年级下册数学第九页最后一题怎么写

哈喽，同学们和家长们。好呀，今天我们要讲的是人教版三年级下册第二单元的小练的第九页， 那么这一页呢，是我们口算除法的第二课时，我们现在来一起看一下题目。第一题，把二十四本练习本 平均分给两个组， 问每每个小组分得多少本？ 好，我们看完这个题目，其实可以列出一个算式，是什么呀？二十四除以二，因为我们看到平均两个字，每个小组就可以知道他是用除法解决问题。是在这里二十四除以二怎么算啊？那么我们课上讲过了，先把我们的 二个十本平均分成两份，也就是二十除以二， 然后呢，再把我们的四本平均分成两份，也就是四除以二。 哎，那我们来看一下这个图了，你看，这里有两踏十本的，所以呢，你就在这里画一个练习本，写上十本， 这边画一个练习本，写上十本。好，紧接着我们就把这一本一本的分开来。好，这总共四本，这里分两本，这里分两本， 那么一个算式二十除以二，那么每一份是十本。第二个算式四除以二， 每一份分得两本。好，那么一踏十本的加上两本的，所以每一份他就分得了十二本。 好，这是我们的第一题，也就是我们这节课最主要的一个算理。就是什么呀？先先干嘛？先把二十四 拆分成一个是十位的，一个是个位的，拆分完把它先分，后面把每个算出来之后再合起来，先分 再合这么一种方法。好，那我们来看到第二题，我会算四十六除以二，我们先把 四平均分成两份，每份是两个十。好，紧接着把六个一平均分成两份，每一份是三个一，所以是二十三。 那么九除以三就等于三，三除以三就等于一，七除以七等于一，七除以七等于一。三百除以三个百，平均分成三份，每一份是一个百，就是一百六十六除以三，六除以三等于二，六除以三等于二， 八除以二等于四，六除以二等于三。五十五个十，平均分成五份，每份是一个十六个百，平均分成三份，每一份是二个百，也就是二百四十二除以二，那么就是四除以二等于一等于二，然后二除以二等于一， 下一个二十八除以二，把二十八平均分成两份。首先是二除以二，结果等于一，八除以二，结果等于四。六十八除以二，六除以二，结果等于三，八除以二，结果等于四，所以结果是三十四九个千，平均分成三份，每份是三个千，所以结果是三千。 好，那么以上呢，就是一个口算的内容，我们来看一下第三题，看图填一，填好第一题。桃子的数量是苹果的 多少倍？也就是说我们把谁看作一份？对，这是我们上学期的知识。把苹果看作一份，那么苹果是一份， 桃子有几份？三份，所以他是这一份的三倍。那么如果苹果有六十三个，也就是说一份就是六十三个，那么桃子他有三个六十三，所以是六十三 乘以三，三三得九，三六十八，所以是一百八十九个。那么如果桃子有三六十三个呢？也就是说三份是 六十三，一份是多少？也就是六十三除以三，六除以三就等于二，三除以三就等于一，所以是二十一个苹果。 我们来看下一道题，三年级学生参加值数活动，一共要值数四十八颗，如果两天值完，平均每天值数多少颗？如果四天值完呢？好，那么这里首先有两个问题， 分别是第一个问题和第二个问题。那我们现在先解决第一个问题。 好，那么他一共要值四十八克，我只花两天平均，所以用除法，那么就是等于二十四单位克。 好，那么第二个问题，如果四天之亡，那那是什么意思？也就是说我们把它写完整一点，就是什么呀？如果四天之亡，平均 每天值数多少颗？ 四十八除以四，我等于一十二，单位和。好。紧接着第五题 啊，如果一个苹果，两个苹果，三个苹果，四个苹果，四个苹果相加，它结果等于八十四，那么苹果就是八十四除以四，结果等于二十一。 如果桃子是二十四，所以我们就直接在这里写二十四。二十四加三个 梨的结果等于一百二十啊，我们先把二十四减掉，两边同时减掉二十四， 那么就是三个零，他会等于一百二十减二十四，结果会等于九十六。三个零是九十六，那么一个零就是九十六，除以三三三九，二三得六，所以零是三十二。好，那我们就讲到这里。

大家好，今天讲人教版三年级数学下册，我们看第九页第五题，按规律画出最后一幅中面上的时针， 时针呢，这里是十二，这里是三，这里是六，那么下一个就是九，每一个刚好是旋转了三个数，也就是旋转了九十度。第六，找规律。接下来是哪个图形从方框中圈出来， 我们先来看这个三角，本来这个直角在这里，然后呢，他是向这个方向，也就是顺时针旋转了九十度 跑到这里，然后呢，再顺时针九十度，又旋转了一下，所以呢，我们在这个方向长，再顺时针旋转九十度，这个直角就跑下边，跑这边这个角了，所以是第二幅图， 我们再来看这个有颜色的这个部分本来在这里，然后呢，他是逆时针旋转了，跑这，然后再逆时针旋转九十度跑这，所以下一个应该逆时针旋转九十度跑到上边，所以选的第二个。 第七题，拿两张正方形的纸，按下面的方式折一折，剪一剪，指出不同剪法展开后得到的图形， 同学们可以动手减一减，那么可以发现这个呢是减法二得到的，这个呢是减法一得到的，也就是说你在不同位置减，他得到的图形是不一样的，所以我们一定要看看是否是折痕部分。

小朋友们，上节课，我们在小讲堂开播了，认识了古代的太阳中龟表和日鬼。今天我们继续这个小讲堂，来认识另一种古代计时工具， 还要学习更多和时间有关的成语。最后一起聊聊珍惜时间这个重要的话题。首先我们来看这两个古代的计时工具，左边这个叫青铜漏壶，右边这个叫铜壶滴漏。它们和我们之前学的龟表、日鬼不一样， 龟表和日鬼是太阳中，只能在白天用，而青铜漏壶和铜壶滴漏是水中， 它们里面装的是清水，不是沙子，水会从湖底的小孔里一滴一滴均匀的往下漏。古人通过观察漏出了多少水来计算过去了多长时间。 这种计时方法和我们现在的沙漏有点像，只不过沙漏用的是沙子，而漏壶用的是水。大家看古代劳动人民是不是很聪明，就算没有太阳，也能想出办法来计时。接下来我们来学习几个和时间有关的成语， 他们都在告诉我们要珍惜时间。一、似水流年含义，时间像流水一样不停地向前流走，一去不回。用法用来感叹时间过得真快，岁月匆匆，我们要好好珍惜。二、分秒必争含义， 每一分每一秒都要争取，不放过任何一点时间。用法形容，抓紧时间努力学习或工作。三、光阴似箭含义， 时间过得像箭一样飞快，一转眼就过去了。用法用来形容时间流逝的非常快，提醒我们要珍惜时光。四、 一刻千金含义，一刻的时光价值千金，形容，时间非常宝贵。用法告诉我们每一刻时间都像金子一样珍贵，不能浪费。五、只争朝夕含义， 抓紧每一天的时间。比喻抓紧当下，不浪费时间。用法鼓励我们要珍惜现在，努力奋斗。六、白驹过戏含义，像白色的小马，从狭窄的缝隙前一闪而过， 形容时间过得极快，稍纵即逝。用法用来比喻时间过得飞快，提醒我们要珍惜每一分每一秒。 今天我们又认识了两种古代计时工具，青铜漏壶和铜壶滴漏，知道了它是用水来计时的。我们还学习了六个和时间有关的成语，他们都在告诉我们， 时间过得很快，而且一去不复返。所以我们要珍惜时间，分秒必争。希望大家都能把这些道理记在心里，在生活中合理安排时间。你学会了吗？

你会求外角和吗？我们看第八页纸小刚在公园里沿五边形的步道按逆时针方向走，比如从这个 a 这样逆时针方向走， 那么他走的转过的角度是多少？ 你看他从这往这走，转过了这个角度好，从这里往这里走，往这里转过的角度好，然后他往这边走， 转过的角度，然后他往那边走，转过的角度往这边走，然后要转到原来的方向来，他转到这里也就是一、二、三、四、五这五个角，那么这五个角加起来等于多少度呢？ 那其实不管是五个角还是 n 个角，我们看到这个外角跟这个内角、外角跟内角、外角、内角它们的和呢是一个平角，也就是一百八十度。假如说这是 m 边形， 那么五边形有五个顶点，五个内角五条边，那么我们说五边形有十个外角，那么除了这里的这个外角之外，那么其实我们看呢，还有这边的这个外角，这两个角是对零角， 当然在这个地方，我们现在只画一个外角，那么这每一个外角与每个内角的弧是一百八十度，所以总共有多少对呢？ n 明星就 a n 对 一百八十度，那么我们要把这个外角和啊，我们把它这个五个外角的和求出来，那我们就减去内角和就可以了， 那么就是所有外角内角的和加起来，减去内角和，内角和，就是 n 减二乘以一百八十度。 好，我们来看呢，就是一百八十度乘以 n 减去 n 乘以一百八十度。负负得正加号二乘一百八，等于三百六十度。 好，那么这样呢？一百八十度乘以 n 减去 n 乘一百八十度就等于零，所以它就等于三百六十度。 呃，这里我们把这个三百六十度啊叫做多边形的外角和，不管这是五边形，这是六边形还是多少边形，你看刚才我们用 n 来表示的，把这个要给我记住， 所以刚才这说，如果这个走五边形的路，或者六边形或者八边形，那么得到它的外角和啊，都是等三百六十度。 好多边形内角的一边与内边的反向一样的线所组成的角叫做多边的外角。我们在前面讲过的就不多说，每个顶点，注意每个顶点取一个外角，记上他们的核，叫做多边形的外角核。 多边形的外角核是个特定的概念，不是说多边形所有外角的核不是这个意思 啊，那么多边形所有外角的弧是多少呢？实际上多边形所有外角的弧啊是等于七百二十度，你看这是外角， 你看到这里这个是外角，那我们说这边的这个角也是他的外角 啊，所以过多边形的一个顶点只有一个内角，两个外角，注意啊，这个不是啊，这个不是，那么这两个外角是相等的，所以我们过每个的呢，我们只计算一个外角， 我们这样把它的和呢，我们就给他取个名字，这个名字就叫外角和，所以这外角和并不是所有外角都和啊，所有的外角都和，实际上是七百二十度， 所以我们这里外角和是个专业的一个名词，你要把它记住啊，所有多边形，因此叫做 m 边形的外角和，等于三百六十度。这要记住外角和是不会发生变化的，我们后面还会接着来跟大家解释， 我们看到一个多边形的内角和等于外角和的三倍，那我们这里公式内角和是 n 加二乘以一百八十度等于外角和三百六十度的三倍，所以那我们可以来，你看这个 n 减二，两边同时除以一百八， 那么这就是三乘二等于六，对吧？所以 n 加二等于六， n 就 等于八，也就是八边形。 好，有时间，有的我们就不多说了，我们看了。呃，如果一个多边形的这个内角和的外角和的两倍，那么外角和我们刚才说是三百六十度。任何多边形，那么内角和呢？那就是七百二十度， 所以内角和 n 减二乘以一百八十度的 y 角和的两倍，你看它这个约分 n 减二呢，就等于二得四，所以 n 等于六，也就说它是一个六边形。 好，我们看下面，如果这个多边形的每个内角都相等，那么六边形的每个内角都相等的话，那么这个每个内角的度数，我们就 n 减二 乘以一百八十度，是内角弧除以 n， 对 吧？刚才也就是七百二十度。呃，除以六等于一百二十度 啊，每个内角啊，每个内角是得多少度呢？一百二十度，其实我们也可以从每个外角来看，他的每个外角得多少度呢？外角会是三百六十度啊，一共有六个外角，对吧？ 就说我们过每个零点的一个外角，那才是六个外角，其实准确的他应该是一十二个外角啊，所以那么我们来看呢，呃， 对吧？每个外角就是六十度，因此他的每个内角呢？那就是一百二十度。呃，做这样的题目，未来你可以从内角的角度入手，也可以从外角的角度来入手，记得点赞关注哦！

多做好题，出成绩。八年级数学下册小册子的第六页纸，我们看到第八题，以至于图在四边形 a d b c 中， b c 等于二倍的 b d， 这句话什么意思呢？ b c 等于这个两个乘 b a 平分角 d b c 啊，这两个角相等， ab 等于 c， 哎，这里有个等幺三角形， ab 等于 c 等幺三角形，那我们就有底边上的高，底边的中线， 嗯，那么这里要证明的是，这里是直角，哎，我们说我们能不能得到这里直角，这个或者说都什么东西呢？我们看到如果说我们做 a h 垂直于 b d 啊， a h 垂直于 b c 于 h， 呃，因为 a b 等于 a c， 对 吧？所以这个 b h 等于 c h， 那 就等于二分之一 b c 了。 当然了，你要是做中线，做中线可以得到垂直，做垂直可以得到中线， 当然您做这个角平分线其实也是可以的，为什么呢？因为等腰三角形，底边的中线，底边的高线，顶角的平分线呢？是同一条线段是互相重合的啊。当然你就看您这做哪个你证明比较好。写好， bh 等于 c h， 那么刚在这里我们来看到这个因为什么？因为这个 bc 等于两倍的 bd， 那 么它也等于两倍的 bh， 两倍的 bd 为 h， 所以 这个 bd 就 应该等于 bh， 对吧？就说 bc， 以这条结论说 bc 的 bd 的 两倍，我们刚才 bh 的 c h 的 二分的 bc 就是 bc 的 两倍的 bh 的 意思好要因为 b a 平分角，呃，叫什么角 dbc， 所以 角 dba 等于角 hba， 那我们看到在三角形 dba 与三角形 hba 中， 那我们就有这个 bd 等于 bh， 刚才正了角 dba 等于角 hba 刚才与这里面角平行，然后这个 b、 a 是 公共 b a， b， a 等于 b a， 所以三角形 b， d， a 全等于三角形 b， h， a 好， 这里理由叫走 s a， s 边角边好，那么所以有了角 b， d， a 就 等于角 b， h， a 就 等于九十度， 好，九十度就是垂直的意思，所以 a、 d 垂直于 b、 d 好， 这样我们就正完了。那么在这地方呢，我们要证明这两个三角形呢？这个地方跟这地方角都是直角，就意味着垂直好，合理利用三线合一的内容。 好，下面我们看到第九题，在这如图，在三个 a、 b， c 中，角 a， b， c 等于四十五度，好，这个角是四十五度，然后呢？ cd 垂直。呦，垂直到这角不也是四十五度了吗？ 嗯，这角不也是四十五度啊。那么我们再来看到 d 等于 ad， d 在 哪里？ d 在 这里等于 ad b 的 这，哎，这是直角，我们看到 a、 d， c 和 b， d， e 好， 这个过程我都不写了。在三角形 b、 d、 e 和三角形 c， d， a 中， b， d 等于 c， d 哪来的 b， d 等于 c， d 呢？因为这个 c、 d 垂直 ab 啊，并且这个角 abc 是 等腰直角三角形，所以 b、 d 等于 c、 d， 对吧？这里直角那是车的油，那么这个 d， e 等于 d， a， 所以 三角形 b、 d、 e 且等于三角形 c， d， a。 这里的理由是 s a， s 啊，这个比较简单，我都不写那么多了，没有数的时间写了啊。 好，第二个呢，若 ab 等于 bc， 如果 ab 等于 bc 的 话，那么这个 abac 就 成了等幺三角形，对吧？就成了等幺三角，等幺三角形。那我们看到这里 等幺三角形之后呢？那我们能够得到什么呢？你看题目求证的是什么？求证 b 等于两倍的 c、 f 啊。求证 b 等于两倍的 c、 f、 b、 e 等于两倍的 c、 f。 在 那里，刚才我们证明这个三角形 b、 d、 e 与三角 c、 d、 a 两个三圈等的时候啊，那就有了一个叫做 b、 e、 d、 c、 a 了 啊，有个 b e、 d、 c、 a 好 b、 e、 d、 c、 a。 要求成 b、 e、 d。 两倍的 c、 f 就 求成 c， a 等于两倍的 c、 f 要求成 c， a 等于两倍的 c、 f。 哎，那 f 如果是中点就好了啊， f 至终点呢？我们刚才是 b、 a 的，是 b、 c 的 时候，如果我们要能够得到，得到什么呢？得到这个， 哎，得到这个 b、 f 是 角平分线，等幺三角形顶角的平分线，也是底边的高线，也是底边的中线就可以了， 那我们哪里能得到角平分线呢？我们再来看啊， b、 d、 c。 刚才这说明是等腰直角三角形， 那么等腰直角三角形之后，我们刚才证明的 b、 d、 e。 等于 c、 d、 a。 这个角四十五度，那我们就可以得到角 a。 等于角 b、 c、 a 等于多少呢？一百八十减四十五除以二，六十七点五度， 对吧？角 a 等于这角六十七点五，六十七点五度，那我们就可以得到这个四十五的这个角叫做角 a、 c、 d、 e 呢？是等于刚才这个角 d、 b、 e 的 等于角 d、 b、 e 的， 那就应该等于六十七点五减四十五，二十二点五度，那么这个角二十二点五度，这个角也是二十二点五度，所以这个角 c、 b、 e。 对，就等于角 a、 b、 e 也是等于二十二点五度，所以我们就可得到的 b、 f 平分角 abc 好， 由于时间的关系啊，这过程没有写清楚啊。 b f 平分角 abc 好， 等腰三角形 ba 等于 bc， 顶角的平分线也是底边的中线，所以 c a 等于 c f 的 两倍。由于第一个证明 b e 等于 c a， 所以 b e 等于 c f 的 两倍。好，自己把这过程把它理。记得点赞关注哦。

大家好，我是讲数学的小胡老师，今天我来讲解。嗯，新版八年级下册数学第九页练习。 第九页练习呢，讲的是二次根式除法，那么二次根式除法法则是这样数的啊，根号 a 除以根号 b 等于根号下 a 除以 b， 那 么它的成立的条件是分子呢？大于等于零，分母是二不为零的啊，得大于零。 那么还有一个公式呢，就是反过来啊，你可以呢，把原来在一个根号下的给他拆成在两个根号下啊，所以呢，这个呢，利用它可以进行二次根式的化简。 所以呢，这这个练习当中啊，主要应用的就是这两个公式。那么第一小题，你观察啊，他是根号十八除以根号二，这不是明显的是两个算式吗？他就跟乘法一样，你可以先把它怎么的呢？可以先把它拉在一个根号下里除啊，也就是等于根号下 十八除以二，那就等于根号几啊，根号九，那根号九的等于几啊？等于三，那这个呢，我们也可以给他拉在一个根号下里去除。那根号七十二除以六呢，等于根号十二， 根号十二呢，你想根号十二呢，可以变成，呃，四乘三，拆出一个平方数来啊，然后平方数开，平方等于二，然后根号三三留下。 那么第三个题呢，稍微复杂一点，我往上写啊，他可以等于，那这个因为他有系数了，对吗？所以呢，你记得外面除以外面等于啊，外面的，那这底下是不相当于是一啊，那他就得四呗。 然后呢，呃，根号下面的可以拉到一个根号下里除，那就是十五除以二十， 然后约下分呢，这就等于四倍根号下四分之几啊，四分之三商五约，对吧？ 然后这个时候呢，你可以应用第二个公式反过来用的，因为你看你这个里边不是分分数吗？所以呢，你可以等于在这写啊，四，根号三除以根号四， 就等于根号四等于二等于四倍根号三等于二倍根号三 啊，也说这个呢，有系数的是外面除以外面的四除以一还得四，然后呢，根号里边的除以根号里边的约分等于四分之三。然后呢，你看这分母当中分被那个 根号底下是不带分数了，然后并且分母还是一个平方数，所以给他按照第二个法则给他拆开啊，这个呢，是根号三，这个根号四 啊，根号三，根号四，然后根号四等于二，然后再约分等于二倍根号三，这是第三小题。第四小题呢，你看啊，我们可以直接给他拉到一个根号下里除五分之 b， 除以它就等于乘以它的什么倒数，你看见了没？ 非常简单个事，你就按照乘法得二 a 方能开出去，得 a， 所以他最后等于二 a 啊，那第二小题化简呢？这道题化简就应用这个第二个公式啊，你看这不都在一个根号底下吗？所以呢，给他拆开 啊，根号七除以根号三十六，因为三十六啊，是一个平方数，你拆开了之后，他能开平方啊，所以等于六分之根号七，七开不出来了。 然后你先观察第二个根号下九分之六十四，第一呢，他就一个根号，九分之六十四是一个分数，第二呢，你想九是平方数，六十四也是平方数，那我给他拆开了，是不是就各自都能开平方了 啊？是不各自都能开平方了，然后等于三分之八。那你说老师这么麻烦干什么呀？ 我直接就想，九分之六十四的算平方根等于三分之八不也可以吗？嗯，完全可以，但是我现在呢，写的这个是应用了法则，咱们就为了展示这个法则是怎么，这个通过法则是怎么计算的吗？是不是 然后呢？你的第三小题呢？也是一样，你可以啊，给他分子分母先拆开啊。分子分母先拆开， 然后呢，你再看，我的这个分母当中，根号二十五，呃， a 方这个二十五是平方数能开平方得五， a 方能开出来得 a， 然后根号十六， b 呢？十六能开方得四，然后 b 开不出来了，留下。所以这就是那个最后的结果 啊。第三题最后结果就等于啊，五 a 分 之四，根号 b 啊，这个我没有这个 a 呢，我没有写这个绝对值啊，为啥不写呢？因为前面啊， 你看这不前面都写了吗？说如果没有特殊的说明啊，所有的字母都表示正数，根号下含有字母的二次根式的运算呢，都是选学内容， 根号下含有字母的。那咱们主要看这没有特殊说明，所有的字母都是正的，所以我这个就没有写啊，绝对值。按理说呢，你要是没有强调字母的正负性，因为它是考察了一个根号下 a 方的性质，它应该等于 a 的 绝对值 啊，你应该写绝对值的啊。但是前面因为教材里头有说明，所以我就没有写啊。那么第三题计算， 嗯，这道题的计算你观察啊，你说这题计算，这怎么算啊？这道题的计算呢，实际上他就是想让我们用这个例六的方法也算二次根式化简的结果中啊，被开方数不能含分母，被开方数不能含分母，那你看，这 实际上进行的就叫分母有理化啊， 学下一课时的时候，学了最减二四根式，你就有最减二四根式的一个定义啊，什么样的是最减二四根式，也是被开方数不能再开方了？那么有几个特征呢？是最减的，就是分母当中不能含根号，根号下不能含分母 啊，根号下面不能含有平方数，这都属于最简。那你像这个啊，你，你单独看前面这个呢，就是分母当中含根号了，你要给他整到一起去呢，就是根号下含分母了，所以他都是最简的。那我们，呃，例六呢，教的就是在根号下进行 什么那个化简啊，将你的分母变成平方数，你看原来是三，你再乘个三啊，就变成平方数了，那这不就能开方了吗？是不是所以最后进行化简，那我们的第三题计算呢，也是一样，你看我这根号二 啊，我可以把这个呃根号二啊和根号五拉到一个根号下里去，是不是就变成了根号下二分之五？那按照二例六的方法，是不应该是把分母乘再乘一个二，就是变成平方数，那你分母乘了你分子也成一居分数的基本性质， 然后呢，它等于什么？根号下四分之十，然后因为四呢能开平方 啊，所以呢，他开平方等于二分母，开平方还做分母啊，你像这个例六写的过程呢，就比较啊细致，你看他把这个三变成平方数之后，是不是变成这样了？ 然后呢？他又给他拆开了，用法则又给他拆开了，然后再开平，开平方。我呢稍微快一步啊，你看我这个四不是平方数了吗？你记得分母开平方还做分母，那你十呢？啊？做分子的，他开不出来，那还做分子啊，所以这个是他最后的结果。 那么第二小题，嗯，根号下二 a 除以根号下六 a， 我 们可以给他拉到一个根号下，就变成了。嗯，二 a 除以六 a。 啊，那先约分，再约分，等于根号下三分之一， 那我们利用例六的方法，是不是应该是分母乘个三变成平方数？你分母乘了分子是不也得成就变成了啊？九分之三，然后九开平方呢？ 分母开平方还做分母，那三开不出来了，就留在根号下啊，这是第三小题的第二个。

你能做到基础题不扣分吗？ 我们看到八年级数学下册的第一课本第十页纸 c 题一点一的。我们看到第一题，已知角 a、 角 b、 角 c 的 度数的比是四比三比二。在三角形中，三角形三个内角的和等于一百八十度，所以那么这样呢？我们来看到这个角 a， 我们整个三角形的内角和是一百八十度，所以等于一百八十度，乘以多少呢？四分三分两分就是七九分九分之四，对吧？二十，所以等于八十度。 角 a 等于八十度，那么当然角 b 那 就可以等于一百八十度，乘以九分之三，就三分之一等于六十度，对吧？角 c， 那 就等于一百八十度，乘以九分之二，又分二，得四十度 啊。那么这样的题目都是很简单的，我们看到第二题，如图，在三角 a、 b、 c 与 c、 d、 a 中， a、 b 平于 c d， a、 b 平于 c、 d 两直线平行，内错角相等。 角 b、 a、 c、 d 等于角 a、 c、 d 对 吧？ a、 b、 c、 d 看清楚，角 b 等于角 d， 角 b 等于角 d 啊，然后呢？ ab 等于三。 问 cd 等于几呢？我们看到哈，这个角 b 等于角 d， 由于 a、 b 平行 cd， 我 们得这个内错角相等， 然后还有呢，这是公共边，所以角 b 等于角 d。 角 b， a、 c 等于角 d、 c、 a、 c 等于 c、 a， 所以 三角形 我们就三角形 b、 a、 c 前等于三 b、 a、 c、 d、 c、 a 留 a、 a、 s 两个三角形等，所以这个 a、 b 就 等于 c、 d， 对 吧？ a、 b 等于三，所以 c、 d 等于三， 对吧？这个过程有时间我就不多说了啊，我们要把这个 a、 s 写清楚。我们看到第三题， 角 a、 c、 d 是 三角形 a、 b、 c 的 角 a、 c、 d。 在， 这是三角形 a、 b、 c、 d。 一个外角过点 d 的 直线。好，我们看哪一个不正确？第一个，角 b。 大 于角 a、 c、 d。 应该是角 a、 c、 d。 大 于角 b 啊，应该是角 a、 c、 d。 大 于角 b。 为什么呢？因为这个角 a、 c、 d。 是 三 a、 b、 c、 d。 外角三角形内角就是角 a、 c、 d。 大 于角 b。 角 a、 c、 d。 大 于角 e。 所以 第一个是错误的。好，我们来第二个，角 b。 加角 b。 角 a、 c、 d。 大 于角 e。 所以 第一个是错误的。 好，我们来第二个，角 b。 加角 a、 c、 d。 等于一，第二个是错误的。好，我们来第二个角 b。 加角 a、 c、 b。 加，这是对的， 对吧？也就是角 b。 加角 a、 c、 b。 加角 a 是 一百八十度嘛，所以这两个角它是一百八的，减它，这这里。第三个角 b。 加角 a、 c、 b。 角 b 在 哪里？角 a、 c、 b。 就 这两个角的弧 小于一百八十度，因为这两个角要加上一个角 a、 a。 才等于一百八，所以这两个角的弧小于一百八就对了。好，我们看到角 f、 e、 c、 e 在 哪里？ f、 e、 c。 这 角 f、 e、 c。 啊，是大于角 e、 c、 d 的， 因为这个角是这个三角形的外角，而这个角 e、 c、 d。 是 大于角 b 的， 所以角 f、 e、 c。 是 大于角 b 的。 好，这个也是对的。因此第三题呢？第一个是错误的，我们看了第四个， 如图，点 d 是 三点 a、 b、 c。 边 bc 上的一点，如果角 d、 a、 c 在 哪里 d、 a、 c。 在 这，这个角等于角 b， 则角 a、 d、 c。 等于角 bc。 我 们看到这个角 a、 d、 c。 角 a、 d、 c。 应该是等于角 b。 加上角 b、 a、 d。 对吧？三题的外角等于这两个和它不相邻的这两个内角的和，而这个角等于它，所以我们等量的话，所以等于角 c a d 加角 b a d。 好， 这个角加它，那不就是等于角 b、 a、 c 吗？所以我们课本上的题目都是很简单的题目啊，有的时候没有什么很多要讲的必要性，那么这样的题目考试是确保拿满分。我们看的第五题， 过多边形，呃，一个顶点的所有对角线，过一个顶点的对角线是 n 减三条啊，这个上课讲的是，你要记住， 那么将这个多边形分成的是五个三角形，哎，刚才说对角线呢，是 n 减三条啊，但是这 n 减三的对角线分成的三角形是多少个呢？是 n 减二个， 现在的 n 加二个是五个，所以 n 等于七，也就是说这是个七边形， 而这个七边形的内角和是多少呢？好，我们根据公式， n 加二乘以八十度，那七减二乘以一百八十度，那就是七加五五乘以八等于九百度，所以它的内角和，那就是九百度。 我们的第六题，一个多边的内角和是一千零八十度，它是几边形？好，我们看到设它为 n 边形， n 减二乘以一百八十度，等于一千零八十度， 我们看到 n 减二就等于一零八零除以一百八十，呃，一百八十分去了一个零一十八分之一百零八，呃，用九来除，这里就是二九，呃，就是一十八，就 等多少呢？ 一百零八除以一十八，对吧？用二二九，一十八，二五十四，一六啊，等于六啊，这个等于六。 n 减二等于六， n 九等于八，那么 n 等于八呢？这就是八边形 啊，我们前面大家记住啊，呃，三角形的内角和是三百六十度，五边形的内角和是五百四十度，六边形的内角七百二十度，八边 啊，七边形的内角和是九百度，八边形的内角和是一千零八十度，每多一边形，他的内角和就多啊，一百八十度啊，当然我们在做的时候我们要根据公式来做啊，其实这里有的同学一下就可以口算的，知道啊，这个不算他的这是八边形，记得点赞关注哦。

小朋友们好！上节课我们一起读了小明的冰雪乐园一日游，不仅学会了按时间顺序讲故事，还掌握了计算时间差的方法。今天我们要从读者变身成小作者， 亲手制作一本属于自己的时间小书，记录下我们生活中的精彩瞬间。同时我们还要走进小讲堂，去探索古代人是怎么计时的， 还有哪些和时间有关的有趣知识，让我们一起开启学习之旅吧！首先我们来看作一作第一部分，按照时间先后顺序 制作实际的时间小书。课本上给了我们两个很好的参考方向，有趣的一天 可以记录从早上起床、上学、上课、放学到晚上睡觉这一整天的活动。我的快乐周末可以记录周六周日两天里你和家人 朋友一起做的有趣事情。然后我们一起学习制作方法。制作的时候，我们可以像小明那样，用照片或者画画的方式，把每个时间点和对应的活动记录下来。比如制作有趣的一天 可以这样记录，早上七点我起床了，穿好衣服。七点三十分我和爸爸妈妈一起吃早饭，八点我背着书包去上学。九点我们开始上第一节课，十二点中午到了我们吃午饭。 十六点三十分放学了，我和同学一起回家。十九点吃完晚饭，我开始写作业，二十一点我洗漱完毕上床睡觉。大家看，把这些时间和活动连起来，就是一本生动又有意义的时间小书啦。最后分享与交流。制作完成后， 我们可以和大家分享自己的时间小书，互相提出与时间有关的问题。比如你从家到学校用了多长时间？你上午学习了多久？你周末玩了多长时间的游戏？ 在提问和回答的过程中，我们不仅能锻炼自己的表达能力，还能在交流中巩固时间知识，发现更多和时间有关的乐趣。接下来我们看第二部分 小讲堂，探索时间的奥秘，一起研究关于时间的问题。首先，关于时间，你还有哪些问题？比如古代的计时工具和现在的钟表一样吗？也有时分秒吗？我们已经知道， 古代的计时工具和现在的钟表不一样，它们没有时分秒的细分，而是用时辰和刻来计时。古人把一天分成十二个时辰，一个时辰等于现在的两小时。把一个时辰分成八刻， 一刻就等于十五分钟。我想知道与时间有关的成语有哪些？我们已经积累了一些，比如日积月累、争分夺秒，一刻千金、光阴似箭、 日月如梭等等，这些成语都在提醒我们要珍惜时间。其次，看小讲堂开播啦，我们要重点讲的是 博物馆里的古代计时工具龟表和日轨。龟表和日轨都被称为太阳中，因为它们都是利用太阳的影子来计时的。龟表，它由龟和表两部分组成。表是一根垂直立在地面的标杆或石柱。 龟是一把平放的有刻度的尺子，当太阳照在表上，影子就会投在龟的刻度上。 古人通过观察影子的长度和位置来判断时间和节气。日轨，它由一个圆盘和中间的铁质时针、轨针组成。太阳照在轨针上， 时针的影子会随着太阳的移动而移动。投在圆盘的刻度上，古人就根据影子的位置来判断时间。不过它们有一个共同的缺点，只能在晴朗的白天使用， 到了晚上或者阴雨天没有太阳就没办法计时啦。小朋友们，今天我们学会了两个重要的本领， 一、制作时间小书，按照时间先后顺序记录自己一天或周末的生活，还能和同学互相提问，巩固时间知识。二、了解古代计时工具， 知道了龟表和日鬼是古代的太阳中，也了解了时辰和刻的知识，感受到了古代劳动人民的智慧。时间的故事还有很多很多，做时间的小主人和小研究者，你掌握了这些知识了吗？

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第十页练习。 嗯，这页的练习呢，一个是呃，考察最简二次根式，第二呢是考察分母有理化啊， 这个分母油理化呢，是非常重要的啊。这个呢，嗯，也肯考察你的一个计算能力啊。首先呢，我们来理解一下什么叫最减二次根式，那么什么是最减二次根式呢？你像立五、立六、立四、立五立六各小题最后的结果是这些。 那观察这些式子中的二次根式，可以发现有两个特征，第一呢，就是被开放数当中不能含分母。第二呢就是被开放数中不能含开得进平方的因素或因式啊。意思就说你的 被开放数里不能有分母，分母当中不能含有平方数啊，比如说根号九，这就是 就不是最减，他就是能能够接着计算的啊。你像根号下 ab 方，那你像 a 开不了了，但是 b 方是一个平方数，所以这就不是最减二次根式。 那么满足以上两个条件的，他就是最减二次根式。实际上呢，他还有第三点，就是什么呢？分母当中不但含有根号，分母中不含根号啊，不含根式。 你比如说我们这个例六，你看根号三分之，根号十，你看你的分母当中含有根号的，这也不是最减的 啊。根号三分之，根号十，这也不是最减的啊啊，他可以整理到呃根号里边去，实际上就是呃根号下含分母了 啊，也，这个呢，就是分母当中含根号了，这都不是最减二次根式啊。那么进行那个化简的过程呢？就是啊，就是这个分母有理化啊，进行分母有理化， 分母有理化呢，实际上就是化简啊。那么我们通过做题呢，来说一下这个具体的画法，因为每道题呢，他都不一样，所以呢，具体的画法也不同，那得根据你的这个理解的能力啊。 呃，第一小题呢，化简使结果中的二次根式为最简二次根式。那你先观察第一个根号三十二，你说他不含分母吧， 分母当中也不含根号吧，那他就是第二个那个分母当中。呃，根号被开放数底下含有平方数了呗，那你想三十二呢？首先你考虑乘法口诀范围当中啊，四八三十二，对吧？ 啊，四和八呢？四是平方数，八呢里边还有因数四，所以他实际上能够拆出十六乘二， 这个你看，这就是你的那个，嗯，对数的一个分析能力，那你说我就能分析出四乘八， 那你这时候呢？你，你就得通过这个算完之后，你还得画第二四啊，八还得拆成二四得八，你的四又是一个平方数，所以呢，你这个呢，就得在啊平时计算的时候训练自己的一个对数的一个敏感程度啊。 然后呢，十六呢？开平方得四，然后二呢？留下，这就是那个最假的最减的二次根式啊，那根号四十呢？你首先你想 啊，他是二的倍数啊，他也能是四的倍数，所以呢，他可以拆成四乘十，四乘十，那你说老师我能猜出五八四十，那你想五八四十，你的五是最减的了，那八呢，里边是不是还有个因数四， 对吧？那八又能拆成二四得八，所以呢，四是平方数，二和五一相乘，不还是二五一十吗？所以呢，这就应该是四乘十四能开平方得二十，留下，所以他最后化解等于二倍根号十。 然后你的第三个小题呢，你想，呃，二十四啊，他能拆成的平方数呢 啊，你的猜法呢？你像乘法口诀范围的当中的有三八二十四，四六二十四，那你三八是没有平方数，四六有吧，所以他可以猜成四乘六， 然后呢，你的七十五呢，他是五的倍数啊，除以五剩一十五，十五呢，还不是平方数，十五里边是五三三五十五，所以他实际上能猜出二十五乘以三。 那你要能给他拆成这样的，那你想，呃，四能开平方得二，然后呢，二十五能开平方得几啊？得五，然后你的这个六啊，因为这后面有个三嘛，所以你这六可以变成二三得六。 那你两个三不就能开出去一个三吗？然后你谁留下了，二留下了，所以整理一下就等于三十倍根号几二， 这个拆法呢，应该是比较快的啊，你要给他乘完了，变大了，这个数就不好算了。所以说呢，你尽量不要去 啊，给他往一块乘啊。然后第四题呢，你说他是去减二四根是吗？他也不是。为什么不是呢？因为一点五啊，他是个小数，小数是可以化成分数的，化成分数了之后，分个被开方数，不就含分母了吗？ 所以呢，这道题呢，你可以给他先变成分数，然后进行分母。有理化，你记得例六怎么算了吧， 分母二再乘个二变成平方数，那你的三啊，也乘以二，二能开平方等于 二的平方二乘二，开方能得二，所以他原来是做分母了，开出来还做分母，那二三得六呢？开不出来了就做分子啊，这个就可以这样算。然后你第五题呢，也是进行分母有理化 啊，原来分母是三，你再乘个三，原来分母是四，呃，分子是四，你再乘个四，这时候呢，你想原来的这个三呐，三乘三是不得九啊，九是平方数，开出来三还做分母上面呢，别盲目的往一块乘啊，你这个四不是平方数吗？ 四能开方得二，然后三留下，你看这算起来就快了，然后你的十第六题呢，你也是一样啊，这个呢，你观察你的分母呢，已经是个平方数了，所以你的分母开平方能得 a， 那你上面的十六呢？开方得四， b 方呢？开出去得 b， 然后谁留下了就 c 留下了啊，所以这个题，这是最后的结果。然后第二小题呢，计算，你观察这个题，这个题，这个题，这个题，是不是分母当中都还有根号了？ 分母中含有根号的，那你可以怎么算呢？也可以利用这个，呃，立，这是立几啊？立七啊，立七当中的这个第二个结法，你看这看，这 根号五分之，根号三，那你原来是不是有分母，那你有分母的话，分母不是一个根号吗？那你再乘个根号，变成一个平方数，变成根号五的平方 啊，你这不就能开平能能算了吗？所以呢，你可以利用这种方法，你看他也是利用这个方法，看见了吗？所以呢，我们来看啊，这道题， 也就是说你的分母呢，当中含有根号了，所以他不是最减二四根式，那我们就可以呢，呃，把它变成平方数，也是根号二乘根号二，你的分子也要乘根号二， 就等于根号二。乘根号二，不就变成根号二的平方了吗？不就等于二吗？所以它就得二，上面一乘根号二，就得根号二啊，这就算完了， 你看到了吗？啊，第二个呢，也是一样。来，你看啊，我的分母是根号十，那好啊，我再乘个根号十， 那我的二倍根号三也乘多少？根号十，那我的这个分母呢？根号十乘根号十就得十了，上面呢？嗯， 二呢？是那个外面的数属于细数，所以呢，外面数乘外面的数，这根号十，前面的没有数，相当于引含了个一吗？那一二得几啊？一二得二，那么根号三乘根号十是不等于根号三十， 对吧？拉到一个号下根号，下次算呗。那根号三十，他是不是最减呢？ 嗯，他呢，乘法口诀之内是五乘六六呢，还能二三，谁也不是平方数，所以他是最减的二次根式了啊。那么第三个题呢，你观察你的分母啊，他是带根号的，可是前面还有个系数， 那你说有系数的怎么办呢？我，我用不用把那个三也再乘一个呀？啊，不用啊，你就直接乘根号 n， 那 你的分母乘以根号 n 了，你的分子也要乘什么？根号 n 就 等于啊，这个外面乘外面的 是不是就得三？因为这个相当于前面系数为一嘛，一三得三，那根号 n 乘根号 n， 是 不是得 n， 然后五 n 倍的根号 n 啊？这题算完了，那么第四题呢，你观察分母当中是不是根号二 x， 所以 来咱们分母根号二 x 再乘一个根号二 x 分 之二 x， y 再乘根号二 x 等于 底下呢？是二 x， 上面是二 x， y 倍根号二 x， 然后你可以二 x， 二 x 约分等于 y 倍的根号二 x。 啊，这就是第二小题 第三题。长方体的体积 v 等于四倍根号三，高 h 等于三倍根号二，求它的底面积。那我们长方体的公式不是 v 等于 s， h 吗？ 对不对？所以 s 应该等于 v， 除以 h， 那 我们就可以写了啊，减 啊， s 应该等于四倍根号三，除以三倍根号二。那我们算一下吧， 因为它分母当中还有根号，对吗？所以呢，我分母乘一个根号二，你的分子也要乘以根号二，就等于 这个呢？根号二乘根号二等于二，二三得几啊？得六，这个呢，也是四倍的根号六，然后约分等于三分之二倍根号六。然后呢？答说底面积 s 为三分之二倍根号六啊，没有单位名称。

大家好，今天讲人教版三年级数学下册第十页口算除法，我们看例一，把六十张彩色手工纸平均分给三人，每人分得多少张？ 看到平均分要用除法，就用六十除以三，那么六十除以三怎么来计算呢？首先我们可以借助这个小棒进行实物演示， 小棒呢是十个，一捆，六十根就是六捆，我们把六捆平均分成三份，每一份就是两捆，两捆也就是二十根，就说明六十除以三等于二十，这是第一种做法。 第二种做法我们可以借助数的组成，把六十呢看成六个十，六个十平均分成三份，每份呢就是两个十，也就是二十。我们还可以用第三种做法，就是表内除法，我们 因为呢，六除以三等于二，所以六十除以三呢，就等于二十。有三种做法啊，比如说六百除以三，这三种方法都可以， 一般呢我们用数的组成用的比较多，比如说六百除以三，六百可以看成六个百，六个百除以三等于两个百，也就是二百。 六千除以三相当于是六个千，除以三等于两个千，也就是两千。这里是做一做，大家可以自行核对答案。

二年级下册第三十九页，同学们上课了，请同学们翻到课本第三十九页的内容， 练一练。一公园的狐狸，去年飞来了八只过冬的天鹅， 由于生态环境的改善，今年飞来过冬的天鹅数量是去年的四倍。今年飞过飞来过冬的天鹅有多少只？ 去年飞来了八只，由于生态环境改善，今年飞来过多的天鹅是四年去年的四倍。看清楚这个四， 今年去年四倍，非常的关键，今年多， 今年飞来的天求，今年求多的是是是，用乘除，今求多多用乘法。看到没？应用老师的方法就 非常的快速，而且准确率很高。那我想问你哪谁是一倍的量？八至一倍量， 谁是几倍量？就是，你看这里就知道了谁是谁的几倍，去年八至对不对？今年他的四倍，那就是倍数， 那求今年求多的用乘法好了。第二点，小亮，星期五写了五六个毛笔字，星期六写了十八个毛笔字。 小亮，星期六写的毛笔字是星期五的几倍 倍数，求倍数，看到没？求倍数，这是他是他的几倍。这里也是星期五六个画关键哦，星期五六个，星期六，十八个， 星期六写的是星期五写的几倍。求倍数。用除法十八除以六就等于三六十八三倍。 这个单位老师说写就写啊，老师说不写就不写。答，小亮，星期六写的毛笔字是星期五的三倍。句号答，里面要写三倍哦。 好！第三题，舞蹈兴趣小组有九名男生，女生的人数是男生的三倍，女生多少人？这一这一句非常的关键，是 女男三倍画关键啊！一定要知道关键，审题要审题是非常重要的，你看舞蹈兴趣小组有九名男生， 就是说包括男生和女生，对不对？女生人数是男生的三倍，女生有多少人？ 舞蹈兴趣小组有九名男生哦，这是男生的，老师就差点看错了，我还以为这个九是总数呢，那就有点难度了，所以说审题一定要什么认真仔细，包括老师也有可能会看错对不对，所以需要同学们的慧眼，一起帮忙， 集中注意力哦！九名是男生，男生，女生是男生的三倍，女生多求，女生求多的多多多乘乘乘九乘三二十七，单位 九名多少人？二十七人， 那这里九名，这里是多少人？我们就按最后一个来做单位好不好？问号的做单位。舞蹈兴趣小组一共有多少人？舞蹈舞蹈有多少人？ 一共有多少人？男生九名，女生二十七名加三十六人。 答，舞蹈兴趣小组一共有三十六人。句号。 第二题，舞蹈兴趣小组有九名男生，女生比男生多八名，比比比加减，你看比什么多比什么少？加减号， 女比男多，女生有多少人？女生多求多的多多多加加加，这也是男生哦。 答，女生有二十七人，舞蹈兴趣小组一共有多少人？ 哎，这不是一样的解题吗？是不是女生比男生多十八名？女生多求多的用加法没错，那也是九加七二十七喽，三十六，冷 好了，哎，你看这是乘法二十七，这加法二十七后面是一样的啊，一共一共加加加。答，女生有二十七人。逗号， 舞蹈新剧小组一共有三十六人。句号好，这个一定要会答！ 第四题，看图补充合适的条件或问题再解答。这个一倍，这个三倍，这个一二三四五倍。 好看一下，这里兰花有八朵，红花是兰花的三倍。 那怎么问呢？补充条件或问题再解答啊，审题要清楚再来。蓝色的花有八朵，红色是蓝色的，三倍， 没有什么，谁没有兰花，我们也知道了红花有多少朵， 也可以说红花有几朵，提出问题再解答吧。四是四乘除乘除，红是三倍，红多红求红 多多多乘乘乘八乘三等于二十四，单位朵八红花有二十四朵。句号。第二题，兰花有八朵， 黄花有多少朵？看下黄花一二三四五，黄花是兰花的五倍， 没有黄色的。那我们就写字吧， 五倍， 黄花是兰花的五倍， 黄花有多少朵？黄是五倍，黄多啊，四是前面的就多啊，黄已经是他的五倍了，还不多吗？四是四乘除多多，多乘乘乘 八乘五等于四十，单位朵加答，黄花有四十朵。句号 写完了，我们来看一下啊，你看，其实一整张下来都是一样的，一样的方法，一样的技巧。所以说题目呢，我们要经 要懂，几倍的量，一倍的量，都要知道。 好，这要记住，这里就对了哈，是多少倍乘除多多多乘乘乘少少少，求多求多乘乘乘求少求少除除除。 这个呢，求多求多，加加加，求少求少，减减减。好了，这节课就上到这里，朋友们再见！

hello， 同学们和家长们好呀，今天咱们要讲的是人教版三年级下册 第二单元的小练的第十页。好，那我们一起来看一下这页的内容，是口算除法的一个第三课时。好，那我们来看一下第一题，我会填 在这道题目里面。首先口算，他说口算一百五十除以三的时候可以怎么样？想啊？我们在课堂上已经进行过操练了，就是多少个，我们说过它是一个整十数，所以是多少个十，那么就是 十五个十除以三。得出来了，我们就有五个十，也就是五十，所以一百五十除以三，结果等于五十。 好，那么紧接着他说下面是三名同学同时口算一个除数，是一位数的除法算式，根据他们的想象力觉得这个除法算式啊，首先 因为四百，因为四十八除以六等于八，所以怎么怎么样？因为四十八个十除以六会等于八个十怎么怎么样？而注意这里四十八个十，我就可以得出结论了，它是四百八。 好了，因为八十。这里是什么法？我们在这里面有三种方法，这里可以显示三种方法。第一种方法，这是什么？哎，就是我们口算除法一里面说过的内容， 根据这个除法算十，我们让他们变成我们的方法。二 是什么呀？就是他有几个十，你说把那个零给他，从个位变到十位去，就是几个十。紧接着就是一个第三种方法，叫做想乘法算除法， 所以这个算式就是四百八十，因为他是除法算式嘛，所以就是四百八十除以六，结果等于八十。 好，那么来到第二题二七十四，那么这里一百七十、七十七百六七，四十二、六十六百八九，七十二，八十八百， 这里就是七十二个十，七十二个百。好，四十除以五，五八，四十。哎，这种题目我们之前讲过了，你看，如果我们以整百数来看，那他就只有四个百，四个百是无法平均分成八份的。 所以呢，我就退一步，把它变得更小一点，变成几个十。你可以知道四百就是四十个十， 那么就是四十除以五，结果等于五个十，那么也就是五十。这里也是一样的，他虽然是四个千，但是因为四个千他不能平均分成八份。所以呢，我们就退一位，把它变成四十个百，四十个百平均分成八份，每份就是 五个百，五个百也就是五百，这是我们用我们的一个百位啊，十位啊，这种看整体。那么还有一种就是我们想八乘以谁会等于四百， 以及八乘以谁会等于四千的这种想法，去想一下下面两道题啊。好，那么这种方法我们不多说，我们来到下面的第三题。 好，那我们来看到第三题，学校图书室新购进了三百六十本图书，管理员要把它们平均放到四个书架上。 问题，每个书架要放多少本？好，原本按照我们大家来说，哎，在这里应该结束了，但是你看它后面还有什么，如果平均放到六个书架上， 每个书架要放多少本？好，这道题目又有几个问题啊？没错，又有两个问题，那我们先回答一下第一个，第一个问题。 第一个问题，也就说这两个问题他们都是多少本书？对，都是三百六十，那么第一个问题是要把他们平均分到几个书架？平均放到四个书架，也就平均分成四份，那么三十六个十除以四，也就是四九三十六，所以就是九十本。 那么第二个问题呢？他也是三百六十本书，要平均放到六个书架，那么六六对三十六，所以是六十本。 好，那么你的答这有两个问题，我们答，先答第一个问题，答，平均放到四个书架， 每个书架放九十本。好，然后呢？逗号，紧接着平均放到六个书架，每个书架 六十本。啊，这个就大家自己补充了哈，我就不多写了，因为位置原因。好，那我们来看到第四题提升题，某超市开展促销活动，饮料买五箱送一箱，妈妈花六百元，花三百元买了六箱， 平均每箱。注意，这里有个平均每箱饮料比原来 便宜多少钱？所以这里你看到谁比谁贵，谁比谁便宜，他一定是用什么法呀？对，一定有一个减法，那么是谁减谁？也就是说现在 每箱饮料吧，现在的每箱饮料的价钱和我们原来每箱饮料的价钱，他们相差的数额是多少吧。好，那我们来看一下， 他现在花三百元买了六箱，也就是说我三百元买了六箱，实际上每箱只花了我五十元。 为什么是买了六箱啊？那我们注意看了，这里面六箱，实际上有，只有几箱是买的，只有五箱，它是，它是我花了钱的，还有一箱是干嘛呀？是送的，但是因为他说平均每箱价格，我就要把我这一箱不要钱的他 汤到钱来，把前面五箱的那个钱汤给第六箱嘛，这样子的话，就可以算出每一箱 这六箱每一箱是多少钱，所以这六箱每一箱是五十元。那么如果我没有这个活动呢？没有这个活动我三百元就只能买几箱，对了，没有这个活动，我三百元就只能买五箱，这是没有活动的时候的， 我三百元就只能买五箱，那么五箱一箱是多少钱？对，一箱就是六十元，这是有活动的时候， 有活动的时候相当于我把那箱不要钱的去评他前面五箱的单价。之后我就知道了，我平均每这六箱平均每一箱只需要五十元，那么你看现在是五十元，原来是六十元，那么谁比谁便宜，就是六十减五十，结果等于 十元，所以答平均每箱 比原来便宜十元。好，那么这就是我们今天的一个第十页的内容讲解。

一年级下册数学重难点补妆问题这道题是课本第六页的一道原题。 那在计算补妆问题之前，首先我们要明白每一行的砖数它是一样的，那我们来看看缺了几块砖。 在计算这道问题之前，首先第一步我们要数完整的砖数，那我们看一看哪一行有完整的砖数？首先我们看一下最后一行，也就是第六行有一块、两块、三块、四块、五块， 最后一行他有五块砖，那我们看一下倒数第二行，也就是第五行，哎，这里有半块砖，他不是完整的一块，那这里有半块砖， 最后也有半块砖，那两个半块加一起就属于一个完整的砖。那我们来看一下，数一下第五行有几块砖，看这两个加一起是属于一块， 那我看一下两块、三块、四块、五块，第五行也是有五块砖，那所以每一行都应该有五块砖。 来我们看一下第二步数每一行缺的数，那我们看一下第二行有一块、两块、三块，有三块完整的砖，那我们用五减 三等于二，那这两块也就是第二行缺少的砖数，那第二行缺少了两块砖， 那我们看一下第三行，哎，这里有半块砖，那这里也有半块砖，两个半块加一起就属于一整块，那第三行有一 二，那第三行有两块砖，我们用五减二等于三，也就是第三行缺的砖数，第三行缺少了三块砖， 那我们看一下第四行，第四行有一个完整的块，两个完整的块，那第四行有两个完整的块，我们用五减二等于三，也就是说第四行缺少了 三块砖，那第三步就是所缺的砖相加，我们用二加三，再加三、 二加三再加三等于八，所以缺少了八块砖。

宝贝们好，我们先来看第十二题，这是一道有趣的图形题，我们先仔细观察这幅图，它由三部分组成，小火车、小房子和小鸟。我们来分类，数一数， 找长方形个数。观察。小火车的后面三节车厢都是长方形，连接车厢的那是三个小的长方形，小房子的最下边也是一个长方形，所以一共有七个长方形。看圆的个数。小火车下面有四个圆， 小房子上面还有一个圆，所以一共有五个圆。看平行四边形的个数。我们看小鸟的尾巴， 那是一个平行四边形，所以一共有一个平行四边形。我们把图形从左到右数一下，一共有二十二个图形。看第二小题，小明想摆四个和图上一样的小火车，它原来有九个圆，还需要几个圆？我们先看 摆一个小火车需要四个圆。摆四个小火车一共需要的圆的数量是，四加四加四加四等于十六 个。小明原来有九个圆，那么它还需要的数量是，十六减九等于七个。第三小题，请你尝试提出其他数学问题并解答，比如我提的问题是图中长方形和圆一共多少个？ 解答，七加五等于十二个。答案不唯一，还可以问图上别的。我们来看第十三题。 草地上有一群羊，其中有二十八只黑羊，黑羊比白羊少十七只白羊有多少只？黑羊和白羊一共有多少只？黑羊比白羊少， 意思就是黑羊少，白羊多，所以求白羊的数量，我们要用加法，二十八加十七等于四十五只。知道了白羊有四十五只，黑羊有二十八只，求一共有多少只？我们把它们加起来 二十八加四十五，等于七十三。指答，白羊有四十五只，黑羊和白羊一共有七十三只。我们来看第十四题，玩套圈游戏， 小红得了五十一分，小明得了四十分，小红可能套中了哪两个玩具？小明呢？我们来算一算， 拿两个玩具的分数加起来正好是五十一分。小狗二十五分。家长颈鹿二十六分，等于五十一分。兔子十八分加熊猫三十三分，等于五十一分。 所以小红可能套中了小狗和长颈鹿，或者套中了兔子和熊猫。我们再来算一算， 拿两个玩具的分数加起来正好是四十分。小狗二十五分加企鹅十五分，等于四十分。长颈鹿二十六分加白鹅十四分，等于四十分。 所以小明可能套中了小狗和企鹅，或者套中了长颈鹿和鹅。你学会了吗？这是一年级下册最后一页，一年级下册课本就讲到这。

小朋友们好，我们开始学知识，涨本领了。先看第三题，按要求分一分，填一填。图上画了十一本练习本，我们来分一分，一， 平均分给四人。我们把十一本练习本平均分给四个人，也就是把十一平均分成四份，每人先分两本， 四个人就分掉了八本，还剩下三本，这三本不够，再每人分一本了，所以是余数算是十一除以四等于二本，余三本。这里上的单位是本。因为问题问的是每人分几本，余数的单位也是本， 因为它是剩下的练习本，和背除数的单位一样。二、每人分四本。现在我们换一种分法， 每人分四本，看看能分给几人，还剩几本。我们来分一分，四本分给第一人， 再四本分给第二人，一共分掉了八本，还剩下三本，这三本不够，再分给一个人了，算是十一除以四等于二人，余三本。这里上的单位是人。因为问题问的是能分给几人余数的单位还是本， 因为它是剩下的练习本。大家看，同样是十一本练习本，分的方法不一样， 上的单位就不一样，但余数的单位始终和被除数保持一致。接下来看第四题，把二十支铅笔平均分怎样分没有剩余，怎样分有剩余。先做没有剩余的分法。我们可以想乘法口诀， 几乘几等于二十。比如每人分四支，可以分给五人，二十除以四等于五 人，正好分完没有剩余，我们可以画图表示，把二十支铅笔每四支圈成一组，正好圈五组。再看有剩余的分法。如果每人分三支， 我们来算一算，二十除以三等于六人，于两支，分给六个人后，还剩两支有剩余。我们也可以画图表示， 每三支圈一组，圈了六组还剩下两支。只要我们平均分的份数不是二十的因数，就会有剩余。我们来看第五题，再算是几除以八等于几于几重， 余数最大是几。我们已经知道，在有余数的除法中，余数一定要比除数小，这里的除数是八， 所以余数必须比八小。比八小的最大整数是七，所以余数最大是七。现在我们来学习今天的重点内容，用除法数式记录摆小棒的过程。十三根小棒， 每四根摆一个正方形，结果怎样？我们先摆一摆，每四根摆一个正方形，可以摆三个。 用掉了十二根小棒，还剩一根，算是十三除以四等于三个于一根。我们来分解一下数式的每一部分。首先写除号，里面写被除数十三，外面写除数四。 其次想四乘几最接近十三，而且小于十三，四乘三等于十二， 所以商是三写在除号上面，和个位对齐。然后用商三乘除数四，得到十二，写在被除数十三的下面，表示用去了十二根小棒。最后用被除数十三减去十二，得到一写在横线下面， 表示还剩一根小棒。所以十三根小棒每四根摆一个正方形，可以摆三个，用去了十二根，还剩一根。小朋友们，今天我们又学到了很多新知识。一、区分单位 首先是商的单位，应该看问的问题里的单位问啥单位就用啥余数单位看总数和被除数保持一致。二、平均分的结果，平均分的分数不同，可能没有剩余，也可能有剩余。三、最大余数， 在有余数的除法中，余数最大，比除数小。一、四、除法，数式，我们学会了用数式来计算有余数的除法，每一步都要写清楚，注意商和余数的位置，你学会了吗？

小朋友们好，上节课我们发现了一个重要规律，余数一定要比除数小，因为在有余数的除法中，余数是不够平均分，而剩下的 如果余下的数等于或大于除数，说明还可以再分。最后一定是余数要比除数小， 今天我们就用这个规律来解决问题，让我们开始吧！看第一部分，做一做我们先看第一题，用一些小棒摆五边形， 如果有剩余，可能剩几根？摆一个五边形需要五根小棒，所以除数是五根。据余数小于除数，余数必须小于五，所以可能剩一根，两根，四根，不可能剩五根或更多， 因为那样就还能再摆一个五边形了。再看第二题，有一些巧克力平均装在六个盒子里，如果有剩余，最多剩几颗，平均装在六个盒子里。除数是六，余数要比六小，比六小的最大整数是五， 所以最多剩五颗。大家看，只要记住余数小于除数，这类问题就迎刃而解啦！看第二部分，练一练第一题，把二十一个窝头装袋，选一种装法，圈一圈，填一填。装法一，我们来圈一圈， 四个一袋圈了五袋，还剩一个，算是二十一。除以四等于五袋于一个。 l 装法二，每袋装五个，我们五个一圈圈了四袋，还剩一个， 算是二十一。除以五等于四袋于一个。装法三，每袋装六个，我们六个一圈圈了三袋，还剩三个，算是二十一。除以六等于三袋于三 个。不管选哪种装法，我们都用有余数的除法解决了问题，而且余数都比除数小。我们来看第二题，十七个草莓 平均分给三只小刺猬，每只小刺猬分到几个，还剩几个？我们来分一分，十七个草莓。三只小刺猬， 每只先分五个，一共分掉十五个，还剩两个，所以每只小刺猬分到五个，还剩两个，算是十七。除以三等于五个于二个，这里余数二比除数三小， 符合我们的规律。同学们，今天我们又巩固了有余数的除法，重点记住， 一、余数一定要比除数小，这是我们解决问题的关键。二、用有余数的除法可以解决平均分后有剩余的问题，比如装袋、分物等。三、写算式时要注意商和余数的单位， 商的单位看问题，问啥单位就用啥余数单位看总数和被除数保持一致，你学会了吗？

大家好，今天讲人教版六年级数学下册第七页第七题，如果图中一格表示一米，那么点 a 在 负一处，点 a 在 负一，那么点 b 呢？与点 a 相距三米，在这里呢？他没有说 b 是 在 a 的 左边还是右面，他只给了距离，没有给方向。所以 b 呢？有两种可能，我们在点 b 的 左边，有可能在 a 的 右面， 它相距三米，那么距 a 三米处，如果往左数，那么 b 在 负四处，如果往右数，那么 b 在 二这个位置。 第八题，某商场一月份的营业额是一百万元，二月份的营业额是一百三十万元，比一月份增长多少？我们先算出来比月一月份增长了多少万元，就是一百三十减一百万元， 那么增长的这部分占一月份多少呢？所以再除以一百，通过计算，等于百分之三十。三 月份的营业额是一百一十七万元，比二月份减少了百分之十，称为负增长。减少用负增长来表示，也可以记作负百分之十，那么四月份的营业额是这么多，比三月份增长了多少？ 我们看三月份是一一百一十七万元，四月份他变成了一百一十一点一五万元，也就是说他减少了，也就是负增长，所以我们算出来的数应该是个负数。那么我们先算一下他减少了百分之多少， 那么四月份比三月份他少的就是一百一十七，减一百一十一点一五万元，他占三月份多少呢？所以再除以一百一十七，通过计算等于百分之五，因为是负增长，所以要填负百分之五。 五月份营业额是这么多，与四月份持平，那么说明他的增长率就是百分之零，也称为零增长。

大家好，我是讲数学的小胡老师，今天我来讲解，嗯，新版八年级下册数学第三十八页 二十点二啊，习题二十点二的四五、六题。那我们看一下第四题，他说在三角形 a、 b、 c 中， a、 b、 c 等于十， b、 c 边上的中线， a、 d 等于十二， 然后求 a、 c 的 长。那现在呢，我们可以先画个图啊， abc， 他 说 ab 等于十三， bc 等于十，然后他说 bc 边上的中线啊，这个位置设成 d 啊，这不告诉你 a、 d 等于十二吗？这是十二 啊，然后让我们求 a、 c 的 长，那你说我们在勾股定律，逆定律，这你是不得满足一个 啊， a 方加 b 方等于 c 方，也就是两条短的边的啊，平方和等于斜边的平方，是不是这么个道理？那现在呢，你观察我这个 d 呢，是 bc 中点，所以呢，我的 b、 d 和你的 cd 是 不是都得五？ 说没问题，那这得五，这是十二，这是十三。那么你在你学过的这些勾股数当中，五十二，十三是不是一个？勾股数的话，我用勾五定力，定力是不能验证这是垂直的， 对吧？能验证垂直了，那你这边也是垂直，你再用勾股定力求 ac 时候即可 啊，所以呢，在这里我们可以呀，啊，去这样写， 首先呢，我们先由中中点啊，因为 d 为 bc 中点， 所以呢，你的 b、 d 等于 d， c 等于二分之一， b、 c 等于几等于五啊。然后在三角形 a、 b、 d 中， 你的 b、 d 方加上你的 a、 d 方，它等于五方，加十二方等于一百六十九，然后 a、 b 方呢，等于十三方，也等于一百六十九啊，我们就会得到 b、 d 方加上 a、 d 方等于 ab 方。所以啊，你的三角形 a、 b、 d 是 r、 t 三角形我简写了啊，用符号表达，并且呢， 角，呃，别写角了，写 a、 d 应该是垂直于谁的，垂直于 bc 的， 所以你的角 a、 d、 c 也应该得多少度？ a、 d、 c 也应该得九十度。然后呢，我就可以由勾股定里得了呗。啊，在二 t 三角形 a、 d、 c 中啊， a、 c 应该等于根号下五方加十二方等于多少十三啊，所以 a、 c 的 长为十三啊，那你说老师我正全等行不行啊？ 这个地方呢，其实政权等也可以，但是呢，他这道题放在勾股定律逆定律这块呢，实际上他是想让你去啊，练习这个勾股定律，所以呢，建议你啊，用勾股定律逆定律和勾股定律来做啊。那我们来看一下第五题， 他说如图，正方形 a、 b、 c、 d 中 a， b， c， d 中 e 呢是 b， c 中点， f 是 c、 d 上的一点，并且 c、 f 能等于四分之一的 c、 d 也说这是一份整个的为几分， 整个的正方形的边长为四份。然后让我们验证你的 a、 e、 f， 他 得九十度啊，来验证你的 a、 e、 f 等于九十度，那你说要想验他九十度，那用的不就是勾股定律逆定律吗？ 啊，你只要能满足两条短的，两条短边的平方和能等于斜边的平方是不就可以了 啊，那我们来求一下，那你说老师啊，这里边一个数也没有，这怎么算呢？来，你看啊，第一是 b、 c 边中点 b 是 不是你的正方形边， b， c 是 不是你正方形边长？ 然后你 c、 f 等于四分之一的 cd， cd 是 不是也正方形边长？那你看这两个，两个已知条件都是跟正方形边长有关，而正方形边长我还不知道， 所以怎么办呢？我可以设一个未知数啊，来表示这个正方形边长。那你再看，我的 cd 是 等于四分之一的 c f 等于四分之一的 cd 的 啊，如果我设这个 cf 为 a 的 话， 那你的 cd 是 不是应该是四 a？ 我 剩那一份数嘛？是不是？所以来第五题，我可以设 c f 等于 a， 然后则你的 cd 等于 bc 啊，就会等于。嗯，先说 cd 吧， 所以 c d 应该等于四 a， 这就是依据这个已知条件我们来设的啊。 c f 如果等于 a， 那 你的 c d 的 四 a 是 不是这么个意思啊？那好，那现现在我们可以说，因为 abcd 是 个什么形， 正方形对不对？所以呢， ab 等于 bc 等于 cd 等于 ad， 都得几 a 都得四 a 啊，都得四 a。 之后我们再说这个 e 啊，是 bc 中点 b c 中点，所以你的 be 等于 ec 等于二分之一， bc 等于几啊？等于二 a 啊，然后呢？嗯， 因为你的 c f 等于 acd 等于四 a， 所以 你的 d f 应该等于 c d 减 c f 等于几 a 三 a。 那你说把这些这一圈啊，他的那个数据都给他准备好了，那现在呢，我就用勾股定力啊，勾股定力来求这啊，我这还少写了点东西，这个位置应该加上一个 角 b 等于角， c 等于角 d 都得多少度？九十度，因为我们要用这个勾股定力得有直角三角形，对不对？ 那现在呢，我们来，嗯，求一下啊，因为一会我们要用勾股定律，逆定律来啊，求这个 a e 方加 e f 方等于的 a f 方，所以呢，我们不用求 a e， 我 们直接求谁 a、 e 方即可啊。那么我们可以说，在 r、 t 三角形 a、 b、 e 中， 你的 a 一 方应该等于 a b 方，加 b 一 方就等于四 a 的 平方，加上 b， e 是 二 a 的 平方，所以等于四 c 十六、二十 a 方。 然后你再算这个 e、 f 啊，在二 t 三角形 e、 c、 f 中，你的 e、 f 方应该等于 e c、 e、 c 方，加上 cf 方就等于 二 a 的 平方，加上 a 方，应该等于五 a 方，这是右下角。那三角形啊，看到了吗？然后第右上角的啊，在 r、 t 三角形 a、 d、 f 中， 你的 a、 f 的 平方应该等于 a、 d 方，加上 d、 f 方等于， 这应该是四 a 的 平方，加上三 a 的 平方，等于四十一、十六、二十五 a 方 啊，那你现在你观察一下，你看啊， a、 e 方是二十 a 方， e、 f 方是五 a 方，然后 a、 f 方是二十五 a 方，这明显就会得到 a、 e 方加上 e、 f 方等于谁 a、 f 方， 对不对？所以呢，三角形 a、 e、 f 是 r、 t 三角形啊，是 r、 t 三角形，并且 角 a、 e、 f 等于多少度？九十度啊，这个第五题就完成了。嗯，第六题， 第六题说，我们知道啊，三四五啊，三四五是一组勾股数，那么三 k、 四 k 五 k k 是 正整数，也是一组勾股数吗？那一般的如果 abc 是 一组勾股数，那么 a k、 b k、 c k k 为增长数，也是一组勾股数吗？那实际上是啥意思啊？就是这三四五不是一组基础勾股数吗？那么你的三四五、三 k、 四 k、 五 k 就是 同时扩大了相同的倍数，那它是不是一组勾股数呢？来，咱们来验证一下啊， 那因为 abc 啊，咱先啊，咱先答吧 啊，咱先验证一下第一个，这个我不能直接写第二个啊，涂改带没在这，我们先这么写啊，因为你的这个三方加四方等于五方， 是吧？这是一组个股数，然后呢，所以来三 k 的 平方加上四 k 的 平方，它等于啊二十五 k 方，然后五 k 的 平方也等于二十五 k 方， 所以呢，三 k 方加四 k 方，它是等于五 k 的 平方的，所以三 k、 四 k、 五 k k 是 正整数， 也是一组 勾股数。这是第一问，我是不就验证了那第二组啊？第二个，我们可以说因为你的 abc 是 一组勾股数， 那它如果是勾股数的话，就会满足什么 a 方加 b 方等于什么 等于 c 方。那他要问我们这个 a k、 b k、 c k 呢？那我们就可以验呗，那就是 a k 的 平方加上 b k 的 平方，他就等于 a 方、 k 方加上 b 方、 k 方 啊，那他就会等于 a 方加 b 方。括号 k 方，他就等于 c 方、 k 方， 对吧？ c 方、 k 方不就等于 c k 框号的平方吗？看懂吗？所以你的 a k、 b k、 c k 为正整数， 也是一组勾股数。 这一题就完成了。

大家好，我是讲数学的小何老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第二十九页练习。 第一题，在竖轴上画出表示根号十七的点。这道题呢，首先呢，你来看一下，嗯，这个小题，这个小例题啊，就这个探究，任何一个实数啊，都可以用竖轴上的一个点来表示，你能在竖轴上画出根号十三的点吗？ 那刚才那个问题是根号十七，那这个例题呢，是根号十三，说如果要能画出长根号十三的线段，就能在数字上画出根号十三的点。 嗯，我们都知道啊，根号二的线段是两条直角边的长都为一的直角三角形的斜边。那长为根号十三的线段能是为正整数的直角三角形的斜边吗？ 那根据勾股定律可知啊，两条直角边的长为二和三的直角三角形，其斜边就是刚好十三。那依照下面的方法，在数上就可以画出刚好十三的点。 嗯，那这个题呢，首先你要明白啊，你这个五理数，它应该是一个直角三角形的斜边， 然后呢，这两条直角边呢，还必须得是什么？是正整数，看正整数，那你看二的平方得四，三的平方得九，四加九得刚好十三，对吧？所以呢，斜边应该是刚好十三，那么他的做法啊， 做法在这这一段呢，是他的。呃，做法，我一会做这个第一题的时候，也是也要按照这样的步骤去完成啊。他说如图啊，说 o 为竖轴上的圆点，说首先在竖轴上找到表示三的点 啊，表示三的点 a， 然后也就是 o a 等于三，然后呢，过点 a 做直线 l， 这垂直于 o a， 这有一个垂直，这不就有直角出来了吗？然后在 l 上取一点 b， 然后呢，使 ab 能等于二，那你看这个直角边得二，这个直角边得三，那他的斜边不就得根号十三了吗？所以呢，说，最后以圆点 o 为圆心，以 o b 长为半径，画弧弧与竖轴正半轴的交点 c 即为表示根号十三的点。那你看这个根号十三是怎么找的？那根号十七能不能也是啊，两条 直角边的长为正整数的一个直角三角形的斜边呢？你这个呢，就可以看这个图了， 你看这个例题当中啊，教材里边其实全都交了，你看这个根号二的长啊，就是，嗯，直角边为一和直角边为一的 一个直角三角形的斜边，然后呢，这个是那个根号二，然后在这再做一个一啊，做一个直角边啊，做一个直角三角形，然后根号二，一，那这条斜边就是根号三， 然后呢，这是根号三，这是一，那这条斜边就根号四，根号四就是二了，对不对？然后呢，这是根号四，这块是一，那这斜边就是根号五，也就是整数二 斜边啊，直角边一，整数的直角边一和二，斜边为根号五，那直角边根号五，直角边为一，斜边为根号六。那么以此类推，你看，咱们要用的是根号十七，对不对？那根号十七是不在这，那根号十七是这条边， 那有一条直角边为一，另一条直角边是不？根号十六啊，而根号十六是不就是四， 所以呢，你看，不就是两条直角边为正整数的一个直角三角形的斜边吗？一个直角边为四，一个直角边为一。那好了，那我就按照刚才我们二十八页的那个辅助线的方法，我们来。呃，找出根号十七啊。第一步， 先画一个竖轴啊。第一题，角啊，如图，图在哪画呢？图在这画吧， 哪为零呢？这为零，这是竖轴，是不是一二三四，然后如图 那个照到左边啊，照到这，照到这个位置写，他咋说咱就咋写啊，我镜头在这边啊。嗯，如图， o 为竖轴原点， 然后首先在竖轴上 找出表示四的点 a 啊，表示四的点 a， 那 这是坐标原点，找出表示四的点 a， 那 这为 a， 然后呢，则 o a 等于四。我完全都是照在二十八页那个地方写的啊，然后说，然后 过点 a 做直线 l 垂直于， 垂直于 o a， 那 在这做一个垂线，垂直于 o a， 这是直线 l， 然后在 l 上取一个点 b， 在 l 上取点 b， 使 ab 写 l， 写。这边来啊，使 ab 等于一，使 ab 等于一， 这是 b。 然后最后以圆点 o 为圆心，最后以圆点 o 为圆心， 然后 o b 长为半径，做弧来，把 o b 连上，然后拿圆规 以 o 为圆心， o b 长为半径，然后做弧。看到了吗？然后呢，弧与竖轴 正半轴 交点 c， 即为表示根号十七的点， 那这就是点 c， 那 这个点就是啊，根号十十七啊，这个点为根号十七。那第一题就完成了 啊，这是第一。第二题说如图，等边三角形 a， d、 c 的 边长为六。等边三角形边长为六，然后求高 a、 d。 那 你想我们这个单元学的是什么？学的是勾股定律，对不对？那他要求的是高 a、 d， 那 你肯定得，嗯，放在一个直角三角形里，对吧？那现在这个直角三角形呢？你可以用右边的 a、 d、 c， 对 不对？ 那我们的边长为六，然后呢，等边三角形高有一个性质叫做三线合一，所以 b、 d 应该等于二分之一的 b、 c 这的三。那就说明我的斜面知道了其中直角一条直角边，求另一条直角边，是不这么个道理 啊，那我们用勾股定理数就可以了。那首先呢，我们先呢求出直角来啊。第二题，减括号一。呃，因为三角形 abc 是 等边三角形， 然后呢，你的这个 a、 d 呢，又是高，它垂直，所以呢，你的 a、 b 应该等于 b、 c 等于六啊，角 角 a、 d、 b， 它等于九十度。然后呢，我们还有一个三线合一，就是 b、 d 会等于二分之一的 b、 c 等于 等于三啊，这些都是必须知道的。然后呢，你就可以在勾股定里了，在二 t 三角形 a、 b、 d 中， 然后你的这个 a、 d 它会等于 a、 d 会等于 a、 d 不是 直角边吗？等于斜边的平方减去直角边的平方，就等于根号下六方减三方等于 六，六三十六减去九等于二十七，等于三倍根号三啊。所以呢，我的这个高 a、 d 就 求出来了。那第二问， 他让我们求三等边三角形的面积，那你说三角形的面积不就好求了吗？那 s 三角形 abc 就 等于底层高，也就是 bc 乘以 ad 乘以多少二分之一， 就等于 bc 是 六， ad 是 三倍根号三乘以二分之一，所以它等于九倍根号三 啊。这就是第二小题，这个题还是比较容易的，那么第三小题他说如图 ad 啊，是 abc， abc 边 bc 上的高，哎，这是它的高。 但是他题里有没有交代 abc 是 直角三角形啊？没有啊， abc 就是 一个普通的三角形，说分别以线段， abac 还有 bd 还有 cd 向外做了正方形，然后正方形的面积为 s 一 s 二， s 三 s 四，请写出 s 一 s 二 s 三 s 四的一个等式。 哎呀，这个呢，实际上你要这么看的话，它就是一个勾股数，对不对啊？那你说我的 abc 还不是一个直角三角形，所以呢，你不可能得到 s 一 加 s 二等于 s 三加 s 四，如果这是直角的话，那不就是 两条直角边外面的正方形的面积和等于斜边上的面积和吗？对不对？而这个 abc 它不是直角三角形，所以在这里呢，你得啊，找一个等量关系。嗯，什么样的等量关系呢？你这么看， 你说在这个 r t 三角形这个 abd 中啊，你的 ad 这条边是一条直角边啊，那你在这个 r t 三角形 adc 中呢， ad 也是这边这直角三角形的一条直角边，那你的这个 ad 他的平方，他的平方是不应该等于 s 一 减 s 三就是这个斜边上的面积，减去这个直角边的面积是不等于这个直角边的面积。那同理，右侧的这个直角三角形，我 a d 是 直角边，所以用 s 二减去 s 四，是不就等于 a d 的 平方？ 那我记住 a d 的 平方，这个等量关系，是不就可以求出 s 一 减 s 三等于 s 三啊？不对， s 二减 s 四啊，那等量关系不就出来了吗？对不对？那我们怎么去整理这个过程呢？哎呀，这个图啊，没看到是不是？ 嗯，再说一遍啊，你的 a d 这条边是左边这直角三角形的一条直角边， a d 这条边又是右边这直角三角形的一条直角边，那么 a、 d 的 平方， 他就应该等于斜边上的这个正方形面积，减去这个直角边和正方形面积，也就是 a d 方等于 s 一 减 s 三。 那同样的道理，你的 a、 d 呢，又是右边这直角三角形的一条直角边，而 a、 d 的 平方又等于 s 二减 s 四。那你借助这两个等量关系，是不就可以求出 s 一 减 s 三等于 s 二减 s 四了 啊，这不就等量关系吗？就是一个等式吗？啊，所以这个题是可以这样写的。那我们来呃，写一下过程啊， 你可以这样写啊，因为因为这个嗯， a、 d， 它垂直于 bc， 所以 你的角 a， 呃，三角形 a d， b 和三角形 a， d， c 啊，都是 直角三角形胶带，它都是直角三角形啊，直角三角形啊，然后呢，在 r t 三角形 abd 中啊，你的 ab 方 应该等于啊 b 地方加上 a 地方，对吧？所以呢，就会得出 s 一 啊，等于 s 三加 a 地方，所以即 a 地方等于啊， s 一 减 s 三。那在二 t 三角形 a、 d， c 中， 呃，你的 a、 c 方应该等于 c d 方加上 a 地方，也就是 s 二等于 s 四加 a 地方，即 a 地方等于 s 二减 s 四。那么因为你的 a a 地方等于 a 地方，是不是这么个意思啊？所以呢，你就会得出 s 一 减 s 三等于 s 二减 s 四。 那你写到这呢，它可以作为结论，你也可以稍微整理一下，就是变成加法的啊，变成加法的， 或者是给它写成 s 一 加 s 四等于 s 二加 s 三。啊，这两个其实写到上面里就可以了啊。