个玩意，他求一次倒，前面的 x 就 会变成 x 加一， 对不对，求两次倒就会变成 x 加二，求三次倒就会变成 x 加三。总之，你倒几次，前面的 x 就 加几，后面的指数还是不变，那反过来，如果你积几次分呢，对不对？你积一次分，前面的 x 就 会变成 x 减一，再积一次分，就会变成 x 减二， 对不对？也就说这个玩意直接就等于 x 减一，再乘以 e 的 x 次方，上下线零到一吗？上线一带进去一减一就等于零了，减去下线零带进去零减一就是负一，然后 e 的 零次方是不是一？所以零减去负一，那不就是一吗？相当于我们第六题最后的答案就等于一，能听懂吧。 然后第七题本来是一道选择题，但是凯哥懒得抄选项了啊，我就把它当成一个填空题来讲啊，就是要交换积分次序， y 的 范围是一到 e， x 的 范围是零到 l y， 那 交换积分次序之前，一定一定要先画图啊， 我们用蓝色的笔给大家画啊， y 的 范围一到 e， 这个倒是简单，主要是这个 x 的 范围 x 等于零，就是 y 轴嘛，对吧？然后 x 等于 x 等于 l y， 但是你两边同时去指数， 那 x 等于 y， 看清楚哦，那就变成了 y 等于 e 的 x 方，对吧？这个看着舒服多了。所以我们这个地方划一下 y 等于 e 的 x 方的图像。那我们再看一下积分区域嘛， y 的 范围一到 e， 那 x 等于零的时候， y 刚好等于一啊，对吧？ e 的 零次方刚好等于一嘛，所以这个地方是一。然后呢？再来 x 等于一的时候，这个时候它的高度是不是应该是 e？ 就 这个位置应该是 e， 那我们的积分区域是不是就是这一块蓝色的阴影部分呐，对吧？你看 y 的 范围一到 e， 就是 这一段嘛。 x 的 范围从左往右穿线，是不是先穿入 y 轴，那就是 x 等于零，然后再从这一个曲线穿出，就是 y 等于 e 的 x 方，分解出来 x 等于 y 嘛？现在我要交换积分次序了，那它是先 x 后 y， 我 就先 y 后 x， 那 后积先定线， x 的 范围是不是就是零到一，对吧？然后 d x， y 的 范围是不是从下往上穿线穿入，是不是就是这个 这个指数函数的曲线，那 y 就 应该等于 e 的 x 方，而穿出就是上面这个水平线，是不是高度应该是 e， 对 不对？好，被加函数就是 f 嘛，然后 d y， 所以 x 范围零到一， y 的 范围 e 的 x 方到 e， 就 这么简单，能听懂吗？ 好，我们再来看到第八题啊，第八题是一个重点题哦，打一个五角形啊。这个题本来也是一个选择题啊，但是我懒得抄选项了，还是改成了一个填空题。 他说 x 的 范围是二分之派到六分之五派， y 的 范围是三 x 到一，然后呢？叫我们交换积分次序。那是不是我们就应该先画图，图画出来之后再把它改成先 x 后 y 的 积分， 对不对？那这个地方有一个 y 等于三 x， 我 们就把这个图画大一点啊，待会方便交换积分次序。你看 x 的 范围是二分之派到六分之五派，那 x 等于二分之派，是不是比派要小一点点？比如说就在这个位置，这就是 x 的 范围， 而 y 的 范围呢？是三 x 到一哦，对吧？所以其实积分区域是这一段的啊，积分区域是这一段，是这一块的阴影部分，你千万别连图都画错了好吧，那有些同学画图，他画的是这个三与这个 x 轴围成的这一个阴影部分，那不应该是零到三 x 吗？对吧？那我们这个地方是三 x 到一， 应该是上面这一个阴影部分。好，它是先 y 后 x， 那 我们就先 x 后 y 嘛，那后极先定向 y 的 范围是不是就是从这一个点的高度到一嘛？那这个点的高度是不是就是六分之五派的函数值，对不对？那 sin 六分之五派，如果你觉得不太好算的话，那你就算 sin 六分之派嘛， 对吧？因为六分之五派到 pi 的 距离和六分之派到零的距离是一样的，而又因为我们这个 sin 图像，它是关于二分之派左右轴对称的， 对不对？所以六分之派的这个点的高度和六分之五派这个点的高度是不是应该是一样的？那三影六分之派就是三影三十度，那就应该是二分之一嘛，相当于这一个点，它的高度就是二分之一， 这个点的高度是一，所以后基先定线 y 的 范围，那就是二分之一到一，没得跑了。那 x 的 范围是不是从左往右穿线？那兄弟们大的要来了哟， 从左往右穿线的时候穿出是不是这个数值线？这个数值的这个线，它的积分上限是六分之五派，这个没得跑。问题就是积分下限到底等于几？那这个题的难点就是 x 的 积分下限到底填什么？ 那有的同学说，哎呀，你这个曲线本身是 y 等于 sine x， 那 反过来，它的横坐标 x 不 就应该等于 r 个 sine 吗？对吧？为什么呢？因为 y 等于 sine x， 两边同时取反函数，取 r 个 sine， 那 反解出来 x 不 就是 r sign y 吗？所以很多人就觉得这个地方的积分下限就直接填 r 个 sign y 就 可以了。但不对啊，为什么不对呢？很简单，我们看一下图，我们就知道这个 sign x 它是一个周期函数，对不对？就是当我们固定这个曲线的高度的时候，我们固定纵坐标 y 的 时候，是不是有无数个横坐标 x 跟它对应？比如说我问你一个问题， 就是如果我让你算 alpha sine 二分之一等于几，那你怎么去想？是不是你就去思考 sine 多少是等于二分之一呢？哦， sine 三十度， sine 三十度其实就是 sine 六分之派嘛，所以你这个地方就填六分之派。 但是凯哥刚才才说了，这个 sine 六分之派的这个地方的高度和 sine 六分之五派的高度其实是不是其实是一样的？那你凭什么说 alpha sine 二分之一就等于左边的六分之五派呢？甚至我们这个曲线，我们再你看，我们再画一下， 对不对？然后我们再延伸一下，啊，我们这个，你看这个高度为二分之一的这一条红线，我再延伸一下，他是不是在这个位置还有一个横坐标，那凭什么不能是这个点的横坐标呢？ 听清楚了哦，就是数学家们在几百年前定义这个反正弦函数的时候，他们就已经规定了，就是他们为了避免这种 r 三二分之一算出来有无穷多个值的情况，他们就规定这 这个 arc 二分之一算出来应该等于什么呢？应该等于负二分之派到二分之派这一个单调递增的区间上对应的那个横坐标，能听懂吧？ 也就是说，当我们固定重坐标是二分之一的时候，那么 arc 二分之一等于多少呢？就应该等于在这一段单调递增的曲线上，当高度达到二分之一的时候，对应的这个横坐标。 同样的道理， alpha 三分之一等于多少呢？是不是应该是在这个曲线上高度为三分之一的时候对应的横坐标？同样的道理， alpha 三零呢？是不是也应该是在这一个曲线上高度为零或者重坐标为零的时候对应的那个横坐标？说白了， alpha 三零就应该等于零，而不是等于 pi， 也不是等于二 pi。 那 我们怎么样去表达其他区间上对应的那个横坐标呢？很简单，根据 sine 这个图像的对称性或者说周期性， 你想假如我用一个高度为二分之一的一条水平线，对吧？去切割这一条曲线的时候，我们在零到拍这个区间上是不是就会得到两个点呢？对吧？左边是不是有一个焦点？根据我们刚才反函数的定义，我们就知道这一个点对应的横坐标就是 r 三二分之一， 但是右边这个点呢？数学家规定了，他没有资格写成 r 三二分之一，那它等于几呢？很简单，我们刚才说了对称性 对不对？就是这个曲线呢？ y 等于三 x 的 曲线，它关于二分之派是左右轴对称的，那就说明这一个点对应的横坐标啊，和这个点对应的横坐标是关于二分之派左右对称的，那相当于二分之派就是这两个点的中点， 那什么叫做中点？就是这两个点的坐标加起来除以二，对不对？是不是就应该等于中间的这个二分之派，对吧？那现在左边这个点已经是六分之派了， 那右边这个点假如你不知道等于几啊？假如你不知道等于六分之五派，那你就写一个问号嘛，对吧？这个点对应的横坐标是一个问号，但是它的高度仍然是二分之一，那我这个问号再加上左边的六分之派除以一个二，是不是就是这个问号和这个六分之派对应的横坐标的终点？他是不是应该就是这个对称轴的横坐标？二分之派 分母的二抵消，那这个问号是不是应该等于拍减？六分之派不就是六分之五派吗？对吧？我们是不是就算出来了？那现在我们假设这一个点高度不是二分之一，而是 y， 或者说我们就用高度 y 的 一条水平线去切割去截这个 y 等于三 x 的 这个图像，是不是这个横线与这个周期函数 y 等于三 x 有 无穷多个交点， 对不对？但是啊，我们刚才说了，只有在负二分之派到二分之派这一段上的这一个交点对应的横坐标才有资格写成 x 等于 arc sine y， 对 不对？那么这一个点对应的横坐标是什么呢？很简单，是问号，而这个问号加上左边的 arc sine y， 再除一个二，是不是就是这两个点 的中点？它是不是应该等于二分之派？那把分母的二约掉之后，把一把左边的 r 三以外减到右边去，是不是就得到这个问号？就这个点啊？这个点对应的横坐标就应该是派减去 r 三以外，能听懂我的意思吗？对不对？你直接根据图像的对称性或者周期性就可以了嘛。那同样的道理，如果我要计算的是高度为 y 的 时候，对应的这一个点的横坐标呢？ 那么这个点是不是比这个点要更大了？它对应的横坐标，那这个时候我们就用周期性，对吧？比如说当高度为 y 的 时候，这个点对应的横坐标是 x 三 y， 对 吧？那根据 y 等于三 x 的 周期性，这一段单调递增的区间是不是负二分之派到二分之派这一段单调递增的区间往右平移了？二派个单位，因为二派就是三 x 的 周期嘛。所以如果这个点对应的横坐标是 x 三 y， 那么同样的高度延伸过去，这个点对应的横坐标是不是就应该是二 pi 再加一个 arc sine y 嘛，对吧？所以你记住凯哥的一句话 就是，我们只需要记住，在负二分之 pi 到二分之 pi 这一段上，高度固定为 y 的 时候，对应的横坐标是 arc sine y。 那在其他的位置上对应的横坐标是什么呢？那就要看这个点到底是递减区间还是递增区间。如果是在递减区间上，那么增区间和减区间就要通过对称性来得到这个单调递减区间这一个点对应的横坐标，那如果都是单调递增区间，那你就用周期性，对吧？一增一减就对称性。关于二分派对称， 如果都是真区间，那就用周期性平移就可以了，对吧？说实话，我觉得我已经讲的非常非常的清楚了，听懂了发个一啊，听懂了发个一，然后我们再来看到第九题，好吧，好，我们再来看到第九题。这个第九题考察的其实就是对称性，他说 f x y 等于 f y x， 这是不是叫轮换对称啊， 对不对？而且呢， f x y 还等于 f 负 x， y 是 不是 y 是 不动的？把 x 换成负 x 之后，表达式居然不变，那说明这个二元函数关于 x 这个字母是一个偶函数， 记住哦，如果关于 x 具有基有性，那我们就看积分区域是不是左右对称。如果背极函数关于 y 具有基有性，那我们就看积分区域是不是上下对称，能听懂吧。然后呢，他给这个二重积分呢？ x 的 范围是负二到二， y 的 范围是根号下四减 x 平方到二。我们扫一眼 a、 b、 c、 d 四个选项分别在研究什么东西？ a 选项是不是先对 x 积分，再对 y 积分？那原来这个题是先对 y 后对 x， 所以 a 选项相对于提杠而言，是交换了积分次序的。 而 b 选项呢，是不是还是先对 y 积分，然后后对 x 积分？但是这个地方有个二倍 x 的 范围是零到二了，所以 b 选项没有交换积分次序，但是呢，它用了奇偶性， 而 c、 d 选项是不是就是把直角坐标变成极坐标，对吧？那我们一个一个来分析啊。我们先把题干的这个原来这个积分的积分区域划出来， x 的 范围负二到二，对吧？而 y 的 范围呢？你看 y 等于这个根号下 四减 x 平方，你两边平方，再把右边的 x 挪到左边，不就是 x 平方加 y 平方等于四吗？这是一个圆，心在圆点半径为二的一个圆，所以这是负二，这是二。然后呢，最顶点高度是不是也是二？但是我们注意到这个 y 的 范围不是零到这个根号，而是根号到二， 对吧？你看 y 等于这个根号，是不是就是上半圆 y 等于二，是不是这个水平线？所以咱们的积分区域是不是应该是左边这一块阴影部分，再加上右边这一块阴影部分， z 轴不是圆的内部，而是圆的外部，能听懂吧？好，我们现在来看 a 选项，如果要交换积分次序的话，原来是先 y 后 x， 现在是不是先 x 后 y 后基，先定向 y 的 范围是不是这个地方？你看 y 最低最低就是零， y 最高最高就是二，所以 d y y 的 范围就是零到二，所以外层的区间是对的。 那再来内层区间呢？对， x 积分的时候，是不是要从左往右穿线？从左往右穿线，对吧？那明显要分成左右两个阴影部分嘛，所以它内层积分是不是分成了两个积分，对不对？这个没问题， 我们先来看左边这个积分，你从左往右穿线的时候，穿入就是 x 的 下线，穿出就是 x 的 上限，那左边这个阴影部分穿入就是 x 等于负二，这个也没问题， 只要没问题了，我们就打个勾再来穿出呢？而我们要知道，在写这个积分上下线的时候，如果你这个地方是 d x， 那 我们的上下线是不是应该写 x 等于多少 y 啊？对吧？那穿出的这一条线，你就不能再写什么 y 等于根号下四减 x 平方，而是要从这个 等式里面把 x 等于多少解出来，那是不是把 y 平方减到右边去，再两边开方，那 x 是 不是应该是正负根号下四减 y 平方，对吧？那什么时候是正的根号呢？那就是 x 大 于零的时候，什么时候是负的根号呢？就是 x 小 于零的时候，说白了就是右半圆啊，就是这个圆吗？ 中间有一条对称轴吗？那右半圆就是 x 等于正的根号，左半圆就是 x 等于负的根号。现在你在算左边这个阴影部分，从左往右穿线的时候，那你穿出的这个曲线是从左半圆穿出的，所以你的 x 是 应该等于负的根号下四角 y 平方，所以这个地方的积分上限 a 也是对的，对吧？那再来看到后面这一段，上 后面这一段，你看他穿入就是右半圆穿入，穿出呢，就是 x 等于二，所以这个地方上线 x 等于二，这是没问题的，但是下线错了呀，功亏一篑，对吧？他穿入是从这一个弧线穿入进去的， 对不对？所以这个时候 x 应该等于正的根号下四角 y 平方，所以这个地方有一个符号在根号外面，所以他是不是就错了，所以导致整个 a 就 错了嘛？ 我们再来看到 b 选项， b 选项这个地方有个二倍，那很明显用了一下对称性，对吧？我们刚才说了， f x y 等于 f 负 x y， 把 x 换成负 x， 表达式不变，说明被积函数关于 x 是 个偶函数，而我们的积分区域是不是刚好左右两个阴影部分是对称的， 所以整个阴影部分的积分是不是确实应该等于二倍？右边这个阴影部分的积分，对吧？所以就是二倍， x 的 范围就是零到二嘛，而且我们没有交换积分次序。哦，那这个时候我们的那层积分的积分线是不是不应该变，对吧？原来积分上限是二，我现在也应该是二， 原来积分下限是根号下四减 x 平方，我现在是不是也应该是根号下四减 x 平方？但是我们定睛一看，我发现，哎，这个地方怎么写的是根号下四减 y 平方，那是不是就不对了呀？ 能听懂吧？对吧？就是你的内层积分是对 y 积分，对 y 积分的时候，你的积分上下线是不应该写 y 等于多少 x， 倒 y 等于多少 x， 能听懂吧？ 所以你的上下线应该是 x 的 函数，而不应该还出现 y， 能听懂吧？所以你的这个积分下限就是这里 y 错了，你改成 x 的 话，那 b 就 对了，所以 b 现在也排除，那就只能在 c d 里面选，那是不是就是要用极坐标？ 而无论是 c 还是 d， 怎么有一个四倍呢？哦，那是因为我们这个题啊，它除了有基偶对称性，还有轮换对称性，对不对？就是整个这两个阴影部分的积分，先通过 x 的 基偶性把它转化成右边这个阴影部分的二倍， 对吧？而右边这一个阴影部分，它是不是又是关于 y 等于 x 这个对称轴？就是第一向下角平分线，是不是也是对称的，对吧？就是就是，你看这一个阴影部分 和这一个硬部分是，是不是也是对称的，所以它就只需要计算这一个部分啊。完了，我不小心把左上角这个地方也描黑了，就是我用手给你遮住，对吧？用手给你遮住，那你相当于就只需要计算这一个部分， 对吧？这一个黑色部分的积分算出来之后，再乘以一个四是不就可以了？所以我们 c d 选项这个地方是不是有一个四倍？ 那极坐标一般都是先 r 后 c 它嘛？那无论是 c 还是 d， 是 不是都是先对 r 积分，后对 c 它积分？那怎么确定 c 它的范围是不是其实就是让这个极轴的正半轴逆时针旋转？当这个轴逆时针旋转的过程中，什么时候刚接触到这个阴影部分，我们就记录下这个时候对应的 c 它值，这个时候就是 c 它的积分下限， 然后什么时候当这个轴旋转到刚要离开这个阴影部分的时候，咱们就记录下这个时候的 set 值，就这就是我们的积分上限，对吧？而现在这个阴影部分是不是刚好这一个位置就跟 x 轴就是相交的， 对不对？所以你还没开始逆时针旋转呢，是不是就已经在这个阴影部分里面了？所以 set 的 范围下限是不是就是零？而我们的积分上限是不显然就应该是 set 等于四十五度的时候，对吧？就是逆时针旋转旋转到第一向下的角平分线的时候，是不是刚好就要离开这个阴影部分了？ 所以 c 它的范围应该是零到四分之二，而不是零到什么 r 的 弹性的二分之一，对吧？所以通过 c 它的范围，我们都应该知道这个题应该选 c 选项嘛， 对吧？但是我们为了严谨，对吧？我们为了对自己高要求，我们再来看一下它内层的这个 r 的 范围到底对不对？那怎么确定 r 的 范围呢？很简单，我们从极点出发，引一条射线，对吧？穿入这个阴影部分的时候就是我们的积分下限， 穿出这个硬部分的时候就是 r 的 积分上限，那什么时候穿入吗？是不是其实就是从这个圆穿入的，那圆的半径就是二了，对吧？所以 r 的 下线就是二，所以这个地方是二是对的，对吧？好，它的积分上限呢？很简单，是不是穿出是从这个数直线穿出的，这个数直线的直角坐标方程是 x 等于二， 而直角坐标跟极坐标之间的转换关系是 x 等于 r， cosine， 对 吧？然后呢，要等于二，那你把左边的 cosine 除到右边去，那 cosine 分 之一是不是就是 second？ 那 么我们就解得 x 等于二，这个直角坐标变到极坐标的话， r 就 应该等于二倍 second set， 对 吧？所以 r 的 范围就是二到二倍 second set， 对 吧？这不就是我们的积分区间吗？ c 的 积分区间对的吗？所以这个题就选 c， 没任何毛病，听懂的发个一啊。好吧，听懂的发个一。 好，接下来这三个题呢，就是纯计算题了啊，而且计算过程都很短，非常简单啊。第十题，他说曲线 l 是 r 等于 sine 三 sine 它的范围是零到三分之派，他说区域 d 是 由 l 围成的区域，叫我们求这样一个二乘积分。那首先我们要先画图嘛，你看，这是 x 轴，这是 y 轴， 我们的 r 其实本质上就是这个曲线上的点到这个极点零零的距离，对不对？所以我们这个地方人家要规定这个 c 它在零到三分之派，因为这样的话三 c， 它这个整体就在零到派，在零到派里面，三引才是一个正的，这个时候 r 才是一个正的， 对不对？当 c 它等于零的时候，是不是相当于这个曲线最开始的时候，刚好就在这个极点处？因为 c 它等于零的时候， r 等于零，就代表曲线上的点到极点的距离是零，那不就是极点本身吗？ 那随着 sine 它的增大，那这个 sine 是 不是单调递增的，对吧？增到什么时候为止呢？是不是增到当 sine 等于六分之 pi 的 时候， 因为 sine 等于六分之 pi， 三 sine 它这个整体就是二分之 pi， sine 二分之 pi 是 不是取到最大值就等于一了，对不对？所以六分之 pi 是 不是刚好就是三十度？那就把整个第一向下三等分嘛？这是三十度，这是六十度，对吧？当 sine 等于零的时候，它是零， sine 等于六分之 pi 的 时候达到最大值。 然后当 c 它从六分之派到三分之派的时候，三一里面的三 c 它是不是就从二分之派到派，这个时候整个三引是不是单调递减的？它从一一直递减到零嘛？所以它这一段上是不是应该是单调递减的？ 而且我们这一条直线，如果它是 c， 它等于三分之派的话，那说明这个直线刚好与这个曲线是不是应该是相切的？那咱们的积分区域 d 他 说了嘛？是由 l 围成的区域，是不是就是像一个叶子一样的形状，对吧？就是这个阴影部分里面嘛，所以我们直接使用极坐标啊，对吧？我们 c， 它的范围就是题干说的零到三分之派， 那么 r 的 范围呢？就是从极点出发往外引射线，对吧？穿入的时候就是 r 的 下线，那明显就是零吗？为什么是零？因为我们这个地方这个阴影部分，它的左边这个顶点是不是刚好就在极点出？ 所以我从极点引引射线的话，是不是它根本就没有所谓的穿出？因为极点本身刚好就是这个顶点，对吧？所以这个射线一来就在这个阴影部分里面，所以 r 的 下线是零， 那穿出那是不是永远都是从这个叶子的边界线穿出的？那是不是 r 等于 sin 三 c， 它那背接函数，你要知道极坐标 x 平方加 y 平方是不是就等于 r 平方？ r 平方再开发是不是就是 r？ 但是直角坐标转化成极坐标的时候，是不是要再乘一个 r， 之后再 d r， 所以 就变成 r 平方？ d r 嘛？那是不是也很简单呐？那就是零到三分之派这个区间， r 平方积分，那就是三分之一， r 立方带上下线，那就是 sin 立方，然后三 c， 它 d c 塔，三英里面现在都是三 c 塔，但是 d 后面就只有一个 c 塔，所以我就要补一个三倍，前面再乘一个三分之一，而前面已经有一个三分之一了，所以三分之一乘三分之一，是不是就应该是九分之一，所以是九分之一倍，然后呢？零到，你看，我们把三英里面的三 c 塔和 d 后面的三 c 塔看成一个整体，那么 c 塔的范围如果是零到三分之派，三 c 塔这个整体的范围是不是就应该是零到派，然后 sin 三次方 t d t 嘛？对不对？而我们又知道 sine 或者跟 sine 相关的函数，它关于二分之 pi 是 左右轴对称的，所以根据几何意义？那你既然左右轴对称，关于二分之 pi， 那 么零到 pi 上的面积是不应该等于二倍零到二分之 pi 的 面积， 对不对？所以九分之一被照抄，并且呢，把零到 pi 写成二倍零到二分之 pi， 然后背接函数 sin 三次方 t d t， 那 么这一个正在画波浪线，或者说白了就是点火公式嘛。 那三次方的积分是不是应该就是三二一对吧？相当于前面的九分之一乘以二，我们照抄，然后呢，这个三次方的积分就是三分之二，再乘一个一， 对不对？那我们化解一下，那分母三九二十七分子二乘二等于四，那其实也没办法化解啊，这个题就等于二十七分之四能听懂吧。 然后再来看到第十一题啊，他说积分区域 d 是 在第一项线内，在两条抛物线之间的区域，第一条抛物线要低一点，是 y 等于四倍 x 平方，第二条抛物线要高一点，是九倍 x 平方，对吧？假如四倍就是这样的，他低一点， 九倍就是这样的高一点。而且你发现没有，这两条抛物线是无限延伸的，那这两条抛物线之间的区域是不就是这一个无限延伸的一个无界区域啊，对吧？这一长条他无限延伸的，然后呢，叫我们求这样一个二重积分，那很明显，这个二重积分应该先对 x 积分吗？ 因为这个背积函数只有一个 x， 它积起来比较方便。如果你先对 y 积分的话，那 e 的 负 y 平方对 y 积分积出来，等于啥都不知道，对不对？所以我们就锁定先 x 后 y， 那 后积先顶线啊， y 的 范围是不是就从这个最低点的 y 坐标一直到最高点的 y 坐标，而没有最高点它是无限延伸的，所以 y 的 范围是零到正无穷， 对不对？然后 d y， 而 x 范围就是从左往右穿线，对吧？穿入就是 x 的 下线，穿出就是 x 的 上线，而我们穿入是不是其实是从这个更高的这个抛物线穿入的？ 更高的这个抛物线是 y 等于九倍 x 平方，那你要从它这个表达式里面反解出 x 等于几，是不是要把九除到左边再开方？所以 x 的 积分下限是根号下九分之 y 积分上限是什么呢？是从这一个更低的 y 等于四 x 平方里面把 x 解出来，所以把四除到左边再开放，那就是根号下四分之 y 嘛，对吧？被积函数呢，就是这的 x 乘以的负 y 平方，然后 d x。 记住哦，对， x 积分这个 e 的 负 y 平方次方，看成长数提出去，那就是零到正无穷 e 的 负 y 平方次方，然后 x 积分就是二分之一 x 平方，带上下线，对吧？根号平方减去根号平方，是不是根号和平方就抵消了？那就变成四分之 y 减九分之 y， 通一下分四分之一倍，减九分之一倍，那不就是 分母四九三十六，对吧？然后分子是不是九减四就等于五这么多倍的 y， 然后 d y 吗？好，这一个积分呢？我们先把长细数提出来，什么二分之一倍啊，三十六分之五倍都提出来，那么 y 先凑到 d 后面去，变成二分之一倍 d y 平方， 而指数部分是负 y 平方， d 后面是 y 平方，所以要在 d 后面再补一个负一倍，前面要乘一个负一，对吧？负负才得正，才叫横等变形。 现在把负 y 平方看成一个整体，比如说看成 u， 那 么 e 的 u 次方低 u 积分是不是 e 的 u 次方，所以这个时候就是 e 的 负 y 平方，次方带上下线，下线是 y 等于零，上线是 y， 趋向于正无穷，对吧？那么你看这一个式子，我把前面的系数遮住，这一个式子带上限进去就是 e 的 负无穷次方，那时候就是零， 带下线进去就是一的零次方就是一，所以整个式子带上下线之后就是零减一，是不是就是负一？刚好这个算出来的负一和前面这个负一抵消了。那相当于这个题最后的答案就是，二分之一乘三十六分之五，再乘二分之一，那分子是不是五吗？而分母呢？二乘以三十六，那就是七十二，七十二，再乘一个二，那不就是一百四十四吗？ 对吧？相当于第十一题最后的答案就是一百四十四分之五就搞定了。好，我们再来看到第十二题啊，也是一个很简单的题， 他说积分区域 d 是 一个圆，是 x 减 a 的 平方加 y 平方小于等于 a 平方，这是一个圆心在 a 零，半径为 a 的 一个圆，而且人家限制了 y 大 于等于零，那就只有上半部分嘛，上半圆。 然后教我们计算根号下四， a 平方减 x 平方减 y 平方的积分，那积分区域既然跟圆有关，那我们直接锁定用极坐标，那用极坐标一般都是先对 r 积分，后对 c 叉积分，后积先递减，递减的范围是不是就是 x 轴正半轴逆时针旋转， 对不对？转入这个阴影部分就是塞他的下线，转出这个阴影部分就是塞他的上限，那很明显塞他的范围是这个零到二分之二吗？第一象限 对吧？然后 r 的 范围呢？是不是从原点出发引射线，对吧？穿入就是 r 的 下线，那是不是就是零了，对吧？因为他一直在这个阴影部分里面嘛，所以 r 就 等于零，那穿出呢？是不是永远都是从这个圆的边界穿出的？但是呢，我们现在给的这个圆的方程，是不是直角坐标系下的这个圆的方程？那我们就把这个括号打开， x 减 a 的 平方，括号打开之后，是不是 x 平方减二 x 再加 a 平方，那么左边的 a 平方和右边的 a 平方就抵消，那左边的一次项是不是负二倍 ax， 那 把它挪到右边，那相当于这一个圆。化简之后就是 x 平方加外平方要小于等于二 a x， 那 这个时候我们把它画成极坐标的话，是不是要令 x 等于 r cosine， 然后 y 等于 r cosine， 带进去之后，左边 x 平方加 a 平方，是不是就是 r 平方， 对不对？然后右边二 a x， 那 不就是二 a r cosine theta 吗？那左两边把 r 约掉，对吧？那就得到 r 等于二 a cosine theta， 这就是我们这一个圆的方程在极坐标下的表现形式，就是二 a cosine theta， 对 不对？背极函数很简单哦，就是根号下，你看四 a 平方照抄减去 x 平方加 a 平方，是不是就是 r 平方？但是别忘了还有个 r d r 对不对？好，接下来这个积分怎么算？根号里面是平方，而外面刚好单了一个 r 的 一次方，那我们就把 r 凑到 d 后面去，变成二分之一被 d r 平方，但是根号里面的 r 平方前面有个负号，所以我们就在 d 后面 把那个 r 平方前面也添一个负号，所以前面是不是要补一个负一倍啊？而且我们注意到根号里面负 r 平方还加了一个常数四倍 a 平方，而在积分的时候在 d 后面加减任意常数，是不是不会改变积分值？所以现在 d 后面本来只是负的 r 平方，那我是不是可以平白无故加一个四 a 平方？ 那现在根号里面也是四 a 平方减 r 平方，那我是不是可以把这个四 a 平方减 r 平方看成一个整体？比如说看成 u， 而这个根号是不是可以看成二分之一次方？那 u 的 二分之一次方再对 u 积分是不是积出来应该是三分之二倍 u 的 二分之三次方，这个大家学不定，积分应该比较熟练了吧，对不对？所以整个这个积分外层的这个零到二分之拍我们不动， 内层的这个积分对 r 积分之后就是三分之二倍，然后四 a 平方减 r 平方，这个整体的二分之三次方， 大家记住嘛？二分之一次方积分接出来就是三分之二倍，这个整体的二分之三次方带上下线，下线就是 r 等于零上线。兄弟们，我确实写不下了，我打个箭头过来啊，这个地方的上限应该是 r 等于二 a 二 a 倍，扩散一下他，对吧？好，上下线带完了之后，最后这个地方还有个 d c， 他 没有写，实在写不下了。好，这个时候凯哥干脆拿一张新的超高纸啊，我们来算，这个空白不够啊。那我们这个第十二题啊，这个积分就等于，你看 负二分之一，再乘以三分之二分子分母把二约掉，那系数就是负三分之一倍。然后呢？零到二分之派，你看这一个式子，把上线二 a cosine 它带进去之后，那是不是就应该是四 a 平方减去，你看 这个 r 平方，就是二 a 这个整体的平方，也就是四 a 平方，再乘以一个 cosine 平方再减去，把下限 r 等于零带去，那就是四 a 平方的二分之三次方。那 二分之三次方是不是可以看成先二分之一次方，再三次方，那四 a 平方，先二分之一次方就会变成二 a 二 a 再三次方，是不就是八 a 立方？好，扩回来，最后 d c 它。 你看我们这个地方有公因式四 a 平方可以提出来，那四 a 平方的二分之三次方是不刚好就是我们刚才算的八 a 立方，对吧？所以有一个八 a 立方。但是我们注意到这个小括号里面提了一个四 a 平方，三平方的二分之三次方是不是就是三三次方？ 所以减号前面就还剩一个 sin 立方 sine， 而减号后面我们干脆把八 a 立方当成归一式提出来，对吧？提出来之后，那是不是减号后面就只剩一个一 扩回来再 d sine， 那 接下来就送分了呀，对吧？这个积分是不是特别简单？你看我们这个八倍 a 立方，把它提出去，那就是负的三分之八 a 立方，对不对？然后从这个减号处拆开减号前面 三引立方在零到二分之派七分，是不可以用点火公式，对吧？或者瓦氏公式，那是不是三分之二乘一个一，然后减号后面一再零到二分之派七分，那不就是二分之派吗？当然，我们可以把这个符号拿到中括号里面去，把它 写成三分之八 a 立方，再乘以个二分之派减三分之二，是不是也是可以的？没毛病。也就是说，这个第十二题最后的这个结果就是三分之八 a 立方乘以个二分之派减去三分之二，搞定。好吧，听懂了发个一啊，听懂了发个一。 好，接下来第十三题啊，这个题我想问一下章鱼老师，就是你为什么要把它放在基础篇呢？就这个题的计算量以及它的综合性，完全就是强化篇的难度。真的啊，不信我们来试一下。我这一页都做不完这一个题啊，至少要两页。 你看他说平面区域 d 是 由曲线与直线以及 y 轴围成的，然后让我们求这个 x 平方加 y 平方的这个二重积分。 背接函数倒是简单，主要就是积分区域嘛。那这个曲线到底长什么样呢？我们左两边平方把根号去掉，那是不是就变成了 y 平方等于三减三 x 平方，那把右边的三 x 平方挪到左边去，再除以一个三，那我们就得到什么？就得到 x 平方加上三分之 y 平方要等于一嘛， 对不对？这是不是我们高中数学学的一个椭圆呐？而且是长半轴在 y 轴上的一个椭圆，所以我们大概画一下，这是 x 轴， 这是 y 轴，对吧？长半轴在 y 轴嘛，因为 y 平方下面的系数比 x 平方下面的系数一要更大，所以它是一个竖轴的椭圆，而不是一个横轴的椭圆。然后 y 等于根号三 x， 是 不是相当于倾斜角？那个角度就应该是六十度，对 吧？ y 等于 x， 是 四十五度嘛，对吧？ y 等于三分之根号三 x 就是 三十度， y 等于根号三 x， 是 不是就是六十度，对吧？就是这样的一个直线啊，这样的一个直线，而且与 y 轴为成，不是，与 y 轴为成，是不是？左边这个小一点的这一个阴影部分， 对不对？那无论积分区域是圆还是椭圆，我们是不是都可以用极坐标嘛？那只要用极坐标，那么 set 它的范围就很简单呐，那就是从这一条边对应的 set 值到这个 y 轴正半轴对应的 set 值，那不就是六十度到九十度吗？那就是三分之派到二分之派。所以 set 的 范围三分之派 到二分之派。重点就是这个 r 的 范围，从圆点或者极点出发，往这个阴影部分引射线，那很明显就是零嘛，穿出就是 r 的 上限， 那是不是在这个阴影部分里面，你穿的时候永远都是从这个椭圆的边界线穿出的，而这个椭圆的方程，它在直角坐标系下，是这个方程，对吧？那它在极坐标系下呢？很简单，我们把右边的三 x 平方挪到左边，那左边就是三 x 平方加 y 平方，右边就等于三嘛？ 现在你把 x 等于 r cosine， 然后把 y 等于 r cosine 带进去，对吧？那左边这个地方会出现一个 r 平方，然后 y 平方里面也会出现一个 r 平方，把等号左边的公因式 r 平方往左提，提了之后等号左边就变成 r 平方，乘以一个三倍 cosine 平方，再加上一个一倍的 sin 平方，是不是要等于右边的三啊？对吧？所以我们为了把 r 解出来，是不是就把等号左边这个三角函数除到右边去再开方，对不对？所以我们的 r 积分上限就是根号下，很复杂哟，这个分子就是三嘛，分母就是这个三倍 cosine 平方，再加一个 sin 平方，那么零到这个根号是不是就是我们这个 r 的 范围，对不对？好，倍积函数 x 平方加 y 平方就是 r 平方，但是别忘了，直角坐标转化成极坐标，要再乘一个 r 之后再 dr， 所以 就变成 r 三次方，然后 dr 了， 然后 r 三次方积分就是四分之一， r 四次方，把四分之一被提出来，然后外层的这个三分之派到二分之派，你不去动它，然后呢， r 的 四次方带上下限， 下线带去零的四次方就是零，就不用管了。而上线根号的四次方，那是不相当于就是根号里面的东西在平方，对吧？那分子三平方以下就是九 分母平方以下就是三倍 cosine 平方，再加一个 sine 平方这个整体的平方，然后呢，再 dc 它， 而我们把分子的九提出去，那系数就变成四分之九倍。那凯哥在全称版里面强调过很多遍，只要这个背极函数的三角函数里面，你把 sin 换成负 cosine， 同时把 cosine 换成负 cosine， 你 发现背极函数居然不变的话，那么一定就可以去凑低贪界的 si 塔。 怎么才能凑出 d theta 呢？那就是要在 d theta 前面补一个 second 的 平方，对吧？ second 的 平方凑到 d 后面去，不就是 d theta 了吗？所以我们这一个积分分子分母同时除以一个 cosine 的 四次方，对吧？那除了之后看清楚了哟， 你看除了 cosine 四次方之后，分子就变成 second 的 四次方了，对吧？而 second 的 四次方是不是可以看成 second 的 平方乘以 second 的 平方，其中一个 second 的 平方凑到 d 后面去，变成 d 摊减 t， 那 是不是分子还剩一个 second 的 平方，那这个 second 的 平方就写成一加上 贪加的平方，这个没毛病吧？分母里除了一个 cosine 的 四次方之后，是不是相当于在分母的这个小括号里面除了一个 cosine 平方，那括号里面就变成了三加上一个三平方，除 cosine 平方，那就变成贪加的平方 c， 它外面再平方， 对不对？现在我们把反复出现的贪加的 c 它看成一个整体，那当这个 c 它在三分之派到二分之派的时候，贪加的 c， 它这个整体是不是应该就是根号三到正无穷， 所以就等应该等于四分之九倍，然后根号三到正无穷被积函数就是这个 x 平方，再加一个一，再除以一个三，加上 x 平方，再平方，然后再 d x， 好， 做到这之后，接下来就有两种解法了。第一种解法就是发现分母又是 x 平方加一个常数，那我们是不是可以用三角换元？我们令 x， 你 看我们令这个地方的 x 等于根号三倍 贪间的 t 带进去，是不是可以啊？这是一种方法啊，做到这之后三角还原。那还有一个方法就要用到一个基本的常识了，就是我们单独来算一下 j 这个积分， j 是 什么呢？我们来算不定积分呢，是 a 平方加 x 平方的平方分之一 d x， 我 们来算一下这一个积分怎么算？还是那句话，你可以使用三角换元，你可以令 x 等于 a 倍的贪间的 t， 但是我们这个地方不用三角换元，我们直接对分母降次 分子分母同时乘以一个 a 平方，那是不是相当于外面有一个 a 平方分之一的系数，然后分子一就变成了 a 平方，分母就是 a 平方加 x 平方的平方吗？对不对？然后我们分子是不是可以加一个 x 平方，再减一个 x 平方？从这的减号处拆开 减号前面 a 平方加 x 平方，是不是和分母就约掉了一项？那整个减号前面的倍积函数就是 a 平方加 x 平方再分之一，那它积分是不是就应该是 a 分 之一倍？ arc tangent a 分 之 x， 而减号后面这个积分看清楚了哦，分子本来是 x 平方 对不对？但是我把 x 平方拆成 x 乘以一个 x， 我 把其中一个 x 凑到 d 后面去，变成二分之一倍，然后呢？ d x 平方，对不对？那相当于我们原来这个积分，分子就还剩一个 x 分 母就是 x 平方加 a 平方的平方， 对不对？而我们知道在 d 后面加减任意常数是不会改变这个积分的结果的。现在分母是 x 平方，加了一个 a 平方再平方，那我们在 d 后面也加上一个 a 平方，我们的目的就是把 x 平方加 a 平方看成一个整体。好，重点来了，为什么要把它看成一个整体， 对吧？就是因为分母的次数太高了，分母 x 平方再平方是不是相当于四次方啊？分母的次数太高，我们积分就不太方便，那我们就总希望通过把分母凑到 d 后面去的方法对分母进行降次。比如说当你遇到这种 u 平方分之一 du 的 时候，你把它 凑进去是不是就是负的 du 分 之一，那我们的分母就从 u 平方变成了一次。同样的道理， u 的 三次方分之一 du 对不对？你看三次方分之一是不是可以看成负三次方？负三次方积分是不是就是负二分之一？然后呢？ u 的 负二次方，那负二次方是不是就是 u 平方分之一？所以我们就把分母从 u 的 三次方降低成了 u 的 平方，就是二次方，是不是又降次了？ 所以我们这个地方也是一样的，你把 x 平方加 a 平方看成一个整体，比如说看成 u 那 u 平方分之一积分是不是就是负的 这个 u 分 之一？或者你连着这个负号一起吗？负的 u 平方分之一积分是不是就是 u 分 之一？那是不是相当于对分母这样次了？也就说 就是前面的东西不变，就是 a 平方分之一，然后 a 分 之一 ark 摊减的 a 分 之 x， 这个都不变，然后我们把这个负号和整个分母的平方一起凑到 d 后面去，那就变成正的二分之一倍积分， 那背极函数就只剩分子的 x 了。 d 后面呢？就是 x 平方，这个整体的 e 次方再分之一个一， 对不对？你就对分母进行了降次，对不对？降次之后做到这直接分布积分这个题就做完了。分布积分之后是不是就应该是二分之一倍？这俩相乘，那分子就是 x， 分 母就是 x 平方加 a 平方，然后看清楚了哟，本来我这个地方应该要减去这俩交换位置的积分， 但是我注意到这俩一旦交换位置，被积函数就是 x 平方加 a 平方分之一，那接出来是不是又是这个 a 分 之一？ arc 点的 a 分 之 x， 但是这个地方有个二分之一倍，对吧？所以是不是相当于接下来要写的话，那就是减去二分之一倍， a 分 之一乘以这个 arc 点的， 对不对？那前面本来就有一个一倍，那你再减二分之一倍，一倍减二分之一倍，是不是就是二分之一倍？所以我后面就不再减了，我直接把这个地方改成二分之一倍，没毛病吧，对吧？甚至我们注意到这个地方也有二分之一，这个地方有二分之一，我们把二分之一提出去， 对不对？那前面的系数就是二倍的 a 平方，然后再分之一个一，那里面就是 a 分 之一 r 向量的，再加上 x 平方加 a 平方分之 x， 最后扩回来再加一个任意常数 c， 对 不对？好，做到这了啊，这个不定积分听懂了的发个一。好吧，这个不定积分，听懂了发个一。 那我们要算的这个反常积分跟这个不定积分啊有非常深的关系，我们单独拿一张草稿纸出来啊，你看我们要算的这个积分 i 就等于四分之九倍的，什么呢？你看呢？我们的分子是 x 平方加一，而分母这个地方是 x 平方加三再平方，那我们是不是可以把分子的加一改成什么？改成加三再减二吗？ 对吧？三减二是不是就是一？那从减号处拆开，那减号前面分子分母约掉一个 x 平方加三，那减号前面的倍积函数 就是三，加 x 平方再分之一，那积分之后就是你把三看成根号三的平方，对吧？那就是根号三分之一。 arc 摊减 t， 根号三分之 x 带上下限，根号三到正无穷，这就是减号前面的积分。而减号后面的积分呢？分子是不是有一个二，可以把它提出去，减去二倍？ 看我们把分子的二倍提出来之后，接下来是不是只需要在我们 j 这个不定积分的最后的结果里面，令小 a 等于根号三，然后带上下线的时候，是不是 x 的 下限是积分区间的下限？根号三上限就是 x 趋向于正无穷，是不就 ok 了，对吧？所以把 a 等于根号三带进来， a 平方就是三，那二三得六，那是不是这个地方有一个六分之一倍？ 然后再来是不是 a 分 之一就是根号三分之一，然后 ark 贪间特根号三分之 x， 再加上一个 分子就是 x， 分 母式 x 平方加一个 a 平方，是不就是三？好，扩回来之后带上下线，下线是 x 等于根号三，上线是 x， 趋向于正无穷， 对吧？就没了嘛，然后再扩回来。好，这个时候我们把上下线带一下外面的四分之九倍，照抄上线带去阿根特利的正无穷是不就是二分之派？所以就应该是根号三乘以上线带去二分之派，下线根号三带去阿根特利的一是不就是四分之派呀？ 然后再减去这二乘以六分之一，那不就是三分之一倍吗？对吧？好，剩下的这个地方小框哈，上限带进去是不是又是一个根号三分之一倍，然后阿根廷的正无穷又是二分之二，然后减去下线根号三带进去， 是不是阿根它的一是不是又是四分之派啊？没毛病吧，对吧？这是根号三分之一倍，二分之派减四分之派，然后再来加上这一个式子，上限带去一次函数，除以二次函数，然后 x 又趋向无穷大，极限就一定是零嘛，然后减去下限，根号三带去分子就是根号三分母 三，根号三的平方就是三三，再加一个三，是不是就应该等于六，然后再扩回来？好，兄弟们，做到这，接下来就是小学数学的合并同类项了啊，我再做我就觉得没什么意思了，对吧？ 你自己下去化简一下，最后化简出来的结果就等于八分之根号三再乘一个拍加一，好吧，相当于这个二乘七分。算到最后啊，算到最后它的结果就等于八分之根号三再乘一个拍加一。好吧，所以说我最开始就说了，这个题无论是这个计算量还是复杂程度，其实它都应该放在强化片的， 放在这个基础篇。说实话，他前面的题也比他简单的多，后面的题也比他简单的多，所以第十三题做到一半的时候，连我都怀疑自己做错了，对吧？因为我会觉得基础篇的题应该不会这么复杂，但是后来一看答案还真等于这么多啊，好吧，好兄弟们，十三题就讲完了啊，听懂了的觉得有收获的可以发个一和一料，那我们再讲下一个题，好吧， 接下来第十四题，他考的是轮换对称性，并且凯哥在这个地方提一个很高的观点啊，就是二重积分里面的轮换对称性，他在计算的时候，其实本质上和定积分里面的区间在线公式是一模一样的，懂吗？一模一样的，不信的话我们来试一下。 他说这个积分区域 d 是 x 平方加 y 平方，夹在一到四之间，说白了就是一个半径为一的圆的外部以及半径为二的圆的内部，然后呢，叫我们计算这样一个二重积分，那我们大概画一下图， 是不是其实就是这样一个四分之一圆环，半径是一到二这个区间，那如果你发现这一个圆环呐，它关于这个 y 等于 x 是 轴对称的，那我们就可以用轮换对称性， 那为什么要用呢？听清楚哦，我们这个地方，我们是先通过这个积分区域关于 y 等于 x 对 称，发现它能用轮换对称，那为什么要用呢？那是因为我们这个题的背极函数有一个特点， 就是分母既有 x 也有 y， 而分子的扩散前面只有 x， 它出现了一种失衡的状态，你看这是我们原来的积分嘛？而轮换对称性是什么意思？是不是当你发现积分区域 d 关于 y 等于 x 对 称的时候，你把被极函数的 x 和 y 对 调，得到的新的被极函数的积分 跟原来的积分是一样的，对不对？相当于积分区域还是 d？ 被积函数 x 换成 y， y 换成 x 就 变成了 y， 除以 y 加 x， 括号三页里面也是根号下 y 平方加 x 平方，然后 d x d y， 对 吧？那你要知道，两个东西既然相等的话，那么他们加起来除以二是不是也跟原来相等？这真的跟区间在线没什么区别。所以你看，加起来之后除以个二，那就是相当于前面乘个二分之一。而两个被积函数相加的时候，你就发现分母是一样的，可以提公因子提出来， 扩增也是一样的，也可以提出来，提完了之后刚好就一个只剩 x， 一个只剩 y， 对 吧？那分子的 x 加 y 刚好真的就和分母的 x 加 y 抵消，背极函数就只剩扩增。根号下 x 平发加 y 平发 d x d y 对不对？所以积分区域跟圆有关，背极函数跟 x 平方加 y 平方相关，那是不是直接锁定极坐标，那这个积分就等于二分之一倍。 theta 的 范围 d 上限零到二分之派吗？对吧？ d theta r 的 范围从原点出发，引射线穿入就是 r 的 下限，那就是一，穿出就是 r 的 上限，那就是二，对吧？背极函数 cosine 里面 根号下 x 平方交于平方，那不就是 r 吗？但是直角坐标转换成极坐标，是不是要再乘一个 r， 然后 d r 对 不对？那这个地方零到二分之派 d c 它就是二分之派，再乘以前面的二分之一，那就是四分之派，而剩下的这一个定积分呢？我们直接分布积分，把 cosine 凑到 d 后面去，变成 d 三影，对吧？那就是一到二这个区间， r 乘以一个 d 三影 r 分 布积分，就是这俩相乘以一个 d 三影二减去下线，一旦去就是一倍 sin 一 对不对？然后再减去这俩交换位置的积分，交换位置之后就是 sin 积分。 sin 积分是不是负的 cosine 刚好和这这个积分符号前面的这个减号底下就变成正的 cosine 嘛？那 cosine 带上下线，那就变成了 cosine 二减去 cosine 一 就结束了。这个题最后的答案就这么长啊，懂吗？ 好，听到这之后，重点来了哟，虽然这个题本身讲完了，但是接下来的才是重点。就是有同学可能会说，凯哥，那我这个二重积分学的一般，我没有想到什么轮换对称性，我一来就直接集坐标行不行呢？行， 你一来就集坐标，那你待会在算定积分的时候，就必须要用区间在线公式，而且那个时候你会更加深刻的领悟到，定积分的区间在线就是二重积分的轮换对称，也就说我们这个地方直接另解。 你看，我们一来第一步就是直接用集坐标 set 的 范围零到二分之 pi r 的 范围一到二，被积函数 x 除以 x 加 y， 那 是不是就是 r cosine 除以一个 r， cosine 加 r cosine， 那 是不是分子分母 r 顶销，那就变成了 cosine， 它除以 cosine， 它加 cos theta， 再乘以什么？这个 cos theta 里面是不是就是根号下 r 平方，那就是 r， 然后再乘以一个 r， d r 对 不对？然后呢？我们对 r 积分的时候，是不是 theta 看成常数，那整个 cos theta 除以 sin 加 cos theta， 是 不是可以凑？ 是不是可以拿到这个内乘积分符号外面去？相当于把它变成两个定积分乘起来，第一个定积分就是零到二分之派，然后呢？ cos theta 除以一个 cos theta 加 theta， 对吧？然后 dc 它，然后第二个定积分就是一到二 cosine r 乘以一个 r， 然后 d r， 我 们发现我们第一个解法是不是也出现了这个 r 乘以 cosine， 对 吧？然后再一到二积分，对不对？那第一个解法前面这个位置，它这个积分前面乘的这个系数是不是二分之一倍的二分之派？是不是就是四分之派， 对吧？而这一个积分，这个关于 c， 它的定积分，我告诉你，它就等于四分之派，为什么呢？因为这一个积分如果你使用区间在线， 就是把背极函数的 sine 改成上限加下限减 sine， 是 不是跟原来的积分是相等的？那相当于把这个 sine 改成二分之八减 sine 之后，那根据诱导公式， cosine 二分之八减 sine 就 变成 sine sine sine 二分之八减 sine， sine 就 变成 cosine sine， 那 相当于就是这一个积分和什么积分相等呢？就是把这个背极函数的 sine 跟 cosine 对 调之后， 得到了新的积分，跟原来的积分是相等，那把这两个积分加起来除以一个二，那这个时候你就发现加号前面的积分背积函数是三 y 加 cosine 分 之 cosine 加号后面的积分背积函数是三 y 加 cosine 分 之三 y， 那 这俩一加刚好互补，背积函数就变成一了， 而且前面要乘个二分之一倍嘛，对吧？相当于这一个积分就等于二分之一倍嘛，对吧？相当于这一个积分就等于二分之一倍嘛，对吧？相当于这一个积分就等于二分之一倍。然后 d c 它 对不对？这一个式子啊？我正在画横线的这个式子，就是上面这个定积分使用了区间在线之后的结果，然后再乘以后面的一到二这个区间， r cosine r， d r， 对 吧？那前面我正在圈的这个式子，是不是刚好又是二分之一乘以二分之派，那是不是又是四分之派？是不是又绕回去了？他和我们第一个解法，用轮换对称之后得到的这个四分之派乘以这个积分是不是一模一样啊， 对不对？那接下来我就不再多说了吗？最后的结果一定是等于四分之派乘以这一串，对不对？所以我们就通过这一个题啊，给大家反映了一个深刻的事实， 就是二重积分里面的轮换对称和定积分里面的区间再现，他在计算过程上真的是几乎没什么区别，甚至他们的几何意义都很像。那这个地方我就不再多说了，因为我在全程班讲的非常非常细啊，这个地方我只是 提一下，好吧，只是提一下这两个东西是相关的， ok， 那 我们就看到下一个题啊，好，接下来第十五题主要考了一个奇偶对称心啊，你看他说区域 d 是 以 y 等于 x 的 绝对值，以及 y 等于一围成了有界，区域 y 等于 x 绝对值，就是一个 v 字形的图像嘛。然后 y 等于一就是一条水平线，是不是围成了一个等腰直角三角形？那这个阴影部分明显是左右对称的，那背极函数如果是关于 x 的 奇函数的话，那那一部分积分就等于零。 现在看一下被积函数是不是中间这一项除以这个分母的话，是不是刚好就是关于 x 的 奇函数？因为分母是关于 x 的 偶函数嘛，但是分子这个地方还有一个单独的 x 的 一次方， 对不对？所以中间这一项积分是不是就应该等于零了？所以通过奇偶性，尤其是奇函数的性质，那就变成了区域低上，对吧？分子 x 平方减 y 平方，分母 x 平方加 y 平方的积分， 对吧？而你看到 x 平方加 y 平方，你是不是可以用极坐标？但是如果你做到这，你还想用一下偶函数的性质，那也可以。这个时候我们的这个背接函数是关于 x 的 偶函数嘛？你把 x 换成负 x 表达是不变，因为都有平方， 对不对？而积分区域刚好又是关于 y 轴左右对称的，那所以整个阴影部分的积分就应该等于二倍的第一象限的这个积分，对不对？所以就是二倍的区域第一上第一就是这个网瞄黑了的这个 三角形吗？好，做到这儿之后，你再用极坐标，那么 c 它的范围就等于多少呢？是不是就是从这个角平分线一直逆时针旋转，旋转到 y 轴正半轴，说白了就是四分之 pi 到二分之 pi， 然后 d c 它而 r 的 范围就是从极点出发引射线， 对吧？你看穿入永远就是在这个阴影部分里面，对吧？它本身就在这个阴影部分里面了，那所以 r 的 下线就是零，而穿出呢？是不是永远都是从这个水平线穿出去的？而这个水平线它的直角坐标 c 下的方程是 y 等于一，但是 y 呢，又等于 r sin 它，所以在极坐标下这个 y 等于一，那 就等价于 r 等于什么呢？是不是把右边的 sin 除到左边？那 r 就 等于 sin 分 之一嘛？好，背积函数分母 x 平方加 y 平方就是 r 平方，而分子无论是 x 平方还是 y 平方，是不是都含有 r 平方？那把 r 平方当成公式提出来，那剩下的就是 cosine 平方减一个 cosine 平方嘛， 对不对？然后不要忘了要急，坐标要再乘一个 r， 然后 d r 那 分子分母 r 平方先约掉，对 r 积分的时候，这个 c 它看成常数提到外面去对不对？那么 r 积分是二分之一，被 r 平方，二分之一刚好和这个二又抵消，所以化简之后还挺简单的，就是四分之派到二分之派，然后呢，这个分子 就是提出去的 cosine 平方减去 cosine 平方，对不对？然后我们刚才说了，这个 r 积分是二分之一， r 平方只是二分之一和二抵消嘛。而 r 平方里带上下线，下线带去是零，但是上线带去是不是会出现一个乘以 cosine 平方分之一？ 那是不是相当于在整个背接函数上除了一个 cosine 平方，然后 d c 它没毛病吧？那从减号处拆开减号前面 cosine 平方除以 cosine 平方，是不就是 cosine 区间不变 square 减的平方，再减去 sine 平方，除 sine 平方，那就是一，然后 d theta 而 square 减的平方的积分大家还会不会算呢？你要知道，一加 square 的 平方是等于 sine 的 平方，那一加 square 减的平方是不应该等于 square sine 的 平方， 对不对？那反过来，那 square 减的平方是不应该等于 square sine 的 平方再减一个一，而后面本来就一个减一，那是不是就减二了，对不对？所以就等于四分之派到二分之派 corsec 的 平方 theta 是 不是要减二再积分？那从减号处拆开减号，前面就是这一项的积分，然后再减去四分之 pi 到二分之 pi， 是 不是二？ d theta， 对 吧？而你要知道，这个贪加的求导是正的 second 平方， cos 加的求导是负的 cosine 的 平方，所以我们这个地方 cosine 的 平方积分应该是负的 cot 减的 sine， 对， 别忘了加符号哦。然后上下线四分之派到二分之派，然后减去是不是二倍？上线减下线，上线减下线二分之派，减四分之派就就是四分之派，再乘以个二，那是不是就是 二分之派，对吧？好，前面这个式子你把上限带进去，一定要记住， cot 减的是 cot， 三引除以三引，所以上限二分之派带进去之后， cot 二分之派分子就直接等于零了， 所以 cosine 的 二分之派就等于零，所以是负的零。减去 cosine 的 四分之派，那是不是就等于一嘛，对吧？因为 cosine 的是 cosine 除以三影，那不管是 cosine 还是三影在四分之派数都是二分之二，所以两个二分之二相除是不是就是一， 对吧？再减去二分之派，那这负负得正，所以就等于正一减去一个二分之派，相当于这个题最后的答案啊。十五题，这个二乘七分，最后的答案就等于一减去二分之派。好吧，听懂了发个一啊，兄弟们，听懂了发个一。 好，接下来第十六题，又是一个极坐标的题啊。背极函数也有 x 平方加 y 平方，然后积分区域也有，那锁定了极坐标嘛？那我们先画一下图， x 平方加 y 平方要等于 y 的 话，那把右边的 y 减到左边，再对 y 配方是不是就是 x 平方加 y 减二分之一，这个整体的平方， 对吧？但是你把左边这个括号打开，是不是左边有常数四分之一，那是不是左边有常数，右边也应该有常数，那右边加一个四分之一吗？而四分之一是不是可以看成二分之一的平方？所以这是一个什么样的圆？ 是不是一个圆心在零二分之一，半径也是二分之一的一个圆？那是不就是我们图里面这个阴影部分嘛？那这个圆心的横坐标就是零嘛，这种坐标就是二分之一，那我们直接使用极坐标，哦，对吧？这个 set 的 范围是不是就是 从 x 轴正半轴开始逆时针旋转，在刚开始旋转的时候就进入到这个阴影部分了，对吧？一直要转到什么呢？掉个头对吧？转到一百八十度的时候，他再转的话，才会离开这个阴影部分，所以 set 的 范围就是零到 pi 嘛， 对吧？而 r 的 范围呢，就是从极点出发往外引射线，那你会发现这个起点本身就在这个阴影部分里面，所以 r 的 下限就是零，而它穿出呢？是不是不管怎么穿，它的穿出永远都是从圆周穿出的，而这个圆周的直角坐标系下的方程是 x 平方加 y 平方等于 y， 那它在极坐标系下呢？那就是左边 x 平方，交平方就是 r 平方，而 y 就是 r sin， 对 不对？左边被把 r 约掉，那就是 r 等于 sin theta， 这就是这个原极坐标系下的形式，对不对？所以积分上限就是 r 等于 sign set， 对 吧？ set 的 范围零到 pi， r 的 范围零到 sign set 背极函数就是根号下 e 减去 x 平发，加一平发就是 r 平发，别忘了再乘一个 r d r， 接下来这个积分超简单的，零到 pi， 你 照抄 r 凑到 d 后面去，是不是变成二分之一倍 d r 平发， 但是根号里面的 r 平方前面有个负号，所以我就在 d 后面也补一个负一倍前面是不是要再乘一个负一，这样负负才得正？ 而我们根号里面负 r 平方前面还加了一个一，那我就在 d 后面也加一个一，然后把一减 r 平方看成一个整体，而这个根号是不是就是二分之一次方？我刚才说过，哎，刚才已 经是好久之前了啊，已经是好几个题之前了。这个二分之一次方积分是不应该等于三分之二倍，这个整体的二分之三次方，对吧？带上下线，下线是 r 等于零，上线是 r 等于 sin x 它，然后再 d c 它嘛，对不对？好，这个地方二分之一和这儿的二抵消，然后系数就是负三分之一倍，哦，对吧？负三分之一倍，然后零到拍这个区间。好，你看剩下的这个，我正在划线的这个市镇是不是要带上下线了？ 上下 r 等于三引带进去，一减三引平方就是 cosine 平方，这个地方特别容易错啊， cosine 平方的二分之三次方，是不是相当于把 cosine 平方先开一个方，再三次方 cosine 平方再开方，讲道理应该是 cosine 的 绝对值，对吧？而我们再来看一下 sine 的 范围呢？是零到 pi， 在零到派里面， cosine 还真的是有正有负，它在零到二分之派是正的，二分之派到派是负的，对不对？所以这个地方一减三平方得到的 cosine 平方，它开方之后得到的那个 cosine 的 绝对值，绝对值符号去不掉，对不对？所以这个地方减号前面就是 cosine 它绝对值的三次方， 没问题吧？再减一个下限 r 等于零带进去，一减零就是一，一的二分之三次方，是不还是一，然后扩回来递塞它？这个地方特别特别重要，好吧，你要知道，如果没有绝对值的话，看清楚哦。如果没有绝对值的话， cosine 三次方是不是也是有正有负的， 对不对？那么我们把 cosine 的 图像画出来，那 cosine 的 三次方大概也是这个图像嘛，对不对？那么它在零到拍上你做积分的话，是不是零到二分之拍的正面积和二分之拍到拍的负面积，是不是刚好是这个大小相等，但是一正一负就抵消了？ 但是你这个地方加的绝对值，那是不是相当于从图像上来说，你就把下面的翻到上面去了，对吧？那左边是不是也是正面积，右边也是正面积， 对不对？那他在零到派上的积分是应该等于二倍零到二分之派的积分才对啊，能听懂我的意思吧，对不对？所以如果听清楚哦，如果没有绝对值，那这个 cosine 的 三次方在零到派积分就等于零，那如果有绝对值呢？那就应该等于负的三分之二倍， 对吧？本来是负三分之一倍，但是呢，左边零到二分之派的积分应该是相等的，而不是互为相反数，所以三分之一倍就变成三分之二倍。然后呢，零到二分之派这个区间， 那在零到二分之派这个区间里面， cosine 是 一个横正的，所以绝对值自动就去掉，就是 cosine 三次方再减一个，一括起来再 d c 它嘛，对不对？那这个时候负三分之二被照抄减号，前面 cosine 三次方再零到二分之派积分，是不就是点火公式或者瓦利士公式？那就是三分之二乘一个一， 再减去一，再零到二分之派积分，那就是二分之派嘛，对不对？那负三分之二乘以三分之二，那就是负的九分之四，然后负三分之二乘以负的二分之派，分子分母二二约掉，然后负负得正，那就是三分之派。所以这个十六题最后的答案就是三分之派减去一个九分之四。 再来看到第十七题啊，他的积分区域是 y 夹在 x 立方到一之间， x 在 负一到一之间，对吧？你看 x 负一到一，我们先标出来，那 y 等于 x 立方，是一个中心对称的函数，它是一个基函数，而 y 等于一呢？假如高度就是这样的吧， 对吧？那我们的积分区域再来看一下哦， x 要在负一和一之间对不对？ y 要在这个立方，这个曲线和一之间，那相当于我们的积分区域，就是这样一个区域啊，就是长成这个样子啊，歪歪扭扭扭的，你看 能能看懂吗？就是我们的积分区域是这一块，对不对？然后我们要计算一个非常抽象的积分，这个背集函数里面居然还有一个未知的函数， f x。 说实话，兄弟们，这个题你让凯哥来做的话，如果这是一个填空题，选择题，我直接给你拆零， 为什么呢？因为题干都没有告诉你 f x 的 表达式，所以它怎么可能算出来是一个具体的值啊，对吧？那就说明无论 f x 取多少，它的值都不变，那我就直接取 f x 等于零，对吧？那 f 负 x 也是零，那零加零就是零，那背接函数就是零，那积分就是零， 所以我做选择填空题真的非常非常的快。好吧，那如果这是一个大题，我们应该怎么做呢？很简单，你就要猜测这个题应该跟奇偶性相关，为什么呢？因为我们这出现了 f x， 而后面马上出现了 f 负 x， 那 这两个同时出现，你自然会想到奇偶性。所以呢，我们就检验一下整个这个中括号里面， 它是不是关于 x 的 一元函数，那我们就把 g x 就 另成这个中括号，看它有没有奇偶性。就是 x 加一乘以 f x， 再加一个 x 减一乘以 f 负 x， 那 我们把 x 变成负 x， 得到的 g 负 x 是 不是应该是负 x 加一，然后 f 负 x， 然后你看这这个地方本来应该是加上负 x 减一，但是两个地方都有符号，把符号提出来，那就是减去 x 加一， 然后 f 里面本来是负 x， 你 把 x 换成负 x 之后，反而 f 里面就变成正 x 了，对不对？然后我们对比一下这两排的式子，对比一下七 x 和 g 负 x， 我 们发现诶， g x 里面有 x 加一 f x， 然后 g 负 x 里面也有 x 加一 f x， 但是前面多了一个符号，对吧？然后再来 g x 后面有一个 x 减一 f 负 x， 而 g 负 x 里面是不是你把这个式子里面提一个负号出来，那是不是变成负的 x 减一倍的 f 负 x， 那 就说明，果然这个 g 负 x 真的 就等于上面第一排的相反数，也就是负的 g x， 那 就说明这个 g x 是 一个什么呢？是一个奇函数， 对吧？它关于 x 是 一个奇函数，而后面乘的这个乖三引 y 呢？是不是也是关于 y 的 一个奇函数？ 也就是说整个这个被积函数虽然是一个二元函数，但是它是一个关于 x 的 积函数，乘以一个关于 y 的 积函数。所以你是不是忍不住想用奇偶性？但是要想在二重积分里面用奇偶性，是不是除了看被积函数的奇偶性之外，还要看积分区域是不是左右对称，或者是不是上下对称， 对吧？如果左右对称，背极函数关于 x 是 极函数，积分就等于零。如果是上下对称，背极函数关于 y 是 极函数，积分就等于零。而你现在这一个阴影部分，是不是既不左右对称，也不上下对称，那就很尴尬。那这个时候一定要注意做辅助线，就是我们初中数学学平面几何的时候老是添辅助线， 对吧？我们就这样，就是我们把第一项线里面 y 等于 x 立方这个图像镜像翻折到第二项线去，相对于我第二项线，用这个蓝色的笔啊画的这一条线就是我人为添加的一个辅助线， 这一个蓝色的线就把整个积分区域分割成了两部分，第一部分就是这一个阴影部分，假设他用第一表示， 对吧？然后呢第二个部分就是什么呢？就是我下面这个黑色的印部分，假如用第二表示，那这个时候我们发现，虽然整个大的积分区域既不上下对称，也不左右对称，但是我一旦添了一个辅助线之后，那么蓝色的这个积分区域是不是就左右对称了？而这个 左边这个黑色的这个积分区域是不是就上下对称了？所以我们在算整个积分的时候，我们就把积分区域 d， 你 看我们把积分区域 d 拆成区域 d 一 上的积分，再加上区域 d 二上的积分。 当我们计算 d 一 上的积分的时候，我们就注意到 d 一 是左右对称的，所以我就只需要看这个背记函数是不关于 x 的 奇函数就行了。果然背记函数是 g， x 乘以一个三 y， 对吧？ g x 是 不关于 x 是 奇函数，那这个积分是不是就应该等于零？再来我们计算第二这个区域的积分的时候，是不是就是这个黑色的硬部分，它是不是上下对称？那被积函数就看关于 y 是 不是奇函数，那 被积函数三 y 确实关于 y 是 奇函数啊，对不对？所以积分又等于零，所以这一个积分就应该等于零加零，是不是就是零啊？ 这就是第十七题的最后答案啊，你看，凯哥之前说过，直接猜答案是不要猜零啊，因为这个题没告诉你 f x 表达式，但是要能算的话，除非这个结果跟 f x 没关。既然没关，我就假设一个特殊情况， f x 等于零，那积分计算就是零。 那如果是大题的话，那我就分割积分区域，分别在不同的区域上找到对称性，然后再用基友性，是不是也就是零加零等于零，能听懂吧？好，接下来第十八题真的太简单了啊，所以并不是说题目越靠后就越难啊，这个十八题比前面的很多题都简单 看，他叫我们计算一个累计积分， y 的 范围就是零到一 x 的 范围，稍微复杂一点。那我们画一下图吗？你看下线 x 等于 y， 说白了就是一三象限的角平分线吗？ 然后上线 x 等于这个根号，是不是看着不太舒服？那你两边平方去掉根号，左边就是 x 平方，然后右边就是二 y 减去 y 平方，那他明显就是一个圆吗？那如果把右边的二 y 减去 y 平方，是不是应该等于多少？是不是应该等于一？ 这是一个圆心在零一这个点，半径为一的一个圆，所以你看这个地方是零零，然后呢，圆心在零一，刚好半径又是一，所以是不是这样的一个圆呢？ 对不对？好，我们来重新看一下积分区域， y 的 范围，零到一 y 等于零，就是 x o y 等于就是这条线，所以积分区域在这两个水平线之间，然后呢， x 的 范围呢？ x 等于 y 是 这一条线， x 等于这个根号是右半圆，那说白了哦，这个图虽然画的很大，但是咱们的积分区域很小，是右下角的这一个阴影部分， 对吧？那既然是圆的一部分，背极函数又出现了平方和，那我们是不是可以用极坐标？那 c 它的范围是不是就是 c， 它等于零，一直到到到到，对吧？转到多少呢？转到这个角平分线，那是不是其实 c 它范围就是零到四分之派， 而 r 的 范围呢？从极点出发，往阴影部分引射线穿入就是零， r 等于零，对吧？本身这个极点就在这个阴影部分里面，而穿出呢，是 x 平方加平方等于二 y， 那你把 x 等于 r cosine， y 等于 r sine 带进去，左边就是 r 平方，右边就是二 r sine， 那 你把 r 约掉之后，左边还剩一个 r， 右边就剩一个二倍 sine， 所以 这一个圆在极质极坐标系下的方程就是 r 等于二倍 sine， 所以 我们的上限就是二倍 sign 它，对吧？被解函数超简单， x 平方加一平方就是 r 平方，再开发式就是 r， 然后根号里面是四减 r 平方，然后别忘了极坐标要再乘一个 r， 之后再 d r 就是 因为乘了这个 r， 那 直接分子分母把 r 约掉， 那背接函数就是根号下四减 r 平方，再分之一，你把这个四看成二的平方，那直接套了个反正弦的那个公式，相当于整个这个五二的积分呐，对吧？对， r 积分积出来是不是就应该是 r 集合二分之 r， 所以 外层积分就是零到四分之 pi， 内层就是 ark sign 二分之多少呢？本来应该是 r 小 r， 对 吧？然后带上下线零到二倍 sign 塞它下线零带进去， r sign 零就是零，就不用管了。上限带进去呢？这个地方本来是 r 了 r 把上线二塞它带进去，那二倍哦，二倍 sign 塞它带进去，那二和二抵消，对吧？而在零到四分之 派这一段上， arg sin 和 sin 是 互为反函数的，是不是又抵消？那被加函数就只有一个 c 叉了，那 d c 叉那不就顺分了吗？ c 叉积分是二分之一， c 叉平方再上下线零到四分之派，下线零带去是零，上限四分之派带去，那就是十六分之派平方。再乘一个二分之一，那就是三十二分之一倍派平方。这个第十八题最后的结果就是，三十二分之一倍的派平方，没问题吧？ 然后这个第十九题最后的结果就是，三十二分之一倍的派平方，没问题吧？然后这个第十九题啊，我给学数一数三的同学说一下 这个十九题，这个二重积分，它其实就很像我们这个概率密度函数，你看，就是它让我们计算的是 f x y 这个二元函数的一个二重积分嘛。 然后呢？它的积分区域 d 看清楚了哦，是一个无界区域哦。 x 平方加 y 平方，不是小于等于二 x， 而是大于等于二 x， 它相当于是在一个圆的外部，对吧？这个圆是不是？你把这个二 x 挪到左边，那就是 x 减一的平方加 y 平方，要等于一， 对不对？那就相当于是大于等于一嘛。所以是一个圆心在一零，对吧？圆心在一零半径为一的一个圆的外部，而不是内部， 相当于这个圆外面，这个无穷大无界的区域是不是就是它的积分区域？但是我们注意到这个背积函数 f、 x、 y， 它在很多地方都是等于零的，只在一块上不等于零，那就是 x 范围一到二， y 的 范围，零到 x 的 时候，这个背积函数是 y， 对 吧？你看 x 等于一到二，那就是这一个竖线到这一个竖线之间， 然后 y 的 范围零到 x， 那 y 等于零，就是 x 轴嘛，对吧？然后呢？ y 等于 x， 就是 角平分线第一向下的角平分线，对不对？所以我们再来看一下这个范围哦， x 在 一到二， y 的 范围在零到 x， 那 说白了就是在这个直角梯形里面来，跟着我的笔尖来看， 是不是就是在这个直角梯形里面，对不对？我们这个被积函数才等于 y， 而在其余部分都是零，但是对于我们的积分而言，是不是你只在这个圆的外部才能积分， 对吧？你的积分区域是圆的外部，而不是内部，那现在我们是不是同时要考虑这个背记函数以及积分区域，对不对？所以你既要在这个直角梯形里面，又要在这个圆的外面，那不就是这一块阴影部分吗？ 那么就是这一块，我描黑的这个阴影部分，为什么只有这一块呢？很简单，跟着我的笔尖来看啊，假如在这一个位置，跟着我的笔尖来看，假如在这一个位置，他在积分区域里面，因为他在这个圆的外部，他在积分区域里面，但是呢，他不在这个直角梯形里面，导致背极函数等于零，积分就等于零， 那么同样道理，在这个位置，这个位置是不是都是在积分区域里面？但是背极函数是零，那比如说我再除一个点，假如这个点在这， 或者这个点在这，在这，是它根本就不在积分区域里面，因为积分区域是圆的外部，对不对？所以你既要考虑在积分区域里，又要考虑背极函数是一个正的，那就只有这一个阴影部分，对吧？真的很像那个概率统计里面密度函数， 对不对？好，那么我们这个积分如果用极坐标的话， set 它的范围呢？来看清楚了哟， x 轴正半轴逆时针旋转，是不是转入这个阴影部分的时候，就是 set 的 下限 刚好这个地方，你看 x 等于二，就是这个圆的这个切线，所以这个正半轴刚要开始旋转的时候，它就进入到这个阴影部分了，所以 set 的 范围下线是零，上限就是这个角平分线嘛，就是四分之派，这是 set 的 范围。 而 r 的 范围呢？从极点出发往外引射线，你不管怎么射穿入的时候都是从这个圆上穿入的，而这个圆的方程是 x 平方加 y 平方等于二 x， 那极坐标系下 x 平方交平方就是 r 平方，右边是二 r cosine sine， 它把 r 约掉，那积分下限就是 r 等于多少？ r 等于二倍 cosine sine， 它哟，对不对？如果等号右边是二 y 的 话，那就是二倍 cosine， 如果右边是二 x， 那 就是二倍 cosine， 那 积分上限是不是从这个竖线穿出的？ 那么你这个 r， 这个引的这个射线，是不是永远从这个 x 等于二，所以解的 r 是 等于 cosine 分 之二的， 对不对？这就是我们的积分区间嘛。 set 的 范围零到四分之二， r 的 范围二倍 cosine 到二除 cosine 之间，对不对？好，背接函数这个时候本来应该是 y， 但是你用了极坐标，那就应该是 r sine sine sine 它，而且还要再乘一个 r， 再 d r， 而且别忘了对 r 积分的时候 set 看成长数，所以把这儿的 set 它挪到外面去，对不对？那就是零到四分之派这个区间 set 它提出来，然后 r 平方积分是三分之一 r 立方，然后带上下线，上线立方一下之后就是八除以 cosine 立方， 然后下限立方一下，就是八倍的 cosine 立方，然后再 d c 它，对吧？而我们注意到这个括号里面全都是跟 cosine 相关的，那刚好外面还有一个 sin， 那 把 sin 凑到 d 后面去，不就变成负的 d cosine 了吗？所以提一个符号出来，这有个三分之一倍，然后这个小括号里面有八倍八倍，所以就直接提一个负的三分之八倍，对吧？然后呢， 把这个三引凑到 d 后面去之后，记住哦， d 后面就变成 cosine 了。那我们干脆把处处都出现的 cosine 看成一个整体，比如说我们在这个等号上写一下，我们令 cosine 它等于 t 嘛， 对不对？那这个 c， 它在零到四分之派的时候，这个 t 的 范围就是 cosine 零，也就是一到 cosine 四分之派，就是二分之根号二，那我可以写成根号二分之一吗？ 对不对？好背接函数看清楚了呦，这个三引已经没了，他被凑到 d 后面去之后，并且把 cos 换成 t， 所以 这个地方就应该是 d， t 背接函数这个地方三分之一也提出去了，八也提出去了，那不就是与这个 t 的 三次方分之一再减去一个 t 的 三次方吗？ 对吧？这就变成一个逆函数的积分，是不是非常的简单？好，接下来这个积分我觉得太简单了，就不用算了吧，对吧？ t 立方分之一是不是可以看成 t 的 负三次方， 对吧？ t 的 负三次方积分是不是负二分之一倍 t 的 负二次方，然后这个地方三次方积分就是四分之一倍 t 的 四次方，然后再再上下线，我就不再算了啊，最后算出来合并同类项之后的结果就等于六分之五， 因为这个积分多项式的积分太简单了，对吧？有点无聊啊，我们就赶紧讲下一个题，好吧，好，接下来第二十题非常的精彩啊，大家可以打一个五角星，他说假设区域 d 是 x 加 y 等于一画出来，那小于等于一，是不是在这个直线的左下方， 而且 x 大 于的余零， y 大 于的余零，那就是第一项线嘛，说白了就是这个阴影部分。这个等腰直角三角形，他教我们求这么复杂一个二重积分， 凯哥在全程班里面强调了很多遍，就是极坐标的应用范围非常广，并不是非得要看到什么圆呐，或者跟圆相关的才能用极坐标。对于这种三角形的积分区域，其实有的时候也可以试一下极坐标，因为如果你想用直角坐标的话，不管是先对 x 还是先对 y， 都很难，积分对不对？所以我们用极坐标赌一把， 我们 set 它的范围是不是就是整个第一象限？ set 它就是零到二分之派，这个没问题吧？而 r 的 范围呢，就是从原点或者极点出发往外引射线穿入，就是 r 等于零穿出就有意思了。 你 x 加 y 等于一，那不就是 r cosine 加 r cosine 等于一吗？你把 r 提出来，那就是 r 乘以一个 cosine 加 cosine 等于一。记住啊，我接下来 cosine cosine cosine 它，不然的话写的太麻烦了。 所以我们把这个式子里面的 r 解出来， r 是 不是就是 sine 加 cosine 分 之一？所以这就是我们的积分上限嘛。然后 背极函数呢？你看分母根号里面， x 乘 y， 那 就是 r 乘以 cosine， 再乘一个 r 乘以 sine， 那 根号里面就有 r 平方了， r 平方再开发，那不就是 r 吗？那根号里面就只剩一个 sine 乘以 cosine， 而分子呢？是不是 e 的 负的 r cosine 加 r sine 是 不可以提一个 r 出来，那剩下的就是 cosine 加 cosine， 对不对？然后呢，极坐标是不是还要再乘一个 r， 之后再 d r 刚好分子的 r 和分母的 r 就 抵消了？而且你要记住，这儿的 s 和 c 是 sine sine sine sine sine， 那 对 r 积分的时候，这个分母是不是关于 sine 的 函数，它是不可以提到外面去？ 那内层积分是不是相当于就只有这个指数函数积分了？但是这个指数函数它不是 e 的 r 次方，而是在 r 前面还成了个系数，就是负的 sine 加 cosine 倍，对吧？所以我在 d 的 后面啊，这个 r 前面也乘以一个负的 sine 加 cosine， 那 前面是不是要补一个负的 sine 加 cosine 分 之一啊？相当于就是，什么意思呢？就是负一倍， 然后零到二分之派照抄，然后这个根号下 sine 乘 cosine 分 之一，我们也照抄，那是不是还要乘一个 sine 加 cosine 分 之一，对吧？这个地方补了个负号，然后再补一个 sine 加 cosine 分 之一，那这样的话，我们的 d 后面是不是相当于就是负的 sine 加 cosine 这个整体再乘一个 r， 对不对？那是不是就可以把 d 后面的东西和这个 e 的 指数上面的这个东西看成一个整体？比如说看成 u， 那 么 e 的 u 次方 d u 积分是不是就是 e 的 u 次方再带上下线嘛？对吧？那就是 e 的 负的 r 乘以 sine 加 cosine， 然后带上下线，下线是 r 等于零，上线是 r 等于 sin 加 cosine 分 之一，最后再递减它，好，我们把上下限带进去，上限带去 r 等于这个 sin 加 cosine 分 之一，那它是不是刚好和后面的 sin 加 cosine 抵消，那就只剩 e 的 负一次方，减去下限带去，那就是 e 的 零次方，那不就是一吗？然后递减它， 对不对？而 e 的 负一次方是一分之一，一分之一减一，是不是刚好是一个负的？是一个小于零的，而前面刚好有个负数负号，对吧？那就把它变成一减一分之一，然后接下来零到二分之二，这个时候我们就把 s 和 c 这两个字母给它还原成 sine sine 它 cosine sine 它就好看一点，那是不是就是根号下 sine sine 它 乘以 cosine sine 它，对吧？然后分之一个一，再乘以一个一 d sine， 它， 那这一个积分刚好就是我今天中午的每日一题。我已经把这个题讲过了，所以我接下来打一个响指，我们就跳转到今天的每日一题，然后呢，把那个每日一题听完之后，我们再回过头来看这个题，好吧，就是我剧透一下， 就是这一个积分在每日一题里面算过了，他是等于派的，所以最后的结果就等于前面的一减一分之一，再乘一个派就结束了。那至于他为什么等于派，我们现在马上来看啊。 所以说这个题咱们的第一步仍然是想去凑 d 摊减 t， 那 我们是不是需要构造一个十二根平方 x d x， 如何把十二根平方凑到 d 后面去？ 为此呢，我们分子分母同时除以一个 cosine 平方，那分子是不是如愿以偿的就出现了十二根平方 x， 而分母你要除以 cosine 平方的话，那你先在第一个小括号里面除以一个 cosine x 的 一次方，那就变成了贪减的 x， 再加一个一， 然后这个根号要除以 cosine x 的 话，那是不是相当于根号里面除了一个 cosine 平方，对不对？那根号里面不就变成 sine 除以 cosine， 那 不就是 tangent 了吗？ 对吧？这是不是非常完美啊？那么我们把分子的 x 平方凑到 d 后面去，是不是就是 d tangent？ 那 再把所有的 tangent x 看成一个整体，比如说把它看成 t， 那么换元必换线，上线对上线，下线对下线。当 x 在 零到二分之派的时候，我们的贪界的 x 是 在零到正无穷啊，对吧？那背记函数分子就是一分母，就是 t 加一，再乘以一个根号 t d t， 那 这不就是一个送分题了吗？我们直接根号换元令，根号 t 等于 u， 就 可以把根号消掉， t 就 等于 u 平方，那么带进去 u 的 范围也是零到正无穷， t 加一就变成了 u 平方，加一根号 t 就是 u， 而 d t 呢，是不就是 d u 平方，也就是二 u d u 嘛，对不对？我们分子分母把 u 约掉，那把二提出去，那一加 u 平方分之一积分，那就是 ark 贪间的 u 带上下限零到正无穷，带上限进去 ark 贪间的零是不是就是零？所以二乘以二分之派，那就是派，搞定嘛？ 好，接下来第二十一题，普普通通的一个题啊。积分区域是一个圆心在一零半径为一的一个圆，对吧？那我们可以使用极坐标嘛？而且我们注意到这个背极函数不管关于 x 还是关于 y， 都是偶函数，所以我们在用极坐标之前，其实可以先用一下奇偶性。 你这个积分区域是不是关于 x 轴上下至少是对称的，所以我们就只需要算上面这个阴影部分的积分，然后再乘一个二就可以了，对不对？所以我们把这个阴影部分假如称为第一的话，那么 i 这个积分本来是区域 d 上的积分，那是不可以写成二倍区域 d 上的积分。 而在 d 这个区域上，我们 c， 它的范围就是零到二分之派，然后 r 的 范围呢，就是从极点出发往外引射线穿入就是 r 等于零，穿出呢，就是这个上半圆。 那这个圆的方程在直角坐标线里面是什么？是不是 x 平方？你看把这个框打开，是不是应该是减二 x 再加一，那么左两边的一就可以抵消，然后把左边的减二 x 挪到右边，那左边就只剩 x 平方加 y 平方，那右边是不是就是二 x？ 在极坐标系下， x 平方交平方就是 r 平方，然后右边二 x 就是 二倍 r cosine， 它那左两边把 r 约掉，那就变成了 r 小 于等于二倍 cosine， 它对不对？所，所以边界方程的话，就是 r 等于二倍 cosine， 它嘛，所以上限就是二倍 cosine， 对 吧？所以 set 的 范围零到二分之 pi， r 的 范围零到二倍 cosine， 那 背极函数，你看 x 平方和三 y 平方里面都会蕴涵着 r 平方，所以我们把 r 平方提出来，然后剩下的提了公式之后，剩下的就是 cosine 平方 sine 减去三倍 sine 平方 sine， 然后极坐标是不是还要再乘一个 r 再 dr 对 不对？所以就把平方改成三次方，然后 dr 嘛，那对 dr 积分的时候，这个东西是关于 r 来说是常数，它可以提到外面去，那就应该等于二倍的， 你看是不是零到二分之派这个区间？把这个东西提到前面去之后，那就是 cosine 平方减去三倍 cosine 平方，对不对？然后 r 三次方积分就是四分之一 r 四次方带下线零的四次方就是零带上限二倍 cosine 的 四次方，四次方，哦，二得四四乘以十六，十六，再乘以一个 cosine 的 四次方，然后递减它， 所以接下来就很简单了呀。你看四分之十六是不是就是四，再乘以一个 cosine 的 四次方，然后递减它，所以接下来就很简单了呀，你看四分之十六，是不是就是四再乘以一个 cosine 的 四次方，然后递增区间零到二 二分之派，然后你看我们这 cosine 平方 sine， 再乘以这的 cosine 四次方，那不就是 cosine 六次方 sine 了吗？然后减去三倍，本来是 cosine 平方乘 cosine 四次方，但是我把 cosine 平方写成一减 cosine 平方之后，一乘以这的 cosine 四次方，就是 cosine 四次方吗？ 但是你三平方写成一减 cosine 平方之后，你减号后面的 cosine 平方是不是还要乘以这的 cosine 四次方，对吧？那是不是得到 cosine 的 六次方？那系数是多少？是不是这个地方有个负三，再乘以那个减号的负一倍，是不是就是正三倍，对吧？然后再加上本来这个地方的一倍，那是其实就是四倍啊， 对吧？我不知道你能不能看懂啊？四倍扩乘六次方，减去三倍扩乘四次方，那么接下来使用点火公式，从减号处拆开减号前面四倍提出来，那么六次方积分，那是六五四三二一二分之派，对吧？然后减去减号，后面三提出来，那扩乘四次方积分就是 四三二一二分之派，对不对？好，中括号里面是不是四三二一二分之派是共音式，对吧？这个地方出现了一遍，这个地方又出现了一遍，那就可以把它提出来，那就是八倍四三二一二分之派 提出来之后，整个中括号里面还剩什么呢？是不是剩一个四倍的六分之五，那分子分约掉一个二，那其实就是三分之二乘以五，那就是三分之十，再减去，将后面把这个提出来之后，那就只剩一个三减三是不可以看成减去三分之九啊，对不对？那就结束了呗。你看中括号外面 分子的八和分母的二四得八是不是就抵消了？然后这个三分之十减三分之九是不是就三分之一？三分之一和这个地方分子的三又抵消？那抵完了之后，最后就只剩这个地方的二分之派了。也就说这个第二十一题算了半天，算到最后的结果就是二分之派， 能听懂吗？听懂的发个一啊。好吧，听懂发个一，然后二十二题。宇哥的这个参考答案写的太复杂了，凯哥几排就做完了，但是他写了整整半页。我们来读一遍题啊。 他说积分区域 d 是 x 平方加 y， 平方小于等于 x 加 y， 这应该是一个圆的内部嘛。然后让我们算这个二乘积分，我们画一下图， 我们把这个右边的 x 加 y 挪到左边，然后配方，那不就是 x 减二分之一的平方，加上 y 减二分之一的平方。但是把左边的括号打开，是不是会多了两个常数？四分之一加四分之一，那加起来是不是就是二分之一？那右边是不是也要写一个二分之一，而二分之一是不是二分之根号二的平方？ 所以说咱们这个积分区域是一个圆心在二分之一，二分之一半径是二分之根号二的一个圆，而我们根据勾股定律，这个圆心到这个圆点零零，这个点的距离是不是刚好就是二分之根号二， 对不对？所以我们以二分之一二分之一为圆心，然后呢，以这一条线为半径做一个圆，是不是大概就长这个样子？那这就是我们的积分区域吗？然后我们把这个二乘积分从加号处就只有一个 x， 那 我们是不是可以利用行星公式？ 什么意思呢？就是一个平面图形，它的形心横坐标是不是应该是背极函数为 x 的 二重积分，除以背极函数为一的二重积分，而背极函数为一的二重积分，是不是就是这个阴影部分的面积 s d 对不对？所以当我们要计算被积函数为 x 的 二重积分的时候，我们可以把这个公式反过来用，我们可以把右边的分母这个面积乘到左边，那就得到这一个二重积分，是不是应该等于行星横坐标 x 一 八去乘以积分区域 d， 也就是阴影部分的面积，对不对？这是加号前面就这样处理， 而加号后面被积函数只有一个 y 平方，但是呢，我们这个积分区域这个阴影部分明显是关于 y 等于 x 轴对称的，所以我们可以用轮换对称性， 那 y 平方的积分和 x 平方的积分应该是相等的，但是都不好算，那我们就加起来除以一个二，那就应该等于加上二分之一倍区域 d 上 x 平方加 y 平方 d 四个码。所以说我们加号前面利用形形公式加号后面使用轮换对称性，那分别来算一下 加号前面这个阴影部分的形心，那不就是圆心吗？对吧？圆的形心就是圆心吗？那圆心的横坐标那不就是二分之一吗？然后这个圆的面积就是拍 r 平方， r 就是 二分之二， r 平方就是二分之一，这就是加号前面的积分， 而加号后面二分之一提出来，然后呢，这个阴影部分它是一个圆，那我们积分就直接用极坐标就可以了。那怎么确定 set 的 范围呢？很简单，你看我们这个地方做一条切线 对不对？那是不是从这一个切线逆时针旋转，刚开始旋转是不是就进入到这个阴影部分了？因为他是切线吗？ 那这个切线是不是应该是负的四十五度，对不对？也就是负的四分之派，这是我们的旋转的起点，对不对？然后呢，再再来把这个切线反向延伸一下，你会发现这个切线只要调转一个方向，对吧？相当于再转的话，再逆时针旋转，他就即将要远离这个阴影部分了， 所以负四分之派的基数啊，再加一个派就得到四分之三派，对不对？所以这一个阴影部分它对应的 set 的 范围就是负四分之派到四分之三派。而我们的 r 的 范围呢，就是从极点出发往外引射线 穿入就是 r 的 下限，你发现它永远都在这个阴影部分里面，所以 r 的 下限就是零，穿出就是上限，而穿出永远都是从这个圆上穿出的。而这个圆周的直角坐标系下的方程是不是 x 平方加 y 平方等于 x 加 y， 那 么这个直角坐标系要转化成极坐标，是不是要令 x 等于 r cosine， y 等于 r cosine， 那 左边 x 加 y 就是 r， 乘以一个 sine 加 cosine， 那 你把 r 约掉， 那就得到 r 等于 sine 加 cosine， 这就是我们的积分上限， sine sine， sine， sine sine， 而背极函数你看用轮换对称之后， x 平方加一平方就是 r 平方，然后极坐标是不是还要再乘一个 r d r， 所以 就变成 r 三次方， d r 嘛？ r 三次方积分是不是就是四分之一？ r 四次方带上下线，所以四分之一提出来，然后负四分之派到四分之三派照抄，然后呢？ r 四次方带上下线，那不就是 sine 加 cosine 这个整体的四次方，然后呢？ d c 它吗？那做到这之后又怎么做呢？有同学说四次方这个次数也太高了吧，对吧？也很难算，其实不是的，你千万不要把括号打开。凯哥，这个地方神来之笔啊，我直接用我们高中数学学的辅助角公式， 我把 sine， sine， sine 合成一个角度这一个式子，你把它写成根号二倍， sine sine 加四分之 pi， 那 么外面再套一个四次方之后，根号二的四次方就是二的平方，那是不是就有一个四倍， 然后呢？ sine 上面是不是有一个四次方，然后里面是 sine 加四分之 pi， 而 d 后面本来只有一个 sine 它的，但是我可以加一个四分之 pi， 是 不是不会改变积分值？ 刚好兄弟们，我们的积分下限，我们正愁它不是零呢，正愁它是负四分之派呢。那我们这个地方 c 它后面刚好加的就是四分之派，那我们是不可以把 c 它加四分之派看成一个整体，看成 t， 对 不对？那么这个时候 t 的 范围就变成了零到派，对吧？所以这个积分就变成了四分之派，加上八分之一乘以一个四，那就是二分之一积分区间 t 的 范围，零到派被积函数撒以四次方 t d t 对不对？而你要知道，零到派跟 sign 相关的积分本来就等于二倍，零到二分之派的积分，那这个二倍和二分之一抵消，所以加加号前面就是四分之派，加号后面就是零到二分之派，然后 sign 四次方 t d t， 而这个 sign 四次方的积分，根据瓦里士公式或者点火公式，就是四三二一二分之派，对不对？所以加号后面就是十六分之三倍的派。加号前面的四分之一可以看成多少？可以看成十六分之四倍吗？ 所以十六分之四倍加十六分之三倍。那这个题最后的答案就是十六分之七派，好吧，分子是七派。说实话，凯哥这个方法其实是基本上没有什么计算量的， 最精彩的一步就是把 sine 加 cosine 合变成了根号，二倍的 sine 里面是 sine 加四分之派，那这个时候把 sine 加四分之派看成一个整体，那么积分区间就变成了零到派了，对吧？直接就可以点火公式，是不是非常的精彩？听懂了，发个一。好吧，听懂了，发个一。 然后第二十三题啊，也可以打一个重点标记，虽然这个题不难，但是他的思想非常重要，那就是割补法，这是我们初中甚至小学的时候，在面对一些几何图形就经常用的方法。 你看我们的背接函数，看到这个结构就应该想到极坐标嘛。而我们的积分区域呢，是在这一个圆的内部，对吧？它是小于等于符号，然后呢，在这一个圆的外部，那我们画两个圆呢？ 第一个圆是圆心在圆点半径为 a 的 一个圆，那大概啊，就是这样大的一个圆，然后第二个圆，圆心的横坐标是二分之 a， 中坐标是零，那差不多就是这个位置，半径刚好也是二分之 a， 因为四分之 a 平方可以看成二分之 a 这个整体的平方吗？那是不是这样一个小圆？ 所以咱们真实的积分区域是不是这个大圆的内部以及小圆的外部，它交叉的部分？那说白了就是我正在描阴影部分的这一个 月牙形状的区域，对吧？就是这个月牙形状的区域，那你直接算这个区域的二寸积分，不好算。那我们是不是可以把它看成一个大圆，挖去了中间一个空白的小圆，所以我们用割补法， 对不对？我们假设整个大圆我们用第一表示，然后这个空白部分我们用第二表示，那我们要算的积分 i 是 不是就是大圆第一上的积分减去小圆第二上的积分， 对吧？那对于大圆上的积分，那这是一个标准的一个圆嘛？那我们直接用极坐标 c， 它的范围零到二派 r 的 范围呢？是不是应该就是零到半径，半径就是 a 嘛，对吧？倍积函数 根号下 x 平方，加平方就是 r， 然后再乘一个 r， d r， 所以 就是 r 平方 d r 是 不是 so easy？ 而减号后面呢？这个空白部分，它是一个偏心圆，但是它至少也是一个圆嘛，那我们还是可以用极坐标， 对不对？那这个空白部分，如果你直接用极坐标的话，那 c 它的范围是不是应该是从负二分之派逆时针旋转，转转转转到这个 y 轴正半轴，那是不就是正的二分之派？所以 c 它的范围负二分之派到正二分之派，然后呢， r 的 范围呢？就是从这个极点出发，往这个空白部分这个 小圆里面做射线，对吧？那你不管怎么射，穿入 r 就是 零，对不对？穿出呢？是不是永远从这个小圆的这个边界上穿出的？而这个小圆的方程是什么呢？把这个大于等于先改成等于， 再把左边这个括号这个完全平方打开，那是不是 x 平方？然后呢，是不是减去二倍交叉项，那就是二乘以 x， 再乘以二分之 a， 二和二抵消，那就是减 ax， 再加一个 y 平方，当然这个地方二分之 a 扩着的平方是不是长竖向，那就是四分之 a 平方嘛？和右边的四分之 a 平方是不是可以抵消，那是不就等于零？那你把左边的 a x 挪到右边，那就是 x 平方，加 y 平方等于 a x， 那 左边用极坐标之后就是 r 平方，右边用极坐标就是 a 乘以 r 扩散引，那左两边把 r 约掉，对吧？那这个小圆的极坐标的方程就是 r 等于 a 乘以扩散引在它，对吧？这就是我们的 积分上限，对吧？ a 乘以 cosine theta 背接函数，是不是还是 r 平方？ d r， 那 接下来这两个积分就纯送分了呀？第一个积分注意，外层零到二 pi， d theta 就是 二 pi， 然后内层呢？ r 平方积分就三分之一 r 立方，带上下线，那就是 a 立方， 然后减去这一个式子，对 r 积分的时候，对吧？这个地方是不是三分之一 r 立方带上下线，那就是三分之一倍负二分之派到二分之派，对不对？然后上线的立方减去下线的立方，下线零的立方就是零，上线的立方是不是 a 立方跑到外面来了，然后呢？ cosine 三次方 set it， d set it 对不对？好，减号前面是三分之二拍 a 立方减号后面你看我们这个 cosine 是 一个偶函数，偶函数在对称区间的定积分是不是应该等于二倍零到二分之派的积分，对吧？所以就是减去三分之，本来分子只有一个 a 立方，那用奇偶性之后就变成二倍的 a 立方， 对吧？然后呢，就是零到二分之派，那是不是可以直接点火了？零到二分之派， cosine 三次方的积分是不是就是三分之二再乘一个一？ 那我们提一个公音，是把三分之二 a 立方提出来，看清楚了，减号前面有派，减号后面没有派。哦，所以我们公音是只能提三分之二 a 立方，那减号前面还剩一个派，减号后面还剩一个三分之二，接下来就没法化简了。这就是二十三题最后的答案， 对吧？就是大家有没有一种感觉啊，这个题越做到后面越简单，他并不是说最后一道就最难，甚至可以说这个二十四题是几乎所有的大题里面几乎最简单的一道。你看咱们的积分区域， 超级逆天积分区域就是 x 平方加一平方小于等于一，这个单位圆在第一象限的部分，那我们用极坐标之后，显然 set 它的范围，第一象限零到二分之二， r 的 范围零到一倍积函数就是根号下一减，你看 x 平方加一平方，那就是 r 平方，分母是不是又是 一加 r 平方，然后再乘一个 r d r， 说实话，这居然是最后一个题，我真不相信。你看零到二分之派 d 塞，它就是二分之派，然后把这个 r 凑到 d 后面去，是不是变成二分之一倍 d r 平方，然后我们把 r 平方啊，反复出现的 r 平方， r 平方 d 后面的 r 平方看成一个整体，比如说看成 t， 那么 t 的 范围是不是也就是零到一啊？对吧？因为 r 在 零到一， r 平方是不是也是零到一？那根号里面就是一减 t 除以一加 t， 然后 d t。 接下来两种方法，第一种方法，直接令根号等于一个整体， 对不对？那你是不是可以把根号去掉了？这叫换元法。还有一个方法就是直接分子由利化。凯哥在全职班里面也讲过的啊，你看外面是四分之八，里面呢？ 分子由流化之后，就是分子分母同时乘以分子的那个根号，那分子根号乘根号就抵消了，那就是一减 t， 分 母就是根号下一加 t， 乘以根号下一减 t， 那 用平方差公式，那根号里面就是一减 t 平方 e t， 那 从减号处拆开，减号前面一减 t 平方开方再分之一，那不就是 r 三引 t 吗？对吧？积分之后，所以减号前面就是 r 三以 t， 然后呢？减号后面这个积分怎么算呢？我们就注意到一减 t 平方再开方，我们对这个试着在草稿纸上求一下导， 根号求导是不就是二倍根号分之一，然后根号里面的东西求导是不是负二 t 分 子分母约掉一个二，你惊讶的发现， 负的根号分之 t 居然刚好啊，就是根号求导之后的结果，所以我们把这个负的根号分之 t 凑到 d 后面去，相对于它的积分，是不是积出来就是正的根号下一减 t 平方。我的天呐， 扩回来之后，直接带上下限零到一，所以就等于四分之派的倍的多少，你看上限一带去 r x 一 就是二分之派， 然后呢？根号下一减一反而是零了，然后减去下限零带去 r x， 零是零，然后再减去这个地方，把第二个式子把下限零带去，那就是一，所以最后的结果就是四分之派乘以一个二分之派减一搞定， 对吧？这居然就是我们的最后一道题，是不是 so easy， 超级简单，好做到！这凯哥就花了一个多小时的时间，真的应该不到两个小时啊，就把语歌一千题里面这二十四道二重积分全部讲完了，而且说实话，我真的讲的很爽， 我不知道你们听起来有没有一种行云流水，一气呵成的感觉。好吧，如果有的话，如果听完之后真的觉得学到东西了，给我点个赞，点个关注。好吧， ok， 那 我就下了，拜拜拜拜拜。

二七章宇强化讲义他到底怎么样？主播昨天也是拿到了这本书，然后花了一天时间给大家测评了一下。首先， 二七强化讲义他基本上没怎么改，部分讲他就改了一两题，整体上改动不大。章宇的强化讲义与基础讲义最大的区别就是基础讲义东西很多，无论是考的还是不考的都塞给你，而且例题也是按照知识点的排布去出，知识点偏多，例题偏少， 但强化讲义他没有很多知识点，他一讲是根据考察的题型进行大分类，各个大分类，你再进行小分类，配有题目，相当于解析出告诉你有哪些考法，并给出题目的例子。逆题的难度是不低的，你可以直接当习题特去刷 部分比较难或者比较经典的题，他配有详细的蓝框解释。总体看下来，大多数的题型分类还是不错的， 但是某些太抽象的题型还是没有必要，比如欧拉碎碎念的多元函数。其次，这道例题从二五年开始一直都有。然后就是张宇强化，他二六和二七的定位都是主要教错题，二四年是教知识点加做题，有点类似于武中央强化，所以你们跟二四年张宇强化的要要规划好你的时间跟做题也是比较长的。 那么对于张宇强化，我个人的建议是，因为大多数人高中基础学完的，要规划好你的时间跟做题也是比较长的。那么对于张宇强化，我个人还做了新习册。 所以如果你高数基础跟章宇，你高数强化不准备跟章宇的，你后面有时间可以刷一下强化十八讲，当习册刷就完了。 如果你不知道跟谁，或者不知道怎么安排的，我个人最推荐的打法就是你自己去刷强化十八讲，加一些币，不会的，你去看专题课，或者选听章宇的强化课补充。 当然有的人基础比较差，如果你在强化的时候自己做题根本做不下去，正确率远低于百分之四十。那我建议你还是看一下系统课，张宇的武中强的都可以，要规划好做题，那么张宇强化后面我会给大家出上面的重要与非重要部分。关注亚瑟，跟上亚瑟的节奏。

二期考研的同学们好，我是商检二六考研数学满分。本期给大家讲解一下武忠祥强化讲义的重点部分，如果你是基础跟张宇纠结强化要不要跟武忠祥，或者你强化打算跟武忠祥，但是把握不好重点，可以看一下本期视频。首先是第一张，第一张这个第一节的复合函数求导，这部分是个重点， 然后极限部分主要其实就是计算那个等价无穷小连续部分，这个重点金奖要好好看，然后讨论联系性与间断点，类型要好好看。 这个题型二大家可以不看，他主要就是证明题，然后极限和连续，他的难点就是考察概念题，这个会考的非常难。 第二章的第一节也是个难点，他会，他也是会结合第一章的极限和连续考察一个概念题会非常难。还有就是这个导数与微分的概念，这部分其实有点抽象，但是如果你理解了，其实不难，大家要好好看一下。然后这个常考题型的题型一二三都是重点，不算太难，大家要好好看。 还有题型四和题型五，他主要就考证明题，可以不看。第三章其实主要就是考察不定积分，定积分，还有返程积分的计算，这里题型有很多，我建议大家拿一个本子专门总结各种题型，你总结好之后，后面在刷题的过程中还会遇到一些比较好的解法，见一个记一个，把它归类在一起，这样的话你做这类题就有个系统的呃，解法。 还有一个难点就是这个判断反乘积分，联赛性这部分挺难的，我建议大家好好看看，如果实在不会多看几遍，甚至找别的老师看也可以。然后呃，应用这一块也是个比较难的点，几何应用主要就是数三考，然后物理应用就是数一数二，第五节就是只有数三看。 第四张常规分方程，你如果初学的时候可能有点懵，但是这部分并不难，他的考法非常固定，就是那种解法大题一般会出那种综合应用的题型。 第五章我觉得是个难点，第一节他主要就是考一些概念，这个概念还是挺难的，还有这个讨论连续性、可导性和可微性。然后第二节其实主要就是计算，这个计算的呃，方法大家要记住。 还有就是这个极值与最值，这个基本上每年都会考一道大题，通常他的考法是比较固定的。就是你求那个 a c 减 b 方吗？大于零就说明极值存在，如果 a 小 于零就极大值， a 大 于零都是极小值，这个其实比较固定的，但是有一个难点就是 a c 减 b 方，他如果等于零就失效，但是失效不代表这个地方就不起 即值，你需要判断这个还有点难度的。这种积分部分也是一个重点，他基本上每年都会考一道大题和一道小题。呃，交换积分次序这个大家一定要知道，很重要，然后积分不等式这个问题就可以不看。然后再说基础跟章鱼的同学强化应该怎么选？ 如果你基础跟张宇学的已经比较不错了，强化就没有必要跟武忠祥了，你只需要把个别自己不会的章节对应的去看武忠祥的强化就行，没必要全看张宇的基础已经包含了考研范围内所有的知识，张宇的强化主要就是带你刷题，然后如果你基础跟张宇学的很一般，强化你可以再跟武忠祥，你不用担心成为赖听网，因为 耐听王总比你什么都没有学会强。很多同学听说武忠祥强化特别好，担心强化没有跟武忠祥会错过一些比较好的知识点。我这里感觉你唯一需要记的就是呃张宇在求旋转体体积时给的这个公式，这公式没必要记，你去听武忠祥讲的这个古尔金定律，这个定律特别好，然后别的地方其实没啥太多区别。

你们备考我们二零二七年考研的同学哈，基础阶段限性代数，不知道选哪本书籍的咱们可以闭眼冲张宇老师主编的二零二七年 限行代数基础三十讲我们的代数分册哈，这款书籍的话，零就零基础，小白直接冲，从我们的行列式矩阵零基础讲起， 备预备知识全覆盖，高中衔接加我们的概念拆解，零基础也能轻松听得懂，会做题。如果你是二战备考想提分的，也可以入手它。我们限行代数的一个概念啊，容易混淆的或者是公式记不住的 题型的话，没思路的这本书都能够帮助你重构我们限行代数的知识框架，打通行列式矩阵问题和我们的矩阵哈， 矩阵向量方量方程方程组和我们的特征值一和二次型，扫清二战遗留下的所有漏洞。 数一、数二、数三同学的话都是用咱们这款书籍的话，是我们考点全覆盖，标准差异化的内容，精准匹配我们二期考研数学的一个要求，理论基础一网打尽， 咱们想限行代数不丢分，先把理论知识吃透。二零二七年考研基础阶段张宇老师的限行代数三十讲，我们配有视频课程，零基础能入门，二站能提分，数一数二数三都适用哦。视频课程的一个获取方式也非常的简单， 每个章节开篇的话有一个码，我们挨个扫码的话直接可以观看本章节配套的视频课程。让我们跟着章鱼老师的一个节奏，把我们现行代数所有的一些考点一网打尽，然后前面是支点 加，后面的话是例题，下方的话还有我们配套的一些课后的习题，帮你夯实每章所学，一举多得，看学练、刷结合在一起可以入手啦！

考研数学想拿步骤分做题本很重要！这套将与一千题做题本官方同步排版，不用自己划分版面，空间充足，让你按规范步骤解析，整理思路，也方便备考。

二零幺七年考研数学我们李玲老师的精讲八百八十题已经给大家去更新了，适合基础阶段到近期阶段的同学去进行看书刷题，由我们的试卷分册和答案解析，分册题量大，内容全分梯度去进行学习，让你去感知考场的氛围，题型全面，真题感强， 看学练刷结合在一起，答案解析的话也是非常详细的，配我们的视频课程哦。

哈喽哈喽，今天给大家带来的是一点二四。首先咱们看到这一个形式， 看到密值函数，咱们首先可以给他画制成以 e 为底的函数原式就等于烙印 x 接近于零的正， 然后是 e 的 x 分 之一，烙印一加 x 减 e 比上 x， 为什么要把它画成以 e 为底？咱们可以把这个 逆换到这个对数的前面，会更好看一点。咱们看到这里有个 e， 就 可以给他把 e 提出来，就等于 e 被的 x 去近于零正。 e 的 x 烙印一加 x 减一，这里是减一比上 x， 这里是 x 趋近于零。咱们就可以看用到一个等价无穷小 e 的 u 次方减一等于 u， x 就 等于 e 倍的烙印 x 趋近于零，正是 x 分 之一，烙印一加 x 减一分之 x， 稍微化简一下，就成了 x 方分之烙印一加 x 减 x。 然后咱们再来看，当 x 趋近于零正的情况下，下面这里是趋近于零的，这里是零，烙印一加 x 也是零，就是典型的 零比零形。好，我们在这里已经分析出来，它是零比零形，就可以使用罗比达。当 x 趋近于零正的情况下，放分子就变成一加 x 分 之一减一比上二 x。 然后咱们再次分析，当 s 趋向于零正时，分子分母依然是趋向于零的，而我们的分子也是趋向于零的，可以再次使用洛必达 limit。 x 趋向于零正， 分子就变成了一加 x 的 平方分之一是负的，比上二， 然后这就是最后，然后我们将 x 趋向于零带路，最后等于负二分之一。但这是最终结果吗？当然不是，因为咱们之间提出来了一个 e， 这里我们没有写 e， 现在把 e 给加上，最后是二分之一。

往届高分学长学姐都在用的五中祥讲义二期考研高数强化必引入，深挖易错陷阱，规避答题是分点方法精简好上手，刷题效率翻倍。搭配严小题，实战演练，吃透考点，稳稳冲刺数学高分。

二期考研跟着我这样子去二刷，你的三十讲讲义最高效。上期抗遗忘的视频发出之后，我告诉大家说，你要按照每一张的重点来进行，去安排你的 二刷的任务，这样子对于你的整体的掌握以及考研拿分的性价比来说，这是最高效也是最夯的打法。那么这一期视频我就详细给大家讲一讲，你基础三十讲里面有哪一些知识点是重点，哪一些知识点是大家可以考虑一刷二刷的时候你去跳过他的。 ok， 今天也是一期这个章鱼基础三十讲的一到期讲的 这里主要是录到一到十五，那么十六到十八讲的数一的同学们就狠狠的把这个数一专项给我掌握就好了。好吧，数一的重点就是这样子， 对于一到七讲，我这里分了一刷和二刷，这里有给我看红色的三颗星是指你在一刷的时候就必须讲一例题，加课后加一千，你就必须要狠狠掌握的程度，那两颗星是什么？两颗星就是你讲一加课后加一千。但是如有些部分难的东西，你可以不管他 一颗心是什么，一颗心是你只管讲一加课后了，甚至他如果像数量极限这种你觉得课后太难做不动了，你也可以只刷讲一二刷的时候你再去补充专题课，讲一加课后再去适当的补充我们的一千 a， 因为我这里标新的原则就是他们的难易程度以及我们的性价比。好吧， 那你看像这种中值定律以及数量极限这种又难又不讨好的，我的建议是你一百三十分以下的，我们在第一刷的时候，我们就不去要求自己掌握太多的情况，那为什么物理应用与经济应用给的也是异形？是因为他考的实在是太少，性价比极低，那我们一刷的重点就应该放在这一些章节上面，那我们下面进入具体的章节去看看怎么个事。 那我们第一章节讲的是函数极限与联系，那这里比较重要的事情就是反函数与引函数的概念，极限的概念，左极限右极限，这个东西会贯照我们后面的一整个，所以这个东西是非常的重要的。 这里四种特性，他后面主要是用做一个推导证明，前面这个地方就做了解，所以他是两颗星，到后面这个地方，这里基本都挺重要的，特别是这个常用的无穷小笔节，基本上是你后面做所有计算的一个基础，所以必须要是牢记，到了计算这个地方呢，也是要狠狠掌握的。那到了函数的连续阶段，我个人感觉是个第一张最重要的东西，跟后面很多东西都会连起来， 所以这个东西三颗星，这个东西四颗星。我们第二张数列极限那是一个重难点，基本上我们一刷的同学们，如果你觉得自己做的很吃力，那我们的要求就是讲一家课后就好了， 主要我们在大体里面的运用手法就是这三种，我们必须要掌握他写题的一个逻辑和方法就可以了，下面的这些东西就掌握即可，基本的大题都是在这里出的。 第三讲这里是两颗星，他打两颗星不，因为他不重要啊，所以我个人觉得这张不是特别难，这个导数的几何意义，这里后面可以结合微分方程，但其实只是高中内容而已。这个高阶导数是他有可能会出的，但是一般来说出的情况下都是小题，而且也比较简单，有几个方法大家都 技巧去掌握一下就考了。后面是微分的概念，微分的概念跟后面可导连续等等条件结合起来，也有可能会出小题，所以这个东西也挺重要，但是都比较简单，所以这里只能给他两颗星。第四讲是我们这个微分计算绝对的重点了，微分计算了，第一个我们基本的求导公式是吧？我们这个海鲜老师的口诀，每天起床投件式求导公式和展开式，这个我自己改变的， 但是这个东西确实是非常重要，好吧，这个东西他反过来被我们后面的积分的公式，所以这里打好基础了，后面也会相对简单一点。 你这里分段函数的导数，就是跟我们前面分段函数结合起来，这个小小考点可以跟前面联系一下。这里三，这两个的求求导的方法，这是三颗星，经常容易出小题的这一些，这几个求导的方法就做方法的掌握就好。高阶导数跟前面是一样的，是一个可能出的小题。 第五讲，这里必须给他吹 boss 大， 为什么？因为又好掌握，但是它的分值占比又高，非常容易得出，所以我这里给大家的备注就是不难，但是你必须要掌握。这里基本上都是重点，特别像这个单调与极值的判别，凹凸与拐点的判别，主要都是一二条件，第三条件都很少考，所以重点要掌握前面一二条件它是怎么判断的，我们的例题和讲义和课后必须要做好它来 这个间距线，这里超级重点，这个很容易出小题的最值与值范围，这个一出就是大题在跟后面的那个区域最值也可能是联系的起来的，我们必须要去在这里注意一下我们的计算举例与举例半径，这个就是记忆公式就好了，近年出了好几次，所以大家背一个公式，基本上考试是往上一套就行。 第六讲这个中值定律，微分不等式，这个也是一个难点，基本上我们的要求也就是讲一例题加课后了。好吧，书本上的这些题掌握的差不多就好了，主要是 他真想深究起来就很难的，所以我们这里比较常用的这几个定力里面给他金钟选金就是这个六七九，这罗尔拉格朗日和泰勒这三个重点要掌握一下。积分，这里还有个积分中值后面这些微分等式和微分不等式，通常来说我们说难度的话分，那就是不等式是大于等式的，这个是下面这个东西会更难， 所以我们可以二刷时候你目标分比较高的同学这里着重的看一下，如果有需要 pdf 批注版的呢，也可以点击主页加入粉丝群了解 联系主播即可获得。那么这就是本期视频的全部内容，如果你也觉得主播的视频对你有帮助的话，也请务必点赞、关注、转发、收藏，你的支持对于我来说事关重要，关注主播，后续带你干碎二期考研！

作为去年跟了宇哥高速全程的选手，我本来确实也打算现在仍然是跟宇哥的，但是真正去翻了翻他的讲义，听了两节课之后，我发现宇哥的现代对于基础不太扎实的我而言，还是会有点听不懂，还有跟不上的。后来呢，试着换了宇老的现代课 习题，也换成了于老讲义上的习题，以及八八零的基础篇，包括做了一些美甲了现代救命课讲义上的习题，这样确实感觉顺畅了很多，也听得懂会做题了。于老现代在讲解上会更加的具体和细致，一些配套的习题他的难度也在我的接受范围内，包括强化阶段的题型，总结的也很精辟，很多方法都很好用，给了我比较好的学习体验。当然呢，我也要为宇哥现代证明。 我身边也有朋友呢，跟的是宇哥的现代，学的就比我好，比我快，学的也很扎实，所以像宇哥这种技术性比较强，思维框架比较独特的， 不是说大家一定要舍弃，主要还是自己要去试听，看看跟自己是否合适。我比较喜欢宇哥高树的细致以及拓展，但是现在呢，我还是更偏向于于老总而言之呢，我觉得大家一定要按照自己的需求去试听，适合自己的才是最好的。