八年级下册数学人教版答案写法

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第五页习题十九点一的一、二三四题。第一题，当 a 满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义。 那么这题呢，你要考虑到什么呢？有意义的条件就是 b 开放数啊，有意义的条件就是 b 开放数， 必须得，怎么着，必须大于等于零 啊，也就是根号 a， 你 的 a 得大于等于零啊，这就是它成立的条件。那么第一个小题就是 a 加二是被开方数，所以 a 加二得大于等于零，所以 a 得大于等于负二。 那么第二小题呢，被开方数是三减 a， 所以 三减 a 得大于等于零，那么 a 就 小于等于三。 第三道题呢，你看，被开方数是五 a 方，可是这 a 呢？跟着的平方，对不对？它呢？最小为零啊，非负吗？因为 a 方是不大于等于零， 对吧？啊，所以呢，你的 a 方大于等于零，那么你的 a 就 应该是全体实数 啊，因为它不可能为负啊，非负数乘以五，它还是非负嘛，对不对？那我们可以说，因为你的五 a 方，它是大于等于零的，所以你的 a 是 全体实数， 这个条件他在实数范围内是有意义的。那么第四个小题呢，被开方数是二 a 加一，那二 a 加一就得大于等于零呗，所以你的 a 得是大于等于负二分之一 啊，负二分之一，所以这是第一小题，这题必须会啊！这是啊，到中考那天都是会考的 啊。第二小题呢？计算啊，第一小题是第一第一行啊，看啊，一二三四五，前五道题，你观察他都是平方在括号外面的 啊，第六七八题呢，都是方在根号下面的，所以呢，第一题考察的是根号 a 括号的平方，他就等于被开方数，所以第一个他就等于五，第二个呢，你想负数的五次密，他等于正，是吧？所以他 符号确定完之后，那根号下零点二的平方是不就等于被开方数零点二啊？然后第三个呢，他的被开方数是五分之三，所以最后就得五分之三， 然后第四个呢？你看这不有个系数吗？所以啊，分别乘方，也就是五的平方等于二十五，再乘以根号五的平方，是这个意思，看见了吗？所以等于二十五乘五 等于一百二十五啊，二十五乘五等于一百二十五，然后第五道题呢，也是负数的偶似密为正，然后这不也有个系数吗？所以它是七的平方，再乘以个根号下七分之二的平方， 所以等于四十九，乘以个七分之二，就等于十四啊，这道题是这样算的。那么第六题呢，考察的就是根号下带方的，根号下带方的，不应该考虑你的根号下的 a 是 正值还是负值吗？它等于 a 的 绝对值，对不对 啊？所以呢，当 a 大 于等于零时，等于它本身， a 小 于等于零时，等于原数相反数。那你看我的第六题，你的被开方数这个底数负十是负值，是吧？所以等于它的相反数正十。 第七个也是负三分之二是一个负数，它的平方的算式平方根应该等于 底数的一个相反数。那最后这个呢，也是你不看这外面的符号，这里边呢，他应该是一个负值，所以他应该等于正根号啊，正的五分之二，那前面还有一个符号呢，所以等于负的五分之二 啊，这个知识点是必须会的。然后第三小题呢，用代数式，用代数式来表示啊，代数式来表示。第一个呢，是面积为 s， 面积为 s 的 圆的半径，那你想圆的面积等于 pi r 方，对吧？然后转回过头呢，我们要求那个什么呀？求那个 r， 对 不对？所以来我们来写一下啊。嗯，设 圆的半径为 r， 那么因为你 s 是 等于派 r 方的，对吗？所以呢，你的 r 方就应该等于派分之 s 啊，然后又因为你的 r 是 大于零的，所以呢，你的 r 就 应该等于正的啊，派分之 s 啊，这就是它的半径。 那么第三第二小题说面积为 s， 且两条邻边的比为一比二的长方形的两邻边长。 嗯，这道题呢，你，你想啊，在这我们不是做过一个呃，这个长方形面积来求长宽的吗？对不对？那这道题也是一样的啊，我把这个题呢，写到上方去，写到这来，第三题的括号二， 那这里我们也需要设啊，设长方形的，嗯，长和宽 啊，设长和宽，设这一份的啊，这个宽不是短吗？对不对？宽是短长是不是应该是比宽长，所以我们设这一份的边啊，就是宽，我们可以设宽为多少？ 宽为 x 啊，那长呢？就是几 x 啊？二 x， 然后呢，长和宽的面积是不应该等于 s 啊，所以呢， x 乘以二 x 应该等于 s， 所以 二 x 方等于 s， 那 x 方等于什么？二分之 s 啊？然后呢，也是同样因为 x， 怎么样？因为 x 是 大于零的啊， 所以呢，你的 x 应该等于根号下二分之 s， 也要取正值，那这是那个宽，所以你的二 x 就 等于二倍的根号下二分之 s 啊。所以答， 你的长为二倍的根号下二分之 s， 宽呢，就为 根号下二分之 s 啊，这就是长和宽啊。这是第三小题，那我们看第四小题， 说利用 a 等于根号下 a 方，呃，根号下 a 括号的平方 a 大 于等于零，把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式。那你说你的 a 不 就非负数吗？ 那非负数的一个平方，那你说根号 a 更是非负了啊。所以呢，他就是让你照着这模子画这个瓢啊。所以呢，你就是照着他这模子写就行了。那五呢，他就等于根号五括号的平方呗。 啊，那二点五就等于，嗯，根号下二点五括号的平方。第三个呢，就是根号下二分之一括号的平方啊，然后最后一个就是根号下零括号的平方 啊，这就是照的那个模子啊。来，发瓢，那么这道题写完之后啊，嗯，五六七八，剩下的呢？咱们下一个视频讲啊。

大家好，我是讲数学的小何老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第三十一页习题二十点一的十三题和十四题。 十三题说如图，分别以等腰直角三角形 a、 b、 c、 b、 c 为直径画半圆。我们来看一下图啊， 他说有一个直角三角形 a、 b、 c， 现在呢，以呃， a、 b， a、 c 和 b、 c 这三条边啊为直径划半圆，你看一个是以 a、 c 为直径的这个半圆 a、 e、 c， 还有一个 b、 c 为半径的这个 a、 c、 b。 啊，这三个半圆。 然后呢，他说求证所得，两个月牙形的图案，月牙形的图案 a、 g、 c、 e， 这个月牙形 和你的 b、 h、 c、 f 这个月牙形的面积之和也是阴影部分的，等于这个直角三角形 a、 c、 b， 也说他俩的面积和等于这啊，那我们来验证一下 啊，那这个验证怎么验证的？你观察一下啊，你看啊，这两个月牙怎么来的？第一呢？这有一个半圆，看 a、 c、 e 这个半圆加上你这个半圆，那你看这两边的半圆中间再加一个三角形，是不是整个的图案 一个，两个，三个，然后再减去以 ab、 ab 为直径的一个最大的半圆，看到了吗？一份，两份，三份，你看一个半圆加一个三角，再加一个半圆，减去一个最大的半圆，是不是就这两个月牙了， 对吧？所以我们就本着这个数量关系，我们来啊，证明一下啊，从这开始写第十三题，证明， 证明我们题里头已知条件。说了这个已知已知，这个等腰直角三角形 a、 b、 c。 啊，等腰三角形 a、 b、 c， 那 么 我们就可以得出 a、 c 等于 b、 c， 是 吧？来，那我们先把这个已知条件写了啊，因为三角形 abc 是 等腰直角三角形， 所以呢，我们会得出你的 a c 会等于谁？ b c， 然后还有一个等量关系，就是你的 a c 方加 b c 方会等于谁？ ab 方，这是我勾股定律可得的。那现在呢，我们刚才说了你的那整个的这个关系啊，应该是以 a、 c 为半圆半径的一个半圆， 加上一个三角形，再加上 b c 为直径的一个半圆，减去一个 a b 为直径的一个半圆，是这么个思路对不对？那我们就把啊，这三个半圆的面积给它表示出来， 然后再把这个三角形 a， b、 c 的 面积啊，也给它表示出来啊。那我们可以说，嗯，在这写来，因为啊，以 a、 c 为半径的啊，以 a、 c 为直径的，也就是说半圆 a， e， c， 它的面积应该等于啊， a c v 直径，那就是 a c 除以二的半径的平方 pi 啊，再乘以二分之一就等于八分之一 pi， a， c 方 啊，八分之一派 a c 方，那我们再看 s 半圆谁？嗯， bfc， 它等于 bc， 是 直径，对吧？ bc 除以二是半径半径的平方派，是整个圆再乘以二分之一等于八分之一派啊， bc 方啊，然后再求这个最大的 s 半圆 a c， b， 它等于 ab 除以二的平方派，乘以二分之一等于八分之一派 ab 方。 是不是这些都求出来了，我们再把这个啊，这个，这个面积不用求，三角形 a、 b、 c 的 面积不用求啊，我们只要表示出来就行。那么也就是月牙 a g c， e 加上月牙 b h c f， 它的面积应该等于 s 半 a， e， c 加上 s 半， 嗯， b， f， c 再加 s 三角形 abc， 再减去 s 半 a， c， b 是 不？整个这么一个数量关系，那我们就可以等于 它呢？是八分之一派 a， c 方，再加上八分之一派 b， c 方，然后再加上 s 三角形 a， b， c 再减去八分之一派 ab 方， 然后把这三个啊给他提取八分之一派，那括号里是 a， c 方加 b， c 方减 ab 方，然后再加 s 三角形 abc， 那 你观察这 a、 c 方加 bc 方是不等于 ab 方， 对不对？那这是 ab 方减 ab 方，这整个的都为零，对不对？对了之后乘以它还得零，所以最后就剩 s 三角形，谁 abc 啊？就剩 s 三角形 abc， 那 么这个证通过证明我们可以啊， 说明这两个月牙形的面积和恰好就是等于这个三角形 a、 b， c 的 面积啊，这是第十三题，那我们看第十四说如图啊，三角形 a、 c、 b 和 e、 c、 d 都是等腰直角三角形， 那读到这你就要思考，等腰直角三角形都有啥性质啊啊？有两个直角边相等，然后有一个直角，还有另外两个角，都是两个锐角，都是四十五度是不是？那么在这里面，你观察这两个等腰直角三角形是不是共顶点？所以呢，你脑袋里马上要出现一个模型，叫做什么手拉手模型 啊，大等腰，那是小等腰嘛，对不对？这叫等腰三角形，共顶点的嘛，对不对？那你看，这题里告诉你了， c， a 等于 c， b 这条边这个黑的和这个黑的相等， c， e 等于 c， d， 这个蓝色和这个蓝色相等， 然后呢， a， c， a， c、 b 的 顶点啊，在这个 a、 e， c、 d 斜边 d， e 上，你看这儿，在这儿呢，然后让我们证明的是 a e 方这儿加上 a、 d 方这儿，然后等于二倍的谁 a c 方， 二倍的 a c 方，也就是 a、 c 方在这啊，那你说老师，我这个我也看不懂啊，他们俩相加怎么等于二倍的他呢？那么首先你要看他是不是都带方， 都带方你就要考虑到他可能涉及到勾股定律，那意思就说我得把这三条线给它归拢到一个直角三角形里边， 这是最开始最初的想法，明白啥意思啊？那么在这里呢，你看 a e 啊，加 a 地方， a 地方，加 a 地方， a e 和 a d 呢？他在一条直线上，那我怎么给他变成一个直角三角形里边呢？这里边你要考虑到手拉手模型 叫做手拉手模型吧，它叫，呃，边角边正全等啊，什么叫边角边正全等呢？你看我的 ec， 这个蓝色的 直角三角形和你的 a、 c、 b 这个直角三角形是不共顶点 c， 那 么你的 ec 跟 cd 相等，这叫大手。 然后你的 a、 c 和 c、 b 相等，这叫小手，那你看大手拉一个小手，这边大手拉一个小手，那这边有一个三角形，而这边有吗？ 没有吧，人家还提示你了，要连接谁，连接 b、 d， 所以 你观察，你看边，然后角边，为啥这是角呢？你看两个直角，这叫同角的，与角相等，你看这两个角是不就能相等？ 你看边角边，边角边，这两边的三角形是不全等了，全等你的那个 a、 e 是 不是就能导到 b、 d 这来了？那你看 a、 d 和 a e 是 不是就在一个三角形里了？我只要能证明这个位置是多少度， 是不九十度啊，那你看 a 一 方是不就能加 a 地方了？那关键是后面还有等一个谁二倍的 a、 c 方，那这个你也不用慌，为啥呢？因为 a、 c、 b 这个三角形，他恰好是又是一个直角三角形，那 a、 c 方加上 b、 c 方是不等于 ab 方， 对吗？是不等于 ab 方，而 ab 方恰好是这个直角三角形的一个斜边，那意思就是说 a 地方加 b 地方，它等于 a、 c 方加 b、 c 方，而 ac 和 bc 又是相等的，那不就是二倍的 ac 方了吗？ 啊，一个是手拉手模型，一个是勾股定律啊。再有是这个直角咋正，这直角好正啊，这是四十五度。然后这呢，也是一个等腰直角三角形也是四十五，他全等过来对应角搁这这俩四十五相加，是不是就得九十了？那这个角也很好证明。 那现在呢，咱们来写一下过程。首先呢，连接辅助线啊，第十四题，嗯，这个写证明 连接 b、 d 啊，如图， 嗯，之后呢？连接之后呢，我们要先正这个直角三角形取啊，不对，两个这个三角形全等啊，那这个三角形全等呢？嗯，直角有了，这个这个边都有了，但是这小角说没没推理，那我们可以这样写， 因为三角形 a、 c、 b 和三角形 e、 c、 d 是 等腰 直角三角形。然后题里给的呢，咱就不用说了，咱们写题里没给的，一个是用这个四十五度，对吧？还有用这两个小角，这两个小角，你是不是得先交代这两个直角，三角直角啊， 所以呢，角 a、 c、 b 会等于角 e、 c、 d 都等于多少度？九十。然后你的角 e 会等于角 e、 d、 c， 它等于多少？等于四十五度？这一会要用到的啊。然后咱们标一些角的符号来，这是一， 这个是二，这个是三，然后这标个四，这标一个五啊。然后呢，你写，所以呢， 角一加角二就等于角二，加谁角三？所以角一等于谁角三啊？然后在三角形 a、 e、 c 和三角形 c、 b、 d 中 摆齐条件， e、 c 等于 c、 d 角一等于角三，然后 a、 c 等于 bc， 所以 三角形 a、 e、 c 全等于三角形 cbd 用到的是边角边。那么这两个三角形全等之后啊，全等之后，我们要的结论是，一个是 a、 e 等于 b、 d， 把这个边倒过来，第二个呢，是这四十五度又要过来，角一等于角五都等于多少度？四十五。所以呢，哎，这儿啊，对，这儿的标志角四是不是 这个写角四，然后呢，你去写，所以角四加角五就等于多少度？九十度啊，角四加角五等于九十度，然后我们就可以说，在 r、 t 三角形 a、 d、 b 中， a、 b 方，它等于 a、 d 方加 b 地方等量代换是不是 a、 d 方加 a、 e 方了。 然后呢，在二 t 三角形 a、 c、 b 中，那你的 ab 方是不是又等于 a、 c 方加谁啊？ c、 b 方 啊？所以呢，你的 a、 d 方加上 a、 e 方，就会等于 a、 c 方加 c， b 方就等于二倍的谁 a、 c 方啊？这个结论就证明完了， 定正一下啊，这个位置呢，不是根号下二百五十六，是根号下五百七十六，然后才能等于二十四啊，这个刚才口算的时候记错数了。

大家好，我是讲数学的小何老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第三十一页习题二十点一、 十一、十二十三、十四题啊，第十一题，如图一张三角形纸片， a、 b、 c 角 c 等于九十，这儿等于九十度， a、 c 这个位置它等于八，然后 bc 它等于六。那你想在我们学的勾股定里边 勾股定里啊，我们知道一组勾股数叫做六八几啊，六八十，所以说这这个十有没有用啊？不知道，但是你在学的时候一定要啊动，多爱动脑筋思考啊。 说将纸片沿着 d、 e 折叠，哎，沿着这折叠使 a 和 b 重合，那你想 a 和 b 重合的话，那么 d、 e 就 应该是 ab 的 什么 垂直平分线啊？那你看他不跟他重合了吗？那 e 点不应该是 ab 的 中点吗？对吧？所以呢，这叫垂直平分线。那由这个折叠我们就可以得出你的 ad 和你的 b、 d 是 什么关系的， 是相等的，这叫垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。所以呢，我们在求这个 c、 d 的 长的时候，我们就可以用到啊。这个折叠问题，有一句顺口溜叫做跳出折叠找勾股 啊。什么叫跳出折叠？你看他不把这头折过来了吗？折完之后找勾股就一定要找一个直角三角形，那你看九十度的直角在这，那么他跟 a、 d 和 b、 d 相等，那你看这个小直角三角形不在这吗？所以跳出折叠找勾股找的就是这个三角形 啊。那他让我们求 cd， 而 cd 跟 ad 在 同一条直线上，你看 cd 跟 ad 是 不是都他俩的和得八，那我设 cd 为 x 的 话，那我的 ad 是 不是等于八减 x？ 那 同理，你的 bd 是 不是也八减 x？ 那 这呢，得六跳出折叠找勾股。所以用勾股定律啊，列方程就可以求出这个未知数 x 了啊。那现在呢，咱们把这个过程写一下 啊。第十一题，减 啊，由折叠可知， 知什么呀？知你的 a、 d 能跟 b、 d 怎么样？ a、 d 能跟 b、 d 相等啊。所以我们设 cd 为 x 厘米，则你的 a、 d 就 会等于 b、 d 等于多少八减 x， 然后我们就可以跳出折叠找勾五了。在二 t 三角形 c、 d、 b 中 角 c 等于多少度？九十。所以呢，你的 c、 d 方加上 c、 b 方就会等于 b、 d 方。那我们往里代数就是 x 方加六方等于八减 x 的 平方。 那我们解一下，加上三十六等于六十四，两数乘积二倍在中央再加末平方，然后 x 方 x 方约掉十六， x 移过来，它移过去等于二十八， x 等于四分之七啊。所以答 cd 的 长为四分之七厘米啊。这是第十一题。 那十二题说甲、乙两个三角形共切的尺寸，如图所示，这是第一个，这是第二个，分别求出它们高 h 一 和 h 二。 那我们看 h 一 这个三角形呢？你观察 a、 c 跟 bc 是 相等的，那就说明它是一等腰三角形，对吗？那等腰三角形呢？底边上的高，也就是 ab 边上的高，他应该有一个性质叫三线合一，意思就是说我的这个 c， 这设个字母 d， 我 的 c、 d 会垂直平分 ab， 也就说你的 a、 d 等于二分之一的 ab， 二分之一 ab。 这不有个三线合一吗？三线是顶角角平分线，底边、高线和底边的什么中线啊，这是三线合一，所以呢，我们求这个 h 一 的时候，可以用勾股定律就可以了啊，那我们可以写下来 啊，第一种啊，第一种写到这吧，就写到这个空里啊，第二个写到这个空里啊，第一个空啊。第十二题， 因为你的 ac 等于 bc， 然后呢，你的 cd 又垂直于什么？垂直于 ab， 所以 你的 ad 会等于二分之一， ab 等于几等于十 啊？二分之一 ab 等于十，那你的这个 ad 求出来之后，你这不就垂直吗？然后你写由勾股定离得 得什么呀？你的 h 一 就应该等于根号下，就是 a、 c 方减去 a， d 方，就等于根号下二十六减十的平方，二十六方减去十的平方，等于 啊，这应该是五十二十三，这个应该是。呃，十四是一百 九十六，所以等于十四啊，我口算的方法呢？是什么呢？你这块不是十吗？然后咱们有一个勾股数啊，有一组勾股数叫五十二十三， 而这十和二十六呢，恰好是五的二倍和十三的二倍，所以这个呢，应该是十二的二倍，那么他应该得是啊，不对，五十二十三，你看这块算错了，五十二十三，六六，三十六 减十的平方，这个是十，这个是二十六，这个是五，这个是十三。五十二十三，那他应该是二十四啊，这应该是二十四，是二百五十六 啊，这应该得二十四，然后第二个，第二个呢？这里边呢，你观察啊，这个三角形 d、 f、 e， 它没有说它是直角三角形，你看见了吗？这没有哪个角也不是直角，所以它是一个普通的一个锐角三角形。那这个锐角三角形要求这个高 啊，要求这个高怎么办呢？啊？那我们说勾股定律，这有直角三角形，在这设一个 d、 e、 f、 g 啊，是个点 g， 那 你说在这个 d、 e、 d、 f、 g 这个三角形里，这个是直角三角形，然后呢， h 二是它的一条直角边，那在这个 e、 g、 f 里， h 二又是一条直角边，它俩是共用了一条边， 所以呢，你看啊，我的 d g 加上 e、 g， 它是不是正好等于二十一啊？所以我们可以设其中一部分啊？设，呃，你的 d g 等于 x， 则你的 e g 就 会等于二十一减 x， 然后我们就可以用勾股定律来找这个 h 二的等量关系啊，由勾股定律 得 h 二方，它等于十三方减 x 方，而你右边这个三角形 h 二方，它等于二十的平方，减去二十一减 x 的 平方， 看见了吗？啊？这两个三角形啊，这两个三角形，这个写在 rt 三角形 d、 f、 g 中，这个是在 rt 三角形 g、 e、 f 中， 那他俩是不是相等的？所以呢，就会建立一个等量关系，等于二十减去二十一减 x 的 平方啊，那把这个算式列出来之后，我们就可以计算了啊， 那我们来口算一下，来比算吧，这个口算有时候不太准啊。嗯，十三的平方是一百六十九，减去 x 方等于四百，减去二十一的平方等于多少？来， 二十一，二十一，一二二四，四百四十一，然后这是减去乘积二倍，那加上个四十二 x， 再减 x 方，那 x 方 x 方约掉， 这是负的四十一移过来是加上四十一一百六十九，加四十一零一二，那就是四十二 x 等于二百一十除以四十二。 嗯，商五啊，那他得五呗。那这边得五的话啊，你的 d g 如果得五，那你的 h 二就可以，等于根号下十三方减 x 方， x 方是不五， 所以是五十二。十三，那这个就应该得十二啊？这是第呃，十二题，那我们看第十呃，十三题，咱们下一个视频讲吧，要不时间太长了。

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第十五页练习。 嗯，十五页，这个练习呢，它主要考察的是整式的乘法法则和乘法公式啊，那我们乘法的法则都有啥呢啊？第一呢，我们知道乘法有乘法分配率 啊，乘法有分配率，交换率，结合率，对吧？然后呢，你的这个，呃，乘法呢，在我们上一期学整式乘法的时候，你像有平方差公式，完全平方公式啊，这里边呢，都会应用上， 还有你像单项式的多项式，除以单项式啊，这都可能会考到啊， 那么你看第一个计算题的括号一，他呢这里边就是根号二乘以括号，根号三加根号五，那么你先观察这三个数是不都是最减的， 那么你你算这是一个单项式去乘以一个多项式，所以他呢还都是最减的， 那么还是一个数乘以两个数的和，那么这里面应用的就应该是乘法分配率啊，所以根号二去乘以根号三，就等于根号六 啊，拉的一个根号下里乘，那么这两个符号是同号为正，然后是根号二乘以根号五，等于根号下二乘五，就等于根号十。 十也是最简的，所以这一题就做完了。那么第二小题你观察，这是一个多项式，除以一个单项式啊，那他的法则就是用多项式里的每一项去除以这个 单项式也算根号八十，得除以根号五，再用根号四十也去除以根号五，那我们可以计算一下来，根号八十除以根号五，我们可以拉到一个根号下里算，就是根号下八十除以五，根号下八十除以五呢？约分等于十六 啊。月份等于十六，所以十六呢？应该开平方等于四啊。咱慢一步吧， 这样的，根号下八，十除以五，加上根号下四十除以五，就等于根号十六，再加上根号八。然后我们化简一下，就是四加二倍根号二。 然后第三小题呢，你观察这个是个多项式，这也是个多项式。那多项式乘多项式，那按照多项式乘多项式的方法，不就是用第一个多项式里的每一项与第二个多项式里的每一项分别相乘再相加，是吧？所以用根号五先去乘以第二个里的每一项来 根号五乘根号五是得五的，根号五乘根号五啊，是得五的，然后根号五乘以二等于二倍根号五，然后换 正三乘以正根号五。确定符号是正的，然后三乘以根号五等于三倍根号五，然后正三乘以正二，同号为正二，三得六，然后合并一下啊，合并一下等于， 嗯，五加六等于十一，再加上根号五不变，然后二加三等于五，所以是十一加上五倍根号五。 第四个呢，你观察这是一个多项式，这是一个多项式。那么这里的多项式呢？你观察这是根号六，这是正根号六，这是正的根号二，这是负根号二。这明显不就是平方差公式吗？对不对？平方差公式等于这两数的平方 x， 对 吧？所以六减二等于几等于四啊，这是第四个。第二题计算，你观察第一个四加根号七和四减根号七，这也是平方差公式。所以呢，它等于 四的平方减去根号七的平方，相同数的平方在前，互为相反数的平方在后，所以十六减七等于九。 那第二个题呢？你观察，这也是根号 a 加根号 b， 乘以根号 a 减根号 b， 根号 a 是 相同的两个数，根号 b 是 互为相反数的。那这不就是平方差公式吗？所以呢，两数和乘以两数差，等于这两数的平方差，也就是 a 减什么？ a 减 b， 然后第三个是根号三加二，括号外面的平方，这叫完全平方公式。那它的公式呢？像首平方末平方两数乘积的二， b 在 中央，等于 a 方，加二， ab 加 b 方。 所以呢，根号三的平方等于三，加上它俩乘积是二倍，根号三得二倍，是四倍根号三，再加上二的平方等于四，所以等于七加四倍根号三。 然后第四个呢，也是完全平方差啊，叫首平方末平方两数乘积的二倍在中央，那二倍根号五得平方，再减去它俩乘积二倍，对吧？那么也是二乘以二倍根号五，再乘以个根号二， 再加上根号二的平方，这个我慢一步啊。然后二倍根号五的平方呢？是二的平方得四，根号五的平方得五。四五多少？二十， 这个外面从外面的是二，二得四，根号五乘以根号二，等于根号十，所以减去四倍根号十，再加二，所以等于二十。二减四倍根号十 啊，这是第二题。

大家好，我是讲数学的小胡老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第三十六页练习 啊，这页的练习呢，主要就是，呃，练习勾股定律的逆定律啊，那勾股定律逆定律是什么呢？来我们看一下，他说如果三角形的三边长为 a、 b、 c 方，那么这个三角形是直角三角形， 那么这个是勾股定律的逆定律。那么如果要想判断这个三角形是不是直角三角形，我只要来看这三条边满不满足这个 关系是不就可以了？那我们看利益，看它的这个格式啊，说判断线段 a、 b、 c 组成三角形，是不是直角三角形啊？他说 a 等于八， b 等于十五， c 等于十七， 然后呢，你看他这个解说，因为八方加十五方等于六十四，加二百二十五等于二百八十七，二百八十九，然后十七方也等于二百八十九，所以呢，这 呃两个数的平方和等于第三个数的平方，那我们说这个三条边，三条线段围成的三角形是直角三角形 啊。那么在做这样的题的时候呢，你首先你要听好一句话啊，第一呢，咱先将这三个数进行排列大小， 你得分出哪个是最长的边，哪个是最短的边。咱们说了勾股定律是不应该是两条直角边的平方和等于斜边的平方，那斜边不是最长的吗？所以呢，我们拿过这一题的时候，我们可以先比较大小 啊，那现在呢，我们看一下这个练习啊，练习题呢，咱们就用刚才我说的方法，咱先比较大小啊啊，第一题扣二一 啊， a 等于四， b 等于五， c 等于六，是吧？然后你写，因为这个 a 等于四， b 等于五， c 等于六啊，且 a 小 于 b 小 于 c 啊，或者是写四小于五小于六啊。所以呢，你的 a 方加 b 方， 那六不是最长的吗？对不对？ a 方加 b 方就等于四的平方，加五的平方等于四十一，十六，二十五，四十一，对吗？ 嗯，十六加二十五，四十一哈，然后你再算算， c 方， c 方等于六的平方等于三十六啊。然后呢，因为四十一是不等于三十六的，所以，所以线段 abc 啊，组成的三角形 啊，不是直角三角形， 这是括号一。那我们来看括号二，同样呢，我们也是先给它比较一下大小啊，因为你的 a 等于二点五， b 等于零点七， c 等于二点四，并且呢，你的 a 大 于 c 大 于谁？大于 b， 说明你的 a 是 最大的啊。所以呢，你的 b 方加 c 方就应该等于零点七的平方，加上二点四的平方等于。 咱们来比算一下，零点七是零点四九，二点四是二点五，六十六九八， 嗯，等于五百七十六。那完了，前面有一道题写错了，前面那道题我口算的是， 口算的是，哎呀，这块应该是多少五百七十六，写个七，二百五十六啊，他应该得二十四，这个位置写错了啊， 然后这个呢，他就应该等于再加上零点四七，零点四九五，这个是二，这是六，六点二五。 然后你的 a 方呢，等于二点五的平方也等于多少六点二五啊？因为六点二五等于六点二五，所以线段 你这个位置也可以这么写，你可以写这个地方，或者这么写啊，说， b 方加 c 方等于谁了？等于 a 方了啊，然后线段 abc 组成 得三角形啊，是直角三角形。 然后第三个小题啊，因为你的 a 等于五分之一， b 呢，等于四分之一， c 等于三分之一啊，并且呢，你的 a 是小于 b 小 于 c 的 啊，分子相同，分母越小，分数越大，是不是？然后，所以呢， c 是 最大的，那就是 a 方加 b 方，它等于五分之一的平方， 加上四分之一的平方等于五五二十五分之一，四四一十六分之一，这应该是四百分之乘以十六，再加四百分之二十五， 所以等于四百分之四十一，四百分之四十一。然后呢，你的 c 方呢，是等于三分之一，括号的平方等于九分之一， 这明显他俩怎么的不相等吧啊，然后你写，因为 a 方加 b 方不等于谁， c 方，对，你可以这样写啊，所以线段 abc 组成的三角形 不，不是直角三角形 啊，这是括号三来呢，括号四，因为 a 等于一， b 等于根号二， c 等于根号三， 然后，并且呢，是 a 小 于 b 小 于 c， 是 不？ c 是 最大的。然后呢，写，所以 a 方加 b 方就等于一的平方，加根号二的平方就等于 三，然后呢，你的 c 方是等于根号三的平方，也等于几三，所以 a 方加 b 方等于谁？ c 方？那么线段 abc 组成的三角形是直角三角形 啊，这是第一题的四个，那么第二小题说如图啊，啊，以三角形 a、 b、 c 的 三边为直径，这是直径啊，这三个都是直径，分别画出了三个半圆，然后这三个半圆的面积是 s 一， s 二， s 三， 如果那个 s 一 加 s 二等于 s 三的话，那么判断三角形 a、 b、 c 是 不是直角三角形，并说明理由。那么首先我们答它，是啊，第二题，嗯，三角形 a、 b、 c 是 直角三角形， 那理由如下， 写在哪呢？就在这小空里挤啊。 嗯，我们先来求一下。 s 一 就是把你的 s 一 表示出来， s 二表示出来， s 三表示出来，然后带入这个已知的这个算式里，然后化简一下啊。那么第一个 s 一， 它的面积应该是以 ab 为半径是吧？ ab 为直径是吧，它除以二乘的平方派乘以二分之一等于八分之一派谁啊？ ab 方。 那么 s 二呢？应该等于啊，以 bc 为直径除以二的平方派乘以个二分之一，这就是以 bc 为 s 二的面积等于八分之一派 bc 方。 然后 s 三呢，是以 a、 c 为直径除以二的平方派乘以二分之一等于八分之一派谁啊？ a c 方 啊。然后呢，我们就套入已知的这个公式里， s 一 加 s 二是等于 s 三，所以呢， s 一 等于八分之一派谁？ ab 方 加上 s 二是八分之一派 bc 方， s 三是八分之一派 ac 方。那三面同时除以八分之一派 啊，我们就会得到 ab 方加 bc 方等于谁？ ac 方。所以三角形 abc 是 直角三角形 啊，它是直角三角形。

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第七页练习 啊，这页练习呢，学的是二次根式的乘法啊，那么乘法的定义呢？法则呢？是根号 a 乘以根号 b 等于根号下 ab， 然后其中呢，成立的条件是 a 大 于等于零， b 大 于等于零。 那么这一课时里面，你们在学他的时候呢？在计算他的时候呢？我觉得啊，你的 计算可以先按照法则来做，就是，呃，先拉到一个根号下里去乘去啊，那么能约分的呢？先约分啊，然后咱们再计算。那我们看一下第一题， 第一个根号二乘以根号五，那不就等于根号下二乘五吗？那么你观察二和五呢？他都是，呃，他俩是互质的啊，没有平方数了，所以他最后就是等于根号十， 那么第二个呢，也是你给他拉在一个根号下里去，根号三乘以根号十二，等于根号多少？三十六，对吧？根号三十六，那根号三十六呢？你这脑袋里头就知道了啊，根号三十六，六六，三十六，所以他应该等于 等于六啊，他应该最后等于六。那么第二小题呢？第三小题呢，你观察外面是不是有系数了，那有系数的怎么办呢？你听好了啊，有系数的叫外面乘外面的，里面乘里面的，那这个外面的系数为二，这个没有，这不相当于一吗？所以呢，就是二， 就他一个，这个一你也不用特意写啊，那就乘一个根号下六，乘二分之一就等于二，然后二和六约呢，等于三，三也开不出来了，所以就等于二倍根号三。 第四小题呢，也是先拉到一个根号下里去乘，能约分的咱先约分啊，他俩一约呢，等于四，所以他就等于根号四，而根号四呢，能开平方等于二 啊，所以最后题最后等于二。那么第二题化简题呢？化简题，实际上啊，他是想让我们用这个那个二次根式乘法法则啊，这个公式的一个逆运算 就是给他拆开啊，根号下 ab 就 等于根号 a 乘根号 b， 给他拆开算啊。但是呢，我跟你讲的时候呢，我不按拆开算这个方法给你去整啊，你可以怎么样的呢？你可以啊，在一个根号下里 啊，去把这些数呢啊，给他变成平方数啊，啊，别的了，咱们按照那个法则来做吧。我觉得这个啊， 这个第一小题呢，还比较容易，为啥呢？因为四十九和八十一吧，他都是平方数，所以按照法则呢，好做啊，来，咱们按照法则， 首先你这个题拿过来啊，你别盲目的去下笔去做，你去干什么呢？先观察这里边数都有什么样的特征啊，你像四十九是平方数，八十一是平方数，那我就可以用这个逆运算，那就是根号四十九乘以根号多少，八十一就等于他开平方等于七， 根号八十一，开平方等于九九八十一哈，然后七九六十三，这个是可以这样的。那第二个呢，因为四是一个平方数，所以我可以给他拆成根号四乘以根号 y， 那 根号四等于二，根号 y 开不出来了，就留在里面 啊。那你像这个第三小题呢，就是根号十六 ab 方 c 的 三次方，我也可以给他拆开啊， 拆开呢，根号十六是自己一伙，根号 a 一个，根号下 b 方一个，然后根号下 c 的 三次方一个，那么根号十六呢？等于四，根号 a 算不出来了，根号 b 能等于 b， 根号 c 的 三次方可以变成， 嗯，根号 c 就是。 呃，根号下 c 方乘以 c， 那 么就等于四 b， 然后这个开出来得 c， 然后这里留了个 c， 对 不对？这个 c 开出来一个，你看这是四，这是 b， 这开出来个 c， 然后这个根号下剩个 c， 所以 根号下什么 ac 啊？这应该是根号下 a c， 然后第三道题呢，说一个长方形的长和宽，分别是根号十和二倍根号二，求这个长方形的面积， 那长方形的面积不就等于长乘宽吗？对不对？所以依据提一来列式为根号十乘以二倍根号二。 那么计算的时候呢？你想这个外面有个系数，那我们说了外面乘外面的，对吧？这个相当于是一，那一二是不得二，然后乘以把这两个的拉到一个根号下十乘以二，就等于二乘一个，你把这个十给他拆成二乘五， 别忙着算啊。那你看这个时候，你看是不是有两个二吗？两个二能开出去一个二，两个二不相当于二的平方吗？对不对？所以他能出去一个二，那就是二乘二，再乘一个五留下， 那就等于四倍根号几啊？四倍根号五。所以答长方形的面积 为四倍根号五啊，它是这样计算的，这个写成乘号啊。

已知 a、 b 分 别为等腰三角形的两条边长，且 a b 满足， b 等于四加，根号下三， a 减六加三倍，根号下二减 a， 求此三角形的周长， 那么三角形的周长等于三边之和，我们要把这个三角形的三边分别求出来。题目告诉我们，这是一个等腰三角形， ab 是 它的两条边， ab 满足这个关系是， 那么我们首先要根据这个关系式来求 a 和 b 的 长。怎么来求呢？我们知道这里有三 a 减六在根号下面，二减 a 也在根号下面。我们根据二次根式有意义，可以得到一个关于 a 的 不等式组，那么得到 a 的 范围。 好，我们先来求 a。 借由题的 这里根号下三 a 减六要有意义，那么三 a 减六必须要大于等于零。 同时这里根号下二减 a 有 意义，那么二减 a 也必须要大于等于零。我们看上面这个不等式。三 a 减六大于等于零，那么三 a 大 于等于六， 就可以得到 a 大 于等于二。这里二减 a 大 于等于零，那么 a 就 要小于等于二，所以我们可以得到 a 要大于等于二， a 要小于等于二，那么 a 既要大于等于二，又要小于等于二，我们就可以得到 a 只能等于二。 我们算出了 a 之后，我们把 a 带到这个式子里面，我们就可以算出 b 来，那么这里三乘以 a 减六的值就为零，这里二减 a 的 值也为零，那么 b 的 值就为四。 题目告诉我们， ab 是 等腰三角形的两条边长，那么这个三角形的三边就可能为 二二四，也可能为二、四、四。三角形的两边之合要大于第三边，那么二、二、四是不可能构成三角形的， 所以这个三角形的三边长分别为 二、四、四，那么这个三角形的周长就把这三边加起来， 二加四加四就等于十。好，所以这个三角形的周长为十。

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第十四页练习。 这页练习呢，主要讲的是有理数的加减法啊，不对，二次根式的加减法啊，二次根式加减法的方法呢？是这样的，他说二次根式加减时啊，先将二次根式化简，再将被开放数相同的二次根式合并。 什么叫做被开方数相同的呢？你比如说三倍根号三和二倍根号三，他俩就能合并 啊，那你要是根号三加根号二，那你看这两个被开方数不相同，那他就不不能相加减了 啊，他就不能相加减了，那你看相加减的方法啊，根号二十七加根号十二。那首先呢，他说了，先将二十七化简，那你看根号二十七化简为三倍根号三， 根号十二化解为二倍根号三，然后呢，再将被开方数相同的啊，那你观察这两个被开方数相同不？那这两个被方的被开方数如果相同了，那么你观察是根号部分不变，然后他们前面的系数相加减 啊，三加二等于五倍根号三，这就是有理数加减法的方法。那我们看一下这个题型，第一小题说下列计算是否正确，为什么？ 那第一个根号四加根号九等于根号下四加九，咱们这个根号加减法呀，他还没有说把这两个数拉在一个根号下来算的，是不是？所以呢，你得进行化减啊，所以这道题呢，是错的 啊。那么这道题啊，为什么错了呢？是因为你的这个方法错了啊，方法错了，那正确的呢，应该是根号四化解为二，根号九化解为三，所以他等于五，这才是正确的，他没有拉着一个高下来算的方法啊， 所以第二道题也是错的啊，他俩就啊，不可能拉到一个高下的算，那按照法则是不应该是先将根号进行化简，然后呢，被开方数相同的，才能够进行相加减， 那加减的时候呢？是啊，根号部分不变，系数相加减，而这个题，你看他用的方法就是错的。 那么这道题正确答案呢？你先把根号八化简为二倍根号二，然后再减根号三，你观察根号二和根号三被开方数是不相同的，所以他不能加减了，那这就是结果了。 那第三个啊，你观察这个被开方数是根号二，这个被开方数也是根号二，他已经是最减的了，所以呢，根号二部分不变，系数相加减三减去一是不等于二，所以这道题是正确的 啊，这道题是正确的。第二题，计算第一道题啊，括号一，二倍根号七，减去六倍根号七。你观察 第一呢，这两个数呢，都是最减的根式啊，并且呢，跟被开方数是相同的，所以呢，这个两个数是能够进行计算的，那么在计算的时候呢，就是系数相加减，根号部分，那么等于负四倍根号七。 那第二小题呢，继续进行化简了，根号十二呢，是四乘三，四能开方得二， 所以它等于二倍根号三，根号七呢，是九三九二十七，九能开方得三。嗯，一个三留下减去 三倍的根号下三分之一。这个呢，咱们来啊，化简一下啊，这个在烟草纸上化简完，咱们写上三倍根号下三分之一，因为你分母呢，被开放数里含分母了，对吧？所以进行分母由里化 啊。三乘三，一乘三，然后三乘以个，这个开放得三，上面是一，三得三，然后约分，他等于根号三，那这应该减根号三， 那我们把这三个数都化简之后，你观察他们被开方数是不都相同的，那如果被开方数相同了，那么他们的，嗯，方法呢？就是把你的系数相加减，也就是二加三，再减一，最后等于四倍根号三啊。第三道题呢， 同样，你观察这三个数啊，都不是最减的，所以第一步要化减。嗯，十八呢，是二九十八，那九能开方得三啊，余下个二， 然后括号直接去了啊，这个九十八呢？嗯，你看九十八，我们是不能一目了然看出来，那我们可以用短除法啊，先商二 等于四十九，那你看四十九是不就是平方数了？那就不用算了，四十九开放得七， 然后二留下，然后减去。因为你这块是减加号，所以去了括号呢，符号是不变的，那根号二十七呢，是三九二十七，那么九能开放得三，那个三留下， 然后这个时候呢，你观察前两个数，能够进行计算，后面这个数跟他们被开放数是不相同的，也就是他们不属于同类二次根式， 被开放数相同的叫做同类二次根式，所以呢，前两个能计算，那么根号二不变系数相加减三加七等于十，然后再减三倍根号三， 那这两个呢，就算不了了，放在这就可以了。那么第四个题，你观察这几个数是不都需要化减啊？这个是最减的，这些都得化减啊。那你的根号二十四呢，是 四六，二十四是二倍根号六，然后加上零点五呢，是根号下二分之一，然后等于二分之根号几啊？二分之根号二， 然后直接去括号啊，减去根号下八分之一啊，等于根号下八呢，去乘以几呢？ 嗯，乘以二是不就变成平方数了？所以二六二八一十六是得四的，所以是四分之根号二，减去四分之根号二，然后这负负得正，加上根号六。 那这时候呢？你观察啊，这个二倍根号六和根号六是同类二四根式，这两个根号下面都是二的，这是同类二四根式。所以呢，二倍根号六加上根号六，等于三倍根号六， 然后这个是通分四分之二，再减四分之一等于四分之一，加上四分之根号二 啊，四分之一被根号二，不就是四分之根号二吗？所以这是第四小题，第五小题说如图啊，两个圆的圆心相同，那圆心相同，我们把它叫做什么？叫同心圆，对吧？ 他们的面积分别是六十二点八和一百一十四点三，求圆环的宽度。 d。 那 圆环的宽度不就是大半径减小半径吗？是吧？大半径减小半径。那你说大半径减小半径的话，那么已知面积来求什么？ 来求半径呗，是吧？那我们来列式计算一下啊。我们先设一下，来设大圆半径为大二， 小圆半径呢 为小 r 啊，然后大半截儿大 r 呢？呃，大圆面积是六，呃，大圆面积是一百四十一点三，对不对？所以呢，就是派大 r 方等于一百四十一点三， 然后大二方等于派分之一百四十一点三，所以二呢，应该是等于呃，正的根号下派分之一百四十一点三 啊，然后派取三点一四，对不对？所以大 r 呢？就约等于。哎呦，这个一百四十一点三除以三点一四，这也不太好算呢，是不是？嗯， 一百四十一点三去除以三点一四，哎，这个等于四十五。 因为 pi 是 一个记时值啊，所以这我给写个约等号，然后化解一下，等于三倍根号五，这是大 r， 那 么小 r 呢？就是 pi 小 r 方等于六十二点八， 那小二方呢？等于派分之六十二点八，那小二等于根号下派分之六十二点八，然后小二约等于六十二点八除以三点一四，这个还挺好算的，是吧？ 等于根号二十，然后化简一下，等于二倍根号五。 四五二十吗？啊？四五二十啊，那么 d 呢？就应该等于大 r 减小 r， 所以 就等于三倍根号五。减二倍根号五就等于多少根号五，所以答环宽 圆环的宽度 d 为根号五。

大家好，我是讲数学的小何老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第三十一页习题二十点一的十三题和十四题。 十三题说如图，分别以等腰直角三角形 a、 b、 c、 b、 c 为直径画半圆。我们来看一下图啊， 他说有一个直角三角形 a、 b、 c， 现在呢，以呃， a、 b， a、 c 和 b、 c 这三条边啊为直径划半圆，你看一个是以 a、 c 为直径的这个半圆 a、 e、 c， 还有一个 b、 c 为半径的这个 a、 c、 b。 啊，这三个半圆。 然后呢，他说求证所得，两个月牙形的图案，月牙形的图案 a、 g、 c、 e， 这个月牙形 和你的 b、 h、 c、 f 这个月牙形的面积之和也是阴影部分的，等于这个直角三角形 a、 c、 b， 也说他俩的面积和等于这啊，那我们来验证一下 啊，那这个验证怎么验证的？你观察一下啊，你看啊，这两个月牙怎么来的？第一呢？这有一个半圆，看 a、 c、 e 这个半圆加上你这个半圆，那你看这两边的半圆中间再加一个三角形，是不是整个的图案 一个，两个，三个，然后再减去以 ab、 ab 为直径的一个最大的半圆，看到了吗？一份，两份，三份，你看一个半圆加一个三角，再加一个半圆，减去一个最大的半圆，是不是就这两个月牙了， 对吧？所以我们就本着这个数量关系，我们来啊，证明一下啊，从这开始写第十三题，证明， 证明我们题里头已知条件。说了这个已知已知，这个等腰直角三角形 a、 b、 c。 啊，等腰三角形 a、 b、 c， 那 么 我们就可以得出 a、 c 等于 b、 c， 是 吧？来，那我们先把这个已知条件写了啊，因为三角形 abc 是 等腰直角三角形， 所以呢，我们会得出你的 a c 会等于谁？ b c， 然后还有一个等量关系，就是你的 a c 方加 b c 方会等于谁？ ab 方，这是我勾股定律可得的。那现在呢，我们刚才说了你的那整个的这个关系啊，应该是以 a、 c 为半圆半径的一个半圆， 加上一个三角形，再加上 b c 为直径的一个半圆，减去一个 a b 为直径的一个半圆，是这么个思路对不对？那我们就把啊，这三个半圆的面积给它表示出来， 然后再把这个三角形 a， b、 c 的 面积啊，也给它表示出来啊。那我们可以说，嗯，在这写来，因为啊，以 a、 c 为半径的啊，以 a、 c 为直径的，也就是说半圆 a， e， c， 它的面积应该等于啊， a c v 直径，那就是 a c 除以二的半径的平方 pi 啊，再乘以二分之一就等于八分之一 pi， a， c 方 啊，八分之一派 a c 方，那我们再看 s 半圆谁？嗯， bfc， 它等于 bc， 是 直径，对吧？ bc 除以二是半径半径的平方派，是整个圆再乘以二分之一等于八分之一派啊， bc 方啊，然后再求这个最大的 s 半圆 a c， b， 它等于 ab 除以二的平方派，乘以二分之一等于八分之一派 ab 方。 是不是这些都求出来了，我们再把这个啊，这个，这个面积不用求，三角形 a、 b、 c 的 面积不用求啊，我们只要表示出来就行。那么也就是月牙 a g c， e 加上月牙 b h c f， 它的面积应该等于 s 半 a， e， c 加上 s 半， 嗯， b， f， c 再加 s 三角形 abc， 再减去 s 半 a， c， b 是 不？整个这么一个数量关系，那我们就可以等于 它呢？是八分之一派 a， c 方，再加上八分之一派 b， c 方，然后再加上 s 三角形 a， b， c 再减去八分之一派 ab 方， 然后把这三个啊给他提取八分之一派，那括号里是 a， c 方加 b， c 方减 ab 方，然后再加 s 三角形 abc， 那 你观察这 a、 c 方加 bc 方是不等于 ab 方， 对不对？那这是 ab 方减 ab 方，这整个的都为零，对不对？对了之后乘以它还得零，所以最后就剩 s 三角形，谁 abc 啊？就剩 s 三角形 abc， 那 么这个证通过证明我们可以啊， 说明这两个月牙形的面积和恰好就是等于这个三角形 a、 b， c 的 面积啊，这是第十三题，那我们看第十四说如图啊，三角形 a、 c、 b 和 e、 c、 d 都是等腰直角三角形， 那读到这你就要思考，等腰直角三角形都有啥性质啊啊？有两个直角边相等，然后有一个直角，还有另外两个角，都是两个锐角，都是四十五度是不是？那么在这里面，你观察这两个等腰直角三角形是不是共顶点？所以呢，你脑袋里马上要出现一个模型，叫做什么手拉手模型 啊，大等腰，那是小等腰嘛，对不对？这叫等腰三角形，共顶点的嘛，对不对？那你看，这题里告诉你了， c， a 等于 c， b 这条边这个黑的和这个黑的相等， c， e 等于 c， d， 这个蓝色和这个蓝色相等， 然后呢， a， c， a， c、 b 的 顶点啊，在这个 a、 e， c、 d 斜边 d， e 上，你看这儿，在这儿呢，然后让我们证明的是 a、 e 方这儿加上 a、 d 方这儿，然后等于二倍的谁 a c 方， 二倍的 a、 c 方，也就是 a、 c 方在这啊，那你说老师，我这个我也看不懂啊，它们俩相加怎么等于二倍的它呢？那么首先你要看它是不是都带方， 都带方你就要考虑到它可能涉及到勾股定律，那意思就说我得把这三条线给它归拢到一个直角三角形里边， 这是最开始最初的想法，明白啥意思啊？那么在这里呢，你看 a e 啊，加 a 地方， a 地方，加 a 地方 a e 和 a d 呢？他在一条直线上，那我怎么给他变成一个直角三角形里边呢？这里边你要考虑到手拉手模型 叫做手拉手模型吧，它叫，呃，边角边正全等啊，什么叫边角边正全等呢？你看我的 ec， 这个蓝色的 直角三角形和你的 a、 c、 b 这个直角三角形是不共顶点 c， 那 么你的 ec 跟 c、 d 相等，这叫大手。 然后你的 a、 c 和 c、 b 相等，这叫小手，那你看大手拉一个小手，这边大手拉一个小手，那这边有一个三角形，而这边有吗？ 没有吧，人家还提示你了，要连接谁，连接 b、 d， 所以 你观察，你看边，然后角边，为啥这是角呢？你看两个直角，这叫同角的，与角相等，你看这两个角是不就能相等？ 你看边角边，边角边，这两边的三角形是不全等了，全等你的那个 a、 e 是 不是就能导到 b、 d 这来了？那你看 a、 d 和 a、 e 是 不是就在一个三角形里了？我只要能证明这个位置是多少度， 是不九十度啊，那你看 a 一 方是不就能加 a 地方了？那关键是后面还有等一个谁二倍的 a、 c 方，那这个你也不用慌，为啥呢？因为 a、 c、 b 这个三角形，他恰好是又是一个直角三角形，那 a、 c 方加上 b、 c 方是不等于 ab 方， 对吗？是不等于 ab 方，而 ab 方恰好是这个直角三角形的一个斜边，那意思就是说 a 地方加 b 地方，它等于 a、 c 方加 b、 c 方，而 a、 c 和 b c 又是相等的，那不就是二倍的 ac 方了吗？ 啊，一个是手拉手模型，一个是勾股定律啊。再有是这个直角咋正，这直角好正啊，这是四十五度。然后这呢，也是一个等腰直角三角形也是四十五，他全等过来对应角搁这这俩四十五相加，是不是就得九十了？那这个角也很好证明。 那现在呢，咱们来写一下过程。首先呢，连接辅助线啊，第十四题，嗯，这个写证明 连接 b、 d 啊，如图。 嗯，之后呢？连接之后呢，我们要先正这个直角三角形取啊，不对，两个这个三角形全等啊，那这个三角形全等呢？嗯，直角有了，这个这个边都有了，但是这小角说没没推理，那我们可以这样写， 因为三角形 a、 c、 b 和三角形 e、 c、 d 是 等腰 直角三角形。然后题里给的呢，咱就不用说了，咱们写题里没给的，一个是用这个四十五度，对吧？还有用这两个小角，这两个小角，你是不是得先交代这两个直角，三角直角啊， 所以呢，角 a、 c、 b 会等于角 e、 c、 d 都等于多少度？九十。然后你的角 e 会等于角 e、 d、 c， 它等于多少？等于四十五度？这一会要用到的啊。然后咱们标一些角的符号来，这是一， 这个是二，这个是三，然后这标个四，这标一个五啊。然后呢，你写，所以呢， 角一加角二就等于角二加谁角三？所以角一等于谁？角三啊？然后在三角形 a、 e、 c 和三角形 c、 b、 d 中 摆齐条件， e、 c 等于 c、 d。 角一等于角三，然后 a、 c 等于 bc， 所以 三角形 a、 e、 c 全等于三角形 cbd 用到的是边角边。那么这两个三角形全等之后啊，全等之后，我们要的结论是，一个是 a、 e 等于 b、 d 把这个边倒过来，第二个呢，是这四十五度又要过来，角一等于角五都等于多少度？四十五。所以呢，哎，这儿啊，对，这儿的标志角四是不是 这个写角四，然后呢，你去写，所以角四加角五就等于多少度？九十度啊，角四加角五等于九十度，然后我们就可以说，在 r、 t 三角形 a、 d、 b 中， a、 b 方，它等于 a、 d 方加 b 地方等量代换是不是 a、 d 方加 a、 e 方了。 然后呢，在二 t 三角形 a、 c、 b 中，那你的 ab 方是不是又等于 a、 c 方加谁啊？ c、 b 方 啊？所以呢，你的 a、 d 方加上 a、 e 方，就会等于 a、 c 方加 c， b 方就等于二倍的谁 a、 c 方啊？这个结论就证明完了， you are a。

大家好，我是讲数学的小胡老师，今天我来讲解。嗯，新版八年级下册数学第九页练习。 第九页练习呢，讲的是二次根式除法，那么二次根式除法法则是这样数的啊，根号 a 除以根号 b 等于根号下 a 除以 b， 那 么它的成立的条件是分子呢？大于等于零，分母是二不为零的啊，得大于零。 那么还有一个公式呢，就是反过来啊，你可以呢，把原来在一个根号下的给他拆成在两个根号下啊，所以呢，这个呢，利用它可以进行二次根式的化简。 所以呢，这这个练习当中啊，主要应用的就是这两个公式。那么第一小题，你观察啊，他是根号十八除以根号二，这不是明显的是两个算式吗？他就跟乘法一样，你可以先把它怎么的呢？可以先把它拉在一个根号下里除啊，也就是等于根号下 十八除以二，那就等于根号几啊，根号九，那根号九的等于几啊？等于三，那这个呢，我们也可以给他拉在一个根号下里去除。那根号七十二除以六呢，等于根号十二， 根号十二呢，你想根号十二呢，可以变成，呃，四乘三，拆出一个平方数来啊，然后平方数开，平方等于二，然后根号三三留下。 那么第三个题呢，稍微复杂一点，我往上写啊，他可以等于，那这个因为他有系数了，对吗？所以呢，你记得外面除以外面等于啊，外面的，那这底下是不相当于是一啊，那他就得四呗。 然后呢，呃，根号下面的可以拉到一个根号下里除，那就是十五除以二十， 然后约下分呢，这就等于四倍根号下四分之几啊，四分之三商五约，对吧？ 然后这个时候呢，你可以应用第二个公式反过来用的，因为你看你这个里边不是分分数吗？所以呢，你可以等于在这写啊，四，根号三除以根号四， 就等于根号四等于二等于四倍根号三等于二倍根号三 啊，也说这个呢，有系数的是外面除以外面的四除以一还得四，然后呢，根号里边的除以根号里边的约分等于四分之三。然后呢，你看这分母当中分被那个 根号底下是不带分数了，然后并且分母还是一个平方数，所以给他按照第二个法则给他拆开啊，这个呢，是根号三，这个根号四 啊，根号三，根号四，然后根号四等于二，然后再约分等于二倍根号三，这是第三小题。第四小题呢，你看啊，我们可以直接给他拉到一个根号下里除五分之 b， 除以它就等于乘以它的什么倒数，你看见了没？ 非常简单个事，你就按照乘法得二 a 方能开出去，得 a， 所以他最后等于二 a 啊，那第二小题化简呢？这道题化简就应用这个第二个公式啊，你看这不都在一个根号底下吗？所以呢，给他拆开 啊，根号七除以根号三十六，因为三十六啊，是一个平方数，你拆开了之后，他能开平方啊，所以等于六分之根号七，七开不出来了。 然后你先观察第二个根号下九分之六十四，第一呢，他就一个根号，九分之六十四是一个分数，第二呢，你想九是平方数，六十四也是平方数，那我给他拆开了，是不是就各自都能开平方了 啊？是不各自都能开平方了，然后等于三分之八。那你说老师这么麻烦干什么呀？ 我直接就想，九分之六十四的算平方根等于三分之八不也可以吗？嗯，完全可以，但是我现在呢，写的这个是应用了法则，咱们就为了展示这个法则是怎么，这个通过法则是怎么计算的吗？是不是 然后呢？你的第三小题呢？也是一样，你可以啊，给他分子分母先拆开啊。分子分母先拆开， 然后呢，你再看，我的这个分母当中，根号二十五，呃， a 方这个二十五是平方数能开平方得五， a 方能开出来得 a， 然后根号十六， b 呢？十六能开方得四，然后 b 开不出来了，留下。所以这就是那个最后的结果 啊。第三题最后结果就等于啊，五 a 分 之四，根号 b 啊，这个我没有这个 a 呢，我没有写这个绝对值啊，为啥不写呢？因为前面啊， 你看这不前面都写了吗？说如果没有特殊的说明啊，所有的字母都表示正数，根号下含有字母的二次根式的运算呢，都是选学内容， 根号下含有字母的。那咱们主要看这没有特殊说明，所有的字母都是正的，所以我这个就没有写啊，绝对值。按理说呢，你要是没有强调字母的正负性，因为它是考察了一个根号下 a 方的性质，它应该等于 a 的 绝对值 啊，你应该写绝对值的啊。但是前面因为教材里头有说明，所以我就没有写啊。那么第三题计算， 嗯，这道题的计算你观察啊，你说这题计算，这怎么算啊？这道题的计算呢，实际上他就是想让我们用这个例六的方法也算二次根式化简的结果中啊，被开方数不能含分母，被开方数不能含分母，那你看，这 实际上进行的就叫分母有理化啊， 学下一课时的时候，学了最减二四根式，你就有最减二四根式的一个定义啊，什么样的是最减二四根式，也是被开方数不能再开方了？那么有几个特征呢？是最减的，就是分母当中不能含根号，根号下不能含分母 啊，根号下面不能含有平方数，这都属于最简。那你像这个啊，你，你单独看前面这个呢，就是分母当中含根号了，你要给他整到一起去呢，就是根号下含分母了，所以他都是最简的。那我们，呃，例六呢，教的就是在根号下进行 什么那个化简啊，将你的分母变成平方数，你看原来是三，你再乘个三啊，就变成平方数了，那这不就能开方了吗？是不是所以最后进行化简，那我们的第三题计算呢，也是一样，你看我这根号二 啊，我可以把这个呃根号二啊和根号五拉到一个根号下里去，是不是就变成了根号下二分之五？那按照二例六的方法，是不应该是把分母乘再乘一个二，就是变成平方数，那你分母乘了你分子也成一居分数的基本性质， 然后呢，它等于什么？根号下四分之十，然后因为四呢能开平方 啊，所以呢，他开平方等于二分母，开平方还做分母啊，你像这个例六写的过程呢，就比较啊细致，你看他把这个三变成平方数之后，是不是变成这样了？ 然后呢？他又给他拆开了，用法则又给他拆开了，然后再开平，开平方。我呢稍微快一步啊，你看我这个四不是平方数了吗？你记得分母开平方还做分母，那你十呢？啊？做分子的，他开不出来，那还做分子啊，所以这个是他最后的结果。 那么第二小题，嗯，根号下二 a 除以根号下六 a， 我 们可以给他拉到一个根号下，就变成了。嗯，二 a 除以六 a。 啊，那先约分，再约分，等于根号下三分之一， 那我们利用例六的方法，是不是应该是分母乘个三变成平方数？你分母乘了分子是不也得成就变成了啊？九分之三，然后九开平方呢？ 分母开平方还做分母，那三开不出来了，就留在根号下啊，这是第三小题的第二个。

大家好，我是讲数学的小何老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第二十九页练习。 第一题，在竖轴上画出表示根号十七的点。这道题呢，首先呢，你来看一下，嗯，这个小题，这个小例题啊，就这个探究，任何一个实数啊，都可以用竖轴上的一个点来表示，你能在竖轴上画出根号十三的点吗？ 那刚才那个问题是根号十七，那这个例题呢，是根号十三，说如果要能画出长根号十三的线段，就能在数字上画出根号十三的点。 嗯，我们都知道啊，根号二的线段是两条直角边的长都为一的直角三角形的斜边。那长为根号十三的线段能是为正整数的直角三角形的斜边吗？ 那根据勾股定律可知啊，两条直角边的长为二和三的直角三角形，其斜边就是刚好十三。那依照下面的方法，在数上就可以画出刚好十三的点。 嗯，那这个题呢，首先你要明白啊，你这个五理数，它应该是一个直角三角形的斜边， 然后呢，这两条直角边呢，还必须得是什么？是正整数，看正整数，那你看二的平方得四，三的平方得九，四加九得刚好十三，对吧？所以呢，斜边应该是刚好十三，那么他的做法啊， 做法在这这一段呢，是他的。呃，做法，我一会做这个第一题的时候，也是也要按照这样的步骤去完成啊。他说如图啊，说 o 为竖轴上的圆点，说首先在竖轴上找到表示三的点 啊，表示三的点 a， 然后也就是 o a 等于三，然后呢，过点 a 做直线 l， 这垂直于 o a， 这有一个垂直，这不就有直角出来了吗？然后在 l 上取一点 b， 然后呢，使 ab 能等于二，那你看这个直角边得二，这个直角边得三，那他的斜边不就得根号十三了吗？所以呢，说，最后以圆点 o 为圆心，以 o b 长为半径，画弧弧与竖轴正半轴的交点 c 即为表示根号十三的点。那你看这个根号十三是怎么找的？那根号十七能不能也是啊，两条 直角边的长为正整数的一个直角三角形的斜边呢？你这个呢，就可以看这个图了， 你看这个例题当中啊，教材里边其实全都交了，你看这个根号二的长啊，就是，嗯，直角边为一和直角边为一的 一个直角三角形的斜边，然后呢，这个是那个根号二，然后在这再做一个一啊，做一个直角边啊，做一个直角三角形，然后根号二，一，那这条斜边就是根号三， 然后呢，这是根号三，这是一，那这条斜边就根号四，根号四就是二了，对不对？然后呢，这是根号四，这块是一，那这斜边就是根号五，也就是整数二 斜边啊，直角边一，整数的直角边一和二，斜边为根号五，那直角边根号五，直角边为一，斜边为根号六。那么以此类推，你看，咱们要用的是根号十七，对不对？那根号十七是不在这，那根号十七是这条边， 那有一条直角边为一，另一条直角边是不？根号十六啊，而根号十六是不就是四， 所以呢，你看，不就是两条直角边为正整数的一个直角三角形的斜边吗？一个直角边为四，一个直角边为一。那好了，那我就按照刚才我们二十八页的那个辅助线的方法，我们来。呃，找出根号十七啊。第一步， 先画一个竖轴啊。第一题，角啊，如图，图在哪画呢？图在这画吧， 哪为零呢？这为零，这是竖轴，是不是一二三四，然后如图 那个照到左边啊，照到这，照到这个位置写，他咋说咱就咋写啊，我镜头在这边啊。嗯，如图， o 为竖轴原点， 然后首先在竖轴上 找出表示四的点 a 啊，表示四的点 a， 那 这是坐标原点，找出表示四的点 a， 那 这为 a， 然后呢，则 o a 等于四。我完全都是照在二十八页那个地方写的啊，然后说，然后 过点 a 做直线 l 垂直于， 垂直于 o a， 那 在这做一个垂线，垂直于 o a， 这是直线 l， 然后在 l 上取一个点 b， 在 l 上取点 b， 使 ab 写 l， 写。这边来啊，使 ab 等于一，使 ab 等于一， 这是 b。 然后最后以圆点 o 为圆心，最后以圆点 o 为圆心， 然后 o b 长为半径，做弧来，把 o b 连上，然后拿圆规 以 o 为圆心， o b 长为半径，然后做弧。看到了吗？然后呢，弧与竖轴 正半轴 交点 c， 即为表示根号十七的点， 那这就是点 c， 那 这个点就是啊，根号十十七啊，这个点为根号十七。那第一题就完成了 啊，这是第一。第二题说如图，等边三角形 a， d、 c 的 边长为六。等边三角形边长为六，然后求高 a、 d。 那 你想我们这个单元学的是什么？学的是勾股定律，对不对？那他要求的是高 a、 d， 那 你肯定得，嗯，放在一个直角三角形里，对吧？那现在这个直角三角形呢？你可以用右边的 a、 d、 c， 对 不对？ 那我们的边长为六，然后呢，等边三角形高有一个性质叫做三线合一，所以 b、 d 应该等于二分之一的 b、 c 这的三。那就说明我的斜面知道了其中直角一条直角边，求另一条直角边，是不这么个道理 啊，那我们用勾股定理数就可以了。那首先呢，我们先呢求出直角来啊。第二题，减括号一。呃，因为三角形 abc 是 等边三角形， 然后呢，你的这个 a、 d 呢，又是高，它垂直，所以呢，你的 a、 b 应该等于 b、 c 等于六啊，角 角 a、 d、 b， 它等于九十度。然后呢，我们还有一个三线合一，就是 b、 d 会等于二分之一的 b、 c 等于 等于三啊，这些都是必须知道的。然后呢，你就可以在勾股定里了，在二 t 三角形 a、 b、 d 中， 然后你的这个 a、 d 它会等于 a、 d 会等于 a、 d 不是 直角边吗？等于斜边的平方减去直角边的平方，就等于根号下六方减三方等于 六，六三十六减去九等于二十七，等于三倍根号三啊。所以呢，我的这个高 a、 d 就 求出来了。那第二问， 他让我们求三等边三角形的面积，那你说三角形的面积不就好求了吗？那 s 三角形 abc 就 等于底层高，也就是 bc 乘以 ad 乘以多少二分之一， 就等于 bc 是 六， ad 是 三倍根号三乘以二分之一，所以它等于九倍根号三 啊。这就是第二小题，这个题还是比较容易的，那么第三小题他说如图 ad 啊，是 abc， abc 边 bc 上的高，哎，这是它的高。 但是他题里有没有交代 abc 是 直角三角形啊？没有啊， abc 就是 一个普通的三角形，说分别以线段， abac 还有 bd 还有 cd 向外做了正方形，然后正方形的面积为 s 一 s 二， s 三 s 四，请写出 s 一 s 二 s 三 s 四的一个等式。 哎呀，这个呢，实际上你要这么看的话，它就是一个勾股数，对不对啊？那你说我的 abc 还不是一个直角三角形，所以呢，你不可能得到 s 一 加 s 二等于 s 三加 s 四，如果这是直角的话，那不就是 两条直角边外面的正方形的面积和等于斜边上的面积和吗？对不对？而这个 abc 它不是直角三角形，所以在这里呢，你得啊，找一个等量关系。嗯，什么样的等量关系呢？你这么看， 你说在这个 r t 三角形这个 abd 中啊，你的 ad 这条边是一条直角边啊，那你在这个 r t 三角形 adc 中呢， ad 也是这边这直角三角形的一条直角边，那你的这个 ad 他的平方，他的平方是不应该等于 s 一 减 s 三就是这个斜边上的面积，减去这个直角边的面积是不等于这个直角边的面积。那同理，右侧的这个直角三角形，我 a d 是 直角边，所以用 s 二减去 s 四，是不就等于 a d 的 平方？ 那我记住 a d 的 平方，这个等量关系，是不就可以求出 s 一 减 s 三等于 s 三啊？不对， s 二减 s 四啊，那等量关系不就出来了吗？对不对？那我们怎么去整理这个过程呢？哎呀，这个图啊，没看到是不是？ 嗯，再说一遍啊，你的 a d 这条边是左边这直角三角形的一条直角边， a d 这条边又是右边这直角三角形的一条直角边，那么 a、 d 的 平方， 他就应该等于斜边上的这个正方形面积，减去这个直角边和正方形面积，也就是 a d 方等于 s 一 减 s 三。 那同样的道理，你的 a、 d 呢，又是右边这直角三角形的一条直角边，而 a、 d 的 平方又等于 s 二减 s 四。那你借助这两个等量关系，是不就可以求出 s 一 减 s 三等于 s 二减 s 四了 啊，这不就等量关系吗？就是一个等式吗？啊，所以这个题是可以这样写的。那我们来呃，写一下过程啊， 你可以这样写啊，因为因为这个嗯， a、 d， 它垂直于 bc， 所以 你的角 a， 呃，三角形 a d， b 和三角形 a， d， c 啊，都是 直角三角形胶带，它都是直角三角形啊，直角三角形啊，然后呢，在 r t 三角形 abd 中啊，你的 ab 方 应该等于啊 b 地方加上 a 地方，对吧？所以呢，就会得出 s 一 啊，等于 s 三加 a 地方，所以即 a 地方等于啊， s 一 减 s 三。那在二 t 三角形 a、 d， c 中， 呃，你的 a、 c 方应该等于 c d 方加上 a 地方，也就是 s 二等于 s 四加 a 地方，即 a 地方等于 s 二减 s 四。那么因为你的 a a 地方等于 a 地方，是不是这么个意思啊？所以呢，你就会得出 s 一 减 s 三等于 s 二减 s 四。 那你写到这呢，它可以作为结论，你也可以稍微整理一下，就是变成加法的啊，变成加法的， 或者是给它写成 s 一 加 s 四等于 s 二加 s 三。啊，这两个其实写到上面里就可以了啊。

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第三十页习题，二十点一的一、二三四五啊。第六题看看能不能讲完啊。 第一小题设直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b， 斜边为 c。 那 么第一小题它是已知两条直角边来求斜边，那么 c 应该等于根号下 a 方加 b 方 等于，嗯，根号下五方加十二方就等于，嗯，二十五，一百四十，一百六十九，十三，这个五十二十三这个勾股数要记住啊。 然后呢，你的第二小题是已知直角边，斜边来求另一条直角边，那 b 应该等于根号下 c 方减 a 方就等于根号下四方减三方等于根号七 啊，十六减九等于根号七。然后第三个是已知斜边和直角边来求另一条直角边， a 应该等于根号下 c 方减 b 方就等于根号下 c 方。是十方减去九的平方啊，一百减八十一 等于十九，对吧？那应该等于根号十九十九呢？他开不了方了啊，十九是最减的。嗯，那第二小题呢？ 第二题说如图，一根直立于地面的木杆在离地面啊，木杆离地面三米处折断了，也说这个位置应该得三。 说木杆的顶端落在离木杆底部啊，离木杆底端四米处，这是那个底端，那四米应该在这。 问你木杆折断前有多高，那就是求三加上这个斜边呗，它立起来了，不就是它折断之前的高度吗？嗯，那现在呢？我们说这个木杆是直立于的，那就说明这是什么关系的，是垂直的，对吗？ 啊，它是垂直的。所以来第二题，我们可以写由提一可知 由提一可知 啊，这个斜边最外面，这个斜边，它应该等于根号下三方加四方等于。呃，五 啊，三四五吗？是吧？这个是最常用的购物数了。那么你木杆原来的长就应该是三加五等于八米啊。然后答，木杆折断前 八米啊，折断前有八米。这是第二小题。那么第三小题他说，如图，一个圆锥的高 o、 a 啊，是二点四，这块是二点四，里面半径是零点七，让我们求 a、 b 的 长。 那第一呢，我们知道这个高啊，它就是有直角的啊，高就有直角了，那么在直角三角形里已知两条直角边，然后让我们求斜边的长，那我们就可以写，呃，第四。呃，第三题 啊，第三题，嗯，在二 t 三角形 a、 o、 b 中啊，你的 ab 应该等于根号下 a o 方加 b o 方，就等于根号下二点四的平方，加上零点七的平方等于二点四的平方，等于几啊？ 二点四是五点七六，零点七是零点四九五二六，六点六点二五，他应该等于六点二五，根号下六点二五，那就是二点五呗，二点五啊，所以答， a、 b 的 长是二点五啊，这个题都不难哈，都是最基础的。然后第四题说一个含两小圆孔的长方形零件， 尺寸如图所示啊。嗯，求两孔中心的距离，那也是 a、 b 之间的距离呗。 那你观察这个图里，它是不是已经给你构建出一个直角三角形了？ a、 b、 c 是 不一个直角三角形，那 a、 b、 c 是 直角三角形？只要能确定 a、 c、 b、 c， 我是 不就能求 ab 了，对不对？来第四题 啊，第四题啊，从图上可以知道你的 a c 啊， a c， 因为 a、 c 等于四十，这个距离是四十，这段的距离是二十一，那 a、 c 的 长是不是四十减二十一 等于多少？十九吧。然后 b、 c 是 等于这段的距离是六十，这段的距离是二十一，那六十减二十一是不就 b、 c 的 长，那六十减二十一等于三十九 啊。然后呢，我们就可以由勾股定律可知了写啊，所以在 r t 三角形 a、 c b 中啊，你的 ab 就 应该等于根号下 a c 方加 b， c 方就等于 根号下十九方加三十九方等于。这个不太好算啊，我找个计算器啊，十九方， 十九乘十九等于三百六十一，三十九乘三十九 等于一五一五二一，再加上三六一等于一八八二， 一八八二，保留一位小数点，小小保留后一位，保留小数点后一位，是不是那就是根。哎呀，不对不对， 根号下一八八二，应该是四十三点四，看这 四十三点八二，是吧？保留后一位，那就保留一位小数点呗。四十三点三，那我这个位置先写根号下一千八百八十二，然后约等于四十三点四 啊，毫米，然后我们可以达两孔中心距离 为四十三点四毫米啊，这就是第四题，那我们看第五题， 第五题，他说如图，要从电线杆离地面五米处 向地面拉一条长七米的钢缆。哎，从电线杆离地面五米处啊，那这个位置应该是五米呗， 然后拉一个七米长的钢钢缆，那这是七米呗，这是五米。然后求地面上钢缆的固定点 a 到电线杆底部 b， 它的距离求保留小数点后移位。 那你说现在这个电线杆他一定是与地面垂直的，对不对？那我现在就是直角三角形当中已知直角边和一条斜边，来求另一条直角边，是不是这么个道理啊？所以说来，我们可以啊，在这写来第五题， 我们可以写射，射哪呢？射这个离地面五米处的，这个点离地面 五米。呦，五米处啊，为点 c， 也说这个位置是点 c， 那 我们就可以知道你的 a c 应该得七，你的 b、 c 应该得五，然后角 b 等于多少度？九十度啊，角 b 等于九十度，然后我就可以由勾股定律得了。 由勾股定律得， 那你的 ab 就 等于根号下 a， c 方减去 bc 方就等于根号下七方减五方等于根号。 嗯，七方是四十九，四十九减二十五等于二十四，也是根号二十四等于二倍根号六， 然后要求我们小数点后面保留一位小数，对不对？那我得算算根号六得几啊？ 嗯，根号六，二点四五吧，也就是二点四五，再乘以二一十九四，那就是四点九呗。啊，约等于四点九，然后答 a、 b 的 距离为 四点九米啊，这是第五题。那么再讲一个第六题，说在竖轴上画出表示根号二十的点，那这道题跟我们前面那个做一做那题是一样的吧？哪里去了？ 在这啊，就得照着这个过程去写它。那我把这道题写到这啊，写到这里，图画到哪里去呢？ 嗯，咱们把这道题写到几上面去啊？写到最上面。这第六题啊，写到这。嗯，第一步呢，先写如图。 嗯，怎么说的？那句话说， o 为竖轴圆点， o 为竖轴圆点， 然后在竖轴上找到表示，在竖轴上找到 表示几的点。那咱们来分析一下根号二十是哪两个整数。这个平方啊，也是两个直角边为整数的一个直角三角形的斜边啊，根号二十， 嗯，刚才我们做了一个根号十三是二和三啊，根号十七是四和一，对不对？根号二十四和二呢？四十一十六。哎，这个可以啊。 嗯，所以应该是一个四，一个二。那我现在竖着画四，画长的边啊，表示四的点 a， 然后再过啊，则 o a 等于三啊，不对，则 o a 等于四，然后，然后过点 a 做， 然后过点 a 做啊。直线 l 垂直于 o， a 垂直于 o a， 然后在 l 上取点 b， 在 l 上取点 b， 然后使 ab 等于二， 使 ab 等于二，最后以圆点为圆心， 最后以圆点为圆心， 以 o b 长为半径画弧 啊，然后这话说，弧与竖轴正半轴，弧与竖轴正半轴的交点 c 即为表示根号二十的点。 然后我们来画一下图啊，我先把做法写完了，格式在这里， 竖轴 二三四五六，嗯，这为零吧，一二三四，然后这是圆点，然后这是 a， 然后过 a 做一条直线 l， 直线 l 垂直于 o a， 然后在直线 l 上取 ab 等于二，这儿这儿是 b。 然后呢，以 o 为圆心，以 o b 长为半径， o 为圆心，以 o b 长为半径， 然后画弧交正半轴与点 c， 那 点 c 即为表示二十根号二十的点啊，这就是第六题。

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第五页习题，十九点一的第九题和第十题。 第九题括号一，已知根号下十八减 n 是 整数，求自然数 n 所可能的所有可能的值。那么这里头呢，首先你要明白啊，根号下十八减 n 是 一个整数，说明十八减 n 能够开平方 啊，能开平方能算出来。那第二呢，你的 n 必须得是自然数，那自然数就得是大于等于零的数 啊，所以呢，在这个范围当中呢，我们去找十八减去，一个数能等于啊，开平方的一个平方数啊。那这里呢，我们先这么写啊，第一小题，第九题的第一小题，我们先说这个，嗯， 理由啊，就是条件，因为 n 得是大于等于零，且根号下十八减 n， 为什么数为整数？ 所以呢，你的十八减 n 得等于哪些数呢？能够开平方的啊，有零四啊，不对，还有一四九， 嗯，十三的平方，四的平方得五的平方，五的平方，十八减 n 是 不就嗯，大了啊，就就是得负值了，对吧？所以呢，这个呢，是不可能的，也说他可以等于零一四九，十六 啊，零一四九十六。嗯，所以呢，当 十八减 n 等于零时，你的 n 等于十八，当十八减 n 等于一时，你的 n 应该等于十七。 当十八减 n 等于四十一的平方二的平方，三的平方四的平方啊，然后是 n 等于十四，然后十八减 n 等于九十，你的 n 应该得九。当十八减 n 等于十六时，你的 n 应该等于二，所以呢，你的 n 的 值 为二九，十四，十七，十八啊，这是括号一，那么括号二，所以值根号下二十四 n 呢？是整数。求正整数 n 的 最小值。 第一呢，因为你的呃，根号下二十四 n 为整数。 第二，你的 n 得是大于零的整数 啊。所以啊，你的二十四 n， 它可以，它必须得是一个平方数啊，它必须是一个平方数。然后呢，你的这个 n 呢？还得取最小值 啊。那你从最小的往上试呗，你的二十四 n 的 确是一个。呃，平，完全平方数啊，不叫完全平方，叫平方数，也是一方二方三啊。四方一的平方二的平方三的平方也是 一得一，二二得四，得是一四九十六、二十五这类的数啊。那么也就是你得是 n 乘以二十四，能变成一个平方数，那你你就算呗，你二十四如果乘以一的话啊，他不是平方数 啊，他不行。那二十四乘以二呢，等于四十八，这个也不是平方数。二十四乘以三等于七十二，他也不是平方数。二十四乘以四呢，等于 呃，九十六，他也不是平方数。二十四乘以五等于一百四十四，哎，这个可以了 啊，等于一百二，呃，一百四十四，这个就是平方数了。所以你的 n 最小值为 n， 最小值为六啊，这是从最小的往上升啊，这是最小的往上升。你还有一种方法呢，你就是用因子分解，你的二十四是不可以拆成二乘二乘二乘三， 对吗？啊？然后呢，你的二两个二是不是一个平方数，然后二三得六， 那你最少得乘以个六，给这个六也变成平方数，那他不就可以了吗？是不是？所以呢，你的 n 呢，他必须得是二乘三，他必须得得六啊，这就是第二个方法 啊，这是我一个一个往上升的，他不说取最小值吗？那咱从最小的往上升呗，试到平方数为止啊，这是一种这用因式分解的方法啊，分解式因数的方法啊，来求第二种。然后第十题， 第十题呢，他说一个圆柱的高是十，体积 v 啊，它是啊，体积为 v， 求它的底面半径，而用含 v 的 代数式来表示，并分别求出 v 等于十派和二十派时，底面半径的大小。 那首先你要知道圆柱的体积公式是什么呀？圆柱的体积公式啊，圆柱的体积公式 v 应该等于 底面积乘高，也就是 pi r 方 h。 啊，这是他的啊，圆柱体体积公式，那么他说了高为十，那我就把十带进去呗，对不对啊？当 你的 h 等于十时， 那么用含 v 的 式子来表示 r， 对 不对？那咱先把十带进去啊， v 应该等于派 r 方乘以十，也就是 v 等于十派 r 方， 那我要表示 r 的 话，那么 r 方就等于十派分之 v， 然后因为 r 是 大于零的，所以呢， r 应该等于根号下十派分之 v， 这就是你的这个第一问，用含 v 的 代入式来表示。第二个呢，是求出当 v 等于十派二十派时，底面半径 r 的 大小。那么当你的 v 等于十派时， 你的 r 应该等于根号下十派除以十派不就等于一吗？ 啊，这是第一个。第二个，当你的 v 等于二十派时，你的 r 就 等于根号下二十派除以十派等于根号二啊，所以， 所以呢，这两个题呢，咱就完成了啊。

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第十一页习题，十九点二的一二三四五题，第一题计算， 嗯，这道题呢，我们可以啊这样计算啊，嗯，这两个题，这两个数呢，我们先给他拉到一个根号下，然后呢尽量给他拆成平方数啊，四乘以，这个呢可以变成二乘三，再乘以啊，三九二十七。 哎，看，这么拆完之后来你观察一下啊，嗯，这个四九，还有这两个三，他都属于平方数了，那如果都属于平方数了的话， 那我们就可以开方了，看见没？那这个地方呢，我们可以啊，直接开平方啊，四开平方能得二， 两个三能开出去一个三，九能开出去一个三，然后呢根号下剩个二，再把括号里的扣那个根号外面的计算一下，二三得六三六一十八倍根号二。 第二小题呢，首先呢符号上是一号为负，然后根号下啊，六可以拆成二三得六，这个五十五呢可以拆成三五十五，然后两个三开出去一个三，那么三倍的根号十。 第三小题的你也是同样把他们几个拉在一个根号下，十八呢可以是九乘二，然后二十是四乘五，七十五呢是，呃，二十五乘三， 然后这时候呢，我们就可以开平方了，九能开出去一个三，四能开出去一个二， 然后二十五能开出去一个五，然后剩下的这个，这个，这个，你看他们三个 是不是，呃，二五一十，他们是不是都没有平方数了？所以二五一十乘以三等于三十，那么就等于，嗯，二三得六五六三十三十倍，根号三十。 嗯，第四个小题呢，我们可以先拉在一个根号下约分，然后乘以七分之三等于， 嗯，根号下六乘三，六乘三就是六啊，不对，六乘三就等于根号下二乘三，再乘三，两个三开出去一个三，二留下。 嗯，第二小题呢，是除法的，我们可以给他拉在一个根号下里除八分之十八，然后呢，商二约等于根号下四分之九， 那四开平方得二，九开平方得三，所以等于二分之三。那么第二个呢，我们也可以给他拉到一个根号下里除等于根号三。 第三个呢，也是拉到一个根号下除法变成乘法，然后等于，呃，根号下四分之五，然后四呢，能开平方得二，然后五 留留在根号下。然后第四道题呢，我们可以，嗯，拉到一个根号下 九 x y 分 之四 x 方 y， 然后九能开平方得三，这俩可以约一下啊，然后这俩约了分母就剩九了，九能开平方得三，上面的四呢？能开平方得二，然后里边剩一个 x， 这就是最后的结果啊，这个计算能跟上他吗？然后第三小题化简。这个呢，可以用公式啊，根号四乘以根号四十九， 根号四等于二，四十九等于七，所以二七十四，然后呢，三百可以变成三乘以一百等于十倍根号三。 这个呢，可以直接算，你也可以给他拆开啊，利用公式逆运算等于六分之五，然后这道题呢，你也可以，嗯，直接开平方啊，你也可以给他用公式给他拆开。 那么你看下面的四开平方得二， c 方开平方得 c， 上面的 a 方能开平方得 a， 然后 b 留下，这就是最后结果。然后第四题呢，这道题，你可以直接啊，把你的根号十二变成四乘三， 然后四能开方得二等于二倍根号三，然后底下再除以二，咱约分等于根号三。第二个呢，你可以用呃，分母由里化，同时乘以根号六 啊，等于六分之三倍根号六，然后再约分等于二分之根号六。 第三个呢，同样你可以呢。嗯，分母乘以根号四十，我的根号四十，也可以进行化写。咱可以先不化啊，根号四十乘以根号四十分之，根号二乘以根号四十，就等于 底下呢，四十。根号四十乘以根号四十等于四十，再乘以三等于一百二十，上面的是根号八十，然后我们再化减根号八十呢，我可以变成十六乘以五， 然后除以一百二等于。这个呢，是开平方得四四呢，跟一百二约剩三十分之根号五，这就是最后结果。然后第四题，嗯，这道题呢，我可以 啊，外面除以外面的，里边除以里边的，也就是负的三分之一根号下啊，五 y 分 之四十五 y 方，然后等于负三分之一根号下，这约得九，这约得九 y， 所以 等于负三分之一乘以三根号 y， 然后约分等于负的根号 y 啊，这就是第四题。嗯，第五题，下列代数式啊，这个代数式来求值， a 等于一， b 等于十， c 等于负十五，带进去啊。嗯，第一个是原式，等于 二乘一分之负十，加上根号下十方减四乘一，再乘负十五， 然后等于二分之负十，加上这个是负正六十，正一百六一百六，根号一百六等于二分之负十，加上一百六是 十六乘十等于四倍根号十，然后等于负五加上二倍根号十，这是化简啊。然后第二个呢？原式等于 二乘以二分之负的负八加上根号，下负八的平方减去四乘二乘五，然后等于 四分之正八加上八八六十四，再减去二十四十二十四， 然后等于四分之八加二倍根号六，所以等于二分之四加根号六啊，这就是第五题。

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第十六页 c 题，十九点三的 十六页习题，十九点三的四五六七八题，第四题说，已知根号五，约等于二点二三六，让我们求这个式子的一个近似值啊，那我们先把这个式子进行化简一下啊，我不抄原式了啊，我写原式等于， 那我们进行化简啊。嗯，一个一个化。 五倍的根号下五分之一，那这乘以五，这乘以五进行分母有理化，乘以个五分之根号五，约分等于根号五加啊，减去。 嗯，四分之五倍的根号下五分之四，那么他应该是四分之五，先别动，乘以个根号下五乘五，乘 五乘四啊，然后进行分母由里化，然后乘一个五分之二倍根号五，这个四能开方啊。然后他俩约，他俩约，这剩二分之根号五，减去二分之根号五， 再加上五九四十五，所以是三倍根号五。然后呢，我们再给他化解一下，合并一下同类项，他俩是四倍根号五，再减去二分之根号五，等于二分之七倍根号五。 然后这时候呢，你再把这个二点二三六带进去，等于七，乘以二三六，再除以二啊，这是约等于，然后等于 啊，这也得约等，因为他要求我们保留两位小数，对不对？那保留两位小数，那么咱算一下来，二点二三六乘以七六七四十二，三七二十一，二十五，二七十四，一十六，一十五，三位小数点，再除以二， 等于七点八三呗。 啊，约等于七点八三，这是第四题，那么第五题啊，第五题，他说已知 x 等于根号三加一， y 呢，等于根号三减一，然后让我们求下列各式的值啊，让我们求下列各式的值。 嗯，这道题呢，他，其实，嗯不难啊，应用什么呢？应用预算定律啊。第五题第一个， x 方加二 x， y 加 y 方，这不明显是一个完全平方式吗？那我就可以先给他 因式分解一下等于 x 加 y 括号的平方，然后你再把这个数带进去，等于根号三加一，加上根号三减一，括号外面的平方就等于二倍，根号三的平方等于 二的平方得四十二。嗯，你看这就算完了。第二道题呢，也是原式等于因式分解一下呗。 x 加 y 乘以个 x 减 y， 就等于根号三加一，加上根号三减一，再乘一个根号三加一，减去根号三加一，然后等于二倍根号三乘以二等于四倍根号三。 嗯，你看他难度不大吧啊，然后第六题他说已知边长分别为根号五加二和。嗯，根号五加二米和根号五减二米的两个正方形的面积分别为 s 一 和 s 二。 那么让我们来求 s 一 加 s 二得多少？那么这里边你观察他给我们的这两个数呢，是边长，然后让我们求面积和。那我们可以先求第一个来括号一， s 一 呢，应该等于根号五加根号二的平方就等于 完全平方，是根号五的平方得五，加上他俩乘积二倍等于二倍，根号十再加二等于七加二倍根号十。 这么多什么平方米？那么 s 二呢，应该等于根号五减根号二啊，边长的平方等于五减二倍，根号十再加二等于七减二倍根号十，括号的平方米， 那你看这两个面积是不都算完了？那 s 一 加 s 二是不就容易了？等于七加二倍根号十，再加上七减二倍根号十就等于多少十四啊平方米 啊。第二个呢，用一根长为二十米的铁丝能否围成这两个正方形？那你说他给你的这根铁丝啊，围成这两个正方形，那不就说明二十是周长吗？ 对不对？二十是周长，那我就先求这两个长正方形的周长之和呗，然后你跟二十比一下，如果比二十大，说明围不成，比二十小就能围成呗，是不是来？那么第二题啊， 周长等于，嗯，边长乘四， 加上根号五，减根号二，就等于，嗯， 四倍根号五加四倍根号二，加上四倍根号五减四倍根号二，就等于八倍根号五， 然后我们用八倍根号五跟二十比下来，八倍根号五和二十，嗯，这个比呢？怎么比呢？ 这个笔，我们需要将你的这个根号给他还原里头去啊。八呢，他的平方得六十四，六十四乘以五四五，二十三百二，所以他应该是根号下三百二，而这个呢，是根号下四百， 那你看明显二十大，是不是啊？二十大，那么如果二十大的话，那么说明他能围成呗，是吧？能围成哈答，能围成 这两个正方形， 能理解吗？然后你看第七题，说已知已知 a 加 a 分 之一等于根号十，求 a 减 a 分 之一， 它提示我们利用 a 减 a 分 之一的平方和 a 加 a 分 之一的平方嗯，之间的一个关系来进行熵算 啊。所以呢，在这里我们可以借助这个完全平方式啊，完全平方式来。第七题，我们写到这里啊，我们因为 a 加 a 分 之一啊，它等于根号十，所以呢，我们将它两边同时平方， 两边同时平方，我们就可以得出 a 加 a 分 之一的平方应该等于根号十的平方， 那也是 a 方加二加上 a 方分之一应该等于十，也就是 a 方加上 a 方分之一，应该等于八。 呦，看不到了啊，应该等于八。这个地方如果你能看懂的话，那你看，现在要我们求的是 a 减 a 分 之一，那 a 减 a 分 之一，我们可以那个，呃，凑成一个完全平方差公式呗。 那这是首方有末方，我们需要两边同时减减，两边同时减二，也就是两数乘积二倍啊，添一个两数乘积二倍，变成了 a 减 a 分 之一的平方等于六，所以 a 减 a 分 之一等于正负根号六 啊，所以答呢， a 减 a 分 之一的值为 正负根号六啊，这是我个人的做法。嗯，你还可以呢，把这两个算式，这两个算式啊，你都给它拆开 啊，都给他拆开，然后对比一下啊，你通过嗯，这个已知的结果，然后去带入到另一个三十里，但是我我觉得这个方法还是比较简单的啊。嗯，那我们来看一下第八题， 他说从啊，再下了一个方程，后面的括号里啊，分别给啊，分别给出了一组数，从中找出方程的解。那你说要找方程的解啊，你要是不会解的话，咱是不是就是一个一个往里带， 对吧？啊，是指法，一个一个往里带，哪个成立哪个就是。那如果你会解的话，咱们说解一下即可啊，那我们来解一下来。第八题，第一个， 二 x 方减六等于零，这个呢，在我们七年级学这个平方根的时候啊，就学过开平方运算啊，第一步呢，先移向这个方别动 啊，两边同时加六。第二遍，两边同时除以二化系数为一，然后第三开平方，开平方等于正负两个值啊，求的是三的平方根，所以你看这不就是正负根号三吗？那你的 方程的解不就是正根号三和负根号三吗？啊，这就是解。第二个解，方程二，括号 x 加五，扩回的平方等于二十四，因为这个是带平方的，所以这个方字别动，先两边同时除以二化系数为一，让左边就剩一个方， 然后第二遍呢，这不是谁一个数的平方等于十二了吗？所以叫开平方等于正负根号十二，二倍根号三。 然后再一项拆开两个小方程，等于正二倍根号三， x 加五等于负的二倍根号三，那么 x 等于二倍根号三减五和负二倍根号三减五，所以呢，正确的答案他的减应该是二倍根号三减五一个，负二倍根号三减五两个。啊，这两个， 所以呢，你要会解的话就解出来还是比较容易的。

八年级下册同步训练人教版语文人教版数学人教版英语这个是语文练习册，目录同步学生的语文书，每课都有相对应的练习。我们来看第一课，每课都是由基础训练和能力提升两大板块组成， 全面提升学生语文核心素养。每个单元的结尾还有阅读专项训练，以及单元写作指导栏目。随书附有参考答案和测试卷。 这个是数学练习册，同样与学生的数学书同步，既有基础题，夯实学生数学基本功，也有能力提升和素养探讨，强化学生数学能力。同样配有参考答案和测试卷。 这个是英语练习册，课时涉及基础训练和能力提升两大板块，题型丰富而全面，配有参考答案和测试卷。

大家好，我是讲数学的小胡老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第二十页复习题 复习题九的一、二三四题。第一题，当 x 满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义。 那么这个题呢，在前面呢，咱们已经做过好多了啊，那他在实数范围内有意义呢？你观察这底下呢啊，都是二次根式，对吧？所以二次根式有意义的条件就是被开放数得大于等于零 啊。那我们看第一个说根号下三加 x， 那 被开放数呢，是三加 x， 那 也就是要求三加 x 得大于等于零 啊，所以 x 呢，得大于等于负三，也就是当 x 大 于等于负三时，这个式子它在实数范围内是有意义的。那么第二小题，你观察这道题呢，有根式啊，你看 底下这个根号，二 x 减一，这是不是根号啊，是不是一个根式？那根式它有意义的条件呢？是二 x 减一大于等于零，对吗？ 但是呢，你再看它呢，还是一个分式，为什么说分式呢？这有一条分数线，然后分母当中是不是还有 x， 还有未知数了？所以呢，你要记得 啊，分母分式的分母是不能为零的，所以呢，你的二 x 减一大于等于零，这个条件只是在根那个根号二次根式的条件下，那在整个这个式子的条件下呢，他还不能为零，就是这个不能带等于号 不能为零。所以呢，你的二 x 减一得大于零，只剩一个条件了， 根是大于等于分母不能等于，所以只剩大于啊，那也就是 x 得大于二分之一 啊，这就是当 x 大 于二分之一时，这个式子在实数范围内有意义。那么第三小题呢？你观察这是一个根号啊，根号呢，得满足等于零啊，也是被开放数得大于等于零。但是呢，你观察你的被开放数，又是一个 分式，分母当中还有未知数的，对吧？所以呢，你得让你的分母不为零。那你想大于等于大于的话，得是分子正，分母也得正， 那要等于零，只能让分子为零，分母不为零，而这里的分子已经不为零了，对吧？所以你的二减三 x 得是大于零的啊。再说一遍， 二减三 x， 他 是不得大于等于零。那你想要想等于零，是不是分子得为零，而分子现在不为零了，说明他不可能为零了，只剩大于了， 那上面的分子是正的，那你下面的也得是正的，这叫同号才能为正。所以你的二减三 x 得大于零， 那么你的 x 应该小于三分之二，也就是说，在 x 小 于三分之二十，这个式子在实数外内有意义。那你看第四个小题。第四个小题呢？你看啊， 根号下，这是不是也是二次根式？你得保证什么被开方数大于等于零，对吗？要想等于零，那你想你的分子是不得为零，而现在分子是一，他不可能为零了，所以这等于零的条件就没有了。那只剩大于零了，对吗？那只剩大于零了，那你的一 是正的啊，你的分母是不也得是正的？这，这叫同号才能为正。那意思就是我得让我的 x 减一的平方得是正值。 明白。所以呢，你的 x 减一，只要不为什么就行了。只要不为零就行了啊，为什么？因为你的这个 x 减一是正的也行，负的也行 啊，就不能让它得零，因为零是没有意义的，所以你的 x 是 不能等于一的。 意思就是当 x 不 等于一时，这道题在实数范围内有意义啊，自己再体会一下。 呃，第二题呢，是化简啊，化简题呢，就是把它化成最减二四根式呗。那根号五百，那你想五乘一百，一百是什么？平方数，所以一百开方等于十，然后五留下， 那第二个根号十二十二呢，可以拆成四乘三，再乘 x， 那 四能开平方等于二，然后三， x 留下， 然后第。呃，第三小题呢，得进行分母有理化，因为根号下还有分母了，那分母乘以三变成平方数，那你分子也要乘以三，然后呃，分母两个三，开出去一个三，然后上面呢，是等于四十二的 啊，四十二呢，你想我这个十四能拆成二乘七，二乘七，再乘三，没有一个是平方数，所以呢，四十二是最减的，他开不出去了啊，这就是最后的答案。 那么第四小题呢，你观察这个里边的分根号下有分母，有分母就要进行分母有理化，对吗？那我的 a 方已经是平方数了，现在是不是只有三？他不是平方数，那我只要把这个底下的分母再乘个三 啊，那他就能开方了，那两个三开出去一个三， a 方开出去一个 a， 上面的二三得六是最简的，开不出去了，所以这就是最后的答案。然后第五小题呢，你的 x 方是偶次幂，它是平方数，那你的 y 的 三次方是不可以变成 y 方乘以 y， 那 我二是最减的， x 和 y 都能开平方，所以是 x y 根号下二 y， 然后你的第六小题，嗯，你的分母呢？它是最简的啊，然后你要进行分母有理化，也就是六得乘六，你的五 a 的 五次方可以变成 a 的 四次方，乘以 a， 再乘一个六， 然后等于你的两个六分母当中的两个六能开出去一个六。原来做分母还做分母，然后上面呢，五开不出去了，然后 a 的 四次方能开出去 a 的 二次方，然后五，呃，这块剩个 a， 然后五六三十五， 呃，他是最减的了，所以呢，他应该是三十 a 啊，这就是最后的答案。嗯，第三题计算， 首先呢，我们先给他化减啊，因为你看这里全都是加减法对不对？先化减，然后再去计算。那二十四呢，在乘法口诀是乘法口诀之内呢，是四六二十四，四能开方得二，然后六留下， 然后减去这个分母，乘二，分子也乘二，分母开出来，等于二，上面的二留下， 然后这减去这个乘法口诀之内是六九五十四，九能开方得三，然后六留下，然后这一号为负，直接把符号去了啊，然后呢，根号下八分之一呢？你的八，你不要去乘八，你乘几乘以二， 乘以二，乘以二，是不就能变成平方数了？二八一十六能开方得四，然后等于，嗯， 合并，合并的时候啊，是被开放数相，同时也是同类二次根式才能合并，那么也是根号六不变，系数相加，减二减三，等于负的根号六。 然后呢，你的这个二分之根号二和四分之根号二，这个通分，这个是四分之二倍根号二，他俩都是负的，所以是负的四分之三倍根号二啊，所以这个呢，是最后的结果。 那我们再来看第二题啊，第二题，这道题你观察是不是乘除法？ 乘除法，那么你记得乘除法最简单的招就是外面跟外面的算，里边跟里边的算，该乘就乘，该除就除啊，那外面的系数二乘以这个系数四分之一，再除以它等于乘以它的倒数， 然后呢，再乘以个根号，底下这个是十二乘以三，再除以二啊，然后等于外面的呢，计算等于十分之一， 然后里边的呢是三十六除以二等于十八，三十六除以二等于十八，所以他等于根号十八，而十八还能化解，然后等于二九一，十八等于三倍根号二，也就是十分之三倍根号二 啊，十分之三倍根号二。然后第三小题呢，你观察这个呢，是一个乘法算式，然后这个是二倍根号三加根号六，这是二倍根号三减根号六，这明显就是一个平方差公式。 那么两数和乘以两数差等于这两数的平方差，等于第一个数的平方，也是相同数的平方在前，互为相反数的平方在后，然后等于 二的平方等于四，根号三的平方得三三四多少？十二减去根号六的平方等于六，所以最后等于 六。然后第四小题呢，是多项式除以单项式。我们可以先去除，然后再去化减啊，先别忙着那个。嗯，别忙着去挨个的化减了。 这个呢，你观察这四十八除以六等于八，是不等于根号八， 然后一会咱再化减减去。那你说老师，这个除不了了呀，这个呢，你可以进行约分等于二分之几啊，二分之九，然后我们再去化减啊，那这个呢？等于呃 呃，二四，这是二倍根号二，那是四倍根号二，然后减去这个乘以二，这个乘以二，等于二分之 二分之，这个能开出来个三，等于九倍根号二，就是嗯，九呢，开方得三，三三得九，然后底下能开出个二来，所以呢，是二分之九倍，那这个就是二分之八，等于负的二分之根号二 啊，负的二分之二，那你说老师我化解行不行？可以啊，我在这给你把第四题再用化解的方法再做一遍，我可以把这个根号四十八进行化解，四十八呢，是十六十六乘三，所以是八倍根号三， 然后减去呢，这个是呃，三倍根号三，九倍根号三，减去九倍根号三，然后再去除以根号六，然后等于负的根号三。去除以根号六，那就等于嗯，负的根号六分之根号三， 然后等于上下同时乘以根号六呗。所以等于负的六分之三倍根号二，然后再约分等于负的二分之根号二啊，这个方法也是可以的。 然后第五小题呢，它属于完全平方式啊。完全平方式，那么完全平方式是首平方两数乘积二倍在中央， 因为他是个核，所以呢，是这写加乘以三倍根号三，再加上三倍根号三，得平方等于这个是二的平方，等于二四根号二的平方等于二，二四得八，再加上他们是十二倍根号六， 然后这是三的平方得九三九二十七，所以等于合并同类项三十五加上十二倍根号六 啊，三十五加十二倍根号六，然后第六小题这个题呢，也属于完全平方式，这个就是比较麻烦一点的啊，比较复杂一点。那么第一个数的平方是， 嗯，二分之三根号下三分之五括号的平方，然后再减去二倍的二分之三倍的根号下，咱可以把它俩拉在一个根号下里，乘三分之五乘以四分之五， 然后再加上根号下四分之五括号的平方等于这个数呢，就比较复杂一点啊，复杂一点，那我们 在烟头纸上算好了，咱们再给他写上啊。第一个二分之三的平方是四分之九，然后三分之五根号三分之五的平方是三分之五，然后约一下分等于四分之十五。第一个是四 分之五，他俩约等于三，然后里边是 十二分之二十五，那十二分之二十五，十二乘以三能变成平方数，那他也乘以三，那他等于六，三乘以六分之五倍根号三，然后约分等于二分之五倍根号三。 所以第二项是二分之五倍根号三，再加上四分之五，然后就等于， 嗯，这个等于。搁下面写吧，搁这写来，他俩相加等于四分之二十，四分之二十等于五，五减去二分之五倍根号三。 啊，五，减去二分之五被杠三。然后第四小题说正方形的边长为 a， 它的面积与一个长为九十六，宽为十二的长方形的面是相等的，求 a， 那 我就依据提议来列方程就行了呗。那就说正方形的面积等于长方形的面积， 让我们求 a， a 就 等于根号下九十六乘以多少？九十六乘以十二呗，是不是这意思啊？然后呢，我们再整理一下，就等于九十六，可以变成十六乘以六，乘以六乘以二。 嗯，就等于十六开方得四两个六，开出去一个六，然后二留下。所以等于二十四倍根号二 啊，这就是 a 的 值，二十四倍根号二。