八年级下册数学基础训练答案23章

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第八十八页复习题二十一的十四、十五、十六题第十四题如图，过平行四边形 a、 b、 c、 d 对角线 a、 c 的 中点做两条互相垂直的直线，分别交 a、 b、 b、 c、 c、 d、 d、 a 于 e、 f、 g、 h， e、 f、 g、 h 连接 e、 f、 f、 g、 h 和 h、 e， 判断四边形 e、 f、 g、 h 的 形状，并说明理由。 那这道题呢，首先你来观察啊，你的这个蓝色的线应该是你这个粉色的啊，要求的这个四边形的一个对角线，那对角线是垂直的 啊，对角线垂直的，那你想对角线垂直的那个四边形都有啥呀？我们学过的是不是菱形和正方形，那这里肯定不是菱形，所以我们初步判定它应该是菱形。我们写到这里啊， 十四题来减这个四边形 e、 f、 g、 h 是 菱形，那么如何来证明它是菱形呢？要想证明菱形啊，你想菱形的判定定律有一个是对角线互相垂直的平行四边形，对吧？所以呢，我们先证它是平行四边形，然后加对角线互相， 嗯，互相垂直就是菱形了。那平行四边形的判定有什么呢？平行四边形的判定啊，有五条啊， 一组对边平，两组对边分别平行，两组对边分别相等，还有一组对角平行且相等，两组对角分别相等和对角线互相平分，对吧？那么这道题我们应该用什么样的方法来去证明呢？ 嗯，这道题我们可以用，嗯，对角线互相平分啊，那如何来证明呢？来，你看啊，他告诉我们大的这是一个平行四边形，然后 a、 c 呢，又是它一条对角线， o 又是它的中点，那你想 o c 和你的 o a 是 不是应该是相等的？ 相等哈，然后呢，你对边是平行的，所以内错角啊，会相等，然后呢，再加个对顶角，也就是说你的 o、 c， g 和你的 a、 o， e 应该是全等的，那我就能够证明出 o g 等于 o e， 那 同理啊，我也可以证 o h 等于 o f 呀， 那对角线互相平分了，他是不是就是平行四边形了？那是平行四边形了，加对角线互相垂直，那不就变菱形了吗？是吧，来理由啊。 首先我们说因为四边形 a， b， c， d 是 什么形？是平行四边形， 然后，所以呢，你的，嗯，这是，这是 a， ab 平行于 cd 啊， ab 平行于 c， d， 然后，所以你的角，嗯， o， a， e 会等于角这个 o， c， g， 然后又因为 o 是 ac 中点， 所以呢，你的 o a 会等于 o c， 然后在三角形 a， o， e 和三角形 c， o g 中， 你的角，角边角呗，是不是角边角啊？角 o， a， e 应该等于角 o ocg， 然后 oa 等于 oc， 你 的角 aoe 等于角 cog， 然后我们就会得到这两个三角形全等 用的是角边角，所以呢，我的 og 会等于 oe， 然后同理可证， 你的 o h 会等于 o f， 所以 四边形 e， f， g， h 是 平行四边形，这不就是对角线互相平分的四边形，是不是？然后又因为你的 e、 g 是 垂直于 h f 的， 所以四边形 e， f、 g， h， 它是菱形 啊，这就是第十四题。那我们看第十五题说如图，四边形 a， b， c， d 啊，是个正方形， a， b， c， d， 它是个正方形，然后 e 呢？在这啊， e 是 bc 的 终点，那你看 b e 和 e c 会相等 角， a e f， 这有个九十度，那这就会出现一个一线三垂直，然后并且呢， e f 交它的外角平分线，那说明这角和这角应该是相等的， 然后与点 f， 让我们求证是 a e 等于 e f， 那 你想要想证明两条线段相等，最好的办法就是证什么？证全等，对吧？ 啊？正，全等，那正哪两个三角全等呢？你看后面，他提示你了，说取 ab 的 终点 g， 然后连接 eg， 那 咱取一个终点 g， 然后连接 eg， 那 这时候呢？你看啊，我的 e 是 终点，那 ec 呢？等于二分之一 bc， 那 ag 是 终点，那么 ag 等于二分之一 ab， 那 也说 ag 等于 ec， 那这相等之后，嗯，再加上，你看这九十加四十五，这一百三十五，然后这四十五啊，你看 b e 跟 e b 相等等腰值，所以这三十五，这四十五，这也一百三十五，那有一边有一角， 那还缺一个条件，嗯，这个条件在哪里呢？我们找找啊， 可以找这个角啊，你看这个角加这应该等于九十，这不是一线三垂中间那个垂吗？他加他得九十啊，互余，那这个角加这个角也得九十，那你看这两个角是不是就相等了 啊？这个过程呢，有点多。嗯，我在这在这看能写能不能写下啊？嗯，小点写个字。第十五题来证明，先做辅助线啊，先取 a b 中点，把这取了 中点啊 g， 然后连接 e， g 连接 e g， 然后我们说因为四边形 a， b， c， d 是 正方形， 所以咱们把能够得出来有用的啊，都写了， ab 会等于 bc， 然后角 b 会等于角， bc， d 等于角啊，这头没有了啊，那就是等于九十度啊，这个一会外角咱们也要用的啊。然后呢？嗯，又因为你的 g 呢是 ab 中点， 然后 e 呢是 b c 中点，所以我会得到 a g， 它等于 b， g 会等于二分之一 ab， 然后你的 b、 e 等于 ec 会等于二分之一 bc， 好，所以呢，我的 a、 g 会等于 e、 c， 这一会正全等用，还有一个 b g 会等于 b e， 这呢，我们需要用这个等腰值来证明，这个一百三十五啊， 然后，嗯，这两个边相等，这个边全能准备好了，这个呢，咱们准备这个四十五度啊，然后，又，因为你的角 b 等于九十度，所以你的三角形 b、 e、 g 是 等腰直角 三角形， 所以呢，你的角 b、 g、 e 应该等于四十五度啊，这的四十五。然后，所以你的角 a、 g、 e 啊， a g， e 等于一百八减四十五等于一百三十五度啊，这个一百三十五准备好了，然后我们再准备这边的一百三十五，嗯， 这个位置，这个位置，咱们得添一个字母啊，添个字母 h 啊，添个字母 h， 那 我们可以说了，因为你的 c、 f 平分角 d、 c、 h， 所以 你的角 d、 c、 f 等于二分之一。角 d、 c、 h， 那 这个地方咱也可以补上角 d， c、 h 等于九十啊，等于四十五度，所以你的角 e、 c、 f 这个 c 啊，擦掉 e、 c、 f 就 应该等于角 b， c、 d 加角 d， c、 f 等于一百三十五度啊，所以你的角 a、 g、 e 会等于角 e、 c、 f。 又准备好一个条件，然后，因为啊，怎么写这里头来了， 因为你的 a、 e 是 垂直于 e、 f 的 啊，所以你的角 b、 e、 a 加角 f， c， e 等于九十，然后又因为你的角这个 b、 e， a 加上角 b， a、 e 也等于九十，所以你的角 b、 a、 e 会等于角 f、 e、 c 啊，三个条件数都齐了，那我们可以说在三角形，嗯， a、 g、 e 和三角形 e、 c、 f 中 摆，其条件应该是角、角边角角 b， a、 e 会等于角 f， e、 c， 然后 a、 g 会等于 e、 c， 然后角 a、 g、 e 会等于角 e、 c、 f， 所以 三角形 a、 g、 e 会全等于三角形 e、 c、 f 用的是角边角，所以呢，你的 a、 e 会等于 e、 f 啊，这样的， 这个就写完了，这是第十五题，那第十六题他说如图，正方形 a、 b、 c、 d， 这个是正方形对角线交于点 o 啊，对角线交于点 o、 o 呢？又是正方形 a、 e、 b， e、 c、 e、 o 的 一个顶点，这又是个顶点，那就告诉我们，正好应该是九十度啊， 然后，而且这两个正方形的边长度相等，无论你的三角正方形 a、 e、 b， e、 c、 e、 o 绕着点 o 怎么转动，两个正方形重叠部分的面积总是等于一个正方形面积的四分之一，那想想这是为什么，并说明理由，那这个理由是什么呢？你，你看啊，这个阴影呢？和这个阴影呢？ 好，那你的正方形面积的四分之一，你的对角线相交的，你的每个小直角三角形，他是不是都是等于正方形面积的四分之一啊？也就是说你的 a、 b、 o 的 面积应该等于正方形面积的四分之一，那也就是说，我只要证明 a、 e、 o 跟你的 b、 o、 f 全等 看见了吗？那你的白的加这个，黑那个，那个，阴影的这一块就是他俩重叠的， 对不对？那他又跟他相等，所以这个重叠的就变成了这白的加上面这个阴影，那你白的加上面的阴影不就是正方形面积的四分之一了吗？所以这道题实际上就是需要挣什么？需要挣个全等啊。这道题实际上就是需要挣个全等，那我把这道题呢写在下面 啊，在这里来想想啊。这第十六题我写来证明。 因为四边形 a、 b、 c、 d 和四边形 a、 e， b， e， c、 e、 o 嗯，都是正方形， 所以呢，我的角，嗯， a、 o b 会等于角，这个这个直角 a、 e、 o、 c、 e， 它都等于九十度，然后这里面我们还得到，嗯， 这个角应该是四十五，这个角也是四十五，这不是对角线平分一组，那个平分那个一组对角吗？是不是你的角 o a、 e 会等于角 o、 b、 f 等于四十五度，然后你的 o a 会等于 o b 啊， o a 会等于 o b， 这就是为全等做准备啊，现在准备好一边 o b 等于 o a， 还有一个四十五度。准备好俩条件了，那我们还缺一个条件，就是倒这个角 啊，那我们就可以说，因为你的角 a、 o e 加上角 e、 o f 都等于多少度的 说，都等于九十。然后，所以呢，我就会得到角 a、 o e， 它等于角 b、 o、 f。 那 你看是不是现在三个条件都齐了？那我们可以写在三角形 a、 o e 和 三角形 b、 o f 中，然后摆齐条件，你的角 a、 e 会等于 o b， 你的角 a、 o e 会等于角 b、 o、 f， 所以 三角形 a、 o、 e 会全等于三角形 b、 o、 f 用到的是角边角， 然后我们要求的是重叠的面积，对吧？那么你写所以 s 三角形，嗯， obe 啊，加上 s 三角形 bo， f 就 重叠的面积吗？等于 s 三角形 bo， e 加上 s 三角形 a， e， o 啊，那么就会等于，嗯， s 三角形 aob 那 s 三角形 aob 不 就等于 s 正方形 a， b， c， d 的 四分之一了吗？是吧，这就 ok 了。

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第八十页 啊，习题二十一点三的十，十一，十二啊，看看能不能讲十三啊。他说第十题如图，四边形 a， b， c， d 啊，它是一个菱形，然后呢， m， n 呢？是 ab 和 ad 上的点， 然后告诉我们 b m 等于 n、 d， 那 读到这你就要考虑到了， ab 和 ad 菱形的大边，这和这相等，那 am 和 an 是 不能相等。 那么又说了，嗯， mg， mg 这条边平行于 ad 平行于这，那么 n， f 又平行于 ab 啊，也说这跟这平行，这跟这平行。那么你说这个绿色的，它是不是应该是个平行四边形， 两组对边分别平行，是吧？然后 f， g 呢？又分别在 b、 c 和 c、 d 上，然后 m， g 和 fn 交于点 e。 让我们求证这个绿色的和下面这个粉色的，它们俩分别是菱形， 那上面这个绿色的，我刚才在读题的时候，是不咱们就已经证明出来了？那下面这个，嗯，粉色的呢？稍微复杂一点。怎么个复杂呢？我们得需要证明，呃， 这个啊，首先证明他是一个平行四边形啊，先证明他是个平行四边形，然后呢，再去证明邻 边相等的平行四边形是不是就变菱形了？那这个平行菱，那个菱边相等怎么证呢？你得需要用这这这，他们三个平行，能得出这个这个 啊，和对，还有这边这三个平行，能得出这个这个它都是平行四边形。那 b， m 跟你的 e、 f 相等， n， d 跟你的 e、 g 相等，因为他俩相等，所以他俩会相等。这个呢，写起来呢，稍微复杂一点啊，那我们把第十题写在纸上来，首先啊，写第十个证明， 因为你的 mg， 它会平行于 a、 d， n、 f 会平行于 ab。 所以呢，嗯，你的 a、 m、 e， n 是 平行四边形， 四边形啊。然后又因为你的四边形 a， b， c、 d 是 菱形， 所以呢，你的 a、 b 会等于 a， d 啊， a， b 会等于 a、 d。 嗯，所以啊，又因为 m、 b 它是等于 n、 d 的， 所以你的 a、 m 会等于 a、 n 的。 所以呢，你的，哎呀啊，对，你的四边形 a， m， e， n 是 菱形 啊，这个菱形正的还比较快的啊。那下面那个呢，写起来就复杂一点了。那我们首先呢，先说因为四边形 a、 b， c、 d 是 菱形，那写这个菱形要什么呢？要你的两组对边分别平行 啊，所以你的 ab 会平行于 cd， 你 的 ad 会平行于 bc。 然后题里呢，又给我们了， mg 平行于 ad， 你 的 n、 f 平行于 ab。 所以呢，我会得出啊，会得出 左边斜的这三条互相平行，右边写的这三条也互相平行啊，我们给他连在一起写， ab 平行于 n， f 会平行于 cd 啊，你的 ad 会平行于 mg， 平行于 bc。 那么你看啊，分别是两组队员分别平行。你看这跟这平行，这跟这平行，那这个是不是平行四边形？这跟这平行。所以呢，这跟这平行，这也是平行四边形啊。咱们要的是这两个小平行四边形，所以你的四边形 b， m， e， f， 还有一个 e， g， d， n 是 平行四边形，所以对边会相等等于 e、 f 啊，不对不对，还少一个，这个小不点的粉的也是平行四边形。你看，这跟这平行，这跟这平行，它是不是也是平行四边形？这还少一个啊，补上， 这 还有一个 e、 f、 c、 g 是 平行四边形，你这个不写的话，你一会正出邻边相等，它也不可能是菱形啊。然后呢？ b、 m 会等于 e、 f， 然后 eg 会等于 n、 d， 所以 我的 ef 会等于 eg 啊，会等于 eg， 这不就平行四边形加一边相等吗？所以四边形 e、 f、 c、 g 是 菱形啊，这个题是这样证明的，它挺麻烦的啊。然后我们看十一题来 说，四边形 a、 b、 c、 d 啊，是个菱形，那菱形你要想对角线互相垂直是吧？它交一点 o， 对 角线交一点 o， 然后 a、 c 等于八，那 a、 c 是 对角线是不是能被平分？那 b、 d 也是，对角线是不是也能平分？然后 d、 h 垂直于 ab， 垂直于 h， 让我们求谁求 d h， 那 这个 d h 啊，是什么？是这个菱形在 ab 上的高 啊。那你要求高的话，那肯定要用到面积，而面积，菱形的面积有两种求法，一种是啊，平按平行四边形的面积底层高，一种是对角线乘积的一半 啊，对角线乘积的一半也能求出它的面积。那现在也说，我们知道 a、 c 和 b、 d 的 两条对角线长了，那么我的面积是不是很容易求？ 但是我面积求出来之后啊，那你想我的 d、 h 呢？它的底儿应该是 ab， 而 ab 我 们不知道，你得把 ab 求了。那这就要用到勾股定律了 啊，用到勾股钉里了，你得用对角线的一半是不是？所以来十一题减，我们得从大的啊，四边形 abcd 是 菱形，由它的性质我们得出我们需要的条件 啊。所以你的 a、 o 等于二分之一， a、 c 等于几啊？四，那么 o、 b 等于二分之一， b、 d 等于三，然后你的 a、 c 会垂直于谁 b、 d 啊？ a、 c 会垂直于 b、 d， 所以 啊，所以那角 a、 o、 b 就 应该等于九十度。那么在二 t 三角形 a、 o、 b 中， 你的 ab， 它会等于 ab， 会等于根号下三方加四方等于几？ 等于五啊，那这个把五求出来之后，那我们用这个菱形的面积来找一个等量关系啊，那么因为 s 零， 他可以用 a、 c 乘 b， d 乘以二分之一，或者是 ab 乘以谁 d， h， 所以 来六乘八除以二会等于五乘以谁 d， h， 那 d、 h 就 等于， 这是二十四，除以五等于五分之多少五分之二十四啊，啊，那 d、 h 的 长就是多少五分之二十四。这是第十一题，那我们来看第十二题 说，如图一，嗯，四边形 o、 b、 c、 d， 它是个矩形，然后呢，告诉我们，你的 o、 b、 d 三点的坐标分别为，零斗零， 然后 b 斗零，然后零斗 d， 让我们表示谁 求 c 点坐标，那这 c 点坐标怎么求啊？本身你的四边形就是个菱形，那菱形呢？嗯，对边平行且相等，对吧？然后四个角都是九十度， 是这意思吧。所以呢，你的，嗯， c、 d， 它应该等于 o、 b 的 长，你的 b、 c 应该等于 o、 d 的 长，所以呢，你的点 c 的 坐标就应该是 b 斗 d 啊，应该是 b 斗 d， 那 我们直接写答案，我刚才讲的你听懂了吧？ 那我们直接写答案了啊， b 斗 d， 这是点 c 的 坐标。那么第二个说，如图，四边形 a、 b、 c、 d 啊，是菱形，那菱形你要想到啊，菱形对角线互相垂直且平分 啊，互相垂直且互相平分，然后他说点 c 的 坐标是 c 斗零，然后点 d 的 坐标是零斗 d， 那 么 a 和 b 啊，在坐标轴上求点 a 和点 b 的 坐标，那么你想菱形呢？本身呢，它就是一个轴对称图形，那你的 a 点，它的对称点应该是 c， b 点，它的对称点应该是 d， 所以 你的点 a 的 坐标 应该是啊，负 c 斗零，那你点 b 的 坐标应该是零斗负 d 啊，这就应该是用对称的方式方式来讲的。那你说老师我用这个什么，我用对角线互相平分，能不能做也能， 那你说你 d 点坐标零斗 d， 那 你说 o d 的 长是不是就是 d， 那 o d 会等于 o b， 所以 这的距离也应该是 d， 那 点 b 的 坐标不就是零斗负 d 吗？啊，那这个道理也是一样，这是第二个，那么第三个四边形 o， b， c， d 啊，是一个正方形， 说 o 和 d 两点坐标为零斗零，还有一个零斗 d， 让我们求 b 和 c， 因为正方形的四条边都相等，那么因为点 d 的 坐标为 o 斗啊，零斗 d， 所以 o， d 的 长为 d， 那 你说 o， b， b， c 还有 c， d， 他的长是不都是 d？ 并且呢，你的正方形在第一象限里，所以点 b 的 坐标为 d 斗零，那点 c 的 坐标为 d 斗 d 啊，这个 ok。

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第八十题复习题二十一的八、九十， 嗯，看看十一能不能讲啊，应该是讲不到，讲三道吧。第八题，它说六边形， a、 b、 c、 d、 e、 f 的 内角都相等来，就这一句话可以说明它是一个正六边形，对吧？嗯，内角都相等 六个角啊，然后我们可以通过嗯，叫六边形的角和啊求出，嗯， 一共有多少个啊，一共多少度？然后呢，再除以六就能求出一个角多少度？或者是呢，我们用外角和三百六十度的外角除以六边形，就应该能求出他的每一个啊，每一个 外角是多少度，然后外角呢，邻补就能求出他的内角是多少度啊，这个地方能听懂吧 啊，然后呢，他又告诉我们 d、 a、 b 这个角是六十， 然后问你， a、 b 和 d、 e 有 什么样的位置关系？那 b、 c 与 e、 f 又有什么样的位置关系？从图上可以看出来啊，它应该是互相平行的，那我们来证明一下来，第八题先写，嗯，减 a、 b， 它会平行于 d、 e， 然后 b、 c 会平行于 e、 f， 然后证明如下， 首先呢，我们先根据那个 内角和啊，内角和来求出每一个内角多少度，那我们得交代一下，它是正六边形啊，因为 a、 b、 c、 d 六边形， a、 b、 c、 d、 e、 f 的 内角都相等， 所以呢，每一个内角的度数为 六减二乘以一百八， n 减二乘一百八，然后再除以六等于， 嗯，每一个内角应该是一百二十度啊，也就是说，角 f， a、 b 等于角， b 等于角， c 等于角， e 等于角， f 等于一百二十度 啊，这六个角都应该得一百二，这个明白，这个一百二十度之后，我们先去证明谁呢？先去证明第一个结论， ab 平行于啊， d、 e， 是 吧？ 啊，那么这个时候我们应该去怎样证明呢？我看看啊，这是一百二能求出这个啊，这个是一百二能求出他俩平行， 然后这一百二能求出这六十，这六十，这一百二能求出这六十，然后那错角相等。嗯，这样写吧。啊， 然后呢，我可以说，因为你的角 b 加上角 d、 a、 b 等于一百八十度，所以我的 a、 d 会平行于 bc， 平行于 bc， 就 会得出你的角 c 加上角 adc 也等于一百八十度 啊，也等于一百八十度，然后我就会求出 adc 应该等于一百八，减去一百二等于六十，然后所以角 ade 等于角 e、 d、 c 减去角 a、 d、 c 就 等于一百二十度，减六十度等于六十度啊， 这儿等于六十了，我就会得出角 a、 d、 e， 它会等于角 d、 a、 b。 那内错角相等是不是？所以呢，我的 a、 b 会平行于 d、 e。 第一个结论是不是证完了？那第二个结论要的是 b、 c 能够平行于 e、 f。 那 刚才我们证了 a、 d 是 平行于 b、 c 的， 对吗？然后我可以证明这两个角相加的一百八，也就是说这 应该是平行的啊，在这这边我是不是已经正出六十了？那我就顺着这边写了，因为角 e 加上角 a、 d、 e 是 不等于一百八，所以你的 e、 f 会平行于谁？ a、 d， 那你看 b、 c 平行于 d、 f、 e、 f 也平行于 d， 这叫两直线都与第三条直线平行，那么这两直线也互相平行，所以 b、 c 呢？会平行于 e f？ 嗯，这一题就写完了，这是第八题， 那我们看一下第九说如图啊，平行四边形，平行四边形对边平行且相等，是这意思吧？啊？ 然后呢，他说了 b e， 它是平行于啊 d f 的， 这跟这是平行的，那你说这个角和这个角是不是相等？ 哈，然后写对角线呢？交 ac 啊，分别交对角线于 e 和 f， 然后连接 d e 和 b f， 让我们求证角一等于角二，那你说角一角二，这不现成的内错角吗？如果我能证明出你的 d e 平行于 b f， 那 么内错角会就相等了。 那只要我们能证出中间这个四边形是一个平行四边形，那你对边是不就平行了？那我现在题里给的啊， b e 能平行于 d f， 我 只要能证明出 b e 等于 d f， 那 么 e 组对边 平行且相等的四边形，它就是平行四边形，那你就会得出 d e 平行于 b f， 然后内错角就能相等。那这个思路呢？通开之后来咱们来写一下证明， 那我要证明 b e 和 d f 相等，是不是只要能证明两个三角形全等即可？那我就准备条件来，因为四边形 abcd 是 平行四边形，平行四边形对边平行，怎么的？且相等，对吧？所以呢， ab 平行于 cd， ab 又等于谁？ cd， 然后呢，这是一组边，一边相等，那我还缺条件。呃，这是啊，这个角，这不平行吗？平行有个内错角 b a e 会等于角 d c、 f， 那 你现在是不俩条件了，一角一边。然后呢，你题里还有个 b e 平行于谁？ d f， b e 平行于 d f， 那 你说这两个边平行了，你说这两个圈是不相等，那它的邻补是不就会相等？ 那你看角角边数就能正全等了啊。所以角 b、 e、 f 会等于角 d、 f、 e 啊，然后呢？所以你用 哎，我怎么写呢？这么写，因为角 b、 e、 f 加角 a， e、 b， 它等于一百八十度角 角 d、 f、 e 加角 d， f、 c 也等于一百八十度，等量代换呗。所以角 a、 e、 b 就 等于角 d、 f、 c， 然后在三角形 a、 b、 e 和三角形 d、 f、 c 中啊，摆齐条件， 摆棋条件是角角边。角 a、 b、 e， 它会等于角 d、 f、 c， 然后角 b， a、 e， 它会等于角 呃， d、 c、 f， 然后 ab 会等于 cd， 所以 三角形 a、 b、 e， 它会全等于三角形 d、 f、 c 用到的是角角边。然后，所以呢，我会得到 b、 e 等于谁 d、 f， 然后又因为 b、 e 平行于 d、 f， 所以 四边形 e， b、 f、 d 是 平行四边形。 平行四边形了，对边是不就平行了？所以你的 d、 e 会平行于 b、 f， 所以 角一就会等于谁角二啊，这是第九题。那我们看一下第十 说顺四啊，在这呢，顺四连接一个四边形各边中点所得的 所得的四边形叫做四边形的中点四边形。那在第六十四页第六中已经证明了四边形的中点四边形是平行四边形。看一下啊，六十四页， 这呢， b 六说，求证顺次连接四边形各边的中点所得的四边形是个平行四边形。那他利用的方法呢？就是中位线呗，他说连接了一个对角线 a、 c， 然后 h 等于 h， d， c， g 等于 d g， 这不就证明终点吗？所以会得到 h、 g 平行且相等于二分之一 a、 c。 然后呢，同理啊，你的 e、 f 也平行且相当于二分之一 a c， 那 么这两个边就平行且相等，所以它是个平行四边形，它用中位线来整的，是吧？那么他要求我们是什么呢？他说，第一个平行四边形的中点四边形是什么形状的？然后为什么 平行四边形的中点四边形？来，咱们来换一个来平行四边形 a， b， c， d， 它的中点 e， f， g， h。 问你，它的中点四边形是个什么形？二，一啊， 平行四边形的中点四边形是平行四边形 啊，为什么呢？来如图 啊，你的这个连接就跟你的那个例六啊，一个正法连接 a、 c 连接 a c 啊，然后，因为你的 e、 h 分 别是 a、 d 和 d c 的 中点，所以呢，你的 e、 h， 它会平行于 a c， e h 会等于二分之一 a c 然后同理可证， 你的 f、 g 也是平行于 a c， 并且 f g 也等于二分之一。谁？ a c， 所以 你的 e、 h 是 平行且相当于 f g， 所以 你的 e？ 呃，四边形 e， f、 g， h 是 平行四边形 啊，这是括号一，那括号二，他说了矩形、菱形和正方形的中点四边形分别是什么形状？为什么？那我们来证明一下，来画一个矩形 abcd， 中点 e， f， g， h 啊，它应该是什么形呢？矩形 的中点四边形是菱形啊，菱形。那么理由是什么呢？来如图，连接 a， c 和 b d， 这个两个对角线都给它连上啊，连接 a、 c 和 b d， 然后因为 e、 h 分 别为 ad 和 dc 的 中点，所以呢， e、 h 会平行于 a c， 且啊， e h 会等于二分之一 a c， 然后同理， 你的 f、 g 会平行于 a、 c， 然后 f g 会等于二分之一 a、 c 啊。呃，之后呢，我会得出 啊，还有这边啊，你的 ef 会平行于 b、 d， 然后 ef 会等于二分之一 b、 d， 然后你的 h、 g 会平行于 b、 d， 然后你的 h、 g 会等于二分之一 b、 d 啊，因为你的 a、 c 和 b、 d 是 怎么样相等的？所以呢，你会得出。 哎，这我不用写平行啊，只要写二分之一的关系就可以了。加加加，这平行不用写啊。等等，平行有四条边相等是不就是菱形了？ 来，那咱们写 e、 h 会等于二分之一 a、 c。 同理呢，你的 f、 g 会等于二分之一 a、 c， 你的 e、 f 会等于二分之一 b、 d， 你 的 h、 g 会等于二分之一 b、 d。 然后，因为你的 a、 c 是 等于 b、 d 的， 所以呢，你的 e、 h 会等于 e、 f 等于 f， g 等于 g、 h。 那 四条边都相等的四边形是不就菱形了？所以，四边形， 你的 e、 f、 g、 h 是 菱形啊，这是矩形的中点四边形。那我们再看菱形的中点四边形。来第三个啊，菱形画一个菱形呀，不标准了。 a、 b、 c、 d， 然后取中点 e、 f、 g、 h， 这时候呢，它的四边形应该是一个什么形？应该是一个矩形啊，那我们写菱形 的中点四边形是矩形，如图，连接 a、 c 和 b， d 啊， 连接 a、 c 和 b、 d。 然后呢？嗯，因为 a、 b、 c、 d 是 什么形？菱形。 所以呢，你的 a、 c 是 垂直于谁 b、 d 的 啊？然后，因为你的 e 和 h 分 别是？嗯，我先证它是 平行四边形，再加一个角是九十度 啊，是这意思哈。 嗯，分别是 ab 还有 ad 的 中点。 所以呢，你的 e、 h 会平行于 b、 d， 然后 e、 h 会等于二分之一 b、 d， 然后呢？同理， 你的 e 啊，不对， f g 它会等于二分之一 b， d， 你 的 f g 会平行于 b d。 所以呢，你的四边形 e， f， g h， 它是平行四边形。 然后呢？因为你的 a c 是 垂直于 b， d 的。 然后又因为你的这个。嗯， e， h， 它平行于 b， d 啊，怎么得呢？ e h 平行于 b d， 然后你的 h g 是 平行于 a c 的。 所以呢，你的 e h 与 h g 应该是垂直的。所以呢，你的四边形 e， f， g， h， 它是矩形啊。然后第四个呢？正方形。它的中点四边形还是正方形啊？这个呢，我就不写证明了，时间太长了不好发了啊。正方形的中点四边形 是正方形。

这教版八年级下册平行四边形基础卷是不少初中生的数学噩梦。二十六页题目精准设置解题陷阱，电子版加打印版已备好， 每道题配包目及解析从定义性质到判定定力全讲透。打印版邮寄到家，到手即刷，每天攻克一个知识点，十四天突破重难点，期末直接冲高分！现在点击左下角立即获取双版本，不懂的可以咨询客服！

问题如图，五边形 a， b， c， d， e 中呢角 a 是 九十度， a， b 平行于 d， e， a， e 平行于 bc， 然后呢点 f 和点 g 分 别是 bc， 还有 a， e 的 中点 有一个动点 p， 每秒三厘米的速度在五边形上进行运动，然后它的运动路径是从 f 到 c， 再到 d， 再到 e， 再到 g， 所形成了一个三角形 a， b， p， 它的面积关于时间的函数图像如图二所示，其中 a、 b 等于十五厘米，则图中 a 的 值也就是我们的 p 点运动到 g 点所需要的时间。 那我们来看一下解决这道题的关键两个字叫什么呢？就是对应，也就是我们要借助这个图二中的数据来去找到这个图一中这种相对应的长度。 那么咱们先抓住起始位置，也就是 p 点在 f 点的时候，那么是不是这个点对应的？ 然后呢，接下来我们一直运动，运动到 c 点的时候，是不是就到这儿了？那也就是相当于从 f 运动到 c 所用时间是四秒，速度是三厘米，所以我们的 f， c 是 不是直接拿四乘三等于十二厘米？ 好，继续我们再来看，从 c 运动到 d， 那 也就是我们又运动了 九减四等于五秒，所以 c 的 长呢，咱们是直接用五乘以三等于十五厘米， 继续我们从 d 运动到 e， 所以 算出 d， e 的 长，那是拿十一减九乘以三等于六厘。 好，那么咱们现在已知的数据是不是都已经算出来了？接下来呢，我们是不是根据这些长，咱们再能推导出什么呢？那么根据 f c， 我 们就能算 bc， 因为 f 是 终点， bc 是 不是就是二十四厘米？ 好，根据我们的 d、 e， 咱们又可以算什么呢？你看一下它，其实这个图形像不像一个矩形，被挖出来了一个三角形，所以我是否还可以把这个图形先补全这个点，比如说我们标成 h 吧。 此时呢，我们是不是根据 d、 e 和 a、 b 的 长可以算出 d、 h， 那 就是拿这个十五减六等于九， 咱们又有 c、 d 又有 d、 h， 那 是不是就可以算出 c、 h？ 利用什么呢？勾股定律 根号下 c、 d 方减去 d， h 方开方就是十五的平方，减去九的平方开出来是十二厘米。 好，那么 c、 h 咱们也有了， f、 c 还有我们的 b、 f 都有了，所以 b、 h 的 长是不是可以直接得到？那就是 b、 c 加上 c、 h 等于三十六厘米。 好，那么我们现在 b、 h 是 三十六，所以 a、 e 是 不是等于 b、 h 也等于三十六厘米？ 好，那么现在我们就可以得到 g、 e 的 长是不是二分之一的 a、 e 等于十八厘米， 所以 g、 e 的 长是十八的话，那咱们的时间是不是可以算了？ t 就 等于， 也就是我们在记忆上运动的时间。哦，那是不是拿记忆的长直接除以速度十八厘米，然后除以三厘米，每秒对应的就是六秒， 所以咱们现在运动了六秒，那么此时是不是就可以算出 a 等于十一加六等于十七秒，所以 a 的 值呢？就是十七喽？ ok， 所以 这道题咱们就计算出来了。这个题我们说了关键要点就是把握对应关系，来计算线段的长。

想读书的人才会认真听八年级数学下册小册的第二十三页之上呢。我们看到第一题，下列说法正确的是， x 等于三是二， x 大 于三的一个解，我们说二， x 大 于三呢？你们比如说 x 等于四，对吧？二四得八是满足的。 x 等于五，那么它有无限多个解，那么在这无限多个解的三，我们看到二三得六，六六大于三，这样，这题应该是选的 a， 对 吧？ 啊，那我们看到 b， x， 呃，等于三是它的结及一横形是不对的， a 等于三是它的唯一结， a 等于三是它的结，耶耶，我们看到这个啊， a 等于三是它的结吗？我们说是它的结，哎，我们这里说是它的一个结，我们是这种描述更准确。 哎，有很多人觉得这句话也是对的啊，包括我们老师也是一样的。 x 等于三是他的解吗？实际上，我们说要是判断，这里要是判断的话，我们觉得这句话是对的， x 等于三是二， x 大 于三的解，对吧？那么这个准确的这个解集是， x 大 于二分之三，所有大于二分之三的数啊，都是他的解，但是他的解呢？我，因为我们数学题吗？是单项选择题 啊，数学是单项选择题，只写一个，就是说如果出现了两个答案，你看起来都正确了，你应该选择那种描述最标准的那个，只能写一个啊，所以就这样的一种说法，我们才写的是 a 啊。 第二，如果光 x 的 不等式，那么这里 m 减 n， m 减 n， 括号 x， 这里应该是多少呢？如果我们也来看了， m 减 n， 就是 括号 m 减 n， 对吧？ m 减 n， 括号 x 小 于负二，括号 m 减 n， 对 吧？这个对吗？是对的啊。那么最后的结果说，哎，这 x 小 于负二，怎么写 x 大 而负二呢？哎， x 大 而负二，因为两边它除以 m 减 n 的 时候啊， m 减 n 说明是个负数，所以这小数号就变成大而号 啊， m 减 n 是 负数，那就说 m 小 于 m。 所以 第二题我们要准确地理解不等式的基本性质。第三题， 呃，用圆圈、正方形、三角形代表三种不同的物体，比较它们的质量，两次情况如下，如果三角形的质量是一，这个圆圈的 每个圆圈的质量的体积范围在数值上表示。哦，现在这个三角形的质量，哎，这里是一个三角形，这一个三角形，这里是一个三角形，所以这个正方形呢，就相当两个三角形， 对吧？一个三的质量为一，这个正方形质量相当于说二，那我们看到这个这个正方形的质量是二，这两个圆圈，这两个圆圈是一样重的，所以这个压下来了，所以这个比这个重，那就说这个圆圈的质量呢，是大于二的，对吧？这个圆圈的质量是大于二的， 那么大于二，那我们在数值上来看呢，那我们就应该用 d 来表示空心的啊，所以这里我们就选择 d 空心的，选这一个。 好，我们看到第四题写出一个关于 x 的 不等式，是负五二都是它的解这个不等式，那么这种题目呢？我们称为它开放性式题， 就说你随便写，你比如说写个 x 小 于三，你比如写 x 大 于大于大于负七，对吧？哎，只要这里面，哎，这里面就太多了啊，那我们说您只要写的对的都可以。 好，我们看到第五个，若 x 等于四，是它的一个结，那 x 等于四，如果是它的一个结，就是说 x 等于四，带进去啊，呃，说明这个式子是成立的，那就是这个四， a 减三， a 减一，是小于零的四， a 减三， a 呢，这就是 a， 所以 a 呢？呃，就是小于一的，对吧？ a 减一小于零嘛， 那么 x 等于二呢？是，他说不是，这个不能是的几，就说如果大于带进去，小于零，说明这个带进去啊，不是小于零，那是多少呢？是大于零或等于零。好，二，那 a 二二 a 减三， a 减一，说明呢？这里是大于等于零的，因为 x 等于二，带进去呢，这个式子是不成立的，对吧？所以，那么您这小于零，说明可能是大于零，也可能等于零的，所以二 a 减三， a 是 多少呢？就是负 a 啊，这个负一呢？我们两边的加一就是大于等于一，所以 a 小 于等于负一。有，这里 a 小 于一，这里 a 小 于负一等于。那么最终呢，其实就是我们后面讲的不等式组的解集是 a 小 于等于负一。好，第五题的答案是 a 小 于等于负一。 我们看到第六题，第六题，若不等式， x 小 于等于二的几啊，呃，都是 x 小 于等于 n 的 几。哎呀，这题怎么理解呢？比如我们画一个竖轴，零一二三， x 小 于等于二， 都是，那么说明这个 n 呢？在这里，比如说 x 小 于三，小于等于三，那么它的结都是它的。如果说你这个 n 在 这边，那说明你有的结就不是了。当然呢，这个 n 自己也可以是二 啊，也可能是 x 小 于等于二，是 x 小 于等于二的，所以这个 n 呢，是大于二，也可能是等于二，记得点赞关注哦！

好，现在来看到特殊四边形的复习巩固。先看第一题，如图，四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，对角线 a、 c 和 b、 d 交于点 o， 那 这里交于点 o， 告诉我们的条件是角一和角二相等，这里的角一和这里的角二是相等的。四边形 a、 b、 c、 d 是 矩形吗？为什么呢？他叫我们从这个四，从这个平行四边形证明出矩形，那你知道要添加什么条件吗？平行四边形正矩形有两个，那么 有一个角是直角， 还有一个对角线相等， 那平行四边形任意加其中一个条件，都可以证明出它是矩形，你看题目条件，它这里是画了什么对角线的，所以我们用第二个会好一点。如果你能够证明对角线是相等的，那么咱们就可以证明这个平行四边形是矩形了，对不对？ 那怎样才可以得到对角线相等呢？角一和角二相等，说明这是一个等腰三角形， o、 b 等于 o c， 又通过平行四边形对角线互相平分，所以这个 o、 c 会等于 o a， o b 会等于 o d， 那 这样的话， a、 c 和 b、 d 就 相等了， 就得到了对角线相等，对不对？好，那我们把它的思路写一下，因为四边形 a、 b、 c、 d 为平行四边形， 所以我们可以得到对角线互相平分， o a 等于 o c， o b 等于 o d， 对 吧？好，题目条件，因为角一等于角二，所以在三角形 b、 o、 c 当中，这是等腰三角形，这个 o、 b 会等于 o c， 所以 我们可以得到，那这个 o a 和 o c 相等，作为衡量，它俩相等，那这四条边都相等，所以 o a 等于 这个 o c 等于 o b 等于 o、 d， 就 可以得到 a、 c 等于 b、 d 对 角线相等的，对不对？所以我们就说四边形，或者是说平行四边形， a、 b、 c、 d 为矩形 就 ok 了。再看第二题，如图，一个木匠想要制作一块矩形的木板， 他在一块对边平行的长木板上，啊，注意，这个是对边平行的长木板上，分别沿着他的长边垂直的方向锯了两次，你就能得到一个矩形木板，他这里 这个长木板对边平行的长木板，他不一定是平行四边形，知道吧？我们这里把这个图稍微画一下，这个长木板他可以任意画，那他有可能就长这样。 假如说这个就是 a、 b、 c、 d， 对 吧？这个长木板是 abcd， 然后它沿着这个长木板的长边，哎，垂直的方向锯了两次，垂直的方向锯了两次，我们锯一下， 那这样一次，这样一次，那假如说这里是垂直的，这里也是垂直的，对不对？那么 a、 b、 c、 d 啊，这个就是 e、 f， 这个焦点就是 m、 n， 那 我们就证 e、 f、 n， m 是 矩形就可以了。那么怎么证呢？你看啊，首先上下是平行的，对不对？他说了对边平行的长木板， 那么这个 e、 m 就 会平行 n、 f， 然后再加上这两个是垂直于 ab 的， 那同位角相等，两直线平行，那左右就平行了，对不对？那它就是平行四边形，上下平行，左右平行，就属于两组对边分别平行，然后再加上它有垂直，有一个直角，平行四边形加一个直角，它就是 矩形，对吧？好，所以这个就是它的原理，知道了吗？好，我们写一下。因为 ab 是 平行 c、 d 的， 所以这个 em 就 平行 f n， 这个 n f 上下平行，然后再说左右平行，然后再说，因为这个 e、 f 是 垂直 ab 的， m n 也是垂直 ab 的， 所以我们就说这个 e、 f 是 平行 m、 n 的， 对吧？所以四边形 e、 f、 n、 m 为平行四边形， 然后再加一个角是直角，然后又因为又因为这个 角 f、 e、 m 等于九十度，所以平行四边形 e、 f、 n、 m 就 为矩形，那么这个矩形木板咱们就锯出来了。 第三题，在直角三角形 a、 b、 c 当中，角 c 等于九十度， a、 b 等于两倍的 a、 c， 叫我们利用本章所学的直角三角形的性质，叫我们求角 a 角 b 的 度数。本章学到的直角三角形的性质是什么？哎，是矩形里面的， 在矩形当中沿着对角线一分，你把这个去掉，那么剩下的就是一个直角三角形，它会得到的是斜边中线等于斜边的一半，对不对？好，也就是说在直角三角形当中，这个斜边中线 等于斜边一半， 那我们把这个三角形换一下，大概换一下， a、 b、 c， 角 c 等于九十度，这个 ab 等于 ac 的 两倍，对吧？好，那么既然要用斜边中线，那我们就找到这个 ab 的 中点 连接 o、 c， 那 斜边中线会等于它的一半，斜边中线会等于斜边一半，对不对？好，那你看一下，本来这个 a、 b 就 会等于 a、 c 的 两倍，所以你把这条边设为 x， 这个 a、 b 就是 二 x， 然后又来一个中点，那么这两边就是 x， 斜边中线等于斜边一半，就会等于二 x 的 一半，那么这个也是 x， 那 你看一下这个 a、 o、 c 是 不是就是等边三角形，那这个角就是六十度了，对不对？再通过这个角是六十度，下面是九十度，就可以算出角 b 是 三十度，就是这个意思，知道吗？好，我们设一下， 把这条边设为 x， 这个 ab 这条边，咱们把它设为二 x， 对 吧？取 ab 中点 为点 o， 再连接 o、 c。 啊，那么因为斜边在直角三角形当中，直角三角形 中，斜边中线等于斜边一半， 所以我们可以得到 o、 c 等于二分之一的 a、 b， 对 不对？好，那么接下来去设设这个 a、 c 等于 x， 那么这个 ab 就 会等于二 x， 因为等于它的两倍嘛，对不对？我们这里写因为 ab 等于两倍的 a、 c， 所以 我们这里设它为 x， 它就是二 x， 然后呢？因为 o 为 ab 中点， 所以这个 o、 a 会等于 o， b 会等于 x， 这两条边也等于 x， 对 吧？然后因为这个 o、 c 等于二分之一的 ab， 这个是我们前面乘出来的，所以这个 o、 c 会等于二分之一。乘二 x 等于 x， 这里也是 x， 所以 我们就说 o a 等于 o， c 等于 ac 等于 x， 则三角形 a、 o、 c 为等边三角形， 它是等边三角形，所以角 a 就是 九十呃，六十度，所以角 a 接着往后弦，所以角 a 等于六十度。那么在直角三角形 a、 b、 c 当中， 这个角 b 会等于一百八十度，减去角 a、 c、 b 减去角 a， 它就等于一百八十度，减去六十度啊，减去九十度，再减六十度，它就会等于三十度，所以角 b 会等于三十度，角 a 等于六十度，角 b 等于三十度就可以了，那么角 a 和角 b 就 算出来了。 再来看第四题，如图，四边形 a、 b、 c、 d 是 个菱形角 a、 c、 b 等于三十度，咱们标一下，这个角是三十度， b、 d 等于六， b、 d 等于六，那么这条是六，因为它是什么？因为它是菱形，对角线会互相垂直平分，所以这个六会平分成两个三，对吧？好 好，第一个叫我们求角 b、 a、 d， 角 b、 a、 d 在 这里，第二个角 abc， abc 在 这里，对吧？叫我们求这两个角的度数。那这个角是比较好求的，因为菱形对角是相等的，而且它的对角线平分对角，所以这个三十度是会被是被平分出来的， 所以另外一边也是三十度，对不对？好，我们这里第一问，因为这个四边形 a、 b、 c、 d 是 菱形，菱形呢？它对角线平分，对角啊，所以 a、 c 平分角这个 b、 c、 d。 然后因为角 a、 c、 d， 它是等于三十度的，所以角 b、 c、 d 等于它的两倍，就等于三十乘上二，就等于六十度，所以 这个角是六十度啊，这个角是六十度，然后因为它是菱形对角相等，所以我们就说这个角 b、 a、 d 等于角 b、 c、 d 等于六十度，那么这个角是六十度就出来了， 然后再通过菱形对角线啊，菱形对边是平行的，所以同旁内角互补，所以这个角 abc 就 能算出来。 因为 a、 d 平行 bc， 所以 角 b、 a、 d 加上角 abc， 它是等于一百八十度的，这个是同旁内角互补啊，所以呢，角 abc 就 会等于一百八十度。减去角 b、 a、 d 就等于一百八十度，减六十度，它就等于一百二十度。那你看，这两位就都求出来了，所以我们就说这个角 b、 a、 d 等于六十度，角 abc 等于一百二十度，这个是第一位，再来看第二位，他叫我们求 ab 和 ac 的 长， ab 和 ac 的 长，对不对？这个 ab 怎么算呢？那首先我们可以通过对边相等，把 cd 算出来，就可以知道 ab 了，对吧？那 ac 呢？啊，就可以通过勾股定律把这个 这个对角线的一半求出来，再乘以二，就可以得到 a、 c 了，这个是它的思路。好吧，好，我们来写一下，假如说这个焦点是 o 点啊，这里说一下， a、 c 与 b、 d 交于点 o， a、 c 与 b、 d 交于点 o， 然后呢，我们根据三十度所对，直角边等于斜边一半，对吧？好，因为菱形 a、 b、 c、 d 当中对角线互相垂直平分， a、 c 与 b、 d 互相垂直平分， 所以呢，这个 o、 d 会等于 b、 d 的 一半，就等于六，乘以二分之一等于三，对吧？好，那么这个三你要写上，然后在直角三角形当中， 然后这个 a、 c 垂直， b、 d 也要写一下，所以在直角三角形当中，直角三角形 c、 o、 d 当中啊角， 这个 o、 c、 d 等于三十度，那么利用三十度所对直角边嘛，对不对？所以 c、 d 等于两倍的 o、 d 等于二乘三，等于六，这个 c、 d 就 等于六，然后因为这个 ab 等于 cd， 所以 这个 ab 也会等于六，那 ab 咱们就算出来了，那 ac 呢？那你就说在直角三角形当中， 这里我们可以不用说啊，这个没事再写一遍就可以了啊。在直角三角形 c、 o、 d 当中，勾股定律 o、 c 会等于写下面一点，不然写不加， 这个 o、 c 会等于 c、 d 的 平方减去 o、 d 的 平方再开放，那就等于六的平方减去三的平方再开放，它就会等于三倍根号三啊。 a、 c 呢？会等于两倍的， o、 c 就 等于二乘三倍根号三，就等于六倍根号三，所以我们就说，所以这个 ab 等于六， ac 等于六倍根号三啊，就这样就可以了。 第五题，如图， a、 e 平行 b、 f、 a、 c 平分角 b、 a、 d， 并且交 b、 f 于 c 点，然后 b、 d 平分角 a、 b、 c 交 a、 e 于点 d， 然后再连接 c、 d。 教我们求证这个四边形， a、 b、 c、 d 是 一个菱形， 哎，这里两个角平分线起到了非常关键的作用。来，我给你梳理一下，那我们把相同的角都标为相同的符号，好吧，你看，因为这里是平行的，对不对啊？ 我们这里把这个平分之后平分出来的角，我们标为 alpha 角和 alpha 角，对吧？这两个角是 alpha 角， 然后你一平行是不可以得到内错角相等，所以这个阿法角就可以转下去，让下面这个角也等于阿法角。看到没有， 这两个角也是阿法角，是不是相等？底角相等，那么是不是等腰三角形，所以这个 a、 b 会等于 b c， a、 b 就 会等于 b、 c。 那 同样的道理。再来，你再看，这个角也被平分，我们把它标为 beta 角和 beta 角， 这个角是 beta 角，这个角也是 beta 角，再通过平行得到内错角相等，这里是 beta 角，内错角相等，上面这个角也是 beta 角。 看这个三角形当中两个底角都是贝塔角，看到了吗？两个贝塔角，所以这个三角形底角相等，是一个等腰三角形，所以 ab 就 会等于 ad。 好 了，那么这里就可以得到 ad 和 bc 相等了，对吧？平行且相等，那平行是题目说的对不对？平行又相等，那么是不是就是平行四边形？平行四边形再加一组零边相等，它就是什么？ 它就是菱形了，对不对？平行四边形，加一组菱边相等，它就是菱形了。所以呢，我们就按照这个思路把过程写一下，好吧，来， 因为 a、 c 平分角 b、 a、 d、 b、 d 平分角 abc， 所以 我们就设角 b、 a、 c 等于角 d、 a、 c 等于 alpha 角，然后角 a、 b、 d 等于角 c、 b、 d 等于 beta 角。咱们把这两个角被平分出来的两对角设为 alpha 和 beta， 对 吧？然后因为这个 a、 e 是 平行 b、 f 的， 所以内错角相等，所以这个角 a、 c、 b 会等于角 c、 a、 d 啊， 所以角 a、 c、 b 会等于角 c、 a、 d 等于 r 法，这两个角都等于 r 法。然后呢，还有一个这里的内错角相等，得到这个 c、 b、 d， 这个角等于 a、 d、 b 角 cbd 等于角 a、 d、 b 等于 b， 它角好了，这两个角已经正好了。那么接着再来看，先看这个 ab 和 bc， 得到这两个底角相等，因为角 b、 a、 c 等于角 b、 c、 a 都等于二八角，然后这个角 a、 b、 d 等于角 a、 d、 b 都等于 b， 它角，所以底角相等， 这个 ab 和 bc 相等， ab 等于 bc， 然后这两个底角相等，可以得到 ab 等于 ad， 对吧？好，这两个是相等的，这条边等于这条边，这条边等于这条边。所以我们就说这个 a、 d 等于 b、 c。 又因为 a、 d 平行 bc， 这怎么来的？是通过这个题目条件提取出来的，对不对？所以有一组平行且相等的线段对边平行且相等，所以四边形 a、 b、 c、 d 为什么为平行四边形？ 若是平行四边形，再加一组零边相等，又因为 a、 b 等于 b、 c， 所以 平行四边形 a、 b、 c、 d 为菱形。 好，咱们就正出来了。再看第六题，如图，一是正方形 a、 b、 c、 d 对 角线 b、 d 上的一个点，并且呢，这个 be 会等于 bc， 所以 这个 be 会等于一条边长 过点， e 作 ef 垂直对角线 b、 d 交于 c、 d 于 f 点，再连接 b、 f。 问，我们这个 d、 e 和 c、 f 会相等吗？说一下你的理由对吧？好，那么这个 c、 f 和 d、 e 没有办法直接相等的，我们可以先这样去证，先证这个 c、 f 和 这个 e、 f 相等，然后再证 e、 f 和 d、 e 相等，那么这三条边相等，就可以得到 d、 e 等于 c、 f 了。那怎么证明这两个这个 c、 f 和 e、 f 相等呢？你就证两个三角形全等就可以了。 那又怎样证明这个 de 和 ef 相等呢？你就证明这个三角形是一个等腰直角，三角形就可以传递了。好吧，我们把这个过程写一下，因为在正方形 a、 b、 c、 d 当中，角 c 等于九十度，这个角是九十度的， 这个角 a、 d、 b、 a、 d、 c 也是等于九十度的。为什么要把这个角是九十度单独说一下呢？因为平行这个，因为这个正方形对角线会平分对角，所以这个九十度等会会分成四十五度，知道吗？好，所以要提前说一下。然后这个角 c 等于九十度啊，有什么用呢？ 你看公共边直角再加一条直角边相等 h、 l 就 可以证明三角形全等，对吧？好，就说，所以怎么呢？这个在三角形当中，这个角 c 等 于角。三角形 b、 c、 f 当中，我们可以得到的是这个 b， e 等于 b c， b、 f 等于 b f， 那 这个是直角边和斜边，所以我们就说直角三角形 b、 e、 f 全等于直角三角形 b、 c、 f 全等，条件是 h、 l， 所以 我们就说 cf 等于 ef， 这两条边是相等的，对不对啊？因为 b、 d 会平分角 a、 d、 c， 那 这是在正方形当中，正方形当中对角线平分，对角，它会平分这个角 a、 d、 c， 所以角 e、 d、 f 就 会等于九十度，乘上二分之一就等于四十五度，因为我们前面说了这个 a、 d、 c， 它就是等于九十度的，对不对？好？然后再三角形 d、 e、 f 当中，角 e、 d、 f 等于四十五度，角 d、 e、 f 等于九十度，所以角 d、 f、 e 就 会等于一百八十度，减去九十度，减去四十五度，所以等于四十五度，那这两个角 都是四十五度，所以三角形 d、 e、 f 为等腰直角三角形， 它是等腰直角三角形，就可以得到 d， e 等于 e、 f， 那 c、 f 等于 e f， d e 也等于 e f， 所以 我们就说 c、 f 是 等于 d e 的， 那么 d e 和 c、 f 是 不是就相等了，对吧？

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第三十页习题，二十点一的一、二三四五啊。第六题看看能不能讲完啊。 第一小题设直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b， 斜边为 c。 那 么第一小题它是已知两条直角边来求斜边，那么 c 应该等于根号下 a 方加 b 方 等于，嗯，根号下五方加十二方就等于，嗯，二十五，一百四十，一百六十九，十三，这个五十二十三这个勾股数要记住啊。 然后呢，你的第二小题是已知直角边，斜边来求另一条直角边，那 b 应该等于根号下 c 方减 a 方就等于根号下四方减三方等于根号七 啊，十六减九等于根号七。然后第三个是已知斜边和直角边来求另一条直角边， a 应该等于根号下 c 方减 b 方就等于根号下 c 方。是十方减去九的平方啊，一百减八十一 等于十九，对吧？那应该等于根号十九十九呢？他开不了方了啊，十九是最减的。嗯，那第二小题呢？ 第二题说如图，一根直立于地面的木杆在离地面啊，木杆离地面三米处折断了，也说这个位置应该得三。 说木杆的顶端落在离木杆底部啊，离木杆底端四米处，这是那个底端，那四米应该在这。 问你木杆折断前有多高，那就是求三加上这个斜边呗，它立起来了，不就是它折断之前的高度吗？嗯，那现在呢？我们说这个木杆是直立于的，那就说明这是什么关系的，是垂直的，对吗？ 啊，它是垂直的。所以来第二题，我们可以写由提一可知 由提一可知 啊，这个斜边最外面，这个斜边，它应该等于根号下三方加四方等于。呃，五 啊，三四五吗？是吧？这个是最常用的购物数了。那么你木杆原来的长就应该是三加五等于八米啊。然后答，木杆折断前 八米啊，折断前有八米。这是第二小题。那么第三小题他说，如图，一个圆锥的高 o、 a 啊，是二点四，这块是二点四，里面半径是零点七，让我们求 a、 b 的 长。 那第一呢，我们知道这个高啊，它就是有直角的啊，高就有直角了，那么在直角三角形里已知两条直角边，然后让我们求斜边的长，那我们就可以写，呃，第四。呃，第三题 啊，第三题，嗯，在二 t 三角形 a、 o、 b 中啊，你的 ab 应该等于根号下 a o 方加 b o 方，就等于根号下二点四的平方，加上零点七的平方等于二点四的平方，等于几啊？ 二点四是五点七六，零点七是零点四九五二六，六点六点二五，他应该等于六点二五，根号下六点二五，那就是二点五呗，二点五啊，所以答， a、 b 的 长是二点五啊，这个题都不难哈，都是最基础的。然后第四题说一个含两小圆孔的长方形零件， 尺寸如图所示啊。嗯，求两孔中心的距离，那也是 a、 b 之间的距离呗。 那你观察这个图里，它是不是已经给你构建出一个直角三角形了？ a、 b、 c 是 不一个直角三角形，那 a、 b、 c 是 直角三角形？只要能确定 a、 c、 b、 c， 我是 不就能求 ab 了，对不对？来第四题 啊，第四题啊，从图上可以知道你的 a c 啊， a c， 因为 a、 c 等于四十，这个距离是四十，这段的距离是二十一，那 a、 c 的 长是不是四十减二十一 等于多少？十九吧。然后 b、 c 是 等于这段的距离是六十，这段的距离是二十一，那六十减二十一是不就 b、 c 的 长，那六十减二十一等于三十九 啊。然后呢，我们就可以由勾股定律可知了写啊，所以在 r t 三角形 a、 c b 中啊，你的 ab 就 应该等于根号下 a c 方加 b， c 方就等于 根号下十九方加三十九方等于。这个不太好算啊，我找个计算器啊，十九方， 十九乘十九等于三百六十一，三十九乘三十九 等于一五一五二一，再加上三六一等于一八八二， 一八八二，保留一位小数点，小小保留后一位，保留小数点后一位，是不是那就是根。哎呀，不对不对， 根号下一八八二，应该是四十三点四，看这 四十三点八二，是吧？保留后一位，那就保留一位小数点呗。四十三点三，那我这个位置先写根号下一千八百八十二，然后约等于四十三点四 啊，毫米，然后我们可以达两孔中心距离 为四十三点四毫米啊，这就是第四题，那我们看第五题， 第五题，他说如图，要从电线杆离地面五米处 向地面拉一条长七米的钢缆。哎，从电线杆离地面五米处啊，那这个位置应该是五米呗， 然后拉一个七米长的钢钢缆，那这是七米呗，这是五米。然后求地面上钢缆的固定点 a 到电线杆底部 b， 它的距离求保留小数点后移位。 那你说现在这个电线杆他一定是与地面垂直的，对不对？那我现在就是直角三角形当中已知直角边和一条斜边，来求另一条直角边，是不是这么个道理啊？所以说来，我们可以啊，在这写来第五题， 我们可以写射，射哪呢？射这个离地面五米处的，这个点离地面 五米。呦，五米处啊，为点 c， 也说这个位置是点 c， 那 我们就可以知道你的 a c 应该得七，你的 b、 c 应该得五，然后角 b 等于多少度？九十度啊，角 b 等于九十度，然后我就可以由勾股定律得了。 由勾股定律得， 那你的 ab 就 等于根号下 a， c 方减去 bc 方就等于根号下七方减五方等于根号。 嗯，七方是四十九，四十九减二十五等于二十四，也是根号二十四等于二倍根号六， 然后要求我们小数点后面保留一位小数，对不对？那我得算算根号六得几啊？ 嗯，根号六，二点四五吧，也就是二点四五，再乘以二一十九四，那就是四点九呗。啊，约等于四点九，然后答 a、 b 的 距离为 四点九米啊，这是第五题。那么再讲一个第六题，说在竖轴上画出表示根号二十的点，那这道题跟我们前面那个做一做那题是一样的吧？哪里去了？ 在这啊，就得照着这个过程去写它。那我把这道题写到这啊，写到这里，图画到哪里去呢？ 嗯，咱们把这道题写到几上面去啊？写到最上面。这第六题啊，写到这。嗯，第一步呢，先写如图。 嗯，怎么说的？那句话说， o 为竖轴圆点， o 为竖轴圆点， 然后在竖轴上找到表示，在竖轴上找到 表示几的点。那咱们来分析一下根号二十是哪两个整数。这个平方啊，也是两个直角边为整数的一个直角三角形的斜边啊，根号二十， 嗯，刚才我们做了一个根号十三是二和三啊，根号十七是四和一，对不对？根号二十四和二呢？四十一十六。哎，这个可以啊。 嗯，所以应该是一个四，一个二。那我现在竖着画四，画长的边啊，表示四的点 a， 然后再过啊，则 o a 等于三啊，不对，则 o a 等于四，然后，然后过点 a 做， 然后过点 a 做啊。直线 l 垂直于 o， a 垂直于 o a， 然后在 l 上取点 b， 在 l 上取点 b， 然后使 ab 等于二， 使 ab 等于二，最后以圆点为圆心， 最后以圆点为圆心， 以 o b 长为半径画弧 啊，然后这话说，弧与竖轴正半轴，弧与竖轴正半轴的交点 c 即为表示根号二十的点。 然后我们来画一下图啊，我先把做法写完了，格式在这里， 竖轴 二三四五六，嗯，这为零吧，一二三四，然后这是圆点，然后这是 a， 然后过 a 做一条直线 l， 直线 l 垂直于 o a， 然后在直线 l 上取 ab 等于二，这儿这儿是 b。 然后呢，以 o 为圆心，以 o b 长为半径， o 为圆心，以 o b 长为半径， 然后画弧交正半轴与点 c， 那 点 c 即为表示二十根号二十的点啊，这就是第六题。

大家好，我是讲数学的小胡老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第九十三页练习， 这个练习呢，主要讲解的是函数定义以及啊函数关系，还有自变量啊，那么什么样的是函数关系呢 啊？那么我们来看一下定义，他说在一个变化过程中啊，如果有两个变量， x 和 y， 并且呢，对于 x 的 每一个确定的值， y 都有唯一的确定的值与其相对应，那么我就说 x 叫做自变量， y 是 x 的 函数 啊，那么这个到这呢，这个函数的定义呢？咱们说完了，我跟你解释一下啊，咱们用通俗易懂的大白话给你讲讲。嗯，第一小句呢，就是必须有一个变化过程啊，你有个故事情节对不对？第二呢，有两个变量 啊，就是我们上一课时讲这个啊，常量变量的时候，我们都说了，这里边一定会有变量，并且变量呢，一定是两个，为什么两个呢？因为你得一个变，另一个跟着变呢，对吧？所以这叫两个变量。 然后说对于 x 的 每一个确定的值，啥意思啊？就是当 x 确定了， x 如果得一了 啊，然后 y 都有什么呢？这个词很重要，叫唯一确定的一个值与其对应，必须得对应啊，比如说你 x 确定了啊，那我 y 就 有一个值跟它对应，你能不能说我 x 等于一的时候， y 得出两个值 啊？你比如说我这样的啊，我写一个，我说了 y 等于正负， x 是 不是应该可以等于正负一， 那你这就不行，你看当 x 确定一个值的时候， y 有 几个值，有两个值，那这就不叫函数关系式， 这话能懂吧？啊，通俗易懂啊，那么我们说 x 叫做自变量，那为啥他叫自变量呢？你听好，什么意思？就是先变的那个量就叫自变量，或者说先确定的那个值就是自变量。 你比如说我， y 等于正负 x， 咱不说他是不是那个函数关系啊，咱就说你是不是当 x 确定一个值的时候，看看 y 是 否有唯一的一个值跟它相对应， 对吧。所以先确定那个先变的那个就是自变量，那你后变的那个就是你自变量 x 的 函数 啊，这个函数不能说某一个量是函数，你得说谁是谁的函数啊，这个能懂吧？然后你下面这个函数值就好理解了，你就像我，当 x 等于一时， y 的 值是多少 啊？所以呢，当 x 确定一个值的时候，你的自变量啊，确定一个一的时候，你的函数 y 啊， y 不是 x 函数吗？那你函数 y 的 值是多少？所以呢，你的这个 y 的 值就叫函数值啊，这个很好理解。那么你看这个题型啊，咱们就这个题 去那个讲说。第一题，判断下面下列问题中的两个变量之间是不是函数关系。如果是，指出其中的自变量和函数，那如何判定是不是函数关系呢？你记住啊，一共这么几句话，第一，在一个变化的过程当中，是不是有两个变量？ 第二，是不是一个量变化，另一量也在跟着变。第三，当你一个量确定一个值的时候，你另一量是不是唯一的一个值跟它相对应啊？你只要能满足这几点，那你它就叫函数关系。 这话能理解吧？来，咱们看一下第一题，说改变正方形的边长 x， 那么正方形的面积 s 随 x 的 变化而变化，那你想我这里是不是边长是一个变量？我的面积 s 是 不也一个变量？ 这不是两个变量吗？那么是不是一个量变化，另一个量也随着变化？那你想我的边长变了，我的面积是不是变了？ 那你看，这不理解了吗？那你第三点就是当你的 x 确定一个值的时候， y 是 不是我唯一的一个值跟它相对应啊？那你看，当我的 x 等于一的时候，我的 s 是 不是就得四， s 等于 x 等于三十，我的 s 是 不是就得九？ 那你看， x 确定一个值， s 有 唯一的一个值跟它相对应，对吧？所以它 x 确定一个值， s 有 唯一的一个值跟它相对应，对吧？所以它 x 确定一个值， s 有 唯一的一个值跟它相对应，对吧。所以它 x 是函数关系。那既然它是函数关系了，那他问我们指出其中的自变量和函数，那我刚才说了，什么叫自变量？ 先变的那个，先确定值的那个，对吧？那你说你 s， s 面积、面积 s 是 随谁的变化而变化，不随那个 x 的 吗？所以呢，你的 x 叫自变量， 那谁是谁的函数面积 s 是 x 的 函数啊，你这个话， 这个怎么判断？能听明白吗？来，你看你，你试着用这个方法来判断一下啊。二、乘坐摩天轮时，游客离地面的高度 h 随时间梯的变化而变化。那你看，这里边是不是已经体现出了两个变量 啊？一个量变化，另一辆是不是也随着变化？是吧？一个量变化，另一辆也随着变化。那还有一个重要的信息就是当一个量确定一个值的时候，另一个量有唯一的一个值跟它相对应。 那你比方说我，我的时间，你看你那摩天摩天轮在转吧，我的时间为零时，他离地面的高度可能就是最最起始没动的那个高度，对吧？那我要是时间为一十分钟的时候，那那摩天轮是不是就转上去了？ 那你的高度是不是就随着你的时间的变化变化？你的时间越长，你的就是摩天轮，他离地面的高度就会越高，等你的转到最高那个点的时候，你再转回来，那你看他随着时间的变化，是不是应该是他的高度离地面越来越近， 对吧？他呢？虽然这个变化过程他不是啊，随着时间的变化啊，那个那个颜值那个增加而越来越高，他不可能上天，对吧？所以呢，他得再转回来，那意思说达到最高点的时候他就转回来了 啊，离地面会越来越低，他的变化过程是先高，高到一定程度，然后再降下来，是不是他得下来呀？那么这时候呢，你就知道了啊， h 和时间他是那个函数关系了 啊，当你的时间为十分钟的时候，他到哪二十分钟到哪三十分钟到哪啊？可能到三十分钟的时候，他就到最高点了，对不对？然后呢，你再往后可能就下来了，那这也就说你的时间确定的时候，你的高度是唯一的一个 啊，那么我们知道了，他应该是函数关系来，在这写是函数关系， 那什么叫自变量？那个先变，那个谁变，时间再变，时间变了，你的高度是不是就变？所以呢，你的 t 是 自变量， 那你的高度 h 是 时间 t 的 什么函数？ 然后第三说，某天不同时刻的气温，如图所示，气温大 t 随时间小题的变化。变化？那你看，第一，它有两个变量，第二，你观察是不是你的时间在变，你的大 t 也在变。那么第三点，你的时间 t 确定一个值的时候，你看我八点的时候，我的气温是不是就这一个？ 你不能说我这个一天的气温，我到下午两点的时候，我又有零上又有零下，你说可能出现两个温度吗？不可能，对不对？所以呢，在这里你就是说，当你的小题确定一个值的时候，你大题是有唯一的一个值跟它相对应 啊。你看，当我的时间为十八时，十八时时，那它的气温是不是就这一个点，对吧？没有别的点。所以这就叫函数关系啊，是函数关系式 是函数关系。那么再怎么体会一下，谁先变？时间随着温度的变化而变化，还是温度随着时间的变化而变化，是不应该是，呃，时间 t 是 自变量， 那气温大 t 是 时间小 t 的 什么函数 啊？这是第三。那么第四题说某地一年不同月份的降雨量啊，降水量如下表所示，降水量 y 随月份 x 的 变化而变化。来，你看看这个表的目的是啥？你知道吗？ 目的就是当看，你去看，当 x 确定一个值的时候， y 是 有唯一的一个值跟它对应啊，看表的目的是看它，那你看一月份的时候降水量就二十，二月份的时候降水量就是二十三，你要对应着看啊，咱不说了吗？当 x 确定一个值的时候， y 有 唯一的一值与其相对应， 你不能说我三月份的时候俩降水量，那就不行了，是不是？所以呢，咱们看表的目的是看它，那你现在你看 x 确定一个值， y 是 我唯一的一个值，跟它相等，那行了，那这就通了，通了之后呢？那我们说呢，这也是一个什么函数关系吧？是函数关系， 那谁是自变量啊？月份 x 是 自变量，先变的，那量为自变量，对不对？那么你的降水量 y 啊，是月份 x 的 函数。 然后第二题说，取出一个函数例子，说明其中的函数关系，并指出其中的次变量和函数。那现在呢，我们可以写一个 啊，总价和数量的啊，总价和数量的。你不是说我买苹果 啊，买苹果的这个故事，然后说了，你的总价随什么呀？总价 y 随数量 a 的 变化而变化。 第一来，你看是不是有两个变量 y 和 x 啊？ y 和 a， 对 吧？是两个变量，那么你再看它是不是一个量随着另一个量的变化而变化， 是吧？那么你关键是第三点，当你的字，当你的这个一个变量确定一个值的时候，你另一个变量是不是有唯一的一个值跟它相对应？那你想你买苹果，苹果的单价他是应该是一定的，那你的数量啊，这个地方咱写一下来，买苹果单价一定 啊，总价 y 与那个随时那个数量 a 的 变化而变化啊。所以呢，你这个当 a 确定一个值的时候，你看单价已经不变了，你的数量买的越多，你的总价是不是越高？ 那你的你买一千克，那你的价格是一个值，你买两千克价格是不是又确定一个值？所以呢，就这样自，当一个量确定一个值的时候，另一个变量有唯一的一个值跟它相对应，所以呢，它是函数关系 啊。这个不用写，这是已经让我们写的是函数关系了啊，然后指出其中的自变量。那谁是自变量？先变的这个叫数量， a 是 自变量， 那函数呢？就是，呃，总价 y 那 个是数量 a 的 函数，你要不想写总价数量，你只写 y 是 a 的 函数也可以啊，没问题的。

咱们继续做专项 t o。 十一里的第六题书还是学霸题中题。人教版的学霸题中题，网上有的是卖的， 而且这本书卖的比较好。这里题可能是比五三要五三必刷必刷题可能都要难度高一点。 来吧，继续做方程思想第六题，如图，在平行四边形 a， b， c、 d 中图这样的， 他说 a、 c， b， d 相交于点 o， 他 刚才 a， c 等于二 o， a 就是 一呗。平分这个是一 b， e 等于 b， e， d 二倍根号三，那就是根号三，这块也是根号三。过点 a 做个垂线， a， e 交 b， c 于点 e， 他 们说 b， e 为 x， b， c 的 长为 y， 那 就知道是 y 减 x， c， e 就是 y 减 x 呗。他说当 x 和 y 的 值发生变化，哪个代数值不变， 这个 x 加 y 就是 bc 加 b， e。 这个三角形对角线定下来了，当对角线放扁一些，放长一些，其实 bc 这个边一直在变，所以大概率就你看到的题，你大概率会反映 ab 应该是不选的，你能有这个模糊的印象吧。然后你再分一下这个题，这块给你了，这块给你个高，这块 y 减 x 是 不可求啊。 或者说你是不是能想到这面，做一条垂线， 就管它叫 a 去了，这个高就管它叫 a 去。行吧，这俩 a 去了，改一个 f， 那 这块 a， e 也是 h。 我 这么做的目的就是想用勾股定力嘛。你结合他说方程思想，这个位置有直角，所以用勾股定力来解， 所以你会想到做做这么一条垂线来吧。你看你做完之后，这块是二倍根号三，这块 b， f 是 啥？ b， f 是 bc， 这个 y 加上这个 x 吧， c， f 等于 b， e， 这个能理解吗？这两个三角形全等， 平行四边形对对边是相等的，这个高平行线之间距离处处相等吗？这两个高也是一样的，直角边斜边，两个三角形全等，所以 c f 等于 b， e 这个就不给你写了啊，你就知道它俩全等就行了， 它俩相等， c， f 等于 b， e， 那 就来吧。二倍的高三的平方，十二等于 h 的 平方，加上这块是 y， y 加 x 的 平方，这边还有个勾股， 这块一一就是二，二就是四等于 h 的 平方，加上这个地方是 y 减 x 方程一方程二。到这了，你是不是能感觉到点啥东西了？做个叉呗，一十减二十。 嗯，先说这吧，先说这就是 y 加 x 的 平方，减去 y 减 x 的 平方，这块是不是就是 y 方， a 方加 b 方嘛？加二 a， p 减去 a 方加 b 方减二 a b， 它俩一减没了，一减没了，它减去一个负的，它等于四 x y， 对 吧？这你要熟的话，其实你就眼睛瞅一瞅就可以出来了，它俩一四减二，四 得去掉啊，这面是八， h 没了，这面是刚算完的四 x y， 那 x， y 就 等于二呗，谁不变就它呗，选 c。

来，咱们该说第五题，专项题有十一书，用的就是学霸题，中题把你的下册 看题吧。这是整体思想， 这个实际就是平行四边形中的数学思想，分类讨论、整体思想、方正思想和转化思想这四个来吧。第五题，如图，平行四边形 a、 b， c， d 中点 e 在 a、 d 上，若点 a， 关于 b、 e 的 对称点落在这个 a 撇落在 c、 d 上，他说三角形 d， e， a 撇，你画上 d、 e、 a 撇， 它是把三角形 c、 b、 a 撇 对，它是十八。问你 a 撇 c 的 长尾多少，这个数设计得转化一下子， 你看它，它俩是对称点，那它就等于它。 那你一个三角形 a 撇 d， e 等于八，是不就是 a 撇 d 加上 d， e 加上 a， e 呀？等于八，是不？你可以推出来， a 撇 d 加上 a， d 等于八， 对吧？同样道理，你再看这个三角形 a 撇 c， 这就是 a 撇 c 加上 c， b 加上这 a 撇 b， 它是不是对称过来？在这呢，它俩相等，加 a、 b 啊， 等于十八。 cb 和 ad 是 相等的 平行四边形吗？对边相等，所以在这改写一下子， a 撇 c 加上 ad 加上 ab 等于十八。现在你得到这两个方程， 这个方程二还可以继续改写，是不是 a 撇 c 有 ad 了，不要动，这 ab 还可以改， ab 和 cd 是 相等的，所以可以改写成 a 撇 c 加上 a 撇 d 等于十八， 就删三吧。我为啥要这么改呀？他要求 a 撇 c， 你 看 ad 这块，有了这 a 撇 d， 这是 ad， 他 俩做叉就行了，是吧？三减一得 二倍的 a 撇 c， ad 和 at 抵消掉， a 撇 d 和 a 撇 d 抵消掉， 等于十， a 撇 c 就 等于五呗。答案也是五，就你转化一下，这道题就做完了。

陪你一起预习课本八年级数学下册的 第三十页纸。我们看到第三题，如图， d 是 三角形 a， b， c 边 b， c 的 中点啊， d 是 中点，那就是 b， d 等于 c， d， d 乘于 a， c， d， f 乘于 a b 啊，这里是直角， 然后呢？又有 d 等 d， f。 很 显然，斜边直角 b 两个三角形全等，对吧？斜边 b， d 等于 c， d 直角 b， e 等于 d f。 所以 r t 三角形 d， c 全等于 r t 三角形 d， f b， 那 么所以角 c 等于角 b 角 c 等于角 b 呃，那么 ab 等于 ac， 所以 三角形 abc 是 等腰三角形。我们看到第四题 第四题告诉的是 a， b 的 c， d， 然后呢？ d， e 这里垂直的 b， f 这里垂直的。哎，这里又有一个叫做 d， e 的 b f。 很 显然，这里我们有 r t 三角形，这个叫 a b， f 前等 r t 三角形 c， d， e 对吧？理由， h l 对， 斜边相等，直角边相等，因为它是直角三角形，所以我们就可以得到 a， f 等于 c e， 然后 a f 减去 e， f 等于 c， e 减去 e f， 所以 a， e 等于 c f 啊，我就口的上说一下，不写过程了。那么同样我们两个三切呢？我们得到角 a， a 等于角 c， e 内错角，下面两直线平行，所以 ab 有 平行 c， d 简单的就不多说。我们看到第五题，用三角尺可以画角平分线，如图，在这个图形当中， 已知在角 aob 的 两边分别取点 m 和 n， 是 o， m 等于 o m 好， 看到这里 o m 等于 o m 好，然后他们就相加入一点啊，相加一点 p。 呃，这还有什么？过 m 做垂线哦，过 n 做垂线啊，这里直角啊，这里画的是三角板做垂线的过程，然后他们这里就加入一点 p， 呃，那我们说这个 rt 三角形 opm 或 rt 三角形 opm， 因为这个 o p 等于 o p o m 等于 o n， 所以 根据 h l 两个三角形缺能，两个三角缺能，所以角 p o m 等于角 p o n。 那 就说这样呢，我们就可以得到设计 o p 是 角 a o b 的 平行线啊。具体的证明过程我嘴巴上已经细数了一遍，我们看到第三十二页纸。 第六题，判断下列命题的真假，并说明理由。第一个，两边分别相等的两个直角三角形，全等。 呃，两边分别相等的两个直角三角形，你比如说我们画的这是一个直角三角形，你比如这一边和这一边，对吧？那么另外也有一个直角三角形， 你看另外一个，这个，这是直角，这是直角，这一边等于他，对吧？然后这一边呢？哎，他如果是等于这一边的话， 你看呢？这一边等于这一边，这个角等于这一角，这边等于这边，这不也是两个直角三角吗？两边分别相等吗？所以这样的两个三角呢？他是个假命题 啊，不一定的啊，不一定的。所以这里两边呢，他没有说清楚。是哪个是直角边，斜边是斜边相等呢？还是哪个直角边相等呢？哎，他这两边没说明白。同样的一个锐角回到直角边分别相等的两个直角三角形的 啊，如果说这个直角三三角形，这是个直角三角形啊，他这有一个锐角啊，比着这个锐角等于这个锐角，哎，当然了啊，如果说像我这样画，你看见了，好像缺了。现在我们看到一条边，如果是这一条边等于这条边呢？ 哎，这怎么缺呢啊，这样的两个三角形呢，就 确定是假命题啊，这个可能有的还没看懂，我刚才这个图画的不太好啊。 我们看到第七题，小红想估计离 a d 三十米的 大树的高度，他就在 a a 这个地方来仰望，他的身高呢，是一米五二啊，一米五二，他仰望的这个仰角呢？这个是三十度， 所以我们看到这个这个数的高度多少呢？就应该等于 b e 的 高度加这个，那么这个等于三十，这边就等于十根号三，因为十根号三的根号三倍等于三十。这里可能有人听不大懂的话，那我们说数高为 x 米 三十个角所对的边呢？斜边的半，那么斜边是二 x， 对 吧？如果你要是实在不懂的话，那你就 x 平方加三十的平方等于二 x， 括号的平方就是四 x 的 平方减 x 的 平方，呃，那就是三 x 平方等于九百 x 平方等于三百， x 等于根号三百，就是十根号三。那你可以这样了，十杠三是一点七三二乘以十一，十七点三二，一，十七点三二，加上一点五二 等于一十八点八四，好，约等于一十八点八米。 好，所以这里我们说这里大概是一十八点八米，记得点赞关注哦！

同学们好，给大家讲一下打卡的第二十五题，这个题是一个很好的题目，因为他考到了我们常考的一个菱形选择题问题，再考到了一个类似于胡不归的一个线段和的最值问题啊，好，我们来一起分析下这个题。 首先看到条件，条件已经给出了一个矩形，而且 a 点的长度是确定的。好， a 点的坐标是确定的，也说 o a 的 长度是等于六，这个长度是等于六。然后第一小问他又补充了一个条件， b 点的坐标是十的话，也就是说 a c 也是这个矩形的长是十， a c 和 o b 都是等于十 好，然后第一问他是进行了一个折叠，将 a c 一 折到了这个 af 一 折叠问题，我们一定要抓住折叠前后的对应边相等，所以 ac 是 不是等于 af， af 是 变为十。好，那么显然这个 a o f 就是 一个六八十的一个三角形。 好，那我们来看到这个第二第一问的第一小问啊。第一小问，首先让我们求的是 f 点的坐标好，那 f 点的坐标是不是显而易见呢？ 好， f 点坐标是不是八逗号零？好，然后他继续让我们去求 e f 的 长度，那么这里啊，显然是用了一个什么啊勾股定律的一个方程思想啊，他既然让我们去求这个 e f 的 长度，就是 e f 的 长度是 x， e f 的 长度是 x， 那 么 c 一 的长度也是 x。 好， 那么 b 一 的长度是等于六减 x 呀好， b f 的 长度是不是应该是十减八等于二呀？那么这里我们就有一个勾股定律啊，那也就是说我们直接写出来啊， x 的 平方加上 x 平方应该等于六减 x 的 平方，再加上一个二的平方。好，那我们很快就可以推出来，这个 x 应该是等于。呃，这个 x 是 等于几来着？嗯，等于三分之十， 三分之十，那也就是说一 f 的 长度就出来了啊， e f 就 等于三分之十，当然说大家自己写过程的时候可以再写的更完整一点啊。来，我们看到第一问的第二小问， 第二小问是将三角形 a o f a o f 目前是一个六八十的三角形，大家记住啊，向上平移了 m 个单位的长度，得到 a p o p f， 它是要找一个积点，使得这个四边形是一个菱形。 好，是否存在？肯定是存在的，而且这里是有多个情况。首先带大家来复习一下我们菱形的存在性问题怎么解决啊？其实菱形的存在性问题就是一个平四的存在性问题，再加一组菱边相等，所以我们一定要记住，平四的存在性问题，他是怎么去用条件的。 好，这里给大家再推一个这个一般性的结论啊。好，如果我们现在有一个平行四边形，先 呃，这手画吧。好，现在如果说有一个平行四边形 好， abc 的。 好，我们假设四个点坐标分别是 x 一， y 一， x 二， y 二， x 三， y 四， y 四的话，因为它的对角线是互相平分的，所以中间的这个 o 点啊，既是 a c 的 对角线啊，中点也是 b 的 一个中点。那么这里是不是可以利用一个中点坐标公式，也就是说， o 点的横坐标，我可以写成二分之 x 一 加 x 三，也可以写成二分之啊， x 二加 x 四 x 四啊，然后呢？呃，纵轴的时候，二分之 y 一 加 y 三，也可以写成二分之 y 二加 y 四，对不对？好，那同时给它乘个二，那我们就可以推出 x 一 加 x 三等于 x 二加 x 四， y 一 加 y 三就等于 y 啊，就等于啊，这个 y 二加 y 四，对不对？好，我就推出这样一个一般的结论啊，也就是说，我们如果说它是个平行四边形的话 啊，两组啊，两条对角线的端点的横纵坐标的和分别是相等的。好，我们一般在用的时候是直接去啊，放在这里去用就行了，那么做题就会快很多来，那我们来看第二问啊，嗯， 好，看到这个第二问，我们继续推倒啊，他说要使得这个 a 撇 o f 撇 再加上 g 点能够是一个菱形，所以我们先想一个问题，我们以哪两个边为零边，他俩是相等的，所以这里就会产生三种情况，所以就我们一种情况，一种情况来讨论啊。我们先看第一种情况 啊，如果说向上平移之后，使得这个 a 撇 o 等于了这个 a 撇 f， 因为 a 撇 f 的 长度是指是不会变的， a 撇 f 的 长度永远是等于十的 a 撇 o 的 o 撇的长度，这里本来是六，那你如果要使得它两相等，显然我们要向上平移多少个单位？向上啊，平移四个单位 对不对？向上平四个档位，也就是说 m 是 等于四的。好， m 等于四，那么接下来我们是不是可以把平移之后的每个点的坐标给它写出来？那平移之后，这个 a 撇点的坐标是不是应该就是本来是零六往上移的四个档位，那么就是零，逗号十 f 撇的这个坐标，它应该是横坐标，不会变横坐标，因为这个地方是八啊，所以它横坐标还是八，纵坐标的话就变成了四。好， o 点坐标给它写成 o 点坐标是不会变的啊，它是零的话，零， o 点始终是圆点。好，那根据我们刚刚所说的啊， 啊，对角线的两个端点呢，很多这边和分别是相等，那我们这边先想清楚啊，啊，哪两个是对角线啊？如果说是 a f 等于 a o 的 话，大家可以想一下，那么 g 点肯定出现在哪？ g 点时候肯定大概出现在这个位置啊， 好，那我们才能出现一个这样的平行四边形，这样的一个菱形，对不对？好，那么显然 ag 是 对角线， o f 撇是对角线，对吧？啊，所以大家可以想一下啊，我们这个 g 点的坐标，横坐标是不应该会等于 o 点的横坐标，加上 f 撇点的横坐标，减掉 a 点的横坐标，是不是可以了？ 同理中，坐标是不是应该是等于 y o 加上 y f 撇，减掉这个 y a 撇即可？好，那我们这个坐标就直接推出来了啊，那么推出来这个坐标应该是啊，去加一下啊， o 的 加 f 的 减 a 的， o 的 加 f 的 减 a 的。 对 a 点坐标是零的话十，零的话十，所以他的横坐标是应该是八啊，纵坐标应该是四减十负六，那么这个是第一种情况， g 点坐标出来了，好，我们继续推到第二种情况，第二种情况， 好啊，我们使得谁和谁相等呢？嗯，我们不妨使得这个 f 撇 a 撇等于 f 撇 o 的 时候， f 撇 o， f 撇 o。 好， 那么这种情况下会是什么样的呢？得向上移多少个单位呢？因为这里是个直角三角形，如果使得这个长度等于这个长度啊，那么其实就要使得这个 o 撇成为这个什么中点吧，对不对啊？因为我们这个三线合一嘛。 好，如果说 o 点是中点啊，那么 o p 点是中点，那么我这个 o 点应该往上移几个单位，是不是移和这个长度一样啊？这里是六，所以这个时候也得使用。所以我们要向上移多少个单位呢？向上移六个单位，也说 m 等于六， m 等于六之后，那么我们把分别把这个坐标再给它写出来啊，所以 a 撇点的坐标是应该是零逗号十二、 f 撇零的坐标，横坐标不变，纵坐标加个六，所以是八逗号六 o 点的坐标始终是零逗号零。好，那接下来问题来了，我们这个 g 点在哪个位置，哪两条是对角线呢？ 好，如果说 f 撇 a 等于 f 撇 o 的 话，那么这个 g 点是不是应该在这一边啊，这样子才能形成一个菱形，所以呢 啊，这个 g f 撇是对的线， a 撇 o 是 对的线，所以 a 的 加 o 的 等于 g 的 加 f 撇的啊，那也就是说我们这个 g 点的一个坐标，它应该是等于 x a 撇加上 x o 减掉 x f 撇，同理，纵坐标 y a 撇加上 y o 减掉 y f k。 好， 那么可以退出来，它这个坐标应该是，呃，这个坐标可以算一下啊，它等于刚刚，这应该是负八逗号六。好，这是第二种情况，最后一种情况，最后一种情况的话，我们还剩下谁为零点啊？ 好，我们刚刚是以 f 为零点， a 为零点，是不是接下来是 o 为零点呀？也就是说我们这个 o a 撇会等于这个 o f 撇，那这种情况呢？像我们需要去拿勾股定律简单去推一下，我们不妨往上 好，它是往上移的 m 个单位，所以这个长度是个 m。 好， 如果 o a 撇等于 off 撇的话，那么是不是应该去勾股一下啊？ o a 撇的长度变成六，所以呢，是六加 m 的 平方等于什么呢？好 啊，这个这里会形成一个直角三角形啊，此时这里会有个直角三角形，那么它是不是就会等于 m 的 平方加上一个八的平方六十四，好，那我可以把这个 m 给它推出来了，这个 m 推出来它，是啊， 这个大家自己算啊。这个勾股定律， m 算出来是等于三分之七，好，算出三分之七后之后和 m 一 样的道理啊。那我们是不是把 a 撇点的这个求出来， a 撇点呢？是不应该是往上移了六个单，呃，往上移了三分之七个单位，所以它的坐标应该是零逗号六又三分之七啊。然后 f 撇的坐标应该是 横坐标不变，八逗号三分之七， o 点的坐标还是零逗号零。好，我们最主要求的这个 g 点的坐标，这个大家可以自己去想一下，是谁加上谁减掉谁 讲的清楚吗？对，当你如果说是 o f o f 撇等于 o a， 那 么这个 g 点是会出现在这个位置，所以这个 g 点和 o 点连起来，这个是对角线，所以应该是用 a 的 坐标加上 f 撇的坐标，减掉 o 的 坐标就是 g 的 坐标。好，那我们就最终可以推出来，这个 g 点的坐标是 大家自己去算啊，是八八逗号，三分之三十 八，分八多少？三分之三十二。好，那我们这三种情况就都求完了啊。好，最后啊，一定要记得写上综上可得 啊，综上可得，好，然后有三种情况，把答案分别写上就 ok 了。好，来，我们来看第三问。 好，第三问，嗯，他又补充了一个条件啊，他说 b 点坐标现在是六的话，零了，再结合啊，题干中的 a 点坐标是零的话，六，所以我们显然知道这个啊， a o b c 指的就是个正方形了。好，然后 m n 是 两个动点。好，关键的条件 a n 是 两倍的 c m， 最终让我们去求什么呢？ o m 加上二分之一 o n 的 一个最小值， an 是 两个的 c m 的。 好，那这个我们怎么去分析呢？像这种问题啊，这种线段和的最值问题，大家一定要有两个思路，第一个是什么？如果说出现了这个这种二分之一这种带分数的，我们一定要把这个转成一个具体的边，也就是说我们要去找谁是 o n 的 一半。 好，那么在这里我们是通过这个中微线去上，你发现我们在这里取个中微线，这个长度就会是 o n 的 一半，对不对？好，我们转身这个长度之后，接下来 o m 加，再加上这个长度 啊，像这种两个具体的边加到一起的最小值，我们一定要把这个边去转一下，使得它成为一个首尾相连，在最后利用一个两点之间线段最短去解决好，这是我们的一个思路啊，所以来看看这个大图， 辅助线已经给大家做好了啊，所以我们刚刚按照刚刚的思路啊，我们先要解决，因为他最终求的是 o m 加上这个二分之一 o n 的 长度，对不对？好，因为这个 o n 呢，我们在这里取一个中中微线好一 点啊，是这个 a o 的 一个中点， f 点是 a n 的 一个中点，那我们是不是可以 e f 就是 o m 一 半，所以我们这个问题变成了 o m 再加上这个 e f 的 一个最小周期， 但是这个问题还没有完，这个 e f 和 o m 现在距离的有点远，所以我们要通过构造全等或者说平移的方式，旋转的方式，把它去转到啊首尾相连的两边。那这里呢，我们是通过去构造了一个全等 好，怎么勾到的这个圈呢？你先分析一下啊，因为这个三角形，目前啊这个边是确定的，这个边是不是三，然后这个角是四十五度是确定的。好，我们想要把它转到跟 m 有 关，所以我们要把这个三角形哎，给他移到这边来，那怎么去移的呢？因为这个角是四十五度，所以我们在这里先做一个四十五度的角， 然后呢， a 一 的长度是三，对不对？所以我们就使了什么使了，这个 c p 的 长度等于三，那么 c p 的 长度如果等于三的话，这个角是四十五度啊。再结合题干处，我们刚刚是不是有个条件， c m 的 长度是不是等于二分之一的 a n 的 长度， 所以呢， c m 就 会等于 af 了，那么 s a f 就 转成了这个 mp。 好， 所以 他最终就直接会等于什么？会等于 o m 加上 m p 的 一个最值。好，我们来先写一下过程啊， 好，我们这里是先正了一个全等啊，那么辅助线那个说明我这里就不强调了啊，大家自己去写啊。好，我们是先正了这个三角形 a e f 全等于三角形 a e f， 那 么应该这里是 c p m， 对 不对？好，这两个 c 形全等怎么中出来的啊？刚刚已经说过了啊，他应该是用了啊，两个边再加一个夹角四十五度，是不是 s a s 去中出来了？ 好，大家可以继续写一下啊，全等中完之后，所以我们是不是就得到了这个？嗯， ef 就 会等于这个 m p 啊， e f 又是等于二分之一 o n 的 吧，所以我们最终的这个问题就变成了求 o m 加 m p 的 最值，那这个最值又怎么求嘞？啊，这个应该大家也想得到啊，首尾相连之后什么时候最小呀？对，没发现。 o 点是一个定点， p 点其实此时也是一个定点，因为这个角度是固定的，这个角度永远是四十五度，而且呢，啊，这个 c p 的 长度是等于三的 c p 的 长度 啊， c p 是 不是等于这个 a 一 要等于三啊？因为我们这样子啊，它等于三，所以 p 点呢，也是固定的，所以 o m 加 mp 的 最小值，也就最终这个 o m 加二分之一 o n 的 最小值，它其实就是等于 o p 的 一个长度，对不对？所以我们这里直接选择把 o p 给它连起来， 把 o p 连起来啊， 好，所以最小值就是 o p 的 长度。好，那 o p 的 长度怎么去求呢？ 好，接下来就是关键了啊，我们 o p 的 长度，因为我们已经知道这个长度是三，这里是四十五的，大家想一下，哎，我如果把 o c 给它连起来， o c 连起来之后，这个是不是正方形的对角线，这个是不是也是四十五的？也就是说这个地方是垂直的， 那么也就是说，我们在 r t 三角形 o c p 中， c c p 是 不是知道等于三，然后呢， o c 的 长度是不是也知道是不是六倍根号二，那么这个题就完了。所以我们这个啊， o p 是 不等于根号下 啊， o c 的 平方加上 c p 的 平方好，最终算出来等于九， 那么也就是说，最后这个题，我们求的这个 o m 加二分之一， o n 的 一个最小值就等于九。好，这个题过程不多啊，主要是分析下这个思路。好，那这个题就给大家讲完了，感谢大家聆听。

勾股定离八年级下册数学专项训练全书三十八页，紧密同步教材，系统规范了十四个高频知识点、二十个必会题分点三个，强化专项练，搭配思维导图，梳理知识框架，预习复习都方便。 基础解读分知识点，逐一解读核心要点，搭配例题精讲及视频讲解知识点，让学生轻松理解掌握。提分训练分训练点，关注过程，学会总结。 专项练习，分类专练，易错常考点题型有请入声，突破难点综合练习，对接中考全面检测，课后配有参考答案，全方位助力学生攻克薄弱点，专项培优。